СПОСОБ ДИАГНОСТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И АНАЛИЗА ПРОГИБОВ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ
METHOD OF DIAGNOSTIC REPRESENTATION AND ANALYSIS OF CANTILEVER BEAM FLEXURES

Изобретение относится к области материаловедения и может использоваться для исследования влияния размерного фактора на модуль упругости материала консольной балки.
max
Известна типовая картина прогибов y=f(x) (где x - абсцисса контрольного сечения (КС)) консольной балки l, нагруженной на консоли сосредоточенной силой P (фиг.1): в сечении заделки, принятом за начало координат, т.е. при x=0, прогиб равен нулю, а максимальный прогиб y наблюдается в точке приложения силы при x=l (Беляев Н.М. Сопротивление материалов, М.: 1953, с.355, фиг.282, ф. (18.13, 18.14).
Известна также типовая картина изменения изгибающего момента и распределения напряжений (а значит и деформаций) в материале балки: в сечении заделки, при x=0, момент М и напряжения (и деформации!) изгиба максимальны, а в точке приложения силы, при x=l равны нулю (Беляев Н.М. Сопротивление материалов, М.: 1953, с.355, фиг.282, ф. (18.13, 18.14).
Таким образом, типовая картина наблюдаемых прогибов диаметрально противоположна картине напряжений и деформаций в материале балки и (в принципе) не годится для технического анализа связей межу ними.
Кроме того, касательные напряжения и деформации рассматриваются лишь от поперечной силы и ими, обычно, пренебрегают ввиду их малости, что противоречит известному положению о наличии максимальных касательных напряжений даже при простом одноосном растяжении - сжатии на наклонных площадках под углом 45° (Александров А.В. Сопротивление материалов. М: Высш. шк. 2009, с.56).
Последствия указанных недостатков наблюдаются и в структуре, и в техническом противоречии общеизвестной формуле (1), которая сотни лет вполне успешно применяется для описания наблюдаемых прогибов:
где y - величина прогиба в контрольных сечениях (КС) балки;
M=P·l - изгибающий момент в сечении заделки;
x - расстояние (абсцисса) КС от сечения заделки (начала отсчета);
EJ - жесткость сечения.
ф
м
Противоречие состоит в том, что фактическая (y по формуле 2) величина максимального прогиба на консоли вдвое больше той, которую может создать изгибающий момент Mp=Р·x от силы Р (y по формуле 3):
<mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><msub><mtext>y</mtext><mtext>Ф</mtext></msub></mrow><mrow><msub><mtext>y</mtext><mrow><mtext>Mp</mtext></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mtext>2</mtext></mrow>
т.е.
.
p
p
Формально эта нестыковка прогибов относится за счет изгибающего момента заделки М, но он в точности равен моменту M от силы Р и уменьшается до нуля в точке приложения силы в точном соответствии с изменением M.
А это значит, что наблюдаемая картина прогибов, помимо составляющей от нормальных напряжений при изгибе, содержит другие составляющие, комплексно учитываемые в формуле (1), но не раскрываемые ею.
Такими другими составляющими могут быть:
1. Свободные перемещения конца балки при повороте КС при изгибе. Например: при повороте одного лишь сечения заделки на некоторый угол А, конец недеформированной балки переместится на величину Δy=А·l (фиг.2).
2. Дополнительный изгиб балки за счет максимальных касательных напряжений, действующих, как известно, одновременно с нормальными даже при простом одноосном растяжении-сжатии. Причем именно они приводят к разрушению испытуемых образцов, - текучести пластичных и скалыванию хрупких под углом 45° к линии растяжения-сжатия.
Отмечается диаметральная противоположность наблюдаемой картины прогибов в типовой системе координат с началом в сечении заделки с картиной изгибающего момента, напряжений и деформаций в материале контрольных сечений (КС) балки, ее принципиальная непригодность для технического анализа взаимосвязи прогибов с напряжениями и деформациями в КС от изгибающего момента; отмечается игнорирование связи нормальных напряжений с максимальными касательными, действующими даже при простом одноосном растяжении и сжатии образцов.
Технический результат
Возможность экспериментального исследования зависимости составляющих прогиба от размерных характеристик балки и показателей упругости ее материала (для расшифровки «размерного фактора»), возможность согласования величины прогиба с напряжениями и деформациями в КС балки, возможность разложения преобразованных прогибов в КС на сумму составляющих, пропорциональных напряжениям и деформациям в КС.
Технический результат достигается тем, что способ диагностического представления прогибов консольной балки включает типовое измерение и графическое представление прогибов консольной балки с началом координат в сечении заделки, согласно изобретению начало координат переносится в точку приложения силы и перемещается вместе с ней; максимальная стрела прогиба с обратным знаком переносится в сечение заделки, ось абсцисс направляется от нового начала координат в новую точку максимального прогиба, и новые значения прогибов в промежуточных контрольных сечениях отсчитываются от новой оси абсцисс до линии прогиба балки, при этом в число причин прогибов включаются максимальные касательные напряжения на наклонных площадках.
max
1
1
На фиг.1 показана типовая картина прогибов y=f(x) консольной балки l, нагруженной на консоли сосредоточенной силой P в сечении заделки, принятом за начало координат, т.е. при x=0 прогиб равен нулю, а максимальный прогиб y наблюдается в точке приложения силы при x=l; на фиг.2 показано свободное перемещение конца балки на величину Δy=А·l при повороте сечения заделки на угол A; на фиг.3 показано преобразование наблюдаемой картины прогибов в диагностическую путем переноса начала координат 0 в точку приложения силы, а максимального прогиба с обратным знаком - в сечение заделки с направлением новой оси абсцисс от т. 0 к новой точке максимального прогиба с соответствующим пересчетом прогибов в промежуточных контрольных сечениях (от новой оси абсцисс до линии прогиба балки).
Диагностический анализ преобразованных значений прогибов включает математическое описание линии прогиба в новой системе координат при помощи полинома третьей степени, элементы полинома соответствуют прогибам от нормальных и касательных напряжений в КС балки при ее изгибе и свободному перемещению КС за счет угла их поворота относительно сечения заделки, что делает их пригодными для исследования их зависимости от размерных характеристик балки и показателей упругости ее материала (т.е. для расшифровки влияния размерного фактора на модуль упругости).
<mrow><msubsup><mtext>y</mtext><mtext>i</mtext><mtext>'</mtext></msubsup></mrow>
1
В промежуточных КС величина прогибов
определится как расстояние от новой оси абсцисс 0Z до линии прогибов балки:
поворота относительно сечения заделки.
1i
Где Δy - поправка на уклон новой оси абсцисс:
2i
Δy - поправка на положение изогнутой оси:
i
i
x, y - обозначение абсциссы и прогибов в старой системе координат.
2. Исследовать зависимость преобразованных значений прогибов y′=f(z) от размерных характеристик балки и показателей упругости ее материала при помощи уравнения регрессии в виде полинома третьей степени (7), элементы которого представляют собой разложение суммарного прогиба в КС балки на составляющие, соответствующие напряженному состоянию материала балки в КС:
3
- P·C·z - соответствует прогибу от нормальных напряжений при изгибе по ф. (3);
2
- Р·В·z - соответствует прогибу от касательных напряжений при изгибе;
- P·A·z - соответствует свободному перемещению КС за счет угла их.
1. Возможность согласования величины прогибов с напряжениями и деформациями в КС балки.
2. Возможность разложения преобразованных прогибов в КС на сумму составляющих, пропорциональных напряжениям и деформациям в КС.
3. Возможность экспериментального исследования зависимости составляющих прогиба от размерных характеристик балки и показателей упругости ее материала (для расшифровки «размерного фактора»).