Оптимизация управления механическими системами

АВТОМАТИКА, УПРАВЛЕНИЕ И ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА

УДК 625.28

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

© 2006 г.

А.В. Климович

На протяжении последних шестидесяти лет большая группа научных работников различных научно-исследовательских и учебных институтов транспорта принимала участие в решении задачи оптимизации управления поездом. В этих работах из предположения, что режим движения поезда на каком-либо участке между двумя остановками не влияет на условия работы других участков линии, критерием оптимальности движения поезда выбирался минимум суммы расходов по его перемещению, записываемой обычно следующим образом [1]:

С = Cl Л + c 2 Aw + c 3 At + c 4T

где с1 - стоимость 1 кВт-ч электрической энергии на тягу поезда; Аe - расход электроэнергии на тягу поезда; с2 - стоимость ремонта железнодорожного подвижного состава и пути, приходящаяся на единицу работы сил сопротивления движению поезда; Ам, - работа сил сопротивления движению поезда; с3 - стоимость ремонта подвижного состава и пути, приходящаяся на единицу работы тормозных сил; А( - работа тормозных сил поезда за время его движения по перегону; с4 - стоимость одного поездо-часа; Т - время прохождения перегона.

В уравнении (1) величины Ае, и А( представляют собой интегральные выражения. Поэтому теоретическое исследование задачи оптимизации управления поездом выполнялось с помощью принципа максимума академика Л.С. Понтрягина или методом динамического программирования Р. Беллмана. В результате при использовании указанных классических методов оптимизации решение задачи оказывалось достаточно сложным и громоздким. В одной из последних работ [2] при оптимизации режимов ведения поезда с учетом критериев безопасности движения отличительной особенностью является представление поезда как система материальных тел с распределенными по его длине параметрами. В качестве расчетной схемы принят однородный поезд, для которого составлена система из 46 нелинейных дифференциальных уравнений, учитывающая все «жесткие» воздействия, а влияние зазора и неоднородности состава на максимальные усилия в упряжных приборах предложено учитывать с помощью поправочных коэффициентов, определяемых из натурных экспериментов. В указанной системе уравнений учтено силовое взаимодействие

между секциями локомотива, одновременность действия продольных сил в поезде и вертикальных колебаний кузова, тележек и колесных пар, вызванных неровностями пути. Учтены также увеличение силы основного сопротивления движению локомотива при подаче песка, влияние на силу тяги локомотива проката бандажа колесной пары, статического давления колесной пары на рельсы и плотность тока, протекающего через контактное пятно, в зависимости от условий контактирования колеса с рельсом (состояния поверхности рельса). Естественно, для упрощения решения задачи исследователи были вынуждены применять некоторые допущения.

При рассмотрении простейшей модели движущегося поезда, когда последний представляется материальной точкой, а его основное удельное сопротивление движению определяется квадратичной зависимостью от скорости с постоянными коэффициентами а, Ь и с вида

ro(v) = a + bv + cv/

для оптимизации энергозатрат на тягу предложена целевая функция, полученная строго математически

[3]:

р = |ю(М5 [у]) + сР, [у]}ш/

П ср '

где М,[у] - математическое ожидание скорости по пути; Р,[у] - дисперсия скорости по пути; ш - масса поезда; I - длина участка; пср - средний по пройденному пути коэффициент полезного действия локомотива.

В числителе выражения (3) в сокращенном виде записана полезная работа, выполняемая поездом при его перемещении по заданному участку при заданном времени прибытия на конечный пункт. Здесь исключена работа поезда на преодоление дополнительного сопротивления движению от плана и профиля пути, величина которой для заданного участка и направления движения постоянна. На изменение этой работы машинист не может влиять приборами управления локомотивом. Для упрощения оптимизационных расчетов исключена также работа тормозных сил поезда в предположении, что при движении по участку машинист выполняет только необходимые техническими условиями режимы торможения: при пробе тормозов,

и на конечном пункте. Случаи вынужденного торможения на затяжных «вредных» спусках должны анализироваться отдельно.

Целевая функция (3), как критерий при расчетах оптимального графика движения поезда по заданному участку, отражает возникающие при этом энергетические затраты и в то же время существенно проще традиционно используемых в таких задачах критериев. В ней явно выделены два основных параметра движения поезда, от которых зависят эти затраты. Это дисперсия скорости по пути ДДу] и средний по пройденному пути коэффициент полезного действия локомотива пср. Причем влияние на энергопотребление при движении поезда первого из них существенно зависит от аэродинамического сопротивления движению, так как коэффициент с в зависимости удельного сопротивления движению от скорости (3) как раз и отражает аэродинамику экипажа.

Таким образом, для обеспечения минимальных энергозатрат на тягу поезда единственными и достаточными являются два условия. Во-первых, следует организовать его движения по графику у = /(я), обеспечивающему заданное время прибытия на конечный пункт и минимальное значение дисперсии скорости по пути Д[у] при минимуме потерь энергии, вызванных торможением. Во-вторых, управление локомотивом при этом необходимо выбирать из условия реализации максимального значения среднего по пройденному пути коэффициента полезного действия.

Полученный достаточно простой критерий оптимальности управления движением поезда позволил предложить метод поиска оптимального графика движения поезда по заданному участку при заданном времени прибытия на конечный пункт у = /(я) [4]. Он основывается на анализе в определенной последовательности элементов профиля пути, на которых мощности локомотива не хватает для поддержания заданной постоянной скорости движения (крутые подъемы) или требуется регулировочное торможение (крутые спуски), а также участков с ограничением скорости. При этом необходимо решение только одного дифференциального уравнения движения поезда. Достаточно сложные методы расчета, основанные на представлении поезда как системы материальных тел с распределенными по его длине параметрами, которые могут быть полезными, например, при проверке безопасности движения, целесообразно использовать на завершающем этапе, когда оптимальный график движения поезда у = /(я) уже построен. Причем эти расчеты потребуется выполнить для заданного скоростного режима, вероятно, только на критических подъеме и спуске, а не на всем участке движения. На способ выбора оптимального по энергозатратам управления движением поезда, реализованной на бортовом компьютере локомотива [5], решением Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам выдан патент на изобретение.

Большинство используемых человеком механических систем имеет одну степень свободы. При исследовании работы такой механической системы в соот-

ветствии с теорией механизмов и машин рекомендуется рассматривать динамическую модель, в которой данная система заменяется приведенным звеном с приведенной массой (моментом инерции) и действующими на него приведенными силами (приведенными моментами). Дифференциальное уравнение движения динамической модели принципиально не отличается от дифференциального уравнения движения поезда, если последний представляется материальной точкой. Приведенные силы (моменты) сопротивления движению в механических системах подобно основному сопротивлению движения поезда квадратично зависят от скорости движения (угловой скорости вращения), так как обычно принимают во внимание сухое (не зависит от скорости), вязкое (линейно зависит от скорости) и аэродинамическое (зависит от квадрата скорости) трение в системе. Таким образом, зависимость сил сопротивления в любой механической системе от скорости имеет вид, подобный (2). Заметим, что в теории тяги принято оперировать с удельными силами, что принципиально значения не имеет. Отсюда следует, что критерий оптимальности (3), полученный для поезда может быть успешно использован при оптимизации работы по энергозатратам при заданной производительности любой механической системы с одной степенью свободы.

В некоторых работах отмечается, что зависимость сил сопротивления от скорости в ряде механических устройств не квадратичная, а существенно более сложная. В этом случае среднее значение сил сопротивления, стоящее в числителе целевой функции (3), будет также зависеть от дисперсии скорости. Но эта зависимость будет более сложная. При этом условие оптимальности работы механической системы принципиально не меняется: при управлении системой необходимо добиться максимальной стабильной ее работы (минимальное отклонение скорости от среднего значения) при максимальном среднем коэффициенте полезного действия.

Опыт оптимизационных расчетов для поездов различной массы при их движении по участкам со сложным планом и профилем пути показывает, что оптимальное управление представляет собой чередование режимов (переходных режимов управления), представляющих собой управление на границе допустимой области управляющих команд, и стабильного движения (установившееся управление), характеризующегося поддержанием силы тяги равной силе сопротивления движению. К переходным режимам управления, например, относится режим разгона поезда, который должен выполняться с максимально возможной силой тяги, ограниченной сцеплением колес локомотива с рельсом либо допустимым ускорением (по условию комфортности пассажиров). При установившемся управлении поезд движется с постоянной скоростью.

Оптимальное управление произвольной механической системой также должно представлять собой чередование переходных режимов и установившегося управления. Анализ установившегося режима обычно прост. Исследование переходных режимов управления

может выполняться на математической модели системы, учитывающей ее индивидуальные особенности работы. Учитывая, что границы допустимой области управления обычно определяются на начальной стадии расчетов до как таковых оптимизационных вычислений, исходные данные для исследования переходных режимов практически всегда известны. Часто оказывается целесообразным с необходимой точностью проанализировать только наиболее тяжелый переходной режим управления, выявить основные закономерности работы механической системы при этом режиме. Полученные закономерности обычно закладываются в программное обеспечение управляющего устройства.

Таким образом, методика решения задачи оптимизации энергозатрат на тягу при управлении движением поезда, построенная на минимизации полученной целевой функции, может быть успешно использована для оптимизации энергопотребления при заданной производительности любой механической системы с одной степенью свободы. Главное преимущество этой методики в ее простоте. Отпадает необходимость в применении специальных сложных методов оптими-

зации, предъявляющих жесткие требования к используемой вычислительной техники.

Литература

1. Розенфельд В.Е., Исаев И.П., Сидоров Н.Н., Озеров М.И. Теория электрической тяги / под ред. И.П. Исаева. - М., 1995.

2. Нехаев В.А. Оптимизация режимов ведения поезда с учетом критериев безопасности движения (методы и алгоритмы): дис. ... докт. техн. наук. - Омск, 1999.

3. Климович А.В. Модификация метода динамического программирования Беллмана при решении задачи оптимизации управления движением поезда // Вестн. Томского гос. ун-та. Общенауч. периодич. журнал. Бюл. оперативной науч. информации. - 2004. - № 32. - С. 71-77.

4. Климович А.В. Метод поиска оптимального по энергозатратам графика движения поезда // Вестн. Томского гос. ун-та. Общенауч. периодич. журнал. Бюл. оперативной науч. информации. № 32. Июль 2004. С. 78-83.

5. Климович А.В., Авилов В.Д. Способ выбора наиболее экономичного режима движения поезда на заданном участке пути: пат. 2237589. РФ. - № 2003121717; заявл. 13.07.2003; опубл. 10.10.2004, Бюл. № 28.

24 мая 2006 г.

Омский государственный университет путей сообщения

УДК 629.42.07

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ПОЕЗДА НА ЭЛЕКТРИФИЦИРОВАННЫХ УЧАСТКАХ МАГИСТРАЛЬНОЙ

ЖЕЛЕЗНОЙ ДОРОГИ

© 2006 г. А.В. Климович, А.С. Лендясов, О.С. Мухин

При использовании на локомотивах систем автоведения поезда принципиально важно иметь точную информацию о его месторасположении и оперативной обстановке на участке движения. Эта информация также необходима для обеспечения безопасности движения поездов. Известные системы определения местоположения поезда, построенные на регистрации скорости вращения колесных пар локомотива, дают значительную погрешность. Широко известно, что в режиме тяги при реализации тягового усилия всегда наблюдается некоторое проскальзывание бандажа колесных пар относительно рельса. Это проскальзывание невозможно зафиксировать измерительными приборами. Его также крайне сложно определить математически, так как оно зависит от множества случайных факторов, включая погодные условия выполнения поездки. Поэтому не случайно в широко внедряемом на сети железных дорог России модифицированном комплексном локомотивном устройстве безопасности КЛУБ-У предусмотрено использование спутниковой навигационной системы. Однако последняя достаточно дорогая.

Между тем на электрифицированных участках магистральной железной дороги возможно определение месторасположения движущегося поезда без использования дорогостоящей спутниковой навигационной системы. Фиксаторы контактной сети, располагаемые перпендикулярно оси пути с дистанцией менее 70 метров, хорошо видны из кабины электровоза в дневное время, а в ночное время в обязательном порядке освещены прожектором локомотива. Их расположение вдоль пути также известно.

Определение местоположения движущегося транспортного средства достигается путем установки вычислительного комплекса (ЭВМ) и дополнительных периферийных устройств. В памяти ЭВМ содержится информация в виде упорядоченного массива данных о местности, по которой проходит трасса, и фиксированных опорных пунктах с известными координатами. Основополагающим элементом массива данных является информация о координатах размещения вдоль железнодорожного пути фиксаторов контактной подвески. Концептуальная схема системы определения местоположения поезда представлена на рис. 1.

Внешняя среда

Рис. 1. Концептуальная схема системы определения местоположения поезда

Среди дополнительных устройств, необходимых для сбора и преобразования информации, поступающей в ЭВМ, присутствуют: фотодатчик, например видеокамера (ФД), аналого-цифровой преобразователь видеосигнала (АЦП), тактирующий элемент (ТЭ) для отсчета интервалов времени синхронизации работы системы. Алгоритм функционирования системы под управлением программного обеспечения, заложенного в ЭВМ, представлен на рис. 2 в виде блок-схемы и представляет собой следующий порядок действий. С фотодатчика непрерывным потоком поступает информация в формате видеосъемки достаточного разрешения для различения пересечения фиксатора контактной подвески и самой подвески. По сигналу от тактического элемента аналого-цифровой преобразо-

ватель видеосигнала производит фиксацию (захват) кадра изображения фотодатчика. Захваченный кадр цифруется и передается в ЭВМ для сравнения с шаблоном изображения (маской фиксатора контактной подвески). При положительном решении сравнения происходит наращивание значения переменной ¥, отвечающей за хранение порядкового номера текущего фиксатора контактной подвески на данном маршруте следования. На основе полученного номера происходит выборка данных по точке маршрута. Следующий шаг - вычисление зависимостей изменения пройденного расстояния от начальной станции и скорости движения поезда V от времени. Заключительный шаг алгоритма - определение конечной точки пути. При отрицательном решении возврат к началу алгоритма и ожидание тактирующего сигнала. При положительном решении сравнения происходит завершение алгоритма.

Предлагаемый способ определения местоположения поезда защищен патентом на изобретение [1]. Строго говоря, его применение обеспечит позиционирование поезда на пути с точностью до 70 м, что соответствует максимальному расстоянию между опорами контактной сети, принятому на российских железных дорогах. Однако положение поезда в пределах пролета между опорами может быть определено расчетным

Рис. 2. Алгоритм определения местоположения движущегося поезда

путем по известной его скорости при контроле режимов управления, фиксируемых электронным регистратором параметров движения, входящим в состав комплексного локомотивного устройства безопасности КЛУБ-У. Ожидаемая точность определения местоположения поезда на пути в этом случае составляет ±1 м.

В перспективе на сети железных дорог России предполагается создание цифровой радиосвязи передачи информации [2]. В этом случае информация о местоположении поезда, полученная предлагаемым способом, в любой момент времени будет доступна как работникам службы движения, так и машинистам

Процесс получения серы по методу Клауса является наиважнейшим в технологии сероочистки природного газа. Учитывая крупнотонажность установок, актуальным является решение вопроса эффективного управления, что позволит получить значительный экономический эффект. Процесс является нестационарным, объектом управления (ОУ) с распределенными технологическими параметрами, который состоит из двух стадий - термической (две параллельные реакционные печи) и каталитической (два последовательных каталитических реактора). Большая размерность вектора входных и внутрисистемных координат, а также наличие связей между параметрами внутри объекта, приводит к тому, что недостоверность их измерения является причиной крайне низкой эффективности работы САУ, и в конечном итоге влияет на качество протекания технологического процесса Клауса и снижает степень конверсии серы у, увеличивая выбросы серосодержащих соединений в атмосферу. В качестве основного управляющего воздействия используется соотношение расходов воздуха и кислого газа на входе в реакционные печи, в которых протекает процесс окисления кислого газа (основной компонентой которого является сероводород). Избыток окислителя, приводит к сульфатированию поверхности катализатора каталитических реакторов. Из-за этого происходит необратимое снижение площади активной поверхности катализатора и снижение его степени конверсии, а значит, уменьшается степень конверсии всей установки. Существующая САУ Астраханского ГПЗ использует не проверенную исходную информацию, и не обеспечивает выработку оптималь-

других поездов, следующих в том же направлении, без использования дорогостоящей спутниковой системы навигации.

Литература

1. Климович А.В., Лендясов А.С., Мухин О.С. Способ определения местоположения движущегося рельсового транспортного средства: пат. 2248293. РФ - № 2003110892; заявл. 16.04.2003; опубл. 20.03.2005, Бюл. № 8.

2. Автоматизированная система управления локомотивным хозяйством. АСУТ // под ред. И.К. Лакина. М., 2002.

г.

ных управляющих воздействий, что приводит к снижению активности катализатора уже через год при заданном сроке службы пять лет.

В связи с этим возникает задача разработки алгоритмов проверки достоверности первичной информации, минимизации количества серосодержащих соединений в отходящих газах и позволяющих сохранить активность катализатора на межремонтном интервале, которые составят основу интеллектуальной САУ процессом Клауса.

В оценки первичной информации на достоверность лежит принцип избыточности и разделения координат объекта на зависимые и независимые. В большинстве случаев зависимые координаты можно выразить через независимые, причем первые являются входными, а вторые - выходными. При условии контролируемости координат достигается избыточность данных [1]. При наличии избыточности информация, поступающая от различных источников, может вступать в противоречие. В этом случае один или несколько источников содержат недостоверные данные, которые необходимо выявить. Тем самым, воссоздается логика рассуждений оператора в виде интеллектуальной модели (ИМ).

Структура и показатели ИМ определяются на этапе обучения системы, на этом этапе также систематизируются знания обслуживающего персонала. ИМ в общем виде состоит из нескольких информационных групп. В каждую группу входит только одна зависимая координата и несколько независимых. Независимые координаты могут попадать в различные группы, а зависимые - только в одну. Кроме этого, промежу-

Омский государственный университет путей сообщения 24 мая 2006

УДК 621.357.7

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ КЛАУСА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

© 2006 г. О.М. Проталинский, А.Н. Савельев, И.А. Щербатов

точные параметры ТП могут содержаться в различных группах и являться как зависимыми, так и независимыми координатами объекта. Для получения дополнительной информации об избыточности при создании ИМ необходимо использовать не только количественные, но и качественные показатели протекания ТП. Качественными координатами, как правило, являются наблюдения оператора об определенном параметре объекта. Качественные параметры, также нуждаются в проверке на достоверность. Кроме того, в ИМ необходимо учитывать время работы ИИ в межповерочный интервал и квалификацию оператора.

Построенная ИМ воспроизводит способность оператора оценивать поступающую информацию и в целом по общей сложившейся картине судить о достоверности того или иного ИИ. Оператор, оценивая ситуацию на объекте, может судить о диапазонах изменения того или иного параметра и выносить суждения качественного характера в виде продукционной БЗ: «Когда температура в печи достаточно высока, а давление в норме, расход пара на входе должен быть значительно выше, чем показывает прибор».

Функционально система оценки достоверности ПИ состоит из следующих компонентов: подсистемы корректировки базы знаний, продукционной БЗ, БД характерных состояний ТП, подсистемы поддержки принятия решений и подсистема анализа и вывода. Структура системы изображена на рис. 1. На вход измерительной подсистемы поступают измеренные значения ИИ.

ИИ'

Рис. 1. Архитектура системы проверки информации на достоверность

Подсистема корректировки базы позволяет редактировать БЗ как в автоматическом, так и в ручном режиме. В первом случае подсистема корректирует БЗ при наступлении определенного события, например по истечении временного интервала. Фаззификация значений ИИ осуществляется соответствующим модулем - редактором терм-множеств, в котором в качестве функций принадлежности используются полиномиальные функции второго порядка.

Подсистема анализа и вывода позволяет на основе заложенных в нее степеней достоверности принимать решение о состоянии ИИ и рекомендовать оператору их показания.

Восстановленные значения ИИ используются для расчета оптимальных управляющих воздействий. Целью любой системы оптимального управления, является максимизация прибыли от реализации готового продукта. Наряду с этим требованием, необходимо обеспечить минимальные экономические потери, связанные с возможным загрязнением окружающей среды вредными выбросами.

В настоящее время для оценки эффективности функционирования установки Клауса, применяется несколько показателей. К ним относятся: себестоимость продукции БвЬ; прибыль, получаемая от реализации готового продукта (товарной серы) Р; эксплуатационные затраты (расходы энергоресурсов) Е; производительность по готовому продукту Рг8; степень конверсии у; соотношение И28/802 на выходе установки Я.

Себестоимость готовой продукции БвЬ зависит от различных факторов (в том числе и от эксплуатационных расходов на энергоресурсы). Однако существенное изменение расхода кислого газа, поступающего на переработку, (увеличение на 20-30 %) приведет к ее увеличение на величину, не превышающую 1 %. Поддержание необходимого соотношения Я = И28/802 на выходе установки сопряжено с трудностями, так как не всегда его стабилизация (Я = 2) будет соответствовать максимальной степени конверсии [2]. Поэтому из рассмотрения эти критерии оценки качества протекания ТП можно исключить.

То есть основным критерием, характеризующим качество функционирования процесса Клауса, является суммарное количество серосодержащих компонентов 8, выбрасываемых в атмосферу. Минимум этого критерия за промежуток времени [4; 4н], обеспечит максимальное значение степени конверсии у, что соответствует максимальному значению выхода товарной серы Рг8, и обеспечивает максимум по критерию прибыли Р.

Так как одна из основных задач оптимизации -обеспечение минимальной скорости снижения активности катализатора, то следует рассмотреть каталитическую часть процесса в качестве самостоятельного объекта и синтезировать для него алгоритм оптимизации. Математическая модель низкотемпературной (каталитической) стадии процесса Клауса состоит из аналитической и интеллектуальной частей (модель дезактивации катализатора). Аналитическая модель представляет собой системы алгебраических и дифференциальных уравнений материального и теплового балансов основных аппаратов участвующих в технологическом процессе.

Материальный баланс подогревателя состоит из алгебраических уравнений, учитывающих компонентный состав технологического газа, а также кислого газа и воздуха:

М ВЬ1х - М Вх - М 7 = 0 .

Мвх = Мвых •

где М гвых - производительность аппарата по г-му компоненту, моль/с; Мгвх - производительность предыдущего аппарата по г-му компоненту, моль/с; М г11р - производительность подогревателя по продуктам сгорания г-го компонента кислого газа и воздуха, моль/с; г = 1, 8 - индекс, указывающий на компонент кислого газа и воздуха (1 - ИД 2 - 802, 3 - 82, 4 - СН4, 5 - Н2О, 6 - С02, 7 - 02, 8 - :ы2).

Уравнение теплового баланса имеет следующий вид (при этом очень важно учесть потери тепла в окружающую среду):

Q вх Q вых Q хим k пот 0

Q = М вх с Т вх + М вх с Т вх

Qвх = М в с рвТ В + М кг с ркгТ кг

Количество тепла, которое выходит из подогревателя, кДж,

Öl г вых ГТ1 вых . i/I вых = М в с рвТ В + М к

х вы

ркг кг

Количество теплоты, выделившееся в результате протекания химических реакций, равно, кДж,

Q хим =

-(дя 1C!вх + АЯ3C4х )o,4464Gк k2

UdC- - Wm = 0; dl m

U P rC Г dT дя4 + S5AH 5 ) = 0; i = 1,8; m = 1,3

вх вых

1 кг; = T П •

Математическая модель конденсатора-коагулятора серы состоит из системы алгебраических уравнений материального баланса по компонентам технологического газа:

[м вых - М вх = 0, г = 1,2,4,5,6,7,8;

IМ 3вых

= 0.

где Q вх - количество теплоты, которое поступает в топку подогревателя вместе с потоками кислого газа и воздуха, кДж; Q вых - количество тепла, уходящее вместе с потоком подогретого газа, кДж; Q хим - количество теплоты, выделяющееся в подогревателе в результате протекания химических реакций, кДж; кпот - коэффициент, учитывающий потери в окружающую среду, кДж.

Количество тепла, поступающего в подогреватель вместе с потоками кислого газа и воздуха, определяется по формуле, кДж,

Интеллектуальная модель дезактивации катализатора состоит из продукционных правил и строится с помощью диаграммы взаимного влияния [4].

Ставится задача минимизации выбросов серосодержащих соединений в атмосферу 8 при наложенных связях в виде аналитической модели объекта, интеллектуальной модели дезактивации катализатора /(,...,хп,Т,и) = 0 и ограничениях в виде неравенств g(х1,...,хп)>0 :

11 = | S(t) dt

^ min,

где АН 1 и -АН 2 - тепловые эффекты химических реакций, независящие от температуры, ккал/моль; О квх - количество воздуха, поступающего в подогреватель, м3/ч.

Математическая модель каталитического реактора представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка [3]:

где 8(/) - выбросы в атмосферу серосодержащих соединений, % об.; т - срок службы катализатора, мес.; и - управляющее воздействие (расход воздуха в подогреватель перед первым каталитическим реактором), м3; хг е X - вектор входных координат; Т -вектор состояния.

Для известных значений вектора входных координат X и вектора состояния Т в текущий момент времени тт необходимо найти управление и *, оптимизирующее функционал (9) при связях, определяемых системой уравнений нестационарной модели объекта с распределенными координатами для подогревателя (1)-(5) и каталитического реактора (6), с граничными условиями (7)-(8). Состав ограничений на вектора входных координат и состояния g(х1,...,хп)>0 , а также на управляющее воздействие итт < и < итах определяется исходя из технологического регламента процесса Клауса.

Как показано в [4], существует три основных причины дезактивации катализатора: 1) содержание СН4 в технологическом газе; 2) термическая деструкция из-за высокой температуры в реакторе; 3) сульфатация.

Избыточное содержание окислителя, поступающего с потоком технологического газа в каталитические реакторы, приводит к сульфатации катализатора и снижению его активности. Окислителями в КР являются 02, 802 и 80з. Содержание последнего компонента мало, поэтому его влиянием можно пренебречь. Кроме того, сульфатация под влиянием 02 происходит интенсивнее, чем под влиянием 802 [2].

Учитывая это, можно сформулировать следующее ограничение на оптимизируемый функционал (9):

с граничными условиями

:(u,т)=I

где ас - скорость изменения активности катализатора; т - срок службы катализатора, мес.; и - управляющее воздействие (расход воздуха в ТП перед КР1), м3.

Тогда задача оптимального управления преобразуется к виду. Необходимо найти управление и *, оптимизирующее функционал (9) при наложенных связях в виде интеллектуальной модели определения активности катализатора ас и ограничениях на концентрацию СИ4 - С1, температуру в КР - С2, концентрацию 02 - С3.

Минимизация критерия 11 соответствует одной из двух целей, а именно, позволяет снизить до минимального значения ущерб, наносимый экологии региона. Достижение второй цели - сохранение необходимой скорости снижения каталитической активности в течение межремонтного интервала времени, обеспечивается ограничением (10).

Основными особенностями данной задачи условной оптимизации являются: наличие нелинейного критерия оптимальности Б, заданного алгоритмом своего вычисления на некотором временном интервале; задача решается с помощью одной управляющей переменной; математическая модель объекта управления является гибридной и имеет в своем составе интеллектуальную модель дезактивации катализатора; имеются ограничения типа неравенств, наложенные на переменные вектора состояния, управления и входа объекта; объект является нестационарным, основной причиной его нестационарности является изменение активности катализатора; имеются нечеткие ограничения, наложенные на расчет критерия оптимальности с учетом нестационарности объекта.

В качестве основного управляющего воздействия каталитической стадии процесса Клауса на установках получения серы Астраханского ГПЗ используется соотношение расходов «воздух/кислый газ» Ел / Ес на входе в подогреватель перед первым каталитическим реактором, которое рекомендуется поддерживать на уровне 4:1. На рис. 2 представлены зависимости, полученные по построенной математической модели процесса. Компонентный состав кислого газа, используемый при расчетах:

H2S

= 64,88; с

CH,

= 0,12; с

H2O

= 6,6; с

CO

= 28,4},

сульфатации катализатора, снижающей его активность. В этом случае неясно, какое именно соотношение Ел / Ес обеспечит максимум степени конверсии, не оказав негативного влияния на активность катализатора.

V, % 95

3,4

V, % 94,5 93,5 92,5 91,5 90,5

3,9

4,4

4,9 FJFg

а)

3,4

3,9

4,4

4,9 FJFq

б)

воздуха {с02 = 22; сы 2 = 78} (% об.). Пунктирной

линией показана зависимость, полученная по модели, при условии, что процесс является стационарным (т.е. интеллектуальная часть гибридной модели не учитывается). Вид кривой подтверждает данные, полученные ранее, и показывает, что при соотношении Ел / Ес > 4 происходит дальнейшее увеличение степени конверсии установки. Однако увеличение соотношения Ел / Ес приведет не только к увеличению у, но также и содержанию окислителя, поступающего в КР. Повышенная концентрация 02 в технологическом газе, поступающем в КР, является основной причиной

Рис. 2. Зависимость степени конверсии установки от соотношения Ел / Ес при фиксированном значении а 0 в печах реакций: а - а 0 = 0,95 ; б - а 0 = 0,97

Зависимость у = /(Ел /Ес) для нестационарного

объекта (изменение активности катализатора во времени, при использовании гибридной модели), представленная на рис. 2 сплошной линией, имеет ярко выраженный глобальный максимум при Ел / Еа = 4,6. Это позволяет установить оптимальное соотношение Ел / Ес , которое обеспечит максимум степени конверсии всей установки, с учетом того, что а 0 = 0,95 - 0,97 (коэффициент избытка воздуха, поступающего в реакционную печь), т.е. эффективно работает регулятор соотношения Ел / Ес на входе в печи реакций.

Анализ результатов численного моделирования показал, что целевая функция 11 (при использовании гибридной математической модели объекта управления при указанном выше компонентном составе технологических потоков и а 0 = 0,95) имеет несколько минимумов (рис. 3, катализатор работает 2 года) и непрерывна на интервале итт < и < итах (т.е. при расходе воздуха 3000 < Ел < 11300 м3). Поэтому согласно теореме Вейерштрасса об аппроксимации, целевую функцию с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка.

Рис. 3. Зависимость S от соотношения FA /FG на входе в ТП при а 0 = 0,95

Для построения ограничений, наложенных на активность катализатора, используются следующие нормированные величины:

~

ck (u )=-г , о ,

sup{ck (u )}

где k - номер причины снижающей активность катализатора;

~ u sup{u}

Ни одно из трех ограничений не может быть задано в виде неравенства, т.к. в литературе не приводится соответствующих сведений, за исключением ограничения c 2 (u), однако его тоже, как и оставшиеся два,

рекомендуется рассчитывать с помощью интеллектуальной модели. Это позволит более точно рассчитывать u * , так как вид ограничений будет соответствовать текущей ситуации на объекте.

Ограничение на скорость изменения активности катализатора ac (рис. 4) вычисляется с помощью интеллектуальной модели дезактивации катализатора [4] и представляет собой нечеткую цель, достижение которой обеспечит необходимую эффективность ведения процесса. Пусть U = {u},u е [3,2; 5,0] - универсальное множество возможных управляющих воздействий (альтернатив). Нечеткая цель G, которая обеспечивает минимум ac , описывается нечетким подмножеством, т.е. имеет место отображение G ^ U, [0,1]. Чем больше степень принадлежности альтернативы u нечеткому множеству G, т.е. чем больше ц G (u), тем больше степень достижения указанной цели при выборе этой альтернативы.

Рис. 4. Ограничения, накладываемые на критерий оптимальности ac

Имитационное моделирование интеллектуальной модели позволяет аппроксимировать ц О (и) с помощью типовой Гауссовой функции принадлежности.

На цель наложены ограничения ск (и), обусловленные негативными факторами, влияющими на катализатор (причины 1-3). Их также можно аппроксимировать типовой функцией принадлежности - с1 (и) и

с 2 (и) с помощью Гауссовой, а с 3 (и) - показательной.

Описанная задача расчета ас, обеспечивающая выполнение (10) относится к классу задач нечеткого математического программирования (НМП). Используем для ее решения схему Беллмана-Заде.

Задача достижения нечетко определенной цели О в постановке Беллмана-Заде, при наличии нечетких

ограничений ск (и), решается с учетом допущения о

том, что цель и ограничения суть нечеткие подмножества некоторого универсального нечеткого множества допустимых альтернатив, т.е. и . Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом:

Д = О п С1 п С 2 п С 3 и соответственно

цо = цО пцС! пцС2 пцС3.

В данной постановке задачи следует говорить не просто о достижении постановленной цели на множестве альтернатив и удовлетворению ограничениям, но об удовлетворении ограничениям с некоторой степенью их важности. Например, влияние причины 3 является наиболее сильным, и как следствие, удовлетворение этому ограничению является с точки зрения эффективного решения более важным. Обозначим через X к е (0,1) коэффициент относительной важности к -го ограничения, такие что £ X к = 1. Чем

к =1,3

меньше коэффициент относительной важности к -го ограничения, тем ниже его роль при принятии решения по управлению. Тогда функция принадлежности решения примет вид

цо = цо п

Алгоритм выбора оптимального решения задачи НМП по схеме Беллмана-Заде применительно к управлению каталитической стадией будет выглядеть следующим образом. Задание коэффициентов относительной важности к -го ограничения X к е (0,1), удовлетворяющих условию £ X к = 1. Аппроксимация

к =1,3

функций принадлежности ц О, ц С ц С ц С3 с помощью типовой Гауссовой функции принадлежности. Вычисление ц Д с помощью (11).

Для решения задачи оптимального управления каталитической стадией процесса Клауса, предлагается использовать метод последовательного оценивания с использованием квадратичной аппроксимации

Схему алгоритма можно описать следующим образом. В начале задается значение начальной точки и1, которое предлагается выбирать при фиксированном расходе кислого газа в ТП. Величина шага по оси Ел /Ес , т.е. Ди выбирается исходя из класса точности прибора, измеряющего расход воздуха в ТП. Задаются условия окончания поиска:

{сh2s =64,88; сch4 = 0,12; сh2o = 6,6 ссо2

<1 = k 3 (1,5С1 + 2С 4);

'к+1

— Z1;

'к+1

S

S

— Z 2 •

Затем производится вычисление значения и 2 = и 1 + Au и осуществляется расчет значений целевой функции S(u 1) и S(u2). В случае, если S (u1 )> S (u 2), происходит ветвление и вычисляется значение u 3 = u 1 + 2Au . Если же S (и 1) — S (u 2), то полагаем и 3 = и 1 - Au .

Происходит выбор минимального значения целевой функции из трех S min = min {S (u 1), S (и 2), S (и 3)}

и соответствующего ему значения управляющего воздействия Umin. Рассчитываем оценку точки истинного оптимума, используя формулу для оценивания с помощью квадратичной аппроксимации:

* (и 2 + и 1 ) 01 U* = --1--— ,

2 2a 2

где

a =

S

a2 =

S

= 28,4},

воздуха {с02 = 22; с= 78} (% об.). Коэффициент

избытка воздуха, поступающего в термический реактор а 0 = 0,95, при следующих параметрах воздуха и кислого газа. Воздух: температура 20 °С, давление 1кг/см2, расход 54200 м3/час. Кислый газ: температура 55 °С, давление 0,8 кг/см2, расход 36900 м3/час. Компонентный состав технологического газа после термического реактора рассчитывается с помощью математической модели статики аналогичной модели подогревателя, при соответствующей температуре газа в реакторе 1170 °С. Расход кислого газа на входе в ТП 1629 м3/ч. Температура технологического газа на входе в ТП 183 °С. Катализатор работает в течение двух лет. Коэффициенты X к е (0,1) равны: X1 = 0,1; X 2 = 0,3; X 3 = 0,6.

Методом полного перебора определяется глобальный минимум, который соответствует соотношению Ел / Ес = 4,6. Соотношение, рассчитанное по

алгоритму Пауэлла (при условии выбора первоначальной точки с помощью (12)) и учета ограничения (10), составляет 4,61. Алгоритм работал при £ 1 < 0,01 и С 2 < 0,1. Найденное значение и* = 4,61 соответствует минимальному значению суммы концентраций вредных соединений в выбросах в атмосферу 0,99 (% об.). Для найденного значения и * рассчитаем значение величины ас работающего в течение двух лет катализатора. Вычислим прогнозное значение срока службы катализатора первого КР Т, которое равно 1790 сут., что меньше необходимого всего на 0,6 %. Из этого можно сделать вывод о том, что найденной значение оптимального управления обеспечивает: минимум критерия (9); необходимое значение величины ас , для успешного функционирования установки в течение срока эксплуатации (1800 сут.). Таким образом, решение поставленной задачи обеспечивает достижение обеих целей, а именно, минимум выбросов при активном катализаторе:

T = -

ln

Проверяем условия окончания поиска (13). Если они выполняются, то поиск заканчивается, в противном случае на следующем шаге выбираем «наилучшую» точку и тт или и * и две точки по обе стороны от нее. Обозначим эти точки в естественном порядке и переходим к выбору минимального значения целевой функции.

Рассмотрим пример работы алгоритма для следующих входных параметров модели. Компонентный состав кислого газа, используемый при расчетах:

где коэффициент ктт задается в качестве параметра модели, для обеспечения требуемого срока службы катализатора.

Предложенная гибридная математическая модель позволяет вырабатывать управляющее воздействие с учетом увеличения активного срока службы катализатора и увеличения степени конверсии серы. Но эффективная работа алгоритма оптимального управления процессом Клауса в значительной мере зависит от качества получаемой информации. В случае ее недостоверности осуществляется неверный расчет и * , что приведет не только к отклонению от оптимального режима, но и к возникновению предаварийных ситуаций.

ас

Литература

1. Проталинский О.М. Проверка достоверности первичной информации в АСУТП с использованием нечетких множеств // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.. 2003. -Прил. № 3.

2. Грунвальд В.Р. Технология газовой серы. - М., 1992.

3. Слинько М.Г., ЭвенчикН.С. Математическое моделирование химических процессов на пористом зерне катализатора // Химическая промышленность. - 1980. - № 11. - С. 15-21.

4. Проталинский О.М., Мичуров Ю.И., Щербатов И.А. Гибридная модель каталитического реактора процесса Клауса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. -2005. - Прил. №2. С. 23-34.

Астраханский государственный технический университет 30 мая 2006 г.

УДК 621.372.826

АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЕЗОНАНСНЫХ ДИАФРАГМ В ОКРЕСТНОСТИ ЧАСТОТЫ ОТСЕЧКИ

© 2006 г. В.В. Запорожец, А. С. Левченко, А.А. Чудина, Н.А. Яковенко

В последние годы в СВЧ технике наиболее широко применяют отрезки запредельных линий - при создании полосно-пропускных фильтров, аттенюаторов и модуляторов оптического излучения. Они имеют определенные преимущества по сравнению с традиционными волноводными линиями. К преимуществам в электрических характеристиках следует отнести некоторые особенности амплитудно-частотных зависимостей данной электродинамической конструкции. Наиболее распространенная методика теоретического анализа таких волноводов связана с расчетами матрицы рассеяния узла между волноводами для частот ниже частоты отчески с применением эквивалентных схем [1].

В данной работе теоретический анализ проводится методом эквивалентных волновых сопротивлений. Целью настоящего исследования является получение аналитического соотношения для коэффициента передачи отрезка линии передачи вблизи частоты отсечки и проверка справедливости этих соотношений на экспериментальном макете.

Электродинамическое описание процессов распространения волн в линии передачи часто бывает излишне подробным. Для основного типа волны и фиксированной частоты распределение поперечных составляющих напряженности электромагнитного поля в любом сечении линии передачи одинаково (с точностью до амплитуды). В линии передачи без потерь мощность, передаваемая падающей волной, может быть определена величиной пропорциональной амплитуде поперечной составляющей напряженности электрического или магнитного поля и характеристическим сопротивлением линии передачи для данного типа волны. С учетом потерь аналитические соотношения не слишком усложняются. Таким образом, реальной линии передачи, в которой распространяется определенный тип волны, соответствует эквивалентная двухпроводная линия с эквивалентным напряже-

нием, током, волновым сопротивлением и постоянной распространения, равной постоянной распространения в реальной линии.

Если в реальной линии распространяется несколько типов волн, то каждому типу волны соответствует эквивалентная линия со своими параметрами.

Рассмотрим случай, когда в волноводе распространяется электромагнитная волна типа Нп0, которая на частотах более низких, чем частота отсечки превращается в электромагнитное поле. Из общих соображений, описанных в [2], можно понять, что при удалении от частоты отсечки в сторону понижения частоты возрастает величина удельного затухания в полой электродинамической системе, а это дает основание утверждать, что роль боковых стенок запредельного волновода в формировании структуры электромагнитного волны является незначительной (это справедливо, если длина запредельного отрезка меньше ширины волновода). Поэтому в данном случае волну в запредельном отрезке можно представить в виде плоской затухающей волны.

Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением а*Ь длиной Ь, который состыкован с отрезком прямоугольного волновода сечением а0*Ь0. Полагаем также, что размеры а0 и Ь0 соответственно больше размеров а и Ь. Полагаем также, что длина вставки-диафрагмы мала. Теоретический анализ проводится путем рассмотрения отражений на границах волноводов с различными эквивалентными волновыми сопротивлениями. Для волны типа Нп0 параметры 20,2 и ^в, как показано в [3], имеют вид

^ о =

kb 0

^4a02 -А2n2 X в =-

^ о =

X

kb 0

^4a02-X2n 2

11

2a

где к - постоянный множитель, зависящий от выбора концепции рассмотрения эквивалентных параметров (наиболее часто используемое его значение - 480пЦ); X - длина волны электромагнитного излучения, которое генерирует СВЧ-генератор.

Предположим, что отрезок длиной Ь волновода является резонатором СВЧ, который возбуждается отрезком волновода большего сечения. Расчет добротности связи рассмотрим по аналогии с [4], через динамику рассеяния накопленной в резонаторе энергии:

Q = юЬ

св

где ю=2п/ / - частота СВЧ-генератора; V гр - групповая скорость распространения СВЧ излучения в резонаторе, которая для волны Нп0 равна

vгр = -2—V4а2 -X2n2 ; Г - коэффициент отражения

Как показано в [5] постоянная затухания может быть вычислена следующим образом:

R,

1

а n =-

1-

1+

2b

a

где ксп - критическое волновое число п-й моды:

, пп 2п

ксп = —; кп - волновое число п-й моды: кп = —.

а Хп

Расчет амплитудно-частотной характеристики (АХЧ) данной электродинамической системы проведем путем вычисления коэффициента передачи по мощности, который можно определить как отношение мощности СВЧ-излучения подводимого к резонатору и мощности СВЧ-излучения на выходе резонатора [6]:

Р Р Р

К = вых = вых вых = К К '

Р Р Р

вх вх вх

волны, распространяющейся в волноводе меньшего сечения в точках соединения от левого и правого стыка в силу симметрии данной конструкции равен

Г = Г! =Г 2 = 2 0 - 21

^ 0 + 2!

Величина Г зависит от соотношения между 20 и 2Ь вблизи частоты отсечки, когда выполняется условие X в ^ 2а, всегда 21 ^^ и следовательно

Г ^-1, то есть фаза отраженной волны равна п. В этом случае резонансные условия можно записать в

виде Xвп = 2Ь, п =1,2,3... . п

Таким образом, резонансная длина волны равна:

. 2аЬ

X 0п =

nsjl} + а 2

С помощью несложных математических манипуляций получим выражение для добротности связи:

п

свп

где

4а 4b 0bn 2B

A = n 2 а 2(b 02 а 2 + b 2 а 02),

В = yjа2а 2n 2 + Ь2

C = b 2 Ь2(а 02 - а 2).

К определяется через добротность связи и собственную добротность резонатора по формуле [7]

Q 0

К1 =

01 + Q о

где Q1 = Q св - добротность связи резонатора с электродинамической системой, определяется формулой (1);

Р - Р К2 = ^-^ = 1 -|у|,

Р п

где у - коэффициент отражения по напряженности электрического поля в точке стыков волноводов различного сечения,

Y =

Z вх Z 0

Z вх + Z С

Для резонатора проходного типа 2вхп - входное сопротивление в точке соединения волноводов определяется следующей формулой:

Z=

вхп

1

( 1 ^

Q свп0 0n

Q с

/-/о

Q св fon

1 1

+

Q 0n Q свп

+ 4

( f - f ^ 2 J J 0n

fOn

.

Для оценки динамики процесса передачи энергии в электродинамической системе необходимо знание собственной добротности, связанной с потерями за счет конечной проводимости стенок которая, для данного резонатора имеет вид

п

Q о =

X 0na n

где а п - постоянная затухания, обусловленная потерями в металле - в стенках волновода.

Подставив (3) в (2), найдем К2 с учетом (4) и получим коэффициент передачи:

K1 =

m 1

Ё —

n=1 Q св

1

1 1

+

Q св Qo

K 2 = 1 -

ё Z вхп Z о

Ё Z вхп + Z С

0

n=1

n=1

В данном случае п - индекс суммирования частот колебаний, т - число колебаний возбуждаемых в резонаторе. Данные расчеты реализованы в математической среде МаЖСЛБ.

Экспериментальные исследования АЧХ проводились на стандартном панорамном измерителе коэффициента стоячей волны Р2-61, рабочий диапазон частот которого лежит от 8,24 до 12, 05 ГГц.

Исследовались СВЧ резонаторы на отрезках прямоугольного волновода сечением 11,05*5,5 мм2, вставленных в волновод стандартного сечения 23,05*10,00 мм2. Сочленение волноводов осуществлялось при помощи фланцев. На рис. 1 представлены сплошными линиями теоретические зависимости коэффициента передачи от частоты колебаний типа Н п0 для волноводной вставки длиной 1 и 6 мм соответственно.

А

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 А-10-2, м а)

K

0,8

0,6

0,4

0,2

1/ ¡\

\

ц \1 \

\ \

мической системой и составляет от 30 до 300. Высокодобротные колебания находятся в областях, лежащих выше отсечки волноведущей структуры. Крестиками отмечены точки, полученные в режиме измерений коэффициента передачи четырехполюсника. Экспериментальные данные хорошо согласуются с теоретическими. Отличие расчетных значений коэффициента передачи от измеренных вблизи частоты отсечки на превышало 3 %. Из рис. 1 видно, что возбудить высокие типы колебаний трудно из-за сильного затухания данных мод в результате радиационного рассеяния и тепловых потерь.

Заключение

В результате работы методом эквивалентных волновых сопротивлений проведены расчеты коэффициента передачи СВЧ волноводов с короткими вставками. Исследовалась электродинамика процесса передачи энергии СВЧ излучения в объемных резонаторах. Предложенный метод расчетов проверен экспериментально на основе исследовании резонаторов, при варьировании геометрических размеров. Найдены аналитические выражения для расчета основных параметров резонаторов - резонансной частоты, добротности, амплитудно-частотные характеристики. Полученные результаты могут быть использованы при разработке фильтров на запредельных волноводах и модуляторов оптического излучения.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Ы0-2, м б)

Рис. 1. Зависимость коэффициента передачи от частоты при длине волноводной вставки: а -1 мм; б - 6 мм

Измерения проводились для диафрагм различной длины от 1 до 6 мм. Добротность этих колебаний существенно зависит от величины связи с электродина-

Литература

1. Smedth R.D., Denturck В. Scattering matrix of junctions between rectangular waveguides // IEE Proc. - 1983. -Vol. 130. - P. 183-90.

2. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. - М.,

1990.

3. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. - М., 1970. - Ч.1.

4. Гладкий В.П., Дорош В.С., Запорожец В.В. Групповая скорость распространения электромагнитных волн в отрезках запредельных сверхвысокочастотных линий // Изд. КубГТУ. Проблемы физико-математического моделирования. - 1999. - № 1. - С. 7-12.

5. Вызулин С.А. Выродов Н.И., Запорожец В.В. Фильтры на основе запредельных линий передачи вблизи критической частоты // Радиотехника. -1991. - № 6. - С. 9-12.

6. Гладкий В.П., Запорожец В.В., Яковенко Н.А. Спектры сверхвысокочастотных колебаний в предельных волноводах с диэлектрическими вставками // Сб. докл. междунар. форума по проблемам науки, техники и образования. -М., 1997. - С. 54-55.

7. Запорожец Д.В., Яковенко Н.А. Расчет электродинамической системы для широкополосных оптических модуляторов // Журнал технической физики. - 2003. - Т 73, вып. 10. - С. 88-92.

Кубанский государственный университет

29 мая 2006 г.

0