О существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОЛУОСИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

В.Н. Павленко, Д.К. Потапов

Челябинский государственный университет

Рассматривается проблема существования собственных значений у нелинейного уравнения с разрывным оператором вида Аи = А Ти в рефлексивном банаховом пространстве Е, где А — линейный самосопряженный оператор из Е в Е*, отображение Т : Е —^ Е* компактное (вообще говоря, разрывное), А — параметр. Вариационным методом устанавливается предложение о существовании полуоси собственных значений для уравнения Аи = А Ти. При этом коэрцитивность оператора А — АТ не предполагается.

Ключевые слова: собственные значения, разрывный оператор, вариационный метод, квазипотенциальный оператор.

Введение

Большое число задач гидродинамики, теплофизики, электрофизики, связанных с изучением процессов, меняющихся скачкообразно при некоторых значениях фазовых переменных, приводит к интегральным и дифференциальным уравнениям с разрывными нелинейностями. Как правило, это так называемые задачи со свободными границами, исследование которых непросто и в каждом конкретном случае требует применения специальных аналитических средств. Поэтому разработка математического аппарата, обслуживающего достаточно широкий класс распределенных систем с разрывными нелинейностями, является актуальной задачей. Основы математической теории для таких систем были заложены в докторской диссертации В. Н. Павленко [1]. Цель данного исследования — дальнейшее развитие теории распределенных систем с разрывными нелинейностями. А именно, рассматривается уравнение

Аи = ХТи

с параметром А > 0, где А — линейный самосопряженный оператор из Е в Е* (Е — вещественное рефлексивное банахово пространство) и Т : Е —т- Е* — компактное отображение, ограниченное на Е, Т(0) = 0. Очевидно наличие нулевого решения уравнения (1) при любом А. Ищутся А > 0, для которых уравнение (1) имеет ненулевые решения (такие А называют собственными значениями уравнения (1)).

В случае, когда отображение Т непрерывно, структура множества собственных значений уравнения (1) изучалась топологическими методами в [2; 3], в полуупорядоченных пространствах — в [4; 5] и вариационным методом в [6; 7]. Наша цель — получить результаты, подтверждающие существование полуоси положительных собственных значений без предположения о непрерывности Т.

Вариационным методом [8 - 12] доказывается теорема о существовании ненулевых решений уравнения (1) при достаточно больших А, причем оператор Т на этих решениях радиально непрерывен.

Общие результаты

Пусть Е — вещественное рефлексивное банахово пространство, Е* —

сопряженное с Е пространство. Через (z, х) будем обозначать значение

функционала z Є Е* на элементе х Є Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [13]. Отображение Т : Е —> Е* называется ква-

зипотенциальным, если существует функционал / : Е —> IR, для которого

і

верно равенство f(x + h) — f(x) = f(T(x + th), h) dt V x,h Є E (интеграл

о

понимается в смысле Лебега). При этом / называют квазипотенциалом оператора Т.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 [14]. Отображение Т :£’—>£’* называется радиально непрерывным в точке х Є Е, если для любого h Є Е

1іт(Т(ж + th), h) = (Тх, h).

Элемент х Є Е будем называть точкой разрыва оператора Г, если найдется h Є Е, для которого либо lim(Т(х + th),h) не существует, либо

Нт(Т(ж + th), h) ф (Тх, К).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [15]. Элемент х Є Е называют регулярной точкой для оператора Т : Е —> Е*, если для некоторого h Є Е

lim (Т(х + th), h) < 0. t^+сг v ' '

Замечание [10]. Если оператор Т : Е —> Е* удовлетворяет условию lim (Т(х + th) — Tx,h) > 0 \f x,h Є Е, то все точки разрыва оператора Т регулярны.

В дальнейшем потребуется следующий результат.

ТЕОРЕМА 1. Пусть х £ Е — точка минимума квазипотенциала / локально ограниченного оператора Т : Е —> Е*, причем точки разрыва оператора Т регулярны. Тогда х — точка радиальной непрерывности оператора Т и Тх = 0.

Доказательство теоремы 1.

Допустим, что х — точка разрыва оператора Т. Тогда найдется h G Е такое, что

lim

t^+o

Так как х — точка минимума функционала /, то

3 ¿1 > 0 : /

1

С другой стороны, /(ж + th) — f(x) = /(Г(х + rth), th)dr V t > 0. Из (2) сле-

о

дует существование е > 0 и ¿2 > 0 таких, что при 0 < s < 82 (T(x-\-sh), h) <

—£. Следовательно, если 0 < t < min {¿1, 62}, то f(x + th) — f(x) < —te,

что противоречит (3). Радиальная непрерывность Т в точке х установлена.

1

Для любого h G Е и t > 0 ————^-------i-L-1 = J(Т(х + rth), h)dr.

о

Отсюда и из локальной ограниченности Т по теореме Лебега о предельном переходе под знак интеграла получим, что существует

1

lim ———— -----------------------^ ^ = / lim (Т(х + rth), h)dr = (Тх, К) V h Є E.

t^+o t J t^+ov v ' ' v '

Поскольку X — точка минимума функционала /, то (Tx,h) >0 V h Є Е. Последнее возможно только тогда, когда Тх = 0. Теорема 1 доказана.

Основным результатом является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Предположим:

1) пространство Е представляется в виде прямой суммы замкнутых подпространств Е\ и Е2, Е\ = Кег А, причем существует постоянная а > 0 такая, что (Аи, и) > а||и||2 V и Є Е2;

2) отображение Т компактное, квазипотенциальное и ограниченное на Е (то есть З М > 0 : \\Тх\\ < М V х Є Е), а его квазипотенциал / равен нулю в нуле и для некоторого щ Є Е значение /(щ) > 0; если Ei ф {0}, то дополнительно lim f(u) = —00;

3) lim (Тій + th) — Ти, h) > 0 V и, h Є E. i^+0

0

Тогда найдется Ао > 0 такое, что для любого А > Ао существует ихеЕ, их ф 0, /а(на) = inf fx(v), fx(u) = \(Аи1и) -\f(u), и любое

v£E 2

такое их является решением уравнения (1) и точкой радиальной непрерывности оператора Т.

Замечание. Если Е — гильбертово пространство и 0 — изолированная точка спектра неотрицательного оператора А, то условие 1 теоремы 2 выполняется.

Доказательство теоремы 2.

Из монотонности А и компактности Т следует слабая полунепрерыв-ность снизу на Е функционала /л для любого А > 0 [8].

Докажем, что

у А

Ill'll—>- + оо

lim fX

Пусть V £ Е. Тогда V = + г>2, гДе 'иг & -Е’ь ¿ = 1,2. Имеем

/АМ = /А(^1 + ^) = ^(Ау2, и2) - ХЦух + и2) =

= и2) - А(/(^1 + и2) - /(г^)) - А/(^1) >

1

> ^1Ы|2 “ А/(Г(и1 + ^2), и2)^ - А/(^1) >

О

где М — постоянная в неравенстве ||Т,г|| < М V г € Е (такая константа существует, так как по условию оператор Т ограничен на Е). Заметим, что \2 м2

-г2-\мг>------------у^еК.

2 “2 а

Фиксируем е > 0. Поскольку Нт /(г) = —оо, то существует с1\ > 0

такое, ЧТО 2 2

-А/(,)>,+ ^г.

если г £ и ||г|| > ¿1. Далее, найдется б?2 > 0, для которого —£2 — АМ£ > е + вир А/

для любого £ > б?2. Супремум в правой части последнего неравенства конечен, поскольку /(г) < |/(г) — /(0)| < М\\г\\. Таким образом, если

|Н| = Н^і + г^Н > 2тах {¿і, ¿2}, то либо ||иі||, либо ||г>2І| больше шах {¿і, ¿2} и, значит, /л(у) > є. Отсюда, в силу произвольности выбора є > 0, следует

(4)-

Так как /Л (А > 0) — слабо полунепрерывный снизу функционал в рефлексивном банаховом пространстве, удовлетворяющий условию (4), то из обобщенной теоремы Вейерштрасса [13] следует существование и\ Є Е, для которого

/Аы= ІПІ: /».

г'Є-Ь

В силу замечания 1 условие 3 теоремы 2 влечет регулярность точек разрыва оператора А — ХТ (А > 0). Отсюда и из теоремы 1 следует, что и\, удовлетворяющее (5), является решением уравнения (1) и точкой радиальной непрерывности оператора Т.

По условию найдется щ Є Е, для которого /(ио) > 0. Тогда

lim /А(и0) = lim (\{Auq,uq) - А/(и0) ) = -ос.

Л—^-|-оо Л—^-|-оо \ ^ J

Отсюда следует существование Ао > 0 такого, что для любого А > Ао /АЫ < 0. Следовательно, и\, удовлетворяющее (5), отлично от нуля при А > Ао, так как /Л(0) = 0. Теорема 2 доказана полностью.

Список литературы

1. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями: Автореф. дис. ...д-ра физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1995.

2. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

3. Rabinowitz Р.Н. Some global results for nonlinear eigenvalue problems // J. Funct. Anal. 1971. Vol. 7. P. 487 - 513.

4. Красносельский M.A. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физ-матгиз, 1962.

5. Amann Н. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spases // SIAM Review. 1976. Vol. 18, № 4. P. 620 - 709.

6. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 23, № 8. P. 729 - 754.

7. Rabinowitz P.H. A bifurcation theorem for potentional operators // J. Funct. Anal. 1977. Vol. 25. P. 412 - 424.

8. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Днфференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1397 - 1402.

9. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 2. С. 230 - 235.

10. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операто-

рами II Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1994. № 1(2). С. 87 -95.

11. Павленко В.Н., Искаков Р.С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полилинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1999. Т. 51, № 2. С. 224 - 233.

12. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1999. № 2(5). С. 56 - 67.

13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука,

1972.

14. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

15. Павленко В.Н. Существование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика.

1973. № 6. С. 21 - 29.

SUMMARY

The problem for existence of eigenvalues in the nonlinear equation with a discontinuous operator of the form Au = XTu in reflexive Banach space E, where A is a linear self-adjoint operator from E into E*, mapping T : E —> E* is compact (generally speaking, discontinuous), A is a parameter, is considered. The proposition of eigenvalue semiaxis existence for the equation Au = XTu is established by a variational method. Moreover, coerciveness of the operator A — XT is not presupposed.