Технологический прием разработки методического объекта «Методика работы с теоремой и ее доказательством

М.Г. Макарченко, И.Н. Боровков

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИЕМ РАЗРАБОТКИ МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА «МЕТОДИКА РАБОТЫ С ТЕОРЕМОЙ И ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ»

В задачи данной статьи входит: 1) выявление контекстов, которые создает учитель математики в ходе организации работы с теоремой и ее доказательством; 2) описание технологического приема, построенного на приоритетах выделенных контекстов; 3) приведение примера «послайдо-вого» создания методического объекта.

Решение первой задачи. В организации работы с теоремой учитель, прежде всего, опирается на этапы работы с теоремой. В качестве основного контекста, лежащего в основе создания методического объекта, рассматриваем методико-математический контекст, его тип - преемственно-познавательный контекст, его вид - преемственность «настройка-наращивание».

В ходе работы с теоремой «наращиваются»: 1) смыслы нового знания и нового умения, 2) знание формулировки теоремы и умение ее доказывать, 3) применять, 3) знание идеи доказательства теоремы, самого доказательства и умение применять теорему и идею.

Само наращивание должно осуществляться посредством «настройки» по принципам: 1) то, что наращивается, то наращивается в процессе рефлексии; 2) то, что наращивается, то и настраивается; 3) то, что настраивается, то настраивается в процессе выполнения целесообразных заданий (а не сообщений учителя) с последующим подведением промежуточных итогов. В следующем примере проиллюстрировано создание контекста подведения к теоретическому факту (настройка смысла нового знания) и формулировка теоремы (наращивание нового знания).

Пример 1. В данной таблице представлена реализация контекста преемственность «настройка - наращивание» смысла нового знания - формулировки теоремы.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Подведение к факту: настройка смысла нового знания

Задача: Дан треугольник АВС, у которого боковые стороны равны. Установите, в каких соотношениях находятся боковые стороны и углы при основании данного треугольника ? В А ^^^ С

Каков вид треугольника АВС? Треугольник АВС равнобедренный, т.к. АВ= ВС.

Что можно сказать об углах в данном треугольнике? В треугольнике АВС углы при основании равны. В А ^^^ С

Против каких сторон лежат данные углы? АА лежит напротив стороны ВС. АС лежит напротив стороны АВ. Заметки: Что можно сказать о соотношении сторон и углов в треугольнике? В А С

Итак, в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Заметки: А какие мы получим соотношения, если дан произвольный треугольник? В /хл А ¿А-СЛ С

Задание: Начертите в тетради треугольник АВС со сторонами АВ=3 см, АС=5см и углом между ними в 60°. В полученном треугольнике измерьте углы В и С. Заметки: Предложить ученикам начертить треугольник с указанными данными. У каждого получиться свой треугольник (т.к. третья сторона не оговорена в условии). Затем предложить каждому измерить транспортиром углы В и С в полученном треугольнике. Огласить результаты. Обобщить полученные данные общим рисунком, представленным в следующем слайде.

АВ = 85°. АС = 35°. В /85° ^ ^ / 35°>^ А С

Против каких сторон лежат данные углы? /Л лежит напротив стороны АС. АС - большая сторона в треугольнике АВС. В А С

/.С лежит напротив стороны АС. АВ - меньшая сторона в треугольнике АВС. В А С

ZC>Z£. В А С Заметки: Какой вывод можно сделать о соотношении сторон и углов в треугольнике?

Формулировка теоремы: наращивание нового знания

Итак, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Докажем это

Содержание данного примера говорит о том, что контекстом подведения к факту является деятельность, направленная на настройку смысла нового знания. Настройка смысла нового знания может быть осуществлена с помощью реализации проблемной ситуации или реализации специального методического приема. Из анализа реальных учебных ситуаций в процессе педпрактики студентов и анализа бесед с учителями математики выделяем рекомендации, которые посильны студентам в их реализации.

Для настройки смысла нового теоретического факта (теоремы) следует воспользоваться результатами выполнения задания, в условии которого содержится конкретизированное «числом» условие теоремы, а требованием задания служит аналог заключения теоремы.

Для настройки смысла нового умения можно предложить ученикам выполнить задание, направленное на непосредственное (в простейших условиях) применение нового теоретического факта в условиях, когда ученики не знают самого факта - им предстоит его изучить.

Итак, в данном примере рассмотрен, и в некотором смысле обобщен в виде рекомендаций, контекст преемственность «настройка - наращивание» нового знания. Вся схема контекстов приведена на схеме.

Таким образом, решена первая задача статьи. Перейдем к описанию технологического приема, построенного на приоритетах выделенных контекстов, т.е. к решению второй задачи.

Разработанный прием получен в процессе рассуждения с «конца» - с результата «наращивания» на разных этапах методики работы с теоремой: а) наращивание нового знания (этап формулировки теоремы), б) наращивание новых умений (этап работы с доказательством теоремы), в) наращивание новых смыслов и знаний (этап подведения итогов), г) наращивание нового умения (этап непосредственного применения теоремы), д) наращивание новых смыслов и умений (этап применения теоремы с другими фактами).

Среди этих «наращиваний» можно выделить два первоочередных, обязательных для работы с теоремой. Это наращивание нового знания и нового умения по его применению, а также наращивание нового смысла, связанного с идеей доказательства теоремы. Отсюда делаем важный вывод о необходимости выделения знакового выражения результатов указанных «наращиваний» в качестве исходных действий технологического приема разработки методического объекта.

Для создания методического объекта «методика работы с теоремой и ее доказательством» целесообразно выполнение следующих действий (некоторые из них могут быть пропущены на основе специфических особенностей теоремы или уровня развития учащихся). 1. Установить особенности данной теоремы и ее доказательства. Провести: а) логико-математический анализ формулировки теоремы, б) логико-математический анализ доказательства теоремы (возможно с выделением всех значимых для учеников силлогизмов), в) контекстуальный анализ теоремы (определить виды логико-математических контекстов, связанных с форму-

лировкой теоремы, выяснить возможность доказательства обратного теореме утверждения, выяснить «область» применения теоремы) и ее доказательства (определить виды логико -математических контекстов, связанных с доказательством теоремы, выделить идею доказательства и ее эквиваленты, выполнить логико-математический анализ этой идеи), г) логико-дидактический анализ теоремы (установить, какие математические понятия и когда изучались, найти их образы или прообразы, выяснить необходимость их актуализации) и ее доказательства (используя 1б), выявить теоретические факты, которые необходимы для актуализации, определить степень новизны идеи доказательства теоремы для учеников и необходимость организации подготовительной работы, направленной на осмысление этой идеи).

2. Разработать результаты письменного оформления работы учителя и учеников с теоремой и ее доказательством, с учетом результатов п. 1 (отвечаем на вопрос «Что я хочу, чтобы осталось в тетрадях учеников?»): а) оформление условия теоремы, б) оформление доказательства теоремы, в) оформление задач и их решений на непосредственное применение теоремы, г) выделение задач и их решений на применение идеи доказательства теоремы, д) определение эвристических рекомендаций для учеников.

3. Разработать методику выделения условия и заключения теоремы, в соответствие с методическими приемами «выделения» и уровня обученности или знакомства с этими приемами учащихся.

Прием использования совместного ответа на вопросы «О чем говорится в теореме?» и «Что именно говорится об этом?», на вопросы сначала отвечают по отдельности, а затем «дорабатывают» ответы так, чтобы интеграция ответов свелась к формулировке теоремы без лишних повторов.

Прием перехода от решения задачи на готовом чертеже к решению подобной текстовой задаче: условие задачи на готовом чертеже является прообразом фабулы текстовой задачи.

Прием демонстрации образца выделения условия и заключения теоремы учителем как интеграции «разрозненных», но по отдельности осмысленных учениками действий.

Прием анализа одновременного выполнения этого действия разными учениками: скрыто на доске и в тетрадях всех других учеников.

4. Разработать методику изучения доказательства теоремы.

Составить текст объяснения доказательства теоремы с учетом направления проведения рассуждений: от данных к требованию или - от искомых к данным. Определить метод изучения: объяснительно-иллюстративный, проблемное изложение, проблемная

ситуация, эвристическая беседа. В соответствие с выбранным методом выделить вопросы и ответы, опираясь на идею доказательства и последовательность логических шагов (качество выделения логических шагов доказательства проверяется их соотнесением с силлогизмами доказательства).

5. Разработать методику подведения утверждения под теорему в задачах на непосредственное применение теоремы.

Описать процесс подведения утверждения под теорему.

Установить набор задач (упражнений) на разностороннее применение формулировки теоремы.

6. Составить задачи и их описать их решения на применение идеи доказательства теоремы.

Схема. Контексты учителя математики в процессе работы с теоремой и ее доказательством

Подготовительный этап

Основной этап

Этап закрепления

А ктуа а л и з а ц

о

д и м

ых

з

н ани

н

е о

б

и

а

та а

о с

т и и

зу ч е н

к

е

о

б х о

Я о

д в е д е н и е к ф а

кту

та о

в ко

а б о т

№ тс

О) о

р

е

о р

и

о т

в

а

и м о с т и д о к

аз

ате е

И

е

о

б х о

> н

а л и з у с л о в

о т

в о

а б о т а с д о к

аз

ате е

л ь

я о

д в е д е н и е

ито о

г о в

пр и м е н е н и е т е о р е

е п о с р е д с т в е н н о е

н а

ри и

м е н е н и е

т

фа ео ар

к- е

др у г и

а

л

с

ы я

м с ин е

а й ем у

о о

орт г о

с в

ас о

н н

а

л

с

ы я

м и

с н

й а н з

о о

орт г о

с в

ас о

н н

о

г

о

в

о

н

е

и

н

а

в

и

щи

ан

ра

ан

нз

J к

о о

г г

о о

в в

о о

н н

а а

к к

й й

оя о

тр ин орт

са с

ан а

нз н

а л с ы

й и н

е

ем у

й о

ас н

й

и

н

е

ем

у

е

и

н

а

в

и

щи

а

р

а

н

е

и

ина

в

и ащ

р ар

н

о

г

о

в

о

н

е

и

н

а

в

и я

щи а ни

р е

а м

н у

х

ы й

в и

о н

н е

е м

и у

н а и

в в

и о

щи а л с

р ы

а м

н с

Опираясь на логико-математический анализ идеи доказательства теоремы, определить план реализации идеи.

Подобрать задачи, которые могут быть решены по данному плану при условии, что учащиеся обладают необходимыми знаниями и умениями.

7. Подбор задач на установление связей данной теоремы с другими теоретическими фактами. В основе данного действия лежит проведение идейно-математического анализа формулировки теоремы и интуитивный подбор задач.

8. Связать результаты выполнения 2-7 действий в единый методический объект с помощью необходимых причинно-следственных и рефлексивных связок.

9. Выделить развивающие цели изучения теоремы и в соответствии с ними составить эвристические рекомендации для учеников и определить средства их передачи (сообщение, организация рефлексивных действий).

Итак, пользуясь данным технологическим приемом, студенты могут приобрести нужные умения и пополнить собственный субъектный опыт. Следовательно, считаем, что и вторая задача данного параграфа решена.

Ниже приведено описание решения третьей задачи данной статьи: приведение примера «послайдового» создания методического объекта.

Пример 2. «Слайды» методического объекта: теорема синусов.

Теорема синусов

Подведение к факту: настройка части смысла нового знания

и части смысла нового умения

Задача №1: Дан прямоугольный треугольник ААВС, ^В=30°, ^С=60°, АВ=2 л/3, ВС=4,

АС=2.

BC AB AC Найти отношения-,-,- и сравнить их. sin A sin C sin B

О чем говорится в задаче?

О прямоугольном треугольнике АВС.

Об углах.

Что нам нужно найти?

Отношение сторон треугольника к синусам противоположных углов.

Сравнить их.

Давайте запишем краткое условие задачи и нарисуем рисунок. B

Дано: ААВС - прямоугольный, ^В=30°, ^С=60°, \

АВ=2^3, ВС =4, АС=2. зоЧ 60°\ _

BC AB AC Найти: -,-,--? Сравнить их. sin A sin C sin B A

C

Решение:

BC 4 Л AB 2л/з „ AC 2 1)-=-— 4.2)-=-= 4.3)-=-= sin A sin 90° sin С sin 60° sin В sin 30° 4.

Какой вывод можно сделать о полученных отношениях?

Полученные отношения равны и равны гипотенузе.

Что же из этого следует?

Отношения сторон к синусам противоположных углов равны.

Вывод. Для прямоугольного треугольника отношения сторон к синусам противоположных

углов равны гипотенузе, т.е. большей стороне.

А может ли это выполняться для произвольного треугольника, например,

для равнобедренного?

Проверим это.

Задача №2: Дан произвольный треугольник ДМЫК.

^N=30°, ^К=30°, ^М=120°, МЫ=2^2, N£=2 Тб . МК=2^2. Найти отношение этих сторон к синусам противолежащих углов.

О чем говорится в задаче? О сторонах и углах треугольника МЫК. Об углах.

Что нам нужно найти?

Отношение сторон к синусам противоположных углов.

Чему оно может быть равно в равнобедренном треугольнике? Большей стороне.

N

Давайте запишем краткое условие задачи и нарисуем рисунок: Дано:

ДМЫК. ^N=30°, ^К=30°, ^М=120°, МЫ=2^2, ЫК=2^6, МК=2^2.

мк мы ык

Найти:

Бт N Бт К БтМ

- ?

Решение:

МК

1)

Бт N Бт 30

272 =475.2) м 242

Бт К БШ 30е

= 4л/2 ,3)

ык _ 2^6

втМ ~ зт120°

= 4л/2.

Подведение к факту: настройка смысла нового знания

Сравним результаты, полученные в рассмотренных задачах. Какой можно сделать вывод? Мы видим, что полученные отношения равны между собой, но они не равны большей стороне.

Попробуем осмыслить результаты решения обеих задач, сравнивая их и переосмысливая. Чему равно отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла для прямоугольного треугольника?

В прямоугольном треугольнике оно равно большей стороне или диаметру окружности, описанной около треугольника.

Наращивание части нового смысла

Так как отношения сторон к синусам противоположных углов равны постоянной величине, то она должна иметь связь с каким-либо геометрическим объектом, связанным с данным треугольником.

Какие вы знаете величины постоянные для треугольника?

Площадь, периметр, высота, медиана, гипотенуза, биссектриса, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности.

Отбросим лишние.

Площадь (т.к. размерность не соответствует отношению). Периметр (т.к. у нас одна величина, а в периметре используются две). Радиус вписанной окружности (т.к. он меньше гипотенузы). Высоты, медианы и биссектрисы (т.к. они меньше гипотенузы).

Что осталось?

Гипотенуза, но гипотенуза - это величина значимая для прямоугольного треугольника. Радиус описанной окружности, а точнее удвоенный радиус, т.е. 2Я.

Итак, какое предположение можем сделать, основываясь на последних рассуждениях? Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно удвоенному радиусу.

Попробуем изобразить и осмыслить данный вывод геометрически. Построим:

К

1) Построим произвольный треугольник Опишем около него окружность

2) Из точки В проведём диаметр.

3) Достроим до прямоугольного треугольника. Проведенный диаметр будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, и равняться 2Я.

А

А

A

1)

В

3)

Наращивание нового умения

Используя данное построение, попытаемся сформулировать и доказать наше предположе-

Задача №3: Дан треугольник АВС вписанный в окружность с центром в точке О. Доказать, что

а) отношение ВС к б1па равно 2к

б) отношение АВ к бшс равно 2Я.

в) отношение ВС к б1па равно 2к

Давайте запишем краткое условие задачи и нарисуем рисунок.

Дано: ЛАВС с центром в точке О.

Доказать:

ВС _ _ АВ „ „ ВС _ _ а)--= 2Я, б)--= 2Я,В)~-= 2Я.

А

В

sin A

sin C

sin N

С

Нам нужно доказать, что отношение ВС к sinА равно 2К, т.е. пункт а). Что для этого нам нужно?

Надо доказать, что существует прямоугольный треугольник с катетом, равным ВС, противолежащим ему углом, равным углу А, и гипотенузой, равной 2 Я. Другими словами надо построить такие треугольники.

Знакомо ли нам такое построение? Выполним его.

1.Провести диаметр из точки В. Получили диаметр ВБ.

2.Соединим Б и С Получили ЛББС.

Как звучит теорема о вписанном угле, опирающемся на полуокружность? Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. А

На какую дугу опирается угол С? На полуокружность и угол С равен 90°.

Что можно сказать о треугольнике BDC? Что АВБС - прямоугольный. Чему равен sin ^D-?

sin ^D =

BC BD

(отношению катета к гипотенузе).

A

A

Рассмотрим углы А и Б.

Что мы можем о них сказать?

Они равны. ^А =

Почему?

Потому что они опираются на одну дугу.

Какой мы можем сделать из этого вывод?

sin A=sin D.

Возможны 2 случая:

1. Точка D принадлежит дуге BAC 2. Точка D принадлежит дуге

A BKC

D V-—-\С

в \-У Jf—-*-^ D О

Рассмотрим 1 случай.

BC ^ = A^D, sin A =-, BD = 2R. BD

BC BC Вывод: sin A= - и-= 2R. 2R sin A

Рассмотрим 2 случай.

Чему в этом случае равен угол D?

^D = 180°- ^A

BC BC BC sin A =-, BD = 2R. Вывод: sin A= -, -= 2R. BD 2R sin A

Аналогично доказываются другие пункты.

Вывод: Так как, мы рассматривали произвольный треугольник, для него отношение стороны к

синусу противоположного угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника,

то давайте обобщим эти факты и сформулируем теорему!

Формулировка теоремы: наращивание нового знания

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов и равны

диаметру описанной окружности, т. е. 2R.

Оформление и доказательство теоремы: наращивание новых умений и новых идей

Краткая запись теоремы синусов!

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов и равны

диаметру описанной окружности.

Доказательство.

1) R-радиус AMNK(no условию);

2) ND-диаметр, ND е ADNK;

3) Z. К-прямой(по условию);

4) =>NK=NDsinD;

5) Если точка Г) е ^ ЫМК (рис. а), то АМ = А1) (пот. о вписанном угле, опирающемся на

полуокружность), тогда и sin D=sinM.

А если точка D е VJNLK(puc.6), то ZD = 180° - ZM.

И в том, и в другом случае sinD= sinM=>NK=NDsinM или NK= 2RsinM.

Рис. а M Рис- б М ^^-К ___— /7 / /-ЛЧ

D // \\

j nF—О-Ч D

K

N \ у

Непосредственное применение теоретического факта: наращивание нового умения (уме-

ния применять теорему)

Задача №4. В треугольнике ABC АС=12, Z А=75°, Z С=60°.

Найти АВ.

Запишем краткое условие и нарисуем рисунок.

Дано:АС=12ст, Z А=75°, Z С=60°.

Найти АВ?

Решение:

АВ = 180° - (75° + 60°) = 45°.

По теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны

синусам противоположных углов.

АВ АС АО -=-. АВ = sin С sin В АС sin С _ 12-S-2 sin В 2-y¡2

Ответ: AB=6 л/б .

Задачей 4 представлены не все возможности непосредственного применения теоремы, другие не сложно спрогнозировать (здесь они не приведены).

Сделаем некоторые замечания.

Во-первых, обучение студентов разрабатывать методику изучения теоремы следует с осмысления субъектного опыта и качества выполнения методических действий у доски в условиях квазипрофессиональной деятельности. Во-вторых, Различные виды методических анализов не должны изучаться до осмысления их необходимости студентами. В -третьих, умение оформлять тот материал, который останется в тетрадях учеников следует считать важным целевым пунктом в школе и начальным шагом в обучении методическому объекту «теорема». В-четвертых, создание методического объекта в крупном блоке, причем связанного логикой предмета и логикой дидактики от начала до конца, следует считать важнейшим этапом, рубежом, уровнем движения студентов к осмыслению данного технологического приема. В-пятых, сам прием не должен навязываться будущим учителям, его осмысление целесообразно проводить в условиях рефлексивной деятельности.

Таким образом, рассмотрены основные положения построения методики контекстного обучения будущих учителей математики общей «методике обучения математике».