Дискретно-непрерывный (квантовый) механизм разрушения фрактальной структуры цементных композитов: статистическая модель

УДК 691.32:620.178.73

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫЙ (КВАНТОВЫЙ) МЕХАНИЗМ РАЗРУШЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ЦЕМЕНТНЫХ КОМПОЗИТОВ: СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ*

© 2019 В.П. Селяев, Е.С. Безрукова, Е.Л. Кечуткина, В.В. Селяев**

Экспериментально - теоретически обоснована статистическая модель дискретно-непрерывного (квантового) механизма разрушения структуры цементных композитов.

Предложено структуру цементных композитов рассматривать в виде сложной иерархически организованной, масштабно инвариантной системы, состоящей из отдельных фракталов, свойства которых подобны целому.

Процесс разрушения структурной системы моделируется стохастически однородным марковским процессом перехода системы из одного состояния в другое.

Анализом диаграмм деформирования, полученных путем испытания на сжатие призм размером 40х40х160 при скорости нагружения 0,5 мм/мин и частоте измерения перемещений 0,1 сек, установлен дискретно - непрерывный характер разрушения. Циклические сбросы нагрузки на

диаграмме "и — е'г предложено рассматривать как репрезентативную выборку отказов

структурных элементов.

Графоаналитическая обработка экспериментальных данных подтверждает статистическую природу процесса разрушения. Процесс накопления отказавших структурных элементов описывается функцией Вейбулла.

Ключевые слова: модель, фрактал, цементный композит, диаграмма деформирования, отказ, накопление повреждений, вероятностная модель.

Цементные композиты, бетоны принято Фрактальные системы обладают свой-

рассматривать как искусственный многофаз- ством самоподобия (скейлинга). Подобие

ный строительный конгломерат с грубогете- структур на разных масштабных уровнях це-

рогенной структурой, полученной в резуль- ментных композитов отмечалось в работах

тате твердения смеси, характеризуемой ка- В.И. Соломатова, М.А. Садовского, С.А. Ско-

чественным и количественным соотношени- робогатова, Ю.В. Зайцева, Е.М. Чернышева,

ем составляющих: вяжущего вещества, доба- В.П. Селяева и др. [3, 4, 5, 6, 7]. По Б. Ман-

вок, наполнителей и заполнителей [1, 2]. дельброту сложные системы фрактальны,

Последние исследования показали, что если состоят из частей, которые в каком-то

структурная система цементных композитов, смысле, подобны целому [8].

представляемая как неупорядоченная, все Следовательно, цементные композиты

же имеет внутренний порядок, мерой кото- это сложные иерархически организованные

рого является фрактальная размерность [3, масштабно инвариантные системы, которые

4]. на каждом масштабном уровне могут быть

* Работа представлена на Всероссийской научно-технической конференции, посвящённой 75-летию Заслуженного деятеля науки РФ, академика РААСН, доктора технических наук, профессора Селяева В.П. (3-5 дек. 2019 г., Саранск) «Долговечность строительных материалов, изделий и конструкций».

** Селяев Владимир Павлович (ntorm80@mail.ru) - Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор, академик РААСН, заведующий кафедрой строительных конструкций; Безрукова Е.С. (ntorm80@mail.ru) - аспирант; Кечуткина Евгения Львовна (kechytkina85@mai.ru) - инженер кафедры строительных конструкций; Селяев В.В. (ntorm80@mail.ru) - специалист; все -ФГБОУ ВО «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва»

представлены фрактальными структурами (кластерами), которые формируются из отдельных частиц, элементов подобных целому.

Гипотеза о фрактальном строении структуры цементных композитов подтверждается как по результатам анализа фрактальной размерности структуры, так и по экспериментальным данным, полученным в результате расшифровки диаграммы деформирования при сжатии образцов из композитных материалов.

Установлено, что разрушение композитов при нагружении является дискретно-непрерывным процессом, который суммируется из множества отдельных, частных актов разрушения фрактальных кластеров [9].

Однако классические теории прочности описывают процесс разрушения материала как мгновенный акт. Для моделирования разрушения как дискретно-непрерывного процесса предлагалось несколько подходов, основанных на принципах суммирования парциальных разрушений. Критический анализ этих моделей приведен в работах [6, 9, 12].

Целью настоящей работы является экспериментально - теоретическое обоснование статистической модели дискретно-непрерывного (квантового) механизма разрушения фрактальной структуры цементных композитов.

Рассмотрим разрушение как стохастический однородный марковский процесс случайных изменений состояний некоторой структурной системы, переход которой из одного состояния i в другое 1 возможен в любой момент времени ^ при монотонном росте относительных деформаций е от е = 0 до е = еш. При этом еш - предельная деформация; t = е/v, где V скорость деформирования v=const.

Разрушение фрактала будет рассматривать как стационарное событие, не зависящее от времени. Предполагаем, что отказавшие структурные элементы не восстанавливаются, следовательно, переходы в системе возможны только из предыдущего состояния в последующее (условие необратимости процесса).

В сформированной статистической модели разрушение структурной системы рассматривается как процесс накопления повреждений в виде разрушения (отказов) фракталов.

Предположим, что структурная система состоит из т фракталов, каждый из которых может находиться всего в двух состояниях -отказа или функционирования. Следовательно система может находиться в N = 2т различных состояниях. В любой момент времени t система может находиться в одном из т + 1 состояний Еп, Е, Е, , Е , различаю-

0 1' 2' ' т' г

щихся между собой количеством отказавших фракталов, которое возрастает по мере увеличения номера состояния. Переход из состояния Е, в состояние Е., означает отказ в

1 7+1

системе фракталов. Система работоспособна до тех пор, пока число отказов не превышает т шагов.

Граф перехода из одного состояния в другое показан на рис. 1, где Ет состояние отказа системы; Хт - интенсивность внезапных отказов системы; интенсивность отказов фракталов при переходе от состояния Е к состоянию Е}. Переход системы из состояния Е1 в состояние Ем (один шаг) обусловлен освобождением кванта энергии, необходимой для разрушения одного фрактала.

Рис. 1. Граф переходов для случайного процесса равномерной деградации

© INO "Institution of Forensic Construction and Technological Expertise", 2019

Поскольку отказы структурных элементов в процессе разрушения необратимы, то вероятность перехода из состояния Е} в состояние Е, • Ру (/) = 0 при , < ] .

При этом вероятность Ртт = 1, так как Ет является состоянием отказа системы.

Для процесса однородного во времени должно соблюдаться условие:

Ри (/, / + А/) = Ри (А/) .

Используя свойство однородности, вероятность перехода системы из состояния Е1 в

состояние Е,+1 (, = 0,1,2...т) за малый промежуток времени А/ будет равна:

Р,+1 (/) = А/ + 0 (А/);

Р,,+, (/) = 0(А/) при г > 1.

Вероятность перехода системы из состояния Е1 в состояние Ет за интервал времени а/ равна Рш (0 = ^ + 0(А), где 0( а/ ) -бесконечно малая величина.

Определим вероятность (/,/ + А/) того, что за время (/,/ + А/) система совершит переход Е} ^ Е}, т.е. система останется в состоянии Е}. Этот переход может осуществиться одним из трех взаимно исключающих друг друга способов [10]:

1. За время £ система совершила переход Е, ^Е} и за дальнейшее время а/ переходов системы не было (т.е. Е} ^ Е}). Если обозначить: Ру (/) - вероятность перехода системы из состояния Е1 в состояние Е}; 8 - вероятность отсутствия (отказов) переходов системы за время , то вероятность совместного осуществления этих двух событий равна.

Ру

2. За время £ система перешла из Е1 в состояние Еу-1 (Е,. ^ Еу-1) и затем за время

(/,/ + А/) система совершила переход Еу-1 ^Еу. Соответствующая вероятность равна:

3. За время t система совершила переход Е, ^ Е-х (г > 1) и затем за время (/,/ + А/) произошло г шагов перехода Еу-1 ^ Еу. Вероятность совместного осуществления этих событий.

Рл

Так как три рассмотренных события несовместимы, то вероятность перехода системы из состояния Е} в Е} можно определить по теореме сложения вероятностей:

Р (^ / + А/) = ^ / + А/) +

+Р

Вероятность 8 определим из условия, что сумма вероятностей всех возможных переходов за один шаг из состояния i в состояние Е равна 1:

m г

Р.м (/,/ + А/) + Р.т (/,/ + А/) + 8 = 1

Тогда, с учетом однородности процесса Рд (/,/ + А/) = РуА/ будем иметь:

8 = 1 -\А/ -Хт А/,

где , Хт - интенсивность отказов.

Подставив в формулу 4 выражения 1, 2,

3, 5 и пренебрегая величиной Р _г (/)(1 -8)г,

получаем:

Рп (/1/ + А/) =

= Р

следовательно, так как Рд-1 = 0, если , = у, то Рд (/:/ + А/)- Рч (/) = - Р(/ )[Х1А/ + А/ + 0(А/)]. (6) Разность Р{. + А/)-Р{. (/) есть приращение вероятности у-/' отказов за время А/. Деля обе части последнего равенства на А/ и переходя к пределу при А/ ^ 0, получим:

К(/)] / (* ) =

= -(Х1 т ) Р (/) + + (Х +Х т ) Р,-, (/).

Р

+

Из данного выражения, очевидно, что при I = ] вероятность Ри-1^) = 0, то получаем:

Дифференциальное уравнение описывает изменение во времени вероятности того, что в момент времени t структурная система находится в состоянии, которое характерно тем, что в системе имеется (т - ]) функционирующих фракталов (1-е количество отказов).

После интегрирования уравнения (7) получаем формулу, связывающую интенсивность отказов и вероятность безотказной

работы Р'и (г), которая означает, что за время t + Дt система не выйдет из состояния Ej.

Принимая Хт +Х1 = Xj, получаем:

P к) = eXP {"iO Хjdt}

Л х it1 dPj

Функцию хjV)- pjtj' dt принято называть ламбда - характеристикой случайного процесса и предлагают выражать функцией вида:

х

где Х0 - коэффициент пропорциональности; а - параметр, определяемый по экспериментальным данным; U (t) - энергия приложенная к системе.

Ламбда-критерий можно определить экспериментально, используя для этого испытательный комплекс с программным обеспечением Welle Geotechnik (модель 13-PD/ 401), который позволяет производить испытание на сжатие бетонных призм при скорости нагружения 0,5 мм/мин. и снимать показания изменения деформаций через каждые

е-

СП

а:

700 600 500 400 300 200 100 0

а.)

Ü

1.0 1.5 2.0

Относительные деформации с,%о

2.5

3.0

1 участок

2 участок

Абсолютные перемещения, мм 4 участок {445 - 487 кН)

Абсолютные перемещения, мм 5 участок

gj Абсолютные перемещения, мм Абсолютные перемещения, мм

Рис. 2. Диаграмма зависимости нагрузки от перемещения (скорость 0.5 мм/мин., частота сбора данных 0.1 сек.):

а) общий вид диаграммы деформирования; б) вид участков 1, 2, 4, 5

0,1 сек. Сверх частотные измерения деформации позволили зафиксировать дискретность непрерывного процесса разрушения. На диаграмме деформирования (см. рис. 2) четко фиксируются моменты сброса и подъема нагрузки, связанные с разрушением (на наш взгляд) отдельных структурных элементов. На рис. 2 показано прерывистое развитие процесса деформирования, который имеет явное отличие на различных участках по мере роста деформации. Предположим,

У

что каждый сброс нагрузки означает разрушение фрактала (или группы). Тогда подсчитав количество сбросов нагрузки (отказов фракталов), можно построить график изменения ламбда - характеристики с ростом деформаций. График частоты отказов структурных элементов, полученный по данным диаграммы деформирования, представлен на рис. 3, 4.

Интенсивность отказов - число отказавших структурных элементов в единицу вре-

Рис. 3. Гистограмма частоты отказов в интервале Де с ростом деформаций е, %

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 е/Еь,

А,(е)-10-1/4ас

60

40

20

О

/ * п

/

-1— 2 X/ *

/ ^

0.0

2.0

2.4

е, %о

Рис. 4. График ламбда-критерия случайного процесса разрушений фракталов

с ростом деформаций

мени, отнесенное к числу изделии, оставшихся исправными к началу рассматриваемого промежутка времени, определим по формуле [11]:

1 (m - j )At

где j (At¡) число отказов за промежуток времени Ati; m начальное число элементов в системе; j общее число отказавших элементов за время At.

Вид графика ламбда-критерия соответствует классическим представлениям об интенсивности отказов элементов в сложноИ системе в зависимости от переменного параметра (t или в данном случае е) [11]. На графике рис. 4 представлены четыре области: первая область повышенной интенсивности отказов отражает наличие скрытых дефектов, которые формируются из-за технологических нарушений. Слабые фракталы (скрытые дефекты) разрушаются при малых деформациях. Происходит уплотнение и упрочнение структуры. На графике « ст-е » эта область представлена сбросами нагрузки (см. рис. 2); вторая область стабильной работы системы характеризуется незначительной равномерной интенсивностью отказов, сбросы нагрузки незначительны по величине (см. рис. 2). происходит уплотнение, упрочнение структуры. На диаграмме «» пер-

вая и вторая области представлены графиком , характерным для самоупрочняющихся материалов. (В наших экспериментах подобные диаграммы «» наблюдались при испытании зернистых систем в вакуумной упаковке); третья область характеризуется нарастанием отказов, разрушением фракталов; четвертая область при анализе случайных процессов развития отказов в сложной системе обычно не фиксируется, но при разрушении структурной системы материала она очевидна и характеризуется лавинообразным характером нарастания интенсивности отказов структурных элементов.

График накопления повреждений (рис. 5) в структурной системе также соответствует классическим представлениям (моделям) о накоплении повреждений в сложных системах.

Следовательно дискретно-непрерывный вид диаграммы « ст-е » отражает физические процессы разрушения структуры материала, представляемой в виде сложной системы, образованной из структурных элементов -фракталов.

При анализе интенсивности отказов структурных элементов в качестве переменной величины принимали относительную деформацию е, изменение которой происходит в интервале от нулевого значения е = о до предельного е = еш, соответствующего

0.1 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 8/Еь

j/m 0.8 0.6 0.4 0.2

0.0

» ** _____X

V 2 4 3 y у X

4 N -/ S S X.

m s N. X \ N

^ ___ -k X X • -

0.0

0.36 0.72

1.08

1.44

1.80 2.16 2.52

Рис. 5. График накопления повреждений в структурной системе:

х - значения, определенные по функции Вейбулла (11); 1 - по экспериментальным данным; 2, 3 - расчетные по формуле 11 при а = 2.4; ß = 6.3

Рис. 6. Линеаризация зависимости X = f

пределу прочности. Тогда ламбда - характеристику (9) можно записать через относительные деформации и принимая и (е) = Е-,

в следующем виде:

X = X„ — а 0 2

( е ^

= ß

( е ^

Параметры а и р можно определить по экспериментальным данным, приведенным на рис. 4. Для этого линеаризуем функцию (10) методом логарифмирования. Получим уравнение:

( е ^

log Х = log р + (а-1) log —

V8«!

В логарифмических координатах экспериментальные данные хорошо ложатся на

прямую линию в осях log Х-log (е / е«и) и тогда получаем р = 6,3; а = 2,4 (см. рис. 6).

Подставив значения а и р в формулу (10) вычисляем х по соответствующим значениям (е/еш). На рис. 4 показано, что вычисленные значения достаточно адекватны экспериментальным данным.

После определения параметров а и р с учетом формулы 10 можно определить по формуле 8 вероятность безотказной работы

структурной системы Р^ (е):

—

P, (е) = expMX —

( е ^

= exp <

v

V I

Получили функцию подобную закону Вейбулла [11].

По экспериментальным данным накопления повреждений (отказов фракталов), приведенных на рис. 5, используя функцию

-2.0

0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 logfe/sj Рис. 7. Линеаризация экспериментальных данных в соответствии с функцией Вейбулла

е

V ви )

е

а

в

е

ф

11 определены методом двойного логарифмирования значения параметров р / а = 1,82 и а = з . На рис. 7 показано, что экспериментальные данные хорошо ложатся на прямую линию, что подтверждает применимость

функции Р л (е) для определения надежности структурной системы по формуле (11).

В результате анализа диаграмм деформирования, полученных путем испытания на сжатие бетонных призм 40х40х160 при скорости нагружения 0,5 мм/мин. и частотой измерения перемещений 0,1 сек., установлено:

- на графике деформирования при высокочастотном измерении перемещений циклические сбросы и подъемы нагрузки можно рассматривать как репрезентативную выборку отказов структурных элементов (фракталов), которая подтверждает дискретно-непрерывный характер разрушения бетона под нагрузкой;

- графоаналитическая обработка экспериментальных данных подтверждает статистическую природу процесса разрушения:

функция интенсивности отказов х(е) в зависимости от переменной е (относительной деформации) описывается «классической» кривой изменения интенсивности ламбда-характеристики; процесс накопления повреждений в структурной системе описывается функцией Вейбулла;

- адекватность описания процесса накопления повреждений в структурной системе законом Вейбулла подтверждается группировкой опытных данных около некоторой прямой (рис. 7), определением параметров а и р функции Вейбулла и хорошей сходимостью расчетных и опытных данных при их сопоставлении (см. рис. 5).

Библиографический список

1. Баженов Ю.М. Технология бетона XXI века. Новые научные направления строительно-

го материаловедения: материалы докладов Академических чтений РААСН. Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2005. - с.9-19.

2. Шестоперов С.В. Долговечность бетона транспортных сооружений. «Транспорт», 1966.

3. Соломатов В.И. Полиструктурная теория композиционных строительных материалов / В.И. Соломатов, В.Н. Выровой, В.П. Селяев. Ташкент: ФАН, 1991. - 345 с.

4. Селяев В.П., Селяев П.В., Кечуткина Е.Л. Основы фрактальной механики разрушения бетона. Механика разрушения строительных материалов и конструкций: Материалы VIII Академических чтений РААСН. - Международной научно-технической конференции. - Казань КГА-СУ, 2014, с.289-298.

5. Скоробогатов С.М. Катастрофы и живучесть железобетонных сооружений (классификация и элементы теории). Екатеринбург, Ур ГУПС, 2009, - 512 с.

6. Зайцев Ю.М. Моделирование деформации и прочности бетона методами механики разрушения. - М.: - Стройиздат, 1982-196 с.

7. Чернышев Е.М., Дьяченко Е.И., Макеев А.И. Неоднородность структуры и сопротивление разрушению конгломерантных строительных композитов. Воронежский ГАСУ. - Воронеж, 2012 - 98 с.

8. Mandelbort B.D. The fractal geometry of nature. - New York.: Freeman, 1983-480 р.

9. В.П. Селяев, П.В. Селяев, Е.Л. Кечуткина. Эволюция теории прочности бетонов. От простого к сложному. Строительные материалы. Научно-технический и производственный журнал. N 12, 2016. - С. 70-78.

10. Кордонский Х.Б. Приложения теории вероятностей в инженерном деле. - М-Л.; -Госиздат физ.мат. литературы 1963г. - 434 с.

11. Лудкин О.П., Обичкин Ю.Г., Блохин В.Г. Статистические методы в технологии производства радиоэлектронной аппаратуры. - М. Энергия.: 1977г., 293 с.

12. Травуш В.И., Селяев В.П., Селяев П.В., Кечуткина Е.Л. О возможном квантовом характере деформации и разрушения композитов. // Промышленное и гражданское строительство. -2016, - N9, - с. 94-100.

Поступила в редакцию 30.11.2019 г.

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2019. № 3

DISCRETE-CONTINUOUS (QUANTUM) MECHANISM OF FRACTAL STRUCTURE DESTRUCTION OF CEMENT COMPOSITES: STATISTICAL MODEL

© 2019 V.P. Selyaev, E.S. Bezrukova, E.L. Kechutkina, V.V. Selyaev*

The statistical model of the discrete-continuous (quantum) mechanism of cement composites' structure destruction is experimentally-theoretically substantiated.

It is suggested to consider the structure of cement composites in the form of a complex hierarchically organized, large-scale invariant system that is composed of individual fractals.

The process of structural system destruction is modeled by the stochastic homogeneous Markov chain of system transition from one state to another.

Analysis of the deformation diagrams obtained by the 40x40x160 prisms compression test at a loading speed of 0.5 mm/min and frequency of measurements of 0.1 sec set discretely - continuous character of destruction. Cyclic load drops in the diagram " " are proposed to see as a representative sample of structural elements failure. The graphical analysis of experimental data confirms the statistical nature of the destruction process. The process of failed structural elements accumulation is described by the Weibull function.

Keywords: model, fractal, cement composite, deformation diagram, failure, damage accumulation, probability function.

Received for publication on 30.11.2019

* Selyaev V.P. (ntorm80@mail.ru) - Honored Worker of Science of the Russian Federation, Dr. of Technical, Prof., Academician of RAABS, Head of the Department of Building Structures; Bezrukova E.S. (ntorm80@mail.ru) - postgraduate; Kechutkina E.L. (kechytkina85@mai.ru) - engineer of the department of building structures; Selyaev V.V. (ntorm80@mail.ru) - specialist; Mordovian State University named after N. P. Ogarev, Saransk, Russia