Моделирование динамики теплопереноса в астатических преобразователях тепловых потоков и тепломере Гардона с использованием фильтра Калмана

2

ЭНЕРГОМОНИТОРИНГ И ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В АСТАТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И ТЕПЛОМЕРЕ ГАРДОНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ФИЛЬТРА КАЛМАНА Н.В. Пилипенко, Д.А. Гладских, М.Г. Зеленская

Предложена методология нестационарной теплометрии, основанная на использовании дифференциально-разностных моделей различных типов тепломеров и применении к ним методов пространства состояний. Дан метод оценки точности результатов параметрической идентификации.

Как показано в работах [1,2], решение задачи по восстановлению входящего в тепломер нестационарного теплового потока методом параметрической идентификации

заключается в нахождении оптимальных оценок Q некоторого вектора Q, представляющего искомую произвольную функцию ^(т). Выбор формы такого представления назван параметризацией q(т) и граничной обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) в целом. В качестве способа параметризации q(т), исходя из анализа и результатов собственных исследований, предложено использовать В-сплайны первого порядка. Оптимальные оценки Q вектора Q получены путем минимизации по Q функции невязки между измеренным и рассчитанным по математической модели теплопереноса в ПТП

вектором измерений У. Для минимизации функции невязок предложено использовать алгоритм цифрового фильтра Калмана (ФК).

Такой подход, как показали проведенные нами исследования, оказался эффективным для различных типов и конструкций тепломеров.

В данной работе рассмотрены возможности предлагаемого метода для восстановления нестационарного теплового потока и оценки погрешности с помощью двух типов тепломеров, нашедших широкое использование в промышленности, а именно: тепломер в виде пластины на полупространстве и тепломер с продольным градиентом температур (датчик Гардона). Поскольку подход к решению задачи восстановления искомого потока q(т) является общим для обоих типов тепломеров, за исключением некоторых важных особенностей, более подробно изложим методологию для первого типа преобразователя теплового потока (ПТП).

Тепловая модель ПТП первого типа представлена на рис. 1.

Рис. 1. Тепловая модель ПТП: 1 - плоская стенка; 2 - полуограниченное тело

Для восстановления искомого потока ^(т), поглощаемого ПТП, необходимо измерять температуру поверхности стенки ^(т) и знать теплофизические свойства тел 1 и 2.

I (х т) — го

Для реализации полупространства примем условие 5 = —--< 0,01, где I - темпе-

г (0, т) — г о

ратуры; т - время; х - текущая координата.

Данным определением удобно пользоваться, так как глубина прогретой зоны не зависит от величины потока, воздействующего на тепломер, а является функцией теп-лофизических свойств самого ПТП. Предварительную оценку величины х можно провести по формуле х = 2.36л/а • т для полупространства, на которое воздействует поток

. ¡а •Т

постоянной величины, и х = 4.61 • .1-, для полупространства, на которое воздейст-

V п

вует поток, изменяющийся по гармоническому закону [3], где а - температуропроводность; т - время воздействия потока; Т - период колебаний величины теплового потока.

Для решения задачи воспользуемся дифференциально-разностной моделью (ДРМ) теплопереноса в ПТП, которая в векторно-матричной форме имеет вид [1]

^Гх

ат

где Т и б - векторы состояния и управления; Е и О - матрицы обратных связей и управления.

При составлении ДРМ толщина А элементов полупространства принималась равной А,+ =А,2т, где т=0.2. Толщины элементов одномерной стенки равны А (за исключением первого и последнего элементов, толщины которых равны А/2). В модели учитывалось контактное тепловое сопротивление Як между стенкой и полупространством.

При моделировании нестационарного теплового потока в ПТП и восстановлении входящего в ПТП потока q(т) нами рассматривались материалы с различными теплофи-зическими свойствами и варьировались различные законы изменения потока q(т). При этом результаты решения прямой задачи при ступенчатом воздействии, представленные в безразмерном виде, сопоставлялись с результатами, приведенными в [4]. Во всех случаях расхождение не превышало 0,1%.

В процессе исследований ПТП-1 разбивался по толщине на 34 элемента, для каждого из которых записывалось уравнение теплового баланса вида * „ а1 „ Ъ

г 1 =—22 ТУ Ь + 2-2 г 2 + 2-А ^(т) А2 А2 А

(Л л _ (Лл (Л 1

А2 1 А2 2 А2

а а^ ал

г, = -4 г,-1 — 2-4- г,- г1+1

А 2 '—1 А 2 1 А 2 1+1

А2 А2 А2

а1 а1 а1

г 10 =-2Ц — 2~2г10 + -"Гг11 А2 А2 А2

а1 I — (2_0к + 2 1 V + 2 1

А2 10 ^ А2 Я^рУ 11 ЩС1Р1А'

* 1 /„1 па2. _ а1

г 12 = 2 ^-А г11 — (^-А + 2"Т>12 + 2~Г г13

ЯкС2Р 2 А ЯкС2Р 2 А А2 А2

2 2 ^2

113 =-Г *12 т2"(1 +•

>13 + •

а

Л 2 12 ч г^02 ' 13

2 А2 1 + 2

С1 + 20.2 V

114 = "

а 2

2 о 0.2

А22

-1 - •

С 1 + 20 2 V 13

А2

а2

V 2 ,

С + ткт)11, +

а2

V 2 у

2 о 0.2

А22

С 1 + 20 2 V ' 2 14

V 2 У

А2(202)2

Г1 + 20 2 V 15

V 2 У

115 =•

а

А2(202)3

-^ --

С1 + 202 V 114

V 2 У

А2(202)3

^ ,0 0.2 Л (1 + ^ +

а

1 + 20

V 2 У

А2 (202)4

С1 + 202 V 16

v 2 у

1г =

а

2 /о0.2\-27+ 2г

А2

-1 - -

С1 + 20 2 V г-1

а

V 2 У

2 0.2 -27+2г

А2

С1+ 202V ч^у

(1 + +

а

2 0.2 -26+2г

А2

С1 + 20 2 V г+1

v 2 у

134 =

а2

А2(202)41

—1--температуропроводность стенки; а2 =-

С1Р1 С2Р 2

-1 - •

С1 + 20 2 V 33

а2

V 2 У

А2(202)41

С1 + 20 2 V 34 ^

V 2 У

где а! =

к

2

температуропроводность

полупространства; = •

1

С1Р1

Для получения оптимальных оценок QK вектора QK использовался рекуррентный алгоритм фильтра Калмана [2]:

К к+1 = РкН К+1

Qк+1 = Qк+к к+1Ук+1 - У к+1 (Qк)] ,

Рк +1 = Рк - к к +лНкРк

-к +1^ кГк

где У к+1^к ) - модельные значения вектора измерений в (к+1)-й момент времени, рассчитываемые по модели ПТП с использованием предыдущей оценки вектора Qк ; Рк , - ковариационные матрицы ошибок оценок вектора параметров для момента времени "к" и "к+1" соответственно; Йк - матрица коэффициентов чувствительности, рассчитанная с использованием Qк .

Алгоритм (2-4) позволил, начиная с момента времени к=0, по заданным измерениям Ук, к-й оценки Qк и ее ковариационной матрице Рк определить к+1 оценку

Qк+1 и ее ковариационную матрицу Рк+1 и т. д.

Модельные исследования по восстановлению q(т) с помощью ПТП-1 проводились для различных материалов тел 1 и 2; с контактными термическими сопротивлениями между телами 1 и 2 и без них; для различных граничных условий и законах изменения искомого потока; с шумами в измерениях (а = 0,1^1,5 0С, а - среднеквадратичное от-

1

14

клонение).при этом методическая погрешность восстановления потока ^(т) не превышала 1% при высоком уровне шумов.

Оригинальные результаты получены нами с использованием ПТП-1 при измерениях эффективных температур и коэффициентов теплоотдачи в промышленных печах КС-450, при обжиге дисперсных материалов в псевдоожиженном слое [6].

Несомненный интерес представляет применение изложенной методологии для определения локальных тепловых потоков с помощью тепломеров типа тонкого диска (тепломер Гардона) [5]. Как известно, в отличие от большинства тепломеров с поперечным градиентом температуры, в тепломере Гардона измеряется продольный градиент. Тепловая модель тепломера представлена на рис. 2.

т

. J2 д л д л д л л л л AJZ

Рис. 2. Тепловая модель тепломера Гардона: 1 - тонкий константановый диск;

2 - медное кольцо

Для восстановления потока д(т), аналогично предыдущему, воспользуемся дифференциально-разностной моделью (1), в которой вектор управления U(т) будет иметь вид

U =

где 4(т) - температура медного кольца; Rk - термическое сопротивление между диском и кольцом.

Тонкий диск разбиваем на 11 элементов, для каждого из которых записываем уравнение теплового баланса, затем получаем выражения для матриц обратных связей F и управления G. Далее по алгоритму, изложенному в [1], используя оригинальную программу «Heat Stream», решаем прямую и обратную задачи теплопроводности.

Модельные эксперименты проводились по следующим основным направлениям:

- получение переходных характеристик ПТП;

- установление реакции ПТП на различные законы изменения входного воздействия;

- влияние изменения температуры кольца на реакцию ПТП;

- влияние шумов в измерениях на погрешность восстановления потока;

- влияние контактного сопротивления между диском и кольцом на температуры элементов;

- получение импульсной переходной матрицы;

- построение совместных доверительных областей искомых параметров.

^1(т) tk (т)/Rk

В качестве примера приведем результаты восстановления периодически меняющегося теплового потока при постоянной температуре кольца tk = const и измерении температуры первого и одиннадцатого блоков с учетом шумов (а = 0,5 0С) (рис. 3).

а)

б)

Рис. 3. Результаты восстановления теплового потока д(т): а) температуры первого и одиннадцатого блоков; б) 1- эталонный поток; 2 - восстановленный поток.

Как видно из рис. 3, погрешность восстановления потока не превышает 0,1%. Проведенные исследования показали успешное использование методов параметрической идентификации в нестационарной теплометрии.

Литература

1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии. Часть 1. // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46 №8. С. 50-54.

2. Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии. Часть 2. // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46 №10. С. 67-71.

3. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.487 с.

4. Бек Д., Бракуэлл Б., Сент-Клер Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 312 с.

5. Гортышев Ю.Ф. и др. Датчик для измерения локальных тепловых потоков методом тонкого диска. // Приборы и техника эксперимента. №6. 1979. С. 78.

6. Пилипенко Н.В. Динамический метод измерения эффективных температур и коэффициентов теплоотдачи в псевдоожиженных слоях. // Приборы. №10. 2004. С. 37-39.