Гибридный асимптотический метод анализа каустик оптических элементов в радиально-симметричном случае

ГИБРИДНЫИ АСИМПТОТИЧЕСКИИ МЕТОД АНАЛИЗА КАУСТИК ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

С.И. Харитонов12, С.Г. Волотовский1, С.Н. Хонина1,2 1 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия

Аннотация

В статье предложен новый подход к расчёту распределений световых полей в рамках геометрической оптики. Описан новый интегральный оператор для вычисления распределения интенсивности в рамках геометрической оптики. В рамках предложенного метода найдены распределения интенсивности от ранее изученных падающих пучков. Найдены особые точки этих распределений, и рассчитаны распределения интенсивности вблизи каустик. Разработанный метод применен для расчета формирования каустик гармоническими дифракционными оптическими элементами в радиально-симметричном случае.

Ключевые слова: геометрическая оптика, каустика, дробный аксикон, гармоническая дифракционная линза.

Цитирование: Харитонов, С.И. Гибридный асимптотический метод анализа каустик оптических элементов в радиально-симметричном случае / С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 2. - С. 175-182. - Б01: 10.18287/24126179-2017-41-2-175-182.

Введение

Дифракционные оптические элементы (ДОЭ) применяются для миниатюризации и облегчения оптических систем. Кроме того, они позволяют сформировать световые пучки с такими свойствами, которые невозможно получить с помощью классических элементов рефракционной оптики [1 - 5].

Классические линзы и зеркала сложно использовать в некоторых устройствах из-за большого размера. Кроме того, формирование сложных комплексных распределений лазерных полей невозможно выполнить с помощью классических рефракционных элементов. Однако эта задача очень хорошо решается с помощью средств дифракционной оптики. ДОЭ, учитывающие волновую природу света, успешно выполняют преобразование лазерного излучения в практически произвольное амплитудно-фазовое распределение [6, 7].

Основное свойство ДОЭ - использование явления дифракции для изменения направления распространения световых лучей. Дифракционные элементы разбивают световой луч на множество лучей, каждый из которых перенаправляется под разными углами. Некоторые ДОЭ могут сочетать в себе свойства как дифракционных, так и рефракционных линз. Примером могут служить так называемые гармонические дифракционные элементы [8 - 10], где дифракционные и рефракционные свойства линзы зависят от приведения фазы к различным интервалам.

В данной работе выполнено исследование ДОЭ, формирующих каустические поверхности с использованием гибридного асимптотического подхода, основанного на асимптотическом представлении интеграла Кирхгофа.

1. Асимптотическое представление для интеграла Кирхгофа

и ( X, у, 2 ) = /Ь2 ( X, у, и, V ))и0 (и, V )х хехр (¡кБ (х, у, и, V)) йи (¡V,

£

Ь

х, у, 2 - декартовые координаты точки наблюдения, и, V - декартовые координаты в плоскости 2 = 0, Ф (и, V) - эйкональная функция в плоскости 2 = 0, и (х, у, 2) - комплексная амплитуда в точке наблюдения, и0 (и, V) - модуль комплексной амплитуды в плоскости 2 = 0.

Приведённый интеграл можно вычислить с помощью метода стационарной фазы. и (х,у,2) = ^и, (и,Vo)/Ь2 (х,у,и, Vo))х

х_ехр [гкБ

,1/2 ,

^

где и0, vo - стационарная точка, которая определяется соотношениями

э? (х ^ ^ V) = 0 а? (х ^ и0, V) = 0

Эи

Фи

Эy

2, у = V +

Ф V (uo, Vo),

где

б

б(и,V) = ^1-Ф2(и,V)-Ф2(и,V) . В интеграле (4) вычислим выражение:

Яии (^ У, и0 , V0 ) ^ (X, У, и0 , V0 )-[ ^ (X, У, и0 , V0 )) 2 = = (22/Ь4)3 [и,, Vo ).

Якобиан преобразования имеет вид 3 (и V ) = хиу V - ^и .

Функции, описывающие лучевые преобразования, входящие в якобиан, имеют вид

Фи

х = х0 (и, V) = и +

е

У = Уо (u V) = v + (Fv (u,v) /Q (u, v))z

При наличии нескольких стационарных точек вместо (4) получим:

и

"оЛ> -

Выражение для интенсивности будет: и ( X' у, 2 )и *( X' У' 2 ) =

= XX и° (»0'У°) и°(М1'V) х

'Р

х ехр [[ ¡к (£ (X' У' и°' у°)- £ (X' У' и1' у1 ) ^.

После усреднения осциллирующих слагаемых выражение принимает вид

I

Это выражение плохо тем, что по точке прихода (X, у, г) нужно вычислить точку выхода (и°, у°), что проблематично при наличии нескольких стационарных точек.

Чтобы решить эту проблему, представим выражение (13) в несколько другом виде.

Учитывая свойства дельта-функции, выражение для интенсивности принимает вид:

I ( X' У' 2 ) =

= 11° (X'У )§(X - Xо (»' V)' У - У° (»' V))&и ^.

Однако использование квадратурных формул для вычисления интегралов с сингулярными функциями тоже затруднительно.

Поэтому заменим сингулярную функцию, входящую в интегральное выражение, её регулярной аппроксимацией

5 (х, y) = (1/2яо2 )exp (-(х2 + y2)/2о2).

После постановки (15) в (14) получим следующий интеграл:

I (х, y, z ) = (1/2яо2) х

х{I0 (u,v)exp(-S(х,y,u,v)/о2)du dv,

где

£

Вычислим интеграл (16) с помощью метода Лапласа. Согласно методу Лапласа для вычисления двойных интегралов от быстро убывающих функций

I ( X' У' 2 ) =

= I

1 о К v0 )

d2S

du2

dv2

dudv

Используя выражение для функции S(u, v), получаем

J2 (u, v, z) =

Э2S

du2

dv2

-(d2 S (х, y, u0, v0) /dudv) =

Эх0

du

dv

du

dv

Окончательное выражение для интенсивности принимает вид

1

В результате получили выражение, которое совпадает с выражением (13), полученным с использованием метода стационарной фазы. Таким образом, подход к расчёту интенсивности, основанный на вычислении интеграла Кирхгофа с помощью метода стационарной фазы, и подход на основе вычисления интеграла (16) методом Лапласа асимптотически эквивалентны.

2. Геометрическая оптика в радиально-симметричном случае

2.1. Уравнения лучей и каустик в радиально-симметричном случае

Найдём теперь лучевые уравнения в случае, если эйкональная функция имеет радиально-симметрич-ный вид

х„ (u, v) = u +

dF u dp P

y> (u v)= v +

1 -(f)2

ЭФ v dp P

-z.

1 -

(f)2

Введём в области начального распределения эйконала полярные координаты

u = p cos j, v = p sin j .

А также ввёдем полярные координаты в области прихода лучей

х0

Подставляем (22), (23) в (21) и получаем

(

R cos 8 = p cos j

1+

ЭФ1 dp P

R sin 8 = p sin j

1+

1 -'fj2

ЭФ 1 dpp

WfF

2

z

z

2

u.v

J'0

z

Решения полученной системы имеют вид:

( \ ЭФ 1 Эр г

R (р, 2) = р

1+

1 -

(ээр)2

е = ф,

R (р, 2 ) = -р

1+

ЭФ 1 Эрр

1 -ед2

е=я+ф.

Якобиан преобразования в полярной системе координат имеет вид

^ 1

Л

.

р ^ Эр Эф Эф Эр

Используя выражения

3 (р,2) = " р Эр р Эр

где R (р, 2) имеет вид

(

R (р, 2 ) = ±р

1+

ЭФ 1 Эр р

1 -(ЭЭр)2

У

Рассмотрим теперь случай, когда якобиан лучевого преобразования обращается в ноль. В этих точках пространства интенсивность в приближении геометрической оптики соответствует каустикам (равна бесконечности). Параметрическое уравнение поверхности, в которой якобиан обращается в ноль, имеет вид

(

(р)=р-

:(р) = -

1-

1-

ЭФ

Эр

ЭФ

Эр

2

ЭФ

( Э2Ф )-

эР I Эр

ч3 2\2

V г у

Э 2Ф

Эр2

Пусть эйкональная функция в плоскости 2 = 0 имеет вид Ф (р) = ару [11, 12]. В этом случае параметрические уравнения каустик имеет вид:

(р) = р-

р

(у-1) I

1 - (аур

у-1

:(р) = -

1 - (аур

у-1

ау(у- 1)р

у-2

2.2. Определение координат двух лучей, приходящих вблизи каустики

Получим параметры лучей, проходящих вблизи каустики. Параметрические уравнения для каустики (30) можно переписать в виде

Гс = Я0 (р0 ) = р0 +

ЭФ

Эр0

- (ЭФ/Эр0):

= 20 (р0 ),

^ (р0),

20 (р0 )=-(! - (ЭФ у21'(ЭФ

0 у У ( ЭР0

Теперь рассмотрим уравнение луча ЭФ

Г = Я (р, 2 ) = р +

ж

1 -($)'

где р - координата выхода луча.

Рассмотрим точку с координатами:

Подставляя (34) в уравнение луча (33), получаем другое уравнение

Я

Из этого уравнения найдём точку выхода луча Аг = Я (р, 20 (р0)) - Я (р0,20 (р0)) =

ЭЯ (р0,20 (р0) У

Эр

1 Э2 Я

(р -р0)+

2 Эр

Так как на каустике ЭЯ ^ 20 (р0)) = 0 Эр ,

1 Э2Я (р0, 20 (р0) У

(р-р0 )2.

то Аг = —

(р-р0 )2

2 Эр2 После преобразований получаем:

. -/9

1 Э2 Я (р0,20 (р0) У

р = р0 ±

2Аг Эр2

У

В результате получаем координаты двух точек, лучи из которых приходят в заданную точку вблизи каустики.

2.3. Расчёт интенсивности в радиально-симметричном случае в рамках геометрической оптики Выражение для интенсивности имеет вид I (х, у, 2 ) =

= 170 (х, у )§( х - х0 (и, V), у - у0 (и, V)) &и dv.

Переходя в области интегрирования и области наблюдения в полярные координаты, получаем выражение для интенсивности в цилиндрической системе координат.

г

г

2

г

2

2

г

2 1 2

2

С учётом различия двух случаев распределение интенсивности имеет следующий вид:

I (г, 2) =

-г°(р,2)]Л1 (р)рар, г°(р,2) > о,

яо

+ /0(p,z)]L2(p)pdp, r>(p,z) <0, где I0 (p) - входная интенсивность,

r>(p, z) = p + (Fp (p)^1 -F2(p)) z, л (p)^;/2k 2fexp ff r0(p,z)sin2 (f|}dj, л (p)^;/2k íexp {f r0(p,z)cos2 (j )}dj.

Вычисление интегралов по угловой переменной Для вычисления интегралов по угловой переменной необходимо рассмотреть вычисление интеграла вида

Y( х ) = C1exp|->2 If II dj

или

ф( х )=í02p^1exp I-0^cos2 (IIIdj.

При малых о этот интеграл можно вычислить методом Лапласа или методом перевала. Это предположение основано на том, что в окрестности нуля можно использовать разложение в ряд Тейлора

sin2

С другой стороны, в окрестности j = я

cos2

В результате всё можно свести к интегралу Пуассона. Вычисление поля вблизи каустики в радиально-симметричном случае

Рассмотрим вычисление поля вблизи каустической поверхности в виде:

I

где S (p) = 0,5 [r - R (p)]2.

Рассмотрим вычисление интеграла с помощью асимптотического метода Лапласа. Согласно методу Лапласа:

I(r) = (I0 (p0)ЦS"(p0))L(p0)p0, r = R(p0). (49) Вычислив

S '(p) = -( r - R (p)) (dR (p) /dp),

2

S"(p) = ( dR (p) /dp) +(r - R (p)) (d2 R (p) /dp2).

Получаем на каустике:

£"

Окончательно получаем

I

Следует отметить, что уравнение

ая

определяет каустику.

3. Численное моделирование для обобщённой линзы

В параграфе рассмотрено моделирование для эй-кональной функции, соответствующей обобщенной линзе [11, 12] вида Ф (р) = ару.

На рис. 1 показаны графики каустик Гс(2), вычисленных по параметрическому представлению (31) для различных значений параметров а и у. На рис. 2-4 показаны результаты расчёта интенсивности по формуле (41) для рассматриваемой обобщённой линзы с теми же параметрами при равномерной входной интенсивности.

гс

80 60 40 20 0 -20

0 20 40 60 80 100 гс

Рис. 1. Графики каустик для у= 2, а = -0,005

Рис. 2. Распределение интенсивности

Как видно из рис. 1 и рис. 2, при значении параметра у = 2 (точечная линия) каустика выглядит как классический «ласточкин хвост». При увеличении параметра у = 3 функция каустики становится более резко выгнутой (рис. 1: пунктирная линия, рис. 3).

Таким образом, для параметра у > 2 каустика имеет вид вогнутой функции. Если же 1 < у < 2, например, у = 1,5 (рис. 1, сплошная линия), то функция имеет две каустические линии - выпуклую и линейную.

Причём, как видно из рис. 4, линейная каустика значительно ярче выпуклой.

Рис. 3. Распределение интенсивности

Рис. 4. Распределение интенсивности

Однако в задачах фокусировки излучения в глубине некоторого объёма, где актуально формирование резкого фокуса на некотором расстоянии от поверхности [13, 14], желательно иметь выпуклую каустику. Чтобы сделать её ярче, возьмём смещённую из центра эйкональную функцию Ф (р) = а (р-5)у [15] (рис. 5), а чтобы убрать центральный пик, осветим эту линзу не плоским, а кольцевым пучком (рис. 6).

Рис. 5. Распределение интенсивности

4. Формирование каустик гармоническими оптическими элементами в радиально-симметричном случае

Пусть на эту линзу падает плоский пучок немонохроматического света с длинами волн в интервале 11 < 1 < 12. Оценим размеры функции рассеяния точки в зависимости от длины волны.

Будем считать, что дифракционный элемент изготовлен в виде гармонической линзы [8-10] с высотой рельефа для базовой длины волны 10. Такой оп-

тический элемент можно локально представить в виде дифракционной решётки с периодом [16]:

й =

где N - порядок гармоничности.

Рис. 6. Распределение интенсивности (негатив) для у= 1,5, а = -0,05, 5 = 50 при освещении кольцевым пучком: продольное (хе[-100, 100], 2е[-0,1, 200]) распределение

интенсивности

Луч, падающий параллельно оптической оси, при попадании на эту дифракционную решётку отклоняется. Наклон луча а к оптической оси равен

а

где т - порядок дифракции.

Подставляя выражение (54) в (55), получаем

а

Приведённая формула означает, что гармонический ДОЭ на заданной длине волны порождает несколько волновых фронтов. Каждый волновой фронт эквивалентен волновому фронту, который создаёт ДОЭ с эйкональной функцией

¥т^ (р, 1) = (1/10)(m/N)Ф(р) .

В результате выражение для интенсивности имеет вид:

^ (г, 2,1) = £ (1) 1т,N (г, 2,1),

где

2 1) =

'Я

110 (р) § [г - г0,т^ ^ 2 1)] Л1,т^ ( р, 1) р а ^

0

Я

110 (р) 5 [г + г0,т^ ^ 2, 1)] Л2,т,N ( P, 1) р ^ P,

0

г0,т^^ 21) <

N

т=- N

m W (р, 1) = 1/>/2pGX

2p

X J exp {-(2r /G2)r0, mN (р, z, 1) sin2 (j/2 )}dj,

0

L2,m,N (P, *-) = 1/V2PSX

2p

X J = exp{(2r /G2)ro)m,N (P, z, 1)cos2 (j/2)}dj,

0

TmN(1) = Sine2 [p(1oN/1-m)] ,

Тт,п (Л) - коэффициент пропускания гармонического ДОЭ. Анализ выражения показывает, что гармонический ДОЭ генерирует множество каустик.

На рис. 7 и 8 показаны результаты моделирования для параболической гармонической линзы у = 2, а = -°,°°5 (с фокусным расстоянием /= 1°°) при учёте трёх дифракционных порядков. Базовая длина волны была выбрана Ло = 633 нм. Рассмотрены три случая: 1) длина волны освещающего излучения совпадает с базовой длиной волны Л = 633 нм; 2) меньше базовой Л = 532 нм; 3) больше базовой Л = 75° нм.

Г •

- к •

¡H •

а) б) в)

Рис. 7. Распределение интенсивности (негатив) для гармонической линзы у= 2, а = -0,005, ЛЛ = 633 нм: продольное ^£[-100, 100], 2£[-0,1, 300]) распределение

интенсивности

Заключение

В статье описан новый подход к расчёту распределений световых полей в рамках геометрической оптики. Предложен новый интегральный оператор для вычисления распределения интенсивности в рамках геометрической оптики.

О 50 100 150 200 250 z

Рис. 8. Графики интенсивности на оси для гармонической линзы g= 2, a = -0,005, lo = 633 нм: при 1 = 633 нм

В рамках предложенного метода найдены распределения интенсивности от ранее изученных волновых фронтов, в частности, параболического, кубического и также волнового фронта, который описывается дробной степенью от радиуса. Найдены особые точки этих распределений, и рассчитаны распределения интенсивности вблизи каустик.

В дальнейшем планируется провести аналогичные исследования с использованием интеграла Кирхгофа, в том числе с учетом векторного характера полей.

Благодарности Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 16-29-11744 офи_м).

Литература

1. Бобров, С.Т. Оптика дифракционных элементов и систем / С.Т. Бобров, Г.И. Грейсух, Ю.Г. Туркевич. - Л.: Машиностроение, 1986. - 223 с.

2. Грейсух, Г.И. Сравнительный анализ хроматизма дифракционных и рефракционных линз / Г.И. Грейсух, Е.Г. Ежов, С.А. Степанов // Компьютерная оптика. -2005. - Вып. 28. - С. 60-65.

3. Казанский, Н.Л. Моделирование работы гиперспектрометра, основанного на схеме Оффнера, в рамках геометрической оптики / Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов,

A.В. Карсаков, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. -2014. - Т. 38, № 2. - С. 271-280.

4. Казанский, Н.Л Формирование изображений дифракционной многоуровневой линзой / Н.Л. Казанский, С.Н. Хонина, Р.В. Скиданов, А.А. Морозов, С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский' // Компьютерная оптика. - 2014. -Т. 38, № 3. - С. 425-434.

5. Карпеев, С. В. Исследование дифракционной решётки на выпуклой поверхности как диспергирующего элемента / С.В. Карпеев, С.Н. Хонина, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 2. - С. 211217. - DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-2-211-217.

6. Дифракционная компьютерная оптика / Д. Л. Головаш-кин, Л. Л. Досколович, Н. Л. Казанский, В. В. Котляр,

B.С. Павельев, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер, С.Н. Хонина; под ред. В.А. Сойфера. - М.: Физматлит, 2007. -736 с. - ISBN: 5-9221-0845-4.

7. Дифракционная нанофотоника / А.В. Гаврилов, Д.Л. Го-ловашкин, Л. Л. Досколович, П. Н. Дьяченко, А. А. Ковалёв, В.В. Котляр, А.Г. Налимов, Д.В. Нестеренко, В.С. Павельев, Р.В. Скиданов, В.А. Сойфер, С.Н. Хонина, Я.О. Шуюпова; под ред. В.А. Сойфера. - М.: Физматлит, 2011. - 680 с. - ISBN: 978-5-9221-1237-6.

8. Sweeney, D.W. Harmonic diffractive lenses / D.W. Sweeney, G.E. Sommargen // Applied Optics. - 1995. - Vol. 34, Issue 14. - P. 2469-2475. - DOI: 10.1364/А0.34.002469.

9. Rossi, M. Refractive and diffractive properties of planar micro-optical elements / M. Rossi, R.E. Kunz, H.P. Herzig // Applied Optics. - 1995. - Vol. 34, Issue 26. - P. 59966007. - DOI: 10.1364/A0.34.005996.

10. Харитонов, С.И. Геометрооптический расчёт фокального пятна гармонической дифракционной линзы / С.И. Харитонов, С.Г. Волотовский, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2016. - Т. 40, № 3. - С. 331-337. -DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-3-331-337.

11. Хонина, С.Н. Фраксикон - дифракционный оптический элемент с конической фокальной областью / С.Н. Хонина, С.Г. Волотовский // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33, № 4. - С. 401-411.

12. Khonina, S.N. Fractional axicon as a new type of diffractive optical element with conical focal region / S.N. Khonina, A.V. Ustinov, S.G. Volotovsky // Precision Instrument and Mechanology. - 2013. - Vol. 2, Issue 4. - P. 132-143.

Сведения об авторах

Сведения об авторе Харитонов Сергей Иванович см. стр. 166 этого выпуска.

Волотовский Сергей Геннадьевич, 1959 года рождения, в 1984 году окончил Куйбышевский авиационный институт имени академика С.П. Королёва (КуАИ) по специальности «Прикладная математика», работает ведущим программистом в ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: разработка программного обеспечения расчёта и моделирования работы элементов дифракционной оптики. E-mail: sv@smr.ru .

Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского университета; главный научный сотрудник ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru .

13. Panagiotopoulos, P. Sharply autofocused ring-Airy beams transforming into non-linear intense light bullets / P. Panagiotopoulos, D.G. Papazoglou, A. Couairon, S. Tzortzakis // Nature Communications. - 2013. - Vol. 4. -2622 (6 p.). - DOI: 10.1038/ncomms3622.

14. Jiang, Y. Propagation characteristics of the modified circular Airy beam / Y. Jiang, X. Zhu, W. Yu, H. Shao, W. Zheng, X. Lu // Optics Express. - 2015. - Vol. 23, Issue 23. - P. 29834-29841. - DOI: 10.1364/0E.23.029834.

15. Chremmos, I. Pre-engineered abruptly autofocusing beams / I. Chremmos, N.K. Efremidis, D.N. Christodoulides // Optics Letters. - 2011. - Vol. 36, Issue 10. - P. 1890-1892. -DOI: 10.1364/OL.36.001890.

16. Харитонов, С.И. Моделирование отражения электромагнитных волн от дифракционных решёток, нанесённых на произвольную поверхность / С.И. Харитонов, Н.Л. Казанский, Л.Л. Досколович, Ю.С. Стрелков // Компьютерная оптика. - 2016. - Т. 40, № 2. - С. 194202. DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-2-194-202.

ГРНТИ: 29.31.15.

Поступила в редакцию 6 марта 2017 г. Окончательный вариант - 22 марта 2017 г.

HYBRID ASYMPTOTIC METHOD FOR ANALYZING CAUSTICS OF OPTICAL ELEMENTS

IN THE AXIALLY SYMMETRIC CASE

S.I. Kharitonov12, S.G. Volotovsky1, S.N. Khonina1,2

1IPSIRAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics " RAS, Samara, Russia,

2 Samara National Research University, Samara, Russia

Abstract

In this work we propose a new approach to calculating the distribution of light fields in the framework of geometrical optics. A new integral operator for computing the intensity distribution in the geometrical optics approximation is suggested. Using the proposed method, we derive the intensity distributions of previously studied wavefronts. Singular points of these distributions are found and the intensity distributions near the caustics are calculated. The developed method is used to calculate the formation of caustics by harmonic diffractive optical elements in the axially symmetric case.

Keywords: geometrical optics, caustic, fractional axicon, harmonic diffractive lens.

Citation: Kharitonov SI, Volotovsky SG, Khonina SN. Hybrid asymptotic method for analyzing caustics of optical elements in the axially symmetric case. Computer Optics 2017; 41(2): 175182. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-2-175-182.

Asknowledgements: This work was financially supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant 16-29-11744).

References

[1] Bobrov ST, Greysukh GI, Turkevich YuG. Optics of diffractive elements and systems [In Russian]. Leningrad: "Mashinostroenie" Publisher; 1986.

[2] Greysukh GI, Ezhov EG, Stepanov SA. Comparative analysis of the chromatizm of diffractive and refractive lenses [in Russian]. Computer Optics 2005; 28: 60-65.

[3] Kazanskiy NL, Kharitonov SI, Karsakov AV, Khonina SN. Modeling action of a hyperspectrometer based on the

Offner scheme within geometric optics. Computer Optics 2014; 38(2): 271-280.

[4] Kazanskii NL, Khonina SN, Skidanov RV, Morozov AA, Kharitonov SI, Volotovskiy SG. Formation of images using multi-level diffractive lens. Computer Optics 2014; 38(3): 425-434.

[5] Karpeev SV, Khonina SN, Kharitonov SI. Study of the diffraction grating on the convex surface as a dispersive element. Computer Optics 2015; 39(2): 211-217. DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-2-211-217.

[6] Soifer VA, ed. Computer Design of Diffractive Optics. Woodhead Publishing and Cambridge International Science Publishing; 2012. ISBN: 978-1845696351.

[7] Soifer VA, ed. Diffractive Nanophotonics. Boca Raton, USA: CRC Press; 2014. ISBN: 978-1466590694.

[8] Sweeney DW, Sommargen GE. Harmonic diffractive lenses. Applied Optics 1995; 34(14): 2469-2475. DOI: 10.1364/AO.34.002469.

[9] Rossi M, Kunz RE, Herzig HP. Refractive and diffractive properties of planar micro-optical elements. Applied Optics 1995; 34(26): 5996-6007. DOI: 10.1364/AO.34.005996.

[10] Kharitonov SI, Volotovsky SG, Khonina SN. Geometric-optical calculation of the focal spot of a harmonic diffrac-tive lens. Computer Optics 2016; 40(3): 331-337. DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-3-331-337.

[11] Khonina SN, Volotovsky SG. Fracxicon - diffractive optical element with conical focal domain [In Russian]. Computer Optics 2009; 33(4): 401-411.

[12] Khonina SN, Ustinov AV, Volotovsky SG. Fractional ax-icon as a new type of diffractive optical element with conical focal region. Precision Instrument and Mechanology 2013; 2(4): 132-143.

[13] Panagiotopoulos P, Papazoglou DG, Couairon A, Tzortza-kis S. Sharply autofocused ring-Airy beams transforming into non-linear intense light bullets. Nat Commun 2013; 4: 2622. DOI: 10.1038/ncomms3622.

[14] Jiang Y, Zhu X, Yu W, Shao H, Zheng W, Lu X. Propagation characteristics of the modified circular Airy beam. Optics Express 2015; 23(23): 29834-29841. DOI: 10.1364/0E.23.029834.

[15] Chremmos I, Efremidis NK, Christodoulides DN. Pre-engineered abruptly autofocusing beams. Optics Letters 2011; 36(10): 1890-1892. DOI: 10.1364/OL.36.001890.

[16] Kharitonov SI, Kazanskiy NL, Doskolovich LL, Strelkov YS. Modeling the reflection of the electromagnetic waves at a diffraction grating generated on a curved surface. Computer Optics 2016; 40(2): 194-202. DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-2-194-202.

Authors' information

The information about author Sergey Ivanovich Kharitonov you can find on page 168 of this issue.

Sergey Gennadjevich Volotovsky (b. 1959) graduated from Kuibyshev Aviation Institute named after academician S.P. Korolyov (KuAI) on a specialty "Applied Mathematics", works as the leading programmer in the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: software design, modeling of systems with diffractive optical elements. E-mail: sv@smr.ru .

Svetlana Nikolaevna Khonina, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor of Samara National Research University. Main researcher of the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulating, optical and digital image processing. E-mail: khonina@smr.ru .

Received March 6, 2017. The final version - March 22, 2017.