Оптимальная по порядку оценка решения двумерной обратной задачи Стефана

ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Предложено решение одной двумерной граничной обратной задачи с подвижной

границей оптимальным по порядку методом. Впервые для такого класса задач

получена точная по порядку оценка решения.

Ключевые слова: обратная задача Стефана, метод проекционной регуляризации, оптимальная по порядку оценка,.

Введение

Многомерные математические модели описывают реальные процессы более адекватно, чем одномерные, потому постановка и решение многомерных обратных задач математической физики крайне востребованы и имеют огромное практическое значение.

Широким классом обратных некорректно поставленных задач математической физики являются так называемые обратные задачи Стефана [1], то есть задачи, в которых границы рассматриваемых областей могут со временем менять своё положение. Подобная задача возникает, например, при исследовании процессов непрерывной разливки стали. В этом случае наблюдается фронт фазового перехода, который со временем перемещается. При этом возникает задача определения температуры на границе зоны вторичного охлаждения. Разливка осуществляется внутри цилиндрических труб, а потому ясно, что адекватное описание процесса может дать двумерная задача на цилиндре.

Одна из таких задач предложена и решена в настоящей статье. Впервые для подобной задачи получена оптимальная по порядку оценка решения.

1. Постановка задачи и сведение её к одномерному случаю

Рассмотрим дифференциальное уравнение

в котором x, y Є K, K — кольцо, ограниченное окружностями Г1 и Г2 с радиусами ri и hit) > ri соответственно (то есть внешняя граница кольца со временем перемещается), t ^ О, h(t) — непрерывная, ограниченная, строго возрастающая

функция, причём к(0) = к0 > 0, А = -7—т + -7—т — оператор Лапласа.

дх2 ду2

Пусть известны следующие начальные и граничные условия:

u(x, y, О) = О, x,y Є K,

u\r2 = О, t ^ О,

\ grad u\

Г 2

а граничное значение и|гх функции и(х,у,Ь) подлежит определению.

Будем искать решение этой задачи, удовлетворяющее условию осевой симметрии, то есть такое, что

u(x, y,t) = u^x2 + y2,

Выполнив замену переменной z = \jx2 + y2, задачу (1)-(4) можно свести к сле-

дующей:

дuiz,t) д2uiz,t) І дuiz,t)

+-------тт^ t ^ О, ri ^ z ^ hit),

at

дz2 z дz

u\t=o = О, ri ^ z ^ ho,

u\z=h(t) = О, t ^ О,

ди

дz

z=h

а определить требуется

u\z=n = Uo(ri,t).

В полученной задаче сделаем замену

u(z, t) = v(z, t)  z-2 ,

тогда задача (6)-(10) принимает следующий вид:

dv(z,t) d2v(z,t) 1

10)

m

дz2

+ viz,t), t ^ О, r1 ^ z ^ hit),

4z2

v\t=o = О, ri ^ z ^ ho,

v\z=h(t) = О, t ^ О,

дv

дz

Ф(і)л/hit), t ^ О,

z=h

а определить требуется

v\z=ri = vo iri,t).

:ii)

;i2)

13)

;i4)

:i5)

Для исследования и решения полученной задачи (11)—(15) сделаем замену

X — Т\

аргумента 2 = ---------- и искомой функции у1(2,Ь) = у(2(к(Ь) — Т1) + т^Ь). То-

к(Ь) — т1

гда от задачи с подвижной границей можно перейти к задаче с неподвижной границей и уравнение (11) при Ь ^ 0 и 2 Е [0, 1] примет вид

дv1iz\t)

ді

І

д2 vi iz,t)

+

І

ihit) — r1)2 дz2 Affihit) — r1) + r1)2

условия (12)—(14) перепишутся в виде

v1(z, 0) = 0, z Е [0,1],

1б)

:i7)

vi

dvi

d Z — d z b=1

а граничное условие (15) примет вид

vi(0,t) = vio (t).

Из [2, с. 266] следует, что в задаче Стефана граница h(t) определяется формулой

^ = -т).

где ф({) определена формулой (4) (или (9)), а k > 0 — известная константа. Из (20) следует, что

t

h

o

Так как функция ф^) известна, то из формулы (21) следует, что свободная граница h(t) также известна.

Перепишем уравнение (16) в виде

\28vi(z,t) д2vi(z,t) , 1

(вд— ri) —^ = -----------—г?vi(M)>

4 z +

h(t) - ri ri

а также переобозначим ----------------= hi(t) и получим уравнение

h(t) - ri

r2 8vi(z,t) 82vi(z',t) 1

= "^ + ‘ >0 zЕ |01]. <22>

В уравнении (22) сделаем ещё одну замену переменной, а именно, положим

t

г hi

s = b(t), где b(t) = —2— dr. Новую неизвестную функцию обозначим

J ri

0

v2

Подставив функцию v2 ( z, s), определяемую формулой (23), в уравнение (22), по-

лучим

8v2(z, s) д2v2(z,s) 1 _ . ^

~дГ~ = 8-2 + 4

где bi(s) = г1Л/b'(b-i(s)). Начальное и граничные условия (17)—(19) примут вид

v2

и2

^ = /

дХ Ь=1

где f (в) = (к(Ь-1(в)) — т1)ф(Ъ-1(з))\/к(Ь-1(в)). Определению подлежит граничное значение г>2(0, в).

Наконец, в полученной задаче (24)-(27) сделаем ещё одну замену аргумента X = 1 — 2и искомой функции г>2(1 — Х,8)= и1(х, в). Тогда функция и1(х, в) будет удовлетворять следующей задаче:

тг1- ^ ‘таг"'"1 • > " ‘6 м-

«1

и1

'и1 = f

х=о

дХ

где Ь2(в) = —1 — Ь1(в), а граничное значение и1(1, •) подлежит определению.

Эта задача (см. [3]) является некорректно поставленной (неустойчивой), и, как будет показано далее, изометричное преобразование приводит её к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Кроме того, при естественных ограничениях на функцию f (•) (см. [3, с. 33]) она имеет не более одного решения.

Предположим, что при f (•) = Д)(в) Е Ь2(0, то) существует точное решение и 10 (1,в) ф 0 поставленной задачи, которое принадлежит пространству Соболева (0, то) (см. [4, с. 102]), причем для этого решения и10(1, 0) = и'10(1, 0) = 0 и существует число Т такое, что при • ^ Т и10(1,в) = 0. Кроме того, и10(1,в) Е

Мг, где Мг = |и10 Е ЭД721

нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение fs(в) Е ^^2(0, то) и уровень погрешности 8 > 0, такие, что ||^ — fs\\ь2 ^ 8. Требуется, используя исходные данные fs, 8, и Мг задачи (28)—(31), построить приближенное решение и^ (в) и оценить его уклонение ||и10 — и1г ||^2 от точного решения и10(в) = и10(1, в).

Используя метод разделения переменных и теорию бесселевых функций (см. [5]), можно показать, что к задаче для уравнения (6), а значит, к задаче (28)—(31) можно применять преобразование, аналогичное преобразованию Фурье на полупрямой по в в предположении, что

и1

2. Сведение к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Учитывая (32), в качестве рабочего пространства Н возьмем комплексный вариант Ь2(0, то) над полем действительных чисел, то есть его элементы имеют вид п(і) + іу(і), где п,ь Е Ь2(0, то), и норма в нем определяется по формуле

IIи + Ъ'иЦ'Нн = Ци|Ц2 + 1МЦ2. Тогда пространство Н будет гильбертовым, а преобразование Фурье на нем определим следующим образом:

Р Іп(і)]

— I п(і)б 0

— ІТІ

Из теоремы Планшереля, сформулированной в [6], следует изометричность преобразования Г, определенного формулой (33).

Применяя к уравнению (28), с учетом условия (32), преобразование Фурье Г, получаем

^21

йх2

+ В{х,т) * Щ

1

где 21(Х,т) = Г[ul(X,•)], В(х,т) = Г

|_4(Х + Ь2(в))2 _

рацию свёртки по переменной т (см. [6; 7]).

, символ * обозначает опе-

Для уравнения (34) поставим задачу, добавив условия

м1(0, т) = 0, т ^ 0, йп1

йх

/(т), т ^ 0,

х=о

где /(т) = Г У (Ь)]. Из (34)—(36) требуется определить 21(1,т), т ^ 0.

Поскольку 21(х, 0) = 0, то далее будем рассматривать значения т > 0. Рассмотрим задачу Коши (34)-(36). В силу свойств дифференциальных операторов и линейных дифференциальных уравнений (см. [8]), если е1(х,т) и е2(х,т) — линейно независимые решения (34), то общее решение (34) имеет вид

21(Х,т) = С1(т )е1(Х,т) + С2(т )е2(Х,т).

Используя (35), (36), находим:

м1

«1

еі

С1

0

/

Тогда решение задачи Коши (41)-(43) определяется из равенства

1

«1

е1

61

0

/

При т > 0 получаем, что

21(1,т) = e(т)f(т),

где функция е(т) получается простым перемножением всех матриц в последнем матричном равенстве и имеет вид

е2

6

е1(0,т)е2(0, т) — е2(0, т)е1 (0, т)’

Требуется оценить сверху и снизу величину |е(т)|. Для этого найдём оценки сверху и снизу модулей всех функций, входящих в правую часть (38).

3. Первое решение задачи

Рассмотрим интегральное уравнение

х

е1

3 Цо\/ т

о

где 1л0 = \Г% = ^(1 + %), х,£ Е [0,1], т > 0. Нетрудно убедиться, что если уравнение (39) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения

(34).

Для удобства вычисления свёртки, чтобы не вводить новых обозначений, будем считать е1 функцией аргумента у/т.

1 СЮ

Теорема 1. Пусть интеграл 11

Ш.

\В(^,0)\б V'2сходится, тогда су-

00

ществует число т0 > 0 и постоянные с1 > 0, с2 > 0 такие, что для всех т ^ т0 выполняется оценка

с1е'/2^ ^ |е1

Кроме того, при т ^ т0,т ^ +то справедливо равенство

Доказательство. Выполним в уравнении (39) замену

1

^1

б^оу/Тх

61(х,т),

тогда оно примет вид

^1(х,т) = 1 -

вЬ^ол/т(х — О

110^Г6^о^Тх

Найдём оценку для величины

зНуру/т(х — О \10^тб^х

В(£,т) * 6^^ с!£

. Из

определений гиперболического синуса и модуля комплексного числа получаем,

ут(х-£) , т ,

что при т > 0 \вЬ Ц0у/ т (х — 0\ < 6 V'2 . Кроме того, очевидно, что |еМо^ Тх| =

ут

= 6^2х. Тогда из определения и свойств свёртки на интервале (0, то) следует, что

вЬ Црл/т (х — £) \10^т6^х

х оо

-±=1 |В(Є,9)\6-Й< А

00

I 1

Таким образом, найдётся значение т0 > 0 такое, что д1 = < — для всех

'т 2

т ^ т0. Покажем теперь, что решение уравнения (42) можно искать в виде

ГО

^1

и=0

X

X

X

х

где £ю(Х,т) = 1, £1и+1(Х,т) = х ) В(^,т) * ^(^,т) ^

о

Применяя индукцию по V, можно показать, что (х,т)| ^ 4{, где V = 0,1, 2,...

1 СО

Поскольку д1 < —, то ряд ^ ' е1и(х,т) равномерно и абсолютно сходится при

и=0

X Е [0,1], т ^ т0 и его сумма е1 (х,т) равномерно ограничена при т ^ то. Тогда получаем оценку

С1е^ |е1 (х, т) | ^ С2е.

Здесь С1 = 1 — —^~ и с2 = 1 + ^

1 - qi 1 - qi

Продифференцируем уравнение (39) по переменной х:

X

е1(Х,т) = LioVre^X - J ch fioVr(Х - О [В(£,т) * ei(^,r)]d£.

0

Тогда при т ^ +то, используя (40) и неравенства для модуля суммы и разности, получаем, что выполняется равенство (41).

4. Второе решение задачи

Рассмотрим интегральное уравнение

V2

е2

J HoV т

X

где ц0 = \fi = ^(1 + i), х Е [0,1], т > 0, £ Е [х, л/2]. Легко проверяется, что если уравнение (43) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения (34). Как и в случае с функцией e1, чтобы не вводить новых обозначений, будем считать е2 функцией аргумента \J~r.

V2 сю

Теорема 2. Пусть интеграл I2 = J j \В(£,9)\eТ2^d9d£ сходится, тогда су-

00

ществуют число т0 > 0 и постоянные с3 > 0, с4 > 0 такие, что для всех т ^ т0 выполняется оценка

с3е~^ ^ \в2(х,т)\ ^ С4е-.

Кроме того, при т ^ т0, т ^ справедливо равенство

\е2(Х,т )\ = ^те~ (1 + 0(1)).

Доказательство. Выполним в уравнении (43) замену

£2<Х'т ) = е2(Х-Г >

тогда оно придет к виду

л/2

Є2(Х,Т) = 1 -

вЬ ^оу/г

/10 л/тв-^0^Тх

В(С,т) « е-^Єі&тЯ <Є

Далее действуем аналогично предыдущей теореме и находим с3 = 1 —

42

С4 — 1 +

42

1 — 42

и

1 — 42

Всюду в дальнейшем будем считать, что условия доказанных теорем выполнены, кроме того, примем за т0 > 0 то значение, начиная с которого выполняются все оценки из доказанных теорем.

5. Оценка величины |е(т)|

Следствие 1. При с2 — 2, с4 — 2 и т ^ т0 найдутся постоянные с5, с6, с7 и с8 такие, что справедливы оценки:

с7л/те ^х ^ \е2(х,т)\ ^ с8Л/те Доказательство сразу же следует из теорем 1 и 2, если принять с5

се

1 — сі 2

, св

1 + сі. 2

1-с2

Следствие 2. При т ^ т0 и с!с7 = с4с6 решения в1(х,т) и в2(х,т) линейно независимы, а значит, образуют фундаментальную систему решений уравнения (34).

Доказательство. Достаточно доказать, что определитель Вронского, составленный из этих решений, не равен нулю.

W

е1

е1

еі(х,т )е2(х,т) — е2 (х.т )е1(х,т )•

Воспользуемся оценками модуля суммы и разности, тогда из теорем 1, 2 и формул (44) следует, что

\[Г\C1C7 - С4Сб| ^ № (в! ,в2)\ ^ л/т(С2С8 + С4С6).

Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.

Заметим, что выполнения условия с!с7 = с4с6 всегда можно добиться в силу произвольности выбора констант д! и д2 из теорем 1 и 2.

Следствие 3. Для функции в(т) при т ^ то и с!с7 = с4с6 имеет место оценка

ф-

Доказательство. Следует из формулы (38), теорем 1 и 2, а также формулы (44), если применить неравенства для модуля суммы и разности и обозначить

С2С4 С2С4

Со, — ---- ------, Сю — --------г.

С2С8 + С4С6 |С1С7 — С4С6 \

Из следствия 3, в частности, получаем, что при т ^ т0 выполняется е(т) — 0.

6. Метод проекционной регуляризации

и оптимальная по порядку оценка решения

Рассмотрим интервал 0 < т ^ то и будем считать, что для таких т функция /(т) — 0. Выполним в задаче Коши (34)-(36) замену

и1(Х,т) = ез(Х,тШт), т € (0,то], X € [0,1].

Тогда получаем

Л т) + в(Х,т) * /(т)ез(Х,т) — гтез(Х,т), т € (0,то], 0 ^ X ^ 1,

ЛХ2 /

ез(0,т) — 0, т € (0,то],

Лез 1 /п и

=о=1, т € <0-то1-

Данная задача Коши имеет единственное решение, а потому выполнено равенство м1

при т € (0,т0] является корректной и справедлива оценка |м1^ — м10|| ^ с11 8, где

С11 = sup |Єз(1, т)|2

ут Є(0,то]

Используя формулу (44) и обозначив і1(1,т) = i1 (т), перепишем нашу задачу в виде операторного уравнения

{,] \ І1 (т) при т Є (0, тэ];

eзl<1’т)

—-іа

где A1 : H ^ H.

Пусть і10(т) Є W2(0, ж) — точное решение полученной задачи, соответствующее точно заданной правой части /0(т), тогда по условию задачи найдется постоянная r > 0 такая, что |i10||2 + ||i10|||2 ^ r2.

оо

- Да -• t

Как и ранее, определим i10(т) = \ — u10(t)e гт dt. Тогда

0

__ СО

2 f ' -гті „

і10(т) = гт\/-J u10(t)e гт dt = гтІ10(т).

0

И потому для точного решения справедливо неравенство (1 + т2)||и0||2 ^ г2.

При т € [0, т0] задача решена, оценка решения найдена выше, потому далее будем рассматривать следующую некорректную задачу при т ^ т0 (задачу вычисления значений неограниченного оператора):

Аи1

е

где А : Н ^ Н.

Поскольку функция е(т) — 0, из формулы (46) следует инъективность операторов А и А*, поэтому в силу леммы 6, сформулированной в работе [9], существует изометрический оператор Q : Н ^ Н такой, что Аи1(т) — QCu1(т), где

1

Си\

иі{т),

е

то есть оператор С положителен и самосопряжён.

Таким образом, уравнение (46) может быть приведено к виду

Си1

"и и \е(т) \

в котором /и(т) — Q*и(т), а Q* — оператор, сопряженный с Q(т) — —.

_ е

Из сказанного выше следует, что при /0(т) — Q*/0(т) уравнение (48) имеет точное решение и10(т) € ЕБГ, где Бг — {7 : 7 € Н, ||и|| ^ г}, т ^ т0, а

Е7

л/1 + т2

Из формул (47)-(49) следует, что Е — д(С), где функция д(а) является строго возрастающей, непрерывной, удовлетворяющей условию д(0) — 0 (см. [9; 10]). Используя следствие 3, легко доказать, что имеет место эквивалентность

д

Используя метод проекционной регуляризации, предложенный в [9], регуля-ризуем исходные данные задачи (/ (т), 8), то есть определим функцию / [т, <7(8)] следующим образом:

• при условии II/ II > 38 определим / [т,7(8)] — | 0(т) при , где

со

<7(8) удовлетворяет уравнение У \/г(т)\2Лт —982;

<Ь

• при условии ||/ || ^ 38 определим /г[т, <и(8)] = 0.

При выполнении этих условий функция /г [т, 7(8)] определяется однозначно даже в случае неединственности решения уравнения из первого условия (см. [9; 10]). Далее, приближенное решение пи(т) уравнения (48) определим как и1г(т) —

С-1 /ё[т, 7(8)], где оператор С определен формулой (47). В силу леммы 13 из работы [9] найдется постоянная С12 такая, что справедлива оценка

1171,5 — 710 | ^ С12 1п-2 ^0 .

Постоянная С12 определяется соотношением (50) и условием леммы 13 из работы [9] следующим образом: с12 — 12Л • ^ — 6Л, где Л ^ г||Е|| ^ 1. Так как ||Е|| —

1 г

—. , то выбираем Л ^ ^ 1.

V1 + то2 V1 + то2

Из теоремы, сформулированной в работе [9], следует, что оценка (62) является точной по порядку на классе ЕБГ, а соответствующий метод проекционной регуляризации оптимален по порядку на этом классе решений.

Далее, соберём воедино обе полученные оценки для корректной и некорректной задачи и получим для всех т ^ 0 и при 8 ^ 0

Чтобы окончательно получить приближенное решение и1г(в), применим обратное к Г преобразование Г-1 и тогда и1г(в) — Ке{Г-1[и11г(т)]}. Поскольку преобразование Г изометрично, то для приближённого решения и1г (в)последняя оценка остается в силе. Остаётся только выполнить все проведённые замены аргументов в обратном порядке.

Теорема 3. Если интегралы 11 и 12 сходятся, то метод проекционной регуляризации для решения граничной обратной задачи Стефана (1)-(4) является

оптимальным по порядку на классе ЕБГ1, где радиус г1 связан с радиусом г и их

связь устанавливается при проведении обратных замен аргумента.

Список литературы

1. Гольдман, Н. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения / Н. Л. Гольдман. — М. : Изд-во МГУ, 1999. — 294 с.

2. Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. — М. : Мир, 1968. — 427 с.

3. Алифанов, О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, Л. Я. Савельев. — М. : Наука, 1988. — 285 с.

4. Лаврентьев, М. М. Теория операторов и некорректные задачи / М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев. — Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 1999. — 702 с.

5. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций. I / Г. Н. Ватсон. — М. : Иностр. лит., 1949. — 748 с.

6. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1972. — 496 с.

7. Зорич, В. А. Математический анализ. II / В. А. Зорич. — М. : Наука, 1984. — 640 с.

8. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. — М. : Наука, 1969. — 529 с.

9. Танана, В. П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач / В. П. Танана // Сиб. журн. вычисл. математики. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 117-132.

10. Танана, В. П. Методы решения операторных уравнений / В. П. Танана. — М. : Наука, 1981. — 160 с.