Принципы построения методики изучения курса «Теория функций комплексного переменного» в педагогических вузах

УДК 378.147

АНОХИНА Елена Юрьевна, ассистент кафедры математического анализа Таганрогского государственного педагогического института. Автор

7 научных публикаций

МАКАРЧЕНКО Михаил Геннадиевич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа Таганрогского государственного педагогического института. Автор 78 научных публикаций

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗАХ

В данной статье рассмотрены специфические особенности курса «Теория функций комплексного переменного», выделены цели изучения рассматриваемого курса будущими учителями математики и определены соответствующие им принципы обучения: личностно-значимого включения, аналогового моделирования, историко-смысловой, локальной интеграционной систематизации знаний, преемственности.

Принцип личностно-значимого включения, принцип аналогового моделирования, историко-смысловой принцип обучения, принцип локальной интеграционной систематизации знаний, принцип преемственности

Теория функций комплексного переменного (ТФКП) изучается в педагогическом вузе в пятом семестре и является одним из сложных математических курсов. Его сложность обусловлена прежде всего высоким уровнем смысловой абстрактности понятийного аппарата, что связано с рядом особенностей, которые определяют специфику ТФКП, регламентируют широту его дидактических возможностей и способствуют выявлению основных принципов построения методики изучения данного курса. Обратимся к этим особенностям, рассматривая ТФКП как область математического знания, отраженную в учебном предмете, т.е. как «науку» и как учебный предмет.

I. Одной из особенностей ТФКП как науки следует считать разнообразие связей с физическими, техническими и другими областями

человеческого знания. Подобные взаимопроникновения ТФКП с различными науками, с одной стороны, говорят о ее широкой прикладной направленности, которая использовалась и используется в настоящее время другими науками, с другой - изучение большинства из этих наук не входит в учебные планы педагогических вузов, вследствие чего ограниченность прикладного применения данного курса следует считать объективной «необходимостью», и это целесообразно учитывать в процессе реализации методики изучения данного учебного предмета. Компенсировать указанный недостаток «доступных смыслов» прикладных моделей понятий ТФКП можно теми «смыслами», которые исторически ввели те или иные понятия в категорию научных. Дальнейшее рассмотрение специфики ТФКП проведем, обращаясь

по мере необходимости к литературе по истории математики.

Анализ источников по истории математики1 позволил сделать следующие выводы.

1.1. Потребности практики стимулировали ученых создать данную науку. Можно даже сказать, что ТФКП исторически мотивирована и исторически востребована как прикладная наука. Задачам прикладного характера комплексные числа обязаны своему возникновению. Одной из первых таких задач стала проблема нахождения решений кубических уравнений, работая над ней, ученые пришли к выводу, что для сохранения общности формулы нахождения корней кубического уравнения необходимо ничем не ограниченное использование комплексных чисел.

1.2. При изучении свойств комплексных чисел выяснилось, что в отличие от поля действительных чисел, в котором замкнуты четыре операции, в поле комплексных чисел замкнуты шесть. Этот факт позволяет «предположить», что нерешенные проблемы в И могут быть решены в С. Следовательно, мотивацию изучения тем курса ТФКП надо искать в проблемах, обозначенных в ранее изученных темах курса математического анализа, что поможет раскрыть смысловые характеристики «комплексных» понятий и фактов.

1.3. Вследствие алгебраической замкнутости поля комплексных чисел С, изучение функций и математический анализ вообще приобретают должную полноту и законченность только при рассмотрении поведения функций в комплексной области. Рассмотрение функций в комплексной области позволило математикам решить много прикладных задач. Например, «Эйлер в связи с задачей о построении географических карт изучал задачу конформного отображения поверхностей в общей постановке и использовал для этой цели комплексное переменное»2.

1.4. Историческое развитие ТФКП происходило в трех направлениях, и долгое время научные исследования в этой области проводились только в плане развития одного из направлений. Первое - теория моногенных или диф-

ференцируемых функций Коши, второе - геометрическое, в основу которого положены идеи Б. Римана. В основу третьего - аналитического направления была положена возможность представления функций степенными рядами. Оно сформировалось в работах К. Вейерштрасса3.

Сам факт спонтанного развития науки ТФКП свидетельствует о колоссальных трудностях ученых того времени в осмыслении результатов «применения» аппарата функций комплексного переменного. Последний вывод приводит к целесообразности использования в учебном процессе элементов истории развития науки ТФКП и обращения к смысловым характеристикам понятий в их историческом истолковании.

II. Особенностью ТФКП как науки и как учебного предмета является «двойственность представления комплексной функции», которая выражается в том, что, с одной стороны, /уг) - это функция одного комплексного переменного, а с другой - она задается парой вещественных функций двух переменных. В связи с этим, изучение свойств функции комплексного переменного осуществляется с позиции рассмотрения ее как функции одного переменного, а иногда как функции двух переменных. Эта «двойственность» может и должна быть использована в качестве еще одного средства раскрытия смысловой составляющей абстрактных понятий и фактов ТФКП.

ИТ. Другой особенностью курса ТФКП является «расширение содержания известных понятий». Эта особенность отражена в следующих выводах.

3.1. Целесообразно и возможно перенести основные идеи математического анализа в комплексную область. Например, одним из фундаментальных понятий математического анализа является понятие предела и, в частности, понятие предела числовой последовательности. Идейные развития содержания этого понятия в математическом анализе и в ТФКП сходны в содержаниях «порожденных» ими элементов соответствующих теорий. Аналогичную роль играют и другие фундаментальные понятия математического анализа в области развития ТФКП.

3.2. Развитие теоретических положений ТФКП возможно посредством выявления взаимосвязей между математическим аппаратом курса ТФКП и математическим анализом. Например, вычисление интегралов по кривой от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от функций действительных переменных, а при вычислении некоторых определенных и несобственных интегралов функции действительного переменного применяется теория вычетов.

3.3. Перенесение определений фундаментальных понятий (как знака и его значения) из курса математического анализа в курс ТФКП, как правило, возможно почти без изменений, чего нельзя сказать об их содержании (смыслах). Смыслы понятий, имеющих одинаковые термины (знаки) в математическом анализе и ТФКП, меняются существенным образом. Например, определение дифференцируемости функции комплексного переменного в точке совпадает с определением дифференцируемости функции действительного переменного в точке. Но требование дифференцируемости для функции комплексного переменного оказывается гораздо более жестким, чем для функции действительного переменного, т.к. «дифференцируемость функции в точке в комплексном смысле» требует не только дифференцируемости в точке в действительном смысле, но и выполнения условий «комплексной» дифференцируемости. Например, оказывается, что такая, казалось бы. «хорошая» функция, как f (z ) = Re z, yf (z)= x) не имеет производной ни в одной точке z0, z0 е С .

3.4. Элементарные функции комплексного переменного являются естественным распространением в комплексную область элементарных функций действительного переменного. Однако при таком распространении функции приобретают иногда новые свойства, например, показательная функция комплексного переменного ez оказывается периодической, функции sin z и COSz перестают быть ограниченными, приобретает смысл логарифм от отрицательного числа и т.д.

Рассмотрение поведения элементарных функций комплексного переменного позволяет углубить знание элементарных функций у будущих учителей математики.

3.5. При переходе к комплексному анализу устанавливаются новые связи между всеми трансцендентными элементарными функциями. Так, тригонометрические функции оказываются простыми комбинациями показательных функций, например cos х = — {е1Х + е~1Х). Этот факт

позволяет использовать известные свойства показательной функции и ее разложение в ряд для вывода всех основных свойств тригонометрических функций. Таким образом, тригонометрия может быть построена чисто аналитически и не зависеть от евклидовой геометрии.

Выделенные выше особенности ТФКП как науки свидетельствуют о сложности данного курса, которая отражается на качестве его усвоения. Трудности обусловлены необходимостью активного использования знаний и умений, приобретенных студентами в ранее изученных математических курсах (II, III), а также понимания новых смыслов в известных «знаках» (3.3, 3.4), объективной сложностью использования прикладной направленности ТФКП как науки (1.3, 1.1), слабо выраженной в ТФКП как учебном предмете (поскольку решения большинства прикладных задач требуют реализации межпредметных связей с аппаратами дисциплин, не входящих в учебные планы педагогических вузов).

Указанные особенности ТФКП как науки и как учебного предмета приводят к необходимости выделить цели изучения рассматриваемого курса и определить соответствующие им принципы обучения.

Проблема целей изучения высшей математики и ее различных курсов возникла с момента введения в учебный процесс вузов и, как правило, была отражена в учебных программах и в предисловиях к соответствующим учебникам.

В 1990-е годы и в начале XXI века возникла острая потребность в уточнении не только целей изучения курсов высшей математики, но и

в определении особенностей, возможностей и потребностей учащихся в изучении математических дисциплин. К данной проблеме обращались в своих работах различные авторы. Следует выделить диссертационное исследование А.Г. Морд-ковича, посвященное профессионально-педагогической направленности специальной подготовки учителя математики в педагогических институтах4, труды Г.Г. Хамова, направленные на исследование методической системы обучения алгебре и теории чисел и монографию О.А. Сотнико-вой, связанную с исследованием проблемы целостности вузовского курса алгебры.

Проблема целей возникает и при моделировании курса ТФКП и методики его изучения в свете выделенных выше особенностей данного курса. Рассматривая эти особенности во взаимосвязи с особенностями будущей профессии, в основе которой лежит организация процесса обучения школьников математике, выделяем следующие цели изучения ТФКП в педагогических вузах.

1. Формирование у студентов определенной математической базы, которая выражается в следующем: владение основами ТФКП; знание и понимание основных понятий ТФКП, их происхождения и развития; видение связей ТФКП с другими науками и ее места в системе других наук; понимание многоступенчатого характера и универсальности математических абстракций; обобщение понятий функции действительного переменного;

2. Придание целостного характера знаниям будущего учителя математики об элементарных функциях, их свойствах и взаимосвязях. Расширение представления о функциях.

3. Обеспечение достаточного опыта математической деятельности: применение теоретических знаний для изучения новой теории и решения практических задач; умение работать с научным текстом; преобразование научного материала в учебный.

4. Воспитание достаточно высокого уровня математической культуры, который характеризуется умением четко формулировать, обобщать и систематизировать основные положения теории; логически верно, последовательно

и грамотно излагать свои мысли; умение рассматривать материал на различных уровнях строгости и полноты изложения.

Основной целью изучения рассматриваемого курса мы выдвигаем понимание ТФКП как формирование обобщенного понятия функции в процессе установления содержательных взаимосвязей между данным курсом и курсом математического анализа.

В соответствии с вышеуказанными целями обучения ТФКП определим принципы построения методики изучения данного курса в педагогических вузах следующим образом.

1. Принцип личностно-значимого включения студента в учебно-познавательную деятельность предполагает обеспечение высокого личностно-возможного уровня сознательности в обучении содержанию ТФКП. Процесс восхождения на этот уровень начинается с момента актуализации субъектного опыта студента по новой теме, продолжается определением индивидуальных особенностей и возможностей студента в ее изучении, выбором индивидуальной траектории изучения содержания темы и оканчивается окультуриванием субъектного опыта студента5.

2. Принцип аналогового моделирования

содержания тем ТФКП по отношению к ранее изученным сходным разделам математического анализа. Актуализированный субъектный опыт студента по новой теме ТФКП содержит знания и способы действий, сходные с ранее изученными в темах математического анализа. Содержание моделируется так, чтобы «старые» смыслы, знания и способы действий не конфликтовали, а соответствовали «новым» смыслам, знаниям и способам действий. Для этого учебные задачи изучения новой темы не только четко определяются, но и конкретизируются прогностическими проблемными вопросами.

Например, если рассмотреть структуры курсов математического анализа (на примере учебного пособия для вузов «Курс математического анализа» А.М. Тер-Крикорова, М.И. Шабу-нина6) и ТФКП (на примере учебника «Введение в теорию функций комплексного переменного» И.И. Привалова7), то можно сделать вывод об их аналогичности {табл. 1).

Таблица 1

СРАВНЕНИЕ СОДЕРЖАНИЙ КУРСОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ТФКП ПО РАЗНЫМ УЧЕБНЫМ ПОСОБИЯМ

Математический анализ ТФКП

Глава 1. Вещественные числа 1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные дроби 2. Операции над вещественными числами Глава 1. Комплексные числа 1. Комплексные числа и действия над ними 2. Геометрическое изображение комплексных чисел

Глава 2. Предел последовательности 3. Пределы 4. Числовая сфера. Бесконечно удаленная точка

Глава 8. Числовые ряды 5. Ряды

Глава 3. Предел и непрерывность функции 3. Числовые функции 4. Предел функции 5. Непрерывность функции Глава 2. Комплексное переменное и функции комплексного переменного 6. Функции комплексного переменного. Непрерывность функции комплексного переменного

Глава 9. Функциональные ряды 6. Степенные ряды 7. Ряды функций 8. Степенные ряды

Глава 4. Производная и ее приложения 7. Производная и дифференциал 9. Дифференцирование функций комплексного переменного. Элементарные функции

10. Конформное отображение Глава 3. Линейные и другие простейшие преобразования

Глава 5. Функции многих переменных

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава 7. Определенный интеграл Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы 8. Криволинейные интегралы Глава 4. Теорема Коши. Интеграл Коши 11. Интегралы по комплексному переменному 12. Теорема Коши. Интеграл Коши

Глава 9. Функциональные ряды 9. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов 10. Ряд Тейлора Глава 5. Ряды аналитических функций, разложение аналитической функции в степенной ряд 13. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Ряд Тейлора

Глава 6. Изолированные особые точки Глава 7. Теория вычетов

В начале изучения каждой логически законченной части курса ТФКП (темы, раздела) предполагается показывать ее аналогию с содержанием ранее изученных сходных тем курса математического анализа с целью пополнения смысловой составляющей субъектного

опыта студентов. Например, сравнение содержаний темы «Функция комплексного переменного» и сходной с ней темы в курсе математического анализа представлено в табл. 2.

Актуализация смыслов содержания левого столбца и построение аналогичной модели со-

Таблица 2

СРАВНЕНИЕ СОДЕРЖАНИЙ ТЕМ «ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

И «ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

Функция действительного переменного Функция комплексного переменного

1. Понятие числовой функции и их свойства 1. Определение функции

2. Предел функции 2. Предел функции

3. Непрерывность функции 3. Непрерывность функции

4. Определение производной 4. Дифференцируемость функции

5. Геометрический смысл производной и т.д. 5. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного и т.д.

держания вызовет необходимость пополнения смысловой составляющей субъектного опыта студентов.

3. Историко-смысловой принцип обучения предполагает использование элементов истории развития науки в учебном процессе и компенсационное пополнение историческими смыслами содержаний абстрактных понятий курса ТФКП.

Рассмотрение хронологии и истории возникновения основных понятий и идей, знакомство с творцами науки позволит наполнить смыслом и облегчить усвоение новых понятий.

Например, при изучении темы «Конформные отображения» студентам сообщаем о том, что первым открыл конформное отображение Л. Эйлер. В его работе «О представлении сферической поверхности на плоскости» (1777)со-держится идея конформного отображения, и он практически вводит его для отображения областей сферы на плоскость. Л. Эйлер называл их «подобными в малом». Термин «конформный» был впервые употреблен петербургским академиком Ф. Шубертом в 1789 году8. Далее разработкой данной теории (конформных отображений) занимался Б. Риман.

Историко-смысловые экскурсы в изложении материала позволят студентам не только узнать об основоположниках данной теории, но и понять смысл термина «конформное отображение».

4. Принцип локальной интеграционной систематизации знаний студентов. Локальная систематизация знаний предполагает

проведение систематизации по основным понятиям, математическим фактам и способам действий внутри темы. Она должна проводиться регулярно и с увеличением доли самостоятельности студентов в получении ее результатов. Локальная интеграционная систематизация знаний - это локальная систематизация знаний, проведенная одновременно по сходным разделам (понятиям, темам) математического анализа и ТФКП.

Например, рассмотрим локальную интеграционную систематизацию знаний по теме «Функция и способы ее задания» {табл. 3).

Анализируя строки данной таблицы можно выявить связь между «старыми» (актуализированными) и «новыми» знаниями.

Эта связь заключается в следующем.

1) Определения 1, 2 и 3 отличаются лить областью задания переменных величин.

2) Если в определении 3 положить 2 = х, и все значения ж действительные, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

3)В определении функции одного и двух действительных переменных (определения 1 и 2) имеется в виду однозначная функция, а в определении функций комплексного переменного появляется понятие многозначности функции.

4) Когда в математическом анализе рассматривается функциональная зависимость действительных переменных у = /(х), то связь между х и >> можно выразить, поставив в

Таблица 3

ФУНКЦИЯ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИНАХ

Функция действительного ________переменного________

Функция двух переменных

Функция комплексного переменного

1. Определение. Если каждому значению переменной х, принадлежащей некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция

от х, или у = / (х) 9-

2. Определение. Если каждой паре (х: у) значений двух, независимых друг от друга переменных величин хиу. из некоторой области их изменения Д соответствует определенное значение величины г, то г есть функция двух независимых переменных хиу, определенная в области И

3. Определение. Говорят, что на множестве М точек плоскости г задана функция ж =Дг), если указан закон, по которому каждой точке гизМ ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек и?11-

Способы задания

а) табличный

Способы задания

а) табличный

У І Уі У2 У1 2ц ^12

У2 ^21 ^22

б) геометрический — это график

функции в К2 ;

в) аналитический -аналитическое выражение

у=/ (*)”

Способы задания

а) табличный

2 II 21 22

б) геометрический - поверхность в Д3;

в) аналитический - аналитическое выражение 2 = /(х; у) 13-

б) геометрический - это отображение одной области на другую;

в) аналитический - аналитическое выражение w = / (г) .

соответствие каждой паре соответствующих друг другу значений хиу точку плоскости с декартовыми координатами (х; у). Геометрическое место таких точек дает кривую, выражающую функцию. В случае функции двух действительных переменных 2 = /(х; у) ставится в соответствие точка трехмерного пространства с координатами (х; у; г). Геометрическое место таких точек - поверхность. В случае функции комплексного переменного w = /(г), г = х + іу, w = и + іу поступая аналогично, нужно было бы ставить в соответствие точку, которая должна определяться четырьмя действительными координатами (х; у; и; V), но поскольку пространство трехмерно, то мы не можем построить точку, определяемую четырьмя координатами. Поэтому для наглядного геометрического истолкования функции комплексного переменного используют отображение одной комплексной плоскости на другую.

Выявление этой связи позволит имеющиеся у студентов знания систематизировать и поднять на качественный новый уровень.

5. Принцип преемственности в учебной и самостоятельной деятельности студентов заключается в ее организации таким образом, чтобы приемы учебной работы можно было перенести и на самостоятельную работу студентов. Самостоятельность студентов должна проявляться 1)в подготовке к изучению новой темы (актуализация знаний, способов действий и соответствующих смыслов), 2) в прогнозировании содержания новой темы и математических смыслов в ней, 3) в рефлексивном процессе локальной систематизации и локальной интеграционной систематизации знаний и 4) в выборе и корректировке учебной траектории изучения ТФКП. Организация указанных видов деятельности должна протекать в направлении увеличения доли самостоятельности студентов.

Примечания

I Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А.Н. Колмогорова иА.П. Юшкевич. М., 1981; РыбниковК.А. История математики. М., 1963.4.2.

2МатематикаХ1Хвека. С. 116.

3 Рыбников К.А. Указ. соч. С. 256.

4 Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в пед. институте: автореф. ... д-рапед. наук. М, 1993.

5 Психолого-педагогические условия становления индивидуальных стратегий обучения школьников / под науч. ред. И.С. Якиманской. М., 2007. С. 6,92-104.

6 Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М., 2003.

''Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1967.

8Рыбников К.А. Указ. соч. С. 233-234.

9ПискуновН. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1976. Т. 1. С. 19.

10 Там же. С. 243.

II Лаврентьев М.А., ШабатБ.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1987. С. 17.

12 Пискунов НС. Указ. соч. С. 20.

13 Там же. С. 244-247.

Anokhina Elena, Makarchenko Mikhail

CONSTRUCTION PRINCIPLES OF METHODS OF STUDYING THE TFCV COURSE IN THE PEDAGOGICAL INSTITUTES OF HIGHER EDUCATION

This article considers peculiarities of the course «Theory of Functions of Complex Variable», the study aims of this course for the future teachers of mathematics are singled out and the study principles are determined according to these aims: personally-significant inclusion, analog simulation, historical-semantic principle, the principle of local integration systematization of the knowledge, the principle of continuity.

Контактная информация: Анохина Елена Юрьевна e-mail: anohina_tspi@mail.ru Макарченко Михаил Геннадиевич e-mail: macarchenko@rbemail.ru

Рецензент - ФефиловаЕ. Ф., кандидат педагогических наук, доцент, профессор кафедры методики преподавания математики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова