Реализация принципов уровневой дифференциации обучения при организации самостоятельной работы студентов педвуза по курсу математического анализа (на примере темы «Числовые ряды»)

?date=2009120801&part=1 (дата обращения: 08. 12.2009).

3. Асланов Р. М, Мань Н. Д., Синчуков А. В. Лабораторный практикум по дифференциальным уравнениям: учеб. пособие. Архангельск: КИРА, 2011. 203 с.

4. Эдвардс Г., Пенни Э. Дифференциальные уравне-

ния и краевые задачи моделирования и вычисление с помощью Mathematica, Maple, и MATLAB / пер.с англ. М.: Вильямс, 2008. 1104 с.

5. Полат Е. С., Моисеева М. В., Петров А. Е. Педагогические технологии дистанционного обучения / под ред. Е. С. Полат. М.: Академия, 2010. 400 с.

УДК 378.147 ББК 22.161

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ УРОВНЕВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

IMPLEMENTATION OF PRINCIPLES OF THE EDUCATION LEVEL DIFFERENTIATION AT ORGANIZING OF STUDENTS' INDEPENDENT WORK AT PEDAGOGICAL INSTITUTE ON THE COURSE OF MATHEMATICAL ANALYSIS (on the example of "Numerical series").

Л. Н. Ильинская

В данной статье рассматривается вопрос об усилении роли самостоятельной работы будущих учителей математики, предложены задания, позволяющие реализовать принципы уровневой дифференциации самостоятельной работы студентов по теме «Числовые ряды».

Ключевые слова: дифференциация и индивидуализация обучения, самостоятельная работа студентов, разноуровневые учебные материалы, математический анализ, числовые ряды.

L. N. Ilyinskaya

This article deals with the question about strengthening the role of independent work of future teachers of mathematics and with the exercises that enable to implement the principles of the level differentiation of students' independent work on the topic "Numerical series".

Keywords: differentiation and individualization of education, independent work of students, multilevel training materials, mathematical analysis, numerical series.

Высшее образование является одним из определяющих факторов, влияющих на профессиональное становление человека: от его качества напрямую зависит успешность отдельного человека и в целом позитивное развитие всего общества. Одним из показателей успешности образования является самостоятельность студентов, которая необходима для принятия ими самостоятельных суждений и действий в процессе преодоления учебных трудностей. Любой начинающий специалист должен обладать фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности своего профиля, опытом творческой и исследовательской деятельности по решению новых проблем, опытом социально-оценочной деятельности. Две последние составляющие образования формируются именно в процессе самостоятель-

ной работы студентов [1]. Отметим, что главное в стратегической линии организации самостоятельной работы студентов в вузе заключается не в оптимизации ее отдельных видов, а в создании условий высокой активности, самостоятельности и ответственности студентов в аудитории и вне ее в ходе всех видов учебной деятельности [2].

Учитывая условия становления ФГОС ВПО третьего поколения в вузах, в которых явно просматривается увеличение учебных часов на самостоятельное обучение, но уменьшение числа аудиторных занятий в пользу самостоятельной работы не решает проблемы повышения или даже сохранения на прежнем уровне качества образования, ибо снижение объемов аудиторной работы совсем не обязательно сопровождается реальным увеличением самостоятельной работы, которая может быть реализована в пас-

сивном варианте [3], поэтому актуальным является вопрос о необходимости совершенствования организации самостоятельной работы студентов в системе профессиональной подготовки специалистов в высшей школе.

Согласно действующим на математическом факультете МПГУ образовательным программам, например, по направлению бакалавров педагогического образования профиля «математика и информатика», на изучение дисциплины «математический анализ» предусмотрено 504 учебных часа, из них только 306 - аудиторных, поэтому для преподавателей кафедры математического анализа очень важно четко планировать самостоятельную работу студентов для повышения качества обучения. Кроме того, известно, что математический анализ является базовой учебной дисциплиной, без должного усвоения которой невозможно дальнейшее изучение таких дисциплин, как теория функций действительного и комплексного переменного, дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными, уравнения математической физики, функциональный анализ и другие.

Поэтому в данной статье рассмотрим некоторые аспекты организации самостоятельной работы студентов - будущих учителей математики, в связи с тем, что качества специалиста, описанные выше, особенно важны для учителя-математика,в связи с особенностями его профессиональной деятельности, а именно выделим особенности организации самостоятельной работы в условиях уровневой дифференциации обучения как мощного средства для достижения образовательной цели при изучении темы «Числовые ряды» в курсе математического анализа.

Усиление роли самостоятельной работы студентов означает принципиальный пересмотр организации учебно-воспитательного процесса в вузе, который должен строиться так, чтобы развивать умение учиться, формировать способности к саморазвитию, самообразованию, инновационной деятельности, и эффект от самостоятельной работы можно получить тогда, когда она организуется и реализуется в учебном процессе в качестве целостной системы, пронизывающей все этапы обучения в вузе [2]. Самостоятельная работа студентов предназначена не только для овладения каждой дисциплиной, но и для формирования навыков самостоятельной работы вообще, в учебной, научной, профессиональной деятельности, способности принимать на себя ответственность, самостоятельно решить проблему, находить конструктивные решения и т. д. Несмотря на важную роль самостоятельной работы в системе высшего образования, она является одной из наименее исследованных проблем педагогической теории высшего образования, а именно она, согласно новой образовательной парадигме, становится главным резервом повышения эффективности подготовки специалистов.

Отметим некоторые проблемы, часто возникающие при организации самостоятельной работы. Самостоятельная работа может быть организована как в аудитории, так и вне ее, и хотя в образовательных стандартах на внеаудиторную работу отводится более половины учебного времени студента, этот норматив во многих случаях не

выдерживается. Количество и объем заданий на самостоятельную работу по дисциплине определяется преподавателем, и оценка сложности задания и времени, требуемого на его подготовку, часто не проводится. Сроки представления домашних заданий не всегда согласованы, что приводит к неравномерности распределения самостоятельной работы по времени. Все эти факторы подталкивают студентов к формальному отношению к выполнению работы, без творческого подхода и даже порой без понимания выполняемых операций, и следовательно, все это приводит к уменьшению времени, реально затрачиваемого студентом на эту работу [4].

В работах С. И. Архангельского, Ю. К. Бабанского, П. Я. Гальперина, В. И. Загвязинского, П. И. Пидкасистого, Н. И. Чиканцевой и др. рассмотрены различные трактовки понятия «самостоятельная работа», анализируя их, можно сделать вывод о том, что самостоятельная работа, которая наряду с аудиторной представляет одну из форм учебного процесса, должна организовываться в такой форме: студент получает задания для работы, непосредственные указания и рекомендации к ним, а преподаватель выполняет функцию управления через учет, контроль и коррекцию ошибочных действий.

Поскольку самостоятельная работа - важнейшая форма учебного процесса, следует акцентировать внимание студентов на ее непосредственном влиянии на формирование таких параметров квалификационной характеристики, как мобильность, умение прогнозировать ситуацию и активно влиять на нее, самостоятельность оценок и т. д., с тем чтобы студенты видели положительные результаты своего труда и чтобы переживаемый ими успех в обучении способствовал трансформации опосредованного интереса в интерес непосредственный. Значит, необходимо перевести студента из пассивного потребителя знаний в активного их творца, умеющего сформулировать проблему, проанализировать пути ее решения и найти оптимальный результат [2]. Таким образом, это предполагает ориентацию на активные методы овладения знаниями, развитие творческих способностей студентов и переход от поточного обучения к индивидуализированному с учетом возможностей и потребностей личности, отмечая тот факт, что индивидуализация учебных заданий, вообще говоря, является одним из приемов активизации самостоятельной работы учащихся. Учитывая специфику обучения студентов - будущих учителей, отметим, что основным мотивирующим фактором для выполнения самостоятельной работы является подготовка к дальнейшей профессиональной деятельности.

Сложившиеся образовательные формы учебной деятельности студентов в вузе - лекции, практические, лабораторные занятия, семинары, система контроля - обусловливают формы самостоятельной работы и виды домашних заданий, и, таким образом, возникает противоречие между поточным обучением и обучением, учитывающим индивидуальные особенности студентов. Главной индивидуальной особенностью, которую мы учитываем при организации самостоятельной работы студентов, яв-

ляется их способность к усвоению знаний, то есть обучаемость. В высшей школе увеличивается объем и усложняется содержание учебных заданий, и при развитии этого процесса более четко выступают индивидуальные различия в обучаемости студентов.

Основным принципом организации самостоятельной работы с целью повышения ее эффективности, на наш взгляд, должен стать перевод всех студентов на индивидуальную работу, с переходом от формального выполнения определенных заданий при пассивной роли студента к познавательной активности с формированием собственного мнения при решении поставленных проблемных вопросов и задач [2], ведь цель самостоятельной работы -научить студента осмысленно и самостоятельно работать сначала с учебным материалом, затем с научной информацией, заложить основы самоорганизации и самовоспитания с тем, чтобы привить умение в дальнейшем непрерывно повышать свою квалификацию.

Сущность принципа индивидуального подхода по существу состоит в адаптации обучения либо к содержанию и уровню знаний, умений и навыков каждого учащегося, либо также к характерным для него процессам усвоения. Одним из средств реализации этого принципа являются как раз самостоятельные работы, они выступают в качестве специфического дидактического средства организации и управления самостоятельной деятельностью студентов на всех этапах обучения [5].

Самостоятельная работа включает воспроизводящие и творческие процессы в деятельности студента. В зависимости от этого различают три уровня самостоятельной деятельности студентов:

1. Репродуктивный (тренировочный) уровень. Тренировочные самостоятельные работы выполняются по образцу: решение задач, заполнение таблиц, схем и т. д. Познавательная деятельность студента проявляется в узнавании, осмыслении, запоминании. Цель такого рода работ -закрепление знаний, формирование умений, навыков.

2. Реконструктивный уровень. В ходе реконструктивных самостоятельных работ происходит перестройка решений, составление плана, тезисов, аннотирование.

3. Творческий, поисковый. Творческая самостоятельная работа требует анализа проблемной ситуации, получения новой информации. Студент должен самостоятельно произвести выбор средств и методов решения [4].

В психологии обучения выявлено несколько характеристик индивидуальных различий учащихся, связанных с понятием обучаемости. К ним относятся: а) темп усвоения или продвижения в обучении как наиболее устойчивая характеристика; б) полнота и точность анализа и синтеза и неразрывно связанных с ним обобщения и абстрагирования; в) устойчивая предрасположенность учащихся к тому или иному виду анализа, особенно при первичной работе над материалом; г) экономичность мышления и др. [5].

Отмеченные выше явления, имеющие место в обучении, показывают невозможность создания такой системы, равно оптимальной для каждого учащегося, но, учитывая

характеристики индивидуальных различий и уровни самостоятельности студентов, мы считаем целесообразным сформировать такие учебные группы в потоке, для которых можно было бы организовать дифференцированную самостоятельную работу.

В условиях сложившейся системы обучения на математическом факультете уровень изложения материала, темп, рассчитанный на некоторого «среднего» студента, не соответствует познавательным возможностям учащихся с замедленным темпом усвоения и учащихся с хорошими способностями к изучению математического анализа. Студенты с хорошими способностями работают без особого напряжения, а слабые испытывают возрастающие затруднения. Таким образом, необходимо создать оптимальные условия для проявления способностей и интересов студентов в условиях коллективной работы.

В практике обучения появились различные формы дифференциации на занятиях. Так, например, на занятиях по математическому анализу мы применяем самостоятельные работы по вариантам, которые отличаются по своему содержанию сложностью и рассчитаны на разный уровень подготовленности студентов и разный уровень их самостоятельности.

Анализируя различные задачники по математическому анализу, которые используются на математическом факультете в настоящее время, можно сделать вывод о том, что задания в них не дифференцированы по уровням сложности, соответствующим разному уровню подготовленности студентов одной и той же группы [6-8]. В целях повышения эффективности самостоятельной работы преподаватель вынужден подбирать задания из разных источников, чтобы составить полноценные варианты для дифференцированной самостоятельной работы.

При изучении темы «Числовые ряды» в курсе математического анализа предусмотрено восемь часов практических занятий. В процессе изучения темы «Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами» мы предлагаем провести самостоятельную работу в условиях уровневой дифференциации. Задания, подобранные нами из разных источников, представлены в трех вариантах: репродуктивный (В-1), реконструктивный (В-11), творчески-поисковый (В-111). Выбор соответствующего варианта мы предлагаем сделать студенту самостоятельно.

Вариант I

1. Исследуйте сходимость рядов с помощью критерия Коши: 5

2. Исходя из определения, докажите сходимость данного ряда и найдите его сумму:

3. Докажите расходимость рядов, используя необходимое условие сходимости:

V1 со

а)

п+2

; б) 51

-) .п+1/

2п

4. Используя признаки Даламбера и Коши, исследуйте на сходимость следующие ряды:

а) 2™= 1 > 0 ; б) Е™=2 '

(log Еп)«'

5. Исследуйте сходимость следующих рядов, используя различные признаки:

а)

в)

усс fтг+2\т: уго дя З(2к-3]

л

а)

Jn=1ln

4. Используя признаки Даламбера и Коши, исследуйте на сходимость следующие ряды:

а)

iL

у со 3Пп\ J_ /4Т1+]Л1

¿«=1 i А«=1я7ЧЗИ + 2У '

5. Исследуйте сходимость следующих рядов, используя различные признаки:

2'5'...-(Зп-1] ? ' . ;

а)

V1 ™ ¿Jn= 1

(2íi-l)ü 1 (210 ü 2п+ 1

V1 oo

';6)¿n=l

в)

4. Используя признаки Даламбера и Коши, исследуйте на сходимость следующие ряды:

5. Исследуйте, при каких значениях параметра р сходятся следующие ряды:

V1 со

а) ¿in=l

б) 2

У 71 . 1 —--.

пР+2 71 '

со 71=1

2п+Ъ

arctg

Вариант II

1. Исследуйте сходимость рядов с помощью критерия Коши:

^-ОЭ соз^я!) ^^ 1п п

2. Исходя из определения, докажите сходимость данного ряда и найдите его сумму:

3. Докажите расходимость рядов, используя необходимое условие сходимости:

у со V" п\

2-п

в)

V1 со ¿jn=l

УЯ

2пР + 1

. — ^ со 1—Vn— 1

При выполнении данных заданий студенты могут выполнять их как индивидуально, так и малыми группами. Выполненный вариант можно обсудить публично или сдать на проверку преподавателю. Данная система организации практического занятия позволяет вводить в задачи научно-исследовательские элементы, упрощать или усложнять задания, дает возможность студентам самим составлять задания по заданной теме.

При подборе заданий для дифференцированной самостоятельной работы по данной теме мы ориентировались на следующие принципы: методологическая осмысленность материала, отбираемого для самостоятельной работы; сложность знаний, соответствующая «зоне ближайшего развития» (по Л. С. Выготскому) студентов, то есть посильность выполнения; последовательность подачи материала с учетом логики предмета и психологии усвоения; дозировка материала для самостоятельной работы, соответствующая учебным возможностям студентов; деятель-ностная ориентация самостоятельной работы [1].

Все эти принципы следует закладывать в разработку заданий для самостоятельной работы студентов. Профилирование заданий, таким образом, предусматривает в равной мере их прикладной характер, связанный со спецификой будущей профессии, и методологические особенности, связанные с формированием «математического мышления».

Вариант III

1. Исследуйте сходимость рядов с помощью критерия Коши:

^ СО 2+sinH ^ со {in я}

2. Исходя из определения, докажите сходимость данного ряда и найдите его сумму:

.

3. Докажите расходимость рядов, используя необходимое условие сходимости:

а) En=l VÖ^jÖl;6) £n=l COSTlCr.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трущенко Е. Н. Организация самостоятельной работы студентов вуза на основе компетентност-ного подхода к профессиональной подготовке специалистов: дис. ... канд. пед. наук. М., 2009. 168 с.

2. Актуальные проблемы реализации образовательных стандартов нового поколения в условиях университетского комплекса, секция «Научно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов в соответствии с ФГОС ВПО»: сб. науч. тр. / Оренбургский гос. ун-т. Оренбург: ОГУ, 2011. 2405 с.

3. Юшко Г. Н. Научно-дидактические основы организации самостоятельной работы студентов в условиях рейтинговой системы обучения: авто-реф. дис. ... канд. пед. наук. Ростов н/Д, 2001. 23 ^

4. Фаустова Э. Н. Студент нового времени: социокультурный профиль. М., 2004. 72 с.

5. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. 336 с.

6. Задачник по курсу математического анализа: учебное пособие для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов / Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан, И. А. Марон, И. В. Матвеев, М. Л. Смолянский, А. Т. Цветков. М.: Просвещение, 1971. 343 с.

7. Григорьев Е. А. Числовые и функциональные ряды. Теория и практика. М.: Науч. мир, 2004. 216 с.

8. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие. 18-е изд. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. 624 с.

УДК 511 ББК 22.13

О МЕТОДАХ СОСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАК СРЕДСТВА ОРГАНИЗАЦИИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ

ABOUT THE METHODS OF DRAWING UP SOME TYPES OF TASKS

AND THEIR USE AS A MEANS OF ORGANIZING STUDENTS' RESEARCH ACTIVITY

Г. Г. Хамов, Л. Н. Тимофеева

Данная статья посвящена актуальной теме организации исследовательской деятельности студентов педагогических вузов. Рассматриваются задания на составление диофантовых уравнений, требующие от студентов знания определенных вопросов по теории чисел и творческого их применения.

Ключевые слова: исследовательская деятельность, теория чисел, диофантовы уравнения, составление уравнений, делимость чисел.

В современных условиях совершенствование учебного процесса как в школе, так и в вузе идет в направлении развития активных методов обучения, которые позволяют не только глубже проникнуть в суть изучаемых фактов, но и повысить интерес к обучению вследствие личного участия в получении новых знаний. Одним из видов таких активных форм обучения является исследовательская деятельность обучаемых, где главным является овладение методами познания, самостоятельная работа, творческое использование полученных знаний, средств и способов деятельности [1]. Способы и средства организации исследовательской деятельности рассматриваются во многих работах [2-3].

В данной работе предлагается организацию исследовательской деятельности студентов осуществлять посредством составления заданий на исследование и ре-

G. G. Khamov, L. N. Timofeeva

This article is devoted to the actual question of organizing students' research activity at pedagogical institutions of higher education. The tasks for drawing up the Diophantine equations are considered. These tasks demand from students the knowledge of certain questions on the theory of numbers and their creative application.

Keywords: research activity, theory of numbers, Dio-phantine equations, drawing up equations, numbers' divisibility property.

шение диофантовых уравнений. Задания на составление диофантовых уравнений могут быть выполнены при условии овладения студентами соответствующими методами решения таких уравнений. Одним из методов исследования и решения неопределенных уравнений является вычисление возможных остатков от деления левой и правой частей уравнения на одно и то же натуральное число. При этом как при решении уравнения, так и при составлении используются следующие свойства: квадрат числа и квадрат его остатка при делении на одно и то же натуральное число дают равные остатки, это верно для кубов и других степеней; произведение чисел и произведение их остатков дают равные остатки при делении на одно и то же число. Кроме того, квадраты, кубы и другие натуральные степени целых чисел не-