СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДНОГО СИГНАЛА СИСТЕМЫ
METHOD TO PRODUCE FUNCTION OF DISTRIBUTION OF PROBABILITIES OF INITIAL SIGNAL OF SYSTEM

Изобретение относится к сфере измерительной техники. Изобретение может быть использовано для получения точно заданных вероятностных характеристик исходного сигнала.
Задача изобретения - получение функции распределения вероятности (ФРВ) сигнала на выходе системы.
Поставленная задача достигается тем, что определяется возможность нахождения аналитически функции, обратной к y(x) (функции, описывающей систему), и производится функциональное преобразование по заданному алгоритму.
Изобретение состоит в том, что способ получения ФРВ заключается в в осуществлении функционального преобразования y(x) по алгоритму:
x
x
int{S(x(y))dx/dy}/{int_[a, b](S(x(y))dx/dy)dy},
x
где int - неопределенный интеграл функции, int_[a,b] - интеграл Лебега по области значений на промежутке x∈[a, b], S - плотность распределения испытательного сигнала.
Получить ФРВ аналитически для заданной функции y(x) возможно, если ФРВ случайной величины x на промежутке [a, b] известна и можно найти аналитически обратную функцию x(y). Пусть x - случайная величина с заданной функцией распределения.
x
y
Пусть исходная случайная величина ξ имеет плотность распределения S(x) на отрезке [a, b]. Пусть функция, через которую проходит сигнал, определена как y(x). Если обратная функция x(y) на промежутке [а, b] однозначна, непрерывна и dy/dx не обращается в ноль, тогда плотность распределения результирующей случайной величины S(y) пропорциональна:
y
Используя нормировку, находим абсолютное значение S:
-1
где int_[a, b] - это интеграл Лебега по области значений y на x∈[a, b] (Не обязательно, чтобы интервал совпадал c [y(а), у(b)], поскольку y(x) может иметь разрыв. Например, y=x имеет разрыв на [-1, 1].) Результат (2) - функция плотности вероятности (ПВ). Первая производная от ФРВ это ПВ. Если x(y) неоднозначно определена и(или) dy/dx обращается в ноль на [а, b], мы используем другой метод. Также для тех y, которые не являются значениями x(y) в точках dy/dx=0, используется следующий метод:
0
y
пусть y - точка, в которой нужно найти S.
1
1
2
2
n
n
n
0
1. Получим множество отрезков [a, b], [a, b], …, [a, b], … на каждом из которых y(x) монотонна и неразрывна, dy/dx не имеет нулей, и существует только одно решение для уравнения y(x)=y. В худшем случае количество таких интервалов счетно.
n
n
n
n
n
2. Возьмем отрезок [a, b], найдем вероятность P, что ξ принадлежит этому фрагменту (это , где  - определенный интеграл от a до b), получим частную плотность:
n
n
где  - определенный интеграл от y(a) до y(b).
3. Общая плотность - это сумма частных плотностей
где sum_n - сумма элементов по n.
yn
0
4. Значение интеграла (3) и плотность вероятности S(y) значимо положительные величины.
5. Результат (4) - это ПВ, для получения ФРВ необходимо его проинтегрировать.
Данный способ может быть реализован в простых технических блоках. Схема реализации представлена на чертеже, где
- блок 1 - блок генерирования сигнала x(y), соответствующего обратной функции к испытательному сигналу y(x);
- блок 2 - блок дифференцирования;
- блок 3 - блок функции плотности распределения испытательного сигнала;
- блоки 4 и 7 - блоки перемножения сигналов;
- блоки 5 и 8 - блоки-интеграторы;
- блок 6 - блок возведения в степень (-1);
- блоки 9 и 10 - осциллографы.
Выход блока 1 соединен со входом блока 2 и входом блока 3. Выход блока 2 соединен со входом блока 4. Выход блока 3 соединен со входом блока 4 и входом блока 5. Выход блока 4 соединен со входом блока 7. Выход блока 5 соединен со входом блока 6. Выход блока 6 соединен со входом блока 7. Выход блока 7 соединен со входом блока 8 и входом блока 9. Выход блока 8 соединен со входом блока 10. Передача сигнала происходит в направлении от выхода ко входу.
Система функционирует следующим образом. Сигнал с выхода блока генерирования сигнала 1 поступает на вход блока 2, где дифференцируется, и вход блока 3, где преобразуется согласно функции плотности распределения испытательного сигнала, сигнал с выхода блока 2 поступает на вход умножителя 4, где перемножается с сигналом с выхода блока 3, сигнал с выхода блока 3 также поступает на вход блока интегрирования 5, где интегрируется, сигнал с выхода блока 5 поступает на вход блока 6 возведения в степень -1, сигналы с выходов блока 6 и 4 поступают на вход блока 7, где перемножаются. Сигнал с выхода блока 7 поступает на вход блока 8, где интегрируется, и на вход блока 9, где наглядно отображается на осциллографе, сигнал с выхода блока 8 также поступает на вход блока осциллографа 10, где отображается наглядно.
Технический результат использования изобретения заключается в получении точных вероятностных характеристик исходного сигнала, что может применяться, например, для создания эталона исходного сигнала в системах тестирования технических устройств.