Фундаментальные нелокальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений

Сер. 10. 2009. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.9

В. Ф. Зайцев, А. С. Ложкин

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматривается обратная задача группового анализа, в которой по заданному классу операторов строится класс уравнений, обладающих априорной симметрией этого типа.

Приведем некоторые наиболее важные определения (см., например, [1-3]). Говорят, что уравнение

допускает оператор X = £дх + гфу, если на многообразии решений уравнения (1) выполняется равенство

Допускаемый оператор часто называют (непрерывной) симметрией дифференциального уравнения. В классическом групповом анализе рассматривались локальные симметрии (почти исключительно точечные и касательные), и только в конце XX в. в практику группового анализа были введены понятия нелокальной переменной и нелокальной симметрии [3-5].

При построении условия инвариантности изначально возникли два способа. Классический алгоритм поиска допускаемых операторов предполагает решение определяющего уравнения на многообразии (2). Однако можно рассматривать инвариантность на всей плоскости. Этот второй способ ранее не использовался на практике, так как не были разработаны соответствующие алгоритмы поиска. Действительно, если при решении уравнения на многообразии мы заменяем старшую производную на правую часть уравнения, после чего расщепляем определяющее уравнение по степеням имеющихся «независимых переменных» (например, старших производных) до переопределенной системы, то при решении уравнения на всей плоскости «независимые переменные» отсутствуют, и расщепление невозможно.

Зайцев Валентин Федорович — профессор кафедры математического анализа факультета математики Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Количество опубликованных работ: около 150. Научное направление: групповой анализ. E-mail: valentin_zaitsev@mail.ru.

Ложкин Александр Сергеевич — аспирант кафедры математического анализа факультета математики Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Количество опубликованных работ: 4. Научное направление: групповой анализ. E-mail: AlexL98@mail.ru.

© В. Ф. Зайцев, А. С. Ложкин, 2009

[y(n) = F ]

0.

Здесь С, п - гладкие функции, зависящие от переменных x,y и от производных y

любого порядка вплоть до бесконечного, X - n-е продолжение оператора

X = Сдх + пду + П1 ду> + ... + Ппду(п).

Тем не менее развитие второго способа поиска симметрий доставляет исследователю ряд важных преимуществ. Ранее нами [6] было введено понятие фундаментальной симметрии. Для упрощения выкладок будем рассматривать уравнение второго порядка

Н = у" - ^

хотя все методы и результаты легко распространяются на обыкновенные дифферен-

циальные уравнения произвольного порядка.

Фундаментальной симметрией уравнения второго порядка Н будем называть оператор

X = Фду,

координата Ф которого является решением однородного определяющего уравнения

дН ,,дН ц дН п

Ф^ + Фау+Фа7 = °'

где {') = Вх = + у'щ + у"+ • • • - символ полной производной.

Для удобства оператор (4) записан в канонической форме - у любого канонического оператора универсальный инвариант (инвариант нулевого порядка) известен - 1о = х, а любое продолжение вычисляется операцией полного дифференцирования

П й х = Т.о^Ф-

х к=0 х ду{к)'

Уравнение (5) можно рассматривать как линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в полных производных относительно функции Ф(х,у,у', ...). Его свойства во многом аналогичны свойствам линейных дифференциальных уравнений относительно функции одной переменной у(х). В частности, число линейно-независимых решений равно порядку уравнения (в данном случае - двум), что можно доказать, например, разложением решения в формальный степенной ряд. Вместе с тем общеизвестно, что число обычных симметрий даже одного типа может быть больше двух. Так, согласно теореме Ли, уравнение второго порядка может иметь

1, 2, 3 или 8 точечных симметрий (или не иметь их вовсе).

Классическое условие инвариантности (2) на многообразии решений уравнения (3) получается из (5) добавлением правой части

Ф™ + Ф'ЁК + Ф»ЁК = уАкВ*н

ду ду’ ду"

где Ак - произвольные функции всех переменных продолженного пространства. Множество решений уравнения (6) содержит все симметрии уравнения (5). Это множество можно построить по одной фундаментальной симметрии [7], используя аналог метода Лагранжа для уравнений в полных производных.

До последнего времени оставался открытым вопрос о поиске экспоненциальных нелокальных симметрий, допускаемых дифференциальными уравнениями. Под экспоненциальной нелокальной симметрией будем понимать симметрию, заданную оператором (4), координата которого Ф представима в следующем виде:

Ф = п

причем интеграл здесь - полный (П-1). Экспоненциальная симметрия всегда имеет первый дифференциальный инвариант, следовательно, уравнение, ее допускающее, может быть факторизовано [8]. Если же мы найдем фундаментальную экспоненциальную симметрию, то тем самым определим и все остальные симметрии.

Будем рассматривать решение обратной задачи, т. е. проблему поиска функции Г(х,у,у') - правой части уравнения (3), при которой это уравнение допускает оператор с координатой (7). Функции п и С считаются известными, но могут быть заданы произвольным образом. Потому решением обратной задачи является класс уравнений с функциональным произволом.

Из определения фундаментальной симметрии следует, что Ф и Н (а следовательно, и Г) связаны билинейным соотношением - условием инвариантности (5). Подставляя в это выражение формулы для входящих в него величин (3), (7), получим определяющее соотношение в виде

Расщепляя его по у11, получим щ + 'г/Су> = 0, откуда следует £ = —^у' + сг(х,у). Нетрудно видеть, что при данном условии подынтегральное выражение в (7) можно преобразовать так, что зависимость С от производной исчезает:

Поэтому можно изначально положить, не умаляя общности, п = 1, С = С(х, у), т. е. рассматривать оператор (4) при

где интеграл - частный (!), приводит к простейшему обыкновенному дифференциальному уравнению

Пхх + 2Пху у' + Пуу (у')2 + Пу у" + 2(Пх + Пу у')С + п(£х + СУ у' + СУ> у")+

+ пС -

Ф = ехр / С(х,у) Лх .

Подстановка

общее решение которого

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема. Уравнение второго порядка (3) имеет фундаментальную экспоненциальную нелокальную симметрию, если его правая часть представима в виде

где П - произвольная функция указанного аргумента; С - произвольная функция переменных х и у.

Как уже указывалось, экспоненциальный нелокальный оператор всегда имеет дифференциальный инвариант первого порядка, который в данном случае легко найти. Применяя первую теорему о факторизации [8], получим, что уравнение (3) с правой частью (9) факторизуется до системы

в которой первое уравнение всегда интегрируется в квадратурах.

Заметим, что правая часть (9) определяет классы нелинейных уравнений, так как Zy = 0 (в противном случае симметрия не является нелокальной).

Пример 1. В простейшем случае i = a = const второе уравнение системы (10) является первым интегралом исходного уравнения

Если, например, С = ху, а = 0, то это уравнение допускает точечную группу (группу растяжения).

Пример 2. Если П(и) = и, то при С = ху исходное уравнение

вообще не допускает никакой точечной группы, т. е. порядок этого уравнения не может быть понижен методами классического группового анализа. Тем не менее по вышеприведенной теореме оно факторизуется до системы

из первого уравнения которой следует и = С_ех. Потому порядок исходного уравнения понижается на единицу, в результате получаем уравнение первого порядка

Заметим, что оно является уравнением Риккати, поэтому исходное уравнение линеаризуется.

у" = (ху+ 1)у' - ^(х - 1 )у2

x

У2 + С1ЄХ.

у

2

Таким образом, найден широкий класс уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, не прогнозируемое классическим групповым анализом. Можно выделить подклассы, интегрируемые в квадратурах или линеаризуемые с помощью теорем о факторизации. Для любого уравнения указанного класса могут быть определены все его симметрии.

Найденные интегрируемые классы уравнений можно использовать в качестве готовых точных моделей различных явлений и процессов, а также промежуточных моделей, отражающих лишь часть свойств исследуемого предмета, но пригодных для дальнейшего применения численных алгоритмов. Наконец, некоторые полученные уравнения могут служить эталонными для тестирования приближенных методов.

Summary

Zaitsev V. F., Lozhkin A. S. Fundamental nonlocal symmetries of ordinary differential equations.

We solve the inverse problem of group analysis for exponential nonlocal operators provided that the corresponding symmetry is fundamental. Some the second order equations were factorized by these operators. The main problem of group analysis is a search for continuous symmetries of differential equations, which allows to lower an order an equation, and in some cases integrates it in a closed analytical form. We consider nonlocal exponential symmetries of the second order equations, the condition of invariance performed on all space, and not just the variety of solutions of this equation. Such symmetries are called by the authors fundamentals. We found wide classes of equations (with two arbitrary functions of two arguments) with such symmetry and allowing factorization to a system of two first order equations, one of which is independently solved. We show how to use one such symmetry to find all the symmetries of the study equation. All of the theorems are proved and illustrated by examples.

Key words: group analysis, exponential nonlocal operator, fundamental symmetry.

Литература

1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

2. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 c.

3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / Пер. с англ. И. Г. Щербака; Под ред. А. Б. Шабата. М.: Мир, 1989. 640 с.

4. Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1971. Вып. 7. 48 с. (Сер. Новое в жизни, науке и технике. «Математика, кибернетика»).

5. Зайцев В. Ф. О современном групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Междунар. конференции «Дифференциальные уравнения и их применения». СПб: Изд-во С.-Петерб. гос. техн. ун-та, 1998. С. 137-151.

6. Зайцев В. Ф., Ложкин А. С. О разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Мат. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 24. Казань: Изд-во Казанск. мат. об-ва. 2004. С. 48-53.

7. Ложкин А. С. Фундаментальные симметрии уравнения 2-го порядка // Вестн. студенческого науч. об-ва РГПУ им. А. И. Герцена. СПб.: Изд-во Рос. гос. пед. ун-та им. А. И. Герцена, 2003. С. 186-189.

8. Зайцев В. Ф. Об универсальном описании симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 11. Казань: УНИПРЕСС, 2001.

С. 93-96.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 7 октября 2008 г.