Подбор потенциала межатомного взаимодействия для бериллия

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №°4(5), 2013

УДК 621.039.531.001.57

ПОДБОР ПОТЕНЦИАЛА МЕЖАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ БЕРИЛЛИЯ

© 2013 М.В. Прокофьев, В.В. Светухин, М.Ю. Тихончев

Научно-исследовательский технологический институт им. С.П. Капицы Ульяновскго государственного университета

Поступила в редакцию 26.11.2013

Проведено построение многотельного потенциала межатомного взаимодействия для однокомпонен-тного ГПУ бериллия. Потенциал базируется на методе погруженного атома. При построении использованы аналитические выражения и методика подбора параметров, взятые из литературы. Полученный потенциал хорошо воспроизводит параметры решетки, энергию сублимации, энергию формирования вакансии, и часть упругих постоянных бериллия. Расхождения наблюдаются для значений упругих постоянных с12, с и с44.

Ключевые слова: межатомное взаимодействие, однокомпонентный ГПУ бериллия, упругая постоянная.

1. ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования бериллия обусловлена использованием данного материала в проекте международного экспериментального термоядерного реактора (ИТЭР). Бериллий выбран в качестве материала защитных пластин для 80% поверхностей, взаимодействующих с плазмой. В связи с этим особенно важно исследовать следующие свойства данного материала: радиационная стойкость, стойкость к термоциклическим нагрузкам, распухание при взаимодействии с радиационным облучением. Исследование физических свойств бериллия, по причине его дороговизны и потенциальной опасности для здоровья, наиболее целесообразно производить с использованием компьютерного моделирования. Такое моделирование производится на различных уровнях детализации в рамках многомасштабного подхода. Для моделирования на атомно-молекулярном уровне систем, состоящих из большого числа атомов, используются эмпирические потенциалы межатомного взаимодействия.

В настоящее время имеется небольшое количество работ по расчетным исследованиям свойств бериллия методами ab initio (см., например, работу [1]), а также подбору потенциала межатомного взаимодействия. Так в работах [24] для построения потенциала межатомного взаимодействия бериллия был выбран метод погру-

Прокофьев Максим Владимирович, младший научный сотрудник.

Светухин Вячеслав Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, директор. Email: slava@sv.uven.ru

Тихончев Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, начальник лаборатории моделирования поведения неорганических материалов. E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru

женного атома (embedded atom method, EAM). В EAM энергия системы, состоящая из набора атомов, представлена как сумма энергии парных взаимодействий и энергии, необходимой для внедрения («погружения») каждого из атомов в электронную плотность, создаваемую всеми остальными атомами.

EtDt" 2Е"=\ 2 +рп = X

где Eot - энергия системы из N атомов, сп - электронная плотность в точке расположения атома п, которую создают все окружающие атомы, ß(rnm) - электронная плотность, создаваемая атомом m в точке расположения атома п, F( Рп) - энергия необходимая для того, чтобы поместить атом в электронную плотность О , (P(r ) - парный

r j # п ' 4 nm/ Г

потенциал взаимодействия между атомами п и m, находящимися на расстоянии гпт.

Авторами перечисленных работ было достигнуто хорошее соответствие расчетных значений упругих постоянных, энергии связи и энергии образования вакансий с их экспериментальными значениями. Но функциональные зависимости ((r) и О(г) подобранных потенциалов взаимодействия не связаны друг с другом, что не является физически обоснованным, так как парная часть взаимодействия в металлах также обусловлена распределением электронной плотности атома. По этой причине в данной работе для подбора потенциала межатомного взаимодействия бериллия был использован потенциал взаимодействия для чистых металлов, предложенный в работах В.Е. Зализняка и О.А. Золотова [5, 6]. В этих работах предлагается специального вида аппроксимация распределения электронной плотности атомов P(r), из которой следует парный потенциал взаимодействия ( (r) и вид функции энергии внедрения F(c).

2. ПОСТРОЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА

Для рассмотрения электростатического взаимодействия атомов используют квазиклассическую модель, где заряд электронов считается «размазанным» вокруг ядра, и подбирают параметры плотности распределения заряда из сравнения с экспериментальными данными. Самый простой вид функции распределения зарядов -сферически симметричный. Исходя из решения уравнения Шредингера для водородоподобного атома и учитывая, что при расчете энергии взаимодействия двух атомов физически интересны большие расстояния между ними, т.е. внешние оболочки, авторами работ [5, 6] была предложена следующая аппроксимация плотности заряда электронного облака с учетом нормировки

<}аъ

р(г]

а + ргГе

8тг

где Ц - заряд ядра атома, а, /3 - подгонные параметры.

После интегрирования уравнения Пуассона, используя полученную зависимость плотности распределения заряда и учитывая энергии взаимодействия двух ядер друг с другом, их электронных оболочек и ядер с электронными оболочками другого атома, форма парной части взаимодействия имеет следующий вид

уа(2 2 г"

<р(г) =-ккрС-аг) > ак(а„0У(&гг

4пе0

к=-1

где £0 - диэлектрическая постоянная, у - подгонный параметр, учитывающий квантово-меха-нические эффекты обменного взаимодействия, возникающие при перекрытии электронных облаков оболочек атомов, ак(а, /) - параметры, зависимость которых от а и /3 определена в работах [5, 6].

Функция внедрения Е(с) задавалась в следующем виде

уравнение равновесия кристаллической решетки

с! <р с1г

дЕ

Эр

'I

с1р

Ы+^-Ш) гт — (гт} = о

сЕг

энергия связи на атом

энергия образования вакансии

1ЧГ1 ЭГ \  1 д*Р \  .

т т т

значение модуля всестороннего сжатия

г 1]

где V - атомный объем, г - расстояние от нача-

а 7 т 1

ла координат, которые связаны с одним из атомов идеального, однородного кристалла при нулевой температуре, до атома т.

Для различных пар значений ( / ) вычисляются значения р , у, F(сe), Е'( р е), Е"( р е), при которых выполняются следующие условия

< О,

— < о,

Зр

:=г

где р е - равновесная электронная плотность, с1 - коэффициенты, определяющиеся в процессе параметризации потенциала взаимодействия.

Таким образом, из трех подгонных параметров необходимо подобрать только а , /3 , а параметр у , как и коэффициенты энергии внедрения с,будут определены, исходя из решения системы уравнения, состоящей из следующих уравнений: равновесная электронная плотность

где Е, Е, В - экспериментальные значения энергии сублимации, энергии образования вакансии и модуля всестороннего сжатия.

Из полученного множества выбирается пара оптимальных значений (а ,/3), при которых величина

принимает минимальное значение, где с11, с12, с13, с33, с44 - экспериментальные значения упругих

постоянных, с,,(а) 11

, с1

(а), с (а), с

2 13 33

(а), с (а) -

44

вычислен-

ные значения упругих постоянных.

Коэффициенты с1 функции вложенной энергии определяются из вычисленных значений р ,

+

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №94(5), 2013

Дс ), ¥'(с ), ¥"(с ), условия Д0) = 0 и условия удовлетворения подобранного потенциала межатомного взаимодействия уравнению состояния Розе при 0.8 < а' <1.6.

Таблица 2. Значение параметров потенциала бериллия

где В - модуль всестороннего сжатия, V - атомный объем, а - параметр идеальной кристаллической решетки, Е - энергия сублимации (на один атом системы).

При параметризации учитывалось влияние только ближайших соседних атомов, расположенных на расстояние не более 2с, где с - параметр ГПУ решетки.

3. РЕЗУЛЬТАТ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ПОТЕНЦИАЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Значения физических величин, используемых для нахождения параметров а и [ для чистого бериллия, приведены в табл. 1.

Таблица 1. Значение физических величин бериллия

Физическая величина Значение

?, А 2,2856

с, А 3,5831

Ес, эВ/атом 3,32

Е„, эВ 1,11

Б, эВ/А3 0,7255

сп , эВ/А3 1,83 25

с12, эВ /А3 0,1613

с13, эВ /А3 0,0874

с33, эВ /А3 2,2263

С44, эВ /А3 1,03 73

е 4

Параметр Значение

а, 1/А 1,307

Д 1/А -0,172

У 0,5243

Ре, е/А3 0,23239

с0, эВ -5,25434

с1, эВ -3,04278

С2 , эВ 0,02463

с3, эВ -0,38497

С4, эВ 0,21854

Вычисленные значения параметров парного потенциала взаимодействия и энергии внедрения

для чистого бериллия приведены в табл. 2.

В табл. 3 представлено сравнение экспериментальных и вычисленных значений упругих постоянных, энергии внедрения и энергии образования вакансии бериллия.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были подобраны параметры потенциала межатомного взаимодействия чистого бериллия. Наблюдается хорошее соответствие между вычисленными и экспериментальными значениями различных физических параметров бериллия, за исключением значений упругих постоянных с12, с13, с44. Для более точного описания упругих постоянных возможно потребуется модификация аналитических выражений, описывающих потенциал. Однако, построенный потенциал межатомного взаимодействия можно использовать для моделирования процессов дефектообразования в бериллии под воздействием радиационного облучения и термических нагрузок.

Работа выполнена при поддержке Минобрна-уки в рамках государственного задания на 20122014 гг. и при частичной поддержке РФФИ -проекты 12-08-97076 и 13-01-00945

Таблица 3. Экспериментальные и вычисленные значения физических величин бериллия

Физическая величина Экспериментальные значения Вычисленные значения

Ес, эВ 3,32 3,32

Е„ эВ 1,11 1,11

Б, эВ/А3 0,7255 0,7255

С!! , эВ/А3 1,8325 1,8098

с12, эВ/А3 0,1613 0,6132

с13, эВ/А3 0,0874 0,5530

с33, эВ/А3 2,2263 2,1659

С44, эВ/А3 1,0373 0,5983

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ganchenkova M.G., Vladimirov P.V, Borodin V.A. Vacancies, interstitials and gas atoms in beryllium // Journal of Nuclear Materials 386-388 (2009) 79-81.

2. Bjorkas C., Juslin N., Timko H., Vortler K., Nordlund K., Henriksson K., Erhart P. Interatomic potentials for the Be-C-H system // J. Phys.: Condens. Matter 21 (2009) 445002 (16pp).

3. Igarashi M., Khanhta K. and Vitek V. N-body interatomic potentials for hexagonal close-packed metals // Phil.

Mag. 1991. B 62 603-27.

4. BaskesM.I. and Johnson R. A. Modified embedded atom potentials for hcp metals Modelling Simul. // Mater. Sci. Eng. 1994. 2 147.

5. Зализняк В.Е., Золотов О.А. Универсальный потенциал взаимодействия для чистых металлов // На-носистемы: Физика, химия, математика, 2012. №3(1). С. 76-86.

6. Зализняк В.Е. Межатомное взаимодействие в металлах имеющих объемно-центрарованную кубическую решетку // Наносистемы: Физика, химия, математика, 2012, №3(6). С. 64-69.

TRIAL INTERATOMIC INTERACTION POTENTIAL FOR BERYLLIUM

© 2013 M.V. Prokofiev, V.V. Svetukhin, M.Yu. Tikhonchev

Research Technological Institute named after S.P. Kapitsa of Ulyanovsk State University

The development of N-body interatomic potential for a single-component hcp beryllium had been carried out. The potential had been based on the embedded atom method. The analytical equations and fitting procedure had been taken from the literature. The developed potential well reproduces the lattice parameters, cohesive energy, the energy of formation of vacancies, and part of the elastic constants of beryllium. The discrepancies are observed for values of the c12, c13, and c44 elastic constants. Keywords: interatomic interaction, single-component hcp beryllium. elastic constant.

This work has been supported by Russian Ministry of Education and Science in frame of government assignment in 2012-2014, and partly supported by Russian Foundation for Basic Research: grants 12-0897076 and 13-01-00945.

Maxim Prokofiev, Associate Research Fellow.

Viacheslav Svetukhin, Doctor Physics and Mathematics,

Professor, Director. E-mail: slava@sv.uven.ru

Mikhail Tikhonchev, Candidate of Physics and Mathematics,

Head at the Non-Organic Materials Behaviour Modelling

Laboratory. E-mail: tikhonchev@sv.ulsu.ru