Построение факторных планов с использованием циркулянтных матриц Адамара типа H

УДК 681.3.06 Н. И. Сидняев, С. А. Говор

ПОСТРОЕНИЕ ФАКТОРНЫХ ПЛАНОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦИРКУЛЯНТНЫХ МАТРИЦ АДАМАРА ТИПА H

Представлены методы определения элементов матриц Адамара с использованием переборных алгоритмов, что дает еще один тип адамаровых матриц, замещающих пропуски в последовательности. Представлен алгоритм перечисления нормализованных матриц Адамара. Показано существование полиномиально вычислимых функций на матрицах Адамара, инвариантных относительно действия группы и позволяющих в определенных случаях различать неэквивалентные матрицы Адамара. Вводятся основные понятия теории планирования эксперимента и обсуждаются критерии планирования. Описаны полные и дробные факторные планы эксперимента для квадратичных моделей. Рассмотрены пути сокращения числа опытов. Показано, что если при получении регрессионной модели можно ограничиться линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома, то число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента. В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии авторами рассматриваются как совместные оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Даны рекомендации для линейных эффектов, которые следует смешивать прежде всего с теми взаимодействиями, которые, согласно априорной информации, незначимы. Вводится понятие разрешающей способности как число несмешанных линейных эффектов в дробной реплике. Дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений.

Ключевые слова: Матрицы, группы, множество, порядок, размер, планирование эксперимента, регрессия, уровни, факторы, реплики, дробные факторные планы, сочетания, генерирующие соотношения.

N. I. Sidnyaev, S. A. Govor

Building of Factorial Design Using Hadamard Circulant Matrix of Type H

The article describes the methods for determining the elements of the Hadamard matrices using search algorithms, which gives another type of Hadamard matrices, replacing gaps in the sequence. The algorithm for transferring normalized Hadamard matrices is presented. The existence of polynomial computable functions on Hadamard matrices is invariant under the group and allow in certain cases to distinguish between inequivalent Hadamard matrices. The paper introduces the basic concepts of the theory of experimental design and planning criteria. Full and fractional factorial designs for experiments quadratic models are described. The ways of reducing the number of experiments are shown. It is shown that in the preparation of

СИДНЯЕВ Николай Иванович - д. т. н., проф., зав. каф. высшей математики МГТУ им. Н. Э. Баумана.

E-mail: sidn_ni@mail.ru

SIDNYAEV Nikolay Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Higher Mathematics, the Bauman Moscow State Technical University.

E-mail: sidn_ni@mail.ru

ГОВОР Светлана Александровна - аспирант кафедры высшей математики Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н. Э. Баумана.

E-mail: govor_sa@mail.ru

GOVOR Svetlana Alexandrovna - Postgraduate of Higher Mathematics of Fundamental Sciences, the Bauman Moscow State Technical University.

E-mail: govor_sa@mail.ru

the regression model can be used only the linear approximation, so that to receive an adequate model in the form of a polynomial, then fractional factorial experiment will help to reduce the number of experiments. Due to the fact that some part of interactions in fractional replications was replaced by new factors, the beta coefficients found by the authors are regarded as the joint estimator of linear effects and interaction effects. The authors give recommendations for linear effects that should be mixed with those interactions, which are, according to the a priori information, significant. It is introduced the notion of resolving power as a number of unmixed linear effects in fractional replication. The generating relations give fractional replications.

Keywords: matrix, group, set, order size, design of experiments, regression, levels, factors, replication, fractional factorial design, combinations, generating ratios.

Введение

Известны приложения в теории кодирования матриц Адамара. Они возникли при рассмотрении достаточно абстрактной математической задачи о достижении равенства в так называемом неравенстве Адамара для определителей. Им был выделен класс бинарных матриц, в которых достигалось равенство. В дальнейшем матрицы Адамара изучались в работах Сильвестра, Пэли и других математиков. В 1970-х годах матрицы Адамара нашли неожиданные применения в теории кодирования: построенные с их помощью коды позволяют исправлять ошибки, число которых может достигать половины объёма сообщения. Матрицы Адамара, например, были использованы при передаче сигналов спутников с Марса ввиду большого количества сбоев и ошибок, вызванных удалённостью спутника при передаче и большим количеством помех.

На основе матриц Адамара вводится преобразование Адамара. Преобразование Адамара векторов обладает многими замечательными свойствами, которые находят применения и в самой теоретической математике, и в различных приложениях, например, о кодировании и сжатии информации.

В статье изучены некоторые спектральные свойства матриц Адамара: собственные значения, наборы собственных векторов. Знание указанных и других спектральных характеристик позволяет в некоторых случаях оптимизировать вычисления при кодировании.

Существование полиномиальных вычисляемых функций на матрицах Адамара, инвариантных относительно действия группы, позволяет в определенных случаях различать неэквивалентные матрицы Адамара. С использованием аппарата теории матриц Адамара вводятся основные понятия теории планирования эксперимента и обсуждаются критерии планирования. Описание полных и дробных факторных планов базируется на матрицах Адамара. Изучаются два пути сокращения числа опытов. Как правило, в композиционных планах за основу принимают двухуровневый ПФЭ и к нему добавляют эксперименты, проводимые на других уровнях. Но необходимо акцентировать внимание авторов на то, что при большом числе факторов (к >3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом опытов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Исследователи должны учесть, что при получении модели можно ограничиться линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома, в этом случае число опытов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента. В связи с тем, что в дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми двухуровневыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии рассматриваются как совместные оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Изучаются рекомендации для линейных эффектов, которые следует смешивать прежде всего с теми взаимодействиями, которые, согласно априорной информации, незначимы. Вводится понятие разрешающей способности как число несмешанных линейных эффектов в дробной реплике. Дробные реплики задают с помощью генерирующих соотношений.

В нашем случае будем использовать матрицы Адамара порядка т размером (m*m), которые представляются как матрица H, элементами которой являются +1 и -1, такая, что

HHT = ml.

Это равенство эквивалентно утверждению, что любые две строки Н ортогональны. Очевидно, что перестановка строк или столбцов Н, равно как и умножение строк или столбцов Н на -1, сохраняет это свойство [1-3]. Будем считать Н1 и Н2 эквивалентными матрицами Адамара, если

н2 = РНQ,

где Р и Q - пономиальные матрицы перестановки с элементами +1 и -1. Это означает, что Р и Q имеют точно по одному ненулевому элементу в каждой строке и в каждом столбце, и этот ненулевой элемент равен +1 или -1. Матрица Р осуществляет перестановку и меняет знаки у строк, а Q - у столбцов [4-5]. Для данной нормализованной матрицы Адамара можно всегда найти эквивалентную ей матрицу Адамара, первая строка и первый столбец которой состоят целиком из +1. Перестановка строк (кроме первой) или столбцов (кроме первого) не нарушает нормализованности матрицы [6]. Пусть число столбцов каждого типа равно соответственно х, у, 2, м>. Тогда

х + у + z + w = т, х + у - z - w = 0,

х - у + z - w = 0, х - у - z + w = 0.

Первое уравнение учитывает общее число столбцов. Остальные три выражают соответственно ортогональность первых двух строк, первой и третьей строк, второй и третьей строк [7]. Можно решить уравнения (3) и найти

т

х = у = z = w = —.

Отсюда заключаем, что если Н - матрица Адамара порядка т>2, то т кратно 4.

Из нормализованной Н-матрицы порядка т=4/ можно построить симметричную блок-схему Б с параметрами V=4/-1, к=2/-1, Х=/-1 и, наоборот, из такой схемы Б можно построить нормализованную Н-матрицу [8]. Предположим, что дана нормализованная Н-матрица порядка 4/. Пронумеруем строки и столбцы Н числами 0, 1, .., 4/-1 так, что строка и столбец с нулевым номером состояли бы целиком из +1. Остальным строкам сопоставим элементы а., I=1, .., 4/-1, а остальным столбцам сопоставим блоки В.,.= 1, .., 4/-1. Полагаем а1 е В), если Ъ .=+1 в Н, а1 & В), если Ь .= -1, построим систему инцидентности из V=4/-1 элементов и V блоков с матрицей инцидентности А=(а.), /, .= 1, ... V, где а.=+1, если Ъ.=+1, а .=0, если Ъ .=-1. В нормализованной матрице Адамара каждая строка, кроме нулевой, содержит 2/ положительных единиц, и две такие строки имеют / общие положительные единицы. После исключения нулевого столбца эти значения становятся равными 2/ - 1 и t - 1 соответственно. Таким образом, А удовлетворяет равенствам

ААТ = а + 0 -1)J, AJ = ^ -1)J,

АТА = а + 0 -1)J, JA = ^ - 1У

и является матрицей инцидентности симметричной схемы Б с V=4/-1, к=2/-1, Л=/-1. Построим матрицу Н=(Ъ.), /',.= 1, ... 4/-1, полагая Ъ =Ъ(0=+1 и для /',.= 1, ... 4/-1 Ъ.=+1 Ъ .=+1, если а.=+1, Ъ.= -1. Из того, что А удовлетворяет (5), следует, что Н удовлетворяет (1), поскольку является матрицей Адамара [9-10]. Таким образом, построение нормализованной матрицы Адамара эквивалентно построению симметричной схемы с V=4/-1, к=2/-1, Л=/-1. Но следует заметить, что неэквивалентные схемы могут давать эквивалентные матрицы [11], т. к. матрица Адамара может быть нормализована многими способами, причем существуют решения в целых х, у, 2, не равных одновременно нулю, уравнения

22 = 1х2 -

Очевидно, что х =у=г=1 есть решение, значит, можно предполагать, что матрица Адамара порядка т существует для каждого т, кратного 4.

Использование матриц Адамара для построения факторных экспериментов в теории планирования

Целью использования матриц Адамара является построение матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ) 2k в предположении, что п =f(xp x2, ... xk). Здесь основание 2 - чис-ло уровней фактора либо (+1), либо (-1). Так, например, матрица плана ПФЭ 23 получается путем повторения матрицы плана ПФЭ 22 при x3=-1 и x3=1. Для ПФЭ 24 матрица плана получается путем повторения матрицы плана ПФЭ 23 при x4=-1 и x4=1. Символическая запись вариантов испытаний для ПФЭ 24 имеет вид: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abcd. Символ d означает, что фактор x4 в данном варианте испытаний установлен на верхнем уровне (+1). Таким образом, матрица плана ПФЭ 2k+' может быть представлена в виде [12]

Dt+l =

rDk -Ek Л

Dk Ek j

где E =(1, 1, ..., 1)' - 2к-мерный вектор, Dk - матрица плана ПФЭ 2k. Действительно, из струк-

k

•)k+1 ,

туры матрицы (8) следует, что все ее 2Ш строк различные, при этом элементы ее равны либо 1, либо -1.

Если х. (=1, 2, ..., к; и=1, 2, ..., Ы; Ы=2к) - элементы матрицы Бк, то следующие ее свойства являются очевидными:

£х2 = х, = N, i = 1, 2, ..., к;

и =1

N

£хи = 0, i = 1, 2, ..., k.

и=1

Выражение (8) представляет собой рекуррентный алгоритм построения матрицы плана ПФЭ 2к+'. Предположим, что функция отклика имеет вид

п=в + Е Рл + Е вих'х1+... +в -Лх2 ..х.

1<1 <к 1И < у <к

Уравнение регрессии можно записать в виде

П=во ,

где

_к_

s,

= ZPx,

i

:=1

s„ =

Ев.. x x.x. ...x. , m = 2, 3, ..., k.

'll2 -lm 'l l2 'm' ' ' '

>.. . хд.д.....% m = л. /i i\

'll2 -lm 'l l2 'm

lit, <i, <...<im <k v '

Произведение х.х^ ...х1 , где 1</1<,2<...<,т<к, есть взаимодействие (т-1)-го порядка факторов х., хк,..., х1 . В дальнейшем для удобства изложения коэффициент регрессии будем называть линейным эффектом переменной х,, а коэффициент Р1А 1 - эффектом взаимодействия факторов х., х , ..., х1 . Эффектом называют удвоенный коэффициент регрессии в уравнении (12). Уравнение (12) помимо свободного и линейных членов содержит все взаимодействия до (к-1)-го порядка включительно. Число взаимодействий (т-1)-го порядка определяется как С,т=2, 3, ..., к. Поэтому в уравнении (12) число неизвестных коэффициентовр+1=Ы=2к [1].

Если Dk = (хш) (,=1, 2, ..., к; и=1, 2, ..., Ы) - матрица плана ПФЭ 2к, то матрица независимых переменныхХ=(хи) (/=0, 1, ••,р; и=1, 2, ..., Ы), соответствующая функции отклика (12), обладает свойствами [6, 14]

N

ЕХ;и = 0, ; = 0, 1, ..., р,

m=1

u =1

N

Xх> = xj = N, j = 0, 1, ..., p,

0 = 1

Z xiuxju = x'i Х j = 0, i, j = 0, 1, ..., p; i Ф j.

=1

N

u =1

Столбцы этих матриц совпадают, хотя ХфХк. Поэтому из выполнения свойств (16)-(17) для матрицы Хк следует их выполнение для матрицы X. Очевидно, rank X=p+1, т. е. является максимальным. Полагая

Аы-1 = Рк+2 = в ... Pp = Pl2 ...к >

имеем

- 1 - ' 1 N

в' = N XiY = N TXj"y'' У' = 15 "" P'

[0, i * j,

cov{{,3j}=b , , , 0 1 )

^ ' > 1 = j (г> j = 0, 1 ...> p) .

Таким образом, ПФЭ 2k позволяет получить несмещенные оценки всех неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии (12). Оценки при этом являются некоррелированными, а их дисперсии - одинаковыми. Известно, что некоторые коэффициенты при взаимодействиях равны нулю. В этом случае функция отклика (12) изменится. Новой функции отклика будет соответствовать новая матрица независимых переменных, которая получается из старой путем вычеркивания некоторых столбцов, поэтому планирование будет по-прежнему ортогональным.

Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте 2к число опытов N=2k. С ростом числа переменных к число опытов N быстро растет. Поэтому при больших к реализация ПФЭ 2к становится практически невозможной. Наряду с ростом N происходит также увеличение числа взаимодействий и их порядка в выражении (21). В ряде случаев в уравнении (12) эффектами взаимодействий высоких порядков можно пренебречь или априори известно, что некоторые из них отсутствуют. Число опытов для нахождения оценок неизвестных коэффициентов такого уравнения может быть существенно уменьшено. Это достигается с помощью применения дробных факторных планов или дробных факторных экспериментов (ДФЭ), представляющих собой регулярные и нерегулярные дробные реплики. Если в ПФЭ 2к наблюдения проводятся во всех вершинах к-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них. Рассмотрим пример построения дробной реплики. Пусть функция отклика имеет вид

П=Р0 +Z PiX.

1=1

В этом выражении эффекты парных и тройного взаимодействий отсутствуют, т. е. в\2=в\3=в23=в\23=0. Если для оценивания неизвестных коэффициентов {в} (j=0, 1, 2, 3) использовать ПФЭ 23, то N=8. Однако число опытов можно уменьшить, поскольку в выражении (20) эффекты взаимодействий отсутствуют. С этой целью построим план, матрица которого

D =

Х1

-1 -1 11

1 -1 -1

-1 1 -1

1 1 1,

Матрица плана D получена из матрицы полного факторного плана 23 путем вычеркивания указанных ниже строк: (1 -1 1), (-1 1 1), (-1 -1 -1), (1 1 -1). Построенный ДФЭ (22) представляет собой полуреплику (или 1/2-реплику (часть) [12-14]) ПФЭ 23. Для ее записи используется обозначение 23-1, где 2 - число уровней, 3 - число переменных, N=23-1 - число опытов. Кодовое обозначение полуреплики: c, a, b, abc. Матрица плана D = (xiu ) (=1, 2, 3; u=1, 2, 3, 4) полуреплики 23-1 обладает теми же свойствами, что и матрица плана ПФЭ 23, т. е.

4 4 4

£Хы = 0, i = 1, 2, 3; £xiuxju = 0, i, j = 1, 2, 3; i Ф j; £= N, i = 1, 2, 3.

Для построения полуреплики взяты не произвольные точки факторного плана 23, а такие, при использовании которых выполняются условия симметрии и нормировки плана попарной ортогональности его столбцов. Рассмотрим особенности построения полуреплики 23-1. Как видно из (22), переменная х3 в точках плана удовлетворяет уравнению

хз = хЛ

Соотношение (23) называется генерирующим. Зная генерирующее соотношение, легко построить полуреплику 23-1. Алгоритм ее построения состоит в том, что сначала формируется матрица плана ПФЭ 22, а затем с помощью генерирующего соотношения (23) строится вектор-столбец, представляющий собой значения переменной х3 в опытах. Матрица независимых переменных, соответствующая функции отклика (21), будет матрицей ортогонального планирования и имеет вид

X--

1

-1 -1 1 1

x

п -1 -1 1

) вУ = 4§ V.' J = 0' 1 2' 3.

Оценки {/] некоррелированы, при этом дисперсия оценки

Ь{,} = ст2/4, ] = 0, 1, 2, 3.

Еще одна полуреплика 23-1 может быть построена с помощью генерирующего соотношения х3=-х1х2. Эта полуреплика имеет вид

x X2 X3 X0 X1 X2 X3

M -1 -1^ — 1 — 1 1 l

1 -1 1 1 1 — 1 —1

D = , X =

-1 1 1 1 —1 1 —1

V 1 1 V1 1 1 1 ,

Других полуреплик 23-1 не существует [12], т. е. не существует матриц плана, для которых выполнялись бы условия попарной ортогональности столбцов, симметрии и нормировки. Ниже рассматриваются общие способы построения дробных реплик. Построения полуреплик с использованием матриц Адамара

Рассмотрим задачу построения полуреплик типа 24-1 от ПФЭ 24 с использованием матриц Адамара. Полный факторный эксперимент 23 позволяет получить несмещенные МНК-оцен-ки неизвестных коэффициентов функции отклика

П = Ро + Z PlXl + Z Pijxixj + ... + Pl23X1X2Х3>

1<i<3 1<i < j <3

которой соответствует матрица независимых переменных

X

-1 -1 -1 1 1 1 -1^

1 -1 -1 -1 -1 1 1

-1 1 -1 -1 1 -1 1

1 1 -1 1 -1 -1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1 1 -1

1 1 1 1 1 1 1,

Поскольку столбцы этой матрицы попарно ортогональны, то можно построить две полуреплики 24-1, используя генерирующие соотношения

X. = хх

Матрица плана первой полуреплики 24-1 с генерирующим соотношением (27) имеет вид

D--

xl x2 x3 x4

— 1 — 1 —1 1 ^

1 — 1 — 1 — 1

—1 1 — 1 — 1

1 1 —1 1

—1 — 1 1 1

1 — 1 1 — 1

—1 1 1 — 1

1 1 1 1 ,

Эта матрица состоит из матрицы плана D3 ПФЭ 23 и вектор-столбца, представляющего собой значения переменной xA=-xlx2 в различных его точках. Кодовое обозначение полуреплики (27): d, a, b, abd, cd, ac, bc, abcd. Очевидно кодовое обозначение второй полуреплики, получаемой с помощью генерирующего соотношения (28): (1), ad, bd, ab, c, acd, bcd, abc. Как видно из (26), остальные полуреплики могут быть построены с помощью генерирующих соотношений

x* — x< x^ x * — x1 x* x * — Xi x1 x* x *

x^x. x. — x x.x^

Число полуреплик 24-1 равно удвоенному числу всех взаимодействий, т. е. восьми. Заметим, что матрицы планов двух произвольных полуреплик 24-1, генерирующие соотношения которых отличаются лишь знаками, не имеют общих строк. Поэтому объединение таких полуреплик представляет собой ПФЭ 24. Задача построения полуреплик 2к-1 для произвольного числа факторов к решается аналогично. В этом случае генерирующие соотношения записываются как хк=х1х2, хк=-х1х2, хк=х1х3, хк=-х1х3 и т. д., наконец, хк=х1х2_хк_1, хк=-х1х2_хк_1.

Таким образом, множество всех генерирующих соотношений для полуреплик 2к-1 совпадает со множеством всех взаимодействий до (к_2)-го порядка включительно, взятых со знаком плюс или минус, вида хк, х^,..., х1 , где 1</1</2<^</т<к_1; 2<т<к_1; к>3. Число различных взаимодействий до (к_2)-го порядка равно

П-2 = 2к-1 - к.

Следовательно, число различных полуреплик 2к-1 равно

= 2(2*-1 - к). (32) Матрицу плана реплики 2к_1 можно представить в виде

Dk

= ((-1 В),

где Бк-1 - матрица плана ПФЭ 2к-1, В - 2к-1-мерный вектор столбец, задаваемый одним из генерирующих соотношений [12].

Построения четверть-реплик

Наряду с дробным факторным планом 2к-1, представляющим собой полуреплику от ПФЭ 2к, в исследованиях используются также дробные факторные планы 2к-1>, где q>1 и q - целое [12, 14]. Дробный факторный план 2к-2 будет четверть-репликой (или 1/4-репли-кой) от полного факторного плана 2к. В отличие от полуреплики, которая задается одним генерирующим соотношением, для построения четверть-реплики от ПФЭ 2к используется два генерирующих соотношения.

В качестве примера ниже приводятся генерирующие соотношения для построения дробной реплики типа 25-1:

1) х4=х!х2, х5= х!х2х3,

2) х4=х1х2, х5 х1х2х3'

3) х4=-х1х2, х5=-х1х2х3'

4) х4 х1х2, х5 = х1х2х3'

5) х4= х1х3, х5= х1х2х3'

6) х4=х1х3, х5=-х1х2х3;

7) х4 х1х3, х5 'х1х2х3;

8) х4=-х1х3, х5=х1х2х3 и т. д.

Всего можно построить 24 дробные реплики 25-2. Здесь 2 - число уровней, 5 - число переменных, 25-2=8 - число опытов. Так, например, матрица дробного факторного плана 25-2, определяемого генерирующими соотношениями х4=х1х2 и х5=х1х2х3, имеет вид [12]:

Вз-2 =

-1 -1 -1 1 -11

1 -1 -1 -1 1

-1 1 -1 -1 1

1 1 -1 1 -1

-1 -1 1 1 1

1 -1 1 -1 -1

-1 1 1 -1 -1

1 1 1 1 1,

Кодовое обозначение этой 1/4-реплики: й, ае, Ье, аЬй, сйе, ас, Ьс, аЬсйе. Объединение дробных реплик 25-2 с генерирующими соотношениями х4=х1х2 и х5=х1х2х3; х4=х1х2 и х5=-х1х2х3; х4=-х1х2 и х5=-х1х2х3, а также х4=-х1х2 и х5=х1х2х3 образует ПФЭ 25. Пусть функция отклика

5

п = во + ^ЕРл.

Для оценивания параметров {в} и (]=0, 1, ..., 5) в этом случае можно использовать вместо полуреплики 25-1 четверть-реплику 25-2, что позволит уменьшить число наблюдений в 2 раза. Матрица независимых переменных X = (Е Ds-2), где В5-2 - матрица дробного факторного плана 25-2, Е=(1 1 ... 1)'. Матрица Х=(х.и) (/=0, 1, ..., 5; и=1, 2, ..., 8) будет при этом матрицей ортогонального планирования, следовательно, в 1 = хиуи [12]. Очевидно,

8 и=1

что любая матрица дробного факторного плана 2к-2 состоит из матрицы плана ПФЭ 2к-2 и столбцов, определяемых двумя генерирующими соотношениями [12-13]:

Б'к-2 =((-2 В) = (хи), I = 1, 2, ..., к; и = 1, 2, ..., N,

где Dk-2 - матрица плана ПФЭ 2к-2; Ы=2к-2 - число опытов (к>5); В - (Ж*2) - матрица, столбцы которой задаются двумя различными генерирующими соотношениями, представляющими собой взаимодействия со знаком плюс или минус, не выше (к-З)-го порядка вида X., X., ..., X. , где 1</',</'„<...<I <к-2; 2<т<к-2; к>5.

'1 ' '2 'т - 1 2 т- ' - - ' -

Определим общее число 1/4-реплик 2к-2. Очевидно, число всех взаимодействий до (к-3)-го порядка включительно равно (31) [1, 12, 14]:

Ук-з = 2к-2 -

Тогда число всех дробных реплик 2к-2 равно

^ =

где С - число сочетаний из Ук-3 элементов по 2. Построение 1/8-реплики от ПФЭ 2к или дробной реплики 2к-4 и т. д. осуществляется таким же образом, как и построение дробных реплик 2к-1 и 2к-2. Особенность состоит в том, что дробная реплика 2к-3 задается с помощью трех генерирующих соотношений, дробная реплика 2к-4 - с помощью четырех и т. п. Число различных дробных реплик 2к-д равно sq = ( ,

~\-к-!)]

- число всех взаимодействий до [к-(д-1)]-го порядка включительно, при этом q должно удовлетворять условию ц -q>0 или (37), эквивалентному условию 2k-q>к+1. Очевидно, что 2k-q=N0 - число различных опытов в дробном факторном плане 2к-с>.

Дробные реплики 2к-<1, где q >1 и q - целое, называют регулярными дробными репликами от ПФЭ 2к. Обозначим через Ык множество точек полного факторного плана 2к и рассмотрим множество Мк , имеющее 2k-q элемента. Если {Мк } - множество всех 2к-^-элементных подмножеств множества М,, то их число к

X = ™

N!( - N.)!'

где Ы=2к.

Произвольный план, множество точек которого является 2к-<1--элементным подмножеством множества Мк, будет дробным факторным планом 2k-q только в том случае, если его матрица Вк-д = (хш) (/'=0, 1, ..., к; и=1, 2, ..., Ы0; N0=2k-q) обладает следующими свойствами [12-14]:

0

N

£Х.и = 0,1 = 1, 2, ..., к\

и=1

N

£х2 = N., г = 1, 2, ..., к;

и =1

N

£х1ихш = 0,1, s = 1, 2, ..., к; I Ф л.

и=1

Связь между двумя дробными репликами 2к^ устанавливается таким образом.

Заключение

Исследованы матрицы, которые имеют точно по одному ненулевому элементу в каждой строке и в каждом столбце, этот ненулевой элемент равен +1 или -1. Представлены несколько методов для построения матриц Адамара порядков N. Для нормализованной матрицы Адамара найдена эквивалентная ей матрица Адамара, первая строка и первый столбец которой состоят целиком из +1. Показано, что перестановка строк, кроме первой, или столбцов, кроме первого, не нарушает нормализованности матрицы. Вводятся основные понятия теории планирования эксперимента с использованием матриц Адамара. Приводятся примеры полного факторного эксперимента типа 2Ш. Описаны полные и дробные факторные планы, а также планы эксперимента для квадратичных моделей. Рассмотрены пути сокращения числа опытов путем проведения дробного факторного эксперимента.

В этом случае из всех опытов, необходимых при ПФЭ, некоторые сочетания исключаются, и опыты при этих сочетаниях не производятся. Отмечено, что опыты, в которых все факторы находятся на основном уровне (+1, -1), исключать не следует. В дробных репликах часть взаимодействий заменена новыми факторами, найденные коэффициенты уравнения регрессии рассматриваются как совместные оценки линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Коэффициенты регрессионной модели совместного влияния являются оценками влияния фактора и парного взаимодействия на функцию отклика. Даны рекомендации для линейных эффектов, которые следует смешивать прежде всего с теми взаимодействиями, которые согласно априорной информации незначимы. Результаты проводимых исследований позволили дополнить постоянно ведущийся мониторинг матриц Адамара континуальными семействами уровневых матриц, представителями которых являются, в том числе, регулярные (правильные уровневые) решения. Исследование основных свойств матриц Адамара необходимо для становления новой ветви прикладного использования матриц Адамара в их обобщении на теорию планирования эксперимента.

Л и т е р а т у р а

1. Шевцов Г. С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г. С. Шевцов.

- М.: Магистр, НИЦ ИНФРА-М., 2013. - 528 c.

2. Seberry J, Wysocki B, Wysocki T. On some applications of Hadamard matrices / Metrika. - 2005,

- № 62 (2-3): р. 221-239. doi: 10.1007/s00184-005-0415-y.

3. Балонин Н. А. О существовании матриц Мерсенна 11-го и 19-го порядков // Информационно-управляющие системы. - 2013, № 2. - С. 90-91.

4. Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. A Hadamard matrix of order 428, J. Combinatorial Designs 13 (2005), 435-440.

5. Балонин Н. А., Сергеев М. Б., Мироновский Л. А. Вычисление матриц Адамара-Мерсенна // Информационно-управляющие системы. - 2012. - № 5. - С. 92-94.

6. Baumert L. D., Golomb S. W., Hall M., Jr. Discovery of an Hadamard matrix of order 92, Bull. Amer. Math. Soc., 68 (1962), 237-238.

7. Baumert L. D. Hadamard matrices of Williamson type, Math. of Comp., 19 (1965), 442-447.

8. Ehlich H. Neue Hadamard-Matrizen, Arch. Math., 16 (1965), 34-36.

9. Холл М. Комбинаторика. Пер. с англ. - М., 1970. - 362 с.

10. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1998. - 599 с.

11. Медяник А. И. Вписанный в куб правильный симплекс и матрицы Адамара полуциркуляционного тина // Матем. физика, анализ, геометрия. - 1987. - Т. 4, № 4. - С. 458-471.

12. Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие для магистров. - 2-е изд. нерераб. и дон. - М.: Издательство Юрайт, 2014. - 495 с.

13. Математические методы планирования эксперимента: учеб. пособие / Ю. П. Грачев, Ю. М. Плак-син. - М.: ДеЛи принт, 2005. - 296 с.

14. Введение в теорию планирования эксперимента: учеб. пособие / Н. И. Сидняев, Н. Т. Вилисова.

- М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - 463 с.

15. Математические методы планирования эксперимента: Сборник трудов / Под редакцией В. В. Пе-ненко. - М.: Издательство «Наука» Сибирское отделение, 1985. - 296 с.

R e f e r e n c e s

1. Shevtsov G. S. Lineinaia algebra: teoriia i prikladnye aspekty: Uchebnoe posobie / G. S. Shevtsov. - M.: Magistr, NITs INFRA-M., 2013. - 528 c.

2. Seberry J, Wysocki B, Wysocki T. On some applications of Hadamard matrices / Metrika. - 2005,

- № 62 (2-3): r. 221-239. doi: 10.1007/s00184-005-0415-y.

3. Balonin N. A. O sushchestvovanii matrits Mersenna 11-go i 19-go poriadkov // Informatsionno-upra-vliaiushchie sistemy. - 2013, № 2. - S. 90-91.

4. Kharaghani H., Tayfeh-Rezaie B. A Hadamard matrix of order 428, J. Combinatorial Designs 13 (2005), 435-440.

5. Balonin N. A., Sergeev M. B., Mironovskii L. A. Vychislenie matrits Adamara-Mersenna // Informa-tsionno-upravliaiushchie sistemy. - 2012. - № 5. - S. 92-94.

6. Baumert L. D., Golomb S. W., Hall M., Jr. Discovery of an Hadamard matrix of order 92, Bull. Amer. Math. Soc., 68 (1962), 237-238.

7. Baumert L. D. Hadamard matrices of Williamson type, Math. of Comp., 19 (1965), 442-447.

8. Ehlich H. Neue Hadamard-Matrizen, Arch. Math., 16 (1965), 34-36.

9. Kholl M. Kombinatorika. Per. s angl. - M., 1970. - 362 s.

10. Golub Dzh., Van Loun Ch. Matrichnye vychisleniia: Per. s angl. - M.: Mir, 1998. - 599 s.

11. Medianik A. I. Vpisannyi v kub pravil'nyi simpleks i matritsy Adamara polutsirkuliatsionnogo tipa // Matem. fizika, analiz, geometriia. - 1987. - T. 4, № 4. - S. 458-471.

12. Sidniaev N. I. Teoriia planirovaniia eksperimenta i analiz statisticheskikh dannykh: uchebnoe posobie dlia magistrov. - 2-e izd. pererab. i dop. - M.: Izdatel'stvo Iurait, 2014. - 495 s.

13. Matematicheskie metody planirovaniia eksperimenta: ucheb. posobie / Iu. P. Grachev, Iu. M. Plaksin.

- M.: DeLi print, 2005. - 296 s.

14. Vvedenie v teoriiu planirovaniia eksperimenta: ucheb. posobie / N. I. Sidniaev, N. T. Vilisova. - M.: Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 2011. - 463 s.

15. Matematicheskie metody planirovaniia eksperimenta: Sbornik trudov / Pod redaktsiei V. V. Penenko.

- M.: Izdatel'stvo «Nauka» Sibirskoe otdelenie, 1985. - 296 s.

^iMSr^Sr

УДК 541.64; 541.145; 542.06 П. П. Шарин

НОВЫЙ МЕТОД ПРИГОТОВЛЕНИЯ ТВЕРДОСПЛАВНОЙ ШИХТЫ С УПРОЧНЯЮЩИМИ НАНОЧАСТИЦАМИ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ МАТРИЦ АЛМАЗНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Предложена и апробирована оригинальная технология ввода и равномерного распределения компонентов шихты при изготовлении матрицы алмазного инструмента из твердосплавной порошковой смеси и объёмно-модифицирующей добавки из наночастиц. Технология включает последовательный ввод и смешивание в растворителе пластификатора упрочняющих частиц наноразмера и вещества пластификатора, из полученной суспензии наночастиц при температуре на 30-50 °С ниже температуры разложения вещества пластификатора выпаривают избыточное количество растворителя так,

ШАРИН Петр Петрович - к. ф.-м. н., зав. каф. физики твердого тела Физико-технического института СВФУ им. М. К. Аммосова, в. н. с. Института физико-технических проблем Севера им. В. П. Ларионова СО РАН.

E-mail: psharin1960@mail.ru

SHARIN Petr Petrovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Solid State Physics of the Institute of Physics and Technologies, North-Eastern Federal University named after M. K. Ammosov, Leading Scientific Researcher at the Institute of Physical and Technical Problems of the North named after V. P. Larionov of Siberian Branch of RAS.

E-mail: psharin1960@mail.ru