Модулярные пространства Орлича, определяемые седловыми функциями

УДК 517.98

МОДУЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОРЛИЧА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СЕДЛОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ

© 2005 г А.В. Морозова, В.Г. Фетисов

The article is devoted to the analysis of the structural properties of H.Nakano - V.Orlich modular spaces, defined by the saddle functions Ф (u, w) class Ф , playing a great role in the problems of non-convex programming in locally non-convex topologies. Non-linear integral Urison operator in modular (so called general) Orlich spaces L v (Q), defined by saddle functions or two variables, belonging to Ф class, and some of its properties. The main results of the work is the proof of the theorem which may be used when solving most mathematical problems which can be brought to equations in the functional spaces with continuous and quite continuous operators.

Среди работ по невыпуклому программированию значительное место занимают те, в которых рассматриваются седловые функции и минимакс, а также невыпуклые вариационные задачи [1, 2]. Седловые функции - выпуклые по одним и вогнутые по другим переменным, а связанные с ними экстремальные задачи - это задачи на минимакс.

Настоящая работа примыкает к упомянутому кругу вопросов и посвящена исследованию структурных свойств модулярных пространств Х.Накано -В.Орлича, определяемых седловыми функциями, принадлежащими классу Ф П. Л. Ульянова [2].

1. Пусть О - ограниченное замкнутое множество, лежащее в конечномерном евклидовом пространстве Яп (мера ц, определенная на ст - алгебре подмножеств из О, предполагается ст - конечной, полной и неатомической); 8( О) - (как обычно, с отождествлением функций, совпадающих почти везде) множество всех измеримых и почти всюду конечных на О функций со значениями в Я = [- да, да]; 8( О ) является метрическим пространством относительно сходимости по мере. Характеристическую функцию множества Б ^ О будем обозначать через %с, а оператор умножения на - Рд.

Говорят, что функция ф(и^) двух переменных (и^) вогнуто-выпукла, если ф(и^) - вогнутая функция переменной и при каждом w е Я и выпуклая функция переменной w при каждом и е Я . Подобным же образом определяется и выпукло-вогнутая функция ф(и^) двух переменных [1].

Пусть Ф - совокупность четных, неотрицательных, конечных и неубывающих на полуоси Я+=[0, да ] функций ф(и), подчиняющихся условию Ишф(и) = да .

ы^да

В частности, если ф( и) е Ф такая, что ф(0) = 0, ф( и)>0 при и>0 и ф(и) е С(Я+), то она принадлежит классу ф - функций, свойства которых подробно рассматривались в [3].

Обозначим через Ф класс, состоящий из функций ф(и^) двух переменных (и, w) е Я, являющихся функцией ф(и,-) е Ф переменной и при каждом фиксированном w и соответственно функцией ф(-^) е Ф переменной w при каждом и.

Определение 1. Функцию ф(и^) двух переменных и и w е Я назовем седловой из класса Ф, если она является вогнутой (выпуклой) функцией ф(и,-) е Ф переменной и при каждом w и соответственно выпуклой (вогнутой) функцией ф(-^) е Ф переменной w при каждом и.

Некоторые свойства вогнуто-выпуклых седловых функций ф(и^) двух переменных и^ е Я (не являющихся, вообще говоря, седловыми функциями из

класса Ф ), частично рассматривались в [1].

Примерами седловых функций, принадлежащих

классу Ф, являются функции вида: а) (р 1 (и^)= |ы| И, где и е Я, w е Я; полагаем ф 1(0,0)=0;

б) ф 2(u,w)= I u I

u\

в) ^3(u,w)=-

\w

\w\

|p , где a e ]0,1 [, p e]l, ;

a

где a e ]0,1 [, p e]l, .

1п

Отметим, что в случае а) при каждом и е Я и w е ]0,1[ функция ф - вогнутая по и. Аналогично при w ^ 0 и каждом и е Я функция ф \ (и^) - выпуклая по w, т.е. ф - вогнуто-выпуклая.

Можно заметить, что ф 2(и^) - вогнуто-выпуклая седловая функция, а ф 3(и^) - выпукло-вогнутая сед-ловая функция.

Преобразование сопряжения для вогнуто-выпуклых седловых функций впервые, по-видимому, было описано в [4, 5]. Следуя в общих чертах основной идее работы [4], введем определения.

Определение 2. Седловую функцию ф*(х,у) е Ф назовем нижней сопряженной к вогнуто-выпуклой седловой функции ф (и^) е Ф ,если

рр (х,У) = 8ирМ{ы • у + И • х-ф(х, у)}. И ы

Соответственно седловую функцию ф (х,у) е Ф назовем верхней сопряженной к вогнуто-выпуклой седловой функции ф (и^) е Ф , если

ф *(х,у) = infsup{ы • у + и • х-ф(х, у)}. ы И

Можно заметить, что ф (х,у) < ф (х,у).

Определение 3. Седловую функцию ф (х,у) е Ф назовем сопряженной к вогнуто-выпуклой седловой функции ф (и^) е Ф, если она эквивалентна сед-ловым функциям ф (х,у) и ф (х,у).

Например, для вогнуто-выпуклой седловой функции ф2(и^) е Ф в примере б) сопряженной к ней является выпукло-вогнутая седловая функция

i

ф 2*

а • p"

р+а-1

еФ.

В общем случае построение в явном виде сопряженной к заданной вогнуто-выпуклой седловой функции ф (и^) е Ф - далеко не простое дело (как показывает пример а) для исходной функции ф ^и^)).

Аналогично определениям 2 и 3 можно рассмотреть сопряженные к выпукло-вогнутым седловым

функциям ф (и^) е Ф. Однако мы не ставим в настоящей работе перед собой задачу построения сопряженной к произвольной седловой функции ф (и^), хотя решение подобных задач и представляет

определенный интерес для оценок двойственного зазора в теории невыпуклого программирования [2].

2. Отметим далее некоторые из характерных особенностей роста седловых функций ф (и^), принадлежащих классу Ф.

Определение 4. Будем говорить, что седловая функция ф (и^) е Ф удовлетворяет Д 2 -условию

по переменной и (аналогично по переменной ), если при каждом  (и) при больших и ^ да (больших

^ да) имеет место ф (2и^) = 0[ ф (и^)] (аналогично ф = 0[ ф (u,w)].

Определение 5. Будем говорить, что седловая

функция ф (и^) е Ф удовлетворяет а -условию по

переменной и (аналогично по переменной ), если при каждом  (и) при больших и ^ да (больших

^да) имеет место ф(и+1^) = 0[ф(и^)] (аналогично ф (и^+1) = 0[ ф (и^)]).

Определение 6. Будем говорить, что седловая функция ф (и^)е Ф удовлетворяет (а,в) - условию по переменной и (аналогично по переменной ), если при некоторых 0< а < в < да для каждого  (и) функ-

( ) ф(и, w) ция фа(и, W) =

не убывает по u (w),

фß (и, w) =

= ф

не возрастает по u (w) на ]0, да [.

Примерами функций ф (u,w) е Ф , подчиняющихся Д 2 -, о - и (a,ß) - условиям, в частности являют -

2

ся ф 4(u,w)=

ф5 (U, w) =

• |w|Pl , где p 1, p 2 е ] 0, да [, где p е ]l, да[.

Если функция ф (u,w) из класса Ф подчиняется Д 2 -условию по и или по то она подчиняется и а -условию [6]. Обратное в общем случае не имеет места, достаточно рассмотреть выпуклую по и функцию

ф6(и,^)=д1и -1 +геФ, где А>1, у е]0,1[. Если

ф (u,w) е Ф подчиняется Д 2 -условию по и (по ), то она растет при и ^ да (^ ^ да) не быстрее некоторой степенной функции ф (и^) е Ф по и (по ) (в част-

ности, медленнее функции ф7 (и,w) = |и|ß • |w|ß2 при некотором ß1 = ß1 (ф),(ß2 = ß2(ф)) в (а,ß)-условии).

Если функция ф (u,w) е Ф подчиняется со -условию по u (или w), то она по соответствующей переменной растет не быстрее некоторой показательной функции (и может быть таковой по этому переменному).

Можно заметить, что функции ф (u,w), принадлежащие классу Ф, подчиняющиеся Д2 -, w- или (а, ß)- условиям, могут иметь бесконечно много точек разрыва по соответствующей переменной, а также сколь угодно медленный рост (например, функция

ф 8(u,w)= ln[ln(|и + e)]• |w|p, где p е ] 1, да [).

3. Пусть ф (u,w) е Ф - произвольная седловая вогнуто-выпуклая функция двух переменных (все рассмотрения аналогичны для выпукло-вогнутой седло-вой функции ф (u,w) е Ф).

Обозначим через Гф(и, w) интегральный модуляр

вида: Гф(и,w)= |ф[и(^),w(s)] ds, (q с Rn, ^(Q) < да).

q

По заданной седловой вогнуто-выпуклой функции ф

и Ь*ф

а>0^>0

где а и ß, вообще говоря, зависят от выбора элементов u(s) и w(s) соответственно. Функциональный класс (1) есть выпуклое множество, а (2) - пополненный по линейности класс (1).

В классе (2) можно ввести смешанную норму (F-квазинорму) с помощью формулы:

||(и, w) 1'ф\\ = inf js > 0: Гф^,|( w) ф j < £j, (3) где !(•, w),^ = sup J|w(s)|x(s)|ds,^'(x, >>) - сопряжен-

x Q

ная к ф(и, w), а |ф* (x(s)/)ds < 1).

Q

Обозначим через ¿*ф (q) совокупность всех измеримых на Q функций u(s) и w(s), принадлежащих классу (2), для которых смешанная норма (F-квазинорма) определена формулой (3). Назовем

(q) модулярным F - квазинормированным пространством Х. Накано - В.Орлича, порожденным вогнуто-выпуклой седловой функцией ф (u,w) е Ф .

Пусть l(q) - совокупность всех суммируемых на Q функций u(s) и w(s) е S (q). Если, в частности, седловая функция ф (u,w) е Ф является N-функцией по u (по w) [3], то I? (q) с L(q) вследствие выполне-

ф(и,-) _

ния условия lim —-—1 = да . В общем же случае вклю-

и^да и

чение L^(u w)(q)c l(q) нарушается [6].

а

x

а

и

ß

и

и

В частности, если ф(ы, и) = м(х) - некоторая N функция, получим банахово пространство Орлича ([7], там же имеется обширная библиография по выпуклым функциям и пространствам Орлича).

Для ф(ы, и) = | ы()И"' w(s)>1, некоторые структурные свойства соответствующего функционального класса изучались в [8]; для случая ф(ы, р)=| ы (я)р(*'

(где 0<р(Б)<1) соответствующее линейное полуупорядоченное Б - пространство Орлича частично рассмотрено в [9]. Если ф(ы, и)=ф(х) - некоторая ф - функция, структурные свойства модулярных пространств В.Орлича-В.Матушевской изучались в [3].

Можно доказать, что если определяющая пространство Орлича седловая функция ф(и^) е Ф подчиняется Д2-условию, то Ьф(и,и)(о) = 1Ьф (о), и Еф(о) = Ь*ф(о), где Еф(о) - замыкание множества всех конечных элементов в метрике модулярного пространства Орлича ¿"^'^(о). Техника доказательств во многом следует нашей работе [10], поэтому опускаем детали.

4. В качестве конкретного приложения рассмотрим теперь нелинейный интегральный оператор Уры-сона в модулярных (так называемых обобщенных) пространствах

Орлича Ьф(О), определяемых седло-выми функциями двух переменных, принадлежащих классу Ф , и некоторые его свойства.

Пусть О и О( - два ограниченных замкнутых множества, имеющих ст -конечную полную неатомическую лебегову меру и, лежащих в евклидовых

пространствах Яп и Ят соответственно.

Нелинейный интегральный оператор вида А

О

называется оператором Урысона. Будем предполагать, что функция

, ы, и) удовлетворяет обобщенным условиям Каратеодори, т. е. функция К почти при всех 5 е О1 х О непрерывна по совокупности переменных ы, и и при всех ы, и е Я х Я измерима по совокупности переменных на О[ х О.

Можно заметить, что функция К[[,5,ы(),)] измерима по совокупности переменных t, 5 на О[ х О, если функция ы(у), )е

£

. Область определения оператора Урысона состоит из всех тех измеримых на множестве О функций ы(), и(у)е

£ (о),

для которых почти при всех t е О[ К((,5,ы,и) суммируема на множестве О[. Значения оператора Урысона (4) на элементах ы(), ) из области определения оператора (4) являются измеримыми функциями.

Также можно показать, что совокупность

ь*0ф

всех элементов из модулярного пространства Орлича

Ь ф(о) , имеющих абсолютно непрерывные смешанные квазинормы ||(м, и);ф, является сепарабельным замкнутым подпространством из Ь ф(о).

Множество W элементов (ы, и) из Ь*ф(о) назовем абсолютно ограниченным, если смешанные квазинормы ||(ы, и);ф его элементов равностепенно абсолютно непрерывны, т. е. справедливо соотношение: Нш8ир |Рд (ы, И);ф|| = 0, В с О.

/иД ^0(ы,и)еи

Теорема 1. Пусть Ьф(о) и Ь" (О1) - два модулярных пространства Орлича, определяемых седловыми функциями ф(ы,и) , "(ы, и)еФ и Ь*" (О; ) = Ь"(о1 ); функции К 5, ы, и) и Я0 ((, 5, ы, и) подчиняются обобщенным условиям Каратеодори, причем

(^ 5 е О[ х О, ы, и е Я х Я).

Пусть известно, что нелинейный интегральный оператор Урысона

Б(ы^), и(()) = |Я0 [^ 5, ы(5), И(5)]

О

определен на некотором множестве W модулярного пространства Ьф (о) и как оператор из Ьф (о) в

Ь " (О[) непрерывен в точке х0 = (ы0, и0 ) пространства Ь*ф (О).

Тогда оператор (4) также определен на множестве и с Ьф (о) и как оператор из Ь ф (о) в ¿"(О,) непрерывен в точке х0 =(ы0, и0 ) пространства Ьф(о).

Доказательство. Тот факт, что нелинейный интегральный оператор (4) действует из модулярного пространства Орлича Ьф(о) в Ь" (О1), непосредственно

следует из мажорантного неравенства (5). Докажем непрерывность (4) в точке х0 (5)=(ы0 (5), и0 (5)) пространства Ьф (о) (в дальнейшем обозначения (ы0, и0 )= х0 заменяем правой частью х0 (5) для краткости).

Обозначим через {хп (5)} произвольную последовательность функций |(ып (5), ип (5)) , сходящуюся по смешанной квазинорме || • ; ф к функции (ы „(5), и0(«)) = х 0(«). Так как последовательность {Вхп(^} сходится по смешанной квазинорме || • ; к функции Бх0 ()= Б(ы0 (t), и0 ()), то, согласно свойству квазинормы, отсюда будет следовать, что последовательность {Бхп (t)} сходится к функции Бх0 (() по мере и .

Выберем такую подпоследовательность {г% (5)}, что подпоследовательность \Бхщ ()} сходится к

функции Вх0 (() почти всюду на множестве О;. Функции {0 ((, s, хп ())} сходятся к функции Я0((,s,х0()) по мере на О; хО (здесь через О; хП обозначено прямое произведение множеств О; и О). Поэтому можно считать, что подпоследовательность {х% ()} выбрана так, что функции {я„ (/, 5, хП1 (5))} сходятся почти всюду на О! х О к функции {{ ((, 5, хп (5))}. Из теоремы Витали вытекает, что интегралы |Л0[[, 5, хП1 (5)] Л равностепенно абсолютно

О

непрерывны, поэтому в силу неравенства (5) и Ахпк (/) равностепенно абсолютно непрерывны. Значит, {{, 5, хпк (5)]} сходится к функции К [/, 5, х0 (5)] по мере. Можно считать, что при каждом значении / е О; (О; с О; - подмножество полной меры) она сходится к функции К [[, 5, х0 (5)] почти всюду на множестве О .

Значит, последовательность {Ахщ (()} сходится к

Ах0 (() почти всюду на О1. А так как по условию теоремы = , то последовательность функций ¡Ахп1 ()} абсолютно ограничена.

Отсюда уже следует, что подпоследовательность функций \Axni (t)} сходится к функции Ax0 (t) по

квазинорме (ö-норме) || • в L|(uw) (т.е.

lim Ax - Ax0; | = 0.

! I ПЬ 0 ' /

k^^ll k II

Литература

1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973.

2. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., 1979.

3. Matuszewska W. // Math. 1961. Ser. 1. № 6. Р. 149-163.

4. Rockafellar R.T. // Math. Scand. 1964. Vol. 14. Р. 151173.

5. Rockafellar R.T. // Pacific Journ. Math. 1968. Vol. 25. Р. 597-611.

6. Ульянов П.Л. // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. Вып. 2. С. 140- 143.

7. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., 1958.

8. Orlicz W. // Studia Math. 1931. Vol. 3. Р. 200-211.

9. Nakano H. // Journ. Math. Soc. Japan. 1953. № 5. Р. 2949.

10. Фетисов В.Г. Некоторые вопросы теории операторов в пространствах Орлича: Дис. ... канд. физ.-мат.наук. Л., 1968.

Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС 19 марта 2004 г.