ЦИФРОВЫЕ ВЕРТУШКИ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ТЕЛЕФОННУЮ Т-МАТРИЦУ
DIGITAL PROPELLERS FOR ADDING, SUBTRACTING, MULTIPLYING AND INTEGER DIVISION USING TELEPHONE T-MATRIX

Изобретение - цифровая вертушка - относится к техническим средствам обучения арифметике и эффективному скоростному устному счету. Геометрическое указание цифры ответа на Т-матрице, полученное с помощью векторов-указателей, из которых состоят фигуры молний, позволяет отказаться от произнесения слов, замедляющих устный счет, что обеспечивает многократное возрастание скорости выполнения элементарных действий в устных вычислениях.
Цифровые вертушки с фигурами молний на Т-матрице показывают геометрические связи однозначных цифр исходных данных и результатов арифметических действий. Поворотная фигура молнии на Т-матрице, называемая пропеллером, наглядно изображает цифровые правила арифметики.
Наиболее близким аналогом изобретения является вращающаяся таблица умножения, содержащая поворотную и неподвижную плоскости с изображениями цифр от 1 до 9, расположенными в виде Т-матрицы в три ряда и три столбца, и с прорезями в неподвижной плоскости, через которые видны цифры на подвижной плоскости, показывающие результат арифметического действия, причем цифры единиц результата умножения возникают как повороты матрицы единиц, размещенной на подвижной плоскости (см. патент RU N2139574, МПК 6 G09В 19/02, 1999).
Недостаток известного устройства заключается в том, что оно не предназначено для сложения и вычитания, так как показывает геометрические связи исходных данных с числовыми результатами только для умножения и целочисленного деления. В известном аналоге не показана явно траектория перемещения на Т-матрице от цифры исходного данного до цифры единиц результата.
Техническим результатом изобретения цифровых вертушек для сложения, вычитания, умножения и целочисленного деления натуральных чисел является непосредственное указание траекторий перемещения на Т-матрице от цифр исходных данных к точкам расположения цифры Е ответа арифметического действия с помощью стрелочек-указателей, составляющих фигуры молний, и поворотов молний. Технический результат достигается путем использования специальных свойств десятичных чисел на Т-матрице, показанных стрелочками-указателями молнии. В частности, конструкция цифровых вертушек использует симметрию поворота на Т-матрице фигур молний, состоящих из векторов-указателей единиц, подсказывающих ответы.
Цифра единиц Е ответа при сложении и умножении определяется в процессе геометрического решения арифметической задачи на Т-матрице специальными алгоритмами, применяющими поворот молнии. Цифра десятков D ответа умножения может быть вычислена с учетом геометрических особенностей повернутой молнии.
Указанный технический результат достигается тем, что в известной динамическая модели, предназначенной для получения результатов сложения, вычитания, умножения или целочисленного деления натуральных чисел А+В, А-В, А×В, А/В, содержащей перемещаемые и поворачиваемые фигуры, соответствующие формату расположения цифр телефонной Т-матрицы из трех строк и трех столбцов, расположенных в ячейках таблицы по правилам «плюс один» при шаге направо и «плюс три» при шаге вниз, согласно изобретению содержит
поворачиваемые вокруг центра Т-матрицы плоские жесткие фигуры из стрелочек-указателей между цифрами, сохраняющие при поворотах свою форму как твердое тело, причем
первая фигура, называемая нечетной молнией, в исходном положении поворота совпадает со стрелочками А→(А+1) на Т-матрице,
вторая фигура, называемая четной молнией, в исходном положении поворота совпадает со стрелочками А→(А+2) на Т-матрице,
третья фигура, называемая молнией «плюс пять», в исходном положении поворота совпадает со стрелочками А→(А+5) или А→(А-5) на Т-матрице.
Изобретение поясняется следующими чертежами.
На фиг.1 показаны в исходном положении изображения нечетной молнии Т-матрицы, четной молнии, состоящей из двух непрерывных ветвей, и молнии «плюс 5».
На фиг.2 изображены рисунки молний на расширенной Т-матрице, к которой добавлены нули вне границ Т-матрицы.
Фиг.3 демонстрирует конструкцию цифровой вертушки, имеющую основную плоскость и поворотную плоскость пропеллера с рисунком нечетной молнии.
Фиг.4 показывает основную плоскость и поворотную плоскость пропеллера цифровой вертушки с рисунком четной молнии, состоящей из двух непрерывных ветвей. Две ветви четной молнии для удобства изображены на отдельных поворотных плоскостях.
Фиг.5 изображает цифровую вертушку, пропеллер которой несет молнию «плюс пять».
Фиг.6 показывает четыре поворота нечетной молнии на прямые углы вокруг центра Т-матрицы, изображающие правила сложения «+1», «+3», «+7», «+9».
Фиг.7 дает рисунок четырех поворотов четной молнии на прямые углы вокруг центра Т-матрицы, изображающие правила сложения «+2», «+4», «+6», «+8».
Фиг.8 показывает нумерацию узлов нечетной молнии и четной молнии, используемую для умножения.
Фиг.9 демонстрирует связь множителя А и угла поворота молнии для вычисления единиц Е(А×В) для нечетного числа А∈{1, 3, 7, 9} и четного числа А∈{2, 4, 6, 8}.
На фиг.10 показаны положения пропеллера нечетной вертушки вместе с результатами умножения A×B=[D, E], вычисляемыми по правилу единиц и правилу десятков.
На фиг.11 изображены положения пропеллера четной вертушки отдельно для младших и старших множителей вместе с результатами умножения A×B=[D, E], вычисляемыми по правилу единиц и правилу десятков.
Фиг.12 дает чертеж цифровой вертушки для умножения на нечетное число А∈{1, 3, 7, 9}, пропеллер которой имеет прорези, показывающие цифры результатов арифметических действий, написанные на основной плоскости.
Фиг.13 содержит чертеж цифровой вертушки для умножения на четное число А∈{2, 4, 6, 8}, пропеллер которой имеет прорези, показывающие цифры результатов арифметических действий, написанные на основной плоскости.
Конструкция цифровой вертушки состоит из неподвижной плоскости, на которой нарисована Т-матрица (или расширенная Т-матрица с добавленной цифрой нуль 0), и поворотной плоскости, на которой содержится одна из трех фигур молний: нечетная молния, четная молния или молния «плюс пять» (фиг.1, 2). Пропеллер Т-матрицы поворачивается вокруг оси, проходящей перпендикулярно плоскости Т-матрицы через ее центр, где нарисовано число 5. Центр симметрии молнии совпадает с осью вращения пропеллера цифровой вертушки (фиг.3, 4, 5).
Для описания геометрических свойств чисел, используемых в изобретении, введем следующую терминологию. Т-матрица на неподвижной плоскости цифровой вертушки называется основной Т-матрицей. Поворотная плоскость называется пропеллером цифровой вертушки.
Если плоскость пропеллера не прозрачная, тогда пропеллер с рисунком одной из молний Т-матрицы имеет меньший размер, чем основная Т-матрица, чтобы не загораживать цифры, написанные на нижней плоскости. Подразумевается, что цифра 5 совпадает с точкой оси вращения.
Фигура молнии может быть сделана из жесткой проволоки, сохраняющей форму при поворотах, тогда плоскость пропеллера не требуется.
Из всех положений поворота пропеллера, содержащего рисунки молний, фиксируется четыре допустимых состояния поворота на прямые углы. Эти допустимые положения используются для указания цифр ответов сложения и вычитания (фиг.6, 7). Начальный узел повернутой молнии указывает число А на Т-матрице, которое называется номером А-молнии.
При повороте пропеллера число 5 остается на месте: R(5)=5. При повороте числа 0 вокруг центра расширенной Т-матрицы число нуль переходит в другой нуль: R(0)=0.
Все фигуры молний состоят из непрерывных ломаных линий (ветвей) из стрелочек, у которых конец одной стрелочки совпадает с началом другой. Нечетная молния имеет одну ветвь, четная молния имеет две ветви, одна из которых проходит по четным, другая - по нечетным числам Т-матрицы. Молния «плюс пять» распадается на 5 ветвей. Для сложения и вычитания используются все ветви молний. Для умножения и целочисленного деления используются только те ветви молний, которые содержат нуль основной Т-матрицы.
Узлы нечетной молнии нумеруются по порядку, указанному стрелочками (фиг.8). Четная молния, проходящая по четным числам Т-матрицы, имеет только 4 узла, поэтому изображается двумя рисунками младшей и старшей частей четной молнии (фиг.8) с номерами узлов 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9. На четной молнии узел с номером 5 находится вне Т-матрицы. У той ветви четной молнии, которая проходит по нечетным числам Т-матрицы, нумерация узлов для вычислений не используется.
Так как на Т-матрице нет нуля, построим расширенную Т-матрицу, добавив к ней нули вне границ левее единицы 1, выше тройки 3, ниже семерки 7 и правее девятки 9 (фиг.2).
Рассмотрим способы применения цифровых вертушек для сложения геометрическим способом A+B=[D, E] однозначных натуральных чисел 0<А<10 и 0<В<10, где D - цифра десятков суммы, Е - цифра единиц суммы. Вектор А→Е называется указателем единиц суммы.
Каждый пример сложения однозначных чисел можно показать с помощью указателя единиц на расширенной Т-матрице. Зная вектор-указатель А→Е для примера сложения А+В, можно определить величину десятка D=0 или D=1.
Алгоритм построения цифры единиц Е(А+В) суммы.
Если слагаемое А является нечетным угловым числом Т-матрицы А∈{1, 3, 7, 9}, тогда используется цифровая вертушка с нечетной молнией.
Если слагаемое А является четным числом Т-матрицы А∈{2, 4, 6, 8}, тогда используется цифровая вертушка с четной молнией.
Если слагаемое А=5, применяется пропеллер цифровой вертушки с молнией «плюс пять».
Перед выполнением алгоритма установим фигуры молний в исходное состояние, при этом первый узел нечетной молнии совпадает с цифрой «1» основной Т-матрицы, первый узел четной молнии совпадает с цифрой «2» на Т-матрице.
Шаг 1. Отмечаем фишкой-меткой положение числа А на Т-матрице.
Шаг 2. Поворачиваем молнию вокруг центра Т-матрицы, не меняя положение фишки-метки, так, чтобы начальный узел молнии показывал слагаемое В.
Шаг 3. Перемещаем фишку по указателю стрелочки А→Е, определяя цифру единиц Е.
Шаг 4. Цифра десятка суммы D=1 тогда и только тогда, когда на указателе А→Е есть инверсия, то есть А>Е.
Отметим, что коммутативность сложения А+В=В+А позволяет переставить слагаемые А и В местами.
Векторы-указатели, на которых имеется инверсия, направлены из точки А в точку Е налево в той же строке или в вышележащую строку на расширенной Т-матрице. Заметим, если единицы Е=0 равны нулю (в примерах 1+9=10, 2+8=10, 3+7=10, 4+6=10, 5+5=10), тогда на векторе-указателе А→Е всегда имеется инверсия.
Цифровые вертушки позволяют решить геометрическим способом примеры умножения A×B=[D, E] однозначных натуральных чисел 0<А<10 и 0<В<10.
Назовем листом умножения с номером А множество примеров A×B=[D, E] с фиксированным значением числа А:
2
2
9
9
А×1=[0, А]=А, А×2=[D, E], …, А×9=[D, E].
Вектор В→Е называется указателем единиц произведения на листе с номером А.
1
2
3
4
0
-1
-2
-3
-4
0
Обозначим через R функцию поворота радиального луча, выходящего из центра Т-матрицы. Допускаются повороты луча на прямые углы. Прямые углы отсчитываются по часовой стрелке со знаком плюс «+», против часовой стрелки - со знаком минус «-». Число поворотов R на прямые углы обозначим верхним индексом R, R, R, R=R, R, R, R, R=R.
Алгоритм построения цифры единиц Е(А×В) произведения.
Если слагаемое А является нечетным угловым числом Т-матрицы А∈{1, 3, 7, 9}, тогда используется цифровая вертушка с нечетной молнией.
Если слагаемое А является четным числом Т-матрицы А∈{2, 4, 6, 8}, тогда используется цифровая вертушка с четной ветвью молнии, проходящей по четным числам Т-матрицы.
Если А - четно, В - нечетно, меняем множители местами А×В=В×А.
Шаг 1. Отмечаем фишкой-меткой положение узла с номером множителя В на соответствующей молнии Т-матрицы.
Шаг 2. Поворачиваем молнию вокруг центра Т-матрицы вместе с фишкой-меткой так, чтобы начальный узел молнии показывал множитель А.
Шаг 3. Переносим фишку с узла повернутой молнии на цифру Т-матрицы, отмеченную этим узлом. Фишка показывает цифру единиц Е произведения A×B=[D, E].
Отметим, что умножение 5×В для А=5 выполняется без использования Т-матрицы с помощью деления пополам числа (10×В)/2. При умножении на 5 имеем Е(5×В)=5 для нечетного множителя В, и Е(5×В)=0 для четного В.
На каждом листе умножения действуют цифровые правила умножения на конкретный множитель А.
В приведенном выше алгоритме геометрического вычисления единиц Е(А×В) величину угла поворота пропеллера можно определить по расположению числа А на Т-матрице. Угол поворота пропеллера для нечетного числа А определяется углом между начальным радиальным лучом 5→1 и радиальным лучом 5→А (фиг.9).
Угловая мера поворота α(А) на Т-матрице для нечетных чисел А∈{1, 3, 7, 9} измеряется числом шагов поворота по часовой стрелке на прямые углы от начального луча 5→1 до радиального луча 5→А числа А, причем
α(1)=0, α(3)=1, α(9)=2, α(7)=3.
Угол поворота пропеллера для четного числа А определяется углом между начальным радиальным лучом 5→6 и радиальным лучом 5→А.
Угловая мера поворота α(А) на Т-матрице для четных чисел А∈{2, 4, 6, 8} измеряется числом шагов поворота по часовой стрелке на прямые углы от начального луча 5→6 до радиального луча 5→А числа А, причем
α(6)=0, α(8)=1, α(4)=2, α(2)=3.
Если мы расположимся в центре Т-матрицы, повернувшись лицом к числу 6, тогда увидим четное число А именно под таким углом к начальному лучу взгляда 5→6, который используется в алгоритме определения единиц Е(А×В) произведения (фиг.9).
Отметим, что число 5 не имеет радиального луча. Для А=5 угловая мера α(5) не определена (можно принять соглашение, что α(5)=∞, т.е. угловая мера числа 5 равна бесконечности).
Фиксируем число А. Зависимости единиц Е от множителя В выражаются через функцию поворота R числа на Т-матрице, причем угол поворота определяется по множителю А,
0
1
3
-1
2
1×B=B=R(B), E(3×B)=R(B), E(7×B)=R(B)=R(B), E(9×B)=R(B).
Пусть В∈{2, 4, 6, 8} - четное число. Тогда
0
1
3
-1
2
E(6×B)=B=R(B), E(8×B)=R(B), E(2×B)=R(B)=R(B), E(4×B)=R(B).
Эти формулы применяются в скоростном устном счете, основанном на использовании стандарта расположения цифр на Т-матрице.
Чтобы определить цифру D произведения A×B=[D, E], можно использовать универсальный алгоритм, описанный ниже, для определения десятка D, в котором применяется или нечетная молния, или четная молния Т-матрицы. Обозначим цифры, появляющиеся на А-молнии при последовательном перемещении по указателям от первого узла к узлу с номером В:
А=Е(1)→Е(2)→Е(3)→…→Е(В).
Правило единиц цифровой вертушки утверждает, что цифра единиц Е произведения А×В определяется по узлу с номером В на А-молнии:
Е(А×В)=Е(В).
Алгоритм определения цифры десятка D(А×В) произведения А×В.
Используется цифровая вертушка той же четности, что и множитель А.
1
1
Исходное положение: первый узел молнии совпадает с цифрой А основной Т-матрицы. Эта точка соответствует примеру A×1=[D, E]=A, поэтому D(A×1)=D=0 и E(A×1)=E=A.
2
1
Начинаем движение по указателям А-молнии Т-матрицы от начального узла. Если переход по указателю от точки А к следующему узлу молнии А=Е(1)→Е(2) содержит инверсию (Е(1)>Е(2)), тогда к величине D прибавляется единица D=D+1=0+1=1.
3
2
Выполняем следующий переход между узлами молнии Е(2)→Е(3). Если этот указатель молнии содержит инверсию (Е(2)>Е(3)), тогда к величине D прибавляется единица D=D+1, и т.д.
B-1
B
B-1
Последний переход по А-молнии Е(В-1)→Е(В) позволяет вычислить число десятка D произведения A×B=[D, E]. Если этот указатель молнии содержит инверсию, тогда к промежуточной величине D прибавляется единица D=D+1.
Указанный выше алгоритм можно сформулировать как цифровое правило десятков, использующее молнию Т-матрицы. Величина десятка D(A×B) произведения А×В равна числу инверсий на А-молнии при движении от ее начала до узла с номером В.
Каждое из цифровых правил сложения и умножения имеет наглядное геометрическое изображение на цифровой вертушке и может быть использовано как визуальный мнемонический способ для запоминания таблицы сложения и таблицы умножения однозначных десятичных чисел (фиг.10, 11).
Существует вариант конструкции цифровых вертушек, позволяющий показать цифры [D, E] произведения в явном виде. Для реализации этого варианта цифровой вертушки используется шаблон с прорезями в плоскости пропеллера цифровой вертушки специального формата, причем прорези составляют только четверть от площади соответствующей ячейки Т-матрицы, поэтому при поворотах пропеллера с молнией видны новые цифры [D, E] основной плоскости.
Для умножения на нечетное число А∈{1, 3, 7, 9} используется пропеллер нечетной вертушки с рисунком нечетной молнии и вырезами (фиг.12).
Для умножения на четное число А∈{2, 4, 6, 8} используется пропеллер четной вертушки с рисунком четной молнии и вырезами (фиг.13).