Особенности численного моделирования оползневого механизма генерации волн цунами

З.И.Федотова, Л.Б.Чубаров

Особенности численного моделирования оползневого механизма генерации волн цунами

Введение. Подводные оползни, обрушения скальных пород, лавины и другие типы внезапного схода (движения) грязевых или твердых масс грунта могут служить причиной возникновения волн цунами в прибрежных областях Мирового Океана. Изучение генерации цунами оползнями имеет долгую историю, но особый всплеск интереса к этому явлению проявился после события 1998 года в Папуа Новой Гвинее, унесшего большое количество человеческих жизней.

Цунами, вызванные оползнями, менее значительны по энергии, чем сейсмические цунами, тем не менее, они могут причинить серьезный ущерб побережью, особенно в местах, где энергия волны сконцентрирована в "ловушках" -морских заливах с узким входом ([1, 2] и др.). Кроме того, так как оползни происходят на континентальном шельфе, такие цунами быстро достигают берегов континента, не оставляя времени на предупреждение. Поэтому цунами, генерируемые оползнями, представляют значительную опасность для побережья даже при умеренных землетрясениях, которые в этом случае выступают не причиной, но триггером катастрофического явления.

Вычислительный эксперимент на основе правдоподобных сценариев движения оползневых масс в гипотетических заливах позволяет изучить многопараметрические сюжеты и оценить потенциальный риск воздействия цунами оползневого происхождения на берег. При планировании вычислительного эксперимента на первой стадии изучения явления, как правило, отказываются от геологических и геотехнических особенностей движения оползней, выбирая принцип "наихудшего сценария". В ряде работ, в том числе и авторов настоящей статьи, путем проведения вычислительных и лабораторных экспериментов изучается механизм генерации волн цунами движением недеформируемого твердого тела по склону дна. В работах [3, 4] показано, что такой подход при надлежащей параметризации представляет адекватную схематизацию реальных оползневых процессов в широком диапазоне определяющих параметров.

В работах [4-7] изучалась возможность применения приближенных математических моделей длинноволновой гидродинамики для описания оползневого механизма генерации поверхностных волн, при этом анализировалась необходимость учета вертикальной структуры течения. Исследования [4,6,7] показали, что на начальной стадии процесса, в случае длинного тонкого оползня, все модели, от классических уравнений мелкой воды до полной модели течения идеальной жидкости, хорошо описывают наиболее существенные характеристики волнообразования. Показано также, что для детального количественного и качественного описания явления в обширных водоемах на продолжительное время следует привлекать модели волновой гидродинамики, хорошо описывающие дисперсию и отражающие неоднородность процесса в вертикальном направлении. Что касается полной модели, то в работах [4,5,6] была продемонстрирована возможность ее использования в качестве «эталонной» модели, дающей решения, наиболее близкие к результатам лабораторного эксперимента, однако ее применение для серийных расчетов представляется пока слишком дорогостоящим.

Для детального изучения закономерностей волнообразования необходимо исследовать зависимость характеристик этого процесса от основных параметров задачи: длины и ширины оползня, его формы, глубины залегания, закона движения. Такой подход инициировал комплекс многопараметрических расчетов, выполненных с помощью иерархии моделей волновой гидродинамики, включающей уравнения мелкой воды в приближениях, обеспечивающих учет нелинейных и дисперсионных эффектов, и полные уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

1, Модели оползневых механизмов. Изучение генерации волн цунами движущимся оползнем выполнено в модельной акватории, схема которой приведена на рис. 1: в прибрежной зоне дно состоит из склона, образующего с горизонтом угол (р, а в точке х, = hcomí / tan (р склон сопрягается с ровным дном постоянной глубины hC(msl. Гидроволновые лотки для изучения волновых режимов в прибрежной зоне чаще всего имеют именно такой профиль [3, 6].

¿ лабораторных исследованиях подводный оползень часто имитируют движением по откосу полностью погруженного в воду твердого недеформируемого тела, имеющего форму верхней части полуэллипса. Именно так были проведены эксперименты, описанные в работах [3,6]. При этом, естественно, не учитывались свойства реального оползневого материала. В работах [3,4,6,7] такой процесс изучался в численном эксперименте с использованием математических моделей разного уровня гидродинамической точности - от простейших линейных уравнений мелкой воды, с учетом и без учета дисперсии, до полных уравнений волновой гидродинамики. Расчеты показали необходимость сглаживания формы тела вблизи точек примыкания полуэллипса к склону из-за сильной чувствительности большинства численных алгоритмов к разрывам производных функции, описывающей донную поверхность. В работе [7] была изучена зависимость волнообразования от следующих геометрических форм тела: "прямоугольник", "сглаженный прямоугольник",

верхняя половина эллипса ("полуэллипс") и "синус" - возвышение, образованное синусоидой на длине своего периода, поднятой на высоту амплитуды,

Чтобы избавиться от необходимости сглаживать контуры оползня, в работе [8] была предложена следующая форма донной поверхности:

h(x, t) = х tan (р - АИК

1 + tanhl * Xc(t)+b

Jx-x(t) 1-tanh ------L--b

Здесь Ah - максимальная толщина оползня, S - параметр, характеризующий крутизну поверхности оползня, здесь S = cos (р! 2, К = [l + tanh(fr)]-2 - нормирующий множитель. Величина Ъ равна расстоянию между ¡очками перегиба кривой, задающей верхнюю поверхность оползня, xc(t) - координата точки максимальной толщины тела, х, - ее начальное положение. Величина d характеризует заглубление оползня до начала движения.

Ч)

Предполагается, что в начальный момент вода покоится, точка уреза совпадает с началом декартовой системы координат xOz. Границы расчетной области располагаются в точках с координатами х0 = 1, xN = 41, вычисления

продолжаются до момента времени f = 50. На левой границе модельной акватории предполагается наличие вертикальной непроницаемой стенки, правая граница предполагается открытой. При постановке краевых задач для математического моделирования на этих границах ставятся условия непротекания и свободного прохода, соответственно, Для фиксации результатов моделирования установлены семь расчетных мареографов с координатами:

хм0 = хс„ ~~ 1 > хм{ ~ хс0 ~ 2.38, - Хм,_х + ^ , i — 2,..,,6 .

Хо ХС

обо о-о - о—©-

хм~Хсо~ 2-38; Хщ-Хм/j

л> Хс * \

<\ X: \

"NJ d 1 Нх.О 1

ъ ¡

Рис. 1. Схема модельной акватории и фрагмент с указанием параметров оползня

При математическом моделировании обычно ограничиваются двумя модельными видами оползней, в англоязычной литературе называемыми слайдами (slide) и слампами (slump) [3]. Оползень типа «слайд» можно определить как тонкий слой грунта, поступательно продвигающийся на большие расстояния, В работах [3,4] описан следующий закон движения слайда:

s(t) = ln[cosh(r./ Г)]. При естественных физических условиях начальное ускорение и конечную установившую я скорость можно определить в виде А — O.Sgsin^, W - 1.16л]bg sin(р , соответственно. Тогда характерные время и расстояние вычисляются естественным образом; Т ~W / А , s0 = W2 / А = W - Т [3-5]. Как показано в работе [4], при этих предположениях простое уравнение s(t) — At2 /2 обеспечивает хорошую аппроксимацию начального разгона тела, после чего движение становится равномерным и продолжается вплоть до окончания расчётов или остановки оползня по какой-либо причине,

Оползни второго вида («слампы») продвигаются на угол ф по дуге окружности радиуса R с центром в некоторой точке. Полагая значение ф малым, а R - относительно большим, эту дугу, вследствие её малой кривизны, можно приблизить отрезком прямой. Тогда закон движения можно аппроксимировать формулой s(t) = s0 [l -- cos(/ / Г)],

где s0 = 0.5Яф, Т - 1.84уR/ g ; время движения равно п • Т.

В статье для изучения перестройки волновых процессов при торможении и остановке оползня были воспроизведены волновые режимы, порожденные различными вариантами указанных выше двух типов оползневых механизмов (см.

рис. 2). Так, для слайда изучены случай внезапной остановки тела во время равномерного движения и вариант, когда замедление происходило постепенно, вплоть до остановки, Когда закон движения предусматривал резкую остановку или завершение этапа торможения, то, за исключением одного случая, этот этап наступал в момент ¿\./0 — 30 .

Хс

Рис, 2. Типы движения оползня: "слайд 1" (¿1) - разгон, равномерное движение, остановка, покой; "слайд 2" (с12) - разгон, равномерное движение, торможение, покой; "слайд 3" (с!3) - разгон, равномерное движение; "сламп Г (р1) - разгон, торможение, покой; "сламп 2" (р2) - разгон, торможение, покой. На врезке - увеличенный фрагмент рисунка, иллюстрирующий особенности движений

типа "сламп" в начале движения

В тех случаях, когда это не оговаривается специально, для моделирования оползневых движений используются следующие значения параметров: ДА = 0.05 , Ь - 1.0, Нсош = 2.3 , х =2.38, (р = 6°, £ = 1, Я - 2,

ф - 0.35. Более детально упомянутые типы движений изложены в работе авторов [17].

2. Математические модели. В работе используется иерархия моделей, учитывающих изменение во времени донной поверхности: линейные и нелинейные модели мелкой воды, слабо нелинейные дисперсионные модели, полученные в [10] и совпадающие в случае ровного дна с известными моделями Мея-Меоте и Перегрина [13, 14], упрощенные варианты моделей Грина-Нагди [15] и Нвогу [16], одно- и двухслойные нелинейно-дисперсионные модели (НАД) Лью-Линетта [8,9], а также полная модель течения идеальной жидкости [11]. Полное описание упомянутых моделей также приведено в работе авторов [17]. Отметим особый интерес авторов работы к моделям с дисперсионными соотношениями, наилучшим образом аппроксимирующими дисперсионное соотношение полной модели. Эти модели получены в [9] за счет уточненного воспроизведения вертикального профиля скорости, При этом авторам [9] удалось улучшить также учет линейных и нелинейных эффектов, Вывод этого класса моделей потребовал введения параметров, обеспечивающих улучшенную аппроксимацию дисперсионных кривых. Эти параметры определяют толщины виртуальных слоев, на которые разбивается исходный слой воды, Таким образом, возникают условные границы раздела и соответственно (2А^-1)-параметрическая модель, содержащая N условных слоев (//-слойная модель]. Для проведения вычислительных экспериментов пока использованы одно- и двухслойные модели, При определенных условиях "однослойная" модель сводится к НЛД-уравнениям Нвогу с нелинейной дисперсией [8,12].

3. Вычислительные алгоритмы. В качестве численных алгоритмов применялись простые, но эффективные конечно-разностные схемы. Для гиперболических систем был использован численный метод, построенный на базе схемы Мак Кормака. Для нелинейно-дисперсионных уравнений разработаны схемы второго порядка аппроксимации, содержащие ряд управляющих параметров, позволяющих избирательно применять процедуру сглаживания. Для численного решения уравнений Нвогу и Лью-Линетта использовался конечно-разностный аналог схемы Адамса четвёртого порядка аппроксимации по времени и по пространству [12]. В случае нелинейно-дисперсионных уравнений соответствующая схема обладает вторым порядком аппроксимации по пространству, Для аппроксимации полной гидродинамической модели применялись схемы на криволинейной сетке, адаптирующейся к геометрии расчетной области [11],

4. Вычислительные эксперименты. Для сравнения различных моделей была проведена серия вычислительных экспериментов по моделированию волнового режима, порожденного оползнями типа "слайд 1" и "сламп 1".

На серии рисунков 3-5 изображены графики мареограмм, рассчитанных в первой и седьмой (последней) точках записи (см, рис. 1). Именно здесь наиболее полно проявляются характерные особенности волновых полей. Первый мареограф записывает волну, распространяющуюся к берегу, а седьмой - в мористую часть акватории. Как показывают графики (рис. 3), при законе движения оползня "слайд 1" в первую точку вначале приходит волна понижения, ассоциируемая с этапом разгона, за которой следует длинная и пологая волна повышения, связанная с этапом рав-

номерного движения, и, наконец, наступает момент, когда почти одновременно проявляются волны, порожденные резкой остановкой оползня и отражением от береговой стенки (фрагмент (а)). Эти эффекты подтверждаются мареограм-мами второй точки (Ь), в которой волны «остановки» и «отражения» полностью разделены. Пунктирные кривые на фрагментах (а) и (Ь), соответствующие закону движения "сламп 1", показывают иной характер разгона и отсутствие волн "равномерного движения" и "остановки".

Рис. 3. Результаты, рассчитанные с использованием всех моделей для движения оползней "слайд Г' (сплошная) и "сламп 1" (пунктир) в первой (а) и второй (Ь) точках. На фрагменте (с) изображены результаты, рассчитанные в седьмой точке по НМ-уравнениям Перегрина (жирная линия), а также по линейным (маркеры) и нелинейным уравнениям мелкой воды

Таким образом, в прибрежной зоне даже самые простые математические модели приводят к неразличимым результатам, разве что за исключением волн "остановки" и "отражения", особенно отчетливо воспроизводимых моделью мелкой воды. Принципиальное отличие волн, распространяющихся в попутном оползню направлении, иллюстрирует фрагмент (с), на котором изображены мареограммы, рассчитанные в седьмой мареографной точке по линейным и нелинейным уравнениям теории мелкой воды, а также по НЛД-модели Перегрина. Сюда первой приходит волна повышения, за ней следует волна понижения, связанная с прохождением тыловой зоны оползня (как для движения "слайд 1", так и для движения "сламп 1"), завершается мареограмма (для движения "слайд 1") резкой волной понижения -волной "равномерного движения и остановки", В случае "сламп 1" таких эффектов нет, Расчеты, полученные по НЛД-модели, демонстрируют более сложный характер течения при одновременном сохранении базовых характеристик.

Для поиска ответа на вопрос о выборе наиболее адекватной приближенной модели следует обратиться к анализу мареограмм, рассчитанных для закона движения "слайд 1" в удаленной (мористой) точке. Для определения важности учета нелинейных дисперсионных членов сравним результаты, полученные по НЛД-моделям с нелинейной и линейной дисперсией, а затем сопоставим их с результатами, рассчитанными по полной модели. На рис. 4 приведены решения, рассчитанные по НЛД-модели Нвогу с линейной дисперсией и по однослойной модели Лью-Линетта, переходящей в случае линеаризации дисперсионных членов в модель Нвогу [16], Обе модели одинаково описывают значительную по продолжительности часть волнового процесса и существенно различаются в моделировании диспергирующего волнового следа.

Окончательный этап анализа, приводящий к выбору модели для последующих исследований, состоит в сравнении перспективных НЛД~моделей с полной (рис. 5). Фрагменты (а) и (Ь) с очевидностью указывают на двухслойную модель Лью-Линетта и на целесообразность использования ее упрощенного варианта (однослойная модель) для исследования начальных стадий рассматриваемых явлений, На фрагменте (с) представлены результаты сравнения упомянутых НЛД-моделей между собой.

Рис. 4. Эффект нелинейной дисперсии: результаты в седьмой точке, рассчитанные для оползня, движущегося по закону "слайд 1" по НЛД моделям с линейной и нелинейной дисперсией. Модели Нвогу с нелинейной (однослойная модель Лью-Линетта) - пунктир - и линейной- сплошная линия - дисперсией

(а) Ф) &

Рис. 5. Мареограммы, рассчитанные для оползня, движущегося по закону "слайл Г' в седьмой точке. Оценка точности НЛА моделей с нелинейной дисперсией (пунктир): а - однослойная, Ь - двухслойная модели Лью-Линетта в сравнении с результатами, полученными с помощью полной модели (сплошные линии), с - сравнение однослойной (пунктир) и двухслойной (сплошная линия) моделей

Л

/V

л

О 10

30 ¿0 50

Ы)

'V

л

ю го

40 50

О 10

1(1 20 да -10 41

Рис. 6. Эффекты, обусловленные различными типами движений оползня. Мареограммы, рассчитанные в первой (слева) и в седьмой (справа) точках с помощью двухслойной нелинейно-дисперсионной модели с нелинейной дисперсией и улучшенным дисперсионным отношением. На всех фрагментах сравниваются результаты, соответствующие закону движения "слайд 1" (сплошная линия) с другими (пунктир с маркерами): фрагмент (а) - "слайд 2", фрагмент (Ь) - "слайд 3", фрагмент (с) - "сламп Г, фрагмент (с!) - "сламп 2"

Исследование особенностей волновых режимов, обусловленных разнообразием механизмов их генерации, выполнялось с использованием двухслойной модели Лью-Линетта. Основные закономерности волнообразования показаны на рис, 6, Анализ расчетов показал, что в начале движения в сторону берега уходит небольшая волна понижения, Перед телом образуется волна повышения, которая во время разгона, оставаясь постоянной по амплитуде, увеличивает свою

длину за счёт того, что передний её фронт уходит в сторону глубокой воды со скоростью ^gH , а задний - перемещается вместе с оползнем, При равномерном движении оползня эта волна отделяется и уходит вперёд. Образовавшаяся волна понижения сопровождает оползень, а в случае резкой его остановки она также отделяется от тела и уходит в мористом направлении. Такая остановка генерирует волну повышения, распространяющуюся в сторону мелководья, Каждая перестройка движения приводит к генерации систем волн, распространяющихся к берегу и от него с различными амплитудами и характерными горизонтальными размерами,

Наиболее ярко указанные выше эффекты проявляются при законе движения "слайд 1", вариант "слайд 2" демонстрирует эффект отсутствия резкой остановки, а "слайд 3" показывает проявление эффекта длительного равномерного движения, Тип движения "сламп 1" характеризуется высокой эффективностью волнообразования при даже кратковременном этапе разгона по траектории слампа, При этом рост длительности этого этапа ("сламп 2") приводит к росту амплитуд волн, уходящих в мористом направлении, в то время как амплитуда волны, распространяющейся в сторону берега оказывается большей при коротком разгоне ("сламп 1"),

В заключение отметим, что было проведено исследование зависимости волнообразования от геометрических параметров оползня. Увеличение толщины оползня приводило к усилению нелинейных эффектов, удлинение оползня сопровождалось ростом амплитуды с сохранением основных тенденций во всех мареографных точках. Уменьшение заглубления центра масс приводит к усложнению волнового процесса в прибрежной зоне с одновременным уменьшением амплитуды волны.

Библиографический список

1, Murty Т. S, Submarine Slide-generated Water Waves in Kitimat Inlet, British Columbia II J, Geophys, Res, - 1979, - Vol, 84 (C12), -P. 7777-7779,

2, Jiang L„ LeBlond P, H. The Coupling of a Submarine Slide and the Surface Waves which it Generates II J, Geophys, Res, - 1992,

- Vol. 97 (C8), - P. 12,731-12,744.

3, Grilli S.T., Waits P, Modeling of waves generated by moving submerged body, Applications to underwater landslide II Engineering Analysis with boundary elements. - 1999. - Vol, 23, - P. 645-656.

4, Watts P„ imamura F„ Grilli S. T, Comparing model simulations of three benchmark tsunami generation cases // Science of Tsunami Hazards, - 2000, - Vol, 18, - No 2. - P. 107-123.

5, Watts P., Grilli S. T„ Kirby J.T., Fryer G,J„ Tappin D.R. Landslide tsunami case studies using a Boussinesq model and a fully nonlinear tsunami generation model II Natural Hazards and Earth System Sciences, - 2003, - Vol, 3. - No 5,- P, 391-402.

6, Елецкий C.B., Майоров Ю.Б., Максимов B.B„ Нуднер И,С„ Федотова З.И„ Хажоян М.Г., Хакимзянов Г,С., Чубаров ЛБ. Моделирование генерации поверхностных волн перемещением фрагмента дна по береговому склону II Совместный вып. журнала "Вычислительные технологии" и журнала "Вестник КазНУ им. Аль-Фараби". Сер, матем., мех,, информатика № 3 (42), - Казахстан, Ал-маты. - 2004, - Т. 9, - Ч. II, - С, 194-206.

7, Чубаров ЛБ„ Федотова З.И., Елецкий С,В, Численное моделирование генерации волн движением оползня II Тр, Межд. Конф, по вычисл. математике. - Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН. - 2004, - Ч, II. - С, 753-758.

8, Lynett P.J., Liu P.L-F. A numerical study of submarine-landslide-generated waves and run-up. // Proc, Royal Society of London, A, -2002, - Vol. 458. - P. 2885-2910,

9, Lynett P,J„ Liu P.L.-F, A two-layer approach to water wave modeling II Proc, Royal Society of London, A. - 2004. - Vol, 460. - P. 2637-2669.

10, Дорфман A.A., Яговдик Г,И. Уравнения приближённой нелинейно-дисперсионной теории длинных волн, возбуждаемых перемещениями дна и распространяющихся в бассейне переменной глубины II Числ, методы механики сплошной среды. - Новосибирск, 1977,-Т,8, - № 1,- С,36-48,

11, Хакимзянов Г.С., Шокин Ю.И., Барахнин В.Б„ Шокина Н.Ю. Численное моделирование течений жидкости с поверхностными волнами, Новосибирск, Сиб, отд-ние, 2001, -393 с.

12, Wei G., Liu J.T.-F, A time-dependent numerical code for extended Boussinesq equations II J, Waterway, Port, Coastal and Ocean Engng, - 1995, - Vol, 120, - P, 251-261,

13, Mei C.C., Le Mehaute B. Note on the Equations of Long Waves on Uneven Bottom II J, Geophys. Res. - 1966 - Vol 72 - No 2

- P, 815-827,

14, Peregrine D.H. Long Waves on a Beach II J, Fluid Mech, - 1967, - Vol, 27, - Pt 4, - P. 815-827,

15, Green A,E„ Naghdi D.M, A derivation of equations for wave propagation in water at variable depth // J.FIuid Mech, - 1976 - Vol 78,- Pt 2, - P. 237-246.

16, Nwogu O. Alternative form of Boussinesq equations for near shore wave propagation II J, Waterway, Port, Coastal and Ocean Engng, - 1993, - Vol. 119, - P. 618-638,

17, Шокин Ю.И., Федотова З.И„ Хакимзянов Г.С., Чубаров ЛБ„ Бейзель С,А. Моделирование генерации цунами движением оползня с учетом вертикальной структуры течения II Труды VIII Всероссийской конференции «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф" (Кемерово, Россия, 26-28 октября 2005 г.), 2006, в печати.