Классификационные модели принятия управленческих решений на основе нечеткого распознавания ситуаций

мы в данном объекте (например, загрязнение подземных источников водоснабжения, ухудшение здоровья населения и др.) и промоделировать вероятность ее развития, но и заранее предпринять комплекс мер (экологических, экономических, административных и др.) по снижению степени экологического риска. Во-вторых, полученные результаты сценарного моделирования показывают, что процессы обмена веществом и энергией, протекающие в городской экосистеме и играющие важную роль в поддержании экологического равновесия, импульсно неус-тойчивы вследствие сложных взаимодействий между составляющими ее подсистемами и их компонентами, а также благодаря таким ее свойствам, как сверхоткрытость, сильная зависимость от внешнего окружения, повышенная аккумулятивность и т.д.[10]. Поэтому поддержание сложной организации, особой внутренней структуры и приемлемых для жизнедеятельности горожан условий окружающей среды требует затраты больших количеств энергии и больших организационных усилий на всех уровнях управления. В-третьих, для достижения наиболее благоприятных значений параметров городской среды обитания и улучшения здоровья горожан следует использовать комплексный подход, сочетающий проведение мероприятий по защите атмосферного воздуха от загрязнения стационарными и подвижными источниками и озеленению (в частности, фитомелиорации, включающей как подбор оптимального для данной климатической зоны видового состава древесных и кустарниковых насаждений, газонов и цветников, так и схем их посадки с учетом характера городской застройки и уровня загрязнения воздуха и почв отдельных районов), а также предварительной очистке вод из подземных водисточников перед подачей их в городскую водопроводную сеть.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильченко ИА. Управление качеством окружающей среды при химическом загрязнении. Таганрог: Изд-во ТИУиЭ, 2004.

2. Ильченко ИА., Горелова Г.В. Когнитивное моделирование процессов локального химического загрязнения городских экосистем// Труды IV Международной конференции: Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (CASC'2004). М.: Изд-во ИПУ РАН, 2004. 4.1.

3. Белое П.Г. Системный анализ и моделирование опасных процессов в биосфере. М.: Изд. Центр «Академия», 2003.

4. Качаее С.В., Корноушенко Е.К. и др. Когнитивные модели и технологии интеллектуальной поддержки решений // Новая парадигма развития России (комплексные исследования проблем устойчивого развития) /Под ред. В.АКоптюга и др. М.: Academia; изд-во МГУК, 1999.

5. Иьявченко О.Н., Горелова Г.В. и др. Методы и алгоритмы развития сложных ситуаций. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

6. Кулъба В.В., Кононов Д.А. и др. Сценарный анализ динамики поведения социально-экономических систем. М, 2002.

7. Ильченко ИА. Экологическое равновесие городских экосистем //Вестник Таганрогского института управления и экономики.2005. №1.

8. Касты Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. М.: Мир, 1982.

9. Егорова И.П. Среда обитания и здоровье населения г.Таганрога. Таганрог: Изд-во «Сфинкс», 1995.

10. Владимиров В.В. Урбоэкология: Курс лекций. М.: Изд-во МНЭПУ, 1999.

В.П. КАРЕЛИН, д-р техн. наук, профессор, О.Л. КУЗЬМЕНКО,

аспирантка кафедры математики и информатики ТИУиЭ

КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО РАСПОЗНАВАНИЯ СИТУАЦИЙ

Принятие ответственных решений с последствиями, влияющими на жизнь многих людей, становится в современном мире все более сложным делом. Ранее представлявшиеся изолированными проблемы оказываются взаимосвязанными. Растет не только число факторов, которые необходимо принять во внимание, но и количество возможных вариантов решений [1]. Особую актуальность приобретают задачи автоматизации выбора рацио нальных решений при управлении различного рода организа-

ционными системами, к которым относятся социальные, экономические, экологические и др. Наряду с поиском и внедрением оптимальных методов планирования и управления большое внимание уделяется развитию новых подходов к выработке управляющих решений на основе повышения уровня интеллектуальности используемых моделей и перевода слабо-структурируемого творческого процесса выбора и принятия решений (ПР) из полуинтуитивной области в область формальных строго обоснованных решений.

Анализ и принятие решений в большинстве слу-чаев приходится проводить при неполной информации в условиях неопределенности и невозможности отыскания глобального оптимального решения, поэтому само по себе ПР есть компромисс.

Процесс ПР, являясь центральным элементом любого процесса управления, включает следующие этапы: постановку задачи, разработку модели, выработку решения, выбор варианта решения и оценку результата .

При выработке и принятии решений в сложных системах в настоящее время используются как строгие количественные математические, так и менее строгие - качественные методы, которые, тем не менее, также допускают формализацию и могут быть реализованы в компьютерных сетях.

К количественным методам, используемым при анализе сложных систем, традиционно относят методы математического программирования, теорию графов и комбинаторный анализ, теорию вероятностей и статистический анализ, методы теории игр и статистических решений, теорию полезности и др. Обычный способ использования количественных методов в моделях ПР - это введение целевой функции, позволяющей численно оценивать полезность того или иного решения. Числовое описание результатов очень удобно, но не всегда возможно и, главное, не всегда имеет смысл, т.к., согласно «принципу несовместимости», чем сложнее система, тем меньше она допускает возможность дать точные и в то же время имеющие практические значения суждения о ее поведении.

Для действенного анализа сложных, слабоформа-лизуемых систем, например, гуманистических (экономических, социальных, экологических и др.), где элементами системы является человек или группа людей, нужны подходы, в которых точность и строгость количественных методов анализа не являются абсолютно необходимыми и в которых используются методы качественного анализа, допускающие нечеткости и частичные истины. Подобные «нетрадиционные» методы в последнее время привлекают все больше внимания специалистов разных областей знаний. Большинство методов входит в арсенал научного направления «интеллектуальные системы». Это, например, теория нечетких множеств и теория возможностей, эволюционные вычисления и генетические алгоритмы, нейронные сети и моделирование рассуждений.

При исследовании гуманистических систем значительное количество информации о системе может быть получено от людей, имеющих опыт работы с данной системой и знающих ее особенности, имеющих представление о цели функционирования системы и т.п. Эта информация носит субъективный характер и может быть неточной или неполной. Ее представление в естественном языке, как правило, содержит большое число неопределенностей, которые не имеют аналогов в языке традиционной математики. Поэтому при разработке для таких систем эффективных моделей и алгоритмов ПР наряду с традиционными методами и моделями используют методы и модели нечеткого математического про-

граммирования, методы искусственного интеллекта, модели, имитирующие процесс ПР опытным экспертом, который принимает решение на основе относительно простых и в то же время достаточно гибких решающих правил.

Альтернативой традиционным количественным методам теории ПР является лингвистический подход, обеспечивающий возможность построения моделей выработки и ПР при нечеткой исходной информации. В рамках лингвистического подхода в качестве значений переменных допускаются не только числа, но и слова и предложения естественного языка. Формализация нечетких понятий и отношений профессионального языка лица, принимающего решение (ЛПР), обеспечивается введением понятий нечеткой и лингвистической переменных, нечеткого множества и отношения. Первые два обеспечивают переход от словесных описаний элементов задачи ПР к числовым, другие два являются средством числового представления нечетких понятий и отношений [2].

Особенности нечётких моделей по сравнению с традиционными чёткими следующие [3]:

- нечёткие модели создаются в случаях, когда построение чётких моделей невозможно или затруднительно;

- нечёткие модели в силу робастности более просты и легче поддаются анализу;

- нечёткие модели менее чувствительны к небольшим изменениям условий иситуаций;

- нечёткие модели более гибкие по сравнению с традиционными чёткими, поскольку в большей степени позволяют учитывать опыт и интуицию человека-специалиста в данной области;

- нечёткие модели управления и ПР для сложных систем более адекватны моделируемой реальности, поскольку позволяют получить решение, по точности соотносимое с исходными данными. Использование нечётких методов исключает сложные этапы и методы чёткой оптимизации, зачастую выхолащивающие результаты;

- нечёткие модели могут работать как автономно, так и вместе с человеком-оператором в качестве «советчика», используя наряду с точной количественной информацией, и поступающую от оператора информацию, представленную в лингвис -тической форме.

Одна из распространенных моделей ПР (МПР) -нечеткий вывод, выполняемый либо на основе композиционного правила Л. Заде (нечёткой метаимпли-кации), либо непосредственно по системе нечетких продукций [2,3]. Модель нечеткого вывода на основе композиции в настоящее время широко используется при построении нечетких моделей интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления, а также экспертных систем, работающих с нечетко описанными знаниями [3,4].

При выполнении нечеткого вывода на основе композиционного правила Л.Заде используется нечеткое отношение Я, заданное между некоторой проблемной областью (полным множеством X) и другой областью (полным множеством У) в виде нечеткого подмножества прямого произведения ХхУ.

Если мы имеем нечеткое событие А' (входную ситуацию, представленную нечетким множеством А') и известно нечеткое отношение Я, тогда результирующее действие В' выводится по композиционному правилу вывода, т.е. В'= А'Я [2,3].

В рамках проблемы автоматизации вывода наряду с подходом, основанным на использовании нечеткой метаимпликации (составного или композиционного правила вывода), рассматривается также и логический подход [5], когда правило вывода типа «если А, то В» выражается с помощью импликации А ^ В = А V В (по Заде) или А ^ В = шт(1, 1 - А + В) - (по Лукасевичу). Основной логической формулой для функционального представления нечетких правил (высказываний) или инструкций служит следующая запись:

«Если А, то О, иначе, если В, то Н, иначе...» Здесь буквами А, В обозначены простые или составные нечеткие высказывания, представленные, в свою очередь, при помощи операций нечеткой логики. Причем А, В - это посылки утверждения, а О, Н -следствия, которые также могут быть как простыми, так и составными нечеткими утверждениями. Рассмотрим высказывание Vвида

V: = «ЕслиА, то В, иначе С», где символы А, В, С есть значения (нечеткие переменные) тех лингвистических переменных, которые определяют предметную область - характеризуют объект управления и возможные решения. Такие высказывания будем называть элементарными. Если значения А определены на некотором числовом базовом множестве X при помощи функции принадлеж-ности цА, а значения В и С определены на числовом множестве У с помощью функций принадлежности, соответственно ¡лВ и ¡лс, то элементарному высказыванию V можно сопоставить в пространстве Ж = ХхУ нечеткое отношение Я(У) с функцией принадлежности 1ЛК (х у), где

ця (х у) = (Ш(У)^ № (х)) & (^к(х) ^Цс(у))- (1) Нечеткому отношению Я(V) можно дать следующую содержательную интерпретацию. Пусть высказывание V есть простейший нечеткий алгоритм ПР. Причем X - это множество состояний системы или множество ситуаций (значений признаков), а У -множество возможных управляющих решений. Тогда, подставив в (1) конкретные значения х = х0 и у = у0, получим значение /ля (х0, у0), характеризующее степень уверенности в том, что в ситуации х0 следует принимать решение у0. Очевидно, при данном состоянии х0 еХ, в соответствии с алгоритмом V представляют интерес те решения у, которые максимизируют функцию ¡ля ()о у).

Кроме моделей композиционного вывода, на практике для ПР часто применяют классификационные МПР. Можно выделить следующие группы клас-сификационных моделей:

а) основанные на нечетком распознавании ситуаций;

б) использующие систему нечетких решающих функций;

в) основанные на определении сходства ситуаций;

г) основанные на определении сходства ситуаций, признаки которых взаимозависимы;

д) основанные на сравнении нечетких математических структур (графов, мультиграфов с весами на ребрах).

Ситуацией называется описание состояния объекта управления в некоторый момент времени, характеризуемое набором признаков-характеристик. Под нечетким описанием ситуации понимается такое, где отображены не только количественные, но и ряд качественных характеристик системы. Например, для рентабельности предприятия различают качественные уровни: «очень низкий», «низкий», «средний», «высокий». Вид нечеткого описания ситуаций существенно зависит от области приложения. В ряде случаев нечеткое описание представляет собой совокупность нечетких множеств первого уровня, например: = (качество среднее, производительность выше средней, себестоимость высокая и т.д.}. В еще более неопределенных обстоятельствах ПР описание ситуации представляется совокупностью нечетких множеств второго уровня [6]. Здесь каждому признаку соответствует лингвистическая переменная, значения которой, представляющие нечеткие множества, при описании ситуации также заданы нечетко. Примером нечеткой ситуации, характеризующей некоторое состояние, возникшее при управлении предприятием, является следующий: Б=((<0.2/ «высокое»^ <0.8/ «выше среднего»>, <0.4/ «среднее»> «качество»), (<0.6/ «выше средней»>, <0.8/ «средняя»^ <0.4/ «ниже средней»>, <0.1/ «низкая»> «производительность»), (<0.9/ «вьЕокая»>, <0.6/ «средняя»^ <0.1/ «низкая»> «себестоимостъ»>)}. Этой нечеткой ситуации может соответствовать управ -ляющее решение: «Снизить себестоимость, повысив производительность».

Ограниченный набор нечетких ситуаций может описывать практически бесконечное число состояний анализируемого объекта.

При разработке моделей, имитирующих процессы ПР специалистом-оператором (экспертом, ЛПР), будем исходить из того, что ЛПР представляет собой нечёткую систему распознавания ситуаций, соответствующих возможным управлениям в системе, а процесс принятия решений ЛПР есть процесс клас -сификации ситуаций в многомерном пространстве признаков. Это предположение при условии существования эффективных процедур формирования эталонных классов обобщенных ситуаций даёт возможность строить эффективные схемы ПР. Они основаны либо на вычислении для данной конкретной ситуации её степени принадлежности каждому из эталонных классов, либо на вычислении сходства описания текущей ситуации с каждой из эталонных ситуаций с последующим выбором решения, соответствующего тому классу, к которому данная ситуация принадлежит с наибольшей степенью, или той эталонной ситуации, с которой данная ситуация имеет наибольшее сходство. Такие модели ПР будем называть нечеткими класс ификационными моделями. Они, по сути, описывают разбиение многомерного пространства признаков-факторов, наиболее существенно влияющих на выбор управляющих решений, на нечеткие области (эталонные классы), соответствующие этим решениям. Разработка классификационных моделей

и методов ПР актуальна для решения таких задач, как создание систем планирования, структурного проектирования, прогнозирования, экологического мониторинга, управления сложными технологическими объектами и т.п.

Рассмотрим подробнее модели ПР основанные на нечетком распознавании ситуаций. Рассмотрим существо процедуры ПР на основе распознавания. Предположим, что каждая ситуация, в которой приходится принимать одно решение из множества Я=(г1, г2, ..., гк}, описывается (характеризуется) п признаками. В этом случае задачу ПР можно представить в виде модели распознавания следующим образом. Необходимо п-мерное пространство признаков разбить на к непересекающихся классов так, чтобы каждому классу соответствовало бы определенное решение г7 еЯ (7=1,2,..,к), а каждая точка (ситуация, характеризующаяся набором конкретных значений признаков) в пространстве признаков принадлежала бы одному определенному классу. Процедура ПР на основе такой модели сведется к установ-лению класса 7, которому принадлежит данная точка в п-мерном пространстве признаков и принятию решения г7. Ясно, что такая (четкая) модель весьма громоздка и недостаточно гибка. Более адекватной будет модель нечеткого распознавания. Это объясняется тем, что в силу гипотезы ограниченной рациональности Г. Саймона, во-первых, классы, на которые разбито пространство признаков, предполагаются нечеткими, а во-вторых, сами ситуации специалист-оператор воспринимает как описанные нечетко. (Собственно, такой специфично человеческий подход и позволяет опытному специалисту быстро принять одно из хороших решений). В этом случае каждая точка (ситуация) имеет определенную степень принадлежности к каждому классу 7, что и определяет эффективность применения соответствующего решения г7.

Модель ПР на основе нечеткого распознавания строится следующим образом. Вначале выделяют те наиболее существенные признаки, которые описывают объект или ситуацию и влияют на решение. Для каждого признака выясняется диапазон возможных значений на соответствующей количественной шкале. Затем, каждый признак интерпретируется как лингвистическая переменная, и устанавливается множество лингвистических значений для каждой из этих переменных. Лингвистические значения являются нечеткими множествами и характеризуются (задаются) функциями принадлежности. В результате описание объекта или ситуации будет проводиться в пространстве той же размерности (соответствующий числу признаков), но более сжатом за счет существенного сокращения числа возможных лингвистических значений признаков (лингвистических переменных). Это число лингвистических значений для каждого признака определяется из опроса опытных специалистов-операторов (экспертов), чей опыт и стремимся «заложить» в модель. Теперь объект или ситуация будут описываться набором лингвистических значений каждого признака. Очевидно, что если для каждого такого набора заранее известно, какое решение следует принимать (опять же на основе опроса

специалистов), то проблема сводится к организации оптимальной процедуры поиска в таблице соответствующего поступившему набору решения. Ясно, что подобный подход возможен лишь при относительно небольшом числе возможных наборов (ситуаций).

Модели ПР, использующие систему нечетких решающих функций, рассмотрим подробнее. Формально такая нечеткая классификационная МПР представляет собой тройку в которой

W=XxYxZx...xT - множество признаков, характеризующих возможные состояния системы, Q = (Ь], ..., Ь7, ..., Ь¡} - разбиение W на нечеткие эталонные клас-сы Ь7 Я = (г],...,г,...,гк} - множество управляющих решений т7, соответствующих классам Ь7

Рассмотрим основные принципы построения модели. При этом без ограничения общности и в целях наглядности изложения все дальнейшие рассуждения будем проводить относительно трех признаков.

Пусть в результате исследования системы или путем экспертного опроса выделены признаки-факторы X, У, Z, наиболее существенно влияющие на выбор управляющих решений. Для каждого признака определяется диапазон возможных значений на конкретной количественной шкале, которую будем обозначать той же переменной, что и соответствующий признак. Каждому признаку противопоставим лингвистическую переменную со своими значениями. Лингвистические переменные, соответствующие признакам X, У, Z, обозначим, соответственно, через А, В, С, а их значения - через (ак, к=1,2,..,п}, ($, ]=1,2,..,ш}, (у], 1=1,2,..,р}. Для всех выделенных значений ак, ^, у] путем экспертного опроса строятся функции принадлежности ¡х.ак, , ¡ху] на соответствующих базовых шкалах X, У, Z. В результате описание ситуации будет проводиться в пространстве той же размерности (соответствующей числу признаков ), но более сжатом за счет использования ограниченного числа значений каждой из лингвистических переменных. Количества значений переменных А, В, С определяются из опроса специалистов-операторов, чей опыт и стремимся «заложить» в модель. Теперь каждая ситуация, характеризующая состояние объекта управления, описывается набором значений (ак, ^, у]), соответствующих лингвистическим переменным А, В, С. Если для каждого такого набора специалист-эксперт представит одно из возможных управляющих решений г7, которое он принял бы в ситуации, словесно описанной соответствующим набором, то МПР будет представлять собой решающую таблицу, где в общем случае нескольким разным наборам (а, ¡5, у) могут соответствовать одинаковые решения г7. Множество всех наборов (а, ¡5, у), которым в решающей таблице соответствует одно и то же решение г7 из Я, составит класс Ь7. Таким образом построенная МПР разбивает лингвистическое пространство Ь на к классов Ь, 7=1,2,..,к, соответствующих решениям т7. Для каждой конкретной ситуации w eW, заданной набором числовых значений (х, у, х) признаков X, У, Z, степень её принадлежности ¡и/х,у,)) к нечеткой ситуации Б=(а, $ у) определяется по формуле

Ых,у,)} = И- а

Но так как каждый класс Ь представляет некоторую совокупность нечетких ситуаций Б=(а,р,у), то степень принадлежности четкой ситуации ^=(х,у,г) к нечёткому классу Ь, определится как

М х, ^ = УТМ5 (), У, г) =

о бЬ {

= ут.ма( х)& МР( у)& мг( z),

об Ь,

т.е. можно сказать, что каждый эталонный класс Ь, характеризуется функцией принадлежности ¡1Ь^(х,у,г).

Следовательно, чтобы определить для данной ситуации V0, характеризуемой точкой (х0,у0,г0) в многомерном пространстве признаков Ж, наиболее близкий эталонный класс и выбрать соответствующее ему решение, необходимо подставить точку (хо,уо,г) в функции принадлежности эталонных классов Ь, и вычислить значения /ли (х0,у0,20). Среди всех полученных значений (х0,у0,г0) находим максимальное Мьр (V0) = шахуЬ(м) (по /), и в качестве решения принимаем гр, соответствующее эталонному классу Ьр.

Предположение о том, что оператор всегда выбирает решение с максимальной степенью предпочтения, позволяет упростить модель, заменив в ней нечеткие эталонные классы на обычное четкое разбиение пространства. Для этого необходимо количественную шкалу X, У, 2 разбить на отрезки а,, Ь, С1 (1=1,2,..,п; }=1,2,..,ш; 1=1,2,..,р), взаимно однозначно соответствующие значениям а,, р,, у1 лингвистических переменных А, В, С.

Разбиение должно быть таким, чтобы во всех точках данного отрезка, например а,, функция ¡ха(х) принимала бы большие численные значения из [0,1], чем функции принадлежности /лаг(х), где (а,, е А).

Для построения указанного разбиения, например шкалы X, следует найти точки пересечения функций принадлежности ¡л(х) каждой пары соседних лингвистических значений а,, а+1 с учетом того, что все значения (^¡е А упорядочены. Проекции точек пересечения на шкалу X будут определять границы отрезков а,, а,+1. Аналогично находятся разбиения шкал У, 2. Если теперь через все найденные точки на осях X, У, 2 соответственно каждого признакаX, У, 2 провести гиперплоскости, перпендикулярные осям соответствующих признаков, то получим разбиение пространства признаков на гиперкубы, число которых

ё=А1^1ВМС1= пхшхр. Очевидно, что каждому гиперкубу взаимно однозначно соответствует точка лингвистического пространства Ь=АхВхС, определяющая некоторое решение геЯ. Множество гиперкубов, которым соответствуют точки (а, ¡5, у) е Ь с одинаковыми решениями г,еЯ образуют класс М. Классы Mi и определяют искомое четкое разбиение М = { М1, М2,...,Мк} пространства Ж, эквивалентное нечеткому разбиению Q = {Ь1,Ь2,...,Ьк}.

Таким образом, рассмотренные нечеткие классификационные МПР (Ж, Q, Я) и (Ж, М, Я) отличаются тем, что нечеткое разбиение Q позволяет отнести каждую точку V е Ж к тому или иному нечеткому эталонному классу ситуации с некоторой степенью принадлежности, а разбиение М четко разбивает пространство Ж на эталонные классы, что упрощает прцедуру ПР за счет снятия проблемы выбора.

Ситуация ПР, отражающая данное состояние объекта управления, может быть представлена как в виде набора конкретных значений признаков (точкой V е Ж), так и расплывчатым подмножеством Ж, т. е. качественно (словесно) в виде конкретных значений лингвистических переменных (А, В, С), используемых оператором.

Как говорилось ранее, для любой точки V е Ж, где м>=(х,у,г), можно определить степень ¡лБ(^) ее принадлежности к нечеткой ситуации Б=(а, ¡5, у) по формуле (2). С другой стороны, нечеткое разбиение Q, входящее в классификационную модель (Ж, Q, Я), позволяет установить для этой точки и для любого решения геЯ степень принадлежности ¡Лг(^) точки V эталонному классу Ьг. Поэтому величина ]иг(Б), характеризующая степень принадлежности нечеткой ситуации О эталонному классу Ьг, определится по формуле /л^Б) = /ur(w), где we Ж.

Наряду с рассмотренной моделью вывода решения, соответствующего нечеткой ситуации О, можно применять также и нечеткую модификацию классического метода классификации, основанного на рас -познавании сходства данной ситуации с каждой из множества эталонных.

Обратимся к моделям ПР, основанным на определении сходства ситуаций. Система нечетких описаний ситуаций (СНС) содержит набор эталонных ситуаций, каждой из которых соотнесено то или иное управляющее решение или некоторое заключение. Логический вывод в СНС основан на одношаговой или многошаговой процедуре определения степени сходства текущей нечеткой ситуации с ситуациями, принятыми за эталонные, которым поставлены в соответствие те или иные решения.

Поскольку ситуация описывается совокупностью нечетких множеств, то при определении степени нечеткого равенства (сходства) ситуаций будем использовать те же формулы, по которым сравниваются нечеткие множества А и В [3, 6,7].

Пусть на базовом множестве X={x1, х2, ..., хп} заданы нечеткие множества:

А = (Мл())/)} и В = (^В())/)}, где х е X, ^л (х), Мб (х) е [0,1].

Значения функции принадлежности 1лгА(х) и /иВ(х) обозначим соответственно а, и Ь,. Каждое из нечетких множеств А и В будем рассматривать как обычный вектор, элементы которого принимают значения из интервала [0, 1]. Тогда сходство множеств А и В можно определять по одной из следующих формул:

1 "

С1

' п ¡=1

где с(а,Ь)=шт(а^Ь, Ь^а).

Импликацию можно раскрывать по-разному. Например, в логике Л.Заде: а^Ь=шах(1-а,Ь), поэтому с(а,Ь)=шт(а^-Ь, Ь^а)=шт(шах(1-а,Ь), шах(а,1-Ь)), а в логике Лукас евича, где а^Ь=шт(1, 1-а+Ь), с(а,Ь)=1-1 а-Ь|.

Наряду с приведенными формулами для определения сходства нечетких множеств А и В используются также меры сходства Танимото, Дейка и др. [3].

Значения признаков (лингвистических переменных), входящих в описание ситуаций, могут быть получены как из опросов экспертов, так и в результате измерений или численных расчетов. В первом случае для сравнения значений признаков целесообразно использовать меру сходства по Заде, во втором - по Лукасевичу. Если в описании ситуации одновременно присутствуют и качественные и количественные параметры, то целесообразно использовать комбинированную меру сходства:

Со(А,В)=а -С3аде(А,В) +(1-«) • СЛук(А,В), где ае[0,1], С3ад(А,В) - сходство по Заде, СЛук(А,В) -сходство по Лукасевичу.

Модели ПР, основанные на определении степени нечеткого сходства ситуаций, предполагают наличие описаний эталонных ситуаций и соответствующих им решений, описания текущей ситуации, а также выбранного способа оценки степени сходства текущей ситуации с каждой из эталонных.

Степень принадлежности ¡л5(т) того или иного решения геЯ эталонной ситуации £ со степенью С(А,5>), схожей с текущей ситуацией А, обуславливают степень принадлежности ¡лА(г) решения г ситуации А. При этом

^а(Г) = С(А,Б) ЛЦ£(г).

Подход, основанный на определении сходства или равенства ситуаций, используется не только для распознавания ситуаций, но и для разбиения множества ситуаций на классы и выбора эталонов - представителей класса.

Для формирования классов ситуаций необходимо прежде построить отношение сходства на множестве структурных описаний ситуаций, а затем, пользуясь одним из известных методов одноуровневой или многоуровневой (иерархической) кластеризации, разбить множество ситуаций на классы [7].

В целях более эффективного по быстродействию управления объектом (системой или процессом) применяется иерархическая организация классов эталонных ситуаций. При этом множество эталонных ситуаций разбивается на Ь уровней иерархии классов, причем ситуации каждого п-го уровня конкретизируют эталонные ситуации (п-1)-го уровня (п < Ь) и включаются в эти ситуации.

Рассмотрим модели ПР, основанные на опреде-лении сходства ситуаций, признаки которых взаимозависимы. Рассмотренный подход к ПР на основе установления сходства ситуаций (поиск по образцу) предполагает сравнение признаков, описывающих ситуацию. При этом подразумевалась независимость признаков (свойств, показателей). Однако в общем случае некоторые признаки могут быть взаимозависимыми и описывать ситуацию не непо-средственно, а косвенно, через взаимозависимость с другими признаками. Для такого случая зависимость между признаками и отношение признака к ситуации представим в виде ориентированного графа О = (X,У,Я,М(г),г е Я), где X - множество вершин-признаков , У - множество вершин-ситуаций, Я -множество взвешенных ориентированных ребер г(xi, х}) и г(xi,У7), хгх, е X, у еУ; М(г) - функ-

ция на ребре г (вес ребра), определяющая для ребер г(х7, у}-) степень наличия данного признака (или

свойства) у ситуации у^ Следует отметить, что в общем случае вершинам из У могут быть сопоставлены произвольные объекты (ситуации), а вершинам изX -произвольные факторы (признаки), характеризующие объект в той или иной степени. Связи между вершинами из X могут отображать силу семантической ас -социации. Граф О строится экспертом данной предметной области и позволяет в сжатом виде описывать либо все множество объектов или ситуаций принятия решений, либо лишь эталоны - представители клас -совситуаций.

Текущая ситуация, для которой необходимо найти максимально похожую эталонную, также описывается признаками из множества X с указанием степени принадлежности каждого признака данной ситуации. В работе [8] показано, как по графу О построить для каждой эталонной ситуации вектор £ значений признаков из X, характеризующий данную ситуацию, и как для каждой эталонной ситуации определяются значения (степени влияния) тех признаков х, которые в графе О соответствуют вершинам х, не связанным непосредственно с вершинами у. В результате каждая эталонная ситуация будет описана более полно с учетом косвенных признаков. Это позволит организовать и более эффективный поиск эталонной ситуации, максимально схожей с текущей.

Таким образом, наличие семантически обусловленных ассоциативных связей между признаками хеХ позволяет уточнить описание ситуаций уеУ и тем самым способствовать повышению правдоподобности МПР.

Запрос, по которому осуществляется вывод (поиск соответствующего заключения), представляет, в общем, нечеткое подмножество признаков, заданных значениями степеней принадлежности, описывающих текущую ситуацию или объект, подлежащий классификации (поисковый образ).

Логический вывод сводится к определению пути с максимальной оценкой между вершиной, соответствующей текущей ситуации и всеми вершинами-заключениями на гиперграфе (графе), образованном присоединением вершины, соответствующей текущей ситуации (поисковому образу), к графу О, задающему поле знаний [8]. При этом присоединяемая вершина (исходная) соединяется с вершинами-приз-наками поля знаний ориентированными ребрами с весами, соответствующими степеням принадлежности соответствующего признака в описании текущей ситуации (поискового образа). Степень соответствия некоторого заключения посланному запросу определяется оценкой пути, полученного в результате логического вывода.

Рассмотрим модели ПР, основанные на сравнении нечетких математических структур (графов, мультиграфов). При создании систем ПР для различных областей применения и сложных ситуаций часто необходимо решать задачи классификации и распознавания на основе установления сходства структурных описаний ситуаций. В этом случае удобным средством представления знаний (описания

ситуаций, объектов) являются семантические сети, представляющие собой взвешенные графы или муль-тиграфы. Поэтому МПР будет основана на использовании алгоритмов классификации и распознавания на множестве взвешенных структур, представленных в общем виде при помощи нечетких графов [3,9,10].

Для распознавания принадлежности некоторого объекта (ситуации), представленного нечетким графом, к тому или иному классу необходимо определять степень нечеткого включения (вложения, отображения) или степень нечеткого равенства (сходства, изоморфизма) нечетких графов. Для определения степени нечеткого равенства нечетких графов будем использовать те же формулы, что и при сравнении нечетких множеств [3].

Для определения степени включения нечеткого множества А в множество В можно воспользоваться одной из следующих формул:

У,(А,В) = А ^В = (X(а ^ Ь))/п;

7

У2(А,В) = шт(а. ^ Ь).

7

Отличие в определении степени включения и степени сходства для нечетких графов от нечетких множеств обусловлено тем, что нечеткий граф - более сложная структура, чем нечеткие множества. Для нечеткого графа О=(X, и) (здесь X - множество вершин, и - множество ребер), описывающего ту или иную ситуацию как вершины xeX, так и ребра иеи, могут быть взвешены либо значением некоторой лингвистической переменной (т.е. нечетким множеством), либо числовым значением от 0 до 1.

Степени включения или сходства нечетких графов можно определить, используя приведенные выше формулы, если заданы либо отображение (инъек-тивное или биективное), либо соответствие (также инъективное или биективное) между множествами вершин графов. В этом случае между соответствующими вершинами и ребрами по одной из формул находится степень включения (сходства), а для всего графа общая степень включения (сходства) определяется либо как среднеарифметическое, либо как минимальное значение из найденных. Если же семантика отношений (ребер, связей) отличается от семантики вершин, то можно сходство определять отдельно для вершин и для ребер, а затем взять среднее для этих двух значений. Можно и комбинировать ис -пользование операций взятия минимума и среднеарифметического при установлении сходства как между вершинами, так и между ребрами. Например, при сравнении двух нечетких множеств А и В, помечающих соответственные ребра, можно найти среднеарифметическое значение для локальных оценок сходства С(а7,Ь7), а общую оценку по всему множеству ребер определить как минимум среди найденных

среднеарифметических. Использование того или иного подхода на практике будет зависеть как от конкретных обстоятельств, так и от субъективных предпочтений ЛПР.

Рассмотренные МПР можно использовать при ПР в сложных ситуациях, при выборе направлений научных исследований, при выборе географического района для с троительс тва промышленных объектов и оценки экономического эффекта, при создании советующих систем профориентации и подбора кадров, размещении средств, планировании доходов и реализации бюджета и т.п.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ларичев О. И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений. М: Наука, 1996.

2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

3. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1999.

4. Захаров E.H., Ульянов C.B. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления // Изв. АН СССР. Техн. ки-бернет. 1992. № 5.

5. Карелин В.П., Мелихов А.Н., Ковалёв С.М. Принятие решений при управлении производственными процессами на основе нечёткого алгоритма распознавания //Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1984. №6.

6. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

7. Карелин В.П., Кузъменко О.Л. Принятие решений на основе классификации и сходства ситуаций //Материалы Между нар. конф.: Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов. Таганрог: Изд-во ТГПИ, сентябрь 2006.

8. Карелин В.П., Целых А.Н. Методы и модели принятия решений в социотехнических системах. Препринт. Ростов/Д: Изд-во СКНЦВШ, 1999.

9. Карелин В.П., Целых А.Н. Модели принятия решений на основе установления сходства нечетких графов // Известия ТРТУ. 1999. №3.

10. Карелин В.П., Кузъменко О.Л. Классификационные модели в системах компьютерной поддержки принятия решений //Матер. 7-й Междунар. науч.-практ. конф.: Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах. Новочеркасск: Изд-во ЮРГТУ, 17 ноября 2006.