Теплообмен в пограничных слоях на излучающих поверхностях при градиентном течении

Теплообмен в пограничных слоях на излучающих поверхностях при

градиентном течении

В.В. Иванов, Л.В. Карасева, С.А. Тихомиров

Донской государственный технический университет Академия строительства и

Архитектуры, Ростов - на - Дону

Аннотация: Проведено численное решение задачи теплопереноса в пограничных слоях прозрачного газа на стенках, подвергаемых с противоположной стороны лучисто-конвективному нагреву.

Исследование влияния режимных параметров задачи на развитие процесса теплообмена проводилось для случая градиентного течения и включало наиболее характерные варианты процессов переноса.

Целью настоящей работы является изучение процессов переноса при нелинейных граничных условиях, получение приближенно-аналитических решений нелинейного тепло- и массообмена, установление связи между режимными параметрами и физической трактовкой результатов исследования.

Изучены также некоторые сопряженные задачи теплообмена при наличии излучения. Проведен анализ полученных решения. Выполненное исследование позволило установить, что наличие поперечного перетока тепла в стенке, а также излучение поверхности оказывают существенное влияние на характер распределения поверхностных температур.

Ключевые слова: Пограничный слой, конвекция, излучение, градиентное течение, сопряженный теплообмен.

В [1] рассматривалась задача переноса тепла излучением к пограничному слою прозрачного газа через термически тонкую пластину. Предлагаемая работа является естественным продолжением [1], и включает расчет теплопередачи в более общей постановке, учитывающей как процесс градиентного течения, так и влияние термического сопротивления стенки.

В настоящей статье изучались процессы теплопередачи через стенку, одна поверхность которой нагревается лучисто-конвективным теплом, а другая омывается потоком охлаждающей жидкости. Предполагается, что диссипация за счет трения отсутствует, физические свойства жидкости постоянны, процесс теплообмена стационарен, а термическое сопротивление стенки пренебрежимо мало.

Анализ проводился для ламинарного режима течения в рамках приближения теории пограничного слоя [2-9].

Цель исследования - нахождение распределений температур вдоль поверхности, а также определение влияния режимных параметров задачи на развитие процесса теплообмена.

Рассматривается случай ламинарного течения, когда скорость на внешней границе пограничного слоя подчиняется степенному закону (градиентное течение).

Исследуемая физическая модель и система координат представлены на

рис.1.

Математическая постановка задачи имеет вид:

и и + V и _ и в и+V ди дх ду ш дх ду2

ди +_дV _ 0

дх ду

и _ V _ 0, у _ 0,

и _ ит_ Ахт, у ^ю,

ТТдв тгдв д в и— + V— _ а—-дх ду ду

дв

[[(1 -в) +1 -в4 ] у _ 0,

ду

в_вш, у ^ю.

Здесь 0 <вю< тш/ Тс <в_ т/Тс < 1, к _ а/еа0Тс, а показатель степени т связан с углом 0 соотношением т _ 0/(2 - 0).

Принятое выше допущение о независимости физических свойств среды от температуры позволяет решать динамическую (1) - (4) и тепловую (5) -(7) части исходной задачи автономно.

Рис.1 Физическая модель и система координат. Применяя к тепловой задаче (5) - (7) с нелинейным граничным условием (6) линеаризующее преобразование

Ж = exp

и

'I

ав

к (1 -в)+1 -в1

приводим задачу (5) - (7) для новой переменной W к виду

ттдЖ тгдЖ

и-+ V-= а

дх ду

(р(х, у) = рЖ

д 2Ж _ду2

дв/ду

+ р

к (1 -в)+1 -в1

(4в3 + К - р),

. дЖ 3

Я^— = рес0ТаЖ, у = 0,

ду

Ж = exp

I

ав

к (1 -в)+1 -вА

= Ж, у ^ю.

Процедура минимизации нелинейного комплекса (9) производится по правилам, изложенным в [1].

Определение Жк для небольших значений обобщенной переменной представлено в виде ряда

Ж = Ж

• ю

1+ Хв}

1=1

Г0 [// & )+ 23]

где В = 1 В = -1 Г0^3), 1 = ^

3

Г0 - гамма - функция, 5 _ п0 /(1 - т), п0 _ ^ (1 + т).

Искомая температура поверхности вк _в(х,0) определится на основе

уравнения (13) и линеаризующего преобразования (5).

Для выявления характера влияния основных параметров процесса теплообмена на распределение поверхностных температур были выполнены расчеты на ЭВМ

При этом задавались следующие значения параметров: вю = 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; К = 0; 1; 5; 20; 50; 100; т = 0; 1/3; 2/3; 1.

Диапазон изменения искомой температуры в№ _в(х*л) (от вюдо 1) делился на сто равных отрезков &вк _вт -ви,(г-1)_ 0,01, а корректирующий параметр р вычислялся по формуле

Р _ К + 4{[-вЦг-1)]/2}3.

Как показали исследования, для выбранных условий расчета максимальная относительная погрешность в определении величин в№ нигде

не превышала 0,5 % .

В качестве примера на рис.2 приведены типичные кривые, когда вю_ 0,2; К _ 0, 5, 20; т _ 0, 1/3, 2/3, 1. Абсцисса графика - обобщенная переменная Х*л, ордината - безразмерная температура поверхности вк.

Расчеты показывают, что развитие процесса переноса существенно зависит от определяющего параметра К. Этот параметр по смыслу представляет собой отношение числа Ы к числу Бк и характеризует взаимосвязь между конвективным и лучистым потоками тепла. С ростом параметра К температурные перепады между поверхностью и набегающим

потоком ( -6Ш) увеличиваются, что приводит к интенсификации процесса теплообмена.

#Л а ) м? \

Я У /// II V// Й у / \

¡1 / Ь и \ V ' к = \го \ 5 \ 0

\н У

0 0,8 1,6

Рис.2 - Влияние градиента давления и параметра К на распределение поверхностных температур 6^ при радиационно - конвективном нагреве

-т = 0 -----т = 2/3

- - т = 1/3 — ' — ' — т = 1

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что учет совместного действия радиации и конвекции должен производиться вплоть до значений К = 20. При К > 20 нелинейную задачу о лучисто конвективном нагреве потока жидкости следует рассматривать как линейную задачу о чисто конвективном нагреве. При этом температуры 6^, найденные при

К = ю и К = 20, будут различаться между собой не более 2 - 3 %. Следовательно, расчет процессов теплопередачи, когда К > 20, можно производить по формулам чисто конвективного нагрева [10] .

Анализ полученных результатов тоже показывает, что наличие продольного градиента давления в пограничном слое оказывает заметное влияние на распределение искомых температур 6К = 6К (х*Л).

Для иллюстрации на рис.2 представлены кривые 6w, вычисленные при

m = 0, 1/3, 2/3, 1. Если m = 0, то в этом случае скорость Ux = const, что

соответствует задаче об обтекании плоской пластины в продольном направлении. При m = 1 жидкость набегает из бесконечности на пластину, подставленную перпендикулярно течению. Распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя принимает вид Ux = Ax.

Как видно из графика, увеличение скорости набегающего потока (рост числа m) интенсифицирует процесс теплоотдачи в пограничном слое. При этом максимальные различия в величинах 0w, вычисленных при m = 0 и m = 1,

отвечают случаю K = 0. С ростом параметра K это различие уменьшается, и в области K > 20стремится к нулю.

В заключение отметим, что данные теоретические выводы остаются справедливыми и для других значений температуры набегающего потока вх.

Ниже рассматриваются некоторые сопряженные задачи теплообмена при наличии излучения. Задачи такого рода имеют большое практическое приложение.

Основной областью технического применения результатов, полученных в настоящей статье, является расчет и проектирование теплообменников. Поэтому в дальнейшем будет рассмотрен процесс когда перенос тепла осуществляется через "термически толстые" стенки от высокотемпературной газовой среды к пограничному слою охлаждающей жидкости. Анализ теплообмена проводится в предположении постоянства физических свойств жидкости (поле скоростей не зависит от поля температур). Предполагается, что пограничный слой ламинарный, и изменение скорости на внешней границе пограничного слоя подчиняется степенному закону (градиентное течение).

Эффективным средством расчета подобных сопряженных задач теплообмена при наличии излучения является метод, представленный в [1]. Как будет показано ниже, распространение этого метода к решению таких задач позволит не только успешно преодолеть трудности, обусловленные нелинейностью краевых условий, но и использовать для нахождения температурных распределений полученные ранее зависимости.

С практической точки зрения большой интерес представляет изучение процесса теплопередачи излучением и конвекцией через стенку к пограничному слою охлаждающей жидкости. Задачи такого типа довольно часто встречаются в технике. Например, тепловой расчет поверхностных температур необходим при проектировании тепловой защиты различных поверхностей, находящихся вблизи высокотемпературных газовых потоков. Ниже исследуются процессы переноса, когда тепло к пограничному слою охлаждающей жидкости от греющей среды передается через стенку с коэффициентом теплопроводности Лк и толщиной £(рис. 1).

Для вывода соотношений, описывающих теплообмен на границах "газовая среда - стенка", "стенка - жидкость", рассмотрим процесс теплопередачи к пограничному слою.

При стационарном режиме плотности тепловых потоков к наружной поверхности за счет излучения и конвекции, через стенку путем теплопроводности и к пограничному слою одинаковы. В этом случае

и, следовательно,

Бк8\к(1 -Э„) +1 -31 ]-3„ +в№ _ 0, _ еа0тс3 д/Лк, к _ ^ео^^ .

Здесь 6^ и 3^ - безразмерные температуры стенки соответственно со стороны

пограничного слоя и греющей среды. Масштабом отнесения служит температура греющей среды Тс.

Математическое описание изучаемого процесса теплообмена включает:

уравнение энергии

ттд6 тгд6 д6 и— + V— _ а

2

дх ду ду нелинейное краевое условие

- Я д6 = е*0 Т3 {К [1 - 6)]+1 - [3^ 6 )]4} у _ 0,

ду

условие на бесконечности

6_6Ш, у ^ю.

и функциональную связь 3К _3№(бк), определяемую соотношением (15).

Для линеаризации нелинейного краевого условия (16) используется преобразование

6 ё6

*(ху )=ехр1-"I к[ЖйШ

_ехр1 "¿к[1 -з.(б)]+1 -3(6)]/36 .

Минимизация нелинейного комплекса

^у)_ ^кга/^

Г /3 (6)]3 + к

15£,[(б)]3 + К ]+1

2

х

приводит преобразованную задачу для W к известной линейной задаче конвективного охлаждения в среде нулевой температуры. Минимизация достигается здесь разбиением всей области изменения искомой температуры 6 на N интервалов и выполнением условия

Р _\ ,4[3-

Объединяя теперь решение линейной задачи для W и преобразование (17), найдем искомые температуры со стороны пограничного слоя 6:. Соответствующие этим величинам значения поверхностных температур со стороны греющей среды 3: определяются из соотношения (15).

Исследование влияние режимных параметров задачи на развитие процесса теплообмена проводилось для случая градиентного течения ию _ Ахт и включало следующие варианты 6ю _ 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,8; т _ 0; 13; 2/3; 1;

8к3_ 0; 0,4; 1; 2; 5; 20; 50;

К _ 0; 1; 5; 20; 100.

Расчет величин 6: _6: (X*Л), 3: _3: (X*л) выполняется на ЭВМ при N _ 100.

В качестве примера на рис.3 - 5 показаны характерные распределения температур 6: и 3:, вычисленные при 6ю_ 0,2; т _ 0, 1/3, 2/3, 1; К _ 0, 5, 20;

Бкд _ 0, 0,4, 1, 2, 5. Абсцисса графиков - обобщенная координата Х*Л, ордината - безразмерные температуры 6; и 3; .

Анализ температурных распределений позволил установить следующее. Случай 8к3 _ 0 относится к термически тонкой стенке, когда

6: _3: (такая задача исследована ранее). Эта линия делит график на две

области. Верхняя соответствует распределению температур на поверхности пластины со стороны греющей среды 3; , нижняя - со стороны пограничного

слоя 6:. С ростом 8кв перепад температур по сечению пластины

увеличивается. При этом наибольшая разность (3: -6: )тзх имеет место на

передней кромке (X*л = 0) и определяется соотношением (К -0^)тах = = К -0в = 8к5{К[1 -Кк(0в)] +1 -К(О^)]4}.

С ростом обобщенной координаты Х*Л разность К -0К убывает и величины 0^ и К асимптотически стремятся к своему предельному значению О ^К ^ 1.

1Г >1'

_

Ь 2 \1

0,4 / / '¡'/Л Г

/ 4 ш, ж 'ЗУ * 4 / \ и* /

%/А Шу Аг=\ ё \ \ - ^ ?\о,4 \ 7 \ 2 \ 5

О 0,5 1,0 1,5 2,0

Х*Л

Рис.3 - Влияние градиента давления и числа 8к3 на распределение

поверхностных температур. К = 0

-т = 0 -----т = 2/3

- - т = 1/3 — . — . — т = 1

1.0 фн*

о. в

О*

0,4 0,2

У ч5_

/ 1 л у'

и ш # 0/ ,

ж р е

0,5 1.0

1,5 2,0

Рис.4 - Влияние градиента давления и числа 8к3 на распределение поверхностных температур. К = 5

-т = 0 -----т = 2/3

- - т = 1/3 — ' — ' — т = 1

1.0

0.6 0,4 0.2

щ \у -4-А V К 1 / К // \й_

/У У У -'У //.У Ж А ^^ -

\ Чн. "А ' 7 V -*' -И  ^

Ж Ъм/у/ \ \ бде >дЛ 1 V г ; 5

0,5 1,0

1,5 2,0

х*л

Рис.5 - Влияние градиента давления и числа Бк3 на распределение поверхностных температур. К = 20

-т = 0 -----т = 2/3

- - т = 1/3 — . — . — т = 1

Анализируя графики рис. 3 -5, можно также отметить, что увеличение параметра К , при прочих равных условиях, приводит к повышению перепада температур (К -0^) по сечению пластины. Наиболее сильно это влияние сказывается в области небольших чисел Зк ^ (Зк ^ < 1). С ростом Бкд влияние

параметра К на развитие процесса теплообмена ослабевает.

Что касается влияния градиента давления (показателя т) на распределение поверхностных температур со стороны пограничного слоя ОК,

то здесь остаются справедливыми выводы, изложенные ранее для случая термически тонкой стенки. Со стороны же греющей среды температурные кривые К при разных т практически сливаются.

В заключении отметим, что общие закономерности влияния основных параметров теплового процесса т , 8к3, К на распределение поверхностных

температур К и ОК остаются справедливыми и при других значениях безразмерной температуры набегающего потока 0т.

Литература

1. Иванов В.В., Карасева Л.В., Тихомиров С.А., Пономаренко А.С. Теплообмен в пограничных слоях на излучающих поверхностях // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2017/4188/.

2. Sparrow E.M., Lin S.H. Boundary layers with prescribed heat flux application to simultaneous and radiation // International J. Heat Mass Transfer. 1965, v.202, №1070. pp. 437-448

3. Cess R.D. The effect of radiation upon forced-convection heat transfer // Appl. Scient. Res. A. 1961. v.10. №6. рр. 430 - 438.

4. Иванов В.В., Дунин И.Л., Медведев Г.Г. Расчет пограничного слоя прозрачного газа на излучающей поверхности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1972. № 1. С. 107 - 110.

5. Дунин И. Л., Иванов В.В. Сопряженная задача теплообмена с учетом излучения поверхности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. №4. С. 187 - 190.

6. Иванов В.В., Карасева Л.В. Сопряженный теплообмен в пластине с излучающими наружными поверхностями // Изв. вузов. Сев-Кавк. Регион. Техн. Науки. 2015. № 1. С. 65 - 68.

7. Смирнов Р.В., Бахвалов Ю.А. Математическое моделирование теплообменных процессов в энергосберегающих гелиоустановках // Инженерный вестник Дона, 2013, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y20l3/l782/.

8. Романова М.И., Шерстюков В.В. Энергоэффективный метод использования излишек тепла солнечного коллектора // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y20l2/l440/.

9. Иванов В.В. Исследование процессов переноса при нелинейных граничных условиях // Теплофизика высоких температур. 1973. Т. XI. № 1. С. 128 - 132.

10. Chambre P.L., Acrivos A. On chemical surface reactions in laminar boundary layer flows. J.Appl. Phys., 1956, v.27, № 11. pp. 1322 - 1328.

References

1. Ivanov V.V., Karaseva L.V., Tikhomirov S.A., Ponomarenko A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y20l7/4l88/.

2. Sparrow E.M., Lin S.H. International J. Heat Mass Transfer. 1965, v.202, №1070. pp. 437 - 448.

3. Cess R.D. Appl. Scient. Res. A. 1961. v.10. №6. pp. 430 - 438.

4. Ivanov V.V., Dunin I.L., Medvedev G.G. Izvestiya AN SSSR. Mehanika zhidkosti I gaza, 1972, no. 1, pp. 107-110.

5. Ivanov V.V., Dunin I.L. Izvestiya AN SSSR. Mehanika zhidkosti I gaza, 1972, vol. X, no.4, pp. 1124 - 1126.

6. Ivanov V.V., Karaseva L.V. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskij region. Tehnicheskie nauki, 2013, no. 6, pp.148-152.

7. Smirnov R.V.,Bakhvalov Y.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1782/.

8. Romanova M.I., Sherstyukov V.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1440/.

9. Ivanov V.V. Teplofizika vysokih temperatur, 1973, vol. XI, no 1, pp.128132.

10. ChambreP.L., Acrivos A. J.Appl. Phys., 1956, v.27, № 11. pp. 1322 -1328.