Электродинамический расчет ферромагнитного резонанса в магнитных композитных наноматериалах на основе решеток ферромагнитных наносфер

УДК 537.874.6

Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ФЕРРОМАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА В МАГНИТНЫХ КОМПОЗИТНЫХ НАНОМАТЕРИАЛАХ НА ОСНОВЕ РЕШЕТОК ФЕРРОМАГНИТНЫХ НАНОСФЕР1

Аннотация. Рассчитана зависимость действительных и мнимых частей компонент тензора эффективной магнитной проницаемости наноструктурированной гиромагнитной среды на основе периодической решетки ферромагнитных (железо) наносфер от постоянного поля намагничивания на частоте f = 9,375 ГГц. Проведено сравнение вычисленной частоты и ширины линии ферромагнитного резонанса в наноструктурированной среде на основе магнитной нанорешетки (магнитном наноматериале) и частоты ферромагнитного резонанса в сплошной гиромагнитной среде.

Ключевые слова: тензор магнитной проницаемости, наноструктурированная среда, периодическая решетка, ферромагнитные наносферы, поле намагничивания.

Abstract. The real and imaginary parts of effective permeability tensor components of the nanostructured gyromagnetic medium based on a 3D periodic array of ferromagnetic (iron) nanospheres were calculated depending on the bias magnetic field at frequency f = 9,375 GHz. The comparison of the calculated frequency and width of line of ferromagnetic resonance in the nanostructured medium based on the magnetic nanoarray (the magnetic nanomaterial) and ones in the continuum gyro-magnetic medium was done.

Keywords: permeability tensor, nanostructured medium, periodic array, ferromagnetic nanospheres, bias magnetic field.

Введение

Ферриты, широко используемые в устройствах СВЧ, обладают достаточно малой магнитной проницаемостью, низким магнитным моментом и относительно высокими потерями для их продвижения в миллиметровый и терагерцовый диапазоны. Новой тенденцией развития техники СВЧ, КВЧ и ИК диапазонов является применение магнитных композитных наноматериалов на основе решеток ферромагнитных металлических наночастиц в немагнитной диэлектрической матрице. В этой связи актуальной является задача электродинамического расчета размерно-зависимых электромагнитных свойств и параметров магнитных наноматериалов в зависимости от геометрии магнитных элементов (сферы, эллипсоиды, цилиндры, диски, параллелепипеды), а также размеров и расстояний между магнитными наночастицами при их сокращении до длины обменного взаимодействия.

1 Математическая модель

Математическая модель магнитных явлений в системах ферромагнитных наночастиц базируется на уравнении движения намагниченности в ферромагнетике в форме Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [1]:

1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503.

= () хЙэф (ґ)) + юг ( И (ґ)_М (ґ));

Й эф (ґ)=і/ (ґ) + Й 9 (ґ);

Й д (ґ) = д V 2М (ґ),

совместно с уравнениями Максвелла:

Ю Й (ґ) = є0 ^ +о Е(ґ);

В(ґ) = М (ґ) + Д о Й (ґ),

где Е), Н ) - векторы напряженности электрического и магнитного полей;

Нэф (^) - суммарное эффективное поле, включающее Нц (^) - поле

обменного взаимодействия; V - оператор Лапласа; е - относительная диэлектрическая проницаемость среды; а - электропроводность среды; ео, ^0 - электрическая и магнитная постоянные; у - гиромагнитное отношение; юг - частота релаксации; %0 - статическая восприимчивость; ц - константа обменного взаимодействия.

Система уравнений Максвелла (2) совместно с уравнением Ландау-Лифшица (1) с учетом обменного взаимодействия дополняется электродинамическими граничными условиями и условиями неасимптотического излучения.

В работе [2] разработана математическая модель распространения электромагнитных волн в гиромагнитных наноструктурированных средах, базирующаяся на решении краевой задачи для уравнений Максвелла (2) совместно с уравнением движения намагниченности в форме Ландау-Лифшица (1) с учетом поля обменного взаимодействия. Краевая задача решена на основе декомпозиционного подхода с использованием в качестве базового элемента автономного блока (АБ) в виде прямоугольного параллелепипеда с магнитными нановключениями и каналами Флоке [3].

В работе [2] показано, что наноструктурированная среда на основе периодической решетки ферромагнитных металлических наночастиц в немагнитной диэлектрической матрице (рис. 1) ведет себя как гиромагнитная среда с тензором эффективной магнитной проницаемости

М(ґ) - вектор намагниченности среды; В(ґ) - вектор магнитной индукции;

( 2  2 п

Д _ 7Да 0

- 2  2 2 п

д = /да д 0

ч о о Д2

У

и относительной эффективной диэлектрической проницаемостью £ , при

г

плотности упаковки ячейки периодической нанорешетки — < 0,2 (расстоянии

а

между наносферами й > 5г), где г - радиус наносфер (г = 150 нм), а - период решетки. На основе разработанной методики [2] были рассчитаны значения

- Е

компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости д и эффек-

Е

тивной диэлектрической проницаемости £ из уравнений для постоянных

распространения продольных и поперечных волн в трехмерной периодической решетке ферромагнитных наносфер. При этом постоянные распространения были получены из решения краевой электродинамической задачи без упрощения уравнений и граничных условий.

Г7

а

_Л_

. *-------

' А/А 1/1

’ —I-— I--^—

иад?!*.

! V'-'

\0\ 10*

I

'1 I.

I \/"' I I .

I ~Л-------|"у*-------\-yf~-

-------Т[------------------4

'Т л

*3 / 1 а* *

а)

б)

в)

Рис. 1 Модель наноструктурированной гиромагнитной среды на основе решетки магнитных наночастиц: а - направление распространения волнового процесса ^;

б - трехмерная периодическая решетка ферромагнитных наносфер; в - моделирование ячейки АБ с каналами Флоке

Однако вычислительный алгоритм решения краевой задачи для уравнений Максвелла (2) совместно с Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия (1) достаточно сложный [3], поэтому возможны ошибки на этапах разработки и создания алгоритма. Определенные гарантии достоверности результатов математического моделирования может дать лишь тестовая задача, имеющая аналитическое решение. Сформулируем такую задачу и решим ее.

2 Ферромагнитный резонанс в сплошной гиромагнитной среде и решетке ферромагнитных металлических наносфер. Тестовая задача

Рассмотрим свободную прецессию намагниченности в неограниченной гиромагнитной среде, исходя из уравнения движения намагниченности (1). Рассматривая вынужденную прецессию с учетом потерь, получим из (1), если пренебречь малыми величинами второго порядка, следующую систему уравнений:

(/ю + юг )МХ + юНМу = уМо Ну + юг %0 Нх,

Ь

-юн—х + (ію + юг )Му = -у—0 Нх + юг хо Ну,

М о

где у - гиромагнитное отношение; Хо =---- - статическая магнитная вос-

Но

приимчивость; юг =ауНо - частота релаксации; ю>н =уН о - частота ферромагнитного резонанса. Собственная частота прецессии намагниченности является комплексной и равна Юо = Юн + іюг .

Решая систему линейных алгебраических уравнений (4), определяем компоненты тензора магнитной восприимчивости [1]:

Ю2Г + іююг

х = хо 2 г 2------—;

югг - ю + і2юю--ююн

ха=хо^—--------------------------------------;

ю-г -ю + і 2юю--

Хz = Хо:——,

/ю + юг

7 2 2

Юн + юг - резонансная частота.

Разделяя вещественные и мнимые части (5), (6) и (7), получаем:

2/2 2ч,т22 / 2 , 2ч

, „ ю-г

Х = Х-/Х =Хо --2 -/Хо 9 -- 2 2-----------ГГ;

(ю2- - ю2)2 + 4ю2ю2 (ю2- - ю2)2 + 4ю2ю2

, „ ююн (ю2 -ю2) 2ю2ю-юн

Х«=Х«-/Ха = Хо 2 12 2----------ГГ-22 2 2 2;

(ю-г - ю ) + 4гю- (ю-г - ю ) + 4гю-

2

/ . » юг ю юг

Хz =Хz -iХz =Хо 2 - 2 -/Хо^і—-2 .

ю + юг ю + юг

Компоненты тензора магнитной проницаемости д определяются следующим образом:

д = д' - ід = (1 + 4ях) - і(4ях"),

да=да- іда=(4яха) - і(4яха),

Дz =д,z -д =

Результаты расчетов компонентов тензора магнитной проницаемости д по формулам (11) хорошо согласуются с результатами эксперимента [1] при намагничивании ферромагнитного материала до насыщения. Компоненты тензора д в (11) зависят от величины Хо = —° (статическая магнитная

н о

восприимчивость). Провести сравнение значений компонентов тензора магнитной проницаемости д сплошной ферромагнитной среды, рассчитанных по формулам (11), с вычисленными при помощи разработанного алгоритма значениями компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

- Е

д наноструктурированной гиромагнитной среды затруднительно, т.к. вычислительный алгоритм не позволяет проводить расчеты эффективной стати-

Е

ческой восприимчивости %о для магнитного наноматериала.

Поэтому сравнение результатов вычислений при помощи разработанного алгоритма с аналитическими расчетами по известным формулам проведем по совпадению частот ферромагнитного резонанса в сплошной гиромагнитной среде и наноструктурированной среде (магнитном наноматериале), что не требует знания численного значения эффективной статической магЕ

нитной восприимчивости Хо .

Такое сравнение возможно лишь для случая наноструктурированной среды на основе решетки магнитных наносфер, т.к. только в этом случае сферической геометрии наночастиц собственная частота однородного типа колебаний намагниченности ферритовой сферы [1]

ю0 = уН о,

н = УН о

в неограниченной ферромагнитной среде [1].

3 Результаты математического моделирования явления ферромагнитного резонанса в решетке ферромагнитных металлических наносфер

На графике (рис. 2) показана рассчитанная зависимость действительных и мнимых частей компоненты дЕ тензора эффективной магнитной проницаемости д наноструктурированной среды на основе решетки ферромагнитных (железо) наносфер (рис. 1) (г/а = 2) от постоянного поля намагничивания Но на частоте / = 9,375 ГГц.

Постоянные распространения электромагнитных волн, распространяющихся в трехмерной периодической решетке (ах = Оу = 9о°; а2 = о ;

а = Ь = с , рис. 1) ферромагнитных наносфер, рассчитаны при помощи разработанного вычислительного алгоритма методом АБ с магнитными нановключениями и каналами Флоке.

Электродинамический расчет проведен при следующих параметрах магнитного наноматериала: ферромагнитные металлические наносферы радиусом г = 15о нм (материал наночастиц - железо, константа обменного взаимодействия Дод = 2,2-Ю 9 Э• см2; проводимость а = 1,о3-Ю5 Ом 1 -см 1; параметр диссипации юг = о,оо23уНо, а = о,оо23 [1]; намагниченность насы-

щения 4яМо = 21580 Гс) находятся в немагнитной матрице - диэлектрической среде с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями £у = 2,25, Ду = 1.

200

140

80

20

-40

-100

1

V4-

3320 3330 3340 3350 3360

Яо.Э

Рис. 2 Ферромагнитный резонанс в наноструктурированной гиромагнитной среде на основе решетки ферромагнитных (железо) наносфер: кривая 1 - действительная

у у

часть д ; кривая 2 - мнимая часть д ; г

150 нм; - = 0,2; / = 9,375ГГц а

На графике (рис. 3) показана теоретическая зависимость (параметры феррита взяты из эксперимента) [1] действительных и мнимых частей компоненты д тензора магнитной проницаемости д сплошной ферромагнитной среды (намагниченность насыщения Мо = 160 Гс, магнитные потери а = 0,025 [1], для Н0 = 3330 Э на частоте / = 9,375 ГГц) от постоянного поля намагничивания Н0.

Из графиков на рис. 2 и 3 следует, что совпадение частот ферромагнитного резонанса наблюдается при постоянном поле намагничивания Н0 = 3330 Э . Ход кривых на графиках (рис. 2, 3) качественно совпадает, хотя

„у численные значения действительных и мнимых частей компонентов д и д различны.

На частоте ферромагнитного резонанса действительные и мнимые части компонентов тензора магнитной проницаемости д из (11) равны [1]:

( ю > д = д'-/д' = (1 + 2ях0)-і 2к%0—пг ю

г

( ю ^

д«=д^-гК =0-і 2яХ0—Н ю

г

Рис. 3 Ферромагнитный резонанс в сплошной ферромагнитной среде [1]: кривая 1 - действительная часть д ; кривая 2 - мнимая часть д ;

М0 = 160 Гс ; / = 9,375 ГГц; юг = 3-109

Используя формулы (12) и вычисленные значения действительных и мнимых частей компонентов тензора эффективной магнитной проницаемости

- Е

Д (3) (рис. 2), можно сделать оценку ширины кривой ферромагнитного резонанса, определяющей магнитные потери магнитного наноматериала и эффективную намагниченность магнитной нанорешетки.

Из электродинамического расчета, результаты которого представлены на рис. 2, следует, что наноструктурированная гиромагнитная среда имеет более узкую ширину кривой ферромагнитного резонанса, чем сплошная ферромагнитная среда (рис. 3).

Неоднородное магнитное поле в магнитной нанорешетке (эффективная

Е

намагниченность магнитной нанорешетки М0 = 1709 Гс) имеет величину порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика (намагниченность насыщения 4яМ0 = 21580 Гс) и масштаб изменения, определяемый периодом решетки а.

Узкая ширина кривой ферромагнитного резонанса (малые магнитные потери) и большие значения напряженности магнитного поля в нанорешетке (порядка магнитного момента насыщения ферромагнетика) позволяют в перспективе создавать на основе таких магнитных наноматериалов параметрические усилители и генераторы с низким уровнем мощности накачки.

Как следует из результатов математического моделирования, магнитное поле наночастиц можно перестраивать путем перемагничивания всей решетки или отдельных ее частей внешним магнитным полем Н0 . Это свойство решеток ферромагнитных наночастиц открывает новые возможности для управления свойствами сред, высокочувствительных к магнитному полю, и создавать магнитные фотонные кристаллы и устройства на их основе в микроволновом и терагерцовом диапазонах.

Список литературы

1. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. -М. : Наука, 1994.

2. Голованов, О. А. Математическое моделирование и электродинамический расчет эффективных параметров магнитных наноматериалов / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2008. - № 4. - С. 80-85.

3. Голованов О. А. Вычислительный алгоритм определения дескрипторов автономных блоков с магнитными нановключениями и каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 2 (10). - C. 91-101.

4. Макеева, Г. С. Анализ распространения и дифракции электромагнитных волн в микроволновых магнитных наноструктурах / Г. С. Макеева, О. А. Голованов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 1. - С. 110-121.

5. Pardavi-Horvath, M. Nonlinear Phenomena in Magnetic Nanoparticle Systems at Microwave Frequencies / M. Pardavi-Horvath. G. S. Makeeva, O. A. Golovanov // IEEE Transaction on Magnetics. - 2008. - V. 44. - № 10. - Oct.

Макеева Галина Степановна

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и начертательной геометрии, Пензенский артиллерийский инженерный институт им. Н. Н. Воронова

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Савченкова Мира Викторовна

инженер, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

E-mail: mira1965@mail.ru

Makeeva Galina Stepanovna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and descriptive geometry, Penza Artillery and Military Engineering Institute named after N. N. Voronov

Savchenkova Mira Viktorovna

Engineer, Penza State University of Architecture and Construction

УДК 537.874.6 Макеева, Г. С.

Электродинамический расчет ферромагнитного резонанса в магнитных композитных наноматериалах на основе решеток ферромагнитных наносфер / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, М. В. Савченкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 102-109.