Преподавание элементов математического моделирования в педагогическом вузе как средство развития профессиональных компетенций

ДК 51.045 ББК 22.1

Жаркова Юлия Сергеевна

кандидат физико-математических наук, доцент

кафедра математики и методики обучения математике Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

г. Саранск Zharkova Yulia Sergeevna Candidate of physical and mathematical sciences, Associate professor of mathematics and methods of teaching mathematics Department of Mordovian State Pedagogical Institute of Russia

Saransk

Sss-ulia@rambler.ru Преподавание элементов математического моделирования в педагогическом вузе как средство развития профессиональных компетенций 1 Teaching elements of mathematical modeling in the Pedagogical Institute a means of developing professional competencies В статье рассматривается изучение элементов математического моделирования при преподавании математических дисциплин в педагогическом институте с целью развития профессиональных компетенций учителя математики.

In this article the study of the elements of mathematical modeling in teaching mathematics at the Pedagogical Institute in order to develop professional competencies of the mathematics teacher are described.

Ключевые слова: математическая модель, вариационный принцип, оптимизация функций, производная, дифференциальное уравнение, компетенции.

Key words: a mathematical model, the variational principle, the optimization of the functions, differential equation, competence.

Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации учащихся в обучении, поскольку при преподавании математики в школе используются сюжетные задачи, описывающие реальную или приближенную к реальной ситуацию на неформально-математическом языке. В основе решения сюжетных задач лежит математическое моделирование, поэтому необходимо организовать обучение элементам моделирования уже на ранних этапах обучения.

1 Работа проводилась при поддержке Минобрнауки РФ в рамках Программы стратегического развития «Педагогические кадры для инновационной России»

Включение моделирования в содержание уроков математики необходимо для ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий модели и моделирования, овладения моделированием как методом научного познания и решения сюжетных задач. В школьном курсе математики элементы математического моделирования вводятся уже в начальных классах, объектом моделирования является задача, алгоритмом решения является схема решения задачи, программой - конкретные действия.

Применительно к обучению математике моделирование можно рассматривать как обобщенное интеллектуальное умение учащихся к реализации синтеза знаний по математике, информатике и информационным технологиям, а также по различным естественнонаучным предметам охватывающих объект исследования. Поэтому одной из задач преподавания дисциплины «Математическое моделирование» в педагогическом вузе является подготовка учителя школы, который должен готовить своих учеников (школьников) к умению применять математические знания к решению прикладных задач из различных областей науки и техники.

Преподавание дисциплины элементов математического моделирования в педагогическом вузе необходимо с целью развития профессиональных компетенций ПК-1, ПК-11.

Освоение методов дисциплины «Математическое моделирование» позволит сформировать у будущих учителей наряду с определенными ФГОС компетенциями и специальными компетенциями учителя математики и информатики междисциплинарной математико-информационной компетенции.

Педагогу-математику необходимо повышать мотивацию учащихся к изучению математики путем развития ее прикладной направленности, привить навыки активного применения математических методов и моделей, развить способности к исследовательской работе [2, с. 43]. С целью развития профессиональных компетенций студентов необходимо правильно организовать процесс обучения. «Модернизации и оптимизации учебного процесса в современ-

ных условиях подготовки бакалавров способствует и создание информационно-образовательной среды дисциплины» [6, с. 36]. «Под информационно-образовательной средой ... понимается комплекс информационных образовательных ресурсов с необходимым методическим, технологическим и техническим обеспечением, реализующий на современном уровне функции не только обучения, но и управления процессом образования и его качеством» [7, с. 6]. Математическое моделирование является творческой задачей, основанной на интегрировании методов физики, алгебры, геометрии, биологии, и требующей соответствующей информационно-образовательной среды. Примером интегрирования методов может служить логистическая модель, например, модель динамики популяции.

Рассматривая модель, описывающую изменение численности популяции при охоте или рыболовстве [6, с. 23], уравнением вида:

в ходе его решения можно установить связь между свойствами квадратичной функции и производной. При заданных коэффициентах а, Ь и с, можно исследовать правую часть уравнения (1), приравняв ее к нулю и найдя критические точки. Если квадратное уравнение имеет два корня, то можно найти критические точки правой части уравнения (1), а значит и точки экстремума. Вспомнив физический смысл производной, можно определить, когда скорость изменения численности популяции убывает или возрастает. Когда квадратное уравнение не имеет корней, скорость изменения популяции либо только возрастает (неограниченно, что не отражает действительное положение вещей), либо только убывает, то есть популяции грозит вымирание.

Если вспомнить геометрический смысл производной, то можно связать решение уравнения (1) с построением касательной в каждой точке графика искомой функции х^). Построив касательные в каждой точке, можно построить и график решения уравнения (1), не решая само уравнение.

гп

1ак, рассмотрев один модельный пример, можно актуализировать знания

тем геометрии, алгебры, физики. С другой стороны, знание основных физических законов (сохранения импульса, материи, энергии, Ньютона, Кулона) необходимы для составления математической модели какого-либо процесса. Примером модели, получаемой на основе фундаментальных законов природы, является задача о траектории всплытия подводной лодки из глубины. На основе закона сохранения можно решить задачу о радиоактивном распаде вещества, на основе закона сохранения импульса можно составить модель движения ракеты, выводящей на орбиту вокруг Земли искусственный спутник.

Вариационные (оптимизационные) принципы построения математических моделей также требуют актуализации знаний из нескольких областей, касающихся нахождения экстремума функций [5, с. 210]. Примером такой модели является задача о движении автомобиля по кратчайшему пути между двумя заданными пунктами, касаясь данной линии. Функция, описывающая длину траектории автомобиля, зависит от угла между прямой и отрезком пути. Экстремальное значение данной функции находится с помощью производной. Аналогично решается задача об отражении (преломлении) луча, который движется так, чтобы за более короткое время попасть из одной точки в другую, согласно закону отражения (преломления) света. В старших классах могут быть интересны задачи, связанные с моделированием простейших физических и биологических процессов, например, следующие.

1. Автомобиль движется из пункта А в пункт В, на пути касаясь прямой линии, необходимо определить кратчайший путь между пунктами, если известно их расположение относительной линии С.

Как вариант данной задачи можно рассматривать задачу о преломлении или отражении лучей. При решении подобных задач используется вариационный принцип, основанный на нахождении максимума или минимума функций. В данной задаче рассматривается функция, описывающая изменение времени пути и зависящая от угла между прямой и отрезком пути (угла отражения или угла преломления).

2. Подводная лодка находится на некоторой известной глубине, и в начальный момент времени начинает подниматься. Определить траекторию движения подводной лодки во время всплытия.

Подобной данной является задача о падении камня, брошенного с высоты. В данной задаче рассматривается функция, описывающая изменение координат лодки, относительно ее начального положения, причем производная координаты по времени является скоростью движения, а производная скорости по времени является ускорением движения тела.

3. Ракета движется с поверхности Земли, определить ее скорость, если известна масса ракеты и скорость истечения топливных газов.

Данная задача решается на основе закона сохранения импульса системы: ракета - топливные газы. За счет истечения топливных газов происходит уменьшение массы ракеты и увеличение ее скорости.

4. В сосуде объема N л содержится воздушная смесь (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд втекает N / 10 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 95 % азота?

5. Численность популяции изменяется с течением времени, определить закон изменения численности, если известен ее теоретический максимум и начальная численность.

Моделью изменения численности популяции является дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида:

где п - численность популяции в момент времени Г,

:<('. - коэффициенты рождаемости и смертности.

Решение уравнения описывается следующей формулой:

Если проанализировать формулу (3), описывающую изменение численности популяции, то можно увидеть, что численность популяции не изменяется

при С£ = уменьшается с течением времени до 0, при С£ < и стремится к постоянному числу (теоретическому максимуму) при & >

Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения математикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся, их математического, психологического и общего развития.

Учащимся средней школы будет интересен и доступен такой материал, как модели в экологии, модель внутривидовой конкуренции, логистическая модель межвидовой конкуренции, динамика численности популяций хищника и жертвы, а также некоторые модели экономических и социологических процессов.

Некоторые дифференциальные уравнения нельзя решить аналитическим методом, тогда для получения графика решения уравнения можно использовать теорию качественного анализа дифференциальных уравнений. Также школьникам и студентам будут интересны основы качественного анализа дифференциальных уравнений, основанный на анализе правой части дифференциального уравнения и построении поля касательных.

Что касается анализа правой части уравнения, подобного уравнению (1), то правую часть можно рассматривать как производную искомой функции (решения уравнения) и в то же время как скорость изменения функции, описывающий рассматриваемый процесс.

Для построения же поля касательных необходимо знать геометрический смысл производной функции, свойства возрастания и убывания функций, а также основы построения функций на плоскости. Проанализируем первый подход на примере уравнения:

Правая часть уравнения (2.6) является квадратичной функцией, левая часть - производной функции х(^). Так как функция возрастает или убывает в зависимости от знака производной, то необходимо проанализировать правую часть

относительно ее положительности (отрицательности), для чего находят нули функции, решая уравнение:

Ст-1ЗДдг=0.

Таким образом, определяют промежутки возрастания и убывания функции, стационарные точки, изображают примерное расположение графика решения уравнения (5), как показано на рисунке 1. Из рисунка 1 видно, что график решения уравнения (4) приближается к прямой х=2/3, являющейся устойчивой стационарной точкой уравнения, и удаляется от прямой х=0 - неустойчивой стационарной точки.

Рис. 1

Рассмотрим построение поля касательных для уравнения:

Так как согласно геометрическому смыслу касательной к графику функции, производная функции в точке касания будет равна угловому коэффициенту касательной, на основе этого можно построить поле касательных - вектора касательных в каждой точке графика, получим следующее поле касательных, представленное на рисунке 2.

х

Рис. 2

Итак, математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей необходимо использовать математические средства -алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т. д.

Основы математического моделирования могут быть интересны как учащимся средней школы, так и учащимся педагогических вузов, как с точки зрения развития профессиональной компетенции будущего учителя математики, так и для повышения качества математических знаний, развития навыков исследовательской и творческой деятельности.

Библиографический список

1. Аверченков, В. И. Основы математического моделирования технических систем : учебное пособие / В. П. Федоров. -М. : Флинта, 2011. - 271 с.

2. Байдак, В. А. Теория и методика обучения математике: наука, учебная дисциплина / М.: Флинта, 2011. - 264 с.

3. Беликова, Н. А. Математическое моделирование. Ч. 2: учебное пособие / В. В. Горелова, О. В. Юсупова. - М. : Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 2009. - 66 с.

4. Зельдович, Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике / М.: Физматлит, 2010. - 520 с.

5. Кудряшов, В. С. Моделирование систем : учебное пособие / В. С. Кудряшов, М. В. Алексеев. - Воронеж : Воронежский государственный университет инженерных технологий, 2012. - 208 с.

6. Журавлева, О. Н. Формирование историко-математической компетентности в педагогическом вузе/ О. Н. Журавлева // Гуманитарные науки и образование. -2013. - № 4 (16). - С. 33- 37.

I

7. Вознесенская, Н. В. Индивидуально-ориентированная организация учебного процесса в информационно-образовательной среде вуза / Н. В. Вознесенская, В. И. Сафонов // Гуманитарные науки и образование. - 2011. - № 3. - С. 6-9.

Bibliography

1. Averchenkov VI based on mathematical modeling of technical systems: a tutorial / VP Fe-dorov. -M. : Flint, 2011. - 271 p.

2. Baidak, VA Theory and methods of teaching mathematics, science, academic discipline / M .: Flint, 2011. - 264 p.

3. Belikov, NA Mathematical modeling. Part 2: Tutorial / VV Gorelova, OV Yusupov. - M.: Samara State Architecture and Construction University, 2009. - 66 p.

4. Zel'dovich Ya B Higher mathematics for beginners and its applications to physics / M .: Fizmatlit, 2010. - 520 p.

5. Kudryashov, VS modeling systems: a tutorial / VS Kudryashov, MV Alekseev. - Voronezh: Voronezh State University of Engineering Technology, 2012. - 208 p.

6. Zhuravlevа, O. N. / Formation of historical and mathematical competence in pedagogical high school / O. N. Zhuravlev // Humanities and Education. -2013. - № 4(16). - P. 33- 37.

7. Voznesenskaya, N. V. / Individual-based organization of the educational process in the educational environment of the university / N. V. Ascension, Safonov // Humanities and Education. - 2011. - № 3(7). - P. 6-9.