Логистические модели распределения заемных средств

логистические модели

распределения заемных средств

с. Е. БАРЫШИ, кандидат экономических наук, доцент кафедры «Экономика и организация управления в энергетике» Петербургского энергетического института повышения квалификации

В соответствии с соглашением о складском финансировании кредитное учреждение отгораживает часть складской площади корпорации. Все запасы, находящиеся внутри отгороженного участка, являются обеспечением по кредиту, предоставленному кредитным учреждением корпорации. Кредитному учреждению предоставлено право регистрации всех поступлений и выдачи с залогового склада. Можно предложить рассматривать проблему снижения затрат корпораций на обслуживание заемных средств, привлекаемых на пополнение запасов по договору складского финансирования, как проблему привлечения долгового финансирования у различных кредитных организаций при стремлении снижать издержки на оплату кредиторской задолженности за предоставленные заемные средства.

Тогда можно говорить о формулировке задачи оптимизации объемов привлекаемых финансовых ресурсов на рынке услуг кредитования у некоторых кредитных организаций для пополнения запасов корпорации (например, сырья, материалов различных наименований, прочих оборотных средств). Такая формулировка позволяет сравнивать варианты приобретения материалов в кредит у поставщика или за счет заемных средств, привлекаемых по договору банковского кредита.

Построение математической модели. 1. Цель задачи состоит в минимизации суммарных затрат на обслуживание кредиторской задолженности перед банками за привлеченные заемные средства. Эта цель может быть достигнута с помощью оптимального планирования долгового финансирования.

2. Параметры задачи — число кредитных организаций (банков) и наименований материалов, ограничение на предложение и спрос на капитал, ставка процентов на привлеченный капитал.

3. Ограничения задачи — это ограничения на предложение и спрос на финансовые ресурсы. Предложение заемного капитала не должно превышать объема средств, предоставляемых банком в рамках

договора складского финансирования. Спрос на капитал, используемый для пополнения каждого наименования материалов, должен быть удовлетворен.

За неизвестные можно принять объем финансовых ресурсов, привлекаемых от каждого банка на приобретение материалов определенного наименования. Пусть Ху — объем финансовых ресурсов (млн руб.), предоставленных г-м банком на приобретение материалов у-го наименования.

В общем случае рассматриваемая задача принимает следующий вид:

— имеется т банков и п наименований материалов;

— предложение каждого ¿-го банка составляет с11 единиц;

— спрос на приобретение материалов у-го наименования составляет bJ единиц;

— ставки процентов годовых за предоставленные финансовые ресурсы задаются в процентном отношении и равны с у (г = 1, 2,..., т; у = 1, 2,..., п).

Требуется определить оптимальный план финансирования закупок материалов (т. е. объемы финансовых ресурсов, направляемых от каждого банка на приобретение материалов каждого наименования), при котором величина суммарных затрат на обслуживание кредиторской задолженности (£) перед банками минимальна.

Следует заметить, что в данном случае сделано допущение о линейной зависимости величины суммарных издержек на обслуживание кредитов от объема привлекаемых финансовых ресурсов при постоянной ставке процентов в течение всего периода кредитования. Это допущение основано на том, что сумма кредиторской задолженности перед г-м банком за весь период использования заемных средств равна наращенной сумме долга корпорации этому банку:

^ =£ Г1

+

}=1

100

а,

С

где (1 + ^^) — множитель наращения долга корпорации /-му банку.

Общая сумма кредиторской задолженности корпорации (£) равняется сумме задолженностей перед этими банками. Следовательно:

5 = И 5=ИИ (1

1=1 1 =1

+

1=1

100

X.

В рассматриваемой постановке задачи распределения финансовых ресурсов (заемных средств) предполагается общая схема погашения задолженности перед банком, т. е. возврат денежных средств банку вместе с начисленными процентами в конце срока погашения кредита.

Пусть х. — объем финансовых ресурсов, предоставленных -м банком на приобретение материалов ]-го наименования.

Формально задача записывается следующим образом. Целевая функция:

5 = ЦЦ (1 + —1—)х.. ^ шт. ¿-(.¿--И 1 пп У

'=1 1=1 Ограничения:

п

и

1=1

100

хч <

и

х1 > Ь1

И 4 >Ц ъ,

¿=1 1=1

х, > 0

Естественно, что в реальных задачах суммарное предложение может быть больше или меньше суммарного спроса. В этом случае мы будем иметь в виду, что составлена несбалансированная модель.

Можно использовать транспортную схему для решения рассматриваемой задачи в такой постановке. При этом составляется матрица процентных ставок (табл. 1).

Требуется определить оптимальный объем заемных финансовых ресурсов, предоставленных /-м банком на приобретение материалов ]-го наименования, так, чтобы суммарная величина задолженности всем банкам была минимальной при существующих ограничениях на предложение и спрос на капитал.

Пример 1. РСК для обеспечения производственного процесса передачи электроэнергии по электрическим сетям использует некоторые материалы. Предположим, что планируется привлечение долгового финансирования для пополнения запасов материалов пяти наименований:

1) кабель АСБ2л;

2) опоры железобетонные СВ-95;

3) опоры железобетонные СВ-110;

4) изоляторы ПС70;

5) масло трансформаторное осушенное.

спрос на капитал для пополнения запасов

материалов каждого наименования соответственно составляет: 3,7; 2,4; 1,6; 1,5 и 2,3 млн руб. Четыре банка предоставляют заемные средства на пополнение запасов по договору складского финансирования. Ограничения на кредиты банков равны: 4,2; 2,3; 1,4 и 3,6 млн руб. Запасы материалов каждого наименования могут пополняться за счет средств, привлекаемых от любого банка, но по различным процентным ставкам (табл. 2, данные гипотетические).

Вычислив выражение в скобках для соответствующих ставок процентов в (3), можно записать эту задачу в математической формулировке следующим образом:

Таблица 1

Матрица ставок годовых процентов за финансовые ресурсы, предоставленные г'-м банком на приобретение материалов /-го наименования

с

1=1

Банк Ставки процентов (%) за финансовые ресурсы, предоставленные г'-м банком на приобретение материалов у-го наименования Предложение капитала

1 2 .) п

1 с11 С12 С1У С1п й,

2 С21 С22 С2У С2п й2

/ С/1 С/2 С.. ] Сп й. 1

т Ст1 Ст2 С . ту С тп йт

Спрос на капитал Ъ1 ъ2 ъ. ] Ъп

Таблица 2

Ставки годовых процентов за финансовые ресурсы, предоставленные г-м банком на приобретение материалов j-го наименования

Банк Ставки процентов (%) за финансовые ресурсы, предоставленные на приобретение материалову'-го наименования (у = 1, 2,..., 5) Предложение, млн руб.

1 2 3 4 5

1 13 11 11,9 12 14 4,2

2 15 11,5 13 14 14 2,3

3 12 14,5 12,4 11,7 13,4 1,4

4 12,8 14,7 11,1 14 11 3,6

Спрос, млн руб. 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3

Решив задачу, мы получим следующие результаты (табл. 3).

Суммарный спрос на капитал полностью удовлетворен и равен:

п т

X bj х у = 11,5 (млнруб.).

1=1 1=1

Видно, что при удовлетворении спроса на капитал для приобретения всех материалов суммарное предложение кредитных организаций будет использовано на 100 %.

Минимальная сумма кредиторской задолженности корпорации по договору складского финансирования в этом случае будет равна 12,86 млн руб.

Транспортная модель при различных условиях погашения задолженности. Погашение среднесрочной и долгосрочной банковской задолженности, возникшей в процессе складского финансирования, может предусматривать как разовый платеж, так и ряд выплат, распределенных во времени (поток платежей). В кредитном контракте могут

Таблица 3

Транспортная таблица, полученная в результате решения задачи планирования складского финансирования, млн руб.

Банк Финансовые ресурсы, предоставленные г'-м банком на приобретение материалов '-го наименования Предложение

1 2 3 4 5 n j=1 j=Г5 d

1 2,3 0,1 0,3 1,5 0 4,2 4,2

0 2,3 0 0 0 2,3 2,3

3 1,4 0 0 0 0 1,4 1,4

4 0 0 1,3 0 2,3 3,6 3,6

т Спрос ^^Ху, 1=1 1 = 1, 4 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3 11,5 11,5

Ь. 1 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3 11,5 100 %

S = 1,13 xn + 1,11 x12 + 1,12 x13 + 1,12 x14 + 1,14 x15 + + 1,15 x21 + 1,12 x22 +1,13 x23 +

1.14 x24 + 1,14 x25 + + 1,12 x31 + 1,15 x32 + 1,12 x33 + 1,12 x34 +1,13 x35 + + 1,13 x41 +

1.15 x42 + 1,11 x43 + 1,14 x44 + 1,11 x45 ^ min.

Хц X^2 ""Xjj ""I- ""I- 4,2

Х21 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 = 2,3

Х31 Х32 ""Х33 ""Х34 ""Х35 1,4

Х41 + Х42 + Х43 + Х44 + Х45 3,6

Х11 + x21 + Х31 + Х41 = 3,7

Ху2 ""Х22 ""Х32 ""Х42 2,4

x13 ""I- Х23 ""Х33 ""Х43 1,6 x14 + x24 + Х34 + Х44 1,5

x^5 "l- Х25 ""Х35 ""Х45 2,3

4,22 + 2,35 + 1— + 3,6 = 3,7 + 2,4 + 1,6 + 1,5 + 2,3 = 11,5

x.. > 0, i = 1—4; j = 1Д

j ' ' 'j '

Рассматриваемая модель реализована в среде Microsoft Excel 2003.

быть оговорены различные условия погашения задолженности, например:

— погашение долга равными срочными уплатами в конце расчетного периода;

— погашение основного долга равными ежегодными платежами.

В работе Я. С. Меркулова приведена формула расчета величины платежа П. при условии погашения займа равными выплатами основного долга:

П =

11

х. -11

(ь -')'

к..

х 1

е.. +—,

11 к..

1

Пусть срок кредита равен ki. (платежных пе- где — номер платежного периода по условию

кредитного контракта с /-м банком на приобретение материалов ]-го наименования. Однако Я. С. Мелкумовым не описана зависимость наращенной суммы долга от величины кредита. Можно доказать, что наращенная сумма долга S¡j /-му банку за предоставленные заемные средства на приобретение материалов ]-го наименования вычисляется по формуле (11):

риодов). В дальнейшем при записи формул будем полагать ставку процентов годовых Спереведенной в доли единицы. В случае погашения долга равными срочными платежами в конце расчетного периода остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные платежи являются аннуитетами ренты постнумерандо.

Различные методы погашения задолженности исследованы Я. С. Мелкумовым1. Воспользуемся формулой определения срочной уплаты П. в счет погашения задолженности за финансовые ресурсы, предоставленные /-м банком на приобретение материалов ]-го наименования:

П = х,

1(1 + с. ) (1 + с,) -1

где величина

с, '(1 + с,) (1 + с, )к-1

^ тт.

1=1 ,=1 - (1 + с, )'-1

Коэффициенты при неизвестных в целевой функции можно записать в матрицу (табл. 4).

Если в кредитном контракте оговорено условие -производить погашение основного долга равными ежегодными платежами, то коэффициенты при неизвестных в целевой функции будут определяться следующим образом.

1 Мелкумов Я. С. Теоретическое и практическое пособие по

финансовым вычислениям. М.: ИНФРА-М, 1996. 336 с.

^ = ^

1 + С + ЬуС -

2

Полученная матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции представлена в табл. 5. Значит, целевую функцию можно сформулировать так:

(к. +^

1=1 ]=1

1 + с.. + к. с.. --

2

>шт

Если банки используют различные схемы погашения задолженности, то при записи целевой функции целесообразно обозначить коэффициент при неизвестных 1... Это позволяет записывать целевую функцию в более удобной форме:

является коэффициентом погашения задолженности перед /-м банком.

Тогда, если все П. равны между собой, наращенная сумма по кредиту, предоставленному /-м банком на приобретение материалов ]-го наименования, равна:

ш п

П=иик,Щ

1=1 ,=1

Следовательно, целевая функция может быть записана так:

т п i=1 :=1

где I принимает любые значения в зависимости от применяемой схемы погашения задолженности. Предположим, что банк 1 использует обычную схему погашения задолженности для финансирования приобретения материалов ]-го наименования, банк 2 применяет погашение займа равными выплатами основного долга, а остальные банки — аннуитет. Запишем коэффициенты при неизвестных. Для банка 1:

I,, =1 + с!,.

Для банка 2:

12, 1 + с2, + к2 ,с2, Для остальных банков:

"2 з

I= к

, V

где / ф 1, 2.

у

(1 + с,)-1

х

2

Таблица 4

Матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции при условии погашения долга равными срочными уплатами

Банк Коэффициенты при неизвестных в целевой функции при условии погашения долга аннуитетами Предложение капитала

1 2 п

1 Л с11.(1 + с11)*11 с к и У ^-О+О*1"

+ -1 V О+О"" -1

2 , с21.(1 + с21^ Л с22-(1 + с22)'22 с к И с12

"21(1 + С21^ -1 (1 + с21)"22 -1 нл"-1 "2" (1+0^-1

/ , с' •  0 с -) и.-' С. -(1 + с. У" 1П \ 1П / с!. 1

"" С + ^я)'1 -1 "2(1+с,2у2-1 V 0+Л'-' + -1

т с .-(1 + с .У'"2 к >У ' ('«.у* с -(1 + с У™ /ии V тп / с! т

тХ /1 1 О + ^У»2 -1 "У ^ г1 + с > -1 < "У / тп /1 1 (1 + с ) -1 V, тп /

Спрос на капитал ¿1 ь2 ъ. 1 К

Матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции при условии погашения займа равными выплатами основного долга

Таблица 5

Банк

Коэффициенты при неизвестных в целевой функции при условии погашения займа равными выплатами основного долга

Предложение капитала

1+С +/,- с - +1)с 1пи 2 11

1+с +к с -

(ки+1) 1+С,,. +к,с,, --^г—"С,,

1

1 + с +А- с _(*"-+1)с

1 т 1н т Л1»Ч» 2 1,1

1+с +/,- с -1Т1!1Т 2121 2 21

1+С +/.- с _(к±1)с

1Т1,, с.2:

^ 1 ""2^27

1 + с +А- с

1 т1-2и ТЛ2и1'2и 2 2|

<5} 3 Ж

а г-ж о

а

Пример 2. Используя данные примера 1, предположим, что банк 1 применяет обычную схему погашения задолженности, выдавая кредит сроком на один год, банк 2 — равными выплатами основного долга (кредит выдается на пять лет), банки 3 и 4 — аннуитет (срок кредита — пять лет). Матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции примет следующий вид (табл. 6).

Решая транспортную задачу, получим табл. 7.

Минимальная сумма кредиторской задолженности корпорации по договору складского финансирования в случае применения банками различных схем погашения задолженности составит 14,64 млн руб. Предложение финансовых ресурсов полностью использовано, а спрос на привлеченный капитал полностью удовлетворен.

Таким образом, применение транспортной модели для решения задачи оптимизации плана долгового финансирования запасов корпорации позволяет минимизировать суммарные затраты на обслуживание кредиторской задолженности перед банками за привлеченные заемные средства.

Таблица 6

Матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции задачи распределения финансовых ресурсов, предоставленных г'-м банком на приобретение материалов /-го наименования

Банк Матрица коэффициентов при неизвестных в целевой функции задачи распределения финансовых ресурсов, предоставленных г'-м банком на приобретение материалов/-го наименования (/ = 1, 2,..., 5) Предложение, млн руб.

1 2 3 4 5

1 1,13 1,11 1,12 1,12 1,14 4,2

2 1,45 1,35 1,39 1,42 1,42 2,3

3 1,39 1,47 1,40 1,38 1,44 1,4

4 1,41 1,48 1,36 1,46 1,35 3,6

Спрос, млн руб. 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3

Таблица 7

Транспортная таблица, полученная в результате решения задачи планирования складского финансирования, млн руб.

Финансовые ресурсы, предоставленные г'-м банком на приобретение материалов /-го наименования Предложение

Банк 1 2 3 4 5 п Ех ц, ]=1 ] = Г5 d. 1

1 3,7 0,1 0,3 0,1 0 4,2 4,2

0 2,3 0 0 0 2,3 2,3

3 0 0 0 1,4 0 1,4 1,4

4 0 0 1,3 0 2,3 3,6 3,6

Спрос т

Ег 1=1 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3 11,5 11,5

1 = 1, 4

Ь. 1 3,7 2,4 1,6 1,5 2,3 11,5 100 %