О методах доказательства сходимости рядов, представляющих решения дифференциальных уравнений в частных производных

УДК 517.925

О МЕТОДАХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА СХОДИМОСТИ РЯДОВ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

И.П.Мартынов, Е.Е.Кулеш, М.В.Мисник

Свойство Пенлеве дифференциального уравнения в частных производных широко используется как критерий его полной интегрируемости. При исследовании уравнений на свойство Пенлеве, как правило ищут формальные разложения вокруг подвижных особых многообразий. В этой статье мы рассматриваем методы доказательства сходимости полученных рядов. Результаты продемонстрированы на некоторых известных уравнениях.

Ключевые слова: Дифференциальное уравнение в частных производных, свойство Пенлеве, ряд, сходимость, мажорантный ряд.

Объектом исследования этой статьи является формальное разложение в ряд решения дифференциального уравнения в частных производных, широко используемое для проверки наличия свойства Пенлеве. Свойство Пенлеве стало широко используемым критерием полной интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных, которые точно разрешимы методом обратной задачи рассеяния или линеаризацией через преобразование переменных. Широко используется гипотеза Абловица о том, что все редукции к обыкновенным дифференциальным уравнениям полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных обязательно обладают свойством Пенлеве (возможно после замены переменных). Для обыкновенных дифференциальных уравнений свойство Пенлеве означает, что все подвижные особые точки его общего решения полярны. Дифференциальное уравнение с частными производными имеет свойство Пенлеве, если все подвижные особенности его общего решения, если они существуют, полярны [1].

Чтобы показать, что уравнение имеет свойство Пенлеве, требуется показать, что его решение может быть представлено в виде ряда

ад

Ы

к=0

в окрестности нехарактеристического (р*р/ Ф 0)$ особого многообразия Ф , заданного

уравнением р(X, t) = 0; £ - целое число, £ Ф 0, Ы0(X, t) Ф 0 , Ык (X, t) - аналитические функции

в окрестности Ф . Если разложение (1) является локальным представлением общего решения, то оно будет, согласно [2, с.351], иметь П произвольных функций, среди которых П — 1 коэффициентов Ыг (X, t) и функция р(X, t) . Числа Г при этом называются резонансами (резонансными числами), а функции - резонансными коэффициентами. Уравнение может иметь разные доминантные степени в (1), каждая из которых будет иметь свою собственную резонансную структуру. Необходимо, чтобы при каждом значении £ резонансные функции оставались произвольными. Подстановка ряда (1) в дифференциальное уравнение определяет возможные значения £ и рекуррентные формулы для

определения коэффициентов Ык (X, t) . Установлено, что можно считать р = X + ) или

р = t i Ц/(X) поскольку потеря общности не влияет на резонансную структуру уравнения. Пусть

р = X + ) , тогда рх = 1. Заменив X на р — ) в коэффициентах Ык (X, t) , и переразложив

ряд (1), получим ряд по степеням р с коэффициентами, зависящими только от t:

ад

Ы

к=0

Значит, необходимым условием наличия свойства Пенлеве для дифференциального уравнения в частных производных П -го порядка является произвольность и независимость функций

р и П — 1 резонансных коэффициентов Ы , I = 1, П — 1 ряда (2) представляющего решение

дифференциального уравнения.

Однако полученный таким образом ряд представляет лишь формальное решение дифференциального уравнения в частных производных. Необходимо установить его сходимость. В работе [3] приводится доказательство сходимости рядов для уравнения Кортевега-де Фриза и уравнения Бюргерса. Продемонстрируем иной метод доказательства сходимости рядов для ниже

следующих уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Будем искать решение уравнения (3) в виде ряда

х

и = -р- + ^ Щфк,

k=0

где ик = ик (г), к = 0,1,2,..., (р = X + у (г). Подставляя ряд (4) в (3), найдем

1 2 1 1 , , 5 2

Щ =- пР‘ , Щ2 = 24 Ргг, Щ4 =- 24(Щ0)гг + 288 Рг % ^ ^

Функции Ы0, Ы3, Ы5 и р являются произвольными функциями от t и независимыми между собой, а все остальные коэффициенты можно найти по рекуррентным формулам

к(к + 2)(к — 3)(к — 5)Ык = 122 т(т + 1)(к — т — 2)Ыт+1Ык—т—2 +

/=\ , ч

+ (к — 2)(к — 3)рЫк—2 + 2(к — 3)р (Ык—3 ^ + (к — 3)РиЫк—3 + (Ык—4 X , к = 6,Л • • •

Докажем сходимость ряда (4) с коэффициентами (5), (6). Пусть 7 - область голоморфности коэффициентов Ык, к = 0,1,2,___Выберем 8 так, чтобы выполнялись условия

11 1 1 1 8 , , 84 , , 86

\Л<-----, ы0 <—, \ы3\<—, Ы5 <—

11 128 1 0 12 1 31 12 1 5| 12

при всех t е Т С 71, где Т - замкнутый круг радиуса р, причем р > —2. Используя

8

г(П), . п! , /(£)^£

интегральную формулу Коши / (2) =-------J------^П+Г, получим

2жЬ

1 rr(T)dT

-Г

2ж1 (т — t )2

1 Г(т) 1 2ж 1 ^

<----Г--------— шт\ <------- Г dp =-----------<—. Аналогично

2ж{ |т —1|21 1 24ж8р 0 128p 12

можно показать, что \рп\ = Л Л <----------------------2 <-, (Ы0) ш <-------2 <------. Тогда из (5) следует

128р 6 12р 6

8к +1 8к+1

\ыА <------------, к = 0,5. Пусть \ыА <-------, Vk < П. Из (6) найдем

I к\ 12 | к1 12

I / ^ I Sn+l

|n(n + 2)(n — 3)(n — 5)unI < ту ^m(m + 1)(n — m — 2) + --------------------------------^----------- +

+ ----------- + ----------- +1

m(m + ід n — m

V m=1 7 144

\ 5>n+1 1 o„4 ГП„3 , 1 11..2

б 12

£n+1 12n4 — 72n3 + 133n2 — 41n + 42

/

12 144

_ 12n4 - 72n3+133n2 - 41n + 42 1

Учитывая, что 0 <----------------------------------------— 1 при П = 6,7..., получим

144n

I I £n+1

' — 12 • Таким образом, согласно методу математической индукции заключаем, что

^ n+1 1

\un\ —------------------------, k = 0,1,2,_ Пусть Ы = |х + И — |х| + \у\< <J Н--<M• Тогда для ряда

I n\ 12 m | /| I I i/i 12S

ю 8 ю

У UkP можно построить мажорантный ряд —У (8M) , который сходится при M <8 .

k=0 12 k=0

Теорема 1. Ряд (4) с коэффициентами (5), (6) сходится при 0 Ф |р| < M <8 1, где 8

1

определяется условиями (7), Ш < 7, 7 Н--------< M , а значит является решением уравнения (3) в

128

указанной области.

Рассмотрим далее дифференциальное уравнение Бюргерса

UXX = 2иих + U •

Если искать решение уравнения (8) в виде ряда (4), то функции U и pt будут

произвольными независимыми функциями от t, а все остальные коэффициенты найдем по рекуррентным формулам

1

и0 = - 2р,

k-1

(k - 1)(k + 2)uk = 2У mUmUk-m-г + (k - 1)7t Uk-1 + (Uk-2 A , k = 2,3, -

m=1

Докажем сходимость ряда (4) с коэффициентами (9). Пусть T - область голоморфности коэффициентов Uk, k = 0,1,2,_____ Выберем 8 так, чтобы выполнялись условия

И ——, U, ——

11 28 11 2

при всех t е T С T1, где T - замкнутый круг радиуса р, причем р>—Тогда

8

I I 1 8 , I 8 | , 8k+1 w7

И —-------— —, U 0 — —. Пусть Uk —-----------, ^ k < n. Из (9) найдем

28р 2 2 2

8

n+1

(n - 1)(n + 2) uJ —-------------- у m +----------------+1

2

n-1

n -1

2

J

22

п 2 +1 8П+1

Так как 0 <--------------------< 1, Vn = 2,3, — , то \Ып\ <--------------. Следовательно, согласно

2(п — 1)(п + 2) 1 п 2

8 к +1

методу математической индукции |ы^ < —2—, Vk = 0,1,2,_____________

1

ю

Пусть |р| = Ш + И — Ш + И\<7 + — <M. Тогда для ряда У Uk (р^ можно построить

28

k=0

8 ад к 1

мажорантный ряд — I (8М)к , который сходится при М < 8 .

2 к=0

Теорема 2. /*яд (4) с коэффициентами (9) сходится при 0 Ф |р| < М <8 1, где 8

II 1 ^

определяется условиями (10), X < СТ, СТ +-----< М , а значит является решением уравнения (8) в

28

указанной области.

Рассмотрим модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза

л

m=1

Будем искать решение уравнения (11) в виде ряда (4). Тогда функции ^, и3 и р{ будут произвольными независимыми функциями от г, а все остальные коэффициенты найдем по формулам

0 1

и0 = 0 и1 = тРг,

6

к-3 т-1

т=2 I =1 4 7

к-3 / \

- 6(к - 2)У Щтик-т-1 + (ик-3 )г , к = 4,5, .

т=1

Докажем сходимость ряда (4) с коэффициентами (12). Пусть 71 - область голоморфности

коэффициентов Ык, к = 0,1,2,______ Выберем 8 так, чтобы выполнялись условия

, 1 , 83 , , 84

Л<--------, Ы, <—, ы3 <—

К1 28 1 2| 2 1 31 2

при всех t е Т С Т|, где Т - замкнутый круг радиуса р, причем р>—3. Тогда

8

II 1 82 , , 82 |, 8к+1 _

ЛА <---------------<-, ы1 <---. Пусть \ыА <-------,Vk < П. Из (12) найдем

28р 2 2 2

8

п+1

2

п - 2

п-3 т-1 п-3

(п -3)(п2 - 4)и\< —-— УУ1 + 3(п - 2)У1 +1

2

т=2 I=1 т=1 у

8 п3 + 3п2 — 34п + 52

=------------------------, п = 4,5,—

22

_ п3 + 3п2 — 34п + 52 1 с , , 8п+1

Так как 0 <-------< 1,Vn = 4,5, — , то \Ып\ <------------. Следовательно,

2 1 п| 2 8 к +1

согласно методу математической индукции \ыЛ <-, Vk = 0,1,2,_

2

1

х

Пусть |р = X + у < |х| + у < 7 + — < М. Тогда для ряда У ЩкР можно построить

28 к=0

8 х к 1

мажорантный ряд — У (8М)к , который сходится при М < 8 •

2 к=0

Теорема 3. Ряд (4) с коэффициентами (12) сходится при 0 Ф |р| < М <8 1, где 8

1

определяется условиями (13), X <7, 7 Л-------< М , а значит является решением уравнения (11) в

28

указанной области.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Кортевега-де Фриза

Будем искать решение уравнения (14) в виде ряда

х

и = -Р 2 Л Щ0 + У ЩкР,

к=2

где ик = ик (г), к = 0,2,3,., р = X + у(г). Подставляя ряд (15) в (14), найдем

Ы р, Ы (“Л Ы («2),

Ып =------, Ы =-----------, Ыг =---------,

0 12 3 6 5 24

функции Ы2, Ы4 и рг являются произвольными независимыми функциями от t, а все остальные коэффициенты найдем по формулам

к —4

т=2

Докажем сходимость ряда (15) с коэффициентами (16), (17). Пусть 71 - область

голоморфности коэффициентов Ык, к = 0,2,3,______ Выберем 8 так, чтобы выполнялись условия

И<т8’ К1 К1 <8б,

28

при всех t е Т С Т1, где Т - замкнутый круг радиуса р, причем р> —3. Тогда

8

' 1 28р 10 1 3 6 6р 15 24 24р

Ы I < 8к+2, Vk < п. Из (17) найдем

f n-4 \

>n+2 /Т/ . 1 <?n+2ss' 2

V m=2 У

(n - 2)(n - 4)(n + 3)Uk\ — 8n+2 6(n - 2)y1 +1 =8n+2(6n2 - 30n + 37).

_ 6n — 30n + 37 1 w , || c-n+2

Так как 0 <--------------------------------< 1, Vn = 6,7,..., то UJ — 8 . Следовательно,

(n - 2)(n - 4)(n + 3) 1 n

согласно методу математической индукции

\u,\ < 8n+2,Vk = 0,2,3,..

1

ю

Пусть |р = Ш + И — Ш1 + 1И < 7 + — < M. Тогда для ряда У UkP можно построить

28 k=0

ю

мажорантный ряд 82 У (8M)k , который сходится при M < 8 .

k=2

Теорема 4. Ряд (75) с коэффициентами (16), (17) сходится при 0 Ф |р| < M <8 1, где 8

1

определяется условиями (18), ш <7, 7 Н------< M , а значит является решением уравнения (14) в

28

указанной области.

Продемонстрируем несколько иной метод доказательства сходимости ряда, представляющего решение дифференциального уравнения Кортевега-де Фриза (14).

Докажем сходимость ряда (15) с коэффициентами (16), (17). Вводя в уравнение (14) параметр Л(Л = const) по формулам

U = Z2v, v = v(%, t), р = Л%,

получим

v^ - 12 vv = ptv^ +vtA3.

Решение уравнения (19) будем искать в виде ряда

ю

v = Г2 + У Vkt+2, Vk = Vk

k=0

Подставляя (20) в (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим

12 24

где

^ = —2р*Г3; ^ = р2 =0; ^ = Ю *; ^4 =0; ^ = 0) *;

к—2

Рк +2 = 12 10к—т (0т )£ + (ок—1)*, к = 4,5,‘ —

т=2

Решая уравнение (21) при к = 0,1,2,3,4, найдем

О = —р, О = 0, о =a2

Если считать, что Ок = ак (*)£к для всех к < п + 2, то

п—2

^п+2 = ^+2^', ааа ^+2 = 6п 1атап—т + (Оп—Л .

т=2

Решая уравнение (21) при к = п — 2, найдем

о = а £п+2 а =-—-----

1уп+ 2 1лп+2Ъ 5 1Ап+2 / /-.ч/ г-ч •

п

ой---------- ° =а^

1 ( к—4 Л

Сравнивая (22), (23) с (16), (17), заключаем, что а к = Ык, Vk = 0,1,2,— При этом ряд

Таким образом, согласно методу математической индукции Ок = а^^, Vk е М, где

ак =

б(к — 2) Ianak—n—2 Л (ак—3)t

V n=2 У

(20) примет вид

о = Г2 — ^ Я2 + 1 Ык(кЛк+2.

12 к=2

13

Выше было доказано, что если Т - круг радиуса р, — <8 из области голоморфности

Р

коэффициентов Ык, и функции Ы2, Ы4 и у таковы, что Л1 <----------, Ы2 <84, |ы^ <86, то

28

ад 1 ад

|Ык| <8+2, Vk. Пусть |^| <8, тогда для ряда Ыкр = 2^ I Ык£ Я + мажорантным

к =2 Я к=2

1

ад

будет ряд 2 2 I (881Я) . Выберем М так, чтобы |р| = |£Я| <81 |Я|< М. Тогда ряд

Л 82 к

2

У (881Я)k+2 сходится при 881 |Я < 8M < 1. Следовательно ряд (15) сходится при

k =2

0 Фр|< M <8_1.

The test for the Painleve property has become a widely used test for completely integrable PDEs. In the study of equations of the Painleve property, as a rule seek formal expansions around movable singularity manifolds. article we consider methods of proving of the convergence of the obtained series. The results demonstrated for some well-known equations.

The key words: partial differential eqUations, mobile featUres, Painleve property, series, convergence, majorant series

Список литературы

1. Cosgrove, С. Painleve classification of all semilinear partial differential equations of the second order. I. Hyperbolic equations in two independent variables / C. Cosgrove // Stud. Appl. Math. - 1993. -Vol.89. - P. 1 - 61.

2. Мартынов, И.П. Аналитическая теория нелинейных уравнений и систем: пособие / И.П. Мартынов, Н.С. Березкина, В.А. Пронько. - Гродно: ГрГУ, 2009. - 395 с.

3. Nalini Joshif and Johannes Petersen A method of proving the convergence of the Painleve expansions of partial differential equations // School of Mathematics. University of New South Wales, PO Box 1. Kensington NSW 2033. Australia.

Об авторах

Мартынов И. П. - профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Гродненского государственного университета им. Я. Купалы;

Кулеш Е. Е. - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Гродненского государственного университета им. Я. Купалы, kulesh@grsu.by

Мисник М. В. - старший преподаватель кафедры информатики и компьютерного моделирования Гродненского государственного университета им. Я. Купалы, misnikmv@mail.ru