Синтез системы управления с эталонной моделью в условиях параметрической неопределенности объекта управления и наличия внешнего возмущения

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 4 (1), с. 204-207

УДК 004.93+62-50

СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ И НАЛИЧИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ

© 2013 г. И.С. Гельфер, И.В. Котельников, Л.Г. Теклина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

neymark@pmk.unn.ru

Поступила в редакцию 31.05.2013

Рассматривается задача построения системы управления с эталонной моделью для линейного динамического объекта с неизвестными параметрами при наличии неконтролируемого внешнего возмущения. Для ее решения предлагается использовать новый подход: синтез системы квазиинвариант-ного управления методами распознавания образов.

Ключевые слова: динамическая система, квазиинвариантное управление, распознавание образов.

Введение

Задача управления динамическим объектом в условиях его априорной параметрической не-определённости не является новой. Существует множество методов её решения на основе адаптивного управления, но интерес к этой проблеме не угасает. Не менее актуальной является и другая задача - поиск методов управления динамической системой при наличии неизвестного внешнего возмущения. Имеется большое количество публикаций, где предлагаются различные подходы и методы решения этой проблемы, основанные на получении тех или иных оценок возмущения и его производных. Одним из новых подходов к решению этой задачи является квазиинвариантное управление [1, 2]. В работе рассматривается возможность одновременного решения обеих проблем путем синтеза системы квазиинвариантного управления.

Квазиинвариантное управление не является оптимальным. С его помощью можно получить множество равноправных решений. Именно этот факт позволяет использовать методы распознавания образов и с их помощью получить в качестве решения не единственный набор, а целую область значений параметров, удовлетворяющих целевой функции управления. Отличительной особенностью такого решения является его статистический характер с оценкой степени достоверности полученных результатов.

Квазиинвариантное управление было успешно применено для управления линейным динамическим объектом, когда параметры объекта известны и требовалось найти только параметры управляющей функции [3]. В настоящей работе предлагается использовать квазиин-вариантное управление и в том случае, когда

неизвестны не только параметры управляющей функции, но и параметры самого объекта управления.

Рассмотрим предлагаемый подход на примере задачи синтеза системы слежения.

Постановка задачи

Рассматривается задача управления линейным динамическим объектом с эталонной моделью при условии внешнего воздействия на объект [4, 5]. Объект описывается уравнением

эталонная модель задана в виде

где Р = & - оператор дифференцирования,

&

a = (а1,..., ап) - неизвестные параметры объекта, у(?) - регулируемая величина, и(?) - управление, £,(?) - неизвестное ограниченное по величине внешнее воздействие на объект, у*(0 -выход эталонной модели, я (?) - задающее воздействие. Цель управления заключается в достижении требуемой величины ошибки управления | е(?) |=| у(?) - у*(?) |< 8 , 8 - заданная величина точности управления при заданных начальных условиях в фазовом пространстве системы.

Согласно [1, 2] управление выбираем в виде

ци

соответствующем системе квазиинвариантного управления минимальной сложности. Здесь (&1,..., &п-1, ц) - вектор неизвестных параметров управляющей функции.

Подстановкой (3) в (1) и заменой переменных у*(?) = У!(?), у(?) = Уп+1(?) уравнения (1), (2) переводятся в систему дифференциальных уравнений 2п-го порядка:

У&) = Уг(?),

Уп-1(?) = Уп (?),

;йп(?) = -]^ ьп+1-,у,- (0 + я(?),

,=1

.Уп+1

•V2п-1(?) = У2п (?),

п-1 — 1 У2п (?) =^ — У,- (?) + - Уп (?) -

И ц ц

-2^ап+1-, + —^^уп+, (?) -^а1 +"Ц^у2п (?) + ^(?).

Ошибка управления принимает вид

Для системы уравнений (4) необходимо най-

ти область Й* в пространстве параметров Й = (ш = (а1,...,ап,-1,...,-п-1,ц)}, в которой выполняется условие (5). Для решения этой задачи будем использовать методы распознавания образов - статистические методы, значит, результаты решения имеют статистический характер и требуют оценки степени их статистической достоверности. Ставится задача отыскания и описания не всех возможных значений неизвестных параметров, а хотя бы некоторого

их подмножества Й* с Й* достаточно простой конфигурации, но определяемого с заданной высокой степенью статистической достоверности. В зависимости от вида области Й возможны два варианта решения:

- для каждого набора параметров (а1,...,ап) объекта управления существует своя область параметров (—1,..., —п-1, ц) для управляющей функции;

- для любого набора параметров (а1,...,ап) область изменения параметров (—1,..., —п-1,ц) неизменна.

Для того чтобы область параметров управляющей функции была одной и той же для всех параметров объекта управления, т.е. выбор (—1,..., —п-1,ц) не зависел от выбора (а1,...,ап),

искомая область Й должна представлять собой цилиндрическое множество, определяемое множеством А = (а = (а1,...,ап)} и совокупностью линейных функций ф,(ш) = а!, , = 1,...,п,

так что Й* = (ш \(ф1(ш),..., фп (ш)) е А*}. Простейшим типом такого множества является параллелепипед.

Решение задачи методами распознавания

Решение реализуется в два этапа:

1. Построение области параметров Й0 с Й, удовлетворяющей условию устойчивости динамической системы (4): все собственные значения матрицы коэффициентов F системы уравнений (4) имеют отрицательные действительные части.

2. Построение области параметров Й* с Й0, удовлетворяющей целевому условию управления (5).

Каждый этап реализуется последовательным выполнением трех процедур:

a) поиск точки С в пространстве Й с координатами значений параметров, удовлетворяющих целевому условию этапа;

b) формирование обучающей выборки на основе выбранной точки С с использованием гипотезы компактности искомого множества;

c) построение решающего правила, отвечающего заданной степени статистической достоверности.

На первом этапе процедура (а) реализуется путем решения задачи минимизации методом случайного спуска по величине т максимума действительной части собственных значений матрицы F с помощью функций из библиотеки МА^АВ:

т = min(max(real(eigen(F)))),

шеЙ

спуск реализуется до величины т0 < 0.

На втором этапе процедура (а) реализуется путем решения задачи минимизации случайным спуском по величине

1 е(? )|= тп 1 Уп+1(?) - У1(?)|

шеЙо

до значения е0 <8 .

Процедура (Ь) формирует обучающую последовательность путем случайного выбора параметров на основе равномерного распределения из некоторой области G, представляющей собой окрестность найденной точки С. Требования к области G состоят в том, что она должна включать как точки со значениями параметров, удовлетворяющими цели этапа, так и точки, не удовлетворяющие поставленной цели. Это сделать несложно простым расширением области G. К классу 1 относятся все точки, для которых выполняется целевая функция этапа. Все остальные точки относятся к классу 2.

По найденным обучающим выборкам строятся синдромальные решающие правила [6] (процедура (с)). Из полученных синдромов (параллелепипедов) решающего правила для класса 1 выбирается синдром S максимального объёма. Оценка достоверности синдрома D = Nj/ N, где N - число объектов класса 1, N - число объектов обучающей выборки. Если D > D*, где D * - заданная оценка достоверности, то полученный синдром S принимается за область параметров, удовлетворяющих целевой функции этапа. В противном случае S принимается за новую область, из которой формируется новая обучающая выборка, и аналогично строится новый синдром более высокой достоверности.

Результаты исследования конкретной модели

В качестве иллюстрации возможностей применения предложенного подхода рассмотрим результаты исследования конкретной модели [4].

Объект описывается линейным уравнением порядка n = 3 :

(P3 + axP2 + a2P + a3)y(t) = -u(t) + E,(t), а эталонная модель задана в виде

(P3 + 3P2 + 3P +1)y* (t) = 1 + sin t.

При наличии возмущения \(Х) = csin(wt) для начальных условий у (0) = у2 (0) = y3(0) = 0, У4(0) = У5(0) = У6(0) = 1 и следующих требованиях, предъявляемых к системе управления: § = 0.01, D* = 0.99, - синтезировано управление вида

|au(t) = (P2 + dxP + d2)(у - у*), где искомые параметры могут принимать любые значения из области

1.03092 < a < 1.90780

2.25237 < a < 3.34018

Й*

-0.09175 < a3 < -0.00021

3.27319 < d1 < 4.41151

1.09032 < d2 < 2.16698 0.02489 <ц< 0.02919

Эта область - результат последовательного решения двух задач распознавания:

"1.02749 < а1 < 4.99537 2.24497 < а < 7.14240

S1 =

-0.11142 < a3 < 5.91б74 0.83582 < d1 < 5.б7347 0.10519 < d2 < 4.50503 0.00034 <ц< 1.15355

S2 =

1.03092 < a1 < 1.90780

2.25237 < a2 < 3.34018 -0.09175 < a3 < -0.00021

3.27319 < d1 < 4.41151

1.09032 < d < 2.1бб98

0.02489 <ц< 0.02919

где 51 (область устойчивости) и (область параметров, отвечающих цели управления) -шестимерные синдромы (параллелепипеды), полученные на соответствующих этапах. Синдром 51 получен на обучающей выборке из 50000 объектов с достоверностью D =0.99962. Синдром 52 получен на обучающей выборке из 10000 объектов с достоверностью D =0.9981. Результаты проверены на независимых контрольных выборках таких же объёмов.

Рассматриваемая задача является задачей слежения. Выход объекта должен с заданной точностью отслеживать выход эталонной модели. Процесс слежения представлен на рисунках 1-3. На них показаны в зависимости от времени: выход эталонной модели у^), выход объекта у4^), ошибка управления | в(і) |=| у^) - у4^) |, внешнее воздействие ) и уровень заданной точности управления 8.

На рис. 1 наблюдение процесса слежения затруднено изображением кривой внешнего воздействия ), заполняющего практически весь рисунок. На рис. 2 ) не показано и можно

более четко увидеть процесс слежения. Из точки (0,0) выходит кривая выхода эталонной модели у1 (ї), из точки (0,1) - кривая выхода объекта управления у4^), из той же точки монотонно убывает кривая ошибки управления | е(01. На рис. 3 показаны фрагмент последней кривой в крупном масштабе и уровень 8 = 0.01.

Рис. 2. Процесс слежения без отображения E,

При t > 9.15 ошибка управления нигде не превосходит уровня 8 = 0.01.

Задача решалась при различных внешних воздействиях на объект. Во всех случаях получены положительные результаты. При этом на

полученной области параметров Й = S2 наиболее трудно компенсируются управляющим сигналом постоянные внешние воздействия ^) = с. Допустимые амплитуды их невелики (с < 0.34), т.е. приблизительно на уровне амплитуды переменной части сигнала эталонной модели. Изменяющиеся во времени и особенно высокочастотные внешние воздействия компенсируются легче и допускают большие значения амплитуды (с = 1.8 в рассмотренном примере).

Заключение

Полученные результаты позволяют говорить о возможности и эффективности применения предложенного подхода к решению задачи управления линейным динамическим объектом в условиях его априорной параметрической не-определённости и при наличии внешнего воздействия. Программное обеспечение распознавания образов и получения решения системы дифференциальных уравнений практически не имеют ограничений и позволяют исследовать системы управления высокого порядка с большим числом параметров. Хотелось бы отметить и еще один факт: синтез системы квазиинвари-антного управления методами распознавания

1

Рис. 3. Ошибка управления | e(t) |

образов помимо основной цели - компенсации внешнего воздействия на объект - позволяет по области параметров получить конкретную оценку робастной устойчивости исследуемой динамической системы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект М11-01-00379).

Список лumeраmуры

1. Неймарк Ю.И. О парадоксе и идеальном регуляторе Щипанова // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Математическое моделирование и оптимальное управление. 200б. Вып. 3(32). С. 83-88.

2. Неймарк Ю.И. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного управления // Автоматика и телемеханика. 2008. № 10. С. 48-5б.

3. Теклина Л.Г., Котельников И.В. Синтез линейной системы квазиинвариантного управления минимальной сложности методами интеллектуального анализа данных // Интеллектуализация обработки информации ИОИ-2012. Доклады 9-й Международной конференции. М.: Изд-во «ТОРУС ПРЕСС», 2012. С. 152-155.

4. Цыкунов А.М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 200б. № 8. C. 143-153.

5. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. C. 103-113.

6. Kotel’nikov I.V. A Syndrome Recognition Method Based on Optimal Irreducible Fuzzy Tests // Pattern Recognition and Image Analysis. 2001. V. 11. № 3. P. 553-559.

SYNTHESIS OF A CONTROL SYSTEM WITH A REFERENCE MODEL FOR A PARAMETRICALLY INDETERMINATE CONTROL OBJECT AND EXTERNAL PERTURBATIONS

I.S. Gel’fer, I. V. Kotel’nikov, L. G. Teklina

The problem of constructing a control system with a reference model for a linear dynamic object with unknown parameters in the presence of uncontrollable external perturbations is considered. A new approach is proposed to solve the problem through the synthesis of a quasi-invariant control system using pattern recognition methods.

Keywords: dynamic system, quasi-invariant control, pattern recognition.