Математическая модель и анализ работы ступени ЭГД-компрессора для малых систем кондиционирования и бытовой холодильной техники при пульсирующем напряжении

УДК 621.5

Математическая модель и анализ работы ступени ЭГД-компрессора для малых систем кондиционирования и бытовой холодильной техники при пульсирующем

напряжении

Д-р техн. наук, проф., академик МАХТМ. БУМАГИН, С.Г. ОВЧИННИКОВ Омский государственный технический университет канд. техн. наук А.Е. РАХАНСКИЙ

ООО НТК «Криогенная техника»

The paper offers a mathematical model and analysis of operation of an electrogasodynamic compressor stage under pulsating voltage. It is shown that under pulsating voltage the losses due to the negative influence of space charge are essentially decreased and the efficiency of operation of an electrogasodynamic compressor stage is increased.

Основным преимуществом электрогазодинамиче-ского (ЭГД) компрессора является отсутствие движущихся механических частей, как следствие, отсутствие масел для смазки, бесшумность работы, плавное регулирование расхода и давления нагнетания, возможность работать на хладагентах с повышенным давлением и др.

Основной недостаток - относительно невысокий КПД процесса ЭГД-преобразования, который при давлениях ниже 0,3 МПа находится на уровне 10 %, а при давлениях выше 0,6 МПа - на уровне 30 - 35 % [5]. В [1,5] показано, что основными потерями в процессе ЭГД-преобразования являются потери, обусловленные негативным влиянием объемного заряда.

В случае питания ЭГД-компрессора постоянным напряжением объемный заряд постоянно и полностью заполняет межэлектродное пространство и напряженность поля от объемного заряда значительно снижает суммарную напряженность поля возле эмиттера. В результате этого уменьшаются образование и выход зарядов из внутренней области коронного разряда во внешнюю зону ЭГД-преобразования. Эти потери составляют от 50 % и более [1,5].

Повышение эффективности работы ЭГД-компрессо-ра определяется уменьшением или полным устранением этих потерь. Для этого в [2] предлагается проводить питание ступеней ЭГД-компрессора пульсирующим напряжением С/ о(0 (рис. 1).

Целью данной работы являются построение математической модели процессов в ступени ЭГД-компрессора при пульсирующем напряжении питания, расчеты и анализ эффективности работы ЭГД-компрессора при этих условиях.

В качестве конструктивной схемы ступени ЭГД-компрессора для работы в малых системах кондиционирования и бытовых холодильниках принята модель с системой электродов (рис. 2): эмиттер - тонкостенная трубка 1 радиуса г0 = 0,2...0,4 мм; коллектор - усеченный конус 2 с центральным отверстием, в которое вставлен деионизатор 3. Такая система электродов с соответствующими радиусами канала на входе Яс и отверстием в коллекторе гк позволяет обеспечить расход рабочего тела в пределах 0,5 ...2,5 г/с, который является достаточным для бытовых холодильников и систем кондиционирования малой мощности.

Анализ горения коронного разряда и работы ЭГД-ком-прессора при пульсирующем напряжении питания (в отличие от постоянного напряжения) показывает, что выход объемного заряда - ионов в основную рабочую зону происходит прерывисто, отдельными порциями -волнами [4]. Коронный разряд горит, и объемный заряд выходит во внешнюю зону ЭГД-преобразования только во время изменения напряжения I/ 0(/) от и* до и 0(0 = ик, обозначенных на диаграмме (см. рис. 1) соответственно точками ник.В промежуток времени от /н до /к суммарная напряженность электрического поля возле эмиттера несколько выше начальной

напряженности зажигания короны^*.

После 1К суммарная напряженность поля Еъ0(/) становится меньше Е*, коронный разряд угасает, и выхода зарядов в зону ЭГД-преобразования нет до следующего момента времени /н, когда напряжение снова достигнет значения Ц*, а напряженность поля Е*.

Для анализа работы ЭГД-компрессора при пульсирующем напряжении нами разработаны физическая и математическая модели процессов в ступени как в зоне ионизации возле поверхности эмиттера, так и в основной

рабочей зоне ЭГД-преобразования, которая продолжается от условной граничной поверхности/^ (см. рис. 2) до поверхностей коллектора и деионизатора на всей длине канала Ь0. В отличие от математической модели процессов при постоянном напряжении, где образуется только конвективный ток, при пульсирующем напряжении возникает как конвективный ток Jqo{t), так и

Рис. 1. Диаграммы изменения пульсирующего напряжения и (I) и зависимости образуемых напряженностей внешнего поля Еф, поля объемного заряда Ед0 и суммарного поля Е1а, а также конвективного тока J , тока смещения JЛ и суммарного тока .17Я возле поверхности эмиттера

Рис. 2. Расчетная схема ступени ЭГД-компрессора:

1 — эмиттер; 2 — коллектор;.3 — деионизатор;

4 — диэлектрическая стенка

ток смещения [3,4]. Кроме этого математическая модель процессов в основной рабочей зоне учитывает изменение напряженности поля со временем как в осевом, так и в радиальном направлениях. Это внешнее поле Е 0(0 от приложенного напряжения и 0(0 и поле Едо(I) от объемного заряда, находящегося в зоне ЭГД-преобразования.

Весь процесс ЭГД-преобразования, горения коронного разряда, образования конвективного тока, тока смещения и рекомбинации зарядов по времени можно условно разделить на два этапа (см. рис.1):

• /н < / < /к, или / е [О,?0], так как /0 = (/к - /н).

Горит корона, и имеет место образование и выход

объемного заряда в зону ЭГД-преобразования. Назовем этот этап первым временам этапом.

• от до нового tц, или / е [/0,Го/2]. Корона не горит, и нет образования и выхода объемного заряда в зону ЭГД-преобразования (второй временной этап).

Отдельные уравнения, описывающие термодинамические и гидродинамические процессы, на первом временном этапе существенно отличаются от аналогичных уравнений на втором временном этапе, при этом на разных отрезках длины зоны ЭГД-преобразования они различны даже для одного и того же временного этапа. Однако большинство уравнений пригодны для обоих временных этапов. Поэтому математическая модель составлена единой для обоих временных этапов в квазиодномерном приближении с учетом радиальных составляющих электрического поля и тока. Она включает следующие уравнения.

• Интегральное уравнение образуемого перепада давлений

на первом временном этапе, г е [0,/0], для отрезка длины х е [0,Ж £]

Рис. 3. Движение волны объемного заряда на первом временном этапе

К,'

WU,t)F

г dW с уу - [ р —Ч!х - f £р —1‘-dx, J Яг J Л 7?

qx

W;

дх

4 R

а на отрезке длины х е [W ^Д-0] Apt(t) = 0;p(t) =pK(t);

Рис. 4. Движение волны объемного заряда на втором временном этапе

на втором временном этапе, I е |70,7’0/2], для отрезка длины хе[^

М>

Др2(0= j

JqAx,i)Ex

—---------------шс-

г dW г уу

f р ^Jx- f —Ч/х,

J Кї Яv J ЛЯ

W

КА‘-‘о)

дх

КА’-'о)

47?

а на отрезке длины х е [0, Wtr(t - f0)]

Ap2

уравнение образуемого среднего перепада давлений в ступени при t е [tQ,TJ2]

_____ j j Г0/2

АЛ = —

^0 0 ‘

• Интегральное уравнение изменения температуры рабочего тела по времени: на первом временном этапе, ? е [0,/

А7;(о= \

Jqx

dx -

с рт

Wr dWy

о Ср дх

i-dx,

а на отрезке длины х е [ й7 г ?Д,0]

АГ,

на втором временном этапе, г е [г0,Г0/2], для отрезка длины х е [Жх 0 -

Lo

А Г2(0= j

J4X

dx -

о)

а на отрезке длины х е (/-О]

дг2« = 0; Т2 = Г0.

• Уравнение средней температуры рабочего тела в ступени для I е [0,Г0/2]

1'°,

дгк =—|дт; (*)<*+— | ат2(1)М.

{о о ,0

• Уравнение состояния рабочего тела р(х) = г р(х) Ли Дх), где г - коэффициент сжимаемости;

р - плотность рабочего тела, кг/м3;

Rm - газовая постоянная рабочего тела, Дж/(кг К); Т - температура рабочего тела, К.

• Уравнение расхода рабочего тела

т — р

где і7 - площадь поперечного сечения канала - определяется по уравнению

F

rk, L<x<Lg;

F

л

, L <x<L0.

• Уравнение плотности и скорости для случая работы ступени на парожидкостной смеси

1 X , 1-х

Р Рп Ря

1 _ X , 1-Х w w„ w'

где х ~ массовая доля пара в смеси; рп - плотность пара; р - плотность жидкости;

= 1¥х- скорость пара;

Ш = IVх +ЬЕ%(х,1) - скорость жидкой фазы. Дифференциальное уравнение профиля канала

dW

W

dx a2 -W2[k-(k-\)z] xi[*-(A:-l)z]

m

a2 dF kW2

F dx 4 R

где k = — — коэффициент Пуассона;

с., '

HU Я

а = ^гкЯ^Т - скорость звука, м/с;

£, - коэффициент гидравлического трения. Уравнение питающего пульсирующего напряже-

:kR] (х), 0 < х < L\ nrk2, L<x<Lg;

n[r2k - 2rg(х-Lg) + (* - Lg)2], Lg < x < (Lg + rg); (13> Tdfi-rl), (L+r)<x<L0.

Здесь (см. рис. 2) гк— радиус отверстия в коллекторе; - расстояние до деионизатоора; г - радиус центрального тела-деионизатора;

&х(х) - радиус сечения канала, определяется по уравнению

R — г

Rc-x-£—к~, 0<x<L-

и*о

где 1/н - постоянная составляющая пульсирующего напряжения, О <ин<1Г;

1/0 - амплитуда пульсирующего напряжения, В; ю = 2р/— угловая частота, рад/с;

/= 1/Го - частота пульсирующего напряжения, Гц; Т0- период пульсации напряжения, с;

/ - время.

Частота питающего пульсирующего напряжения принята

W

f = _SL

2JL

где 1Удх- средняя скорость зарядов в межэлектрод-

ном промежутке.

За первый временной период (/0 = /к— /н = Г0/4) передний фронт образующей волны объемного заряда достигает поверхности коллектора и деионизатора, и в момент времени /к весь межэлектродный промежуток от поверхности эмиттера до поверхности коллектора и деионизатора полностью заполнен объемным зарядом.

За второй временной период (/0 = /К = Т0/4) задний

фронт волны объемного заряда отходит от генерирующей поверхности эмиттера, а передний фронт волны объемного заряда рекомбинирует на поверхности коллектора и деионизатора. В новый момент времени /'н процесс рекомбинации заканчивается, и межэлектрод-ное пространство полностью свободно от объемного заряда.

• Уравнение конвективного тока, образующегося возле поверхности эмиттера в первом временном периоде / е [0, /0],

3 (0_66о[^(0+Фц(0-^*],.

A&4arctg

W0+b-

0+фо„(0

/larctg

Я о Г~ КА;

Fn.

где ф?о (0 - потенциал на поверхности эмиттера, образующийся от волны объемного заряда, находящей-

ся в зоне ЭГД-преобразования:

Ф?о

здесь д;н - промежуток времени от 0 до времени ? = ?н, когда 11^(0 = 11*;

А = ^г0Дг0\/2 - геометрический параметр;

Ь - подвижность зарядов, м2/(В с).

Площадь генерирующей поверхности эмиттера

4 = 2яг0Дг0.

Для пара И22 подвижность зарядов определяется эмпирическим уравнением

ч 1,253

ъ = ь„

Ґ \ 1,5 ' \

л° РЬ

1 л ;

^/Осо|со5(о)0|

*4 (О ЄЄ0

Лак^[ —

• Уравнение полного тока возле поверхности эмиттера:

на первом временном этапе при времени I е [0,70]

4

на втором временном этапе для промежутка времени/е [/0,Г0/2]

У0

• Уравнение напряженности внешнего электрического поля от приложенного напряжения11^>о(0 на поверхности эмиттера

4,(0

Aarctg —1

4„(0 = -

А

• Уравнение напряженности поля от пространственного заряда на поверхности эмиттера для обоих временных этапов

ЕЛ 0 = -0,72-

4Л'-л/н)

Ь

где Ь0 - подвижность зарядов при нормальных условиях (/? = 0,1 МПа, Т= 293 К); . г|0, р0 - динамическая вязкость и плотность хладагента при нормальных условиях; .

г|, р — динамическая вязкость и плотность хладагента при давлении р и температуре Т.

Скорость перемещения зарядов возле поверхности эмиттера равна

= К +ЬЕ1о

где Щ) - скорость нейтрального потока возле эмиттера, м/с;

Е£ (/) - суммарная напряженность поля возле поверхности эмиттера равна сумме напряженности внешнего поля £ф0(/) от приложенного напряжения и<ро(0 и напряженности от объемного заряда

Едо(0,

Е^) = Е,0

• Уравнение тока смещения на поверхности эмиттера для обоих временных этапов

• Уравнение граничной поверхности области, заполненной волной объемного заряда,

с!гд(х, 0_ ЬЕг(х,0

с1х IV (х, £) + ЬЕх (х, /) 1 ’

• Уравнение конвективного тока в осевом направлении в зоне ЭГД-преобразования

[•4(0. о<х</9(0;

4(*>04 > 4(0 <Х<Ь0.

4, (х’0 = -

'4

• Дифференциальное уравнение неразрывности конвективного тока в области, заполненной волной объемного заряда,

ддх(х,0 [ 2уу(лс,р_

9/ д* г

где 7л(х,/) - плотность объемного заряда, Кл/м3; ]чх{х,1) — плотность тивного тока, А/м2

]цх{хЛ) - плотность осевой составляющей конвек-

У^(х,/) - плотность радиальной составляющей конвективного тока, А/м2.

Уравнение плотности объемного заряда

9,(*.0 =

Ч х ' ’ 7

здесь 4 (х,/) - площадь поперечного сечения объемного заряда, м2;

(х,?) - осевая составляющая скорости объемного заряда, м/с.

• Уравнение осевой составляющей скорости объемного заряда

Ж (х,і) = і¥(х,() + ЬЕх(х,і).

• Уравнение площади поперечного сечения объемного заряда

тсг? (х,о, о < х < 4(0;

^(*)> Е(1)<Х<Ь0,

где £ч(/) - расстояние от начала координат до границы касания волной объемного заряда стенок канала (рис. 2).

• Уравнение плотности осевой составляющей конвективного тока

• Уравнение плотности радиальной составляющей конвективного тока

у?г

• Уравнение осевой составляющей напряженности внешнего поля в зоне ЭГД-преобразования для обоих временнь1х этапов

(о

£Ф,(0= Фо

(Л2 + х2)ак^

V

+дь(^ь/,о< (»;,*,о+

V г

+ | Еч (х,1)2шь(х)сЬс= |у?о(0,ОЛ,

о о

на отрезке длины х е [ОД-0], когда (^ /) <

(0,/)2яг0Дг0 + ЕЦх ^ (^ /,0 +

+ |(лг, ()2шч (х)<& + | ЕЯг (х, 1)2пКх (х)сЬс =

0 А,

1 IV Г

= |/,„(°,0Л- } Ч{.х,г)1УЧх(.х’*)Еч,(х)(1х;

£

+ } £',г(-*»02те/гх(х)йх=|у?о(о,ол-

А, о

"V

- | д(х,^ч (х,()Р(1(х)с1х.

• Уравнение осевой составляющей напряженности от объемного заряда: на первом временном этапе при / е [0,/0] для отрезка

х е [0, ^ ?]

(*>0 =

• Уравнение полной (осевой и радиальной) составляющей напряженности от объемного заряда в зоне ЭГД-преобразования:

- на первом временном этапе при ? е [0,?о]

для отрезка длины х е [ОД, ], когда (/) < Ь ,

-Еа (0,Г)2лг0Дг0 +

^ +(х-хУ

(х-х) 7Г?! +(х-х)2

с!х -

сЕс

а на отрезке длины х е [ /Д,0]

Е-

Е^и о№)2

на втором временном этапе / е [/0,Г0/2], для отрезка длины I е

ЕЛхЛ-

Е£0Г?

,,А>*№0 1-

У,. См)

^ +

-

на втором временном этапе, / е [?0,Г0/2], для отрезка длины х 6 [

(х,0< (*,0 + ЕЧх (^,0Гч (!Гч/,0 +

+ | ^(Ж?>;,02яг9Д^/,0^ +

К I

а для отрезка длины х е [г0, (/ - ?0)]

Е Е^-гМТУ'.М-р?

• Уравнение суммарной напряженности осевой составляющей электрического поля

Ех

• Уравнение изменения давления в диффузоре

л-1

Аре = Ар,

1 +

к{п-\)

2 я а

2

Уравнение изменения температуры в диффузоре

л-1

А Та = ДГ

^ Др ^ КАР,У

2

X

"

Уравнение изоэнтропийного КПД N..

N.

• Уравнение полезной мощности (работы), совершаемой движущимися зарядами в электрическом поле в зоне ЭГД-преобразования: на первом временном этапе, ? е [0,/0],

I

N„,(0= \ Jqx(x,t)Ex(x,t)dx;

0

на втором временном этапе, / е [/ ,7у2], Нп2 (0 = | Л, (Х’ 0Ех (Х>

КЛ'-'о)

Среднеинтегральная полезная мощность на временном этапе, / е [0,Г0/2],

:.=-К(о*+-

го 0

К

10 О _

где Т0/2 = 2 /0.

• Уравнение средней затраченной мощности на временном этапе, / е [0,Го/2],

N =У и,

где С/ - среднее интегральное напряжение для обоих временах этапов

1

2/,

0 'о

У - средний интегральный суммарный ток,

Г„/2

1 0 I

‘о о 'о ,0

Граничные условия:

Ж(0) = ]У0\ 1ГХ(0) = 1Г0;

р(0)=ро; д, (°) = л0 (0;

Г(0) = Г0; Ех(0) = пКс2.

Начальные условия

?*

Полученную математическую модель (1) - (58) численно решали с использованием разностной схемы Рун-ге-Кутга четвертой степени.

В качестве рабочего тела принят 1122. Начальное состояние рабочего тела в первой ступени соответствует параметрам [5], т.е.: р0 = 500 кПа; Т0 =293 К; Ъ = 1,5 Т0“6, и0 = 25 кВ. Геометрические размеры пер-

вой ступени (см. рис.2): радиус конуса Яс = 6 мм; радиус трубки эмиттера г0 - 0,4 мм; радиус острия кромки эмиттера Дг0= 0,05 мм; радиус внутренней зоны разряда Ду = 0,6 мм; длина канала 1 = 3 мм; длина ступени У0= 6 мм; радиус отверстия в коллекторе гк = 2,5 мм; радиус деионизатора г = 2 мм.

Результаты расчета зоны ионизации показаны на рис.1. На нем представлены изменение возле поверхности эмиттера величины конвективного тока Jqo(t), тока смещения Jc0(t), суммарного тока УЕо(/), напряженности внешнего поля -£фО(0> поля объемного заряда Ед0([) и суммарного поля £1о(/), а также возникающего потенциала от объемного заряда ср(?0(/) и суммарного потенциала ф2о(/) в зависимости от изменения пульсирующего напряжения и (I) во времени.

Эти зависимости объясняют основные процессы и причины образования объемного заряда возле поверхности эмиттера в зависимости от изменения пульсирующего напряжения питания во времени. Анализ рис. 1 показывает, что зажигание коронного разряда и образование объемного заряда начинаются в момент времени /н, когда напряжение {/ф0(/) достигнет значения и* = 6...7 кВ, а напряженность поля Е-0 = Е* = = 24 кВ/мм. После этого начинаются процессы резкого возрастания выхода объемного заряда (конвективного тока) во внешнюю область разряда - зону ЭГД-преобразования - и возникновения поля объемного заряда, которое начинает влиять на напряженность поля возле поверхности эмиттера. В результате суммарная напря-

Рис. 5. Изменение конвективного тока и возникающего давления р. по длине канала

ЛР- к Па П8, %

6

5

4

3

2

1

О 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 т, ч/с

Рис. 6. Расходно-напорные характеристики и изменения адиабатного КПД ступени ЭГД- компрессора при различной частоте пульсирующего напряжения

женность поля возле поверхности эмиттера только незначительно превышает напряженность Е* и достигает своего максимума примерно в середине первой половины роста напряжения £/фо(0- В этот момент достигает своего максимума и выход конвективного тока в зону ЭГД-преобразования (7?0 = 1,04 мкА), а полный ток с учетом тока смещения достигает значения ./1о =1,5 мкА.

Далее начинается спад напряженности суммарного поля, в момент времени /к она становится равной Е* -начала напряженности зажигания, и корона угасает до следующего момента /н, так как в этот период времени суммарная напряженность поля Еъо(0 < Е*. На поверхности эмиттера имеет место только ток смещения, который запаздывает за изменением напряжения

ЦроЮ на ВреМЯ {°12-

На рис. 5 показаны изменения конвективного тока .7^ и возникающего давления рх по длине зоны ЭГД-пре-образования в различные моменты времени как первого, так и второго временного этапов. Анализ распределения электрических полей в зоне ЭГД-пре-образования показывает, где и когда имеет место насосный режим и повышение давления среды в зоне ЭГД-преобразования, а где и когда возникает генераторный режим, при котором давление среды начинает падать и становится ниже начального р0. В данном

случае генераторный режим возникает только в моменты около /н, когда напряжение £Уф0 = 0, а напряженность поля на отдельных участках направлена в противоположную сторону от коллектора.

Для полного устранения генераторного режима на этих участках к пульсирующему напряжению питания £/фО(0 необходимо добавить постоянную составляющую ия на уровне 5 кВ, так как £/н < V*.

Основные результаты расчета показаны на рис. 6, где приведены расходно-напорные характеристики и зависимости адиабатного КПД ступени ЭГД-компрессо-ра от расхода рабочего тела т при различной частоте напряжения питания/ Из рис. 6 видно, что во всех случаях изменения частоты напряжения питания / значения Ар =Дт) выше полученных в [5] при постоянном напряжении (при тех же параметрах среды и одинаковой геометрии ступени).

Наилучшие результаты Ар = /(т) и г|5 —Дт) имеют место при частоте напряжения питания /= 1000 Гц. Это подтверждает выводы работы [2], что при пульсирующем напряжении существует оптимальная частота /опт, при которой значения Ар =Дт) и г|5 =Дт) максимальны. Как и предполагалось ранее, величина оптимальной частоты/^ связана с длиной межэлектрод-ного расстояния Ь0 и средней скоростью зарядов IV в зоне ЭГД-преобразования соотношением

К

fom ~ '

По результатам расчета, представленным на рис.6, можно сделать вывод, что при питании ступеней ЭГД-компрессора пульсирующим напряжением существенно повышается эффективность их работы, особенно при оптимальной частоте/ОПТ, определяемой соотношением (59).

Список литературы

1. Бумагин Г.И. Методы повышения эффективности и единичной мощности ступени ЭГД- преобразователей энергии // Известия вузов. Энергетика. 1990. №3.

2. Бумагин Г.И, Авдеев Н.П., Дудов А.Ф. Результаты исследования ступени ионно-конвекционного насоса с питанием короны пульсирующим напряжением // Известия вузов. Энергетика. 1984. №11.

3. Коронный разряд и линии сверхвысокого напряжения. Избранные труды / В.И. Попков - М.: Наука, 1990.

4. Левитов В.И. Корона переменного тока. - М.: Энергия. 1975.

5. Раханский А.Е. Разработка электрогазодинамичес-кого компрессора для холодильной техники и систем кондиционирования: Дис...канд. техн. наук. - Омск: ОмГТУ, 2001.