Фиксированная геометрическая структура строя в задаче управления движением строя роботов с динамически изменяющимся количеством роботов в группе

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

ISSN 1994-0408

Ссылка на статью:

// Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №11. С. 465-484.

БОТ: 10.7463/1115.0822124

Представлена в редакцию: 02.11.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 519.007.5

Фиксированная геометрическая структура строя в задаче управления движением строя роботов с динамически изменяющимся количеством роботов в группе

Данная статья посвящена частной подзадаче, возникающей при решении более общей задачи обеспечения децентрализованного управления движением строя для группы роботов. В статье рассматривается базовое правило управления, решающее задачу управления строем с динамическим выбором наиболее подходящей геометрической структуры строя в зависимости от количества агентов в группе. Предлагаемое правило управления основывается на подходе с использованием виртуальных лидеров и использует набор возможных геометрических структур в качестве входного параметра управления. Затем в статье рассматривается ситуация, когда целевая геометрическая структура строя фиксирована и количество агентов не обязательно совпадает с размером целевой геометрической структуры строя. Предлагается модификация правила управления для двух случаев: количество агентов больше количества точек в целевой геометрической структуре строя, количество агентов меньше количества точек в целевой геометрической структуре строя. Также приводятся результаты компьютерного моделирования для предложенных модификаций.

Ключевые слова: мультиагентная система; движение строем; децентрализованное управление; виртуальные лидеры

Статья посвящена задаче формирования строя и обеспечения движения строем для группы агентов, моделирующих мобильных роботов. Рассматривается модификация правила управления, которая позволяет обеспечить формирование строя, соответствующего целевой геометрической структуре строя фиксированного размера даже в случаях, когда количество агентов непредсказуемо изменяется.

Задача управления строем имеет широкое практическое применение в робототехнике для мобильных наземных роботов, подводных автономных аппаратов, беспилотных летальных аппаратов. Для равномерного покрытия области, поддержания устойчивой связи друг с другом и избежания столкновений роботы должны при движении соблюдать некоторую геометрическую структуру строя (определенное расположение агентов относительно друг

Морозова Н. С.1'*

1МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия

Введение

друга или относительно их центра масс, образующее геометрическую фигуру). Роботы автономны и при помощи сенсоров могут получать только локальную информацию (в пределах действия сенсоров). Для управления агентами используется децентрализованное управление (единый управляющий центр отсутствует). Помимо децентрализованного управления могут быть использованы централизованный и комбинированный подходы (основные черты каждого из подходов, а также примеры реализации разобраны в книге И. А. Каляева [1]).

Хронологически одним из первых широко распространенных децентрализованных методов управления движением группы роботов стали методы, основанные на принципах консенсуса, т. е. усреднения [2, 3], и потенциальных функций [4, 5, 6]. Данные методы используются для решения задач «стайного» движения к определенной цели. При своей простоте и устойчивости к выходу из строя любого из агентов, метод потенциальной функции имеет существенные ограничения: трудно предсказать каким будет установившееся взаимное расположение агентов, так как это зависит от конкретных обстоятельств, метод может быть использован для решения лишь ограниченного набора задач, в которых не требуется детерминизма в вопросе об относительном расположении агентов и траектории их движения.

Для равномерного распределения в зоне выполнения миссии, поддержания устойчивой связи внутри группы и избежания столкновений роботы должны при движении соблюдать некоторую геометрическую структуру строя (определенное расположение относительно друг друга или относительно центра масс группы, образующее определенную геометрическую фигуру). Возникает необходимость разработать децентрализованное правило управления и алгоритм, которые бы позволили осуществлять эффективное управление движением агентов с сохранением геометрической формы строя при условиях полной автономности агента и возможности получения информации только от своих ближайших соседей.

На данный момент в литературе в большинстве случаев для решения указанной задачи используются следующие подходы: первый — задать заранее желаемое расстояние между парами агентов и применить теорию жесткости графов [7, 8]; второй — задать желаемое положение агента относительно его соседей через вектора и воспользоваться правилами консенсуса (усреднения) [9, 10, 11]; третий — в каждый момент времени передавать агентам информацию о положении и направлении движения виртуальной формации, на основании чего каждый агент может сконструировать виртуального лидера и следовать за ним [12, 13, 14].

Существующие подходы к решению задачи управления движения строем имеют ограниченную применимость при возникновении внештатных ситуаций. Частичное устранение данных недочетов обычно достигается дополнительными ограничениями и зачастую громоздкими модификациями исходного правила управления, например [15, 16].

Автор статьи представил в печатных работах [17, 18] правило управления, изначально рассчитаное на автономную обработку внештатных ситуаций наподобие выхода некоторых агентов из строя. В разработанном правиле управления реализована возможность адаптации

к изменению количества агентов в группе, динамического выбора геометрической структуры строя в зависимости от количества агентов, а также динамического изменения положения агента в строю. Некоторые практические задачи (например, транспортировка), тем не менее, могут требовать сохранения фиксированной структуры строя даже в случае изменения количества агентов. Эта ситуация рассматривается подробно в данной статье. Работоспособность подхода исследована в при помощи компьютерного моделирования.

1. Постановка задачи

Основные определения. Пусть Ш — ограниченное открытое связное подмножество К2. Введем в Ш неподвижную прямоугольную систему координат ОХУ. Допустим, что Т* € Ш — текущая целевая точка, в которую должна прийти группа агентов (метод легко обобщается на случай существования упорядоченного конечного набора целевых точек Т € Ш, где г = 1, ..., к).

Обозначим как Л\, .. ., Лп голономных агентов, моделирующих роботов, имеющих в момент времени £ координаты рх(^), . .., рп(£) соответственно. Агенты считаются материальными точками, начальные позиции п агентов — р1(10),... ,рп(£о) задаются произвольно и заранее неизвестны. В данной статье рассматривается следующая модель динамики агентов: рг(£) = пг(£), где пг — управление для г-го агента (одна из наиболее распространенных динамик в задачах на мультиагентные системы [19]).

Введем понятие радиуса слышимости г: агенты г и ] могут обмениваться информацией напрямую, если ||рг — р^ || < г. Также, если агенты г и ] не находятся в прямой слышимости, они могут обмениваться информацией опосредованно через других агентов, находящихся в прямой слышимости, например, если ||рг — рк || < г и ||рк — р^ || < г, то передача информации между г и ] возможна. Назовем возможность передачи информации о своем местоположении между агентами отношением слышимости. Отношение слышимости обладает свойством транзитивности. Под группой связности будем понимать группу агентов, в которой каждый агент находится в отношении слышимости с любым другим, Мр = Лг1,..., Лгк — рассматриваемая группа связности размера к.

Пусть Д£ — временной промежуток, требуемый для выполнения агентами одного цикла управления: снятие показаний сенсоров, вычисления с использованием полученной от сенсоров информации и выполнение передвижения в соответствии с выполненными вычислениями, Утах — максимальная скорость агентов.

Предположения и ограничения. В данной статье задача рассматривается в среде без препятствий при условиях отсутствия ошибок измерения, предполагается, что обмен информацией между агентами, а также переход из одного скоростного режима в другой происходят мгновенно. Считаем, что скорость не может превышать Утах, ||пг(£)|| — кусочно-постоянная ограниченная функция. Ограничения быстродействия систем управления мо-

делируются изменением значении ||иг(Ь)|| через равные промежутки времени в моменты Ь = дДЬ, д = 0,1,...

Геометрическая структура строя. Целевые геометрические структуры (ЦТС) строя для групп связности всевозможных допустимых размеров задаются одинаково для всех агентов перед началом выполнения миссии, при этом отсутствует жесткая привязка агента к определенной позиции в целевой геометрической структуре. Определим ЦТС как совокупность наборов ^ из к точек с координатами, заданными в произвольной системе координат, масштаб которой совпадает с масштабом мировой системы координат, для каждого возможного размера группы связности от 1 до п. Для упрощения Ек задается таким образом, чтобы для каждого фиксированного к центр масс системы точек из ^ был строго в центре системы координат, в которой задается ЦТС.

Виртуальные лидеры. Под виртуальными лидерами понимается набор из к точек в Ш, координаты которых рассчитаны агентом Л^. Предлагается, что каждый агент, зная к — число агентов в группе связности, рассчитает самостоятельно координаты к виртуальных лидеров. Каждому агенту Лг и ЦГС из к точек ;...; ^ } будет соответствовать группа из к лидеров {Ь\ г,..., Ь^} ; Лг) ^ Ьк г, Ь3к г е М2. Правило расчета положения виртуальных лидеров описывается в разделе 3.

Формализация постановки задачи. Обозначим Лст центр масс агентов из рассматриваемой группы связности, т.е.

Лст(Ь) = 1 Е 'Рг (Ь).

к л^е^

Миссия для агентов Л1,..., Лп считается выполненной, если в некоторый момент времени Ь < то выполнены следующие условия:

• условие достижения целевой точки ||Лст(Ь') — Т* || < УтахДЬ;

• начиная с определенного момента Ь* < Ь, для каждого агента Лг существует виртуальный лидер Ьк г, который находится в ^-окрестности Лг и 8 < УтахДЬ (это условие соблюдения заданной структуры строя).

Лидер Ьк г — это один из набора к лидеров (Ьк г, ..., Ьк г) агента Лг. Зависимость 3* = 3(г,Ь) подчеркивает то, что для каждого агента г существует «избранный» лидер с индексом 3* из его набора лидеров и что 3 * может изменяться по мере движения.

2. Базовое правило управления

Правило расчета положения виртуальных лидеров. Для расчета Ьк г предлагается выполнить ортогональные преобразования над координатами , что повлечет за собой изоморфность виртуальной структуры и структуры, которую образуют виртуальные лидеры для каждого агента.

Пусть угол между направлением АстТ* и осью ОУ будет характеризоваться углом

(А ст-1 *) у п

в = аг^

(АстТ )х 2

Обозначим матрицу поворота на угол в как Яр. Пусть Ь3кг = Яр + Ви) + Аст — правило расчета положения ^'-го виртуального лидера для ¿-го агента в мировой системе координат на основании координат точек ЦГС над точками которой выполнен параллельный перенос на управляющий параметр вектор Ви, поворот на угол в и параллельный перенос на радиус вектор центра масс агентов из группы связности Мр. Управляющий параметр Ви необходим для того, чтобы не сложилось такой ситуации, что координаты агента сравнялись с координатами виртуального лидера и произошло прекращение движения прежде, чем целевая точка будет достигнута группой.

При изложенном способе расчета положения виртуальных лидеров в условиях отсутствия ошибок измерений расположение виртуальных лидеров для любых двух агентов Аг и А3- из одной группы связности будет одинаковым.

Итоговое правило управления имеет следующий вид:

^тах 0

Р = №) = Рг 0,

^ = Е %(Чг - Рг), 3 = Яв№ + Ви) + Ас

3 = 1

В правило управления введены коэффициенты приоритета виртуальных лидеров сгз (см.

" \ "Д. д. ^шах

следующий пункт ниже), нормировочный коэффициент для учета ограничения скоро-

сти и понижающий коэффициент д Е (0; 1] отличный от единицы только в случае, если в ^-окрестности (8 < УтахД£) ¿-го агента находится некоторый виртуальный лидер ¿к* (будем говорить в подобных случаях, что лидер находится в прямом преследовании агентом). В этом случае дг = ((¿к* — Рг|/Ктах, это понижение скорости необходимо, чтобы агент не оказался впереди лидера.

Определение для агента значений коэффициентов приоритета виртуальных лидеров. Коэффициенты-приоритеты виртуальных лидеров для агента сгз ^ — номер агента, а ] — номер лидера) определяют матрицу С С Жкхк, их предлагается выбирать следующим образом:

0, ¿к г в прямом преследовании агентом Аг, I = ¿; 0, агент Аг, ближайший для Ь1кл, I = ]; 1 , иначе.

Коэффициент единица получает либо только первый из лидеров, не находящихся в прямом преследовании, к которому агент Аг является ближайшим из всех агентов, либо все лидеры,

не находящиеся в прямом преследовании, для которых агент Ai не является ближайшим агентом.

Алгоритм управления был улучшен следующими эвристиками:

• если Ai — ближайший агент к лидеру L3k i, то cj должен быть равен 1, а коэффициенты этого же лидера для других агентов (qj, l = i) должны быть равны нулю для того, чтобы данный лидер оказывался в прямом преследовании ближайшим к нему агентом. При чем, если Ljk i — не находящийся в прямом преследовании лидер, то при вычислении ближайшего к нему агента следует исключить из рассмотрения агентов, которые уже прямо преследуют других лидеров;

• если несколько лидеров находятся на одинаковом расстоянии от агента, то агент должен брать в расчет только одного из них и проигнорировать остальных (соответствующие коэффициенты cij = 0).

Вычисление C по указанным правилам зависит от порядка вычисления и описывается в виде алгоритма.

Формальное обоснование. Пусть количество агентов в группе связности — k = const, Du — фиксированный параметр управления, характеризующий сдвиг виртуальных лидеров относительно агентов, Du = (Dx, Dy)T G R2. Пусть Lj — j-й виртуальный лидер из числа рассчитанных агентом (индекс k опущен, индекс i также можно опустить, так как наборы виртуальных лидеров, рассчитанные агентами i' и i" из одной группы связности, идентичны в отсутствие помех и ошибок измерений).

Теорема 1. Пусть Du = (0, Dy)T, где 0 < Dy < VmaxAt, и для каждого агента Ai из группы связности Np (|Np| = k) в некоторый момент времени t* нашелся единственный виртуальный лидер Lji, находящийся в прямом преследовании (||Lji (t*) — pi(t*) || < VmaxAt). Пусть имеет место взаимно однозначное соответствие {Ai}k=1 ^ {Ljij=1, т.е. агенту с номером i соответствует «свой» виртуальный лидер с номером j и, обратно, каждому виртуальному лидеру соответствует единственный агент. Тогда при предложенном правиле управления:

1) найдется такой момент t' > t*, t' < то, начиная с которого будет выполнено условие достижения группой целевой точки

2) при t > t* для каждого агента i будет выполнено условие соблюдения строя

AteNp

где e — ошибка соблюдения строя.

Следствие 1. После первичного формирования строя в момент времени t* при Du = = (0, Dy)T агенты далее движутся так, что их центр масс движется вдоль вектора Acm(t*)T*.

Следствие 2. Движение агентов к целевой точке происходит по эллипсоидальной кривой при Вх = 0 ив направлении от целевой точки при Ву < 0. При Ву > УтахДЬ ошибка строя превышает допустимые значения, так как агенты не успевают оказаться на расстоянии УШахДЬ от виртуального лидера. В случае, когда Ви = (0, 0)т, движение прекращается после того, как строй впервые будет сформирован.

Утверждение 1. Пусть Вх = 0, Ву < УтахДЬ и расстояние между каждыми двумя точками ЦГС не менее величины 2УтахДЬ и не более г. Пусть в момент времени Ь = 0 агенты Аг ^ = 1, ..., к) образуют группу связности N (|^р| = к) и имеют координаты рг(0) = рг0. Тогда в некоторый момент Ь* > 0 для каждого агента Аг найдется единственный виртуальный лидер Ь3, находящийся в прямом преследовании только агентом Аг, т. е. \\Ь3 (Ь*) — рг(Ь*) 11 < < УтахДЬ, и имеет место взаимно однозначное соответствие {Аг}к=1 ^ {Ь31 }к.=г

Более подробно с приведенными выше результатами можно ознакомиться в работах [17, 18]. Найденные аналитически закономерности подтверждается моделированием.

3. Необходимость рассмотрения фиксированной структуры строя

В предыдущем разделе рассматривалось правило управления, реализующее автоматический выбор ЦГС, которая бы по количеству точек точно соответствовала текущему количеству агентов в группе связности. Это обеспечивало одинаковое количество виртуальных лидеров и агентов, при выходе в устоявшийся режим движения образовывалось взаимно однозначное соответствие «агент» — виртуальный лидер». Тем не менее целесообразно предусмотреть обработку ситуаций, когда ЦГС и, соответсвенно, количество виртуальных лидеров фиксированы и не обязательно совпадают с количеством агентов в группе связности. К таким ситуациям можно отнести следующие:

• количество агентов в группе связности в ходе движения может возрасти (обретение связи с очередным агентом или слияние нескольких групп связности) или снизиться (выход из строя) до такого количества, что ЦГС для такого размера группы связности не предусмотрена;

• миссия требует сохранения одной и той же ЦГС в ходе движения (например, «лишние» агенты должны следовать за агентами, выстроившими строй соответсвующий ЦГС, и должны выполнять функцию подстраховки в случае выхода из строя одного из агентов «основного состава»).

Примерами миссий, требующих соблюдения фиксированной ЦГС, могут служить транспортировка крупногабаритного груза и разминирование.

При транспортировке груза может быть предусмотрено фиксированное количество точек крепления с оптимальным расположением на поверхности объекта, поэтому после занятия каждым агентом «своей» точки крепления и начала движения строем прочие агенты должны следовать за группой и занять место агента, пришедшего в неисправность, если потребуется.

Если агентов стало меньше, чем точек крепления, то агенты должны занять определенное подмножество всех точек крепления.

При разминировании может стоять задача равномерного покрытия определенного коридора с фиксированной шириной. Параметры наиболее эффективной для решения задачи геометрической структуры строя будут зависеть от радиуса действия поискового устройства на каждом агенте и от ширины коридора, т. е. они будут фиксированными. Из-за большого числа агентов может быть не удобно задавать для этих целей отдельную ЦГС на каждое возможное число агентов в группе связности и более простым решением может быть следующее: задать одну фиксированную ЦГС, отражающую покрытие ширины коридора минимальным количеством агентов, а «лишние» агенты должны следовать за «основным составом» и подменить неисправного агента в случае такой необходимости.

4. Фиксированная структура строя: агентов меньше, чем точек ЦГС

Будем рассматривать одну группу связности размера п: N = {Ль ..., An}. Рассмотрим ситуацию, когда задана ЦГС = {^1, ..., ^т}, количество агентов в группе связности меньше, чем количество точек в ЦГС, т. е. п < ш.

Рассмотрим для примера простейшую ЦГС «квадрат»:

^ = {( —1, 1), (1, —1), (1, 1), (—1, —1)}.

Попытаемся использовать ее для группы связности из трех агентов при помощи простого игнорирования избыточных точек ЦГС: после того, как каждый агент будет находиться в состоянии прямого преследования одного из виртуальных лидеров (т. е. три виртуальных лидера будут в прямом преследовании «своим» агентом), четвертый виртуальный лидер будет проигнорирован, как будто соответствующей точки ЦГС нет. В этом случае центр масс учтенных точек ЦГС будет уже не в (0, 0). Моделирование показывает, что в таком случае при использовании правила управления (1) движение группы к целевой точке происходит по спиральной траектории. Вследствие движения по спиральной траектории из-за высокой угловой скорости, агенты могут оказаться слишком большой дистанции от виртуальных лидеров, что ведет к выходу ошибки строя за допустимые границы и к нецелесообразному изменению места агента в геометрической структуре строя.

Утверждение 2. Невозможно добиться такой же скорости достижения целевой точки группой связности N = {Л1, ..., Лп} как при классическом решении задачи при ЦГС

= {^1, ..., ^т}, такой что п < ш и = 0 при 3 = 1, ..., ш методом игнорирования агентами ш — п выборочно взятых точек из

Доказательство. Доказательство поведем методом от противного. Допустим, утверждение неверно, тогда при четном п и нечетном ш = п +1 задача управления строем должна успешно решаться для ЦГС, в которой ни одна точка не лежит на осях координат.

3=1

ровании произвольной точки ЦГС — В,-*, получим ЦГС Вт = (В1,..., В3-1, ..., Вт} и + ... + В3-1 + + ... + В™ = 0 - В3* =0, так как В3* = 0.

В установившемся режиме, когда в (^тахД^)-окрестности каждого агента находится виртуальный лидер, с учетом значений с3-г (/ = 1, ..., к) и нормировочный коэффициентов, уравнение движения агента А принимает вид: р = Ь3 — р^.

Если подставить в данное уравнение значение Ь3, то для системы из п агентов получим:

Поскольку ЦГС задается таким образом, что В,- = (0,0),то В^1 + .. .+Вт = 0. Приигнори-

1 п

Р1 = Яв (В31 + ) + -Е Р1 — Р1, р^*) = р1,

п 1=1

1п

Рп = Яв(В3п + В„) + - ]Грг — Рп, рп(*) = РП

п 1=1

Поскольку достижение целевой точки по постановке задачи определяется близостью к ней центра масс агентов, то, чтобы перейти к уравнению относительно Аст, сложим к уравнений системы (2). Тогда получим после некоторых преобразований:

пп

Е р = Яв Е В3р + кВ^ .

1=1 V р=1 /

Тогда в соответствии с формулой (3) Аст = Яв ^—1 В3* + , но Явпо построению задает в точности направление от центра масс агентов к целевой точке, поэтому любой добавочный ненулевой компонент будет увлекать строй с корректной траектории (центр масс агентов будет двигаться не по кратчайшей траектории к целевой точке). Движение центра масс в данном случае можно разложить на два компонента: поступательное движение вдоль АстТ* («полезное» продвижение к целевой точке), и вращательное движение в направлении, перпендикулярном АстТ*. Величина перпендикулярной составляющей будет равна

||г(Явр3* ) II з!паГССОЗ (АстТ*; г(Дв^3*)) Уг(Яв Р )У 81паГССО8 |АстГ*^г(Яв В3* )||,

где г(ЯвВ3*) — радиус вектор точки, полученной в результате преобразования над точкой В3*: Яв В3*. Утверждение доказано.

Данное утверждение показывает, что исходное правило управления нуждается в существенной модификации. Возможны следующие подходы: либо задать правило расчета точек ЦГС самими агентами при п < т, либо задать ЦГС специального вида (подмножество Вт из п точек, передвинутое так, чтобы центр масс был в центре координат).

Подход первый: самостоятельный расчет ЦГС агентами. Данный подход был реализован при помощи компьютерного моделирования. Было взято простейшее правило расчета ЦГС:

при ш mod 2 = 0

= ((—1)5((3 + 1) - 2)п^тах, 0), 3 = 1, ..., ш;

при ш mod 2 = 0

^5

(0, 0), 3 = 1;

(—1)5 (3 - 2)пКтах, 0), 3 = 2, ..., ш.

Здесь 2 < п <

— произвольный коэффициент для соблюдения минимально необхо-

димого расстояния между агентами (расстояние между точками ЦГС должно быть не менее 2УтахДЬ и не более г). Задаваемая таким образом ЦГС формирует строй геометрической формы «шеренга».

На рис. 1 показан снимок с экрана среды моделирования для ситуации, когда ш = 6, а п = 4. Виртуальные лидеры, рассчитанные на основании ЦГС будут преследоваться только если количество агентов не менее 6. При количестве агентов менее 6 будет использоваться автоматически рассчитывающаяся ЦГС простейшей формы («шеренга»). На рисунке для сравнения изображены виртуальные лидеры для случая стандартной ЦГС при ш = 6, п = 6.

Рис. 1. Количество агентов меньше количества точек ЦГС (п = 4, т = 6), случай, когда ЦГС рассчитывается агентами. Незакрашенные круги небольшого размера—виртуальные лидеры, которые были бы рассчитаны, если бы количество агентов и количество точек ЦГС совпадали (для сравнения). Закрашенные круги меньшего размера — агенты, их центр масс Аст соединен с целевой точкой

г

Результаты реализации первого подхода. Моделирование показало, что первый подход может решить задачу управления движением строя, когда количество точек ЦГС меньше количества агентов. Однако решение в рамках данного подхода не отличается принципиально от исходного, его преимущество заключается только в том, что нет необходимости задавать ЦГС для всех к = 1,..., п (можно ограничиться заданием ЦГС для к = к' + 1, ..., п; 1 < к' < п — 1, а при количестве агентов менее к' агенты сами построят недостающие ЦГС).

Данный подход не дает большой гибкости, заложенное правило для расчета ЦГС не обязательно задает самую удачную геометрическую форму строя.

Подход второй: сдвиг избранных точек ЦГС. Первый подход, изложенный выше, предполагал простейший способ сконструировать ЦГС формы «шеренга» в ходе движения. Но в некоторых задачах необходимо все же зафиксировать конкретную ЦГС. Если количество агентов п меньше числа точек ЦГС т, то должен быть построен строй, соответствующий набору подмножества ЦГС {Дг1, ..., Дгп} С {Д\,..., Дт}. Выбор п точек из т должен быть выполнен одинаково всеми агентами (иначе, единая геометрическая структура не может быть реализована строем). Например, может быть использован следующий подход: поскольку точки ЦГС одинаково упорядочены для всех агентов, то агенты могут проигнорировать точки с индексами выше п. Кроме того, можно отранжировать точки ЦГС (например, каждой точке ЦГС присвоить приоритет от 1 до т) в смысле порядка отказа от учета точки ЦГС при управлении. Можно также договориться, что изначальный порядковый номер точки ЦГС выбран в соответствии с указанным ранжированием.

Рассмотрим случай, когда была задана фиксированная ЦГС Д = Д, ..., Дт, при управлении были учтены точки ЦГС = Д, ..., Дп, п < т. Назовем совокупность этих точек урезанной ЦГС. Пусть Дст — центр масс урезанной ЦГС, т. е.

Дт = ^(^1 + ... + ДП).

п

Чтобы избежать проблемы, связанной с тем, что Дст = (0, 0), необходимо, чтобы агенты выполнили сдвиг точек урезанной ЦГС в ходе расчетов, чтобы свести решение задачи к случаю, когда центр масс ЦГС находится в (0, 0). Правило управления по скорости с учетом данного сдвига будет выглядеть следующим образом:

Л = ЖГ

п

= Е %№П ,г - Рг),

¿=1

¿П,г = Л(ДП - Дт + £„) + Аст,

^ Рг(¿о) = Рг0.

Аналогичным образом модификация вводится и в правило управления по ускорению.

Результаты реализации второго подхода. Описанный выше подход был проверен при помощи моделирования. Моделирование показало, что модификация правила управления (4) позволяет сохранить строй, соответствующий урезанной ЦГС, в случае выхода из строя нескольких агентов и последующем увеличении числа агентов в группе связности с сохранением неравенства п < т (например, зафиксирована ЦГС размера 6, из 6 агентов 3 выходят из строя, а затем к строю добавляются 2 агента). На рис. 2, представляющем собой

снимок с экрана среды моделирования, проиллюстрирована обработка ситуации выхода из строя одного агента при фиксированной ЦГС размера т = 6. В рамках адаптации группы к урезанной ЦГС, центр масс которой не находится в (0, 0), происходит сдвиг виртуальных лидеров относительно центра масс агентов: центр масс виртуальных лидеров и центр масс агентов более не находятся на едином луче АстТ*. В момент выкода агента из строя центр масс агентов группы связности резко сдвигается, что влечет за собой смещение виртуальных лидеров.

Рис. 2. Пример реакции строя на выход из строя одного агента при фиксированном размере ЦГС: а — п = 6, т = 6; б — п = 5, т = 6. Справа от осей координат приводится неурезанная ЦГС для пояснения. Закрашенные круги меньшего размера — агенты, незакрашенные круги большего размера — виртуальные лидеры, центр масс агентов Аст соединен с целевой точкой

При этом при четных т и нечетном числе агентов п всегда наблюдается сдвиг виртуальных лидеров относительно центра масс группы связности (наблюдаем сдвиг не вдоль луча АстТ*, а в ортогональном ему направлении). Данный сдвиг отсутствует при четнык т и п, если игнорируются симметричные точки фиксированной ЦГС (рис. 3).

5. Фиксированная структура строя: количество агентов больше числа точек ЦГС

Будем рассматривать одну группу связности размера п: Ыр = (А1,..., Ап}. Рассмотрим ситуацию, когда задана ЦГС Вт = В1 , . . . , Вт, количество агентов в группе связности больше, чем количество точек в ЦГС, п > т.

В данном случае возможны два варианта решения задачи: либо задать правило, по которому сами агенты будут достраивать ЦГС до необходимого количества точек, либо добавить в исходное правило управления эвристику, позволяющую «лишним» агентам следовать за теми т агентами, каждый из которых преследует виртуального лидера, соответствующего точке ЦГС.

аб

Рис. 3. Примеры строя при фиксированном размере ЦГС: а — п = 3, т = 6, сдвиг центра масс виртуальных лидеров относительно центра масс Аст сильно выражен; б — п = 4, т = 6, сдвиг отсутствует. Виртуальные лидеры — незакрашенные круги синего цвета, агенты — закрашенные круги красного цвета, Аст соединен линией с целевой точкой Т*, справа от осей координат (см. а) — ЦГС для пояснения

При реализации первого варианта должна учитываться специфика конкретной практической задачи, центр масс итоговой ЦГС должен быть в центре координат, геометрическая форма исходной ЦГС (чтобы, например, добавляемые точки не нарушали требований к взаимному расположению точек ЦГС). В данной работе был реализован второй вариант, как наиболее универсальный.

В правило управления добавлена следующая эвристика: на очередном шаге агент идентифицирует себя как «избыточного» по отношению к текущей ЦГС, если п > т и между т его соседей по группе связности и т точками ЦГС установилось взаимно-однозначное отношение прямого преследования. Если агент избыточен, то для него вместо стандартных эвристик для определения коэффициентов приоритета виртуальных лидеров, действует следующее одно правило: сг3- = 1 для всех виртуальных лидеров. «Избыточный» по отношению к фиксированной ЦГС агент движется к центру масс всех виртуальных лидеров.

Правило управления для агента, вычислившего, что он является «избыточным»:

Рг = жг

к

< ^г = Е

Ьк,г = Яв (Вк + я„)+ Аст,

Рг(£о) = Рг0.

1 к

Из правила уравнения (5) наглядно видно, что рг ~ - Ь3к г — рг, т. е. движение будет

К 3 = 1 '

носить характер преследования центра масс виртуальных лидеров.

Моделирование показывает, что если между агентами не активировано избежание коллизий (более подробно о вопросе избежания коллизий см. [20]), то «излишние» агенты могут

собраться очень кучно вблизи центра масс виртуальных лидеров. Если между агентами активировано избежание коллизий, то вблизи центра масс виртуальнык лидеров они выстраиваются в колонну вдоль линии, соединяющей центр масс и целевую точку, рис. 4. В целом же, моделирование показывает, что предложенная модификация позволяет справиться с ситуацией превышения количества агентов над размером максимальной по количеству точек цгс.

о

О У^ О У

а б

Рис. 4. Пример поведения строя при фиксированной ЦГС, т — п = 4 при установившемся режиме движения: а — с избежанием коллизий; б — без избежания коллизий. Виртуальные лидеры — незакрашенные круги синего цвета, агенты — закрашенные круги красного цвета, центр масс Аст соединен линией с целевой точкой Т*

6. Переходы между фиксированной и динамической ЦГС

Обработка ситуаций неравенства количества агентов в группе связности количеству точек в ЦГС выполнена таким образом, что возможно осуществить переход от выполнения миссии с фиксированным ЦГС к динамическому выбору ЦГС агентами из заранее заданного набора. Такой переход возможен как по внешнему сигналу (директива отмены фиксации ЦГС), так и автоматически при изменении количества агентов (например, вследствие выкода из строя число агентов сравнялось с числом точек в ЦГС). При моделировании были проверены ситуации, когда принудительное изменение количества агентов автоматически приводит к смене используемой логики:

• если агентов меньше, чем размер наименьшей по количеству точек заданной ЦГС, то агенты либо (в зависимости от выбранного режима) сами конструируют ЦГС необходимого размера, либо адаптируют ЦГС заданного фиксированного размера к своему количеству при помощи учет выборочных точек ЦГС и их сдвига;

• если количество агентов совпадает с размером одной из заданных заранее ЦГС, то используется динамический выбор ЦГС из уже заданных (также возможен режим поддержания одной и той же ЦГС вне зависимости от наличия заданных ЦГС, в точности соответствующих количеству агентов);

• если количество агентов выше, чем размер максимальной по количеству точек ЦГС, то «лишние» агенты следуют за центром масс виртуальных лидеров.

Возможность подобных автоматических переходов в момент выполнения миссии является несомненным преимуществом предложенных подходов (рис. 5).

а б в

Рис. 5. Пример автоматического перехода от фиксированного размера ЦГС (т = 3, первый подход) к динамической при изменении числа агентов с п = 3 до п = 4. Виртуальные лидеры — незакрашенные круги синего цвета, агенты — закрашенные круги красного цвета, центр масс Аст соединен линией с целевой точкой Т*

Заключение

В статье рассмотрен частный случай решения более общей задачи управления движением строя из группы роботов, в котором количество роботов может меняться, но необходимо обеспечить соответствие строя фиксированной структуре строя. Приведено правило управления для решения базовой задачи движения строя с динамической адаптацией в случае изменения количества агентов, а затем изложены модификации, позволяющие решить частную задачу. Рассмотрены случаи, когда количество точек в геометрической структуре строя больше или меньше количества агентов в группе связности, предложены модификации для каждого из случаев, а также приведены результаты моделирования, которые позволяют убедиться в работоспособности предложенных модификаций.

Список литературы

1. Каляев И.А., Гайдук А.Р., Капустян С.Г. Модели и алгоритмы коллективного управления в группах роботов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 280 с.

2. Reynolds C. Flocks, birds, and schools: A distributed behavioural model // ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1987. Vol. 21, no. 4, P. 25-34. DOI: 10.1145/37401.37406

3. Vicsek T., Czirok A., Ben-Jacob E., Cohen I., Shochet O. Novel type of phase transitions in system of self-driven particles // Physical Review Letters. 1995. Vol. 75. No. 6. P. 122-1229. DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.1226

4. Tanner H.G., Jadbabaie A., Pappas G.J. Flocking in Teams of Nonholonomic Agents // In: Cooperative control / ed. by V. Kumar, N. Leonard, A.S. Morse. Springer Berlin Heidelberg, 2005. P. 229-239. DOI: 10.1007/978-3-540-31595-7-13 (Ser. Lecture Notes in Control and Information Science; vol. 309).

5. Hengster-Movric K., Bogdan S., Draganjac I. Multi-Agent Formation Control Based on Bell-Shaped Potential Functions // Intelligent Robotic Systems. 2010. Vol. 58, no. 2. P. 165-189. DOI: 10.1007/s10846-009-9361-7

6. Yang J., Lu Q., Lang X. Flocking shape analysis of multi-agent systems // Science China Technological Sciences. 2010. Vol. 53, no. 3. P. 741-747. DOI: 10.1007/s11431-010-0072-x

7. Eren T., Belhumeur P.N., Anderson B.D, Morse A.S. A framework for maintaining formation based on rigidity //Proceedings of the 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain. IF AC, 2002. P. 2752-2757.

8. Rodrigues J., Figueira D., Neves C., Ribeiro M. Leader-following graph-based distributed formation control // Robotica. 2009. No. 75, P. 8-14.

9. Olfari-Saber R., Fax J.A., Murray R.M. Consensus and Cooperation in Networked MultiAgent Systems // Proceedings of the IEEE. 2007. Vol.95, no. 1. P. 215-233. DOI: 10.1109/JPRQC.2006.887293

10. Wang J., Nian X., Wang H. Consensus and formation control of discrete-time multi-agent systems // Journal of Central South University of Technology. 2011. Vol. 18, no. 4. P. 11611168. DOI: 10.1007/s11771-011-0818-z

11. Wu Z., Guan Z., Wu X., Li T. Consensus Based Formation Control and Trajectory Tracing of Multi-Agent Robot Systems // Journal of Intelligent Robotic Systems. 2007. Vol. 48, no. 3. P. 397-410. DOI: 10.1007/s10846-006-9108-7

12. Lalish E., Morgansen K., Tsukamaki T. Formation tracking control using virtual structures and deconfliction // Proceedings of the 2006 IEEE Conference on Decision and Control. IEEE Publ., 2006. P. 5699-5705. DOI: 10.1109/CDC.2006.377187

13. Zhou Z., Yuan J., Zhang W., Zhao H., Zhao J. Formation control based on a virtual-leader-follower hierarchical structure for autonomous underwater vehicles // International Journal of Advancements in Computing Technology. 2012. Vol. 4, no. 2. P. 111-121.

14. Lewis M.A., Tan K. High precision formation control of mobile robots using virtual structures // Autonomous Robots. 1997. Vol. 4, no. 4. P. 387-403. DOI: 10.1023/A:1008814708459

15. Eren T., Morse A.S., Belhumeur P.N. Closing ranks in vehicle formations based on rigidity // Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Vol.3. IEEE Publ., 2002. P. 2959-2964. DOI: 10.1109/CDC.2002.1184306

16. Xue D., Yao J., Wang J. H^ Formation Control and Obstacle Avoidance for Hybrid MultiAgent Systems // Journal of Applied Mathematics. 2013. Vol.2013. Art. ID 123072. DOI: 10.1155/2013/123072

17. Морозова Н.С. Виртуальные формации и виртуальные лидеры в задаче о движении строем группы роботов // Вестник Санкт-Петербургского ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. № 1. С. 135-149.

18. Морозова Н.С. Управление движением строя для мультиагентной системы, моделирующей автономных роботов // Вестник Московского ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2015. №4. С. 31-39.

19. Gazi V., Fidan B. Coordination and Control of Multi-agent Dynamic Systems: Models and Approaches // In: Swarm Robotics / ed. by E. Sahin, W.M. Spears, A.F.T. Winfield. Springer Berlin Heidelberg, 2007. P. 71-102. DOI: DOIURL10.1007/978-3-540-71541-2_6 (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol. 4433).

20. Морозова Н.С. Огибание препятствий при децентрализованном управлении движением строя роботов // Устойчивость и процессы управления: матер. III международной конференции (Санкт-Петербург, 5-9 октября 2015 г.). СПб.: Изд. дом Фёдоровой Г.В., 2015. С. 537-538.

Science and Education of the Bauman MSTU,

Science S Education ™ ^^

of the Baumail MSTU Received: 02.11.2015

ElectroTLIC joumdl  Bauman Moscow State Technical University

Fixed geometric formation structure in formation control problem for group of robots with dynamically changing number of robots in the group

Morozova N. S.*'* *natalia.s.morozova@gmail.com

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: multiagent system, formation control, decentralised control, virtual leaders

The article considers a problem of the decentralization-based approach to formation control of a group of agents, which simulate mobile autonomous robots. The agents use only local information limited by the covering range of their sensors. The agents have to build and maintain the formation, which fits to the defined target geometric formation structure with desired accuracy during the movement to the target point. At any point in time the number of agents in the group can change unexpectedly (for example, as a result of the agent failure or if a new agent joins the group).

The aim of the article is to provide the base control rule, which solves the formation control problem, and to develop its modifications, which provide the correct behavior in case the agent number in the group is not equal to the size of the target geometric formation structure. The proposed base control rule, developed by the author, uses the method of involving virtual leaders. The coordinates of the virtual leaders and also the priority to follow the specific leader are calculated by each agent itself according to specific rules.

The following results are presented in the article: the base control rule for solving the formation control problem, its modifications for the cases when the number of agents is greater/less than the size of the target geometric formation structure and also the computer modeling results proving the efficiency of the modified control rules. The specific feature of the control rule, developed by the author, is that each agent itself calculates the virtual leaders and each agent performs dynamic choice of the place within the formation (there is no predefined one-to-one relation between agents and places within the geometric formation structure). The results, provided in this article, can be used in robotics for developing control algorithms for the tasks, which require preserving specific relational positions among the agents while moving. One of the possible approaches for future development in this sphere can be a more complex agent dynamics model (considering the case of concrete robot) and additional analysis involving the experiments with real robots.

References

1. Kalyaev I.A., Gaiduk A.R., Kapustyan S.G. Modeli i algoritmy kollektivnogo upravleniya v gruppakh robotov [Models and algorithms of collective control in groups of robots]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 280 p. (in Russian).

2. Reynolds C. Flocks, birds, and schools: A distributed behavioural model. ACMSIGGRAPH Computer Graphics, 1987, vol. 21, no. 4, pp. 25-34. DOI: 10.1145/37401.37406

3. Vicsek T., Czirok A., Ben-Jacob E., Cohen I., Shochet O. Novel type of phase transitions in system of self- driven particles. Physical Review Letters, 1995, vol. 75, no. 6, pp. 1226-1229. DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.1226

4. Tanner H.G., Jadbabaie A., Pappas G.J. Flocking in Teams of Nonholonomic Agents. In: Kumar V., Leonard N., Morse A.S., eds. Cooperative control. Springer Berlin Heidelberg, 2005, pp. 229-239. DOI: 10.1007/978-3-540-31595-7,13 (Ser. Lecture Notes in Control and Information Science; vol. 309).

5. Hengster-Movric K., Bogdan S., Draganjac I. Multi-Agent Formation Control Based on Bell-Shaped Potential Functions. Intelligent Robotic Systems, 2010, vol.58, no. 2, pp. 165-189. DOI: 10.1007/s10846-009-9361-7

6. Yang J., Lu Q., Lang X. Flocking shape analysis of multi-agent systems. Science China Technological Sciences, 2010, vol. 53, no. 3, pp. 741-747. DOI: 10.1007/s11431-010-0072-x

7. ErenT., BelhumeurP.N., Anderson B.D.O, Morse A S. A framework for maintaining formation based on rigidity. Proceedings of the 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain. IF AC, 2002, pp. 2752-2757.

8. Rodrigues J., Figueira D., Neves C., Ribeiro M. Leader-following graph-based distributed formation control. Robotica, 2009, vol. 75, pp. 8-14.

9. Olfari-Saber R., Fax J.A., Murray R.M. Consensus and Cooperation in Networked MultiAgent Systems. Proceedings of the IEEE, 2007, vol.95, no. 1, pp. 215-233. DOI: 10.1109/JPRQC.2006.887293

10. Wang J., Nian X., Wang H. Consensus and formation control of discrete-time multi- agent systems. Journal of Central South University of Technology, 2011, vol. 18, no. 4, pp. 11611168. DOI: 10.1007/s11771-011-0818-z

11. Wu Z., Guan Z., Wu X., Li T. Consensus Based Formation Control and Trajectory Tracing of Multi-Agent Robot Systems. Journal of Intelligent Robotic Systems, 2007, vol.48, no. 3, pp. 397-410. DOI: 10.1007/s10846-006-9108-7

12. Lalish E., Morgansen K., Tsukamaki T. Formation tracking control using virtual structures and deconfliction. Proceedings of the 2006 IEEE Conference on Decision and Control. IEEE Publ., 2006, pp. 5699-5705. DOI: 10.1109/CDC.2006.377187

13. Zhou Z., Yuan J., Zhang W., Zhao H., Zhao J. Formation control based on a virtual-leader-follower hierarchical structure for autonomous underwater vehicles. International Journal of Advancements in Computing Technology, 2012, vol. 4, no. 2, pp. 111-121.

14. Lewis M.A., Tan K. High precision formation control of mobile robots using virtual structures. Autonomous Robots, 1997, vol. 4, no. 4, pp. 387-403. DOI: 10.1023/A:1008814708459

15. Eren T., Morse A.S., Belhumeur P.N. Closing ranks in vehicle formations based on rigidity. Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. Vol. 3. IEEE Publ., 2002, pp. 29592964. DOI: 10.1109/CDC.2002.1184306

16. Xue D., Yao J., Wang J. H^ Formation Control and Obstacle Avoidance for Hybrid MultiAgent Systems. Journal of Applied Mathematics, 2013, vol.2013, art. ID 123072. DOI: 10.1155/2013/123072

17. Morozova N.S. Virtual formations and virtual leaders in formation control problem for group of robots. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Ser. 10. Prikladnaya matematika. Infor-matika. Protsessy upravleniya = Vestnik of St. Petersburg State University. Ser. 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2015, no. 1, pp. 135-149. (in Russian).

18. Morozova N.S. Formation motion control for a multi-agent system simulating autonomous robots. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 15. Vychislitel'naya matematika i kiber-netika, 2015, no. 4, pp. 23-31. (English version of journal: Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics, 2015, vol.39, iss. 4, pp. 175-183. DOI: 10.3103/ S027864191504007X).

19. Gazi V., Fidan B. Coordination and Control of Multi-agent Dynamic Systems: Models and Approaches. In: Sahin E., Spears W.M., Winfield A.F.T., eds. Swarm Robotics. Springer Berlin Heidelberg, 2007, pp. 71-102. DOI: 10.1007/978-3-540-71541-2.6 (Ser. Lecture Notes in Computer Science; vol. 4433).

20. Morozova N.S. Rounding obstacles with decentralized formation control for robots. Usto-ichivost' i protsessy upravleniya: mater. 3 mezhdunarodnoi konferentsii [Proc. of the 3rdInter-national Conference "Stability and Control Processes"]. St. Petersburg, October 5-9, 2015. St. Petersburg, Fedorova G.V. Publishing House, 2015, pp. 537-538. (in Russian).