Соприкосновение кривых в эллиптической плоскости и их аналогов в линейчатом пространстве

УДК 514.185:51?

К. Л. ПАНЧУК В. Я. ВОЛКОВ

Омский государственный технический университет

СОПРИКОСНОВЕНИЕ КРИВЫХ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ И ИХ АНАЛОГОВ В ЛИНЕЙЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ_

Рассматривается метрика пространств: эллиптической плоскости и многообразия прямых трехмерного евклидова пространства. Делается вывод о существовании общей метрической структуры этих пространств. На примере решения задачи о соприкосновении в одном и другом пространстве показаны соответствия метрических характеристик и свойств фигур соприкосновения разных пространств.

Эллиптическая плоскость и множество прямых трехмерного евклидова пространства с бесконечно удаленными элементами, называемое впредь линейчатым пространством (АП), обладают общей метрической структурой. Это позволяет рассматривать одно из пространств, И^или ЛП, как метризованию модель другого. Наличие общей метрической структуры указанных пространств приводит к установлению взаимно однозначного соответствия между объектами разных пространств и к аналогиям в решении однородных геометрических задач, выполняемых в одном и другом пространстве. При этом наряду с аналогией, то есть схожестью решений однородной задачи, возможно различие в развитии этих решений в каждом пространстве, обусловленное внутренними геометрическими свойствами соответственных объектов, принадлежащих разным пространствам. Рассмотрим в качестве примера соприкосновение кривых в эллиптической плоскости

и соответственных им объектов в ЛП, но прежде обратимся к метрике этих пространств.

1. Метрика эллиптической плоскости и линейчатого пространства

Изотропный конус связки прямых и плоскостей расширенного трехмерного евклидова пространства, описываемый уравнением Х2 + У2+г2=0, определяет метрику этой связки. Сфера Б2 с центром в центре связки и отождествленными диаметрально противоположными точками; плоскость я*, касательная к сфере Б2; бесконечно удаленная плоскость л, — эти три образа представляют собой модели-интерпретации эллиптической плоскости [1-7]. Изотропный конус индуцирует на каждой из этих моделей эллиптическую метрику. При этом метрика эллиптических плоскостей Б , и Доопределяется соответственными им мнимыми коническими сечениями изотропного конуса: ~к|, ~к£, "к2-Пусть прямая линия пространства описывается уравнениями: х = х0 + пи; у = у0+т; г = г0 + р1, где {ш,п,р} — координаты направляющего вектора прямой, I — параметр, определяющий положение текущей точки. Для двух точек (х,у,г) и (х0,у0,г0) прямой можно записать:

(х-х0):(у-у0):(г-7.0)= ш:п:р = ш,:п, :1, откуда следует:

х-х0 = ш,(г-г0); у-у0 = п,[г-г„).

В таком случае расстояние между точками может быть определено следующим образом:

6 = 7

Из этого уравнения следует, что если 6 = о, то т;* + + п2+1 = 0. Поскольку т^Пр! суть однородные координаты бесконечно удаленной точки рассматриваемой прямой, то из последнего равенства следует, что точка принадлежит изотропному конусу X2 + У2 + 7? = 0 связки и, следовательно, принадлежит абсолюту "к,,. Прямая линия, для которой 5 = 0, называется, как известно, изотропной прямой. Необходимый и достаточный признак изотропной прямой б2 = т2 + п, +1 = 0 [1], очевидно, имеет место для всех прямых, параллельных прямой с направляющим вектором {ш 1гп,,1}. Следовательно, изотропные прямые, проходящие через одну и ту же точку абсолюта образуют связку прямых с несобственным центром в этой точке. Необходимым и достаточным признаком изотропной плоскости Ах + Ву + Сг + + 0 = 0 является А2 + В2+С2=0, что соответствует нулевому модулю нормального вектора этой плоскости. Изотропная плоскость касается абсолюта " к, в некоторой его точке. Очевидно, условие изотропности А2 + В2+С2 =0 не зависит от параметра О в уравнении плоскости и, следовательно, имеет место для всех плоскостей, параллельных данной плоскости. В частности, изотропная плоскость Ах + Ву + Сг = О касается изотропного конуса связки. Таким образом, изотропные плоскости, касающиеся абсолюта _кг в одной и той же точке, образуют пучок плоскостей с несобственной осью, касающейся абсолюта в этой точке. Поскольку изотропный конус представляет собой огибающую пучка второго порядка изотропных плоскостей, то на основании отмеченных количественных характеристик, обусловленных признаками изотропных прямой и плоскости, можно утверждать, что множество изотропных прямых, несобст-

венные точки которых образуют абсолют " к„ пространства Р3, есть квадратичный комплекс " . Квад-ратичность комплекса следует из самого определения изотропного конуса, представляющего собой нулевую квадрику X2 + У2 +7? = 0, а именно: всякие два изотропных конуса пространства, проходящие через различные его точки, могут быть совмещены друг с другом параллельным перенесением [1|. Поэтому все изотропные конусы пересекают плоскость Д* по одному и тому же коническому сечению "к«.. Абсолют ~к£ эллиптической плоскости и абсолют линейчатого пространства взаимно соответственны, поскольку первый является центральной проекцией абсолюта "к, пространства Р3, а второй — линейчатым образом — интерпретацией абсолюта "к^ • Взаимное соответствие абсолютов и позволяет представлять одно из пространств как модель другого с одной и той же метрической структурой.

2. Соприкосновение кривых

в эллиптической плоскости

Тогда следует, что cos — = 1 и 8 = 0. Следовательно, к

в точке А имеет место пересечение кривых а' и а". 2, Пусть имеют место условия: x^(s0) = x"(s0);

Тогда для точки, касательной к кривой, проведенной в точке А, имеет место уравнение: X"(s0) = = X[xi(s0) + (s0)As]. Поскольку по условию нормировки точки касательной должно быть выполнено равенство (Х',Х') = к2, то получаем:

(Х',Х') = \2(х' + x'As.x' + x'As) =

= X2 [ (х'р х') + 2 As(x\ х') + As2 (х', х') ] =

= Л2(к7 +As2)-

Таким образом: к2 = Я2(А2 + Л?2); Х.=

л/кЧДз2

Следовательно, уравнение касательной к кривой а' в точке А имеет вид:

Пусть а' и а" — две пересекающиеся в точке А аналитические кривые эллиптической плоскости (рис. 1). На каждой из кривых примем в качестве параметра длину дуги s, так что уравнения кривых имеют вид: х' = x'(s);x* = x'(s). Пусть точка А — начало отсчета длины дуги на обеих кривых, то есть x'(s0) = = x"(s0). Сместимся из общей точки Ano каждой кривой на равное расстояние As, заданное с определенным знаком, в соответствующие точки А' и А". Тогда в окрестности точки А каждая из кривых линий может быть представлена уравнением, полученным разложением в ряд Тейлора по степеням As координат точки кривой:

,Asz

, As

х; (s)=

x¡

Vk2 + As2

xj (s) = х; (s„)+x'¡ (s„ )as + х; (s„)—+х; (s0)—+.. .

Дн2 Дэ3

х'И = ^о) + х^Дв-н х^,,)— + х'Ы— +...

Точками сверху обозначены соответствующие производные по параметру б.

Расхождение кривых а' и а" будем оценивать расстоянием 5 между их соответственными точками

А' и А" следующим образом: =

где — кривизна эллиптической плоскости. При

этом возможны различные случаи расхождения. Рассмотрим начальные из них.

1. Предположим, что выполнены условия:

х;(50) = х;(80); х;(з0)*х;(50).

Подобное уравнение имеет место для кривой а" в той же точке А:

k kAs

Xí(s)= . , ,x;(s„)+  , xfcoK

'Л?

+ As

+ As

Расхождение 5 для кривых а' и а" при рассматриваемых условиях может быть выражено:

5 1 к к2

чл/к2 +As2 л/к2 + As2 Vk2 + As2

kAs

•[ (x',x") + As(x',x") + As(x',x") + As^ix'.x")] =

k2 + As2 k2 + As2

= 1.

Следовательно, 5 = 0 . Имеет место касание кривых а' и а" точно первого порядка, что соответствует совпадению их касательных в точке А.

3. Предположим, что имеют место условия:

х;(50) = х*(80); х;(50) = х;(50);

x,,(s0)=x;(s0); x;(s0)*x"(s0). Тогда для кривой а' можно записать:

Дэ2

X, (3) = ц[х; (в,,) + х; (5„)Д8 + хЦв,,)—].

Коэффициент и в уравнении может быть определен, как обычно, по условию нормировки (х',х') = к2 следующими преобразованиями:

(х',х') = ц2(х' + х'Дэ + х'—,х' + х'Дз + х'—) =

Рис.1. Расхождение кривых в эллиптической плоскости

= ц [(x',x') + As(x',x') +

+—(х'.*') + As(x'.x') + As2 (x', x') + — (x\ x') + 2 2

As2, , ..,. As3,.,

; . 2 As' As4 k2+p2 - + As----+ ----- p

4 кУ

21,2 As4 k2+p2

вещественное число, то это множество представляет собой линейчатую поверхность [8|.

Пусть А (х,у,г) — единичный винт, декартовые дуальные координаты которого суть однозначные аналитические функции в области изменения дуальной переменной Б-дуальной дуги ЛП [8,9,10). При этом б имеет выражение:

s(t)=s0(t)+cos,(t)= jHdt.

Таким образом, получаем ц =

к2+р2 Л^ к2р2" 4

и исходное уравнение кривой принимает вид:

xi(s) =

, 2 k2 + p2 As4

k kTpr'X

t',(So) + x',(So)As + lx;(s„)As2

Аналогичное уравнение имеет место д\я кривой а : к

x'(s) =

2 кЧр^ As^ " + kV 4

xt(s0) + xt(s0)As + ^x;(s0)As2

где I — вещественная переменная, изменяемая на отрезке Т0^1<Т; со — множитель Клиффорда. Дуальные координаты винта А имеют следующее выражение [8, 10]:

х^Ьхо^+^-х^о)]; у(з) = уо(з0)+[а>5,-уо^о)];

*^о

где х0, у0, г0, з0 и х, =Э! -х'0(50); у, = в,  у'о^о) I г, =5Г г^во), з," суть главные и моментные составляющие дуальных чисел-координат и дуальной дуги, причем входящие в уравнения производные определены так:

Вычисления расхождения 8 длярассматриваемо-

5

го случая приводят к следующему результату: cos — =

= ', = 1. Следовательно, 8 = 0, и имеет место каса-k

ние кривых а' и а* точно второго порядка. Условие

x'|(s0) = xi(s0), на основании уравнения -у = (х,х)--^

р к

кривизны эллиптической кривой [5], позволяет записать:

к2 + р2 _ к2 + р^ к2 + р? _ к2 + рд

dx0

; Уо ds0 '

dy0

dz„

(х',х') --г^-2 к Pf

к2р!

Pi

р!

Из последнего равенства следует: к2(р2-р?) = 0;

— = —. Таким образом, в. случае касания кривых а' Р2 Р|

и а" точно второго порядка имеет место равенство их кривизны в точке касания. Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие выводы:

1. Кривые а' и а" могут иметь в общей точке А пересечение, если их касательные неколлинеарны, или касание, если их касательные коллинеарны.

2. Касание кривых будетточно п-го порядка, если совпадают п последовательных производных координат точки кривых в их общей точке:

,

3. Соприкосновение линейчатых поверхностей

Кривой линии эллиптической плоскости, как непрерывному однопараметрическому множеству точек, по принципу перенесения соответствует в линейчатом пространстве непрерывное однопарамет-рическое или двухпараметрическое множество прямых. Если параметр последнего множества есть

Таким образом, выражение A(s) = i-x(s) + j-y(s) + + k z(s) представляет собой винтовое уравнение ЛП. Построим триедр (а,Ь,с) ЛП в центральной точке М ее образующей а — оси винта А. Для этого укажем винты:

f-i dA ;

С = —- = А — единичныивинтсосьюсцентраль-ds

ной нормали к ЛП,

В = АхС — единичный винт с осью b центральной касательной. Пусть винты А и А'соответствуют значениям дуальной дуги, равным о и s (рис. 2).

Запишем следующее разложение винт-функции A(s) по степеням s:

.. s2 ... s3 A(s) = A + As+A — + A — + • 2! 3!

где А, А, А,... — значения винт-функции и её производных в начальной образующей э = 0. Покажем, что это разложение есть ряд Тейлора для винт-функции дуальной переменной. Рассмотрим дуальную функцию х(б). Посколькух" аналитическая функция, то для ее первой производной по дуальному аргументу б можно записать [10]: йх ,

Х= —= Х0+СО-5,-Х0; аБ

Х-3=50-х'0+О-5|

Это позволяет записать выражения для второй

d2x ш / т\

х = —2 =x0+co-(srx0); ds

_v" s° j-m = so ,xQ + 2sO'

А -- — An тШ'3| ' 1

2! 2!

2!

и для всех последующих производных функции x(s).

Рис. 2. Винтовое представление соприкосновения линейчатых поверхностей

Выражения (3), (4) и последующие для последующих производных представляют собой дуальные аналитические функции дуальной переменной з. Действительно,

d"x ds"

•S" = Xq -So +ur s.

(n n + l n-1 ni

s0  x0 + n  s0  x0 J,

то есть f(s) = f0(s0)+co-s1-y(s0),

где f0 = x0"-s0

+ n-sn

d"x0 ds0"

y(s) = y + y-s + y- — -

G

3!

Отметим, что главная часть дуальной функции есть функция главной части дуального аргумента э. Построим дуальную функцию:

F(s) = x+x-s + x-—+ • 2!

= xo + x'0-s0 + x5-^j- + --- + msr[x'0+(xô+s0-x5)+

+ ^ " (so2  х? + 2s0  xj )+•]= F0 (s0)+ ms,  F0' (s0 ),

где теперь x, x, x, ... — значения аналитической функции x(s) и её последовательных производных в начальной образующей ЛП при s = 0. Из последнего равенства следует, что F (s) есть аналитическая функция в области изменения дуальной переменной s, при этом её главная F0(s0) имоментная s, -Fn(s0) части являются вещественными аналитическими функциями в области изменения вещественного параметра S0 . Но F0(s0)=x0(s0), F(',(s0)s x'0(s„)-

Поэтому выражение: x(s)=x+xs + x — + •• есть

ряд Тейлора для дуальной аналитической функции x(s). Аналогично можно построить разложения для дуальных функции у (s) и z(s):

z(s) =ZtZ'StZ' — +

где 5 = 1 — дуальная дуга, отсчитываемая от общей образующей в согласованном направлении, такая, что при э -> 0 (50 0^! -» 0) образующие а' и а', каждая по своей ЛП, стремятся совпасть с а, А и А, А и А и т.д. — последовательные производные единичных винт-функций А и А в начальной образующей а. Введем понятие порядка соприкосновения ЛП. Модуль винта расхождения С (б) есть дуальная величина 0(з)=л/х2 + у2 + 12 =д0 +сод,, где ^^хф-Зф); ?(в)= у(8)-у(в); З^г^-г^).

С

Можно доказать, что для ЛП условие: = 0 при

в 0 (вд -» 0,э, -> 0), где п — целое положительное, есть условие соприкосновения порядка п. Если же п — наибольшее возможное, то соприкосновение точно п-го порядка. Рассмотрим теперь условия соприкосновения начальных порядков, исходя из разложения (5).

1. Если разложение начинается с члена ^ - ^|•г,

отличного от 1гуля, то имеем пересечение ЛП вдоль общей образующей а.

2. А = А, А # А. В образующей а имеет место соприкосновение точно первого порядка (к = 1). По: ёх ёу dz

скольку А = {а,р,г},где « = —; Р = —; 7 = --,то ds = ds,

а = а, р = р, у = у . Обе ЛП имеют общий касательный винт бесконечно малого перемещения образующей

п -

а: В<с15 = В^5  Параметр Р винта В равен  Этот

случай известен в теории аксоидов [8].

3. А = А, А = А, А # А. В образующей а имеет место соприкосновение точно второго порядка (к = 2).

Поскольку А = где ^ = С_йу

1Р Р Pj

р ds р ds р ds

то

Переходя от скалярных функций x(s), y(s) и z(s) к винт-функции A(s), получим, что последняя есть аналитическая винт-функция и допускает разложение в ряд Тейлора (2) в области изменения дуального аргумента s. Рассмотрим две различные ЛП A(s) и A(s) с общей образующей а = а и запишем выражение для винта расхождения этих ЛГГ.

— = -г1 — = — = Х Исследование последних дуаль-р р р р р р

ных равенств приводит к следующему: £, = 1, л = Л. £ = С • Отсюда следует совпадение главных нормалей

п и п , а также равенство дуальных углов И. = /(а.ё), К=^(а,5) и дуальных радиусов кривизн р=зтК и

p = sinR этихЛП. По этой причине триедры (d,n,c) и (d,ñ,c) эволют (d) и (d) совмещены и, кроме того, имеет

место: ds(1) = dsctgR = ds(1); ds'=^^- = ds', где ds(11 и

smK

ds' есть элементы дуальных дуг ЛП, образованных центральной касательной b и центральной нормалью с соответственно. В результате ЛП имеют общий соприкасающийся винт с осью d и параметром

р' = -^J-; ds' = ds¡, + fflds¡. Винт этот кинематический и ds'o

обеспечивает перемещение общего триедра (а,с,Ь) соприкасающихся ЛП вдоль стрикций v и v с равными элементами дуг d«r = -^/ds, ,2 + ds,2 = da , где ds=ds0+ods1, ds(1)=ds,0+ci)dsn.

4. Á = А, A = А, A = А. В общей образующей а имеет место соприкосновение третьего порядка (А = 3).

Поскольку А = j}fs(}}¿(})}  учитывая исходные условия, приходим последовательно к результатам, дополняющим пункты 1, 2, 3, а именно: совмещены триедры (d',n,n') и (d',ñ,ñ') эволют второго порядка (d') и (d') соприкасающихся ЛП; совпадают элементы дуальных дуг поверхностей (d) и (d), (п) и (ñ); равны дуальные радиусы изгиба

лп dR -

исходных соприкасающихся ЛП: г =-= г.

ds

Таким образом, решение однородной задачи о соприкосновении в эллиптической плоскости Rj и в линейчатом пространстве показывает, что общая метрическая структура этих пространств проявляет аналогии в самом решении, когда рассматриваются условия и порядки соприкосновения. Детальное исследование условий различных порядков соприкосновения в случае линейчатых поверхностей обнаруживает внутренние свойства соприкасающихся поверхностей, не имеющих аналогичных свойств у соприкасающихся кривых в плоскости R . К ним мож-

но отнести, например, поведение стрикций соприкасающихся линейчатых поверхностей при возрастании порядка их соприкосновения.

Библиографический список

1. Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. Главная ред. обще-техн. литературы и номографии. — М.-Л., 1936. - 356 с.

2. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. Госуд. иэд-во техн.-теорет. литер, - М., 1955. — 744 с

3. H.S.M. COXETER. NON-EVCLIDEAN GEOMETRY. SIXTH EDITION/THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA. WASHINGTON, 1998. - 336 p.

4. H. LIEBMANN. NICHTEUKL1GDISCHE GEOMETRIE. BERLIN UND LEIPZIG, 1923. - 152 S.

5. J. COOL1DGE. THE ELEMENTS OF NON-EUCLIDEAN GEOMETRY. OXFORD. AT THE CLARENDON PRESS, 1909. -307 p.

6. Э. Картан. Геометрия римаиовых пространств. Объедин. науч.-техн. иэд-во НКТП СССР. - М.-Л., 1936. - 245 с.

7. Э. Картан. Риманова геометрия в ортогональном репере. Изд-во МГУ. - 1960. - 307 с.

8. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. - М. — Л.: ГТТМ, 1934. - 195 с.

9. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. 1. Элементарная дифференциальная геометрия. М. — Л.: Объед науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. - 330 с.

10. Диментберг Ф. М. Теория винтов и ее приложения. — М.: Наука, 1978. - 327 с.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета. ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор кафедры начертательной геометрии и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии.

Статья поступила в редакцию 30.11.06 г. © Панчук К. Д., Волков В. Я.

УДК 515 Э.К.СМОРЩКОВ

О СВЯЗИ АНАЛИТИЧЕСКИХ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ГРАФИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ ОДНОЙ ПРОЕКЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

В статье приводится разработка алгоритма графического определения границ (пределов) интегрирования при функциональном их задании. Полезность усматривается как в установлении преемственности с аналитикой, так и в достижении наглядности процесса интегрирования.

В зависимости от вида функции ф(х) в высшей математике существует ряд приемов, позволяющих решить интегральное уравнение.

Нас в данном случае интересует два вопроса: 1. Существует ли графическая зависимость между

Запишем задачу в общем виде. Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида

у

м