Методы оценки и представления передаточных функций геофизических датчиков

УДК 550.380.14

А. В. Ларченко, О. М. Лебедь, С. В. Пильгаев, Ю. В. Федоренко

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ

Аннотация

В данной работе обоснована необходимость проведения высокоточных прямых измерений передаточных характеристик геофизических датчиков. На примере определения характеристик измерительных каналов горизонтальных магнитных компонент СНЧ-ОНЧ-приемника с активными рамочными антеннами подробно описан метод измерений модуля и аргумента функций передачи на выделенных частотах с последующим расчетом нулей и полюсов этих функций. Представленный метод может быть применен к определению и представлению функций передачи широко распространенных геофизических датчиков с электромагнитными преобразователями физических величин в напряжение. К таким датчикам можно отнести индукционные магнитометры, активные рамочные, дипольные и штыревые антенны и большую часть сейсмометрической аппаратуры.

Ключевые слова:

передаточная характеристика, калибровка, магнитные рамочные антенны.

A. V. Larchenko, O. M. Lebed', S. V. Pil'gaev, Yu. V. Fedorenko

METHODS ESTIMATING AND PRESENTATION OF TRANSFER FUNCTIONS GEOPHYSICAL SENSORS

Abstract

The necessity of high-precision direct measurements of the responses of geophysical sensors is justified. A technique of measurement of the module and argument of sensor response at the selected frequencies and subsequent calculation this response's zeros and poles is described in details for active loop antennas used by ELF-VLF receiver. The presented method may be used for both measurement and representing of responses of widely used geophysical sensors with electromagnetic converters of the physical fields and mechanical motion into voltage. Such sensor types include induction coil magnetometers, active loop, monopole and dipole antennas and many types of seismic sensors.

Keywords:

transfer function, calibration, magnetic loop antennas.

Введение

Разработка и применение высокоэффективных измерителей колебаний электромагнитного поля Земли в широком частотном диапазоне — от крайне низких до очень низких частот — всецело зависит от точного знания характеристик и свойств датчиков, входящих в их конструкцию, и точности определения передаточных характеристик их измерительных каналов. Существует широкий круг задач, для решения которых необходимо представление передаточной функции не в виде набора отсчетов, а в аналитическом виде. Например, для сравнения экспериментальных данных с волновыми формами сигнала, полученными из моделей распространения,

необходимо либо пересчитать в физическую величину данные, полученные в результате измерений, либо выходные данные модели привести к результатам измерений в анализируемом диапазоне частот. Последнее достигается достаточно просто при помощи обработки смоделированного сигнала фильтром, построенным на основе передаточной характеристики измерительной системы. Для этого передаточная характеристика системы сбора должна быть выражена в аналитическом виде, то есть в виде набора полюсов и нулей функции передачи. Отметим, что представление функций передачи в таком виде позволяет при обработке данных измерений избежать необоснованного использования интерполяции, которая не всегда применима к оцифрованным сигналам и может внести значительную ошибку в получаемые результаты.

В данной работе на примере рамочных антенн СНЧ-ОНЧ-приемника рассматривается необходимость проведения прямых измерений передаточных характеристик антенн геофизического оборудования и приведен комплекс методик, позволяющий произвести оценку передаточной характеристики всего измерительного канала и привести полученную таким образом характеристику к виду дробно-рациональной функции.

1. Расчет характеристик активных антенн из электрической схемы

Насколько бы тщательно не был бы выполнен подбор номиналов элементов схем усилителей антенн при их создании, произвести расчет передаточной характеристики измерительной антенны с заранее заданной точностью невозможно. Это связано с тем, что отклонение номинала каждого из элементов схемы от истинного значения оказывает разную степень влияния на передаточную характеристику схемы в целом.

Для примера рассмотрим характеристики схемы измерительного канала горизонтальной магнитной рамочной антенны СНЧ-ОНЧ-приемника, установленного в обс. Ловозеро. Данный приемник успешно используется для исследования эффектов распространения естественных и искусственных ОНЧ-сигналов [1, 2]. Его также предполагается использовать для исследования реакции нижней ионосферы на протонные события, используя при этом оценки групповых и фазовых скоростей распространения и волнового импеданса (отношения Ег к Нт) [3, 4] электромагнитных (ЭМ) сигналов, распространяющихся в волноводе Земля-ионосфера. На точность оценки групповой скорости распространения ЭМ сигнала прямое влияние оказывает точность определения фазочастотных характеристик (ФЧХ) измерительных каналов, а точность измерения волнового импеданса определяется точностью измерения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) [5].

Для диагностики состояния нижней ионосферы оценку групповой скорости распространения и волнового импеданса предполагается производить для естественных сигналов (атмосфериков) в СНЧ-диапазоне и сигналов СДВ-передатчиков радионавигационной системы РСДН-20 в ОНЧ-диапазоне. Оценка параметров атмосфериков производится нами в диапазоне частот до 500 Гц, в работах [3, 4] рассматривается диапазон несколько уже — 95-165 Гц. Передатчики радионавигационной системы РСДН-20 излучают сигналы, частоты которых лежат в диапазоне 11-15 кГц. Отсюда следует, что для диагностики состояния нижней ионосферы на разных высотах будет использован практически весь рабочий диапазон частот СНЧ-ОНЧ-приемника,

что накладывает жесткие требования к точности определения передаточных характеристик измерительных каналов в широкой полосе частот.

Произведем расчет доверительных интервалов АЧХ и ФЧХ активной антенны из интервалов значений элементов схемы активной антенны, которые определяются при их подборе. Эти доверительные интервалы характеризуют схему в целом и не могут быть получены путем прямых измерений. На рис. 1 приведена упрощенная схема измерительного канала магнитных компонент ловозерского СНЧ-ОНЧ-приемника. Упрощение состоит в том, что здесь приведена схема лишь одного плеча дифференциального усилителя рамочной антенны.

Рис. 1. Упрощенная схема измерительного канала магнитных компонент ловозерского СНЧ-ОНЧ-приемника с номиналами элементов и относительными

ошибками их подбора

Расчет доверительных интервалов передаточной характеристики, используя значения относительных ошибок подбора элементов схемы, мы выполняли следующим образом:

1. Произвели измерения индуктивности и сопротивления по постоянному току пассивной части антенны (собственно, рамки), при этом относительная ошибка проведенных измерений составила не выше 10 %.

2. Определили ошибки подбора каждого из элементов схемы.

3. Из схемы активной антенны нашли аналитическое выражение для ее передаточной функции Н(я) в виде дробно-рациональной функции комплексной переменной я = 2л/?, где ./— частота, ? — мнимая единица.

4. Выполнили расчет доверительных интервалов полученной передаточной функции методом Монте-Карло для 105 реализаций в предположении равномерного распределения номиналов элементов схемы в границах их точности и при уровне доверия 0.95.

Ниже приведены результаты расчета доверительных интервалов характеристик схемы активных рамочных антенн ловозерского СНЧ-ОНЧ-приемника.

Из рис. 2 видно, что 5-10 %-й разброс номиналов элементов схемы приводит к достаточно большой неопределенности ее характеристик, особенно это выражено границах рабочего диапазона частот. Произведем оценку ошибок расчета АЧХ и ФЧХ в интересующих нас частотных диапазонах — 95-165 Гц и 11-15 кГц. При использовании в схеме компонентов, имеющих точность 5-10 %, относительная ошибка расчета АЧХ в диапазоне частот 95-165 Гц в среднем составляет около 12 %, в диапазоне 11-15 кГц — более 34 % (рис. 1). Средняя ошибка расчета ФЧХ в данных частотных диапазонах составляет 3° и 23°, соответственно. Приведенные ошибки расчета АЧХ измерительного канала приведут к пропорциональным ошибкам оценок волнового импеданса, что является недопустимым.

Рис. 2. АЧХ (слева) и ФЧХ (справа) схемы измерительного канала компонент

ловозерского СНЧ-ОНЧ-приемника с нанесенными доверительными интервалами по уровню 0.95, рассчитанными из точности подбора элементов

Стоит отметить, что даже при точности подбора номиналов всех элементов схемы и точности измерения параметров пассивной антенны в 1 % относительная ошибка расчета АЧХ в диапазоне частот 95-130 Гц будет составлять порядка 1.2 %, а в диапазоне 11-15 кГц — 4 %. Разброс значений рассчитанной ФЧХ в этих же диапазонах составит не более 0.3° и 3° соответственно. Такой точности определения передаточных характеристик будет достаточно, но с технической точки зрения это практически невозможно. Это связано с тем, что, во-первых, с такой точностью довольно сложно определить параметры пассивной антенны (Ьа, Яа), а во-вторых, настолько точных (1 %) керамических конденсаторов, работающих в индустриальном диапазоне температур, на данный момент вообще не существует. Поэтому для точного определения характеристик измерительных каналов простого расчета недостаточно и необходимо проведение прямой калибровки.

В пользу разработки метода и проведения прямой калибровки антенн также свидетельствует и тот факт, что в процессе длительных измерений необходимо периодически контролировать состояние всего измерительного тракта.

2. Прямые измерения характеристик измерителей

В процессе прямой калибровки создают физический сигнал заданной величины, соответствующий измеряемому, и определяют коэффициенты, описывающие передаточную функцию всей системы в целом, включая антенну, интерфейсное устройство и аналогово-цифровой преобразователь (АЦП). Для проведения калибровки антенн важно иметь точные физические эталоны и устройства, позволяющие создавать соответствующие внешние воздействия. Также необходимо создать однородное поле в области пространства размерами, превышающими размеры калибруемых антенн.

На практике выполнить прямую калибровку рамочных антенн практически невозможно в силу того, что размеры антенной системы СНЧ-ОНЧ-регистратора могут превышать десятки метров. В литературе встречается множество методов оценки передаточных характеристик антенн данного типа [6-8]. В основном применение этих методов сопряжено либо с созданием громоздких конструкций вспомогательных антенн, либо с достаточно сложным и неточным расчетом ЭМ поля, пересекающего плоскость рамки. Поэтому нами был разработан и применен простой метод, позволяющий произвести оценку передаточной характеристики антенны без ее прямой калибровки.

В данном методе, оценка передаточных характеристик магнитных рамочных антенн СНЧ-ОНЧ-приемника производится с помощью однослойной тороидальной катушки с воздушным сердечником. Суть метода заключается в следующем: рамочная антенна продевается через тор, в котором создается известный магнитный поток. Принимая во внимание тот факт, что магнитное поле полностью сосредоточено внутри тороидальной катушки, величина магнитного потока Ф0 через плоскость антенны пересчитывается в величину калибровочного однородного магнитного поля БС1Ь как БС1Ь = Ф0/5апЬ где 5ап{ — площадь магнитной рамочной антенны. Вследствие исключения необходимости создания громоздкой конструкции вспомогательной излучающей антенны данный метод отличается как простотой проведения, так и простотой расчета величины потока калибровочного магнитного поля, пересекающего плоскость рамочной антенны.

Выбор типа калибровочного сигнала. Существующие методы оценки передаточных характеристик антенн различаются не только методами создания калибровочного поля, но и типами калибровочных сигналов. Различают два подхода: измерения с помощью широкополосных сигналов и гармонических сигналов на некотором выделенном наборе частот. В качестве широкополосных сигналов, в свою очередь, для целей калибровки часто используют: импульсный, шумовой или сигнал генератора качающейся частоты (ГКЧ). В нашем случае, оптимальным является использование гармонического сигнала, в силу того что измерения с помощью широкополосных сигналов зачастую уступают по точности оценки передаточной характеристики [9] и длительности процесса проведения измерений.

Методика измерения передаточной характеристики гармоническим сигналом на некотором выделенном наборе частот заключается в оценке значений амплитуды и фазы выходного сигнала антенны при изменении частоты калибровочного сигнала. Значения используемых в этом методе частот выбираются с учетом рабочего диапазона частот измерительной аппаратуры. Если частота калибровочного сигнала определена точно, то для совместной оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала возможно использовать метод, описанный в работе [10], который в данном случае является оптимальным. Суть метода заключается в следующем. В отсутствие шума сигнал частотой ю0 = 2nf на выходе антенны можно записать в виде:

s(t) = A cos(0t + ф0) = a cos a0t - b sin o0t, где A и ф0 — неизвестные амплитуда и фаза.

Если ю0Г = Inn, где n — целое число, то для получения оценок амплитуды и фазы необходимо вычислить следующие параметры:

2<э 2д

а = — s(t)cos ю0tdt = A cos ф0; b = —s(t) sin ю0tdt = A sin ф0

Тогда оценки амплитуды и фазы вычисляются по формулам:

В книге [10] показано, что при наличии гауссового шума на выходе антенны плотности распределения оценок параметров а и b принадлежат нормальному закону, в результате чего оценка их средних значений является несмещенной, т. е. оценки параметров а и b являются точными. При больших значениях отношения сигнал/шум оценка фазы является также несмещенной, в то время как оценка амплитуды сигнала A распределена по обобщенному закону Рэлея и поэтому является смещенной, но ее смещение относительно истинного значения мал0. К достоинствам данного метода можно отнести то, что за счет увеличения времени измерения на каждой частоте можно достичь сколь угодно высокой точности оценки амплитуды и фазы опорного калибровочного сигнала и сигнала на выходе антенны.

Расчет доверительных интервалов. Приведенный метод оценки амплитуды и фазы позволяет получить по одному значению амплитуды и фазы для каждой реализации, т. е. промежутка времени, в который непрерывно передавался калибровочный сигнал сигнал с постоянной частотой. Для получения ансамбля значений амплитуды и фазы и оценки плотности их распределения нужно получить много реализаций, статистически идентичных имеющейся. В нашем случае известно, что в малой окрестности частоты сигнала статистические свойства шума практически не изменяются. Тогда, считая принимаемый сигнал активной антенны аддитивной суммой передаваемого сигнала и шума, для получения многих реализаций принимаемого сигнала можно воспользоваться реализациями шума, взятыми вблизи частоты сигнала.

Для определения, с каким шагом по частоте можно отступать от частоты передаваемого сигнала, мы пользовались следующими рассуждениями. При проведении измерений гармонический сигнал имеет конечную длительность Т и его отображение в спектральную плоскость представляет собой функцию вида sin ((ю - ю0)Т)/(ю - ю0)Т. Если по частоте отступить на произвольную величину и

попасть на максимум или минимум «лепестка» этой функции, это внесет ошибку в измерения. Для этого шаг частоты должен быть выбран равным 1/T. Тогда для оценки доверительного интервала необходимо произвести оценку средних амплитуды A и фазы ф сигнала усреднением параметров а и b за период измерений T. Выбирать набор M частот с шагом 1/T слева и справа от частоты сигнала. Сгенерировать сигналы вида sm(t) = A cos (mt + ф0) с вычисленными ранее оценками амплитуды A реального сигнала, фазой ф0 = 0, так как доверительный интервал оценки фазы не зависит от ее среднего значения, и частотой ют, m = 1...2M. Вставить сгенерированный сигнал в реализацию шума и произвести оценку am и bm на частотах ют. Рассчитываем

I 2-2 Ь

наборы Am = д/aт + Ьт и фт = arctan —— и для заданной доверительной

a

—

вероятности вычисляем доверительные интервалы непосредственно по наборам реализаций Ат и фт. В данном случае трудно получить устойчивую оценку доверительных интервалов при близких к единице значениях доверительной вероятности, поскольку при этом необходимо большое число реализаций шума. Для расчета 95 %-х доверительных интервалов необходимо иметь набор из 200300 независимых реализаций шума.

3. Целевая функция. Оптимизация с ограничениями

В отличие от обычного метода, который включает в себя оценку амплитуды и фазы на ограниченном наборе частот, рассматривая их как независимые выборки, мы предлагаем использовать априорную информацию о том, что передаточная функций любой антенны с усилителем является рациональной функцией от 5.

Полученные в ходе измерений значения АЧХ (Ат) и ФЧХ (фт) измерительных каналов на дискретном наборе частот можно записать в виде вектора значений функции вида:

Н = А еф.

т V / т

Из параметров электрической схемы активной антенны можно найти аппроксимирующую функцию На, имеющую следующий вид:

п

Е (* - ^) на (*)=к-т—,

Е

I=1

где к — коэффициент усиления, z и р — наборы полюсов и нулей соответственно, т — число полюсов, п — число нулей передаточной функции.

Таким образом, задачей аппроксимации является поиск минимума целевой функции метода наименьших квадратов:

N

0

]=1

где N — число частот, на которых производились калибровочные измерения; Ж — весовая функция, значения которой были получены при расчете

доверительных интервалов для значений измеренных АЧХ и ФЧХ активной антенны, * обозначает комплексно сопряженную величину.

Выбор начального приближения. В задачах аппроксимации важным параметром, влияющим как на скорость выполнения данной операции, так и на ее результат, является начальное приближение вектора аргументов целевой функции, который состоит из коэффициента усиления и наборов полюсов и нулей передаточной функции. В нашем случае выбор начального приближения аргументов целевой функции мы предлагаем произвести исходя из результатов расчета параметров электрической схемы со средними номиналами элементов, которые приведены на рис. 1.

Выбор ограничений значений аргументов целевой функции. В общем случае аргументы целевой функции могут быть заданы на произвольных множествах. Но для того, чтобы передаточная функция, получаемая в результате аппроксимации, имела не только реальное количество полюсов и нулей, но и их расположение было тоже близко к реальному, на аргументы целевой функции должны быть наложены ограничения. Выбор этих ограничений мы предлагаем производить также исходя из электрической схемы и точности подбора ее элементов, т. е. здесь мы предлагаем произвести те же действия, как и при расчете доверительных интервалов передаточной характеристики, приведенные в части 2, но вычисляя при этом распределения полюсов и нулей передаточной функции.

4. Результаты

По приведенным выше методикам мы произвели оценку передаточной характеристики горизонтальной магнитной рамочной антенны ловозерского СНЧ-ОНЧ-приемника. На рис. 3 приведены рассчитанные доверительные интервалы измеренных значений АЧХ и ФЧХ антенны и доверительные интервалы, рассчитанные из точности подбора элементов схемы.

Frequency, Hz Frequency, Hz

Рис. 3. Доверительные интервалы при уровне доверия 0.95 измеренных (синяя линия) и рассчитанных (черная линия) из схемы АЧХ (справа) и

ФЧХ (слева) антенны

Как видно из рис. 3, доверительные интервалы измерений на несколько порядков меньше рассчитанных из схемы, что говорит о достаточно высокой точности оценки передаточной характеристики.

Для решения задачи поиска минимума целевой функции (2) мы воспользовались одним из методов нелинейной оптимизации из пакета КЬОРТ [11]. С помощью итерационного подхода был выбран метод Sbplx, основанный на Subplex-алгоритме [12], показавший наилучшие результаты.

Для выбора граничных значений аргументов целевой функции (2) по электрической схеме (рис. 1) методом Монте-Карло были рассчитаны распределения коэффициента усиления и наборов полюсов и нулей передаточной функции. Данные распределения были получены из 105 реализаций. При уровне доверия 0.95 были вычислены доверительные интервалы данных распределений. При аппроксимации в качестве граничных значений аргументов целевой функции были использованы рассчитанные таким образом доверительные пределы коэффициента усиления и наборов полюсов и нулей передаточной функции.

На рис. 4 приведены результаты аппроксимации передаточной характеристики магнитной рамочной антенны Нх СНЧ-ОНЧ-приемника обс. Ловозеро.

Рис. 4. Полученные в результате аппроксимации (синяя линия) и измеренные (черные звездочки) значения АЧХ (слева) и ФЧХ (справа) антенны

Средняя ошибка аппроксимации в интересующих нас частотных диапазонах 95-165 Гц и 11-15 кГц для значений АЧХ составляет не более 1.6 и 4 % соответственно, а для значений ФЧХ 0.16° и 2.3°. Для исследования эффектов распространения ЭМ-сигналов в волноводе Земля-ионосфера такой точности аппроксимации передаточных характеристик измерительных каналов вполне достаточно.

Заключение

В данной работе мы показали, что для точного определения характеристик измерительных каналов геофизического оборудования простого расчета недостаточно и необходимо проведение прямых измерений. На примере

определения характеристик измерительных каналов горизонтальных магнитных компонент СНЧ-ОНЧ-приемника с активными рамочными антеннами подробно описан и применен метод измерений модуля и аргумента функций передачи на выделенных частотах с последующим расчетом нулей и полюсов этих функций. Представление функций передачи в таком виде позволяет при обработке данных измерений избежать необоснованного использования интерполяции, которая не всегда применима к оцифрованным сигналам и может внести значительную ошибку в получаемые результаты. Приведенный метод достаточно универсален и может быть применен к определению и представлению функций передачи широко распространенных геофизических датчиков с электромагнитными преобразователями физических величин в напряжение.

Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ мол_а №16-35-00293.

Литература

1. Polarization of ELF waves generated during "beat-wave" heating experiment near cutoff frequency of the Earth-ionosphere waveguide / Y. Fedorenko [et al.] // Radio Sci. 2014. 49. 1254-1264. DOI: 10.1002/2013RS005336.

2. Первые результаты одновременной регистрации ОНЧ-излучений в двух близко расположенных пунктах в авроральных широтах / Ю. Маннинен [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия. 2014. Т. 54, № 1. С. 36-42. Impact Factor 0.332

3. Лебедь О. М., Пильгаев С. В., Федоренко Ю. В. Суточные вариации отношения E/H, наблюдаемые в Ловозеро в диапазоне частот 150-200 Гц / ФГОУ ВПО МГТУ 03211, Информрегистр. 2011. №. 0321100504. С. 232-239.

4. Реакция авроральной нижней ионосферы на солнечные вспышки в марте 2012 г. по данным наблюдений в СНЧ диапазоне / О. М. Лебедь [и др.] // Геомагнетизм и аэрономия. 2015. Т. 55, № 6. С. 797-807.

5. Ларченко А. В., Лебедь О. М., Федоренко Ю. В. Трехкомпонентные измерения структуры электромагнитного поля в диапазоне крайне низких и сверхнизких частот // Радиотехника и электроника. 2015. Т. 60, № 8. С. 793-801.

6. Burke C. P., Jones D. L. Global radiolocation in the lower ELF frequency band // J. Geophys. Res. 1995. Vol. 100, No. D12. P. 26263-26271.

7. Галахов А. А. Метод калибровки магнитных рамочных антенн больших геометрических размеров // Измерительная техника. 1990. № 6. С. 48-49.

8. Комплекс для измерения и регистрации электромагнитных полей в диапазоне СНЧ-ОНЧ / А. В. Швец [и др.] // Електромагштна сумюнють та безпека на залiзничному транспорта 2014. № 7. С. 11-21.

9. Аранович З. И. О точности импульсной калибровки сейсмометрических каналов и некоторых способах ее повышения // Сейсмические приборы: сборник. 1976. №. 10.

10. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники // Советское радио. 1968. Кн. 2. С. 190-193.

11. The NLopt nonlinear-optimization package / Steven G. Johnson. URL: http://ab-initio.mit.edu/nlopt

12. Rowan T. Functional Stability Analysis of Numerical Algorithms / PhD thesis, Department of Computer Sci. University of Texas at Austin, 1990.

Сведения об авторах Ларченко Алексей Викторович

младший научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты E-mail: alexey.larchenko@gmail.com

Лебедь Ольга Михайловна

к. ф.-м. н., младший научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты

E-mail: olgamihsh@yandex.ru Пильгаев Сергей Васильевич

младший научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты Email: pilgaev@pgia.ru

Федоренко Юрий Валентинович

к. ф.-м. н., заведующий сектором, Полярный геофизический институт, г. Апатиты E-mail: yury.fedorenko@gmail.com