Двухуровневая система оптимального планирования учебного процесса в вузе

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 007, 519

А.Л. Истомин, В.С. Балакирев ДВУХУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА В ВУЗЕ

Предложена комплексная математическая модель задачи оптимального планирования учебного процесса в вузе, реализованная в двухуровневой системе принятия решений.

Вуз, учебный процесс, оптимизация.

A.L. Istomin, V.S. Balakirev TWO-LEVEL OPTIMAL PLANNING SYSTEM OF EDUCATIONAL PROCESS IN HIGH SCHOOL

The complex optimization mathematical model of the educational process planning in high school in two-level system decision is offered.

High school, educational process, optimization.

Среди основных задач, возникающих в вузе при планировании и организации учебного процесса можно выделить следующие задачи, каждая из которых может рассматриваться как обособленный объект управления:

1) планирование контингента студентов, в том числе нахождение плана приема студентов на первый курс;

2) планирование содержания, форм и методов подготовки специалистов (график учебного процесса, учебные планы образовательных программ);

3) распределение материальных, трудовых и финансовых ресурсов при планировании учебного процесса;

4) составление расписания учебных занятий.

Очевидно, что перечисленные задачи не могут решаться изолировано друг от друга, поскольку они взаимно влияют друг на друга. Поэтому для получения решений необходим интегрированный подход.

В работе предложена математическая модель задачи оптимального планирования учебного процесса в вузе в комплексе рассмотренных выше задач на базе интегрированного подхода. Поскольку общая задача оптимального планирования учебного процесса в вузе характеризуется большой размерностью переменных, предложен метод декомпозиции исходной задачи на подзадачи меньшей размерности, позволяющий найти решение исходной задачи за счет распределения процедур решения между двумя уровнями иерархии. На нижнем 188

уровне решаются локальные задачи оптимизации со своим критерием оптимальности и известными ограничениями без обмена информацией с верхним уровнем и другими локальными задачами. На верхнем уровне решается глобальная задача оптимального планирования учебного процесса.

Из множества различных критериев эффективности планирования учебного процесса в качестве глобальной целевой функции была выбрана прибыль вуза, связанная с подготовкой специалистов, поскольку прибыль вуза, как никакой другой показатель, наиболее полно отражает эффективность учебного процесса, объем и качество предоставляемых образовательных услуг, состояние производительности труда, уровень себестоимости, четко отражает сопоставимость и соизмеримость его результатов с затратами ресурсов.

К локальным задачам отнесены: 1) задача нахождения плана приема студентов в вуз, при котором доход вуза будет наибольшим; 2) задача нахождения оптимальной структуры ППС, при которой затраты на использование ППС будут наименьшими; 3) задача нахождения оптимальной структуры учебных помещений, при которой затраты на использование учебных помещений будут наименьшими.

В каждой I -й локальной задаче находится вектор оптимальных решений x*, принадлежащий Д. такой, что соответствующий локальный критерий ^ 1) достигает на нем экс-

тремума, например, максимума, т.е.

тах /. ^.) = / ^ *), x. е В,, В, = В. П и.,

Х1

где В. - множество допустимых решений локальной задачи; и - множество допустимых

решений, заданных глобальной задачей.

Модели локальных задач сформулированы следующим образом:

1-я локальная задача (нахождение оптимального плана приема студентов в вуз) [1]: максимизировать

с1 С 1+г1.

™ с„ пт с”+с"

/. = IIЦ IїКї>"К +11 Щс' I/ф„рщ +

/=1 р=1 /=1 р=1 с1-

с .+с.

п т ч ___ пт __

+IIЦ IК -сї>/Кїїщ + IIШсї I/К їщ + (2>

1=1 і=1 с1 1=1 і=1 с1+с.

п т

+IIЦс I / КїЩ ^

при условиях

п т к г ._

III к с+с )]< а, (з>

і=1 } =1 р=1

п т к г ._ __

IIIк

Аи Аи Аи і V р V*-' ї ^ ^ ї =1 ї=1 р =1

с1 > 0, с1 > 0, і = 1, п , ї = 1, т.

где ср - количество бюджетных студентов на і-й образовательной программе (і = 1, п > р-й форме обучения (ї = 1, т > р -го года обучения (р = 1, к >; с,р - количество коммерческих студентов на і-й образовательной программе р-й формы обучения р -го года обучения; Ц1 -государственное финансирование на подготовку бюджетного студента 1-го года обучения на

і-й образовательной программе по р-й форме обучения; Ц1 - оплата за обучение на коммер-

ческой основе студента 1-го года г-й образовательной программы }-й формы обучения; а  -коэффициент приведения численности обучающихся на } -й форме обучения к численности студентов очной формы обучения; Q - предельно допустимый приведенный контингент студентов; Ьу - объем V -го ресурса (V = 1, w), а^ - норма расхода V -го ресурса на подготовку одного студента по г -й образовательной программе на _/-й форме обучения.

В отличие от существующих моделей формализованного планирования приема студентов в вуз, где для нахождения оптимального плана используются детерминированные линейные модели, в настоящей работе предложена принципиально новая модель задачи оптимизации плана приема студентов вуз, в которой реализована вероятностная оценка эффективности плана. Модель задачи основывается только на располагаемой априорной информации, а решение задачи оптимизации состоит в максимизации математического ожидания целевой функции на определенном интервале времени. Это связано с тем, что в задаче формирования приема студентов его планирование происходит в условиях неопределенности, когда неизвестен спрос на образовательные программы, или спрос представляет собой случайную величи-

В выражении (2) символом Ь{- обозначен вероятный спрос на г-ю образовательную программу р-й формы обучения, который представляет собой случайную переменную, подчиненную закону нормального распределения с плотностью /(Ь^;ц,оц), математическим

ожиданием ц и стандартным отклонением с.

Нахождение оптимального плана приема заключается в определении количества бюджетных СЗ и коммерческих С1 мест на каждую образовательную программу, каждой формы

обучения, при которых суммарная ожидаемая прибыль вуза максимальна.

При решении задачи все переменные считаются непрерывными.

Особенностью задачи (2)-(5) является то, что она содержит нелинейную целевую функцию (2), что относит ее к классу задач нелинейного программирования. Но, поскольку целевая функция (2) является сепарабельной, то нелинейную целевую функцию можно заменить кусочно-линейными функциями, аппроксимирующими /1 на интервале изменения

переменных С1 и С1, г = 1, п, _/ = 1, т. В результате, приближенная задача становится задачей линейного программирования, которая может быть решена симплексным методом.

2-я локальная задача (нахождение оптимальной структуры ППС) [2]: максимизировать

ну.

п т к л , ,

/2 =- ЕЕЕЕЗ,н№(1 + 4™Л,„) X(1 + ИЕС„/100) ^ тах

п т к л

г =1 ]=1 Р=1 Г=1

при условиях и связях

г =1

п т к л

ХХХХнГр *НЧ•

г=1 ;=1 р=1 Г =1

п т к л

г=1 ]=1 р=1 г=1

V 'з=1 р=1 г=1 у з=1 р=1 Г1=1

НГр > 0, г = 1, п, з = 1, т, р = 1, к , г = 1, л ,

цр г

где Hjp - количество ставок, занятых преподавателями r -й категории должностей (r = 1, s), обеспечивающих подготовку студентов p -го года обучения по i -й образовательной программе и по j -й форме обучения; Зг - затраты, связанные с использованием преподавателя r -й категории должностей; ЯУВП; ППС - коэффициент, учитывающий соотношение численности ставок учебно-вспомогательного персонала (УВП) и ППС; ЗУВП - средняя заработная плата УВП; HЕСН - норматив начислений на заработную плату (ставка единого социального налога); Qijp - объем учебной нагрузки по i -й образовательной программе, j -й формы обучения, p -го года обучения (рассчитывается исходя из рабочих учебных планов и контингента обучающихся); /Зг - норма учебной нагрузки в часах на одну ставку преподавателя r -й категории; Z - заданное (лицензионный норматив) значение доли ставок преподавателей с учеными степенями или учеными званиями к общему числу ставок преподавателей; Hirj1p -количество ставок, занятых преподавателями с учеными степенями r1 -й категории должностей (r1 = 1, s1), обеспечивающих подготовку студентов p -го года обучения по i -й образовательной программе и по j -й форме обучения, (r1 с r , s1 с s).

Нахождение оптимальной структуры ППС заключается в определении количества Hjp ставок, занятых преподавателями r -й категории должностей, обеспечивающих подготовку студентов p -го года обучения по i -й образовательной программе и по j -й форме обучения, при которых затраты на использование ППС минимальны.

Действительно, ограничение (7) контролируют выполнение учебной нагрузки по каждой образовательной программе, форме и году обучения. Условия (8) и (9) устанавливают контроль за тем, чтобы штат ППС не превысил нормативную численность, а затраты на использование ППС, фонд заработной платы. Условия (10) отвечают за то, чтобы доля ставок преподавателей с учеными степенями и учеными званиями в общем количестве ставок преподавателей по всем программам, была не меньше норматива.

Задача оптимизации (6)-(11) является задачей линейного программирования, которая решается симплексным методом.

3-я локальная задача (нахождение оптимальной структуры учебных помещений) [3]: максимизировать

h

f3 =-Z 3qyq ^ max

q=1

при условиях

±e,qX,q = 1. g = ,

q=1

iXgqTg ^ Bq  yq , q = 1, h ,

g =1

Xgq g|0,1|, g = 1V, q = ,

где yq - количество учебных помещений q -й группы (q = 1, h); 3q - затраты на содержание

одного учебного помещения q -й группы (эксплуатационные расходы, текущие ремонты,

аренда, охрана и т.д.); Bq - фонд времени (или крайний срок) использования учебных помещений q -й группы в неделю или две недели (зависит от типа расписания, принятого в вузе).

Будем считать, что все учебные помещения q -й группы являются идентичными, например, лекционные аудитории, вмещающие до одной группы обучающихся, двух групп

191

и т.д. Группа учебных помещений может состоять и из одного учебного помещения, если оно отличается от всех остальных по функциональным признакам, вместимости и прочим характеристикам, например, специализированная лаборатория по отдельной дисциплине.

Учебные помещения разных групп могут быть не вполне взаимозаменяемыми по отношению к некоторым занятиям, т. е. персональная совместимость учебных помещений д -й группы с занятиями из множества 3 = {Тх, Т2,..., Ту} стеснена булевой V х к -матрицей E = Це^ ||, каждый элемент которой ед = 1 означает допустимость назначения занятия Т& в учебное помещение д -й группы, а элемент вида е = 0 соответствует запрету на такое

назначение (g = 1, V, д = 1, к). Каждая строка матрицы E содержит не менее, чем один, отличный от нуля, элемент, т.е. для каждого занятия множества 3 подмножество совместимых с ним учебных помещений непусто.

Поясним смысл интерпретации задачи. Величина х е {0,1} есть показатель того, будет ли назначено занятие Т в учебные помещения д -й группы. Так, если х = 1, то в расписании занятие Т будет проводиться в учебных помещениях д -й группы, если х = 0, то занятие Т не будет проводиться в учебных помещениях д -й группы. Условие (13) требует, чтобы все занятия были выполнены, а наложение условия целочисленности на х означает, что занятие Т может быть проведено только в одном учебном помещении, так как расписание реализуется без прерываний. Условие (14) означает ограничение на длину расписания или максимальный объем времени использования учебных помещений д -й группы.

Тогда (12) означает, что задача состоит в нахождении таких значений уд, д = 1, к, при которых значение f3 (суммарные затраты на использование учебных помещений) минимально.

Следует отметить, что модель задачи (12)-(15) не учитывает взаимозависимость занятий. Однако, общая практика составления расписаний занятий в вузах показывает, что общее число пар в расписании занятий в неделю или две недели в зависимости от расписания, принятого в вузе, много больше, чем число взаимозависимых или взаимосвязанных занятий у одних и тех же обучающихся или преподавателей.

Задача нахождения оптимальной структуры учебных помещений (12)-(15) сформулирована как задача целочисленного линейного программирования с булевыми переменными, принимающими значения 0 или 1, и является классической задачей дискретной оптимизации.

В глобальной задаче ищется максимум прибыли вуза, связанной с подготовкой обучающихся, и которая выступает как сумма целевых функций подзадач:

... С т С1+с1

+

р=IIЦIь„уЬЩ +И Ц„с1 IfЬ;»„о„)“Ь

,=1 ,=1 ,=1 „=1 с1

С1+Г1-

п т с„ 1„ _ пт ___ _ ~

+IIЦ IЬ _с„ )f(h;„„+ IIЦ'С' Iу(ь„;ц„о„)<й>,

!=1 „=1 с1 ,=1 „=1 с,„ +с\

п т ^ п т к __ _ п т к

+IIцс IУЬ)^Ь„ + IIIцрс„ + IIIцрср _

!=1 „=1 С1+С1, I=1 „=1 р=2 I =1 „ =1 р=2

п т к з . .

ИИ зн„р

ч+

X (1 + Н ЕСН /100) _ I ЭдУд .

д=1

В глобальной задаче находится управляющее воздействие (множество U = U U. ) по со-

i

*,***.. ^ ответствующему вектору x = {Xj, x2, x3}, характеризующему найденные в локальных задачах оптимальные решения. При этом требуется, чтобы выполнялись все ограничения, и достигал максимума глобальный критерий оптимальности P(x*). Эту задачу можно представить в следующем виде:

max P

U

x* =

где D - множество ограничений глобальной задачи, которые характеризуют взаимосвязь между отдельными локальными задачами как по входным и выходным переменным, так и по используемым ресурсам.

Для достижения оптимального решения глобальной задачи требуется неоднократно решать локальные задачи для разного множества U = U . U i , с помощью которого глобальная задача влияет на локальные задачи. При заданных величинах управляющих воздействий, а, следовательно, заданном множестве U = UU , в каждой локальной задаче находится максимум своего локального критерия оптимальности и определяется значения вектора x*, i = 1, 3 , которые затем передаются глобальной задаче для вычисления глобального критерия оптимальности. Таким образом, управлениями для локальных задач являются множества Ui , а решением глобальной задачи - совокупность векторов x*, i = 1, 3 , получаемых после решения локальных задач оптимизации и доставляющих максимум глобальному критерию оптимальности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Истомин А.Л. Сумарокова Н.Н. Математическое обеспечение системы принятия решений при приеме студентов в вуз // Открытое образование. 2007. № 1. С.16-20.

2. Истомин А.Л. Определение оптимальной структуры профессорско-

преподавательского состава вуза и его распределение среди образовательных программ // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 4.1 (42). С. 154-158.

3. Истомин А.Л. Определение оптимальной структуры учебных помещений, обеспечивающей допустимое расписание занятий в вузе // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 1(43). С. 73-77.

Истомин Андрей Леонидович -

кандидат технических наук, доцент, проректор по учебной работе Ангарской государственной технической академии

Балакирев Валентин Сергеевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Техническая кибернетика и автоматика» Московского государственного университета инженерной экологии

Статья поступила в редакции 21.07.11, принята к опубликованию 16.11.11