Термический эффект резонатора Гартмана—шпренгерав режиме высоких частот

УДК 533.6.011

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4

В. Г. Дулов, В. П. Максимов

ТЕРМИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ РЕЗОНАТОРА ГАРТМАНА—ШПРЕНГЕРА В РЕЖИМЕ ВЫСОКИХ ЧАСТОТ

Введение. Газоструйный резонатор Гартмана—Шпренгера, или просто резонансная трубка (трубка Г-Ш) [1], представляет собой глубокую полость, открытая торцевая часть которой обращена навстречу неравномерному потоку газа таким образом, что направление потока параллельно оси полости. При определенных значениях параметров потока и трубки внутри неe возникают колебания давления значительной амплитуды, а установившаяся температура газа у дна полости заметно превышает температуру торможения набегающего потока.

1. Структура колебательного цикла. Течение в полости резонансной трубки сопровождается периодическим прохождением волн сжатия и разрежения (рис. 1). Время прохождения падающей волны сжатия (ПВС) до дна трубы и отраженной от задней стенки волны сжатия (ОВС) до устья трубы определяют фазу сжатия газа в трубке. Контактная поверхность (КП) разделяет сжатый газ в трубе от газа струи, проникающего в трубку Г-Ш в фазе сжатия. Следующая за фазой сжатия фаза разрежения состоит из последовательного прохождения падающей волны разрежения (ПВР) и отраженной волны разрежения (ОВР). Втекание газа в резонатор и вытекание газа из него в обеих фазах предполагается стационарным. Такая модель колебаний газа в резонаторе была предложена [2] на основе анализа экспериментальных данных для первой (низкочастотной) моды. Время смены фаз (время взаимодействия выходящих из трубки волн с внешним набегающим потоком) считается незначительным по срав-

-Ь 0 х

Рис. 1.

© В. Г. Дулов, В. П. Максимов, 2005

нению с длительностью каждой из фаз (короткие волны). Период колебаний Т состоит из суммы времен протекания обеих фаз Т = 4Ь/а, здесь Ь — длина трубки Г-Ш, а — скорость звука в газе. Периодическое сжатие и разрежение газа полости в результате диссипативных процессов в волнах приводит к повышению температуры газа [1].

Одной из первых теоретических работ по оценке влияния нелинейных и диссипативных эффектов на термический процесс в резонаторе была работа В.Г.Дулова [3]. Дальнейшее развитие этот подход получил в работе [4], где было исследовано большее число влияющих на тепловыделение факторов таких, как нелинейные эффекты в простых коротких волнах, наличие слабых ударных волн, возможность появления высоких частот и др.

В настоящей работе проведены оценки повышенного теплового эффекта трубки Г-Ш в режиме высоких частот по сравнению с основным, низкочастотным режимом, а также оценки влияния потерь тепла, связанных с конечной тепловой проводимостью стенок трубки, на распределение температуры газа в полости.

2. Термический эффект в режиме третьей моды. Рассмотрим колебания газа в резонаторе в режиме третьей моды, т. е. когда частота процесса /з в три раза превышает частоту колебаний основного режима /з = 3/, / = а/4Ь. Волновую диаграмму такого режима можно представить как суперпозицию соответствующим образом ориентированных диаграмм основного режима [5]. При этом резонансную трубку можно условно разбить на три трубки (I, II, III, рис. 2а), в каждой из которых происходят колебания на основной для нее частоте.

(I) (П) (Ш) ° *

___

Рис. 2.

Изменение энтропии в трубке за период Т3 составляет

Тз 2

о

средняя скорость приращения энтропии — $ = АБ/Т3. Будем считать волновое движение газа в трубке изэнтропическим. Трубка имеет умеренную длину, чтобы волны

в пределах одного периода оставались простыми. Таким образом, мощность производства тепла в виде распределения источников тепла (£), определяют только диссипатив-ные процессы в волновом периодическом движении газа в трубке. Далее, из уравнения энергии для покоящегося газа

1 дТ А 7-1 д2Т _ Б

р

7 дх2 ср

с известным распределением источников тепла можно найти температуру газа. Граничные условия, как и в случае низкочастотных колебаний, предполагают теплоизоляцию стенок трубы и постоянную температуру газа во входном сечении трубы, равную температуре торможения внешнего потока:

Т (-Ь)= То, Т Х(0) = 0.

Рассмотрим колебательный процесс в области (I) в течение первого периода Тз (рис. 2) и будем считать все волны (падающие и отраженные, сжатия и разрежения) центрированными простыми волнами, короткими по сравнению с длиной резонатора (рис. 3). Для таких волн с центром в точках хг,1г (г = 1, 2, 3,4) можно записать

х = Хг + ( ± а)(1 - и),

, 7-1

а = ± —-— V + сопв^

Обозначая через 1фг и 1хг моменты прохождения фронта и хвоста г-ой простой волны через сечение х получим

ду дх

'Л__1_

7-1 г—и 0,

при Ьхг > 1 > tфi, при 1 <1фг и 1 > Ьхг.

Таким образом,

Т

дх) * ~ (7 + 1)2 ^ С*Ф< -и)'

з

Е

г=0

Аи

А1г гхг гфг.

Запишем для центрированной простой волны уравнение первой, фронтальной характеристики х = Аг г + Вг и уравнение последней характеристики х = (Аг + ААг) 1 + Вг + АВг. При этом в силу предположения короткости волн |ААг \ ^ \Аг \ и |АВг| ^ \Вг |. Поэтому

А1г

ААг

(гфг ^г^^^хг гг) хг х

51 3Х' а

ср 4Ь 7 + 1 г=о хг - х

Х- ААг А

у,-> А = —> а

*—' х - х р ср

^ (7 + -РГ

7+1

С учетом (4) получаем

Агг

Рг V

вг = ((3 - 2г)( — 1)г - 1)/2, г = 0,1, 2, 3.

2

ф)

\ \ \ \ \ Qi

\ \ ____ \

. V \ \ \

---ч w ч х—

<Ь)

-1

Рис. 3.

Рис. 4.

Наибольшую временную протяженность Дti имеют отраженная волна разрежения ДЬ3 в момент ее выхода из резонатора и падающая волна сжатия ДЬ0, которая возникает в этот момент (рис.3). Обозначив указанный интервал времени через т можно записать еще три условия сопряжения падающих и отраженных волн на границах области (I) без учета их взаимодействия вблизи границ. Из этих условий определяются координаты центров простых волн xi:

7+1 М _ х0 1 7+1 ML

т = —--{x0 + L), х0 = — = т -1, к = —--,

2 a L k 2 ат

7+1 ML a

2

2\ 7+1 ML (_ 2

XI = -Хо =

Х<2 = —Х\ = —Хо —

4

хг = -хо = г, г =

1- k

3 . к

После этого можно определить функцию распределенного источника тепла, производимого необратимыми диссипативными процессами в простых волнах в области (I):

1 =

/°„ Т—' т - — пг

i=0

S L2 о _

или qj =--— = 3 (тМ

cp Xf

r — X

+

1

г + з + X

Полагая, что во всех трех областях происходят совершенно идентичные процессы (одно из условий периодичности колебаний), соответствующим сдвигом по координате нетрудно определить функцию тепловыделения и в остальных двух областях:

(I) qi = 3 aM

1

+

1

2

-1 < х < —

хп = -XI - |

(II) qii = 3 aM

+

г — X

2 1

— < х < — з - - 3

4

1

rX

1

1

хщ = XI + з

(III) = 3 аЫ

Г + д — Ж

+

Г + д + Ж

--< ж < О

3 ~ ~

Поскольку функции Ц1 и цц совпадают, можно оставить только две функции

412 = 41 = Яп ( —1 < ж < —^ | и дз = дш

На рис. 4 изображено распределение источников тепла, производимых падающей волной сжатия (кривая А) и отраженной (кривая В) при к = 1/2 в режиме первой моды. Кривая Ql (средняя между кривыми А и В) соответствует тепловыделению за период в основном режиме (первая мода). В случае высокочастотного режима (третья мода) с такой же начальной протяженностью короткой простой волны (параметр к = 1/2) выделение тепла падающей волной сжатия в области (I) будет таким же, что и в режиме первой моды — участок (а) кривой (А). Отраженная волна сжатия в области (I) будет выделять тепло в соответствии с кривой (Ь), что является зеркальным отражением участка (II) кривой (А). Распределение по всей длине резонатора средней величины тепловыделения за период в режиме третьей моды соответствует кривой Рз. Выберем в качестве единицы времени период низкочастотных колебаний (основной режим). Тогда тепловыделение в единицу времени (мощность) в режиме третьей моды будет Qз = 3Рз = {^12,цз}. На рис.4 кривые Qз, Q5 и Qr соответствуют мощности тепловыделения в режимах третьей, пятой и седьмой мод для одинаковых начальных условий к = 1/2.

Необходимо отметить, что тепловыделение в режиме первой моды происходит существенно неоднородно по длине трубки. При этом максимум производства тепла приходится на участок вблизи открытого конца трубки Г-Ш, там, где потери тепла вследствие тепло и массообмена с холодным газом внешнего потока наибольшие. На теплоизолированном участке трубки (у ее закрытого, заднего конца) выделение тепла минимально, а именно в этом месте происходит накопление тепла и, как следствие, здесь самая высокая температура. В этом отношении в режимах высших мод колебаний распределение производимого тепла оказывается близким к равномерному по длине трубки и поэтому является более оптимальным. Кроме того, высокочастотные колебания при тех же энергетических возможностях внешнего потока производят больше тепла и меньше акустического шума.

Проинтегрируем уравнение (2) с функцией источника тепла Qз(ж) = {ц12(ж), цз(ж)} в предельном случае Ь —> оо установившегося температурного режима, т. е. при ^ = 0:

д2в

0 = ГЛ( Ж) + —;

ОХ'

2

здесь

©¿

Тг(х) То :

12, 3.

Следовательно

е,(*) = -//*(*) откуда

©¿(ж) = + ж),

Fi(x) = 3 [(¿г -ж)1п(<4 - ж) + (вг + ж) 1п(е» + ж)]

1

1

В данном случае в силу сложного задания функции <^3(х) кроме граничных условий (3) добавляются условия сшивки функций ©12 (ж) и ©з(ж) и их производных в

©12(-1) = 1, ©12 - - =©з - - ,

1

1

e;2(-i)=e;(-I

3) v 3 ©3(0) = о.

Отсюда определяются неизвестные константы Ci и Di в решении (5):

D3 = 0, D

12

аЫ

6 аЫ ln

г + 1

ГЙ1

С12 = 1 + Dí2+aMFí2{-l), С3 = C12-¡ В12,

d-12 =r, ei2 = г + Таким образом,

d-з = е3 = г + |.

©12(х) = С12 +D 12 ж - aMF12{x), (-1 < ж < -±), e3(x) = C3-aMF3(x), (~±<х<0).

Задавшись начальной длиной центрированной волны сжатия к = ^ и положив в качестве безразмерной температуры $i(x) = [©¿(ж) — 1 ]/<тМ, i = 12,3, окончательно получим:

-&12(х) = 7.74 + 2.43ж — 3 [(1 -ж)1п(1 - ж) + (| + ж) 1п(| + ж)] ,

1?3(ж) = 6.93-3 [(§ -ж)1п(§ - ж) + (| +ж)1п(§ +ж)] .

Как уже отмечалось, на высокочастотных режимах распределение теплового источника вдоль трубки становится близким к равномерному (рис. 4). Это связано с тем, что на высоких частотах в соответствии с номером моды на всем протяжении резонатора многократно повторяется самый пологий начальный участок кривой интенсивности тепловыделения первой моды. До более крутых участков этой кривой дело не доходит, т. к. время действия на волну эффектов нелинейности по сравнению с режимом первой моды сокращается для третьей моды в три раза, для пятой — в пять раз и т. д. По этой причине в режиме высших мод волны внутри резонатора остаются по внешним признакам близким к стационарным (распространяются с постоянной скоростью и почти не меняются по форме). В таком случае без особой потери точности функцию Qn(x) для высших мод (n = 3, 5, 7,...) можно заменить постоянной величиной, равной значению этой функции в середине какой-либо из областей. Так, например, для третьей моды

%==%(-!>=ш-j) =

сечении ж = — g, т. е.

Соответствующее распределение температуры получается интегрированием уравнения 84

(2) с равномерным тепловыделением <33 и граничными условиями (3):

©3(ж) = 1 + ^дз(1-ж2) или Мх)=вз{Хл)~1 = 1.82 (1-х2).

2 аМ

3. Влияние конечной теплопроводности стенок резонатора. Существующие теоретические модели термического эффекта в резонансных трубках предполагают тепловую изоляцию стенок трубки. Однако все материалы, в том числе и теплоизолирующие, обладают конечной, отличной от нуля теплопроводностью. Пусть Атр — коэффициент теплопроводности материала стенок трубки, Д — толщина стенок, а ктр = Атр/Д — тепловая проводимость стенок. Рассмотрим поток тепла через такие стенки:

дТ Г-Го _

Чп — — ТР ~ ~~ ТР-Д- — —ктри — -1-0),

п — нормаль к стенкам трубки. Для учета указанных потерь тепла необходимо в уравнении энергии (2) источник тепла на единицу объема (рТБ) уменьшить на величину тепловых потерь:

Ь2 дв ,_. ктр 1. д2в

Ь2 ¿¡(х) А „ ^

где д(х) = —--, к = — —тепловая проводимость столба газа в трубке. В устано-

А' ср Ь

вившемся тепловом режиме (£^то) имеем

-о2е = -(ч + о2\ а2 = ^.

к

Граничное условие на левом открытом конце остается прежним ©( — 1) = 1, а на правом конце с учетом тепловой проводимости задней стенки

©'(0) + а2 ©(0) = а2. Заменой $(ж) = ~ ^ ^ — задача упрощается:

•в" -о2д= -д(х) = -Щ, 0(-1)=О, 0'(О) + а2#(0) = 0. а М

Получим общее решение уравнения:

д{х) = С\

1

С\(х) = —- [ ц{х)е-ах ¿х + ВЪ

Л

С2(х) = 7^ ч{х)еах ¿х + В2.

Распределение источника тепла в трубке для основного низкочастотного режима имеет вид

1 1

Ч{х) = -- + —-—•

г — ж г + ж

или

Тогда интегралы в (7) можно выразить через интегральную показательную функцию Ег(х) и общее решение (6) примет вид

Здесь Ф(а £) = е Е1(а£) — Е1(—а£), у = г + х, г = г — х. Константы и В2 определяются из граничных условий задачи.

Заключение. В целом следует отметить, что в рамках данного подхода (простые волны малой амплитуды) нелинейность, вязкая диссипация, теплопроводность и теплообмен с внешним потоком играют важную роль в процессах аномального нагрева. С ростом амплитуды колебаний необходима переоценка роли основных рассмотренных факторов. В канале, например, могут возникать ударные волны, и трение на стенках канала может стать достаточно влиятельным фактором.

V. G. Dulov, V. P. Maksimov. Thermal effect of the Hartmann—Sprenger resonator in a high-frequency regime.

The estimates are obtained for increasing the thermal effect in resonator cavity in a high-frequency regime as compared with the basic low-frequency regime. The influence of heat losses related to the finite thermal conductivity of pipe walls on the gas temperature distribution in cavity is also estimated.

Литература

1. Sprenger H. S. Uber Thermische Effecte bei Rezonanzrohren // Mitteil. Inst. Aerodyn. ETH. Zurich. 1954. Bd. 21. S. 18-35.

2. Brocher E., Maresca C. Recherches sur les tubes de resonance excites par un jet subsonique // J. de Mecanique. 1969. V. 8. N1.

3. Дулов В. Г. Оценки нелинейных и диссипативных эффектов в проблеме аномального нагрева резонансных трубок. Препринт ИТПМ СО АН СССР №14-85. Новосибирск. 1985.

4. Дулов В. Г. Нелинейная теория малых возмущений для термоакустических явлений в полузамкнутых полостях // Газодинамика и теплообмен. СПб., 1993. Вып. 10. С. 22-48.

5. Полубояринов А. К., Цветков А. И. Экспериментальное исследование продольных мод в течении Гартмана // Прикладная аэрогазодинамика и тепловые процессы. Новосибирск. 1980.

1

Summary

23 с.

С. 99-112.

Статья поступила в редакцию 24 марта 2005 г.