Об одном контрпримере для метода анализа иерархий

п

исьма в редакцию

УДК 519.83

ОБ ОДНОМ КОНТРПРИМЕРЕ ДЛЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

В.Г. Митихин

Рассмотрена ранее опубликованная в журнале статья, содержащая контрпример для метода анализа иерархий — МАИ (Analytic Hierarchy Process — AHP). Авторы контрпримера ставили цель — продемонстрировать с его помощью несостоятельность теоретической базы МАИ. Анализ этого примера, выполненный в настоящей работе, выявил ошибку авторов статьи при использовании средств МАИ, в силу чего утверждение о несостоятельности МАИ, основанное на рассматриваемой задаче, неправомерно.

Ключевые слова: многокритериальный анализ, метод анализа иерархий, шкала отношений, фундаментальная шкала, нормативный подход, шкала интенсивностей, предпочтения, теория важности критериев.

ВВЕДЕНИЕ

В статье [1] рассматривался пример, с помощью которого авторы этой работы хотели показать, что МАИ и его обобщение — метод аналитических сетей (МАС) [2—4] некорректны, так как техника оценивания и последующих вычислений приоритетов альтернатив в рамках МАИ, по мнению авторов работы [1], может приводить к явно ошибочным результатам.

Поставленная в работе [1] задача сформулирована для четырех альтернатив с двумя равно важными критериями с общей, вербальной, трех уровневой шкалой оценок. Решение этой задачи, полученное на основе МАИ, сравнивалось с решением, найденным на основе теории важности критериев (ТВК) [5]. Сравнение полученных решений в работе [1] дало основание ее авторам для вывода о явно неверном решении, полученном с помощью МАИ и, как следствие этого — вывод о несостоятельности теоретической базы МАИ. Цель настоящей работы — на основе анализа решений задачи показать, что вывод, сделанный в работе [1], явился следствием некорректного применения аппарата МАИ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И АНАЛИЗ ЕЕ РЕШЕНИЯ

Сохраняя обозначения работы [1], напомним постановку задачи. Имеются четыре варианта (альтернативы): x1, x2, x3 и x4 с векторными оценками f(x) = (f1 (x), f2(x)) по двум одинаковой важности критериям f и f с общей шкалой оценок: e — отлично (excellent), g — хорошо (good), m — посредственно (mediocre). Рассматриваются следующие векторные оценки вариантов:

/(x1) = (e, g); fx2) = (m, e); f(x3) = (g, g); fx4) = (e, m).

Требуется ранжировать эти варианты по предпочтительности.

Сначала в работе [1] было найдено решение на основе МАИ. Точнее, применялся дескриптивный подход, основанный на проведении парных срав-

12 3

нений представленных четырех вариантов x , x , x и x4 относительно критериев f и f2. Полученное решение сразу выявило интуитивно ясные противоречия (и здесь можно согласиться с авторами работы [1]): 1) вариант x2 всегда предпочтительнее

варианта x4, при абсолютной симметрии этих вариантов в рассматриваемой задаче; 2) существуют

условия, при которых вариант x2 является наилучшим, хотя те же интуитивные соображения подсказывают, что наилучшим вариантом следует считать x1.

Для того чтобы вскрыть истинную природу указанных противоречий при решении данной задачи проанализируем один опорный момент решения задачи, построенного в работе [1] на базе ТВК. В процессе решения задачи на основе ТВК авторы прибегают к сравнению варианта x1, имеющего векторную оценку (e, g) с гипотетическим, безразличным вариантом x5, имеющим векторную оценку (g, e). И здесь мы отметим следующее обстоятельство: использование гипотетических вариантов — «безопасный» прием с позиций ТВК, не является «безопасным» в рамках дескриптивного подхода МАИ. Иными словами, использование гипотетических вариантов, т. е. дополнительных вариантов при неизменной структуре множества критериев, приводит к изменению порядка ранжированных вариантов, если эта ранжировка выполнялась на основе парных сравнений. Этот факт известен как нарушение принципа инвариантности при использовании дескриптивного подхода в МАИ [4]. Отметим, что этот факт известен и авторам работы [1] (см. статью [6]). Формально в силу этого обстоятельства «дескриптивный подход» некорректно применять для решения рассматриваемой задачи, если сравнивать результаты на его основе с решением на основе ТВК.

Один из способов сохранения принципа инвариантности заключается в нормативном подходе МАИ (детальное обсуждение см., например, в работах [2—4, 7—9]), созданном для решения задач, аналогичных поставленной. Нормативный подход (часто употребляют название — сравнение вариантов относительно стандартов или идеальной альтернативы) основан на использовании парных сравнений для формирования шкалы интенсивнос-тей по каждому критерию, с помощью которой затем выполняется раздельная оценка каждого из предложенных вариантов с учетом весомости критериев. В нашем случае нормативный подход в решении рассматриваемого «контрпримера» необходим в силу постановки задачи, так как оценки по критериям f1 и f (e — отлично, g — хорошо, m — посредственно) с очевидностью предполагают сравнение рассматриваемых вариантов с некоторым стандартом по этим критериям. Именно для таких постановок и разработан «нормативный» подход в МАИ.

Покажем теперь, что применение нормативного подхода МАИ позволяет устранить все противоречия, отмеченные в работе [1], возникавшие при сравнении решений на основе ТВК и МАИ.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА ОСНОВЕ НОРМАТИВНОГО ПОДХОДА МАИ

Так как критерии f1 и f2 имеют общую шкалу оценок: e, g, m, то сначала сформируем матрицу парных сравнений указанных оценок с использованием обозначений работы [1]: а — степень превосходства в предпочтительности оценки e над оценкой g; b — степень превосходства оценки g над оценкой т. При этом а > 1 и b > 1.

Согласованная матрица парных сравнений оценок исходной шкалы относительно критериев f1 и f2 приведена в таблице.

Для этой матрицы получаем нормированный правый вектор приоритетов (весов) оценок:

(p(e), p(g), p(m)) = (аЬ(1 + а + аЬ)/С; b(1 + а + аЬ)/С; (1 + а + аЬ)/С),

где С = аЬ(3 + а + b + аЬ) + а + b + 1.

Полученные приоритеты делим на максимальное значение из них: p(e) — т. е. соотносим их с приоритетом отличной оценки. В результате получаем следующий вектор интенсивностей исходных оценок:

(i(e), i(g), i(m)) = (1; 1/а; 1/а^.

Для вычисления интегральных оценок вариантов используем полученную шкалу интенсивно-стей с учетом равной весомости критериев f1 и f2:

h(x1) = 0,5 i(e) + 0,5i(g) = 0,5(а + 1)/а; h(x2) = 0,5 i(m) + 0,5 i(e) = 0,5^b + 1)/fab);

h(x3) = 0,5 i(g) + 0,5 i(g) = 1/а;

Л(х4) = 0,5/(е) + 0,5/(т) = 0,5(аЬ + 1)/(аЬ).

Очевидно, что гипотетический вариант х5 имеет такую же интегральную оценку как и вариант х1,

Матрица парных сравнений оценок шкалы по критериям f1 и f2

f fl e g m

e 1 а ab

g 1/а 1 b

m 1 /ab 1/b 1

78

CONTROL SCIENCES № 3 • 2012

отметим также, что вариант x0 с векторной оценкой (e, e) следует считать идеальным (стандартом), который имеет интегральную оценку, равную 1.

Из полученных выражений для интегральных 12 3 4

оценок вариантов x , x , x и x сразу следует, что при любых значениях а, b > 1, принадлежащих фундаментальной шкале МАИ, вариант x1 является наилучшим, а варианты x2 и x4 одинаковы по предпочтительности. Результат сравнения варианта x2

43 (как и x ) с вариантом x :

1) при b = 0,5(ab + 1), что эквивалентно условию: а = 2 — 1/b, варианты одинаковы по предпочтительности;

2) при выполнении условия а > 2 — 1/b — ва-

23

риант x предпочтительнее варианта x ;

3) при 1 < а < 2 — 1/b вариант x предпочтительнее варианта x2.

Здесь можно ограничиться классическим случаем, как и в работе [1] для рассматриваемой задачи: 1 < аb < 9. Дополнительно отметим, что в МАИ имеются приемы [4], позволяющие, с одной стороны, осмысленно расширить границы фундаментальной шкалы и перейти от классического случая к интервалу (1 < аb < да), а с другой, повысить точность измерения значений а, b.

В итоге для значений а, b на основе классической фундаментальной шкалы (а = 2, 3, 4 с соответствующими условию аb < 9 значениями b) имеет место ситуация: вариант x2 (как и x4) предпоч-

3

тительнее варианта x .

Полученное решение покрывает решение, найденное на основе ТВК в работе [1], при этом оно

позволяет полностью упорядочить варианты x1, x2,

x3 и x4 (отметим, что в работе [1] достигнута лишь частичная упорядоченность вариантов).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в настоящей работе результаты, позволяют сделать вывод о некорректности контрпримера, представленного в статье [1], и, соответственно, вывод о несостоятельности метода анализа

иерархий, основанный на этом примере, неправомерен.

В конце работы [1] авторы делают заявление о необходимости разработки корректных и эффективных методов анализа многокритериальных задач с иерархической структурой, и с этим можно согласиться. Добавим, что в свете классических результатов, полученных К. Эрроу, к ординальным методам следует относиться достаточно осторожно, а кардинальные представления, аналогичные фундаментальной шкале МАИ и относительности измерений, позволяют надеяться на успешное развитие эффективных в прикладном плане методов анализа многокритериальных задач с иерархической и сетевой структурой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подиновский В.В., Подиновская О.В. О некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. — 2011. — № 1. — С. 8—13.

2. Saaty T.L. The analytic hierarchy process. — N.-Y.: McGraw Hill, 1980. — 288 p.

3. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1993. — 320 с.

4. Саати Т. Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети / Пер. с англ. — М.: Изд. ЛКИ, 2008. — 360 с.

5. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. — М.: Физматлит, 2007. — 64 с.

6. Подиновская О.В. Метод анализа иерархий как метод поддержки принятия многокритериальных решений // Информационные технологии моделирования и управления. — 2010. — № 1 (60). — С. 71—80.

7. Макеев С.П., Шахнов И.Ф. Упорядочение объектов в иерархических системах // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1991. — № 3. — С. 29—46.

8. Андрейчиков A.B., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 464 с.

9. Tversky A., Slavic P., Kahneman D. The Causes of Preference Reversal // The American Economic Review. — 1990. — Vol. 80, N 1. — P. 204—217.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

Ф.Т. Алескеровым.

Митихин Вячеслав Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент,

Московский государственный текстильный университет

им. А.Н. Косыгина, И mvgmia@mail.ru.

Читайте в следующем номере

Бурков В.Н., Губко М.В., КоргинН.А., Новиков Д.А. Теория управления организационными системами и другие науки об управлении организациями

Дан анализ места теории управления организационными системами (исторически берущей свое начало в теории активных систем) в системе научных и научно-практических направлений, исследующих организационное управление. В целях этого анализа выбрана единая система классификаций, кратко перечислены современные научные направления, исследующие проблемы теории и практики управления организациями, и, наконец, дано сравнение теории управления организационными системами с другими теориями.