Робастная устойчивость дискретных систем управления с периодическими интервальными ограничениями

УДК 681.5.037

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

М.В. Морозов

Рассмотрены линейные нестационарные дискретные системы управления с периодическими интервальными ограничениями на элементы матрицы системы. На основе метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова специального вида установлено достаточное условие робастной устойчивости таких систем. Показано, что при некоторых дополнительных ограничениях полученное условие является не только достаточным, но и необходимым. Результаты обобщены на случай линейных управляемых систем с многогранными периодическими ограничениями. Приведены примеры рассматриваемых систем.

Ключевые слова: линейная нестационарная дискретная система управления, периодические интервальные ограничения, вектор-функция Ляпунова, робастная устойчивость, многогранные периодические ограничения.

ВВЕДЕНИЕ

Проблеме робастной устойчивости дискретных систем посвящено большое число работ, см., в частности, обзоры [1—3]. Во многих работах прикладного характера параметры дискретных систем выбираются таким образом, чтобы корни некоторого многочлена (или собственные значения некоторой матрицы) лежали внутри единичного круга, причем необходимо предусмотреть грубость системы к ошибкам. Такие задачи возникают во многих электротехнических приложениях и смежных с ними областях. Неопределенность в значениях параметров может быть включена либо в матричную передаточную функцию, либо в описание состояний системы. Этому кругу задач посвящен ряд публикаций, среди них работы, отправной точкой для которых послужили работы В.Л. Харитонова [4, 5]. Значительная часть публикаций посвящена получению условий робастности для интервальных многочленов и многочленов с многогранными возмущениями коэффициентов [6, 7], представляющих собой характеристические многочлены дискретных систем. Часто предпочти -тельней оказывается метод пространства состояний [8], при котором неопределенности реализуются в виде возмущений элементов различных матриц, связанных, в частности, с переменными

состояния. Относительно неопределенных параметров предполагается известными лишь границы их изменения, и проблема робастной устойчивости состоит в том, сохраняется ли устойчивость для всех допустимых изменений неопределенных параметров. Появился ряд работ, посвященных получению условий робастности дискретных интервальных матриц [9—13]. Помимо харитоновского подхода к изучению робастности дискретных систем, имеющего алгебраический характер, существуют также и другие методы, прежде всего, методы параметрического пространства, ляпуновский подход и методы типа Риккати (см. обзоры в работах [14, 15]). Во многих работах даются лишь достаточные условия робастной устойчивости. Так, для линейных нестационарных дискретных систем управления со стационарными интервальными ограничениями на элементы матрицы системы достаточные условия были получены в работах [16, 17].

Рассматриваются, как правило, лишь стационарные множества, задающие ограничения на параметры системы. Однако ряд практических задач приводит к необходимости рассмотрения таких множеств изменения параметров системы, границы которых изменяются по заданным периодическим законам. В работе [18] с помощью метода функций Ляпунова были установлены общие критерии (необходимые и достаточные условия) ро-

бастной устойчивости для линейных нестационарных дискретных систем управления с периодически изменяющимися ограничениями на элементы матрицы системы. В общем случае эффективная проверка выполнения этих условий затруднительна, поскольку в конструкции соответствующей функции Ляпунова присутствуют параметры, значения которых априори неизвестны. В связи с этим несомненный теоретический и практический интерес представляет задача получения конструктивно проверяемых достаточных условий робаст-ной устойчивости для заданного класса систем.

Настоящая работа представляет собой продолжение работы [19], посвященной получению, с помощью метода сравнения с вектор-функцией Ляпунова специального вида, достаточных условий робастной устойчивости линейных непрерывных нестационарных систем управления с периодическими интервальными ограничениями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается линейная нестационарная дискретная система, описываемая уравнением вида

х

с периодическими интервальными ограничениями

А(5) т а(5) т А (5), + N - А(5),

А

где N — период системы.

Матричные неравенства в ограничениях (2) понимаются поэлементно (всюду в дальнейшем неравенства между матрицами и векторами понимаются как поэлементные неравенства), т. е.

I, у = 1, п, 5 = 0, 1,

Таким образом, в силу ограничений (2) рассматривается не одна фиксированная система (1), а совокупность линейных нестационарных дискретных систем (1) с периодическими интервальными ограничениями.

Будем называть нестационарную дискретную систему (1) робастно устойчивой относительно периодических ограничений (2), если ее нулевое решение х(5) - 0, 5 = 0, 1, ... асимптотически устойчиво по Ляпунову при любом выборе матрицы А(5), удовлетворяющей неравенствам (2).

Задача состоит в получении эффективно проверяемых достаточных условий робастной устойчивости нестационарной дискретной интервальной

системы (1). Основой для получения этих условий служит метод сравнения с вектор-функцией Ляпунова специального вида.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Введем в рассмотрение дискретную систему сравнения

Х(5 + 1) = В(5)х(5), 5 = 0, 1, ...,

где периодическая матрица В(5) = (Ъу(5))Пу- = 1, В(5 + N - В(5) определяется условиями

Ър) = шах{|аг7

Достаточные условия робастной устойчивости системы (1) при периодических интервальных ограничениях (2) устанавливает следующая

Теорема 1. Нестационарная дискретная система (1) робастно устойчива относительно периодических интервальных ограничений (2), если система сравнения (3) асимптотически устойчива по Ляпунову. ♦

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Заметим, что условие асимптотической устойчивости дискретной периодической системы (3) сводится (см. работу [20]) к попаданию собственных значений матрицы монодромии Ф(^ = = В(Ы — 1)...В(0) системы (3) внутрь круга радиуса 1.

В некоторых случаях достаточные условия теоремы 1 являются также и необходимыми для ро-бастной устойчивости интервальной дискретной системы (1), (2). Эти случаи выделяются следующим утверждением.

Теорема 2. Условие асимптотической устойчивости по Ляпунову дискретной системы сравнения (3) необходимо и достаточно для робастной устойчивости нестационарной интервальной системы (1), (2) в следующих случаях:

1) А(5) > 0, 5 = 0, 1, ...; 2) А (5) < 0, 5 = 0, 1, ...; 3) |А(5)| т А (5), 5 = 0, 1, ...; 4) А(5) т -\А

5 = 0, 1, ...

Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Теоремы 1 и 2 могут быть обобщены для дискретных систем с многогранными периодическими ограничениями

т

Х(5 + 1) = А(5)Х(5), А(5) = £ ХЛ(5)АЛ(5),

к = 1

5 = 0, 1, ...,

где Ак^) = (а.у( s = 1 — заданные периодические матрицы, + N = Ак^), к = 1, т, а функции к = 1, т, удовлетворяют условиям

т

1 0, X = 1.

к = 1

Системы вида (5) рассматривались в работе [21] в связи с задачей об абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью.

Достаточным условием робастной устойчивости системы (5) является асимптотическая устойчивость по Ляпунову дискретной системы сравнения (3), в которой элементы периодической матрицы Б^) определены в соответствии с равенствами

Ъ.= тах ак(s), Ъ.. = тах \ак(s) ,

1 < к < т / * 7, 1,7 = 1, п,

„ — а

" 1<к<т1

s = 0, 1, ...

3. ПРИМЕРЫ

Пример 1. В работе [22] рассмотрен ряд примеров, приводящих к системам вида (1) с ограничениями (2). Это и следящие системы, элементы которых работают на переменном токе, и системы управления с амплитудно-импульсной модуляцией, и задачи, возникающие при исследовании вибраций фрезерных станков. В частности показано [22], что периодические ограничения вида (2) возникают, например, при рассмотрении нестационарной системы (1), в которой элементы а^л) матрицы А(л) представимы в виде а^л) = и ^/(л), л = 0, 1, ..., где У^.(^), л = 0, 1, ..., — заданные периодические функции периода N а м^.(л) — произвольные функции, удовлетворяющие стационарным ограничениям а^ < < р^, л = 0, 1, ...

Нетрудно проверить, что в этом случае периодические функции а,у(л) и аи (л) в ограничениях (2) определяются равенствами

а^) = 0,51^. + р /л) - а - р /)|}, а,у (л) = 0,5{(а&. + р /л) + а - в /)|}.

Приведем примеры, иллюстрирующие условия 1—4 теоремы 2.

Пример 2. Пусть функция ¿(л), л = 0, 1, ..., имеет вид:

= Г2 при л е [4к, 4к + 2], ) 10 при л е [4к + 2, 4к + 4], к = 0, 1,...

Рассмотрим систему (1), (2), в которой

4(5) = I 1 I, А (л) = I +1 2

1 £( ^ ^ 2 л) + 1

л = 0, 1, ...

Матрицы А(л) и А (л) имеют период N = 2. В этом случае выполнены условия 1, 3 теоремы 2 и система (1), (2) робастно устойчива.

Пример 3. Рассмотрим систему (1), (2), в которой

А(л) =

Я(s) - 0,5 1 1 £( s) - 0,5

А (л) = I + 1 2

2 л) + 1

л = 0, 1,

Матрицы А(л) и А (л) имеют период N = 2. В этом случае выполнено только условие 3 теоремы 2 и система (1), (2) робастно устойчива.

Следующий пример показывает применение теоремы 1.

Пример 4. Пусть функция /(л), л = 0, 1, ... имеет вид:

= [0 при л = 0 и нечетных, [0,25 при нечетных.

Рассмотрим систему (1), (2), в которой

А(л) =

-0,5 + /

А

/(л) 0,5

л = 0, 1, ...

Матрицы А(л) и А (л) имеют период N = 2.

В этом случае ни одно из условий теоремы 2 не выполнено и необходимо рассмотреть систему сравнения, матрица В(л) которой имеет вид

ад = I 1 - 2/

и ее период равен 2. Вычислим матрицу монодромии системы сравнения:

Ф(2) = В(0)В(1) = I 0,5 0,25

I 0,25 0,5

Нетрудно убедиться, что собственные значения этой матрицы равны 0,25 и 0,75, лежат внутри единичного круга и, следовательно, система сравнения асимптотически устойчива, откуда, по теореме 1, следует робаст-ная устойчивость рассматриваемой интервальной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача робастной устойчивости линейных нестационарных дискретных систем управления с периодическими интервальными ограничениями на элементы матрицы системы. В работах, посвященных проблеме робастной устойчивости, рассматриваются, как правило, лишь

стационарные множества, задающие ограничения на параметры системы. Получение условий робас-тной устойчивости для систем с нестационарными интервальными ограничениями представляет еще более сложную задачу. Теорема 1 дает простое и проверяемое, во многих случаях, условие робаст-ной устойчивости рассматриваемых систем, которое сводится к проверке асимптотической устойчивости одной системы — системы сравнения (3). В большинстве работ, посвященных проблеме робастной устойчивости, устанавливаются лишь достаточные условия робастной устойчивости. Теорема 2 выделяет случаи, когда полученное в теореме 1 условие робастной устойчивости становится необходимым и достаточным. Приведены различные примеры рассматриваемых систем. Пример 1 касается связи рассматриваемых систем с практическими задачами. Примеры 2 и 3 иллюстрируют условия 1—4 теоремы 2 и показывают, что эти условия не вносят серьезные ограничения на выбор «нижней» и «верхней» матриц. Пример 4 показывает, что в случае невыполнения ни одного из условий 1—4 теоремы 2, на основе теоремы 1 могут быть построены система сравнения, ее матрица монодромии и проведен анализ устойчивости рассматриваемой интервальной системы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Выберем для системы (1) вектор-функцию Ляпунова вида

V(x) = jxj = (jxjj, ..., jxj)3

с компонентами

^(х) = 1x1, г = 1, п .

В формуле (П.1) и далее под абсолютной величиной |х| вектора х е Яп понимается п-мерный вектор с компонентами |х1|, ..., |хп|.

В силу выражений (2)—(4) справедливы неравенства К(А(^)х) = |А(^)х| < |А(^)||х| < адК(х),

х е Яп, ^ = 0, 1, ...

Поэтому система (3) является системой сравнения для каждой конкретной системы (1) при любом выборе матрицы А(я), удовлетворяющей интервальным ограничениям (2).

Используя дискретные аналоги теорем сравнения с вектор-функцией Ляпунова [23, с. 259—277], [24, с. 92—128], получим, что из асимптотической устойчивости по Ляпунову системы (3) следует асимптотическая устойчивость всякой конкретной системы (1) при ограничениях (2), т. е. робастная устойчивость интервальной системы (1), (2). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Достаточность следует из теоремы 1.

Докажем необходимость. Пусть интервальная система (1), (2) робастно устойчива. Требуется доказать, что система сравнения (3) асимптотически устойчива. Из определения матрицы сравнения в соответствии с условиями (4) следует, что в случаях 1 и 3

,) = тах| а^, | ау (л)|} = | ау (л)| = ау (я), г, у = 1, п .

Следовательно, = А (я). Поэтому в этих случаях система сравнения (3) совпадает с системой

х(я + 1) =А (^)х(^),

которая асимптотически устойчива, поскольку, в силу определения, робастная устойчивость системы (1), (2) означает асимптотическую устойчивость системы (1) с любой матрицей А(я), удовлетворяющей неравенствам (2),

в том числе и в случае, когда А(я) = А (я).

В случаях 2 и 4 из определения матрицы сравнения в соответствии с условиями

,) = тах{|а,.(.5)|, | а у (я)|} = = —0,(4 г, у = 1, п.

Следовательно = — А(я), и система (3) совпадает с системой

х

Покажем, что система (П.2) асимптотически устойчива в том и только в том случае, когда этим свойством обладает система

х

Пусть х(я, х0), я > > 0, — решение системы (П.3) с начальными условиями я0, х0 = х(я0). Тогда выполнено равенство х(я, я0, х0) = А(я — 1)А(я — 2)...А(я0)х(я0). Пусть я0, х0) — решение системы (П.2) с теми же начальными условиями я0, х0 = х(я0) = у(я0). Аналогично

я0, х0) = (-1) 0 А(я — 1)А(я — 2)...А(я0)х(я0). Следова-

« - So

тельно, я0, х0) = (-1) х(я, я0, х0), и нормы решений х(я, я0, х0) и я0, х0) совпадают, откуда вытекает, что асимптотическая устойчивость одной из систем (П.2) и (П.3) эквивалентна асимптотической устойчивости другой.

Система (П.3) асимптотически устойчива, поскольку, в силу определения, робастная устойчивость системы (1), (2) означает асимптотическую устойчивость системы (1) с любой матрицей А(я), удовлетворяющей неравенствам (2), в том числе и в случае, когда = А(^). Необходимость доказана. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dorato P, Yedavalli R.K. Recent Advances in Robust Control. — N.-Y.: IEEE Press. — 1990.

2. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н, Крымский В.Г, Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I, II // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1991. — № 1. — С. 3—23; № 2. — С. 3—30.

3. Джури Э.И. Робастность дискретных систем (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 5. — С. 3—28.

4. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Диф-ференц. уравнения. — 1978. — Т. 14. — № 11. — С. 2086—2088.

5. Харитонов В.Л. Об обобщении критерия устойчивости // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. - 1978. — № 1. — С. 53—57.

6. Cieslik J. On posibilities of the extension of Kharitonov's stability test for interval polinomials to the discrete case // IEEE Trans. Automat. Control. — 1987. — Vol. AC-32. — N 3. — P. 237—238.

7. Mansour M, Kraus F.J. On robust stability of Schur polynomials // Report No. 87-05. — Inst. Autonat. Cont. Ind. Electronics. — Swiss Fed. Inst. Tech. (ETH). — Zurich, 1987.

8. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. — М.: Наука, 1970.

9. Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of interval matrices // Int. J. Control. — 1983. — Vol. 37. — N 4. — P. 717—722.

10. Xu Daoui. Simple Criteria for stability of interval matrices // Internat. Journ. Contr. — 1985. — Vol. 41. — N 1. — P. 289—295.

11. Shih-Wei Kau, Yung-Sheng Liu. A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems // Systems & Control Letters. — December 2005. — Vol. 54. — Iss. 12. — P. 1195—1203.

12. Buslowicz M. Simple conditions for robust stability of positive discrete-time linear systems with delays // Control and Cybernetics. — 2010. — Vol. 39. — N 4. — P. 1159—1171.

13. Buslowicz M, Kaczorek T. Robust stability of positive discrete-time interval systems with time- delays // Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. — 2004. — Vol. 52. — N 2. — P. 99—102.

14. Siljak D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1989. — Vol. AC-34. — N 7. — P. 674—688.

15. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.

16. Bauer P.H., Premaratne К. Robust Stability of Time-Variant Interval Matrices // Proc. 29th Conf. on Decision and Control. Honolulu, HI. — Dec. 1990. — P. 334—335.

17. Mota F, Kaszkurewicz E., Bhaya A. Robust Stabilization of Time-Varying Discrete Interval Systems // Proc. 31st Conf. on Decision and Control. Tucson, AZ. — Dec. 1992. — P. 341—346.

18. Молчанов А.П., Морозов М.В. Робастная абсолютная устойчивость нестационарных дискретных систем управления с периодическими ограничениями // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 10. — С. 93—100.

19. Морозов М.В. Условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с интервальными ограничениями // Проблемы управления. — 2009. — № 3. — С. 23—26.

20. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971.

21. Молчанов А.П., Морозов М.В. Функции Ляпунова для нелинейных нестационарных дискретных систем управления с периодической линейной частью // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 10. — С. 37—45.

22. Шильман С.В. Метод производящих функций в теории динамических систем. — М.: Наука, 1978.

23. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / Р.З. Абдуллин, Л.Ю. Анапольский, А.А. Воронов и др. Под ред. А.А. Воронова, В.М. Матросова. — М.: Наука, 1987.

24. Анапольский Л.Ю. Метод сравнения в анализе дискретных систем. Вектор-функции Ляпунова и их построение. — Новосибирск: Наука, 1980.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Михаил Владимирович Морозов — канд. физ.-мат. наук,

ст. науч. сотрудник, Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

(495) 334-92-50, И miguel@ipu.ru.

XII Всероссийское совешание по проблемам управления

Москва, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, ^Э^4 16—19 июня 2014 г.

XII Всероссийское совещание по проблемам управления, посвященное 75-летию Института проблем управления (ИПУ) имени В.А. Трапезникова РАН, организуется ИПУ РАН при поддержке РФФИ, Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН, Российского национального комитета по автоматическому управлению, Академии навигации и управления движением, Научного совета РАН по комплексным проблемам управления и автоматизации, Совета по мехатронике и робототехнике РАН. Основные направления работы Совещания:

• Теория систем управления

• Управление подвижными объектами и навигация

• Интеллектуальные системы управления

• Управление в промышленности, транспортом и логистикой

• Управление системами междисциплинарной природы

• Средства измерения, вычислений и контроля в управлении

• Системный анализ и принятие решений в задачах управления

• Информационные технологии в управлении

• Проблемы образования в области управления: современное содержание и технологии обучения

Подробная информация о Совещании находится на сайте http://vspu2014.ipu.ru. Срок окончательной подачи докладов через систему подачи докладов на сайте — 30 ноября 2013 г. Контакты: Иван Николаевич Барабанов, ученый секретарь Программного комитета,

(495) 335-23-53, Hivbar@ipu.ru.