Об альтернативном определении логического следования

ЭПИСТЕМОЛОГИЯ & ФИЛОСОФИЯ НАУКИ, Т. XIII, № 3

б альтернативном определении логического следования

Iii:

Логика определяет то, в какие формы мы должны облекать свои мысли, если хотим быть поняты другими людьми. Отношение логического следования определяет то, в какие формы мы должны облекать свои рассуждения, если хотим, чтобы наши выводы были приняты другими людьми. В этом заключается необычайно важная роль, которую играет логика в процессе познания, и в этом причина ее необычайной косности как условия сохранения уже достигнутого знания. Логика Аристотеля была каноном две с половиной тысячи лет.

Сейчас уже вряд ли можно найти хотя бы одного логика, кто бы одинаково хорошо ориентировался во всех разделах своей науки и постоянно был в курсе полученных в них результатов. Единственное, что объединяет и не дает развалиться зданию логики, это ее

В. И. ШАЛАК

основания. Но насколько естественно то, что в ней принимается как само собой разумеющееся? Это отнюдь не праздный вопрос. Подобную обеспокоенность разделяют многие ученые.

«...Мы должны обратить внимание на главную тенденцию развития логики в конце XX и начале XXI века. Как сто лет назад остро встал вопрос об основаниях математики, так сейчас стоит вопрос об основаниях самой логики, в связи с чем обсуждаются следующие проблемы:

(¡) Что есть логическое следование?

(а) Что есть логические понятия (операции)?

(¿11) Что есть логическая система?

(у1) Что есть логика?»1

Критерий истинности, сформулированный Платоном в диалоге «Кратил» словами «...тот, кто

1 Карпенко A.C. Современные исследования в философской логике // Логические исследования. Вып. 10. М., 2003. С. 71.

P8Ü

1 II

ш

S

а-р

а ф

и

S

ч

п го

говорит о вещах в соответствии с тем, каковы они есть, говорит истину, тот же, кто говорит о них иначе, - лжет...»2, и Аристотелем в «Метафизике» «...говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть, - значит говорить ложное; а говорить о том, что сущее есть и не-сущее не есть, -значит говорить истинное»3, считается классическим и был, по историческим меркам относительно недавно, уточнен А. Тар-ским. Но все-таки не Критерий истинности и не само понятие истины является ядром логики.

Понимая логику как науку, изучающую законы правильных рассуждений, центральным ее понятием справедливо считается понятие логического следования.

В классической логике некоторое умозаключение считается правильным, если и только если при истинности посылок оно гарантирует истинность заключений. Из множества формул I следует формула А, если и только если в каждой модели М, в которой истинны все формулы множества X, будет истинна и формула А.

Е|=А<=> УМ

где М[А]=1гие означает, что в модели М истинна формула А.

Специфической чертой данного определения следования явля-

ется то, что отношение между I и А устанавливается не напрямую, а посредством их соотнесения с моделью М. Непосредственная связь между множеством формул £ и формулой А разрывается и вводится посредник - свойство быть истинным в модели М.

Благодаря такому разрыву в случае несуществования ни одной модели, в которой истинны все формулы множества Е, из него логически следует любая формула, т.е. отношение следования становится тривиальным

Откуда взялось такое определение? Нельзя согласиться с тем, что «понятие истины напрямую связано с пониманием логического следования, данного Тарским, а это, в свою очередь, приводит к объектам, которые мы называем "логическими законами": последние суть сохраняющие истину выводы»4. Из принимаемого критерия истинности вовсе не следует, что мы должны принять именно такое определение отношения логического следования.

Обратимся к ставшей классической работе Тарского5. Может показаться странным, что в ней не предлагается никакой серьезной мотивации даваемым определениям. В одном месте Тарский ссылается на «рассуждения интуитивного свойства» и «естественную интуицию»: «Исходным пунктом для нас будут определенные рассуждения интуитивного свойства.

Z

ф

го н о

VO

го

2 Платон. Кратил//Платон. Соч.: В 3 т. Т. 1. М., 1968. 385Ь.

3 Аристотель. Метафизика // Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 1. М, 1975. 1011b 25.

4 Карпенко A.C. Цит. соч. С. 74.

5 Тарский А. О понятии логического следования / Пер. Б.Т. Домбров-

ского. Рукопись.

Примем во внимание произвольный класс предложений К и произвольное предложение X, которое следует из предложений этого класса. С точки зрения естественной интуиции очевидно, что не может случиться так, что все предложения класса К были бы истинны, а предложение X при этом было ложным».

В другом месте он говорит об «обыденном использовании понятия следования»: «У меня складывается впечатление, что каждый, кто поймет содержание вышеприведенного определения, признает, что оно содержит достаточно интуиции, проявляющейся в обыденном использовании понятия следования».

Для центрального понятия, лежащего в основании логики, такого рода аргументация со ссылкой на его «обыденное использование» должна показаться по крайней мере странной. Если бы наука в своем развитии ориентировалась лишь на «обыденное использование», то мы бы до сих пор жили в мире, в котором Солнце вращается вокруг Земли.

Известный историк математики М. Клайн по поводу классического определения следования пишет следующее: «Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надежности посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны, то истинны и заключения. Следует отметить, в особенности для обсуждения в

дальнейшем, что Аристотель абстрагировал правила дедуктивной логики из рассуждений, которыми уже тогда широко пользовались математики. Дедуктивная логика -дитя математики»6.

Цитата Клайна интересна тем, что в ней понятие логического следования совершенно недвусмысленно связывается с именем Аристотеля и математикой. Вряд ли необходимо лишний раз напоминать, что греческая культура и, в частности, философия оказали определяющее влияние на развитие европейской мысли. Генезис многих понятий современной логики мы можем проследить вглубь веков вплоть до античности.

Следование, будучи по своей природе семантическим обоснованием правильных рассуждений, может быть объяснено из того, каким целям должны служить правильные рассуждения, и к каким объектам они могут быть применены. Ответ на этот вопрос можно получить лишь обратившись к философским взглядам родоначальников той логики, которая нас интересует.

Из древнегреческих философов в наиболее полном объеме до нас дошли труды Платона и Аристотеля. Патристика в философии донесла до нас взгляды Платона, а схоласты преуспели в канонизировании Аристотеля, труды которого были для них второй Библией. Как и Библию, написанное Аристотелем можно было толковать, но нельзя было сомневаться в истинности сказанного.

Известно, что Платон и Аристотель находились под сильным

6 Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984. С. 30.

Ф Е

=г р

а ф

и

и ££

Ч га х

Ф

га н о

ю га

впечатлением от строиности и красоты математического знания. Они считали, что именно математическое знание является образцом того, что вообще можно называть знанием. Это привело их к различению знания и мнения, которые представляют собой не только разные способности, но и направлены на разные объекты. Если знание имеет своим объектом умопостигаемое, существующее само по себе, вечное, вневременное, то объектом мнения является данное в ощущениях и потому изменчивое.

Я. Хинтикка, анализируя взгляды Платона и Аристотеля на познание и его объекты, пишет:

«Хотя позиция Аристотеля по отношению к различию между знанием и верой [мнением] совершенно отлична от платоновской, он тоже приходит к выводу о том, что знание и вера [мнение] должны иметь различные объекты, если мы хотим избежать двусмысленности... Поэтому вполне понятны явные утверждения Аристотеля, что мы можем иметь знание лишь о том, что неуничтожимо и неизменно»7.

«...здесь мы действительно имеем дело с тенденцией, общей многим греческим мыслителям. Наиболее характерной чертой этой тенденции является широкое распространение среди греков учения о том, что подлинное знание возможно только о том, что вечно или, по крайней мере, неизменно»8.

«Аристотель также соглашается с тем, что если бы все вещи находились в покое, то "одно и то же было бы всегда истинным и одно и то же - всегда ложным... А если все находится в движении, то ничто не было бы истинным; тогда, значит, все было бы ложно..."»9.

Из приведенных цитат ясно, почему отношение логического следования понималось Платоном и Аристотелем как отношение, сохраняющее истинность от посылок к заключениям. Если мир объектов знания мыслился ими как существующий вне времени, вне изменения, то лишь рассуждения, обладающие этим свойством, позволяли оставаться в сфере знания. В этом заключалось особое ценностное отношение к понятию истины. Если бы вдруг в ходе рассуждения мы от истины пришли ко лжи, это означало бы, что мы вышли из сферы знания в сферу мнений, которые одни лишь могут быть ложными.

За прошедшие века взгляды на природу математического знания претерпели изменения. На смену миру вечных платоновских идей, чтобы примирить их с христианством, пришел столь же вечный математический план, по которому бог создал вселенную. При этом математика понималась не как наука о свойствах абстрактных структур, а как наука, изучающая особые математические принципы устройства мира. Всякий новый

Хинтикка Я. Познание и его объекты у Платона // Логико-эпистемологические исследования. М., 1980. С. 368.

8 Хинтикка Я. Время, истина и познание у Аристотеля и других греческих философов // Там же. С. 404.

9 Там же. С. 410.

принцип, открытый математиками, должен был быть занесен в копилку знаний. Роль же логики понималась как роль хранительницы этих однажды добытых и навеки застывших знаний.

Появление неевклидовых геометрий нанесло сильный удар по прежним математическим идеалам. Оказалось, что математические истины, а также математический план, по которому бог якобы создал мир, вовсе не являются незыблемыми.

«...Математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой - следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивался вывод, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян. Осознание этой потери

было первым из бедствий, обру-

ю

шившихся на математику» .

Следующим потрясением явилось событие, когда в основаниях математики вдруг обнаружили противоречия. Формы рассуждений, которыми всегда пользовались математики, оказались ненадежными. Окончательный крест на вечных истинах был поставлен теоремами Геделя и Тарского, из которых следует, что даже если бы мир идей, мир вечных форм

существовал, то мы принципиально не могли бы его постичь.

«Теорема Геделя вызвала смятение в рядах математиков. Последующее развитие событий привело к новым осложнениям. Оказалось, например, что даже аксиоматически-дедуктивный метод, столь высоко ценимый в прошлом как надежный путь к точному знанию, небезупречен»".

Существует порог сложности, переступив который, мы уже никогда не можем быть уверены в том, что наше знание непротиворечиво, а потому и стремление к прежнему идеалу в конце концов упирается в принципиально непробиваемую стену.

«Нынешнее состояние математики - не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства»12.

Современная математика не может служить тем идеалом научного знания, который две с половиной тысячи лет назад предстал перед мысленными взорами Платона и Аристотеля и так поразил их. Реальный мир оказался гораздо сложнее мира застывших платоновских идей. Как быть в таком случае с логикой и ее опорой на вечные и неизменные истины?

Не отвергая классического определения условий истинности предложений, мы хотим предложить другой взгляд на то место, которое может занимать понятие истины в определении отношения логического следования.

Клайн М. Цит.соч. С. 13-14. Там же. С. 15. ' Там же. С. 15.

я

Ш И

V £ Я го н а о и и

«3

С£ ГО X

г

ш го н о

ю

го

Каковы общие требования к отношению логического следования?

Во-первых, оно должно быть свободно от обременительных гносеологических предпосылок. Правила логического вывода - это одежды, в которые мы одеваем свои рассуждения. Эти одежды не должны нас стеснять. Если мы хотим строить умозаключения на основе понятия истинностных оценок, то мы не имеем права отдавать предпочтения одним оценкам в ущерб другим.

Во-вторых, правила логики должны удерживать нас от заблуждений. При классическом понимании следования истинность посылок является достаточным условием истинности заключения. В этом смысле лишь при истинности посылок оно удерживает нас от заблуждений. Но что случится, если хотя бы одна из посылок окажется ложной? Тогда классическая логика снимает с себя всякую ответственность, и заключение может быть как истинным, так и ложным.

Возможно ли дать естественное определение логического следования, которое одновременно удовлетворяло бы обоим требованиям? Как строить выводы из истинных и ложных посылок, но в то же время не впадать в заблуждения? Перефразируя Аристотеля, можно сказать, что заблуждение -это «...думать о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть». Чтобы не впасть в заблуждение, мы должны всего лишь быть способны, придя к некоторому заключению, определить его истинностное значение. Т.е. форма умозаключения является правильной, если знание истинностных значений посылок является достаточным условием знания

истинностного значения заключения. Отличие от классического понимания минимально - истинность мы заменили на истинностное значение. Говоря об истинностных значениях посылок, мы не требуем, чтобы они были одновременно истинны, а допускаем любое распределение и тем самым удовлетворяем первому требованию. Для нас совершенно неважно, будет ли результирующее истинностное значение заключения истиной или ложью. Главное то, что если это значение - истина, то мы должны быть в состоянии определить, что оно - истина, а если -ложь, то мы должны быть в состоянии определить, что оно -ложь. В отношении заключения мы не лишаем себя возможности «думать о том, что сущее есть и не-сущее не есть», а принимаем это в качестве необходимого условия правильности умозаключения, удовлетворяя тем самым второму требованию.

Это приводит нас к следующему строгому определению логического следования: «Из множества формул £ = {В,, ..., Вк\ следует формула А, если и только если существует функция / которая позволяет по истинностным значениям формул множества 2, вычислить истинностное значение формулы А».

{Вь ..., В„}||=А <=> «В^у(У(А)=Г(У(В1),...,У(В„)),

где v - это обычное булево приписывание истинностных значений формулам языка.

Если попытаться провести аналогию с воззрениями Платона и Аристотеля на природу знания, то мы определили следование для изменяющегося мира явлений, а не для вечных существующих вне

времени истин. Объясним это более подробно.

Для простоты дальнейшего изложения рассмотрим случай, когда множество посылок состоит всего лишь из одной формулы В.

В этом определении выражение у(А) обозначает истинностное значение формулы А при приписывании значений ее атомарным подформулам, осуществляемым посредством функции v. Известно, что всякая булева формула А однозначным образом определяет соответствующую ей булеву функцию, которую обозначим посредством А. Вместо у(А) и у(В) в нашем определении мы могли бы написать А(у) и В(у), где приписывание V стоит на месте аргумента функции. Тогда определение примет следующий вид:

Но что такое Уу(А(у)= = 1'(В(\')))? Это стандартное утверждение о равенстве функции А композиции двух функций В и Г Поэтому мы можем представить наше определение альтернативного следования в следующей чисто функциональной форме:

Из формулы В следует формула А, если и только если существует такая функция / которая позволяет преобразовать функ-шю В в функцию А.

Таким образом, мы получили, го альтернативное следование 1ределяет логику, в которой знаниями булевых формул являют-не значения функций (истина <1 ложь), а сами булевы функ-1. Стоило нам отказаться от гичного мира вечных истин, и

мы тут же пришли к функциям, которые по самой своей природе гораздо лучше приспособлены для описания динамически изменяющихся сред.

В последней формулировке альтернативного следования конкретный способ представления функций и принимаемые ими значения никак не специфицированы. Поэтому возможны различные уточнения того, что мы будем под ними понимать. В самом простом случае это может быть теоретико-множественное представление функции как множества пар, удовлетворяющего известным ограничениям. На более абстрактном уровне это могут быть стрелки теории категорий. Мы можем ограничиться вычислимыми функциями или самими алгоритмами вычисления. Ничто не мешает проинтерпретировать функции реальными физическими процессами, имеющими дискретную или непрерывную природу. Индивиды динамического универсума также могут быть проинтерпретированы процессами. В этом случае привычные нам статичные индивиды классической логики могут быть определены всего лишь как мгновенные состояния процессов.

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что альтернативный подход к определению логического следования и построение на его основе логики означает смену логической парадигмы, но не отменяет результатов, полученных при традиционном подходе. Классическая логика в рамках границ своей применимости является гибким и действенным инструментом исследования. Другое дело, что эти рамки становятся тесными и более не удовлетворяют запросам научной практики.

щ

ж

В л