Исследование и пространственной моделирование нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье

ФИЗИКА

УДК 517.9; 532.5

ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН

НА МЕЛКОВОДЬЕ

©2003 г. И.Б. Аббасов

In article the questions of study and spatial modelling of the nonlinear surfaces gravitation waves in shallow water are considered. On the basis of the carried out researches the spatial - three-dimensional model of distribution of a spatial gravitational wave on a gulf is given.

При исследовании экосистем мелководных прибрежных районов немаловажную роль играют физические явления, происходящие на поверхности моря, которые носят сложный, нелинейный характер, что приводит к нелинейным математическим моделям реальных процессов. Обычно с некоторыми упрощениями эти явления описываются линейными моделями, которые не дают полного объяснения явления, однако выявляют основные закономерности процессов [1, 2]. В последние десятилетия нелинейные волновые процессы привлекли внимание исследователей. В [3, 4] описываются нелинейные волны в сильно диспергирующих средах; [5, 6] посвящены численному моделированию гравитационно-капиллярных волн; вопросы моделирования обрушивающихся поверхностных волн рассматриваются в [7, 8].

В данной работе исследуются вопросы распространения нелинейных поверхностных гравитационных волн в условиях мелководных заливов. При Выполнении условий мелководности Н/Х«1 выражения для круговой частоты и скорости распространения гравитационных волн имеют следующий вид [9]:

Сй = ^Нк, с = ^Н,

где g - гравитационная постоянная; к — волновое число; Н - глубина жидкости; Я - длина волны. Как видно из (1), скорость распространения не зависит от частоты, т.е. дисперсия отсутствует.

Для волн на межой воде, когда горизонтальная скорость частиц дх в 1/кН раз больше вертикальной бг параметр нелинейности е определяется выражением из [10]: £ = &х/с = а1 Н , где а - амплитуда вертикального

смещения свободной поверхности.

Волновые процессы в несжимаемой жидкости с учетом квадратичной нелинейности описываются нелинейным волновым уравнением [10,11]:

Эм Эи Эм

—+с— = -£и—,

от _ ах дх

где и=&х - горизонтальная компонента скорости частиц среды.

Рассмотрим нелинейный волновой процесс, описываемый (2) при отсутствии дисперсии. Пусть при Г=0 задано возмущение и(х,0) = Еио ехр(гЪс) + к.с., где {к.с.) - слагаемое комплексно-сопряженное первому, которое вводится в нелинейных задачах для учета вещественности и. Будем искать решение уравнения (2) методом последовательных приближений в

виде разложения по малому параметру £ (£«1), ограничиваясь первыми двумя членами

м = £и(1) +£2ит .

После подстановки этого выражения в (2) и приравнивания членов, содержащих е, получаем линейное уравнение

Э«(1) Эм(1) п

- + с—г— = 0.

/=0,

Э t дх

Решением (3) при начальных условиях и(1) (jc,0) = U0 exp(ifct) + к.с. будет функция

ua>(x,t) = U 0 exp [/(for - йЯ)]+ к.с.

Приравнивая теперь члены с е2, для и<2> получаем неоднородное линейное уравнение

Эм

-+с-

Эи

(I)4

dt дх 2дх Решение для и<2> при отсутствии дисперсии имеет вид:

m(2)(jc,î) = -iktUl ехр[г'(2Ъ: - 2cot)]+ к.с.

Тогда общее решение для горизонтальной скорости частиц примет вид:

u(x,t) = £Üg ехр[г‘(£х:-си0]-

-ikt£2UQ exp\i(2kx-2(tit)\+к.с.

Анализируя выражение (4), можно отметить, что амплитуда первой гармоники остается постоянной, а амплитуда второй гармоники растет линейно со временем. Поэтому при любом как угодно малом значении £ наступит момент неустойчивости (обрушения) волны, который определяется путем приравнивания

амплитуд членов £ м 01 И êxi2\ £U0 = E2kî{2pul.

Отсюда время, через которое наступить неустойчивость:

t%=l/£kU0.

Следует отметить, что с ростом второй гармоники начнет усиливаться ее взаимодействие с первой, основной гармоникой. Это взаимодействие приведет к возбуждению третьей, четвертой и последующих гармоник. Следовательно, со временем в спектре волн будут возникать все более высокие частоты, которые приведут к укручению фронта волны.

Для выявления этих изменений найдем решение (2) методом последовательных приближений с новыми начальными условиями:

ивт_

Тогда выражение для горизонтальной скорости в первом приближении будет иметь следующий вид:

иначХх’ 0 = “(*> 0 = еи0 ехрО'Ь:) --;Æî£2{/q exp(('2fac) + к.с.

(временные множители схр( ¿со /) здесь и далее опускаем).

После возведения в квадрат и дифференцирования выражение для второго приближения примет вид

м«т.СМ) - 2Ше2С/ц ехр(2гЪс) --фкгр£Аиоехр(4Исх) +

+ЗА’2/2£3{/ц ехр

Анализируя выражение (8), можно отметить, что в результате взаимодействия первой волны к со второй 2к возникают вторичные волны не только с удвоенными значениями 2к и 4к, но и комбинационные волны к и 3к. Соответственно в спектре исходной волны со временем появляются вторая, третья и четвертая гармоники, что приведет к искажению профиля волны. Следует подчеркнуть, что в наборе вторичных волн возникает волна с частотой исходной основной гармоники, которая имеет квадратичную зависимость от времени.

Окончательно решение в двух приближениях для горизонтальной скорости частиц среды после подстановки выражений (7) и (8) в (6) получим

ит.(х>1) = (£2^о + А:2Г2£5<7о)ехр(гЬ:) +

+ Ш(2е4 -£ъ)и1 ехр{Икх) + Зк212£>и^ ехр(31кх)~

4/3ik3t3£6U0 exp(4/fct) + (к.с.) .

Для исследования изменений профиля гравитационной волны необходимо определить пространствен-

(/У\

ный (временной Гха’р ) промежуток ххар , где рассматриваемая нами модель на основе (9) является приемлемой. Безвихревые волны Стокса опрокидываются при отношении высоты к ее длине 2а/Л=0,141 [13, 14], хотя реальные волны опрокидываются и при меньшей крутизне [7]. Поэтому воспользуемся начальными значениями крутизны в пределах от 0,01 до 0,05. Для слежения за энергетическими параметрами гравитационных волн воспользуемся выражением [10,15]:

Рок л л _ Роё ! (ипокпнл2

~Лп(1п “*

Еп=-

со„

(с учетом соотношения ап = {ип^кпН/соп )2), где р0 -плотность жидкости; п — номер соответствующей гармоники (л=1,2, 3,4).

Проследим изменения профиля гравитационной волны после вхождения в залив с исходными параметрами: частота /=0,2 Гц; длина Я=35 м; скорость распространения с-1 м/с; начальная крутизна 2а/Х-=0,028; кН= 0,9. Определим пространственный промежуток применимости рассматриваемой модели, т.е.

г

Это

Согласно (9), по истечении определенного промежутка времени в результате быстрого роста амплитуд второго члена выражения (6) наступит неустойчивость волны, так как второй член содержит более высокие степени зависимости от времени. Это характерное время можно определить путем приравнивания членов

О = е2«

т.е. когда сумма амплитуд вторичных волн становится равной сумме амплитуд исходных. Но в отличие от (5) временная зависимость здесь имеет более сложный вид, поэтому аналитическое определение выра-

.

жения для характерного времени гхар для данного

взаимодействия будет достаточно трудоемким. В нашем случае воспользуемся графическим способом.

Для исследования нелинейных волновых эффектов на мелководье в качестве модели примем гидрологические условия Таганрогского залива Азовского моря. Средняя глубина Таганрогского залива не превышает 5 м [12], поэтому условиям мелководности будут удовлетворять гравитационные волны с длинами свыше 30 м. Дно ровное, поверхностное натяжение •отсутствует. В качестве исходных поверхностных волн рассматриваются волны зыби, т.е. влияние ветра не учитывается.

расстояние наступления неустойчивости *хар_

расстояние находим графическим способом на основе (10). Отметим некоторые физические особенности происходящих волновых процессов.

В выражении (9) амплитуды всех гармоник (кроме основной) со временем растут, однако амплитуда основной гармоники при этом остается постоянной, хотя высшие гармоники энергетически подпитываются от основной гармоники. Следовательно, амплитуда первичных волн в (9) м^дЧ_(дг,г) должна со временем уменьшаться. Поэтому для исследования искажений профиля гравитационной волны необходимо учитывать эти физические особенности волновых процессов.

Как известно, при отсутствии диссипации энергии первичных и вторичных волн должны отвечать закону сохранения энергии:

£<°

где

Е«Нх), Е

энергии соответственно первичных и вторичных волн.

На основе (12) находим закон уменьшения амплитуды первичных волн. Для поиска амплитуды горизонтальной скорости при известной энергии используем (по обратной зависимости) выражение (11). Однако данное значение амплитуды горизонтальной скорости является суммой амплитуд основной и второй гармоник (из (7)). При этом закон уменьшения основной гармоники находим на основе (9), которое содержит зависимости от времени до третьей степени. Тогда амплитуду второй

гармоники «2* (-М) находим через разность суммарной амплитуды первичных волн и^СМ) и амплитуды

основной гармоники Щ

(1)0м).

На рис. 1а представлены графики  амплитуд первичных и^ч.(*>0 и вторичных и^ОМ) волн, а также основной н,(1)(-М) и второй ¿4'*(*>0 гармоник. Для удобства они представлены в зависимости от расстояния х. Неустойчивость наступает на расстоянии

Ххар. -3000 м. (т.е. через ~1 мин). На основе анализа рис. 1а можно отметить, что с ростом суммарной амплитуды вторичных волн амплитуды первичных волн и основной гармоники падают, а амплитуда второй гармоники медленно нарастает и к моменту неустойчивости резко падает. Таким образом, закон сохранения энергии для данного волнового процесса соблюдается.

Рассмотрим изменение профиля исходной гравитационной волны до расстояния д:= 1400 м. На рис. 16 и \в представлены зависимости изменения горизонтальной скорости ивт (х,г) от расстояния пробега на основе (9). Волна с изначально косинусоидальным профилем за время пробега постепенно искажается, гребни заостряются, а впадины становятся все более пологими. К характерному расстоянию неустойчивости х(^р волна принимает форму, напоминающую

форму волны Стокса, которая имеет также острый гребень за счет своих кратных гармоник [13]. Обрушение такой волны может происходить в виде буруна, соскальзывающего с гребня [14]. Причиной обрушения в нашем случае является глубина жидкости, следовательно, через определенное время пробега по заливу гравитационная волна обрушивается.

Энергетические характеристики волнового процесса приведены на рис.1г, где представлены зависимости энергии первичных и вторичных волн от расстояния х. Энергия первичных ВОЛН Е„аЧ (х) к моменту неустойчивости падает, соответственно энергии вторичных волн Е[2)(х) , Е^(х), Е^2\х) и Е\2)(х) растут. При этом происходит полная перекачка энергии от первичных волн ко вторичным. График показывает, что быстрее всех растет энергия четвертой

гармоники Е{2\х) , которая имеет наибольшую степень зависимости от времени.

Здесь необходимо подчеркнуть, что после перекачки энергии от основной гармоники среди вторичных волн также распространяется волна основной частоты. Вполне возможно, что после обрушения исходной гравитационной волны в открытом заливе именно она будет дальше распространяться. С ростом высших гармоник усилится влияние диссипации и останется самая низкочастотная основная волна, которая будет иметь гораздо меньшую амплитуду.

На рис. 2а - 2г представлены основные характеристики еще одной гравитационной волны с параметрами: частота / =0,09 Гц; длина А=78 м; начальная крутизна 2а/Л=0,017; Ш=0,4. Согласно рис. 2 а, для данной волны неустойчивость наступает на расстоя-

нии .*4ар. =2800 м. Несмотря на то, что эта волна име-

»/%)

,-001!-

JxlÄ

НЫХ скоростей первичных мн!зч.(Х’0 И вторичных

[

«(2)( ивт.'

гармоник; б, в. - зависимость изменения горизонтальной скорости иет (х,ґ) от расстояния пробега поверхностной гравитационной волны с параметрами: частота / =0,2 Гц; длина А=35 м; скорость распространения с=7 м/с; начальная крутизна 2а/Л=0,028; кН= 0,9; г - зависимость энергии

и вторичных волн - Е^ (дг),

первичных г(2)/

Е2 (х), Еъ (х) и Е4 (х) от расстояния х

ет меньшую крутизну по сравнению с предыдущей, из-за большей длины она также приходит в неустойчивость на таком же расстоянии.

Для определения зависимости начальной крутизны гравитационных волн 2а/Х от характерного расстояния неустойчивости х™ приведен рис. 3. Здесь представлена зависимость для трех значений частот гравитационных волн /=0,22; 0,15; 0,09 Гц.

Рис.2. Основные характеристики поверхностной гравитационной волны с параметрами: частота /=0,09 Гц; длина А=78 м; начальная крутизна 2а/Я=0,017; кН=0,4

С увеличением начальной крутизны расстояние неустойчивости, как и следовало ожидать, уменьшается. С увеличением частоты волны (при постоянной крутизне) это расстояние увеличивается, так как уменьшается значение нелинейного параметра.

На рис.4 представлена пространственно-трехмерная модель распространения поверхностной гравитационной волны по заливу, где достаточно наглядно продемонстрировано постепенное искажение профиля гравитационной волны, гребни которой по мере распространения становятся все круче. Следует подчеркнуть, что для возникающих высших гармоник условие мел-ководности может и не соблюдаться, что приводит к появлению дисперсии скорости распространения, которое способствует торможению нелинейных процессов [10]. При подходе к берегу из-за уменьшения глубины условие мелководности будет выполняться лучше и, следовательно, произойдет обрушение волны.

Рис. 3. Зависимость начальной крутизны 2а/\ поверхностных гравитационных волн от характерного расстояния

неустойчивости ххар Таганрогский государственный радиотехнический университет

Рис. 4. Пространственно-трехмерная модель распространения поверхностной гравитационной волны с исходными параметрами: частота / =0,09 Гц; длина А=78 м; скорость с=1 м/с; начальная крутизна 2а/А=0,02; кН=0,4

В заключение можно отметить, что используемый нами метод последовательных приближений является приемлемым при слабой нелинейности среды (е<1), но он достаточно детально описывает нелинейные волновые процессы на начальном этапе их развития.

Литература

1. Вабищевич П.Н. II Матем. моделир. 1993. Т.5. № 10. С.79 -82.

2. Аббасов И.Б. И Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 4. С. 56 - 57.

3. Бабенко К.И. I/ Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 5. С. 1033 - 1037.

А.Наумкин П.И., Шиишарев НА. И Докл. АН СССР. 1986. Т. 288. № 1.С. 90-95.

5. Коган В.Р.. Кузнецов В.В. II Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 36. № 10. С. 1448 - 1456.

6. Longuet-Higgins M.S., Cokelet E.D. // Proc. Roy. Soc., 1976. Vol. A350. P. 1-26.

7. Калмыков B.A. // Матем. моделир. 1996. Т. 8. № 8. C. 37 -41.

8. Banner M.L, Peregrine D.H. II Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. Vol. 25. P. 373-397.

9. Физика океана / Под ред. A.C. Монина Т. 2. М., 1978.

10. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М., 1982.

11. Виноградова М. Б., Руда ¡ко О. В., Сухорукое А П. Теория волн. М, 1979.

12. Мамыкшш В А., Хрусталев Ю.П. Береговая зона Азовского моря. Ростов н/Д, 1980.

13. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М., 1977.

14. Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. Л., 1985.

15. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М., 1988.

17 апреля 2002 г.