Влияние проницаемых границ трансзвукового потока на обтекание тел вращения

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м IX 197 8

№ 6

УДК 533.6.011.35

ВЛИЯНИЕ ПРОНИЦАЕМЫХ ГРАНИЦ ТРАНСЗВУКОВОГО ПОТОКА НА ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

И. В. Третьякова, А. С. Фонарев

Рассмотрена задача обтекания тел вращения неограниченным трансзвуковым потоком газа, а также потоком со стенками, имеющими заданный коэффициент проницаемости, с применением численного метода релаксации. Получены численные решения различных тел вращения дозвуковым и сверхзвуковым невозмущенным потоком, близким к звуковому. Проведен анализ влияния проницаемых стенок рабочей части трубы в случае регулирования параметров газа у стенки как за счет создания переменного давления по длине внешней камеры, так и за счет изменения коэффициента проницаемости по длине трубы.

Влияние перфорированных стенок аэродинамических труб на результаты экспериментов особенно сильно проявляется в трансзвуковом диапазоне скоростей. Одним из путей, позволяющих по результатам трубных испытаний получать достоверные данные об аэродинамических характеристиках, соответствующих обтеканию тела безграничным потоком, является создание надежной методики поправок к результатам трубных испытаний. Однако создание такой методики является чрезвычайно трудным делом. В настоящее время в теоретическом плане выполнено несколько работ [1—5], в которых с применением численных и аналитических методов изучается влияние проницаемых границ потока на обтекание профилей и тел вращения в трансзвуковом диапазоне скоростей.

В последнее время весьма интенсивно разрабатывается другой путь уменьшения индукции стенок непосредственно в процессе эксперимента за счет регулирования параметров газа у стенки таким образом, чтобы они соответствовали параметрам при обтекании этого же тела неограниченным потоком [3, 4, 6, 7]. В работах [3, 4] показано, что применение проницаемых границ ослабляет их влияние на течение около тел (рассмотрен случай обтекания профиля),, но не позволяет, вообще говоря, полностью исключить это влияние.

2 — Ученые записки № 6

17

которое в ряде случаев остается значительным. В этих же работах также показано, что полного исключения влияния стенок можно добиться за счет создания во внешней камере переменного по длине трубы давления.

В настоящей работе рассмотрена задача обтекания тел вращения как неограниченным трансзвуковым потоком газа, так и потоком, ограниченным перфорированными стенками, с применением численного метода релаксации. Рассмотрены случаи сверхзвукового и дозвукового невозмущенного потока, близкого к звуковому. Проведен анализ влияния проницаемых стенок в случае регулирования параметров газа у стенки за счет создания переменного по длине внешней камеры давления, а также за счет изменения коэффициента проницаемости по длине трубы.

1. Постановка задачи. В рамках теории малых возмущений осесимметричное течение невязкого нетеплопроводного газа в трубе может быть описано уравнением Кармана

где ср — потенциал возмущений скорости; оси х и г направлены соответственно параллельно и перпендикулярно иевозмущенному потоку, начало координат расположено на середине хорды тела (фиг. 1), Моо — число М невозмущенного потока, ч — показатель

Фиг. 1

адиабаты. В (1.1) и далее величины отнесены к соответствующим характерным значениям: длине тела Ь, скорости и давлению набегающего потока йоо и Рсо.

Краевые условия на стенке трубы цилиндрического сечения с перфорацией в виде мелких отверстий задаются аналогично [3] в виде

г = Н, 9,+ Щх)^у = Щх)'

где %(х) — коэффициент проницаемости (вообще говоря, переменный по длине трубы), Н—расстояние от оси до стенки; величина 0, согласно [3, 4], определяет отклонение давления во внешней камере рк от давления в невозмущенном потоке.

А-=-1т Р*1Р00- .

я

При этом будем рассматривать такие режимы течения, при которых суммарный расход газа через поверхность г = Я(—ос < л; < оо) равен нулю (или близок к нему).

Из-за наличия особенности на оси г = 0 граничное условие на теле получается из сращивания решения уравнения (1.1) во внешней области с решением во внутренней области при г-* 0 [8]:

lim

г-*О

drT_______

Гг , dx

_L

2т. dx

где гг(х)— поперечная координата тела (радиус вращения),

S(x)— площадь поперечного сечения тела.

Тогда граничное условие, соответствующее г = 0, запишем в следующем виде:

Г — г а.

-ос <х < — 0,5, -0,5 <.*<.0,5, 0,5 <*< оо,

?г = 0»

I 1 dS

Г^г Iт-т» 2я dx

9г “ 0,

где г* — некоторое, достаточное малое значение г, определяющее границу сращивания решений.

Уравнение (1.1) вместе с краевыми условиями (1.2) и (1.5) допускает преобразование подобия, задаваемое вектор-параметром

/={К, Н, R],

где

я = хMcotf, R^x-'MZ'R;

здесь т — относительная толщина тела. Каждому значению вектор-параметра / соответствует однопараметрическое семейство решений для афинноподобных тел вращения:

x = W1(M00,/) =

H=W2(Moo, /) = ^ = ^з(Моо, f) =

ктн

(1-м^)1'2 ’

(1 - Л&) R

*1/2

Перейдем аналогично работе [3] к новым переменным $ = Шал: и т]=1 — е-$г, переводящим верхнюю полуплоскость { —00<х<00, 0<г<Я<оо} в прямоугольник { —1<5<1, 0<т)<Я<1}. Тогда уравнение (1.1) и краевые условия (1.2) и (1.5) запишем в виде

[(1 - М£) — (т + 1) ML а (&) ?s] а (5) [а (5) Т5] + Ь (tj) д

+

In (1 — ц) ду

[ln(l — 7j)&(7i)^] = 0;

s<6„ 6>s„ -^ = 0;

4 = A b(H)^+Ra^ = b,

ОТ] oz

a (6) = «(1 — 62), ft(7,) = p(l-T,).

Здесь индексы I, t соответствуют передней и задней кромкам,

2. Метод численного расчета. При решении уравнения (1.7) с граничными условиями (1.8) и (1.9) применяется конечно-разностный метод релаксации [9]. Особенность этого метода состоит в использовании различных разностных операторов в зависимости от принадлежности расчетных точек сетки эллиптической или гиперболической области. В настоящей работе использовалась прямоугольная сетка по I и

Выбор типа схемы зависит от знака величины

Если то применяется эллиптическая схема, если V/, / <0

и Vi-i.t<0, то гиперболическая схема, если V/,/<0, но Vi-\, />0, то принимается Vij — 0.

Для решения уравнения (1.7) с краевыми условиями (1.8) и (1.9), совместно с условием (2.1), записанных в конечно-разностном виде, применяется метод прогонки совместно с итерационным методом релаксации. В качестве начального приближения служит близкий предыдущий вариант расчета с меньшим числом М набегающего потока. При отсутствии такого варианта итерации начинаются из состояния невозмущенного потока с плавным изменением числа М: Моо=0,5, 0,6 ... с проведением для каждого промежуточного значения числа Моо 30—40 итераций. Обычно сходимость итерационного процесса достигается при 800—1000 итерациях. Расчетная сетка по % и 7j является равномерной и состоит из N X М — 125 X 46-узлов.

Описанная разностная схема применяется как для случая Моо-<1, так и для сверхзвукового течения с М>1, пока интенсивность скачков, вызываемых телом, мала, и задача может быть рассмотрена в рамках теории потенциального течения. Различие в алгоритме конечно-разностной схемы этих двух случаев состоит в том, что в дозвуковом режиме на правой и левой границе (вниз-и вверх по потоку) ставится условие  U->-±oo = 0, а в случае сверхзвукового течения на бесконечности вниз по потоку не требуется никаких условий. Однако, поскольку в процессе итераций в этой области поток может оказаться дозвуковым, следует все же задать на правой границе области некоторое условие. В качестве него было взято условие U-v+oo = 0, использование которой не приводило к неустойчивости итерационного процесса.

Н= \—е-$н.

Vi,j= (1 — М^,) — (т + 1) ML a,

Ti+i.y-Ti-i./

2Д£

3. Результаты численных расчетов. Описанный численный метод применяется для получения решения около нескольких типов тел вращения, форма которых задается в следующем виде (—0,5<л:-<0,5). Тело /:

гт (х) = С1 [(0,5 — х) — (0,5 — *)"]; с = 0,855, л = 6,03.

Тело //: Тело ///:

гт(х) = сг [(0,5 + *)-(0,5+ *)»];

с = п — 2.

гт (х) = сх [(0,5 + х) — (0,5 + л:)"]; с = 0,855, п = 6,03.

Предварительно были проведены методические расчеты для определения значений величины г*, на которой производится сращивание численного решения задачи для внешней области с аналитическим решением приближенного уравнения во внутренней области, а также коэффициентов а и р, входящих в конечно-разностную схему.

Величина г* определяется аналогично [10]:

тмгак112 АЛЯ

а для \К\ < 1,

где й — некоторый коэффициент.

Проведенные численные расчеты показали, что изменение этого коэффициента в пределах 0,01 0,03 практически не влияет на

значение коэффициента давления на теле сРь. (Отметим, что в [9] используется значение с? = 0,015). На основании пробных расчетов выбрано значение коэффициента а = 1,1. Выбор параметра (3, характеризующего неравномерность шага по радиусу, существенно влияет на точность результатов расчета осесимметричной задачи, если в уравнении (1.1) или (1,7) сначала выполнить дифференцирование во втором слагаемом, а затем применить разностную аппроксимацию. Описанный выше алгоритм разностной схемы, примененный к дивергентной форме уравнения (1.7), практически исключает влияние параметра р на точность результатов, что позволяет проводить численные расчеты в широком диапазоне диаметра трубы с оптимальным выбором неравномерности шага в радиальном направлении.

Приближенное решение уравнения (1.4) во внутренней области имеет вид:

911)(х, r) = A-^-\m:M00r + g(x),

2л ах

где g(x) — некоторая функция, определяемая из сращивания с решением во внешней области, причем

^х-- = Цт --------------------------------— ^-Мп хМоо г

йх г-у г* [ 2 т. йх2

(I) и (е) — индексы, относящиеся соответственно к внутренней и

внешней областям.

Тогда для коэффициента давления на теле имеем

срь=-№'+т=

Сравнение полученных коэффициентов давления на теле при обтекании параболического тела вращения II с экспериментальными данными работы [10] для М^о = 0,98, т = 0,167 дано на фиг. 2. Кривая

1 соответствует расчету без учета державки, полученному описанным выше методом, кривая 2 — расчету с учетом державки, кривые 3 и 4 — численные результаты работы [10] без учета и с учетом державки соответственно.

Эти результаты подтверждают возможность применений разработанной разностной схемы на дозвуковых скоростях, схема эффективна также в случае малых сверхзвуковых скоростей.

4. Уменьшение индукции стенок трубы за счет регулировки давления во внешней камере. В трансзвуковом диапазоне скоростей наличие перфорированных стенок аэродинамической трубы приводит к значительному отличию результатов эксперимента от обтекания этой же модели неограниченным потоком.

Анализ влияния стенок трубы на течение около тела вращения проведен на примере расчета обтекания тела, образованного дугами окружности, с толщиной т = 0,083 потоком с числом Моо = 0,975,

% -0,5

Фиг. 2

-0,125

-1,0

-0,5 / 0

0р"" х 1р

Фиг. 3

ограниченным перфорированной стенкой, расположенной на расстоянии Н— 1, с коэффициентом проницаемости /? = 0,1, —5<л;<5. Выбранный режим течения приблизительно соответствует моменту появления звуковой скорости в потоке при безграничном обтекании. При наличии проницаемой стенки в поле потока появляется скачок уплотнения, замыкающий хорошо развитую сверхзвуковую зону. На фиг. 3 представлены зависимости коэффициентов давления на теле для этих режимов: штриховой линией нанесена кривая Срь для случая безграничного обтекания, а кривая 1 соответствует течению с проницаемой границей. Влияние перфорированной границы приводит к искажению результатов как около тела, так и вблизи стенки.

Используя результаты расчетов обтекания тел неограниченным потоком, можно указать распределение давления во внешней камере рк, исключающее влияние стенки с заданными проницаемыми свойствами, а именно

Рк— 1 = — У0 + /??<«>]

]индекс (оо) относится к параметрам неограниченного потока].

На фиг. 4 приведены зависимости необходимого распределения давления во внешней камере, полностью устраняющего влияние стенки трубы, расположенной на расстоянии Н= 1 и имеющей различную проницаемость # = 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 1,0; 3,0, при обтекании параболического тела вращения /, с толщиной т = 0,1 потоком сМоо = 0,9975 (К = 0,5).

Необходимое для устранения индукции стенок переменное по длине трубы распределение давления во внешней камере может быть реализовано путем применения внешней камеры секционного типа. Поэтому практический интерес представляет возможность аппроксимации необходимых распределений давления в камере ступенчатыми кривыми с минимальным числом таких ступеней. Характерной особенностью зависимостей (4.1) является наличие, как правило, двух основных областей: области с отрицательными значениями рк—1, где реализуется вытекание газа из рабочей части в камеру, и области с положительными значениями рк-—1, соответствующими втеканию газа в рабочую часть из внешней камеры давления. Иногда в некоторых режимах вверх по течению дополнительно появляется еще одна область с небольшими по величине

г °>оэ Р/Г1 —пн пу/ ),1 № & ДЗ

АО 3° X

'-М лт 0 1

1 1 9

положительными значениями рк—1, а в некоторых случаях сверхзвукового обтекания может возникнуть еще одна область небольших отрицательных величин рк— 1, расположенная вниз по потоку. В работах [3, 4] на примерах обтекания профилей показано, что аппроксимация величины 0(х) ступенчатой кривой может быть грубой: ступени должны выбираться так, чтобы сохранялось соответствие областей втекания и вытекания газа и их интегральных характеристик. Это сразу же давало практически полную ликвидацию влияния стенки. Аналогичный результат получается и в осесимметричном случае. Например, трехступенчатая аппроксимация

-4-ППП4

Г" 1 1

у 1 1 1

0 1 г х 2

1 «Л к

У

Фиг. 5

кривой 0(х), изображенной на фиг. 5, при обтекании тела II с толщиной т = 0,083 потоком при числе М» = 0,975 в трубе с расстоянием от оси до стенки трубы Н = 1 и коэффициентом проницаемости /? = 0,1 позволяет практически полностью исключить индукцию стенки. На фиг. 3 кривой 2 показано соответствующее этому случаю распределение давления по телу сРь (напомним, что на этой фигуре штриховая линия — безграничное обтекание, кривая 1 — течение с проницаемыми стенками, но без регулирования давления во внешней камере).

5. Индукция стенок трансзвуковой трубы при постоянном по длине трубы уровне давления во внешней камере. Представляет интерес другой метод регулирования параметров газа у стенки за счет создания необходимого для устранения индукции распределения коэффициента проницаемости стенки И(х) при заданном постоянном значении давления в камере. Как показано в [3], эта задача, вообще говоря, не имеет решения в случае, когда давление во внешней камере равно статическому давлению на входе в трубу. Для практических целей важно знать, существуют ли безындукционные режимы или режимы с малой индукцией стенки, когда давление во внешней камере постоянно по длине рабочей части, но отличается от статического давления на входе в рабочую часть.

Потребная величина коэффициента проницаемости может быть определена из (1.3) в виде

ЯМ-.. («и>

Я)

причем на R(x) накладывается естественное ограничение R(x)^>0. Вопрос о существовании решения поставленной задачи при этом ограничении и заданном уровне давления рк — const целиком зависит от распределения компонентов скоростей при обтекании неограниченным потоком, которые определяются основными параметрами задачи — числом М потока, толщиной тела и его формой, размерами аэродинамической трубы.

Проведенные исследования показали, что режимов, удовлетворяющих условиям О, рк = const, строго говоря, не существует. Для расчета рк, при котором область с отрицательными значениями R минимальна, необходимо знать значения х0 — точек, где г'(0°)(л:, Н) меняет знак. В табл. 1 даны значения х0, а в табл. 2—соответствующие величины 1—рк при обтекании тел I, II, III с толщиной z = 0,1 при Моо = 0,9975 (АГ=0,5) для нескольких значений Н.

Таблица 1

Таблица 2

н 0,5 1,0 1,5 2,0 '

Тело / -0,143 -0,066 0,0011 0,060

X Тело II 0,043 0,103 0,158 0,207

Тело III 0,253 0,316 0,370 0,418

Н 0,5 1,0 1.5 2,0

1 — Рк Тело I Тело II Тело III 0,0473 0,0355 0,0347 0,0291 0,0234 0,0224 0,0216 0,0179 0,0171 0.0174 0,0146 0,0140

С учетом приведенных результатов были получены необходимые для устранения индукции распределения коэффициента проницаемости R(x) для постоянного давления рк во внешней камере. Зависимости полученных коэффициентов проницаемости по длине трубы для режима Моо = 0,9975, 1 = 0,1, Н— 1 показаны на фиг. 6, где пунктирная часть кривых соответствует области нереализуемых значений R(x)<^0, причем цифрами 1, 2 и 3 обозначены кривые, относящиеся соответственно к обтеканию тел /—///. Следует отметить, что отклонение в ту или другую сторону от соответствующих каждому режиму величин давления приводит к увеличению числа таких областей. В точках х, где величина R(x) меняет знак, знаменатель в выражении (5.1) обращается в нуль, что приводит к неограниченному росту /?(л:) [на графиках значения R{x) в этих точках условно приняты конечными].

Результаты расчетов показывают, что с ростом числа М для Моо<1 происходит уменьшение размеров областей с отрицательными величинами коэффициента проницаемости, а также уменьшение его значений в этих областях. Это объясняется тем, что такие области соответствуют в основном течению за скачком, где значения вертикальной составляющей скорости невелики. В случае Моо>1

также существуют участки с отрицательными значениями R (фиг. 7,

Моо=1,1).

Участки с отрицательным коэффициентом проницаемости могут быть устранены, если вместо горизонтальной стенки применить суживающуюся в направлении вниз по потоку непроницаемую стенку, начиная от точки, где появляется отрицательный коэффициент. Средний наклон стенки может быть определен из данных о распределении скорости, и, как показывают оценки, этот угол

весьма мал (—0,5°) и он, по-видимому, в реальных потоках может компенсироваться нарастающей толщиной пограничного слоя на стенке.

Отметим, что в рассматриваемых случаях обтекания тел вращения (так же как и для профилей) „оптимальное“ давление во внешней камере всегда ниже, чем статическое давление на входе в рабочую часть, и коэффициент проницаемости оказывается переменным по длине трубы, причем в дозвуковом случае закон его изменения близок к линейному. Необходимость изменения геометрической формы стенки трубы для устранения отрицательных значений R связана с тем, что реализация режимов течения при /?к<1 требует, вообще говоря, откачки некоторого количества газа из системы рабочая часть — внешняя камера. При этом суммарный расход газа через линию у = Н уже не равен нулю, и математическая формулировка задачи должна быть изменена с учетом различия в расходе газа на входе и выходе из трубы.

Установление связи коэффициента проницаемости R с геометрическими параметрами перфорации требует проведения тарировочных испытаний для каждой конкретной трубы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Murtnan Е. М. Calculation of wall effects in ventillated transonic wind tunnels. „А1АА Paper*, N 72—1007, 1972.

2. Laval P. Methode instationnaire de calcul des effets d’interaction de paroi pleine on permeable en ecoulement bidimensionnel supercritique. ONERA Groupe sectoriel francosovietlque .Aeronautique*, Sous-groupe ,Aerodynamique et Structures". Moscow — april 1973.

3. Фонарев А. С. Исследование влияния проницаемых стенок аэродинамической трубы в трансзвуковом диапазоне скоростей потока. Доклад на совещании Советско-французской подгруппы по аэродинамике и прочности. Париж, 1974.

4. Сычев В. В., Фонарев А. С. Безындукционные аэродинамические трубы для трансзвуковых исследований. .Ученые записки ЦАГИ", т. 6, № 5, 1975.

5. Л и ф ш и ц Ю. Б., Ф о н а р е в А. С. О влиянии границ потока на параметры трансзвуковых течений около тел вращения. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1978 г., № 3.

6. Ferry A., Baronty P. A method for transonic wind tunnel corrections. „А1АА J.“, 1973, N 1.

7. Sears W. R. Self correcting wind tunnels. .Aeronautical J.“, Febr.—March, 1974.

8. Э ш л и X., Лэндалл М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М., „Машиностроение”, 1969.

9. Murman Е. М., Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows. „А1АА Paper*, 1970, N 70—188.

10. Krupp J. A. and Murman E. M. The numerical calculation of steady transonic flows past thin lifting airfoils and slendes bodies. „А1АА Paper", N 71-566, 1971.

Рукопись поступила 27jXII 1977