Тестирование временных рядов на наличие пузырей (с приложением к российским данным)

Прикладная эконометрика, 2017, т. 46, с. 90-103. Applied Econometrics, 2017, v. 46, pp. 90-103.

Е. В. Синельникова-Мурылева, А. А. Скроботов1

Тестирование временных рядов на наличие пузырей

Данная работа посвящена анализу проблемы тестирования и датировки пузырей на финансовых рынках. Обозреваются и обсуждаются различные подходы и методы тестирования данных на наличие пузырей, а также определения датировки возникновения и момента сдутия пузыря. Рассмотренные подходы применяются к российским данным по валютному курсу за период с 1 января 2014 г. по 30 июня 2015 г. Результаты указывают на существование пузыря на российском валютном рынке в период с октября по декабрь 2014 г. Сдутие пузыря ассоциируется с повышением 16 декабря 2014 г. Банком России ключевой ставки до 17%.

Ключевые слова: единичные корни; взрывные процессы; пузыри; валютный курс. JEL classification: C12; C18; C22; F31; G14.

1. введение

Проблема возникновения и исчезновения (схлопывания, сдутия) пузырей на финансовых и фондовых рынках остро стоит начиная с момента возникновения самих рынков в их современном понимании. К экономическим последствиям финансовых пузырей можно отнести, прежде всего, искажения в распределении ресурсов, что, как следствие, отдаляет равновесное решение агентов от оптимального. Все это отрицательно сказывается на темпах роста экономики, благосостоянии экономических агентов и может приводить к возникновению финансовых кризисов и рецессий за счет так называемого эффекта заражения. В качестве классического примера можно привести схлопывание пузыря на фондовом рынке Японии, начавшееся в 1991 г., за которым последовали «потерянные десятилетия» упадка и дефляции.

Перед данной работой стоит двойная цель. Во-первых, обзор современных методов обнаружения и определения датировки возникновения пузырей, и, во-вторых, демонстрация разработанных методов обнаружения пузырей применительно к российским данным, в частности, к ряду валютного курса.

Несмотря на актуальность проблемы возникновения пузырей на финансовых и фондовых рынках России, соответствующие исследования на российских данных на сегодняшний

1 Синельникова-Мурылева Елена Владимировна — РАНХиГС при Президенте РФ, Москва; e.sinelnikova@ranepa.ru.

Скроботов Антон Андреевич — РАНХиГС при Президенте РФ, Москва; antonskrobotov@gmail.com.

день крайне ограничены или отсутствуют вообще. В то же время своевременное обнаруже- g ние пузыря на рынке дает возможность отделять ситуацию фундаментального роста цены

актива от надувания пузыря на рынке и позволяет регулирующим органам своевременно &

реагировать на его возникновение. ^

Начиная с работы (Phillips et al., 2011) большую популярность получило направление тестирования пузырей на основе взрывных авторегрессионных процессов. Данная работа со- о стоит из двух частей. В первой части (раздел 2) описывается методология проведения иссле- § дования: в разделе 2.1 рассматриваются статистические методы тестирование наличия пузыря (взрывного процесса), в разделе 2.2 обсуждаются методы определения дат его возникновения § и сдутия, в разделе 2.3 описывается принцип построения доверительного интервала для ско- g

f к-у

pi =-

-р

+ -pP%p'EtdM+1,

1-р

Et

P

pt = log Pt, dt = log Dt, g = log(1 + R), p = 1/(1 + exp(d — p)), а (d — p) — среднее лога-

t

рифма отношения дивидендов к цене в выборке объема T, где (d — p) = T—1 ^ (dt — pt), к = — log р — (1 — p)log(V р — 1). t=1

2 Описание того, как с помощью теории текущей приведенной стоимости можно получить взрывные авторегрессионные процессы, соответствует работе (Phillips et al., 2011).

рости роста пузыря. Во второй части (раздел 3) приведены эмпирические результаты про- ¡5 верки ряда валютного курса рубль / доллар США на наличие пузыря, а также получены мо- | менты его возникновения и сдутия. В заключении формулируются результаты исследования. ^

2. Методология

Следуя (Phillips et al., 2011), концепцию рациональных пузырей можно проиллюстрировать, опираясь на теорию текущей приведенной стоимости, согласно которой фундаментальная цена актива определяется суммой дисконтированных значений ожидаемых будущих дивидендных выплат2. Из стандартного условия отсутствия арбитража

P = ^ Et

где Pt — реальная цена акции в момент времени t, Dt — реальные дивиденды, полученные от владения активом между периодами t — 1 и t, R — ставка дисконтирования (R > 0, R не зависит от времени), Et — условное математическое ожидание при известной информации до периода t, можно получить, используя лог-линейную аппроксимацию, см. (Campbell, Shiller, 1989), что

pt = pf +bt,

где

В уравнении (2) цена определяется двумя компонентами: фундаментальным компонентом цены акции р( (определяемым ожидаемыми дивидендами) и компонентом рационального пузыря Ъг. Поскольку ехр(й — р) > 0, рациональный пузырь Ъг является субмартингалом. Из уравнения (4) следует, что Ъг представим в виде следующего процесса:

Ъ1 = — ъ— + еъл =

где Е*—1 (£Ъ1) = 0 , я = 1/р — 1 = ехр(^ — р) >0 — скорость роста натурального логарифма пузыря, £Ь1 — мартингал-разность.

При отсутствии пузыря (Ъ1 = 0) из (2) следует, что р1 полностью определяется фундаментальной стоимостью р{ , и, следовательно, дивидендами . Тогда из (3) можно получить, что

4 — А =— ——- 2Р Е *

1 Р 1=0

Если pt и dt оба интегрированные процессы, тогда из (6) следует, что они коинте-грированы с коинтегрирующим вектором (1, -1). Однако при наличии пузыря из уравнения (5) следует взрывной характер поведения bt, поэтому взрывное поведение будет и у процесса pt вне зависимости от поведения dt. В этом случае Dpt также будет взрывным процессом и не может быть стационарным. В (Diba, Grossman, 1988) было предложено несколько способов исследования наличия пузыря, которые заключаются в том, чтобы тестировать на стационарность Dpt или исследовать наличие коинтеграции между рядами pt и dt для определения наличия пузыря (поскольку при наличии взрывного процесса в pt эти ряды не могут быть коинтегрированы). В работе (Phillips, Yu, 2011, Section 2.2) было также показано, что взрывной характер является достаточным свидетельством наличия пузыря.

Однако в (Diba, Grossman, 1988) было показано, что теоретически из невозможности отрицательного рационального пузыря в ценах следует, что пузырь никогда не начинается снова, если он уже когда-либо лопнул. В (Evans, 1991) рассматривалась возможность существования периодически сдувающихся пузырей (periodically collapsing bubbles) и показано, что тесты (Diba, Grossman, 1988) имеют низкую мощность для выявления таких пузырей, поскольку периодически лопающиеся пузыри могут вести себя как 1(1) процесс или даже как I(0) при предположении, что вероятность лопнуть у пузыря не является пренебрежимо малой. Также возможна ситуация, при которой оба ряда pt и dt могут быть взрывными и при этом коинтегрированными, что дает стационарную линейную комбинацию (explosively cointegrated). Тогда, только если dt не взрывной, нахождение взрывного поведения у pt может быть достаточным свидетельством наличия пузыря, т. к. взрывное поведение может возникать только при наличии bt Ф 0.

Другой наблюдаемый факт заключается в том, что взрывное поведение может иметь место только временно на небольшой части выборки, поэтому часто сложно обнаружить взрывной процесс на всей выборке, т. к. ряд может вести себя как 1(1) или 1(0) процесс (из-за того, что сдутие пузыря воспроизводит эффект возвращения к среднему).

2.1. Тестирование наличия пузыря §

о о

В (Phillips et al., 2011) для решения указанных выше проблем предлагается использовать ^ рекурсивные тесты, которые могут выявлять наличие взрывного поведения ряда pt. Эти те- ^ сты заключаются в следующем. Пусть имеется регрессия

yt = m+3л—1 + 2 ^ j .

j=i

\1/2

ADFt = "

\ j=1

2 j

CD Ф

s

Л ft

Тестируется нулевая гипотеза Н0: 6 = 1 (о наличии единичного корня) против правосто- | ронней альтернативы Н1 : 6>1 (взрывной процесс). При этом строится последовательность ¡5 ADF-статистик для коэффициента 6 с использованием некоторого заданного подмножества § всей выборки данных для первого члена последовательности и дальнейшего увеличения ^ этой подвыборки на одно наблюдение (т. е. применяется «впередсмотрящий» рекурсивный иц тест). Другими словами, первая регрессия включает в себя т 0 = [Тг0 ] наблюдений для некоторой изначально заданной доли г0 от всей выборки, где [•] обозначает целую часть аргумента. Вторая регрессия включает в себя т 0 = [Тг0 ] +1 наблюдений, третья — т 0 = [Тг0 ] + 2 наблюдений и так далее. Таким образом, последовательность рекурсивных ADF-статистик строится с использованием выборки увеличивающейся длины размера т = [Тг] для всех г £ [г0,1], где соответствующие ADF-статистики записываются как

где 3t (t) — OLS-оценка коэффициента 3, полученная на основе первых t = [Tr ] наблюдений, a2 — соответствующая оценка a2, et — OLS-остатки от регрессии (7)3.

В (Phillips et al., 2015a) авторы рассматривают обобщение теста из (Phillips et al., 2011). Пусть выборка в регрессии (7) начинается с момента времени [Tr1 ] и заканчивается на моменте [Tr2], а величина окна равна r2 — r1. Обозначим соответствующий тест, построенный по данной выборке, как ADF^. Тогда обобщенный sup ADF тест (generalised sup ADF, GSADF) строится как

GSADF

r2e[r>,1], 1

r1e[0,r2—r, ]

т. е. при каждом фиксированном r2 считается ADF-статистика для всех r1, начиная с 0 и заканчивая r2 — r0. Другими словами, происходит максимизация ADF-статистик, построенных по всем возможным подвыборкам, большим, чем некоторое окно r2 — r0. Критические значения для GSADF-статистики больше, чем для SADF, которая является частным случаем при r1 = 0 и r2 £ [r0,1]. В (Phillips et al., 2015a) показывается преимущество теста GSADF на конечных выборках перед тестом SADF при наличии периодически сдувающихся пузырей.

Альтернативные методы обнаружения пузырей предложены в работах (Homm, Breitung, 2012; Harvey, Leybourne, 2014; Harvey et al., 2015; Harvey et al., 2016).

Заметим, что статистика ADF1 будет соответствовать всей выборке.

3

2.2. Определение датировки возникновения и сдутия пузыря

Тест sup ADF, рассмотренный в предыдущем разделе, не в состоянии определить дату появления (re) и сдутия (f пузыря. Для определения этих двух дат Phillips et al. (2011) предлагают следующие оценки:

re = inf{s : ADFt > cvf

s>r0 ' T J s>re ' T

где cv"d (s) — правостороннее критическое значение ADFs', соответствующее уровню значимости bT . Таким образом, рекурсивно тестируем нулевую гипотезу до тех пор, пока она не будет отвергнута, получая момент возникновения пузыря. После этого продолжаем рекурсивно тестировать нулевую гипотезу до ее отвержения, получая дату коллапса. В (Phillips, Yu, 2009) предлагается начинать поиск даты коллапса через некоторый период после даты возникновения пузыря, т. е.

rf = inf {s: ADFt < cvf

f s>re +(logT )/ T s bT

Это гарантирует, что продолжительность пузыря является значимой, т. е. эпизод более малого порядка, чем 0(log T), не рассматривается как значимый в алгоритме датировки для tf.

В своих эмпирических исследованиях Phillips et al. (2011) также использовали нахождение оценок дат появления и коллапса пузыря, используя регрессию скользящего окна (rolling regression), где каждая регрессия основана на подвыборке фиксированного размера меньшего порядка, чем T . В работе (Phillips, Yu, 2009) доказывается состоятельность оценок дат возникновения и сдутия пузыря при определенных условиях.

Для улучшения мощности рассмотренной процедуры в (Phillips, Yu, 2011) предлагалось выбирать начальное условие (которое ранее фиксировалось на первом наблюдении) для инициализации рекурсивной процедуры, используя информационный критерий Шварца (BIC). Если во временном ряде невзрывной режим переходит во взрывной, наиболее мощным тестом будет тот, в котором рекурсивные статистики вычислены с использованием данных из взрывного режима (поскольку в этом случае не учитываются наблюдения, для которых процесс порождения данных является процессом с единичным корнем).

Альтернативная процедура нахождения датировки возникновения пузыря и его коллапса была рассмотрена в работе (Phillips et al., 2015b), где, в отличие от (10) и (11), оценки дат re и rf строятся следующим образом:

re = mf{r2: BSADF2

r2 ^Lr0 ,1]

rf = inf {r2: BSADFr

f r2 e[ fe +3(log t V t ,1] 2 r2 bT 2"

где BSADFr (r0) — обратная супремум ADF-статистика (backward sup ADF), вычисляемая как

BSADF (r0) = sup ADFr .

2 r1eL0,r2-ro ] 1

Авторы расширили процедуру на случай более чем одного пузыря: чтобы получить оценки дат re и rf для второго пузыря, нужно воспроизвести процедуру, начиная с выборки после оценки коллапса первого пузыря. Более точно, для двух пузырей

rle = inf{r2: BSADFh (r0) > scv^f (r2)}, (14) §

r2e['o ,1] 5

rf = inf {r2 : BSADFr (r0) < scvf (r2)}, §

1f r2 e[rle+ä(log tVt,i] 2 r2 bT 2

r2e = inf {r: BSADFh (r0) > scvff (r2)}, (15) £

r e[rif ,1] 2 g

¡5

r2f = inf {r2: BSADFr (r0) < scvf (r2)}. 1

2f r2e[r2e +a(iogT)/T,i]1 2 ßT v 2" §

j =m+u, u =

ut_i , t = 2,...,[ti,oT L

(1+6i)Ui_i , t = [tioT]+i,...,[r2,oT],

(1 -62 ) Ut_l , t = [t 2,oT ]+1,...,[Гз,оГ ],

Ut_i + £,, t = [ 7 3,0T ] + 1,...,T,

Phillips et al. (2015b) доказывают состоятельность оценок всех дат возникновения и сду- g тия пузырей, предполагая, что продолжительность существования первого пузыря больше, й чем второго. Если использовать аналогичную процедуру не для статистик BSADF, а просто § для ADF, то в этом случае оценки дат возникновения и коллапса для второго пузыря будут ^ несостоятельными. В этом случае возможна модификация, в которой инфимум статистики uj для получения r2e считается не по r2 £[rlf ,1], а по r2 £[П/ + £t,1], где £t = (logT)/T, или для некоторого d£ (0,1). Процедура нахождения датировки пузыря методом (Phillips et al., 2015b) превосходит в точности метод (Phillips et al., 2011).

В работе (Harvey et al., 2017) предлагается более точный метод оценивания датировки пузыря. Кроме того, в этой работе рассматривается более общий процесс порождения данных, допускающий дополнительный режим для сдутия пузыря:

где dj > 0 и д2 > 0. Таким образом, до момента времени [t10T] процесс является стационарным, после этого момента начинается процесс возникновения пузыря, который останавливается в момент времени [t 2 0T ]. Далее происходит сдутие, которое порождается стационарным процессом и интерпретируется как возвращение к нормальному поведению рынка. Величина д2 определяет скорость и величину сдутия, происходящего за период с [t10T] +1 до [t20T]. При t20 = t30 процесс (16) сокращается до рассмотренного в (Phillips et al., 2011, 2015b). После окончания периода сдутия процесс — нестационарный с единичным корнем.

В работе (Harvey et al., 2017) было рассмотрено четыре возможных случая наличия пузыря:

Модель 1: 12 0 = J (пузырь не сдулся к концу рассматриваемого периода);

Модель 2: 12 0 < J и д2 = 0 (моментальное сдутие пузыря);

Модель 3: 130 =J (выборка заканчивается периодом сдутия пузыря);

Модель 4: неограниченная (после периода сдутия процесс ведет себя как процесс с единичным корнем).

Был предложен информационный критерий

минимизируется сумма квадратов остатков по всем возможным датам изменения режимов (tj, 12,13) в следующей регрессии:

Ayt =mj D

где фиктивные переменные определяются как Dt (a,b) = I([aT] < t < [bT]). В частных случаях этой модели (Модель 1, Модель 2 или Модель 3) необходимо просто наложить ограничения 13 =1 для Модели 3, m2 = b2 = 0 для Модели 2 и m2 = b2 = 0, 12 =1 для Модели 1. Отметим, что в процессе минимизации необходимо накладывать ограничения, согласно которым пузырь является возрастающим, а стационарный режим сдутия является убывающим. Полученные оценки дат изменения режимов (тт1, t2, t3) используются для вычисления суммы квадратов остатков (которая обозначается как SSR(t1, t2, t3)), и информационный критерий строится как

BIC = Tlog

Штрафная функция состоит из умноженной на log T величины, равной сумме числа оцениваемых коэффициентов и числа оцениваемых дат изменения режима. Как утверждают авторы, данная процедура хорошо выбирает истинную модель, но при условии, что пузырь действительно имеет место в данных. Таким образом, до использования этой процедуры необходимо протестировать наличие пузыря.

Альтернативный подход обнаружения датировки пузыря при аналогичном процессе порождения данных есть в (Phillips, Shi, 2014), см. также подход Astill et al. (2017) для проведения мониторинга появления пузыря.

2.3. Построение доверительного интервала для скорости роста пузыря

Асимптотическая теория, необходимая для анализа взрывных процессов при альтернативной гипотезе, была разработана в (Phillips, Magdalinos, 2007a,b). Авторы рассмотрели

умеренно взрывной процесс (mildly explosive process) следующего вида:

c

y = &тУ-1 +et, дт =1 + —, c >0,

который начинается в некоторой точке y0 = op (sfk^), независимой от {et, t > 1} , где {kT, T >1} — последовательность, стремящаяся к бесконечности так, что kT = o(T) при T — ж.

Последовательность авторегрессионного параметра dT =1 + c/kT >1 имеет локальный характер: dT — 1 при T — ж, но для любого конечного T она включает умеренные отклонения от единичного корня, т. е. отклонения, большие, чем O(T-1), часто используемые в контексте локальных единичных корней. Можно рассмотреть особый случай, когда kT = Tа, йё (0,1). Если а — 1, то получаем случай, при котором тесты на единичный корень имеют нетривиальную асимптотическую локальную мощность, в то время как при а — 0 получаем стационарный или взрывной процесс. При некоторых условиях регулярности авторы получают, что распределения величин

T

2с ^ ^ (дг)2-Г т " |

слабо сходятся к стандартному распределению Коши С . Это позволяет построить довери-

\

-С,

тельный интервал для dT вида стандартного распределения Коши.

, где Са — двухсторонний а-процентиль s

t ) I ¡1

3. Эмпирические результаты ¡1

Эмпирическая часть исследования посвящена проверке ряда валютного курса рубль / uj доллар США на наличие пузырей. Для анализа использовались дневные данные за период с 1 января 2014 г. по 30 июня 2015 г., что составило 390 наблюдений4. Выбор временного промежутка обусловлен экономико-политическими шоками, имевшими место осенью 2014 г., за которыми последовало резкое обесценение рубля5.

Валютный курс представляет собой цену одной валюты, выраженную в единицах другой валюты, и, таким образом, является ценой актива. Как следствие, проверка валютного курса на наличие пузырей может осуществляться в рамках описанной выше методологии, подробнее см. работу (Bettendorf, Chen, 2013).

Следуя (Phillips et al., 2011), проверим на наличие пузыря ряд уровня валютного курса и ряд его логарифма.

Сначала проверим ряд уровня валютного курса на наличие пузыря тестами SADF и GSADF, которые описываются формулами (8) и (9) соответственно. Нулевая гипотеза обоих тестов состоит в отсутствии пузыря против альтернативы о наличии пузыря (критические значения приведены в (Phillips et al., 2011, 2015a)). SADF статистика равна 4.59, поэтому нулевая гипотеза об отсутствии пузыря отвергается на любом разумном уровне значимости. GSADF статистика равна 4.71, и нулевая гипотеза об отсутствии пузыря также отвергается на любом разумном уровне значимости.

Отвергнув гипотезу об отсутствии пузыря, определим его датировку. На основе подхода (Harvey et al., 2017) определим модель, в наибольшей степени соответствующую данным. Для этого вычислим четыре информационных критерия BIC для каждой из четырех моделей, описанных в разделе 2.2:

BIC1= -3153.7, BIC2= -3169.7, BIC3= -3164.9, BIC4= -3184.1.

На основе критерия BIC выбираем последнюю модель, согласно которой процесс с единичным корнем сначала сменяется взрывным процессом, а затем стационарным процессом сдутия пузыря, который впоследствии переходит в процесс с единичным корнем, что соответствует экономической интуиции.

4 Источник: Bloomberg.

5 Результаты остаются робастными при изменении размера выборки.

Проверка ряда логарифмов валютного курса на наличие пузыря дала значение SADF-статистики 4.98 и значение статистики GSADF, равное 5.08, что в обоих случаях указывает на отвержение нулевой гипотезы об отсутствии в ряде пузыря (на любом разумном уровне значимости). Проверка датировки пузыря, следуя (Harvey et al., 2017), указывает на необходимость выбора четвертой модели, поскольку значение информационного критерия BIC для нее является наименьшим:

BICJ= -4237.1, BIC2= -4252.7, BIC3= -4247.8, BIC4= -4263.6.

Таким образом, ряд логарифмов валютного курса представляет собой процесс с единичным корнем, который сначала сменяется взрывным процессом, а затем стационарным процессом сдутия пузыря, который впоследствии вновь переходит в процесс с единичным корнем.

На рисунках 1 и 2 приведены ряды валютного курса (в уровнях и в логарифмах), последовательность значений BSADF-статистики, на которой основана датировка (Phillips et al., 2015b), а также 5%-ные критические значения для BSADF-статистик на конечных выборках, полученные на основе симуляций Монте-Карло с 30 000 повторений. Пузырь определяется на временном диапазоне, в котором BSADF-статистики превышают линию критических значений.

В таблице 1 представлены даты изменения режимов временного ряда, рассчитанные на основе минимизации суммы квадратов остатков для Модели 4, и датировка начала и конца пузыря по методу (Phillips et al., 2015b) (см. формулы (12) и (13))6, которую можно увидеть на рис. 1 и 2. Хотя датировка начала пузыря по обоим методам отличается, в (Harvey et al., 2017) показывается (на основе симуляций Монте-Карло), что минимизации суммы квадратов остатков для Модели 4 дает более точную датировку, нежели подход (Phillips et al., 2015b). В зависимости от метода и типа ряда дата начала пузыря определяется в промежутке с 29 сентября по 22 октября 2014 г.

Доверительный интервал скорости роста пузыря на основе датировки (Harvey et al., 2017) достаточно широкий. При точечной оценке 1.089 имеем 95%-ный интервал [1.004, 1.174] и 90%-ный интервал [1.050, 1.128]. Для скорости роста натурального логарифма пузыря (величины g = J/ р — J, см. уравнение (5)) датировка (Harvey et al., 2017) дает точечную оценку 1.07 и следующие доверительные интервалы: 95%-ный интервал [1.014, 1.125] и 90%-ный интервал [1.042, 1.097]7.

В ноябре 2014 г. Банк России официально перешел к режиму инфляционного таргети-рования. Основным инструментом монетарных властей в случае таргетирования инфляции являются процентные ставки. Ставкой монетарной политики Банка России служит ключевая ставка, введенная 13 сентября 2013 г., которая является индикатором стоимости денег в экономике, влияя, в свою очередь, на другие процентные ставки.

Следуя экономической теории, валютный курс и процентная ставка связаны через паритет процентных ставок. Таким образом, изменяя ключевую ставку монетарной политики,

6 Ширина окна г2 — г0 принималась равной 0.1, т. е. минимальный допустимый размер пузыря составляет 39 наблюдений.

7 Отметим, что нельзя непосредственно сравнивать скорости роста пузыря и его логарифма, поскольку данные оценки строятся на разных промежутках с различным количеством запаздывающих разностей в регрессии ADF-типа, выбранных на основе В1С.

о &

rt -

-

О

-5

vg

80

70

60

50

40

30

20

10

f

---7?: ' ........ Srrt : Р

i • * • • • • А * • *

m m m m m m

(N (N (N (N (N ro ^ »n

cscscscscscscscs

<n <N

(N ГП

(N (N (N

CO

о

\o

о &

о

<8 CD Ф

s

Л ft

CD

t

Л *

Hi iu

валютный курс

последовательность ББАОР-статистик

Рис. 1. Валютный курс, последовательность BSADF-статистик и 5%-ные критические значения для соответствующих BSADF-статистик

0

4.3

4.2

4.1

4.0

3.9

3.8

3.7

3.6

3.5

3.4

ш ш

m m

-2 -3

(N (N (N (N

логарифм валютного курса

....... последовательность ББЛОР-статистик

— — — — 5%-ные критические значения

Рис. 2. Логарифм валютного курса, последовательность BSADF-статистик и 5%-ные критические значения для соответствующих BSADF-статистик

6

5

4

3

2

1

0

Таблица 1. Датировка моментов возникновения и сдутия пузыря в рядах валютного курса

и логарифма валютного курса

Валютный курс Логарифм валютного курса Ключевая ставка

Harvey et al. Phillips et al. Harvey et al. Phillips et al. на рассматриваемую

(2017) (2015b) (2017) (2015b) дату

Начало пузыря

22.10.2014 29.09.2014

6.10.2014

29.09.2014

Окончание пузыря 16.12.2014 19.12.2014 16.12.2014 19.12.2014

Конец стационарного 12.01.2015 12.01.2015

режима сдутия пузыря

8%

17%

Банк России оказывает влияние на валютный курс. Примечательно, что дата окончания пузыря — в зависимости от способа ее обнаружения — либо точно совпадает с моментом резкого повышения ключевой ставки с 10.5 до 17%, либо наступает спустя три дня после этого. Все это служит подтверждением экономической корректности обнаруженных тестами моментов сдутия пузыря. Для иллюстративных целей на рис. 3 представлена совместная динамика валютного курса и ключевой ставки процента Банка России.

80 - 18

< =

О

12

10

о _

-5 11 8

%

£ J 6

4

2 0

(N<N<N<N<N<N<N<N

валютный курс ------ключевая ставка

Рис. 3. Валютный курс (рубль / доллар США) и ключевая ставка Банка России (справа),

03.02.2014-30.06.2015

Источник: Банк России, Bloomberg.

4. Заключение

Представленная работа посвящена обсуждению процедур тестирования рядов на наличие пузырей и определения моментов их возникновения и сдутия. Приводится описание различных тестовых методик, которые применяются в мировой литературе для проверки финансовых рядов на наличие пузырей.

Некоторые из описанных процедур применяются для тестирования ряда валютного кур- ¡5 са на наличие пузыря. Результаты показали, что на рынке обменного курса рубль / доллар

Список литературы

о

США осенью 2014 г. имел место пузырь, возникновение которого произошло в промежутке & с 29 сентября по 22 октября 2014 г., а начало процесса сдутия совпало с резким повышени- ^ ем Банком России ключевой ставки 16 декабря 2014 г.

Благодарности. Авторы благодарны двум анонимным рецензентам за ценные и кон- о

структивные замечания. §

&

t

Astill S., Harvey D. I., Leybourne S. J., Taylor A. M. R. (2017). Tests for an end-of-sample bubble in ¡§

1

uj

financial time series. Econometric Reviews. http://dx.doi.org/10.1080/07474938.2017.1307490.

Bettendorf T., Chen W. (2013). Are there bubbles in the sterling-dollar exchange rate? New evidence to from sequential ADF tests. Economics Letters, 120 (2), 350-353.

Campbell J. Y., Shiller R. (1989). Dividend-price ratio and expectations of future dividends and discount factors. Review of Financial Studies, 1, 195-228.

Diba B., Grossman H. (1988). Explosive rational bubbles in stock prices. American Economic Review, 78 (3), 520-530.

Evans G. W. (1991). Pitfalls in testing for explosive bubbles in asset prices. American Economic Review, 81 (4), 922-930.

Harvey D. I., Leybourne S. J. (2014). Asymptotic behaviour of tests for a unit root against an explosive alternative. Economics Letters, 122 (1), 64-68.

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R. (2017). Improving the accuracy of asset price bubble start and end date estimators. Journal of Empirical Finance, 40, 121-138.

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R. (2015). Recursive right-tailed unit root tests for an explosive asset price bubble. Journal of Financial Econometrics, 13 (1), 166-187.

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R., Taylor A. M. R. (2016). Tests for explosive financial bubbles in the presence of non-stationary volatility. Journal of Empirical Finance, 38, 548-574.

Homm U., Breitung J. (2012). Testing for speculative bubbles in stock markets: A comparison of alternative methods. Journal of Financial Econometrics, 10 (1), 198-231.

Phillips P. C. B., Magdalinos T. (2007a). Limit theory for moderate deviations from a unit root. Journal of Econometrics, 136 (1), 115-130.

Phillips P. C. B., Magdalinos T. (2007b). Limit theory for moderate deviations from unity under weak dependence. In: G. D. A. Phillips and E. Tzavalis (eds.), The Refinement of Econometric Estimation and Test Procedures: Finite Sample and Asymptotic Analysis, 123-162. Cambridge University Press, Cambridge.

Phillips P. C. B., Shi S. (2014). Financial bubble implosion. Cowles Foundation Discussion Paper No. 1967. http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d19/d1967.pdf.

Phillips P. C. B., Shi S., Yu J. (2015a). Testing for multiple bubbles: Historical episodes of exuberance and collapse in the S&P 500. International Economic Review, 56 (4), 1043-1078.

Phillips P. C. B., Shi S., Yu J. (2015b). Testing for multiple bubbles: Limit theory of real time detectors. International Economic Review, 56 (4), 1079-1134.

Phillips P. C. B., Wu Y., Yu J. (2011). Explosive behavior in the 1990s Nasdaq: When did exuberance escalate asset values? International Economic Review, 52 (1), 201-226.

Phillips P. C. B., Yu J. (2009). Limit theory for dating the origination and collapse of mildly explosive periods in time series data. Working Paper. Research Collection School of Economics. http://ink.library. smu.edu.sg/soe_research/1567.

Phillips P. C. B., Yu J. (2011). Dating the timeline of financial bubbles during the subprime crisis. Quantitative Economics, 2 (3), 455-491.

Поступила в редакцию 18.11.2016; принята в печать 07.04.2017.

Sinelnikova-Muryleva E., Skrobotov A. Testing time series for the bubbles (with application to Russian data). Applied Econometrics, 2017, v. 46, pp. 90-103.

Elena Sinelnikova-Muryleva

Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA), Moscow, Russian Federation; e.sinelnikova@ranepa.ru

Anton Skrobotov

Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA), Moscow, Russian Federation; antonskrobotov@gmail.com

Testing time series for the bubbles

This study is devoted to analysis of the problem of bubbles in financial markets. Various approaches and methods of testing for the presence of bubbles, as well as determining the origin and the time of the bubble contraction are discussed. The considered approaches are applied to Russian data of exchange rate for the period from 1 January 2014 to 30 June 2015. The results indicate the existence of a bubble in the Russian foreign exchange market in the period from October to December 2014. The bubble collapse is associated with the increase of the key rate by the Bank of Russia up to 17% on the 16th of December, 2014.

Keywords: unit roots; explosive process; bubble; exchange rate. JEL classification: C12; C18; C22; F31; G14.

References

Astill S., Harvey D. I., Leybourne S. J., Taylor A. M. R. (2017). Tests for an end-of-sample bubble in financial time series. Econometric Reviews. http://dx.doi.org/10.1080/07474938.2017.1307490.

Bettendorf T., Chen W. (2013). Are there bubbles in the sterling-dollar exchange rate? New evidence from sequential ADF tests. Economics Letters, 120 (2), 350-353.

Campbell J. Y., Shiller R. (1989). Dividend-price ratio and expectations of future dividends and discount factors. Review of Financial Studies, 1, 195-228.

Diba B., Grossman H. (1988). Explosive rational bubbles in stock prices. American Economic Review, 78 (3), 520-530.

Evans G. W. (1991). Pitfalls in testing for explosive bubbles in asset prices. American Economic Review, 81 (4), 922-930.

Harvey D. I., Leybourne S. J. (2014). Asymptotic behaviour of tests for a unit root against an explosive alternative. Economics Letters, 122 (1), 64-68.

\o

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R. (2017). Improving the accuracy of asset price bubble start and ^

o

end date estimators. Journal of Empirical Finance, 40, 121-138.

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R. (2015). Recursive right-tailed unit root tests for an explosive as- ^

set price bubble. Journal of Financial Econometrics, 13 (1), 166-187. g

<u

Harvey D. I., Leybourne S. J., Sollis R., Taylor A. M. R. (2016). Tests for explosive financial bubbles in §

the presence of non-stationary volatility. Journal of Empirical Finance, 38, 548-574. ^

Homm U., Breitung J. (2012). Testing for speculative bubbles in stock markets: A comparison of alter- g

native methods. Journal of Financial Econometrics, 10 (1), 198-231. |

uj

i

Phillips P. C. B., Magdalinos T. (2007a). Limit theory for moderate deviations from a unit root. Journal | of Econometrics, 136 (1), 115-130. (?s

Phillips P. C. B., Magdalinos T. (2007b). Limit theory for moderate deviations from unity under weak oa dependence. In: G. D. A. Phillips and E. Tzavalis (eds.), The Refinement of Econometric Estimation and Test Procedures: Finite Sample and Asymptotic Analysis, 123-162. Cambridge University Press, Cambridge.

Phillips P. C. B., Shi S. (2014). Financial bubble implosion. Cowles Foundation Discussion Paper No. 1967. http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d19/d1967.pdf.

Phillips P. C. B., Shi S., Yu J. (2015a). Testing for multiple bubbles: Historical episodes of exuberance and collapse in the S&P 500. International Economic Review, 56 (4), 1043-1078.

Phillips P. C. B., Shi S., Yu J. (2015b). Testing for multiple bubbles: Limit theory of real time detectors. International Economic Review, 56 (4), 1079-1134.

Phillips P. C. B., Wu Y., Yu J. (2011). Explosive behavior in the 1990s Nasdaq: When did exuberance escalate asset values? International Economic Review, 52 (1), 201-226.

Phillips P. C. B., Yu J. (2009). Limit theory for dating the origination and collapse of mildly explosive periods in time series data. Working Paper. Research Collection School of Economics. http://ink.library. smu.edu.sg/soe_research/1567.

Phillips P. C. B., Yu J. (2011). Dating the timeline of financial bubbles during the subprime crisis. Quantitative Economics, 2 (3), 455-491.

Received 18.11.2016; accepted 07.04.2017.