Новый метод формирования признаков полутоновых изображений со сложной текстурой с позиции стохастической геометрии и функционального анализа

Федотов Н. ГМокшанина. Д. А. , Шабакаев А.И., Крючкова Е.А. НОВЫЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЗНАКОВ ПОЛУТОНОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ СО СЛОЖНОЙ ТЕКСТУРОЙ С ПОЗИЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Аннотация: Предложен новый метод формирования признаков полутоновых изображений со сложной

текстурой. Приведены результаты экспериментального сравнения эффективности предлагаемого подхода и обычно используемого метода формирования признаков текстур, основанного на матрицах смежности.

В практических приложениях нередко возникает задача анализа и классификации изображений, содержащих сложные текстуры. К их числу можно отнести изображения, получаемые с помощью самолетных и спутниковых мультиспектральных сканирующих устройств, микроскопические изображения культур клеток и препаратов тканей и многие другие. Тем не менее, несмотря на повсеместное присутствие в изображениях и важность текстуры, формального подхода к её анализу и строгого определения пока не существует. В силу того, что сложноструктурированные изображения содержат множество объектов, относящихся к различным видам, каждый из которых обладает своими собственными значимыми характеристиками, задача формирования признаков существенно усложняется. В данной статье предлагается новый универсальный метод, позволяющий автоматически, без непосредственного участия эксперта генерировать большое число признаков полутоновых текстур, являющихся абстрактной характеристикой изображения.

1. Существующие подходы к анализу текстур

Важной задачей анализа текстур является выделение признаков. Можно отметить два основных подхода к анализу текстур, на основании которых могут быть сформированы их признаки:

Статистический подход, при котором наличие или отсутствие пространственного взаимодействия между непроизводными элементами оценивается вероятностным образом.

Структурный подход, при котором непроизводные элементы явно определены. В терминах данного подхода текстура составлена из регулярно или почти регулярно распределенных по пространству непроизводных элементов. Поэтому анализ текстуры, с точки зрения такого подхода, должен состоять из описания непроизводных элементов и правил их размещения [1].

Наибольшее распространение получил метод, основанный на матрицах смежности, характеризующих статистики второго порядка и описывающих пространственные связи пар яркостей элементов в цифровом изображении текстуры [1] . Матрицы смежности строятся следующим образом.

Пусть прямоугольный фрагмент анализируемой текстуры занимает Nc клеток растра по горизонтали и Nr клеток растра по вертикали, а яркость в каждой из них квантована на Ng уровней. Пусть Lc = {1, 2, ..., Nc} - горизонтальное, Lr = {1, 2, ..., Nr} - вертикальное пространственные измерения,

a G = {1, 2, ..., Ng} - множество Ng квантованных значений яркости. Множество Lr х Lc представляет

собой упорядоченную по номерам строк и столбцов совокупность клеток растра. Тогда изображение I можно представить как функцию, которая каждой клетке или паре координат из Lr х Lc ставит в соответствие значение яркости из множества G, то есть I : Lr х Lc ^ G.

Смежность определяется как матрица относительных частот P±j наличия на изображении соседних точек с яркостями i и j, расположенных на расстоянии d друг от друга. Такие матрицы зависят от определяемого парой соседних клеток углового направления и от расстояния между ними. Например, для углового направления 0° относительные частоты формально определяются следующим выражением:

P(i, j, d, 0°) = #{((k, l), (m, n)) £ (Lr х Lc) х (Lr х Lc)| k - m = 0, | l - n | = d.

I(k, l) = i, I(m, n) = j}, где знак # обозначает количество элементов множества.

Статистики матрицы смежности являются признаками текстуры. Наиболее распространенные из них:

Степень однородности или энергия:

Е P ,

íj

где Pj - элемент в позиции [i, j] матрицы пространственной взаимозависимости.

Энтропия:

ЕP !°S P .

hj

Максимальная вероятность:

maxp .

j

Контраст:

Е \*-ji *(Pj)2.

Uj

Обратный момент резкости:

\ 2

S i i- j\k

Коэффициент корреляции:

, 0 - ^)( j- м)Рц

E-

где ¡Л - математическое ожидание, С - дисперсия.

Вероятность серии длины п с яркостью і:

(Р - Рл )2(Р Г1

Рп '

Р

где рі = ЕР .

Перечисленные выше подходы предполагают использование небольшого числа признаков, сознательно выделенных экспертом-аналитиком в качестве характеристик. Мы предлагаем новый подход к распознаванию текстур, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа. Эффективность применения предлагаемого метода и подхода, основанного на матрице смежности, к проблеме распознавания полутоновых текстур проверена экспериментально на примере текстур микрошлифов чугуна с включениями графита.

2. Новый подход к анализу текстур

2.1. Формирование признаков

Подход с позиции стохастической геометрии позволяет автоматически, без непосредственного участия эксперта генерировать большое число признаков, имеющих не только конкретную интерпретацию в терминах рассматриваемой задачи, но и являющихся абстрактной характеристикой изображения. Опора на большое количество признаков повышает надежность распознавания. Эффективность аппарата стохастической геометрии была подтверждена в [2, 3].

Признаки изображения в рассматриваемом подходе имеют структуру в виде композиции трех функционалов [3, 4]

n

где 0, р нормальные координаты сканирующей прямой 1(0, р), с которыми связаны функционалы 0 и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающем точку на сканирующей прямой 1(0, р) ; F(x, у) - функция изображения на плоскости (х, у). В связи с характерной структурой такие

признаки были названы триплетными. Функционал Т называют trace-функционалом, P - диаметральным функционалом, 0 - круговым функционалом. Функционалы T, P и 0 выбираются из различных областей математики: теории вероятности, математической статистики, теории рядов и фракталов, стохастической геометрии и т. д. Таким образом, триплетные признаки сохраняют следы генезиса соответствующих областей математики, чем объясняется гибкость и интеллектуальность алгоритмов распознавания, базирующихся на триплетных признаках. Данный подход позволяет получать признаки, не зависящие от движений изображения и линейных деформаций, т.е. от аффинных преобразований изображения, путем подбора инвариантных функционалов. Кроме того, могут быть получены признаки, которые простым образом зависят от указанных преобразований. Подробное описание триплетных признаков приведено в [1, 4].

Построение триплетного признака происходит следующим образом (рис. 1). Изображение закидывается всевозможными сканирующими прямыми, определяемыми своими нормальными координатами 0 и р. На каждой прямой выделяются однородные по яркости отрезки, характеристикой которых является некоторое действительное число (например, длина отрезка). Множеству полученных характеристик отрезков данной прямой функционал Т ставит в соответствие действительное число. Таким образом, для всех возможных сканирующих прямых получим матрицу значений функционала Т, элемент T(t, Qj, pi) которой соответствует сканирующей прямой с i-ым значением параметра р и j -ым значением параметра 0. Далее функционал Р множеству элементов столбца полученной матрицы ставит в соответствие действительное число. Таким образом, для всех столбцов матрицы получим вектор значений функционала Р. Функционал 0 множеству элементов полученного вектора ставит в соответствие некоторое действительное число, которое равно значению искомого признака.

Схематически идея формирования триплетного признака показана на рисунке 1.

Рис. 1 Принцип формирования триплетного признака.

2.2. Минимизация размерности признакового пространства

Как отмечалось выше, подход с позиции стохастической геометрии позволяет автоматически генерировать большое количество триплетных признаков. И, как правило, сформированная таким образом исходная система триплетных признаков при большом их количестве избыточна и включает не влияющие на классификацию или дублирующие друг друга признаки. В некоторых задачах распознавания временные затраты на вычисление признаков могут быть значительными. Опора на минимальный набор эффективных признаков значительно сокращает время работы распознающего алгоритма. Таким образом, после генерации признаков целесообразно провести процедуру минимизации размерности признакового пространства, обеспечивающую выделение минимального набора эффективных поисковых признаков.

Для решения данной задачи могут использоваться различные преобразования и разложения, например, преобразование Фурье, использование коэффициентов Корунена - Лоева, использование методов факторного анализа. В данной статье рассмотрен подход к минимизации размерности признакового пространства, суть которого заключается в следующем.

Рассмотрим множество С = А^В , состоящее из n изображений класса А и m изображений класса В.

. п , m

Выберем подмножества А А, мощность которого — , и В В , мощность которого — , для обучения

2 2 системы, т. е. для определения степени значимости каждого признака, оставшиеся подмножества - для испытания обученной системы. Обозначим С' = А^В' .

Обозначим признак, вычисленный путем комбинации ^-того trace-функционала с 1-ым диамет-

ральным функционалом и m-ым круговым функционалом. Его значение для изображения класса А и экземпляра s этого класса обозначим , соответственно для класса В и экземпляра s этого класса

обозначим . Среднее значение этого признака для всех изображений множества А равно

п п

2 2 nAi „ ry B 2 2 nBi

mn =— ^ П»» . Для изображений множества B аналогично m»» =— ^ Пп .

-у*

ni = 1 mi = 1

Среднее значение этого признака для всех изображений множества C' :

(

Ыт

п + т

\

Стандартное отклонение этого признака по множеству С

имеет вид:

ак!т

(

п + т

т

Т I Пк1т ~ тк1т ) + Т , (Пк1т ~ тк1т

2

Т

г = 1

з=1

Признак является эффективным для распознавания изображений, если его значение устойчиво, при замене одного экземпляра текстуры на другой того же класса. Таким образом, мы определяем среднюю меру стабильности для каждого признака и измеряем её с использованием дисперсии значений признаков по всему множеству С :

к1т

(

п + т

Л

II иА1 А \\ 2 / вз В \2

.Т

I = 1 3 = 1

V

у

Чем меньше , тем более подходящим является признак П^ . Мы можем установить порог 0, ко-

торый позволит нам назначить вес признакам:

ю

№ - 9Ыт ’если «Ыт - &

Ыт |0 , если

^Ыт > &

Таким образом, информативными будут те признаки, вес которых не равен 0.

Построенная согласно указанным принципам процедура минимизации размерности признакового пространства позволяет получить минимальный набор наиболее эффективных поисковых признаков.

3. Эксперимент

Была проведена экспериментальная проверка эффективности описанного подхода применительно к проблеме распознавания полутоновых текстур микрошлифов чугуна с включениями графита.

Рассматриваемый в данном примере сплав чугуна имел ферритную металлическую основу с хлопьевидными или шаровидными включениями графита. Обучающая выборка состояла из 8 0 полутоновых текстур микрошлифов чугуна с различными формами графитных включений. Для тестирования системе было представлено 100 изображений.

Рассматриваемые текстуры микрошлифов чугуна являются полутоновыми. Предлагаемый нами подход ранее применялся лишь к бинарным изображениям, причем формируемые признаки изображений являлись их геометрической характеристикой. В настоящей же задаче мы имеем дело с полутоновыми изображениями, которые, в отличие от бинарных, имеют две группы значимых характеристик: геометрическую и

яркостную. Поэтому, для классификации полутоновых текстур, целесообразно построить распознающую систему, учитывающую как геометрические, так и яркостные особенности изображения.

Для решения поставленной задачи, были выделены две группы триплетных признаков:

признаки, характеризующие геометрические особенности изображения;

признаки, характеризующие яркостные особенности изображения.

Признаки первой и второй группы имеют одинаковую трехфункциональную структуру вида (1). Отличие между ними заключается лишь в подходе к заданию характеристик однородных по яркости отрезков сканирующих прямых. Для построения признаков, характеризующих геометрические особенности изображения, однородным по яркости отрезкам сканирующих прямых ставится в соответствие некоторая геометрическая величина (например, длина отрезка). Для построения признаков, характеризующих яркост-ные особенности изображения, однородным по яркости отрезкам сканирующих прямых ставится в соответствие некоторая яркостная величина (например, средняя яркость отрезка).

После автоматической генерации было получено 1000 признаков, из которых, путем процедуры минимизации, было выбрано 7 6 информативных. Решающая процедура была построена с учетом весовых коэффициентов каждого информативного признака. Её суть заключается в следующем. Обозначим А - множество изображений микрошлифов чугуна с шаровидным графитом, В - множество изображений микрошлифов чугуна с хлопьевидным графитом, t - тестовое изображение микрошлифа чугуна. Расстояние между тестовым образцом и множеством А есть:

Л (г, А) = Т

ю

к1т

Ыт о -

П

Ыт тк1т

Ыт

Тогда тестовое изображение относят к множеству А, если б.(Ь, А) < б.(Ь, В).

Проведенный эксперимент показал, что средняя ошибка классификации для группы информативных признаков составляет 0,5%.

Для сравнения мы провели аналогичный эксперимент с признаками, вычисленными по матрицам смежности анализируемых текстур. Эти характеристики были рассмотрены точно так же, как признаки, полученные на основе ^асе-преобразования. После этого классификация текстур была выполнена тем же способом, как и в предложенном выше подходе. Средняя ошибка классификации признаков, вычисленных по матрицам смежности, составила 15%.

Полученный результат говорит о достаточно высокой эффективности предлагаемого подхода применительно к проблеме распознавания полутоновых текстур микрошлифов чугуна с включениями графита. Причем, как было показано, он является более действенным чем обычно используемый метод, основанный на признаках, построенных с помощью матрицы смежности.

Заключение

Существует обширный класс задач технической диагностики, где ключевая информация заключена в зрительных образах. В данном случае рассмотрена задача формирования признаков полутоновых текстур микрошлифов чугуна. Для решения данной проблемы предложен новый подход, основанный на аппарате

2

стохастической геометрии, который позволяет автоматически, без непосредственного участия эксперта генерировать большое число признаков, что повышает надежность распознавания.

Описанный подход обнаруживает высокую эффективность применительно к анализу полутоновых текстур микрошлифов чугуна с включениями графита и, как было показано, является более действенным чем обычно используемый метод, основанный на признаках, построенных с помощью матрицы смежности. Причем описанный алгоритм распознавания учитывает как геометрические, так и яркостные особенности полутоновых текстур.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № Q9-Q7-QQQB9

ЛИТЕРАТУРА

1^ Харалик Р.М. Статистический и структурный подходы к описанию текстур// ТИИЭР, май 1979,

т.67, №5 - с. 98 - 118/

2^ Федотов Н.Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. Москва: Радио и

связь, 199O. - 144с.

3^ Федотов Н.Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 304 с.

4^ Федотов Н. Г., Шульга Л. А. Теория распознавания и понимания образов на основе стохастической геометрии // Искусственный интеллект. - 2QQ2^ - №2. - С. 282 - 289^