Вычисление коэффициентов для пятизначной функции алгебры логики

5-valued function of algebra of logic equations system calculation

Aivazian O. (Ukraine) Вычисление коэффициентов для пятизначной функции алгебры логики

Айвазян О. А.

Айвазян Оганнес Ашотович /Aivazian Ogannes - аспирант, кафедра информационных технологий проектирования в электронике и телекоммуникациях, Институт информационной безопасности, радиоэлектроники и телекоммуникаций Одесский национальный политехнический университет, г. Одесса, Украина

Аннотация: в булевой алгебре широкое распространение получил полином Жегалкина, который служит для описания характеристик двоичных функций алгебры логики. В данном докладе даётся обобщённый вывод пятизначных функций для 2-х переменных и построение системы уравнений для нахождения коэффициентов в случае пятизначных функций для двух переменных.

Abstract: in boolean algebra Zhegalkin polinomial is widely used, which determines a description of characteristics of double-valued logical functions. In this paper the author introduces a general representation of 5-valued functions for two variables and synthesis of equations for coefficient searching in case of 5-valued functions for two variables.

Ключевые слова: многозначная логика, полином Жегалкина. Keywords: many-valued logics, Zhegalkin polynomial.

УДК 519.716.32

Методы, предполагающие построение систем, основанных на недвоичной логике, на данный момент недостаточно развиты, вследствие чего задача исследования и представления функций недвоичной, или многозначной логики остаётся весьма актуальной. Многозначная логика в отличие от традиционной предполагает, что возможны более двух ( q >2) истинностных значений для некоторого высказывания. Такие логики в будущем можно использовать для построения недвоичных корректирующих кодов, систем для решения нечётких задач, систем сигналов. Целью данной работы является представление системы уравнений, увязывающая таблицу истинности элементов пятизначной функции с искомыми коэффициентами полинома.

Функция пятизначной логики — это отображение {0,1,2,3,4}* ^ {0,1,2,3,4}, т. е. правило, однозначно сопоставляющее вектору из к координат, принимающих значения 0,1,2,3,4, значение 0,1,2,3 или 4 [1].

Определение [2]

Полиномом Жегалкина называется полином над Z2 с коэффициентами a е {0,1}, содержащий операции «Исключающее ИЛИ» и «Конъюнкция».

Задача поиска алгебраической нормальной формы (АНФ) конкретной булевой функции предполагает нахождение значений коэффициентов A = {аг} пятизначной функций для

к = 2 переменных, таблица истинности которых имеет длину N=25, может быть представлена в общем виде:

f = {f00, f01, f02, f03, f04, /10, f11, f12, f13, f14, f20, f21, f22, ^jj

f 23, f 24,f30, f31, f32, f33, f 40, f41, f42, f 43, f44}

В общем виде полином для пятизначной функции для двух переменных (х1, х2 ) выглядит следующим образом [3]:

' X3 X 2

На основании приведённых элементов функции из (1) и искомых коэффициентов в (2), приведём систему уравнений для нахождения коэффициентов пятизначной алгебры логики двух переменных.

У00 = а00

/01 = а00 + а01 + а02 + а03 + а04 У02 = а00 + 2а01 + 4а02 + 3а03 + а04 У0)3 = а00 + 3а01 + 4а02 + 2а03 + а04 У04 = а00 + 4а01 + а02 + 4а03 + а04 /10 = а00 + а10 + а20 + а30 + а40

/и = а00 + а01 + а02 + а03 + а04 + а10 + аи + а12 + а13 + а14 + а20 + а21 + а22 + а23 + а24 + а30 +

+ аз1 + аз2 + азз + аз4 + а40 + а41 + а42 + а4з + а44

/12 = а00 + 2а01 + 4а02 + 3а03 + а04 + а10 + 2аи + 4а12 + 3а13 + а14 + а20 + 2а21 + 4а22 + 3а23 +

= а + 3а + 4а + 2а + а + а + 3а + 4а + 2а + а + а + 3а + 4а + 2а + а + а + 3а + 4а + 2а + а + а + 3а + 4а + 2а + а

= а + 4а + а + 4а + а + а + 4а + а + 4а + а + а + 4а + а + 4а + а + + а + 4а + а + 4а + а + а + 4а + а + 4а + а

/20 = а00 + 2а10 + 4а20 + 3а30 + а40

= а + а + а + а + а + 2а + 2а + 2а + 2а + 2а + 4а + 4а + 4а + 4а + 4а + 3а + 3а + 3а + 3а + 3а + а + а + а + а + а

/22 = а00 + 2а01 + 4а02 + 3а03 + а04 + 2а10 + 4ап + 3а12 + а13 + 2а14 + 4а20 + 3а21 + а22 + 2а23 + + 4а24 + 3а30 + а31 + 2а32 + 4а33 + 3а34 + а40 + 2а41 + 4а42 + 3а43 + а44

/23 = а00 + 3а01 + 4а02 + 2а03 + а04 + 2а10 + а11 + 3а12 + 4а13 + 2а14 + 4а20 + 2а21 + а22 + 3а23 + + 4а24 + 3а30 + 4а31 + 2а32 + а33 + 3а34 + а40 + 3а41 + 4а42 + 2а43 + аы /24 = а00 + 4а01 + а02 + 4а03 + а04 + 2а10 + 3аи + 2а12 + 3а13 + 2а14 + 4а20 + а21 + 4а22 + а23 + + 4а24 + 3а30 + 2а31 + 3а32 + 2а33 + 3а34 + а40 + 4а41 + а42 + 4а43 + а44

/30 = а00 + 3а10 + 4а20 + 2а30 + а40

/31 = а00 + а01 + а02 + а03 + а04 + 3а10 + 3аи + 3а12 + 3а13 + 3а14 + 4а20 + 4а21 + 4а22 + 4а23 + 4а24 + + 2а + 2а + 2а + 2а + 2а + а + а + а + а + а

/32 = а00 + 2а01 + 4а02 + 3а03 + а04 + 3а10 + аи + 2а12 + 4а13 + 3а14 + 4а20 + 3а21 + а22 + 2а23 + 4а + 2а + 4а + 3а + а + 2а + а + 2а + 4а + 3а + а

/зз = а00 + 3а01 + 4а02 + 2а03 + а04 + 3а10 + 4аи + 2а12 + а13 + 3а14 + 4а20 + 2а21 + а22 + 3а23 + 4а24 + + 2а + а + 3а + 4а + 2а + а + 3а + 4а + 2а + а

/34 = а00 + 4а01 + а02 + 4а03 + а04 + 3а10 + 2аи + 3а12 + 2а13 + 3а14 + 4а20 + а21 + 4а22 + а23 + 4а24 + + 2а30 + 3а31 + 2а32 + 3а33 + 4а34 + а40 + 4а41 + а42 + 4а43 + а44

40 = а00 + 4а10 + а20 + 4а30 + а40

= а + а + а + а + а + 4а + 4а + 4а + 4а + 4а + а + а + а + а + а + 4а + + 4а + 4а + 4а + 4а + а + а + а + а + а

= а + 2а + 4а + 3а + а + 4а + 3а + а + 2а + 4а + а + 2а + 4а + 3а + а + + 4а + 3а + а + 2а + 4а + а + 2а + 4а + 3а + а

= а + 3а + 4а + 2а + а + 4а + 2а + а + 3а + 4а + а + 3а + 4а + 2а + а +

/44 = а00 + 4а01 + а02 + 4а03 + а04 + 4аю + аи + 4а^ + а13 + 4ам + а

1Г"Г"2

20 1

21 1 2

22 1 2

23 1 2

24™1 ™2

304

31 1 2

33 34 4 4 42 43 44

+ а,,х, X3 + а,х, х„ + а.пх, + а,х, х + а.~х, х„ + а,,х, х3 + а,х, х„

33 1 2

34 1 2

4Г'1

41 1 2

42 1 2

43 1 2

44 1 2

+ 4а + 2а + а + 3а + 4а + а + 3а + 4а + 2а + а

+ 4а + а + 4а + а +

+ 4а + а + 4а + а + 4а + а + 4а + а + 4а + а

Чтобы выразить систему уравнений в матричном виде используем матрицу Рида-Маллера Ь [2]:

" 1 1"

0 1

Г =[1], ь2И =

Ьм =

Ьи Ьи 0 Г

Для нахождения матрицы прямого преобразования матрица Ь должна быть обращена [3]:

Ь = (Ь2 у1 = а^(Ь) • аег 2 (Ь).

Представляя найденную систему уравнений в матричной форме, получаем в (7), соответственно, прямую и обратную матрицы Ь^ и Ь25 для случая 5-функций двух

переменных [3].

Г1000000000000000000000000' 1111100000000000000000000 1243100000000000000000000 1342100000000000000000000 1414100000000000000000000 1000010000100001000010000 1111111111111111111111111 1243112431124311243112431 1342113421134211342113421 1414114141141411414114141 1000020000400003000010000 1111122222444443333311111 Щ = 1243124312431243124312431 1342121342421343421313421 1414123232414143232314141 1000030000400002000010000 1111133333444442222211111 1243131243431242431212431 1342134213421342134213421 1414132323414142323214141 1000040000100004000010000 1111144444111114444411111 1243143124124314312412431 1342142134134214213413421 1414141414141414141414141

1000000000000000000000000 0423100000000000000000000 0411400000000000000000000 0432100000000000000000000 4444400000000000000000000 0000040000200003000010000 0000001324034120214304231 0000001441032230233204114 0000001234031420241304321 0000011111333332222244444 0000040000100001000040000 0000001324042310423101324 0000001441041140411401441 0000001234043210432101234 0000011111444444444411111 0000040000300002000010000 0000001324021430341204231 0000001441023320322304114 0000001234024130314204321 0000011111222223333344444 4000040000400004000040000 0132401324013240132401324 0144101441014410144101441 0123401234012340123401234 1111111111111111111111111

Таким образом, в данном докладе на основе полинома Жегалкина представлена система уравнений, построенная на основе таблицы истинности и коэффициентов пятизначной функции для двух переменных, а также АНФ в общем виде для первых 80 элементов пяти функций пяти переменных. Такие функции при дальнейших исследованиях могут быть использованы для построения недвоичных кодов, исправляющих ошибки.

Литература

1. Ростовцев А. Г. Криптография и защита информации / А. Г. Ростовцев. СПб.: Мир и Семья, 2002.

2. Жданов О. Н. Алгоритм построения оптимальных по критерию нулевой корреляции недвоичных блоков замен / О. Н. Жданов, А. В. Соколов. Проблемы физики, математики и техники, 2015. № 3 (24). С. 94-97.

3. Соколов А. В. Методы нахождения алгебраической нормальной формы функций многозначной логики / А. В. Соколов, О. Н. Жданов, О. А. Айвазян // Системный анализ и прикладная информатика, 2016. № 1.