МНОГОМЕРНОЕ НЕАВТОНОМНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2021. Том 28, № 1

УДК 517.957

МНОГОМЕРНОЕ НЕАВТОНОМНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И. В. Рахмелевич

Аннотация. Исследованы решения многомерного неавтономного дифференциального уравнения в частных производных произвольного порядка, содержащего старшую частную производную, произвольную нелинейность от неизвестной функции и степенные нелинейности по ее первым производным. Для исследования данного уравнения применяется метод разделения переменных. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения может быть представлена в виде произведения функций, зависящих от некоторых подмножеств независимых переменных, и, в частности, функций одной переменной. При этом выполнена редукция данного уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям либо к уравнениям в частных производных меньшей размерности. Получены частные решения степенного, экспоненциального и логарифмического видов, а также решение полиномиального вида, исследована их зависимость от параметров уравнения, найдены условия существования этих решений. Отдельно рассмотрен случай нелинейного неавтономного уравнения типа Бианки, содержащего однократное дифференцирование по каждой независимой переменной, и получены точные решения такого уравнения.

Б01: 10.25587/SVFU.2021.55.86.004

Ключевые слова: степенная нелинейность, уравнение в частных производных, неавтономное уравнение, разделение переменных, решение типа бегущей волны.

Введение

В современной математической физике большинство точных решений получено для дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядков. В то же время как потребности развития теории, так и практических приложений приводят к задачам нахождения решений для уравнений более высокого (в том числе произвольного) порядка. Так, в работах [1-5] проводится исследование линейных уравнений высших порядков с переменными коэффициентами, содержащих смешанную старшую производную, в том числе получены необходимые и достаточные условия факторизации такого уравнения. Работы [6, 7] посвящены исследованию нелинейных автономных уравнений со смешанной старшей производной и степенными нелинейностями; в [8] изучается двумерное неавтономное уравнение такого типа. Также в [9] получены решения многомерного неавтономного уравнения мультипликативного типа, содержащего произведение степеней частных производных. В данной

© 2021 Рахмелевич И. В.

работе продолжено исследование нелинейных уравнений с доминирующей старшей производной, начатое в [7]. При этом, в отличие от указанной работы, здесь рассматриваются, во-первых, неавтономные уравнения, и во-вторых, содержащие дифференцирование произвольного порядка по каждой из независимых переменных. При этом используется метод разделения переменных, который является одним из наиболее эффективных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [6, 7,10-20].

1. Постановка задачи. Простейшие решения

Рассмотрим уравнение в частных производных относительно неизвестной функции и(х 1, х2,.. ., ):

дт1+...+тм^ ( ди 4 в

N / du \pn

П

п = 1 4 /

dxm... dxmN

1 N n= 1

Здесь и далее будут использоваться обозначения: I = {1,..., N} — множество значений индекса n, нумерующего независимые переменные; X = {х1;..., xn} — множество независимых переменных; M = m1 +    + ton — порядок уравнения (1.1).

Следующая ниже теорема определяет решения уравнения (1.1), которые могут быть получены методом мультипликативного разделения переменных.

Теорема 1.1. Пусть функции в правой части (1.1) удовлетворяют следующим условиям:

F

n=1

Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида

N

u

где функции ип

иПтп)

где

N

вЕ = 53 вп.

п=1

В уравнении (1.4) кп — постоянные, связанные соотношением

N

Ц«п = до.

n=1

Доказательство. Подставляя выражение (1.3) в уравнение (1.1), приводим уравнение к виду

N N

П и

п=1 п=1

С помощью элементарных преобразований (1.7) можно переписать так:

N и

ТТ _\Хп>__/1 о\

11 /„(а;„)К(а;п)]^[ип(а;п)]^+7-/Зп ^ ^

п=1

В соответствии с известной схемой метода разделения переменных [11-13] левая часть (1.8) представлена в виде произведения сомножителей, зависящих от различных переменных. Поскольку правая часть (1.8) постоянна, каждый из этих сомножителей также равен некоторой постоянной кп. Отсюда следует, что функции ип(хп) должны удовлетворять уравнениям (1.4). Подставляя постоянные кп в левую часть (1.8), получаем соотношение (1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые частные решения уравнения (1.4).

1. Степенное решение:

ип

где постоянные Лп,ап будут определены ниже. Предположим, что /п(хп) = х^". Тогда, подставляя (1.9) в уравнение (1.4), получаем

х<т„(1-Ря-'У+Рп)-(<т„-1)13„-т,„-а„ _ _ип ^

Qmn

где введено обозначение

тп — 1

ЯгП"

з=о

Уравнение (1.10) можно удовлетворить только в том случае, если показатель степени в левой части равен 0, откуда получаем

&п

Для уравнения (1.11) возможны следующие частные случаи.

(а) вН + 7 - 1=0, вп - ап - тп = 0. Тогда из (1.11), (1.10) находим

(б) вН + 7-1 = 0, вп - ап -тп = 0. Уравнение (1.10) нельзя удовлетворить, поэтому решение вида (1.9) не существует.

(в) вН + 7- 1 = 0, вп - ап - тп = 0. Из первой формулы (1.12) следует, что в этом случае сгп = 0, а из второй формулы (1.12) находим, что при > 0

решение (1.9) вырождается в постоянную, а при выполнении обратного неравенства — не существует.

(г) вт + 7 — 1 = 0, вп — ап — тп = 0. В этом случае уравнение (1.11) удовлетворяется при произвольном <гп. Тогда уравнение (1.10) сводится к следующему:

Поэтому для данного случая решение (1.9) существует, если ап удовлетворяет уравнению (1.13), при этом коэффициент Ап является произвольным. 2. Логарифмическое решение:

Ип

Так же, как для степенного решения, предполагаем, что /п(жп) = ж^". Подставляя (1.14) в уравнение (1.4), получаем

(_1)т„ —1т |А1-вн-7

а.ап-/3„+тп

Кп

Уравнение (1.15) можно удовлетворить только в том случае, если параметры удовлетворяют следующим условиям:

ап — вп + тп = 0, вт + 7 — вп = 0.

Тогда из уравнения (1.15) находим

/ (_1)тп — 1т |\вн+7—1

Ап = П2)-_

Постоянная Ап определяется выражением (1.17), если вт + 7 — 1 = 0. Если же вт + 7 — 1 = 0, то Ап является произвольной, а кп = (—1)г

т" — 1т„1

3. Экспоненциальное решение:

Ип

где постоянные Ап, <гп будут определены ниже. Пусть /п(жп) = ехр(апжп). Подставляя (1.18) в уравнение (1.4), получаем

ехр

Уравнение (1.19) можно удовлетворить только в том случае, если выполняется условие

^п

При этом возможны следующие частные случаи.

(а) 1 — вт — 7 = 0, ап = 0. Тогда из (1.20), (1.19) находим

ап

1

= ^-^-,

1 — вт — 7

(б) Выполняется только одно из условий 1 — вт — 7 = 0, ап = 0. Уравнение (1.19) удовлетворить невозможно, поэтому решения (1.18) не существует.

(в) 1 — вт — 7 = 0, ап = 0. Тогда из уравнения (1.19) получаем

^п = КпТ",

при этом коэффициент Ап является произвольным. Если же дополнительно тп = вп, то <гп также является произвольным, а кп = 1.

п

Е

Теорема 1.2. Пусть Е(X) — функция от линейной комбинации независимых переменных:

N

( г ) , г ^ ^ сп хп >

п=1

где сп — некоторые заданные коэффициенты. Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида

и = и

причем функция и (г) должна удовлетворять следующему ОДУ:

и

где

N

С = П сПп-ГПп

п=1

Доказательство. Проводится аналогично доказательству теоремы 1.1: подставляя функцию (1.24) в уравнение (1.1), в результате элементарных преобразований получаем уравнение (1.25).

2. Понижение размерности уравнения

Данный раздел посвящен анализу частных случаев, в которых можно выполнить редукцию исходного уравнения (1.1) к одному или нескольким уравнениям с меньшим числом независимых переменных при определенных свойствах правой части (1.1). Пусть множество I, введенное выше, разбито на К непересекающихся подмножеств 1к (к = 1,..., К) и соответственно множество переменных X = {x1,...,XN} разбито на К непересекающихся подмножеств Хк = {хп}пЕ1к. Здесь и далее — число элементов в подмножествах 1к, Хк.

Теорема 2.1. Пусть функции в правой части (1.1) удовлетворяют условиям

к

7

Е

к=1

Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида

к

и^) = П икX),

к=1

где функции и к (^к) являются решениями следующих уравнений:

в

/яи \ в1

Ькик

1/^+7-/3^ ТТ I

гЕ1к

где

/В N

П > = е-3*)

ге1к 4 г' ге1к

к

Постоянные должны удовлетворять условию

к

П^ = до.

*=1

Доказательство. Подставляя (2.2) в уравнение (1.1) и учитывая (2.3а), с помощью простых преобразований приводим уравнение к виду

К I „ -___- / ПП 7 \ ' , . ,

Ькик

&=1 ^ г£/к

с, \джг

ге/к

Левая часть уравнения (2.5) представляет собой произведение сомножителей, каждый из которых зависит только от одного из подмножеств переменных . Поскольку правая часть (2.5) постоянна, каждый из этих сомножителей также равен некоторой постоянной ^. Отсюда следует, что функции (X*) должны удовлетворять уравнениям (2.3). Подставляя постоянные в левую часть (2.5), получаем соотношение (2.4). Теорема доказана.

Замечание. Теорема 1.1 из предыдущего раздела является частным случаем теоремы 2.1 при К = N, когда каждое подмножество состоит из одной переменной.

Следствие. Пусть удовлетворяются условия (2.1), причем функции (X) зависят от линейных комбинаций переменных на соответствующих подмножествах:

^

ге/к

Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида (2.2), причем ^(Х*) = и*(г*), а функции и^(г^) должны удовлетворять следующим ОДУ:

4Мк)Ы = М^ДЫК

где

М* = тг, С* = П св'—т'.

ге/к ге/к

Доказательство. Принимая во внимание (2.6) и (2.3а), нетрудно получить, что

ькик(хк) = п П  * = П

ге/к ге/к ге/к

Из (2.3) и (2.8) с учетом (2.7а) следует уравнение (2.7). Доказательство закончено.

Теорема 2.2. Пусть выполняются условия

Е

Тогда уравнение (1.1) имеет решение следующего вида:

и

где Ц0(Х1) —произвольная функция, а и1(Х1), и2(Х2) удовлетворяют уравнениям

£1^1 (Х1) = М1Е1(Х1)[и1(Х1)]^ ,

^ /ди2\в

Ь2и2(Х2) = М2Е2(Х2) П ( ^ ) '

ге/Л г ]

где Ь17 £2 определяются выражением (2.3а). При этом постоянные долж-

ны удовлетворять условию (2.4).

Доказательство. Подставив функцию (2.10) в уравнение (1.1) и учитывая условия (2.9), после некоторых элементарных преобразований можно записать:

/ ди

Ьги^Хг) • Ь2и2{Х2) = д0Р1

ге/Л г У

Уравнение (2.12) очевидным образом преобразуется к виду

£1и1

в

до.

Разделяя переменные в уравнении (2.13), получаем уравнения (2.11) для функций и1(Х1), и2(Х2). Теорема доказана.

Теорема 2.3. Пусть множество переменных Х = |х1;..., х^} разбито на К непересекающихся подмножеств Хк, при этом функция Е(Х) представима в виде выражения (2.1), а параметры уравнения удовлетворяют условию

7К + вн

Тогда уравнение (1.1) имеет решение следующего вида:

и

где функции и к (Хк) удовлетворяют уравнениям

в

/ ди \

¿№) = А|кВДПМ) ,

ге/к

а постоянные Хк связаны соотношением

к

ДХк = доКвв

к=1

Доказательство. С помощью известной полиномиальной формулы выражение (2.15) можно переписать в виде

и

(1 + 12+-----Мк=К I к=1 J

где полиномиальный коэффициент С*(¿1, ¿2,..., ¿к) определяется выражением Используя (2.18), левую часть уравнения (1.1) можно представить так:

)= ^ |с*

(1 +(2+-----Мк=К I к=1 J

В правой части (2.19) ненулевым будет только то слагаемое, для которого ¿1 = ¿2 =    = = 1. Для каждого из остальных слагаемых ¿к = 0 хотя бы при одном значении Так как Ьк[Ц"к(Хк)]1к = 0 при ¿к = 0, каждое из остальных слагаемых тождественно равно 0. В результате выражение (2.19) с учетом (2.18а) приводится к виду

к

Ьи

к=1

Далее учтем, что при г € /к из (2.15) следует:

к1

ди дж,

Тогда правую часть уравнения (1.1) можно представить в виде

N

¿=1 4 \к=1

к=1 к ге/к у г у ^

Используя соотношения (2.20) и (2.21), а также учитывая условие (2.14), уравнение (1.1) приводим к виду

к— 1 ¿еI к

Разделяя переменные в уравнении (2.22), приходим к уравнениям (2.16). Подставляя постоянные Ак в левую часть (2.22), получаем соотношение (2.17). Теорема доказана.

3. Неавтономное уравнение типа Бианки

В данном разделе отдельно рассмотрим случай уравнения типа Бианки, когда в уравнении содержится только однократное дифференцирование по каждой из независимых переменных, т. е. выполнено условие

т1 =    = тN = 1.

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (3.1), а функция Е(Х) удовлетворяет условию (1.2). Тогда уравнение (1.1) имеет следующие решения:

1

и

пеп

где функции уп(хп) при п е произвольны; 1 V"4 1„ I /п(хп

и

(Х) = и{-у 1п

Чп

пеп

+

причем функция и (г) должна удовлетворять следующему ОДУ:

и)

В формулах (3.2)—(3.4) А, Х, дп — произвольные постоянные.

Доказательство. Для решения уравнения (1.1) будем использовать метод функционального разделения переменных [11—13]. В соответствии с указанным методом решение уравнения (1.1) ищем в виде

N

п=1

Подставив выражение (3.5) в уравнение (1.1) с учетом условий (3.1), получаем следующее:

и )(г) N

[> -П ЬЫу'М]^-1.

д(и )[и '(г

п=1

Уравнение (3.6) можно переписать в виде

N

Дпп

п=1

где

и

ъЫ = МхЖЫ]^-1, Ф

и

Пусть n = ni — какое-то значение, при котором выполняется хотя бы одно из условий вп = 1, fn(xn) = const. Продифференцируем (3.7) по хП1 и с учетом выражения (3.5) для z находим

Левая часть соотношения (3.9) зависит только от переменной жП1. Поэтому, произвольно выбрав п2 = «4 и продифференцировав (3.9) по ж„2, получаем

д / Ф'(г) \

' ^ 1 - 0.

дж„2 \ Ф

Будем предполагать, что искомое решение существенно зависит от всех переменных, т. е. yn(xn) = const для любого n Е I. Тогда из (3.10) с учетом (3.5) следует:

d /Ф'(г)ч

мадг0'

Решая уравнение (3.11), находим

Ф

где Ф0, А — произвольные постоянные. Из (3.12) и (3.8) следует, что функция и (г) должна удовлетворять уравнению (3.4).

Для нахождения функций уп(жп) используем соотношение (3.7). Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: А = 0 . Из (3.7) и (3.12) с учетом первой формулы (3.8) следует:

N

П/п

п=1

Соотношение (3.13) можно удовлетворить только в том случае, если при каждом п € I выполнено условие

/п

где дп — постоянные, удовлетворяющие условию

N

0

П?» = Фс.

п=1

Если вп = 1 при данном п, то из (3.14) следует:

Уп

] \/п

Если вп = 1 при данном п, то условие (3.14) можно удовлетворить только в том случае, если /п(жп) = ; при этом функция уп(жп) произвольна.

Случай 2: А = 0. Из (3.7), (3.8) и (3.12) получаем

N

П /п

П=1

Аналогично предыдущему случаю уравнение (3.17) можно удовлетворить только в том случае, если при каждом п € I выполнено условие

/п

причем постоянные дп удовлетворяют условию (3.15). Если вп = 1, то из (3.18) получаем

1

УпЫ = 1

Если вп = 1 при данном п, то из (3.18) находим

Уп{хп) = \

А V 9п )

Из (3.5), (3.16), (3.19) и (3.20) получаем решения (3.2) и (3.3). Теорема доказана.

Таким образом, в данной работе исследованы решения многомерного неавтономного дифференциального уравнения со смешанной старшей частной производной, произвольной нелинейностью по искомой функции и степенными нели-нейностями по ее первым производным. При этом выполнена редукция данного уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям либо к уравнениям в частных производных меньшей размерности. Получены частные решения степенного, экспоненциального и логарифмического видов, а также решение полиномиального вида, исследована их зависимость от параметров уравнения, найдены условия существования этих решений. Отдельно рассмотрен случай нелинейного неавтономного уравнения типа Бианки. Результаты работы могут быть использованы для исследования уравнений с более сложными нелинейно-стями.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: ФАН, 1987.

2. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское мат. о-во, 2001.

3. Жегалов В. И., Тихонова О. А. Факторизация уравнений с доминирующей старшей частной производной // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 1. С. 66—72.

4. Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в К" // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 584-594.

5. Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 697-701.

6. Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2015. № 1. С. 12-19.

7. Рахмелевич И. В. О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностя-ми // Владикавк. мат. журн. 2016. Т. 18, № 4. С.41-49.

8. Рахмелевич И. В. Двумерное неавтономное гиперболическое уравнение второго порядка со степенными нелинейностями // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика.

2017. № 49. С. 52-60.

9. Рахмелевич И. В. Многомерное неавтономное уравнение, содержащее произведение степеней частных производных // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия.

2018. Т. 5, № 1. С. 119-130.

10. Галактионов В. А., Посашков С. А., Свирщевский С. Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 2. С. 253-261.

11. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.

12. Полянин А. Д., Журов А. И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике // Докл. АН. 2002. Т. 382, № 5. С. 606-611.

13. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

14. Рахмелевич И. В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 3. С. 37-44.

15. Рахмелевич И. В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднород-ные функции от производных // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42-50.

16. Grundland A. M., Infeld E. A family of non-linear Klein-Gordon equations and their solutions //J. Math. Phys. 1992. V. 33, N 7. P. 2498-2503.

17. Miller J., Jr., Rubel L. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 1901-1913.

18. Polyanin A. D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients // Intern. J. Non-Linear Mech. 2019. V. 111. P. 95-105.

19. Polyanin A. D. Comparison of the effectiveness of different methods for constructing exact solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions // Mathematics. 2019. V. 7, N 5. P. 386.

20. Zhdanov R. Z. Separation of variables in the non-linear wave equation //J. Phys. A. 1994. V. 27. P. L291-L297.

Поступила в редакцию 22 .мая 2020 г. После доработки 18 января 2021 г. Принята к публикации 26 февраля 2021 г.

Рахмелевич Игорь Владимирович,

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, пр. Гагарина, 23, Нижний Новгород 603950 igor-kitpd@yandex.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2021. Том 28, № 1

UDC 517.957

A MULTI-DIMENSIONAL NON-AUTONOMOUS

NON-LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH SENIOR PARTIAL DERIVATIVE I. V. Rakhmelevich

Abstract: We study the solutions of a multi-dimensional non-autonomous partial differential equation of arbitrary order which contains the senior partial derivative, an arbitrary nonlinearity with respect to an unknown function, and power nonlinearities with respect to its first derivatives. The separation of variables is applied for the investigation of this equation. We consider the cases when the right-hand side of the equation can be represented as a product of functions depending on some subsets of independent variables and, in particular, of functions of one variable. This equation is reduced either to ordinary differential equations or to partial differential equations of the lower dimension. We obtain particular solutions of the power, exponential, and logarithmic form, as well as a particular solution of the polynomial form, study the dependence of these solutions on the equation parameters, and find their existence conditions. We consider separately the case of a nonlinear non-autonomous equation of Bianci's type, the equation with only first derivatives with respect to every independent variable, and obtain the exact solutions to it.

DOI: 10.25587/SVFU.2021.55.86.004

Keywords: power nonlinearity, partial differential equation, non-autonomous equation, separation of variables, traveling wave solution.

REFERENCES

1. Bondarenko B. A., The Basic Systems of Polynomial and Quasypolynomial Solutions of Partial Differential Equations [in Russian], FAN, Tashkent (1987).

2. Zhegalov V. I. and Mironov A. N., Differential Equations with Senior Partial Derivatives [in Russian], Kazan. Mat. Obshch., Kazan (2001).

3. Zhegalov V. I. and Tikhonova O. A., "Factorization of equations with dominating higher partial derivative," Differ. Equ., 50, No. 1, 66-72 (2014).

4. Mironov A. N., "The Riemann method for equations with leading partial derivative in Rn," Sib. Math. J., 47, No. 3, 481-490 (2006).

5. Utkina E. A., "On a differential equation with a higher-order partial derivative in three-dimensional space," Differ. Equ., 41, No. 5, 733-738 (2005).

6. Rakhmelevich I. V., "On two-dimensional hyperbolic equation with power non-linearity on the derivatives [in Russian]," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat., Mekh., No. 1 (33), 12-19 (2015).

7. Rakhmelevich I. V., "On the solutions of the arbitrary order differential equation with mixed senior partial derivative and power non-linearities [in Russian]," Vladikavkaz. Mat. Zhurn., 18, No. 4, 41-49 (2016).

8. Rakhmelevich I. V., "Two-dimensional non-autonomous hyperbolic equation of the second order with power non-linearities [in Russian]," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat., Mekh., No. 49, 52-60 (2017).

© 2021 I. V. Rakhmelevich

9. Rakhmelevich I. V., "A multidimensional nonautonomous equation containing a product of powers of partial derivatives," Vestn. St. Peterburg. Univ., Mat., 51, No. 1, 87—94 (2018).

10. Galaktionov V. A., Posashkov S. A., and Svirshchevskii S. R., "Generalized separation of variables for differential equations with polynomial right-hand sides [in Russian]," Differents. Uravn., 31, No. 2, 253-261 (1995).

11. Polyanin A. D. and Zaytsev V. F., Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed., CRC Press, Boca Raton; London (2012).

12. Polyanin A. D. and Zhurov A. I., "Generalized and functional separation of variables in mathematical physics and mechanics [in Russian]," Dokl. Akad. Nauk, 382, No. 5, 606-611 (2002).

13. Polyanin A. D., Zaytsev V. F., and Zhurov A. I., Methods of Solving Nonlinear Equations of Mathematical Physics and Mechanics [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2005).

14. Rakhmelevich I. V., "On application of variable separation method to mathematical physics equations containing homogeneous functions of derivatives[in Russian]," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat., Mekh., No. 3 (23), 37-44 (2013).

15. Rakhmelevich I. V., "On equations of mathematical physics containing multi-homogeneous functions of derivatives [in Russian]," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat., Mekh., No. 1 (27), 42-50 (2014).

16. Grundland A. M. and Infeld E., "A family of non-linear Klein-Gordon equations and their solutions," J. Math. Phys., 33, No. 7, 2498-2503 (1992).

17. Miller J., Jr. and Rubel L. A., "Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions," J. Phys. A, 26, 1901-1913 (1993).

18. Polyanin A. D., "Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients," Int. J. Non-Linear Mech., 111, 95-105 (2019).

19. Polyanin A. D., "Comparison of the effectiveness of different methods for constructing exact solutions to nonlinear PDEs. Generalizations and new solutions," Mathematics, 7, No. 5, 386 (2019).

20. Zhdanov R. Z., "Separation of variables in the non-linear wave equation," J. Phys. A, 27, L291-L297 (1994).

Submitted May 22, 2020 Revised January 18, 2021 Accepted February 26, 2021

Igor V. Rakhmelevich

Nizhny Novgorod State University,

23 Gagarin Avenue, Nizhny Novgorod, Russia, 603950

igor-kitpd@yandex.ru