Конечно-частотная идентификация: динамический алгоритм

А

нализ и синтез систем управления

УДК 62-50

КОНЕЧНО-ЧАСТОТНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ: ДИНАМИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ

А.Г. Александров, Ю.Ф. Орлов

Предложен новый алгоритм конечно-частотной идентификации линейного устойчивого объекта в присутствии неизвестного ограниченного возмущения, позволяющий получить более высокую точность. Доказана его сходимость.

Ключевые слова: идентификация, линейные системы, частотный подход, неизвестные ограниченные возмущения.

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему времени разработан ряд методов идентификации объектов управления, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. Эти методы условно можно разделить на две группы в зависимости от предположений о помехах измерения и внешних возмущениях, приложенных к объекту.

Первую из них составляют методы идентификации объектов, помехи и внешние возмущения в которых — случайные процессы с известными статистическими характеристиками. Это различные варианты метода наименьших квадратов и метода стохастической аппроксимации. Их описание приводится в известных книгах [1, 2].

Вторая группа — это методы идентификации при неизвестных ограниченных помехах и внешних возмущениях (с неизвестными статистическими характеристиками): рандомизированные алгоритмы [3, 4] и конечно-частотная идентификация [5].

Особое место занимает метод инструментальных переменных [2, 6]. Разработанный в рамках первой группы он применим, в отличие от других методов этой группы, для решения задач второй группы, и поэтому будем относить его к последней.

Процесс идентификации может быть пассивным либо активным. В случае пассивной идентификации измеряемым входом объекта служит управление, которое зависит от целей объекта и не связано с задачей идентификации. Может случиться что при таком входе идентификация объекта не-

возможна. В связи с этим применяется активная идентификация, при которой измеряемый вход объекта содержит наряду с управлением дополнительное воздействие (испытательный сигнал), предназначенное для идентификации объекта.

Метод конечно-частотной идентификации предназначен для активной идентификации. Испытательный сигнал представляет собой сумму гармоник с автоматически настраиваемыми (самонастраиваемыми) амплитудами и частотами. Число этих гармоник не превышает размерности вектора состояний объекта управления. Самонастройка амплитуд осуществляется для выполнения требований к допустимым границам входа и выхода объекта, которые выполняются, когда испытательный сигнал отсутствует.

Полезно сравнить возможности метода конечно-частотной идентификации с другими методами второй группы, которые являются более общими и могут применяться как для пассивной, так и для активной идентификации.

Рандомизированные алгоритмы предполагают, что испытательный сигнал — случайный процесс с известными статистическими характеристиками и поэтому трудно гарантировать заданные допуски на выходы объекта.

В работе [7] сравниваются возможности методов инструментальных переменных и конечно-частотной идентификации для активной идентификации. Показано, что последний из них дает существенно большую точность при заданном времени идентификации. Это достигается благодаря самонастройке частот испытательного сигнала.

Однако, если внешние возмущения и помехи малы (либо отсутствуют), а процессы в объекте возбуждаемы, в основном, начальными условиями, то ситуация обратная: метод инструментальных переменных дает более высокую точность.

Настоящая работа посвящена динамическому алгоритму конечно-частотной идентификации, который позволяет достичь точности идентификации, близкой к методу инструментальных переменных при малых внешних возмущениях, сохраняя преимущества метода конечно-частотной идентификации, когда процессы в объекте зависят, в основном, от внешних возмущений.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача идентификации состоит в определении

оценок й, и Ь,, I = 0, п - 1, коэффициентов объекта (1) таких, чтобы выполнились требования

|йг - < , если di ф 0 либо

\й< е^, если йг = 0, |ЬI - Ь,| < еь| Ь,|, если Ь, ф 0 либо |Ь¿1 < еь, если Ьг = 0,

к относительной точности идентификации, в ко-

и Ь  г\ 1 торых E¡ и е,, I = 0, п - 1, — заданные положительные числа.

Рассмотрим полностью управляемый асимптотически устойчивый объект, описываемый разностным уравнением

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

у(к) + йп-ху(к - 1) + ... ййу(к - п) = = Ьп-1и(к - 1) + ... + Ь0и(к - п) + /(к - 1),

к = к

к0 + 1, к0 + 2,

где у(к) — выход объекта, измеряемый в момент времени кк ^ t (к — интервал дискретности измерений); и(к) — управляемый (в момент времени кк) вход; /(к) — внешнее возмущение — неизвестная ограниченная фильтруемая фильтром Фурье [8] функция: |/(к)| < /*, к 1 к0 - 1, где /* — число (дополнительное ограничение на эту функцию дается в п. 2.1); к0 ^ ^/к, t0 — начальное время.

Коэффициенты йг и Ь, I = 0, п - 1, неизвестны.

Управляемый вход представляет собой испытательный сигнал

2.1. Частотные параметры объекта

Определение 1 [8]. Набор 2п чисел

а,. = ЯеЦ е^), р. = 1ши< вщ), I = 1, п

— значений передаточной функции

= Ьп -1 г" - 1 + .. . + Ь 1 г + Ьо

п л п - 1 I I

г + йп - 1г + ... + й1 г + й0

на частотах (3), называется частотными параметрами объекта (1). ♦

Для экспериментального определения оценок

аг и (3,, I = 1, п частотных параметров (4) ко входу

объекта (1) прикладывается испытательное воздействие (2). Выход объекта подается на вход фильтра Фурье

и(к) = £ р, яп ю, (к - к и),

г = 1

к 1 ки 1 V

а, = а,(Л) = —л £ у(к)япЮ,(к - ки),

Рг к = к,.

в котором р, > 0 — заданные амплитуды; юг = ю,к,

где ю,, I = 1, п — частоты — заданные числа, удовлетворяющие условиям

0 < ю,к < п, I = 1, п, Ю; ф ю ,, I ф /'.

г р J

Испытательный сигнал прикладывается к объекту в момент времени t = кик, до которого функция (2) принимает нулевое значение: и(к) = 0 при

к0 т к т к.

0 и

в г = в,( N) = £ у( к) ес8 ю, (к - ки),

Рг к=к„

I = 1, п ,

где кик — момент начала фильтрации, Лк — время фильтрации, N = 1, 2, ... Предполагается, что Лк кратно базовому периоду Т& = 2л/ю5, где ю5 =

= шт(юр Ю2, ..., юп).

Решение уравнения (1) имеет следующую структуру:

у(к) = ух(к) + уи(к) + уг (к),

п

к + N - 1

К + * -1

где

= Z Р/(а/sin - + ßiCOS (k - кД

г = 1

компоненту >y(k) образуют ненулевые внешние возмущения, компонента yx(k) — исчезающая функция: lim yx(k) = 0. Эта функция зависит, в част-

k ^ <я

ности, от ненулевых начальных условий y(k0 — 1), У(к0 - 2), ..., y(k0 - n).

Пусть /га (N ) и /f (N ) — выходы фильтра Фурье, при u(k) = 0, k l k0 (yB(k) = 0).

Определение 2 [8]. Возмущение f(k), k l к0 — 1 называется ФФ-фильтруембш (фильтруемым фильтром Фурье) на заданном наборе испытательных

частот юг, i = 1, и, если существует время фильтрации N*h такое, что выполняются неравенства

|/а(N)| m £а, |/в(N)| m £в, i = TTn, N l N*,

в которых в" и se , i = 1, n — заданные числа. Если это возмущение таково, что lim /га (N) =

N ^с

= lim /в (N) = 0, i = 1, n, то оно называется строго

N — да

ФФ-фильтруемым. ♦

В частности, строго ФФ-фильтруемым является возмущение вида

f

v = 0

неизвестных частот , таких что | | ^ | ю,-1, i = 1, n

и фаз ф^^, v = v,». Для того чтобы функция (7) была ограниченной, ее неизвестные амплитуды должны удовлетворять при этом неравенству

да

^ Ifl m f *, где f * — известное число.

v = 0

ФФ-фильтруемость может быть проверена экспериментально.

Оценки (5) частотных параметров сходятся [8] к истинным значениям при любых ограниченных строго ФФ-фильтруемых внешних возмущениях:

lim a,.(N) = а., lim ß.(N) = ß,, i = ТТП.

N — да 1 1 N — да

2.2. Частотные уравнения и статический алгоритм

Сформируем уравнение

Ъ

где искомые полиномы Ь (4) = Ьп _ 1 4 + Ьп _ 2 42 + ... ... + ¿1 4п-1 + ¿о 4П и Ъ (4) = ^ _ 1 4 + ~Ъп _ 2 42 + ...

... + Ъ1 4п-1 + Ъ0 4п.

Это уравнение имеет единственное решение

d = d и b = Аг, i = 0, n - 1

Разделим уравнение (8) на Ъ(4), положим

4г = е и, учитывая выражение (4), получим следующую систему 2п уравнений:

п .— п .-

I ¿п - V - (а, + Ув,) I Ъп - V = а + уРр

V = 1 V = 1

i = 1, П .

Если объект полностью управляем, а испытательные частоты удовлетворяют условиям (3), то система линейных алгебраических уравнений (10) имеет единственное решение (9).

Статический алгоритм идентификации [8—10] состоит в определении оценок частотных параметров с помощью фильтра Фурье (5) и решения

частотных уравнений (10), где а,. = а, и рг = в,, / = 1, п .

Этот алгоритм имеет следующий недостаток. Пусть компонента ух(к) в выражении (6) доминирует:

|ух(к)| > |у„(к) + у/к)|, к = ко, ко + N1 - 1.

В этом случае точность идентификации в момент времени (к0 + N1 — 1)й может быть мала. Ниже приводится новый алгоритм, который лишен этого недостатка.

3. ДИНАМИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ

Умножим каждое из N уравнений

пп

У(к) + I Ъп - ^(к — V) = I Ьп - ^(к — V) + /(к — 1),

V = 1 V = 1

k = kM, ku + N - 1

n

на модулирующие [11] функции sin 5, (k - ku),

cos 5¿ (k — ku), i = 1, n и после суммирования по k получим:

ku + N - 1

£ y(k)sin 5, (k - ku) +

k = ku

k,. + N- 1

+

£ dn - v £ y

v = 1 k = k,.

£ bn - v £ u(k - v)sin 5, (k - ku) +

v = 1

k = k,.

+ £ f(k - 1)sin5¡ (k - ku), i = 1, n;

k = k„

£ y(k)cos 5, (k - ku) +

k = k,.

+ £ dn - v £ y(k - v)cos5, (k - ku) =

v = 1 k = ku

n ku + N- 1

= £ bn - v £ u(k - v)cos5, (k - ku) +

v = 1

k = k,.

+ £ f

k = ku

Введем векторы y s [y(ku)y(ku + 1) ... y(ku + + N - 1)]T, f s [f(ku - 1)f(kJ ... f(ku + N - 2)]T, y(k) s [y(k - 1)y(k - 2) ... y(k - n)]T, u(k) s [u(k -- 1)u(k - 2) ... u(k - n)]T, d s [dn-1 ... d1d0]T и b s [bn-1 ... b1b0]T и матрицы

S s

N

0

sin5

0

sin5

sin 51 2 sin 52 2 sin 51

0

sin 5n sin 5n 2

C s 2

N

1

cos 51 cos 512

1

cos 52 cos 52 2

cos 51 (N - 1) cos 52 ( N - 1) .

. 1

. cos 5n . cos 5n 2

. cos 5n

Ys

u(ku + 1) ... u(ku + N - 1))T.

Тогда система уравнений (11) примет вид

где

M =

M9 = vy + vf,

-STY STU

-CT Y CTU

л r -.

, v = STy

' y ) _cTy

9 =

и vf =

-STf

-CTf

Здесь на пересечении v-го столбца и i-й стро-

ku + N - 1

T

ки у блока -ST Y стоит элемент — £ y(k — v) х

k = ku

__T

s sin a¡ (k — ku), у блока S U соответственно

ku + N - 1

__T

£ u(k — v)sin a¡ (k — ku), у блока — C Y стоит

k = ku

ku + N - 1

__T

элемент — £ y(k — v)cos a¡ (k — ku), у блока C U

k = k,.

соответственно

£ u(k - v)cos 5¿ (k - ku); v-

й эле-

k = k„

мент столбца ^ у имеет вид £ у(к^тю„ (к — ки),

к = ки

ки + N - 1

т

у-й элемент столбца С у соответственно £ у(к) х

к = ки

__Т1

х cosюl, (к — кн); у-й элемент столбца —^ Г имеет

ки + N - 1

вид — £ /(к — (к — кн), у-й элемент

к = ки

ки + N - 1

т

столбца —С{ соответственно — £ /(к — 1) х

к = ки

X (к - ки).

Элементы матрицы М и вектора уу системы уравнений (12) вычисляются по измеряемым входу и выходу объекта (1). Вектор у. неизвестен, так как

/(к — 1) не измеряется. Поэтому оценку 0 вектора

ku + N - 1

n

ku + N - 1

k + N - 1

к + N - 1

n

ku + N - 1

ku + N - 1

ku + N - 1

параметров объекта будем искать на основе уравнения

M(N) 0 = vy(N).

Очевидно, что решение 0 = М \у последнего существует, если ёйМ ^ 0 и совпадает с истинным значением 0 при Уу = 0.

Утверждение 1. Если внешнее возмущение строго ФФ-фильтруемо, то при N ^ матричное уравнение (14) сходится к системе 2п уравнений (10). ♦

Доказательство приведено в Приложении.

Алгоритм идентификации состоит из следующих операций.

1. Формируем матрицу М^) и вектор ) системы (13) для каждого N, N = 1, 2, ...

2.Решая систему линейных уравнений (14), вычисляем оценки 0^) для каждого N, N = 1, 2, ...

4. ПРИМЕР

Пусть имеется полностью управляемый асимптотически устойчивый объект, описываемый разностным уравнением

у(к) — 2,937у(к — 1) + 2,877у(к — 2) —

- 0,940y(k + 5,235

3) = -9,712-10 5u(k - 1) +

10 6u(k -2) + 9,674-10 5u(k - 3) +

+ 8,205-10 7/(k - 1) + 3,231-10 /(k - 2) +

6

+ 7,954-10 7/(k - 3), k = 1, N,

с возмущением /(к) = 81§п(8ш0,0275к).

На вход объекта подается испытательный сигнал

и(к) = 3^т0,002к + 8т0,01к + 8т0,05к).

Задача состоит в том, чтобы по известным (полученным в результате моделирования уравнения (15)) значениям у(к) и и(к) найти оценки коэффициентов передаточной функции объекта.

Примечание 1. Разностное уравнение (15) соответствует дифференциальному уравнению [12] у + 6,2 у + 26,2 у + 5у = — 2 М + 5м + /и получено путем дискретизации последнего с интервалом дискретности к = 0,01 с. Для сравнения результатов идентификации с коэффициентами передаточной функции

= ---

5 + 6,25 + 26,2 5 + 5

дискретное описание объекта преобразуется к непрерывному. ♦

Численные эксперименты проводились в системе МДТЬДВ.

Первый эксперимент. Пусть начальные условия у(0) = у(—1) = 0 и у(—2) = 1. Передаточная функция идентифицированного объекта при N = 75 имеет вид:

- (с) = -6,01 • 10-У - 1,9375 + 4,905 ^ (5) = -2-.

+ 6,1995/ + 26,1985 + 4,983

Второй эксперимент. Используем при тех же начальных условиях статический алгоритм идентификации из п. 2.2. Передаточная функция идентифицированного объекта при N = 75 имеет вид:

w (s) =

566, 74s2 - 2 1 7 s + 11 4, 8 s3 + 2,947 s2 + 4,142 s + 0,2298

Примечание 2. Точность идентификации в первом эксперименте с помощью статического алгоритма достигается при N = 94 500 (при этом приходится ждать 31,5 с, пока «успокоится» переходный процесс). Передаточная функция в этом случае имеет вид

w (s) =

= 0,01598 s2 - 2,083s + 5,197

s3 + 6,354s2 + 27,17 s + 5,209

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой работе построен динамический алгоритм конечно-частотной идентификации. Он позволяет получать более высокую точность идентификации в случае, когда в решении уравнения объекта доминирует компонента ух(к), зависящая от начальных условий. Если в решении доминирует компонента уу(к), то точность результатов идентификации, полученных статическим и динамическим алгоритмами, близка.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения 1. Введем функции

ки + N -1 _

и -]<а,

с.(5,, N) = X '(*) е ' " ,

к = ки

кш + N-1 -

с?) (5,, N = X '(к - V) е ^к-ки), V = ,

к = ки

значок • в определении которых используется для компактности как один из трех символов (у, и либо f). Эти функции связаны как

с™

где

(5,., N) £ -(к - V) е

к = ки

ки + V-1 -

и »,( к-ки) -

— £ *(к — V) е , г, V = 1, и.

к = ки + N

Преобразованная с учетом формулы Эйлера система (11) в этих обозначениях примет вид

К, + V - 1 -

u -j <Di

Cy( 5,, N) + 2 dn - v cf (5,, N) =

V = 1

n

= 2 bn - vc

V = 1

Обозначим

W

cB

cB

(V)/

8IN

, 8 л V (^ ') =

Су

8

С/

Система (П2) с учетом выражения (П1) в обозначениях (Пз) примет вид

.- п .— .—

—е"»') £ (е--'* + 8|N (е"»' )Ч _ у +

V = 1

п .- .- .-

+ £ (е-^ + (е"»' ))Ъ„ _ у = (е"»') —

V = 1

(N0 /• "»'Ч/ , с.(м) / "»'чч • 1- /ТТ/1Ч

— м/ (е )(е + 8(1 1 (е )), г = 1, и . (П4) Выпишем уравнение (10) с учетом формул (4) и (9):

-W(e ) 2 e dn - v +2 e bn - v = w(e )'

V = 1 V = 1

i = 1, n .

Нетрудно видеть, что уравнения (П4) и (П5) совпадают, если

(a) lim w(N)( e) = w( e),

N — ю

(b) lim w(N) (e) = 0,

N —• ю f

(c) lim 8« (e) = 0,

N -

(d) lim 8bN) (ej<B') = 0 и

N-

(e) lim 8^ (ej5') <

N — ю

Доказательство каждого из этих соотношений начинается с индекса, обозначающего это соотношение.

(а) Подставим выражение (6) в формулу для Су( 5;, N):

Cy( 5;, N) = 2 У(к) e

к = к

-jfflj

= CyX(5, , N) + CyU(5, , N) + Cf5, , N), i = I, П .

В силу асимптотической устойчивости объекта имеем

.. c (5,-, N) 1

lim . '—- = lim 1

N- ю N N- ю N

= lim N 2 У*(к)<

-jfflj

= 0,

к = i = 1, n ,

а в силу строгой ФФ-фильтруемости внешнего возмущения соответственно

= lim 1

N- ю N N- ю

lim = lim N 2 y/k)e-jffl'(k-ku) = 0,

k = ku

i = 1, n . Нетрудно видеть, что

»74 К, + N- 1 -

C-(5^) = 1U2 y«(k) e-jffl'(k-k») = k = k„

TV

ß - j a ,• + ß i + j « , e j ' -1

v

2N -Ä

e -1

+ 22 Pvl^j  e _ _ - +

1 ß + -j'(v + i) N Л

-1 ßV + jaV e v ' -1|

. 2N j(v- i) i v = 1 4 e v -1

V Ф

2N -j(fflv +

e v ' -1

Аналогично, можно показать, что

c„(5;, _ P,

N

+ v _p- | e' 2 2-jN

2j

j(fflv- i) N

1-ie - 1

N -/2ю; e -1

+

1 e-j'(fflv + i) N Л

= 12jN ^ ej(v-i) i e-/'(v + i) i.

V ^ ,

Таким образом,

lim w(N)(e) = lim Су( 5'' , N) = lim

N — ю N — ю C((5;, N) N — ю C((5;, N)/N

= P-/2j = + j'ß' = W( e), i = ^.

(b) В силу строгой ФФ-фильтруемости функция Су(5,, N), i = 1, n ограничена и следовательно

Г (NW j'>4 1  Cf(5;, N) lim wf ; (e ') = lim - =

суц(5г, N)/N

N- ю

N — ю cB

.. Cf(5,, N)/^ . r-

= lim - = 0, i = 1, n .

N — ю C„(5;, N)/N

к + N-1

к + N- 1

P

V

(с) Предельное равенство

lim 8« (ej5') = .lim ^'N) =

N — ю

N — ю cy

= lim

N —о

8^(5,-, N)/N+ 8^2(5,-, N)/N+ sf (5,-, N)/N

cyx(5;, N)/N + cyB(5,, N)/N + cf(5, N)/N '

i, v = 1, n .

В силу асимптотической устойчивости объекта (1):

lim 8^ = lim 1 +£ 1 ^

at ч ^ AT

N — ю N N — ю N

k = k„

yx(N + k - v) e jffl'N) = 0, i, v = 1, n .

В силу ФФ-фильтруемости внешнего возмущения:

-/^

lim8^ = fm. 1 ku ^ e........."

N— ю N N— ю N

k = k„

- yf(N + k - v) e jffl'N) = 0, i, v = 1, n . Из ограниченности функции

8yU (5,, N) = £

k,, + v -1 -

u -/fflj

k = k„

- yu(N + k - v) e ' ), i, v = 1, n ,

следует

Г «.(N), .. 8^(5,, N)/N . —

lim 8d V (e ') = lim ----— = 0, i, v = 1, n.

N — ю  N — ю cyu(5;, N)/N

(d) Из ограниченности функции 8UV) (5,, N) следует:

,• c(N), >¡4 ,• S(„v)(5;, N) 5UvJ(,-, N)/N n lim SbNv) (e ' )= lim " _ ' —- = lim " _ ' —— = 0, ' N^ СЦ(Ш;, N) СЦ(Ш;, N)/N

i, v = 1, и .

(e) Из ограниченности функции S(1) (5;, N) = f(ku — — 1) — f(ku + N — 1) e jffl,N, i = 1, и , следует:

г

lim wf ' (e ') Sm i (e ') = lim —-- =

N' NСЦ

.. S^1)(5', N)/N . —

= lim ^- = 0, i = 1, и .

NСЦ(Ш;, N)/N

Утверждение 1, таким образом, доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомин В.Н, Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

2. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. — М.: Наука, 1991. — 432 с.

3. Граничин О.Н., Поляк Б.Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. — М.: Наука, 2003. — 291 с.

4. Бунич А.Л., Бахтадзе Н.Н. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором. — М.: Наука, 2003. — 232 с.

5. Alexandrov A.G. Finite-frequency method of identification // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification. — Copenhagen, Denmark, 1994. — Vol. 2. — P. 523—527.

6. Wong K.Y., Polak E. Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable approach // IEEE Trans. Automat. Control. — 1967. — Vol. AC-12. — P. 707—718.

7. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Сравнение двух методов идентификации при неизвестных ограниченных возмущениях // Автоматика и телемеханика. — 2005. — Т. 66, № 10. — С. 128—147.

8. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация дискретных объектов // Тр. 6-го Санкт-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем, посвященного памяти Я.З. Цыпкина. SPAS'99. — СПб., 7 — 9 сентября 1999. — Т. 2. — С. 5—8.

9. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. Frequency adaptive control of multivariable plants // Preprints of the 15th Trienial World Congress of the IFAC. — Barcelona, Spain, 21—26 Jily 2002. On CD-ROM T-Th-M03-3.

10. Alexandrov A.G. Finite-frequency identification: selftuning of test signal // Preprints of the 16th IFAC World Congress. — Prague, Czech Republic, 3—8 Jily 2005, CD-ROM.

11. Shinbrot M. On the analysis of linear and nonlinear systems // Trans. ASME. — 1957. — Vol. 79. — P. 547—552.

12. Graebe S.F. Robust and adaptive control of an unknown plant: A benchmark of new format // Preprints of 12th World Congress of IFAC. — Sydney, Australia, 1993. — Vol. 3. — P. 165—170.

Статья представлена к публикации членом редколлегии Ф.Ф. Пащенко.

Александров Альберт Георгиевич — д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, (495) 334-76-41, И alex7@ipu.rssi.ru,

Орлов Юрий Феликсович — д-р физ.-мат. наук, профессор, Электростальский политехнический институт, (49657) 5-36-55, И yu_orlov@mail.ru.

Наш новый адрес в Интернете: http://pu.mtas.ru

Редакция