Новые примеры поверхностей зонтичного типа и их коэффициенты квадратичных форм

НОВЫЕ ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗОНТИЧНОГО ТИПА И ИХ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОСНОВНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

С.Н. КРИВОШАПКО, д-р техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, г. Москва

Поверхностями зонтичного типа называются циклически симметричные поверхности, состоящие из нескольких тождественных элементов. Причем полная поверхность зонтичного типа и все поверхности составляющих ее тождественных элементов описываются одним и тем же явным, неявным или параметрическими уравнениями.

В статье [1] приведены уравнения пяти поверхностей зонтичного типа, на основании которых построены рассматриваемые поверхности в зависимости от констант, входящих в уравнения, и подсчитаны коэффициенты основных квадратичных форм представленных поверхностей.

В настоящей статье продолжены исследования по созданию новых форм оболочек с зонтичными срединными поверхностями.

Волнистая поверхность из кубических парабол имеет в опорном сечении z- О волнистую линию, заданную в полярных координатах

v{(p) = -/tf + р( 1 - cos тр),

где v(ip) - полярный радиус, п = R/r; п - целое число; <р - полярный угол.

Если взять р = 2r(R + г), то на опорной окружности будут располагаться внутренние вершины волнистой линии, то есть R < v{q>) < R + 2r.

При р = -2r(R - г) на опорной окружности будут лежать внешние вершины волнистой линии, то есть R - 2r < v(ip) < R, рис. 1. Кроме того, при р = 2r(R + г) все вершины волнистой линии будут лежать на эпициклоиде, полученной при наружном качении окружности радиусом г по неподвижной окружности радиусом R, а при р = -2r(R - г) все вершины располагаются на гипоциклоиде, полученной при внутреннем качении окружности радиусом г по окружности радиусом R.

Форма задания волнистой поверхности 1) Параметрическая обобщенная форма задания:

х = x(ip,u) = uinv(<p)cos<p, у = у(<р,и) = uxnv{(p)sm(p, z = z(u) = A(1 - и), где и - безразмерный параметр; 0 < м < 1; 0 < z < h; 0 <<р< 2л. В любом сечении волнистой поверхности плоскостью, проходящей через ось Oz, лежит кубическая парабола.

Поверхность, изображенная на рис. 1, имеет h = 1 м; R = 1 м; п = 8.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

2/3

р2п2 sin 2 п<р 2 / \

4v'

f =

рп sin пер

6 и

1/3

9и

4/3

hu

2/3

h2b2-f2

Зр2п2 sin2 п<р 4 v2

РП 2 , \ --cosh^ + v

Л/ = 0.

lhv2

,2B2-F2

9 ищ,Ъ4А2

В вершине поверхности при ы = 0 будет

А>0, Н = 0. Волнистая поверхность из полукубических парабол имеет в качестве опорной волнистой линии ту же линию, что и волнистая поверхность из кубических парабол. Форма задания волнистой поверхности I) Параметрическая обобщенная форма задания:

Ч / ? 3/2

х = х(<р,и) = и~ v(<p)cos(р, у - у(<р,и) = и v(<p)sin<p,z = z(u) = h(]-u), где и - безразмерный параметр; 0 < и < 1; 0 < z < h\ 0 <ср< 2л. Остальные обозначения приведены выше в разделе «Волнистая поверхность из кубических парабол». В сечении поверхности плоскостью, проходящей через ось Oz, лежит полукубическая парабола.

В вершине поверхности находится особая точка. Поверхность, представленная на рис. 2, имеет Л = 3 м; /? = 1 м; и = 5; = 2r(R + г).

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

Рис. 2

¿2 3

А =и

р2п2 sin2 па> 2, ч

4 vl{q>)

F =

Ърпи2 sin nq>

Вz =

9uv

3p2n2 sin2 nq> 4 v2

РП 2,ч

- cos n<p + V

M = 0,

n =

-3huv

4 JA

2 B2 - F2

Рис. 3

Поверхность зонтичного типа с параболическими образующими и отверстием в вершине

образовывается однопараметрическим семейством парабол, лежащих в плоскостях пучка, проходящих через координатную ось Ог. Причем оси парабол находятся в горизонтальной плоскости г = 0,

а вершины парабол расположены на окружности радиусом а и центром в точке О (0; 0; 0). Поверхность имеет в вершине z = h эпициклоиду (рис. 3) х = х(<р) = (R + r)cosq>-rcos(l + «)^>, у = у(<р) = (Ä + r)sin(p-rsin(l + п)<р, где п - число внешних вершин эпициклоиды; п = R/r\ R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; (р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Oy, или гипоциклоиду (рис. 4) х = х(<р) - (R-r)cos(p + rcos{n-\)(p,y - у(<р) = (/?-r)sin<p-rsin(/7 -\)(р,

п - число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду. Формы задания поверхности зонтичного типа 1) Параметрическая форма задания:

X = x(z, <р) = {я - [а - v(i/?)]z2 / h2 / v((p);

У = y(z, <р) = {я - la - v{(p)\z2 / А2 ]у{(р) / v(<p);

z = z,

где v{(p) - ,Jr2 + p(l -cosnip). Необходимо Л = 1; и = 5; a = 3; A = 4,5

Рис. 4

брать p - 2r(R + r); a > R + 2г, если отверстие

в вершине принято в форме эпициклоиды, и р = ~2r(R — г), а > R, если отверстие имеет форму гипоциклоиды (рис. 4).

Поверхность зонтичного типа с параболическими образующими и круглым отверстием в вершине имеет в опорном сечении z = 0 эпициклоиду

X = Х{

X = Х(<р) = (R-r)cos(p + rcos(n-\)(p, Y = Y{(p)-{R-r)sm(p-rsm{n-\)(p, с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду.

В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать параболы z = h - Ь(<р)(х - а)2, 0<г<А; b((p) - переменный

параметр парабол. Верхняя граница поверхности представляет собой ок-8

ружность радиусом а с центром, расположенном в точке с координатами (0; 0; И). Таким образом, вершины образующих парабол лежат на граничной окружности.

Формы задания поверхности зонтичного типа 1) Параметрическая форма задания:

- У(А <р) = \а + \у{<р) -

И<р)

у

2 = 2,

н<р)

где \{(р) - ^Я2 + р(\ -соъгкр) = у[х20р) + У2 (<р) - полярный радиус гипоциклоиды или эпициклоиды, лежащих в основании поверхности; 0 < г < /г; угол <р не является полярным углом; 0 < (р < 2л ; Н - максимальная высота поверхности зонтичного типа.

а = 0; Л = 2 м; а = 2м;А = Зм

Рис. 5

Необходимо принимать р = 2г(К + г), а < /?, если основание принято в

форме эпициклоиды (рис. 5, а) или р = -2r(R -г), а < R- 2 г, если основание имеет форму гипоциклоиды (рис. 5, б). Таким образом, в сечениях рассматриваемой поверхности плоскостью z = 0 лежит эпициклоида или гипоциклоида, в зависимости от значения параметра р и координат Х(<р) и Y{f). В сечении поверхности плоскостью z = И, лежит граничная окружность X1 -i- у2 = а2.

Если принять а = 0, то рассматриваемая поверхность выродится в параболоид вращения с циклоидальными гофрами (рис. 5, в). Если же принять р = -2r(R ~ г), а> R - 2 г, то получится поверхность, представленная на рис. 5, г, с гипоциклоидой в основании.

Зонтичная поверхность с астроидальными линиями уровня,

образованная биквадратными параболами Пусть в плоскости хОу лежит астроида х = acos3í, у = asin3/, тогда ее

полярный радиус будет р = avsin6 / + cos6 í, где параметр t равен углу между осью Ох и прямой, соединяющей центры неподвижной окружности с радиусом R и изнутри катящейся по ней окружности с радиусом г, точка которой образовывает астроиду; R/r = 4.

Формы задания зонтичной поверхности: 1) Параметрическая форма задания:

X = x(t,u) = au1'4 cos3 j> = ></,M) = aMl/4sin3f, z = z(u) = H(] - u), где и - безразмерный параметр; 0 < w < 1; 0 <t< 1ж ; Н - стрела подъема поверхности, то есть расстояние от основания поверхности до ее высшей точки (вдоль оси Oz).

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее кривизны:

áÉ^k

О 1

A2 =-a2Vwsin22/, F =

4 16 V«

sin 4/,

B2 =

16 и

3/2

(sin6/ + cos6/) + #2,

А2 В2

4 и

L =

=

а2 sin2 / cos21

а

7б

-F2 =

sin2 /cos2 t + H2u3/2

Ш

mm

Sill!

9 a2H4u 4y¡A2B2-F2

JTb^F2'

sin2 2/, M =0, N = -

Рис. 6

9 а2Н

64 и

3/2

Га

2B2-F2

— sin 2/,

9H sin 2í

4(sin6 / + cos6 /+16Я V/2 !a2)4A2B2 - F2

к =

• 162 иН2

оа2 sin2 icos2 t + \6H2uV2)2

<0.

Рассматриваемая поверхность отрицательной гауссовой кривизны задана в неортогональной сопряженной системе криволинейных координат и, V. Только в точке « - о поверхность имеет нулевые значения гауссовой и средней кривизн, следовательно, вершина поверхности является плоскостной точкой.

На рис. 6 показана поверхность при а = 1 м; Н= 2м; 0,05 < и < 1; 0 < / < 2л .

2) Явная форма задания: z = i 1

/ \ 2/3 ' X

\а)

+

/ -\2/3 У

\а)

>Н.

3) Параметрическая форма задания: х = х(г, ф)~г cos (р, у = у(г, 9?) = г sin (р,.

z = z(r,<p) =

1

/ \ 4

г

U,

cos3 ^> + sin3 tp

н.

Рис. 7

На рис. 7 показана поверхность при а = 1 м; Я = 2м; 0 < г < о; 0 < ср < 2л ; (о - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, </>*/.

Поверхность зонтичного типа на циклоидальном плане, образованная кубическими параболами, имеет в опорном сечении г = 0 эпициклоиду

х = х(<р) = (R + r) cos <p-r cos(l + n)(p,

У = y(SP) = (R + r)sm(p-r sin( 1 + n)<p, где n = R/r - число внешних вершин эпициклоиды; 2г - максимальная амплитуда гофров в основании поверхности, R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; <р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, или гипоциклоиду (рис. 9) х = х(<р) = (R - г) cos (p + r cos(п -1 )tp,

у = у(ср) = (/?-/•) sin (p-rsin(n- \)(р, 2 = 0,

и = 8;/г = 2;Л = Рис. 8

с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду.

В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать кубические

параболы z = h-a(<p)x\ 0<z<h; а(<р) -

Рис. 9

переменный параметр кубических парабол.

Формы задания поверхности зонтичного типа

1) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с эпициклоидой в основании (поверхность с внешними гофрами, рис. 8):

х = х(и,<р) = м1/3[(/? + r)cos(p-rcos(n + \)q>\, у = у(и,ф) = u{n[(R + r)s\n tp-г sm(n + \)<p], z = z(u) = h(l-u), где 0 < и < 1; и - безразмерный параметр; 0 < z < h; h - максимальная высота поверхности; 0 <<р< 2л. В любом сечении поверхности плоскостью и = const лежит эпициклоида. Координатная линия и = 1 совпадает с опорной эпициклоидой.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности:

A2 = u~4i3[R2 + 2r(R + r)(l-cosn<p)]/9 + h2,F = -u'ViR(R+r)smn<p/3,

В2 =2u2/\r + г)2 (\-cosntp),

r -2ttR + rXR + 2r)n ... rt .. hu2l\R + r)2{R+2r)n ¿ =--'(1-cosnq>\ M = 0, N =---—-(1-cosnip),

9u4/4A2B2-F2 HA2B2-F2

9u r

2) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с гипоциклоидой в основании (поверхность с внутренними гофрами, рис. 9):

X = х (и, (р) - H1/3[(/?-/")cos<p + rcos(H-l)<p],

у = у(и, <p) = ulli[(R-r)s'm<p-r sin(/j - \)<р], z - z(u) = h( 1 - и), 0 < и < 1; 0 < z <h; h максимальная высота поверхности; 0 < ср < 2л; пф 2. В любом сечении поверхности плоскостью и = const лежит гипоциклоида.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: A2 =u-4/i[R2-2r(R-r)(l-cosn(p)V9 + h2, F = -u-inR(R-r)s\nn<p/3, В2 = 2u2!3(R-r)2(\-cosn<p),

-cosn<p)/a, M N = [и2 7 3h(R - r)2 (n - 2)](1 - cosпф)! о, К < 0.

где <72 = А2 В2 - F2. Плоскостная точка находится в вершине поверхности (рис. 9).

Поверхность зонтичного типа на циклоидальном плане, образованная полукубическими параболами, имеет в опорном сечении z = 0

эпициклоиду

х = х(<р) = (R + r) cos (р - г cos(l + п)<р,

У = У{ф) - {R + r)sm<p-rsm{\ + n)(p, z = 0, где п = R/r - число внешних вершин эпициклоиды; 2г - максимальная амплитуда гофров в основании поверхности, R - радиус окружности, по которой снаружи катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает эпициклоиду; (р - угол, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу, или гипоциклоиду (рис. 11) х = х{(р) = (Я - г) cos + г cos(rc- [)(р,

У - yW) = (Л - г) sin ^ - г sin(w -1 )(р, с вершинами, обращенными только внутрь кругового основания, п - число вершин гипоциклоиды; R - радиус окружности, по которой внутри катится окружность радиусом г, произвольная точка которой описывает гипоциклоиду.

В любом сечении рассматриваемой поверхности плоскостью, проходящей через ось поверхности, совпадающей с координатной осью Oz, будут лежать полукубические параболы

х = a(^)(/i-z)3/2, 0 <z<h~ а(ср) - переменный параметр полукубических парабол.

Формы задания поверхности зонтичного типа 1) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с эпициклоидой в основании (поверхность с внешними гофрами, рис. 10):

X = х(и, (р) = И3/2 [(/? + г)cos (р - г cos(/i +1 )<р], У = у{и,(р) = M3/2[(/? + r)sin<p-rsin(« + l)ip], z - z(u) = h(\-u), где 0 < и < 1; и - безразмерный параметр; 0 < z < Л; h - максимальная высота поверхности; 0 < <р < 2п. В любом сечении поверхности плоскостью и = const лежит эпициклоида. Координатная линия и = 1 совпадает с опорной эпициклоидой. Особая точка находится в вершине поверхности.

Рис.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А2 =9м[/е2 +2r(W + /-)(l-cos/í<z7)j/4 + A2, F = Зи2 R(R + r)s\n гхр / 2, В1 = 2u3(R + r)2(\- cosncp),

. 3uh

L =-7=-__(1 - cosnqj), M = О, N =-------=— (1 - cos пф),

4 4A2B2-F2 HA2B2-F2

Зи* h2 (R+ rf(R + 2r)2(}~ cos n<p)2 .

Л =-------;----J-:--— < О-

4r

2) Параметрическая форма задания поверхности зонтичного типа с гипоциклоидой в основании (поверхность с внутренними гофрами):

х = х(и,ср) = и3/2 [(/?-г) cosv> + rcos(«-l)<p], у - у(и,<р) - M3,/2[(#-r)sin tp-r sin(n-l)^], z = z(m) = h{\-u), 0 < и < 1; 0 < z < A; h максимальная высота поверхности; 0 <ср< 2л; п±2. В любом сечении поверхности плоскостью и = const лежит гипоциклоида (рис. 11).

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности: А2 = 9u[R2 -2r(R- г)(1 - cos п<р)} 14 + h2, F = -3u2R(R -r)sinn(pl 2, В2 = 2u\R-г)2 cos п<р), L = [3uh(R - r)(R - 2г) / 4](1 - cos п<р) / а, М = О, N = \?h{R -rf(n-2)\\-cosn<p)l <т, К> 0.

где а2 = Л2/?2 - F2. Особая точка находится в вершине поверхности.

Литература

I. Кривошапко С.Н. Геометрические исследования поверхностей зонтичного типа// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 1. - С. 11 -17.

NEW EXAMPLES OF UMBRELLA SURFACES AND THEIR COEFFICIENTS OF GENERAL FUNDAMENTAL FORMS

S.N. Krivoshapko

Umbrella shells are used as coverings of civil and industrial buildings. Umbrella surfaces are formed on surfaces of revolution. Several new types of umbrella surfaces are presented in the article. The coefficients of the first (A, F, B) and second (L, M, N) fundamental forms of surface are derived for presented surfaces.