Метод оптимизационного кинематического синтеза плоских рычажных механизмов на примере восьмизвенного механизма

УДК 621.01

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИОННОГО КИНЕМАТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ПЛОСКИХ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ НА ПРИМЕРЕ ВОСЬМИЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА

Н.Н. Крохмаль, О.Н. Крохмаль

METHORD OF OPTIMISING KINEMATIC SYNTHESIS OF PLANAR LEVER MECHANISMS ON EXAMPLE OF THE EIGHT-BAR MECHANISM

N.N. Krokhmal, O.N. Krokhmal

Рассмотрен метод оптимизационного кинематического синтеза на примере плоского восьмизвенного рычажного механизма. Механизм предназначен для воспроизведения заданного движения выходного звена и траектории движения указанной точки. Синтез выполняется на основе структурных свойств механизма.

Ключевые слова: плоский рычажный механизм, структура механизма, оптимизационный кинематический синтез.

Method of optimizing kinematic synthesis on example of the 8-bar planar lever mechanism is considered. The mechanism is intended for reproduction of the set movement of a target link and trajectory of the specified point. Synthesis is carried out on the basis of structural properties of the mechanism.

Keywords: the planar lever mechanism, mechanism’s structure, optimizing kinematic synthesis.

Задачи синтеза многозвенных рычажных механизмов высоких классов представляют значительный интерес в связи с развитием робототехники и технологического оборудования на её основе [1]. Однако в настоящее время отсутствует общий метод кинематического синтеза механизмов высоких классов. Частные способы решения такой задачи разработаны для отдельных рычажных механизмов.

Проведённые нами исследования в области структурного анализа и синтеза рычажных механизмов открывают возможность разработки общего метода для кинематического синтеза таких механизмов.

Задачей кинематического синтеза плоских рычажных механизмов является определение их геометрических параметров с целью обеспечения в общем случае заданного движения определённого звена (звеньев) механизма и требуемой траектории движения определённой точки (точек), принадлежащей какому-либо звену (звеньям) механизма.

На рис. 1 в качестве расчётного примера приведена схема механизма, на которой шарниры обозначены числами, а рычаги будут обозначаться двумя числами, соответствующими номерам шарниров, которые образует тот или иной рычаг.

Положение входного звена (3-4-10) задаётся обобщённой координатой - углом (ср+фо).

Требуется определить длины всех рычагов и углы начальных положений входного - ф0 и выходного - 0О звеньев, таким образом, чтобы точка 0 двигалась по заданной траектории, описываемой заданной функцией 8 = 8(ф), а

выходное звено (7-8-9) совершало вращательное движение в соответствии с заданным законом

0 = 0(ф) При ф0 < ф < фщах-

В работах [2-5] показано, что любой рычажный механизм образуется как механическая цепь последовательно соединённых диад и входных (выходных) рычагов (по числу степеней подвижности механизма). Как известно, диада - это простейшая механическая рычажная система, состоящая из двух рычагов, образующих кинематическую пару. В группах Ассура диады образуют между собой прямые и обратные связи.

В рассматриваемом примере механизм образуется из цепи диад, представленной на рис. 2, и рычага 89.

Каждая диада является простейшим преобразующим механическим устройством с двумя входами (внешние кинематические пары) и одним выходом (внутренняя кинематическая пара). На входы «подаются» сигналы (скорости, перемещения) с одними значениями, а на выходе они «снимаются» с преобразованными значениями (рис. 3). Таким образом, можно сказать, что диада является простейшим элементом механической системы автоматического управления -группы Ассура.

Рис. 2. Схема соединения диад в механизме

Рис. 3. Схема диады

Каждая диада обладает передаточной функцией [5]:

х\ = [/2]х х2 X + хЗ

У1'. У2'. у!.

где

XI

Уі

- проекции скоростей (малых перемещений) 1-й точки диады в выбранной декартовой

системе координат

, [л] =

г'1 г 2 гЗ І4

, [У3] =

І4

-ІЗ

- г'2 ІІ

- матрицы обратных передаточных функ-

ций диады от точки 2 к точке 1 и от точки 3 к точке 1.

Компоненты матриц определяются следующими соотношениями:

г‘1 = -

1ёф13

г'2 =

tgфl2 • tgфlЗ

г'З = -

-1

/4 = -

-1ёф12

tgфl 3 — tgфl 2 tgфlЗ-tgфl2 tgфlЗ-tgфl2 tgфl 3 — tgфl 2

Тангенсы углов в этих соотношениях выражаются через координаты точек, в которых расположены шарниры диады.

Общая передаточная функция механизма может быть выражена через передаточные функции всех диад, входящих в его состав. Для рассматриваемого примера механизма передаточная функция описывается следующей системой линейных (относительно скоростей точек) уравнений (2):

ХІ

У~1

хб

уб

х5

У5

х4

у4

хЗ

уЗ

х2

У2

ХІ

У1

717

78

/

л

у8

х1

УІ

= 77

= 76

= 75-

= 74-

= 73

хб

уб

х5

У5

х4

у4

хЗ

уЗ

У2

+ 715

Ґх4Л

\ Ґ '\ х\

+ 714

у4

х\

\УІ у

+ 711-

+ 710'

у8

\ ' х\' 'х*'

= 72- + J9

У ,уК ,У5\

л:0

чУ°'

Система (2) одновременно является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно координат точек, в которых располагаются шарниры. В результате решения ОДУ (задачи Коши) могут быть определены траектории движения кинематических пар механизма. Как известно, для решения задачи Коши необходимо задать начальные условия интегрирования ОДУ. В данном случае необходимо задать начальные значения координат точек, в которых расположены кинематические пары.

При проведении кинематического синтеза механизма можно задать приемлемые интервалы возможных начальных условий для решения ОДУ. Задача кинематического синтеза механизма заключается, таким образом, в том, чтобы при решении ОДУ из заданных интервалов выбрать такие начальные условия, которые бы обеспечивали требуемые траектории движения кинематических пар при постоянстве длин всех рычагов механизма. Выбор начальных условий интегрирования системы (2) можно осуществить методом глобальной оптимизации целевой функции, построенной определённым образом.

Алгоритм вычисления целевой функции. Целевая функция является центральным элементом при решении оптимизационной задачи. В общем случае она является неявной, и её значение определяется путём последовательного выполнения вычислений. Для рассматриваемого примера последовательность вычислений целевой функции следующая:

1. Задание числа расчётных положений механизма - п.

2. Задание (в соответствии с п. 1) расчётных значений угла поворота (обобщённой координаты) входного звена (3-4-10).

3. Выбор начальных значений координат (х/У0, уЛ^0) точек с номерами /V от 1 до 10. Координаты чертящей точки с номером 0 заранее известны и определяются заданным законом её движения.

4. Определение углов, задающих начальные положения рычагов, образующих входное и выходное звенья

фЗ 10 = агс1ё(~^° ~-у10°), ф4Ю = агс1ё(у40~^0),

хЗп - лЮп

х40 -хЮ0

Ы9 = ак%( ^?0 У9°), #89 = ап^(У^° У^°).

х70-х90

х80 -х90

5. Определение длин рычагов для данного г-го расчётного положения механизма на основании уравнений связей между соответствующими точками с номерамиИиМ

ШИ,- =ч/(*ЛГ,- -хМ,)2 +(УУ, - ум,)2 .

Для рычагов 310, 410,34, 79, 89 и 78 очевидно справедливы условия ШМ1 =ЬЫМ0 = ЬЫМ , так

как траектории движения точек этих рычагов всегда являются окружностями.

6. Определение величин перемещений точек из г-го положения в (г + 1)-е положение по заданным законам их движения. Для рассматриваемого механизма это точки 0, 3, 4, 7, 8. Определяются малые перемещения (в проекциях на координатные оси) из данного расчётного положения в соседнее расчётное положение. Расчётные положения выбраны (п. 1, 2) так, что соответствуют малым изменениям обобщённой координаты. Под малыми изменениями понимаются значения, характерные для шагов численного интегрирования методом Эйлера.

Т очка 0: АхО = х0(ф(- + Аф) - х0(ф,-),

АуО = у0(ф,. + Аф) - у0(ф,-).

Точка 3 АлгЗ = ЬЪ10 • (сов(фЗ 10 + ф,- + Аф) - со8(фЗ 10 + ф,)),

АуЗ = ЬЗ10 • (вт(ф310 + фг + Дф)-8т(ф310 + ф,.)).

Точка 4 Дх4 = Ь410-(со8(ф410 + ф|- + Дф)-со8(ф410 + ф, )),

Ау4 = /410 • (вт(ф410 + ф, + Аф) - вт(ф410 + фг)).

Точка 7 Ах7 = Ы9 • (сов(Ф79 + /д(ф; + Аф)) - со8(Ф79 + 6(ф,-))),

Ау7 = //79 • (зт('&79 + 0(ф; + Аф)) - 8т(079 + в(ф,))).

Точка 8 Ах8 = L89 • (со8(Ф89 + 0(ф, + Аф)) - со8(#89 + Ф(ф,))),

А}'8 = Ь89  (8т(й89 + Ф(ф, + Аф)) - 81п(^>89 + /д(ф;))).

7. Определение величин перемещений из г-го положения в (г + 1)-е положение остальных точек механизма 1, 2, 5, 6 путём решения системы линейных уравнений (2). В данном случае из системы (2) необходимо исключить первое и пятое уравнения, не содержащие неизвестных перемещений.

8. Определение координат точек в новом смещённом (г + 1)-м положении механизма по формулам для малых перемещений - формулам Эйлера: хЫн1 = х/У, + АхЫ1, уЛ^,+1 = уЫ1 + АуЫ1.

9. Повторение пунктов алгоритма с 5 по 8 для расчётных положений механизма всего интервала изменения обобщённой координаты (р.

10. Определение средних значений длин рычагов ММ по результатам расчётов во всех расчётных положениях:

т1(1ШМ =-^----------.

п + 1

11. Определение отклонений длин рычагов от средних значений в каждом расчётном положении:

ШГМ{ = тШЬЫМ - ЬИМ1.

12. Вычисление значения целевой функции - суммы средних квадратичных отклонений длин всех рычагов во всех расчётных положениях:

И

'Щ

]Г(АШМ,)1

1=0

п + 1

Здесь 11 - число рычагов с нестационарными расчётными длинами, п - число расчётных положений механизма.

После того, как получено правило вычисления целевой функции, задача синтеза механизма сводится к поиску значений аргументов целевой функции - начальных значений координат точек, при которых она достигает минимума (желательно глобального) с приемлемым значением. Приемлемое значение минимума соответствует допустимым отклонениям длин рычагов и, следо-

вательно, приемлемой точности воспроизведения требуемых законов движения точек и звеньев. Таким образом, ставится задача глобальной оптимизации указанной целевой функции.

Как показывает практика, для решения подобных задач эффективными являются методы, основанные на генетических алгоритмах (ГА), реализующих постулаты теории биологической эволюции и опыта селекции растений и животных [6]. Стратегия поиска оптимального решения в генетических алгоритмах опирается на гипотезу селекции: чем выше приспособленность особи, тем выше вероятность того, что у потомков, полученных с её участием, признаки, определяющие приспособленность, будут выражены ещё сильнее [7].

В работе [8] представлен алгоритм и его программная реализация, который содержит в себе генетические качества статистической селекции популяции поисковых точек. Для исключения «неудачных» потомков в МГА реализована процедура регулярного поиска локальных экстремумов с использованием операций деформируемого многогранника. При смене поколений в алгоритме заложена рекомендуемая во многих источниках 10-процентная замена неперспективных особей (элиминирование). Данный алгоритм и его программная реализация в среде МаШСас! были использованы при проведении синтеза механизма, выбранного в качестве примера.

Пример синтеза механизма. Числовые данные примера взяты из [9]. Для заданной схемы механизма требуется воспроизвести следующие законы движения (табл. 1).

Таблица 1

Заданные законы движения элементов механизма

Угловое положение входного звена ср, град 0 45 55 60 65 69 73

Угловое положение выходного звена 0, град 0 19 33 44 52 58 62

Координата X точки 0 2,18 2,14 1,98 1,80 1,60 1,42 1,27

Координата У точки 0 0,84 1,07 1,21 1,37 1,52 1,64 1,72

На основании этих исходных данных была выполнена линейная интерполяция и получены аналитические функциональные зависимости: 0 = 0(ф), хО = хО(ф) и уО = уО(ф).

При выполнении оптимизационного поиска было задано 74 расчётных положений механизма и = 0...73 с шагом обобщённой координаты Дф = 1°. Для программы глобальной оптимизации были заданы следующие параметры поиска: число аргументов целевой функции - 20, число особей в популяции - 9, точность вычисления целевой функции - 10“2, начальные интервалы поиска для всех аргументов целевой функции -3,5...3,5.

За 20 минут работы (компьютер с тактовой частотой 2,66 ГГц) в среде МаЛСаё программа МГА нашла минимум целевой функции С2 = 0,124929 и соответственно значения аргументов целевой функции и средние длины всех рычагов механизма. Для найденных аргументов целевой функции было проведено их уточнение с помощью стандартной встроенной в МаШСас! процедуры поиска локального минимума. За 8 минут работы стандартная программа уточнила минимум целевой функции (2 = 0,032641, значения аргументов (табл. 2) и средние значения длин всех рычагов (табл. 3).

Таблица 2

Начальные координаты точек механизма

№ точки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2,179 0,712 0,595 -0,259 -0,363 -0,698 -0,878 -0,260 0,177 -0,164 -0,415

У 0,843 -0,255 -0,218 -0,986 -1,280 -0,928 -1,104 0,937 0,252 0,679 -0,878

Таблица 3

Длины рычагов механизма

Рычаг Ь01 Ь12 Ь23 Ь34 Ь45 Ь56 Ь67 Ь78 Ь89

Длина 1,832302 0,122222 1,149212 0,31176 0,486423 0,251166 2,13234 0,812876 0,546449

Рычаг Ь05 Ы8 Ь28 ЬЗЮ Ь410 Ь51 Ь64 Ь79 —

Длина 3,378135 0,736887 0,628934 0,18892 0,405191 1,562207 0,544401 0,275579 -

Отклонения длин звеньев от среднего значения в расчётных положениях имеют порядок ДО-8. Кинематическая схема синтезированного механизма и траектории движения его точек, в которых расположены кинематические пары, представлены на рис. 4.

Рис. 4. Кинематическая схема синтезированного механизма

В качестве проверки для синтезированного механизма были определены траектории движения точек, в которых расположены кинематические пары при известных уже длинах рычагов. Для этого использовалась стандартная программа решения системы нелинейных уравнений вида ЬИМ,2 = (х/У, -хМ()2 + (уЫ1 - уМ,)1 в среде МаШСаё. На рис. 5 представлен график, на котором отображены отклонения координат точки 0 от заданного закона её движения.

Рис. 5. Г рафики отклонений координат точки 0 от заданных значений

На рис. 6 представлен график, на котором отображены отклонения (град) угла поворота выходного звена от заданного закона его движения.

P. i 73^

Рис. 6. График отклонений угла положения выходного звена от заданных значений

Заключение. Изложенный метод оптимизационного синтеза может быть применён для любого рычажного механизма, поскольку основан на базовых структурных свойствах таких механизмов, а именно их диадном строении. Метод оптимизационного синтеза предполагает поиск глобального минимума целевой функции. Современные алгоритмы глобальной оптимизации функций позволяют успешно справляться с этой задачей. Дальнейшее развитие как изложенного метода оптимизационного синтеза, так и адаптация к нему метода глобальной оптимизации позволит создать целостную систему кинематического синтеза плоских рычажных механизмов любого класса с заданной точностью.

Литература

1. Proceedings of 12th World Congress, on the TMM. — France, Beanson, 2007. — http://l30.15.85.212/procee dings/procee dings_WorldCongress/WorldCongressO?/index, htm

2. Крохмаль, Н.Н. Особенности строения групп Ассура / Н.Н. Крохмаль // Известия вузов. Машиностроение. - 1998. -№ 7-9. - С. 45-48.

3. Крохмаль, Н.Н. Структурный анализ и синтез групп Ассура / Н.Н. Крохмаль // Известия вузов. Машиностроение. - 2002. — № 7. - С. 24-30.

4. Krokhmal, N. Structural synthesis of kinematic chains of lever mechanisms / N. Krokhmal // Proceedings of 13th National Conference on Mechanisms and Machines (NaCoMM07), IISc, Bangalore, India, December 12—13, 2007 - P. 149-155. — http://nacomm07.ammindia.org/Contents/papers/ NaCoMM-2007-033.pdf

5. Крохмаль, Н.Н. Кинематический анализ групп Ассура в связи с их структурными свойствами / Н.Н. Крохмаль //Известия Челябинского научного центра УрО РАН. - 2003. -№1(18). -С. 1-6. -http://csc.ac.ru/news/

6. Goldberg, D.E. Genetic Algorithms in Search Optimizations and Machine Learning /D.E. Goldberg. - Addison-Wesly, 1989.

7. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Г.К. Вороновский, К.В. Махотило, С.Н. Петрашев, С.А. Сергеев. — Харьков: Основа, 1997.

8. Сабанин, В.Р. Модифицированный генетический алгоритм для задач оптимизации в управлении / В.Р. Сабанин, Н.И. Смирнов, А.И. Репин // Exponenta Pro. - 2004. -№ 3-4. - С. 78-85.

9. Hamid, S. Синтез восьмизвенного механизма с различными программами движения / S. Hamid, А.Н. Soni // Труды американского общества инженеров-механиков. Конструирование и технология машиностроения. -1973. -№ 3. - С. 76-84.

Поступила в редакцию 25 января 2011 г.

Крохмаль Николай Николаевич. Кандидат технических наук, доцент кафедры «Гусеничные машины», Курганский государственный университет. Область научных интересов - структурный и кинематический анализ и синтез механизмов.

Krokhmal Nickolay Nickolayevich. Candidate of Technical .Science, associate professor of ‘Track-laying vehicle” department of Kurgan state university. Area of scientific interests - the structural both kinematic analysis and synthesis of mechanisms.

Крохмаль Олег Николаевич. Младший научный сотрудник НИО, Курганский государственный университет. Область научных интересов - структурный и кинематический анализ и синтез механизмов.

Krokhmal Oleg Nickolayevich. Junior researcher at the “Tracklaying vehicle” department of Kurgan state university. Area of scientific interests - the structural both kinematic analysis and synthesis of mechanisms.