О методах измерения малых индуктивностей для радиотехнических систем на кристалле

О методах измерения малых индуктивностей для радиотехнических систем на кристалле В.Г. Сапогин, Н.Н. Прокопенко, А.С. Будяков

Введение. Современные технологии создания 1Р - модулей и СФ-блоков систем на кристалле используют индуктивности, величины которых лежат в диапазоне от 0,1 нГн до 10 нГн [1-3] и применяются в схемах усилителей мощности [4], в составе активных фильтров СВЧ-диапазона [5-7], пассивных трансформаторов [8], устройствах оптической связи [9] и т.д. Как показано в [10], важнейшим физическим свойством цилиндрических круглых проводников, подводящих к индуктивности ток, является их погонная индуктивность. Проведённые в [10] расчёты указывают на то, что её значение складывается из двух составляющих: индуктивности, которая связана с потоком магнитного поля, возникающего в области протекания тока, и индуктивности, которая связана с магнитным полем, возникающим вне тока.

В связи с этим, полная погонная индуктивность круглого проводника зависит от двух параметров: постоянного значения токовой индуктивности £с//=ц0/4л и безразмерного параметра среза поля ^0=г0/^, где / - длина проводника, г0 - радиус среза поля, Я - радиус проводника, ц0 - магнитная постоянная.

При изменении параметра ¿;0=г0/Я в интервале от 5 до 100 приведённая полная индуктивность Ь^/Ьс изменяется в пределах от 4,2 до 10,2. Поскольку этот диапазон совпадает с диапазоном значений индуктивности, используемой в микросхемотехнике, то возникает проблема измерения малых индуктивностей. Она заключается в том, что погонная индуктивность может в несколько раз увеличить измеряемую индуктивность и, тем самым, исказить интерпретацию полученных результатов.

О методах измерения погонной индуктивности и параметра среза магнитного поля. Для более точного измерения погонной индуктивности и параметра среза магнитного поля предлагается следующий метод. К известной индуктивности Ь0 подключаются симметрично участки круглого проводника одного диаметра, но с различной длиной /. Первый раз проводник имеет длину /0, а последний раз длину М0. Где N - число наращивания одинаковых секций. Схема наращивания индуктивности Ь0 представлена на рис. 1, где а и Ь - клеммы подключения измерительного прибора (ИП).

N =1 I N = 2 I I N

Рис. 1.- Схема наращивания индуктивности Ь0

При проведении N наращиваний прибор даст N показаний: Ь1, Ь2, ..., Ь^. При первом измерении имеем значение индуктивности

А = Ь0 + 2/0 Ьп .

При последнем измерении получим

ЬN = Ь0 + 2/0NLn .

Зная значения Ь0, /0, можно получить связь для N измеренных значений погонной индуктивности. Значения будут линейно нарастать с

увеличением параметра N.

Применим метод наименьших квадратов (линейный регрессионный анализ). В нем линейная зависимость (2) заменяется уравнением

у = Ь0 + Ь1X,

где Ь0 и Ь1 - постоянные значения лучшей прямой, построенной в облаке экспериментальных точек, которые необходимо найти по методу

наименьших квадратов. Значения х пропорциональны длине 2/0, т.е. эквидистантны. Значение Ь0 совпадает с Ь0 а значение Ь1 будет совпадать с неизвестным значением погонной индуктивности Ьп. Тогда связь параметров (3) и (2) имеет вид

Х1 = 2/0; у1 = Ь1 = Ь0 + 2/0ЬП ,

Х2 = 4/0 ; у2 = Ь2 = Ь0 + 4/0ЬП ,

XN = 2 ^0 ’ УN = ЬN = Ь0 + 2 ^0 ЬП .

Из метода наименьших квадратов следует формула для вычисления среднего значения погонной индуктивности:

N

ху - N2—

г=1 _

X 2

г=1

NI хуг - N2 ху

г=1___________

N

NIх2 -

Ьп = Ь = -^-------------------------------,

1 N 1 N

где среднее значение х = —I х,, а среднее значение у = —I у, .

N 7=1 ' N1=1 7

Для вычисления погрешности определения погонной индуктивности

применяем соотношения:

АЬп = АЬ1

1

N

12

I ^

-------,

D(N - 2;

где dl = уг - Ь1 х - Ь0,

N

D=Кх,- х )2.

,=1

По вычисленным значениям Ьп и АЬп можно рассчитать вклад

потоковой части в полную погонную индуктивность из соотношения,

полученного в [1]

Ьп = 4

Относительную погрешность этого вклада можно оценить из формулы

^ = — АЬп .

^0 ^0

Из (10) следует, чем меньше оценка абсолютной погрешности определения погонной индуктивности, тем меньше относительная погрешность определения безразмерного параметра среза поля.

В случае отсутствия индуктивности Ь0=Ь0=0 (концы 10 - закорочены) объём вычислений уменьшается, поскольку наилучшая прямая в облаке экспериментальных точек проходит через начало координат. Тогда (5) упрощается и имеет вид

N

X х.у.

Ьп = Ъ = ^-----,

Хх2

г=1

При этом формулы вычислений погрешности (6,7,8) остаются прежними.

О методе измерений индуктивности со значением, близким к 1 нГн.

При измерениях индуктивностей со значением порядка 1 нГн и меньше можно использовать предлагаемый ниже метод 2-х отсчетов. На рис. 2 показаны схемы измерений, где приняты те же обозначения, что и на рис. 1.

Рис. 2. - Схемы измерений индуктивности Первый отсчет даёт приборное значение индуктивности Ь1

А = + 210 ^п.

Второй отсчет дает приборное значение индуктивности Ь2

Ь2 = 4 + 21 о ьп/м..

где N показывает, во сколько раз была укорочена первоначальная длина шлейфа.

Вычитая из (12) равенство (13), получим для погонной индуктивности

N

Ьп =

2/0(N -1)’

а для неизвестной индуктивности

N

N -1

Формула (14) может быть использована самостоятельно для реализации ещё одного метода измерения погонной индуктивности двумя отсчётами. Из неё следует погрешность измерений Д£П:

Мп =

' дЬпЛ дЬ1

ль2 +

' дЬпЛ

V дЬ2 у

ЛЬ2 +

V д/0 у

Вычислим частные производные в (16).

дЬ

N

дЬ

N

дЬ

________________________________________-N

дЬ1 2/0(N-1)’ дЬ2 2/0(N-1) ’ д/0 2/02(N-1;

Подставляя (17) в (16) и принимая во внимание, что приборная погрешность одинакова для двух измерений АЬ1 = АЬ2 = АЬ0, а погрешность измерения первоначальной длины шлейфа 10 можно сделать малой, получим

Мп

ЛЬ

ЛЬ0 N

п

/0 (N -1)42 /0

-fl

Из (18) видно, что погрешность измерения погонной индуктивности можно уменьшать увеличением первоначальной длины шлейфа и коэффициента его укорачивания. В табл. 1 приводятся значения функции /1(Щ) для разных коэффициентов укорачивания шлейфа N.

Таблица 1

Значения функции/1(Щ) для разных коэффициентов укорачивания N

N 2 3 4 5

2

2

2

/т 1,41 1,06 0,94 0,88

Формула (15) позволяет определить погрешность измерения неизвестной индуктивности Ьх методом двух отсчётов

АК

ЭЬ1

АК2 +

/ \ 2 ' дК.

V д12 У

АЬ1

Вычисляя частные производные, и считая, что приборная погрешность одинакова для двух измерений АЬ1 = АЬ2 = АЬ0, получим

2 + 1 А^х = АЬо^~Т = АЦ>/2( N).

Как видно из (20) с ростом коэффициента укорачивания погрешность измерения неизвестной индуктивности приближается к приборной погрешности. В табл. 2 приведены значения функции ^(А^) для разных коэффициентов укорачивания шлейфа N.

Таблица 2

Значения функцииf2(N) для разных коэффициентов укорачивания N

N 2 3 4 5

/2(Я) 2,24 1,58 1,37 1,27

Для неизвестной индуктивности Ьх существует ещё одна возможность её измерения методом двух отсчётов при использовании другого соотношения, в которое входит среднее значение двух приборных измерений:

К = - ККи

Из (21) видно, что погрешность измерения Ьх, зависит от четырёх переменных. Общая формула для вычисления погрешности имеет вид

AL =

' dLxл

дЬ1

AL2, +

' dLx л

V дЬ2 У

АЬ2 +

' дЬл

V д1° у

Al0 + ••• •

Вычислим частные производные в

дА = 1. дА = 1. дЬх Ьп(n+у. еьх

l°

дЬх 2 дЬ2 2 д/0 N дЬи N

Подставляя (23) в (22) и считая, что приборная погрешность одинакова для двух измерений АЬ1 = АЬ2 = АЬ0, а погрешность измерения погонной индуктивности пренебрежимо мала по сравнению с приборной погрешностью, получим

AL =

AL2 + Г Ьп (N +1) 1

І 2 _ N _

Al2

Удовлетворительные измерения можно проводить в том случае, если слагаемые под радикалом (24) дают примерно одинаковые погрешности

AL, = Ьп

Al,

o •

л/2 N

В этом случае погрешность измерения неизвестной индуктивности совпадает с приборной погрешностью Д^х=Д^0.

Из равенства (25) можно оценить требуемую погрешность измерения ДЬ0 в зависимости от N и выбрать прибор, измеряющий начальную длину шлейфа

AL0 N

AL,

o

Al° а/2Ьп (N +1) л/2"L

7з( N )•

-'я V ’ ' V V ^^П

Если в (26) подставить Ln=1 нГн/см, а AL0=0,01 нГн, то А/о можно выразить в микрометрах

А/о = 70 7 /з

Зависимость погрешности А/0 от N представлена в таблице 3.

2

2

2

2

Таблица 3

Значения функции Д/0 от N для разных коэффициентов укорачивания N

N 2 3 4 5

м) к (0 / Д 47 53 57 59

Из табл. 3 видно, что при N=2 погрешность измерения длины шлейфа Д/о=47 мкм, а при N=5 - 59 мкм. Такая погрешность измерения длины требует привлечения штангенциркуля. Увеличение начальной базовой длины шлейфа /0 до 5 см даст хорошие результаты.

Вычисление относительной погрешности по формуле (21) указывает на существенный недостаток рассмотренного способа:

5 = .

4

Как видно из (28) и (21), относительная погрешность может быть

достаточно большой за счёт возможной особенности знаменателя (28). Чтобы

избежать этого, нужно положить

11 + к = 2/0ЬП .

2 0 П N

Тогда

N +1

4 - /о4 ^.

С учётом значения погонной индуктивности значение Ьх~1 нГн можно измерять при значениях начальной длины шлейфа, взятой в миллиметрах

/о - N0^.

N +1

При N=2 /0=6,6 мм, а при N=5 - /0=8,3 мм. Малое значение ДЬх может быть обеспечено измерением длин шлейфа микрометром.

Выводы.

1. Предложен метод измерения погонной индуктивности и параметра среза магнитного поля, использующий в своей основе обработки результатов

измерений линейную регрессию. Метод заключается в том, что к известной индуктивности L0 подключаются одинаковые участки круглого проводника с одним диаметром, но различной длиной l0. Наращивание индуктивности производят N раз по участку 2 l0.

Показано, что коэффициенты наилучшей прямой, лежащей в облаке экспериментальных точек, совпадают: один - со значением известной индуктивности, а другой - с погонной индуктивностью.

2. Предложен метод двух отчетов, применяемый для измерения индуктивностей порядка 1 нГн и меньше.

Он заключается в проведении двух измерений: первый раз измерение индуктивности проводится на длине шлейфа l0, а второй раз — на длине шлейфа, укороченной в N раз.

Получена формула для расчета погрешности неизвестной индуктивности, в которой подбором параметров удается добиться измерения неизвестной индуктивности с погрешностью прибора.

Показано, что требуемая погрешность измерения начальной длины шлейфа для N=2 и N=5 находится в диапазоне десятков микрометров. Ее удаётся уменьшить применением для измерения длины шлейфа микрометра.

Сделана оценка начальной длины шлейфа l0, которая для N=2 и N=5 составляет значения 6,6 мм и 8,3 мм соответственно.

Работа выполнена по гранту РФФИ проект №12-08-00654-А.

Литература:

1. Tatiana Gaevskaya, Victor Karpovich, and Valentina Rodionova. High Q-Factor Wideband Resonators for Millimeter and Submillimeter Applications [Текст]: Hindawi Publishing Corporation. International Journal of Microwave Science and Technology. - Volume 2012 (2012), Article ID 842489, 3 pages, doi:10.1155/2012/842489, http://www.hindawi.com/iournals/iimst/2012/842489/

2. Kevni Büyüktas, Klaus Koller, Karl-Heinz Müller, and Angelika

Geiselbrechtinger. A New Process for On-Chip Inductors with High Q-Factor Performance [Текст]: Hindawi Publishing Corporation. International Journal of Microwave Science and Technology. - Volume 2010 (2010), Article ID 517187, 9 pages, doi: 10.1155/2010/517187, http://www.hindawi.com/

iournals/iimst/2010/517187/

3. Patent WO 98/50956, International Patent Classification: H01L 29/00. Patterned ground shields for integrated circuit inductors [Текст]: Inventors: Yue C Patrick; Wong S Simon; Applicant: The Board of Trustees of the Leland Stanford Junior University. - Priority Data: 60/045,416, 02.05.97. - Pub. Date: 12 November 1998

4. А.С. Будяков, Е.М. Савченко, А.А. Пронин, П.А. Козынко СВЧ монолитная интегральная схема усилителя мощности на основе кремниевой технологии с выходной мощностью 1 Вт на частоте 800 Мгц [Текст]: Всероссийская научно-техническая конференция "Проблемы разработки перспективных микро- и наноэлектронных систем (МЭС-2010)". Сборник трудов /- М: 4-8 октябрь, 2010. - С. 577-582

5. Krutchinsky S., Prokopenko N. High-Frequency Sections of Active Filters of Mixed-Signal SoC Based on Current Amplifiers [Текст]: SRN Electronics, Volume 2012 (2012), Article ID 319896, 6 pages, doi: 10.5402/2012/319896, http://www.isrn.com/journals/electronics/2012/319896/

6. Крутчинский С.Г., Устинова Е.С., Будяков П.С., Прокопенко Н.Н.

Высокочастотные полосовые RC фильтры на основе повторителей тока [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. №3, Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/1035 (доступ

свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

7. Крутчинский С.Г., Прокопенко Н.Н., Сухинин Б.М., Будяков П.С. Высокочастотные SiGe-избирательные усилители с узкой полосой пропускания [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. №3,

Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2012/1031 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

8. Patent EP 1866937, Int Cl.: H01F 5/00, H01F 27/28, H01L 21/20, H01L 29/00. Integrated circuit transformer devices for on-chip millimeter-wave applications [Текст]: Inventors: Goren David [IL]; Pfeiffer Ullrich R [US]; Sheinman Benny [IL]; Shlafman Shlomo; Applicant: IBM [US]. - Priority: 08.04.2005 US 102292; Pub. Date: 21.11.2012

9. United States Patent Application 20030214378, Current U.S. Class:

336/200, International Class: H01F 005/00. Accurate multi-ground inductor for optical communication circuits [Текст]: Inventors: Tung, John C.; (Cupertino, CA); Zhang, Minghao (Mary); (Cupertino, CA); Assignee: Qantec

Communication, Inc., Cupertino, CA. - Appl. No.: 10/146,854. - Filed: Mae 15, 2002. - Pub. Date: November 20, 2003

10. Сапогин В.Г., Прокопенко Н.Н., Марчук В.И., Манжула В.Г. Погонная индуктивность цилиндрических проводников с аксиальной плотностью тока в сложных функциональных блоках [Текст]: Инженерный вестник Дона. №4. Северо-Кавказский научный центр высшей школы Южного федерального университета. Ростов-на-Дону. 2012 г.