Исследование одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа

УДК 519.7

Ю.Н. Киселёв, М.В. Орлов2

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ ДВУХСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ КОББА-ДУГЛАСА*

В статье описано оптимальное решение в одной двухсекторной модели экономического роста с производственной функцией Кобба-Дугласа. Максимизируется одна из фазовых координат в конечный момент времени. Горизонт планирования считается конечным, фиксированным и "достаточно большим". Основным аппаратом для построения решения является принцип максимума Понтрягина, содержащий необходимые условия оптимальности. Устанавливается оптимальность экстремального решения, построенного на основе принципа максимума. Предложено конструктивное описание оптимального решения.

Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, особые режимы, достаточные условия оптимальности, математические модели, производственная функция Кобба-Дугласа, краевая задача принципа максимума.

1. Введение. Рассматривается задача оптимального распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели. Для построения решения привлекается принцип максимума Понтрягина. Вычисляются особые режимы задачи. Решение краевой задачи принципа максимума предъявляется в явном виде в каждом из трех выделенных случаев расположения начального состояния объекта. Предположение о "достаточно большом" горизонте планирования является естественным, формулируется в терминах задачи и примыкает к известной практике исследования задач математической экономики на бесконечном горизонте планирования. Задача исследуется в некоторой канонической форме. Показано, что оптимальное управление является кусочно-постоянной функцией времени; количество точек переключения не превосходит двух. На финальном участке времени оптимальное управление равно нулю. Финальному участку предшествует особый участок времени, на котором фазовая траектория движется по особому лучу. Если начальное состояние объекта принадлежит особому лучу, то оптимальное решение содержит только эти два участка: особый и финальный. Если же начальное состояние объекта не принадлежит особому лучу, то на начальном участке времени происходит перевод объекта на особый луч с управлением, равным нулю или единице. Особое значение управления совпадает с одним из коэффициентов эластичности производственной функции Кобба-Дугласа. При увеличении горизонта планирования длительность начального и финального участков времени остается неизменной, а длительность особого участка времени возрастает.

2. Постановка задачи. Рассматривается задача оптимального управления

{yl=u/elF{y), 2/1 (0) = Ую > О,

у2 =

J = y2(T)^ max,

и

где yi, у2 — фазовые переменные, и — одномерное управление, удовлетворяющее геометрическому ограничению и € [0,1], Т > 0 — фиксированная длительность горизонта планирования, функция

Р{У) = У£1У£2\ £i>0, е2>0, Ei + Е2 = 1, у =

— производственная функция Кобба-Дугласа [6, 7] с коэффициентами эластичности £i, е2. Множество положительных чисел {Т, yw, у2о, £i, £2} образует набор исходных данных задачи (1). Параметр Т предполагается "достаточно большим" (см. ниже теоремы 3, 5, 7).

1 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: kiselevQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: orlovQcs.msu.su

*Габота поддержана грантами НШ-5443.2008.1, ГФФИ 09-01-00378-а.

Задача (1) относится к кругу задач, востребованных приложениями при различных предположениях о типе производственной функции -Р(-)- Оптимальное решение задачи распределения ресурсов (1), (2) строится на основе принципа максимума Понтрягина [1] с привлечением достаточных условий оптимальности (см. [2] и [3]) в терминах конструкций принципа максимума Понтрягина.

В работах [8-14] описан опыт построения оптимального решения ряда задач распределения ресурсов для управляемых объектов, представляющих интерес для приложений, в том числе задач управления, допускающих особые режимы. Особенностью этих работ является конструктивное описание оптимальных решений.

Замечание. К виду (1) сводится задача оптимального управления

(XI = иР(х1,х2) - цхг, ж1(0) = жю>0,

х2 =

Ь = х2(Т) шах, 0 < « < 1, (Кг^Т,

и

с положительным коэффициентом амортизации /х. Это достигается определенным масштабированием фазовых переменных и времени. Задачу (1) будем называть канонической формой задачи (3).

3. Вычисление возможных особых режимов задачи (1). Краевая задача принципа максимума

3.1. Анализ условия максимума. Вычисление возможных особых режимов. Для исследования задачи оптимального управления (1) привлекается принцип максимума Понтрягина [1]. Функцию Гамильтона-Понтрягина

Н

перепишем в форме

Н

где

тг = тт

— функция переключения. Принимая во внимание положительность функции Кобба-Дугласа Р{ ) в находим максимизатор функции (4) при ж ф О

и*

ие[од] [и, 7Г < и,

где /г(-) — функция Хевисайда. Если предположить выполнение тождества

тг = 0 Шб

то можно установить следующие соотношения для возможного особого режима задачи

2/1=2/2, и = щПд = £ 1 6

Действительно, детальная запись условия (7) имеет вид

П

где ф(1) = (ф1(1), ф2(1))Т — сопряженная переменная — нетривиальное решение сопряженного уравнения ф = —Н'у(у,ф,и), или, в силу (4),

т = -Р'

Здесь -Р'(у) = (р1^) = (I1 Р(у) — градиент производственной функции -Р(у). Координатная

"У2 \У ) ^ '

форма сопряженного уравнения (10) имеет вид

'ф1 = ^£1/у1Р(у)[и-ж + ф2/е2], Ф\{Т) = 0, , .

Ф2 = -е2/у2Р(у) [и  ж + ф2/е2], ф2(Т) = 1. 1 ;

В (11) к сопряженным уравнениям присоединены условия трансверсальности.

Проведем теперь исследование тождества (9) и его дифференциальных следствий. Имеем

П

Из тождества (12) получаем: П(£) = 0 <==> фг/ег = ф2/е2,, или, с учетом сопряженных уравнений (11) и тождества (12),

Так как сопряженная переменная ф{1) ф О Ш € [0,Т], то из (12) следует, что на особом участке 02 ф 0. Тогда из (13) вытекает: у\ = у2 Ví € (а, /3). Дифференцирование последнего тождества по времени £ дает у\ = у2 Ш € («,/?), или, в силу дифференциальных уравнений движения задачи (1), и/£1-Р(у) = (1 — и)/е2Р{у). Разрешая это уравнение относительно и, находим

и = £1 € (0,1) Ш € (а,/3).

Итак, соотношения (8) для возможного особого режима задачи (1) установлены.

Разумеется, вопрос о параметрах а, /3, определяющих границы (по времени) особого режима, и даже вопрос о существовании особого режима пока остается открытым. Доопределим теперь функцию (6) при ж = 0, полагая

= /г 0.

и перейдем к построению краевой задачи принципа максимума.

3.2. Краевая задача принципа максимума. Запишем краевую задачу принципа максимума для задачи оптимального управления (1) (см. (14)):

'у1=и/е1Е(у), 2/1(0) = ую,

у2 = (1 - и)/е2Р(у), 2/г(0) = 2/20,

ф1 = ^£1/у1Р

Ф2 = -е2/у2Р{у) [и- тг + ф2/е2), ф2(Т) = 1, ки = и*(ф).

Член и • 7Г в (15) может быть, в силу (14), представлен в форме

и  тг = Ыж)ж = Ж ^ ^ О Уж.

V > 2

Пусть функции

образуют решение краевой задачи (15). Полагаем

Г1, п(г) > О,

и(г) = и*(ф(г)) = < о, п(*) < о,

[изпд, П(£) = 0.

Пара функций

образует экстремальный процесс, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности в форме принципа максимума с участием сопряженной переменной ф{Ь). Тройку функций

будем называть экстремальной тройкой. Наличие особого участка в решениях (16), (17) не исключается.

В следующем разделе устанавливается оптимальность экстремального решения (16) с привлечением схемы, предложенной в [2]. Таким образом, в задаче оптимального управления (1) принцип

максимума является необходимым и достаточным условием оптимальности. Для построения оптимального решения достаточно предъявить решение у(1), ф(1), 0 ^ £ ^ Т, краевой задачи принципа максимума (15). Заметим, что существуют примеры задач управления, в которых не любое экстремальное решение оптимально (см. пример в [5]); более того, количество экстремальных решений в приведенном примере неограниченно возрастает с ростом Т.

4. Обоснование оптимальности экстремального решения

4.1. Исследование свойств экстремального решения. Предполагая существование экстремальной тройки (17) с сопряженной переменной ф(1) = {ф\{1), ф2(1))т, отметим сначала некоторые свойства решения (17), которые используются при доказательстве оптимальности экстремального решения задачи (1) и представляют самостоятельный интерес. Может быть установлена следующая

Теорема 1. Для функции д(ф) = Ь,{и)и + ф2/е2, где ж = ж(ф) — функция переключения (5), и сопряженной переменной ф(1) из (17) имеет место неравенство

д№))> 0 Ше[0,Т].

Отметим некоторые другие важные свойства экстремального решения (17). Так как ф^ = = —рР(у)д(ф), г = 1,2, то, в силу неравенства (18), имеют место неравенства ф^) < О Ш € [0,Т], % = 1,2; сопряженные переменные ф2{Ь) имеют непрерывные отрицательные производные и явля-

ются убывающими положительными функциями времени: ф\{Ь) > ф\{Т) = 0, ф2{Ь) > ф2{Т) = 1 > О Ш € [0,Т). Так как = П(Т) = —р2(Т) = < 0, то экстремальное управление и^) = /г(П(£)) = О

на некотором финальном участке (в,Т].

4.2. Теорема о достаточных условиях оптимальности.

Теорема 2. Экстремальный процесс (16) оптимален для задачи управления (1).

Доказательство. Не приводя подробных рассуждений, опишем основные моменты доказательства утверждения теоремы 2. Рассмотрим наряду с экстремальным процессом (16) любой допустимый процесс

ад*м-

Введем приращения Ау(1) = у(1) — Д./ = <7[й(-)] — </[«(•)] = у2(Т) — у2(Т) для траектории и функционала. Оптимальность экстремального процесса (16) будет доказана, если установить неравенство

< 0

для любого допустимого процесса (19). Используя специальное интегральное представление для приращения функционала можно показать, что

г

А {*-

о

В силу вогнутости функции Кобба-Дугласа (2) справедливо неравенство

< о

Неравенства (21), (22) и доказанное в теореме 1 неравенство (18) влекут оценку сверху для приращения функционала ^ 0. Неравенство (20) установлено. Теорема 2 доказана.

Таким образом, для построения оптимального решения задачи управления (1) достаточно предъявить экстремальный процесс, полученный на основе решения краевой задачи принципа максимума (15). Именно на этом пути будет построено оптимальное решение задачи (1) при условии "достаточно большого" горизонта планирования Т.

5. Три случая расположения начального состояния у(0) = € Д+. Построение оптимального решения. Из полученных ранее соотношений (8) для особого режима сейчас выделим

первое: у\ = у2. Введем в рассмотрение множество Ь8пд = {у = (у1,у2)т € : у\ = у2 > 0}, которое будем называть особым лучом. Этот луч разбивает В?+ на две области Ьа = {у е : у\ > у2 > 0} и Ь\ = {у € : у2 > У1 > 0}. Задачу (1) целесообразно рассматривать отдельно в каждом из трех случаев:

CSng ' У ^ Lsng (yQ на особом луче),

С0: у° G LQ под особым лучом)

Ci: У° е Li над особым лучом)

При "достаточно большом" горизонте планирования Т индексация множеств Ь8пд, Ьа, Ь\ и случаев С,Чпд-, Со, С\ соответствует значениям оптимального управления на начальном участке времени.

5.1. Оптимальное решение задачи (1) в случае С8пд: начальная точка у° лежит на особом луче.

,о _ (

Теорема 3. Пусть уи =

У 20

G Lsng, m. е. ую = у2q > 0, и выполнено неравенство Т > 1

"достаточно большой" горизонт планирования). Тогда экстремальное решение

0 < t < Т,

задачи управления (1) имеет вид, описанный ниже. Управление

u(t) = iUsn9 = 6u

[О, t€(0,T\,

с точкой переключения 0 = Т — 1 € (0, Т). Фазовые переменные:

'Ht),

yÁt) =

r(t), te [0,0], r(0), ÍG(0,T],

y2(í) =

r

1 + —

£2

1/ei

ÍG[O,0], t G (0,T]

r(í) = г0е*, r(0) = rQ = y 10 = У20 > 0. Сопряженные переменные: ipi(t) = £\pi(t), ip2(t) = e2p2(t), где

j-t

PÁt) =

qe

e-t

t€[ 0,0], q[T-t], ÍG(0,T],

qe

P2(t) =

. —1/£1

1

£l

e2

-S'i/e

t€[ 0,0],

t G (0,T]

> 1.

Программная функция переключения П(£) = pi(t) ^ p2(t) обладает свойствами

n(í) = о, íe[о,в],

n(í) < 0, ÍG(0,T],

n(í) = о, íe[о,в],

fl(t) < 0, ÍG(0,T],

Начальный участок времени [0, в] является особым.

Утверждения теоремы 3 допускают непосредственную проверку, которая здесь не приводится.

Теорема 4. В случае у° € Ьвпд ( начальная точка траектории на особом луче) экстремальное решение задачи (1), описанное в теореме 2, является оптимальным решением задачи управления (1). Оптимальное управление имеет одну точку переключения в € (0, Т). Начальный участок времени [0,0] является особым. Длительность финального участка времени [0,Т], где управление равно нулю, равна единице. Оптимальная траектория на фазовой плоскости У1У2 состоит из двух отрезков: начальный участок траектории [у(О),у(0)] — кусок особого луча Ъ8пд, а финальный ее участок [у(в),у(Т)} — вертикальный отрезок. Оптимальное значение функционала ,1 определяется равенством Зорх = уюев {1/е2)11£1 .

Доказательство. Утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 2 об оптимальности экстремального решения и теоремы 3, в которой экстремальное решение для случая у° € Ьзпд, Т > 1 построено. Теорема 4 доказана.

5.2. Оптимальное решение задачи (1) в случае С0: начальная точка лежит под особым лучом.

Теорема 5. Пусть у° = (

\У20.

€ ¿о, т. е. ую > уго > 0, ы выполнено неравенство Т > г + 1,

гс>е

г = (егМ) [1 - (У2о/Ую)61] > О

"достаточно большой" горизонт планирования). Тогда экстремальная тройка

о < г < т,

задачи управления (1) определяется следуют,им образом. Управление

Г О, ¿6 [0,г],

и(г) = <изпд = еъ ге(т,0], [о, ¿6(0, Г],

первая точка переключения имеет вид (24), а вторая точка переключения в = Т — 1>т>0. Фазовые переменные:

*е[0,т], Г2/10 [1 + - т)]1/е1 ,

ге(т,0], У2(г) = Ь(г),

¿е(0,т], [г(0)[1 + £1/£2(г-0)]1/е1

г(1) = уюе*~т, ¿€[т,0].

Сопряженные переменные: ф= £1р\(1), ф2(1) = вгРггс>е

Ую,

У1(*)= ^г(г),

¿6 [0, г], ¿€(т,0],

* € (0,Т]

<1< " ' [ I + г — / ]. ¿6 [0, г],

¿€(т,0],

г е {в,т\

Ы*) = <

де де

0 — т

1

1 +

-62/

-62/61

¿6 [0, г], ¿€(т,0], t € (6,Т\

.-1/61

> 1.

Программная функция переключения П(£) = |?1(£) — Рг(^) обладает свойствами:

'П(г) <0, [0, г), ГП(г) >0, [0, г),

п(г) = 0, [г, 0], < п(г) = 0, г е [г, в], п(г)<о, ге(0,т], [п(г)<о, ге(0,т].

Средний участок времени [т, в] является особым.

Утверждения теоремы 5 допускают прямую проверку, которая здесь не приводится. Теорема 6. В случае у° € Ьа ( начальная точка траектории ниже особого луча) экстремальное решение, описанное в теореме 5, является оптимальным решением задачи управления (1). Оптимальное управление имеет две точки переключения т и в. Средний участок времени [т,в] является особым. Длительность финального участка времени [0,Т], где оптимальное управление равно нулю, равна единице. На начальном участке времени [0, г] оптимальное управление равно нулю, параметр т определяется формулой (24). Оптимальная траектория на фазовой плоскости у\у2 состоит из трех отрезков: начальный участок траектории [у(0),у(т)] — вертикальный отрезок; средний (особый) участок [у(т),у(в)} — кусок особого луча Ьзпд; финальный участок траектории

[у(в),у(Т)} — вертикальный отрезок. Оптимальное значение Jopt функционала J определяется равенством Jopt = ywee~T (1/е2)1^1.

Доказательство. Утверждение теоремы 6 вытекает из теоремы 2 об оптимальности экстремального решения и теоремы 5, в которой экстремальное решение в случае yQ G L0, (23), (24) построено. Теорема 6 доказана.

5.3. Оптимальное решение задачи (1) в случае С\: начальная точка лежит над особым лучом.

Теорема 7. Пусть у° = ) € Li, т.е. у2 о > ую > 0, и выполняется условие

\У 20/

Т > а + 1,

где

а = {ei/e2) [1 -

("достаточно большой" горизонт планирования). Тогда экстремальное решение

задачи управления (1) определяется следуют,им образом. Управление

1, t G [0, сг],

usng=e 1, te (а,в], ÎG(0,T],

первая точка переключения определяется равенством (26), а вторая точка переключения в = = Т — 1 > с > Q. Фазовые переменные:

{yw[l + e2/ei{t^a)}ll£\ te [0, а), yi(t) = \r(t), t€ (а, в],

(У2о, i е [о,сг],

r(t), t€(a,0],

r(e)[l + e1/e2(t-0)]1/ei , ÎG(0,T], r(t) = у2оег-а, [а, в]. Сопряженные переменные: ipi(t) = £\pi(t), ip2(t) = e2p2(t), где

(qe0~° [1 + £2/£l(t - a)}-£2/£l , t G [0, cr], Pi{t) = lqee-\ t€(a,ff\,

[ q[T-t], te{o,T],

{qe0-11 [1 + (T - t], i e [0,cr],

qe0-*, t(E (a,в],

q[l + £l/e2(t^e))-£2/£l , t G (в,Т],

Программная функция переключения O(t) = pi(t) — p2(t) обладает свойствами:

'll(i) > 0, t G [0, a), În(i)<0, t G [0, a), n(i) = 0, t G [tr, в], < fl(t) = 0, t G [a, в], U(t)<0, t G (в,Т], [rï(i)<0, t G (в,Т].

Средний участок времени [а, в] является особым.

Утверждения теоремы 7 допускают непосредственную проверку.

Теорема 8. В случае yQ G Li ( начальная точка траектории над особым лучом) экстремальное решение, описанное в теореме 7, является оптимальным решением задачи управления (1). Оптимальное управление имеет две точки переключения айв. Средний участок времени [а, в] является особым. Длительность финального участка времени [0,Т], где оптимальное управление равно нулю, равна единице. Оптимальная траектория на фазовой плоскости у\у2 состоит из трех отрезков: начальный участок траектории [у(0), у(ст)] — горизонтальный отрезок; средний (особый) участок [у(а),у(в)} — кусок особого луча Lsng; финальный участок траектории [у(в),у(Т)} — вертикальный отрезок. Оптимальное значение Jopt функционала J определяется равенством Jopt = У2ое0~а (l/e2)llei.

Доказательство. Утверждение теоремы 8 вытекает из теоремы 2 об оптимальности экстремального решения и теоремы 7, в которой построено экстремальное решение в случае yQ G Li, (25), (26). Теорема 8 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Понтрягин J1. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

2. Киселёв Ю.Н. Достаточные условия оптимальности в терминах конструкций принципа максимума Пон-трягина // Математические модели в экономике и биологии. Материалы научного семинара. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 57-67.

3. Аввакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Некоторые алгоритмы оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. 12. № 2. С. 3-17.

4. Киселёв Ю.Н., Орлов М. В. Задача распределения ресурсов в двухсекторной экономической модели с производственной функцией Кобба-Дугласа // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения-ХХ». Воронеж, 2009. С. 85-86.

5. Киселёв Ю.Н. Построение точных решений для нелинейной задачи быстродействия специального вида // Фундамент, и прикл. матем. 1997. 3. Вып. 3. С. 847-868.

6. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во МГУ, 1980.

7. Аввакумов С. Н., Киселёв Ю.Н., Орлов М. В., Тар ас ье в A.M. Задача максимизации прибыли для производственных функций Кобба-Дугласа и CES // Нелинейная динамика и управление. Вып. 5. М.: Физматлит, 2007. С. 309-350.

8. Киселёв Ю. Н., Решетов В. Ю., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Построение оптимального решения и множеств достижимости в одной задаче распределения ресурсов // Проблемы динамического управления. Вып. 2. М.: МАКС Пресс, 2007. С. 106-120.

9. Киселёв Ю.Н., Аввакумов С. Н., Орлов М. В. Построение в аналитической форме оптимального решения и множеств достижимости в одной задаче распределения ресурсов / / Прикладная математика и информатика. № 27. М.: МАКС Пресс, 2007. С. 80-99.

10. Киселёв Ю.Н., Решетов В.Ю., Аввакумов С.Н., Орлов М. В. Исследование одной задачи распределения ресурсов // Дифференциальные уравнения и топология. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения J1. С. Понтрягина. Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс, 2008. С. 350-352.

11. Киселёв Ю.Н., Аввакумов С.Н., Орлов М.В. Исследование одной двухсекторной экономической модели с возможными особыми режимами // Проблемы динамического управления. Вып. 3. М.: МАКС Пресс, 2008. С. 77-116.

12. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Задачи оптимального управления с особыми режимами для одной модели из микробиологии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1998. № 3. С. 23-26.

13. Berg H.A. van den, Kiselev Yu.N., Kooijman S.A.L.M., Orlov M.V. Optimal allocation between nutrient uptake and growth in a microbial trichome //J. Mathematical Biology. 1998. V. 37. P. 28-48.

14. Киселёв Ю.Н., Орлов М.В. Исследование одномерных оптимизационных моделей в случае бесконечного горизонта // Дифф. ур-ния. 2004. 40. № 12. С. 1615-1628.

Поступила в редакцию 15.10.09