Энтропийный анализ инвестиционной привлекательности компании

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Канд. физ.-мат. наук Т. В. Рыжкова

ЭНТРОПИЙНЫЙ АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ КОМПАНИИ

В статье рассмотрена методика энтропийного анализа инвестиционной привлекательности компании; введены энтропийные индикаторы потенциала связных финансовых показателей, включая рыночные показатели стоимости акций. Рассчитанные индикаторы сопоставлены для двух российских компаний.

Ключевые слова и словосочетания: энтропия, финансовые показатели компании, вероятностное пространство, доходность акции.

В настоящее время уже ни у кого не вызывает сомнения, что именно стохастическая математика является базисом современного экономико-математического моделирования. Введение нового междисциплинарного подхода в областях, изучающих нелинейные явления, расширило возможности применения методов теории информации, сложных систем в финансах, экономике, бизнесе. Для управления информационными процессами стал широко использоваться аппарат методов стохастической математики. Переход к нелинейной парадигме неоспоримо осуществился во взглядах на экономико-математическое моделирование, тем не менее практики продолжают работать согласно линейной парадигме, опираясь на центральную предельную теорему и нормальное распределение, часто вполне обоснованно и успешно.

В этой связи хотелось бы упомянуть, что еще Н. Винер предостерегал от соблазна неправильного применения математического аппарата физиков в социальных науках. В своей последней работе «Творец и робот» он писал: «Математика, которой пользуются социологи, и математическая физика, которую они берут за образец, - это математика и математическая физика середины прошлого века. Специалист по эконометрике может тщательно разработать сложную теорию спроса и предложения, товарных запасов и безработицы и т. д. при относительном или полном безразличии к методам, с помощью которых эти чрезвычайно изменчивые величины наблюдаются или измеряются. К количественным теориям подобного рода сейчас относятся почти с таким же безоговорочным доверием, с каким физики прошлого века относились к положениям физики Ньютона. Очень немногие экономисты отдают себе отчет в том, что если они всерьез намерены заимствовать существо

методов современной физики, а не только их внешние аксессуары, то математическая экономика должна начать с критического пересмотра своих количественны« характеристик и методов их сбора и измерений»1.

В свою очередь, прежде чем идеи кибернетики будут применимы в общественный науках, сначала их стоит испытать в технике и биологии. Революционным в физике стало описание Эйнштейном физического процесса, в котором случайность быша принята как объективное свойство процесса. Это бышо настолько невероятным, что Н. Винер писал даже о сомнениях, существовавших у Эйнштейна.

Концепция Гиббса в описании Винера состоит в том, что флуктуация частиц образуется как случайный выбор из ансамбля детерминированных миров. Такое описание вполне можно считать началом современной концепции фракталов. Сам термин «фрактал» был введен в 1975 г. Бенуа Мандельбротом. По его определению, фрактал есть некая цельная структура любой природы, состоящая из частей (субструктур), которые в том или ином смысле подобны целому. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале; фрактал может включать в себя субструктуры бесконечное число раз.

В соответствии с этим определением эффективным инструментом для описания фрактальных процессов и структур является функция, имеющая своим аргументом саму себя: /(л), /(/(л)), /(/(/(л))). Рекурсию можно осуществить несколькими способами, в том числе и через прямое произведение матриц. В таком произведении каждый элемент результирующей матрицы содержит исходную матрицу. С помощью матриц, как мы знаем, фиксируется определенная, чаще всего пространственная, организация. Следовательно, многократно произведенное прямое умножение позволяет мультиплицировать исходную структуру.

В течение последней трети XX в. исследователи, работающие над проблемами физики распознавания образов, передачи информации, управления информационными потоками, а также в ряде других областей, направляли свои усилия на обнаружение общих черт в нелинейных процессах, протекающих в сложных системах. В итоге это привело к построению междисциплинарного подхода, связывающего технические дисциплины между собой, а также с гуманитарными и социально-экономическими науками. Системы с хаотическим поведением вначале были обнаружены в гидродинамике, физике лазеров, химической кинетике, астрофизике и экологии. Анализ явлений в этих областях науки и техники позволил трактовать хаос как фундаментальное свойство материи. С математической точки зрения хаотический характер поведения

1 Винер Н. Творец и робот. - М. : Прогресс, 1966. - С. 98, 99.

систем непосредственно обусловлен нелинейными свойствами объекта. Осознание этого привело к тому, что был обнаружен хаотический характер поведения в экономических системах, к примеру, на рынках капитала. В экономике и финансах стали применяться фрактальные статистики, связанные с именем Херста. Так, при построении новых стохастических моделей ценообразования в стандартизованные методики расчета, например, по базовым формулам Ито или Блэка Шоулса, вводят фрактальную статистику Херста как дополнительный учет меры хаоса1.

Современные консалтинговые компании применяют фрактальную статистику Херста к оценке доходности акций при анализе инвестиционно-финансовой привлекательности компании. По существу, основная задача показателя Херста - отличить случайный числовой ряд от неслучайного, даже если этот случайный ряд не гауссовый, т. е. вероятностное распределение не является нормальным.

Популярность показателя Херста вызвана его высокой устойчивостью и возможностью классификации временных рядов. При значении показателя Херста Н = 0,5 считают, что числовой ряд абсолютно случайный, а события не зависят друг от друга. В случае если 0,5 < Н < 1, в имеющихся данных наблюдается некая обусловленность поведения или тренд. При этом чем выше значение показателя, тем по отношению к рыночным оценкам чаще за подъемом стоимости акций следует подъем, а за спадом - спад. Если же 0 < Н < 0,5, то ряд неустойчив, наблюдается контртрендовость, тогда чем ниже значение показателя, тем чаще за подъемом следует спад, а за спадом - подъем, т. е. имеются нестабильности рыночных показателей. Ниже приведены значения показателя Херста для ряда наиболее крупных известных российских компаний, рассчитанные на основе котировок акций ММВБ за период с 30 июня 2004 по 30 июня 2009 г.:

Акции Показатель Херста

по ценам закрытия дня по максимумам - минимумам дня

Лукойл 0,607 0,725

МТС 0,599 0,705

Ростелеком 0,610 0,701

Сбербанк 0,559 0,667

Сургутнефтегаз 0,612 0,727

Татнефть 0,651 0,761

Уралсвязьинформ 0,614 0,729

Норильский никель 0,623 0,727

Газпромнефть 0,610 0,700

Иркутскэнерго 0,648 0,739

1 См.: Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - Т. 2. - М. : Фазис, 1998.

Фрактальная статистика Херста, которую используют консалтинговые компании, является однофакторной характеристикой, рассчитанной по стоимости акции. Эта характеристика может служить индикатором рыночной привлекательности компании.

В то же время более глубокой количественной мерой неопределенности финансового состояния компании, охватывающей в своем анализе значимые финансовые факторы, может быть выбрана энтропия, противоположность информации. Трудно найти понятие, более общее для всех наук (не только естественных) и вместе с тем носящее оттенок загадочности, чем энтропия. Считается, что ее первооткрыватель Клау-зиузус положил начало применению введенного им, казалось бы, для узкоспециальных термодинамических целей понятия к глобальным космологическим проблемам (тепловая смерть Вселенной).

Первую логарифмическую меру информации предложил Хартли в 1928 г. В 1948 г. Шеннон и Винер независимо друг от друга опубликовали работы, в которых быши описаны логарифмические меры информации в практически применяемой форме.

Теорию информации справедливо относят к разделу теории вероятности. На математический и статистический характер теории информации указывали Винер, Фишер и Шеннон. Считается, что первое математическое определение меры информации было дано математиком Н. Винером. Он отмечал, что в то время как энтропия является мерой дезорганизованности, информация, переносимая некоторым потоком посланий, определяет меру организованности. Фактически мы можем определить информацию, содержащуюся в послании, как отрицательную энтропию или отрицательный логарифм вероятности. При этом чем больше вероятность послания, тем меньше информации оно содер-жит1.

Итак, базисным понятием теории информации является понятие энтропии. Энтропия - мера неопределенности некоторой ситуации. Можно также назвать ее мерой рассеяния, и в этом смысле она подобна дисперсии. Но если дисперсия является адекватной мерой рассеяния лишь для специальных распределений вероятностей случайных величин (а именно для двухмоментных распределений, в частности, для гауссова распределения), то энтропия не зависит от типа распределения. Кроме того, помимо универсальности она обладает свойством аддитивности. Именно такая удобная с практической точки зрения мера неопределенности была введена К. Шенноном:

1 См.: Винер Н. Кибернетика. - М., 1960.

n

H ( X ) = -2 p( xt )log p( xt ),

i=1

где x - дискретная случайная величина;

P(X = x¡ )= p(x ) - вероятность того, что случайная величина примет значение x¡.

Важным моментом экономико-математического моделирования является оценка инвестиционной привлекательности компании. Для построения энтропийной модели финансовой структуры компании свяжем показатель энтропии с финансовыми показателями деятельности компании. Известно, что для оценки инвестиционно-финансовой привлекательности компании используют репрезентативные группы показателей, характеризующие платежеспособность (ликвидность), финансовую устойчивость, оборачиваемость, рентабельность и рыночную привлекательность компании. Возьмем из группы по одному показателю. Тогда каждый показатель может быть описан случайной величиной, принимающей значения этого показателя.

Введем следующие обозначения:

X1 - безразмерная случайная величина со значениями, равными коэффициенту покрытия (curent ratio), рассчитываемому по балансу как отношение оборотных активов к текущим обязательствам;

X 2 - безразмерная случайная величина со значениями, равными коэффициенту финансового рычага, который рассчитывается как отношение собственного капитала к итогу баланса;

X3 - безразмерная случайная величина, обозначаемая обычно ROA (return on accets), рассчитываемая как отношение прибыли к итогу баланса;

X 4 - безразмерная случайная величина, характеризующая оборачиваемость компании и рассчитываемая как отношение выручки компании к итогу баланса. Данный показатель характеризует эффективность использования капитала компании. Когда значение показателя X 4 превышает 1, т. е. выручка превышает итог баланса, то это означает, что компания эффективно работает, использует свой капитал и выходит на уровень крупнейших международных компаний. Значение этого показателя, превышающего 1, присуще нефтяным, нефтегазовым и компаниям с крупной инфраструктурой. Для торговых компаний этот показатель может быть порядка 2,5;

X5- безразмерная случайная величина со значениями, равными доходности акции компании.

Доходность акции за один день определяется по формуле

ь - Ь

= Г = а)

'¡-1

где г1 - доходность акции за г-й день;

1 - цена акции при закрытии на г - 1 день; Б, - цена акции при закрытии на г - 1 день.

Показатель X 5 характеризует рыночную привлекательность компании.

Введем случайный вектор X(Х1, Х2, X3,Х4, Х5) и обозначим его значения соответственно х1, х2, х3, х4, х5. Тогда оценка априорной неопределенности финансовой привлекательности компании может быть определена как показатель энтропии случайного вектора X .

Опишем вероятностные пространства для введенных случайных величин X1, X2, X3, X4, X5.

1. Пусть (д, а,р1)| г = 1, 2, 3, 4 - вероятностное пространство. д. - пространство элементарных событий, замкнутое относительно теоретико-множественных операций. д. = {юг1,юг2, юг3,... }. Каждое элементарное событие ю- есть интервал значений соответствующего показателя Xi.

Для первых четырех показателей X | г = 1, 2, 3, 4 можно считать,

что связанные с ними случайные величины дискретны и принимают значения из интервалов, соответствующих выделенным характеристическим группам.

Так, если а  < х. < Ь-, то

} 1 }

ю- = {х. е [а-, Ь;]|.

Пусть А - класс всех подмножеств д. со свойствами о -алгебры. Введем вероятностную меру Р1 как отношение мер описанных выше дискретных множеств:

р1(д ) = 1, р1(ф)=0,

]

р1| и А | = X ^1(4), если А П А =Ф,

шея

р1

2. Пусть (п5, а5, р2)I i = 5 - вероятностное пространство показа-

теля X5, связанного с доходностью акции, который обычно моделируется случайной величиной непрерывного типа, имеющей нормальное или лонгонормальное распределение. Тогда = Я, А5 - класс подмножеств Я с мерой Р2 (для случая нормального распределения) вида

В то же время известно, что модель доходности акции в большей степени соответствует лонгонормальному распределению. Отклонение от нормального распределения доходности акции для долгосрочных периодов гораздо меньше, чем для краткосрочных. Поэтому для модели лонгонормального распределения следует рассматривать вероятностное пространство с другой мерой (п5,А5,р3)| г = 5, а именно с вероятностной мерой р3:

Для проведения численного энтропийного анализа быши использованы данные финансовой отчетности (агентство «Финам») двух крупныгс российских компаний «Лукойл» и «Ростелеком» за 10 лет их работы (с 1999 по 2008). Быши рассчитаны показатели X1, X2, X 3, X 4, X 5. Причем показатель X2, характеризующий устойчивость компании в выбранной базе данных, оставался практически неизменным, не выходил за значение 0,5, которое является допустимым для неторговых компаний. В этом случае X 2 не является случайной величиной. Проанализируем энтропию следующего случайного вектора

Численные значения показателя X 5 взяты за актуальный промежуток времени, т. е. последние годы. Были выбраны данные недельных котировок акций close ММВБ c 5 января 2009 г. по 15 марта 2010 г. При моделировании полагаем, что случайная величина X 5 независима по

отношению к случайным величинам X1, X 3, X 4. Случайные величины X1, X3, X 4 являются взаимозависимыми. Введем случайный вектор X*(X1, X3, X4), характеризующий структурную энтропию финансовых показателей компании. Для него определим вероятностное пространство (п, а, Р) как вероятностное пространство произведения описанных выше вероятностных пространств , Ai,р1)| i = 1, 3, 4.

X(X1, X3,X4, X5).

д = П д' - декартово произведение множеств дг;

г

А = П а - произведение соответствующих о-алгебр;

г

Р = р13, Р - вероятностная мера, равная произведению вероятностных мер. Известно, что такая мера существует и составляет содержание теоремы Андерсена - Иессена.

Вероятности совместных событий обладают свойством иерархической мультипликативности и поэтому могут быть рассчитаны с помощью соответствующих условных вероятностей по вероятностным метрикам своих пространств:

Р(хц , х3- , х4к ) = Р^1 < х1г, X3 < х3- , X4 < х4к ) =

= Р^1 < Лц )• Р(X 3 < х3 -1X1 < Лц)• Р^4 < хАк |( Xl < хц )п (X 3 < х3 -)).

Взаимная энтропия ивзаимная (X1, X3, X4, X5) случайных величин X1, X3, X4 и X5 равна сумме энтропий случайного вектора X*(X1, X3, X4) и случайной величины X5 в силу их независимости:

И взаимная

где И 0 (X *) - нормальная энтропия дискретного вектора

X (X1, X3, X4);

н1 (X 5) - дифференциальная энтропия непрерывной случайной величины X 5.

Взаимная энтропия И0 (X *) дискретного случайного вектора X*(X1, X3, X4), заданного на вероятностном пространстве (д, А, Р), с мерой Р = р13 определяется по формуле

И0 * ) = -Х Р

-к

При этом вероятности совместных событий р(х1г , х3-, х4к) соответственно рассчитываются по формуле (6).

Энтропию на вероятностном пространстве (д, А, р) можно иллюстрировать кубом энтропии с помощью вероятностей совместных событий, умноженных на соответствующие логарифмы этих вероятностей:

к) = -Р(х1г , х3- , х4к ^ 1°§2 (Р(хи ,х3- , х4к )).

Каждая из осей куба энтропии связана со своим экономическим фактором: Xcurent ratio; X3 - return on accets; X4 - оборачиваемость.

Важным самостоятельным объектом моделирования является показатель рыночной привлекательности компании, связанный с ценой акции компании. Доходность акции является непрерывной случайной величиной и подчиняется некоторому вероятностному распределению. Если случайная величина X 5, связанная с ценой акции, подчиняется

нормальному закону распределения, что, скорее, присуще для долгосрочных периодов наблюдения, то ее дифференциальная энтропия будет определяться по формуле

Н

Для лонгонормальной модели случайной величины X 5 было получено следующее выражение дифференциальной энтропии как математическое ожидание логарифма плотности вероятности:

Н1 (X5 ) = - Е\ log2 \—exp(- (ln х - a)2 )/ 2о21

^ ^ ^ oW 2п )

Н1(X5 ) = log2 (л/2neo2 )+ a • log2 e,

где а = е(1п х), о2 = Уат(1п х).

Следует отметить, что в теории информации модель дифференциальной энтропии строго не интерпретируется. Известно, что дифференциальная энтропия может принимать отрицательные значения.

Итак, показатель энтропии Н0 (X *) можно трактовать как общую структурную энтропию финансовой привлекательности компании, а показатель н1 (X 5) - как энтропию рыночной ликвидности акций компании или рыночной инвестиционной привлекательности.

Для проведения численного анализа разобьем область изменения значений показателя х1 на четыре характерных интервала. Первый интервал находится в пределах от 1,5 до 2,5. Этот диапазон характеризует наиболее безопасное соотношение текущих обязательств и оборотных активов, которое рекомендуется Министерством финансов РФ. Второй интервал (1-1,5) определяет более рискованную модель ликвидности компании. Третий интервал (0-1) характеризует модель с высоким риском ликвидности. Все значения вероятностей попадания случайных величин X1, X3, X 4 в выделенные интервалы рассчитаны по описанной выше метрике по формулам (2) и (3). Ниже представлены распределения случайной величины X ^показатель ликвидности компании):

«Ростелеком»

Х1 0-1 1-1,5 1,5-2,5

р( х1) 0 1/3 2/3

«Лукойл»

Х1 0-1 1-1,5 1,5-4

р( х1) 0,3 0,1 0,6

Сравнивая вероятностные распределения Х1, видим, что у компании «Лукойл» хорошие показатели ликвидности, которые сосредоточены в двух безопасных группах. Вместе с тем у компании «Ростелеком» наблюдается равномерный разброс этих показателей.

Аналогично область изменения значений показателя х3 можно разбить на три интервала. При этом первый интервал (0,1-0,2) характеризует эффективную работу компании с хорошей нормой прибыли. Во второй интервал (0,05-0,1) по показателю попадают компании со средней и невысокой нормой рентабельности, а также в него могут попадать молодые компании. Российские компании, имеющие показатели в области третьего интервала (Х3 < 0,05), в том случае, если они не являются молодыми компаниями, рассматриваются как убыточные. Ниже даны распределения случайной величины X 3 (показатель рентабельности компании):

«Ростелеком» «Лукойл»

Х3 < 0,05 0,05-0,1 0,1-0,2

Р( хъ) 0,5 0,4 0,1

Х3 < 0,05 0,05-0,1 0,1-0,2

р( х3) 0 2/9 7/9

Область изменения показателя х4 также можно разбить на три характерных интервала. Первый интервал Х4(1-3) означает эффективную работу компании на уровне крупнейших международных компаний. Второй интервал (0,5-1) характеризует среднюю оборачиваемость компании. К третьему интервалу (0-0,5) относятся компании с низкой эффективностью использования капитала. Ниже представлены вероятностные распределения случайной величины X 4 (оборачиваемость капитала компании):

«Ростелеком» «Лукойл»

Х4 0-0,5 0,5-1 1-3

р( х4) 0,4 0.6 0

Х4 0-0,5 0,5-1 1-3

р( х4) 0 4/9 5/9

Индикатором структурной энтропии финансовых показателей может служить энтропия н0 (x *) случайного вектора X * (X1, X 3, X 4), соответственно рассчитанная по формуле (8).

Для значений случайной величины X 5 были рассчитаны логарифмы доходности недельных котировок акций close:

s

ln(l + r ) = ln-S-.

Было проверено, что непрерывно изменяемая доходность подчиняется нормальному закону распределения, следовательно, сама случайная величина распределена лонгонормально. Поэтому для показателя X 5 была использована лонгонормальная модель.

Значение индикатора рыночной привлекательности компании задано дифференциальной энтропией н1( X 5) и было рассчитано по формуле (10). Ниже представлены результаты расчетов вышеописанных показателей энтропии: н0 (X*) - энтропии дискретного вектора X*(X1, X3, X4), характеризующего структурную энтропию финансовых показателей компании, и н1 (X 5) - энтропии случайной величины X 5, являющейся рыночным индикатором финансовой привлекательности компании:

н 0 БИТ/3СИМВЛ н1БИТ/СИМВЛ н БИТ/4СИМВЛ взаимная

Лукойл 1,436 -0,481 0,954

Ростелеком 2,722 -0,608 2,114

Энтропийные показатели н1 для выйранныгс компаний различаются незначительно. Причем значения показателя н1 можно сравнивать с показателем Херста, являющимся подобным индикатором рыночной волатильности.

Показатели структурной энтропии н0 двух анализируемых компаний различаются. Меньшее значение показателя свидетельствует о более стабильном финансовом положении компании. Взаимная энтропия представляет сумму описанных показателей и может служить обобщенным показателем инвестиционной привлекательности компании.

Таким образом, автором быши применены методы теории информации к анализу финансовой структуры компании для оценки ее инве-

стиционной привлекательности. Для этого были выделены значимые факторы оценки финансово-инвестиционной привлекательности компании, обычно используемые в финансовом анализе, включая рыночные показатели доходности акций. Методом энтропийного анализа были разработаны характеристики потенциала связанных финансовых показателей.

Кроме того, было проведено сравнение индикатора энтропии рыночной доходности с известной фрактальной статистикой Херста, используемой на рынке капитала. Предложенная методика энтропийного анализа инвестиционной привлекательности компании позволила провести сопоставление двух крупных российских компаний.

Введенные энтропийные индикаторы инвестиционной привлекательности компании могут быть использованы в консалтинге для анализа ценных бумаг. В связи изложенным выше автор рекомендует включать вопросы, связанные с понятиями энтропии и информации, в учебные курсы магистерских программ экономических вузов по стохастическому анализу или теории вероятностей.

Список литературы

1. Астраханцев В. Ю. Оценка эффективной стратегии управления портфелем акций. - СПб. : СПб. гос. ун-т экономики и финансов, 2009.

2. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. - М. : НТО им. С. И. Вавилова, 2002.

3. Вероятность и математическая статистика : энциклопедия / под ред. Ю. В. Прохорова. - М., 1999.

4. Винер Н. Кибернетика. - М., 1960.

5. Винер Н. Творец и робот. - М. : Прогресс, 1966.

6. Ковалев В. В. Введение в финансовый менеджмент. - М., 2006.

7. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - Т. 2. - М. : Фазис, 1998.

8. Gjendemsjo A. Information and Signal Theory / Rice University. -Houston, Texas, 2006.

9. Kennedy D. Stochastic Financial Models. - Chapman&Hall/Crc Finance Mathematics Series, 2010.