Критерий устойчивости и его приложение для краевой задачи деформирования пластин вариационно-разностным методом силами инерции

7. Ильюшин А. А. Пластичность. М. : Гостехиз-дат, 1948.

8. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М. : Наука, 1969.

9. Биргер И. А., Шорр В. Ф. Термопрочность деталей машин. М. : Машиностроение, 1975.

10. Сендецки Дж. Механика композиционных материалов. М. : Мир, 1978.

References

1. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnyh jelementov [Numerical methods of analysis and finite element method]. Moscow : Strojizdat, 1982. 448 p.

2. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki [Variation principles of mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1965. 408 p.

3. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variation methods in the elasticity and plasticity theory]. Moscow, Mir Publ., 1987. 542 p.

4. Vlasov V. Z. Obshhaja teorija obolochek i ejo prilozhenija v tehnike [General theory of shells and its applications in engineering]. Gostehizdat, Leningrad-Moscow, 1949. 783 p.

5. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959. 400 p.

6. Vol'mir A. S. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow : Fizmatgiz, 1963. 880 p.

7. Il'jushin A. A. Plastichnost' [Plasticity]. Moscow : Gostehizdat, 1948.

8. Kachanov L. M. Osnovy teorii plastichnosti [fundamentals of theory of plasticity]. Moscow : Nauka, 1969.

9. Birger I. A., Shorr V. F. Termoprochnost' detalej mashin [thermal resistance of the machine parts]. Moscow : Mashinostroenie, 1975.

10. Sendecki Dzh. Mehanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow : Mir, 1978.

© Сабиров Р. А., 2015

УДК 539.3

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

СИЛАМИ ИНЕРЦИИ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: rashidsab@mail.ru

Рассмотрены вопросы, определяющие равновесные состояния деформируемых систем; на их основе разработан вариационно-разностный метод решения краевой задачи с использованием вариаций функционала Ла-гранжа. Задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел, в которой параметр ускорения как параметр нагрузки является единственной неизвестной характеристикой. Цель - разработать метод расчета пластин на инерционные нагрузки.

Ключевые слова: расчет пластин, устойчивость, вариационно-разностный метод.

THE STABILITY CRITERION AND ITS APPLICATION TO BOUNDARY VALUE PROBLEM OF PLATEDEFORMATION OF THE VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD

WITH THE INERTIA FORCES

R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: rashidsab@mail.ru

The paper considers the issues to determine the equilibrium state of deformable systems; based on them, it develops a variation-difference method to solve boundary value problem using a variation of the Lagrange functional. The task is reduced to the generalized problem of eigenvalues, in which the acceleration parameter as a parameter of the load, is the only unknown characteristic.

Purpose is to develop a method to calculate plates for inertial loadings.

Keywords: calculation of plates, stability, variation and differential method.

Элементы тонких пластин, используемые в военно-морских и аэронавигационных структурах, часто подвергаются нормальным и сдвигающим силам. Ре-

шения проблем устойчивости имеют практическое значение при конструировании ракет, высокоскоростных самолетов, подвергнутых значительным ускоре-

Решетнеескцие чтения. 2015

ниям. Законом, устанавливающим равновесие механической системы и определяющим критерии равновесных положений, следует назвать теорему Лагран-жа-Дирихле и Ляпунова [1]. Для деформируемых конструкций, в частности для пластин, приложение энергетических принципов к проблеме устойчивости приводится в большом количестве научных разработок, например [2-13]. Пусть

ЭЛ = ЭЛ ^^ ) -

функционал Лагранжа конечного числа переменных w1,w2,...,м>п краевой задачи. Приращение полной потенциальной энергии деформирования для вариаций

и'1 +5>с1,+5т^2,...,wn +8т^п с удержанием членов не выше второго порядка имеет вид

ДЭЛ = ЭЛ (и'1 +5и'1, +5т^2,..., wn + 8wn) -

-ЭлО^w2,,^п) =8эЛ +§2эЛ /2 (2) Здесь первая и вторая вариации (1) соответственно равны

5эЛ =

52ЭЛ =

с суммированием по повторяющимся индексам: к = 1,2,...,п , I = 1,2,...,п .

Для любого равновесного состояния [7] 5ЭЛ = 0 . В задачах устойчивости о характере равновесия судят по знаку второй вариации функционала. Устойчивое равновесие существует, если 82ЭЛ > 0 для всех допустимых виртуальных перемещений, а неустойчивое равновесие наличествует, если хотя бы для одного допустимого виртуального перемещения 82ЭЛ < 0 . Первая верхняя критическая нагрузка соответствует переходу от устойчивых равновесных положений к неустойчивым, следовательно, для этого значения нагрузки должно быть [9; 13; 14]

52ЭЛ = 0.

Введем в (4) операторы варьирования 51 и 52 [12]. Теперь запишем (5) так:

8 ЭЛ =Ь2(Ь1ЭЛ О^ ^2 Vп ;

51и'1,81^2,..., 81^п; 82 ^ 82 w2,..., 82 V )) = 0.

Условие (5) с учетом (6) эквивалентно следующему уравнению:

д2 ЭЛ

{82 V

д2 Э

82 ^2

82^п }

д2 Эл

дw1дw1 дw1дw2 дw1дwn

д2 ЭЛ д 2 ЭЛ

дw1дw2 дw2дw2

д2 ЭЛ д 2 ЭЛ д 2 Эл

дwn дwn

81м'1 8:^2

8Л

= 0,

в котором матрица размерностью п х п содержит коэффициенты при вариациях перемещений уравнения (6). Данная система будет иметь решение, отличное от нуля, лишь в том случае, если определитель матрицы (7), составленный из ее коэффициентов, равен нулю [9]. В (7) группировка коэффициентов при независимых вариациях перемещений дает нулевой определитель:

д 2Эл

дц>1

= 0, к = 1,2,..., п , I = 1,2,..., п .

Рассмотрим задачу устойчивости пластин от воздействия ускорения, в которой коэффициенты (8) являются функциями параметров жесткости конструкции и функциями внутренних усилий. Первым шагом решения проблемы устойчивости конструкции пластины является решение плоской задачи теории упругости с целью вычисления внутренних усилий. На втором шаге для формирования (7) применяется вторая вариация функционала [15]:

82Э

х=а у=Ъ

Л = 1 ^

х=0 у=0

х=а у

=Ъ (

82Кх81Кх + Ц(82Кх81Ку +82Ку81Кх ) + +82 Ку 81Ку + 2 (1 "^)Ь2Хху 81Хху

х скёу +

Л

йхйу.

К 82 » + Ку 82 ^ у 8^ у +

+ 1 I

х=0 у=0

где 8г-, 1 = 1,2 - операторы варьирования;

8г кх =-д28г^ / дх2, 8г к у = -д28г^ / ду2, 8г-Эх = д5г^ / дх,

8г- хху = -д28г^ / дхду; » = дд^ / ду - вариации

кривизны и вариации углов поворота. Внутренние усилия в (9) считаются известными, они неоднородные, т. е. являются функциями координат и содержат параметр ускорения а :

Кх = Кх (х, у, а), Ку = Ку (х, у, а), ^ = ^ (х, у, а).

Выполним дискретизацию уравнений рассмотренных выше уравнений методом конечных разностей [16] для прямоугольной равномерной сетки

юУ = {(х = х, у = ДуX' = 0,1...,т ] = 0,1,...,п} на

отрезках [0,1х ] и [0,1у ]. Здесь х = х^ и у = у] - узлы

сетки; Xх = 1х / т и X = I / п - шаг сетки, а 1х и 1у -

размеры пластинки по направлениям осей координат х и у.

Теперь задача (8) приводится к обобщенной проблеме собственных чисел

[ В ]{*} =, [ л]{*}

где [В] - матрица внутренних усилий; [Л] - матрица жесткости; {v} = (н,1,w2 ,,wn) - собственный вектор для п переменных; 5 - собственные числа.

Параметр ускорения как параметр нагрузки, является единственной неизвестной характеристикой определителя (8); причем его значения, обращающие определитель в нуль, будут соответствовать критическим значениям нагрузки. Таким образом, корни

системы уравнений (8) определяют п собственных чисел, т. е. все критические нагрузки, в том числе и наименьшую из них.

В качестве примера приведем один из результатов расчета пластины (см. рисунок), закрепленной с левого торца, когда три других ее края свободны и не закреплены. Пластина имеет размеры в плане 0,6 х 0,8 м и толщину 0,1-10-3 м; модуль Юнга материала равен 2 -1011 Па; коэффициент Пуассона 0,25 ; плотность материала 7800 кг/м3. Ускорение ау (это параметр) направлено по оси ординат. Вычислены критические ускорения.

На рисунке а отображен деформированный вид плоскости пластины, а на рисунке б показана первая форма потери устойчивости, соответствующая критическому ускорению порядка 3 м/с2.

О I э: О'З 34

а

б

Пластина: а - деформированный вид пластинки; б - первая форма потери устойчивости

Определен спектр критических ускорений, которые нельзя допустить при эксплуатации рассмотренной тонкой пластины.

Библиографические ссылки

1. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теории колебаний. М. : Высш. шк., 1966. 255 с.

2. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical, Numerical and Engineering Methods. Copyright © 2004 John Wiley & Sons, Inc. 1039 p.

3. Xiang Y., Kitipornchai S. & Wang C. Y. Buckling and spanning capacity of cantilevered vertical plates under body forces // The IES Journal. Part A: Civil & Structural Engineering. 2008. 1:2. Р. 116-122.

4. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.-Л. : ОГИЗ-Гостехиздат, 1946. 532 с.

5. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. М.-Л. : Физматлит, 1947. 300 с.

6. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.

8. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.

9. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М. : Физматгиз, 1963. 880 с.

10. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.-Л. : ОГИЗ, 1947. 465 с.

11. Lopatin A. V., Morozov E. V. Approximate buckling analysis of the CCFF orthotopic plates subjected to in-plane bending // International Journal of Mechanical Sciences. 2014. 85. Р. 38-44.

12. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.

13. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л. : ОГИЗ-Гостехиздат, 1948. 112 с.

14. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Наука, 1970. 512 с.

15. Сабиров Р. А. Особенности дифференциальной и вариационно-разностной формулировок задачи продольно-поперечного изгиба стержня от сил инерции // Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55). С. 131-138.

16. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1977. 656 с.

References

1. Jablonskij A. A., Norejko S. S. Kurs teorii kolebanij [Course of the theory of fluctuations]. Moscow : Vyssh. shk., 1966. 255 p.

2. Szilard R. Theories and Applications of Plate Analysis: Classical, Numerical and Engineering Methods. Copyright © 2004 John Wiley & Sons, Inc. 1039 p.

3. Xiang Y., Kitipornchai S. & Wang C. Y. (2008): Buckling and spanning capacity of cantilevered vertical plates under body forces, The IES Journal Part A: Civil & Structural Engineering, 1:2, 116-122.

4. Timoshenko S. P. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow-Leningrad : OGIZ Gostehizdat, 1946. 532 p.

5. Filonenko-Borodich M. M. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow-Leningrad : OGIZ Gosudarstvennoe izdatel'stvo tehniko-teoreticheskoj literatury, 1947. 300 p.

6. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.

7. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variation methods in the elasticity and plasticity theory]. Moscow : Mir Publ., 1987, 542 p.

8. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959. 400 p.

9. Vol'mir A. S. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow : Fizmatgiz, 1963. 880 p.

10. Lejbenzon L. S. Kurs teorii uprugosti [Course of the theory of elasticity]. Moscow-Leningrad : OGIZ, 1947. 465 p.

11. Lopatin A. V., Morozov E. V. Approximate buckling analysis of the CCFF orthotopic plates subjected to in-plane bending // International Journal of Mechanical Sciences. 2014. 85. Р. 38-44.

Решетнееские чтения. 2015

12. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki [Variation principles of mechanics]. Moscow : Mir Publ., 1965. 408 p.

13. Novozhilov V. V. Osnovy nelinejnoj teorii uprugosti [Bases of the nonlinear theory of elasticity]. Moscow-Leningrad : OGIZ Gostehizdat, 1948. 112 p.

14. Mihlin S. G. Variacionnye metody v matema-ticheskoj fizike [Variation methods in mathematical physics]. Moscow : Nauka, 1970. 512 s.

15. Sabirov R. A. Osobennosti differencial'noj i varia-cionno-raznostnoj formulirovok zadachi prodol'no-

poperechnogo izgiba sterzhnja ot sil inercii [Features of differential and variation-differential formulations of the problem of the longitudinally cross bend of the core from inertia forces] // Vestnik SibGAU, 2014. no. 3(55), рр. 131-138.

16. Samarskij A. A. Teorija raznostnyh shem [Theory of differential schemes]. Moscow : Nauka Publ., 1977. 656 p.

© Сабиров Р. А., 2015

УДК 539.37

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОРИСТЫХ МЕТАЛЛОВ*

В. М. Садовский, О. В. Садовская

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: sadov@icm.krasn.ru

На основе обобщенного реологического метода построена математическая модель упруго-пластического деформирования пористых металлов, которые могут применяться в аэрокосмической промышленности в качестве легковесных наполнителей. Разработан алгоритм численной реализации модели на многопроцессорных вычислительных системах.

Ключевые слова: пористая среда, реология, упругость, пластичность, динамика, параллельные вычисления.

NUMERICAL MODELING POROUS METALS DEFORMATION

V. M. Sadovskii, O. V. Sadovskaya

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: sadov@icm.krasn.ru

Based on the generalized rheological method, we construct the mathematical model of elastic-plastic deformation of porous metals, which can be used as lightweight fillers in the aerospace industry. We develop the algorithm for numerical implementation of this model on clusters.

Keywords: porous medium, rheology, elasticity, plasticity, dynamics, parallel computations.

Математические модели пористых сред имеют большое практическое значение для приложений в аэрокосмической, судостроительной, автомобильной и нефтедобывающей отраслях, а также в геомеханике и геодинамике. Пористые металлы (металлические пены) - новые искусственные материалы, которые находят широкое применение благодаря низкой плотности и хорошим демпфирующим свойствам [1-3]. Их можно использовать в различных технических устройствах в качестве разрушаемых предохранителей, рассеивающих энергию динамического удара, предотвращая разрушение механической системы.

Нелинейная математическая модель динамического деформирования пористого металла, учитывающая в рамках теории малых упруго-пластических деформаций пороговый характер изменения податливости

материала при схлопывании пор, может быть записана в следующем виде [4; 5]:

р V = У-ст + f, ст = 5 + п( q + д),

(5 - 5): (а : 5 - уу) > 0, 5,5 е ^,

2Ъ : q = уу + (уУ)*.

Эта система включает в себя уравнения движения, определяющие соотношения в виде вариационного неравенства и кинематические уравнения. Здесь р -плотность пористого материала; V - вектор скорости; ст - тензор напряжений; 5 - произвольная допустимая вариация тензора условных напряжений 5; f - вектор объемных сил; а и Ъ - тензоры модулей упругой по-

* Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-00130.