Численно-аналитическое моделирование передачи усилий от балки к пластине

Список литературы

1. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. — М., 1986. — 318 с.

2. Александров А. В. Основы теории упругости и пластичности: учебник для строит. спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высш. шк., 1990. — 400 с.

3. Тимошенко С. П. Теория упругости: пер. с англ. / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975. — 576 с.

4. Семенов А. А. Влияние отрицательных температур на напряженно-деформированное состояние стен камер судоходных шлюзов: дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук / А. А. Семенов. — СПб.: СПГУВК, 2005.

УДК 519.6+626.4 А. В. Матросов,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕДАЧИ УСИЛИЙ

ОТ БАЛКИ К ПЛАСТИНЕ

NUMERICAL-ANALITIC MODELING OF FORCE TRANSMISSION FROM

A BEAM TO A PLATE

В статье представлен численно-аналитический метод расчета плоских линейно-упругих конструкций сложной конфигурации, основанный на декомпозиции конструкции на прямоугольные области и использовании общего решения для прямоугольника, построенного на основе метода начальных функций. Этот подход применим также и к пространственным конструкциям, элементы которых работают в условиях плоской задачи теории упругости. На примере задачи определения распределения касательных напряжений при передаче усилий от балки усиления к пластине показана применимость развиваемого подхода к расчету пространственных конструкций.

An algorithm for building a numerical-analytical solution for plane linearly-elastic constructions of irregular shape on basis of its decomposition on rectangular elements and using a general solution for a rectangular area based on a method of initial functions is presented. This approach may be applied to three dimensional constructions all elements of which work as plane ones. Modeling offorce transmission from a strengthen beam to a plate has shown an applicability of the developed approach to 3D constructions.

Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, конструкции сложной конфигурации, пространственная конструкция.

Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, irregular shape structures, 3D constructions.

1. Введение. В работах [1, с. 8-14; 2, с. 20-27] показано применение метода декомпозиции к расчету плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации: голова шлюза, балка на слоистом упругом основании. Однако этот подход применим также и к пространственным конструкциям, элементы

которых работают в условиях плоской задачи теории упругости. На примере задачи передачи усилий от балки усиления к пластине показана применимость развиваемого подхода к расчету пространственных конструкций.

2. Общее решение для прямоугольной области. В работе [3] разработан и реализо-

Выпуск 4

¡Выпуск 4

ван алгоритм построения общего решения в виде тригонометрических рядов для граничной задачи анизотропного линейно-упругого прямоугольного в сечении тела с размерами (0, И) х (0, a) вдоль координат x и у соответственно, находящегося в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния. Общее решение строится на основе метода суперпозиции, предложенного Г. Ламе еще в 1851 г. [4]. Суть его заключается в том, что если имеются два решения, обладающие функциональным произволом для удовлетворения граничным условиям (ГУ) на альтернативных противоположных гранях прямоугольника, то сумма их даст общее решение для всего прямоугольника.

В качестве указанных решений в [3, с. 55-65] используются два решения, построенные методом начальных функций (МНФ). В первом начальные функции задаются на линии х = 0, а во втором — на линии у = 0, причем выбираются они в виде тригонометрических рядов.

Обозначим через

и0 ={«° 00, V0 (у), Ъ°х 0), (7)} и

и0 = (х), V0 (х), ст° (х), 0)}

векторы начальных функций, заданных соответственно на линиях х = 0 и у = 0. Векторы перемещений и напряжений

и ={м (х,у), V (х,у), стх (х,у), ау (х,у), тху (х,у)} и и ={« (х,у), V (х, у), Ъх (х,у), ау (х,у), \у (х,у)}

в соответствии с решением МНФ выражаются через векторы начальных функций следующим образом

и=Ьи°,

и=ш°,

\цЛ и ь = Ці

1_ чл У

(/ = 1, 5, і = 1, 4) -

матрицы операторов МНФ с элементами вида

¿=0

к=0

которых коэффициенты 1у и 1у зависят от упругих постоянных анизотропного тела и соответственно операторов дифференцирования д по переменной у и д по переменной х.

Начальные функции выберем в виде тригонометрических рядов

и„=£и<->,

т=0 (2) _ 00 _

5. =£0?>,

п=0

в которых и1т) = ^т)4, 4т)<, «Зт)4, «4т)С} и и^ = ^-4*.^*?Ч‘}, 4т) и ^ ( = 1, ..., 4) — произвольные числовые коэффициенты, а л“ =8ш(ат.у), сат=соъ(ату), ^ = sm(|3„x), с\ = cos(P„x), ат = m%|a, Р„ = т/к, т и п — любые целые неотрицательные числа.

В этом случае в соответствии с решениями МНФ (1) векторы перемещений и напряжений и и и будут получены в виде

и=у и<т),

"=°

п=0

где

и'”> = $">с Д”>с Щ->с Д"'<},

(?> ЦХ. Д"У. Д-)с,*},

а 1^ и Цп\ і = 1, 5 — числовые степенные

ряды по переменным х и у соответственно

Пт)=УамЬ =Уа(т)УР

> ¿-¡ Р ‘Р ду=±ат ¿-I Р ¿-1>Р

р=1 У р= 1 ¿=0

хк=1±а^-*

к-0 р=1

р=1

=£*т

р=1 к=0

оо 4

к=0 />=1

В рядах Цр и Цр операторы дифференцирования дх и д появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения, представляющие целые степени ат и Ря с соответствующими знаками, должна выполняться последовательным дифференцированием исходной тригонометрической функции, на которую оператор воздействует. Так, например, оператор дъ должен быть

заменен на -ат , если функцией, на которую он воздействует, является функция sin

на

' lit Ш У III, III, у rn lit lit' '

+a:’

З а л2 a 2 л a 3 a\

ySm ~ ^rrfiyCm ~ ~^тУ ySm ~ ~‘mCm)'

3 в случае его воздействия на cos

~m J v m

(дъса = -a d2sa = -a2d ca =a3sa)- Аналогич-

Уиу^т у m y^m u'm‘W

ное правило применяется и к оператору дифференцирования дх по переменной х, только функции, на которые он воздействует, суть sin (Ря х) и cos (Ря х).

Каждое из решений (3) позволяет решить задачу удовлетворения ГУ на альтернативных противоположных гранях прямоугольника: первое — на гранях х = 0 и х = h, тогда как второе — на гранях y = 0 и y = a. В соответствии с методом суперпозиции Ламе сумма двух этих решений

и=и+и

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника, являясь, таким образом, общим решением задачи для упругой анизотропной прямоугольной области. Неизвестные коэффициенты и (р = 1, ..., 4, т,

п = 0, ..., да) решения находятся из условия удовлетворения ГУ, заданным на четырех гранях прямоугольника. В результате получается бесконечная система линейных уравнений относительно указанных неизвестных, решение которой осуществляется методом редукции [5] (подробности см. в [3]).

3. Алгоритм расчета упругих систем сложной конфигурации. В [6] предложен алгоритм расчета тел с сечением сложной конфигурации, находящихся в условиях плоской задачи теории упругости с использованием общего решения (4), в прямоугольной декартовой системе координат. Предполагается, что сечение тела представлено совокупностью соприкасающихся прямоугольников, причем каждая из четырех граней любого

из них может либо принадлежать границе сечения всего тела, либо соприкасаться с гранью другого прямоугольника, полностью с ней совпадая. На гранях, принадлежащих границе сечения тела, могут быть заданы граничные условия одного из следующих видов:

1) ох и тху (на грани х = const);

2) оу и тху (на грани y = const);

3) и и v (на грани х = const или y = const);

4) ох и v (на грани х = const);

5) оу и и (на грани y = const);

6) тху и и (на грани х = const);

7) тху и v (на грани у = const).

На гранях, соприкасающихся с гранями других прямоугольников, граничные условия могут обеспечивать непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одного прямоугольника в другой через общую грань, а могут рассчитываться и из других условий сопряжения соприкасающихся граней прямоугольников, например, обеспечивая скольжение с трением или без трения.

Прямоугольные области рассчитываемого тела с граничными условиями указанного типа будем называть простыми телами. На рис. 1 показано разбиение модельной конструкции на составляющие ее простые тела R, i = 1, ..., 3.

Для каждого простого тела R. вводится локальная система координат Ох.у. с осями, параллельными соответствующим осям глобальной системы координат Оху, началом координат в одной из вершин прямоугольника так, чтобы он весь располагался в первой

Рис. 1. Декомпозиция модельной конструкции на составляющие ее простые тела

Выпуск 4

¡Выпуск 4

четверти введенной локальной системы координат.

Для простого тела Я. можно построить общее решение типа (4) с использованием тригонометрических рядов (2) с неизвестными коэффициентами для представления начальных функций

Ц.=иг+Ц..

Вектор и,- ={иі, V,-, а‘х, агу, т^,}, образованный из компонентов вектора перемещения и тензора напряжений в точках простого тела Я представлен суммой векторов й,. ={йг, V,, с‘х, о'уі, т^} и

и і ={й,., V,, о', вида

ц. = |;и«

т-0

п= О

где

ТТ(т)_/Н'и) «, Т{т) а, ТХт) а, Т[т) а, т(т) в,\

> 2,і ст > А'3,і Лти > ^4,1 Лт > ^5,1 ст/;

Й«)Л Й»)Д Й»)Л гооЛІ

Ч- _ уЧ,! и > -Ч,!*/! » ЛЛ > 4,ї И » 5,1 сл у,

45 = 8ІП (< И ), С% = сое (а^,) и

^ = віп (р'л ^ с* = сое (р^.):

¿(т) =Уа(т)Х. • = У а(т) У р.

7,' ^ Р.і УР,« . Р,і ¿-і ‘Р,і

р= 1 > " р=1 4=0

*=0 /7=1

Пп)=уь^1. . = Уь^УЇк.

Р,і ]Р,г , .і /М ^ *Р,ї

р=1 оо 4

а*=к“’” р=1 ¿=0

у*=ЪЪъШуу*. к=0

и (/' = 1, - 5, Р = 1, . ., 4) — операторы

МНФ для простого тела Я.

2Л Решение (6) получается из (3), если

начальные функции для простого тела Яг имеют вид тригонометрических рядов

фи. $ч\ »йч*}-

Построив решения типа (6) для всех простых тел Я вычисляют необходимые компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) на их гранях. Для удовлетворения граничным условиям полученные функции компонентов НДС раскладывают в ряды Фурье и строят систему бесконечных линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов и начальных функций, приравнивая соответствующие гармоники компонентов НДС.

В практических расчетах ограничиваются конечным числом гармоник в представлении как начальных функций, так и заданных граничных условий. Таким образом, решаемая система линейных алгебраических уравнений является конечной, что равносильно применению метода редукции [5] к исходной бесконечной системе уравнений.

4. Пластина со стойкой. Примером расчета пространственной конструкции, все элементы которой находятся в условиях плоского напряженного состояния, может служить прямоугольная пластина с двумя жестко-заделанными противоположными гранями, к которой присоединена стойка, проходящая посередине пластины параллельно заделанным граням. На верхнюю грань стойки действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности д0 (рис. 2, а), которая передается посредством касательных напряжений в области стыка пластины и стойки на пластину. Интерес представляет характер распределения указанных касательных напряжений в области стыковки пластины и стойки.

Взаимодействие пластины ЛБСО и стойки Е¥ОН моделируется в предположении, что и пластина, и стойка находятся в условиях плоского напряженного состояния ЕН = 9а м. Передача пластине прилагаемых к стойке усилий осуществляется через касательное напряжение, возникающее в стойке на грани ЕН и воспринимаемое как дополнительное касательное напряжение в сечении ЕН пластины. Для учета толщин стойки и пластины касательные напряжения стойки в уравнении баланса касательных напряжений пластины учитываются с коэффициентом к = ^ст/^пл, где ^ — толщина листа стойки, а ^ — толщина

ст пл

листа пластины.

Рис. 2. Расчетная схема (а) и разбиение на простые тела (б) пластины со стойкой

Геометрические размеры пластины и стойки таковы: ЕЕ = а м, и АЕ = ЕВ = 6а м.

Конструкция разбивается на три простых тела: пластина АВСО по линии контакта ЕН со стойкой ЕЕОИ на два тела и третье тело представляет сама стойка (см. рис. 2, б). Граничные условия на гранях простых тел следующие:

— верхние и нижние грани АЕ', ОН' первого тела, Е"В, Н"С второго тела и нижняя грань НО третьего тела свободны от напряжений, поэтому на них о = 0 и т = 0;

’ ^ х ху

— на верхней грани ЕЕ третьего тела приложена нормальная равномерно-распределенная нагрузка, поэтому на ней ох = д0,

тху = 0; х

ху

— правая вертикальная грань ЕО третьего тела свободна от нагрузок, поэтому на ней о = 0 и т = 0;

у ху

— левая вертикальная грань АО первого тела и правая вертикальная грань ВС второго тела жестко заделаны, поэтому на них и = 0 и V = 0;

— условия контакта трех тел в соответствии с выбранной моделью взаимодейст-

вия следующие: и\іі=и2\ііі, I е'н' \е!'н"

Vі =У2 ,

І Е'Н' І ЄН'

а1 =а^ .

у І Е'Н' УI Е’Н"

^ -ті (усло-

*у\ Е'н' *У1 Е'Н" ЕН

вия «непрерывности» перемещений и напря-

жений при переходе от первого тела ко второму с учетом взаимодействия с третьим телом),

^е'н' = мЭ|вя (одинаковые вертикальные перемещения всех трех тел на линии их контакта) и V3 =0 (отсутствие перемещений первого

I ЕН

и второго тел из своей плоскости на линии контакта с третьим телом), где верхний индекс относится к номеру простого тела.

На рис. 3, 4 представлены графики некоторых компонентов НДС в пластине и стойке. Расчеты производились с удержанием 25 членов в тригонометрических рядах и разбиением по вертикали каждого указанного простого тела еще на три с обеспечением непрерывности перемещений и, V и напряжений о т при переходе от одного тела к другому. На

ху *'

рисунках кривая номер / построена либо в горизонтальном сечении х = Щ - 1)/12, либо в вертикальном сечении у = а( - 1)/4.

График нормального напряжения ох в горизонтальных сечениях стойки (рис. 3, а) показывает, что верхняя треть стойки изгибается, тогда как оставшиеся две трети в горизонтальных сечениях подвергаются практически равномерному сжатию. Графики 5 и 9 отличаются от других графиков, так как они представляют нормальные напряжения на линиях контакта трех простых тел, составляющих вертикальную стойку.

б

Выпуск 4

¡Выпуск 4

Рис. 3. Безразмерные нормальные напряжения ох/д0 в горизонтальных сечениях стойки

Рис. 4. Безразмерные касательные напряжения тху /д0 в вертикальных сечениях стойки (а) и безразмерные

вертикальные перемещения иЕ/д к в горизонтальных сечениях пластины

Характер изменения нормальных напряжений ох в пластине (рис. 3, б) характеризуется тем, что наибольшие напряжения возникают в области срединной вертикали, по которой передаются пластине через каса-

тельные напряжения усилия, приложенные верхней грани стойки, причем максимальные наблюдаются в верхней части пластины, в окрестности верхней грани, на которой эти напряжения нулевые (график 1). И опять гра-

б

а

б

а

фики 5 и 9 отличаются от остальных в связи с тем, что они представляют напряжения на гранях контакта простых тел, составляющих по вертикали первое и второе простое тело.

Графики на рис. 4, а дают представление о распределении касательных напряжений в вертикальных сечениях стойки. Из графика 1 (сечение у = 0 в локальной системе координат) видно, что касательные напряжения на линии контакта стойки с пластиной распределены нелинейно, причем наибольшие напряжения достигаются в верхней трети линии контакта, тогда как в остальной ее части они практически нулевые. Таким образом, при приближенных расчетах с использованием формул строительной механики распределение касательных напряжений, передающихся пластине, можно считать осуществляемым по треугольнику с основанием, равным одной трети высоты пластины. В настоящее время при выполнении подобных расчетов предполагается распределение касательных напряжений также по треугольнику, но с основанием, равным всей высоте пластины.

Интересен характер вертикальных перемещений пластины, графики которых в горизонтальных сечениях представлены на рис. 4, б. Наибольшее перемещение в каждом сечении получает точка, лежащая на срединной вертикали пластины, что соответствует действующей на пластину нагрузке: касательные напряжения от стойки в срединной вертикали.

Приведенный расчет показывает возможность применения предлагаемого в работе подхода к расчету не только плоских, но и пространственных конструкций, все элементы которых работают в условиях плоской задачи теории упругости.

5. Заключение. Полученные результаты расчета передачи усилий от балки усиления к пластине по разработанному численно-аналитическому алгоритму вычисления перемещений и напряжений в конструкциях сложной конфигурации позволяют положительно судить о возможности применения предложенного подхода к анализу НДС пространственных конструкций.

Список литературы

1. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом / А. В. Матросов // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8).

2. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании / А. В. Матросов // Журнал университета водных коммуникаций. — 2011. — Вып. 2 (10).

3. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2007. — Вып. 2.

4. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l’élasticité des corps solids / G. Lamé. — P.: Bachelier, 1852. — 335 p.

5. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.: ГИТТЛ, 1950. — 695 с.

6. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2008. — Вып. 3. — С. 70-84.

Выпуск 4