Экспериментально-теоретические исследования устойчивости и верификация расчетных моделей большепролетных деревянных арок

УДК 624.03

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И ВЕРИФИКАЦИЯ РАСЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ

ДЕРЕВЯННЫХ АРОК

© 2011 г. Г.Г. Кашеварова, А.Ю. Зобачева, И.Н. Фаизов

Пермский государственный технический Perm State Technical

университет University

Приводятся результаты экспериментального и численного исследования пространственной устойчивости большепролетных деревянных арок, уточняется фактическая работа конструкций под нагрузкой, исследуется влияние различных факторов (типа конечных элементов, свойств материала, подкрепления, жесткости связей) на расчет устойчивости равновесия арки.

Ключевые слова: большепролетная клееная деревянная арка; устойчивость; критическая нагрузка; форма деформирования; эксперимент; численные исследования.

The paper presents experimental results and the numerical study of spatial stability of long-span wooden arches, specifies the actual work of structures under load, we investigate the influence of various factors (such as finite elements, material properties, reinforcement stiffness of bonds) on the calculation of the stability of the arch.

Keywords: long-span glued wooden arch; stability, critical load; the shape of the deformation; experiment; the numerical investigations.

Многослойная арка из гнутых досок является одной из прогрессивных форм деревянных конструкций. Клееные деревянные арки достаточно полно удовлетворяют требованиям современного индустриального производства конструкций. Простота изготовления, высокая степень заводской готовности, удобство транспортирования и монтажа, возможность придания геометрической оси арки наиболее рационального очертания, архитектурная выразительность и достаточная огнестойкость — вот основные достоинства, обеспечивающие широкое применение арочных конструкций в спортивных, общественных и промышленных сооружениях. Наиболее широко они используются при строительстве складов минеральных удобрений.

Вопросам прочности и устойчивости арок, как в плоскости, так и из плоскости действия нагрузок посвящено большое количество научных трудов. Серьезные исследования в этом направлении для арок различного очертания были проведены В. А. Бовиным, В. В. Болотиным, Д. В. Вайнбергом, В. 3. Власовым, А. Н. Динником, Н. В. Корноухо-вым, 3. Н. Мазурмовичем, Е. А. Моргаевским, А. Б. Николаи, Я. А. Пратусевичем, Г. В. Свенциц-

ким, А. Ф. Смирновым, С. П. Тимошенко, М. С. Торяником и др.

Однако, несмотря на большое количество теоретических и экспериментальных работ и широкое применение клееных конструкций в современном строительстве, в действующей нормативной литературе до сих пор отсутствуют четкие рекомендации по обеспечению пространственной устойчивости большепролетных арок с соотношением высоты Н к ширине Ь сечения арки больше 5. Ширина сечения назначается исходя из сортамента пиломатериалов и технологических возможностей запрессовочного оборудования (обычно 125...300 мм). Высота сечения назначается по расчету в соответствии с рекомендациями СНиП, но традиционно в практике проектирования ее рекомендуется принимать из условия k =Н/Ь < 5. Но пролеты растут, а эффективность сечения тем выше (экономия материала), чем больше k =Н/Ь. Возникает необходимость теоретического обоснования возможности проектирования арок с отношением ^5 и обеспечения устойчивости сооружения в целом.

На практике выявлено много случаев нарушения устойчивости плоской формы деформирования

таких конструкций. При недостаточном количестве связей наблюдается и изгибно-крутильная форма потери устойчивости, характеризующаяся закручиванием полуарок вдоль продольной оси.

В настоящее время при проектировании большепролетных арочных конструкций проверка устойчивости плоской формы деформирования криволинейных сжато-изгибаемых элементов выполняется в соответствии с рекомендациями [1], исходя из предпосылки о линейной работе древесины под нагрузкой. Существующая методика расчета арочных конструкций на устойчивость не учитывает влияние многих конструктивных факторов, в том числе накладываемых связей, для обеспечения пространственной жесткости и особенности упругих характеристик древесины как анизотропного материала.

Современные численные методы, программные комплексы и ЭВМ позволяют решать проблему устойчивости, рассматривая более точные пространственные модели, основанные на нелинейной постановке задачи. Однако в большинстве специализированных программ этот вопрос проработан недостаточно и решается, в основном, в линейной постановке.

В данной работе для численного анализа использовался метод конечных элементов и программный комплекс ANSYS, который дает возможность пользователю работать не только в интерактивном режиме, но и создавать собственные макросы на языке параметрического проектирования APDL, в том числе для решения задач устойчивости в нелинейной постановке.

Цель данной работы — уточнение фактической работы арочных конструкций под нагрузкой, создание научно-обоснованных расчетных моделей, адекватно отражающих работу пространственных большепролетных арочных сооружений,

Рис. 1. Общий вид модели арки на испытательном стенде

опираясь на результаты натурных экспериментов, и анализ влияния различных факторов на устойчивость равновесия конструкций.

Одной из наиболее рациональных форм клееных деревянных конструкций, широко применяемых при возведении большепролетных сооружений, являются арки кругового и стрельчатого очертания, имеющие сплошное прямоугольное сечение. Чем больше отношение высоты Н к ширине Ь сечения арки, тем значительнее экономия материала. Однако при отношении k=Н/b> 5 сжатая неподкрепленная кромка полуарки начинает деформироваться из плоскости действия нагрузки. Возникает опасность потери устойчивости плоской формы деформирования, и в таких случаях необходимо учитывать жесткости связе-вых блоков и дискретных подкреплений кромок распорками, т.е. пространственную работу всего сооружения в целом.

Экспериментальные исследования моделей арки. В Пермском государственном техническом университете были проведены натурные эксперименты моделей клееных деревянных стрельчатых арок стрельчатого очертания, имеющих сплошное прямоугольное сечение с увеличенным соотношением размеров сечения k = Н/Ь = 5, 7, 9, 12 [2].

Общий вид модели арки на испытательном стенде показан на рис. 1, а основные геометрические параметры конструкции — на рис. 2. Все модели арок испытывались при шарнирном решении конькового и опорных узлов, что позволило получить наилучшее соответствие фактической и теоретической расчетных схем трехшарнир-ной стрельчатой арки на действие симметричной (от подвесной конвейерной галереи) и односторонней (снеговой, ветровой) нагрузок.

На практике устойчивость арочного сооружения в продольном направлении обеспечивается системой связей, выполненных из деревянных или стальных стержней. Поэтому все модели ис-пытывались при разных вариантах закрепления арки из плоскости. Такая методика проведения испытаний позволила выявить возможные формы потери устойчивости и установить степень влияния соединительных элементов на устойчивость всей конструкции.

В процессе испытаний производились замеры перемещений в плоскости и из плоскости действия нагрузки. Оценка напряженного состояния производилась по результатам замеров деформаций волокон древесины в различных сечениях. Конструкции арок загружались до потери несущей способности. В результате проведенных натурных экспериментов получены зависимости между нагрузками и перемещениями в плоскости и из плоскости арок, формы потери устойчивости и значе-

ния критических нагрузок, выявлен характер и причины разрушения конструкций. Результаты экспериментов приведены ниже при сравнении с результатами, полученными путем вычислений.

Рис. 2. Схема модели стрельчатой арки

Численные исследования. Исследования проводились для арок с геометрией, как в натурных экспериментах, с увеличенным соотношением размеров сечения k=7 и к=9 на действие симметричной и односторонней нагрузок. В экспериментах применялись разные варианты закрепления граней арки из плоскости. В данной работе приведены два варианта закрепления: 1 — модели с раскреплением от смещения из плоскости на опорах, в коньке и в пяти точках верхних граней обеих полуарок (имитация раскрепления прогонами); 2 — в дополнение к варианту 1, в серединах длин дуг полуарок нижние грани закреплялись от смещения из плоскости (для симметричной нагрузки).

Физико-механические свойства древесины (сосна, ель) принимались по результатам испытаний образцов, которые вырезались из моделей, прошедших испытания: модули упругости в направлении волокон— (1,276+0,204) х 1010 Па; поперек волокон — 4х 108 Па; модуль сдвига — (5,5+0,5) х 108 Па; коэффициенты Пуассона V „ =0,499, V ух =0,02.

Для определения критической нагрузки и форм потери устойчивости применялись два подхода: линейный, связанный с вычислением собственных значений с применением блочного метода Ланцо-ша [3] и нелинейный статический расчет.

В классической линейной постановке задачи устойчивости, реализованной практически всеми

конечно-элементными программными системами, определение критической нагрузки сводится к определению наименьшего положительного собственного числа X для следующей системы уравнений:

(К ])}= 0, где [К] — матрица жесткости конструкции; [6] — матрица эффективной жесткости; X — собственное значение (масштабный фактор); {и} — собственный вектор, определяющий форму потери устойчивости (выпучивания арки).

С точки зрения линейного подхода выпучивание определяется эффектом изменения жесткости упругой системы с ростом напряжений, когда рост сжимающих напряжений приводит к снижению способности конструкции противостоять нагрузкам, действующим в поперечном направлении. При некотором уровне нагрузки этот нейтрализующий эффект превосходит влияние собственной линейной жесткости системы, приводя к выпучиванию.

Линейный подход не может учесть нелинейности любого рода и несовершенства системы, имеющиеся в реальных конструкциях, приводящих к снижению критических нагрузок, полученных в линейном случае. Но данный подход полезно использовать для изучения общего поведения конструкции перед выполнением нелинейного анализа устойчивости.

Нелинейный анализ устойчивости — это, в сущности, исследование влияния больших перемещений. При нелинейном анализе матрица жесткости системы и вектор нагрузок могут зависеть от результатов решения и, следовательно, неизвестны. Для получения решения используется итеративная процедура на основе метода Ньютона—Рафсона, которая состоит в том, что вся нагрузка заменяется серией ее небольших приращений и выполнением на каждом таком шаге по нагрузке последовательности линейных приближений до получения состояния равновесия. Каждое линейное приближение требует выполнения равновесных итераций.

В методе Ньютона—Рафсона матрица жесткости и/или вектор нагрузок модифицируются на каждой итерации. Используются соотношения

[К ]-1,{Аи} = {^ }-И }-1, где [К ] _1 — матрица коэффициентов тангенциальной жесткости для деформированной геометрии на (г-1) итерации; {Ли} — вектор, компонентами которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций: {Ли} = {и} _ {и}_1; {и} — вектор перемещений,

век-

; И} —

относящийся к текущей итерации тор приложенных к системе сил; {рт}

вектор нагрузок в методе Ньютона-Рафсона, соответствующих перемещениям для итерации с номером (г — 1).

С точки зрения вычислительного процесса расчет продолжается до тех пор, пока не достигнута сходимость решения. Для управления процессом сходимости на каждом шаге решения используется метод ограничивающих дуг. Проверка сходимости при переходе к следующему шагу производится по невязке усилий

(И } -1) .

Для проведения вычислительных экспериментов нами разработаны программы—макросы на языке APDL. В процессе проведения вычислительных экспериментов по устойчивости пространственных арочных конструкций исследовались:

— влияние конечно-элементной дискретизации на результаты расчета;

— влияние на устойчивость пространственной конструкции разных соотношений высоты к ширине сечения (к=7 и к=9);

— результаты линейного и нелинейного анализа устойчивости арок;

— влияние анизотропии (ортотропии) материала древесины;

— влияние на пространственную арочную конструкцию жесткости связей в продольном направлении.

Расчетные модели пространственной конструкции арки создавались как балочными, так и оболочечными конечными элементами (КЭ). Но поскольку в балочной модели, при исследовании пространственной устойчивости нельзя было раскрепить нижнюю сжатую грань арки, а также, учитывая, что полученные в результате расчета

значения критических нагрузок в балочных моделях существенно отличались от экспериментальных значений (~ на 35 %), дальнейший анализ проводился на моделях, создаваемых оболо-чечными (SHELL63) КЭ (рис. 3).

Закрепление в коньковом узле моделировалось линейными связями, перпендикулярными плоскости действия нагрузки и угловой связью, препятствующей повороту арки вокруг оси х, параллельной пролету. Раскрепление верхних и закрепление нижних граней полуарок имитировалось наложением линейных связей перпендикулярно плоскости действия нагрузки (места на рис. 3 отмечены).

Традиционно в расчетах конструкций из древесины материал считается изотропным. В данной работе расчеты выполнялись как без учета, так и с учетом ортотропии свойств древесины. При этом исследовалось влияние изменения жестко-стных характеристик материала (разброса свойств) на величину критической нагрузки.

Результаты вычислительных экспериментов. На рис. 4 и 5 показаны результаты линейного расчета перемещений и форм деформированной оси в плоскости и характер перемещений нижних граней арок из плоскости при действии симметричной нагрузки для арок с соотношением размеров сечения к=7 и к=9, которые качественно соответствуют результатам натурных экспериментов. А на рис. 6 показан характер перемещений арки в плоскости и из плоскости действия симметричной нагрузки.

На рис. 7 приведены сравнительные результаты линейного и нелинейного расчета перемещений нижних граней арок из плоскости для к=7 с незакрепленными и закрепленными нижними гранями с учетом ортотропии свойств древесины.

150 150

Рис. 3. Конечно-элементная расчетная модель арки

i :. мм

Рис. 4. Расчетные

и перемещения нижних граней арок из плоскости (б) действия симметричной нагрузки, мм

Uz, мм

Рис. 5. Расчетные

и перемещения нижних граней арок из плоскости (б) действия симметричной нагрезки с закрепленными

нижними гранями, мм

Основные результаты линейного и нелинейного расчетов критической нагрузки для расчетных моделей с соотношениями высоты к ширине сечения к=7 и к=9, а также осредненные результаты экспериментов при симметричной нагрузке сведены в таблицу. При расчетах учитывался разброс свойств материала.

Результаты испытаний арок на несимметричную нагрузку с полностью раскрепленными из плоскости верхними гранями существенно отличались от предыдущих. Здесь сжатая раскреплен-

ная грань левой полуарки при расчетных нагрузках практически не имела смещений из плоскости, а появление боковых перемещений при больших нагрузках было связано с податливостью элементов раскрепления. Свободная от нагрузки правая полуарка не могла свободно деформироваться в плоскости наименьшей жесткости, так как ее перемещения из плоскости были стеснены связями, наложенными на верхнюю растянутую грань, а имела возможность лишь закручиваться относительно линии раскрепления.

Расчетные и экспериментальные значения критической нагрузки

k=h/b X £?104, МПа Изотр мате ЛИН. опный риал, расчет G, МПа Ортотропный материал Эксперимент

без закрепленной нижней грани с закрепленной нижней гранью без закрепленной нижней грани с закрепленной нижней гранью без закрепленной нижней грани с закрепленной нижней гранью

ЛИН н/лин ЛИН н/лин

7 1,072 16,6 19,5 50 10,23 8,852 15,3 12,414 13,4 16,08

60 11,5 9,88 16,99 13,629

1,276 19,75 23,2 50 10,9 9,8 16,5 14,53

60 12,2 10,88 18,22 15,87

1,48 22,9 26,95 50 11,56 10,099 17,7 14,524

60 12,86 11,195 19,42 15,832

9 1,072 16,32 19,09 50 10,54 10,15 16.859 14,252 15,58 19,3

60 11,82 11,307 18.432 15,522

1,276 19,42 22,72 50 12,32 11,83 18,82 17,66

60 13,58 12,95 20,42 19,03

1,48 22,53 25,35 50 12,07 11,590 20,002 16,922

60 13,32 12,813 21,614 18,256

Рис. 6. Характер перемещений арок в плоскости и из плоскости действия симметричной нагрузки в АИБУБ

Рис. 7. Расчетные и экспериментальные значения и перемещений нижних граней арок из плоскости действия симметричной нагрузки: а — с незакрепленными нижними гранями; б — с закрепленными

нижними гранями

а б

Рис. 8. Деформированное состояние арки: а — экспериментальное; б — расчетное

Деформирование сжатой грани из плоскости происходило постепенно с медленным приростом перемещений до определенного предела, а затем резко происходил их значительный прирост без дальнейшего увеличения нагрузки.

На рис. 8 а показаны суммарные перемещения арки с соотношением к=7 в плоскости действия нагрузки: 1 — при расчетной нагрузке /=5,3 кН, 2 — при критической нагрузке /=6,8 кН; 3 — из плоскости действия нагрузки, полученные экспериментально, а на рис. 8 б — форма деформирования, полученная в результате расчета в ПК ANSYS (критическая нагрузка / =5,7 кН). Аналогичная картина деформирования получена и для арки с соотношением к=9, / = 8,1 кН.

кр '

На практике устойчивость арочного сооружения в продольном направлении обеспечивается системой связей, выполненных из деревянных или стальных стержней достаточно малой жесткости, по сравнению с жесткостью арки. Связе-вые элементы крепятся к полуаркам гибкими стальными соединительными деталями. Вся свя-зевая система является достаточно податливой, что приводит к появлению перемещений вдоль оси сооружения при нагрузках, меньших критических. Поэтому для оценки влияния жесткости связей на деформации пространственной арочной конструкции в продольном направлении выполнялись расчеты для двух арок, связанных между собой связями разной жесткости (деревянными и стальными стержнями) (рис. 9). Как видно из приведенного графика, перемещения нижних граней арок из плоскости действия симметричной нагрузки при связях разной жесткости прак-

тически совпадают, но значения критической нагрузки при этом отличаются ~ на 30 % (для стальных стержней / =12,9 кН, для деревянных стержней / =8,9 кН).

Рис. 9. Влияние жесткости связей на устойчивость арочной конструкции

6.0 40 2.0 0.0 -2.0 -40 -0.0

Анализ результатов. Анализируя результаты экспериментальных и численных исследований устойчивости стрельчатых арок, следует отметить следующие основные моменты:

— стрельчатые арки принятого очертания при отношении высоты сечения к ширине к=5 деформируются, главным образом, в плоскости действия нагрузки и потери устойчивости плоской формы деформирования не происходит. Для конструкций с отношением к >5 характерна пространственная форма деформаций, связанная с потерей устойчивости плоской формы деформирования сжатой грани полуарки;

— расчет на устойчивость конструкций арок с соотношением высоты к ширине сечения больше 5 следует проводить на расчетных моделях, создаваемых оболочечными конечными элементами с учетом ортотропии свойств древесины;

— симметричное загружение вызывает сжатие нижних не закрепленных граней обеих полуарок и под действием нагрузки происходит выпучивание этих граней из плоскости по одной полуволне. Однако величины перемещений левой и правой полуарок отличаются друг от друга;

— введение дополнительных связей на нижних гранях полуарок, препятствующих боковым перемещениям, не оказывает существенного влияния на деформации моделей арок в плоскости наибольшей жесткости, но характер разрушения арок при этом различается. Арки без дополнительных связей теряют несущую способность при меньших нагрузках от потери устойчивости. Арки с дополнительными связями теряют несущую способность при больших нагрузках в результате разрыва волокон материала. Это подтвержда-

ют и вычислительные эксперименты, в которых для арок без дополнительных связей более близкие к экспериментальным критические нагрузки дает линейный, а для арок с дополнительными связями— нелинейный расчет;

— на величину расчетной критической нагрузки и характер деформаций существенно влияет учет анизотропных свойств материала. Для изотропного материала значения критической нагрузки существенно превышают экспериментальные значения и расчетные значения с учетом ортот-ропии (на 25—37 %);

— при учете ортотропии наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает модуль сдвига (при изменении С на 9 %, Ркр меняется на 34 %, в то время как при изменении Е на 15 % — Р меняется на 7 %);

кр ' '

— результаты расчета на действие несимметричной нагрузки получились адекватными результатам экспериментов;

— жесткость связей в продольном направлении пространственной арочной конструкции оказывает существенное влияние на значение критической нагрузки.

Литература

1. СНиП 11-25-80. Деревянные конструкции. Нормы проектирования.

2. Фаизов И. Н. Экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния деревянных стрельчатых арок // Строительные конструкции, здания и сооружения: труды ЦНИИЭПсельстроя. М., 1977. №17. С. 64-72.

3. Басов К. А. ANSYS: справочник пользователя. М., 2005. 640 с.

Поступила в редакцию 15 ноября 2010 г.

Кашеварова Галина Геннадьевна — д-р техн. наук, профессор, Пермский государственный технический университет. Тел. 8 (342) 442-002. E-mail: ggk@pstu.ru, ggkash@mail.ru

Зобачева Александра Юрьевна — аспирант, Пермский государственный технический университет.

Фаизов Игорь Николаевич — канд. техн. наук, доцент, Пермский государственный технический университет.

Kashevarova Galina Gennadievna — Doctor of Technical Sciences, professor, Perm State Technical University. Tel. 8 (342) 442-002. E-mail: ggk@pstu.ru, ggkash@mail.ru

Zobacheva Aleksandra Urievna — post-graduate student, Perm State Technical University.

Faizov Igor Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Perm State Technical University.