О малых вариационных формулах

2017

Математика и механика

№ 49

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

DOI 10.17223/19988621/49/1

Я.В. Борисова, И.А. Колесников, С.А. Копанев

О МАЛЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ФОРМУЛАХ

Одним из основных методов решения экстремальных задач является вариационный метод, главный инструмент которого есть вариационные формулы. Некоторые вариационные формулы были получены с помощью семейства отображений из единичного круга на области, лежащие в единичном круге. Предложен достаточно общий подход получения так называемых малых вариаций. Получен ряд новых малых вариаций. Также на простом примере проиллюстрирован метод П.П. Куфарева нахождения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

Ключевые слова: голоморфное однолистное отображение, вариационная формула, параметры в интеграле Кристоффеля - Шварца, метод Куфарева.

Пусть S есть множество всех голоморфных однолистных в круге E = Ez = {z е С : |z| < 1} отображений f: E ^ С , w = f (z), нормированных условиями f (0 ) = 0, f'(0) = 1.

Какова бы ни была односвязная область D с С , 0 е D, с конформным радиусом относительно w = 0 равным единице, в классе S существует единственное отображение f такое, что f (E) = D .

Одним из основных методов решения экстремальных задач в классе S является метод внутренних вариаций [1, 2]. В свою очередь, понятие вариационной формулы является базовым инструментом метода внутренних вариаций.

Отображение f *: Ez х (0,е0) ^ С, w = f * (z,е) принято называть вариационной формулой в классе S для отображения f, f е S , если оно удовлетворяет условиям:

1. Vee(0, е0) сужение f * |Ex{e}e S (для каждого ее( 0, е0) отображение f * (z, е) как отображение от z принадлежит классу S.);

2. lim f * (z, е) = f (z) равномерно внутри E ;

е^+0

3. Существует правосторонняя производная по е в точке е = 0, равномерная относительно z внутри Ez.

Задание отображения f *: Ez х (0, е0) ^ С, w = f * (z, е) равносильно заданию семейства отображений f : E ^ С, w = fE(z) = f * (z, е) от параметра ее(0, е0).

При работе с вариационной формулой ее, как правило, раскладывают по формуле Тейлора по параметру е в полуокрестности точки е = 0 с нужной степенью точности.

Классическая теорема Г.М. Голузина [1], обобщающая результат Шиффера, позволяет получать вариационные формулы достаточно общего вида (называемые формулами типа Голузина - Шиффера). П.П. Куфарев [3] предложил другой подход к получению таких вариационных формул. Многие математики занимались и занимаются совершенствованием метода внутренних вариаций и поиском приемов получения новых вариационных формул.

В данной работе предлагается достаточно общий подход к получению так называемых малых вариаций с помощью вспомогательного семейства голоморфных однолистных отображений из круга в круг.

Теорема 1. Пусть g : Ez х (0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) удовлетворяет условиям:

1) Vee(0, е0) сужение g|Ех{е} есть голоморфное однолистное отображение;

2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez;

3) g (z,е) и g'(z,е) дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez .

Тогда в классе S для отображения f е S имеют место вариационные формулы

f (z,е) = f (z)+е( f'(z)gе(z,0)-f (z)f'(0)g£ (0,0)-f (z)g^(0,0)-gе(0,0)) +

+o

o

где lim-= 0 равномерно внутри Ez;

е^+0 е

f2 (z,е) = f (z)+е( f (z)(z2¡£(00) + gе(z,0)-gе(0,0))- f (z)g;(0,0)} +

+ o

o

где lim-= 0 равномерно внутри Ez;

е^+0 е

f3

где

Рз (z) = f'(z)(¡£(z,0) + z2Ü-u + itz)-- f (z )(f" (0)(g£ (0,0)-u ) + g;'e(0,0)+ it)-g£ (0,0)+ u ,

£ = minf' e0, —1— |, u , t - константы, u е С, t е К, и lim °(^ е) = 0 равномерно

внутри Ez ;

f4 (z,e) = f (z) + e( f' (z)( z 2 g£(0,0)+g£(z,0)-g£(0,0)+itz)-f (z)(g;'e(0,0) + it)) +

+o

o

где t - константа, t е M, и lim-!— = 0 равномерно внутри Ez.

e^+0 £

Доказательство. Из условия lim g(z, е) = z равномерно внутри Ez по теореме Вейерштрасса следует, что lim g'z (z, е) = 1 равномерно внутри Ez. Отсюда

следует равенство g'z (0,0) = 1.

Пусть g(z,е) = z + ege (z,0) + o(z,е). Тогда g'z (z,е) = 1 + egZe (z,0) + o(z,е). Докажем первую вариационную формулу.

Е f о f (g(z,е))-f (g(0,е)) f ( ) „ Если f e S , то —^—7—, чч /—= f (z,е) e S .

f '(g (0, е)) gz (0, е) JlK'>

Записывая f1(z,e) относительно е по формуле Тейлора, получаем формулу (1). Докажем вторую вариационную формулу.

Если f e S , то ——j—f

= f2 (Z, е)е S .

(0, в) 11 - я (о, в) (,

Формула (2) теперь следует из разложения ^(^е) относительно в по формуле Тейлора.

Докажем третью и четвертую вариационные формулы.

Отображение n(z,е) = е''е ~—~~ при | ие |< 1 переводит единичный круг в

1 - zu е

единичный круг. Заметив, что отображение z,е) = g(n(z,е),е) удовлетворяет условиям теоремы, и используя формулу (1), получаем формулу (3), а используя формулу (2), получаем формулу (4).

При дополнительных условиях на отображение g : Ez х(0, е0) ^ E^,

Z = g(z,е) можно получить разложение вариационных формул fk (z, е), к = 1,2, по е с нужной степенью точности.

Теорема 2. Пусть g : Ez х(0, е0 ) ^ E^, Z = g (z, е) удовлетворяет следующим условиям:

1) Уее(0, е0) сужение g^^} есть голоморфное однолистное отображение;

2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez;

е^+0

3) g (z,е) и g'z (z,е) дважды дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez .

Тогда в классе S для отображения f е S имеют место вариационные формулы:

f (z,е) = f (z)+е('(z)gе (z,0)-f (z) f "(0)gе (0,0)-f (z)g^ (0,0)^ (0,0)) +

2

+yQ (z)+0(z,е2), ее(0,е0),

где

ö1 (z)=f'(z)gе2 (z,0)+f '(z)(gе'е(z,o)-2f'(o)gе(z,o)gе(o,o)-2gе(z,o)gZе(o,o))-- f (z)(f' (o)g^ (0,0)-2 f'2 (0)g^ (0,0) + f' (0^(0,0)-2 f '(0^(0,0^ (0,0) +

+gL

o

и lim--— = 0 равномерно внутри Ez;

е^+о е2

где

f (z,e) = f (z)+e(f (z)(z2g£(0,0) + g£(z,0)-g£(0,0))-f (z)g;'e(0,0)) + +y02 (z)+o(z,e2), ее(0,£q),

02 (z) = f "(z)(z2¡ÜÖÖ) + g£ (z,0)-g£ (0,0))2 + +f (z)( 2z3 g £2(0,0) + z 2 ¡£(Щ-2z 2 g;e(0,0)gääÖ) + 4zg£(z,0)g£(Ö:Ö)--2zg£ (0,0)g£ (0,0) + 2gze (0,0)g£(0,0)- 2gJ£(0,0)g£(z,0) + g£; (z,0)-g£; (0,0)) +

+f

и lim o(z,2£ ) = 0 равномерно внутри Ez.

£^+o £2

Заметим, если отображение g : Ez х(0, e0) ^ E^, Z = g(z, e) удовлетворяет условию g (0, e) = 0, то f (z, e) = f (z, e).

Выбирая отображение w = g (z, e) в конкретном виде, получим малые вариации, как известные, так и новые.

1. Пусть g : Ez х [0,1) ^ EZ, g (z, e) = ee'ß+(1 -e)e'ez . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе S имеют место вариационные формулы Vf е S следующего вида:

f (z,е) = f (z) + е(f (z)(eiß -(1 -i)z)-f (z)f'(0)eiß + f (z)(1 -i)-eiß) + +2e20 (z) + o(z,e2), e е [0,1),

где

0! (z) = f '(z)(eiß- z (1 - i))2 + f '(z)(-2 f "(0)e!ß(e!ß- z (1 - i)) + 2(e!ß- z (1-i))-z (1-2i))-- f (z)(f"(0)e2!ß - 2 f"2 (0)e2iß + 2 f "(0)eiß(1 - i)-1 + 2i) + f"(0)e2!ß -(1 - i)eiß;

f2 (z,e) = f (z) + e(zf (z)(e-ißz-(1-i)) + f (z)(1 -i))+)(z) + o(z,e2)ее[01^^

где 02 (z )= z2 f"(z )(-(1 - i ))2+

+f ' (z) (2zV2iß + z2 (1 - i)(2eiß - 4e-ß ) - z (1 + 2i)) - f (z)(1 - 2i); f3 (z,e) = f (z) + e( f (z)(z2u-z + z(1 +1)i + eiß -u)--f (z)(((0)(ß-u)-1 + (1 +1)i)-eiß + u) + o(z,e), ее[0,1);

f4 (z, e) = f (z) + e( f ' (z)(zУß - z + z (1 +1)i) + f (z)(1 -(1 +1)i)) + o (z, e),

e е[0,1).

Отметим частные случаи этой формулы.

1а. Пусть g : Ez х[0,1)^ EZ, g(z,e) = eeiß+(1 -e)z .

Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/ (г, в) = / (2 )+в( / (г )( е* - 2 )-/(2 ) /'(0 )е'в + / (2 )-ев) + +2в2^ (2) + о(2,в2), в е [0,1),

где й (2) = /"(2)( - 2)2 + /' (2)(-2/" (0)егР( - 2) + 2 ( - 2))--/(2)(/"'(0)е2гР - 2/"2 (0)е2гР + 2/"(0)ег'р - 2) + /"(0)е2г'р - ег'р ;

/2 (2, в) = / (2)+в(2/' (2) ( - 1) + / (2 )) + ) в^2)+ О (2, в2 ) , ве[0,1) ,

где

е2 (2) = 22/"(2) (е-в -1)2 + /' (2)(223е-2гР + 22 ( - 4е-в ) + 2ег'р) ;

/з (2, в) = / (2 ) + в( /' (2 ) (22М - 2 + II2 + егР - 2 )--/(2)(/"(0)(егР-и)-1 + и)-егР+ и) + о(2,в), ве[0,1);

/4 (2,в) = /(2) + в(/' (2)(22е-р - 2 + и) + /(2)(1 - 1г)) + о (2,в), ве[0,1).

1б. Пусть я : Ег х [0,1) ^ , С = Я(2, в) = (1 - в)е'в2 . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/ (2, в) = /2 (2, в) = / (2 ) + в(1 -1)(/(2 )-2/' (2 )) +

+в2 ((1-]{/(2)-2/(2))-г'22/"(2)) + о(2,в2), в е [0,1);

/з (2, в) = / (2 )+в ( /' (2 ) ( 2 2и - 2 +(1 + Г )|2 - и ) + / (2 ) (и/" (0) + 1 -(1 + Г ) |) + и ) +

+ о(2,в), в е [0,1);

/4 ( 2, в) = / ( 2 )-в(1 -(1 + г )|)( 2/' ( 2 )-/( 2 )) + о ( 2, в) , ве[0,1) . 1в. Пусть я : Е2 х[0,1) ^ Е^, ^ = Я(2,в) = (1 -в)2 . Тогда вариационные формулы примут вид:

/,(2, в) = /2( 2, в) = / (2 ) + в(/(2 )-2/ ' (2 )) + в2 ( / (2 )-2/' (2 )+ 2 2 2 / ''(2 )) +

+ о(2,в2), в е [0,1);

/з (2, в) = / (2 ) + в( /' (2 ) ( 2 2и - 2 + IИ - и )+ / (2 )(и/'' (0) + 1 - И ) + и ) + + о(2,в), в е [0,1);

/4 ( 2, в) = / ( 2 )-в(1 - и )( 2/' ( 2 )-/( 2 )) + о ( 2, в) .

1г. Пусть я : Е2 х(-80,80 ) ^ Е^, = Я(2,8) = е/82 . Тогда вариационные формулы примут вид:

2

Л( 2, 8) = /,( 2, 8) = / (2 )+ /8(2/ ' (2 )- / (2 )) - у ( 2/" (2 )- 2/ ' (2 ) + / (х )) +

+ о(82) 8 е (-80,80);

/3 (2, 8) = / (2 )+ 8 (/' (2 )(2 V + 2/ ( + 1)-М ) + / (2 )(('(0 )-/(/ + 1)) + М ) +

+о(2,8), 8 е (-80,80); /4 ( 2, 8) = / ( 2 ) + 8/ (Г + 1) (х/' ( 2 )-/( 2 )) + О ( 2,8) , 8б(-б0, 80 ) .

2. Цустъ я : Е2 X (-80,80) ^ Е,

_ /р

w = Я (2,8) = 2 еегр = 2 + 8 (2е"''р - е/р ) + 82 (ер - 2) +..., ре М . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/1( 2, 8) = / (2 )+ 8 (/' (2 )( 2 2 - е/в) + / (2 )/''(0^ + е/в)+ ) 8^ (2 ) + О (2,82),

8е(-80, 80 ) ,

где дг (2)=/" (2) (- е-в22 )2+2/' (2)(- е^'в23-/ " (0)(е2гР- 22 ))--/ (2) (/"' (0) е2 в-2 / "2(0) е2 2 )+/' (0) ег'р;

/3( 2, 8) = / (2 ) + 8 ( /' (2 )(У2 2 + Ш - V ) + / (2 )(/''(0)- )+ V ) + О (2, 8), 8 е (-80, 80), где V = и + е'в;

/4 ( 2 8) = / ( 2 ) + 8'(2/'( 2 )-/( 2 )) + О ( 2 8) , 8 е (-80 , 80 ) .

е'8- е-'Р 2) - 1п(1 - е-Р2) -/8

3. Пусть я : Е х(0,80 Е, w = я(2,8) = е/р ln(e .8 е

где

ln(e'8 - е-р2) - 1п(1 - е-р2) 8е( 0,80) и однозначная ветвь логарифма выбрана условием 1п1 = 0.

Это голоморфное и однолистное отображение из круга в круг V8 е (0,80). Образом Е относительно этого отображения есть круг Е = (С е С: < 1} с выброшенным кругом (^ е С: к - (1 - г )е1 р|< г}, где г = ———, Ре К .

1 1 1 ' П + 28

Рассматриваемое отображение имеет следующее разложение по 8 :

/ 2 (е~2 - 2) / 1

Я (2, 8) = 2--28 +---7--4-82 + О (2, 82 ), (0, 8) = 1--8--82 + О (2, 82 ) .

У ' 2 12 (1 - е-р 2) ^^ 2 6 ^ '

Теперь по теоремам 1 и 2 получаем в классе £ вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

Г 8) = Л 8) = f ( ) + 8 - ( (z )-zf ' ^ )) +

1 2

+--8 2

2

тГ ^)+ 6 (

Г

- е~'в z) ' 6'

+ о(z,82), 8 6 (0,80);

Гз (z, 8) = Г ^ )+ 8 ( Г (z )( z 2и - ^ (1 - г)-и ) + Г ^ )((''(0 ) + /(1-г)) + и)-

>(,82), 8 6(0,80);

+ о I

Г4 8) = Г ^ )- 8 / (1 - Г )(( ^ ) z - Г ^ )) + о (z, 82 ) , 8б( 0, 80 ) .

4. Этот пункт начнем с нахождения, используя метод П.П. Куфарева [3] определения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца, отображения

V = V (х,I) из верхней полуплоскости П+ = {х 6 С :1т% > 0} на верхнюю полуплоскость с прямолинейным разрезом длины I, выходящим из точки ноль под углом (1 -а)п , к положительной части вещественной оси. Пусть V(го) = го. Выбрав стандартную параметризацию разреза для отображения из полуплоскости, будем иметь семейство отображений V = V (х, т), удовлетворяющее уравнению Левнера для полуплоскости

1

с№

дт х-^(т) дх

= 0, т 6 [0, Т],

с начальным условием V (х,0) = X, где X (т) - прообраз конца разреза.

Обозначим через а(т), Ь (т) прообразы вершин с углами ал , (1 -а)п соответственно, а (т) < Х(т) < Ь (т), при 0 < т < Т . Согласно теореме Кристоффеля -Шварца, отображение V = V (х, т) можно представить в виде

л.

(х,т) = с(т) | (-Х(т))(z -а(т))а-1 (z-Ь(т))-а ск.

а

В книге [4, гл.6,§3] записан результат П.П. Куфарева для отображений из верхней полуплоскости на многоугольник. Тогда в нашем случае параметры

а(т) = а(х2) = а1 (х), Ь(т) = Ь(х2) = Ь1 (х), х(т) = х(х2) = (х) удовлетворяют

системе дифференциальных уравнений

Са1 (х) = 2х

Сх а1 (х )-Х1 (х) СЬ1 (х) = 2 х

Сх Ь1

Сх ^ ' Сх с начальным условием а1 (0) = Ь1 (0) = (0) = 0.

Сх

Решая систему методом рядов, находим

a1(x) = -x./21——, ь (x) = x. 2 a , Xj (x) = x4i- 2a 1

V a V 1-a

а ' V 1 -а ' 70

Перейдя в подынтегральном выражении к параметру х, подставив найденные

параметры а1,й1,и выполнив замену 2 =Си—0--х./21—0 , будем иметь

V 1 -а V а

С / X\-а

М (С, х ) = С (х)|(2 - X) 2а-1 2--| й2.

Из условия м (да) = да следует, что с (х) = 1. Проинтегрировав, получим

( \ 1-а м(С,х) = С [С-^Х^ .

Из условия м (х, х) = /е/(1-а)п имеем х = 11 а I

V1 -аУ

1-a

, окончательно получим

отображение

( , / x1-aY-a

(Z, I ) = Za |z- - ir^-1 a v 1-ay

из полуплоскости на полуплоскость с разрезом длины I; прообразами вершин 0, /е™(1-а), 0 при этом отображении являются соответственно точки 0,

\1-a » / \1-a

a i l (a

V1 -ay a v 1 -a, Пусть теперь g : Ez х [0, e0) ^ E^, £ = g(z, e) есть голоморфное и однолистное

отображение из единичного круга Ez на единичный круг E^ с разрезом длины е, идущим из точки 1 по дуге окружности радиуса r, составляющей угол (1 - a) п , 0 <a< 1, с верхней половинкой единичной окружности. Пусть отображение g удовлетворяет условию lim g (z, е) = z.

е^0

Отображение g можно представить композицией g(z,е) = £(w(Z(z,e))), где

_. e

- * (e)e"2 „,(Z) = Za fZ 1 e^1-a ^=^1 z -1

S(w) = " - Я (S)g ;92 , w (Z) = Za (Z-) _ a , Z(z ) = s (0)Л

w -s(e)e 2

1 a.j-a sin(an--4-rsin^2L 1 -a 1 V 2n) 2r je _-i 2an

а 5 (e) = l-I 4 7 , = e

^ a ( -у/1 +2rcos(an) + r2 r +e """

Отображение g раскладывается по s1 в ряд g(z, e1) = z + e1 (z - eiS) + o (s1),

где e1 пропорционально e. Переобозначив s1 через e, по теореме 1 получаем вариационную формулу

f М = f (z)+E(/ '(z)(z - e*f -f(z)( "(0)e 2e-2e'e)- e' 2e) + о(е, z), ве(0,в0),

. 'an

ie -2ian r + e

где e = e -:— - точка на единичном окружности, через которую прохо-

r + e-an

дит продолжение разреза.

5. Рассуждения в этом пункте повторяют доказательства теорем 1 и 2, так как формально их применить нельзя.

Пусть g : Ez х[0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) есть голоморфное однолистное отображение из круга Ez на круг EZ с выброшенным отрезком

(Се С: argZ = ß,1-s< |Z| < 1}, ßeK, Vse[0,1). Это отображение неявно задается уравнением

4(1 -e)z(e-ßg2 (z,6) + eiß) = (4(z2 +l)-4(z2 +l)e + (z + 1)2 е2)g(z,е), lim g (z, е) = e'ßz равномерно внутри Ez и имеет следующее разложение по е :

g (z, е) = e'ßz + е2e'ß + е3e'ß + о (z, е3),

V ' 4 z -1 4 z -1 V '

¿z (0, е) = e'ß- 4e'^2 -1 e'ßе3 + о (0, е3). Раскладывая f (g( , )), где f е S , по степеням е с точностью до е3, получим

gz

zz +1

eß f (z, е) = e'

= eß f (g (z,е)) = ,(eßz) + s

g'z (0,

f = f (e'ß z )+y ( f (e'ß z )e'ß z^^ + f (ß z )) +

f (e'ß z )e'ß z^ + f (e'ß z )) + о (z, е3).

Переобозначая е'вz через z и учитывая, что, если Г (z, 8) 6 £, то е'вГ (е-'вz, 8) = Г (z, 8) 6 £ , получаем в классе £ для отображения Г следующую вариационную формулу:

f

e-'ß z +1 ^

+ е

4

4 ^ 4 7 " 4 V'ßz -1 e-'ß z +1 ^

f (z) + zf (z)+ о(z,е3), е е [0,е0).

Малая вариационная формула

f

e"ß z +1 ^ e-'ß z -1

+ о

известна и может быть получена другим способом, например с помощью семейства голоморфных однолистных отображений из Ег на единичный круг с выбро-

шенной луночкой малой площади, пропорциональном е.

Приведем для полноты еще две известные малые вариационные формулы.

6. В классе S имеет [1] место вариационная формула

n f 2

f (z,8) = f (z) + 8^Ak ( ) > , ee[0,80), k=1 f (z )- wk

где Ak e С, k e 1, n , для отображения f с условием, что у f ( E) есть внешние точки wk , k e 1, n .

7. В классе S имеет [5] место вариационная формула

f (z, 8) = f (z ) + 8 ( 2eiß - c2 ) f2 (z ) + 82 ( 2c22 - c3 - 4eiß + 3e2iß) f3 (z ) + о ( z, 82 ) ,

8e( 0,8o),

где ße M, c2 e С, \c2 \ < 2 , c3 e С, |c3| < 3, для отображения f с условием, что f (dEz ) есть жорданова кривая.

Последнюю формулу называют малой вариацией Шиффера в бесконечности. Отметим, что константы c2 и c3, вообще говоря, зависят от отображения f.

ЛИТЕРАТУРА

1. Геометрическая теория функции комплексного переменного. 2-е изд. / под ред. В.И. Смирнова. М.: Наука. 1966. 630 с.

2. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. 219 с.

3. Труды П.П. Куфарева: к 100летию со дня рождения / под общ. ред. И.А. Александрова. Томск: Изд-во НТЛ, 2009. 371 с.

4. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

5. Schiffer M. On the coefficient problem for univalent functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 134. No. 1. P. 95-101.

Статья поступила 12.07.2017 г.

Borisova Ya.V., Kolesnikov I.A., Kopanev S.A. (2017) ON SMALL VARIATION FORMULAS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 49. pp. 5-15

DOI 10.17223/19988621/49/1

One of the main methods for solving extremal problems is the variational method. Variational formulas are the main tool of the variational method. Some variational formulas, the so-called small variational formulas, were obtained by means of a family of mappings from the unit disk onto domains lying in the unit disk. There is a theorem in the paper that gives a rather general approach to obtaining small variational formulas.

Theorem. Let the map g : Ez x (0,s0) ^ E^ , Z = g(z,s) satisfy the following conditions:

1) Vs e (0,s0), the contraction g|Exjsj is a holomorphic univalent mapping;

2) lim g(z, s) = z , locally uniformly in Ez;

3) there exists a partial right derivative of g(z,s) and g'z (z,s) with respect to s at the origin, locally uniformly in Ez .

Then, in the class S for the mapping f e S , the following variational formulas take place:

f (z, 8)= f (z )+s(/' (z )g's (z,0)-f (z ) f'(0 ) g;(0,0)-f (z )gZe(0,0)-ge(0,0 ))+ o (z, 8),

ee

where lim o(^e) = 0 locally uniformly in Ez ;

e^+0 e

/2 (z,B)= f (z )+s(/' (z )(z 2 ¿(0,0) + g8(z,0)-g8(0,0))- f (z Ш0,0))+ о (z,S),

se

where lim o(^e) = 0 locally uniformly in Ez

e^+0 e

/з

where P3 (z ) = f (z )((z,0) + z 2U - u + itz)-

-f (z)(('(0)(g8(0,0)-u) + g^(0,0) + it)-g 8(0,0) + u,

о

e = minI e0,— I, u, t are constants, u e C , t e R, and lim--— = 0 locally uniformly inEz ;

f4 (z,e) = f (z ) + e(/' (z )(z2 ge(0,0) + ge(z,0)-ge(0,0) + itz)-f (z )(gi8(0,0) + it)) + o (z,e),

e e

where t is a constant, t e R , and lim o(ze) = 0 locally uniformly in Ez .

e^+0 e

A number of new small variations have been obtained. In adition, the P.P. Kufarev method of finding parameters in the Christoffel-Schwarz integral is illustrated by a simple example.

Keywords: holomorphic univalent mapping, variational formula, parameters in the ChristoffelSchwarz integral, Kufarev method

BORISOVA Yana Vladimirovna

E-mail: borisova_yana@list.ru

KOLESNIKOVIvan Alexandrovich (Candidate of Physics and Mathematics,

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: ia.kolesnikov@mail.ru

KOPANEVSergey Anatolievich (Candidate of Physics and Mathematics,

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: copanev_d@mail.ru

REFERENCES

1. Goluzin M.G. (1966) Geometricheskaya teoriya funktsii kompleksnogo peremennogo [Geometric theory of a function of a complex variable]. Moscow: Nauka.

2. Aleksandrov I.A. (2001) Metody geometricheskoy teorii analiticheskikh funktsiy [Methods of the geometric theory of analytic functions]. Tomsk, TSU Publ.

3. Proceedings of P.P. Kufarev: on the 100th anniversary of his birth (2009). Tomsk: NTL Publ.

4. Aleksandrov I.A. (1976) Parametricheskie prodolzheniya v teorii odnolistnykh funktsiy [Parametric continuations in the theory of univalent functions]. Moscow: Nauka.

5. Schiffer M. (1968) On the coefficient problem for univalent functions. Trans. Amer. Math. Soc. 134 (1). pp. 95-101.