Применение метода функций Грина в задачах дифракции звука на идеальных и упругих телах

ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ КОРАБЛЯ

С.Л. Ильменков, А.А. Клещев, А.С. Клеменков, В.С. Майоров, Г.В. Чижов

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Санкт-Петербург

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ГРИНА В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ ЗВУКА НА ИДЕАЛЬНЫХ И УПРУГИХ ТЕЛАХ

Объект и цель научной работы. Статья посвящена описанию метода функций Грина применительно к задачам отражения и рассеяния звука идеальными и упругими телами аналитической и неаналитической форм. Полученные авторами аналитические выражения позволили вычислить такие характеристики отражения от идеальных и упругих тел, как эквивалентный радиус, сечение обратного рассеяния и угловые характеристики рассеяния.

Материалы и методы. В основе теоретического подхода лежит предложенный одним из авторов метод решения задачи дифракции звука на телах со смешанными граничными условиями - метод функций Грина, который в отличие от известного ранее метода Зоммерфельда (вариационного метода неопределенных коэффициентов) допускает строгое решение такой задачи. Впоследствии метод функций Грина был распространен и на идеальные и упругие тела неаналитической формы.

Основные результаты. На первом этапе двумя методами (методом функций Грина и методом Зоммерфельда в зоне Фраунгофера (дальней зоне) были вычислены угловые характеристики рассеяния и относительные сечения обратного рассеяния сферы со смешанными граничными условиями и распределения рассеянного давления на ее поверхности (в зоне Френеля), при этом наблюдалось хорошее совпадение результатов расчета по двум методам для всех характеристик. Подобные же расчеты были выполнены и для тел со смешанными граничными условиями тел сфероидальной формы и отмечена компенсация рассеянного поля по отдельным направлениям. В дальнейшем метод функций Грина был распространен на идеальные и упругие тела неаналитической формы. С помощью этого метода были получены характеристики указанных тел, как эквивалентные радиусы и угловые характеристики рассеяния.

Заключение. Обоснован предложенный новый метод (метод функций Грина) решения задач дифракции звука на телах аналитической формы со смешанными граничными условиями и идеальных и упругих телах неаналитической формы. С помощью этого метода выполнены расчеты характеристик рассеяния звука различными телами для научно-исследовательских организаций судостроительной отрасли.

Ключевые слова: неаналитический рассеиватель, смешанные граничные условия, функция Грина, дифракция, волновой размер, сфероид.

Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

Для цитирования: Ильменков С.Л., Клещев А.А., Клеменков А.С., Майоров В.С., Чижов Г.В. Применение метода функций Грина в задачах дифракции звука на идеальных и упругих телах. Труды Крыловского государственного научного центра. 2017; 4(382): 117-128.

УДК 534.26.001.24 БО!: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-117-128

SHIP SIGNATURES

S. Ilmenkov, A. Kleshev, A. Klemenkov, V. Maiorov, G. Chizhov St. Petersburg State Marine Technical University, St. Petersburg, Russia

APPLYING GREEN FUNCTION METHOD TO SOUND DIFFRACTION ON PERFECT AND ELASTIC BODIES

Object and purpose of research. This paper describes application of Green function method to the problems of sound reflection and scattering by perfect and elastic bodies of analytical and non-analytical shape. The analytical expressions obtained by the authors enabled calculation of such scattering parameters as equivalent radius and angular scattering characteristics for bodies of various shape and structure.

Materials and methods. The theoretical approach is based on the suggestion made by one of the authors of this study: to solve the problem of sound diffraction on the bodies with mixed boundary conditions by means of Green function method.

Unlike previously known Sommerfeld method (a variation method of undetermined coefficients), Green method yields a strict solution to this problem for certain particular cases. Further on, Green function method was extended to perfect and elastic bodies of non-analytical shape.

Main results. At the first stage, the two methods (Green function method and Sommerfeld method (applied to Fraunhofer (far) zone) were used to calculate angular scattering characteristics and relative back-scattering sections for the sphere with mixed boundary conditions, as well as scattered pressure distributions on its surface (within Fresnel zone). The calculation results yielded by the two methods have shown a good correlation for all the characteristics. Similar calculations were performed for spheroidal bodies with mixed boundary conditions, and in certain directions the scattered pressure was observed to compensate. Further on, Green function method was extended to perfect and elastic bodies of non-analytical shape. This method yielded such parameters of these bodies as equivalent radii and angular scattering characteristics.

Conclusion. The paper justifies that this new method (Green function method) can be applied to sound diffraction problems for the bodies with analytical shape and mixed boundary conditions, as well as for perfect and non-analytical bodies of non-analytical shape. This method was applied to calculate the characteristics of sound reflection by various bodies for shipbuilding research organizations.

Key words: non-analytical scatterer, mixed boundary conditions,Green function, diffraction, wave size spheroid. Authors declare lack of the possible conflicts of interests.

For citations: Ilmenkov S., Kleshev A., Klemenkov A., Maiorov V., Chizhov G. Applying Green function method to sound diffraction on perfect and elastic bodies. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2017; 4(382): 117-128 (in Russian).

УДК 534.26.001.24 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-117-128

Метод функций Грина [1-4] был разработан применительно к решению задач дифракции звука на телах со смешанными граничными условиями. В качестве такого рассеивателя исследовался сфероид наполовину звукомягкий, наполовину звукожест-кий [1]. Впоследствии этот метод был распространен на сферу со смешанными граничными условиями [3], для которой был выполнен расчет и по методу функций Грина, и по методу неопределенных коэффициентов (методу Зоммерфельда) (рис. 1) [5].

Рассмотрим применение и характерные черты обоих методов на примере сферы радиуса Я со смешанными граничными условиями (одна половина сферы идеально мягкая, другая - идеально жесткая), то есть на участке поверхности сферы 51(9 = 0-90°) выполняется условие Дирихле, а на

участке 52(0 = 90-180°) - условие Неймана (рис. 1). В соответствии с заданным граничными условиями при использовании вариационного метода составляется функционал См вида [5]:

Gn = к2

Ф/ + Ф С

2dS +J

S2

дФ, дФ С + -

дп дп

dS.

В общем случае (00 = а Ф 0° или 00 = а Ф 180°) задача оказывается трехмерной, и потенциалы падающей (Ф^) и рассеянной (Ф5) волн отыскивают в форме двойных, а не обыкновенных рядов:

¥ т

Ф1 (г; 9; ф) = £ " (2 п +1) е т [[п - т)!/(п + т)!]х

т=0 п=0

X Pm (cos а) Pm (cos 9) jn (kr) cos шф;

/ NSSSVsSV /

х / 9о = a

ФЛ

„

К 1 / \ / \ / \ / \ / \ /

/ч. / / --- S2

г

N к

Рис. 1. Сфера со смешанными граничными условиями Fig. 1. Sphere with mixed boundary conditions

фС(r;9;ф) = EE AqPq (cos9)Ä<1)(kr)cos

v=0 q=0

; кф,

где Aqv - неизвестные коэффициенты разложений; f1, m = 0; [2, m^ 0.

В развернутом виде функционал GN имеет вид [2, 4]:

Gn = k2 R2 x

2пп/2 Г ¥ m

xjMs EГ"(2n+1)£mPT(cosa)[(n-m)!/(n + m)!]x

0 0 [m=0 n=0

xpmm (cos 9) jn (kR) cos mф +

+ EI A^(cose)A<1)(Ár)cosv9[x

N v

EI

v=0 q=0 | ¥ m

dvnq = 2in(2n +1) [(л- v)!/(n + v) !]Fnv(cosа) х

E E in (2ni + 1)e [[ -mi)!/(ni + mi)!]

I mi =0 ni =0

х Fm (cos a) F^ (cos e) ji[ (kR) cos л^ф + + E E Aqi Pi (cos e) h(2) (kR) cos v19 [ sin e de d9 +

vi = 0 q =0 J

2п п Г ¥ m

+R J MEE i"n (2n+1)e mC (cos a)x

0 п/2 lm=0 n=0

x [ (n - m) !/(n+m)!] ] (cos e) j'n (kR)k cos щ +

+ EE A/ (cos e) A' (kR)k cos v9 [x

N v

EE

v=0 q=0 | ¥ «i

E E in (2ni + 1)e4[(ni - ^)!/(n + mi)!]

п/2

x jn (kR) Aqi2) (kR) j Fnv (cos e) F1 (cos e) sin e de + 0

+j'n (kR) h(2)' (kR) j FW (cos e) pqi (cos e) sin e de;

п/2

A v =

2, v = 0; 1, v ^ 0.

С другой стороны, в соответствии с методом функций Грина потенциал Ф5 в волне, рассеянной сферой наполовину жесткой, наполовину мягкой, представляется с помощью одночленных интегралов Гюйгенса в виде суммы [1]:

Ф х (Р) = Ф х (г; 9; ф) =

(1/4 п) ЫФ; (Q) [( F, Q)/ дг ]

I mi =0 ni =0

xF^

4 =0 qi =0 qi qi q J

где черта над неизвестными коэффициентами означает знак комплексного сопряжения.

Условие минимизации функционала GN обеспечивает наиболее удовлетворительное выполнение граничных условий на поверхности рассеивателя

dGN / óAj = 0.

Подставляя (4) в (5), получаем систему уравнений для определения коэффициентов Aqv:

N M N M

eeac; =-EEdnv;,

v=0 q = 0 n = 0 q = 0

где M - целочисленный индекс, значение которого зависит от волнового размера kR;

п/2

cq = h^ikR) a vj Fv (cos e) pi (cos e)sin e de+ 0

+h(1)' (kR) h(2)' (kR) A v j F' (cos e) Fqi (cos e) sin e de;

п/2

+ J[ (Q)/дг](F, Q)dS2 [,

S2 J

где P - точка наблюдения со сферическими координатами г, 9, ф; Q - точка поверхности с угловыми координатами ф", 9" и радиальной координатой Г = R; G1 - функция Грина, обращающаяся в ноль на поверхности интегрирования, а G2 - функция Грина, имеющая нулевую производную по нормали на этой поверхности [6, 7]:

¥ m

Gj (г; 9; ф; г'; 9'; ф') = ik ЕЕ е ш (2n+1)р* (cos 9 ) х

m=0 n=0

xPm

¥ m

G2 (r; 9; ф; г '; 9 '; ф ) = ik ЕЕ е ш (2n + l)pm (cos 9 ' ) х

m=0 n=0

xpm (cos 9) [ (n - m) !/(n+m)!] cos [m(ф - ф ) ] х

xj

Формула (6) для потенциала Ф5(г 9; ф) рассеянной волны, рассеянной сферой со смешанными граничными условиями, является приближенной, как и формула (4) вариационного метода. Но суще-

k

\ 60 ~ , 90 /120

Xw^V .30 А t (Г \ , \ 1 Г'/ '! / v 1 / 1 2 ^ 1 /-""150

VI \ 1 у] \ 9 = 0°Д / 'у 9 = 180°

Рис. 2. Распределение модуля потенциала рассеянной волны на поверхности сферы со смешанными граничными условиями: 1 - метод неопределенных коэффициентов (метод Зоммерфельда); 2 - метод функций Грина

Fig. 2. Distribution of the potential modulus for scattered wave on the surface of the sphere with mixed boundary conditions: 1 - method of uncertain coefficients (Sommerfeld method); 2 - Green function method

ствуют частные случаи, при которых метод функций Грина дает строгие результаты. Рассмотрим эти частные случаи на примере однородной (звуко-мягкой) сферы, мысленно представив ее разбитой на две половины плоскостью XOZ (рис. 1). Волновой вектор k падающей плоской волны поместим в плоскости XOZ (9о = 90°) и в ней же (на контуре границы полусфер S1 и S2) точку наблюдения P. Найдем рассеянное сферой давление в этой точке, то есть вычислим Фs(p), используя на левой полусфере S1 функцию Грина G1, а на правой полусфере S2 - функцию Грина G2.

Для однородной мягкой сферы формула (6) преобразуется к виду

Фs(P) = -(1/4п)i /Ф,(Q)[dG1(P,Q)/dr'] +

+ /[ (Q)/ dr']( P, Q)dS2[,

S2 J

¥ m

то есть граничное условие выполняется строго, и решение является точным.

Если по-прежнему 0О и 0 = 90°, сфера состоит из мягкой и жесткой полусфер (рис. 1), то вклад идеально мягкой полусферы в потенциал Ф5 в точке контура границы будет равен Фу (Р)/2, а вклад жесткой полусферы в дФ5 /дг на контуре - 2л(дФ1(Р)/дг). Потенциал Ф5 в плоскости XOZ находится как полусумма потенциалов, создаваемых мягкой и жесткой сферами в этой же плоскости.

При произвольной ориентации волнового вектора к падающей волны относительно нашей сферы со смешанными граничными условиями потенциал рассеянной волны Ф5 (г, 0; ф) найдется приближенно путем подстановки (2) в (7) и (8) в (6) [3]:

m=0 n=0

Ф s (r; 9; ф) =

m

7 (2 n +1) [(n - m)!/( n + m)!]x xemfm (cos 9) cos тфРт (cos a) x

xA« (kr){{ ml n (kR) ]+[7n m/h' m ]}

¥ mm

+(1/2) UK -1)m еП1Г"1{2 n+1) x

m=0 n=0 n1=0

x(2n +1) [Ц - m)!/(n + m)!][[n - m)!/(n + m)!]x

x cos mфpm (cos 9) Pm (cos a) h(? (kr) x

xj (0)pm (0) - pm (0)P1 (0)]/[ +1) - n(n+1)]

x{[-

где Ф 5 (Q) = -KKin (2n + 1)em [[n - m)!/(n + m)!]x

m=0 n=0

xP" (cos a) n (cos 9') cosшф 'hf (kr') • j'n (kR)/h (kR).

Используя QQ и GG1, G из (7) и (8), получаем, что потенциал рассеянной волны на поверхности сферы в точке контура границы двух полусфер равен

Фх (P = -(1/ 2)Ф, (P) - (1/ 2)Ф, (P) = -ф (P),

где пФ щ; п- п1 - нечетно.

В отличие от вариационного способа, в методе функций Грина не приходится искать неизвестные коэффициенты разложений, и расчет потенциала Ф5 представляет собой чисто вычислительную задачу, поскольку все величины в (10) известны. На рис. 2 представлено распределение |Ф5| на поверхности сферы (наполовину мягкой - 51, наполовину жесткой - 52) при kR = 5, а = 90° Идеально мягкая часть сферы соответствует изменению угла 0 в пределах от 0° до 90°. Единичное значение модуля потенциала показано на рисунке штрихпунктирной дугой, оно соответствует строгому выполнению граничного условия. В обоих случаях (кривые 1 и 2) граничные условия на поверхности сферы выполняются

Рис. 3. Модули угловых характеристик рассеяния: 1 - мягкий вытянутый сфероид; 2 - сфероид со смешанными граничными условиями

Fig. 3. Moduli of angular scattering parameters: 1 - soft oblong spheroid; 2 - spheroid with mixed boundary conditions

Рис. 4. Модули угловых характеристик рассеяния: 1 - жесткий вытянутый сфероид; 2 - сфероид со смешанными граничными условиями

Fig. 4. Moduli of angular scattering parameters: 1 - rigid oblong spheroid; 2 - spheroid with mixed boundary conditions

Рис. 3

Рис. 4

0o

приближенно, хотя различия между самими способами невелики.

На рис. 3 и 4 приведены амплитудные угловые характеристики мягкого (рис. 3, кривая 1) и жесткого (рис. 4, кривая 3) вытянутых сфероидов и угловая характеристика сфероида со смешанными граничными условиями (рис. 3 и 4, кривая 2).

Если вытянутый сфероид, например, представить состоящим из двух одинаковых половин, соприкасающихся по плоскости п = 0 ^ 0 = 90°, и в этой же плоскости поместить источник (п0 = 0), то суммарный потенциал Ф5 рассеянного поля для точки наблюдения, находящейся в полуплоскости п = 0, будет определяться выражениями (11) (ф = 0) и (12) (ф = п):

_ S

-m

ф s ($; n;0) = 12 - î

n>mm=0

Rm,n

(c, П1)5ш,п С, П)*

*R?n (С,

¥ ¥

ф s ($; n; n) = 2 2 i

n>mm=0

2 m -n

(c, П1) Sm„ (c, n) x

On (c,

Rln

жесткому сфероиду, кривая 3 - к сфероиду, 1/3 поверхности которого отвечает условию Неймана, а 2/3 - условию Дирихле.

На рис. 6 представлен модуль угловой характеристики ||5(п)| для сжатого сфероида с радиальной координатой £о = 0,1005 наполовину жесткого, наполовину мягкого (кривая 1), на который падает волна вдоль оси вращения 2 (00 = 0° ^ % = 1,0) при С = 10; здесь же даны модули |у|/5(п)| для мягкого (кривая 2) и жесткого (кривая 3) сфероидов. Из сравнения трех кривых видно, что амплитуда давления в отраженной обратно волне для комбинированного тела примерно на порядок меньше, чем для однородных идеальных сфероидов.

В качестве неаналитических будем рассматривать тела, поверхность которых не может быть отне-

На рис. 5 приведены значения относительного сечения обратного рассеяния с0 сжатых сфероидов (^о = 0,1005) при облучении их вдоль оси вращения 2 (00 = 0°). Кривая 4 относится к сфероиду наполовину жесткому, наполовину мягкому; кривая 2 -к идеально мягкому сфероиду, кривая 1 - к идеально

^0 80 60 40 20

0

' 1

3 4 / -

8

C

Рис. 5. Относительные сечения обратного рассеяния сжатых сфероидов

Fig. 5. Relative back-scattering sections for compressed spheroids

3

2 30°

90o

2

Рис. 6. Модули угловых характеристик комбинированных и однородных сжатых сфероидов: 1 - сфероид наполовину жесткий, наполовину мягкий; 2 - мягкий сфероид; 3 - жесткий сфероид

Fig. 6. Moduli of angular characteristics for combined and homogeneous compressed spheroids: 1 - half-rigid, half-soft spheroid; 2 - soft spheroid; 3 - rigid spheroid

сена к разряду координатных систем с разделяющимися переменными в скалярном уравнении Гельм-гольца. Рассмотрим такой неаналитический рассеи-ватель в форме конечного кругового цилиндра, ограниченного по торцам полусферами (рис. 7).

Рассеянное подобным телом звуковое давление может быть найдено одним из численных методов решения задач дифракции [1, 3, 8-18], среди которых достаточно удобным является метод функций Грина [1-4], основанный на использовании матема-

тической формулировки принципа Гельмгольца -Гюйгенса (интеграла Кирхгофа). Алгоритм расчета требует знания амплитудно-фазового распределения звукового давления и нормальной составляющей колебательной скорости на некоторой замкнутой поверхности интегрирования 5, состоящей из боковой поверхности цилиндра и поверхностей полусфер (рис. 7):

Ps (P) = -1

dps

= Js[Ps

4n

dn

dn

где р5 (Р) - рассеянное телом звуковое давление; Р - точка наблюдения, имеющая сферические координаты г, 0, ф; О - точка поверхности 5; р5(О) -звуковое давление в точке О; С(Р, О) - функция Грина свободного пространства, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмгольца.

В формуле (13) функция Грина выбирается в виде потенциала точечного источника

в( р, о) = вш

/ R,

где к = 2п/Х - волновое число; X - длина звуковой волны в жидкой среде; Я - расстояние между точками Р и О-

Используя относительный произвол в выборе функции Грина, можно получить одночленные варианты формулы Кирхгофа

Ps (p) = t"jsps (q) dd~G(1)(p, q) dS,

4nJs dn (P) = --ьG<2>(p, q) ds.

4nJs dn

'p

Рис. 7. Неаналитический идеальный рассеиватель в форме конечного цилиндра с полусферами

Fig. 7. Non-analytical perfect scatterer in form of a finite cylinder with hemispheres

Применение формул (15) и (16) позволяет существенно упростить вычислительную процедуру на контрольной поверхности S: требуется определить только один из двух параметров (pS(Q) или dpS (Q)ldn) на поверхности S. Однако в этом случае необходимо совпадение этой поверхности с координатной поверхностью одной из систем координат, в которой возможно разделение переменных в скалярном уравнении Гельмгольца. Таким образом, основной особенностью данного подхода является применение функций Грина для аналитических поверхностей (бесконечный цилиндр и сфера) к частям этих поверхностей, состыкованных между собой. Возможность такого подхода с решением тестовых задач по расчету рассеянного поля была рассмотрена в [19, 20].

При решении задачи дифракции для определения значений pS(Q) и dpS(Q)ldn на поверхности S можно использовать следующие соотношения.

1. для однородного условия Дирихле (идеально мягкое тело), рассеянное давление на поверхности S:

ps

2. для однородного условия Неймана (идеально жесткое тело):

¿Pi

дп дп

где pi(Q) - звуковое давление падающей звуковой волны в точке Q.

При определении значений p(Q) можно использовать выражения для скалярного потенциала плоской монохроматической волны единичной амплитуды, падающей на рассматриваемое тело от источника, расположенного на бесконечности.

Для идеально отражающей сферы этот потенциал раскладывается по собственным функциям решения уравнения Гельмгольца в сферической системе координат, и в общем случае имеет следующий вид [10]:

p (г, е, ф) =

dS

^ x

= IZ En/

n=0 m=0

(п + т)!

еп = 1 (п = 0); еп = 2 (п ф 0).

При рассмотрении осесимметричной задачи (зависимость от координаты ф отсутствует) выражение (19) упростится:

\

\ ^ \ \ \ 1 4 < \ ¡d9o к ro г (

1 1 1 1 1 / У dzo V

L

Рис. 8. Координатная система, связанная с цилиндром

Fig. 8. Coordinate system related to the cylinder

d<po ro

Pi (г, е) = X i-m (2n + 1) Pm (cos е) jn (kf).

m=0

Рис. 9. Координатная система, связанная с полусферами

Fig. 9. Coordinate system related to the hemispheres

Для рассеивателя в форме идеально отражающего цилиндра скалярный потенциал падающей плоской гармонической волны единичной амплитуды с волновым вектором к, направленным под углом 90 к оси ^ цилиндра, раскладывается по собственным функциям решения уравнения Гельмгольца в круговой цилиндрической системе координат:

p{(г,ф, z) = -exp(ikcosе0z0) х

х £ e m нгя« (kf) cos mфnн-)(kk0 51п9е)).

m=0 QHm

z

/

Рис. 10. Нормированные модули |D(0)| при 0о = 90°: а) kro = 1,05; ka = 0,564; б) kro = 2,09; ka = 1,564; в) ka = 2,953

Fig. 10. Normalized moduli |D(0)| at 00 = 90°: a) kr0 = 1.05; ka = 0.564; b) kr0 = 2.09; ka = 1.564; с) ka = 2.953

а) 90 50 б) 90 80 в) 90 go

Рис. 11. Нормированные модули |D(0)| при 00 = 60°: a) kr0 = 1,05; ka = 1,047; б) kr0 = 2,09; ka = 2,054; в) kr0 = 3,14; ka = 3,142;

Fig. 11. Normalized moduli |D(0)| at 00 = 60°: a) kr0 = 1.05; ka = 1.047; b) kr0 = 2.09; ka = 2.054; c) kr0 = 3.14; ka = 3.142

Рис. 12. Нормированные модули |D(0)| при 00 = 30°: a) kr0 = 4,19; ka = 0,564; б) kr0 = 5,24; ka = 1,564; в) kr0 = 6,28; ka = 2,953

Fig. 12. Normalized moduli |D(0)| at 00 = 30°: a) kr0 = 4.19; ka = 0.564; b) kr0 = 5.24; ka = 1.564; c) kr0 = 6.28; ka = 2.953

Рис. 13. Конечная цилиндрическая оболочка, состыкованная с двумя полусфероидальными оболочками

Fig. 13. Finite cylindrical shell coupled with two hemispheroidal shells

if

1 x Eo= 1,075

/^Х^! = 1,005 i k r0 г /Л*

/о ___^ ) z

ho <-> <- 4 z -> <- h0 ->

В случае плоской задачи волновой вектор к перпендикулярен оси ^ цилиндра и выражение (21) упрощается [10]:

Р (г, ф) =

Шт

(-1)ш ИЩ? (kr) cos шф

m=0

QHi1)

При численном интегрировании по поверхности 52 элемент поверхности цилиндра радиусом г0 будет равен 65 = ГооЦо^ (рис. 8), для полусфер 51 и 53 элемент поверхности в сферических координатах равен 65 = г0^т006Э0ф0 (рис. 9).

На рис. 10-12 показаны нормированные модули угловых характеристик рассеяния |Д(0)| для неаналитического рассеивателя с отношением длины тела Ь к радиусу г0, равным 25,8 при различных углах падения 90 плоской волны и различных волновых размерах рассеивателя.

На всех рисунках отчетливо наблюдается дифракционный (теневой) лепесток, который растет и становится все уже с ростом частоты. На рис. 1012 виден зеркальный лепесток, который с увеличением частоты ведет себя подобно теневому лепестку, но в отличие от него ограничен асимптотически. Можно отметить также, что по своему виду

угловые диаграммы неаналитического рассеивателя весьма похожи на угловые характеристики рассеяния вытянутых сфероидов (идеальных и упругих) с соотношением полуосей 1:10 [4, 8, 15, 21]. В отличие от работы [8], в которой использовался метод интегральных уравнений и был выполнен расчет для неаналитического тела с короткой цилиндрической вставкой, в данном исследовании цилиндрическая вставка была заметно длиннее. Величины эквивалентных радиусов для различных углов облучения даны в работах [22, 23].

Решение задачи рассеяния звука методом функций Грина для упругой оболочки неаналитической формы дано в работе [24]. Метод функций Грина является приближенным, поскольку он не учитывает взаимодействие между отдельными элементами, из которых составлено тело неаналитической формы. В качестве неаналитических рассеивателей исследовались две упругих конструкции:

конечная цилиндрическая оболочка, ограниченная на концах двумя половинами вытянутой сфероидальной оболочки (рис. 13);

такая же цилиндрическая оболочка, ограниченная двумя полусферическими оболочками (рис. 14).

В [24] сначала изучается рассеяние звука отдельными частями составного тела, при этом (поскольку

Рис. 14. Упругая оболочка в форме конечного цилиндра с полусферами

Fig. 14. Elastic shell in form of a finite cylinder with hemispheres

Рис. 15. Модуль угловой характеристики рассеяния при ka = 0,523

Fig. 15. Modulus of angular scattering characteristic at ka = 0.523

Рис. 16. Модуль угловой характеристики рассеяния при ka = 0,941

Fig. 16. Modulus of angular scattering characteristic at ka = 0.941

в общем случае задача оказывается трехмерной) используются потенциалы Дебая и «типа Дебая». Изотропный рассеиватель рассматривается в рамках динамической теории упругости [24].

Для модели, представленной на рис. 13, был выполнен расчет модуля угловой характеристики |ß(0)| при 0 = 0о = 90° в диапазоне волновых размеров kR = 0,053 - 0,581. При этом модель (рис. 13) имела следующие параметры: L1 = 200,51 м; L = 100,0 м; h0 = 50,0 м; R0 = 5,04 м; R1 = 5,01 м; ^ = 1,005075; ^ = 1,005. Материал оболочки - сталь. В этих условиях |ß(90°)| изменялся в пределах 0,49-18,46.

На рис. 15 и 16 представлены модули угловых характеристик |Д(ф)| (в плоскости XOY, при 0o = 90°) упругого неаналитического рассеивателя в форме цилиндрической оболочки, сочлененной с двумя сферическими (рис. 14), при ka = 0,523 (рис. 15) и при ka = 0,941 (рис. 16), отношение l/2a = 11,9.

Основным результатом выполненной работы является вычисление угловых характеристик рассеяния на упругих телах неаналитической формы с помощью метода функций Грина, который был разработан и применялся ранее для решения задачи дифракции звука на телах со смешанными граничными условиями.

В дальнейшем предполагается сравнить выполненные расчеты с экспериментальными исследованиями рассеяния звука упругими цилиндрическими оболочками [25], вычислениями рассеянного поля упругими сфероидальными оболочками [26] и резонансными характеристиками вытянутых и сжатых упругих сфероидальных оболочек [27]. Для идеального рассеивателя неаналитической формы были вычислены угловые характеристики по методу функций Грина и методу интегральных уравнений, результаты получились весьма близкими.

Библиографический список

References

1. Клещев А А. Дифракция звука на телах со смешанными граничными условиями // Акустический журнал. 1974. Т. 20. № 4. С. 632-634. [A. Kleschev. Sound diffraction of bodies with mixed boundary conditions // Akusticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 1974; 20(4): 632-4. (in Russian)].

2. Иткина Е.Б., Клещев А А. К вопросу о рассеянии звука телами со смешанными граничными условиями // Акустический журнал. 1982. Т. 28. № 3. С. 414-418. [Ye. Itkina, A. Kleschev. On sound diffraction of bodies with mixed boundary conditions // Akus-ticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 1982; 28(3): 414-8. (in Russian)].

3. Клещев А А. О точности метода функций Грина // Труды ЛКИ: Вопросы акустики судов и Мирового океана. 1984. С. 19-24. [A. Kleschev. On accuracy of Green function method // Transactions of Lenigrad Shipbuilding Institute: Acoustics of ships and of the Ocean. 1984; 19-24. (in Russian)].

4. Клещев А А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. Л.: Судостроение, 1987. [A. Kleschev, I. Klyukin. Fundamentals of hydroacoustics. Leningrad: Sudostroyeniye, 1987. (in Russian)].

5. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. [A. Som-

merfeld. Partial differential equations in physics (Russian translation). Moscow: IL, 1950].

6. СкучикЕ. Основы акустики. Т. 1. М.: Мир, 1975. [Ye. Skuchik. Fundamentals of acoustics. Vol. 1. Moscow: Mir, 1975. (in Russian)].

7. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. [H. Honl, A. Maue, K Westphal. Theorie der Beugung (Russian translation). Moscow: Mir, 1964].

8. Клещев А А. Гидроакустические рассеиватели. СПб.: Судостроение, 1992. [A. Kleschev. Hydroacoustic scat-terers. St. Petersburg: Sudostroyeniye, 1992. (in Russian)].

9. Kleshchev A.A. Method of integral equations in problem of sound diffraction on bodies of non-analytical form // I.J.M.A. 2012; 2(6):124-8.

10. Клещев А А. Рассеяние звука идеальными телами неаналитической формы // Труды ЛКИ: Общесудовые системы. 1989. С. 95-99. [A. Kleschev. Sound scattering of perfect bodies with non-analytical shape // Transactions of Leningrad Shipbuilding Institute: All-ship systems. 1989; 95-9. (in Russian)].

11. Seybert A.F., Wu T.W., Wu X.F. Radiation and scattering of acoustic waves from elastic solids and shells using the boundary element method // J.A.S.A. 1988; 84(5): 1906-12.

12. Kleshchev A.A. Diffraction of pulsed sound signals by elastic bodies of analytical and non-analytical forms put in plane waveguide // Zeit. Fur Naturf. 2015; 70(6): 419-27.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. [C. Brebbia, S. Walker. Boundary Element Techniques in Engineering (Russian translation). Moscow: Mir, 1982].

14. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. [V. Kupradze. Methods of potential in elasticity theory. Moscow: Fizmatgiz, 1963. (in Russian)].

15. Su J.-H., Varadan V.V., Varadan V.K., Flax L. Acoustic wave scattering by a finite elastic cylinder in water // J.A.S.A. 1980; 68(2): 685-91.

16. Душин АЮ, Ильменков СЛ., КлещевАА, Пост-нов В.А. Применение метода конечных элементов к решению задач излучения звука упругими оболочками // Труды Всесоюзного симпозиума: Взаимодействие акустических волн с упругими телами. Таллинн: 1989. С. 89-91. [A. Dushin, S. Ilmenkov, A. Kleschev, V. Postnov. Applying finite-element method to sound radiation of elastic shells // Transactions of the All-USSR symposium. Interaction of acoustic waves with elastic bodies. Tallinn: 1989: 89-91. (in Russian)].

17. Peterson B., Strom S. Matrix formulation of acoustic scattering from multilayered scatterers // J.A.S.A. 1975; 57(1): 2-13.

18. Numrich S.K., Varadan V.V., Varadan V.K. Scattering of acoustic waves by a finite elastic cylinder immersed in water // J.A.S.A. 1981; 70(5): 1407-1411.

19. КлещевА.А. Метод интегральных уравнений в задаче дифракции звука на упругой оболочке неаналитической формы // Техническая акустика. Т. 2. 1993. Вып. 4(6). С. 65-66. [A. Kleschev. Applying the method of integral equations to sound diffraction on an elastic shell with non-analytical shape // Technical acoustics. Vol. 2. 1993; 4(6): 65-6 (in Russian)].

20. Ильменков С.Л. О применении функций Грина для расчета звуковых полей // Тезисы докладов V Всесоюзной конференции «Технические средства изучения и освоения океана». 1985. Т. 2. С. 28. [S. Ilmenkov. Applying Green functions to calculation of acoustic signatures // Theses of papers, Vth All-USSR conference Tools for Ocean research and exploration. 1985; 2: 28. (in Russian)].

21. Клещев АА. Дифракция и распространение волн в упругих средах и телах. СПб.: Влас, 2002. [A. Kleschev. Diffraction and propagation of waves in elastic media and bodies. St. Petersburg: Vlas, 2002. (in Russian)].

22. Ilmenkov S.L., Kleshchev A.A. Solution of problem of sound scattering on bodies of non- analytical form with help of method of Green's functions // A.S.P. 2014; 2(2): 50-4.

23. Клещев А.А. Дифракция, излучение и распространение упругих волн. СПб.: Профпринт, 2006. [A. Kle-schev. Diffraction, radiation and propagation of elastic waves. St. Petersburg: Profprint, 2006. (in Russian)].

24. Ильменков С.Л., Клещев АА, Клименков А.С. Метод функций Грина в задаче дифракции звука на упругой оболочке неаналитической формы // Акустический журнал. 2014. Т. 60. № 6. С. 579-586. [S. Ilmenkov, A. Kleschev, A. Klimenkov. Applying Green function method to the problem of sound diffraction on an elastic shell with non-analytical shape // Akusticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 2014; 60(6): 579-86. (in Russian)].

25. КлещевА.А. Низкочастотное рассеяние импульсного звукового сигнала упругими цилиндрическими оболочками // Акустический журнал. 2011. Т. 57. № 3. С. 381-386. [A. Kleschev. Low-frequency scattering of pulsed acoustic signal by elastic cylindrical shells // Akusticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 2011; 57(3): 381-6. (in Russian)].

26. Клещев АА. Потенциалы Дебая и «типа Дебая» в задачах дифракции, излучения и распространения упругих волн // Акустический журнал. 2012. Т. 58. № 3. С. 338-341. [A. Kleschev. Debye and Debye-type potentials in problems of diffraction, radiation and propagation of elastic waves // Akusticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 2012; 58(3): 338-41. (in Russian)].

27. Клещев А.А. Резонансное рассеяние звука на упругих сфероидальных телах и оболочках // Акустический журнал. 2014. Т. 60. № 3. С. 253-261. [A. Kleschev. Resonant sound scattering on spheroidal bodies and shells. Akusticheskij Zhurnal (Acoustical Physics). 2014; 60(3): 253-61. (in Russian)].

Сведения об авторах

Ильменков Сергей Львович, к.т.н., доцент Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190008, Россия, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3. Телефон: +7 (921) 936-93-65; e-mail: ilms@rambler.ru.

Клещев Александр Александрович, д.ф.-м.н., профессор Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190008, Россия, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3. Телефон: +7 (911) 837-66-71; e-mail: alexalex-2@rambler.ru. Клименков Алексей Сергеевич, инженер 2 категории ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: +7 (964) 321-85-37; e-mail: klimok_88@mail.ru.

Майоров Василий Семенович, д.т.н., ведущий научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812)415-49-75; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Чижов Георгий Витальевич, инженер Санкт-Петербургского государственного морского технического университета. Адрес: 190008, Россия, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3. Телефон: +7 (911) 155-89-06; e-mail: gohak4@gmail.com.

About the authors

Ilmenkov, Sergey L., Cand. Tech. Sc., Associate Prof., St. Petersburg State Marine Technical University, address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190008. Tel.: +7 (921) 936-93-65; e-mail: ilms@rambler.ru.

Kleschev, Alexandr A., Doctor of Physics and Mathematics, Prof., St. Petersburg State Marine Technical University, address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190008. Tel.: +7 (911) 837-66-71; e-mail: alexalex-2@rambler.ru.

Klimenkov, Alexey S, 2nd Category Engineer, KSRC, address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: +7 (964) 321-85-37; e-mail: klimok_88@mail.ru.

Mayorov, Vasily S, Dr. Eng., Lead Researcher, KSRC, address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812)415-49-75; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Chizhov, Georgy V., Engineer, St. Petersburg State Marine Technical University, address: 3, Lotsmanskaya st., St. Petersburg, Russia, post code 190008. Tel.: +7 (911) 155-89-06; e-mail: gohak4@gmail.com.

Поступила / Received: 25.09.17 Принята в печать / Accepted: 12.10.17 © Коллектив авторов, 2017