Распределение значений обобщенной функции делителей в классах вычетов по растущему модулю

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 17, 2010

УДК 511

Б. М. Широков, А. Г. Иванова

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ ПО РАСТУЩЕМУ МОДУЛЮ

В работе устанавливается асимптотическая формула с остаточным членом для распределения значений обобщенной функции делителей в классах вычетов по растущему модулю.

Пусть X — действительный неглавный характер по фиксированному модулю m ф 0 (mod 8). Обобщенная функция делителей определяется равенством

d(n, X) = ^ X(n).

Задача о распределении целозначных арифметических функций в классах вычетов рассматривалась И. Нивеном в работе [1]. В 1967 г. В. Наркевич в работе [2] рассмотрел равномерное распределение значений мультипликативных функций в классах вычетов, взаимно простых с модулем и назвал его слабо равномерным распределением в классах вычетов. Приведем его определение, но прежде оговорим обозначения, которые будут использованы в этой работе. Для x > 0 и функции f (n) обозначим

va(x, f) = |{n < z|f (n) ф a (mod N)}|,

где |A| означает количество элементов конечного множества A; G

— мультипликативная группа вычетов по модулю N, взаимно простых с N; p и q — простые числа, х и Хо — произвольный и главный характеры по модулю N.

© Б. М. Широков, А. Г. Иванова, 2010

Определение 1. Целозначная арифметическая функция /(п) называется слабо равномерно распределенной по модулю N, если для любых а,Ь € 0(М) при х ^

при условии, что множество {п | (/(п), N) = 1} бесконечно.

В работе [2] В. Наркевич приводит условия слабо равномерного распределения функции делителей ¿(п) и функции Эйлера у>(п) и асимптотические формулы, содержащие только главные члены, распределения значений этих функций в классах вычетов. При этом использовалось их свойство полиномоподобности, а для получения асимптотических формул — тауберова теорема Деланжа.

Функция ¿(п, X), рассматриваемая в этой работе, не является полиномоподобной. Условия ее слабо равномерного распределения даны в работе [3].

Производящие ряды Дирихле, которые используются для получения асимптотических формул распределения значений ¿(п,Х), обладают значительно лучшими свойствами, чем того требует теорема Деланжа. Поэтому мы будем использовать вместо этой теоремы лемму, приводимую ниже. Для ее формулировки потребуются дополнительные обозначения. Для некоторых положительных чисел а и Ь обозначим на в-плоскости, в = а + И,

а через Б(х) — сумматорную функцию коэффициентов этого ряда:

^а

ії(а) = < в|а > шах < аа(і),

—то <і < +то

Для комплекснозначной функции / (п) обозначим

в = а + гі,

П= 1

Положим 6 = 2/ 1п х и через Ва обозначим область, ограниченную контурами:

в —а = ег^, |у>| < —; Щ = ±6, аа(6) < а < а,

и двумя отрезками прямых, соединяющими точки в = аа(6) ± г6 с точкой в = а.

Лемма. Если |/

Р (в^ ) = 0(1пс1 (2+ Щ)), |Щ|> 1,

и существует такое комплексное число г и такая регулярная в П(а) функция 0(в, N) с условием 0(а, N) = 0, что в этой области

Р

С

(в - а)2’

то существует такая константа с, что 0 < с < 1 и

1) если г = 0, -1,..., то

„а — су/ 1п х \.

2) если г = 1, то

3) если г </ Z, то

Б (х) = 0(хае Б (х) = ха + 0(ха е—сЛПх);

Б(х)=>ха+о<^)х

1 — 2

2 —Ие 2

где

/лг. С

ао(,) =-, а1(,) = тах -

В в

В а

Эта лемма доказывается так же, как лемма 1 из работы [5], помещенной в этом же сборнике.

Условия слабо равномерного распределения функции ¿(и, X) даны в следующей теореме.

Теорема 1. Функция ¿(и, X) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

а

1) N = 4,

2) N = , д > 3 и 2 — первообразный корень по модулю N,

3) N = 2дй, д > 3 и 3 — первообразный корень по модулю N.

Эта теорема, как уже говорилось выше, доказана в работе [3]. Результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 2. Для любого а Є ) при х ^ то при условии, что / 1п1п х

N <\ --------- справедливы асимптотические равенства:

1п 1п 1п х

1) если N = , д > 2 и 2 — первообразный корень по модулю N,

то

va(x) = -X- ^ ao(x)x(a)(lnx)x(2)/2 + О (- Х^inin

in Х ^ \ (

х(2) = -1 Vі

in - х(2) = -1 \(ln-)3/2V in in in x J'

2) если N = 2qk, q > 2 и 3 — первообразный корень по модулю N, то

Va(-) = J in— ^ ao(x)x(a)(in x)x(3)/2+O f v/-lnln-

n - x(2)=-1 V

in - x(2)=-1 \(in -)3/2^ in in in x j

Доказательство. Упростим наши обозначения: вместо d(n,X) будем писать f (n), а вместо va(x, f) — va(x). Кроме того, произвольный характер по модулю m будем обозначать h(n),

S(x,x) = ^ x(f (n)).

n<x

Интересующую нас величину va(x) представим в виде

va

— ( ) х mod N

Задача сводится к получению асимптотики суммы коэффициентов ряда

F^ x(f(n)) . ,

F (s,x) = L, nS , s = a + it,

n=1 n

x

учитывая, что модуль N характера х может расти вместе с х.

Пусть N пробегает степени с\к, для которых 2 — первообразный корень. При а > 1 представим сумму ряда в виде

Х(/(и)) А

Р (в,х) = П 1 + Е

р \ г+о /

Это произведение разобьем на три части: если р|т, то X(р) =0 и х(/(рг)) = 1; если X(р) = -1, то

/(рг) = {0, Г ,

а если X (р) = 1, то / (рг) = г +1. Следовательно,

Р(в,х) = П(‘-р;)"1 П (‘-р^)—1' П £/+11.

р|т 4 ' Х(р) = — 1 4 1 ' Х(р)=1 г=0 1

Первые два произведения не зависят от N. Обозначим эту часть через Ф(в). В виду периодичности характера х можно преобразовать р-й член последнего произведения следующим образом:

^ Х

/ ^ рТв I р N; \ / ^ рТв ' ' '

г=0 ^ ' г / г=0 ^

1 —1

Обозначим (

Х(р) = 1 \ ^ У

И наконец, произведение по простым числам сумм из формулы (3) представим в следующем виде

П Е ^ = К

X (р) = 1 г=0 Х(р) = 1 у J

где обозначено

к

Х

Первое произведение в формуле (6) прологарифмируем, выбирая ту ветвь логарифма, которая действительна для главного характера при t = 0

ш П (i -= Е # + Е f

x(p)=i v F / x(p)=i ^ x(p)=i r=2

Двойную сумму обозначим через a(s,x), а первую преобразуем, обозначая через G2(m) подгруппу квадратичных вычетов по модулю m и используя свойства характеров,

Е х(2) = Е Е х(2) = Е ^(2) Е h(x)Е М.

X(p) = 1 GG2(m) p=(mod m) h mod m x£G2(m) P

Обозначим

z

x£G2

и добавим к последней сумме по простым числам в предыдущем равенстве и вычтем из нее In L(s, h) — J^p h(p)p-s. Тогда, потенцируя, получим

n (i—Х2-)-1 = n <L(«,h))z(x’h>• щ.,х),

X(p) = 1 h mod m

где обозначено

R

h mod m p

Таким образом,

e-h

F

h mod m

Все сомножители регулярны в области 0(1), кроме одного — Ь(в, ко). Но регулярна функция Ь(в, хо)(в - 1). Заметим, что г(х, ко) = х(2)/2. Следовательно, в качестве функции 0(в, N) леммы может быть взята функция

С(в,х)= Р(в,х)(в - 1)х(2)/2.

Величина 0(1, х) ограничена относительно N, но для ее производной нужна оценка в круге |в - 1| < 6 с учетом роста N.

Для второго сомножителя в формуле (7) имеем:

(в) = -фх(в) Е

х(р)=1р

Так как Фх(в) ограничена при а — —, то с некоторой константой С из этого равенства следует оценка:

р р

Если X (2) = 1, то для оценки К '(Б, х) придется отдельно рассмотреть

множитель с р = 2. Если а > —, то 1 — 2’

х-1 х(г + 1) - х(2г) ¿в ^ 2т;

т=2

2 X-1 г 1п 2 ^21п2

<

22а 2(т—2)а _ л/2(%/2 - 1)2'

В дальнейшем можем считать, что X(2) = 0. Для сокращения записи введем обозначение

I ^ Х—1 х

ар(в) = Е-------------2^-------

т=2

Оценим эту величину сверху для р — 3:

2 2 2

|ар(в)| < ра(ра - 1) < 3а(3а - 1) < 2,5,

1п 2 5

если а — ——. Значит, К '(в, N )/К (в, N) регулярна в этой полуплоскости. Однако нам нужна оценка К' по отношению к N. Сама функция К(в,х) ограничена равномерно относительно N. Поэтому достаточно получить оценку ее логарифмической производной:

К_

К

2г 1п р 1п р

< у. =2 у.

— / -> / -> рта / / рст

Х(р)=1 т=2 ^ Х(р)=1^ ^ У

Этот ряд сходится при а > 1/2. Таким образом, К/(в,х) ограничена равномерно по N в 0(1).

Функция К(в,х) регулярна в области а > 1/2 + є при любом є > 0, ограничена равномерно по N, не обращается там в 0 и имеет ограниченную производную. Функции Ь(з, х) при Н = Но и функция Ь(в,хо)(в — 1) также регулярны в 0(1), не обращаются там в 0 и имеют ограниченные производные в области | в — 11 < 6, а тем самым и в

Яі.

Следовательно, в области Яі справедлива оценка

±9івхї = ).

ав в

Применяя лемму к функции Е(в,х), получаем

5(х,х)=аох а» ^+о ().

Вернемся к формуле (2). Если х(2) = —1, то главный член Б(х,х) оказывается меньше остаточного члена в Б(х, хо), поэтому весь вклад от этой суммы пойдет в остаточный член общей формулы. Итак, учитывая условие на N, получим

^(х) = 1»Хх Е ао(х)х(а)(1и х)х(2)/2 + о(-

» Х у(2)^ —1

с%/1п 1п:

1пх х(2)="1 \(1пх)3/2%/ 1п 1п 1пх J

X

Так как 2 — первообразный корень по модулю N, то все значения характеров на 2, входящие в главную часть формулы (9), имеют представление

2П —Ркг) ^(N) , 1 ^ ^ ^(N) -I

х„(2) = е — ),--------------- ----+1 < п < —---------------1.

Обозначим = сов

2п

)

{ 2п

— К-ехп(2) < — со^) ( —й----------------1 ) ) = а^

Поэтому

>

(1п х)1-Кех(2)/2 1п х)1+“"/2

1

1

Следовательно, для эффективности остаточного члена в формуле (9) должно выполняться соотношение

1п 1п X 1 ( 1

1п1п1п X 1п3/2 х \(1п х)1+“п/2у

Обозначая для краткости записи первый множитель через N(х), оценим следующее отношение

N

(1п х)3/2(1п х)-1-ап/2 (1п х)(1-“п)/2 '

При достаточно большом N справедливо неравенство

1 — О.Ы 1 1

2 2^2^) - 2N2'

Поэтому

N

(1п х)1~ам/2 — е1п1п ж/(2^2)* В силу условия на модуль N, при х ^ то

N(х) < N(х) ^ 0

(1п х)1 /2 А1/е1п1п1п 5

что и требовалось. Первое утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь = 2дй, д > 5 и 3 — первообразный корень. Для суммы производящего ряда при а > 1 имеем представление

*>.*> = П(1 -¿Г П (1 -р^г)" П £

р|т 4 У Х(р) = -1 4 У X(р) = 1 г=0 ^

В последнем произведении преобразуем р-й множитель, используя периодичность характера, а затем умножим и разделим результат на 1 — х(3)р-2я. Используя обозначение

А1

р|т 4 1 7 Х(р)=1 \ г=2 1

получим

-1 / -.4-1

р(в,х)- Аі(«>х)Фм(в) П І1 - х2г) П І1 - Р27

X (р)=1 4 у у х(р)=-1 4 у

Обозначение было введено в формуле (4). Функция Аі(в, х) регулярна, ограничена при а > 1/3, не обращается там в 0 и имеет ограниченную равномерно по N производную.

Обозначим I — у>(ш)/2, через аі,... ,а те вычеты по модулю т, для которых X(а*) — 1, через Ьі,... ,Ьі — остальные вычеты из О(ш) и для произвольного характера Ч(п) по модулю т обозначим

1 1 _ _ Z(X, Ч) — ~^{т) Е (Ч(а0х(3) + Ч(М).

Преобразуя Р(в, х) аналогично первому случаю, получим для нее представление

F (s,x) = ^N (s)A2 (s,x) П (L(2s,h)Y

z

{L

h mod m

где A2(s, x) обладает такими же свойствами, как и Ai(s, x). Заметим, что

( и ) 1 + х(3) z(x, М = —^— •

Функции F(s,x) и

/ 1 \ (1=х(3))/2

G(s,x) = F(s,x) i i - 2

удовлетворяют условиям леммы в области 0( 2). Для удобства записи введем обозначение x(3)/2 = a(x). Тогда из леммы получаем

0, s ao

S (x,x) = —;?rns—+°(—Щ372Х—

Здесь также справедливо замечание относительно неглавного действительного характера, для которого вся асимптотика уходит в остаточный член. Подставляя этот результат в формулу (2) и учитывая

условие на модуль N, получим и второе утверждение теоремы. Тем самым теорема полностью доказана.

Resume

It had beleaved the asimptotic formula for values distribution in residue classes of generalised function of devisors provided that residue class module was increasing in this paper.

Список литературы

[1] Niven I. Unifom distribution of sequences of integer // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 98. P. 52-61.

[2] Narckiewicz W., Rayner F. Distribution of values of a2{n) in residue classes // Monatshefte fur Mathematik. 1982. V. 94. P. 133-141.

[3] Широков Б. М. Распределение й{и,ш) в классах вычетов // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1995. Вып. 2. С. 136-144.

[4] Широков Б. М. Распределение значений обобщенной суммы делителей // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1996. Вып. 3. С. 176-189.

[5] Широков Б. М., Ульянова Э. И. Распределение значений функции Деде-кинда в классах вычетов // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 2010. Вып. 17. С. 49-60.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: shirokov@petrsu.ru