Построение функционала, описывающего макроструктуры в тонком слое нематического жидкого кристалла

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 12 (193). Физика. Вып. 7. С. 41-46.

ФИЗИКА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ

Д. В. Кондратьев, Н. Г. Мигранов

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА, ОПИСЫВАЮЩЕГО МАКРОСТРУКТУРЫ В ТОНКОМ СЛОЕ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА1

Исходя из анализа энергии Франка в тонком плоском образце нематического жидкого кристалла (НЖК) и заданного специальным образом (планарно-гомеотропно) распределения директора на границах были получены макроструктуры, возникающие вследствие конкуренции накладываемых двух периодических структур на подложках. Далее была решена обратная задача, связанная с восстановлением функционала, характеризующего свободную энергию в объеме образца нематика. Исследовано влияние периодических условий на границах на возникновение соизмеримых структур внутри объема образца.

Ключевые слова: соизмеримые макроструктуры, распределение поля директора, нематические жидкие кристаллы (НЖК), функция амплитуды

Введение. Одной из практических задач физики жидких кристаллов является проблема деформаций поля директора в НЖК, поскольку на моделях в анизотропных жидкостях довольно хорошо отрабатываются условия и динамика поведения структур внутри твердых объектов. Поэтому задача о характере поведения соизмеримых и несоизмеримых структур в плоском образце нематика, ограниченном двумя параллельными подложками, является актуальной. В рассматриваемой модели подложки имеют специальную микроструктуру. На границах подложек располагаются чередующиеся перпендикулярно расположенные длинные оси молекул (гомеотропное упорядочение) и молекулы, лежащие параллельно пластинам (планарное распределение поля директора). Такие подложки и их влияние на поле директора внутри объема плоского образца частично исследовались в работе [1. С. 405-408].

1 Работа выполнена в рамках Государственной

научно-технической программы РБ № 3 «Критические технологии РБ. Физико-математические основы и технические решения» (3.2.1.5).

Отметим, что для определения окончательной картины в распределении поля директора внутри образца необходим учет полной энергии анизотропной системы, включающей объемную и поверхностную составляющие и стремящейся к своему минимальному значению.

Постановка задачи. Рассмотрим тонкую пленку НЖК, ограниченную твердыми подложками с нанесенными на них микроструктурами, позволяющими длинным осям молекул нематика ориентироваться на границе в последовательности — планар-гомеотроп. Число появляющихся на границе структур мы можем регулировать по своему усмотрению. Плотность энергии искажений в объеме НЖК, так называемую энергию упругости Франка, будем рассматривать в виде

/ь = -2 К1 (V• п)2 + К2 (п-Ухп)2 + К3 (пх Ухп)2

где К1, К 2 и К3 — коэффициенты упругости, связанные с деформациями кручения, поперечного и продольного изгибов.

В данной постановке задачи будем рассматривать жесткие граничные условия. Взаимодействие слоя нематика с поверхностью подложек характеризуется энергией сцепле-

ния, которая определяет силу, необходимую для отклонения директора от легкого направления. Наиболее распространенный случай — использование потенциала Рапи-ни [2. С. 55]:

fs = 2 (sin2 (0_0е)+Wcos2 (Ф )),

где W0 — полярная энергия сцепления, W — азимутальная энергия сцепления, и углы 0е, фе определяют легкое направление.

Для оценки свободной энергии введем декартову систему координат следующим образом: ось x направлена вдоль поверхности нижней подложки, перпендикулярно полосам, ось z перпендикулярна подложкам. Если предположить, что директор изменяет свое направление в пределах только одной плоскости, то он будет иметь следующие компоненты:

n = (cos 0 cos Ф, cos 0 sin Ф, sin 0).

Для большинства нематиков K2 <

< Ki £ K3, поэтому можно ограничиться

случаем, когда K1 = K3. Тогда плотность

свободной энергии искажений нематика можно записать в виде

f/Ki=2 (2+02),

где р = 1 — (1-x)sin2 ф и X = K2/Ki . Уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала Франка энергий искажений НЖК принимает следующий вид:

р0 +0 = 0,

^ xx zz ’

и его решение можно представить в виде ряда Фурье, сходящегося при z ^ да [3. С. 2].

Если предположить, что полярный угол 0 фиксирован вдоль поверхности подложек, то его можно представить в виде

0down = 000 He (sin(q ix)),

0up = 001 He (sin(#2 x)), где He(x) — функция Хевисайда, определенная следующим образом:

f1, x > 0,

He( x) = \

10, x < 0.

Для сравнения результатов также рассматривается случай (распределение в виде гладкой функции), когда

0down = 0J2 •(sin(qix)+1),

0up =00^2 -(sin(q2x)+1).

Результаты. Распределение длинных осей молекул НЖК в объеме мезофазы, подчиняющееся двумерному уравнению Лапласа, было численно рассчитано с использованием интегрированной системы — COMSOL Multiphysics, — довольно мощной интерактивной среды для моделирования и расчетов научных и инженерных задач, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных методом конечных элементов.

Полученные результаты хорошо согласуются с аналитическим решением задачи нахождения распределения молекул нематика в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой [4. С. 9293]. Однако данную оценку можно провести только вблизи нижней подложки, где не сказывается влияние граничных условий на верхней подложке.

Как видно из расчетов, для значений углов 000 = ж/ 2 , 001 = ж/10 на границах подложек и со значениями волновых векторов q1 = 43, q2 = 37 в объеме образца НЖК

наблюдается переориентация молекул, сопровождающаяся возникновением новых макроскопических периодических структур. Наблюдаемые структуры имеют значительно больший период по сравнению с заданными на подложках. Причем, как видно из рис. 1, характер зависимости распределения директора остается одинаковым как для начального синусоидального распределения значений на подложках, так и для распределения в виде меандров. Исследуем полученные структуры.

Нетрудно установить период новых субструктур, исходя из анализа графика, приведенного на рис. 1. Сделав соответствующие срезы при фиксированных значениях z , можно определить период для распределения угла 0 (например, при

z = 0,03 L = ж ).

Рис. 1. График зависимости 9

Для рассматриваемого случая мы полагаем, что 901 близко к нулю и существенно меньше, чем 900. Ввиду этого вблизи верхней подложки не наблюдается явных периодических структур, кроме той, которая существует на поверхности подложки.

Субструктура возникла ближе к подложке, которая оказывает меньшее влияние на распределение молекул в объеме образца нематика. В случае, когда 901 = 900, новые субструктуры возникают ближе к среднему слою НЖК.

На рис. 2. приведены графики функций 9(х, 0,02), 9(х, 0,05), 9(х, 0,15), из которых видно, что при уменьшении влияния граничных условий, распределение молекул стремится стать однородным.

Из приведенных графиков (рис. 3) видно, что существенные изменения в распределении директора наблюдаются только на границах, а в слое [0,2; 0,8] распределение директора составляет в среднем 46 градусов.

Рис. 2. Зависимость величины угла 9 от х (мкм) для фиксированных 2:

0,02 мкм

Рис. 3. Зависимость величины угла 9 от г (мкм) для фиксированных х:

1,9 мкм

Перейдем от исследования распределения длинных осей НЖК (характеризуемых углом 9) к анализу возникающих субструктур на фоне распределения молекул в объеме образца.

Можно заметить, что полученное периодическое распределение директора соответствует решению стационарного уравнения Бт-Гордона, которое имеет вид

ф( х) = ат

-х, к

к

где значения коэффициента V определяются выражением

16 К2 (к) -к2

V =

Ь2

Здесь К — полный эллиптический интеграл первого рода, к — модуль эллиптических функций, который принимает значения из интервала [-1; 1].

Теперь решаем обратную задачу: восстанавливаем вид функционала — аналога свободной энергии, экстремум которого дает стационарное уравнение Бт-Гордона

ё2ф V +

2

2 +- Бш(2ф) = 0,

ах

где для заданных значений периода возникающих структур коэффициент V имеет значения, приведенные на рис. 4.

Появление новых периодических образований в слое НЖК должно описываться функционалом системы и соответствующим ему уравнением, решением которого являются возникающие субструктуры с определенным периодом. В рассматриваемом случае мы решаем обратную задачу: нам не задан термодинамический потенциал, описывающий возникновение структур, анализ которого позволил бы получить картину в распределении директора. Исходя из периода структур, восстанавливаем решение в виде амплитудной функции Якоби ф(х) (рис. 5), которая, в свою очередь, является решением стационарного уравнения біп-Гордона. Дальнейший шаг предполагает построение самого потенциала из восстановленного нелинейного уравнения біп-Гордона. Обычно гамильтониан, или термодинамический потенциал, строится исходя из физических предпосылок (закон сохранения энергии, импульса, момента импульса и т. д.). Мы же в нашей работе этот потенциал строим из моделируемой картины, исходя из вида континуального распределения директора на границах и в объеме образца НЖК. Таким образом, рассматривается обратная задача.

Наконец восстановленный функционал принимает вид:

I

Рис. 4. Зависимость значения коэффициента V от Ь при фиксированных к. 0,1

,*} +Г08

ах.

В подынтегральном выражении должно

присутствовать слагаемое С . Поскольку

ёх

оно не является инвариантным относительно оси х (замена х на —х меняет вид функционала), то из физических соображений это слагаемое должно быть опущено. Здесь С — произвольное вещественное число, которое определяется с точностью до константы и не влияет на физику рассматрива-

емого явления, т. е. распределение макроструктур в объеме.

Выводы. Анализ влияния толщины слоя нематика на возможность появления новых субструктур подтверждает предположение о том, что при толщине, большей некоторого критического значения, распределение молекул происходит без образования новых структур. Это явление вызвано ослаблением влияния граничных условий внутри объема образца большей толщины. В этом случае не происходит наложения зон влияния микроструктур, нанесенных на подложки.

0 12 3

Рис. 5. График амплитудной эллиптической функции для фиксированных значений к:

0 (сплошная линия), 0,9 (точечная линия), 0,99999 (пунктирная линия) при длине периода Ь = п

Таким образом, модельный эксперимент в анизотропной жидкости позволил обнаружить макроструктуры, связанные с распределением директора в объеме образца, которые вместе с тем подчиняются двумерному уравнению Лапласа. Появление соизмеримых структур напрямую связано с влиянием периодических условий на границах. В модельном эксперименте были рассмотрены БШре-структуры с количеством полос в диапазоне от 9 до 126.

При решении обратной задачи мы стремились восстановить уравнение для фазы, которое описывает расположенные в объеме образца нематика возникающие субструктуры. Из модельных значений периодов рассматриваемых структур нетрудно восстановить эллиптическую амплитудную функцию Якоби для конкретного соотношения между волновыми векторами q1 и q2, выписать для нее нелинейное уравнение Бт-Гордона и восстановить функционал для фазы, описывающей распределение периодических макронеоднородностей в поле директора анизотропной жидкости.

Список литературы

1. Кондратьев, Д. В. Ориентационные эффекты в нематических жидких кристаллах со stripe-подложкой / Д. В. Кондратьев, Н. Г. Мигранов // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС 2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта. М. : Изд-во МАИ ПРИНТ, 2009. С. 405-408.

2. Rapini, A. Distorsion d’une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d’ancrage aux parois / A. Rapini, M. Papoular // J. Phys. Colloques. 1969. Vol. 30. Paris P. 54-56.

3. Atherton, T. J. Orientational transition in a nematic liquid crystal at a patterned surface / T. J. Atherton, J. R. Sambles // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. Id. 022701.

Кондратьев, Д. В. Распределение молекул нематического жидкого кристалла в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой / Д. В. Кондратьев, Н. Г. Мигранов // Вестн. Помор. ун-та. Сер. Естествен. науки. Архангельск : Изд-во ПГУ, 2009. № 3. С. 91-95.