Доклады на международной молодёжной конференции Евразийской Ассоциации по обратным задачам «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения»

Доклады на международной молодёжной конференции Евразийской Ассоциации по обратным задачам «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения»

В журнале представлены отобранные статьи молодых участников крупной международной конференции «Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications», проходившей 30 ноября - 2 декабря 2015 г. МФТИ. Конференция проводилась в рамках проекта организации международной конференции Евразийской Ассоциации по обратным задачам «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения» 15-07-20959 и проекта организации международной молодежной школы Евразийской Ассоциации по обратным задачам «Квазилинейные уравнения, обратные задачи и их приложения» 15-37-10508. Участие в конференции приняли ведущие в мире специалисты по обратным задачам и квазилинейным уравнениям (М.И. Белишев, С.И. Кабанихин, Л.Н. Пестов, И.А. Тайманов, В.А. Шарафутдинов, J. Boman, K. Khanin, S. Kuksin, A. Joulivet, J.-C. Saut, R. Novikov, G. Henkin и др.). Среди участников конференции оказалось много молодых ученых из России и Европы. Поэтому было решено прочитать обзорную лекцию R. G. Novikov (Ecole Polytechnique, France) Introductory lecture for students «Inverse scattering and applications» для молодых ученых и провести в рамках конференции две специальные молодежные секции (под председательством чл.-корр. РАН И.Б. Петрова, зав. каф. информатики и вычислительной математики МФТИ (ГУ) и проф. А.А. Шананина, зав. каф. анализа систем и решений факультета управления и прикладной математики МФТИ). Избранные работы молодых участников школы приведены в этом номере журнала.

В работе «Исследование скорости бегущей волны в одной модификации модели Полтеровича-Хенкина» исследуется асимптотическое по времени поведение решения задачи Коши квазилинейного уравнения первого порядка, полученного с помощью автомодельной редукции из дифференциально-разностного уравнения модели шумпетеровской динамики распространения новых технологий. Показано, что асимптотикой является бегущая волна. Исследована зависимость скорости волны от параметров модели.

В работе «Оценка сложности проверки гипотезы о временном диктаторе с положительно-однородной функцией полезности» исследуется обратная задача о рациональном поведении потребителей. В случае нарушения условия однородной сильной аксиомы выявленного предпочтения возникает вопрос об описании совокупного потребительского поведения домашних хозяйств как поведения минимального числа экономических агентов (репрезентативных рациональных потребителей). Показано, что эта задача является NP-трудной.

В работе «Математическое моделирование трещин в твердых деформируемых телах с использованием гексаэдральных сеток» исследуется возможность применения структурных сеток в типичных задачах сейсморазведки: кластеры флюидо- и газонасыщенных трещин, неоднородности и динамический рост трещин. Приведено описание алгоритма и показательные тестовые расчеты.

Работа «Численное моделирование влияния ледовых образований на сейсмические отклики сеточно-характеристическим методом» посвящена вопросам численного моделирования сейсмических явлений в условиях Арктики. Рассматриваются вопросы влияния ледовых образований на сейсмический отклик при проведении сейсморазведочных работ.

В работе «Исследование сейсмического отклика от кластера субвертикальных макротрещин разрывным методом Галеркина» приводится сравнение сейсмических откликов для нескольких механико-математических моделей трещиноватого коллектора. Анализируются результаты для различных способов задания коллектора, показана возможность учёта межтрещинных волновых взаимодействий. Описаны сопутствующие волновые явления. В работе используется разрывный метод Галеркина на неструктурированных сетках, что позволяет явно задать геометрию трещины и просчитать ее влияние на волновую картину.

8

Международная конференция

ТРУДЫ МФТИ. 2015. Том 7, № 4

В работе «Сложность многоклассового классификатора один-против-всех» рассматривается задача статистичего обучения с большим числом классов и оценки обобщающей способности классификаторов, используемых в схеме один-против-всех. Авторами получена зависимость радемахеровской сложности классификаторов этого типа от числа классов. Установлено, что указанная зависимость является линейной по числу классов, что существенно улучшает известные раннее оценки.

В работе «Прогнозирование структур белков методами полуопределенного программирования» исследована эффективность методов полуопределенной релаксации в задаче прогнозирования структур белков. Показано, что в ряде случаев структура исследуемой задачи допускает эффективную декомпозицию, что делает применение методов полуопределенного программирования достаточно эффективным.

В работе «Эффективные численные методы решения задачи PageRank для дважды разреженных матриц» рассматривается задача поиска вектора Фробениуса-Перрона стохастической матрицы. В случае, когда матрица является разреженной одновременно и по строкам и по столбцам, авторами предложен ряд вычислительно эффективных алгоритмов ее решения, основанный на представлении исходной задачи в виде задачи выпуклой оптимизации. Одним из ключевых приложений этих результатов, на котором сосредоточились авторы, является задача ранжирования веб-страниц.

В цикле «транспортных» работ А.В. Гасникова с соавторами, сформировавших одну из молодежных секций конференции, представлена частичная запись нового курса лекций по математическому моделированию транспортных потоков, читающегося студентам МФТИ (ГУ) и БФУ им. И. Канта в этом семестре. Эти материалы также легли в основу оригинальной магистерской программы «Математические методы анализа и прогнозирования транспортных систем» в БФУ им. И. Канта.

В работе «Теория макросистем с точки зрения стохастической химической кинетики» описан формализм современной теории макросистем, который активно используется в последующих статьях «транспортного цикла». Основным результатом этой работы является утверждение о том, что функционал Санова при довольно общих условиях является одновременно и функционалом Больцмана.

В работе «О связи имитационной логит динамики в популяционной теории игр и метода зеркального спуска в онлайн оптимизации на примере задачи выбора кратчайшего маршрута» на конкретном примере (The Shortest Path Problem) показывается связь онлайн оптимизации и популяционной теории игр. Обнаружение отмеченной связи составляет основной результат данной работы.

В работе «Поиск стохастических равновесий в транспортных моделях равновесного распределения потоков» предложены эффективные численные способы поиска стохастических равновесий в популяционных играх загрузок. Поиск равновесия Нэша в таких играх всегда сводится к задаче выпуклой оптимизации. В статье рассматриваются модели равновесного распределения потоков по путям Бэкмана и Нестерова-де Пальмы. Поиск стохастических равновесий Нэша(-Вардропа) приводит к энтропийной регуляризации выпуклого функционала, отвечающего этим моделям.

В работе «О связи моделей дискретного выбора с разномасштабными играми загрузок» на базе формализма, описанного в предыдущих трех статьях, предлагается единый способ строить многостадийные модели транспортных потоков, позволяющий получить как все уже известные модели, так и новые.

В работе «Поиск равновесий в многостадийных моделях транспортных потоков» описывается конкретный способ (на базе сочетания метода Синхорна и универсального градиентного метода) численного поиска равновесий в многостадийных моделях равновесного распределения транспортных потоков. Работа представляет теоретический интерес. В практическом отношении описанный в работе способ будет дорабатываться.

Председатель программного комитета декан ФУПМ МФТИ проф. А.А. Шананин, 13 ноября 2015 г.

Reports at the International Youth Conference of the Eurasian Association on Inverse Problems «Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications»

We present the selected articles of the selected young participants of the international conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications» November 30 - December 2, 2015 MIPT in the next part of the journal. The conference was carried out within the frameworks of the project 15-07-20959 of an international conference of the Eurasian Association of inverse problems «Quasilinear equations, inverse problems and their applications» project and organizing an international youth school of the Eurasian Association of inverse problems «Quasilinear equations, inverse problems and their applications» and project 15-3710508. The world's leading experts on inverse problems and quasilinear equations (M.I. Belishev, S.I. Kabanikhin, L.N. Pestov, I.A. Taimanov, V.A. Sharafutdinov, J. Boman, K. Khanin, S. Kuksin, A. Joulivet, J.-C. Saut, R. Novikov, G. Henkin et al.) participated in this conference. Among the participants there were many young scientists from Russia and Europe. So it was decided to read an overview lecture by R.G. Novikov (Ecole Polytechnique, France) -Introductory lecture for students «Inverse scattering and applications» for young scientists; and to make within the conference two special youth sections (under the chairmanship of I.B. Petrov, corresponding member of RAS, Head of Department of Computer Scienceis MIPT, and A.A. Shananin, Head of the Department of Analysis of systems and solutions of Department of Control and Applied Mathematics MIPT). Selected works of young school participants are presented in this issue of the journal «Proceedings of MIPT».

In the paper «Running wave speed analysis in one Polterovich-Henkin model modification» the asymptotic behavior in the time of the solution of the first order Cauchy problem of the quasilinear equation obtained by the self-reduction of the difference-differential equation model of Schumpeter dynamics of the spread of new technologies is studied. It is shown that the asymptotic behavior is a running wave. The dependence of the wave velocity on the model parameters is investigated.

In the research work «Evaluation of the complexity of the hypothesis testing regarding the temporary dictator with a positive-homogeneous utility function» the inverse problem of consumer rational behavior is studied. In case of violation of the condition regarding the homogeneous strong axiom of revealed preference the question of describing the aggregate consumption behavior of households as a conduct the minimum number of economic agents (representative of rational consumers) arises. This problem is shown to be NP hard.

In the paper «Mathematical modeling of cracks in the solid deformable bodies using a hexahedral mesh» a possibility of using structural grids in typical seismic problems: clusters and gas-fluid-cracking, heterogeneity and dynamic growth of cracks - is explored. Also, the appropriate algorithm is described and test calculations are demonstrated.

The research paper «Numerical simulation of the impact of ice formation on Arctic offshore objects» is devoted to the problems of numerical modeling of seismic phenomena in the Arctic. The questions of the influence of the ice formations on a seismic response during the seismic operations are considered.

In the paper «Study of the seismic response of the cluster subvertical macrocracks using the Discontinuous Galerkin Method» a comparison of the seismic response for a number of mechanical and mathematical models of fractured reservoir is presented. The results for different approaches to the collector specification are analyzed, a possibility of accounting for cross-crack wave interactions is represented. The related wave phenomena are described. The discontinuous Galerkin method on unstructured grids is used. This method allows one to explicitly set the fracture geometry and calculate its impact on the wave pattern.

In the research work «The complexity of the multiclass classifier one-against-all» the statistical learning problem with a large number of classes and estimations of the generalization capability of the classifiers used in the scheme of one-against-all is considered. The authors obtain

10

Международная конференция

ТРУДЫ МФТИ. 2015. Том 7, № 4

the dependence of the Rademacher complexity for the classifiers of this type on the number of classes. This relationship is found to be linear on the number of classes, which significantly improves the early well-known estimations.

In the paper «Predicting of the protein structures using semidefinite programming methods» the effectiveness of the semiidefinite relaxation methods in the problem of predicting protein structures is investigated. It is shown that in some cases the structure of the problem allows the efficient decomposition to be made, which makes the application of semidefinite programming quite effective.

In the work «Effective numerical methods for huge-scale linear systems with double-sparsity and applications to pagerank» the problem of finding the Frobenius-Perron vector of a stochastic matrix is considered. For the matrix that is sparse for both rows and columns the authors propose a number of numerically efficient algorithms, based on the representation of the original problem as a convex optimization problem. One of the key applications of these results, which the authors focus on, is the problem of web-pages ranking.

In the «transport» works of A.V. Gasnikov et al that form one of the conference youth sections the partial recording of a new lecture course on mathematical modeling of traffic flows is represented. This lecture course is read to the students of MIPT and of BFU named after Kant in this semester. These materials also form the basis of the original master program «Mathematical methods of analysis and forecasting of transport systems» in the BFU named after Kant.

The work «Theory of macro terms of stochastic chemical kinetics» describes the formalism of modern macro theory, which is widely used in the following articles of the «transport cycle». The main result of this work is in the statement that the Sanov functional under fairly general conditions is also a Boltzman functional.

In paper «On the relationship between simulation logit dynamics in the population game theory and mirror descent method in the online optimization using the example of the shortest path problem» using the concrete example (The Shortest Path Problem) the link between the online optimization and population game theory is shown. The finding of this link is the main result of this work.

In the research work «Search for the stochastic equilibrium in transportation models of the flow-equilibrium distribution» the effective numerical methods for stochastic search for the equilibrium in the population load games are proposed. Search for the Nash equilibrium in such games always can be reduced to the convex optimization problem. The Beckman and Nesterov-de Palma models of the equilibrium flow-distribution are considered. Search for the stochastic Nash (-Vardrop) equilibria leads to the entropic regularization of a convex functional corresponding to these models.

The work «On the relationship between discrete choice models with large-scale load games» based on the formalism described in the preceding three articles the authors propose the universal method for constructing the multistage models of trafic flows, both already known and new ones.

In the research work «Equilibrium search in the multistage models of traffic flows» a particular method (based on a combination of the universal Sinhorn method and universal gradient method) for numerical equilibria search in the multistage models of traffic flows the equilibrium distribution is described. The work is of theoretical interest. As to practical application the method described will be developed.

Chairman of the Program Committee Dean of the Department of Control and Applied Mathematics MIPT

Prof. A.A. Shananin, November 13, 2015