Особенности математического моделирования процесса конденсации влаги в калийных рудниках

УДК 622.413.6.012.2-047.58

Е.С. Дударь, доц.,

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА КОНДЕНСАЦИИ ВЛАГИ В КАЛИЙНЫХ РУДНИКАХ

Приведен обзор решений задачи конденсации пара из парогазовой смеси в трубе, применяемых в расчетах различных технологических процессов. Описана математическая модель процесса конденсации влаги в калийном руднике в теплое время года. Сравнительный анализ выявил особенности предлагаемой математической модели, обусловленные условиями протекания рассматриваемого природного процесса.

Ключевые слова: тепломассообмен, конденсация пара, математическая модель, калийный рудник, горная выработка.

В теплое время года в шахтных сетях калийных рудников происходит конденсация влаги на стенках горного массива. Поступающий в рудник теплый влажный воздух содержит пар в перегретом состоянии. Соприкасаясь с холодными стенками выработки, воздух охлаждается, причем сначала происходит только процесс теплообмена и понижение температуры не влияет на концентрацию водяного пара. При дальнейшем понижении температуры и постоянном содержании водяного пара относительная влажность воздуха возрастает, пар становится насыщенным, и часть его переходит в конденсированную фазу, осаждаясь на стенках в виде жидкой пленки [1].

Влага и соль образуют агрессивную среду, которая ухудшает условия труда, отрицательно воздействует на шахтное оборудование, транспорт, уменьшает несущую способность целиков, ведет к затоплению выработок. Для нормализации термовлажностного режима горных выработок и исключения вредного воздействия параметров микроклимата на условия труда и безопасность работ необходима специальная обработка воздуха, что требует значительных материальных затрат. Однако, как показывает практика, принятие тех или иных технических решений по обработке воздуха, может не дать ожидаемого результата ввиду сложности объекта исследования - шахтной сети и сложности протекающих в ней взаимосвязанных процессов тепло- и массообмена [2]. Необходимость прогноза последствий принимаемых технических решений по обработке воздуха делает актуальным применение математической модели процесса конденсации влаги в шахтной сети калийного рудника.

Для расчета термовлажностного режима в шахтной сети калийного рудника была разработана математическая модель [3] и на её основе создан программный комплекс «МтеСНта.1е». В данной работе сравниваются известные математические модели теплообмена при конденсации и математическая модель программного комплекса «МтеСНша1е».

Особенности процесса конденсации влаги в калийных рудниках. Особенности процесса конденсации влаги в калийных рудниках, прежде всего, вызваны природными условиями его протекания. Наиболее интенсивно процесс конденсации происходит в неглубоких калийных рудниках (400 м), для которых естественная температура горных пород составляет 9...12 0С [1]. Гигроскопичность калийных солей, характеризуемая как способность поглощать водяные пары из воздуха, приводит к тому, что процесс выпадения влаги из вентиляционной струи начинается не при точке росы (ф = 100 %), а при критической относительной влажности воздуха фсг = 55...70 %. Наиболее активно процесс конденсации происходит в выработках, пройденных по карналлиту, так как он более гигроскопичен, чем каменная соль и сильвинит.

В отличие от технологических процессов, в которых может происходить конденсация сухого насыщенного, перегретого, влажного однокомпонентного пара, пара с содержанием неконденсирующейся примеси и т.д., в выработках калийных рудников конденсация влаги всегда происходит из влажного воздуха (смесь сухой части воздуха и водяного пара). Этот процесс является природным и водяной пар в рудничном воздухе находится под весьма низким парциальным давлением, его объемное содержание колеблется от 0,5 до 4,5 % [1]. При этом пар воздуха, составляющий незначительную долю объема смеси, содержит значительное количество тепла. При конденсации суммарный тепловой поток от парогазовой смеси складывается из конвективного теплопереноса и теплоты фазового перехода, эти составляющие являются соизмеримыми [4], поэтому тепловую задачу необходимо решать совместно с диффузионной.

В горных выработках пленочную конденсацию пара в присутствии неконденсирующегося газа (сухой части воздуха) необходимо рассматривать как процесс, протекающий в трех сосуществующих фазах: парогазовой смеси, конденсате и породном массиве. И если для конденсирующейся влаги граница раздела фаз «жидкость - твердая стенка» непроницаема в случае плотных кристаллических пород, то в температурной задаче количество тепла, отводимого вглубь горного массива, является определяющим фактором.

При этом следует учитывать, что все процессы происходят в вентиляционной сети, которая не является фиксированной вследствие ведения горных работ и вследствие природных процессов, ведущих к утечкам воздуха и возникновению незапланированных ветвей.

Обзор математических моделей процесса конденсации пара в трубе. Конденсация принадлежит к одному из наиболее распространенных технологических процессов. Этим объясняется значительное число типовых задач теплообмена при конденсации, реализуемых в различных теплообменных устройствах [5, 6]. Конденсацию водяного пара из воздуха можно рассматривать как простейший случай конденсации

многокомпонентных смесей, когда единственная конденсируемая компонента присутствует в смеси неконденсируемых газов (сухой части воздуха). Феноменологическая модель этого процесса предполагает наличие границы раздела двух сосуществующих фаз: парогазовой смеси и конденсата на охлаждаемой твердой стенке. Вследствие этого задача теплообмена при конденсации относится к сопряженным задачам, в которых процессы тепло- и массообмена, происходящие в смежных фазах, взаимосвязаны.

Многообразие сочетаний различных гидродинамических режимов течения газа и пленки жидкости, условий на границе раздела фаз и на охлаждаемой поверхности конденсации - всё это привело к созданию различных математических моделей, которые учитывают особенности конкретного процесса [6, 7]. В соответствии с классификацией [8] выделяют четыре класса математических моделей тепло- и массопереноса при пленочной конденсации: задачи в сопряженной постановке; одномерные инженерные модели; модели в приближении пограничного слоя с отсосом и модели для пленки конденсата.

Задачи в сопряженной постановке содержат решение систем сопряженных дифференциальных уравнений в приближении теории пограничного слоя, которые дают возможность рассчитать профили температур, скоростей и концентраций в обеих фазах [5]. Пограничный слой характеризуется малостью поперечных размеров и скоростей по сравнению с продольными, что позволяет произвести сравнительную оценку и не рассматривать уравнение движения в направлении перпендикулярном стенке, а давление поперек пограничного слоя принимать постоянным. Упрощающие допущения, положенные в основу вывода уравнений пограничного слоя, позволяют значительно упростить дифференциальные уравнения пограничного слоя по сравнению с общими уравнениями динамики вязкой жидкости [9].

Решение задачи о конденсации в сопряженной постановке связано с преодолением существенных математических трудностей, которые, прежде всего, обусловлены тем, что в процессе решения необходимо найти неизвестную границу раздела фаз. В практике расчетов наибольшее распространение получил метод отыскания автомодельных решений [9, 10], когда исходные дифференциальные уравнения в частных производных записываются через функцию тока, тождественно удовлетворяющую уравнению неразрывности. Введение безразмерных функций тока и координаты, вид которых зависит от конкретных условий задачи, позволяет преобразовать систему дифференциальных уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Автомодельные решения уравнений пограничного слоя дают возможность получить точные данные о трении и тепломассообмене в пограничном слое. Кроме того, такие решения используются для сопоставления и проверки достоверности приближенных методов расчета. Однако, как

отмечается в [8] вопрос о физическом смысле и границах применимости автомодельных решений при наличии поперечного потока массы, нуждается в тщательном исследовании.

В одномерных инженерных моделях для описания изменения по длине осредненных характеристик потока каждой из фаз используют уравнения, полученные в результате интегрирования исходных дифференциальных уравнений по площади поперечного сечения трубы [9]. Граничные условия на поверхностях раздела (жидкость - твердая стенка, жидкость -газ) выражают через соответствующие коэффициенты трения, тепло- и массообмена и т.д. Поскольку одномерная модель не дает информации о радиальных профилях температур, скоростей и концентраций, то для расчета неизвестных касательных напряжений, удельных тепловых и массовых потоков на границах раздела фаз в [8] предлагается использовать эмпирические соотношения или закономерности для однофазных течений, обобщенные в виде критериальных уравнений.

В [11] рассмотрена одномерная задача теплообмена при конденсации из бинарной смеси газов, в которой для описания течения конденсирующегося газа использована модель двухслойного турбулентного потока. Процессы переноса в турбулентном ядре описываются одномерными уравнениями для осредненных по сечению газового потока величин. Для замыкания системы уравнений указываются связи между локальными величинами - потоками массы, энергии, импульса на межфазной поверхности и определяющими параметрами одномерной модели. В качестве таких зависимостей используют результаты экспериментов или данные более простых пространственных моделей, описывающих процессы переноса вблизи поверхности раздела и допускающие полное математическое исследование. Следует отметить, что пространственные модели для тонкой ламинарной пленки на межфазной границе широко используются в инженерных расчетах [12, 13] и в некоторых классификациях [7] их выделяют в отдельную группу задач, которые относятся к методам «пленочной теории».

Допущения, используемые при построении одномерных моделей, обуславливают их приближенный характер, однако, с точки зрения инженерной практики одномерный подход к решению задач тепломассообмена вполне оправдан [5]. Это объясняется тем, что часто нет необходимости в детальном знании профилей скорости, температуры и концентрации, достаточно иметь данные о распределении коэффициентов трения, тепло- и массообмена по длине трубы.

Математические модели в приближении пограничного слоя с отсосом обычно рассматривают, как частный случай решения сопряженной задачи [9]. Через поверхность раздела паровой и жидкой фаз происходит непрерывный отвод массы, таким образом, движение парогазовой смеси можно рассматривать как поток в трубе, на границе (то есть на поверхно-

сти раздела) которого имеется отвод массы. В таких моделях решение уравнений производится только для газового пограничного слоя, а процесс конденсации моделируется отсосом через пористую стенку.

В зависимости от характера и структуры течения на проницаемых поверхностях исследование турбулентного пограничного слоя делится на область умеренных и область сильных отсосов [14]. При небольшой интенсивности отсоса пограничный слой сохраняет свое главное отличительное свойство - существенное изменение характеристик течения происходит в узкой пристеночной области. Для расчета турбулентного течения, в этом случае, могут быть применены классические полуэмпирические модели, используемые для определения рейнольдсовых напряжений, турбулентных потоков тепла и массы в теории пограничного слоя на непроницаемых поверхностях.

Модели для пленки конденсата исторически появились первыми и являются наиболее простыми. В них описывается движение только в пленке конденсата, а воздействие газового потока учитывается с помощью соответствующих граничных условий на поверхности раздела фаз [5, 7]. В большинстве моделей основным параметром, характеризующим интенсивность процесса конденсации, является коэффициент теплоотдачи. Высокий коэффициент теплоотдачи означает низкую интенсивность конденсации, так как при этом толщина образующейся пленки жидкости должна быть мала. При конденсации в присутствии неконденсируемых газов интенсивность теплообмена зависит не только от толщины пленки конденсата [6], но и от скорости подвода конденсируемых компонентов к поверхности раздела фаз [4, 12]. Для этого случая используют коэффициент массоотда-чи пара, который в обычном представлении является аналогией коэффициента теплоотдачи и характеризует суммарный (конвективный и диффузионный) перенос вещества в газовой фазе.

Расчет характеристик процесса конденсации в отдельной фазе для многих случаев нельзя считать строгим. Такие приближенные методики часто используют экспериментальные данные или аналогию процессов переноса теплоты и вещества. Однако данный метод удобен для первоначальной приблизительной оценки коэффициента теплоотдачи, а зачастую является и единственно возможным.

Особенности математической модели программного комплекса «MineClimate». Как следует из вышеприведенного обзора, при решении задач пленочной конденсации нередко используют экспериментальные зависимости, простые пространственные модели, описывающие процессы переноса вблизи поверхности раздела, или аналогию процессов тепло- и массообмена. Это обусловлено, прежде всего, тем, что теоретические исследования теплообмена при конденсации в технических устройствах имеют хорошее экспериментальное подтверждение. Однако в рудничных условиях проведение экспериментальных исследований является сложным

и дорогостоящим мероприятием, поэтому применительно к горному делу целесообразно использование лишь наиболее общих и хорошо обоснованных закономерностей процесса конденсации пара из парогазовой смеси.

Предлагаемая математическая модель [3] основана на решении дифференциальных уравнений энергии, движения, неразрывности и диффузии, позволяющем определить поля температуры, скорости, давления и массовой концентрации пара. Система дифференциальных уравнений в частных производных предполагает совместное решение трех задач: распределения воздуха в сети, тепломассообмена при конденсации влаги и теплопроводности горного массива. Расчет сети выполняется методом конечных элементов [15], задача для парогазовой смеси решается на основе аналогии тепло- и массообмена с использованием интеграла Лайона

[16], решение задачи нестационарной теплопроводности горного массива найдено методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа

[17].

В разработанной математической модели конденсации в отличие от моделей в сопряженной постановке не рассматривается пленка сконденсировавшейся жидкости, то есть не требуется находить границу раздела фаз. Это допущение основано на том, что жидкая пленка имеет пренебрежимо малую толщину по сравнению с размерами выработки, так как она непрерывно стекает со стенок под действием силы тяжести. Основные процессы, характеризующие теплообмен при конденсации в горных выработках, протекают не в жидкой пленке, а в турбулентном потоке парогазовой смеси и в породном массиве.

Достоинством разработанной модели является использование универсального закона распределения скоростей в круглой трубе, имеющего хорошее экспериментальное подтверждение [9]. В условиях стабилизированного тепломассообмена и умеренного оттока массы известные профили скорости используются для определения коэффициентов теплоотдачи и массоотдачи в данном сечении трубы. Следовательно, в отличие от одномерных моделей, не возникает проблемы определения локальных характеристик тепло- и массообмена. При этом в продольном направлении изменяются среднемассовые характеристики потока, то есть используется одномерное приближение.

Исследование термических сопротивлений, возникающих в пленке жидкости и на её границах, приводится в моделях для пленки конденсата. В разработанной математической модели скачок температур на границе «воздух - стенка» возникает за счет теплоты парообразования, выделяющейся при конденсации. Скачок температур на стенке выработки и последующий отток тепла из парогазовой фазы вглубь горного массива в разработанной математической модели рассматриваются как взаимосвязанные задачи, при этом искомой величиной является температура стенки выработки.

Отвод конденсата моделируется аналогично задачам теплообмена в трубах с проницаемыми стенками, когда по требуемым условиям эксплуатации необходимо определить количество отводимой жидкости. При умеренном отводе массы из потока, который имеет место в шахтных выработках, применена аналогия тепло- и массообмена, позволившая

распространить решение Лайона на задачу массообмена.

На основе математической модели разработан программный комплекс «MineClimate» расчета термовлажностного режима в горных выработках, который позволяет определить длину зоны конденсации, точки начала и конца процесса выпадения влаги, количество сконденсировавшейся жидкости. Достоинством разработанного алгоритма решения является то, что можно рассматривать отдельно как задачу конвективного теплообмена воздуха с горным массивом, так и задачу тепло- и массообмена при конденсации. Используемые аналитические зависимости являются достаточно простыми для того, чтобы их можно было распространить на всю вентиляционную сеть. В разработанной математической модели используются хорошо обоснованные упрощающие гипотезы, применяемые при конструировании промышленных аппаратов, что делает методику расчета удобной для практического применения.

Выводы. Для расчета термовлажностного режима в выработках калийных рудников создан программный комплекс «MineClimate», позволяющий определять параметры влажного воздуха в любой точке вентиляционной сети, находить количество сконденсировавшейся влаги и определять зону её выпадения. Математическая модель, лежащая в основе программного комплекса, сочетает достоинства различных классов рассмотренных моделей. Программный комплекс был использован для расчета количества выпадающей влаги в вентиляционной сети рудника БКПРУ-2 [3] . Исследование показало, что процесс конденсации носит локальный характер и сосредоточен в некоторой окрестности воздухоподающего ствола. Размер зоны конденсации зависит, прежде всего, от глубины разработки, времени года и количества поступающего в рудник воздуха. Достоверность разработанной методики подтверждена сравнением результатов расчета с шахтным экспериментом.

Список литературы

1. Медведев И.И., Красноштейн А.Е. Аэрология калийных рудников. Свердловск: УрО АН СССР. 1990. 250с.

2. Дядькин Ю.Д., Шувалов Ю.В., Гендлер С.Г. Тепловые процессы в горных выработках. Ленинград: Изд-во ЛГИ, 1978. 103с.

3 . Дударь Е.С. Особенности формирования и расчет термовлажностного режима выработок калийных рудников // Вестник МГТУ им. Г.И. Носова. 2009. № 4. С. 10 - 14.

4. Терехов В.И., Терехов В.В., Шаров К.А. Тепло- и массообмен при конденсации водяного пара из влажного воздуха // ИФЖ. 1998. № 5 (71). С.788 - 794.

5. Исаченко В.П. Теплообмен при конденсации. М.: Энергия, 1977.

239 с.

6. Гогонин И.И. Теплообмен при конденсации движущегося пара внутри вертикальных труб // ИФЖ. 2004. № 2 (77). С. 167 - 180.

7. Owen R.G., Lee W.C. Some recent developments in condensation theory // Chemical Engineering Research and Desing. 1983. № 6 (61). Р.335 -361.

8. Михалевич А.А. Математическое моделирование массо- и тепло-переноса при конденсации. Минск: Наука и техника, 1982. 216с.

9. Теория тепломассообмена / С.И. Исаев [и др.]/ под ред. Леонтьева А.И. М.: Высшая школа, 1979. 495с.

10. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 344с.

11. Зверев Н.И., Коротаев Ю.П., Марон В.И. Одномерная модель течения смеси газов в трубе с учетом конденсации // ИФЖ. 1982. № 5 (43). С.727 - 733.

12. Liao Y., Vierow K.A generalized diffusion layer model for condensation of vapour with noncondensable gases // Trans. ASME. J. Heat Transfer. 2007. № 8 (129). Р.988 - 994.

13. Rao Dharma V., Krishna Murali V., Sharma K.V., Rao Mohana P.V. Convective condensation of vapour in the presence of a noncondensable gas of high concentration in laminar flow in a vertical pipe // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2008. № 25-26 (51). Р.6090 - 6101.

14. Дударь Е.С., Дударь О.И. Использование интеграла Лайона для решения задачи конденсации влаги из турбулентного потока бинарной смеси // Строительство и образование: сборник. Екатеринбург: Изд-во УГ-ТУ-УПИ, 2005. №14. С.319 - 322.

E. Dudar

Peculiarities of the mathematical simulation of liquid condensation in potash mines

The review of methods for the calculation of vapour condensation from steam-airmixtures in a tube in application to various technological processes is presented. The mathematical model of liquid condensation in a potash mine during the warm season is described. Comparative analysis reveals special features of the suggested mathematical model caused by conditions of the analyzed natural process.

Key words: heat-mass exchange, steam condensation, mathematical model, potassium mine, mining tunnel.

Получено 17.03.2010