Множественные представления и алгебра логических связей предметной области СППР бюджетирования

ком диапазоне по третьей координате будет тем больше, чем меньше значения оснований трехмерного полиадического числа относительно значений оснований двумерного полиадического числа.

Список литературы: 1. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р.Вудс. М.: Техносфера, 2005. 1072 с. 2. Баранник В.В. Структурно-комбинаторное представление данных в АСУ / В.В. Баранник, Ю.В. Стасев, Н. А. Королева. Х.: ХУПС, 2009. 252 с. 3. Barannik V. V. Method of the 3-D Image Processing / V.V. Barannik, S.V. Karpenko // Modern problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science. Proceedings of the International Conference TCSET’2008, Lviv-Slavsko, Ukraine, February 20 - 24, 2008. P. 115 - 117. 4. Беляев Е.А. Сжатие видеоинформации на основе трехмерного дискретного псевдо-косинусного преобразования для энергоффективных систем видеонаблюдения / Е.А. Беляев, Т.М. Сухов, Н.Н. Шостацкий // Компьютерная оптика. Том 34, 2. 2010. С. 260 - 272, 5. Glen P.Abousleman, Michael W. Marcellin, Bobby R. Hunt. Compression of hyperspectral imagery using the 3-D DCT and hybrid DPCM-DCT, IEEE Transactions on geoscience and remote sensing. 1995. Vol. 33. No. 1. 6. Yui-Lam Chan and Wan-Chi Siu. Variable temporal-length 3-D discrete cosine transform coding // IEEE Transactions on image processing. ,1997. Vol. 6. No. 5. 7. B. Furht, Ken Gustafson, HesongHuang and Oge Marques, An Adaptive Three-Dimensional DCT Compression Based on Motion Analysis // Proceedings of the 2003 ACM symposium on Applied computing, 2003. 8. T.Mekky, On the computation of the 3-D DCT // IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems. 2003. Vol. 3. Р.1141 -1143. 9. Баранник В.В. Трехмерное полиадическое кодирование в направлении, начиная с младших элементов / В.В.Баранник, Ю.Н. Рябуха // Сучасна спеціальна техніка. 2013. №3. С. 15 - 20.

Поступила в редколлегию 09.09.2013 Рябуха Юрий Николаевич, канд. техн. наук, соискатель кафедры “Боевого применения и эксплуатации АСУ” Харьковского университета Воздушных Сил. Научные интересы: кодирование и защита информации для передачи в телекоммуникационных сетях. Адрес: Украина, 61023, Харьков, ул. Сумская, 77/79. E-mail: barannik_v_v@mail.ru.

УДК 519.876.2

О.А. КРИВОДУБСКИЙ, И.В. ТЕРЕЩУК

МНОЖЕСТВЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ СППР БЮДЖЕТИРОВАНИЯ

Производится группировка и формализация множеств показателей бюджетов и их характеристик трехуровневой СППР бюджетирования. Осуществляется классификация переменных. Описывается структура каждого из уровней в виде графа. Формализуются взаимосвязи между показателями различных уровней.

Введение

Актуальность. Одной из отличительных особенностей работы промышленных предприятий группы «А» (производство средств производства) Украины в современных условиях является потребность в постоянном контроле финансового состояния, что реализуется с помощью трехуровневой СППР бюджетирования. Поэтому разработка математического обеспечения СППР является особенно актуальной проблемой. Разработка математических моделей процесса бюджетирования позволит повысить качество и эффективность планирования и оперативного управления процессом на предприятиии.

Анализ исследований. Процессы формирования и движения материальных и соответствующих денежных потоков на предприятиях группы «А» рассмотрены в работе [3]. Аппарат дискретной математики, а также основы теории множеств, используемые при формализации взаимосязей между переменными, изложены в [1, 2].

Целью данного исследования является формализация структуры бюджетирования предприятия группы «А». Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи: на каждом из трех уровней системы выполнить группировку и формализацию множеств показателей финансирования производственной программы, а также их характеристик; осуществить классификацию переменных; представить структуру каждого из уровней в виде ориентированных графов; формализовать взаимосвязи между показателями различных уровней.

42

1. Формализация показателей бюджетов первого уровня

Структура показателей первого уровня (денежных потоков по каждому виду продукции) отображается в операционных бюджетах. Поэтому формализация множеств показателей денежных потоков на первом уровне основана на структуре данных документов.

Из определения структуры доходов, расходов и запасов каждого вида продукции следует, что соответствующие операционные бюджеты можно представить в виде объединения непересекающихся подмножеств статей:

S —

Obkj = U Ockjs,OckjsПOckjq =0,s ф q,k = 1,3,

s=1

где Oc,- - множество статей доходов j - го вида продукции s - го ЦФО; Oc2- -расходов j - го вида продукции s - го ЦФО; Oc3js - запасов j -го вида продукции s - го ЦФО; Ob1j,Ob2j,Ob3j - бюджет доходов, расходов и запасов j -го вида продукции соответственно.

В соответствии со структурой поступлений денежных средств:

Ob4j = Oc1j и Oc2j U Oc3j,

здесь Oc1j,Oc2j - множество статей поступлений от реализации и погашения дебиторской задолженности j -го вида продукции; Oc3j - авансы j -го вида продукции, Ob4j - бюджет поступлений j -го вида продукции.

Бюджет выплат по каждому виду продукции формируется следующим образом:

Ob5j = Oc4j U Oc5j,Oc4j П Oc5j =0,

где Oc4j,Oc5j - множество статей выплат и погашения кредиторской задолженности j -го вида продукции, Ob5j - бюджет выплат j -го вида продукции.

Из определения структуры дебиторской задолженности получаем следующие соотно-шенния:

Oc8j = Ob1j \ Oc4j,

Oc8j - статьи дебиторской задолженности j -го вида продукции;

Ob6j =

Oc2j - статьи дебиторской задолженности на начало периода j -го вида продукции; Ob6j -бюджет дебиторской задолженности на конец периода j -го вида продукции.

Из определения структуры кредиторской задолженности получаем соотношенния:

Oc10j =

Oc7j - статьи кредиторской задолженности на начало периода j -го вида продукции; Oc10j

- кредиторская задолженность на конец периода j -го вида продукции;

Ob7j = Oc10jU Oc3j, Oc10jП Oc3j = 0,

Ob7j - бюджет кредиторской задолженности на начало периода j -го вида продукции; Oc3j

- авансы j -го вида продукции.

Таким образом, множество операционных бюджетов имеет вид:

7 J

Ob = UU Obkj,

k=1 j=1

где Obkj - операционный бюджет k - го вида по j -му виду продукции.

Согласно (8) множество Ob j конечно (каждому элементу множества можно поставить в соответствие натуральное число: номер). Кроме того, очевидно:

Obkj П Obkj с Obj,k фk', j = 1, J,

ObkjA°bk'j c Obj,k ф k', j = 1,J,

43

Тогда согласно (9), (10) система ^ (Obj) всех подмножеств множества Obj представляет собой кольцо множеств.

Характеристикой каждого из подмножеств множества Obj является его оценка в денежном измерении М за плановый период - месяц, которую обозначим:

ц

M

M

Обозначим:

X1 = Ы{) )}l =

Z1 = {

Y1 = {

где X1 - множество входных переменных первого уровня; Z1 - множество внутренних переменных первого уровня; Y1 - множество выходных переменных первого уровня.

Структура первого уровня представляется ориентированным графом G^V^M!), где V) - множество вершин графа, M1 - множество дуг графа,

Вершины представляют собой входные, промежуточные и выходные показатели моделируемых явлений первого уровня.

Множество дуг M1 = Мц и M12, где Мц - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от входных источников, M12 - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от промежуточных источников.

Множество вершин V1 = X1 и Z1 и Y1, где X1 - множество внешних узлов графа, соответствующих входам подсистемы первого уровня, Z1 - множество узлов графа, соответствующих промежуточным показателям первого уровня из M11 или M12 , Y1 - множество узлов графа, соответствующих выходам подсистемы первого уровня из Мц или М12 .

Выходные переменные первого уровня поступают на вход второго уровня. Таким образом, формализация структуры системы первого уровня позволяет перейти к формализации структуры системы второго уровня.

2. Формализация показателей второго уровня

Структура показателей второго уровня (денежных потоков по операционной деятельности) отображается в функциональных бюджетах. Поэтому формализация множеств показателей денежных потоков на втором уровне основана на структуре данных документов.

При этом операционные бюджеты (первого уровня) являются статьями функциональных. Кроме того, бюджеты второго уровня содержат другие статьи, отображающие доходы и расходы операционной деятельности, а также себестоимость каждого вида продукции.

Из определения структуры запасов, дебиторской и кредиторской задолженностей операционной деятельности следует, что соответствующие функциональные бюджеты можно представить в виде объединения непересекающихся подмножеств статей:

J

Fbk = UObkj,ObkjnObkj-=0,j * j',k = 3,6,7,

j=1

где Ob3j,Ob6j,Ob7j - статьи запасов, дебиторской и кредиторской задолженностей j -го вида продукции соответственно; Fb3 - бюджет запасов; Fb6 - бюджет дебиторской задолженности; Fb7 - бюджет кредиторской задолженности.

44

В соответствии со структурой доходов, расходов, поступлений и выплат от реализации продукции формируются следующие статьи:

J

Fck = UObkj,k = 1,2,4,5,

где Ob1j,Ob2j,Ob4j,Ob5j - статьи доходов, расходов, поступлений и выплат j-го вида продукции соответственно; Fci ,Fc2,Fc4,Fc5 - статьи доходов, расходов, поступлений и выплат от реализации продукции соответственно.

Тогда получим соотношения (19) - (22), отображающие формирование доходов, расхо-

дов, поступлений и выплат по операционной деятельности:

Fb1 = Fc1 U Fc6,Fc1 П Fc6 =0,

Fb2 = Fc2 U Fc7,Fc2 П Fc7 =0,

Fb4 = Fc4 U Fc6,Fc4 П Fc6 =0,

Fb5 = Fc5 U Fc7,Fc5 П Fc7 =0,

здесь Fc6,Fc7 - статьи других доходов и расходов; Fb1 ,Fb2,Fb4,Fb5 - бюджеты доходов, расходов, поступлений и выплат по операционной деятельности соответственно.

Для формирования бюджета валовой прибыли вначале необходимо представить статьи себестоимости производимой продукции:

j

Fc8 = U1Fc1j,Fc1jIFc1j' = 0, j * j',

где Fc8 - статьи себестоимости; Fc1j - статьи себестоимости j -го вида продукции. Тогда бюджет валовой прибыли имеет вид:

Fb8 = Fc1 \Fc8,

Fb8 - бюджет валовой прибыли; Fc1 - статьи доходов операционной деятельности.

Таким образом, множество функциональных бюджетов имеет вид:

8

Fb = U Fbm >

m=1

где Fbm - функциональный бюджет m -го вида.

Согласно (25) множество Fb конечно (каждому элементу множества можно поставить в соответствие натуральное число: номер). Кроме того, очевидно:

Fbm I Fbm'^ Fb ,m * m',

FbmAFbm' e Fb ,m* m',

Тогда согласно (26), (27) система ^ (Fbm) всех подмножеств множества Fb представляет собой кольцо множеств.

Характеристикой каждого из подмножеств множества Fb является его оценка в денежном измерении И- за плановый период - месяц, которую обозначим:

^

Обозначим:

X2 = {^

45

Z2 ={Fcn ),n = 1,2,4,5,8},

Y2 ={i

где X2 - множество входных переменных второго уровня; Z2 - множество внутренних переменных второго уровня; Y2 - множество выходных переменных второго уровня.

Структура второго уровня представляется ориентированным графом G2(2,M2), где V2 - множество вершин графа; M2 - множество дуг графа,

Вершины представляют собой входные, промежуточные и выходные показатели моделируемых явлений второго уровня.

Множество дуг M2 = M21 и M22, где M21 - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от входных источников, M22 - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от промежуточных источников.

Множество вершин V2 = X2 и Z2 и Y2, где X2 - множество внешних узлов графа, соответствующих входам подсистемы второго уровня, Z2 - множество узлов графа, соответствующих промежуточным показателям второго уровня из M2i , Y2 - множество узлов графа, соответствующих выходам подсистемы второго уровня из M21 или M22 .

Выходные переменные второго уровня поступают на вход третьего уровня. Формализация структуры системы второго уровня позволяет перейти к формализации структуры системы третьего уровня.

3. Формализация показателей третьего уровня

Структура показателей третьего уровня (по трем видам деятельности) отображается в итоговых бюджетах. Поэтому формализация множеств показателей денежных потоков на третьем уровне основана на структуре данных документов.

При этом функциональные бюджеты (второго уровня) являются статьями итоговых. Кроме того, бюджеты третьего уровня содержат другие статьи, отображающие результаты по трем видам деятельностей (основной, инвестиционной и финансовой).

Из определения структуры валовых доходов следует, что соответствующий бюджет можно представить в виде объединения множеств непересекающихся статей:

Ibi = FbiU Ici,Fbi1 Ici =0,

где Ib1 - бюджет валовых доходов; Fb1 - статьи доходов по операционной деятельности; Ic1 - статьи доходов по инвестиционной деятельности;

Ib2 = Fb2 U IC2,Fb2 ПІС2 =0,

здесь Ib2 - бюджет валовых расходов; Fb2 - статьи расходов по операционной деятельности; IC2 - статьи расходов по инвестиционной деятельности.

Тогда первый бюджет прибыли имеет вид:

Ib3 = Ibi\Ib2,

Ib3 - первый бюджет прибыли; Ib1 - бюджет валовых доходов; Ib 2 - бюджет валовых расходов.

Доходы и расходы предприятия с учетом валовой прибыли формируются так:

Ic9 =

где Ic9 - бюджет доходов предприятия; Fb7 - статья валовой прибыли; Iq - статьи доходов по инвестиционной деятельности; Ic2 - статьи расходов по инвестиционной деятельности.

Тогда второй бюджет прибыли имеет вид:

Ib4 = Ic9 \ Icio,

Ib4 - второй бюджет прибыли; Ic9 - статьи доходов предприятия; Icio - статьи расходов предприятия.

Выплаты по основной деятельности:

46

Icii = Fb5 u Ici0,Fb5 n Icio =0,

где Icii - статьи выплат по основной деятельности; Fb5 - статьи поступлений по операционной деятельности; Ic9 - статьи доходов предприятия; Icio - статьи расходов предприятия:

Ici2 = Fb4\Icii,

здесь Ici2 - статьи сальдо по основной деятельности; Fb4 - статьи поступлений по операционной деятельности; Icii - статьи выплат по основной деятельности;

Ici3 = Ici \ Ic2 ,

Ici3 - статья сальдо инвестиционной деятельности; Ici - статьи доходов по инвестиционной деятельности; Ic2 - статьи расходов по инвестиционной деятельности;

Ici4 = Ic3 u Ic4,Ic3 n Ic4 = 0,

Ici4 - статья сальдо финансовой деятельности; Ic3 - собственный капитал; Ic4 - кредит.

Сальдо на конец периода:

Ib5 = Ic5 u Ici2 U Ici3 U Ici4,

где Ib5 - сальдо на конец периода; Ic5 - статья сальдо на начало периода; Ici2 - статьи доходов по финансовой деятельности; Ici3 - статьи доходов по инвестиционной деятельности; Ici4 - статьи расходов по инвестиционной деятельности;

Ici5 = Ic6 \ Ici3=

Ici5 - необоротные активы на конец планового периода; Ic6 - необоротные активы на начало планового периода; Ici3 - необоротные активы за плановый период;

Ib6 = Ici5 u Ib5 u Fb3 u Fb6,

Ib6 - актив баланса; Ici5 - необоротные активы на конец планового периода; Ib5 - сальдо на конец периода; Fb3 - запасы; Fb6 - дебиторская задолженность;

Ici6 = Ic7 u Ic3,Ic7 n Ic3 =0,

где Ici6 - собственный капитал на конец периода; Ic3 - собственный капитал; Ic7 -собственный капитал на начало периода;

Ici7 = Ic8 u Ic4,Ic8 n Ic4 =0,

Ici7 - кредит на конец периода; Ic8 - кредит на начало периода; Ic4 - кредит;

Ib7 = Ici6 u Ici7 u Ib3 u Fb7,

здесь Ib7 - пассив баланса; Ici6 - собственный каптал на конец периода; Ici7 - кредит на конец периода; Ib3 - первый бюджет прибыли; Fb7 - кредиторская задолженность.

Таким образом, множество итоговых бюджетов имеет вид:

7

Ib = u Ibp,

p=i

где Ib - множество итоговых бюджетов предприятия; Ibi - бюджет доходов и расходов; Ib2 - бюджет движения денежных средств; Ib3 - актив баланса.

Согласно (49) множество Ib конечно (каждому элементу множества можно поставить в соответствие натуральное число: номер). Кроме того, очевидно:

Ibp П Ibp-e Ib ,p Ф p,

IbpAIbp' c Ib ,p Ф p',

Тогда согласно (50), (5i) система ^ (Ibp) всех подмножеств множества Ib представляет собой кольцо множеств.

47

Характеристикой каждого из подмножеств множества Ib является его оценка в денежном измерении Р за плановый период - месяц, которую обозначим:

p

p

Обозначим:

Хз ={Fbm), p

Z3 ={p

Y3 = jp

где X3 - множество входных переменных третьего уровня; Z3 - множество внутренних переменных третьего уровня; Y3 - множество выходных переменных третьего уровня.

Структура третьего уровня представляется ориентированным графом G3 (3, M3), где V3 - множество вершин графа, M3 - множество дуг графа.

Вершины представляют собой входные, промежуточные и выходные показатели моделируемых явлений третьего уровня.

Множество дуг M3 = M31 и M32 и M33, где M31 - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от входных источников, M32 - множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от промежуточных источников, M 33 -множество дуг графа, соответствующих направлению денежных средств от выходных источников.

Множество вершин V3 = Х3 и Z3 и Y3, где Х3 - множество внешних вершин графа, соответствующих входам подсистемы третьего уровня, Z3 - множество вершин графа, соответствующих промежуточным показателям третьего уровня из M31 или M32 , Y3 - множество вершин графа, соответствующих выходам подсистемы третьего уровня из M31 , M32

или M33 .

Полученная формализация и классификация переменных системы планирования является основной составляющей построения математических моделей бюджетирования.

4. Формализация взаимосвязей показателей трех уровней

Взаимосвязи между показателями первого и второго уровней сформулируем в виде теоремы 1.

Теорема 1. Пусть задано кольцо ^ (Ob j) бюджетов первого уровня с заданной на нем мерой p(Obkj), Obkj є^О^Хк = 1,8,j = 1,J, а также кольцо ^ (Fbm) бюджетов второго уровня с заданной на нем мерой p(Fbm), Fbm є^^^^ = 1,8.

Тогда

Р

Fbk \ U Obkj

j=i

m

f

= p(Fbk )-Р

U Obkj

U=1

Доказательство. Доказательство теоремы 1 проведем методом математической индукции.

Докажем утверждение (57) при k = 1 :

j

j

Р

Fbj \ UObij

j=1

= p(Fb1 )-Р

f

J

U Ob1j

'v j=1

Учитывая (17), запишем:

Ob1j c Fb1,j = 1,J,

где Ob1j - операционный бюджет 1 -го вида по j -му виду продукции; Fb1 ный бюджет 1 -го вида операционной деятельности.

функциональ-

48

Используя свойства меры и множеств, получаем: имеем (58).

J J

Fbi = UObij + Fbi\ UObij j=i j=l

Отсюда

Докажем утверждение (57) для k +1: М В силу свойства аддитивности меры:

Fbk+1 \ U Obk+i,j j=

= M(b

(

k+i J-М

U Obk+1,j

j

J

J

М

J Л ( J

Fbk \ UObkj +М Fb1 \ UOby

j= J V j=1

= p(Fbk J-М

U Obkj

j .

+ p(Fb1 J-м

U Ob1j

I j=

Из последнего равенства, а также в силу (58) имеем:

л

(

J Л

М

V

Fbk \ U Obkj j=1

J

p(Fbk J-М

U Obkj

V j=1

J

Л

J

Теорема 1 доказана.

Взаимосвязи между показателями второго и третьего уровней сформулируем в виде теоремы 2.

Теорема 2. Пусть задано кольцо ^ (Fbm) бюджетов второго уровня с заданной на нем мерой M(Fbm) > Fbm e^(Fbm),m = 1,8 , а также кольцо ^ (Ibp) бюджетов третьего уровня с заданной на нем мерой M(Ibp), Ibp є ^(Ibp),p = 1,7.

Тогда:

м

M

M

M

M

M

M

M

Доказательство. Учитывая (34), (35), (43), (45), (48), множественные отношения между бюджетами второго и третьего уровней имеют вид:

Fb1 с Ib1, Fb7 с Ib4, Fb4 с Ib5, Fb5 c Ib5, №3 c Ib6, Fb6 c Ib6, Fb7 c Ib7 .

На основании полученных соотношений, а также используя свойства меры, получим формулы (60) - (67).

Проведенные рассуждения, обосновывающие взаимосвязи между характеристиками показателей финансирования производственной программы различных уровней, являются инструментарием СППР управления бюджетированием.

Выводы

Научная новизна. Приведена формализация трехуровневой бюджетной структуры предприятия. Представлены и доказаны теоремы, обосновывающие взаимосвязи между характеристиками показателей различных уровней. Практическая значимость состоит в том, что установленные взаимосвязи позволят построить математические модели прогноза деятельности предприятия, а также разработать информационную технологию управления бюджетированием.

Список литературы: 1. DummitD. S. Abstract algebra / Dummit D. S., Foote R. M. Wiley, 2004. 945 p. 2. Иванов Б. Н. Дискретная математика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007. 408 с. 3. Терещук И.В. Задачи бюджетирования в управлении финансовой деятельностью предприятия / И.В. Терещук // Системний аналіз, управління та інформаційні технології. Харків: НТУ «ХПІ», 2013. Вип. 2 (976). С. 149-158.

Поступила в редколлегию 11.09.2013 Криводубский Олег Александрович, канд. техн. наук, доц. кафедры прикладной математики (ПМИ), ДонНТУ. Адрес: Украина, 83001, Донецк, ул. Артема, 58.

Терещук Ирина Викторовна, аспирантка кафедры ПМИ, ДонНТУ. Адрес: Украина, 83001, Донецк, ул. Артема, 58. E-mail: Irena_Tervik@mail.ru.

49