Лекция - важнейший элемент образовательного процесса

класс), что соответствует специфике историко-литературного курса и особенностям литературного развития учеников.

1 урок. «Литература русского зарубежья как культурно-эстетический феномен».

Урок - интегрированная лекция, проведенный при участии учителей литературы, истории, музыки, ИЗО.

2 урок: «Родиться русским, им остаться». «Русская идея» как идеология русского зарубежья. Урок-семинар, проведенный при участии учителей литературы и истории.

3 урок: «Пушкин в художественном сознании писателей и публицистов русского зарубежья». Урок - читательская конференция, проведенная при участии учителя литературы и работников библиотеки.

4 урок: «Русская идея в автобиографической прозе русского зарубежья». Урок-семинар по автобиографическим произведений Шмелева, Зайцева и Бунина.

5 урок: «Художественное осмысление русского национального характера в автобиографических произведениях Шмелева «Богомолье», «Лето Господне». Урок

анализа текста.

6 урок: «Россия, которую мы потеряли». Урок - литературно-музыкальная композиция, в подготовке которого принимали участие учителя литературы, истории, музыки, ИЗО.

Отдельные уроки из указанных выше были проведены нами в 11 классах школ №20 и 36 в 2003-2005 гг, что отразилось на тематическом диапазоне школьных выпускных сочинений, материалом которых традиционно избираются хрестоматийные произведения русской классики. В 2005 г. сочинение Елены Татариновой, ученицы школы №36, посвященное творчеству Шмелева, было оценено на «отлично» и подтвердило высокий уровень литературной компетентности и хорошее владение навыками филологического анализа текста золотой медалистки школы. Но даже в том случае, если учащиеся не обращались к произведениям писателей русского зарубежья в своих выпускных работах, на данных уроках они получили возможность приобщиться к истинным духовным ценностям бытия, значимым для русской национальной культуры и ментальности.

Библиографический список

1. Агеносов В.В., Архангельский В.Н. Русская литература 19-20 веков. Программа для общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2002.

2. Бурсов Б. Национальное своеобразие русской литературы. Л., 1967.

3. Катасонов В.Н. Тема чести и милосердия в повести Пушкина «Капитанская дочка» // Литература в школе. 1991. №6.

4. Кожинов В. Заветы классики //Литература в школе. 1991. №3.

5. Мурин Д.Н. О преподавании литературы в 5-11 классах // Литература в школе. 1991. №3.

6. Программно-методические материалы. Литература. 5-11 классы. М.: Дрофа, 2004.

7. Шадриков В. Д. Философия образования и образовательные политики. М., 1993.

В.Ф. Чаплыгин

Лекция - важнейший элемент образовательного процесса

Автору этих строк посчастливилось Ефимова, В. А. Ильина, А.Н. Колмогорова, слушать лекции выдающихся математиков В.М. Тихомирова, Г.Е. Шилова и др. Крои замечательных педагогов В.И. Арноль- ме того, будучи деканом математического да, В.Г. Болтянского, Б.В. Гнеденко, Н.В. факультета и заведующим кафедрой Яро-

славского университета, он посетил десятки лекций профессоров и доцентов. Приобретенный личный опыт и литературные источники позволяют высказать ряд суждений о лекции как о важнейшей форме обучения. Как известно, само слово «лекция» происходит от латинского lectio, что означает - чтение. Ниже пойдет речь о чтении учебных лекций по математическим дисциплинам.

Манера, стиль изложения, методические приемы могут быть самыми разнообразными. Можно излагать лекционный курс академично, в строгой последовательности, без отвлечений в смежные разделы, предполагая, что слушателям знакомо все, на что опирается лектор, можно ограничиться минимальным количеством примеров (иные лекторы и вовсе обходятся без них). При этом не используются интуитивные и наглядные соображения и аналогии, и все это делается в исключительно сухой педантичной манере. Такой стиль чтения лекций называют «классическим», а самих лекторов «классиками». Именно в таком духе пишутся многие монографии и, зачастую, даже учебники, что, на наш взгляд, не свидетельствует об уважении и внимании к читателю и затрудняет восприятие материала.

Существует и другой тип лекторов, которых называют «романтиками». Такую терминологию использует, в частности, П. С. Александров. В своих воспоминаниях он относит к «классикам» Д.Ф. Егорова и А.Я. Хинчина, а самым ярким из «романтиков» называет Н.Н. Лузина. По словам П. С. Александрова, он не придерживался заранее определенной формы изложения. Глубоко владея материалом, он позволял себе импровизировать. Лектор не только знал аудиторию, но и чувствовал ее, достигал полного контакта с ней, чутко воспринимал ее настроение, реакцию, добивался замечательного взаимодействия со слушателями, которые соприкасались с работой его математической мысли, вовлекались в творческий процесс. Еще одним выразительным примером является

Ф. Клейн (классик) и Д. Гильберт (романтик).

Каждая лекция прежде всего должна удовлетворять следующим необходимым требованиям: быть интересной, понятной и полезной. Дело в том, что, читая лекцию, мы не только сообщаем содержание математических понятий, строим некую доказательную схему, но и адресуем ее конкретной аудитории, обладающей определенным уровнем подготовки, где каждый слушатель индивидуален и именно ему адресуется, преподносится тот или иной теоретический материал. Лектор обязан чувствовать, как его понимают, выделять главное в лекции, останавливаться на тех моментах, которые, как правило, вызывают затруднения в усвоении, поскольку при чтении учебника студент лишен этих возможностей. Основная задача лектора состоит не в том, чтобы сообщить некоторый объем информации, а помочь студенту понять суть излагаемого, направить его мысль в нужную сторону, научить его.

Большим злом является формализм знаний, к которому приводит формализм в преподавании. А.Я. Хинчин писал: «Для всех проявлений формализма характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта». И далее он поясняет, что внешнее выражение «является случайным, одним из обширного множества равноправных между собой внешних выражений» и, следовательно, ему нельзя подчинить стоящий за ним содержательный факт. Поэтому чрезвычайно важно вводить новое понятие, не формально его определяя, а предварительно сформировать с помощью примеров так называемое предпонятие, выяснить его содержательную суть. Это нетрудно сделать с помощью специально подобранных примеров. Так, перед тем, как дать определение предела функции в точке, полезно рассмотреть примеры конкретных функций и их

поведение при стремлении аргумента к определенному числу:

ф(х)= 2 y(x)= 2

- О (x-1)2

1

x—1

X(x)= sin

x — 1

x(x)=(x-1)2, , ч \(x — 1)2, если x ^ 1,

a(x)=h 7 i [1, если x = 1.

Необходимо отметить, что при стремлении х к 1 функции ф^), t(x) и a(x) становятся сколь угодно близкими к нулю, а для функций fx), y(x) и x(x) такого числа, к которому они бы приближались, не существует. После этих примеров можно дать определение предела функции в точке по Коши и по Гейне, поработать с ними и вернуться вновь к примерам, проиллюстрировать определения графически. Можно предложить студентам привести свои примеры. Важно доказать при этом эквивалентность данных выше двух различных определений, показав тем самым, что они выделяют один и тот же класс функций, т. е. определяют один и тот же объект. Самое же главное состоит в том, чтобы довести до сознания студентов суть понятия, а именно, наличие предельного соотношения lim f (x) = l означает, что

можно получать значения функции fx) сколь угодно близкие к числу l за счет приближения аргумента х к числу а. В случае непрерывной функции мы получаем возможность оценить точность приближения fx) к fx0) в зависимости от точности измерения х.

На наш взгляд, подходить ко многим понятиям математического анализа лучше от конкретных физических или геометрических задач. Так, при введении понятия производной функции в точке традиционно используются задачи о касательной к графику функции, о мгновенной скорости материальной точки. При введении поня-

тия определенного интеграла можно использовать задачи о площади криволинейной трапеции и пути, пройденном материальной точкой при известной мгновенной скорости. К понятию двойного интеграла можно подойти, рассматривая задачу об объеме или массе цилиндрического тела и т. д. Подчеркнем, что речь идет лишь о подходе к определению, но не о подмене понятия. Само понятие, его определение должно даваться математически абсолютно строго. У слушателей ни в коем случае не должно создаваться мнение, что производная - это скорость, двойной интеграл -это объем тела и т. п. Такой вульгаризации допустить нельзя.

Перейдем к вопросу об изложении теорем. Большое число теорем можно «увидеть», то есть показать на примерах их справедливость. К их числу можно отнести теоремы Больцано-Коши, Вейершт-расса, Ролля, Лагранжа и др. Речь не идет о замене доказательства их геометрической иллюстрацией, а только о подходе к ним. Образность, наглядность изложения способствуют пониманию соответствующего факта и его запоминанию. Кроме того, такой подход способствует выработке интуиции, что является немаловажным обстоятельством. Очень важно помочь слушателям понять, какими являются условия теоремы. только достаточными или еще и необходимыми. Примеров таких можно привести великое множество. Задайте студентам вопросы.

- является ли дифференцируемой функция \х\а при а>1;

- может ли существовать предел суммы двух последовательностей, если ни одна из них предела не имеет, и др.

И вместе с тем, когда теорема, являясь импликацией по форме, сформулирована и доказана, необходимо очертить круг ее действия, показать на примерах важность каждого из ее условий для истинности заключения, что невыполнение какого-либо требования из условий теоремы может привести к невыполнению ее заключения. Наглядным тому примером

1

служит теорема Ролля. Не вдаваясь в подробности, можно предложить рассмотреть функции:

1) Дх)= |х|, х е[-1; 1];

2) ф(х)= |Х, если Х £ (0;1),

[0, если х = 1;

3) у(х)= х2, х е[1; 2].

Имеет смысл предупредить о необоснованных аналогиях. Бывают случаи неоправданного применения теорем Лопи-таля для функции двух переменных, теоремы Лагранжа для функций комплексного переменного и т.д. Но легко показать, что для функции_Дх)=егх, где х е[а; Ъ], теорема Лагранжа неверна. Из предположения противного приходим к равенству

sin-

b - a

b - a

2

которое истинно лишь

2

при а=Ъ.

Важную роль играют примеры, которые могут иллюстрировать правильность теоремы или опровергать ложные предположения (контрпримеры), а также помочь осознать наличие проблемы. Убедительным примером такого рода может служить понятие предела функции двух переменных в точке. Выяснить вопрос, существует ли предел или нет, является достаточно трудной задачей. Пусть fx, y)= x2 y

——Если взять y=kx, то при х^-0 X + У

функция fx, kx)^0. Однако, если взять у=х2, то fx, х2)=! для любого х ^0 и, сле-2 1

довательно, fx, х — при х^-0. Таким

образом, функция f(x, y) не имеет предела в точке (0; 0). И еще более убедительным примером является функция 9(x, y)=

e x y

+ У

m . n

стремлении х к нулю (в случае четного п считаем х>0) стремится к нулю. Однако если взять трансцендентную кривую

2 2 1 у= е х , то Дх; е х )=— и при х^-0 функ-

_ 1 2 1

ция Дх; е х —, и поэтому функция не

имеет предела в точке (0; 0).

И еще один пример. При введении понятия поточечной и равномерной сходимости функционального ряда полезно

ад

рассмотреть ряд ^ х", который сходится

п=0

для любого х е(-1; 1), а равномерная сходимость имеет место на любом отрезке [-г; г], где 0<г<1, и она отсутствует на всем интервале (-1; 1). Это легко доказать, рас-

смотрев остаток ряда rn(x)=

1 - x

при ус-

которая на любой алгебраиче-

ской кривой вида хт = ^—J , т.е. у=с х",

где т и п взаимно простые натуральные числа, а с - постоянная, отличная от 0, при

ловии, что х—>1. Аналогичная ситуация возникает при исследовании на равномерную сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Полезных контрпримеров можно привести очень большое число. Сходящаяся последовательность ограничена, верно ли обратное утверждение? Контрпримером может

служить последовательность (-1)"+^. Ес-

п

ли числовой ряд сходится, то его общий член ап—0 при п—<х>. Верно ли обратное? Обязаны ли совпадать частные производные f"xy и f"yx ? Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в ней. Можно ли утверждать обратное: непрерывность влечет дифференцируемость? Здесь примером может быть функция fx)=| sin x \, которая непрерывна на всей оси, но не имеет производной в точках хп= пп. А уж функция, непрерывная на всей оси и не имеющая производной ни в одной точке, просто поражает воображение.

Верно ли обратное для утверждения: непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем? Кстати, считаем полезным для студентов вопрос, как связаны множества функций:

n

x

2

2

x

e

n

I - интегрируемых на отрезке [а; Ь], О - ограниченных на отрезке [а; Ь], Н - непрерывных на отрезке [а; Ь]. (Н с I с О).

Немаловажным является вопрос, какому методу отдать предпочтение. индукции или дедукции, идти от простого к сложному, от частного к общему, от примеров к обобщениям или наоборот. Однозначно ответить на этот вопрос нельзя, хотя автор склоняется в пользу индуктивных подходов. Можно, например, излагать математический анализ в метрических пространствах, рассматривать теорию пределов в топологических пространствах, теорию интегрирования - в абстрактных функциональных пространствах с мерой и т. д. Но не имея базы примеров, относя-

2 3

щихся к пространствам Я, Я , Я , учащиеся вряд ли смогут неформально понять все это. Таким образом, предлагается последовательно изучать отображения /. Я—Я, Я —^Я, ..., Я"—Я, их свойства, связанные с непрерывностью, дифференцируемостью, интегрируемостью, и лишь потом переходить к обобщениям. Дело еще в том, что при другом способе изложения студент вряд ли сможет применить полученные факты к конкретным случаям в конечномерных пространствах. Автор этих строк был свидетелем того, что на втором курсе студентам сообщалась теорема о существовании обратного отображения в общем случае, которую они не узнавали в классической теореме о неявной функции. Студент, прослушавший теорию интеграла Лебега, минуя интеграл Римана, не мог вычислить длину дуги кривой или найти площадь плоской фигуры. Может быть, имеет смысл сослаться на примеры, ставшие хрестоматийными. Д.Гильберт советовал Г.Вейлю: «Начинай с простейших примеров». И он же говорил в начале цикла лекций по дифференциальным уравнениям, выписав на доске уравнения. у"=0 и у"+у=0: «Господа, на них можно изучить всю теорию и даже понять разницу в задачах с начальными или краевыми условиями».

Формы чтения лекции могут быть различными. Ее можно построить как строгий монолог, а можно - в виде диалога (в духе Сократа), конечно, не сбиваясь на сплошной диалог. Одни лекторы строго придерживаются конспекта, другие обходятся без него. Диалог позволяет вовлекать студентов в проводимые рассуждения, будить их мысль, направлять ее. Известен прием, когда лектор проводит неправильное рассуждение или провоцирует студента на неверный ответ с последующим разъяснением истинной ситуации. По ходу лекции можно задать риторический вопрос «почему?» (из А следует В) и ответить на него. Этот прием помогает студенту лучше понять содержание, не сбиться на механическое, формальное восприятие материала. Автора этих строк можно обвинить в консерватизме, ибо он считает, что живую лекцию нельзя заменить машинописным, типографским или электронным вариантом и даже видеозаписью. Непосредственное общение со слушателями, неравнодушное, заинтересованное, эмоциональное, окрашенное обращение к людям, уровень знаний которых лектор хорошо знает, не сравнится ни с каким другим видом опосредованного общения, ибо создается определенная аура, можно сказать, поле. Доброжелательность лектора, может быть иной раз шутка, короткая история дают разрядку, снимают излишнее напряжение.

Буквально два слова о практических занятиях, которые должны являться органичным продолжением лекции. Замечательно, если лектор сам может вести практические занятия хотя бы в одной группе, ведь только так он увидит плоды трудов своих. Он дополнит лекцию нужными задачами как чисто техническими, так и имеющими теоретическое содержание, лучше почувствует, на каком уровне понимания находятся студенты и, в случае необходимости, внесет в лекционный курс коррективы.

Студенту, особенно первокурснику, затруднительно выделить главное в каж-

дой лекции или теме, установить внутри-дисциплинарные и межпредметные связи. Довольно выигрышной в этом отношении является теорема, которую можно назвать теоремой о полном дифференциале. Она сама по себе представляет интерес, связывает несколько тем математического анализа, красива по доказательству, имеет применение в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории плоского потенциала. Напомним ее. При условии, что в некоторой области Б определены непрерывные функции Р(х, у) и Q(x, у), обладающие непрерывными частными дР дQ

производными —— и ——, из истинности

ду дх

каждого следующего утверждения следуют три остальные.

1). др = -^р- в любой точке области Б;

ду дх

2). Криволинейный интеграл \Рдx+Qdy по любой замкнутой гладкой кривой, лежащей целиком в области Б, равен нулю;

3). Криволинейный интеграл \Рдx+Qdy по кривой АВ зависит лишь от точек А и В, взятых в области Б, и не зависит от пути, их соединяющего;

4). Выражение Р6x+Q6iy является в области Б дифференциалом некоторой функции и(х, у) (которую обычно называют потенциальной).

Сразу понятно, что благодаря фор-

муле Грина из 1-го следует 2-е. Из 2-го, в свою очередь, используя свойства криволинейных интегралов, легко получить 3-е. Если верно 3-е, то, введя функцию и(х,

у)= | Рдx+Qdy, легко доказать, что для

нее ди = Р(х, у) и ди = Q(x, у). И, нако-

дх ду

нец, сославшись на теорему о смешанных

дР

производных, имеем равенства —— =

ду

д2и _ д2и _ дQ

=-т—. Круг замкнулся!

дудх дхду дх

Известно, как знание алгебраических фактов помогает в решении линейных дифференциальных уравнений и систем, как тесно связан математический анализ с теорией дифференциальных уравнений и т. д. И, наверное, имеет смысл, заканчивая отдельную лекцию или раздел какой-либо математической дисциплины, заметить, что те или иные факты будут использоваться либо в более поздних разделах этой дисциплины, либо в смежных. Это создает дополнительные мотивы к изучению данной дисциплины. И в заключение автор присоединяется к мнению тех, кто считает методику преподавания не наукой, а искусством, и на нее оказывает большое влияние личность преподавателя.

Библиографический список

1. Этюды о лекторах, М.. Знание, 1974.

2. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. М.. Наука, 1980.

3. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.-Л.. ОГИЗ, 1948.

4. Рид К. Гильберт. М.. Наука, 1977.

5. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.. Изд. АПН РСФСР, 1963.

6. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.. Мир, 1967.