Сеточное и бессеточное моделирование удара группы частиц космического мусора по стеклу

УДК 539.3

А. В. ГЕРАСИМОВ С. В. ПАШКОВ Ю. Ф. ХРИСТЕНКО Р. О. ЧЕРЕПАНОВ

НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета

СЕТОЧНОЕ И БЕССЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРА ГРУППЫ ЧАСТИЦ

КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА ПО СТЕКЛУ

Исследование процессов деформирования и разрушения стекла при взаимодействии с потоками техногенных и естественных осколков необходимо как с точки зрения сохранения целостности космических аппаратов при ударе достаточно крупными осколками, так и с целью уменьшения эрозии элементов конструкций при действии потоков ультрамелких частиц. В работе приведены сеточная методика, базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса и метода Джонсона, и бессеточная методика, базирующаяся на SPH методе. Было рассмотрено соударение группы из семи стальных шариков с двухслойной стеклянной пластиной. Проведено сравнение особенностей двух методик при моделировании процесса разрушения стеклянных элементов. Ключевые слова: численное моделирование, сеточный и бессеточный методы, удар, стекло.

Работа выполнена в рамках Программы повышения конкурентоспособности Томского государственного университета.

Уравнения, описывающие пространственное адиабатное движение прочной сжимаемой среды, являются дифференциальными следствиями фундаментальных законов сохранения массы, импульса и энергии. В общем случае они приведены в [1]. Эти уравнения замыкались уравнениями, учитывающими соответствующие термодинамические эффекты, связанные с адиабатным сжатием среды и прочностью среды. Естественная фрагментация ударников и преграды рассчитывались с помощью введения вероятностного механизма распределения начальных дефектов структуры материала для описания отрывных и сдвиговых трещин. В качестве критерия разрушения при интенсивных сдвиговых деформациях в задачах использовалось достижение эквивалентной пластической деформацией своего предельного значения. Начальные неоднородности моделировались тем, что предельная эквивалентная пластическая деформация распределялась по ячейкам оболочки с помощью модифицированного генератора случайных чисел, выдающего случайную величину, подчиняющуюся выбранному закону распределения [2]. Для трехмерного расчета напряженно-деформированного состояния ударников и преграды использовалась методика, реализованная на тетраэдрических ячейках и базирующаяся на совместном использовании метода Уилкинса для расчета внутренних точек тела и метода Джонсона для расчета контактных взаимодействий [3, 4] и модификация метода БРИ. В методе БРИ [5] ядерная аппроксимация функции имеет вид

/' = | /(х)Ш(х - х',Ь)с1х,

где h — параметр размывания, выбираемый достаточно произвольно, х — пространственная координата, Ш — функция сглаживания, в качестве которой обычно используется кубический В-сплайн

1 - 1,5и 2 + 0,75и 3, и < 1, 0,25(2 - и)3,1 < и < 2,

0,и > 2.

Производная этой функции может быть найдена

Г г

/а — =Г / (Х)ша( х - х, Н)&.

8х„ :

Соответствующая (3) узловая аппроксимация производных в этом случае имеет вид:

/, =/ = ТГкш,(*к - х', },

к

где хк, /к, Аук — радиус-вектор, значение аппроксимируемой функции и некоторый ассоциированный объем, соответствующие к-й точке.

Как показано в [6, 7], узловая аппроксимация (4) имеет первый порядок точности при однородном распределении частиц, который понижается

до нулевого вблизи границ расчетной области и при неоднородном распределении частиц. В [8] был предложен способ восстановления узловой согласованности. Разложив аппроксимацию (3) в ряд Тейлора и удерживая два члена ряда, получим аппроксимацию первого порядка точности.

Основные идеи предлагаемого в данной статье подхода обозначим

[д/(х1 )/дх'а ,« = 0,1,2;

"Л/X }« = -!;

~ [ха-Уа" = 0,1,2; А( х, у)а=-

а у а з 1" = -1.

Введем вспомогательные величины

Рр(/,X) = Х-х )лт;

т

Т,(х) = ХА,(хт,х^а(хт - х ,к)Лт = ¥а (А,,х);

в:Р{х )=[г:Р(х )]-1,

где / т — значение функции / вычисленное в узле т, далее мы будем называть его значением, переносимым узлом. Ат — ассоциированная площадь узла т, хт — радиус-вектор узла т.

В этих обозначениях узловая аппроксимация произвольной функции / или ее производной в узле п имеет вид:

Ф

В"а/3Ж™Лт

/:=Е{гФГ }

Связь деформаций и перемещений узловых точек в этих обозначениях принимает вид

= ЕКт {5пф7 + V 2>.

Тогда вариация внутренней энергии может быть вычислена по формуле

дЕ = | де]0]дх « : ^дя; \ТАГ"о; М "т + 8]ГФ "т )/2 \.

Отсюда находится обобщенная сила, действующая на 5РН-узлы:

= Е

после чего ускорения узлов определяются как:

ат = / тт

где тт=рУт — масса узла т.

Процедура восстановления узловой согласованности совместно с расчетом обобщенных узловых сил позволяет повысить порядок точности метода и повысить точность расчета граничных условий на контактных и свободных поверхностях. При этом условия на свободной поверхности в таком подходе удовлетворяются автоматически, а условия

Рис. 1. Расчетная схема

м

N

('$4 '-НЙ а$А ¿ХД

ЙММЖШНШМ »ИМЙЙШЯНЯЙЯИ НМШЮШШ»! ППШШШШШШШИ ШШШШШШШШШ ШШШШШШШШШ

а б в

Рис. 2. Расчет напряжений методом SPH. 2D сечения расчетной области для различных моментов времени Ь а — t=15 мкс; б — t=25 мкс; в — t=35мкс. Выделена область поврежденности материала стекла

б

Рис. 3. Расчет поврежденности методом SPH: а — 3D конфигурация с зоной поврежденности; б — 2D сечение расчетной области с поврежденностью; в — начало фрагментации №=50 мкс)

а

в

Рис. 4. Расчет по сеточному методу (время 1=1,7 мкс): а — 3Э конфигурация; б — 2Э сечение расчетной области

а б

Рис. 5. Расчет по сеточному методу (время 1=3,57 мкс): а — 3Э конфигурация; б — 2Э сечение расчетной области

Рис. 6. Расчет по сеточному методу (время 1=4,2 мкс): а — 3Э конфигурация; б — 2Э сечение расчетной области

на контактных поверхностях могут быть рассчитаны методом Джонсона.

Оба метода использовались для моделирования соударения группы из семи сферических стальных частиц с поверхностью стекла (рис. 1). Радиус частиц г = 0,5 мм, они расположены по кругу диаметром Б1 = 4,0 мм. Пластинки стекла имели диаметр Б2 = 20,0 мм, толщина пластин И=1,0 мм. В методе БРИ расстояние между пластинами бралось 0,2 мм, в конечно-разностном методе расстояние между пластинами бралось 0 мм. Начальная скорость частиц у=1,0 км/с. В расчетах использовалось уравнение состояния типа Ми — Грюнайзена

Р-^1^4 = 1 -Уг.

(1 - с^)2

где Э — скорость УВ, начальная плотность,

й=а+си,

V

массовая скорость, р0 — относительный объем

(р0/р), Еу — удельная внутренняя энергия, уд — коэффициент Грюнайзена, параметры стекла рд = 2480 кг/м3, а = 400 м/с; с = 2,45, К=рд а2, уд =1,17, модуль сдвига ^д = 34,04 ГПа, в качестве критерия разрушения использовалась предельная деформация разрушения £^ = 0,54 %.

и

Для моделирования металлических частиц использовалась упругопластическая модель [3] с параметрами модуль упругости Е = 200 ГПа, модуль сдвига [ =70 ГПа, предел текучести У0 = 0,245 ГПа.

В методе БРИ задача решалась в трехмерной постановке, для моделирования верхней пластины использовалось 40000 узлов, для моделирования нижней пластины использовалось 10000 узлов, для моделирования сферических частиц использовалось по 72 узла на каждую сферу. Напряжения (рис. 2) и поврежденности (рис. 3) в пластинах приведены для указанных выше параметров.

Ниже представлены 3Б конфигурации и двумерные сечения пластин из стекла и стальных ударников для различных моментов времени: 1=1,7 мкс (рис. 4), 1 = 3,57 (рис. 5), 1 = 4,2 мкс (рис. 6).

Предложенные в работе подходы к моделированию взаимодействия частиц космического мусора и элементов из стекла космических аппаратов позволяют рассчитывать напряженно-деформированное состояние, разрушение и фрагментацию стеклянных элементов космических аппаратов в трехмерной постановке при выскоинтенсивном нагружении.

Следует отметить, что сеточный метод, использующий вероятностный подход к описанию процесса разрушения соударяющихся тел, позволяет более точно рассчитывать области поврежденного и разрушенного при соударении материала (рис. 4 — 6) по сравнению с методом БРИ (рис. 2 — 3). Он также более точен при расчете формирования фрагментов из разрушенной преграды и учета взаимодействия последних между собой.

Библиографический список

2. Теоретические и экспериментальные исследования высокоскоростного взаимодействия тел / А. В. Герасимов [и др.]. — Томск : Изд-во Томского ун-та, 2007. — 572 с.

3. Уилкинс, М. Л. Расчет упругопластических течений / М. Л. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. - С. 212-263.

4. Johnson, G. R. Tree-dimensional computer code for dynamic response of solids to intense impulsive loads / G. R. Johnson, D. D. Colby, D. J. Vavrick // Int. J. Numer. Methods Engng. - 1979. -V. 14, № 12. - P. 1865-1871.

5. Lucy, L. B. A numerical approach to the testing of fusion hypothesis / L. B. Lucy // Astronomical Journal. - 1977. -V. 82. - P.1013-1024.

6. Chen, J. K. A corrective smoothed particle method for transient elastoplastic dynamics / J. K. Chen, J. E. Beraun, C. J. Jin // Computational Mechanics. - 2001. -V. 127. -P. 177-187.

7. Bonet, J. Correction and stabilization of smooth particle hydrodynamics methods with applications in metal forming simulations / J. Bonet, S. Kulasegaram // Int. J. Numer. Meth. Engng. - 2000. - V. 47, P. 1189-1214.

8. Liu, M. B. Restoring particle consistency in smoothed particle hydrodynamics / M. B. Liu, G. R. Liu // Applied Numerical Mathematics. - 2006. - V. 56, № 1. - P. 19-36.

ГЕРАСИМОВ Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом.

ПАШКОВ Сергей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник. ХРИСТЕНКО Юрий Федорович, доктор технических наук, старший научный сотрудник (Россия), ведущий научный сотрудник.

ЧЕРЕПАНОВ Роман Олегович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Адрес для переписки: niipmm@mail.1omskne1.ru

1. Баум, Ф. А. Физика взрыва / Ф. А. Баум, Л. П. Орленко ; под ред. К. П. Станюковича. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука, 1975. - 704 с.

Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © А. В. Герасимов, С. В. Пашков, Ю. Ф. Христенко, Р. О. Черепанов

Книжная полка

519.2/Б79

Большаков, А. А. Методы обработки многомерных данных и временных рядов : учеб. пособие для вузов по направлению «Информатика и вычислительная техника» / А. А. Большаков, Р. Н. Каримов. -2-е изд., стер. - М. : Горячая линия - Телеком, 2014. - 520 с.

Рассмотрены основные методы обработки многомерных экспериментальных данных объектов числовой и нечисловой природы, разведочный анализ и представление данных. Приведено систематическое описание следующих методов многомерной статистической обработки; анализ главных компонент; каноническая корреляция; дискретно-косинусное преобразование и вейвлет-анализ; дискриминантный и факторный анализы; а также анализ соответствий и многомерное метрическое и неметрическое шкалирование. Изложены современные методы сингулярного разложения и вейвлет-анализа, используемые для обработки многокомпонентных временных рядов. Пособие иллюстрировано тщательно подобранными примерами, в том числе взятыми авторами из многолетней собственной практики решения реальных задач.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Информатика и вычислительная техника», магистерской программе «Автоматизация научных исследований, испытаний и эксперимента» направления «Автоматизация и управление»; будет полезна преподавателям, научным работникам, аспирантам.