К задаче конструирования автоматического регулятора для статического объекта первого порядка с запаздыванием

УДК 621.311.22.011

К ЗАДАЧЕ КОНСТРУИРОВАНИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ СТАТИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

С.В. Панферов, В.И. Панферов

ТО DESIGN TASKS FOR AN AUTOMATIC REGULATOR FOR THE FIRST DEGREE STATIC OBJECTS WITH TIME DELAY

S.V. Panferov, V.l. Panferov

Исследованы устойчивость и качество переходных процессов в системах автоматического регулирования, сконструированных методом эталонной передаточной функции замкнутой системы. Объект управления представляется инерционным звеном первого порядка с запаздыванием. Рассматриваются вариации как параметров настройки регулятора, так и параметров объекта управления.

Ключевые слова: устойчивость, качество переходных процессов, система автоматического регулирования, эталонная передаточная функция.

Investigated the stability and quality of transient processes in automatic regulation sis-tems, designed by a reference transfer function of a closed system. Control object is the inertial part of the first degree with delay. We consider variations of regulator settings and parameters of the managed object.

Keywords: stability, quality of transients, the automatic control system, reference transfer function.

Введение

Широко известно, что наибольшая экономия тепловой энергии в системах теплоснабжения зданий достигается за счет их автоматизации, поэтому разработка вопросов, связанных с проблемой построения высококачественных систем автоматического управления, является вполне актуальной задачей. В настоящее время в промышленности, в том числе и в системах теплоснабжения зданий для автоматического регулирования различных переменных технологических процессов, широко используются ПИД-регуляторы и их частные варианты. Накоплен огромнейший опыт применения таких регуляторов, в частности, разработаны и апробированы различные способы их настройки. Вместе с тем, как неоднократно отмечает В.Я. Ро-тач в своем сравнительно недавно изданном учебнике [1], П-, ПИ- и ПИД- «...алгоритмы были получены чисто эвристическим путем» [1, с. 82 и др.] и что «...достаточно убедительное формальное доказательство целесообразности их применения... до сих пор получить не удалось» [1, с. 24].

Панферов Сергей Владимирович инженер кафедры теплогазоснабжения и вентиляции, Южно-Уральский государственный университет; tgsiv@mail.ru

Панферов Владимир Иванович д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой теплогазоснабжения и вентиляции, Южно-Уральский государственный университет; tgsiv@mail.ru

В работе [2], как нам представляется, удалось получить некоторое формальное обоснование целесообразности применения ПИД-регуляторов, здесь задача решалась методом «подгонки» передаточной функции замкнутой системы автоматического регулирования к некоторому достаточно разумному и практически достижимому виду. Найдены эталонные структуры и настройки регуляторов для типовых динамических характеристик промышленных объектов управления, при этом установлено, что все эти регуляторы принадлежат ПИД-семейству. Казалось бы, что поставленная цель достигнута, однако для полноты исследования проблемы необходимо рассмотреть вопрос о качестве переходных процессов (1111) в таких системах и о грубости этих структур и настроек, данная задача и решается в настоящей работе для одного из типовых объектов управления.

Постановка задачи

Рассмотрим вопрос о качестве переходных процессов и о грубости систем автоматического

Panferov Sergei Vladimirovich - engineer of the Heat and gas supply and ventilation department of South Ural State University; tgsiv@mail.ru.

Panferov Vladimir Ivanovich - PhD, professor, head of the Heat and gas supply and ventilation department of South Ural State University; tgsiv@mail.ru

регулирования (САР) с объектом управления с передаточной функцией вида

к,

об

Тс

-ехр(-тоб/?).

где Аоб, 70(-, тоб - соответственно коэффициент передачи, постоянная времени и время запаздывания объекта; р - комплексная переменная. В соответствии с [2] близким к идеальному для такого объекта будет ПИ-регулятор с передаточной функцией

&Лр) =

об

^"об (^Об

1+-

1

ТоЬ Р.

Здесь 9 - постоянная времени эталонной передаточной функции замкнутой системы

гехр(-тоб/?).

0/7+1

Требуется оценить устойчивость САР и качество переходных процессов в ней при вариациях параметров настройки регулятора и параметров объекта управления.

Методика решения задачи

Для анализа переходных процессов в системе с объектом управления данного типа разработаны две компьютерные программы: одна для анализа переходных процессов при возмущении по заданию, а другая - при возмущении со стороны регулирующего органа. В каждой из разработанных программ предусмотрен ввод Аоб, 7оГг тоб , а также коэффициента передачи ПИ-регулятора к и времени интегрирования Гп, каждая из программ не только осуществляет построение графика переходного процесса, но и определяет перерегулирование ст и время регулирования 1р. а также вычисляет значения критериев:

к

7і = {ИоИ;

/2 = | е2(ґ)Л.

где 1К - конечное время оценки переходного процесса; е(Г) = х3(Г)-х(Г) - ошибка регулирования

о

(рассогласование); х (?) и х(1) - соответственно заданное и действительное значение регулируемой величины; I - время. При этом время регулирования определялось как время, по истечение которого отклонение регулируемой величины от задания не будет превышать 5 %.

Интегрирование дифференциального уравнения объекта управления осуществлялось методом Рунге-Кутты с погрешностью, пропорциональной пятой степени шага по времени. Для компьютерного использования алгоритм ПИ-регулирования

представляли в дискретной форме, при вычислении интеграла применяли метод трапеций. С целью сокращения объема необходимых вычислений использовали рекуррентную форму дискретного представления алгоритма ПИ-регулирования, приведенную в работе [3]:

11

где т - номер расчетного шага по времени; е/о=/ср[| + /?/(27и)]; =кр[іі/(2Ти)-\\: к - вели-

чина шага по времени; и - выходная величина регулятора (% хода исполнительного механизма (ИМ)). В программах предусматривается ввод нижнего и верхнего пределов изменения регулирующего воздействия и .

Вариация параметров настройки регулятора

Исследование качества переходных процессов в САР проводилось в окрестности базовых настроек:

к =------^-------.

¿'об

т„=тг

при этом в координатах « кр   • 7П » точка с базовыми настройками располагалась в центре прямоугольника, вычисления проводились для настроек, расположенных на диагоналях и на отрезках прямых, соединяющих середины противоположных сторон прямоугольника (рис. 1).

Рис. 1. Исследуемая область параметров настройки регулятора

Сначала параметр 0 полагался равным нулю. Пусть, например, Аоб=1,5 т/ч/% хода ИМ; 7’0б=15 с; тоГ: = 5 с (параметры объекта управления соответствуют динамическим свойствам канала «расход топлива - тепловая нагрузка» котельной установки [4]). В этом случае базовые значения параметров настройки регулятора равны:

- = 2% ходаИМ/т/ч; Тп=То6 =15с.

£ _ ^об

р к т об об

Результаты расчетов показателей качества переходных процессов при возмущении по заданию приведены в табл. 1-3.

Как видно из табл. 1-3, в значимой по размерам окрестности базовой точки

£ _ То5

р к т

об об

=2% ходаИМ/т/ч; ТЦ=Т^ =15с

о

Таблица 1

Показатели качества переходных процессов при Ги = 15с и различных значениях кр

при возмущении по заданию

, % хода ИМ *р> / т/ч 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

ст,% 0 0 0 0,79 9,70 со

Vе 53,8 49,9 44,6 55,2 130,8 со

/х, (т/ч)-с 24,81 21,49 19,82 18,98 24,18 со

/2,(т/ч)2-с 17,34 14,71 13,28 12,46 12,51 со

Таблица 2

Показатели качества переходных процессов при Ар = 2 % хода ИМ/т/ч и различных значениях Ги

при возмущении по заданию

Ги.С 5,0 7,0 10,0 13,0 15,0 17,0 20,0

ст,% оо (расходящийся ПП) 43,38 8,42 0,03 0 0 0

Vе со 114,1 38,9 40,2 44,6 58,2 68,3

1ъ (т/ч)-с со 25,24 15,04 17,18 19,82 22,44 26,51

/2,(т/ч)2-с со 12,47 10,92 12,18 13,28 14,46 16,31

Таблица 3

Показатели качества переходных процессов при различных значениях Ар и /м при возмущении по заданию

, % хода ИМ *р> , т/ч 1,0 1,0 1,5 1,5 2,5 2,5 3,0 3,0

Ги,с 10,0 20,0 12,5 17,5 12,5 17,5 10,0 20,0

ст,% 4,80 0 0 0 5,43 0,01 оо (расходящийся ПП) 1,99

Vе 27,2 80,6 41,2 61,4 55,6 56,9 оо 88,7

1ъ (т/ч)-с 17,92 33,18 17,91 25,13 17,38 22,02 оо 24,33

/2,(т/ч)2-с 13,86 21,23 13,18 16,34 11,33 13,81 со 14,67

САР достаточно устойчивая и качество переходных процессов вполне удовлетворительное. Следовательно, можно сделать заключение, что рассматриваемая система достаточно робастная по отношению к настройкам регулятора при возмущении по заданию.

Для всех рассмотренных настроек ПИ-регулятора определили качество переходных процессов и при возмущении по нагрузке (со стороны регулирующего органа), результаты вычислений приведены в табл. 4-6.

Как видно из табл. 4-6, также в значимой по размерам окрестности базовой точки

£р__^об—_2% хода ИМ/т/ч; 7и=7’об=15с ¿огЛ,б

САР достаточно устойчивая и качество переходных процессов вполне удовлетворительное и при возмущении по нагрузке. Следовательно, можно

сделать заключение, что рассматриваемая система достаточно робастная по отношению к настройкам регулятора и при возмущении со стороны регулирующего органа.

Сравнивая качество переходных процессов при возмущении по заданию и при возмущении по нагрузке при одинаковых настройках регулятора, можно отметить, что в целом, по нашим оценкам, рассматриваемая САР все-таки лучше отрабатывает возмущение по заданию, показатели качества переходных процессов принимают более желательные значения. По-видимому, все это является следствием применяемого подхода к решению задачи синтеза САР: наилучшим образом отработать возмущение именно по каналу задания.

Настройки ПИ-регулятора, оптимальные по критериям (2) и (3), могут не совпадать как между собой, так и с базовой настройкой, но в целом их различие достаточно небольшое.

81

C.B. Панферов, В.И. Панферов Таблица 4

Показатели качества переходных процессов при Ги = 15 с и различных значениях Ар

при возмущении по нагрузке

, % хода ИМ V / т/ч 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

ст,% 0 0 0,19 19,33 40,77 сс

'р,С 77,9 68,6 67,1 102 308,8 00

/і, (т/ч)-с 14,99 9,99 7,50 8,46 20,13 00

/2,(т/ч)2-с 5,98 3,44 2,45 2,18 3,39 00

Таблица 5

Показатели качества переходных процессов при Ар = 2 % ходаИМ/т/ч и различных значениях 7~и

при возмущении по нагрузке

5,0 7,0 10,0 13,0 15,0 17,0 20,0

ст,% со (расходящийся 1111) 63,41 28,98 9,24 0,19 0 0

'р,С со 173,7 80,5 66,8 67,1 69,4 88

1ъ (т/ч)-с со 15,56 8,23 7,20 7,50 8,49 9,99

/2,(т/ч)2-с оо 3,58 2,39 2,37 2,45 2,58 2,80

Таблица 6

Показатели качества переходных процессов при различных значениях Ар и /м при возмущении по нагрузке

% хода ИМ р’ т/ч 1,0 1,0 1,5 1,5 2,5 2,5 3,0 3,0

Ги,с 10,0 20,0 12,5 17,5 12,5 17,5 10,0 20,0

ст,% 5,81 0 0 0 31,47 10,60 ос (расходящийся 1111) 24,94

'р,С 57,3 114,9 54,1 82,6 115,4 98,9 оо 202,7

/х, (т/ч)-с 11,03 19,99 8,33 11,66 9,68 8,09 оо 13,54

/2,(т/ч)2-с 4,72 7,38 3,16 3,77 2,28 2,20 оо 2,62

Изменение параметров объекта управления

Если робастность рассматривать как грубость системы по отношению к изменениям параметров объекта управления, то можно привести следующие результаты. Если все параметры объекта управления изменятся соответственно на Ак(

об -

АТоб и на Атоб

а регулятор будет иметь прежнюю настройку, то передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

ехр

wvÀP)=-

(Тоб +Ь-Т0б)р+\

Из (5) следует, что в данном случае последовательно с «идеальной» передаточной функ-

ехр

циеи разомкнутой системы, равной

(Q+^oô )р

[2], включается инерционно-форсирующее звено ^об Р + ^

-------------- и звено чистого запаздывания

(Тоб +АТоб)Р + 1

(1 + Ако6/ко6)ехр(-Ато6р). Влияние инерционно-форсирующего звена на устойчивость САР и качество переходного процесса в системе известно: если Л70(- <0 и если |Л70(-1 увеличивается, то начинают преобладать дифференцирующие свойства звена.

Если из (5) исключить передаточную функцию инерционно-форсирующего звена, т. е. если считать, что Л70(- = 0 - якобы постоянная времени объекта управления не меняется, то, используя критерий устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием, найдем, что критическая частота

_1 + Моб/£,

об

об

поэтому условие устойчивости замкнутой САР в общем случае запишется так:

(1+М-о6/А-о6)Т°а6+_Ат°6 <тг/2 .

9 + т.

об

На координатной плоскости «ДАоб/Аоб -Дтоб/тоб » граница области устойчивости будет представляться следующей кривой:

ДА-об _ 7і

К,

—1.

4 об 2

На рис. 2 изображена область устойчивости замкнутой системы при 9=0 и Д 7 0(- =0.

На рис. 2 область устойчивости - это область, расположенная ниже своей границы (штриховка направлена внутрь области). Как видно из рис. 2, даже при 9 = 0 замкнутая система обладает хорошим запасом устойчивости в отношении вариации параметров Аоб и тоб, причем, нетрудно видеть, что с увеличением параметра 9 область устойчивости замкнутой САР расширяется, так как

(

7г9

--1

2 ) 2 т

Л

об

- точка пересечения кривой (8) с

осью ординат « Д А*об /А*об » с увеличением 9 «пол-

зет» вверх, а

) 2гое,

точка пересечения

кривой (8) с осью абсцисс « Д тоб /тоб » перемещается влево. Следовательно, с увеличением 9 робастность устойчивости [5] повышается.

Понятно, что включение инерционно-форси-рующего звена с частотной передаточной функцией

А^об +1 _

усо(Гоб+ДГоб) + 1 ^

1+огт;2

1 + оэ2(Го6+ДГо6)“

{;' [апЛя (со То6 )- аг<Лё (со (7^ + АТо6))]]

сехр

изменит как критическую частоту, так и само условие устойчивости замкнутой системы, здесь со -

круговая частота, у=л/-1. Критическую частоту

в этом случае необходимо отыскивать из ре-

со

кр

шения следующего уравнения: (1 + ЛА-об/А’об) 1 ------>

І + ю^Гоб

- = 1.

\1 + (0ф(Гоб +АТсбУ

Решая это уравнение, получаем

(е + т05)2-Г01(1 + Ак05/к05У

2(в + т05)2Т01(1 + АГ05/Т05У

+ *обУ-Го1

2(в + тоб)2Т2(1 + АГоб/ТобУ

Рис. 2. Область устойчивости САР при 0 = 0 и АГо6 = 0

2

Рис. 3. Сечения области устойчивости САР при ДАО0 = 0 : Рис. 4. Сечения области устойчивости САР при ДтоД = 0 :

1-9 = 0 с; 2-0 = 1 с; 3-0 = 5 с 1-0 = 0 с;2-0 = 1 с;3-0 = 5 с

Условие устойчивости замкнутой САР будет иметь вид

кртоб (1 + Атоб Лоб)-arctg (о5кр7;б) +

+arctg[o3Kpro6

Заметим, что соотношения (6) и (7) являются частными случаями условий (10) и (11).

Исследование границы области устойчивости САР, построенной по соотношению (11) с помощью среды программирования «Maple 10», показало, что система имеет значимый запас устойчивости относительно вариации параметров объекта управления ДАгоб, Л70(- и А тоб. Сечения границы области устойчивости плоскостями ДАгоб =0 и Д тоб =0 при 9 = 0; 1; 5 с приведены соответственно на рис. 3. и 4. Как видно из этих рисунков, размеры области устойчивости системы увеличиваются при увеличении параметра 9 (увеличиваются размеры допустимых вариаций всех параметров объекта управления).

Как видно из рис. 3, неблагоприятное влияние времени запаздывания на устойчивость системы может быть скомпенсировано увеличением 70(-, что, в общем-то, достаточно понятно. Из рис. 4 следует, что негативное влияние роста Аоб на устойчивость САР также может быть нейтрализовано увеличением 7;б .

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию при вариации всех параметров объекта управления ДАгоб, Л70(- и Д тоб будет равна:

W* (Р) = (ТсбР + 1)(1 + Мсб/ксб)^?[-(Тсб +АтобИ х

х{(^об +Д^об)( + тоб)/,‘'+( + тоб)/’ +

+

Отсюда следует, что дифференциальное уравнение замкнутой САР будет иметь вид

(Тоб + АТоб)(в + тоб ) ^2 +(0 + тоб)—^р-+

+Гоб (1 + ДА об /А об )-^-------+

+ (! + М'об Лоб ) * (? - тоб - Атоб ) =

. , . с1х3

= То5 (1 + ДА-об/А-об)-

+

Решая непосредственно данное дифференциальное уравнение (13) и используя программу расчета переходных процессов в САР, в которой математические описания элементов системы регулирования представлены по отдельности, установили, что при возмущении по заданию показатели качества переходных процессов при вариации параметров объекта управления будут следующими (табл. 7-9). При этом считалось, что ПИ-регулятор имеет базовые настройки

£р__^об—=2%ходаИМ/т/ч; Тп=Тф =15с.

^об Тоб

Анализ данных табл. 7-9 позволяет сделать вывод, что в окрестности точки (0,0,0) существует довольно заметная область вариации параметров ДАгоб , Д70(- и Д тоб, для которой сохраняются приемлемые значения показателей качества переходных процессов.

В табл. 10-12 приведены аналогичные данные для случая возмущения по нагрузке.

Как это нетрудно видеть из (12), при отработке единичного ступенчатого задания £/(?)= 1(0 при >со х —>1, т. е. САР астатическая по задающему воздействию. Передаточная функция системы по каналу «возмущение со стороны регули-

Таблица 7

Показатели качества переходных процессов для Ао0 = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Го0 = 15с; то0 = 5с при возмущении по заданию при различных значениях ДГО0

+1 +3 +5 -1 -3 -5

ст,% 0 0 0 0 0 2,11

45,2 46,0 45,9 44,0 54,6 68,8

Таблица 8

Показатели качества переходных процессов для Ао0 = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Го0 = 15с; хоб = 5 с при возмущении по заданию при различных значениях Дто0

ЕГ о о\ О +1 +2 +2,5 +3 -1 -2 -3

ст,% 1,49 12,29 20,52 оо (расходящийся 1111) 0 0 0

64,4 129,1 272,3 сс 49,0 49,3 49,6

Таблица 9

Показатели качества переходных процессов для Ао0 = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Го0 = 15с; •со0 = 5с при возмущении по заданию при различных значениях ДАО0

к Т/Ч +0,1 +0,3 +0,5 +0,75 +1,0 -0,1 -0,3 -0,5

05 ’ % хода ИМ

ст,% 0 0,31 2,61 9,70 х (расходящийся 1111) 0 0 0

42,7 55,3 54,7 130,8 оо 46,4 49,0 51,1

Таблица 10

Показатели качества переходных процессов для Ао0 = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Го0 = 15с; тоб = 5с при возмущении по нагрузке при различных значениях ДГоб

+1 +3 +5 -1 -3 -5

ст,% 0 0 0 3,49 12,40 25,06

67,8 54,3 57,0 65,6 81,1 152,1

Таблица 11

Показатели качества переходных процессов для Аоб = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Гоб = 15с; тоД = 5с при возмущении по нагрузке при различных значениях Дтоб

Атоб’ С +1 +2 +2,5 +3 -1 -2 -3

ст,% 21,83 43,50 54,19 оо (расходящийся 1111) 0 0 0

Vе 111,2 268,3 556,4 сс 62,7 63,2 63,6

Таблица 12

Показатели качества переходных процессов для Аоб = 1,5 т/ч/%ходаИМ; Гоб = 15с; тоД = 5с при возмущении по нагрузке при различных значениях ДАо0

к т/ч об’ % хода ИМ +0,1 +0,3 +0,5 +0,75 +1,0 -0,1 -0,3 -0,5

ст,% 5,05 15,34 26,07 40,77 сс (расходящийся 1111) 0 0 0

66,0 91,8 141,5 339,8 со 67,6 63,0 64,4

рующего органа - ошибка регулирования» при базовых настройках ПИ-регулятора будет равна:

К°(Р) =(*об +^)кабТобРЫ +0)еХр[-('Соб +Атоб)/>]х Х {кобТобР (0 +^06 ) [(Т’об + АТоб ) Р +!] +

+ ^об

поэтому Ит¡¥^°(р) = О при р—>0. следовательно, по данному каналу САР также астатическая.

Заключение

Таким образом, достаточно подробный анализ показал, что рассматриваемый метод синтеза промышленных САР, позволяющий однозначно выбрать как структуру, так и параметры настройки регулятора, обеспечивает приемлемое качество переходных процессов и достаточный запас устойчивости системы при довольно заметных по размерам вариациях параметров объекта управления и погрешностях задания настроек регулятора. Поэтому данный метод синтеза можно достаточно уверенно рекомендовать для практического использования.

Литература

1. Ротач, В.Я. Теория автоматического управления: учеб. для вузов / В.Я. Ротач. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. - 400 с.

2. Панфёров, С.В. К обоснованию метода структурно-параметрического синтеза автоматических регуляторов / С.В. Панфёров, А.И. Телегин, В.И. Панфёров // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2009. - Вып. 9. —№ 3(136). -С. 29-36.

3. Плютто, В.П. Практикум по теории автоматического управления химико-технологическими процессами. Цифровые системы / В. П. Плютто, В.А. Путинцев, В.М. Глумов. - М.: Химия, 1989. -279 с.

4. Копелович, А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов / А.П. Копелович. - М.: Металлургиздат, 1960. -190 с.

5. Дорф, Р. Современные системы управления: пер с англ. / Р. Дорф, Р. Бишоп. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

Поступила в редакцию 8 мая 2011 г.