Неравенства положительной определенности касательного модуля в геометрически нелинейной теории упругости

НЕРАВЕНСТВА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ КАСАТЕЛЬНОГО МОДУЛЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

POSITIVENESS OF TANGENT MODULUS IN NON-LINEAR

ELASTICITY

С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина S.V. Sheshenin*, I.M. Zakalyukina**

*МГУ им. М.В. Ломоносова, **ГОУ ВПО МГСУ

В работе предлагается вариант обобщения понятия касательного модуля на случай геометрически нелинейной теории деформирования. Проведена проверка положительности касательного модуля для ряда гиперупругих материалов.

The paper suggests a notion of tangent modulus tensor generalized for geometrically non-linear deformation theory. Numerical verification of tangent modulus positiveness is given for a number of hyper elastic materials.

Численное решение краевых задач, описывающих деформирование гибких конструкций, элементами которых являются резина и резинокорд, является достаточно сложной задачей. Для этого есть целый ряд причин. Во-первых, такие задачи являются и физически, и, главное, геометрически нелинейными. Во-вторых, резинокорд обладает сильно анизотропными, а вся конструкция - сильно неоднородными свойствами.

Резинокордные композиты имеют различные технические приложения, но наиболее широко применяются в пневматических шинах. Хотя резинокорд обладает вязко-упругими свойствами, при решении некоторых задач это можно не учитывать и использовать модель упругого материала.

Для решения геометрически нелинейных краевых задач практически единственно надежным методом решения является дискретизация вариационного аналога краевой задачи по параметру прослеживания процесса деформирования и по пространственным координатам. Последнее осуществляется, конечно, методом конечных элементов (МКЭ). На каждом шаге, в конечном счете, возникает линейная система уравнений, которую нужно решить. Система может содержать более полмиллиона уравнений и является плохо обусловленной из-за отмеченных выше контрастных свойств материалов, составляющих конструкцию. Поэтому решение линейной системы может закончиться неудачей даже при использовании эффективных современных решателей.

Как показывают численные эксперименты, ключевую роль при этом играет положительная определенность матрицы системы. Если положительность отсутствует, часто никакой метод решения не работает. В геометрически линейной теории, положительная определенность матрицы конечно-элементной системы уравнений определяется положительностью, так называемого, касательного модуля [4,5]. Обобщение понятия касательного модуля для геометрически нелинейной теории рассматривается в настоящей статье.

4/2010 ВЕСТНИК

_МГСУ

Вариационная задача в геометрически нелинейной теории относительно тензора Пиолы (первого тензора Пиолы - Кирхгофа) Р в начальной конфигурации имеет вид

0

V

0 . „ 0

Ае(и)[*] = | fiWidV + | 2

0 0 V 2 2

Вектор и есть решение (действительное перемещение), к - пробная функция или

0

возможное, в соответствии с граничным условием на Е1 , перемещение. В случае "мертвой" нагрузки £0 правая часть (1) является линейным функционалом

Ае[к] = | fi(X,t)widV + | Б?(Х, Е

0 0 V Ъ 2

и не отличается от правой части вариационного уравнения в линейной теории упруго-

Вторая форма вариационного уравнения (1) использует тензор напряжений Кирхгофа (второй тензор Пиолы - Кирхгофа) £ и тензор деформаций Лагранжа - Грина Е

0

V

Здесь

dE (и + См) 0 0

БЕ(и)[к] = ' ^=0 = 1 /2[(у к)т  Е(и) + Ет(и) • V к]

где Е - градиент деформирования. Приведенные выше вариационные уравнения (1), (2) эквивалентны друг другу и служат отправной точкой в построении численных алгоритмов решения задач квазистатического деформирования упругого тела.

Из теории вариационных задач геометрически линейной теории деформирования известно, что на связь у (е) тензоров напряжений и деформаций можно наложить условия положительности и ограниченности касательного модуля [4,5], которые обеспечивают существование и единственность решений краевых задач

к: Бу

и которые должны выполняться для любого симметричного тензора второго ранга к .

Первое условие обеспечивает сильную эллиптичность краевой задачи. Приведенные выше условия являются обобщением условий, которые предлагались разными авторами и в различных областях механики деформируемого твердого тела. В теории пластичности известен постулат Дракера. Этот постулат, называемый также постулатом устойчивости материала [2], имеет своим следствием первое из приведенных не-

равенств (условие положительной определенности). Условие устойчивости материала запрещает ему иметь, так называемую, "падающую" диаграмму у (е). Интересно отметить, что "нырок" на диаграмме (Ги (£и ) в теории пластичности двухзвенных ломаных связан с тем, что процесс деформирования является непростым и не нарушает постулата Дракера и неравенств (3). В теории пластичности неравенство типа неравенства (3) впервые предложены для деформационной пластичности в [1]. Следует, видимо, считать, что условие положительности касательного модуля (3) адекватно отражает поведение материала без микро поврежденности.

В геометрически нелинейной теории деформирования известен ряд критериев, имеющих аналогичный смысл [3]. Это, например, критерий монотонности Колемана-Нолла [3]

(Р(Р>)-РР):(Рг -р )>0,

из которого следует дифференциальный критерий

с1Рт : БР(Р)[^Р] > 0. Здесь предполагается, что определяющее соотношение задано в форме Р — Р(Р). Следует сразу заметить, что последнее неравенство не соответствует сущности геометрически нелинейной теории. Действительно, если оно выполняется для любого несимметрично тензора йР , то, например, для "мертвой" нагрузки можно доказать единственность решения. Однако единственности, вообще говоря, нет в краевых задачах геометрически нелинейной теории.

Поэтому обобщение неравенств положительности и ограниченности касательного модуля на случай геометрически нелинейной теории должно быть не столь жестким. Возникает вопрос, какое условие является разумным ограничением на определяющее соотношение в геометрически нелинейной теории.

Касательный модуль возникает, если представить дифференциал тензора Пиолы через производную в виде

БР (Р )[«Р ] = |Р: ёР дР

р

Касательный модуль есть тензор

упругости последний тензор называется лагранжевым тензором упругости [3). Он симметричен относительно перестановки пар индексов и несимметричен относительно перестановок индексов внутри каждой пары. Представим квадратичную форму

СРыкукы для несимметричного Н следующим образом

Ср к к = Ср к к + 2Ср к к + Ср к к

^ ук1ПуПк1 у)( к1 А у/'( к1) ^ у ](к А у П к1) ^ Ч у ][ к1 ]"[у ]"[к1 ]

к

у )к1 2 уЫ^^уШМ у ]к1 2 ук1 у'ки

и аналогично относительно второй пары индексов у тензора С .

4/2010 ВЕСТНИК

Предлагается считать обобщением условия положительности касательного модуля следующее неравенство

к  сМут  к ^ clk : к

которое предполагается должно выполняться для любого симметричного тензора к .

До сих пор условия, накладываемые на определяющее соотношение, обсуждались в случае, когда Р — Р(Е). Если определяющее соотношение задано в виде зависимости тензоров £ и Е (обычно линейной или квазилинейной), то при этом подразумевается, что оно используется в специальном случае деформирования, который характеризуется малыми деформациями, но большими поворотами материальных частиц. Тогда обобщение условия положительности и ограниченности касательного модуля можно сформулировать условия в виде неравенств

с1 к: к < к: —: к < с2 к: к 1 дЕ 2

Отношение = С1 / с2 в определенном смысле показывает насколько сложно решить

численно краевую (точнее вариационную) задачу для упругого материала с тензором

модулей упругости, определяемым касательным модулем Щ-. Чем меньше отношение

¡^с, тем задача труднее. Отношение 1 / ¡^с можно назвать числом обусловленности

яс

тензора |Е •

Наличие или отсутствие положительной определенности касательного модуля определяет трудоемкость решения результирующей конечно-элементной системы уравнений. Однако для многих потенциалов, задающих гиперупругий материал, положительная определенность выполняется только в определенном диапазоне деформаций.

Ниже описывается проверка выполнения условия положительности касательного модуля (4) для некоторых упругих потенциалов Ж. Вычисления были проведены для деформационного градиента вида

Мц Ф 0, М = 0, i Ф 1, у Ф 1

и было обнаружено, что для квадратичного потенциала [6] положительность имеет место только при Л > 0.93 Материальные параметры были выбраны типичными для эластомера : V = 0.49, что соответствует модулю объемного сжатия К / ¡л — 24.83 (Л = 24.5) , а положительность определялась путем вычисления собственных значении симметризованои тангенциальной матрицы С.

Таким образом, стандартный потенциал не положителен при одноосной деформации сжатия, превышающей 7% . Однако это свойство стандартного потенциала не является крупным минусом, поскольку он предназначен для описания только достаточно малых деформаций. Потенциалы Муни и Муни-Ривлина оказались положительно определенными в широком диапазоне деформаций, в котором аппроксимацию можно считать достоверной. Свойством положительной определенности обладает и потенциал Блатца и Ко ( ВЫг&Ко) .

Основная проблема состоит в отсутствии положительности у объемных потенциалов. Например, широко применяемые потенциалы

vol J -1

f t2

\

ln J

2

2 2

при одноосном деформировании положительны только при À < 1.02 , т.е. в основном при сжатии. Таким образом, увеличение объема всего на 2% ведет к отсутствию положительной определенности касательной матрицы, что в свою очередь приводит часто к невозможности решить разрешающую систему уравнений МКЭ. Вычисления показывают, что объемные потенциалы положительны, если det F — 1. Это позволяет использовать девиатор F — F / det F, чтобы сделать вычислительный алгоритм более надежным.

Литература

1. Ильюшин А. А. Пластичность. Гос. изд.техн.-теор. лит-ры. М.-Л. 1948.

2. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. Изд-во Моск. ун-та. М., 1979.

3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. Наука. М. 1980.

4. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Изд-во МГУ. Москва. 1999. 2-е изд.

5. Победря Б Е., Шешенин C.B., Холматов Т.. Задача в напряжениях. Изд-во Фан. Ташкент.

6. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. Машиностроение. Л. 1986. The literature

1. Ilyushin A.A. Plasticity. State Publishing of Technical and Theoretical Literature (Gos. izd. Techn.-Theor. Literature). Moscow-Leningrad. 1948.

2. Klyushnikov V.D. Mathematical Theory of Plasticity. Mosocw Univ. Press. Moscow. 1979.

3. Lurje A.I. Non-linear Theory of Elasticity. Nauka. M. 1980.

4. Pobedria B.E. Numerical Methods in Elasticity and Plasticity. Mosocw Univ. Press. Moscow. 1999. 2nd edition.

5. Pobedria B.E., Sheshenin S.V. Holmatov T. Boundary Problem in Terms of Stresses. FAN Press. Tashkent. 1988.

6. Chernikh K.F. Non-linear Theory of Elasticity. Mashinostroenie. Leningrad. 1986.

Ключевые слова: нелинейная теория упругости, касательный модуль, тензор напряжений Пиолы, тензор напряжений Пиолы - Кирхгофа

Key words: non-linear elasticity, tangent modulus, first Piola-Kirchhoff stress tensor, second Pi-ola-Kirchhoff stress tensor

Рецензент: Победря Б.Е., д.ф.м.н., профессор, кафедра механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

1988.

Адрес: Россия, 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26. ГОУ ВПО Московский Государственный ауд. 534, 536. Тел. 183-24-0 ,

sheshenin@mech.math.msu.su