Об одной задаче оптимального управления нагревом однородной пластины

УДК517.977.56

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НАГРЕВОМ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ

ГИБКИНА Н.В., МАРТЫНЕНКО М.С., СИДОРОВ М.В._

Рассматривается одна из возможных постановок задач оптимального управления нагревом однородной пластины. Под оптимальным управлением понимается такой режим нагрева сторон пластины, при котором в конечный момент времени в пластине устанавливается температурный режим, наиболее близкий (в смысле средне-квадратической метрики) к желаемому распределению температур.

Введение

Актуальность исследования. Математическое моделирование процессов распространения тепла и диффузии является одной из важнейших задач при описании многих технических и производственных процессов, а также при изучении целого ряда естественнонаучных проблем. Формально эти процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями с частными производными параболического типа, т.е. так называемыми уравнениями теплопроводности. С помощью математических моделей теплопроводности могут быть исследованы процессы нагрева материалов во время их обработки, процессы диффузии, связанные с набуханием, увлажнением, экстрагированием, а также процессы сушки, адсорбции, кристаллизации и комбинированной термической и тепло-диффузионной обработки, в частности обработки полимеров, вулканизации резинотехнических изделий и др. [1, 14]. Эффективная организация технологических процессов, при реализации которых происходит распространение тепла, непосредственно связана с определением наилучших режимов протекания этих процессов. Решение данной задачи направлено на улучшение организации процесса производства, снижение уровня энергетических и материальных затрат, повышение качества выпускаемой продукции. Математически принятие решения о том, какое из возможных управлений является наилучшим, определяется значением функционала специального вида, структура которого зависит от целей управления. В большинстве случаев для описания процессов теплопроводности приходится использовать многомерные модели, что объясняется сложностью и разнообразием реальных объектов и рассматриваемых технологических процессов.

Таким образом, формальное представление разнообразных способов управления процессами распространения тепла, дальнейшее исследование и усовершенствование существующих методов оптимального управления данными процессами, а также разработка новых методов решения этой задачи является актуаль-

ной научной проблемой. Результаты данной работы распространяются на двумерный случай [12].

Задачи оптимального управления процессами распространения тепла решаются в основном с использованием сеточных методов в сочетании с методами оптимизации (например, методы проекции градиента и условного градиента) [3, 4, 8], а также методов, основанных на разложении в ряды Фурье [1, 2, 6].

Обоснование задач оптимального управления, в которых модель системы описывается начально-краевой задачей для параболического уравнения, проведено в [5, 11].

Одной из основных трудностей, связанных с решением задач оптимального управления, является сложность как самой математической модели, так и реализации соответствующих математических методов, что, в свою очередь, приводит к невозможности получения результатов, удобных для дальнейшего практического использования. Глубокие исследования задач оптимального управления процессами теплопере-носа в настоящее время стали возможными во многом благодаря применению ЭВМ, которые позволяют численно решать задачи оптимизации и находить приближенные выражения для оптимальных управлений.

Цель и задачи исследования. Целью настоящего исследования является разработка математических методов оптимального управления нагревом сторон однородной пластины для установления в конечный момент времени в ней такого температурного режима, который будет как можно более близким к желаемому распределению температур.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- сформулировать задачу оптимального управления процессом теплопроводности в однородной пластине;

- используя метод Фурье, получить решение задачи теплопроводности в однородной пластине (без внутренних источников тепла) при заданных краевых и начальном условиях;

- выбрать управляющие воздействия в виде отрезка двойного ряда Фурье;

- провести вычислительные эксперименты для разных параметров процесса оптимального управления нагревом нижней стороны однородной пластины в целях установления в конечный момент времени в этой пластине такой температуры, которая будет как можно более близкой к желаемому распределению температур.

1. Постановка задачи

Рассмотрим однородную пластину 0 < х < а, 0 < у < Ь (внутренние источники тепла отсутствуют) с заданным температурным режимом на ее сторонах. Через

и = и(х,уД) обозначим температуру пластины в точке

(х, у) в момент времени t. Пусть ф(х, у), 0 < Х < а , 0 < у < Ь - распределение температуры в пластине в начальный момент времени t = 0 . Требуется так управлять температурой на сторонах пластины при t е [0,Т), чтобы к некоторому моменту времени Т > 0 распределение температуры в пластине стало как можно более близким к заданному распределению температур z(x,y), 0 < х < а, 0 < у < Ь.

Процесс распространения тепла в однородной пластине П = [0,а] х [0,Ь] описывается двумерным уравнением теплопроводности:

ди , 21 д2u д2u — = k21 —- +—-dt ^дх2 dy2

(x,y) eQ, t > 0

J(v, ^ = I |u(x, y,T; v, ^ - z(x, У)|^(п) = J"J(u(x,y,T; v, - z(x,y))2 dxdy

почти всюду на QT,

ЦГ <Ц (x,t) <ЦГ , ЦГ <MM) ^ почти всюду на QT }, где

при начальном

4=0 =Ф(х,У), (х,у) еП

и краевых условиях:

и|х=0 =У1 (У,t), и|х=а = t > 0,

и|у=0 = (X, t) , иЦ = Мх,0 , t > 0 ,

где к2, а , Ь - заданные положительные константы; ф(х,у) - заданная функция из L2(Q).

Предполагаем, что выполнено условие согласования:

VI (у,0) = ф(0,у), V2(y,0) = ф(а,у),

Ь (х,0) = ф(х,0), |^(х,0) = ф(х,Ь).

Известно [10], что при выполнении этих условий существует единственное классическое решение задачи (1)-(4).

Формальная постановка задачи оптимального управления нагревом однородной пластины в целях выведения её температуры в конечный момент времени на заданный температурный режим заключается в следующем: необходимо минимизировать функционал

QT = (0,a)х(0,T), QT = (0,b)x(0,T);

min , max Л *™п ^ max rin , rax rin , max V1 < V1 ' V2 < V2 ' Ц1 < Ц1 ' Ц2 < Ц2

На управления v, ^ можно накладывать и другие ограничения, аналогичные рассмотренным в [1, 11] для одномерного случая.

Исследование разрешимости задачи (1)-(6) проводится аналогично одномерному случаю, рассмотренному в [4].

2. Построение оптимального управления

На первом этапе необходимо получить решение задачи (1)-(4) методом Фурье. Для этого сделаем замену

u

где v(x, y, t) - новая неизвестная функция, а

w(x,y,t) =

(а - х)(Ь - у)х + ху(Ь - у) + ху(а - х) + (а - х)(Ь - у)у х [(а - х)(Ь - у)х^ (хД) + ху(Ь - y)v2 (у, t) +

+ ху

Функция w(x,y,t) выбрана так, чтобы удовлетворять неоднородным краевым условиям (3), (4).

Тогда функция v(x, у, ^ будет решением начально-краевой задачи с однородными краевыми условиями:

5у ,2 Гд2у 52У ^ +ч

¥ = Ч^ + / ^^

v|t=0 =v(x,y), (x,y) eQ ,

V n = 0 , V = 0 , t > 0,

x=0 ' x=a ' — '

V = 0 V ,= 0 t > 0

ly=0 5 ly=b 5 I ^ U ,

при условии, что и = и(х,уД) = и(х,уД^,я) является решением начально-краевой задачи (1)-(4).

Предполагается, что v = (v1(y,t), V2(уД)), ^ = (ц1 (х, t), ц2 (х, - управления, принадлежащие множеству

М = {V е L2 (QT) х L2 (QT), ^ е L2 (QT) х L2 (QT),

где

f(x,y,t) = k

21 д2w . d2w

dw

"дГ

дх2 дy2 у(х, y) = ф(х, y) - w(x, y, 0).

vmin <vi (y,t) <vr, vr <v2(y,t) < v

i

Q

Собственные значения задачи (9)-(12) есть [7]

К- = п2

а I +У ш2

п,т = 1, 2,. .., а соответству-

ющие им собственные функции Фпт (х) имеют вид

[7]:

. ппх . пту

Фпт(х,у) = Sln-sш ——, п,т = 1,2,....

а Ь

Заметим, что Ф„

аЬ

|^2(о) 4 •

Решение задачи (9)-(12) будем искать в виде ряда:

У(Х,уД) = £ Тпп (t)Фnm (х, у) .

Т'

пт у / пт пт у / пт у /

Т (0) = ш ,

п п

где

Ш пт

^ (t) =

L2

Ф,

щц 1к2

L2

Ф,

ип 1к2

и имеют вид:

Т (Г) = ш е-лптk2t + [ f (Т)е

пт V / Тпт I пт V '

dт

£|^(т)е-Лптк2(1-^ФПт(х,у).

п,т = 1 0

где g(x,y)=

w(x,y,t) = g(x,y)ц1 (хД) , (а - х)(Ь - у)х

у + (а - х)(Ь - у)х

Будем считать, что функция z(x,y) удовлетворяет условиям:

7(0,у) = 7(а,у) = 7(х,Ь) = 0.

Аппроксимацию функции ц1 (х, t) будем искать в виде

^

]=1

где {Q^} - система базисных функций в Ь2 ^Т). При этом

ш(х, у) = Ф(х, у) - £ ^(х, y)Qj (х, 0) Дх,уД) =

j=l

Подставив ряд (15) в уравнение (9) и начальное условие (10), получим, что функции Тпт (1), п,т = 1, 2,..., являются решением задач Коши

=£ ^

j=l

к2 Д

Э^(х,1)'

51

= £ *

j=l

(

52Qj , „д?

QjДg++2

оХ дх дх Тогда с учетом (16), (17) получим

г

Ш пт = Фпт -£ ^ пШШ , П,т = 1,2,..., j=1

fnm(1) = £qjFnm)(t), п,т = 1,2,...,

51

j=l

где

Фпт = аЬ Цф(х'У)фпт (х,У^У ,

где п,т = 1, 2,...

С учетом (7), (15) и (18) решение задачи (1)-(4) имеет вид:

да

и(х,у,1) = w(x,y,t) + £ шПше-Лптк21 Фпт (х,у) +

^пт = Л g(x,y)Qj(x,0)Фпт (х,у)ёхс!у ,

а '

=

пт

4к2 лА 52Q. ^ 5Q.

=я Qjдg+g +2 56 ^

4 а дQ,

- аь Я ^ Ф - (x,y)dxdy.

Подставив (21)-(22) в (19), получим

да

и(х,у,!) = £ Фпте-ЛптЛ Фпт (х,у) +

п,т=1

[g(x,У)Qj(x,t) +

j=1

дх дх дх

Ф „Ш (x,y)dxdy -

Для упрощения дальнейших выкладок положим, что v1 (уД) = 0, v2(y,t) = 0, ц2(хД) = 0. Тогда процесс нагрева сторон пластины сводится к нагреву только одной из ее сторон (а именно, нижней стороны). При

этом функцию w(x,y,t) можно взять в виде:

п,т=1 у 0

е-Лпш к1 Ф„ш

п,т = 1

а

а

п,т=1

При t = T выражение (23) принимает вид: u(x,y,T) = A(x,y) + ]TqjBj(x,y),

j=i

где

A(x,y) = £фпШe-A"mk2TФnm (x,y),

n,m=1

Bj(x,y) = g(x,y)Qj (x,T) +

m (T Л

+ У I f F

/ / J nm v nm

n,m = 1 у о

гФ (x,y) nm

С учетом выражения (24) задача (5)-(6) оптимального управления нагревом однородной пластины в целях установления в ней в конечный момент времени температуры, как можно более близкой к заданному температурному режиму z(x,y), сводится к задаче оптимизации:

dxdy =

J

Q У j=l

r r r r

= Z2 §j +У У qj4i Yji+Zj +n ^ j

j=i j=ii=j+i j=i i,r

где

i+j=0

+q(2) sin-cos^- + q(3) cos-srn^- +

. nix njt

(3) ,

nix . njt

+ q,(4)sin-srn^- I

ij a T 1 •

. nix . njt

На управление h (x,t) накладываются следующие ограничения:

h (0,t) = 0, h (a,t) = 0,

h (x, 0) = 0 почти всюду на [0, a],

0 <h (x,t) <30, t e (0,a)x(0,T].

Вычислительный эксперимент в задаче оптимального управления (5)-(6) был проведен при следующих значениях параметров: a = 1, b = 1, T = 1, k = 1 •

Выражение h (x, t) аппроксимировалось отрезками двойного ряда Фурье при l = 1, L = 2, L = 3. При L = 1 функция нагрева h (x, t) строилась в виде:

h

= q00 + q0? cos nt + q031) sin nt + q cos nx + q10) sin nx , при L = 2 - в виде:

h

= q00) + q01 cos nt + q031) sin nt + q cos nx + q1(2) sinnx + +q012) cos 2nt + q032) sin 2nt + q cos 2nx + q(220) sin 2nx +

8;=[fB2dxdy, j = i;7,

Q

Y jl = 2 ff B.B^xdy . . ——

Jl JJ J 1 ,1 = 1,r , i = 1 + 1,r ,

Q

CTj= 2ff (A(x,y) - z(x,y))Bjdxdy . = ^

Q

П = ff (A(x,y)-z(x,y))2dxdy .

Q

Задачу оптимизации (25) нужно дополнить ограничениями на управление (6) или другими [1, 11].

3. Вычислительный эксперимент

Будем считать, что начальное распределение температур в пластине ф(х, y) = 0 .

Управление ц (x,t) будем искать в виде отрезка двойного ряда Фурье:

/ ^ Г (1) nix njt ц(x,t) = у I q>j) cos-cos^- +

+qi1l) cos nxcos nt + q12) sin nxcos nt +

+q(2) cos nxsin nt + q(4) sin nxsin nt.

а при L = 3 - в виде: h (x,t) =

= q00) + q01) cosnt + q031) sinnt + q cosnx + q(2) sinnx + +q02 cos2nt + q032) sin2nt + q cos2nx + q(220) sin2nx + +q03 cos 3nt + q033) sin 3nt + q310) cos 3nx + q30) sin 3nx +

+q11) cos nx cos nt + q(2) sin nx cos nt +

+q(3) cos nx sin nt + q(4) sin nx sin nt +

+qf2) cos nxcos2nt + q(2) sin nxcos2nt +

+q(2) cos nx sin 2nt + q(4) sin nx sin 2nt +

+q211) cos 2nx cosnt + qK sin2nxcos nt +

+q21) cos 2nx sin nt + q21) sin 2nx sin nt.

Случай 1. Желаемое распределение температур в конечный момент времени т =1 имеет вид:

z(x,y) = xy(1 - x)(1 - y). График функции z(x,y) приведен на рис. 1. Для оптимальной функции нагрева в виде (26) качество оптимизации оценивается значениями

||и(х,Т) - у(х)||-) = 0,62 •ха

||и(х,Т) - у(х)||ц(а) = 0,33 ^ в виде (27) - значениями

||и(х,Т) - у(х)||с-} = 0,51 •Ю-

1|и(х,Т) -У(х)^2(а) = 0,27 ^

а в виде (28) - значениями

1|и(х,Т) - у(х)|с(Й) = 0,16 •I0-2, ||и(х,Т) -У(х)|^2(а) = 0,89 ^10-3.

Результат сравнения желаемой и фактической температур в пластине в конечный момент времени т = 1 для случая, когда оптимальное управление ищется в виде (27), приведен на рис. 2.

Рис. 3. График функции ц1 (х, 1) оптимального управления нагревом нижней стороны пластины вида

Рис. 1. График функции z

Рис. 2. График разности |и(х,у,Т) - z(x,y)|

На рис. 3 приведен график оптимального выражения для функции ц1 (хД) нагрева нижней стороны пластины вида (27) при 1 е [0,1] . Графики этой функции при разных фиксированных значениях 1 из отрезка [0,1] приведены на рис. 4.

Рис. 4. Графики функций ц1 (хДк) вида (27) в разные моменты времени 1 к е [0,1]

Случай 2. Желаемое распределение температур в конечный момент времени т = 1 имеет вид:

z(x,y) = х(1 - х)(1 - у). График функции z(x,y) приведен на рис. 5. Для оптимальной функции нагрева в виде (26) качество оптимизации оценивается значениями

|и(х,Т) - У(х)||с(й) = 0,79 ^, |и(х,Т) -У(х)^2(а) = 0,42-10-1 ,

а в виде (27) - значениями

1|и(х,Т)-у(х)|с(Й) = 0,87 ДГ2,

|и(х,Т) -У(х)||^(а) = 0,58 ^Ш-

а в виде (28) - значениями

|и(х,Т) - у(х)||с(- = 0,17 •Ю-

|и(х,Т) - У(х)|^2(а) = 0,49 •10

2

Результат сравнения желаемой и фактической температур в пластине в конечный момент времени т = 1 для случая, когда оптимальное управление ищется в виде (27), приведен на рис. 6.

Рис. 5. График функции z

Рис. 6. График разности |и(х,у,Т) - /(х,у)|

На рис. 7 приведен график оптимального выражения для функции (х,Х) нагрева нижней стороны пластины вида (27) при t е [0,1]. Графики этой функции при разных фиксированных значениях х из отрезка [0,1] приведены на рис. 8.

Рис. 7. График функции

Рис. 8. Графики функций (х,Х к ) вида (27) в разные моменты времени Хк е [0,1]

Выводы

Предложен метод оптимального управления нагревом сторон однородной пластины в целях установления в конечный момент времени в ней такого температурного режима, который будет как можно более близким к желаемому распределению температур. В качестве управляющего воздействия рассмотрена температура нижней грани пластины. Управляющую функцию предложено аппроксимировать отрезком двойного ряда Фурье. Проведены вычислительные эксперименты для различных температурных режимов z(x, у) в конечный момент времени т . Результаты вычислительного эксперимента показали, что с увеличением числа слагаемых в аппроксимирующем выражении погрешность уменьшается. Выбор аппроксимирующего выражения для управляющего воздействия определяется техническими возможностями производственного процесса.

Преимуществом предложенного метода оптимального управления является то, что начально-краевая задача теплопроводности решается аналитически и оптимальное управление также ищется в аналитическом виде. Полученные в работе результаты могут быть использованы при расчете оптимальных программ управления температурным режимом в производственных технических процессах, например, [13]. Это и определяет научную новизну и практическую значимость полученных результатов.

Литература: 1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с. 2. Бутырин В.И., Фильштинс-кий Л.А. Оптимальное управление температурным полем в стержне при программном изменении зоны управления // Прикладная механика. 1976. Т. 12, №№8. С. 115 - 118. 3. Вабищевич П.Н. Вычислительные методы математической физики. Обратные задачи и задачи управления. М.: Вузовская книга, 2009. 268 с. 4. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: В 2-х кн. Ч. II. Мн.: МНЦНМО, 2011. 434 с. 5. ЛионсЖ.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с. 6. Лисковец О.А. Вариационные

методы решения неустойчивых задач. М.: Наука и техника, 1981. 344 с. 7. Мартинсон Л.К., Малое Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 368 с. 8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с. 9. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Наука, 2004. 416 с. 10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с. 11. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с. 12. Гибкина Н.В., Подусов Д.Ю., Сидоров М.В. Оптимальное управление конечным температурным состоянием однородного стержня // Радиоэлектроника и информатика. 2014. №2. С. 9-15. 13. Клопотов В.Д., Нестеренко В.П. Математическое моделирование тепловых процессов в режущем инструменте // Изв. Томского политехнического университета. 2005. Т. 308, № 3. С.125-128. 14. Коновалов В.И., Пахомов А.Н., ГатаповаН.Ц., КолиухА.Н. Методы решения задач тепломассопереноса. Теплопроводность и диффузия в неподвижной среде: учеб. пособие. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2005. 80 с.

УДК 519.713

ПРО ПОБУДОВУ ДВОСТОРОНН1Х НАБЛИЖЕНЬ ДО ДОДАТНОГО РОЗВ'ЯЗКУ ЕЛ1ПТИЧНО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 З ЕКСПОНЕНЦ1АЛЬНОЮ МАЖОРАНТОЮ

ЛУХАН1Н В.С._

Розглядаються питання юнування, единост та побудови двостороншх наближень до додатного розв'язку одте! елштично! крайово! задачi з експоненщальною не-лшшшстю. Описуються умови, яким мають задовольня-ти параметри, що входять до нелшшноста, щоб двосто-роннi наближення можна було побудувати.

Ключовi слова: двостороннi наближення, iнварiантний конусний вiдрiзок, додатний розв'язок.

Key words: two-sided approximations, invariant cone segment, positive solution.

Вступ

Разом iз зростанням можливостей обчислювально! технiки сьогоднi збiльшуеться зацiкавленiсть до про-цесiв, якi вiдбуваються у нелшйних середовищах. Математичними моделями процеив у таких середовищах е нелшйш крайовi задачi математично! фiзики, оскшьки лiнiйнi не зовсiм адекватно описують фiзич-ну реальнiсть. Досить часто там моделi мають вигляд

-Ди = f(x,u) Vx ейс Rm , u > 0, u|5Q = 0.

Метод двостороншх наближень належить до гтерацш-них методiв та дозволяе отримати верхню та нижню ощнку розв'язку на кожнш iтерацii. Ще однiею з переваг цього методу у порiвняннi з шшими е ввднос-на простота реалiзацii алгоритму, який в свою чергу вимагае менше обчислювальних ресурав.

Поступила в редколлегию 20.05.2015

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Колосов А.И.

Гибкина Надежда Валентиновна, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, оптимальное управление и его приложения, математическая физика, актуарная и финансовая математика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Мартыненко Михаил Сергеевич, студент группы СА-11-1 факультета прикладной математики и менеджмента ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование и оптимальное управление, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

Сидоров Максим Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, математическая физика, теория R-функций и её приложения, стохастический анализ и его приложения. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057) 7021436.

1. Постановка задач1 та побудова двостороншх наближень

Дослвдимо можливють побудови двостороншх наближень до додатного розв'язку елiптичноi крайово! задачi [1]

-Ди = x

u|sq = 0, A>0, Y>0

Ведомо [2], що задача (1), (2) у клаа неперервних функцш е^валентна iнтегральному рiвнянню

u(x)=J G(x, s)A (eu (s) + eY u (s))ds

й

де G(x, s) - функщя Грiна оператора Лапласа для першо! крайово! задачi в област й, x = (xj,..., xm),

s = (s1,...,sm) .

На конусi K неввд'емних в С(й) функцiй введемо в розгляд нелшйне операторне рiвняння

u = Tu, де

Tu = { G

й

Вiдомо, що конус невщ'емних в С(й) функцш е нормальним, крiм того, оскшьки

f

неперервна за u, оператор T, ввдображаючи простер С(й) в себе, цшком неперервний [2, 3].

Розглянемо деяк властивост оператора T вигляду

(3).