Многосеточные лагранжевые криволинейные элементы в трехмерном анализе композитных цилиндрических панелей и оболочек

УДК 539.3 АД. Матвеев, А.Н. Гришанов

МНОГОСЕТОЧНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ТРЕХМЕРНОМ АНАЛИЗЕ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ И ОБОЛОЧЕК*

Предложены процедуры построения в локальных декартовых системах координат криволинейных лагранжевых двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) и сложных многосеточных конечных элементов (МнКЭ) для расчета трехмерных упругих композитных цилиндрических панелей и оболочек с различными коэффициентами наполнения. Расчеты панелей волокнистой структуры показывают, что максимальные эквивалентные напряжения и перемещения базовых и двухсеточных (многосеточных) дискретных моделей панелей отличаются на 1-8 %. Реализация метода конечных элементов для двух- и многосеточных дискретных моделей панелей требует в 103 -И04 раз меньше объема памяти ЭВМ и в 102 -И03 раз меньше временных затрат, чем для базовых.

Ключевые слова: композиты, упругость, цилиндрические оболочки и панели, сложные многосеточные и двухсеточные лагранжевые криволинейные элементы.

A.D. Matveev, A.N. Grishanov

MULTIGRID LAGRANGIAN CURVILINEAR ELEMENTS IN THE THREE-DEMENSIONAL ANALYSIS OF THE COMPOSITE CYLINDRICAL PANALS AND SHELLS

The procedures for constructing the curvilinear Lagrangian double-grid finite elements (DGFE) and complex multigrid finite elements (MGFE) in the local Cartesian systems to calculate the elastic composite cylindrical panels and shells are offered. The calculations of the fibrous structure panels demonstrate that the maximum equivalent tension and displacement of the basic and double-grid (multigrid) discrete panel models differ by 1-8 %. The implementation of the finite element method for two- and multigrid discrete models of panels requires 103 ^ 104 times less of the computer's memory and 102 -И03 times less of temporal costs than for the basic model.

Key words: composites, elasticity, cylindrical shells and panels, complex multigrid and double-grid Lagrangian curvilinear elements.

Введение. Как известно, общий недостаток теорий деформирования упругих композитных цилиндрических панелей и оболочек заключается в том, что в их основе лежат гипотезы, которые недостаточно точно отражают законы перемещений и напряжений. Поэтому уравнения этих теорий порождают приближенные решения с неустранимой погрешностью. Кроме того, существующие теории не учитывают сложный характер закреплений, например частичное закрепление по толщине толстых панелей и оболочек, не всегда достаточно точно описывают по методу конечных элементов (МКЭ) с применением мелких разбиений деформирование панелей, оболочек, имеющих локальные нагружения.

В данной работе изложены процедуры построения в локальных декартовых системах координат криволинейных лагранжевых ДвКЭ и сложных МнКЭ, которые используются для расчета (по МКЭ с применением мелких разбиений) линейно упругих трехмерных композитных цилиндрических панелей и оболочек с различными коэффициентами наполнения. Лагранжевые ДвКЭ и сложные МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, применяемые для анализа упругих тел неоднородной структуры, изложены в работах [1-3]. Процедуры построения трехмерных криволинейных ДвКЭ в локальных декартовых системах координат с применением известных интерполяционных полиномов 1-го, 2-го и 3-го порядков рассмотрены в работах [4, 5].

Предлагаемые криволинейные лагранжевые элементы проектируются на основе базовых дискретных моделей, которые учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру трехмерных композитных панелей и оболочек и имеют очень высокую размерность. Для построения ла-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 14-01-0130).

гранжевых ДвКЭ применяем две вложенные трехмерные криволинейные сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена базовым разбиением ДвКЭ, которое учитывает его неоднородную структуру. На базовом разбиении строим функционал полной потенциальной энергии ДвКЭ в матричной форме по МКЭ [6, 7]. На мелкой сетке выделяем криволинейную крупную сетку, на которой определяем полиномы Лагранжа. Показаны две процедуры построения в локальных декартовых системах координат трехмерных криволинейных лагранжевых ДвКЭ.

Согласно первой процедуре, в функционале полной потенциальной энергии ДвКЭ Уа с помощью полиномов Лагранжа (построенных на крупной сетке) выражаем узловые перемещения мелкой сетки через узловые перемещения крупной. Затем, минимизируя функционал по узловым перемещениям крупной сетки, получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил криволинейного лагранжевого ДвКЭ Уа.

Суть второй процедуры заключается в следующем. Вначале область лагранжевого ДвКЭ Уь представляем криволинейными шестигранными суперэлементами, которые построены с помощью метода конденсации [6, 7] на базовом разбиении ДвКЭ У . Вершины суперэлементов совпадают с узлами крупной сетки ДвКЭ Уь. Функционал полной потенциальной энергии, составленный для всех суперэлементов, представляем в матричной форме. В функционале ДвКЭ Уь с помощью полиномов Лагранжа (построенных на крупной сетке) узловые перемещения суперэлементов выражаем через узловые перемещения крупной сетки. Минимизируя функционал энергии по узловым перемещениям крупной сетки, получаем формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил криволинейного лагранжевого ДвКЭ Уъ.

Показана процедура построения криволинейных лагранжевых сложных МнКЭ, которые проектируются с применением лагранжевых криволинейных ДвКЭ. При построении криволинейных лагранжевых ДвКЭ и сложных МнКЭ используем однородные криволинейные односеточные конечные элементы (КЭ) 1-го порядка, которые построены в работах [4, 5] в локальных декартовых системах координат. На рисунке 1 представлен односеточный однородный криволинейный КЭ Уе 1-го порядка, где ае - угол раствора КЭ Уе; О1хху1- локальная декартовая система координат; Оух2Х -плоскость симметрии; её - ось цилиндрической панели, оболочки; не, - толщина; не - длина КЭ

У; яе, Щ - радиусы нижней и верхней поверхностей КЭ Уе, узлы отмечены точками (8 узлов). Прямоугольники размерами не х неу есть боковые грани, криволинейные прямоугольники - торцевые грани КЭ У . Форма КЭ У есть прямая призма высотой не.

Рис. 1. Односеточный КЭ У 1-го порядка

Поскольку при мелком разбиении угол раствора ае криволинейного КЭ Ve мал (рис. 1), то его форма мало отличается от формы прямоугольного параллелепипеда. В связи с этим при построении по МКЭ функций перемещений для однородных криволинейных КЭ V 1-го, 2-го и 3-го порядков используем соответственно известные интерполяционные полиномы 1-го, 2-го и 3-го порядков [6, 7] и уравнения трехмерной задачи теории упругости, записанные в локальных декартовых системах координат Oxxyxzx данных КЭ. Таким образом, в КЭ V реализуется трехмерное напряженное деформированное состояние. Поскольку при построении лагранжевых криволинейных ДвКЭ и сложных МнКЭ используем конечные элементы V 1-го порядка (рис. 1), то ДвКЭ и сложные МнКЭ также описывают трехмерное напряженное состояние в цилиндрических панелях и оболочках. Матрицы жесткости и векторы узловых сил криволинейных ДвКЭ и сложных МнКЭ определяем в локальных декартовых системах координат, а системы уравнений МКЭ для дискретных моделей оболочек и панелей - в глобальных декартовых системах координат. Связь между локальными и глобальными системами координат осуществляем с помощью матриц вращений [6], которые определяем только для узловых перемещений ДвКЭ и сложных МнКЭ.

1. Криволинейные лагранжевые ДвКЭ. Изложим две процедуры построения композитных трехмерных криволинейных лагранжевых ДвКЭ на примере лагранжевых ДвКЭ Va, Vb 3-го порядка, при построении которых используем полиномы Лагранжа 3-го порядка

Рис. 2. ДвКЭ Va

Считаем, что угол аа мал, т.е. криволинейная форма ДвКЭ Уа мало отличается от формы прямоугольного параллелепипеда. Пусть между компонентами композитного ДвКЭ Уа связи идеальны. Не теряя общности суждений, считаем, что ДвКЭ Уа армирован волокнами, направленными вдоль оси Оу. Область ДвКЭ Уа представляем базовым разбиением , которое состоит из однородных односеточных КЭ Уе 1-го порядка (рис. 1) с характерными размерами Ъех х Ъеу х Ъег, где е = 1,...М; М- общее число КЭ Уе базового разбиения Ка. Отметим, что поскольку функции перемещений, напряжений и деформаций компонентов КЭ Уе удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, которые отвечают трехмерной задаче теории упругости, то в области ДвКЭ Уа реализуется трехмерное напряженное состояние. На рисунке 3 сечение ДвКЭ Уа представлено узловой сеткой базового разбиения, сечения волокон закрашены.

Рис. 3. Сечение ДвКЭ Va

Базовое разбиение R учитывает неоднородную структуру ДвКЭ Va и порождает мелкую ортогональную криволинейную сетку ha. Отметим, что базовые разбиения R двухсеточных КЭ Va, из которых состоит панель (оболочка), образуют базовую дискретную модель панели (оболочки). Пусть hy = hez = ae = const, e = 1,...,M, т.е. по осям Оц и Og шаги мелкой сетки h и углы раствора КЭ Ve постоянны. На мелкой сетке ha определяем крупную ортогональную узловую сетку Ha. Узлы сетки Ha на рисунке 2 отмечены точками (64 узла). Для узлов крупной сетки введена целочисленная система координат ijk размерности щ х щ х щ. Для рисунка 2 имеем щ = щ = щ = 4, узел p(i, j,k) имеет целочисленные координаты i = 2, j = 4, k = 4.

1.1. Построение полиномов Лагранжа для криволинейных ДвКЭ. Рассмотрим построение в декартовой системе координат Oxyz (рис. 2) полиномов Лагранжа, которые строим на крупной сетке Ha и с помощью которых определяем функции перемещений для ДвКЭ Va. Важно отметить следующее. Функционал Wa полной потенциальной энергии ДвКЭ Va определяем, используя КЭ первого порядка базового разбиения R, т. е. функционал Wa определяем на мелкой сетке ha. С помощью полиномов Лагранжа (построенных на крупной сетке Ha) узловые перемещения мелкой сетки h выражаем через узловые перемещения крупной сетки Ha, т. е. полиномы Лагранжа используем для понижения размерности функционала W .

Пусть точка M0 ДвКЭ Va имеет декартовы координаты x,y, z и криволинейные координаты £,ц,С . Поскольку оси Oy и Оц совпадают (см. рис. 2), то y = ц. Для криволинейной координаты £ точки M0 имеем £ = aR, где R - радиус цилиндрической поверхности, на которой лежит точка M0; a - угол, отвечающий координате £, 0<a<aa (см. рис. 2). Поскольку угол aa мал, то x . Принимаем x = £. Пусть ось O£* проходит через точку M0 и совпадает с радиусом внутренней цилиндрической поверхности ДвКЭ Va. Пусть р - угол между осями O£* и Oz, pe[-aa/2,aa/2]. Тогда z = Сcosp. Поскольку угол aa мал, то cosp^ 1, и поэтому считаем, что z = С. Итак, декартовы координаты x, y, z и криволинейные координаты £, ц, С связаны соотношениями

x = £, y = ц, z = С.

Для узла p(i, j,k) крупной сетки Ha ДвКЭ Va в силу (1) имеем соотношения

X = £- У] = 4 у- Ч = ^к-

где £, ц}, Ь и х- У;- ^ - координаты узла р соответственно в системах координат и Охуг , / = , ] = 1,...,п2, к = 1,...,п3.

Базисную функцию М1}к узла р(/,],к) крупной сетки На ДвКЭ Ка в декартовой системе координат Охуг представляем в форме

Мук = Ц

где Ц (х), Ь} (у), Ц (2) - полиномы Лагранжа, имеющие вид [6]

п1 г - г щ2 у _ у п3 _ _ _

Ц(X) = П ц(у) = п Ц(2) = П -£—

п=1,пФг Х1 хп п=1,пФ] у} Уп п=1,пФк 2к 2п

где х- у}- ^ - координаты узла р(/, у,к).

Для точек с координатами £, £, £, лежащих на цилиндрической поверхности радиуса Я, имеем соотношения £ = аЯ, £ = цЯ, £п = апЯ, где а, а., аи - углы, отвечающие соответственно координатам £, £, £п. С учетом, что х = £, хг = £, хи = £, для полинома Лагранжа Ц (х) получаем

п1 х — х А а_а

п - г (а) - ^ п

п=1,пФ1 х1 _ хп п=1,пФ1 а1 _ ап

Ц

Следует отметить, что полином Лагранжа Ц (х) по координате х имеет одинаковый вид (4) для точек с координатами £, £, £п, лежащих на цилиндрических поверхностях с любыми радиусами Я, причем полином Ц (х), согласно (4), зависит только от угловой координаты а. Подставляя (4) в (3), получим

Мук = Ц (а)Ьу (у)Ц (2).

Учитывая (2), (4), полиномы Лагранжа, построенные для криволинейной крупной сетки На ДвКЭ Уа, представим в виде

Ц

п=1,пФг аг ап п=1,пФ} 4} 4п п=1,пФк Ък Ь п

Функции перемещений иа, ^, ДвКЭ Уа запишем в форме

п п2 пз п п2 пз п1 п2 пз

иа = 1 1 1 КЧки,}к - ^ = Е Е МчкУ1к - №а = Е Е Е М }к™ ук -

г=1 }=1 к=1 г=1 }=1 к=1 г=1 }=1 к=1

где иук, V., - значения функций и, V, ™ для узла р(/,к) сетки На.

Тройке целых чисел i, j,k узла p(i, j,k) определим целое число 3 и введем обозначения:

np= Nijk. q/ = ujk. q/ = vjk. q3 = wjk, где i=^• • n. j = ^ • • n. k = К ••,n. 3=• • ,no; П = nnn (на рис. 2 n = n = П = 4, ио = 64). Тогда для функций перемещений ua, va, wa получаем

n0 n0 n0 Ua = ZNpq"p , va ZNpqVp , wa = ZN/q/W ,

3=1 3=1 3=1

где q3, q3, q/W, N3 - перемещения и функция формы 3 -го узла сетки Ha.

1.2. Первая процедура построения криволинейных лагранжевых ДвКЭ. Основные положения первой процедуры рассмотрим на примере построения криволинейного лагранжевого ДвКЭ Va 3-го порядка (рис. 2). Порядок лагранжевого ДвКЭ равен порядку полиномов Лагранжа (вида (5), см. п. 1.1), построенных на криволинейной крупной сетке ДвКЭ. Пусть для ДвКЭ Va построены базовое разбиение R, крупная сетка Ha и функции перемещений (6) с помощью полиномов Лагранжа. Обозначим через 8а = {qUqU ,qV,•••,qv„ ,qW,•••,qW }T вектор узловых перемещений крупной сетки Ha, т.е. узловых перемещений ДвКЭ Va, отвечающий декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Пусть [Ke] - матрица жесткости, Pe и 8е - векторы узловых сил и перемещений КЭ Ve построены в декартовой системе координат Oxyz [4, 5]. Полную потенциальную энергию Wa для базового разбиения R ДвКЭ Va запишем в матричной форме

M 1

Wa =Z

e=1 2

где M - общее число КЭ Ve.

Используя (6), узловые перемещения вектора 8е выражаем через узловые перемещения вектора 8а. В результате построим равенство

8е = [A^ ]8a ,

где [ Aae ] - прямоугольная матрица.

Подставляем (8) в функционал (7) и, минимизируя его, получаем

M M

[Ka ] = Z[Aea ]T [Ke ]A ] , Fa = ZA ]T Pe ,

e=1 e=1

где [Ka] - матрица жесткости; Fa - вектор узловых сил лагранжевого ДвКЭ Va.

1.3. Вторая процедура построения криволинейных лагранжевых ДвКЭ. Вторую процедуру, не теряя общности суждений, рассмотрим на примере построения лагранжевого ДвКЭ Vb 3-го порядка, который имеет размеры, форму и неоднородную структуру и расположен в локальной декартовой системе координат Oxyz , как и лагранжевый ДвКЭ Va (рис. 2). При построении ДвКЭ Vb используем

мелкую ha и крупную Ha сетки, базовое разбиение R и функции перемещений ua, va, wa ДвКЭ Va (см. п. 1.2). В данном случае 8а есть вектор узловых перемещений ДвКЭ Vb. На базовом

разбиении R ДвКЭ V, используя метод конденсации [6], строим криволинейные суперэлементы Gse с характерными размерами 3hX х 3hy х 3hez, которые покрывают всю область ДвКЭ V, где е = 1, . . ,N, N - общее число суперэлементов (для рис. 2 N = 27). При этом вершины суперэлементов совпадают с узлами крупной сетки Яа ДвКЭ V. Полную потенциальную энергию W суперэлементов Ge запишем в виде

N 1

w =z )T к se -se )T pe),

e=1 2

где [ке ], Pee, se - матрица жесткости, векторы узловых сил и перемещений суперэлемента GS, которые определяем в декартовой системе координат Oxyz ДвКЭ V  Используя (6), между векторами 51, 5а установим связь

se = [ a ]sa,

где [Аве ] - прямоугольная матрица; 8а - вектор узловых неизвестных ДвКЭ У.

Подставляем (10) в функционал (9) и, минимизируя его, получаем

N N

[Кь] = £[4]гКК], Р = £[4?Р'е ,

е=1 е=1

где [К ] - матрица жесткости и р - вектор узловых сил лагранжевого ДвКЭ Уь.

Замечание 1. Как показывают расчеты, лагранжевые ДвКЭ V (построенные по 2-й процедуре) порождают более точные решения, чем лагранжевые ДвКЭ Уа (построенные по 1-й процедуре).

С другой стороны, реализация 2-й процедуры связана с обращением матрицы высокого порядка, что увеличивает временные затраты на построение сеточных решений.

Замечание 2. Криволинейные композитные лагранжевые ДвКЭ п -го порядка (п - целое, п > 1) с неоднородной и микронеоднородной структурой строим по процедурам, которые аналогичны процедурам п. 1.2 и 1.3.

Замечание 3. При построении однородных криволинейных лагранжевых односеточных КЭ п-го порядка, имеющих такую же геометрическую форму, как лагранжевые ДвКЭ (рис. 2), используем функции перемещений вида (6), которые построены с помощью полиномов Лагранжа п-го порядка вида (5).

2. Криволинейные лагранжевые сложные МнКЭ. Основные положения процедуры построения криволинейного сложного композитного многосеточного элемента рассмотрим на примере сложного МнКЭ Ут 3-го порядка, расположенного в локальной декартовой системе координат Охуг (рис. 4). Порядок МнКЭ у, равен порядку полиномов Лагранжа (вида (5), см. п. 1.1), построенных на криволинейной крупной сетке МнКЭ Ут. Узлы крупной сетки Ят МнКЭ Ут на рисунке 4 отмечены точками (64 узла). Пусть область МнКЭ Ут (рис. 4) представлена криволинейными лагранже-выми ДвКЭ УЬ 3-го порядка (рис. 5), построенными по алгоритмам п. 1.2 и 1.3. Базовое разбиение ДвКЭ УЬ, состоящее из КЭ Уе 1-го порядка с характерными размерами Иех х Иеу х Ие2 (см. рис. 1), учитывает неоднородную структуру ДвКЭ УЬ, т. е. сложного МнКЭ Ут. Двухсеточный КЭ УЬ расположен в локальной декартовой системе координат О1 х1у1 ^ с характерными размерами Ь"п х Ьпу х ьп, где Ъ1 = 9Нех =ГпК'п, Ъпу = 9Иеу, Ьп = Щ, R¡' - радиус нижней поверхности ДвКЭ

Vb, уп- угол раствора ДвКЭ Vb, hm = 3by - толщина, hy; = 3by - длина МнКЭ Vm, n = 1,...,N, N - общее число ДвКЭ Vb, для рисунка 4 N=27. Пусть by,,bZ,уп = const, n = 1,...,N. Форма сложного МнКЭ Vm есть прямая призма высотой h;. Отметим, что МнКЭ Vi включает некоторое множество криволинейных мелких и крупных вложенных сеток ДвКЭ Vb и крупную сетку Ят. Функции перемещений um, vm, wm, построенные на сетке Ят с помощью полиномов Лагранжа (см. п. 1.1) 3-го порядка, представляем в виде

64

64

= 1 n;mu;

i=1

i=1

64

=1 Nyvm

w

=S n;W;

i=1

.m

wi - значения перемещений в i -м уз-

где ыт - базисная функция / -го узла сетки Нт; ит ле сетки Нт в декартовой системе координат Охух .

Пусть дт - вектор узловых перемещений (размерности 192) крупной сетки Нт в декартовой системе координат Охух . Пусть ось Охух локальной декартовой системы координат Охххуххх ДвКЭ УЬ (рис. 5) параллельна оси Оу локальной декартовой системы координат Охух МнКЭ Ут (рис. 4), и пусть между осями Оххх и Ох угол равен рп.

Рис. 4. Сложный МнКЭ V„

Рис. 5. ДвКЭ Vz

Векторы 81п, 8ьп узловых перемещений лагранжевого ДвКЭ УЬ, отвечающие соответственно системам координат Охххуххх и Охух, представим в виде

= К,...^,<...,^4}Т, 8П = {иЬ,...,и6ь4,Ухь,...,у6ь4,.

Между векторами 8\, 8bb имеем связь

S\ = T 8,

u

v

m

m

где [Тпп ] - матрица вращений размерности 192 х192, которая имеет структуру [6],

Т ] =

" [М1][М0] [М2]" [М о] [Ме ] [М 0] - [М 2] [М о] [М1]

здесь подматрицы имеют размерность 64 х 64; [М0 ] - нулевая и [Ме] - единичная матрицы,

М\] = СОБ^п [Ме ] , [М2] = [Ме ] .

Учитывая связь между векторами 51п, 8ьп, получаем соотношения [7]

[ кП ] = [Тп ]Т [к \][т п ], РП = [ТП ]р1 ,

где [К 1], [кП ] - матрицы жесткости и Р^; РП - векторы узловых сил ДвКЭ У Л, отвечающие соответственно декартовым системам координат 01 х1 у1 х1 и Охух .

Полную потенциальную энергию МнКЭ у представляем выражением

N 1

К =Х

п=1 2

где N - общее число ДвКЭ Уп.

Используя (11), строим равенство

¿П = [ Ат ¡т ,

где [Ат ] - квадратная матрица размерности 192х192.

Подставляем (13) в функционал (12) и, минимизируя его, получим

N N

[кт ]=в а: ]т [кП ][А: ], ¥т=^[ а: ]Т рП ,

п=1 п=1

где [кт ], - матрица жесткости и вектор узловых сил сложного МнКЭ у.

Замечание 4. Криволинейные лагранжевые сложные МнКЭ п-го (п > 1) порядка с неоднородной (микронеоднородной) структурой строим по процедуре, которая аналогична процедуре п. 2.

3. Результаты расчетов. В качестве модельной задачи рассмотрим расчет композитной консольной прямоугольной в плане панели У0 волокнистой структуры (рис. 6). Панель У0 расположена в декартовой системе координат Охух, при у = 0 имеем и = V = w = 0, т.е. панель жестко закреплена. Волокна параллельны оси Оу и по сечению панели расположены равномерно. Базовое разбиение И0 панели у состоит из однородных элементов у 1-го порядка с характерными размерами Ъех х иу х не (рис. 1). Разбиение К0 учитывает неоднородную структуру панели и порождает криволинейную мелкую сетку йа. Для узлов мелкой сетки введена целочисленная система координат ук (рис. 6) размерности 73х145х19. Двухсеточная модель панели у состоит из ла-гранжевых ДвКЭ У/ 3-го порядка с характерными размерами 18ИХ х18Иу х18Ихе (рис. 7), которые построены по процедуре п. 1.3 и мелкие сетки которых имеют размерность 19х19х19,

п = 1,...,Ы0, Ы0 - общее число ДвКЭ V/. Для панели V = 32. На рисунке 7 узлы крупной сетки Яа ДвКЭ отмечены точками (64 узла).

Рис. 6. Панель V

Рис. 1. ДвКЭ Vп

Базовые разбиения ДвКЭ V/ состоят из КЭ V (см. рис. 1). ДвКЭ V/ расположен в декартовой системе координат 01 х1 у1 , причем ось 01 у1 параллельна оси Оу декартовой системы координат Охух панели (рис. 6). Область ДвКЭ V/ содержит 27 суперэлементов 0"е с характерными размерами вЪХ х въу х въе. На рисунке 8 представлено сечение суперэлемента 0'е в плоскости, перпендикулярной оси 01 у1. Сечение представлено сеткой базового разбиения, сечения волокон с характерными размерами Ъе х Ъе заштрихованы. В узлах мелкой сетки с целочисленными координатами /, у, к, где / = 1 + в(а-1), а = 1,...,7, ] = 73 + 6(^-1), р = 1,...Д3, к = 19, на панель действуют вертикальные силы q = 0,1. На рисунке 6 поверхность панели, на которой задано нагружение, заштрихована. Модуль Юнга связующего материала равен 1, волокна - 10, коэффициент Пуассона для волокна и связующего материала равен 0,3. Радиус внутренней поверхности панели равен 25, радиус внешней поверхности - 30, толщина панели Ъ = 5, длина панели Ь = 40 (рис. 6). Угол раствора панели равен ж/4.

Рис. 8. Сечение суперэлемента Gl

Результаты расчетов панели V показывают, что максимальное эквивалентное напряжение (перемещение) двухсеточной дискретной модели R панели V, состоящей из ДвКЭ Vnd, отличается от максимального эквивалентного напряжения (перемещения) базовой дискретной модели R0 на 3,61% (на 2,73%). Размерность базовой модели R панели V равна 599184, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 8447. Двухсеточная дискретная модель Rh панели V имеет 3744 узловых неизвестных (т.е. в 160 раз меньше, чем неизвестных в базовой модели R0), ширина ленты СУ МКЭ равна 1031 (в 8 раз меньше ширины ленты СУ МКЭ модели R0). Реализация МКЭ для двухсеточной модели R требует в 1310 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели R0. Эквивалентные напряжения определяются по 4-й теории прочности.

Заключение. В данной работе показаны процедуры построения криволинейных лагранжевых ДвКЭ и сложных МнКЭ, которые используем для расчета трехмерных упругих композитных цилиндрических панелей и оболочек с различными коэффициентами наполнения. Достоинства предлагаемых элементов состоят в следующем. Лагранжевые ДвКЭ и сложные МнКЭ в панелях и оболочках:

• описывают трехмерное напряженное состояние;

• учитывают неоднородную и микронеоднородную структуры, порождают двух- и многосеточные дискретные модели, размерности которых в 103 ^ 104 раз меньше размерностей базовых моделей;

• учитывают сложный характер закрепления.

Отметим, что напряжения можно определить в любом компоненте неоднородных структур панелей и оболочек. Реализация МКЭ для двух- и многосеточных дискретных моделей требует в

102 ^ 103 раз меньше временных затрат, чем для базовых моделей.

Литература

1. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / Институт вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск, 2000. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ №2990-В00.

2. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. - 2004. - № 3. - С. 161-171.

3. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. Сер. Математика и механика. - 2014. - 1/1. - С. 80-83.

4. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Двухсеточное моделирование цилиндрических оболочек и панелей переменной толщины // Вестник КрасГАУ. - 2014. - № 4. - С. 90-97.

5. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Одно- и двухсеточные криволинейные элементы трехмерных цилиндрических панелей и оболочек // Известия АлтГУ. Сер. Математика и механика. - 2014. - 1/1. - С. 84-89.

6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 541 с.