Методы умножения в сетях связи с помехоустойчивой защитой информации

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 681.325

Б. А. Савельев, Г. В. Бобрышева, А. Г. Убиенных

МЕТОДЫ УМНОЖЕНИЯ В СЕТЯХ СВЯЗИ С ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЙ ЗАЩИТОЙ ИНФОРМАЦИИ

Аннотация.

Актуальность и цели. В системах связи и криптографической защиты информации широко применяются средства умножения элементов конечного

поля GF(pm), построенные на основе логических схем или запоминающих устройств. При реализации устройств умножения особый интерес представляют операции умножения элементов в нормальном базисе, которые являются предметом анализа в данной работе. Целью работы является построение конструкции умножителя в поле с нормальным базисом.

Материалы и методы. Приведенные в работе теоретические обоснования утверждений по генерации нормальных базисов и построению конструкций умножителя показаны с использованием специального математического аппарата.

Результаты. Исследованы процессы умножения элементов нормального базиса, реализуемые с помощью аппаратных средств. Получены математические выражения для определения количества нормальных базисов. Доказано, что любой неприводимый полином генерирует нормальный базис, число конструкций умножителя элементов в нормальном базисе для любого поля

GF (pm) равно количеству классов сопряженных элементов, каждый из которых определяется ведущими элементами циклотомических классов и не зависит от структуры порождающего полинома. Показаны два способа нахождения ведущих элементов для полей GF(25) и GF(26), обеспечивающих получение одной конструкции умножителей.

Выводы. Результаты теоретических и практических исследований средств умножения элементов конечного поля показали, что элементы конечного поля

GF (pm), представленные в нормальном базисе, могут быть сгенерированы

с помощью любого неприводимого полинома, а сложность конструкции умножителей определяется ведущими элементами циклотомических классов. Построение умножителей в поле с нормальным базисом позволяет обеспечить наибольшую регулярность структуры, что особенно важно при реализации устройств умножения на БИС или программируемых логических матрицах.

Ключевые слова: конечное поле, нормальный базис, ведущий элемент, сопряженный элемент, неприводимый полином, умножитель, конструкция умножителя.

B. A. Savel'ev, G. V. Bobrysheva, A. G. Ubiennykh

MULTIPLICATION METHODS IN COMMUNICATION NETWORKS WITH NOISEPROOF PROTECTION OF INFORMATION

Abstract.

Background. Constructed on the basis of logic circuits or storage devices, the tools of multiplication of the finite field elements GF(pm) are widely used in com-

24

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

munication systems and cryptographic protection of information. When implementing multiplication devices the multiplication of elements in a normal basis is of particular interest, which is subject to analysis in this paper. The article aims at designing a multiplier in the field with a normal basis.

Materials and methods. The theoretical substantiation of statements on generation of normal bases and the multiplier’s design is shown using a special mathematical apparatus.

Results. The authors investigated a process of multiplication of the elements of a normal basis implemented by hardware. The researchers obtained a mathematical expression for determining a number of normal bases. It is proved that any irreducible polynomial generates a normal basis; a number of the multiplier structures of elements in a normal basis for any field GF (pm) is equal to a number of classes of the associated elements, each of which is determined by the leading elements of the cyclotomic classes and does not depend on the structure of a generating polynomial.

The article shows two ways of finding the leading elements for the fields GF

and GF (26), providing one construction of multipliers.

Conclusions. The results of the theoretical and practical research of tools of multiplications of the finite field elements showed that the elements of the finite field

GF (pm), presented in a normal basis, can be generated by any irreducible polynomial, and the complexity of the construction of multipliers is determined by the leading elements of the cyclotomic classes. The design of multipliers in the field with a normal basis ensures the greatest regularity of structure, which is especially important in implementation of the multiplication device in the BIS or a programmable logic matrix.

Key words: finite field, normal basis, leading element, associated element, irreducible polynomial, multiplier, construction of multiplier.

Введение

В системах передачи и хранения информации, применяющих помехоустойчивые коды для исправления ошибок, а также в системах криптографической защиты информации требуется выполнять операции умножения, деления, сложения, возведения в степень, извлечения корня [1]. При этом операция умножения обычно представляет наибольшую сложность и занимает больше времени. Указанные выше операции выполняются в конечном поле программными средствами на основе логических схем или запоминающих устройств.

В конечных полях Галуа GF

малой размерности вычисления лег-

ко производить на основе оперативных запоминающих устройств (ОЗУ) или постоянных запоминающих устройств (ПЗУ), где p - характеристика поля, m - степень расширения поля [1]. Это так называемые табличные методы вычисления с использованием операций логарифмирования и антилогарифмирования. Вычислительные устройства на основе ОЗУ или ПЗУ очень просты, но отличаются невысоким быстродействием. Кроме того, с увеличением размерности поля быстро возрастает сложность устройства.

Вычислительные операции могут осуществляться последовательными, параллельными и параллельно-последовательными методами [2-4]. При по-

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

25

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

следовательных вычислениях затрачивается наибольшее время, равное частоте синхронизации t = m . Параллельное умножение осуществляется всего за один такт, а параллельно-последовательный метод требует t = m тактов.

Элементы поля могут быть представлены в полиномиальном, нормальном или дуальном базисах [5]. Ниже исследуются процессы умножения элементов нормального базиса, реализуемые с помощью аппаратных средств. Такие устройства умножения оценивают по быстродействию, сложности и регулярности структуры [5]. Последняя характеристика особенно важна при реализации устройств умножения на БИС или программируемых логических матрицах (ПЛМ).

Представление элементов в нормальном базисе представляет интерес во многих аспектах [5]. Например, умножение элементов в нормальном базисе обеспечивает наибольшую регулярность. При использовании нормального

базиса возведение в степень p (i = 0,1,...,m — 1) или извлечение такой же

степени осуществляется простым циклическим сдвигом элементов, где p -характеристика поля. С учетом этого и регулярности структуры нормальные базисы представляют существенный интерес.

В работах [1, 5] показывается, что сложность умножителя в нормальном базисе зависит от выбора порождающего полинома g (x). Однако это

{2 2m—1 1

а,а ,...,а }, где а - примитивный элемент по-

ля. В работе [5] также указывается, что число неприводимых полиномов, генерирующих поле в нормальном базисе, ограничено. Ниже показывается, что все неприводимые полиномы генерируют нормальные базисы.

В данной статье анализируются параллельные умножители. С целью упрощения исследований автором предложена их классификация. В зависимости от структуры они подразделены на два типа: S-H-S и И-S. Первый из них состоит из последовательно включенных узлов S суммирования, логического умножения И и суммирования S, а второй - логического умножения и суммирования. Узел S построен на основе сумматоров по модулю два, а узел И - логических схем И.

1. Теоретическое обоснование процессов генерации нормальных базисов

Известно [1], что в любом поле GF(gm) существует нормальный базис. Более того, в поле GF (gm) имеется примитивный элемент такой, что

{_ _ m—1] г о 1 — 1 ~\

Y,Yg,...,Yg } - нормальный базис. При этом { y ,Y,—,Ym } - полиноми-

альный базис. Примем g = p , где р - простое число. Напомним, что элемент

Y = аи является примитивным, если степень и взаимно проста с pm — 1, число таких примитивных элементов Ny равно числу классов сопряженных элементов, имеющих длину m и порядок элементов поля 9m = pm — 1. Элементы,

26

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

стоящие слева в этих классах, называются ведущими. Они являются корнями соответствующих примитивных полиномов степени т.

Переход от элементов полиномиального базиса к элементам нормального базиса можно осуществить с помощью выражения

Y = Ун t,

где у1, ун - элементы поля в полиномиальном и нормальном базисах соответственно; T - матрица элементов у2 полиномиального базиса, ie{ 0,1,т — 1},

или

YH = Y t—1.

Алгоритм получения элементов в нормальном базисе состоит из двух этапов:

j

1) у = aUJ =а

базисе i = и  J mod (рт — 1);

где а - элемент в полиномиальном

2) (в =а  T—1,

где рг - порядковый элемент в нормальном базисе.

Представление элементов для полиномов g1 (x) = x5 + x3 + x2 + x +1 и

g2 (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x +1 приведено в табл. 1.

Согласно теореме Ферма

рт

Yp — Y = 0,

поэтому любой из yJ в классе сопряженных элементов может быть выбран в качестве элемента, порождающего нормальный базис, например

4 8 pm-1 2]

Y , Y , . ., г , Y, Y }. Это свойство называется автоморфизмом поля

GF (рт) [5]. В работе [5] показывается, что в поле GF (рт) имеется ровно

Фр (xrn —1) различных элементов у поля, для которых {y, Yp, YP ,..., YP }

является базисом GF (рт). Здесь Фр (xm — 1) - функция, аналогичная функции Эйлера. Тогда число нормальных базисов равно

«„б =Фр

где т1,..., т^ - степени различных нормированных неприводимых сомножителей из канонического разложения многочлена xm — 1. Покажем, что любой g (x) порождает нормальный базис.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

27

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Утверждение. Любой неприводимый полином g (x) генерирует нормальный базис.

Представление элементов для поля GF

Таблица 1

g1( x) = x5 + x3 + x 2 + x +1, у = a 7 g2(x)= x5 + x4 3 + x~ + x 2 +1, Y = a3

Полиномиальный базис Нормальный базис Полиномиальный базис Нормальный базис

a* a 4 з a !a2 a1 a0 в* Y Y16 Y 8 4 Y Y2 Y1 a* a 4 a 3a2 a1aE 0 в* Y* Y1 6Y 8 Y 4 Y2 Y1

1 0 0 0 1 0 1 9 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 21 0 1 0 1 1

2 0 0 1 0 0 2 18 0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 11 1 0 1 1 0

3 0 1 0 0 0 3 27 0 1 1 1 0 3 0 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1

4 1 0 0 0 0 4 5 1 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 4 22 0 1 1 0 1

5 0 1 1 1 1 5 14 1 1 0 1 1 5 1 1 1 0 1 5 12 0 0 1 0 1

6 1 1 1 1 0 6 23 1 1 1 0 0 6 0 0 1 1 1 6 2 0 0 0 1 0

7 1 0 0 1 1 7 1 0 0 0 0 1 7 0 1 1 1 0 7 23 1 1 1 0 0

8 0 1 0 0 1 8 10 1 0 0 0 1 8 1 1 1 0 0 8 13 1 1 0 1 0

9 1 0 0 1 0 9 19 1 1 1 1 0 9 0 0 1 0 1 9 3 0 1 0 0 1

10 0 1 0 1 1 10 28 1 0 1 1 1 10 0 1 0 1 0 10 24 0 1 0 1 0

11 1 0 1 1 0 11 6 1 0 0 1 0 11 1 0 1 0 0 11 14 1 1 0 1 1

12 0 0 0 1 1 12 15 1 0 1 1 0 12 1 0 1 0 1 12 4 0 0 1 0 0

13 0 0 1 1 0 13 24 0 1 0 1 0 13 1 0 1 1 1 13 25 0 1 1 1 1

14 0 1 1 0 0 14 2 0 0 0 1 0 14 1 0 0 1 1 14 15 1 1 0 0 1

15 1 1 0 0 0 15 11 1 0 1 1 0 15 1 1 0 1 1 15 5 1 1 0 0 0

16 1 1 1 1 1 16 20 0 0 0 1 1 16 0 1 0 1 1 16 26 1 0 1 0 1

17 1 0 0 0 1 17 29 0 0 1 1 1 17 1 0 1 1 0 17 16 1 0 0 0 0

18 0 1 1 0 1 18 7 1 1 1 0 1 18 1 0 0 0 1 18 6 1 0 0 1 0

19 1 1 0 1 0 19 16 1 0 0 0 0 19 1 1 1 1 1 19 27 0 1 1 1 0

20 1 1 0 1 1 20 25 0 1 1 1 1 20 0 0 0 1 1 20 17 1 0 1 0 0

21 1 1 0 0 1 21 3 0 1 0 0 1 21 0 0 1 1 0 21 7 1 1 1 0 1

22 1 1 1 0 1 22 12 0 0 1 0 1 22 0 1 1 0 0 22 28 1 0 1 1 1

23 1 0 1 0 1 23 21 0 1 0 1 1 23 1 1 0 0 0 23 18 0 1 1 0 0

24 0 0 1 0 1 24 30 1 0 0 1 1 24 0 1 1 0 1 24 8 0 1 0 0 0

25 0 1 0 1 0 25 8 0 1 0 0 0 25 1 1 0 1 0 25 29 0 0 1 1 1

26 1 0 1 0 0 26 17 1 0 1 0 0 26 0 1 0 0 1 26 19 1 1 1 1 0

27 0 0 1 1 1 27 26 1 0 1 0 1 27 1 0 0 1 0 27 9 0 0 1 1 0

28 0 1 1 1 0 28 4 0 0 1 0 0 28 1 1 0 0 1 28 30 1 0 0 0 1

29 1 1 1 0 0 29 13 1 1 0 1 0 29 0 1 1 1 1 29 20 0 0 0 1 1

30 1 0 1 1 1 30 22 0 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 30 10 1 0 0 0 1

31 0 0 0 0 1 31 0 1 1 1 1 1 31 0 0 0 0 1 31 0 1 1 1 1 1

Доказательство. В поле GF

(г) •

полученном с помощью неприводи-

мого полинома, имеется хотя бы один класс сопряженных элементов у с Tr (у) ф 0, где Tr (у) - тренд (след) элемента у . В общем случае эти элементы могут и не быть линейно независимыми корнями полинома g (x), но с помощью них можно получить конечное поле, характеристики элементов

28

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

которого соответствуют характеристикам нормальных базисов. Поэтому та-

{2 т— ]

Y,уp,ур ,...,ур } автор отнес к нор-

мальным базисам. И в соответствии с утверждением любой неприводимый полином генерирует нормальные базисы.

Число неприводимых полиномов Жнп степени т [3] равно

^нп =

где d - делитель т, в том числе 1 и т; ц(d) - функция Мебиуса; |l(d) = 1,

если d = 1; ^(d) <(—1)u, если d произведение и простых чисел; ^(d) = 0 , если d делится на квадрат какого-либо простого числа.

Например, при т = 8, d/те {1, 2, 4, 8}, тогда М-(1) = 1, М-(2) = -1,

ц(4 ) = 0, ц(8) = 0:

= 1/8

Количество неприводимых полиномов степени т совпадает с числом сопряженных элементов длины 1т = т , степени которых образуют циклото-

i

мический класс. Элементы класса YP являются корнями соответствующего полинома g(x). Нас интересуют полиномы, которые генерируют поля размерности рт — 1, т.е. примитивные. Как известно [3], каждый ведущий примитивный элемент y является корнем минимального (примитивного) многочлена. Следовательно, число классов с порядком элементов рт — 1 равно количеству примитивных полиномов.

2. Параллельный умножитель типа S-H-S

Наибольшее быстродействие обеспечивают умножители, производящие вычисления за один такт. В них операции получения частичных произведений осуществляются одновременно, поэтому они получили название параллельных.

В нормальном базисе перемножаемые элементы можно представить в виде полиномов от фиктивной переменной x:

т—1 т—1

A

i=0 j=0

в функции от примитивного элемента y:

т—1 . т—1

A

i=0 j=0

Здесь a., bj е {0,1,..., p — 1}.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

29

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Произведение полиномов можно записать в виде

т-\, . ч т-If -i \р

A

i=0 V J i=0 V J

В работе [6] по выражению (10) синтезирован параллельный умножитель элементов нормального базиса, структурная схема которого представлена на рис. 1 и названа структурой типа S-H-S.

Рис. 1. Структурная схема умножителя типа S-H-S: СМ - сумматор по модулю 2; Ум - умножитель

Проанализируем другой подход к умножению в нормальном базисе, который обеспечивает более регулярную конструкцию умножителя S-H-S. Следует оговориться, что регулярность повышается только за счет соединительных цепей между блоками. Произведение (10) можно представить в виде

т-1 т-1 т-1 т-1 т-1 .

С

i=0 j=0 i=0 j=0 k=0

т-1 k

где yp +p = Z YP .

k=0

За счет выражения (11) и осуществляется приведение по модулю g (x) произведения С (y) .

В векторной форме произведение можно записать в виде

С = AMBi,

где С = (ст-1, ..., c0, c1); A = (т-1,-", a0, a1); B = (bm-1, "-, b0, b1 ).

Матрица М элементов является ганкелевой и имеет вид

f YP0+P0 Y P1 + P0 Y P2 + P0 .. YP”-1 +P0

М= Y P0+P1 Y P1 + P1 Y P2+P1 .. y Pm-1 + P1

Y P0+p”-1 V 1 YP1 + P”"1 Y P2 + P”-1 .. YPm-1 + Pm-

или для р = 2:

30

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

М=

Y2 Y 3 Y5 . .. Y2m-1 +1 ^

Y3 Y 4 Y6 . .. Y2m-1 + 2 .

m-i +1 Y2m-1 + 2 Y2m-1 + 4

Из (12) легко видеть, что структура умножителя целиком определяется видом матрицы (13), которую назовем матрицей преобразования поля.

Для построения умножителя важнейшее значение имеет доказанная нами следующая теорема.

Теорема. В любом поле GF

конструкция умножителя элементов

в нормальном базисе определяется ведущими элементами циклотомических классов. Число различных конструкций равно количеству нормальных базисов, генерируемых одним неприводимым полиномом.

Доказательство. В первой части покажем, что конструкция умножителя для поля GF (pm ) определяется ведущим элементом циклотомического

класса. Непосредственно из матрицы М видно, что элементы первой строки связаны соотношением

Ф«+1 = Ф« -YР ,

где ф«+1 - («+1)-й элемент строки.

Каждая последующая строка получается путем циклического сдвига предыдущей строки. Таким образом, все элементы ф = f (у), где у - ведущий

элемент циклотомического класса, генерирующий поле GF (рт ). Следова-

тельно, конструкция умножителя определяется ведущим элементом у. Любой неприводимый полином g (x) имеет циклотомических классов, каждый

из ведущих элементов которого определяет свою конструкцию умножителя при условии, что определитель сопряженных элементов циклотомического класса Ац Ф 0 . Отсюда число конструкций умножителя элементов поля

GF (рт) равно числу циклотомических классов, генерирующих нормальные

базисы, т.е. Ынб.

Остается доказать, что этими конструкциями исчерпываются все умножители для элементов всех полей GF(рт), т.е. всех неприводимых полиномов g(x). Все полиномы связаны между собой через ведущие элементы циклотомических классов, поскольку они и только они являются корнями g (x).

Если у многочлена g(x) нормальный базис генерирует элемент а1, то

остальные ведущие элементы а« являются корнями оставшихся неприводимых многочленов и создают нормальные базисы. Но поскольку элементы нормальных базисов

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

31

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Y

= (а)J =вк

у них одинаковы, то и умножители одинаковы. По индукции для других Nhq — 1 ведущих элементов аг полинома g(х) найдутся свои ведущие элементы у остальных полиномов, генерирующих нормальные базисы. Но каждому а соответствует своя конструкция умножителя, поэтому имеется Nkq различных конструкций умножителей для всех изоморфных нормальных базисов.

Пример 1. В поле GF (p5) соответствие между полиномами g(х) и элементами циклотомических классов следующее:

{а1, а2, а4, а8, а16 х5 + х4 + х3 + х2 +1 = g1 (х),

{ а3, а6, а12, а24, а17} ^ х5 + х2 +1 = g2 (х),

{а5, а10, а20, а9, а18}^ х5 + х4 + х3 + х +1 = g3 (х),

{а7, а14, а28, а27, а19 }^ х5 + х3 +1 = g4 (х),

{а11, а22, а13, а26, а27 }^ х5 + х4 + х2 + х +1 = g5 (х),

{а15, а30, а29, а27, а23}^ х5 + х4 + х3 + х +1 = g6 (х).

В поле GF (25), полученном с помощью g1 (х), ведущий элемент а

генерирует нормальный базис. Найдем соответствующие ведущие элементы других полиномов, создающих нормальные базисы. Если взять поле, полученное с помощью g2 (х), то у него Ац (а3) Ф 0 и, следовательно, у него ведущий элемент а обеспечивает генерацию нормального базиса. Аналогично

у g3 (х) элемент а5, у g4 (х) - а7, у g5 (х) - а11 и у g6 (х) - а15 генери-

руют нормальные базисы.

Приведем два способа нахождения ведущих элементов у полей GF (2m), обеспечивающих получение одной конструкции умножителей.

1. Первый способ требует получения всех полей в нормальном базисе. В основе его лежит соотношение (15). Затем у1 разных полей сравниваются между собой, при их совпадении а1 находят из (15).

Пример 2. Сравним для разных полей Y :

Y26 =

32

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

у26 = (а3)26 = р16 =(10101) для g2 (х),

где £1 (х) = х5 + х3 + х2 + 1 , £2 (х) = х5 + х4 + х3 + х2 +1.

Следовательно, ведущий элемент а7 у полинома £1 (х) обеспечивает

3

одинаковую конструкцию умножителя с ведущим элементом а многочлена £2(х).

2. По сравнению с предыдущим данный метод требует генерации полей только в полиномиальном базисе. Здесь также используется выражение (15),

по которому находят одинаковые элементы pk у разных £(х).

У полинома £1 (х) = х5 + х3 + х2 + х +1 ведущий элемент а1 = а7 гене-

У3 = (а7 )3 = р21;

f 7I рирует нормальный базис {а ,а , • • •? 716 а7 }. Тогда

Г1 1 0 0 0 >

0 1 1 1 0

р21 = а21 • T—1 = (11001) • 0 1 1 0 0 =

0 0 1 1 0

V 1 1 1 1 1V

21

= (01001), T = У

У

У полинома £2 (х ) = х5 + х4 + х3 + х2 +1 ведущий элемент а1 = а3 ге-

{3^ 3^ 316 ] 3 / 3\3 9

а ,а ,...,а }. Тогда у =(а ) = р ;

в9 = а9 • T-1 =

0 1 1 0 1 ^

0 0 0 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 V

= (01001) .

3 7

Следовательно, а и а обеспечивают одинаковые умножители. Результаты расчетов для полей GF (25) и GF (26) с порядком элемен-

0

2

У

m—1

тов 0 = 2“ — 1 приведены в табл. 2.

В табл. 2 под одинаковыми номерами приведены ведущие элементы, обеспечивающие одинаковую конструкцию умножителей. Как в поле

GF (25), так и в поле GF (26) имеются три различных конструкции умножителя элементов поля в нормальном базисе.

Таким образом, конструкция умножителя элементов в нормальном базисе определяется ведущими элементами циклотомических классов и сложность их не зависит от структуры порождающего полинома. Число различных

конструкций умножителя равно числу нормальных базисов в поле GF (pm ).

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

33

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Таблица 2

Ведущие элементы с одинаковыми конструкциями умножителей

Полином № Степень a Полином № Степень a Полином № Степень a

1 11 1 5 1 3

5,3,0 2 5 5,2,0 2 11 5,4,3,2,0 2 7

3 7 3 3 3 1

1 7 1 1 1 15

5,3,2,1,0 2 3 5,4,2,1,0 2 15 5,4,3,1,0 2 1

3 15 3 11 3 5

1 23 1 5 1 31

6,1,0 2 31 6,5,0 2 1 6,5,2,1,0 2 11

3 5 3 23 3 1

1 1 1 11 1 13

6,5,4,1,0 2 13 6,5,3,2,0 2 5 6,4,3,1,0 2 23

3 31 3 13 3 11

Выводы

1. Доказано, что все неприводимые полиномы могут генерировать поля с нормальным базисом. Структура полей определяется ведущими элементами циклотомических классов. Найдены математические выражения для определения количества нормальных базисов, число которых для любых неприводимых полиномов одинаково.

2. Показывается, что сложность конструкции умножителей (число сумматоров по модулю 2 и логических схем И определяется ведущими элементами циклотомических классов. Число различных конструкций для поля

GF(2m) равно количеству классов сопряженных элементов.

Список литературы

1. Вильямс, М. Теория кодов, исправляющих ошибки / Мак. Вильямс, Дж. Слоэн. - М. : Мир, 1979. - 744 с.

2. Авторское свидетельство. 1.383.388 СССР, МКИ4, GO6F 7/49. Параллельное устройство для умножения в конечных полях / Зиновьев В. А., Зяблов В. В., Савельев Б. А., Георгиева В. М. и др. - 1988, Бюл. № 11.

3. Применко, Э. А. Алгебраические основы криптографии : учеб. пособие /

Э. А. Применко. - М. : ЛИБРОКОМ, 2014. - 294 с.

4. Снегирев, Ю. В. Анализ механизмов организации параллельных вычислений / Ю. В. Снегирев, В. Д. Тутарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 34-44.

5. Mastrovito, E. D. VLSI designs for computations over finite fields GF(2m) / Edoardo D. Mastrovito // Lincoping studies in Scince and Technology: Thesis. -№ 159. - Sweden, 1988.

6. Савельев, Б. А. Вычисления в системах помехоустойчивого кодирования и криптографии / Б. А. Савельев // Вычислительные системы и информационные технологии : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 2 (28). - Пенза : Инф.-изд. центр ПГУ, 2003. - С. 136-147.

References

1. Vil'yams М., Sloen Dzh. Teoriya kodov, ispravlyayushchikh oshibki [Theory of error correcting codes]. Moscow: Mir, 1979, 744 p.

34

University proceedings. Volga region

№ 2 (34), 2015 Технические науки. Информатика, вычислительная техника

2. Certificate of authorship. 1.383.388 USSR, MKI4, GO6F 7/49. Parallel device for multiplication in finite fields. Zinov'ev V. A., Zyablov V. V., Savel'ev B. A., Georgieva V. M. et al. 1988, bull. no. 11.

3. Primenko E. A. Algebraicheskie osnovy kriptografii: ucheb. posobie [Algebraic fundamentals of cryptography: tutorial]. Moscow: LIBROKOM, 2014, 294 p.

4. Snegirev Yu. V., Tutarova V. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2013, no. 2 (26), pp. 34-44.

5. Mastrovito E. D. Lincoping studies in Scince and Technology: Thesis. No. 159. Sweden, 1988.

6. Savel'ev B. A. Vychislitel’nye sistemy i informatsionnye tekhnologii: mezhvuz. sb. nauch. tr. [Computing systems and information technologies: interuniversity collected papers]. Issue 2 (28). Penza: Inf.-izd. tsentr PGU, 2003, pp. 136-147.

Савельев Борис Александрович доктор технических наук, профессор, кафедра информационно -вычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: sba@pnzgu.ru

Бобрышева Галина Владимировна

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационновычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: g_bobr@mail.ru

Убиенных Анатолий Геннадьевич старший преподаватель, кафедра информационно-вычислительных систем, Пензенский государственный университет

E-mail: utolg@.ru

Savel’ev Boris Aleksandrovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of data-computing systems, Penza State University

Bobrysheva Galina Vladimirovna Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of data-computing systems,

Penza State University

Ubiennykh Anatoliy Gennad'evich

Senior lecturer, sub-department of data-computing systems,

Penza State University

УДК 681.325 Савельев, Б. А.

Методы умножения в сетях связи с помехоустойчивой защитой информации / Б. А. Савельев, Г. В. Бобрышева, А. Г. Убиенных // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2015. -№ 2 (34). - С. 24-35.

Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control

35