Решение задач линейного быстродействия с закрепленными краевыми условиями в области дифференциальных преобразований (общий случай)

которых состоит из двух частей: 1) компенсирующей влияние неопределенности и 2) регулятора, обеспечивающего заданный вид переходных процессов при отслеживании программных перемещений и скоростей. За счет принятой структуры уравнений движения робота и комбинированного принципа управления обеспечивается не только робастность, а и высокая точность управления. Несмотря на существенную нелинейность и нестационарность динамики робота, алгоритмы управления являются чрезвычайно простыми, линейными, стационарными, поканально декомпозированными. Примененный метод управления, несмотря на нелинейность и нестационарность уравнений движения, позволяет характеризовать динамические свойства системы управления показателями качества линейных систем управления. Более того, для синтеза рассматриваемой системы управления нет необходимости точно знать уравнения движения объекта управления, которые в рассмотренном примере даже не принимались во внимание при синтезе системы управления. Некоторыми из перечисленных положительных качеств обладают системы с переменной структурой (СПС). В отличие от СПС, рассмотренное управление лишено скользящих режимов и присущих им недостатков: высокочастотных колебаний, снижения надежности, повышенных энергозатрат на управление, возбуждения высокочастотной паразитной динамики.

Материалы второй части данной работы полностью подтверждают результаты теоретических исследований первой части.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Потапенко Е. М. Высокоточное управление неопределенными многосвязными объектами. Часть 1. Синтез и анализ алгоритмов управления / Е. М. Потапенко, А. Е. Казурова // Кибернетика и вычислительная техника. - 2007. - Вып. 155. - С. 58-71.

2. Дылевский А. В. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов / А. В. Дылевский, Г. И. Лозгачев // Автоматика и телемеханика / Рос. акад. наук. - 1999. - № 9. - С. 13-20.

3. Потапенко Е. М. Асимптотическое дифференцирование ступенчатых сигналов в задачах управления скоростью и перемещением / Е. М. Потапенко, Е. Е. Потапенко, А. Е. Казурова // Електромашинобудування та електрообладнання. - К. : Техшка, 2006. - Вип. 66 : Проблеми автоматизованого електропривода. Теор1я i практика : тематичний випуск. - С. 286-287.

Надшшла 7.10.2008

За допомогою метода, що розроблено у першш час-muni роботи [1], синтезуеться закон керування пе-ремщенням невiдомого вантажа дволанковим роботом i3 неточно вiдомuмu характеристиками виконавчих ор-гатв. У якосmi вuмiрювачей використовуються miлькu датчики куmiв повороту ланок робота. Комп'ютерне моделювання пiдmвердuло робасmнiсmь та високу mочнiсmь керування, що розглядаеться.

With the help of the method designed in the first part of the paper [1] syn-thesized was the law of transfer control of unknown load by two-link robot with uncertain characteristics of the effector. Linear-and-angular movement sensors of robot units are used as the only measuring device. Computer simulation has confirmed the robustness and high-precision of the control being considered.

УДК 62-50

С. 0. Симонян, А. Г. Аветисян, Д. А. Казарян

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ В ОБЛАСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

собственных чисел и собственных векторов матрицы объекта управления, ее фундаментальной матрицы, а также вектора начальных значений сопряженных переменных, обеспечивающих оптимальность закона управления. Перечисленные задачи требуют большого объема вычислений.

Целью данной статьи является устранение необходимости решения перечисленных задач за счет сведения задачи к задаче нелинейного программирования. © Симонян С. О., Аветисян А. Г., Казарян Д. А., 2009

Рассматриваются задачи линейного быстродействия с закрепленными краевыми условиями и векторным управляющим воздействием (общий случай), для решения которых вкачестве основного математического аппарата выступают дифференциальные преобразования Г. Е. Пухова. Показываются достоинства предложенного подхода по сравнению с несколькими известными методами.

ВВЕДЕНИЕ

В известных работах [1, 3-5] задача, вынесенная в название статьи, решается с помощью определения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую задачу оптимального быстродействия [1-5]:

- критерий качества:

I = f 1dt = T ^ min,

J u

уравнения движения:

X( t) = AX( t) + BU( t), закрепленные краевые условия:

X( 0) = fix, X( T) = fix,

X (K + 1) =

H

(A • X(K) + B • U(K)),

K + 1 K = 0,1,...

С другой стороны, известно [1-5], что для задач рассматриваемого класса имеет место известная теорема Фельдбаума, согласно которой оптимальная функция управления является кусочно-постоянной знакопеременной функцией, причем число переключений каждого управления uk(Ь) к = 1, г не может превосходить п - 1, т. е. в общем случае на временном интервале [0, Т] будем иметь г(п - 1) + 1 подынтервалов, а число времен переключений Ьр, р = 1, г •(п - 1) будет г•(п - 1).

На каждом подынтервале управляющие воздействия икр, к = 1, г, р = 1, г •(п - 1) + 1 постоянны. Следовательно, можно считать, что

- ограничения, наложенные на управляющие воздействия:

\uk{t)\ < 1, Vk = 1, r,

где X (Ь) = (х1( Ь),..., хп( Ь)) - п-мерный вектор переменных состояния; А = (аф; I,] = 1, п - матрица системы с постоянными элементами; и( Ь) =

Т

= (и1(Ь), ..., иг(Ь)) , г < п - г-мерный вектор управляющих воздействий; В = (Ь^к), / = 1, п, к = 1, г -матрица управляющих переменных с постоянными элементами; Т - время перехода.

Теперь допустим, что система полностью управляема и собственные числа матрицы А действительные и отрицательные либо нулевые.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

Сначала решим краевую задачу (2), (3). Система (2) в области дифференциальных преобразований приобретает следующий вид:

X( K + 1) =

H

K + 1

£ [A(P) • X(K - P) + B(P) • U(K - P)]

p = 0

K = 0,1,...,

ukp

+1

или -1

= Up(0), Up(K > 1 ) = 0,

k = 1, r, p = 1, r •

В этом случае получим

X(K + 1) = KH^ (A • X(K) + B • U(K) • Ъ(K)),

K = 0,1,...

X(К + 1) = нК + ^ [Вк +1- Х(0) + Ск +1(и(0))],

К = 0,1, ....,

где матрицы-изображения Вк, К = 0, 1,. и векторы-изображения Ск(и(0)), К = 0, 1, ... определяются согласно следующим рекуррентным соотношениям [7-9]:

B

1

k + 1 = K+J A • Bk, K = 0,1,.,

Ck +1 (U(0)) = K+1 (A • Ck(U(0)) + B • U(K)• Ъ(K)),

K = 0,1,...,

где X(К) = (Х1 (К), Хп(К)) - вектор изображений переменных состояния; А(Р) - Р-я матричная дискрета матрицы А; В(Р) - Р-я матричная дискрета матрицы В; К - номер дискрет; Н - масштабный коэффициент [6].

Учитивая, что А(Р = 0)= А, А(Р > 1) = [0], а также В(Р = 0)= В, В(Р > 1) = [0], в общем случае будем иметь

в свою очередь, В0 = Епх п - единичная матрица порядка п, С0 = (0)п х 1 - нулевой вектор-столбец с размерами п х 1, а Ъ(К) - так называемая тейлоровская единица (тед) [6]:

Ъ( K) =

1, при K = 0, 0, при K * 0.

T

или

Оригинал Х(Ь) согласно дифференциально-тейлоровским преобразованиям будет восстановлен следующим образом:

X(Ь) = Х(0) + X(1)(Ь - Ьи) + Х(2)(Ь - Ьи)2 + ... + + Х(К)(Ь - Ьи)К = Х(0) + (ВХ(0) + С1)(Ь - Ьи) + + (В2Х{0) + С2)(Ь- Ьи)2 + ... +

+

где Ь е [0, Т], а - центр аппроксимации.

Таким образом, исходная задача заменяется последовательно стыкующейся друг с другом в точках переключений Ь1, Ь2, ..., Ьт,(П-1) совокупностью т-и двухточечных краевых задач. Используя разработанные в публикациях [7-9] подходы и учитывая, что в каждой подзадаче ее левые краевые условия совпадают с правыми краевыми условиями предыдущей подзадачи, а ее правые краевые условия - с левыми краевыми условиями последующей подзадачи, то получим последовательность нижеприведенных подзадач.

На первом подынтервале будем иметь следующую двухточечную краевую задачу:

X (t) = A-X (t) + B-Ux; X( 0) = fix,

X

на i-м подынтервале будем иметь

X(t) = A - X( t) + B- иг;

X( ti - 1) = (x1, i - 1, x2, i - 1, •••, xn, i - 1) ,

X

и, наконец, на r • n-м подынтервале - следующую двухточечную краевую задачу:

X( t) = A • X( t) + B-Ur. (n -1) +1;

X( tr-(n - 1)) = (x1, r-(n - 1), x2, r-(n - 1), •••, xn, r-(n - 1)) ,

X

В результате решения последней задачи, с учетом соотношений, полученных на предыдущих подзадачах, найдем следующие выражения в виде равенств, которые будут выступать как ограничения в задаче нелинейного программирования (НЛП), которая эквивалентна исходной задаче оптимального быстродействия:

Ф1( t1, t2, •••> tr- (n - 1), T, u11, u12, •••, u1, r- (n - 1) + 1, •••> u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1) - x1(T) 0, Ф2( t1, t2, •••> tr- (n - 1), T, u11, u12, •••, u1, r- (n - 1) + 1, •••> u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1) - x2(T) = 0,

Фп(t1, t2, •••, tr- (n - 1), T, u11, u12, •••> u1, r- (n - 1) + 1, •••, u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••> ur, r- (n - 1) + 1) - xn(T) = 0,

где в представлении ukp, k = 1, r, p = 1, r- (n - 1) + 1 индекс p показывает номер подынтервала. Ограничения вида неравенств (4) учтем следующими равенствами:

2

ukp - 1 = 0, k = 1, r, p = 1, r-(n - 1) + 1. Таким образом, задача НЛП окончательно приобретает вид

T ^

min

t1, ..., tr- (n - 1), T, u11, •••, u1, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1

ф1( t1, t2, •••, tr - (n - 1), T, u11, u12, •••, u1, r- (n - 1) + 1, •••, u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1) - x1(T) 0, ф2( t1, t2, •••, tr - (n - 1), T, u11, u12, •••, u1, r- (n - 1) + 1, •••, u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1) - x2(T) = 0,

Фп(t1, t2, •••, tr - (n - 1), T, u11, u12, •••, u1, r- (n - 1) + 1, •••, u21, •••, u2, r- (n - 1) + 1, ur1, •••, ur, r- (n - 1) + 1) - xn(T) = 0;

kp

1 = 0, k = 1, r, p = 1, r - (n - 1).

2

После решения этой задачи получим все неизвестные. Построение временных характеристик исходной задачи не представляет особой трудности.

Пример. Рассмотрим следующую задачу линейного быстродействия [1, 4]:

Т ^ шш,

и

х 1

х 2

V хз(£)V 0 0 0 V хз(£) V 0 0 1_ V из(£) V

х1( 0) = -1, х1( Т) = 0, х2(0) = 0, х2( Т) = 0, хз( 0) = 0, хз( Т) = 0;

к(£)|< 1, к = 1, 3.

Имеем следующие результаты предварительных расчетов:

А( 0) =

В (0) =

0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

В1 = А( 0) =

, А (К > 1) = [ 0 ];

, В (К > 1) = [ 0];

0 1 0 0 0 1 0 0 0

В 2 = 2 (А( 0) В1 + А( 1)) = 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0

В>з = [ 0];

С1 = В( 0) и( 0) =

( 0)Л

П2

С2 = 2

( и2(0

из( 0) 0

с = 1

Сз 6

( ^

и з( 0) 0 0

с>4 = ( 0) .

Из последних соотношений очевидно, что и1( £) постоянно на отрезке [0, Т], и2(£) может не иметь ни одного переключения или иметь всего одно переключение, а и2( £) может не иметь ни одного переключения или иметь одно или два переключения. Следовательно, по всем компонентам вектора и(£) будем иметь 4 подынтервала времени на отрезке [0, Т] с четырьмя двухточечными краевыми подзадачами в предположении, что времена переключений расположены друг относительно друга в соответствии с цепочкой неравенств

0 < £1 < £2 < £з < Т.

Здесь пока что не известно, какое время переключения какому составляющему вектора и(£) принадлежит; ответ на этот вопрос будет получен лишь только после окончательного решения задачи. Поэтому получим математические модели соответствующих подзадач на временных подынтервалах [ 0, £1], [ £1, £2 ], [£2, £з], [£з, Т] с соответствующими двухточечными краевыми условиями.

Подзадача 1. Имеем

X 1( £) = х2 (£) + и11, X 2( £) = хз (£) + и21, х з( £) = из1;

х1( 0) -1

х2( 0 ) = 0

V хз(0)) V 0 V

х1( £1) х11

х2( £1) = х21

V хз(£1) V V хз1 V

X (0) 0 =

X (£1) =

Следовательно,

Х( £) = Х( 0)0 + (ВХ( 0)0 + С) £ + + (В2Х( 0 )0 + С2) £2 + (ВзХ( 0) 0 + Сз) £3 + ...,

откуда при £ = £1

В общем случае для каждого ик( £), к = 1, з будем иметь п - 1 = 2 переключений. Однако согласно принципу максимума Понтрягина (или теореме Фельдбау-ма) в конкретном случае будем иметь функции [1]

Х( £1) = Х( 0) 0 + (ВХ( 0) 0 + С) £1 + (В2Х( 0) 0 + С2) £\-+ (ВзХ(0)0 + Сз)£1 + ... = (хп, х21, хз1 )Т

( -1 0 1 0 ( -1 ( Л ип

и1 (£) = и2( £) = -^10 • £ + ^20) , 0 + 0 0 1 0 + "21

из(£) = 8^п(У10 • £2/2 - ^20 • £ + ^з0) , V 0 V 0 0 0 V 0 V V из1 _

ь, +

где уг0, г = 1, з - начальные значения сопряженных + 2 0 0 1 ( -1 ( л и21 £2 + ± ^ + 6 ( Л «з1 ( Л х11

0 0 0 0 + из1 0 ^ = X (£1) = х21

переменных £), г = 1, з. 0 0 0 V 0 V V 0 V V 0 V V хз1 V

или

Из последнего

- 1 + ипЬх + 1 и21^ + 1 - Хц,

+ 2из1 ¿2 - Х21,

- и31^1 Х31.

Подзадача 2. Имеем

1 2 Х11 + (Х21 + и12)(¿2 - tl) + Т- (Х31 + и22)(¿2 - ¿1) +

1 3 _ + £ и32( ¿2 - ¿1) - Х12,

12

Х21 + (Х31 + и22)(¿2 - ¿1) + 2и32(¿2 - ¿1) - Х22,

Х31 + и32 ( ¿2 - ¿1) - Х32 .

Подзадача 3. Имеем

Х 1(- х2(t) + и12, X2(- Х3(t) + и22, ХК3(- и32;

( \

Х(0)1 - X(¿1) -

х1( ¿2^ ( л Х12

X( ¿2 ) - х2( ¿2) V х3(¿2) V Х22 V х32 V

Следовательно,

X(- X(0) 1 + (Bl X( 0) 1 + С1)(

+ (B2X(0)1 + С2)(t - ¿1)2+

+ (ВД0) 1 + С3)(t - ¿1 )3 + ..., откуда при t - ¿2

X 1() - Х2(+ u13, Xх2(^^) - х3(+ и23, Xх3(t) - и33;

X(0)2 - X(¿2) -

( л Х12

Х22

V х32 V

, Х( ¿3) -

( Х1(¿3)Л

Х2

( >

Х13 Х23 V х33 V

Следовательно,

Х( t) - X(0)2 + (В1Х(0)2 + С0(t - ¿2) + + (B2X(0)2 + С2)( t - ¿2)2 + (В3X(0)2 + С3)(t - 12)3 + .

откуда при t - ¿3

X(¿3) - ^0)2 + (В1 X(0)2 + С1)(¿3 - ¿2) + + (B2X(0)1 + С2)(¿3 - ¿2)2 + + (BзX(0)1 + С3)(¿3 - ¿2)3 + ... - (Х13, Х23, Х33)Т

X(¿2) - ^0) 1 + (В1 X(0) 1 + С1)(¿2 - ¿1) + + (B2X(0)1 + С2)(¿2 - ¿1 )2 +

+ (BзX(0) 1 + С3)(¿2 - ¿1)3 + ... - (Х12, Х22, Х32)Т

( \ - Г- -. ( \ ( л

Х11 0 1 0 Х11 и12

Х21 + 0 0 1 Х21 + и22

V Х31 V 0 0 0 V Х31 V V и32 V

г - ( \ ( л

0 0 1 Х11 и22

0 0 0 Х21 + и32

0 0 0 V Х31 V V 0 ^

( ¿2 - ¿1) +

( ¿2 - ¿1 )2 +

+1

6

( \

и32 0 0

( \

(¿2 - ¿1)3 - X(¿2) -

22

V х32 V

Из последнего следует

л - г -, ( \ ( л

х12 0 1 0 х12 и13

х22 + 0 0 1 х22 + и23

V х32 > 0 0 0 V х32 > V и33 /

0 0 1 ( л Х12 ( л и23

0 0 0 Х22 + и33

0 0 0 V х32 V V 0 у1

( ¿3 - ¿2 ) +

( ¿3 - ¿2 )2 +

(

и33 0 0

( ¿3 - ¿2 )3 - X( ¿3) -

(

Х13 Х23 V х33 V

Из последнего следует

1

х12 + (х22 + и13)(¿3 - ¿2) + 2 (Х32 + и23)(¿3 - ¿2) +

1 3

+ б-и33(¿3 - ¿2) - Х13,

12

х22 + (х32 + и23)(¿3 - ¿2) и33(¿3 - ¿2) - X23,

Х32 + и33(¿3 - ¿2) - Х33.

или

Подзадача 4. Имеем

T ^

x j( t) = x2( t) + u14, xx 2( t) = Хз( t) + U24, x 3( t) = u34;

X (0 )з = X( 13) =

( ^

x13 x23 V x33 )

, X (T) =

x1( T) 0

x2( T ) = 0

V x3

Следовательно,

Х(£) = Х(0)з + (В1Х(0)2 + С1)(£ - £з) + + (В2Х{0)з + С2)(£ - £з)2 + (ВзХ(0)з + Сз)(£ - £з)з -

откуда при £ = Т

X(T) = X(0)3 + (BiX(0)2 + Ci)(T - t3) +

+ (B2X(0)3 + C2)(T - 13)2 + + (B3X(0)3 + C3)(T - t3)3 + ... = (0, 0, 0)T

x13 0 1 0 x13 u14

x23 + 0 0 1 x23 + u24 (T

V x33) 0 0 0 V x33 ) V u34 )

0 0 1 0 0 0

0 0 0

( \

( \

( Y

x13 u24

x23 + u34

V x33 ) V 0 )

(T - t3)2 +

(T - t3)2 +

(T - t3)3 = X(T) =

( \

0 0

Следовательно, задача НЛП приобретает вид T ^ min ;

x13, x23, x33, t3, T, u 14, u24, u34

12

x13 + (x23 + u14)(T - t3) + 2 (x33 + u24)(T - t3) +

+ 6u34(T- t3)3 = 0,

12

x23 + (x33 + u24)(T - t3) + u34(T - t3) = 0,

x33 + u34(T - 13) = 0-

Далее, учитывая соотношения, полученные на предыдущих подынтервалах и ограничения типа (15), окончательно получим следующую задачу НЛП:

t1, t2, t3, T, u 11, u21' u31, u12' u22' u32' u13' u23' u33' u14' u24' u34

1 2 1 3 ( 1 2 ) - 1 + unt! + 2u21t1 + j;ju31t1 + Vu21t1 + 2u31t1 + u^J( t2 - t) +

1 2 1 3 + 2(t1u31 + u22)(t2 - t1) +6;u32(t2 - t1) +

( 1 2 1 2 ) + Vu2111 +2-u31t1 + (t1u31 + u22)(t2 - t1) + 2-u32(t2 - t1) + u13^ X

12

X (t3 - t2) + 2 (u31t1 + u32( t2 - t1) + u23)( t3 - t2) +

1 3 ( 1 2 + gu33(t3 - t2) + Vu2111 + 2u31t1 + (u3111 + u22)(t2 - t1) +

12

+ 2u32(t2 - t1) + (u31t1 + (t2 - t1)u32 + u23)( t3 - t2) +

1 А 1

+ 2 u33( t3 - t2)2 + u14/) (T - t3) + 2 (u3111 + u32( t2 - t1) +

+ u33( t3 - t2) + u24 )(T - t3)2 + 1;u34(T - t3)3 = 0,

u2111 + |u31t2 + (u3111 + u22)(t2 - t1) + 2u32(t2 - t1)2 +

12

+ (u3111 + u32( t2 - t1) + u23)( t3 - t2 ) + 2u33( t3 - t2) + + Vu31t1 + u32 (t2 - t1) + u33( t3 - t2) + u24) (T - t3) + + 1 u34(T - t3)2 = 0,

u3111 + u32( t2 - t1) + u33( t3 - t2 ) + u34( T - t3 ) = 0;

2 11 -1 = 0, 2 u12 - 1 = 0, 2 u13 - 1 = 0, 2 u14 - 1 = 0,

2 21 -1 = 0, 2 u22 - 1 = 0, 2 u23 - 1 = 0, 2 u24 - 1 = 0,

2 31 -1 = 0, 2 u32 - 1 = 0, 2 u33 - 1 = 0, 2 u34 - 1 = 0,

Таким образом, имеем задачу НЛП с 16 неизвестными (з момента переключения £1, £2, £з, одно время перехода Т, 12 управляющих величин икр, к = 1, з, р = 1, 4) и с 15 ограничениями вида равенств. Эта задача была решена методом Лагранжа, в результате чего были получены следующие претенденты-решения, представленные в табл. 1.

Очевидно, что из з полученных претендентов-решений первое решение не удовлетворяет исходной задаче, ибо нарушено условие £з < Т, а время перехода з-го претендента-решения меньше времени перехода 2-го претендента-решения. Кроме того, во 2-м претенденте-решении нарушено условие £2 < £з. Поэтому окончательным решением исходной задачи служит з-е претендент-решение, в соответствии с которым имеем временные характеристики задачи, представленные на рис. 1 и рис. 2. Последние полностью совпадают с решением, полученным в [1, 4].

или

u

u

+

Таблица 1

¿1 ¿2 ¿3 Т и11 и21 и31 и12 и22 и32 и13 и23 и33 и14 и24 и34

1 0,9337 1,1912 2,1249 1,8675 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1

2 0,4614 0,5058 0,4614 0,8339 1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1

3 0,2041 0,4082 0,6123 0,8164 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1

Рисунок 1 - Временные характеристики переменных состояния

Рисунок 2 - Временные характеристики управляющих переменных

ВЫВОДЫ

Таким образом, при предложенном подходе, в отличие от [1, 3-5], исходная задача сводится к некоторой задаче НЛП, в которой нет необходимости в определении собственных чисел и соответствующих

собственных векторов матрицы А, фундаментальной матрицы последней, вектора начальных значений сопряженных переменных, обеспечивающих оптимальность закона управления [7ор-(0, знаков подынтервалов постоянства компонентов вектора управления, детерминантных уравнений в необходимом количестве

и многих других трудноразрешимых дополнительных подзадач. Эти обстоятельства и обуславливают эффективность предложенного подхода.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Симонян С. О. Прикладная теория оптимального управления / Симонян С. О. - Ереван : 2005. - 180 с. - На армянском языке.

2. Брайсон А. Прикладная теория оптимального управления / Брайсон А., Хо Ю-Ши. - М. : Мир, 1972. - 554 с.

3. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. - М. : Наука, 1983. - 392 с.

4. Симонян С. О. Основы синтеза специализированных вычислителей динамических задач нелинейного программирования : автореф. дис. ... д. т. н. / Симо-нян С. О. - Ереван, 1993. - 47 с.

5. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем / Фельдбаум А. А. - М. : Наука, 1966. - 623 с.

6. Пухов Г. Е. Дифференциальные спектры и модели / Пухов Г. Е. - К. : Наукова думка, 1990. - 184 с.

7. Симонян С. О. Метод решения задач оптимального управления, основанный на дифференциальных преобразованиях / Симонян С. О., Аветисян А. Г., Каза-рян Д. А. // Вестник ГИУА. Сер. «Моделирование, оп-

тимизация, управление». - 2007. - Вып. 10, том 2. -С. 102-114.

8. Симонян С. О. Прямой метод решения линейных многоточечных краевых задач / Симонян С. О., Аветисян А. Г. // Известия НАН РА и ГИУА. Сер. ТН. - 2002. - Т. LV, № 1. - С. 95-103.

9. Симонян С. О. Метод решения линейных многоточечных краевых задач, основанный на дифференциаль-но-дирихлеевских преобразованиях / Симонян С. О., Аветисян А. Г., Казарян Д. А. // Вестник ИАА. -2007. - Т. 2. - С. 253-257. - На армянском языке.

Надшшла 17.06.2008 Шсдя доробки 17.10.2008

Розглядаються 3adani л1ншно1 швидкодИ i3 3aupin-леними крайовими умовами й векторним керуючим впливом (загальний випадок), для рiшення яких у яко-cmi основного математичного апарата виступають ди-ференцiaльнi перетворення Г. Е. Пухова. Демонстру-ються переваги запропонованого тдходу в nорiвняннi з вiдомими методами.

Linear speed problems with fixed boundary conditions and control influence vector (general case) are considered, Pukhovs differential transformations serve as a main mathematical apparatus serving as the main mathematical apparatus. The merits of the proposed approach with respect to a number of known methods are shown.