О периодических решениях одного класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром в резонансном случае

КАДРЯКОВА М. Р., ШАМАНАЕВ П. А., ЛОГИНОВ Б. В.

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В РЕЗОНАНСНОМ СЛУЧАЕ

Аннотация. Методами теории ветвления найдены периодические решения одного класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром в резонансном случае. Построены графики периодических траекторий возмущенной и невозмущенных систем при различных значениях резонансного параметра.

Ключевые слова: линейные неоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, малый параметр, методы теории ветвления, периодические решения, резонансный случай.

KADRYAKOVA M. R., SHAMANAEV P. A., LOGINOV B. V.

ON PERIODIC SOLUTIONS FOR A CLASS OF LINEAR INHOMOGENEOUS SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SMALL PARAMETER IN RESONANCE CASE

Abstract. By methods of branching theory, the authors find periodic solutions for a class of linear inhomogeneous systems of ordinary differential equations with a small parameter in the resonance case. Graphs of periodic trajectories of perturbed and unperturbed systems for different values of the resonance parameter are constructed.

Keywords: linear inhomogeneous systems of ordinary differential equations, small parameter, methods of branching theory, periodic solutions, resonance case.

В работах [1-3] рассмотрена задача о ветвлении периодических решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого. В работе [4] приведен пример одной линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым линейным возмущением, для которой справедливы результаты работы [3]. Расширим класс линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых справедливы результаты работы [3].

Для этого рассмотрим класс возмущенных линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

шл х:Н

где XI Е Я, е - малый вещественный параметр, а, Ъ, а, ш Е Я - фиксированные параметры,

для которого параметры а и ш связаны соотношениями а — к ш, к — 2,3,.....

В обозначениях работы [3] найдем

0 ^ „ (1 0\ о (2 0\ е.* [а5т(ш^\

В0—

и, следовательно, /( 0 - периодическая вектор-функция с периодом Т — —. Найдем собственные значения матрицы В0:

Ь0(А) = В0-АА — йеИ0(Х) = А2 + а2 = 0, Л1-2 — ±Ьа.

Следовательно, имеется только одна пара чисто мнимых собственных значений матрицы В0 и ей соответствует пара периодических решений с периодом Т0 — линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

% = вау,

где у Е Я2.

Так как собственные значения Л12 матрицы Во и период Т функции /(I) связаны соотношениями

2пк

Ли — ±1—,

то для линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

йг

ш = во2-т,

где г Е Я2, согласно [5], имеет место резонансный случай.

Ставится задача [3; 6]: при достаточно малых вещественных е найти все Т-периодические решения х(1,е) уравнения (1), удовлетворяющих условию х(1,0) — г(1), где г(^ - Т-периодические решения уравнения (4).

Для решения поставленной задачи применим методы теории ветвления, основанные на построении обобщенных жордановых наборов и исследовании разрешающих систем Ляпунова-Шмидта в корневом подпространстве [1-3; 6].

Найдем элементы В1-жордановой цепочки оператора Ъ0

Ъо<Рк

1

й]

0, Ъ0 = В0-АШ —

(0 а\_(1

(- а 0) (0 V йг

Будем искать р^1 в виде р1 — еш. Подставляя в уравнение (5) получим

р

Найдем ^ как решение уравнения

Во?? =

где 51 и В0 определяются по формуле (2) и (5) соответственно. Имеем

<р12) = а1

V ш? + «/

Так как уравнение Во?(3) = не имеет решений, то длина 51-жордановой

цепочки оператора В0 равна рх = 2.

Аналогично, найдем 51- жорданову цепочку оператора

во^о+л-1=

= С1

Найдем элементы е £"2,п и у(° е £1<п согласно работы [1] 2(1) = 51?(2) = 2а1 ( . а2 2) е1<й, г(2) = 51?(1) = 2а1

у(1) = 51^(2) = 2с1 ( . С2 2) е1а*, г(_2) = = 2с1 | е1

2

Коэффициенты а^, с^ (1 = 1, г) подбираем из условий биортогональности [3].

Вычислим

«<р(1),Г(1)»=4а1^

а

« ф(1),г(2) »= 0;

«Ф(2),Г(1)»=4а^

а

2

а2 + С2 --

2 2 а

а

где

«г11),^(1)»=4а1'11

«г11),^(2)»=4а^

а

а

2

а2 + С2 --

2 2 а

« г12),^(1) »= 0;

«2(2),^(2)»=4а^; 1 1 а

«/,д »

Получим систему уравнений

_ 1 с

= Т)о

< /, д > ^

4а1с11

а

=1

4а1с11

а

2

а2+^2—-

= 0.

Представим вектор функции 1) в экспоненциальной форме

¡

и вычислим

2п

«р^ »—Ш[ш </,р > йг

2п -'О

сг(а + ъ ( - 1)-Ё2(а—ъ1(е-12п(.к+1) — =

4л

Аналогично вычислим

2п

« р™ »—Ш[ш </, Р >йг — 2п ¿0

— с1(С2кш(а + Ъ)- Ш) ( -2П(к-1) - . с1(с^кш(а -Ъ) + Ш) ( Пп(к+Л) - ^ (13) 4лкш(к-1) ( 1 4лкш(к + 1) ( 1

— 0.

Учитывая (12) и (13), найдем

1 - 2 1

*11 — —— « г'к11»— -¿¡[<К М™ » +£ « »] — 0,

и, следовательно, — 0.

Тогда согласно работы [3] система (1) имеет аналитическое по е единственное Т-периодическое решение

11

ха, е)——е [^А1 + ЪифкР] [$11Рк2 + $и

где

у

Здесь Г--1 — В0, В0 = В0+<^,у(1) » г((1)+ «•.у^ » г[1). Преобразовывая уравнение (15), получим

В0У — £В1У + Г

Решение уравнения (16) ищем в виде

Кй2/

где й.1 Е С, / — 1,2.

Подставив у( ) в уравнение (1 6), получим

[

у(0 — е™* (й^ + е-1^ (й1),

0

-

[

7

я

+« е~1Ш1 \/ ),гГ » ?к1)+« е[¿),?(1) » 2к

(1) _

е-ш1 +

2,

2/

. „ /-аЬ\ . „ /аЬ\

\ ь ) + е \Ъ)

Приравнивая коэффициенты при е1шг и е 1ш1 в левой и правой частях уравнения (17), получим следующую систему уравнений:

'2 ° (¿Л

Л) 2 \ Ъ

1Са а0) + >«-<20 -°2)]

Выделяя вещественную и мнимую часть йу = а^ + Ьа^ , получим следующую

систему уравнений:

-2е а ш 0

-а 2е 0 ш

-ш 0 -2е а

0 -ш - а 2е

\4о);

0

I ъ \

0 а

\7)

Так как при е < —^

Д = 16е4 - 8е2к2ш2 + 8е2ш2 - 0к2ш4 + к4ш8 Ф 0, И, следовательно, система (19) имеет единственное решение. Решая ее при а = кш получим:

1 со

й =

2 4е2 - ш2

еь

4 2 - ш2

Еа

4 2 - ш2

1 ш

[2 4е2 — ш2(к2 - 1)]

Следовательно, Г-периодическое решение системы (1) имеет вид

/

х(1,е) =

/х1(1,еу КХ2(г, Е).

оо

2еЪ „. , .. ш(а + кЬ) Г , ..

2(к2 -1)- 482 Б1П(Ш^ - Ш2(к2 -1)- 4,2 СОЗМ

еа

\о>2$к-+) -482 - Ш2(к2 Г1) - 4£2

\Ш2(К2 - 1) - 4Е2 ' Ш2

Учитывая, что при е = 0 уравнения (1) и (4) совпадают, находим, что их однопараметрическое семейство вещественных Г-периодических решений представимы в виде [3]

х(1,0) = г^) = + р^] + Т0[,

где с Е И .

или

Найдем и — Г0/&) . Представим это уравнение в виде

В0и — /(€),

В0и+« и,у(1 » г^Ч « и, » г[1) — /.

Представляя решение в виде

и —

О

и подставляя в систему (21) получим

Ъ

й —

(

2кш 1

1

а

\ 2кш )

Следовательно,

( )—

'хх(1,0)'

КХ2^,0)/

— с[р1»+р?] +

а

Бт

Параметр а1 в формуле (6) подберем из условия, что 1

удовлетворяет а1 — . Следовательно,

. (22) 1. Этому условию

Подставляя (23) в (22) получим, что однопараметрическое семейство вещественных Т-периодических решений системы (1) при е — 0 имеет вид

Ъ

— с^Г^) + ( - Со

\Б1п

Построим графики компонент решений систем (1) и (4).

Рис. 1. Графики компонент х1(Ь, е) и %2(Ь, г) решения системы (1) при различных £ и компонент г1(Ь) и г2(Ь) решения системы (4) при с = 4.

На рисунке 2 представлены графики г( 1) при разных значениях с.

Рис. 2. Графики компонент г1(Ь) и г2(Ь) решения системы (4) при различных с.

[г1((},зг(0,с = 2] - [х1(дЕ)=х!(дЕ),г=0.1]

|--1(0,_--](?);с = ал]-¡-,(0, с = 0.5 |

Рис. 3. к — 1: графики периодических траекторий системы

при различных с.

4 - [х1(^.Е)=1!(£.Е), £=0.1]

аЛ\

Рис. 4. к — 2: графики периодических траекторий системы

при различных .

Таким образом, для класса линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1) с малым линейным возмущением построены периодические решения в резонансном случае. Показано, что в случае, когда малый параметр равен нулю, появляется однопараметрическое семейство периодических решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задачам о возмущениях линейного уравнения малым линейным слагаемым и спектральных характеристик фредгольмого оператора // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15, № 3. - С. 100-107.

2. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. Комментарии к задаче о ветвлении периодических решений при бифуркации Андронова-Хопфа в дифференциальных уравнениях с вырожденным оператором при производной // Журнал Средневолжского математического общества. - 2014. - Т. 16, № 4. - С. 33-40.

3. Кяшкин А. А., Логинов Б. В., Шаманаев П. А. О ветвлении периодических решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с вырожденным или тождественным оператором при производной и возмущением в виде малого линейного слагаемого // Журнал Средневолжского математического общества. -2016. - Т. 18, № 1. - С. 45-53.

4. Шаманаев П. А., Логинов Б. В., Кадрякова М. Р. О периодическом решении одной линейной неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости с малым параметром // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем: материалы XI Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2016. - С. 3-7.

5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1996. - 532 с.

6. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1964. - 524 с.