Оптимальное проектирование системы реакторов на основе двухэтапной задачи оптимизации

УДК 66.01

Н. Н. Зиятдинов, Г. М. Островский, И. В. Зайцев,

Л. Р. Хисамутдинова, Т. В. Лаптева

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ РЕАКТОРОВ НА ОСНОВЕ ДВУХЭТАПНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

Ключевые слова: оптимизация, оптимальное проектирование, одноэтапная задача, вероятностные

ограничения.

Решение задачи проектирования химико-технологических систем должно проводиться с учетом неопределенности исходной информации, т.е. нужно определить такие конструктивные и технологические параметры, при которых будут выполняться все ограничения, несмотря на изменение внутренних и внешних факторов на стадии функционирования. В статье рассматривается двухэтапная задача с вероятностными ограничениями. Прямое решение таких задач требует многократного расчета многомерных интегралов на каждой итерации оптимизационной процедуры. Предложен подход к решению, основанный на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные.

Keywords: optimization, optimal design, one-stage problem, chance constraints.

A problem of technical system design must be solving taking into account uncertainty of physical, chemical and economical data. It is an important problem to obtain construction and control parameters which will satisfy all constraints (definitely or with some probability) despite of inner and outer influence during operation. This paper reviews two-stage problem with chance constraints. Proximate solution of a problem with probability constraints requires multiple calculations of multidimensional integrals on each iteration of optimization procedure. Authors propose an approach which is based on conversion of probability constraints in deterministic.

Наличие неопределенности в исходной информации требует учета их при решении задач проектирования, интенсификации и управления химико-технологическими системами (ХТС). В зависимости от формы учета возможности управления ХТС на этапе функционирования формулировка задачи проектирования имеет вид 1. двухэтапной задачи оптимизации (ДЭЗО), которая предусматривает возможность изменения управлений на этапе функционирования в зависимости от состояния ХТС; 2. одноэтапной задачи оптимизации (ОЭЗО), в которой предполагается невозможность изменения управлений на этапе функционирования.

В зависимости от требования выполнения ограничений задачи различают мягкие или вероятностные ограничения, выполнение которых требуется с заданной вероятностью, либо ограничения, которые должны выполняться безусловно - жесткие ограничения.

На настоящий момент значительное развитие получили методы решения ДЭЗО с жесткими ограничениями [1, 2], ОЭЗО с мягкими ограничениями [3, 4].

Сформулируем ДЭЗО с жесткими ограничениями [1]. Будем использовать в качестве критерия математическое ожидание E0[f (d,0)] некоторого критерия f (d,0), значение которого определяется решением задачи

f'

zeH

gj (d,z,0) < 0, j=1, m,

где d - nd -вектор конструктивных переменных, z - nz -вектор управляющих переменных, 0

- n0-вектор неопределенных параметров, 0<еТ , где T = {0:0L <0 <0U, i = 1,n0} - область неопределенности, область H - допустимая область для переменных d и z , H = {d, z: h, (d,z) < 0, l=1P}.

Тогда ДЭЗО с жесткими ограничениями примет вид

т\пЕ[Г

СеН

Е[Г

т

В дальнейшем будем предполагать, что все неопределенные параметры в являются независимыми случайными величинами и имеют нормальное распределение Ы1 (Е[в-: ],&!).

Значительный вклад в разработку методов решения ДЭЗО с жесткими ограничениями был внесен И. Гроссманом с сотрудниками [1, 5, 6], затем работы были развиты в [2, 7, 8].

ОЭЗО с вероятностными ограничениями имеет вид

т\nEef

С ,г\Н

Рг[д,

где Рг[д, (С,г,в) < 0} есть вероятностная мера области = [в.д, (С,г,в) < 0,веТ},

Рг[д, (С ,г,в) < 0} =$р(в)Св.

,

Основная проблема решения задачи (4) состоит в большой трудоемкости вычисления многомерных интегралов Рг[д,(С,г,в)<0} и Е^(С,г,в)]. Например, если размерность

случайной величины в равна 10 и мы разобьем интервал для каждой переменной всего на 10 частей, то Гауссовы квадратуры потребуют 1010 узлов. Для преодоления этих трудностей известно три методики:

а. Улучшение квадратурных формул, которые предложены в работе [8], квадратурные формулы специально для нормально распределенных случайных величин в были предложены в [9].

б. Использование методик, основанных на методе Монте-Карло [3]. Однако, эти методы до сих пор очень трудоемки.

в. Преобразования вероятностных ограничений в детерминированные, что позволит уйти от вычисления многомерных интегралов в ограничениях задачи.

В отличие от ОЭЗО с мягкими ограничениями, методы решения ДЭЗО с мягкими ограничениями получили меньшее развитие. Трудности формулирования и решения этой задачи были показаны в [10]. В [11] рассмотрен подход к решению задачи, который не гарантировал требуемую вероятность выполнения мягких ограничений.

Ниже предлагается подход к решению ДЭЗО с вероятностными ограничениями.

Рассмотрим ДЭЗО с жесткими ограничениями. Подставим в (2) выражение для математического ожидания (3) и выражение для f (б,в) из (1), получим

I = тлп Гтлп^

' ССеН 3 геН в\Т 1

Т

Пусть задача (1) имеет решение во всех точках области Т. Очевидно, что в силу независимости неопределенных параметров в, решение задачи (1), полученное для

некоторого в, не влияет на решение задачи (1), полученное для другого в . Тогда можно, изменив порядок интегрирования и минимизации, привести задачу (6) к виду

^ = т

г ( >е т

д,(с!,г(в),в)<0, 1=1,т, УвеТ.

В задаче (7) управляющие переменные 2(в) зависят от значений неопределенных параметров. Тогда область Н примет вид Н = [С, г: 1(С,г(в))<0,I = 1,р,веТ}. Будем предполагать, что ограничения 1(С,г(в))<0, I = 1,р, УвеТ являются жесткими. Объединим все ограничения задачи (7), записав д, (С,г(в),в) < 0, 1=1, т+р, где д, (С,г(в),в) = 11,_т (С,г(в)),

1 = т+1, т + р . Поскольку жесткие ограничения должны выполняться во всех точках области Т, значит ограничения должны выполняться с вероятностью, равной 1. Тогда задача (7) примет вид

г ( )е Т

Рг[д](б,г(в),в)<0} = 1, у = 1,т+р, V вєТ .

Рассмотрим теперь случай, когда задача включает мягкие ограничения. Тогда каждое ограничение ду (б,*(в),в) < 0 , у = 1, т + р, должно выполняться с вероятностью не меньшей Ху . Запишем двухэтапную задачу оптимизации с мягкими ограничениями

Г1 = ЛІІПн Iг

* ( >=- т

Рг[д,(С,г(в),в)<0}>ау, 1 = 1,т+р, У веТ .

Отличие задачи ДЭЗО в формулировке (9) от ОЭЗО в формулировке (4) состоит в том, что в ДЭЗО поисковые переменные г являются функциями параметров в, т.е. на этапе функционирования управляющие переменные г будут настраиваться в зависимости от состояния ХТС.

Приведем задачу (9) к виду, когда вероятностные ограничения будут заменены на детерминированные. Для этого рассмотрим отдельное ограничение Рт[ду(С,г(в),в)<0}>а .

Рассмотрим некую область Та еТ, вероятность попадания величины в в которую будет больше или равна а у ,

Тогда неравенство

Рг[ вТ }>Х.

твхду

в^Т„, 1

эквивалентно условию

д}(б,і(в),в)<0, V вєТаі. отсюда следует, что если (11) верно и вероятность попадания точки в в область Тх больше или равна Х , то верно неравенство Рг[ду (б ,2(в), в) < 0}

>Х. Очевидно, таких областей Тх можно найти не одну, а целое семейство. Назовем это семейство .

Получаем, что для фиксированной области Тх ограничения (10), (11) эквивалентны ограничению Рг[ду(б ,2(в), в) < 0}

>Х . Тогда для фиксированной области Тх задача (9) примет

вид

^ = тіп Е^

2 б,2 (в)ЕН

тах д,(б,і(в), в) < 0, у =1, т+р,

ЙС.Т >

^Тау

Рг[ в єТа.} >Х, І=\т+р.

Поскольку область Тх выбрана произвольно, то ^ и решение задачи (12) даст

верхнюю оценку задачи

= тіп Е[і

б * (ву^Н Тх^у

max g; (d,z(0), 0) < 0, j=1, m+p,

0eT, j

Рг{веТа }>а;, 1 = 1,т+р.

J )

К сожалению, решение задачи (13) очень трудоемко, поэтому мы сузим возможное множество видов области Та1 до вида многомерного прямоугольника,

Та1 = в:в0 <в,- <в"'1,, =1Пв}

Тогда поиск оптимальной формы области Та сведется к поиску оптимальных в^^, ви 1. Поскольку мы предполагаем, что параметры являются нормально распределенными случайными величинами, то вероятность попадания величины в , в диапазон [в^"1, в^ ]

) р(0,щ=ф( ви1)-щLJ),

где Ф(%) - функция стандартного нормального распределения, а величины

2Uj = 0U1 -E[0] 2Lj = 0Lj -E[0j]

i 5 ui •

Тогда, используя предположение о независимости параметров 0, мы можем записать ограничение (10) в виде

[Ф

Задача (13) примет вид

f3 = m i nj U E[f

d,z(0-H0LJ 0U>

max g, (d, z(0), 0) < 0, j=1, m+p,

0-Та]

[Ф( ёииj)-ф( 01L j )][Ф( 02U j)-ф( 02l j )]-[Ф( 0U J)-ф( )] >а,, j=xmrp.

поскольку мы ограничили форму области Та многомерным прямоугольником, то f1 < f3 и

задача (16) даст верхнюю оценку задачи (9).

Введем следующее допущение, что управляющие переменные z(0) линейно зависят от параметров i . Такое приближение может быть представлено

z

здесь параметры bi являются векторами размерности nz. Поскольку часто размер области неопределенности мал, то приближение

f4 = m in E [f

d-H bfiL.j •j

max g, (d, b, 0) < 0, j=1, m+p,

0-Ta. 1

[Ф( eU j)-Ф( 00 )][Ф( 02U ,j)-Ф( 00 )]  -[Ф( 0Ue 1)-Ф( 00)] >a}, j = mp,

где f (d,b,0)=f(d,b0 + b01 +...+bng0n0,0), gj(d,b,0)=gs(db + b0, +...+b00Пв, 0).

Поскольку мы ограничили вид зависимости управляющих переменных от неопределенных параметров, то f1 < f3 < f4.

В задаче (18) наиболее трудоемкой операцией является вычисление математического ожидания E[f (d,b,0)]. при большой размерности вектора неопределенных параметров можно

сократить вычислительные затраты, используя итерационный подход к решению задачи (18), основанный на разбиении области неопределенности Т на подобласти Т, [3]. В этой

процедуре на к -ой итерации области Т будет соответствовать разбиение Т,, Я = 10к , а

величина Е^ (С,Ь,в)] будет заменяться на приближение Еар^ (С,Ь,в)]. Заменим в каждой из

областей Т, функцию f (С,Ь,в) ее линейной аппроксимацией

Тар(С,Ь,в,вЯ)=7(сС.Ь,в)+£д(С:Ь'в \в, -в,), в еТ(к>.

,= дв!

Тогда приближение Еар^ (С,Ь,в)] может быть записано в виде

Еар [7

я=1V ,=1 д в,

где ац = I р(в)бв, Е[в„Т(к>] = I в,р(в)бв .

Т

'я 'я

В качестве критерия выбора области ТЯк), подлежащей разбиению на к -ой итерации, будем использовать критерий наихудшего приближения функции f (б,Ь,в) ее аппроксимацией /:ар(б,Ь,в,вя), предложенный в [4]. Разбиение области ТЯк) будем проводить гиперплоскостью,

проходящей перпендикулярно ребру вя,(к), в точке 0Я’(к). Выбор ребра, которое подлежит разбиению и точки, через которую проходит гиперплоскость, может быть различным. Мы будем выбирать ребро, имеющее наибольшую длину среди всех ребер области Тк), точка

0Я'(к) делит ребро вЯ'(к) пополам.

Учитывая способ улучшения аппроксимации математического ожидания, мы можем проводить поиск параметров Ьі в каждой из подобластей к). Однако, в этом случае ограничения тахд:(б,Ь,в)<0 будут иметь скачкообразное изменение, если

в^Тху

Тх, ^Т0 *0 и Тх1 *0 , Я1 * Я2 .

Это приведет к тому, что мы не сможем использовать хорошо себя зарекомендовавшие методы, использующие информацию о вторых производных. Для устранения этого недостатка на к -ой итерации будем проводить разбиение Тх , если после разбиения некоторой

Т^Зк) =Тф+11 иТЯ(к+1) выполняется (19). Разбиение будет проводиться той же гиперплоскостью, что разбивает область Т^).

На к -ой итерации задача (18) примет вид.

%к ) = тіп Еар [Т

4 бєн,ья Ф-і> ар1 К п у '

т ахду

^Тау

",к) п.

2П[ф( 8?") -ф( 4й ‘)] >х,, у=1 т+р,

І=1 І=1

§иу = в?-у -ЕЩ] §и = в“ -Е[в,]

вї < в\,у>, ви,уі < в?, І = 1, п. , у = 1, т+р, І=1, "(к ,

где N(к ) - количество подобластей Т^ области Та для ] -го ограничения на к -ой итерации.

Задача (20) является задачей полубесконечного программирования. Для возможности применения метода внешней аппроксимации для ее решения нужно, чтобы области допустимости не зависели от поисковых переменных. Используя замену переменных, , приведем задачу (20) к виду

Як ) V. Ер V (4, Ь, 0)]

dsHi>q,вL,і,іеи,і,і ар

твхд:(с1,Ь*,ві,і'і + (ви,1)-ві,і!)*/)<0, 1=1,т+р, і=1,Мк), з=р, где Т^ єТс

пєТ*-1 к) 1 1 1 4

Nк) п.

£П[ф( ви1)-фФї1')] >а,, 1= 1, т+р,

і=1 І=1

иі = 0и1 - Е[в, ], = $1 - Е[. ] . =^- -

а І а

в",1 =

=1, п., 1 = 1, т+р,

/ /

зі, ] ,1 пи, і ,1^ди

0ь < 0ь,}-,1, ви,],1 < ви , / = ^ п ^ , у- = ^ т + р, I = ^N(к) ,

&Т№ = №:0<< 1}, / =1,п .

Пример. Предложенный подход был применен к решению задачи проектирования системы реакторов [12]. Рассматривается химико-технологическая система, состоящая из двух реакторов (рис. 1).

к1 кз к2 к4

А — В — С А — В —— С

СА0 = 1

7

А1

В1

Т2 Гг

А2

В 2

0 И

Рис. 1 - Система реакторов

В реакторах протекают реакции превращения вещества А в вещество В и, далее, в вещество С . Скорости протекания реакций приведены на рис. 1.

Математические модели реакторов имеет вид

Реактор 1 Реактор 2

СА1 + к1САіЦ = 1 ;

СВ1 + СА1 + к3СВіЦ = 1 ;

к = кюв-Еі/КТі; к 2 = кювЕ1ЯТ2;

-Е2І ^2

СА2 - СА1 + к2СА2^2 = 0 ;

СВ2 - СВ1 ^ СА2 - СА1 ^ к4СВ2^2 = 0

к = к в-Е2іКТі к3 к 20 в

к — к сь Е2/1Л12 к 4 к 20в

Здесь СА1, СВ1, СА2, СВ2 - концентрации веществ А и В в реакторах 1 и 2, соответственно (моль/м3), V1, У2 - объемы реакторов 1 и 2 (м3), Т1, Т2 - температуры в реакторах (К), к10, к20 - предэкспоненциальные множители в уравнениях Аррениуса скорости реакции превращения вещества А в вещество В и реакции превращения вещества В в вещество С, соответственно, Е1, Е2 - энергии активации реакции превращения вещества А в вещество В и реакции превращения вещества В в вещество С , соответственно (Дж/моль), - универсальная газовая постоянная (Дж/моль, К).

В качестве неопределенных параметров выбраны 0 = {Е1;Е2;к10;к20}. Область неопределенности будем представлять в виде Т = { 0N —д<0/ < 0N +5,/=1,... ,4}. Будем предполагать, что неопределенные параметры являются независимыми и подчиняются нормальному закону распределения.

Известны номинальные значения 0^ и разбросы £(. для неопределенных параметров, соответственно: Е1 - 6665,948 и 51,28, Е2 - 7985,248 и 61,54, к10 - 0,715 и 0,0055, к20 - 0,182 и 0,0014.

Целевая функция представляет собой капитальные затраты

гтнп V=+7^ +0,000225

У2 Т1 Т2

Ограничения имеют вид:

0 < СА1 < 1,

0 < Са2 < 1,

0 < Св, < 1,

0 < Св 2 < 1,

Св 2 - С£,

0 < V, < 16,

0 < Х2 < 16 ,

601,4<Т <661,53,

541,26<Т2 <601,4.

Будем предполагать, что ограничения (22)-(25) должны выполняться безусловно, а ограничение (26) должно выполняться с заданной вероятностью, то есть ограничение (26) примет вид

РГ{СВ 2 - СВ2 } ~а .

В качестве поисковых переменных выберем: конструктивные переменные - объемы реакторов 1 и 2 - У1, У2, управляющие переменные - температуры в реакторах 1 и 2 - Т1, Т2. Диапазоны изменения поисковых переменных заданы ограничениями (27)-(30).

С учетом зависимости ограничений от неопределенных параметров двухэтапная задача оптимизации системы реакторов примет вид

V = * т Тп ЕЩУЛТ, 0)]

Х1 ,*2 Т1 Т 2

СмХ,Х2 ,Т„Т2,0) + к„в—Е'>ят'Са1(М.,М2,71,Т2, 0)1/,= 1;

СвМУ„Т„Т„ 0) + СаМХ, ,Т,,Т2, 0) + к „в-Е‘! "СХ/ЛТ , 0)/,= 1;

Са2 (/'Уг,Т',Тг, 0) — Са'(/'У1,Т',Т1 ,0) + к„е-Е1 ят’Са 2 (У'Х.Т'Т, 0)/2 = 0;

Св 2 (/'У,Т',Т2,0)—СвМХТТ 0)+с а 2 (/'ХТ'Т, 0)—

— Са'/'ХЛТ , 0) + к2ае'^ Св 2 Х,/ Т,тг, 0/ = 0;

0 < СЖХ2ТТ0) < 1;

0 < Са 2 Х'Х2,Т',Т2 , 0) < 1;

0 < Св'ХХТ'Т,0) < 1;

0 < Св 2 Х/ТТ 0) < 1;

Р {Св 2 Х/Т'Т, 0) - СвТ }-а.

0 < V < 16;

0 < Х2 < 16 ;

601,4<Т <66153;

541,26<Т2 <601,4.

Задача проектирования системы реакторов рассматривалась в двух постановках: ОЭЗО и ДЭЗО. Результаты решения задач ОЭЗО, методом, предложенным в [13], и ДЭЗО методом, предложенным в данной работе, приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Результаты решения задачи проектирования системы реакторов

z^SP CB 2 a Постановка задачи Значение критерия

0,5 0,9 ОЭЗО 5,82160

ДЭЗО 5,71314

0,95 ОЭЗО 5,84110

ДЭЗО 5,71450

0,52 0,9 ОЭЗО 6,09510

ДЭЗО 5,95621

0,95 ОЭЗО 6,11610

ДЭЗО 5,97569

0,54 0,9 ОЭЗО 6,50750

ДЭЗО 6,34397

0,95 ОЭЗО 6,55930

ДЭЗО 6,37200

Анализируя результаты, приведенные в табл. 1, можно отметить, что двухэтапная задача дает меньшее значение критерия, что указывает на эффективность предложенного подхода. Небольшое отклонение (~ 2%) значения критерия, полученного для ОЭЗО, от значения, полученного ДЭЗО, объясняется малым размером области неопределенности.

Литература

1. Halemane, K.P. Optimal Process Design under Uncertainty. / K.P. Halemane, I.E. Grossmann // AIChE Journal. 1983. - V. 29. - P.425-433.

2. Островский, Г.М. Учет неопределенности при проектировании оптимальных химикотехнологических систем / Г.М. Островский и др. // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т.14, № 6.

- С. 199-206.

3. Diwaker, U.M. An efficient sampling technique for optimization under uncertainty / U.M. Diwaker, J.R. Kalagnanam // AIChE Journal. 1997. - V. 43. - P. 440-449.

4. Лаптева, Т.В. Нижняя оценка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями / Т.В.Лаптева и др. // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т.14, № 7. - С. 218-224.

5. Swaney, R.E. An index for operational flexibility in chemical process design / R.E. Swaney, I.E. Grossmann // AIChE Journal. 1985. - V. 31(4). - P. 621-630.

6. Grossmann I.E. Active constraints strategy for flexibility analysis in chemical processes / I.E. Grossmann, C.A. Floudas // Comp. Chem. Eng. 1987. - V. 11. - P. 675-693.

7. Островский, Г.М. Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация: учебное пособие. / Г.М. Островский, Ю.М. Волин. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 319 с.

8. Bernardo, F.P. Integration and computational issues in stochastic design and planning optimization problem / F.P. Bernardo, E.N. Pistikopoulos, P.M. Saraiva // Ind. Eng. Chem. Res. 1999. - V. 38. - P. 3056-3068.

9. Bernardo, F.P. Robustness criteria in process design optimization under uncertainty / F.P. Bernardo, E.N. Pistikopoulos, P.M. Saraiva // Comp. Chem. Eng. 1999. - V.23. - P. 459-462.

10. Ierapetritou, M.G. A novel optimization approach of stochastic planning models / M.G. Ierapetritou, E.N. Pistikopoulos // Ind. Eng. Chem. Res. 1994. - V. 33. - P. 1930-1942.

11. Wellons, H.S. The design of multiproduct batch plants under uncertainty with staged expansion / H.S. Wellons, G.V. Reklaitis // tamp. Chem. Eng. 1989. - V. 13. - N. 2. - P. 213-227.

12. Wendt M. Nonlinear Chance-Constrained Process Optimization under Uncertainty / Moritz Wendt, Pu Li, Gunter Wozny // Ind. Eng. Chem. Res. 2002. - № 41. - P. 3621-3629.

13. Островский, Г.М. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями / Г.М.Островский и др. // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 425, № 1. - С. 63-66.

© Н. Н. Зиятдинов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. системотехники КГТУ, nnziat@yandex.ru;

Г. М. Островский - д-р техн. наук, проф. каф. системотехники КГТУ, ostralex@yandex.ru;

И. В. Зайцев - асп. той же кафедры; Л. Р. Хисамутдинова - студ. КГТУ; В. Лаптева - канд. техн.

наук, проф. каф. системотехники КГТУ.