Метод решения простейших уравнений

матическое содержание в гораздо большей степени ре-продуктивно, то есть подлежит воспроизводству, чем непосредственно семантическое содержание текста. Именно поэтому методические задания, упражнения, примеры, выстроенные вокруг целевой установки автора текста, реализующие прагматическое содержание текста, способны помочь создать текст в реальной практике автора СМК.

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Опыт практической журналистики // Теория и методика журналистского творчества / Под ред. проф. Г. А. Нуриджанова. - М., 1998.

2. Мурзин Л. Н, Штерн А. С. Текст и его восприятие. - Свердловск, 1991.

3. Залевская А. А. Введение в психолингвистику. -М.: Изд-во: РГГУ, 1999.

4. Рафикова Н. В. Влияние внутреннего контекста на понимание слова и текста: обзор моделей по-

нимания // Семантика слова и текста: психолингвистические исследования. - Тверь, 1998.

5. Рогожникова Т. М. Ассоциативная структура значения слова и процесс понимания текста // Психолингвистические проблемы семантики. -Тверь, 1990.

6. Леонтьев А. А. Психолингвистические особенности языка СМИ // Язык СМИ как объект междисциплинарного исследования. - М., 2003.

7. Barker R. G., Wright H. F. Midwest and its children.

- Evanston, IL: Row, Peterson & Co, 1954.

8. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник.

- М., 1976.

9. Ивин А. А. Основания логики оценок. - М.: Изд-во МГУ, 1970. - С. 21.

10. Ожегов С. И., Шведова Н. Ю. Толковый словарь русского языка. - М., 1992.

11. Рождественский Ю. В. Теория риторики. - М., 1997.

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ

A METHOD OF SOLVING ELEMENTARY EQUATIONS

И. И. Чучаев, Т. Н. Нестерова

В статье раскрываются особенности метода решения простейших уравнений. Приводятся примеры решения уравнений с помощью данного метода.

Ключевые слова: простейшее уравнение, область определения, период функции, монотонная функция, сужение функции, обратная функция.

I. I. Chuchaev, T. N. Nesterova

The article describes peculiarities of the method of solving elementary equations proposed by the authors. The authors present examples of solving equations by means of the given method.

Keywords: elementary equation, range of definition, period of function, monotonous function, narrowing of function, inverse function.

Среди важных методических задач, стоящих перед учителями, является задача формирования у школьников целостного представления о методах решения уравнений. Это представление должно обеспечить возможность школьникам осмысления методов с единых позиций, дать им ориентиры для выбора метода при решении конкретного уравнения. Эту задачу невозможно решить без осмысления решений простейших уравнений. Без выяснения места и связей способов их решения с другими методами решения уравнений.

В прошлом веке (в некоторых учебниках и сейчас) части уравнений трактовались как математические выражения, содержащие букву х (см., например, [1]). Это не позволяет рассматривать решения простейших уравнений как метод решения некоего класса уравнений. Математические выражения можно только преобразовывать. В настоящее время математическим и педагогическим сообществами признано, что части уравнения - это функции. Функциональная трактовка уравнений позволяет унифицировать решения простейших уравнений в рамках специального общего метода. Но традиция - великая сила! В школьных учебниках и учебных пособиях решения простейших уравнений остались фактически такими же, как и в прошлом. Они не укладываются в одну схему. Это затрудняет понимание сути их решения (учащимся советуют запомнить, как записывается решение этих уравнений), не позволяет перенести метод их решения на более широкий класс уравнений и раскрыть связи решения простейших уравнений с другими методами. Поэтому ученики (да и учителя) решения простейших уравнений не воспринимают как специальный метод решения уравнений, они не видят взаимосвязи между ним и другими методами.

Рассмотрим уравнение

f

где f (x) - некоторая функция, b - число. Как обычно, область определения функции f (x) будем обозначать D(f) (D(f) - очевидно, это область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1), а множество значений - E(f)).

Пусть x0 - корень уравнения (1). Ясно, что: если функция f (x) является строго монотонной, то уравнение (1) других корней не имеет; если функция f (x) четная, то -x0 также является корнем уравнения;

если функция f (x) периодическая с основным периодом T, то корнями уравнения так же будут x = x0 + nT, где n -произвольное целое число;

если функция f (x) четная и периодическая с основным периодом T, то корнями уравнения также являются x = ±x0 + nT, где n - произвольное целое число.

В первом случае уравнение (1) решено. В трех оставшихся случаях для решения уравнения нужно либо найти оставшиеся корни, либо доказать, что других корней уравнение не имеет. Доказательство отсутствия других корней проводится обычно при помощи строгой монотонности (взаимной однозначности) функции f (x) на некотором множестве X: для четной непериодической функции на множестве X = D(f )п[0;, для периодических множество X - это или отрезок длиной равной периоду или полупериоду. Если функция f (x) является основной элементарной функцией, то уравнение (1) называется простейшим. К основным элементарным функциям относятся: константа, тождественная функция (f (x ) = x), показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Анализ решений простейших уравнений в учебниках и учебных пособиях показывает, что все они имеют функциональную основу и условно разбиваются на три этапа.

1. Изучения свойств (исследования) функции f (x), при котором выделяется множество X такое, что сужение f (x) является строго монотонной функцией на X и образ X совпадает с множеством значений функции (f (X) = E (f)). Для строго монотонных основных элементарных функций X = D (f), для четных непериодических функций - X = D(f )п[0;, для периодических X - это пересечение D(f) с отрезком длиной равной или периоду, или полупериоду.

2. Определения обратной функции f-1 (x) для сужения f (x) на X и записи одного корня уравнения при помощи обратной функции, а именно x0 = f-1 (b). Если функция f (x) периодическая и множество X - пересечение D(f) с отрезком длиной равной полупериоду функции, то решение уравнения на периоде.

3. Либо доказательства отсутствия других корней, либо определения оставшихся корней через корень x0.

Это означает, что приемы решения простейших уравнений по принятой терминологии, даже в том виде, как они сейчас излагаются в учебниках и учебных пособиях, являются функциональными.

Утверждения, относящиеся к уравнению (1), позволяют решить простейшие уравнения функциональным методом однообразно. Убедимся в этом. Поскольку их решения проводятся по одной схеме, то решим только уравнения:

xa = b, tg х = b, cos x = b, sin x = b.

Для визуализации выводов, что существенно облегчает усвоение метода, можно все этапы решения демонстрировать на графиках функций.

Простейшие степенные уравнения - это уравнения вида

xa = b, где

a и b - некоторые действительные числа, причем a ф 0 и a ф 1. Область определения степенной функции и множество значений зависят от степени a . Поэтому при разных a решения уравнений xa = b различные. Рассмотрим только один случай.

Пусть a = -2n, где n - натуральное число. Функция f (x) = 1/x2" определена для всех x ф 0, является четной, строго убывающей на (0;, E(f) = (0;и f (0;^)) = E(f). Следовательно, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда b > 0. Ясно, что сужение 1/x2 на бесконечный интервал (0;обратимо. Обратная функция для сужения - это функция 1¡24x. Тогда корнем уравнения из интервала (0;будет 1/24b . Отсюда получаем, что простейшее уравнение 1/x2n = b имеет решение лишь тогда, когда b > 0, а это решение состоит из двух корней xw = ± 1¡24b .

Простейшее уравнение tgx = b.

Функция f (x) = tgx определена для всех x ф ж/2 + kn, где k - произвольное целое число. Она является периодической, с основным периодом равным п, строго возрастающей на интервале (-п/2;ж/2), E(f )=(-^;^ и f ((-к/2;П2)) ^E(f). Следовательно, уравнение имеет решение при любом b . Ясно, что сужение tgx на интервал (-к12;к12) обратимо. Обратная функция для сужения - это функция arctg x. Тогда корнем уравнения из интервала (-п/2;п/2) будет arctg b. Поэтому уравнение tgx = b имеет решение при любом b, а корнями уравнения будут х = arctgй + nn, где n - произвольное целое число.

Простейшее уравнение cos x = b.

Функция f (x) = cosx является четной, периодической, с основным периодом равным 2ж, строго убывающей на сегменте [0;п], E(f ) = [-1;1] и f ([0;п]) = E(f). Следовательно, уравнение имеет решение лишь тогда, когда |b| < 1 . Ясно, что сужение cosx на сегмент [0;п] обратимо. Обратная функцией для сужения - это функция arccosx. Тогда корнем уравнения из сегмента [0;п] будет arccosb. Поэтому уравнение cosx = b имеет решение тогда и только тогда, когда b| < 1. Корнями уравнения будут x = ±arccosb + 2mz, где n - произвольное целое число.

Простейшее уравнение sin x = b.

Функция f (x) = sinx является периодической с основным периодом 2ж. Она строго возрастает от -1 до 1 на сегменте [-п/2;п/2] и строго убывает от 1 до -1 на сегменте [п/2;3п/2]. Следовательно, E(f ) = [-1;1] и, зна-

Ь\ < 1. При этом уравнение имеет один корень -п/2;п/2] обратимо. Обратная функция для

чит, уравнение sinx = b имеет решение тогда и только тогда, когда как на [-П2;п/2],так и на [ж/2;3п/2]. Сужение sinx на сегмент сужения - это функция arcsinx. Следовательно, корнем уравнения из сегмента [-п/2;п/2] является x0 = arcsinb. Из тождества sin (ж - x) = sin x следует, что ж - arcsin b будет корнем из сегмента [ж/2;3п/2]. Поэтому решение уравнения sinx = b состоит из двух семейств корней: x = arcsinb + 2пж и x = ж-arcsinb + 2пж, где n - произвольное целое число. Эти два семейства можно записать в виде одного семейства x = (-1)" arcsinb + 2пж, где n - произвольное целое число.

К решению простейших уравнений сводятся все изучаемые в школьном курсе уравнения. Приемы решения простейших уравнений функциональные. Это раскрывает роль и место функциональных методов решения уравнений. Сами же функциональные методы (см., например, [2]) - это различные обобщения метода решений простейших уравнений.

Метод подбора как метод решения уравнений состоит из двух этапов - подбора (угадывания) одного или нескольких корней уравнения и либо доказательства отсутствия других корней, кроме подобранных, либо нахождения остальных корней при помощи подобранных. Второй этап можно осуществить только при помощи свойств функций, входящих в состав уравнения. Сравнивая решения простейших уравнений и решение уравнений методом подбора (см., например, [3; 4]), получаем, что последние этапы их одинаковы. Принципиальное отличие их состоят в следующем: в первом случае один корень определяется обратной функцией, во втором случае один или несколько корней угадываются. Угадыванию корней уравнения (1) существенно способствует знание свойств функции f (x). Поэтому метод подбора является модификацией метода решения простейших уравнений.

Теперь убедимся, что приемы решения простейших уравнений образуют специальный метод, который можно использовать для более широкого класса уравнений. Для этого решим несколько уравнений, подобных (1), так, как решаются простейшие. При решении этих уравнений с учениками (опыт показал, что они вполне доступны учащимся классов с углубленным изучением математики) весьма полезно им напомнить о графиках обратных функций, о том, что они симметричны графикам функций относительно прямой y = x. Кроме того, о том, что основной период функций |sinx|, |cosx|, |tg x| и |ctg x\ равен ж.

Пример 1. Решите уравнение

У = x

y = arcsin

- n/2

Рис. 1. Графики функций к примеру 1

cos x

|tg x = b.

Решение. ОДЗ уравнения - x ф ж/2 + nn, где n - произвольное целое число. Функция f (x) = |cosx|tg x является периодической, с основным периодом равным ж. Изучим ее на периоде - интервале (-я/22). Ясно, что f (x) = sinx для x из (-п/2; п/2). Поэтому множеством значений функции является интервал (-1;1) и, значит, уравнение имеет корни, если только |b| < 1. Так как функция f (x) строго возрастает на (-я/2;п/2) (график f (x) изображен на рис. 1), то сужение f (x) на этот интервал обратимо. Очевидно, что f"1 (x) = arcsinx, |x| < 1. Тогда корнем уравнения из интервала (-п/2;п/2) будет x = arcsinb. Поэтому корнями уравнения являются x = arcsinb + кж, где к - произвольное целое число.

i / /

1 / / / 1

- п /2 / 0 /1 п/2 X

/ / - п /2< y ---y — y = 1/1cos X = X = 2arctg x - + tg X п/2

Рис. 2. Графики функций к примеру 2

Ly / /

1 /

/ / у /

i i / , /

i I n/4 1 г п /4 1 x

-y =\ sinx\ + \ cosx\

---y = x

-y = arcsinf V2x/ 2) - п / 4

Рис. 3. Графики функций к примеру 3

Пример 2. Решите уравнение

l/|cos x| + tgx = b.

Решение. ОДЗ уравнения - x ф ж/2 + пж, где n - произвольное целое число. Функция f (x) = l/|cosx| + tgx является периодической с основным периодом ж. Изучим ее на периоде - интервале (-ж/2;ж/2). Если -ж/2 < x < ж/2,

f (x) = (1 + sinx))cosx = (sin(x/2) + cos(x/2)) )(cos2 (x/2)-sin2 (x/2)) = = (sin (x/ 2) + cos (x/ 2)))(cos (x/ 2)-sin (x/ 2)) = (sin (ж/4 + x¡ 2 ))( (ж/4 + x/ 2)) =

= tg ((4 + x¡2) и 0 < ж/4 + xj2 < ж/2 .

Поэтому множеством значений функции является интервал (0;. Тогда уравнение имеет решение лишь тогда, когда 0 <b . Так как функция f (x) строго возрастает на (-ж/2;ж/2)(график f (x) изображен на рис. 2), то сужение функции f (x) на этот интервал обратимо. Очевидно, что f- (x) = 2arctg x- n¡ 2 , 0 < x Тогда корнем уравнения из интервала (-ж/2;ж/2) будет x = 2arctg¿-п/2 . Поэтому корнями уравнения являются x = 2arctg¿-п/2 + kn , где k - произвольное целое число.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Левая часть уравнения - функция f (x) = |sinx\ + |cosx| - является четной и периодической. Так как

f (x ± ж/ 2) = |sin (x ± ж/ 2) + |cos (x ± ж/ 2) = |cos x| + |sin x| = f (x),

то ж/2 - период f (x). Учитывая, что f (x) = sinx + cosx = V2sin(x + ж/4) для x из сегмента [0;ж/4],то ж/2 - основной период f (x). График функции изображен на рис. 3. Ясно, что множеством значений функции является сегмент [1;л/2]. Следовательно, уравнение имеет решение лишь тогда, когда 1 < b < л/2. Поскольку f (x) строго возрастает на [0;ж/4] ,то сужение функции на этот сегмент обратимо. Очевидно, что f(x) = arcsin ((x/2 )-ж/ 4, 1 < x < %/2. Поэтому корнем уравнения из сегмента [0;ж/4] будет x = arcsin(b/>/2)-ж/4. Тогда корнями уравнения являются x = ±arcsin((/2) + kж/4, где k - произвольное целое число.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения - x ф пж, где п - произвольное целое число. Функция f (x) = (l-|cosx|)sinx| является четной и периодической с основным периодом равным . Изучим ее поведение на полупериоде - промежутке (0;ж/2]. Если 0 < x < ж/2, то

f (x) = (1 - cos x)sin x = (2 sin2 (x/2)))(2 sin (x/2)cos (x/2)) = tg (x/2).

-п /2

-----y = X

- y = 2arctg x

y = x

y = arccos(-x) / 2

Рис. 4. Графики функций к примеру 4

Рис. 5. Графики функций к примеру 5

Поэтому множеством значений функции является промежуток (0;1] и, значит, уравнение имеет корни, если только 0 < b < 1. Очевидно, что функция f (x) строго возрастает на промежутке (0;п/2]. График f (x) изображен на рис. 4. Отсюда следует, что сужение f (x) на (0;п/2] обратимо. Ясно, что обратная функция к сужению - этоf- (х) = 2arctg x. Поэтому корнем уравнения из (0;п/2] будет x = 2arctg¿. Теперь, используя свойства функции f (x), получаем, что корнями уравнения являются x = ±2arctgb + kn, где k - произвольное целое число.

Пример 5. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения - xф пж, x ф ж/2 + nn где n - произвольное целое число. Функция f (x) = (|tgx| -|ctgx|)/(|tgx| + |ctgx|) является четной и периодической с основным периодом равным ж. Изучим ее поведение на полупериоде - интервале (0;п/2) .Если 0 < x < п/2, то

f (x) = (tgx- ctgx)/(tgx + ctgx) = (sin2 x- cos2 x)/(sin2 x + cos2 x) = -cos2x.

Поэтому множеством значений функции является интервал (-1;1). Следовательно, уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда -1 < b < 1. Очевидно, что функция f (x) строго возрастает на интервале (0;п/2) .График f (x) изображен на рис. 5. Отсюда следует, что сужение f (x) на (0;П2) обратимо. Ясно, что обратная функция к сужению - это f(x) = (arccos (-x))/2. Поскольку arccos (-x) = ж - arccos x, то корень уравнения из (0;п/2) можно записать как (ж - arccosb)/2. Теперь, используя свойства функции f (x), получаем, что корнями уравнения являются x = ±(arccosb)/2 + rc/2 + krc, где k -произвольное целое число.

Пример 6. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения - x ф ж/2 + т, где n - произвольное целое число. Левая часть уравнения - функция f (x) = cosx|tgx| - является четной и периодической, с основным периодом равным 2 . Исследуем ее на полупериоде - множестве X = [0;п/2) и (ж/2;п) .Так как

f (x ) =

sin x, если 0 < x < п/2, - sin*, если П 2 <х< п,

то множеством значений функции является интервал (-1;1 Поэтому уравнение имеет корни, только если |Ь| < 1 . Ясно, что функция /(х) строго возрастает от 0 до 1

íarcsin x, если 0 < x < 1, [л - arcsin | x |, если -1 < x < 0

y

Рис. 6. Графики функций к примеру 6

на промежутке [0;я/2) и строго возрастает от - 1 до 0 на интервале (ж/2;?т)- График /(х) изображен на рис. 6. Отсюда следует, что /(х) является взаимно однозначной на множестве X. Тогда сужение функции /(х) на множество X обратимо. Из рис. 6, легко заметить, что обратная функция представляется в виде

, , , Гагсвпис, если 0<х<1,

/(*Н I I

Iк-агс81п|д;|, если -1<л:<0.

Отсюда следует, что корнем исходного уравнения из X будет х = агс8шй, если 0<Ь<1 и л: = ;г-агс8т|й|, если -1< Ь <0. Теперь, используя свойства функции /(х), находим, что корнями исходного уравнения являются х = ±шгатЬ + 2кп, если 0< Ь <1 и х = (2к + 1)тг± arcsin|й|, если -1 < Ь <0, где к - произвольное целое число.

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин и др. - М.: Просвещение, 1993.

2. Чучаев И. И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: Учеб. пособие. - Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001. - 168 с.

3. Чучаев И. И., Осипова М. Н. Задачи на доказательство при решении уравнений // Математика в школе. - 2010. - № 10.

4. Чучаев И. И., Осипова М. Н. Уравнения вида И (х) +сх +<3 =^ах +Ь // Математика в школе. - 2008. - № 9.

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА

PECULIARITIES OF TEACHING ELEMENTS OF THE MEASURE AND INTEGRAL THEORY IN TEACHER TRAINING UNIVERSITIES

Т. Н. Казарихина

В статье обозначены проблемы обучения понятиям «площадь» и «мера» школьников и студентов педагогических вузов, рассмотрены возможные причины возникновения проблем и предложены пути их решения.

Ключевые слова: площадь, мера, интеграл, инвариантность относительно сдвигов.

T. N. Kazarikhina

The article presents the problems of teaching the concepts of „area" and „measure" to schoolchildren and teacher training university students, possible reasons for these problems and ways of solving those.

Keywords: area, measure, integral, translation invariant.

Важнейшими, фундаментальными понятиями, которые начинают формироваться еще в школе, являются понятия меры и интеграла. Поэтому при подготовке студентов математических факультетов педагогических вузов следует уделять особенное внимание разделам математического анализа и смежных с ним дисциплин, связанным с теорией меры и интеграла.

В стандартном школьном курсе математики понятие площади впервые появляется в курсе геометрии. Сначала в этом курсе изучаются площади прямоугольников, треугольников, потом различных многоугольников, круга, частей круга.

Затем школьники встречаются с понятием «площадь» в курсе алгебры и началах анализа. В этом курсе

учатся находить площадь подграфика функции, используя интеграл Римана. Заметим, что, к сожалению, в школе само понятие «площадь подграфика функции», как правило, не определяется и учащиеся часто не осознают, каким образом площадь, которую вычисляют в алгебре и началах анализа, связана с площадью, введенной в геометрии, а многие даже не задумываются о наличии такой связи.

В качестве подтверждения сказанного приведем результаты нашего опроса случайно выбранных 26 выпускников 2010 г. различных школ различных регионов России, поступавших на математический факультет Московского педагогического государственного университета.

Приведем предложенные нами вопросы и полученные на них ответы.