К расчету сверхзвуковой перерасширенной струи идеального газа при наличии в потоке диска Маха

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV 1 9 7 3 № 4

УДК 518.5:533.6.011.35

К РАСЧЕТУ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПЕРЕРАСШИРЕННОЙ СТРУИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ В ПОТОКЕ

ДИСКА МАХА

М. Я. Иванов, А. Н. Ланюк

Приведены результаты численного решения задачи о течении невязкого и нетеплопроводного газа в осесимметричной струе, истекающей в затопленное пространство на режиме перерасширения. Стационарная картина течения получается в процессе установления при интегрировании нестационарных уравнений газодинамики по конечноразностной схеме С. К. Годунова. Рассмотрены случаи нерегулярного отражения косых скачков уплотнения от оси симметрии с образованием диска Маха, за которым возникает область дозвукового течения. Дано сравнение результатов, полученных различными численными методами.

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных расчету течения на начальном участке сверхзвуковых и пространственных струй. Обширную библиографию по этому вопросу можно найти в работах [1]—[3], где содержится также анализ различных численных методов, применяемых для расчета сверхзвуковых течений. Наличие дозвуковых областей, обычно сопровождающих струйные течения, существенно усложняет интегрирование стационарной системы уравнений газодинамики и получение решения во всем потоке. Подход, основанный на использовании метода характеристик для сверхзвуковой части течения и одномерного приближения для дозвуковой области, позволил рассчитать затопленные струи на режимах перерасширения [4] и недорасши-рения [5]. В то же время не исключено, что в случае широкого диска Маха предположение об одномерности течения может приводить к заметным погрешностям расчета. Данное обстоятельство делает желательным разработку методов, не опирающихся на указанное предположение. Так, учет двумерности потока во всей струе, истекающей в пространство с повышенным давлением, проведен в работе [6], где решение, задачи получено в процессе установления по разностной схеме, предложенной в работе [7]. Вычисления в работе [б] проведены на ЭЦВМ БЭСМ-6, причем для обеспечения устойчивого счета границы струи — физически

неустойчивой линии тангенциального разрыва — вводилось дополнительное искусственное сглаживание границы.

В настоящей работе, как и в работе [6], развивается подход, основанный на интегрировании уравнений нестационарного осесим-метричного течения и использовании процесса установления (по времени). Численное решение уравнений ведется по известной конечноразностной схеме С. К. Годунова [8], [9].

1. Рассмотрим течение невязкого и нетеплопроводного газа в струе, истекающей со сверхзвуковой скоростью из осесимметрич-ного сопла в пространство с повышенным давлением. Предполагается, что область течения ограничена осью симметрии и границей струи, которым отвечают уравнения 3/ = 0 и у=у+{х), плоскостью среза сопла л: = 0 и сечением х = Ь, где х, у — прямоугольные координаты в меридиональной плоскости. Пусть Ь — время, р, р, ¿ — давление, плотность, удельная внутренняя энергия и чаз — модуль вектора скорости V газа, а и и V — проекции V на оси хну.

Выберем в произвольный момент времени í = t0 в области течения некоторый замкнутый контур Г, ограничивающий площадку Контур Г и площадку 5 будем считать функциями При этом их деформация во времени полностью определяется заданием

в каждой точке границы Г скорости ее смещения ы по направлению внешней нормали. Обозначим через <ох и шу проекции вектора

о» на оси х и у.

Дифференциальные уравнения, течения и соотношения на сильных разрывах эквивалентны следующей системе интегральных законов сохранения:

а

<И

сН

^риус1хс1у -+- {\р -1- щ (и — шх)]ёу — ри {V — ^у)йх\ = 0;

5 г

\ [ Ръу ах dy + фу {р<1> (и — Шх) йу - \р + Р - ю,)] йх] = аг г

= \\pdxdy-,

'5

[ [ р (2е + т2)у йх йу + фу {[2ри + р(2е + т2) (и - «>,)] йу -

к г

- [2pv 4- р (2е + (V - (0^)] с1х) = 0.

А.

В плоскости л;, у интегрирование вдоль Г осуществляется в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. К системе (1.1) следует добавить уравнение состояния, которое для совершенного газа с постоянным показателем адиабаты х имеет вид

е = РЦ% — 1)Р.

В (1.1) и (1.2) все переменные удобно считать безразмерными. Если /*, р* и Шц. — некоторые характерные параметры «адачи, имеющие размерности длины, плотности и скорости, то приведение к безразмерному виду достигается отнесением длин к Iскоростей — к характерной скорости времени — к /*/«'*, плотности — к характерному значению р*, давления — к произведению и,

наконец, внутренней энергии — к

В выходном сечении сопла поток предполагается сверхзвуковым и, следовательно, при л: == О все параметры течения известны. Граница струи у=у+(х) определяется заданным постоянным давлением ре, равным давлению в окружающем пространстве. При _у = 0 выполняется условие симметрии течения. Когда ре^> ра> где ра — давление на срезе сопла, то в осесимметричной струе обычно реализуется система из двух косых скачков (падающего и отраженного) и прямого центрального скачка (диска Маха). За диском Маха возникает зона, в которой газ разгоняется от дозвуковых до сверхзвуковых скоростей, подобно течению в сопле Лаваля. Правая граница рассчитываемой области * = /. выбирается за дозвуковой зоной так, чтобы на ней всегда имело место сверхзвуковое течение. В этом случае никаких дополнительных условий при х — Ь задавать не требуется. В качестве начальных условий при ¿ — О брались параметры стационарного течения и граница струи у+{х), отвечающие расчетной струе, когда давление окружающей среды приравнивалось давлению на срезе сопла ра. При ¿>0 в силу условия ре~> ра развивался нестационарный процесс, в результате которого поток релаксировал к другому стационарному состоянию, отвечающему значению давления в затопленном пространстве ре.

Метод численного решения, используемый в работе, основан на разностной схеме, предложенной в работах [8] и [9]. Так как схема, разностная сетка, индексация величин и порядок вычислений подробно описаны в работах [8]—[10], то остановимся лишь на особенностях, связанных с рассматриваемой задачей и, в частности, с использованием подвижной сетки.

Область течения в плоскости х, у разбивается в продольном и в поперечном направлениях на N и К слоев соответственно, причем предполагается, что разностная сетка является подвижной только в направлении оси у. Скорость сиу движения „продольных" участков границ ячеек для каждой вертикальной полосы определяется движением границы струи, т. е. верхнего участка границы соответствующей ячейки (с номером к = К), которая находится следующим образом. По заданному давлению на границе Р(п~\)1% к — Ре из формул, приведенных в работах [8] и [9], определяется скорость контактной поверхности, которая совпадает в данном случае с границей струи, и, следовательно, ее проекция на ось у, т. е. «у Смещение середины границы с номером (га — 1)/2, К за время т в направлении оси у обозначим через Д(„_1)/2, лг, где п = ..N. Тогда значение Д(П-\-)П,к определяется как произведение соответствующей скорости смещения а>у на величину шага по времени т. После определения Д(Л-1),2, к для значений п=\,. .., N при помощи линейной интерполяции определяется новое положение граничных узлов разностной сетки с номерами п, К, где п = 1,..., N — 1, в момент Ь + т. Положение узла сетки с номером О, К, который лежит на линии х = 0 и отвечает концевой точке стенки сопла, не изменяется во времени. Перемещение узла с

номером Л/, Л' вдоль линии х = Ь принимается равным смещению примыкающего к этому узлу отрезка границы, т. е. \ы-щ2,к-В случае использованного в работе равномерного разбиения области течения на расчетные ячейки в направлении оси у смещение боковой границы с номером (га — 1)/2, к равно йД(л_1)/2, к! К. Таким образом определяются новое положение разностной сетки в момент времени ¿ + т и скорости смещения ее боковых границ в интервале от Ь до I х.

Фиг. 1 Фиг. 2

2. Ниже приводятся некоторые результаты расчета распространения перерасширенных струй в затопленном пространстве. Поток на срезе сопла предполагался параллельным оси х и равномерным с числом М= 1,7. Отношение удельных теплоемкостей х —1,4. За характерный размер /,. принимался радиус выходного сечения сопла, а значения р* и та/* равнялись критическим параметрам газа при х = 0. Правая граница области течения была расположена при х = Ь = \,2. Число ячеек разностной сетки, если не оговорено особо, равнялось А^Х К = 20 X 20 = 400.

Первые три фигуры отвечаютзначению нерасчетности ра1 /?е=0,5. На фиг. 1 приведена граница струи (жирная линия) и линии постоянства числа Маха (цифры над кривыми) в меридиональном сечении сопла х,у. Срезу сопла отвечает отрезок [0, 1] оси у. Для сравнения штриховой линией нанесена кривая М = 1,0, полученная при четырехкратном уменьшении числа расчетных ячеек, т. е. при _МХ к = 10 х ю = 100. Интенсивный диск Маха расположен примерно при X = 0,35. Линии постоянства давления, отнесенного к давлению торможения, даны на фиг. 2. Штриховые линии отвечают расчету, выполненному в работе [6] по разностной схеме [7] при МХ К — 40 X 40= 1600. Согласование результатов, полученных различными численными методами, представляется удовлетворительным.

Распределение параметров по оси симметрии в окрестности диска Маха близко к изменению параметров в прямом скачке уплотнения. На фиг.З приведено изменение давления, отнесенного к давлению на срезе сопла, по оси струи в окрестности диска ММа. Сплошная линия — результат настоящей работы, штриховая — расчет, выполненный в работе [6], жирная сплошная линия—точное решение для прямого скачка уплотнения. Положение прямого

скачка, отвечающее точному рещению, выбрано в окрестности максимальных градиентов давления (сплошная и штриховая линии на фиг. 3). Схема С. К. Годунова дает меньшее „размазывание" прямого скачка уплотнения, чем схема В. Ф. Ноха [7], использующая

искусственную вязкость для сквозного счета ударных волн.

/ /

/ 1/ ' / /

/ у и

/ / у

✓ /

0,25

0,30 OJS

Фиг. 3

OJO

Линии М = const в меридиональном сечении при pa¡pe = 0,6 приведены на фиг. 4. В этом случае диск Маха расположен при и его величина, а также интенсивность меньше, чем в предыдущем примере. Штриховыми линиями на фиг. 4 показаны падающий косой скачок и диск Маха, полученные по экспериментальным зависимостям из работы [11]. Сравнение распределений числа М вдоль оси струи для pa¡ре — 0,5 и 0,6 представлено на фиг. 5 сплошной и штриховой линиями соответственно.

Как показал опыт расчетов, устойчивый счет границы струи в данном случае обеспечивается схемной вязкостью использованной конечноразностной аппроксимации без привлечения каких-либо дополнительных механизмов демпфирования.

Расчеты выполнялись на ЭЦВМ М-220. Программа составлена на языке „АЛГОЛ"-60, причем время счета одного варианта до выхода параметров на стационарные значения при 400 расчетных ячейках равнялось 2—3 ч.

Авторы признательны А. Н. Крайко за полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аверенкова Г. И., А ш р а т о в Э. А., Волконская Т. Г., Дьяконов Ю. А., Егорова Н. И., Мельников Д. А., Р о с л я к о в Г. С., Ус ков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа. Ч. 1. М„ Изд. ВЦ МГУ, 1970.

2. Иванов М. Я., Крайко А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.", т. 12, № 2, 1972.

3. И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н., Назаров В. П. Некоторые результаты численного исследования нерасчетных пространственных струй идеального газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 4.

4. Ашратов Э. А. Расчет осесимметричной струи, вытекающей из сопла, при давлении в струе, меньшем давления в окружающей среде. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 1.

5. Аверенкова Г. И., Ашратов Э. А., Волконская Т. Г. Исследование параметров осесимметричных недорасширенных струй идеального газа. В сб. „Вычислительные методы и программирование (численные методы в механике сплошных сред)", вып. XV. М., Изд. ВЦ МГУ, 1970.

6. Васенин И. M., Р ы ч к о в А. Д. Численный расчет осесимметричной сверхзвуковой перерасширенной струи идеального газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 5.

7. H о х В. Ф. СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжевый метод для расчета нестационарных двумерных задач. В сб. „Вычислительные методы в гидродинамике", М. „Мир"., 1967.

8. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., 1959, т. 47(89), вып. 3.

9. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Журн. вычисл. матем. и матем. физ.", т. 1, № 6, 1961.

10. Иванов М. Я., К р а й к о А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5.

11. Love Е. S. and oih. Experimental and theoretical studies of axlsymmetric free jets. NASA Technical Report R-6, 1959.

Рукопись поступила 20/X 1972 г.