Сплайн-анализ "тонкой" структуры взаимозависимости экспортных цен на природный газ и нефть

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С. Глобальные тенденции в статистике и математических методах в экономике: наука, практика и образование. С.-Петербург, 2004.

2. Антонова Т. Измерение сезонных колебаний во временном ряду объема продукции сельского хозяйства Волгоградской области. Волгоград, 2006. № 3.

3. Антонова Т.И Моделирование временного ряда объема производства продукции сельского хозяйства. Воронеж, 2007.

4. Афанасьев В. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник. М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Гришин А. Статистические модели в экономике:

учеб. пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2005.

6. Зинченко А. Сельскохозяйственная статистика с основами социально-экономической статистики. М.: Изд-во МСХА, 1998.

7. Елисеева И. Статистика: учебник. М.: Высшее образование, 2007.

8. Шмойлова Р. Теория статистики: учебник. М.: Финансы и статистика, 2005.

9. Елисеева И. Эконометрика: учебник. М.: Финансы и статистика, 2006.

10. Юзбашев М., Манелля А. Статистический анализ тенденций и колеблемости. М.: Финансы и статистика, 1983.

Ильясов Р.Х.

Сплайн-анализ «тонкой» структуры взаимозависимости экспортных цен на природный газ и нефть

Анализ динамики цен на энергоресурсы различного рода за 2000-2007 гг. [1] показывает, что нередко периоды роста сменяются периодами спада. Рынок энергоресурсов демонстрирует сильную подверженность кризисам, он антиперсистентен с частой сменой тенденций и трендов. Из-за нестабильности экзогенных условий на достаточно длинных периодах временные ряды экспортных цен на нефть и на газ удобно описывать "кусочными" моделями, которые своими фрагментами приспосабливаются к меняющимся экзогенным условиям в переходных экономиках типа российской, моделируя рост или падение цен. Такие ряды трудно анализировать с помощью классических эконометрических методов. Поэтому при исследовании экономических процессов особую актуальность приобретает выбор унифицированной или универсальной системы приближающих функций, в качестве такой системы стоит сделать "много-звенник" - кусочно-аппроксимационный ансамбль на сплайновой базе [2, 3, 4], "опирающийся" на декомпозированную временную ось.

Математические сплайны - это "куски" степенных многочленов, представляющие процесс в промежутках между узловыми точками. Отличительная особенность сплайнов - они состоят из отрезков полинома малого порядка, которые сходятся в заданных узлах процесса (узлах его "решётчатой" функции). Математический сплайн д-го порядка непрерывен и имеет (д - 1) непре-

рывную производную, д-я производная может претерпевать в точках соединения (узлах сетки) разрыв с конечным скачком. Куски сплайна "сшиваются" в узловых точках оптимальным образом, значения функции и всех её производных слева и справа от каждого узла совпадают, т. е./k)(x+0) = /k)(x-0), к = 0, 1, 2...д, i = 1...и. Тогда/x), f '(x)/"(x), становятся непрерывными функциями во всём интервале [xr.xj, а структура сплайна автоматически "сшивает" решение воедино.

В науке чаще всего используются кубические сплайны или сплайны третьего порядка, они обладают замечательным оптимизационным свойством, которое называется "внутренней оптимальностью", свойством минимальной кривизны или минимальной нормы. У кубических сплайн-функций SA(y, x) оно выражается теоремой Холлидея, в которой показано, что сплайн-построение мини-

ь 2

мизирует интеграл: J|/"(x) dx ^ min. Срав-

a

нение кривых динамики экспортных цен на природный газ и нефть, представленных кубическими сплайнами, наводит на мысль, что цены на газ следуют за ценами на нефть с некоторым лагом (рис. 1).

Точность аппроксимации, непрерывность сплайнов и их аналитичность позволяют более глубоко анализировать экономическую динамику. Пер-

Рис. 1. Динамика средних экспортных цен на природный газ и сырую нефть с 1 квартала 2000 г. по 3 квартал 2007 г. Все цены на нефть подняты на 50 долларов с целью их приведения к одной базе сравнения с ценами на газ в первом квартале 2000 г. Аппроксимация кубическими сплайнами

вые производные сплайнов (рис. 2) действительно подтверждают предположение о зависимости экспортных цен на газ от экспортных цен на нефть. Можно увидеть, что графики этих производных почти идентичны - так график производной цены на газ можно было бы получить смещением вправо графика цены на нефть на два квартала.

Статистический анализ соответствующих рядов подтвердил наличие сильной положительной корреляционной зависимости между исследуемыми показателями. Так, максимальное значение коэффициента корреляции между квартальными экспортными ценами на сырую нефть и экспортными ценами на природный газ, равное + 0.956850837 (рис. 3), достигается при смещении последних на два квартала назад. Существование сильной положительной корреляции между экспортными ценами на нефть и газ приводит к наличию положительной же корреляционной связи между их первыми и вторыми производными. Если первая производная отвечает за тенденции экономической эволюции, то производная второго порядка - это "ускорение", которое в технике и физике, умноженное на массу, называется силой, Экономической теории, ещё предстоит ввести понятие "экономической силы", используя производные второго порядка некоторого экономического процесса.

Совпадение максимальных значений корреляционных зависимостей между сплайн-моделями,

аппроксимирующими динамику экспортных цен на сырую нефть и природный газ, а также их производных первого и второго порядка, происходит при смещении цен на газ на два квартала назад по сравнению с ценами на нефть. На рис. 3 более не просматривается одновременного совпадения максимумов. У коэффициента корреляции между вторыми производными существует глобальный максимум (absolute max. = + 0.453280813) - при смещении цен на природный газ на пять кварталов вперёд. Поскольку при сдвиге х = + 5 максимума в рядах цен не просматривается, то в качестве следующего максимума коэффициента корреляции у вторых производных берём меньшее по величине число при х = -2 - local max = + 0.232523087. Наличие корреляции при следовании цен на природный газ за ценами на нефть с лагом в два квартала облегчает задачу взаимоанализа пары цен и прогнозирования экспортных цен на газ.

Картина связи коэффициентов корреляции позволяет судить о зависимости исследуемых показателей только в общих чертах, то есть в среднем на всем протяжении ряда или части ряда. Признаемся, однако, что в общем случае графики производных показывают изменения в динамике цен на газ не всегда пропорционально изменениям цен на нефть, а также и в том, что временной сдвиг в их зависимости довольно стохастичен.

--Природный газ

Сырая нефть

Рис. 2. Первые производные кубических сплайнов, аппроксимирующие тенденции экспортных цен на сырую нефть и природный газ

Рис. 3. Определение коэффициентов корреляции (RED) между средними экспортными ценами на природный газ и сырую нефть, а также между их первыми (GREEN) и вторыми (BLUE) производными при вариации лаговой переменной от -5 до +5 кварталов. График коэффициента корреляции цен смещён вниз на 0.45 для улучшения наглядности рисунка

Существуют участки, на которых первые и вторые производные коррелируют как положительно, так и отрицательно. Между 5 и 8, 20 и 23 кварталами производные коррелируют

отрицательно. Поведение производных в промежутке между кварталами 25-30 синхронно и коэффициент корреляции при этом почти равен +1.

Для анализа более важно исследовать "тонкие" особенности эволюции параметров искомой зависимости, представив её в виде сплайновой параметрической картины. Для этого с помощью кубических сплайнов построим график, представляющий взаимозависимость цен на газ и цен на нефть. Время t здесь выступает в качестве параметра. Сплайн-образ зависимости экспортных цен на природный газ от экспортных цен на сырую нефть (рис. 4) позволил выявить "тонкую" динамику её параметров. Динамику цен на нефть можно разбить на три периода:

• период низких цен - от 17 до 25 долл./баррель (с 2000 до 2004 гг.), много циклических конструкций с малым уходом одних цен от других;

• период средних цен - от 25 до 50 долл./ баррель (с 2004 до 2006 гг.), малое число многозначных частей, отсутствие явно выраженных циклов;

• период высоких цен - от 50 до 67 долл./баррель (с 2006 до 2007 гг.), вновь появление циклических конструкций, правда, редких.

В каждом из этих периодов цены на газ по-разному реагируют на изменение цен на нефть. Так, в 2000-2003 гг. падение и рост экспортных цен на газ и экспортных цен на нефть друг относительно друга носило сложный циклический характер с их многочисленными возвратами к одним и тем же показателям. Во время относительно низких цен на нефть цены на газ не всегда адекватно реагировали на их колебания. Но и в этом периоде зависимость цен на газ от цены на нефть весьма стохастична.

В 2004-2005 гг. происходил устойчивый рост цен как на нефть, так и на газ. Именно в эти годы цены демонстрировали наиболее высокие темпы роста. Существует некая стабильность динамики пары этих цен, что выявила непрерывная взаимо-

Рис. 4. Параметрическая картина (RED) зависимости средних экспортных цен на природный газ (y(t), natural gas (doll/1000mA3)) от средних экспортных цен на сырую нефть (x(t), petroleum (doll/barrel)). Сплайн-аппроксимация. На фоне параметрической картины приводится и регрессия искомой зависимости (GREEN) внутри периодов, полученных условным разделением исходной динамики на "куски" с однородными статистическими характеристиками. Данные с 1 квартала 2000 г по 3 квартал 2007 г

зависимость между ними. С первого квартала 2006 г. по третий квартал 2007 г. взаимозависимость экспортных цен на газ и экспортных цен на нефть продемонстрировала цикличность процесса.

Любое экономическое исследование полезно при интерпретации его результатов. Для полученной циклической зависимости экспортных цен на газ от экспортных цен на нефть внутри периодов низких (2000-2003 гг.) и высоких цен (2006-2007 гг.) было бы полезным получить экономическое объяснение наличия циклических конструкций. Циклы отличаются от сезонных периодических движений тем, что принципиально заранее неизвестны ни их начало, ни конец, ни длина, ни причины появления, однако циклы обнаруживаются в экономических процессах, отличаются они своим происхождением, формой, метрическими и временными характеристиками. Одной из главных причин возникновения циклов считается существование временного "чистого" запаздывания в замкнутой экономической системе, часто со стороны управляющего воздействия [5]. В нашем примере можно полагать, что циклы рождаются из-за наличия временного лага в корреляционной зависимости экспортных цен на газ от экспортных цен на нефть. Отсутствие циклических конструкций в середине рис. 4 в период быстрого и устойчивого роста цен на газ и на нефть также требует объяснения. Можно предположить, что "... анализируемому типу цикла соответствует некоторая циклическая составляющая динамики, на основе которой определяются поворотные точки и фазы цикла и получаются так называемые "циклы роста" (growth cycles). Подход, называемый "циклами роста", может быть по-другому назван подходом "отклонений от тренда" (the deviation-from-trend

approach). Своим названием "цикл роста", а не, скажем, "цикл спада", этот подход обязан тому обстоятельству, что послевоенный период до начала 1970-х годов циклы деловой активности в развитых рыночных экономиках обычно проявляли себя в виде периодов быстрого роста. Вместе с тем "циклы роста" могут проявиться на фоне основной тенденции любого вида, в том числе и на фоне тенденции спада. Данный подход предполагает, что тенденция роста доминирует настолько, что спадов (подъемов) в абсолютном выражении может не наблюдаться вовсе" [5].

Всё сказанное хорошо согласуется с поведением полученной кривой, но окончательное подтверждение или опровержение наличия циклической формы взаимозависимости цен на газ и на нефть будет возможно лишь при исследовании соответствующих рядов динамики в более длинном периоде. Однако, очевидна польза и эффективность как сплайн-анализа динамики исходных показателей на фазовых картинах, так и сплайн-представление их взаимосвязи с помощью параметрических картин. На рис. 4 хорошо просматривается разница между "грубостью" трендовой регрессии и детальным поведением "тонкой" компоненты структуры экономического сигнала, сплайны позволяют проводить анализ экономических процессов на более высоком и содержательном аппроксимационном уровне. Непрерывность, аналитичность сплайновых моделей, их "кусочная" структура дают возможность шире привлечь в экономику многие методы аналитической математики, спектр критериев согласия, анализировать "рваные" ряды экономической динамики переходного периода, несмотря на всю их сложность и неоднородность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вестник банка России №> 7-8 (1023-1024). (http:// www.cbr.ru).

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972. 318 с.

3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

352 с.

4. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

5. Винтизенко И.Г., Яковенко В. С. Экономическая цикломатика. М.: Финансы и статистика; Ставрополь: АГРУС, 2008. 428 с.