Порядок Брондстеда в метрическом пространстве и обобщения теоремы Каристи

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 1. 149-172.

3. Шишлянников Е.М. Пример дифференциальной системы с континуальным спектром показателя блуждаемости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 1. 64-68.

Поступила в редакцию 23.12.2016

УДК 515.124, 515.126.4, 512.562

ПОРЯДОК БРОНДСТЕДА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ КАРИСТИ

Т.Н. Фоменко1

Представлены теоремы о неподвижных точках и точках совпадения отображений упорядоченных множеств, а также их метрические аналоги, обобщающие известную теорему о неподвижной точке Каристи.

Ключевые слова: неподвижная точка, точка совпадения, порядок Брондстеда.

Fixed point and coincidence theorems for mappings of ordered sets, as well as their metric counterparts generalizing the well-known Caristi's fixed point theorem are presented.

Key words: fixed point, coincidence point, Brondsted order.

Работа посвящена проблеме существования неподвижных точек и точек совпадения многозначных отображений метрических пространств. Некоторые метрические теоремы о неподвижных точках и совпадениях выводятся из соответствующих теорем для упорядоченных множеств. Классическими результатами о неподвижных точках в упорядоченных множествах являются теорема Кнас-тера-Тарского [1, гл. 18; 2], ее обобщение на многозначный случай P.E. Смитсона (R. Е. Smithson) [3], а также теорема о неподвижной точке Е. Цермело (Е. Zermelo) [4, 5] (см. также [1, гл. 18]). Как показано в [1, гл. 18], из теорем Смитсона и Цермело разными способами выводится известная метрическая теорема Надлера (S. В. Nadler, Jr.) [6] о неподвижной точке многозначного отображения. Для такой редукции применяется переход от метрики к некоторому порядку, определяемому заданной метрикой. Например, при выводе теоремы Надлера из теоремы Смитсона в [1, гл. 18] используется частичный порядок, предложенный И. Экеландом (I. Ekeland) [7], Р. ДеМарром (R. DeMarr) [8], Е. Бишопом (Е. Bishop) и P.P. Фелпсом (R. R. Phelps) [9]. Для вывода той же теоремы Надлера из теоремы Цермело в [1, гл. 18] (см. также [10]) используется частичный порядок, предложенный А. Брондстедом (A. Br0ndsted) [11] (см. также [1, гл. 18]). Известная теорема о неподвижной точке Дж. Каристи (J. Caristi) [12] выводится в [1, гл. 18] этим способом из усиленного варианта теоремы Цермело [10] (см. также [1, гл. 18, теорема 3.13]).

В работах [13, 14] получены теоремы об общих неподвижных точках и точках совпадения семейств многозначных отображений упорядоченных множеств, обобщающие, в частности, теорему Смитсона [3]. В настоящей работе представлена теорема (теорема 1) о существовании точки совпадения двух многозначных отображений упорядоченных множеств, обобщающая соответствующий результат [13, 14]. В отличие от [13, 14] и некоторых других работ на многозначные отображения не накладываются условия типа накрываемости или изотонности. Требуется лишь наличие специальных цепей, обладающих нижними границами с определенными свойствами. В качестве метрического аналога теоремы 1 получена теорема (теорема 2) о совпадениях двух многозначных отображений метрических пространств. Переход от упорядоченных множеств к метрическим пространствам осуществляется с помощью введения частичного порядка Брондстеда [11]. В частном случае одного отображения метрического пространства в себя получается теорема (теорема 3), обобщающая теорему Каристи. Отметим, что теорема Каристи не следует из таких же метрических аналогов соответствующих теорем [13, 14] о неподвижных точках и совпадениях отображений.

1 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex.ru.

Приведем необходимые обозначения и термины. Символ обозначает многозначное отображение. Пусть (X, ^1), (У, ^2) — (непустые) упорядоченные множества, Р\^2 : X

Определение 1. Пусть 2 — цепь в X, на которой определены однозначные сечения / = {/1, /2}, /г : 2 —> У отображений т.е. /¿(ж) € ^¿(ж), г = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям:

1) /2(ж) =<2 /1(ж), Уж € Я;

2) для любого х & 2 существуют такие элементы х' £ ж'), что /1(3?) = 2/2 ^2 2/1;

3) для любых элементов х,г € ^ верно следствие ж -<1 г => /х(ж) ^2 /2(2).

Пару /) с описанными свойствами назовем специальной парой.

Пусть жо € X — некоторая фиксированная точка. Обозначим Тх(Жо) := {ж € Х|ж Жо}- Пусть ©(жо,-Рг) — совокупность специальных пар вида (2,/), удовлетворяющих определению 1, где цепь лежит в множестве Тх(хо).

Теорема 1. Пусть (X, ^1), (У, -<2) — частично упорядоченные множества, Жо € X, Р\^2 : X ^ У. Пусть множество ©(жо,-Рг) непусто, для, любой пары, (2,/) € 0(жо, ^1, ^2); / = {/11/2}; цепь ^ имеет нижнюю границу из £ X и существуют значения ^ € -^¿(гу), г = 1,2, 21 ^ -гг- Каждое из значений ^ является нижней границей множества {/¿(ж)|ж € 2},г = 1,2. При этом если г^ -< то существует такой элемент и)\ € X, и)\ < ги, что г^ € П 7*2 (ги), и

существует значение V € ^2(^1), V < Х2- Тогда множество Сош^,^) = {ж € Х|_р1(ж) П ж) ф 0} совпадений отображений ^1,-^2 непусто.

Доказательство. Упорядочим множество В(жо, ^1, ^2) 110 включению. Для любых пар (2,/), (2,/) € ©(жо,-Рг) положим (2,/) ^з /) тогда и только тогда, когда 2С2м/ = (т.е. /г = /гЫ)^ = 1)2-) Согласно лемме Цорна, существует максимальная специальная пара (2*,/*) € 0(жо,^1,^2),/* = {/1,/|}- По условию теоремы существует такая нижняя граница и: (£ X цепи

чт0 имеются значения ^ € г = 1,2, для которых Х2- При этом каждое значение

г^ является нижней границей множества {/*(ж)|ж € 2*},г = 1,2. Если = Х2, то IV — точка совпадения отображений ^1,^2- Если же Х2 <2 ¿ъ то существует такой элемент и>1 € X, и>1 и), что Х2 € ^(г^) П ;) и существует элемент V € ^2(^1), V ^ 22. В этом случае цепь 2* и уи\ и однозначные сечения /* = {/]*, /|}, где = /*, (го 1) := Х2, /2(^1) := V-, образуют специальную

пару и гУ1, /*) € 0(жо, ^1, -^г)- Кроме того, понятно, что (2*,/*) и г«!, /*). Получаем

противоречие с максимальностью специальной пары (2*,/*). Это означает, что IV € Сош(_р1,

Когда отображения ^1,^2 однозначны, теорема 1 принимает следующую форму.

Следствие 1. Пусть (X, ^1), (У, ^2) — частично упорядоченные множества, Жо € X, /1, /2 : X —> У. Пусть существует хот,я, бы одна, цепь 2 С Тх{Жо) со следующими свойствами:

1) /2(ж) ^2 /1(ж) (9ля любого ж €

2) (9ля любого х & 2 существует такой элемент х' € X, что ,Д(ж) = /г(ж') ^2 ЛСж')/

3) (9ля любых х,г £ 2 верно следствие: х -<\ г => /1(ж) ^2 /2(2).

Пусть каждая, цепь 2 со свойствами 1-3 имеет такую нижнюю границу и} £ X, что /¿(ги) является нижней границей множества {/¿(ж)|ж € г = 1,2, м /г(^) ^ ЛО-^)- этом если ¡2(гу) -<2 /1(10), то существует такой элемент и)\ € X, -Ш! ги, что /2(^1) ^2 /1(^1) = /гС^)-Тогда, множество Сот(/1, /2) = {ж € Х|/1(ж) = /2(ж)} совпадений отображений /1, /2 непусто.

Рассмотрим вариант теоремы 1 для случая, когда X = У, ^1 = ^2 = ^ -^1= Их : X —> X, = ^ : X X.

Следствие 2. Пусть (X, — частично упорядоченное множество, Жо € X, ^ : X X. Пусть существует хотя бы одна цепь 2 С Тх(жо) со следующим,и свойствами:

1) существует такое однозначное сечение / : ^ —> X отображения Р, что /(ж) ^ ж, \/ж €

2) (9ля любого х & 2 существуют тлкие элементы х' € X, /(ж') € ж'), ч,т,о ж = /(ж') ^ ж';

3) (9ля любых х,г £ 2 верно следствие х -< г =ж ^ /(-г)-

Пусть каждая, цепь 2, обладающая свойствами 1-3, имеет такую нижнюю границу IV = уо(2) € X, ч,т,о существует элемент € ^(ги), ^ ю, являющийся нижней границей множества {/(ж)|ж € этом если %2 -< и), то существует такой элемент V € ^(г;2), чт,о V < Х2- Тогда,

множество Пх(^) = {ж € Х|ж € ^(ж)} неподвижных точек отображения Р непусто.

Отметим, что из следствия 2 вытекает версия теоремы 5 из работы [15] при п = 1.

Приведем ниже вариант следствия 2 для случая, когда отображение Р = / : X —> X однозначно.

Следствие 3. Пусть (X, — частично упорядоченное множество, Жо € X, / : X —> X.

Пусть существует хотя бы одна цепь Z С Тх(хо) со следующим,и свойствами:

1) f(x) х для, любого х € Z;

2) для любого х € Z существует такой элемент х' € X, что х = f{xr) < х';

3) для, любых х, z € Z верно следствие х -< z => х < f(z).

Пусть каждая, цепь Z, обладающая свойствами 1-3, имеет такую нижнюю границу w € X, что f(w) <w и f(w) < f(x) для любых х € Z. При этом если f(w) -< w, то f(f(w)) < f(w). Тогда, множество Fix(/) = {х € Х\х = /(ж)} неподвижных точек отображения / непусто.

Ясно, что следствие 3 вытекает также из следствия 1, если положить X = Y, = <2 = /1 = Idx : X ^ X тождественное отображение, & ¡2 = f X ^ X однозначное отображение.

Можно показать, что в условиях следствий 2 и 3 в множестве F\x(F) (соответственно в множестве Fix(/)) имеется минимальный элемент.

Можно показать также, что из следствия 3 вытекает теорема 3.13 из [1, гл. 18], полученная Я. Ячимским (J. Yachvmski) и являющаяся усилением теоремы Цермело.

Рассмотрим теперь проблему существования неподвижных точек и совпадений отображений метрических пространств. Нам потребуется следующее понятие.

Определение 2. Частичным, порядком Брондстеда [11] (см. также [1, гл. 18]) на метрическом пространстве (X,d) с заданным функционалом р : X —> R назовем бинарное отношение определяемое правилом Ух, у € X, х у d(x, у) ^ р(у) — <р(х) (при этом, конечно, подразумевается, что р(у) — р(х) ^ 0).

Легко видеть, что ^ есть частичный порядок. Отметим, что элементы х, у € X сравнимы (несравнимы) относительно порядка, тогда и только тогда, когда d(x,y) ^ \р(у) — р(х)\ (d(x,y) > |р(у) — р(х)\). Минимальность элемента а в подмножестве В С X относительно порядка означает, что для любого элемента b € В выполнено условие

d(a,b) > р(а) - p(b),p(a) > p(b)] m

d(a, b) < p(b) - p(a), p(a) < p(b). 1 '

Введем на метрическом пространстве (X, d) с заданным функционалом р : X —> R порядок Брондстеда ^ и рассмотрим упорядоченное множество (X, dfy-

Определение 3. Множество Z в метрическом пространстве (X, d) с заданным функционалом р : X —> R будем называть (р — d)-цепью, если оно является цепью в упорядоченном множестве (X, т.е. любые 2 его элемента сравнимы относительно порядка В метрических терминах это означает, что для любых х,у € Z верно неравенство d(x,y) ^ \р{х) — р{у)|.

Обозначим Тх~ (жо) := {х € X\d(x,Xo) ^ р(хо) — р(х)}.

Пусть (X, d), (Y, р) — метрические пространства m р : X —> R, ф : Y —> R — заданные функционалы. Введем в множествах X, Y частичные порядки Брондстеда, определяемые метриками d, р и функционалами р,ф. Следствия 1-3, приведенные выше, можно сформулировать для упорядоченных множеств (X, (Y, и заданных отображений. Дадим эти формулировки в виде теорем в метрических терминах (теоремы 2-4 ), не упоминая явно соответствующие порядки Брондстеда в метрических пространствах.

Теорема 2. Пусть (X,d),(Y, р) — метрические пространства, Хо € X, f\, /2 : X —> Y, р : X —> R, ф : Y —ï R. Пусть существует хотя бы одна, (р — d)-u)enb Z С T^~d(xо), удовлетворяющая условиям:

1) p(h(x), fi(x)) ^ ф(/i(x)) - ф(/2(ж)) для любого х € Z;

2) для любого элемента х € Z существует такой элемент х' € X, что /\(х) = /2 (ж') и, P(f2(x'),h(x')) < ф(Мх'))-ф(/2(х'));

3) для любых х, z € Z верно следствие 0 < d(x, z) < p(z) - р(х) => p(fi(x), f2(z)) < ^(/2(2)) -Ф(1 Лх)).

Пусть для любой (р — (1)-цепи Z со свойствами 1-3 существует такой элемент w G X, что для, всех х G Z верны неравенства d(x,w) ^ р(х) — p(w), ¿(/2(10), /1(10)) ^ ip(fi(w)) — ip(f2(w)) и p{fi{x), fi(w)) ^ ФШх)) — ip(fi(w)), г = 1,2. Если при этом 0 < p(f'2(w), fi(w)), то существует такой элемент W\ € X, что d(w\,w) ^ p{w) — p{w\), /1(1^1) = /2^) и, p(f2(11)1), fi(w\)) ^ ф(Н(^1)) - Фи2(1» 1)). Тогда Coin(/i, /2) ф 0.

Теорема 3. Пусть (X,d) — метрическое пространство, р:Х —> R; жо € X, F:X ^ X. Пусть

существует хотя бы одна (Lß — (1)-цепь Z С T^~d(xо), удовлетворяющая следующим условиям:

1) существует такое однозначное сечение / : Z —> X отображения F, m,.е. /(ж) € F(x), что неравенство d(f(x),x) ^ Lß(x) — iß(f(x)) верно для любого х € Z ;

2) для любого х € Z существуют тлкие элементы х' € X,f(xr) € F(xr), что х = /(ж') и d(x'J(x'))^<ß{x')-<ß(f(x'));

3) для любых у,х € Z верно следствие 0 < d(x, у) ^ Lß(x) — if (у) =d(y, /(ж)) ^ Lß(j(x)) — Lß(y).

Пусть для каждой пары (Z, /) со свойствами 1-3 существует такой элемент w € X, что

для, любого X € Z верно неравенство d(w, х) ^ Lß(x) — iß(w), и существует такое значение z € F(w), что d(z, w) ^ <p(w) — (ß(z) и d(z, /(ж)) ^ <p(f(x)) — Lß(z). При этом если d(z, w) > 0, то существует z' € F(z), для, которого d(z', z) ^ Lß(z) — Lß(z'). Тогда Fix(F) := {x € X\x € F(x)} и существует такой элемент а € Fix(F), что для, любого Ъ € Fix(F) выполнено условие (1).

Теорема 4. Пусть (X, d) — метрическое пространство, Lß : X —> R; жо € X, f : X —> X. Пусть существует хотя бы одна, (Lp — d)-u)enb Z С T^~d(xо), удовлетворяющая следующим условиям:

1) d(f(x),x) < ф) - ф(х)), Ух € Z;

2) для любого х € Z существует такой элемент х' € X, что х = f{xr) и d(x', /(ж')) ^ ф')-ф(х '));

3) для, любых у,х € Z верно следствие: 0 < d(x,y) ^ Lß(x) — Lß(y) ==> d(y, /(ж)) ^ Lß(j(x)) — Lß(y).

Пусть для каждой цепи Z со свойствами 1-3 существует такой элемент w G X, что

d(x,w) ^ Lß(x) — Lp(w) и d(f(x),f(w)) ^ Lß(f(x)) — Lß(f(w)) для, любого x € Z, и d(w,f(w)) ^ Lß(w) — Lß(j(w)). Если при этом d(w,f(w)) > 0, то d(f(w),f(f(w))) ^ <p(f(w) — Lß(f(f(w))). Тогда, Fix(/) ф Ч> и существует такой элемент а € Fix(/); что для любого Ъ € Fix(/) выполнено условие (1).

Напомним теперь известную метрическую теорему о неподвижной точке Каристи.

Теорема 5 (Каристи [12]). Пусть (X,d) — полное метрическое пространство, Lp : X —> R+ — полунепрерывный снизу функционал и / : X —> X — такое отображение (необязательно непрерывное), что для, любого x € X справедливо неравенство d(x, /(ж)) ^ iß(x)—iß(f(x)). Тогда, отображение / имеет неподвижную точку.

Утверждение 1. Теорем,а, 5 (Каристи) вы m екает, из теоремы 4.

Доказательство. Как показано в [1, гл. 18, предложение 3.2(a)], из условий теоремы Каристи следует, что в упорядоченном множестве (X, у любой (iß — ¿)-цепи Z в X имеется нижняя граница (относительно т.е. существует такой элемент w € X, что d(x,w) ^ <р(х) ~ <f(w) для любого x € Z. Кроме того, по условию теоремы Каристи d(w,f(w)) ^ <p(w) — <p(f(w)), и если 0 < d(w,f(w)), то d(f(f(w),f(w))) ^ <p(f(w)) — Lß(f(f(w))). Ясно также, что для любого Жо € X всякая /-итерационная последовательность S = {хо,/(жо), /2(жо), } (конечная или нет) является (iß — d)-цепью. Множество Z = f(S) также является (iß — d)-цепью и удовлетворяет условиям 1-3 теоремы 4. Таким образом, из условий теоремы 5 (Каристи) следуют все условия теоремы 4, в силу которой Fix(/) ф 0.

Итак, теорема Каристи следует из теоремы 4, в которой утверждается даже больше, а именно: в множестве Fix(/) имеется такая точка а € Fix(/), что для любой точки b € Fix(/) выполнено условие (1).

В заключение отметим, что поскольку теорема 4 является следствием как теоремы 3, так и теоремы 2, то теоремы 2 и 3 можно рассматривать как обобщения теоремы Каристи на случай неподвижной точки одного многозначного отображения и на случай совпадения двух однозначных отображений соответственно. Кроме того, соответствующий метрический аналог теоремы 1 (который здесь не приводится) является с этой точки зрения также обобщением теоремы Каристи на случай совпадения двух многозначных отображений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Handbook of metric fixed point theory / Ed. by W. A. Kirk, B. Sims. N.Y.: Springer Science & Business Media, 2001.

2. Abian S., Brown A.B. A theorem on partially ordered sets, with applications to fixed point theorems // Can. J. Math. 1961. 13. 78-82.

3. Smithson R.E. Fixed points of order preserving multifunctions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. 2. 304-310.

4. Zermelo Е. Beweis, das jede Menge wohlgeordnet werden kann // Math. Ann. 1904. 59. 514-516.

5. Zermelo E. Neuer Beweis fur die Miiglichkeit einer Wohlordnung // Math. Ann. 1908. 65. 107-128.

6. Nadler S.B., Jr. Multi-valued contraction mappings // Pacif. J. Math. 1969. 30. 475-488.

7. Ekeland I. On the variational principle //J. Math. Anal, and Appl. 1974. 47. 324-353.

8. DeMarr R. Partially ordered spaces and metric spaces // Amer. Math. Month. 1965. 72, N 6. 628-631.

9. Bishop E., Phelps R.R. The support junctionals of a convex set // World Scientific. 1963. 7. 27-35.

10. Jaehymski J. Some consequences of fundamental ordering principles in metric fixed point theory // Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. A. 1997. 51. 123-134.

11. Br0ndsted A. On a lemma of Bishop and Phelps // Pacif. J. Math. 1974. 55. 335-341.

12. Caristi J. Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. 215. 241-251.

13. Подоприхин Д.А., Фоменко Т.Н. О совпадениях семейств отображений упорядоченных множеств // Докл. РАН. Математика. 2016. 471, № 1. 16-18.

14. Fomenko T.N., Podoprikhin D.A. Common fixed points and coincidences of mapping families on partially-ordered sets // Topol. and its Appl. 2017. 221. 275-285.

15. Fomenko T.N., Podoprikhin D.A. Fixed points and coincidences of mappings of partially ordered sets //J. Fixed Point Theory and its Appl. 2016. 18. 823-842.

Поступила в редакцию 01.02.2017