О решении одной сингулярно возмущенной начально-краевой задачи для линейного параболического уравнения

УДК 517.956.4

A.A. Белолипецкий1, А.М. Тер-Крикоров2

1 Вычислительный центр РАН им. A.A. Дородницына 2 Московский физико-технический институт

О решении одной сингулярно возмущенной начально-краевой задачи для линейного параболического уравнения

Изучается смешанная задача Коши для линейного сингулярно возмущенного параболического уравнения со специальными краевыми условиями. Для малых значений параметра приведены приближенные выражения для неизвестных функций. Доказано существование и единственность решения, для которого построенное приближение является асимптотическим по малому параметру. Такие задачи возникают в математических моделях заполнения лазерных мишеней газообразным термоядерным топливом.

Ключевые слова: параболическое уравнение, сингулярное возмущение, погранслойное решение, лазерная мишень.

Введение

В работах [1,2] были изучены математические модели заполнения тонкостенных оболочек газом. Такие задачи возникают при исследовании технологических процессов производства лазерных мишеней для инерциального термоядерного синтеза [3-5]. В статье [1] поставленная задача в безразмерных переменных сводилась к решению сингулярно возмущенного параболического уравнения для задачи Коши со специальными краевыми условиями. Решение строилось в виде асимптотического ряда. При этом автор ограничивался лишь первым членом ряда для регулярной составляющей решения, пренебрегая погранслойной частью, учитывающей начальные условия. Оправданием применимости такого метода являлся тот факт, что погранслойная составляющая быстро затухает и решение «забывает» начальные условия. В настоящей работе доказана теорема о существовании и единственности решения более общей задачи, чем та, что исследовалась в [1,2]. Построено решение ее нулевого приближения в виде суммы регулярной и погранслойной составляющей и дана равномерная оценка остаточных членов асимптотического ряда.

I. Постановка задачи

Рассмотрим центрально-симметричное параболическое уравнение с малым параметром е > 0:

Функция /(Ь) считается известной, а функцию ц(Ь) следует определить. Уравнения для определения функции ц(Ь) имеют следующий вид:

МЬ) ди(гъг) (

0) = Ь

Начальное условие

и

Будем предполагать выполненными условия согласования

и

В настоящей работе доказывается следующая теорема.

Теорема. Если функции / '(Ь)и и "(г) непрерывны и выполнены условия согласования (1.5), то найдется такое число е0 > 0, что при 0 < е < е0 решение задачи (1.1) - (1.4) существует, единственно и может быть представлено в следующем виде:

l(r, t, е) = Uo(r, t) + Ul(r, t, e) + £U2(r, t, e),

fl{t) = Ho(t) + e^1(t, e).

Функции ^o(t), Uo(r,t) являются решениями вырожденной задачи:

t

1^0

ro - ri J

du 1 d ( 2 du

dt r2 dr V dr

e ^ 0, t ^ 0, 0 < r1 ^ r ^ r0.

Граничные условия неоднородные: u

uo

r ro — ri

ui

рует невязку в начальных условиях:

r

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/12136.

x / sin Xn(ri — s)sin Хп(п — r)| X

L ^ Xn >

x

Функции u2(r,t,e), ni(t,e) равномерно ограничены.

Упростим постановку задачи при помощи замены зависимых переменных:

Гл — Г

v

Г1 — ro

Уравнения (1.1) - (1.5) принимают следующий

вид:

eíJVV = + er^'

ot dr2 ri — ro

v(ro ,t)=0, v(ri,t) = 0,

d^

dt

a dv(ri,t) aro

ri dr ri

f

rr

v

ri — ro

II. Решение вырожденной задачи и уравнений погранслоя

е=0 д 2уо

dr2

0, vo(ro,t) = 0, vo(ri,t) = 0,

d^o aro

dt ri

f (t), Vo(0) = b.

Начальное условие (1.10) в общем случае не может быть удовлетворено. Решение вырожденной задачи имеет следующий вид:

vo(r,t) = 0, no(t) = b —

aro

ri

f (s)ds.

Положим в уравнениях

т = Ь/е, ц

Тогда система уравнений (1.7’) - (1.10’) принимает следующий вид:

От = + етх'

дт от2 —1 — то

у

dz

dr ri dr

z

v

rr

= —rU

ri — ro

Вследствие условий согласования (1.5) ф(ro) = —ro(U (ro) — b — f (0)) = 0,

Ф(гл) = ri(U (гл ) — b) = 0.

е=

=0

лойных функций:

dv 82v

дТ = Э—2  *°Л=0-

v(ri,t) = 0, v(r, 0) = Ф(г),

dzo

dr

= 0, zo(0) = 0.

Из уравнений (2.9) следует, что го(т) = 0. Рассмотрим ортогональную на отрезке [то,т1] систему функций

Pu(r)=sin Xn(ri — r), Xn =

ri — ro

U

рывную производную второго порядка, то решение смешанной задачи (2.8) имеет следующий вид:

Ж

v(r, r) = Xn е-Кт sin Хп(гл — r),

n=i

ri — ro

n

j(sU''(s) + 2U'(s)) sin Хп(гл — s) ds.

Функция v(r,r) имеет непрерывную производ-dv

НУЮ причем

dv(ri, r) dr

i Xn

Доказательство. Разложим функцию ф(т) по ортогональной системе (2.10). Так как ф(то) = = ф(т1) = 0 в силу (2.7), а в силу равенства (2.6) ф''(т) = —ти''(т) — 2и'(т), то

ф(т) = 53 ЬкРк(т),

к = 1

bk =

ri — ro

j ф^^ш Xk(ri — s) ds =

ro

Г1

----------— ф'(s)cos Xk(ri — s) ds

(ri — ro)Xk J

2

(ri — ro

X J ф”(s)sin Xk (ri — s) ds = Xk Yk,

nn

2

Y

n

Yn -X2 T

2

Yn =

ri — ro

r 1

j(sU''(s) + 2U'(s)) sin Xn(ri — s) ds.

Решение смешанной задачи (2.8) имеет вид

Ж

V

В силу неравенства Бесселя ^ Y‘]k < а в

силу неравенства Коши < +гс>. Следова-

л Лп

П=1

тельно, ряды (2.13) и (2.12) сходятся равномерно и справедлива формула (2.12). Теорема доказана.

Следовательно,

= —e

-- Xn

n=i

X / е-ХП(т-)г/

єг0 sin Xn

z (t) dt — -—— 2^---------------------------------л-х

ri — ro

х е-хП(т-e)f'

f'

dw(ri, t ) dr

Ж

є(г i — ro)^2 an e-

К(т-í)z>

z'(t) dt—

III. Доказательство теоремы существования и единственности решения интегрального уравнения для функции г

Положим

v(r, т) = v(r, t) + w(r, t), w(r, 0) = 0, w(ro,T) = 0, wi(r,T) = 0.

Подставляя эти выражения в уравнения (2.3) -(2.6), получаем уравнения для функций нг:

дт д2т

Ьт = дт — д2 =

= —етг'

т1 — то

т

dz

dT

т1 дт т1 дт

Сведем задачу определения функции г(т) к решению интегрального уравнения. Для этого воспользуемся разложениями

r = (ri — ro)Y] sin Xn(r — ri),

Xn

n=i

an = 2(( — 1)r‘r0 — ri),

sin Xn

i

Ж

r — ri =

Xn

Запишем уравнение (3.2) в следующем виде: дт д2т

дт dr2

є(г i — ro)z'(T )^2 XT sin Xn (r — ri) —

n=i

єго ri — ro

f '

sp sin Xn(r — ri) ^ Xn

n=i

єго

ri — ro

E

е-Х1(т-í) f'

f 'Є) dt

Так как

е-ХП(т-í) z'

(t) dt

е-ХП(т-í) f'

f '(є£) dt

Xn

то ряды в формулах (3.6) и (3.7) равномерно сходящиеся.

Подставляя (3.7) и (2.12) в формулу (3.4), получаем интегральное уравнение для определения функции г(т):

'(т) = —

є2a

ri

£

n=i

е-Хп1\т-í) z'

(t) dt—

0

2 ж *

— ^ Г-хП(т-Qf '(єО dt—

ri — ro ^ J

n=i ,

o

— єау-Jn е-*т.

ri n=iXn

Найдем уравнение для z(t). Так как z(0) = 0,

то

т s

J ds J е-хП(s-e)z'(t) dt = J z'(t) J e-xn(s-e)ds

oo

= X2 z'(t) (l — е-К(т-í)) dt =

= к № i1 — е-*'-í))) 0+

т т

+ J И(€)е-Хп(т-)dt = j И(€)е-Хп(т-)dt,

2

X

w

т

n

т

n

т

т

т

т

z

т

т

т

т т

0 0

JdsJ e-xn(a-Vf '№) d£ =

0

т

f (0) (l - е-Х^т) +1J f П)е-Хп(т-)d£.

Используя эти равенства, получаем выражение для z(t):

т

z(T) = - ro) f a„ j >,(()е-2,1.т-*d(-

п=1 о

£ar0f (0) Ж l — е-хПт

ri(ri—ro) n=i xn

£

£aro

ri

т

J f П)е-х1(т-e)dt—

0

Ж

—£ra f m

n=1

Так как в силу (3.5) \an\ < 2(r0 + r1), то

e2a

ж т

Y,an z(t)e-xn (т-^dt

n=i {

ri

< £2a(ri — r0)(r0 + ri) .

< ri

<

ж „

У / е-хП(т-i)dt < n=i 0

X2

Отсюда следует, что интегральное уравнение (3.10) при 0 < £ < £0 имеет единственное решение z(t, £), причем ||z| < Ci£. Аналогичное утверждение верно и для уравнения (3.9). Следовательно р'Ц < C2е2.

Из формул (1.10), (2.11), (3.1) и результата п. 3 следует утверждение основной теоремы п. 1.

Литература

1. Белолипецкий А.А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенных оболочек газом. // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. - 2000. - № 2. - С. 7-10.

2. Aleksandrova I.V., Belolipetskiy A.A. Mathematical models for filling polymer shells with a real gas-fuel // Laser and Particle Beams. - 1999. - V. 17, N 4. - P. 701-712.

3. Проблемы лазерного термоядерного синтеза: сб. статей / под ред. А.А. Филюкова. - М.: Ато-миздат, 1976. - 295 с.

4. Дюдерштадт Дж., Мозес Г. Инерциаль-ный термоядерный синтез. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 302 с.

5. Александрова И.В., Белолипецкий А.А., Ко-решева Е.Р. Состояние проблемы криогенных топливных мишеней в современной программе инер-циального термоядерного синтеза // Вестн. РАЕН. - 2007. - № 2. - С. 15-20.

Поступила в редакцию 20.02.2011