Влияние низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на распространение нелинейных импульсов в длинных линиях с дисперсией

УДК 621.3; 530.1

ВЛИЯНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ С ДИСПЕРСИЕЙ

В.Ю. БЕЛАШОВ, Е.С. БЕЛАШОВА Казанский государственный энергетический университет

Аналитически исследовано влияние низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на распространение импульсов ВТН в длинных линиях с дисперсией, включающих нелинейные элементы. Показано, что даже в пренебрежении потерями под влиянием внешних (по отношению к импульсу) низкочастотных флуктуаций импульс деформируется, причем, асимптотически, его характерный размер вдоль направления распространения и амплитуда изменяются,

соответственно, как ^3/2 и ^_3/2.

Ключевые слова: длинные линии, нелинейная нагрузка, волны тока и напряжения, уравнение КдВ, стохастические колебания.

1. Основные уравнения и постановка задачи

Распространение нелинейных волновых импульсов тока и напряжения (ВТН) в длинных линиях с распределенными параметрами, возбуждаемых внешними источниками электромагнитного поля, изучалось теоретически и численно в работах [1, 2]. При этом в [1] для неоднородных телеграфных уравнений, описывающих ВТН в линиях с линейной нагрузкой, были получены точные аналитические решения для источников типа удаленного разряда молнии, индуцирующих ВТН вследствие растекания зарядов, «подтянутых» электростатическим полем грозового облака. Для линий с нелинейной нагрузкой возникающая при этом система неоднородных уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ) решалась численно с использованием развитых в [2, 3] методов численного интегрирования нелинейных систем. Однако и в том, и в другом случае предполагалось, что низкочастотные (по сравнению с характеристической длиной импульса) колебания тока и напряжения в линии изначально отсутствуют. Реально же практически всегда мы встречаемся на практике с ситуацией, когда на распространяющиеся в линиях сигналы (например, в сетях управления) оказывают свое влияние внешние ЭМ поля, генерируемые близрасположенным электрооборудованием промышленного или энергетического объекта, суммарное воздействие которых на линию носит хорошо выраженный хаотический характер. Такое воздействие, в результате, можно в достаточно хорошем приближении рассматривать как стохастические флуктуации индуцируемого в линии тока (и, соответственно, напряжения), частоты которых (порядка промышленной частоты) существенно меньше характерных частот управляющих импульсов ВТН, распространяющихся по сети.

В настоящей работе изучается влияние такого рода низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на характер распространения импульсов ВТН, распространяющихся в длинных линиях, включающих нелинейные элементы (например, полупроводниковые (параметрические) диоды, варисторы или

© В.Ю. Белашов, Е.С. Белашова Проблемы энергетики, 2011, № 3-4

разрядники в качестве нелинейных емкостей и др.) с дисперсией, определяемой наличием в линии индуктивных элементов. Для линии, элемент которой показан на рис. 1, уравнения, описывающие распространение ВТН, имеют вид системы уравнений КдВ, учитывающих возможные потери в линии [2]:

д ¡I + (а11 д хи + р15 Хи + М)/Ь = 0, д и + (а 2и д Х1 + р 2д 3Х1 + Ои)/С = 0,

-»< х <х>, ¡ > 0.

где Я, С, Ь, О - распределенные параметры: сопротивление, емкость, индуктивность и коэффициент утечки (проводимость), рассчитанные на единицу длины; а1, а 2 и и 1, р2 - параметры, определяющие вклад, соответственно, нелинейных и дисперсионных эффектов. Следуя [3], перепишем уравнения (1) в безразмерном виде:

Х+(1\~

Рис. 1. Элемент длинной линии с магнитной связью

д ¡I+«11д хи+р1д Хи+~11 = о, д и + ~2ид Х1 + ~2д 3Х1 + ~2и = 0,

где коэффициенты «1,2, Р1,2, У1,2 также являются безразмерными, и для

упрощения анализа будем вначале предполагать, что потери в линии пренебрежимо малы: у^ «0, поскольку их наличие может при исследовании

"маскировать" эффекты, обусловленные воздействием стохастических флуктуаций тока и напряжения на распространение импульса ВТН (влияние потерь обсудим в завершающей части работы). Рассмотрим одно (любое) из полученных таким образом уравнений и, опустив «тильды» и индексы при коэффициентах, а также предполагая, например, для первого уравнения (2), что на временах, много меньших характеристического периода флуктуаций, ток и напряжение связаны линейным соотношением и = 1Я, запишем

д и + аид хи + рд Ъхи = 0, где а = а1, р = ~1 Я.

Для упрощения выполним замену и ^ -(6/а)и и введем в уравнение член, описывающий стохастические флуктуации:

д¡и - 6идхи + дхи - п(^) = 0.

Уравнение (3) представляет собой так называемое «стохастическое» уравнение КдВ, впервые (безотносительно к типу среды) исследованное М. Вадати [4]. Из [3, 5] известно, что это уравнение при п (¡)=0 описывает эволюцию нелинейных волн и солитонов в самых разнообразных средах с дисперсией. Для определенности будем исследовать влияние стохастических колебаний тока и напряжения в линии на солитон уравнения КдВ, поскольку при п (¡)=0 он является устойчивым образованием и распространяется без изменения своей формы и скорости, хотя осуществляемый ниже подход является достаточно общим (так, в разд. 2 решается задача для волн любого типа, описываемых

уравнением, в общей постановке).

В уравнении (3) п (г) описывает внешний "шум", когда характеристические размеры солитона ВТН 4 много меньше когерентной длины шума 1п. Это является частным случаем более общего, когда внешний шум описывается членом вида П (х,г). Однако, будучи более простым для аналитического изучения, рассматриваемый частный случай позволяет получить точный результат и дает нам информацию, которая является весьма полезной и для более общей ситуации,

когда > 1п.

2. Общее точное решение

Прежде всего заметим, что уравнение (1) связано с уравнением КдВ: ду - 6Уд¡У + д^У = 0 преобразованием Галилея:

г

и

¡= х + т((), т(( )= W ((

и, следовательно, является полностью интегрируемой системой и может быть проинтегрировано методом ОЗР [6]. Следуя анализу, выполненному в [4], будем предполагать, что внешний шум п (г) является гауссовским:

(л(г1)л('2)."Л('п)) = 0 (нечетные п);

= )ц

и белым (п(г)п(г ')) = 2гб(г - г'). Здесь угловые скобки ( ) обозначают статистическое усреднение, а символы ЕП, как и в работе [4], означают, что мы выбираем п/2 пар (г,, г'), умножаем п/2 раз и суммируем по всем

различным (п-1)!! В этом случае для W(t) будем иметь: ^ (()) = 0, ^ (^ )W (г 2 )) = атш^, ),

с = говд^

Рассмотрим вначале задачу в наиболее общей постановке. Пусть функционал от У(, ^) имеет следующий вид:

^ [у

Рассматривая преобразование Фурье

F(, 2- |dkF (,k)ек, #(, k)= / (, ф-кх,

-го -го

с учетом флуктуаций координаты 4 получаем [3]

#

го

где , к) = #

-го

Статистически усредняя, будем иметь

где для О(к )= (ехр[г'кт^)]], используя (5) и (6), можно записать

О

Уравнение (10) показывает, что усредненный спектр (8) функционала # [[(, 4, у)] есть произведение #(¡, к, у) в отсутствие шума (9) и гауссовского распределения (11). Таким образом, имеем

1

F[, |)]] =

-го

Используя теорему о свертке, можно также получить из решения (12) [4] го

-го

го —1/2

где G(s) = 2- JdkG(k)eiks = |2^m2(t) exp[— s2/2 ^m2(t)) . -го

Полученные выражения (12) и (13) могут быть теперь использованы для исследования динамического поведения солитонов уравнения (3), которое мы сейчас и рассмотрим.

3. Динамика солитонов уравнения КдВ

В качестве примера исследуем случай, когда F [V((, £)] (7) является функционалом односолитонного решения уравнения (3). Вычисляя Fq ((, k) и G(k) по формулам (9) и (11), можно легко найти ^F(t, k) и затем получить (u(t, x)) .

Воспользуемся, однако, более наглядным и простым способом, предложенным в работе [4]. Рассмотрим решение

у((,х)= —2у2 зееЬ2[у(х - х0)- 4у3г ]

(V — константа, имеющая смысл собственного значения, отвечающего солитону — см. [6]) и, учитывая замену х + т(() и формулы (4), запишем решение в виде

и ((, х)= Ж(1)— 2у2 зееЬ2 V (х — х0 )— 4у3г + 6у Ж(г ')йг'

0

Далее, беря статистическое среднее и используя при этом формулы (5), (6), получим

(и(, х)) = —2у2^ееЬ2 у(х — х0)— 4у3г + 6у /^(г 2п | у (х — х0 )— 4у3г + 6у Ж(г')йг'

= 8у2 X (— 1)П^ ехр

п=1 \

Второе и третье соотношения (6) дают [3]

^ехр{ 12пк /V(г= ехр{1(12пк) /0й^/0 й^)((2))} =

= ехр (48п2у 2гг3 ), г > 0.

Таким образом, будем иметь

2

(и(,х)) = 8у2 X(— 1)ппепа+п Ь,

п=1

где а = 2 [ у (х — х0) — 4у 3г ]; Ь = 48у 2 г г 3.

Отметим, что формула (15) получена в предположении, что "шум" является гауссовским. Для "шума", не являющегося белым, выражение для параметра Ь (16) будет более сложным. Следуя [3], из (15) получим

дь(и(г, х)) = ди(г,х), ,х))|ь=0 = —2у2 вееЬ2(а/2).

Из первого равенства (17) следует, что динамическое поведение солитона стохастического уравнения КдВ описывается уравнением диффузии, где роль времени играет параметр Ь, а роль пространственной координаты - а. Заметим, что уравнение (15) может быть записано в форме преобразования Фурье, и тогда решение уравнений (17) примет вид

(и(г, х)) = —8у2 /

2 { йк пк ^—ьи2 е1ак

2п зшЬ пк

Формула

представляет собой произведение чисто солитонной части — 8у пк/ зшЬ пк и диффузионной части ехр(— Ьк2). Используя теорему о свертке, решение (18) можно

—от

переписать в форме [5]

V2 -

л/Ль

(и(,х)) =—^ / ^«ееЬ2(ж/2)ехр[- (а - ж)2/4Ь ].

Основываясь на результате (18), рассмотрим теперь динамическое поведение солитона при наличии гауссовского "шума". Согласно [5], из (18) можно получить:

а) при Ь = 48у2г*3 < 1

сю 1 д2п

Пп! д а

п=0

б) при Ь >1

<и((, х)=- 1+ у (22п - 2в п2п л л/Л п=1 (2п)! д Ьп

-1= е~а2/4Ь ,

уЬ

где Вп - числа Бернулли. Выражения (19) показывают, что при * = 0 (и(*, х определяется правой частью формулы (14) с * = 0 , а при * ^сю

(и((,х)) =—* 3/2 ехр л/3я£

(X - х0 - 4у2*)2 48г13

Из последнего выражения видно, что при эволюции в результате воздействия внешнего "шума" солитон деформируется, причем, асимптотически, его характерный размер вдоль направления распространения и амплитуда

изменяются, соответственно, как *3/2 и *_3/2, что не является следствием диффузионных или диссипативных эффектов, которые можно было бы связать с потерями, поскольку область, занимаемая солитоном, является инвариантом, т.е.

интеграл J (и((, х)) dх сохраняется. Это легко проверить прямым вычислением:

Г < и((,х) dх = -8V2 и Г е-Ьк2ешк =

«1-ю \ " J J 2я зшЬпк

-Ю -ю

= 2 Г ^-^е^пбМ^.

2п зшЬ пк

-ю

В заключение заметим, что выше мы рассмотрели влияние на структуру и эволюцию солитона КдВ, описывающего импульс ВТН, стохастических колебаний, присутствующих в системе (в нашем случае, в линии), - внешнего (по отношению к распространяющемуся в линии импульсу) белого "шума" вида п (*). В более общем случае уравнение КдВ может принимать вид [4]

д*и - 6идхи + д^и + уи - п

(причем четвертый член - ср. (20) с уравнениями (2) - описывает потери в линии), однако проведенный анализ остается справедливым, когда характеристическое

время ts << 1/у и характеристический размер солитона ls << ln (ln - когерентная "длина" шума). В случае, когда ls ~ ln , преобразование Галилея (4) оказывается

уже неверным и необходимо обобщить метод обратной задачи рассеяния, как это было сделано, например, для уравнения КдВ в работах [7, 8]. Получить же точные (аналитические) решения уравнения (20) не представляется возможным и единственным путем исследования динамики его решений остается численное интегрирование, которое может быть успешно осуществлено с использованием методов, развитых в [2, 3, 5].

Summary

Influence of low-frequency fluctuations of a current and voltage on propagation of the impulses of the current and voltage waves in long lines with a dispersion, including nonlinear elements is analytically investigated. It is shown, what even in neglect losses the impulse is deformed under influence of the external (in relation to an impulse) low-frequency fluctuations, and, asymptotically, its characteristic size along a direction of

propagation and amplitude vary, accordingly, as well as t3/2 and t_3/2.

Key words: long lines, nonlinear loading, waves of current and voltage, KdV equation, stochastic fluctuations

Литература

1. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной нагрузкой // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2006. № 11-12. С. 25-34.

2. Белашова Е.С. Математическое моделирование распространения нелинейных импульсов в линиях с дисперсией и потерями // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2007. № 5-6. С. 35-40.

3. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. 205 с.

4. Wadati M. Stochastic Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Jap., 1983. V. 52. P. 2642-2648.

5. Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 2005. 303 p.

6. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

7. Белашов В.Ю. Эволюция солитонов КдВ на "этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

8. Мозес Г. Обобщение обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера и соответствующие приложения к уравнению Кортевега-де Вриза. Вариационный принцип. В кн.: Солитоны в действии / Пер. c англ. под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Мир, 1981. С. 2-44.

Поступила в редакцию 15 февраля 2011 г

Белашов Василий Юрьевич - докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 519-43-44. E-mail: v_belashov@yahoo.com.

Белашова Елена Семеновна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Инженерная кибернетика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: (843) 519-42-64.