Устойчивость стержней при продольном и поперечном ударе

I и искусственные сооружения

ют и при съёмке в условиях снегопада, дождя, тумана. При съёмке на открытой местности нельзя не учитывать влияние внешних источников излучения (солнечный свет или искусственное освещение). Если постороннее излучение является достаточно сильным по сравнению с рабочим сигналом, то его значительная часть может пройти через фильтр и будет способна повлиять на точность или даже на общую возможность выполнения работ. Большая часть перечисленных выше факторов влияния окружающей среды носит, как правило, случайный характер, их влияние выражается в увеличении мощности шумов на входе приемника. Отметим, что отношение «сигнал/шум» является одним из ограничений по дальности работы любого лазерного сканера.

Анализируя изложенное, можно сделать вывод о том, что с точки зрения соотношения параметров «производительность/точность/информативность» наземное лазерное сканирование наиболее предпочтительно для съёмки

объектов, близких к вертикальному положению (отвесные скальные участки, порталы тоннелей, фасады зданий, памятники, интерьеры помещений, цеха, цистерны и др.);

территорий с большой информационной насыщенностью (сложные участки железнодорожного полотна, железнодорожные узлы и станции, тоннели, мосты, укрепительные сооружения, заводские территории, городская инфраструктура, сложные технологические объекты);

естественных контуров местности при оптимальном расположении съёмочных площадок, в том числе снежного покрова на равнинном рельефе и небольших площадях.

Для лавиноопасной местности, имеющей горный или предгорный характер рельефа, по мнению авторов, желательно применять вертикальные методы съёмки, т. е. воздушные или космические методы дистанционного зондирования. Данные методы также являются оперативными, бесконтактными и неразрушающими, а точность результатов съемки зависит от метода и правильно подобранных параметров съёмки. В любом случае выбор инструментария и технологии съёмочных работ остается за пользователем.

Список литературы

1. Инструкция по обеспечению безопасности движения поездов и технике безопасности на лавиноопасных участках железнодорожного полотна ОАО «РЖД» / ОАО «РЖД». - М., 2009. - 73 с.

2. Назаров, А. С. Фотограмметрия [Текст] / А. С. Назаров. - Минск, 1986. - 368 с.

3. Бюхлер, В. Анализ точности лазерных сканирующих систем [Текст] / В. Бюхлер, М. Бордас Винсент, А. Марбс // Информационный бюллетень ГИС-ассоциации. - 2004. -№ 1 (43), 2 (44).

УДК 624.074: 539.3

В. Б. Мещеряков, Зо Лат Аунг

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ И ПОПЕРЕЧНОМ УДАРЕ

В статье рассматривается потеря устойчивости тонкостенного стержня при продольном и поперечном ударе массивного тела. Параметры контактной силы определяются на основе теории Г. Герца. Нелинейное интегральное уравнение решается численным методом Эйлера. Поведение стержня при потере устойчивости форм равновесия определяется на основе уточненного значения кривизны оси стержня. Колебания стержня после окончания удара рассматриваются с учетом сформировавшихся к этому моменту времени начальных условий.

Поведение стержней при ударе массивного тела рассматривается на основе концепции, изложенной в статье [1]. При достижении контактной силой при ударе критического значе-

ния возможна потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия при продольном ударе или плоской формы равновесия при поперечном ударе. Если напряжение в сечениях стержня остается в пределах упругости, то при снижении значения контактной силы восстанавливается форма равновесия и начинаются колебания с полученными в результате удара начальными условиями. В случае выхода напряжения за пределы упругости развиваются пластические деформации, исходные формы равновесия не восстанавливаются, возможно разрушение стержня.

Для контроля уровня напряжения необходимо знать величину перемещений, появляющихся при потере устойчивости. В линейной постановке эти перемещения остаются неопределенными. Задача может быть решена, если уравнения равновесия содержат уточненное значение кривизны оси стержня.

Рассмотрим удар массивного тела, падающего с некоторой высоты на колонну (рисунок 1). Контактная сила при продольном ударе определяется в соответствии с теорией Г. Герца [7] на основе решения нелинейного интегрального уравнения:

ш

к„

= У01-- [Р(т)а-т)с1х-и(РЛ), т X

здесь У0- начальная скорость удара; К0- контактная жесткость [4], зависящая от свойств соударяющихся тел.

Перемещение торцевого сечения может быть получено из решения волнового уравнения:

дъ1

д\

Решение уравнения (2) с использованием интегрального преобразования Лапласа [5] имеет такое выражение:

/7777

Рисунок 1 - Расчетная схема поведения стержня при продольном ударе массивного тела

и(РД) =

1

рАс,

-ехр

У7Г

2Ь 0

I оо I

]Р(Т)С1Т + 2£(-1)п |Р(х)ёх

О П=1 пи

,

2Ь

где I.:--- время пробега волны до конца стержня и обратно;

У — коэффициент внутреннего трения в материале стержня.

Для примера выбран двутавр № 16. Исходные данные приведены в таблице 1. Таблица 1 - Исходные данные для расчета поведения стержня при продольном ударе массивного тела

И, см Ь, см А, см2 т 4 1х, см К0,Нм4'5 У

16 300 20,2 58,6 3-Ю09 0,025

Критическая сила Р^. при шарнирном закреплении стержня на опорах оказалась равной

134,950 кН. Если при ударе будет достигнута эта величина сжимающей силы, то произойдет потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня. Нелинейная постановка задачи рассматривалась многими учеными, начиная с Эйлера. Воспользуемся результатами, изложенными в монографии В. В. Болотина [2]. Нелинейное дифференциальное уравнение равновесия с точным значением кривизны стержня имеет вид:

Е1

-1/2

+ Ру = 0.

Нелинейный множитель в уравнении (4) разлагаем в степенной ряд с удержанием двух слагаемых:

1- fdyl 2 -1/2 fdyl 2

Uz 2 Uz

Решение уравнения (4) методом Гаперкина можно представить в виде:

y(z) = у0 sm

2л/2

с ^^

TCZ

V 1 J

где у0 =

L

7Г

1

р,

h-

Выражение (6) используется в расчете, когда становятся известными значения сжимающей силы, превышающие Рь. Если материал стержня работает в упругой стадии, то прямолинейная форма равновесия восстанавливается при снижении значений сжимающей силы. После окончания удара начинаются затухающие продольные колебания стержня.

Параметры процесса зависят от массы ударяющего тела и начальной скорости удара. В таблице 2 приведены полученные результаты расчета, проведенного с шагом 1 мкс.

Таблица 2 - Максимальные значения параметров

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

Масса ударника, кг 7,5378

Начальная скорость удара, м/с 3

Длительность удара, мкс 1000

Контактная сила, кН 67,48

Реакция на опоре, кН 134,96

Напряжение сжатия, МПа 232,14

Длительность потери устойчивости, мкс 5

Отклонение среднего сечения, мм 17,73

Период колебаний после удара, мс 1,158

Вертикальное перемещение торца, мм 0,417

Скорость, м/с 2,212

Ускорение, a/g 2493

На рисунках 2-4 приведены графики изменения параметров во времени при ударе.

а б

Рисунок 2 - Контактная сила PK

/ -

Рисунок 3 - Перемещение центра тяжести среднего сечения при потере устойчивости

-0.2

-0.4

Рисунок 4 - Вертикальное перемещение и скорость центра тяжести торцевого сечения стержня

Рассмотрим центральный поперечный удар массивного тела по шарнирно закрепленному двутавру (рисунок 5). Исходные данные для расчета центрального поперечного удара массивного тела по шарнирно закрепленному двутавру приведены в таблице 3. Расчеты проведены в соответствии с концепцией [1] и с учетом деформаций сдвига при изгибе и кручении [6]. Аналитические выражения для расчета перемещения ударяемого тела в точке удара и изгибающего момента в среднем сечении:

2р1х

I То

н—ехр Мх

|с1т21 ат, |р(т)с1т+2^(-1)п | с1т2|с1т,|р(т)с1т

ооо П=1 пи о о

Ь Ч со t То Х[

|ат2|ат1|р(т)с1т+22]-1)п | с1т2|с1т,|р(т)с1т

I То

ООО

пЬ» 0 0

Мх(0Д) = -^ехр

1 со 1

|Р(т)с1т +2^(-1)п |р(т)с!т

п п=1 „к

№ 1(9) 2012

Здесь р- плотность материала; р,х=у—кхх; Е, О - модули упругости; кхх- коэффициент формы поперечного сечения [6], а также введено время пробега волн от точки удара до опоры и обратно (Ь - половина длины стержня): 1:* = 2Ь/с0 -волны поворота сечений,

1:** = t* цх - волны сдвига, р1 - первая частота изгибных колебаний.

Таблица 3 - Исходные данные для расчета центрального поперечного удара массивного тела по шарнирно закрепленному двутавру

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

Масса ударяющего тела ш, кг Начальная скорость удара Уо, м/с Площадь поперечного сечения двутавра №60 А, м2 Длина двутавра 2Ь, м Моменты инерции 1х и 1у, м4 Секториальный момент инерции 1ш, мб Момент инерции чистого кручения м4 Коэффициенты формы сечения 1<хх, кшсо 15,5599 3,7 0,0138 10 7,68-Ю~04; 1,725-Ю-05 1,3-КГ06 1,24-10"06 1,985; 1,427

Р

Р

О.

О

2Ь

Рисунок 5 - Двутавровый стержень, испытывающий поперечный удар в среднем сечении

Критическая сила Рь при шарнирном закреплении стержня на опорах с учетом деформаций сдвига имеет такое выражение:

5,395

Ркг =

Лс

где

лю=1+-

г2 =

ЕТ

А

712 к.

N.. =

712 ЕТ

(2Ь)2

К. =

7г2Е1С0 + Ша(2Ь)2

г2(2Ь)2

, 712к,

Лх=1 +

ОА(2Ь)2'

О А г2

Для двутавра № 60 критическая сила оказалась равной 115,05101 кН. Если при ударе будет достигнута эта величина сжимающей силы, то произойдет потеря устойчивости плоской формы изгиба стержня. При этом в линейной постановке горизонтальное перемещение точек оси стержня и углы закручивания сечений остаются неопределенными.

Нелинейную постановку задачи рассмотрим по аналогии со случаем продольного удара. Система дифференциальных уравнений равновесия с точным значением кривизны оси стержня при изгибе имеет вид (деформации сдвига здесь не учитываются):

ЕТ

d4

у dz: 12

1-

dz

-1/2

-M„(z)5.=0;

El

o.

dz2

Не приводя подробностей, отметим необходимые действия для решения системы уравнений (10). Нелинейный множитель в первом из уравнений (10) разлагаем в степенной ряд с удержанием двух слагаемых:

1- fdO 2 -1/2

l dz J

л2

dz

Изгибающий момент в плоскости наибольшей жесткости от сосредоточенной силы в среднем сечении (см. рисунок 5) имеет такое выражение:

Pz

Mx(z) = — при 0<z<L;

P

Мх(z) = —--при L < z < 2L.

71Z

Зададим неизвестные функции в согласии с граничными условиями:

^х = fx sin

L = 4 sin

v2Ly

71Z

v2Ly

Подставляя выражения (11) — (15) в систему уравнений (10), пользуясь по методу Галер-кина условиями ортогональности, приходим к такому решению:

f =

f =

W2L —\

W2L

Г \2 V ^kr J

N.

N г2 \

со ]

г \2 р

V кг у

-1

Выражения (16) используются в расчете, когда значения контактной силы начинают превышать Ркг. Если материал стержня работает в упругой стадии, то плоская форма изгиба

восстанавливается при снижении значений контактной силы.

Для контроля напряжения необходимо получить значения внутренних силовые параметров, возникающих в сечениях при потере устойчивости плоской формы изгиба. Используем выражения (15):

Mv(z) = -EIv^^ = EI.

у dz2

71"

f,. sin

71Z

2 x

v2Ly

N:n1'9) =ИВНЕСТИЯ Транссиба юз

B[0(z) = -EIc

dz2

= ET

f„ sin

2 со

v2Ly

Максимальные значения этих параметров реализуются в среднем сечении стержня. Напряжение вычисляется по известным формулам. После восстановления плоской формы изгиба и окончания удара начинаются затухающие изгибные колебания стержня.

В таблицах 4-6 приведены результаты расчетов. На рисунке 6 показан график изменения во времени контактной силы и ускорения центра тяжести среднего сечения в процессе удара и после его окончания. Ерафики, представленные пунктирными линиями, не учитывают деформаций сдвига, получены по теории В. 3. Власова [3].

Рк(0

Рисунок 6 - Контактная сила (а) и ускорение центра тяжести среднего сечения (б) Таблица 4 - Максимальные значения параметров при ударе

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

с учетом сдвигов без учета сдвигов

Контактная сила, кН 115,05396 125,81

Перемещение, мм 2,68 1,93

Скорость, м/с 11,66 8,75

Ускорение, a/g 2890 2339

Изгибающий момент, кНм 116,18 138,14

Нормальное напряжение С>х, МПа 45.4 54,0

Таблица 5 -Максимальные значения параметров при потере устойчивости

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

Момент начала, мкс 418,0

Перемещение центра тяжести, мм 64, 5

Угол закручивания, рад 0,109

Момент окончания, мкс 420,8

Длительность потери устойчивости, мкс 2,8

Напряжение от изгиба С> у, МПа 127,0

Напряжение от кручения (Т , МПа 64,3

Сумма напряжение С7Х + С7у + (Тю, МПа 236,7

На рисунках 7-9 показаны перемещение центра тяжести, угол закручивания среднего сечения при потере устойчивости, изгибающий момент в среднем сечении и ускорение центра тяжести при колебаниях после удара.

/ - / -

а б

Рисунок 7 - Перемещение центра тяжести

при потере устойчивости

Рисунок 8 - Перемещение (а) и скорость центра тяжести среднего сечения (б) при колебаниях после удара

Таблица 6 - Максимальные значения параметров при колебаниях после удара

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

с учетом сдвигов без учета сдвигов

Период колебаний, мс 53,67 53,02

Перемещение, мм 75,35 65,92

Скорость, м/с 8,99 7,96

Ускорение, a/g 105 94

В заключение отметим, что использование нелинейных уравнений с уточненным значением кривизны оси стержня дает возможность описать процессы потери устойчивости прямолинейной формы динамического равновесия и плоской формы изгиба, а также восстановления этих форм при работе материала стержня в упругой стадии.

№ 1(9) 2012

и искусственные сооружения

В рассмотренном примере контактная сила при ударе превысила критическое значение всего на 0,0026 %. На практике не приходится рассчитывать на восстановление плоской формы изгиба при ударе.

а б

Рисунок 9 - Изгибающий момент в среднем сечении

при колебаниях после удара

Решение задачи с учетом деформаций сдвига при изгибе и кручении приводит к существенному уточнению контактной силы при ударе (см. рисунок 6). Если не учитывать деформации сдвига, то при тех же значениях массы ударника и его начальной скорости в стержне прогнозируются напряжения, далеко выходящие за пределы упругости. При этом плоская форма изгиба не восстанавливается.

Список литературы

1. Аунг, 3. J1. Концепция исследования упругого удара по стержню [Текст] / Зо Лат Аунг, В. Б. Мещеряков // Вестник МИИТа. - 2011. - Вып. 24. - С. 40 - 51.

2. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. -М.: Еостехтеориздат, 1956. - 600 с.

3. Власов, В. 3. Тонкостенные упругие стержни [Текст] / В. 3. Власов - М.: Стройиздат, 1940; М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

4. Еольдсмит, В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел [Текст] / В. Еольдсмит - М.: Стройиздат, 1965. - 447 с.

5. Корн, Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Е. Корн, Т. Корн - М.: Наука, 1977. - 832 с.

6. Мещеряков, В. Б. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля [Текст] / В. Б. Мещеряков, Е. В.Чефанова // Вестник МИИТа. - 2000. - Вып. 3. - С. 123 - 130.

7. Hertz, Н. Über die Beruhrung fester elastisher Korper (On the contact of the elastic solids) / H. Hertz // J. Reine und Angewandte Mathematik, 1882. - В. 92. - S. 156-171.