Фрикционные автоколебания в механических системах

ослабление крепежных и натягивающих механизмов, а также изменение температурного режима в процессе работы. Как следует из диаграммы устойчивости, неустойчивость возможна не только при превышении некой критической скорости для конкретной силы натяжения (т.е. дивергентная неустойчивость), но и изменение силы натяжения может привести к попаданию в область параметрического резонанса. Несмотря на кажущуюся узость области параметрического резонанса для выбранных параметров, она может оказать существенное влияние на рабочую область системы.

Таким образом, при проектировании систем с зубчато-ременными передачами необходимо учитывать существование дополнительных областей неустойчивости.

список литературы

1. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Наука, 1961.

2. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1956.

Сведения об авторе

Александр Константинович Беляев — д-р физ.-мат. наук; Институт проблем машиноведения РАН; зам.

директора по научной работе; E-mail: vice.ipme@gmail.com

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

мехатроники СПбГУ ИТМО 15.06.09 г.

УДК 681.5.01:658.5; 681.5.01:658.512

В. Н. Шамберов

ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Рассмотрен пример механической системы с одной степенью свободы. Система исследуется на основе точного аналитического метода (метод точечных отображений) в рамках теории нелинейных колебаний. Результат представлен в виде разбиения пространства параметров системы на области с качественно различным динамическим поведением.

Ключевые слова: модель, автоколебания, сухое трение, предельный цикл.

С сухим трением на протяжении многих веков связано немало физических загадок и парадоксов, часть которых не решена и поныне [1, 2]. Сухое трение в подвижной части прибора не только определяет его нечувствительность к входному сигналу, но и может вызывать нежелательный автоколебательный режим. Автоколебания имеют прерывистый характер и проявляются в виде скачкообразных перемещений (скачков) двух скользящих поверхностей при упругом закреплении одной из них. Автоколебания являются помехой в работе большого количества технических устройств, имеющих в своем составе подвижные механические элементы [3—7].

Экспериментальные исследования этого явления [1] показали следующее:

— скачкообразные перемещения, наблюдаемые при малых скоростях взаимного скольжения поверхностей, исчезают при увеличении скорости;

— амплитуда и частота скачков зависят от скорости скольжения, массы подвижного тела и жесткости системы;

— первый скачок значительно больше последующих.

Появление скачкообразных перемещений объясняется либо наличием отрицательного (падающего) участка характеристики трения скольжения, либо возрастанием силы трения покоя, зависящим от продолжительности неподвижного контакта [8].

Рассмотрим механическую систему, в которой скачкообразные перемещения возникают при превышении сил трения покоя над силами трения

скольжения. , У

Fв

-^тр.О, -^тр.дв

М'

С

НУУУУН

.ЧЧЧЧЧЧЧЧ4 ^ ХЧЧЧЧЧЧ^ 5

Рис. 1

Для моделирования динамики элемента с трением представим его в виде условной вязкоупругой механической системы с одной степенью свободы и с сухим '/ трением (рис. 1).

Будем считать, что сила упругости /у(х,у) в зависимости от перемещений х и у изменяется по линейному закону

М X У ) = с (х - у ^ где С — положительный параметр, характеризующий упругость пружины.

Силу внешнего трения ( /р (у) ) учтем в виде суммы сил сухого и вязкого трения:

|/тр (у)| < -тр.0, если у = 0 /тр (у) = -в тр У + -тр.дв8ёп у, если у Ф 0.

Здесь параметр —р о характеризует силу сухого трения при отсутствии движения (силу трения покоя); параметр —р дв — силу сухого трения при движении (скольжении); параметр —в тр —

силу вязкого трения; у — скорость перемещения подвижной части элемента с трением.

Динамическую модель элемента с трением с учетом выражений (1), (2) получим на основе принципа динамического равновесия Даламбера: масса М подвижного элемента вызывает силу инерции Му, пропорциональную ускорению у и противоположно ему направленную:

Му = 0, если у = 0 и /

< —

тр.0 3

> - 0, или если у Ф 0.

Му = /у - Лр.дв (уX если у = 0 и /у

Система уравнений (3) описывает модели логико-динамического класса; при этом первое уравнение соответствует состоянию покоя, второе — собственно движению (скольжению). Структурная математическая модель элемента с трением, соответствующая системе уравнений (3), представлена на рис. 2. Функционирование в составе модели логического элемента (ЛЭ) характеризуется определенным алгоритмом, схема которого приведена на рис. 3.

Динамическое поведение модели характеризуется ее фазовым портретом (фрагмент представлен на рис. 4), полученным согласно описанию (3).

Состояниям покоя соответствуют точки отрезка /у < —р 0, у = 0. При достаточно малой скорости х и —в тр < 4МС (состояние установившегося движения — „устойчивый фокус") в модели возникают фрикционные автоколебания. Автоколебаниям соответствует устойчивый предельный цикл на фазовом портрете. Наличие устойчивого предельного цикла при устойчивом состоянии равновесия свидетельствует о существовании между ними неустойчивого предельного цикла. Исчезновению автоколебаний соответствует слияние (с последующим исчезновением) устойчивого и неустойчивого предельных циклов. Слияние циклов происходит на фазовой траектории, выходящей из точки /у = —р 0 при у = 0 и проходящей

через точку /у = —трдв при у = 0, которая представляет собой траекторию полуустойчивого предельного цикла (рис. 5).

„/тр.дв

тр.О

/у

./тр.дв( F тр. дв V f arctg Fв.тр

/ y ~~^тр.дв

ЛЭ

My

1

M

i

Jt

i

í

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Условия отсутствия автоколебаний следующие: — при Рв2 < 2МС :

ехр

МС

мс - Рвтро+о2

-<-

2 ^в,р (^в.тр - офМС - ^в:гтр

гarctg

4МС - Р

в.тр

Рв.тр (^в.Тр - о) - 2МС

ехр

2К

в.тр

4

4МС - Р

в.тр

Р 4МС - Р2 в.тр\ в.тр

arctg-2--+ 2п

Рв22тр - 2МС

Л

— при Рв2 > 2МС и Рв . О > Рв2 -2МС :

ехр

МС

МС -Рвтр0+О2

<

в.тр

4МС - Р

в. тр

(Рв.тр -0^4МС - Р

Рв.тр (Рв.тр - О) - 2МС

2

в. тр

ехр

в.тр

4

4МС - К

в. тр

р 4МС - Р2 в.тр\ в.тр

arctg-2-+п

Р2тр - 2МС

Л

где 0 = (Ртр.0 -Ртр.дв )/ х .

Неравенства (4) и (5) получены из условия прохождения данной фазовой траектории при Рвтр <4МС правее точки /у = Ртрдв при у = О.

МС

Уо=х Рис. 5

Рв

Рис. 6

22

Итак, автоколебания существуют при Рв тр < 4МС (при Рв тр > 4МС автоколебания невозможны). По условиям (4) и (5) при известных значениях параметров М, С, Рв тр , Рр о , Ртрдв легко установить диапазон скоростей х (рис. 6), при которых возникают колебания. Известные трудности по определению параметра Ртрдв могут быть преодолены с помощью методов исследования фрикционных характеристик [9—11].

список литературы

1. Ле Су Ань. Динамика систем с кулоновым трением (теория и эксперимент). СПб: Нестор, 1999. 299 с.

2. Самсонов В. А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и парадоксы. М. — Ижевск: НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 80 с.

3. Шамберов В. Н. Метод аналитического исследования влияния сухого трения на поведение авторегули-руемых динамических систем // Науч. приборостроение. 2003. Т. 13, № 3. С. 77—83.

4. Шамберов В. Н. Влияние сухого трения на устойчивость приборов с автоматическим уравновешиванием // Там же. 2004. Т. 14, № 3. С. 61—64.

5. Шамберов В. Н. Влияние сухого трения в исполнительных механизмах автоматических систем с приводным электродвигателем на их устойчивость // Там же. 2004. Т. 14, № 4. С. 39—45.

6. Шамберов В. Н. Влияние некулоновского сухого трения на устойчивость автоматических систем // Докл. Академии Наук. 2005. Т. 401, № 2. С. 193—195.

7. Шамберов В. Н. Фрикционные колебания в следящих электроприводах // Проектирование и технология электронных средств. 2005. № 3. С. 56—62.

8. Крагельский И. В., Щедров В. С. Развитие науки о трении (сухое трение). М.: Изд-во АН СССР, 1956. 235 с.

9. А.с. 1481515 СССР. Способ определения характеристик гидравлического сервомотора / В. Н. Шамберов, Ю. П. Сафонов, А. В. Зеленкин и др. // Б. И. 1989.

10. Шамберов В. Н. К определению сухого трения в автоматических регулирующих устройствах и его влияние на устойчивость работы судовой энергетической установки // Произв. науч.-техн. сб. МО ВМФ „Технология судоремонта". 2002. № 2. С. 64—72.

11. Пат. 2284019 РФ. МПК G01M4/04, G01N19/02. Способ идентификации диссипативных характеристик подшипников / С. И. Малафеев, А. И. Копейкин, В. Н. Шамберов // Опубл. 20.09.2006. Бюл. № 26.

Сведения об авторе

Владимир Николаевич Шамберов — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный морской технический университет; кафедра судовой автоматики и измерений; E-mail: shamberov@mail.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

мехатроники СПбГУ ИТМО 15.06.09 г.