Устойчивость виброконвективного течения в центрифугированном слое жидкости

Конвективные течения.... Вып. 2

УСТОЙЧИВОСТЬ ВИБРОКОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ЦЕНТРИФУГИРОВАННОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ

В.Г. Козлов, Д. А. Полежаев

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется структура течения в центрифугированном слое жидкости в цилиндрической полости, совершающей перпендикулярные оси вращения колебания. Обнаружен новый тип неустойчивости в виде системы вихрей, периодических вдоль оси вращения и локализованных вблизи границы полости. Вихревые структуры возникают пороговым образом в результате неустойчивости двумерного азимутального движения жидкости, возникающего в условиях резонансного возбуждения инерционных волн [1]. В зависимости от безразмерной частоты вибраций вихри могут иметь тороидальную или спиральную форму. Пространственный период структур определяется толщиной вязкого слоя Стокса, формирующегося вблизи твердой границы. При повышении интенсивности вибрационного движения стационарные вихревые структуры пороговым образом разрушаются, течение становится хаотическим. Границы смены режимов движения и характеристики пространственных структур изучены в широком диапазоне изменения частоты вращения и параметров вибраций.

ВВЕДЕНИЕ

Задача о поведении жидкости в частично заполненном вращающемся цилиндре привлекает внимание многих исследователей (см. [2]), поскольку является модельной для различных технологических и природных процессов. Когда полость вращается с достаточно высокой частотой и действие гравитационного поля мало по

© В.Г. Козлов, Д. А. Полежаев, 2005

сравнению с центробежной силой, жидкость находится в центрифугированном состоянии. При этом если под действием осциллирующих (во вращающейся системе) внешних сил жидкость совершает колебания относительно полости, слои Стокса вблизи твердых границ генерируют осредненные потоки, приводя жидкость в движение относительно полости. Структура осредненных потоков определяется видом инерционных волн. Осредненная динамика центрифугированного слоя жидкости в равномерно вращающемся горизонтальном цилиндре исследована в [3] - в этом случае колебания жидкости относительно полости происходят под действием силы тяжести, осциллирующей в системе отсчета полости. При вибрационном воздействии на вращающуюся полость возможно резонансное возбуждение инерционных волн, когда частота вибраций совпадает с собственной частотой одной из колебательных (волновых) мод. В условиях резонанса амплитуда колебаний жидкости и, как следствие, интенсивность осредненных потоков достигают значительной величины [1]: скорость потоков относительно стенок сравнима со скоростью вращения самой полости. Интенсивность азимутального вибрационного движения характеризуется разностью частоты вращения / поверхности жидкости в лабораторной системе отсчета и частоты вращения полости /, А/ ° / - /. В зависимости от направления волны жидкость может обгонять полость, А/ > 0, либо существенно отставать от нее,

А/ < 0.

В настоящей работе исследуется устойчивость азимутального двумерного движения центрифугированного слоя жидкости в условиях резонансного возбуждения инерционных волн под действием нормальных оси вращения поступательных вибраций. Основное внимание уделяется обгоняющему движению жидкости ( А/ > 0 ), которое реализуется при / < /у .

1. ТЕХНИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперименты проводятся на установке и по методике [1] с водой и водоглицериновыми растворами при изменении вязкости в интервале V = 1 - 20 сСт. Для визуализации течения используется алюминиевая пудра и мелкий стеклянный песок - калиброванные по размеру сферические частицы диаметром ё = 0.04 мм; количество визуализатора невелико - толщина однородного слоя песка,

осевшего под действием центробежной силы на стенке вращающейся полости, не превышает диаметра частиц.

Порог устойчивости двумерного движения жидкости определяется визуально по нарушению однородности распределения частиц на стенках полости и возникновению регулярных структур. Последовательность проведения опытов следующая. Кювета приводится во вращение и после перехода жидкости в центрифугированное состояние включается вибратор с заданными значениями амплитуды и частоты, которые в ходе эксперимента поддерживаются постоянными. Измеряется скорость А/ азимутального движения свободной поверхности центрифугированного слоя жидкости при понижении (повышении) частоты вращения полости / . Частота /г изменяется с шагом ~ 0.2 Гц, выдержка на каждом шаге составляет несколько минут, необходимых для установления стационарного режима конвекции и перераспределения визуализатора на стенке полости. Опыты повторяются при различных параметрах вибраций. Размер полости, ее наполнение (толщина слоя жидкости) и вязкость варьируются. Для измерения периода структур используется метод фото- и видеорегистрации.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ

В быстро вращающейся полости в отсутствие вибраций центрифугированный слой жидкости совершает твердотельное движение вместе с полостью. Вибрации с частотой / = /г независимо от частоты и амплитуды вибраций не влияют на динамику жидкости. При заданной частоте вибраций (/ > / ) с понижением частоты вращения относительная скорость обгоняющего движения жидкости А/ увеличивается сначала медленно, а по достижении резонансной области, когда возбуждается инерционная волна, обгоняющая полость (см. [1]), - резко. При некотором критическом значении А/ течение теряет устойчивость, при этом частицы визуали-затора перераспределяются, образуя периодическую вдоль оси вращения систему вихрей кольцевой или спиральной формы. Сначала формирование периодической структуры происходит на отдельных участках полости, но уже при незначительном понижении частоты /г (при повышении интенсивности обгоняющего движения) структура распространяется на всю длину полости (рис. 1). Порог возникновения структур не совпадает с порогом резонансно-

го нарастания интенсивности инерционной волны (интенсивности осредненного движения).

Рис. 1. Периодические вихревые структуры, видимые вследствие перераспределения осевшей на поверхности полости алюминиевой пудры

Скорость жидкости в пороге невелика: составляет доли процента от скорости вращения полости (рис. 2, а) независимо от радиуса последней. Критическая величина скорости зависит от вязкости жидкости и слабо зависит от частоты вращения (вибраций) полости, за исключением кюветы малого радиуса (Я = 1.13 см), в которой пороговое значение скорости повышается с увеличением /г (точки 4). В надкритической области вихревые структуры медленно трансформируются со временем (об этом будет ниже).

При дальнейшем повышении интенсивности опережающего движения, что достигается повышением амплитуды вибраций или понижением частоты вращения и приближением к максимуму резонансной кривой, наблюдается другой критический переход, сопровождающийся разрушением стационарных вихревых структур и приводящий к хаотическому движению жидкости. В невязкой жидкости характер течения изменяется внезапно при критическом значении частоты вращения (погрешность измерения частоты не превышает 0.2 Гц).

В вязкой жидкости вблизи порога наблюдается интенсификация обмена частицами визуализатора между соседними тороидальными вихрями; при критической скорости движения интенсивность взаимодействия возрастает настолько, что торы, периодически объединяясь и разрушаясь, теряют индивидуальность, периодическая

структура вихрей разрушается, движение становится хаотическим. Критическая скорость движения жидкости возрастает при увеличении частоты вращения полости (при заданном относительном наполнении), рис. 2, б. В случае большого диаметра полости результаты согласуются между собой (точки 1-3).

10 25 £ Гц 40б

Рис. 2. Зависимость скорости вращения жидкости Д/ от частоты вращения полости /

Рис. 3. Зависимость Д/ от / (д = 0.23) для Я = 2.53 см, V = 1 сСт, /V = 30 Гц и Ь = 0.21 мм; штриховые линии отмечают пороговые значения / и А/

Переход к нерегулярному режиму сопровождается пороговым изменением скорости осредненного движения жидкости. Порог разрушения торов определяется по излому кривой интенсивности движения на плоскости параметров А/ , / (рис. 3, точка а). Критическое значение частоты вращения, найденное таким методом, хорошо согласуется с результатами визуального измерения пороговой частоты разрушения регулярных структур.

3. НАДКРИТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Периодические структуры, возникающие в результате неустойчивости азимутального течения вблизи границы полости, имеют

кольцевую или спиральную форму в зависимости от вязкости п и наполнения д . Характерный вид таких структур показан на рис. 4. Пространственный период 1 (расстояние между двумя соседними вихрями) может случайным образом изменяться по длине полости, поэтому приводится его среднее значение.

б

Рис. 4. Структура вихревого течения жидкости (Я = 2.53 см, V = 4.2 сСт) спиральная (а: / = 30 Гц, / = 20 Гц), кольцевая (б: / = 11 Гц, в отсутствие вибраций, двумерная азимутальная волна распространяется в направлении, обратном направлению вращения полости); расстояние между метками на нижней границе составляет 5 см

Обнаружено, что длина волны зависит от типа и количества визуализирующих частиц. На рис. 5 показана зависимость 1 от времени для алюминиевой пудры (точки 1) и стеклянных частиц

а

ё = 0.04 мм (2) при одинаковых условиях. В начальный момент в обоих случаях 1 имеют близкие значения. В случае стеклянных частиц длина волны с течением времени значительно увеличивается: по истечении одного часа 1 возрастает вдвое. В случае алюминиевой пудры также наблюдается перестройка структур со временем, однако в установившемся режиме длина волны вихревых структур при тех же условиях существенно меньше. Это свидетельствует о влиянии неоднородности внутренней поверхности цилиндрической полости, возникающей в результате перераспределения даже незначительного количества сыпучей среды, на структуру вихревых потоков. Основная часть экспериментов проведена с алюминиевой пудрой.

Рис. 5. Изменение длины волны X со временем при использовании в качестве визуализатора алюминиевой пудры (точки 1) и стеклянных частиц (2); Я = 2.53 см, д = 0.23, V = 2.3 сСт, £. = 23 Гц, /у = 35 Гц и Ь = 0.21 мм

Вихревые структуры исследуются с помощью непрерывной видеосъемки в течение длительного промежутка времени. При обработке видеоматериала определяется положение вихрей, находящихся в средней по длине кюветы области. На построенной по результатам таких измерений временной диаграмме (рис. 6) вдоль горизонтальной оси отложена координата вихрей в исследуемой области (длина области 10 см).

Конвективные течения..., вып. 2, 2005 120 п- >АМ‘ИИН НИИ III-----------77-77

t, мин

60

0 тчп--"т1чгит • >г\

0 5 х, см 10

Рис. 6. Временная диаграмма; Я = 1.13 см, д = 0.23, V = 10.2 сСт, / = 22 Гц, / = 35 Гц и Ь = 0.28 мм

Наблюдения показывают, что в начале эксперимента вихри, расположенные близко, активно взаимодействуют друг с другом, что приводит к их слиянию (на диаграмме слияние имеет вид “рогатки”). В результате общее число вихрей со временем уменьшается, длина волны 1 в первые 15-20 мин в среднем увеличивается (см. рис. 5). По истечении указанного отрезка времени, несмотря на эволюционное изменение системы, длина волны в целом остается постоянной. Если два соседних вихря начинают расходиться (например, под действием внешнего осевого движения жидкости), расстояние между ними сначала увеличивается, но затем между ними рождается новый вихрь, так что среднее значение длины волны не меняется.

На фоне сравнительно регулярной периодической системы видны уединенные крупномасштабные вихревые образования, формирующие относительно широкие свободные от алюминиевой пудры полосы. С течением времени такие образования могут мигрировать вдоль оси вращения цилиндра. Наблюдается определенная закономерность в направлении миграции: в правой части полости вихри перемещаются к правому торцу, в левой - к левому. Аналогично перемещается и вся система вихрей в целом, при этом в средней части полости происходит рождение новых тороидальных вихрей.

Медленный дрейф вихревой структуры вдоль оси к торцам полости объясняется существованием крупномасштабного течения в виде двух тороидальных вихрей, охватывающих полость по всей длине. Это движение таково. Вблизи боковой границы течение направлено от середины полости к торцам, на поверхности жидкости - к середине; об этом свидетельствует смещение легких маркеров на свободной поверхности центрифугированного слоя в среднюю часть полости. Существование такого течения объясняется взаимодействием (торможением) опережающего азимутального течения с торцами полости.

В тонком цилиндре (Я = 1.13 см) вихревая структура всегда имеет вид регулярной системы кольцевых вихрей независимо от вязкости жидкости. В то же время с повышением V длина волны существенным образом изменяется (увеличивается). Следует отметить, что возрастание 1 с повышением V продолжается до некоторого предельного значения, приблизительно в два раза превышающего толщину центрифугированного слоя жидкости (1 ~ 2.5 мм при к = 1.4 мм). Увеличение относительного наполнения (увеличение толщины слоя жидкости) в диапазоне д = 0.1 - 0.4 также приводит к увеличению периода вихревой структуры. В полости большего радиуса, Я = 2.53 см, вихревые структуры более разнообразны. В зависимости от вязкости и толщины слоя жидкости образуются кольцевые или спиральные вихри. При малых значениях наполнения, д < 0.2 , форма вихрей и динамика изменения 1 остаются такими же, как в тонком цилиндре, изменение вязкости в диапазоне

V = 1 - 20 сСт при этом не оказывает существенного влияния.

В области умеренных и больших д , д > 0.2 , вихревая структура имеет вид спирали. Спиральные вихри начинаются на торцах и распространяются внутрь полости, закручиваясь в направлении, противоположном направлению вращения полости. Две симметричные спиральные структуры противоположной закрутки встречаются и заканчиваются в центральной части полости; шаг спирали не зависит от направления закрутки, он уменьшается по мере удаления от торцов и в центральной части полости становится практически неизменным. Вблизи торцов шаг спирали (длина волны) может в несколько раз превышать длину волны в средней области. В некоторых экспериментах в центральной части полости одновременно наблюдаются спиральные и кольцевые вихри. Длина волны в обоих случаях оказывается одинаковой в пределах погрешности измерения.

Измерение 1 всегда проводится в центральной части полости. В общем случае спиральные вихри могут быть многозаходными, при этом азимутальная компонента волнового вектора отлична от единицы, и возле торцов полости начинаются сразу несколько вихрей (в некоторых экспериментах их насчитывалось до 10). Длина волны в таком случае определяется как расстояние между двумя соседними вихрями вдоль оси полости, при этом погрешность измерения может составлять 20 %.

В полости радиусом Я = 2.53 см в исследуемом диапазоне вязкости длина волны возрастает с увеличением V , однако не достигает предельного значения, как это происходит в тонком цилиндре. При Я = 4.48 см определенно сказать о структуре вихревых образований (спиральной или тороидальной) трудно. Характерное значение длины волны составляет несколько миллиметров, вихри ориентированы практически перпендикулярно оси вращения полости независимо от их формы. Наблюдения в стробоскопическом освещении, рассогласованном с частотой / , показывают, что в большинстве случаев вихри не замкнуты в торы и имеют спиральную форму независимо от вязкости и толщины слоя жидкости. Спиральные вихри могут быть многозаходными (это объясняется тем, что осевая компонента волнового вектора вихрей в полости большого диаметра во всех случаях значительно превосходит азимутальную), их шаг остается неизменным вдоль оси вращения, что позволяет измерять 1 в любой точке полости.

Длина волны слабо зависит от частоты вращения полости и возрастает при увеличении вязкости жидкости (рис. 7). Изменение радиуса полости (соответственно и толщины центрифугированного слоя жидкости) не приводит к заметному изменению размера вихревой структуры: во всех экспериментах 1 составляет доли сантиметра. В полости с Я = 4.48 см длина волны, а значит, и диаметр возникающих вблизи стенки полости вихрей значительно меньше толщины центрифугированного слоя жидкости.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Анализ природы вихревых структур начнем с обсуждения процессов во вращающейся полости при вибрационном воздействии. Как показано в [1], под действием нормальных оси вращения вибраций во вращающейся жидкости возбуждается азимутальная инерционная волна, вызывающая интенсивные колебания жидкости, в том числе вблизи боковой поверхности полости. Именно эта волна возбуждает осредненное азимутальное течение, которое ре-

гистрируется по движению расположенных на поверхности жидкости маркеров. Генерируемое в пограничных слоях Стокса течение (известное как “акустическое” [4, 5]) во вращающемся слое изучалось в случае не резонансных, а вынужденных колебаний жидкости, вызываемых вращающимся в системе отсчета полости силовым полем [3]. Таким образом, рассматриваемая здесь задача характеризуется наличием интенсивных колебаний и сравнительно слабого осредненного течения жидкости в пограничном слое Стокса.

Рис. 7. Зависимость длины волны X от частоты вращения полости

Рис. 8. Зависимость безразмерной длины волны Х/6 от безразмерной частоты вращения полости, обозначения те же

В рассматриваемом случае частота вибраций превосходит частоту вращения, /V / / = 1.1 - 2.2 , при этом возбуждается обгоняющая кювету (в лабораторной системе) волна с циклической частотой, равной частоте вибраций. В системе отсчета полости колебания происходят с частотой /ос = / - / , а толщина слоя Стокса вблизи

границы полости имеет значение д = ^2п / 0.шс , где 0.шс = 2л/01С .

Наблюдения свидетельствуют, что в случае, когда центрифугированный слой жидкости значительно превосходит пограничный слой д по толщине (этому соответствуют эксперименты на маловязких жидкостях в кюветах среднего и большого диаметра), пространственный период вихревых структур определяется толщиной

слоя Стокса. На плоскости / //тс, 1/8 (рис. 8) результаты, полученные с жидкостями различной вязкости и в кюветах разного размера, удовлетворительно согласуются между собой. Безразмерный параметр / / /осс характеризует относительное действие силы Ко-риолиса.

Анализ порогов возникновения пространственных вихревых структур (монотонная мода) и потери их устойчивости с переходом к интенсивным осцилляциям показывает, что результаты удовлетворительно согласуются между собой на плоскости К /8, Ке8 (рис. 9). Здесь Ке8 = v8/v - число Рейнольдса, рассчитанное по скорости осредненного азимутального движения жидкости

V = 2рКА/ и толщине слоя Стокса, К /8 - относительный радиус кривизны слоя Стокса.

30 100 к/8 300

Рис. 9. Границы устойчивости: I - возникновение регулярных пространственных структур (монотонная мода), II - развитие интенсивных колебаний и разрушение регулярных структур. Обозначения соответствуют рис. 2

Как видно, пороговая кривая II перехода к хаотическому движению в области К/8> 100 подчиняется закону Ке8 ~К/8 , из чего следует, что переход определяется одним безразмерным параметром, критическое значение которого составляет (А// /шс )* ~ 0.4 .

Отметим, что определяющий параметр А/ / /осс может быть представлен и в ином виде, например V/ с (здесь с ° 2пК/осс - скорость распространения волны в системе отсчета полости) или Ь / К, где Ь - амплитуда возбуждаемых бегущей волной колебаний жидкости на границе слоя Стокса. Последнее вытекает из того, что ос-редненное движение жидкости генерируется бегущей волной, при этом касательная к границе скорость “акустического” течения за пределами слоя Стокса определяется амплитудой колебаний жидкости ЬО,0!с на границе слоя и скоростью распространения волны с [6, 3]:

5 Ь20

V = —

2о2

'озс

4 с

Пороговая кривая появления стационарных пространственных структур, соответствующая монотонной моде неустойчивости (рис. 9, кривая I), на плоскости выбранных параметров имеет минимум при К/8~ 100 . Характер зависимости объясняется тем, что при К / 8 < 100 толщина слоя Стокса становится сравнимой с толщиной слоя жидкости (при заданном наполнении q = 0.23 значение

К/8= 100 соответствует к/8= 12), при этом размер вихревых образований определяется не толщиной слоя Стокса, а толщиной слоя жидкости.

Выполненные исследования позволяют сделать вывод, что обнаруженные переходы связаны с неустойчивостью слоя Стокса, возникающего в результате осциллирующего азимутального движения жидкости вблизи искривленной поверхности. Нет сомнений, что на развитие неустойчивости влияет осредненная составляющая азимутального движения, генерируемого слоями Стокса. Однако роль осредненной скорости не является определяющей, на что указывает тот факт, что тороидальные (спиральные) вихревые структуры возникают как в случае рассмотренного выше обгоняющего вибрационного течения, так и в случае отстающего (рис. 4, б).

Обнаруженное явление - новое. Отличительной чертой является то, что неустойчивость развивается в слоях Стокса в результате колебаний жидкости (вызываемых бегущей волной) во вращающейся полости. Количество известных теоретических и экспериментальных исследований устойчивости пограничных слоев Стокса вблизи искривленных границ велико, однако все они относятся к

другому случаю, к случаю, когда колебания совершают границы полости [7-9].

Заключение. Экспериментально исследована структура течений в центрифугированном слое жидкости в цилиндрической полости, совершающей перпендикулярные оси вращения колебания.

Обнаружен новый тип неустойчивости, проявляющийся в возникновении периодической вдоль оси вращения системы вихрей, локализованных вблизи границы полости. Вихревые структуры возникают пороговым образом в результате неустойчивости двумерного азимутального движения жидкости, появляющегося в условиях резонансного возбуждения инерционных волн [1]. В зависимости от безразмерной частоты вибраций вихревые структуры могут иметь тороидальную или спиральную форму.

Показано, что пространственный период структур определяется толщиной вязкого слоя Стокса, формирующегося вблизи боковой границы полости.

При повышении интенсивности вибрационного азимутального движения обнаружен еще один пороговый переход, в результате которого стационарные вихревые структуры разрушаются и характер течения становится турбулентным. Границы смены режимов движения и характеристики пространственных структур изучены в широком диапазоне изменения частоты вращения и параметров вибраций.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ 03-01-00552а) и НОЦ (грант PE-009-0).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Иванова А А., Козлов В.Г., Полежаев ДА. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 133-142.

2. Ashmore J., Hosoi A.E., Stone H.A. The effect of surface tension on rimming flows in a partially filled rotating cylinder // J. Fluid Mech.

2003. V. 479. P. 65-98.

3. Иванова А А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ.

2004. № 4. С. 98-111.

4. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

5. Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Т. 2. Ч. Б. М.: Мир, 1969. 420 с.

6. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

7. Riley P.J., Laurence R.L. Linear stability of modulated circular Couette flow // J. Fluid Mech. 1976. V. 75. Pt 4. P. 625-646.

8. Carmi S., Tustaniwskyi J.I. Stability of modulated finite-gap cylindrical Couette flow: linear theory // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 1942.

9. Youd A.J., Willis A.P., Barenghi C.F. Reversing and non-reversing modulated Taylor-Couette flow // J. Fluid Mech. 2003. V. 487. P. 367 -376.

THE STABILITY OF VIBROCONVECTIVE FLOW IN CENTRIFUGED LIQUID LAYER

V.G. Kozlov, D.A. Polezhaev

Abstract. The structure of flows in centrifuged liquid layer in the cylindrical cavity subject to vibration perpendicular to the axes of rotation is experimentally investigated. The new type of instability - the occurrence of periodic along the axis of rotation system of vortexes located near to the cavity wall - is found out.

The vortical structures appears in a threshold way as a result of instability of 2D azimuthal liquid flow arising under conditions of resonant excitation of inertial waves [1]. The vortexes can be of toroidal or spiral shape depending on the dimensionless frequency of vibrations. The wavelength of spatial structures is determined by the thickness of viscous Stokes layer formed near to the solid cavity wall. It is found that with increase of intensity of vibrational the stationary vortical structures collapse and the flow becomes chaotic. The thresholds of transition from one flow regime to another and the characteristics of spatial structures are studied in wide range of rotation frequency and vibrational parameters.