СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ СДВИГА ФАЗ
METHOD OF MEASURING PHASE SHIFT

Изобретение относится к радиотехнике и имеет целью повысить точность измерения фазового сдвига двух квазигармонических сигналов с медленными по сравнению с несущей частотой изменениями огибающей и частоты при наличии аддитивных и мультипликативных помех.
Известен способ определения сдвига фаз двух синусоидальных сигналов [1] как арктангенса отношения двух величин, которые формируют из измеренных мгновенных значений сигналов. Недостатком способа является ограничение области его применимости синусоидальными сигналами с постоянными амплитудами и частотами, наличие амплитудной и частотной модуляции уменьшает точность измерения сдвига фаз.
Наиболее близким способом того же назначения к заявляемому изобретению по максимальному количеству сходных признаков является способ сдвига фаз между квазигармоническими сигналами с меняющимися огибающими и мгновенными частотами [2], заключающийся в том, что посредством двух аналого-цифровых преобразователей и двух распределителей отсчетов сигналов на четные и нечетные из первого и второго сигналов формируют третий и четвертый сигналы путем задержки первого и второго сигналов на один интервал, все произведения четных и нечетных сигналов, первую величину как разность произведения второго сигнала на третий и первого сигнала на четвертый, вторую величину как сумму произведения первого сигнала на второй и третьего сигнала на четвертый и оценку фазового сдвига между первым и вторым сигналами как арктангенс отношения усредненных по времени значений первой и второй величин.
Недостатком этого способа является высокая погрешность измерения сдвига фаз между квазигармоническими сигналами с меняющимися огибающими и мгновенными частотами. Действительно, пусть первый и второй квазигармонические сигналы, между которыми измеряется сдвиг фаз, имеют вид
1
1
1
2
2
2
a
a
x(t)=(t)sin[θ(t)+φ], x(t)=(t)sin[θ(t)+φ],
a
a
1
2
1
2
<mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><mover accent="true"><mi>ω</mi><mo>˙</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mo><</mo><msup><mi>ω</mi><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mo><</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mrow><mo>|</mo><mrow><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mo><</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>θ</mi><mo>˙</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
где (t), (t), φ и φ - огибающие и начальные фазы первого и второго сигналов соответственно, причем выполняются условия медленного изменения огибающих и мгновенной частоты
,
,
, где
- мгновенная частота. Тогда третий и четвертый сигналы будут иметь вид
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>Δ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>≈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>θ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
,
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>4</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>Δ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>≈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>θ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
,
где Δ - интервал задержки.
Первая и вторая величины имеют вид
1
3
2
1
4
1
2
1
a
a
A(t)=x(t)x(t)-x(t)x(t)≈(t)(t)sin(ω(t)Δ)sin(φ)+ΔA(t),
2
1
2
3
4
1
2
1
2
2
a
a
A(t)=x(t)x(t)+x(t)x(t)≈(t)(t)[cos(φ)-cos(ω)(t)Δ)cos(2θ(t)-ω(t)Δ+φ+φ)]+ΔA(t),
<mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>A</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>Δ</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>˙</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ϕ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><mi>θ</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>ϕ</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
,
1
2
где φ=φ-φ - измеряемый сдвиг фаз.
Разлагая числитель и знаменатель отношения усредненных по отрезку времени T>>1/ω(t) первой и второй величин вряд вблизи ωΔ=π/2, получим:
<mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mrow><mo>〈</mo><mrow><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>〉</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>〈</mo><mrow><msub><mi>A</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>〉</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ϕ</mi><mo>)</mo></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>〈</mo><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>〉</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ϕ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><mrow><mo>〈</mo><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>A</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>〉</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>≈</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>≈</mo><mi>t</mi><mi>g</mi><mrow><mo>(</mo><mi>ϕ</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>{</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>−</mo><mi>ω</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>α</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mi>Δ</mi><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>/</mo><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable>
где α(t) - величина порядка единицы. Таким образом, погрешность оценки сдвига фаз напрямую зависит от близости величины ω(t)Δ к величине π/2 и от скорости изменения огибающих. Для амплитудно-модулированных квазигармонических сигналов с медленно меняющейся в широких пределах мгновенной частотой эта погрешность может быть довольно велика.
Целью изобретения является уменьшение погрешности измерения сдвига фаз квазигармонических сигналов с медленно меняющимися амплитудами и частотой при наличии аддитивной и мультипликативной помех. Для этого дополнительно формируют пятый и шестой сигнал путем задержки третьего и четвертого сигналов на один фиксированный временной интервал соответственно, формируют третью величину как разность произведения первого сигнала на четвертый сигнал и произведения второго сигнала на третий сигнал, четвертую величину как разность произведения третьего сигнала на шестой сигнал и произведения четвертого сигнала на пятый сигнал, пятую величину как разность произведения первого сигнала на шестой сигнал и произведения второго сигнала на пятый сигнал, шестую величину как сумму произведения первого сигнала на шестой сигнал и произведения пятого сигнала на второй сигнал, седьмую величину как сумму произведения первого сигнала на второй сигнал и произведения пятого сигнала на шестой сигнал, восьмую величину как разность квадрата третьей величины и суммы квадратов первой и второй, при этом первую величину формируют как произведение пятой величины на квадратный корень разности учетверенного произведения квадратов третьей и четвертой величины и квадрата восьмой величины на разность удвоенного произведения третьей, четвертой и седьмой величин и произведения шестой и восьмой величин, а вторую величину формируют как квадрат разности удвоенного произведения третьей, четвертой и седьмой величин и произведения шестой и восьмой величин.
Таким образом,
3
1
2
1
2
A(t)=x(t)x(t-Δ)-x(t-Δ)x(t),
4
1
2
1
2
A(t)=x(t-Δ)x(t-2Δ)-x(t-2Δ)x(t-Δ),
5
1
2
1
2
A(t)=x(t)x(t-2Δ)-x(t-2Δ)x(t),
6
1
2
1
2
A(t)=x(t)x(t-2Δ)+x(t-2Δ)x(t),
7
1
2
1
2
A(t)=x(t)x(t)+x(t-2Δ)x(t-2Δ),
<mrow><msub><mi>A</mi><mn>8</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msubsup><mi>A</mi><mn>5</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mi>A</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mi>A</mi><mn>4</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
.
Тогда
<mrow><msub><mi>A</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mn>5</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><msub><mi>A</mi><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>A</mi><mn>4</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>A</mi><mn>7</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mn>6</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msub><mi>A</mi><mn>8</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><msqrt><mrow><mn>4</mn><msubsup><mi>A</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><msubsup><mi>A</mi><mn>4</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msubsup><mi>A</mi><mn>8</mn><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow>
,
2
3
4
7
6
8
2
A(t)=(2A(t)A(t)A(t)-A(t)A(t)),
1
и полученная на первом этапе оценка φ сдвига фаз между первым и вторым сигналами на отрезке длительностью N интервалов Δ имеет вид
<mrow><msub><mi>ϕ</mi><mn>1</mn></msub><mo>≈</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>t</mi><mi>g</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msub><mi>A</mi><mn>5</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>2</mn><msub><mi>A</mi><mn>3</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>4</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>7</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mn>6</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>8</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><msqrt><mrow><mn>4</mn><msubsup><mi>A</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msubsup><mi>A</mi><mn>4</mn><mn>2</mn></msubsup><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>A</mi><mn>8</mn><mn>2</mn></msubsup><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msqrt></mrow></mstyle></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><msub><mi>A</mi><mn>3</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>4</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>7</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mn>6</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><msub><mi>A</mi><mn>8</mn></msub><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mstyle></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow>
,
i
i
где обозначено A[n]=A(nΔ), i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
-15
Численное моделирование полученных выражений подтверждает промышленную применимость предложенного способа. Погрешность определения сдвига фаз Δφ чисто гармонических сигналов при отсутствии шума не превышает 10 рад; по выборке в 1000 отсчетов, здесь и далее Δ=1. При наличии амплитудной или частотной модуляции, а также аддитивного шума погрешность возрастает.
На чертежах представлено:
Фиг.1 - Зависимость абсолютного отклонения оценки фазового сдвига Δφ от значения φ для гармонических сигналов с изменяющимися огибающими, постоянной частотой и малой дисперсией шума.
Фиг.2 - Зависимость абсолютного отклонения оценки фазового сдвига Δφ от значения φ для гармонических сигналов с постоянными огибающими и изменяющейся частотой.
ξ
-4
Фиг.3 - Систематическая погрешность оценки разности фаз гармонических сигналов в зависимости от значения φ при СКО шума σ=10.
ξ
-4
Фиг.4 - Случайная погрешность оценки разности фаз гармонических сигналов в зависимости от значения φ при СКО шума σ=10.
Таблица 1 - Статистические характеристики способа измерения сдвига фаз.
0
-4
На Фиг.1 представлено отклонение фазового сдвига, полученное для сигналов с одинаковыми законами изменения огибающих, фиксированной частотой f=0,2 и аддитивным шумом дисперсии 10 от амплитуды сигнала:
1
x[n]=(1+0,2sin(2π·0,01·n))sin(2π·0,2·n+φ),
2
x[n]=(1+0,2sin(2π·0,01·n))sin(2π·0,2·n).
-3
Несмотря на 20% амплитудную модуляцию сигналов, отклонение оценки разности фаз сигналов при заданном значении разности фаз в промежутке от π/8 до 7π/8 составило порядка 10 рад.
-4
Аналогичные результаты получаются для сигналов с постоянными огибающими, частотной модуляцией (Фиг.2) и малым значением аддитивного шума - 10 от амплитуды сигнала:
1
x[n]=sin(2π·0,2·{1+0,15·cos(2π·0,00053·n)}·n+φ),
2
x[n]=sin(2π·0,2·{1+0,15·cos(2π·0,00053·n)}·n).
0сред
0
φ
0
Статистические свойства способа исследовались путем обработки смеси сигналов с аддитивным узкополосным шумом. На Фиг.3 и Фиг.4 представлены систематическая φ-φ и случайная σ погрешности определения фазового сдвига от значения φ, полученные по 100 реализациям, для сигналов с постоянными единичными огибающими и фиксированной частотой f=0,2.
Зависимость статистических характеристик метода для некоторых значений дисперсии шума приведена в таблице 1.
3
Численные эксперименты показывают, что оптимальное значение интервала Δ лежит в диапазоне от T/6 до T/4, где T - среднее за время измерения значение периода сигнала. При соблюдении этого условия погрешность измерения сдвига фаз предложенным способом при наличии амплитудной и частотной модуляции в 10 раз меньше, чем у прототипа [2].
Источники информации
1. Келехсаев Б.Г. Способ определения сдвига фаз двух синусоидальных сигналов. Патент РФ №2039361, опубл. 09.07.1995.
2. Смирнов В.Н., Кучеров М.В. Широкополосный цифровой фазометр // Вопросы радиоэлектроники. 2004. №1. С.33-41 (прототип).
Таблица 1
Статистические характеристики способа
Кол-во отсчетов в выборке, L
10<sup>5</sup>
10<sup>2</sup>
Относительная дисперсия аддитивного шума: σ/a
10<sup>-1</sup>
10<sup>-2</sup>
10<sup>-3</sup>
10<sup>-4</sup>
10<sup>-1</sup>
10<sup>-2</sup>
10<sup>-3</sup>
10<sup>-4</sup>
Дисперсия оценок разности фаз: σ<sub>φ</sub>, 10<sup>-6</sup> рад
4480
290
28
2,7
81000
4700
406
40
Отклонение среднего оценок сдвига фазы: φ<sub>0сред</sub>-φ<sub>0</sub>, 10<sup>-6</sup> рад
26500
580
18
0,13
23000
918
10
0,15