ПРОГРЕССИРУЮЩЕЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ КОНСТРУКЦИЙ НА КРИТИЧЕСКИХ УРОВНЯХ ВНУТРЕННЕЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ УДК 69.04

Б01: 10.22227/1997-0935.2021.10.1324-1336

Прогрессирующее предельное состояние конструкций на критических уровнях внутренней потенциальной энергии

деформации

Леонид Юлианович Ступишин

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУМГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассматривается один из основных вопросов строительной механики — определение элементов, в которых первым наступит предельное состояние. На первый взгляд задача имеет бесконечное количество результатов, имея в виду бесконечное число вариантов нагружения системы. Задача становится решаемой, если исследовать конструкцию здания (сооружения) на возможные вариации перемещений (усилий) в узлах конструкции. Для такого подхода становится необходимым определение главных величин и соответствующих им векторов перемещений системы, которые приводят к максимальным (минимальным) значениям деформаций (усилий) в стержнях системы. Развивается новый подход теории сооружений, позволяющий выявить последовательность наступления предельного состояния в элементах конструкции здания (сооружения).

Материалы и методы. Для определения вариантов распределения экстремальных значений внутренних усилий (деформаций) в системе используется постановка задачи в виде проблемы собственных значений. Математическая модель задачи на собственные значения оказывается наиболее удобной, так как, кроме экстремальных значений (как в задаче оптимизации), дает возможность учитывать значения параметров задачи на верхней и нижней грани N N области ограничений. Теоретической основой постановки задачи является критерий критических уровней внутренней

О О потенциальной энергии системы, позволяющий отыскивать состояния самонапряжения конструкции, соответствующие

^ ^ предельным состояниям элементов конструкции.

О з Результаты. Методика решения задачи иллюстрируется на примере статически неопределимой пятистержневой

с ю фермы. Приведена матричная формулировка задачи и подробный алгоритм ее решения. Показано, что величины

внутренних усилий в стержнях, полученные с помощью традиционной методики, находятся в интервале между максимальными и минимальными главными значениями усилий для состояния самонапряжения системы. Даны решения 5 Ф на каждом из критических уровней энергии, соответствующие выключению элементов из работы на нагрузку вслед-

2 | ствие наступления предельного состояния.

I ]5 Выводы. Представлены примеры возможного использования методики в расчетной практике, варианты применения

сч N о о

.а .

to со

.Е о

dl"

^ с ю о

S 1

о ЕЕ

<л

(Л

в практике проектирования, а также дальнейшего развития теории.

аГ а>

= КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: стержневые системы, матричные методы, предельные состояния, потеря несущей способ-

О ф ности, критические уровни энергии, слабое звено, метод сил, метод конечных элементов

— ^

о

О ££ Благодарности. Автор выражает благодарность: Б.В. Гусеву, анонимным рецензентам за моральную поддержку идей

«р статьи; В.Л. Мондрус за обсуждение содержания и терминологии статьи.

^г -

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Ступишин Л.Ю. Прогрессирующее предельное состояние конструкций на критических уровнях внутренней потенциальной энергии деформации // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. Вып. 10. С. 1324-1336. РО!:

$ § 10.22227/1997-0935.2021.10.1324-1336

Автор, ответственный за переписку: Леонид Юлианович Ступишин, StupishinLyu@mgsu.ru.

Progressive limit state at critical levels of internal potential energy

c5 о

2 of deformation

Leonid Yu. Stupishin

Sj 3 Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); Moscow,

^ jj Russian Federation

ABSTRACT

X

s *

E =

¡3 ^ Introduction. The work is devoted to one of the main issues of structural mechanics - the determination of the elements

JD in which the limiting state occurs first. At first glance, the task has an infinite number of results, meaning an infinite number

of options for loading the system. The problem becomes solvable if one examines the structure of a building (structure) for

© Л.Ю. Ступишин, 2021

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial

possible variations in displacements (forces) in the nodes of the structure. For this approach, it becomes possible to determine the main values and vectors of displacement of the system, which correspond to the maximum (minimum) values of deformations (forces) in the rods of the system. As close approaches to the formulation of the problem, one should indicate the theory of the limiting equilibrium of structures under the assumption of the work of the material under flow conditions, where the equality of the work of external forces and internal forces is considered (kinematic method), or possible static stress states of the system for maximum limiting loads (static method). The theory of protecting buildings and structures from progressive collapse seeks to solve similar problems, focusing on options for design solutions that prevent destruction from non-design loads.

Materials and methods. To determine the options for the distribution of extreme values of internal forces (deformations) in the system, the problem is formulated in the form of an eigenvalue problem. The latter turns out to be the most convenient mathematical model of the problem, since, in addition to extreme values (as in the optimization problem), it allows one to take into account the values of the problem on the upper and lower bounds. The theoretical basis for the formulation of the problem is the criterion of the critical levels of the internal potential energy of the system, which makes it possible to find the self-stress states of the structure corresponding to the limiting states of the structural elements. Results. The methodology for solving the problem is illustrated by the example of a statically indeterminate five-rod truss, which was also considered by other authors. The matrix formulation of the problem and a detailed algorithm for its solution are given. It is shown that the values of the internal forces in the rods, obtained using the traditional method, are in the interval between the maximum and minimum main values of the self-stress state of the system. Solutions are given at each of the critical energy levels corresponding to the disconnection of bonds from work.

Conclusions. The examples of the possible use of the technique in computational practice are given. Possible options for application in design practice, as well as further development of the theory are indicated.

KEYWORDS: core systems, matrix methods, limit states, loss of bearing capacity, critical energy levels, weak link, force method, finite element method

Acknowledgements: The author expresses his gratitude to: B.V. Gusev, anonymous reviewers for the moral support of the ideas of the article; Mondrus V.L. for a discussion of the content and terminology of the article.

FOR CITATION: Stupishin L.Yu. Progressive limit state at critical levels of internal potential energy of deformation. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021 ; 16(10):1324-1336. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.10.13241336 (rus.).

Corresponding author: Leonid Yu. Stupishin, StupishinLyu@mgsu.ru.

ВВЕДЕНИЕ

Одна из основных целей строительной механики состоит в определении поперечных сечений элементов конструкции, где в первую очередь наступит предельное состояние. В случае если конструкция статически неопределима, возможен вариант дальнейшего увеличения нагрузки на систему и наступление предельного состояния в сечении другого элемента системы. Пока система статически неопределима и геометрически неизменяема, процесс увеличения нагрузки может продолжаться без потери несущей способности зданием (сооружением). Проектировщик оценивает несущую способность здания на каждом этапе изменения расчетной схемы, а также величины приложенных нагрузок, чтобы дать заключение о возможности его дальнейшей безопасной эксплуатации. Здесь и в дальнейшем мы намеренно не уточняем вид предельного состояния элемента (или связей) системы, полагая, в соответствии с требованиями нормативных документов, что весь элемент или отдельные связи системы выводятся из работы на нагрузку, вследствие наступления предельного состояния в них.

Некоторые аналогии в постановке задачи исследования можно проследить в теории предельного равновесия систем, работающих в пластической стадии деформирования. Там последовательное появление пластических деформаций в элементах конструкции приводит к снятию связей, в результате чего

система из статически неопределимой, превращается в механизм. Из всех возможных видов механизмов, которые могут быть получены для рассматриваемой расчетной схемы, на основе условия равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях, отыскивается минимальная разрушающая нагрузка (кинематический принцип). Второй подход базируется на статическом принципе — принципе максимума интенсивностей внешних нагрузок, уравновешенных внутренними усилиями в элементах конструкции, не превышающими своих предельных значений [1, 2]. Существуют алгоритмы линейного программирования, а также реализующие их программные средства, позволяющие находить величины предельных разрушающих нагрузок и виды механизмов, получающихся из неизменяемой системы [3-10].

С другой стороны, постановка задачи перекликается с широко применяемой теорией прогрессирующего обрушения конструкций, которая становится одной из важнейших в проектировании безопасных и устойчивых к аварийным состояниям конструктивным схемам зданий и сооружений [11-13]. Цель теории прогрессирующего обрушения конструкций — формулирование основных положений и общих требований «по проектированию защиты зданий и сооружений от прогрессирующего обрушения при аварийной расчетной ситуации вследствие предполагаемого начального локального разрушения, приводящего к изменению конструктивной системы».

< п

iH

з_ G Г

S 2

0 СЯ

n ся

1 <

< -»

J CO

U -

r I

n °

< 3 o

oî

О n

СЯ СЯ

l\J CO

0

1

CO CO о о

< )

f6

л '

o> n

I T

s У с о <D *

оо

M M

о о 10 10

сч N

о о

N N

О О

г г

¡г <и

и 3

> (Л

с «

и <о

<0 щ

¡1

<и а

о ё

<л ел

.Е о

^ с

ю о

£ 1

о ЕЕ

о ^

т- ^

£

> А «г?

8 £ ^ Е!

О И

Современный свод правил СП 385.1325800.2018, подготовленный ведущими специалистами в этой области, предписывает «для зданий и сооружений в качестве локального разрушения... рассматривать разрушение (удаление) нижеперечисленных несущих конструкций одного (любого) этажа на участке, ограниченном кругом площадью не менее 40 м2 для зданий и сооружений высотой до 100 м, не менее 80 м2 для зданий и сооружений высотой от 100 м до 200 м и не менее 100 м2 для зданий и сооружений высотой более 200.».

Очевидно, что эти требования основываются на опыте проектирования зданий и обследования аварий зданий и сооружений. В практике проектирования зданий и сооружений сложилась методика использования типовых расчетных схем и модульных размеров конструкций. Поэтому наиболее логично выделить в сложном здании группы элементов, обладающие повышенной сопротивляемостью аварийным воздействиям. Для сокращения объема расчетов предлагается анализ исходной конструктивной схемы здания и вторичной, представляющей собой набор наиболее устойчивых к аварийным воздействиям схем, как это представлено в СП 385.1325800.2018. Вторичная схема определяется сводом правил как наиболее вероятная, которая может остаться после обрушения части здания. Методика расчета на живучесть строится исходя из существующей практики расчета и проектирования зданий и сооружений, как последовательность расчета первичной схемы здания на аварийные воздействия, а затем вторичной схемы здания, предлагаемой нормами.

Англоязычные нормы, и в частности Еврокод £N1990 «Основы проектирования сооружений», устанавливают требование живучести как дополнительное по отношению к требованиям по предельным состояниям: эксплуатационной пригодности и абсолютному предельному состоянию конструкции. Это требование ограниченности повреждений конструкции в результате взрыва, удара или субъективной ошибки. Предлагается ряд рекомендаций для предотвращения аварийных ситуаций, которые могут повлиять на выбор конструктивных особенностей расчетной схемы здания. В Еврокоде £N1991-1-7 «Аварийные воздействия» приводятся различные варианты стратегий для обеспечения безопасности в случае аварий и даются рекомендации по расчету.

В общем случае методика расчета на прогрессирующее обрушение строится исходя из предположения, что в каком-то месте выключается из работы элемент или группа несущих конструкций, после чего традиционными методами определяется напряженно-деформированное состояние несущей системы здания и выдается прогноз о безопасности здания (сооружения) [11-27].

На основные вопросы теории, с какого несущего элемента начнется разрушение и какой элемент или группа несущих элементов потеряют несущую способность в следующую очередь, ответа нет.

Введем понятие о теории прогрессирующего предельного состояния конструкций как методике определения внутренних усилий в элементах деформируемой системы при варьировании главного вектора обобщенных перемещений (сил), приложенных в ее узлах. Целью выявления вариаций усилий служит получение информации о распределении внутренних усилий в элементах системы, которые будут изменяться подобным образом до момента перехода через критический уровень потенциальной энергии деформации системы. При переходе через критический уровень произойдет снятие связей в наиболее нагруженном элементе, что повлечет за собой изменение расчетной схемы или формы деформирования. Процесс снятия связей будет длиться до момента превращения системы в геометрически изменяемую конструкцию. Реализация методики позволяет проектировщику предсказать возможные конструктивные схемы и формы деформирования системы при последовательном наступлении предельного состояния в ее элементах.

Основное отличие предлагаемого подхода заключается в общности рассмотрения задачи с позиций нахождения «слабого звена» системы, в котором наступит предельное состояние в первую очередь [28]. Под «слабым звеном» системы будем понимать элемент или связь конструкции, в которых появятся экстремальные величины внутренних усилий, вызывающие предельное состояние в элементе с последующим выключением его из работы на внешние нагрузки. Поскольку наступление предельного состояния обусловлено достижением внутренней потенциальной энергией конструкции экстремального значения (включая верхнюю или нижнюю грань), критерий критических уровней энергии позволяет сформулировать математическую модель задачи в виде задачи на собственные значения. Благодаря такой широкой постановке задачи появляется возможность использования известных видов предельных состояний как первой, так и второй группы.

Методика нахождения «слабого звена» и снятие связей на каждом из последующих уровней критической энергии системы дает возможность исследовать свойства системы вплоть до превращения ее в механизм. У проектировщика появляется возможность «предусмотреть» различные сценарии разрушения конструкции здания (сооружения), а вследствие этого управлять процессом перераспределения усилий из-за удаления связей.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

При создании проекта конструкции проектировщик выбирает материал, форму поперечного сечения, длину элементов, вид закрепления в узлах и условия опирания конструкции в зависимости от целей использования здания с учетом сложившейся практики проектирования. Очевидно, что при таком подходе здание не универсально в отношении восприятия

возможных действующих нагрузок и будет иметь «слабые звенья», в которых, прежде всего, появится перенапряжение.

Здесь следует отметить два аспекта направлений исследования:

• определение несущих элементов, в которых произойдет отказ в первую очередь, а затем последовательности, в которой пойдут отказы остальных элементов в случае самого невыгодного загружения системы;

• последовательность отказа элементов системы после снятия связей вследствие запроектного воздействия (аварийные воздействия при эксплуатации, террористические акты, природные катаклизмы).

В любом из этих случаев мы приходим к задаче о последовательном снятии связей ввиду достижения «слабым элементом» системы предельного состояния.

Выпишем задачу об определении перемещений конструкции в форме метода перемещений:

[К]Ш = {Фет},

где [К] — матрица внешней жесткости конструкции;

— вектор обобщенных перемещений системы; {Фех} — вектор обобщенных реакций в узлах системы от внешних воздействий.

Выражение, записанное в виде (1), можно трактовать как равенство реакций в фиктивных связях, вызванных внутренними усилиями и внешними нагрузками. Поскольку величина внешней нагрузки нами не оговаривается заранее при выводе уравнений метода перемещений, то условие (1) выполняется для любых нагрузок, в том числе единичных и нулевых [29]. В последнем случае, кроме нулевого вектора узловых перемещений, могут иметь место и ненулевые перемещения для случая самонапряжения системы. Другими словами, на всех уровнях нагружения конструкции перераспределение перемещений узлов происходит в соответствии с обобщенными жестко-стями конструкции в направлении возможных перемещений, как и в случае самонапряжения.

Это условие можно записать как вариации возможных перемещений в узлах системы [30]

[К]{5^} = [Х]{5^},

ходившиеся в предельном состоянии, изменится и состояние самонапряжения конструкции. Но на каждом критическом уровне энергии состояние самонапряжения будет отвечать условию (2).

Приведем некоторые известные из строительной механики соотношения, представленные в матричном виде, и сформулируем алгоритм нахождения наиболее нагруженной связи, в которой наступит предельное состояние в первую очередь. Повторение решения задачи после выключения связи из работы на нагрузку будет моделировать прогрессирующий процесс наступления предельного состояния в других элементах системы. Алгоритм распространения последовательного разрушения элементов системы будет выглядеть следующим образом.

1. Строим матрицу внутренней жесткости системы [С] и, используя уравнения равновесия узлов системы, строим статическую матрицу конструкции [А].

2. С помощью полученных матриц строим матрицу внешней жесткости системы. Матрица внешней жесткости конструкции может быть определена через матрицу внутренней жесткости системы и статическую матрицу как

[К] = [А][С][А]Т.

Если вести решение в форме метода сил, следует вычислить матрицу податливости системы как Ц] = [К]1.

3. Решаем задачу на собственные значения для матрицы податливости, полученной по матрице жесткости. Решение задачи на собственные значения (2) для выражения (3) позволит выявить состояние системы с минимальной жесткостью и соответствующий ей собственный вектор обобщенных перемещений {5^}. Мы получаем обобщенные реактивные усилия в узлах системы, перемножая минимальное собственное значение на соответствующий собственный вектор

{5Фшт} = [Лшт]{5^шт}.

где матрица [X] содержит значения главных (экстремальных) жесткостей системы, если воздействия на систему осуществлялись в направлении степеней свободы, в соответствии с векторной матрицей {5^}.

Физический смысл выражения (2) с учетом правой части (1) — существование главных видов самоуравновешенного напряженного состояния системы (самонапряжений), при которых внутренняя потенциальная энергия системы достигает критических значений, а отдельные элементы конструкции находятся в предельном состоянии. При этом внутренние усилия системы уравновешивают внешнюю нагрузку на критических уровнях нагружения. На каждом критическом уровне энергии, начиная с первого, и далее, когда будут удалены связи, на-

Аналогичным образом можно найти вектор узловых перемещений при решении задачи в форме метода перемещений. Для матрицы податливости системы вычисляем главные направления векторов узловых перемещений как собственные значения, умноженные на собственные векторы

{5^} = [Хтах]{5Фтах}.

Нормированные по максимальному значению векторы воздействий в узлах системы совпадают с точностью до знака

{5Фе  } = -{5£е }

< п

I*

На

з_ о Г и 3

0 СО п СО

1 2

< -»

о СО

и -

Г I

< 3 О

о5

О п

со со

м со

0 ^

1

со

СП о о

Узловые векторы внешних воздействий показывают такие направления воздействий, от которых внутренние усилия в стержнях системы и деформации стержней будут иметь максимальные значения.

< )

л * 0> 00

1 £

<л п (Я у с о

о о

2 2 О О 2 2

N N

О О

N N

О О

г г

¡г <и

и 3 > (Л

с «

и <о

<0 (и

Л

<и а

О ё

(Л

ел

.Е о

^ с

ю о

£ !

о ЕЕ

О) ^

т- ^

ся °

> А «г?

8 11 Е!

О (Я №

4. Вычисление деформаций и внутренних усилий в системе в форме метода перемещений имеет вид

{ет1П} = -[Л]Г{5^т1П>,

В случае выполнения решения в форме метода сил вычисляем матрицу — проектор главных направлений внешних сил на оси стержней.

[5] = -[С][А]Т[Ь].

Затем можно вычислить внутренние усилия в стержнях системы по полученным значениям главных податливостей каждого из стержней

{Жтах} = [5]{5Фтах}.

Деформации по внутренним усилиям находим по выражению

{8т3х} = [С]-1{Жт3х}.

Нормированные значения векторов продольных усилий и деформаций, определенные по методу сил и методу перемещений, равны

{етш} = {е'тах}, {Щ = {^тах}.

Ненормированные величины усилий и деформаций отличаются на постоянные множители.

5. Решение задачи на собственные значения дает возможность определить связь, в которой возникнут максимальные значения внутренних усилий и деформаций в стержнях системы. Если условие предельного состояния представлено в усилиях, удаляем стержень с максимальными усилиями и переходим к пункту 6.

Если предельное состояние задано через деформации, удаляем стержень с превышением предельных величин деформаций, найденных по выражению (7) или (10). Определяем стержни системы, которые будут соответствовать максимальным значениям деформаций в стержнях системы. Если предельное состояние задано через ограничение деформаций, удаляем стержень, в котором нарушено условие предельного состояния, и переходим к п. 6.

В случае задания нескольких видов ограничений выбираем стержень с экстремальными значениями усилий и деформаций в соответствии с условиями поставленной задачи.

6. Для новой системы без связи, исключенной в предыдущем пункте, повторяем процедуру, начиная с п. 1. Проверяем геометрическую неизменяемость системы на каждом этапе по условию

det[A] ф 0.

этапам, находим значения предельных нагрузок на систему.

Анализ значений предельных нагрузок в узлах системы позволяет построить карту допускаемых нагрузок в узлах конструкции, на которой будут показаны величины проекций предельных нагрузок на горизонтальные и вертикальные направления (или другие, удобные для проектировщика).

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Задачу на прогрессирующее предельное состояние на первом этапе будем рассматривать как задачу поиска «слабого звена» конструкции. Другими словами, считаем, что в процессе эксплуатации стержни системы утратили часть несущей способности равномерно по всем элементам. Наша задача — найти стержень, с которого может начаться разрушение системы даже вследствие проектных воздействий.

Определение главных значений вариаций узловых сил и перемещений в системе

Рассмотрим один раз статически неопределимую пятистержневую ферму, которая рассматривалась в работах [31-33] и приведена на рис. 1.

На рис. 1, а показаны первоначальные произвольно выбранные степени свободы системы для решения задачи в форме метода сил, где вариации обобщенных усилий [5Фг], I = 1,4. На рис. 1, Ь приведены степени свободы системы в тех же направлениях, принимаемые для расчета системы в форме метода перемещений, где вариации обобщенных перемещений [5Фг], I = 1,4.

Для простоты будем считать, что жесткости стержней одинаковы, а степени свободы системы, в направлении которых ведем варьирование перемещений, привязаны к узлам системы. На рис. 1, а показаны жесткости и номера стержней, а также геометрические размеры стержней фермы. На рис. 1, с, d—схемы вырезанных из системы узлов, необходимые для составления уравнений равновесия в направлении выбранных степеней свободы.

Матрица внутренней жесткости системы имеет

вид

[С ] = ЕА /1

1

1 нули

1

нули 0,7071

0,7071

,

Продолжаем решение по алгоритму до получения статически определимой системы. Условием потери несущей способности считаем превращение системы в геометрически изменяемую конструкцию согласно (12).

7. По полученным нормированным значениям предельных нагрузок, просуммированным по всем

где длины наклонных стержней равны по 1^2 каждый.

Чтобы построить статическую матрицу, записываем уравнения равновесия в направлении произвольно выбранных первоначальных степеней свободы для вырезанных узлов. Для первого узла

£§Ф! = 0, N + Ыасоь 45 + 5Ф! = 0,

V,

£§Ф2 = 0, N3 + Л/^ш 45 + 5Ф2 = 0,

0,231

5Ф2

8Ф,

N3

a, N4

N1

N34

N5 a2

5Ф3

5ФЛ

N2

b

Рис. 1. Ферма: a — расчетная схема с начальными произвольно выбранными направлениями степеней свободы в узлах в виде вариации внешних сил; b — усилия в стержнях фермы от единичных сил, приложенных в направлении степеней свободы, поделенные на EA//; с—левый вырезанный узел с возможными степенями свободы и возникающими усилиями; d — правый узел с возможными степенями свободы и возникающими усилиями

Fig. 1. Truss: a — design scheme with the initial arbitrarily chosen directions of the degrees of freedom at the nodes in the form of variations in external forces; b — efforts in the truss rods from unit forces applied in the direction of the degrees of freedom, divided by EA//; c — left cut out node with possible degrees of freedom and emerging forces; d — right node with possible degrees of freedom and emerging forces

для второго узла

£§Ф3 = 0, N2 + N5cos 45 + 5Ф3 = 0,

£5Ф4 = 0, -Ы3 - Л^п 45 + 5Ф4 = 0.

Статическая матрица, построенная на основе уравнений равновесия узлов, к которым привязаны степени свободы узлов, запишется как

-1 0 0 -0,7071 0

0 0 -1 -0,7071 0

0 -1 0 0 -0,7071

0 0 1 0 0,7071

[A] =

Матрица внешней жесткости, вычисляемая по формуле (3), имеет вид

1,3535 0,35354 0 0

,0,35354 1,3535 0 0

0 0 1,3535 -0,35354 0 0 -0,35354 1,3535

[К] = ЕА/1

Вычисляем собственные значения матрицы податливости [Ц] = [К]-1. Матрица собственных значений

[k] = l / EA

4,1463 0 0 0

0

0,4055 0 0

0 0

0,6822 0

0 0 0

0,8057

Матрица, составленная из собственных векторов системы, может быть представлена как

0,2142 -0,2142 0,6739 -0,6739

-0,6739 -0,6739 0,2142 0,2142

-0,2142 -0,2142 -0,6739 -0,6739

-0,6739 0,6739 0,2142 -0,2142

[f ] =

< п

iH

з_ G Г

(19) l

со

CO

Каков физический смысл полученных результатов? Если мы выберем первоначальные направления возможных внешних усилий в узлах системы (обычно -- это горизонтальные и вертикальные направления вдоль декартовой правосторонней системы координат), а затем вычислим усилия в стержнях от этих сил, то получим один из вариантов распределения усилий в заданной системе, совпадающий с результатами, полученными в работе [32]. Этот вариант распределения усилий представлен на рис. 1, Ь. Вместо эпюр продольных усилий рядом со стержнями проставлены числовые значения усилий.

Очевидно, что могут существовать направления приложения вариаций внешних сил (перемещений), которые соответствуют максимальным величинам податливости фермы и минимальной податливости. Решив задачу на собственные значения для первоначальной матрицы податливости (11), мы нашли максимальные и минимальные собственные значения

(12) и соответствующие им собственные векторы

(13), которые указывают направления виртуальных внешних воздействий для этих состояний. Будем на-

< -»

J CD

U -

r 1

n 0

< 3

0 <

01 О n

CO CO

l\J со

0

1

CO CO о о

< )

! л '

o> n

I T

(Л У

с о <D X

1 I

О О

2 2 О О 2 2

c

сч N

о о

N N

О О

г г

¡г <и

U 3

> (Л

С И 2

U <о

<0 щ

¡1

<u <и

зывать эти направления и соответствующие собственные значения вариаций усилий и перемещений главными вследствие того, что, кроме экстремальных значений, определяются значения, соответствующие верхней и нижней грани экстремальной задачи.

Поскольку система имеет четыре степени свободы, получаем еще два собственных значения, имеющих промежуточные значения по отношению к экстремальным величинам. На рис. 2 показаны усилия в стержнях фермы, вычисленные для максимального (рис. 2, а) и минимального (рис. 2, Ь) собственных значений, а также направления вариаций внешних воздействий, соответствующих собственным векторам задачи.

Первое собственное значение соответствует максимальной податливости системы на первом уровне критической энергии системы. Если нагружение системы вести таким образом, что результирующие внешней нагрузки будут направлены как первый собственный вектор, то усилия и деформации в системе будут изменяться подобным образом с коэффициентом, равным первому собственному значению. Первому собственному значению (уровню энергии системы) соответствует первый вид самонапряжения (см. рис. 2, а), где усилия возникают в симметрично расположенных стержнях, а в третьем стержне — нулевое.

Второй собственный вектор (см. рис. 2, Ь) дает состояние самонапряжения с минимальными усилиями. Вычисления показывают наличие усилий во всех стержнях системы, в симметрично расположенных стержнях усилия, как и в первом случае, одинаковы с точностью до знака.

Результаты расчета для произвольно выбранных осей, приведенные на рис. 1, Ь, показывают, что усилия для единичных воздействий находятся в проме-

жутке между максимально возможными усилиями самонапряжения и минимально возможными усилиями самонапряжения (см. рис. 2, Ь).

Усилия самонапряжения для третьего и четвертого собственного значения представлены на рис. 3.

Обратим внимание, что второе и третье состояния самонапряжения приводят к такому распределению усилий, что во всех стержнях системы усилия ненулевые. Величины усилий, как и для первоначально принятого направления, находятся в интервале между усилиями от максимального собственного значения и усилиями от минимального собственного значения.

Для пояснения полученных результатов проведем аналогию с исследованием напряженного состояния в точке тела. В общем случае от заданных нагрузок мы получаем компоненты тензора напряжений в точке, аналогично решению, полученному нами на рис. 1, Ь. На втором этапе находятся площадки, где напряжения имеют экстремальные значения, чтобы иметь возможность записать условия прочности в точке тела. Для рассматриваемого нами примера — это результаты решения задачи на собственные значения (18), (19), показанные на рис. 2, а, Ь. То есть подбор поперечных сечений стержней или проверка их прочности по результатам, приведенным на рис. 1, Ь, не дает наилучший возможный проект фермы.

Решение задачи прогрессирующего предельного состояния для системы с удаленной связью

Возвращаясь к решению поставленной задачи, делаем заключение, что четвертый и пятый стержни могут потерять несущую способность от одинакового усилия, но разных знаков. Будем считать, что прочность стержней на растяжение и сжатие одинакова,

О ё

о со <м Z W W

.Е о

^ с ю о

S 1

о ЕЕ а> ^

ОТ £

22 J

> А

£

О И

0,8881 о О

0,8881

2,7941

N^0,08686 0,22163 0,2733

0,08686

0,03523

a b

Рис. 2. Ферма: a—первый собственный вектор и соответствующие ему усилия

Fig. 2. Farm: a—the first eigenvector and the corresponding efforts

, С. 1324-1336

на критических уровнях внутренней потенциальной энергии деформации

Рис. 3. Ферма: a — третий собственный вектор и соответствующие ему усилия; b — четвертый собственный вектор и соответствующие ему усилия

Fig. 3. Farm: a — third eigenvector and corresponding efforts; b — the fourth eigenvector and the corresponding efforts

тогда предельное состояние может быть достигнуто в любом из этих стержней. Пусть предельное состояние наступает от потери устойчивости. Тогда первым удаляется пятый стержень при нормированном значении предельной силы Рсг = 1,05Ф.

На втором этапе рассматривается система с удаленным пятым стержнем, показанная на рис. 4.

Матрица внутренней жесткости системы имеет вид

Статическая матрица запишется как

[C ] = EA /1

0 0,7071

0,186 -6,232 0,0

a

[A]2 = EA /1

-1 0 0 -0,7071

0 0 -1 -0,7071

0 10 0

0 0 -1 0

Матрица жесткости вычисляется по формуле (3).

1,3535 0,35354 0 0

0,35354 1,3535 0 -1

EA /1

0 0 1 0

0 -1 0 1

-0,2892

-0,753

0,0556

0,2599 0,0

b

< п

iH

з_ G Г

0 СО n СО

1 <

< -»

J CD

U -

r i

n °

< 3 О

oi

§i

(Л '

CO CO

l\J со

0

1

CO CO о о

Рис. 4. Ферма: a — первый собственный вектор и соответствующие ему усилия; b — третий собственный вектор и соответствующие ему усилия

Fig. 4. Farm: a — the first eigenvector and the corresponding efforts; b — the third eigenvector and the corresponding efforts

< )

16

л '

o> n

I т

s

(Л У

с о <D Ж 1 1 оо

О О 10 10

Собственные значения матрицы податливости

имеют вид

N N

О О

N N

О О

г г

¡г <и

и 3 > (Л

с «

и <о

<0 щ

¡1

<и а

о ё

[Х] =

8,4567 0 0 0

0 0,7606 0 0

0 0 0,4397 0

0 0 0 1

Собственные векторы матрицы податливости

запишутся как

[5Ф] =

0,186 -0,939 -0,2892 0

0,6498 0,1032 -0,7530 0

0 0 0 1

-0,737 -0,328 0,591 1

Как можно видеть из рис. 4, распределения усилий для максимального собственного значения и минимального собственного значения подобны. Отличаются на нормировочный множитель соответственно собственным значением векторов. Нормированные собственные усилия

{т т }

-0,802 0

-0,3758 1

<л ел

.Е о

^ с

ю о

£ 1

о ЕЕ

О) ^

Т- ^

Е

22

> А

8 £ * Е!

о И

Усилия, вычисленные в стержнях, показывают, что наиболее нагруженный стержень — пятый наклонный с усилием Рсг = 1,05Ф. Предельная нагрузка на систему за два этапа составила Рсг = 2,05Ф.

Таким образом, «слабым звеном» фермы, представленной на рис. 1, является четвертый наклонный стержень. Предельным состоянием, которое приводит к потере несущей способности, может быть либо потеря прочности от сжатия стержня, либо потеря устойчивости при нормированной величине внутреннего усилия Рсг = 1,05Ф. Несложно видеть, что система со снятой связью (в виде четвертого стержня) не становится геометрически изменяемой, а является статически определимой. Возможно дальнейшее нагружение системы, при этом состояние самонапряжения фермы отличается от предыдущего. Наиболее нагруженным стержнем становится пятый наклонный стержень. Максимальное усилие в нем достигает значения Рсг = 1,05Ф.

То есть снятие пятой связи может привести к геометрически изменяемой системе, и второй критический уровень внутренней энергии системы будет определять предельное состояние системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Из проведенных исследований следуют некоторые выводы, позволяющие расширить понимание вопросов, связанных с переходом сложных систем в предельное состояние и особенностями работы на предельные нагрузки.

1. Принцип Лагранжа, на котором основаны существующие подходы к расчету конструкций, определяет условия, обеспечивающие равенство реакции системы и действующих на систему внешних воздействий при выполнении условий совместности деформаций. При этом вопрос о полном исчерпании системой несущей способности остается открытым, поскольку нагрузке сопоставляется только часть внутренней энергии тела, необходимая для ее уравновешивания. Поэтому существуют и развиваются теории оптимального проектирования конструкций, теория чувствительности конструкций, и другие, ставящие целью найти проект, фактически, не имеющий запаса прочности.

• Критерий критических уровней энергии изначально исследует экстремальные состояния внутренней энергии деформации твердого тела, которым впоследствии сопоставляется допустимая нагрузка на систему. Поэтому исчерпание несущей способности системы на определенном критическом уровне связывается с потерей связей и изменением расчетной схемы конструкции.

2. Согласно матричному методу перемещений строительной механики любые возможные сочетания внешних нагрузок приложены в узлах системы. Реакция деформируемой системы на возможные возмущения также приводится к узлам системы. При этом если внешние нагрузки по каким-то направлениям степеней свободы системы отсутствуют, можно не рассматривать и реакции системы по указанным направлениям. Уменьшение размерности матрицы не меняет распределение внутренних усилий. Это следует из теории матриц, где доказывается, что изменение размерности матрицы не изменяет ее собственных значений.

3. Как было показано выше, оптимальное распределение усилий в системе определяется состояниями самонапряжения системы, полученными из решения задачи на собственные значения (2).

4. Из выражений (6) и (11) следует, что коэффициент, определяемый соотношением собственных значений, полученных решением задачи в усилиях и перемещениях, имеет смысл упругой характеристики конструкции в целом на рассматриваемом критическом уровне деформаций.

5. Общеизвестный факт, что кривая равновесных состояний для образца материала и конструкции в эксперименте различны, получает теоретическое обоснование. Для любых систем от одного критического уровня к другому меняются характеристики жесткости системы вследствие потери части связей, что приводит к нелинейной кривой состояний равновесия системы, при справедливости закона Гука для каждого уровня энергии, до момента потери связи

{Ф} = иш,

где [Е] — матрица упругих характеристик системы. 6. Предложенная методика позволяет: • проектировать стержневые системы с оптимальным распределением усилий (деформаций) в стержнях системы;

• подбирать оптимальное распределение геометрических характеристик стержней при условии восприятия максимально возможной нагрузки на систему;

• решать задачи регулирования усилий в системе при действии различных видов нагрузок и воздействий;

• ставить и решать задачи прогрессирующего предельного состояния стержневых систем при проектных и непроектных воздействиях.

Развитие метода даст возможность исследовать как изгибаемые стержневые системы, так и сплошные деформируемые среды типа грунтовых оснований.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. М. : Госстрой-издат, 1954. 288 с.

2. ЧирасА.А. Методы линейного программирования при расчете упруго-пластических систем. Л. : Стройиздат, 1969. 198 с.

3. Toi Y., Kawai T. Discrete limit analysis of plate and shell structures // Computers & Structures. 1984. Vol. 19. Issue l-2. Pp. 251-261. DOI: 10.1016/0045-7949(84)90225-6

4. Yang W.H. Large deformation of structures by sequential limit analysis // International Journal of Solids and Structures. 1993. Vol. 30. Issue 7. Pp. 1001-1013. DOI: 10.1016/0020-7683(93)90023-z

5. Cocchetti G., Maier G. Elastic-plastic and limitstate analyses of frames with softening plastic-hinge models by mathematical programming // International Journal of Solids and Structures. 2003. Vol. 40. Issue 25. Pp. 7219-7244. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00363-9

6. Seshadri R., Fernando C.P.D. Limit loads of mechanical components and structures using the gloss r-node method // Journal of Pressure Vessel Technology. 1992. Vol. 114. Issue 2. Pp. 201-208. DOI: 10.1115/1.2929030

7. Alwis W.A.M. Limit analysis using systematically generated mechanisms // Computers & Structures. 1988. Vol. 28. Issue 3. Pp. 353-359. DOI: 10.1016/0045-7949(88)90075-2

8. Kim J.-S., Kim J.-Y. Simplified elastic-plastic analysis procedure for strain-based fatigue assessment of nuclear safety class 1 components under severe seismic loads // Nuclear Engineering and Technology. 2020. Vol. 52. Issue 12. Pp. 2918-2927. DOI: 10.1016/j. net.2020.05.008

9. Ngoc Trinh Tran, Manfred Staat. Direct plastic structural design under random strength and random load by chance constrained programming // European Journal of Mechanics — A/Solids. 2021. Vol. 85. P. 104106. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2020.104106

10. Boustani C.E., Bleyer J., Arquier M., Ferradi M.-K., Sab K. Elastoplastic and limit analysis of 3D steel assemblies using second-order cone programming and dual finite-elements // Engineering Structures. 2020. Vol. 221. P. 111041. DOI: 10.1016/j. engstruct.2020.111041

11. Белостоцкий А.М., Карпенко Н.И., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Карпенко С.Н., Петров А.Н.

и др. О методах расчета напряженно-деформированного состояния и на устойчивость к прогрессирующему обрушению пространственных плитно-оболо-чечных железобетонных конструкций с учетом физической нелинейности, трещинообразования и приобретаемой анизотропии // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. 2018. Т. 14. № 2. С. 30-47. DOI: 10.22337/25879618-2018-14-2-30-47

12. Колчунов В.И., Клюева Н.В., Андросова Н.Б., Бухтиярова А.С. Живучесть зданий и сооружений при запроектных воздействиях. М. : Издательство АСВ, 2014. 208 с.

< и

13. Perelmuter A.V., Kabantsev O.V. About  л>

t о

the problem of analysis resistance bearing systems in J н

failure of a structural element // International Journal for Ш К

9 Л

Computational Civil and Structural Engineering. 2018. g g

Vol. 14. Issue 3. Pp. 103-113. DOI: 10.22337/2587- g С

9618-2018-14-3-103-113 • .

14. Fialko S.Yu., Kabantsev O.V., Perelmuter A.V. 0 S

t in

Elasto-plastic progressive collapse analysis based on l i

the integration of the equations of motion // Magazine 00 9

of Civil Engineering. 2021. № 102 (2). P. 10214. § 00

DOI: 10.34910/MCE.102.14 | §

15. Обозов В.И., Беляев А.Ф. Анализ методов § ( расчета на сопротивляемость прогрессирующе- 0 § му обрушению конструкций сооружений по нор- Г — мам различных стран // Строительная механика t <s и расчет сооружений. 2020. № 2 (289). С. 53-60. | ' з DOI: 10.37538/0039-2383.2020.2.53.60 d -

16. Zhang Z., Chen Z. Constraint embankment > 6 construction to prevent the collapse of underground i | caves // Advances in Civil Engineering. 2019. Vol. 2019. c §§ Pp. 1-18. DOI: 10.1155/2019/3607574 | |

17. Xuan W., Wang L., Liu C., Xing G., Zhang L., • • Chen H. Experimental and theoretical investigations on l о progressive collapse resistance of the concrete-filled | 1 square steel tubular column and steel beam frame under ш . the middle column failure scenario // Shock and Vibration. . и 2019. Vol. 2019. Pp. 1-12. DOI: 10.1155/2019/2354931 S П

18. Wang W. Strain rate effect on the progressive £ c collapse analysis of rc frame structure under earth- 1 1 quake // Advances in Civil Engineering. 2020. Vol. 2020. Ш Ш Pp. 1-12. DOI: 10.1155/2020/5808701 g ¡0

19. Shakib H., Zakersalehi M., Jahangiri V., 1 1 ZamanianR. Evaluation of Plasco Building fire-induced

сч N

о о

N N

О О

г г

К <D

U 3

> (Л

С И 2

U <о

<0 щ

¡1

<U <D

о 8

progressive collapse // Structures. 2020. Vol. 28. Pp. 205-224. DOI: 10.1016/j.istruc.2020.08.058

20. Garg S., Agrawal V., Nagar R. Progressive collapse behaviour of reinforced concrete flat slab buildings subject to column failures in different storeys // Materials Today: Proceedings. 2021. Vol. 43. Pp. 10311037. DOI: 10.1016/j.matpr.2020.07.692

21. Zhi B., Wei P., WangX., Li Z., Ren Y., ZhangH. et al. Research on the collapse coefficient of collapsible loess under unloading // Advances in Civil Engineering. 2021. Vol. 2021. Pp 1-12. DOI: 10.1155/2021/6672301

22. Jing W., Xing S., Song Y. Collapse-pounding dynamic responses of adjacent frame structures under earthquake action // Advances in Civil Engineering. 2020. Vol. 2020. Pp. 1-12. DOI: 10.1155/2020/8851307

23. Xie F., Liu W., Gu B., Qian H. Study on the component-based model of an all-welded beam-column connection for progressive collapse analysis // Advances in Civil Engineering. 2020. Vol. 2020. Pp 1-11. DOI: 10.1155/2020/8847866

24. Alanani M., Ehab M., Salem H. Progressive collapse assessment of precast prestressed reinforced concrete beams using applied element method // Case Studies in Construction Materials. 2020. Vol. 13. P. e00457. DOI: 10.1016/j.cscm.2020.e00457

25. El-desoqi M., Ehab M., Salem H. Progressive collapse assessment of precast reinforced concrete beams using applied element method // Case Studies in Construction Materials. 2020. Vol. 13. P. e00456. DOI: 10.1016/j.cscm.2020.e00456

Поступила в редакцию 19 июля 2021 г. Принята в доработанном виде 28 октября 2021 г. Одобрена для публикации 28 октября 2021 г.

Об авторе : Леонид Юлианович Ступишин — кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры строительной и теоретической механики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; SPIN-код: 3392-3788, Scopus: 56035058900, ResearcherlD: F-8492-2015, ORCID: 0000-0002-1794-867X; StupishinLyu@mgsu.ru.

26. Panahi S., Zahrai S.M. Performance of typical plan concrete buildings under progressive collapse // Structures. 2021. Vol. 31. Pp. 1163-1172. DOI: 10.1016/j. istruc.2021.02.045

27. Yang T., Liu Z., Lian J. Progressive collapse of RC flat slab substructures with unbonded posttensioning strands after the loss of an exterior column // Engineering Structures. 2021. Vol. 234. P. 111989. DOI: 10.1016/j. engstruct.2021.111989

28. Ступишин Л.Ю., Мошкевич М.Л. Задача об определении «слабого звена» в конструкции на основе критерия критических уровней энергии // Известия вузов. Строительство. 2021. № 2 (746). С. 1123. DOI: 10.32683/0536-1052-2021-746-2-11-23

29. Ступишин Л.Ю. Оценка состояния несущих конструкций зданий и сооружений: ресурс несущей способности конструкций с дефектами // Промышленное и гражданское строительство. 2017. № 10. С. 39-44.

30. Ступишин Л.Ю. Предельное состояние строительных конструкций и критические уровни энергии // Промышленное и гражданское строительство. 2018. № 10. С. 102-106.

31. ПерельмутерА.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М. : ДМК Пресс, 2007. 600 с.

32. Ржаницын А.Р. Строительная механика : учебное пособие для вузов. М. : Высшая школа, 1982. 400 с.

33. Bhatt P. Problems in structural analysis by Matrix Methods. NY : Construction Press, 1981. 465 p.

<л

(Л

REFERENCES

.E о

DL"

a

Ю о

S g

о ЕЕ

СП ^

t- ^

Е

22 J > А

£

Zs

О И

1. Rzhanitsin A.R. Calculation of structures taking into account the plastic properties of materials. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1954; 283. (rus.).

2. Chiras A. A. Linear programming methods for calculating elastic-plastic systems. Leningrad, Stroyizdat Publ., 1969; 198. (rus.).

3. Toi Y., Kawai T. Discrete limit analysis of plate and shell structures. Computers & Structures. 1984; 19(l-2):251-261. DOI: 10.1016/0045-7949(84)90225-6

4. Yang W.H. Large deformation of structures by sequential limit analysis. International Journal of Solids and Structures. 1993; 30(7):1001-1013. DOI: 10.1016/0020-7683(93)90023-z

5. Cocchetti G., Maier G. Elastic-plastic and limit-state analyses of frames with softening plastic-hinge models by mathematical programming. International Journal of Solids and Structures. 2003; 40(25):7219-7244. DOI: 10.1016/S0020-7683(03)00363-9

6. Seshadri R., Fernando C.P.D. Limit loads of mechanical components and structures using the GLOSS R-Node method. Journal of Pressure Vessel Technology. 1992; 114(2):201-208. DOI: 10.1115/1.2929030

7. Alwis W.A.M. Limit analysis using systematically generated mechanisms. Computers & Structures. 1988; 28(3):353-359. DOI: 10.1016/0045-7949(88)90075-2

8. Kim J.-S., Kim J.-Y. Simplified elastic-plastic analysis procedure for strain-based fatigue assessment

of nuclear safety class 1 components under severe seismic loads. Nuclear Engineering and Technology. 2020; 52(12):2918-2927. DOI: 10.1016/j.net.2020.05.008

9. Ngoc Trinh Tran, Manfred Staat. Direct plastic structural design under random strength and random load by chance constrained programming. European Journal of Mechanics — A/Solids. 2021; 85:104106. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2020.104106

10. Boustani C.E., Bleyer J., Arquier M., Ferra-di M.-K., Sab K. Elastoplastic and limit analysis of 3D steel assemblies using second-order cone programming and dual finite-elements. Engineering Structures. 2020; 221:111041. DOI: 10.1016/j.engstruct.2020.111041

11. Belostotsky A.M., Karpenko N.I., Akimov P.A., Sidorov V.N., Karpenko S.N., Petrov A.N. et al. About development of methods of analysis and assessment of vulnerability of spatial plate-shell reinforced concrete structures with allowance for physical non-linearities, crack formation and induced anisotropy. International Journal for the Calculation of Civil and Building Structures. 2018; 14(2):30-47. DOI: 10.22337/2587-96182018-14-2-30-47 (rus.).

12. Kolchunov V.I., Klyueva N.V., Androso-va N.B., Bukhtiyarova A.S. Survivability ofbuildings and structures under beyond design basis impacts. Moscow, Publishing house ASV, 2014; 208. (rus.).

13. Perelmuter A.V., Kabantsev O.V. About the problem of analysis resistance bearing systems in failure of a structural element. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2018; 14(3):103-113. DOI: 10.22337/2587-9618-2018-14-3103-113

14. Fialko S.Yu., Kabantsev O.V., Perelmuter A.V. Elasto-plastic progressive collapse analysis based on the integration of the equations of motion. Magazine of Civil Engineering. 2021; 102(2):10214. DOI: 10.34910/ MCE.102.14

15. Obozov V.I., Belyaev A.F. The analysis of calculation methods for resistance to the progressive collapse of the structures of buildings and structures in accordance with the norms of different countries. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2020; 2(289):53-60. DOI: 10.37538/0039-2383.2020.2.53.60 (rus.).

16. Zhang Z., Chen Z. Constraint embankment construction to prevent the collapse of underground caves. Advances in Civil Engineering. 2019; 2019:1-18. DOI: 10.1155/2019/3607574

17. XuanW., Wang L., Liu C., Xing G., Zhang L., Chen H. Experimental and theoretical investigations on progressive collapse resistance of the concrete-filled square steel tubular column and steel beam frame under the middle column failure scenario. Shock and Vibration. 2019; 2019:1-12. DOI: 10.1155/2019/2354931

18. Wang W. Strain rate effect on the progressive collapse analysis of RC frame structure under earthquake. Advances in Civil Engineering. 2020; 2020:1-12. DOI: 10.1155/2020/5808701

19. Shakib H., Zakersalehi M., Jahangiri V., Za-manian R. Evaluation of Plasco Building fire-induced

progressive collapse. Structures. 2020; 28:205-224. DOI: 10.1016/j.istruc.2020.08.058

20. Garg S., Agrawal V., Nagar R. Progressive collapse behaviour of reinforced concrete flat slab buildings subject to column failures in different storeys. Materials Today: Proceedings. 2021; 43:1031-1037. DOI: 10.1016/j.matpr.2020.07.692

21. Zhi B., Wei P., Wang X., Li Z., Ren Y., Zhang H. et al. Research on the Collapse Coefficient of Collapsible Loess under Unloading. Advances in Civil Engineering. 2021; 2021:1-12. DOI: 10.1155/2021/6672301

22. Jing W., Xing S., Song Y. Collapse-pounding dynamic responses of adjacent frame structures under earthquake action. Advances in Civil Engineering. 2020; 2020:1-12. DOI: 10.1155/2020/8851307

23. Xie F., Liu W., Gu B., Qian H. Study on the component-based model of an all-welded beam-column connection for progressive collapse analysis. Advances in Civil Engineering. 2020; 2020:1-11. DOI: 10.1155/2020/8847866

24. Alanani M., Ehab M., Salem H. Progressive collapse assessment of precast prestressed reinforced concrete beams using applied element method. Case Studies in Construction Materials. 2020; 13:e00457. DOI: 10.1016/j.cscm.2020.e00457

25. El-desoqi M., Ehab M., Salem H. Progressive collapse assessment of precast reinforced concrete beams using applied element method. Case Studies in Construction Materials. 2020; 13:e00456. DOI: 10.1016/j. cscm.2020.e00456

26. Panahi S., Zahrai S.M. Performance of typical plan concrete buildings under progressive collapse. Structures. 2021; 31:1163-1172. DOI: 10.1016/j.is-truc.2021.02.045

27. Yang T., Liu Z., Lian J. Progressive collapse of RC flat slab substructures with unbonded posttensioning strands after the loss of an exterior column. Engineering Structures. 2021; 234:111989. DOI: 10.1016/j. engstruct.2021.111989

28. Stupishin L.Y., Moshkevich M.L. The problem of determining the "Weak Link" based on the internal energy critical levels of the construction. News of Higher Educational Institutions. Construction. 2021; 2(746):11-23. DOI: 10.32683/0536-1052-2021-746-2-11-23 (rus.).

29. Stupishin L.U. Evaluation of state of load-bearing constructions of buildings and structures. Resource of bearing capacity of structures with defects. Industrial and Civil Construction. 2017; 10:39-44. (rus.).

30. Stupishin L.U. Limit state of building structures and critical energy levels. Industrial and Civil Construction. 2018; 10:102-106. (rus.).

31. Perelmuter A.V., Slivker V.I. Calculation models of structures and the possibility of their analysis. Moscow, DMK Press, 2007; 600. (rus.).

32. Rzhanitsin A.R. Structural mechanics. Moscow, Higher school, 1982; 400. (rus.).

33. Bhatt P. Problems in structural analysis by Matrix Methods. NY, Construction Press, 1981; 465.

< П

iH

з_ G Г

S 2

0 со n со

1 <

< -»

J to

U -

r I

n °

< 3 o

oî

О n

CO CO

l\J CO

0

1

CO CO о о

< )

I!

л '

o> n

I T

s У с о <D X

I I

оо

M M

о о 10 10

N N

o o

N N

«9 «9 r r H <D U 3 > in C M

to <o

«9 a

¡1 <D <D

o % — "t^ o

o «J

CD >

3 «

CM E

Received July 19, 2021.

Adopted in revised form on October 28, 2021.

Approved for publication on October 28, 2021.

B i o n o t e s : Leonid Yu. Stupishin — PhD, Professor, Professor of the Department of Structural and Theoretical Mechanics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; SPIN-code: 3392-3788, Scopus: 56035058900, ResearcherlD: F-8492-2015, ORCID: 0000-0002-1794-867X; StupishinLyu@mgsu.ru.

M

w

.E o

LT> o

S g

o EE

CD ^

T- ^

E

o2 °

> A

8 Is ^

El

O (fl №