Решение задачи о промерзании трубопроводов с учетом наружного теплообмена

УДК 621.644:519.6

О.Д. Самарин

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОМЕРЗАНИИ ТРУБОПРОВОДОВ С УЧЕТОМ НАРУЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Предложено решение задачи о промерзании в аварийных режимах теплопроводов инженерных систем зданий и наружных трубопроводных сетей при граничных условиях 3-го рода. Представлена система уравнений теплообмена и тепло-переноса с учетом тепловыделений от гидравлического трения и условия Стефана на фронте промерзания. Получено аналитическое решение для координаты фронта промерзания от времени в виде квадратуры. Показаны результаты вычисления соответствующего интеграла численными методами.

Ключевые слова: трубопровод, фронт промерзания, теплота трения, условие Стефана, критерий Био, наружный теплообмен.

Большинство инженерных систем зданий, а именно системы отопления, холодного и горячего водоснабжения, а также системы теплоснабжения воздухонагревателей приточных вентиляционных установок и наружные инженерные сети используют в качестве рабочей среды жидкую воду. При этом в холодный период года всегда существует опасность замерзания трубопроводов, для предотвращения которого применяются различные инженерные решения. В частности, речь может идти о прокладке наружных сетей на соответствующей глубине, о надлежащей теплоизоляции труб, а в некоторых случаях — о создании интенсивной принудительной циркуляции воды, позволяющей использовать теплоту внутреннего трения. Однако в любой ситуации нельзя полностью исключить возможность аварий, и поэтому необходимо исследовать вопрос о скорости промерзания воды в трубопроводах.

Конечно, такой режим является заведомо нештатным и при математическом моделировании, например, гидравлического и теплового режима теплосетей обычно не рассматривается, причем как в нашей стране, так и за рубежом [1, 2]. Тем не менее изучение его необходимо, по крайней мере, для определения времени, имеющегося на устранение повреждения и решения вопроса о средствах и возможностях по его увеличению. Это может быть существенным при оценке энергоэффективности здания и его инженерных систем и при решении вопроса о необходимости тех или иных энергосберегающих мероприятий [3—7].

Рассматриваемая задача является одним из частных случаев задачи Стефана о перемещении границы раздела твердой и жидкой фаз и решалась неоднократно с теми или иными допущениями, в т.ч. и в последнее время. В частности, в этой связи можно упомянуть [8—16], а применительно к трубопроводам — [17] с участием автора предлагаемой работы. В последнем случае в качестве одного из упрощений принималось, что температура на наружной поверхности трубы известна и постоянна, что соответствует граничным условиям 1-го рода. Однако на практике это можно считать более

или менее справедливым только при подземной прокладке, особенно бесканальной, когда в качестве такой температуры можно принимать температуру грунта на уровне заложения трубопровода. В то же время возможны ситуации, в первую очередь для внутренних сетей, когда трубопровод прокладывается открыто и, таким образом, необходимо учитывать характер теплообмена на его поверхности с окружающей средой, что, в свою очередь, требует перехода к граничным условиям 3-го рода.

Запишем для этого случая соответствующую систему дифференциальных и алгебраических уравнений теплового баланса, теплообмена и внутреннего теплового потока за счет турбулентного трения. Прежде всего, рассмотрим соотношение для линейной плотности теплового потока q Вт/м, через поверхность фронта промерзания [17—18]: 2nXt In

где r'F = rF /ro — безразмерный текущий радиус фронта промерзания rF по отношению к радиусу трубопровода ro, м; tпов — температура на наружной поверхности трубопровода, °С; X — теплопроводность льда, Вт/(мК).

Предполагается, что температура замерзания воды равна нулю, а несовпадением наружного и внутреннего радиуса трубы в данном случае пренебрегаем. Из условия Стефана, имея в виду, что удельная поверхность границы раздела фаз на 1 пог. м трубопровода равна 2nrF, та же самая величина qt запишется так:

dr'

q = 2пРгш r0 rF dT-

где p и гпл — соответственно плотность льда, кг/м3, и его удельная теплота плавления, Дж/кг. Величина q^, Вт/м, представляет собой линейную плотность потока теплоты от трения при движении воды в трубопроводе. Несложно показать, что данный параметр может быть выражен как

<?йр = nRro r'P2W

где w — скорость движения воды, м/с; R — удельные потери давления на трение, Па/м.

Для гидравлически гладких труб имеется выражение [19—20]

w1,79

R = 3,2 -104, , W,29.

Наконец, на наружной поверхности трубопровода справедливо условие поверхностного теплообмена:

q = 2nroa{

где tB — температура воздуха, окружающего трубопровод, °С; а — коэффициент полного теплообмена, Вт/(м2-К).

В первом приближении его можно считать постоянным по длине, поскольку, как известно, при одном и том же диаметре трубы он зависит в первую очередь от разности температур (tB - tпов), а эта разность не должна существенно меняться, поскольку по условию задачи t = const, а t в режиме начавшегося промерзания также будет определяться практически только величиной t и а.

Решение системы (1)—(3) можно записать в безразмерном виде в форме интеграла

| г, (VВг -Ь(г'))Фр

•1 1 + В (У Вг - 1п (г'р))! г^1' 1 '

где параметр Ро' представляет собой модифицированный критерий Фурье (безразмерное время); комплекс Вг — безразмерный критерий Био, характеризующий соотношение наружного теплообмена и внутренней теплопроводности. Они определяются в данном случае по выражению

= Щ, Вг =аО,

РГЛ Ь

где т — время, с, с момента начала промерзания. Величина В показывает влияние трения в жидкости на тепловой поток qv Можно показать, что с учетом

В = А1X

и.

где А =

3,3-104

1 3 \1,29

Заметим, что, поскольку tн < 0, учет В в соотношении (4) приводит к росту Ро', что физически достаточно очевидно, ибо теплота трения должна приводить к замедлению промерзания. Интеграл (4) можно вычислить численными методами.

Результаты расчетов для Вг = 0,67, что соответствует реальным условиям теплообмена для трубы с наружным диаметром 325 мм, и различных В показаны на рисунке сплошными линиями. Для сравнения пунктиром изображена зависимость Ро' от грпри Вг ^да и В = 0, т.е. без учета теплоты трения и при граничных условиях первого рода для сопоставления с аналитическим решением, приведенным в [17].

1,2

Го'

0,8 0,6 0,4 0,2 0

В^О

^ - - 0,( юоз и = 0,001 и = -0.01

- - __ — — ^ — _.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 !

'V

Зависимость величины Fo' от гр по уравнению (4) при различных значениях параметров В и Вг

Легко видеть, что при Bi < да промерзание происходит более медленно из-за наличия дополнительного сопротивления теплообмену на наружной поверхности трубопровода. В то же время для каждого Bi сохраняется некоторое предельное значение В, при котором Fo'^-да, что физически означает прекращение дальнейшего промерзания вследствие компенсации стока теплоты в окружающую среду внутренними тепловыделениями за счет трения. Таким образом, поскольку величина Bi снижается с уменьшением r трубы с меньшими диаметрами находятся в более выгодных условиях, а так как при этом еще и растет значение В, данный эффект усиливается. Следовательно, с точки зрения дополнительной защиты от промерзания целесообразно принимать пониженные диаметры трубопроводов, что увеличивает сопротивление наружному теплообмену и долю теплоты трения.

Библиографический список

1. Карев Д.С., Мельников В.М. Математическое моделирование тепловых сетей закрытых систем централизованного теплоснабжения // Вестник МГСУ 2011. № 7. С. 444—451.

2. Gabrielaitiene I. Numerical simulation of a district heating system with emphases on transient temperature behavior // Environmental Engineering : Pap. of the 8th Inter. Conf. May 19—20, 2011, Vilnius, Lithuania. 2011. Vol. 2. Рр. 747—754.

3. Горшков А.С. Энергоэффективность в строительстве: вопросы нормирования и меры по снижению энергопотребления зданий // Инженерно-строительный журнал. 2010. № 1. С. 9—13.

4. Гагарин В.Г., Козлов В.В. Требования к теплозащите и энергетической эффективности в проекте актуализированного СНиП «Тепловая защита зданий» // Жилищное строительство. 2011. № 8. С. 2—6.

5. Kapalo P. Energy efficiency buildings Energy for hot water // Visnik Nacional'nogo universitetu Evivska politechnika. 2008. No. 627. Рр. 223—225.

6. Citterio M., Cocco M., Erhorn-Cluttig H. Thermal bridges in the EPBD context: overview on MS approaches in regulations // EPBD Buildings Platform. 2008. Режим доступа: http://www.buildup.eu/sites/default/files/P064_EN_ASIEPI_WP4_IP1_p3073.pdf/. Дата обращения: 18.05.2014.

7. Dylewski R., Adamczyk J. Economic and ecological indicators for thermal insulating building investments // Energy and Buildings. 2012. No. 54. Pp. 88—95.

8. Парфентьев Н.А., Парфентьева Н.А. Математическое моделирование теплового режима конструкций при фазовых переходах // Вестник МГСУ 2011. № 4. С. 320—322.

9. Лапина Н.Н., Пушкин В.Н. Численное решение одномерной плоской задачи Стефана // Вестник Донского государственного технического университета. 2010. Т. 10. № 1. С. 16—21.

10. Акимов М.П., Мордовской С.Д., Старостин Н.П. Воздействие подземного трубопровода теплоснабжения на вечномерзлые грунты Крайнего Севера // Вестник СевероВосточного федерального университета им. М.К. Аммосова. 2012. Т. 9. № 2. С. 19—23.

11. Акимов М.П., Мордовской С.Д., Старостин Н.П. Численный алгоритм для исследования влияния бесканального подземного трубопровода теплоснабжения на веч-номерзлые грунты // Математические заметки ЯГУ 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 125—131.

12. Dos Santos G.H., Mendes N. Combined heat, air and moisture (HAM) transfer model for porous building materials // Journal of Building Physics. 2009. Vol. 32. No. 3. Pp. 203—220.

13. Miseviciute V., Martinaitis V. Analysis of ventilation system's heat exchangers integration possibilities for heating season // Environmental engineering : Pap. of 8th conf. of VGTU. 2011. Vol. 2. Pp. 781—787.

14. Кузнецов Г.В., Половников В.Ю. Анализ тепловых потерь теплотрубопроводов в условиях взаимодействия с влажным воздухом // Энергосбережение и водоподготов-ка. 2009. № 2. С. 37—39.

15. Малявина Е.Г., Иванов Д.С. Расчет трехмерного температурного поля грунта с учетом промерзания при определении теплопотерь // Вестник МГСУ 2011. Т. 1. № 3. С. 371—376.

16. Малявина Е.Г., Иванов Д.С. Определение теплопотерь подземной части здания расчетом трехмерного температурного поля грунта // Вестник МГСУ 2011. № 7. С. 209—215.

17. Парфентьева Н.А., Самарин О.Д. Решение задачи Стефана при промерзании трубопроводов // Вестник МГСУ 2007. № 1. С. 67—70.

18. Парфентьева Н.А., Самарин О.Д., Кашинцева В.Л. О применении и решении задачи Стефана в строительной теплофизике // Вестник МГСУ 2011. № 4. С. 323—328.

19. Самарин О.Д. Расчет потерь напора в полимерных трубах // Сантехника. 2014. № 1. С. 22—23.

20. Махов Л.М., Самарин О.Д. О расчете потерь давления в элементах систем водяного отопления // Вестник МГСУ 2009. Спецвып. № 2. С. 439—443.

Поступила в редакцию в декабре 2014 г.

Об авторе: Самарин Олег Дмитриевич — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры отопления и вентиляции, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 188-36-07, samarin1@mtu-net.ru.

Для цитирования: Самарин О.Д. Решение задачи о промерзании трубопроводов с учетом наружного теплообмена // Вестник МГСУ 2015. № 1. С. 90—96.

O.D. Samarin

SOLUTION OF THE PROBLEM OF PIPES FREEZING WITH ACCOUNT FOR EXTERNAL HEAT EXCHANGE

The author considered the problem statement on the pipes freezing in emergency regimes of building engineering systems and external pipe nets using liquid water as working fluid under boundary conditions of the 3rd type. This problem is a high-priority task now because of actualization of building standards in Russian Federation and because of the increasing requirements to safety and security of heat supply. That's why it is very important to find a simple but accurate enough dependence for the freezing time in pipe nets.

The system of differential and algebraic equations of external heat exchange and internal heat transfer with account for heat ingress from hydraulic friction at water flow and Stephan's condition on the freezing front is presented. The analytical solution of the given system is obtained as a quadrature for the dependence of the current coordinate of the freezing front.

The results of numerical calculation of the corresponding integral are shown and their comparison with the former author's researches concerning the solution of the considered problem at the boundary conditions of the 1st type is conducted. It is shown that the account of intensity of external heat exchange causes retarding of freezing because of adding thermal resistance on the external surface of the pipe. The former author's conclusion on the existence of the ultimate water velocity, when freezing doesn't take place, is verified. The area of use of the presented dependence is found. The obtained model contains is easy to use in engineering practice, especially during preliminary calculations. The presentation is illustrated with numerical and graphical examples.

Key words: pipe, freezing front, friction heat, Stephan's condition, Bio's number, external heat exchange.

References

1. Karev D.S., Mel'nikov V.M. Matematicheskoe modelirovanie teplovykh setey zakrytykh sistem tsentralizovannogo teplosnabzheniya [Mathematical Simulation of Heat Supply Nets in Closed Systems of District Heating]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 7, pp. 444—451.

2. Gabrielaitiene I. Numerical Simulation of a District Heating System with Emphases on Transient Temperature Behavior. Environmental Engineering : Pap. of the 8th Inter. Conf. May 19—20, 2011, Vilnius, Lithuania. 2011, vol. 2, pp. 747—754.

3. Gorshkov A.S. Energoeffektivnost' v stroitel'stve: voprosy normirovaniya i mery po snizheniyu energopotrebleniya zdaniy [Energy Efficiency in Construction: Problems of Standardizing and Measures to Decrease Energy Consumption of Buildings]. Inzhenerno-stroitel'nyy zhurnal [Magazine of Civil Engineering]. 2010, no. 1, pp. 9—13.

4. Gagarin V.G., Kozlov V.V. Trebovaniya k teplozashchite i energeticheskoy effektivnos-ti v proekte aktualizirovannogo SNiP «Teplovaya zashchita zdaniy» [The Requirements to the Thermal Performance and Energy Efficiency in the Project of the Updated Snip "Thermal Performance of the Buildings"]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2011, no. 8, pp. 2—6.

5. Kapalo P. Energy Efficiency Buildings Energy for Hot Water. Visnik Nacional'nogo universitetu Lvivska politechnika [News of Technical University of Kosice]. 2008, no. 627, pp. 223—225.

6. Citterio M., Cocco M., Erhorn-Cluttig H. Thermal Bridges in the EPBD Context: Overview on MS Approaches in Regulations. EPBD Buildings Platform. 2008. Available at: http:// www.buildup.eu/sites/default/files/P064_EN_ASIEPI_WP4_IP1_p3073.pdf/. Date of access: 18.05.2014.

7. Dylewski R., Adamczyk J. Economic and Ecological Indicators for Thermal Insulating Building Investments. Energy and Buildings. 2012, no. 54, pp. 88—95. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/j.enbuild.2012.07.021.

8. Parfent'ev N.A., Parfent'eva N.A. Matematicheskoe modelirovanie teplovogo rezhima konstruktsiy pri fazovykh perekhodakh [Mathematical Simulation of the Thermal Regime of Constructions under Phase Transitions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, pp. 320—322.

9. Lapina N.N., Pushkin V.N. Chislennoe reshenie odnomernoy ploskoy zadachi Stefana [The Numerical Solution of One-Dimensional Planar Stephan's Problem]. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Vestnik of DSTU. Theoretical and Scientific-Practical Journal of Don State Technical University]. 2010, vol. 10, no. 1, pp. 16—21.

10. Akimov M.P., Mordovskoy S.D., Starostin N.P. Vozdeystvie podzemnogo trubopro-voda teplosnabzheniya na vechnomerzlye grunty Kraynego Severa [The Influence of Buried Heat Supply Pipe on Constantly Frozen Soils of the Extreme North]. Vestnik Severo-Vostoch-nogo federal'nogo universiteta im. M.K. Ammosova [Vestnik of Yakutsk State University named after M.K. Ammosov]. 2012, vol. 9, no. 2, pp. 19—23.

11. Akimov M.P., Mordovskoy S.D., Starostin N.P. Chislennyy algoritm dlya issledo-vaniya vliyaniya beskanal'nogo podzemnogo truboprovoda teplosnabzheniya na vechnomerzlye grunty [The Numerical Algorithm for the Research of the Influence of Non-Channel Underground Heat Supply Pipe on Constantly Frozen Soils]. Matematicheskie zametki YaGU [Mathematical notes of North-Eastern Federal University in Yakutsk]. 2010, vol. 17, no. 2, pp. 125—131.

12. Dos Santos G.H., Mendes N. Combined Heat, Air and Moisture (HAM) Transfer Mod-El for Porous Building Materials. Journal of Building Physics. 2009, vol. 32, no. 3, pp. 203—220.

13. Miseviciute V., Martinaitis V. Analysis of Ventilation System's Heat Exchangers Integration Possibilities for Heating Season. Environmental engineering : Pap. of 8th conf. of VGTU. 2011, vol. 2, pp. 781—787.

14. Kuznetsov G.V., Polovnikov V.Yu. Analiz teplovykh poter' teplotruboprovodov v us-loviyakh vzaimodeystviya s vlazhnym vozdukhom [Analysis of Heat Losses of the Heat Supply Pipes in Case of Interaction with Moist Air]. Energosberezhenie i vodopodgotovka [Energy Saving and Water Treatment]. 2009, no. 2, pp. 37—39.

15. Malyavina E.G., Ivanov D.S. Raschet trekhmernogo temperaturnogo polya grun-ta s uchetom promerzaniya pri opredelenii teplopoter' [Calculation of Three-Dimensional Temperature Field of the Soil in View of Freezing While Estimating Heat Losses]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, vol. 1, no. 3, pp. 371—376.

16. Malyavina E.G., Ivanov D.S. Opredelenie teplopoter' podzemnoy chasti zdaniya raschetom trekhmernogo temperaturnogo polya grunta [Estimation of Heat Losses of the Underground Part of a Building by Calculating Three-Dimensional Temperature Field of the Soli]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 7, pp. 209—215.

17. Parfent'eva N.A., Samarin O.D. Reshenie zadachi Stefana pri promerzanii trubo-provodov [Solution of the Stephan's Problem in Case of Pipe Freezing]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2007, no. 1, pp. 67—70.

18. Parfent'eva N.A., Samarin O.D., Kashintseva V.L. O primenenii i reshenii zadachi Stefana v stroitel'noy teplofizike [On Applying and Solving the Stephan's Problem in Building Thermal Physics]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 4, pp. 323—328.

19. Samarin O.D. Raschet poter' napora v polimernykh trubakh [Calculation of Head Losses in Plastic Pipes]. Santekhnika [Sanitary Engineering]. 2014, no. 1, pp. 22—23.

20. Makhov L.M., Samarin O.D. O raschete poter' davleniya v elementakh sistem vodya-nogo otopleniya [On Calculation of Pressure Losses in the Elements of Water Heating Systems]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. Special issue. 2009, no. 2, pp. 439—443.

About the author: Samarin Oleg Dmitrievich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Heating and Ventilation, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 188-36-07; samarin1@mtu-net.ru.

For citation: Samarin O.D. Reshenie zadachi o promerzanii truboprovodov s uchetom naruzhnogo teploobmena [Solution of the Problem of Pipes Freezing with Account for External Heat Exchange]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 1, pp. 90—96.