Излучение гравитационного атома

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3.1. Точки ^ и Ф^ плоскости отвечающие точке А е Еи, совпадают.

Доказательство. Прежде всего заметим, что во всех случаях и=5,й=6 и п>1 выполняются соотношения типа (2.1):

4,,+4, =0,(о, =3,4),

которые в силу (3.4) и (1.6) приводят к соотношениям

В%+В%= 0.

Из (3.11) в силу (3.3), (3.5) и (3.13) получаем, что координаты х1 и х1 точек Рг1 и Ф11 определяются одной и той же системой линейных уравнений:

К+ку+(4+в:2)х2=4+а:

(К +В:2)х'-(В1г+В*ПУ=А1-А^’

что и требовалось доказать.

Теорема 3.2. Отображение /:Д отвечающее точке Ае Е„, является отображением /г.

Доказательство этой теоремы вытекает из (3.12) и (3.13).

Теорема 3.3. Отображение ф: 1}2 -> 1}2, отвечающее точке Ае Е„, будет отображением фг тогда и только тогда, когда точка Рл е Ь\ (или Фл является бесконечно удалённой точкой.

Доказательство этой теоремы вытекает из (3.12-3.14) в силу (3.5).

Замечание. Случай п=4 будет предметом особого рассмотрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. - М., 1953. - Т. 2. -С. 275-382.

2. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

3. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. - 510 с.

4. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. -№ 1. - С. 9-19.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RNR). - 1962. - № 2. - P. 231-240.

УДК530.12531.51

ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО АТОМА

В.В. Ласуков

Томский политехнический университет Тел.: (382-2М15-877

Разработан гравитационный аналог нестационарной теории возмущений и на этой основе исследован процесс рождения массивных квантов скалярного поля гравитационным атомом.

В инфляционной космологии считается, что вся остальная материя во Вселенной порождается переменным скалярным полем подобно тому, как переменное электрическое поле может рождать элект-рон-позитронные пары [1,2].

В данной работе исследуется альтернативный механизм рождения материи, подобный спонтанному излучению гравитационного атома.

1. Нестационарная теория возмущений

Согласно [3] стационарное квантовое уравнение, описывающее гравитационный атом без учета спина эффективных частиц, имеет вид

Н0Чя

где

НЛ=-

п

+ М aVU0,

2 Мр р

и0< 0, V

4 па

п + -

, ж = -i

да

^n=Nexр -- п\П;](х),

\ ¿J-

3

х = 2а£,:

а

/iv) (х) - обобщенный многочлен Лагерра порядка п, нормировочный множитель N равен

(9а)б Г

N = -

<Т(/) = 0.

iMpa~-H0-W0{t)

'¥

здесь энергия возмущения W0 (/) равна

Известно, что полное решение неста-

ционарного невозмущенного уравнения

¿М а------------Нп

р dt °

можно представить в виде Л°)

¥0](a,t) = О

Г - + п

Уравнение (1) отличается от традиционного уравнения Шредингера множителем Мра в правой части (из-за чего функции Ч/л не ортогональны) и знаком оператора кинетической энергии

* к1 . .8 т =---------п = _г—_

2 Мр да

Отмеченные особенности диктуют необходимость разработки гравитационного аналога нестационарной теории возмущений для исследования спонтанного "излучения" массивных квантов гравитационным атомом.

Используя принцип калибровочной инвариантности, введем однородное массивное скалярное поле. Для того, чтобы уравнение (1) было инвариантно относительно калибровочного преобразования

'Р -> хР-ехр(г0(а,г)), требуется ввести вместо производной да удлиненную производную (За-/£ф(а,г)), где

ф(а,?) = — 5в0(а,?). Для того, чтобы калибровочное скалярное поле ф(а,/) было пространственно однородным, предположим, что 0(а,г) = = 6(7)-а. Тогда нестационарное уравнение, соответствующее уравнению (1), примет вид

М ai—----------- —(да-igq>(t))2 -MnaVU0

р dt 2М V п р 0

Т М = Z Сп exp(-^„0^„ (fl).

п

где С„ - постоянные коэффициенты, |С„|2 - вероятность нахождения частицы в состоянии п.

Используя метод вариации произвольных постоянных, решение возмущенного нестационарного уравнения (3) будем искать в виде

W

п

где C„(t) - функции времени, подлежащие определению.

Подставляя (4) в уравнение (3) с учетом (1), найдем

X MPai(a)exp(-lEj) =

m

= ЕЖо

m

Умножим (5) на exp (г Ekt)da и проинтегрируем по всему диапазону переменной а. Тогда, учитывая известный интеграл [4]

со

ехр(-сх)!,^ (сх)6^ (cx)dx -

о

_Г

-5 ReA. > -1,

myn7 7

получим систему уравнений на коэффициенты

п!сх+1

где

Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные ф2, и, учитывая однородность скалярного поля (опф(/) = 0), уравнение (2) можно представить в виде

iMp{a)^T = 'ZCrn ехР[«*>*»*]^ы

Ш m

ы=Ек-Ет’ wbn(t) =

СО

= l'v;(a)w0(t)'rm(a)da,

о

(я)=)вчу(<0ч\(<,)«й =

Р

[ 9а]

'2Л уЗу

Г

( 0 (2 Л

I' — + к

Ь )

ю

Как известно, плотность энергии скалярного поля, усредненная по периоду, равна

Решение системы (6), эквивалентной уравнению (3), будем искать по теории возмущений

с.^+с^+с?*+...+с<Д

где коэффициенты / приближения равны С« ~ (йГ0 (?)) . Подставляя (7) в (6) и, учитывая лишь члены нулевого С^0) и первого приближения 2

СР, получим систему Ск уравнений для опреде- Наложим на ф(г) условие периодичности ления коэффициентов

Шр {а)~~ = ехр[^ь,]^ (0-

ш т

Из (8) видно, что с10) - константы, и их значе-

ния задаются начальным условием

&] = д , т пт >

означающим, что при ¿=0 частица находится в состоянии п. Подставляя (10) в (9), найдем

с,(0»с!0 =

=~тгг\ №ехр[й<0ь]^ (О- <и> МР\а)*

Тогда в первом порядке теории возмущений вероятность Р перехода в единицу времени равна

р=—2М-

& V1 1

2, Квантование однородного скалярного поля

Как известно, вещественное однородное скалярное поле ф(/) удовлетворяет уравнению

Э2ф(г) 2

д,?2 +т ф_°’

с решением

ф(0=-^ЕИу)ехр(-г'у0+

-к8(у)ехр(г'у г)], \2=т2.

Из условия вещественности ф* = ф следует, что Я

Учитывая (13), решение (12) приведем к виду

ф(0=^Е[лМехр(-,'у0+

-ь4*

Отт

ф(/ + Г) = ф(/). Тогда V = ~^гп> п = 0, ±1, ±2, ... Подставляя (14) в (15) и учитывая соотношение

Т

2

| ехр [-й (V ± у')] <И =

= 2-

-(у±у') 2 }

Г

= 5

нетрудно получить, что при Л(-у) = А" (у), V2 = т1 гамильтониан равен

Н = 2^2\_А*А + АА'^.

V

Представим амплитуды А(у) и /1*(у) в виде

А (у)=ьу (0=ехР Ну0 ’

ъ:

А* М=К (0=^=ехр(г’у0-

Подставляя (17) в выражение для гамильтониана (16), найдем

'>[К'К+ЬХ\

Проквантуем выражение (17) с помощью квантового уравнения движения. Учитывая зависимость амплитуд А(х) и А\у) от времени (17), будем иметь

[нь„-ьвн],

щь;=1[нь;-ъ;н]. м

Подставляя (18) в (19), соотношение (19) преобразуем к виду

^ V

[ь;\- ьгь; ]+ь; [ь\ - у>, ]+ +[г’А_г’А](’»}- <21>

Из (20), (21) видно, что

[>А*] = ьА*-*Л = 8 [>Л] = о. [»;»,*] = о

Поэтому амплитуды Ь не могут быть обычными числами. Они должны быть операторами. Операторы Ь, Ь+ выберем так, чтобы они удовлетворяли коммутационному соотношению (22). Следуя работе [5], нетрудно видеть, что операторы можно выбрать равными следующим эрмитово-сопряженным бесконечным матрицам

О О О

О 0 л/2 0 0

о о о 7з о

О 0 0 0 л/4

ь =

ч

( 0 0 0 0 0 ...

7Г 9 0 0 0 ...

ь+ = 0 Т2 0 0 0 ...

0 0 л/з 0 0 ...

ч

Отсюда следует, что

/ 1 0 0 0 0 ..."

0 2 0 0 0 ...

ЬЪ+ 0 0 3 0 0 ...

0 0 0 4 0 ...

/

о о 0 0 0 ...

0 1 0 0 0 ...

Ь+Ь = 0 0 2 0 0 ...

0 0 0 3 0 ...

^

"1 0 0 0 0...'

0 1 0 0 0...

ЬЬ+ -Ь+Ь = 0 0 1 0 0...

0 0 Ч 0 1 0...

так что матричные значения для амплитуд Ь, Ь+ удовлетворяют (22). Чтобы удовлетворить соотношению (22), выберем функцию ДА?) от числа квантов ска-

лярного поля N на которую действуют матрицы Ь, Ь+ в следующем виде

/(»)=

'П '0"

0 1 0

0 0 1

0 ./(0= 0 ./(2) = 0

V ) V / V У

где ДО) описывает состояние, когда кванты скалярного поля отсутствуют, Д1) - состояние с одним квантом, Д2) - с двумя квантами и т.д. Учитывая (23), получим

&/(ЛГ) = л/]у/(ЛГ-1),

б+/М=7л^Т/(лг+1),

ь+ь/(м) = м/(м), ы>7( м) = (ы+\)/{ы),

/

Из (24) видно, что в случае отсутствия частиц (N=0) остается нулевая энергия, равная

V “

Физически она соответствует наличию скалярного вакуума, из которого извлекаются реальные кванты скалярного поля при их рождении, и куда они переходят при их поглощении.

3. Спонтанное рождение скалярного поля

Подставляя

ф(,)=^г?ЬЪ[г’-ехр(“'ч'')+

+г>„+ехр(/у/)]}

в (11), и учитывая (22), получим

&

с,(0=-

4тМ1

Л

ехр[;'(шь-у)<]-1

К — " —

О

ехр[-/(ю„,-у);]-1

гК*-у)

где второй член, пропорциональный Ь+, описывает процесс рождения квантов скалярного поля. Оставляя этот член, имеем

/а ^ у 1 ехр[~г'К-у)0;: Ск[

00

О

Отсюда для суммарной вероятности перехода Рпк = — Ск+Ск, получаем

можно получить, что начальный момент второго порядка (а1^ равен

О

/''оЛ

^зУз

л!Г

V«

V-’/

Г

(11 (? Л

• 1 — + к

ы ^3 )

'$пк ’

р*=-

ё

1 вт [(у-©„*)*]_

2ТМ4р

х(бтг ь)-(бХ,)-

где матричный элемент

00

Я*» = \^к^п~

о

Используя далее коммутационные соотношения (22), найдем

[Ьт1 )(&+7г) = (1 + Л^)!^2.

Тогда окончательно для вероятности спонтанного перехода (N=0) имеем

Р =------1----

2 ТМЦа)2

1 вт[(у-©„*)*]

где

^=2-

Г л \

- + /

V-’

\

ЫГ{Г‘

2п

Г

— к + 1 3

("-¡у

Так как V = — , то при Т -> оо

При?»ю-1, со = у-^|[/0|С

можно по-

ложить

1 5т[(у-со„,);]

= 8(у-(оя4). Тогда

х

тс

пк

V V

Из стационарного уравнения (1) нетрудно получить

\djda = 2М*соп* (а)А * (*пкЬпк = О, Ппк -1~ \даШ = ЧМ2р(йпк (а2)пк,

откуда следует соотношение

*„» =-«>,» {а2)л,

которое отличается от традиционного множителем Мр и тем, что вместо момента первого порядка {а)пк возникает момент второго порядка (я2)^. Используя известный интеграл [4]

со

еХР(-^)^тГ) (^)4Х) (Х)<*Х =

О

(1 + у)т (^-р+1)„

после интегрирования по V, найдем

= _ц^и~2

пк Ш2 пк >

Р

п\ 9Л/

Компьютерный анализ, результаты которого представлены на рисунке, показывает, что

т\п\

-л

-т, Р, р — Я.; 1

1 + у, Р -Х-п

Рисунок. Зависимость модуля величины от номеров квантовых состояний п и к=п+1 л=0,1.. .10, /=1,5.. .5

Из рисунка видно, что величина рл<:| максимальна при к=п+1, а ее максимальное значение медленно растет с ростом п, но быстро убывает с ростом у при любом п.

Полагая g = л/Л, Л = 8тгС|С/0|, |С/0| = ХМ*, X « 10“8, найдем оценку для вероятности

Заключение

Исследованное в статье "излучение" гравитационного атома, можно интерпретировать как процесс рождения квантов скалярного поля, обладающих в лидирующем приближении (к=п+1) массой т = &пк= 4© (к-п) = 4ю. Аналогично можно рассмотреть процесс рождения квантов других полей. Таким образом, отрицательная энергия скалярного

потенциала -1/0 может количественно определять массу элементарных частиц, если предположить, что в различных пространственно-временных областях Вселенной (или в разных мини-вселенных) абсолютная величина постоянной составляющей скалярного потенциала ¡¿70| различна.

Если же массу скалярных частиц /иф отождествить с планковской массой Мр, то исследованный процесс спонтанного рождения квантов скалярного поля можно интерпретировать как процесс превращения первоначальной гравитационной постоянной С, = М.2 в современную гравитационную постоянную и/ = М~р\ где первоначальное значение планковской массы Мр > Мр ~ 10~5 г.

Другими словами, эффективная частица массы Мр сбрасывает массу излучением элементарных частиц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. - М.: Наука, 1990. -С. 162-166.

2. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. Космология ранней Вселенной. - М.: Изд-во МГУ, 1988. -С. 116-117.

3. Ласуков В.В. Атомная модель ранней Вселенной // Изв. вузов. Сер. Физика. - 2003. - № 4. - С. 70-75.

4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. - М.: Наука, 1983. - С. 478.

5. Соколов А.А, Тернов И.М. Релятивистский электрон. - М.: Наука, 1974. - С. 147-153.

УДК 542.943.7:541.183.5:532.78:519.24

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ПОВЕРХНОСТИ

Н.В. Лепехина, В.Д. Абабий

Томский политехнический университет E-mail: vinni@phtd.tpu.edu.ru

Проведено исследование методом Монте-Карло механизмов простых физико-химических процессов на поверхности: адсорбции, десорбции, рекомбинации атомов. Для теоретического описания статистического расчета составлены вероятностные уравнения. С помощью предложенных уравнений можно сопоставить стохастическую и кинетическую модели и определить константы скорости элементарных стадий через параметры модели Монте-Карло. В решениях вероятностных уравнений можно выделить величины, определяющие скорость роста концентрации адсорбата и стационарное значение концентрации.

Обычно в машинном эксперименте ставится задача моделирования решения уравнения, описывающего процесс через макроскопические параметры. Сам механизм явления зачастую бывает скрыт за формализмом уравнения, а связь макроскопических параметров с микроскопическими завуалирована сложной математической процедурой усреднения по ансамблю. Метод Монте-Карло дает возможность

Введение

Одним из наиболее интересных методов моделирования, приобретающим все большее значение в теоретических исследованиях является метод статистических испытаний или метод Монте-Карло. Этот метод широко используется в химии, в частности, при изучении кинетики адсорбции, десорбции, каталитических реакций на поверхности [1].