Оценка изменчивости многолетних временных рядов биопродуктивности культур в задачах оптимизации размещения посевов

УДК 519.24: 631.559

ОЦЕНКА ИЗМЕНЧИВОСТИ МНОГОЛЕТНИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ БИОПРОДУКТИВНОСТИ КУЛЬТУР В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОСЕВОВ

© М.Н. Астафьева1, Я.М. Иваньо2

Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, 664038, Россия, г. Иркутск, п. Молодежный, 1/1.

Проведен статистической анализ рядов урожайности сельскохозяйственных культур с учетом их однородности. Показано, что последовательности могут иметь различные степени внутрирядной связи, обладать трендами, зависеть от различных факторов и подчиняться законам распределения вероятностей. На основе выявленных особенностей временных рядов биопродуктивности построены модели оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур с учетом факторных зависимостей. Для их решения предложен алгоритм с использованием метода Монте-Карло. Частная задача стохастического программирования реализована для Иркутского района.

Табл. 3. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: временной ряд; неопределенность; фактор; оптимизация; метод Монте-Карло; аграрное производство.

VARIATION EVALUATION OF LONG-TERM CROP BIOPRODUCTIVITY TIME SERIES IN OPTIMIZATION PROBLEMS OF CROPS PLACEMENT M.N. Astafyeva, Ya.M. Ivanyo

Irkutsk State Agricultural Academy,

1/1 Molodehny settlement, Irkutsk, Russia, 664038.

The article gives a statistical analysis of the series of crop yields with regard to their homogeneity. It is shown that the sequences can have different degrees of in-series relations, have trends, depend on various factors and follow the laws of probability distribution. Crop placement optimization models are built on the basis of the revealed features of bi-oproductivity time series taking into account factor dependencies. An algorithm using Monte Carlo method is proposed for their solution. The partial problem of stochastic programming is implemented for the Irkutsk region. 3 tables. 6 sources.

Key words: time series; uncertainty; factor; optimization; Monte Carlo method; agricultural production.

Для эффективного производства конечной продукции особое значение имеет адекватная оценка природно-климатических и агрономических факторов, влияющих на процесс выращивания сельскохозяйственных культур. Учет их взаимодействия при одновременном повышении плодородия почв и экономии затрат позволяет получать высокие урожаи.

При анализе временных рядов урожайности сельскохозяйственных культур, которая рассматривается как результативный признак, связанный с множеством факторов, следует учитывать: внутрирядные связи; наличие тенденций и неоднородность последовательности. Одним из факторов, влияющих на однородность рядов, является смена сортов сельскохозяйственных культур. Применим предложенную схему обработки информации с целью выявления особенностей временных рядов урожайности сельскохозяйственных культур Иркутской области для построения моделей оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур.

Согласно [1] сортовое районирование пшеницы в Иркутской области проводилось в 1956, 1989, 1997 и 2006 гг., а картофеля - в 1983, 1995 и 2004 гг. Очевидно, что эти годы необходимо учитывать для разделения ряда на однородные последовательности при определении закономерностей изменчивости многолетних рядов биопродуктивности.

В табл. 1 приведены статистические параметры урожайности пшеницы и картофеля за рассматриваемые промежутки времени: средние значения; коэффициенты вариации, первые значения автокорреляционных функций. Согласно полученным результатам в динамике вариация выделенных последовательностей в рядах пшеницы уменьшается. При этом наиболее высоким значением обладает первый коэффициент автокорреляции ряда для периода 1956-1988 гг. («1=0,72).

В отличие от пшеницы в рядах урожайности картофеля отсутствуют внутрирядные связи, за исключением периода 1995-2003 гг. (^=-0,79).

1Астафьева Марина Николаевна, ассистент кафедры информатики и математического моделирования, тел.: 89086530349, e-mail: astafeva_mn@mail.ru

Astafyeva Marina, Assistant Lecturer of the Department of Information Science and Mathematical Modeling, tel.: 89086530349, e-mail: astafeva_mn@mail.ru

2Иваньо Ярослав Михайлович, доктор технических наук, профессор, проректор по учебной работе, тел.: 8(3952) 237692, e-mail: iymex@rambler.ru

Ivanyo Yaroslav, Doctor of technical sciences, Professor, Pro-Rector for Academic Affairs, tel.: 8(3952) 237692, e-mail: iymex@rambler.ru

Таблица 1

Статистические параметры рядов урожайности пшеницы и картофеля _в Иркутской области за однородные периоды_

Период, гг. Параметр

Среднее значение Коэффициент вариации Первый коэффициент автокорреляции

Пшеница

1956-1988 11,7 0,21 0,72

1989-1997 12,9 0,20 -0,50

1998-2006 14,3 0,097 0,60

Картофель

1956-1982 113,2 0,18 0,29

1983-1994 132,4 0,23 0,18

1995-2003 140,4 0,041 -0,79

Следует отметить тенденцию повышения средней урожайности пшеницы и картофеля за выделенные промежутки. Таким образом, однородные последовательности не всегда являются случайными, поскольку характеризуются значимыми коэффициентами автокорреляции. По сути это слабосвязные выборки.

Помимо оценки статистических параметров однородных рядов, определялись линейные и нелинейные тренды. Для ряда урожайности пшеницы в интервале 1956-1989 гг. получено уравнение тренда с коэффициентом детерминации (Я2) 0,59. Неустойчивый тренд обнаружен за период 1989-1997 гг. Высоким коэффициентом детерминации обладает линейное уравнение в интервале 1998-2006 гг. (табл. 2). В отличие от урожайности пшеницы, для биопродуктивности картофеля значимых трендов не выявлено.

Полученные особенности временных рядов сельскохозяйственных культур связаны с социально-экономическими преобразованиями в начале 90-х годов ХХ в., когда осуществлялось перераспределение производства сельскохозяйственной продукции по категориям хозяйств: сельскохозяйственные организации, личные подсобные хозяйства, крестьянские (фермерские) хозяйства. По данным органов государственной статистики более 60% производства пшеницы приходится на сельскохозяйственные организации. Вместе с тем картофель производится преимущественно личными подсобными и крестьянскими (фер-

мерскими) хозяйствами. Очевидно, что это сказывается на устойчивости производства и в конечном итоге на статистических особенностях исследуемых временных рядов.

С одной стороны, деление периода наблюдений на однородные последовательности исключает неоднородность, а с другой - такой подход уменьшает информативность выделенных интервалов как составных частей исходных рядов. Между тем, интерес для прогнозирования вызывают последовательности, соседствующие с современной эпохой, поэтому необходим их детальный анализ. Статистическая обработка такой выборки показывает, что она может быть случайной, слабосвязной, иметь сильные значимые внут-рирядные связи или обладать значимыми трендами.

В этой работе приведены результаты обработки рядов урожайности различных сельскохозяйственных культур по Иркутской области. Аналогичный статистический анализ, осуществленный по муниципальным районам Иркутской области согласно данным за 19962011 гг., показал, что значимые внутрирядные связи выявлены в рядах урожайности сельскохозяйственных культур в следующих районах: пшеницы - в Усоль-ском, Черемховском и Чунском; ячменя - в Черемхов-ском и Чунском; картофеля - в Усть-Кутском, свеклы -в Зиминском, Иркутском и Усть-Илимском и многолетних трав на сено - в Тайшетском районах. Остальные ряды параметров, характеризующие отрасль растени-

Период, гг. Линейное уравнение Коэффициент детерминации Нелинейное уравнение Коэффициент детерминации

Пшеница

1956-1988 у = 0,198^ + 8,33 0,59 у=0,003?2+0,083?+9,00 0,60

1989-1997 у = -0,42? + 15,044 0,20 у=0,026?2-0,68?+15,53 0,20

1998-2006 у = 0,48? + 12,12 0,72 у=-0,036?2+0,80?-+11,59 0,74

Картофель

1956-1982 у = 1,55? + 91,48 0,35 у=-0,13?2 + 5,20? + 73,84 0,47

1983-1994 у = 4,51? + 103,13 0,29 у=1,01?2 - 9,79? + 136,49 0,45

1995-2003 у = -0,76? + 144,2 0,13 у=-0,29?2 + 2,12? + 138,92 0,23

Таблица2

Тенденции рядов урожайности пшеницы и картофеля Иркутской области за периоды __с однородными данными__

еводства, в большинстве случаев являются случайными (50.6%) или слабосвязными (45.8%).

К случайным относятся выборки, которые подчиняются некоторым законам распределения. В условиях неоднородности информации выделенные последовательности многолетнего ряда урожайности сельскохозяйственных культур имеют небольшую продолжительность, поэтому могут быть описаны в условиях неполной информации о распределении случайной величины. Кроме того, можно рассматривать ситуацию, когда биопродуктивность оценивается некоторыми верхними и нижними значениями.

Тем не менее, опыт показывает, что, если распределение случайной величины известно, для описания урожайности сельскохозяйственных культур может быть использовано семейство нормальных законов и гамма-распределений. Когда же закон распределения неизвестен, используются различные методы оценки значений функции распределения случайной величины, например, средние, величина СУаР мера риска (РСРМ) [2].

анализ для зерновых, картофеля и овощей по данным муниципальных районов Иркутской области за 19962010 гг. В качестве факторов рассмотрены: сумма средних месячных температур и месячных осадков за вегетационный период (У, число дней бездождевого и безморозного периода (¿4). Построены как линейные, так и нелинейные зависимости. Следует отметить, что урожайности сельскохозяйственных культур в зонах с резко континентальным климатом, как правило, связаны с природными факторами и в меньшей степени зависят от агротехнологических. Частично это обусловлено недостаточно интенсивным внедрением современных агротехнологий.

В табл. 3 приведены значимые одно- и многофакторные модели. В большинстве случаев использованы двухфакторные нелинейные модели полиномиального вида. Так, ряды урожайности зерновых в основном зависят от числа дней бездождевого периода. В свою очередь урожайность картофеля и овощей в зависимости от района подчиняется различным факторам тепла и увлажнения.

Таблица 3

Факторные модели для прогнозирования урожайности зерновых, овощных культур и картофеля по

данным муниципальных районов Иркутской области

Муниципальный район Уравнение Значение Р-критерия (Ртабл.=4,67) «2

Зерновые культуры

Братский у=23,20-0,0019 г] 7,42 0,60

Иркутский у=28,21-0,0024^3 6,86 0,59

Картофель

Балаганский у=-38,67+2,56Г| 4,78 0,52

Зиминский у=91.088+0,00^3 7,35 0,60

Иркутский у=62,62+0,77Г4 19,07 0,77

Качугский у=93,77+0,024Г2Г4 17,21 0,76

Тайшетский у=492,87-4,96Г| 7,81 0,61

Овощи

Балаганский у=47,74+0,046^2 6,63 0,58

Зиминский у=238,19-0,017 г\ 6,08 0,57

Увеличить информацию о ряде урожайности можно за счет привлечения пространственно-временных данных на некоторой однородной территории. В [3] в ряде муниципальных образований в рамках лесостепной зоны выбраны наименьшие и наибольшие значения урожайности сельскохозяйственных культур, по которым построены эмпирические функции распределения, подчиняющиеся в первом приближении закону Гаусса. Тем не менее, ввиду недостаточности информации, связанной с неоднородностью рядов, проблема подбора закона распределения вероятностей остается актуальной.

Тренды и распределения случайной величины не учитывают факторы, влияющие на урожайность. В [4] предложена двухфакторная модель для прогнозирования урожайности зерновых культур для остепненной и лесостепной зон. При построении моделей использовались линейные функции.

Помимо зависимостей, построенных для сельскохозяйственных зон, в работе выполнен факторный

Следует отметить, что ряды урожайности различных сельскохозяйственных культур имеют свои особенности, что подтверждается отсутствием междурядных связей или низкой степенью связи. В исключительных случаях имеет место значимая корреляция. В частности, для Тайшетского района определены высокие коэффициенты корреляции между урожайностью зерновых культур, картофеля и овощей. Тем не менее, междурядные связи неустойчивы.

Выявленные особенности многолетних временных рядов урожайности сельскохозяйственных культур необходимо учитывать при планировании аграрного производства, например, при решении задачи оптимизации размещения, специализации и концентрации сельскохозяйственного производства; определении оптимальных размеров предприятий по зонам; оценке эффективности капиталовложений; планировании материально-технического снабжения; оптимальном распределении минеральных удобрений; оптимизации машинно-тракторного парка и его использования и др.

Часто для оптимизации аграрного производства предлагается использовать имитационное моделирование, позволяющее увеличивать количество возможных вариантов решения задачи [5, 6]. В [2] приведены модели оптимизации размещения посевов с вероятностными и интервальными параметрами, для реализации которых предложены алгоритмы с использованием метода статистических испытаний. В дополнение к этому предлагается модель оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур с учетом факторных зависимостей. Целевая функция ориентирована на максимизацию прибыли:

ЕЕ СгХг* ^ тах ,

при условиях:

1) ограниченности производственных ресурсов

Е ^ < V, I е Ь;

2) ограниченности размера растениеводческой отрасли

ПП<Х

3) производства конечной продукции не менее заданного объема

Е Уы > Гг9, Я е 8 , в е О;

4) ограниченности вносимых удобрений и средств защиты растений

<V , теМ

тгз — тг 1

5) неотрицательности переменных

^ > 0.

Здесь х^ - искомая переменная в виде площади /-го поля в-культуры (га); с^ - затраты на 1 га сельскохозяйственных угодий /-го поля или в-культуры (га);

- расход I-ресурса на единицу площади 5 -культуры или вида сельскохозяйственных угодий /-го поля (тыс. чел.-ч/га, тыс. руб./га); V - наличие ресурса I -вида /го поля; у ) - соответственно выход товарной продукции я -вида с единицы площади 5 -культуры /го поля (ц/га), зависящий от параметра 1д; у - гарантированный (обязательный) объем производства продукции я -вида с /-го поля (ц); Пгг, пгг- - максимально и минимально возможная площадь культур г -

группы /-го поля (га); - расход т -удобрения

(средства защиты растений) на единицу площади 5 -культуры или вида сельскохозяйственных угодий /-го поля (ц/га); - наличие удобрения т -вида /-го поля (ц).

В ограничении (4) левую часть можно описать факторными зависимостями:

У1Щ = а.,„ + а^, I

1г5 Я

„ + а. / . ,

гзд гзд ^гзд 1

Угя = (а,~ + а .Л,, „ + а. X

г$я

г$я §гзя

)П

где ?д - параметры тепла и увлажненности.

Исследование рядов факторов 1д показывает, что они являются случайными, поэтому при решении задачи (1)-(8) можно использовать методы имитационного моделирования. При этом факторы могут быть различными в зависимости от исследуемого муниципального района, культуры и др.

Существуют различные варианты постановки задачи (1)-(8). В первом случае закон распределения случайной величины задан. В другой ситуации закон не определен, при этом возникает необходимость выбора метода оценки значений функции распределения случайной величины.

Предложенный подход позволяет моделировать различные варианты решения задачи математического программирования с использованием метода статистических испытаний. Причем рассматривается случай, когда закон распределения вероятностей природных параметров известен. Такая формулировка задачи ориентирована на получение решений в условиях случайных колебаний параметров. При этом имеют место детерминированные связи результативного признака с факторами, что уменьшает число случайных параметров. С другой стороны, данная постановка усложняет решение задачи ввиду перехода детерминированной задачи в разряд стохастических.

Приведем алгоритм решения задачи (1)-(8) с использованием метода Монте-Карло. На первом этапе вычисляются статистические параметры факторов 1д. Согласно критерию согласия выбирается закон распределения вероятностей, соответствующий эмпирическим данным. Затем моделируются случайные числа, характеризующие ординаты заданных функций

распределения р, по которым определяются значения параметров д После этого на основании формул (7) и (8) строятся ограничения. На четвертом шаге решается задача математического программирования с учетом вероятностных значений факторов урожайности сельскохозяйственных культур.

Многократное повторение эксперимента позволяет определять различные варианты решения задачи в зависимости от сочетания факторов, соответствующих смоделированным вероятностям. Следует отметить, что оптимальный план задачи связывается с некоторой вероятностью, представляющей собой сумму вероятностей, которая рассчитывается по формуле

яеЛ'

Р1шд ,

¡еЬ /е/ /е/

где ] -оптимальное решение задачи из множества J.

В случае, когда урожайности зависят от одного климатического параметра, суммарной вероятностью считается вероятность этого параметра.

В работе приведен частный случай решения задачи при условии определенности распределения случайной величины. Задача (1)-(8) реализована для оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур Иркутского района. При описании параметров модели использована вероятностная функция Гаусса. Ряды урожайности сельскохозяйственных культур за 1996-2010 гг. объединены в 3 группы: зерновые, картофель и овощи. Число экспериментов составило 100 значений.

Применение моделей с благоприятными климатическими условиями показало, что для ситуации, соответствующей вероятности 0,1, прибыль от производства сельскохозяйственной продукции составила 21054 тыс. руб. В противном случае, когда на урожайность влияют неблагоприятные факторы (вероятность превышения 0,9), критерий оптимальности уменьшается на 49%.

Перераспределение посевных площадей для зерновых культур оказалось незначительным. Между тем, коэффициент вариации, характеризующий колебания сельскохозяйственных угодий, составил для картофеля 0,058, а для овощей 0,58, что в значительной степени сказывается на прибыли при определении структуры площадей. Сформулированные задачи и резуль-

таты их решения имеют значение для адекватного планирования производства, поскольку предоставляют управленческому персоналу различные варианты оптимальных ситуаций.

В заключение отметим, что ряды урожайности сельскохозяйственных культур согласно проведенному анализу являются неоднородными. Кроме того, они могут иметь различную степень автокорреляции, обладать трендами, зависеть от множества факторов и подчиняться законам распределения вероятностей. Одним из решений проблемы неоднородности является деление многолетнего ряда на однородные периоды, в частности, в зависимости от времени смены сортов сельскохозяйственных культур.

Помимо этого, при статистическом анализе рядов биопродуктивности необходимо учитывать влияние различных факторов. На основе данных по Иркутской области получены линейные и нелинейные зависимости урожайности от климатических параметров.

Благодаря выявленным особенностям рядов урожайности построены модели оптимизации размещения посевов сельскохозяйственных культур с учетом факторных зависимостей. Предложен алгоритм решения задач с использованием метода Монте-Карло. Один из вариантов модели реализован для Иркутского района. Результаты решения чувствительно реагируют на изменчивость урожайности сельскохозяйственных культур, что необходимо учитывать в управлении производственными процессами. При этом можно оценить степень риска производства сельскохозяйственной продукции с определенной вероятностью.

Библиографический список

1. Крутиков И.А., Хуснидинов Ш.К., Кудрявцева Т.Г. Сортовой потенциал сельскохозяйственных культур Предбайка-лья: монография. Иркутск: ИрГСХА, 2009. 188 с.

2. Стохастическое программирование и его приложения / П.С. Кнопов, В.И. Зоркальцев, Я.М. Иваньо [и др.]. Иркутск: Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2012. 493 с.

3. Астафьева М.Н., Иваньо Я.М. Оптимизация размещения посевов сельскохозяйственных культур с использованием имитационного моделирования // Актуальные проблемы аграрной науки. 2011. Вып. 1. С.59-67.

4. Вашукевич Е.В. Статистическая оценка влияния факторов на агрономическую засуху // Совместная деятельность сельскохозяйственных товаропроизводителей и научных

организаций в развитии АПК Центральной Азии: сборник материалов международной научно-практической конференции 25-27 марта 2008, г. Иркутск. Иркутск: Изд-во ИрГСХА, 2008. Ч. IV. С.89-94.

5. Об использовании имитационного моделирования для решения задач аграрного производства / Е.В. Вашукевич,

B.Р. Елохин, Я.М. Иваньо [и др.] // Сб. статей международ. науч.-практ. конф. «Природа и сельскохозяйственная деятельность человека». Иркутск, 2011. С.185-188.

6. Труфанова Е.С. Алгоритмы имитационного моделирования производственного потенциала земельных ресурсов региона // Вестник Брянского гос. техн. ун-та. 2011. № 1(29).

C.79-84.