Современные избирательные технологии: использование математических методов передачи голосов избирателей

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 13 (304). Философия. Социология. Культурология. Вып. 29. С. 172-179.

Ю. О. Гизингер

СОВРЕМЕННЫЕ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ: ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПЕРЕДАЧИ ГОЛОСОВ ИЗБИРАТЕЛЕЙ

В работе описаны основные правила передачи голосов избирателей при проведении выборных технологий: классический метод Грегори, включающий метод Грегори и включающий взвешенный метод Грегори. Предложен способ формирования отношения линейного порядка на множестве избранных кандидатов. Также описан метод сравнения STV-моделей (system testing validation) по заданной метрике, рассчитанной относительно мажоритарного отношения и отношения линейного порядка, полученного в результате применения конкретного правила передачи голосов. При помощи имитационного моделирования выполнен анализ близости этих отношений.

Ключевые слова: правила передачи голосов, STV-моделей, классический метод Грегори, включающий метод Грегори, включающий взвешенный метод Грегори.

На современном этапе эволюции выборных технологий принцип пропорционального представительства голосов избирателей становится популярным как в развитых странах, так и в регионах, где еще только формируются органы демократической власти. Так, например, с 2007 года в Российской Федерации для выборов в Государственную думу применяется метод голосования по закрытым партийным спискам1. В Нидерландах, Финляндии, Австрии, Бельгии, Бразилии, Испании и др. странах используются открытые списки и правило д’Ондта или же его вариации2.

Интерес к реформированию избирательных систем во многом объясняется стремлением предоставить населению большую возможность по выражению предпочтений относительно баллотирующихся кандидатов, а также необходимостью присутствия в выборном органе не только членов крупных политических объединений, но и представителей небольших групп электората.

Во многом именно состав избирателей влияет на выбор метода, с помощью которого осуществляется пропорциональное представительство. Так, распределение вакантных мест согласно закрытым партийным спискам часто используется в тех регионах, где вся территория принимается за единый избирательный округ. Однако если от каждой области в парламент попадает определенное число представителей, то предпочтение отдается системам с открытыми списками, где во внимание принимается не только отношение

избирателей к партии в целом, но и к отдельным кандидатам.

Особое место среди процедур, реализующих принцип пропорционального представительства, занимает правило передачи голосов (Single Transferable Vote). Важным преимуществом класса таких правил является наличие у избирателей возможности продемонстрировать свое отношение сразу к нескольким имеющимся кандидатам. Получив широкое распространение в странах-членах Содружества наций (Австралии, Шотландии, Ирландии, Индии, Пакистане и др.), подобный способ рассматривается как альтернатива проведения выборов во многих других государствах. В частности, предложения перехода на похожую систему выносились на референдумы в Британской Колумбии (2005, 2009), Великобритании (2011) и Новой Зеландии (2011) .

На сегодняшний день в мире наиболее популярны три основные версии правила передачи голосов, а именно: метод Грегори, включающий метод Грегори и включающий взвешенный метод Грегори, отличающиеся друг от друга способом перераспределения «излишков», которые возникают на некоторых этапах процедуры. Для каждой из них процесс анализа бюллетеней начинается с расчета квоты, зависящей от числа заполненных бюллетеней и количества мест, на которые претендуют кандидаты. В современных выборах чаще всего применяется квота Дру-па, вычисляемая по следующей формуле:

_ ¥и-мJ гоюсж _ ^ ^ где Q _ квоха

Друппа. '

Числа .«ггт-И

Далее любой кандидат считается избранным, если на каком-либо этапе он набирает количество голосов, превышающее квоту или равное ей. В случае если на данном этапе квоту не набирает ни один из кандидатов, то находится претендент с наименьшим количеством голосов. В дальнейшем он не участвует в подсчете, а его голоса передаются остальным претендентам. Если же кандидат набирает количество голосов, которое превышает квоту, то «избыточные голоса» передаются оставшимся претендентам. Именно на этом этапе возникает основное различие между правилами передачи голосов.

В работе с помощью имитационного моделирования проведено сравнение трех вышеуказанных методов3. Помимо этого, приводится подробное описание указанных правил передачи голосов, в соответствии с законодательством тех стран, где данные методы используются для формирования выборных органов.

Цель исследования: с помощью методов иммитационного моделирования сравнить три основные версии правила передачи голосов, а именно: метод Грегори, включающий метод Грегори и включающий взвешенный метод с учётом квоты, зависящей от числа заполненных бюллетеней и количества мест, на которые претендуют кандидаты.

Методы исследования:

1. Правила заполнения бюллетеней

Для любой STV-иммитационной модели процесс голосования проходит следующим образом: каждый избиратель получает бюллетень, в котором указаны баллотирующиеся кандидаты и имеется место для расстановки приоритетов. Участник обязан заполнять свободные поля, по порядку, начиная с 1-ого по предпочтению претендента. Считается, что если кандидату не поставлен в соответствие номер позиции, то он представляет собой худшую альтернативу для избирателя, поэтому таким претендентам голос из рассматриваемого бюллетеня не может быть передан ни на каком этапе процедуры. Бланки, в которых первый по предпочтениям кандидат не указан, считаются недействительными, то же относится к пустым и испорченным бланкам, а также к тем, где несколько кандидатов имеют одинаковый приоритет.

Табл. 1 представляет собой пример заполненного бюллетеня, где избиратель демонстрирует свое отношение к пяти кандидатам:

а, Ь, с, с1 и е. В рассматриваемом случае мнение голосующего избирателя может быть представлено в виде отношении слабого порядка а >- с >- е > {Ь, с1}. Однако далее в работе предпочтением избирателя будем называть отношение линейного порядка, полученное из рассматриваемого бюллетеня и включающее только тех кандидатов, относительно которых были расставлены приоритеты. В частности, для данного случая Р|: а с '> е , где а, Ъ, с, с1 и е кандидаты.

Таблица 1

Образец заполнения бюллетеня при голосовании в соответствии с правилом передачи голосов

Кандидат Позиция

а 1

Ь

с 2

d

е 3

2. Способы описания STV-моделей

Для описания принципа работы STV-моделей введем следующие обозначения:

,, - множество избирателей,

индекс к;

Г =': . - множество кандидатов,

индекс j;

5 — число мест, на которое претендуют кандидаты (предположим, что £ < тп < тг);

1 — индекс этапа;

.1- необходимое, минимальное, число голосов для избрания;

' с - множество избирателей на /-м этапе подсчета голосов;

Г ^ — множество кандидатов на /-м

этапе подсчета голосов;

Р = (Р1,Р2,... . Рп) — начальный профиль предпочтений избирателей;

I. — множество кандидатов, избранных к /-му этапу процедуры;

У1.,С1) — ^ — множество избирателей, ставящих кандидата на первое место по предпочтениям на 7-м этапе процедуры;

— количество групп избирателей, имеющих одинаковые предпочтения;

- кандидат, набравший максимальное количество голосов на текущем этапе;

:... - кандидат, набравший минималь-

ное количество голосов на текущем этапе;

0та*(у.гСй) —множество всех избирателей, в бюллетенях которых на /-м этапе про-

цедуры кандидат с . указан на первом месте по предпочтениям;

V. I. -множество всех избирателей, в бюллетенях которых /-м этапе процедуры кандидат ст1п указан на первом месте по предпочтениям;

Р - отношение линейного порядка, построенное на множестве избранных кандидатов.

В качестве входных параметров процедуре передается некоторый профиль Р, составленный в соответствии с имеющимся массивом бюллетеней, а также количество вакантных мест в выборном органе 5. Кроме того, первоначально обнуляется счетчик числа этапов /, множество избранных кандидатов Е объявляется пустым, а также по формуле ' .1 рассчитывается квота.

Далее выполняется проверка следующих условий:

Условие 1: 5 — Е = |С-1

Действительно, если на текущем этапе количество вакантных мест и количество претендентов совпадает, то всех оставшихся кандидатов можно считать избранными даже в том случае, если некоторые из них не набирают число голосов, равное квоте.

Условие 2: \е \ = в

Если на текущем этапе количество избранных кандидатов меньше числа свободных мест, то согласно правилу передачи голосов необходимо перейти к перераспределению бюллетеней. Иначе процедура завершается, кандидаты из множества объявляются победителями.

Условие 3: |огаа*(у1,С1}| > ц

Согласно любой STV-модели, если кандидат ста:£ на текущем этапе набирает количество голосов, превышающее квоту, то он объявляется избранным. В то же время возникающий излишек распределяется между оставшимися претендентами. Причем для разных методов голоса для перераспределения выбираются разными способами:

• из тех бюллетеней, которые перешли во время последней передачи, для классического метода Грегори;

• из начального набора бюллетеней, приведенных к виду текущего этапа, где кандидат ста:£ указан как первый по предпочтению для включающего метода Грегори;

• из всех имеющихся на текущем этапе

бюллетеней, где кандидат

указан как

первый по предпочтению для включающего взвешенного метода Грегори.

Если же ни один из претендентов не набирает квоты голосов, то находится кандидат с наименьшим числом первых предпочтений. Его голоса передаются оставшимся участникам, а сам претендент далее не участвует в выборах.

Данная последовательность действий повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все вакантные места.

Далее в соответствии с множеством Е формируется отношение линейного порядка R, причем чем раньше был избран кандидат, тем его позиция относительно остальных претендентов будет выше. Так, например, если к был избран на 1-м этапе, а у на 2-м, то будет справедливо, что (х,у) G R- Однако если некоторые из победителей не набрали количество голосов равное квоте, или же на каком-либо этапе сразу несколько кандидатов превысили квоту, то при формировании R преимущество отдается тем из них, которые имеют большее количество первых предпочтений.

Результаты исследования С помощью методов имитационного моделирования автором было проведено сравнение трёх основных версий правила передачи голосов, а именно: метода Грегори, включающего метода Грегори и включающего взвешенного метода с учётом квоты, зависящей от числа заполненных бюллетеней и количества мест, на которые претендуют кандидаты. Классический метод Грегори Идея проведения выборов с использованием правила передачи голосов была впервые предложена Томасом Хилом4 в 1821 году. С этого момента подобный способ формирования парламента приобрел популярность во многих странах и претерпел множество изменений относительно первоначального варианта. Различные модификации STV-моделей предлагались исследователями на протяжении многих десятилетий. Однако в 1880 году J. Gregory создал новую концепцию анализа бюллетеней, которая до сих пор применяется при проведении выборов в парламенты Ирландии и Австралии.

Изначально, согласно классическому методу Грегори, процесс подсчета голосов проходил следующим образом: собранные бюллетени сортировались и раскладывались по корзинам, каждая из которых соответство-

вала конкретному кандидату. Далее процесс был организован в соответствии с описанными ранее правилами. Как только корзина одного из кандидатов заполнялась достаточным количеством голосов для его избрания, оставшиеся голоса передавались остальным претендентам, находившимся на следующем месте по предпочтению. Если же они отсутствовали, то бланк переходил в разряд «непередаваемых» и изымался. Таким образом, голоса для перераспределения излишка выбирались только из тех, которые соответствовали бюллетеням, полученным во время последней передачи.

Рассмотрим следующий пример:

Пусть = {1,... ,17}, С0 = {а, Ъ, с,<1], э=2

Рг,..., Р3  а > Ь > с > сЕ,

Р4,..,, Р7  Ь > а > еЕ > с,

РВ,...,Р12 с > в. > Ь > а,

Р - . ^ л = л,

т. е. 16 избирателей голосуют относительно четырех кандидатов, претендующих на

2 вакантных места в выборном органе. При этом среди голосующих можно выделить 4 группы, в каждой из которых избиратели имеют одинаковые предпочтения относительно имеющихся кандидатов. Реализуем процедуру выборов согласно классическому методу Грегори.

Этап 1: Ни один из кандидатов не набирает количество голосов равное квоте или превышающее ее, а, значит, голоса претендента с наименьшим количеством бюллетеней, где он имеет первый приоритет, перераспределяются между остальными кандидатами. В рассматриваемом случае кандидат а имеет минимальное количество голосов (3) , а, значит, все они передаются оставшимся претендентам. Новый профиль будет иметь вид:

Рг, . . ,Р3 ' Ъ >- с > <1,

Р^г... ,РЯ Ь > в. > с,

РВг... ,Р12 О в. > ь,

Р13, ...,Р17 ' еЕ > с > сЕ-

Этап 2: Во время последней передачи кандидату Ь перешло 3 голоса от кандидата а, что позволило ему превысить квоту на те-

кущем этапе. Его излишек в 1 голос должен быть передан оставшимся претендентам. Однако, согласно классическому методу Грегори, выбор голосов для перераспределения может производиться только из последней передачи, а, значит, рассматриваться могут лишь те бюллетени, которые принадлежат избирателям 1,...,3. Но поскольку во всех из них указаны предпочтения одного вида : =- : =-:,', то 1 голос передается кандидату с. Кандидат Ь считается избранным, а значит, 6 из семи его голосов далее не участвуют в процедуре подсчета.

Новый профиль имеет вид:

с > сЕ,

РЯ,...,РГ2 с >

Р. ' Р17 ^ '*’ *-•

Этап 3: Кандидат с набирает 6 голосов и объявляется избранным, при этом излишек для перераспределения отсутствует. Поскольку s=2, то процедура завершается.

Таким образом, результат проведения выборов может быть записан в виде следующего отношения линейного порядка Ь > с-

Предложенный пример не описывает той ситуации, при которой сразу несколько кандидатов могут превысить квоту после одного из этапов процедуры. Рассмотрим подобный случай. Пусть после /-ого этапа каждый из кандидатов хну превышает квоту. При этом во время последней передачи претенденту х были переданы только голоса вида х >- у . Согласно правилу передачи голосов, на одном этапе процедуры может быть избран лишь один кандидат. Пусть вначале избирается х, в этом случае необходимо учитывать то, что дополнительные голоса кандидату у не передаются, так как он уже превысил квоту, следовательно, указанные бюллетени далее не будут участвовать процедуре подсчета, а соответствующие им голоса окажутся в числе непередаваемых. Это также справедливо для включающего, включающего взвешенного методов Грегори и для метода с пересчетом квоты.

Включающий метод Грегори Главным отличием включающего метода от Классической STV-модели является способ отбора бюллетеней для перераспределения. Согласно данному правилу, голос избирателя, в котором первоначально был указан рассматриваемый кандидат, может быть передан независимо от этапа процедуры, а

также состояния соответствующего бюллетеня к текущему этапу. Иными словами, на /-ом шаге бюллетень может лежать как в корзине одного из кандидатов-победителей, так и находиться среди непередаваемых. Однако если согласно начальному профилю он был выбран для перераспределения, то подобный голос преобразуется к виду, соответствующему текущему этапу, и передается следующему по предпочтению кандидату.

Покажем принцип работы метода на примере. Пусть, = {1....40}, Са = [а, Ь, с, А,е},

s=4. Профиль предпочтений избирателей имеет вид

Р1, ...,Р7 : с >- еЕ (7 голосов),

,Р23: а >- с > d > е (16 голосов), .,Р3 7 : Ь > сЕ > с > е (14 голосов),

1 ' ^40 : d > с (3 голоса).

' 40

S'

24'

33'

Этап 0: q —

L?-i

- 1 =

4+lJ

-1=9

17'

^33'

^ЗВ'

Р ,q, ..... P.

Pia, - ,P<

' ^23 37

Этапы 1, 2: Сразу два кандидата (а и b) превышают квоту и переходят в категорию избранных. Тогда пусть бюллетени избирателей 8,...,16 остаются в корзине кандидата а,

17.....23 передаются кандидату с. Аналогично 24,.. .,32 остаются в корзине кандидата b, а

33... .,37 передаются кандидату d. Новый профиль имеет вид

Р1г..., Р7 : с > сЕ (7 голосов),

: с > d > е (7 голосов),

: d > с > е (5 голосов),

.: сЕ > с (3 голоса).

Этап 3: Кандидат с набирает 14 голосов, и, следовательно, считается избранным. 5 голосов излишка должны быть распределены между остальными претендентами. Однако, согласно включающему методу, выбор голосов для перераспределения должен осуществляться из изначального множества бюллетеней, приведенных к виду текущего этапа, где избранный кандидат указан на первом месте по предпочтению. Таким образом, любой из голосов избирателей 1,...,23 равновероятно может быть передан кандидату d. Допустим, что из корзины кандидата а достали 5 бюллетеней (8,___,12 избиратели), и соответствую-

щие им голоса перешли претенденту d. Тогда полученный профиль будет иметь вид

PSr...,P12: d > е (5 голосов),

Рээ, ...rP3-: d > е (5 голосов),

РЗЁ, : d (3 голоса).

Этап 4: Кандидат ё набирает 13 голосов, и, следовательно, считается избранным. Так как вакантных мест больше нет, то перераспределение излишка в три голоса становится бессмысленным. Выборы завершаются. Результат выполнения процедуры, записанный в виде отношения линейного порядка, имеет вид: а > Ь > с > с1.

Включающий взвешенный метод Грегори Основным отличием включающего взвешенного метода также является способ перераспределения возникающих излишков. Согласно рассматриваемой модели, голоса для передачи выбираются из всех присутствующих на данном этапе бюллетеней, в которых избранный кандидат указан на первом месте по предпочтению. Далее процедура проходит в соответствии с правилами, которые были описаны ранее. Определим результаты выборов при помощи включающего взвешенного метода для следующих параметров.

Пусть, Уа = {1,... ,16}, С0 = {а, £>, с, d}, в=3,

Р.|_, ...,Р4: а > Ь > с > d,

Р5, --,РВ: Ь > а> d > с,

Р9,...,Р12: 6. > с > а> Ъ,

13' 1

,Я1Й : с > d > b > а.

Аналогичный пример уже был рассмотрен при демонстрации классического метода, поэтому воспользуемся некоторыми имеющимися результатами.

Этап 0: Ц

-1 =

16

3-1

-1 = 5

Этап 1: Кандидат а выбывает из борьбы. Новый профиль имеет вид

Р-...ГРЛ Ь> с > d,

Р&,...,РВ: Ь > d > с,

Р9, ...,Р1г: d > с >- Ь,

р13' - -'рм c>d>b.

Этап 2: Кандидат Ь превысил квоту и имеет излишек в 3 голоса, который должен быть перераспределен между оставшимися претендентами. Согласно включающему взвешенному методу, голоса для перераспределения равновероятно могут быть выбраны из бюллетеней избирателей 1,.,8 (например: 6, 7, 8). В этом случае три голоса перейдут кандидату ё. Кандидат Ь объявляется избранным. Новый профиль имеет вид

Р6,...,РВ в. > с,

Р9,...,Р12 : еЕ >- с,

Р13> >Ле • с

Этап 3: Оба кандидата (ё и с) объявляются избранными (наличие двух вакантных мест), при этом можно указать, что еЕ > с (8 голосов ё против 4 голосов с на текущем этапе).

Результат выборов в виде отношения линейного порядка имеет вид: Ь > с1 '> с. Сравнение 8ТУ-моделей Пусть Р1гР2, ...,Рп - предпочтения избирателей относительно кандидатов х, у, ж, ... Причем, как было сказано в п.2, Р, - линейные порядки, где учитываются только те кандидаты, относительно которых были расставлены приоритеты. Через V(г,у) будем обозначать множество избирателей, для которых я > у, т. е. У(х,у) = [г |(лг,у)еР^].

Обозначим через ц’ мажоритарное отношение5, построенное в соответствии с профилем (Р() Р2,..., Рта), а именно х^у » 1^0, у)| > |1^(у,д:)|

Помимо этого, для каждого из правил передачи голосов результат выполнения процедуры может быть записан в виде некоторого отношения линейного порядка Я, построенного на множестве избранных кандидатов Е.

Рассмотрим отношение ц, представляющее собой сужение 1л' на подмножество Е X Е. Тогда можно сказать, что ^ £ Е X Е и ЕХЕ. Пусть \Е\ = М, ц имеет матрицу смежности |||| , а Я: ||г^ || , тогда расстояние Хэмминга между ними определяется по следующей формуле6: м

pfa.fi) = Л -ра# |.

а,Р= 1

Иначе говоря, р{р., й) представляет собой не что иное, как число поразрядных несовпадений для элементов матриц, т. е. метрику Хэмминга в пространстве булевских векторов размерности М2 Для наглядности рассмотрим следующий пример: _

Пусть некоторый профиль Р имеет вид

Р

Р- : =- : =-Р: л = :

Р_ л = : =- :.

При распределении двух вакантных мест был применен классический метод Грегори. Результат выполнения процедуры в виде отношения линейного порядка имеет вид а > Ь . Матрицы смежности для ^ иЯ представлены в табл. 2 (2а и табл. 2б соответственно).

Таблица 2

Матрицы смежностей для отношений // и Ы

а Ъ а Ъ

а г 0 0 \ а/0 1л

Но о / 2а) Ъ ^ О 0 ) 26)

Для данного случая матрицы имеют одно поразрядное несовпадение и, следовательно, = 1

Б. Г. Миркиным7 приводится доказательство теоремы о том, что на множестве всех бинарных отношений мажоритарное отношение р! является наиболее близким в смысле метрики Хэмминга к совокупности линейных порядков Р1гР2,...,Рп, что дает возможность проведения сравнительного анализа рассмотренных выше правил передачи голосов с помощью методов компьютерного моделирования. А именно, по заданным параметрам (число избирателей, число групп, число кандидатов) генерируется множество профилей, для каждого из которых далее строится отношение р’. Кроме того, в соответствии с заданным количеством вакантных мест и выбранным правилом передачи голосов для каждого из профилей формируется отношение Я. Далее определяется сужение на множество избранных кандидатов и определяется расстояние Хэмминга от каждого Р до ц. Полученные величины усредняются по всем профилям.

Имитационное моделирование

Разработанное в ходе исследования программное обеспечение предоставляет пользователю возможность генерировать неограниченное число профилей по заданным параметрам, а также применять соответствующие процедуры проведения выборов для всех созданных наборов предпочтений. Результатом работы представленных имитационных моделей является массив значений р, а также среднее значение параметра р для всех рассмотренных Р.

С помощью разработанного программного обеспечения был проведен анализ массива

Результат анализа имитационной модели

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

Расстояние Хэмминга

значений р(^, Д}, полученного из 100 тысяч профилей (для каждого из рассматриваемых правил передачи голосов), построенных в соответствии со следующими параметрами: (п=1000, т=20, s=10,g=100). В качестве примера на рисунке изображена зависимость количества профилей от расстояния Хэмминга. В ходе опыта рассматривался классический метод Грегори, реализованный для 100 тысяч случайно сгенерированных профилей.

Помимо этого был проведен сравнительный анализ значений р относительно различного числа профилей и в соответствии с разными правилами передачи голосов. При проведении опыта в качестве экзогенных переменных были заданы п=1000, т=5^=4, g=20. Результаты имитационного моделирования приведены в таб. 3.

Таблица 3 Зависимость количества профилей от расстояния Хэмминга

Количество Метод профилей 104 105 106

Классический метод Грегори 1,8019 1,80572 1,8083

Включающий метод Грегори 1,8500 1,8561 1,8589

Включающий взвешенный метод Грегори 1,9061 1,9049 1,9059

Среднее значение метрики Хэмминга для

различных правил передачи голосов

Выводы

В работе подробно описаны четыре метода, реализующие правило передачи голосов, а именно: классический метод Грегори, включающий метод Грегори и включающий взвешенный метод Грегори. Для сравнения данных STV-моделей используется способ. основанный на оценке величины расстояния Хэмминга между мажоритарным отношением и отношением линейного порядка, построенного на множестве избранных кандидатов. Согласно рассматриваемым правилам передачи голосов по заданным параметрам (количество избирателей, количество групп избирателей, количество кандидатов, количество вакантных мест), методом имитационного моделирования выполнен анализ близости выстраиваемых линейных порядков мажоритарному отношению. Показано, что данная величина имеет нормальное распределение. При большом количестве рассматриваемых профилей она не зависит от того, заполняются ли бюллетени полностью или же предпочтения отдаются лишь части кандидатов. Кроме того, показано, что среднее расстояние до мажоритарного отношения не одинаково для различных типов STV-моделей. что объясняется отличиями в способе отбора бюллетеней, из которых происходит перераспределение излишка голосов на некоторых этапах процедуры.

Примечания

1 О выборах депутатов Государственной Думы Федерального собрания Российской Федерации : федер. закон № 51-фз от 18.05.2005 (ред. от 25.07.2011). М., 2011.

2 Бинарные отношения, графы и коллективные решения / Ф. Т. Алескеров, Э. Л. Хабина. Д. А. Шварц. М. : НИУ ВШЭ, 2012. C. 171176.

3 Аксиоматическое описание правила передачи голосов / Ф. Т. Алескеров, А. В. Карпов // Экон. журн. высш. шк. экономики. 2011. № 2 (15). С. 145-168.

4 Hoag, C. G. Proportional representation / C. G. Hoag, G. H. Hallett. N. Y. : Macmillan company, 1926.

5 Бинарные отношения... C. 171-176.

6 Bera, A. K. Efficienttests for normality, ho-moscedasticity and serial independence of regression residuals : Monte Carlo evidence / A. K. Bera, M. C. Jarque // Economics letters. 1981. Vol. 7, № 4. P. 313-318.

7 Миркин, Б. Г. Проблема группового выбора. М. : Наука, 1974. С. 111-112.