Многомодовая модель усиления света в бозе-эйнштейновском конденсате разреженных атомарных газов

МНОГОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ

УСИЛЕНИЯ СВЕТА В БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКОМ КОНДЕНСАТЕ РАЗРЕЖЕННЫХ АТОМАРНЫХ ГАЗОВ

Н. И. Шамров, доктор физ

Рассмотрим бозе-эйнштейновский конденсат, заключенный в магнитную ловушку с размерами порядка 10 X 100 мкм. Как правило, в ловушке такого размера содержится 1 -ь 10 млн атомов. Конденсат имеет температуру около 10"9 К, что соответствует скорости движения атомов, близкой к 1 см/с. К настоящему времени удалось получить бозе-эйнштейновский конденсат ряда веществ, таких как водород, литий и пары щелочных металлов и т. д. [1; 4].

Пусть на конденсат падают два когерентных световых пучка ширины, значительно превосходящей размеры конденсата. Направления их падения перпендикулярны направлению вытянутости конденсата. Как правило, один из этих пучков более интенсивный, а другой более слабый. Первый называют одевающим («dressing», а второй — пробным («probe»).

Сделаем ряд модельных допущений:

1. Бозе-эйнштейновский конденсат рассматриваем как идеальный газ, т. е. пренебрегаем межатомным взаимодействием и учитываем лишь взаимодействие с поперечным электромагнитным полем.

2. Энергию взаимодействия атома с полями светового бипучка положим много меньшей энергий разрешенных переходов в атоме.

3. Число актуальных электронных состояний в атоме ограничим двумя.

4. Значения полей в различных сечениях конденсата, перпендикулярных направлению его вытянутости, примем одинаковыми, т. е. не зависящими от продольной координаты.

5. Атомы конденсата до взаимодействия с полями считаем покоящимися.

Волновую функции, атома с определенным

Волновые векторы этих пучков кик образу- значением импульса представим в виде

ют между собой некоторый угол (рис. 1). Частота =ка1с одевающей волны больше частоты (Ор =кр1с пробной волны и близка к одной из частот электронного перехода в атоме. В процессе взаимодействия фотонов одевающего и пробного полей с атомом последний получает импульс отдачи. Величина этого импульса определяется значениями модулей векторов к к и угла между ними. Угол а и энергии

а р

фотонов Ноо, и На) подбирают такими, чтобы

Р

разность частот была сопоставима с кинетической энергией отдачи атома № [5].

s;k >=

1

4v

exp

Здесь V — объем конденсата, ф(г ,t) =

J С

=

волновая функция,

hù)

энергия электронов в основном

(5 = а) и возбужденном (5 = 6)состояниях. Отметим, что в отличие от свободного движения атома, когда импульс Йк является непрерывной величиной и может принимать любые значения, в случае ограниченного движения в ловушке его значения дискретны и их возможный набор определяется ее размерами.

Произвольное состояние атома будем описывать волновой функцией

Ч> = X cSikU;k>,

s=a,b\k

где с

S,k

Рисунок 1 Бозе-эйнштейновский конденсат

в лазерном бипучке

зависящие от времени коэффициенты разложения.

Электрическое поле в конденсате будем задавать суперпозицией одевающего Е(1 и Е пробного полей:

© Н. И. Шамров, 2007

Серия «Физико-математические науки»

25

£ = * X £/ехрНш/) + к. е.,

? V .

каждое из которых в общем случае представляет собой набор плоских волн Е распространяющихся вблизи направления

Е/м ехр

к

Поляризацию всех волн будем считать направленной вдоль оси 01.

Используя представление (2) и приближение вращающейся волны, можно получить уравнение Шредингера для коэффициентов с . Оно имеет вид

д*м = т 2 ехрН&») +

Л к'

+ со,к+к' ехрНАй») - i

W

а,к

ft

а, к»

d

¿ьм =-?%[Ep«exV(iS(Dt) +

n w

+ EdM>] caM-к' ехр(ЧАй)Г) - i

2

Й

/

расстройка электрон-

кинетичес-

где Аш = (со& - соо) - сонного резонанса, 5со=со,- со^, кая энергия атома, обладающего импульсом в

электронном состоянии ф5 (з = а,Ь), Г^—-радиационная константа возбужденного электронного состояния атома, описывающая спонтанное

рассеяние света в произвольных направлениях, 4 — матричный элемент дипольного момента перехода, черта означает комплексное сопряжение.

Поля, входящие в уравнения (5)* образованы внешними полями Ееам, Еер к и полями , ЕрМ, генерируемыми волнами поляризованности сре-

ды

Р( г,г) =

= ¿гI 4 5<Г "Г/)1+КХ-

У /=1 к.к'

Здесь N — полное число атомов в конденсате, di — оператор электронного дипольного мо~

мента, <>, для /-того атома.

Используя волновое уравнение и считая коэффициенты разложения атомов конденсата одинаковыми, в приближении медленно меня-

коэффициенты разложения

(5) ющихся амплитуд получим

1 ЪЕ'

rf,k _

2к

d, к

dt

2 ft

dDг

R

к'

i

.(k2-kl)„, кр дЕ'рМ _

2 к

р' Е' 4-

м ск, dt

2 Й

dDzR

ехр [Ч

+

к'

£ п

X ^рл'сьмл+п ехрН&») + £ Е^.сь:т+п,1п+п.

b\ntji

\

п

/ /

Ш

X

ехр(-гДсог) - i

а\тчп

h

d ft

2Ёр.»'сьи«*-п- ехр(й5йи) + X Edw,ycb.^n_n,

\

п

/ / /71 ,П

X

У

ехр(г'ДйЯ) - i

\

у W 2 ft

; (ЗДл ^ ) zr' _i_

*-^I/jh +

iae

_

2Й

2к

dt

dDr

я

ехр(-г Дои) X

/ / _ V

III ,17

(*„2-*„2) , 1 Э£' „

г—-+-—££

2*. с Эt

2 ft

dDzR

ехр [-/(&» + Дй>)г]£ ,

/ / /Л .И

26

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2007 | № 3

где величинатR =ch/na)dd N0D

сверхизлу-

чательное время, N0

D —

концентрация атомов,

— поперечный размер конденсата.

Если импульс атома с состоянии |э;к> представить в форме р = йк = П(кт\ + кп$) =

= Н(т\ + лj)/D, где кП1 = 2ят/П, кп-2ппЮ и положить угол а равным 135°, пренебречь дифракцией как одевающего, так и пробного пучков, то уравнения (5), (7) можно записать в явном виде

Дополним уравнения (8), (9) начальными условиями:

Ся;00 (0) = 1, С„;......(0) = 0 {т = пФ 0),

Q;m.„

Обратим внимание на то, что решая задачу (8) — (10) и используя разложение (3), (4), мы

можем найти поля лишь во внутренней области. Для нахождения полей на выходе из конденсата используем теорему Дирихле. В нашем случае _

Ep(D) = E;exP(ikpD) + 2^E'p,i, Ed (D) = Ej exp (ikpD) + E'dm

m

где

щ , E

e d

амплитуды рассматриваемых

полей на входе в конденсат.

Если считать размеры магнитной ловушки большими, т. е. Х/<< Д пренебречь запаздыванием излучения и не учитывать зависимость

О

полей в конденсате от координат, уравнения (8) — (10) переходят в уравнения усиления света в бозе-эйнштейновском конденсате на

О

основе модели среднего поля, предложенной ранее [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Anderson М. N., Ensher J. R., Matthews M. R. [et. al.] //Science, 1995. Vol. 269. P. 198 — 202.

2. Davis К. V., Mewes M. O., Andrews M. R. [et. al.] // Phys. Rev. Lett., 1995. Vol. 75. P. 3969 — 3972.

3. Fried D. G., Killian Т. C., Willmann L. [et. al.] // Phys. Rev. Lett., 1998. Vol. 81. P. 3811 — 3814.

4. Hau L.V., Busch B. D., Liu C. // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. P. R54 — R56.

5. Inouye S., Low R.F., Gupta S. [et. al.] // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 4225.

6. Trifonov E. D. // Laser Phys. 2002. V. 812. P. 211 — 216.

/ л

Поступила 14.03.07.

К МНОГОМОДОВОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО БИПУЧКА С БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКИМ КОНДЕНСАТОМ РАЗРЕЖЕННЫХ АТОМАРНЫХ ГАЗОВ: ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К МОДЕЛИ СРЕДНЕГО ПОЛЯ

Н. И. Шамров, доктор физико-математических наук, А. Н. Банников

Проблема взаимодействия лазерного излучения с бозе-эйнштейновским конденсатом (БЭК) различных веществ продолжает оставаться объектом пристального внимания значительного числа исследователей [1 — 4]. В настоящей

работе рассматривается эксперимент по облучению конденсата паров натрия, заключенного в магнитную ловушку диаметром В - 20 мкм и длиной Ь = 200 мкм и содержащего несколько миллионов атомов, двумя лазерными пучками:

© Н. И. Шамров, А. Н. Банников, 2007

Серия «Физико-математические науки»