Самоорганизация в системе фазовой синхронизации

УДК 656.25+06

САМООРГАНИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

Е.Н. КИРПАЧ, В.Н. ТАРАН

Получена самоорганизующаяся система оценки параметров сигнала. На основе численного моделирования проведены исследования полученной системы для решения задачи синхронизации. На примере одномерного случая показано, что система нелинейной фильтрации на основе самоорганизации работоспособна. Работоспособность данной системы не нарушается при плотностях парциальной меры импульсного вида.

Ключевые слова: численное моделирование, нелинейная фильтрация, обработка сигнала.

Введение

Прогресс в области телекоммуникаций и информационных технологий приводит все к возрастающим потокам информации, передаваемым по линиям связи. Для беспроводных сетей это приводит к необходимости осваивания все новых СВЧ диапазонов и поиску новых методов фильтрации сообщений. Перспективным представляется решение задачи фильтрации в сверхвысокочастотной электронике с помощью самоорганизующихся систем.

Изучение коллективных явлений, начавшись с простых феноменов, таких как ячейки Бена-ра [1], вихри Тейлора [2], привело к понятию самоорганизации. Затем бельгийский ученый Пригожин сформулировал условия, способствующие возникновению самоорганизации, а также выделил класс диссипативных систем, которые потенциально могут проявлять самоорганизацию [3]. Среди отечественных школ по изучению самоорганизации в диссипативных системах необходимо отметить работы Курдюмова [4,5]. Впоследствии учеными было выявлено множество явлений самоорганизации, различных по своей природе. Яркие примеры самоорганизации можно обнаружить в среде социальных насекомых, таких как муравьи, пчелы, осы и т.д. Расширяясь, изучение общих принципов коллективных явлений, вне зависимости от их физической природы, породило новое научное направление - синергетику [6].

На современном этапе развития науки по изучению коллективных явлений проекция вопросов, ставящихся перед исследователем, принципиально изменилась. Теперь на смену вопросам «Как возникает порядок из хаоса в естественных системах?», пришли вопросы типа «как организовать коллективную игру в команде роботов? Какой нужно сделать систему программных агентов, чтобы она могла кооперативно решать проблему обслуживания клиентов» [7].

Почему же самоорганизующиеся системы представляют интерес? В качестве примера можно привести суперкомпьютер ASCI (Accelerated Strategic Computing Initiative) Red [8], обладающий в 2003 г. общей производительностью 2,38 tflops (TeraFlops - 1012 операций с плавающей запятой в секунду). Его стоимость составляла порядка 55 млн. долл. США. С другой стороны, с помощью обычных настольных компьютеров, используя распределенную «решеточную» вычислительную технологию (grid computing), можно собрать порядка 1 tflops вычислительной мощности, используя около 2000 системных блоков [9]. Стоимость такой системы составит около 2 млн. долл. США. Кроме того, распределенные системы на основе автономных агентов дешевле в обслуживании и устойчивы к отказам (так как обычно инвариантны к числу агентов). Коллективные системы обладают большей живучестью при поиске ресурсов. Подводя итог, можно выделить главные принципы самоорганизующихся коллективных систем: относительная простота входящих в систему автономных агентов, агенты системы должны обладать механизмом связи, система должна быть инвариантна к количеству входящих в нее автономных агентов.

Постановка задачи

Исходные данные. Пусть имеется К простейших приемников - агентов. Каждый приемник имеет: информационный вход для подключения к линии связи; несколько многоканальных входов для получения коллективной информации от других агентов; многоканальный выход для передачи собственного состояния. В системе имеется коммутационное поле для организации связей между приемниками. Каждый приемник в начальный момент времени рассматривает свою подобласть ^¡(х) области ¥ возможных значений фильтруемого параметра, но в совокупности они охватывают всю область: и у. =^ . Размер подобласти ^¡(х) однозначно определя-

г

ется через параметр меры В.

---- - информация от внешнего источника; I - коллективная связь

Рис.1. Структурная схема самоорганизующейся системы фильтрации:

Формулировка Задачи. Найти алгоритмы обработки сигнала парциальными приемниками, используя принципы самоорганизации. Все приемники в сумме должны решать задачу фильтрации параметра а(1).

Используем стандартную постановку задачи оценки по Стратоновичу и Тихонову [10, 11], однако решение будем искать в обозначенном направлении, основанном на принципах самоорганизации.

Сообщение а^) формируется на передающей стороне. Данным сообщением модулируется сигнал s[a(t), I].

Параметр а(^, закодированный в сигнале s[a(t), ^, полагаем одномерным диффузионным марковским процессом, описываемым стохастическим дифференциальным уравнением

а

где точка сверху означает производную по времени; ц(^ - формирующий дельта-коррелированный процесс: М[ц(^] = 0, М[ц(^)ц^2)] = К2(^5(1:2- 1^).

Коэффициенты сноса К-^а^), {] и диффузии К2(^ считаем известными.

Распространяясь по линии связи, сигнал s[a(t), {] подвергается воздействию помех, полагаем аддитивное смешивание полезного сигнала и шума, при этом уравнение наблюдателя будет иметь вид

Z(а(t),t)=s[а(t), t]+п(^,

где s[а(t), {] - полезный сигнал; п(0 - белый гауссов шум с известными характеристиками: М[п(0] = 0, М[п(^)п^)] = #о502- 11)/2.

Решение поставленной задачи фильтрации заключается в получении оценки передаваемого сообщения а(^ в месте приема.

Получение алгоритма обработки сигнала

Значения откликов zi(t) на выходе парциальных приемников должны быть элементами Гильбертова пространства с определенной энергетической метрикой г^г(^()).

Приемники должны учитывать особенности формирования передаваемого сообщения (коэффициенты сноса и диффузии). Чтобы приемники проявляли свойства самоорганизующихся агентов, необходимо создать множество аттракторов [12]. В одном из них находится истинное значение фильтруемого параметра. Каждый приемник должен иметь в своем составе положительную обратную связь для поиска в фазовом пространстве необходимого аттрактора. Самоорганизация предполагает, что каждый приемник должен учитывать «мнения» других агентов, которые необходимо включить через определенную весовую функцию - плотность меры. Чем удаленнее отклик, тем меньше он должен влиять на решение приемника. Весовая функция также определяет ширину рассматриваемой подобласти ^¡(х), как уже упоминалось выше, через параметр меры В. Суммируя вышесказанное и обозначив здесь и далее zг(t)=zг,

2 2

дК\ (х, t) / Эх = К'1 (х, t), ЭЕ(х, t) / Эх = Г'(х, t) , Э Г(х, t) / Эх = Г'' (х, t), структура г-го приемника будет иметь вид

^

£ U (Zj, Zj, D) j=1 j=1

Ki (Zj, t) + K'1 (Zj, t)(Zj - Zj) +

4

D

+ DF'

U

где точка сверху означает производную по времени, i=1,...K; z - отклики приемников системы; Ki[z, t] - коэффициенты сноса; K2(t) - коэффициент диффузии; D - параметр меры (полагается равным для всех приемников системы); F (x, t) = (1/N0)[£(t)s(x, t) - 0.5s 2(x, t)] - выходной эффект приемника; N0 - спектральная плотность шума, воздействующего на сигнал s[a(t), t]; U(zi,Zj,D) - плотность меры учитывает степень удаленности zi от Zj. Должна обладать следующими свойствами: U(zi,zj-,D)=1 при i=j; U(zi,zj,D)=0 при величине |zi -Zj|, значительно превышающей параметр D. Примем для простоты экспоненциальную зависимость, так как в неё проще всего включить D

U

С точки зрения вероятностных характеристик каждый приемник вычисляет часть (порцию) плотности вероятности с неизменной дисперсией, в случае (3) D - это парциальная дисперсия нормального распределения. Положение парциальных распределений на координатной оси определяется величиной zi. Значения zi, меняясь с течением времени, будут перемещать по координатной сетке отдельные парциальные плотности, меняя тем самым вид исходной плотности вероятности. По найденным откликам zi легко можно восстановить апостериорную плотность вероятности (АПВ) фильтруемого параметра, пронормировав плотность меры, получим

K 1 г т

w*

Распределение (4) удовлетворяет условию нормировки j w* (x, t)dx = 1.

Апостериорное распределение дает полную характеристику фильтруемого параметра, используя ее, нетрудно сделать оценку сообщения a(t) в месте приема.

Апостериорное распределение вероятности информационного параметра а(1), при понимании стохастических интегралов в симметризованном смысле, удовлетворяет уравнению оптимальной нелинейной фильтрации Стратоновича [14, 15] х, I) _ Э V (*\ э2

Эх

-г \ < \л к2

:-[ К1 ( х, і )щ( х, і)] + - 2

+ {р (x, і) - Мрз [р ( x, і)] }щ( x, і),

Эt Эхь 14 2 Эх2

¥

где [Е(х, t)] _ |Е(х, t^(х, t)йх - среднее выходного эффекта.

—¥

Примем (5) за эталонное решение.

Моделирование

Учитывая структуру отдельных приемников (2), данную самоорганизующуюся систему нелинейной фильтрации можно представить через систему дифференциальных уравнений:

к

*1=$1

]=1

• к

*г = ^

] =1

К1(*. , і) + К'1 (2, , і)(*1 - 2, ) +

к 2

К1(2; , і) + К'1 (2, ,і)(*г - 2, ) + :

*1 - *7 В

В

+ ВР '

+ ВР'

^ (21, 2, , В)}

^ (2г, 2,, В)}

к

2к = ^к 'Е< ,=1

к1( 2, , і) + к \(2. , і )(2к - 2, ) +

к 2

+ ВР '

^ (2к , 2, , В)}

где 5г _ у £ ^(г,., , Б).

Для проверки работоспособности представленной самоорганизующейся системы (6) проведем численное моделирование. В качестве сигнала переносчика s[a(t),t] применим гармонику и рассмотрим задачу синхронизации.

За эталонное решение примем АПВ, вычисленную по уравнению Стратоновича (5) для сигнала С[а(0, ^ конечно-разностным методом. Для количественного представления о расхождении полученных АПВ будем подсчитывать расстояние Хеллингера р(^ [13]

р(і) = |[Л/W*(X•,Ї)] дж,

где Щ^.і) - АПВ по Стратоновичу; щ^.і) - приближенная АПВ.

Также будем сравнивать оценки а(і), полученные из разных АПВ. Расстояние между оценками определим через Евклидову метрику, заданную формулой

д(і) ^(і) - «2(і)]2 .

Пример

Моделирование проводим в пакете Ма^Саё у.11.0 а. Рассмотрим случай узкополосного гармонического сигнала:

^ [а^), t] _ со8[й0/ + а(t)],

4

2

4

4

где Юо - центральная частота; a(t) - одномерный процесс, определяемый стохастичеким дифференциальным уравнением: a(t ) = -aa(t ) + am(t ) ; p,(t) - формирующий дельта-коррелированный процесс: M[^(t)] = 0, M[^(ti)^(t2)] = K2ô(t2- ti).

Решение задачи синхронизации заключается в фильтрации фазы узкополосного сигнала. Поскольку фаза сигнала - параметр не энергетический, функция F(x,t) упрощается

F ( xt ) = (1/ N o)[C(t )s( x, t )].

Переходя к безразмерным переменным T=at, y=x/o, где о2=аК2/2 - дисперсия процесса a(t), получаем уравнения для моделирования

2

dw

І +1

!z/ = Si È j=/-1

V 2D У

+ D

U

где Е1 (у, х) _ (1/ аЫ0 )[£(х) соб(^х + оу)] - выходной эффект приемника в безразмерных переменных; £(х) _ соб(^х + оу (х / а)) + ^(х / а) - уравнение наблюдателя в безразмерных переменных; й=ю0/а.

При расчетах полагаем, что начальные и граничные условия для уравнения (9) имеют вид

¿у

, У)| у±¥_ 0.

Соотношения (11) определяются из условия задачи.

С целью сравнения характеристик промоделируем широко распространенную классическую схему фильтрации, основанную на гауссовском приближении АПВ. Уравнения гауссовской аппроксимации в принятых безразмерных переменных имеют вид

|д(т) _ 2 — 2Б(х) + Д2(т)Р \(у, х) .

Начальные условия для данной системы вытекают непосредственно из (10): у(0)=0; В(0)=1.

При решении уравнения (9) на ЭВМ частные производные заменялись конечными разностями.

Параметры для моделирования выбирались следующими: 0=2000; К=3 и К=6; о=л/2 и о=л. Система дифференциальных уравнений (11) решалась конечно-разностным методом с шагом по безразмерному времени Дт=1*10"3. Уравнение (9) решалось с шагом по времени Дт=1*10"3, по координате Ду=5*10-2. Отношение сигнал-шум, вычисляемое как отношение энергий за время наблюдения, для всех расчетов выбиралось р~1.

Все расстояния считались для функций в безразмерных переменных.

На рис. 2 и 3 а,б обозначено: 1 - АПВ, вычисленная по уравнению (8) при помощи конечноразностной схемы; 2 - АПВ полученная как (4) по откликам z(t) самоорганизующейся системы из трех приемников; 3 - нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией (12) гауссовской аппроксимации.

Евклидово расстояние, а также расстояния Хеллингера, представленные на рис. 4, 5, усреднялись во временном окне ту=5*10"3.

а б

Рис. 2. Кривые апостериорного распределения для моментов времени т=0 (а) и т=1 (б) соответственно при о=л/2

К = 3 а = 1.571

1 - Ж \ > 2 У

Г 11 ,Ь! : .¡Ц VI;  < «ч. 14'

.2 0.4 0 а 6 0.8

Рис. 3. Кривые апостериорного распределения для моментов времени т=0 и т=1 соответственно при о=л

Т = 1 а = 3,142

! (\ 1 2

1 \ \ 3

А ) \\ у

-3 -2 -1 О

Рис. 4. Расстояния Хеллингера (7): 1 -самоорганизующаяся система из К=3 приемников; 2 - гауссовская аппроксимация

Рис. 5. Евклидово расстояние (8) между оценками у(т): 1 - расстояние между оценками по АПВ Стратоновича и по АПВ самоорганизующейся системы; 2 - расстояние между оценкой по АПВ

Стратоновича и у гауссовской аппроксимации

Анализ полученных результатов

Приемникам самоорганизующейся системы (10), в качестве начальных условий, были заданы для рассмотрения подобласти равной величины с частичным пересечением. Это определило

вид начального распределения (рис. 2, 3 а кривая 2). Цель получить идентичные начальные распределения не ставилась, так как системы в любом случае «забудут» их с течением времени, что и доказывается на всех графиках расстояния Хеллингера.

При обнаружении i-й приемник осуществляет слежение за фильтруемым параметром, рассматривая отклик zi(t), другие агенты системы притягиваются к району нахождения данного параметра. В ходе эксперимента все приемники системы «сходились по мнению» к истинному значению фильтруемого параметра за время т=0,3. Считаем его временем окончания переходных процессов.

АПВ, представленные на рис. 2, получены для о=л/2. Распределение в данном случае является одномодальным (б). Метод гауссовской аппроксимации и самоорганизующаяся система в данном случае обеспечивают высокую точность представления АПВ. Расстояние Хеллингера (рис. 4 а) для АПВ, а так же Евклидово расстояние между оценками (рис. 5 а) свидетельствуют о том, что метод гауссовской аппроксимации лишь незначительно уступает по точности самоорганизующейся системе.

Увеличение параметра g до значения п приводит к полимодальному распределению АПВ (рис. 3 б). Самоорганизующаяся система в этом случае обеспечивает более высокую точность представления АПВ по сравнению с методом гауссовской аппроксимации.

Ограничения на одномодовость АПВ метода гауссовской аппроксимации можно избежать, применив алгоритмы полигауссовского представления АПВ [14, 15]. Получаемый алгоритм не проявляет свойств самоорганизующихся систем, каждый приемник работает независимо от других. Алгоритмы, основанные на полигауссовском представлении АПВ при моделировании, значительно сложнее предложенной самоорганизующейся системы (10). Получить полимо-дальное распределение позволяют методы сплайн-аппроксимации [16]. Получаемые в этом случае алгоритмы громоздки, требуют операции интегрирования (функция МРц в (5)) и совершенно не пригодны для фильтрации многомерных процессов.

Увеличение количества приемников в два раза при одномодальном распределении АПВ не приводит к существенным изменениям в точности представления. Однако при полимодальном распределении увеличение точности представления АПВ в этом случае очевидно.

Выводы

Исследования показали, что система нелинейной фильтрации на основе самоорганизации работоспособна. Причем работоспособность данной системы не нарушается при плотностях парциальной меры импульсного вида (использование в качестве парциальных распределений видеоимпульсов прямоугольной формы). Отметим, что такого рода решения уравнение Страто-новича не допускает, следовательно, можно заключить, что решение на основе самоорганизации обладает более широкой областью применимости.

При достаточно малых отношениях сигнал-шум и больших нелинейностях самоорганизующаяся система фильтрации так же приводит к полимодальной АПВ.

Следует отметить большие потенциальные возможности системы фильтрации на основе самоорганизации при переходе к многомерным процессам (Евклидовых пространств), в том числе и для Г ильбертовых пространств. При этом структурная схема системы остается прежней.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ebeling W., Feistel R. Physik der Selbstorganisation und Evolution. - Berlin: AkademieVerlag, 1986.

2. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивости в самоорганизующихся системах и устройствах. - М. : Мир, 1985.

3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М. : Мир, 1979.

4. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. - М.: Знание, 1983.

5. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Режимы с обострением для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987.

6. Haken H. Synergetics. An introduction. - Berlin: Springer, 1977.

7. От моделей поведения к искусственному интеллекту. / под ред. В.Г. Редько - М.: КомКнига, 2006.

8. http://www.sandia.gov/ASCI/images/RedPictures.htm

9. Pinto J. Distributed & Grid Computing. - San Diego, CA. USA

10. Стратонович Р.С. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. - М. : МГУ, 1966.

11. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. - М.: Сов. радио, 1975.

12. Тузов Г.И. Статистическая теория приема сложных сигналов. - М.: Сов. Радио, 1977.

13. Боровков А.А. Математическая статистика. - М.: Наука, 1984.

14. Миронов М.А. Полимодальность апостериорного распределения в задачах оптимальной нелинейной фильтрации // Радиотехника и электроника. - 1982. - №7, T.XXVII.

15. Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. - СПб.: ЦНИИ «Электроприбор», 1998.

16. Хуторцев В.В., Таран В.Н. Использование сплайнов для исследования алгоритмов нелинейной фильтрации // Радиотехника и электроника. - 1986. - №11.

SELF-ORGANIZING IN SYSTEM OF SYNCHRONIZATION

Kirpach E.N., Taran V.N.

The self-organizing system of an estimation of parameters of a signal is received. On the basis of numerical modeling the researches of the received system for the decision of a task of synchronization are carried out. On an example of an onedimensional case is shown, that the system of a nonlinear filtration on the basis of self-organizing is efficient. The serviceability of the given system is not broken at density portion of a measure of a pulse kind.

Key words: numerical simulation, nonlinear filtration, signal processing.

Сведения об авторах

Кирпач Евгений Николаевич, 1984 г.р., окончил Московский технический университет связи и информатики (2006), аспирант Ростовского государственного университета путей сообщения, автор 10 научных работ, область научных интересов - связь, математическое моделирование.

Таран Владимир Николаевич, 1951 г.р., окончил Ростовское высшее командно-инженерное училище ракетных войск (1975), профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры авиационного электрорадиоприборного оборудования Ростовского филиала МГТУ ГА, автор более 200 научных работ, область научных интересов - радиолокация, радионавигация, связь.