МКЭ-моделирование FBAR-резонаторов

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 63-68

УДК 681.586.773:543.43

МКЭ-МОДЕЛИРОВАНИЕ FBAR-РЕЗОНАТОРОВ © 2014 г. С.И. Босов, М.Ю. Двоешерстов, Н.В. Леонтьев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского srg.bsv@gmail .com

Поступила в редакцию 04.10.2013

Изложена методика численного расчета акустоэлектронных СВЧ тонкопленочных одночастотных резонаторов, основанная на численном SD-решении уравнений пьезоакустики с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Получена зависимость проводимости FBAR-резонатора от частоты. Проведено сравнение результатов МКЭ-моделирования с результатами, полученными с помощью lD-модели, основанной на теории Новотного и Бенеша.

Ключевые слова: акустоэлектроника, акустические волны, резонаторы, пьезокристаллы.

Введение

Новые технологии гетероэпитаксиального выращивания тонкопленочных пьезоструктур уже сейчас позволяют создавать СВЧ акусто-электронные компоненты, работающие в диапазоне частот от 2 до 30 ГГц. К таким компонентам, прежде всего, относятся акустоэлектрон-ные резонаторы на основе тонкопленочных ге-тероэпитаксиальных пьезоструктур из нитрида алюминия, выращенных на подложках из кремния [1, 2]. Если говорить принципиально об одночастотных резонаторах, то для выделения резонансной частоты в таких резонаторах необходимо акустически изолировать тонкопленочную структуру от подложки. Такая изоляция может быть выполнена двумя способами. Первый - создание под структурой воздушного зазора. Такой резонатор называется резонатор мембранного типа (FBAR, Film Bulk Acoustic Resonator) (рис. 1) [3]. Другой способ заключается в использовании структуры, смонтированной на подложке, в которой между резонатором и подложкой помещается акустический отражатель, служащий для изоляции акустических колебаний вне рабочей области резонатора (SMR-BAW - Solidly Mounted Resonator - Bulk Acoustic Wave) (см. рис. 2) [3]. Такие конструкции резонаторов используют в качестве рабочей продольную объемную акустическую волну, возбуждающуюся в активной части устройства. Далее в статье приведена методика анализа параметров мембранного резонатора, но она может быть применена и для расчета SMR-BAW.

Как известно [3], основными параметрами резонатора являются его рабочая частота f и добротность Q. Рабочая частота FBAR-резо-

натора определяется в нулевом приближении толщиной пьезопленки h и скоростью акустической волны V как f ~ V/2h, а при точном расчете необходимо также учитывать толщины электродов резонатора. Поскольку качество FBAR-резонатора прежде всего зависит от качества тонкопленочной пьезоструктуры, в литературе также вводят так называемый показатель качества FOM (Figure of Merit) резонатора [3]:

FOM = k\^q,

где К2эфф - эффективный коэффициент электромеханической связи, Q - добротность. Чем выше величина FOM, тем качественнее по параметрам считается резонатор. Величина К2эфф прежде всего зависит от качества изготовления пьезопленки (ее пьезосвойств), а добротность Q резонатора зависит от энергии потерь, связанных со многими механизмами (акустические потери в материалах активного слоя и электродов, омические потери в материалах электродов, потери, связанные с возбуждением паразитных сдвиговых объемных колебаний, и др.).

Для увеличения величины FOM важно провести предварительную оптимизацию конструкции резонатора, что включает в себя теоретический анализ изначально задаваемых параметров (частота, добротность) резонатора при его конструировании.

Электромеханические процессы в резонаторе в электростатическом приближении описываются уравнениями пьезоупругости [2]:

д V

д u,.

- + e.

д 2ф

iJkI дхі 3xt kiJ дхк дхі

д V,

=p

дt2

ijkl = 1, 2, 3,

дх,. дх,

=0.

дх, дх,

e

Рис. 1. FBAR-резонатор мембранного типа

здесь СуИ, е^у, Єік - тензоры упругих постоянных (4-го ранга), пьезоэлектрических постоянных (3-го ранга) и диэлектрической проницаемости (2-го ранга), р - плотность, щ - компоненты вектора механических смещений, ф - электрический потенциал, t - время. По повторяющимся индексам производится суммирование.

1. Методы численного расчета параметров FBAR-резонаторов

Есть несколько способов численного расчета параметров тонкопленочного резонатора заданной конструкции. Один из хорошо зарекомендовавших себя способов основан на теории Новотного и Бенеша [4].

В теории предполагается, что все неизвестные функции зависят только от одной координаты по толщине резонатора. В этом случае нет необходимости удовлетворять граничным условиям на боковых сторонах резонатора. Это позволяет найти точное решение редуцированной системы уравнений (1) (где ось координат х1 нормальна поверхности резонатора) в каждом слое с применением условий непрерывности всех величин, характеризующих волну (механические смещения, напряжения, электрический потенциал), на всех границах всех слоев в одномерном электростатическом приближении. Данная теория успешно применяется для численного моделирования FBAR-резонаторов [5, 6], однако вследствие своей «одномерности» такая модель не может учесть влияние размеров и форм электродов. Также в рамках теории Новотного-Бенеша нельзя учесть влияние других типов акустических волн (волны Лэмба, сдвиговые волны), возбуждаемых в структуре под действием электродов. В связи с этим возникает необходимость разработки 3D-модели акусто-электронного резонатора.

Стоит отметить, что использование теории Новотного-Бенеша в 2D- и 3D-случаях, по крайней мере, затруднительно. Наиболее распространенным методом численного решения двухмерной и трехмерной системы уравнений

пьезоакустики (1) является метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий, в отличие от одномерной модели, учитывать механизмы потерь, связанные с конструкцией и формой электродов резонатора, возбуждением паразитных сдвиговых колебаний в конструкции и т.д. Результаты 3D-моделирования позволяют более точно подойти к оптимизации конструкции резонатора и улучшить его параметры.

2. Применение МКЭ в пьезоакустике

Общая формулировка решения волновых уравнений (1) методом МКЭ для пьезоэлектрических материалов была впервые описана Ал-ликом и Хюгесом [5]. Материальные уравнения пьезоакустики записываются в матричном виде

{Т} = [с]{5> - [е]{Е},

- {Б} = -[е]Т ^} + И{£},

где {Т} - это вектор, составленный из компонент тензора механических напряжений, {О} -вектор электрического смещения, {£} - вектор, составленный из компонент упругих деформаций, {Е} - вектор электрического поля, [с] -матрица упругих констант, [е] - матрица пьезоэлектрических констант, [е] - матрица диэлектрических констант. Верхний индекс «Т» означает транспонирование.

Используя принцип наименьшего действия Гамильтона и подставив уравнения (2) в (1), можно записать следующее вариационное выражение для пьезоэлектрической среды [5]:

|{{5^Т [с]{^ - {5£}Т [е]Т {Е} -- {5Е}Т [е]Т - {5Е}Т [е]Т {Е} -

- {5Е}Т [е]{Е} - {5м}Т {^} + (3) + р{5м}Т {и} + 5ф<з}<^ -

- [ {5м}Т {Т}dS + [ 5ф<зЖ = 0,

^ Js2

где {К} - вектор объемной силы,{Т} - вектор поверхностных сил на S1, действующих на поверхность, о - объемный заряд, о' - поверхностный заряд на S2, V - объем среды, {и} - вектор смещений.

При выполнении условий непрерывности неизвестных функций (перемещений, потенциала) на границе раздела в слоистой структуре из вариационного принципа автоматически следует выполнение условий непрерывности нормальных к границе слоев компонент тензоров напряжений и электрического смещения.

В конечно-элементной формулировке механическое смещение и электрический потенциал

Рис. 2. Резонатор брэгговского типа

для каждого элемента записываются через соответствующие узловые степени свободы с помощью функции формы:

{и} = N ]{и, },

Ф = [ Nф ]{ф,.},

где {и}, {ф,} - узловые неизвестные. Используя уравнения (4), (5), вектор упругих деформаций и вектор электрического поля запишем так:

{Я} = В ]{и,},

{Е} = -[Вф ]{ф,.},

где Ви и Вф - матрицы, составленные из градиентов функций формы для {и} и {фг}.

Подставив выражения (4) - (7) в вариационное уравнение (3), получим систему уравнений в матричном виде:

[т][и1 ] +[с][й,] + [1{ии ]{и,} + [kфu ]{ф,-} = {К}

г

^ ]Т {щ} + ^ фф ]{ф,} = {0}, где [т] - матрица массы, [с] - матрица демпфирования, [кии] - матрица жесткости элемента, [^,и] - пьезоэлектрическая матрица «жесткости», ^фф] - диэлектрическая матрица «жесткости», {К} - эквивалентные узловые силы, {О} -эквивалентные узловые заряды, которые выражаются непосредственно из уравнения (3). Чтобы ограничить решение на резонансных частотах, в уравнение движения обычно вводят демпфирование, которое может иметь различную природу.

При определении отклика системы (8) на гармоническое воздействие предполагается, что точки среды движутся с заданной частотой, но могут иметь различный сдвиг по фазе. Следовательно, перемещения можно представить в виде

{и1} = {и“е^1 }еа^ = ({и*е} + ,{и1т})ей^ ,

где {и]},{у },{и *е},{и 1”} - соответственно амплитуда, фаза, действительная и мнимая части узловых перемещений. Электрический потенциал можно представить в таком же виде.

Это позволяет перейти от (8) к комлексной системе линейных алгебраических уравнений для определения комплексных перемещений и электрического потенциала при фиксированном значении частоты /.

Для возбуждения продольных акустических волн в направлении оси X в качестве граничных условий на поверхности между электродом и пьезопленкой задается потенциал, изменяющийся по гармоническому закону с амплитудой А = 1 В на верхней границе и А = 0 В на нижней. Поскольку такое воздействие не приводит к смещению модели как целого, задавать механические граничные условия нет необходимости.

Таким образом, задавая различные значения возбуждающей частоты /, можно рассчитать проводимость резонатора У по формуле

у

А

где Он - суммарный заряд на электроде, А - амплитуда электрического потенциала на поверхности. Суммарный заряд на электроде находится как сумма зарядов в каждой узловой точке по поверхности пьезоэлектрической пленки, на которой задан электрический потенциал. Узловые заряды можно определить как узловые реакции в узлах, где задан потенциал.

Для численного моделирования использовался пакет ANSYS, в котором для решения задач пьезоакустики имеется специальный конечный 3D 20-узловой элемент Solid226 [8]. В качестве узловых неизвестных он имеет переме-

Рис. 3. Конечно-элементная модель в ANSYS

I, ГГц

Рис. 4. Зависимость модуля проводимости |У(/)| резонатора от частоты / Кривая 1 - МКЭ-модель, кривая 2 - теория Новотного-Бенеша

щения и электрический потенциал, что и необходимо при моделировании пьезоэффекта. Элемент Solid226 используется только для моделирования пьезоэлектрической пластины. Для моделирования других элементов FBAR, в которых отсутствует пьезоэффект (электроды, элементы брэгговского зеркала), используются обычные элементы для моделирования упругой среды с теми же аппроксимациями, например Solid186.

3. Сравнение одномерных моделей FBAR-резонаторов мембранного типа

Для тестирования КЭ-методики необходимо прежде всего сравнить результаты численного расчета параметров FBAR-резонатора мембранного типа (рис. 1), используя одномерную теорию Новотного-Бенеша и моделирование МКЭ.

В качестве материала пьезопленки был взят нитрид алюминия (001) АШ толщиной 5 мкм. Материальные константы для АШ взяты из [4]. В качестве верхнего электрода резонатора использовалась пленка А1, в качестве нижнего электрода - Мо. Толщины электродов hel = 0.1 мкм.

Построение одномерной КЭ-модели производилось следующим образом. Вначале была построена модель из 3О-элементов Solid226, показанная на рис. 3 [7, 8]. Затем дополнительно накладывались условия равенства значений одноименных степеней свободы во всех узлах,

имеющих одинаковую координату X. Таким образом получилось, что все переменные, фигурирующие в задаче, зависят только от одной координаты.

Как видно из рис. 4, рассчитанные двумя методами зависимости модуля проводимости от частоты | У(/)| достаточно точно совпадают друг с другом. Небольшой сдвиг (менее 0.01%) центральной резонансной частоты и величины проводимости может быть обусловлен различиями в постановках задачи для разных методов. Кроме того, на этой тестовой задаче было установлено, что при решении достаточно иметь пять КЭ по толщине пьезоэлектрического слоя.

4. 3D-модель и зависимость от размера электрода

Трехмерная модель FBAR-резонатора мембранного типа учитывает реальную геометрию и размеры устройства, в частности то, что верхний электрод занимает только часть поверхности пьезопленки и имеет свою форму. Такая модель позволяет продемонстрировать наличие не только объемных в направлении по толщине, но и других типов волн (поверхностных, сдвиговых, волн Лэмба). Простейшая 3О-модель показана на рис. 5. Размер пленки АШ и нижнего электрода в плане 250 мкм. Нижний электрод сплошной по всей поверхности пьезопленки. Верхний электрод в простейшем случае квадратный, со стороной 200 мкм.

Общее количество элементов модели 117712. Размер ребра конечного элемента а ~ 2 мкм.

На графике (рис. 6) приведена рассчитанная зависимость проводимости от частоты для Ш и 3О КЭ-моделей. На графике видны паразитные локальные максимумы проводимости. Это результат влияния других волн. Переотражаясь от краев резонатора, паразитные волны приводят к дополнительному механическому напряжению на поверхности пьезопленки, что ведет к дополнительному росту проводимости на частотах, отличающихся от рабочей резонансной частоты резонатора.

Одним из путей уменьшения данного эффекта является оптимизация размеров и формы электродов. За счет увеличения или уменьшения расстояния от края электрода до края пьезопленки мы можем регулировать влияние пе-реотраженных волн на проводимость резонатора. Как видно из рис. 7, чем меньше размер верхнего электрода по отношению к размерам всего резонатора, тем ровнее амплитудночастотная характеристика и выше значение |У| на резонансной частоте. С другой стороны,

Рис. 5. Трехмерная модель резонатора в ANSYS: (1) - верхний электрод, (2) - пленка АШ, (3) - нижний электрод

Рис. 6. Зависимость модуля проводимости от частоты |7(/)|, кривая 1 - в Ш- и кривая 2 - в 3Э-размерности

Рис. 7. Зависимость модуля проводимости |7| от частоты для разных размеров верхнего электрода, кривая 1 - размер резонатора 200 мкм, размер верхнего электрода 200 мкм; кривая 2 - размер резонатора 400 мкм, размер электрода 200 мкм; кривая 3 - размер резонатора 200 мкм, размер электрода 100 мкм

чем меньше площадь электрода, тем меньше величина модуля проводимости на резонансной частоте. Тем не менее наиболее действенный способ борьбы с переотражением сдвиговых волн - это изменение формы электрода. Выбор формы электрода необходимо делать таким образом, чтобы стороны электрода не были параллельны сторонам резонатора. Волны, под разным углом подходящие к границе резонатора, после отражения от неё будут рассеиваться. Таким образом, не будет интерференционных максимумов за счет пере-отражений.

5. Моделирование резонатора с копланарной линией

Для удобства монтажа в современных микроэлектронных компонентах используются планарные технологии. Применительно к ГБЛЕ.-резонаторам это приводит к необходимости использования копланарных линий в качестве электродов резонатора (рис. 8, показана укрупненная КЭ-сетка). Шина 1, имеющая большую площадь, фактически заменяет нижний сплошной электрод резонатора за счет того, что суще-

ствующая емкость между шиной 1 и нижним электродом на высокой частоте (ВЧ) является проходной, закорачивающей на ВЧ нижний электрод и шину 1. С другой стороны, между шиной 1 и сигнальным электродом копланарной линии могут возбуждаться поперечные волны, которые могут стать причиной появления дополнительных паразитных пиков и негативно сказаться на добротности.

На рис. 9 приведено рассчитанное распределение механических смещений по поверхности структуры на резонансной частоте. Видно наличие стоячих волн между сигнальным (2) и земляным (1) электродами копланарной линии.

Для устранения этого эффекта необходимо изменять форму центрального сигнального электрода (например, в виде неправильного пятиугольника) для устранения паразитных интерференционных пиков.

Заключение

Таким образом, в работе приведены результаты численных расчетов параметров ГБЛЯ-резо-наторов мембранного типа, включая резонатор с

Рис. 8. Модель резонатора с копланарным верхним Рис. 9. Распределение компоненты и по поверхности электродом в ЛЖУ8 резонатора

копланарными выводами, методом МКЭ в среде МКЭ-моделирования ANSYS. Показано сравнение рассчитанных данных с данными, полученными с помощью одномерной теории Новотного-Бенеша, что позволяет сделать вывод, что МКЭ-модель допустимо использовать для моделирования FBAR-резонаторов. Показано, что 3D МКЭ-модель позволяет оценивать влияние формы и размеров верхнего электрода резонатора, а также влияние паразитных волн, возникающих в структуре, на величину и форму зависимости проводимости резонатора от частоты (амплитудночастотную характеристику) и позволяет с помощью численного эксперимента проводить оптимизацию параметров резонатора.

При подготовке статьи использовалось программное обеспечение в составе академической лицензии ANSYS Academic Research. Customer Number 623640.

Работа выполнена частично в рамках гранта Правительства РФ для поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях высшего профессионального образования (Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского), договор № 11.G34.31.0066.

Список литературы

1. Cherednick V.I., Dvoesherstov M.Y. Surface and Bulk Acoustic Waves in Multilayer Structures // Waves in Fluids and Solids. INTECH. 2011. P. 69.

2. Двоешерстов М.Ю., Чередник В.И., Босов С.И. // Докл. на Всеросс. науч.-техн. конф. «Микроэлектроника СВЧ». Санкт-Петербург, 2011.

3. Ruby R., Jose S. Review and Comparison of Bulk Acoustic Wave FBAR, SMR Technology // IEEE Ultrasonics. 2007. P. 1029.

4. Nowotny H., Benes E. General One-Dimensional Treatment of the Layered Piezoelectric Resonator with Two Electrodes // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82. P. 513.

5. Allik H., Hughes T. Finite Element Method for Piezoelectric Vibration // Int. J. Numer. Methods Eng. 1970. V. 2. P. 151.

6. Makkonen T., Holappa A., Ella J., and Salomaa M.M. // IEEE Ultrasonics. 2001. V. 48. P. 1241.

7. Мэттьюз Г. Фильтры на поверхностных акустических волнах. Расчет, технология и применение. М.: Радио и связь, 1981.

8. ANSYS Inc.: ANSYS Users Guide, Theory Reference Manual. Canonsburg, USA.

FEM SIMULATION OF FBAR RESONATORS S.I. Bosov, M. Yu. Dvoesherstov, N. V. Leont’ev

The article presents a numerical computation technique to calculate acoustoelectronic single-frequency HF thin-film resonators based on the numerical solution of 3D piezoacoustic equations by the finite element method (FEM). The frequency dependence of FBAR admittance has been obtained. The FEM simulation results are compared with those obtained using 1D Nowotny-Benes model.

Keywords: acoustoelectronics, acoustic waves, resonators, piezocrystals.

References

1. Cherednick V.I., Dvoesherstov M.Y. Surface and Bulk Acoustic Waves in Multilayer Structures // Waves in Fluids and Solids. INTECH. 2011. P. 69.

2. Dvoesherstov M.Ju., Cherednik V.I., Bosov S.I. // Dokl. na Vseross. nauch.-tehn. konf. «Mikrojelektronika SVCh». Sankt-Peterburg, 2011.

3. Ruby R., Jose S. Review and Comparison of Bulk Acoustic Wave FBAR, SMR Technology // IEEE Ultrasonics. 2007. P. 1029.

4. Nowotny H., Benes E. General One-Dimensional

Treatment of the Layered Piezoelectric Resonator with Two Electrodes // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V. 82. P. 513.

5. Allik H., Hughes T. Finite Element Method for Piezoelectric Vibration // Int. J. Numer. Methods Eng. 1970. V. 2. P. 151.

6. Makkonen T., Holappa A., Ella J., and Salomaa M.M. // IEEE Ultrasonics. 2001. V. 48. P. 1241.

7. Mjett’juz G. Fil’try na poverhnostnyh aku-sticheskih volnah. Raschet, tehnologija i primenenie. M.: Radio i svjaz’, 1981.

8. ANSYS Inc.: ANSYS Users Guide, Theory Reference Manual. Canonsburg, USA.