Конвективные движения жидкостей под действием сопутствующих потоков газа: математическое моделирование, численные исследования

Итак, даже в случае двухпараболического потенциала общеупотребительная экспоненциальная формула Крамерса, описывающая тепловой распад метастабильного состояния, может приводить к значительной погрешности. Эта погрешность растёт, при отклонении параметра Q = C/Cb от единицы, достигая 20 %. Оказалось, что интегральная формула Крамерса согласуется с результатами динамического моделирования намного лучше, чем общеупотребительное экспоненциальное выражение.

Библиографический список

1. Hanggi, P. Reaction Rate Theory: Fifty Years After Kramers / P. Hanggi, P. Talkner, M. Borkovec // Reviews of Modern Physics. -1990. - № 62. - P. 251-342.

2. Kramers, H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H.A. Kramers // Physica. -1940. - № 7. - P. 284-304.

3. Moller, P. Brownian shape motion on five-dimensional

potential-energy surfaces: Nuclear fission-fragment mass

distributions / P. Moller, J. Randrup // Physical Review Letters. -2011. - № 106. - P. 132503.

4. Gontchar, I. I. A consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei / I. I. Gontchar, P. Frobrich, N. I. Pischasov // Physical Review. - 1993. - C 47. - P. 2228.

5. Frobrich, P. Langevin description of fission of hot metallic clusters / P. Frobrich, A. Ecker // The European Physical Journal. - 1998. - № 3. - P. 245-256.

6. Edholm, O. The accuracy of Kramers theory of chemical kinetics / O. Edholm, O. Leimar // Physica. - 1979. - № 98A. -P. 313-324.

УДК 532.5:536.25

Введение. Возросший в последнее время интерес к задачам конвекции с испарением обусловлен проведением экспериментов в наземных условиях, в условиях параболических полетов и подготовкой новых экспериментов на Международной космической станции [1]. Эксперименты имеют целью

7. Гончар, И. И. Ланжевеновская флуктуационно-дисси-пативная динамика деления возбужденных атомных ядер / И. И. Гончар // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1995. - Т. 26. - С. 932- 1000.

8. Ye, W. Significant role of deformation in probing postsaddle nuclear dissipation with light particle emission / W. Ye // Physical Review. - 2010. - C 81. - P. 054609.

9. Gontchar, I. I. Integral Kramers formula for the fission rate versus dynamical modeling: The case of deformation-dependent temperature / I. I. Gontchar, R. A. Kuzyakin // Physical Review. -2011. - C 84. - P. 014617.

10. Gontchar, I. I. Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei / I. I. Gontchar, M. V. Chushnyakova, N. E. Aktaev, A. L. Litnevsky, E. G. Pavlova // Physical Review. -2010. - C 82. - P. 064606.

ГОНЧАР Игорь Иванович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры физики и химии.

ПАВЛОВА Елена Геннадьевна, аспирантка кафедры физики и химии.

ДРОЗДОВА Илга Анатольевна, кандидат физикоматематических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики и химии.

ЛИТНЕВСКИЙ Андрей Леонидович, кандидат физико-математических наук, преподаватель кафедры физики и химии.

Адрес для переписки: drozdovailga@mail.ru Статья поступила в редакцию 04.10.2012 г.

изучить особенности движений жидкостей под действием сопутствующих потоков газа в условиях гравитационных полей различной интенсивности. Сопутствующий поток газа включает часто пар, который полагается пассивной примесью в газе, а следовательно, требуется изучать процессы диффузии

О. Н. ГОНЧАРОВА

Алтайский государственный университет, г. Барнаул

КОНВЕКТИВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОПУТСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ ГАЗА:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ________________________________

В данной статье представлен обзор результатов математического моделирования конвективных движений жидкостей в областях с границами раздела, построены примеры решений специального вида, описывающих трехмерные конвективные течения несмешивающихся жидкостей.

Ключевые слова: конвекция, граница раздела, математическая модель, точные решения.

Работа выполнена в рамках проекта № 73975.2011 Алтайского государственного университета (при поддержке Министерства образования и науки РФ) и гранта РФФИ (проект 10-01-00007).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

22

и термодиффузии пассивной примеси. Взаимодействие течений газа и жидкости меняет часто характеристики течения жидкости, включая и топологию течения. Особенности течений жидкостей с границами раздела обусловлены, прежде всего, следующими факторами: касательными напряжениями со стороны сопутствующего потока, термокапиллярными силами на границе раздела, естественной конвекцией и, наконец, эффектами испарения и воздействием пара вследствие неоднородного характера испарения.

Математические модели конвекции и условия на границе раздела. Задачи о нестационарном течении жидкости в областях со свободными границами достаточно сложны для исследований [2 — 4], особенно в случае необходимости учета различных факторов воздействия на границу раздела со стороны газовой среды. В этой ситуации газовая фаза является источником дополнительных касательных напряжений на свободной поверхности жидкости, и необходимы исследования взаимодействия различных механизмов движения жидкости.

Если жидкость граничит с газом, течение которого характеризуется умеренными скоростями, то возникает возможность пренебречь касательными напряжениями на границе раздела со стороны газа. Нормальные напряжения с точностью до знака совпадают с давлением газа, которое, как и температура, считаются заданными на границе. В таком случае задача сводится к нахождению поля скоростей, давления и температуры в жидкости, а также положения свободной границы, в случае, если последняя предполагается деформируемой или слабо деформируемой [4]. В работах [5, 6] учет влияния потока газа и создаваемых им на границе раздела касательных напряжений на динамику и теплообмен в жидкости является принципиальной особенностью. При этом для того, чтобы модельная задача соответствовала физическому эксперименту, интенсивность потока газа характеризуется величиной приведенного (удельного) объемного расхода газа. Как правило, при моделировании течения газа с помощью решения Пуазейля, учитывается постоянный характер касательных напряжений. Вместе с тем они могут быть неоднородными относительно продольной координаты. Помимо исследования различной зависимости касательных напряжений от продольной координаты в [6] изучено влияние размера кюветы, ее глубины и протяженности на вихревой характер движений жидкости. Отмечено, что касательные напряжения, вызываемые газовой средой, могут быть величиной того же порядка, что и термокапиллярные силы на свободной границе.

Вопросы математического моделирования различных физических явлений с учетом процессов переноса массы через границу раздела решались в той или иной степени общности многими авторами. В работе [7] представлены обобщенные кинематическое, динамические и энергетическое условия на границе раздела с испарением, полученные на основе уравнений на сильном разрыве [8], проведен параметрический анализ этих условий, что дает возможность определить характер доминирующих сил, оценить их вклад в динамические и энергетические процессы на границе раздела и провести упрощение этих условий.

В качестве математических моделей для изучения конвекции вязкой несжимаемой жидкости используются классические уравнения Обербека — Буссинеска, их обобщения в случае переменного

характера коэффициентов переноса, а также новые модели конвекции [4].

Примеры точных решений трехмерной задачи конвекции. Построение точных решений задач конвекции жидкости с границами раздела связано, в первую очередь, с обобщением известного точного решения о конвекции жидкости в бесконечном горизонтальном слое с недеформируемой свободной границей под действием продольного градиента температуры. Это решение вошло в литературу как решение Бириха [9]. В работах [10, 11] (см. также [12]) изучаются точные решения трехмерной задачи конвекции двух несмешивающихся, вязких, несжимаемых жидкостей в канале с прямоугольным поперечным сечением при наличии границы раздела и под действием продольного градиента температуры. Конвективные движения жидкостей описываются уравнениями Обербека—Буссинеска:

1

V + V ^ = — Ур + vAV-ргд,

Р

divV = 0, Т + V -УТ = хАТ.

Здесь У=(и,^Щ — вектор скорости жидкости, р — давление (отклонение давления от гидростатического), Т — температура, р — плотность жидкости (некоторое характерное значение плотности), V, х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности, в — коэффициент теплового расширения, д — вектор ускорения силы тяжести.

На термокапиллярной границе раздела выполняются кинематическое и динамические условия, а также условия непрерывности скорости, температуры и тепловых потоков [11]. Твердые, неподвижные стенки канала предполагаются теплоизолированными либо осуществляется нагрев одной из них. Предположим, что система координат выбрана таким образом, что вектор д направлен против оси 0х(д=( —д,0,0)). Обобщение решений Бириха [9] для трехмерных задач конвекции основано на построении инвариантных 2-решений системы уравнений (1), где 2=—А-,д+рвдхдр+дг Все инвариантные 2-решения системы (1) имеют представление [10]:

и = и$,х,у),У = У$,х,у),

ЧУ = Ш(1,х,у),

Т = -А2 + &$,х,у), Р = ~Ар$дхг+д$,х,у).

Стационарное решение в безразмерном случае имеет следующий вид:

и = Щх,у),У = У(х,у), \¥ = '№(х,у),

Т = -Тг + 0(х,у),

р = ~Тхг+д(х, у),

и9 =и9(х,у),

V9 = У9(х,у), уу9 =Ш9(х,у),

Тд =-Тг + вд(х,у),

р9 =-ГрР-^-хг + д£Г(х,у).

Рис. 1. Пример трехмерного течения: поле скоростей; случай теплоизоляции твердых границ; йг = 1

Рис. 2. Пример трехмерного течения: поле скоростей; случай нагрева вертикальной грани; йт = 1

Здесь индекс «g» определяет искомые функции для верхней (легкой) жидкости (или газа), Т = АЛ/Т, А — размерный градиент температуры, Л — характерный размер, Т* — характерная температура, р, в — отношения плотностей и коэффициентов температурного расширения верхней (легкой) и нижней жидкости, соответственно, Gr=вT*gh3/v2 — число Грасгофа (V — коэффициент кинематической вязкости нижней жидкости, д=|д|), Кв = и*Л^ — число Рейнольдса (и* — поперечная характерная скорость). Три ненулевые компоненты скорости (U,V,W) и (Ug,Vg,Wg) представляют собой функции, зависящие от поперечных координат (х,у). Температура Т, Т и давление р, pg также имеют аналогичные составляющие 0, q и 0g, qg. Неизвестные функции и, V, W, №, Vg, Wg, q, ^, 0, 0g будут удовлетворять системам дифференциальных уравнений (следствие системы (1)). При построении точных решений урав-

нений Обербека — Буссинеска осуществлена редукция к двумерным постановкам.

Задачи для нахождения поперечных компонент скорости сформулированы в терминах «функция тока — вихрь» [11] и решаются численно. Численный алгоритм базируется на продольно-поперечной конечно-разностной схеме, известной как метод переменных направлений [4, 13]. Разностные условия для вихря (условия типа Тома [4, 14]) формулируются на твердых непроницаемых границах областей, занятых жидкостями. Общая схема решения стационарной задачи состоит в организации итерационного процесса при последовательном осуществлении нескольких этапов. I. Исходим из заданного состояния, предполагая, что поперечные компоненты скорости найдены. С данными компонентами скоростей решаем численно задачи о нахождении третьих компонент векторов скорости обеих жид-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

костей. II. Для нахождения неизвестных составляющих температуры численно решаем уравнения с учетом условий на границе раздела и на твердых границах. III. Следующим этапом является решение системы уравнений и граничных условий для определения двух полей: функций тока и вихря. Зная функции тока, можно определить поперечные компоненты векторов скорости. IV. Возвращение к этапу I. Итерационный процесс организован с применением вполне определенных критериев сходимости [13, 14]. Проведено тестирование численного алгоритма, позволяющее установить экспериментальный порядок сходимости, а также сравнение с известными тестами о конвекции в замкнутой кювете в условиях нагрева одной грани.

Построены примеры трехмерных течений в стационарном случае для системы жидкость (этанол) — газ (азот) в условиях микрогравитации ^т=1, рис. 1, 2) и нормальной гравитации ^г=104, рис. 3, 4). При этом имеют место следующие значения безразмерных параметров: р=10_3,Р«4, Рг=10, Яе=1, 7 = 10 (соответствует значению A=10 (К/см)),

Ма =104 (Ма — число Марангони, Ма^^^^уу), ат — температурный коэффициент поверхностного натяжения, предполагается линейная зависимость поверхностного натяжения от температуры, Т*=1К, Л=1см). Течение имеет ярко выраженный вихревой характер и поступательную направленность (рис. 1—4). В случае, когда наряду с продольным градиентом температуры, создаваемым вдоль границы раздела, имеет место поперечный перепад температуры (например, одна из твердых стенок канала «горячая» и поддерживается при температуре Тш = 2, а другая поддерживается при температуре ТсоМ =1), вихревой характер движения жидкости и распределение температуры меняется. На рису. 1, 3 и 2, 4 представлены примеры течений (поле скоростей) в случае теплоизоляции твердых границ (рис. 1, если Gr=1, и рис. 3, если Gr =104) и при наличии поперечного градиента температуры за счет нагрева одной из боковых стенок (рис. 2, если Gr=1, и рис. 4, если Gr =104). Для визуализации течения газа на рис. 3 и 4 поперечные компоненты скорости умножены на 10.

Заключение. Построено точное решение трехмерной задачи конвекции в бесконечном канале с прямоугольным поперечным сечением при наличии продольного градиента температуры и поперечной силы тяжести. Численно исследованы трехмерные эффекты в случае теплоизоляции твердых границ. Течение двух несмешивающихся жидкостей в канале прямоугольного сечения существенно зависит, как от величины градиента температуры, так и от интенсивности гравитационного поля. Наблюдаются отличия не только во вращательном характере движения обеих жидкостей. Поступательно-вихревое движение нижней (более тяжелой) жидкости сопровождается поступательно-вихревым движением верхней жидкости.

Библиографический список

1. Iorio, C. S. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow. / C. S. Iorio, O. N. Goncharova, O. A. Ka-bov // Microgravity Sci. Technol. — 2009. — № 21(1). — P. 313 — 320.

2. Colinet, P. Nonlinear Dynamics of Surface-Tension-Driven Instabilities / P. Colinet, J. C. Legros, M. G. Velarde. — Berlin : Wiley-VCH, 2001. - 512 p.

3. Nepomnyaschy, A. A. Interfacial phenomena and convection / A. A. Nepomnyaschy, M. G. Velarde, P. Colinet. - Chapman and Hall / CRC, 2002. - 365 p.

4. Современные математические модели конвекции /

B. К. Андреев [и др.]. — М. : Физматлит, 2008. — 368 с.

5. Goncharova, O. N. Mathematical and numerical modeling of convection in a horizontal layer under co-current gas flow / O. N. Goncharova, O. A. Kabov // Int. J. of Heat and Mass Transfer. — 2010. — Vol. 53. — P. 2795 — 2807.

6. Goncharova, O. N. Numerical modeling of the tangential stress effects on convective fluid flows in an open cavity / O. N. Goncharova, O. A. Kabov // Microgravity sci. technol. — 2009. — 21(1). — P. 119—127.

7. Iorio, C. S. Heat and mass transfer control by evaporative thermal pattering of thin liquid layers / C. S. Iorio, O. N. Goncharova, O. A. Kabov // Computational Thermal Sci. — 2011. — № 3(4). — P. 333 — 342.

8. Овсянников, Л. В. Введение в механику сплошных сред. Часть II. Классические модели механики сплошных сред / Л. В. Овсянников. — Новосибирск : ИГУ, 1977. — 69 с.

9. Бирих, Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р. В. Бирих // ПМТФ. — 1966. — № 3. —

C. 69 — 72.

10. Пухначёв, В. В. Теоретико-групповая природа решения Бириха и их обобщения. Симметрии и дифференциальные уравнения / В. В. Пухначёв // Сб. науч. тр. — Красноярск : РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. моделирования, 2000. — С. 180 — 183.

11. Goncharova, O. N. Solutions of special type describing the three dimensional thermocapillary flows with an interface. / O. N. Goncharova, O. A. Kabov, V. V. Pukhnachov // Int. J. Heat Mass Transfer. — 2012. — № 55(4). — P. 715 — 725.

12. Пухначёв, В. В. Нестационарные аналоги решения Бириха / В. В. Пухначёв // Известия АлтГУ. — 2011. — № 1/2. — С. 62 — 69.

13. Яненко, И. И. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / И. И. Яненко. — Новосибирск : Наука, 1967. — 196 с.

14. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика : пер. с англ. / П. Роуч. — М. : Мир, 1975. — 616 с.

ГОНЧАРОВА Ольга Николаевна, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений.

Адрес для переписки: gon@math.asu.ru

Статья поступила в редакцию 10.10.2012 г.

© О. Н. Гончарова