Расчет нестационарного температурного поля при пароконтактном нагреве продуктов в цилиндрической таре

Элементы 1 и 2 расположены слева от вертикали рассматриваемой точки при порядковом счете снизу вверх. Элементы 3 и 4 расположены справа от указанной вертикали также при порядковом счете снизу вверх.

Следует отметить, что ни в одной строке табл. 2 не выполняется равенство а0 = агг + аее+агг, а средние значения левой и правой частей равенства для всех четырех элементов оказались практически одинаковыми: а0р = 633,32; (агг + аее+агг)ср = 633,38.

Следует сделать вывод, что представленный конечный элемент вполне приемлем для расчета осе-симметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов.

Литература

1. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М., 1976.

2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1970.

3. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л., 1974.

15 марта 2005 г

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

УДК 664.8.036

РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ ПАРОКОНТАКТНОМ НАГРЕВЕ ПРОДУКТОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТАРЕ

© 2005 г. М.Э. Ахмедов, Т.А. Исмаилов

Создание высокопроизводительного теплообмен-ного оборудования, отвечающего современному уровню развития промышленности и техники, требует существенной интенсификации протекающих в них теплообменных процессов.

Одним из эффективных способов, как с точки зрения интенсификации самого процесса теплообмена, так и экономии энергозатрат, является контактный нагрев продукта посредством подачи греющего пара в банку с продуктом [1].

Теплообмен при пароконтактном нагреве продуктов представляет собой сложное явление, связанное с одновременным переносом теплоты и массы вещества. При этом количество перенесенной массы определяется величиной сконденсированного пара, а переданная теплота (при условии насыщенного пара) -теплотой парообразования [2].

Число факторов, влияющих на процесс передачи теплоты при пароконтактном нагреве, значительно больше, в частности при этом наибольшие значения приобретают как теплофизические свойства греющего пара, так и физико-химические свойства продукта. Учет всех факторов, влияющих на процесс теплообмена при пароконтактном нагреве, и их анализ представляется очень трудным не только в теоретическом, но и в экспериментальном плане.

Основным параметром, играющим первостепенную роль в процессе тепловой стерилизации пищевых продуктов, в том числе и посредством пароконтактно-го нагрева, является температура продукта, которая является основным фактором для установления режимов стерилизации консервов. Поэтому одной из основных задач в исследовании процесса стерилизации консервов пароконтактным нагревом является опре-

деление температурного поля продукта, или выявление динамики изменения температуры в различных точках продукта в зависимости от параметров греющего пара, условий его подвода в продукт, физических свойств нагреваемого продукта и т. д.

В данном случае, когда нагрев осуществляется паром, подаваемым барботером, помещенным в банку, задача сводится к расчету нестационарного температурного поля в бесконечной вдоль оси составной трубе, нагреваемой с внутренней поверхности от источника теплоты заданной интенсивности q с учетом конвекции в радиальном направлении (рис. 1).

1

Рис. 1. Схема прогрева неограниченной трубы от внутреннего источника: 1 - труба; 2 - продукт;

3 - барботер для подачи пара

Предполагается, что термическое сопротивление наружной стенки пренебрежимо мало по сравнению с термическим сопротивлением внутреннего слоя трубы, что теплофизические свойства материала не зависят от температуры. Отсюда уравнение теплопровод-

2

ности с учетом конвективной составляющей имеет вид [2]:

д/ д/ X Э Э/

— + и— =--(г—).

Эт дг с ррг дг дг

Условия однозначности:

- начальное условие при т = 0

/ (г ,0) = / (г) = / н ;

- краевые условия

(д/ / дг) г=я1 = _д / X;

(dt / dr) r 2 = -a(t - ts)/X-

42. X

G U^X G жt HC р.ж

где Ож - количество образующегося конденсата, кг/с; ср.ж - удельная массовая теплоемкость конденсата, Дж/(кг-К).

Скорость движения жидкости (м/с) через поверхность цилиндра с радиусом г определяется по формуле

u = G ж / 2nr/p ж .

Подставляя (2) в (3) и (3) в (1), получим:

д. = ()1 д. + • дт срр 2п/р г дг срр дг2

dt \ = G„c ptн ;

дг I r =Ri 2nR1Xl

а ,

( } r =R 2 =-X (t - t в ) +

t(r, 0) = t н .

Gnc рt

X4nR21

где ср - удельная массовая теплоемкость продукта, Дж/(кг-К); р - плотность продукта, кг/м3; X - коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м-К); г -текущий радиус (Я1 < г < Я2), м; и - скорость движения жидкости, м/с; 4 - температура окружающей среды, К; а - коэффициент теплоотдачи на наружной поверхности трубы, Вт/(м2-К); т - время, с; Я2, Я1 -соответственно, наружный и внутренний радиусы барботера и трубы, м; д - удельный тепловой поток на внутренней поверхности трубы, Вт/м2; /н - начальная температура обогреваемой среды (продукта), К.

Так как нами рассматривается задача расчета температурного поля в зависимости от радиуса бесконечной трубы, то предлагается, что удельный тепловой поток и скорость движения жидкости через поверхность барбатера не зависят от ее длины, т. е. постоянны по оси цилиндра и тем самым не учитывается краевой эффект проявляющийся из-за конечных размеров барбатера.

С учетом вышеизложенного, определим связь между скоростью и удельным тепловым потоком. При пароконтактном нагреве пар подается равномерно через поверхность внутренней трубы (барботера) и удельный тепловой поток

д = о ¿х /(2пЯ1/),

где Оп - расход пара, кг/сек; ¡х - энтальпия пара, Дж/кг; I - длина трубы (барботера).

Фиктивное количество жидкости, образующее конвективный поток, можно определить из уравнения теплового баланса:

Уравнения (4) - (7) запишем в более удобном параметрическом виде. В качестве параметров введем следующие безразмерные величины: 6 = // /н -искомая безразмерная температура; 6 £ = /в / /н -

безразмерная температура окружающей среды, где - температура окружающей среды; п = 1п(г / Я1) -независимый аргумент искомой температуры; ¥а = тХ / ср рЯ12 - число Фурье; В, = аЯ1/ X - число

Био; = Ожср /2л/Х; п 2 = 1пЯ2/Я1.

С учетом введенных безразмерных величин уравнения (4) - (7) принимают вид:

д6 /д^о = ехр

t(n i, 0) = 1.

Таким образом, математической моделью поставленной краевой задачи является система дифференциальных уравнений (8) - (11), решение которой имеет вид [3]

е = 9( f0 , в,, n, öi, Ri/ R 2).

где р ж - плотность жидкости.

Таким образом, математической моделью определения динамики температурного поля в трубе является отыскание зависимости (12), удовлетворяющей в области В , п); о < ¥а < Ф; О < п < п 2) } уравнению (8), краевым условиям (9), (10) и начальному условию (11).

Задачу будем решать численно. Для этого в области построим равномерную пространственно-временную сетку с шагом Дп = п 2 / N, где N - число

разбиений области {О, п 2} и шагом ДРо = Ф /М , где

М - число разбиений области {О,Ф}, Ф - заранее

заданное число Фурье (время).

Используя простую неявную разностную схему аппроксимации, уравнения (8) - (10) запишем в виде:

0 j-0 у-1 =AFa exp(-2n г) x x[(1 - 01)(0,+u - 0г_1 j)/2АЛ + (0г+и - 20,j + 0,_u)]ДЛ 2

(i = 1, 2, 3 ,..., N - 1, j = 1, 2, 3, ..., М),

К, j =01АП ,

"1,1

е N, 1 -е N -1,1 = Дп ехр п 2 X

х[ вг (ев -е N, 1) -&е N, }яг/ я 2 ].

Перепишем уравнения (13) - (15) в виде

-Аге г-1,1 + Сге г,] - Вге i+1,1 = -Л

(г = 0, 1, 2, 3, ..., N),

j = а i +1,j 0 i+1,j +ß

i+1, j

где аг+1, рг+1 - прогоночные коэффициенты, определяемые рекуррентными формулами

а 0 = B0 / Ca; ß0 = f0 /C0 ; а

Bi

i+1, j

ß i+1 =

f + A,-ß,-

Заметим, что выражение для сеточной функции е в узле N ]) согласно (16) с учетом (17) принимает вид

N, j

= ß N .

Результаты численного эксперимента для расчета температурного поля по радиусу цилиндрической тары (на примере банки 1-82-1000) в зависимости от параметров греющего пара и продукта представлены на рис. 2 - 6.

100

О

щ

н

60

40

V' \\ \ N \V 9 г

34 5 \\ Д7 \ V

2 2 \ Ч s

1 T 1 н

10 20 30 Радиус банки, мм

40

50

Рис. 2. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =120 с; 7 - т =160 с; 8 - т =200 с;

где е г 1 - зависимая сеточная функция в узле сетки

(г, 1); А, Вг, Сг,Л - коэффициенты уравнения энергии.

Согласно (8) - (11) выражения для коэффициентов системы (15) принимают вид:

Ао = 0; Са = 1; В = -1; ¡а = -0,Дп ; Аг = ехр(-2п0 [(Дп -2 + 0,50Дп -1 ] ; Вг = ДГа ехр(-2пг)[Ап -2 - 0,501 )Дп -1 ] ; Сг = 1 + 2Д^0Ап -2 ехр(-2пг); /, = ег]ч ; AN = 1; CN = 1 +Дп ехр п 2 (В г + 01Я1 / Я 2; BN = 0; fN = Вг е вДп ехр п 2.

Таким образом, с помощью линейной аппроксимации искомой функции краевая задача сведена к системе алгебраических уравнений.

Для решения этой системы применим метод прогонки. При этом решение краевой задачи на ]-м временном слое определяется соотношением

100

о

о

,а

£ 80

S

<u

Ö 60 Н

40

V' \\ - № 7

3 4 56

2 2

1 T L н

10 20 30 Радиус банки, мм

40

50

Рис. 3. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =140 с; 8 - т =160 с;

100

О

60

н

40

10 20 30 Радиус банки, мм

Рис. 4. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =120 с; 6 - т =180 с; 7 - т =220 с; 8 - т =260 с;

На рис. 2 показаны кривые изменения температурного поля продукта, при пароконтактном нагреве продукта от начальной температуры Тн = 500 °С до

9 - т =260 с; Тн=50 °С; Тк=100 °С; GH=0,001 кг/с

9 - т =200 с; Тн=50 °С; Тк=110 °С

9 - т =300 с; Тн=40 °С; Тк=100 °С

конечной температуры Тк = 100 °С, конденсирующимся паром с температурой Т = 100 °С, при расходе пара равном 0,001 кг/с. Температура окружающей среды принята Т8 = 20 °С, а коэффициент теплоотдачи на наружной поверхности цилиндра а = 10 Вт/(м2-К). Как видно из рис. 2, в начальный момент времени (1,5-3,0 с) температура в центральном слое почти мгновенно возрастает до температуры конденсации пара. При этом в периферийных слоях продукта температура практически не изменяется (рис. 2, кривая - 1). При дальнейшем нагреве, преимущественно за счет возникающих радиальных конвективных токов, а также и теплопроводности, тепловой поток постепенно достигает периферийных слоев в течение времени т = 260 с. В результате по всему радиусу устанавливается равномерное температурное поле.

Для выяснения влияния параметров греющего пара на распределение температурного поля продукта нами проведены расчеты при различных температурах греющего пара. На рис. 3 представлены кривые изменения температурного поля при температуре греющего пара Тп = 110 °С. Как видно, повышение температуры греющего пара способствует интенсификации процесса теплопередачи. Вместе с тем это приводит к появлению резко выраженного перепада температуры между центральными и периферийными областями.

На рис. 4 представлены кривые распределения температурного поля продукта при уменьшении начальной температуры продукта с Тн = 50 °С (см. рис. 2) до Тн = 40 °С. Как видно из рис. 4, в этом случае продолжительность выравнивания фронта температуры по всему объему увеличивается на 40 с.

100

0

о

1 80

¡3

а

5Т

§ 60

и

н

40

10 20 30 40 50 Радиус банки, мм

Рис. 5. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =2 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =120 с; 8 - т =160 с;

7^=100 °С; вн=0,0015 кг/с

Сравнивая графики на рис. 2, 5 и 6, видим, что увеличение расхода греющего пара с Оп = 0,001 кг/с (см. рис. 2) до Оп = 0,0015 кг/с (см. рис. 5) и Оп = = 0,002 кг/с (рис. 6) способствует сокращению продолжительности нагрева продукта до заданной конечной температуры с т = 260 с (см. рис. 2) до т = 160 с (см. рис. 5) и т = 120 с (рис. 6).

100

С °

¿80

уатр р

ер

мп60 ме

н

40

10 20 30 40 50 Радиус банки, мм

Рис. 6. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =60 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =120 с; Тк=100 °С;

0н=0,002 кг/с

Проведенными теоретическими исследованиями выявлено, что существенное влияние на распределение температурного поля оказывает расход греющего пара, так как увеличение расхода пара способствует повышению скорости радиального конвективного потока.

Сравнение результатов численного эксперимента с данными лабораторных испытаний позволяет сделать вывод о том, что решение задачи расчета температурного поля продукта с применением компьютерных технологий дает достаточно удовлетворительные результаты.

Литература

1. Ахмедов М.Э. Интенсификация тепловой стерилизации

консервов в стеклянной таре: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Одесса, 1991.

2. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.,1973.

3. Саумов В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М., 1960.

Y \\

\ \ ч

\ Д 6

2 3 ч 4 5

1 T 1 н

Дагестанский государственный технический университет 7 апреля 2005 г.