О влиянии упругого крепления на колебания двухзвенного аэродинамического маятника

УДК 531.36

А. П. Голуб, Ю. Д. Селюцкий НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова

О влиянии упругого крепления на колебания двухзвенного аэродинамического маятника

Рассматривается динамика двухзвенного аэродинамического маятника в упругом подвесе. Исследуется устойчивость положения равновесия «по потоку». Показано, что существует диапазон значений параметров, в котором данное положение равновесия неустойчиво, что позволяет использовать маятник в качестве устройства для преобразования энергии потока в полезную энергию. Исследована эволюция автоколебательных режимов, возникающих в системе, в зависимости от параметров.

Ключевые слова: устойчивость, автоколебания, двухзвенный маятник, крыло в потоке, аэроупругость.

A.P. Holub, Yu.D. Selyutskiy

Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University

On Influence of Elastic Mounting on Oscillations of a Double Aerodynamic Pendulum

Dynamics of an elastically mounted double aerodynamic pendulum is considered. The equilibrium stability «along the flow» is studied. It is shown that there exists a range of parameters, where this equliibrium is unstable, which allows using the pendulum as a device for conversion of the flow power into useful power. The evolution of selfsustained oscillations arising in the system is studied depending on the parameters.

Key words: stability, selfsustained oscillations, double pendulum, wing in flow, aeroelasticity.

1. Введение

Механические системы, существенные особенности поведения которых обусловлены взаимодействием сил упругости и аэродинамических сил (так называемые аэроупругие системы), встречаются в большом количестве инженерных и технических объектов. Характерным свойством таких систем является возникновение автоколебаний в определенном диапазоне скоростей набегающего потока. Эти колебания могут приводить к разрушению конструкции, что стимулировало активное изучение динамики указанных систем. Вопросам потери устойчивости номинального положения равновесия и изучения характеристик колебательных режимов посвящено огромное количество работ (например, [1-3]).

С другой стороны, наличие автоколебательных режимов позволяет использовать такие системы для преобразования энергии потока в электроэнергию. Подобные устройства описаны, в частности, в работах [4-7].

Как правило, в литературе рассматриваются аэроупругие системы с двумя степенями свободы, в которых элемент, взаимодействующий с потоком среды, имеет две степени свободы - одну вращательную и одну поступательную. Однако представляет интерес рассмотрение систем, в которых обе степени свободы являются вращательными. К таким системам относится, в частности, двухзвенный аэродинамический маятник в упругом закреплении. В настоящей работе исследуются некоторые особенности его поведения.

© Голуб А. П., Селюцкий Ю.Д., 2017

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

2. Постановка задачи и уравнения движения

Рассмотрим двухзвенный аэродинамический маятник (рис. 1), который представляет собой систему из двух шарнирно соединенных стержней. Первый стержень может вращаться вокруг вертикальной оси 0\2. Ось шарнира между звеньями также вертикальна. Ко второму стержню прикреплено крыло с симметричным профилем (форма крыла близка к плоской пластине). Будем считать, что вся система помещена в поток среды, скорость которого на бесконечности постоянна и равна V.

В отличие от системы, рассматриваемой в [8], будем считать, что в шарнирах имеются линейные спиральные пружины.

Рис. 1. Двухзвенный аэродинамический маятник в упругом закреплении

Введем систему координат 0\ХУ, ось абсцисс которой направим вдоль скорости потока. В качестве обобщенных координат выберем угол ф между осью абсцисс и первым звеном и угол в между осью абсцисс и вторым звеном. Будем считать, что пружины не напряжены, когда оба указанных угла равны 0, т.е. звенья ориентированы «по потоку».

Для описания аэродинамического воздействия на лопасть, как и в работе [8], воспользуемся квазистатической моделью. В рамках этой модели аэродинамическое воздействие на крыло приводится к силе лобового сопротивления и подъемной силе, которые приложены в центре давления C. Предположим, что центр давления не перемещается вдоль крыла во все время движения, и расстояние от него до шарнира O2 равно R. Уравнения движения маятника имеют следующий вид:

(J1 + m2l2) ф + m2l1l2 cos (в — ф) в — m2l1l2sin (в — ф) в = pSVc li

2

Cx(a) V sin ф + l1pp + R cos (в — ф) в) +

+PSVC1 Cy

J2 + m2l\) в + m2l1l2 cos (в — p) ф + m2l1 l2sin (в — p) ф2 = pSVc R

+

2

pSVc R 2

CX

Здесь .]\ — момент инерции 1-го звена относительно неподвижной оси, .]2 — центральный момент инерции 2-го звена, Ш2 — масса 2-го звена, ¡1 — длина первого звена, ¡2 — расстояние от шарнира между звеньями до центра масс второго звена, К\,2 — коэффициенты жесткости спиральных пружин, р — плотность среды, а — площадь крыла, Vc — воздушная скорость точки С (т.е. ее скорость относительно потока среды), а — угол атаки, под которым понимается угол между хордой крыла и скоростью Vc, Сх — безразмерный коэффициент лобового сопротивления, Су — безразмерный коэффициент подъемной силы. Угол

атаки и воздушная скорость связаны с фазовыми координатами и скоростями следующими кинематическими соотношениями:

Vc cos a = V cos в + lid> sin (ш — в), C V 7 . (2) Vc sin a = V sin в + l1ip cos (ш — в) + Кв.

Уравнения (1) вместе с соотношениями (2) образуют замкнутую систему.

3. Положение равновесия «по потоку»

Так как профиль крыла симметричный, то Cy(0) = 0, и система (1) - (2) имеет тривиальное стационарное решение: ш = 0, в = 0.

Это положение «вдоль потока», когда оба звена маятника направлены вдоль скорости набегающего потока.

Исследуем устойчивость этого положения равновесия. Введем безразмерное время т = tV0/li, где V0 — некоторая характерная скорость, и следующие безразмерные параметры:

V Vc . 2Ji 2J2 2m . I2 К , 2Ki¿

u =—, uc = —, J1 =-Jo, J2 =-To, Ц =-г-, l = 7-, r = —, ki,2 =

Vo' c vq' palf palf и pal\ li W ' paV02li'

Тогда уравнения движения и кинематические соотношения в безразмерной форме запишутся следующим образом (точка обозначает производную по т):

2

(ji + Ц) Ш + ц1 cos (в — ш) в — ¡ilsin (в — ш) в = = —ucCx(a) (v, sin ш + Ф + r cos (в — ш) в^ +

+ucCy(a) (—u cos ш + r sin (в — ш) в^ — к]_ш + k2 (в — ш),

j2 + ц12) в + ц1 cos

= —ucr (Cx(a) + Cy(a)) (y, sin в + гв + cos (в — ш) ш^ — к2 (в — ш), uc cos a = u cos в + ш sin (ш — в), uc sin a = u sin в + ш cos (ш — в) + гв.

Линеаризуем уравнения (3) вблизи положения равновесия «по потоку»:

(ji + ц) ш + ц\в = —u (Cxo + Cy) + гв + ш) — Cxou2 (ш — в) — к^ + к2 (в — ш), (32 + ц12) в + ц!ф = —ru (Cxo + C£) ^в + гв + ш) — к2 (в — ш).

Здесь Cxo = Cx(0), Cy = Cy(a)|a=Q.

Вначале рассмотрим ситуацию, когда пружины между звеньями отсутствуют (т.е. kl = к2 = 0). Тогда, учитывая, что для тонких крыльев Cxo ^ 1, получаем следующие приближенные формулы для корней характеристического уравнения:

\ i rCxo 3ir — 32 + Ц

Ai,2 = ±iu\ -------ur-----"o-Cxo + o (Cxo) ,

3ir — 1ц + цг (jir — 1ц + цг)2

jir2 + ц(г — l)2 + 32

A3,4 = —uCa—-2 . . 7 ,' ±

y 3lЦl2 + 3i32 + 32ц

\

±uCya^-^-. ?2 ^ . . ^ .-+ o(1).

y 3lЦl2 + 3i32 + 32Ц

Нетрудно видеть, что если параметр т достаточно велик (так что 31Г — 32 + Ц (I + 1) (г — ¡) > 0), то имеет место асимптотическая устойчивость. При т = т* = (з2 + ц1 (I + 1)) (3 1 + Ц (I + 1))" 1 происходит бифуркация Хопфа, и рождается предельный цикл. При меньших значениях т рассматриваемое положение равновесия неустойчиво.

При прохождении параметром т значения т* меняет знак вещественная часть Л 1,2. Соответственно, для частоты возникающего цикла при т, достаточно близких к т*, имеет место формула и^тСх0 (31т — ¡ц + цт)"1. Отметим, что эта частота пропорциональна скорости набегающего потока.

Пусть теперь коэффициенты жесткости пружин не равны нулю. Нетрудно показать, что положение равновесия «по потоку» будет неустойчивым, если значение к1 заключено в некотором диапазоне, границы которого к* и к** определяются следующими формулами:

к* = 31т — 32 + Ц

1 32 + ц12 — ц1т V х0 т ,

к** = к* + 31т2 + 32 + Ц(1 — т)2 2 С а

к1 = к1 + т (32 + Ц2 — ц1т) иСУ

Обозначим значение г, при котором 32 + ц12 — ц1т = 0, через т**. Заметим, что т** > т*.

Из (4) следует, что при т > т** и к*, и к** отрицательны, т.е. рассматриваемое положение равновесия асимптотически устойчиво при всех физически осмысленных значениях коэффициентов жесткости пружин.

В диапазоне т* < т < т** величины к* и к** положительны при любых значениях коэффициента жесткости второй пружины. Соответственно, при к * < к 1 < к ** рассматриваемое положение «по потоку» неустойчиво, причем обеспечить устойчивость за счет изменения жесткости второй пружины невозможно.

Если же т < т*, то к* < 0. При малых к2 с учетом соотношения Схо ^ 1 получаем, что к** > 0. Соответственно, при 0 ^ к 1 < к** тривиальное положение равновесия неустойчиво. В то же время с ростом к2 величина к** уменьшается и, в конце концов, становится отрицательной. При этом положение «по потоку» асимптотически устойчиво.

Таким образом, существуют значения параметров системы, при которых положение равновесия «по потоку» неустойчиво. Это позволяет использовать двухзвенный маятник в упругом подвесе как элемент установки для преобразования энергии потока в полезную энергию.

4. Периодические режимы

Для изучения зависимости амплитуд периодических режимов, возникающих в системе, от величин коэффициентов жесткости пружин проведем численное моделирование динамики рассматриваемой системы. Для безразмерных параметров выберем следующие значения:

31 = 1, 32 = 10, ц = 10, и = 1, I = 1, т = 1.3.

Тогда т* & 1.4, т** = 2, т.е. т < т*.

В качестве зависимости коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления от угла атаки примем результаты экспериментов [9], проведенных для крыла с удлинением 8.

Параметры к1 и к2 будем изменять. В зависимости от их значений в системе возникают притягивающие циклы с разными характеристиками.

На рис. 2 представлены зависимости амплитуды колебаний р* первого звена и амплитуды колебаний в* второго звена от указанных параметров.

Видно, что при не слишком больших величинах к2 амплитуды циклов увеличиваются, когда к1 возрастает от нуля до некоторого значения. При превышении некоторого «критического» значения к1 амплитуды циклов резко уменьшаются, и при дальнейшем росте к1

монотонно убывают. При достаточно больших значениях к\ положение «по потоку», как и следовало ожидать, является асипмтотически устойчивым, и периодические движения в системе отсутствуют.

Рис. 2. Амплитуды колебаний звеньев маятника в зависимости от коэффициентов жесткости

Увеличение жесткости пружины между звеньями приводит к уменьшению амплитуды циклов и сужению области их существования. Соответственно, с точки зрения эффективности использования двухзвенного маятника для преобразования энергии потока нецелесообразно помещать пружину между звеньями.

5. Заключение

Рассмотрена механическая система, описывающая поведение двухзвенного аэродинамического маятника в упругом закреплении. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия «по потоку» в зависимости от коэффициентов жесткости пружин крепления. Проведено численное моделирование поведения системы, построены зависимости амплитуд звеньев на периодических режимах от коэффициентов жесткости.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 17-08-01366, 15-0106970, 16-31-00374).

Литература

1. Strganac T.W., Ko J., Thompson D.E., Kurdila A.J. Identification and Control of Limit Cycle Oscillations in Aeroelastic Systems // J. of Guidance, Control and Dynamics. 2000. V. 23, N 6. P. 1127-1133.

2. Song J., Kim T, Song S.J. Experimental determination of unsteady aerodynamic coefficients and flutter behavior of a rigid wing // J. of Fluids and Structures. 2012. V. 29. P. 50-61.

3. Shao S, Zhu Q., Zhang C., Ni X. Airfoil Aeroelastic Flutter Analysis Based on Modified Leishman-Beddoes Model at Low Mach Number // Chinese Journal of Aeronautics. 2011. V. 24. P. 550-557.

4. Isoc T, Leach F, Bobean C, Pavel V., Vadan I. Study and design of a wing oscillating wind system // Advanced Topics in Electrical Engineering (ATEE), 7th International Symposium. 2011. P. 1-4.

5. Klimina L, Samsonov V., Hwang S.-S., Lin K.-H., Lin C.-H. Application of the Poincare-Pontryagin theorem to analysis of a dynamical model of a wind powered car // 2016 International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference). 2016. P. 1-3.

6. Abdelkefi A. Aeroelastic energy harvesting: A review // International Journal of Engineering Science. 2016. V. 100. P. 112-135.

7. Jones K.D., Davids S.T., Platzer M.F. Oscillating-wing power generation // 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference. 1999. P. 1-6.

8. Герценштейн С.Я., Досаев М.З., Некрасов И.В., Самсонов В.А. Двухзвенный флюгер в потоке воздуха. Задача практикума по механике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004.

9. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки // Труды ЦАГИ. 1974. № 1621. С. 79-93.

References

1. Strganac T.W., Ko J., Thompson D.E., Kurdila A.J. Identification and Control of Limit Cycle Oscillations in Aeroelastic Systems. J. of Guidance, Control and Dynamics. 2000. V. 23, N 6. P. 1127-1133.

2. Song J., Kim T, Song S.J. Experimental determination of unsteady aerodynamic coefficients and flutter behavior of a rigid wing. J. of Fluids and Structures. 2012. V. 29. P. 50-61.

3. Shao S., Zhu Q., Zhang C., Ni X. Airfoil Aeroelastic Flutter Analysis Based on Modified Leishman-Beddoes Model at Low Mach Number. Chinese Journal of Aeronautics. 2011. V. 24. P. 550-557.

4. Isoc T., Leach F., Bobean C., Pavel V., Vadan I. Study and design of a wing oscillating wind system. Advanced Topics in Electrical Engineering (ATEE), 7th International Symposium. 2011. P. 1-4.

5. Klimina L., Samsonov V., Hwang S.-S., Lin K.-H., Lin C.-H. Application of the Poincare-Pontryagin theorem to analysis of a dynamical model of a wind powered car. 2016 International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference). 2016. P. 1-3.

6. Abdelkefi A. Aeroelastic energy harvesting: A review. International Journal of Engineering Science. 2016. V. 100. P. 112-135.

7. Jones K.D., Davids S.T., Platzer M.F. Oscillating-wing power generation. 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference. 1999. P. 1-6.

8. Gertsenshtein S.Ya., Dosaev M.Z., Nekrasov I.V., Samsonov V.A. Two-section weather vane in airflow. Task for practical work in mechanics. М.: MSU Publishing, 2004. (in Russian).

9. Tabachnikov V.G. Stationary characteristics of wings at low speeds in the entire range of angles of attack. Trudy TsAGI. 1974. N 1621. P. 79-93. (in Russian).

Поступила в редакцию 04.09.2017