Математическое моделирование физических процессов как компонент образования

морские гидротехнические сооружения, влияют на мореходность и условия базирования морского транспорта. В связи с этим проблема динамики морей и океанов имеет большое значение.

Природа волн очень многообразна. По форме могут различаться периодические, уединенные и стоячие волны, боры, гидравлические «прыжки» и волны понижения уровня, внутренние волны в стратифицированной среде, приливные, корабельные и многие другие. Существуют волны малой и большой амплитуды, отмечаются заострение и обрушивание верхушек ветровых волн, перемешивание скользящих слоев разной плотности, деформация волн под влиянием препятствий в виде неровностей дна, берегов или плавающих тел. Таков далеко не полный перечень феноменов, составляющих предмет теории волн. Для практики важно знать параметры, ответственные за механизмы возникновения и роста волн, законы их распространения, взаимодействия и действия на твердые тела.

В основе теории волн лежат методы математического моделирования и результаты качественного анализа моделей, методы изучения асимптотических форм движения, учета силовых и энергетических балансов. В описаниях волн участвуют их относительные высоты и длины, дисперсионные соотношения, переносимые волнами импульс, энергия и другие параметры, выделяющие те или иные конкретные свойства. Ряд критериев подобия позволяет изучать волновые движения стратифицированной жидкости экспериментально — в природных или искусственных каналах и водоемах. Однако продолжительность и дороговизна экспериментального моделирования, условность переноса лабораторных результатов на натуру, а иногда и непреодолимые сложности в постановке опыта позволяют выделить методы гидродинамики в ряд наиболее перспективных. Моделирование и исследование волновых процессов жидкости составляют содержание теории волн.

Основы теории волн на воде были заложены классиками теоретической гид-

родинамики — Л. Эйлером, Ж.Л. Ла-гранжем, О.Л. Коши, Д. Бернулли, С.Д. Пуассоном. Развитию теории волн малой амплитуды способствовали труды П.С. Лапласа, М.В. Остроградского, Дж.Б. Эри, Дж.Г. Стокса, Кельвина, Рэлея, У.Ю. Лэмба и др. Ж.А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов исследовали фигуры равновесия вращающейся жидкости. Большое влияние на развитие теории волновых движений жидкости оказали труды

Н.Е. Кочина, Л.Н. Сретенского и других ученых. Их исследования позволяют решать новые задачи морской гидротехники и гидродинамики судна. Я.И. Секерж-Зенькович построил полную теорию стоячих волн. Одновременно развивалась теория длинных волн.

При изучении курса теории волн особое внимание следует уделить одному из важнейших его разделов — внутренним волнам, распространяющимся в стратифицированной жидкости. Внутренними волнами в океане принято называть волны, вертикальная амплитуда которых в толще воды больше (обычно гораздо больше), чем на ее поверхности. Необходимым условием существования таких волн является устойчивая плотностная стратификация воды, т.е. возрастание плотности воды с глубиной, как это обычно бывает в естественных водоемах. При устойчивой стратификации частица воды, отклонившаяся от положения равновесия вниз, попадает в более плотные слои, откуда выталкивается архимедовой силой (силой плавучести) вверх и, проскакивая по инерции положение равновесия, оказывается в менее плотных вышележащих слоях, где начинает тонуть, и т.д. Таким образом возникают периодические колебания. В дальнейшем под стратифицированной жидкостью будем понимать жидкость со стратификацией плотности, вызванной силой тяжести.

Внутренние волны могут также распространяться и во вращающихся однородных жидкостях, где наличие силы Кориолиса создает условия, необходимые для существования этих волн. Оказывается, что между внутренними вол-

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

нами, распространяющимися во вращающихся и стратифицированных жидкостях, существует аналогия. В математическом плане она проявляется в общности уравнений, описывающих эти волны, структуры их фундаментальных решений и других свойств.

Общеизвестные трудности исследования задач теории поверхностных и внутренних гравитационных волн связаны в первую очередь с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности и поверхности раздела, а также с тем, что сами эти поверхности суть функции неизвестные и подлежат определению. Кроме того, в случае дна, имеющего неровности, краевое условие непротекания через дно будет линейным, но с переменными коэффициентами по горизонтальным координатам, а в случае деформируемого дна — и по времени. Учет граничных условий соприкосновения тел с жидкостью также вносит существенные трудности. Поэтому нелинейная модель теории внутренних и поверхностных гравитационных волн не получила разрешения. В результате развивается построение упрощенных волновых моделей, которое ведет свое начало от исследований Лагранжа. Среди приближенных результатов лидирует линейная теория. Нелинейное приближение дает теория мелкой воды для описания длинных волн. К ней примыкает нелинейное приближение Бус-синеска. Исторически первыми были стоксовы асимптотические разложения решений в ряды по степеням малой амплитуды. Широкое применение приобрели волны КдВ (Кортевега и де Вриса), приближенно описывающие распространение бесконечно малых второго порядка волн одного направления.

Ниже приведено краткое изложение некоторых частных задач теории внутренних гравитационных волн.

1. Внутренние волны малой амплитуды над неровным дном

1.1. Течение над неровным дном при наличии свободной поверхности.

1.2. Прохождение волны над неровным дном.

1.3. Распространение волн на течении при наличии постоянно действующих возмущений, приложенных к свободной поверхности.

1.4. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости.

Реальное дно океанов, рек, морей и озер представляет собой сложную трехмерную поверхность. В большинстве случаев рельеф дна оказывает значительное влияние на структуру течения и форму свободной поверхности. В задаче

1. 1 исследуется краевая системы уравнений в частных производных движения, описывающих движение несжимаемой невязкой стратифицированной жидкости с граничными условиями на свободной поверхности и на твердом недеформиру-емом дне. Сформулирована соответствующая краевая для волн малой амплитуды, которая преобразованием переменных сведена к одному уравнению в частных производных относительно вертикальной компоненты скорости ж(х, у) с неоднородными условиями на границе. Коэффициенты уравнения переменны и зависят посредством скорости набегающего потока и(у) и квадрата частоты Вяйсяля-Брента № (у) только от вертикальной координаты.

Исследованы различные варианты полученной задачи, представляющие самостоятельный интерес в теории внутренних гравитационных волн. Так, задача 1.2 рассматривается при отсутствии набегающего потока, т.е. при и(у) = 0, и сводится к первой и третьей краевым задачам для уравнения Гельмгольца. Получены установившиеся решения рассматриваемых задач.

Далее, в задаче 1.3 при условии экспоненциального убывания плотности с высотой указаны условия существования чисто волновых движений, построенных аналитически в виде ряда Фурье по ортогональной системе функций. Это общий случай начально-краевой задачи о распространении волн на течении при наличии постоянно действующих возму-

щений, приложенных к свободной поверхности. С помощью преобразования Лапласа по времени и преобразования Фурье по горизонтальной переменной исходной задачи в случае экспоненциального распределения плотности получены аналитические решения, характеризующееся, как и в предыдущих задачах, изменением рельефа дна.

Случаи существования волн малой амплитуды установившегося типа в неоднородной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью над горизонтальным дном исследованы в задаче 1.4. В отличие от предыдущих в данной задаче вместо эйлеровых переменных (х, у) целесообразно использовать переменные (х,у), где у — функция тока и, следовательно, стратификация характеризуется функцией р(у), а не квадратом частоты Вяйсяля-Брента. В результате такой замены переменных свободная поверхность становится известной функцией. Искомыми функциями являются горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости в силу уравнения неразрывности, модифицированного уравнения Дюбреиль-Жакотен и граничных условий. При малых отклонениях линий тока от горизонтального положения гидродинамическая задача может быть приведена к смешанной краевой задаче в терминах вертикальной скорости для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом, зависящим от изменения плотности по линиям тока. Решение задачи получено для случая постоянной и кусочно-постоянной плотности. Для случая произвольного распределения плотности построена функция Грина соответствующего интегрального уравнения. При экспоненциальном убывании плотности с высотой построено приближенное решение методом Галеркина. Качественный анализ полученных решений позволяет судить о влиянии стратификации на волновой режим1.

Далее рассматривается вопрос о движении стратифицированной жидкости в канале переменной глубины, когда свободная поверхность отсутствует, а дно имеет неровность.

2. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины

2.1. Потенциальное обтекание неровности дна потоком однородной жидкости.

2.2. Обтекание неровности дна потоком стратифицированной жидкости.

Задача 2.1 для безвихревого движения переформулирована в задачу для потенциала скорости. В случае почти ровного дна потенциал скорости находится в виде суммы потенциала набегающего потока и возмущения, вносимого препятствием. Краевые условия на нижней границе представлены рядом Тейлора в окрестности равновесного состояния, а возмущение набегающего потока — степенным рядом по малому параметру, характеризующему рельеф дна. Для коэффициентов степенного ряда получена рекуррентная последовательность краевых задач. Для первого коэффициента эта задача является краевой задачей Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. Ее решение найдено методом разделения переменных Фурье в виде ряда по ортогональной системе функций. Аналогично находятся последующие коэффициенты ряда. Описанный метод используется для построения решений краевой задачи в случае, когда внутренняя поверхность твердой крышки также имеет неровность. По причине подобия и громоздкости вычислений выражения для коэффициентов, начиная со второго, не приводятся. Анализ предельной скорости потока позволяет сделать вывод о зависимости скорости потока от изменения рельефа дна.

Задача 2.2 — задача об установившемся вихревом потоке стратифицированной жидкости в канале с неровным дном при условии, что твердая крышка также может иметь неровность. Рассматриваемая гидродинамическая задача приводится к задаче Дирихле в терминах вертикальной скорости для уравнения Гельмгольца, коэффициент также зависит от скорости потока и распределения плотности вдоль линий тока. Для

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ряда частных случаев распределения скорости потока и плотности жидкости построенное решение позволяет сделать вывод о влиянии рельефа и стратификации на параметры волнового движения2.

Далее рассматривается задача о безвихревом движении двух слоев идеальной несжимаемой неоднородной жидкости над горизонтальным дном бассейна в предположении, что слои жидкости движутся без перемешивания.

3. Волновые движения неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности

3.1. Линейный вариант задачи.

3.2. Внутренние волны конечной амплитуды.

Система уравнений в частных производных, описывающая в переменных Эйлера данное физическое явление, нелинейная. Поэтому согласно традиционному подходу сначала рассматривается линейный вариант задачи (3.1), а затем производится качественный анализ изменений, вносимых нелинейностями (3.2). Потенциал скорости при этом находится в виде плоской стоячей волны. После построения дисперсионного соотношения осуществляется сравнительный анализ со случаем движения слоя однородной жидкости, рассмотренным в литературе.

В процессе решения задачи 3.2 осуществляется переход к подвижной системе координат и исследуется установившийся волновой процесс. Для построения решения применяется асимптотическое разложение искомых функций по малому параметру е, характеризующему крутизну волны. Граничные условия на свободной поверхности и на поверхности раздела аппроксимируются отрезком ряда Тейлора в окрестности соответствующего невозмущенного уровня. Необходимое соотношение между коэффициентами степенного ряда по малому параметру позволят получить краевые задачи для первого, второго и третьего приближений. Следующие приближения

можно не рассматривать, так как уже на этом этапе будут получены соответствующие выводы о фазовой скорости и форме установившейся волны3.

При проектировании морских гидротехнических сооружений необходимо рассчитывать возможные нагрузки на часть конструкции, контактирующей с жидкостью и испытывающей силовое влияние морского волнения. Поэтому в курсе теории волн целесообразно рассмотреть задачу о воздействии волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе.

4. Воздействие волн конечной амплитуды на вертикальную стенку при фронтальном подходе

4.1. Стоячие волны конечной амплитуды в двухслойной жидкости.

4.2. Высота волн у стенки и нагрузки на нее.

Задача об исследуемом воздействии волн рассматривается аналогично задачам 3.1 и 3.2. Потенциал скорости отыскивается в классе функций, описывающих стоячие волны вблизи вертикальной преграды. Так как задача 4.1 нелинейная, то используется асимптотическое представление искомых функций по малому параметру е. Для более точного расчета возможных гидродинамических характеристик задачи 4.2 выражения для давления и погонной нагрузки на омываемую часть стенки представлены с точностью до третьего порядка малости4.

Задачи 1 и 2 можно рассмотреть в трехмерном варианте и произвести качественный анализ влияния нелинейности на параметры пространственной вол-ны5.

Вот далеко не весь перечень возможных вопросов и задач курса теории волн. Аналитические методы, предложенные для решения представленных прикладных задач, предполагают объемное знание студентами материала курса математического анализа, алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. В программе вузов указанные предметы

изучаются в течение первых трех курсов, после чего рекомендуется изучение данной дисциплины. Так как неотъемлемой частью современной прикладной математики является использование компьютерных технологий, то для проверки математических преобразований целесообразно использовать систему компьютерной алгебры Maple 8 с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений, а для визуализации графических результатов — современные интегрированные среды разработки программных продуктов.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 См.: Перегудин С.И. Внутренние волны установившегося вида в стратифицированной жидкости // Вопр. механики и процессов управления. СПб., 1995. Вып. 17. С. 160—167; Он же. Потен-

циальное обтекание неровности дна потоком однородной жидкости. Деп. в ВИНИТИ 08.07.94, № 1699 В 94).

2 См.: Перегудин С.И. Течение стратифицированной жидкости в канале переменной глубины // Тр. семинара по дифф. уравнениям Мордов. гос. ун-та. Саранск, январь—июнь 1993 года. Саранск, 1993. С. 40—47. Деп. в ВИНИТИ 22.07.93, № 2076 В 93).

3 См.: Перегудин С.И. Волны в неоднородной жидкости со скачкообразным изменением плотности: Тез. докл. в программе Междунар. конф. «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Прикладная механика), 15—19 мая 1995 г. Киев, 1995. С. 93.

4 См.: Перегудин С.И. Внутренние и поверхностные волны в слоисто-неоднородной жидкости // Материалы Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 22—24 декабря 1994 года. Саранск, 1995. С. 269—276.

5 См.: Перегудин С.И., Холодова С.Е. Взаимодействие трехмерных волн конечной амплитуды в двухслойной жидкости с вертикальной стенкой при произвольном подходе // Мат. моделирование. 2000. Т. 12, № 3. С. 38—39.

Поступила 29.06.04.