Особенности методики построения системы задач для изучения темы «Логарифмы. Логарифмические уравнения»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожекина, Т.В., Никифоров, Г.Г. Пути реализации связи с математикой в преподавании физики // Физика в школе. 1982, № 3. — С. 38.

2. Минаева, А.М. Использование межпредметных связей в преподавании математики в техническом вузе // Международный студенческий научный вестник.- 2015. - № 5-3.- С.331- 334.

3. Гурьев, Л. Методологические основы построения и реализации дидактической системы межпредметных связей в курсе физики средней школы. Челябинск, 2002. - 372 с.

4. Синяков, А. З. Об использовании понятия производной в курсе физики в средней школе // Физика в школе. - 1976. № 4, - 37с.

5. Коробов, В. А., Опыт применения математики в преподавании физики // Физика в школе. - 1991. № 4. - 23 с.

6. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1. - С. 73-80.

7. Ляхова, Н.Е. Применение производной в элементарной математике // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2010. -№ 1. - С. 49-56.

И.В. Яковенко, О.А Лисаченко

ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

Аннотация. Статья посвящена вопросу методики изучения темы «Логарифмы. Логарифмические уравнения» в школьном курсе математики. Представлены основные положения ФГОС средней школы по математике. Приведен сравнительный анализ по изучению указанной темы в рамках различных учебных программ. Рассмотрены и проиллюстрированы основные критерии и требования по составлению задач для уроков математики по теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения».

Ключевые слова: логарифмы, методика изучения математики, задачи.

I.V. Yakovenko, O.A Lisachenko

FEATURES OF METHODOLOGY OF CONSTRUCTION OF THE SYSTEM TASK TO LEARN THE TOPIC "LOGARITHMS. LOGARITHMIC EQUATIONS"

Abstract. The article is devoted to methods of studying the topic "Logarithms. Logarithmic equations" in the school course of mathematics. The main provisions of the FSES secondary school mathematics. Comparative analysis for the study of this subject within various curricula. Reviewed and illustrated the basic criteria and requirements for drawing up objectives for the mathematics lessons on the topic "Logarithms. Logarithmic equations".

Key words: logarithms, equations, the methodology for the study of mathematics, tasks.

Математические знания необходимы человеку практически в любой сфере деятельности, и эта необходимость положительно сказывается на развитии науки и техники. Математика на протяжении всего времени обучения в школе постоянно помогает обучающимся выяснять все стороны взаимосвязей в окружающей жизни, позволяет применять на практике изучаемые теоретические положения. Овладение практически любой профессией невозможно без математических знаний. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в современном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

Одной из тем в курсе математики в средней школе является тема «Логарифмы». Тема является укоренившейся в курсе алгебры средней школы, но очень непросто дается учащимся из-за подачи многообразия материала.

Однако овладеть методикой решения логарифмических уравнений очень важно, так как повышаются умственные и творческие способности обучающихся, приобретаются первые навыки исследовательской работы, обогащается математическая культура обучающихся, развиваются способности к логическому мышлению, происходит повторение, расширение и более глубокое усвоение учебного материала.

Чтобы обучающиеся смогли успешно сдать ЕГЭ по математике, необходимо уделять достаточное внимание решению логарифмических уравнений на уроках. При изучении указанной темы на уроках алгебры продуктивная учебная деятельность школьников, заинтересованность их темой возможна только при условии использования на уроках определенных приемов, комплекса задач и упражнений, направленных на снятие и преодоление психологических барьеров, пробуждение интереса к математике и т.д.

Эта тема непростая с учетом малого количества времени, отведенного на ее изучение, и требует особого подхода с учетом ФГОС СОО, вступившего в силу 17 мая 2012 г.

ФГОС требует три составляющие результата усвоения предмета [1]:

1. Личностный. Обеспечивает ценностную ориентацию обучающихся: знание моральных норм и умение им следовать, взаимопомощь, правдивость, ответственность.

2. Метапредметный. Обеспечивает обучающемуся организацию учебной деятельности: целепола-гание, планирование, контроль, саморегуляция, самооценка.

3. Предметный. Обеспечивает применение в учебных, учебно-проектных и социально-проектных ситуациях умений, освоенных в ходе изучения учебных предметов; формирование научного типа мышления; владение научной терминологией, методами и приемами.

Методологической основой стандарта является системно-деятельностный подход, который обеспечивает «проектирование и конструирование развивающей образовательной среды образовательного учреждения, активную учебно-познавательную деятельность обучающихся» [1].

Согласно ФГОС одними из результатов освоения основной образовательной программы по математике должны стать:

- сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий,

- владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательственные рассуждения в ходе решения задач,

- владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстраций решения уравнений и неравенств [1].

Как было отмечено выше, тема «Логарифмы. Логарифмические уравнения» - одна из обязательных тем в курсе алгебры средней школы. По существующим в настоящее время программам по математике на изучение логарифмов и логарифмической функции в средней школе отводится разное место в курсе алгебры и начал анализа 11-го класса и очень малое количество часов.

Так, в учебнике А.Г. Мордковича тема «Логарифмы. Логарифмические уравнения» изучается в главе 7 «Показательная и логарифмическая функция» параграф 41 «Понятие логарифма» и параграф 44 «Логарифмические уравнения». На изучение темы отводится 5 часов. В учебнике С.М. Никольского она изучается в главе 1 «Корни, степени, логарифмы» параграф 5 «Логарифмы» и параграф 6 «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» пункт 6.2 «Простейшие логарифмические уравнения». На изучение темы выделяется 2 часа. В учебнике А.Ш. Алимова тема представлена в главе 4 «Логарифмическая функция» параграфы 15 - 19. В учебнике Н.Я. Виленкина - в главе 8 «Показательная, логарифмическая и степенная функции» параграф 2 «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» пункты 3 - 4. И в учебнике А.Н. Колмогорова тема изучается в главе 4 «Показательная и логарифмическая функции» параграф 10 «Показательная и логарифмическая функции» пункты 37 - 39. На изучение темы отводится 6 часов. Итоговая информация по изучаемой теме представлена в Таблице 1

Таблица 1.

Распределение учебных часов по теме «Логарифмы» в школьных учебниках

№ п\п Автор Название учебника Количество часов по данной теме

Параграф Часы

Понятие логарифма 1

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. В 2 частях (базовый уровень). - 14 изд., стер. -М.: Мнемозина, 2013. - 271 с. Свойства логарифма 1

1 Мордкович А.Г. Логарифмические уравнения 2

Переход к новому основанию логарифма 1

2 Никольский С.М. и др. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник. Понятие логарифма 1

Базовый и профильный уровни. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 430 с. Свойства логарифма 1

Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г. -384 с. Логарифмы и их свойства 2

3 Колмогоров А.Н. и др.

Решение логарифмических уравнений 2

4 Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. Учебник (базовый уровень). - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с. Логарифмы 1

Свойства логарифмов 1

Десятичные и натуральные логарифмы 2

Логарифмические уравнения 2

5 Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (базовый и профильный уровни). - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 368 с. Логарифмы 1

Свойства логарифмов 1

Десятичные и натуральные логарифмы. 3

Логарифмическая функция ее свойства и график 2

Логарифмические уравнения 2

Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности. Задачи в изучении математики играют важную роль: это цель и средство обучения. Способность учащегося решать задачи - это показатель его обученности и развития. С другой стороны, в обучении математике задачи имеют развивающее и воспитательное значение: они способствуют развитию алгоритмического и логического мышления у детей, приобретению практических навыков применения математики, развивают пространственное воображение.

В методической литературе можно встретить следующие требования, предъявляемые к задачам:

- целостность, т.е. наличие явных и скрытых предметно-содержательных и дидактических связей;

- предметно-содержательная полнота требований к нормативным уровням обученности по окончанию учебного курса, обозначенная в виде задач разного уровня сложности;

- дидактическая полнота или функциональная достаточность, позволяющая осуществлять обучающую, развивающую, воспитывающую, контролирующую, оценочную и прогностическую функции учебных задач.

По структуре учебные задачи современного урока можно разделить на задачи следующей направленности:

- создание ситуации успеха;

- создание ситуации разрыва;

- фиксация места разрыва в знаково-символической форме;

- формулировка учебной задачи обучающимися;

- рефлексия.

Чаще всего в методической литературе можно встретить следующую классификацию задач:

- задачи для изучение нового материала;

- задачи на применение знаний;

- задачи для обобщения и систематизации знаний;

- задачи на закрепление изученного материала.

В последнее время в методических исследованиях особое внимание уделяется конструированию различных «соединений» взаимосвязанных задач. Методистами и педагогами установлено, что самостоятельная задача не даст достичь основных целей обучения математике.

Некоторые методисты считают, что решение задач вызывает определенную умственную деятельность, которая обусловлена не только их содержанием, но и последовательностью их решения, количеством однотипных задач, комбинацией с другими задачами.

Поэтому изучив различные подходы к составлению системы задач, совокупность методов конструирования родственных задач можно изложить следующим образом:

- обобщение условия или требования задачи;

- составление задач, обратных исходной задаче;

- составление задач, аналогичных исходной задаче;

- составление задач, являющихся частными случаями исходной задачи;

- использование результатов решения предыдущей задачи в условии или решении последующей;

- составление задач, имеющих с исходной задачей одинаковый метод решения.

Задания по теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения» по содержанию можно классифицировать следующим образом:

- задачи на нахождение области определения;

- задачи на построение графика функции;

- задачи на обобщение знаний по нескольким темам.

Так же по теме «Логарифмы» можно выделить задания на определение логарифма, на применение его свойств, а также задачи, взаимосвязанные с другими темами курса математики [2].

Для решения задач по рассматриваемой теме в школе достаточно знать определение и свойства логарифмов.

Рассмотрим пример.

Решить уравнение: log2 (x + 5) = 2.

Для того чтобы решить данное уравнение, воспользуемся определением логарифма и найдем ОДЗ:

x + 5 > 0 ^ x >-5 •

Далее можно решать по определению:

x + 5 = 22

x = -1е

Это искомый ответ.

В данном примере для решения используется свойство логарифма.

Учитывая специфику темы и классификацию содержания задач, можно выделить следующие основные методы решения логарифмических уравнений:

- на основании определения логарифма;

- метод приведения к одному основанию (обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти;

- метод подстановки (обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований);

- метод логарифмирования;

- метод потенцирования (суть метода заключается в переходе от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их);

- графический метод [3].

Приведем примеры задач на некоторые методы [4,5,6,7,8]. Использование определение логарифма• Решить уравнение:

1. log3 x = -4,

2. log x 64 = 6,

3. log3(x +1) = 2 ,

4. log5 (5 + 3log2( x + 3)) = 3,

5. log3 x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

6. log4(sin x + sin2 x +16) = 2. Метод потенцирования Решить уравнение:

L log2(x +1) - log2( x -1) = L

2. log5(2 x + 3) = log 5 (x +

3. log2( x2 + 7 x - 5) = log2(4 x -1),

4. log 2+x (x2 + 7 x - 5) = log2+x (4 x -1). Метод подстановки•

Решить уравнение: 1 log2 x - log3 x = 2, 2. log7 x - log x 7 = 2,5,

1 - + -±- = 1,

3.

5 - lg x 1 + lg x log2 x - 2log3 x - 3 = 0,

5 logi6 x + log4 x + log2 x = 7. Метод логарифмирования. Решить уравнение:

1 x lg x = 10,

2. xlg x+3 = 10000,

3. xlog3 x-2 = 27.

Метод приведения к одному основанию. Решить уравнение: 1. log3 x - 2log3_! x = 6,

2 log 16 x + log4 x + log2 x = 7,

3.

log5 x + 2logx 5 = 3, log2 x-log05 x = 8,

4.

5. ^^ х + logз х = 6 - ^^ х.

Графический метод.

Решить графически уравнение:

1. log2 х = 3 - х

2. ^ х = х

3. х = -| х-1

4 log2 х = 4х

Стоит отметить, что большинство задач можно использовать в различных видах контроля.

- Текущий контроль. Целью является получение информации о соответствии знаний обучаемых планируемым результатам усвоения знаний, умений и навыков обучаемыми и помогает педагогу перестроить в нужном направлении учебный процесс.

- Тематический контроль. Выявляет степень усвоения определенной темы. На основании данных тематического контроля принимается управленческое решение. Делаются выводы о необходимости дополнительного изучения данной темы, если результаты контроля неудовлетворительны, либо переходят к изучению следующей темы, если результаты контроля неудовлетворительны. В тематическом контроле наиболее интересна информация о динамике усвоения обучаемыми материала раздела, о степени рациональности мыслительных процессов или алгоритмов, использованных для выполнения тестовых заданий.

- Рубежный контроль. Это возможность выявления результатов определенного этапа обучения. Важным показателем полноценности тематического и рубежного контроля является уровень сформированности навыков самоконтроля у обучаемых, умений осуществлять контроль над результатами собственной деятельности и корректировать ее в процессе выполнения заданий, предлагаемых педагогом. Новые возможности для формирования навыков самоконтроля открывают педагогические тесты.

- Итоговый контроль. Это оценка работы учащихся после прохождения всего учебного курса. Обычно формой итоговой оценки обучаемого являются его отметка на экзамене либо результаты выполнения итогового теста оценка работы учащихся после прохождения всего учебного курса.

Контролирующие задания могут быть в виде:

- стандартных упражнений,

- тестовых заданий,

- математического диктанта.

Контроль может содержать задания как одного типа, так и разного, выделенных отдельными структурными разделами.

В современном образовательном мире издается большое количество методической литературы, различных пособий с готовым банком задач по каждой те не все, к сожалению, соответствуют ФГОС СОО и требованиям, предъявляемым к задачам. Поэтому учитель-математик, особенно молодой, должен уметь разрабатывать, составлять и применять банк задач по любой теме, учитывая различные факторы в учебном процессе, такие как уровень базовых знаний обучающихся, их способность к восприятию нового материала и т.д.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ФГОС среднего (полного) общего образования (10-11 кл.) (утвержден приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012 г. № 413).

2. Ляхова, Н.Е. Использование ограниченности функций в школьном курсе математики / Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2015. № 1. - С. 3-10.

3. Ляхова, Н.Е., Яковенко, И.В. Методы решения уравнений и неравенств в задачах с параметрами: учеб. пособие/Н.Е.Ляхова, И.В. Яковенко; отв.ред. проф. А.А. Илюхин. -Таганрог: Изд-во Таганрог. ин-та имени А.П.Чехова, 2014. - 92 с.

4. Мордкович, А.Г., Семенов, П.В. Алгебра и начала анализа (профильный уровень). М.: Мнемозина, 2007 г. - 400 с.

5. Алгебра и начала математического анализа 10 класс. Учебник. Базовый и профильный уровни / Под ред. Никольского С.М. и др. 8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 430 с.

6. Алимов, А.Ш., Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. (базовый уровень). и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.

7. Виленкин, Н.Я., Ивашев-Мусатов, О.С., Шварцбурд, С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Издание: 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998 г. - 288 с.

8. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г. - 378 с.

9. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1986 г. - 120 с.

10. ФИПИ «Математика. Подготовка к ЕГЭ», 2016 г.

11. Мордкович, А.Г., Денищева, Л.О., Корешкова, Т.А., Мишустина, Т.Н., Тульчинская, Е.Е. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл.: Задачник для общеобразоват.учреждений. 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2007.- 400 с.

12. Александрова, Л.А. Алгебра и начала анализа. 11 класс. Самостоятельные работы: Учеб. Пособие для общеобразоват. Учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2006. - 96 с.

13. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов/ Под ред. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир - М.: Илекса, 2007, - 320 с.

14. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие. - Ростов Н/Д: Феникс, 2005.

15. Дорофеев, Г. В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. 2003. - № 6. - С. 34-39

16. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов пед. вузов и ун-тов.: Просвещение, 2002.

И.В. Яковенко, А.В. Вашурин

АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ ВИРТУАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛАБОРАТОРИИ

НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ

Аннотация. Данная статья посвящена вопросу применения виртуальной математической лаборатории на уроках геометрии в средней школе как одного из средств информационно-коммуникационных технологий. Представлены особенности использования подобных сред для обучения математике. Этапы работы в лаборатории проиллюстрированы заданиями по изучению некоторых геометрических фигур.

Ключевые слова: виртуальная математическая лаборатория, геометрия, методика преподавания математики.

I.V. Yakovenko, AV. Vashurin

ANALYSIS OF THE USE OF A VIRTUAL MATHEMATICAL LABORATORY

FOR GEOMETRY LESSONS

Abstract. This article focuses on the application of a virtual math lab for geometry lessons in high school as a means of information and communication technologies. Features of using such environments for learning mathematics. The stages of work in the laboratory is illustrated by the tasks on the study of some geometric shapes.

Key words: virtual mathematical laboratory, geometry, methods of teaching mathematics.

Целью применения виртуальных лабораторий в учебном процессе главным образом является развитие качеств личности: логическое мышление, пространственное воображение, точность мысли, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

В процессе развития ученик находится в постоянном изучении нового. Стоит сказать, что в некоторых случаях он получает готовую информацию, а в некоторых перед ним ставят проблемную ситуацию, разрешить которую необходимо путем проведения исследования.

Исследование в предельно широком смысле — это поиск новых знаний или систематическое расследование с целью установления фактов. Его можно проводить различными способами и методами, в зависимости от ожидаемого результата.

В процессе обучения для исследовательской работы эффективно использовать различные электронные ресурсы. Одним из видов таких ресурсов являются мультимедиа-ресурсы, которые позволяют представлять учебные объекты различными способами: текст, графика, фото, видео, звук, анимация. Таким образом, используются все виды восприятия, что способствует развитию мышления и практической деятельности ребенка.

Древняя китайская мудрость гласит: «Расскажи мне, и я забуду, покажи мне, и я запомню, вовлеки меня - и я пойму».