Модель оптимального управления многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций

УДК 330

МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКОЙ С УЧЕТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ

М. Ф. БАЙМУХАМЕДОВ,

доктор технических наук, профессор,

Костанайский социально-технический университет имени З. Алдамжар

(110010, Республика Казахстан, г. Костанай, ул. Герцена, д. 27),

Г. С. БАЙМУХАМЕДОВА, кандидат экономических наук, доцент,

Казахская академия транспорта и коммуникации имени И. Тынышпаева

Ключевые слова: оптимальное управление, многоотраслевая экономика, запаздывание инвестиций, математическая модель, продукция.

В статье рассматривается задача оптимального управления многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций в виде математической модели оптимального управления динамическими системами с запаздыванием. Целью данной работы является анализ и управление многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций на основе математической теории управления динамическими системами с запаздыванием. В соответствии с поставленной целью в работе решены следующие задачи: системный анализ и построение математической модели многоотраслевой экономики с учетом сосредоточенного и распределенного запаздывания инвестиций; получение достаточных условий оптимальности для систем с запаздыванием в состоянии и управлении; нахождение программного и синтезирующего управлений на конечном отрезке времени для систем с запаздыванием; оптимальное управление многоотраслевой экономикой с учетом сосредоточенного запаздывания инвестиций; оптимальное управление многоотраслевой экономикой с учетом распределенного запаздывания инвестиций в случае бесконечного и конечного отрезка времени выделения инвестиций. На основе системного подхода выявлены основные закономерности и получены уравнения, описывающие многоотраслевую экономику. Рассматриваются два подхода при моделировании запаздывания в процессе освоения инвестиций. Первый из них предполагает наличие промежутка времени t, по прошествии которого инвестиции превращаются в основные фонды. Такой вид запаздывания является сосредоточенным. Второй подход основан на введении распределенного запаздывания, когда инвестиции, выделяемые на развитие основных фондов, осваиваются по частям, постепенно. На основе системного анализа построена математическая модель многоотраслевой экономической системы с учетом распределенного запаздывания инвестиций. В результате преобразований, основанных на свойствах функции доли освоения инвестиций, получена задача оптимального управления с максимизацией функционала благосостояния. Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы при разработке корпоративной информационной системы для управления многоотраслевой экономикой республики.

OPTIMAL CONTROL MODEL DIVERSIFIED ECONOMY TAKING INTO ACCOUNT DELAY INVESTMENT

M. F. BAIMUKHAMEDOV,

doctor of technical sciences, professor, Kostanay Socio-Technical University of Z. Aldamzhar

(27 Herzen Str., 110010, Kostanai, Republic of Kazakhstan),

G. S. BAIMUKHAMEDOVA,

candidate of economic sciences, associate professor,

Kazakh Academy of Transport and Communication of I. Tynyshpayev

Keywords: optimum control, diversified economy, delays of investments, mathematical model, production. We consider the problem of optimal control of a diversified economy, taking into account the delay of investments in the form of a mathematical model of optimal control of dynamic systems with delay. The aim of this work is the analysis and management of a diversified economy, taking into account the delay of investments based on the mathematical theory of dynamic systems with delay. In accordance with the intended purpose in the following tasks: system analysis and construction of a mathematical model of a diversified economy based on lumped and distributed lag investment; obtaining sufficient optimality conditions for systems with delay in state and control; finding software and synthesis control on a finite time interval to delay systems; optimal management of a diversified economy based on lumped delay investments; optimal management of a diversified economy based on a distributed lag of investment in case of an infinite and finite length of time investment allocation. Through a systematic approach determined the basic laws and obtained the equations describing diversified economy. Two approaches for modeling the delay in the process of investing. The first of these requires a period of time t, after which the investments are converted into fixed assets. This kind of delay is focused. The second approach is based on the introduction of a distributed lag when investments allocated for the development of fixed assets being developed piecemeal, gradually. Based on a systematic analysis were done a mathematical model of multi-economic system based on a distributed lag investment. As a result of reforms, based on the properties of the share of development investment, obtained optimal control problem with the maximization of functional well-being. The results obtained are of theoretical and practical importance and can be used in the development of corporate information systems to manage diversified economy of the republic.

Положительная рецензия представлена Б. А. Ворониным, доктором юридических наук, профессором, проректором по научной работе и инновациям Уральского государственного аграрного университета.

Математический аппарат широко используется для решения задач управления экономикой как на макро, так и на микроуровне. Построение математических моделей и решение задач макроэкономики нашло на начальном этапе свое отражение в работах С. А. Валуева, В. Н. Волковой [1], С. А. Ашманова [2], А. В. Федотова [3], В. С. Дадаяна [4], А. Г. Гранберга [5] и др.

В последующем модели уточнялись, вводились новые переменные, учитывались новые факторы, например, фактор запаздывания при освоении капитальных вложений. В монографиях В. Ф. Крото-ва [6], Б. В. Седелева [7] ставятся задачи управления макроэкономическими системами с учетом сосредоточенного и распределенного запаздывания инвестиций. Однако конкретного алгоритма решения задач предложено не было. Решения задач оптимального управления экономическими системами получены в работах Л. В. Канторовича [8], С. А. Айсагалиева [9], Т. Н. Биярова [10]. Однако в перечисленных работах не учитывался фактор запаздывания.

Множество работ посвящено задачам оптимального управления динамическими системами с запаздыванием, в которых сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. В частности в работах Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой [11] получены необходимые условия оптимальности для общего вида систем с постоянным запаздыванием и в управлении, и в состоянии. В работе Г. Л. Хараташвили [12] принцип максимума получен для общего вида систем с переменными запаздываниями. Но во всех перечисленных работах получены лишь необходимые условия оптимальности.

В связи с изложенным, задача управления экономическими системами с учетом запаздывания инвестиций и разработка математического аппарата оптимального управления динамическими системами с запаздыванием является актуальной.

Целью данной работы является анализ и управление многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций на основе математической теории управления динамическими системами с запаздыванием.

В соответствии с поставленной целью в работе решены следующие задачи:

— системный анализ и построение математической модели многоотраслевой экономики с учетом сосредоточенного и распределенного запаздывания инвестиций;

— получение достаточных условий оптимальности для систем с запаздыванием в состоянии и управлении;

— нахождение программного и синтезирующего управлений на конечном отрезке времени для систем с запаздыванием;

— оптимальное управление многоотраслевой экономикой с учетом сосредоточенного запаздывания инвестиций;

— оптимальное управление многоотраслевой экономикой с учетом распределенного запаздывания инвестиций в случае бесконечного и конечного отрезка времени выделения инвестиций.

Цель и методика исследований.

Рассмотрим задачу управления многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций.

На основе системного подхода выявим основные закономерности и получим уравнения, описывающие многоотраслевую экономику. Вся совокупность экономических факторов подчиняется идее межотраслевого баланса, при этом предполагается, что:

1) все производство можно разбить на п отраслей;

2) в каждой отрасли производится только один продукт; 3) всю продукцию можно разбить на промежуточную и конечную. Промежуточной называют ту часть валовой продукции, которая идет в дальнейшую переработку по отраслям и образует текущие материальные затраты (производственное потребление). Конечный продукт — это продукт, идущий на продажу, потребление, экспорт.

Отобразим математически межотраслевые связи с учетом сделанных предположений. Обозначим: X' — валовой продукт г -отрасли; уг — конечный продукт г -отрасли, тогда:

X1 = а1 X1 + а\ X2 + X2 = а2 X1 + а22 X2 +

+ а1 Xп + У2,

+ а2 Xп + У2

п

Xп = апг X1 + аЧX2 +

+ аП Xп + Уп

где

А =

а

— матрица прямых (производствен-

ных) затрат, где аг — затраты продукции г-й отрасли на воспроизводство единицы продукции7-й отрасли, или в векторно-матричной форме:

X = AX + У.

Конечный продукт отраслей делится на две части — это вводимые в действие капитальные вложения и непроизводственное потребление:

Y = DV + С,

где О = й. — матрица коэффициентов технологической структуры капитальных вложений. Матрица О — полуположительная, то есть > 0 , причем:

= 0 для всех I > т, 7 = 2,п.

Отрасли с номерами г ^ т , то есть такие, что для каждого г < т существует хотя бы одно у , при котором й > 0, называются фондообразующими. Количество фондообразующих отраслей т существенно меньше общего количества п . Другие свойства матрицы : для каждой отрасли 7 найдется фондообразующая отрасль г такая, что й > 0, кроме того,

£

й) = 1

V 7 = 2, п.

Тогда:

У' = £Л) + Сг, г = 1

т,

Уг = с', г = т + 2, п.

7=2

Так как конечный продукт распределяется между потреблением и капитальными вложениями, то использование в каждый момент времени единицы конечного продукта для потребления исключает возможность его использования для накопления. В то же время без накопления не существует потребления: использование единицы конечного продукта

г=2

для накопления ведет к увеличению фонда потребления в будущем. Инвестиции в свою очередь идут на увеличение размера наличного капитала и на замещение изношенного:

_ I

где К = dK / dt — скорость изменения капитала, а замещение изношенного капитала пропорционально его величине: /и К, /и > 0 — норма амортизации.

Имеется два основных подхода при моделировании запаздывания в процессе освоения капитальных вложений — с сосредоточенным и с распределенным запаздыванием. В данной статье будет рассмотрен первый подход, предполагающий наличие промежутка времени Т , по прошествии которого капиталовложения превращаются в основные фонды. В этом случае получается, что инвестиции, вводимые в момент времени г зависят от капитала, вложенного в момент времени г — Т, то есть уравнение (5) перепишется в следующем виде:

К

Ставится оптимизационная задача — максимизация функционала благосостояния:

W = Je, (t) g(t, C(t)) dt ^ max,

Рассматривается задача с закрепленным правым концом траектории на отрезке г е [0,Т], то есть имеем заданное конечное значение капитала: К '(Т) = К 'т, г = 1,п.

Заданы также начальные функции для капитала каждой отрасли:

К '(6) = 0(6), -т<6< 0, К'( 0) = КО, 1 = Цп,

где 0(6), — Т <6 < 0 — заданные начальные функции.

Объединяя все вышеизложенные условия, имеем:

J = — Je, (t) g(t, C(t)) dt ^ min,

X =Ya'jXj +Y', Y =Yd'j IJ

j=i '

L < L о, i = \,n

где 61(г ) — дисконтирующий множитель или функция дисконтирования, отражающая меру предпочтения потребления в данный момент относительно потребления этого же продукта в последующие моменты, а g(г, С (г)) — функция полезности. Эта функция дает оценку «полезности», то есть эффективности потребления при различных его значениях.

Так как в данной статье рассматривается первый подход при моделировании запаздывания, то ввод в действие капитальных вложений V(t) осуществляется за счет предыдущих инвестиций, то есть:

V

Теперь, что касается ограничений на производственные факторы.

Валовой продукт каждой отрасли неотрицателен и определяется производственными возможностями отрасли:

0 < X' < Г (К', Ё,г) 1 = ЦП,

где ^ (К1, Е ,г) — производственные функции.

Будем считать, что потребление не должно опускаться ниже минимального допустимого уровня:

С > Сшп, '=1,П.

Ограничение на объем капитальных вложений: V' > 0, г = 1,п .

На трудовые ресурсы также наложены определенные ограничения: _

. Е < Е0, Е > 0, г = 1,п ,

где Е0 — количество трудовых ресурсов, определяемое демографическим прогнозом.

Дифференциальное уравнение с сосредоточенным запаздыванием (6) в многоотраслевом случае перепишется как:

К*(Ь) = - // Ю(Ь) + I Ни £(1- т;А г = ~П

Величина т называется параметром запаздывания и определяет значение лага, то есть времени, необходимого на освоение инвестиций.

K1 (t) = — ц1 K1 (t) + 14t,K1 (t — т)), t e [0,T],

K'(e)=Ф1(е), — т < e < о, к1(0) = ко, k1(t) = k1T, 1 = Ü:

0 < Xj < Fj

Такимобразом,получилизадачуоптимальногоуправ-ления с вектором состояния K = (K1 (t),...,Kn(t)) и управлением, имеющим содержательный смысл распределения капитальных вложений и трудовых ресурсов между отраслями и конечного продукта между капиталовложениями и потреблением, а также загруженности отраслей и трудовых ресурсов.

Задача (9) — (13) представляет собой задачу оптимального управления системой с запаздыванием.

Существуют три основных подхода к решению задач оптимального управления [11]: принцип максимума Л. С. Понтрягина, метод динамического программирования Р. Беллмана и достаточные условия оптимальности В. Ф. Кротова. В данном разделе будет рассмотрен третий подход — достаточные условия оптимальности применительно к системам с запаздыванием.

Рассмотрим задачу оптимального управления

ввда: T 0

J

x

с начальными условиями

x

Пусть вектор состояния x(t) = (x, (t), x 2 (t),..., xn (t)) является абсолютно непрерывной функцией при t e [0,T] и на него наложены фазовые ограничения:

х(Г) е X(t) = {х е Rn:gi(t,x) < 0,i = 1а^,х) = 0Л = s+1,m,t е[0,Т]} (17) и граничные условия:

х

Измеримое управление и(г) = (ы1 (г), и2 (г),..., иг (г)) принимает значения из заданного множества:

u(t) eU(t) с Rr, t e [ 0,T ].

Пару функций ю = (х (г), и (г)) назовем допустимым процессом, если она удовлетворяет условиям (15) — (19). Множество всех допустимых процессов обозначим через V . Предположим, что V Ф 0.

Требуется найти допустимый процесс (х(г), и (г)), доставляющий минимум функционалу (14).

Предположим, что функции / = (г, X, у, и, V), /х (г, х, у, и, V), /0(г,х,у,и,V), /X(г,х,у,и,v)измеримы по г, непрерывны по х,у,и^ .

Введем множество Г = {(г,х,у) е Д2и+1: г е [0,Т], х е X(г), у е X(г-т)}.

Определение 1. Функция у (г, х, у) : Г ^ Я принадлежит множеству у, если она непрерывно дифференцируема во внутренних точках Г, непрерывна в Г и допускает представление:

V

Введем функции:

К

осуществляет перевод траектории системы (25) из состояния х(0) в конечное состояние х(Т) = 0 за конечное время Т, если deГR(г -т,Т ) Ф 0, V г е[0,Т] .

Доказательство: пусть Ф

с начальным условием Ф(0) = Е, где Е — единичная матрица.

Умножая слева уравнение (25) на матрицу Ф (г) и интегрируя по 5 в пределах от г — т до Т, получим:

M (x,y) = 4(T,x,y) где T — знак транспонирования,

с/,x,y) = xС,x) = ^(t,x) =

5t

д x

Ф

(t, x) д x

Справедлива следующая теорема [13]: Теорема 1 (достаточные условия оптимальности для систем с запаздыванием): Пусть существует функция  е у и допустимый процесс ю = (x(t), u (t)) , такие, что:

l0. R

юеУ

п.в. t е [0,T], 20. М (x(T), y(T)) = inf М(x, y).

xeX1

Тогда процесс ю = (x (t), u (t)) является оптимальным. Обратим внимание, что задача (24) — это задача управляемости для линейной нестационарной системы вида:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t, x(t -т )), t е [0,T], (25) где x — «-мерный вектор фазового состояния, u — r-мерный вектор управления, а A (t), B(t) — п х п, п х r матрицы соответственно. Элементы этих матриц заданы, вещественны, ограничены при t е [0,T]. Задана начальная функция

x

т = const > 0 — постоянное запаздывание, т < Т. Требуется найти синтезирующее управление

u = u(t, x(t-т)), 0 < t < T, переводящее траекторию системы (25) из точки x(0) = ф(0) в состояние равновесия x = 0 за конечное время Т, то есть:

x

Теорема 2. Управление вида

u

где

M(t) = Q'(t) R (t - т,T)Ф-1 (t -т), (29) Q (t) = Ф-1 (t) B (t), 7

T '

R(t -т, T) = J Ф-1 (s) B(s)B(s) [Ф-1 (s)] d s,

г-т г-т г-т

Интегрируя по частям левую часть равенства (31), и, учитывая, что —

— Ф-1 (г ) = -Ф-1 (г ) А(г ), ш

находим:

Т Т

г-т г-т

Тогда с учетом (32) из формулы (31), получим:

Т

Ф-1

г-т

Управление и(г) представим в виде:

1 и

где б(г) = Ф (г)В(г), с— постоянный п-мерный вектор.

Подставляя управление (34) в соотношение (33) и учитывая граничное условие (27), имеем:

-Ф-1

где

Я

г -т

Далее, предполагая, что

^Я(г-т,Т) Ф 0, Vге[0, Т],

найдем:

О '

и, следовательно, м = и{г, х

г е[0, Т ]. Теорема доказана.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи оптимального управления многоотраслевой экономикой с сосредоточенным запаздыванием инвестиций

(9) — (13).

Справедлива следующая теорема: _ Теорема 3._Пусть допустимый процесс

V = (X (г), Ь(г), К (г), I (г), У (г), С_(г)) для задачи (9) — (13) и функции Л/г) щ(г) у ¡(г) I = 1,п удовлетворяют условиям:

1. Полной загруженности производственных и трудовых ресурсов

X' = Fi

Ь

2. Л-, ' =,

j=i

j=i

где

i —1 —1

Ци=dj, hj=dj ц -

¥ =Z dî , i =1, П

j=i _ _

u д F i (К , L ) . — Y  = b -1-:--, i = 1, П,

1 1 д E

производственная функция F (t, K , L ) берется в виде Кобба-Дугласа [14]:

F' (г, К', Е) = А К' ЕР , а' + р' = 1, А > 0. (45) Причем \ (г), ^ 1 ^), у ) являются множителями Лагранжа и имеют экономический смысл цен за единицу ' -го продукта, производственных фондов и труда ' -ой отрасли соответственно.

3. Функция капитала определяется как решение дифференциального уравнения вида:

2ц' ец'

К1 (t) = ц1 [K 1т - K1 (t)] +' - е"'* ч'

К(0) = ф' (0), -т <0 < 0, К(0) = Ki i = t e [0,T].

а вектор капитальных вложении находится из выражения:

2ц ец

I (t, K (t -т )) =

е2ЦT - е2ц

- [KT - K

4. Конечный продукт находится при заданной матрице прямых затрат из соотношения:

У

5. Оптимальное потребление определяется из следующего соотношения в_векторно-матричной форме:

С = У - В!.

Тогда процесс V = (X (г), Е(г), К (г), 1(г), У (г), С(г)) является оптимальным.

Доказательство Теоремы 3 базируется на Теоремах 1 и 2. Задача оптимального управления (9) —

(13) является частным случаем задачи (14) — (19), поэтому согласно теореме 2 о достаточных условиях оптимальности для систем с запаздыванием нужно найти процесс (х(г) и(г), доставляющий максимум функции R . Второе условие теоремы 2 выполняется тривиально, так как в задаче (9) — (13) конечное состояние фиксировано.

Таким образом, выражения (39) -—(49) определяют оптимальныйпроцесс V = (X (г), Е(г), К (г), I (г ),У (г), С (г)) для задачи (9) — (13) — задачи оптимального управления многоотраслевой экономики с учетом сосредоточенного запаздывания инвестиций.

Выводы.

Работа посвящена решению вопросов системного анализа и управления многоотраслевой экономикой с учетом запаздывания инвестиций.

На основе системного подхода выявлены основные закономерности и получены уравнения, описывающие многоотраслевую экономику.

Рассматриваются два подхода при моделировании запаздывания в процессе освоения инвестиций. Первый из них предполагает наличие промежутка времени г, по прошествии которого инвестиции превращаются в основные фонды. Такой вид запаздывания является сосредоточенным. Второй подход основан на введении распределенного запаздывания, когда инвестиции, выделяемые на развитие основных фондов, осваиваются по частям, постепенно.

На основе системного анализа построена математическая модель многоотраслевой экономической системы с учетом распределенного запаздывания инвестиций. В результате преобразований, основанных на свойствах функции доли освоения инвестиций, получена задача оптимального управления с максимизацией функционала благосостояния.

Полученные в работе результаты имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы при разработке корпоративной информационной системы для управления многоотраслевой экономикой республики.

[КiT - Кi (t -т )],

Литература

1. Системный анализ в экономике и организации производства / под ред. С. А. Валуева. Л. : Политехника, 1991. 398 с.

2. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. М. : Наука, 1984. 293 с.

3. Федотов А. В. Моделирование макроэкономических процессов. Л. : ЛПИ, 1987. 84 с.

4. Дадаян В. С. Вопросы разработки глобальных экономических моделей. М. : Центр. экон.-мат. институт, 1981. 133 с.

5. Гранберг А. Г. Введение в системное моделирование народного хозяйства. Н. : Наука, Сибирское отд., 1988. 302 с.

6. Кротов В. Ф. Основы теории оптимального управления. М. : Высшая школа, 1990. 430 с.

7. Седелев Б. В. Оценка распределенных лагов в экономических процессах. М. : Экономика, 1987. 191 с.

8. Канторович Л., Лассманн В., Шилар X., Шварц К., Брентьес С. Экономика и оптимизация. М. : Наука, 1990. 247 с.

9. Айсагалиев С. А. Математические проблемы макромодели экономики при переходе к рыночной системе // Доклады Национальной академии наук РК. 1993. № 1. С. 69-73.

10. Бияров Т. Н., Жумагулов Б. Т. Оптимальное управление многоотраслевой экономики на конечном отрезке времени. Алматы, 1994. 34 с.

11. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М. : Наука, 1981. С. 230-243.

12. Харатишвили Г. Л. Нелинейные оптимальные системы управления с переменными запаздываниями. Математический сборник. Т. 107. Вып. 4. 1978. С. 613-633.

13. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М. : Наука, 1971. 507 с.

14. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс]. URL : http://ru.wikipedia.org/wiki.

References

1. System analysis in business administration / ed. by S. A. Valuev. L. : Polytechnic, 1991. 398 p.

2. Ashmanov S. A. Introduction to mathematical economics. M. : Nauka, 1984. 293 p.

3. Fedotov A. V. Modeling macroeconomic processes. L. : ABI, 1987. 84 p.

4. Dadayan V. S. Questions development of global economic models. M. : Center Economic Mathematic Institute, 1981. 133 p.

5. Granberg A. G. Introduction to system modeling of the economy. N. : Nauka, 1988. 302 p.

333^»— Аграрный вестник Урала № 8 (126), 2014 г. - < JJJ^^L

Экономика

6. Krotov V. F. Fundamentals of the theory of optimal control. M. : Higher School, 1990. 430 p.

7. Saddles B. V. Rating distributed lags in economic processes. M. : Economics, 1987. 191 p.

8. Kantorovich L. V, Lassmann V., Shilar X., Schwartz K., Brentes S. Economics and optimization. M. : Nauka, 1990. 247 p.

9. Aisagaliev S. A. Economy macro model mathematical problems in the transition to a market system // Proceedings of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. 1993. № 1. P. 69-73.

10. Bijarov T. N., Zhumagulov B. T. Optimal control of a diversified economy on a finite time interval. Almaty, 1994. 34 p.

11. Gabasov R., Kirillova F. M. Maximum Principle in optimal control theory. M. : Nauka, 1981. P. 230-243.

12. Kharatishvili G. L. Nonlinear optimal control system with variable delay. Mathematics collection. Vol. 107. Issue 4. 1978. P. 613-633.

13. Gabasov R., Kirillova F. M. Qualitative theory of optimal processes. M. : Nauka, 1971. 507 p.

14. The Free Encyclopedia. [Electronic resource]. URL : http://ru.wikipedia.org/wiki.