Моделирование работы SIP сервера с помощью системы массового обслуживания с гистерезисом и прогулками в дискретном времени

Моделирование работы SIP-сервера с помощью системы массового обслуживания с гистерезисом и прогулками в дискретном времени

Ключевые слова' система массового обслуживания, дискретное время, гистерезисное управление, прогулка, БР-сервер.

Рост числа клиентов сетей на базе протокола SIP выявил проблему, связанную с перегрузками SIP-серверов, возникающую в результате нехватки ресурсов для обслуживания сессий пользователей. В декабре 2008 года одним из разработчиков протокола SIP Розенбергом был сформулирован ряд причин, объясняющих основные недостатки механизма контроля перегрузок заложенного в протоколе, а также требования, которые необходимо учесть при разработке новых механизмов. В августе 2011 года был принят документ, подготовленный рабочей группой SOC комитета IETF, в котором произведена классификация методов управления перегрузками: локальный, межузловой и сквозной. Для реализации двух последних методов необходимо внести изменения в протокол, а использования первого метода управления - локального, не требует никаких дополнений к протоколу. Одним из наиболее популярных механизмов, предложенных еще для сетей ОКС 7, является механизм гистерезисного управления. В работе рассматривается модель SIP-сервера в виде однолинейной системы массового обслуживания с буфером конечной емкости двухуровневым гистерезисным управлением и прогулками прибора, функционирующая в дискретном времени. Получены формулы для расчета стационарных характеристик. Сравниваются результаты численных расчетов и имитационного моделирования для рассматриваемой системы и аналогичной системы, функционирующей в непрерывном времени.

Абаев П.О.,

Старший преподаватель каф. систем телекоммуникаций РУДН, pabaev@sci.pfu.edu.ru

Разумчик Р.В.,

Старший научный сотрудник ИПИ РАН, rrazumchik@ieee.org

Введение

В настоящее время значительное внимание уделяется изучению систем массового обслуживания (СМО), функционирующих в дискрегном времени. Об этом свидетельствует большое число публикуемых каждый год статей, посвященных данной тематике (см., например, [5,

6, II, 12, 13, 14]). Подобные СМО позволяют учитывать дискретность функционирования телекомму-никационных систем и дискретный характер переда-ваемой с их помощью информации.

Данная работа, являясь развитием работы [I, 2, 7, 8, 10], посвящена исследованию СМО, функционирующей в дискретном времени, которая представляет собой математическую модель 81Р-сервера, в котором исполь-зуется гистерезисный механизм контроля перегрузок, а также предусмотрена возможность отключаться (уходить на прогулку) для выполнения функций, не связанных напрямую с обработкой поступающей информации.

Описание системы

Рассмотрим функционирующую в дискретном времени однолинейную СМО общей емкости В с входящим геометрическим потоком заявок и с геометрическим распределением времени обслуживания.

Дискретное время измеряется в фиксированных интервалах (тактах). Величину такта положим равной /»> 0 единиц времени. При этом будем считать, что все возможные измерения в системе происходят в моменты

времени пИ, п = 1,2______ Не ограничивая общности,

положим /; = 1 . В этом случае величина такта И совпадает с тактом работы 51Р-сервера.

Вероятность того, что на такте произойдет поступление заявки, равна а. Вероятность того, что на такте произойдет окончание обслуживания, равна Ь. Далее для сокращения записи положим я = 1-я, Ъ = \-Ь.

В качестве и -го такта рассмотрим полуинтервал ((и-1 )Л,л/г]. Примем, что все изменения состояния СМО происходят в конце такта (в момент пИ) в следующем порядке: если на этом такте завершилось обслуживание заявки на приборе (с вероятностью Ь), то она покидает систему и на прибор из накопителя сразу же поступает следующая заявка; затем поступает заявка (с вероятностью а) и, если прибор занят, она помещается в накопитель, а если прибор свободен, сразу же начинает обслуживаться.

Примем дополнительно следующие правила:

- очередной уход на прогулку прибора не может наступить сразу же в момент окончания предыдущей

прогулки (прибор обязательно должен находиться в рабочем состоянии хотя бы один такт);

- если перед некоторым моментом в системе нет заявок, (свободный) прибор неисправен, а в этот момент заканчивается ремонт прибора и поступает новая заявка, то она сразу же переходит на прибор и начинает обслуживаться;

- если оканчивается последний такт обслуживания заявки на приборе, в очереди есть еще заявки или в систему поступает новая заявка, то заявка с прибора покидает систему, на прибор переходит следующая заявка;

- если оканчивается обслуживание заявки на приборе, в очереди больше нет заявок и в систему не поступает новая заявка, то прибор уходит на прогулку с вероятностью с*. Вероятность того, что прибор на такте вернется с прогулки равна с .

Выберем два числа і и Н такие, что 0 < і < Н < В. Здесь и далее будем называть ¿ порогом нижнего уровня, а Я - порогом верхнего уровня. Рассматриваемая система может функционировать в трех режимах: нормальном режиме, режиме перегрузки и бло-кировки. Пока общее число заявок в системе не превы-шает значение Н-1, система функционирует в нормаль-ном режиме. Если число заявок в системе превысило Н-1, система переходит в режим перегрузки. В этом режиме система принимает только часть поступающих заявок (вероятность а поступления заявки на такте умень-шается до значения с/ = (/я, дє (0; 1)). Система остается в режиме перегрузки, пока число заявок в системе не дос-тигиет ¿ — 1 или В. При достижении общего числа заявок значения ¿-1 система возвращается в нормальный режим функционирования (вероятность поступления заявки на такте становится равной а), а при достижении величины В , система переходит в режим блокировки, в котором перестает принимать заявки. Система остается в режиме блокировки, пока общее число заявок превышает Н и возвращается в режим перегрузки, когда общее число заявок стало равным Н .

Стационарное распределение вероят ностен состояний системы

Функционирование рассматриваемой системы можно описать однородной цепью Маркова (ЦМ) {£„,«>0), образованной общим числом заявок і в системе, с множеством состояний X = Х0 иХ2 и Ху, где

*„={(/,0),/ = <й?}, Х1 = {(/,1),/ = 0,//-1},

Х2 = {(/,2),/ = ¿,5-1}, Л'з = {(/,3),/ = Н + 1В}.

Состояние (/,0) на п-м шаге означает, что после окончания и-го такта (т.е. на интервале времени (/?//,(/? + 1)Л)) прибор находится на прогулке и общее число заявок в системе равно / = 0,5; состояние (/,1) — система

находится в нормальном режиме и общее число заявок в системе равно і = 0,Н—1; состояние (/,2) — система

находится в режиме перегрузки и общее число заявок в системе равно / = ¿,5-1; состояние (/,3) — система находится в режиме блокировки и общее число заявок в системе равно / = Н +1,5.

Цепь Маркова {£,,,//>0} является неприводимой и непериодической. Поскольку множество состояний, на котором она определена, конечно, то стационарное распределение вероятностей состояний существует при любых значениях начальных параметров.

Обозначим через р1т стационарную вероятность состояния (і,т). Стационарные вероятности р1т будем называть стационарными вероятностями по тактам. Отметим, что соотношения для стационарных вероятностей будут иметь несколько более простой вид, если рассматривать ЦМ не по тактам, а по «фиктивным мгновенным» моментам перед возможным поступлением в СМО новой заявки, но после смены заявок на приборе или полного освобождения системы (если на приборе окончилось обслуживание заявки). Стационарные вероятности состояний по этим моментам будем обозначать через .

Вероятности р1т и р]т связаны между собой следующими соотношениями:

Лю = «Роо + ас />оі, і = 0, т = 0,

P¡. о = ар*о + аР*-ц» і = 1.5 -1, т = 0,,

Рвя - Рв.о + аРв-1.0’' = 5. т = 0,

Ро\ = аРІ\ -

Рі. і = apt і + аРі-и =

Pl.2 = ФІ.2 •

Рн.г=аРн-и +Ф//.2 +dp*H-1.2-

Pi 2 - dp]+ dpf_ 11, / = L +1,5 — 1, / Ф H ,

Pij =Pu,i = H+\,B-\,

Рвз - dPe-v + Рв,з •

Теперь, не выписывая матрицы переходных вероятностей, приведем систему уравнений равновесия

СУР) для стационарных вероятностей pjm :

ас + ас+ас) = ас'ср^, і = 0, т = 0,

ас + ас + ас) р‘0 = acpj_i a, / = !,// — 1, m = 0,

de + de + de)рсц 0 = acp'¡!_] 0, i = H, m = 0,

de+de + de) p¡ 0 = dcp'_x0, i = H +1,5 -1, m = 0,

сРв. o = dep^o ,i=B,m = 0,

ab + acc) pj| = abpíi + acp*m, / = 0, m = 1,

«Л + ab)pen — übpt¡_i, +ühp^l t +acp*_

ah + ah)p[_,, = ahpeL_2l + abpu +dhp'L2 +аср[_20 + аср‘г_І0,

= ¿ —1, «i = 1,

ah + ah)p'¡¡ = abpf_lt + abp'¡tlí + acp'¡_l0 + acp¡0,f=¿,W-2,m = l>

(db + db^p^_11 = dbpen_2,i +dbp4i 2 + ^!Р//-і.І» і - H — \, m = 2,

(<//> + <ft)p'„ , = <jVh-i.i +dbp),_u + dbpeH+u + 6^+u + <«•/>;,_i.0 +

+йсрСц 0, / = //,/?; = 2,

(</Л + <7л)/і-.2 = <VÀ/i_,.2 + <//>/>,41.2 + </</>'-1.0 + dcpï.0. / = // +1. » - 2, (15) »! = 2,

*Ра-і.з = *Рв.з + dbpg_[ 2, / = Я -1, m = 3,

*Рв.з = dbp'n-u + dcpg.t0 + cplg0 ,i=B,m = 3.

К этим уравнениям необходимо добавить условие нормировки

ІКо + ІРм + І/’и+ X Кз = 1 •

/=0 1=0 /=£ /=//+1

Решение СУР (1)-(18) можно получить, как решая уравнения в лоб, так и использовав один результат из теории эргодических процессов. Заметим, что подобная техника применялась во многих работах (см., например, [3,4,12]), поскольку позволяет получить эффективные расчетные формулы. Будем называть базовой системой -СМО, которая отличается от рассматриваемой лишь тем, что в ней прибор никогда не уходит на прогулку. Функционирование такой системы можно описать однородной ЦМ {/7„, /? >0}, образованной общим числом заявок /' в системе, с множеством состояний Y = Х\ u Х2 и А'з. Данная система была подробно рассмотрена в работе [ 1 ]. где для нее было найдено стационарное распределение как по тактам, так и по моментам поступления заявок в систему (обозначим его через ql,, ).

Теперь предположим, что у нас имеются две системы, одна из которых - исходная система, а вторая - базовая система. Рассмотрим момент и,, когда прибор в исходной системе впервые вернется с прогулки. Будем считать, что в этот момент базовая система начинает работать, причем начальное число заявок в этой системе равно числу заявок В ИСХОДНОЙ системе В момент И|, Т.е. =Пп,- Теперь

рассмотрим момент , который следует за моментом и,, когда в исходной системе прибор впервые уйдет на прогулку. Будем считать, что базовая система в этот момент прекращает работу. Тогда, в силу того, что входящие потоки в исходную и базовую систему совпадают, а времена обслуживания независимы и одинаково распределены, поведение ЦМ {£„,и>0} и {//„,//>0} с момента я, до момента й,, является совершенно идентичным. Очевидно, что исходная и базовая система между следующей парой моментов п2 и п2, которые определяются также, как и и, и й,, будут функционировать совершенно одинаково с точки зрения вероятностных

характеристик. Таким образом, если «выкинуть» для исходной системы все те интервалы времени, когда прибор находится на прогулке, и оставшуюся тракторию ЦМ {£,,,//>0} склеить, то получившаяся ЦМ будет идентична по своим вероятностным свойствам ЦМ {//„, п >0}. Таким образом, в силу следствия леммы I из [4, стр. 384], это означает, что стационарные распределения р‘т и совпадают с точностью до некоторой постоянной, зависящей, в рассматриваемом случае, только от В , т.е.

Рш, =С

Постоянная с(В) определяется из условия нормировки (20). Покажем как это можно сделать. Выражая из (1)-(5) вероятности р*0 через р$л имеем:

„ ае'8м ------- ~-

Р/. о=------

-p0V = 0,tf-l,* = -^,

а + ас

nr* J~H+l

pU=---------г-------Ро\,і = Н,В-\, у =

Рв. о =

ci

ас'с 8V"

de d + de

Pm,i - В-

Подставляя выражение (21) в (20) получим

5>м,+«(*)=1.

1=0

что с учетом (22), (23) и (21) имеет вид

Хн 8-1

с(В) = I -с(Я)<7о|

— * Н-1

— у 8‘ а h

+1 . ас ô" v i-H+i .ос с

-н

откуда находим выражение для определения постоянной с(В):

1

с(В) = -

ас

..

<+i + ac'S" ^ у-н*\ + ас'с 8" у8 Н

/=о d ¡шН

— V S' /і “

Итак, зная стационарное распределение , формулы для расчета которого получены в [1], с помощью (21)-(25) рассчитывается стационарное распределение р"т для рассматриваемой системы. Заметим, что в рассматриваемом случае, используя (23)-(24), можно легко показать, что уравнения (6)-(19) для вероятностей р*т совпадают с уравнениями для (¡Чт с точностью до коэффициентов, что и означает, что стационарные распределения р1п и qfm совпадают с точностью до некоторой постоянной.

Приведем ряд вероятностно-временных характеристик. Для стационарного среднего Q и дисперсии й числа заявок в очереди справедливы следующие формулы:

0=Х('-|)л.о+Х('-1)л.1 + Ё('-1)л.2+ X ('“Оа.з’

1=2

В

<=2

//-I

i~L В-1

/«=//+1

В

о = X('“1 )2 А.О + X('~1 )2Р/.1 + X(;“1 )2 А.2 + £ (1~1? Ро~&

/=2 1=2 1=1 ¡=11+ I

Стационарная вероятность /г/ои того, что поступающая в систему заявка будет потеряна, имеет вид

В-1 в

=Яв,о+(|-<7>Хл\2+ X Ph

¡-L (=//+1

Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания со и пребывания заявки в системе v задаются формулами, которые следуют из формулы Литтла:

Q 1

СО =---—------, V = СОЛ--.

я(1-*/ом) Ь

Заключение

В статье предложена модель функционирования SIP-сервера в виде системы массового обслуживания с гистерезисным управлением и прогулками в дискретном времени. Получены формулы для расчета вероятностновременных характеристик системы. Анализ точности полученных формул с результатами имитационного моделирования показал, что погрешность расчетов не превосходит 10% во всем дипазоне нагрузочных и структурных параметров системы. Учитывая дискретную природу функционирования реальных телекоммуникационных систем, а также приемлемую погрешность при расчетах с использованием полученных формул, результаты могут быть использованы при проектировании сервера, а также для решения различных оптимизационных задач, направленных на повышение эффективности функционирования сервера.

Литература

1. Абаев П.О., Корабелышков Д.М., Пяткнна Д.А., Разумчик Р.В. Моделирование SIP-сервера с гистерезисным управлением нагрузкой с помощью системы массового обслуживания в дискретном времени // Научные труды ЦНИИС. — М.: ЦНИИС, 2011. Принята к печати.

2. Абаев П.О., Гайдамака Ю.В., Самуилов К.Е. Гистерезисное управление сигнальной нагрузкой в сети SIP-серверов // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика, 2011. - №4. -С.54-71.

3. Разумчик Р.В. Многолинейная экспоненциальная система массового обслуживания с отрицательными заявками и дополнительной очередью для вытесненных заявок // T-Comm -Телекоммуникация и транспорт, 2011. — №7. — С. 129-133.

4. Бочаров П.П., Псчинкнн A.B. Теория массового обслуживания. М.: Изд-во РУДН, 1995. — 528 с.

5. Pechinkin A.V., Razumchik R.V. Waiting Characteristics of Queueing System Geo|Geo| 1 with Negative Claims and a Bunker for

Superseded Claims in Discrete Time // Proceedings of the 2010 International Conference on Ultra Modem Telecommunications. P. 1051—1055.

6. Cascone A., Manzo R., Pechinkin A.V., Salerno S. Discretetime MAP|G|I system with inversive probabilistic servicing discipline II Automation and Remote Control. Vol.71. №12. 2010. P.2547-2557.

7. Abaev P.O. Algorithm for Computing Steady-State Probabilities of the Queuing System with Hysteretic Con-gestion Control and Working Vacations. Bulletin of Peoples Friendship University of Russia, 2011. №3. P.58-62.

8. Abaev P., Gaidamaka Yu., Samouylov K. Load Control Technique with Hysteresis in SIP Signalling Server. XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, the Autumn Session of the V International Seminar on Applied Problems of Probability Theory and Mathemati-cal Statistics related to Modeling of Information Systems, 2011. P.67-69.

9. Печнмкин А.В., Соколов И.А. Двухприоритетная система с резервированием каналов и марковским входящим потоком // Информатика и ее применения, 2011. Т.5. Вып.4. С.6-17.

10. Zaryadov I.S., Korolkova A.V. The Analysis of RED-Like Algorithms Characteristics Based on Queueing Systems with Batch Arrival XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models (ISSPSM’2011) and V International Workshop “Applied Problems in Theory of Probabilities and Mathematical Statistics related to modeling of information systems” (APTP+MS’2011). Moscow, Svetlogorsk, 10-16 October, Institute of Informatics Problems, RAS, P.90-91.

11. Atencia I., Pechinkin A.V. A discrete-time Geo/G/l/oo

queueing system with total renewal discipline // International Workshop “Distributed Computer and Communication Networks (DCCN 2010)". Proceedings. Moscow, Russia. October 26-28, 2010. Moscow: R&D Company “Information and Networking

Technologies", 2010. ISBN 978-5-9901871-2-2. P.36-43.

12. Atencia I., Pechinkin A.V. A discrete-time queueing system under N-policy with general service-time // Distributed computer and communication networks. Proceedings. Sofia, Bulgaria, October 5-9, 2009. ISBN 978-5-9901871-1-5. P. 73-78.

13. Atencia I., Pechinkin A.V. A discrete-time queueing system with total renewal discipline // Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation. St. Petersburg, June 28 — July 4, 2009. Volume II. Ed. by S.M.Ermakov, V.B.Melas and A.N.Pepelyshev -St. Petersburg. VVM com. Ltd., 2009. ISBN 978-5-9651-0354-6. P.797-801.

14. Печинкин A.B., Стальченко И.В. Система MAP/G/1/бесконечность с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом, функционирующая в дискретном времени // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Математика. Информатика. Физика, 2010. №2. - С.26-36.

SIP server modelling as single-server queuing system with finite capacity buffer two-level hysteretic control and workng vacation Abaev Pavel Ovanesovich, Senior Lecturer in the Telecommunication Systems, department of the PFUR, pabaev@sci.pfu.edu.ru,

Razumchik Rostislav Valerevich, Senior researcher at the Institute of Informatics Problems of the RAS, rrazumchik@ieee.ong.

Abstract: In August 2011 RFC 6357 was prepared and adopted by the working group committee SOC IETF. Three types of overload control mechanisms - local, hop-by-hop and end-to-end - was proposed in the document. Only local overload control does not require any amendments to the protocol. The hysteresis control mechanism used for SS7 networks can be implemented in a network of SIP servers. In this paper we consider a model of SIP server as a single-server queuing system with finite capacity buffer two-level hysteretic control and working vacation that operates in discrete time. The formulas for calculating the steady-state characteristics are obtained. The results of numerical calculations and simulations for this system and similar systems operating in continuous time are compared.

Keywords: queuing system, discrete time, hysteretic overload control, working vacation, SIP server.