Методические задания для установления взаимосвязей между содержанием текстов школьных учебников математики и описанием соответствующих «Методик» в учебных пособиях по методике обучения математике

Раздел III. Теория и методика преподавания математики

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

А. В. Забеглов, Н. Е. Ляхова, М. Г. Макарченко

МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ МЕЖДУ СОДЕРЖАНИЕМ ТЕКСТОВ ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКОВ МАТЕМАТИКИ И ОПИСАНИЕМ СООТВЕТСТВУЮЩИХ «МЕТОДИК» В УЧЕБНЫХ ПОСОБИЯХ

ПО МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ1

Аннотация. В статье представлены методические задания, направленные на усвоение методических знаний с помощью школьных учебников математики. В ней приведены задания, выделены направления работы, связанной с изучением линии функций по учебникам А. Г. Мордковича, сформулированы выводы.

Ключевые слова: контекст, методические задания, школьные учебники математики, линия функций.

A. V. Zabeglov, N. E. Lyahova, M. G. Macarchenko

METHODIC TASKS FOR ESTABLISHING THE RELATIONSHIP BETWEEN THE CONTENT OF THE TEXTS OF MATHEMATICS TEXTBOOKS AND A DESCRIPTION OF «METHODS» IN THE TEXTBOOKS ON THE METHODS OF TEACHING MATHEMATICS

Abstract. The article presents the methodic tasks, which aimed at acquiring knowledge through the teaching of school mathematics textbooks. Here are the tasks identified directions of work related to the study of the line functions of textbooks A.G.Mordkovicha, formulated conclusions.

Key words: context, the methodic tasks, school mathematics textbooks, the line functions.

Рассматривая содержание частно-методической линии функций через взаимосвязь трех составляющих: историко-методологической, содержательно-методической и концептуально-практической, считаем целесообразным знакомство с «линией» вести от конкретного к абстрактному -от понимания учебника и собственных возможностей к пониманию концепции и образовательной парадигмы. Эта целесообразность обусловлена одной из поставленных целей методической подготовки - формирование действенных методических знаний. В связи с этим качество освоения именно концептуально-практической составляющей влияет на результативность осмысления содержаний двух других составляющих. Взаимосвязи между ними проявляются в соотнесении описаний компонентов школьного математического образования (КШМО) в школьных учебниках математики с методическими разъяснениями в учебных пособиях по теории и методике обучения математике (ТМОМ).

I. Взаимосвязи между авторской концепцией построения учебника и ее практической реализацией в описании теоретического материала школьного курса математики и ему соответствующего задачного материала (между авторской концепцией и авторским текстом).

Студентов знакомят с контекстуальным анализом КШМО в школьных учебниках (учебник А. Г. Мордковича [7; 8; 9]), они интуитивно осмысливают методический замысел автора школьного учебника. После этого они целенаправленно знакомятся с методической концепцией построения данного учебника, устанавливая, где и как реализуются ее принципы в текстах и задачном материале. (С авторской концепцией построения учебника можно ознакомиться, прочитав «Предисловие для учителя», которое содержится в каждом его учебнике). В текстах теоретического материала авторская концепция выражается через разные характеристики представимости контекстов соответствующих текстов, через внешние структуры параграфов, через внешние атрибуты (специальные обозначения, рубрики и др.), через свернутость и развернутость примеров (пример, работающий на авторскую концепцию, представлен и алгоритмом, и приоритетностью развернутого описания действий по отношению к свернутому, часто автор представляет в своих текстах

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту №6.2058.2011, тема: «Обучающие системы методико-математических заданий как средство моделирования самостоятельной работы студентов в процессе их методической подготовки», научный руководитель М. Г. Макарченко.

процесс целенаправленного сворачивания математического действия). Эти и другие способы раскрытия данной взаимосвязи целесообразно выделять в ходе совместной работы со студентами.

II. Взаимосвязи между описанием теоретического материала в школьном учебнике математики, его задачном материале и описанием соответствующих методических разъяснений в учебных пособиях по ТМОМ (между авторским текстом и частной методикой).

Изучив содержание и последовательность теоретического материала линии функций в текстах школьного учебника математики, студенты выясняют: приоритетность подхода к определению понятия «функция» в данном учебнике; соответствие контекстов текстов учебника психологическим этапам формирования понятия «функция» [1; 10; 11]; соответствие материала в учебнике этапам формирования понятия «функция»; выраженность концепции в задачном материале: какие задачи и методы их решения представлены в текстах учебника и их соответствие задачам и методам в частных методиках.

Приведем задания, способствующие раскрытию данной взаимосвязи.

Задания 1 - 5 (проблемно-рассуждающие) направлены на выявление основных понятий линии функций в школьном учебнике.

Задание 1. Вы прочитали тексты (они уже проанализированы студентами, и они из одного параграфа школьного учебника), попробуйте спрогнозировать, какую информацию автор сообщит ученикам далее. В качестве подсказки используйте ранее изложенный материал, связанный с функцией.

Коммуникативный текст.

Вы, изучая устройство контекстов, работали с текстами и параграфами учебника А. Г. Мордковича. Заметным было то обстоятельство, что большинство из них имеет отношение к изучению функций. Говорят, что это математическое содержание входит в содержание линии функций. Линия функций (есть еще линии числа, преобразований, уравнений и неравенств и др.) отличается от содержания отдельно взятой темы, прежде всего, рассредоточенностью изучения: отдельная тема изучается концентрированно, а содержание линии рассредоточено по разным темам и реализуется не один год. Понятно, что соблюдение преемственности является обязательным условием качественного изучения линии. В связи с этим представляется очень важным знание и понимание тех положений, по которым и необходимо соблюдать преемственность. В «линию» включено некоторое математическое содержание (терминология, последовательность, виды математических предложений, их обоснование и т.п.). Очевидно, что каждая линия, имея нечто общее с другими линиями, в большей мере обладает собственными особенностями, которые должны быть вскрыты учителем неоднократно. Что еще включено в содержание линии функции? Для ответа на этот вопрос продолжим выполнять задания, составленные в соответствии со следующими направлениями:

продолжаем осваивать контекстуальный анализ учебных материалов школьных учеб-никое математики [2];

- используя это умение, изучаем математическое содержание линии функций; опираясь на результаты осмысления этого содержания, осваиваем частную методику изучения линии функций;

- параллельно с этим знакомимся с концепциями построения некоторых школьных учебников математики.

Задание 2. Вернитесь к текстам А. Г. Мордковича, связанным с линией функций: а) найдите эти тексты; б) выпишите их номера в порядке следования развития линии и, если возможно, установите название текста.

Задание 3. Спрогнозируйте, какая информация пропущена в выделенной последовательности. Попробуйте ее детализировать и сформулировать название пропущенных элементов информации. Только выполнив это задание, используйте материалы учебника для уточнения результатов своих прогнозов.

В описании ответов для студентов достаточно полно приводим эту информацию.

Задание 4. Спрогнозируйте, какая информация линии функций продолжает последовательность выявленного математического содержания, а) включая изучение квадратичной функции, б) завершая изучение функций в 8 классе. Попробуйте ее детализировать и сформулировать название элементов информации. Только выполнив это задание, используйте материалы учебника для уточнения результатов своих прогнозов.

Задание 5. Выделите основные математические понятия линии функций: а) сначала опираясь на интуицию и полученную информацию из текстов учебника; б) затем, используя материалы учебника по курсу ТМОМ.

Определение понятия «функция», свойства функций необходимо сформировать у учащихся при изучении алгебраического материала. Это одна из составляющих линии функций - содержание изучаемого математического материала, которое имеет богатое иллюстративное, методологическое и прикладное значение.

Вы теперь представляете и содержание части линии функций, и как анализировать тексты учебника.

Следующее задание предполагает соединение этих двух видов деятельности в один процесс. Но полноценно это соединение произойдет не сразу и не сейчас, а позже - когда анализ текстов, содержание линии и соответствующая частная методика сольются для вас в единое целое. Поможем этому произойти быстрее - и проведем анализ текстов, заполняя соответствующие таблицы указанным образом.

Задания 6 - 12 направлены на детальное изучение реализации сегментов линии функций в текстах данного учебника. Детализация поможет студентам осмыслить в дальнейшем психологические этапы формирования понятий - образ восприятия, представление, предпонятие и понятие (ознакомительные задания 6 - 8, рефлексивно-обобщающие 9 - 12).

Задание 6. Прочитайте параграф 26 учебника алгебры и попробуйте понять, как она заполнена.

Задание 7. Дополните таблицу (таблица не приводится): вместо знака «?» вставьте нужные термины, слова или выражения.

Задание 8. Ознакомьтесь с другим вариантом представления результатов контекстуального анализа параграфа 29 учебника алгебры.

Задание 9. Заполните пропуски в таблице (таблица не приводится) (вместо «?» вставьте нужные термины, слова или выражения), анализируя описание другой функции в том же учебнике. Анализируя, сравнивайте особенности описаний параграфа 29 (7 класс) и главы 7 (7 класс). Они изменяются! Как они изменяются? Обозначение «пр» - «пропедевтика» или «подготовка к». Два «+» в одной ячейке говорит о нескольких особенностях, которые следует заметить.

Задание 10. Заметили ли вы особенности и закономерности развития линии функций? Выделите сходные особенности в изучении разных видов функций.

Ответ. Следует выделить некоторые особенности: общие понятия линии функций, виды функций, общие преобразования и приемы применения общих и частных свойств функций; переход от простых функций к более сложным; преобладание проявления общих свойств; индуктивное введение свойств функций; выделение двух направлений в работе с графиками функций и их свойствами: построение графика по точкам - изучение по нему свойств, переход от графика к свойствам и от свойств к алгоритмам построения графика; контексты более развернуты в начале изучения нового материала, в подобных по структуре параграфах - контексты свернуты.

Задание 11. Вы проанализировали текстовые материалы, связанные с линейной, частными видами квадратичных функций и получили некоторое представление о содержании линии функций. К результатам вашего анализа добавьте результаты анализа текста 38. После чего заполните таблицу (таблица не приводится).

Задание 12. Изучите содержание частно-методической линии функций по учебному пособию курса ТМОМ, касающееся содержательно-методической его части.

Учитывая, во-первых, что студенты имеют представление о содержании линии функций на уровне контекстуального анализа [2] соответствующих учебных материалов текстов параграфов и, во-вторых, положительные результаты выполнения задания 12, можно сделать предположение, что дальнейшая работа с текстами школьного учебника совершенно необязательна. Однако считаем необходимым изучение линии функций в ее представлении не через сегмент линии в школьных учебниках, а через анализ всей последовательности материала за курс девятилетней школы. Для реализации этой цели предназначены следующие задания.

Задания 13 - 15 направлены на ознакомление с линией функций в крупном блоке с опорой на тексты школьного учебника за курс девятилетней школы.

Задание 13. В таблице 1 представлено развитие таких общих понятий линии функций, как «область определения» и «монотонность функции».

Таблица 1

Развитие общих понятий линии функций

в учебниках А Г. Мордковича

Основные элементарные функции Психологические этапы формирования общих понятий линии функций Хронология изучения основных элементарных функций

Область определения Монотонность

ОВ Пр Пред Понят ОВ Пр Пред Понят

# Пропедевтический уровень 1 этап нач. школа

# 2 этап 5-6 класс

у — кх + Ь # * Базовый уровень 7 класс

у = х2 * #

у = кхг + * 8 класс

* #

у = ах2 + + с *

Ч II #

у = хп + + 9 класс

Обозначения:

# - неявная представленность этапа формирования понятия, его прообраза, термина понятия

и т. п.;

* - явная представленность этапа формирования понятия (по крайней мере, его термина и прообраза), выраженная в свернутом виде;

+ - явная и развернутая представленность этапа формирования понятия.

Исследуйте развитие других общих понятий линии функций по следующему плану: а) осмыслите содержание данного понятия в каждом параграфе школьного учебника в соответствие с психологическими этапами формирования понятия; б) найдите в текстах учебника прообразы терминов и значений данного понятия; в) установите степень их развернутости или свернутости по отношению друг к другу; г) кратко опишите устно или письменно развитие данного понятия от «образа восприятия» до «собственно понятия»; д) попробуйте установить, на реализацию какого из принципов авторской концепции направлены описания тех или иных этапов формирования данного понятия; все ли этапы напрямую связаны с реализацией авторской концепции; е) предложите варианты методической обработки соответствующих учебных материалов для каждого этапа формирования понятия; влияет ли предшествующая методическая обработка на последующую.

Задания 14 - 15 направлены на установление взаимосвязи психологических этапов формирования общих понятий линии функций с методическими этапами ее прохождения.

Задание 14. Ответьте на вопрос: индуктивное или дедуктивное развитие проходят общие понятия линии функций в описаниях А. Г. Мордковича? Аргументируйте свой ответ.

Задание 15. Ниже приведены две схемы развития линии функций, соответствующие индуктивному и дедуктивному подходам. Определите, какой из них индуктивный, ответ аргументируйте. Соотнесите схему (какую? - 1 или 2) с развитием линии функций по учебнику А. Г. Мордковича.

Схема 1.

1. Циклическое изучение общих свойств линии функций через последовательное изучение конкретных функций.

2. Циклическое изучение моделей свойств некоторых основных элементарных функций, осуществляемое параллельно с пунктом 1.

3. Понятие функции и общие свойства линии функций - их определения.

4. Изучение некоторых конкретных основных элементарных функций.

5. Начала математического анализа.

6. Изучение некоторых конкретных основных элементарных функций (продолжение) в измененном уменьшенном масштабе восприятия [6].

Схема 2.

1. Понятие функции - определение.

2. Общие свойства линии функций.

3. Некоторые основные элементарные функции и их свойства. Модели функций.

4. Систематизация знаний в условиях обобщающего повторения.

5. Функциональные модели различных ситуаций и объектов.

6. Начала математического анализа (изменение масштаба восприятия).

Ответьте на следующие вопросы. О каком уменьшении масштаба восприятия идет речь? Можно ли, основываясь на этих схемах, разработать «обогащенные» или «упрощенные» схемы развития линии функций? Попробуйте это сделать, ответив на вопросы: зачем и для кого?

Задания 16 - 18 (рефлексивно-обобщающие) направлены на осмысление взаимосвязи между формированием общефункциональных понятий и изучением конкретной отдельно взятой функции в целом.

Задание 16. Изучение, каких функций является значимым для развития общих понятий линии функций? Изучение, каких функций значимо для понимания и применения новой математической модели? Ответив на эти вопросы, вы, прежде всего, установите приоритетный контекст (учебно-математический) или определите контекстуальную модель соответствующего параграфа в учебнике.

Задание 17. Для каждой конкретной функции (7, 8 классы) постройте контекстуальную модель ее изучения: «что» (математика), «зачем и как» (методика); каков уровень научной строгости (математика), каким образом может быть представлен (методика).

Задание 18. Найдите «парные» умения, которым должен научить учитель школьников в процессе изучения функций. Можно ли говорить о «парных» знаниях? Содержится ли упоминание о них в авторских принципах?

III. Взаимосвязи между описанием методических разъяснений в учебных пособиях по ТМОМ и авторской концепцией построения учебника (между частной методикой и авторской концепцией).

Студенты выявляют приоритеты теоретического, задачного материала и использованных в учебнике математических методов по отношению к заданной автором концепции. Раскрыть данную взаимосвязь целесообразно и удобно в ходе систематизации методических знаний студентов, связанных с линией функций или в процессе подведения итогов.

IV. Взаимосвязи между авторской концепцией построения учебника и образовательными парадигмами.

Данную взаимосвязь целесообразно раскрывать через выполнение студентами курсовых работ, рефератов и выпускных квалификационных работ, в которых обобщение взаимосвязей может быть реализовано «вкруговую» - по всем указанным видам взаимосвязям в соответствии с заранее поставленной целью исследования.

Выводы.

1. Данная статья посвящена описанию методики раскрытия взаимосвязей: между авторской концепцией создания учебника и авторским текстом, между авторским текстом и частной методикой, между частной методикой и авторской концепцией, между авторской концепцией построения учебника и образовательными парадигмами. Ключевой взаимосвязью, на осмысление которой направлено описанное обучение частным методикам, является взаимосвязь между авторским текстом и частной методикой.

2. Реализовать ключевую взаимосвязь - это значит раскрыть содержание концептуально-практической составляющей, постепенно включая в изучение содержания историко-методоло-гической и содержательно-методической составляющих частно-методической линии, а для этого целесообразно: 1) выявить общие для частной методики математические понятия, преобразования или действия; 2) определить основные объекты частно-методической линии и выявить уровень строгости описания общих для линии математических понятий, преобразований или действий; 3) установить их применение в рамках линии и использование в других частно-методических линиях; 4) осмыслить развитие общих для частно-методических линий понятий (преобразований, применений в рамках линии и использований в других линиях) в динамике движения от одного основного объекта линии к другому.

3. Осмысление ключевой взаимосвязи направлено на перспективное и ближайшее пополнение субъектного опыта студентов [3; 4; 5] различными целостными образами методических объектов [1, 21-70], представленными в школьных учебниках как концентрированно, так и рассредото-ченно (образ восприятия, представление, предпонятие и понятие формируются в разных темах и классах). Основным средством их осмысления являются и положения общей методики математики, и средства распознавания контекстов текстов школьных учебников, и субъектного опыта студента, пополненного личностно значимыми методическими знаниями и умениями. Осмысление

целесообразно начинать организовывать локально на целостном сегменте частной методики по школьному учебнику.

4. Локальное пополнение субъектного опыта студента личностно значимыми частно-методическими знаниями и умениями определяется: 1) качеством формирования умения целенаправленно читать текст школьного учебника математики (осмысленно, многократно и целенаправленно, извлекая полезную разноплановую методическую информацию); 2) сформированно-стью умения взаимосвязанного проведения логико-математического, контекстуального и логико-дидактического анализов в соответствие с поставленными целями осмысления учебного математического текста школьного учебника.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Макарченко, М. Г. Контекстное обучение будущих учителей математики : проблемы, контексты, модель, методики : монография / М. Г. Макарченко. - LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2011.

2. Макарченко, М. Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного университета имени А. И. Герцена. - 2008.- №11(71). Общественные и гуманитарные науки (философия, языкознание, литературоведение, культурология, экономика, право, история, социология, педагогика, психология). - С. 268 - 275.

3. Макарченко, М. Г. Субъектный опыт будущего учителя математики : мысленный образ учебного процесса «Изучение теоремы и ее доказательства» / М. Г. Макарченко, Н. Е. Ляхова // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2007. - № 1. Естественные науки.

4. Макарченко, М. Г. Субъектный опыт будущих учителей математики: результаты наблюдений // Тенденции и проблемы развития математического образования : научно-практ. сб. - Вып. 4. - Армавир: РИЦ АГПУ, 2007.

5. Макарченко, М. Г. Субъектный опыт будущего учителя математики: трудности в восприятии теорем и доказательств // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2007. -№ 1. Естественные науки.

6. Макарченко, М. Г. Формирование образов методических объектов как элементов профессионального контекста будущего учителя математики // Известия РГПУ им. А. И. Герцена. - 2008. - № 10 (64).

7. Мордкович, А. Г. Алгебра : 7 кл. : в 2 ч. / А. Г. Мордкович. - 8-е изд.- М.: Мнемозина, 2005. - Ч. 1.

8. Мордкович, А. Г. Алгебра : 8 кл. : учебник : в 2 ч. / А. Г. Мордкович. - 7-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - Ч. 1.

9. Мордкович, А. Г. Алгебра : 9 кл. : в 2 ч. / А. Г. Мордкович. - 7-е изд., перераб. - М.: Мнемозина, 2005. - Ч. 1

10. Подходова, Н. С. Теоретические основы построения курса геометрии 1 - 6 кл. : дис... док. пед. наук : 13.00.02 / Подходова Наталья Семеновна. - СПб., 1999.

11. Методика и технология обучения математике : учеб. пособие / под науч. ред. В. В. Орлова. - М.: Дрофа, 2005.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

Е. А. Корнилова

ФРАГМЕНТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕТОДИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ОПРЕДЕЛЕНИЕ» В КУРСЕ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ1

Аннотация. Представленный набор методических заданий таков, что теоретические сведения приводятся в минимальном объеме, все практические задания логически взаимосвязаны и подтверждены цитатами из авторитетных источников. Значительное внимание уделяется субъектному опыту студента.

Ключевые слова: методические задания, самостоятельная работа, структура заданий, определение математических понятий.

E. A. Kornilova

FRAGMENTOFSEQUENCEOFMETODICALTASKSFOR INDEPENDENT STUDYING

OF CONCEPT «DEFINITION» IN THE COURSE OF THE TECHNIQUE OF TRAINING TOTHEMATHEMATIC

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» по проекту N° 6.2058.2011, тема: «Обучающие системы методико-математических заданий как средство моделирования самостоятельной работы студентов в процессе их методической подготовки», научный руководитель М. Г. Макарченко.