О построении гладких интерполяционных сплайнов

И. Г. Бурова, А. Ф. Демина

О ПОСТРОЕНИИ ГЛАДКИХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ СПЛАЙНОВ*

Интерполяционные минимальные полиномиальные сплайны хорошо себя зарекомендовали при проведении последовательной интерполяции в реальном масштабе времени. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. Построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальных полиномиальных и тригонометрических интерполяционных сплайнов со свойством точности соответствено на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени подробно рассмотрены в монографии [1].

Здесь будут предложены формулы для минимальных непрерывных и непрерывно дифференцируемых сплайнов со свойством точности на степенях заданной достаточно гладкой произвольной функции. Способ построения предлагаемых интерполяционных лагранжевых сплайнов аналогичен рассмотренному в [1]. Интерполяционный базисный сплайн предписанной гладкости получаем из некоторого исходного непрерывного базисного сплайна при расширении носителя на один сеточный интервал, при этом степень нового сплайна, вообще говоря, увеличивается.

Аппроксимация полученными гладкими сплайнами также строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки.

1. О построении непрерывных минимальных сплайнов

Пусть и £ Ст+1(Д1), { Xj} —сетка упорядоченных узлов ... < Xj_1 < Xj < Х^+1 ..., функция <р £ Ст+1(К1) —строго монотонная. Предположим, что определитель Вронского, построенный по системе ^г(х), г = 0, .. ., т, отличен от нуля. Заметим, что рассуждения достаточно вести на некотором промежутке (а, Ь), однако на этом подбробно останавливаться не будет.

Аппроксимацию и(х) на промежутке [х^,х^+1) будем строить в виде

где Шj (х) —интерполяционный базис полиномиальных сплайнов, определяемый из условия точности аппроксимации (1) на функциях ^ (х), V = 0,1,..., т:

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00692 и №04-01-00026).

© И. Г. Бурова, А. Ф. Демина, 2007

j

При построении сплайнов о, (ж) предполагаем, что вирр о, = [ж,—г, ж,+Г1 ], где г и Г1 — некоторые натуральные числа, задающие носитель сплайна о,(ж). Будем предполагать, что т = г + Г1 — 1. Считая, что кратность накрытия произвольной точки ж носителями базисных сплайнов о, (ж) равна почти везде т +1, нетрудно заметить, что в (1) при [ж^,ж^+1) —небольшое количество слагаемых:

к+г

«

, = &—Г1+1

При ж € [жк ,Жк+1] сплайны о, (ж) определяются однозначно из системы уравнений

к+г

^

, = & —Г1 + 1

Построенные таким образом сплайны о, (ж) имеют следующие свойства:

1) о (ж,) = 1, о,(жй) = 0 при ] = к;

2) и(ж) — м(ж) = 0 для и(ж) = (ж), V = 0, 1, .. ., т;

3) вирр о, = [ж,—г, ж,+Г1 ];

4) о € ^(Д1).

Теорема 1. На промежутке [ж^,ж^+1) аппроксимация м(ж) вида

к+г

1

, = &—Г1 + 1

где

О

^ м(ж) — ^(ж,-/) г .

П —/—N---------7 V ж^,жН1 , /г = ] - г,...,] + п - 1;

,/ =, ^

-Г1 + 1^,/ —

г

0, ж € [ж,—г , ж,+г1 ]

обладает свойствами и (ж) = и(ж), при и(ж) = у>г(ж), г = 0, 1,...,т и о, €

С[ж,—Г , ж, + Г1 ]

2. О построении гладких минимальных сплайнов

2.1. Первый вариант расположения носителя. Система уравнений (2) при ж €

[ж^,ж^+1] однозначно определяет минимальные интерполяционные сплайны о,(ж):

^ м(ж) — ^(ж,/) г .

П —7—N---------------------------------------------------------7-х£[хк,хк+1), к = ] - г, .. .,] +Г1 - 1;

,/=, ^

—Г1 + 1^,/ —к^г

0, ж € [ж,—г , ж,+Г1 ].

Нетрудно видеть, что сплайны (3) являются лишь непрерывными функциями аргумента ж. Рассмотрим базисный сплайн о,(ж), носитель которого шире на один сеточный интервал носителя сплайна о,(ж), и предположим, что вирр о, = [ж,—г, ж,+Г1 + 1]. Теперь

условия точности аппроксимации (1) на функциях ^(ж), V = 0,1,..., т, принимают вид

к+г

о5^

• =к—гі

при ж Є ж, жй+і).

Непрерывно дифференцируемые I раз функции ^(ж), следуя [1], представим в виде

Рк

п

/=•

¥>

+

(ж) = <

+

п

•=• ) - ^(жі')’ -гі + 1^і/ —

Є [жй, жй+і), к = ^ - г,..., і + Г1 - 1;

рі+гі (ж) ; ж Є [жі+гі , жі+гі +1);

^0, ж Є [жі—г , жі+гі + 1]

где р (ж) —многочлены, определяемые в дальнейшем. Обозначим

я„м= п ф) ~Фг)

• =•

_гі + 1^^/ — к^г

^(ж) - ^(ж/)'

Тогда при Л =1, 2,..., I на промежутке [ж^, ж^+1] имеем

нкЛ)(жй ) = якл)(ж)|х=хк,

Я(Л) (жк+1) = Я(Л)(ж)|х=хк+і .

Условия непрерывной дифференцируемости I раз базисного сплайна о, (ж) приводят к следующим соотношениям:

1) в точке ж,—г

Р7'—)г (жі—г )ні—г (жі—г—гі ) + Ні—г (жі—г ) = 0;

2) в точках ж^+1 при к = і — г,..., і + Г1 — 1,

ркЛ)

3) в точке жі+гі

Рі+>гі— 1

Кроме того, для сохранения интерполяционных свойств следует положить

Рк

Если возьмем в выражениях (6)-(8) рДЛ)(жд;+1) равным некоторым числам Дд,л, то получим выражения для рДЛ)(жд). С помощью интерполяционного многочлена Эрмита представим р (ж) на промежутке [ж^- , ж^+1) в виде

ж

1 '—Л Р

»<*>=££Лга2-((»-^,^) <*-*>”’<*-^>'+1+

Л= 1 і=0 4 и ' ' 7 х=хз

1 1—Л , 11 / 1 \

+ (^+і)А^ ((ж-ж.у+1 ) (х-х^+1)л+'(х-х^)г+1.

л = і і — 0 • • \\ • / / ж = Жо + 1

Л= 1 г=0 44 ^ 7 х=х^ + 1

Нетрудно показать, что для выполнения условий точности аппроксимации (1) на функциях ^(ж), V = 0, 1, .. ., т следует положить

рк,Л }

Будем говорить, что семейство функций {р,(ж)} обладает свойством однородности относительно сдвига по узлам сетки, если

р, (ж)|[х ,ж3-+1) = р,+ й(ж)|[ж3-+к ,Ж3'+ь+1).

Функцию р, (ж) возьмем в виде полинома Эрмита. В этом случае нетрудно видеть, что выполнение условия (10) влечет однородность семейства {р,(ж)}.

На промежутке [ж,, ж,+1) имеем

о,—Г1 (ж) = —Р, (ж),

^+3

Фз+а) ~Фз’) Фз+8) ~Фг)

3 =, + я 3 =,+я

—Г1 + 1^,/— ,'^г — Г1 + 1^,/— ,'^г

где в = г, г — 1, . . . , —г1 + 1.

Теперь, с учетом соотношений (3), условия (4) можно преобразовать к виду

к+г / к+г \

^2 о(ж)^^(ж,)+р,(ж)1 ^2 о(жз—пV"(ж,)—^^пм= ^(ж), v = 0,1,...,т.

,= к—г1 х, = к—г1 /

Эти условия, очевидно, в силу свойств базисных сплайнов о, (ж) являются тождествами. Далее из условия непрерывной дифференцируемости о, (ж) в узлах ж, находим

П

рГЫ) = -

П

_гі + 1^^/ — к^г —1

Многочлен Рк (ж) степени 2/ +1 можно взять в виде

»м=е ^

Теорема 2. На промежутке [ж^,ж^+1) аппроксимация м(ж) ви^а

к+г

«

• =к—гі

Рк(ж) п

^

(ж) = <

+

=• ^

—гі + 1^і/ — к^г

у>

+

п

• =• ^(жі) — ^(жі')’

-гі + 1^^/ —к^г

Є ж, жй+1), к = і — г,...,і + Г1 — 1;

РІ+гі (ж) ; ж Є [жі+гі ,жІ+гі + 1);

ж Є [жі—г , жj+Гl + 1],

а многочлен р^(ж) степени 21 +1 можно взять в виде

Рк

(ж) - V — ю[х)(хь)(х - хь 1 У+1 х Ус (ж~жй)Л+а

' 2-^/ \\ к Жй+^ х2^ ^ л я|

=1

I! в! (жй — жд+1 у+*+1:

Р{к\хк) = —

п

і + 1^,?/ — к^г— 1

П

—г1 + 1^,/ — к^г —1

обладает свойствами м(ж) = и(ж), при и(ж) = ^*(ж), г = 0, 1,...,т и о, €

С [жз'—г , ж,+г1]

2.2. Второй вариант расположения носителя. Пусть теперь вирр о, =

[ж3—г—1, ].

Непрерывно дифференцируемые / раз функции о, (ж) в данном случае можно представить выражениями

/(ж) = < +

^

^

+

^

?й(ж) п

/=•

—гі + 1^і/ — к^г

Д Фз)-Фг) і =і —гі + 1^і/ — к^г

—г — 1(ж), ж Є [ж^—г—1, ж^—г );

0, ж Є [жі—г— 1, жі+гі].

Здесь многочлен % (ж) степени 21 +1 можно взять в виде

, ж Є [жй, жй+1), к = і — г,..., і + Г1 — 1;

і \ _ ^ (Л)/ і\я(^ + в)- (ж_жй+і)Л+гі

<7*0*0-X, д!9* (ж^+і)(ж жй) Хл !) /Ы (жй+1_Жй)г+8+1^

где

=1

4Л)(Ж*+1) = -

в=0

П

-гі+2^^/ — к^г у

X — Ж^-)- і

П;

-гі+2^^/ —к^г

Ж = Жк

2.3. Свойства гладких минимальных сплайнов. Минимальные непрерывно дифференцируемые / раз базисные сплайны о, (ж) обладают сленующими свойствами:

1) о,(ж,) = 1, о,(жй) = 0 при ] = к;

2) и(ж) — м(ж) = 0 для и = 1, у>(ж), . .., <^>т(ж);

3) вирр о, = [жз—г, ж,+г1 + 1] или вирр о, = [жз—г—1, ж,+г1 ] (здесь носитель о, состоит

из г + г1 + 1 = т + 2 сеточных интервалов);

4) о, € Сг(Д1);

Рассмотрим частный случай: т =1, г =1, г1 = 1, / = 1. По формуле (5) имеем

(ж3 — ж3—1)2(^(ж3) — ^(ж3—1)) ' ^(ж3) — ^(ж3—1Г

(ж) =

+

+

^(ж) — ^(ж3+1

ж € [ж,, ж,+1);

^

Ыхз+1) - ^(жз'))(жз'+1 - жз'+2)2 0, ж € [ж,—1, ж3+2].

ж € [ж,—1, ж,);

ж € [ж3+1,ж3+2);

Формула (12) дает

°3

+

+

^

€ [ж3—1 ,ж3);

^(ж3) — ^(ж3—1)?

(х - жз_2) (ж - жз—1 )у(жз—1) (Ж3'-1 -Ж3'-2)2(^(жз'-1) - ^(Жз))’ 0, ж € [ж,—2, ж,+1 ].

€ [ж3 ,ж3+1);

€ [ж3 — 2, ж3 — 1);

ж

ж

3. Результаты численных экспериментов

Ниже приведены результаты численных экспериментов на равномерной сетке, построенной на промежутке [0,1] с шагом Н = 0,1. В первом столбце находятся аналитические выражения приближаемых функций, а в остальных — погрешности приближения. В заголовках столбцов указаны значения параметров сплайна (г1, г). Погрешности приближения строим по формуле тах |и(ж) — м(ж)|.

ж£[0, 1]

и

tp(x) = X

ж3 7.13 • КГ3 0 0

хь 2.15 • 10-'2 2.67 • КГ4 0

sin X 1.02 • КГ3 1.91 • КГЬ 4.20 • КГУ

ех 3.23 • 10“л 6.07 • 10“ь 1.26 • 10-»

<р(х) = sin ж

X 1,75 • КГ3 1,30 • КГ4 4,81 • КГЬ

ХЛ 1,19 • КГ2 9,33 • КГ4 3,51 • КГ4

хь 2,86 • 10-'2 3,31 • КГ3 1,34 • КГ3

sin Зх 1.15 • 10-'2 0 0

ех 7,76 • КГ3 6,03 • 10~4 2,27 • КГ4

<р(х) = ех

X 1,25 • 10~3 1,40 • 10~5 5,85 • 10-7

ХЛ 3,74 • КГ3 7,71 • КГЬ 6,25 • КГЬ

хь 1,63 • го-'2 1,09 • КГ4 6,98 • КГЬ

sin X 1,77 • КГ3 1,90 • КГЬ 4,90 • КГ7

еЛх 1,30 • КГ1 0 0

Таблица 2. Приближения гладкими сплайнами

и

1 = 2, <p(x) = x

хА 6,19 • КГ3 0 0

хь 1,50 • 10-'2 2,33 • КГ4 0

sin X 9,11 • 10~4 1,71 • 10“ь 3,86 • 10“у

ех 2,84 • КГ3 5,34 • КГЬ 1,23 • КГ8

1 = 2, <р(х) = sin х

X 1,74 • КГ3 1,29 • КГ4 4,82 • КГЬ

ХЛ 1,18 • 10-'2 9,31 • КГ4 3,52 • КГ4

хь 2,84 • 10-'2 3,30 • КГ3 1,34 • КГ3

sin Зх 1,13 • 10-'2 0 0

ех 7,70 • КГ3 6,02 • КГ4 2,28 • КГ4

1 = 2, ip(x) = ех

X 1,20 • КГ3 1,34 • 10“ь 5,50 • 10-у

ХЛ 2,95 • КГ3 7,29 • КГЬ 5,86 • КГЬ

хь 1,28 • 10-2 7,94 • КГЬ 6,41 • КГЬ

sin X 1,53 • КГ3 1,36 • КГЬ 3,72 • КГ7

eix 1,02 • КГ1 0 0

Summary

I. G. Burova, A. F. Demina. About smooth interpolating splines constraction.

Formulas for minimal continues and smooth splines with property of exactness on powers of any given function are suggested.

Литература

1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с. Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.