Асимпточеское решений сингулярно возмущенных дифференциальных систем с вырождением

Abstract

The main schemes of water supply of high-rise buildings are considered in the article. Their advantages and disadvantages are given. It was found out that the choice of a certain scheme directly depends on architectural and planning decisions, constructive and economic factors. In addition, the choice is influenced by various specific factors, for example, the water supply mode in the building.

Keywords:

high-rise building, construction, operation, water supply, regulating capacity, pressure, zone scheme Date of receipt in edition: 16.05.18 Date of acceptance for printing: 19.05.18

УДК 517

АСИМПТОЧЕСКОЕ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

Г.С. Жукова

Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва

В математических моделях многих реальных прикладных задач наблюдаются дифференциальные уравнения с малыми возмущениями, что, как правило, связано с малостью тех или иных компонент модели, описывающей динамику изучаемых процессов (малые постоянные времени, моменты инерции, массы и др.), а также с методами исследования. Часто возникают дифференциальные модели с сингулярными возмущениями, например, когда малый параметр стоит множителем при старшей производной (уравнения с быстрыми и медленными переменными). Такие системы, в частности, широко распространены в задачах химической и биологической кинетики, экономики, теории электрических цепей, теории массового обслуживания и др.

Особенностью таких задач является то, что порядок вырожденного уравнения ниже порядка исходного возмущенного уравнения. Поэтому в малой окрестности задания начальных условий, исчезающих при вырождении, происходит быстрое изменение решений от начальных условий, заданных для возмущенной задачи, до значений, близких к решению вырожденной задачи. Среди эффективных способов исследования сингулярно возмущенных дифференциальных систем своей теоретической и практической значимостью выделяются асимптотические методы Они позволяют определить структу-

Аннотация

Для систем линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений строится асимптотика базисных решений по малому параметру. Предлагается алгоритм определения асимптотических последовательностей разложения решений. Изучается случай, когда предельная матрица при производной является вырожденной, но возможно разрешение задачи относительно производной.

Ключевые слова:

Системы дифференциальныхурав нений, сингулярное возмущение, асимптотическое разложение решений по малому параметру История статьи: Дата поступления в редакцию

19.04.18

Дата принятия к печати 20.04.18

ру решений, дают возможность получить качественную картину динамики изучаемых процессов,что может быть, в частности, использовано при построении и анализе численных алгоритмов решения сингулярно возмущенных задач.

В различной постановке сингулярно возмущенные дифференциальные задачи рассматривались многими авторами (библиографию данного вопроса см. в [1,2,3,9,10]). Распространение известных методов на неизученные классы задач связано с принципиальными трудностями, где основная — правильное описание структуры сингулярной зависимости решений от малого параметра. Ее сложность — в многообразии формируемых в решениях типов сингулярностей, что легко наблюдать уже на примере линейных стационарных систем. В общем случае для сингулярно возмущенных дифференциальных систем не установлена зависимость асимптотики решений от исходных данных задачи, в силу чего отсутствуют конструктивные критерии определения порядков сингулярности решений, асимптотических последовательностей разложения. Недостаточно изучены, с нашей точки зрения, случаи наличия кратного спектра у предельного пучка оператора, когда (см. [4-8]) асимптотические разложения решений задачи идут по дробным, заранее не известным степеням малого параметра.

Рассмотрим систему из п линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, записанную в векторной форме:

где е — малый вещественный параметр, £ £ [0,£о], к — натуральное число, Г £ [0,"Г].

Относительно коэффициентов предполагаем следующее:

1 . £), В (I, е) — матрицы пХп (где п > 2), коэффициенты которых вещественнозначны, непрерывны по I £ [0,"Г] и £ £ [0,£о]. Кроме того, равномерно на [0,7*] справедливы при £ +0 асимптотические представления:

2. (£) (а > 0) — матрицы л X 71, коэффициенты которых вещественнозначны и дифференцируемы на [0,7*] бесконечное число раз,

3. А;(Е)с1е1:£?0(с) = 0, но [1£ЛВ(£,е) = £), где е) 0,

£> — натуральное число, функция е) непрерывна по Г £ [0,7*], £ £ [0,£о]Ь(Е, е) Ф 0.

Для систем вида (1) наиболее изучен случай, когда В (1, е) = I (где / — единичная матрица) и предельная матрица правой части имеет на [0,7*] только простые собственные значения (см., например, [1,9]). Случай, когда е) ± /, но предельная матрица 5 о (О является невырожденной (т.е. йе1В0(Е) Ф 0 для £ £ [0,7*]), рассмотрен, например, в [10]. Случай <Зе1В0(() = 0 рассматривался для некоторых частных видов системы (1).

В работе предложен алгоритм асимптотического интегрирования дифференциальной системы (1) общего вида в случае с!е1:£?0(С) = 0 при дополнительном условии, что (1) можно разрешить относительно производной.

Из предположения

с!е1:Во

следует существование матрицы В-1 ((:,£), для которой справедливо представление: В-ЧьО-е^ЕеоЕ'В.СО, где В0(£)^0.

Тогда для изучения векторного уравнения (1) преобразуем его с помощью умножения слева на е) к виду:

е — = С

¿а

В формуле (4) матрица С(Е,е) при £ +0 имеет равномерно на [0,7*] асимптотическое разложение:

где = з > 0.

Число а в формуле (4) — натуральное, равное наименьшему из показателей степеней малого параметра 0,1,2,..., для которого предельная матрица разложения (5) отлична от тождественного нуля:

Заметим, если Н + р — а < 0, то система (4) является регулярно возмущенной. В этом случае асимптотические разложения всех решений задачи идут по целым, причем неотрицательным степеням малого параметра. Поэтому не возникают проблемы с определением их порядков сингулярности и выбором последовательностей разложения. Если имеет место неравенство Л + /? — а > 0, то (4) — сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений.

Пусть далее в (3) Ь + ¡3 — а > 0. Тогда, используя, например, результаты [3,7], заключаем: порядки сингулярности решений системы (4) будут не меньше числа —Ь — /3 + а. Следовательно, если р — а> 0, то порядки сингулярности решений системы (4) могут стать меньше числа —к, что никогда не наблюдается у системы (1) в случае (О Ф 0.

Задача (4) всегда имеет фундаментальную систему решений из п функций. Поэтому, если система (1) разрешима относительно производной (в смысле (3), который рассмотрен в этой работе), число ее линейно независимых решений равно п.

Обратим внимание, что в условиях сделанного предположения (3) переход от системы (1) к виду (4) не является необходимым. Строить асимптотику фундаментальных решений системы (1) можно непосредственно, используя методы работы [7].

Проиллюстрируем полученные результаты на примере.

Пример. Рассмотрим систему вида (4):

Г£ — 2С — 1

п с1х £— =

—£ о

1 о

-2Е-1 еЕ

0 £2£2/(С+1)]

х.

где:

'-2Г-1 1 0  1 0 0 0 0 0

с0М = 0 -21-1 0 , ад = -1 0 г , С2(Г) = 0 0 0

. 0 0 0. .0 0 0. 0 0 Е2/(Е+1).

Нетрудно видеть, предельная матрица С0 (О системы (6) имеет два изолированных собственных значения:

1) Я0(Е) = 0 алгебраической кратности щ = 1и геометрической кратности т1 = 1;

2) А0(г) = — 2с — 1 алгебраической кратности п2 = 2 и геометрической кратности т2 = 1.

Построение асимптотики решений сингулярно возмущенной системы вида (4) в случае изолированных простых и тождественно кратных собственных значений у предельной матрицы С0(Е) изучалось автором, где предложен метод общего анализа такой задачи, базирующийся на теории возмущений, теории операторов в функциональных пространствах, технике работы с асимптотическими разложениями (см., например, [7]).

Поэтому, согласно результатам [7] можно утверждать существование у задачи (6) фундаментальной системы из трех решений яе(£,£), ¡' = 1,3. При этом будут справедливы представления:

X,

Для первого фундаментального решения (отвечающего простому собственному значению А„(С) = 0 предельной матрицы С0(С)} представление (7) примет вид:

где

(Г) = О,

(«.¿О ~ ехрГе 2 /^Е^о еЧиМ^Л

гот

^о (0 =

Обратим внимание, что в формуле (8) <Гю(£) = 0. Значит, главный член асимптотики решения х± (С, е) пока не определен. Отсюда следует, что пока не найден порядок сингулярности решения х± (£, е) , то есть наименьшая степень параметра £ в показателе степени экспоненты. Ясно только, что он будет больше числа —2 и подлежит уточнению.

Второе и третье фундаментальные решения х2 & Е) и (£, е) будут отвечать двукратному собственному значению предельной матрицы С0 (£). В формуле (7) для этих решений имеем:

Поэтому

Следовательно, можно утверждать, что у решений х2 (£, е) и х3 (£, е) в их асимптотических разложениях (7) совпадут главные члены асимптотики:

ехр

Таким образом, осталось определить: порядок сингулярности и главный член асимптотического

разложения (8) решения х± (Е, е); структуры разложений (7) для решений х2 (С, е) и х3 (С, е). Для ответа

на поставленные вопросы воспользуемся методикой, изложенной в [7]. Последовательно рассмотрим

два случая: Я0(Е) = 0 и Я0(I) = — 2Е — 1.

1) Пусть Я0 (t) — 0. Тогда вычисляем:

Г(г) =

— (1 + 2t}_1 —(1 + 2£)~2 0 0 —(1 + 2t}_1 0 0 0 0

i = Ф = CO¡oji(0,0,1).

Отсюда находим:

Диаграмма векторного дифференциального уравнения (6) содержит одно звено, соединяющее точки (0;2) и (1;2), параллельное горизонтальной оси. Воспользовавшись методами работ [3,7], получаем: к0 = 0 — коэффициент наклона звена,

2 — + 1) = 0 — определяющее уравнение звена диаграммы. Поэтому <Гю(0 = 0, £ц(£) = 0, ^ 12СО = Е2/(Е+ 1). Значит, в формуле (8) разложение решения %(£,£) будет идти по целым степеням параметра Е, начиная с первой: ^(ЛЕ) ~ (£ +ея1/1з(0  ехр ((-г + г2¡2) + Е

/о

2) Пусть А0 (О = — 21 — 1. В этом случае получаем:

Построив при рассматриваемом А„ (i) первую диаграмму системы (6), воспользуемся методикой [7] и получим одно звено, соединяющего точки (0;1) и (2;4). Следовательно, к0 = —3/2 — коэффициент наклона звена; определяющее уравнение звена имеет вид z2 — 1 = 0, а значит, имеет на [0,Г] два простых корня 1 и —1. Поэтому £21 СО = 1. ^3 1 СО = — 1- В таком случае асимптотические разложения фундаментальных решений х2 (£, е) и x2(t, е) идут по дробной степени е 1/2 и принимают вид:

где V20(t) = F30(t) =

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высш. шк., 1990. — 208 с.

2. Ильин A.M., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. — М.: Физматлит, 2009. — 248 с.

3. Жукова Г.С. Асимптотическое интегрирование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1988. — 200 с.

4. Жукова Г.С. Асимптотика решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. № 12. С. 7-12.

5. Zhukova G.S. Differential equation with a small parameter at the highest derivative // Ukrainian Mathematical Journal. 1989. Т. 40. № 4. С. 356-362.

6. Zhukova G.S., Chernykh N.P. Asymptotic properties of formal solutions // Ukrainian Mathematical Journal. 1988. Т. 39. № 5. С. 448-454.

7. Жукова Г.С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 9. С. 1500-1509.

8. Жукова Г.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во РГСУ, 2012. — 504 с.

9. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981. — 398 с.

10.Самойленко А.М., Шкыь МЛ., Яковець В.П. Лшшш системи диференщальних рiвнянь з виродженнями. — К.: Вища шк., 2000. — 294 с.

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Жукова Г.С. Асимпточеское решений сингулярно возмущенных дифференциальных систем с вырождением. — Системные технологии. — 2018. — № 27. — С. 81—85.

ASYMPTOTIC SOLUTIONS OF SINGULARLY PERTURBED DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH DEGENERACY Zhukova G.S.

Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies of the Financial University under the Government of the Russian Federation.

Abstract

For systems of singular singularly perturbed differential equations, asymptotics of the basis solutions with respect to a small parameter is constructed. An algorithm is proposed for determining asymptotic sequences of decomposition of solutions. We study the case when the limit matrix for a derivative is degenerate, but it is possible to solve the problem with respect to the derivative.

Keywords:

Systems of differential equations, singular perturbation, asymptotic expansion of solutions with respect to a small parameter

Date of receipt in edition: 19.04.18 Date of acceptance for printing: 20.04.18