Устройство для оценки среднего времени запаздывания возникновения разряда (его варианты)
DEVICE FOR EVALUATING THE AVERAGE TIME LAG OF DISCHARGE (ITS OPTIONS)

Предлагаемое техническое решение относится к устройствам определения характеристик случайных процессов и предназначено для вычисления оценки среднего значения случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение. Его целесообразно использовать при исследовании характеристик газоразрядных матричных индикаторов.
Известны устройства для оценки параметров газоразрядных индикаторов, которые позволяют измерить (зарегистрировать) случайные значения времени запаздывания зажигания элементов отображения, занести эти значения в память компьютера и затем вычислить необходимые характеристики (Свиязов А.А., Солдатов В.В. Автоматизированные устройства научных исследований параметров газоразрядных знакосинтезирующих индикаторов постоянного тока. Вестник РГРТУ, Выпуск 24, Рязань. 2008 г.). Для реализации этих устройств требуется компьютер, а громоздкая статистическая обработка результатов измерений увеличивает время исследований. Это является недостатками аналогов.
Плотность распределения времени запаздывания возникновения разряда газоразрядных индикаторов в большинстве случаев может быть охарактеризована экспоненциальным распределением (Шестеркин А.Н. Определение надежности отображения информации на газоразрядных матричных индикаторах. Вестник РГРТУ. Вып. 39. Часть 2. Рязань. 2012). В работе (А.Е. Сархан, Б.Г. Гринберг. Ведение в теорию порядковых статистик. М:, Статистика, 1970 г. Раздел Б) предложено для оценки среднего значения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, использовать одно значение (одну статистику) вариационного ряда. Оценка среднего значения вычисляется по формуле
r
где t - r-я статистика,  N - объем выборки.
r
Таким образом, для оценки среднего значения времени запаздывания возникновения разряда газоразрядных индикаторов достаточно в вариационном ряду результатов измерений выбрать одну статистику с номером r, вычислить коэффициент K и на его величину скорректировать значение выбранной статистики.
1
1
2
3
4
50
99
100
Если для оценки среднего значения использовать начальные порядковые статистики, которые измерены с погрешностью, то применение этой формулы может привести к значительной ошибке. Действительно, для первой порядковой статистики K=N, для второй  для третьей  Следующие соседние начальные значения коэффициентов также существенно отличаются друг от друга. Например, при N=100 K=100, K=49.7, K=33.0, K=24.6, …, K=1.5, …K=0.24, K=0.19. Очевидно, если в результате измерений две начальные соседние порядковые статистики окажутся примерно одинаковыми, то результаты оценки среднего значения по этим статистикам будут отличаться в несколько раз.
r
Распределение оценки среднего значения, найденное по формуле (1), может быть определено как распределение хи-квадрат с параметром 2r (А.Е. Сархан, Б.Г. Гринберг. Ведение в теорию порядковых статистик. М:, Статистика, 1970 г. Раздел Б). Дисперсия такого распределения равна 4r, и уже при r=10÷15 и более это распределение практически становится нормальным, т.е. дисперсия оценки, вычисленная на основе больших (последних) порядковых статистик велика. Таким образом, при выборе порядковой статистики, на основе которой будет оцениваться среднее значение, не следует брать начальные и последние статистики вариационного ряда, несмотря на то, что значения коэффициента K для последних статистик отличаются незначительно и меньше единицы (погрешность оценки среднего значения будет меньше погрешности измерения статистики).
r
Вычисление оценки среднего значения случайной величины по формуле (1) можно существенно упростить, если выбрать статистику r, для которой коэффициент K равен единице. Элементы знаменателя этого коэффициента представляют собой расходящийся гармонический ряд. Для вычисления суммы первых k членов гармонического ряда воспользуемся асимптотической формулой Эйлера
Здесь С - постоянная Эйлера, равная 0.57721566…, ε - погрешность определения суммы. Значение погрешности стремится к нулю при больших значениях k. Например, уже при k=50 относительная погрешность составляет меньше 0.2%, а при k=100 (200) - меньше 0.1% (0.05%). Отметим, что при определении оценки среднего значения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с точностью 3-5%, выборка составляет указанное выше и даже большее число элементов.
Запишем гармонический ряд:
r
Для вычисления суммы элементов этого ряда от элемента  до  т.е. суммы элементов знаменателя коэффициент K, вычислим сумму всех членов гармонического ряда от 1 до  из которой вычтем сумму членов гармонического ряда от 1 до  Порядковый номер r должен быть меньше N, в противном случае последний элемент гармонического ряда от 1 до  будет равен бесконечности. Воспользовавшись асимптотической формулой Эйлера получим
1
где ε - погрешность вычисления разности последовательностей.
r
При r=N сумма элементов знаменателя коэффициента K определяется по формуле (2).
1
r
-1
Пренебрегая значением погрешности ε, равной разности погрешностей ε, которые как было показано выше, для реальных объемов выборки малы, значение номера порядковой статистики, для которой коэффициент K равен единице, найдем из выражения Ln(N)-Ln(N-r)=1. Очевидно r=N(1-е).
-1
Так как порядковый номер элемента ряда может быть только целым числом, то r≅[N(1-е)], где […] - целая часть числа, ближайшая к целому. Таким образом, для оценки среднего значения экспоненциального распределения достаточно взять порядковую статистику с номером
-1
r≅[N(1-е)]≅[0.632N], т.е.
Относительная эффективность таких оценок среднего значения экспоненциального распределения по сравнению с оптимальной линейной оценкой превышает 0.90 (А.Е. Сархан, Б.Г. Гринберг. Ведение в теорию порядковых статистик. М:, Статистика, 1970 г. Раздел Б), т.е. оценки вычисляются достаточно точно.
r
Таким образом, для оценки среднего значения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, из вариационного ряда можно выбрать порядковую статистику r, для нее вычислить коэффициент K и па величину этого коэффициента скорректировать выбранное значение порядковой статистики. Другой вариант оценки среднего значения случайной величины основан на выборе статистики с номером [0.632N], значение которой и является искомой оценкой. Следовательно, для вычисления оценки среднего значения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, необходимо зарегистрировать реализации случайных значений (результаты измерений), провести их ранжирование по возрастанию, выбрать необходимую статистику и скорректировать ее значение либо использовать непосредственно.
Проведенный патентный поиск показал, что наиболее близким по технической сущности и выполняемым операциям к предлагаемому устройству является устройство для определения характеристик случайного процесса (патент РФ 2007757, G06G 7/52), в котором осуществляются указанные выше операции: регистрация измеренных значений, ранжирование и выбор элементов из вариационного ряда. Последняя операция выполняется с помощью узла, названного авторами этого патента ключом. Фактически выбор элементов вариационного ряда обеспечивается путем установки адреса запоминающего устройства, поэтому, по нашему мнению, более правильно этот узел следует называть блоком выбора статистики.
Устройство для определения характеристик случайного процесса (патент РФ 2007757, G06G 7/52, прототип) для первого и второго вариантов реализации содержит измерительный блок, информационный и синхронизирующий выходы которого подключены к информационному D и синхронизирующему С входам блока памяти и ранжирования, счетчик, счетный С вход которого соединен с синхронизирующим выходом измерительного блока. Первый выход счетчика подключен входу блока вычисления постоянных коэффициентов, выход блока выбора статистик соединен с управляющим входом блока памяти и ранжирования. Результаты вычислений воспроизводятся с помощью блока регистрации результата.
В первом варианте реализации устройства вход блока регистрации результата соединен с выходом блока деления, один вход которого соединен с выходом блока вычисления постоянных коэффициентов.
Для определения оценки среднего времени случайного процесса в известном устройстве (патент РФ 2007757) необходимо производить дополнительную обработку выбранных статистик - суммирование и деление. Эти блоки усложняют устройство.
Цель предлагаемого изобретения - упрощение устройства для оценки среднего значения времени запаздывания возникновения разряда элементов отображения газоразрядных индикаторов. С этой целью в обоих вариантах в устройство дополнительно включен блок управления, первый выход которого подключен к входу «Старт» измерительного блока, входам R установки в исходное состояние счетчика и блока памяти и ранжирования. Второй выход блока управления подключен к входу разрешения сортировки блока памяти и ранжирования Sort, а третий выход - к входу разрешения блока выбора статистик. Второй выход счетчика соединен с входом блока управления и входом «Стоп» измерительного блока. Вход установки коэффициента пересчета счетчика и вход «Пуск» блока управления являются входами устройства.
В первом варианте реализации устройства выход блока памяти и ранжирования соединен со вторым входом блока деления, дополнительный вход устройства «Выбор № статистики» соединен с управляющим входом блока выбора статистики и дополнительным входом блока вычисления постоянных коэффициентов, который обеспечивает реализацию выражения  где N - объем выборки, r - порядковый номер статистики.
Во втором варианте реализации устройства выход блока памяти и ранжирования соединен с входом блока регистрации результатов, управляющий вход блока выбора статистики соединен с выходом блока вычисления постоянных коэффициентов, который обеспечивает реализацию выражения [0.632N], где N - объем выборки, […] - целая часть числа, ближайшая к целому.
Функциональные схемы первого и второго вариантов реализации устройства для оценки среднего времени запаздывания возникновения разряда изображены соответственно на фиг. 1 и фиг. 2. Оба варианта устройства содержат измерительный блок 1, блок памяти и ранжирования 2, счетчик 3, блок выбора статистик 4, блок вычисления постоянных коэффициентов 5, блок регистрации результатов 6 и блок управления 7. Блок деления 8 содержится только в первом варианте реализации устройства.
Измерение времени запаздывания, запись результатов измерений и их сортировка в блоке памяти и ранжирования 2 одинакова для обоих вариантов реализации устройства. Перед началом измерений входным сигналом устройства «Уст. К пересч.» устанавливается коэффициент пересчета счетчика 3, равный числу измерений случайной величины, т.е. объем выборки N. Очередной цикл работы устройства начинается при поступлении сигнала «Пуск» на вход блока управления 7, который определяет последовательность функционирования блоков устройства. При этом на первом выходе блока управления 7 формируется сигнал «Старт», который устанавливает в исходное (нулевое) состояние блок памяти и ранжирования 2, счетчик 3, а также разрешает работу (измерение случайных значений) измерительного блока 1. Каждое измеренное значение случайной величины, сопровождаемое синхронизирующим сигналом, с выходов измерительного блока 1 записывается в блок памяти и ранжирования 2.
1
1
Одновременно синхронизирующим сигналом измерительного блока 1 увеличивается содержимое счетчика 3. Очевидно, после измерения N случайных значений и записи их в блок памяти и ранжирования 2 состояние счетчика 3 станет равным коэффициенту пересчета. При этом на втором выхода счетчика 3 формируется сигнал «Стоп», который останавливает работу измерительного блока 1 и разрешает генерирование на втором выходе блока управления 7 сигнала, запускающего процесс формирования вариационного ряда результатов измерений, записанных в блоке памяти и ранжирования 2 ( Процедура построения вариационного ряда известна. В прототипе она осуществляется в процессе записи результатов измерений, возможно, на основе комбинационной схемы. Однако, по нашему мнению, более целесообразно эту процедуру выполнить после проведения измерений, для чего и введен блок управления 7, позволяющий разделить процессы измерений, сортировки зарегистрированных значений и вычисления оценок.). Через время, необходимое для построения вариационного ряда, на третьем выходе блока управления 7 формируется сигнал, поступающий на вход блока выбора статистик 4. Далее проводится определение оценки среднего времени запаздывания зажигания. Эта процедура, в первом и втором вариантах реализации устройства выполняется различно.
Для вычисления оценок среднего значения в первом варианте реализации устройства на входе «Выбор № статистики» необходимо установить желаемое значение номера статистики, например r.
r
r
Это значение номера статистики непосредственно поступает на вход блока выбора статистик 4, который обеспечивает формирование на выходе блока памяти и ранжирования 2 t-й статистики, которая подается на первый вход блока деления 8. На основе установленного номера статистики r и объема выборки, значение которой поступает с выхода счетчика 3, блок вычисления постоянных коэффициентов 5 вычисляет значение  которое поступает на второй вход блока деления 8. Блок деления 8 вычисляет частное сигналов, поступающих на его входы -  т.е. оценку среднего значения в соответствии с формулой (1). Вычисленное значение воспроизводится блоком регистрации результатов 6. Коэффициент K можно вычислять как сумму конечного числа членов гармонического ряда, либо используя приближенное выражение (3).
Во втором варианте реализации устройства в блок вычисления постоянных коэффициентов 5 со счетчика 3 поступает значение N - объем выборки. Блок вычисления постоянных коэффициентов 5 в соответствии с формулой [0.632N] вычисляет необходимый номер статистики. Выходной сигнал блока вычисления постоянных коэффициентов 5, поступает на вход блока выбора статистик 4. Последний обеспечивает формирование на выходе блока памяти и ранжирования [0.632N]-й статистики, которая является оценкой среднего значения исследуемого случайного процесса. Эта оценка воспроизводится блоком регистрации результатов 6.
При практической реализации блока вычисления постоянных коэффициентов использовалось программируемое постоянное запоминающее устройство, в которое были записаны предварительно вычисленные значения выходных кодов для различных r и N.
Достоверность вычисления числовых характеристик случайных величин предлагаемыми устройствами проверялась путем статистического моделирования. Для этого генерировались массивы случайных значений, элементы которых соответствовали экспоненциальному распределению, проводилось ранжирование элементов, затем вычислялись оценки среднего значения на основе различных порядковых статистик. Исследования проводились при различных средних значениях случайных величин и объемах выборки в среде MathCAD.
В таблицах 1 и 2 приведены результаты оценок среднего значения для выборок из 100 и 500 элементов при исходном среднем значении 20 мсек. Оценки для 1, 20(100), 20(150), …, 80(400) и последних статистик определены по алгоритму, который реализует первый вариант предлагаемого устройства. Оценки на основе 63(316) порядковых статистик определены по алгоритму, реализуемому во втором варианте предлагаемого устройства. Оценки, размещенные в последнем столбце, вычислены методом максимального правдоподобия (с минимальной погрешностью). Порядковые номера статистик и способ вычисления оценок среднего значения указан в заголовках таблиц. Верхняя строка чисел соответствует оценкам среднего значения на основе одного массива, т.е. соответственно на основе вариационного ряда из 100 или 500 элементов. Оценки расположенные ниже, определенны на основе 25-и массивов. Для вычисления этих оценок формировались 25 вариационных рядов, для каждого ряда вычислялись оценки среднего значения указанным в заголовках таблиц способом. На основе 25-и найденных оценок, вычисленных для каждой статистики либо методом максимального правдоподобия, определялись минимальное (Мин.), среднее (Ср. знач.), максимальное (Мах.) значения и среднее квадратическое отклонение (СКО).
Анализ результатов исследований показывает, что и первый и второй вариант реализации предлагаемого устройства позволяют определять оценки среднего значения. Погрешности вычисления оценок на основе порядковых статистик, сопоставимы с погрешностями оценок, найденных методом максимального правдоподобия (минимальными). Оценки среднего значения, вычисленные на основе начальных и последних порядковых статистик, особенно первой и последней, имеют значительную погрешность и поэтому, как это указано ранее, эти статистики использовать для оценок нецелесообразно (в дальнейшем оценки по первой и последней статистикам не анализируются).
Подтверждено, что погрешности оценок существенно зависят от объема выборки, при ее увеличении уменьшаются. Действительно, оценки на основе порядковых статистик для выборки из 100 элементов вычислены с погрешностью менее 10% для 20, 40, 50, 80 и 63 статистики, а для выборки из 500 элементов - для всех статистик (соответствующие ячейки таблиц не заштрихованы). Погрешность определения средних значений всех оценок, вычисленных по 25 массивам, для выборок из 100 элементов не превышает 5%, а для выборок из 500 элементов - 3%. Эти результаты фактически соответствуют оценкам на основе выборок из 2500 (100×25) и 12500 (500×25) элементов. Однако погрешность определения максимальных и минимальных оценок, т.е. их возможные значения, при выборке 100 и 500 элементов превышают 10% практически для всех порядковых статистик, а для выборки 100 элементов и для метода максимального правдоподобия. Это можно объяснить большой изменчивостью статистик при больших объемах выборок, погрешностями генерирования случайных значений.
Таким образом, оба варианта предлагаемого устройства при меньшем числе блоков, необходимых для их реализации, обеспечивают вычисление оценок среднего времени запаздывания возникновения разряда с необходимой точностью.