Формирование прикладного математического мышления школьников

не только чувствовали уверенность, но также создавали художественные произведения. Учащиеся писали стихи, рассказы, сценарии, а также готовили театрализованные представления, проводили конкурсы выразительного чтения, организовывали встречи с представителями народного искусства. Художественно-творческие работы учащихся печатались в периодических изданиях, был составлен сборник. Таким образом, педагогическое стимулирование способствовало художественно-творческой деятельности учащихся в условиях эвристического обучения при умелой организации работы и в подлинно творческой среде.

Библиографический список

1. Андреев, В. И. Педагогика: Учебный курс для творческого саморазвития. 3-е изд. / В. И. Андреев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2003.

2. Хуторской, А. В. Современная дидактика / А. В. Хуторской. - СПб., 2001.

3. Дистервег, А.. Избр. пед. соч. / А. Дистервег. - М.: Просвещение, 1961.

4. Осипов, П. Р. Педагогические основы стимулирования самовоспитания учащихся средней профессиональной школы: Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук. - Казань, 1993.

5. Оганов, А. А., Хангельдиева И. И. Теория культуры. Учебное пособие / А. А. Оганов, И. И. Хангельдиева. - М., 2003.

УДК 158.01:37.08

В. С. Абатурова

ФОРМИРОВАНИЕ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

Возросшая роль математики и связанных с ней прикладных дисциплин в функционировании технически сложноорганизованного современного человеческого общества, использование методов математического моделирования не только в познании законов природы, но и в развитии различных областей человеческой деятельности, в том числе, при решении крупных народнохозяйственных и социально-экономических проблем, предъявляют повышенные требования к математической культуре мышления каждого человека.

В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года», отмечается, что «на современном этапе развития России образование, в его неразрывной, органичной связи с наукой, становится все более мощной движущей силой экономического роста, повышения эффектив-

ности и конкурентоспособности народного хозяйства, что делает его одним из важнейших факторов национальной безопасности и благосостояния страны, благополучия каждого гражданина» [1].

Таким образом, одной из целей современного школьного математического образования должно стать формирование прикладного математического мышления школьников^ которое можно обеспечить посред- <• ством «приобретения и совершенствования опыта построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач» [2].

Важность роли прикладной направленности математики в школьном математическом образовании и математического моделирования в формировании у школьников умений анализировать реальные, практические задачи отмечается в педагогических исследованиях А. Н. Колмогорова,

А. И. Маркушевича, Л. Д. Кудрявцева, Б. В. Гнеденко, Г. Фройденталя [3-7].

Необходимость формирования прикладного математического мышления посредством введения в школу задач математического моделирования обусловлена тем, что «развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия» [1]. Возможность обучения школьников решению задач математического моделирования возникает в старших классах общеобразовательной школы на основе имеющегося у них к тому времени математического аппарата.

Напомним, что термин моделирование обозначает метод познания, суть которого сводится к замещению одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и получению информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью исследования свойств объекта-модели. Исследования В. В. Давыдова, П. Я. Гальперина, Ж. Пиаже, С. Л. Рубинштейна,

М. В. Гамезо, Н. Г. Салминой в области психологии [8-13], показывают, что использование моделирования в обучении помогает при решении многих педагогических задач, в том числе, задач активизации мыслительной деятельности, формирования научно-теоретического мышления, повышения эффективности усвоения знаний; соблюдения принципов сознательности обучения, единства теории и практики.

Математическое моделирование возникает тогда, когда объект-оригинал замещается математическим объектом и информация об оригинале извлекается с помощью математического исследования модели. Таким образом, математическим моделированием принято называть описание реальных физических, химических, технологических, биологических, социологических, экономических и других процессов с помощью математического инструментария, например, уравнений и неравенств.

Философско-методологическим и психолого-педагогическим основам

формирования прикладного математического мышления школьников и возможности обучения их элементам математического моделирования посвящено значительное число работ, написанных в разное время.

Несмотря на изменение содержания, целей и задач школьного математического образования, которое происходило в связи с реформами образования в разное время, прикладная и практическая направленность математики как инструмента познания реальных процессов всегда оставалась неизменной, актуальной является и в настоящее время.

Так, в исследованиях, проведенных в 60-80 гг. XX века, когда важное место в содержании образования занимало усиление политехнической направленности, Н. Н. Моисеев [14], А. А. Самарский [15], С. Л. Соболев [16], А. Н. Тихонов [17] отмечали, что основу для политехнизации составляют отчетливое представление школьников о модельном характере математических понятий и практическое обучение их математическому моделированию. В диссертационных работах М. И. Каченовского, В. А. Стукалова, Г. М. Морозова, Л. Г. Петерсон, В. С. Былкова, Н. Б. Мельниковой [18-23] и др. были решены важные педагогические задачи, связанные с обучением математическому моделированию и использованием его как средства учебного познания, в том числе была «доказана необходимость и принципиальная возможность усвоения учащимися понятий «модель», «моделирование», «математическое моделирование»; раскрыты иллюстративная и эвристическая функции моделирования в обучении; выделены основные элементы процесса построения математических моделей, дан анализ его операционного состава; определено содержание, на котором наиболее целесообразно обучать школьников построению математических моделей; показано, что целенаправленное использование представлений о математическом моделировании способствует решению таких педагогических задач, как формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, воспитание творческих способностей, усиление межпредметных связей и связей обучения с практикой; найдены конкретные методические пути обучения учащихся 7-10 классов умению строить математические модели» [21].

В 90-х годах XX в., в период перестройки школы была разработана новая концепция школьного математического образования, в которой ведущей идеей признается гуманизация математического образования (дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя). В исследованиях А. С. Симонова, Ж. Н. Шепелевой, С. Ю. Поляковой [24-26] и др. математическое моделирование в школьном математическом образовании было представлено, в основном, экономическими моделями, а также математическими моделями общественных процессов.

Итак, благодаря усилиям многих исследователей методики преподавания математики, понятия «модель», «моделирование», «математическое моделирование» вошли в школьное математическое образование и находят дальнейшее свое развитие и практическое применение. Разработаны учебно-методические комплекты по алгебре для общеобразовательной и профильной школы (А. Г. Мордкович [27-30], Г. В.Дорофеев [31-32], С. М. Никольский [33-37] и др.), геометрии (В. А. Гусев [38-39], И. М. Смирнова [40-41] и др.), математике (А. Л. Вернер [42-43] и др.), учебные пособия для старшеклассников (А. Ж. Жафяров [44^15] и др.), в которых с разных позиций развиваются идеи математического моделирования.

Вместе с тем, несмотря на имеющийся опыт включения в школьное математическое образование элементов математического моделирования, все еще отсутствует системное внедрение в школьный курс математики круга идей, понятий, методов математического моделирования, способствующих формированию прикладного математического мышления, обеспеченных учебными задачами, моделирующими реальные задачи организационного управления, показывающими на доступном школьнику математическом материале как формализуются задачи принятия решений, как они решаются с помощью математического инструментария и как применяются на практике найденные решения.

Поэтому вопрос выбора эффективных путей включения метода математического моделирования в логическую структуру и практику школьного математического образования до сих пор остается актуальным. Один из возможных путей решения этой проблемы есть путь разработки соответствующего курса задач математического моделирования.

В современной школе существует фактически единственная возможность показать применение метода математического моделирования для решения реальных практических задач - это текстовые (алгебраические) задачи. Как отмечает А. В. Шевкин, «в традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место, и это почти исключительно российский феномен» [46, с. 3]. Учитывая исторически сложившийся опыт обучения школьников решению текстовых задач в соответствии с уровнем математической подготовки и степенью развития логического мышления школьников, мы считаем, что в начальной школе и 5-6 классах необходимым и важным средством обучения математике, в том числе для формирования прикладного математического мышления, является арифметический метод решения традиционных текстовых задач, тогда как алгебраический метод решения текстовых задач необходим и очень важен в 7-9 классах. Отметим, что в некоторых современных школьных учебниках алгебры ([27, с 20]) на примере решения традиционных текстовых (алгебраических) демонстрируется формальное, упрощенное применение метода математического моделирования: составление математической модели задачи, рабо-

та с моделью, ответ на вопрос задачи. Зачастую такие задачи лишь имитируют математическое моделирование, но не являются таковыми по содержанию. Они не связаны с реальными прикладными задачами, возникающими в практической деятельности человека, позволяют лишь проиллюстрировать само понятие математической модели и метод математического моделирования, оставляя в стороне неизбежность и незаменимость метода для функционирования современного общества. Поэтому школе нужны качественно иные текстовые задачи, имеющие непосредственное отношение к реальным задачам управления, принятия решений и т. п.

Мы предлагаем ввести в школьный курс математики (на старшей ступени) новый тип прикладных текстовых (алгебраических) задач - простейших задач математического моделирования, при решении которых ученик сможет применить метод математического моделирования, проследить все его этапы: этап формализации задачи, этап внутримодельного решения и этап интерпретации полученных результатов. Многообразие задач математического моделирования порождает различные возможности реализации этой идеи. В то же время имеются ограничения в отборе таких задач, связанные с доступным для школьника математическим инструментарием.

Нами разработан и апробирован школьный элективный курс «Линейные модели организационного управления», основу которого составили задачи организационного управления, приводящие к линейным моделям. Примером таких задач являются также и задачи, приводящие к двумерным моделям линейного программирования - задачи, в которых требуется найти оптимальное решение - пару чисел (значения управляемых переменных), в которой линейная функции (целевая) принимает наименьшее или наибольшее значение, при условии, что управляемые переменные удовлетворяют конечному числу линейных уравнений и неравенств с двумя переменными.

Линейные модели (линейные функции, линейные уравнения, линейные неравенства) являются базовыми понятиями школьной алгебры. Линейная функция одной переменной достаточно полно изучается в школьном курсе алгебры, линейная функция двух переменных неявно присутствует при решении линейных уравнений с двумя неизвестными. Большое значение в курсе школьной алгебры отводится линейным уравнениям (уравнениям I степени) с одним и двумя неизвестными, системам двух линейных уравнений (уравнений I степени) с двумя неизвестными [33]. Одновременно в разделе «Метод координат» курса геометрии изучается тема «Уравнение прямой», которая непосредственно связана с темой «Линейная функция», изучаемой в курсе алгебры [47; 48].

Поэтому, несколько расширив этот математический аппарат можно подойти к решению правдоподобных задач, приводящих к простейшим моделям линейного программирования.

В ходе реализации элективного курса, мы обнаружили, что дополнительный математический аппарат, необходимый для решения задач, приводящих к моделям линейного программирования (графический способ решения системы линейных неравенств с двумя неизвестными, линейная функция двух переменных, нахождение наибольшего или наименьшего значения линейной функции двух переменных на выпуклом многоугольнике (многоугольной области)), легко усваивается школьниками, вписывается в логическую структуру школьного математического образования и является, тем самым, одним из путей для целенаправленного обучения школьников началам математического моделирования.

Задача. На российском рынке продаются натуральные соки различных российских производителей по различным ценам. Торговая точка (продуктовый магазин) продает соки двух различных производителей с условными наименованиями «Фруктовый сад» и «Вико», закупая их еженедельно по оптовым ценам в оптовой фирме. Отпускная цена в оптовой фирме сока «Фруктовый сад» - 22 рубля, а сока «Вико» - 38 рублей. Маркетинговое исследование показало, что за неделю в одной торговой точке (магазине) может быть продано не более 1200 пакетов сока «Фруктовый сад» и не более 1 ООО пакетов сока «Вико». Оптовая фирма ставит свои условия для продажи соков - закупка сока одного наименования должна быть не менее 200 пакетов. Возможности магазина для хранения товара в специально оборудованном холодильнике ограничены, и, в общем, не превышают 1600 пакетов соков. Управляющему магазина требуется определить, сколько пакетов сока каждого вида нужно закупать в начале недели в оптовой фирме, чтобы достичь максимальной прибыли?

Решение.

I этан (формализация задачи).

Пусть х и у пакетов соков «Фруктовый сад» и «Вико» соответственно управляющий магазина будет закупать еженедельно. Тогда стоимость закупленного в оптовой фирме товара составит 22х + 38,у рублей. По условию задачи должны выполняться следующие неравенства - х +у < 1600, 200 < . <*<1200, 200 <>-< 10Ц0Требуется найти такие значения хиу, при

которых выражение 22л:+ 38^ принимает наибольшее значение при заданных условиях для переменных хиу.

Итак, математическая модель данной задачи приводит к модели линейного программирования для двух переменных, где управляемые переменные (переменные, значения которых доставляют оптимальное (наилучшее) значение целевой функции) есть хиу, целевая функция (функция, зависящая от управляемых переменных и характеризующая степень близости к некоторой желаемой цели - в данном случае максимальное значение прибыли) имеет вид, а ограничения на управ-ляемые переменные

(ограничивающие или регулирующие условия, включенные в постановку задачи и не подлежащие изменению для данной задачи) выражены системой неравенств:

/(*, у) = 22х + 38.у

х + у <1600,

200 < х <1200, 200 < у <1000,

Подводя итог, можно сформулировать математическую модель задачи следующим образом: найти план закупок (фиксированную пару (х, у)) соков, доставляющий максимум целевой функции на множестве допустимых решений. Символически, эта задача записывается так:

22х + 38_у —»• шах х + у < 1600,

200 <х <1200, 200 < у <1000,

II этап (внутримодельное решение).

Используем координатный (графический) метод решения задачи, который состоит из двух этапов: сначала найдем графическое решение системы линейных неравенств на координатной плоскости, которое называют множеством допустимых решений, затем на этом множестве найдем наибольшее значение целевой функции, тем самым определим оптимальное решение - план закупок соков (искомую пару чисел). При этом, ввиду условия неотрицательности управляемых переменных, все построения будем проводить в первой четверти.

Итак, решением системы неравенств, характеризующей ограничения на управляемые переменные

х + у <1600,

< 200 < х <1200,

200 < у <1000,

является пятиугольник, вершины которого - точки ^4(200;200), £(200; 1000), С(600;1000), £>(1200;400), £(1200;200). Выясним в какой точке допустимого множества функция /(х, у) = 22х + 38у принимает наибольшее значение.

Покажем на координатной плоскости линии уровней (линии постоянной прибыли) функции /(х,у) = 22х + 38у т.е. прямые, заданные уравнениями 22х + 38у = г , где г = /(х,у) - постоянное значение функции /(х, у) в каждой точке соответствующей прямой. При различных значениях г

линии уровня составляют семейство параллельных прямых, причем чем больше 2 , тем выше расположена линия уровня, а значит и значение целевой функции на ней больше, чем на прямых, расположенных ниже. Покажем на рисунке 2 как ведут себя линии постоянной прибыли функции /(х,у) = 22х + Ъ%у, для чего построим, к примеру, три линии уровня

22* + 38^ = 8360, 22* + ЪЪу = 25080, 22х + 38у = 58520.

Из рисунка 2 видно, что прямая 22*+ 38^ = 58520 расположена выше

остальных и уровень прибыли на ней составляет 58520-

Рис. 2

Расположим в одной системе координат линии уровня функции /(х,у) = 22х + 38у и множество допустимых решений рассматриваемой задачи (рис. 3).

Рис. 3

Из рисунка 3 видно, что прямые 22л: + 38 у- 8360 , 22л: + 38_у = 58520 не пересекают множество допустимых решений задачи, поэтому не могут дать решение задачи, а прямая 22х + 38у = 25080 , хотя и пересекает множество допустимых решений, но не является искомой, поскольку значение ^ = 25080 можно увеличивать, находясь при этом все еще во множестве допустимых решений. Нетрудно заметить, что искомая прямая постоянной прибыли пройдет через вершину С(600;1000) пятиугольника ABCDE, при этом

уровень постоянной прибыли составит 22-600 + 38-1000 = 51200

III этап

Итак, управляющему фирмой для достижения максимальной прибыли нужно закупать в начале недели в оптовой фирме 600 пакетов сока «Фруктовый сад» и 1000 пакетов сока «Вико».

В заключении отметим, что эта задача в отличие от традиционных текстовых задач, общепринятых в средней школе, имеет реальное практическое значение, поскольку позволяет показать применение метода математического моделирования для анализа и принятия управляющих решений в производственных и коммерческих задачах. Тем самым решение ее способствует формированию прикладного математического мышления. Разумеется, реальные задачи, с которыми человек сталкивается в различных сферах управленческой деятельности, намного сложнее, но даже такая упрощенная задача, подобная реальной, позволяет показать основные идеи и методы математики при моделировании реальных явлений и процессов.

Библиографический список

1. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. Приложение к приказу Минобразования России от 11 февраля 2002 г. № 393 // Приложение к журналу «Вестник образования» - «Модернизация российского образования», март 2003 г

2. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть II. Среднее (полное) общее образование / Министерство образования Российской Федерации. - М. 2004.

3. Колмогоров, А. Н. Современная математика и математика в современной школе. // Математика в школе. - 1971. - № 6. - С. 2-3.

4. Маркушевич, А. И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // В кн.: На путях обновления школьного курса математики. — М.: Просвещение, 1978.

5. Кудрявцев, Л. Д. Современная математика и ее преподавание. - М.: Наука, 1985.

6. Гнеденко, Б. В. О роли математики в формировании у учащихся научного мировоззрения и нравственных принципов // Математика в школе. -1989. -№ 5.

7. Фройденталь, Г. Математика как педагогическая задача. Т. 1, 2. - М.: Просвещение, 1982, 1983.

8. Давыдов, В. В. Теория развивающего обучения. - М., Интор, 1996.

9. Гальперин, П. Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. -М.: Изд. Московского ун-та, 1985.

10. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды.-М.: Просвещение, 1969.

11. Рубинштейн, С. Л. Проблемы общей психологии. - М.: Педагогика, 1976.

12. Гамезо, М. В. Знаки и знаковое моделирование в познавательной деятельности. - Дисс. ... докт. психол. наук. - М.: 1977.

13. Салмина, Н. Г. Знак и символ в обучении. - М., 1988.

14. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент. - М.: Наука, 1979.

15. Самарский, А. А. Эксперимент ведет математика. // Известия, 27 апреля, 1984.

16. Соболев, С. Л. Судить по конечному результату. // Математика в школе. - 1984.-№ 1. - С.15-19.

17. Тихонов, А. Н. Математические модели и научно-технический прогресс. - В кн.: Что такое прикладная математика. М., 1980 - С. 7-22. - (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 10).

18. Каченовский, М. И. Математическое моделирование в средней общеобразовательной школе с политехническим обучением. - Дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1959.

19. Стукалов, В. А. Использование представлений о математическом моделировании в обучении математике. - Дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1976.

20. Морозов, Г. М. Проблема формирования умений, связанных с применением математики. - Дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1978.

21. Петерсон, Л. Г. Моделирование как средство формирования представлений о понятии функции в 4-6 классах средней школы. - Дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1985.

22. Былков, В. С. Формирование понятия о математическом моделировании средствами курса алгебры и начал анализа 9 и 10 классов. - Дисс. ... канд. пед. наук. М.- 1986.

23. Мельникова, Н. Б. Проблема прикладной экономической ориентации курса алгебры средней школы. - Дисс. ... канд. пед. наук. - М., 1980.

24. Симонов, А. С. Математические модели экономики в школьном курсе математики. Дисс. ... д-ра. пед. наук. - Тула, 2000.

25. Шепелева, Ж. Н. Педагогические условия обучения старшеклассников конструированию экономико-математических моделей. - Дисс. ... канд. пед. наук. - Белгород, 2004.

26. Полякова, С. Ю. Обучение математическому моделированию общественных процессов как средство гуманитаризации математического образования. - Дисс. ... канд. пед. наук. - Омск, 1999.

27. Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 кл. В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

28. Мордкович, А. Г. Алгебра. 8 кл. В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

29. Мордкович, А. Г. Алгебра. 9 кл. В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

30. Мордкович, А. Г. Алгебра, и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 5-е изд - М.: Мнемозина, 2004.

31. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных: Учеб. для 8 кл. / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2002.

32. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных: Учеб. для 9 кл./ Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 2002.

33. Алгебра: Учеб. для 7 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, H. Н. Решетников, А. В. Шевкин. 3-е изд.. - М.: Просвещение, 2002.

34. Алгебра: Учеб. для 8 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, H. Н. Решетников, А. В. Шевкин. . - М.: Просвещение, 2002.

35. Алгебра: Учеб. для 9 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов,

H Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2002.

36. Алгебра: Учеб. для 10 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов,

H. Н. Решетников, А. В. Шевкин.. - М.: Просвещение, 2002.

37. Алгебра: Учеб. для 11 кл. / С. М. Никольский, М. К. Потапов,

H. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2002.

38. Гусев В. А. Геометрия. 5-6 классы: Учебное пособие. - 2-е изд. испр. и доп. - М.: ООО ТИД «Русское слово - PC», 2005.

39. Гусев В. А. Геометрия. 7 класс: - М.: ООО «ТИД «Русское слово -PC», 2003.

40. Смирнова И. М. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для. общеобразоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М: Мнемозина, 2005.

41. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М: Мнемозина, 2003.

42. Вернер A. JI. Математика: Учеб. пособие для 10 кл. гуманит. профиля. / А. Л. Вернер, А. П. Карп. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

43. Вернер А. Л. Математика: Учеб. пособие для 11 кл. гуманит. профиля. / А. Л. Вернер, А. П. Карп. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2001,

а 44. Жафяров А. Ж. Профильное обучение математике старшеклассников. Уч. дид. Комплекс Новосибирск: Сибирское универ. изд-во, 2003.

45. Жафяров А. Ж. Обучающий задачник. Математика 10-11 (профильный уровень). Уч. Пособие - Новосибирск.: Изд. НГПУ, 2005.

46. Шевкин, А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Методическое пособие для учителя. - 3-е изд., дораб. - М: ООО «ТИД «Русское слово-РС», 2001.

47. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред.шк./ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992. - с.230-234.

48. Погорелов, А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред.шк. - 3-е изд. -М.: Просвещение, 1992.-е. 125-130.