УЧЕБНЫЙ ПРИБОР ПО МАТЕМАТИКЕ

Изобретение относится к приборам, предназначенным для применения в учебном процессе, в частности к приборам, которые используются для демонстрации, изучения, нахождения значений тригонометрических функций, а также для демонстрации и изучения формул приведения тригонометрических функций.
Известно устройство для демонстрации тригонометрических функций [1], включающее в себя угломер, выполненный в виде градуированного диска, шарнирно связанную одним концом с его центром планку, второй конец которой шарнирно соединен с вертикальным рычагом, параллельным оси диска и связанным с дополнительной планкой, при этом на диске нанесены шкалы значений тригонометрических функций. Недостатками данного устройства являются невысокая точность измерений угловой величины и ограниченный предел измерений тангенса и котангенса. Ограниченная точность вычисления угла этого устройства (в два раза меньшая) обусловлена тем, что в данном случае диаметр тригонометрического круга в два раза меньше стороны поля прибора, то есть длина дуги 1° угломера в два раза меньше возможной для заданного поля прибора. Кроме того, максимальный тангенс, для которого вычисляется угол, равен примерно 1, (6), что соответствует величине угла равной примерно 60°. Наиболее близким к изобретению по совокупности признаков (прототипом) является прибор [2], содержащий угломер, выполненный в виде градуированного диска с нанесенными на нем шкалами тригонометрических функций, соединенный одним концом с центром угломера подвижный вектор единичной длины, перпендикулярную к шкале тригонометрической функции линейку, которая подвижно присоединена к угломеру, вдоль границы диска размещены опорные точки, к которым крепится с возможностью
перемещения направляющая дуга с прикрепленной к ней угловой шкалой, подвижный вектор выполнен гибко-упругим и соединен вторым концом с направляющей дугой с возможностью перемещения по ней. Однако данный прибор не позволяет наглядно демонстрировать и изучать формулы приведения тригонометрических функций.
Целью предложения является расширение функциональных возможностей использования прибора.
Цель изобретения достигается тем, что настоящий прибор содержит угломер, выполненный в виде градуированного диска, установленный в центре угломера подвижный вектор единичной длины, соединенный одним концом с центром угломера, и перпендикулярную к шкале тригонометрической функции (например косинуса) линейку, которая подвижно присоединена к угломеру (например с помощью ползуна на направляющем стержне); на перпендикулярной линейке нанесена шкала тригонометрической функции (например синуса), кроме того на тригонометрическом круге могут быть нанесены шкалы тангенса и котангенса, причем единица на шкалах тангенса и котангенса соответствует одной десятой длины подвижного вектора. Вдоль границы диска размещены опорные точки, на которых устанавливается с возможностью перемещения направляющая дуга с нанесенной на ней угловой шкалой. Новым является то, что введен дополнительный подвижный вектор, соединенный одним концом с центром угломера.
На фиг.1 показан учебный прибор по математике.
Прибор состоит из угломера 1, присоединенного к угломеру направляющего стержня 2, при этом к направляющему стержню подвижно присоединена, например, при помощи ползуна 3, перпендикулярная линейка 4. В центре угломера установлен подвижный вектор 5, заканчивающийся меткой 6, к направляющему стержню 2 присоединена шкала делений 7 в долях длины подвижного вектора, ось которой
проходит через центр шарнира 8, на перпендикулярной линейке 4 нанесена шкала делений 9 также в долях длины отрезка. К угломеру присоединены шкалы делений 10 и 11. Вдоль границы угломера 1 размещены опорные точки 12, на которых устанавливается с возможностью перемещения направляющая дуга 13 с нанесенной на ней угловой шкалой, деления на которой выполнены в долях делений градуированного диска, а метка 6 присоединяется к дуге при помощи ползуна 14. К центру угломера одним концом присоединен дополнительный подвижный вектор 15 с меткой 16 на другом конце. Направляющий стержень, дуга и перпендикулярная линейка вместе со шкалами могут быть выполнены из прозрачного материала. Шкалы могут быть разделены на положительные и отрицательные полуоси.
Прибор работает следующим образом.
1) Определение тригонометрических функций заданного угла:
а) определение значений sinφ и cosφ по величине угла φ: устанавливаем дугу 13 на наиболее близкой к значению угла φ опорной точке 12, затем перемещаем ползун 14 по дуге 13 до достижения меткой 6 точного значения угла φ (с точностью до деления угловой шкалы) между подвижным вектором 5 и осью косинусов, далее перпендикулярную линейку 4 передвигаем по направляющему стержню 2 до момента совмещения оси ее шкалы с меткой 6. В результате осями шкал перпендикулярной линейки и направляющего стержня и подвижным вектором образуется прямоугольный треугольник с прямым углом между осями шкал перпендикулярной линейки и направляющего стержня и углом φ между вектором и осью шкалы направляющего стержня. Тогда метка 6 указывает нам на шкале линейки 4 значение sinφ, в точке пересечения осей шкал стержня 2 и линейки 4 мы получаем значение cosφ;
б) определение значений tgφ и ctgφ по величине угла φ: устанавливаем точное значение угла φ между вектором 5 и направляющим
стержнем 2 (аналогично пункту а)), тогда на пересечении подвижного вектора 5 со шкалой 10 мы получаем значение tgφ, а на пересечении вектора 5 со шкалой 11 - значение ctgφ.
Таким образом, вычисление значений тригонометрических функций заданного угла производится практически мгновенно, и повышается наглядность демонстрации тригонометрических функций при рассмотрении прямоугольных треугольников.
2) Определение величины угла по значению тригонометрической функции:
а) определение величины угла φ по значению cosφ: перпендикулярная линейка 4 перемещается по направляющему стержню 2 до тех пор, пока ее шкала на пересечении со шкалой направляющего стержня не укажет на последней значение cosφ, затем дуга 13 перемещается по угломеру 1 и устанавливается на наиболее удобной опорной точке 12 так, чтобы метка 6 оказалась на шкале перпендикулярной линейки 4. Тогда точное значение угла, на которое указывает метка 6 на угловой шкале дуги 13 и есть искомое значение угла;
б) определение величины угла φ по значению sinφ: по формулам приведения sinφ=cosψ, где ψ=90°-φ, поэтому в качестве задающей шкалы для установки sinφ используем шкалу направляющего стержня. Затем производим действия как в предыдущем пункте. Тогда угол отклонения вектора от направляющего стержня равен ψ, отсюда искомый угол φ равен 90°-ψ;
в) определение величины угла φ по значению tgφ (ctgφ): перемещаем вектор 5 так, чтобы точка его пересечения со шкалой 10 (шкалой 11) соответствовала значению tgφ (ctgφ). Тогда угол φ отклонения вектора от направляющего стержня является искомой величиной.
Заметим, что одним и тем же значениям тригонометрических функций могут соответствовать различные значения угла φ (например,
sinφ=sinψ, где ψ=180°-φ), а также необходимо помнить о периодичности всех четырех тригонометрических функций.
Замечание. В пунктах 1 и 2 выше вместо подвижного вектора 5 с меткой 6 на конце можно равноправно использовать дополнительный подвижный вектор 15 с меткой 16 на конце. Угломер 1 с направляющим стержнем 2 может быть использован в качестве обычного транспортира. а перпендикулярная линейка 4 - в качестве обычной чертежной линейки.
3) Изучение и демонстрация формул приведения тригонометрических функций:
в тригонометрии широко известны так называемые «формулы приведения», определяющие взаимосвязь между тригонометрическими функциями углов вида β=90°×k±α (k≠0 - некоторое целое число) и тригонометрическими функциями самих углов α, при этом угол α всегда берется острым, т.е. в диапазоне (0°; 90°). Эти, несомненно, важные соотношения зависят от выбора числа k (±360° - полный оборот, и отсчет угловой меры происходит далее при необходимости от 0°) и того, в какой из четырех квадрантов попадает угол β=90°×k±α (I квадрант - от 0° до 90°; II квадрант - от 90° до 180°; III квадрант - от 180° до 270°; IV квадрант - от 270° до 360°).
Таким образом, если 90°×k кратно 90°, то в соответствующей формуле приведения функция меняется на свою «ко»функцию (например, cos меняется на sin, ctg меняется на tg и т.д.), если же 90°×k кратно 180°, то в формуле приведения функция не меняется на свою «ко»функцию, кроме того отслеживается положительность (отрицательность) функции угла β в соответствующем квадранте (например, во II квадранте sin положителен, и тогда, скажем sin (90°+α)=cosα; в IV квадранте ctg отрицателен, и тогда, к примеру, ctg(360°-α)=-ctgα).
Благодаря наличию в конструкции предлагаемого устройства дополнительного подвижного вектора, соединенного одним концом с центром угломера, формулы приведения тригонометрических функций можно наглядно демонстрировать и изучать. При этом угол β откладывается с помощью одного из подвижных векторов, угол α - с помощью другого, а значения функций углов β и α находятся так, как это описано в пункте 1 выше, и фиксируются.
На схематических чертежах (фиг.2-фиг.5) поясняется работа прибора в данном направлении: если β=180°+α, то, например, cosβ=-cosα (фиг.2); если β=90°-α, то, например, sinβ=cosα (фиг.3); если β=90°+α, то, например, tgβ=-ctgα (фиг.4); если β=180°-α, то, например, ctgβ=-ctgα (фиг.5).
ЛИТЕРАТУРА:
[1] Патент США №3359654, 1965.
[2] Патент РФ №41178, 2004.