Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом в дробных пространствах Бесова, приводящиеся к краевой задаче Газемана

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СДВИГОМ В

ДРОБНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ГАЗЕМАНА

Альсейтов Амангельды Гумарович

учитель математики, гимназия « Умит», г. Уральск, Казахстан

Е-mail: alseyytov@rambler.ru

SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS WITH SHIFT IN BESOV' S FRACTIONAL SPACES, LEADING TO HASEMAN' S BOUNDARU VALUE

PROBLEM

Alseitov Amangeldy Gumarovich

teacher of mathematics, gymnasium "Umit", Uralsk city, Каzakhstan

АННОТАЦИЯ

Настоящая работа посвящена исследованию и решению одного сингулярного интегрального уравнения со сдвигом в дробных пространствах Бесова, вложенных в пространство непрерывных функций, но не вложенных в класс непрерывных по Гёльдеру функций. С помощью эквивалентных преобразований данное интегральное уравнение сводится к краевой задаче Газемана в дробных пространствах Бесова, решенной автором ранее.

ABSTRACT

The present work is devoted to the investigation and solution of one singular integral equation with a shift in Besov' s fractional spaces embedded in the space of continuous functions, but not nested in a class of Holder continuous functions. With the help of equivalent transformations of this integral equation is reduced to Haseman' s boundary value problem in Besov' s fractional spaces, solved earlier by the author.

Ключевые слова: контур Ляпунова; дробное пространство; сингулярное интегральное уравнение; краевая задача Газемана; интеграл типа Коши.

Keywords: Lyapunov' s boundary; fractional space; singular integral equation; Haseman' s boundary value problem; Cauchy-type integral.

В работе изучается один вид сингулярных интегральных уравнений со сдвигом в дробных пространствах Бесова. Справедливость в дробных пространствах Бесова формул Сохоцкого-Племеля для граничных значений интеграла типа Коши [4, с. 64], [5, с. 38] и полная непрерывность одного интегрального оператора со сдвигом [1, с. 7—24] позволяют в полной мере изучить в этих пространствах краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.

Пусть Г — простой замкнутый гладкий контур Ляпунова Clv, 1 < p < 2,

2

--1<v< 1 и разбивает плоскость комплексного переменного на две области:

Р

внутреннюю D +, содержащую начало координат и внешнюю D -, содержащую бесконечно удаленную точку. Положительным направлением на контуре Г

будем считать то направление, которое область D+ оставляет слева.

На контуре Г заданы функции a(t), e(t), f (t) принадлежащие классу

v

Бесова Bpv(Г), 1 < p < 2, и функция a(t), отображающая контур Г взаимно

однозначно на себя с сохранением направления и имеющая не обращающуюся

1

на Г в нуль производную a'(t) е Bpp1(Г), 1 < p < 2. В дальнейшем будем

считать, что функции a (t ) и в (t ) не обращаются в нуль нигде на Г.

Отметим, что для рассматриваемых нами пространств имеют место

вложения: при 1 < p < 2 Bp 1(Г) C(Г), но Bpp11(Г) Cp (Г) ни при

каком 0 <Р < 1 [3], [4, с. 62], т. е. выделенные нами пространства Бесова вложены в пространство непрерывных функций, но не вложены в класс непрерывных по Гёльдеру функций.

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение со сдвигом

a

тп Jrr-a(t) m гт -1

где: т и ? — точки на Г, а () неизвестная функция из дробного пространства

1

Бесова ВррХ(Г), 1 <р <2. Интеграл, понимаемый в смысле главного значения

по Коши, берётся по контуру Г.

Отметим, что аналогичное интегральное уравнение без сдвига

тп * т _ /

7П ГТ — ?

изучено Н.К. Блиевым [6, с. 491—492].

Перейдем к решению уравнения

ф(г) = _!. ГР(Т) 4т.

2т т — г

2

В силу леммы 1.2 [4, с. 61] Ф(г) е Вр1(В), 1 < р < 2, В = В+ иВ~. Согласно формулам Сохоцкого -Племеля

() = ф* (г) — ф— (г),

1 ¡т 4Т=ф*

т1 т — ?

где: ф+ (?) и ф (?) — граничные значения функции ф(г) при г Г соответственно для геВ игеВ. Подставляя значения

р(?), 1 ¡ррт ат в

М*г т — ?

уравнение (1) и решая его относительно ф+[а(?)], получим, что кусочно

аналитическая функция Ф(г) должна являться решением краевой задачи Газемана

Ф+[аЦ)] = в

где

т =^, g(o=1  ™

а

Так как а(/% в(/% /( ¿) являются функциями класса Врр 1(Г), 1 <р<2 и

а( ?) ф 0 на Г, то G(t) и g( ¿) также принадлежат классу Вр 1(Г), 1 < р < 2.

В силу того, что искомая функция представлена интегралом типа Коши, она должна удовлетворять дополнительному условию

Ф~ (да) = 0

Индекс уравнения (1) определяется формулой

Ж = -1 {[агБв(0]г - [агБа(0]г } 2п

где квадратная скобка означает изменение величины заключенной в скобку при однократном обходе контура в положительном направлении.

Таким образом, мы видим, что с помощью формулы (2) уравнение (1) преобразуется эквивалентной краевой задаче Газемана (3). Полное решение

1

1

неоднородной краевой задачи Газемана (3) получено нами в работе [1, с. 7— 24].

При % > 0 общее решение задачи (3), исчезающее на бесконечности дается формулами

ф. (г)=Х!М гШГ] *,

2т т — 2

Г

ф-(г) = ^¡Г. т Х- (,)р (,)9 2т гт — 2

где Р%—\(2) — произвольный полином степени не выше % — 1, причем

Р%—\( 2) = 0 при % = 0, ¡^) — функция обратная к а(1), и нетрудно убедиться,

что свойства ¡^) такие же, как у а(1), ) — общее решение интегрального уравнения

К^ = Р% М) +1--

% 2 а(1)X+[а{1)]

Каноническая функция X (2) имеет вид

X + (2) = ег +(2) , X" (2) = 2~%вГ — (2),

г+(2) = Г ИНА т, г - (2) = Г ИГ т

2т т — 2 2т ^ т — 2

где: И (£) — решение уравнения

КИ = 1п

^-% в(±Л

а

В силу леммы 1.1 [3, с. 359] Н[р(г)]е Врх(Г), 1 <р<2.

Функция а(г)в(г) ф 0 на Г, по условию принадлежит Врх (Г), 1 < р < 2, а 2

г е с1 , 1 < р < 2,- - 1<у< 1, не обращается в нуль. Следовательно, Р

1п

1

г~х принадлежит пространству Вр} (Г), 1 < р < 2. В силу леммы

V

а

1.2 [4, с. 61] Г~(г) е Вр1 (В), 1 < р < 2, и, следовательно, имеем, что

X±

Ф( г) е Врл( В) с^ С (В ),1 < р < 2.

При х < 0 решение задачи (3) существует лишь при выполнении условии

Т 1^

В этом случае, задача имеет единственное решение, которое дается формулами (4) при Рх-\( г) = 0.

Вычислим по формулам Сохоцкого -Племеля краевые значения функции Ф (г):

1

2

2

ф+(0= Х+ (гщр(г)] , Х+ (г) гИДт)]^

2 2т Г т - г

Х-(г)^(г) Х-(г) с^(т) . ^

Ф (г) =--+ -^Л2Г^-7¿т+X (г)Рх.,(г).

2 2т I т - г

1

Заметим, что щ[Р(г)] е Врх(Г) с^ С(Г) ,1 < р < 2 [2], [3, с. 359] и

1

X±{г) е Врл

1

принадлежат пространству Врр 1(Г), 1 < р < 2.

Затем по первой из формул (2) найдем решение уравнения (1):

(p(t) = Ф+ (t) - Ф- (t)=

0 r^[ß(T)]dT-

1 J T — t

Х + (tMß(t)] + Х + (t) f^[ß(r)]

2 2ш г т — t

Х-

_ (—ijip + ^ dT + X - (t) )) =

2 2m г т — t

Х+

rnßWJdT-Xiii Г^Гт —X-

2 2mi г т — t 2m t — t

Список литературы:

1. Альсейтов А.Г. Краевая задача Газемана в дробных пространствах Бесова // Естественные и математические науки в современном мире: материалы международной заочной научно-практической конференций. (22 июля 2013 г.) Новосибирск. Изд. «СибАК». — 2013. — 170 с.

2. Бесов О.В. Об условиях существования классического решения волнового уравнения // Сиб. матем. журнал. — 1967. — Т. 8. — № 2. — С. 243—256.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. — 480 с.

4. Блиев Н.К. Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата: Наука, 1985. — 160 с.

5. Блиев Н.К. Сингулярные интегральные операторы с ядром Коши в дробных пространствах // Сиб. матем. журнал. — 2006. — Т. 47. — № 1. — С. 37—45.

6. Bliev N.K. Generalized analytic functions in fractional spaces and some applications // Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Новосибирск. — 2007. — 668 с.