К вопросу определения корреляционных матриц в моделях риска

УДК 332.365; 519.245; 368.54

К ВОПРОСУ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МАТРИЦ

В МОДЕЛЯХ РИСКА1

А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев

ON THE DETERMINATION OF CORRELATION MATRICES IN THE RISK MODELS

А. V. Moiseev, A. Yu. Kindayev

Аннотация. Актуальность и цели. При рассмотрении вопросов страхования ключевым элементом решения задачи определения оптимальных тарифов является адекватная модель риска. Если убытки по отдельным договорам взаимосвязаны (например, в агростраховании), то, как было показано авторами в предыдущих работах, существенную роль играет корреляционная матрица, характеризующая связь между объектами страхования. Вопросу определения корреляционных матриц в подобных моделях риска и посвящена данная работа. Актуальным является вопрос устойчивости корреляционной матрицы во времени и возможность ее статистической оценки. Материалы и методы. Исследования проводились на основе данных о выращивании зерновых культур в Пензенской области за 34 года. Методами кластерного анализа выделяются периоды, характеризующиеся однородностью данных. Каждый период характеризуется корреляционной матрицей. Сравнение полученных матриц проводится с использованием преобразования Фишера. Результаты. Сравнение корреляционных матриц позволило заключить, что коэффициенты корреляции между показателями урожайности в различных районах области устойчивы во времени. Изменения, произошедшие в социальном, техническом, управленческом планах, не отразились на взаимосвязях между показателями урожайности в районах Пензенской области. Выводы. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности статистической оценки корреляционных матриц на основе временных рядов, охватывающих периоды разного социально-экономического устройства. Данный факт очень важен для построения имитационных моделей риска в страховании при условии взаимосвязи убытков по отдельным договорам.

Ключевые слова: модель риска, корреляционная матрица, кластерный анализ, страхование.

Abstract. Background. When considering insurance as a key element in solving the problem of determining the optimal tariff is adequate risk model. If the losses on certain contracts interrelated (for example, in agricultural insurance), then, as was shown by the authors in previous works, the essential role played by the correlation matrix, which characterizes the relationship between the insurance objects. The definition of the correlation matrix in such risk models this work is dedicated. Relevant is the issue of stability in time of the correlation matrix and the possibility of its statistical evaluation. Materials and methods. The research was conducted on the basis of the cultivation of crops in the Penza region for 34 years. Methods of cluster analysis are allocated to periods characterized by homogeneity of data. Each period is characterized by the correlation matrix. The comparison of matrices is performed using Fisher's transformation. Results. Comparison of the correlation matrices allowed us to conclude that the correlation coefficients between yields in different districts of the region sustainable. Changes in the social, technical, managerial conditions, did not affect the relationships between yields in the districts of Penza region. Conclusions.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-36-00275 мол_а

The obtained results allow to conclude about possibility of statistical evaluation of correlation matrices based on time series covering periods of different socio-economic conditions. This fact is very important for building simulation models of risk in the in insurance provided the losses on individual contracts are correlated.

Key words, risk model, correlation matrix, cluster analysis, insurance.

Введение

Проблема оптимизации страховых тарифов при страховании сельскохозяйственных рисков актуальна для Российской Федерации в настоящий момент. Долгие годы государство брало на себя убытки сельского хозяйства в случае существенных потерь из-за неурожая. При переходе на рыночные механизмы регулирования и поддержки сельского хозяйства, а также при соблюдении правил ВТО такой подход не совсем правильный. Возможной альтернативой является страховая поддержка сельского хозяйства с участием государства. В последние годы государство разработало ряд мер для поддержки страхования в сельском хозяйстве.

В табл. 1 приведена динамика сборов и выплат по агрострахованию в Российской Федерации.

Таблица 1

Динамика сборов и выплат по агрострахованию в Российской Федерации

за период с 2010 по 2015 г.

Поступления Выплаты

Год Кварталы Поступления (тыс. руб.) % от аналогичного периода пре- Выплаты (тыс. руб.) % от аналогичного периода предыдущего года Коэфф. выплат %

дыдущего года

12 месяцев 7 853 393 47,02 2 718 570 50,12 34,62

2015 9 месяцев 6 651 122 52,37 2 609 648 82,75 39,24

6 месяцев 5 441 957 61,68 2 190 506 100,42 40,25

3 месяца 802 655 64,92 629 092 60,66 78,38

12 месяцев 16 700 622 120,32 5 423 939 94,10 32,48

2014 9 месяцев 12 700 334 131,44 3 153 571 90,02 24,83

6 месяцев 8 822 731 137,15 2 181 437 81,04 24,73

3 месяца 1 236 283 165,81 1 037 149 74,19 83,89

12 месяцев 13 880 020 104,23 5 763 848 74,69 41,53

2013 9 месяцев 9 662 594 104,77 3 503 049 98,97 36,25

6 месяцев 6 432 783 91,36 2 691 880 101,87 41,85

3 месяца 745 612 113,16 1 398 028 112,53 187,50

12 месяцев 13 316 107 82,07 7 716 917 93,94 57,95

2012 9 месяцев 9 222 365 78,14 3 539 479 71,53 38,38

6 месяцев 7 041 034 76,94 2 642 437 75,03 37,53

3 месяца 658 914 69,86 1 242 395 49,97 188,55

12 месяцев 16 225 901 169,62 8 214 481 106,50 50,63

2011 9 месяцев 11 801 877 152,63 4 948 559 169,90 41,93

6 месяцев 9 150 847 158,77 3 521 984 182,75 38,49

3 месяца 943 219 214,78 2 486 072 206,45 263,57

12 месяцев 9 565 829 - 7 713 229 - 80,63

2010 9 месяцев 7 732 323 - 2 912 598 - 37,67

6 месяцев 5 763 626 - 1 927 230 - 33,44

3 месяца 439 163 - 1 204 229 - 274,21

Следует отметить, что несмотря на усиление поддержки государством программ страхования в сельском хозяйстве и рост объема страхования, охват сельскохозяйственных производителей процессами страхования остается незначительным. Авторам в частных беседах не раз приходилось слышать о невыгодности страхования, причем как для сельхозпроизводителей, так и для страховых компаний. Программы государственной поддержки используются и для коррупционных схем. У авторов нет возможности подтвердить или опровергнуть эти факты, но анализируя данные о сельскохозяйственном страховании, следует подчеркнуть несущественный объем страховых взносов.

Из табл. 1 видно, что рынок сельскохозяйственного страхования снизился вдвое: так, за 9 месяцев 2015 г. было собрано 6 651 122 тыс. руб., что составляет лишь 52 % от соответствующего показателя 2014 г. Это объясняется сложной экономической ситуацией в стране, отсутствием свободных денег у сельхозпроизводителей, санкциями государств и рядом других факторов. Однако нельзя не отметить рост продукции сельского хозяйства в фактически действовавших ценах, который составил 17 % в 2014 г. относительно 2013 г. (4319 млрд руб. в 2014 г. против 3687,1 млрд руб. в 2013 г.) [1]. Если предположить, что средняя ставка для страховых взносов составляет 10 %, то получается, что сумма взносов должна составить 431,9 млрд руб., однако фактически эта сумма составляет лишь 16,7 млрд руб., или чуть меньше 4 % от возможной суммы взносов, что говорит о слабой вовлеченности сельхозпроизводителей в процесс страхования.

1. Анализ изменений в выращивании зерновых в Пензенской области

В ранее проведенном исследовании [2-4] были рассмотрены вопросы имитационного моделирования рисков при выращивании сельскохозяйственных культур. Исследование проводилось на основе данных по муниципальным образованиям Пензенской области за период с 1980 по 2013 г. по основным зерновым и зернобобовым культурам, таким как пшеница яровая и озимая, рожь озимая, ячмень яровой, овес, просо, гречиха. В ходе проведенного исследования [5-6] было получено, что результаты выращивания зерновых культур в районах области коррелируют между собой. Это вызвано относительно небольшой территорией области и схожестью экономико-географических характеристик районов. Данный факт существенным образом влияет на процесс страхования в сельском хозяйстве, где ключевым положением является независимость наступления страховых случаев между собой. Стоит заметить, что на результаты моделирования существенным образом влияет выбор корреляционной матрицы [7-8]. Накопленные статистические данные с 1980 г. по настоящее время позволяют проследить, как изменялись результаты выращивания сельскохозяйственных культур по районам области.

Основным средством производства в сельском хозяйстве является земля, природные особенности которой тесно связаны с агроклиматическими условиями. В отличие от других отраслей экономики продуктивность земли не поддается точному учету и под влиянием разных факторов меняет природный и экономический характер. В сельском хозяйстве на одной и той же земле можно выращивать многочисленные виды культур. На рис. 1 представлена посевная площадь под основными зерновыми и зернобобовыми культурами Пензенской области за период с 1980 по 2013 г.

Рис. 1. Посевная площадь зерновых культур с 1980 по 2013 г.

Для анализа изменений в структуре посевных площадей была проведена кластеризация по годам на основе данных с 1980 по 2013 г. на основе аг-ломеративного иерархического алгоритма кластерного анализа [9]. Показателями для кластерного анализа послужили ежегодные данные посевных площадей семи зерновых культур. На рис. 2 представлены результаты кластеризации зерновых культур по площади посевов.

Рис. 2. Результаты кластеризации зерновых культур по площади посевов

Для проведения кластеризации использовался пакет прикладных программ Statistica (модуль - кластерный анализ). В результате исследуемый период, как видно на рис. 2, поделился четко на два кластера: первый кластер -

это период с 1980 по 1995 г. включительно, второй кластер включает период с 1996 по 2013 г. Это объясняется переходом к рыночным механизмам регулирования. На первые роли по размерам посевных площадей выходит пшеница озимая. Ею в среднем засеивают 35 % от площади, приходящейся на зерновые культуры, против 19 % в 80-90-х гг. XX в. Во втором периоде значительно снизились посевные площади ржи озимой: с 20 до 13 % от площади, приходящейся на зерновые культуры. Посевная площадь овса в 2013 г. сократилась в 5,5 раз по отношению к 1980 г., проса - в 5,2 раза, ржи озимой - в 6,1 раз. Сокращение посевов овса можно объяснить уменьшением численности лошадей в связи с ростом технической вооруженности сельского хозяйства. В меньшей степени изменения в структуре посевов коснулись пшеницы озимой, гречихи и ячменя ярового. Наибольшая доля посевных площадей приходится на пшеницу озимую (35 %) и ячмень яровой (17 %).

Несмотря на изменения в структуре посевных площадей, размеров этих площадей в районах, изменения границ районов, вопрос изменения связей между районами остается неясным. Для выявления реальных связей между хозяйствующими субъектами проведем корреляционный анализ. Исследования будем проводить для пшеницы озимой. Для исследования возьмем 7 районов Пензенской области, а именно Земетчинский, Пачелмский, Нижнело-мовский, Вадинский, Башмаковский, Белинский и Спасский районы, представляющие собой северо-запад Пензенской области.

2. Анализ изменений взаимосвязей между показателями урожайности в районах Пензенской области

Проведем корреляционный анализ урожайности пшеницы озимой между указанными выше районами за период с 1981 по 1990 г., с 1991 по 2000 г., с 2001 по 2013 г. и с 1980 по 2013 г.

Корреляционные матрицы по данным периодам представлены в табл. 2-4. В табл. 5 представлена корреляционная матрица между выделенными районами Пензенской области с 1981 по 2013 г.

Во всех таблицах приняты следующие обозначения: I - Башмаковский район, II - Белинский район, III - Вадинский район, IV - Земетчинский район, V - Нижнеломовский район, VI - Пачелмский район, VII - Спасский район.

Таблица 2

Корреляционная матрица между районами за период с 1981 по 1990 г.

I II III IV V VI VII

I 1 0,84 0,9 0,92 0,89 0,96 0,9

II 0,84 1 0,88 0,79 0,97 0,92 0,87

III 0,9 0,88 1 0,88 0,93 0,95 0,99

IV 0,92 0,79 0,88 1 0,86 0,84 0,84

V 0,89 0,97 0,93 0,86 1 0,95 0,92

VI 0,96 0,92 0,95 0,84 0,95 1 0,96

VII 0,9 0,87 0,99 0,84 0,92 0,96 1

Таблица 3

Корреляционная матрица между районами за период с 1991 по 2000 г.

I II III IV V VI VII

I 1 0,91 0,79 0,94 0,94 0,82 0,83

II 0,91 1 0,8 0,87 0,89 0,8 0,77

III 0,79 0,8 1 0,89 0,75 0,9 0,94

IV 0,94 0,87 0,89 1 0,85 0,84 0,95

V 0,94 0,89 0,75 0,85 1 0,82 0,78

VI 0,82 0,8 0,9 0,84 0,82 1 0,86

VII 0,83 0,77 0,94 0,95 0,78 0,86 1

Таблица 4

Корреляционная матрица между районами за период с 2001 по 2013 г.

I II III IV V VI VII

I 1 0,76 0,79 0,57 0,85 0,73 0,86

II 0,76 1 0,59 0,64 0,65 0,74 0,79

III 0,79 0,59 1 0,51 0,55 0,58 0,73

IV 0,57 0,64 0,51 1 0,44 0,74 0,65

V 0,85 0,65 0,55 0,44 1 0,81 0,8

VI 0,73 0,74 0,58 0,74 0,81 1 0,84

VII 0,86 0,79 0,73 0,65 0,8 0,84 1

Таблица 5

Корреляционная матрица между районами за период с 1981 по 2013 г.

I II III IV V VI VII

I 1 0,8 0,79 0,73 0,88 0,78 0,86

II 0,8 1 0,74 0,73 0,8 0,82 0,76

III 0,79 0,74 1 0,72 0,73 0,79 0,83

IV 0,73 0,73 0,72 1 0,65 0,79 0,73

V 0,88 0,8 0,73 0,65 1 0,82 0,83

VI 0,78 0,82 0,79 0,79 0,82 1 0,79

VII 0,86 0,76 0,83 0,73 0,83 0,79 1

Найдем интервальные оценки для матрицы, характеризующей взаимосвязь урожайности на рассматриваемом горизонте. В силу малой выборки (п < 50) необходимо выполнить преобразование коэффициента корреляции с целью приближения его распределения к нормальному, для этого используем ^-преобразование Фишера [10]

1, 1 + г г = —1П-.

2 1 -г

Получим переменную г, распределенную нормально. Тогда стандартное отклонение находится по формуле

_ 1

2 4п-з

На основании выборочного значения парной корреляции найти доверительные интервалы при заданной доверительной вероятности а не составляет большого труда. Доверительные границы будут находиться по формуле

Для того, чтобы найти необходимое значение г , нужно сделать обратное преобразование

г =

е2г-1 е2г+1

Выдвигаем гипотезу И0 о том, что корреляционные матрицы, характеризующие 1981-1990 гг., 1991-2000 гг. и 2001-2013 гг., не отличаются друг от друга (все соответствующие коэффициенты парной корреляции в трех матрицах попарно равны между собой), при конкурирующей гипотезе Н\ о том, что матрицы отличаются друг от друга. Уровень значимости а = 0,05. Для проверки гипотезы воспользуемся следующей статистикой [10]:

и = -

1 1

V пх - 3 п2 - 3

где 2Х, 2г - результат ^-преобразования Фишера рассматриваемых коэффициентов корреляции, «1, «2 - объемы соответствующих выборок. Если расчетное значение статистики меньше критической двусторонней точки для нормального распределения, то результаты наблюдений не противоречат нулевой гипотезе.

По таблице критических точек нормального распределения для уровня значимости а = 0,05, иа =1,96.

Рассмотрим ^-преобразование Фишера на примере Нижнеломовского и Земетчинского районов. Для наглядности сведем необходимые расчетные значения в табл. 6.

Таблица 6

Расчетные значения ^-преобразования Фишера в исследуемых периодах

Период г 2 о* ъ г

2 2 + Нижняя граница Верхняя граница

1981-1990 0,86 1,293 0,378 0,553 2,034 0,502 0,966

1991-2000 0,85 1,256 0,378 0,515 1,997 0,474 0,964

2001-2013 0,44 0,472 0,316 -0,148 1,092 -0,147 0,798

1981-2013 0,65 0,775 0,183 0,417 1,133 0,395 0,812

При сравнении периода 1981-1990 гг. с периодом 2001-2013 гг. получим следующие результаты:

V- ,"-29^1-2561 -1,586. д/0,3782 + 0,:3782

Значение меньше критического, значит, нет оснований считать коэффициенты корреляции различными. Данный вывод получается при рассмотрении всех остальных пар.

Для наглядности представим в виде рисунка полученные интервальные оценки (рис. 3).

Рис. 3. Интервальная оценка коэффициента корреляции за 1981-2013 гг. и коэффициенты корреляции по периодам

Из рис. 3 видно, что все три рассматриваемых периода дают интервальные оценки коэффициентов парной корреляции, попадающие в интервальную оценку коэффициента корреляции за период 1981-2013 гг. Тем самым можно сделать вывод, что коэффициенты корреляции в рассматриваемых периодах не отличаются от общего коэффициента. Получается, что несмотря на то, что за период с 2001 по 2013 г. коэффициент корреляции составляет всего лишь 0,44, он не отличается от коэффициента корреляции периода с 1981 по 2013 г., который составил 0,65. Проделав те же самые действия с другими районами, на основе таблиц 2-5 получили, что корреляционные матрицы не отличаются друг от друга.

Заключение

В итоге, сравнивая матрицы за период с 1981 по 1990 г. и с 1981 по 2013 г., мы получили, что гипотеза Н0 (коэффициенты корреляции, характеризующие разные временные интервалы, не отличаются друг от друга) с вероятностью 0,95 принимается, и данные корреляционные матрицы не отличаются друг от друга. Следует заметить, что в основу первой матрицы легли данные за 1980-е гг., время директивного, командного управления, когда муниципальные образования строго выполняли указания вышестоящих органов управления по выращиванию сельскохозяйственных культур. Однако тот факт, что данные матрицы не отличаются друг от друга, свидетельствует о том, что, несмотря на влияние социально-экономических, политических и других факторов, реальные связи между хозяйствующими субъектами с годами не изменились и остаются очень сильными, о чем говорят высокие коэффициенты корреляции.

Полученные результаты позволяют для построения имитационных моделей страхования в условиях коррелированности убытков по отдельным договорам [3, 4] использовать статистические оценки корреляционных матриц, полученные на основе временных рядов, охватывающих различные социально-экономические периоды развития нашего государства. Данный результат очень важен для генерации многомерной случайной величины [2], где корреляционная матрица должна обладать положительной определенностью, важ-

ной характеристикой многомерной нормально распределенной случайной величины. Для получения статистической оценки такой матрицы требуется как минимум превышение числа наблюдений над числом анализируемых объектов. Для большинства регионов России требуются наблюдения за период более 30 лет.

Список литературы

1. Российский статистический ежегодник. - URL: http://www.gks.ru/wps/wcm/ connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/doc_1135087342078

2. Моисеев, А. В. Генерация многомерной случайной величины для моделирования страхования аграрных рисков / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Математическое моделирование в экономике и управлении рисками : материалы III Междунар. молодежной науч.-практ. конф. - Саратов : Саратовский государственный университет, 2014. - С. 308-314.

3. Моисеев, А. В. Имитационное моделирование страхования в сельском хозяйстве / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Наука и инновации в технических университетах : 8-й Всероссийский форум студентов аспирантов и молодых ученых. - СПб : СПбПУ, 2014. - С. 145-146.

4. Моисеев, А. В. Моделирование страхования в сельском хозяйстве с учетом корре-лированности результатов по региону / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. - 2015. - № 3 (25). -С. 175-181.

5. Моисеев, А. В. Статистический анализ урожайности зерновых с целью моделирования процесса страхования сельскохозяйственных культур / А. В. Моисеев,

A. Ю. Киндаев // Актуальные проблемы современных общественных наук: диалог общества и власти : материалы IV Междунар. науч.-практ. интернет-конф. -Уфа : БАГСУ, 2014. - С. 41-47.

6. Моисеев, А. В. Анализ региональной структуры посевных площадей зерновых культур в Пензенской области / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Наука XXI века: актуальные направления развития : материалы Междунар. заоч. науч.-практ. конф. - Самара : СГЭУ, 2015. - С. 29-31.

7. Моисеев, А. В. Анализ результатов имитационного моделирования рисков выращивания сельскохозяйственных культур при страховании урожая в Пензенской области / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Математическое моделирование в экономике, страховании и управлении рисками : материалы IV Междунар. молодежной науч.-практ. конф. - Саратов : Саратовский государственный университет, 2015. - С. 124-129.

8. Моисеев, А. В. Анализ результатов управления рисками неурожая методами страхования / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Приложение математики в экономических и технических исследованиях : сб. науч. тр. Междунар. заоч. науч.-практ. конф. - Магнитогорск : МГТУ им. Г.И. Носова, 2015. - С. 59-64

9. Дубров, A. M. Многомерные статистические методы : учеб. / A. M. Дубров,

B. C. Мхитарян, Л. И. Трошин. - М. : Финансы и статистика, 2011. - 352 с.

10. Гладков, Л. Л. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / Л. Л. Гладков, Г. А. Гладкова. - Минск : РИПО, 2013. - 250 с.

Моисеев Александр Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики, Пензенский государственный технологический университет E-mail: moigus@mail.ru

Moiseev Alexander Vladimirovich candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics, Penza State Technological University

Киндаев Александр Юрьевич аспирант,

Пензенский государственный технологический университет E-mail: ale-kindaev@yandex.ru

Kindayev Alexander Yuryevich

postgraduate student,

Penza State Technological University

УДК 332.365; 519.245; 368.54 Моисеев, А. В.

К вопросу определения корреляционных матриц в моделях риска / А. В. Моисеев, А. Ю. Киндаев // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2016. - № 4 (20). - С. 34-43.