Об электронах, формирующих сверхпроводящий ток

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК 567.145

ОБ ЭЛЕКТРОНАХ, ФОРМИРУЮЩИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК

Н. Б. Брандт, Г. А. Миронова, В. В. Ржевский

(.кафедра физики низких температур и сверхпроводимости) E-mail: rzhevski@mig.phys.msu.su

Рассмотрены соотношения между плотностью элементарных возбуждений и общим числом электронов в различных температурных интервалах для нормального и сверхпроводящего состояний лондоновских сверхпроводников. Показано, что принципиально различные модели проводимости Друде-Лоренца и Лифшица можно объединить, если ввести эффективную плотность сверхпроводящих электронов.

Вопрос о том, что такое сверхпроводящие электроны, затрагивает ключевые положения физики сверхпроводимости: с одной стороны, он имеет принципиальное значение, так как в теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау на число сверхпроводящих электронов пя нормируется волновая функция, с другой — он важен для прикладных аспектов сверхпроводимости, так как величина пя входит во все уравнения электродинамики сверхпроводников. Интерес к фермионам, формирующим сверхпроводящий ток, увеличился в последнее время, о чем свидетельствует появление ряда публикаций [1, 2].

В настоящей работе предпринята попытка рассмотреть соотношения между концентрациями элементарных возбуждений и общего числа электронов в различных температурных интервалах для нормального и сверхпроводящего состояний лондоновских сверхпроводников на основе простых и наиболее наглядных моделей. Отметим, что модельные представления являются лишь иллюстрацией сложной квантовомеханической картины сверхпроводящего тока. Поэтому условное деление электронов на сверхпроводящие и нормальные скорее служит целям наглядных качественных представлений, чем достижению строгих результатов. Вместе с тем, как мы покажем, выбор правильной модели позволяет получить физически обоснованные, наглядные результаты, которые согласуются со строгими кванто-вомеханическими расчетами.

Сверхпроводящий ток 1Я в массивных сверхпроводниках течет в тонком поверхностном слое толщиной А, называемом глубиной проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Объемная плотность ]я поверхностного тока уменьшается (почти экспоненциально) при удалении от поверхности. Удобно заменить экспоненциальное затухание тока ступенчатым:

оо

Is = Jjxdx = js 0А,

о

где х — координата нормальная к поверхности. Такая замена позволяет считать, что на поверхности

течет сверхпроводящий ток с постоянной объемной плотностью ^о на глубине А. Существенно различаются два случая: А » £о и А -С ¿о. гДе Со длина когерентности при Т = 0, определяющая в теории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) размер куперовских пар. В первом случае сверхпроводники описываются локальной электродинамикой Лондо-нов, в которой сверхпроводящий ток ^¡¡(г) в точке г определяется значением векторного потенциала А(г) в этой точке. Во втором случае — нелокальной электродинамикой Пиппарда, в которой предполагается, что на куперовскую пару действует некоторый усредненный по объему ~ ^ векторный потенциал.

Для большей наглядности будем рассматривать только сверхпроводники, описываемые локальной электродинамикой с А » £о • В этом случае для описания тока в сверхпроводниках можно использовать те же самые выражения для плотности тока, которые используются для нормальных металлов. В нормальных металлах электрический ток создается всеми электронами в незаполненных энергетических зонах. В сверхпроводниках, во-первых, электроны, ограниченные небольшими листами изоэнергетичее-ких поверхностей, могут вообще не переходить в сверхпроводящее состояние. Во-вторых, энергетические сверхпроводящие щели 2А в спектре электронов в различных зонах могут существенно различаться. Последнее означает, что при понижении температуры ниже критической, Т <ТС, в сверхпроводимость будут последовательно, при соответствующих температурах, включаться электроны из областей импульсного пространства, ограниченных листами изоэнергетических поверхностей с меньшими значениями щелей 2А [3]. В-третьих, при образовании энергетических щелей 2А в спектре электроны в каждой зоне условно можно разделить на три группы:

а) группу электронов, состояния которых не изменяются при переходе в сверхпроводящее состояние;

б) электроны образующие куперовские пары;

в) элементарные одночаетичные возбуждения над поверхностью Ферми, возникающие при Т ф 0 в слу-

чае разрыва пар, а также термического возбуждения частиц через щель 2А.

В связи с этим следует прежде всего определить, что такое «сверхпроводящие электроны». Поскольку основным свойством сверхпроводников является отсутствие у них электрического сопротивления (Д = 0), т.е. в сверхпроводниках может течь незатухающий электрический ток плотности ]я. Поэтому естественно определить «сверхпроводящие электроны» как электроны, плотность которых входит в выражение для сверхпроводящего тока и которые обеспечивают бездиееипативный перенос заряда и определяют его величину.

Вопрос о значении плотности сверхпроводящих электронов пя в теории Лондонов не обсуждается, пя вводится как феноменологический параметр, значение которого при Т = О определяется с помощью предельного перехода к естественному верхнему пределу — плотности электронов проводимости. В теории БКШ число сверхпроводящих электронов определяется как число носителей зарядов, понижающих энергию. Вместе с тем исходное число пар является неопределенным.

Ограничимся, как в теории БКШ, рассмотрением простейшего случая одной изоэнергетической поверхности сферической формы. Токовому состоянию соответствует смещенная в пространстве импульсов поверхность Ферми. Для нормальных металлов смещение поверхности Ферми обеспечивается наличием электрического поля Е. После выключения электрического поля электронная система быстро релаксирует в результате рассеяния электронов на фононах и неоднородностях кристаллической решетки к равновесному, бестоковому распределению в пространстве импульсов, когда каждому электрону с импульсом р соответствует электрон с импульсом —р. Величина смещения поверхности Ферми определяет величину плотности электрического тока. У нормальных металлов величина смещения принципиально не ограничена. У сверхпроводников величина смещения фермиевской поверхности ограничена значением критического тока ]яс, при котором сверхпроводимость разрушается.

Определим предельно возможную величину смещения поверхности Ферми у сверхпроводников в токовом состоянии при Т = 0. В основном состоянии поверхность Ферми сверхпроводника размыта на величину АР и Щш. _ При смещении поверхности

РР

Ферми на величину АР у одного электрона в паре импульс увеличивается на АР и становится равным Р + АР, а у другого — уменьшается на эту же величину: Р — АР (рисунок). При Т = 0 элементарных возбуждений нет и ситуация в сверхпроводниках при условии А » ¿о отличается от ситуации в нормальных металлах только тем, что теперь поверхность Ферми размыта на величину АР и Мшд. Величина смещения АР поверхности Ферми, так же как у нормальных металлов, однозначно определяет скорость

Сдвиг поверхности Ферми в токовом состоянии. При Ар -С рр объемы / и <? с точностью до величины 2-го порядка по Ар равны между собой, поэтому, согласно модели Лифшица, достаточно рассчитать ток, создаваемый в объеме /, а затем удвоить полученную величину

дрейфа всех электронов = ^ независимо от того, образуют они куперовские пары или нет. Наличие куперовских пар обеспечивает только бездиееипа-тивность переноса тока. Поэтому можно считать, что при Т = 0 в сверхпроводящем состоянии, как и в нормальном, ток создается всеми коллективизированными электронами, движущимися со скоростью лга. Обратим внимание, что поляризационный механизм обеспечивает притяжение пары электронов с противоположно направленными импульсами и в том случае, когда пара имеет импульс АР, т.е. один электрон в паре имеет импульс р + АР, а второй ^р + АР или, иначе, — (Р — АР). Иногда в литературе паре приписывается импульс 2АР [4]. В действительности 2АР — это импульс двух электронов в паре, с массами т. Если же рассматривать пары как связанные состояния, то центр масс пары имеет импульс АР, а ее приведенная масса ц = Щ-. При этом кинетическая энергия центра масс пары намного меньше величины разбаланса разности кинетической энергии электронов в паре:

т

А именно,

АР2 2рДР

2(л т

Здесь р^рр, а ДР « рр. Разность кинетических энергий двух электронов (2) определяет величину термодинамической нестабильности движущейся пары. Разрыв пар становится энергетически выгодным только при значениях импульса АР, удовлетворяющих неравенству

2рДР

> 2Дг

т

Граничное значение импульса АРс = и ^

Г > ^ р

(так как р ~ рр) определяет предельную величину бездиссипативного смещения пары в импульсном пространстве и тем самым критическую скорость ~ ^ движения пар, выше которой пары распадаются. При Т ф 0 в выражения для величин

критической скорости движения пар и размытия поверхности Ферми (обусловленного взаимодействием) вместо Ао войдет Д(Т). Таким образом, предельно возможное в сверхпроводниках смещение поверхности Ферми, определяемое величиной

А (Т)т

к ^ , всегда меньше величины нетемпературного размытия 2Д(т)т распределения Ферми.

РР

Ток, возникающий при смещении поверхности Ферми, можно описать двумя способами.

В первой модели Друде-Лоренца [5] ток рассматривается как направленное движение всех коллективизированных электронов со скоростью дрейфа v(^, связанной с изменением их импульсов АР соотношением V,! = ^, тогда плотность тока

j = еЛ^,

где N — плотность электронов.

Во второй модели Лифшица [6] выделяется центральная часть смещенной поверхности Ферми с симметричным распределением импульсов относительно центра несмещенной поверхности Ферми (рисунок). Соответствующие этой области электроны не вносят вклад в электрический ток, так как их распределение не изменяется при смещении поверхности Ферми. Ток создается только неекомпенеированны-ми по импульсам электронами в областях / и 3 (рисунок), движущимися с фермиевскими скоростями. В этой модели плотность тока

где ДЖ — плотность числа электронов в областях 1 и 3 или удвоенная плотность числа электронов в области 3, А — постоянный коэффициент, величина которого обусловлена формой поверхности Ферми. Произведение Аур определяет среднее значение скорости электронов, находящихся в области смещения поверхности Ферми в направлении тока.

Если в первом случае j определяется величиной средней дрейфовой скорости всех электронов при постоянстве их плотности N, то во втором случае — плотностью числа «неекомпенеированных» электронов ДЖ при постоянстве их фермиевекой скорости ур. Вычислим плотность тока для сферической поверхности Ферми и заданного смещения АР по оси рх в декартовых координатах импульсного пространства, используя подход, развитый в модели Лифшица.

Вследствие того что АР <С рр, скорость любой частицы в объемах / и 3 (рисунок) по величине практически совпадает с фермиевекой скоростью ур. Соответствующая проекция скорости частиц на направление, отвечающее сдвигу поверхности Ферми по оси рх, равна ^ соб 0. Тогда плотность тока в сферических координатах будет иметь вид

2е

т(2ттН)3

зтг/2 тг рр+ЛР

J йв J р3 Бтв соб в йр.

тг/2

Рр

Здесь два множителя 2 учитывают спиновые состояния и симметрию области 3 (рисунок). С точностью до первого порядка по смещению АР из (7) получаем в рассматриваемом случае для модели Лифшица:

3 =

8жер3рАр 3(2тгЙ)3т

= . к-Д/У/•/•••

4тГ2?^ /\ г)

где ДЖ = плотность числа электронов в

областях / и 3 (см. рисунок), А = 2/3.

В свою очередь плотность тока в модели Друде-Лоренца

] = еМуй = е

%пр3рАр 3(2тг Й)3т'

полная плотность числа элект-

гпр N - 8прр..

где ^ - ЩШ? ронов и Уа = ^. Таким образом, для нормальных металлов обе модели при сферической поверхности Ферми дают один и тот же результат [7]. При этом N и ДЖ (при заданном смещении поверхности АР) не зависят от температуры, так как границы области «неекомпенеированных» электронов размываются при повышении температуры симметрично в обе стороны. Поэтому при любых температурах N и ДЖ связаны соотношением

ААЫ = N ур

У сверхпроводящих металлов ситуация качественно отличается. При Т = 0 элементарных возбуждений нет, и распределения электронов в нормальном и сверхпроводящем металлах отличаются только тем, что в нормальном металле граница заполненных состояний резкая, а в сверхпроводящем состоянии размыта на величину 2До по энергии и по импульсам. Как указывалось выше, ве-

личина этого размытия превышает величину максимально возможного бездиссипативного смещения поверхности Ферми у сверхпроводников. Характер смещения поверхности Ферми в токовом состоянии у сверхпроводников аналогичен смещению размытой по температуре поверхности Ферми у нормальных металлов при Тф 0, если не учитывать процессов рассеяния. Поэтому при Т = 0 плотность коллективизированных электронов N и плотность «неекомпенеированных» электронов АИ связаны соотношением (10), что ведет к двум эквивалентным записям плотности сверхпроводящего тока (5) и (6).

Таким образом, по определению при Т = 0, согласно модели Друде-Лоренца (5), все электроны являются сверхпроводящими: пя = N. Однако при Т ф 0 положение изменяется: в результате термического распада пар и переброса электронов через энергетическую щель 2Д(Т), в спектре появляются элементарные возбуждения. Квазичастицы заполняют одноэлектронные состояния в области размытия поверхности Ферми. Заметим, что для всех

сверхпроводников отношение > 3.5, так что

величина теплового размытия поверхности Ферми у сверхпроводников квТс при температурах, меньших |Тс, существенно меньше величины «нетеплового» размытия. Только вблизи Тс, когда А(Т) сильно уменьшается, тепловое размытие превышает «нетепловое». Поэтому при распаде пар, образующиеся квазичастицы заполняют преимущественно свободные состояния с наинизшей энергией.

Здесь возникает принципиально важный вопрос: изменяется ли величина АР смещения поверхности Ферми при повышении температуры? Поскольку пары образуют жестко когерентную систему виртуальных бозе-частиц, все пары в токовом состоянии имеют один и тот же импульс АР центра масс. Отсюда следует, что в токовом состоянии (со смещенной поверхностью Ферми) рассеяние идет между всеми возможными парными состояниями с импульсом АР. Величина АР задается величиной сверхпроводящего тока (8). При распаде пар жесткая когерентность системы пар сохраняется независимо от их числа, пока существует сверхпроводящее состояние. Поэтому можно предположить, что первоначальная (при Т = 0) величина АР смещения поверхности Ферми не изменяется при распаде пар и при повышении температуры вплоть до Т = ТС.

Таким образом, во второй модели ток убывает за счет уменьшения количества создающих сверхпроводящий ток электронов в области 3 (рисунок) при постоянном, не зависящем от температуры смещении поверхности Ферми. Отсюда следует, что плотность электронов, переносящих ток при смещении на АР поверхности Ферми при Т ф 0, представляет собой разность АЖ(0) — Апп(Т), (здесь Апп(Т) — число образующихся при распаде пар элементарных возбуждений в области /). Эту разность и следует рассматривать как эффективную плотность электронов, создающих сверхпроводящий ток.

Обе модели можно объединить, если учесть соотношение (10). Действительно, для модели Лифшица можно записать:

3, = Ае[АНф) - Апп{Т)]юР.

Воспользуемся формулой (10), чтобы перейти к полной плотности числа электронов и элементарных возбуждений в выражении (11), тогда

¿8 = е[ЛГ

Сравнивая полученное выражение с формулой Друде для сверхпроводящего тока ]я = находим, что

концентрация сверхпроводящего тока, равная общей концентрации коллективизированных электронов при Т = 0, становится зависящей от температуры и определяется выражением п*(Т) = N — пп(Т).

Именно на концентрацию сверхпроводящих электронов п* (Т) нормируется функция параметра порядка |Ф(г,¿)|2 = в теории Гинзбурга-Ландау [8] (в отличие от [4], где нормировка производится на число куперовских пар).

Следует отметить, что полученные выше качественные результаты, описывающие формирование сверхпроводящего тока, согласуются со строгими квантовомеханическими расчетами по теории БКШ [5, 91.

Таким образом, если определять понятие «плотности сверхпроводящих электронов», основываясь на формуле Друде-Лоренца (5), то ns оказывается некоторой условной величиной, не равной в общем случае ни общей плотности электронов проводимости, ни числу куперовских пар. Поэтому в электродинамике сверхпроводников уравнением (5) можно пользоваться только в том случае, если ввести понятие эффективной концентрации сверхпроводящих электронов п* = п*(Т, АР). При этом п* уменьшается при увеличении температуры и при увеличении дрейфовой скорости v¿ или величины АР смещения поверхности Ферми в пространстве импульсов в токовом состоянии. Физически это означает, что при Т ф 0 поверхность Ферми в сверхпроводниках не может бездиссипативно смещаться как целое из-за наличия элементарных возбуждений, заполняющих состояния в р-пространстве вблизи поверхности.

В модели И.М. Лифшица сверхпроводящий ток создается электронами с импульсом р + АР, находящимися в области 3 смещенной поверхности Ферми, движущимися со средней скоростью порядка vp (рисунок). Эти электроны принадлежат парам, т.е. имеют партнеров с импульсами р^АР. Число таких электронов определяется величиной смещения АР и плотностью элементарных возбуждений и уменьшается при увеличении концентрации последних.

Заметим, что в случае многощелевых сверхпроводников возможен эффект, который является в сверхпроводниках аналогом электронно-топологического перехода 2|-рода [6]: возникновение особенностей сверхпроводящих характеристик (например А) при переходе в сверхпроводящее состояние, в определенных условиях (упругие деформации, давление и др.) образование новых групп электронов.

Литература

1. Uemura YJ. et al. // Phys. Rev. Lett. 1991. 66. P. 2665.

2. Hirsh J.E. // cond-mat/0312619. 2003. 2.

3. Carrington A., Manzano F. // Physica C. 2003. 385. P. 205.

4. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М., 2000.

5. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М., 1987.

6. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М., 1971.

7. Брандт Н.Б., Чудинов С.М. Экспериментальные методы исследования энергетических спектров электронов и фононов в металлах. М., 1983.

8. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1950. 20. С. 1064.

9. Фейнман Р. Статистическая физика. М., 1978.

Поступила в редакцию 10.03.04