Численное моделирование задачи упругости железобетонных плит

УДК 519.63 П. В. Сивцев

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ПЛИТ

Создание железобетонных плит с целью исследования их свойств при варьировании ряда параметров не представляется возможным из-за высокой стоимости оборудования для производства и исследования опытных образцов. Таким образом, развитие технологий производства железобетонных плит с целью создания безопасной и долговечной конструкции тесно связано с использованием математических моделей реальных объектов. В работе рассматривается задача расчета упруго-деформированного состояния железобетонных плит для оценки влияния наличия железной арматуры. В исследовании особое внимание уделяется проблеме возникновения бесконечно больших напряжений при использовании не физичной геометрии. Для численного решения была использована аппроксимация по пространству с применением метода конечных элементов. Расчетная реализация метода проведена с использованием библиотеки FEniCS. В качестве модельной задачи рассмотрена проблема расчета упруго-напряженного состояния железобетонной конструкции, состоящей из двух материалов, зажатой между гидравлическим прессом и рельсами, которые также включены в геометрию. Представлены результаты численного моделирования трехмерной задачи со сложной геометрией. Расчеты проводились на вычислительном кластере «Ариан Кузьмин» СВФУ

Ключевые слова: уравнение Ламе, линейная упругость, бесконечные напряжения, железобетонная конструкция, метод конечных элементов, концентратор напряжения, математическое моделирование, численные методы, напряженно-деформированное состояние, железобетонная плита.

P. V. Sivtsev

Numerical Modeling of Elasticity Problem of Reinforced Concrete Plate

Creating reinforced concrete slabs in order to study their properties by varying the number of parameters is not possible because of the high cost of equipment for production and research. Thus, the development of technologies of reinforced concrete slabs production, with the aim of creating a secure and durable material, is closely linked with the mathematical models of real objects. In the article we consider the problem of calculation of elastically deformed condition of reinforced concrete slabs to assess the impact of the presence of iron fittings. The study focuses on the problem of infinite stresses, when one uses nonphysical geometry. For the numerical solution we used space approximation by finite element method. Implementation of the method carried out using the FEniCS library. As a model problem we consider the calculation of the elastic stress-strain state of the reinforced concrete structure, consisting of two materials sandwiched between a hydraulic press and the rails, which are also included in the geometry. The results of numerical simulation of three-dimensional problem with a complex geometry are presented. The calculations were performed using NEFU computational cluster «Arian Kuzmin».

Keywords: Lame equation, linear elasticity, infinite stress, reinforced concrete structure, finite element method, stress concentrator, mathematical modeling, numerical methods, stress-strain state, deep beam.

СИВЦЕВ Петр Васильевич - аспирант научно-исследовательской кафедры вычислительных технологий ИМИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: sivkapetr@mail.ru

SIVTSEV Petr Vasilyevich - Postgraduate of Scientific-Research Department of «Computational Technologies», Institute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University named after M. K. Ammosov.

E-mail: sivkapetr@mail.ru

Введение

Многие прикладные проблемы математического моделирования связаны с необходимостью расчета напряженно-деформированного состояния твердых тел [1-4]. В простейшем случае для их исследования используются модели линейной упругости, которые описываются уравнением Ламе в перемещениях.

В работе описан вычислительный алгоритм решения задач линейной упругости. Он базируется на конечно-элементной аппроксимации поля перемещений по пространству [5-7]. Реализация метода проведена с использованием библиотеки FEniCS [8-9].

Возможности вычислительного алгоритма проиллюстрированы данными расчетов по модельной трехмерной задаче для железобетонной конструкции. Расчеты выполнены на вычислительном кластере «Ариан Кузьмин» СВФУ им. М. К. Аммосова.

Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель, описывающую напряженно-деформированное состояние в расчетной области, содержащей железобетонную плиту, зажатую между прессом и рельсами

div а (х) + рЬ (х) = 0, х ёП,

где Ь=(Ь1,Ь2,Ь3)- вектор объемных сил в точке х=(хрх2,х3).

Здесь ПеК3, где ^ - подобласть стальной арматуры в бетоне, 0.2 -

бетонная подобласть плиты, пресс, рельсы. Отметим, что р - плотность материала, зависит от подобласти и определяется следующим образом:

Р =

Рр х'

Р2, Х' Рз, х' Р4 , Х

=ц, = ^2,

Уравнение (1) дополняется соотношением между тензором напряжений а и тензором деформаций е..

_ 1

£'-1 _ 2

/

л

ди. ди -- +-:

дх, дх .

V 1 'У

а

(х) = Яdiv и (х )Е + 2це(х),

где Е - единичный тензор, ц=(м1,м2,м3) - перемещение тела, X, ^ - параметры Ламе, которые также зависят от подобласти и задаются как:

И=\

И, х еП„ И, х х =

Из, х ^ , И4, х еП4.

Я1, х е^!, Я2, х еП2, Я, х е 03, Я4, х еП4.

Для упрощения считается, что арматура, пресс и рельсы выполнены из одинаковой стали соответственно р1=р3=р4, ц=ц3=ц4 и Х1=Х3=Х4.

Уравнение твердого тела дополняется граничными условиями, которые связаны с поверхностными силами или перемещениями. В частности можно ставить краевое условие первого рода:

и

которое связано с заданием перемещений на границе Дирихле. Отметим также условие второго рода:

заключающееся в том, что на заданной части тела действуют поверхностные силы. Конечно-элементная дискретизация

Для численного решения системы уравнений (1) построим конечно-элементную аппроксимацию по пространству.

Пусть H=Z2(Ц) - гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой в виде

(и,V) = |и(х)у(х)dx, ||и|| = (и,и)1'2,

а И=(£2(Ц))3 - пространство для перемещений. Также пусть тестовая функция V обнуляется на соответствующей границе Дирихле Гд, где решение задачи известно.

Тогда с учетом граничных условий (2), (3) мы получим следующую вариационную формулировку задачи: найти и е "V такую, что

п гИ

где V - пространство тестовых функций, которое определяется как

V = {у е Н(П): V(х) = 0, х еГд },

а V - пространство пробных функций, смещенное относительно пространства тестовых функций на величину условия первого рода

V = {у е Н(П): V(х) = ц0> х еГв}.

Далее определим следующие билинейные и линейные формы

а (и, V) = |с(и

п

Ш (V ) = -_[(, V )<к.

Тогда уравнение (4) переходит в следующую вариационную формулировку: найти и е V такое, что выполняется

а (и, V) + g (V ) = 0, Уу е V.

Объект исследования

Объектом исследования являются железобетонные конструкции, представляющие из себя бетонные плиты с внутренним металлическим каркасом. Проведенное моделирование должно дать оценку эффекта добавления таких каркасов на напряженно-деформированное состояние бетонных плит под воздействием внешних поверхностных сил.

Геометрия металлической арматуры и ее расположение внутри бетона представлена на рис. 1. Такое расположение и размеры арматуры были взяты приближенными к работе [10]. Стальные прутья моделировались в виде цилиндров с диаметрами 22,12 и 8 мм. Геометрия взаимного расположения плиты, рельс и пресса представлена на рис. 2. На этом рисунке также выделены границы, на которых задаются граничные условия. На нижней поверхности рельс задается условие первого рода, которое фиксирует дно рельс на месте. А пресс моделируется в виде стального слитка, на верхней поверхности которого задается граничное условие второго рода, определяющее равномерно распределенное вертикальное давление.

Для вышеописанной геометрии были сгенерированы сетки для проделанных исследований с помощью свободно распространяемого генератора сеток Netgen. Пример построенной сетки представлен на рис. 3.

Рис. 1. Геометрия стальной арматуры

Рис. 2. Геометрия взаимного расположения плиты, пресса и рельс

Рис. 3. Пример сетки, сгенерированной на Netgen

При решении задачи использовались значения параметров Ламе, выведенные из табличных данных для модуля Юнга и коэффициента Пуассона для стали и бетона, представленных в табл. 1. Значения упругих постоянных для бетона соответствуют цементу с маркировкой СЕМ1 52,5 при соотношении вода/цемент=1/4.

Исследование особенностей решений

Перед непосредственным исследованием решенной задачи нужно гарантировать правильность полученных результатов. С этой целью необходимо провести исследование на сходимость численных результатов при уменьшении локальных размеров сетки в области возможных особенностей. В контексте рассматриваемой задачи необходимо провести подобное исследование в области стыков рельс и пресса с плитой, а также проверить сходимость решения при уменьшении размеров ячеек сетки в области арматуры.

При рассмотрении тела с ярко выраженным внешним углом меньше 180°, угол представляет собой концентратор напряжения [11], что означает стремление напряжения в углу к бесконечности при уменьшении локального размера сетки. Наиболее часто применяемым способом решения этой проблемы является округление угла. Подобное изменение согласуется с геометрией реальных объектов, так как в действительности все углы в некоторой степени являются округленными.

Для исследования особенности возле стыка плиты с рельсами и плитой было построено 4 вида геометрий, которые показаны на рис. 4. Вариант а является идеализированным приближением, не учитывающим неоднородность поверхности плиты. Варианты Ь и с не учитывают округленность углов. Вариант d является более близким к реальной геометрии стыка и не содержит концентраторов напряжения.

Для проверки сходимости решения при локальном сгущении сетки было построено по 7 сеток для каждого варианта стыка, каждая из которых соответствует определенным значениям локального размера сетки. Количество ячеек для каждой построенной сетки в зависимости от локального размера сетки представлено в табл. 2.

Таблица 1

Упругие постоянные

Материал Модуль Юнга, Е, ГПа Коэффициент Пуассона, V

Бетон 32,7 0,27

Сталь 200 0,30

Рис. 4. Различные варианты моделирования стыка плиты с внешними объектами

Таблица 2

Зависимость количества ячеек от локального размера ячеек для различных вариантов стыка

Размер ячейки, мм Количество ячеек

а Ь с d

2 482986 510937 522493 540039

1,5 511616 532953 598785 612659

1 547074 574825 709109 725798

0,8 630740 644894 946023 952356

0,5 862093 859870 1443219 1454613

0,3 1213038 1191827 3313830 3262889

0,2 3009850 2974961 9824629 9751344

На рис. 5 представлены распределения напряжений по Мизесу для различных вариантов стыка. Из этих распределений можно выделить характер концентрированного напряжения в углах для вариантов а, Ь, с. Когда как для случая d напряжение равномерно распределено по поверхности округлости.

2(п* ¿ы?

О ШедОЗ.Гй

Рис. 5. Распределение напряжения около стыка для различных вариантов геометрии

На рис. 6 дана зависимость локального максимального значения напряжения по Мизесу от размера сетки. Можно заметить, что для вариантов а, Ь и с локальное максимальное значение напряжения по Мизесу стремится к бесконечности. А для геометрии d наблюдается сходимость.

Подобное поведение напряжения для вариантов а, Ь и с связано с наличием разрыва по перемещениям вдоль горизонтальной линии, пересекающей угол (рис. 7). Из полученных распределений перемещений можно заметить линейное приближение разрыва около угла стыка для случаев а, Ь и с, а также сходимость перемещений для варианта d с округленным углом.

Следовательно, был сделан вывод о том, что геометрия угла стыка d дает решение, сходящееся при локальном уменьшении размера ячеек сетки, и, соответственно, такой вариант стыка можно использовать при получении адекватных значений напряжения для рассматриваемой задачи.

Также было проведено исследование сходимости результатов при локальном сгущении сетки в подобласти внутренней арматуры. При этом были получены значения перемещения и напряжения по Мизесу, представленные в табл. 3. Из этой таблицы видна сходимость полученных значений перемещения при сгущении сетки, а также адекватное поведение решения для напряжений. Таким образом, был сделан вывод об отсутствии особенностей решения при уменьшении размеров ячеек в арматуре.

--'-1---1----

II ) 1.1 I 1.1 I

Ло*алькый раш&р сикк, мм

Рис. 6. Зависимость локального максимального значения от размеры сетки

Таблица 3

Зависимость решения от локального размера ячеек сетки

Размер, мм Количество ячеек сетки Максимальное значение

и , 10"5 м тах'* аМХ", МП а

5 2035551 9,461 75,11

3 2512003 9,454 75,22

2 3698039 9,448 75,06

1,5 7630836 9,444 75,00

1 18473917 9,441 75,14

—__—Г^Г-—.И.--—Г^Г-г^-ни --Г-Г^"-——-

Расстояние я да ль линии, м

Рис. 7. Распределения вертикальной составляющей перемещения вдоль горизонтальной линии, пересекающей угол стыка для различных вариантов

Сравнительный анализ

С целью оценки влияния арматуры в железобетонной конструкции проведен сравнительный анализ упруго-деформированного состояния для бетона с внутренней металлической арматурой и без нее. Анализ был проведен для нового и старого бетона, для которых были взяты разные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона, которые представлены в табл. 4.

На основании полученных данных был сделан вывод о том, что использование арматуры усиливает устойчивость конструкции к упругим деформациям. Для сравнения, в табл. 5 приведены значения максимальных величин вектора деформации и напряжений по Мизесу в случае реализации решения с арматурой и без нее для нового и старого бетона. Отметим, что наличие стального каркаса в новом бетоне уменьшает значения перемещения и напряжения под действием внешних поверхностных сил примерно на 10 % и 5 %, соответственно. А в случае старого бетона аналогичный вклад составляет порядка 15 % и 7 %.

Заключение

Проведено исследование численного решения задачи линейной упругости для напряжений в области концентрированного напряжения с выявлением расходимости напряжения при локальном сгущении сетки, связанной с разрывом решения по перемещениям. Даны рекомендации по устранению особенности решения посредством округления углов.

По результатам сравнения численного решения по перемещениям и напряжениям для бетона с арматурой и без нее было показано положительное влияние внедрения арматуры на бетонную плиту посредством уменьшения максимального значения перемещений и напряжений на плите.

Таблица 4

Упругие постоянные при различных вычислениях

Новый бетон

Материал Модуль Юнга, Е, ГПа Коэффициент Пуассона, V

Бетон 32,7 0,27

Сталь 200 0,30

Старый бетон

Материал Модуль Юнга, Е, ГПа Коэффициент Пуассона, V

Бетон 13,7 0,27

Сталь 200 0,30

Таблица 5

Максимальные значения перемещения и напряжения для нового и старого бетона с арматурой и без

Новый бетон

Максимальное значение

и , 10"5 м таху Mizes •» гт-Т > МПа

С арматурой 9,44 75,14

Без арматуры 10,32 78,75

Старый бетон

Максимальное значение

и , 10"5 м тах7 Mizes •» г г-т ^ > МПа

С арматурой 20,40 115,51

Без арматуры 23,49 121,91

Автор благодарит профессора Вабищевича П. Н. и профессора Васильева В. И. за ряд важных замечаний по выполнению и оформлению работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 15-31-20856.

Л и т е р а т у р а

1. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Колесов А. Е. Схема расщепления для задач пороупругости и термоупругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 8.

- С. 1345-1355.

2. Kolesov A. E., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V, Gomov V. F. Splitting scheme for poroelasticity and theimoelasticity problems // Lecture notes in computer science. - 2015. - Vol. 9045. - P. 241-248.

3. Vabishchevich P. N., Vasil'eva, M. V., Kolesov A. E. Splitting schemes for poroelasticity and thermoelasti-city problems // Computers and mathematics with applications. - 2014. - Vol. 67, № 12. - P. 2185-2198.

4. Sivtsev P. V., Vabishchevich P. N, Vasilyeva M. V. Numerical simulation of thermoelasticity problems on high performance computing systems // Lecture notes in computer science. - 2015. - Vol. 9045. - P. 364-370.

5. Афанасьева Н. М., Вабищевич П. Н. Устойчивые разностные схемы для некоторых параболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7.

- С. 1186-1193.

6. Afanas'eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. - 2013. Vol. 57, № 3. - P. 1-11.

7. Lui S. H. Numerical Analysis of Partial Differential Equations. - Wiley, 2012.

8. Антонов М. Ю., Афанасьева Н. М., Борисов В. С., Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Григорьев А. В., Захаров П. Е., Колесов А. Е., Сирдитов И. К., Попов П. А. Вычислительные технологии. Профессиональный уровень / Под ред. П. Н. Вабищевича. - Якутск: Издательский дом СВФУ, 2014. - 308 с.

9. Logg A., Mardal K. A., Wells G. N. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FeniCS Book. - Springer, 2012.

10. Smarzewski P., Por^ba J., Rentflejsz A. Badania doswiadczalne tarcz zelbetowych z betonu wysokowar-tosciowego z dodatkiem wlokien // Budownictwo i Architektura. - 2012. - Vol. 10. - P. 15-26.

11. Rombach G. A. Finite-element Design of Concrete Structures: Practical Problems and Their Solutions.

- Thomas Telford, 2004. - 360 p.

R e f e r e n c e s

1. Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V., Kolesov A. E. Skhema rasshchepleniia dlia zadach porouprugosti i ter-mouprugosti // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. - 2014. - T. 54, № 8. - S. 1345-1355.

2. Kolesov A. E., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., Gornov V F. Splitting scheme for poroelasticity and thermoelasticity problems // Lecture notes in computer science. - 2015. - Vol. 9045. - P. 241-248.

3. Vabishchevich P. N., Vasil'eva, M. V., Kolesov A. E. Splitting schemes for poroelasticity and thermoelasticity problems // Computers and mathematics with applications. - 2014. - Vol. 67, № 12. - P. 2185-2198.

4. Sivtsev P. V., Vabishchevich P. N, Vasilyeva M. V. Numerical simulation of thermoelasticity problems on high performance computing systems // Lecture notes in computer science. - 2015. - Vol. 9045. - P. 364-370.

5. Afanas'eva N. M., Vabishchevich P. N. Ustoichivye raznostnye skhemy dlia nekotorykh parabolicheskikh uravnenii // Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki. - 2014. - T. 54, № 7. - S. 1186-1193.

6. Afanas'eva N. M., Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V. Unconditionally stable schemes for convection-diffusion problems // Russian Mathematics. - 2013. Vol. 57, № 3. - P. 1-11.

7. Lui S. H. Numerical Analysis of Partial Differential Equations. - Wiley, 2012.

8. Antonov M. Iu., Afanas'eva N. M., Borisov V S., Vabishchevich P. N., Vasil'eva M. V, Grigor'ev A. V., Zakharov P. E., Kolesov A. E., Sirditov I. K., Popov P. A. Vychislitel'nye tekhnologii. Professional'nyi uroven' / Pod red. P. N. Vabishchevicha. - Iakutsk: Izdatel'skii dom SVFU, 2014. - 308 s.

9. Logg A., Mardal K. A., Wells G. N. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FeniCS Book. - Springer, 2012.

10. Smarzewski P., Por^ba J., Rentflejsz A. Badania doswiadczalne tarcz zelbetowych z betonu wysokowar-tosciowego z dodatkiem wlokien // Budownictwo i Architektura. - 2012. - Vol. 10. - P. 15-26.

11. Rombach G. A. Finite-element Design of Concrete Structures: Practical Problems and Their Solutions.

- Thomas Telford, 2004. - 360 p.