Преобразование дискретного преобразования Фурье в полиномиальную форму

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Аванесов, В. С. Научные проблемы тестового контроля знаний / В. С. Аванесов. - М., 1994.

2.Балыкина, Е. Н. Компьютерное учебное задание как основное обучающее воздействие: таксономия, последовательность, соотношение // Теоретико-методологические проблемы исторического познания: мат-лы Международ. науч. конф.: в 2 т. / под ред. В. Н. Сидорцова, В. С. Кошелева, Я. С. Яскевич. - Мн.: РИВШ БГУ, 2000. - Т. 2.

3.Белоус, Е. С. Современные модели представления знаний в обучающих системах / Е. С. Белоус, В. А. Ку-динов, М. Э. Желнин // Ученые записки. Электронный журнал Курского государственного университета. -2010 [Электронный ресурс]. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://www.scientific-notes.ru/pdf/013-3.pdf

4.Беспалько, В. П. Основы теории педагогических систем / В. П. Беспалько. - Воронеж: Изд-во Воронеж. унта, 1977. - 304 с.

5.Красильникова, В. А. Становление и развитие компьютерных технологий обучения: монография / В. А. Кра-сильникова. - Оренбург: Изд-во ОГУ; М.: ИИО РАО, 2002.

б.Олкконен, Е. А. Модели представления знаний в языковых интеллектуальных обучающих системах // Прикладная математика и информатика: труды Петрозаводского государственного университета. - 1997. -№ б. 7.Соловов, А. В. Проектирование компьютерных систем учебного назначения: учеб. пособие / А. В. Соловов. - Самара: Изд-во СГАУ, 1995. - 138 с.

УДК 519.6:681.3 ББК В192.14,03

С. А. Фирсова

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПОЛИНОМИАЛЬНУЮ ФОРМУ

Аннотация. Изложены схемы параллельного вычисления функций, аппроксимируемых ортогональными тригонометрическими полиномами, включающие выполнение дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Произвольное число элементов базиса данных разложений параллельно вычисляется с минимальной временной сложностью.

Ключевые слова: дискретное преобразование Фурье, параллельные вычисления, полином, минимальная временная сложность.

S. A. Firsova

XHE TRANSFORMATION OF THE DISCRETE FOURIER TRANSFORM IN THE POLYNOMIAL FORM

Abstract. Circuits of the parallel evaluation of the functions, approximated by the orthogonal trigonometrical polynoms, including performance of DFT. The any number of basis' elements of the given decomposition is in parallel calculated with the minimal time complexity.

Key words: DFT, parallel evaluation, polynom, minimal time complexity.

В настоящее время по-прежнему остаются актуальными исследования в области ортогональных преобразований для цифровой обработки сигналов. Такие преобразования используются для обработки сигналов, представляющих сейсмические, акустические, биомедицинские данные, а также данные обработки изображений, речевых сигналов, анализа и проектирования систем связи и др. [1].

К наиболее часто применяемым относятся преобразования Фурье, Хаара, Уолша, а также вейвлет-преобразования. При этом задачи по сокращению времени и объёма вычислений в процессе выполнения преобразований остаются актуальными. В статье излагаются параллельные схемы ортогональных преобразований с минимизированной временной сложностью.

Ранее были описаны различные схемы преобразования элементов тригонометрического базиса ДПФ в форму алгебраического полинома [2; 3; 4].

Представим каждый элемент базиса как полином, тогда будет достаточно выполнить умножение коэффициентов этого полинома на коэффициент ДПФ перед соответственным элементом базиса, чтобы получить новый полином с заданными значениями коэффициентов. Останется почленно сложить полученные при таком преобразовании всех элементов базиса полиномы, чтобы получить выражение ДПФ в виде алгебраического многочлена.

Целесообразно рассмотреть по отдельности случаи статических и динамических параметров

ДПФ.

1. Пусть рассматривается ДПФ в форме

м-1

х„*у ,

п = О

и= 0,1,...,#-1, где отсчеты снимаются с произвольным шагом, и их количество также произволь-

но. Исходя из схемы с использованием алгоритма Стоуна [3, 68], где

(2х

A =

1 0

ч

и учитывая выражение элементов тригонометрического базиса через полиномы Чебышева [3, 58], получаем запись cos ^х в виде алгебраического многочлена с постоянными для данного значения £ коэффициентами, не зависящими от х :

м 2

cos %х = а0£ + а1£х + a2fX +... + £

Аналогично,

sin ^х~~=Ь0(! +bux+b

uJ

В (2), (3) аи , Ьи - постоянные числа при всех 7=0,1,..., <. Умножение этих коэффициентов на коэффициенты ДПФ х ^ из (1) влечет

xnox xхxk+^xо,

rt xk

t = 0 l r = 0

r = 0

t

tt

t

r

или

N-1 XN С xk +' dt xk j, Ы 0

где хк - значение к -го отсчета, ct, dt - постоянные числа, не зависящие от x^ , но зависящие от

коэффициентов ДПФ х О N-\ N-1 Ы 0 £-0

где г = 0,1, ...,N-1.

Все описанные преобразования могут быть выполнены параллельно. Временная сложность преобразований составит

где количество процессоров .

Это означает, что за такое время будут вычислены (2), (3). Для окончательного получения (4) достаточно параллельно по всем г = 0,1, ...,N-1 выполнить преобразования (5), что можно

сделать за время Т^/ N . Суммируя последнюю оценку с предыдущей и учитывая коли-

чество коэффициентов (5), получаем временную сложность полного перевода ДПФ в форму ал-

гебраического полинома

TN 2} O <og2 N^.

Если такое же преобразование проделать для всей совокупности N отсчетов из (1), то вре-

менная сложность выполнения данной операции составит

Ti3}oiog2Nl

Теперь непосредственное вычисление (4) по максимально параллельной схеме влечет оценку временной сложности (8) для полного выполнения ДПФ с предварительным переводом в форму алгебраического многочлена, поскольку временная сложность параллельного вычисления всех многочленов (4) оценивается по значению порядка из (7).

2. Пусть теперь рассматривается вариант ДПФ, когда число отсчетов N фиксировано и заранее известно. В этом случае коэффициенты с,. с/, из (4) для всех значений < = 0,1, ...,N-1

можно рассчитать заранее и сделать хранимыми в памяти компьютера.

Для преобразования ДПФ в форму (4) в этом случае достаточно параллельно по всем ^ =0, 1..... N -1 подставить постоянные коэффициенты с,. с/,.

Затем вычисление полученного полинома можно выполнить параллельно за время

Г<0=0<Р§2ЛС

Временная сложность выполнения ДПФ для всей совокупности N отсчетов из (1) составит

т4?2=О€рё2лЛ

Заметим, что рассмотренный случай предполагает переменный шаг дискретизации. 3. Пусть рассматривается случай, когда на предварительное преобразование ДПФ отводится достаточно длительное время. В этом случае все элементы тригонометрического базиса

Рассмотренный случай предполагает переменный шаг дискретизации и может предполагать динамическое изменение N, если учесть возможность редукции аргумента любого элемента базиса к основному промежутку. В этих условиях не обязательно требовать дополнительное время на априорное преобразование базиса.

4) ДПФ в форме (4) является функцией при дискретно задаваемом значении аргумента. В диапазоне изменения этого аргумента функцию (4) можно преобразовать к кусочно-полиномиальной форме. Тогда всю эту функцию можно для одного значения отсчета вычислить за время О1 на одном процессоре. Параллельное вычисление всего ДПФ для N отсчетов потребует того же времени на N процессорах.

Таким образом, ДПФ может быть преобразовано в форму алгебраического многочлена. При этом время выполнения ДПФ в максимально параллельной форме варьируется от оценки (8) до

оценки

т$Уо 1

для случая N отсчетов в зависимости от охарактеризованных непосредственно выше условий относительно характера изменения числа отсчетов и шага дискретизации. В частности, оценка (9) достигается при условии наличия дополнительного времени на предварительное преобразование ДПФ в форму полинома (4).

Таким образом, ДПФ может выполняться по параллельным схемам, идентичным представленным для случая вычисления частичной суммы ряда Фурье (пособие).

Замечание 1. Очевидно, что если в качестве базиса ортогональных преобразований взамен тригонометрического рассматривать базис ортогональных полиномов, то еще более просто, чем в рассмотренном случае, получается перевод ортогонального преобразования в форму полинома (4).

На основании замечания 1 на случай базиса ортогональных полиномов переносятся все рассуждения, схемы и оценки, проделанные для случая ДПФ с тригонометрическим базисом.

В статье изложены схемы вычисления функций, аппроксимируемых тригонометрическими многочленами, включая частные суммы ряда Фурье, ДПФ, БПФ, а также ортогональные преобразования общего вида.

В отличие от известных, первая из предложенных схем позволяет производить устойчивое параллельное вычисление тригонометрического многочлена произвольной степени с временной сложностью О ( . Эта схема применяется при существенном ограничении, которое заключается в том, что тригонометрический многочлен аппроксимирует часто используемую функцию.

Вторая из предложенных схем основана на переводе тригонометрического многочлена в форму алгебраического многочлена с заданными коэффициентами. Значение последнего можно вычислить по одной из известных параллельных схем с оценкой временной сложности О « . Ограничение для данного случая составляет необходимость предварительного преобразования тригонометрического многочлена в форму алгебраического. Преобразование можно выполнить по предложенному в данной главе алгоритму, отличающемуся от известных преобразований ряда Фурье.

Третья из предложенных схем отличается от известных по построению, а также тем, что без дополнительных ограничений позволяет параллельно вычислять приближенное значение суммы ряда Фурье, значение ДПФ одновременно со всеми элементами тригонометрического базиса и коэффициентами с временной сложностью О 4р&2 п .

Данная схема имеет вид регулярного распараллеливаемого алгоритма и обобщается на разложение по произвольным ортогональным многочленам. Эта схема инвариантна относительно числа элементов базиса, количества точек отсчета ДПФ и переменного шага дискретизации. При этом логарифмическая оценка временной сложности параллельного выполнения ДПФ достигается в условиях динамически изменяющихся параметров.

При наличии дополнительного времени на априорный перевод ДПФ в форму алгебраического многочлена дальнейшее вычисление N -точечного ДПФ может выполняться параллельно на N процессорах за время О

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сергиенко, А. М. Вычисление линейных рекуррентных последовательностей в ПЛИС / А. М. Сергиенко, Т. М. Лесик [Электронный ресурс] // Мiжнародна конференцш «Високопродуктивш обчислення» НРС-иА'2011. Украша, Кшв, 12-14 жовтня. 2011. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://hpc-ua.org/hpc-ua-11/Ше8/ргосее^8/1.25%281270/о29.ра£

2. Фирсова, С. А. Алгоритмы оптимизации временной сложности кусочно-полиномиальной аппроксимации функций в применении к быстрому преобразованию Фурье на основе параллельного вычисления элементов базиса: автореф. дис. ... канд. Техн. наук / С. А. Фирсова. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004.

3. Ромм, Я. Е. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов / Я. Е. Ромм, С. А. Фирсова. - Таганрог, 2008. - 124 с.

4. Ромм, Я. Е. Параллельная схема дискретного и быстрого преобразований Фурье на основе полиномиального представления базиса / Я. Е. Ромм, С. А. Фирсова // Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18. -№ 11. - С. 3-13.