Расчет надежности двухполюсной сети с ограничением на диаметр с использованием сечений

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ДВУХПОЛЮСНОЙ СЕТИ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ДИАМЕТР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕЧЕНИЙ

Д. А. Мигов

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

630090, Новосибирск, Россия

УДК 519.17-519.24

Рассмотрена сеть с ненадежными каналами связи и абсолютно надежными узлами. Надежность с ограничением на диаметр для такой сети определяется как вероятность того, что между каждой парой узлов существует путь из исправных ребер, количество которых ограничено сверху заданным целым числом. Задача расчета данной характеристики является NP-трудной, так же как и задача расчета вероятности связности сети. Предложен метод, позволяющий для расчета надежности двухполюсной сети с ограничением на диаметр использовать точки сочленения, что делает расчет более быстрым.

Ключевые слова: надежность сети, случайный граф, диаметр графа, сечение.

A network with reliable nodes and unreliable links is considered in this paper. The diameter constrained network reliability is defined as the probability that each pair of terminals of the network is linked by operational paths of length less or equal to given integer. Calculation of diameter constrained network reliability is NP-hard problem, as well as network probabilistic connectivity problem. The paper contains the method, permitting to use vertex cuts for diameter constrained 2-termianal network reliability calculation. The application of this formula makes the calculation faster.

Key words: network reliability, random graph, graph diameter, vertex cut.

Введение. Для сети, элементы которой подвержены случайным отказам, важным показателем надежности является вероятность связности определенного подмножества узлов (полюсов). Сеть с ненадежными элементами обычно описывается случайным графом, вершины которого соответствуют узлам сети, а ребра — каналам связи. Для каждого элемента графа задано вещественное число от 0 до 1 — вероятность присутствия элемента в графе, что соответствует надежности соответствующего элемента сети. В данной работе рассматриваются двухполюсные сети с абсолютно надежными узлами и ненадежными каналами связи.

Задача расчета вероятности связности заданного подмножества узлов сети является NP-трудной [1]. Данный показатель надежности достаточно хорошо изучен, разработано большое количество различных точных и приближенных методов расчета [1-7]. Несмотря на то что на практике применимы в основном приближенные алгоритмы, вследствие большой размерности реальных сетей точные алгоритмы необходимы для оценки точности и сходимости приближенных алгоритмов. Кроме того, алгоритмы на графах, в частности

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 11-07-00183).

алгоритмы расчета показателей надежности, используются для разработки и анализа производительности сетевых протоколов [8, 9].

Однако на практике во многих случаях требуется обеспечить существование не пути между каждой парой узлов, а пути, проходящего по ограниченному числу каналов связи. Например, если имеется ограничение на время передачи данных между двумя узлами T, то количество транзитных узлов, участвующих в передаче данных, не должно превышать T/t (t — время, необходимое для обработки данных на каждом узле сети). Для таких случаев в работе [10] введен другой показатель надежности — вероятность связности сети с ограничением на диаметр RK (G). Этот показатель надежности есть вероятность того, что любые два узла из заданного множества K соединены в графе G путем длиной не более d.

Данный показатель изучен более подробно в [10-12]. Как и задача расчета вероятности связности, задача расчета вероятности связности с ограничением на диаметр NP-трудна [10]; она также остается NP-трудной для \K\ = 2 при d > 2. Среди способов расчета классической меры надежности — вероятности связности графа — наиболее широко известен метод ветвления (Мура — Шеннона [2]). В [10] предложена модификация этого метода для случая вероятности связности с ограничением на диаметр, основанная на предварительном формировании множества всех путей длиной не более d для каждой пары вершин из K. Данный метод значительно превосходит по быстродействию алгоритм, полученный из метода ветвления путем добавления ограничения на диаметр. В [13] для расчета надежности двухполюсной сети с ограничением на диаметр Rds t(G) предложен метод, основанный на разложении сети на двусвязные компоненты. Такая декомпозиция может значительно ускорить процесс расчета.

В [7] для расчета вероятности связности графа используются вершинные сечения. В настоящей работе предлагается аналогичный подход для расчета Rds t(G).

1. Основные определения и обозначения. Рассмотрим произвольный неориентированный граф G. Пусть для каждого ребра задана вероятность его присутствия в графе, при этом предполагается, что вершины абсолютно надежны. Пусть также заданы натуральное число d и две выделенные вершины графа s и t — полюсы.

Элементарным событием будем называть частную реализацию графа, определяемую присутствием или отсутствием каждого ребра.

Вероятность элементарного события равна произведению вероятностей присутствия исправных ребер, умноженному на произведение вероятностей отсутствия отказавших ребер.

Произвольное событие (событие есть объединение некоторых элементарных событий) будем называть успешным, если реализации графов, соответствующие всем элементарным событиям, образующим это событие, являются подграфами, в которых вершины s и t могут быть связаны путем длиной не более d. Под длиной пути понимается количество ребер, из которых состоит этот путь.

Вероятность Rds t(G) связности вершин s, t в графе G с ограничением на диаметр d есть вероятность того, что вершины s, t связаны путем длиной не более d, т. е. вероятность события, состоящего из всех успешных событий и только из них. Далее под надежностью двухполюсного графа G будем понимать Rds t(G).

Введем в рассмотрение еще три величины, определяемые как вероятности некоторых событий: Rds t(G) — вероятность связности вершин s, t в графе G, причем длина кратчайшего

пути должна быть равной d; R

(G) —

0Э

Рис. 1. Граф с точкой сочленения

вероятность того, что вершины а и Ь связаны в О, причем длина кратчайшего пути должна быть равна г; вершины с и й также связаны в О, причем длина кратчайшего пути должна быть равна ].

2. Расчет надежности сети с применением точек сочленения. В [13] для расчета Щ г(О) предлагается метод, основанный на разложении графа на двусвязные компоненты. Пусть граф О содержит точку сочленения х, разделяющую его на два подграфа О1 и О2 (рис. 1). Пусть вершины в и Ь находятся в О1 и О2 соответственно, при этом ни одна из них не совпадает с х. В противном случае оба полюса оказываются в одном блоке (например, О1), и аналогично случаю вероятности связности имеет место равенство Щ г(О) = Щ В этом случае

4—42 4—4-

К^о) = Е

1=4-1 1=42

(й1 — расстояние от в до х в подграфе О1; й2 — расстояние от х до Ь в подграфе О2). Если граф состоит из произвольного количества блоков, формулу (1) можно применять рекурсивно. Сначала нужно отсечь блоки, которые не содержат ребра, входящие в простые (в, ¿)-пути. В результате получаем группу блоков (цепь блоков) Б1}... ,Бк, такую что / к

(П\ —

Щг(О) = П4^ =] (Б%)^ . Пронумеруем блоки таким образом, чтобы первый блок содержал

вершину в, второй был соединен с первым, третий — со вторым и т. д. Обозначим через хг, 0 < г < к точку сочленения между блоками Бг и Бг+1, х0 = в, хк = Ь (рис. 2), через йг — расстояние между вершинами хг—1 и хг.

Для рекурсивного использования формулы (1) точки сочленения можно выбирать в разном порядке. Например, сначала можно осуществить декомпозицию по хк—1, тогда О1 = к—1

и (Бг), О2 = Бк. Далее для расчета значений Щ.0 1 (О1) используем точку сочленения хк—2

г=1 ' -

и т. д. Независимо от выбора порядка точек сочленения потребуются значения П3Х._ 1 Х.(Бг) к

при < ] < й — йг + йг. Данное множество индексов обозначим .]г. В [13] предложен 1=1

следующий алгоритм (алгоритм 1).

1. Разложение графа на блоки, выделение цепи Б1,... , Б к и вершин х0,... ,хк.

2. Вычисление значений П3Хн_ 1 Х (Бг), ] £ .г с использованием модификации метода ветвления [10].

3. Расчет Щ г(О) с рекурсивным использованием формулы (1).

Для г-го блока потребуется вычислять надежность \.]г\ раз для разных значений диаметра. Однако, несмотря на это, в среднем алгоритм с декомпозицией из [13] значительно превосходит по быстродействию алгоритм [10].

♦

В

В

В

1 2 "3

Рис. 2. Отсечение блоков, не содержащих простые (в, Ь)-пути

3. Формула для расчета надежности сети с использованием сечений. Предположим, что граф С содержит сечение, образованное вершинами х, у, которые разделяют его на подграфы О\, С2. Пусть вершины в, Ь находятся в О\, С2 соответственно (рис. 3).

Введем в рассмотрение четыре значения: dl — расстояние от в до х в подграфе О, й2 — расстояние от х до Ь в подграфе О2, — расстояние от в до у в подграфе О и d4 — расстояние от у до Ь в подграфе О2. Справедлива следующая

Теорема. Имеет место равенство

= £ К,хО1)к1-(.О2) + ^ К,у (с1)к^(с2)-i=dl

—

£

dl<i<d—d2 dз<j<d—d4

Доказательство. Вершины в и Ь могут быть связаны в С путем длиной не более d только в двух случаях: через вершину х или через вершину у. Обозначим соответствующие события X и У. Таким образом, X - объединение всех реализаций графа, в которых существует путь из в в Ь через х длиной не более d. Аналогично определяется У. Тогда

Е

X

У

Рис. 3. Граф с двухвершинным сечением

Сначала получим выражение для Р (X). Для произвольного элементарного события Б

вершины в и Ь связаны путем длиной не более й в О через х тогда и только тогда, когда в и х

связаны в 01 путем фиксированной длины 1 < I < й— 1,а х и Ь связаны в 02 путем длиной не

более й — /.В данном случае под связностью вершин понимается их связность посредством

исправных ребер события Е. Для заданного натурального числа I событие, образованное

/(¡-1 \ х—1

всеми такими реализациями, обозначим Е\. Тогда Р(X) = Р I У ЕЛ = ^ Р(Е1). Послед-

\г=1 ) 1=1

нее равенство вытекает из импликации /1 = 12 ^ Е¡х = Е^, истинность которой следует непосредственно из определения Е[.

Также из определения Е1, учитывая, что 01 и О2 не пересекаются по ребрам, получаем Р(Е{) = В1зх(01)Влх—1(02). Заметим, что это произведение равно нулю при й1 > I > й—й2, так как при выполнении первого неравенства В[х(01) = 0, при выполнении второго В^,—1 (О2) = 0. Таким образом,

X— 1 X—¡2

Р

1=1 г=Х-1

Аналогично получаем

Х—1 X—Х4

РУ) = Е Р

1=1 г=Хз

Пересечение событий X и У есть объединение таких реализаций графа, в которых существуют пути длиной не более й из в в Ь и через х, и через у. Для произвольного элементарного события Е Е X П У вершины в и Ь связаны путем длиной не более й в О тогда и только тогда, когда в и х связаны в 01 путем фиксированной длины г (й1 < г < й — й2), в и у связаны в 01 путем фиксированной длины ] (й3 < г < й — й4), х и Ь связаны в О2 путем длиной не более й — г, у и Ь связаны в 02 путем длиной не более й — ]. Для заданных натуральных чисел г, ] событие, образованное всеми такими реализациями, обозначим Е^. Множество индексов г, таких что й1 < г < й — й2, обозначим Н^. Множество индексов ], таких что й3 < ] < й — й4, обозначим Н^. Так как 01 и О2 не пересекаются по ребрам, то

РЕ) = 4X^^(01)^^(02). Тогда

Р

Подставляя выражения (4)-(6) в (3), получаем (2). Теорема доказана.

Формулу (2) можно использовать для расчета В(1.(0), если учесть очевидные равенства

В8 ,Х(01) = В8,Х(01) — В8 ,Х (01), В(зх) (8у)(01) = В(зх) (8у)(01) — В(зх) (зу) (0 1 ) .

4. Алгоритм. С учетом формулы (2) несложно модифицировать алгоритм 1. Надежности графов, которые входят в эту формулу, удобно вычислять с помощью модификации метода ветвления [10]. То же относится к выражениям вида В(3з)()Ц)8у)(01), для которых метод [10] применим после преобразования: на предварительном этапе формирования всех подходящих путей учитывать только пути из х в у через в с соответствующей длиной участков этого пути. Таким образом, получаем следующий алгоритм (алгоритм 2).

1. Разложение графа на блоки, выделение цепи Б1,...,Б^ и вершин х0,...,хк.

2. Вычисление значений для R3x 1 x. (Bi), j E Ji. Для этого находим в Bi двухвершинное сечение и используем формулу (2). Надежность графов, которые входят в эту формулу, вычисляем методом [10]. Если Bi не содержит двухвершинное сечение, то вычисляем R3x lXi (Bi) методом [10].

3. Расчет Rds t(G) с рекурсивным использованием формулы (1).

Если граф содержит двухвершинное сечение, то алгоритм 2 существенно превосходит алгоритм 1 по быстродействию. Например, для графа, полученного объединением двух полных графов с двумя общими вершинами без соединяющего их ребра, время работы алгоритма 1 составило 27 с, а время работы алгоритма 2 — 4 с. Значение диаметра полагалось равным четырем, расчеты проводились на компьютере с процессором Intel Core Duo 2,93 GHz, RAM: 2 Gb.

Заключение. В данной работе получена формула, позволяющая осуществлять декомпозицию при расчете вероятности связности двух узлов сети с ограничением на диаметр. Так как точный расчет данного показателя надежности — NP-трудная задача, использование предложенного подхода позволит значительно уменьшить объем вычислений для подходящих структур.

Список литературы

1. COLBOURN Ch. J. The combinatorics of network reliability. N. Y.: Oxford Univ. Press, 1987.

2. Moore E. F., Shannon C. E. Reliable circuits using less reliable relays //J. Franclin Inst. 1956. V. 262, N 4b. P. 191-208.

3. Carlier J., Lucet C. A decomposition algorithm for network reliability evaluation // Discrete Appl. Math. 1996. V. 65, N 3. P. 141-156.

4. Page L. B., Perry J. E. A practical implementation of the factoring theorem for network reliability // IEEE Trans. Reliability. 1988. V. 37, N 3. P. 259-267.

5. WOOD R. K. Triconnected decomposition for computing K-terminal network reliability // Networks. 1989. V. 19. P. 203-220.

6. Rodionova O. K., Rodionov A. S., Choo H. Network probabilistic connectivity: exact calculation with use of chains // Lecture Notes Comput. Sci. 2004. V. 3046. P. 315-324.

7. Migov D. A., Rodionova O.K., Rodionov A. S., Choo H. Network probabilistic connectivity: using node cuts // Lecture Notes Comput. Sci. 2006. V. 4097. P. 702-709.

8. ShakhovV. V., ChooH., MukherjeeB. Routing and wavelength assignment in optical WDM networks with maximum quantity of edge disjoint paths //Photon. Network Comm. 2006. V. 12, N2. P. 145-152.

9. Shakhov V. V., Choo H. Analytical approach for channel assignments in cellular networks // Lecture Notes Comput. Sci. 2003. V. 2657. P. 466-473.

10. Cancela H., Petingi L. Reliability of communication networks with delay constraints: computational complexity and complete topologies // Intern. J. Math. Math. Sci. 2004. V. 29. P. 1551-1562.

11. Cancela H., Petingi L. On the characterization of the domination of a diameter-constrained network reliability model // Discrete Appl. Math. 2006. V. 154. P. 1885-1896.

12. Cancela H., Petingi L. Properties of a generalized source-to-all network reliability model with diameter constraints // Omega. 2007. V. 35. P. 659-670.

13. Мигов Д. А. Расчет надежности сети с ограничением на диаметр с применением точек сочленения // Автоматика и телемеханика. 2011. № 7. С. 69-74.

Мигов Денис Александрович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;

тел. (383)330-65-79, e-mail: mdinka@rav.sscc.ru

Дата поступления — 25.05.11