Моделирование термоакустического электрогенератора методом четырёхполюсников

УДК 534.2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОГЕНЕРАТОРА МЕТОДОМ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

© 2012 Г. В. Воротников

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

Предлагается методика моделирования акустических трактов и электродинамического узла термоакустического электрогенератора с использованием четырёхполюсников. Приведён математический аппарат для моделирования узлов установки. Результаты расчётов по предложенной методике сопоставлены с расчётами специализированной программы БеМЕ.

Термоакустика, термоакустический двигатель, термоакустический электрогенератор, электроакустическая аналогия, акустический четырёхполюсник.

В термоакустических установках на основе бегущей волны часть рабочего газа претерпевает термодинамический цикл, близкий к циклу Стирлинга. Тем не менее, такие установки нельзя проектировать, используя методики расчёта механических Стирлингов по следующим причинам:

1) величина акустического смещения порции газа в регенераторе в несколько раз меньше длины регенератора, что размывает такие устоявшиеся понятия, как горячая и холодная камера;

2) степень сжатия рабочего газа в цикле редко превышает 1,1, тогда как в стирлинге она достигает нескольких единиц. Это ограничение связано со структурой волны. На высоких амплитудах возникают гармоники высших порядков, кратные основной частоте, что способно вызывать высоконелинейные формы волн (вплоть до ударных профилей), которые значительно ухудшают характеристики [1]. В свою очередь, механические стирлинги не способны эффективно работать на таких малых амплитудах из-за присутствия огромных инерционностей в виде подвижных поршней и резистивных потерь вследствие их трения. Эти факты говорят о более высокой обратимости термодинамического цикла термоакустических Стирлингов относительно механических, несмотря на меньшую плотность энергетического потока;

3) геометрия механического стирлинга в основном определяется объёмами рабочих камер, полученными на основании уравнений термодинамики, тогда как волноводы термоакустических Стирлингов (кроме теп-

лообменного узла) определяются из условия оптимального акустического импеданса. Существующие сегодня упрощённые методики расчёта термоакустических систем основаны на линеаризации Ротта [2] и обобщённых уравнениях Свифта [3]. Тем не менее даже упрощённые методики могут быть реализованы лишь в сложных вычислительных алгоритмах для расчётов на ЭВМ.

Предлагаемая автором методика позволяет с приемлемой достоверностью оценить поведение термоакустической системы, оперируя при этом минимумом переменных в итерационных процессах. Эффективность методики рассматривается ниже на примере термоакустического электрогенератора.

1. Установка

Термоакустический генератор состоит из двух основных узлов: термоакустического двигателя и линейного электродинамического генератора переменного тока (альтернатора).

Система заполнена гелием под давлением 3 МПа. В качестве альтернатора был выбран 1S102MA производства CFIC Inc, нагруженный на выходе резистором в 80 Ом.

Конструкция термоакустического генератора и геометрисечкие параметры основных узлов были определены в [4]. Схема установки и характеристики альтернатора 1S102MA приведены в [5]. Рабочие характеристики установки были рассчитаны с использованием специализированной программы DeltaE. Это позволяет сравнить предложенную методику моделирования уз-

лов установки с методикой БекаЕ, исключив на стадии сравнения итерационные процессы.

2. Моделирование

Для качественной оценки поведения термоакустических устройств нередко прибегают к методу электроакустических аналогий, когда элементы акустической цепи заменяются аналогичными двухполюсниками. Метод прост и удобен в использовании, но не даёт сколько-нибудь приемлемых количественных оценок. Для повышения точности количественной оценки при моделировании термоакустических установок предлагается использовать четырёхполюсники, где аналогом электрического тока является объёмная скорость осцилляции I/, а в качестве аналога электрического напряжения выступает осциллирующее давление р. В отличие от двухполюсника, четырёхполюсник представляет собой оператор, который изменяет сразу два параметра, что позволяет представлять его коэффициенты в виде более сложных функций. При этом работа с цепью, представленной четырёхполюсниками, сводится к математическим операциям с матрицами [6].

Делая определённые упрощения и используя принципы электроакустической аналогии [7], представим термоакустический электрогенератор в виде схемы сосредоточенных элементов на рис. 1, где Я - резистивные элементы, С - податливости, Ь -инерционности, Z - сложные импедансы.

В такой постановке задачи изменение комплексных значений осциллирующего давления рЕЬЬ. и объёмной скорости £/ЕЬС. на выходе из четырёхполюсника определяется через параметры рЕ:. и £/ЕК на входе:

Если матрица преобразования | 5|| не зависит от р и У, то система является линейной. Это означает, что для определения р ии

в любой точке достаточно операций с матрицами преобразования, что позволяет сократить число итераций до минимума. Лишь для соблюдения конечного граничного усло-

Р вых = \\в\\ Рех

^вых и6Х

вия необходимо прибегнуть к итерациям.

Если матрица преобразования ||В| зависит от р и и или содержит другие неизвестные величины, то задача поиска неизвестных существенно усложняется. Однако и в этом случае чаще всего удаётся обойтись простыми итерациями или подбором.

Рис. 1. Схематическое представление термоакустического электрогенератора в четырёхполюсниках:

1 - регенератор; 2 - термическая буферная трубка;

3 - струйные диоды; 4 - инерционная трубка;

5 - податливость; б - альтернатор; 7 - камера перед альтернатором; 8 - камера за альтернатором;

9 - труба резонатора; 10 - законцовка резонатора

Рассмотрим моделирование цепей с использованием независимых матриц преобразования и сравним результаты с более точными вычислениями.

Труба

В общем случае осцилляции газа в канале без градиента температур описываются линеаризованными уравнениями Ротта [2]:

Ф _ шрт Лх (1 ~ їМ

и-

Iю_ сіх

і А со

Рп,а~

1 + є„

Л

где рт - плотность газа в отсутствие колебаний; у - показатель адиабаты, А - площадь сечения трубы; а - скорость звука; 83 - коэффициент влияния стенки на потери при термическом гистерезисе; Д и Д - комплексные функции Ротта, описывающие потери в пограничном слое вследствие вязкости и термической релаксации, соответственно. В случае ламинарных осцилляций уравнения (2) и (3) имеют решения, удовлетворяющие условиям линейности матрицы 11ВЦ:

тр

(1-Л)Ь4 со які

БІп/г/

,

где I - длина трубы, к - волновое число, со -циклическая частота осцилляций.

Режим осцилляций в канале зависит от числа Рейнольдса Л/Дв, соотношения {0/8^)

и предыдущего режима осцилляции газа [8].

Последним условием пренебрегаем, поскольку оно не вписывается в универсальность методики. Из [8] следует, что при *Яш * 105 и О /31? > 50 (это соответствует

практически всем каналам в термоакустических установках) режим осцилляций не выходит за рамки низкотурбулентного. Значит можно использовать матрицу ЦВЦтр из выражения (4) с небольшими корректирующими коэффициентами.

В качестве подтверждения данного предположения на рис. 2, 3 приведены результаты расчёта параметров р и и на выходе из отдельной инерционной трубки (диаметр 20 мм, длина 485 мм) при различной объёмной скорости на входе. При этом частота осцилляций и амплитуда давления на входе оставались постоянными (87.9 Гц и

0.15 МПа, соответственно).

Как следует из рис. 2, 3 матрица (4) хорошо описывает акустические параметры трубки даже при низкой турбулентности.

С помощью методики моделирования трубы вычислялись матрицы преобразования для четырёхполюсников -/, 5, 9 и 2 (рис. 1, 4). Поскольку в термической буферной трубке присутствует градиент температур, то четырёхполюсник 2 рассматривался на основании параметров газа при среднем значении температуры.

1,6Е+05

1,4Е+05

1,2Е+05

1,0Е+05

СО 8,0Е+04 С

6,0Е \ 04 ¿4,0Е+04 2,0Е (04 0,0Е+00 -2,0Е (04 -4,0Е і 04

Рис. 2. Осциллирующее давление на выходе из буферной трубки как функция числа Рейнольдса:

1 и 2 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные в БеІґаЕ; 3 и 4 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные по формуле

2

3

и з

Рис. 3. Объёмная скорость осцилляций на выходе из буферной трубки как функция числа Рейнольдса:

1 и 2 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные в БеІґаЕ; 3 и 4 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные по формуле

Податливость

Элемент, описывающий податливость в акустической цепи термоакустического электрогенератора, представляет собой полость, в которой амплитуда осцилляций скорости относительно невелика. Падение давления в таких узлах пренебрежимо мало. На основании уравнения для изменения скорости в податливости из [4] получаем матрицу преобразования:

1, О

со

соа~

1 + 8, 2

1

где 5 - площадь поверхности, ик - глубина термического проникновения волны.

При помощи методики моделирования податливости вычислялись матрицы преобразования для четырёхполюсников 7, 8 и 10 (рис. 1, 4).

Альтернатор

Альтернатор представляет собой электродинамический преобразователь, в котором акустическая энергия преобразуется в электрическую.

Соотношения, описывающие линейную модель такой трансформации, имеют вид [9]:

р--р..= 2-и+^-''

вх вых

V = 11 -—и.

где V и I - напряжение и ток в цепи альтернатора; А„ - площадь поршня альтернатора.

Рис. 4. Упрощённая схема термоакустического электрогенератора в четырёхполюсниках. Нумерация элементов соответствует рис. 1

Механическое сопротивление элементов альтернатора определяем по формуле:

2 = — А:

я.

Электрическое сопротивление равно ге=Ке+1соЬе,

где 7.т - электрический импеданс нагрузки, Кпь В1, Ье, Яе, М и К - паспортные данные альтернатора. На основании (6) - (9) получаем выражение для акустической нагрузки, вносимой альтернатором:

7 =7

D ^п

1

В12

Al 7 + 7

Н

В соответствии с (10) последовательно подключённый к податливости четырёхполюсник альтернатора (рис. 2) можно подключить как вносимый импеданс 7. и каскадно (рис. 4).

Импеданс

Этот элемент представляет собой сосредоточенный импеданс. Согласно закону последовательного соединения: 1/вх = ивых. Получим Рвх - Рвых = 1/вх 7 и матрицу преобразования:

1, -7

mu =

-и-

dU

dx

Рша

1 + s„

Ж/.-Л)

dT

р +

U,

Ґ

и„-

icoC0 \пв 6-І

РеХ~Р

ia>C0R0p

,3 Ирт - изотермическая податли-6их/ Srh2 - резистивность регене-

0, 1

При помощи методики моделирования сосредоточенного импеданса вычислялись матрицы преобразования для четырёхполюсников 3 и 6 (рис. 4).

Регенератор

В общем случае линеаризованные уравнения Ротта для регенератора имеют следующий вид:

Же (1-/У)4

где Со = А вость; Ко ~

ратора при предельно низком числе Рейнольдса; 0 = Тт/Тх - отношение температур на концах регенератора.

Вспомогательные функции вычисляются следующим образом:

О 1

^^^е"'Пб^1)/('+2)(17> Константа Ъ - это показатель в приближённой формуле вязкости /л(Т) = их('Г 1\)'\ Для гелия она равна 0,68.

Выражения (14) - (17) подходят для матрицы линейного преобразования

-л«,»)

ш\ =

II II рег

1-к„-

i(oC0 \пв 6-І ''

в

.

где Рг - число Прандтля, ¡5 - коэффициент термического расширения, Агаз - площадь поперечного сечения регенератора, проницаемая для газа.

В общем случае система уравнений (12) - (13) не имеет аналитического решения. Но разбивая регенератор по длине на конечные отрезки, можно решить её численно.

Упрощённая система уравнений была предложена Бакхаусом и Свифтом в [10] в предположении, что регенератор представляет собой многоступенчатый каскад из ре-зистивности и податливости, включённой к ней параллельно (рис. 1):

Эта матрица преобразования использовалась для четырёхполюсника 1 (рис. 1, 4).

Методика моделирование регенератора согласно (14) - (18) тестировалась с результатами расчётов DeltaE для двух типов регенераторов: состоящего из параллельных пластин и состоящего из сеток. При этом длина регенератора составляла 4 см, пористость

0.705, гидравлический радиус 3.6-10’5 м. В нулевой точке р и U совпадали по фазе, их амплитуды составляли соответственно 1.6 Бар и 0.002 м3/с. Результаты приведены на рис. 5, 6.

Хотя ошибки в акустических параметрах на выходе из регенератора составляют несколько процентов, просматривается тенденция к увеличению ошибки практически пропорционально длине регенератора. Это указывает на возможность введения корректирующих функций, не зависящих от р и U, для каждого типа регенераторов.

Сравнение результатов

Тестирование предложенной методики моделирования свелось к проверке распределения акустического давления и объёмной скорости по длине установки, которая пер-

воначально оценивалась на БекаЕ. При этом из БекаЕ вводилась рабочая частота 87,9 Гц и давление осцилляций в конкретной точке (в данном случае в тройнике).

Такой подход позволил избежать итераций и упростить сравнение результатов. В этом случае определение неизвестных скоростей и±, ЕЛ, и3, 114 и давления в камере за

поршнем рг сводится к решению системы:

их =и2+и,+и4-

и2 II Из 114 и2

р% ИІ8 ИИ ИІ7 Ро

0 и3

где индекс у матрицы преобразования соответствует номеру четырёхполюсника на рис.

1.

Очевидно, что при той же геометрии резонатора, что и в БекаЕ, уравнение:

выполняться не будет, так как методики не тождественны.

Для выполнения уравнения (22) необходимо рассмотреть в качестве переменных пару независимых геометрических параметров резонатора.

В этом случае процесс решения уравнения (22) сводится к простым итерациям. Поскольку это косвенно затрагивает моделирование акустических трактов, далее не рас-

Ро = ИтИ9 Ро

0 и4

сматривается геометрия резонатора, а рассматривается параметр £/4 на его входе.

При таком подходе ошибка ¿/4 будет представлять собой общую накопленную ошибку.

Для удобства интерпретации результатов расчёта в определяющих точках на оси установки нанесены маркеры от А до Д. Для удобства геометрия установки развёрнута в линию. С этой целью выполнен условный разрыв в точке разветвления. На рис 7, 8 представлены диаграммы давления и объёмной скорости, соответственно.

Как следует из рис. 7, 8, диаграмма давлений, рассчитанная по методике, хорошо совпадает с результатами БекаЕ, тогда как объёмные скорости, особенно на участках, смоделированных как ТРУБА, заметно отличаются.

Для инерционной трубки в составе установки эта разница вызвана накоплением ошибки по длине всей петли, особенно в регенераторе, а также игнорированием местных потерь: на разворот потока, резкое изменение сечения и на теплообменниках.

Второй способ - прямое численное интегрирование - является более трудоёмким и приводит систему уравнений четырёхполюсника к нелинейному виду.

Результаты сравнения электрических параметров на выходе из альтернатора приведены в табл. 1.

<и

а:

х, м

Рис. 5. Диаграмма распределения осциллирующего давления по длине регенератора: 1 -рассчитано по формуле (18); 2- рассчитано в БеІІаЕ для регенератора из сеток; 3 - рассчитано в БеНаЕ для регенератора из пластин

Рис. 6. Диаграмма распределения объёмной скорости осцилляций по длине регенератора: 1 - рассчитано по формуле (18); 2- рассчитано в БеІІаЕ для регенератора из сеток; 3 - рассчитано в БеІІаЕ для регенератора из

пластин

А' б в г А" д

Рис. 7. Диаграмма распределения осциллирующего давления по длине установки: 1и 2 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные в БекаЕ; 3 и 4 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные по предлагаемой методике

А' Б В Г А" Д

' 1° •• ~ез—

— — _ 3 /

\ /

“ ч \%1 \

5 і -о. 45 -0, 35 -0, 25 -0, 15 }5з С ІІ6 о, 15 0,2 1 ¡0,

> •V І І

2 3 1 -і 7Р -02—

X, лл

Рис. 8. Диаграмма распределения объёмной скорости осцилляций по длине установки: 1и 2 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные в БеІґаЕ; 3 и 4 - вещественная и мнимая составляющие, вычисленные по

предлагаемой методике

Параметры, рассчитанные по предлагаемой методике, демонстрируют хорошее соответствие результатам БекаЕ. Что касается акустических параметров резонатора, то здесь расхождение вещественной составляющей объёмной скорости на входе достигает большой величины, что является результатом накопления ошибки по всей конструкции. Такая большая ошибка при расчёте скорости на входе резонатора приводит к

ещё более большой ошибке в вещественной части импеданса резонатора. Однако на практике такая ошибка в импедансе резонатора не имеет существенных последствий, так как резонатор относится к системе настройки установки и имеет на входе регулировочный вентиль, который изменяет вещественную часть импеданса резонатора в широких пределах.

Таблица 1. Сравнение электрических параметров на выходе альтернатора

Параметр Предлагаемая методика DeltaE Относительная погрешность, %

1 V|, в 121.74 120.88 0.71

111, A 1.522 1.511 0.73

W, Вт 92.63 91.32 1.43

Таблица 2. Сравнение акустических параметров резонатора

Параметр Предлагаемая методика DeltaE Относительная погрешность, %

Re [рвх], Па 1.4044 • 10" 1.4042 • 10і 0.011

Im [рвх], Па 6.99 • 103 7.059 • 103 0.98

Re [UBX], м3/с 2.197 • 10'3 1.421 • 10'3 54.6

Im [UBX], м3/с -9.617- 10'3 - 10.453 • 10'3 8.0

Re [Z], Па*с/ м3 2.4803 • 106 1.1296 • 106 119.6

Im [Z], Па*с/ м3 1.4036 • 107 1.3279 • 107 5.7

Выводы

Предложенная методика расчёта акустических цепей термоакустических установок проста в пользовании, требует минимума итераций и даёт приемлемые результаты. С введением корректирующих функций для разных типов регенераторов в сочетании с энергетическими уравнениями данная методика может рассматриваться как основная методика проектирования термоакустических установок.

Автор выражает благодарность теплофизической группе Лос-Аламосской национальной лаборатории (США) за предоставление DeltaE для проведения некоммерческих исследований.

Библиографический список

1. Atchley, A.A. Frontiers of nonlinear acoustics, ch. Development of nonlinear waves in a thermoacoustic prime mover [Text] / A. A. Atchley, H.E. Bass, T. Hofler // Elsevier Science Publishers, 1990. - p. 603-608.

2. Rott, N. Thermoacoustics, [Text] /N. Rott //Advances in Applied Mechanics, 20 - 1980 -

p. 135-175.

3. Swift, G.W. Thermoacoustic engines [Text] / G. W. Swift // J. Acoust. Soc. Am. 84 -1988 - p. 1146-1180.

4. Воротников, Г.В. Определение облика термоакустического генератора по характеристикам электродинамической части на основании параметрических исследований [Текст] / Г.В. Воротников, А.Н. Крючков, Е.А.Зиновьев // Вестн. СГАУ,- 2011,- 3(27) -С. 51-58.

5. Воротников, Г.В. Расчёт оптимальной рабочей частоты термоакустического электрогенератора с готовой электродинамической частью и заданной нагрузкой [Текст] / Г.В. Воротников, А.Н. Крючков // Вестн. СГАУ,-2012,-3(34)4.3, - С. 185-192.

6. Атабеков, Г.И. Основы теории цепей [Текст] / Г.И. Атабеков. - М.: Энергия, 1969.

7. Swift, G. W. Thermoacoustics: A unifying perspective for some engines and refrigerators [Text] / G. W. Swift // Acoust. Soc. Am. -2002.

8. Iguchi, M. Analysis of free oscillating flow in a U-shaped tube. [Text] / M. Iguchi, M.

Ohmi, К. Maegawa //Bull. JSME, 1982, 25 - p. 1398-1405.

9. Сапожков, M.A. Электроакустика [Текст] /М.А. Сапожков. - М.: Связь, 1978.

10. Backhaus, S. A thermoacoustic-Stirling heat engine: Detailed study [Text] / S. Backhaus, G. W. Swift// J. Acoust. Soc. Am., 2000. -p. 3148-3166.

ГП1 MODELING OF III I THERMO ACOUSTIC ELECTRIC GENERATOR BY QUA-

DRUPOLE APPROXIMATION APPROACH

© 2012 G. V. Vorotnikov

Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov

Thermoacoustic generator, consisting of a thermoacoustic travelling-wave engine and linear alternator 1S102MA with electrical load of 80Q. is being considered. Elements of device are prototyped linear quadrupole. The accounting features of main parameter are brought. The calculation results were compared with the results of calculation in program code DeltaE.

Thermoacoustics, thermoacoustic heat engine, thermoacoustic alternator, electromechanical analogy, acoustic quadripole

Информация об авторах

Воротников Геннадий Викторович, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: vorotnikov.g.v@mail.ru. Область научных интересов: рабочие процессы термоакустических двигателей и холодильных машин.

Vorotnikov Gennadiy Viktorovich, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov (National Research University). E-mail: vorotnikov. g.v@mail.ru. Area of research: work processes of thermoacoustic heat engines and refrigerators, power efficient heat engines and prime movers.