Трехмерный конечный элемент для моделирования температурной, упругой и термоупругой составляющих в связанной задаче термо-упругогидродинамики узлов трения

Трение и износ

УДК 519.3: 621.822

DOI: 10.12737/article 58f9c4d98171c0.05441349

М.В. Зернин, Н.Н. Рыбкин

трехмерный конечный элемент для моделирования

ТЕМПЕРАТУРНОЙ, УПРУГОЙ И ТЕРМОУПРУГОЙ СОСТАВЛЯЮЩИХ В СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОГИДРОДИНАМИКИ УЗЛОВ ТРЕНИЯ

Сформулированы требования в конечному элементу для моделирования поля температур, упругого и термоупругого деформирования деталей узлов трения. Приведены основные соотношения для аппроксимации искомых параметров в двадца-тиузловом конечном элементе трехмерной задачи. Кроме совместных функций формы введены также внеузловые несовместные функции формы третьего порядка. На серии тестовых примеров продемонст-

рированы преимущества квазисовместных аппроксимаций. Показано, что такой конечный элемент будет эффективен при решении задач термоупруго-гидродинамики узлов трения.

Ключевые слова: узлы трения, задачи тер-моупругогидродинамики, поле температур, упругие деформации, термоупругие деформации, метод конечных элементов, функции формы, аппроксимирующий полином, тестовые задачи.

M. V. Zemin, N. N. Rybkin

THREE-DIMENSIONAL FINITE ELEMENT FOR MODELLING THERMAL, ELASTIC AND THERMOELASTIC COMPONENTS IN THE COUPLED PROBLEM OF FRICTION

UNITS THERMOELASTICHYDRODYNAMICS

The scheme for the solution of the coupled problem of friction units thermoelastichydrodynamics is given. It is noticed that one of the main ways for decreasing labor input of the task solution may be the choice of the rational finite element providing decision accuracy at a big aspect ratio. Twenty-nodal three-dimensional finite element is chosen and in this finite element not only second order joint shape functions but also the third order out-of-node not joint shape func-

tions are used. By using some test examples for temperature, elastic and thermoelastic problems the advantages of such quasi-joint finite elements in comparison with joint ones are shown.

Key words: friction units, problems of hermoe-lastichydrodynamics, temperature field, elastic deformations, thermoelastic deformations, finite element method, shape functions, approximating polynomial, test problems.

Постановка задачи

В Брянском государственном техническом университете развиваются [1 - 5] конечноэлементные методы расчета гидродинамики динамически нагруженных подшипников скольжения (ПС) на основе двухмерных уравнений Рейнольдса [6; 7]. В этих статьях изложены основные алгоритмы и варианты их реализации с учетом различных факторов, влияющих на гидродинамику ПС. В Роспатенте зарегистрирована [4] первая версия комплекса программ BBFEM (Bearing Builder Finite Element Method), реализующая конечно-элементные алгоритмы при недеформи-руемых поверхностях ПС. Продолжается развитие методик расчетов гидродинамики ПС по нескольким направлениям. Одно из

направлений развития - учет влияния упругой податливости поверхностей. Во второй версии комплекса программ BBFEM реализована описанная в статье [3] приближенная методика учета податливости поверхностей. Выполняется подготовка к реализации третьей версии, в которой будет учтено неоднородное поле температур, а также упругие и термоупругие перемещения деталей ПС на основе трехмерного конечноэлементного моделирования.

Опишем термоупругогидродинамическую задачу (ТУГД-задачу) подробнее на основе схемы (рис. 1).

Здесь мы не приводим математические формулировки отдельных задач. Для гидродинамической задачи такие формулировки и их конечноэлементные вариан-

ты приведены в работах [1-7]. Для температурной, упругой и термоупругой задач аналогичные формулировки описаны достаточно подробно в монографиях [8; 9].

Опишем здесь только взаимосвязи трех задач и основные итерационные процедуры, которые необходимо реализовать в ТУГД-задаче.

Гидродинамическая задача

Рис. 1. Схема взаимодействия трёх типов задач

Если решать только гидродинамическую задачу (отыскание поля давлений в масляном слое при изотермических условиях и недеформируемых поверхностях), то реализуются [1-7] следующие нелинейные процедуры: поиск границ гидродинамического клина, обеспечение равновесия вала под действием внешней нагрузки и эпюры давлений. Если нагрузка на ПС динамическая, то задача обычно дискретизи-руется по временной координате и организуется переход от одного момента времени к другому по схеме одного из шаговых методов. Этот цикл является внешним по отношению к схеме, изображенной на рис. 1. Но часто условия нагружения в зоне гидродинамического контакта таковы, что поверхности трибоузла упруго деформируются от действия давлений. Также в масляном слое существенно повышается температура, причем поле температур может быть неоднородным. Это приводит к изменению вязкости масла и значимым термоупругим деформациям поверхностей. Требуется многократное решение указанных нелинейных задач в трехмерной постановке. Фактически гидродинамическая задача должна быть решена многократно, и трудоемкость решения такой ТУГД-задачи

возрастает во много раз.

Для компьютерной реализации алгоритма должны быть предусмотрены меры по повышению его эффективности, в том числе за счет выбора рационального типа конечных элементов (КЭ) для температурной и упругой (термоупругой) задач. Кроме того, в трибоузлах часто имеются антифрикционные слои, толщина которых значительно меньше их размеров в других направлениях. Чтобы учесть при расчете свойства этих слоев, необходимо использовать КЭ, допускающие большие соотношения сторон без потери точности расчетов. При использовании квазисовместных аппроксимаций [10] можно эффективно разрешить эту проблему и снизить трудоемкость решения ТУГД-задачи более чем на порядок. Фактически появляется возможность подойти к решению нового класса задач: центр внимания можно переместить на более точное описание слоя жидкости с учетом неоднородности полей температур и деформаций. При этом можно удовлетворить противоречивые требования к сеткам КЭ: площадку контакта разбивать из соображений точности расчета параметров взаимодействия и определения ее границ, объемные детали с тонкими

слоями можно моделировать малым количеством КЭ.

Двадцатиузловой трехмерный конечный элемент с совместными и квазисовместными аппроксимациями

Методика построения двадцатиузло-вого трехмерного КЭ для решения температурной, упругой и термоупругой задач с совместными аппроксимациями достаточно подробно описана в монографиях [8; 9]. Концепцию изопараметричности для координат {г}={г1...гя ] и перемещений

{(5 } = {(.. } произвольной точки элемента можно отразить зависимостями

{г (И>}=1^ ((р)Ж},

2=1

<

2=1

Каждая из функций формы (г = 1... п) принимает значение, равное единице, в г -м узле и нулевые значения в остальных узлах элемента. Свойство совместности означает, что у элементов с общей границей перемещения во всех ее точках будут совпадать, так как узловые перемещения этих элементов одни и те же. На каждой стороне изопараметрического элемента расположено определенное число узлов. Считается, что элемент имеет порядок 5, если на его стороне расположено 5 +1 узлов. Согласно рассмотренной математической модели [8; 9] был построен совместный двадцатиузловой изопарамет-рический элемент. Нумерация его узлов представлена на рис. 2б, функции формы

где N. ({р}) - совместные функции формы изопараметрических элементов;

{р}= {р1... Р т } - криволинейные координаты; {г} = {г1г. ...г^} - векторы узловых координат; {( } = {51г... 5. } - векторы узловых

перемещений; п - число узлов элемента.

Криволинейные координаты

р / (] = 1... т ) являются безразмерными переменными, изменяющимися на отрезке [-1;+1], причем единичные значения эти координаты имеют на границах элемента. На рис. 2 изображен двадцатиузловой конечный элемент второго порядка в прямоугольной системе координат (рис. 2а) и он же в криволинейной системе координат (рис. 2б). На рис. 2а изображены также компоненты векторов поля перемещений и узловых степеней свободы произвольного по форме элемента объемного тела.

14 '»18

2

приведены в табл. 1. Здесь = 1 + ЕЕ г,

Ло = 1 + ЛЛ. , Со = 1 + ССг .

Таблица 1.

Совместные функции формы двадцатиуз-лового элемента

Номера узлов г Функции формы N Л1 С

1,2...8 ЕЛоСо (Е> + Ло + С)/8 +1 +1 +1

9,11,13,15 ЛоСо (1 -12 )/4 о +1 +1

10,12,14,16 ЕоСо (1 -Л2 )/4 +1 о +1

17,18,19,20 ЕоЛо (1 - С2)/4 +1 +1 о

20 -О

1

а) б)

Рис. 2. Системы координат и перемещения произвольного по форме двадцатиузлового конечного элемента в глобальной (а) и локальной (б) системах координат

В квазисовместных КЭ [10] кроме приведенных в табл. 1 совместных функций формы использованы также для аппроксимации полей перемещений дополнительные функции формы N =(£3 -£)/6, N2 =(?!3-^)/6 и N3* = (с3 - с)/6, связанные с внеузловыми внутренними степенями свободы элементов. Эти дополнительные функции формы нарушают совместное распределение перемещений на границах элементов и являются несовместными. Важно, что дополнительные функции формы содержат третьи степени относительных координат. В совместном КЭ перемещения представляются полным полиномом второй степени и имеют некоторые дополнительные слагаемые из полиномов третьей и четвертой степеней. При введении дополнительных функций формы получаем полный полином третьей степени с дополнительными слагаемыми из полинома четвертой степени. Именно из-за повышения степени аппроксимации перемещений квазисовместный КЭ точнее совместного при том же количестве узлов.

Таким образом, формулировка семейства квазисовместных элементов может быть представлена следующим образом:

'{г М}=Ёц и,},

2=1

<

№})}=Ё^ (Ш }+2>; мв; }

2=1 ]=1

где N* ({р}) - дополнительные несовместные функции формы, содержащие переменные р*+1; |8* }= {в*...8** } - векторы

внеузловых перемещений, связанные с несовместными функциями; 5, т - порядок и размерность элемента.

Итак, в квазисовместных элементах на совместное поле перемещений, выраженное через узловые степени свободы, наложено несовместное поле, отнесенное к внеузловым степеням свободы, а аппроксимация геометрической формы при этом остается прежней. Поскольку несовместное поле не связано с перемещениями узлов, то несовместные функции формы во

всех узлах КЭ обращаются в ноль. Окончательно условия для назначения дополнительных функций формы квазисовместных элементов можно выразить так: для элементов порядка 5 в полиномиальном представлении функций N * (у = 1... т) должны содержаться члены с переменными р5+1; необходимо, чтобы во всех узлах

элемента функции N * принимали нулевые значения.

Общий вид матрицы жёсткости любого КЭ:

[К(е)] = | [В {е)]Т [ D (е)][В (е)]Л-.

V

Матрица жёсткости для квазисовместного конечного элемента, полученная в работе [10] путём минимизации полной энергии элемента и исключения внеузло-вых перемещений, имеет вид

[К(е)] = [ К ] - [ К *]Т [К "]-1[ К *].

Отдельные блоки матрицы жёсткости элемента вычисляются по формулам

[К ] = | [ В]Т [ D][B]| Л\ёт,

Т

[К *] = | [ В*]Т [ D][B]| Л\ёт,

Т

[К **] = | [В*]Т [0][В*]| 3\йт.

Т

где т - единичная область элемента, соответствующая локальным координатам; ёт = ё^ёцёС ; Л - определитель матрицы

Якоби; [В] и [В *] - матрицы производных соответственно совместных и несовместных функций формы по координатам.

В результате имеем матрицу жёсткости для двадцатиузлового квазисовместного изопараметрического конечного элемента такого же размера (60 на 60), что и у совместного элемента, а степень аппроксимации повышена до третьей.

Тестирование двадцатиузлового конечного элемента с совместными и квазисовместными аппроксимациями

Осуществлена программная реализация таких КЭ для температурной, упругой и термоупругой задач. То есть построены все матрицы, требуемые для решения этих задач, реализованы зависимости для при-

ведения достаточно общих граничных условий (распределенных по поверхности воздействий) к узловым значениям. Выполнены проверки так называемых обязательных условий и решена система тестовых задач, позволяющая сопоставить точность совместных и квазисовместных КЭ. Причем особое внимание уделялось выявлению допустимого соотношения сторон КЭ, так как в узлах трения имеются тонкие антифрикционные слои. Кратко опишем результаты тестирования (часть тестовых расчетов выполнена инженером И.В. Ва-сильченко).

Поле температур в стержнях

Решены две задачи о распределении температуры в стержне [11], результаты приведены на рис. 3. В первой задаче заданы постоянная температура на левом конце и конвективный теплоотвод по всей остальной поверхности стержня (рис. 3 а). Во второй задаче задана постоянная температура на левом конце, теплоизолирован правый конец стержня и задан конвективный теплоотвод по всей остальной поверхности (рис. 3б). Полином третьей степени, реализованный в квазисовместном КЭ, такие поля температур описывает точно.

а)

б)

Рис. 3. Результаты тестирования задач о поле температур в стержнях

Поле температур в трехслойном кольце

Решена задача о распределении температуры в трёхслойном кольце с конвективным теплообменом на внешней и внутренней поверхностях и теплоизолирован-

ной боковой поверхностью [11]. Схема представлена на рис. 4, а результаты тестирования приведены в табл. 2. Видно, что задача решена точно.

Рис. 4. Схема трехслойного кольца

Таблица 2.

Результаты решения температурной задачи для трехслойного кольца

Радиус R, мм Аналитические значения температуры, ° с Значения температуры, полученные по МКЭ, ° С Погрешность 5 , %

1оо 34,481 34,481 о,ооо259

1оо,о5 34,443 34,443 о,ооо1635

1оо,1 34,253 34,2531 о,ооо2215

1оо,35 34,об4 34,об37 о,ооо1992

1оо,б 17,35 17,3444 о,о34

125,3 3,654 3,65385 о,оо1527

Задачи об изгибе стержней

К правому концу консольно закреплённой балки приложена сосредоточенная нагрузка [12-14]. Модель из одного два-дцатиузлового КЭ показана на рис. 5. Для всех изложенных здесь тестовых задач поперечные размеры балки составляли 1о мм в высоту и 10 мм в ширину. Задача решена

почти точно (погрешность менее процента) при использовании квазисовместного КЭ с отношением его длины к высоте от Ю:1 до 1ооо:1. Упругая линия балки является уравнением третьего порядка от продольной координаты у. Аппроксимация перемещений в указанных КЭ также является функцией третьего порядка.

На примере следующих тестовых задач показаны преимущества использования квазисовместного элемента по сравнению с совместным. К консольно закреплённой балке приложена постоянная распределённая нагрузка интенсивностью q. Аналитическое решение для упругой линии [12; 14] является уравнением четвертой степени относительно продольной координаты. Результаты расчёта для нескольких длин представлены в табл. 3. Видно, что при отношении длины стержня к его поперечному размеру 5:1 погрешность сравнительно велика. Этот факт можно объяснить погрешностью представления такого объекта балкой. При увеличении длины балки погрешность моделирования совместным КЭ возрастает.

А при моделировании квазисовместным КЭ погрешность мала даже при отношении сторон 1оооо:1. Значит, квазисовместный КЭ, в котором аппроксимация перемещений является полиномом третьей степени (с некоторыми составляющими от полинома четвертой степени), рациональней применять при большем отношении сторон КЭ.

При моделировании задачи двумя конечными элементами (по продольной координате балки) совместный элемент также не позволяет получить решение с достаточной точностью. Результаты для двух конечных элементов приведены в табл. 4. Точность выше, чем при моделировании одним КЭ, но все равно недостаточна.

Таблица 3.

Результаты расчёта перемещений по модели из одного конечного элемента для консольно

закрепленной балки, нагруженной равномерной нагрузкой

Длина балки L, мм Аналитические значения перемещений, мм Совместный КЭ: перемещения, мм Квазисовместный КЭ: перемещения, мм 8 совм, % 8 кв.совм, %

50 0,0047 0,003868 0,004924 17,709 4,757

100 0,075 0,054 0,076 28,533 1,2

200 1,2 0,815 1,204 32,042 0,311

500 46,875 31,439 46,898 32,93 0,05

1000 750 500,397 750,094 33,28 0,013

10000 7500000 4992000 7482000 33,438 0,241

Таблица 4.

Результаты расчёта по модели из двух конечных элементов

Длина балки L, мм Аналитические значения перемещений, мм Один совместный КЭ: перемещения, мм 8 совм, % Два совместных КЭ: перемещения, мм 8 совм, %

50 0,0047 0,003868 17,709 0,004797 2,074

100 0,075 0,054 28,533 0,071 4,683

200 1,2 0,815 32,042 1,107 7,782

500 46,875 31,439 3,.93 42,676 8,957

1000 750 500,397 33,28 681,435 9,142

10000 7500000 4992000 33,438 6803000 9,289

Если к консольно закреплённой балке приложена линейно убывающая распределённая нагрузка (рис. 6а), то уравнение упругой линии [12; 14] является уравнением пятого порядка относительно продольной координаты. Поэтому одним КЭ такую задачу моделировать нельзя. Конечноэле-

ментное моделирование проводится двумя, последовательно соединёнными элементами. Результаты приведены в табл. 5. Видно, что квазисовместные КЭ моделируют эту задачу точнее, чем совместные. Выполнены также расчеты при моделировании тремя КЭ, результаты точнее.

дпла*

qmax

К

1Г

ДИп

дгтп

Г

а) б)

Рис. 6. Расчётные схемы консольно закрепленной балки, нагруженной распределенной нагрузкой по линейному закону

Таблица 5.

Результаты расчёта по схеме на рис. 6а для модели из двух конечных элементов

Длина бал- Аналитические значе- Два совместных КЭ: Два квазисовместных 8 совм, 8 кв.сов

ки L, мм ния перемещений, мм перемещения, мм КЭ: перемещения , мм % м, %

50 0,007187 0,006953 0,007175 3,255 0,17

100 0,12 0,102 0,109 14,757 8,826

200 1,84 1,576 1,73 14,359 5,979

500 7,88 60,663 67,356 15,605 6,294

1000 1150 968,372 1077 15,794 6,332

Если к консольно закреплённому брусу приложена квадратично убывающая распределённая нагрузка (рис. 6б), то уравнение упругой линии является уравнением шестой степени относительно продольной координаты [12; 14]. Поэтому ко-

нечноэлементное моделирование проводится тремя последовательно соединёнными элементами. Результаты тестирования приведены в табл. 6. Заметны преимущества квазисовместных КЭ.

Таблица 6.

Результаты расчёта по схеме на рис. 6б для модели из трёх конечных элементов

Длина балки Аналитические значе- Три совместных КЭ: Три квазисовместных 5 совм, 5 кв.совм,

L, мм ния перемещений, мм перемещения, мм КЭ: перемещения, мм % %

5о о,оо7187 о,оо7277 о,оо7333 1,255 2,о25

1оо о,12 о,11 о, 112 8,7о7 6,823

2оо 1,84 1,7о7 1,768 7,251 3,9о3

5оо 71,88 65,838 68,846 8,4о6 4,221

1ооо 115о Ю51 1Ю1 8,6 4,259

Задачи о трубе под воздействием давлений

Решены три задачи о трубе, на которую действуют внешние (рис. 7а), внутренние (рис. 7б) и оба этих вида (рис. 7в) давлений [15]. Конечноэлементная модель

1/8 трубы представлена на рис. 7г. По толщине трубы взят всего один слой квазисовместных КЭ. Погрешности решения таких задач не превышали 1 %. Квазисовместные КЭ хорошо моделируют такие задачи.

^-

"^^О^ч Р2

¿¿г

/"v / / м рч \ \ Г > Г"

1_ \ уд и г уКУ/У

- г^

а) б) в) г)

Рис. 7. Расчётная схема трубы под действием внешних

Термоупругая задача о нагреве биметаллической (двухслойной) трубы

Рассмотрены случай равномерного нагрева биметаллической трубы [15] и конвективного теплообмена на внутренней и внешней поверхностях. Схема представлена на рис. 8а, результаты решения этих двух вариантов задачи - на рис. 8б и 8в соответственно. Погрешность моделирования задачи квазисовместными КЭ не превышает 1 %.

Выводы

Результаты сравнительного тестирования показывают, что квазисовместный КЭ превосходит совместный КЭ по точно-

сти моделирования нескольких типов задач. Этот элемент, как и предполагалось при его построении, позволяет повысить точность решения задач об изгибе балок. При решении других типов задач этот КЭ также показал высокую точность. Важно, что точность решения сохраняется для больших отношений сторон КЭ. Можно надеяться, что применение такого КЭ в ТУГД-задаче позволит повысить эффективность решения: сохранится точность при моделировании деталей трибоузла крупными конечноэлементными сетками. В целом трудоемкость решения ТУГД-задачи может существенно снизиться.

110 мм 105 MM 100 мм

I,

о со;

J

• p-1

ÜJ03 0J029 0J028 0J027 Um/m)0j02li — .0J02J

О J023 t—-

0Я22

0021

101 102 103 10+ 105 106 107 108 109 110

а) б) в)

Рис. 8. Схема рассчитываемой трубы (а) и результаты расчетов термоупругих перемещений при задании конвективного теплообмена на внутренней (б) и внешней (в) поверхности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мишин, А.В. Конечноэлементная методика расчета динамически нагруженных подшипников скольжения с учетом отклонений формы рабочей поверхности от цилиндрической / А.В. Мишин, М.В. Зернин // Сборка в машиностроении и приборостроении. - 2008. - № 2. - С. 43-54.

2. Зернин, М.В. Методика расчетной оценки предельных размеров дефектов поверхностей подшипников скольжения по критерию влияния их на параметры гидродинамики / М.В. Зернин, А.В. Мишин, Н.Н. Рыбкин // Вестник Брянского государственного технического университет . - 2013. - № 3. - С.14-23.

3. Рыбкин, Н.Н. Реализация методики расчетной оцен-

ки параметров гидродинамики подшипников скольжения с учетом радиальной податливости поверхностей / Н.Н. Рыбкин, М.В. Зернин// Вестник Брянского государственного технического университета. - 2013. - № 4. - С. 59-65.

4. Программа для ЭВМ «Bearing Builder Finite Element Method»/ А.В. Мишин, М.В. Зернин, Н.Н. Рыбкин, С.М. Шалыго, В.В. Сопранцов. - № 2014610341зарегистр. в Федер. службе по интел. собств. (Роспатент) 09.01.14.

5. Зернин, М.В. Гидродинамический анализ подшипников скольжения. Ч. 1: Учет нецилиндричности рабочих поверхностей/ М.В.Зернин, А.В. Мишин, Н.Н.Рыбкин, С.В. Шилько //Трение и износ. - 2014, Т. 35.- № 5.- С. 584- 595.

6. Букер, Д.Ф. Применение метода конечных элементов в теории смазки: инженерный подход / Д.Ф. Букер, К.Х. Хюбнер // ТАОИМ. Проблемы трения и смазки. - 1972. - № 4. - С. 22-33.

7. Генка, П.К. Динамически нагруженные радиальные

подшипники. Расчет методом конечных элементов / П.К. Генка // ТАОИМ. Проблемы трения и смазки. - 1984. - № 4. - С. 10-20.

8. Шабров, Н.Н. Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей/ Н.Н. Шабров. -Л.: Машиностроение, 1983. - 212 с.

9. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация:

[Пер с англ.] / О. Зенкевич, К. Морган.- М.: Мир,

1. Mishin A.V. Finite element method of calculation of dynamically loaded sleeve bearings with discrepancies from cylindrical working surface / A.V. Mishin, M.V. Zernin // Assembly in machine and instrument building. - 2008. - №. 2. - P. 43-54.

2. Zernin, M.V. Methodology for estimation of limiting extent of surface defects of sliding bearings based on the criterion of their influence on hydrodynamics parameters / M.V. Zernin, A.V. Mishin, N.N. Rybkin // Bulletin of Bryansk State Technical University. - 2013. - №. 3. - P. 14-23.

3. Rybkin, N.N. Techniques of estimation of hydrodynamics parameters of sliding bearings with the influence of the radial surface suppleness / N.N. Rybkin, M.V. Zernin // Bulletin of Bryansk State Technical University. -2013. - №. 4. - P. 59-65

4. Computer program "Bearing Builder Finite Element Method" / A.V. Mishin, M.V. Zernin, N.N. Rybkin, S.M. Shalygo, V.V. Soprantsov. - №. 2014610341 re-gistred in The Federal Service of Intellectual Property (Rospatent) 09.01.14

5. Zernin, M.V. Hydrodynamic analysis of friction bearings. Part 1: Consideration of №ncylindrical working surfaces / M.V. Zernin, A.V. Mishin, N.N. Rybkin, S.V. Shilko // Friction and wear. - 2014, T. 35. - №. 5. - P. 584 - 595.

6. Booker, D.F. Application of the finite element method

in lubricating theory: engineering approach / D.F. Booker, K.H. Hubner // TAOIM. Problems of friction and greasing. - 1972. - №. 4. - P. 22-33.

7. Genka, P.K. Dynamically loaded journal bearings. The finite element method calculation / P.K. Genka // TAOIM. Problems of friction and greasing. - 1984. -№. 4. - P. 10-20.

8. Shabrov, N.N. Finite element method in calculations of

heat engines parts / N.N. Shabrov. - L.: Mechanical engineering, 1983. - 212 p.

9. Zenkevich, O. Finite elements and approximation: [transl. from English] / O. Zenkevich, K. Morgan. -

1986.-318 с.

10. Макеев, Е.Г. Конечноэлементная база для проектирования авиационных конструкций: автореф. дис. канд. техн. наук./ Е.Г. Макеев. - Куйбышев, 1989. - 20 с.

11. Кутателадзе, С.С. Справочник по теплопередаче / С.С. Кутателадзе, В.М. Боришанский. - М; Л.: Гос. энергет. изд. - во, 1958.- 417 с.

12. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин / С.В. Бояршинов - М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.

13. Матвеев, Н.П. Напряжённое состояние при изгибе консоли в форме параллелепипеда/ Н.П. Матвеев // Прикладная механика. - 1974. - Т. Х, -№ 9. С. 257 - 264.

14. Лазарян, В.А. Техническая теория изгиба / В.А. Лазарян. - Киев: Наукова думка,1976. - 297 с.

15. Тимошенко, С.П. Теория упругости: [Пер с англ.] / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М.: Наука, 1975.576 c.

M.: World, 1986.-318 p.

10. Makeev, E.G. Finite-element base for designing aircraft structures: Thesis for Can.Eng.Degree / E.G. Makeev. - Kuibyshev, 1989. - 20 p., I.V. Lavrov // Abrasives. - 1971. - №. 1. - P. 1-4.

11. Kutateladze, S.S. Reference Book on heat transfer / S.S. Kutateladze, V.M. Borishansky. - M; L.: State Energy Publishing House, 1958. - 417 p.

12. Boyarshi№v, S.V. Basics of machines structural mechanics / S.V. Boyarshi№v - M.: Mechanical engineering, 1973. - 456 p.

13. Matveev, N.P. Strained condition in case of cantilever bending in the shape of a parallelepiped / N.P. Matveev // Applied Mechanics. - 1974. - T. H, -№ 9. - P. 257 - 264.

14. Lazaryan, V.A. Technical theory of a bend / V.A. La-zaryan. - Kiev: Naukova Dumka, 1976. - 297 p.

15. Tymoshenko, S.P. Elasticity theory: [transl. from English] / S.P. Tymoshenko, J. Gudyer. - M.: Science, 1975. - 576 p.

Сведения об авторах:

Статья поступила в редколлегию 10.08.2016. Рецензент: д.т.н., профессор кафедры «Механика, динамика и прочность машин», заслуженный деятель науки и техники РФ Кеглин Борис Григорьевич

Зернин Михаил Викторович

канд. техн. наук, доцент кафедры "Информатика и программное обеспечение» Брянского государственного технического университета, телефон: (4832) 56-09-84, E-mail: zerninmv@mail. ru

Zernin Mikhail Viktorovich,

Can.Eng., Assistant Prof.

of the Dep."Computer Science and Software"

Bryansk State Technical University

Рыбкин Николай Николаевич

аспирант кафедры "Механика и ДПМ» Брянского государственного технического университета, телефон: (4832) 56-08-10, E-mail: rnikolai@mks.ru

Rybkin Nikolay Nikolaevich,

Post graduate student of the Dep.

"Mechanics, Dynamics and Strength of machines "

Bryansk State Technical University