Элементы общей теории абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения

УДК 517.929

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ АБСТРАКТНОГО ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский

Ключевые слова: абстрактное линейное функционально-дифференциальное уравнение; краевая задача; оператор Грина; задача Коши; вольтерровы операторы.

Рассматриваются линейные абстрактные функционально-дифференциальные уравнения.

Это достаточно широкое и содержательное обобщение классических дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, импульсных систем, сингулярных дифференциальных уравнений и т. д. было ранее предложено в работах Н.В. Азбелева, А.В. Анохина, Л.Ф. Рахматуллиной. Здесь исследуется разрешимость краевых задач. Получено представление оператора Грина. На основании изучения свойств обобщенно вольтерровых операторов рассмотрена начальная задача. Получено представление оператора Коши.

Исследования функционально-дифференциальных уравнений начались примерно пятьдесят лет назад. За это время теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы обширного раздела современной математики. В ее построение внесли заметный вклад Н.В. Азбелев, Р. Беллман, А.И. Булгаков, С.А. Брыкалов, Дж. Варга, Ю.Ф. Долгий, А.В. Ким, В.Б. Колмановский, Н.Н. Кра-совский, А.Б. Куржанский, В.П. Максимов, Д.И. Мартынюк, А.Д. Мышкис, В.Г. Пименов, С.Б. Норкин, В.Р. Носов, Э. Пинни, Т.А. Тадумадзе, А.Халанай, Г.Л. Харатишвили, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, многие другие исследователи. В связи с темой данной работы отметим результаты исследований участников Пермского семинара Н.В. Азбелева. В этих работах систематически использовалось представление многих типов функциональнодифференциальных уравнений в виде операторного уравнения Сх = / относительно неизвестной абсолютно непрерывной функции х, где линейное отображение С определено на пространстве абсолютно непрерывных функций АС и имеет значения в пространстве суммируемых функций Ь. Разработанные подходы исследования оказались применимыми и к уравнениям в других функциональных пространствах (импульсным системам, сингулярным уравнениям и т. д.). Так возникла идея рассмотрения абстрактного аналога функционально-дифференциального уравнения в произвольных банаховых пространствах. В работах Н.В. Азбелева, А.В. Анохина, Л.Ф. Рахматуллиной [12] была предложена теория «абстрактных» (по терминологии авторов) функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, в которой удалось сохранить большинство фундаментальных положений теории линейных краевых задач, за исключением вопросов, связанных с представлением операторов.

Пытаясь восполнить этот пробел, мы предлагаем здесь понятия абстрактных функций Грина и Коши, использование которых позволяет получить представление операторов Грина и Коши и общего решения абстрактного функционально-дифференциального уравнения. Отметим, что оператор Коши в абстрактной теории [1] частично потерял первоначальный смысл, поскольку определялся любой краевой задачей, устанавливающей изоморфизм пространств АС и Ь х Кп. Для обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, других уравнений с последействием в качестве главной используется начальная задача (задача Коши). Ее однозначная разрешимость является следствием вольтерровости (по А.Н. Тихонову [3]) оператора С : АС ^ Ь.

Для естественной постановки начальной задачи абстрактного уравнения в работе предлагается определение вольтерровости операторов, действующих в функциональных пространствах, расширяющее классическое определение А.Н. Тихонова [3]. В современной литературе достаточно много работ посвящено обобщению свойства вольтерровости. Наиболее близкое определение к термину, используемому в данной работе, было предложено В.И. Суминым [4] (в связи с исследованием задач математической физики и проблем оптимального управления).

1. Представление оператора Грина. Пусть В, Б - банаховы пространства, и В изоморфно и изометрично прямому произведению Б х Кп. Система уравнений

Сх = /, £х = а,

где С : В ^ Б, £ : В ^ Кп - линейные ограниченные операторы, называется краевой задачей. Краевая задача (1) изучается [1, 2] в предположении, что оператор С нетеров, т(1 С = п. Если задача (1) при каждой паре (/, а) € Б х Кп имеет единственное решение, то это решение представимо [1] в виде х = С/ + Ха. Конечномерный оператор X : Кп ^ В определяется фундаментальной системой решений однородного уравнения Сх = 0, удовлетворяющей условию £Х = Е, которую обозначают также через X. Линейный ограниченный оператор С : Б ^ В называют оператором Грина. В «классическом»

случае, когда Б = Ь т - пространство суммируемых функций, интегральное представление линейного ограниченного функционала в этом пространстве позволяет записать оператор Грина в виде

ь

а

Ядро С(Ь,в) , называемое матрицей (функцией) Грина, играет заметную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений. Попытки получить аналогичное представление оператора Грина в случае произвольного банахова пространства Б , по-видимому, не предпринимались, т. к. как при выводе формулы (2) учитывается специфика пространства Ь т. Однако подобное представление, на наш взгляд, возможно при некотором сужении объекта исследования, состоящем в рассмотрении функциональных пространств. Это естественное ограничение (соблюдавшееся во всех применениях теории абстрактных уравнений) позволяет построить аналог функции Грина, ввести понятие вольтерровости и перенести на уравнения с вольтерровыми операторами многие известные результаты, определить функцию Коши.

Итак, рассматриваем банаховы пространства В, Б вектор-функций у : [а, Ь] ^ Кт, В = Б х Кп. Будем предполагать, что в пространстве В имеет место следующее утверждение, которое в дальнейшем будем называть А-свойством: для любой последовательности {Уг} С В из ||уг||д ^ 0, при г ^ Ж , следует |уг(£)| ^ 0, для всех £ € [а, Ь]. Тогда при каждом фиксированном £ € [а, Ь] вследствие ограниченности оператора Грина С : Б ^ В линейный вектор-функционал / ^ (С/)(£), определенный на Б, непрерывен. Следовательно, можно записать этот вектор-функционал в виде (С/)(£) = ($(£), /), где компоненты т -мерного вектора д(£) являются элементами сопряженного пространства Б*. Построенное таким образом отображение д : [а, Ь] ^ Б*т будем называть функцией Грина.

Рассмотрим, например, пространство С[а,ь] непрерывных функций х : [а, Ь] ^ К с

нормой ||х||с = тах |х(£)|. Общая форма линейного непрерывного функционала в про-ге [а, ь]

ь

странетве непрерывных функций даетен интегралом Стнлтьеса дх = /.(,) йф), где

а

д(') - функция ограниченной вариации [5]. Пусть банахово пространство В функций х : [а, Ь] ^ Я изоморфно произведению С[а,ь] х Яп; С : В ^ С[а,ь] , £ : В ^ Лп.

ь

Тогда оператор Грина краевой задачи (1.1) представим в виде (С/)(£) = J /(з) ^д(£, §),

а

где д(£, ) -функция ограниченной вариации. В соответствии с нашим определением функция д является функцией Грина такой задачи.

Приведем еще один пример. Обозначим Н - пространство аналитических функций х : [а, Ь] ^ Я, т. е. функций, представимых в виде абсолютно сходящихся при каждом

ГО ОО

г=0 г=0

го

Отображение х(£) = ^ х^ £г ^ {х г сг } устанавливает изоморфизм между пространством

г=0

Н и пространством последовательностей 11 . Этот факт позволяет задать линейный непре-

ГО

рывный функционал д : Н ^ Я в виде дх = ^ дгхг сг, где {дг} € 1го. Таким обра-

г=0

зом, если банахово пространство В изоморфно произведению Н х Яп, С : В ^ Н, £ : В ^ Яп, то оператор Грина краевой задачи (1) имеет представление

ГОГО

/(£) = ^ £^ (С/)(£) = ^ дг (£)/г с',

г=0 г=0

где {дг (£)} € 1го следует считать «функцией» Грина.

Рассмотренное определение позволяет матрице Грина абстрактного уравнения сохранить многие «привычные» свойства. Приведем некоторые утверждения, полученные нами на основании результатов [6].

Теорема 1.1. Функции Грина д и д1 двух краевых задач для уравнения Сх = / с вектор-функционалами £ и £1 связаны соотношением, д(£) = д1 (£) —X(£) (IX)-1^, где X -фундаментальная матрица решений уравнения Сх = 0, вектор-функционал V : В ^ Яп определяется равенством V/ = £д1 ()/.

Доказательство этого утверждения следует из формулы [6]

С = С1 - X (IX)-11Сь

связывающей операторы Грина двух краевых задач.

Пусть изоморфизм В = В х Яп задан операторами *(5, г) : В ^ В х Яп, (Л, К) = (*(5, г)) : В х Яп ^ В. Тогда краевую задачу (1) можно записать [1] в виде

Сх = д5х + Агх = /, £х = Ф5х + Фгх = а,

где д = СЛ : В ^ В, А = СК : Яп ^ В, Ф = £Л : В ^ Яп, Ф = £К : Яп ^ Яп. Согласно [6], «главная» краевая задача

Сх = д5х + Агх = / , гх = а,

однозначно разрешима тогда и только тогда, когда оператор д имеет ограниченный обратный, решение задачи (4) имеет представление х = Лд-1 / + (К — Лд-1А)а. Пусть функционал Л(£) : В ^ Ят определен равенством (Л(£), /) = (Л/)(£). Тогда функция

Грина с задачи

д

При выводе формулы (5) использовалась вспомогательная краевая задача (4), отличавшаяся от исходной задачи (3) краевым условием. Для решения многих вопросов удобно в качестве вспомогательной выбрать краевую задачу для другого уравнения но с таким же функционалом, что и исходная. Такая краевая задача используется, например, в известной « Ш -подстановке» Н.В. Азбелева. Элементарный оператор Грина, который эффективно строится по краевым условиям, предложен в [6]. Используя эти результаты, легко найти функцию Грина такого оператора.

Согласно [6], для функционала £ существует такой вектор V € Вп, что ёе! ги = 0 и

£и = Е.

Теорема 1.2. Для каждой пары (/, а) € В х Яп краевая задача

С х = 5х — 5и

однозначно разрешима, ее функция Грина определяется формулой

щДг) = Л

Доказательство. Согласно [2] краевая задача (6) однозначно разрешима, оператор Грина определяется равенством Ш = Л — VФ. Таким образом, (-ш^(г), /) = (Ш/)(£) = (Л/)(£) — (VФ/)(£) = (Л(£), /) — V(£)(Ф, /) = (Л(£) — V(£)Ф, /).

Воспользуемся полученной «простейшей» функцией Грина (7) для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функция Грина д исходной задачи (3), в предположении однозначной разрешимости.

Теорема 1.3. При каждом £ € [а, Ь] пара (д(£), X(£)) является решением системы

д*д

д

Доказательство основано на подстановке х = Ш г, приводящей задачу (3) к уравнению С Ш г = /, и во многом повторяет вывод соответствующего утверждения в пространстве Ьт [6]. Подставляя Ш = Л — VФ, получаем (СЛ — СVФ)г = /. Далее,

х = С/ = С(д — С VФ)г = Ш г, т. е. Сд — СС VФ = Л — VФ. Так как V — СС V = X, то

Сд + XФ = Л. Отсюда, на основании определения функции Грина, имеем

<д*д(г), г) + (X(£)Ф, г) = (Л(£), г).

Таким образом, функция Грина действительно удовлетворяет уравнению (8).

Теперь заметим, что 2 = У — XФ является решением задачи

С 2 = А, £г = 0.

Отсюда 2 = С А и получаем формулу (9).

2. Начальная задача. Функция Коши. Рассмотрим подробнее главную краевую задачу (4) для абстрактного функционально-дифференциального уравнения.

Уравнение ( )х = ( / ) является той краевой задачей, на основании которой строг а п

ится изоморфизм пространств В и В х Яп. Этим изоморфизмом и определяется главная краевая задача. В теориях обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения

с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, других уравнений с последействием обычно используется изоморфизм х = /, ж (а) = а, определяемый вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. В этом случае главной является задача Коши, наиболее естественная для уравнений с последействием. Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральную роль задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Предположение, что пространства В, В являются функциональными, позволяет распространить идеи и методы теории уравнений Вольтерра на абстрактные уравнения. В таких пространствах можно рассмотреть класс абстрактных уравнений аналогов уравнений с последействием, для которых задача Коши по праву займет место главной задачи.

Приведем определение [7] вольтеррова оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому 7 Є [0, Ь — а ] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е7 С [а, Ь] с мерой шв8 (е7) = 7 таким образом, что

V7, п Є [0, Ь — а] 7 < П ^ е7 С еч.

Обозначим V = { е7 }. Пусть У, В - линейные пространства функций / : [а, Ь] ^ Ят. Линейное отображение В : У ^ В будем называть вольтерровым на системе V, если для каждого е7 Є V и любого у Є У из у (з) = 0 на е7 следует (В у)(з) =0 на е7.

Это определение несколько расширяет общепринятое понятие вольтерровости по А.Н. Тихонову. Для вольтеррова по А.Н. Тихонову оператора е7 = [[а а + 7].

Непосредственно из определения следует, что сумма и произведение линейных вольтер-ровых на системе V операторов является линейным вольтерровым на системе V оператором.

Вектор-функционал г : У ^ Яп назовем функционалом Коши, если ^ > 0 Vy Є У { у(і) = 0, і Є еє ^ гу = 0 }.

Краевую задачу (4) назовем начальной задачей (задачей Коши) в том случае, когда С : В ^ В - вольтерров на V оператор, г : В ^ Яп - функционал Коши.

Будем предполагать, что оператор Л : В ^ В является вольтерровым на V оператором. В этом случае «главная часть» оператора С - оператор Q = СЛ : В ^ В будет также вольтерров. Напомним, что для однозначной разрешимости задачи Коши необходимо и достаточно, чтобы оператор Q имел ограниченный обратный. Мы будем также предполагать, что оператор Q-1 : В ^ В является вольтерровым на системе V. Условия обратимости оператора Q и вольтерровости обратного оператора будут получены в п. 3.

Решение однозначно разрешимой задачи Коши (4) представимо в виде х = Ха + С/, где линейный ограниченный оператор С = ЛQ-1 : В ^ В - оператор Грина начальной задачи - будем называть оператором Коши. В наших предположениях оператор Коши

является вольтерровым на системе V. Запишем оператор Коши в виде (С/)(і) = (с(і), /),

где компоненты т -мерного вектора с(і) = А(і^-1 являются элементами сопряженного пространства В*. Построенное таким образом отображение с : [а, Ь] ^ В*т, являющееся функцией Грина задачи Коши, будем называть функцией Коши.

Воспользуемся теоремой 1.3 для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функция Коши.

Т еорема 2.1. [8] При каждом і Є [а, Ь] функция Коши является решением уравнения

Q*c

фундаментальная матрица решений однородного уравнения определяется равенством

X

Для доказательства достаточно в формулах (В), (9) в качестве Ф взять единичную матрицу и положить функционал Ф = О.

Пусть сопряженное пространство B* является пространством функций, определенных на [a, b] и имеющих значения в Rm. Будем говорить, что пространство B* обладает свойством:

I) При любых y Є B, g Є B*, если y(s) = О на eY и g(s) = О на [a, b] \ eY, то gy = О.

J) При любом y Є (О, b — a] если элемент g Є B* принадлежит ортогональному дополнению к подпространству

My = { y Є B j y(s) = О при всех s Є eY}, то g(s) = О на [a, b] \ e Y.

Обозначим значение функции c(t) і [a, b] ^ Rmxm при s Є [a, b] через c(t, s) и назовем его значением функции Коши в точке (t, s).

Теорема 2.2. Пусть пространство B* обладает свойством J). Тогда для вольтеррова на V оператора Коши C і B ^ D при любом e y Є V, если t Є e y, s Є [a, b] \ e y, то c(t, s) = О.

Доказательство. Зафиксируем t Є e y . Возьмем произвольно y Є My , т. е. y(s) = О при s Є ey. Вследствие вольтерровости оператора C получим (c(t), y) = О, компоненты вектора c(t) принадлежит ортогональному дополнению к подпространству My. Поэтому c(t, s) = О для всех s Є [a, b] \ e Y.

Теорема доказана.

Отметим, что утверждение теоремы остается выполненным для любого вольтеррова

на системе V оператора F і B ^ D, (Fy)(t) = (f (t), y), т. е. если пространство B* обладает свойством J), то для любого ey Є V значения функции f(t) і [a, b] ^ Rmxm удовлетворяют условию f (t, s) = О при (t, s) Є eY x ([a, b] \ eY).

Вернемся к уравнению (11), которому удовлетворяет функция Коши, и покажем, что это уравнение с вольтерровым оператором.

Теорема 2.3. Если пространство B* обладает свойствами I), J), то для любого вольтеррова на V = {e } линейного оператора Q і B ^ B сопряженный оператор Q* і B* ^ B* является вольтерровым на системе V = {[a, b] \ e}.

Доказательство. Возьмем любой y Є B такой, что y(s) = О на e . Вследствие вольтерровости оператора Q і B ^ B имеем равенство (Qy)(s) = О, s Є e y. Пусть g Є B, g(s) = О на [a, b] \e. Так как выполнено условие I), то (g, Qy) = О. Отсюда (Q*g, y) =

О. Вследствие произвольности y Є B на основании условия J ) получим (Q*g)(s) = О, при s Є [a, b] \ e Y .

Теорема доказана.

3. Вольтерровы операторы. Ниже исследуются свойства вольтерровых на системе

V операторов. Результаты этого пункта относятся не только к пространству вещественных

функций, но и к пространству функций y і [a, b] ^ Cm над полем C комплексных чисел. Определение вольтерровости, данное на с. 1323, без изменений переносится на случай комплексного пространства.

Будем говорить, что в банаховом (вещественном или комплексном) пространстве B выполнено V -условие, если для любого множества eY Є V и для любой сходящейся последовательности {yi} С B , У yi — y У в ^ О, из равенства yi (t) = О, i = І, 2,..., при всех t Є eY следует, что и предельная функция y(t) = О при t Є eY.

Теорема 3.1. Пусть в пространстве B выполнено V -условие; {Fі} - последовательность линейных вольтеровых на V операторов Fі і Y ^ B. Если У Fiy — Fy У в ^ О

при каждом у Є У, то и предельный оператор В : У ^ В также вольтерров на системе V.

Действительно, вследствие вольтерровости для любого такого у Є У, что у(і) = 0 на е7, выполнено (Ві у)(£) =0, і Є е7. Поэтому на основании V -условия (В у)(£) =0, і Є е7, и оператор В вольтерров.

Обозначим через р (К) спектральный радиус линейного ограниченного оператора К : В ^ В. Если р (К) < 1, то к оператору I — К существует ограниченный обратный оператор, представимый суммой ряда Неймана (I — К)-1 = I + К + К2 + .... Поэтому из теоремы 1 вытекает

Следствие. Если в пространстве В выполнено V -условие, то для линейного ограниченного вольтеррова на системе V оператора К : В ^ В со спектральным радиусом р (К) < 1, оператор (I — К)-1 также будет вольтерровым на V.

Отметим, что V -условие выполнено для любой системы V в банаховых пространствах непрерывных функций, функций ограниченной вариации, суммируемых функций и т. д. Рассмотрим пример пространства, в котором отсутствует такое свойство. Пусть В[о,1] - некоторое банахово пространство вещественных, определенных на [0,1] функций;

V : В[о,1] ^ Я - неограниченный линейный функционал. Для каждого элемента у Є В[о,1] определим функцию у : [0, 2] ^ Я равенством

у(і) = / у(і) если і Є [0, ^

( \ -у, если і Є (1,2].

Обозначим через В[о,2] множество построенных таким образом функций. Заметим, что

оно является линейным пространством. С нормой || у ||в = || у|1в это пространство

[0,2] [0>1]

является банаховым. Выберем в качестве системы V совокупность множеств е7 = [2 — 7, 2]

и покажем, что в В[о,2] не выполнено условие V. Пусть у Є В[о,1], -у = 1. Возьмем

последовательность {у^} С В[од] так, чтобы ||у^|| = 1, -уї ^ ^. Построим элементы

__ _ у.

Є В[о 2], являющиеся продолжениями функций ^ = у — —у-. Тогда ||^г — у Нв =

[ , ] — уі [0,2]

Уі

— , и поэтому ||Zi — у||в[0 2] ^ о. Однако при t Є (1, 2] получим Zi(t) = —у — —=

Уі в[0 і] ’ V^t/i

0 , y(t) = — у = 1, т.е. V - условие не выполнено.

Далее, покажем, что последовательность вольтерровых на V операторов со значениями в рассмотренном пространстве B[o,2] может сходиться к оператору, не являющемуся вольтерровым. Возьмем в качестве Y пространство C[o, 2] непрерывных на [0, 2] функций с нормой У x У = max | x(t)|. Определим при каждом натуральном i оператор C *e[o,2]

Fі і C[o, 2] ^ B[o, 2] равенством Fi x = x(1) Zi, где последовательность Zі построена выше. Тогда при любом x выполнено (Fix)(t) =0, t Є (1, 2]. Если же x(1) = 0, то (Fix)(t) = 0 и при t Є [0, 1]. Таким образом, каждый оператор Fi вольтерров. Далее, Fi x ^ Fx = x(1) у при любом x Є Y. Оператор F не является вольтерровым, т. к. (Fx)(t) = x (1) на [1, 2] при всех х.

Обозначим B (eY) - пространство сужений функций из B на множество eY. Норму в пространстве B ( eY) зададим формулой У yY У в (e ) = inf У У У в , где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у Є B функции yY Є B ( eY ). Если выполнено V -условие, то подпространство By = { у Є B | y(t) = 0, t Є eY } замкнуто, и, согласно [Б], при таком определении нормы пространство B (eY) является банаховым. Определим оператор П і B ^ B (eY) равенством (Пy)(t) = y(t) при всех t Є eY. Пусть оператор Py : B(eY) ^ B некоторым образом продолжает каждую функцию yY на весь [a, b]. Рассмотрим вольтерров на системе V оператор Q і B ^ B. Обозначим Q = П QPy і B (eY) ^ B (eY). Хотя

оператор Р7 может быть нелинейным, тем не менее вследствие вольтерровости линейного оператора Q оператор Q 7 линеен.

Теорема 3.2. Если В - нормированное пространство, линейный ограниченный оператор Q : В ^ В является вольтерровым на системе V, то при любом 7 Є [0, Ь — а] линейный оператор Q7 : В (е7) ^ В (е7) ограничен и У Q7 У ^ ||Q У .

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Это означает, что существует такой г7 Є В (е7) и такое число д, что 9 > || Q | и У Q7г7 У ^ 9 У г7 У . Продолжим функцию г7 до функции г, определенной на [а,Ь],

так чтобы У г У ^ У г7 У (1 + є), где є =

9 — Q

9 + Q

> 0 . Тогда имеют место неравенства

9 її ~ и 9 + У Ql

У Qг У ^ У Q7г7 У ^ д У г7 У ^ ---- У г У = -------- У г У .

1 є 2

Отсюда У Qz У > У Q У У г У , что противоречит определению нормы оператора.

Теорема доказана.

Получим условия обратимости вольтеррова на системе V оператора Q и вольтерровости обратного оператора Q-1.

Теорема 3.3. Пусть В - линейное пространство, и пусть вольтерров на системе

V оператор Q : В ^ В обратим. Тогда, чтобы обратный оператор Q-1 был вольтерров на системе V, необходимо и достаточно обратимости операторов Q 7 : В (е7) ^ В (е7) для каждого 7 Є (0 , Ь — а ].

Доказательство. Достаточность. Функция х(£) = ^-1 / )(£) будет единственным решением уравнения ^х)(£) = / (£). При £ Є е7 вследствие вольтерровости оператора Q это уравнение можно записать в виде Q7 х7 = П7 /. Если /(£) =0 на е7, то П7 / = 0. Отсюда х7 = 0, и оператор Q-1 является вольтерровым.

Необходимость. Пусть оператор Q-1 вольтерров на V. Покажем, что композиция П7 Q Р7 П7 Q-1 Р7 будет тождественным оператором. Элемент х7 = П7 Q-1 Р7 /7 является сужением на е7 решения х уравнения Q х = Р7 /7 . Вследствие вольтерровости оператора Q при £ Є е7 имеем ^х)(£) = (П7 QP7 х7)(£). Таким образом, /7 = П7 QP7 П7 Q-1 Р7 /7. Аналогично доказываем, что композиция П7 Q-1 Р7 П7 QP7 также является тождественным оператором. Итак, оператор Q7 обратим, Q-1 = П7 Q-1Р7 .

Следствие 1. Пусть действующий в банаховом пространстве В линейный ограниченный вольтерров на V оператор Q обратим. Если оператор Q- 1 вольтерров, то операторы Q- 1 : В (е7) ^ В (е7) ограничены в совокупности.

Действительно, согласно теореме Банаха об обратном операторе [9] действующий в банаховом пространстве оператор Q- 1 ограничен. Согласно теореме 3.2, при всех 7 выполнено

IQ-11 < IQ-11.

Следствие 2. Если в пространстве В выполнено V -условие, то спектральные радиусы линейного ограниченного вольтеррова на V оператора К : В ^ В и оператора К7 = П7 К Р7 : В (е7) ^ В (е7) при любом 7 удовлетворяют неравенству р (К7) ^ р (К).

Действительно, для любого ^ Є С, удовлетворяющего неравенству |^| < р (К), оператор I — ^К обратим, причем обратный оператор (I — ^К)-1 является вольтерровым1. Согласно доказанной теореме, оператор 17 — ^К7 обратим, т. е. ^ - регулярное значение оператора К7.

хЕсли первоначально оператор К действовал в вещественном пространстве, то здесь под К понимается его комплексное расширение [5, с. 482-486] определяемое равенством К(х + гу) = Кх + гКу, имеющее с исходным оператором одинаковый спектральный радиус и также обладающее свойством вольтерровости на совокупности V.

Пусть В - нормированное пространство. Определим отображение2 2в : (0, Ь — а] х В ^

К формулой 2в (7,у) = У П7 у У в (е ) . При каждом у Є В функция 2в ( , у) не убывает,

и поэтому существует ііш 2в (7, у) = го(у). Доопределим отображение 2в значением

7^0+0

2в (0, у) = го (у).

Линейный оператор К : В ^ В назовем улучшающим на системе V, если образом единичной сферы и С В является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е.

V е > 0 3 т> 0 Ух Є и У71,72 Є [0, Ь — а]

І72 — 711 <т ^ I 2

и, кроме того,

2

при всех х Є и.

Приведем некоторые свойства линейных улучшающих операторов.

1. Линейный улучшающий на системе V оператор ограничен.

2. Если линейные операторы К1, К2 : В ^ В улучшающие на V, то для любых чисел

^1, ^2 оператор : В ^ В также улучшающий.

3. Если линейный оператор К : В ^ В является вольтерровым улучшающим на системе

V , то оператор К7 = П7 К Р7 : В (е7) ^ В (е7) также будет улучшающим на V.

4. Если линейный оператор М : В ^ В ограничен, линейный оператор К : В ^ В является улучшающим на системе V, то композиция КМ : В ^ В будет улучшающим на системе V оператором.

5. Если линейный оператор К : В ^ В удовлетворяет условию (14), линейный ограниченный оператор М : В ^ В является вольтерровым на системе V, то композиция МК : В ^ В будет также удовлетворять условию (14).

Доказательство перечисленных свойств достаточно очевидно. Например, последнее утверждение вытекает из следующих неравенств, выполненных при всех х Є В :

2 (7, МКх) = У п7 МКх У в ( е7 ) = У П7 Мр7 п7 Кх У в (е7 ) ^

< УМ7 У 2 (7, Кх) < УМ У 2 (7, Кх).

Теорема 3.4. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе V. Тогда спектральный 'радиус этого оператора р (К) =0.

Доказательство. Возьмем произвольное ^ Є С и докажем, что уравнение

х

однозначно разрешимо3. Зафиксируем т > 0 , так чтобы было выполнено условие (13) при є = 2 11 . Вольтерровость оператора К позволяет записать уравнение (15) при £ Є ет в

2Там, где это не вызовет недоразумений, будем опускать индекс в обозначении отображения Zв .

3Здесь оператор К действует в комплексном пространстве. Если первоначально пространство В вещественное, то под К понимается его комплексное расширение [5, с. 482-486], определяемое равенством К(х + іу) = Кх + іКу. Мы уже отмечали, что из вольтерровости на совокупности V оператора, действующего в вещественном пространстве, следует вольтерровость его комплексного расширения. Полнота исходного вещественного пространства эквивалентна полноте комплексного пространства. Равенство при любом 7 Є [0, Ь—а] норм оператора К7 и его комплексного расширения позволяет комплексному оператору К наследовать от вещественного оператора свойство улучшаемости.

виде

Здесь Iт : В (ет) ^ В (ет) - тождественный оператор, Кт = Пт КРт, жт € В (ет), /т = Пт /. Оператор ^Кт является сжимающим, так как || ^Кт || ^ 2 . Поэтому уравнение (16) однозначно разрешимо. Обозначим его решение через гт. Пусть г € В - некоторое продолжение функции гт. Для нахождения решения уравнения (15) при Ь € [а, Ь] \ ет сделаем замену у = ж — г. Получим

Здесь операторы I, К являются сужениями операторов I, К : В ^ В на подпространство В т С В функций, тождественно равных нулю на ет. Обозначим / = / — (I — ^К) г € В т. При Ь € е 2 т уравнение (17) является уравнением

со сжимающим оператором ^К2т , || ^К2т || ^ ^ , действующим в подпространстве функций из В (е2т), равных нулю на множестве ет. Уравнение (18) однозначно разрешимо.

Пусть г 2 т - его решение. Тогда функция (П2 т г + г 2 т )(Ь) является решением уравнения (15) при Ь € е 2 т .

Продолжая аналогичные рассуждения, за конечное число

Ьа

т шагов построим определенное на всем отрезке [а, Ь] единственное решение уравнения (15). Таким образом, доказано существование обратного оператора (I — ^К)-1 . Согласно теореме Банаха [9], этот оператор ограничен.

Следствие. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе V. Тогда обратный оператор (I — ^К)-1 при любом ^ является вольтерровым на V.

Проиллюстрируем важность условия (14) в определении улучшаемости оператора и его существенность в формулировке теоремы 3.4. Рассмотрим пространство С[о, 1] непрерывных функций у : [0, 1] ^ К, норма элементов в котором определена равенством ||уУс = шах |у(£)|. Пусть V состоит из множеств е7 = [0, 7]. В пространстве С[о, 1]

выполнено условие V. Оператор

І

К : С[о, 1] ^ С[о, 1], (Ку)(£) = у(0) £ + J у(в) ^

о

вольтерров, улучшающий, его спектральный радиус р ( К ) = 0. Внешне похожий на К оператор

І

М : С[о, 1] ^ С[о, 1], (Му)(£) = у(0) + ^ у(в) ^

о

вольтерров, вполне непрерывен и удовлетворяет условию (13). Но равенство (14) не выполнено, и поэтому оператор М не является улучшающим, имеет характеристическое число ^ = 1 (собственный элемент, отвечающий этому числу, равен у (£) = ехр (£) ). Если же рассмотреть сужение Мо этого оператора на подпространство С0 [о, 1] = { у Є С[о, 1] | у (0) = 0}, то будет выполнено условие (14). Оператор Мо : С0 [о, 1] ^ С0 [о, 1] улучшающий, обладает пустым характеристическим множеством, его спектральный радиус р ( Мо) = 0.

Теорема 3.4 несколько обобщает известный результат [10] не только тем, что здесь рассматривается абстрактное пространство, но и благодаря условию улучшаемости оператора

K, являющемуся, как мы сейчас покажем, более слабым по сравнению с «традиционным» требованием компактности.

Будем говорить, что в банаховом пространстве B относительно системы v выполнено C-условие, если для каждого у Є B функция Z(-,y) непрерывна. Если, дополнительно, Z(0, у) = 0, при всех у Є B, то будем считать, что пространство B удовлетворяет условию Co. Заметим, что условие Co выполнено, например, для любой системы v в пространствах [a,b], І ^ p < то, суммируемых функций, для системы множеств e7 = [а, а + 7] в подпространстве C0 [a,b] пространства C[a,b] непрерывных функций.

Теорема 3.5. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V, C. Если множество H С B компактно, то его элементы имеют равностепенно непрерывные нормы:

V є> О З т> 0 Vx Є H Vy1,y2 Є [0, b — а]

|Y2 — Ylj <£ ^ І Z(72,x) — Z(71,x)| < є.

Доказательство. Рассмотрим оператор П, ставящий в соответствие каждому элементу у Є B функцию Z(, у). Это отображение действует из пространства B в пространство C[ob_a] непрерывных на [0, b — а] функций с нормой ||x||c = max |x(y)|. Из

’ 7Є[ 0, b—a]

определения оператора П, для любых y, w Є B имеем оценку

УZ(^,w) — Z(^,У)УС = max У ПY w У в(Є7) — У П7У У в( ) <

7Є[0,6—a] 4 <' '-і'

< max У П 7 w — П7 У У в (е7 ) = У W — У У в .

7Є[0, b—a] v ' '

Поэтому оператор П непрерывен и переводит ограниченные множества в ограниченные. Образом компактного множества H С B является компактное множество П H С C[o,b—a ]. Для доказательства утверждения осталось воспользоваться критерием компактности Арцела-Асколи [5] в пространстве непрерывных функций.

Замечание. Обратное к теореме 3.5 утверждение неверно. В наиболее «применяемых» функциональных пространствах условие равностепенной непрерывности норм элементов, принадлежащих H, не гарантирует компактности этого множества. Например, семейство определенных на [О, І] функций y^(t) = sin it, i = 1,2,..., не обладает свойством компактности по мере [11] и, следовательно,4 не является компактным в L[o,l]. В то же время все эти функции ограничены: —І ^ у^(t) ^ І и поэтому имеют равностепенно непрерывные нормы в пространстве L[o,l].

Следствие 1. Если в банаховом пространстве B выполнены условия V, Co, то спектральный 'радиус вполне непрерывного вольтеррова на V линейного оператора равен нулю.

Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V, C; линейный оператор K : B ^ B является вполне непрерывным, вольтерровым на V и при всех x Є B имеет место равенство (14). Тогда p (K) = 0.

Действительно, согласно теореме 3.5, в этих условиях вполне непрерывный оператор является улучшающим.

Теорема 3.6. Пусть в банаховом пространстве B выполнено условие V; линейный оператор K : B ^ B является улучшающим вольтерровым на системе V, линейный оператор S : B ^ B ограничен и вольтерров на системе V. Тогда, если один из операторов I — K — S, I — S обратим и обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.

4Здесь уместно привести следующий критерий компактности [11]: семейство функций в пространстве Ър [а,ь], 1 ^ Р < ж, компактно тогда и только тогда, когда оно компактно по мере и нормы его элементов равностепенно непрерывны.

Доказательство. Вначале предположим, что оператор I — 5 обратим и обратный оператор (I — 5)-1 вольтерров. Докажем обратимость оператора 17 — 57 — К7 при любом 7 Є (0, Ь — а] .С этой целью рассмотрим уравнение

х7(£) — (57х7)(£) — (К7х7)(£) = /7(£), £ Є е7,

которое перепишем в виде равносильного уравнения

х7

Возьмем є = и --------_1 м и найдем т, 0 < т < 7 так, чтобы для оператора К было вы-

2 у (I — Заполнено условие (13). Вольтерровость оператора (I — З) -1 К позволяет записать уравнение (19) при Ь € ет в виде

ж т =

Согласно следствию из теоремы 3.3, выполнена оценка

т. е. оператор (Iт — Бт)-1 Кт является сжимающим. Уравнение (20) однозначно разрешимо. Продолжим его решение гт до некоторой функции г7 € В (е7). Запишем уравнение (19) относительно новой неизвестной у7 = ж 7 — г7 в виде

у7 =

Здесь д7 = (17 — З7)-1 /7 — г7 + (17 — З7)-1 К7г7, операторы I7, К7, З7 считаем действующими в подпространстве Вт( е7) С В( е7) функций, тождественно равных нулю на е т. При Ь € е 2т уравнение (21) является уравнением

у2т —

со сжимающим оператором Ф2т = (12т — З2т)-1К2т, || Ф2т || ^ 1, действующим в под-

пространстве Вт(е 2т) С В( е 2т) функций, равных нулю на ет. Уравнение (22) однозначно разрешимо, обозначим его решение г 2т . Функция (П2т Р7 г7 + г 2т )(Ь) является решением уравнения (19) при Ь € е 2т. Продолжая описанные построения, за конечное число шагов г ^ Ь — а найдем определенное на всем е 7 единственное решение уравнения (19).

Итак, оператор I — К — З обратим, обратный оператор (I — К — З) -1 вольтерров.

Теперь предположим, что оператор I — К — З обратим и обратный оператор (I — К — З)-1 вольтерров. Оператор З = К + З является линейным ограниченным вольтерровым. Воспользовавшись полученным выше утверждением, заключаем, что оператор I — З — (—К) = I — З обратим и обратный к нему оператор вольтерров.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В ^ В является улучшающим вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор З : В ^ В вольтерров на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов К + З, З одинаковы: р (К + З)= р (З).

Доказательство. Возьмем любое ^ € С, удовлетворяющее неравенству |^| ^ —. Тогда существует обратный оператор (I — ) -1, который является вольтерровым.

р

Согласно теореме 3.6 оператор I — ^ (S + K) обратим. Следовательно p (K + S) ^ p (S). Аналогично устанавливается неравенство p (K + S) ^ p (S).

Следующие два утверждения для случая пространства суммируемых функций доказаны в книге [6].

Следствие 2. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V, Co; линейный оператор K : B ^ B является вполне непрерывным вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор S : B ^ B вольтерров на системе V. Тогда, если один из операторов I — K — S, I — S обратим и обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.

Следствие 3. Пусть в банаховом пространстве B выполнены условия V, Co; линейный оператор K : B ^ B является вполне непрерывным вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор S : B ^ B вольтерров на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов K + S, S одинаковы: p (K + S)= p (S).

Для доказательства достаточно заметить, что вполне непрерывный оператор K в данном случае является улучшающим.

При исследовании реальных явлений бывает необходимо учитывать влияние запаздывания. Для многих процессов сигнал «на выходе» в любой момент времени to зависит от значений сигнала «на входе» при t ^ to — т для некоторого фиксированного т. Моделями таких процессов являются уравнения с т -вольтерровыми операторами. Благодаря результатам работ В. Вольтерра, А.Н. Тихонова, Н.Н. Красовского, многих других авторов подробно изучены свойства т -вольтерровых операторов, действующих в пространствах непрерывных функций, пространствах измеримых функций. Возможность записать в явном виде решение уравнения с т -вольтерровым оператором определила широкое использование таких операторов в аппроксимациях, численных методах. Ниже предлагается одно обобщение понятия т -вольтерровости.

Пусть т > 0. Линейный оператор T : B ^ B будем называть т -вольтерровым на системе V, если для любого x Є B выполнено (T x)(t) = 0 при t Є e r и для всех

Y Є (т, b — а] из равенства x(t) = 0, t Є ey—r, следует (Tx)(t) = 0, t Є ey. Отметим некоторые очевидные свойства т -вольтерровых на системе V операторов.

1. Композиция (в любом порядке) вольтеррова и т -вольтеррова на системе V операторов является т -вольтерровым на системе V оператором.

2. т -Вольтерров на системе V оператор является нильпотентным.

3. Спектральный радиус т -вольтеррова на системе V оператора равен нулю.

4. Для т -вольтеррова на системе V оператора T : B ^ B при любом Y оператор Ty = Пт T Py : B (eY) ^ B (eY) является т -вольтерровым на системе V y = { e4 | П ^ Y I .

Теорема 3.7. Пусть линейный оператор T : B ^ B является т -вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор S : B ^ B вольтерров на системе V. Тогда, если один из операторов I - T - S, I - S обратим и обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим, и другой и обратный к нему также вольтерров.

Доказательство. Предположим существование вольтеррова на системе V оператора G = (I — S)— 1. Возьмем произвольно Y Є [0, b — а] и рассмотрим уравнение (Iy — Ty — Sy) x y = f y . Запишем эквивалентное уравнение (I— G yTy) x y = G y f y . Композиция G y Ty является т -вольтерровым оператором. Следовательно, при каждом fy Є B( ey ) уравнение однозначно разрешимо, т. е. существует вольтерров оператор (I — T — S) —1.

Обозначив S = S + T, докажем, что из существования вольтеррова оператора (I — S)-1 = (I — T — S) —1 следует существование вольтеррова оператора (I — S — (—T)) —1 = (I — S)-1. Теорема доказана.

Следствие. Пусть линейный оператор T : B ^ B является т -вольтерровым на системе V, линейный ограниченный оператор S : B ^ B вольтерров на системе V. Тогда спектральные радиусы операторов S, T + S одинаковы: p (S) = p (T + S).

ЛИТЕРАТУРА

1 Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функц.-дифференц. уравнения. Пермь, 1987. С. 3-11.

2 Анохин А.В. К общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. Пермь, 1981. Деп. в ВИНИТИ № 1389-81.

3 Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. Моск. ун-та. Секц. А. 1938. Вып. 8. Т. 1. С. 1-25.

4 Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

5 Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.

6 Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М., 1991.

7 Жуковский Е.С. Нелинейное уравнение Вольтерра в банаховом функциональном пространстве // Известия вузов. Математика. 2005. № 10 (521). С. 37-48.

8 Жуковский Е. С. Функция Коши функционально-дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 2006. № 5 (528). С. 38-47.

9 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981. С. 225

10 Интегральные уравнения. СМБ / Забрейко П.П. [и др.]. М., 1968. С. 153.

11 Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустырник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты № 07-01-00305, № 09-01-97503), Министерства образования и науки РФ (программа Развитие научного потенциала высшей школы, проект № 2.1.1/1131), Норвежской Национальной Программы Научных Исследований FUGE (грант PRO 06/02) при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского Комитета по развитию университетской науки и образования(NUFU).

Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.

Zhukovskaya T.V., Zhukovskiy E.S. Some elements of theory of functional-differrential equation. Linear abstract functional-differrential equations are considered. This wide and pithy generalization of classical differential and functional-differrential equations, impulse systems, singular differrential equations were offered in N.V. Azbelev’s, A.V. Anokhin’s, L.F. Rakhmatullina’s works. Here solvability of boundary value problems is investigated. Representation of Green operator is obtained. Based on investigation of generalized Volterra operator’s properties the initial problem is considered. Representation of Cauchy operator is obtained.

Key words: abstract functional-differrential equation, boundary value problem, Green operator, Cauchy operator, Volterra operator.