Линейные суммы и гауссова теорема умножения

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.3

ЛИНЕЙНЫЕ СУММЫ И ГЛУССОВЛ ТЕОРЕМЛ УМНОЖЕНИЯ 1

О. В. Колпакова, В. Н. Чубариков

Аннотация

Даны оценки линейных сумм с многочленом Бернулли первой степени. Если коэффициент в линейной функции является иррациональным числом с ограниченными неполными частными, то арифметическая сумма имеет "корневую" оценку. Подобную оценку дает теорема Рота для любого иррационального алгебраического числа, но при этом константы в оценках будут неэффективными. Новые трудности возникают для сумм по простым числам. Они связаны с рассмотрением билинейных форм.

Ключевые слово,: арифметические суммы, теорема Гаусса умножения для Гамма-функции Эйлера, функциональное уравнение гауссова типа, многочлены Бернулли, алгебраические числа, арифметические суммы по простым числам, теорема Рота.

Библиография: 24 названия.

LINEAR SUMS AND THE GAUSSIAN MULTIPLICATION THEOREM

O. V. Kolpakova, V. N. Chubarikov

Аннотация

Estimations of 1inear sums with Bernoulli po1ynomia1 of the first degree аге given. If the coefficient of the 1inear function is а irrationa1 number with the bounded partia1 quotients, the arithmetica1 sum has the "squaring" estimation. The Roth's theorem gives the simi1ar estimation for a11 a1gebraic number, but the constants in estimations be nonefficient. New difficu1ties appears for sums over primes. Their are connected with the consideration of bi1inear forms.

Keywords: arithmetica1 sums, the Gaussian mu1tip1ication theorem for the Eu1er's Gamma-function, the functiona1 theorem of the Gaussian type, the Bernou11i po1ynomia1s, a1gebraic numbers, arithmetica1 sums over primes, the Roth's theorem.

Bibliography: 24 tit1es.

1. Введение

Настоящую статью авторы посвящают памяти наших учителей и друзей Геннадия Ивановича Архипова и Сергея Михайловича Воронина к семидесятилетиям со дней их рождений. Их жизненные и научные пути пересеклись в колмогоровской школе, на Механико-математическом факультете МГУ (студенческие годы), в Стекловском институте (аспирантура под руководством А. А. Карацубы в отделе теории чисел, возглавляемом И. М. Виноградовым). Конечно, связующим звеном была их любимая наука — теория чисел, и в особенности, теория дзета-функции Римана, занятиями которой они отдались со всей страстью, и здесь они трудились с полной отдачей всех своих сил.

хРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 16-01-00-071

И. М. Виноградов разработал в аналитической теории чисел новый элементарный метод для изучения свойств арифметических функций. Этот метод не использует средств анализа бесконечно малых. Подобным образом в настоящей статье, насколько это возможно, используются элементарные приемы решения арифметических задач. В основу исследования И. М. Виноградов положил функцию

, . . , . . I 1 — ст, если {x} < ст ^(Ж) = фа (x) = <

I —ст, если {x} > ст,

где 0 <ст < 1 и 0 < x< 1.

Сумма S(стр) символов Лежандра от 1 до стр может быть представлена в виде

S(стр)= ё(x) = ё (x) Фа(x).

x<ap x=l

Положим ст = N/р. Имеем

p-i

^(x) = E dne2ni nx,

n=0

где

P-l / n N-l p-l N-l

dn = 1 V ф ( x ) e2niПХ = 1 у (1 — ст)е2ППХ + 1 у (—ст)е2пгПХ = 1 V e2niПХ, do = 0.

р X=0VW р Х=0р X—N р x=o

Таким образом

s (n)=£ dn g (x) e2ni nx=epVP e (n) dn,

n—l X—l n—l

где сумма Гаусса т равна

p-l

V^ / x \ 2пг Х _

т = §lxJe ' =

{1, если р = 1 (mod р), i, если р = 3 (mod р).

В последнем выражении для S(N) переходим к оценкам, используя при 1 < n < р/2 неравенство

1

2П

Имеем

(р-1)/2 х (^)|< 2^Р Е 2П< 1о§Р.

П=1

Тем самым получена оценка Виноградова - Пойа.

Заметим, что (ж) = р(ж) — р(ж — ст), где р(ж) = 0, 5 — {ж}. Действительно,

фа (0) = 1 — ст = р(0) — р(—ст), фа (ст) = —ст = р(ст) — р(0).

Далее, при ж = 0; ст находим ф'а(ж) = р'(ж) — р'(ж — ст) = 0. При ж = ст/2 имеем

^ (ст/2) = 1 — ст = р(ст/2) — р(—ст/2),

a при x =

. .'1 + ст\ /1 + ст\ (1 — а

ФА — = -а = p — - p

что и устанавливает тождество (х) = р(х) — р(х — а).

В настоящей работе рассматриваются арифметические суммы вида

5 = 5(Ы; а) = ^ р(ах),

х<М

где N > 1 — вещественное число, а — иррациональное алгебраическое число.

2. Известные леммы

Для оценки модуля таких сумм весьма полезной является известная формула умножения для многочленов Бернулли первой степени.

Лемма 1. Пусть п —н&тур&льное число, (а,п) = 1. Тогда для любого вещественного числя х имеем

а \ ( , а(п — 1)'

П/

p(nx) = p(x) + p(x + +-----+ pix + ——— J

\ — / \ — J

Доказательство. Левая и правая части равенства имеют период, равный 1/п. Действительно,

р(п(х + — ) ) = р(пх + 1) = р(пх);

n

п—1 п—1

Е/ am\ ( m\

p{x + -—) = L p{x + —)>

m=0 m=0

поскольку am пробегает полную систему вычетов по модулю n при (a,n) = 1, если m пробегает полную систему вычетов по модулю n; далее

п-1 , 1 m \ n-1 , m + 1 \ n-1 m

£ p{x+n+m) = £ p(x+=^=0 p(x+

m=0 m=0 m=0

Поэтому достаточно доказать равенство при 0 < x < 1/n. Имеем

п—1 п—1 \ \ п—1

Ei m\ v-^ /1 m \ / 1 \ v-^ m

p{x + n) = T,{2 - x - П =U - x)n — ^ n =

m=0 m=0 m=0

1 ^ n — 1 1 --x n--=--nx = p(nx).

2 J 2 2 '

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть а и т > 1 — вещественные числа. Тогда найдется натуральное число q < т такое, что \\qa\\ < т-1, где ||а|| = min{{a}, 1 — {а}} = min |а — z| — расстояние до

zE Z

ближайшего целого числа от а.

Доказательство. см., например., [3],с.9, теорема 1.

Пусть Pn./qn, — n-я подходящая дробь числа а и ап — его n-е неполное частное. Лемма 3. Пусть 0 < а < 1. Тогда 1 > q^Hq^H > 1/2. Доказательство. см., например., [3],с.16, формула (16).

3. Основные утверждения

Теорема 1. Пусть N > 1 — н&тур&льное число, a — иррaционaльное число с огршичен-ными величиной с > 0 неполными чaстными. Тогдa спрaведливa оценш

S(N; а) < vN,

где положительнaя постояншя в зшке ^ зaвисит только от с.

Доказательство. Для любого натурального числа N найдется номер n такой, что qn < VN < qn+i. Так как а — число с ограниченными неполными частными, то из леммы 2 при т = VN и леммы 3 следует, что существует натуральное число q с условиями VN/(с + 1) < q < VN такое, что q||aq|| < 1. Следовательно,

a = a + 9, (a,q) = 1,|9| < 1.

q q2

Пусть, сначала, 9 > 0. Тогда

[N/q] —1 q— 1 N—q[N/q]

S(N; a) = E E p((qk + y)a) + E p((q[N/q] + y)a) =

fc=0 y=0 y=0

[N/q] — 1 q— 1 , , ss N—q[N/q] , .

= E Ep((qk+y) (a + + E р(^ +y)(a + qO) =

fc=0 y=0 V V q q / / y=0 V q q /

[N/q] —1 q—1 , s N—q[N/q]

= E E+ <qk+y)£) + E p(a? + <«[N/q]+y)4

fc=0 y=0 V 4 4 / y=0 V 4 4

Поскольку функция p(x) непрерывна справа, при 0 < z < 1 и при 0 < y < q имеем

p (ay+z)=p (?)+*

Далее находим

[N/q] —1 q—1 . , s s N—q[N/q] .

S(N; a) = E E №) +(qk + y)9) + E (p(ar) +(q[N/q]+ y)q2) <

fc=0 y=0 v V q / q / y=0 V V q / q /

N /ТТ

< TT- + q« n.

2q

Теорема 1 доказана.

Для дальнейшего нам необходима следующее утверждение (теорема Рота [4]; см. также [3], с.128).

Лемма 4. Пусть a — иррaционaльное aлгебрaическое число. Тогдa существует только конечное число пaр (p, q) целых взaимно простых чисел p, q > 1, тaких, что

где ó > 0 — сколь угодно мaлaя постояншя.

В частности, из леммы 4 находим, что для любого иррационального алгебраического числа a натуральное число q из леммы 2 удовлетворяет неравенству т1/(1—^ q < т, где положительная постоянная в знаке зависит только от ó.

Теорема 2. Пусть N > 1 — натуральное число, а — иррациональное алгебраическое число. Тогда при N ^ ж справедлива оценка

Б (Ы; а) « N 2,

где 5 > 0 — сколь угодно малая постоянная и положительная постоянная в знаке « зависит только от 5.

Доказательство. теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1 с заменой утверждения о знаменателях подходящих дробей для иррациональных алгебраических чисел с ограниченными неполными частными на утверждение теоремы Рота (лемма 4).  Далее приводится аналог известного утверждения И. М. Виноградова. Теорема 3. Пусть N > 1 — натуральное число,

а = а + 4, (а,я) = 1,\9\ < 1. Я Я2

Тогда при N ^ ж справедлива оценка

Б ^; а) « N^1 + |

где положительная постоянная в знаке « — абсолютная.

Лемма 5. Пусть 1 < и < N. Тогда ^ Л(п)/(п) = Б: — £2 — Бз, где

и<п<М

Б1 = Е»(Я) Е (1пI)/(Ы); Б2 = Е»(Я) Е Л(п) Е /(ш1г);

й<и кма-1

й<и п<и т<М(4п)-1

(

Бз = Е

и<т<Ми-1

\

Е»

Е Л(п)/(пт).

и<п<Мт-1

Это известная лемма Вона.

Теорема 4. Пусть а — иррациональное число с ограниченными неполными частными, N > 1 — вещественное число и

Б = Б^; а) = Е Л(п)р(ап).

п<М

Тогда Б « N(1п N)3>5А, А = N-0'2.

Доказательство. Воспользуемся леммой 5, положив в ней и = №'2. Имеем

Б^; а) = Б1 — Б2 — Бз + 9и, \9\ « 1,

где

Б1 = Е »(Я) Е (1п 1)р(аШ); Б2 = Е »(Я)^^Л(п) Е р(апЯг);

й<и 1<ма-1 й<и п<и г<и(ап)-1

( \

Бз = Е

и<т<Ми 1

Е»

<1\т \й<и )

Е Л(п)р(апт).

и<п<Мт-1

Суммы $1 и 5*2 оцениваем одинаково, сводя их к сумме

Т(М; ак) = ^ р(акж),

ж<М

где к < и2.

Воспользуемся леммой 2 (леммой Дирихле). Выберем т = М 1/2и-1. Тогда найдется натуральное число ( такое, что ||ка(|| < т-1,( < т.

Пусть, далее, > 1 — последовательность натуральных чисел, которые являются знаменателями подходящих дробей к числу а. Тогда найдется номер п такой, что < (к < По экстремальному свойству подходящих дробей и лемме 3 находим

т-1 > ||(ка|| > ||д„а|| > 0, 5д-+1. Следовательно, > 0, 5т. В силу ограниченности неполных частных числа а имеем

<5П+1 < д™ < (к. Отсюда получим т > ( ^ к-1т ^ и-2т. По теореме 3 находим

Т(М; а) < М((-1 + (/М) < М(и2т-1 + М-1т) < М 1/2и-1. Таким образом имеем

|$11 + |$2| < (1п N)2 Е N 1/2^-1/2и-1 + (1п N)3 Е N 1/2^-1/2и-1 < N 1/2(1п N)3.

Далее оценим 53 :

1п

к=0 1е—1<т<М«—1е—^

Воспользуемся неравенством Коши. Получим

У^ А

и<в<Мт-1

-1_-к+1

Е

У^ Л

«<т<Лт 1

<

< 2^и 1е к+1 ^ Л(п1)Л(п2) ^ р(ап1т)р(ап2т).

Для оценки при п1',п < и необходимо оценить сверху сумму

Т = ^ р(ап1ш)р(ап2ш).

С этой целью возьмем т =

и. Тогда по лемме Дирихле найдутся

1 такие, что

А.1 01 А 2 02 , „ , , „ ,

ап = (1 + (т-а"2 =+ 1'|в2|<1

Поскольку неполные частные числа а ограничены, справедливы неравенства

ти-1 < (1,(2 < т.

2

С большой точностью оценку суммы Т можно получить из оценки полной рациональной арифметической суммы вида

То = Т0(А1 ; «1,«2) = Е р (А^) р ( Ат)•

т=1 4 / 4 /

где ( = [^1, Q2] — наименьшее общее кратное чисел (1 и (2. Нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 6. Пусть Я1,Я2 — натуральные числа, Я = [Я1, Я2], (А1 ,Я1) = 1, (А2, (2) = 1, и

то=Па ; (Ь(2)=е р (Ат) Р (Ат).

т=1 4 / 4 /

Тогда

т 1 (А1( А2()2 +

То = 12 АА(2{ ЮГ + °(1).

Доказательство.

Рассмотрим сначала частный случай А1 = А2 = 1, (1 = (2 = Я. Сумма То примет вид

то = 30(1.1; (,() = е р2 (т) = 12 + б(-

Г I I- 1 \ ^ / ^

т=1

Действительно,

т=0

1 _ т + т= (( —1)( + (( — 1)Я(2( — 1) = ( + _!_

4 Я + Я2) 4 2( + 6(2 12 +

Для вывода леммы 6 воспользуемся утверждением, принадлежащим Фрэнелю [16].  Лемма 7. Пусть т,п — натуральные числа. Тогда имеем

1

1 = 1К ,,.) = / р(тх)р(пх) Ъ =

(т, п)2 12тп

Доказательство. При ( ^ ж находим

1 1 (тк\ (пк\ 1 (т,п)2

1 _ 1 / ('пк

Б(Я;т,п) = ( Ер{-ск-)р{-(к) 12тп

кроме того

гч^ % (т,п)2 ^ ( 1

Собирая вместе, полученные выше результаты, приходим к утверждению теоремы 4.

о

4. Зaключение

В настоящей статье оцениваются линейные арифметические суммы значений многочленов Бернулли, когда аргумент многочлена представляет собой линейную функцию с иррациональным коэффициентом, а переменная пробегает целые значения из "сплошного промежутка". Эту задачу можно решать с помощью анализа Фурье, но, к сожалению, оценки получаются более грубыми, и их вывод сталкивается с определенными трудностями. Отметим также, что многие задачи современной теории чисел можно сформулировать через "свертку" арифметических функцией с значениями многочлена Бернулли. Список литературы расширен для того, чтобы показать перспективы развиваемого здесь подхода к различным задачам теории чисел.

Частично, изложенные здесь результаты, были доложены на конференции в Баку 11 сентября 2015 г.[24].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

2. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1980. — 144 с.

3. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.:Изд-во иностр. лит-ры, 1961. — 213 с.

4. Roth K. F. Rational approximations of algebraic numbers//Mathematika, 1955, 2, p.1-20 (with corrigendum p. 168).

5. Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //Докл. АН СССР. 1976. т. 227, № 6. с. 1308-1310.

6. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки. — 1976. — Т.20, №1. — С.61-68.

7. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орел: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. - 464с.

8. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

9. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Дрофа, 2006. — 640 с.

10. Vinogradov, I. М. А new method of estimation of trigonoшetrica1 sums, Math. USSR-Sb. 43, 1936, No.1, 175-188.

11. Ниа, L.-K. Ап improvement of Vinogradov's mean-va1ue theorem and several applications, Quart. J. Math., 20, 1949, 48-61.

12. Arkhipov, G. I. А theorem on the mean value of the modulus of a multiple trigonometric sum, Math. Notes 17, 1975, 84-90.

13. Arkhipov, G. I., Chubarikov,V. N. Multiple trigonometric sums, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 40, No.1, 1976, 209-220.

14. Hua, L.-K. On an exponential sums, J. Chinese Math. Soc., 2, 1940, 301-312.

15. Chen, J.-R. On Professor Hua's estimate on exponential sums, Acta Sci. Sinica, 20, 1977, No.6, 711-719.

16. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сборник трудов/Под общ. ред. В. Н. Чубарикова. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. — 478 с.

17. Шихсадилов, М. Ш. Об одном классе осцилирующих интегралов // Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2015. №5. с.61-63.

18. Arkhipov, G. I., Karatsuba, А. А., Chubarikov,V. N. Trigonometric integrals, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 43, No.5, 1979, 971-1003.

19. Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta-function, 2nd ed., The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1986.

20. Arkhipov,G. I., Chubarikov,V. N., Karatsuba,A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis, De Gruyter expositions in mathematics; 39, Berlin, New York, 2004.

21. Hua, L.-K. Additive theory of prime numbers. Trudy MIAN SSSR., 22, 1947, 1-179.

22. Montgomery, H. L. Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysys, CBMS, Regional Conference Series in Mathematics, No. 84, 1994.

23. Hua, L.-K. On the number of solutions of Tarry's problem, Acta Sci. Sinica, 1, 1953, 1-76.

24. Chubarikov, V. N. Azerbaijan-Turkey-Ukrainian Int.Conf."Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications". Abstracts.(September 08-13, 2015, Baku-Azerbaijan). Linear arithmetic sums and Gaussian multiplication theorem. 2015, p.38.

REFERENCES

1. Vinogradov I. M. 1981, Fundamentals of Number Theory, Nauka, Moscow, 176 p.

2. Vinogradov I. M. 1980, Method of trigonometric sums in Number Theory, Nauka, Moscow, 144 p.

3. Касселс Дж. В. С. 1961, Introduction to the theory of diophantine approximation ed. foreign of literature, Moscow, 213 p.

4. Roth K. F. 1955, "Rational approximations of algebraic numbers" , Mathematika, Moscow, vol. 2, pp. 1-20.

5. Chubarikov V. N. 1976, "About one multiple trigonometric integrals" , rep. USSR AS, vol. 227, no. 6, pp. 1308-1310.

6. Chubarikov V. N. 1976, "Multiple rational trigonometric sums and multiple integrals", Mat. notes, vol. 20, no. 1, pp. 61-68.

7. Arkhipov G. I. 2013, Selected works, ed. of Orjol Stste Univ., Orjol, 464 p.

8. Arkhipov G. I. Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. 1987, Theory of multiple trigonometric sums, Nauka, Moscow, 368 p.

9. Arkhipov G. I. Sadovnichy V. A., Chubarikov V. N. 2006, Lectures on mathematical analysis, Drofa, Moscow, 640 p.

10. Vinogradov I. M. 1936, Math. USSR-Sb. " The new method of estimation of trigonometrical sums" , Vol. 43, no. 1, Moscow, pp. 175-188.

11. Hua L.-K. 1949, "An improvement of Vinogradov's mean-value theorem and several applications" , Quart. J. Math., Vol. 20, 1949, pp. 48-61.

12. Arkhipov G. I. 1975, "A theorem on the mean value of the modulus of a multiple trigonometric sum" , Math. Notes, Vol. 17, pp. 84-90.

13. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N. 1979, "Multiple trigonometric sums" , Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. Vol. 40 no. 1, pp. 209-220.

14. Hua L.-K. 1940, "On an exponential sums" , J. Chinese Math. Soc., Vol. 2, pp. 301-312.

15. Chen,J.-R. 1977, "On Professor Hua's estimate on exponential sums" , Acta Sci. Sinica, Vol. 20, no. 6, pp. 711-719.

16. Romanov N. P. 2013, Number Theory and functional analysis: proceedings/under the total ed. V. Н. Chubarikov, Tomsk, Izd-vo., Tom. un-ta, 478 p.

17. Shihsadilov M. Sh. 2015, "Об одном Knacce осцилирующих интегрaлов" , Vestnik Moskow Univ. Ser. mat., meh., Vol 5, pp. 61-63.

18. Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. 1979, "Trigonometric integrals", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., Vol. 43, no. 5, pp. 971-1003.

19. Titchmarsh E. C. 1986, The Theory of the Riemann Zeta-function 2nd ed., The Clarendon Press, Oxford University Press, New York.

20. Arkhipov, G. I., Chubarikov, V. N. & Karatsuba, A. A. 2004, "Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis", De Gruyter expositions in mathematics Vol. 39, Berlin, New York.

21. Hua L. K. 1947, "Additive theory of prime numbers", Trudy MIAN SSSR, Vol. 22, pp. 1-179.

22. Montgomery H. L. 1994, "Ten Lectures on the Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysys" , CBMS, Regional Conference Series in Mathematics, no. 84.

23. Hua L.-K. 1953 "On the number of solutions of Tarry's problem" , Acta Sci. Sinica, Vol. 1, pp. 1-76.

24. Chubarikov V. N. 2015 "Linear arithmetic sums and Gaussian multiplication theorem", Abstracts Azerbaijan-Turkey-Ukrainian Int.Conf. "Mathematical Analysis, Differential Equations and their Applications", Baku-Azerbaijan, September 08-13, 2015, pp. 38.

Мeхaнико-мaтeмaтичecкий фaкуnьтeт,

Московский шcудaрcтвeнный университет имени М. В. Ломоноcовa

Получено 08.12.2015

Принято в печать 10.03.2016