О подходах к численному решению дифференциально-алгебраических систем уравнений в частных производных индекса выше единицы.

36 Секция 2

полнительные касательные напряжения усиливают или ослабляют действие термокапиллярных сил на свободных границах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-08-00291).

Modelling of bonded elastic structures by a variational method: theoretical analysis and numerical simulation

E. M. Rudoy

Lavrentyev institute of hydrodynamics of SB RAS Email: rem@hydro.nsc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10071

We deal with an equilibrium problem of two bodies joined (glued) with each other along a part of their common interface. There exists a crack on the rest part of the interface. Surface loadings are applied to both bodies. We assume that the interface is "spring type interface", modelling a soft and thin material between bodies. We impose a nonpenetration condition and Treska's friction on the common interface including both the adhesive layer and the crack. The nonpenetration condition excludes mutual penetration of bodies. A formula for the derivative of the energy functional with respect to the crack length is obtained. It is shown that the derivative can be represented as a path-independent integral (J-integral). Moreover, we propose a non-overlapping domain decomposition method for the joined structure and study its convergence theoretically and numerically. Numerical examination shows the efficiency of the proposed method and importance of the nonpenetration condition.

The supports from the Russian Foundation for Basic Research (Grant No. 19-51-50004) are gratefully acknowledged.

Новый метод решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца декомпозицией области

А. О. Савченко, А. В. Петухов

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Email savch@ommfao1.sscc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10072

Для решения внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца используется декомпозиция области с пересечением. Задача сведена к решению операторного уравнения на внешней границе вспомогательной области. Для численного решения этого уравнения вводится конечномерный оператор, аппроксимирующий исходный, который представляется в матричном виде. Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений производится одним из методов в подпространствах Крылова.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-01-00168).

О подходах к численному решению дифференциально-алгебраических систем уравнений в частных производных индекса выше единицы.

С. В. Свинина

Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН Email: svinina@icc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10073

Дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных впервые появились в работах, посвященных конкретным уравнениям гидродинамики в конце XIX и начале XX века. В современной литературе такие уравнения встречаются, например, при моделировании теплообменников, при описании химических процессов и многих других. Дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных представляют собой взаимосвязь уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических равенств. Особенность таких уравнений состоит в наличии производных от исходных данных системы в структуре ее общего решения. Максимальный порядок таких производных называют индексом системы. В случае, когда индекс системы выше единицы, численные методы, разработанные для схожих по типу эволюционных дифференциально-алгебраических

Численное решение дифференциальных уравнений

37

уравнений, не эффективны. В работах [1, 2] предложены методы численного решения квазилинейных дифференциально-алгебраических систем уравнений в частных производных произвольного индекса.

Список литературы

1. Свинина С.В. Об устойчивости сплайн-коллокационной разностной схемы для одной квазилинейной диффренциально-алгебраической системы уравнений в частных производных первого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 11.

2. Свинина С.В., Свинин А.К. Об устойчивости однойразностнойсхемы для квазилинейной дифференциально-алгебраической системы уравнений в частных производных индекса (k,0) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59, №4.

Вариационные методы построения разностных уравнении и итерационных алгоритмов для приближенного решения задачи Дирихле

Н. М. Темирбеков1, Ж. Р. Жаксылыкова2 1 Национальная Инженерная академия РК

2Казахский Национальный педагогический университет им. Абая Email: temirbekov@rambler.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10074

При аналитическом решении задач математической физики мы сталкиваемся с серьезными математическими трудностями. Поэтому для решения сложных задач мы используем различные численные методы поиска приближенных решений.

Рассматривается эллиптическое дифференциальное уравнение. При решении:

1) Для построения разностных уравнений был применен вариационный метод Ритца с использованием базисной функций, который приводит к решению системы линейных уравнений. Вопросы сходимости решений, получаемых методом Ритца, рассматриваются в многочисленных работах и монографиях.

2) Для построения итерационных алгоритмов был применен метод сопряженных градиентов, который среди известных итерационных методов, используемых для решения систем линейных алгебраических уравнений, выделяется своей эффективностью.

Приведены примеры расчетов для модельных задач. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают высокую эффективность предлагаемого вариационного метода.

Список литературы

1. Самарский А.А. Теория разностных схем - М.: Наука, 1983. - 616 с.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1989. - 608 с.

3. Мухамбетжанов А.Т., Отелбаев М.О., Смагулов Ш.С. Об одном новом приближенном методе решение нелинейных краевых задач.// Вычислительные технологии, Том 3, №4, 1998.

4. Н.М. Темирбеков, Ж.Р. Жаксылыкова. Об итерационном методе фиктивных областей для решения эллиптического уравнения в областях со сложной геометрией // Известия МКТУ им. Х.А.Ясави, Серия математика, физика, информатика. - 2018. - Т.1. - №1(4), С.128-132.

5. N.M.Temirbekov, Zh.R.Zhaksylykova. AnIterative Method for Solving Non linear Navier-Stokes Equationsin Complex Domains Taking into Account Boundary Conditions with Uniform Accuracy // AIP Conference Proceedings 2018. V.1997, 020036 (2018); DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10001 10.1063/1.5049030.

6. Temirbekov A.N., Wojcik W. Numerical Implementation of the Fictitious Domain Method for Elliptic Equations // International Journal of Electronics and Telecommunications.-2014.- Vol.60, Issue 3, -P.219-223.

7. Temirbekov A.N. Numerical implementation of the method of fictitious domains for elliptic equations // 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics, ICAAM 2016.-Vol. 1759, -P. 020053-1-020053-6; DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10001 10.1063/1.4959667.

Двухсеточный метод для нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с двумя параметрами

С. В. Тиховская

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН Email: s.tihovskaya@yandex.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10075

Рассмотрена краевая задача для нелинейного сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами. Для линеаризации используются