Псевдоспектральные характеристики электроэнергетической системы

18. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.

19. Мисриханов М.Ш. Аналитические решения уравнения Сильвестра. Первая и вторая форма решений // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова М.: Энергоатомиздат. Вып. 5. 2003.

20. Мисриханов М.Ш. О проблеме устойчивости в инвариантном управлении // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды Ивановского государственного энергетического университета Под ред. В.А. Шуина, М.Ш. Мисриханова. М.: Энергоатомиздат. Вып. 6. 2003.

Введение. Известно, что спектром «-мерной линейной электроэнергетической системы (ЭЭС):

где А - матрица динамики ЭЭС, х - вектор состояния ЭЭС, называется множество п комплексных чисел (комплексных частот), являющихся корнями характеристического полинома системы:

Каждое значение такого комплексного числа называется полюсом системы. Поэтому спектр (2) называется также множеством полюсов системы или множеством собственных значений матрицы А.

Элементы матрицы А в реальных динамических системах, каковыми являются сложные ЭЭС, обычно определяются непосредственно из физических наблюдений, и поэтому содержат ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица А + Е , которую мы имеем, является только некоторым приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. В результате этого, вместо системы (1) приходится иметь дело с объектом вида:

М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко

ПСЕВДОСПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Л( А) = Д: ёй (д1п - а) = 0, і = 1, п|.

і (ґ) = ( А + Е) х (ґ), х є  п, А, Е є

пхп

и его спектром:

Л(А + Е) = : ёй(Д1п - [А + Е]) = 0, і = 1, п|.

При этом множества Л(A) и Л( A + E) могут существенно отличаться

друг от друга [1]. К аналогичным последствиям приводят другие многочисленные факторы, например, вычислительного характера. Разнообразные методы, учитывающие при решении практических задач влияние указанных возмущений, изложены, например, в [2 - 5].

С другой стороны, в ряде практических задач пользователю требуется не точное равенство нулю некоторого выражения, а лишь его «исчезающая малость» в сравнении с каким-то a priori установленным порогом. Таким образом, под решениями возникающих в процессе исследований уравнений фактически понимается значение переменной, обращающее значение заданной функции в пренебрежимо малую величину. Эти решения представляют целое множество точек, которые можно назвать псевдорешениями (г-решениями) или почти решениями, если порог этой пренебрежимой величины несущественен или не оговорен явно.

Псевдорешения являются устойчивыми к малым возмущениям исходных данных, обладают свойством непрерывности, а задача «о нахождении почти решений» является вычислительно-корректной [6].

Заметим, что математические понятия, определения которых привлекают малый допуск е, не являются новинкой. Таковы, к примеру, г-энтропия, г-субдифференциал, е-оптимальные решения задачи оптимизации, инвариантные системы с точностью до е и т.п. В этом ключе следует воспринимать интенсивно развиваемую в последние годы теорию псевдоспектров (г-спектров) числовых матриц.

В данной работе делается попытка распространить понятие псевдоспектра на сингулярные пучки матриц и далее на динамические системы с введением ее новой характеризации в виде так называемых псевдонулей.

1. Псевдоспектр комплексной матрицы. Следующие фундаментальные теоремы определяют понятие псевдоспектра числовой матрицы A, заданной в общем случае над комплексным полем (комплексной матрицы).

Теорема 1. Пусть Ц'Ц - матричная норма, индуцированная векторной

нормой, тогда следующие определения псевдоспектра Л£ (A) являются эквивалентными:

Лє( A) = {z є D : (zIn - A) 1 ^є ^

Лє (A) = |z є  v 3E, \\e\\ < є : z еЛ(A + E)}

Л

є

( A) = (

(A-zIn ) v|| <є}.

Если ||-|| - 2-норма и обозначает минимальное сингулярное число,

тогда следующее условие также эквивалентно предыдущим:

Итак, во-первых, согласно определению (5), псевдоспектр матрицы составляет множество точек I е 0 , при которых матричная норма функции резольвенты:

удовлетворяет неравенству

_1

( А_:1„ )_1

— £

- £ .

Во-вторых, комментируя

содержит в качестве подмножеств спектры матриц А + Е (4) для всех матриц ошибок Е, удовлетворяющих уравнению для собственных значений:

Далее будем также считать, что точка г на комплексной плоскости принадлежит псевдоспектру Л£ (А) матрицы А, если существует комплексный вектор V единичной «длины» (см. (7)), такой что индуцированная норма

11( А_:1п ) У|| не превосходит £.

Если же обратиться к определению

считается множество комплексных чисел г, при которых все матрицы 11п_А имеют минимальные сингулярные числа, не превосходящие некоторого конечного числа (допуска) £.

Заметим, что данная теорема для 2-норм была независимо доказана Дж. Варахом [7] и Л. Трефезеном [8]. Ключ к доказательству общего случая был найден в дискуссионных работах [9, 10].

Следующая теорема относится к псевдоспектрам подобных матриц.

Теорема 2 [11]. Пусть матрицы А и В подобны, т.е.

_1

А = 8Б8 1,

тогда выполняется включение:

М А )^

где

1 Если 2^ _ А - сингулярна (вырождена), то считается, что (г!п _ А) 1 = да .

_ число обусловленности матрицы Б.

Итак, невырожденное преобразование подобия Б при отклонении числа обусловленности от единицы всегда «расширяет» псевдоспектр матрицы.

Из теоремы 2 вытекает практически очевидное следствие.

Следствие 2.1. Если матрица 8 представляет элементарные перестановки строк и столбцов матрицы А , то

Действительно, число обусловленности матриц элементарных

перестановок столбцов и строк всегда равно единице (к(Б) = 1), а это означает,

что включение (13) преобразуется в строгое равенство (15).

Второе следствие детализирует псевдоспектр диагонализуемой (простой, недефектной [3]) матрицы.

Следствие 2.2 [12]. Если матрица А диагонализуемая, тогда

справедливо включени:

ЛЛ а )-л( а )+д.

-еча -ЛЧа/ 1 к

где

к

_ замкнутый диск радиуса К ( Я )£.

Таким образом, псевдоспектр диагонализуемой матрицы содержится в сумме собственно спектра матрицы и замкнутого диска, образованного

множеством чисел, по модулю не превосходящих произведение к(Я)£ .

Множество диагонализирующих матриц Б может быть представлено в

виде [13]:

п А Л

Я = Д $ , V * 0,

А

где $ - правый собственный вектор матрицы А, отвечающий /-му собственному

значению, ЬЛ - левый собственный вектор диагональной матрицы Л, которой

подобна исходная матрица А, V - произвольное ненулевое число.

Если обеспечивается тождество:

тогда согласно следствию 3.2 псевдоспектр матрицы будет удовлетворять включению

Л£( а )-л( а ) + д£.

Следующая теорема устанавливает связь между псевдоспектром и

числовым рангом матрицы (или полем значений матрицы) [14, 15] и

предоставляет практический вычислительный алгоритм определения псевдоспектра матрицы.

Теорема 3 [16]. Для любой числовой матрицы А справедливо включение

ле( а)- ж ( а)+д,

где

ж

( а)  {

н

- числовой ранг матрицы А, а символ «И» обозначает операцию эрмитова сопряжения.

Для вещественных матрицы А и векторов х числовой ранг определяется с помощью формулы

Ж(А)  { хтАх: |\х\\ 2= 1}.

Так числовой ранг вещественной матрицы размера 2 X 2 и вида

\ а

0 X

представляет собой эллипс с фокусами в точках X, X и длиной

малой полуоси \. Для случая матрицы:

-1 1

0 1

числовой ранг изображен на рис. 1.

Рис. 1. Числовой ранг матрицы

Для комплексной матрицы вида:

Зі 0 0

0 -1 1

0 0 1

числовой ранг приведен на рис. 2 и представляет собой конусообразное тело с эллиптическим основанием.

3;

2/Б-

/ 2‘

/ 1'5' / Л . \

( I /  5- \

-0.5 'и '' 0.5 ' Ч/

Рис. 2. Числовой ранг матрицы

Из определения числового ранга (22) следует, что собственно спектр матрицы

А Л(А) удовлетворяет включению

л( А)- Ж (А),

т.е. все собственные значения матрицы А заключены внутри области,

определяемой числовым рангом Ж (А).

Из сопоставления определений и свойств псевдоспектра числовой матрицы, с одной стороны, и определения динамической системы в форме (1), с другой, следует, что без каких-либо ограничений понятие псевдоспектра может быть распространено на динамические системы. При этом собственно

псевдоспектр линейной системы (1) Л (А) может быть классифицирован по признакам устойчивых и неустойчивых спектров:

• устойчивый псевдоспектр Л£ ( А), означающий, что все системы

(например, ЭЭС) (3) с ограничением 11Е11 < Б имеют устойчивый спектр Л(А + Е), т.е. е Л(А + Е): Яе^- < 0;

• неустойчивый псевдоспектр Л* ( А) , означающий, что все системы (3) с ограничением IIе! <Б имеют неустойчивый спектр Л( А + Е), т.е.

3Д;- е Л(А + Е): Яе^- > 0;

означающий, что

• асимптотически устойчивый псевдоспектр Л£ ( А), все системы (3) с ограничением IIе! < Б асимптотически устойчивы, т.е. е Л(А + Е): Яе< 0.

Ясно, что, осуществляя предельный переход

Л

Б—>0

(А)..

обеспечиваем

Л

Б—0

(А) — Л( А).

В качестве числового примера на рис. 3 представлена 3Б-визуализация псевдоспектра матрицы А размера 100 X 100 математической модели длинной

линии

Рис. 3. ЗБ-визуализация псевдоспектра матрицы А длинной линии

2. Нули системы. Сегодня при анализе задач управления в линейных многомерных системах вообще и ЭЭС, в частности, фундаментальную роль играет понятие нулей системы. При этом в зарубежной литературе за ними закрепилось называние конечных нулей.

Множество нулей многосвязной системы включает: передаточные нули (реакция на входные сигналы), инвариантные нули (реакция на входные сигналы и начальные условия), развязанные по входу нули (неуправляемые моды колебаний), развязанные по

выходу нули (ненаблюдаемые моды колебаний), развязанные по входу и выходу нули (ненаблюдаемые и неуправляемые моды колебаний) [18].

Примечательно то, что описание многих свойств систем на языке конечных нулей носит характер, весьма близкий предметной области инженеров, занимающихся системами управления динамических объектов и технологических процессов.

Рассмотрим уравнение динамики линейной многомерной системы в форме «вход - состояние - выход»:

) = Ax(t) + Bu ^),

п пп nm пг

у = Сх, х е и , у е и , и е и .

Передаточной матрицей системы (28) называется рациональная матрица вида

F

Множество нулей передаточной матрицы (29) может быть сопоставлено с системой инвариантов - инвариантными полиномами или элементарными делителями [2, 18, 20]. Морс рассматривал множество инвариантных полиномов

линейной многомерной системы, обозначая его через |^(г')| [20]. Можно также

считать, что состоит из множества комплексных чисел, определяющих

положение конечных нулей системы на комплексной плоскости, и из множества целых чисел, соответствующих каждому инвариантному нулю и представляющих структуру кратности этих нулей, а именно, алгебраическую, геометрическую и т.п.

кратности [20, 21]. Таким образом, в зависимости от контекста под {^(')| можно

понимать либо множество инвариантных полиномов системы (элементарных делителей), либо конечные нули вместе с их структурой кратности.

В общем случае (систем с несколькими входами и несколькими выходами) конечные нули могут быть охарактеризованы как нули передаточных полиномов, соответствующих числителям передаточных матриц F(X) (29) в форме Смита-Макмиллана [22]:

F

где и^ (X), и^ (X) - унимодулярные матрицы2, а матрица О(^) имеет вид

В(Л) = diag

У

а^

Г = min(m, ^); Ь; и а. - монические3 полиномы, причем а делит а2, а2 делит а3, и т. д.; Ь делит Ьг1, Ьг1 делит Ь 2 и т. д. Именно полиномы Ь; являются

2 Обратимые полиномиальные матрицы с постоянными детерминантами.

передаточными полиномами матрицы F(X) и представляют структуру конечных нулей системы. Различные характеризации передаточных нулей даны, например, в [20, 23].

В дальнейших исследованиях мы будем опираться на определение конечных нулей в терминах матрицы Розенброка.

Матрица Розенброка или системная матрица для объекта (28) имеет вид [23,

24]

" A B " -X Їп 0~

C 0 0 0

= R -XI

Как видно из формулировок (28), (32) матрица Розенброка имеет размер (n + т) х (n + r) и нормальный ранг [23]:

norm rank ^R - Л1(П j П n + min rank(B,C) .

Сформулируем известное утверждение о нулях линейной многосвязной системы [23, 24].

Теорема 4. Линейная система (28) имеет непустое множество конечных нулей:

Z  {(Г; Є  }

тогда и только тогда, когда нормальный ранг матрицы Розенброка Я(Л) уменьшается на каждом элементе (34), т.е.

V г є Z: rank (R - ) < norm rank (R - ХЇ(П ).

Как видно из определения, данное утверждение имеет для линейной системы (28) необходимый и достаточный характер.

С другой стороны, системная матрица Розенброка (32) с формальной точки зрения представляет собой сингулярный пучок матриц [2, 4, 5].

3. Псевдоспектры сингулярных пучков матриц. Итак, пусть А4 и В - две матрицы, например, размера т X П, заданные над полем комплексных чисел и . Множество всех матриц вида

A - XB, X є

при m Ф п или m = п, но

называется сингулярным пучком матриц .

3 Имеющие единичные коэффициенты при старших степенях (нормированные полиномы).

4 Общий случай обозначения матриц и векторов, относящихся к сингулярным пучкам, мы будем

выделять полужирным шрифтом.

Символ = здесь нужно трактовать как тождественное равенство.

Множество собственных пар (собственных значений Х и собственных векторов х) сингулярного пучка матриц (36) составляют пары:

Л(а, б) = |зХєП V Зх єП п : (А -ХБ)х = о|.

В отношении (38) существуют три характерных частных случая [5]:

1) Л(А, Б) конечно, т.е. уравнение (А -ХБ) х = о имеет конечное множество нетривиальных решений;

2) Л(А, Б) пусто, т.е. уравнение (А -ХБ) X = 0 не имеет нетривиальных решений;

3) Л(А, Б) бесконечно, т.е. уравнение (А -ХБ) X = 0 имеет

бесконечное множество нетривиальных решений.

Последний случай, например, имеет место при (37).

Определение псевдоспектра сингулярного пучка матриц.

Псевдоспектром сингулярного пучка матриц А — ХБ будем называть множество

Лє (А, Б) = є  : (А - ¿Б) >є

где ( А - гБ)+ - псевдообратная Мура-Пенроуза матрицы А — гБ.

Вынесенное в определение (37) операция псевдообращения гарантирует минимальность 2-нормы ( А — гБ)+ . Однако в общем случае это не так, и

поэтому можно взять за основу некоторую другую матрицу — гБ,

удовлетворяющую условиям регулярности [2]:

(А - гБ) - гБ (А - гБ) = (А - гБ), - гБ (А - гБ) - гБ = - гБ

и обеспечивающую минимальность выбранной нормы.

Как видно из этого определения, псевдоспектр (39) для любого сингулярного пучка матриц всегда существует при произвольных А, Є > 0 и всех ненулевых матриц В.

Теперь сформулируем и докажем теоремы в отношении псевдоспектра сингулярных пучков матриц.

Теорема 5. Следующие определения псевдоспектра сингулярного пучка

матриц Лє

Л

являются эквивалентными:

(А, Б) = є  : (А - гБ) >є

>

Л£ (А, Б) = {г е  V ЗЕ, ||е|| < £ : г еЛ(А + Е, Б)},

(А,Б)={

Л£ (А, Б) = {г е  V е  И, 1М1 = 1:

(А — гБ) V <£,

Л^(а,б) = {7 е  : ^т1п (А — 7б)<^} .

Доказательство.

(41) ^ (43): Предположим, что

+

п

такой вектор и е  , что

( А — гБ) и

и

+

Определим новый вектор V = (А — гБ)+ и

при этом

£_1 <

+

и

и

( А — гВ ) 1

Тогда V =

вектор с единичной нормой, т.е.

удовлетворяющий неравенству

V < £.

П

(43) ^ (42): Предположим, что существует вектор V е  , | V = 1.

такой что ||( А — гБ) < £. Пусть также существует вектор и е  П, ЦиЦ = 1.

удовлетворяющий неравенству:

А — гБ) V =

£и

для £ < £ .

Мы можем завершить эту часть доказательства, если мы определим вектор ', соответствующий равенству

Н 1 II II 1

где символ «Н» означает эрмитово сопряжение векторов.

Для общих норм существование таких векторов следует из теоремы Хана-Банаха [9]. Поэтому в общем случае мы можем записать

гБу = Ау - ЄітН у = (А - ЄітН ) V,

что соответствует

для

г є Л

Н и и Е = — £лт , |Е| < £.

(42) ^ (41): Предположим, что г е Л(А + Е, Б) для некоторой матрицы Е, такой что ||Е < £. Тогда существует вектор V е  п, ||^| = 1, что

Осуществляя соответствующую группировку в (45) и выполняя псевдообращение, получим:

V = (А — гБ) Ev

и далее

,+

л

е < є

+

и, следовательно

+

> Є

-1

(41) » (44): Если Ц-Ц - 2-норма, то в силу характеризаций этой нормы

наименьшее сингулярное значение матрицы А — гБ это и есть 2-норма.

Заметим, что подходящим алгоритмом генерации матрицы

является процесс (метод) Арнольди [25, 26], построенный на основе понятия подпространства Крылова числовой матрицы.

Теорема 6. Если пучки матриц А — ЛБ и а — Л1 том смысле, что

эквивалентны в

Ть (А - ЛБ) Тк = а - ХІ

где

ёй Ф 0, ёй Т^, Ф 0,

I

I

0

тогда

ЛЄ

Доказательство. Предположим, что г е ЛД А, Б) , тогда справедлива следующая цепочка утверждений:

Є-1 <

( А - гБ )+

(Ч'Ц-11 - гТ1ТЯ')+ < І|Ть|| (а - г1 (п))+

1Я

и, следовательно,

є Т

ь

'Я

,+

что и требовалось доказать.

4. Псевдонули динамической системы. Поскольку, как сказано выше, системная матрица Розенброка (32) представляет собой частный случай

т

сингулярного пучка матриц типа а - И , то к ней применимы все утверждения теорем 5 и 6, которые можно без доказательств переписать в виде соответствующих утверждений.

Эквивалентность определения псевдонулей. Следующие определения

псевдонулей

динамической системы являются эквивалентными:

2Є

> Є

-1

2,

( я, I{п) ) = {

( я, I(п) ) = {

= ш є  V з Е лЕ\\ < Є : ш є2є (Я + Е, I(п)) |,

2Є (Я, I * * ' | = {шє  V Зм є  , М = 1:

(я -шЇ(п))м < є|

и

2е1 Я.

(Я 1 {П) ) = {етє П : стшіп (Я -ет1 {П) )Ц.

Подчеркнем следующий факт: минимизация е при условии, что множество псевдонулей динамической системы Ее| Я, I 4 У ) все еще остается не пустым [27]:

и обеспечивает наилучшую локализацию приближения к действительному множеству нулей (34).

Псевдонули и невырожденное преобразование подобия. Псевдонули подобных систем удовлетворяют включению

Е„( К, і") )сЛ^, „(тьЯТя',11 ”)).

где

Т \ 0' ~Т \ 0'

, Т = , det Т Ф 0.

При этом для систем с одинаковым числом входов и выходов m включение

(56) записывается в виде:

еє\ я,

где

~Т 0 "

0 1 т _

, det Т Ф 0.

Важным аспектом характеризации псевдонулей динамической системы является их классификация по признаку устойчивости, точнее, минимально-фазовости [23].

Устойчивыми (минимально-фазовыми) псевдонулями динамической системы будем называть множество, у которого:

У^є^(Я,1(п)): Яеет. < 0.

обозначить как Е£ ( Я, 1 ^п)).

Такое множество можно

Неустойчивыми (неминимально-фазовыми) псевдонулями динамической системы будем называть множество, у которого

Зет, єЕ+(Я, 1(п)): Яещ

> 0.

Для данного множества можно ввести обозначение Е

Итак, согласно введенным определениям псевдонули представляют множество комплексных частот, при которых системная матрица Розенброка в смысле той или иной нормы «близка» к потере своего (нормального) ранга.

Как и в каждом конкретном случае конечных нулей (передаточных, инвариантных, развязанных) псевдонули могут иметь соответствующую трактовку. Например, передаточные псевдонули составляют множество комплексных частот, на которых динамическая система - ЭЭС почти «запирается» или среди ее выходных сигналов некоторые «достаточно близки» к линейной зависимости. Развязанные псевдонули связываются с понятием управляемости и наблюдаемости динамической системы и их практическое применение можно найти при решении задачи оценки границ, когда о системе можно говорить, что она достаточно «близка»:

• к потере свойства управляемости (развязанные по входу псевдонули),

• к потере свойства наблюдаемости (развязанные по выходу псевдонули),

• к одновременной потере свойств управляемости и наблюдаемости (развязанные по входу и выходу псевдонули).

Инвариантные псевдонули фиксируют область комплексных частот и начальных условий состояния динамической системы, при которых она почти «запирается» или среди компонентов ее выходного вектора некоторые становятся практически линейно зависимыми.

5. Развязанные псевдонули и оценка границ управляемости и наблюдаемости ЭЭС. Системная матрица Розенброка (32) может быть представлена следующими двумя частными случаями, составляющими основу частотных критериев, соответственно, наблюдаемости и управляемости Попова-Белевича-Хотиса (PBH-test) [28]:

" А Г і "I

-Л п

С 0

[А|Я]-Л[1п |0].

Причем для матрицы (63) задача теста на управляемость будет соответствовать задаче на обобщенные собственные значения вида:

У([Л|В]-Л[I, |0]) = 0.

Поэтому без потери общности можно вместо сингулярного пучка матриц (63) рассматривать пучок

" Ат" -Л ' I, '

Вт 0

и, следовательно, задачу

Ґ " Ат' " !п' Л

Вт -Л

0

V _ _ _ _ )

Ут = 0.

Обратимся сначала к сингулярному пучку (62). Определим минимальное значение числа е, при котором множество

Ґ " а" 1п Л

V С , 0 У

не является пустым, т.е.

тіп і Иг

*0'

У

В этом случае оказывается, что будет найдено минимальное расстояние до границы, когда динамическая система:

х(і) = ( А + Еа ) х(і), у = (

= (С + Е) х,

С

< 8

становится ненаблюдаемой.

Далее, вычисляя

/ Г /Г! _ _ \

А1 1п 0

тіп • 8 ^8 Т В1 , *0

V ь J У

мы находим минимальное расстояние до границы, когда динамическая система -ЭЭС:

х(і) = (А + Е) х(і) + (В + Е) и(і),

Е = і ЕТ1 <8

теряет управляемость.

Рассмотрим полностью управляемую ЭЭС (28), не имеющую конечных нулей:

- 4,5 1,5 со" -1,1

А = -5 2 5 , В = 1

-1,5 1,5 0,5 1

С = I,

Псевдоспектр (А) системы (70) представлен на рис. 4. Как следует из

анализа изображения рис. 4, система (70) является неустойчивой, поскольку один из полюсов локализован в правой полуплоскости С. Действительно, вычисляя спектр матрицы A из (70), получаем:

8

>

Л(Л) = {-3, -1, 2}.

При этом полюс Х = 2 является неустойчивым. Теперь вычислим псевдонули матрицы (65):

т.е. определим множество

(\

-4,5 -5 I -1,5

1,5 2 1,5 >

3,5,5 5 | 0,5

о -1,1 1 | 1

-4,5 -5 | -1,5" 1 0 0

1,5 2 ! 1,5 -X 0 1 0

3,5,5 5 | 0,5 0 0 1

-1,1 1 | 1 0 0 0

Рис. 4. Псевдоспектр системы

Изображение псевдонулей приведено на рис. 5. Максимум здесь достигается в

точке (-0.6;0) е 0 , что достаточно близко к одному из полюсов системы (71).

Минимизация (68) для системы (101) дает, что минимальное расстояние до границы управляемости соответствует Л~- 1,15 и равно ~0,217. Другими словами, входные сигналы с комплексной частотой Л ~ — 1,15 являются наименее «управляемыми» для системы (70).

Рис. 5. Псевдонули системы

Заключение. Как показывают вычислительные эксперименты, проводимые сегодня в Оксфордском и Кентском университетах (см., например, [26, 27, 29]), наиболее перспективными направлениями использования понятий псевдоспектров и псевдонулей являются динамические системы большой размерности. Такие системы неизбежно возникают в эконометрике и энергетике. Следующие работы авторов будут посвящены практическим приложениям теории псевдоспектров к большим электроэнергетическим системам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений.-М.: Наука, 1970.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.

3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.-М.: Наука, 1984.

4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления.-М.: Мир, 1999.

5. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения.-М.: Мир, 2001.

6. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.-Новосибирск: Институт вычислительных технологий РАН, 2000.

7. Varah J.M. On the separation of two matrices // SIAM J. Numer. Anal. 1979, Vol.

18.-P. 216 - 222.

8. Trefethen L.N. Approximation theory and numerical linear algebra // In Algorithms and Approximation II, Mason J.C. and Cox M.G., eds. Chapman and Hall,-London. 1990.

9. Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues II. // Utilitas Math. 1986, Vol. 30.-P. 243 - 286.

10. van Dorsellaer J.L.M., Kraaijevanger J.F.B.M., Spijker M.N. Linear stability analysis in the numerical solution of initial value problems // Acta Numerica. 1990,-P. 199 -237.

11. Embree M., Trefethen L.N. Generalizing eigenvalue theorems to pseudospectra // To appear in SIAM J. Sci. Comput.

12. Bauer F.L., Fike C.T. Norms and exclusion theorems // Numer. Math. 1960, No.2. -P. 137-141.

13. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. О параметрической инвариантности систем. Подход на основе пучков матриц и невырожденного преобразования подобия (в печати).

14. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical range: The field of values of linear operators and matrices. Springer-Verlag, New York, 1980.

15. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical Range. Springer-Verlag, New York, 1997.

16. Kato T. Perturbation theory for linear operators, second edition. Springer-Verlag, New York, 1980.

17. Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление динамическими системами. Алгебраический подход. М.: Энергоатомиздат, 2003.

18. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Горюнов С.В. Анализ и синтез матричных систем. Сравнение подходов // АиТ, 2002.-С. 3 - 44.

19. Saberi A., Ozcetin H.K., Sannuti P. New structural invariants of linear multivariable systems // Int. J. Control. 1992. V. 56. No 4.-P. 877 - 900.

20. Morse A. S. Structural invariants of linear multivariable systems // SIAM J. Control. 1973. No 11.-P. 446 - 465.

21. Commault C., Lafay J. F., Malabre M. Structure of linear systems. Geometric and transfer matrix approaches // Kybernetika. 1991. V. 27. No 3.-P. 170 - 185.

22. Aling A., Schumacher J. M. A nine fold canonical decomposition for linear system // Int. J. Control. 1984. No 39.-P. 779 - 805.

23. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы.-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.

24. RosenbrockH.H. State space and multivariable theory. New York. J. Willey, 1970.

25. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности.-Новосибирск: Изд-во. НГТУ, 2000.

26. Sorensen D.C. Truncated QZ methods for large scale generalized eigenvalue problems // Electronic Transactions on Numerical Analysis, 1998. Vol. 7.-P. 141 - 162.

27. Trefethen L.N., Wright T.G. Eigenvalues and pseudospectra of rectangular matrices // Oxford University Computing Laboratory. Numerical Analysis Group, 2001. Report No.01/03.

28.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

29. Simoncini V., Sorensen D.C. Transfer function and resolvent norm approximation of large matrices // Electronic Transactions on Numerical Analysis, 1998. Vol. 7.-P. 190

- 201.