Основные направления развития теории формирования математических понятий в школе

5. Климов, Е.А. Психология профессионального самоопределения / Е.А. Климов. — 2-е изд., испр. — М., 2005.

6. Кон, И.С. Психология юношеского возраста / И.С. Кон. — М., 1979.

7. Маркова, А.К. Формирование мотивации учения / А.К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов. — М., 1990.

8. Нестерова, И.Ф., Вальтеран, Е.В., Силкова, М.А. Диагностика психологической готовности абитуриентов и студентов педагоги-

ческого Факультета к профессиональной деятельности на основе компьютерного тестирования http://universitv. tversu. ru / teachers conference. Phtml

9. Петросов, В.А. Психологические условия формирования профессиональной мотивации у студентов— будущих менеджеров: автореф. дис. ... канд. психол. наук. — М., 2006.

10. Пряжников, Н.С. Психология труда и человеческого достоинства / Н.С. Пряжников. — М., 2005.

11. Разорина, Л.М. Соотношение мотивации и представлений у студентов университета о будущей профессиональной деятельности: на примере деятельности учителя: дис. . канд. психол. наук. — М., 2000.

12. Рахматуллина, Ф.М. Мотивационная основа учебной деятельности и познавательная активность личности // Психологическая служба в вузе. — Казань, 1981.

13. Реан, А.А. Психология адаптации личности. Анализ. Теория. Практика / А.А. Реан, А.Р. Кудашев, А.А. Баранов. — СПб., 2006.

14. Чернявская, А.П. Психологическое консультирование по профессиональной ориентации. — М., 2003.

15. Чирков, В.И. Самодетерминация и внутренняя мотивация поведения человека // Вопросы психологии. — 1996. — № 3.

16. Эльконин, Д.Б. Психология обучения младшего школьника / Д.Б. Эльконин. — М., 1974.

17. Crites J. Vocational Psychology. The Study of Vocational Behavior and Development. — N. Y., 1969.

18. Deci E.L. The psychology of self-determination. Toronto: Lexington Books, 1980.

19. Deci E.L., Ryan, R.M. The «What» and «Why» of Goal Pursuits: Human Needs and the Self-Determination of Behavior // Psychological Inquiry. 2000. V. 11. № 4. P. 227-268.

Статья поступила в редакцию 12.08.08.

УДК 378

С.А. Владимирцева, канд. пед. наук, доцент ЧГПУ, г. Челябинск

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЕ

Теория формирования математических понятий считается наиболее разработанной в методике обучении математике. Тем не менее, основные понятия этой теории до сих пор используются без необходимого объяснения, либо их значение противоречит сущности и структуре математического понятия.

Ключевые слова: понятие; формирование понятия; модель понятия.

Построение любой теории в конкретной научной дисциплине происходит в рамках определённой парадигмы — того методологического каркаса, который задаёт главное направление развития теории. Теория формирования математических понятий в методике обучения математике уже больше столетия строится в соответствии с представлениями о категории понятия, заимствованными в классической логике. Существует более тридцати трактовок сущности понятия, предложенных логиками. Анализ основных характеристик понятия — его содержания и объёма позволил нам выделить две логические модели категории понятия, которые превалируют в логике на современном этапе. Мы их назвали объектная и логико-информативная.

Как показал анализ научной и учебной литературы, формирование математических понятий в школе осуществляется на основе объектной модели. Объектная модель категории понятия характеризуется следующими положениями:

1. термин понятие применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания;

2. понятие образуется на основе выделения существенных свойств объектов некоторого класса и отвлечения от несущественных свойств этих объектов;

3. содержание понятия составляют существенные свойства объектов, объём понятия — сами объекты.

Анализ научной литературы, посвящённой изучению категории понятия, показал, что существует ряд противоречий между объектными представлениями о данной категории в логике и научными данными об «устрой-

стве» и образовании понятий в психологии и теории познания.

Процесс формирования математических понятий в современной методике обучения математике и практике обучения в школе осуществляется в рамках объектной парадигмы, основу которой составляет объектная трактовка математического понятия. Это приводит к ряду проблем, которые негативно отражаются на методической подготовке будущих учителей и, как следствие, приводят к отрицательным результатам в практике работы школы. В соответствии с объектной парадигмой, вводя новое понятие, учитель, как правило, представляет ученикам ряд объектов из объёма данного понятия. Ученикам предлагается назвать общие свойства этих объектов. Естественно, так как понятие для учащихся новое, то они называют как нужные, так и несущественные для формируемого понятия свойства. В результате либо учащиеся «угадывают» определение, либо диалог учителя и учащихся затягивается. В учебном пособии [2] приведён пример классического введения понятия смежные углы, в котором последовательно реализуются основные положения объектной парадигмы (с. 17).

Сразу заметим, что описанный способ образования понятия с точки зрения теории познания характерен для естественнонаучных понятий, например, физических, биологических, которые образуются в результате наблюдений реальных объектов (В.С. Швырёв, В.А. Лекторский и др.). Наука математика имеет дело с самого основания не с реальными объектами, а с изучением идеализированных объектов. В теории познания идеализированным объектам отводится одна из главных ролей в развитии теоретического знания. Идеализирован-

ный объект в математике — это мысленная конструкция, которая выступает как основа образования математического понятия. С точки зрения теории познания идеализированный объект и понятие, которое образуется на его основе, два различных термина, имеющих своё определённое значение. В дальнейшем мы, говоря об идеализированном объекте в математике, будем называть его математический объект. Новые понятия в науке математике, содержание которых составляют соответствующие математические теории, зарождаются в процессе изучения известны1Х, а не новых объектов

В статье [3] обосновано, что структура и сущность математического понятия не укладывается в рамки объектной модели. Логическую модель, которая в большей мере, чем объектная, отражает логическую структуру математического понятия, мы назвали логико-информативной.

С точки зрения логико-информативной модели:

• понятие — это и слово, и смысл, и знак и представленная в свёрнутом виде вся та информация, которая накапливается в науке в процессе изучения соответствующего математического объекта;

• информация составляет содержание понятия, содержание понятия потенциально бесконечно;

• объём понятия состоит из понятий, которые уже данного;

• понятие объективно и однозначно, оно мыслится одинаково всеми, кто им владеет.

Большое значение в образовании понятия имеет знаковый образ — мысленное образование, которое служит базой для функционирования понятия в умственной деятельности. Понятие тесно связано со словом, с речью. Процесс образования научных понятий — длительный процесс, он может продолжаться всю жизнь. Если в объектной парадигме формирование понятия связывается в первую очередь с изучением его определения, то исходя из логико-информативных представлений о структуре математического понятия, акцент в изучении понятия переносится с его определения на изучение всей системы суждений о новом математическом объекте. Понятие отражает не только свойства, представленные в определении, но и является носителем всей информации, известной об изучаемом объекте на данный момент времени. Полученная в процессе изучения объекта информация логически упорядочивается, систематизируется, оформляется в теорию. Например, в результате изучения прямоугольного треугольника возникла следующая система суждений, которая с логической точки зрения и представляет собою содержание понятия «прямоугольный треугольник».

Пример 1. В треугольнике:

а) один из углов прямой;

б) сумма двух острых углов равна 900;

в) квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон;

г) высота, проведённая к большей стороне, разбивает его на два треугольника, подобных между собой, а также подобных исходному треугольнику;

д) медиана, проведённая к большей стороне, равна её половине;

е) площадь равна половине произведения двух его сторон;

ж) синус одного из углов равен 1.

Логические связи между суждениями о математическом объекте и самим объектом (понятием) выражаются терминами свойство, признак, критерий понятия. В рамках теории формирования математических понятий эти термины также как и категория понятия являются неопределимыми. Их точные значения можно определить, используя аппарат математической логики.

Пусть х — некоторый математический объект. Р (х) означает «х есть Р», где Р — термин (название) данного понятия.

Определение 1. Суждение А, высказанное относительно объекта х, называется признаком понятия Р, если истинно высказывание: А (х) е Р(х).

Другими словами: суждение является признаком понятия в том случае, когда вследствие его выполнения для объекта х, данный объект можно назвать термином Р, то есть, из истинности А(х) следует, что Р(х) истинно.

Так в примере 1 все суждения, высказанные относительно треугольника, являются признаками прямоугольного треугольника.

Пример 2. Пусть х — четырёхугольник. Высказывание «Если диагонали четырёхугольника х точкой пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник х есть параллелограмм», которое высказано о произвольном четырёхугольнике х, является истинным. Следовательно, суждение «диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам» является признаком параллелограмма.

Необходимо заметить, что в современной методической литературе термин «признак» зачастую используется не в том смысле, в котором он применяется в математике. Так к признакам биссектрисы относят: а) луч,

б) выходит из вершины угла; в) делит угол пополам. Каждый из них является свойством биссектрисы, так как удовлетворяет следующему далее определению

2. Некоторые методисты считают, что признак — это теорема. Это неверный подход к пониманию значения термина «признак», поскольку в теореме всегда связаны два суждения, одно из которых и будет признаком понятия, о котором говорится в другом суждении. Например, имеет место теорема «Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом». Признаком ромба будет не теорема, а перпендикулярность диагоналей параллелограмма. По этому признаку можно «опознать» ромб среди параллелограммов. Правильнее будет назвать эту теорему теоремой о признаке ромба.

Определение 2. Суждение А, высказанное относительно объекта х, называется свойством понятия Р, если истинно высказывание: А (х) еР (х).

Другими словами: суждение А называется свойством понятия Р тогда и только тогда, когда без А(х) нет и Р(х).

Так в примере 1 свойствами прямоугольного треугольника являются все суждения.

Пример 3. Высказывание «Если четырехугольник является параллелограммом, то его две противоположные стороны равны» является истинным. Тогда, по определению, суждение «две противоположные стороны четырёхугольника равны» есть свойство параллелограмма. В самом деле, если у четырёхугольника найдётся пара противоположных сторон, которые не равны, то он не является параллелограммом.

Определение 3. Если суждение одновременно является свойством понятия и его признаком, то оно называется критерием понятия.

Так деление диагоналей четырёхугольника точкой пересечения пополам является критерием параллелограмма.

Термины признак, свойство, критерий используются относительно понятия. Если же речь идёт об отношении логического следования между суждениями, то используются термины: необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие.

Рассмотренные выше категории характеризуют, прежде всего, сущность понятия, его структуру. В описании же процесса изучения понятия используются термины «образование понятия», «усвоение понятия»,

«формирование понятия». Часто в научной и учебной литературе значение данных терминов не раскрывается. Нередко термины усвоение и образование понятия; усвоение и формирование понятия используются как синонимы, их значения отождествляются. Анализ процесса изучения понятий в школе, рассмотрение различных подходов к изложению его теоретических основ в учебных пособиях для студентов привели нас к выводу, что для характеристики данного процесса необходимы все три термина. Попытаемся раскрыть их значение.

Термином усвоение понятия характеризуется превращение той объективной информации, которая известна на данный момент о математическом объекте, в субъективное знание, знание конкретного ученика. Сущность категории «знание» в современной теории познания выражена формулой: знание — это информация + деятельность [5]. Здесь деятельность составляют действия индивида по присвоению данной информации и её применению. Знание — личное достояние человека. Информация доступна всем, но возможности превратить её в знания у каждого свои, опирающиеся на личный опыт и способности. В связи с таким подходом к трактовке категории «знание» будем понимать под усвоением понятия включение в ментальный опыт ребёнка существующей вне его, то есть объективно, научной информации об изучаемом объекте.

На основе знаний и «самодеятельности» ребёнка происходит образование соответствующих психических структур, которые служат интеллектуальной основой образования понятия. Образование понятия есть результат его усвоения. Решение вопроса об образовании математических понятий - предмет психологической науки. В методике обучения математике (в учебном курсе для педвузов) данный вопрос может быть затронут лишь только на этапе описания методологических основ формирования математических понятий. Вслед за М.А. Холодной [6] будем понимать образование понятия как процесс превращения знания о некотором математическом объекте в субъективные ментальные структуры, существующие уже «внутри» опыта человека в качестве психических новообразований, составляющих базу для понятийного мышления. Этапы образования понятия: спонтанное понятие (образ-представление), предпонятие (общее представление), собственно научное понятие. Так как образование понятий — длительный процесс, который может продолжаться всю жизнь, то вряд ли возможно на уровне школьного учителя отследить появление психических структур, свидетельствующих об образовании понятия.

Процесс создания условий для усвоения учащимися понятия по своему смыслу не совпадает с усвоением понятия. Для характеристики данного процесса необходим ещё один термин — формирование понятия.

Определяя значение данного термина, необходимо было учесть, во-первых, что содержание математического понятия представляет собою логически упорядоченную, систематизированную информацию. Во-вторых, необходимо было отразить, что информация усваивается в процессе деятельности учащегося по её изучению и применению. Деятельность учащихся способствует свёртыванию информации, превращению её в знания. Очевидно, способы деятельности не входят в структуру понятия, но овладение ими является необходимым условием образования научного понятия. Этот факт подтверждается экспериментальными исследованиями психологов методистов. А.А. Вербицкий писал: «Переход от инфор ации к её применению опосредуется мыслью, что и делает эту информацию осмысленным знанием. Таким образом, чтобы получить статус знания, осознанного отражения действительности, информация с самого начала должна «примериваться» к действию, усваиваться в

его контексте» [1, с. 8]. Так как понятие — это не только слово, знак, но имеющая статус теоретического знания, информация, то высказывание А.А. Вербицкого в полной мере можно отнести и к понятиям. В-третьих, термином формирование понятия должно быть закреплено обоснованное психологами положение о том, что образование научного понятия успешнее протекает под руководством взрослых, а именно, под руководством учителя. Учитывая всё вышесказанное, под формированием понятия мы понимаем совместную деятельность учителя и учащихся, направленную на усвоение школьниками информации, составляющей содержание понятия, а также на усвоение способов деятельности с нею. В итоге результатом формирования математического понятия является его усвоение, а результатом усвоения является формирование математического понятия.

Процесс формирования понятия разворачивается постепенно и, как показывают исследования ряда учёных, проходит определённую последовательность этапов. Поскольку формирование понятия — это деятельность, то методику изучения математических понятий мы рассматриваем как ориентировочную основу этой деятельности.

Логико-информативная парадигма формирования математических понятий характеризуется тремя группами положений. Эти положения регламентируют функционирование основных объектов теории, задают их структуру. Первую группу составляют положения, описывающие логическую структуру понятия, способы его образования с точки зрения логико-информативной модели понятия. Во вторую группу входят положения, разработанные в психологии, о сущности, образовании понятия, его роли в развитии интеллекта. Третью группу представляют положения, в которых отражены особенности образования и структуры математических понятий. Приведём некоторые из них:

1. Понятие представляет для учащихся объективную реальность, которая находится вне познающего субъекта.

1. Содержание понятия есть некоторая информация, представленная либо в виде теории, либо в виде системы фактов (суждений), имеющая свою логическую структуру. При этом содержание понятия и его теория — разные категории.

2. Образование понятия происходит в процессе изучения некоторого идеализированного объекта.

3. Деятельность учащихся, способствующая образованию понятий, должна включать среди прочих следующие компоненты: кодировка информации, связанной с изучением понятия (образное, словесно-речевое, символьное представление информации); овладение содержанием понятия на том уровне, который задан программой учебного предмета с учётом индивидуальных особенностей ребёнка; применение понятия в конкретных ситуациях.

4. Роль и функции понятий в построении теоретического знания в школьной математике различны. Для функционирования одного понятия достаточен уровень образа-представления, другие же понятия вводятся посредством их определения, но дальнейшего развития не получают, третьи формируются на протяжении всех лет обучения математике, но теория понятия не имеет логического завершения (например, понятие числа), четвёртые представлены как относительно законченные математические теории (например, теории некоторых геометрических фигур).

5. Образованию математического понятия у школьников способствует усвоение способов деятельности с данным понятием.

6. Математическое понятие является теоретическим понятием, потому создание правильного «нагляд-

ного» (знакового) образа математического понятия — одна из важнейших задач его формирования.

Разрабатывая логико-информативную теорию формирования математических понятий, мы ставили перед собою задачу создать такую схему изучения математических понятий, которая в полной мере отражала бы процесс их формирования с учётом логической структуры понятия, и в то же время была бы краткой, удобной для запоминания. С учётом выше сформулированных положений, мы предлагаем следующую схему формирования математического понятия.

Основные этапы формирования математического понятия:

• Подготовительный этап.

• Введение нового математического объекта (заканчивается его определением).

• Изучение определения.

• Изучение содержания понятия.

• Обучение применению понятия.

На первый взгляд данная схема мало отличается от тех, которые приводятся в учебных пособиях по методике обучения математике для студентов вузов. Традиционно главным в формировании математических понятий считается этап работы, направленный на усвоение учащимися определения понятия, поскольку именно в определении сконцентрировано содержание понятия (с объектной точки зрения). В связи с логико-информативной моделью математического понятия в предложенной схеме основным является этап изучения содержания понятия. Кратко охарактеризуем каждый этап.

Основная задача подготовительного этапа — создать условия для успешной дальнейшей деятельности школьников по изучению нового понятия. Усвоение определения по нашей схеме осуществляется в два этапа: введение понятия и изучение определения. Этап введения посвящается рассмотрению такого объекта, изучение-которого и приводит к образованию понятия. Введение-нового понятия традиционно осуществляется конк етно-индуктивным (от частного к общему) и абстрактно-дедуктивным способом (от общего к частному). Согласно логико-информативной парадигме введение нового объекта можно осуществить и другими способами. Их характеристика предложена в статье [4]. Традиционный этап усвоения определения по своему результату совпадает с выделенным в нашей схеме этапом введения понятия, который заканчивается определением нового объекта или его истолкованием. Этап изучения определения по своим целям и содержанию не вполне совпадает с тем этапом, который выделяет большинство учёных. Мы использовали в названии этапа слово «изучение» неслучайно. Данный термин в большей мере-соответствует той деятельности, которая осуществляется на данном этапе. В объектной парадигме определение понятия понимается как логическая операция, которой надо обучать. При этом в практике обучения распространилось мнение, что учащиеся могут «открыть» определение. Однако каждый математик знает, что определение не может быть «открыто». Оно выбирается автором теории среди других суждений об изучаемом объекте, которые эквивалентны между собою и отражают сущность понятия. Исходя из той роли, которую играет определение в структуре понятия, мы его рассматриваем как некоторое предложение определённой структуры. В нём вводится термин понятия и раскрывается его значение, то есть в определении представлена некоторая информация, которую надо изучать.

Один из этапов мы назвали обучение применять понятие, считая, что основные способы деятельности с новым понятием учащимся должен показать учитель.

В схеме не выделен этап, традиционно предлагаемый другими учёными, — этап систематизации поня-

тий. Это сделано по причине того, что обучение подобной деятельности осуществляется постоянно, на каждом этапе формирования понятия в процессе систематизации информации, составляющей содержание понятия.

В психологии и педагогике преодоление ребёнком определённого этапа фиксируется термином уровень усвоения. В научной литературе можно встретить различные иерархии уровней усвоения. Чаще всего они отражают движение ученика к поставленной цели с точки зрения тех интеллектуальных операций, которые превалируют на каждом этапе. В отсутствие единого мнения по поводу значения термина уровень усвоения каждый из авторов учебных пособий по методике обучения математике предлагает свою иерархию уровней усвоения понятия. Общим в решении данного вопроса является лишь то, что усвоение понятия ограничивается усвоением его определения. По нашему мнению, уровень усвоения любого материала, в частности, понятий, должен характеризоваться набором таких интеллектуальных действий, которые поддаются объективному наблюдению и измерению. В связи с тем, что математические понятия образуются вследствие усвоения информации о соответствующих математических объектах, целесообразно связать уровни их усвоения с объёмом и качеством усваиваемой учеником информации. В логико-информативной теории содержание понятия потенциально бесконечно, оно может пополняться всё новой информацией в процессе изучения соответствующего объекта. Исходя из этого, будем понимать под уровнем усвоения математического понятия определённый результат изучения содержания понятия учеником в рамках некоторой учебной темы, учебного предмета. Уровень усвоения понятия характеризуется той порцией информации и деятельностью с нею, которую сумел включить в свой ментальный опыт ученик в процессе изучения соответствующего математического объекта. Как следует из приведённой ниже таблицы, при изучении понятий акцент с усвоения «существенных свойств» понятия, входящих в состав его определения, смещён на усвоение той информации о нём, которая порождается в результате изучения теорем, других понятий, в процессе решения задач. В таблице приведена иерархия уровней усвоения понятия с точки зрения логико-информативной модели.

Уровни усвоения математического понятия

Уровни усвоения понятия Деятельность ученика

Уровень конкретного примера Умеет привести пример изучаемого объекта, узнаёт новый объект среди других

Уровень определения Формулирует определение, понимает смысл всех его слов; умеет привести пример и контрпример, обосновывает свой выбор; умеет переформулировать определение, т.е. перекодировать информацию, сохранив её смысл; использует в рассуждениях тривиальные следствия из определения.

Уровень фактов Формулирует теоремы, в которых речь идёт о свойствах или признаках понятия; применяет их исключительно по образцу. Это тот случай, когда ученик говорит: «Все теоремы знаю, а задачи решать не умею».

Уровень систематизации информации Умеет выделить свойство или признак математического объекта в содержании теоремы или задачи; по-

нимает смысл этих терминов; знает условия их применения в рассуждениях; правильно использует их в познавательной деятельности; умеет установить связь между суждениями и меду понятием и суждением; умеет составить логическую схему понятия.

Творческий уровень Умеет применять усвоенную информацию для получения новых знаний; умеет исследовать изучаемые объекты, а именно, выявлять их свойства, высказывать гипотезы относительно признаков, проверять их путём доказательства; учитывает роль определения в структуре математической теории; самостоятельно проводит систематизацию информации и понятий; умеет применять усвоенную информацию в нестандартных ситуациях.

Наши исследования показывают, что значительное число учащихся основной школы усваивают математические понятия только на уровне фактов, то есть они не достигают уровней усвоения содержания понятия. Такое положение означает, что зона поиска у таких учащихся при решении задач и проведении доказательств ограничена одним-тремя суждениями. Для того, чтобы усвоение информации о новом понятии соответствовало выделенным нами уровням систематизации информации и творческому уровню, необходимо вести целенаправленную работу по формированию умений устанавливать логические связи, как между суждениями, так и между суждением и понятием.

Анализ структуры математического понятия, наблюдения учебного процесса в школе привёл нас к выводу, что основными действиями по логическому упорядочению суждений являются: 1) вычленение суждений о понятии из содержания теорем и формулировок задач; 2) определение «статуса» суждения в структуре математического понятия. Эти действия необходимы для логического упорядочения и систематизации изучаемой информации, что в свою очередь способствует образованию соответствующего понятия. В современной методике этим действиям не уделяется должного внимания. Обучение школьников выделенным действиям требует отдельного рассмотрения. Но нельзя не отметить, что добиться такого, на первый взгляд, простого результа-

та — выделения учащимися из формулировки теоремы (задачи) суждения об изучаемом понятии (например, что именно наличие равных и одновременно параллельных сторон в четырёхугольнике позволяет назвать его параллелограммом), очень непросто.

В заключение подчеркнём основные мысли, развиваемые в данной статье.

Методика формирования математических понятий в современной школе функционирует на основе объектной модели структуры понятия. Так как сам процесс формирования математических понятий осуществляется по типу естественнонаучных, то учащиеся изначально лишены возможности получить ясную картину «мира математики». Для них остаются закрытыми те законы, которыми необходимо руководствоваться в самостоятельной познавательной деятельности. Понятие в сознании студентов и школьников отличается бедностью содержания, отсутствием механизмов его использования в конкретных ситуациях. Образование многих понятий остаётся на уровне предпонятия. Знания о математических понятиях, которые учащиеся приобретают в процессе всей последующей деятельности, без специального их рассмотрения в связи с образованием понятия, в сознании обучающихся остаются «мёртвым грузом», неспособным выполнять свои когнитивные функции. При таком положении дел вряд ли можно говорить о том, что в процессе формирования понятий обогащается ментальный опыт учеников, происходит развитие их мышления. Объектная парадигма, в рамках которой осуще ствляется развитие теории, а вслед за ним и организация изучения понятий в школе, не соответствует современным взглядам учёных-психологов и философов на образование понятий и их структуру. Объектные представления о сущности понятия не только не помогают определиться методике формирования понятий в русле новых представлений о процессе обучения в школе, но и приводят к ряду проблем, как в теории, так и в практике обучения математике в школе. Развитие методики формирования математических понятий, становление её в качестве научной теории в рамках объектной парадигмы не представляется возможным.

Возникновение новых представлений о сущности и структуре понятия в теории познания послужило одной из предпосылок обновления теории формирования математических понятий в школе. На современном этапе можно говорить о логико-информативной парадигме развития теории формирования понятий в школе. Переход к новой парадигме в разработке методической концепции формирования математических понятий существенным образом может повлиять на организацию процесса обучения не только понятиям, но и другим компонентам содержания школьной математики.

Библиографический список

1. Вербицкий, А. А. Контекстное обучение: теория и технология // Новые методы и средства обучения, № 2 (16). Педагогические

технологии контекстного обучения / Под ред. А. А. Вербицкого. — М.: Знание, 1994.

2. Виноградова, Л. В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова. — Ростов н / Д: Феникс, 2005.

3. Владимирцева, С.А. Логико-информативная модель математического понятия как методологическая модель процесса формирования математических понятий в школе // Наука и школа. — 2007. — № 6.

4. Владимирцева, С.А. О разных подходах к введению математических понятий // Математика в школе, 2005. — №7.

5. Микешина, Л.А. Философия науки. — М.: Прогресс Традиция: МПСИ: Флинта, 2005.

6. Холодная, М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. Второе дополненное и переработанное изд. — СПб : «Питер», 2002.

Статья поступила в редакцию 15.08.08.