Модель транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке

УДК 330.42

МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ПУНКТАМИ В МАТРИЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ

З. И. Баусова, А. Ю. Старикова, В. В. Федоренко, А. А. Фролов

THE MODEL OF THE TRANSPORTATION PROBLEM WITH INTERMEDIATE POINTS IN THE MATRIX STATEMENT

Z. I. Bausova, A. Yu. Starikova, V. V. Fedorenko, A. A. Frolov

Аннотация. Актуальность и цели. Транспортная задача представляет класс задач линейного программирования и обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения. Целью исследования является изучение модели транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке, а также освоение навыков решения таких задач методом преобразования транспортной модели с промежуточными пунктами в обычную транспортную модель с помощью введения буфера. Материалы и методы. Объектом исследования является транспортная задача с промежуточными пунктами в матричной постановке, проверяется гипотеза о возможности ее решения матричным методом. Результаты. Разработан оптимальный план перевозок, при котором потребности в продукте во всех пунктах удовлетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции минимальны. Выводы. Преимуществами использования модели транспортной задачи с промежуточными пунктами для решения задач оптимизации являются простота построения математической модели, наглядность и возможность реализации процесса решения на ЭВМ.

Ключевые слова: транспортная задача, матрица, оптимизационные задачи.

Abstract. Background. Transport problem is representative of a class of linear programming problems, and therefore has all the qualities of linear optimization problems, but at the same time it has some additional useful properties that allowed us to develop special methods for its solution. The aim of the study is to examine the model of intermediate points in a matrix formulation, as well as to acquire skills to solve such problems, a method of converting a transport model with intermediate points in a conventional transport model through the introduction of the buffer. Materials and methods. The object of the research is the transport problem with intermediate points in the matrix form, we tested a hypothesis about the possibility of its solution matrix method. Results. Developed an optimal transport plan, which needs the product at all points are satisfied, and the total transportation costs of all products is minimal. Conclusions. The advantages of using the model of the transportation problem with intermediate points for solving optimization problems are easy to construct a mathematical model, the visibility and the possibility of implementing the solution process on the computer.

Key words: transportation problem, matrix, optimization problem.

Введение

Специалисты различных направлений в своей практике часто сталкиваются с необходимостью решения разнообразных в содержательном смысле оптимизационных задач. Актуальность решения оптимизационных задач, возникающих в экономике, науке, технике и социологии, вызвала в послед-

ние четыре десятилетия интенсивные разработки моделей и методов оптимизации. Этому способствовало и бурное развитие программных и технических средств вычислительной техники. Развитие моделей и методов оптимизации стимулировалось также значительным увеличением размерности и сложности оптимизационных задач, вызванных технологическим подъемом последних десятилетий.

Построение транспортной модели с промежуточными пунктами

Для применения методов оптимизации (количественных методов) требуется построить адекватную математическую модель, представляющую собой отражение реального объекта или процесса в форме математических выражений и формул.

Среди оптимизационных задач транспортная задача линейного программирования получила широкое распространение в теоретических разработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Она применяется для рационализации поставок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Кроме того, к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования, а именно задачи о назначениях, сетевые задачи, задачи календарного планирования.

Транспортная задача сводится к определению такого плана перевозок X = [ху] некоторого продукта из пунктов его производства в пункты потребления, который минимизирует целевую функцию

т п

f(х) = XXе УХУ

•=1 у=1

и удовлетворяет системе ограничений:

п _

X Ху = а,, • = 1, т ,

У=1

т _

X ху = ьу, у = 1 п, ху >

•=1

Транспортная задача является представителем класса задач линейного программирования и поэтому обладает всеми качествами линейных оптимизационных задач, но одновременно она имеет и ряд дополнительных полезных свойств, которые позволили разработать специальные методы ее решения.

Матрицы систем уравнений в ограничениях имеют ранги, равные соответственно т и п. Если, с одной стороны, просуммировать уравнения по т, а с другой - уравнения по п, то получим одно и то же значение. Из этого следует, что одно из уравнений в системе является линейной комбинацией других. Таким образом, ранг матрицы транспортной задачи равен т + п - 1, и ее невырожденный базисный план должен содержать т + п - 1 ненулевых компонент.

Строки транспортной таблицы соответствуют пунктам производства (в последней клетке каждой строки указан объем запаса продукта ai), а столбцы - пунктам потребления (последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности bj). Все клетки таблицы (кроме тех, которые расположены в нижней строке и правом столбце) содержат информацию о перевозке из /-го пункта в j-й: в левом верхнем углу находится цена перевозки единицы продукта, а в правом нижнем - значение объема перевозимого груза для данных пунктов. Клетки, которые содержат нулевые перевозки (х^ = 0), называют свободными, а содержащие ненулевые перевозки, - занятыми (Ху > 0).

Есть транспортные задачи, в которых пункты отправления и назначения являются промежуточными, через них переправляются товары в конечный пункт назначения. В данной постановке промежуточные пункты выступают и как потребители, и как поставщики. В данном случае формируется единая транспортная матрица, в которой количество поставщиков и потребителей увеличивается на число промежуточных пунктов.

Представленная задача обладает определенной полезностью при использовании в повседневной жизни. Транспортная модель с промежуточными пунктами соответствует реальной ситуации, когда между исходными и конечными пунктами поставок однородной продукции имеются промежуточные пункты для временного хранения грузов - так называемые транзитные пункты. В транзитных пунктах могут происходить, например, упаковка или комплектация продукции, ее складирование без изменения количества.

Целью исследования является изучение модели транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке, а также освоение навыков решения таких задач методом преобразования транспортной модели с промежуточными пунктами в обычную транспортную модель с помощью введения буфера. При этом решаются следующие задачи:

1) рассмотреть модель транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке;

2) проанализировать оптимизационные задачи;

3) разработать алгоритм их решения;

4) решить симплексным методом с помощью надстройки Microsoft Office Excel «Поиск решения».

Если объектом исследования является транспортная задача с промежуточными пунктами в матричной постановке, то проверяется гипотеза о возможности ее решения матричным методом.

Рассмотрим математическую модель транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке.

Имеется m пунктов отправления и n пунктов назначения. Для каждого пункта отправления задан ai - объем предложения некоторого однородного

продукта в / -м пункте отправления ( / = 1, m ), а для каждого пункта назначения задана bj - потребность или спрос в этом же продукте в j -м

пункте назначения ( j = 1, n ). Перевозки транзитом могут осуществляться через любые пункты, даже через пункты назначения. Задана матрица

{-im,n

cj f размера m x n , где c j интерпретируется как стоимость поставки

или транспортировки одной единицы продукта из i -го в j -й пункт. Пусть Xj -количество продукции, перевозимой из i -го в j -й пункт. Необходимо определить оптимальный план перевозок продукта, т.е. совокупность чисел {Xj} (Xj > 0) так, чтобы потребности в продукте во всех пунктах назначения

были удовлетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции были минимальными.

Математическая модель задачи в матричной форме имеет вид: найти CX ^ min,

где C =

'11

'21

"12

"22

при ограничениях

"1и

"2и

X =

11

21

12

22

1n

12и

Xn1 Xn1 ... Xn

X Xj= a., i = 1 j=1

m,

Е Ху = Ь}, у = 1

7=1

Ху > 0.

Для решения задачи управления поставками через транзитные пункты необходимо воспользоваться подходом, предложенным А. Таха Хэмди [1]. Для этого транспортную модель с промежуточными пунктами нужно преобразовать в обычную транспортную модель с помощью введения буфера. Объем буфера В должен быть таким, чтобы вместить объем всего предложения (или спроса), поэтому его целесообразно вычислять по формуле

B = X ai или B = X bj ,

i=1

j=1

где Е а1 - объем общего предложения в исходных пунктах; Е Ьу - объем

7=1 У=1

общего спроса в пунктах назначения.

Поскольку перевозки транзитом могут осуществляться через любые пункты, необходимо определить, какие из пунктов являются истинными пунктами отправления, какие - истинными пунктами назначения, а какие -транзитными пунктами. Для этого нужно воспользоваться подходом, основанным на применении транспортных сетей [2, 3]. Согласно данному подходу, под транзитными пунктами необходимо понимать пункты, которым соответствуют как входящие, так и выходящие дуги. Оставшиеся пункты будут

либо истинными пунктами отправления (пункты, которым соответствуют только выходящие дуги), либо истинными пунктами назначения (пункты, которым соответствуют только входящие дуги). Объемы спроса и предложения, соответствующие этим пунктам отправления и назначения, вычисляются следующим образом:

- объем предложения истинного пункта отправления равен объему исходного предложения;

- объем предложения транзитного пункта равен сумме объемов исходного предложения и буфера;

- объем спроса истинного пункта назначения равен объему исходного спроса;

- объем спроса транзитного пункта равен сумме объемов исходного спроса и буфера.

Далее строится матрица стоимости поставок, строки которой соответствуют пунктам отправления, столбцы - пунктам назначения. Элементы матрицы стоимости, которые отражают отсутствие поставок между пунктами, принимаются равными бесконечно большому числу.

Для решения задачи управления поставками через транзитные пункты применяют методы, используемые для решения обычной транспортной задачи, например метод потенциалов [4]. Следует отметить, что необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является условие баланса общего спроса и общего предложения [5]:

т п

I= I Ь.

,=1 }=1

Для наглядности необходимо рассмотреть пример.

Два автомобильных завода Р1 и Р2 связаны с тремя дилерами 01, 02 и 03, имеющими два транзитных центра Т1 и Т2, как показано на рис. 1. Заводы Р1 и Р2 производят 1000 и 1200 автомобилей. Заказы дилеров составляют, соответственно, 800, 900 и 300 автомобилей. Стоимость перевозок одного автомобиля (в сотнях долларов) показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема цепочки поставок продукции 154

В данной модели перевозки транзитом осуществляются, помимо прочего, и через некоторые пункты назначения. Пусть пункты, которым соответствуют как входящие, так и выходящие дуги на схеме рис. 1, являются транзитными (пункты Т1, Т2 и 01, 02). Оставшиеся будут либо истинными пунктами отправления (пункты Р1 и Р2), либо истинными пунктами назначения (в данной схеме такой пункт только один - 03).

Теперь преобразуем модель задачи управления поставками через транзитные пункты в обычную транспортную модель с шестью пунктами отправления (Р1, Р2, Т1, Т2, 01 и 02) и пятью пунктами назначения (Т1, Т2, 01, 02 и 03).

Вычисляем объем буфера:

В = 1000 + 1200 = 2200 или В = 800 + 900 + 500 = 2200 .

Матрица стоимости поставок для задачи управления поставками через транзитные пункты представлена в табл. 1.

Таблица 1

Матрица стоимости поставок продукции

Т1 Т2 01 02 03

Р1 3 4 М М М 1000

Р2 2 5 М М М 1200

Т1 0 7 8 6 М В

Т2 М 0 М 4 9 В

01 М М 0 5 М В

02 М М М 0 3 В

В В 800 + В 900 + В 500

Решение задачи представлено на рис. 2.

Рис. 2. Решение задачи управления поставками

Анализ полученного решения транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке

В результате решения данной задачи был составлен такой оптимальный план перевозок, при котором потребности в продукте во всех пунктах удо-

влетворены, а суммарные затраты на транспортировку всей продукции минимальны. Итак, минимальное количество средств будет затрачено при поставке: с завода P1 в транзитный пункт T2 должно быть отправлено 1000 ед. товара, в свою очередь из пункта T2 дилеру D2 - 1000 ед. товара, а уже от дилера D2 должно быть отправлено дилеру D3 500 ед. товара; с завода P2 в транзитный пункт T1 должно быть отправлено 1200 ед. товара, а из пункта T2 дилерам D1 и D2 должно быть отправлено 800 и 400 ед. товара соответственно.

Следует отметить «транзитный» эффект полученного решения: дилер D2 получает 1400 автомобилей, из них 900 оставляет себе для удовлетворения собственного спроса, а 500 отправляет дилеру D3.

Заключение

Данный метод решения задач оптимизации имеет ряд преимуществ:

1) простота построения - возможность построения математической модели путем составления двух таблиц: «Пункты отправления» и «Пункты потребления»;

2) наглядность - все параметры наглядно представлены в математической модели в виде таблиц;

3) возможность реализации процесса решения на ЭВМ - возможность заменить длительный, рутинный процесс ручного решения транспортной задачи на решение с помощью различного программного обеспечения: Microsoft Office Excel через вкладку «Поиск решения»; Open Office.org Calc через вкладку «Решатель».

Список литературы

1. Таха Хэмди, А. Введение в исследование операций : пер. с англ. / А. Таха Хэмди. - 6-е изд. - М. : Вильямс, 2001. - 912 с.

2. Басакер, Р. Конечные графы и сети / Р. Басакер, Т. Саати. - М. : Наука, 1973. -368 с.

3. Теория графов : учеб. пособие для втузов / В. В. Белов и др. - М. : Высшая школа, 1976. - 392 с.

4. Павлова, Т. Н. Линейное программирование : учеб. пособие / Т. Н. Павлова, О. А. Ракова. - Димитровград, 2002. - С. 201.

5. Баусова, З. И. Исследование математических моделей экономических систем с применением теории оптимального управления : учеб. пособие / З. И. Баусова, Н. В. Уткина, И. И. Шукшина ; под ред. А. П. Ремонтова. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - 164 с.

Баусова Зоя Ивановна

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: atlanta_b@mail.ru

Bausova Zoya Ivanovna candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and computing systems, Penza State University

Старикова Александра Юрьевна

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет E-mail: atlanta_b@mail.ru

Starikova Aleksandra Yur'evna candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and computing systems, Penza State University

Федоренко Вероника Владимировна

студентка,

Пензенский государственный университет E-mail: tanevazhnozh@mail.ru

Фролов Андрей Алексеевич

студент,

Пензенский государственный университет E-mail: atlanta_b@mail.ru

Fedorenko Veronika Vladimirovna student,

Penza State University

Frolov Andrey Alekseevich student,

Penza State University

УДК 330.42 Баусова, З. И.

Модель транспортной задачи с промежуточными пунктами в матричной постановке / З. И. Баусова, А. Ю. Старикова, В. В. Федоренко, А. А. Фролов // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2015. - № 2 (14). -С. 150-157.