Уравнения поступательной релаксации в стационарной сверхзвуковой струе смеси одноатомных газов

УДК 333.6.6.011

УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ РЕЛАКСАЦИИ В СТАЦИОНАРНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУЕ СМЕСИ ОДНОАТОМНЫХ ГАЗОВ А.В. Лазарев, Н.Н. Застенкер, Д.Н. Трубников

На основе кинетического уравнения Больцмана в приближении эллипсоидальной функции распределения получена система уравнений, учитывающая двухмерный характер течения вблизи сопла, для параметров сверхзвуковой стационарной струи, истекающей в вакуум.

Ключевые слова: стационарная сверхзвуковая струя, уравнение Больцмана, метод моментов Трэда, поступательная релаксация.

Исследования со стационарными сверхзвуковыми струями смесей газов всегда имели как прикладное, так и фундаментальное значение. К практическому применению стационарных струй следует отнести разгонку молекулярных пучков [1], разделение различающихся по массам компонентов газообразной смеси (например, изотопов [2, 3] и аэрозолей [4, 5]) и напыление пленок органических полупроводниковых материалов [6-8]. К основным направлениям фундаментальных исследований можно отнести изучение релаксации поступательной [9-11] и внутренней [12-14] энергии в смесях газов, химической релаксации [15], конденсации и кластерообразования [16, 17]. В физической основе всех этих явлений лежат специфические для расширения струй смесей газов неравновесные процессы (обмен импульсом и энергией между частицами разного сорта), приводящие к "скольжению" скоростей и разности температур компонентов смеси.

Строгое теоретическое описание этих явлений возможно на основе кинетического подхода (например, на основе системы уравнений Больцмана для смеси). Однако в настоящее время нет методов точного решения этой задачи. Решение обычными методами (разложение по малым параметрам, моментные методы и т.д.) затруднено из-за появления большого числа варьируемых параметров задачи (масса компонентов, состав смеси, сечение взаимодействия частиц компонентов между собой и друг с другом). Кроме того, появляется множество методов решения, связанных с разложением по этим параметрам в предельных случаях: гиперзвуковое приближение [9, 1821], компоненты с сильно различающимися массами

[22, 23], линейное [24, 25] и нелинейное [5] приближение по величине "скольжения" скоростей. При этом в большинстве работ используются либо нереалистические модели взаимодействия частиц (максвелловс-кие молекулы [22, 26], твердые сферы [23, 25]), либо модельные аналоги уравнения Больцмана [18, 21].

Применение моментных методов решения уравнения Больцмана дает возможность построения модели струи для реалистического потенциала взаимодействия. В случае стационарных сверхзвуковых струй в разных приближениях моментного метода Грэда изучалась поступательная релаксация в струях одноатомных газов [27] и их смесей [28]. В работах [29, 30] в 13-моментном приближении метода Грэда построена модель истечения сверхзвуковых импульсных струй одноатомных газов и их смесей. На основе эллипсоидальной модели функции распределения изучалась поступательная релаксация в стационарных струях одноатомных газов [31-33], их смесей [11] и двухатомных газов [34-36].

Цель настоящей работы - вывод уравнений поступательной релаксации в стационарной сверхзвуковой струе смеси газов в случае реалистического потенциала взаимодействия частиц с учетом двухмерности течения вблизи сопла.

Система моментных уравнений

Адекватное описание расширения многокомпонентной стационарной сверхзвуковой струи в вакуум возможно на основе системы кинетических уравнений Больцмана для смеси [37]:

где /а - функция распределения по скоростям частиц компонента а, - скорость. Интеграл столкновений частиц а и в друг с другом имеет вид:

Здесь ^ и - скорости частиц ос и Р до и

после столкновения соответственно; аар(^,х) - дифференциальное сечение рассеяния пары частиц а и в, £ = 1^-11, х и в - углы рассеяния в системе центра масс.

При рассмотрении осесимметричного течения удобно ввести сферическую систему координат в физическом пространстве и декартову - в пространстве скоростей: £г - вдоль радиус-вектора частицы, £ в плоскости, проходящей через £г и ось потока, а £ф - перпендикулярно к ним (рисунок).

Система уравнений Больцмана в этом случае име ет вид [38]:

ип

По,

поперечная средняя скорость

диагональные элементы тензора напряжений недиагональные элементы тензора напряжений

Умножая уравнение (2) на 1, £ г, V2 = £ Г + £0 + £ф, р2 = £02 + £ф2 и интегрируя по всему пространству

2

скоростей, получаем уравнения сохранения массы, импульса и энергии:

— {г2[паиъа +3иарагг +иа(рат + раЦ) ф) дг

д

+г

+

59

+

2 ту2

9 +пауа + Пауаиа + 2иара0г ] = Г I,

(— + 2г){г2[ма(/?аее + рот) + 2\араЛ +паиау2а]}

+К— + с1§0)[уа(/?афф + 3 раее) + = г21&. ои

+

Макропараметры компонента а струи можно определить через моменты функции распределения следующим образом:

числовая плотность

продольная средняя скорость 1

Здесь

В системе уравнений (3)-(6) опущены члены, связанные с моментами третьего порядка (имеющими смысл потока энергии) и выше. Это обстоятельство связано с тем, что далее рассматривается случай

Системы координат в физическом пространстве г =

больших давлений в источнике струи (малые числа Кнудсена источника). При этом в верхней части струи (вблизи сопла) это является следствием незначительной роли теплопереноса, а в нижней части струи в переходном режиме это соответствует гиперзвуковому приближению [18].

Рассмотрим свойства струи на оси течения. В силу симметрии потока на его оси выполняются следующие равенства:

Используя их и исключая из уравнений (4)-(6) с помощью уравнения неразрывности (3) величину (д / 90 + уа), получим:

д , 2 \ 2 диа

— (г Parr) + naliar

дг

дг

+

+ r( ™ + ctge)^are - 2/раее = r2l\, 99

паиУ-^(ЗРагг+2Рат +U2a) + дг па

+ 2parr-p^ |.(W2) + "а ОГ

+ 2иоА^: + Ctgв)Рагв - Г2Га , 06

or па па or + 2 гиарат = ^г2/р\

f (RaTa±) - RaTa± ^L[ln(nauar2)] + ^^ = -or or r

/Р

1 a

г 2 паиа

Это незамкнутая система трех дифференциальных уравнений, связывающая четыре макроскопических параметра па, иа, Гац и Та ± на оси течения. При выводе этой системы не было сделано никаких упрощений, позволяющих перейти от двухмерной задачи к одномерной, за исключением предположений, касающихся значимости параметров вблизи оси струи. Следствием этого является недоопределенность системы уравнений (8). Если предположить, что давление в источнике достаточно велико, то поток будет практически равновесным вплоть до области (г > г0), где он с достаточной точностью аппроксимируется сферически-симметричным течением. В этом случае система (8) замыкается условием:

д г

— ("а" с ОГ

г) = о,

поток в двухмерной области (г < г0) описывается уравнениями изэнтропического течения, решение которых дает граничные условия для системы уравнений (8). Все параметры струи (плотность, средняя скорость и температура) в двухмерной области в этом случае выражаются через локальное число Маха, зависимость которого от расстояния определяется либо какой-нибудь эмпирической зависимостью, либо решением уравнений равновесной газодинамики [40, 41].

Учитывая малость поперечных градиентов скорости и давления вблизи оси, приравняем нулю, следуя [39], величину (5/50 + ^0)^9.

Определим кинетические температуры компонентов на оси струи следующим образом:

: Parr ! па^а > Та1_ ~ PaQQ ! па&а >

где Ra = klma - газовая постоянная, к - постоянная Больцмана, ma - масса частицы сорта а. В новых обозначениях система моментных уравнений примет вид:

Моменты от интегралов столкновений

Для вычисления моментов от интеграла столкновений требуется задание конкретного вида функции распределения. Ранее было показано, что при моделировании свойств как однокомпонентных струй [31, 32], так и струй смесей [11] хорошей аппроксимацией является эллипсоидальная функция распределения. Мы используем тот же подход и будем полагать, что

Тогда, переходя в моментах от интеграла столкновений в систему центра масс и выполняя интегрирова-

ние по скорости центра масс, получаем следующее x = y[a^\g\ - безразмерная скорость относительного выражение:

движения частиц, a t — косинус угла между g и осью потока.

В подынтегральных выражениях (9) появились эффективные сечения 1-го порядка (I = 1, 2):

(9) Q(¿ (g) = 2п Jaa(3 (g, х)(1 - cosz %) sin %d

В этом приближении столкновительные члены зависят от безразмерных параметров s и у, которые характеризуют степень неравновесности системы.

Параметр s связан со сдвигом функций распределения компонентов друг относительно друга вдоль параллельной составляющей скорости и имеет конечное значение в любой точке струи. Он мал, если "скольжение" скоростей (up - ua) незначительно по сравнению с тепловым разбросом скоростей (aap)-1/2 (это реализуется в большинстве физически интересных ситуаций). В этом случае функцию E(x, t; s, у) можно разложить по степеням s и тем самым существенно упростить расчет интегралов (9). Обратная ситуация (значение s велико) реализуется в струе, где очень тяжелый компонент находится в малой примеси в легком носителе.

Параметр у = Туг± характеризует анизотропию функции распределения в пространстве скоростей и неограниченно возрастает с расстоянием от источника струи. При этом также возможно разложение функции E по степеням (у-1) и упрощение выражений (9).

Таким образом, в настоящей работе на основе уравнения Больцмана для смеси одноатомных газов в приближении эллипсоидальной функции распределения для произвольного потенциала взаимодействия получена система уравнений для параметров стационарной сверхзвуковой струи, учитывающая влияние двух-мерности течения вблизи оси струи. В дальнейшем эта система уравнений будет использована для анализа ряда практически интересных случаев - разгонки легкого и тяжелого компонентов струи и разности их температур.

где

аа = ma/2kTa\\' ßa = mJ2kT

aaß 1 = а,

1 ^ -1 о + aß ' ßa

-1

al'

aß ^a ' ^ß > Haß ßa 1 + ßß

-1

va= а

<*ß> ¿aß" V ß - V a'

Ya = ßa/ aa' Yaß = ßaß/ aaß'

E(x, t; s, y) = exp[-(xt - s)2 - yx2(1 - t2)],

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anderson J.B. In Molecular beam and low density gas dynamics. N.Y., 1974. P. 1.

2. Anderson J.B., Davidovits P. //Science. 1975. 187. N 4173. P. 642.

3. Muntz E.P., Deglow T.L. Proc. 11th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Paris, 1979. 1. P. 573.

4. Schwartz M.H., Andres R.P. //J. Aerosol Sciences. 1976. 7. P. 2.

5. Schwartz M.H., Andres R.P. Proc. 10th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1977. 2. P. 135.

6. Iannotta S., Toccoli T., Biasioli F., Boschetti A., Ferrari M. // Appl. Phys. Lett. 2000. 76. N 14. P. 1845.

7. Toccoli T., BoschettiA., IannottaS. //Phil. Magaz. B. 2002. 82. N 4. P. 485.

8. IannottaS., Toccoli T. // J. Polymer Sci. 2003. 41. P. 2501.

9. Willis D.R. Rept. Sand 78-8216, Sandia Lab., Albuquerque, New Mexico, 1978.

10. Католика Р.Дж., Галлахер Р.Дж., Андерсон Дж.Б., Тал-бот Л. //Ракетная техника и космонавтика. 1979. 17. № 4. С. 32.

11. Takahashi N., Moriya T., Teshima K. Proc. 13th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1985. 2. P. 939.

12. Sharafutdinov R.G., BelikovA.E., Karelov N.V., Zarvin A.E. Proc. 13th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1985. 2. P. 931.

13. БеликовА.Е., СухининГ.И., ШарафутдиновР.Г. Тез. докл. IX Всес. конф. по динамике разреженного газа. Свердловск, 1987. 2. С. 100.

14. Fitch P.S.H., Haynam C.A., Levy D.H. //J. Chem. Phys. 1981. 74. N 12. P. 6612.

15. ПластининЮ.А., РодионовА.В. Тез. докл. IX Всес. конф. по динамике разреженного газа. Свердловск, 1987. 2. С. 99.

16. Hagena O.F. In Molecular beam and low density gas dynamics. N. Y., 1974. P. 67.

17. Смирнов Б.М. //Успехи физических наук. 2003. 173. № 6. С. 609.

18. HamelB.B, Willis D.R. //Phys. Fluids. 1966. 9. N 5. P. 829.

19. Edwards R.H., Cheng M.K. Proc. 5th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1967. 1. P. 819.

20. Freeman N.C., Thomas D.R. Proc. 6th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N. Y., 1969. 1. P. 163.

21. Willis D.R., Hamel B.B. Proc. 5th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1967. 1. P. 837.

22. Cooper A.L., Bienkowski J.K. Proc. 5th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N. Y., 1967. 1. P. 861.

23. Anderson J.B. //Entropie. 1967. N 18. P. 33.

24. MillerD.R., AndresR.P. Proc. 6th Int. Symp. on Rarefied Gas

Dynamics.N. Y., 1969. 2. P. 1385.

25. Raghuraman P., Davidovits P. //Phys. Fluids. 1978. 21. N 9. P. 1485.

26. NanbuK. //Phys. Fluids. 1979. 22. N 5. P. 998.

27. Кулезнев E.B., Лазарев A.B., Трубников Д.Н. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 1987. 28. С. 117.

28. Ленин Л.В., Лазарев A.B., Трубников Д.Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 1987. 28. С. 347.

29. Лазарев A.B., Застенкер Н.Н., Трубников Д.Н., Татаренко К.А., Прибытков A.B. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2006. 47. С. 377.

30. Лазарев A.B., Застенкер Н.Н., Трубников Д.Н., Татаренко К.А., Прибытков A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2007. 48. С. 235.

31. Othmer P.W., Knuth E.L. Proc. 13th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1985. 2. P. 733.

32. Toennies J.P., Winkelmann K. //J.Chem.Phys. 1977. 66. N 9. P. 3965.

33. Лазарев A.B., Застенкер Н.Н., Трубников Д.Н. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 2003. 44. С. 238.

34. Randenija L.K., Smith M.A. //J.Chem.Phys. 1990. 93. N 1. P. 661.

35. Лазарев A.B., Жданов B.M., Застенкер Н.Н., Трубников Д.Н. //ПМТФ. 1997. 38. № 5. С. 65.

36. Лазарев A.B., Застенкер Н.Н., Трубников Д.Н. // Хим. физика. 2003. 22. № 1. С. 10.

37. Жданов B.M. Явления переноса в многокомпонентной плазме. М., 1982.

38. Шахов E.M. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1967. № 2. С. 155.

39. Robertson S.J., Willis D.R. //AIAA Journal. 1971. 9. N 2. P. 291.

40. AshkenasS.H., Sherman F.S. Proc. 4th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y., 1966. 2. P. 84.

41. Дулов BT, Лукьянов r.A. Газодинамика процессов истече-

ния. Новосибирск, 1984. С. 50.

Поступила в редакцию 10.02.10

EQUATIONS FOR TRANSLATIONAL RELAXATION IN STEADY SUPERSONIC JET OF A MIXTURE OF MONOATOMIC GASES

A.V. Lazarev, N.N. Zastenker, D.N.Trubnikov

On the basis of the Boltzmann kinetic equation with the use of the ellipsoidal distribution function, the system of equations which takes into account a two-dimensional flow near to a nozzle has been derived for parameters of a supersonic steady jet expanding into vacuum.

Key words: steady supersonic jet, Boltzmann equation, Grad moment method,translational relaxation.

Сведения об авторах: Лазарев Александр Владимирович - вед. науч. сотр. кафедры физической химии химического факультета МГУ, канд. физ.-матем. наук (lazarev@phys.chem.msu.ru); Застенкер Нина Николаевна - ст. науч. сотр. кафедры физической химии химического факультета МГУ, канд. хим. наук (zastenker@mtu-net.ru); Трубников Дмитрий Николаевич - глав. науч. сотр. кафедры физической химии химического факультета МГУ, докт. хим. наук, профессор (tdn@phys.chem.msu.ru).