Анализ динамики углового движения неуправляемого летательного аппарата методами качественной теории систем

УДК 623.54:623.451.08

Ахмад БаракатАльахмад

АНАЛИЗ ДИНАМИКИ УГЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА МЕТОДАМИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ

Проведен качественный анализ вращательного движения летательного аппарата как движения динамической системы с учетом влияния различных асимметрий и эксцентриситетов силы тяги. Показано, что наличие эксцентриситетов силы тяги и малых асимметрий не только изменяет величину угла атаки при резонансных режимах движения летательного аппарата, но и вызывает образование особых точек.

В процессе выбора параметров неуправляемых летательных аппаратов (ЛА) различного назначения необходимо проанализировать основные свойства динамики движения, оценить устойчивость, а также знать влияние различных факторов на изменение характера их движения. Подобные ЛА вращаются вокруг продольной оси, имеют не только симметричную внешнюю форму, но и малую асимметрию массово-конструктивных характеристик, что, в свою очередь, усложняет характер их пространственного углового движения. Поэтому в процессе проектирования и разработки подобных ЛА необходимо анализировать динамику углового движения аппаратов с учетом возмущений различного типа. Наиболее полную картину пространственного движения ЛА можно получить, используя метод численного интегрирования сложных нелинейных математических моделей. Однако такой путь решения задачи дает лишь частные (численные) результаты.

Оценить влияние величин конструктивных параметров ЛА и возмущающих факторов на изменение характера углового движения можно методами качественной теории дифференциальных уравнений. Топологически классифицировать дифференциальные уравнения в многомерном фазовом пространстве практически невозможно, поэтому качественный анализ динамики движения обычно проводят для выбранных параметров конкретного аппарата.

Угловое пространственное движение неуправляемого ЛА с учетом малых массово-конструктивных и геометрических асимметрий, а также эксцентриситетов силы тяги можно описать в соответсвии с работой [1] следующей системой уравнений:

J - Jx qS

-т--^

J mv

(Ca - CT)шх + Щ^2 \т*W +

Jv

J — J P

О Ox 1 т

J mv

Wx

+

J - Jx J

J - Jx J

Wx + Wx /3 -

^(Ca - Ct) + qSV2M + ^

mv

mv

ß -

Pt \ qSd . h,gwx +--ет sin wx--— \тг \Pt€t cos +

mv

mJv2

qSi ( „ Ay\ Pt ,

^y m20 - Ct— \ + -J(ö cos ^2 + £t£t cos ^i);

/3 = -

+

qSl

J

K\ +

q

2S 2f2

mJv2

m\(Ca - Ct) + m\pt - J-Jxw2

mJv2

J

+

J Jx qS / na ^ \ , qS"^2| ш i . J Jx Pt

(Ca - Ct )Wx + 777" \m^ \Wx + -;--TT Wx

J mv

Jv

J mV

+ | J JJxWx + Wx | a -

J - Jx

^(Cna - Ct) + ^\m\ + mv n Jv mv

ß -

ha Wx - — £t cos Wx + ^ 2 \m^\pt£t COs <£i + J mv mJv2

qS£ / az\ pt.^ . . .

+ J \У0 + ^ ) + J (öt sin ^2 + £txt sin ^i);

Wx =

qS£

У?

x

qS£2 Jxv

M Wx +

qS

+ J Ca (Aza + Аув) +

Jx

J Jx

Pt

(haWy - hßWz)Wx + J-öt£t sin(^i - ^2),

Jx Jx

где 7 — момент инерции ЛА относительно поперечной оси (7 = = = Л); , Нв — безразмерные центробежные моменты инерции,

На = и ^в = (7жг, — центробежные моменты инер-

ции); Ду, Дг — координаты бокового смещения центра масс ЛА от продольной оси симметрии; ет, — угловой и линейный эксцентриситеты силы тяги ЛА; Рт — сила тяги; хт — расстояние от центра масс ЛА до плоскости, включающей точку положения силы тяги; —

углы положения плоскостей углового и линейного эксцентриситетов силы тяги ЛА; т, £ — масса и длина ЛА; Б — площадь миделевого сечения ЛА; V — скорость ЛА относительно воздушной среды; д — скоростной напор.

В работе [2] показано, что резкое изменение динамики углового движения ЛА возможно при совпадении угловой скорости вращения ЛА вокруг продольной оси шх и так называемой "критической" угло-

^ /qsz

WcV J

собственных колебаний ЛА.

Введем безразмерный параметр (А = ) и преобразуем уравне-

^кр

ния системы (1) для случая, когда шкр = const:

вой скорости шкр, где шкр = шсу ———; шс = у -j- jm^j — частота

а + шсР\сх + шс(1 + AAi — А )а+

Jx J

+ 2 — -X )шкрА/3 + u)2c^iAß = шс2(«о + heA2)+

2 p A 2 P mp £ 2 -—т / \

+wc.pT€T sin --ш^Рт€т cos ю1——|-wc ——-(€TxT cos +dT cos w2);

шкр m а ma J

/3 + + wc2(1 + AAi — А2)в—

Jx

J

2 р A 2 Р mm £ 2 -—т / \

+wc Pt€t cos --hwc Pt€t cos ^ ——|-wc ——- (€txt sin ю1 +dT sin ю2у,

шкр m а m aJ

— 2--x WpAä — wC^Aa = ^(ßo — haA2)+

A+( J — 1

J X

(haa + hß в)^кр A—

— (Сра + PTHhaß — he а) + €T(ha sin + hß cos <£1)Pt + A =

Р —T m xo + C^Aza + Аув) + J €TdT sin

J X

X

A+

jSca; ¿pya = — (Ca — C); -Рт = ; ma = JI Jx y mv mv J

X

_ Ay CT

|m£|; mPxo = -;— mxo; m£ = —— |m£|; ао = —a

во = — ва +—;г!——т; аа, ва — балансировочные углы атаки и скольже-

£ \та\

ния, обусловленные малой асимметрией формы ЛА (аа = —тго / \т^ \;

ва = —туо/\т?\).

Далее рассмотрим вопросы обеспечения устойчивости резонансных режимов углового движения ЛА и условий возникновения и существования устойчивого резонанса. Известно, что особыми точками

любой динамической системы, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями, являются корни уравнений, описывающих установившееся движение. Запишем на основании системы (2) уравнения установившегося движения:

Л тш

(1 + AAi — Л2)а + ^Лв = а0 + he Л2 + Ртет sin ^--Ртет cos ^^^+

Шкр та

Рт

+ ——- (етжт cos + cos <я2);

m а J

Л тш

(1 + AA1 — Л2)в — м1Ла = в0 — Л.аЛ2 + Ртет cos --+ .ртет cos ^^^+

Шкр та

PT

+ -Z-^

m a J

J -1

x

(ha a + he ß НрЛ+

+ (Cya + -Pr)(hea - haß) + &T(ha sin < + he cos ^i)-R,

Pt

+ Л =

mxo + C^Aza + Ayß) + —sin

Jx

Л+

<.

Определим корни системы (3) и проведем линеаризацию уравнений системы (2) в окрестности этих корней. Полученную линейную систему можно использовать для исследования устойчивости динамической системы (2) в окрестности особых точек. Система дифференциальных уравнений (2) является тринадцатипараметрическим семейством относительно семи конструктивных параметров (Са, Су, та, т%, тх0, т%, Рт) и шести возмущающих параметров малых асимметрий и эксцентриситетов силы тяги ЛА (т.е. а0, во, ha, hв, ет, ¿т).

Таким образом, при полном параметрическом анализе приходится рассматривать глобальную картину разбиения семимерного фазового пространства динамической системы (2) при тринадцатимерном функциональном пространстве параметров.

В общем виде методами качественной теории этого сделать невозможно, поэтому необходимо фиксировать какую-то часть параметров и получить области структурной устойчивости на гиперповерхности в пространстве параметров.

Проведем анализ углового движения ЛА при наличии асимметрии внешней формы, бокового смещения центра масс и эксцентриситетов силы тяги. Рассмотрим случай, когда Ла = 0, Лв = 0, а0 = 0, в0 = 0, ет = 0, = 0. Решая систему (3) относительно углов атаки (а) и скольжения (в), получим следующие выражения:

в =

(1+ДА1-А2)(во + £xKn + dTK12) + ^iA(eTK2i + d^) _

(1 + AAi - A2)2 + (^iA)2

= в (А);

а =

(1+AAi-A2)(£TK2i+dTK22)-^iA(eo+£TKn+dTKi2) ... ...

-= ФЦ^;

(1 + AAi - A2)2 + (^iA)2

Ф2^) = а = -=

x шкр A mxo

ca Az

CaAz CaAz J

e d P

T T T

sin

где

P

m£ -

Cii =-cos <i; Ci2 = —a-PT cos < = -C22; Ci3 = --t- sin <

кр

m a

ma J

P P x P

C2i =-sin <i; C23 = —-r cos <i; Ki2 = -3—- sin <2;

шкр ma J mJ

Kii = CiiA+Ci2 + Ci3; K2i = C2iA+C22 + C-

y23;

K22 =

PT

m aJ

СОЭ <£2.

Особые точки (А*, а*, в*) системы уравнений (2) можно определить, решая совместно уравнения (4), (5) и (6). Рассмотрим качественную картину изменения угла атаки в пространстве а — А для случая наличия заданных возмущений во. В соответствии с уравнениями (5) и (6) при А = 0 имеем следующие значения угла атаки:

$i

=а

А=0

£t(^22 + C23) + dTK22 _

А=0

$2

=а

А=0

m

xo

Pt sin(<i - <2) _

А=0

= $i

Из уравнений (7) и (8) очевидно, что Ф1(А)0 зависит только от возмущающих факторов эксцентриситета силы тяги ет и ¿т, а функция Ф2(А)0 зависит от произведения ет^т и возмущающего фактора Дг.

Угол наклона прямой Ф2(А) в плоскости а — А с учетом формулы (6) определяется следующим соотношением:

dA[ 2( )] CaAz

Значение величины А, при котором прямая Ф2(А) пересекает ось абсцисс в плоскости а — А, определяется при а = 0 из уравнения (6) как

Ao =

1

m £ шкр

PT

mx0 + ed j sin

Jx

Отметим, что значение Ао не зависит от возмущающего фактора во или Дг, но в соответствии с выражением (10) зависит от произведения возмущающих факторов ет^т. Таким образом все прямые Ф2(А) для разных Дг будут пересекаться в одной точке (рисунок).

Точки пересечения прямой Ф2(А) с кривой Ф^А) соответствуют особым точкам решения системы уравнений (2) на фазовой плоскости, каждая из которых определяет величину угла атаки в режимах резонансной авторотации. Очевидно, чем ближе к вершине резонансного пика находится точка пересечения, тем большие углы атаки будут наблюдаться при резонансе.

Проанализируем семейство прямых Ф2(А) для случая в0 < 0, обусловленных фиксированным значением аэродинамической асимметрии ва и различными положительными значениями величин бокового смещения центра масс ЛА Дг.

В соответствии с формулой (9) имеем, что при Дг3 > Дг2 угол наклона прямой Ф2(А, Дг3) будет меньше, чем угол наклона прямой Ф2(А, Дг2). Это может привести к следующему. Для параметра Дг2 в

0.2

0.1

Рн ö 0.0

cd £

-0.1

-0.2

1

А <0 / / /

1 / 2 У '1 /

-41+А^ Му 1

3L, / / ' Г ' I л [ 41+м,

Ф2(Л, 4 ,( f//l

/ ч 3) ^ J 7

/

-2-1012

Безразмерный параметр 1=шх/юкр

Графики изменения угла атаки а в функции А для конкретного ЛА при во < 0, ет = const, dT = const для различных величин бокового смещения центра масс ЛА

установившемся режиме движения ЛА имеют место два корня уравнения и, соответственно, в структуре фазовой плоскости — две особые точки. При изменении параметра Дг от величины Дг2 до величины Дг3 возникает иная структура фазового пространства (см. рисунок), в котором имеют место пять особых точек. Таким образом, при небольшом случайном изменении величины параметра Дг не только получаются различные величины угла атаки в режиме авторотации, но и возникают различные случаи особых точек. На этом же рисунке показаны прямые, касающиеся резонансного пика Ф2(А, Дг2), и Ф2(А, Дг4) — касательная кривой Ф1(А).

Величины Дг2 и Дг4 являются бифуркационными значениями параметра Дг, лежащего в пределах (Дг2 < Дг < Дг4). Например, малое уменьшение величины Дг от значения Дг2 резко изменяет картину влияния бокового отклонения центра масс ЛА на угловое движение ЛА, которое будет проходить с небольшим углом атаки.

Наличие эксцентриситетов силы тяги, в свою очередь, изменяет положение особых точек: происходит смещение точки пересечения прямой Ф2(А) с осью абсцисс и изменение величины угла атаки при А = 0, соответствующей формуле (7).

В процессе проектирования ЛА применение методов качественной теории систем дает возможность оценить предельные величины малых асимметрий, при которых не возникает резонансных режимов, вызывающих угловое движение аппарата с большим значением угла атаки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Казаковцев В. П. Аналитический метод оценки влияния малых массово-конструктивных асимметрий на динамику углового движения СА // Оборонная техника. - 1997. - №9-10. - С. 57-59.

2. Ш и л о в А. А., Г о м а н М. Г. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу // Тр. ЦАГИ. - 1975. - Вып. 1624.-44 с.

3. Ш и л о в А. А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения // Сб. докл. АН СССР. - 1968. -Т. 183, №5.-С. 1028-1031.

Статья поступила в редакцию 1.06.2005

Ахмад Баракат Альахмад родился в 1965г. В 1989 г. окончил военно-инженерную академию им. Х. Альасада по специальности "Самолеты-двигатели" (г. Халеб, Сирия) со степенью "бакалавра" и Высшую школу авиации в 1993 г. В 1997 г. окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана по специальности "Баллистика и Аэродинамика" с магистерской степенью. В настоящее время работает в ЦНИИ (Сирия). Автор ряда научных работ в области баллистики и динамики полета летательных аппаратов.