Расчет обтекания конических тел со сверхзвуковыми передними кромками

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII

197 7

№ 6

УДК 533.6.011.5

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ТЕЛ СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ

Ю. И. Лобановский

Рассматривается обтекание потоком невязкого совершенного газа треугольных крыльев со сверхзвуковыми передними кромками, как плоских бесконечно тонких, так и У-образных, изолированных и с полуконусом, расположенным как на нижней, так и на верхней поверхности крыла. Для численного решения задачи используется принцип установления течения по гиперболической переменной и применяется конечно-разностная схема Мак-Кормака, позволяющая проводить расчет всего поля течения без выделения поверхностей газодинамических разрывов. Производятся оценки необходимого условия устойчивости применительно к нелинеаризированной системе уравнений газовой динамики Рассчитано несколько вариантов течений около указанных выше тел, производится сравнение результатов с известными точными решениями, вычислены коэффициенты подъемной силы, волнового сопротивления и аэродинамического качества треугольного крыла с полуконусом. Проводится анализ полученных результатов.

Для численного решения задачи обтекания конических тел сверхзвуковым потоком невязкого газа используется принцип установления по радиальной гиперболической переменной решения трехмерных уравнений газовой динамики. Используется метод „сквозного" счета, позволяющий проводить расчет всего поля течения без специального выделения газодинамических разрывов. Такие методы эффективны при исследовании сложных полей течения со многими скачками уплотнения, положение или даже существование которых заранее неизвестны. Недостатком этих методов являются „размазывание" газодинамических разрывов и некоторые колебания решения в их окрестности, но при оптимальном выборе соотношения размеров счетных ячеек можно добиться существенного уменьшения этих отрицательных эффектов.

Уравнения газовой динамики стационарного течения совершенного газа рассматриваются в безразмерной дивергентной форме [1], в сферической системе координат (фиг. 1, а). За характерные величины приняты значения параметров невозмущенного потока Uco, Poo, poo, и система уравнений имеет следующий вид:

где

Е = г2 эт 1

р и рг»

кР + р и2 , Е = г в1п6 риг>

pUV /гР + р^а

р МИ) ргш

рта

0= г рмгу , н =

рг/ге>

АР -|- рда2

О

— 2АР 6 •—- р (-а3 + и>2) з!п 6 риг> з1п б — (АР -+- рта2) соэ 6 Риъи вш 6 + рг»та соэ 6

/г =

Система (1) состоит из уравнения неразрывности и трех уравнений сохранения импульса. Уравнение сохранения энергии в интегральной безразмерной форме имеет вид:

Р = ?(\ + 1.(1 - и*— 1 =

Для численного решения системы уравнений (1) — (2) используется разностная схема второго порядка аппроксимации, предложенная Мак-Кормаком [2]. Пусть

Е(га, 6„

Аналогичным образом введем обозначения для Р, О, Н.

Тогда разностные уравнения имеют следующую форму:

— вычисление предварительного значения решения

ьт,1 = Я., - 4г к1 - & Я+и- V - ^ ~ ^"->./1 -

- ^ [

— уточнение решения

«.V - 4- {яг/+вд - 4т ик/+<«

- ту- ИГЛ. + <1 - ад о?.у - (1

Параметр ц при увеличении я последовательно принимает значения 0 и 1; Аг, Д0, Д<р — размеры ячеек счетной сетки. Интегрирование ведется при « >-1, 2 < г <;/тах, 2 </</тах (фиг. 1,а)до тех пор, пока

тах | Р?+т — Р" , | -С е.

/, / 1,1 •'

За исходное приближение берется поток, не возмущенный внутри расчетной области и удовлетворяющий условиям непроте-кания на ее границах. Для моделирования условий непротекания на границах расчетной области в процессе счета предполагается, что все газодинамические величины, за исключением нормального компонента скорости, являются там локально четными, а нормальный компонент скорости — локально нечетной функциями и используется принцип отражения для получения параметров поля течения в точках, лежащйх внутри тела и за плоскостью симметрии, после чего возможно применение разностных уравнений (3) —(4) и на границах области. При расчете изолированного крыла нижняя граница разностной сетки не доходит до оси координат на величину одной ячейки и значения поля течения находятся там экстраполяцией.

На режимах течений со сверхзвуковыми передними кромками, когда головной скачок уплотнения к ним присоединен, течение сверху и снизу тела можно рассматривать независимо, а в окрестности передней кромки вне зоны влияния вершины реализуется двумерное обтекание с образованием волн разрежения Прандтля — Майера или плоского косого скачка уплотнения. В результате решения этой двумерной задачи получаем граничные условия для исходной задачи на поверхности г = /тах(фиг, 1, а).

Применяя необходимое условие устойчивости Куранта —Фрид-рихса—Леви[3] для рассматриваемого случая, т. е. требуя, чтобы точки разностной схемы, используемые для вычисления производ-

д д „ ных и на слое г, не лежали внутри характеристической

поверхности, которая выходит из точки, находящейся на слое г 4- Аг (фиг. 1 ,б), и учитывая малые размеры счетных ячеек, получим

— 2н-> — (1 — /1 —

-ЙО^-Щ^аЛ

выражения для оценки максимального возможного шага по гиперболической переменной:

, Ч* V л Гс& V2Ь2 т2

а1Г = ~КГ = + ~7Г + V +

+___ _-г- на , 1 Г Ь2у2 + а?12

°2 д,- Г и I У ^2 _]_ ^,2 1

гдеД/? и Д/± — линейные размеры сторон ячеек соответственно по 6 и 9,

с2 у_|_ ^2 _)_ иС и2 + и2 + да2 — с2 а = и (и2 — С2) ’

^ с у" Ц=> + г>2 + да2 9

и У и? + V2 + т>2 — е2 ’

с — местная скорость звука.

Форма соотношений (6)—(9) справедлива для произвольной системы координат.

В (6)—(7) значения о+ и а+ соответствуют разностям типа

ГГП П'П _ Г'П Г*П — — г-П ггп /~*п

* * + 1»/ ^ /+1 /1 а1 И 02 * (, / * п-1,/ И О/, / 0^ у—1-

Если величина е = уг г;2 + гг>2 4- с2/и мала,-то как для о = шах(а+, о-) из (6) —(9), так и для величин, полученных спектральным методом [1], имеем

». = 1^1 + ^- + 0<*'>. <10>

а = -1^1 + —+ 0

й и и 4 ' 4 ’

При умеренных сверхзвуковых числах М различие значений о из (6)—(9) и соответствующих величин, полученных при помощи спектрального метода, может быть заметно. Например, в невозмущенном потоке в сферической системе координат при Моо = 2 и 0 = 45° отношение о2 из (6)—(9) к а2 из [1] составляет 0,82.

Итак* для устойчивости рассматриваемой разностной схемы необходимо:

ЛГ

ДГ Г БШ I

До) Оо

При расчете изолированного крыла на нижней границе счетной сетки (около оси крыла) значения б малы, и из (13) следует, что в этом случае при заданных шагах Дб и Дер мал и максимальный возможный шаг Дг. Это приводит к сильному отклонению от оптимальных значений шага Дг во всей остальной расчетной области, в результате чего уменьшается скорость сходимости и ухудшается качество решения в окрестности разрывов. Поэтому область малых значений б выделяется. Во всей остальной внешней области шаг по радиусу выбирается достаточно близким к оптимальному,а при малых б он уменьшается так, чтобы и здесь выполнялись условия устойчивости. После получения решения на очередном шаге, вследствие коничности течения, во внутренней области оно продолжается на радиус, равный радиусу во внешней области. Такая

довольно простая модификация схемы расчета позволяет существенно сократить время расчета изолированных крыльев и повысить качество результатов.

Для увеличения скорости сходимости течение первоначально рассчитывается на счетной сетке с небольшим числом ячеек; полученное решение, как и в [4], используется в качестве исходного приближения для расчета на более мелкой сетке.

Afoo“ 5,8;cl=0

v1 s}

0,5*

f-Q ~ , Of

го* s

------точное решение

Фиг. 2

Время расчета конического поля течения с четырьмястами счетными ячейками в каждом сечении г = const составляет на БЭСМ-6 5 — 7 минут.

Для оценки точности метода были рассчитаны некоторые течения, для которых известны точные решения. Поле течения около полуконуса на треугольной пластине под нулевым углом атаки совпадает с полем течения при симметричном обтекании конуса. На фиг. 2, а представлено распределение давления в поле такого течения по углу 8 при Мое = 5,8 и угле полу раствора конуса 8 = 5°, взятое из [5], и результаты расчетов на двух счетных сетках с шагом Д0 = 1 и 0,5°. На участках, где решение гладкое, совпадение результатов хорошее уже для крупной сетки. Скачок уплотнения размывается примерно на две ячейки сетки, и в его окрестности возникают небольшие колебания решения, но амплитуда их практически не увеличивается с измельчением сетки.

На фиг. 2, б показано распределение давления в трех сечениях <р = const около наветренной поверхности V-образного крыла при Моо^=4 на режиме, когда скачок уплотнения, присоединенный к передней кромке, является плоским и давление между ним и поверхностью крыла постоянно. Полученные численно параметры потока и положение скачка уплотнения хорошо согласуются с точным решением.

Лз^= 6,0. ~S°, 7.-70’

АЬо-{7;а-£-;х-W; d-=w‘

ср-Ч5°

F/P*

<р=90°

н к Ч5‘

V—— 90°

ос -"С \4 а*

045° 0* ip

10°

20° Ж Фиг. 4

Ч0‘ so° в

На фиг. 3 приведено сравнение с результатами работы [6] распределения давления по размаху как на наветренной, так и на подветренной сторонах плоской треугольной пластины со сверхзвуковыми передними кромками. В рассматриваемом случае Мэо = 6, угол стреловидности крыла у — 70°, угол атаки а = 5°. Оба решения практически совпадают как на гладких участках, так и в окрестности скачков уплотнения.

Требование гиперболичности радиальной переменной г во всем возмущенном поле течения может быть выполнено при Моо^-1^2. На фиг. 4 показано распределение давления в поле течения около подветренной поверхности треугольной пластины с полуконусом при Мао =1,7. Угол атаки а = 5°, угол стреловидности передней кромки х = 403, полуугол раствора конуса 6 = 10°.

На фиг. 5, а показано полученное в результате расчетов распределение давления в поле течения около плоской треугольной пластины с полуконусом сверху при М^ = 3. Видно, что возникший над наветренной поверхностью крыла довольно сильный скачок уплотнения ослабевает в окрестности плоскости симметрии в результате взаимодействия с волнами разрежения, образующимися на передней кромке. Обтекание того же крыла с полуконусом снизу показано на фиг. 5, б. Скачок уплотнения, возникший на передней кромке крыла, взаимодействует со скачком, возникшим внутри течения перед конусом, образуя в окрестности плоскости симметрии единый скачок уплотнения.

Суммарные аэродинамические характеристики плоской треугольной пластины, изолированной и с полуконусом как сверху, так и снизу, полученные интегрированием по их поверхности вычисленного распределения давления, представлены на фиг. 6. Донное давление принимается равным давлению невозмущенного пот-ока.

К?з;х-Ч5';&’Ю'

При увеличении числа узлов счетной сетки со 100—150 до 400 —500 аэродинамические характеристики претерпевают изменения в пределах 1%. Так как в работе им уделяется основное внимание, расчеты производились при сравнительно ограниченном числе счетных ячеек без подробного изучения областей взаимодействия разрывов.

На фиг. 6, а показаны соответствующие зависимости Су(а) и Су (я — о0) при Мэо = 3(а0 — угол нулевой подъемной силы). В исследованном диапазоне углов атаки Су крыла с полуконусом снизу при одинаковых а больше, чем С^ изолированного крыла, который, в свою очередь, больше, чем Су крыла с полуконусом сверху. Крыло с полуконусом имеет нелинейные по углу атаки характеристики подъемной силы. Зависимости Су(а.— а0) у крыла с полуконусом сверху и снизу на рассмотренном режиме совпадают, и при одинаковых значениях а — а0 Су у них превосходит Су у изолированного крыла.

м^з; у. = 4-5°; 8=ю°

I

о

=Сх

N

-а=Ч,23 - 1,86°

^ СхЪ-Л№2

-т£4»»

£ '

»£*

ом

0,25

О

0,5

а)

0,75 1,0 I

При одинаковых углах атаки (фиг. 6, б) коэффициент волнового сопротивления Схв крыла с полуконусом снизу значительно превосходит Схв изолированного крыла, в то время как при а ^>4° крыло с полуконусом сверху имеет наименьшее волновое сопротивление.

Коэффициент осевой силы Сх у рассмотренных конфигураций характеризует силы, действующие только на полуконус. При увеличении а Сг полу конуса, расположенного над крылом, уменьшается вследствие уменьшения давления на его боковой поверхности. Данные для коэффициентов подъемной силы и волнового сопротивления для изолированного крыла при углах атаки 5 и 10° совпадают с результатами [6].

На фиг. 6, б приведены также результаты для аэродинамического качества рассматриваемых тел без учета сопротивления трения. При одинаковой подъемной силе аэродинамическое качество у крыла с полуконусом сверху в рассмотренном случае выше, чем у крыла с полуконусом снизу.

Изображенные на фиг. 5 распределения давления в поле течения около крыла с полуконусом сверху и снизу рассчитаны для случая, когда эти конфигурации создают одинаковую подъемную силу, и их аэродинамическое качество близко к максимальному (Су = 0,080; К =

= 10,5 и 9,8 соответственно для крыла с полуконусом сверху и снизу).

Распределение давления по поверхности крыла описывается кривыми <р = 90°, а по поверхности полу-конуса— кривыми 6 = 8. У крыла с полуконусом снизу наибольшее давление создается на участках тела, наиболее сильно наклоненных к скорости набегающего потока (местный угол атаки поверхности полуконуса в плоскости симметрии равен 11,86°), что дает значительный вклад этой части тела в общее волновое сопротивление. У крыла с полуконусом сверху максимальное давление развивается на консолях крыла (местный угол атаки — 4,23°), а в силу разгона потока над его поверхностью давление на поверхности полуконуса, расположенного над крылом, мало отличается от давления невозмущенного потока, и местный угол атаки поверхности полуконуса в плоскости симметрии меньше — 5,77°.

Изложенное иллюстрируется фиг. 7, где представлены результаты для плотности распределения коэффициента волнового сопротивления \сх по I — безразмерной длине контура тела в поперечном сечении — коэффициент волнового сопротивления на единицу площади поверхности тела; Сх в = \Сх М с!х). На фиг. 7, а построены

0,25'' 0,5 0,75 1,0 I

ю

Фиг. 7

зависимости (/) на наветренной, а на фиг. 7, б — на подветренной сторонах рассматриваемых конфигураций. Коэффициенты волнового сопротивления соответственно нижней или верхней поверхностей, в силу коничности течения, равны площади между кривыми %сх и осью абсцисс и приведены на фигуре. Распределение волнового сопротивления по поверхности крыла с полуконусом сверху более равномерное и аэродинамическое качество этой конфигурации в рассматриваемом случае выше, чем у крыла с полуконусом снизу, где основная часть волнового сопротивления создается полуконусом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kutler P. and Lomax Н. A sistematic development of the supersonic flow fields over and behind wings and wing-body configurations using a shock-capturing finite-difference approach. AIAA Paper N 71-99, 1971.

2. Mac Cormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impract cratering. AIAA Paper N 69-354, 1969.

3. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., „Наука", 1973.

4. И в а н о в М. Я., Крайко А. Н. К расчету сверхзвукового обтекания конических тел. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, 1973, № 6.

5. Кора I Z. Tables of supersonic flow around cones. Report N I, MIT, 1947.

6. Воскресенский Г. П., Ильина А. С., Татарен-ч и к В. С. Сверхзвуковое обтекание крыльев с присоединенной ударной волной. Труды ЦАГИ, вып. 1590, 1974.

Рукопись поступила 22jll 1977 г.