Максимально симметричные высотные атомы

Математика

УДК 515.162

МАКСИМАЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ ВЫСОТНЫЕ АТОМЫ Н. В. Волчанецкий1, И. М. Никонов2

Понятие атома, возникшее в теории качественного анализа динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной маломерной топологии, а также представляет самостоятельный интерес. В данной заметке рассматривается важный частный случай максимально симметричных атомов — класс высотных максимально симметричных атомов, для которого удалось получить простое описание.

Ключевые слова: атом, симметрии атомов, высотный атом.

The concept of atom appeared first in qualitative Dynamical Systems Theory finds its applications in many different branches of modern Low-Dimensional Topology. The atoms possess their own interest and so they are investigated intensively. We consider an important particular case of maximal symmetrical atoms, so called vertical maximal symmetrical atoms which turn out to permit a simple description.

Key words: atom, symmetries of atoms, vertical atom.

Введение. Понятие атома, возникшее в теории качественного анализа динамических систем [1—4], находит применение в самых разных разделах современной маломерной топологии (см., например, [5]), активно изучается и представляет самостоятельный интерес. В работах [6] и [7] получено описание важного класса так называемых максимально симметричных атомов (см. определения ниже), которое оказалось довольно сложным. В данной заметке рассматривается важный частный случай максимально симметричных атомов — класс высотных максимально симметричных атомов, для которого удалось получить простое описание (теорема 3). Основные определения взяты нами из работ [1, 5, 7].

Пусть M 2 — гладкое компактное двумерное многообразие, f : M2 ^ R — функция Морса на

M2

и

{f = к} — ее особый уровень. Тогда существует {е > 0}, такое, что f-1([к — е,к + в]) не содержит особых точек, кроме лежащих на особом уровне {f = к}.

Определение. Назовем атомом пару (f-1([к — е, к + е]), f-1 (к)) с указанием вложения графа f-1(к) в поверхность f-1([к — е,к + е]). Атом называется ориентируемым, если эта поверхность ориентируема. Граф f-1(к) называется остовом атома. Два атома считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм пар, который переводит поверхность в поверхность (сохраняя ориентацию, если поверхность ориентирована), остов в остов, а функцию переводит в функцию (см. [5]).

Будем говорить, что атом (f-1([к — е,к + е]), f-1 (к)) порожден функцией f.

Определение. Назовем атом, порожденный функцией f, высотным, если существует такое вложение g: M2 ^ R3, что f (p) = z(g(p)) для каждой точки p £ g(M2), где z — стандартная координата в пространстве R3, т.е. z — функция высоты на g(M2).

Все высотные атомы являются ориентируемыми (см. [5]). Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только высотные атомы, то всюду ниже все атомы предполагаются ориентируемыми.

Пусть дан атом X = (f-1([к — е,к + е])^-1(к)). Ясно, что f-1([к — е,к + е]) является некоторым многообразием Р2 с краем, причем его край — это набор окружностей. Родом атома X называется род многообразия без края, полученного из

P2

с помощью заклеивания всех связных компонент границы дисками. Атомы рода 0 назовем плоскими атомами.

В работе [7] дается другое эквивалентное определение атома, которое нам понадобится для определения максимальной симметричности атома.

Определение. Атомом назовем "оснащенную" пару (Р2, K), где

P2

— компактная ориентированная

поверхность с краем, K — непустой конечный связный граф в P2, вершины которого имеют степень 0 или 4, причем P2\K является несвязным объединением колец S1 х (0,1], S1 х {1} С дР. Множество колец и их граничных окружностей разбито на два подмножества (белые и черные) таким образом, что к каждому

1 Волчанецкий Николай Владимирович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikonov@mech. math. msu. su.

2Никонов Игорь Михайлович — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат.

ф-та МГУ, e-mail: nikonov@mech.math.msu.su.

ребру графа К примыкают ровно одно белое кольцо и ровно одно черное кольцо. Указанное разбиение колец и соответствующих окружностей на белые и черные называется оснащением пары (Р2, К). Два атома считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм оснащенных пар, сохраняющий ориентацию поверхностей и раскраску колец.

Атом может быть определен так же, как / -граф (см. [8]). Конечный связный граф Г, некоторые ребра которого ориентированы, называется ориентированным /-графом, если все его вершины имеют степень 3, причем к каждой его вершине примыкают ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Отметим, что вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного ребра-петли.

Пусть (Р2, К) — атом, рассматриваемый как оснащенная пара. Ориентация поверхности Р2 индуцирует ориентацию граничных окружностей. В малой окрестности каждой вершины графа К проходят ровно два отрезка белых граничных окружностей. Соединим эту вершину двумя простыми ребрами с этими отрезками (рис. 1). Граф, получающийся объединением ориентированных белых граничных окружностей поверхности

Р2

с построенными ребрами, называется ориентированным /-графом (построенным по белым клеткам) данного атома (Р2,К).

Определение. Назовем /-граф ориентированно-вложимым в плоскость, если его можно вложить в плоскость так, что окружности, соединенные одним ребром, будут лежать одна в другой, если и только если они имеют противоположную ориентацию. Соответствующее вложение также будем называть ориентированным.

Симметрией атома X = (Р2,К) называется сохраняющий ориентацию и оснащение гомеоморфизм оснащенной пары (Р2,К) на себя, рассматриваемый с точностью до изотопии, т.е. класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов оснащенной пары (Р2, К) на себя. Отметим, что при таком определении группа Яуш(Х) симметрий атома X = (Р2 ,К) дискретна (см. [1]).

Определение. Атом X = (Р2, К) является максимально симметричным тогда и только тогда, когда группа его симметрий Яуш(Х) транзитивно действует на множестве ребер атома X.

Определение. Назовем симметрией /-графа Г изоморфизм графа Г на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех таких симметрий /-графа Г через Буш(Г).

Определение. Назовем /-граф Г максимально симметричным, если его группа симметрий Буш(Г) транзитивно действует на множестве его вершин.

Нам понадобится следующий результат из книги [1].

Теорема 1. Пусть X = (Р2 ,К) — некоторый атом, рассматриваемый как оснащенная пара, а Г — соответствующий ему /-граф. Тогда группа Буш(Г) изоморфна группе Яуш^).

Пусть атом X = (Р2, К) максимально симметричен. Обозначим через п количество вершин графа К. Тогда количество его ребер равно 2п, и, значит, порядок группы Яуш^), действующей транзитивно на множестве ребер графа К, не меньше чем 2п. С другой стороны, количество вершин соответствующего /-графа Г равно 2п, а порядок группы Буш(Г) ~ Яуш^) не превосходит количества вершин /-графа Г, так как группа симметрий транзитивно действует на вершинах /-графа. Поэтому порядок групп Яуш^), равный порядку группы Буш(Г), равен 2п. Значит, /-граф является максимально симметричным. Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 1. Если атом X = (Р2,К) максимально симметричен, то соответствующий /-граф также максимально симметричен.

Следующее определение взято из статьи [5].

Определение. Пусть V — произвольная вершина степени 4 некоторого графа Г. Назовем циклическим порядком в вершине V разбиение ребер, инцидентных V, на две пары. Если дано некоторое вложение ф графа Г в двумерное многообразие, то циклическим порядком в вершине V, порожденным вложением ф, назовем такое разбиение ребер на пары, что ф-образы ребер, попавших в одну пару, противоположны в окрестности точки ф(и).

В. О. Мантуров [5] доказал следующий критерий высотности.

Теорема 2. Атом является высотным тогда и только тогда, когда его остов может быть вложен в плоскость так, что в каждой вершине исходный циклический порядок остова и циклический порядок, порожденный вложением в плоскость, совпадают.

Максимально симметричные и высотные атомы. Классификация максимально симметричных атомов получена в [7]. Сформулируем основной результат данной работы.

Рис. 1. Построение /-графа атома

Теорема 3. Если максимально симметричный атом является высотным, то он либо плоский, либо является атомом А2 (рис. 2).

Доказательство. Для доказательства этого факта нам понадобятся два вспомогательных утверждения.

Предложение 1. Если атом высотный, то его /-граф ориентированно-вложим в плоскость.

Доказательство. По критерию высотности Мантурова остов атома вложим в плоскость без изменения циклического порядка ребер. Поэтому существует и вложение /-графа в плоскость. Посмотрим, как будут ориентированы окружности в /-графе. Достаточно рассмотреть две окружности, соединенные ребром. Возможны два случая, которые показаны на рис. 3 и 4. Заклеим окружности дисками, а ребро, соединяющее окружности, заклеим полосой. Из рис. 3 и 4 видно, что окружности нашего /-графа будут ориентированы, как в определении вложимости.

Предложение доказано.

Определение. Фиксируем ориентированное вложение /-графа Г в плоскость. Окружность из образа графа Г назовем разделяющей, если и внутри, и вне ее обязательно лежат другие окружности графа Г.

Предложение 2. В ориентированно-вложенном /-графе максимально симметричного атома нет разделяющих окружностей.

Доказательство. Строим граф смежности окружностей (т.е. заменим окружности на вершины, а неориентированные ребра оставим ребрами). Назовем вершину разделяющей, если после ее выкидывания образуются по крайней мере две непустые компоненты связности графа. Если окружность /-графа разделяющая, то соответствующая ей вершина в графе смежности окружностей является разделяющей. Заметим, что если в нашем графе есть хотя бы одна разделяющая вершина, то все вершины являются разделяющими. Это верно в силу максимальной симметричности атома. Докажем, что такое невозможно. Предположим противное, т.е. пусть все вершины разделяющие. Нам понадобится следующая лемма.

Рис. 2. /-Граф Рис. 3. Первый случай расположения Рис. 4. Второй случай рас-

атома А2 окружностей положения окружностей

Лемма 2. Пусть О — связный граф, V £ О — разделяющая вершина, = V тоже разделяющая вершина. Пусть О\ — компонента связности графа О \ V, содержащая вершину VI, а О2 — компонента связности О \ VI, не содержащая вершину V. Тогда О2 С О1.

Доказательство. Так как О2 — это компонента связности О \ VI, не содержащая вершину V, то любую вершину из О2 мы можем соединить с VI путем, не содержащим вершину V. А в компоненте О1 содержатся все вершины, которые можно соединить с вершиной VI, не проходя через вершину V. Поэтому О2 ^ О1. Но в О1 множество вершин больше, чем в О2, как минимум на одну вершину. Поэтому О2 С О1.

Лемма доказана.

Вернемся к доказательству утверждения 2 и покажем, что в нашем графе смежности окружностей существует неразделяющая вершина. Выберем ту вершину, после удаления которой одна из компонент будет наименьшей по числу вершин. Обозначим эту вершину через V, а соответствующую компоненту через О1. Тогда в этой компоненте будет еще какая-то разделяющая вершина V!, иначе мы все доказали. Тогда, согласно лемме 2, мы получим компоненту О2 С О1. А это противоречит тому, что О1 была наименьшей компонентой. Значит, в нашем графе есть неразделяющая вершина. Полученное противоречие означает, что в нашем графе смежности окружностей все вершины неразделяющие. Но если вершина этого графа неразделяющая, то соответствующая ей окружность тоже является неразделяющей.

Предложение доказано.

Вернемся к доказательству теоремы 3. Из предложения 2 вытекает, что если задано ориентированное вложение /-графа максимально симметричного атома, то либо ни одна окружность не лежит внутри другой, либо все лежат внутри одной. Но второй случай сводится к первому при помощи инверсии. Итак, пусть ни одна окружность не лежит внутри другой, и пусть /-граф имеет более чем одну окружность. Тогда окружности в /-графе одинаково ориентированы. При этом каждое ребро соединяет две различные окружности и лежит снаружи любой окружности (рис. 5, а). Теперь по /-графу строим атом. Сначала заклеиваем внутренность окружностей дисками (рис. 5, б), затем заклеиваем ребра полосками (рис. 5, в).

Потом заклеиваем полученные внутренние дырки тоже дисками (рис. 5, г). Мы получили поверхность с краем, которая является диском. Край тоже заклеим диском. В итоге мы получим сферу. А это значит, что наш атом плоский.

Рассмотрим теперь атом, у которого f-граф представляется одной окружностью с ребрами внутри. Если такой атом максимально симметричный, то значит, он любой из серии An (мы используем классификацию атомов из [7], см. рис. 6). Из критерия высотности атома Мантурова вытекает, что среди атомов An только Ai и A2 являются высотными (см. рис. 6). При этом атом Ai плоский, а атом A2 торический.

Теорема доказана.

AAÄÄ

Рис. 5. Стадии построения атома по f-графу Рис. 6. f-Графы атомов An, Ai и A2

Авторы пользуются случаем поблагодарить академика А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе, а также Е. А. Кудрявцеву и А. А. Ошемкова за полезные обсуждения.

Работа второго автора выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Правительства РФ по постановлению N 220, договор 11.G34.31.0053, РФФИ (проект № 10—01-00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-1410.2012.1), программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракт 14.740.11.0794).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

2. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

3. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1. 145-173.

4. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-25.

5. Мантуров В.О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.

6. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.

7. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А.Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.

8. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1994. 205. 131-140.

Поступила в редакцию 18.06.2010

УДК 519.21

ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ А. Н. Громов1

Функционирование страховой компании моделируется с помощью составного пуас-соновского процесса; предполагается, что компания имеет возможность как заключать договоры перестрахования эксцедента убытка, определяемые уровнем собственного удержания, так и вкладывать средства в некоторый рисковый актив, стоимость которого опи-

1 Громов Александр Николаевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gromovaleksandr@gmail.com.