Взаимосвязанность настраиваемых параметров в автоматических системах с интегральным широтно-импульсным регулированием

УДК 681.5.003.23

ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ НАСТРАИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ

© Е.А. Осипова1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Приводится исследование взаимосвязанности настраиваемых параметров в системах регулирования с ИШИМ. Поскольку исследование базируется на ранее известной методике, согласно которой указанная проблема решается посредством вычисления ранга матрицы функций чувствительности второго порядка, в работе рассматривается метод построения соответствующих анализаторов чувствительности. Однако в силу большого объёма вычислений, связанного с реализацией такого рода анализаторов, вопросы, касающиеся оценки корректности вычисляемых функций и последующего определения ранга соответствующей функциональной матрицы требуют дальнейшего изучения. Ил. 2. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: взаимосвязанность параметров; параметрическая оптимизация; интегральная широтно-импульсная модуляция; чувствительность.

CORRELATION OF CUSTOMIZED PARAMETERS IN AUTOMATED INTEGRAL PULSE-WIDTH MODULATION SYSTEMS

E.A. Osipova

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The correlations of customized parameters in the control systems with integral pulse-width modulation are investigated. Since the study is based on the procedure known before, which solves the specified problem by calculating the second order sensitivity function matrix rank, the paper discusses the method of building the corresponding sensitivity analyzers. However, computer intensive calculations associated with the implementation of such analyzers, the problems having to do with the correctness assessment of the functions being computed and the following identification of the rank of the corresponding functional matrix require further study. 2 figures. 5 sources.

Key words: parameter correlation; parametric optimization; integral pulse-width modulation; sensitivity.

К способам повышения качества функционирования автоматической системы относят в частности усложнение закона регулирования и увеличение числа настраиваемых параметров. Однако и то, и другое порождает ряд проблем при параметрической оптимизации системы, под которой понимается определение таких значений настраиваемых параметров, которые доставляют экстремум принятого критерия качества и удовлетворяют наложенным ограничениям.

В настоящей работе рассматривается проблема, названная как взаимосвязанность настраиваемых параметров в системах, где регулирование осуществляется по закону многопараметрической интегральной широтно -импульсной модуляции (ИШИМ). Известно [1], что наличие этой проблемы влечет за собой нарушение сходимости алгоритмов автоматической параметрической оптимизации, которые в настоящее время широкое применяются для вычисления оптимальных настраиваемых параметров автоматических систем [2, 3].

Рассмотрим достаточно общую структурную схему автоматической системы (рис. 1). Процессы, протекающие в ней, можно описать как

s(t, q)=l(t)-x(t, q),

u

x(t, q) = Gp (p) uq),

где s(t, q) - ошибка регулирования; X(t)- задающее воздействие; u(t, q)- регулирующее воздействие; x(t, q) - выходная координата объекта регулирования; G (p) - оператор объекта регулирования; Gje(s(t, q), q) - оператор импульсного элемента (ИЭ); q = (q, ..., )- m - мерный вектор настраиваемых

1Осипова Елизавета Алексеевна, аспирант, ст. преподаватель кафедры автоматизированных систем, тел.: 89501204839, e-mail: osipovaelizaveta@yandex.ru

Osipova Elizaveta, Postgraduate, Senior Lecturer of the Department of Automated Systems, tel.: 89501204839, e-mail: osipovaeliza-veta@yandex.ru

параметров; р = ^^ - оператор дифференцирования.

Оператор объекта регулирования в достаточно общем виде может быть представлен так:

(* \( * V1

О (р)= X Ь'Р'\Ъ ар е~ХобР,

V 1=0 А ¿=0 У

где а, Ь - действительные положительные коэффициенты; то5 - время запаздывания, причем необходимо отметить, что параметры объекта регулирования Ор(р) никоим образом не зависят от настраиваемых параметров q . (] = 1, т).

и

6) *

Рис. 1. Структурная схема исследуемой системы регулирования

Характеристика ИЭ, осуществляющего ИШИМ прямоугольных импульсов по заднему фронту, может быть представлена в виде

+1, при е[кТ\> 0] (Л г т г, если кТ < г < кТ+г,,

и

0, если кТ + гк < г < (к + 1)Т,

где к = 0, 1, 2, ...; Т - период цикла работы ИЭ; гк - время действия импульса.

Величина гк определяется следующим образом. При выполнении условия |е[кТ\ > 0 гк -ложительный корень уравнения

Xq] | 14, = ф

}= кТ

определяемый на промежутке (0, Т). Если такого корня нет, гк = Т. Если |^[кТ\ = 0, то гк = 0 и и(г, ч) = 0

при кТ < г < (к +1) Т. Функция ф(ги) имеет вид ф(ги ) = ги2.

При исследовании работоспособности алгоритмов оптимизации систем с ИШИМ необходимо решение следующих вопросов, касающихся взаимосвязанности настраиваемых параметров. Во-первых, необходима методика установления наличия взаимосвязанности настраиваемых параметров. Во-вторых, в случае положительного

ответа на первый вопрос вначале требуется определение тех настраиваемых параметров числом 1 из их общего числа т, которые можно считать параметрами, образующими базис, а потом, с целью придать значения оставшимся параметрам, необходимо задать их функциональную зависимость от базисных параметров.

Отвечая на первый вопрос, обратимся к методике, представленной в [1]. Указанная методика позволяет обосновать наличие или же наоборот отсутствие взаимосвязанности настраиваемых параметров на базе соответствующих теорем математического анализа [4]. Причем делается это посредством вычисления ранга матрицы функций чувствительности второго порядка

дд1

дЧ\

дЧш

к

дЧш

к ]. ,=1

= 1, т.

Так, в случае, если ранг матрицы равен т , то взаимосвязанность настраиваемых параметров отсутствует. Если ранг матрицы (5) равен щ < т, то через настраиваемые параметры д, ..., д должны быть выражены

остальные настраиваемые параметры д +1,..., дт .

Следовательно, для того чтобы воспользоваться такой методикой применительно к системам с ИШИМ, потребуется обратиться к функциям чувствительности второго порядка. Существует, по меньшей мере, два способа получения таких функций чувствительности [5]. Первый способ сопряжен с решением соответствующих уравнений чувствительности аналитическими методами, что является применительно к дискретным автоматическим системам регулирования весьма сложной и громоздкой задачей; а второй [1] - предполагает использование анализатора чувствительности с последующей его реализацией с помощью компьютерного моделирования.

Так как в настоящее время второй способ находит применение при решении различного рода прикладных задач, раскроем его более подробно. Рассмотрим процесс построения анализатора, благодаря которому можно получить функции чувствительности второго порядка в исследуемой системе с ИШИМ.

Для этого сначала представим уравнения функций чувствительности второго порядка для рассматриваемого случая. Ранее в [1] получены уравнения чувствительности для дискретных систем регулирования с т настраиваемыми параметрами:

к, (г ) = (р) ^ = ^ (р)^А^—Ч (рЩ+ Ч )), (к = 0,1,2, ...; j = 1Щ),

дд, р дд, Т ^

ди

—д,

В

где--оператор обобщенного дифференцирования по настраиваемому параметру д.; Аи, = и +0 — и 0-

дд

величина скачка регулирующего воздействия и

—г,

в моменты

его разрыва (кТ + гк ); 3(г — (кТ + гк )) -

дельта-функция, смещенная на время

параметру д. , определяемая с учетом характеристики ИЭ.

Результатом обобщенного дифференцирования обеих частей уравнения (6) будет

по

к, (* )=0Г (р —2 А (р щ—(кТ+,к))+

к ддг —д,

+2 Аич

дЧгдд, —и —г,

(

—дг —д,

Ор (р) б'(г — (кТ + *к ))—2

Аи

— г,

—дг—д,

^ + А'и.

—дг —д,

+

А' —гк

+Ад и, ——

д 4 —д

Л

г У

Ор (р) щ(г — (кТ+*к))+2 А к (кТ+*к) щ(г — (кТ+*к)),

к —д,

(к = 0, 1, 2, ...; г,, = 1Щ) .

ди

Здесь Аи = Аи' (кТ + *к ); А'^ = Аид (кТ+гк); и' = —

чают так называемую частную производную.

дг

ид, =

ди д д -, где символы — и -

дд дг дд.

озна-

Поскольку в случае ИШИМ с прямоугольными импульсами функция и(г, я) является кусочно-постоянной, частная производная и' в точках дифференцируемости равна нулю, а в точках разрыва не определена. Тогда

А и = Аи' (кТ+гк ) = и' (кТ+гк + 0)—и' (кТ + гк — 0) = 0, (к = 0, 1, 2, ...) .

к

к

к

к

Кроме того, учитывая тот факт, что при ИШИМ амплитуда регулирующего воздействия и(г, я) не зависит от настраиваемых параметров 4 , имеем аналогичную ситуацию с разрывами частных производных и'ч :

Д'»Л = Н (кТ+гк)=и'Ч] (кТ+гк + 0)-и; (кТ+гк -0)=0, (к = 0, 1, 2, ...;] = тут).

Прежде чем окончательно записать уравнения для функций чувствительности второго порядка систем с ИШИМ, определим соотношения для вычисления скачков Д£(кТ + гк ) (1 = 1, т), которые имеют место в уравнении (7). Согласно утверждениям, сформулированным в [5], ответ на этот вопрос можно получить в ходе следующих рассуждений.

Уравнения непрерывной линейной части исходной системы (см.рис. 1) с учетом (1) и (2) можно представить в виде

Жх

Жг

= ¥

В соответствии с тем, что объект регулирования (2) является физически реализуемым, т.е. для его оператора выполняется условие /л<3, вектор F(x(г), х(г — г), и(г), х0, я, г) не терпит разрывов в моменты переключения (кТ) и (кТ + гк (я)) на рассматриваемом семействе решений х(г, я) .

Указанное обстоятельство и непрерывность по г решений исходной системы (1) означают непрерывность функций чувствительности £(г) (1 = 1, т) как функций г . Откуда вытекает, что

£ (кТ+гк + 0) = £ (кТ+гк - 0), 1 = 1, т . Составим теперь уравнения для функций чувствительности второго порядка систем с ИШИМ:

£] (г ) = Х (р) 5'(г-(кТ+гк ))-£ Ор (р) ¿(г-(кТ+гк)) ,

к к ^ ^ к к dqldq]

(к = 0, 1, 2, ...; 1, ] = 17т) .

Исходя из уравнения (4), выражения для вычисления всех dгk|dqi получим из равенства

т кТ+гк

X ql я|= гк

1=1 кТ

которое имеет место в моменты г = кТ + гк(я) (к = 0, 1, 2, ...) с учетом выполнения условия |г[кТ\ > 0. Для этого требуется продифференцировать обе части равенства (9) по каждому параметру qi (1 = 1, т), считая гк функцией от я, а затем разрешить полученные т уравнений относительно Л^/Л^ . Отсюда

кТ+гк т (кТ+гк р,\р(г ^

| \а(г, 4л + ]ГqrI | г\а(г, яГ *

dгk кТ г=1 V кТ

^ п ^ I Г, ^ , V

гк X'1 г Г

г=1

2гк-X qr к\кТ+гк \'

,

ф

Здесь участвуют производные-, для которых справедливо

8qI

Ф(г, я) = [-£ (г), при е(г, я)> 0; _

^ 1 £(г), пРи ^ я) < 0, ] =1 т.

Последнее является результатом дифференцирования по q1. левой и правой частей первого уравнения из (1).

Теперь из равенств (10) можно определить вторую производную от моментов переключения (кТ+гк), (к = 0, 1, 2,...) по параметрам я:

л % лЧ1ЛЧ]

У1 е(г, я)1-1 + ]  |е(г, я)]-1 Лг + Л^\е[кТ+гк \

кТ

Лг + -к-ШТ+г, I +

dq

кТ+гь

+

I г (г -1) яГ ¿^Л + А

г=1 V кТ

^ дq,

]

г\е[кТ+гк \г-1

МкТ+гк \

т \ (кТ+гк т кТ+гк п) ~

2гкк\кТ+гк\г]-| I е(г, я)Л + | я)1-1 Лг

1=1 кТ

к X"1 г V г=1

кТ

Лг

2 -|£[кТ+гк \]

V ^

^к\кТ+гк \ дqt

т

X щг е\кТ+гк \

(к = 0, 1, 2,...; 1, ] = 1, т). Здесь производные д2|е(г, q)|дqiд^. предполагают

д2\£(г, я) _[-£]] (г), при е(г, я)> 0;

д^7

£] (г), пр и е(г, я) < 0, 1, ] = 1, т.

т

2гк-X qг е\кТ+гк \г

V г=1

Принимая во внимание все вышесказанное, построим анализатор, позволяющий вычислить функции чувствительности второго порядка. Схема анализатора представлена на рис. 2.

Ы61 ЫО

Рис. 2. Анализатор чувствительности системы с ИШИМ

Схема на рис. 2 позволяет перейти к реализации построенного анализатора для функций чувствительности второго порядка средствами компьютерного моделирования. Здесь необходимо отметить следующее: благодаря линейности оператора рассматриваемого объект регулирования Ор(р), для которого справедлив принцип суперпозиции, во избежание моделирования смещенной дельта-функции 3(г -(кТ + гк)) и её производной З'(г -(кТ + гк)), которые имеют место в уравнениях (8), стало возможным перейти к смещенной ступенчатой функции 1(г - (кТ + гк)). Как показывает предварительное исследование, это в значительной мере повышает

точность вычисления ранга функциональной матрицы (5) по сравнению с аппроксимацией дельта-функции непрерывными функциями. Но несмотря на это, а также с учетом того, что реализация построенного анализатора чувствительности связана с большим объемом вычислений, получаемые в итоге решения уравнений (8) требуют оценки влияния на их точность накапливаемых неконтролируемых погрешностей.

2

г—1

У

У

г=1

Таким образом, в данной работе изложены теоретические предпосылки исследования взаимосвязанности настраиваемых параметров в системах с нелинейным многопараметрическим интегральным широтно-импульсным законом регулирования. Показан характер трудностей, с которыми приходится сталкиваться при вычислении ранга матрицы функций чувствительности второго порядка.

Библиографический список

1. Куцый Н.Н. Взаимосвязанность настраиваемых параметров в сложных автоматических системах // Вестник ИрГТУ. Сер. Кибернетика. 1999. Вып. 2. С.84-90.

2. Никитин А.В., Шишлаков В.Ф. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: монография / под ред. В.Ф. Шишлакова. СПб.: СПбГУАП, 2003. 358 с.

3. Сабанин В.А., Смирнов Н.И., Репин А.И. Параметрическая оптимизация и диагностика с использованием генетических алгоритмов // Промышленные АСУ и контроллеры. 2004. №12. С.27-31.

4. Рождественский Б.Л. Лекции по математическому анализу. М.: Наука, 1972. 544 с.

5. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981. 464 с.

УДК 622.20

К ВОПРОСУ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОГО ОТРАЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ПРИМЕНЕНИЯХ

© А.В. Петров1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Одним из наиболее распространенных и эффективных при построении математической модели (нахождении функциональной зависимости) является аппарат регрессионного анализа. Но его основным недостатком являются значительные математические (порой, неразрешимые) трудности при отыскании параметров нелинейных регрессионных зависимостей (а таковых в природе подавляющее большинство). Кроме того, классический регрессионный анализ при описании стохастических зависимостей использует только понятие корреляционного момента и производного от него коэффициента корреляции. Рассматриваются вопросы изучения и развития нелинейного регрессионного анализа, которые имеют не только практически важное значение в радиотехнике и других науках, но и позволяют предпринять попытку создания числовых вероятностных характеристик, описывающих нелинейные стохастические взаимосвязи. Библиогр. 13 назв.

Ключевые слова: информационные системы; радиотехнические сигналы; регрессионный анализ; нелинейные стохастические взаимосвязи.

TO PROBABILISTIC STATISTICAL REFLECTION OF NONLINEAR STOCHASTIC DEPENDENCE IN RADIO ENGINEERING APPLICATIONS A.V. Petrov

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The tools of regression analysis are the most common and efficient in developing a mathematical model (finding a functional dependence). However, their main drawback is considerable (sometimes insoluble) mathematical difficulties in finding the parameters of nonlinear regression dependences, which exactly are predominant in nature. Besides, the classical regression analysis uses only the concept of the correlation moment and the correlation coefficient derived from it to describe stochastic dependencies. The paper examines the problems of studying and developing the non-linear regression analysis, which are of practical importance in radio engineering and other sciences, as well as allow to make an attempt to create numeric probability characteristics describing nonlinear stochastic relationships. 13 sources.

Key words: information systems; radio signals; regression analysis; nonlinear stochastic relationships.

Известно, что практически все реальные радиотехнические сигналы представляют собой стохастические функции времени. Создание модели (в данном случае физического сигнала) - первый существенный шаг на пути систематического изучения свойства явления. Прежде всего, математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. Существенным является тот факт, что математические модели радиотехнических сигналов доставляют возможность описывать именно те свойства сигналов, которые исследователь определил как важные. И в этом случае многие второстепенные признаки или свойства сигнала отходят на

1Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор, декан факультета кибернетики, тел.: (3952) 405162, email: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of Technical Sciences, Professor, Dean of the Faculty of Cybernetics, (3952) 405162, e-mail: pe-trov@istu.edu