Нестандартные задачи на уроках геометрии и способы их решения

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

NON-STANDARD PROBLEMS ON GEOMETRY LESSONS AND THEIR SOLUTIONS

И. С. Малинина

Статья посвящена нестандартным задачам по геометрии. Автор рассматривает и анализирует трактовки понятия «нестандартная задача». В статье отмечено, что для решения нестандартных задач используются эвристические правила. Замечено, что данная проблема мало изучена и требует дальнейшего исследования. Автором предложена классификация нестандартных задач по теме «Подобие».

Ключевые слова: нестандартная задача, эвристические правила, подобие.

Мы часто на уроках математики и особенно геометрии слышим: нестандартная задача, нестандартная ситуация, нестандартный подход, нестандартное решение. У разных авторов свой подход к трактовке этих понятий.

Ю. М. Колягин пишет: «Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий» [1, с. 26]. Это очень простая трактовка нестандартной задачи, она мало что дает, но, с другой стороны, она дает возможность понять, как следует воспринимать нестандартную задачу.

Б. А. Кордемский использует другое название для нестандартных задач - внеучебные математические задачи. Он писал, что это «совокупность своеобразных задач, дополнительных к тем, которые учащиеся решают в процессе систематического изучения математики» [2, с. 87]. Также удобная трактовка, но мало что объясняющая для понимания сущности нестандартной задачи.

И. Ф. Шарыгин в предисловии к своей книге [3] писал: «...в книге есть задачи и более высокого уровня, назовем этот уровень творческим». Эти задачи он называет задачи-проблемы.

Г. А. Балл в книге «Теория учебных задач» для обозначения нестандартных задач пользуется термином «нерутинные задачи». «Мы называем родовую отнесенную задачу рутинной (соответственно квазирутинной), если решатель 0 обладает представленным в той или иной форме алгоритмом (соответственно квазиалгоритмом) решения этой задачи. Прочие родовые отнесенные задачи мы называем нерутинными» [4, с. 59]. С одной стороны, эта трактовка заслуживает внимания, поскольку она первая, в которой говорится о сущности нестандартной задачи, однако отметим, что здесь же автор пытается выявить особенности нестандартной задачи, с которыми, видимо, следует еще достаточно долго разбираться.

I. S. Malinina

This article is devoted to non-standard problems in geometry. The author considers and analyzes the interpretation of the concept "non-standard problem". It is noted in the article that for solving non-standard problems heuristic rules are used. It is noticed that this problem has not been studied enough and further research is necessary. The author offered a classification of non-standard problems in the topic "Similarity".

Keywords: non-standard problem, heuristic rules, similarity.

Л. М. Лоповок делит задачи по роли, которую они играют, на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные. «Проблемная задача характерна тем, что алгоритм ее решения до начала решения нам неизвестен, трудно даже установить, достаточно ли наших знаний и умений для выполнения задания. Главная задача -открыть способ решения и убедиться в его пригодности. Следует иметь в виду, что определить, является ли данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи» [5, с. 4]. В этой цитате Л. М. Лоповока важно подчеркнуть некоторые психологические особенности, связанные с решением нестандартной задачи, которыми мы будем в дальнейшем пользоваться. Эта цитата чрезвычайно важна для нашего исследования, поскольку она первая выдвигает на передний план индивидуальные особенности ученика. Так как рассуждения о том, знает ученик алгоритм решения задачи или не знает - вещь условная. Мы в дальнейшем будем говорить о том, как следует воспитывать алгоритмическую культуру учащихся.

A. А. Столяр употребляет еще один термин. Он писал: «Когда речь идет об обучении решению нетиповых задач, требующих творческого подхода, когда усвоенные алгоритмы неприменимы (не приводят к решению задачи), обучение должно ориентировать учащихся на поиск решения с помощью некоторых полезных рекомендаций, которые хотя и не носят алгоритмический характер и не гарантируют успех поиска, все же способствуют ему» [6, с. 205]. В этой трактовке тоже есть полезное зерно, связанное с психологическими особенностями нетиповых задач.

B. И. Рыжик вводит понятие «хорошая задача». Это та задача, которая нравится. Главным автор считает организацию исследовательской деятельности ученика посредством задач. В таких задачах он выделяет: прогнозирова-

ние (предвидение) результатов, опровержение гипотез, планирование исполнения, исполнение, коррекция, контроль, оценка, использование и применение, развитие темы. Задача тем лучше, чем больше из приведенных десяти моментов отражено в решении. Кроме того, задача становится еще лучше, считает В. И. Рыжик, если она имеет красивое решение, или содержит интересную идею, или знакомит с важным результатом [7, с. 171]. В данном случае мы привели описание высказывания В. И. Рыжика, так как цитата была бы очень большая. Но вместе с тем мы получили трактовку, которая позволит нам приступить к исследованию интересующей нас проблемы. Так как в этой трактовке действительно содержатся очень интересные требования к так называемым «хорошим» задачам, над которыми мы будем работать.

Е. В. Галкин пишет, что «самое главное: для хорошей нестандартной задачи характерно отнюдь не лежащее на поверхности, необычное, зачастую неожиданное решение. Автор относит к нестандартным задачам и задачи с необычной формулировкой, порой и довольно простым решением, но требующие значительных умственных усилий, чтобы понять их условие» [8, с. 4].

Мы специально рассмотрели достаточно много трактовок понятия «нестандартная задача» и немного прокомментировали эти трактовки, так как в литературе по теории и методике обучения математике до сих пор нет такой трактовки, которая бы действительно раскрывала сущность таких задач.

Трактовка нестандартной задачи - это важный вопрос, но есть еще более важный и закрытый вопрос: как решать нестандартные задачи. Следует отметить, что есть еще один популярный вопрос: можно ли всех учащихся научить решать нестандартные задачи?

Проведем кратко анализ некоторых фундаментальных публикаций по этой проблеме.

Л. М. Фридман в своей книге [9] пишет: «...многие выдающиеся математики и педагоги нашли ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач. Эти указания называют эвристическими правилами» [9, с. 52].

Л. М. Фридман приводит рекомендации, которым необходимо следовать при поиске решения нестандартной математической задачи:

«1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит. <...>

3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:

а) вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);

б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);

в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).

4. Для того чтобы легче было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи - ее схематическую запись.

5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач» [9, с. 78]. С описанными выше рекомендациями по поиску решения нестандартной задачи мы будем детально разбираться в нашем исследовании.

Ю. М. Колягин пишет в книге [10]: «.нестандартность задачи во многом зависит от того, решалась ли ранее вами задача, похожая на данную, а не от самого решения задачи. Для успешного решения нестандартной задачи необходимо, прежде всего, уметь думать, догадываться. Но этого мало. Нужны, конечно, и знания, и опыт в решении необычных задач; полезно владеть и определенными общими подходами к решению» [10, с. 6-7]. Прекрасное высказывание академика Ю. М. Колягина, вместе с тем, чтобы им воспользоваться, необходимо уметь использовать такие удивительные действия, как уметь думать и догадываться. Здесь, в подтверждение вышесказанной мысли, приведем цитату известного математика Д. Пойа: «.математика в процессе создания напоминает любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе создания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем ее докажете; вы должны догадаться об идее доказательства, прежде чем проведете его в деталях. Вы должны сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; вы должны пробовать и снова пробовать. Результат творческой работы математика - доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство открывается с помощью правдоподобного рассуждения, с помощью догадки» [11, с. 15].

Нам представляется, что ответы на многие вопросы, поставленные в предыдущих цитатах, можно найти у психологов. Вот что по этому поводу пишет известный психолог З. И. Калмыкова: «Эвристические приемы нацеливают учащихся на использование мыслительного эксперимента, который облегчает постановку и предварительную проверку гипотез, что в конечном итоге приводит к решению задачи. Использование эвристических приемов ведет к появлению новых признаков, свойств объектов, элементы задачи включаются в новые связи, т. е. используется оптимальный для творческого процесса «анализ через синтез» [12, с. 182]. В. А. Гусев в своей книге [13] много пишет о приемах мыслительной деятельности и приемах «анализ через синтез». Мы в нашем исследовании также занимаемся изучением возможностей взаимосвязи приемов мыслительной деятельности и приемов решения нестандартных задач.

Мы в нашей работе используем результаты исследований профессора И. М. Смирновой. В своей книге [14] она пишет: «Решением нестандартных задач следует заниматься с самого начала изучения геометрии и до его завершения, что будет способствовать развитию логического мышления, формированию геометрических представлений, расширению и углублению знаний по геометрии» [14, с. 3].

В качестве иллюстрации всего того, о чем сказано выше, и для описания той конкретной методической работы, которую мы сейчас проводим, приведем нашу клас-

сификацию нестандартных задач, связанных с темой «Подобие». Мы рассматривали систему задач по теме и пытались проделать две вещи:

1) чисто внешне отличить нестандартные задачи от стандартных;

2) попытаться классифицировать те нестандартные задачи, которые мы выделили.

Причем задачи, в которых написано: «даны два подобных треугольника», нас не устраивают, по своей постановке они являются стандартными, поэтому нам будут интересны следующие виды задач по теме «подобие».

I. Задачи, в которых есть фигура, на которой, например, изображены различные треугольники, и надо увидеть среди этих треугольников подобные, при этом иногда это очевидно, а иногда - это проблема.

II. Задачи, в которых нет подобных треугольников, но их нужно построить, и для того, чтобы их построить, нужно выдвинуть, решить какие-либо проблемы.

III. Практические задачи на определение расстояния между двумя точками, которые решаются с использованием подобных треугольников, причем их нужно либо увидеть среди данных на рисунке треугольников, либо построить.

IV. Задачи, в которых необходимо либо увидеть, либо построить подобные треугольники для определения равенства или неравенства каких-либо отрезков.

V. Задачи, для решения которых необходимо использовать нестандартные признаки подобия треугольников, такие как:

Задача. Доказать, что если

/Д-/Д _AB - AC + CB ZA-ZAl и AjBJ - AJCJ + C1B1'

то треугольники АВС и А1В1С1 подобны.

Существует большой раздел - использование метода подобия при решении задач на построение.

VI. Задачи на построение какой-либо фигуры по данным отношениям, свойствам подобных фигур.

VII. Задачи на построение подобных фигур.

VIII. Задачи на нахождение соотношений между длинами различных отрезков с использованием различных методов подобия.

Классификация, приведенная выше, подсказывает способ решения задач.

Безусловно, мы затронули очень сложную и важную проблему. Что же удалось сделать? Удалось, например, отличить нестандартные задачи от стандартных, по мере возможности, говорить о методах решения нестандарт-

ных задач. А главное, научиться классифицировать задачи по той или иной теме, как мы это сделали по теме «Подобие». Представляется, что все это вместе позволит говорить о том, что мы разрабатываем методику решения нестандартных геометрических задач.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колягин Ю. М. Учебные математические задания творческого характера // Роль и место задач в обучении математике / под ред. Ю. М. Коляги-на. М., 1973. Вып. 2. С. 5-19.

2. Кордемский Б. А. Очерки о математических задачах на смекалку. М.: Учпедгиз, 1958. 116 с.

3. Шарыгин И. Ф. Геометрия: От учебной задачи к творческой: учеб. пособие для 9-11 классов. М.: Дрофа, 1996. 400 с.

4. Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. М.: Педагогика, 1990. 184 с.

5. Лоповок Л. М. Тысяча проблемных задач по математике: кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1995. 239 с.

6. Столяр А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск: Вышэйшая школа, 1969. 368 с.

7. Рыжик В. И. 25000 уроков математики: кн. для учителя. М.: Просвещение, 1993. 240 с.

8. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логического характера: кн. для учащихся 5-11 классов. М.: Просвещение: Учеб. литература, 1996. 160 с.

9. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи: кн. для старш. классов сред. шк. 3-е изд., дораб. М.: Просвещение, 1989. 192 с.

10. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи: пособие для учащихся 7-8 классов. М.: Просвещение, 1980. 96 с.

11. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. 464 с.

12. Калмыкова З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика, 1981. 200 с.

13. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Вербум-М, Академия, 2003. 432 с.

14. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи: учеб. пособие для 7-11 классов общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2004. 148 с.