Исследование дисперсии динамических модулей упругости простых жидкостей в зависимости от природы затухания релаксирующих потоков

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №1___________________________________

ФИЗИКА

УДК 532.7+532.133

Академик АН Республики Таджикистан С.Одинаев, Д.Акдодов , Х.Мирзоаминов

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ПРОСТЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПРИРОДЫ ЗАТУХАНИЯ РЕЛАКСИРУЮЩИХ ПОТОКОВ

Академия наук Республики Таджикистан,

Таджикский национальный университет,

Таджикский технический университет им. академика М.Осими

Исследована область частотной дисперсии динамических объемного K(а) и сдвигового /и(а) модулей упругости простых жидкостей в зависимости от природы затухания тензора напряжения в импульсном и конфигурационном пространстве. На основе полученных аналитических выражений для K(а) и /и(а>), когда потоки затухают по законам диффузии или экспоненциально, при определенном выборе межмолекулярного потенциала взаимодействия Ф(| r |) и радиальной функции распределения g(| r |), проведены численные расчеты для жидкого аргона в широком диапазоне частот, температур (86K < T < 100K ) и плотности. Показано, что область частотной дисперсии Kr (v), ju(v) на основе диффузного механизма является широкой ~ 105 Гц и соответствует вкладам структурной релаксации в упругие свойства жидкого Ar, в то время как область частотной дисперсии этих модулей, полученной на основе экспоненциального затухания соответствующих потоков, является узкой ~ 102 Гц .

Ключевые слова: трансляционная и структурная релаксация - объемный и сдвиговой модули упругости - модифицированная потенциальная энергия - радиальная функция распределения - плотность и температура.

Исследование частотной дисперсии коэффициентов переноса и модулей упругости жидкостей возможно на основе как феноменологической, так и молекулярно-кинетической теории. Феноменологическая теория описывает физические явления на основе соотношений между макроскопическими измеряемыми величинами и основана на методах термодинамики необратимых процессов. Однако она не позволяет детально изучить механизм процессов переноса. Молекулярная теория позволяет изучить механизм явления переноса и упругие свойства жидкостей, а также природу протекания релаксационных процессов в них, выводятся соотношения управляющими этими процессами, на основе изменения структуры. На основе молекулярно-кинетической теории можно получить уравнения обобщенной гидродинамики, содержащие коэффициенты переноса и модули упругости, которые

Адрес для корреспонденции: Одинаев Саидмухамад. 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. академиков Раджабовых, 10, Таджикский технический университет. E-mail: odsb@tarena.tj.Мирзоаминов Хайрулло. E-mail: мхм1969@mail.ru. Акдодов Донаёр. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: sharofat2002@mail.ru

являются функциями пространственных и временных масштабов гидродинамических величин [1]. Фурье-образ последних дает частотно-зависящие аналитические выражения коэффициентов переноса и модулей упругости.

Согласно экспериментальным исследованиям [2], область частотной дисперсии коэффициентов вязкости и поглощения, обусловленная вкладами структурной релаксации в вязких жидкостях, составляет от двух до пяти декад, когда акустические измерения дают две декады, а на основе феноменологической теории невозможно определить природу этих разностей. В работе [3] попытались на основе единой микроскопической теории исследовать область частотной дисперсии динамического коэффициента сдвиговой вязкости простых жидкостей в зависимости от природы затухания потока импульса в импульсном и конфигурационном пространстве. Показано, что область частотной дисперсии динамического коэффициента сдвиговой вязкости r¡s (ю ) на основе диффузионного механизма является широкой ~ 105 Гц , что и соответствует экспериментальным выводам работы [2] о вкладе структурной релаксации в вязкие свойства жидкостей. В то же время область частотной дисперсии Гй(р), полученная на основе экспоненциального закона затухания вязкого тензора напряжение, является узкой ~ 102 Гц, что соответствует как акустическим экспериментальным, так и теоретическим результатам, полученным на основе феноменологической теории [2,4]. В настоящей работе попытались определить область частотной дисперсии динамических объёмного K(ю) и сдвигового !л(а>) модулей упругости в простых жидкостях в зависимости от природы затухания тензора напряжения в импульсном и конфигурационном пространстве.

В качестве исходного воспользуемся микроскопическим определением тензора напряжения

са3(ч, 1) простых жидкостей [5 ]:

аар

2 * дг г

где Ка3(чг, 1) = пкТ5а3 + ка3(дх , 1) - кинетическая часть вектора потока импульса, являющаяся импульсным моментом одночастичной функции распределения (х,1); а пкТ и ка3(чг , 1) - кинетической частью неравновесного давления и тензора вязкого напряжения, соответственно; Г = (Ч2 ~ Ч )/с - приведенное взаимное расстояние между молекулами; с - диаметр молекулы;

п(§1, t) и Т($, 1)- локальные плотность и температура; Ф (г|) - межмолекулярный потенциал взаимодействия; п (9г, 1) - неравновесная бинарная плотность частиц в конфигурационном простран-

стве, которая является импульсным моментом двухчастичной функции распределения /2 (х, Х2,1), X = {Ч, р\ Ч - координаты и р - импульсы частиц.

Согласно (1), са3>(ч, 1) состоит из суммы кинетической и потенциальной частей. Кинетическая часть ка3(чх , 1 ) учитывает вклады трансляционной релаксации и характеризуется одним временем релаксации, а потенциальная часть - учитывает вклады структурных релаксационных процессов,

которые определяются уравнением для бинарной плотности частиц в конфигурационном пространстве п2 (ч1, ?, 1) , и характеризуется непрерывным спектром времен релаксации.

Уравнения для кинетической части вязкого тензора напряжения ка3($г, 1) и бинарной плотности п получены в [5]. Уравнение для ка3{^1,1) является неоднородным линейным диф-

ференциальным уравнением с разделяющими переменными, решение которого легко представляется по экспоненциально-затухающему закону с характерным временем т = т /23, где т - масса частиц

и 3 - коэффициент трения жидкости. Уравнение для п2 (ч, Г, 1) является неоднородным уравнением параболического типа, то есть уравнением Смолуховского в конфигурационном пространстве. Решение уравнения для п (ч1 , г, 1) имеет вид :

I ^

п2 ($1,Г, 1 ) = |&1 | О(г,гх, 1 -1) ^($1,/•, 1)О* ,

где: О ( г, г;, 1 ) =

2 ( гг1 )-

( 24

Ю0

1/2

ехр

ехр

1 а 1п ^0 (г) 1 6 а 1п г

п

+

Г гаг3

2

-(1/3)г25а3Л а 1пg(г) Газа

а 1п g

V ап0 Ут

+ УТ0

а 1п g

V аТ0 У

+

У

а 1пг I а$3

т0 =ю01 = 3с2 /2кТ - феноменологический параметр, являющийся аналогом времени диффундирующей молекулы; к - постоянная Больцмана; п0 (г|)= п^ g(r); п0 ,Т - равновесная плотность и

температура; у = (псу )-1 (ф/дГ)и; g(г) - равновесная радиальная функция распределения. Выражение (3), является фундаментальным решением уравнения Смолуховского для п2 ($, г, 1) и описывает пространственно-временное поведение бинарной плотности в конфигурационном пространстве.

Совершая Фурье-преобразования по времени в (1) - (4), а также в уравнении для ка3(д1,1) для динамических модулей сдвигового ¡л(р) и объёмного K(ю) упругости, имеем [5]:

}аг г3 ^ ] О2 (г, ,,«) ^гЛ,

1 + (ют) I5 0 5г -1 5г1

+

К (ю) = К, +

2^п кТс ю 3

3

I аг

а $

аг

0

*

где:

G2 (r, Г1,Р) = --

і

-1/2

4^rrj

^e Ф (sin . + cos . ) - e Ф (sin .2 + cos к2 ) ^ ;

фо ( ri ) =

ri ^ ( ri ) З дr

n

дg

V 9n Jt

+ yT

^

дТ

i \ “ i - \ m

; .1,2 = .i,2 (r,/1,а) = у(r+ri) ; T = ^j;

ß°2 ^ fap^ T fapY

т0 =--; « = 12©r01 ; о = 2^v - циклическая частота, äs = ni — I H------1 — I - адиабати-

2£Г ydn Jr ncv ydTJn

ческий объёмный модуль упругости жидкости.

Первый член ¡л(р) в (5) учитывает вклады трансляционной релаксации, то есть релаксацию потока импульса в импульсном пространстве с характерным временем т = m /2ß. Частотная зависимость потенциальных частей ^(о) и K(о) в (5) и (6) описывается посредством функции G (r, r ,о), которая является аналогом функции плотности времен релаксации H(т) в формуле (6.43) работы [2] и К (т/т'), g(T /т') в подынтегральных выражениях (5.47) - (5.54) работы [4]. Однако эти функции являются неизвестными. В нашем случае G2 (r, r ,о) является известной функцией координат и частот, которая определяет вклад структурной релаксации в динамических модулях упругости.

Следовательно, согласно (2) - (7), процесс перестройки структуры в жидкостях носит диффузионный характер и описывается непрерывным спектром времен релаксации. В этом случае затухание соответствующих необратимых потоков происходит по степенному закону t 3 2, которое совпадает с дальневременным поведением автокорреляционных функций [6-8], а область частотной дисперсии K(о) и ¡л((о) является широкой.

Теперь рассмотрим случай, когда восстановление равновесной структуры происходит по экспоненциальному закону. Для этого в дифференциальном уравнении для щ (tf\, ?, t) производим замену релаксационного члена Смолуховского на релаксационный член, приводящий к экспоненциальному закону затухания. Совершая Фурье-преобразование и используя уравнение гидродинамики в локальном приближении в этом уравнении, для щ (q, ?,ю) имеем следующее выражение [3]:

n

- n

n

д ln g

Л

дn

+ уТ

Jt

2

+

i атп n

1 - i атп

.о (r)V^(р) + .“'(r

Vu(а)+

где: и (о) - Фурье-образ вектора смешения; V и (о) = divu(o) ;

“ß(\ (r“rß — (l / з)г 2öaß) дg ( f ) {дu^] = 1

i---------r---------- * ; 1 J = 2

ЗО

Совершая Фурье-преобразование по времени в (1), с учетом (8), для динамических модулей сдвиговой л(—) и объёмной K(а) упругости, имеем:

* *

/ \ пк.12 а2(г/г)2 2ж 2 ъ 1 гпг оф(г ) \ 4.

л

1 2 1 2( / \2 15 ог

1 + — 1+— (г/г) 0

* *

К

1 + а2 (г /г)2 Ъ ? 0г

* *

где: —= — = —те/2Р; ф(г )= ф(г)/ кТ - приведенный потенциал межмолекулярного взаимодействия.

Формулы (9) и (10) являются аналитическими выражениями динамических модулей ¡л—) и K (а ) упругости, когда восстановление равновесной структуры жидкости происходит по экспоненциальному закону. Следует отметить, что выражения (9) и (10) являются аналогами первых членов формул (6.30), (6.43) работы [2] и (5.47), (5.49), (5.52) работы [4], полученных на основе феноменологической теории. Здесь потенциальные члены (9) и (10) определяются посредством ф( г*|) и ), то

есть равновесными параметрами, которые при определенном выборе модели жидкости, по литературным данным, считаются известными [9-11].

Для определения области частотной дисперсии и проведения численных расчетов модулей л(—), K(—) упругости воспользуемся аналитическими выражениями Р, ф(г*|) и ^(г|), определяемыми посредством формул (4) - (6) работы [12]. Выбирая в качестве исходной модели последние и подставляя их в формулы (5), (6) и (9), (10), проводим численные расчеты л—) и K (а ) для жидкого Ar в широком диапазоне частот, температур (86 К < Т < 100 К ), при различных значениях плотности р , экспериментальные значения которых взяты из [13].

В таблице приведены результаты численных расчетов изотермических Т = 86, Т2 = 100 К

*

при у = 10 ~2; 1 модулей К (у), Кг У), л(у) упругости согласно формул (5), (6) и К У), Кг1 (у), Л (у) - по формулам (9), (10) при различных значениях плотности р для жидкого Ar, а также проведены сравнения со значениями адиабатического модуля объёмной упругости К , вычисленными на

основе экспериментальных данных по скорости звука [13]. По мере увеличения температуры значения этих модулей уменьшаются, а с увеличением плотности и частоты - растут. Следует отметить, что вычисленные значения релаксационных модулей Кг У), л(у) упругости полученные на основе вкладов релаксации потоков диффузионного механизма, всегда больше, чем их значения при учёте вклада экспоненциального закона затухания этих потоков.

пкТ— а2

- V 0 / п а ' 1 ‘

На рис.1(а) приведены зависимости релаксационных Кг (^)—4 , ¿(у) — 3 модулей упругости

*

жидкого Лг при Т = 86 К от приведённой частоты у, вычисленные по формулам (5), (6) и Кг (V) — 2 , ¿(у) — 1 - согласно (9), (10), соответственно, а на рис.1(б) аналогичные зависимости величины Кг (у) / ¿(у) — 1 , согласно (5), (6) и Кг (у)/ /¿(у)—2 по формулам (9), (10). Область частотной дисперсии Кг(у), ¿(у), на основе диффузионного механизма (кривые 3, 4), является широкой ~ 105 Гц и соответствует вкладам структурной релаксации в упругие свойства жидкого Лг, в то время область частотной дисперсии этих модулей, полученная на основе экспоненциального закона затухания соответствующих потоков, является узкой ~ 102 Гц (кривые 1, 2), что соответствует как акустическим, так и теоретическим результатам, полученным на основе феноменологической теории [2, 4].

Видимо, это обусловлено тем, что при низких частотах Кг У), ¿(у), согласно (5), (6), имеют

3/2 т

асимптотики ~ у , совпадающие с результатами [7], и частотная дисперсия начинается раньше, чем результаты, полученные на основе (9), (10), а при высоких частотах эти модули в обоих случаях не зависят от частоты.

Таблица

Результаты численных расчетов изотермических модулей K(у), Kt. (у), ¿(у) упругости

Т=86°К

P, кг/м3 С* м/с [12] К=рС3 2, 108 Па v*=10-2 ^=1

Ку), 108 Па ВД= КМ-К3, 108 Па М», 108 Па К», 108 Па ВД= км-к, 108 Па Му), 108 Па

форм.

1402 847 10.058 10.154 10.132 0.096 0.074 0.116 0.038 15.162 14.951 5.562 4.893 3.646 2.670

1407 855 10.286 10.433 10.411 0.099 0.077 0.119 0.040 16.005 15.334 5.671 5.000 3.714 2.708

1413 862 10.499 10.604 10.580 0.104 0.081 0.123 0.042 16.303 15.163 5.804 5.132 3.798 2.754

1419 869 10.716 11.324 11.300 0.109 0.085 0.126 0.043 17.154 16.482 5.940 5.267 3.833 2.801

Т=100°К

1312 717 6.745 7.363 7.343 0.042 0.022 0.066 0.012 11.132 10.496 3.811 3.175 2.552 1.865

1319 759 7.599 7.642 7.622 0.044 0.023 0.069 0.013 11.518 10.874 3.919 3.276 2.621 1.902

1327 772 7.909 7.956 7.934 0.047 0.025 0.071 0.013 11.955 11.303 4.047 3.394 2.702 1.945

1334 785 8.220 8.270 8.247 0.050 0.027 0.074 0.014 12.382 11.722 4.161 3.501 2.775 1.984

1347 809 8.816 8.871 8.846 0.055 0.030 0.078 0.015 13.198 12.525 4.382 3.709 2.916 2.058

1362 830 9.383 9.445 9.417 0.062 0.034 0.084 0.017 14.033 13.346 6.650 3.963 3.087 2.146

Рис. 1. а) Зависимости релаксационных модулей упругости К (у), м(у) жидкого Аг при Т = 86 К от приведённой частоты у ; б) Зависимости К (у) / М (у) жидкого Аг при Т = 86 К от приведённой частоты у .

К сожалению, в литературе не имеется экспериментальных данных динамических модулей упругости жидкостей для сравнения, однако их можно определить косвенно, если известна частотная дисперсия скорости звука.

Поступило 22.11.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коэн Э. Дж. В сб. Физика за рубежом - 86, серия А., Исследования. - М.: Мир, 1986, с.73-99.

2. Михайлов И.Г., Соловьев В.А., Сырников Ю.П. Основы молекулярной акустики. - М.: Наука, 1964, 514 с.

3. Одинаев С. - УФЖ, 2011, т.56, №3.

4. Физическая акустика: Свойство газов, жидкостей и растворов./ Под ред. У. Мэзона, т.2, ч. А. -М.: Мир, 1968, 487с.

5. Одинаев С., Адхамов А.А. Молекулярная теория структурной релаксации и явлений переноса в жидкостях. - Душанбе: Дониш, 1998, 230 с.

6. Pomeau Y. - Phys. Rev. A.: Gen. Phys., 1972, v.5, №6, pp.2569-2589; 1973, v.7, №3, pp.1134-1147.

7. Эванс Д.Дж., Хэнли Г.Дж., Гесс З. - Сб. Физика за рубежом. Серия А. Исследования. - М.: Мир, 1986, с. 7-28.

8. Evans D.J., Morris G.P. Statistical mechanics of none equilibrium liquids. - London: Academic Press, 1990, 342 p.

9. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. - М.: ИЛ, 1961, 929 с.

10. Физика простых жидкостей./ Под ред. Г. Темперли и др. - М.: Мир, т.1, 1971, 308 с; т.2, 1973, 400с.

11. Юхновский И. Р., Головко М. Ф. Статистическая теория классических равновесных систем. -Киев: Наукова думка, 1980, 372 с.

12. Одинаев С., Мирзоаминов Х. - ДАН РТ, 2010, т.53, №12, с.907-914.

13. Михайленко С.А., Дударь Б.Г., Шмидт В.А. - Физика низких температур, 1975, т.1, вып. 2, с. 224-237.

С.Одинаев, Д.Авдодов*, Х.Мирзоаминов**

ТАадИЦИ ДИСПЕРСИЯИ МОДУЛ^ОИ ЧАНДИРИИ ДИНАМИКИИ МОЕЪ^ОИ СОДДА ВОБАСТА АЗ ТАБИАТИ ХОМУШШАВИИ СЕЛ^ОИ РЕЛАКСАТСИЯШАВАНДА

Академияи илмхои Чумхурии Точикистон,

Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими,

**Донишго%и миллии Тоцикистон

Барои моеъх,ои сода сохди дисперсияи басомадии модулями чандирии хдчмй K(a) ва лаг^ишй ¡и(ю) бо назардошти табиати хомушшавии тензори шиддат дар фазох,ои конфигуратсионй ва импулсй тахдик шудаанд. Барои ифодах,ои аналитикии х,осилкардаи K (a) ва /и(о), дар мавриди хомушшавии селх,о аз руи конуни диффузия ё экспоненсиалй, хднгоми интихоби потенсиали Леннард-Ч,онс Ф(| r |) ва функсияи таксимоти радиалии g(r), барои аргони моеъ дар фосилаи васеъи тагйирёбии басомад, температура (86K < T < 100K ) ва зичй, х,исоб карда шудаанд. Нишон дода шудааст, ки сохди дисперсияи басомадии Kr (v), ¡u{v) дар мавриди механизми хомушшавии диффузионй васеъ буда ~ 105 Гц , аз хдсоби сах,ми релаксатсияи сохторй барои хосиятх,ои чандирии аргони моеъ ба амал меояд, х,ол он ки сохди дисперсияи басомадии ин модулх,о, ки дар асоси конуни экспоненсиалии хомушшавии селх,о кам аст ~102 Гц.

Калима^ои калиди: релаксатсия%ои транслятсионию сохторй - модул%ои чандирии %ацмй ва лагцишй - энергияи потенсиалии интихобй - функсияи тацсимоти радиалй - зичй ва %арорат.

S.Odinaev, D.Akdodov*, Kh.Mirzoaminov**

THE INVESTIGATION OF THE DISPERSION OF DYNAMIC MODULES OF ELASTICITY OF SIMPLE LIQUIDS DEPENDING ON THE NATURE OF DAMPING RELAXATIONAL STREAMS

Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

M.Osimi Tajik Technical University,

Tajik National University

The range frequency dispersion of dynamics bulk K(a) and shear modules ¡u(a>) of elasticity of the simple liquids is investigated depending on a nature of attenuation stress tensor of a pressure in pulse and configuration space. On the basis of the received analytical expressions for K(a) and ju(a), when the flows damping on the laws diffusion or exponential, at the certain choice of intermolecular potential interaction Ф(| r |) and of radial distribution function g(| r |), the numerical calculations for liquid Ar in a wide range of frequencies, temperatures (86K < T < 100K ) and density are carried out. It show, that the range of frequency dispersions Kr (v), ju(v), on a basis diffusion of the mechanism is wide ~ 105 Гц and there corresponds to the contributions structural relaxation in elastic properties liquid Ar, but in that time range frequency of these modules received on a basis exponential of attenuation of the appropriate flows, is narrow ~ 102 Гц . Key words: translational and structural relaxation - bulk and shear elasticity modules - modified potential energy - radial distribution function - density and temperature.