О сложности реализации булевых функций из инвариантных классов клеточными схемами ограниченной высоты с кратными входами

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 4 (1), с. 225-231

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ ИНВАРИАНТНЫХ КЛАССОВ КЛЕТОЧНЫМИ СХЕМАМИ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ С КРАТНЫМИ ВХОДАМИ

© 2012 г. А.Ю. Яблонская

Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова

уаЫошкауа. alexandra@gmail. сот

Поступила в редакцию 17.04.2012

Рассматривается модель клеточных схем ограниченной высоты с кратными входами и устанавливается асимптотическое поведение функции Шеннона для площади клеточных схем, реализующих функции из ненулевых инвариантных классов.

Ключеввк слова: клеточные схемы, ограниченная высота, кратные входы, инвариантный класс, асимптотика, функция Шеннона.

Введение

В данной статье исследуется одна из математических моделей интегральных схем - модель клеточных схем (КС), построенных из коммутационных и функциональных элементов. Считаем, что элементы КС расположены на плоскости, входами схемы помечены входы элементов на границе схемы, и, как правило, каждый вход встречается в схеме не более одного раза. Критерием сложности схемы является занимаемая ею площадь. Эта модель дает хорошее приближение к реальным интегральным схемам с точки зрения их геометрии, способов трассировки (соединения функциональных элементов схемы между собой) и т.д.

Впервые модель КС была предложена Кравцовым С.С. в [1]. В его работе был установлен порядок функции Шеннона, характеризующей сложность (площадь) реализации самой сложной функции алгебры логики (ФАЛ) от п булевых переменных (БП) в модели КС при п, стремящемся к бесконечности. Позже, в работе [2], было доказано существование асимптотики вида 02п для данной функции Шеннона, а в [3] приведен пример одного базиса КС, в котором удалось указать асимптотику функции Шеннона в явном виде. Для произвольного же базиса КС явный вид асимптотики до сих пор не найден. В данной работе для функции Шеннона, характеризующей площадь КС ограниченной высоты в стандартном базисе с кратными входами, расположенными только на одной из сторон схемы, которые реализуют функции из ненулевого инвариантного класса, установлена асимптоти-2п

ка вида С ----, где константа С зависит от ин-

^ п

вариантного класса (см. также [4]).

Описание модели и определения 1

Схема из клеточных элементов (см. [1, 2]) представляет собой плоскую прямоугольную решетку, в каждой клетке которой расположен один из элементов схемы. Размеры всех элементов одинаковы и принимаются за 1. Элементы могут быть как функциональными, то есть реализующими некоторую ФАЛ от своих входов, так и коммутационными, служащими для передачи сигнала к соседнему элементу с возможным изменением направления.

В данной работе рассматриваются плоские прямоугольные схемы над базисом Б0, состоящим из трех коммутационных элементов - разветвление, пересечение, изолятор - и из трех функциональных элементов, реализующих ФАЛ конъюнкция, дизъюнкция, отрицание. Базис Б0 является полным в классе КС в том смысле, что произвольную ФАЛ можно реализовать КС высоты 2 над этим базисом (см. [6]). Каждый из элементов базиса может быть повернут в плоскости на угол, кратный 90 градусам. В качестве входов и выходов схемы берутся входы и выходы элементов, расположенных на ее границе. Функциональные элементы соединяются между собой с помощью коммутационных элементов так, чтобы полученная схема представляла собой схему из функциональных элементов (СФЭ). Считаем, что КС реализует те же функции алгебры логики, что и соответствующая ей СФЭ.

Назовем КС односторонней схемой, если ее входные переменные могут подаваться только на одну границу схемы. Назовем КС схемой с кратными входами, если каждая ее входная переменная может подаваться в схему многократно. Исследуем односторонние КС с кратными

XV у у

Рис. 1. Базис Б0, над которым строится КС

входами (ОКСКВ) фиксированной высоты. Дадим практическое обоснование этой модели. Пусть имеется n параллельных проводников, по которым передаются значения БП xi,..., xn. Ниже, под этими проводниками, располагается КС, на верхнюю границу которой могут подаваться БП, идущие выше. Выход КС находится в правом нижнем углу схемы. Интерес к такого рода схемам обусловлен, прежде всего, тем фактом, что в реальных схемах функциональная часть, как правило, разбивается на блоки, соединенные между собой несколькими линиями передачи данных, и коммутация функциональных блоков может занимать достаточно большую часть схемы. Рассматриваемые схемы дают возможность проводить попутные, вспомогательные вычисления по ходу передачи сигналов, занимая лишь небольшую дополнительную часть площади всей схемы. В реальных схемах ОКСКВ могут встретиться в случае, когда по некоторой шине передается несколько сигналов, и в процессе передачи требуется проверить целостность передаваемых сигналов. Вполне очевидным требованием является наложение ограничения на высоту ОКСКВ.

Определим функцию Шеннона для площади ОКСКВ. Обозначим высоту схемы 2 через h(2) , ее длину - я.(4 а площадь A(z) = h(l)^(l) и будем считать, что h(E)< Х(Е). Пусть Р2 -множество всех ФАЛ от БП из счетного алфавита X = {x1,x2.}. Для некоторого класса функций Q, Q с Р2, обозначим за Q(n) множество функций из Q, зависящих от n переменных x1,.,xn. Напомним, что для любой ФАЛ f е Р2 существует схема 2f высоты h(2 f )= 2, реализующая эту функцию f [6], а значит, для любого h > 2 определена функция Ah(f), равная наименьшей из площадей A(2) где минимум берется по всем КС 2 высоты h, реализующим f Функция Шеннона Ah(Q(n)) для площади ОКСКВ высоты h в классе ФАЛ Q равна максимальной из площадей Ah(f), где максимум берется по всем ФАЛ f из Q(n):

Ah

f eQ

Тиунчик А.А. в работе [6] доказал, что в таком же базисе коммутационных элементов и

произвольном полном базисе функциональных элементов соответствующая функция Шеннона для реализации ФАЛ от п БП имеет порядок

роста

2 2п

log n'

Напомним (см. [7]), что класс Q, Q с Р2, называется инвариантным классом тогда и только тогда, когда Q замкнут относительно операций добавления и изъятия фиктивных переменных, переименования (без отождествления) переменных и подстановки констант вместо переменных. Определим для Q, Q с Р2, мощностную последовательность

log I Q(n)|

Or, \п

(n ) = -

2n

Если существует предел lim оQ (n) = оQ, то

Q Q

величина Oq называется мощностной характеристикой класса Q. Известно (см. [7]), что если Q - инвариантный класс, то 3

оQ (n) М оQ , где оQ е [0,1], и

оQ (n)= оQ (l + e(n)), где e(n) М 0 при n ^ да. Инвариантный класс, характеристика которого больше нуля, называется ненулевым инвариантным классом.

Зафиксируем некоторое h > 3 и базис Б0 клеточных элементов. В данной работе для функции Шеннона Ah(Q(n)), определенной равенством (1), в любом ненулевом инвариантном

h2n

классе Q получена асимптотика вида оQ --------.

Q log n

Нижняя оценка

Лемма 1 (Нижняя оценка). При h > 2 для ненулевого инвариантного класса Q справедлива

4

следующая асимптотическая нижняя оценка для функции Шеннона Ah(Q(n)):

h2n

Q 1---•

log n

Доказательство. Подсчитаем число схем высоты h и длины X от n БП, которые можно построить в рассматриваемой модели, учитывая тот факт, что переменные подаются только на верхнюю границу схемы. Выберем те позиции на границе схемы, где будут располагаться вхо-

ды схемы, и те переменные, которые на них подаются. Заметим, что к каждому элементу схемы, расположенному на ее верхней границе, можно подвести одну из п переменных. Далее произвольно заполним всю схему клеточными элементами. Таким образом, с учетом возможных поворотов базисных элементов, имеем 21 вариант заполнения каждой клетки схемы и (п + + 1)х21йх вариантов построения всей схемы. Так как число различных схем должно быть меньше числа различных ФАЛ, которые они реализуют, то из определения функции Шеннона и полученной верхней оценки числа схем указанного типа вытекает следующее неравенство:

(п +1)^21^ = ((и +1)21*)Х > 2Пе2” .

Решая это неравенство относительно X, получим

Тогда выполнено следующее равенство:

Х>-

аq2"

ihi

а е 2 И

log

аq2n Г1 _ О^,

log n [ log n /

откуда следует, что

h2 ^ _ О

AhQ(n))> hi >

Q

log n I log n

= 0.

Доказательство. Положим I(Т) = ^ е(/)2^Т ,

t=l

выберем параметр q = [Т/2] и разобьем сумму

д-1 Т

для 1(Т) на две части: 1(Т) = Х^(')2'-Т + 5»^.

t=1 t=q

Функция е(?) монотонно не возрастает, а следовательно, е(?) < е(1) при 1 < I < д - 1 и е(?) < е(д) при t > д. Тогда

I(Т)< 2^Т.

t=1 t=q

Подсчитаем сумму геометрических прогрессий в последнем неравенстве:

тд о тТ+1 тд тд

1(Т)< 6(1) 22-2 + ф) I--2- < в(1) 2, + 2«) =

n2Lr/2J Г

= є(і) ~2т~ + 2є

,2 + 2Є Г _ 1

Тем самым лемма 1 доказана.

Верхняя оценка

Получим асимптотическую верхнюю оценку вида (2) для функции Шеннона Ан^(п)). Для этого возьмем произвольную ФАЛ f из ненулевого инвариантного класса Q и построим для нее ОКСКВ, площадь которой асимптотически не больше, чем правая часть (2). Положим в основу доказательства разложение из работы [8].

Напомним некоторые определения из [8]. Множество наборов (а1,а2,^,ай), (а1,а2,^,ай), ..., (а1,а2,^,ай) называется сферой с центром (а1,а2,^,а^). Как обычно, характеристической функцией множества наборов называется функция, равная единице только на наборах, принадлежащих этому множеству. Заметим, что характеристическая функция (х17г2,--Л) сферы с центром (а1,а2,.,а^) может быть задана формулой

]=1

Докажем для начала три вспомогательные леммы.

Лемма 2. Пусть Q - инвариантный класс, ^(и) - мощностная последовательность класса Q, а OQ - его мощностная характеристика, причем ^(и) = OQ (1 + е(п)), где е(п) \1 0 при п ^ да.

Правая часть неравенства стремится к нулю при T ^ да, а значит, lim l(t) = 0 . Лемма 2 дока-

T

зана.

Лемма 3. Пусть fxb...,xc) - произвольная функция из инвариантного класса Q и пусть 5 < 2е. Тогда существует разбиение множества наборов единичного куба Bc на подмножества Ab...,AN,

Г 2е 1

где N = — , AI = AN-1| = 5, AN = 5 < 5, такое,

5

что столбец функции f на подмножестве Ai, 1 < i < < N - 1, может принимать не более чем

/^Oq5(1+£(5)) v.» / \ Г\

2 Q значении, где е(5) ^ 0 при 5 ^ да.

Доказательство. Построим разбиение куба Bc, удовлетворяющее условию леммы. Пусть (t1,...,tk) - разложение числа 5 по степеням двоики, то есть

5 = 2tl +... + 2tk, где t1 >... > tk. Выделим из упорядоченного в лексическом порядке множества наборов куба Bc последовательные отрезки Aj длины (мощности) 2tj, где

для каждого i = 1,...,k j пробегает значения 1,. ,(N-1), а оставшиеся 5' наборов объединим в отрезок An.

На каждом отрезке A/ длины 2tj значения первых n - tj переменных зафиксированы. Таким образом, на отрезке A/ столбец значении функции f(x1,.,xc) совпадает со столбцом значении некоторои функции из инвариантного класса Q(tj), и поэтому число таких столбцов не

больше, чем 2“е (tj )2 .

Определим подмножества А1,..., AN-1 множества наборов куба Bc, сгруппировав некоторые

отрезки А/, следующим образом:

k ~

At _ U А ,1 < i < N -1.

j=i

Подмножества А1,..., AN образуют, очевидно, разбиение множества наборов куба Bc.

Из сказанного выше следует, что число различных столбцов значений функции J{x1,.,xc) на подмножестве Ai не превышает величины

L(s) (t1)2 12 (tk)2 k

Воспользовавшись равенством из условия леммы, определяющим характеристику oq инвариантного класса Q, получим

log L(s) _ CTq (l + s(ii ))2'1 + CTq (l + s(i 2 ))2'2 +... +

+ Qq (l + s(ik ))2k _ CTq (s + s(ii )21 + s(i2 )2 2 +... +

где

+ E

~(s) s(ti)2t1 , s(t2)2t2 +... + s(tk)2tk

B(t )2t

2t1 + 2t2... + 2tk

te(t1,-,tk}

te(ti,...,tk}

2tl + 2t2... + 2tk

< £в(г)2<£е(?)2'Л

/£{/,,...,} г=1

Так как г1 ^ да при 5 ^ да, то, согласно лемме 2, правая часть последнего неравенства и, следовательно, є (5), стремятся к нулю при 5 ^ да. Таким образом, для величины ¿(5) получим

т

следующую оценку: ¿(5)< 2 2 , где

є(5) ^ 0 при 5 ^ да. Лемма 3 доказана.

Замечание. Число различных столбцов значений функции У(х1,_,хс) на подмножестве Ам

25'

.

Лемма 4. Дизъюнкцию Fv вида Ц1 v^.vua^k можно реализовать ОКСКВ высоты один и длины не больше, чем (к+1).

Доказательство. Упорядочим переменные в дизъюнкции Fv таким образом, чтобы первыми подавались переменные с отрицанием, если они есть:

К = V“ v ••• v v Уи+1 v ... v Ук =

= V, & . & V V V , V ... V V, .

1 т т+1 k

Схема, реализующая дизъюнкцию FV указанной формулой, изображена на рисунке 2. Лемма 4 доказана.

Рис. 2. Реализация дизъюнкции схемой высоты 1

Следствие. Конъюнкцию F& вида

Uj“1 &... &ul” можно реализовать ОКСКВ высоты один и длины не больше, чем (”+1).

Лемма 5 (Верхняя оценка). При h > 3 в базисе Б0 для ненулевого инвариантного класса Q справедлива следующая верхняя оценка функции Шеннона Ah(Q(n)):

Ah (Q(4 < Oq

h2n log n

Доказательство. Пусть / (х1,., хп) е Q. Построим для f ОКСКВ Е . высоты к > 3, длина

которой асимптотически не больше ------------. Для

log n

этого модифицируем разложение ФАЛ f построенное в работе [8], и построим его вложение в ОКСКВ высоты h > 3.

Разобьем набор переменных (xb...,xn) на четыре набора (xb...,xa), (xa+b...,xa+fe),

(xa+b+b* •-r^a+b+cX (xa+b+c+1,.,xa+b+c+d) и обозначим их через р ,р,р, и соответственно, где a +

+ b + c + d = n и d = 2d - степень двойки. Все

r\ d

наборы длины d разобьем на —- попарно не

d

пересекающихся сфер ([8], лемма 3) с характе-

2 d

ристическими функциями ф, (р), 1 < i < —.

i d

Пусть (р> ~ ) _ Фі (р )f (р Р,р > р ). Тогда

f (р, ~,р, ~) _ V к ~ (р )к ~ (р )f(р, ~),

/,о,р

где, как и в дальнейшем, дизъюнкция берется по всем 1 < i < d ,0 Є Ba ,р Є Bb . Функция f.gp (р, и) принимает значения, отличные от нуля, лишь на

наборах вида (q a+b+1 , • • • , Qa+b+c , а(,) , —, j ,

aj+1,...,а^), где (а(,),...,а^) - центр i-й сферы,

1 < j < d, и поэтому может быть задана матрицей M с 2c строками и d столбцами. Строки M соответствуют наборам значений (oa+b+1,., oa+b+c), а столбцы - наборам i-й сферы. Столбец матрицы M с номером j представляет собой столбец значений функции

W „(0 TïW „М „М

о,р,ха+,+1...X+b+c,a1 _, a\',aj ,aj+1

из инвариантного класса Q(c).

,.,a d))

2

Возьмем некоторый параметр 5 < 2е и разобьем множество строк матрицы М, то есть куб Вс, согласно лемме 3, на подмножества А1,... АЛ, где = ••• = Ал-1 = 5, |Ал| = 5' < 5, такие, что число различных столбцов ~, которые могут встретиться в матрице М на подмножестве строк Ак (здесь, как и в дальнейшем, k пробегает

значения “,...,(N-1)), не больше 2‘

где

е (5)^ 0 при 5 ^ да, а на подмножестве строк

Ал - не больше 2 5.

Пусть функция /¡ърк (~, и ) принимает значения, отличные от нуля, только на подмножестве Ак и совпадает на Ак с (~, и ), а функция /¡5рк~ (~, и ) принимает значения, отличные от нуля, только на группе В15~к~ столбцов, равных 5 (на подмножестве Ак), и совпадает на

В,

о,р,к,т

Ла,Р,к

может быть представлена в виде

,~(р>р)=ф, (р )/і(рг),р,і,~(р )А*,р,к,~(р).

где /¡ъркр(р) - функция, в матрице которой все столбцы равны р на подмножестве Ак и состоят из нулей вне Ак, а /!~ркр(р) представляет собой дизъюнкцию |в,Эркр| переменных

из группы и или их отрицаний, которая равна единице только на наборах і-й сферы, соответствующих столбцам из В, 5 р к р.

Таким образом, функцию / можно представить формулой

/ (р ,у ,р,р ) =

= V Кр (р )кр (р )Ф,(р)у(,р (р Щ* ,р (р) =

ї,о,р,к,х

= V ф,

і,р,к ,х у р

Обозначив через Dрt(р) отрицание конъюнкции Кр(р), то есть дизъюнкцию вида Vе1 v_v, и заметив, что для произвольного р0

V К р (р0 )fi'Lk ,р (р)=&(^р(р0)v /!^),р,к ,р (р)), р р

получим окончательную формулу для функции /.

у (р ,р ,р, р) =

= V ф, (р)Кр (рШ (р)& (^р,(р) v Дкк,р (р)).

і,р,к ,х р

Покажем, как можно вложить построенное разложение функции / (р ,р ,р, и ) в КС £ у высоты 3 над рассматриваемым базисом (см. рис. 1). Занумеруем ряды схемы сверху вниз и построим схему £ у следующим образом. В первом и

втором рядах схемы расположим подсхемы Е,5кТ, где параметры пробегают все стандартные значения, а в третьем ряду соберем дизъюнкцию этих подсхем.

Подсхема Е15к~ при фиксированных значениях ,,5, к, ~ реализует формулу

Ф,

Р

и разбивается на четыре последовательно соединенные части, реализующие соответствующие сомножители указанной формулы. Функция ф,(5) реализуется по формуле (3) так, что в первом ряду генерируются конъюнкции от переменных ха+ъ+с+1,..., ха+ъ+с+а, преобразованные согласно следствию из леммы 4, а во втором ряду они собираются в общую дизъюнкцию. Конъюнкция К5 (р) реализуется так, что в первом ряду получаются необходимые отрицания входных переменных х1,., ха, а во втором ряду они собираются в общую конъюнкцию. Функция /к ~(р) реализуется по своей совершенной

конъюнктивной нормальной форме, где в первом ряду генерируются дизъюнкции от переменных ха+ъ+1,..., ха+ъ+с, преобразованные согласно лемме 4, а во втором ряду они собираются в общую конъюнкцию. И, наконец, функция & ^ (р) V /'¡(д,р,к,р (Р)), преобразованная 5

согласно лемме 4, реализуется так, что в первом ряду получаются дизъюнкции для каждого значения р, а во втором ряду они собираются в общую конъюнкцию.

Схема Еу построена, а ее длина удовлетворяет следующим соотношениям (рис. 3):

^,,5,к ,р)<

< а(а +1) + 2е (с +1) + 2Ь (Ь +1)+2 В, >.(Е , ) =

і,р,р,к,х

+ а,

рєВЬ

ІШ^лірЬ -¡2аІ 2І^

і=1 аєВа к=1 х

а ( N

а

V к=1 х [ N ( \

= — 2а а

і,а,р,к,х

221Я в.

у к=1 реВъ V ~

+ 22(а(а +1) + 2е (с +1) + 2ъ (ъ +1) + а) .

к=1 5 у

Поскольку 2 |в, 5 р к 5 | = а при фиксирован-

5

ных ¡,5,5, к, то последнее равенство можно продолжить:

а

2

а

/{1(2]

___ІЛ.________^ ________-V________

V V ... & & & & & &

+ Ж *—» V-

Рис. 3. Построение схемы 2 f

i \ 2й

A,

d t=i >

+ 2c (c +1) + 2b (b +1) + a).

Так как число столбцов > на подмножестве

Ak, 1 < k < N-1, не больше, чем 2nQs(1+s(s^,

где

е (^) ^1 0 при 5 ^ да, и не больше, чем 2s, на подмножестве строк AN, то

ф f ) < 2а (N 2b d + ((N -1)2

П„і

+ 25 x

x (d(d +1) + 2c (c +1) + 2b (b +1) + а)) <

(о c (

r\ d

< —2а d

2c

—2bd + 5

2

—2 ”e' 5

П„і

+ 25 Jx

ЛЛ

d(d +1) + 2c (c +1) + 2 (b +1) + а

/J

Положив

d = 2 Llog nJ-1, c = |_2log log n J b = [2 log;

= -1- [logn - 2log log)

Gn

получим оценку

ф f ) < —2а —2bd:

d s s Q log n

Лемма 5 доказана.

Теорема. При h > 3 для ненулевого инвариантного класса Q справедлива оценка для функции Шеннона A (Q(n)):

A (Q(n)) ~aq .

log n

Утверждение теоремы непосредственно вытекает из леммы 1 и леммы 5.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Примечания

1. Те понятия, которые не определены в данной работе, см., например, в [5].

2. Здесь и далее логарифм берется по основанию 2.

3. Запись a(n) ^ a обозначает тот факт, что последовательность a(n), монотонно не возрастая, стремится к пределу а при n ^ да.

4. Неравенство a(n)> b(n) означает, что существует последовательность s(n) ^ 0 при n ^ да, такая, что выполнено равенство a(n) = b(n)(1 + s(n)). Асимптотическое равенство a(n) ~ b(n) верно, если a(n) > b(n) и b(n) > a(n).

Список литературы

1. Кравцов С.С. О реализации функций алгебры логики в одном из классов схем из функциональных и коммутационных элементов // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1967. Вып. 19. С. 285-292.

2. Альбрехт А. О схемах из клеточных элементов // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1975. Вып. 33. С. 209-214.

3. Грибок С.В. Об одном базисе для схем из клеточных элементов // Вестник Московского Университета, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 1999. № 4. С. 36-39.

4. Улесова А.Ю. О сложности односторонних клеточных схем фиксированной высоты с кратными входами // Материалы XVI Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Н. Новгород: Издательство Нижегородского госуни-верситета, 2011.

5. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем // М.: Издательство МГУ, 1984.

6. Тиунчик А.А. О реализации функций алгебры логики клеточными схемами ограниченной ширины // Методы дискретного анализа в решении экстремальных задач. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. Вып. 50. С. 73-83.

7. Яблонский С.В. О невозможности элиминации перебора всех функций из Р2 при решении некоторых задач теории схем // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 1. С. 54-62.

8. Лупанов О.Б. О реализации функций алгебры логики формулами из конечных классов (формулами ограниченной глубины) в базисе &, v, - // Проблемы кибернетики. М.: Физматгиз, 1961. Вып. 6. С. 5-14.

х

ON IMPLEMENTATION COMPLEXITY OF THE BOOLEAN FUNCTIONS FROM INVARIANT CLASSES BY CELL CIRCUITS WITH LIMITED HEIGHT AND MULTIPLE INPUTS

A.Yu. Yablonskaya

A model of cell circuits with a limited height and multiple inputs is considered. An asymptotic behavior of the Shannon function is established for the area of cell circuits implementing functions from the nonzero invariant classes.

Keywords: cell circuits, limited height, multiple inputs, invariant class, asymptotics, Shannon function.