Исследование нестационарного теплообмена электропроводной жидкости в сферическом слое

УДК 550.362

DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-2

С. В. Соловьев

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛООБМЕНА ЭЛЕК ТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ

Аннотация.

Актуальность и цели. Исследуется нестационарный конвективный теплообмен электропроводной жидкости между двумя изотермическими концентрическими сферами, когда вектор ускорения свободного падения направлен по радиусу к центру сферического слоя. Исследовано влияние числа Грасгофа на структуру течения жидкости, поля температуры, магнитной индукции и распределение чисел Нуссельта.

Материалы и методы. Для решения поставленной задачи используется метод конечных элементов. В безразмерной формулировке задача решается с учетом магнитных, инерционных, вязких и подъемных сил в сферической системе координат с учетом симметрии по долготе.

Результаты. Получены нестационарные и стационарные поля температуры, функции тока, напряженности вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции и распределение локальных чисел Нуссель-та электропроводной жидкости в сферическом слое для различных чисел Грасгофа.

Выводы. Показано, как с увеличением интенсивности конвекции изменяются поля температуры, магнитной индукции, распределение чисел Нуссельта и структура течения жидкости в сферическом слое.

Ключевые слова: математическое моделирование, нестационарный конвективный теплообмен, магнитная гидродинамика, сферические слои.

S. V. Solov'ev

SIMULATION OF NON-STATIONARY HEAT EXCHANGE OF ELECTRO-CONDUCTIVE LIQUID IN A SPHERICAL LAYER

Abstract.

Background. In the paper, unsteady convective heat transfer of an electrically conductive liquid between two isothermal concentric spheres is investigated when the acceleration vector of gravity is directed along the radius to the center of the spherical layer. The effect of Grasgofs number on the structure of fluid flow, temperature field, magnetic induction and the distribution of Nusselt numbers is investigated.

Materials and methods. To solve the problem, a finite element method is used. In a dimensionless formulation the problem is solved by taking into account the magnetic, inertial, viscous and lifting forces in a spherical coordinate system, taking into account symmetry in longitude.

Results. Non-stationary and stationary temperature fields, stream functions, vortex strength, radial and meridional components of magnetic induction, and the dis-

© Соловьев С. В., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

tribution of Nusselt local numbers of an electrically conducting liquid in a spherical layer for various Grashof numbers are obtained.

Conclusions. It is shown how the fields of temperature, magnetic induction, the distribution of Nusselt numbers and the structure of fluid flow in a spherical layer change with increasing convection intensity.

Keywords: mathematical modeling, unsteady convective heat transfer, magnetic hydrodynamics, spherical layers.

Введение

Для широкого круга задач конвективного теплообмена, например в сферических концентрических слоях [1-14], в уравнении движения при использовании приближения Буссинеска вектор силы тяжести направлен вертикально вниз. Однако для многих задач космической техники, атомной энергетики, геофизики и астрофизики имеет место принципиальное отличие — вектор силы тяжести направлен по радиусу к центру сферического слоя. Сравнение полученных результатов [14] локальных и интегральных (уравнений подобия теплообмена) характеристик конвективного теплообмена жидкости между изотермическими концентрическими сферами, когда вектор ускорения свободного падения был направлен вертикально вниз и по радиусу к центру сферического слоя, показало значительные различия в теплообмене и гидродинамике. В этой связи самостоятельный интерес представляет исследование конвективного теплообмена в сферических слоях, когда вектор ускорения свободного падения направлен по радиусу к центру сферического слоя.

В работе исследовалось влияние числа Грасгофа на структуру течения, поле температуры, магнитную индукцию и распределение чисел Нуссельта электропроводной жидкости в сферическом слое, когда вектор силы тяжести направлен по радиусу к центру сферического слоя.

1. Постановка задачи

Задача конвективного теплообмена электропроводной жидкости в сферическом слое описывается уравнениями магнитной гидродинамики и энергии. Безразмерная постановка задачи в переменных вихрь (ю) — функция тока (у) — температура (Ф) в сферической системе координат с учетом симметрии по долготе описывается уравнениями для напряженности вихря, функции тока, энергии, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции [15]:

1 дю 1 (ду дю ду дю ю ду . ду

Ho эТ+ r2 sin e IЭ0 эТ - э7 Э0— Т Э0+Юctg э7

J Re

^ д2Ю 2 дю 1 д2Ю ctg 0 дю Ю +--+ ^-^ + -

v дг2 Г дг r2 д02 r2 д0 r2 sin2 0 ,

Gr 1 дФ S - + -

Re2 r д0 Rera

f ТУ д2 Be „ Br дв0 двг дв0 Be Эвг bv д2 Bv

Br--—+ 2--;--I- —--;--+ -

v

дг2 r Эг Эг Эг r Эг r эгэ0

1 дBr dBr Be Э2BQ 1 ЭВе ЭВе 2Be ЭВе Be д2Br

- + -

- + —

r Эг эе r Эгде r Эг эе

-+-

,2 Эе

____aBL эвe

Т2Т2 "Эе Эе-

Э2у 1 Э2у ctgеду . л

-+——i-—юг sin е,

Эг2 г2 Эе2

,2 Эе

1 Эд 1 -+-

ду Эд ду Эд

Ho дт r2sin е I Эе Эг Эг Эе J Pe

1

Э2д 2 Эд 1 Э2д ^Рдд --|----|----|--2--

дг2 г дг г2 де2 г2 Эе

= 0,

1 дB

r _

Ho дт г2 sin е

Bq 1 aBo B д2у + д ду г де2 г де де г дгде де дг

+

+

Яе,

f д2Br + 2 3BL +д2Br + ctgeдBr 2Br 2BectgР 2 дBe

дг 2

1 дB,

е

1

r дг

f

r2 де2

,2 де

,2 де

Ho дт r sin 0

fi 2

2 2 Л

д у дBr ду Be д у Be ду 1 ду дBe

—Br —г----------———+

v

r дг 2 дг дг

Эгде r2 Эе r де Эг

+

+

1

Яе,

д2Be + 2 BB1+д2^ ctge дBe

Bp

дг 2

дг

г2 де2

+

2 двr

2 де г2sin2 е г2 де

Обозначения величин, используемых при записи системы дифференциальных уравнений, приведены в работе [15]. Для температуры на внутренней Г (г = 1) и внешней Г2 (г = г2) границах сферического слоя (внутренняя сфера более нагрета) задавались граничные условия первого рода: г = 1;

г = 0. На оси симметрии сферического слоя ставилось условие

- 2 Эд де

= 0.

е=0,п

Граничные условия для функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции, имели следующий вид [16]:

Ч г12 =Ч=0,пНе=0,п=0;

дBr

де

двfl

е=0,п

де

= 0;

е=0,п

B,

r 1г,

= Br |г = 0; Be |г =— 0,01sin 0; Be |г = 0,01sin Р.

е 1Г,

Граничные условия для вихря на границах шарового слоя предполагают линейное изменение его по нормали. Локальные и осредненные числа Нуссельта на поверхности внутренней и наружной сферы рассчитывались по формулам:

Эд

Nu1 =--

дг

дд

, Nu2 = —Г2 — г, дг

г 2

Nu

1 п i=-21

ЭФ Эг

Sin 0d 0, Nu

и

=-21

ЭФ Эг

Sin 0d 0.

Численное решение задачи осуществлялось методом конечных элементов, алгоритм решения представлен в работе [16]. Расчеты были выполнены

для следующих значений безразмерных чисел подобия: Ог = 5 103; 5 -104;

Но = 0,1; отношение

Re = Pe = 10; Рг = Rem = 1; S = 10

-5 .

S / Rem = 10

-5.

внутреннего диаметра сферического слоя к внешнему ёЮ = 1/2.

2. Результаты

На рис. 1 приведены результаты расчетов для числа Грасгофа Ог = 5 10 в моменты времени: 1 - т = 60; 2 - т = 65; 3 - т = 70. Расчеты проводились и для других значений времени: т = 3; 3,5; 4; 5; 6; 9; 12; 15; 20; 30; 50, но оказалось, что наилучшими результатами, позволяющими проследить во времени эволюцию расчетных полей, оказались результаты, полученные для т = 60; 65; 70. Теплообмен в слое для данных моментов времени (при т < 50 теплообмен в слое происходил теплопроводностью) осуществляется конвекцией (рис. 1,а). Основное изменение температуры происходит в области полюсов и экватора. С течением времени эти области становятся ярче выраженными, а градиенты температуры в них увеличиваются. Максимальное значе-

ние температуры в слое 0m

= 1.

2

2

1

3

Рис. 1. Поля температуры (а), распределение чисел Нуссельта (б), функции тока (в), вихря (г), радиальной (д) и меридиональной (е) составляющих магнитной индукции:

1 - т = 60; 2 - т = 65; 3 - т = 70

1 2 3

в)

1 2 3

г)

1 2 3

д)

е)

Рис. 1. Окончание

На рис. 1,б представлены распределения локальных чисел Нуссельта, которые на внутренней (красный цвет) поверхности слоя имеют два максимума (0 ~ п/4; 3п/4) и один минимум (0 ~ п/2). На внешней (зеленый цвет) поверхности слоя характер изменения локальных чисел Нуссельта меняется на противоположный: два минимума (0 ~ п/4; 3п/4) и один максимум (0 ~ я/2).

Интервал изменения чисел Нуссельта и значения осредненных чисел Нуссельта на внутренней и внешней поверхности слоя следующие:

т = 60: 0,785 < Ыи1 < 2,878; 0,698 < Ыи2 < 3,988. Ыи1 = 2,168; N2 = 1,119; т = 65: 0,801 < Ыи1 < 4,871; 0,354 < Ыи2 < 10,700. Ыи 1 = 3,386; Ыи2 = 1,912;

т = 70: 1,008 < Ыи1 < 6,731; 0,250 < Ыи2 < 9,998. Ыи 1 = 5,046; Ыи2 = 3,449.

Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. В слое образуются четыре конвективные ячейки (рис. 1,в) и четыре вихря (рис. 1,г). Для т = 60 их интенсивность незначительная (| V тах | = 0,20; | ютах | = 3,15), но с течением времени структура течения жидкости в слое изменяется. В области полюсов образуются две мелкомасштабные конвективные ячейки, а в экваториальной области две крупномасштабные; интенсивность конвекции в ячейках увеличивается: |утах| = 0,74;

IV тах| = 1,39 (соответственно для т = 65; 70). В северном полушарии для всех

режимов (рис. 1,в) в ячейке в области полюса жидкость движется против часовой стрелки (красный цвет, значения положительные), а в области экватора -по часовой (синий цвет, значения отрицательные). Для южного полушария тенденция обратная. Вихревая структура течения представлена четырьмя вихрями (рис. 1,г). С течением времени структура, интенсивность и форма вихрей изменяются: |ютах| = 11,39; |ютах| = 19,20 (соответственно для т = 65;

70). В северном полушарии для всех режимов (рис. 1,г) в вихре, расположенном в области полюса, жидкость движется против часовой стрелки, а в области экватора - по часовой. Для южного полушария тенденция обратная. Для т = 60 поле радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 1,д, 1) представлено двумя «магнитными ячейками» в основной области течения жидкости, в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции в северном полушарии отрицательные, а в южном - положительные. Максимальное значение радиальной составляющей |Вгтах| = 4 • 10 3. С течением времени интенсивность, количество и форма «магнитных ячеек» радиальной составляющей магнитной индукции изменяются. Вблизи внутренней поверхности сферического слоя образуются две мелкомасштабные «магнитные ячейки», в которых значения радиальной составляющей магнитной индукции прямо противоположные по знаку ее значениям в крупномасштабных «магнитных ячейках» (рис. 1,д, 2, 3). Максимальные значения радиальной состав-

-3; Вгтах| = 1,10 •Ю-3 ственно для т = 65; 70). Значения меридиональной составляющей магнитной

ляющей магнитной индукции: \Вгтах| = 6 • 10 3; \Вгтах| = 1,10 10 3 (соответ-

индукции (рис. 1,е) положительные у внешней поверхности слоя и отрицательные у внутренней. С течением времени кривизна изолиний меридиональной составляющей магнитной индукции в экваториальной области увеличивается.

-2

Максимальная величина меридиональной составляющей |-Вдтах | = 10

На рис. 2 представлены расчетные поля для стационарного режима ( от = 5 103).

Рис. 2. Поля температуры (а), распределение чисел Нуссельта (б), функции тока (в), вихря (г), радиальной (д) и меридиональной (е) составляющих магнитной индукции

По сравнению с нестационарными результатами, представленными на рис. 1, поля температуры, распределение чисел Нуссельта, функции тока, вихря, радиальной и меридиональной составляющих магнитной индукции для стационарного режима (рис. 2) претерпевают изменения:

0m

= 1; 1,409 < Nu < 6,701; 0,193 < Nu2 < 7,476; Nu, = 5,142;

Nu 2 = 2,671; |Vmax| = 1,46; |max| = 19,20; \Br max| =10-3; |B(

'0тах

=10-

На рис. 3 приведены нестационарные результаты расчетов для числа Грасгофа От = 5 • 104.

Увеличение числа Грасгофа по сравнению с результатами, приведенными на рис. 1, приводит к значительным изменениям расчетных полей. Основное изменение полей температуры сосредоточено в тонком тепловом пограничном слое у внутренней поверхности сферического слоя, в области полюсов и экваториальной плоскости (рис. 3,а).

а)

в)

1 2 3

г)

Рис. 3. Поля температуры (а), распределение чисел Нуссельта (б), функции тока (в), вихря (г), радиальной (д) и меридиональной (е) составляющих магнитной индукции: 1 - т = 60; 2 - т = 65; 3 - т = 70

Максимальное значение температуры в слое для всех режимов 0max = 1.

На рис. 3,б представлены распределения локальных чисел Нуссельта, которые отражают характер изменения градиентов температуры на границах сферического слоя. На внутренней поверхности слоя (рис. 3,б) числа Нуссельта имеют два максимума (0 ~ п/4; 3п/4) и один минимум (0 ~ п/2); на внешней поверхности слоя характер изменения чисел Нуссельта меняется на противоположный: два минимума (0 ~ п/4; 3п/4) и один максимум (0 ~ п/2). Интервал изменения чисел Нуссельта и значения осредненных чисел Нуссельта на внутренней и внешней поверхности слоя следующие:

т = 60: 1,171 < Ыи1 < 13,143; 0,485 < Ыи2 < 22,117. Ыиг = 9,906; N2 = 5,173; т = 65: 1,068 < Ыи1 < 13,008; 0,413 < Ыи2 < 22,812. Ыи 1 = 9,776; Ыи2 = 5,128;

т = 70: 0,950 < Ыи1 < 12,703; 0,433 < Ыи2 < 23,468. Ыи 1 = 9,505; Ыи2 = 5,018.

Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. В слое образуются четыре конвективные ячейки (рис. 3,в) и четыре вихря (рис. 3,г), которые по форме и интенсивности значительно отличаются от результатов, представленных на рис. 1,в,г. Структура течения становится развитой (|^тах| = 5,53; 5,07; 4,31; |ютах| = 85,25; 83,84; 82,00 со-

ответственно для т = 60; 65; 70). Направление движения жидкости в конвективных ячейках и вихрях такое же, как и для результатов, приведенных на рис. 1,в,г. Поле радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 3,д), в отличие от результата, представленного на рис. 1,д, представлено четырьмя крупномасштабными «магнитными ячейками» в основной области течения жидкости и двумя мелкомасштабными «магнитными ячейками» вблизи внут-

ренней поверхности в области экватора. \БГ тах | = 5 10-3; 6 10-3; 7 10-3 (соответственно для т = 60; 65; 70). Поле меридиональной составляющей магнитной индукции (рис. 3,е) радикально отличается от поля меридиональной составляющей магнитной индукции, представленного на рис. 1,е. Кривизна изолиний меридиональной составляющей магнитной индукции (рис. 3,е) увеличивается, принимая треугольную форму в области экватора, а у внешней поверхности слоя образуются «магнитные каверны» меридиональной состав-

(соответ-

-V—3.

-V—3

и

8 тах

=9 10—3; 9 10

-3.

1 10

-2

ляющей магнитной индукции.

ственно для т = 60; 65; 70).

На рис. 4 представлены расчетные поля для стационарного режима ( от = 5 104).

Рис. 4. Поля температуры (а), распределение чисел Нуссельта (б), функции тока (в), вихря (г), радиальной (д) и меридиональной (е) составляющих магнитной индукции

Для стационарного режима, по сравнению с результатами, приведенными на рис. 3,а, происходит дальнейшее изменение поля температуры

(рис. 4,а), которое по форме напоминает «миндалины». Основное изменение температуры происходит в тонком тепловом пограничном слое у внутренней поверхности сферического слоя и экваториальной плоскости. Максимальное значение температуры в жидкости 0тах = 1. На рис. 4,б представлено распределение локальных чисел Нуссельта, которое, в отличие от результата, приведенного на рис. 3,б, при 0 ~ п/2 на внутренней поверхности слоя имеет один минимум, а на внешней — один максимум. Интервал изменения чисел Нуссельта и значения осредненных чисел Нуссельта на внутренней и внешней поверхности слоя следующие:

3,158 < Ыи1 < 12,407; 0,048 < Ыи2 < 11,606;

= 9,864; Ыи 2 = 5,124.

Интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя выше, чем на внешней. Максимальные значения расчетных величин следующие:

Ках| = 7,37; |тах| = 97,00; \Бгтах\ = 2,95-10-3; |£0тах| = 10—2.

Заключение

Для числа Грасгофа От = 5 10 результаты расчетных полей температуры, распределений чисел Нуссельта, функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции, полученные в моменты времени т = 60; 65, значительно отличаются от результатов стационарного режима. С течением времени (т = 70) эти различия становятся незначительными.

С увеличением интенсивности конвекции От = 5 • 104 различия между нестационарными (т = 60; 65; 70) расчетными полями температуры, распределениями чисел Нуссельта, функции тока, напряженности вихря и магнитной индукции и соответствующими стационарными результатами становятся (как качественно, так и количественно) заметными. Для нестационарных режимов основное изменение температуры происходит в области полюсов и экватора; распределение чисел Нуссельта на внутренней и внешней границе слоя имеют соответственно два максимума — один минимум и два минимума — один максимум; структура течения жидкости представлена четырьмя конвективными ячейками и четырьмя вихрями; в поле магнитной индукции образуются шесть «магнитных ячеек» радиальной составляющей и три «магнитные каверны» меридиональной составляющей магнитной индукции. Для стационарного режима основное изменение температуры происходит в центральной области сферического слоя, исключая полюса; распределение чисел Нуссель-та на внутренней и внешней границе слоя имеют соответственно один минимум и один максимум; структура течения жидкости представлена двумя конвективными ячейками и двумя вихрями (при этом направление течения жидкости меняется на противоположное); в поле магнитной индукции образуются четыре «магнитные ячейки» радиальной составляющей, кривизна изолиний меридиональной составляющей магнитной индукции увеличивается, принимая треугольную форму в области экватора.

Библиографический список

1. Мартыненко, О. Г. Свободно-конвективный теплообмен. Справочник / О. Г. Мартыненко, Ю. А. Соковишин. - Минск : Наука и техника, 1982. - 400 с.

2. Гершуни, Г. З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. - Москва : Наука, 1972. - 402 с.

3. Вебер, Н. Теплоотдача свободной конвекцией в замкнутых сферических контейнерах / Н. Вебер, Р. Поу, Е. Бишоп, Д. Скэнлэн // Труды американского общества инженеров-механиков. Сер.: Теплопередача. - 1975. - № 4. - С. 27.

4. Chow, M. Y. Pseudosteady state natural convection inside spheres / M. Y. Chow, R. G. Akins // Trans. ASME, J. Heat Transfer. - 1975. - Vol. 97 C, № l. - P. 54-59.

5. Мс Bain, G. D. Convection in a horizontally heated sphere / G. D. Мс Bain // J. Fluid Mech. - 2001. - Vol. 438. - P. 1-10.

6. Mochimary, Yo. Transient natural convection heat transfer in a spherical cavity / Yo. Mochimary // Heat Transfer Jap. Res. - 1989. - Vol. 18, № 4. - P. 9-19.

7. Whitley, H. G. Transient laminar free convection in closed spherical containers / H. G. Whitley, R. I. Vachon // J. Heat Transfer, Trans ASME, Series C. - 1972. -Vol. 94. - P. 360-366.

8. Ряжских, В. И. Анализ свободной термоконвекции в сферических резервуарах при граничных условиях второго рода / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, В. А. Зайцев // Вестник Воронежского государственного технического университета. Сер.: Энергетика. - 2004. - Вып. 7.4. - С. 5-10.

9. Hutchins, J. Pseudosteady-state natural convection heat transfer inside spheres / J. Hutchins, E. Marschall // In. J. of Heat and Mass Transfer. - 1989. - Vol. 32, № 11. -P. 2047-2053.

10. Ряжских, В. И. Синтез математической модели естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости / В. И. Ряжских, М. И. Слюсарев, А. А. Богер, В. А. Зайцев // Вестник Воронежского государственного технического университета. Сер.: Энергетика. - 2003. - Вып. 7.3. -С. 14-17.

11. Драхлин, E. О тепловой конвекции в сферической полости / Е. Драхлин // Журнал технической физики. - 1952. - T. 22, № 5. - С. 829-831.

12. Шайдуров Г. Ф. О конвективном теплопереносе через шаровую полость / Г. Ф. Шайдуров // Журнал технической физики. - 1958. - T. 28, № 4. -C. 855-861.

13. Пустовойт С. П. О нестационарной тепловой конвекции в сферической полости / С. П. Пустовойт // Прикладная математика и механика. - 1958. - T. 22, № 4. - C. 568-572.

14. Solovjov, S. V. Simulation of heat exchange in the liquid core of the Earth / S. V. Solovjov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2017. -Vol. 90, № 4. - P. 873.

15. Соловьев, С. В. Моделирование теплообмена электропроводной жидкости в сферическом слое / С. В. Соловьев // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2015. - Т. 18, № 4. - C. 435-451.

16. Соловьев, С. В. Моделирование конвективного теплообмена электропроводной жидкости в шаровой полости. Алгоритм решения / С. В. Соловьев // Инженерно-физический журнал. - 2015. - Т. 88, № 6. - С. 1370-1385.

References

1. Martynenko O. G., Sokovishin Yu. A. Svobodno-konvektivnyy teploobmen. Spravoch-nik [Convective heat exchange. Reference book]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1982, 400 p. [In Russian]

2. Gershuni G. Z., Zhukhovitskiy E. M. Konvektivnaya ustoychivost' neszhimaemoy zhidkosti [Convective stability of incompressible liquid]. Moscow: Nauka, 1972, 402 p. [In Russian]

3. Veber N., Pou R., Bishop E., Skenlen D. Trudy amerikanskogo obshchestva inzhener-ov-mekhanikov. Ser. Teploperedacha [Transcripts of the American Society of Mechanical Engineerings. Journal: Heat transfer]. 1975, no. 4, p. 27. [In Russian]

4. Chow M. Y., Akins R. G. Trans. ASME, J. Heat Transfer. 1975, vol. 97 C, no. l, pp. 54-59.

5. Ms Bain G. D. J. FluidMech. 2001, vol. 438, pp. 1-10.

6. Mochimary Yo. Heat Transfer Jap. Res. 1989, vol. 18, no. 4, pp. 9-19.

7. Whitley H. G., Vachon R. I. J. Heat Transfer, Trans ASME, series C. 1972, vol. 94, pp. 360-366.

8. Ryazhskikh V. I., Slyusarev M. I., Zaytsev V. A. Vestnik Voronezhskogo gosudarstven-nogo tekhnicheskogo universiteta. Ser. Energetika [Bulletin of Voronezh State Technical University. Series: Power engineering]. 2004, iss. 7.4, pp. 5-10. [In Russian]

9. Hutchins J., Marschall E. In. J. of Heat and Mass Transfer. 1989, vol. 32, no. 11, pp. 2047-2053.

10. Ryazhskikh V. I., Slyusarev M. I., Boger A. A., Zaytsev V. A. Vestnik Voronezhskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta. Ser. Energetika [Bulletin of Voronezh State Technical University. Series: Power engineering]. 2003, iss. 7.3, pp. 14-17. [In Russian]

11. Drakhlin E. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical physics]. 1952, vol. 22, no. 5, pp. 829-831. [In Russian]

12. Shaydurov G. F. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of technical physics]. 1958, vol. 28, no. 4, pp. 855-861. [In Russian]

13. Pustovoyt S. P. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathematics and mechanics]. 1958, vol. 22, no. 4, pp. 568-572. [In Russian]

14. Solovjov S. V. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2017, vol. 90, no. 4, p. 873.

15. Solov'ev S. V. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki [Siberian journal of calculus mathematics]. 2015, vol. 18, no. 4, pp. 435-451. [In Russian]

16. Solov'ev S. V. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Engineering and physical journal]. 2015, vol. 88, no. 6, pp. 1370-1385. [In Russian]

Соловьев Сергей Викторович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики, Тихоокеанский государственный университет

E-mail: solovjovsv@rambler.ru

Solov'ev Sergey Viktorovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of applied mathematics, Pacific State University

УДК 550.362 Соловьев, С. В.

Исследование нестационарного теплообмена электропроводной жидкости в сферическом слое / С. В. Соловьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. -№ 4 (48). - С. 20-32. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-4-2.