Аналитическое решение уравнений ориентации околокруговой орбиты космического аппарата

References

1. Bolotin V. V. Mechanics of the initiation and initial development of fatigue cracks. Soviet materials science, 1986, vol. 22, iss. 1, pp. 14-19. DOI: 10.1007/BF00720861.

2. Mirsalimov V. M. Initiation of defects such as a crack in the bush of contact pair. Matem. Mod., 2005, vol. 17, no. 2, pp. 35-45 (in Russian).

3. Mirsalimov V. M. The solution of a problem in contact fracture mechanics on the nucleation and development of a bridged crack in the hub of a friction pair. J. Appl. Math. Mech., 2007, vol. 71, iss. 1, pp. 132-151. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2007.03.003.

4. Mir-Salimzade M. V. Generation of Cracks in a Perforated Reinforced Plate. J. Applied Mechanics and Technical Physics, 2008, vol. 49, no. 6, pp. 1030-1039.

5. Vagari A. P., Mirsalimov V. M. Nucleation of Cracks in a Perforated Heat-Releasing Material with Temperature-Dependent Elastic Properties. J. Applied Mechanics and Technical Physics, 2012. no. 4, pp. 138-148.

6. Zolgharnein E., Mirsalimov V. M. Nucleation of a Crack under Inner Compression of Cylin-drical Bodies. Acta Polytechnica Hungarica, 2012, vol. 9, no. 2, pp. 169-183.

7. Akhmedova M. V. Cracks nucleation in thin plate, weakened by the periodic system of the curvilinear holes. Vestnik chuvashskogo gosudarstvennogo pedagogi-cheskogo universiteta im. I.Ia. Iakovleva. Ser. Mekhanika predel"nogo sostoianiia, 2013. no. 4 (18), pp. 3-14.

8. Iskenderov R. A. The crack nucleation in the isotropic plate, weakened by a periodical system of circular holes under transverse bending. Structural Mechanics of Enginiring Constructions and Buildings, 2013. no. 3, pp. 18-28.

9. Mirsalimov V. M., Hasanov Sh. G. Modeling of crack nucleation in covering on an elastic base. Intern. J. Damage Mech., 2014, vol. 23(3), pp. 430-450.

10. Зульфугаров Э. И. Моделирование зарождения искривленной трещины в тормозном барабане автомобиля. Fundamental'nye i prikladnye problemy tekhniki i tekhnologii [Fundamental and applied problems of

engineering and technology], 2014, no. 1 (303), pp. 24-30 (in Russian).

11. Mohammed I., Liechti K. M. Cohesive zone modeling of crack nucleation at bimaterial corners. J. Mech. Phys. Solids, 2000, vol. 48, iss. 4, pp. 735-764.

12. Yang B. Examination of free-edge crack nucleation around an open hole in composite laminates. Intern. J. Fracture, 2002, vol. 115, iss. 2, pp. 173-191.

13. Yang Q., Cox B. Cohesive models for damage evolution in laminated composites. Intern. J. Fracture, 2005, vol. 133, iss. 2, pp. 107-137.

14. Lipperman F., Ryvkin M., Fuchs M. B. Nucleation of cracks in two-dimensional periodic cellular materials. Computational Mechanics, 2007, vol. 39, iss. 2, pp. 127139.

15. Gutkin M. Yu., Ovid'ko I. A., Skiba N. V. Effect of inclusions on heterogeneous crack nucleation in nanocomposites. Physics of the Solid State, 2007, vol. 49, iss. 2, pp. 261-266.

16. Chen Z., Butcher C. Estimation of the Stress State Within Particles and Inclusions and a Nucleation Model for Particle Cracking. Micromechanics Modelling of Ductile Fracture: Solid Mechanics and Its Applications,

2013, vol. 195, pp. 223-243.

17. Hasanov F. F. Nucleation of cracks in isotropic medium with periodic system of the circular holes filled with rigid inclusions, at longitudinal shear. Structural Mechanics of Enginiring Constructions and Buildings,

2014. no. 3, pp. 44-50 (in Russian).

18. Hasanov F. F. Nucleation of the crack in a composite, reinforced unidirectional orthotropous fibres at longitudinal shear. Mechanics of machines, mechanisms and materials, 2014, no. 2 (27), pp. 45-50 (in Russian).

19. Muskhelishvili N. I. Some Basic Problems of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, Nauka, 1966, 707 p. (in Russian).

20. Mirsalimov V. M. Multidimensional elasto-plastic problems. Moscow, Nauka, 1987, 256 p. (in Russian).

21. Il'yushin A. A. Plasticity. Moscow; Leningrad, GITTL, 1948, 376 p. (in Russian).

УДК 629

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОРИЕНТАЦИИ ОКОЛОКРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

И. А. Панкратов

Кандидат технических наук, доцент кафедры математического и компьютерного моделирования, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, PankratovIA@info.sgu.ru

Рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата (КА) с помощью ограниченного по модулю управления, ортогонального плоскости орбиты КА. Найдено приближённое аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты КА для постоянного на смежных участках активного движения КА управления.

Ключевые слова: космический аппарат, орбита, ориентация, кватернион, оптимальное управление.

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 1 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть вектор ускорения и от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения КА направлен ортогонально плоскости его орбиты. В этом случае орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве под действием управления как неизменяемая (недеформируемая) фигура.

Движение центра масс КА будем рассматривать в инерциальной системе координат X — геоцентрической экваториальной системе координат 0X1X2X3(X) с началом в центре 0 притяжения Земли. Ось 0X3 этой системы координат направлена вдоль оси суточного вращения Земли, оси 0X3^ и 0X2 лежат в плоскости экватора Земли, ось 0X1^ направлена в точку весеннего равноденствия для Земли, ось 0X2 дополняет систему до правой тройки векторов.

Введем также в рассмотрение орбитальную систему координат п- Начало этой системы координат находится в центре масс КА, ось ^ направлена вдоль радиуса-вектора центра масс КА, ось п3 перпендикулярна плоскости орбиты и имеет направление постоянного по модулю вектора с момента скорости центра масс КА, а ось п2 образует правую тройку с осями ^ и п3. Ориентация системы координат п в инерциальной системе координат X задаётся долготой восходящего узла , наклоном орбиты I, угловым расстоянием перицентра от узла и истинной аномалией характеризующей положение КА на орбите.

Уравнения ориентации орбитальной системы координат п в параметрах Эйлера Aj имеют вид [1-4]

dA

2—- = А о ш

dt

П'

А = Ао + Ai ii + A2¿2 + A3 ¿3,

ш

r . c

n = - + -2 c r2

d^ "dt"

P

1 + e cos ^'

c = const.

Здесь Л — нормированный кватернион ориентации орбитальной системы координат n, i 1, ¿2, ¿3 — векторные мнимые единицы Гамильтона, о — символ кватернионного умножения; ^ — истинная аномалия, характеризующая положение КА на орбите; r = |r| — модуль радиуса-вектора центра масс КА; p и e — параметр и эксцентриситет орбиты соответственно, c = |r х v| — постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v центра масс КА); u — проекция вектора реактивного ускорения u на направление вектора момента скорости центра масс КА (алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного мгновенной плоскости орбиты КА).

Компоненты Aj кватерниона Л связаны c классическими угловыми переменными Ou, I, и ^ соотношениями:

А0 = cos - cos 0 2

А2 = sin — sin

Ou + Wf + ^ 2

Ou + Wn + ^ 2

A1 = sin - cos 1 2

A3 = cos — sin

Ou - Wn - ^

Ou - Wn - ^

Пусть необходимо определить ограниченное по модулю управление u

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА из заданного начального состояния

t = t0 = 0, р(0) = Л(0) = Лн = Лн о (eos у + ¿3 sin ^

в конечное состояние, принадлежащее многообразию

2

* *

t = t* =?, <¿,(í* ) = A(t* ) = ±А* о (cos у + ¿3 sin y

и минимизирующее функционал

J1 = (а1 + a2u ) dt, a1, а2 = const ^ 0 0

r

2

2

t

или функционал

t*

= /

Jo

При а1 = 1, а2 =0 имеем задачу быстродействия. При а1 =0, а2 = 1 в случае минимизации функционала (2) имеем задачу минимизации затрат характеристической скорости [5].

Кватернионная переменная Л характеризует ориентацию орбиты КА, а переменная р — положение КА на орбите. Величины с, p, e, р0, Лн и Л* заданы. Подлежат определению оптимальный закон управления u = u(t) и величины t*, р*.

Аналитическое решение уравнений (1) в случае произвольного управления u = u(t) не найдено. Отметим, что задача интегрирования уравнений (1) есть известная задача Дарбу [6]. Решение указанной задачи в замкнутой форме найдено лишь для некоторых частных случаев (см., например, работу А. В. Молоденкова [7]). Известно, что оптимальное управление, находимое из условия максимума функции Гамильтона - Понтрягина по переменной u, в случае минимизации функционала (2) или при решении задачи быстродействия сохраняет постоянное значение на смежных участках активного движения КА [8, 9]. В работе [10] был предложен способ построения решения уравнений (1) при условии, что орбита КА является круговой (e = 0), а управление u — постоянным.

Отметим, что для нахождения аналитического решения уравнений (1) удобно перейти к новой независимой переменной — истинной аномалии р и ввести безразмерные переменные. Фазовые переменные Aj являются безразмерными. Безразмерные переменные rb, tb и управление ub связаны с размерными переменными r, t и управлением u соотношениями: r = Rrb, u = umaxub, t = Ttb, где R — характерное расстояние (в его качестве принималась величина, близкая к длине большой полуоси орбиты управляемого КА); V, T — характерные скорость и время соответственно, определяемые соотношениями: V = c/R, T = R2/с.

Отметим также, что при переходе к безразмерным переменным в уравнениях для фазовых переменных появляется характерный безразмерный параметр Nb = umaxR3/с2.

Таким образом, система фазовых уравнений в безразмерных переменных примет вид [9]

£ = 1Л о [Nb

ар 2 L J 1 + e cos р

2. ПЕРВАЯ ПОПРАВКА

Предположим, что орбита КА является околокруговой (|e| ^ 1), а управление постоянным. Следуя [11], будем искать решение в виде разложения по степеням малого параметра e :

Л

Входящий в уравнения (1) множитель (rb)3 можно также представить в виде ряда по степеням e :

(rb)3 =-з = 1 + 3ecos р + 6e2 cos2 р + ...

Ограничимся пока нахождением лишь первого поправочного члена ряда (4), т.е. будем искать приближённое решение задачи в виде

Л

Тогда уравнения для кватерниона Л примут вид

ал 1

— = 2л о {[N i1 + i3] - 3Ne cos р i1} .

Здесь N = Nbub = const.

Подставляя разложение (5) в кватернионное уравнение (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях e, имеем:

^ = 1 Л

ар 2

dd— = 2Л

3

dp 2" " L" ^ ' "3J 2'

При этом необходимо учитывать тот факт, что умножение кватернионов ассоциативно, но в общем случае не коммутативно [6, 12].

Уравнение (7) совпадает с уравнением ориентации орбитальной системы координат в случае, когда КА движется по круговой орбите под действием постоянного управления. Согласно [10] общее решение этого уравнения имеет вид

Л

где C, D — кватернионные постоянные интегрирования, а ш = л/N2 + 1 = const. При этом уравнение (8) принимает вид

dd(1) 1 (1) ............. , г Г( ш

= -Лк J О

2л(1) О [N ¿1 + ¿3] - 4n{ (C О ¿1)  [cos [(2 + ^ р] +

dp 2 1 1 3 4 / 17 I 1Л 2

+со4

Исключая из рассмотрения решение соответствующего однородного уравнения, будем искать решение (10) в виде

Д1) _ Г/и 1 . Г/и Л 1 Г/и 1 . Г/и

Л

где A+, B + , A-, B- — постоянные кватернионы.

Подставляя (11) в уравнение (10) и приравнивая коэффициенты при косинусах и синусах с одинаковыми аргументами, получим, что

3N ^ . Лг . . 3N(ш + 2) _ . .

A+ = —--C о [-N - ¿2] +--^-(D О ¿1),

8

B+ = - 38(^(C О ¿! ) + ^ D О I-N - ¿2],

A- = C О I-N - ¿2] + 38(^(D О ¿0 ,

B- = - ^(C О ¿0 + ^ D О [-N - ¿2].

Таким образом, общее решение уравнения (3) с точностью до слагаемых, содержащих эксцентриситет орбиты КА в степени не выше первой, имеет вид

Л = с cos (if ) + D sin (if ) +

Ч( ЩТЩ) с О l-N - ¿2] + 38(^(D О „)) „(( 2 + !) ,] +

+ (-38(Т++?(С О ¿.) + ^D О [-N - ¿2])sin[(2 + 1) ,] + + Ы-Щ) с О l-N - ¿2] + 38(^(D О „))« Г( 2 -:) р] +

+ (-◦ ) + ^* ◦ - «)-[( 2 - 0 4

Пусть необходимо найти частное решение уравнения (3), удовлетворяющее условию

А(0) _ Ан,

тогда для определения кватернионов С и .О имеем систему линейных алгебраических уравнений:

dл

C о а11 + D о а12 = Лн, C о а21 + D о а22 = —

dp

= 1 Лн о {[N ¿1 + ¿з] - 3Ne ¿1} .

^=0 2

Здесь ап = 1 + 0.75e + (0.75e/N)i2, 012 = (0.75e/N)i1, 021 = 3e  (1 - 3N2)/(8N)i1, ft22 = ш  (0.5 - 3e/8) - 3e  w/(8N)i2. Решение системы (14) имеет вид

D

Лн о а-1 -

ал

ар

^=0

-1

C = Лн о а— - D о а22 о а-!1.

На рис. 1 показаны законы изменения компонент кватерниона погрешности определения ориентации орбитальной системы координат

err. (e) = max |Априбл (р, e) — АрК(р, e) I, j = 0,3.

Здесь Лприбл(р, e) — приближённое решение, рассчитанное по формулам (13), (15); а ЛРК(р, e) — результат интегрирования уравнения (3) методом Рунге - Кутты 4-го порядка точности с шагом h = 0.001 рад. Отметим, что параметры задачи полагались равными:

OU = 0u(0) = 215.25°,

ро = 0 рад., ur

10 = I (0) = 64.8°, ,x = 0.101907 м/с2,

шП = Шп (0) =0°, N = 0.35.

о

в г

Рис. 1. Компоненты кватерниона погрешности (первая поправка): а — скалярная часть; б-г — компоненты

векторной части

При этом компоненты начального кватерниона ориентации орбитальной системы координат имели

А0 = -0.255650, Л? = -0.162241, Лн = 0.510674, А3 = 0.804694.

Указанный кватернион Ан соответствует ориентации орбиты одного из спутников группировки ГЛОНАСС (при условии, что начальное значение истинной аномалии ^ — ноль радиан).

3. ВТОРАЯ ПОПРАВКА

Уточним полученное решение и найдём второй поправочный член ряда (4), т.е. теперь приближённое решение задачи примет вид

А

В этом случае уравнения для кватерниона А будут иметь вид

dА 1

— _ - А о {«1 + г3] - N (Зе соэ и - 6е2 соэ2 И «Л , dи 2 1 у ' }

Подставляя разложение (18) в кватернионное уравнение (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, имеем помимо (7), (8) следующее уравнение:

dА

dи

_ 1 А(2) о N «1 + «3] - 2N соэ И (а(1) о г^ +3N cos2 и (а(0) о г^ .

С учётом найденных ранее выражений (9), (11) для А(0) и А(1) уравнение (20) примет вид

dА(2) 1Л (2) ГЛГ.

—— _ - А(2) о [N «1 + «3] + dи 2

+3N |(С - А+) о «1 соэ [(2 + ^ И + (^ - В+) о «1 э1п [(2 + 2) и] +

+(С - А") о «1 соэ | ( - ^ И + - В-) о «1 эт [(2 - 2 ) И +

+(2С - А+ - А-) о «1 соэ + (2^ - В+ - В-) о «1 йп ^ ¡> .

ии ]

2

2

Так как функции соэ(ии/2) и эт(ии/2) входят в фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то решение уравнения (21) будем искать в виде [13]

А(2) _ Е+ соэ [(2 + ^ И + Г + ^К2 + 2) И + Е- со^(2 - 2 ) И + - эт [(2 - 2^ И + соэ + НИ э1п иИ,

где Е +, ^ +, Е^-, С, Н — постоянные кватернионы.

Подставляя (22) в уравнение (21) и приравнивая коэффициенты при косинусах и синусах с одинаковыми аргументами, имеем:

Е + _

- (1+

^ + _

—3N

о

16(и + 2) 3N 2 4(1+ и) 3N 16(и + 2) 3N

С

—N -

3N

8

(N2 - 1 + (и + 2)(и + 4)) -

«2

_ , „ 3^

+ Д о (и + 4+ 4(1+ и) ' ^

^ , , 3N2 (и + 3) С о (и + 4+--^—^ ) «1

3N

4(1 + и) 3N

N +

8

4

- 1 + (и + 2)(и + 4)) + 1 +

4

«3

«3

+

«2

Е- _

3N

1+

^- _

о

16(и - 2) 3N 2 4(1 - и) 3N 16(и - 2) 3N

С

—N —

3N

8

(N2 - 1 + (и - 2)(и - 4)) -

«2

+ До

С

, 3^(и - 3) , . и - 1 «1 +

и - , «1 +

3N

4

4(1 - и) 3N

«3

—N —

8

- 1 + (и - 2)(и - 4)) - (1 +

4

«3

+

«2

G = — {C о [5N - 3i2] - 3ш (D о i1)} о i1,

16

3

H = — {3ш (C о i1) + D о [5N - 3i2]} о i1. 16

Таким образом, общее решение уравнения (3) с точностью до слагаемых, содержащих эксцентриситет орбиты КА в степени не выше второй, имеет вид (18), где кватернионы Л(0), Л(1), Л(2) вычисляются по формулам (9), (11), (22); при этом постоянные кватернионы задаются формулами (12), (23)-(25).

На рис. 2 показаны законы изменения компонент err.(e) кватерниона погрешности определения ориентации орбитальной системы координат с учётом слагаемых, содержащих эксцентриситет орбиты КА в степени не выше второй. Параметры задачи и начальный кватернион ориентации орбитальной системы координат по-прежнему имеют вид (16), (17).

егг0

0.00003 0.00002 0.00001 0.00000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

е

егг1

0.00004 0.00003 0.00002 0.00001 0.00000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

е

егг2

0.00005 0.00004 0.00003 0.00002 0.00001 0.00000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

е

егг3

0.00003

0.00002

0.00001

0.00000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

е

вг Рис. 2. Компоненты кватерниона погрешности (вторая поправка): а — скалярная часть; б-г — компоненты

векторной части

б

а

Отметим, что полученное разложение (18) становится непригодным при больших значениях ^ из-за присутствия в нём вековых слагаемых ^сов(ш^/2) и ^ вт(ш^/2). Очевидно, что при возрастании истинной аномалии указанные слагаемые будут того же порядка, что и первый поправочный член (при ^ > 0(в-1)) или даже будут больше главного члена разложения (при ^ > 0(е-2)). При этом все предыдущие выкладки были сделаны в предположении, что эти слагаемые должны быть малой поправкой.

Кроме того, необходимо дополнительно исследовать поведение полученных разложений в случае, когда КА оснащён двигателем малой тяги (^ ^ 1). Дело в том, что при этом ш ^ 1 ив формулах (12), (24) появляются малые знаменатели, что тоже служит источником неравномерности.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00165-а).

Библиографический список

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космические исследования. 1992. Т. 30, вып 6. С. 759770.

2. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. I // Космические исследования. 2001. Т. 39, вып 5. С. 502-517.

3. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. II // Космические исследования. 2003. Т. 41, вып. 1. С. 92-107.

4. Челноков Ю. Н., Панкратов И. А. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 1. С. 70-73.

5. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В. К. Абалакин, Е. П. Аксенов, Е. А. Гребенников [и др.]. М. : Наука, 1976. 864 с.

6. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М. : Наука, 1973. 320 с.

7. Молоденков А. В. К решению задачи Дарбу // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 3-13.

8. Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 231-234.

9. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата с использованием кватернион-ных уравнений ориентации орбитальной системы координат // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 84-92.

10. Панкратов И. А., Челноков Ю. Н. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 1. С. 83-89.

11. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М. : Мир, 1984. 535 с.

12. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М. : Физ-матлит, 2006. 512 с.

13. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Физ-матлит, 2001. 576 с.

Analytical Solution of Equations of Near-circular Spacecraft's Orbit Orientation

I. A. Pankratov

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, PankratovIA@info.sgu.ru

The problem of optimal reorientation of spacecraft's orbit with a limited control, orthogonal to the plane of spacecraft's orbit, is considered. An approximate analytical solution of differential equations of near-circular spacecraft's orbit orientation by control, that is permanent on adjacent parts of the active spacecraft's motion, is obtained.

Keywords: spacecraft, orbit, orientation, quaternion, optimal control.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 12-01-00165-a). References

1. Chelnokov Yu. N. Application of quaternions in the theory of orbital motion of an artificial satellite. I. Cosmic Research, 1992, vol. 30, no. 6, pp. 612-621.

2. Chelnokov Yu. N. The use of quaternions in the optimal control problems of motion of the center of mass of a spacecraft in a newtonian gravitational field : I. Cosmic Research, 2001, vol. 39, no. 5, pp. 470-484. DOI 10.1023/A:1012345213745.

3. Chelnokov Yu. N. The use of quaternions in the optimal control problems of motion of the center of mass of a spacecraft in a newtonian gravitational field: II. Cosmic Research, 2003, vol. 41, no. 1, pp. 85-99. DOI 10.1023/A:1022359831200.

4. Chelnokov Yu. N., Pankratov I. A. Pereorienta-tsiia krugovoi orbity kosmicheskogo apparata s tremia tochkami perekliucheniia upravleniia [The reorientation of circular spacecraft's orbit with three points of

switching control]. Mekhatronika, avtomatizatsiia, up-ravlenie [Mechatronics, automation, control], 2011, no. 1, pp. 70-73 (in Russian).

5. Abalakin V. K., Aksenov E. P., Grebennikov E. A., Demin V. G., Ryabov Yu. A. Spravochnoe rukovodstvo po nebesnoi mekhanike i astrodinamike [Reference guide on celestial mechanics and astrodynamics]. Moscow, Nauka, 1976, 864 p. (in Russian).

6. Branets V. N., Shmyglevskii I. P. Primenenie kvaternionov v zadachakh orientatsii tverdogo tela [Use of quaternions in the problems of orientation of solid bodies]. Moscow, Nauka, 1973, 320 p. (in Russian).

7. Molodenkov A. V. On the solution of the Darboux problem. Mechanics of Solids, 2007, vol. 42, no. 2, pp. 167-176. DOI 10.3103/S002565440702001X.

8. Pankratov I. A., Sapunkov Ya. G., Chelnokov Yu. N. Solution of a problem of spacecraft's orbit optimal

reorientation using quaternion equations of orbital system of coordinates orientation. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 13, iss. 1, pt. 1, pp. 87-95 (in Russian).

9. Chelnokov Yu. N. Optimal'naja pereorientacija orbity kosmicheskogo apparata posredstvom reaktivnoj tjagi, ortogonal'noj ploskosti orbity [Optimal reorientation of spacecraft's orbit through thrust orthogonal to the plane of orbit]. Matematika. Mehanika [Mathematics. Mechanics], Saratov, Saratov Univ. Press, 2006, iss. 8, pp. 231-234 (in Russian).

10. Pankratov I. A., Chelnokov Yu. N. Analytical solution of differential equations of circular spacecraft's orbit orientation. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2011, vol. 11, iss. 1, pt. 1, pp. 83-89 (in Russian).

11.Nayfeh A. H. Introduction to perturbation techniques. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, John Wiley & Sons, 1981, 519 p.

12. Chelnokov Yu. N. Kvaternionnye i bikvaternionnye modeli i metody mekhaniki tverdogo tela i ikh pri-lozheniia. Geometriia i kinematika dvizheniia [Quate-rion and bi-quaternion models and methods of solid state mechanics and their applications. Geometry and kinematics of motion]. Moscow, Fizmatlit, 2006, 512 p. (in Russian).

13. Zaitsev V. F., Polianin A. D. Spravochnik po obyk-novennym differentsial'nym uravneniiam [Handbook of ordinary differential equations]. Moscow, Fizmatlit, 2001, 576 p. (in Russian).