Метод прецизионного уточнения полей неоднородных смещений и деформаций на поверхности материалов

Метод прецизионного уточнения полей неоднородных смещений и деформаций на поверхности материалов

О.В. Семенова, О.А. Морозов

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 603950, Россия

В работе представлена методика прецизионного уточнения полей смещений и количественного определения значений полей неоднородных деформаций, основанная на использовании методов многомерной оптимизации. На примере модельного эксперимента рассмотрена возможность ее применения и проведено сравнение результатов с методом обработки оптических изображений.

1. Введение

Одним из положений, лежащих в основе концепции физической мезомеханики, является однозначная связь неоднородного упругопластического состояния материала с динамикой изменения рельефа поверхности в процессе деформирования [1]. В связи с этим, для исследования поведения материала в ходе пластического деформирования и выявления закономерностей пространственно-временных картин пластического течения твердых тел актуальной является задача развития экспериментальных методов, позволяющих оценивать распределения структурно-чувствительных характеристик на поверхности исследуемых материалов. Принципиально важной характеристикой является неоднородное поле пространственных перемещений элементов поверхности материала на разных масштабных уровнях.

В настоящее время для оценки полей смещений в физической мезомеханике наиболее часто используются методы спекл-интерферометрии [2] и методы обработки оптических изображений, реализуемые с помощью оптико-телевизионных измерительных систем [1]. Оба метода позволяют оценивать поля смещений на поверхности исследуемого материала с пространственным разрешением, достаточным для выявления характера развития пластической деформации, в том числе следить за эволюцией напряженно-деформированного состояния поверхности. Однако информация, которую можно получить с помощью данных методов, носит в основном качественный характер, что определяется ограничения-

ми, присущими традиционно используемым методам распознавания образов [1, 3], под которыми здесь понимаются корреляционные методы определения соответствия объектов.

Метод обработки оптических изображений основан на использовании корреляционного анализа изображений поверхности исследуемого материала и построении полей смещений участков поверхности. Он дает приемлемые результаты, когда используется усреднение по достаточно большой области поверхности, а в результате деформирования не произошло сильных искажений (декорреляции) изображения поверхности деформируемого материала по отношению к исходному изображению. В частности, на вид корреляционного максимума оказывают сильное влияние изменение масштаба и локальные повороты участков изображения [4]. В ряде задач важно рассматривать не поля смещений, а поля деформаций, тогда возникает задача численного дифференцирования. Изменения величины компонент поля смещений определяются с точностью до одного элемента разрешения, то есть являются дискретными, с чем связана высокая погрешность измерений, которая не позволяет получать из поля смещений поле деформаций с достаточной для расчетных целей точностью. Анализ неточных полей смещений и деформаций может привести к неверным выводам о механизмах развития деформаций.

Задача прецизионного оценивания поля смещений на поверхности исследуемого объекта в настоящее вре-

© Семенова О.В., Морозов О.А., 2003

мя является актуальной. Для ее решения предложен ряд методов, основанных на аналитической аппроксимации функции сходства изображений (обычно корреляционной функции) [5]. Однако эти методы могут оказаться неэффективными для оценки неоднородных полей смещений, поскольку они дают приемлемые результаты лишь при анализе участков изображения большого размера.

В данной работе предлагается альтернативная методика прецизионного уточнения полей смещений и количественного определения значений полей неоднородных деформаций, эволюционирующих в ходе пластического деформирования материала, основанная на использовании методов многомерной оптимизации функционала рассогласования рельефов деформируемой поверхности. Методика может использоваться как непосредственно для оценки полей смещений и деформаций, так и для уточнения полей, полученных другими методами.

2. Методика эксперимента

В работах [6, 7] предложена экспериментальная методика для оценки распределения деформаций на поверхности образцов по одномерным профилям поверхности. Подход, лежащий в ее основе, позволяет оценивать распределения деформаций по участкам профиля поверхности с точностью, сопоставимой с точностью традиционных методов, таких как метод реперных меток, и применим для изучения эволюции распределения деформаций в процессе нагружения образца [7]. Одномерный подход к экспериментальному исследованию процессов деформации твердых тел существенно упрощает расчеты и удобен для построения начальных оценок и первичного исследования. Однако процесс деформирования является сложным и многоуровневым, реальные конструкции подвергаются влиянию различных видов деформаций — от растяжения до кручения. В связи с этим набор одномерных функций деформаций не может дать полной картины распределения деформаций по всей исследуемой части образца, что является очень важным при изучении поведения твердого тела и эволюции структуры поверхности в ходе деформирования. В данной работе предлагается методика построения двумерных полей деформаций, использующая основные концепции, заложенные в одномерном случае.

Методика заключается в оценке деформаций и смещений на основе анализа непосредственно рельефов деформируемой поверхности до и после деформации с помощью методов компьютерной обработки данных. Экспериментальная методика включает в себя несколько этапов: подготовку поверхности исследуемого образца, выбор рабочей области поверхности, маркирование (нанесение реперов) при необходимости, сканирование рельефа поверхности, нагружение, предварительную

цифровую обработку сканов, восстановление распределения деформаций. В общем случае методика ориентирована на использование распределения высот рельефа поверхности, полученного различной сканирующей аппаратурой, однако при оценке компонент плоского тензора деформаций может работать и с распределением интенсивности, зафиксированным видеокамерой.

Основной чертой, отличающей предлагаемую методику от большинства стандартных схем, является наличие вычислительного алгоритма восстановления деформаций, использующего методы многомерной оптимизации, интерполяции, методы распознавания образов. Составными частями алгоритма являются:

- моделирование рельефа поверхности, формирующегося вследствие деформации материала, на основе исходного рельефа и заданных компонент тензора деформаций;

- целенаправленное изменение компонент тензора дисторсии на основе многомерной оптимизации целевой функции, в качестве которой выбран функционал среднеквадратичного рассогласования реального рельефа после деформации и приближаемого к нему модельного:

е = а^{тт Р(е)},

| (/-/ '[£, / ])2а—

Р

-

где / = /'(х, у) — реальный рельеф поверхности материала после деформации; /' = /' (х, у) — модельный рельеф, приближаемый к /'(х, у); е — оценка тензора дисторсии; / = /(х, у) — исходный рельеф; — — область, для которой вычисляется рассогласование. В дальнейшем под рельефом поверхности будут подразумеваться массивы данных, содержащие координаты и соответствующие им значения высот рельефов или интенсивностей изображений поверхности.

Задача восстановления полей деформаций решается путем многократного решения прямой задачи моделирования рельефа поверхности после деформации. Моделирование рельефа заключается в следующем (рис. 1). Рельеф поверхности до деформации разбивается на участки, каждому из них ставятся в соответствие значения компонент тензора деформаций. Компоненты гладко интерполируются на всю область определения функции рельефа, и на их основе вычисляются компоненты плоского тензора дисторсии е11, е22, е12, е21, которые непосредственно используются при моделировании рельефа поверхности:

е11 = ^хх, е22 = ^уу,

е12 = е ху + ^ е21 = е ху - ^

где w — ротационная компонента тензора деформаций.

Рис. 1. Схема последовательных приближений, использующая многократное применение многомерной оптимизации для оценки компонент тензора дисторсии

Для каждого элемента массива исходного рельефа поверхности на основе компонент тензора дисторсии рассчитываются смещения и изменяются соответствующие координаты, что можно рассматривать как результат неравномерной дискретизации:

Аих = еих + еп у, АМу = е21х + е22 у,

х = х + АЫх, у = у + ДМу,

где х', у' — координаты точек деформированной поверхности; Аих, Аму — соответственно смещения точки по оси х и у.

Рельеф поверхности после деформации /' (х, у) восстанавливается с помощью специальной процедуры

интерполирования, построенной по принципу работы алгоритмов сплайн-интерполяции. Процедура учитывает специфику работы сканирующей аппаратуры: значения моделируемого рельефа должны восстанавливаться в точках с тем же шагом дискретизации, как и исходные данные. Сущность интерполирования заключается в следующем. В каждой точке массива, содержащего отсчеты исходного рельефа, по ее окрестности вычисляются коэффициенты интерполирующих функций. Значения коэффициентов записываются в двумерный индексированный массив, соответствующий массиву узлов исходной сетки координат. В качестве интерполирующих функций можно использовать как линейные, квадратичные, так и более сложные функции (функции

Рис. 2. Исходные данные для восстановления неоднородных полей деформаций: а — недеформированный и деформированный рельеф поверхности алюминиевого образца (пунктиром выделена область исследования, для которой вычисляется функционал рассогласования); б—заданные распределения деформаций 8хх (х, у) и 8уу (х, у); в — соответствующее им неоднородное поле смещений

Куранта, кубические сплайны и др.). Для каждого узла исходной неискаженной сетки координат определяются индексы ближайшего (в смысле наименьшего евклидова расстояния) узла искаженной сетки. На основе интерполяционных коэффициентов, соответствующих индексам найденного узла, и расстояния между узлами деформированной и исходной сетки производится оценка высоты рельефа в точках неискаженной сетки координат, что соответствует равномерной дискретизации.

Вычисление функционала рассогласования (1) осуществляется на области —, представляющей собой не весь рельеф поверхности, а фрагмент, не включающий границы изображения (рис. 2, а, внизу), что позволяет уменьшить влияние краевых эффектов. Величину отступа от краев рекомендуется брать не более половины линейного размера участка разбиения. Для однозначного соответствия исследуемых областей на исходном рельефе выделяется искусственно созданная или естественная особенность поверхности, которая выступает в качестве реперной метки, осуществляется поиск этой метки на деформированном рельефе и определяются ее координаты, которые служат координатами начала области исследования. Данная процедура позволяет устранить смещение исследуемых поверхностей как целого.

Параметрами оптимизации являются компоненты тензора дисторсии соответствующих участков поверхности. Координаты минимума функционала рассогласования (1) являются оценкой искомых компонент тензора дисторсии, из которых рассчитываются деформации растяжения-сжатия, сдвиговые и поворотные компоненты на основе выражений (2). Поскольку деформации

являются взаимосвязанными, то при оптимизации функционал рассогласования может быть дополнен ограничениями, накладываемыми на деформации уравнениями совместности, например:

д 2 8 хх , д 2 8 уу = 2 дЬу.

ду2 дх2 дхду

Размерность оптимизационной задачи зависит от количества участков разбиения исходных рельефов и количества восстанавливаемых компонент деформаций. Функционал рассогласования (1) является многоэкстремальным, с чем связан ряд проблем при практической реализации предлагаемого алгоритма. Одним из путей повышения эффективности поиска глобального оптимума с помощью методов многомерной оптимизации может быть применение схемы последовательных приближений (рис. 1). В рамках этой схемы поиск оптимума функционала рассогласования производится в несколько этапов с целью последовательного уточнения распределений деформаций. На каждом этапе количество разбиваемых участков увеличивается, и соответственно возрастает размерность оптимизируемого функционала. Оцененные на предыдущем этапе поля деформаций являются начальным приближением на последующем этапе. Алгоритм допускает возможность оценивания вычислительной ошибки определения деформаций на основе статистического анализа ансамбля реализаций, полученного в результате неоднократного использования схемы последовательных приближений с применением разных случайных приближений на начальных этапах.

Предлагаемая методика легко применима и к анализу непосредственно полей смещений. В этом случае при моделировании задаются компоненты поля смещений их (х, у) и иу (х, у). Изображение деформируется согласно (4), а в выражении (1) в качестве оптимизационных параметров выступают не деформации, а значения смещений участков поверхности.

3. Результаты моделирования и их обсуждение

В данном разделе приведены результаты тестирования алгоритма с использованием компьютерного моделирования и проведено сравнение предлагаемой методики с методом обработки оптических изображений. Цель тестирования — показать возможности предлагаемой методики в случаях, когда традиционно используемые методы не всегда дают верные результаты.

При моделировании использовался фрагмент оптического изображения поверхности алюминиевого образца размером 128x128 пикселов (рис. 2, а, вверху). Изображение получено с помощью оптико-телевизионной измерительной системы неразрушающего контроля поверхности ТОМ^С. Изображение поверхности после деформации моделировалось на основе исходного изображения и заданных полей деформаций. Модельные распределения компонент тензора деформаций на поверхности целенаправленно выбраны в упрощенном виде (рис. 2, б):

8хх (х, у) = 8(у) ~ у3, 8уу (х, у) = 8уу (х) ~ х2,

8ху (х, у) = 0, w(х, у) = 0.

С одной стороны, им соответствует неоднородное поле смещений (рис. 2, в), с другой стороны, они являются

непрерывными функциями координат. На основе заданных деформаций рассчитывались поля компонент тензора дисторсии и смещения по формулам (2) и (3) для каждого элемента массива исходного изображения поверхности. По искаженной сетке координат строилось изображение поверхности после деформации (рис. 2, а, внизу).

Первоначальное и смоделированное изображения поверхности являются исходными данными для оценки поля смещений и деформаций двумя методами.

На рис. 3 представлены результаты обработки изображений поверхности одним из методов распознавания образов (разностный алгоритм [1]), а на рис. 4 — результаты работы метода оптимизации функционала рассогласования.

Методом обработки оптических изображений восстанавливались смещения участков поверхности. Размер эталонного фрагмента — 24 х 24, шаг сканирования для расчета деформаций — 1 пиксел. Компоненты полученного поля смещений (рис. 3, а) усреднялись и путем численного дифференцирования строились поля деформаций (рис. 3, б). Вследствие дискретности измерений метод не позволил адекватно отразить распределение деформаций, особенно следует отметить появление сдвиговых и поворотных компонент, сравнимых по величине с деформациями растяжения-сжатия, хотя поле смещений качественно совпадает с заданным (рис. 2, в).

При использовании метода оптимизации функционала рассогласования исходное изображение разбивалось на 10x10 участков, в каждом узле сетки оценивались 4 компоненты тензора дисторсии. Оптимизация функционала рассогласования осуществлялась с помо-

Рис. 3. Поле смещений (а), построенное методом обработки оптических изображений, и соответствующие поля деформаций 8хх (х, у) и 8уу (х, у) (б), представленные в виде распределения интенсивностей и в виде поверхностей

щью метода многомерной оптимизации Хука-Дживса [8]. По рассчитанным и интерполированным на весь размер изображения полям деформаций (рис. 4, а) на основе (3) строилось поле смещений (рис. 4, б). Точность определения полей деформаций єи єуу по сравнению с заданными составила порядка 2 %, а поле смещений практически является непрерывной функцией координат. Сдвиговые и поворотные компоненты тензора дисторсии по величине на два-три порядка меньше по сравнению с компонентами растяжения-сжатия, поэтому на рисунке не приводятся. Расчет непосредственно двух компонент поля смещений приводил к аналогичному результату.

Восстановленные с помощью обоих методов поля смещений качественно совпадают с заданным полем, однако разница в виде деформаций, полученных двумя методами, очень значительна. Это связано с тем, что минимальная величина изменений между значениями смещений, полученных методом обработки оптических изображений, пропорциональна величине элемента дискретизации изображений поверхности, поэтому поле смещений представляет собой совокупность площадок равных значений, разделенных границами. Поскольку процедура численного дифференцирования очень чувствительна к резким перепадам значений исходных данных, то рассчитанные значения не отражают непрерывного распределения компонент тензора деформаций. На основе анализа таких полей можно сделать вывод, что в материале деформирование произошло только вдоль выделенных областей, в других областях

наблюдается отсутствие деформации, однако это не соответствует исходным данным. Такая ситуация возможна и при обработке реальных данных, поэтому анализ полученных полей деформаций может привести к неверным выводам о протекании процесса пластического деформирования на поверхности материала. Предварительное сглаживание полей смещений приводит лишь к размыванию полей деформаций, но не устраняет ошибку, изначально заложенную при измерениях.

В методе оптимизации функционала рассогласования устранена проблема дискретности измерений полей смещений за счет того, что значения полей деформаций или смещений выступают параметрами оптимизируемого функционала. Характерный размер неоднородности, который позволяет оценить метод оптимизации функционала рассогласования, определяется размером участков разбиения, в узлах которых вычисляются компоненты тензора деформаций. Результаты многократного тестирования предложенного алгоритма на различных модельных данных показали, что точность восстановления полей деформаций и смещений порядка 2-5 %.

Однако следует отметить, что метод оптимизации функционала рассогласования обладает высокой вычислительной трудоемкостью, поэтому в настоящее время рекомендуемой областью его применения является прецизионное восстановление распределения компонент тензора деформаций в характерных местах локализации деформаций, выявленных другими методами, например методом обработки оптических изображений.

Рис. 4. Поле смещений (а), соответствующее полям деформаций 8хх (х, у) и 8 (х, у), восстановленным методом оптимизации функционала

рассогласования. Поля деформации (б) представлены в виде распределения интенсивностей и в виде поверхностей

4. Заключение

В работе представлен метод прецизионного уточнения полей смещений и количественного определения значений полей неоднородных деформаций, основанный на использовании методов многомерной оптимизации, и приведены основные моменты его реализации. На основе обработки исходного изображения поверхности алюминиевого образца и изображения после деформации, полученного с помощью компьютерного моделирования, проведено сравнение результатов работы методов оптимизации функционала рассогласования и обработки оптических изображений, которое позволило выделить некоторые их преимущества и недостатки. Выявлено, что широко применяющийся в экспериментальной мезомеханике метод обработки оптических изображений не всегда позволяет адекватно отразить распределение деформаций (особенно сдвиговых и поворотных компонент) на поверхности материала. Качественное совпадение неоднородных полей смещений, полученных двумя методами, говорит о состоятельности предлагаемого метода. Кроме того, модельное тестирование показало, что метод оптимизации функционала рассогласования позволяет адекватно восстанавливать распределение всех компонент плоского тензора деформаций на поверхности материала. Однако этот метод представляет собой реализацию сложного математического аппарата, и вследствие этого требует больших вычислительных и временн ых ресурсов, поэтому в настоящее время его можно рассматривать как дополнение к уже существующим методам. Одно из возможных направлений по усовершенствованию данной методики

заключается в разработке и использовании ориентированных на аналогичную задачу методов глобальной оптимизации.

Авторы выражают благодарность Панину С.В. за предоставленные экспериментальные данные и предварительное обсуждение материалов работы.

Литература

1. Сырямкин В.И., Панин В.Е., Дерюгин Е.Е., Парфенов А.В., Не-руш Г.В., Панин С.В. Оптико-телевизионные методы исследования и диагностики материалов на мезоуровне // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 176-194.

2. Экспериментальная механика: В 2-х т. / Под ред. А. Кобаяси. -М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 615 с., Т. 2. - 552 с.

3. Аггарвал Дж.К., Дейвис Л.С., Мартин УН. Методы установления

соответствия при анализе динамических сцен // ТИИЭР. - 1981. -Т. 69. - № 5. - С. 77-89.

4. КейсентД., ПсалтисД. Новые методы оптических преобразований

для распознавания образов // ТИИЭР. - 1977. - Т. 65. - № 1. -С. 92-101.

5. Бачило С.А., ИтенбергИИ., КалашниковВ.А. и др. Субпиксельное

оценивание перемещения дискретных изображений // Цифровая обработка сигналов и ее применение. Докл. IV Междунар. конф. DSPA-2002. - М.: ИПУ РАН, 2002. - Т. 2. - С. 274-277.

6. Минеев С.А., Морозов О.А., Семенова О.В. Использование топографических данных для изучения эволюции распределения деформации на поверхности материалов в ходе пластической деформации // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28. - Вып. 8. - С. 18-23.

7. Морозов О.А., Минеев С.А., Сотникова О.В., Гущина Ю.Ю. Построение функции деформации на поверхности образца по топографическим данным сканирующей зондовой микроскопии // Поверхность. - 2000. - № 7. - С. 96-98.

8. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. - М.: Радио и связь,

1988. - 128 с.

The method of precise refinement for inhomogeneous displacement and strain fields on material surface

O.V. Semenova and O.A. Morozov

N.I. Lobachevsky Nizhni Novgorod State University, Nizhni Novgorod, 603950, Russia

The paper presents the procedure, which allows precise refining of displacement fields and quantitative determination of inhomogeneous strain fields. The procedure is based on the use of multilevel optimization methods. By the example of a model experiment the possibility of the procedure application is considered and the results obtained are compared to the method of optical image processing.