О физическом смысле неголономной меры деформации

УДК 538.9

О физическом смысле иеголономиой меры деформации

П.В. Трусов, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Приведен краткий обзор основных способов введения мер деформированного состояния, на основе которого сделан вывод о недостаточной ясности физического смысла некоторых из мер. Рассмотрены вопросы, связанные с определением физического смысла неголономной несимметричной меры деформации, вводимой в рамках многоуровневой модели, основанной на физических теориях пластичности. Данная мера вычисляется путем коротационного интегрирования несимметричной и независимой от системы отсчета меры скорости деформаций, равной градиенту относительных скоростей перемещений. При этом интегрирование производилось в подвижной системе координат, мгновенное движение которой определяется осреднением спинов элементов мезоуровня. Показано, что в пренебрежении упругими искажениями вводимая мера деформаций на мезоуровне равна сумме (по всем системам скольжения кристаллита) произведений накопленных сдвигов на базисные диады данных систем. Путем осреднения было показано, что на макроуровне кроме упругих искажений дополнительный вклад в значение меры деформаций вносят коротационные слагаемые, появление которых обусловлено различием скоростей ротации введенной подвижной системы координат макроуровня и решеток кристаллитов. В силу отсутствия аналитических выражений для спинов мезоуровня и спина макроуровня для определения физического смысла неголономной меры макроуровня использованы численные эксперименты для нескольких траекторий деформации. В результате расчетов было показано, что вклады упругой и коротационной составляющих в значение неголономной меры макроуровня пренебрежимо малы для траекторий различной степени сложности, откуда следует, что значение меры с большой степенью точности равно среднему значению сумм по всем системам скольжения произведений накопленных сдвигов на базисные диады систем скольжения всех кристаллитов, входящих в представительный объем макроуровня.

Ключевые слова: неголономная мера деформаций, физический смысл, большие градиенты перемещений, разложение движения, поликристалл, многоуровневые модели, физические теории пластичности, сложное нагружение

Physical meaning of nonholonomic strain measure

P.V. Trusov and A.Yu. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The paper overviews the main approaches to the introduction of the strain state measures. The conclusion has been made that the physical meaning of certain measures is insufficiently clear. Problems concerning the definition of the physical meaning of the nonholonomic asymmetric strain measure introduced in the framework of a multiscale model, which is based on the physical theory of plasticity, are discussed. This measure is calculated by co-rotational integrating the asymmetric and frame-independent strain rate measure equal to the gradient of relative displacement velocity. Integration is carried in terms of the moving coordinate system whose instantaneous movement is determined by averaging spins of mesoscale elements. It is shown that if elastic distortions are neglected, the introduced strain measure on the mesoscale is equal to the sum (over all slip systems of the crystallite) of products of accumulated shear and basis dyads of the slip systems. Averaging reveals that additional contribution to the value of the strain measure on the macroscale is attributed, along with elastic distortions, to corotational terms that appear due to different rotation rates of the introduced moving coordinate system of the macroscale and crystallite lattices. In view of the absence of analytical expressions for the meso- and macroscale spins, the physical meaning of the macroscale nonholonomic measure is defined in numerical experiments for several strain paths. Calculations have shown that contributions of the elastic and corotational components to the value of the macroscale nonholonomic strain measure are negligible for strain paths of different complexity.

Keywords: nonholonomic strain measure, physical meaning, large displacement gradients, motion decomposition, polycrystal, multiscale models, physical theories of plasticity, complex loading

1. Введение

В механике деформируемого твердого тела определение физического смысла тех или иных вводимых

© Трусов П.В., Янц А.Ю., 2015

характеристик является первоочередной задачей при построении соотношений, описывающих поведение деформируемой среды (особенно определяющих соот-

ношений). Отсутствие ясного физического смысла используемых характеристик ставит под сомнение верную трактовку получаемых результатов моделирования и усложняет задачу идентификации моделей посредством натурного эксперимента. К важнейшим характеристикам в механике деформируемого твердого тела относятся меры напряженного и деформированного состояний (тензоры второго ранга). Если меры напряженного состояния, используемые в большинстве работ, имеют довольно прозрачный физический смысл, определяемый отнесением силовых характеристик к материальным площадкам в той или иной конфигурации [1-3], то физический смысл вводимых мер деформированного состояния зачастую не вполне определен, а в большинстве случаев данный вопрос вообще не обсуждается.

В случае малых градиентов перемещений в качестве меры деформации вполне приемлемым является использование тензора малых деформаций, физический смысл компонент которого легко определяется через относительные удлинения материальных волокон и изменения углов между ними [4, 5]. Для упругих материалов, обладающих «идеальной памятью» [6] только о двух конфигурациях (например отсчетной и актуальной), используются нелинейные меры и тензоры деформации, определяемые в терминах отсчетной или актуальной конфигураций. Эти меры вводятся либо на основе рассмотрения компонент метрического тензора [3, 7, 8], либо через градиенты радиус-вектора точки деформируемого тела (градиенты места) [2, 9-11] в указанных конфигурациях. Ситуация существенно осложняется при необходимости рассмотрения геометрически нелинейных проблем механики деформируемого твердого тела для сред с медленно затухающей памятью (например упругопластических материалов) [6]. В этом случае реакция материала (под которой будем понимать меру напряженного состояния) зависит от истории воздействий, в том числе истории деформирования. При этом из произвольного движения любого деформируемого представительного объема материала должно быть исключено квазитвердое движение [11], т.е. любые повороты представительного объема как жесткого тела не должны отражаться на истории деформирования.

2. Неголономные меры деформации в макрофеноменологических теориях

В теориях пластичности, особенно в геометрически нелинейных теориях, весьма часто используется так называемая неголономная мера деформации, определяемая материальным или коротационным интегрированием тензора деформации скорости D = 1/2 (VV + VVх), где V — набла-оператор (оператор Гамильтона), определенный в актуальной конфигурации; V—вектор скорости перемещений (для определенности здесь использованы величины макроуровня). Одним из наиболее инте-

ресных и не нашедших решения до настоящего времени является вопрос о физическом (геометрическом) смысле неголономной меры деформации на макроуровне, причем как для макрофеноменологических, так и для многоуровневых моделей. Напомним, что физический смысл всех используемых в механике тензорных величин определяется через компоненты этих тензоров в той или иной системе координат. Следует отметить, что решение данного вопроса представляет не только чисто научный, но и практический интерес, поскольку наличие ясного и независимого от вида нагружения физического смысла компонент мер деформации позволяет измерять эти компоненты, строить траектории деформации, сопоставлять процессы деформирования, осуществляемые по различным траекториям в пяти- (девиа-торном), шестимерном («полном») пространствах деформаций или девятимерном пространстве несимметричных мер деформации.

Отдельно стоит вопрос о выделении квазитвердого движения из полного, характеристики которого измеряются в натурном эксперименте. Корректно определенное квазитвердое движение должно «поглощать» любое наложенное на представительный объем рассматриваемого уровня жесткое движение. Для описания квазитвердого движения вводится жесткая подвижная система координат, для определенности — декартова ортогональная. Выделение квазитвердого движения позволяет автоматически выполнить требование независимости от выбора системы отсчета используемой меры деформации, характеризующей относительное (относительно подвижной системы координат) движение материальных частиц; движение подвижной системы координат в этом случае выступает для материальных частиц как переносное.

Заметим, что в прикладных задачах материальное интегрирование (реализуемое, как и большинство операций над тензорами, в терминах их компонент) осуществляется, как правило, по компонентам в базисе условно неподвижной лабораторной системы координат, приписывая затем полученный результат материальным частицам. Даже если отслеживать движение материальной частицы и в каждый момент приписывать приращение компонент неголономной меры деформации индивидуализированной частице в точке ее мгновенного расположения, надо учитывать, что при этом совпадать с координатными осями будут различные материальные волокна. В этом случае едва ли можно что-либо сказать о физическом смысле неголономной меры, поскольку ее компоненты реально никак не связаны с материальными координатами частиц, в связи с чем данный вариант в дальнейшем не рассматривается. Возможно, более правильным было бы определение приращений меры деформации в компонентах лагран-жевой вмороженной системы координат, однако все известные тензоры деформаций имеют ясный физичес-

кий смысл только в терминах ортогональных систем координат, что в общем случае деформирования не выполняется для лагранжевой системы. Кроме того, в этом случае еще и базис самой системы изменяется, поэтому возникают дополнительные сложности отделения изменения компонент меры деформаций, обусловленных собственно деформацией, от изменений за счет вариации базисных векторов.

В подавляющем числе работ по геометрически нелинейным определяющим соотношениям о разложении движения напрямую ничего не говорится, однако неявным образом оно вводится за счет применения той или иной коротационной производной (в большинстве работ — яуманновской, т.е. квазитвердое движение определяется тензором вихря). В некоторых работах (также неявным образом, путем введения конвективных производных типа Олдройда или Коттер и Ривлина) для разложения движения используется лагранжева (текущая) система координат; в силу отмеченных выше трудностей в дальнейшем этот вариант также исключен из рассмотрения.

Следует также отметить дополнительную сложность, привносимую традиционно используемыми в механике деформируемого твердого тела симметризо-ванными мерами деформаций и скоростей деформаций, которые, с одной стороны, несколько упрощают решение задач за счет уменьшения количества кинематических (а при применении симметризованных мер напряжений — и динамических) переменных, с другой — «скрадывают» часть информации о движении (например, устраняя ротационную составляющую), тем самым усложняя анализ. В [12] предлагается альтернативная обычно используемому тензору деформации скорости несимметричная мера скорости деформации; физический смысл этой меры в цитируемой статье не рассматривался.

Для описания неупругого деформирования твердых тел наряду с макрофеноменологическими моделями в последние 15-20 лет широкое распространение получили также многоуровневые (главным образом двухуровневые) модели, основанные на физических теориях пластичности. В настоящей работе также использована двухуровневая (макро- и мезоуровни) упруговязкоплас-тическая модель. Для обозначения «родственных» переменных на макроуровне будут использоваться заглавные буквы, на мезоуровне — аналогичные строчные.

Остановимся на двух случаях разложения движения, в каждом из которых будет использоваться жесткая декартова ортонормированная подвижная система координат, движение которой будем полагать совпадающим с квазитвердым движением рассматриваемого представительного объема. Поскольку поступательное движение подвижной системы координат не отражается на векторах базиса этой системы, последнее может быть

исключено из рассмотрения, т.е. можно считать начала координат подвижной системы координат и условно неподвижной лабораторной системы координат (в качестве каковой тоже будем применять декартову ортогональную систему) совпадающими на всем протяжении рассматриваемого процесса. В отсчетной конфигурации подвижные системы координат каждого представительного объема макроуровня будем считать совпадающими с лабораторными системами координат. Вращение подвижной системы координат полностью определяется принимаемой гипотезой о разложении движения. Как уже отмечено выше, большинство исследователей в качестве мгновенной скорости ротации подвижной системы координат принимают тензор вихря W = = 12 (V V -V V т).

Напомним, что тензор вихря W определяет мгновенную скорость вращения материального триэдра, совпадающего в данный момент деформирования с главными осями тензора деформации скорости D [11]. Понятно, что в общем случае деформирования в каждый другой момент процесса главные оси D совпадают с другим материальным триэдром. При интегрировании компонент тензора D в базисе подвижной системы координат это будет означать, что в каждый момент времени бесконечно малые приращения изменения компонент (т.е. изменений длин и углов) будут приписываться «не своим» материальным отрезкам. В частном случае, когда главные оси тензора D в течение всего рассматриваемого отрезка времени совпадают с одной и той же тройкой материальных волокон, неголономная мера определяется легко — это тензор деформации Генки, определенный в актуальной конфигурации. Значение тензора вихря связано исключительно с кинематикой предписанного нагружения, но никак не связано с процессами эволюции микроструктуры материала и, как следствие, с самим материалом, поэтому использование тензора W в качестве меры скорости квазитвердого движения материала имеет крайне низкий уровень физического обоснования. В связи с этим для более корректного описания квазитвердого движения представляется необходимым тщательное исследование физики процесса, связанного с изменением ориентаций материальных осей в ходе нагружения.

В качестве иллюстрации некорректности использования для описания ротаций тензора вихря можно привести пример простого сдвига монокристалла, ориентированного на одиночное скольжение. В этом случае тензор вихря будет отличен от нулевого в каждый момент деформирования, что нарушает предписанную ориентацию кристаллической решетки, если принять, что она вращается вместе с материальными волокнами. В модели Тейлора [13], широко используемой в физических теориях для описания ротации кристаллитов, «исправление» ситуации осуществляется коррекцией

16

спина решетки, который определяется как разность тензора вихря и «пластического спина» (антисимметричной части тензора скоростей сдвига). Однако применение модели ротации Тейлора также приводит к симметризации меры скорости деформации, в связи с чем в настоящей работе использована модель «решеточного поворота», детальному описанию которой посвящена готовящаяся к публикации статья авторов.

Как уже отмечено выше, симметризация меры скорости деформации только ухудшает ситуацию с определением физического (геометрического) смысла строящейся по ней меры деформации. Для установления физического смысла меры деформации приходится использовать подвижные (вращающиеся) системы координат и работать необходимо с истинными движениями среды, восстановить которые по симметризованной мере невозможно. При этом истинные движения среды включают в себя как чисто деформационные (изменения длин и углов между отрезками материальных волокон), так и вращательные. Симметризация любой меры скорости деформаций, описывающей такие движения, приводит к фактическому исключению ротационной (антисимметричной) составляющей.

3. Разложение движения и мера деформации в физических теориях пластичности

В связи с вышесказанным в дальнейшем будем использовать предложенную ранее [12, 14] меру скорости деформации — транспонированный градиент относительной скорости перемещений

Z = - П = УУх - П,

где Уг — вектор относительной (относительно подвижной системы координат) скорости перемещений (нижний индекс г здесь и далее будет использоваться для обозначения относительных скоростей изменения). Заметим, что, как показано в [15], градиенты скоростей перемещений в лабораторной системе координат (УУ), подвижной системе координат (VV) и текущей лагран-жевой системе координат (VV) равны. Спин подвижной системы координат при этом принят равным осред-ненному спину решеток кристаллитов, входящих в представительный макрообъем (для большей прозрачности используем самый простой оператор осреднения — осреднение по объему в предположении примерно одинаковых размеров кристаллитов):

1 N

п Е шП

N„=1

где ш

2

Осредняя (3) и сопоставляя с (1), с учетом (2) нетрудно получить соотношение

1 N . .

Z = ^ Е г

N„=1

На мезоуровне неголономная мера деформации определяется коротационным интегрированием из следующего соотношения:

е

Vn=T,N.

Покажем ее физический смысл в пренебрежении упругим искажением кристаллической решетки по сравнению со сдвигами по системам скольжения, что с достаточной степенью обоснованности выполняется для подавляющего большинства металлов и сплавов.

Напомним, что коротационная производная тензор-значной функции определяется как скорость изменения рассматриваемой тензорной величины, фиксируемой наблюдателем в жесткой подвижной системе координат, т.е. в данном случае

е

где к(п)' — векторы базиса кристаллографической системы координат и-го кристаллита. В случае пренебре-жимой малости упругих искажений, опуская индекс кристаллита и, из (5), (6) получаем

м

е

к=1

где у(к -1, Ь(к -1, жж'(к ^ — скорость сдвига, нормированные вектор Бюргерса и вектор нормали ^й системы скольжения, определенные в актуальной конфигурации; М— число активных систем скольжения в рассматриваемом кристаллите. Из соотношения (7) путем коротационного интегрирования (т.е. интегрирования с позиций наблюдателя, движущегося вместе с кристаллической решеткой) получаем, что изменение меры деформированного состояния в произвольный момент времени определяется соотношением м

е^)- е(0) = ЕУ( к )(t )Ь( к) п( к) -

к=1

-Е У(к )(0) ь(к) п(к) = Е У(к )ь(к)п(к), (8) к=1 к=1 где учтено, что в отсчетной конфигурации кристаллиты принимаются недеформированными и сдвиги по всем системам скольжения отсутствуют. Таким образом, мера е имеет вполне ясный физический смысл: в каждый момент деформирования t разность е^) - е(0) равна сумме по всем системам скольжения кристаллита произведений накопленных сдвигов на базисные диады данных систем скольжения.

На макроуровне для определения неголономной меры деформации используется следующее соотношение: е£оя = 15 + Е • П - П • Е = Z = Уух-П.

Попытаемся показать физический смысл введенной меры деформации Еп.

Запишем коротационную производную в виде, аналогичном (6):

е£ок = % к1 к1,

где к1 — векторы базиса подвижной системы координат. Черта сверху здесь и далее означает определение величин в терминах подвижной системы координат. При этом наблюдатель в подвижной системе координат «не замечает» движения «своей» системы координат, для него базис к1 неподвижен. Но именно компоненты меры Е, определяемые наблюдателем в подвижной системе координат, и являются истинной мерой деформации, из которой исключены любые движения представительного объема как жесткого целого. Эта мера должна вычисляться коротационным интегрированием меры скорости Z, которое с позиций наблюдателя в подвижной системе координат переходит в обычное интегрирование по времени. Как отмечено выше, физический смысл компонент е(п) меры деформации в пренебрежении упругими искажениями решетки вполне определен.

В соответствии с (4) и с учетом (6) и (10) получаем:

___ 1 N

Е«* = % к1 к 1 = 1 £ еШ)сот =

N „=1

1 N

= — Е1 к

Nn=l

Требуется проинтегрировать это соотношение. Заметим, что в предлагаемой модели напряженно-деформированное состояние в пределах элемента мезоуровня полагается однородным. В силу вышесказанного все функции правой части можно рассматривать только как функции времени.

Основной проблемой является интегрирование правой части, в которой функциями времени являются и компоненты е(п), и векторы базиса к( п)1 (даже с позиций наблюдателя в подвижной системе координат, причем надо помнить, что подвижная система координат сама совершает движение относительно условно неподвижной лабораторной системы координат). Хотя время во всех введенных системах отсчета принято одинаковым, но в левой и правой частях (11) материальные производные устанавливаются от компонент, определенных разными наблюдателями, движущимися относительно друг друга. Требуется перейти и в правой части к скоростям, которые фиксирует наблюдатель в подвижной системе координат, тогда появляется возможность провести интегрирование по времени с позиций единого наблюдателя подвижной системы координат, считающего свою систему неподвижной. При этом наблюдатель в подвижной системе координат вообще не предполагает существования какой-либо другой «абсолютной» системы отсчета (в данном случае лабораторной системы координат).

В основу определения меры деформации положено разложение движения на квазитвердое и деформационное, под вторым понимается именно движение относительно подвижной системы координат. Таким образом, требуется перейти к интегрированию (по времени) соотношений с позиций наблюдателя в подвижной системе координат, считающего свою систему неподвижной. Прежде чем перейти к рассмотрению интегрирования, приведем некоторые необходимые для дальнейших выкладок соотношения.

В силу коммутативности операторов суммирования и (полного) дифференцирования по времени выводы можно провести для произвольно выбранного элемента мезоуровня (кристаллита). Для элемента мезоуровня (номер элемента для краткости записи в дальнейшем будет опущен) можно записать:

1 'к1 = А ек1 к1) -1 'к1 -1 гк1

Векторы базисов различных систем (лабораторной (к1), подвижной (к1) и кристаллографической (к1) систем координат) связаны между собой ортогональными преобразованиями:

к1 = о• к1 = к1 • от, к1 = О • к1 = к1 • От,

к1 = о• к1 = о• от • к1 = ю• к1 = -& • ю,

к1 = О • к1 = О • От • к1 = П • к1,

где 14к' характеризуют мгновенную скорость вращения базисных векторов к1, к1 соответственно относительно условно неподвижной лабораторной системы координат (LCS). Тогда с позиций наблюдателя в лабораторной системе координат получим:

1 "к1 = ^

- ю • % кк1 + ву кк1 • ю.

Из первого преобразования в (13) нетрудно получить связь базисных векторов кристаллографической и подвижной систем координат:

к1 = о • От • к1 = к1 • О • от

Перейдем к рассмотрению движения с позиций наблюдателя в подвижной системе координат, который считает свою систему отсчета неподвижной. Полученные ранее соотношения остаются справедливыми в силу их независимости от выбора системы отсчета, однако при этом надо учитывать изменения в части скоростей поворотов — теперь вместо спинов относительно лабораторной системы координат надо использовать скорости ротации относительно подвижной системы координат.

Введем ортогональный тензор о1, осуществляющий преобразование базиса подвижной системы координат в базис кристаллографической системы координат: о1 = = 1^1к1, так что о = о1 • О. Тогда (15) можно записать в виде:

kг = о, • kг = kг • o

о1

k1 = о, при этом ю1 = o

1 > k = o1

T • ol

о, • k = ю,

кг = k

It' = - k1 • ю

i,

oT = (o • OT + o • ОT) • O • oT =

1 "i

= ю - o • О • o .

Левая часть (14) не содержит скоростей изменения векторов базиса, в силу чего остается инвариантной по отношению к заменам систем координат. При переходе к рассмотрению движения с позиций подвижной системы координат первый член правой части (14) сохраняет свой физический смысл, однако скорость изменения тензора деформации и вращения базисных векторов кристаллографической системы координат теперь должна определяться с позиций наблюдателя в подвижной системе координат (CCS). Таким образом получим:

11 k1 = d" ek*1) iccs -

- ю

1 -ei i it1

ei i k1

Ш1.

Подставляя (18) в (11), изменение меры Е в базисе подвижной системы координат определяется следующим соотношением:

Е^) - Е(0)= (Е- ^) - Е (0))к.к] =

1 N

= 1Е (е(n)(t)-е(п)(0))+

N„=1

1

(t

N

ю1 - ю

\

)dt

1Е

V 0 п=1

При интегрировании лучше работать в базисе подвижной системы координат, поскольку именно в этой системе определяется физический смысл меры деформации. В то же время, учитывая, что исходное рассмотрение осуществляется в терминах лабораторной системы координат, для определения тензора спина ш1 следует использовать соотношение (17).

Ясный физический смысл в (19) имеет только первый член правой части, который следует из приведенного выше соотношения (8) для меры деформации кристаллитов. Интегрирование второго члена правой части в аналитической форме авторам работы не представляется возможным ввиду отсутствия аналитической зависимости спинов кристаллитов относительно подвижной системы координат, вращение которой также неизвестно и определяется непосредственно в ходе расчета. Вследствие этого оценка вклада второго члена произведена ниже численно в конкретных примерах.

Следует отметить, что используемые выше тензоры Е, е представляют собой именно меры деформации, в качестве тензоров деформаций следует использовать разности Е - Е(0), е - е(0). По существу, Е(0) и е(0) представляют собой градиенты соответствующих радиус-векторов в отсчетных конфигурациях, т.е. Е(0) =

= е(0) = I, где I — единичный тензор второго ранга. В дальнейшем под Е и е будут пониматься именно тензоры деформации.

4. Оценка значений тензора деформации макроуровня в численных экспериментах

Ввиду невозможности получения аналитического выражения для введенного тензора деформации макроуровня Е (19), а точнее для второго слагаемого, произведем численную оценку его значения при различных видах нагружения. Отметим, что согласно [15] нагруже-ние было задано в терминах подвижной системы координат, связанной с материалом. Отклик материала был получен на основе двухуровневой конститутивной модели неупругого деформирования моно- и поликристаллов, которая представлена в [15].

Остановимся более детально на постановке численного эксперимента. Ниже представлены результаты численных экспериментов в случае принятия гипотезы, согласно которой квазитвердое движение на макроуровне определяется тензором П = (со).

В численных расчетах представительный макрообъем принят состоящим из 1000 кристаллитов стали 40 с ОЦК-решеткой, начальные ориентации которых распределены по равномерному закону, химический состав: Fe — 97.0 %, Мп — 0.8 %, С — 0.4 %, Si — 0.3 %, № — 0.2 %, Сг — 0.2 %. Значения независимых компонент тензора упругих характеристик для стали 40: пш = 220 ГПа, п- = 166 ГПа, п-- = 87 ГПа, ^j = 1, 2, 3, i Фj, остальные компоненты равны нулю [12]. Отметим, что в общем случае при использовании несимметричных мер тензор упругих свойств ГЦК-кристалла имеет четыре независимых компоненты пйй, п—-, п—, п—-, i, j = 1, 2, 3, i Ф j, что напрямую следует из симметрийных свойств решетки. Однако на примере простого сдвига кристаллита [12], выделенные оси которого совпадают с лабораторной системой координат (в которой был определен сдвиг), было показано, что компоненты со структурой п— в случае малых деформаций равны нулю или пренебрежимо малы в сравнении с п--. Начальные критические напряжения в системах скольжения для ОЦК-стали т0{110} =0.1 ГПа, т0{120} = 0.4 ГПа, т0{123| = 2.4 ГПа (индексами в фигурных скобках обозначены семейства кристаллографических плоскостей). Использовался закон упрочнения, описанный в [16], значения параметров закона упрочнения: ^ = 0.1 (определяет степень нелинейности процесса упрочнения), 8 = = 0.8 (учитывает меру влияния предшествующей истории деформирования на текущие изменения дефектной структуры материала), = 4.7 •Ю-3 (параметр, равный отношению модуля деформационного упрочнения к модулю сдвига), в = 1.3 (равен отношению параметров латентного и деформационного упрочнения). Параметры упрочнения определены из решения задачи иден-

тификации по экспериментальным данным для поликристаллических образцов из стали 40 [17]; характеристики вначале были идентифицированы для одного вида нагружения (растяжение по Э1), далее проводилась верификация для процесса сдвига (деформирование по Э4).

Перепишем соотношение (19), принимая во внимание (8) и вводя новые обозначения слагаемых:

Е = Ет + Ее +<еи >,

1 N М

*\п) "(п)"(п)'

1 N

Ет = - Е (е(^)- е(0)) =

Nn=1

N п=1 к=1

(еш > =

(I

(е(п) • ю{п) - ю{п) • е(п))&

\

0 п=1

В соотношении для Ет знак приближенного равенства использован ввиду пренебрежения упругими искажениями. Стоит отметить, что упругие деформации (сравнительно с пластическими сдвиговыми) могут вносить относительно существенный вклад в случае малых полных деформаций, а также при невыполнении условия изохоричности полных деформаций, т.к. сдвигами можно реализовать только деформации, не изменяющие объем; при этом стоит отметить, что для большинства конструкционных материалов и процессов их обработки гипотеза неупругой несжимаемости выполняется с высокой точностью. Однако в реальных технологических процессах случаи малых и неизохоричных деформаций не представляют интереса. При наличии интенсивного упрочнения материала также возможно соразмерное увеличение упругих искажений, однако их порядок будет много меньше порядка сдвиговых деформаций. К отклонению значения меры Е от значения Ет приводят также искажения, вызванные ротацией элементов мезоуровня, которые вносят вклад в (еш >. Такие искажения будут существенны настолько, насколько велики интенсивности ротаций элементов мезоуровня относительно подвижной системы координат, вращение которой определяется средним значением их ротаций, т.е. при более высоких значениях дисперсии распределения ротаций элементов мезоуровня можно ожидать более значительных отклонений.

Ниже представлены результаты численных расчетов, которые показывают, насколько существенен вклад тех или иных составляющих при различных типах нагру-жения. Тензоры, значения компонент которых (в базисе подвижной системы координат) определялись в численных экспериментах:

1) точное значение неголономной меры деформированного состояния, определяемой численно коротаци-онным интегрированием в базисе подвижной системы координат; отметим, что при нагружении в терминах подвижной системы координат именно транспонированный градиент скорости относительных перемещений VVт - П является заданным на протяжении всего

процесса:

t t

о о

2) тензор, в предположении пренебрежимой малости упругих искажений характеризующий средние по представительному объему неупругие деформации, реализуемые сдвигами (8):

1 N М

Ет = ^ ЕЕу

N п=1 к=1

3) тензор, характеризующий вклад средних значений коротационных слагаемых:

(t N \

(еш > =

1

Ю(п) - ю

1 п) • е

Я

N ^ 0 п=1 ,

4) тензор упругих деформаций, получаемый вычитанием из тензора полных деформаций остальных составляющих:

Ее= Е0- Ет-<еш >.

Таким образом, чем меньше нормы тензоров Ее, (еш >, тем ближе значение средних сдвиговых деформаций в представительном объеме к значению неголономной меры и тем меньше вклад упругих искажений и корота-ционной составляющей.

Для оценки близости тензоров Еп и Ет ниже на графиках изображены зависимости модулей введенных тензоров от естественного времени процесса деформирования:

Е„(*) = } |е^оя (т)| ёт,

модуль тензора определен следующим образом:

Отметим, что данный параметр Е5 (ь) является неубывающим для любого процесса деформирования и характеризует длину траектории деформаций в соответствующем пространстве. Значение модуля тензора деформаций с течением времени в общем случае может принимать значения в полуинтервале [0, -+»). Например, для циклического сжатия/растяжения модуль тензора деформаций будет изменяться в пределах [0, Етах], где Етах — амплитуда, а значение естественного времени будет постоянно расти, кроме интервалов времени, на

которых

I Е

соя

(т)| = о.

В качестве тестовых нагружений (в терминах подвижной системы координат) были приняты следующие:

1) одноосная осадка вдоль оси 1 до 0.5;

2) сдвиг в плоскости 12 до 0.5;

3) последовательные сдвиги в плоскостях 12 и 13 до 0.25 на каждом этапе нагружения;

4) окружность радиуса 0.1:

Г(ЕПХз = 0.Ып(2ж), tе [0,1],

|(ЕП )23 = 0.1 - 0.1005(2^), t е [0,1].

- Осадка

0.4-

св S Он о И 0.2-

0.0-

lili 0.0 0.2 Es 0.4 i

- Сдв иг-сдвиг

0.4-

св S Он о И 0.2-

о.о-

i i i i 0.0 0.2 Es 0.4 i

1 1 1 1 0.0 0.2 Es 0.4 i

_ Окружность l£

>

Он о К 0.2- КО

0.0-

1 1 1 1 0.0 0.2 i i 0.4 1

Рис. 1. Зависимости модулей тензоров Е^, Е1П, Ее,

На рис. 1 представлены зависимости норм введенных выше тензоров от накопленных деформаций при различных видах нагружений.

Из представленных зависимостей модулей тензоров Е^, Е1П, Ее, (е ю) при одноосной осадке, сдвиге, комбинации сдвигов в двух плоскостях и при нагружении по окружности, видно, что при всех рассмотренных нагружениях значения модулей тензоров Е^, Е1П близки на протяжении всего процесса, модули тензоров Ее, (ею ) близки к нулю, что свидетельствует о близости значений компонент тензоров, характеризующих полные и неупругие деформации. Стоит отметить, что вклад

0.0 0.2 0.4 0.6

Рис. 2. Зависимости компонент тензоров Е ^, Е1П для нагру-жения по окружности

в значение тензора деформаций коротационной составляющей (ею) пренебрежимо мал для всех рассмотренных процессов.

Ниже на рис. 2 представлены зависимости компонент тензора деформации от накопленных полных деформаций для процесса нагружения 4, траектория которого представляет собой окружность (компоненты (Еа )13, (Еа ) 23 изменяются по закону синуса и косинуса соответственно). Существенными при таком нагружении являются только компоненты (Еа )13, (Еа ) 23 и (Е т)13, (Е т)23, остальные пренебрежимо малы и на графике не приведены. Отметим, что компоненты тензора полных деформаций, вычисляемого по формуле (22), и тензора, характеризующего средние сдвиговые деформации в объеме, близки — относительная разность не превышает 0.2 % в течение всех рассмотренных процессов нагружения.

5. Заключение

Рассмотрены вопросы определения физического смысла мер деформированного состояния, наиболее распространенных в настоящее время. Сделан вывод о необходимости введения меры, пригодной для случая больших градиентов перемещений и имеющей ясный физический смысл для произвольных видов нагружения. В качестве такой меры выбрана неголономная мера деформированного состояния, определяемая корота-

ционным интегрированием градиента относительных скоростей перемещений VVт - П. В рамках двухуровневой конститутивной модели было выдвинуто предположение о том, что данная неголономная мера в случае больших градиентов перемещений с большой степенью точности определяется средними сдвиговыми деформациями в представительном объеме. В ходе анализа было выявлено, что кроме сдвиговых деформаций вклад в значение меры вносят также упругие деформации и искажения, вызванные неоднородностью вращений кристаллитов представительного объема. Ввиду невозможности аналитического определения неголономной меры был проведен ряд численных экспериментов на различных траекториях деформирования. В результате было показано, что для всех рассмотренных типов нагру-жения значение неголономной меры деформирования с погрешностью не более 0.2 % равно среднему значению сумм по всем системам скольжения произведений накопленных сдвигов на базисные диады всех кристаллитов, составляющих представительный макрообъем. Таким образом, в серии численных экспериментов было показано, что в случае больших градиентов перемещений для различных типов нагружения введенная неголономная мера определяется средним значением сдвиговых деформаций в представительном макрообъеме.

Работа поддержана грантами РФФИ 14-01-00069-а, 13-01-96006-а-Урал.

Литература

1. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 490 с.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1970. -492 с.

4. НовожиловВ.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 374 с.

5. Работное Ю.Н. Сопротивление материалов. - М.: Физматгиз, 1962. - 456 с.

6. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

7. Грин А., Аткинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная

механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965. - 456 с.

8. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

9. Коларое Д., Балтое А., Бончееа Н. Механика пластических сред. -

М.: Мир, 1979. - 302 с.

10. КолтуновМ.А., Кравчук. А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. - М.: Высшая школа, 1983. -349 с.

11. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

12. Трусов П.В. О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2014. - № 2. - С. 220-237.

13. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 2. -P. 307-324.

14. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31.

15. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к оценке справедливости постулата изотропии Ильюшина в случае больших градиентов перемещений // Физ. мезомех. - 2015. - Т. 18. - № 1. - С. 23-37.

16. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 17-23.

17. ГультяевВ.И. Экспериментальное исследование процессов сложного деформирования материалов на многозвенных траекториях // Межвуз. сборник «Проблемы прочности и пластичности». Вып. 67. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - С. 95-98.

Поступила в редакцию 06.01.2015 г

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Янц Антон Юрьевич, асп. ПНИПУ, maximus5.59@gmail.com