Динамическая устойчивость внецентренно сжатых тонкостенных стержней металлических конструкций

24

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

Анализ работы рассматриваемых конструкций показал, что на динамические характеристики шпренгельных систем может оказывать существенное влияние как жесткость связей сдвига, так и разнос осей составных частей балки жесткости. При

целенаправленном изменении параметров жесткости связей сдвига ^ (Ksi) и величины разноса осей элементов V возможно активное влияние на частотные характеристики шпренгельной системы в целом.

Разработанная механико-математическая модель позволяет определять напряженно-деформированное состояние шпренгельных конструкций с составными балками жесткости в условиях одновременного действия как статических, так и динамических нагрузок с учетом нелинейных факторов: продольных и поперечных деформаций балки жесткости, попеременного отключения затяжек и т. п.

Полученные результаты позволяют проектировщикам более обоснованно подходить к назначению параметров шпренгельных конструкций и величине их предварительного напряжения.

Библиографический список

1. Новые формы опорных конструкций контактной сети и особенности определения их динамических характеристик / М. П. Забродин, В. В. Егоров // Современные строительные конструкции из металла и древесины : сб. науч. тр. - Одесса : ОГАСУ, 1999. - С. 72-78.

2. Работа предварительно напряженных шпренгельных систем в условиях динамических воздействий / В. В. Егоров // Дефекты зданий и сооружений. Усиление строительных конструкций : материалы YI научно-методической конференции ВИТУ (14 марта 2002 года). - СПб. : ВИТУ, 2002. - С. 86-91.

3. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - М., 1956. -

600 с.

Статья поступила в редакцию 27.10.2008;

представлена к публикации членом редколлегии А. В. Индейкиным.

УДК 624.01/07 А. В. Индейкин

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ

Рассматривается задача об определении критических частот, соответствующих границам областей динамической неустойчивости внецентренно сжатых стержней при действии почти периодических продольных сил.

Установлено, что эффекты, связанные с кручением стержней, оказывают незначительное влияние на динамическую устойчивость, которым всё же нельзя пренебречь.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительстВб

Показано, что при фиксированном значении постоянной составляющей продольного усилия в стержне задача определения границ областей динамической неустойчивости сводится к анализу классической задачи Н. М. Беляева -В. В. Болотина.

параметрические колебания, динамическая устойчивость, строительные конструкции, тонкостенный стержень.

Введение

Внецентренно сжатые (сжато-изогнутые) колонны получили наибольшее распространение в каркасах промышленных зданий и входят в систему жестких поперечных конструкций здания (поперечных рам).

Колонны постоянного сечения применяются, например, для передачи продольной нагрузки от балок перекрытия, а также в цехах с мостовыми кранами грузоподъемностью 100-150 кН. Конструктивно они оформляются как сплошные или сквозные. Эксцентриситеты приложения продольной нагрузки являются весьма существенными.

Дифференциальные уравнения статических изгибно-крутильных деформаций внецентренно сжатого тонкостенного стержня имеют вид:

где u, V - перемещения центра изгиба А в направлении осей Ox и Oy; ф - угол закручивания;

EIx, EI , G Id, EIw - изгибные, крутильная и секториальная

<

жесткости сечения;

ах, ау - координаты центра изгиба;

ex , ey - координаты точки приложения продольной силы;

r, bх, b - геометрические характеристики сечения,

x

x

r

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

26

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

р x tV= x (x + y2)dF - ax;

2 !y F

py у (x 2 + y2)dF - ay

2 I F

x r

Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний стержней могут быть получены добавлением в правую часть уравнений сил инерции в виде распределенных нагрузок и моментов:

д2 и д2 j

qx = -m —— - ma '

д t2 д2 v

2

-y rs j2

qy = - m StF

m a

д t2

д2 j; ~3t2 ’

M A = - m Г

д2 j д2 и

—- - mav —-

д t2 y д t2

+ ma„

д2 v

Jt2

1 Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний в задаче о динамической устойчивости

Рассматривается случай внецентренного сжатия стержня продольной силой, являющейся почти периодической функцией времени:

N (t) = N0 + ^ NJ) cos pj t + N[j) sin pj t

j=i -

где N0 - постоянная составляющая;

pj - частоты колебаний, не кратные друг другу.

Задача исследования динамической устойчивости стержня (колонны) при задании нагрузки (3) актуальна в связи с тем, что нагрузка, передаваемая через перекрытия от оборудования или через подкрановые балки на колонны каркаса промышленных зданий, носит в основном полигармонический характер. В общем случае эта нагрузка представляет собой случайный процесс, однако в данной постановке задачи считается детерминированной.

Система дифференциальных уравнений изгибно-крутильных колебаний при этом принимает вид [1]:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительстВЗ

EI ^+N

EI

a z4 a v

a z

a2 a2и a2© л

1 m—- + m a —г- = 0;

a z

a t2

x a z4

N(t)Cr -N(tЖ -ex )^© + w aV - wa

a z

a z

N (t) (ay -e, ^ - N(t) (a ^ )^v+El

a t2

a ©

at2 " a7

a© -

=0;

a z

a z

ю /« 4

a z4

N(t) (r2 + 2 bxex

+

+2byey -Gl,

a© 2 a© aи ~ ~ _

'-mr —-+ma —- -ma —- = 0.

a2 v

a z

a t2

y 3 ^2

a t2

x ~ .2

at2

Функции перемещения при произвольном способе закрепления узлов могут быть представлены в виде:

и

k=i

¥ ¥

(^t) = Z Ц; WZ,- (z); v (z,0 = Z Vk (t)Z, (z);

k=1

¥

©

к=1

где Zt (z) - фундаментальные балочные функции, которые выражаются

через функции А. Н. Крылова.

В случае шарнирного способа закрепления концов стержня

Z

к p

где 1 k =

l

В этом случае система дифференциальных уравнений распадается на бесконечную совокупность систем трех дифференциальных уравнений:

mЩ- + may ^ + Ely 1 Ц -1 N(t)\_Uk + (a, -e,)Фк

a t

a2 v

m

a t

a t2

k a2 Фк

2~ - max^zr

= 0;

a t2

Elx 14 V -12 N (t) [Vk -(ax - ex) Фк 1= 0;

a2 и

a2 v

ma_

maa

k 2 a2 Фк

k 1 mr k

aa - aa a,- <E'-1; +G112)Ф-

a; N(t)[(a, -e,)U, -(a, -e,) V, +(r2 + 2b. e.+2b<=.)ф,

0

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

28

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

(k = 1,2,3,...).

Систему (7) можно представить в матричной форме записи:

d 2f

m D

dt

R k -1 2 N (t) S

fk = 0

f

где R k =

V

Ely 14 0 0

0

EIX14 0

0

0

EIw14 + GId 12y

f U k / (1 0 ay '

fk = Vk ; D = 0 1 - ax

V ф k 0 V ay - О r2 0

r

S =

1

0

0

1

ay - ^

\

V ay - e>

~

-(a - e ) r2 + 2 В e + 2 В e .

V x x у г x x ' y y 0

Собственные частоты колебаний при отсутствии продольной силы определяются из уравнения:

,2

det (Rk - m w2 D) = 0, критические силы - из уравнения

det(Rk-12 NS) = 0;

собственные частоты колебаний стержня, загруженного постоянной продольной силой,

det (Rk-12 N S-m W2 D) = 0.

2 Определение границ областей динамической неустойчивости

2.1 Общий случай

В случае загружения стрежня продольной почти периодической силой

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительств

N (t) = N0 + ^ NJ) cos pj t + N2) sin pj. t

j=1 L

= N0 + 1T [(cos P t) N1 + (sin P t) N2":

где 1T = (1,1,...); N1 и N2 - столбцы из коэффициентов N(J) и N2);

r cos p t 0 " r sin p11 0 Л

cos P t = cos p2 t ; sin P t = sin p21

V 0 cos pst 0 V 0 sinp,ij

Применив метод Бубнова-Галеркина, можно из системы (8) получить приближенное уравнение для определения критических частот, при которых возможен параметрический резонанс:

f

(

det

R

V

V

No + 2 n

\l S -1 m W DA

0 4 0

r

= det

R

N0 + 1T [ (cos P t) N1 +(sin P t) N2

1

12 S—mp2 D k 4 ^J

= 0.

В общем случае при почти периодической продольной силе возникают параметрические резонансы вблизи значений частот [2]:

V1 Р1 + V2 p2 +... + V=p, 2W;

V1 pi + v2 p2 +.•• + Vs=ps Wk1 ±Wk2.

Максимальных значений амплитуд динамические перемещения стержней достигают в режиме главных параметрических резонансов p1 = 2 Wk. Границы областей динамической неустойчивости при этом определяются выражением (13) для pj = px.

2.2 Частный случай стержня, имеющего две оси симметрии

Рассмотрим частный случай, когда сечение стержня имеет две оси симметрии и стержень загружен внецентренно приложенной продольной силой (рис. 1).

В рассматриваемом случае ex = 0; ax = ay = 0 и матрицы, входящие дифференциальное уравнение (8), имеют вид:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

30

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

(

R

S =

EI 1 к

y к

\

' 1

0

0

EI& 14 + GId 12 0

V-ey r 0

После подстановки этих матриц в уравнение (13) получим определитель - уравнение частот:

.2

(m±v) еу.

1 "(m±v)-Ь

где

m =

00

N.

Zey

1 -(m±n)Z-ZW

= 0,

z

n =

w= N= к V r2

s -6 bJI =2

У

N

(1)'

+

N

2 Nx

EL.

j 2 2

EI w Lr + G Id

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительств!

парциальные критические силы:

N = 1 EI ; N = 1 E I ; N = -1 ( E Elk + G Id);

x к у ’ y k x ’ j ^2 \ w k d J ’

wx, wy, Шф - парциальные частоты собственных колебаний;

r 2 = Ix + 1У

F

Для реальных конструкций колонн в большинстве случаев Z << 1. Тогда из уравнения (19) можно получить приближенные значения критических частот:

Pi.= 2 wxJ 1 -(m±v)-j37 з (m±v)k;

Z r ‘

P2. = 2w>J1 -(m±v)+1-z ^(miv)2.

Значения критических частот (20) соответствуют потере динамической устойчивости при изгибных колебаниях стержня, значения частот (21) - при крутильных.

Выражения (20), (21) целесообразно представить в виде:

P1*

= 2 W

_ v

1

1 m

z

1 -m (1 -Z)(1 -m) r

P2*

= 2 W . 1 m

v

z

1 -m (1 -Z)(1 -m) r

где Wx= wx V1 -m; Wy= wy V1 -m.

Оценим значение последнего слагаемого под радикалом в выражениях

(22) и (23). Для колонн, воспринимающих усилия от балок перекрытий, ey £ r . Вычислим значение Z для сплошной колонны трубчатого сечения,

геометрические характеристики которого:

F = p d 8; lx = ly 0,393 8 d3; lp = Ip 0=785 8 d3; Iw = | p3r58.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

32

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

d 1

Учитывая, что------по конструктивным требованиям, получим не-

1 15

зависимо от диаметра трубы d и длины колонны Z ~ 0,105:

с -с= o,i=i7.

i-с

e

При —^- = 1 и полученном значении Z выражения (22) и (23) получат г

вид:

Pi*= 2nxJ 1 + т~— (m±v)2;

У 1-m 1 -m

/ 1 - V 0,11^ / ч2

p2*= 2 1+1-m+1-m (m±v) .

На рис. 2 приведены границы области динамической неустойчивости в окрестностях P1* = 2 W при m = 0,2 и v = 0,05 ...0,15.

Рис. 2. Область динамической неустойчивости

2.3 Частный случай стержня, имеющего одну ось симметрии

Наиболее распространенным типом колонн промышленных зданий являются ступенчатые колонны, пригодные для восприятия тяжелых крановых нагрузок (грузоподъемность кранов 250-1500 кН).

Сечения таких колонн обладают одной осью симметрии (рис. 3, а, б, в).

a) x б) x в)

X 1 X X

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС Г : Т ___ 1—20Q&/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительстВЗ

Рис. 3. Типы поперечных сечений колонн

В этом случае в системе (7) выделяется второе уравнение, а оставшиеся образуют систему дифференциальных уравнений типа (8) при следующей структуре матриц:

Г

D

1 a.

У

a r2

\uy 0

(

R,

S =

EI 1 4

У к

V

' 1

0

0

EI& 14 + GId

ay - ^

Гу ~у ' "гу "'y 0

a - e r2 + 2 В e

v v r' v \

Для определения границ главных областей динамической неустойчивости составляется уравнение критических частот (13) в развернутом виде:

1 -

Pi2.

2

4w

-

p1

4<w

a

2

x

-

ay - ey

z P1* ay i(±)z^

2 2 ~^, 1 -(m±v)z

r 4 wx r V

2B e

1+JX_jl

-z

0

p1

4

= 0.

В частном случае e = 0 уравнение (29) принимает вид:

1 -(m±v)-

ayz

P12*

4 w

a

= 0.

1 -z

откуда определяются значения критических частот:

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

34

Транспортное, промышленное и гражданское строительство

Р*1 =

2

2 w

\

, ч Z а 1 -(m±v)—-v ; 1 -z r

2

y.

2 ’

, 4 Z a

1 -(m± v)+—-— v ; 1 -z r

2

2 '

Если Z << 1, определяющей является область динамической неустойчивости

Р

1 = 2 (йг ^1 -(m±v) =2 njl+j-m

Анализ динамической неустойчивости стержней в этом случае аналогичен анализу, приведенному в п. 2.2.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4

Транспортное, промышленное и гражданское строительстВб

Заключение

1. Анализ динамической устойчивости внецентренно сжатых элементов строительных конструкций при действии полигармонической составляющей продольного усилия позволяет сделать вывод о том, что наиболее опасными, как и в случае периодического характера изменения переменного усилия, являются области динамической неустойчивости, расположенные вблизи удвоенных частот поперечных колебаний стрежня, загруженного постоянной составляющей продольной силы (соотношение частот Р*j = 2 W).

2. В реальных случаях, несмотря на относительно малое влияние на критические частоты крутильных колебаний стержня, полностью исключить из рассмотрения это влияние не представляется возможным.

3. Уменьшение значений эксцентриситетов внецентренно сжатых стержней, если оно не превосходит половины высоты или ширины сечения, не приводит к существенному сужению областей динамической неустойчивости.

Библиографический список

1. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - М. : Госте-хиз-дат, 1956. - 536 с.

2. Учет взаимодействия вынужденных продольных и параметрических колебаний при определении сейсмической реакции нагруженных колонн / А. В. Индейкин // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2002. - № 6. - С. 19-21.

Статья поступила в редакцию 02.10.2008;

представлена к публикации членом редколлегии И. А. Ивановым.

УДК 624.19 А. П. Ледяев

ПОДЗЕМНОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОБЛЕМ ГОРОДА

Рассматриваются вопросы улучшения транспортной ситуации в крупных городах. Решение этой проблемы предлагается на основе развития подземных автомагистралей, в том числе протяженного типа. Приводятся примеры реализации данных подземных сооружений в Санкт-Петербурге.

подземные автомагистрали, протяженные автотранспортные тоннели, использование надтоннельного пространства.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/4