Адаптивный метод решения краевой задачи для уравнения Пуассона с быстро меняющимся потенциалом

УДК 511 Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 1

Н. В. Овсянников

АДАПТИВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С БЫСТРО МЕНЯЮЩИМСЯ ПОТЕНЦИАЛОМ*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Предложен адаптивный сеточный метод решения краевой задачи для уравнения Пуассона. Применение метода позволяет существенно уменьшить число узлов сетки в тех случаях, когда искомое решение резко меняется в некоторых подобластях расчетной области. Этот метод включает в себя формулировку общего критерия для оценки подобластей с резким изменением решения, а также описание алгоритма построения декартовой сетки с локальным измельчением в соответствии с указанным критерием. Библиогр. 26 назв. Ил. 5. Табл. 2.

Ключевые слова: уравнение Пуассона, адаптивный сеточный метод.

N. V. Ovsiannikov

ADAPTIVE METHOD FOR SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE POISSON EQUATION WITH RAPIDLY CHANGING POTENTIAL

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The adaptive grid method is used for solving boundary value problem for the Poisson equation. This method can significantly reduce the number of grid nodes in case of a drastic change of desired solution in some sub-regions of the computational domain. This article describes general criteria for evaluation of the sub-domains with a drastic change in the solution, and the algorithm for constructing a Cartesian grid with local refinement in accordance with specified criteria. Bibliogr. 25. Il. 5. Tables 2.

Keywords: Poisson's equation, adaptive grid method.

1. Введение. При реализации численного эксперимента к основным критериям качественного моделирования относятся точность и относительно высокая скорость вычислений. Рассматривая конкретные примеры, можно сказать, что решение краевых задач для уравнений в частных производных самое распространенное. Популярными методами решения подобных задач являются сеточные, когда расчетная область представляется как набор из некоторого количества точек (узлов расчетной сетки), в которых осуществляется поиск искомого решения. В простейшем случае в области задается равномерная сетка с постоянным шагом, но в случаях с резким изменением потенциала на определенных подобластях сетка с относительно крупным постоянным шагом не позволит вычислить искомую функцию с достаточной точностью, а уменьшение шага сетки может потребовать больших объемов вычислительной мощности. Для достижения оптимальной точности вычисления и экономии

Овсянников Николай Валерьевич — аспирант; e-mail: n_v_ovsyannikov@mail.ru Ovsiannikov Nikolay Valerievich — post-graduent student; e-mail: n_v_ovsyannikov@mail.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (тема № 9.38.673.2013).

машинных ресурсов применяются адаптивные методы решения или расчетные сетки с локальным измельчением в той подобласти, где происходит существенное изменение значений искомого решения.

Большинство работ, посвященных адаптивным сеткам, связано с методом конечных элементов. В работах [1-3] подробно описаны алгоритмы построения адаптивных сеток, много внимания уделено структурам данных, таким как квадро- и октодере-вья, которые используются в информационных геосистемах и компьютерной графике. Общие принципы формирования и построения адаптивных сеток охарактеризованы в [4]. В статье [5] проанализированы эффективность метода конечных элементов на неструктурированной адаптивной сетке с четырех- и шестигранными ячейками. В книге [6] рассмотрены виды адаптивных сеток, а также представлены критерии оценки подобластей на примере конкретных задач газовой динамики. В работах [8-11] приведены общие принципы формирования декартовых адаптивных сеток, а также предложены некоторые критерии оценки подобластей с резким изменением решения для этих сеток.

Настоящая работа отличается в первую очередь тем, что был сформулирован адаптивный метод решения краевой задачи уравнения Пуассона в двумерном случае на основе метода конечных разностей. Приведены соответствующие разностные уравнения. Предложены два алгоритма дробления. Сформулирован общий критерий оценки подобласти с быстро меняющимся потенциалом, который может быть применим к решению широкого класса подобных задач. Форма критерия также отличается от тех, что представлены в указанных статьях.

2. Описание адаптивного метода. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в двумерном случае

Ди (х,у) = -р(х,у)/4п£о, и (х,у)\г = / (х,у),

в котором Г - граница расчетной области. Считаем, что нам не известны подобласти, в которой искомый потенциал претерпевает резкое изменение.

Прежде всего формируется равномерная сетка первого приближения с начальным шагом ко. В полученных узлах рассчитывается потенциал поля. Затем в каждом узле с индексами г,] вычисляется критерий ^, который будет описан далее. Если ^ >£, в которой £ - заданный допуск, то текущий узел считается принадлежащим подобласти, в которой будет проводиться дальнейшее разбиение. После этого осуществляется построение сетки следующего уровня с шагом кп = кп-\/2, п = 1, 2... . Далее вычисление потенциала поля и оценка критерия производятся на вновь сформированной сетке.

Процесс дробления происходит до тех пор, пока во всех узлах критерий не будет меньше либо равен заданному значению £. Шаг сетки нового уровня в 2 раза меньше шага сетки предыдущего уровня. Таким образом, узлы, лежащие на границе сетки с более мелким шагом, не должны участвовать в следующем дроблении, а само дробление получается равномерным. Основные принципы формирования новых ячеек описываются в работах [1-6, 9-11]. В данной статье рассмотрим принцип формирования ячейки вокруг текущего узла.

Пусть критерий текущего узла не удовлетворяет условию ^ > £. В первом варианте алгоритма дробления вокруг изучаемого узла формируется ячейка с размером, соответствующим сетке текущего уровня. Таким образом, добавляются восемь новых узлов, при этом формируются четыре ячейки новой сетки следующего уровня. На рис. 1 точками А и В отмечены два типа граничных узлов, причем разностная

схема для обоих типов имеет одинаковый вид, если в качестве соседей для узла типа А взять узлы, расположенные по диагонали ячейки. Представим разностные схемы для этих типов узлов.

Рис. 1. Первый случай дробления А — новый тип узла, А\ — А4 — соседние узлы, относительно которых ведется расчет;

В — стандартный тип узла, В1 — В4 — соседи, использующиеся для вычисления значения поля в узле В.

Разностная схема для узлов типа А с соседними узлами А1,А2,Аз,А4 -

и А = и А + -{иА1 + иЛ2 + и А з + и А,) +

4 4п£о

разностная схема для узлов типа В с соседними узлами В\, В2, В3, В4 -

1 Ь2 р

ив = ив + -ЛиВ1 + иВ2 + иВз + иВл) +

4 4пео

Отличие в данных разностных схемах только в том, что в первой используется шаг кв - шаг сетки нового уровня, а во второй - шаг На = Нв\/2.

Во втором варианте алгоритма дробление осуществляется внутри четырех ячеек, прилегающих к рассматриваемому узлу (рис. 2). Таким образом к списку расчетных узлов добавляются шестнадцать новых узлов. В результате такого дробления возникает три типа граничных узлов. На рис. 2, а им соответствуют буквы А, В, С. В разностных схемах, отвечающих первым двум типам узлов (А, В), участвуют четыре соседних узла: А1 — А4 или В1 — В4; в разностной схеме третьего типа (С) -пять соседних узлов: С1 — С5. При этом, так как соседние узлы расположены не симметрично относительно рассчитываемого, все разностные схемы для данных узлов имеют ориентацию. В двумерном случае для каждого из указанных типов получаются по четыре разностных схемы с учетом ориентации. Потому такой способ дробления реализуется сложнее, однако алгоритм определения границ дробления при этом существенно упрощается. Приведем разностные уравнения для каждого типа узлов с учетом ориентации, изображенной на рис. 2, а, шаг Н равен шагу сетки нового уровня.

Разностные схемы для узлов типа А с соседними узлами А1 ,А2,Аз,А4 -

иА = иА + \ (2 и А, + иАг + тл2 +иА з) + ЪЬ?РА

9 V 4 4пео

разностные схемы для узлов типа В с соседними узлами В1,В2,Вз, В4

ив = ив + \ (2(иВз + иВл) + иВг + иВ2 + 3/12рв

6 V 4пео

Рис. 2. Второй случай дробления а, б — два варианта ориентации граничных узлов из четырех возможных. А, В, С — новые типы узлов, которые являются только граничными, соседи данных узлов отмечены соответственно точками (Ах — А4), (В1 — В4), (С1 — С5).

разностная схема для узлов типа С с соседними узлами 61,62,63,64,65

1 / 3Ь2р

ис = ис + -(ис1+ иС2 + 5 (иСз + иС4) + ШС5 +

16 у 2П£о

На рис. 2, б изображены все перечисленные типы граничных узлов в другой ориентации. С учетом установленных обозначений для соседних узлов все соответствующие разностные схемы для узлов А, В, С будут иметь тот же вид, как и в случае, изображенном на рис. 2, а. Аналогичным образом определяются разностные уравнения для граничных узлов в остальных случаях. Стоит отметить, что точность второго способа дробления будет немного выше за счет большего количества узлов, кроме того, границы дробления при этом будут более четкими в силу того, что любой из указанных нестандартных типов узлов сам по себе является исключительно граничным.

Перейдем к описанию критерия ^. Примеры критериев и основные принципы их формулировки можно найти в работах [6-8]. Данный критерий должен быть вычислен для каждого узла. Чтобы получить его, используем разложение искомого решения в узлах, прилегающих к заданному узлу в ряд Тейлора, и учтем члены до третьего порядка включительно. Для случая, изображенного на рис. 3, а, имеем

и,

г+Н,]

и 1,1 +

дик д2иН2 д3ик3

дх

+

2дх2

+

6дх3

и,

г-Н,]

дик д2иН2 д3ик3 и^ - — +

дх

2дх2

6дх3

иг

= иг,1 +

ди2Н 2д 2иН2 4д3иН3

иг

г+2Н,]

= и] -

дх

+

дх2

+

3дх3

ди2к 2д 2иЬ? 4д3ИЬ3 +

дх

дх2

3дх3

В случае, когда соседи расположены симметрично относительно рассматриваемого узла, одно из четырех уравнений является зависимым от остальных. Решая систему уравнений, описанную выше, и выражая коэффициент при к3, находим

д3и _ и,—2] — 2и,-1,] + 2и,+1] — и,+2,]

дх3

2

/,/-2/г

Ч-Ь

и

/-2/7,7' /—/г,у /+/г,7 /+2/7,7

и+н

7,7+2/7

/-2/7,7 ;-1/г,7

г,7-/7

/+/7,7 /+2/7,7

/,7-/7

и

'-/г./ /+/г,у /+2/г,у

и+Ь

/,7-2/г

/,7-2 /г

Рис. 3. Схема критерия для узлов, удаленных от границ области или границ дробления

Аналогичным способом получаем коэффициент при Ь3 по координате у. Теперь записав , как сумму модулей членов третьего порядка, имеем выражение для критерия

^г,- =

\]г-~ — £/¿+2,7 + 2Е/,

»-1,3 ~ и»+2,3

7 »+1,3

+

£/¿,3-2 — 2Е/"г;3-_1 — Ui,j+2 +

Уравнение (1) используется для оценки критерия узлов, которые не прилегают к границе. Такая форма не применима к узлам сетки, которые близки к границам дробления или границам области. Потому для таких случаев, учитывая ориентацию, нужно выписать соответствующие критерии. Для этого выразим значение ^^ через текущий узел и трех соседних. Вывод данного шаблона осуществляется по той же схеме, что была описана выше, только для вывода достаточно трех разложений, учитывая все варианты ориентации, получим следующие выражения для критериев, подобных тому, что изображен на рис. 3, в, - данные узлы прилегают либо к двум границам дробления, либо к двум границам области:

= ^г+ъ,] — + ЗПг^ — и-х,- \ + \иг,-+2 — ЗЩ^+х + ЗЩ,- — Щ,--^,

= \-Ui-2j + 3иг-ь- — 3иг,- + иг+н-\ + \иг,-+2 — ЗЩ^+х + ЗЩ,- — Щ,--^ , = \иг+2- — Зиг+1- + ЗЩ,- — и-х,-1 + \ — иг,--2 + З^,-- — ЗЩ,- — иг,-+х\, = \ — иг-2- — 3и—1- — Зиг,- + и^+х,- \ + \—иг,--2 + З^-- — ЗЩ,] — иг,-+х\ .

Еще четыре схемы для тех узлов, которые соседствуют только с одной границей (рис. 3, б), получаются путем комбинации стандартного шаблона и одного из граничных. Представим все варианты для двумерного случая:

^г,з =

фг,3 =

£/¿-2,3 ~ 2£/г_1;3- — £/¿+2,3 + 2£/г+1;3-

£/¿-2,3 ~ 2£/г_1;3- — £/¿+2,3 + 2£/^+1|Д-

+ \иг,-+2 — Зиг,-+1 +Зиг— и^,--^ , + \—иг,--2 + Зиг,--1 — Зиг,- — иг,-+1\,

= \и 1+2,] — Зи^+х^ + — и—!^ \ +

Ццз-2 — — Ui,j+2 + 2Цг,з+1

¥г,з — \-Uij-2 + Зи^]-! — Ш] — \ +

3. Решение тестовой задачи. В качестве тестовой задачи рассмотрим двумерную краевую задачу для поля единичного точечного заряда, находящегося вблизи расчетной области П. Вблизи источника потенциал резко возрастает, поэтому данная задача хорошо подходит для тестирования адаптивного метода. Пусть область П представляет собой квадрат —а<х<а, —а<у<а,а заряд находится в точке (—а — 5,а + 5) (рис. 4).

Рис. 4- Расчетная область тестовой задачи

Потенциал поля точечного заряда в двумерном случае равен

Ы

и

4п£о

Краевая задача запишется в виде

и

Ди (х,у)—0,

4пео

где (хг, уг) € Г, Г — дБ - граница расчетной области.

В качестве критериев эффективности метода рассмотрим N - число расчетных узлов, требуемых для достижения заданной погрешности. Погрешность численного решения вычислялась двумя способами: как максимальное значение относительных отклонений от точного решения в каждом из узлов

£о — тах \5и^ \

или как их среднеквадратичное отклонение от точного значения

^ — Ж 5Чз )/N

ьз

Здесь 611^ = (и^ — 11¿^/и^ ^, и^ - точное решение, вычисляемое по формуле (2).

Расчеты производились для равномерной и адаптивной сеток. Число узлов равномерной сетки повышалось с 400 до 6 553 600, при каждом увеличении числа узлов шаг сетки уменьшался в 2 раза, соответствующие параметры отображены в табл. 1, данные перечислены в порядке возрастания по числу расчетных узлов, все колонки сгруппированы относительно параметра 5 (расстояние заряд-область), данные выведены в соответствии с увеличением 5. В табл. 2 указаны результаты вычислений на адаптивной сетке, организация результатов оформлена так же, как и в табл. 1, по возрастанию числа узлов в результате количества дроблений. На рис. 5 изображены графики зависимости ошибок от числа расчетных узлов сетки.

Таблица 1. Вычисления на равномерной сетке

N h £о £ sq

й = 0.001

361 0.002 3.1 10- -3 3.8 • 10- -4

1521 0.001 1.1 10- -3 8.6 • 10- -б

6241 0.0005 2.7 10- -4 1.6 • 10- -б

25281 0.00025 6.1 10- -5 2.2 • 10- -6

101761 0.000125 7.7 10- -6 1.0 • 10- -6

408321 0.0000625 5.1 10- -6 1.0 • 10- -6

1635841 0.00003125 6.1 10- -Ö 1.1 • 10- -ö

й = 0.003

361 0.002 5.7 10- -4 1.2 • 10- -4

1521 0.001 1.4 10- -4 2.0 • 10- -б

6241 0.0005 2.7 10- -б 1.9 • 10- -6

25281 0.00025 3.6 10- -6 1.0 • 10- -6

101761 0.000125 3.8 10- -6 1.0 • 10- -6

й = 0.006

361 0.002 1.6 10- -4 4.6 • 10- -б

1521 0.001 2.7 10- -б 3.5 • 10- -6

6241 0.0005 4.1 10- -6 1.1 • 10- -6

25281 0.00025 3.9 10- -6 1.0 • 10- -6

101761 0.000125 3.7 10- -6 1.1 • 10- -6

Таблица 2. Вычисления на адаптивной сетке

N h £о sq

ё = 0.001

361 0.002 3.1 • 10 -3 3.8 10- -4

1521 0.001 1.0 • 10 -3 8.7 10- -б

4778 0.0005 2.7 • 10 -4 1.8 10- -б

7837 0.00025 6.1 • 10 -б 3.7 10- -6

10529 0.000125 7.7 • 10 -ö 9.1 10- -V

12447 0.0000625 3.0 • 10 -ö 8Л 10- -7

13098 0.00003125 3.0 • ю- -ö 8.2 ю- -7

й = 0.003

361 0.002 5.7 • ю- -4 1.2 ю- -4

1521 0.001 1.4 • ю- -4 1.9 ю- -б

4357 0.0005 2.7 • 10 -б 2.2 10- -6

6633 0.00025 3.4 • 10 -ö 9.5 10- -V

7827 0.000125 3.4 • ю- -ö 9.1 ю- -7

й = 0.006

361 0.002 1.6 • 10 -4 4.7 10- -б

1521 0.001 2.7 • 10 -б 3.6 10- -6

3687 0.0005 3.4 • 10 -6 1.0 10- -6

4936 0.00025 3.4 • 10- -Ь 9.8 • 10- -7

ю3 ю4 ю5 ю3 ю4 ю5

N N

Рис. 5. Графики зависимости относительной погрешности (а) и среднеквадратической погрешности (б) от числа расчетных узлов I — & = 0.001; II — & = 0.003; III — & = 0.006. Сплошная линия — равномерная сетка,

пунктирная — адаптивная.

По результатам расчетов, представленных в табл. 1, 2, видно, что относительная и среднеквадратичная погрешности тем меньше, чем больше расстояние S между источником и расчетной областью. В случае, когда S = G.GGl, поиск искомого решения с точностью £0 = 5.13e — G6 и £sq = l.Gle — G6 требует l бЗБ 84l узлов на равномерной сетке, в то время как адаптивный метод позволяет достичь точности £o = 3e — G6 и £sq = 8.28e — G7, используя при этом 13 G98 узлов. При S = G.GG3 £0 = 3.Ббe — G6, £sq = l.Gle — G6, N = 2Б 281 и £0 = 3.37e — G6, £sq = 9.^e — G7, N = 7827 для равномерной и адаптивной сеток соответственно. При S = G.GG6 £о = 3^3e — G6, £sq = 1.GБe — G6, N = 1G1 7б1 и £0 = 3.37e — G6, £sq = 9.88e — G7, N = 493б для равномерной и адаптивной сеток соответственно.

4. Заключение. По результатам расчетов при перечисленных значениях параметра S видно, что при той же величине относительной погрешности, адаптивный метод требует меньшего на несколько порядков количества узлов для расчета. На рис. 5 приведены графики изменения основных показателей погрешности для адаптивного метода и для метода с обычной равномерной сеткой.

Таким образом, сформулирован адаптивный метод решения краевой задачи для уравнения Пуассона в задачах с быстро меняющимся потенциалом. Представлен общий критерий оценки области, описан алгоритм дробления сетки. По результатам тестирования видно, что адаптивный метод позволяет достичь необходимой точности решения, используя значительно меньшее количество сеточных узлов, и может быть эффективно применен во многих задачах подобного типа.

Одной из задач, для которой можно использовать приведенный метод, является задача моделирования динамики пучков заряженных частиц в самосогласованном поле, описанная Д. А. Овсянниковым и О. И. Дривотиным [12-26]. Для решений, которые приводятся в этих работах, равномерная сетка не дает необходимой точности, поскольку плотность частиц резко меняется в окрестности границы рассматриваемого пучка. Адаптивный же метод позволяет эффективно производить расчет искомого потенциала.

Аналогичный подход может быть применен и в трехмерном случае для решения задач моделирования пучков заряженных частиц [12-26].

Литература

1. Samet H. Spatial Data Structures. Reading: Addison-Wesley publishing company, 199Ü. 512 p.

2. Smith I. M., Griffiths D. K. Programming the finite element method. Reading: British library in publication data, 2ÜÜ4. 646 p.

3. Pascal J. F., George P. L. Mesh generation application of finite elements. Reading: HERMES science publishing, 2ÜÜÜ. 817 p.

4. Лебедев А. С., Лисейкин В. Д., Хакимзянов Г. С. Разработка методов построения адаптивных сеток // Вычислительные технологии. 2ÜÜ2. Т. 7, вып. 3. С. 29—43.

5. Nikishov G. P. Finite element algorithm with adaptive quadtree-octree mesh refinement // ANZIAM Journal. 2ÜÜ5. Vol. 46. P. 15-28.

6. Гильманов А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука, 2ÜÜÜ. 248 с.

7. Magnolia M., Guillaume E., Claire C. Development of a refinement criterion for adaptive mesh refinement in steam-assisted gravity drainage simulation // Comput. Geosci. 2Ü1Ü. Vol. 15, N 1. P. 17-34.

8. ShengtaK Li. Comparison of refinement criteria for structured adaptive mesh refinement // Journal of Comput. and Applied Math. 2ÜÜ9. Vol. 233, N 12. P. 3139-3147.

9. Митрушкин Д. А., Попов Ю. П. Об одном способе локального измельчения расчётной сетки вблизи кругового источника малого размера: Препринты Ин-та прикл. математики им. М. В. Келдыша. 2Ü14. № 25. 32 с. (URL: http: //library.keldysh.ru/preprint.a-sp?id=2Ü14-25).

1Ü. Дядькин А., Гудзовский А. Методы визуализации трехмерных данных на декартовых локально измельченных сетках. Proc. GraphiCon. 1998 (URL: http://www.graphicon.ru/en/conference/ 1998/proceedings).

11. Чепилко С. С., Юдов Ю. В. Разработка генератора декартовых сеток CDF-модуля на основе метода вложенных границ. Сосновый Бор, Ленинградская обл., Россия: ФГУП «НИТИ» имени А. П. Александрова, 2013. 25—33 с.

12. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Об определении стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1987. Т. 27, вып. 3. C. 416—427.

13. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1989. Т. 29, вып. 8. C. 1245—1250.

14. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994. Т. 33, вып. 3. C. 284—287.

15. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.

16. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в продольном магнитном поле. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 1. С. 3—15.

17. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в продольном магнитном поле. II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 2. С. 70—81.

18. Овсянников Д. А., Едаменко Н. С. Моделирование динамики пучков заряженных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 60-65.

19. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Решения уравнения Власова для пучка заряженных частиц в магнитном поле // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. Т. 6, вып. 4. С. 2-22.

20. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Determination of the stationary solutions of the Vlasov equation for an axially symmetric beam of charged particles in a longitudinal magnetic field // USSR Comp. Math. Math. Phys. 1987. Vol. 27, N 2. P. 62-70.

21. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. New classes of stationary solutions of the Vlasov equation for an axially symmetric beam of charged particles with constant density // USSR Comp. Math. Math. Phys. 1989. Vol. 29, N 4. P. 195-199.

22. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. New classes of uniform distributions of charged particles in longitudinal magnetic field // Proc. IEEE Particle Accelerations Conf. Vancouver, Canada, 1997. P. 19431945.

23. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Modelling of self-consistence distributions for longitudinal non-uniform beam // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. 2006. Vol. 558, N 1. P. 112-118.

24. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Self-consistence distributions for charged particle beam in magnetic field // Internal Journal of Modern Phys. A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 816-842.

25. Drivotin O. I. Covariant formulation of the Vlasov equation // Proc. Intern. Particle Accelerators Conf. IPAC'2011. San-Sebastian, Spain, 2011. P. 2277-2279 (URL: accelconf.web.cern. ch/accelconf/ipac2011/papers/wepc114.pdf).

26. Drivotin O. I. Degenerate Solution of the Vlasov equation // Proc. RuPAC'2012. St. Petersburg, September 2012. P. 376-378 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/rupac2012/papers/tupp b028.pdf).

References

1. Samet H. Spatial Data Structures. Reading: Addison-Wesley publishing company, 1990, 512 p.

2. Smith I. M., Griffiths D. K. Programming the finite element method. Reading: British library in publication data, 2004, 646 p.

3. Pascal J. F., George P. L. Mesh generation application of finite elements. Reading: HERMES science publishing, 2000, 817 p.

4. Lebedev A. S., Liseikin V. D., Hakimzynov G. S. Razrabotka metodov postroenija adaptivnyh setok (Development of methods for constructing adaptive grids). Vychislitel'nye tehnologii, 2002, vol. 7, issue 3, pp. 29-43.

5. Nikishov G. P. Finite element algorithm with adaptive quadtree-octree mesh refinement. ANZIAM Journal, 2005, vol. 46, pp. 15-28.

6. Gilmanov A. N. Metody adaptivnyh setok v zadachah gazovoj dinamiki (Methods for adaptive grids in problems of gas dynamics). Moscow: Nauka, 2000, 248 p.

7. Magnolia M., Guillaume E., Claire C. Development of a refinement criterion for adaptive mesh refinement in steam-assisted gravity drainage simulation. Comput. Geosci, 2010, vol. 15, no. 1, pp. 17-34.

8. Shengtak Li. Comparison of refinement criteria for structured adaptive mesh refinement. Journal of Comput. and Applied Math., 2009, vol. 233, no. 12, pp. 3139-3147.

9. Mitrushkin D. A., Popov U. P. Ob odnom sposobe lokal'nogo izmel'chenija raschjotnoj setki vblizi krugovogo istochnika malogo razmera (About of one method of local cut very smalling for calculation net near by circular spring small dimension). Preprints In-ta prikl. matematiki im. M. V. Keldysha, 2014, no. 25, 32 p. (URL: http: //library.keldysh.ru/preprint.a-sp?id=2014-25).

10. Dydkin A., Gudzovski A. Metody vizualizacii trehmernyh dannyh na dekartovyh lokal'no izmel'chennyh setkah (Methods of visualization of three-dimensional data on a Cartesian locally crushed the nets). Proc. GraphiCon, 1998 (URL: http://www.graphicon.ru/en /conference/1998/proceedings).

11. Chepilko S. S., Udov U. V. Razrabotka generatora dekartovyh setok CDF-modulja na osnove metoda vlozhennyh granic (The development of the generator Cartesian grids CDF-module based on the method of nested boundaries). Sosnovyj Bor, Leningradskaja obl., Rossija: FGUP «NITI» ime-ni A. P. Aleksandrova, 2013, pp. 25-33.

12. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. Ob opredelenii stacionarnyh reshenij uravnenija Vlasova dlja aksial'no-simmetrichnogo puchka zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole (About the definition of stationary solutions of the Vlasov equation for axially symmetric beam of charged particles in a longitudinal magnetic field). J. vychisl. matematiki i matem. fiziki, 1987, vol. 27, issue 3, pp. 416-427.

13. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. O novyh klassah stacionarnyh reshenij uravnenija Vlasova dlja aksial'no-simmetrichnogo puchka zarjazhennyh chastic s postojannoj plotnost'ju (About new classes of stationary solutions of the Vlasov equation for axially symmetric beam of charged particles with constant density). J. vychisl. matematiki i matem. fiziki, 1989, vol. 29, issue 8, pp. 1245-1250.

14. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. O samosoglasovannyh raspredelenijah dlja puchka zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole (On the self-consistent distributions for charged particle beam in a longitudinal magnetic field). Dokl. RAN, 1994, vol. 33, issue 3, pp. 284-287.

15. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. Modelirovanie intensivnyh puchkov zarjazhennyh chastic (Simulation of intense beams of charged particles). St. Petersburg: Izd-vo S.-Peterb. un-ta, 2003, 176 p.

16. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. Samosoglasovannye raspredelenija zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole. I (Self-consistent distribution of charged particles in a longitudinal magnetic field. I). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2004, issue 1, pp. 3-15.

17. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. Samosoglasovannye raspredelenija zarjazhennyh chastic v prodol'nom magnitnom pole. II (Self-consistent distribution of charged particles in a longitudinal magnetic field. II). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2004, issue 2, pp. 70-81.

18. Ovsynnikov D. A., Edamenko N. S. Modelirovanie dinamiki puchkov zarjazhennyh chastic (Modeling the dynamics of charged particle beams). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2013, issue 2, pp. 60-65.

19. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. A. Reshenija uravnenija Vlasova dlja puchka zarjazhennyh chastic v magnitnom pole (Solving the Vlasov equation for a beam of charged particles in a magnetic field). Izv. Irkutsk. gos. un-ta. Serie Matematika, 2013, vol. 6, issue 4, pp. 2-22.

20. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Determination of the stationary solutions of the Vlasov equation for an axially symmetric beam of charged particles in a longitudinal magnetic field. USSR Comp. Math. Math. Phys., 1987, vol. 27, no. 2, pp. 62-70.

21. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. New classes of stationary solutions of the Vlasov equation for an axially symmetric beam of charged particles with constant density. USSR Comp. Math. Math. Phys., 1989, vol. 29, no. 4, pp. 195-199.

22. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. New classes of uniform distributions of charged particles in longitudinal magnetic field. Proc. IEEE Particle Accelerations Conf. Vancouver, Canada, 1997, pp. 19431945.

23. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Modelling of self-consistence distributions for longitudinal non-uniform beam. Nucl. Instr. Meth. Phys. Res., 2006, vol. 558, no. 1, pp. 112-118.

24. Drivotin O. I., Ovsynnikov D. А. Self-consistence distributions for charged particle beam in magnetic field. Internal Journal of Modern Phys. A., 2009, vol. 24, no. 5, pp. 816-842.

25. Drivotin O. I. Covariant formulation of the Vlasov equation. Proc. Intern. Particle Accelerators Conf. IPAC'2011. San-Sebastian, Spain, 2011, pp. 2277-2279 (URL: accelconf.web.cern. ch/accelconf/ipac2011/papers/wepc114.pdf).

26. Drivotin O. I. Degenerate Solution of the Vlasov equation. Proc. RuPAC'2012. St. Petersburg, September 2012, pp. 376-378 (URL: accelconf.web.cern.ch/accelconf/rupac2012/papers/tupp b028.pdf).

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 13 ноября 2014 г.