Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе

УДК 517.6

Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов

ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВУХ СЕКЦИЯХ С РАЗНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле в форме параллелепипеда, расположенном в прямоугольном волноводе и состоящем из двух слоев с разной диэлектрической проницаемостью. Получено аналитическое решение уравнений Максвелла для случая заполнения двух секций волновода. Представлены результаты численных расчетов решения интегродифференциального уравнения методом коллокации.

Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, аналитическое решение задачи дифракции, метод коллокаций.

Abstract. Electromagnetic diffraction problem on dielectric body located in rectangular waveguide and consisted of two layers is considered. The analytical solving of Maxwell's equations in case of filling of two section of the waveguide is obtained. Numerical results for solution of integro-differential equation by collocation method are presented.

Keywords: electromagnetic diffraction problem, analytical solution of diffraction problem, collocation method.

Введение

В работе [1] была рассмотрена задача расчета электромагнитной дифракции на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном волноводе. В статье [2] в качестве тела был взят однородный диэлектрический параллелепипед и было получено аналитическое и численное решение уравнений Максвелла для данного частного случая. В настоящей работе в качестве тела Q рассматривается параллелепипед, состоящий из двух слоев с разной диэлектрической проницаемостью. Полученные результаты могут быть применены в различных практических приложениях.

Постановка задачи, численный метод

Пусть в декартовой системе координат Р = {х: 0 < х < а, 0 < Х2 < b, —го < Х3 < го}- волновод с идеально проводящей поверхностью дР . Пусть Q (Q с Р - область) - объемное тело, расположенное в волноводе, с постоянной магнитной проницаемостью ^о и положительной 3 X 3-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости е(х). Компоненты е(х) являются ограниченными функциями в области Q , е е Lro (Q), а также е 1 е Lro (Q).

Рассмотрим задачу о нахождении электромагнитного поля E, H е L2

loc (Р) , возбуждаемого в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e—imt. Электрический ток j0 е L2 loc (Р) - источник сто-

роннего поля. Стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot в об-

3

ласти Р с R понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать обобщенные решения уравнений Максвелла:

•0

rot H = —/roeE + jE; rotE = /ro^oH .

Учитывая условия на бесконечности и краевые условия, описанные в [3], уравнения Максвелла можно свести к интегродифференциальному уравнению

2 <" ~ ( е( У) ^

Е(х) = Е0 (х) + к0 |вЕ (г) 1 Е(у)dy +

Q

v є0

+grad div J Ge

Q

—I

v eo

E(y)dy, xє Q .

Компоненты диагонального тензора Грина Ge имеют вид [4, 5]

_ а а —у x — У-з

„i 2 ^ e nm З З| nn . nm nn . nm

GE =—T у у--------------„ g 4 cos xisin — x2 cos yisin — y

abn=0 m=i У nm(i + S0n) a b a b

gE =—у у —

abn=i m=0 У nm (i + S0m ) a

. nn nm . nn nm

sin-xi cos-x2 sin-yi cos-y2;

bab

З 2 e УnmlXз Узі , nn . nm . nn . nm

Ge =— у у-sin—Xi sin - X2sin—yisin—y2.

ab^ , у a b a b

n=i m=i *nm

В этих выражениях ynm =

nn ^2 f nm ^2 2

— I +1------I — ko , при этом ветвь квад-

a ) V b I

ратного корня выбирается так, чтобы 1т упт ^ 0 .

Будем предполагать, что тензор диэлектрической проницаемости тела

є(x) удовлетворяет условиям

є

—I

, обратим в Q и

є

є0

X—i

—I

є La(Q), где I - единичный тензор. Введем обозначения:

£ =

є

є0

—I

J :=

є

є0

—I

E.

Описанное выше позволяет перейти к следующему уравнению:

AJ = J

Q

Q

Уравнение (6) может быть решено различными численными методами. Например, методом Галеркина или методом коллокации. В данной работе был выбран метод коллокации, так как использование метода Галеркина влечет за собой более громоздкие формулы и выкладки.

Известные методы не позволяют рассчитать электромагнитное поле для волновода, состоящего из нескольких частей с различной диэлектрической проницаемостью. В настоящей статье будет получено аналитическое решение уравнений (1) для тела Q, являющегося секцией волновода и состоящего из двух частей с различной диэлектрической проницаемостью. Также будут представлены результаты численных расчетов для метода коллокации.

Аналитическое решение в частном случае для задачи дифракции

Пусть тело Q представляет собой секцию волновода: Q = {х:0<Х1 <а,

0 < Х2 < Ь, 0 < Х3 < е) (рис 1). Тело представляет собой перегородку волновода длиной /2 по оси Х3 . В области 0 < Х3 < /1 тело имеет постоянную диэлектрическую проницаемость £1, а в области /1 < Х3 < /2 тело имеет постоянную диэлектрическую проницаемость е2.

Рис. 1

Будем предполагать, что размеры волновода удовлетворяют условию

п , п

- < к) < Ь, а Ь

при котором распространяется только одна волна в волноводе [8].

Рассмотрим поведение поля внутри тела. Предположим, что падающее поле имеет вид

Здесь и далее в статье под коэффициентами А и ^ будем подразумевать следующие выражения: А = А(+)/юц0 — и ^ = Ql(+)/юцo —, а

Y°=y(2)=г —а2, Y1=f2—^ Y2=г— а^

В области 2 (Х3 е (0, /1)) поле имеет вид

E = sin^j^Qe 1Y1X + DxebX3 je2 .

2

i

З

4

x

В области 3 Х3 е /li, I2) поле имеет представление

E = sin^^j/2е"г'С + D2eiy2x3 )2 . В области 4 Х3 е /2,те) поле имеет представление

E = sin| ^j(CY°хз

e2 .

На границе областей 1 и 2, областей 2 и 3, а также на границе областей 3 и 4 должны выполняться условия сопряжения [2]:

1E2 із =0 =| E2 із =c =0;

^хз =0

= 0 ^ 1 Й? ю I 1 QJ E ю I

c _ дхз _ хз =0 _ дхз _

= 0,

где Е = Е2в2 .

Для коэффициентов А, В, С^, Г\, С2, £>2, Е получаем уравнения:

- при Х3 = 0 :

Г А + В = С + ,

[у0 (В - А) = У1 ( - С!);

- при Х3 = /1:

С^-^1 + ^е^1 = С2е-,у 2/1 + £>2е,у 2/1, у1 (-С1е_,'У1/1 + ) = У 2 (-С2е_,'У2/1 + £>2е,у 2/1

- при Х3 = /2 :

С2е -,у 2/2 + Б2 е,у 2/2 = ^е-,уо/2,

* У2 (е^2 + Ц2е,12/2) = -уо)Уо/2.

Коэффициент А известен, для коэффициентов В, С1, ^1, С2, В2, Е получаем следующие формулы:

2 АУо

Сі =-

' 2гуі/і (Yo -уі )2у^ ^Sl +уо +уі

д =1^-Сі .у0 +уі

у0 -уі

уо -уі

r • s2 - 2у2

D2 = —e-iY2 2 2у 2

С

^5і. є-іуі1і - • s2 • eiYl/ I + e^h • s2

у 0 -уі

у0 -уі

С2 =10^2 . є2іу212 D2, B = -і-(Сі (у о- уі) + D (у о +уі)): у2 -у0 2у0

7б

+1, sl = Y2 -Yl, s2 = Y2 +Yl.

Численное решение

Рассмотрим вопрос о построении схемы метода коллокации для решения объемного сингулярного интегродифференциального уравнения, к которому сводится краевая задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном волноводе [4-8].

Сформулируем метод коллокации для интегродифференциального уравнения (2). Этот подход оказывается эффективным в силу более удобного представления интегралов. Рассмотрим подробнее уравнение (6):

AJ = J(x) -k0 JGe(x,y)J(y)dy -grad div JGE (x,y)J(y)dy = E0(x).

Q Q

Здесь E - неизвестное электрическое поле; E0 - известное внешнее электрическое поле (распространяющаяся волна в волноводе); ко - волновое , 2 2

число вакуума, ко = ю ео^о; ю - круговая частота.

Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

3 ^

Z hiJ (x) - ко2 J G( x, y) Jl (y)dy - —div x J G( x, y) J (y)dy = E01 (x), (14) i=1 Q xi Q

l = 1,2,3.

Будем искать компоненты приближенного решения J в виде _ N _ N _ N

J1 = Z ak/k1(xx J2 = Z «2 fk(xi J3=Z «к/к3^

к =1 к =1 к=1

где /к - базисные функции.

Ниже проводится построение функций /к . Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x: a1 < x1 < 02, 61 < x2 < 62, С < x3 < C2} . Разобьем тело Q на элементарные параллелепипеды:

Пк1т = {x : x1,к < x1 < x1,к+1, x2,l < x2 < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1} ;

a2 - ai , , b2 - bi , c2 - c

Ч,к = a1 +—----1 к, x2,l = b1 +—--11, x3, m = c1 + —-1 m,

n n n

где к, l, m = о,..., n -1.

Будем считать, что шаг по каждой координате постоянен: h :=| xi к - xi к-1 |. Наряду с обычной нумерацией нам удобно будет ввести

трехиндексную нумерацию базисных функций. Определим fj^m (i = 1, 2, 3):

А _ I1, х ^П к/т,

7к/т _ | _

1°, х ^ Пк/т •

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходи-

3

мому условию аппроксимации в (0) _ (0) X (0) X (0) •

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов 12 3

а к, а к, а к удобно представить в блочной форме:

А А12 1А 3 В'

А ю А22 А23 В2

ч А31 А32 А33 В3 J

Элементы столбцов Вк и матриц Ак/ определяются из соотношений:

В{ _ Е°к

где координаты точек коллокации имеют вид

х, _ (х,Ъх,3 ) ),1 _ ( + °,5)ъ х,2 _ ( + М) х,3 _ (з + 0,5) , к,/_ 1,2,3; ,,] _ 1,...,Ж

Таким образом, представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации.

Так как базисные функции равны 1 только внутри элементарного параллелепипеда Пк/т, интегралы в интегральном уравнении вычисляются аналитически. В результате элементы матрицы вычисляются суммированием медленно сходящихся рядов. В полученных рядах целесообразно выделить особенность. Медленно сходящиеся ряды без особенности представлены в [4, 5].

Численные результаты

Для численного решения задачи разобьем параллелепипед 2 на N _ п • п • п элементарных параллелепипедов. Здесь п - количество разбиений параллелепипеда 0 по одному направлению. Перебирая всевозможные комбинации пар элементарных параллелепипедов, заполняем матричные элементы с помощью формулы (21). Для перебора удобно использовать трехин-дексную нумерацию параллелепипедов. Правая часть СЛАУ заполняется при помощи формулы (2°). Полученную СЛАУ решаем методом сопряженных градиентов. Используя субиереархический метод, значение поля можно вычислить не только для параллелепипеда, но и для фигуры более сложной формы [9, 10].

На рис. 2-3 представлено сравнение поведения полей внутри тела с переменной диэлектрической проницаемостью, расположенного в прямоугольном волноводе. Тело представляет собой секцию волновода в форме прямоугольного параллелепипеда с длиной а по оси Х1, Ь по оси Х2 и /2 по оси Х3 . В области 0 < Х3 < /1 (/1 < /2) тело имеет постоянную диэлектрическую проницаемость 81 = 1,4, а в области /1 < Х3 < /2 тело имеет постоянную диэлектрическую проницаемость 82 = 1,9. Сетка имеет размер п _ 8 по каждому направлению. На рис. 2 и 3 приведены результаты аналитического решения и численного решений. Слева представлены результаты аналитического решения, справа - результаты численного решения.

Рис. 2. Третий слой, 0,5 < Х3 < 0,75 .

Модуль максимум разности поля на слое равен 0,00724

Рис. 3. Шестой слой, 1,25 < Х3 < 1,5 .

Модуль максимум разности поля на слое равен 0,01613

Размеры волновода и электродинамические параметры: а _ 2, Ь _ 1, с _ 2, 81 _ 1,4, 82 _ 1,9, к0 _ 2,5. В табл. 1 приведены результаты, отображающие максимум модуля разности аналитического и численного решений на каждом слое.

Расчеты показывают хорошее согласие численного решения с аналитическими результатами.

Таблица 1

Сравнение аналитического и численного решений

Номер слоя Граница слоя по х3 Максимум модуля разности

1 слой 0,0 < Х3 < 0,25 0,01945

2 слой 0,25 < Х3 < 0,5 0,00501

3 слой 0,5 < Х3 < 0,75 0,00724

4 слой 0,75 < Х3 < 1,0 0,00199

5 слой 1,0 < Х3 < 1,25 0,00924

6 слой 1,25 < х3 < 1,5 0,01613

7 слой 1,5 < х3 < 1,75 0,00741

8 слой 1,75 < Х3 < 2,0 0,00203

Список литературы

1. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и Связь, 1998.

2. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 32-43.

3. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996.

4. Васюиии, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3. - С. 68-78.

5. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 4. - С. 55-71.

6. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 11-24.

7. Shestopalov, Yu. V. Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008). - Cambridge, USA. - 2008. - July 2-6. - P. 291-292.

8. Smirnov, Yu. G. Inverse Boundary Value Problem for Determination of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation / Yu. G. Smirnov // IEEJ Transactions on Fundamentals and Materials. -2009. - V. 129. - № 10. - Р. 675-680.

9. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

10. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной

диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 2-10.

Гришина Елена Евгеньевна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Деревянчук Екатерина Дмитриевна

студентка, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: _medv@mail.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Grishina Elena Evgenyevna Postgraduate student,

Penza State University

Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna

Student, Penza State University

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.6 Гришина, Е. Е.

Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гришина, Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 4 (16). - С. 73-81.