Восстановление нормы по геометрии минимальных сетей

УДК 514.77+519.176

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НОРМЫ ПО ГЕОМЕТРИИ МИНИМАЛЬНЫХ СЕТЕЙ

И. Л. Лаут1

Исследуется задача, обратная задаче поиска минимальных сетей Штейнера в нормированных пространствах. А именно пусть дано нормированное пространство, в котором известны все кратчайшие сети. Требуется описать все нормы, для которых кратчайшие сети для всех конечных границ такие же, как в данном нормированном пространстве. Приводится краткий обзор известных результатов и анонсируется уникальность набора минимальных сетей Штейнера для каждого двумерного нормированного пространства со строго выпуклой дифференцируемой нормой.

Ключевые слова: точка Ферма, сеть Штейнера, нормированное пространство, норма.

The inverse problem to the Steiner minimal tree searching problem in a normed space is studied. Namely, let a normed space be given and all Steiner minimal trees be known in this space. The problem is to describe all norms with the same minimal Steiner trees for all finite boundary sets as determined in a given space. The paper presents a review of known results on the question and announces the uniqueness of the set of Steiner minimal trees for any two-dimensional space with a strongly convex and differentiable norm.

Key words: Fermât point, Steiner tree, normed space, norm.

Первые работы, связанные с исследованием минимальных сетей Штейнера в нормированных пространствах, датируются 1960 годами. В статьях [1, 2] есть подробная историческая справка по данному вопросу. Основной мотивацией для исследования задачи, обратной задаче поиска минимальных сетей Штейнера в нормированных пространствах, является работа [3], где показано, что при некоторых ограничениях на вид минимальных сетей в нормированном пространстве можно утверждать, что пространство является гильбертовым (см. теорему 1).

Введем необходимые определения.

Пусть X — нормированное пространство, 7: [а,Ь] —> X — некоторая непрерывная кривая. Кривая 7 называется измеримой, если существует предел £(-у) длин ломаных, вписанных в эту кривую, при стремящемся к нулю диаметре разбиения отрезка [a, b] прообразами вершин ломаных. Число ¿(7) называется в этом случае длиной кривой 7.

Точкой Ферма трех точек А, В, С в метрическом пространстве (M, р) называется точка Т € М, минимизирующая сумму р(А,Т) + р(В,Т) + р(С,Т). В зависимости от метрического пространства точка Ферма может не существовать или быть не единственной.

Норма в нормированном пространстве называется строго выпуклой, если единичный шар в этой норме является строго выпуклым множеством.

Норма в нормированном пространстве называется дифференцируем,ой, если единичная сфера в этой норме является дифференцируемым многообразием.

Следующие определения представлены в статье [4], здесь же приведем необходимые выдержки.

Топологический граф это топологическое пространство, склеенное из набора отрезков по некоторой эквивалентности, заданной на концевых точках этих отрезков. В дальнейшем все рассматриваемые топологические графы предполагаются склеенными из конечного числа отрезков. Для краткости будем называть топологические графы просто графами. Точки графа, соответствующие концевым точкам порождающих его отрезков, называются вершинам,и, а связные компоненты дополнения до множества вершин — ребрам,и, графа. Ясно, что каждое ребро — это внутренность некоторого отрезка. Границей, графа G называется произвольное фиксированное подмножество dG его вершин. Если такое подмножество фиксировано, то граф называют графом, с границей. Отметим, что наши определения объединяют комбинаторные и топологические свойства графов, поэтому там, где это не вызовет недоразумений, будем применять как топологическую, так и комбинаторную терминологии.

1 Лаут Илья Леонидович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ¡lautster gmaïl. com.

Пусть X — конечномерное линейное пространство с некоторой нормой р. Непрерывное отображение Г связного графа С в пространство X называется сетью. Граф О в этом случае называется параметризующим графом рассматриваемой сети, или ее типом, или ее топологией. Ограничения отображения Г на ребра (вершины, границу) параметризующего графа называются ребрами (соответственно вершинами и границей) сети Г. Если М С X — образ границы 9Г сети Г, то говорят, что сеть Г затягивает, множество М по отображению 9Г. Вершины графа (сети), входящие в границу, называются граничными, а все остальные — подвижным,и. Также граничными называются ребра, инцидентные граничным вершинам.

Каждое ребро сети продолжается по непрерывности до отображения замкнутого отрезка в пространство X. Полученное отображение называется замкнутым ребром, сети. Ребро сети называется вырожденным,, если оно представляет собой отображение в точку. Сеть без вырожденных ребер называют невырожденной.

Пусть Г — произвольная сеть на X с ребрами — измеримыми кривыми. Тогда длиной сети Г назовем сумму длин ее ребер. Сеть Г, затягивающая множество М С X, называется кратчайшей, или кратчайшим деревом, Штейнера, или минимальной сетью Штейнера, если ее длина не превосходит длины любой сети, затягивающей М. Кратчайших сетей может быть несколько, обозначим их множество через БМТ(М).

Напомним, что деревом, называется связный ацикличный граф. Дерево называется бинарным,, если степень всех его граничных вершин равна 1, а всех подвижных вершин — 3.

Оказывается, что задачу поиска БМТ(М) в нормированном пространстве для конечного М можно сузить до такого множества сетей: можно рассматривать только сети с топологиями — бинарными деревьями и ребрами — отрезками в X (возможно, вырожденными). Можно зафиксировать топологию, тогда появляется задача минимизации длины графа по расположению подвижных вершин. По аналогии с минимальной сетью Штейнера для бинарного дерева О назовем сеть Г, затягивающую множество М С X, минимальной параметрической сетью типа О, если ее длина не превосходит длины любой сети той же топологии, затягивающей М. Обозначим множество минимальных параметрических сетей типа О, затягивающих М, через РМТ(С, М). Будем также опускать параметры (О, М), если они понятны из контекста, и сокращать словосочетание "минимальная параметрическая сеть" до РМТ.

Напомним, что банахово прост,ранет,во — полное нормированное векторное пространство, а гильбертово пространство — банахово пространство, норма которого порождена скалярным произведением.

Приведем формулировку основной теоремы из статьи [3].

Теорема 1. Пусть дано банахово пространство размерности больше двух. Оно является гильбертовым тогда и только тогда, когда для любых трех векторов верно, что хотя бы одна точка Ферм,а треугольника, составленного из концов этих трех векторов, лежит в аффинной плоскости треугольника.

Таким образом, имея некоторую информацию об устройстве всех кратчайших сетей Штейнера на тройках точек, можно получать сильные следствия о виде нормы. Обобщая этот подход, естественно рассматривать следующие вопросы.

1) Возможно ли выделить двумерную евклидову норму среди других двумерных норм, основываясь лишь на устройстве кратчайших сетей на тройках точек? Ответ на этот вопрос оказался отрицательным (см. теорему 2).

2) Какие нормы возможно различить, основываясь лишь на виде кратчайших путей между парами точек?

3) Возможно ли отличить двумерную евклидову норму от других двумерных норм, основываясь на устройстве кратчайших сетей на всех конечных множествах точек?

4) Какие нормы возможно отличить от всех остальных, основываясь на устройстве кратчайших сетей на всех конечных множествах точек?

Первый и второй вопросы изучены в [5]. В настоящей работе мы кратко приведем необходимые определения и результаты.

В любом нормированном пространстве выполнено неравенство треугольника, поэтому прямолинейный отрезок между двумя точками всегда будет (возможно, не единственной) кратчайшей между данными двумя точками.

Две нормы на векторном пространстве будем называть неразличимыми по устройству кратчайших, если для любых двух точек множества кратчайших между ними в первой и второй норме совпадают.

Для любых двух точек в любой строго выпуклой норме существует лишь одна кратчайшая, их соединяющая. То есть для любых двух точек вид кратчайшей определен (это отрезок) и не зависит от нормы (при условии ее строгой выпуклости), а значит, все строго выпуклые нормы попарно неразличимы по устройству кратчайших. Но для норм, заданных центрально-симметричными выпуклыми многогранниками произвольной размерности, все же можно получить некоторую классификацию по видам кратчайших.

Будем называть норму многогранной, если ее единичная сфера является многогранником. Обозначим единичную сферу некоторой многогранной нормы п-мерного пространства N через О,. Рассмотрим относительные внутренности всех граней О, всех размерностей. Заметим, что они образуют разбиение О,. Это означает, что конусы с исключенной вершиной в нуле и основаниями — относительными внутренностями граней О, — образуют разбиение Ж\{0}, обозначим это разбиение через О,.

Критерий [3]. Две многогранные нормы || • Ц1 и || • Ц2 на линейном п-мерном пространстве N неразличимы по устройству кратчайших тогда и только тогда, когда у этих двух норм, совпадают разбиения П1 иО2 на конусы.

Далее, две нормы на векторном пространстве будем называть ^з-неразличимыми, если для любых трех точек множества их точек Ферма в первой и второй норме совпадают.

Отношение неразличимости по устройству кратчайших, как и отношение ^-неразличимости, является отношением эквивалентности на множестве различных норм. Можно заметить, что нормы, гомотетичные данной, лежат в классе эквивалентности данной нормы по обоим отношениям.

Теорема 2 [3]. Пусть дано пространство М2 с евклидовой, норм,ой. Тогда любая строго выпуклая норма, единичная, окружность которой симметрична относительно поворот,а на 60°, и евклидова норм,а ^з-неразличимы.

Оказывается, на классе достаточно "хороших" норм верен и обратный результат, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3 [3]. Пусть дано прост,ранет,во М2 с евклидовой нормой. Пусть на этом пространстве также введена другая норма, которая ^з-неразличима с евклидовой, и, единичная, окружность которой, записанная, в полярных координатах как 2тт-периодическая функция г(ф), дифференцируема всюду, кром,е конечного числа точек на периоде. Тогда г(ф) является периодической.

Недавно автором было получено достаточное условие гомотетичности строго выпуклых гладких плоских норм.

Следующие определения вводятся в нормированной плоскости.

Тройником, будем называть такие три луча с общим началом, что для любой тройки точек (по одной на каждом луче) общее начало лучей является точкой Ферма выбранной тройки точек. Общее начало лучей будем называть началом, тройника,

Единичным тройником, будем называть такие три отрезка с общим началом, что они лежат на лучах тройника и их длины равны 1.

Тройник и единичный тройник будем называть соответствующим,и, если отрезки единичного тройника лежат соответственно на лучах тройника.

Пусть заданы два ненулевых вектора и г>2- Отложив ы от некоторой точки А, получим точку О. Также, отложив г>2 от О, получим В. Объединение лучей О А и ОБ разбивает плоскость на два сектора. Тот из них, который помещается в некоторую полуплоскость, назовем Б (в случае развернутого угла А АО В обозначим через Б произвольный из двух секторов). Любой тройник разбивает плоскость на три сектора. Если существует тройник с началом в точке О, такой, что один из его секторов принадлежит 5, то пару (У\,У2) будем называть вырожденной парой.

Пару лучей будем называть вырожденной парой, если некоторая пара ненулевых, сонаправлен-ных соответствующим лучам векторов является вырожденной парой. Очевидно, что вырожденность пары лучей не зависит от выбора векторов из определения.

Пару отрезков, имеющих общий конец, будем называть вырожденной, парой, если соответствующая им пара векторов, исходящих из общего конца отрезков, является вырожденной парой.

Ежом будем называть множество лучей с общим началом, единичным, ежом, — множество единичных векторов или отрезков с общим началом. Началом (единичного) ежа будем называть общее начало лучей (векторов или отрезков), входящих в еж.

Вырожденным, (единичным) ежом будем называть (единичный) еж, у которого каждая пара соседних в круговом порядке лучей (векторов или отрезков) является вырожденной парой.

Еж и единичный еж будем называть соответствующими, если векторы или отрезки единичного ежа лежат соответственно на лучах ежа.

Несложно показать, что добавление дополнительных лучей (векторов или отрезков) оставляет вырожденный (единичный) еж вырожденным. Действительно, вырожденность пары лучей (векторов, отрезков) — это по определению возможность вписать некоторый сектор некоторого тройника в угол, смежный неразвернутому углу между элементами пары. Если добавить луч г' к вырожденному ежу между его соседними лучами п и r¿_ц (так, чтобы г' оказался внутри неразвернутого угла между п и r¿+i), то две новые пары соседних лучей {ri, г'} и {т',г^\} будут вырожденными, поскольку соответствующие им смежные углы будут содержать смежный угол, соответствующий паре {n,ri+i}.

Пусть (I • ||i и К • Иг — две двумерные нормы, такие, что множества деревьев SMTí M ) в них совпадают для любого граничного множества M. Обозначим множество всех вырожденных ежей с началом в нуле в || • ||¿ через Hi. Будем называть единичные ежи в нормах || • ||i и || • Ц2 соответствующими, если они соответствуют одному ежу.

Теорема 4. Для любого вырожденного ежа соответствующие ему единичные ежи в нормах II • ||i и II • Ц2 гомотетичны.

Идея доказательства состоит в следующем. Зафиксируем в норме || • ||i некоторый вырожденный единичный еж с началом в нуле. Для каждого единичного вектора v, такого, что —v не принадлежит единичному ежу добавим —v в единичный еж. Получившийся единичный еж обозначим через Н. Пронумеруем все векторы II по кругу от v\ до V2n- Выберем любую точку на плоскости, назовем ее А\. Отложив вектор V\ от А\, получим новую точку А2. Аналогично, отложив V2 от А2, получим A3, V3 ОТ Аз, получим A4 И Т.Д. В итоге, ОТЛОЖИВ V2n ОТ ^2п, мы замкнем ломаную (поскольку сумма всех векторов из H равна нулю). Таким образом, мы построили 2п-угольник; множество его вершин обозначим через М. При некоторых ограничениях на норму || • ||i можно показать, что минимальных сетей Штейнера на M ровно 2п и все они выглядят как периметр 2п-угольника без одного ребра. Но в норме || • Ц2 для M существует 2п ровно тех же сетей. Это означает, что в норме || • Ц2, как и в норме || • ||i, ребра 2п-угольника равны по длине между собой; это автоматически влечет гомотетичность соответствующих единичных ежей в нормах || • ||i и II • Ц2. Для разбора общего случая необходимо совершить равномерное подразбиение ребер 2п-угольника настолько мелкое, чтобы можно было гарантированно утверждать, что все минимальные сети Штейнера на множестве вершин М1 подразбитого периметра выглядят как периметр М1 без любого одного ребра между соседними вершинами М1.

Коэффициенты гомотетии могут быть разными для разных единичных ежей. Тем не менее в некоторых предположениях можно доказать, что они совпадают.

Теорема 5. Пусть || • ||i и || • ||г — две строго выпуклые дифференцируемые двумерные нормы, тлкие, что множества деревьев SMT(M) в них совпадают для любого граничного множества M. Тогда указанные нормы гомотетичны.

Оказывается, что в некоторых случаях, деформируя некоторые (но не все) единичные векторы из единичного ежа, можно показать равенство коэффициентов гомотетии на близких векторах и далее по компактности на всех единичных векторах, что влечет гомотетичность норм.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. О. Иванову и профессору A.A. Тужилину за помощь в подготовке данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильютко Д.П. Разветвленные экстремали функционала A-нормированной длины // Матем. сб. 2006. 197, № 5. 75-98.

2. Swanepoel К. The local Steiner problem in finite-dimensional normed spaces // Discrete & Comput. Geometry. 2007. 37. 419-442.

3. Benitez C., Fernandez M., Soriano M.L. Location of the Fermat-Torricelli medians of three points // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. 354. 5027-5038.

4. Иванов А.О., Тужилин A.A. Разветвленные геодезические в нормированных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66, вып. 5. 33-82.

5. Лаут И.Л., Овсянников З.Н. Вид минимальных разветвленных геодезических в нормированном пространстве определяет норму // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 2. 67-77.

Поступила в редакцию 07.09.2015