Компьютерно-реализуемый способ определения вероятности диагностирования режима обобщенной синхронизации в одноправленно связанных ведомой и ведущей хаотических системах
COMPUTER-IMPLEMENTED METHOD OF DETERMINING PROBABILITY OF DIAGNOSING A GENERALISED SYNCHRONISATION MODE IN UNIDIRECTIONALLY CONNECTED SLAVE AND MASTER CHAOTIC SYSTEMS

Изобретение относится к нелинейной динамике и может быть использовано для определения вероятности наблюдения режима обобщенной синхронизации в связанных системах любой природы.
Одним из наиболее интересных типов синхронного поведения связанных динамических систем является режим обобщенной хаотической синхронизации (Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. N 2. P. 980–994). Этот режим может наблюдаться как в однонаправленно, так и во взаимно связанных системах и означает наличие функциональной связи (функционала) между их состояниями (Moskalenko O.I., Koronovskii A.A., Hramov A.E., Boccaletti S. // Phys. Rev. E. 2012. V. 86. N 3. P. 036216). Обобщенная синхронизация успешно применяется для исследования взаимосвязей в биологических, физических и химических системах (Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurts J. // Fluct. NoiseLett. 2004. V. 4. № 1. P. L53), скрытой передачи информации (Moskalenko O.I., Koronovskii A.A., Hramov A.E. // Phys. Lett. A. 2010. V. 374. № 29. P. 2925, патенты RU на изобретения №2295835, 2349044, 2421923, 2509423), создания нелинейных антенн терагерцевого диапазона (Meadows B.K., Heath T.H., Neff J.D. et al. // Proc. IEEE. 2002. V. 90. № 5. P. 882) и т.д.
Существует несколько способов установления режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных нелинейных системах: метод вспомогательной системы (Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. № 5. P. 4528), метод ближайших соседей (Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., etal. // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. № 2. P. 980; Pecora L.M., Carroll T.L., Heagy J.F. // Phys. Rev. E.1995. V. 52. № 4.P. 3420), метод расчета условных показателей Ляпунова (Pecora L.M., Carroll T.L. // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. № 4.P. 2374; Pyragas K. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. № 5.P. 5183), метод фазовых трубок (Koronovskii A.A., Moskalenko O.I., Hramov A.E. // Phys. Rev. E. 2011. V. 84. N. 3. P. 037201).
Наиболее близким к предлагаемому решению является способ вспомогательной системы для определения вероятности наблюдения режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных ведущей и ведомой хаотических системах, включающий анализ состояния систем при подключении к ведущей системе вспомогательной системы с управляющими параметрами идентичными ведомой системе, путем анализа временных реализаций после переходного процесса, в котором если устанавливается эквивалентность
состояний в паре ведомой-вспомогательной систем, то наступает обобщенная синхронизация (Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. № 5. P. 4528).
Недостатком известного способа является зависимость наблюдаемых режимов от начальных значений.
Техническая проблема настоящего изобретения заключается в создании способа, позволяющего определить вероятность наблюдения синхронного режима вне зависимости от начальных условий взаимодействующих систем.
Технический результат заключается в обеспечении большей точности определения границы режима обобщенной синхронизации.
согласно решению
Поставленный результат достигается тем, что в способе диагностирования режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных ведущей и ведомой хаотических системах, включающем анализ состояния систем при подключении к ведущей системе вспомогательной системы с управляющими параметрами идентичными ведомой системе после переходного процесса, диагностирование обобщенной синхронизации ведущей и ведомой систем при установлении эквивалентности состояний в паре ведомой-вспомогательной систем, , дополнительно к ведомой системе подключают, по крайней мере, еще одну вспомогательную систему, начальные условия вспомогательных и ведомой систем задают случайным образом на аттракторе ведомой системы, определяют эквивалентность состояний между всеми парами связанных систем, подсчитывают количество систем, для которых диагностирован режим обобщенной синхронизации, после чего производят нормировку (делят на количество пар) на количество пар связанных систем, и определяют вероятность диагностирования режима обобщенной синхронизации как получаемое в результате нормировки число, после чего изменяют параметр связи, пока не будет найден минимальный параметр связи, при котором уверено можно говорить о диагностировании режима обобщенной синхронизации, то есть для которого вероятность диагностирования режима близка к 100 процентам.
Способ поясняется чертежами. На фиг. 1 приведена схема подключения систем, на фиг. 2 приведен алгоритм реализации способа, на фиг. 3 – иллюстрации расчета вероятности детектирования режима обобщенной синхронизации с течением времени для разных значений параметра связи. На чертежах приняты следующие обозначения:
x
d
– ведущая система;
x
r
– ведомая система;
x
a
1
- первая вспомогательная система;
x
a
N
- последняя вспомогательная система;
Р – вероятность наблюдения режима обобщенной синхронизации.
i, j – счетчики
ns – число систем в синхронном режиме
N – общее число вспомогательных систем
ε - параметр связи,
Δ – пороговое значение, по которому определяется эквивалентность состояний связанных систем.
Настоящее изобретение основано на применении метода вспомогательной системы, согласно которому, если между идентичными по управляющим параметрам ведомой и вспомогательной системами (но с разными начальными условиями) устанавливается эквивалентность состояний, то в паре ведущей–ведомой систем наступает обобщенная синхронизация.
Предлагаемый способ анализа состояния систем с оценкой вероятности наблюдения синхронного режима является компьютерно реализуемым. На данный момент зарегистрировано большое число программ для ЭВМ, предназначенных для анализа обобщенной синхронизации в системах с различными типами связи с помощью различных методов и подходов (см., например, свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2013610194, 2010613659, 2015616887, 2015617858, 2015618340 и др.).
В то же самое время, известные до настоящего времени методы и подходы сильно чувствительны к выбору начальных условий взаимодействующих систем, что не позволяет определить точно границу режима обобщенной синхронизации.
Изложенный ниже способ отличается от приведенных выше способов тем, что позволяет определить вероятность установления режима обобщенной синхронизации вне зависимости от выбора начальных условий исследуемых систем.
обобщенной синхронизации в нелинейных системах
Действительно, частой проблемой при диагностировании режима является сильная зависимость наблюдаемых режимов от выбора начальных условий. При одном и том же параметре связи между системами для одних начальных условий уже можно диагностировать режим обобщенной синхронизации, тогда как для других режим обобщенной синхронизации наблюдаться не будет. Таким образом, граница обобщенной синхронизации может быть найдена некорректно или, по крайней мере, неточно. Обычно данная проблема решается увеличением времени расчетов, чтобы быть уверенным, что для данных начальных условий не будет обнаружено асинхронных фаз поведения. Однако, и в этом случае всегда существует вероятность ошибки. Предлагаемый способ решает эту проблему. Он позволяет оценить вероятность наблюдения режима обобщенной синхронизации вне зависимости от выбора начальных условий исследуемых систем. Таким образом, можно определить, насколько вероятно диагностировать обобщенную синхронизацию при случайном выборе начальных условий. Это особенно важно для хаотических систем, в которых малые изменения начальных условий (или ошибки определения условий, при проведении экспериментов) могут привести к существенному изменению динамики системы.
x
x
x
T
x
x
x
x
N
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
r
a
a
1
aN
d
r
a
1
aN
r
a
1
r
a
2
r
a
3
a
1
a
2
a
1
a
3
a
2
a
3
В классическом методе вспомогательной системы (Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M. // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. № 5. P. 4528) для диагностирования режима обобщенной синхронизации между ведущей () и ведомой () системами, однонаправленно связанными между собой, вводится в рассмотрение вспомогательная система (), идентичная ведомой по всем параметрам кроме начальных условий. В случае если после переходного процесса () динамика в вспомогательной и ведомой системах становится идентичной (то есть разность состояний вспомогательной и ведомой систем по модулю меньше наперед заданного порогового значения Δ), то делается вывод об установлении режима обобщенной синхронизации между ведущей и ведомой системами. В предлагаемом способе вместо одной вспомогательной системы вводится большее их число (хотя бы еще одна). Чем больше число систем, тем точнее будет определена вероятность наблюдения режима обобщенной синхронизации. Обозначим первую вспомогательную систему как , и так далее вплоть до последней вспомогательной системы . Таким образом, мы получаем структуру, в которой есть ведущая система (), однонаправленно связанная с ведомой (), и еще  вспомогательными системами (…) (см. Фиг. 1). Все вспомогательные системы идентичны ведомой системе, а также друг другу, но имеют различные начальные условия, определяемые случайным образом на аттракторе ведомой системы. Далее, для определения вероятности наблюдения режима обобщенной синхронизации после завершения переходного процесса осуществляется попарное сравнение состояний ведомой и всех вспомогательных систем. В частности, если имеется, например, всего 3 вспомогательные системы и одна ведомая система, то сначала осуществляется сравнение состояний ведомой системы и всех вспомогательных систем: то есть сравниваются состояния  и ,  и ,  и . Под сравнением состояний понимается вычисление модуля разности состояний: если такая величина меньше наперед заданного порогового значения Δ, состояния считаются эквивалентными. Далее осуществляется аналогичное сравнение всех пар вспомогательных систем: и ,  и ,  и . Получается, вероятность наблюдения режима обобщенной синхронизации будет рассчитываться по 6 парам систем. Для этого число случаев, в которых был продиагностирован режим обобщенной синхронизации, то есть состояния пар систем, для которых осуществлялось сравнение, оказывались идентичными, делится на количество используемых пар. Если было диагностировано 6 синхронных случаев для 6 пар – вероятность равна 1. Если ни одного – вероятность равна 0. Разумеется, для получения достоверных результатов определения вероятности наблюдения режима обобщенной синхронизации желательно работать хотя бы с сотней вспомогательных систем, однако сам способ работает и для 2 вспомогательных систем.
Способ, как следует из названия, является компьютерно-реализуемым. Показанный алгоритм довольно прост, включает всего несколько циклов и ветвлений, при этом работая с произвольными входными данными. Для обеспечения корректности работы способа, таким образом, необходимо обеспечить правильный набор входных данных, отражающий данные о ведомой и вспомогательных системах.
На Фиг. 3 продемонстрирована возможность использования способа. Проведен расчет с течением времени вероятности диагностирования режима обобщенной синхронизации для трех различных параметров связи: намного ниже границы режима обобщенной синхронизации (ε=0.05); вблизи границы обобщенной синхронизации (ε=0.17), выше границы обобщенной синхронизации (ε=0.20). Видно, что для первого случая вероятность остается близка к нулю (колебания вызваны случайными совпадениями состояний вспомогательных систем на длинном временном интервале), для третьего случая вероятность равна 1, а для второго случая сильно меняется, демонстрируя перемежающееся поведение. Очевидно, что строя такие зависимости для разных значений параметра связи, можно без труда определить границу обобщенной синхронизации. Приведенный рисунок был построен для 1000 систем, что дает хорошую точность диагностирования режима обобщенной синхронизации.