Спектральная теория рисков

УДК 331+33

ББК С62:У012.121

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РИСКОВ

Б.А. Матвеев

Статья посвящена новому разделу науки о рисках, в основе которой лежит спектральная теория случайных процессов. Спектральная теория позволяет расширить наши знания о рисках, дать теоретическое обоснование его оценке и учесть при расчёте характер поведения связанной с риском величины.

Ключевые слова: риск, теория рисков, спектральная теория, сигнал риска, спектральный показатель риска.

Введение

Теория - это учение, система идей или принципов, совокупность обобщённых положений, образующих науку или её раздел. Наиболее значимые функции теории: 1) в теории происходит разработка терминологии; 2) теория позволяет понимать, объяснять или прогнозировать различные проявления объекта теории. Объяснительная сила является важнейшим критерием качества теории.

Объектом теории рисков являются риски. Под риском понимается возможность отклонения исследуемой величины или полученного результата от ожидаемого значения. Величина отклонения является случайной величиной и зависит от уровня риска: чем выше риск, тем больше возможное отклонение. Для определённости в дальнейшем речь будет идти об экономических рисках и связанных с ними экономических величинах (ЭВ).

Недостатки теории рисков

К сожалению, в настоящее время отсутствует чёткое теоретическое обоснование оценки риска. Существующая теория не способна объяснить поведение риска, не позволяет изучить его структуру и свойства, строить прогнозы. Серьёзной проблемой является достоверность получаемых оценок.

Анализ научной литературы показал, что широко распространённый статистический метод измерения риска имеет существенные ограничения по применению. Так, использование вероятности

ЭВ

требует большого объёма статистической информации, которая необходима для определения закона распределения связанной с риском ЭВ. Применение вероятности предполагает эргодичность, а значит и стационарность исследуемой случайной величины. В отличие от вероятности, расчёт дисперсии не нуждается в значительном объёме статистических данных и не требует знания закона распределения. Она даёт представление о среднем (в квадратичном смысле) отклонении ЭВ от своего математического ожидания. Однако с помощью дисперсии невозможно, например, оценить вероятное максимальное отклонение. Она не чувствительна к текущим изменениям ЭВ, то есть не учитывает характер (динамику) её поведения. А это приводит к существенным ошибкам измерения риска. Так, риск, оцениваемый дисперсией, может оказаться одним и тем же, как в случае резких колебаний ЭВ (слабая предсказуемость результата), так и при её плавном изменении (достаточно хорошая предсказуемость).

Представленные на рисунке случайные ЭВ имеют одинаковые математическое ожидание (равное нулю) и дисперсию. Однако характер их поведения сильно отличается. Так, если ЭВ1 приняла в точке ^ значение, заметно превышающее нулевой уровень, то весьма вероятно, что в рядом лежащей точке £2 она также примет значение

0

Связь между характером поведения ЭВ и риском

больше нуля. Напротив, предсказать величину ЭВ2 в точке £2 проблематично. Здесь динамика отклонений ЭВ от своего среднего (в данном случае нулевого) уровня существенно выше и поэтому значения ЭВ2 будут менее предсказуемы. Уровень риска, связанного с величиной ЭВ2, выше.

Отметим также, что дисперсия даёт завышенную оценку риска. Это связано с тем, что теоретической базой применения дисперсии служит неравенство Чебышева: вероятность события, заключающегося в отклонении случайной величины от своего математического ожидания более, чем на заданное значение, не превосходит отношения дисперсии этой величины к квадрату этого значения. Оценка Чебышева предусматривает большой запас. Согласно этой оценке вероятность того, что при любом законе распределения отклонение случайной величины от её математического ожидания выйдет за пределы трёх среднеквадратических отклонений, не может быть больше 0,111 (1/9). На практике эта вероятность значительно меньше. Например, для нормального закона распределения она приблизительно равна 0,003 [1].

Среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации являются производными от дисперсии величинами и поэтому обладают теми же недостатками.

При измерении риска требуется одновременно оценить возможное отклонение ЭВ от ожидаемого (желаемого, предполагаемого, прогнозируемого) значения и неопределённость, непредсказуемость этой величины. Существующая теория рисков, опираясь на показатели вариации, способна (с большой погрешностью) решить только первую задачу

Спектральная теория рисков

Решить многие проблемы, связанные с исследованием и измерением риска позволяет предлагаемая автором спектральная теория рисков (СТР). СТР - это новый, развивающийся раздел науки о рисках, для оценки которых используется статистическая информация о связанной с риском величине.

СТР содержит ряд новых понятий, на которых она базируется: сигнал риска, энергетический спектр сигнала риска, «.мощность риска», спектральный показатель риска, спектральный показатель точности (предсказуемости), спектральный показатель мощности, спектральный показатель формы и др.

Теоретической гипотезой СТР является утверждение о том, что исследование риска сводится к исследованию сигнала риска [2].

В общем случае ЭВ может содержать четыре компоненты: тренд, сезонную, циклическую и случайную составляющие. Отклонения, вызванные первыми тремя причинами, являются систематическими и могут быть учтены в процессе статистического исследования. Учесть отклонения, вызванные случайными факторами, полностью не

удаётся. Поэтому риски являются следствием случайной составляющей, но не только. Дело в том, что предполагаемый результат не всегда совпадает с его математическим ожиданием. Как правило, они отличаются на постоянную величину, которая зависит от планируемого результата и носит субъективный характер [3]. Поэтому возникает дополнительное расхождение и степень риска возрастает

- ведь известно, что среднее отклонение случайной величины от математического ожидания всегда меньше, чем от любой другой, взятой в качестве ожидаемого значения.

Отклонения, наблюдаемые в течение определённого промежутка времени и ожидаемые (прогнозируемые) в будущем, можно рассматривать как совокупность случайных величин, то есть случайный процесс. Риск является причиной отклонения, а само отклонение несёт сообщение, содержащее информацию о риске. Отклонение фактического результата или наблюдаемой ЭВ от ожидаемого значения под воздействием одного или нескольких рисковых событий называется сигналом риска. Следовательно, под сигналом риска в СТР понимается случайный процесс, отсчётами которого являются отклонения ЭВ от своего ожидаемого значения. В экономике наблюдаемая случайная величина, как правило, является дискретной.

В основе СТР лежит спектральная теория случайных процессов. СТР предполагает эргодичность, а значит и стационарность сигнала риска. Если сигнал риска не удовлетворяет этому условию, то необходимо определить причину неэрго-дичности и по возможности её устранить. В частных случаях теоретические положения, полученные для стационарных процессов, могут быть использованы и для реальных нестационарных процессов.

В общем случае, при изучении стационарного сигнала риска можно использовать как временной, так и спектральный подход. Спектральная теория позволяет заменить исследование исходного случайного процесса изучением его изображения при интегральном преобразовании Фурье, являющимся случайной функцией частоты. Применение интегрального преобразования Фурье во многих случаях существенно упрощает расчёты и облегчает интерпретацию получаемых результатов.

Реализация случайного экономического процесса не может быть известна заранее. Однако можно установить, как распределяется его дисперсия (мощность) по частотам составляющих его гармоник. Полученная таким образом информация не уступает по значимости спектру детерминированной функции. Её использование при изучении стационарных (в широком смысле) процессов и составляет существо их спектральной теории.

Каждому стационарному сигналу риска в частотной области соответствует свой энергетический спектр (координаты «плотность средней мощности - частота»), который характеризует распреде-

Экономическая теория и мировая экономика

ление средней мощности сигнала риска между спектральными составляющими, т. е. определяет «структуру» риска. Чем выше мощность отдельных участков энергетического спектра, тем значительнее их вклад в отклонение ЭВ от ожидаемого значения. Низкочастотные составляющие спектра отвечают за медленное, плавное изменение ЭВ. Высокие частоты определяют быстрые, резкие её колебания. Чем больше высокочастотных гармоник в спектре сигнала риска, тем менее предсказуемо поведение ЭВ и тем выше уровень риска. Площадь под кривой энергетического спектра равна дисперсии сигнала риска. Сказанное служит иллюстрацией объяснительной силы СТР.

При расчёте риска в зависимости от решаемой задачи (оценка прогнозного значения ЭВ, оценка максимального отклонения ЭВ от ожидаемого значения, оценка нахождения ЭВ в заданных пределах и т. д.) учитываются те или иные участки спектра.

Форма энергетического спектра определяет поведение сигнала риска и ЭВ во времени. Наибольшей непредсказуемостью обладает сигнал риска типа полосовой шум. Он обладает равномерным спектром и риск, связанный с таким гипотетическим сигналом, будет максимальным. Различия в энергетических спектрах полосового шума и сигнала риска служат мерой неопределён-ности ЭВ.

Сравнивая энергетические спектры у разных рисков (точнее - сигналов риска) с энергетическим спектром полосового шума, мы получаем возможность при измерении учесть характер поведения ЭВ, а также сравнивать риски между собой. Согласно СТР дисперсия является общей средней мощностью всех спектральных составляющих сигнала риска и не учитывает распределение мощности по частотам.

Измерение риска, связанного с исследуемой ЭВ, в СТР решает две задачи:

1) оценка возможного отклонения ЭВ от ожидаемого значения;

2) оценка её неопределённости (непредсказуемости).

Каждая из этих оценок может быть получена с помощью некоторого частного показателя. Обобщённый (спектральный) показатель риска является вектором, компонентами которого служат эти частные показатели.

Гипотетическая ЭВ, имеющая в качестве случайной составляющей сигнал риска типа «полосовой шум» в СТР принимается за эталонную. Среднеквадратическое отклонение экономической величины ах и сигнала риска а8 для эталонной ЭВ равны математическому ожиданию ЭВ: ах = а8 = М[х]. Уровень риска, связанный с эталонной ЭВ, равен 100 %.

Для построения спектрального показателя риска Д в СТР используется мультипликативная модель:

д( %) =Ирх Игх 100, 0 < Д < 100, где Ир - частный показатель («показатель мощности»), который оценивает возможное отклонение ЭВ от ожидаемого значения. Он показывает: во сколько раз риск, связанный с наблюдаемой ЭВ, выше риска, связанного с эталонной ЭВ; Д^ - частный показатель («показатель формы»), который оценивает неопределённость, непредсказуемость ЭВ. Его величина зависит от формы энергетического спектра сигнала риска, т. е. показатель Д^ учитывает характер поведения ЭВ.

Спектральный показатель риска принимает максимальное значение 100 %, если одновременно равны единице оба частных показателя, т. е. в случае эталонной ЭВ. Он равен нулю, когда равен нулю хотя бы один из частных показателей. Так, показатель Др будет равен нулю, если у ЭВ отсутствует вариация. Если энергетический спектр состоит из одной единственной, а значит предсказуемой с точки зрения дальнейшего поведения, гармонической составляющей, то равен нулю показатель Д^. В этом случае ЭВ не является случайной.

Таким образом, спектральный показатель риска является одновременно мерой возможного отклонения ЭВ от ожидаемого значения (оценивается частным показателем риска Др) и мерой её неопределённости (оценивается частным показателем риска Д^).

Верификация спектральной теории рисков

Под верификацией теории будем понимать обоснованность её применения. Общая, прикладная цель науки - предсказывать будущее и проверить теорию можно, в частности, по наличию предсказательной силы.

В работе [4] оценивалось качество следующих экономических моделей:

1) в виде полинома второго порядка (П);

2) экспоненциального сглаживания (ЭС);

3) авторегрессии (проинтегрированного скользящего среднего) АРПСС;

4) множественной регрессии (МР);

5) множественной линейной регрессии для панельных данных (ПД).

По спектральному показателю и оценкам, полученным с помощью среднеквадратической ошибки и средней ошибки аппроксимации, лучшими по точности оказались модели МР и ПД. Однако оценки, полученные на основе среднеквадратической ошибки и ошибки аппроксимации, привели к неоднозначным (модели ЭС и АРПСС) и даже противоречивым (модели МР и ПД) результатам. В то время как спектральный показатель позволил однозначно оценить качество всех моделей и уверенно их ранжировать.

Спектральный показатель и относительная погрешность прогноза позволили установить, что лучшими прогнозными свойствами обладают модели ПД и МР. Однако, если спектральный пока-

затель определяется априори - на основе ретроспективных данных, то относительную погрешность прогноза можно рассчитать только после получения фактических данных о прогнозируемой величине.

Спектральный показатель по сравнению с известными оценками имеется ещё одно важное преимущество: ранжирование моделей по точности не критично к объёму исходных данных [4]. Объясняется это тем, что спектральный показатель учитывает характер поведения ЭВ, который проявляется уже при сравнительно небольшом объёме анализируемой информации.

Значение спектральной теории для науки

1. Спектральная теория позволяет исследовать и учитывать внутреннюю структуру риска (сигнала риска), оценить вклад отдельных спектральных составляющих в общий уровень риска.

2. Спектральная теория объясняет, почему широко распространённый статистический метод измерения (на основе показателей вариации) приводит к завышению оценки риска: это происходит потому, что общая дисперсия сигнала риска, которая используется для измерения, есть сумма дисперсий всех спектральных составляющих энергетического спектра без учёта их начальной фазы. Так как начальная фаза отдельных гармоник имеет случайное распределение, то в реальности происходит частичная компенсация мощностей отдельных гармоник энергетического спектра и уровень риска снижается.

3. При спектральной оценке риска учитывается характер поведения связанной с риском ЭВ. В расчётную формулу спектрального показателя риска входит частный показатель (показатель формы), который учитывает различия в форме энергетических спектров сигнала риска и полосового шума. Чем ближе форма энергетического спектра сигнала риска к энергетическому спектру полосового шума, тем больше величина показателя формы и выше риск. За счёт учёта динамики ЭВ уменьшается ошибка в оценке риска.

4. Спектральная теория позволяет решать новые задачи, связанные с оценкой риска. Например, прогнозировать риск (измерять риск в интервале времени), оценивать максимально возможное отклонение, превышение или не превышение порогового уровня, количество превышений заданного уровня, нахождение ЭВ в заданных пределах, выход ЭВ за определённые пределы и т. д.

5. Спектральный показатель риска является мерой неопределённости (непредсказуемости) ЭВ, а величина, дополняющая уровень риска до 100 % (спектральный показатель точности) может быть принята в качестве меры предсказуемости ЭВ и использована для оценки точности прогнозных моделей [4]. В отличие от традиционных измерителей качества экономической модели спектральный показатель точности учитывает динамику

изучаемого процесса и поэтому даёт меньшую погрешность.

6. Спектральная теория, основываясь на особенностях формы энергетического спектра сигнала риска, предлагает классифицировать риски по виду энергетического спектра. Такая классификация не привязана к природе происхождения рисков, к причинам их вызвавших, к характеру деятельности, с которой они связаны, к природе объектов, подверженных риску и т. д. Поэтому её можно считать универсальной [2].

7. При спектральном анализе рисков отпадает необходимость в знании закона распределения связанной с риском ЭВ.

8. С определённой, поддающейся оценке погрешностью спектральный показатель может быть полезен для измерения рисков при ограниченном объёме исходных данных (при малой выборке) [5].

9. Спектральная теория позволяет получить значение риска, связанного с прогнозным значением ЭВ. Поэтому появляется возможность организовать управление риском (или наблюдаемой величины) с упреждением [2].

10. Введение эталонной ЭВ позволяет свести измерение риска к единой шкале (0-100 %) и сравнивать риски различной природы между собой.

Направления дальнейшего развития спектральной теории рисков

Основными направлениями дальнейших исследований, на наш взгляд, могут стать:

- разработка математических моделей наиболее часто встречающихся в практике сигналов риска;

- разработка таблиц соответствия уровня риска форме энергетического спектра сигнала риска;

- создание на базе изучения большого числа разнообразных рисков общей системы классификации;

- разработка на основе имеющихся статистических данных системы управления риском в различных областях человеческой деятельности: финансовой, инвестиционной, страховой, коммерческой, сельскохозяйственной и т. д.

Заключение

Спектральная теория позволяет расширить наши знания о рисках, дать теоретическое обоснование оценке риска, повысить точность измерения, строить прогнозы относительно поведения связанной с риском величины. Как и любая другая теория СТР имеет свои границы применимости. Она предназначена для изучения стационарных случайных процессов, относительно которых имеются хотя бы в ограниченном объёме данные статистического наблюдения.

Литература

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Высш. шк., 2002. - 575 с.

2. Матвеев, БА. Теоретические основы иссле-

Экономическая теория и мировая экономика

дования статистических рисков: монография / БА. Матвеев. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008, 248 с.

3. Матвеев, Б.А. Методология спектральной оценки риска при статистическом исследовании // Материалы III международной научно-практич. конф. «Экономика приграничных районов в условиях модернизации: проблемы и перспективы развития», 8-9 апреля 2013 г.: ООО ИПК «Университет - Оренбург», 2013. - С. 788-792.

4. Матвеев, Б.А. Оценка точности прогнозной модели урожайности с помощью спектрального показателя предсказуемости / Б.А. Матвеев // Международный технико-экономический журнал, № 4. - М.: Спектр, 2011. - С. 74-78.

5. Матвеев, Б.А. Спектральный подход к анализу и измерению риска / Б.А. Матвеев // Проблемы анализа риска. - № 2, том 9. - М.: Деловой экспресс, 2012.

Матвеев Борис Алексеевич. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Экономика и управление проектами», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск), uprariska@mail.ru

Поступила в редакцию 2 октября 2013 г.

Bulletin of the South Ural State University Series “Economics and Management” _____________2014, vol. 8, no. 2, pp. 20-24

SPECTRAL THEORY OF RISKS

B.A. Matveev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

The article is devoted to the new science section of the risks which is based on the spectral theory of random processes. Spectral theory allows us to extend our knowledge of the risks, to provide a theoretical justification for its evaluation and to take into account the behavior of the value which is associated with the risk at calculation.

Keywords: risk, risks theory, spectral theory, risk signal, spectral index of risk.

References

1. Venttsel' E.S. Teoriya veroyatnostey [Calculus of Probabilities]. Moscow, Vysshaya shkola, 2002. 575 p.

2. Matveev B.A. Teoreticheskie osnovy issledovaniya statisticheskikh riskov [Theoretical Basis of Statistical Studies of Risks]. Chelyabinsk, 2008. 248 p.

3. Matveev B.A. [Methods of Spectral Estimation of Risk at the Statistical Study]. Materialy III mezhduna-rodnoy nauchno-praktich. konf. “Ekonomika prigranichnykh rayonov v usloviyakh modernizatsii: problemy i perspektivy razvitiya” [Proceedings of the III International Scientific and Practical Conference "Economy of Border Regions in Terms of Modernization: Problems and Prospects]. Orenburg, 2013, pp. 788-792.

4. Matveev B.A. [Assessing the Accuracy of Predictive Model of Yielding Capacity Using the Spectral Index of Predictability]. Mezhdunarodnyy tekhniko-ekonomicheskiy zhurnal [International Engineering and Economic Journal], 2011, no. 4. Moscow, Spektr Publ., 2011, pp. 74-78.

5. Matveev B.A. [Spectral Approach to Risk Analysis and Measurement]. Problemy analiza riska [Problems of Risk Analysis], 2012, no. 2, vol. 9.

Boris Alekseevich Matveev. Candidate of Science (Engineering), Associate professor of Economics and Project Management Department, South Ural State University, Chelyabinsk, uprariska@mail.ru

Received 2 October 2013