Аппроксимация гравитационного влияния конуса на геодезические измерения численным методом

УДК 551.24

О.И. Некрасова СГГА, Новосибирск

АППРОКСИМАЦИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ КОНУСА НА ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ

Выполнено исследование влияния меняющегося гравитационного поля на геодезические измерения, вызываемого конусом как типовой фигурой земного рельефа.

O.I. Nekrasova

Siberian State Academy of Geodesy

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

APPROXIMATIONC OF THE GRAVITATIONAL INFLUENCE CONE ON THE GEODETIC MESUREMENTS NUMERICAL METHOD

Holds to research influence the gravitational field on the geodetic measurements caused by the cone, as a typical figure of the earth terrain.

Движения земной коры играют большую роль в жизни человека, так как несут необходимо важную для человечества информацию о глубинных процессах, происходящих в земных недрах, о подготовке землетрясений и извержений вулканов, о тектонических разломах, а также о размещении месторождений полезных ископаемых. Всё это необходимо учитывать при строительстве и эксплуатации многих видов инженерных сооружений, например, АЭС, ГЭС, магистральных трубопроводов и других энергоемких и экологически опасных объектов, в которых нуждается человечество.

Геодезические методы в геодинамических исследованиях играют важную роль. На результаты геодезических наблюдений значимое влияние оказывает меняющееся гравитационное поле. Значимые вертикальные смещения точек земной поверхности и смещения уровенных поверхностей во времени могут возникать, в частности, при разработке крупных месторождений полезных ископаемых. Большие воздействия на приповерхностный слой Земли и изменения силы тяжести вызывают перемещения больших масс пород при крупномасштабных различных горных работах. Выемка близповерхностных масс приводит к возникновению внутренних компенсационных процессов, связанных с уплотнением осадочных пород или разрушением горных пород, что, в свою очередь, вызывает опускание дневной поверхности; одновременно происходят изменения гидрологического режима. Перераспределение больших объемов пород и руды вызывает значительное изменение поля силы тяжести, а недоучет влияния перемещаемых масс в результаты нивелирования может быть

причиной неверного представления о картине вертикальных движений и оказывает влияние на результаты геодезических измерений и определяемые по ним деформации земной поверхности.

Вертикальные движения земной коры и сопутствующие смещения в поле силы тяжести во многом вызваны процессами в близповерхностных слоях земной коры.

Достаточно типичной формой рельефа в естественной и техногенной среде является конус. Конусообразными являются вулканы, отдельные составляющие горных хребтов. Вследствие выемки и первичной переработки руды образуются конусообразные карьеры, отвалы. В этом случае возникают ситуации ощутимого изменения локального поля силы тяжести в относительно короткие периоды времени [1].

Перемещения масс влияют на результаты нивелирования, так как поле силы тяжести в каком-то конкретном районе зависит от распределения масс внутри Земли. Вследствие этого результаты геодезических наблюдений могут быть неверно интерпретированы.

При решении прямых и обратных задач физической геодезии предпочтительнее использовать аппроксимационные модели. Самой удобной для вычислителя моделью аппроксимации гравитационного влияния конуса является точка (сфера, шар, маскон).

Модель объекта. На плоской поверхности (локальный участок) со значением силы тяжести g0 = 980 Г ал появляется аномальная гравитирующая

о

масса М=4,83*10 т. в форме усеченного конуса с радиусом нижнего основания R=500 м, радиусом верхнего основания г=200 м и высотой h=450 м (рисунок),

3 3

объемом У=0,184 км , при гомогенности пород С ПЛОТНОСТЬЮ 8 = 2,63 г/см . Это вызывает изменение вектора силы тяжести 80 в окружающем пространстве. В каждой точке это изменение различно: 8А , 8м , 8м . Следствием появления аномальной массы М является также уклонение отвесной линии (УОЛ) и1м в месте стояния нивелира (т. 1), являющаяся, в свою очередь, причиной смещения пузырька уровня этого прибора. После приведения его в нульпункт визирная ось нивелира будет показывать отчет ам по задней рейке и 6М по передней рейке. Превышение к,]-11 - ам - Ъм будет отличаться от превышения =а0-Ь0 , измеренного до появления аномальной массы М на величину ¿Ъ,1/1 = И\',и -/?0|'/'. Заметим, что нивелирные рейки, отвесность которых также определяется их круглым уровнем, будут иметь другой наклон, но возникающие при этом различия в отсчетах на высоте 1.3 м (высота инструмента) будем считать не суще ственными.

Порядок проведения и результаты вычислительного эксперимента

Нами был смоделирован нивелирный ход от основания усеченного конуса (т. А на рис. 1) длиной 1 км, состоящий из десяти станций через 100 метров друг от друга. Длина плеч 50 метров. На рисунке показана первая станция с расстоянием между т.А и т.В 100 м. Случайные ошибки не вводились. Вычислялись только методические погрешности, возникающие вследствие неполноты модели гравитирующего тела.

Гравитационное влияние усеченного конуса вычислялось с помощью точечной модели, полученной как сумма влияний 5400 элементов. В модели (5400т) в качестве элементов были выбраны 6-градусные сектора цилиндрических труб высотой 75 м (для высоты конуса 450 это составило шесть слоев с числом труб в слоях: 20, 18, 16, 14, 12 и 10). Каждый элемент заменялся гравитирующей точкой в центре тяжести данного элемента в соответствии с его объемом.

Рис. 1. Станция нивелирования у подножия гравитирующего усеченного конуса

Алгоритм, позволяющий аппроксимировать гравитационное влияние конуса, как сумму влияний конечных элементов - кольцевых секторов.

Находим гравитационный потенциал ТСонуса, вызываемый этим конусом в

любой точке С окружающего пространства.

Алгоритм решения:

1. Делим конус горизонтальными плоскостями на К объемных тел: К-1 усеченных конуса и один (верхний с номером К) неусеченный. Радиусы оснований этих тел, начиная с нижнего гь г2, ..., гк., где к - номер объемного тела от 1 до К. Высота каждого конуса И=Н/К.

2ГЛ ^ 1 V/ и и

. Заменяем каждый к-й конусообразный слой с радиусом нижнего основания г и радиусом верхнего основания г1+1 на его аппроксимирующий к-й цилиндрический слой той же высоты И под условием равенства их объемов:

^конусскгі > гі+1) = Уципітдр&Ук X или /'з + гігі+1 + гі+1) — ^гк •

Таким образом, радиус основания аппроксимирующего цилиндра может быть вычислен

Ч = )4>(ІГ +ПП+\ +//+і)-

3. Делим каждый цилиндрический слой на Jk концентрических колец с радиусами через равное расстояние dr=rk/Jk. Каждое кольцо делим на N кольцевых секторов (криволинейные параллелепипеды) через угол а=360/Ы. На рис. 2 показан пример такого конечноэлементного разбиения при К=10; Дк=2*(11-к); а=6°.

Рис. 2. Конечноэлементное разбиение конуса

4. Для того, чтобы заменить каждый объемный конечный элемент на точечную массу, найдем координаты его центра масс. Нахождение координаты z (по вертикали) не представляет трудностей. Очевидно, что для любого кольцевого сектора к-го цилиндрического слоя: ^ + И(к -1).

Координаты х, у будем находить, используя известные в теории сопротивления материалов формулы для кольцевого сектора и его свойство симметрии. Для сектора угловой величины а, внутренним радиусом г^, внешним радиусом г^+1 может быть найдено расстояние пп^ (¡ ¡+\)-01 центра

образующего кольца О до центра масс кольцевого сектора т (рис. 3).

Рис. 3. Нахождение центра масс кольцевого сектора

Для угла а, выраженного в радианной мере

4/8ш

/3

гтк.

а

9 9 *

<Лч/+1-^,7)

5. Зная радиус гт^ (у-у+1), можно вычислить координаты х, у центра масс каждого конечного элемента:

Хк,Ш+\),п ГІПк^.Іи+]) СОБ^іі ’ Ук,Ш+1),п гтк,(]-,]+\) >

где Рп = °^2 + сс(п -1); п = 1,2,..., Л7”.

6. Объем кажДОГО КОЛЬЦевОГО Сектора ВЫЧИСЛЯем Ук^^+1)=а(г^+1-г^)к, и, с учетом плотности пород 5, вычисляем массу сектора }-го кольца к-го слоя

тк,ии+1) = ^0';7+1)^-

7. Гравитационный потенциал в точке С окружающего пространства,

вызываемый точечной массой величины т^ ( ¡- ¡+\) с координатами (¡ ¡+\) пУк (/• /+П п’ 2к = /ч + Кк ~ 1) определяем как Тс г тк,и,]+\),п , где О -

1к,{у,]+\),п ^ г

к,ОУ+\),п

гравитационная постоянная,

гС

£,(у;у+1),и.- расстояние от центра масс конечного элемента до точки С.

Общий гравитационный потенциал в точке С окружающего пространства, вызываемый конусом, вычисляем как сумму потенциалов точечных масс:

ТС _ г V V V от£>С/>-/+1Хи

1 конуса ^ 2.^ 2^ 2^ с

к=1= 1п=1 j + 1),й

Таким образом, здесь представлен алгоритм аппроксимации гравитационного влияния конуса, как типичной формы земного рельефа. Учет гравитирующего влияния перемещаемых масс необходим при проектировании деформационных сетей, организации полевых работ и последующей интерпретации результатов регулярно повторяемых натурных наблюдений, например, нивелирных цикловых наблюдений при изучении вертикальных движений на территории горных выработок.

Приведем некоторые результаты эксперимента в табл. 1.

Таблица 1. Значения УОЛ и нивелирных превышений, вызываемых

гравитационным влиянием конуса

Номер станции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Координата X (м) 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 1350 1450

Для уклонений отвесных линий в "

УОЛ (5400т) -2,71 -1,81 -1,31 -1,00 -0,79 -0,64 -0,53 -0,45 -0,38 -0,33

Для нивелирных превышений в мм

Ь(5400т) 1,31 0,88 0,63 0,48 0,38 0,31 0,26 0,22 0,18 0,16

Из анализа результатов вычислительного эксперимента для вышеопределенных размеров гравитирующего усеченного конуса можно сделать следующие выводы:

1. гравитационное влияние использования моделей на результаты измерений горизонтальных углов не будет значимым;

2. в высокоточном нивелировании при расстоянии от подошвы гравитирующего конуса 450 м для точечной модели методическая ошибка

составляет 1/10 точности измерений на станции (0,5 мм). Этот факт необходимо учитывать при проектировании сетей, организации полевых работ и последующей интерпретации результатов натурных наблюдений.

Таким образом, был выполнен вычислительный эксперимент по исследованию влияния перемещаемых гравитирующих масс на значение нивелирных превышений. На расстоянии 1 км (10 станций нивелирного хода), это влияние составило 3-4 мм. Это значение превышает точность нивелирования и сопоставимо с величинами вертикальных смещений земной поверхности, а, следовательно, при геодинамических интерпретациях результаты геодезических наблюдений должны учитывать перемещаемые гравитирующие массы [2].

Результаты вычислительного эксперимента подтвердили необходимость комплексного подхода к геодинамической интерпретации результатов геодезических наблюдений в условиях перемещаемых гравитирующих масс.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мазуров, Б.Т. Математическая обработка нивелирных и гравиметрических наблюдений в условиях извлечения и перемещения больших объемов руды и пород / Б.Т. Мазуров // Изв. вузов. Горный журнал. - 2006. - №

4. - С. 99 - 104.

2. Мазуров, Б.Т. Некоторые модели аппроксимации гравитируещего влияния усеченного конуса / Б.Т. Мазуров //Сб. материалов V Междунар. науч. конгр. «ГЕО-СИБИРЬ-2009».- Новосибирск, 2009. - Т. 1, ч.2. - С. 35-39.

© О.И. Некрасова, 2011