Нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов в римановом пространстве

УДК 514.76

НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

NORMAL CONNECTIONS ON THE DISTRIBUTION OF THE HYPERPLANE ELEMENTS IN THE RIEMANNIAN SPACE

Л. А. Лукичева

L. A. Lukicheva

ФГБОУ ВПО « Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В настоящей работе построены основы теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном в смысле Нордена - Картана регулярном распределении гиперплоско-стных элементов в римановом пространстве Vn.

Abstract. In this paper we lay the foundations for the theory of normal connections induced on rigged in the sense of Norden - Cartan regular distribution of the hyperplane elements in the Riemannian space Vn .

Ключевые слова: расширенное риманово пространство, нормализация, тензор, нормальная связность.

Keywords: extended Riemannian space, normalization, tensor, normal connection.

Актуальность исследуемой проблемы. Нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (Ю. Г. Лумисте, А. П. Нордена, А. В. Столярова, А. В. Чакмазяна и др.). Аналогичные исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях, погруженных в риманово пространство, до настоящего времени оставались неизученными.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно метода внешних форм Э. Картана [10], метода нормализации А. П. Нордена [6], метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [2].

Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты были доложены на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии.

На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

I,K,L = On ; I,K,L,S, T,P,Q, J = 1,n; i, j,k,s,l = 1,n -1; a = 0,8; a = 1,8.

Оператор V действует по следующему закону:

хЛ’Т'пк Л'Т’пк грпк ,Л т'пк ,Л . грп! ,Лк . т-гпк ,^п

Щ- = Щ - Т« (°} - Т О + Ту О + Ту О ;

при фиксированных первичных (главных) параметрах этот оператор обозначается через У^ , а формы оК - через рК .

1. Рассмотрим риманово пространство Уп , структурные уравнения которого имеют

вид:

Бв = в; а в;, БвК = вК Ав1ь +1 г^вр а вв ,

У§1К = Лё1К — ёКвК — ёькв1 = 0, ёиё =$1 ,

где ё1К - невырожденный симметричный тензор риманова пространства Уп .

Согласно работе [8] система форм Пфаффа

0 =в, Оо0 =—1+-вК, < = о, Ок =вК —Х+-8Кв1

п +1 п + 1

определяет пространство проективной связности Рп п . Формы этой системы в силу (1) удовлетворяют уравнениям Картана - Лаптева [1], [2]:

Ба>0 =0 а (О -ЗЮ), Боо0 = 0, Б О = 0, вОк = (Ок аОк +1 Я!КРвюр а о0в,

0 = 0 , Я0рв = ЯКРв = Я0Рв = 0 , ЯКРв = 1

VКРвш0 А<

2

Пространство проективной связности Рп,п без кручения, определяемое системой (3), со структурными уравнениями (4) назовем расширенным римановым пространством [5] и обозначим V.” .

В расширенном римановом пространстве V* рассмотрим распределение гиперпло-скостных элементов М, дифференциальные уравнения которого в репере нулевого порядка имеют вид [3], [7]

О =Кк4 ,

где функции Л”К относятся к первой дифференциальной окрестности.

Продолжение уравнений системы (5) приводит к следующим дифференциальным уравнениям компонент полей фундаментальных объектов {Л”К } первого порядка:

ул” +Л00 =ЛпуМ,

УЛ”п + Л>0° - ЛПу°п = Лп;°К ,

где

2Лп[,] = -Я”, + 2ЛптЛ[,], Лп1]п - Лщ = -Я”п + ЛптЛГп.

Из уравнений (6) видно, что система функций {л” } образует тензор первого порядка, вообще говоря, несимметричный по нижним индексам.

1

def I I

Предположим, что распределение Me Vn регулярное (то есть Л = Л” Ф 0). Тогда

можно ввести в рассмотрение обращенный тензор Лкп :

<ik к” _ Si Kki к” _ £i V7 A is Y's w° ~ bik <js <n ,.L

Л”Лк = 3], ЛкПЛпк = 3], УЛ” - Л”о0 = -Л”Л”ЛкоК .

Функция Л есть относительный инвариант первого порядка и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

й 1пЛ = Л;0 -

Продолжая уравнение (101), с учетом (5) получим:

УЛI + ЛО - (” + 1)Лпыа>к =ЛПрЮр,

0 _ шп ) “ (n ^ Ч1Чм™” - ^пРш0

2. Объектом Л” в первой дифференциальной окрестности охватывается симмет-

VЛn +лn(w -W)-(n + 1)ЛПп;«п =Л;пр«о .

V

ричный тензор

an = і(л" + Л]), Van + aW = «,kWK , <12>

где

«"k = 2

def I

В общем случае а = |а" Ф 0 , что позволяет ввести обращенный тензор а”

a^ =dj, a, a”, =dj. M

Во второй и третьей дифференциальных окрестностях построим охваты:

b ‘d= aijka” , Vbi + bw0 -

n 2 і

n -1

bjn - jt I, dSn - S;w; + SnW - 2^-w" = S;kwK .

v n +1J n +1

Следуя работе [4], можно показать, что распределение гиперплоскостных элементов М в римановом пространстве Vп в третьей дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик, уравнение которых в репере нулевого порядка имеет вид

а"х'х] + 2——х'хп + 8п

п +1

Следуя работе [7], во второй дифференциальной окрестности построим охваты:

М” = - 20Т+1) Л”а”к Л* + Л",,Л"к, + Л”,кЛ"„, + Л%Л”,-),

Н” = -^НПГ а”

2

Заметим, что функции М” определяют нормаль Михэйлеску первого рода [6], [7]. Функции ;п

Кп = М” - Н”

образуют тензор второго порядка

йКп - ко + щ = КпоК.

Если распределение гиперплоскостных элементов М в римановом пространстве V, голономно [3] (Л”*] = 0), тогда в силу (18), (19) функции Кп примут вид

Кп ° 0.

Во второй и третьей дифференциальных окрестностях для голономного распределения гиперплоскостных элементов М с Vп последовательно построим охваты:

1 Кук Г» Л к I и” I 1\„п К” и В “И ЛЬ \к*ип и”

п- 2-п ^ вк-”+1), Щк=(п + 1)а”к-], в/= ^ХЬПк,

вкв* = 8], Ь^Ь* - +

ж1 “= в1кЖ, Т‘“=ж‘ + К

п пк п п п

дифференциальные уравнения которых в силу (9), (11), (13), (15), (16) имеют вид: УК” +о = КО, У 8Ь1]к+2Ь*Х = 0, У 8вг] + 2в*р0 = 0,

А А

Ув - 2вур = 0, Уз Ь* + 2 Ь у р - Ь-р” = 0, У^щ + 2ШП]Р - вр” = 0,

уж,-о = ж-оК, “Т” - ТО + т, о] = т-кО .

Функции вк входят в дифференциальное уравнение ненулевого относительного инварианта сп:

“1псп + О0 - < = вк°К ,

где

с, =Л”Л'ПЛк1пвп,кв”а, в,к = 3

3. Предположим, что распределение (необязательно голономное) гиперплоскост-ных элементов М в римановом пространстве Vп оснащено в смысле Э. Картана [13], то

есть на М с V, задано поле геометрического объекта К” ,К } [3]:

“К + Пп°1- К°+< = Кк° ,

“П0 + К0а>0 - КО+КО (° 0)+о0(° 0)=К0к4,

определяющего поле оснащающих точек

К” = А” +КА +К .

Точка Кп, где К, } - объект нормали первого рода [6] распределения гиперплоскостных элементов, а функция Кп0 определена формулой

К0 =—Ц

п -1

называется обобщенной точкой Кенигса [7].

Согласно [7] точка Кенигса есть гармонический полюс нормали к” относительно ее

п-1 фокусов Ф = Ап +к'„А + х А0, определяемых уравнением [3]

И +К,-л— = 0.

В уравнениях (27) в качестве функции Кп0 можно взять также

К = ^ ^ + аККП),

2 п +1

при этом оснащающая точка Кп (см. (28)) отлична от точки Кенигса.

4. На оснащенном в смысле Нордена - Картана распределении гиперплоскостных

а а

элементов Мс V, возьмем системы форм {в”0,в”} [11]:

0

= о0(° 0)+По°(° 0)-п>Ю-п\уО) + (ОО

о

л« ,,я і ч.і,^п ,,0 - ,,0/,А , л,.0,Лп

вп = °п + Пп°г -°0 + V (0 - ПО ) + 2П «0 ,

а 0 а а 0 а

в0 =в0+ ппт

а

где в качестве тензора ЕПі

а а а а

й Епт + Епт «00 - ЕП о/ = ЕптК 4

взят один из охватов:

1 2 1 ( Д Л 3 Ь

ЕП = ЛПп +П3 +ДпП , ЕП = -1 ДПп + —і-І + УІа’т , ЕП =-ь--V,0 +УІа’т ,

2^ п +1) п +1

4 Д 5 3Ь 6

Еп =—і—V0 +п пЛп., Еп = В +—і— 4у° + 2п}ап, Еп = В -V0 -V1 Лп ,

пг , л г п п ’ п г 1.1 г п гг ’ п г г г п г/ ’ 4 у

+1 +1

7 8

?п _ \п у./ т?п _ кп '

т п

Еп =Л/Пп, Еп =Л/ГП (при Л\/ ] = 0).

а а ы форм {вп0,впп}

[1], [2]

а а

Системы форм {в”, в”} удовлетворяют структурным уравнениям Картана - Лаптева

а а а 1 а а 1

ов0=в0 лв:+ю0 лот, вв:= о лот.

во = во . в” , 2*^ О05 А^Т , Бв” = 2-п О5 . О Следовательно, каждая из систем форм (31), (32) определяет нормальную связность

[12] V1 в расслоении нормалей первого рода. Заметим, что на неголономном регулярном распределении гиперплоскостных элементов, оснащенном в смысле Нордена - Картана,

0-7

индуцируются восемь нормальных связностей У1 , на голономном, оснащенном в смысле Нордена - Картана распределении гиперплоскостных элементов, - восемь нормальных

0-6,8

связностей У 1.

а а

В уравнениях (35) компоненты тензора кривизны-кручения {К0пЗт,Хпп5т } нормаль-

а

ной связности Vі имеют следующие строения:

0

Хт = 2пп П0т ] +пППЬ Лп/т ] +п>П/[5 Лп/т ]+(у0)25З л”-|т гуУУ1{35т ] +

+v0v(оvyks5m]-п0пуп/ лпаууууп л^]- у0)2уп лпа -

-

0

КПзт = 2(у‘п[яЛпг|т] + У05] - уУ0[з5п] - уУя^5т] - у0упЛ/5 + 2у1[55т] + 2у0ЛпА5т]),

а 0 а а а а

Кзт =х Пт + 2(Епш[5 5т ] - У Епт[8 5тп] - Еп уп [5т ] - Еп у/ Л5 ),

а 0 а 0 а

К0птт = К05т+у0

уУупЛп/5п] - у/у/азвт + уУ0у 55] + уУ0У551] - V )2 в^вт]

-у0уп5 ]+уУУ 15 ] +у0уУШ лш [55^уукуп Лпк [58т] ),

где

1 2 ^ Л

21 п п +1 3 Ь 4 Д

Е/гз = -+т V + У/а/з +уП5аП , Епт8 =-+- У + у /Лпр5 +у/5Л/. +1 +1

Еп =Лп +У +Лп Уп + Лп Уп ЕП = —I Лп + ^^- I + У/ап +У/ап

піЗ ^гп^ уі^ і'-і/Зуп ^‘Ч]УгЗ ’ ^пі8 ~ 1ут5 ^ упаі/З ^ у/Заі] >

5 3Ь 6

Е/гз = Вгз + - 4У + У/а/з + У/а , Е/гз = Вгз У - у / Ду -У/злш ,

+1

7 8

ЕП = Лп Тп +Лп Тп ЕП =Лп тп +Лп тп

піЗ і/З п і/ пЗ ^ ^пі^ ‘'і/З1 п і/ пЗ •

Таким образом, справедлива

Теорема 1. На регулярном распределении гиперплоскостных элементов М в рима-новом пространстве Уп, оснащенном в смысле Нордена - Картана, в расслоении норма-

а

лей первого рода индуцируются девять нормальных связностей Vі , определяемых сис-

8

темами слоевых форм (31) и (32). Связность Vі определена только на голономном распределении гиперплоскостных элементов М с Уп.

Согласно работе [4] для голономного распределения М с Уп справедливы следующие соотношения:

Ьг =Лг, а/ =ЛШ , а/к =ЛП/к .

Замечание. На голономном распределении М в римановом пространстве Уп связ-

3 4 0 7

ности Vі и Vі , Vі и Vі в силу соотношений (22), (38) совпадают.

а 0

Согласно соотношениям (32) нормальные связности Vі и Vі совпадают, когда

а

?п

тензор ЕП обращается в нуль (см. (34)):

1 о

Vі ^^Л^ У +1 = о,

2 0

Vі ° Vі

2 п +1

3 о ь

Vі °V1^-J----у0 + УІа" = 0.

п +1 г 1

4 0 Л

v1°v1^-+т -У0 +У1 Лпі = 0,

п+1

5 0 3Ь

Vі ° Vі ^ Бг + -+1 - 4у0 + 2ау1 = 0,

6 0

Vі ^і ^ Бг -у0 +Лпуп = 0,

7 0

Vі ^і ^Л"Л = 0

г^п= 0 ,

8 0

Vі ^і ^ ТП = 0.

Если распределение гиперплоскостных элементов МсУп голономно и нормализовано полями нормалей Михэйлеску [9]

МП =-1— лП (ък + [п+1]лпы), м0 = —1— Ъ -[п+1]лпп),

п 2(п +1) пХк кп! г 2(п + 1)У г т!

то тензор Еп = Ліп + М0 + М1пЛу = 0 ; тогда в силу (40) справедлива

Теорема 2. Если голономное распределение гиперплоскостных элементов М в ри-мановом пространстве Уп нормализовано полями нормалей Михэйлеску, то нормальные

1 0

связности Vі и Vі совпадают.

Условием взаимности [6] нормализации МсУп относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (17) является выполнение соотношений

Ъг = [п + 1]У<) - ау1п ) .

Из (41) и (47) следует

30

Теорема 3. Нормальные связности Vі и Vі совпадают тогда и только тогда, когда нормализация оснащенного в смысле Нордена - Картана регулярного распределения гиперплоскостных элементов М с Уп является взаимной.

Свертывая соотношения (40) с тензором аЩ , получим

Ук = - [ Л"п +^+г1.

2 I п +1)

Сравнивая охваты (19) и (48), получаем, что поле нормалей первого рода vln совпадает с полем нормалей Hln . Таким образом, справедлива

Теорема 4. На регулярном распределении гиперплоскостных элементов Me Vn,

2 0

оснащенном в смысле Нордена - Картана, нормальные связности V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда поле нормалей первого рода определяется полем нормалей НП (19).

Резюме. На регулярном распределении гиперплоскостных элементов M в римано-вом пространстве Vn, оснащенном в смысле Нордена - Картана, индуцируются девять

а

нормальных связностей V1 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. - 1979. - Т. 9. - 246 с.

2. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. общества. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Лаптев, Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды геом. семинара ; Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

4. Лукичева, Л. А. Двойственная геометрия распределения гиперплоскостных элементов в римановом пространстве / Л. А. Лукичева // Деп. в ВИНИТИ РАН 14.04.11, № 176 - В2011. - 15 с.

5. Лукичева, Л. А. Расширенное нормализованное риманово пространство / Л. А. Лукичева // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2011. - № 2 (70). - Ч. 1. - С. 96-103.

6. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

7. Остиану, Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Труды геом. Семинара ; Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

8. Столяров, А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. - 2005. - № 4 (47). - С. 21-27.

9. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ин-т, 1994. - 290 с.

10. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

11. Фисунова, С. В. Нормальные связности на распределении гиперплоскостных элементов / С. В. Фисунова // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов. - Чебоксары, 1997. - Вып. 2. - С. 49-55.

12. Чакмазян, А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. - Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

13. Cartan, E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1937. - № 4. - С. 147-159.