Об одной граничной задаче теории бесконечно малых изгибаний поверхности

Владикавказский математический журнал январь-март, 2007, Том 9, Выпуск 1

УДК 513.03+517.944

ОБ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ ПОВЕРХНОСТИ

Тюриков Е. В.

В работе рассматривается задача об отыскании бесконечно малых изгибаний регулярной выпуклой поверхности с кусочно-гладким краем при заданной вариации геодезического кручения в направлении края. Найден класс поверхностей, для которых поставленная задача является безусловно разрешимой.

В настоящей работе рассматривается задача об отыскании бесконечно малых изгибаний регулярной односвязной выпуклой поверхности с кусочно-гладким краем, совместимых с граничным условием 5тд = а (задача Ад), где а — наперед заданная функция точек края, 5тд — вариация геодезического кручения в направлении края. Ранее в работах автора [1, 2] был рассмотрен случай граничного условия 5кп = а (задача Ап), где 5кп — вариация нормальной кривизны в направлении края. Впервые задачи Ад и Ап для поверхностей с гладким краем и их приложения к геометрии и механике были рассмотрены И. Н. Векуа [3, 4]. При этом содержание полученных в [4] геометрических результатов определяется тем обстоятельством, что задачи Ад и Ап для односвязных поверхностей с гладким краем не являются безусловно разрешимыми. Интерес к задаче Ад (Ап) в предлагаемой ниже постановке вызван следующими причинами:

1. существуют классы односвязных выпуклых поверхностей с кусочно-гладким краем, для которых задачи Ад и Ап безусловно разрешимы, что позволяет получить ряд новых геометрических результатов;

2. задачи Ад (Ап) согласно [3, 4] можно рассматривать как геометрический аналог задачи о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия упругой выпуклой оболочки при условии равенства нулю нормальных (касательных) усилий на границе ее срединной поверхности, что в случае безусловной разрешимости позволяет сформулировать некоторые новые результаты, относящиеся к безмоментной теории оболочек (см. [5]).

1. Постановка задачи Ад

Пусть йо — строго внутренняя часть замкнутой выпуклой поверхности в Е3, принадлежащей классу регулярности Ш3'р, р > 2. Через , V = (VI,... ,ип), обозначим одно-связную поверхность, являющуюся строго внутренней частью поверхности йо, с кусочно-

п

гладким краем Ь = и Ь., состоящим из конечного числа дуг Ь. класса регулярности 3 = 1

С 1,£, 0 < £ < 1, и содержащим п угловых точек Сз с внутренними углами V/ п, 0 < V,- < 2,

© 2007 Е. В. Тюриков

соответственно, образованными векторами 5,2) с началом в точке с, (0 = 1,... ,п) и задающими направления дуг, сходящихся в этой точке. Здесь точки еj и е,+1 — начало и конец дуги Lj (0 = 1,..., п — 1) соответственно, а началом и концом дуги Ln являются точки еп и сь Рассматривая на поверхности Бо некоторую сопряженно изометрическую систему координат (и1 , и ), отобразим поверхность Би на область Вд, 9 — ($1, • • •, 9п),

п

плоскости (и1,«2), ограниченную кусочно-гладкой кривой Г — и Г, содержащей уг-

¿=1

ловые точки qi с внутренними углами 9jп (0 < 9j < 2, 0 — 1,...,п). При этом набор 9 = ш(^) вполне определен выбором направлений в^, 5,2) в точках Cj на поверхности Бо (см. [4, гл. 2, § 6]) и заданием условий

0 < 9, < 1, если 0 < V, < 1;

1 < 9, < 2, если 1 < ^ < 2

Замечание. Как нетрудно показать, последнее условие выполнено, если поверхность отображается на ограниченную область Вд плоскости (и1,«2).

Следуя [4], систему уравнений бесконечно малых изгибаний поверхности Би в вариациях ёЬ, коэффициентов второй основной формы Ь,¿иМ^ запишем в виде

д^

( — и1 + ¿и2, г2 — —1, д^ — 1 + г Эи^) — оператор комплексного дифференцирования, т — д-2 (ёЬ22 + ¿ёЬц) — комплекснозначная функция изгибаний, д — дцдц — $12, gij (г, 0 — 1, 2) — коэффициенты метрической формы поверхности Бо, В(£) — вполне определенная поверхностью Би функция класса Lp(Вg), р > 2. Внешняя связь вида ётд — а при бесконечно малых изгибаниях поверхности порождает для комплексной функции изгибаний условие

Ч)} — д-2а

^ = 51 (^) + ¿51 (^), ^1, 52 — координаты касательного к Г орта, ^ = П1(£) + ¿П2(С), П1, П2 — координаты орта направления на плоскости (, являющегося образом направления на поверхности Бо, ортогонального направлению кривой L, ) — заданная на Г функция, допускающая разрывы первого рода в точках , и гельдерова на каждой из замкнутых дуг Г,. При этом точки и (,+1 есть начало и конец дуги Г, (0 — 1,..., п — 1) соответственно, а концом дуги Гп является точка Задача (1), (2) есть задача Рима-на — Гильберта (задача Кд) с коэффициентом ^  граничного условия, имеющим разрывы 1-го рода в точках (0 — 1,..., п) комплексной плоскости £ — и1 + ¿и2.

2. Вспомогательная задача Римана — Гильберта

Пусть А(() — А1(() + ¿Л2 (С) — гельдерова на каждой из дуг Г, функция, имеющая разрывы 1-го рода в точках (0 — 1,..., п), |А(£)| — 1. Введем следующие обозначения: , — предельные значения векторного поля I — {А^),Л2(С)} в точке , ^ —

— величина угла между векторами и — п ^ ^ ^ п; при этом

отсчет производится от до а угол считается положительным, если отсчет

ведется против часовой стрелки. Обозначим через £ множество векторных полей I на Г, удовлетворяющих условиям:

1) Для любого поля i £ L в точках гладкости Г угол между вектором i и вектором s направления касательной к Г удовлетворяет условию 0 ^ р ^ п, а отсчет угла производится от i к s против хода часов.

2) В угловых точках выполняются неравенства

0 < (i(-j)'s(-j)) < п> 0 < (i(+j)'s(+j)) < п> (1 = п (j = 1,...,п).

Пусть Zi1,..., Zir — произвольно отмеченные точки (1 ^ ir ^ n, 1 ^ r ^ n), Zfei,..., Zkq — оставшиеся точки из числа Zi,..., Zn (r + q = n), а = (ii,... ,ir), ß = (ki,..., kq) — сочетания соответствующих индексов.

Через LT'/?(Г) (r + q = n) обозначим подмножество множества L векторных полей на Г, для которых выполнены условия

3) 0 < (j < п, j = ii,...,ir (1 ^ ir ^ n);

4) -п < pj < 0, j = k1;..., kq (1 ^ kq ^ n).

Рассмотрим пару вектор-функций i, t £ Lr'q(Г), обозначив через t(-j), t(+j) предельные значения векторного поля t = (ti(Z),Т2(Z)) в точке Zj, ^j — величину угла между векторами t(-j) и t(+j). Всюду ниже полагаем |А| = |t| = 1.

Для удобства дальнейшего изложения введем обозначения: p(i(±j)), p(t(±j)) (j = 1,..., n) — прямые в плоскости (u1,«2), проходящие через точку Zj в направлении векторов i(±j), t(±j) соответственно.

Точку Zk (1 ^ k ^ n) назовем особенной точкой пары (i, t), если пара прямых p(i(±k)) совпадает с парой p(t(±k)).

Неособенную точку Zk назовем нормальной точкой пары (i, t) (или нормальной точкой ), если выполнено одно из следующих условий:

1° векторы i(±k) с началом в точке Zfc лежат по одну сторону от каждой из прямых p(t(±k)), а векторы t(±k) лежат по одну сторону от каждой из прямых p(i(±k));

2° векторы i(±k) лежат по разные стороны от каждой из прямых p(t(±k)), а векторы t(±k) лежат по разные стороны от каждой из прямых p(i(±k)).

Пару (i,t) будем называть парой нормального типа (нормальной парой), если каждая неособенная точка есть нормальная точка, а в особенных точках Zq (1 ^ q ^ n) выполняются условия: i(+q) = t(+q), i(-q) = t(-q).

Замечание. Из определения L^ß следует, что в особенной точке Zs нормальной пары выполняются соотношения

3° !(+s) = -t(-s), ^(-s) = t(+s) (i(+s) = t(-s), ^(-s) = -t(+s)), если s £ а (s £ ß).

Рассмотрим граничную задачу Римана — Гильберта

n

Re{A

j=1

для уравнения (1) в области D, A(Z) = Ai(Z)+ iA2(Z), т(Z) = Ti(Z) + iT2(Z), где i(Z), t(Z) £ Lr'q(Г), r + q = n, причем пара вектор-функций i = {Ai(Z),A2(Z)}, t = {ri(Z),t2(Z)} есть пара нормального типа. Согласно [6], индекс к граничного условия (3) в классе ограниченных решений определяется соотношением

n

к K >

j=i

где х.3 = , ^ — скачок аргумента функции Л(£) = )Т(^) в точке разрыва , взятый с обратным знаком, [а] — целая часть числа а. Введем следующую классификацию точек разрыва (к = 1,..., п) граничного условия (3). Неособенную точку (0 = ¿1, • • •, ) отнесем к 1-му (2-му) типу, если пара векторов разделяет (не разделяет) пару

Неособенную точку (г = кд) отнесем к 3-му (4-му) типу, если пара

, не разделяет (разделяет) пару ?(_г), ¿(+г). Особенную точку отнесем к 1-му (3-му) типу, если г £ а (г £ в). Следствием условий 1°—3° и соотношений 3), 4) являются неравенства

п ^ < + Vi < 2п для точек 1-го типа (i € а);

0 < <j + V j < п для точек 2-го типа (i € а);

—п ^ <k + Vk < 0 для точек 3-го типа (k € в);

—2п < + < —п для точек 4-го типа (s € в)•

При этом < + Vi = п в особенной точке 1-го типа (i € а) и <j + Vj = —п в особенной точке 3-го типа (j € в)•

Обозначим через n(k) (k = 1,..., 4) число точек разрыва k-го типа граничного условия (3). Имеет место

Лемма 1. Индекс к граничного условия (3) в классе ограниченных в D$ решений вычисляется по формуле

к = n

< Обозначим через AjА (Ajт) приращение arg A(Z) (arg т(Z)) по дуге Г (j = 1,..., n) при обходе Г в положительном направлении. По определению L^ß

n n

]T

j=i j=i

Полагая ß = А  т и выбрав arg A(Zi + 0) = ао, argт(Zi + 0) = во) получаем

k-i k-i

arg ß(Ü — 0) = а0 + во + Y Aj(ß + т) + + V^

j=i j=2 fc-i k

arg ß(Zk + 0) = ао + во + J]Aj (ß + т) + + Vj) (k = 2,...,n),

j=i j=2

arg ß(Zk — 0) — arg ß(Zk + 0) = — (<k + Vk) (k = 2, ...,n),

n n- i

arg ß(Zk — 0) = ао + во + Y Aj(ß + т) + + ^

j=i j=2

отсюда из

arg ß(Zi — 0) — arg ß(Zi + 0) = 4п — (< + Vi). Далее, выбирая Л(Z) = —2 argß(Z), имеем

Wi = 2(<i + Vi — 4п), Wj = 2(<j + Vj),

откуда

n

к=

j=2

Формула (6) есть следствие равенства (8) и неравенств (5). >

>j + j + <i + Vi 4

п п

Замечание. Так как в особенной точке (1 ^ я ^ п) пары (I, ?) величина [2^] — целое число, то согласно [6] точка является особенной точкой граничного условия (3) и, следовательно, любое решение задачи (3) ограничено в окрестности этой точки (см. [1]).

3. Разрешимость задачи Ag. Геометрические результаты

Ниже мы следуем обозначениям, используемым в теории кусочно-гёльдеровой задачи Римана — Гильберта для аналитических функций, а также в теории соответствующей задачи для обобщенных аналитических функций (см. [1, 6]). Пусть Zi,..., Zm (1 ^ m ^ n) — произвольно отмеченные неособенные точки из числа Zi,..., Zn. Введем в рассмотрение решение класса h(Zi,..., Zm) задачи , т. е. решение w(Z), ограниченное в точках Zi,..., Zm и допускающее в D^ U U(Zj), где U(Zj) — некоторая окрестность точки Zj (j = m + 1,...,n), оценку |w(Z)| ^ A|Z — Zj|-Qj, 0 < aj < 1, A = const, а величины ay вполне определены парой функций A(Z), т(Z). Класс решений, ограниченных во всех точках Zi,..., Zn, обозначим через ho.

Сведем задачу к случаю, когда область D^ — единичный круг. Пусть Z = ^(z) — конформное преобразование единичного круга G на область D^, в результате которого уравнение (1) и условие (3) принимают вид:

dzwo

Re{Ao

где Во (г) = ^'(г)В[^(г)|, А0(г) = А[р(г)], причем А0(г) есть кусочно-гладкая функция с точками разрыва г. = р-1^.), а производная в окрестности точки г. имеет вид

j

(см. [3, гл. 1]) p'(z) = (z — zj)i/0j-i^oj)(z), где ^j)(z) — непрерывная в окрестности точ-

ки г. функция, причем ^О^ (г/) = 0 (^ = 1,...,п). Таким образом, Во (г) £ Ь9 (С), где 2 < д < 2+р(12-1/е0) при р > 2$о. Будем отыскивать решения задачи (9), (10), принадлежащие классу регулярности Ш1,9, 2 < д < 2+Р(12—1/^0), в любой замкнутой подобласти области С и классу ,..., 1 ^ т ^ п, где 21,..., — произвольно отмеченные неособенные точки из числа ¿1,..., гп. Согласно [6], индекс к граничного условия (10) в классе ^(¿1,..., определяются равенством

п

к = к3'

. =1

где к. = [^] при ] = 1,..., т, и к. = [] +1 при ] = т +1,..., п, — скачок аргумента функции Ло(г) = в точке разрыва г., взятый с обратным знаком.

Лемма 2. Если £ £ (Г), ¿) — пара нормального типа, Zl,• • •, Zm (1 ^ т ^ п) — произвольно отмеченные неособенные точки из числа Zl,• • •, Zn, то индекс соответствующей задачи (9), (10) в классе ..., находится по формуле

к = п — т + п

где п

< Доказательство следует из формулы (6) и конформной инвариантности индекса граничного условия. >

Для формулировки результатов введем следующую классификацию угловых точек поверхности : точку С/ с внутренним углом V.п назовем неособенной точкой к-го типа задачи А (или точкой к-го типа), если

к — 1 к

— < 2

Если V. = к/2 (1 ^ к ^ 3), то точку с. назовем особенной и будем относить к к-му типу. Очевидно, при к = 2 мы имеем точку гладкости, которую формально можно отнести ко 2-му типу.

Рассмотрим граничное условие (2), задаваемое парой в = {^(^),32(С)}, п = |п1(^),П2(С)}, где ) — касательный к Г в точке ( единичный вектор, п(£) — единичный вектор, задающий в каждой точке ( кривой Г направление, являющееся образом ортогонального к Ь направления на поверхности йо в соответствующей точке. Не нарушая общности, будем полагать, что направление вектора ) в каждой точке совпадает с положительным направлением обхода границы Г = дВ, а вектор п(£) с началом в соответствующей точке границы направлен вне области В. При указанном выборе направлений векторов ) и п(£) с учетом (*) имеем:

0 < (в(-г), в(+г)) < п, 0 < (П(-г), П(+г)) < П

в точках (г, соответствующих угловым точкам Сг (1 ^ г ^ п) 1-го и 2-го типа поверхности ¿V;

-п < (в(-/), в(+/)) < -п < (п(-/),п(+/)) < 0

в точках (//, соответствующих угловым точкам с. (1 ^ 0 ^ п) 2-го и 3-го типа.

Следовательно, в, п £ , 9+г = п, г = т(1) + т(2), q = т(3) + т(4), где т(к) — число угловых точек к-го типа (к = 1, 2, 3,4) поверхности , а = (¿1,... , гг), в = (к1,..., кд) — сочетания соответствующих индексов. По построению (в(£),п(^)) в точке разрыва , соответствующей особенной угловой точке Сг, пара прямых р(в(-г)), р(в(+г)) совпадает с парой р(п(-г)), р(п(+г)), причем в(-г) = п(+г), в(+г) = — п(-г), если сг — точка 1-го типа (V = 1/2), и в(+г) = п(-г), в(-г) = —п(+г), если Сг — точка 2-го типа (V = 3/2). Таким образом, если в точке Сг выполняется одно из двух неравенств 0 < V < 1/2, 0 < V < 3/2 (1/2 < V < 1, 3/2 < V < 2), то векторы в(±г) и п(±г) находятся по разные стороны (по одну сторону) от прямых р(п(±г)) и р(в(±г)) соответственно, и, следовательно, (в(£),п(^)) — пара нормального типа. Далее, непосредственной проверкой убеждаемся, что в точке разрыва (г, соответствующей неособенной точке Сг 1-го или 4-го типа (2-го или 3-го типа), пара ¿(¿г) разделяет (не разделяет) пару п(±г). Итак, задача (1), (2) есть задача , причем угловой точке Сг к-го типа (особенной или неособенной) поверхности ¿V соответствует точка разрыва к-го типа (особенная или неособенная соответственно) граничного условия (2) (1 ^ к ^ 4).

Пусть — заданная выше поверхность положительной гауссовой кривизны с краем Ь, содержащим п угловых точек Сг (г = 1,...,п), и пусть С1, ..., Ст — произвольно отмеченные неособенные угловые точки из числа С1, ..., Сп. Следуя [2], введем в рассмотрение бесконечно малые изгибания класса Н(С1,..., Ст), а именно: будем говорить, что поверхность допускает бесконечно малые изгибания класса Н(С1,..., Ст) (1 ^ т ^ п), если

т

на \ и С& определено поле изгибаний, порожденное решением класса Л(£т+1,..., С«) к=1

соответствующей задачи . Через Н0 обозначим класс бесконечно малых изгибаний поверхности , задаваемых решениями класса Л0 задачи .

Теорема 1. Пусть — заданная выше поверхность класса регулярности W3'p, p > 20o, где ^o = max{1, )}, край которой содержит n(k) неособенных угловых точек k-го

типа соответственно I 1 ^ k ^ 4; ^ n(k) = n 1, а ci, ..., cm (1 ^ m ^ n) — произвольно

V k=i /

отмеченные неособенные точки из числа угловых точек ci, ..., cn. Если N = n(i) — n(3) — 2n(4) > 3 — m, то поверхность при условии стационарности геодезического кручения в направлении края ($Tg = 0) допускает точно N + m — 3 линейно независимых нетривиальных бесконечно малых изгибаний класса H(ci,..., cm) и является жесткой в том же классе, если N ^ 3 — m.

Замечание. На основании выражения для функции напряжений можно допустить, что порождаемая соответствующим решением деформация класса H(ci,..., cm) сопровождается «скручиванием» поверхности в окрестности угловых точек ci, ..., cn.

Пусть a = a(s) — произвольно заданная функция точек края L, имеющая разрывы первого рода в точках ci, ..., cn, a(s) G C£ на каждой из дуг Lj (j = 1,...,n), s — натуральный параметр. Имеет место

Теорема 2. Если N ^ 3, то поверхность SV допускает (N — 3)-параметрическое семейство нетривиальных бесконечно малых изгибаний класса Ho, совместимых с условием fog = а.

Теоремы 1 и 2 есть следствия лемм 1 и 2 и результатов (см. [1]) о разрешимости задачи Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций (по И. Н. Векуа) с разрывным граничным условием.

Пусть заданная на L функция а в угловых точках а удовлетворяет дополнительному условию точечного типа a(cj) =0 (j = 1,..., n). Тогда имеет место

Теорема 3. Если N ^ 3, то поверхность допускает (N — 3)-параметрическое семейство нетривиальных бесконечно малых изгибаний класса Ho и непрерывных в D^, совместимых с условием = a.

Теорема 3 есть следствие теоремы 2 и представления общего решения неоднородной задачи Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций (см. [3]).

Литература

1. Тюриков Е. В. Краевые задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей // Мат. сб.— 1977.—Т. 7, № 3.—С. 445-462.

2. Тюриков Е. В. Об одном расширенном классе бесконечно малых изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, № 1.—С. 61-66.

3. Векуа И. Н. Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Мат. сб.—1952.—Т. 31, № 2.—С. 217-314.

4. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.—628 с.

5. Тюриков Е. В. Об одной задаче теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и ее приложении // Сб. трудов участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006.—С. 94-95.

6. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1968.—513 с.

Статья поступила 8 февраля 2007 г.

Тюриков Евгений Владимирович Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ E-mail: tjurikov@newmail.ru