Алгоритм оценки показателей качества обслуживания заявок в иерархических сетях доступа

Алгоритм оценки показателей качества обслуживания заявок в иерархических сетях доступа

Показано, что часть теоретических результатов, полученных при анализе отдельных звеньев мультисервисной сети, по аналогии переносятся на более сложные топологии. К ним относятся иерархические сети доступа. Подобные сети используются в тех ситуациях, когда на сети требуется создать условия для концентрации возникающих информационных потоков. В теории графов подобные сети называются древовидными. Сетевая иерархическая топология в настоящее время является одной из самых распространенных особенно на уровне доступа. Среди её достоинств - простота управления и наращивания дополнительными узлами и аналогичными иерархическими сегментами. Среди недостатков - излишняя централизация и связанные с этим проблемы надёжности. Разработана модель обслуживания заявок на выделение ресурса передачи информации. Построен марковский процесс описывающий функционирование модели. Даны определения основным характеристикам качества обслуживания заявок. Среди них доля потерянных заявок и средняя величина канального ресурса, занятого на их обслуживание. Разработана вычислительная процедура оценки характеристик, основанная на использовании алгоритма свертки.

Степанов С.Н.,

Директор департамента, ОАО Интеллект Телеком,

Stepanov@i-tc.ru

Осия ДЛ.,

Аспирант, МТУСИ, dimaosia@mail.ru

Введение

Иерархические сети доступа используются в тех ситуациях, когда на сети требуется создать условия для концентрации возникающих информационных потоков. В теории графов подобные сети называются древовидными. Сетевая иерархическая топология в настоящее время является одной из самых распространенных особенно на уровне доступа. Среди её достоинств простота управления и наращивания дополнительными узлами и аналогичными иерархическими сегментами. Среди недостатков — излишняя централизация и связанные с этим проблемы надёжности. В теории графов имеется формальное определение данного класса сетей «древовидная топология — топология сети, в которой узлы и связи между ними образуют неориентированный ациклический граф, не содержащий замкнутых путей и позволяющий соединить единственным образом пару любых узлов». Однако в дальнейшем, чтобы не вводить и не комментировать излишнюю терминологию будем полагать, что иерархическая сеть доступа — это сеть, имеющая топологию показанную на рисунке.

1. Описание модели

Обсудим особенности введённой топологии. Число узлов сети на единицу больше, чем J — число линий. Будем считать узлы и линии занумерованными в соответствии со схемой, использованной на рисунке. Каждый узел сети, за исключением (./ + 1 )-го, имеет одну исходящую линию. Назовём (./ + 1 )-ый узел — корневым. Все узлы сети, за исключением нескольких, которые назовём концевыми, имеют одну или несколько входящих линий. Будем предполагать, что маршруты передачи информации начинаются в одном из концевых уз-

Концевая вершина

лов и заканчиваются в корневом узле. Максимальное число узлов в маршруте определяет число уровней иерархии сети.

Сеть, показанная на рисунке, имеет четыре уровня иерархии. В дальнейшем мультисервисные сети имеющие данную топологию и схему образования маршрутов, будем называть мультисервисными иерархическими сетями доступа.

Таким образом, в исследуемой модели иерархической сети доступа обслуживается п потоков заявок на передачу информационных потоков от одного из концевых узлов до корневого узла. На каждый концевой узел поступает не менее одного потока заявок. Поток заявок на выделение канального ресурса, имеющий номер к, характеризуется интенсивностью поступления заявок Я*, средним временем передачи информации * .

И,

числом единиц ресурса, требуемого для обслуживания

одной заявки Ьк (параметр^ определяется эффективной скоростью передачи потока, которая также зависит и от скорости передачи используемой линии) и маршрутом следования информации Як, состоящим из номеров

линий, используемых при передаче трафика, ассоциированного с Аг-ым потоком заявок. Для краткости будем называть маршрут, используемый £-ым потоком заявок,

к-ым маршрутом. Обозначим через а = А- интенсив* А

ность поступающих заявок, выраженную в эрлангах, т.е. в среднем числе заявок, поступающих за среднюю продолжительность их обслуживания. Величина ак показывает среднее число потенциальных соединений для рассматриваемого потока заявок.

Поступившая заявка к-го потока принимается к обслуживанию, когда во всех линиях используемого маршрута имеются свободными не менее Ьк единиц

канального ресурса. Если хотя бы в одной из линий нет соответствующего объёма ресурса, то поступившая заявка получает отказ и не возобновляется. Пусть N. —

множество номеров информационных потоков, проходящих через /-ую линию. Для формализованного описания топологии сети и маршрутов следования информационных потоков введём маршрутную матрицу /?, в записи которой для удобства укажем номера потоков и линий.

1 2 ... п

1 Г 1.1 Г 1.2 ... Г и

2 Г 2.1 У" 2.2 ... У" 2м

и Гл. Г.1.2 ... Гз.п

В приведённом формальном выражении для маршрутной матрицы величина г, к ,/=1,2,..., У, Л = 1,2,..., и, определяется из выражения

Ьк, у - ая линия используется при обслуживании заявки к — ого потока,

О, у — ая линия не используется при обслуживании заявки к - ого потока Таким образом, анализируя численное значение Г. к,

можно сделать вывод об использовании у'-ой линии при построении к-го маршрута. И если ответ положительный, то узнать, сколько при этом занимается канальных единиц на передачу соответствующего информационного потока. Номера ненулевых элементов /-ой строки матрицы Я составляют множество N  номеров потоков

трафика, проходящих через у'-ую линию. Аналогично, номера ненулевых элементов Л-го столбца матрицы У?

составляют множество Я, номеров линий, используемых при формировании к-го маршрута.

2. Описание расчетного алгоритма

Рассмотрим задачу оценки доли потерянных заявок Лк при обслуживании заявок А-го потока. Поскольку все маршруты используют (У + 1 )-ую линию сети, то для оценки 7Гк достаточно построить алгоритм оценки вероятностей числа занятых каналов на (У + 1 )-ой линии. Воспользуемся возможностями, которые предоставляет техника урезания обратимых марковских процессов, использованная при доказательстве свойства мультипликативности мультисервисной модели Эрланга [1-6].

Чтобы не усложнять описание алгоритма излишним формализмом его отдельные шаги будем иллюстрировать с помощью модели, показанной на рисунке.

1. Рассмотрим исследуемую модель иерархической сети доступа и предположим, что пропускная способность линий, находящихся на этапах установления соединения с номерами 2 и выше, равна бесконечности. В остальном схема функционирования модели не меняется. Обозначим через £2, пространство состояний

на котором определён марковский процесс, описывающий функционирование построенной модели. Вероятности стационарных состояний определяются стандартным образом [1-6] из соотношений мультипликативности для всех /п)е .

Найдём распределение числа каналов, занятых на всех линиях 1-го этапа установления соединения. В силу принятых предположений для каждой линии эта задача решается независимо от других линий. Обозначим соответствующее распределение для /-ой линии 1-го этапа через gji. Функция ^ 1 определяется свёрткой индивидуальных распределений числа каналов занятых потоками заявок, использующих данную линию. Обозначим через Рк вектор индивидуального распределения к-го

потока. Он определяется параметрами потока и пропускной способностью линии. Для модели, показанной на рисунке, результаты выполнения 1-го этапа имеют вид: £и=/>/», Яи-Р,9Р4'

Ш4Л=РЧР]0, gІЛ=PnPn^

2. Возьмём модель сети, введённую на 1-ом шаге ре-

ализации алгоритма, и предположим, что линии 2-го этапа установления соединения имеют заданную изначально конечную скорость передачи информации. Обозначим через пространство состояний /н),

на котором определён марковский процесс, описывающий функционирование построенной модели. Вероятности стационарных состояний /?(/,,определяются из соотношений мультипликативности для всех

£2, и пространство £1, получается соответствующим урезанием множества С2,. Найдём распределение числа каналов, занятых на каждой линии 2го этапа установления соединения. В силу принятых предположений для каждой линии эта задача решается независимо от других линий сверткой распределений числа каналов, занятых на линиях 1-го этапа и найденных на предыдущем шаге реализации алгоритма или индивидуальных распределений, если заявки начинают

обслуживание со 2-го этапа. Обозначим соответствующее распределение для /-ой линии 2-го этапа через g .

Для модели, показанной на рисунке, результаты выполнения 2-го этапа имеют вид: £6 •,=£,, <8>  &,, >

Я7.2 = ^7  ^8 ’ #8.2 = &4.1  «И •

3. Третий и последующие шаги алгоритма вплоть до У-го выполняются по аналогии со 2-ым шагом. В результате получаем последовательность из J вспомогательных моделей, определённых на пространствах состояний 0.,у' = 1,2,...,У. Каждое последующее пространство получается соответствующим урезанием пространства, использованного на предыдущем шаге. Выполняются соотношения Ц з £2, з ... з О, = 5

Таким образом, для последней из построенных вспомогательных моделей распределение числа каналов занятых в (У + 1 )-ой линии будет совпадать с соответствующим распределением исходной модели и его можно использовать для оценки показателей обслуживания заявок. Обозначим это распределение через gJ. Для модели, показанной на рисунке, результаты выполнения J-го этапа имеют вид: = Яб 2  ,.

4. На завершающем шаге определяются значения показателей обслуживания заявок 7Ск и ш.,к =1,2,...,и. Величина N(5) находится из равенства

^

Для определения Л^(/^) достаточно найти значение N(5), задаваемое (1), для иерархической сети с

уменьшенным на величину Ьк числом каналов во всех линиях, доступных заявкам к-то потока. Для вычисления используется стандартные соотношения. Указанные действия выполняются для всех к =1,2,...,я. Отметим, что при реализации алгоритма промежуточные значения стационарных вероятностей не нормируются. Таким образом, чтобы найти характеристики обслуживания для всех потоков заявок необходимо однотипным образом (и + 1) раз рассчитать величину нормировочной константы для исследуемой модели иерархической сети с некоторыми изменениями в пропускной способности звеньев.

Реализация алгоритма не вызывает больших затруднений и его можно использовать для оценки показателей пропускной способности иерархических сетей доступа.

В общем случае наличие свойства мультипликативности ещё не достаточно для построения эффективных алгоритмов расчёт мультисервисных сетей. Более того, для сетей с произвольной топологией вычисление нормировочной константы с использованием свойства мультипликативности относится к NP-полным задачам, что означает отсутствие эффективных комбинаторных алгоритмов. Но даже в этих ситуациях свойство мультипликативности может быть использовано при оценке показателей качества совместного обслуживания заявок, например, при реализации процедур имитационного моделирования.

Понятно, что область применения точных алгоритмов ограничена поиском решения для сравнительно небольших сетей или специальных топологий. Поэтому в общем случае значения показателей качества совместного обслуживания заявок могут быть найдены либо имитационным моделированием, либо с использованием достаточно обоснованного приближённого метода.

Заключение

Приведено описание иерархической сети доступа. Разработана модель обслуживания заявок на выделение ресурса передачи информации. Построен марковский процесс описывающий функционирование модели. Даны определения основным характеристикам качества обслуживания заявок. Среди них доля потерянных заявок и средняя величина канального ресурса, занятого на их обслуживание. Разработана вычислительная процедура оценки характеристик, основанная на использовании алгоритма свертки. Применение построенного алгоритма не вызывает больших затруднений и его можно использовать для оценки характеристик обслуживания заявок в иерархических сетей доступа.

Литература

1. Kelly F.P. Reversibility and stochastic networks. — New York: Willy, 1979.

2. Broadband network traffic. Performance evaluation and design of broadband multiservice networks. Final report of action COST 242 / James Roberts ... (ed). Lecture notes in computer sciences. Springer, 1996.

3. Ross K.W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. — London: Springer, 1995.

4. Степанов C.H. Основы телетрафика мультисервисных сетей — М.: Эко-Трендз, 2010.

5. Степанов С.Н. Материалы курса лекций “Теория телетрафика”— М.: МТУСИ, 2011.

6. Iversen V.B. Teletraffic Engineering Handbook — ITU-D, Nov 2002.