Структурализм и его влияние на философию математики Н. Бурбаки

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУГА серия История, философия, социология

№ 101

УДК 347.471.33

СТРУКТУРАЛИЗМ И ЕГО ВЛИЯНИЕ НА ФИЛОСОФИЮ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ

О.Б. СКОРОДУМОВА

Рассматриваются возможности применения структуралистского подхода к проблемам философии математики на примере концепции Н. Бурбаки.

Принципиальные изменения в философии XX века, выразившиеся в отказе от традиционных вопросов (о первичности материи и сознания, о практике как критерия истины и др.) привели к выдвижению на первый план проблемы человека, его языка и культуры как важнейших для философии. При этом наиболее важными становятся исследования, позволяющие рассматривать мир индивидуальной, общественной и культурной жизни человека. Кроме того, возникает потребность в теоретическом обобщении и богатого эмпирического материала, накопленного историей, археологией, этнографией, психологией, социологией и т.д. в XIX веке. Остро встает необходимость в разработке особого метода, позволяющего выполнить эти задачи. Одной из таких попыток и был структурализм.

Применение структуралистских методов анализа получило широкое распространение во многих сферах. В данной статье предполагается рассмотреть эвристические возможности структуралистского анализа при решении философских проблем математики на примере его использования школой Н.Бурбаки.

Понятие «структуры» и ее эвристические функции

Понятие «структура» достаточно широко используется во всех сферах научного исследования. В широком смысле структуру можно определить как совокупность законов, определяющих предметную сферу и связи между объектами, а также классифицирующих их поведение и способы развития. Структурализм, противопоставляя себя различного рода субъективистским направлениям, стремился выработать метод исследования, который мог быть применен к любому виду знания, тем самым преодолеть дуализм «наук о природе» и «наук о духе». С точки зрения структуралистов любую форму активности человеческого духа определяет структура языка, как уже говорилось, трактуемого предельно широко, как любой знаковой системы. К. Леви-Строс показал, что при всем многообразии языков, культур типов обществ в их основе лежит единая структура: фонетические структуры и структуры родства аналогичны. При этом любую совокупность феноменов культуры можно рассматривать как язык, определяемый данной структурой. Применение структурных методов позволило абстрагироваться от множества различий при изучении этносов (этнография) и рассматривать человеческую культуру через выделение единых структурных элементов. Целостность человеческого определялась теперь не единой субстанцией, а рассматривалась как системное свойство, порожденное единством структурных отношений. Предельно абстрактный характер понятия «структура» позволяет плодотворно использовать его и в математике.

Идея «структуры» в математике возникла под влиянием исследований, интенсивно ведущихся в конце XIX века в области теории множеств. В исследованиях Г. Кантора, направленных на обоснование классической математики, объекты всех математических теорий, таких, как числа, функции, векторы, матрицы и т. п., рассматривались в отвлечении

от их математического содержания. Они представлялись как элементы бесконечных множеств, с которыми можно оперировать по определенным правилам. Таким образом, примерно к 1900 году, созрели предпосылки, определившие возникновение математического понятия «структуры» для выражения фундаментальных связей внутри различных языковых систем. Но потребовалось более тридцати лет, чтобы понятие «структура» стало базовым для математиков [1, с. 3].

Как уже отмечалось, «структура» безразлична к тому, какие конкретные отношения она описывает. На это свойство понятия «структура» обращает внимание группа Н. Бурбаки. «Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы (в случае групп — это отношение xтy => z между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры)» [1, с. 251]. Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их «природы»). Таким образом, для математического исследования несущественно, какую конкретную интерпретацию можно дать его объектам, которые можно рассматривать как элементы абстрактных математических структур, свойства которых задаются с помощью аксиом.

Главным при анализе структуры, по мнению Н. Бурбаки, является выявление отношений ее элементов. По своей природе они могут быть весьма многообразны. Н. Бурбаки выделяют три основных типа математических структур: алгебраические, топологические и

структуры порядка. В групповых структурах отношения определяются «законом композиции». При этом отношение между тремя элементами однозначно определяет третий элемент как функцию двух первых. При определении отношений по законам композиции возникают алгебраические структуры. Не менее важны и структуры, определяемые отношением порядка. Это отношение между двумя элементами х, у, которое чаще всего выражается словами «х меньше или равно у» и которое обозначается в общем случае xRy. Здесь не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов х, у, как функцию другого.

Третий, важнейший вид структур — топологические структуры. В них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности. Для перехода к абстракции, находящей свое выражение в аксиомах такой структуры, требуются усилия, значительно большие тех, которые имели место в предыдущих типах структур [1, с. 251].

Комбинации данных видов структур образуют структуры более высокого уровня, описывающие математические теории, что позволяет их классифицировать и представлять в рамках единой системы. Так, например, множество действительных чисел, служащее основой для построения математического анализа, содержит все три порождающие структуры и таким образом преодолевается прежняя обособленность алгебры, геометрии и анализа.

Проблема прогресса математического знания в философии математики Н. Бурбаки

Одной из важнейших проблем философии математики являлся вопрос об отношении математического знания к действительности. Общеизвестен факт, что зарождение математики было связано с решением практических проблем: счета предметов или измерения величин. В то же время развитие математического знания, все более и более абстрагируясь от реального мира, приводило к возникновению областей, где чувственная

интуиция либо не могла быть использована, либо приводила к неверным посылкам. Растущая специализация математического знания во многом была обусловлена возможностью манипуляции с абстрактными объектами без привязки к решению конкретных проблем. Ж. Дьедонне отмечает, что данное явление не может быть оценено однозначно как отрицательное. С одной стороны, действительно, сохраняется угроза создания общих теорий в полном отрыве от конкретных проблем, с единственной целью обобщить известное. «Опасность, как это было подчеркнуто выше, может подстерегать нас лишь со стороны безосновательной абстракции, побуждаемой только желанием перещеголять своих предшественников; например, абстрактное изучение сетчатых множеств (или «решеток»), либо неассоциативных алгебр» [3, с. 17]. С другой стороны, развитие науки в XX века показало, что многие математические теории, созданные путем абстрактных операций, вне всякой связи с практическими потребностями, в последующем оказались пригодными для описания физических, демографических, экономических и др. процессов. Например, аппарат теории относительности и квантовой механики был выработан математиками на основе внутренних исследований и решений математических проблем и лишь впоследствии применен к конкретным областям знания.

Идея преемственности математического знания свидетельствует об определенной исторической и социальной обусловленности в постановке тех или иных математических проблем. Так, например, существует определенная «мода» на те или иные исследования в математике. В конце XIX начале XX в.в. наиболее популярной темой исследования было исчисление бесконечно малых; в 20-40 гг. XX в. возник подавляющий интерес к функциональному анализу, теории множеств или топологии. Математика второй половины XX в. сосредотачивается на изучении общих абстрактных структур: группа, кольцо, топологическое пространство, оператор, пучок, схема и т.п. [3, с. 16].

В то же время в целом ряде случаев невозможно найти прямую зависимость между социокультурной ситуацией и проблемами и идеями, возникающими в математике. Ж.Дьедонне иронически замечает, что вряд ли найдется социолог, способный объяснить влияние социокультурной среды маленьких немецких городов конца XVIII в. на исследования Гауссом вопроса о построении правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки [3, с. 18]. Математическое знание развивается самостоятельно и черпает творческие импульсы в разрешении парадоксов, нахождении более экономных и красивых решений уже разработанных проблем, в игре творческого воображения. Вслед за пифагорейцами, верящими в мистику чисел, в красоту и гармонию числовых соотношений, многие современные математики далеки от чисто прагматических интересов: «упорству математиков, вдохновленных завещанным греками идеалом поиска Истины, свободного от каких-либо практических интересов, мы обязаны рождению теории групп и современной алгебраической геометрии» [3, с. 19],— утверждает Ж. Дьедонне.

Исследуя предпосылки возникновения интеллектуальной интуиции, Н. Бурбаки солидарны с мнением структурализма об их обусловленности бессознательными уровнями психики. Особенность структур бессознательного, симультанность (мгновенность) переработки информации на этом уровне, позволяет хранить как бы в нераскрытом виде весь тот огромный объем информации, который соотносится с понятием целостности жизненного мира человека, учитывая его интеллектуальный и ассоциативный опыт. Практически мгновенное возникновение идеи — «инсайт» (озарение) позволяет активизировать

потенциальную эвристичность накопленной информации в едином акте. «Все математики единодушно признают основополагающую роль, которую воображение играет в математическом творчестве. Логика — это необходимый и скучный инструмент (известно, что математики ее, вообще говоря, не слишком ценят); ею надо уметь должным образом владеть, так как она позволяет следить за доказательством и проверять его... но не изобретать!» [2, с. 6].

Целость знания, обусловленная единством сознательного и бессознательного уровней психики человека, позволяет переносить идеи из одной математической теории в другую, что часто приводит к нетривиальным результатам. Взаимодействие идей и теорий, например, своеобразное триединство «теории алгебраических многообразий теории

аналитических многообразий, являющейся старинной теорией комплексных функций с несколькими переменными, и, наконец, теории чисел» [2, с.17] стимулировало поиски целостного подхода математическому знанию. Реализовать эту задачу вначале попытался Гильберт, а впоследствии и Н.Бурбаки на базе аксиоматического метода.

Проблема единства математического знания и аксиоматический метод

С точки зрения Д. Гильберта обоснование математический теории не должно зависеть от ее содержания, а должно опираться только на ее форму (синтаксическая обоснованность). Критерием синтаксической обоснованности является синтаксическая непротиворечивость математической теории. Для ее доказательства необходимо было использовать метод сведения непротиворечивости любой математической теории к непротиворечивости какой- либо одной из них, но и непротиворечивость последней должна была быть доказана также чисто синтаксическим (формальным) методом.

В итоге можно выделить общую программу гильбертовского обоснования математики:

1. Конечной задачей обоснования была задача обоснования обычной содержательной математики.

2. Методы предшествующих программ обоснования, предполагающие установление истинности исходных принципов непосредственно самих математических теорий, отвергались.

3. Непосредственно предполагалось проводить обоснование формальных математических теорий, которые представляли бы форму содержательных математических теорий. Для этого надо было все содержание математической теории выразить через ее форму.

4. Если содержанием математики были суждения об объектах произвольной природы, то содержанием метаматематики должны быть суждения только о конечных материальных объектах — строчках символов.

5. Так как метаматематика содержит конечное число символов, истинность ее предложений должна иметь наиболее высокую степень интуитивной ясности. Поэтому обоснование математики должно опираться на установление истинности в метаматематике.

6. Проблема связи гносеологических, собственных и логических оснований в математике снимается и перемещается в метаматематику.

К сожалению, гильбертовская программа обоснования математики оказалась невыполнимой. Выяснилось, что хотя через форму теории и можно выражать ее содержание, но полностью его выразить нельзя для достаточно богатых теорий, например, таких как арифметика натуральных чисел.

К. Гёделем была доказана теорема о принципиальной неполноте формализованных систем, содержащих арифметику. Было показано, что в содержательной математической теории всегда можно найти истинное предложение, которое нельзя доказать с помощью аксиом формальной теории, формализующей эту содержательную теорию. Кроме того, в более богатой формальной системе, к которой недоказуемое предложение присоединено в качестве аксиомы, его можно тривиально доказать, но тем не менее и в новой системе имеется возможность построить аналогичное недоказуемое предложение и, таким образом, всегда сохраняется некий неформализуемый остаток.

Таким образом, оказалось невозможным с помощью средств, допустимых гильбертовской метаматематикой, доказать непротиворечивость арифметики чисто синтаксическим методом. А так как согласно гильбертовской программе непротиворечивость всех математических теорий сводилась к непротиворечивости арифметики натуральных чисел, то остается открытым вопрос о непротиворечивости всей математики.

После Гильберта предпринимался ряд попыток реализации задуманной им программы. Как отмечают Н. Бурбаки в своем очерке по истории математики: «теорема Гёделя, однако, не полностью закрывает двери дальнейшим попыткам доказательств непротиворечивости при условии отказа (хотя бы частичного) от ограничений Гильберта, касающихся «финитных процессов» [1, с. 60]. И, действительно, в 1936 г. Генцу удалось доказать непротиворечивость формализованной арифметики «интуитивным» применением трансфинитной индукции, которая соответственно выходит за пределы «финитных» (конечных) ограничений, налагаемых Гильбертом. Н. Бурбаки считают, что ««уверенность», которую может дать подобное рассуждение, разумеется, менее обоснована, чем при доказательствах, удовлетворяющих первоначальным требованиям Гильберта, и по существу является делом психологии каждого математика; однако следует признать, что подобные «доказательства», употребляющие интуитивную трансфинитную индукцию до данного порядкового числа, можно было бы считать важным шагом вперед, если бы они были проведены, например, для теории действительных чисел или для существенной части теории множеств» [1, с. 60].

Идеи Гильберта о формализации математики нашли свое воплощение и в программе Н. Бурбаки, которые выступают с попыткой вслед за Гильбертом обозреть различные математические теории с позиций формального аксиоматического метода. В трактате Н. Бурбаки «Элементы математики» развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить если не все, то главнейшие разделы математики как частные аспекты общей концепции.

В своей программной работе «Архитектура математики» [1, с. 60] Н. Бурбаки выражают сожаление по поводу того, что современные математики отказываются от взгляда на собственную науку, характеризуемую единым предметом и единым методом.

Принципиальная установка их школы состоит в поиске основ, на базе которых можно было бы объединить различные математические теории. В качестве такой основы они выделяют аксиоматический (формалистический метод). «В настоящее время, напротив, мы думаем, что внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом»» [1, с. 247].

Вслед за структурализмом, большое внимание уделявшим языку и его структурам, Н. Бурбаки рассматривают аксиоматический метод как своего рода язык, присущий математике. Отсюда возникает потребность упорядочить словарь этого языка и уточнить его синтаксис.

Дальнейший анализ возможностей аксиоматического метода приводит Н.Бурбаки к заключению, что с помощью его возможно выяснить сущность математики. Здесь наблюдается определенная аналогия со структурализмом. Так же, как и в основе многообразия естественных языков лежат единые структуры, так же, как многообразие человеческих сообществ может быть сведено к структурам родства, математика при всем многообразии ее теорий может быть рассмотрена с точки зрения единых структур. «Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по

своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию» [1, с. 248].

Создание метаматематики как результата применения аксиоматического метода создает возможность для формулировки рассуждений особого типа, строчек символов, в которых осуществлено полное абстрагирование от всякого значения и тем самым они могут быть интерпретированы на различном содержательном материале. Аксиоматический метод определяется при этом как «искусство создавать тексты, формализация которых легко достижима» [4, с. 24].

Аксиоматический метод может быть использован и при классификации математики. Выделяя различные типы структур, например, структуры порядка, группы, топологические структуры, Н. Бурбаки осуществляют классификацию математики. Упорядочивающим принципом при такой классификации является иерархия структур. «В центре находятся основные типы структур, из которых мы только что перечислили главнейшие, так сказать, порождающие структуры (les structures-meres). В каждом из этих типов господствует уже достаточное разнообразие, так как там надо различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из нее в результате ее обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечет за собой и новые следствия» [1, с. 255].

Далее идут сложные структуры, в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, скомбинированные при помощи одной или нескольких связывающих их аксиом.

После этого Н. Бурбаки переходят к анализу частных теорий, в которых элементы рассматриваемых множеств получают более определенную индивидуальность.

Классификация математики позволяет сделать вывод о природе математических рассуждений, которые, по мнению Н. Бурбаки, представляют собой «знание поведения математических объектов» [4, с. 24].

Значение аксиоматического метода состоит и в том, что с его помощью можно вычленять свойства сложных математических объектов и перегруппировывать их вокруг немногих понятий, классифицировать эти свойства по структурам, которым они принадлежат.

В итоге, как считают Н. Бурбаки, с логической точки зрения с помощью аксиоматического метода « возможно вывести почти всю математику из единого источника — Теории множеств» [4, с. 25].

Эвристический потенциал структурализма и его ограниченность

Среди основных тенденций развития математики в XX веке наблюдаются, с одной стороны, процессы дифференциации и специализации, лавинообразное возникновение многочисленных математических теорий, часто весьма опосредованно связанных друг с другом, с другой — стремление выделить общие концепции, с помощью которых удалось бы связать разнородное математическое знание в единую систему. Одним из таких подходов и являлся структуралистский анализ Н.Бурбаки на базе аксиоматического метода. Созданная им метаматематика претендовала на роль объединяющей концепции для всего математического знания.

Использование идей структурализма позволило сделать ряд плодотворных выводов в рамках исследований философии математики Н.Бурбаки. Ими было показано, что так же, как и в живом языке до теоретической разработки его структур в рамках грамматики существуют

определенные «алгоритмы речи», так и «аксиоматический метод применялся задолго до изобретения формализованных языков». Таким образом, была выделена единая основа для представления математического знания в его единстве.

В то же время в силу сугубо абстрактного и формализованного характера подхода Бурбаки, дающего лишь логический каркас теорий, многие важные проблемы, связанные с содержательными аспектами математики, в том числе и проблема интерпретаций, практических приложений математических теорий остались за пределами их анализа. Н. Бурбаки достаточно объективно относятся к возможностям своего метода. С одной стороны они считают его весьма грубым приближением к истинному положению дел в математике, называя его « схематичным, идеализированным и застывшим». [1, с. 256]. С другой особо подчеркивается творческая роль аксиоматического метода: «...Аксиоматический метод учит нас... находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию» [1, с. 248]. Именно акцент на творческий поиск в математике, протест против чисто прагматического, прикладного ее применения делает философские взгляды Н.Бурбаки особенно актуальными в наши дни.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурбаки Н.Очерки по истории математики.— М.: Иностранная литература, 1963.

2. Дьедоне Ж. Абстракция и математическая интуиция // Математики о математике: Сборник статей. — М: Знание, 1982.

3. Дьедоне Ж. О прогрессе математики // Историко-математические исследования. Вып.21.— М.: Наука, 1976.

4. Бурбаки Н. Начала математики. Первая часть. Основные структуры анализа. Кн. 1. Введение. — М.: Мир, 1965.

STRUCTURALISM AND ITS INFLUENCE ON PHILOSOPHY OF N. BURBAKIS

MATHEMATICS.

Skorodumova O.B.

Opportunities of application are approached the structuralism of problems of philosophy of mathematics on the experience the N. Burbaki's conception analysis.

Сведения об авторе

Скородумова Ольга Борисовна, окончила МГУ им М.В. Ломоносова (1982), доктор философских наук, профессор МИРЭА (ТУ), автор 31 научной работы, область научных интересов -философия культуры, философия науки.