Влияние флуктуаций концентрации электронов в плазменном цилиндре с немонотонным законом изменения концентрации электронов на интенсивность поля в области каустической тени

Физико-математическое моделирование

УДК 629.396

ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕМОНОТОННЫМ ЗАКОНОМ ИЗМЕНЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ НА ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОЛЯ В ОБЛАСТИ КАУСТИЧЕСКОЙ ТЕНИ

А.В. Тишуков, А.П. Ярыгин

Методом интерференционного интеграла для статистических задач получены выражения, определяющие интенсивность поля в области каустической тени, которая образуется за плазменным цилиндром с немонотонным законом изменения концентрации электронов по радиусу в присутствии в нем флуктуаций электронной плотности. Приведены графические зависимости интенсивности поля от показателя, определяющего степень немонотонности изменения концентрации электронов, интенсивности флуктуаций электронной плотности, дан сравнительный анализ для случая плазменного цилиндра с монотонным законом изменения концентрации электронов по радиусу в присутствии в нем флуктуаций электронной плотности

Ключевые слова: немонотонный закон, интерференционный интеграл, каустическая тень

Как показано в работе [1], амплитуда поля в области каустической тени может возрастать при наличии в плазменном образовании флуктуаций концентрации электронов, что обусловлено рассеянием на них падающей волны. В этой связи из-за флуктуаций возникает процесс образования микромноголучевости. Результаты, полученные в работе [1], относятся к случаю, когда среднее значение концентрации электронов изменяется по закону N ~ Ь2/г2.

Исследование влияния немонотонного радиального закона изменения концентрации электронов на поле в области каустической тени проведём на модельной задаче рассеяния плоской электромагнитной волны на сферически симметричном плазменном образовании с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов, для которого диэлектрическая проницаемость описывается выражением:

£( Г ) =

\-р--abl

i,

г < a,

г > a,

где а - параметр, определяющий

степень немонотонности изменения концентрации электронов по радиусу плазменного образования, изменяется в пределах

-0.25 <а< 0 ,

Ь - параметр, характеризующий размер плазменного образования по уровню критической концентрации электронов Nкр при которой

е( N..) = 0,

Тишуков Андрей Владимирович - ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», адъюнкт, e-mail aboltys2006@mail.ru

Ярыгин Анатолий Петрович - ВГТУ, ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 244-76-38

a - внешний радиус плазменного образования (a » b). b - варьируемый параметр. При этом

ГКР = b

С этой целью, как и в работе [1], рассмотрим модельную задачу рассеяния плоской волны на сферически симметричном плазменном образовании со статистически изотропными квазиоднородными флуктуациями концентрации электронов, у которого среднее значение диэлектрической проницаемости изменяется по закону (1), а функция корреляции флуктуаций диэлектрической проницаемости e1 (Г) описывается Гауссовой кривой при этом интенсивность флуктуаций а пропорциональна

квадрату среднего значения концентрации электронов N2 :

B ^ 4) = s

2R = Г + r2

R ) К, R

хexp (-p2 / p\ )xg где p0 - радиус корреляции, p = \r - r2|,

g - параметр, характеризующий

интенсивность флуктуаций.

Для решения этой задачи воспользуемся методом интерференционного интеграла лучевого типа для статистических задач при условии

крупномасштабных флуктуаций (кр0 » 1) [2].

В соответствии с этим методом рассеянное поле представляется в виде:

где

U

ik

dp

полный интеграл,

^0 '

определяемый из уравнения эйконала для плазменного образования в отсутствии флуктуаций,

" Ь

г

+ J_. f Т = i-fit-a

дг ) Г2 \ дв J Г

х

Г

Г

и удовлетворяющий на поверхности ( r = a ) граничным условиям:

Lj _=„= -a cos (j),

0 I r=a

ЭLr

0.

Ь1 (г, р) - есть первое с учетом флуктуаций приближение для эйконала парциальной волны [4] г - радиус вектор точки наблюдения, р - параметр разделения переменных в уравнении эйконала,

а - внешний радиус плазменного образования (а » Ь),

р - угловая координата точки на поверхности плазменной сферы радиуса а ,

А (г, р) - амплитуда парциальных волн. Приравнивая закон изменения диэлектрической проницаемости е( г) (выражение (1)) к нулю,

получим уравнение

(

1 -p—-a

2

которое можно преобразовать к квадратному уравнению

r2 -pbr -ab2 = 0

кр Г' кр

решением которого является

pb+j(fib )2 + 4ab2 2

Из физических соображений выбран наибольший корень, который соответствует

траектории луча, проходящего в третьей области плазменного образования, где г > гкр тах как показано на рисунке 1.

Рис. 1. Диэлектрическая проницаемость плазменного цилиндра

Параметр разделения р связан с угловой координатой точки р на поверхности сферы

следующим соотношением, граничных условий

d2 L

I

которое следует из

= •

В случае большой дисперсии фазы

парциальных волн для крупномасштабных

неоднородностей (кр0 »1) можно получить

следующее выражение для средней интенсивности поля в области каустической тени [2]:

х ехр

f ЭЬ0 / Эp j

dp

в

где А (г, р) определяется выражением,

Л (^ р):

-ik x 2*W)

f V/2 f

e(r) j a e(a)-p e(a) I r2e(r)-p

2ЛІ/4 2

,

G2 (r, p)= ^

- квадрат дисперсии

отклонений луча, вычисленный в первом

приближении теории возмущения.

Выражение для Ц (г, р) может быть получено из решения уравнения [17]:

2

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое решается методом разделения переменных с учетом граничных условий (8), (9) . В полярной системе координат уравнение примет вид:

Э^ j f ЭЬ

Эг А Эг

і fЭи jf эь

r У Эв А Эв

e1

2

где Ь0 определяется выражением (26). Тогда уравнение (17) преобразуется к виду:

Ф

r

Г f ЭL1

і +—т і

г у дг ) г У дв) 2

Применяя метод разделения переменных к

ЭЬi j е1

уравнению (17), обозначим | -Эв

q = const . Тогда

искомое решение представим в виде:

Ь

Подставляя (20) в уравнение (19), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

(г) е1 (г)г РЧ

dr

2^1 r 2e

1

r=a

2

a

r=a

b

2

0

r

r

r

x

r =

кр

+

2

йЬи

йв

с граничным условием: йЬ,,

йв

Решая систему уравнений (21), (22) с учетом (20), получим искомое решение для Ь1:

Ь1(г ) = Т

ге1 (г) йг ^ ге1 (г) йг

г„4г 2е( г)-р2 г„^г 2е(г)-р2

/

Входящее в выражение (15) частную ЭЬ„

производную | —- | нетрудно вычислить, используя

Эр

выражение (25).

а(Л1г 2е( г)-р2 Ь0 (г, в) = I ^У ’ йг +

' ф'2е(г)-р:

йг +

+ р {в-ф)~ а соб (ф),

где гп определяется из уравнения:

2

ЭЬт1=в-и

гп'е( гп )-р2 = °.

рйг

гл1г2е(г)-р2 гп г^1г2е(г)-р1

где интегралы, стоящие в выражении (27) являются табличными [5], но в силу громоздкости записи значений интегралов их явный вид не приводится и используется только в алгоритме численных расчетов.

Квадрат дисперсии отклонения луча О2

может быть получен на основе использования выражения (24).

р)=^ ( ЭЬ V Эр

/ а г \ +[

V гп гп J (г

/ а г I +1 1

V гп гп J (г?

ге1 (г1) йг1_____________________г1е1 (г1) йг1

е1 ( г2 ) йг2_г2е1 ( г2 ) йг2

1> Х

Эг

Эр

Заметим, что при г12 = гп знаменатель выражения (28) обращается в ноль, где гп удовлетворяет уравнению(26).

Решением (11) является выражение (12).

/5Ь + ^

2

Однако заметим что в целом выражение (28) не имеет расходимости в точке г12 = гп. Это нетрудно

показать, проинтегрировав по частям стоящие в выражении (28) интегралы.

В результате получим: 02 (г, р ) =

4

1+1

гп

1+1

е1

йе (Г1) / й/1

)

где г - точка наблюдения.

Далее, умножая почленно и проводя усреднение, получим выражение

0 2 (г, р ) =

..2 Гаа " Г Э2Ве

4 I ^ I Эг, Эг,

гп гп гп гп

тШ + Л (г-е(г,)-р)-'«

2р2 а гЭВ(г1,г2) -

((г22е( г2 )- р2 ) 1/2 ) йг1йг2 + II Э Э 1 ' 4 г;<гг;<г Эг1Эг2

( ^ г! )-р2 )-1/2 (( г22е( г2 )-р2 )-1/2 ) +

+

2е( г )- р

ЭВе1 (Г1,г1 ) Г( 2„( ) 2 )-1/2 Х

-----1-----1_(г е(г )-р ) Х

йг1йг2

+^4 Ве (г,г)(г2е(г )-р1 ) +

2 а г

+р- II +1

Эг1

йг1,

Х(( П2е( г1)- р2 )-1/2) +

+

где Ве (г1, г2) определяется по формуле (5). Нетрудно показать, что

Э2ве (^ г2) 1

тогда как

Эг1Эг2 Р

Эве

>0.

Эг1

Ве

Учитывая большой параметр Ь / р0 » 1, двумя последними слагаемыми в выражении (31) можно пренебречь. Поскольку функция корреляции

диэлектрической проницаемости отлична от нуля на расстоянии не больше радиуса корреляции р0 , который мал, то при гп ^ г интегралы с пределами интегрирования [гп, а] и [гп, г ] совпадают.

Тогда выражение для О2 (г, р) = /1 ЭЬ-

Н Эр

примет вид:

О2 (г, р) = р2 х

” Э2Ве

Х| I-Эг Эг’ 2 1( г12е ( г1 ) - р 2 ) ( г22е( г2 ) - р 2 )1 йг1йг2

.

г = а

Х

а

Х

Г

г

г р

Х1 —

3/2

1/2

2

22

г2=г

Учитывая, что |г - г21 = р^ 1, то есть г1 » г2,

явный вид функции корреляции диэлектрической проницаемости имеет вид:

Ве( ги г2) - Г2 Х

x exp i-p p0

Тогда вторая производная примет вид

Э2Bє1

x.

Эr1Эr2

a 'R J + MR J +b (R

xr — p„

и в результате

1 -~pr(-- i Ґ p0

exp i-p p0

G2 (-,p) = Sg2

Х| I]1 -р;2 ( г1 - г2 )2 ( 2 Р"2 |(г12е( г1 )-р2 )( г2е ( г2 )-р2)| йгйг2-

г г» I Р0 J

Первое слагаемое в двойном интеграле выражения (38) имеет особенность в точке г = гп .

Рассмотрим первое слагаемое интеграла в окрестности точки гп . Пусть г1 - гп < А ; г2 - гп < А , при этом А < р0 / 4 . Тогда

йг1йг2

Ii =I I

.

Подставляя в выражение (39) явный вид є(-i).

получим

-+А-+А

I' =I I

(-1 - рЬ-i -(аЬ2 + p2))(— - рЬ-S -(аЬ2 + p2 ))|

^(-п +АҐ ~ЬЬ (-п + А)-(аЬ + P2 )+ 2 (-п +А)~ЬЬ

^-П -ЬЬ-п -(аЬ + P2 ) + -ЬЬ

Разлогая логарифм в ряд Тэйлора и пренебрегая членами малых порядков, имеем:

I »____г______

1 г*\2гп -Ръ\

Отметим, что выражение при р = 0

соответствует монотонному закону распределения среднего значения концентрации электронов

N ~ — :

э 2

Г

I

1 SrS

Для вычисления /1 вне окрестности гп и второго слагаемого выражения (38), учитывая

большой параметр — » 1, применим метод Лапласа,

Р0

обобщенный для случая стационарной линии [3]. А именно, для интеграла вида:

I = 1}/

S

где g » 1, функция Ф (*, у) стационарна на

некоторой линии g, определяемой из условия

УФg = 0, и достигает на ней максимума. Этот

случай рассмотрим особо, поскольку именно этот случай реализуется в двойных интегралах, входящих в выражение (38). В соответствии [1]:

I = 2]Tg/2Ig ,

n=1

где

I"g) =

Fn = div[Fn_lA} ; Fi = div{/A} ; F0 = / ,

A =дФ[УФ/

(y-yj )0

Используя алгоритм асимптотического

разложения интеграла (44)-(47) и учитывая интегрируемую особенность подынтегральных

функции, вычислим двойной интеграл (38).

Рассмотрим первое слагаемое интеграла вне окрестностей точки гп:

Ii =I I

(-i-h )S p° dr1dr2

-п +є-п +є|

,

где функция Ф = -(Г' -^)S - стационарна на

Р0 I, =г2 =|

Тогда по методу Лапласа, обобщенного для случая стационарной линии

Il =

riM ri)- p2

pa4P .

J

Применим метод Лапласа ко второму слагаемому выражения для квадрата дисперсии отклонения луча, вычисленного в первом

приближении теории возмущения (38).

dr1dr2

S ii (i - i )S e

Is =P^2І' І|

p0 -п-п |(-1 Є (Г1 )-P )(i Є (i )-P )|

Функция Ф = - (Г' - і )S - стационарна на линии

(ri - i )S

|(rl2 є (Г1 )- P2 )(^ є ( —S )- P2 )| Тогда ^4 = -(Г- j)/4 ; = 4;

x

x

x

e

r,„ r.

линии r1 = rS

dr1drS

Г

п

r+

r1 = rS

Эг1 Эг2

2 У

( г1 - г2 )2

(г12е(г1 )- р2 )(г22е(г2 )- р2 )|

Здесь не учитывается производная от знаменателя, поскольку на стационарной линии она всегда будет обращаться в ноль. Далее, вычисляя

Эг1 Эг2

2 У

после преобразований получим, что при п = 3 значение интеграла /2 (51) примет вид:

г

I

йг1

|( г12е( г1)-р2 )|

рй4п .

Далее, поскольку |/^ = |/2|, но имеют разные знаки, то вне окрестности точки г12 = гп, О (г, р) = 0 .

Таким образом, результирующие выражение для квадрата дисперсии отклонения луча,

вычисленный в первом приближении теории возмущений, имеет вид:

о 2 (г, р )=

^ЭЬ^2

Эр

2 у2 р2 О

'С,

2 р2 О

,

где

Р0|2гп -РЬ\ ~7 Ь\2гп ~РЬ\

у1 Ь

СУ =

р0

с

у

интенсивность

электронов,

показатель характеризующий масштаб и флуктуаций концентрации

О (г ) =

а

+ 2аЬ

+р2

Отметим, что полученное выражение при р = 0 (56) совпадает с ранее известным [1] значением квадрата дисперсии отклонения луча, которое соответствует монотонному закону распределения среднего значения концентрации электронов:

О2 (г, р н

ЭЬ1

Эр

у2 р2 Ь4 Р0 гп

Таким образом, полученные выражения (15), (14), (27), (56), позволяют провести численные

расчеты интенсивности поля в области каустической тени в рассматриваемой модельной задаче.

При этом отметим что параметр Су,

определенный формулой (57), является, в

определенном смысле, интегральным параметром, в который входят такие параметры как у2 ,

характеризующий интенсивность флуктуаций, Ь , характеризующий размеры плазменного образования

по уровню критической концентрации электронов и р0 , характеризующий радиус корреляции флуктуаций концентрации электронов.

На основе выше полученных выражений был разработан алгоритм для проведения численных расчетов интенсивности поля в области каустической тени при различных значениях параметров, характеризующих интенсивности, масштаб флуктуаций, и различных значений размеров плазменного образования по уровню критической концентрации электронов.

На рисунке 2 (б) приведены расчетные

зависимости средней интенсивности поля в области каустической тени от расстояния (в относительных единицах готн = г / гкр ) для различных значений

интегрального параметра су . Для сравнения на

рисунке 2 (а) приведены те же зависимости для монотонного закона распределения среднего значения концентрации электронов в плазменном образовании, которые, как показывает анализ, совпадают с графическими зависимостями, полученными в работе [1]. Совпадение полученных результатов подтверждает достоверность результатов численных расчетов.

б) Немонотонный

Рис. 2. Интенсивности поля в области каустической тени за плазменным образованием с учетом флуктуаций концентрации электронов

Сравнительный анализ интенсивности поля в области каустической тени за плазменным

0

1/2

г = г

1 '2

2

г, +е

образованиями с флуктуациями концентрации электронов для монотонного и немонотонного закона изменения среднего значения концентрации электронов показывает, что для случая, когда в плазменном образовании реализуется немонотонный закон распределения концентрации электронов эффект возрастания интенсивности поля проявляется в меньшей степени чем для плазменного образования с монотонным законом изменения концентрации электронов. Это можно объяснить тем, что ширина области каустической тени за плазменным образованием с немонотонным законом шире за плазменным образованием с монотонным законом изменения концентрации электронов, а

следовательно и интегральное затухание микролучей, рассеянных на флуктуациях больше.

Кроме того, отметим, что входящие в интегральный параметр су параметры у, р0 , Ь ,

определяющие, соответственно, интенсивность, радиус корреляции флуктуации электронов и продольный размер плазменного образования по уровню критической концентрации электронов, позволяют исследовать влияние на интенсивность поля в области каустической тени, соответственно, параметров входящих в выражение для Су. А

именно, интенсивность поля в области каустической тени будет возрастать с увеличением интенсивности флуктуаций р0 , с уменьшением радиуса корреляции у, при фиксированном значении продольного размера плазменного образования по уровню критической концентрации Ь . Далее, заметим, что с увеличением длинны волны произведение кр0 будет

уменьшаться и в этом случае необходимо проверять выполнение условия кр0 » 1 .

В заключение отметим, что данная работа является продолжением комплексного исследований электродинамических

характеристик плазменных образований с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов [6].

Литература

1. Соколова О.А. Рассеяние электромагнитной волны на радиально неоднородном плазменном образовании с флуктуациями концентрации электронов. 1990. т.33. 1055-1059 с.

2. Авдеев В.Б., Демин А.В., Кравцов Ю.А., Тинин М.В., Ярыгин А.П. Метод интерференционного интеграла. Известия высших учебных заведений. Радиофизика. 1988. т.ХХХ1. 2979-2995 с.

3. Конторович М.И., Каратыгин В.А., Розов В.А. Асимптотическое вычисление двойного интеграла для случая стационарной линии. ЖВМ и МФ. 1970. т.10. № 4. 811 с.

4. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука, 1980. 304 с.

5. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1978. 228 с.

6. Тишуков, А. В. Эффективная поверхность

рассеяния аксиально-симметричных двумерно

неоднородных плазменных образований с немонотонным радиальным законом изменения концентрации электронов [Текст] / А. В. Тишуков, А. П. Ярыгин // Вестник Воронежского государственного технического

университета. - 2012. - Т. 8. - № 10-1. - С. 70-74.

Воронежский государственный технический университет

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

INFLUENCE OF FLUCTUATIONS OF THE ELECTRON CONCENTRATION IN THE PLASMA CYLINDER WITH UNMONOTONOUS LAW CHANGES THE ELECTRON CONCENTRATION ON THE INTENSITY OF THE FIELD IN THE REGION OF CAUSTIC SHADOWS A.V. Tishukov, A.P. Yarygin

By interferential integral for statistical problems are obtained expressions that determine the intensity of the field in the region of caustic shadow, which is formed plasma cylinder with non-monotone law changes in the concentration of electrons on the radius of the presence in it of fluctuations of the electron density. Graphic dependences field intensity from the intensity fluctuations of the electron concentration, metric, defines the degree of non-homogeneities of changes in the concentration of electrons, and a comparative analysis for the case of a plasma cylinder with monotonous law changes in the concentration of electrons on the radius of the presence in it of fluctuations of the electron density

Key words: non-monotone law, interference integral, caustic shadow