К вопросу о продлении методологической силы принципа дополнительности Н. Бора на иные сферы познания

К ВОПРОСУ О ПРОДЛЕНИИ МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЙ СИЛЫ ПРИНЦИПА ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ Н. БОРА НА ИНЫЕ СФЕРЫ ПОЗНАНИЯ

Ключевые слова: принцип дополнительности Н. Бора, репрезентация, дуализм репрезентации определённых объектов, некоммутирующие операторы, сопряжённость измеряемых величин, пропадание информации при преобразованиях, математика.

Цель статьи заключается в том, чтобы рассмотреть познание в математике с точки зрения принципа дополнительности, когда последний распространяется на объяснение устранения противоречий и опровержений в историческом развитии такого научного понятия, как многогранник.

ABOUT STRETCHING OF METHODOLOGICAL POWER OF PRINCIPLE OF COMPLEMENTARITY OF N. BOHR TO OTHER COGNITIVE SPHERES

Key words: Principle of Complementarity of N. Bohr, representation, dualism of the certain objects' representation, noncommuting operators, conjugation of quantities in question, information disappearing in transformations, mathematics.

The paper aim is to consider cognition in mathematics from the point of view of principle of complementarity when the latter stretches to elimination of the contradictions and disproves in historical development of such a scientific notion as «polyhedron».

В раскрытии темы статьи, прежде всего, хотелось бы обратиться к тем сторонам принципа дополнительности, которые почти не обсуждаются в философии, а также к тем аспектам указанного принципа, в которых исследователи гуманитарного цикла наук не видят ничего исключительного и продуктивного. Сущность принципа дополнительности заключается и в том, что он «обращает» своё внимание на те величины в исследуемом объекте, которые называются сопряжёнными (канонически сопряжёнными). К ним относят: координату частицы микромира и её импульс; потенциальную и кинетическую энергии; напряжённость электрического поля в данной точке и число фотонов и т.д.

Автору статьи удалось показать, что если обратиться к проекционным ситуациям в начертательной геометрии, то и там возникают познавательные моменты, сходные с проявлением принципа дополнительности [5, с. 66]. При этом в исследовании сущности проекционного метода, также выделялись элементы пространственного объекта, которые при анализе оказывались дополнительными и сопряжёнными, а операторы (под ними понимались проецирующие лучи), попеременно воздействующие на эти сопряжённые величины, резюмировались как не коммутирующие друг с другом, что в целом и создавало проблему дуализма проекций, а также попеременного пропадания информации то об одной величине, то о другой. При этом, конечно же, выполнялось условие A • B ф B • A .

О том, что принцип дополнительности можно и желательно применять к гуманитарной сфере знания, говорил и писал сам Н. Бор [1], а также многие исследователи данного принципа [2; 4; 6]. Нам хотелось бы обратить внимание на следующие обстоятельства: 1) принцип дополнительности применим не ко всем ситуациям познания, а только к тем, где можно выделить сопряжённые величины, с помощью которых описывается объект; 2) принцип дополнительности можно формулировать только тогда, когда эти величины дополнительны друг другу (а данный факт ещё необходимо доказывать, к примеру, с помощью некоммутирующих операторов); 3) с учётом сказанного в пунктах 1, 2 принцип дополнительности необходимо понимать так: смысл принципа дополнительности заключается в том, чтобы найти соответствующие абстракции и парадигмальные категории, с помощью которых противоречивые (дуальные) описания исследуемого объекта всё-таки можно было бы использовать для адекватной интерпретации этого объекта, но опять же при условии, что известны главные сопряжённые дополнитель-

ные величины, измеряемые в объекте, а также не коммутирующие между собой операторы. При этом важным моментом ясности являются те моменты исследования, которые позволяют выполнить верное заключение о причинах пропадания информации об одной из измеряемых величин. Разделение в субъектно-объектной детерминации сторон этого единства создаёт предпосылки для обоснования (формально-теоретического) самого объекта исследования как целостного объекта.

Теперь же, после введения, обратимся к работе И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» [3]. В данной работе рассматривается движение познания, связанное с теоремой Эйлера о многогранниках, а также с определениями, которые показывают, что есть многогранник. Теорема Эйлера достаточно проста: «У любого тела, ограниченного плоскими гранями, число граней плюс число вершин (телесных углов) на два больше, чем число рёбер». Эту формулу можно записать так: Грани + Вершины = Рёбра +2. Число «2» при этом называют числом Эйлера. Формула легко проверяется, к примеру, на таком объекте, как куб. Но возможны опровержения (которые Лакатос и рассматривает). Если мы возьмём куб, внутри которого есть полость кубической формы (меньшей по размеру, чем размеры самого куба), то формула Эйлера перестаёт выполняться. Число Эйлера, для этого второго случая, равняется четырём. Контрпример и контрвозражения сводятся к тому, что: многогранник не является «телом», а является «поверхностью». Поэтому куб с внутренней полостью не следует брать для опровержения теоремы. На деле мы имеем перед собой два куба как два разных многогранника.

Итак, мы имеем два определения многогранника: а) многогранник - это тело, ограниченное плоскими гранями; б) многогранник - это поверхность, состоящая из сомкнутых плоских граней, которая образует пространственную форму. По сути дела, нам представлены два результата при измерении (исследовании) многогранника, которые выражаются в одном случае числом Эйлера, равном двум, а в другом случае - равном четырём. До возникновения объяснения указанного парадокса исследователь стоит перед проблемой, подобной той, с которой имели дело физики-теоретики, когда электрон вёл себя дуальным образом (волна, частица). Попробуем реконструировать разрешение дуальности, имеющей отношение к двум числам Эйлера. Мы должны поставить для себя ряд вопросов и ответить на них: а) что является объектом исследования? (объектом исследования является формула Эйлера); б) какие величины являются сопряжёнными у одного и другого куба? (перпендикулярные друг к другу рёбра; перпендикулярные друг к другу грани; перпендикулярные друг к другу рёбра и грани); в) что можно принять в качестве операторов, когда мы записываем формулу Эйлера? (оператор - это преобразователь; преобразователем является процедура сложения; когда мы в одной части уравнения складываем число граней и вершин, то мы получаем репрезентацию куба; при этом мы будем иметь в наличии неполную репрезентацию; когда в правой части мы записываем число рёбер, то это будет вторая репрезентация куба (или его описание). Число граней + число вершин Ф числу рёбер (т.е. левая часть уравнения и правая часть уравнения - это разные репрезентации).

Поскольку в качестве одного оператора мы приняли сложение (неоднородных величин), за второй оператор примем подсчёт (рёбер) как сложение однородных величин. Сопряжёнными (рёбра, грани) являются потому, что при всех преобразованиях куба они будут составлять комплекс парных величин. По смыслу принципа дополнительности нам необходимо подействовать на объект (куб) одним оператором, а на получившийся результат, далее, вторым оператором. Затем нужно поменять порядок «воздействия» операторов на объект (куб). Если результаты двух разных последовательностей применения

операторов совпадут, то операторы будут являться коммутирующими, а измеряемые величины не будут являться дополнительными друг другу. В противоположном случае мы получим некоммутирующие операторы. Им соответствующие величины тогда будут являться друг другу дополнительными. А это и будет обозначать, что принцип дополнительности к двум разыми репрезентациям можно искать и как-то обозначать (т.е. формулировать).

Начинаем применять к объекту первое преобразование (складываем все величины, имеющие отношение к числу граней, вершин и рёбер: 6+8+12=26). К результату (т.е. к 26) прибавляем (т.е. мы применяем воздействие второго оператора к числу 26) однородные величины (рёбра): 26+12=38. Почему прибавляем только рёбра? Потому что мы определили второй оператор как преобразующий только рёбра. Теперь меняем порядок действия операторов. При воздействии вторым оператором на множество граней, вершин, рёбер мы получаем число 12 (число рёбер). Воздействуя на результат (т.е. на число 12) первым оператором, мы получаем 12+0=12 (к 12 мы прибавляем 0 потому, что в этом числе рёбер нет других элементов, которые бы по о)тношению к рёбрам были бы неоднородными). В результате имеем А • В ф В • А , т.е. 38Ф12.

Важным теперь является вопрос о пропадании информации об одних измеряемых величинах при воздействии одного из операторов. Понятно, что для первого случая - пропадает информация о рёбрах, а для второго случая - о вершинах и гранях куба. Как видим, ситуация складывается квантово-подобной, и даже квантово-дополнительной. Если в исследовании установлен факт пропадания информации об одной из измеряемых величин, далее факт некоммутируемости операторов, соответствующих данным измеряемым величинам, то можно на основании этих данных выполнять поиски дополнительности. Правая часть уравнения Эйлера не равна левой. Число «2» уравновешивает стороны неравенства и является дополнительностью, проистекающей из принципа дополнительности, главная «цель» которого - установить закономерность.

Чем является принцип дополнительности? Мы ранее записали: смысл принципа дополнительности заключается в поисках тех условий, благодаря которым удаётся адекватно объяснить противоречивые репрезентации объекта... Можно лишь догадываться о том, как Эйлер размышлял при составлении обсуждаемой нами формулы. Проведём реконструкцию (гипотетическую) предполагаемой модели помыслия учёного. Рассматривая куб, выделяя в нём рёбра, грани, вершины, учёный вполне мог задать себе вопрос - а нет ли закономерной связи между численными соотношениями этих геометрических объектов? Он мог сложить сначала: а) вертикальные рёбра куба + вершины куба (4+8=12); вершины куба + горизонтальные грани (8+2=10); б) верхние вершины + верхние рёбра (4+4=8); все грани куба (6); в) нижние вершины + нижние рёбра (4+4=8); рёбра нижней грани + грани (верхняя и нижняя) (4+2=6) г) далее складывались элементы, которые не давали числа Эйлера.

Закономерности по пунктам (а, б, в) и другим пунктам могли броситься в глаза, что в конечном счёте и подтолкнуло к написанию формулы. Но для нас главным является определение многогранника как «поверхности», которое разрешило противоречие числа Эйлера = 2 и числа Эйлера = 4. Во фразе: многогранник не «тело», а «поверхность» присутствует «разделение», благодаря которому внешний куб и внутренний куб (полость) были отделены друг от друга, и вновь была восстановлена в своих правах формула Эйлера. Понятие «тело» объединяет внешний и внутренний кубы тем, что пустотность (т.е. меньший куб) занимает территорию этого внешнего куба. Понятие «поверхность» всегда проходит на границе двух сред, а потому и отделяет одну среду

от другой. Противоречие разных чисел Эйлера было снято, но куб с внутренней кубической полостью был включён во множество кубов, которые давали число Эйлера. Новое определение многогранника (как «поверхности») явилось принципом дополнительности, содержащим в себе принцип раздели-тельности. Именно этот принцип разделения вещественного куба и куба, составленного из пустотности устранил дуализм двух чисел Эйлера.

Две неоднородности (вещественный куб и воздушный куб), составляя нечто целое, вызывают к жизни пропозициональную вещественность в виде двух чисел 2 и 4. Принцип разделительности, как принцип дополнительности, по сути, выполняет функцию различения. Где есть различение - там пропадают пропозициональность, неопределённость и возникает принцип дополнительности, снимающий различные формы дуализма. Общественная, производственная, трудовая, технологическая и другие практики вырабатывают в сознании человека способность к различению разнородного в неопределённом. И это различение даёт подвижки к выработке принципов дополнительности. Но продолжим наше исследование понятия «многогранник».

У Лакатоса есть и другое опровержение понятия многогранника как «поверхности». По Лакатосу, если взять две трёхгранных пирамиды с одним общим ребром, то по новому определению данное образование будет одним многогранником, но если подсчитать число Эйлера для такой «фигуры» - оно будет равно не двум, а трём. Введение определения многогранника как поверхности, представляющей собой систему многоугольников, расположенных таким образом, чтобы на каждом ребре встречались только два многоугольника, снимает опять противоречие. В соединённых пирамидах (как было описано выше) на одном ребре встречаются четыре грани. Введённое условие (встреча на каждом ребре только двух многоугольников) опять является принципом дополнительности, снимающим противоречие чисел Эйлера, равных, соответственно, двум и трём. Принципом разделительности для данного случая является закон «парности». Закон «парности» является фундаментальным законом, позволяющим выходить на предельные философские категории, а значит, и на дополнительность как таковую. Для нашего случая на одном ребре встречаются четыре треугольника. Устранение одной пары через определение, смысл которого в том, что на ребре должны встречаться только два многоугольника, снимает проблему дуальности.

Когда мы обращались к квантовой теории, то замечали, что парность присутствует в виде дополнительных сопряжённых измеряемых величин, а также в сторонах объекта, как разных репрезентациях (по разному представляющих объект), а ещё далее в парности соответствующих операторов, порождающих в своём воздействии на объект субъект-объектную детерминацию, когда одна из детерминаций свёрткой «прячется» в репрезентации. «Спрятанная» в репрезентации пара, выражающая одновременно, с одной стороны, аспект оператора, а с другой - аспект измеряемой величины, приводит к тому, что пропозициональность исчезает, и мы имеем точное значение одной из сопряжённых величин. Изложенное выше показывает, что в устранении пропозициональности принимает «участие» и вербально-лингвистический фактор, что указывает косвенно-опосредованно на возможность продления методологической силы принципа дополнительности и в гуманитарную сферу.

Фундаментальность закона парности, для данного случая, будет распространяться и на синтез исторического и логического при исследовании движения познания. Принцип диалектики вначале (принципом дуальности) выделяет противоречивое в общем, а далее ищет объединение противоречивого через нахождение однородного в противоречивых сторонах объекта. Другими словами - принцип дополнительности является одной из форм диалектики.

Объём статьи не позволяет углубляться в обозначенную тему, но нужно отметить, что развитие понятия «многогранник» продлевается вплоть до топологических представлений об этом понятии. Принцип дополнительности не является каким-то готовым алгоритмом (хотя некоторые философы и сетуют на это обстоятельство). Он (как алгоритм уже) возникает каждый раз на новом материале, с новым содержанием в репрезентациях, посредством введения соответствующих абстракций и новых оперативных подходов.

Резюме: На сегодняшний день в повестке дня, как нам представляется, стоит вопрос о конкретизации применения принципа дополнительности в самых различных областях знания. И эту конкретизацию должны осуществлять специалисты соответствующих научных или гуманитарных дисциплин. По многим признакам философского характера (малая часть из которых изложена в данной статье) можно судить о том, что принципу дополнительности Н. Бора предстоит долгая жизнь и раскрытие в самых неожиданных проявлениях форм познания. Сам принцип дополнительности своей внутренней сущностью «учит» человека творческим началам через парадоксальность, в которой всегда есть место для прорывных познавательных технологий, когда происходит расширение понимания причинности до новых уровней существования этой причинности.

Литература

1. Бор Н. Атомная физика и человеческое познание / Н. Бор. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

2. Долидзе М.Г. Принцип дополнительности в квантовой механике и метод феноменологии в словесном творчестве. Тбилиси, 1989.

3. Лакатос И. Доказательства и опровержения / И. Лакатос. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957.

4. Менский М. Б. Квантовая механика, сознание и мост между двумя культурами / М. Б. Менский // Вопросы философии. 2001. № 4.

5. Мушич-Громыко В.Г. О содержательной сходности принципа дополнительности Н. Бора и некоторых позиций начертательной геометрии / В.Г. Мушич-Громыко // Современные гуманитарные исследования. 2007. № 4 (17).

6. Розов М.А. Явление дополнительности в гуманитарных науках // Теория познания / М.А. Розов; под ред. В.А. Лекторского, Т.И. Ойзермана. М.: Мысль, 1995.

МУШИЧ-ГРОМЫКО ВЯЧЕСЛАВ ГЕОРГИЕВИЧ - директор, центр «Системная космология»; соискатель ученой степени кандидата философских наук кафедры философии, Новосибирский государственный университет экономики и управления, Россия, Новосибирск (cosmoloav@ngs.ru).

MUSHICH-GROMYKO VYACHESLAV GEORGIYEVICH - director, Center «System Cosmology»; competitor of the scientific degree of the candidate of the philosophical sciences, Novosibirsk State University, Economics and Management, Russia, Novosibirsk.