Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 58-73.

УДК 517.5

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ

ПОДПРОСТРАНСТВ

О.А. КРИВОШЕЕВА, А.С. КРИВОШЕЕВ

Аннотация. В работе изучается проблема фундаментального принципа для инвариантных относительно оператора дифференцирования подпространств функций, аналитических в ограниченной выпуклой области комплексной плоскости, допускающих спектральный синтез. Ранее эта проблема была решена при одном ограничении на кратность собственных значений оператора дифференцирования. В данной работе это ограничение снимается. Таким образом, приводится полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных ограниченных выпуклых областях.

Ключевые слова: аналитическая функция, выпуклая область, инвариантное подпространство, фундаментальный принцип.

1. Введение

Пусть D — выпуклая область в комплексной плоскости C, H(D) — пространство функций, аналитических в области D, с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах D, H*(D) — пространство, сильно сопряженное к H(D), называемое еще пространством аналитических функционалов. Символом W будем обозначать нетривиальное замкнутое подпространство в H(D), инвариантное относительно оператора дифференцирования, т.е. вместе с каждой функцией ^ подпространство W содержит и ее производную ^;. Поскольку W нетривиально, то по теореме Хана-Банаха найдется ненулевой аналитический функционал ^ Е H*(D), который обращается в ноль на всех функциях подпространства W. Пусть

f (А) = (^, exp(Az)), А Е C,

— преобразование Лапласа функционала ^. Известно (см., напр., [1], §12, п.1), что f (А) — целая функция экспоненциального типа (другими словами, выполнено неравенство

где A и B — некоторые положительные постоянные). Множество всех экспонент полно в пространстве H(D) (см., напр., [1], §12, п.1). Поэтому функция f(А) отлична от тождественного нуля.

Для каждого собственного значения £ оператора дифференцирования в W (т.е., собственная функция exp(£z) этого оператора лежит в W) верно равенство

f (£) = exP(£z)) = о.

O.A. Kriyosheyeya, A.S. Kriyosheyey, The fundamental principle for invariant subspaces.

© КРИВОШЕЕВА О.А., КРИВОШЕЕВ А.С. 2010.

Поступила 8 июля 2010 г.

Следовательно, совокупность всех собственных значений (Лк} оператора дифференцирования в Ш является частью нулевого множества целой функции f. Это, в частности, озна-

Будем считать, что последовательность (Лк} пронумерована по неубыванию модулей.

Пусть Шк — кратность собственного значения Лк в Ш, т.е.б присоединенные функции гп ехр(Лкг) оператора дифференцирования принадлежат подпространству Ш для всех п = 1,... , Шк — 1, а функция гтк ехр(Лкг) таким свойством уже не обладает. Тогда верны равенства

Следовательно, число Шк не превосходит кратности нуля Лк функции f (Л). В этом случае говорят, что кратная последовательность Л = (Лк,Шк}^=1 (которую называют кратным спектром оператора дифференцирования в подпространстве Ш) является частью кратного нулевого множества функции f. Пусть

— множество всех собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в Ш. Говорят, что подпространство Ш допускает спектральный синтез, если система Е

где V — некоторый функционал из Н*(Д), а — соответствующая ему (не единственным образом) комплексная мера с компактным носителем в области Д. В частности, это относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков, к линейным разностным и дифференциальноразностным уравнениям с постоянными коэффициентами как конечного, так и бесконечного порядков (см., напр., [1], §17, п.1). В случае, когда подпространство Ш является пространством решений однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, хорошо известен фундаментальный принцип Л. Эйлера, согласно которому каждая функция из Ш представляет из себя линейную комбинацию собственных и присоединённых функций оператора дифференцирования в Ш (их в этом случае конечное число). В связи с этим проблема представления функций из инвариантного подпространства Ш С Н(Д), допускающего спектральный синтез, посредством рядов по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования в W

сходящихся в топологии пространства Н(Д), носит также название проблемы фундаментального принципа для инвариантных подпространств.

Ее решение тесно связано с решением интерполяционной задачи в пространствах целых функций и имеет очень богатую историю. Обзор некоторых основных результатов по проблемам фундаментального принципа и интерполяции можно найти в работе [4]. Здесь мы отметим лишь некоторые из работ, а именно [4]—[14], в которых решалась проблема фундаментального принципа. В работе [4] при условии т(Л) = 0, где

чает, что множество (Л&} конечно или счетно. В последнем случае Л| ^ то при к ^ то.

f(п)(Лк) = (и,ехр(Лг))|дПЛк = (и,гпехр(Лкг)) = 0, п = 0,... ,Шк — 1.

Е (Л) = (гп ехр(Лк ^^йО

М(^)(с) = (V, ^(г + с)) = J у(г + с)^а(г) = 0,

^,т^ — 1

к=1,п=0

найдено полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных выпуклых областях комплексной плоскости. Целью данной работы является доказательство того, что в случае ограниченной области Д условие ш(Л) = 0 необходимо для фундаментального принципа. Таким образом, результат этой работы вместе с результатом работы [4] дает полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных ограниченных выпуклых областях уже без всяких дополнительных ограничений.

2. Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов

Прежде чем перейти к формулировке и доказательству основного результата этого параграфа, сделаем некоторые необходимые замечания и докажем вспомогательный результат.

Для последовательности Л = (Лк, Шк }^=1 положим

а (Л) = Иш1^, N (Л) = Нш-^г,

з-<* ^1 з-™ ^1

где (Сз} — неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Лк, причем каждая Лк встречается в ней ровно Шк раз.

Пусть система

Е (Л) = К ехр(Лк *)}£5!0

не полна в пространстве Н(Д), и Ш — подпространство в Н(Д), которое является замыканием в топологии Н(Д) линейной оболочки системы Е(Л). Тогда оно, очевидно, нетривиально (т.е. Ш = (0},Н(Д)), замкнуто в Н(Д), инвариантно относительно оператора дифференцирования и допускает спектральный синтез. Таким образом можно получить любое нетривиальное замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство пространства Н(Д), допускающее спектральный синтез. При этом система Е(Л) совпадает с множеством всех собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в Ш. Во введении отмечалось, что последовательность Л является частью нулей целой функции экспоненциального типа f. Следовательно, нули f, а значит и последовательность Л, имеют конечную верхнюю плотность (см., например, [15], гл.1, теорема 2.3), т.е., N (Л) < то. Отсюда легко следует, что величина а(Л) равна нулю.

При помощи функции f (Л) всегда можно построить (см., например, [15], [4]) последовательность целых функций ^к,4, элементы которой являются преобразованиями Лапласа соответствующих элементов последовательности функционалов (^,4 С Н*(Д), биорто-гональной к системе функций Е(Л), т.е. выполнены равенства:

(^к,п, гр ехр(Лзг)) = 1, если к = ^', п = р

и (^к,п, гр ехр(Лзг)) = 0 в противном случае, т.е., к = ] либо к = ] и п = р.

Пусть Ш(Д, Л) — пространство сумм рядов вида (1), которые сходятся в топологии Н(Д). Существование биортогональной последовательности обеспечивает единственность представления элемента д Е Ш(Д, Л) рядом (1), поскольку в этом случае коэффициенты ряда однозначно определяются по формуле

4 ,П = (^к,п,д), к = 1, 2,..., п = 0,1,...,Шк - 1.

Из определений множеств Ш(Д, Л) и Ш сразу следует вложение Ш(Д, Л) С Ш. С другой стороны, любая конечная линейная комбинация элементов системы Е(Л) представляет из

себя ряд (1), в котором отлично от нуля лишь конечное число коэффициентов. Поэтому Е(Л) С Ш(Д,Л). Таким образом, верны также вложения

Е(Л) С Ш(Д, Л) С Ш

Первое и последнее из этих множеств совпадают с Ш. Следовательно, мы имеем равенство Ш (Д, Л) = Ш.

Проблема фундаментального принципа состоит в том, чтобы выяснить условия, когда W совпадает с пространством функций Ш(Д, Л). В силу последнего равенства эта проблема равносильна проблеме замкнутости множества сумм Ш(Д, Л) в пространстве Н(Д).

Мы хотим показать, что равенство ш(Л) = 0 является необходимым условием замкнутости подпространства Ш(Д, Л) в пространстве Н(Д) в случае ограниченной выпуклой области Д. Но прежде сделаем еще одно наблюдение.

Пусть Ь > 0 и Д* — область, полученная из Д при помощи преобразования гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом Ь, т.е.

Д4 = (/ = ¿г : г € Д}.

Положим

Л(Ь) = {¿-1Лк ,Шк}

Очевидно, что при любом Ь > 0 из равенств а (Л) = ш(Л) = 0 следуют равенства а(Л(Ь)) = ш(Л(Ь)) = 0 и наоборот.

Лемма 1. Подпространства Ш(Д, Л) и Ш(Д4, Л(Ь)) замкнуты или незамкнуты соответственно в Н(Д) и в Н(Д*) одновременно.

Доказательство. Пусть Ш(Д, Л) — замкнутое подпространство в Н(Д), и последовательность (^г}гс=1 С Ш(Д4,Л(Ь)) сходится к функции Л,0 в топологии пространства Н(Д*). Положим

дг(г) = (¿г), г € Д, / = 0,1, 2,...

Тогда последовательность (дг}С=1 лежит в Н(Д) и сходится в топологии этого пространства к функции д0. По определению Ш(Д*, Л(Ь)) имеем

— 1

(ад) = ^к,падпехр(Ь—1Лкад), / = 1, 2,...

к=1,п=0

причем ряды сходятся в пространстве Н(Д*). Следовательно,

— 1

дг(г) = Л-г (¿г) = (ад) = ^ ^к,падп ехр(Ь—1Лкад) =

к=1,п=0

С,Шк — 1 С,Шк — 1

= ^к,пЬпгпехр(Ь—1Лк¿г) = ^к,пгпехр(Лкг), / = 1, 2,...

к=1,п=0 к=1,п=0

где

^к,п = ^к>пЬп, к,/ = 1, 2,..., п = 0,1,...,шк — 1,

и последние ряды сходятся в пространстве Н(Д). Это означает, что последовательность (дг}С1 лежит в подпространстве Ш(Д, Л). Поскольку оно замкнуто, то и функция д0 также принадлежит Ш(Д,Л), т.е. д0 раскладывается в ряд вида (1), сходящийся в топологии пространства Н(Д):

м,т^-1

g°(z)= 'Yh exp(Afcz).

fc=1,ra=0

Но тогда функция h0 также раскладывается в ряд (1), сходящийся уже в топологии пространства W (Dt, A(i)):

— 1

h0(w) = exp(i—1Afc w),

k=1,n=0

где n/tn, т.е. h0 G W(Dt, A(i)). Таким образом, W(Dt, A(i)) — замкнутое подпро-

странство в H(Dt).

Пусть теперь W(Dt, A(i)) является замкнутым подпространством пространства H(Dt). Очевидно, что верны равенства

D = D 1/t, A = A(1/i),

где D = Dt и Л = A(i). Тогда, как и выше, показывается что, подпространство

W

замкнуто в пространстве H(D). Лемма доказана.

Символами B(z,r) и S(z,r) будем обозначать соответственно открытый круг и окружность с центром в точке z и радиуса г, а символом S — окружность S(0,1). Пусть

HM (A) = sup Re(zA), A G C

zeM

— опорная функция множества M С C (точнее говоря, комплексно сопряженного к M множества). Она является выпуклой, положительно однородной порядка один и полунепрерывной снизу. Если M ограничено, то функция Hm(A) непрерывна в комплексной плоскости (см. [16]).

Сформулируем и докажем, наконец, основной результат параграфа — необходимое условие замкнутости подпространства W(D, Л).

Теорема 1. Пусть D — ограниченная выпуклая область в C и последовательность A = {Ak,mk}^=1 такова, что система E(Л) неполна в пространстве H(D). Предположим, что W(D, Л) замкнутое подпространство в H(D). Тогда верно равенство m(A) = 0.

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдутся положительное число т и подпоследовательность {Afcj, } такие, что последовательность

{mkj/|Afcj|} сходится к т, когда j ^ то. Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что {A&./|A&.|} также сходится к некоторой точке £ окружности S. Рассмотрим по отдельности три возможные ситуации: начало координат лежит во внешности области D, в самой области D, и на ее границе.

1) Пусть 0 G D. Поскольку D — ограниченная область, то согласно лемме 1 (делая, если необходимо, преобразование гомотетии с центром в нуле), можно считать, что для некоторой точки а окружности S (очевидно,она не является неединственной) круг B(a, 1) компактно содержит область D. Рассмотрим ряд

СЮ

Y cj (z - a)m(j) exp(Afcjz), j=1

где m(j) = — 1, Cj = exp(—Hk(A*.)) и K — некоторый выпуклый компакт из обла-

сти D. Покажем, что при подходящем выборе компакта K этот ряд сходится в топологии пространства H(D). Для этого, прежде всего, заметим, что в силу компактности вложения области D в круг B(a,r) найдется радиус r Е (0,1) такой, что круг B(a,r) все еще содержит область D. Поэтому для каждого z Е D верна оценка

|Cj(z — a)m(j) exp(Afcjz)| ^ Cjrm(j) exp(Re(Afcjz)) ^

^ rm(j) exp (Re(Afc.z) — Hk(Afc.)) ^ rm(j) exp(HD(Afc.) — Hk(Afc.)),j = 1, 2,...

При получении последнего неравенства мы воспользовались определением опорной функции области D. Поскольку {m*. /A. |} сходится к т, когда j ^ то, то для некоторого номера jo, имеем:

i л ^ т |Afc.1 • ^ •

m(j) > , j > jo.

Следовательно, из предыдущего получаем:

|cj(z — a)m(j) exp(Afcjz)| ^ exp (m(j) lnr + HD(Afcj) — Hk(A*.)) ^

^ exp(—в|Afc.| + HD(Afcj) — Hk(Afcj)), j > jo,

где в = —2-1т ln r > 0. Выберем теперь компакт K из области D настолько большой, т.е.

настолько "близкий"к самой области D, что выполнена оценка (в силу ограниченности D

такой компакт найдется)

HD(A) ^ Hk(A) + 2-1e|A|, A Е C.

Отсюда и из предыдущего неравенства получаем:

|Cj(z — a)m(j) exp(Afcjz)| ^ exp(—2-1в|Afcj |), j > jo.

Тогда с учетом сделанного в начале параграфа замечания о том, что в условиях теоремы верно равенство а(Л) = 0, и леммы 1 из работы [17] для всех z Е D, имеем:

СЮ СЮ

Y |cj(z — a)m(j) exp(Afcjz)| ^ Y exp(—2-1e|Afcj|) < то. j=j0 j=j0

Это означает, что ряд (2) сходится равномерно во всей области D. Поэтому функция

СЮ

g

j=1

аналитична в D. По условию подпространство W(D, Л) замкнуто в H(D). Следовательно, функция g(z) как предел элементов подпространства W(D, Л) (частичных сумм ряда (2)) принадлежит W(D, Л). Поэтому, согласно определению W(D, Л), имеет место представление

— 1

g

fc=1,ra=0

причем последний ряд сходится в топологии пространства H(D).

Пусть {^к,«}^™«^ — биортоганальная к семейству Е(Л) последовательность функционалов из сопряженного пространства Н*(О), о существовании которой говорилось выше. Тогда в силу линейности и непрерывности этих функционалов из (4) получаем:

^,Шк — 1

^,о(#) = ^ 4,п^к.,о(гга ехр(Лкг)) = 4.,о, 3 = 1, 2,...

к=1,п=0

С другой стороны, из представления (3) имеем:

СЮ

^,о(#(г)) = ^ Сз^,о((г - а)т(з) ехр(Лк.г)) = (-1)т°Ч'3 = 1, 2,....

3=1

Поэтому

т.к. точка а лежит на окружности 8. Поскольку К г0 Е О такая, что

Яе(го£) > Нк(С).

Тогда из сходимости последовательности {Лк. /|Лк. |} к точке С, непрерывности и однородности опорной функции компакта для всех достаточно больших номеров 3 следует соотношение

Де(гоЛк. ) > НК (Лк. ).

Отсюда для этих же 3 с учетом определения коэффициентов С; получаем:

|4.,о ехр(Лк.го) | = |С; ехр(Лк.го) | = ехр(Яе(Лк.го) - Нк(Лк.)) > 1.

Это противоречит необходимому условию сходимости ряда (4) в точке г0. Таким образом, предположение о том, что т(Л) = 0 неверно. Следовательно, в этом случае теорема доказана.

2) Пусть теперь 0 Е О. Через Т обозначим пересечение опорной прямой области О в направлении С с границей этой области, т.е.

Т = {г : ЯфС) = Но (С)} |"| ЭО.

В силу ограниченности О множество Т не пусто и является точкой или отрезком. Как и выше (делая, если это необходимо, преобразование гомотетии с центром в нуле), можно считать, что для некоторой точки а окружности 8 круг В (а, 1) содержит множество Т и, кроме того, область О лежит в круге В(0,1).

Рассмотрим ряд

СЮ

^ С;

3=1

где

С; = ехр(-Нк (Л к.)), 3 = 1, 2,...,

и К — некоторый выпуклый компакт в О и {п(3)} — последовательность натуральных чисел. Покажем, что при подходящем выборе К и чисел п(3), 3 = 1, 2,..., этот ряд сходится в топологии пространства Н(О). Для этого, прежде всего, заметим, что Т — компакт, а

= 1,2,...,

— компакт в О, то существует точка

потому лежит в круге В (а, 1) вместе с некоторой своей окрестностью. Следовательно, найдется е > 0 такое, что множество

Т(е) = {г : Де(гС) > Но (С) - е} р| О

компактно принадлежит В(а, 1). Другими словами, Т (е) содержится в круге В (а, г) при некотором г из интервала (е—1,1).

Поскольку последовательность {тк./|Лк. |} сходится к т, когда 3 ^ то, то для каждого

3, начиная с некоторого номера з0, мы можем выбрать натуральное число п(3), которое

не превосходит т(3) и, кроме этого, удовлетворяет неравенствам

где 7 = шт{е/4, т/2}. Выберем теперь компакт К из области О настолько большой, что выполнена оценка

Но

Учитывая вложение Т (е) С В (а, г), определение коэффициентов С; и опорной функции области О, из (6) и (7) получаем

|с;(г - а)п(з) ехр(Лк.г)| ^ ехр(п(3) 1пг + Но(Лк.) - Нк(Лк.)) ^

^ ехр(7|Лк. 11п г + Нд(Лк.) - Нк(Лк.)) ^

^ ехр

Поскольку последовательность {Лк./1Лк• |} сходится к точке С при 3 ^ то, то, увеличивая при необходимости номер 3о, можно считать, что для 3 > 3о верна оценка

В частности, эта оценка имеет место для всех г Е О С В(0,1). Следовательно,

Де

Кроме того, используя непрерывность опорной функции ограниченной области, можно также считать, что

Пусть теперь г Е О\Т(е). Тогда, учитывая определение коэффициентов С; и вложение

О С В(0,1) (в силу которого |г - а| ^ 2, г Е О) и неравенство (9), имеем:

|с;(г - а)п(з) ехр(Лк.г)| ^ ехр(п(3) 1п |г - а| + Де(гЛк.) - Нк(Лк.)) ^

^ ехр(п(3) 1п2 + |Лк.|Де(гС) + 16—1е|Лк. | - Нк(Лк.)) ^

^ ехр(п(3) + |Лк.|Де(гС) + 16—1е|Лк.| - Нк(Лк.)).

Отсюда и из определения множества Т(е) для всех г Е О\Т(е) имеем:

|с;(г - а)п(з) ехр(Лк.г)| ^

^ ехр(п(3) + |Лк.|(Но(С) - е) + 16 1е|Лк.| - Нк(Лк.)), г Е О\Т(е).

Это вместе с (10) дает нам неравенство

|с;(г - а)п(з) ехр(Лк.г)| ^

^ ехр(п(3) - е|Лк. | + Но (Лк.) + 8—1е|Лк. | - Нк (Лк.)), 3 > 3о, г Е О\Т (е).

Отсюда с учетом (6), (7) и неравенств 0 > 1п г > -1 (которые выполнены в силу выбора числа г) получаем:

|с;(г - а)п(з) ехр(Лк.г)| ^ ехр(- е|Лк. | + 8—1 е|Лк. | - 2—17|Лк. 11п г) ^

^ ехр((-----^-----------2----) ^ ехр(------^ г Е О\Т(е),3 > 3о.

Вспоминая теперь определение числа 7, окончательно имеем:

|сі(г - аГ0) ехР(Лк.г)1 ^ ехр(-)> г є Д\Т(є) З - З°.

Отсюда и из (8) для всех г Є Д и З — Зо получаем неравенство:

|с,-(г - а)га(^} ехр(Лк.г)| ^ ехр(—р|Лк.|),

где

є 71п г р = тіп{ ^,---— }.

Таким образом, как и в случае 1) ряд (5) сходится равномерно в области Д (а, значит, и в топологии пространства Н(Д)) к некоторой функции д, аналитической в Д. Все дальнейшие рассуждения практически дословно (нужно лишь заменить числа т(З) на п(_і)) повторяют соответствующие рассуждения в случае 1).

Следовательно, равенство т(Л) = 0 имеет место и в случае 2).

3) Пусть, наконец, 0 Є дД. В этом случае некоторая опорная прямая области Д которую мы обозначим символом /, проходит через начало координат (если таких прямых несколько, то в качестве I выберем любую из них). Через а обозначим одну из точек пересечения I и окружности 8. Тогда —а является другой точкой пересечения I и 8. Прямая I делит плоскость на две полуплоскости. Область Д целиком лежит в одной из этих полуплоскостей. Точку окружности 8, которая принадлежит той же полуплоскости, что и Д, и лежит на прямой I', перпендикулярной I и проходящей через начало координат, обозначим через Ь. Прямая I делит круг В(0,1/2) на два полукруга. Делая преобразование гомотетии с центром в нуле, можно считать, что область Д лежит в одном из этих полукругов, который обозначим В' (в том, который лежит по ту же сторону от прямой I что и точка Ь).

Поскольку последовательность {ш*./Л. |}^=і сходится к числу т, отличному от нуля, то переходя к подпоследовательности, можно также считать, что выполнены неравенства

2т Л. | — т(З) — 2^ (З) — 4^ Л. |,

где V > 0 и V (З), З = 1, 2,... — любые натуральные числа, удовлетворяющие этим неравенствам. Рассмотрим ряд

те

Y cj exp

j=i

где

Cj = exp( sup(v(j) ln |z| + Re(zAfc.))).

Покажем, что при подходящем выборе числа $ > 0 ряд (11) сходится в топологии пространства H(D). Для этого, прежде всего, оценим модуль многочлена

p

на границе полукруга B;. Пусть z Є [—а, а] и x = |z|. Рассмотрим систему координат, образованную прямыми l и l;. Меняя, если это необходимо, местами точки а и —а, можно считать, что в этой системе координат точки а и b имеют соответственно координаты (1,0) и (0,1). Тогда легко убеждаемся, что имеет место равенство

|p(z)| = (1 — x2)Vl + x2, z Є [—а, а].

Непосредственно проверяем, что функция, стоящая в правой части этого равенства строго убывает на отрезке [0,1] и равна единице при x = 0. Следовательно, верны соотношения

Пусть теперь z принадлежит той части границы полукруга В;, которая является полуокружностью. Через x обозначим расстояние от точки z до прямой l;, а через y — расстояние от точки z до прямой l. Другими словами, (x,y) — это координаты точки z в указанной выше системе координат. Тогда прямым подсчетом получаем

|p(z)| = /(1 — x)2 + У2 \/ (1 + x)2 + y2 л/ (1 — y)2 + x2.

Раскрывая под радикалами скобки и замечая, что x2 + y2 = 1/4 (т.к. точка z лежит на окружности S(0,1/2)), имеем:

|p(z )| = /5/4 — 2x /5/4 + 2x/5/4 — 2y =

= /25/16 — 4x2/5/4 — 2y = /9/16 + 4y2/5/4 — 2y.

Нетрудно показать, что последняя функция строго убывает при y Є [0,1/2], причем на

концах этого отрезка принимает значения строго меньше единицы. Таким образом, на всей рассматриваемой полуокружности верна оценка: |p(z)| < 1. Следовательно, с учетом

(12) получаем

|p(z)| < 1, z Є SB'\{0}, |p(0)| = 1.

Отсюда и из принципа максимума модуля для аналитических функций следует оценка:

Фиксируем какую-нибудь точку zo области D. Тогда с учетом определения чисел Cj,

j = 1, 2,... верны неравенства

Cj|z|v(j) exp(Re(Afcjz)) ^

^ exp( v(j) ln |zo| — Re(zoAfcj))|z|v(j) exp(Re(Afcjz)) =

= exp(v(j)(ln |z| — ln |zo|) + Re(zAfcj) — Re(zoAkj)), j = 1, 2,....

Учитывая, что

V |Лк. | ^ V(3) ^ т |Лк. ^ 3 = 1, 2,...,

получаем отсюда для всех г из круга В(0,г), где г Е (0,1):

С; |г|^(з) ехр(Де(Лк.г)) ^

Выберем го Е (0,1) настолько маленькое, что выполнено неравенство

Тогда из предыдущего получаем:

Поскольку область О лежит в полукруге В;, а О\В(0, го) является компактом, то согласно

г€В\В

Следовательно, с учетом того, что

V |Лк. | ^ V (3), 3 = 1, 2,..., найдется е Е (0, 1), для которого имеет место оценка

Выберем теперь в качестве 8 какое-нибудь число из интервала (0, е/2). Тогда из (13) и (14) следует неравенство

С; ехр(8|Лк. |)|г|^(;)|р(г)|^(;) ехр(Де(Лк.г)) ^

^ ехр(-|Лк. |) ехр(е|Лкк|/2) ^ ехр(-е|Лк.|/2), г Е ° р В (0 ,го), 3 = 1, 2,...

Кроме того, в силу (15) и определения чисел С; получаем

С; ехр(8|Лк. |)|г|*(;)|р(г)|^(;) ехр(Де(Лк.г)) ^

^ ехр( sup(v(3) 1п |г| + Де(Лк.г)))ехр(е|Лк. |/2 - е|Лк. | + Яб(Лк.г))|г|^ =

¿ев

= ехр( sup(v(3)1п |г| + Яб(Лк.г)) + Де(Лк.г) + V(3) 1п |г| - е|Лк. |/2) ^

¿ев

^ ехр(-е|Лк. |/2), г Е О Р В(0, го), 3 = 1, 2,...

Объединяя эту и предыдущую оценку, имеем:

го го

^ С; ехр(8|Лк.|)|г|^(;)|р(г)|^(;) ехр(Де(Лк.г)) ^ ^ехр(-е|Лк.|/2), г Е О.

;=1 ;=1

Так же, как и выше, по лемме 1 ряд из работы [17] получаем, что последний ряд сходится. Таким образом, ряд (11)сходится равномерно во всей области О. Следовательно, его сумма д(г) является функцией, аналитической в О.

С другой стороны, как и в случае 1) имеет место представление (4) (здесь мы учитываем неравенство тк. - 1 = т(3) > 4v(3)). При этом, как нетрудно убедиться, причем выполнены равенства

Ик.,*

для всех 3 = 1, 2, . . .

Поскольку О ограничена, то для каждого 3 = 1, 2,... найдется точка г; Е О такая, что

|г;^ ехр(Дв(г;Лк.)) = 8ир(|г|^(;) ехр(Де(гЛк.))) = с-1.

¿ев

Выберем подпоследовательность натуральных чисел 3(1),3(2),... так, что последовательность {г^р^рГО^ сходится к некоторой точке 5 Е О. В силу неравенства (14) точки г;, 3 = 1, 2,..., а вместе с ними и точка 5 не попадают в круг В(0, го).

Фиксируем 8' Е (0,8/4), удовлетворяющее условию

1 ^ 48', ^ 8

т 1п(1 + ^> « 2.

Пусть г' Е О Р| В (г, 8'). Очевидно, можно считать, что |г'| > го/2. Поскольку последовательность {г;(р)}рГО=1 сходится к г, то для всех номеров р, начиная с некоторого ро, выполнено неравенство

|г' - г;(р)| ^ 28', р > Ро.

Тогда, учитывая еще неравенства |г'| > го/2, V(3) ^ т|Лк. |, 3 = 1, 2,..., выбор точек г; и числа 8' имеем:

С7(р) = |гЛр)Г0(р)) ехр(Де(Лк.(Р)г;(р))) =

= |(г;(р) - г') + г'Г0(р)) ^Р^К^) - г' + г')Лк.(р))) ^

^ exР(v(3(Р)) 1п |г;(р) - г' + г'| + Ле((г;(р) - г' + г')Лк.(р))) ^

^ eXР(v (3 (Р))(1п |г'| + 1п(1 + г| ))) + Де(г'Лк.(р) ) + |г;(р) - г'||Лк.(р) |) ^

28'

^ ехР^(3 (Р))(1п |г'| + 1п(1 + Щ) + Де(Лк.(Р) г') + 28'| Лк.(р) |) ^

^ exР(v(3(Р))(1п |г | + 1п(1 + —) + Де(Лк.(Р)г ) +----------2^) ^

го 2

^ exР(v(3(Р))(1п И + 2т) + Де(Лк.(Р)г') + | . | ) ^

^ exp

= |г'!^(р)) ехр(Де(г'Лк.(р)) + 8|Лк.(р) |),Р > Ро.

Следовательно, с учетом (16) получаем

Ик^клр))^ 'Г°'(р)) ехР(г'Лк.(Р))| =

= |сЛр)(г'Г0(р)) ехР(8|Лк.(р) |)ехР(Лк.(р)г')| > 1 Р > Ро.

Это противоречит необходимому условию сходимости ряда (4) в точке г' Е О.

Таким образом, равенство т(Л) = 0 имеет место и в этом случае. Теорема полностью доказана.

3. Фундаментальный принцип

В этом заключительном параграфе мы сформулируем и докажем фундаментальный принцип для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез. Как уже отмечалось во введении, этот результат уже был получен ранее в работе [4] при одном ограничении на кратность показателей ряда (1): ш(А) = 0. В данном параграфе это ограничение устраняется.

Прежде чем привести указанный результат, введем еще некоторые обозначения. Для выпуклой области D через K(D) обозначим последовательность {Kp}£=i выпуклых компактов из области D, которая строго исчерпывает ее, т.е. Kp С mtKp+1, p = 1, 2,... (здесь символом int обозначена внутренность множества) и D = UpJ=1Kp.

Пусть d = {dfc,ra}fc=,irln=<0 — последовательность комплексных чисел. Для каждого p = 1, 2,... введем банахово пространство

Qp = {d = {dfc,„} : ||d||p = sup |dfc,„| exp (Afc) < to},

k,n

где Kp 6 K(D). Пусть Q(D) = flpQp. В пространстве Q(D) определим метрику

СЮ

о(<1 ^') = V 2-^^ ^'||р

С этой метрикой ^(О) становится, очевидно, пространством Фреше.

Пусть f (Л) — целая функция экспоненциального типа. Ее индикатором (верхним индикатором) называется функция

4/(Л) = Пт-------------, Л Е С.

Символом 4/ обозначим нижний индикатор функции f

п/(Л) = 11т 11т —— -------ахау, г = х + гу.

/ г^опо2 3 £

Из определений индикаторов вытекает неравенство

4/(Л) ^ 4/(Л), Л Е С.

Говорят, что функция f имеет (вполне) регулярный рост, если верно равенство

4/ = 4/(Л), Л е С.

Последовательность Л = {Лк, тк}ГО=1 будем называть правильной, если она является частью правильно распределенной последовательности при порядке один. Это равносильно тому, что Л является частью нулевого множества (с учетом кратностей тк) целой функции экспоненциального типа и вполне регулярного роста. Пусть Л — правильная последовательность. Через ^ (Л) обозначим множество всех целых функций экспоненциального типа и вполне регулярного роста, для каждой из которых Л является частью ее нулевого множества.

Следуя работам [4], [14], для последовательности Л = {Лк,тк}ГО=1 введем величину, характеризующую меру сгущения точек Л; вокруг Лк. Положим 5а = 0, если Л состоит из конечного числа элементов, и

5л = ЦтШт1п ^(8)|

в противном случае. Здесь

«Л № = П

Л. ЄВ(Л^,й|Л^|),к=і

Величина 5л схожа по смыслу с классическим индексом конденсации Бернштейна-Леонтьева последовательности Л (см. [2]) и играет ту же роль, что и последний, при исследовании особых точек суммы ряда (1) (см. [18]).

Пусть последовательность Л = (Л&, га&}^=1 такова, что система Е(Л) неполна в пространстве Н(Д). На пространстве ф(Д) определим оператор Ь следующим образом. Последовательности й = (4,га} Є ф(Д) (возможно, не каждой) поставим в соответствие сумму д^(^) ряда (1), сходящегося в топологии пространства Н(Д). Таким образом, оператор Ь действует из пространства ф(Д) в пространство Ш(Д Л). При этом область его определения не обязана совпадать с ф(Д). Пусть Ш — замкнутое инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство в Н(Д) со спектром Л, допускающее спектральный синтез. Другими словами, подпространство Ш совпадает с замыканием в Н(Д) линейной оболочки системы Е(Л). Следовательно, оно содержит подпространство Ш(Д,Л). Таким образом, оператор Ь действует из пространства ф(Д) в Ш. Неполнота системы Е(Л) в пространстве Н(Д) равносильна тому, что Ш является нетривиальным подпространством в Н(Д).

Теорема 2. Пусть Д — ограниченная выпуклая область в С, Ш — нетривиальное замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство в Н(Д) со спектром Л, допускающее спектральный синтез. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Оператор Ь является изоморфизмом линейных топологических пространств ^(Д) и

2) Каждая функция из Ш представляется рядом (1), равномерно сходящимся на компактах из области Д.

3) $а = 0, Л — правильная последовательность и существует функция f Є ^(Л) такая, что

сюръективен. Согласно определению последнего это означает, что каждая функция из Ш представляется рядом (1), равномерно сходящимся на компактах из области О, т.е. выполнено 2).

2)^1). Пусть верно утверждение 2). Тогда согласно определению подпространства Ш(О, Л) оно содержит Ш. Выше отмечалось, что в условиях теоремы имеет место и обратное вложение Ш(О, Л) С Ш. Таким образом, подпространства Ш(О, Л) и Ш совпадают. В частности, это означает, что Ш(О,Л) замкнуто в Н(О). Кроме того, Ш — нетривиально, а потому система Е(Л) неполна в Н(О). Тогда по теореме 2 верно равенство т(Л) = 0. В начале предыдущего параграфа мы отмечали, что неполнота системы Е(Л) влечет за собой также равенство а (Л) = 0.

В силу утверждения 2) каждая функция д Е Ш представляется в области О рядом

й/(Л) = Но (Л), Л Є С.

Доказательство. 1)^2). Если верно утверждение 1), то оператор

в пространстве H(D) влечет за собой существование последовательности функционалов {^fc,n} С H*(D), биортогональной к системе функций E(Л). Поэтому коэффициенты разложения функции g 6 W в ряд (1), равномерно сходящийся на компактах из области D, определяются однозначно по формуле

dfc,n =(^fc,n,g), k = 1, 2,..., n = 0,1,...,mfc.

Отметим, что W как замкнутое подпространство пространства Фреше H(D) (см., например, [1]) само является пространством Фреше. Топология в W задается при помощи системы полунорм

где {Kp}pJ=1 = K(D) . Используя теорему 1 в работе [17] для каждой функции g 6 W и каждого p = 1, 2, . . ., получаем:

— 1 — 1

fc=1,n=0 fc=1,n=0

где {dfc,n} — последовательность коэффициентов разложения функции g в ряд (1), а постоянная Cp > 0 зависит от номера р, но не зависит от d = {dfc,n}, а значит, и от g.

Таким образом, оператор L : Q(D) ^ W является взаимно однозначным линейным и непрерывным отображением пространств Фреше. Тогда по теореме об открытом отображении (см. [20], приложение 1, теорема 2) для пространств Фреше оператор L осуществляет изоморфизм линейных топологических пространств Q(D) и W. Это дает нам утверждение 1).

2) ^ 3). Если верно утверждение 2), то, как и выше, имеет место равенство: т(Л) = 0. Тогда по теореме 5.2 в работе [4] верно также следующее утверждение: Sa = 0 и существует целая функция экспоненциального типа f, которая обращается в ноль в каждой точке А& с кратностью, не меньшей чем m^, имеет регулярный рост, и ее верхний индикатор равен Hd , т.е. имеют место тождества hf = hf = Hd. Первое тождество здесь означает, что функция f имеет регулярный рост. Таким образом, Л — правильная последовательность, F 6 f (Л) и выполнено равенство

hf(А) = HD(А), А 6 C.

Тем самым мы показали, что утверждение 3) верно.

3)^2). Пусть верно утверждение 3). Тогда Sa = 0, и согласно определению правильной последовательности существует целая функция экспоненциального типа f, которая обращается в ноль в каждой точке А& с кратностью, не меньшей чем m^, имеет регулярный рост (т.е. hf = hf) и выполнено равенство

hf(А) = HD(А), А 6 C.

Тогда по теореме 5.2 в работе [4] любая функция g 6 W представляется рядом (1), который сходится в каждой точке области D. Согласно же теореме 1 в работе [17] этот ряд будет сходиться также в топологии пространства H(D). Это дает нам утверждение 2). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. // М.: Наука, 1982.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. // М.: Наука. 1976.

3. Красичков-Терновский И.Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. Т. 197. №1. С. 29-31.

4. Кривошеев А.С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях. // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, № 2. С. 71-136.

5. G. Valiron, Sur les solutions des équations différentielles lineaires d’ordre infini et a coefficients constants. // Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 1929. V. 46. № 1. P. 25-53.

6. L. Schwartz, Theorie generale des fonctions moyenne-periodique. // Ann. Math. 1947. V. 48. № 4. P. 857-929.

7. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Труды Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 1951. Т. 38.

8. D.G. Dickson, Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients // Memor. Amer. Math. Soc. 1957. V. 23. P. 1-72.

9. Левин Б.Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжа к теории целых функций // Матем. сб. 1940. Т. 8, № 3. С. 437-454.

10. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Известия АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 5. С. 1066-1144.

11. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. № 1. C. 73-126.

12. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Интерполяционная задача в пространствах целых функций конечного порядка // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т. 40, № 5. С. 1102-1127.

13. Братищев А.В. Базисы Кете, целые функции и их приложения // Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону . 1995.

14. Кривошеев А.С. Критерий фундаментального принципа для инвариантных подпространств. // Доклады РАН. 2003. Т. 389, № 4. С. 457-460.

15. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. // М.: Наука. 1983.

16. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. // М.: Наука, 1985.

17. Кривошеева О.А. Ряды экспоненциальных мономов в комплексных областях. // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. Математика. Т. 9, № 3(21). С. 96-104. Уфа. УГАТУ 2007.

18. Кривошеева О.А. Об особых точках суммы ряда экспонент. // Уфимский математический журнал. Т. 1, №4. 2009. С. 78-109.

19. Напалков В.В., Кривошеева О.А. Теоремы Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432, № 5. С. 18-20.

20. Робертсон А.П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. // М.: Мир. 1967.

Олеся Александровна Кривошеева,

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: kriolesya2006@yandex.ru

Александр Сергеевич Кривошеев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия