Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №5_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.918

М.Ш.Ганиев

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Институт математики АН Республики Таджикистан,

В работе исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях. Рассматриваемые многообразия являются негладкими и удовлетворяют лишь условию конуса. В начале определены соответствующие функциональные пространства, сформулированы вспомогательные интегральные неравенства, а затем рассмотрены задача Дирихле с однородными граничными условиями и задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на многообразии.

Ключевые слова: задача Дирихле - нелинейное дифференциальное уравнение - многообразие - обобщенное решение - интегральное неравенство.

Работа примыкает к работе автора и С.А.Исхокова [1] и посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных С0 - многообразиях произвольной размерности меньше размерности евклидова пространства. Такие исследования ранее проводились в работах Ю.Д.Салманова [2], С.А.Исхокова, Г.И.Сивцевой [3], С.А.Исхокова, Г.И.Тарасовой [4], где рассматривались линейные эллиптические уравнения, вырождающиеся на многообразиях различных измерений. Нелинейные дифференциальные уравнения, вырождающиеся на многообразиях, рассматривались в работе Ю.Д.Салманова [5] в случае ограниченной области.

Пусть Ип —мерное евклидово пространство. Пусть /г > 0 и т -натуральное число меньше п. Положим

( П 5^т) = \х\х = (х1,х2, ...,хп') £ йп; х1=х2=хт = 0; ^ х\ < к2

¿=т+1

п-1

Къ = х:х = (xl9xz, - ,хп) Є Яп; 0 < хп < h; ^ xf < а2х\

і=і

Адрес для корреспонденции: Ганиев Муродбек Шамсиевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АНРТ. E-mail: g-murod@mail.ru

Через Kh(£), где f £ Rn и | = h, обозначим конус, который получается путем поворота конуса Kh вокруг начала координат так, что при этом точка (ОД Л) переходит в точку f. Объединение всех

конусов Kh(£), когда f пробегает dsj^, обозначим через .

Определение 1. Будем говорить, что неограниченное С0 - многообразие 3JÎ с Rn размерности т удовлетворяет условию конуса, если существует линейное преобразование A: Rn -> Rn, осуществляющее поворот вокруг начала координат, такое, что

x + AVj*0 с Rn\4Bl,Vh > O.Vx £ ЯП.

Далее предполагаем, что ЗЛ - неограниченное С0 -многообразие размерности т<п, удовлетворяющее условию конуса, iî = Rn\SR и р(х) = dist{x, ЗЛ} для всех х £ il

Пусть функция <r(t) £ С°°(0,+оо) такая, что 0 < a(t) < 1 для всех t £ [1/2; liait) = 0,

при t > 1 и «т(0 = 1 для всех t £ [0,1/2]. Для двух вещественных чисел a,ß определим функцию <Pa,ß (t) = c(t)t“a + (l — <j(t))t^, X £ iî.

Пусть p £ (1; oo) и г - некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы функций, определенных в области SI:

Ç;e*(n) =

и К;а^СП)|| = І Л ((<Pa,ßM\uik\x)\)P dx

\k\=rn

Vp

< +00

Щ.а0г№ = {иМ: \\и:ЩссМаЯ == {и: \К;сс,р(аЯР + \\и' ЬР;а,у(П)|Г} ^ < +со|

Некоторые свойства этих пространств ранее изучены в работе С.А.Исхокова и Г.И.Тарасовой

О

[4]. Нами продолжено изучение свойств пространств IV яду(Л), 1Ур.аду(Л) и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства, которые затем применены в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях.

Теорема 1. Пусть выполнены условия

п — т п — т п — т

а----------1-1 Ф 50,г — а — 50---------I-1 =£ О,г — р-------< 50,

Р V V

п ^ , п-т , , _ . п-т , _ . ,1Ч

Р -Г>у,г + — + 80±0,г + — + 50<1,

где 50 - целое число, которое удовлетворяет неравенствам

, п-т _ _ , п-т , . ,_ч

г + а-------< <г + а------------\- 1.

Р Р

Тогда на функциях и £ С“(П) полунорма ||и; эквивалента норме пространства

И£.яАу(П).

Теорема 2. Пусть целое число 5 е (0, г) и пусть выполнены условия

/1 1\ п — т

«с-а<г-5+-------------(п- т), а8 <---------, 1 < р < а0 < °°,

Р/ Чо

Р - Р3>г-з +

Тогда для всех функций и £ Ш*. ару(П') справедливо неравенство

11и' ^Чо; «5 АII ^ IIм’ ^р; аДуII'

Теорема 3. Пусть целое число 5 такое, что 1<5<г — 1, и пусть выполнены условия 1<р <Яо< 00,-а + £ {1,2,...,г — 5},

п . п-т ^

Р+ — € {1,2 ,...,г-з},р-г> у.

О

Тогда для всех функций и£Ж^. а^у(П) справедливо неравенство

«ll^‘;^^,í«лД“)ll, <6>

где

ач = а + г - 5 (п — т),

\Р Чо' ^

Р5=р-г + 8 + (^--^(п-т).

Далее сформулируем наши результаты о разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном С0- многообразии ЗЛ размерности т<п — 1. Рассматривается дифференциальное уравнение

Ш = 1^1^

Напомним, что функция [/(х) называется обобщенным решением уравнения (8), если она

удовлетворяет тождеству

[ Л ак

П \к\<г

(1х =< Р,р >

а

для всех V £ С?(П).

Задача /)0. Для заданного функционала £ (IV аду(Ц)) требуется найти обобщенное ре-

о

шение уравнения (8), принадлежащее пространству IV р. а1р)УС^пУ

о

Заметим, что решение задачи О0 принадлежит пространству IV р. и как элемент это-

го пространства удовлетворяет однородным граничным условиям на многообразии ЯЛ.

Разрешимость задачи О0 изучается при следующих ограничениях на коэффициенты %(;с) дифференциального уравнения (8):

I) рк = р > 2 при \к\ = 0, \к\ = г и существуют положительные числа с1( с2 такие, что

С\ (р Ра,у(х) < ак(х) <с2<р рау(х) (х £ П) при \к\ = 0,

С1 < ак(х) < с2 <рРр(х) (х Е П) при \к\ = г,

II) 2 <р <рк < со при 1 < |Л| < г — 1 и существуют положительные числа С3, С4 такие, что

с3 <Р Рак,рк№ ~ ~С4<Р Рак.Рк№ (Х £ П)'

где

/1 1\

ак = а + г — \к\ — [-------------------) (п — т),

\Р Рк/

Рк = Р ~ г + \к\ - (п - т).

УР Рк

Теорема 4. Пусть выполнены условия I), II) и пусть

-а + £ {1.2,.. .,г},р + £ {1,2,.. .,г},р - г > у.

Тогда для любого заданного функционала £ (IV я ^ у(/2)^ существует единственная функция

о

и(х) из пространства IV а£у(/2), которая является решением вариационной задачи

т{Ф(и) = Ф(Ц) = Е(1Г)—< ^ и >,

о

где инфимум берется по всем и Е IV р. ару(р.) и

Е(Ц) = ^ “ / ак(х)\иЮ(х)\Ркс1х.

\к\<г Рк а

Более того, функция и(рс) является единственным решением задачи 1)0 и при этом справедлива следующая оценка

где число М > 0 не зависит от F.

Теперь рассмотрим задачу с неоднородными граничными условиями.

Задача О. Для заданного функционала F £ (К,а,р,у(К^У и заданной функции £

^р; а,/?,уС^п) требуется найти обобщенное решение и(рс) уравнения (8), принадлежащее пространству Щ-, а,р,у(Н£) и удовлетворяющее условию

ВД-ВД£^^.яДу

Замечание 1. Условие (9) означает, что решение и(х) задачи О и заданная функция Ч^ж) имеют одни и те же следы на многообразии ЗК. Поэтому, если функция Ч^зс) имеет неоднородные следы на «Ш, то решение и(х) удовлетворяет неоднородные граничные условия на многообразии ЗЛ.

Предполагается, что коэффициенты а.к(х) уравнения (8) удовлетворяют условию I) и вместо условия II) выполняется условие

III) 2 < р < рк < оо при 1 < \к\ <г — 1 и существуют положительные числа с3, с4 такие, что

Сз (р Рак,Цк^> - ак№ (Х е п^’

где ак, Рк - вещественные числа, удовлетворяющие условиям

ак < г + а — \к\ — 0 — ^-) (п - ш),

Р Рк (10) Рк < Р - г + \к\ + (п - т).

Теорема 5. Пусть выполнены условия I), III) и пусть

п—т п—т

ак<——,рк + г-\к\-1<---------------- —

Рк Рк

для всех мультииндексов к удовлетворяет условию 1 < |&| <г — 1.

Тогда для любого заданного функционала и любой заданной функции

Ч^х) £ IV р. ару(Р) существует единственная функция и(х) £ IV яду(П) такая, что

т{Ф

где

£(«) = Л “/ ак(х)|ис*)(*)|Р*‘**.

и инфимум берется по всем и Е IV £. аду(П).

Более того, эта функция и(х) является единственным решением задачи И и удовлетворяет

оценку

11«; У! г, «Ау№)|Г «{г«|»цг-1||№ У/ к „аДФР"1} X И'Р; V/ аАг(п)||

+

+ 11^ № V, «Ау

Следствие 1. В условиях теоремы 5, если рк <р + 1 при 1 <\к\< г — 1, то решение и(х) задачи й удовлетворяет оценку

где у0 = тах{р,р/(р + 1 - рк)}, если ||Ч^; IV £. адуФ)|| >1, и у0 =р, если Ц'Р; IV £. адуФ)|| < 1.

Поступило 08.04.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. - ДАН РТ, 2011, т. 54, № 2, с.97-104.

2. Салманов Ю.Д. - ДАН СССР, 1988, т. 301, № 1, с. 38-41.

3. Исхоков С.А., Сивцева Г.И. - Математические заметки ЯГУ, 1999, т.6, № 2, с. 28-41.

4. Исхоков С.А., Тарасова Г.И. - Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика, 2006, т.6, вып. 4, с. 43-49.

5. Салманов Ю.Д. - Дифференциальные уравнения, 1999, т. 35, № 12, с. 1677-1683.

М.Ш.Г аниев

МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ МУОДИЛАХОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ГАЙРИХАТТИИ ДАР БИСЁРШАКЛИХОИ НОМАХДУД ТАНАЗЗУЛЁБАНДА

Институти математекаи Академия илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Макола ба тадкик намудани хдлшавандагии яккимматаи масъалаи вариатсионии Дирихле барои муодилахои дифференсиалии гайрихаттии дар бисёршаклии номахдуд таназзулё-банда бахшида шудааст. Бисёршаклихо гайрисуфта буда танхо шарти конусро каноат мекуно-нанд. Дар кисми аввали макола фазохои функсионалии мувофик бо вазнхои дарачагй муайян карда шуда, нобаробарихои интегралии ёрирасон исбот карда шудаанд. Масъалаи Дирихле бо шартхои сархадии як^инса ва масъалаи Дирихле бо шартхои гайрияк^инса дар бисёршаклй дида баромада шудаанд.

Калима^ои калиди: масъалаи Дирихле - муодилаи дифференсиалии гайрихаттй - бисёршаклй -уалли умумикардашуда - нобаробарии интегралй.

M.Sh.Ganiev

VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS DEGENERATING IN UNBOUNDED MANIFOLDS

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The article is devoted to investigation of unique solvability of variational Dirichlet problem for nonlinear differential equations degenerating in unbounded manifolds. Manifolds aren't smooth and only satisfying the cone condition. Associated functional spaces with power wights are defined in the first part of the article and auxiliary integral inequalities are proved. Dirichlet problem with homogeneous boundary conditions and Dirichlet problem with nonhomogeneous boundary conditions on the manifold are considered.

Key words: Dirichlet problem - nonlinear differential equation - unbounded manifold - generalized solution - integral inequality.