Новые задачи квантовой механики и уравнение Гойна

Таким образом, в пространстве с постоянной положительной кривизной исследовано квантовомеханическое волновое уравнение для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле. Выполнена процедура разделения переменных t, г, ф, г. Решения уравнений по пере-

менной г строятся в гипергеометрических функциях. Исследование зависимости волновой функции от переменной г доведено до системы трех связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для трех функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rabi, I.I. Das freie Electron in Homogenen Magnetfeld nach der Diraschen Theorie [Text]/1.1. Rabi// Z. Phys. - 1928. - Vol. 49. - P. 507-511.

2. Landau, L. Diamagnetismus der Metalle [Text] / L. Landau // Ztshr. Phys. - 1930. - Bd. 64. - S. 629-637.

3. Plesset, M.S. Relativistic wave mechanics of the electron deflected by magnetic field [Text] /M.S. Plesset// Phys.Rev. - 1931. - P. 1728-1731.

4. Comtet, A. Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field [Text] / A. Comtet, P.J. Houston//J. Math. Phys. -1985. - Vol. 26. - № 1. -P. 185-191.

5. Comtet, A. On the Landau levels on the hyperbolic plane [Text] / A. Comtet, P.J. Houston // Annals of Physics. - 1987. - Vol. 173. - P. 185-209.

6. Aoki, H. Quantized Hall effect [Text] / H. Aoki // Rep. Progr. Phys. - 1987. - Vol. 50. - P. 655-730.

7. Groshe, C. Path integral on the Poincare upper half plane with a magnetic field and for the Morse potential [Text] / C. Groshe // Ann. Phys. (N.Y.). - 1988. -Vol. 187.-P. 110-134.

8. Klauder, J.R. Landau levels and geometric quantization [Text] / J.R. Klauder, E. Onofri // Int. J. Mod. Phys. - 1989. - Vol. A4. - P. 3939-3949.

9. Avron, J.E. Landau Hamiltonians on symmetric spaces [Text] / J.E. Avron, A. Pnueli // Ideas and methods in mathematical analysis, stochastics, and applications / S. Alverio [et al.], eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. - Vol. II. - P. 96-117.

10. Plyushchay, M.S. Relativistic particle with torsion and charged particle in a constant electromagnetic field:

Identity of evolution [Text] / M.S. Plyushchay // Mod. Phys. Lett. - 1995. - Vol. A10. - P. 1463-1469.

11. Alimohammadi, M. Quantum group symmetry of the quantum Hall effect on the non-flat surfaces [Text] / M. Alimohammadi, A.Shafei Deh Abad // J. Phys. — 1996.-Vol. A29.-P.559.

12. Bogush, A.A. Schrodinger particle in magnetic and electric fields in Lobachevsky and Riemann spaces [Text] /

A.A. Bogush, V.M. Red'kov, G.G. Krylov // Nonlinear Phenomenain Complex Systems. - 2008. — Vol. 11. - № 4. — P. 403-416.

13. Kudryashov, V.V. Classical particle in presence of magnetic field, hyperbolic Lobachevsky and spherical Riemann models [Text] / V.V. Kudriashov, Yu.A. Kurochkin, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // SIGMA. - 2010. - Vol. 6,004. - 34 p.

14. Овсиюк, E.M. О решениях уравнения Дирака в однородном магнитном поле в пространстве Лобачевского [Текст] / Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель,

B.М. Редьков // Доклады НАН Беларуси. — 2010. — Т. 54. - № 3. - С. 47-54.

15. Red'kov, V.M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature [Text] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk. — Nova Science Publishers, 2012 (in press).

16. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорус, наука, 2009. — 495 с.

17. Олевский, М.Н. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение д2и+Я U = 0 допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский // Матем. сб. — 1950. - Т. 27. - С. 379-426.

УДК 539.12

Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.В. Кисель, В.М. Редьков НОВЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И УРАВНЕНИЕ ГОЙНА

В настоящей работе мы обсудим некоторые теории поля, приводящие к необходимости неновые и старые задачи квантовой механики и следовать решения дифференциального урав-

нения Гойна [1]. За последние двадцать лет количество физических задач, для анализа которых требуется привлечение этого класса специальных функций, непрерывно растет [2, 3]. Примерами могут служить задача двух центров в квантовой механике, описание квантовомеханических частиц в гравитационных полях Шварцшильда и Керра и другие.

Иногда необходимость работать с уравнением Гойна можно обойти. Примерами являются следующие системы: атом водорода на основе уравнения Дирака в пространстве Минков-ского [4]; электромагнитные цилиндрические волны в пространствах *У3, Щ [5]; частица со спином 1/2 в поле монопольного потенциала в мире де Ситтера [6]; электромагнитное поле в пространстве Лобачевского Щ [7].

Но нередко обойти такую необходимость нельзя. Примерами являются следующие задачи: атом водорода в пространствах де Ситтера и анти-де Ситтера [8]; электромагнитное поле в поле черной дыры Шварцшильда [9]; паулиевская частица в кулоновском поле в пространствах Бъ, Н3 [10]; скалярная частица с зарядом и поляризуемостью в кулоновском поле [11]; частица со спином 1 в кулоновском поле [12].

Иногда система сводится к уравнению с шестью особыми точками; примером является атом водорода на основе уравнения Дирака в пространствах Нг [4].

Две из перечисленных систем, а именно электромагнитное поле в пространстве Лобачевского и частица со спином 1 в кулоновском поле, рассмотрены в настоящей статье.

Моделирование среды со специальными отражающими свойствами в рамках геометрии Лобачевского

В работе Олевского [13] под номером II приведена следующая система координат в пространстве Лобачевского Щ.

(¡Б2 = Л2 -е~2г (сЬс2 +с1у2^-с1г2,

хе , ¡¿2 =Уе

2 2 2 2 2 , / 2 , 2 "о -"2-"з =Р . и0=4р +и •

Далее нам полезна трехмерная реализация Пуанкаре для этого пространства как внутренности трехмерной сферы:

91=—> ад < +1;

«о

Х = у =

1-й

1-0з

В частности, на оси ^ = 0, <?2 = 0 Ч е (—1,+1) эти соотношения дают

Известно, что с электродинамической точки зрения геометрия Лобачевского моделирует специальную среду [14] с тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости вида

в* = (*)«*(*) =

1 о о 0 1 о

0 0 е~2г

1 о о 0 1 о

0 0 е

,2г

Соответствующие материальные уравнения (в системе СИ) выглядят следующим образом:

Для описания электромагнитного поля в пространстве Лобачевского будем использовать комплексный формализм Римана — Зильбер-штейна—Майораны—Оппенгеймера (детальнее см. работу [14]):

-I—юг V —

Ы

дх

+а(3>^--Л2+а<2ЧЛ & 2 1

+ —+ О

Е + /В

= 0:

явный вид используемых матриц следующий:

0 1 0 0 0 0 1 0

а = -1 0 0 0 ; а<2> = 0 0 0 1

0 0 0 -1 -1 0 0 0

0 0 1 0 0 -1 0 0

а

(3) _

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 ; = 0 0 0 -1

-1 0 0 0 0 0 1 0

5т =

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 -1 0 0

Разделение переменных проводится на основе подстановки

0

Е + гВ

. е-Ш е1к]Х е1к2у

о

Система уравнений дляследующая:

Исх + 1к2 е2 /2 +

/з=0;

—-1

/2+1к2 е2 /3 =0;

- (/хИ„2гр.

/з - — е е г2,

ю ю

'й аЬе2г

— +-

¿/г со

ё аЬеъ йг со

Ь2е2г -ш2

со

2 2 2г (О

С использованием переменной е2 = два последних уравнения запишутся следующим образом:

/ J \

Z

— + аьг

— ~аЬ7 с1г

^=-

Эта система может быть решена в терминах вырожденных функций Гойна. В самом деле,

сРЕ а2г2+(й йк

й21

+

со 2 аЬоз Z2 а2 г2- со

- +

ю

Отмечаем присутствие дополнительных сингулярных точек Z = /а.. С новой переменной это уравнение принимает вид

У = -

а2г2

со

-ю/2 + И е* /з = 0;

-ю/з -е2 1к2/х е2 /2 = 0.

Первое уравнение принимает вид тождества при учете трех остальных, поэтому его можно не учитывать. С использованием подстановки = е2^ (г), /2 = е2/^ (г) приводим три уравнения к более простому виду:

у у-\) йу

(О

4 у

2аЬоз+(а2 +Ь2)а>2

--Ц;---+-;-

4 а2у

МУ-1)

Далее, используя подстановку =

= У° Е\ (у) ПРИ с = ±*'со/ 2, приходим к уравнению

йу2 I У У~Ч<*У

-2с+йю/я

.^г

2с-а? 12-Ь&1 а-Ь2а? !{1а2)

2у

последнее может быть отождествлено с вырожденным уравнением Гойна для функции

сУН ёг2

а+

1±ё+1±У1

х х—1

(¿н

йг

+

о

+ а + ар-ру—р-у-2г| | 2 г

1 ау + р + а + 2г| + 28 + ру + у =

2 1

а = 0, р = 2с, у = -2,

б = -

ю

Л =

1

4 а2

±Ы2

Покажем, каким образом систему (5) можно решить в функциях Бесселя. Для этого совершим линейное преобразование

Ъ „ а

=+ ,-= Ц + . Сг2;

>/с2+62 л/я2+Ь2

I £?1 + , (?2 ^

в результате система (5) примет вид Z¿G2=[z2(C2+*2)-«>]<71

Из системы (9) следует уравнение второго порядка для С^:

Z2^+Z-^+<и2-a>(«2+¿2)z2 г/72 //7 V У

аг2

й2

в1 =0.

Преобразуем его к другой переменной:

V

+ Ш

-(С2+*2)<

.2г

<?!=

Полученное уравнение можно рассматривать как одномерное шредингеровское:

( й2

¿+Е-и

с потенциальной функцией

и(г) = (а2+Ъ2)еъ.

Отметим, что в частном случае <2 = ^=0, Ь = к2 = 0 эффективное потенциальное поле исчезает. Форма потенциальной функции показана на рисунке.

Поскольку в квантовой механике частица в таком потенциальном поле должна испытывать отражение от барьера, то можно ожидать аналогичного явления и для электромагнитного поля; это действительно имеет место. Интересной особенностью данной аналогии является равенство единице коэффициента отражения для всех состояний (за исключением особого случая а = Ь = 0). Такая ситуация более подробно рассмотрена в работе [7]; эффективно геометрия Лобачевского моделирует идеальное зеркало, распределенное в пространстве. Легко оценить глубину проникновения электромагнитного поля в такую эффективную зеркально

ад . • »

Е « • • •

2

График потенциальной функции Щг)

отражающую среду. Эта глубина определяется путем решения уравнения

ю

= {а2+Ъ2)еъг

с у]к2 + к2

где р — радиус кривизны пространства Лобачевского.

Частица со спином 1 в кулоновском поле

К настоящему времени анализ известной задачи о частице со спином 1 во внешнем кулоновском поле все еще остается далеким от своего завершения. Покажем, что есть возможность свести (хотя бы часть этого анализа) к классу функций Гойна (детальнее см. работу [12]).

Будем использовать матричный формализм Даффина—Кеммера (с применением тетрадной техники [15]):

( ™ Л

о-"со. а е+ — +/

1 г)

р(Ч+;(Р(1)У31+Р(2)/2) Ф(х) = 0,

+

г т

где угловой оператор Кв ф задан согласно [15]

^е.ф^'РЧ+Р

2 /<эф+/ /2 сове втб

Десятикомпонентная волновая функция ВД = {Ф0(х), Фг(х), Е;(х),Щх)}

выбирается в виде

Ф0(х) = е~ш'/пФ 0(х)Д0;

К (*)) = <

-Ш/Й

.-1ЕИП

Ш/Й

Ф^Г)/).! Ф2(г)Я0 Ф з(г)2>+1

!

Чг) д0 Е,(г) Д+1

Щг)П0 Л3(г)2>+1

Используем краткие обозначения для функций Вигнера:

Яа=2Ут1а(ф,е,0); а = 0,+1,-1-

После простых алгебраических вычислений с применением известных свойств функций Вигнера приходим к системе из десяти радиальных уравнений:

'й 2^

+1

\

' ал

8 Н--

V Г у

+ — (1г г

£2-(£1 + £3) = МФ0; г

+1

+1

\

' ал 8 + — V Г у

' ал 8 + — Г

й 1

-+ -

Г у

.V

Н1+1-Н2=МФ1; г

Е2-1-{Нх-Нг) = МФ2, г

Ег-1

<1 1

— + -

йг г

Нъ-1-Н2=М Ф3;

-г

' ал 8 + — Г

\

-I

г о>

е + — * >

+-Ф0-МЕ1 =0;

ф2--гфО-^2=О;

аг

\

а

8 + — Г

-I

й 1

-+ -

йг г

+1-{Ф1-Фг)-МН2 =0; г

Ф3 + —Ф0 -МЕЪ =0; г

ф1-*'-ф2 -МНХ= 0; г

+1

й 1

—+-

йг г

Ф3 +/—Ф2 ~МНЪ =0,

где у = ^у + 1)/2.

Будем дополнительно диагонализировать оператор пространственной четности (преобразованный от обычного представления к базису сферической тетрады):

1 0 0 0 0 0 -1

0 п. 0 0

П = э Р-, п3 = 0 -1 0

0 0 Пз 0 -1 0 0

0 0 0 -П3

Уравнение на собственные значения

ПТ = РХ¥ приводит к двум значениям четности и соответствующим ограничениям на радиальные функции: 1)Р = (-1У+1.

Ф0 = 0, Ф3 = -Ф15 Ф2 = 0,

еъ = -ех, е2 = о, нг=щ-2 )Р= (-1 у.

Ф3=Ф1; еъ=+ех, щ=-нх, н2 =0.

+ 1

' аЛ

£ + — V Г У

Е^+1

+г

(

£ + — ^ г)

/

й 1

-+ -

йг г

н1-мф1=ъ,

е2-ин1-мф2=0; г

-I

е + — V т.

Ф1+-Ф0-Л^ =0; г

е+—|ф, + —фп + ме? =0: г 2 йг 0 2

В первом случае для состояний с четностью Р = (-1)у+1 имеем четыре уравнения:

й 1

—

йг г

ф1+1-ф2 + мн1=0.

+1

' аЛ 8 + — Ч Г у

ех+1

гй 1Л

— + -

йг г

а

н1+1-н2=мф1; г

ен— | Ф1=ме1;

-I

й 1

—+-

йг г

Ф 1=МН1;

и-ф1=мн2. г

Исключая ех, нь н2, приходим к уравнению второго порядка для Ф1:

й2 2 й йг1 Г йг

а

е + — г

Ф1=0,

где

хЯ+сЛ/Ж2

М = пг+\ + ^{] + \12)2-а2.

К этому классу принадлежат и состояния с минимальным у = 0, и в этом случае задача решается просто. Действительно, подстановка для волновой функции (13) существенно упрощается и принимает вид

Ф0=е

-гй/й

ф00");

(ф,<*))=.

-¡Ш/П

ш/Й

Ф2(г) 0 0

е2

что совпадает с уравнением, возникающим в случае скалярной частицы, описываемой уравнением Клейна — Фока — Гордона. Его решение хорошо известно, ему отвечает спектр энергии

е= , ^ ,

„-ш/п

Н2{г) 0

Угловой оператор действует на эти состояния как нулевой, а четность состояний равна Р = (-1)0+1 = -1. Радиальные уравнения приводят к единственному уравнению для е2:

й2 2 й 2 (

—Т + -----е + -

йг г йг г \ г

2 Л

-м2

^2=0,

Для состояний с четностью Р = (-1)у имеем шесть уравнений:

й 2

— + —

йг г

е2 + 2—ех +мф§ =0; г

которое дает спектр

тс

^1 + а 2/(Г + л)2

где

2Г

= 1 + ^9-

4а2.

-геФ0 -

й 2'

— + —

йг г

Ф2--(Ф1 + Ф 3) = 1-^Е2.

2 Мгг

-/еФп

11 2

— + —

кйг Г у

2\

Ф2--Ф1=1

г

а

2Мг'

-2Мг Ф0 .

Ег =

Мг 2У

5 + 2 г— йг

Ф

О'

Ф, =-

е + а/г

Ф, =

V 5М2 г2М2 й

---г---

г 2\ V йг

ф0;

I

е + а ¡г

и,=-Мг 1

/л

М2г

йг

ф0;

х\ — + 2 г 1 От

2\ е + а/г

а

8 + — Г

-М

;

Ф

О-

¿2ФП 1

С анализом системы (18) удается продвинуться дальше, если воспользоваться обобщенным условием Лоренца

е А.. т~=г

2 сМ

¿г* г

.2

3 —

^Ф0

е + а !г

йг

+

Уа+/-Л Р.

е2 — —у—ЗМ2 + 2М2 —---^

г е + а/г г

Введем новую переменную

Ф0=0.

После преобразования к радиальным функциям это соотношение дает равенство

е а

х = — г< О, г = — х; а е

уравнение (25) запишется как

^dФ

(I2 Ф0 (Ъ 1

с1х2

- +

X х — 1

сЬс

+

Для всех состояний с четностью Р - (-1)у+1 оно удовлетворяется тождественно. Для состояний с четностью Р = (-1)у это соотношение дает

2 .2 а + 2\ 2А

а -А--=— + -

х-\

Фп=0,

где использован безразмерный параметр

-Е2.

С помощью последнего из (18) можно вывести простое соотношение

С помощью (23) из системы (18) можно выразить пять функций, а именно Ф1; Ф2, Е{, Е2, Нь через одну основную:

Е2=-2МгФ0;

2 2 т2с4 А =а

72

Воспользуемся подстановкой Ф0(х) = хАеВх/(х) при ограничениях на А и В:

А = - 1 + л/1 + 2у2 + а2; В = +4 А2-а2; для функции /получим уравнение

ц.

йх2

2В +

2А + Ъ 1

х-1

+

+

2А8+Л+ЗЯ Л+Я-2А

-+

1-х

4Г

(Их

2Л ^

/=0,

которое может быть сопоставлено с уравнением для вырожденной функции Гойна / = /(о, 6, с, й, к; г):

£1. сЬс2

а+-

Ь +1 с +1 +-

х-1

¿¿х 2х

/-

[-2с? + а

/ = 0

Для основной функции Ф0 можно получить следующее уравнение:

с параметрами

а = +2л]а2 -а2, 6 =+2лД + 2у2 + а2,

с = -2, d = 2Л2, й = + 2.

Если воспользоваться одним из условий полиномиальное™, а именно

d = -a

п + -

Ъ + с + 2

^ = (« + Vl + 2v2 + a2)2

Е2=т2с4

2а

N-

4a 2N2

N = n + \l l + 2v2+a2 = = и + 1Jl>7(7+lj+ä2 * л + у;

a

/И + 8 + — «tfl + 8,

r

получаем выражение

2 4

is = тс

2az

N-

4a2N2

:т2сл

1-

a

~N2

отсюда выводим формулу

17 2 4 1 a 2

E = m с A\--s- =mc

N

1-

a

2 >

2N

= тс + E',

то можно вывести условие квантования для энергии:

..2

где нерелятивистская добавка определяется выражением

Е, = _а2М^=__те4 ^

2N' 2h

2 '

Легко можно найти нерелятивистский предел для этого спектра. Учитывая, что

Из общих соображений понятно, что для частицы со спином 1 следует ожидать три линейно независимых класса решений; в данной статье описаны только два.

Итак, система уравнений для электромагнитного поля в пространстве Лобачевского преобразована в уравнение, совпадающее по форме с одномерным уравнением Шредин-гера с эффективным потенциалом; на его основе проведен анализ зеркально отражающих свойств среды, моделируемой геометрией Лобачевского (см. также работу [7]). Задача для частицы со спином 1 в кулоновском поле сведена к уравнению Гойна и определенному классу функций Гойна.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Heun, K. Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten [Text] / K. Heun // Math. Ann. - 1889. - Vol. 33. -P. 161-179.

2. Heun's differential equation [Text] / Ed. A. Ron-veaux, F. Arscott. — Oxford: Oxford University Press, 1995.

3. Slavyanov, S.Ju. Special functions. A unified theory based on singularities [Text] / S.Ju. Slavyanov, W. Lay. — Oxford, 2000.- 154 p.

4. Ovsiyuk, E.M. Coulomb problem for a Dirac particle in flat Minkowski space and the Heun functions, extension to curved models [Electronic resource] / E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. — 2011. — Mode of access: http://arxiv.org/abs/1109.5452.

5. Bogush, A.A. Maxwell equations in complex form of Majorana—Oppenheimer, solutions with cylindric symmetry in Riemann S3 and Lobachevsky H3 spaces [Text] / A.A. Bogush, G.G. Krylov, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov I I Ricerche di matematica. - 2010. - Vol. 59, № 1. - P. 59-96.

6. Red'kov, V.M. Spin 1/2 particle in the field of the Dirac string on the background of de Sitter space-time [Electronic resource] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko // arXiv.org e-Print archive. — 2011. - Mode of access: http://arxiv.org/ abs/1109.3009.

7. Ovsiyuk, E.M. On simulating a medium with special reflecting properties by Lobachevsky geometry (One exactly solvable electromagnetic problem) [Electronic resource] // E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. - 2011. — Mode of access: http://arxiv. org/abs/1109.0126.

8. Огчик, B.C. Квантовомеханическая задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны [Текст] / B.C. Отчик, B.M. Редьков. - Минск, 1986. - 49 с. -(Препринт / ИФ АН БССР; № 298).

9. Ovsiyuk, E.M. On solutions of Maxwell equations in the space-time of Schwarzschild black hole [Text] // E.M. Ovsiyuk / Nonlinear Phenomena in Complex Systems. — in press.

10. Ovsiyuk, E.M. Quantum Kepler problem for spin 1/2 particle in spaces on constant curvature. I. Pauli theory [Text] / E.M. Ovsiyuk // NPCS. - 2011. - Vol. 14. -№ 1. - P. 14-26.

11. Kisel, V. Wave functions of a particle with polarizability in the Coulomb potential [Electronic resource] / V. Kisel, G. Krylov, E. Ovsiyuk, M. Amirfachrian, V. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. — 2011. — Mode of access: http://arxiv.org/ abs/1109.3302.

12. Kisel, V.V. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field

[Text] / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // NPCS. -2010. - Vol. 13, No 4. - P. 352-367.

13. Олевский, M.H. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский// Мат. сб. -1950. - Т. 27. - С. 379-426.

14. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорусская наука, 2009. — 495 с.

15. Редьков, В.М. Тетрадный формализм, сферическая симметрия и базис Шредингера [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорусская наука, 2011. — 339 с.