Методика определения коэффициента постели в задаче потери устойчивости среднего слоя трехслойного стержня при растяжении

УДК 539.3

Р. А. Каюмов, И. З. Мухамедова, В. В. Хамматова МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОСТЕЛИ В ЗАДАЧЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СРЕДНЕГО СЛОЯ ТРЕХСЛОЙНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Ключевые слова: стержень, модель, устойчивость, эксперимент, конечный элемент.

Рассматривается многослойная балка. Предложена методика определения коэффициента постели для среднего слоя на основе сравнения аналитического и численного решений задачи об изгибе балки на упругом основании при известных геометрических и механических параметрах. Проведены численные эксперименты по выявлению закономерности изменения коэффициента постели в зависимости от варьирования геометрических и механических параметров и получена регрессионная функция для этого коэффициента.

Keywords: rod, model, sustainability experiment, finite element.

Consider the a multi-layer beam. The method of determining the modulus of subgrade reaction for the middle layer based on a comparison of analytical and numerical solutions of the beam bending problem on an elastic foundation under certain geometrical and mechanical parameters. Numerical experiments to identify modulus of subgrade reaction ratio changes depending on the variation of geometrical and mechanical parameters and regression function obtained for this coefficient.

Введение

Многослойные элементы конструкций, благодаря высоким значениям удельной жесткости и прочности, улучшенным звуко- и теплоизоляционным свойствам, демпфирующим и вибропоглащающим характеристикам, нашли свое широкое применение в строительстве и во многих областях промышленности. На сегодняшний день особое внимание уделяется изучению структурных особенностей и физико-механических свойств многослойных элементов конструкций, в частности, таких как многослойные стержни и пластины.

Для оценки работоспособности многослойной конструкции необходимо исследовать ее напряженно-деформированное состояние (НДС). Для определения НДС наряду с экспериментальными методами исследования, все чаще применяют методы математического моделирования многослойных элементов

конструкции.

При исследовании многослойных балок и панелей часто используют методику сведения исходной задачи расчета более жестких слоев к задаче об изгибе балки или пластины на упругом основании. Так, для расчета на местную устойчивость трехслойных панелей и пластин со сплошным средним слоем можно применять упрощенную линейную теорию расчета пластинок на упругом основании, в которой учитывается изгибная жесткость наружных слоев и модуль упругости сплошного среднего слоя в направлении, нормальном к внешним слоям [1-4].

Рассмотрим стержень, у которого коэффициент Пуассона внутреннего сплошного слоя меньше, чем у наружных слоев (см. рис.1). Тогда внутренний слой при продольном растяжении стержня испытывает сжатие. Одной из причин разрушения трехслойного стержня может быть отслоение внутреннего слоя от наружных [4].

Математическая модель растяжения

трехслойного стержня, средний слой которого имеет преимущественное армирование поперек оси,

построена в работе [8]. Внешние слои армированы вдоль оси стержня, как показано на рис. 1.

Р

Р

Рис. 1 - Модель растяжения трехслойного стержня, у которого средний слой армирован поперек оси стержня, а внешние слои - вдоль оси

Разрушение может происходить не только в результате потери прочности в продольном направлении, но также в результате кромочного эффекта, и также в результате потери устойчивости среднего слоя от сжимающих напряжений.

Условие

Рассмотрим последний случай. устойчивости этого слоя запишем в виде

К )n

кр

Критическое напряжение имеет вид [10]

7kr

2 Esxred - Jszred - k

A

sred

E^ed - модуль упругости среднего слоя, k

sred

где

коэффициент постели наружных слоев, момент инерции среднего слоя относительно оси г, Д^ - площадь сечения среднего слоя.

Определение коэффициента постели для среднего слоя в данной работе основывается на методе сравнения аналитического и численного решений задачи об изгибе балки на упругом основании [11].

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид:

= ку.

Известно общее решение этого уравнения [9]:

= С1е

~Ах ^ Ах + С2е Ах sin Ах +

+ С3еАх cos Ах + С4еАх sin Ах

где

А = 4!

4ЕхЛ

Рассмотрим случай действия сосредоточенной нагрузки на бесконечно длинную балку. Возьмем начало координат в точке приложения силы Р. Аналитическое решение этой задачи имеет вид:

V = —^-\_е'Ах81п Ах + е~Ах^ Ах]

8 А Ех 3г

Максимальная величина прогиба вычисляется под нагрузкой Р

.

V =-

тах 8А3Е 3

Рассмотрим решение численным методом. Построим конечно-элементную модель балки на упругом основании с приложенной сосредоточенной нагрузкой Р, как показано на рис.2. В силу симметрии рассмотрена лишь левая часть балки. Для расчета был выбран шестиузловой конечный элемент.

Рис. 2 - Модель балки на упругом основании

Далее, путем сравнения прогибов балки, полученных на основе аналитического и численного решений, определяем зависимости коэффициента постели от соотношений геометрических и механических параметров основания и балки. Для этого представим их связь следующим образом: к Е

к = к (. Ьа1ка Ьа1ка

,У ,У ).

ирговп Ьа1ка'

кЕ

uprosn uprosn

Далее были проведены численные эксперименты при различной комбинации аргументов в соотношении (7). В качестве примера на рис.3 представлены графики зависимости коэффициента постели упругого основания к / Еи п от

механических характеристик балки при

варьировании высоты упругого основания киргош

при коэффициенте Пуассона

= 0.3 . Аналогичные зависимости

^ ^ирГОА'П ц

Ьа1ка

получены при вариации других геометрических и механических данных задачи. Например, получено, что с пропорциональным увеличением коэффициентов Пуассона балки и упругого основания коэффициент постели увеличивается.

Рис. 3 - Зависимости коэффициента постели упругого основания к / Еи п от механических

характеристик балки при варьировании высоты упругого основания ки п

Далее была построена регрессионная функция для коэффициента постели, в зависимости от следующих аргументов:

где £ =

/ = /(£ х, ц к

иргот

ц

Ьа1ка

'иртозп

к

0.5 <£< 5,

Ьа1ка

0 <ц

х =

иртозп ЕЬа1ка

< °.5 , 0 <Уьа1ка < 05 , 5 < х < 50.

Е иргозп

В частности, если в (8) принять Уьа1ка = Ц

то зависимости, представленные на рис.3, хорошо аппроксимируются функцией вида

иртояп

= Ц ,

I=

А + В • х С + D • х

где

2 2 А = а0 + а1 •£ + а2 •£ + а3 • ц + а4 ц + а5 • £• ц, 2 2 В = Ь0 + Ь1 •£ + Ь2 •£ + Ь3 ц + Ь4 ц + Ь5 2

2

С = с0 + с1 •£ + с2 • £ + с3 • ц + с4 ц + с5 •£•ц, 2 2 D = й0 + й1 •£ + й2 •£ + й3 • ц + й4 ц + й5 • £• ц.

С помощью минимизации квадратичной невязки между значениями функции (9) и значениями,

к

х г

полученными в численных экспериментах, были определены искомые коэффициенты

а., Ь., с., ё. ( = 0,5):

7*7*7* 7 ' '

a0=-4883.41; a1=28708.19; a3=42681.49; a4=11207.71;

b0=15230.21; b1=1685.92; 3=1017.77; b4=14581.14;

c0=6652.68; c3=6225.82;

d0=240.02; d3=278.14;

c1=3567.98; c4=13820.13;

d1=2742.94; d4=-721.12;

a2=7090.05; a5=-15188.83;

b2=419.20; b5=-3128.41;

c2=6883.05; c5=6002.45;

d2=564.47; d5=-105.97;

Численные эксперименты показали, что погрешность аппроксимации численных решений с помощью формулы (9) составляет не более 2 %.

Таким образом, полученная регрессионная функция позволяет получить коэффициент постели упругого основания в широком диапазоне изменения геометрических и механических параметров задачи и определять критическую нагрузку для балки в упругой среде по формуле (2).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 15-08-06018) и при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №1660 государственного задания в сфере научной деятельности по Заданию № 2014/58 за 2016).

Литература

1. Хайруллин Л.Р., Каюмов Р.А. Исследование прочности трехслойных панелей с технологическими стыками среднего слоя вблизи опоры /Известия КазГАСУ. -№2(16). - 2011г. - с.116-120.

2. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем. // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964, №1, с. 67-74.

3. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. Критические нагрузки шарнирно опертых трехслойных пластин симметричного строения при двустороннем сжатии

одного внешнего слоя. Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1985, №2, с. 51-55.

4. Паймушин В.Н., Гюнал И., Газизуллин Р.К., Шишов М.А. Формы потери устойчивости трехслойного стержня с трансверсально-мягким заполнителем и композитными несущими слоями, имеющими малую сдвиговую жесткость / Материалы XXII Межд. симп «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова -МАИ, 2016. С. 187-193.

5. Паймушин В.Н., Тарлаковский Д.В., Холмогоров С.А. О неклассической форме потери устойчивости и разрушении композитных тест-образцов в условиях трехточечного изгиба / Материалы XXII Межд. симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова- МАИ, 2016. С. 102-106.

6. Каюмов Р.А., Сулейманов А.М., Мухамедова И.З. Моделирование поведения пленочно-тканевого материала при воздействии эксплуатационных факторов, // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. - т.11. - №4. - С.519-530.

7. Каюмов Р.А., Куприянов В.Н., Мухамедова И.З., Сулейманов А.М., Шакирова А.М. Деформирование представительной ячейки пленочно-тканевого композита при конечных перемещениях// Механика композиционных материалов и конструкций.- 2007.-Т.13. - №2. - С.165-173.

8. Каюмов Р.А., Мухамедова И.З. Моделирование процесса разрушения трехслойного стержня при растяжении / Вестник Казанского технологического университета. - Казань: Изд-во КНИТУ, 2015. -т.18. -№14. - с.204-206.

9. Каюмов Р.А. Сопротивление материалов. Конспект лекций. - КГАСУ.- Казань,2010.- 170с.

10. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.,. «Машиностроение», 1978. -301с.

11. Паймушин В.Н. Аналитико-вычислительно-экспериментальная методология определения критических нагрузок и частот свободных колебаний деформируемых твердых тел. / Доклады академии наук. - том 330. - №1. - Москва, 1993. - С.52-54.

12. Черпаков А.В., Каюмов Р.А., Косенко Е.Е., Мухамедова И.З. Моделирование балки с дефектами конечно-элементным методом / Вестник Казанского технологического университета. 2014. -т.17. -№10. -с.182-184.

© Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры Механика КГАСУ, kayumov@rambler.ru, И. З. Мухамедова - к.ф.-м.н., доцент. кафедры Механика КГАСУ , muhamedova-inzilija@mail.ru; В. В. Хамматова - д.т.н., профессор, заведующая кафедрой «Дизайна», КНИТУ, venerabb@mail.ru.

© R. A. Kayumov - doctor of physical and mechanical sciences, Professor of Mechanics, Kazan State Architecture and Construction University, kayumov@rambler.ru, I. Z. Muhamedova - candidate of physical and mechanical sciences, Professor of Mechanics, Kazan State Architecture and Construction University, muhamedova-inzilija@mail.ru; V. V. Khammatova - doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Design, Institute of technology of light industry of fashion and design, Kazan national research technological University, venerabb@mail.ru.