Социальная философия математики Витгенштейна

ФИЛОСОФИЯ, СОЦИОЛОГИЯ И КУЛЬТУРОЛОГИЯ

УДК 1

СОЦИАЛЬНАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ ВИТГЕНШТЕЙНА

© Евгения Евгеньевна МЕДВЕДЕВА

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра философии, e-mail: sem.23@mail.ru

В данной статье обосновывается социальный характер философии математики Людвига Витгенштейна, обусловленный натуралистической позицией мыслителя. Натурализм философии математики Витгенштейна связан с его приверженностью описательному методу. Витгенштейн отвергает фундаментализм и фундаменталистские программы обоснования математики, предложенные логицизмом, формализмом и интуитивизмом. Автор разбирает подход Витгенштейна к проблеме оснований математики, платонизму и онтологии, дает оценку понимания Витгенштейном роли философии математики в современной культуре. Точка зрения, что математическое знание является синтетическим a priori, возникает у Витгенштейна из убеждения, что математика как наука конструируется учеными, и что не существует мира идеальных сущностей, выявляемых в результате математической деятельности. Витгенштейн рассматривал математику как сложную сеть частично совпадающих форм деятельности или языковых игр. Витгенштейн не считал, что все языковые игры математики являются формальными математическими системами, что существуют различные неформальные математические практики, которые также конституируют множество языковых игр. Языковые игры в математике основываются на формах жизни и не могут быть сведены к чисто лингвистической деятельности. Концепция математики, разработанная Витгенштейном в зрелый период творчества, отклоняет поверхностную форму конвенционализма, в соответствии с которой правила математики принимаются или отвергаются сообществом математиков. Подобный подход ведет к представлению о математике как деятельности, где все дозволено. Вместо этого Витгенштейн предложил модель математики, в которой математические правила глубоко проникают в содержание человеческой социальной деятельности. По Витгенштейну, роль философа математики не сводится к решению математических проблем или к реформированию математики. Автор статьи приходит к заключению, что предложенная Витгенштейном философия математики обладает социальной природой, поскольку охватывает человеческие формы жизни. Предложенная австрийским мыслителем перспектива осмысления философии математики является довольно сложной. Позиция Витгенштейна является прямым вызовом традиционным подходам, доминирующим в философии математики.

Ключевые слова: Людвиг Витгенштейн; философия математики; конвенционализм; натурализм; языковая игра; формы жизни; основания математики; платонизм; онтология; следование правилу; социальная практика.

Дать ясную и адекватную интерпретацию философии математики Витгенштейна весьма проблематично по целому ряду причин, включая и тот факт, что сам австрийский философ, возможно, отрицал существование таковой. Тем не менее, появились исследования, в которых авторы (З.А. Сокулер, М. Дамметт, Дж. Флойд, П. Фрасколла, В. Кленк, П. Мэдди, М. Мейрион, С. Шенкер и др.) освещают компоненты философии математики Витгенштейна, имплицитно присутствующие в его текстах [1-8]. Как прави-

ло, австрийского мыслителя определяют как конвенционалиста, хотя и с некоторыми оговорками. Так, М. Дамметт [2] характеризует концептуальную позицию Витгенштейна как «полнокровный конвенционализм», поскольку у австрийского мыслителя, полагает он, любая математическая теорема свободно принимается (или отклоняется) через конвенцию.

В представленной работе мы постараемся доказать, что такая оценка является ошибочной, поскольку основана на неверном ис-

толковании воззрений Витгенштейна. На наш взгляд, философию математики Витгенштейна следует определять как социальная, в которой важное место отводится натурализму.

Натурализм философии математики Витгенштейна связан с его приверженностью описательному методу. В своей «Коричневой книге» он прямо заявляет: «Наш метод чисто описательный: описания, которые мы даем, даже не намекают на объяснения» [9, с. 61]. Дескриптивный метод Витгенштейна следует рассматривать как приглашение философии добиваться стратегической цели - достигать ясности понимания языковых выражений через описание способов их употребления в конкретных социальных ситуациях. Вместе с тем не следует воспринимать позднюю философию языка Витгенштейна как «плоский эмпиризм или чистый дескриптивизм», поскольку его интересовала «именно концептуальная сторона языковой практики», «внутренние смысловые отношения» [10, с. 9]. Здесь следует помнить, что в описательной философии Витгенштейна приоритет имеет математическая практика [6].

Призыв Витгенштейна «Не думай, а смотри!» предполагает видение того, что всякая практика, включая и область математики, имеет свою «грамматику». Хорошо известно, что Витгенштейн часто сравнивал математические предложения с правилами грамматики; он утверждал, например, что арифметика есть грамматика чисел. Однако такое утверждение не следует интерпретировать буквально, будто предложения арифметики являются правилами грамматики в строгом смысле, поскольку подобное прочтение способно вызвать противоречивое расширение концепта «правило грамматики». Витгенштейн вывел данное утверждение, по-видимому, для того чтобы подчеркнуть фундаментальное измерение в применении предложений арифметики [11].

Витгенштейн ставит под сомнение представление, что математика черпает свою надежность из «оснований». Он пишет: «Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, оно нужно ей не более, чем предложениям, повествующим о физических предметах или же о чувственных впечатлениях, - нужен их анализ. Однако математические предложе-

ния, равно как и все другие, нуждаются в выяснении их грамматики.

Математические проблемы т. н. оснований в столь же малой степени лежат для нас в основе математики, в какой нарисованная скала несет на себе нарисованную крепость.

«Но разве Фрегевская логика не становится из-за противоречия непригодной для обоснования арифметики?» Становится! Но кто же утверждал, что она должна быть пригодной для этой цели?!» [12, с. 180].

Приведенный отрывок показывает, что Витгенштейн отвергает фундаментализм и фундаменталистские программы обоснования математики, предложенные логицизмом, формализмом и интуитивизмом [5; 13; 14]. Но он не отказывается от представления, что математическое знание является синтетическим a priori. «Можно, вероятно, сказать, -рассуждает Витгенштейн, - что синтетический характер математических предложений наиболее явно проявляется в непредсказуемом появлении простых чисел. ...Распределение простых чисел было бы идеальным примером того, что можно назвать синтетическим a priori, ибо можно сказать, что с помощью анализа понятия простого числа его, во всяком случае, не найдешь» [12, с. 133].

Точка зрения, что математическое знание является синтетическим a priori, возникает у Витгенштейна из убеждения, что математика как наука создается, и что не существует мира идеальных сущностей, обнаруживаемых в результате математической деятельности. «Математик - изобретатель, а не открыватель», - подчеркивает Витгенштейн [12, с. 52]. По сути, он отклоняет платонизм в математике и связанную с этим учением онтологию математики.

«Характеризует ли эту математическую алхимию уже то, что математические предложения рассматриваются как высказывания о математических объектах - то есть что математика выступает как исследование этих объектов?

В известном смысле в математике нельзя апеллировать к значению знаков потому, что именно математика и задает им значение.

Что типично для явления, о котором идет речь, так это то, что загадочность какого-нибудь математического понятия не истолковывается сразу же как некое ошибочное понимание, как ложное понятие; она толку-

ется как что-то такое, чем, во всяком случае, не следует пренебрегать, с чем, пожалуй, скорее даже следует считаться.

Все, что я могу сделать, - это указать легкий путь из этой неясности и мерцания понятий.

Странным образом можно утверждать, что во всех этих мерцающих понятийных образованиях есть, так сказать, прочное ядро. И я бы сказал, что оно-то и делает их математическими творениями. Можно сказать: то, что ты видишь, больше похоже, конечно, на какое-то мерцающее воздушное сияние, но посмотри на него с другой стороны, и ты увидишь плотное тело, которое только под определенным углом зрения выглядит как мерцание без телесного субстрата» [12, с. 149-150].

Данная цитата из «Замечаний по основаниям математики» указывает на непосредственное отрицание Витгенштейном концепции платонизма, хорошо известной в литературе, об автономном существовании математических объектов [15]. Здесь также присутствует намек на позицию Витгенштейна в сфере онтологии, сформированной из разработанной им теории значения как «употребления» и модели «языковой игры» в противовес классической теории корреспонденции. Витгенштейн утверждает, что слова приобретают значение через их употребление в математической языковой игре, поэтому математические знаки не являются обозначением математических объектов. Таким образом, математические знаки вообще не имеют независимого референта [16]. В области математики не существует знания объектов, т. к. не существует ничего из того, к чему такое знание могло бы быть приложено. Аппарат математики лишается онтологического статуса через отрицание референциальной функции у математических предложений. Такая точка зрения соприкасается с мнением Р. Карнапа, который доказывает, что разговор о существовании математических сущностей вне контекста математической системы, в которой они определены, является бессмысленным [17].

Согласно Витгенштейну, математика содержит языковую игру или даже набор языковых игр: «Математика - хочу я сказать -учит тебя не просто ответу на какой-то вопрос; она учит тебя целостной языковой иг-

ре, включающей вопросы и ответы» [12, с. 182]. Приведенные слова Витгенштейна обращены к описанию конкретной языковой игре арифметики, включающей подсчет и вычисление. Австрийский философ готов утверждать, что «математика - это пестрая смесь техник доказательства. - И на этом основывается возможность ее многообразного применения и ее значимость» [12, с. 90]. Тем самым становится понятным, что Витгенштейн рассматривает математику как сложную сеть частично совпадающих форм деятельности или языковых игр. Он акцентирует «пестроту» математики, привлекая примеры из различных разделов математики для демонстрации многообразия математических языковых игр, которые были изобретены. А к уже имеющимся могут быть добавлены новые, изобретенные языковые игры.

Из текстов Витгенштейна, основываясь на приводимых им примерах, можно сделать заключение, что не все языковые игры математики являются формальными математическими системами, что различные неформальные математические практики также конституируют множество языковых игр. Языковые игры в математике основываются на формах жизни и не могут быть сведены к чисто лингвистической деятельности. «Понимание математического предложения не гарантируется его языковой формой. ...Слова не детерминируют языковую игру, в которой функционирует предложение» [16].

Витгенштейн не только разрабатывает математику как пестрое многообразие языковых игр, он также проводит прямую аналогию между математикой и игрой в шахматы. Так, согласно А. Кенни, Витгенштейн впервые использовал метафору игры еще в 1930 г., чтобы пролить свет на математику и математический формализм, еще до разработки им общей теории языковой игры [18]. Его раннее представление, что математика есть игра со знаками «в соответствии с определенными правилами» [12, с. 140] было углублено через понятие «форма жизни», которое послужило опорой обоснования надежности и достоверности правил. Данный исследовательский шаг определил изменение ранней позиции Витгенштейна, тесно примыкавшей к конвенционализму.

Концепция математики, разработанная Витгенштейном в зрелый период его творче-

ства, отклоняет поверхностную форму конвенционализма, в соответствии с которой правила математики принимаются или отвергаются сообществом математиков. Подобный подход ведет к представлению о математике как деятельности, где все дозволено. Вместо этого Витгенштейн предложил модель математики, в которой математические правила глубоко проникают в ядро человеческой социальной деятельности, в наши «формы жизни». При следовании правилу, поскольку оно основано на совокупности связанных решений, каждый отдельный шаг не требует независимого решения. Это есть вопрос определенной практики. Правила не являются произвольными в том смысле, что не могут быть приняты волей-неволей в серии несвязанных решений. Напротив, их форма и принятие (одобрение) развивались в контексте определенных, связанных между собой лингвистических и социальных практик. Таким образом, Витгенштейн рассматривает математику в значительной мере как деятельность, основанную на языковых играх и связанных с ними глубоко укоренившихся правилах.

«Математика, безусловно, в каком-то смысле есть область знания, но она также и деятельность. И «ложные ходы» могут существовать в ней в виде исключения. Ведь если бы то, что мы сейчас называем этим именем, стало правилом, то тем самым была бы отменена и игра, в которой они слывут ложными» [19].

Как поясняет С. Шенкер, Витгенштейн не отвергает понятия объективности и достоверности по отношению к математическому знанию [8]. Он заново интерпретирует данные понятия, стремясь подвести нас к мысли, что математическое знание основано на несомненном характере наших языковых игр и форм жизни. Их предположения обеспечивают согласованную основу для математического знания, делая его социальным и в итоге объективным. Таким образом, математические предложения выводятся из-под сомнения, которое в подобных ситуациях оказывается неуместным. Но представленная согласованная и несомненная основа математического знания не оставляет его без изменений.

Как результат, витгенштейновские понятия истины, лжи, логической необходимости и другое значительно отличаются от тради-

ционного абсолютистского подхода к ним. У Витгенштейна центральным понятием становится согласие с правилом. «Слова «верно» и «неверно» употребляются при обучении тому, как действовать по правилу. Словом «верно» побуждают ученика продолжать действие, словом «неверно» удерживают его» [12, с. 193]. Следствием этого является формирование Витгенштейном нового взгляда на понятие «доказательство».

Витгенштейн в итоге приходит к выводу, что роль философа математики не сводится к решению математических проблем или к реформированию математики.

«Философ должен так крутиться и вертеться, чтобы увернуться от математических проблем, а не осаждать одну из них - ту, что вроде бы следует решить, прежде чем можно двигаться дальше.

Его труд в философии - как бы безделье, простой в математике.

Тут не надо возводить новое здание или наводить новый мост, требуется другое: выносить суждение о географии, как она есть теперь... И 500 лет назад могла существовать какая-то философия математики» [12, с. 166].

Данное высказывание свидетельствует об однозначном отказе Витгенштейна от фундаменталистского предположения конструктивистских и интуиционистских философий, что математика подлежит реформированию.

Таким образом, предложенная Витгенштейном философия математики обладает социальной природой, поскольку она охватывает человеческие формы жизни [20; 21]. Предложенная им перспектива осмысления философии математики является довольно сложной и утонченной. При этом он бросает прямой вызов традиционным подходам к философии математики, ее предположениям, анализам и принципам. Витгенштейн заново переосмыслил ряд ключевых понятий философии математики (истина, правило, необходимость, доказательство), но его философская деятельность и ее результаты, к сожалению, сегодня остаются плохо понятыми и неверно истолкованными. В заключение приведем отрывок из «Философской грамматики» Витгенштейна, в котором отражено отношение австрийского мыслителя к философии математики и в значительной степени

выражается его собственная исследовательская позиция при работе над математикой.

«Что будет отличать математиков будущего от математиков настоящего - это более значительная восприимчивость; и это будет -как бы - вырезанная математика; так как люди будут больше стремиться к абсолютной ясности, а не к открытию новых игр. .Математик должен быть напуган моими математическими комментариями, так как он всегда обучался избегать позволять себе удовольствие в виде тех мыслей и сомнений, которые я развиваю. Он учился расценивать их как что-то презренное, он приобрел отвращение к ним как чему-то инфантильному. То есть я показываю все проблемы, которые ребенок, изучающий арифметику и т. д., считает трудными, проблемы, которые образование подавляет без их разрешения. Я говорю этим подавленным сомнениям: вы совершенно правильны, продолжайте спрашивать, требуйте разъяснения!» [22].

В средний и поздний периоды творчества Витгенштейн был убежден, что он обеспечивает философскую ясность аспектов и разделов математики, математических понятий и философских концепций математики. Испытывая недостаток в подобной ясности и при отсутствии стремления к абсолютной ясности, математики строят новые игры, которые иногда порождаются неправильными представлениями о значении математических предложений и математических терминов. Образование, особенно высшее образование в математике, не поощряет стремления к концептуальной ясности, скорее подавляет его. Однако математики в будущем, согласно Витгенштейну, окажутся более чувствительными. Философская ясность, в конечном счете, позволит математикам и философам «докопаться до сути дела».

1. Сокулер З.А. Людвиг Витгенштейн и его место в философии XX в. Долгопрудный, 1994.

2. Dummett M. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics // The Philosophical Review. 1959. № 68. P. 324-348.

3. Floyd J. Wittgenstein on Philosophy of Logic and Mathematics // The Oxford Handbook of

Philosophy of Logic and Mathematics / S. Shapiro (ed.). Oxford, 2005. P. 75-128.

4. Frascolla P. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics. London; New York, 1994.

5. Klenk V.H. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics. The Hague, 1976.

6. Maddy P. Wittgenstein's Anti-Philosophy of Mathematics // Wittgenstein's Philosophy of Mathematics / K. Puhl (ed.). Vienna, 1993. P. 52-72.

7. Marion M.Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics. Oxford, 1998.

8. Shanker S. Wittgenstein and the Turning Point in the Philosophy of Mathematics. L., 1987.

9. Витгенштейн Л. Коричневая книга // Грязнов А.Ф. Философия языка Л. Витгенштейна. М., 1987.

10. Грязнов А.Ф. Язык и деятельность (критический анализ витгенштейнианства). М., 1991.

11. Медведева Е.Е. Ранняя философия математики Витгенштейна // Философские традиции и современность. 2013. № 1. С. 48-56.

12. Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Витгенштейн Л. Философские работы. М., 1994. Ч. 2.

13. Козлова М.С. Проблемы оснований математики (К публикации заметок Л. Витгенштейна) // Витгенштейн Л. Философские работы. М., 1994. Ч. 1. С. 7-21.

14. Bemays P. On Platonism in Mathematics // P. Benacerraf, H. Putnam (eds.). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge, 1983.

15. Ernest P. Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics. Albany, 1998. P. 75-76.

16. Wittgenstein L. Remarks on the Foundations of Mathematics. Cambridge, 1978.

17. Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике. М., 2007.

18. Kenny A. Wittgenstein. Harmondsworth, 1973.

19. Витгенштейн Л. Философские исследования // Витгенштейн Л. Философские работы. М., 1994. Ч. 1.

20. Медведев Н.В. Л. Витгенштейн и проблемы кросс-культурного понимания: автореф. дис. ... д-ра филос. наук. Тамбов, 2007.

21. Bloor D. Wittgenstein: A Social Theory of Knowledge. N. Y., 1983.

22. Wittgenstein L. Philosophical Grammar. Oxford, 1974.

Поступила в редакцию 2.09.2013 г.

UDC 1

WITTGENSTEIN’S SOCIAL PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

Evgeny Evgenyevna MEDVEDEVA, Tambov State University after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Philosophy Department, e-mail: sem.23@mail.ru

The social character of philosophy of mathematics of Ludwig Wittgenstein is considered in this article, caused by a naturalistic position of the thinker. The naturalism of philosophy of mathematics of Wittgenstein is connected with his commitment to a descriptive method. Wittgenstein rejects fundamentalism and fundamentalist programs of justification the mathematics offered by a logics, a formalism and intuitionalism. The author investigates Wittgenstein’s approach to a problem of the bases of mathematics, a Platonism and ontology, gives an understanding assessment Wittgenstein to a role of philosophy of mathematics in modern culture. The author investigates Wittgenstein’s approach to a problem of the bases of mathematics, Platonism and ontology, gives an understanding assessment Wittgenstein to a role of philosophy of mathematics in modern culture. The point of view that mathematical knowledge is synthetic a priori, arises at Wittgenstein from belief that the mathematics as science is designed by scientists and that there is no world of the ideal essence revealed as a result of mathematical activity. Wittgenstein considered mathematics as a difficult network of partially coinciding forms of activity or language games. Language games in mathematics are based on forms of life and can't be reduced to purely linguistic activity. The concept of mathematics developed by Wittgenstein during the mature period of creativity, rejects a superficial form of a conventionalism according to which rules of mathematics are accepted or rejected by community of mathematicians. Similar approach conducts to idea of mathematics as activity where everything is permitted. Instead Wittgenstein offered model of mathematics in which mathematical rules deeply get into the content of human social activity. According to Wittgenstein, the role of the philosopher of mathematics isn't reduced to the solution of mathematical problems or to mathematics reforming. The author of article comes to conclusion that the philosophy of mathematics offered by Wittgenstein possesses the social nature as covers human forms of life. The prospect of judgment of philosophy of mathematics offered by the Austrian thinker is quite difficult. Wittgenstein’s position is a direct call to the traditional approaches dominating in philosophy of mathematics.

Key words: Ludwig Wittgenstein; mathematics philosophy; conventionalism; naturalism; language game; forms of life; Platonism; ontology; rule-following; social practice.