Два варианта аппроксимации процесса сжатия реальных газов и газовых смесей в турбокомпрессорах

Раздел 1. ХОЛОД

УДК 621.515

Два варианта аппроксимации процесса сжатия реальных газов и газовых смесей в

турбокомпрессорах*

Д-р техн. наук Г.Н. ДЕН, канд. техн. наук А.А. МАЛЫШЕВ

For quick processing of results during gas dynamic tests a technique for obtaining the equations of stale of gas mixtures on the basis of simplified equation of Benedict-Webb-Rubin and tables for the coefficient of compressibility of the real gas has been developed. A procedure for the determination of gas-dynamic characteristics and their recalculations for nominal conditions is given.

При разработке новых типов центробежных компрессорных машин (ЦКМ) для сжатия реальных газов и газовых смесей необходимо располагать термическим и калорическим уравнениями состояния сжимаемой среды и использовать то или иное допущение о характере процесса сжатия в проточной части (ПЧ). Создание новой машины должно завершаться проведением ее газодинамических испытаний на месте эксплуатации. Целью таких испытаний является получение газодинамических характеристик (ГДХ), позволяющих удостовериться в том, что машина обеспечивает получение заданного давления при потребляемой мощности и расходе, обусловленных техническим заданием на проектирование и иной постановочной документацией. При проведении газодинамических испытаний, как правило, приходится решать три взаимосвязанные задачи: измерение давлений и температур перед и за ПЧ; определение расхода через ПЧ; подсчет ГДХ при условиях опытов на нескольких режимах работы по расходу с пересчетом полученных результатов на номинальные условия, указанные в договоре на поставку. В число таких условий входят состав газа, его давление и температура перед ПЧ, частота вращения ротора. Все это может несколько отличаться от того, что имеет место при испытаниях.

Для такой газовой смеси, как природный газ, возможны изменения состава как сезонные, так и связанные с ходом технологического процесса, обслуживаемого турбокомпрессором.

Состав продуктов, поступающих из установок пиролиза нефти, зависит от месторождения и может изменяться в течение суток в зависимости от режима работы печей. Составы пропиленсодержащих газов, циркулирующих в ректификационной колонне, могут существенно изменяться во время испытаний нагнетателя для ректификационной колонны при производстве пропилена или при компримировании газов пиролиза [6], и

*Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования по гранту Т02-06.7-8 № гос.рег. 01.2.00304450.

для каждого режима работы соответствующего турбокомпрессора необходимо находить свои коэффициенты в термических уравнениях состояния и калорических уравнениях для энтальпии и энтропии, отличающиеся от коэффициентов для номинального состава газовой смеси. Для оперативной обработки результатов в ходе самих газодинамических испытаний потребовалось разработать и апробировать методику получения уравнений состояния газовых смесей на основе упрощенного уравнения Бенедикта-Вебба-Рубина (БВР), предложенного В.Ф. Рисом [8], и таблиц для коэффициента сжимаемости реального газа 2, разработанных Ли и Кеслером. Значения 2, полученные с учетом не только приведенных параметров я = р/рпр, т = 77Г , но и коэффициента ацентричности со имеются в [4, 7]. 1ам же указаны соотношения, позволяющие по критическим значениям давлений и температур ркр и Гр компонентов газовой смеси найти ее псевдокритические параметры.

Для определения коэффициентов Л, В,Сна,Ь,с упрощенного уравнения БВР

р = рДГ + (ВКТ-А - С/Т2)р + {ЪЯТ- а + с/7^)р2 (1) необходимо с помощью ПК решить систему из шести линейных алгебраических уравнений [6], что не требует больших затрат времени.

В уравнении (1)/? и Г-давление и температура смеси, р - ее плотность, К - газовая постоянная.

Для составления калорического уравнения состояния для энтальпии газовой смеси / и ее энтропии 5 необходимы сведения о коэффициентах полинома, с помощью которого аппроксимируются опытные данные для изобарной теплоемкости ср компонентов газовой смеси, находящейся в идеально-газовом состоянии. В случае использования для каждого компонента полинома вида

с"а - а"а + Ь"аТ + сидГ2 + б/илГ3

коэффициенты оил.. .с/"д можно найти для большого числа чистых газов, например в [4] или [7].

Вместо полинома для изобарной теплоемкости с"л можно использовать аппроксимационную формулу для изохорной теплоемкости в идеально-газовом состоянии:

с™ -с/^/Г+^+^/Г+^Т2 значения коэффициентов для более чем 50 ве-

ществ, используемых в холодильной технике, приведены, например, в [1]. Как известно,

c™=C + R,

поэтому от зависимости с"рл{Т) можно всегда перейти к зависимости с™{Т).

При расчете ГДХ турбокомпрессоров приходится прибегать к аппроксимации процесса сжатия на участке между начальным и конечным состоянием газа в ПЧ. В качестве функции, связывающей давление р и плотность р, может быть принята степенная зависимость с постоянным для данного режима работы ПЧ показателем степени т\

-P- = bL,

pm Р:

в которой индексом «н» отмечены начальные значения параметров перед ПЧ. Показатель степени т можно найти, зная конечные значения параметров за проточной частью рк и рк. В соответствии с

т = Ыр!рк) / 1п

Результаты расчетов с помощью соотношения (2) достаточно хорошо согласуются с опытными данными [3], во всяком случае, значительно лучше, чем при использовании допущения о сжатии по изоэнтропе.

Вместо использования степенной зависимости (2) при расчетах может быть принято допущение о постоянстве теплоемкости процесса ст, то есть допущение о том, что процесс сжатия является политропным [2]. В этом случае

TdsldT - idem.

Количество теплоты при необратимом преобразовании механической энергии газового потока в тепловую, или потери удельной работы // при изменении состояния газа от начального с температурой Т до конечного с температурой Т,

Н,„=ст{Тх-Тя). При этом изменение энтропии

л - j = с {TIT),

к н m 4 к н/7

поэтому потери удельной работы в ПЧ

#,„.к =

Процессы сжатия, определяемые условиями (2) или (4) для реальных газов, различны, однако они совпадают в случае сжатия идеальных газов, для которых справедливо уравнение Клапейрона

P = PRT,

а изобарная теплоемкость ср = const, в результате чего калорическое уравнение состояния для энтальпии оказывается простым:

/ = с Т.

р

Удельная работа Н, затрачиваемая на сжатие при отсутствии внешнего теплообмена, определяется соотношением

//„.„=/„-/„+0,5

в котором /' иг— начальное и конечное значения эн-

г н к

тальпии, а ск и сн - средние скорости потока за и перед ПЧ.

С другой стороны,

Ни-к = + 0,5(с2 - с2) + Н

J

Н г

Первый член этой формулы определяет изменение потенциальной энергии потока, второй - кинетической. Из формул (6) и (7) следует, что внутренний КПД процесса сжатия может быть определен либо по изменению потенциальной и кинетической энергии:

J—+0,5(с2 - с2) -— >

/k-/h+0,5(c2-C2) либо через потери удельной работы:

Н,

П, =1-7

».-'+ ож-д

Для практического использования формулы (8) необходимо делать допущение о виде зависимости р(р), а при применении формулы (9) требуется подсчитывать увеличение энтропии - 5н по результатам измерений начальных и конечных параметров состояния газа.

Учитывая соотношение (5), из (9) получим:

ч=1-

1,-1,,+0,5(с2-с2) При выполнении практических расчетов до сих пор было принято опираться на формулу (8), а не (10).

к /

Обычно -г >>0,5(с2-с2) и [—»0,5(с2-с2) т.е.

к н ^'-А^к ^н / Р

изменением кинетической энергии допустимо пренебречь. Полученный в этом случае КПД в литературе принято называть политропным. Формула (8) принимает вид

Л пол

а формула (10):

1=1-

(iK-iH)ln (TJTJ

При степенной аппроксимации процесса сжатия из (11) получим

m Р»

m-1 рн

-1

/Ок-'н).

к <Рн, / т V н /

Для подсчета этой величины необходимо располагать калорическим уравнением состояния реального газа для энтальпии /' = /(р,7), а также еще и калорическим уравнением для энтропии 5 = л(р,7).

Если газ идеальный, то

П„ол ="

где к- показатель изоэнтропы идеального газа,

к = с /(с - К).

р у р '

Общая формула (11) позволяет вычислить КПД при любом процессе сжатия, например при разных значениях показателя т в каждом элементе ПЧ или на каждом ее участке: как при возрастании средней скорости потока на рассматриваемом участке, т.е. при конфу-зорном течении (например, во всасывающей камере), так и при уменьшении скорости, т.е. при диффузорном характере течения. Формула (2) с постоянным значением показателя т во всей ПЧ может рассматриваться как удобная аппроксимация процесса сжатия, достаточно хорошо отражающая характер зависимости р(р) [1,3], но принципиально показатель степени сжатия для диф-фузорного участка шд должен быть выше, чем тк для конфузорного (т.е. /ик< /ид); в противном случае окажется нарушенным второй закон термодинамики.

При проведении газодинамических испытаний с целью получения ГДХ турбокомпрессора и его отдельных неохлаждаемых секций [3] всегда необходимо измерять величины, позволяющие найти начальные температуру Тн и давление рн (для каждой неохлаждае-мой секции) и соответствующие конечные параметры Т и р . Термическое уравнение состоянияр =р(р,Т) позволяет найти начальную и конечную плотности рн и рк, после чего можно определить показатель степени ш с помощью формулы (3). Но без калорического уравнения состояния / = /(р,7) величину г|пспт найти нельзя. Повышение энтальпии / —/ необходимо знать для подсчета внутренней, или газодинамической, мощности N для неохлаждаемой ПЧ:

о

(иной способ определения мощности, основанный, например, на измерении крутящего момента на валу, рассматривать не будем).

Массовый расход С через ПЧ должен быть измерен с помощью стандартного расходомерного сужения -диафрагмы, сопла или сопла Вентури. При определении плотности перед расходомерным сужением также потребуется использовать термическое уравнение состояния. Объемная производительность турбокомпрессора:

е = о/Ри.

Начальные условия рн и Т, так же как и частота вращения ротора п (особенно при наличии турбопривода, характерного для крупных машин с большой потребляемой мощностью А'), на различных режимах при испы-

таниях могут быть несколько различными. Поэтому значения лк = р /р , TV и Q должны быть приведены к некоторым, средним для всех режимов, значениям начальных параметров. Кроме того, при отличии состава газовой смеси от спецификационного, или номинального, опытные данные также приходится приводить к номинальным начальным условиям, оговоренным в постановочной документации. Только приведенные к этим условиям ГДХ позволяют ответить на вопрос о соответствии испытываемой машины техническому заданию на проектирование. Поэтому предприятие, на котором производятся газодинамические испытания, обязано предоставлять данные о составе газа. Крупные предприятия обычно имеют возможность сообщать сведения о составе газовой смеси в часы испытаний.

Вне зависимости от используемой формы термического уравнения состояния реального газа или газовой смеси р = р(р,Т) калорические уравнения состояния i = i(p,T) и 5 = з(р,Г) могут быть представлены в виде [1, 3]:

i = i»\T)-T2\

±(Р дТ\Т

,Р2 Р

Ч-

дТ

+ const.

где Iм и ср - энтальпия и теплоемкость идеального газа,

причем

т

ГД(Г) = \c™dT

В случае использования термического уравнения состояния в форме

i = im(T) + \ BRT-2А-Щ- |р + | bRT-За +

5с V.

Т2 2

I"

R

-dT-R

'пР+И + Jp

, , + const .(16) RT3J2 v

Если записать термическое уравнение состояния реального газа в форме p = ZpRT,

то при использовании уравнения

Z = 1 + 1 В

А с s )р 4ь-а - с 1

RT RT2 1ZRT \ RT ЯГ1, 1 z2r2t2

Если известны коэффициенты А, В, С и а, Ъ, с, а также Я, зависящие от состава газовой смеси или рода газа, то по известным р и Т значение 2 может быть найдено либо методом последовательных приближений, либо по формуле Кардано для кубического уравнения. При заданных значениях р и Г плотность р может быть определена в результате решения уравнения (1). Если же найдено значение I, то для определения р может быть использовано соотношение (17). После отыска-

/

ния рн и рк, соответствующих опытным значениям р и Т, значения /н и /к можно вычислить, пользуясь уравнением (15), предварительно подсчитав и Г по формуле (14). Значения 5н и необходимые для определения г|пол по формуле (12), находят с помощью (16). После отыскания разности Д/ = / - / вычисление п по

г к н 1 пол т

формуле (13) затруднений не вызывает. Приведение полученных результатов к номинальным условиям работы турбокомпрессора, отмеченным индексом «О», может быть выполнено с помощью простых формул [3]:

О. = п0/п;

д/о= ("о7")2;

л» = (V«)3 (р>„);

Л п = л

1 пол 0 1 пол

Наиболее сложным оказывается определение отношения давления пк0=ри0/рк0 при номинальных условиях работы. Как при степенной аппроксимации процесса сжатия (2), так и при политропном процессе (8) предварительно следует найти энтальпию в конце сжатия при номинальных условиях:

'кО = '„О + А'0>

причем /н0 вычисляется по формуле (15) для значений ри0 и Тн0 с использованием коэффициентов для номинального состава А0, В0, С0 и а0, Ь0, с0 при газовой постоянной Я и энтальпии идеального газа /0"д . Определив /0ИД, можно найти зависимость рк0(Тк0), используя квадратное уравнение для рк0, следующее из соотношения

'ко = «'" (Тк0) +

B0R0TK0

5 с„

b0RJ«„~3a0+ Т2

V 'ко У

-2А0

pi

2

4Q

Т2

ко У

РкО +

Уравнение, определяющее р (Т ), можно записать в таком виде:

2 ~ ^n-^n^In 4Сп

Рко+2-

Wko-3«„T;„+5Co

РкО +

' Л(К<>)_

bnRJi-3anTl+5с,

кО

= 0.

О 0 кО

0 кО

Дальнейшие расчеты при степенной аппроксимации процесса сжатия оказываются несколько более сложными. В общем виде этот случай рассмотрен в [5]. Исключив плотность рк0 с помощью полученной зависимости рк0(Тк0) из уравнения (1) для рк0, находим функциюрк0(Тк0). После этого из условия (3) и полученной функции исключим т(Тк0) и получим трансцендентное уравнение, определяющее Г 0:

In

Рк0<7кс)

In

In

Ао

Р НО

Рко

xln

1+д/о^Ч, Ри 0

In

In

рЖ»)

Р„о

Рко

P« о

Зная Т , найдем рк0, рк0 и m для рассматриваемого режима работы компрессора. Произведя расчеты для всех опытных режимов работы, можем построить ГДХ для номинальных начальных условий: pK0(Q0), N.0(Q0) и

^пол m^Q

Более простыми кажутся расчеты при cm = idem. Отыскав зависимость рк0(Тк0) - такую же, как в предыдущем случае, с помощью (24) найдем

7Й>„ "Д

(Тка) = - R0 [ln[prt (7-й)]+

1сЛр2Ж0)

т,

2 С ^

V Ук0 J

а для определения Тк0 следует использовать уравнение (1 - Л„ол)А/01п(Г0/Г0) = [s(TJ - sJ(Tk0- TJ. Подсчет Тн0 должен производиться с помощью ПК по заранее составленной программе. Теплоемкость по-литропного процесса в реальном газе при номинальных условиях с = А/ (Т /Т ).

m 0 v кО нСк

Знание этой величины упрощает расчеты параметров потока внутри ГГЧ.

Список литературы

1. Бухарин H.H. Моделирование характеристик центробежных компрессоров. - Л.: Машиностроение, 1983.

2. Вукалович М.П., Новиков Н.И. Техническая термодинамика. - М.: Энергия, 1968.

3. Ден Г.Н. Проектирование проточной части центробежных компрессоров.-JI.: Машиностроение, 1980.

4. Ден Г.Н. Термогазодинамика сухих торцевых газовых уплотнений роторов турбомашин. - Владивосток: Дальрыбвтуз, 2003.

5. Ден Г.Н., Малышев A.A. Моделирование проточных частей стационарных центробежных компрессорных машин для сжатия реальных газов // Инженерно-физический журнал. 2002, Т.75, № 5.

6. Ден Г.Н., Малышев A.A., Гнатюк И.В. К обработке результатов испытаний ЦКМ для сжатия реальных газов // Турбины и компрессоры. 2000. Вып. 13 (4-2000).

7. Pud Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей.-J1.: Химия, 1982.

8. Рис В.Ф. Расчеты сжатия реальных газов//Турбины и компрессоры. 1999. Вып.8,9 (1,2 -99).

-1-