Математическая модель расчета частот собственных колебаний линейной части магистрального газопровода при капитальном ремонте

№ 11 2008

ТРАНСПОРТНОЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ

МАШИНОСТРОЕНИЕ

534.1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ МАГИСТРАЛЬНОГО ГАЗОПРОВОДА

ПРИ КАПИТАЛЬНОМ РЕМОНТЕ

Канд. техн. наук доц. ЮМ СТЕПАНЧУК

При капитальном ремонте газопроводов механизмы специальных механизированных колонн оказывают сильное динамическое воздействие на трубы. Этот фактор заметно влияет на прочность, долговечность труб, чистоту обрабатываемой поверхности. Предлагаемая методика дает возможность определять собственные частоты системы газопровод - ремонтный комплекс и путем изменения режимов работы механизмов уменьшать динамические нагрузки на трубы.

Для обеспечения надежного функционирования Единой газотранспортной системы ОАО «Газпром» реализует комплексную программу капитального ремонта газопроводов. Большие масштабы выполняемых ремонтно-технических работ обусловлены значительной протяженностью магистральных газопроводов (свыше 150 тыс. километров), значительным износом основных фондов (более 50%), выработкой срока амортизации части газопроводов (более 15%). В рамках реализации программы ремонтно-технических работ ведется масштабная переизоляция линейной части магистральных газопроводов (ЛЧ МГ) с диагностикой состояния труб, сварных соединений и их последующей отбраковкой.

№11

2008

Рис. I Принципиальная технологическая схема капитального ремонта газопровода в траншее

1 - бульдозер; 2 - вскрышной экскаватор; 3 - подкапывающая машина; 4 - трубопровод; 5 - трубоукладчик; 6 - машина предварительной очистки; 7 - электростанция; 8 - пост отбраковки труб; 9 - сварочный пост; 10 - лаборатория контроля качества сварных соединений; 11 - машина окончательной очистки; 13 -изоляционная машина; 14 - лаборатория контроля качества изоляционного покрытия; 15 - машина лля подсыпки и подбивки грунта под трубопровод; 16 - экскаватор засыпки

Разработанные в ОАО «Газпром» технологии ремонта газопроводов предусматривают применение комплексных механизированных колонн [ 3 ] (рис.1), выполняющих подготовительные, вскрышные работы, работы по очистке труб от старой изоляции, диагностику и сварочно-восстановительные работы, нанесение нового изоляционного покрытия, засыпку отремонтированной части газопровода.

Работа очистных и изолировочных машин таких комплексов вызывает колебания ремонтируемого участка газопровода, удерживаемого в заданном пространственном положении упругой троллейной подвеской трубоукладчиков.

Для труб, длительное время находившихся в эксплуатации, чрезвычайно важно минимизировать дополнительные напряжения, возникающие в процессе производства ремонтных работ.

Для расчета частот собственных колебаний ремонтируемого участка газопровода в качестве модели принимается однородный стержень (рис. 2) трубчатого сечения на упругих подвесках с точечными массами, имитирующими навешенные на газопровод машины предварительной и окончательной очистки и изоляционные устройства. Количество и характеристики упругих и массовых элементов модели определяются составом колонны. Здесь для расчета рассматривается колонна, состоящая из 4-х трубоукладчиков, машин предварительной (резцовой) и финишной (щеточной) очистке, а также изолировочной машины.

№11

2008

т

-Я

Рис 2. Расчетная схема системы с учетом подземных участков.

Частоты собственных колебаний ремонтируемого участка газопровода будем определять для системы с учетом примыкающих подземных участков. Расчетная модель грунта принимается в виде упругого основания, т. е. полагаем, что сопротивление грунта в вертикальной плоскости пропорционально перемещениям трубы [ 1 ]. Такая модель хорошо описывает взаимодействие трубы с грунтом в силу малости изгибных перемещений. Расчетная схема для рассматриваемого случая приведена на рис. 2.

Рассмотрим изгибные колебания стержня в вертикальной плоскости. Стержень разбивается на однородные участки, границами которых являются упругие или массовые элементы.

Принимаем, что при изгибных колебаниях перемещения трубы на подземных участках трубопровода у,(л\/) малы. Поэтому зависимость между сопротивлением

грунта $ у и перемещением трубы V/(*/>/) на участке с упругим основанием является линейной функцией и определяется коэффициентом нормального сопротивления грунта

Чу

где 0И - наружный диаметр трубы.

Коэффициент нормального сопротивления грунта в зависимости от свойств грунта и параметров заглубления трубопровода находится следующим образом [ 1 ]:

Суи [ 1 ]:

где Егр - модуль деформации грунта ненарушенной структуры, МПа; 7];р~ коэффициент снижения модуля деформации грунта засыпки по сравнению с грунтом ненарушенной

структуры; ц - коэффициент Пуассона грунта; /0 = 1 м - единичная длина трубопровода; к0 - расстояние от верха засыпки до оси трубы, м.

Для выполнения расчетов длину примыкающих подземных участков необходимо в общем случае выбирать как из условий нагружения трубопровода, так и в зависимости от физико-механических характеристик грунта.

Изгибные колебания /-го участка стержня на упругом основании, имитирующим сопротивление грунта при колебаниях трубы, описываются дифференциальным уравнением [ 2 ]:

Здесь = х'1/] , <1, - длина, (X/ - погонная масса, )>/(*/,0 - прогиб, / Ч

ЕЗI - изгибная жесткость рассматриваемого участка стержня, к; - обобщенный коэффициент упругости грунта подземных участков трубопровода, К =су0Он. Решение (1) представим как

У/

л

где Уп( - форма колебаний г - го участка по п - му тону, Тп (/) - функция времени, п - номер тона.

Для вычисления частот и форм собственных колебаний рассматриваемой модели используется метод начальных параметров [ 2 ], [ 4 ]. При изгибных колебаниях стержня состояние сечения характеризуется четырьмя параметрами - прогибом

У / <Л- > 0 > углом поворота ^ , изгибающим моментом

= и поперечной силой в1-(хпО = £7, • Поэтому

формы колебаний этих параметров с учетом формулы (2) составляют четырехмерный вектор

х,.

№ 11

2008

где ( )' = ^/¿^ > М < ) = ) - амплитуда изгибающего момента,

= £7 амплитуда перерезывающей силы при колебаниях системы по п-

му тону.

Переход от вектора состояния ХДО) в начале участка к вектору ХД1) в конце участка определяется следующим образом

ХД1) =АгХ,(0).

Здесь Л/ - матрица перехода участка,

Т

<4.. =

)

г,У

П

5

Е-1 ¡г Т(п) Щг,) Е] ,г, Ш..г,2

ЕТ^и

Т

где

_ 4 о 4 Г; —7.

II - собственное число участка, г,4 = 5 „ - частота собственных колебаний

I 74 /

стержня по п - му тону, Д4 = 'У^/ ; Ъ )>Т(г( ),и(г. )иУ(г. ) - функции Крылова.

Для участков, не взаимодействующих с грунтом, полагаем к{ = О и тогда из формулы ( 5 ) получим г. = г{*

В случае г* - г* ~ Д4 ^ 0 матрица перехода участка имеет следующий вид

Ки

- Ыг»)

К 2,

¿и

*и

) К А1( л

К*<ги ) ;

ЕТЛ

)

¿и

ЪЦК-а-А ¿и ) Ки(ги

№ 11 2008

Здесь 1и = А4 - г,4; Ки (ги£), Къ (ги£), КЪ1 (ги£) и К4, (г„£) - функции, определяемые следующим образом:

л/2 72

Я 4|. ) = -^

При £=0 Кп(0) = 1, К21(0) = 0,К3;(0) = 0,К4|(0) = 0. В матрице ( 6 ) используются значения функций при £ = 1.

В рассматриваемой системе два типа стыков участков (рис. 2):

- с пружиной, имитирующей подвеску трубоукладчиков;

- с сосредоточенной массой, имитирующей навешиваемые на трубу очистные и изолировочные машины.

Условия перехода от вектора состояния сечения в конце г - го участка ХД1) к вектору состояния в начале г +1 - го участка Х/+1(0) запишем в виде:

Хм

где В! - матрица перехода стыка. Для стыка с пружиной

В =

1 о о

-а.Ш

0 о

о

п

о

0Л

о

о

к3

для стыка с сосредоточенной массой

' 1 О

в,

о

У1

о о

г;2 о

о о о 7?

т

Здесь

Для стыков без упругих элементов или сосредоточенных масс матрица перехода определяется из ( 8а ), где полагается а1 = 0.

В случае, когда полагаем, что на концах рассматриваемой системы - заделки, вектор состояния сечения в начале первого участка задаем в виде линейной комбинации двух векторов

Х{

где Хи и Х]2- произвольные векторы, удовлетворяющие граничным условиям Хи = (0 0 1 О)7, Х12 = (О О О 1)г, а С, и С, - подлежащие определению

константы, С, = М1 (0), С, = ((0).

После этого выполняются два расчета, в которых векторы Хи и Х12 по отдельности умножаются на все матрицы переходов участков и стыков:

.......А,ХМ.

= ........Л*,-

В концевом сечении системы вектору Х,(0) соответствует вектор

ХЛ,

Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом конце системы. Для заделки граничные условия в этом случае определяются как ^ (0 = 0, У^, (1) = 0, что приводит к двум алгебраическим уравнениям:

С1УЛ,,(1) + С2КЛ.2(1) = 0

с1у;,(1)+с2г;2(1)=о

Отсюда из условия Сх Ф О, С2 Ф 0 получим частотное уравнение в виде;

После нахождения частот собственных колебаний системы соп (п= 1,2,3... - номер тона), создается вектор Х,(0,)=(0 О Сх С2)} , где полагаем С, = 1, С2 =-Ут(1)/Уы2(1). После этого выполняется расчет, в котором проходят последовательно через участки и стыки, тем самым определяются амплитудные значения прогибов и углов поворота сечений стержня, а также изгибающего момента и перерезывающей силы.

В расчетах полагаем:

тх = 2500 кг, т2 = 2500 кг, т3 = 2900 кг; 1} = 30 м, = 10 м (I = 2...7),

I. - 20 м; Ш, = 2.4 -109 Н • м2 = 300 Г г = 1... 8 О I 1 / м

= 2 • 106 Н/м( г = 1,3,5,7 /

Значения частот собственных колебаний системы с подземными участками в зависимости от изменения обобщенного коэффициента упругости грунта £ _ ^ и

длины /иодз подземных участков приведены в таблице 1.

Таблица 1

Частоты собственных колебаний системы с уметом подземных участков.

Ь>одз ' М ^

3.5-102 30 11.569 14.263 16.252 21.178

50 7.456 9.235 15.465 17.226

80 4.387 5.165 11.365 13.122

3.5 • 103 30 11.675 14.343 16.284 21.233

50 7.852 9.625 15.478 17.3

80 5.289 6.022 11.617 13.351

3.5 • 104 30 12.6 14.935 16.69 21.803

50 10.712 12.661 15.637 18.14

80 10.189 11.314 14.01 19.837

3.5 105 30 15.264 16.339 20.347 27.097

50 15.254 16.322 20.324 26.909

80 15.252 16.317 20.313 26.896

3.5 • 106 30 15.591 17.957 24.473 34.941

50 15.591 17.956 24.471 34.936

80 15.591 17.956 24.471 34.936

Как видно из таблицы, в случае, когда обобщенный коэффициент упругости

2 /2

грунта подземных участков к\ ~ кю =3.5 -10 Н/ м ,

к j = к jo — 3.5 * 10^ н/м2 и к j = к j д =3*5 • 10^ н/м2 , частоты уменьшаются при увеличении длины подземного участка.

В случае же kj = к10 =3.5 • 105 н/м2 kj = к ю ^3.5 • 106 н/ м2 ,

частоты всех тонов остаются практически неизменными.

Таким образом, для «мягких» грунтов к массе трубопровода при увеличении длины подземных участков добавляется «присоединенная» масса грунта подземных участков, что приводит к снижению величины частот собственных колебаний. Для систем с подземными участками, имеющими большие значения коэффициента обобщенной упругости грунта, частоты собственных колебаний системы остаются постоянными.

Для сравнения определялись частоты собственных колебаний систем с различными вариантами опор на концах стержня (без учета подземных участков):

- стержень с заделками на концах;

- стержень с шарнирными опорами;

- стержень с упругими опорами.

Расчет частот и форм собственных колебаний систем с различными вариантами концевых опор выполнялся в соответствии с алгоритмом вышеописанного метода. Результаты расчета частот собственных колебаний для систем с заделками на концах и шарнирными опорами (без подземных участков) приведены в таблице 2.

Таблица 2

Частоты собственных колебаний систем с заделками на концах __н шарнирными опорами_

lvM 0)и V 1 / сек ¿У-,, V 2 /сек

заделки шарниры заделки шарниры

20 30 15,847 15,324 19,705 17,114

50 14,337 10,737 16,308 15,576

80 7,411 5,164 15,603 14,754

40 30 15,438 13,771 17,495 15,55

50 14,334 10,737 15,576 13,781

80 7,411 5,164 15,353 13,764

№ И

2008

Из таблицы 2 следует, что на частоту собственных колебаний системы по 1-му тону практически не оказывает влияния изменение длины последнего участка /8. Оно проявляется, начиная с частоты 2-го тона. В то же время увеличение длины 1-го участка приводит к уменьшению значений собственных частот.

Из сравнения данных таблиц 1 и 2 следует, что при расчете частот собственных колебаний системы необходимо учитывать подземные участки, поскольку полученные значения собственных частот для системы с подземными участками не корре-лируются с собственными частотами упрощенных моделей.

Жесткость пружин для модели в виде стержня с упругими опорами на концах (рис. 3) будем определять следующим образом:

с,.= к.О

1/ ¡н

где к1 - обобщенный коэффициент упругости подземного участка, Ои - наружный диаметр трубы.

„л ///

> > > ГШ тш /

1113

7

Ь Ь 1-1 15 1б Ь к

о

Рис.3. Расчетная схема системы с упругими опорами.

Тогда векторы состояния концевых сечений стержня в соответствии с ( 3 ) представим как:

>Г _ /__ ... ... _ \Т

х,(оНад да о «„да)' , здИ^а) 0 «,/«(!)) •

4

Здесь а,

гу —

~ /EJN

С тем чтобы исключить из расчетов неизвестные величины У1 (0) и У,'(0) представим вектор А?, (0) в виде ( 9 ), где Х„ (0) и Хи (0) - векторы, которые в рассматриваемом случае имеют следующий вид:

Х,,(0М1 0 0 аи)т, Х12(0) = (0 1 О О)7'.

№ 1

2008

После этого выполняется расчет, в которых векторы ХИ и Хп по отдельности умножаются на все матрицы переходов и определяется вектор состояния сечения стержня на его конце в форме ( 10 ).

Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом конце стержня. В рассматриваемом случае это

М,(\) = 0, (2„(\)=ах„У„(1). что приводит к алгебраическим уравнениям

С|МЛ,|(1)(1 + ц,) + С2МЛ,2(1) = 0

С, (1 + а,, )(&,, (1) - а1Л, У л,, (1)) + С, (0Л,2 (1) - а, „У„2 (1)) = 0

Отсюда из условия С, & 0 , С2 ^ 0 получим частотное уравнение

Результаты расчетов частот собственных колебаний модели с упругими опорами в зависимости от жесткости опорных пружин си = с1Ы приведены в таблице 3.

Таблица 3

Частоты собственных колебаний системы на

к - к Н/ м

3.5-102 1.02 5.751 9.695 15.45 18.876

1.22 5.749 9.697 15.45 18.876

1.42 5.747 9.698 15.45 18.876

3.5-103 1.02 5.663 9.758 15.45 18.875

1.22 5.644 9.771 15.45 18.875

1.42 5.624 9.785 15.45 18.875

3.5  104 1.02 4.68 10.353 15.448 18.87

1.22 4.433 10.476 15.448 18.869

1.42 4.17 10.598 15.447 18.868

3.5-1О5 1.02 14.441 15.475 19.059 29.057

1.22 14.953 15.538 19.18 29.069

1.42 15.235 15.735 19.339 29.093

3.5-10" 1.02 15.347 17.262 24 34.367

1.22 15.344 17.247 24.054 34.96

1.42 15.342 17.235 24.073 35.339

Для определения амплитудных значений прогибов, углов поворота сечений стержня, а также изгибающего момента и перерезывающей силы, формируется вектор Х1(0) = {с1 С2 0 аи)\ где полагается С, = 1, С2 = -Мт(1)(1 + аи )/МЫ2(1). Затем выполняется расчет, в котором последовательно проходят через все участки и стыки.

Приведенные в таблице 3 данные показывают, что диаметр трубы, определяющий величину жесткости опорных пружин системы с упругими опорами, практически не влияет на значения частот собственных колебаний для одного и того же значения коэффициента обобщенной упругости грунта. Существенное влияние на собственные частоты оказывает величина приведенного коэффициента обобщенной упругости грунта кх. Сравнение данных таблиц 1 и 3 дает возможность проводить своего рода разделение грунтов подземных участков на так называемые «мягкие», с небольшим значением коэффициента кх. и «жесткие», с большим значением коэффициента приведенной жесткости грунта.

20 и  ; м ; ' \ '1 ! \  \ |

(Юц 15 ! ; : _____ I "  4 V' А: л

13 10 - | ..... 1— 1 : / | ; . У : : :  1 У  / : ! ; / ; 1! -

5 п -  1 --; _41 ! : -- ! 1 1. :  : 1 '  '  : ; И ' 1 . . 1 : -

100 М(? 1-Ю4 М<? но7

к]

Рис. 4. Зависимости частот собственных колебаний системы от коэффициента жесткости «постели» подземных участков.

На рис. 4 схематично представлено сравнение частот собственных колебаний системы соп> <о12,00,3 с подземными участками длиной 1шнп = З0.м, 50м % 80м соответственно с частотой собственных колебаний с упругими опорами на концах со2. Из схемы видно, что упрощенная модель в виде системы с упругими опорами (рис. 3) дает хорошее совпадение собственных частот с частотами систем с подземными участками для грунтов с большим значением коэффициента приведенной жесткости кх.

ВЫВОДЫ

Для определения динамических напряжений, возникающих в трубах в процессе ремонта газопроводов, необходима модель для расчета собственных частот такой системы. В работе показано, что в качестве модели можно использовать стержень на упругих подвесках с точечными массами при учете примыкающих подземных участков в виде упругого основания. В качестве упрощенной модели можно использовать системы с сосредоточенными упругими элементами на концах. Предлагаемый метод определения собственных частот дает возможность уходить от резонансных режимов изменением скорости рабочих органов механизмов. При этом уменьшаются динамические воздействия на трубы, что повышает надежность дальнейшей эксплуатации газопроводов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость.// Издательство «Недра», Москва, 1982г.; 341 с. силл.

2. Бидерман ВА Прикладная теория механических колебаний//Издательство «Высшая школа», Москва, 1972г., 416 с. с илл.

3. Будзуляк Б.В., Халлыев НХ и др. Комплексная механизация ремонта линейной части магистральных трубопроводов. М.: Недра, 2004 г.

№ 11

2008

4. Ильин М.М., Колесников КС., Саратов Ю.С. Теория колебаний // Издательство МГТУ име ни Н.Э. Баумана, 2003, 272 с. с илл

5. Халлыев Н.Х., Кошелев Р.В. Математическая модель расчета напряженно-деформированного

состояния линейной части магистрального газопровода прикапитальном ремонте. - Эксплуатация и ремонт (теорияи практика)», 2007 г., № 1, с. 070-08 [.