Необходимые условия оптимальности для управляемых систем в банаховом пространстве

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (1), а. 173-178

УДК 517.2

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© 2011 г. А.В. Новоженин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

a .novozhenin@gmail. com

Поступила в редакцию 15.03.2011

Рассматриваются управляемые системы в абстрактном банаховом пространстве, управление в которых имеет вид операторной функции. Для этих систем выводятся необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Ключевые слова: управляемые системы, операторное управление, условия оптимальности.

Введение

Задачи оптимального управления системами в банаховом пространстве привлекали внимание многих исследователей (см., например, [1-6; 7, с. 326-378; 8-13]). Переход к описанию управляемых процессов в банаховом пространстве позволяет дать единое представление для огромного числа сосредо-точенных и распределенных систем, имеющих разнообразную физическую интерпретацию. Это позволяет получить в удобной для приложений форме общий абстрактный результат, применение которого для каждого конкретного процесса не представляет сложную самостоятельную задачу.

Вместе с тем изучение управляемой системы в банаховом пространстве в самом общем виде представляет собой сложную, трудноразрешимую проблему. Поэтому чаще всего исследование проводится по отдельным классам таких систем с учетом конкретных особенностей каждого класса.

Настоящее исследование посвящено изучению управляемых систем в абстрактном банаховом пространстве, управление в которых имеет вид операторной функции. В работе выводятся необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

1. Управляемая система

Пусть В - банахово пространство, норму в

нем обозначим как || • || . Множество линейных

ограниченных операторов, отображающих пространство В само в себя, будем обозначать как [в]. Это множество является банаховым пространством, норму элементов которого будем обозначать

II [5]

. Пусть оператор A : В ^ В -

линейный ограниченый, А е [в].

Векторная функция г(^), определенная на

каком-либо множестве Ое R1 со значениями в банаховом пространстве В, называется сильно непрерывной в точке 0 е О, если

^о "в

Пусть Т - время управления, t - скалярная переменная времени, t е [0,Т]. Пусть задано некоторое подмножество G во множестве [в], каждому значению t е [0,Т] поставлен в соответствие оператор и^) е О с [В], тогда на отрезке [0, Т] определена оператор-функция и^) :[0,Т] ^ О с [в] . Предположим, что эта функция сильно непрерывна во всех точках отрезка [0, Т ] кроме конечного числа точек tk, в которых тем не менее существуют и конечны сильные пределы функции слева и справа: и(^ - 0), и(^ + 0). Такие функции условимся называть сильно кусочно-непрерывными. При каждом значении t е [0,Т] оператор и^) имеет

сопряженный и ^): В ^ В . Множество линейных ограниченных операторов, отображающих пространство В само в себя, будем обозначать как В* . Пусть оператор-функция и): [0,Т] ^ В* сильно кусочно-непрерывна.

Пусть х = х^) - функция, зависящая от времени, переводящая R1 в банахово пространство В ; х^): R1 ^ В ; х - производная этой функции по времени [14, с. 72]; f ^) -сильно непрерывная вектор-функция, зависящая от вещественного параметра t, со значениями в банаховом пространстве В. Рассмотрим квазилинейное неоднородное уравнение следующего вида:

х = Ах + и

Предположим, что задано начальное условие:

х(0) = х0. (2) Существование и единственность решения задачи Коши (1), (2) доказаны в [15, с. 138-148]. Покажем, в какой форме можно его представить. Введем обозначение С(I) = А + и(I). Оператор-функция С (I) будет сильно кусочнонепрерывной на отрезке [0, Т], и при каждом t е [0, Т] ее значением будет линейный ограниченный оператор. Тогда уравнение (1) примет вид: х = С(I)х + f (I). Введем в рассмотрение линейный оператор, определенный суммой ряда:

I » I ‘п <2

^) = I + ]С (I, Щ - |С (<п )С (<п_!) — X

0 п=2 0 0 0

х ...С(tl)dtl — .

Этот ряд сходится равномерно по операторной норме ||-||[В] на отрезке [0,Т] [15, с.

141-145]. Тогда решение задачи Коши (1), (2) предс-тавляется в виде [15, с. 138-148]:

<

х

0

где Б(1, т) = Б(1 )Б —1 (т) - эволюционный оператор, а решение задачи Коши для соответствующего однородного уравнения будет иметь вид:

х

Заметим, что для эволюционного оператора справедливо следующее свойство [15, с. 148]:

Л =

Т

Щ1, т)11 [В ] - ехР

[В]

ds

Требуется найти функцию и (<), сильно кусочно-непрерывную, принимающую значение из множества О, на которой функционал Л0 принимает наименьшее возможное значение.

Цель исследования состоит в выводе необходимых условий оптимальности управления в поставленной задаче. Дальнейшие построения будут основываться на известной методике Л.С. Понтрягина [16, с. 86-124], использующей семейство функций сравнения.

Пусть и(<) является оптимальным управлением относительно введенного критерия. Зададим семейство функций сравнения в виде:

и „ (< ) = и (I, т,и, 8) =

[ и при т — 8 - < - т, где и е О с [В], 8 >0, 0 < т < Т. Ясно, что

при любых значениях т, и и при достаточно

малых 8 справедлива принадлежность и 8 (<) е О с [В].

Очевидно, и8

т- I.

2. Оптимизационная задача

Перейдем к постановке оптимизационной задачи. Будем рассматривать однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):

х = Ах + и

с начальным условием (2). Функция и (I) задает управляющее воздействие на систему (6).

Пусть^(х,I):ВхЯ1 —Я1, ^(и,!):[В]хЯ1 — — Я, Ф(х): В — Я1 - непрерывные функ-

ционалы по совокупности своих переменных, дFl/дx, дФ/дх - их производные по Гато, непрерывные по совокупности своих переменных, удовлетворяющие условию Липшица по переменной х . Пусть задан критерий качества управления следующего вида:

при 8 —— 0 поточечно по норме || • ||[В] за исключением точки I = т.

Пусть х(-) - траектория, соответствующая оптимальному управлению и (•), х8 (•) - траектория, соответствующая и8 (•), а Д8 х = х8 — х.

Лемма 1. Функцтя х8 1тремтт1я 1ваьно к х в норме || • || прт 8 — 0 равномерно на отрезке

[0, Т ].

Доказательство.

Утверждение леммы эквивалентно утверждению: тах||Д8х(:)|| — 0 при 8 — 0 .

Введем обозначения С8 (I) = А + и 8 (I) и

С(I) = А + и(I). Воспользовавшись формулой (4), получаем:

Д8 ^ = Щ8 0,0)х0 — Д^0)х0 =

= (А (!,0) — Щ,0))х 0,

I » 1>п >2

Щ (1,0) = I + |С8 (I. Щ | — |С8 Сп ) X

0 п=2 0 0 0

х С8 ^п — ^” С8 (t1)dt1 — Щп ,

где

t и t n Ч

D(t,0) = I + JC (t1 )dt1 +£JJ... J C (tn ):

n=2 00 о

X С ^п—1) — С (I! ! ... ^.

Оператор-функция С (I) ограничена по операторной норме, т.е. ||С(I)|| - к1, где к1 -

некоторая константа. Учитывая это неравенство и формулу (5), получаем: Ш(!,0) -

< exp

J C (х)| [в ] ^

< exp[k1t]. Для эволюцион-

|DB (t,0) - D(t,0)|w<

< exp[k1t ](exp

t

JCs (s) - C(s)|^ ds

-1).

х (exp

-1).

а условие

дт

дФ -V 0

дг

ных операторов Ds (t,0) и D(t,0) справедлива следующая формула сравнения [15, с. 148]:

Экспоненциальную функцию е 1 можно ограничить на отрезке [0, Т] константой к2.

Оператор-функции С8 (I) и С (I) совпадают всюду, за исключением отрезка [т —8, т]. Учитывая это, приходим к выводу:

Правая часть неравенства стремится к нулю при 8 , стремящемся к 0 , что и доказывает лемму.

3. Сопряженное уравнение

Сопряженным уравнением в задаче (6) называется уравнение следующего вида:

— дF -У 0 = —А> 0 — V 0и

называется условием трансверсальности. Решение задачи (9), (10) называется сопряженной функцией.

Наряду с этой задачей рассмотрим задачу Коши:

. * д— -

= —АУ8—У8и8 (0 — — (x(t) +

8 8 8 8 дх

+ 0Д x(t), t), 0 -0- 1,

8

у

дх

Имеет место

Лемма 2. Пу^ь onеpamop A : B ^ B -aT^mh^ oгpaнтченый, А є [в]. Пу^ь U(t) -onеpamop-фyнкцтя, cтaьнo кycoчнo-неnpеpыв-ная, значентем кomopoй в каждый мoменm вpемент явaяеmcя aтнейный oгpaнтченный ompamop, npтнaдaежaщтй некomopoй oбaacmт ynpaвaентя G во множе^ве [в]. Рaccмompтм зaдaчy Кошт:

fx=Ax+u (t) x+f (t x (13) lx(0) = ^,

где t є R1 - nеpеменнaя вpемент; x = x(t) -Функцтя, завжящая om вpемент, nеpевoдящaя R1 в банахово npocmpaнcmвo B; x(t): R1 ^ B; X - npотзводная эmoй функцтт no вpемент [14, c. 72], f (t) - cтaьнo неnpеpывнaя векmop-функцтя, завжящая om веще^венного napaмеmpa t, co значентямт в банаховом npocmpaнcmве B. Пу^ь задана задача Кошт, завжящая om napaмеmpa:

СXs = AXs + Us

xs (0) = X0g .

Еcaт cтaьнo неnpеpывнaя функцтя fs (t) cтaьнo cxoдтmcя к функцтт f (t) paвнoмеpнo на [0, T], a нaчaaьнoе ycaoвте x0s crnrno cxoдтmcя к x0 npт s ^ 0, ку^чно неnpеpывные ompa-mop-функцтт U(t) т Us (t) coвnaдaюm в^ду, за жтючентем ompезкa [х - s, х], где 0 < х < T, mo pешенте xs (t) задачт Кошт (16) cтaьнo cxoдтmcя к pешентю x(t) задачт (13) paвнo-меpнo на [0, T].

Доказательство.

Для решения xs воспользуемся формулой (3):

t

Xs (t) = Ds (t ,0)x0s + jDs (t, х) fs (х^х.

0

Покажем равномерную сходимость по норме || • ||в функции Ds (t,0)x0s к D(t,0)x0. Это утверждение эквивалентно следующему:

ma^|Ds (t,0)x0s - D(t,0)x0|| ^ 0 при є ^ 0 .

Имеют место следующие оценки:

IDs (t,0)X0E - D(t,0)x„||B =

= ||De (t,0)X0s - D(t,0)x0 + Ds (t,0)X0 - Ds (t,0)x„|| в <

<||Ds (t,0)X0s - Ds (t,0)xJ|B +1 \Ds (t,0)X0 - D(t,0)xJ|B < <1 |Ds (t,0)|| [B] || X0s - X^| B +| |Ds (t,0) - D(t,0)|| [^IMIB

Из свойства (5) вытекает, что норма эволюционного оператора Ds (t,0) на отрезке [0, T ] ограничена. На основании формулы срав-

х-s

нения эволюционных операторов [15, с. 148] имеет место неравенство:

< exp[k 3t ](exp

j|\C8 (s) - C(s)|| [в] ds

-1),

j ||Cs (S) - C(s)| [B] ds

- 1),

- f (S)IВ + k7(eXP

j|\Се (s) - C (s)|| [B ] ds

- 1),

t

jDe (t, t) fS (x)dx

сходится

сильно

t

x(t) = D(t,0)x0 + jD(t, t) f (T)dT

равномерно на

где к3 - некоторая константа, С8

и С(I) = А + и(I). Функция ек' на отрезке [0, Т] является ограниченной. Оператор-функции С8 (I) и С (I) совпадают всюду, за исключением отрезка [т — 8, т]. Учитывая это, получаем:

где k4 и k5 - константы. Поскольку правая часть неравенства стремится к нулю при s ^ 0, то имеет место равномерная сходимость по норме в пространстве В.

Аналогично доказывается равномерная сходимость по норме || • || функции Ds (t, s)fs (s) к D(t, s) f (s) при 0 < s, t < T. Справедливы оценки:

Ds (t, s) fs (s) - D(t, s) f (s)|| В =

= | Ds (t, s) fs (s) - D(t, s) f (s) + Ds (t, s) f (s) -- Ds (t, s) f (s)||В < ||Ds (t, s)fs (s) - Ds (t, s)f (s)||В +

Учитывая формулу сравнения эволюционных операторов (15), а также то, что оператор-функции Cs (s) и C(s) совпадают всюду, за исключением отрезка [т - s, т], приходим к оценке:

max|Ds (t, s)fs (s) - D(t, s) f (s)||В < К\fs (s) -

отрезке [0, Т ].

Лемма 3. Решенте у8 (•) задачт (11), (12) 1тремтт1я 1ваьно к у0 (•) прт 8 — 0 равномерно по I на отрезке [0, Т ].

Доказательство.

Учитывая лемму 2, для доказательства леммы 3 достаточно показать равномерную сходимость по норме на отрезке [0, Т ] функционалов

д— - д— -—- (х(I) + 0Д8 х(I), I) — —- (х(I), I) при е — 0

дх 8 дх

и сходимость условий трансверсальности

дФ — дФ _

— (х(Т) + ^ х(Т)) — — (х(Т)) при е — 0 .

дх дх

Воспользуемся условием Липшица для функции д—1/дх:

д— д— - и -и

I—-(х, I)---(х, I) |< ц\х — х ,

дх дх И Ив

где Ц - константа, не зависящая от времени I. Поскольку Д8 х^) равномерно стремится к нулю, то для каждого 8 >0 существует такое 8(8) > 0, что для всех 0 - 8 < 8(8) выполняется

неравенство ||Д8х(I)|| -8 . Полагая х = х(I), а

X = x + 0Asx(t), для 0 < s < s(S) имеем

< 8 •L.

dF - dF -

-FL

ox ox

где к6 и к7 - константы. Правая часть неравенства стремится к нулю при 8 — 0 . Отсюда следует равномерная сходимость функции

Д8 (1,5)/8 (5) к Д^, s) f (5) по норме || • ||В . Применяя теорему о предельном переходе под знаком интеграла [17], получаем, что

Полученная оценка говорит о равномерной сходимости функционалов. Сходимость граничных условий следует из липшицевости функции дФ/дх и сходимости приращения Д8 х(Т) к 0 при 8 , стремящемся к 0. Лемма 3 доказана.

Найдем приращение функционала Л0 на семействе функций сравнения и8 (•) по отношению к и (•):

Т

ДЛ 0 = Л 0[и 8 ] — Л 0[и ] = |(—1( х8 (I), I) —

- F

к

{б^, т) / (т)Щт равномерно на [0, Т]. Отсюда

0

следует, что х8 (•) сходится сильно к решению

1

— —2 (и (I), IМ + Ф( х8 (Т)) — Ф(х(Т)).

В нормированных пространствах имеет место теорема о среднем [18, с. 147-148]. По этой теореме в нашем случае справедливо представление:

— (х8 (I), I) — — (х(!), I) =

д—1 - (17) = -^-(x(t) + 0Д8 х^), I )Д8 x(t), 0 -0-1.

дх

т-s

т-s

Кроме того, ные по Гато, непрерывные по совокупности

Ф(х (Т)) - Ф(х(Т)) = своих переменных, удовлетворяющие условию

8 (18) Липшица по переменной х, существует опти-

= — (х(Т) + ^Д,х(Т))Д8х(Т), 0<^< 1.

мальное управление и, сильно непрерывное во

В силу (6) приращение Д8х(Т) удовлетворяет уравнению:

всех точках отрезка [0, Т]. Тогда функция Гамильтона (22) во множестве G с [й] достига-

d(Д х)/dt = АД х + и (t)х - и^)х (19) ет своего минимума в точке и^) при каждом

с начальными условиями:

фиксированном t є [0,Т], за исключением, Д8х(0) = 0. (20) быть может, конечного числа точек разрыва

В силу (11) и (19) имеет место равенство: функции и: Н1 [и^)] = ш1п Н1 [и].

• Л 7/Л 4/7 і* Л UєGф ]

\|/ Л х + у8 d (Д8 х)ldt = - А у8Д8 х - _

88 8 8 88 Доказательство.

- у8и8 Д8х - ^ (X(t) + 0Д8х($), 1 )Д8х(1) + Пусть точка х є ^ является точкой не-

прерывности функции и (•). В силу кусочной непрерывности этой функции таким свойством Так как А - сопряженный оператор, то обладают все точки отрезка [0, Т] за исклю-

А у8Д8х = у8АД8х. Учитывая, что \|/8Д8х + чением, быть может, конечного их числа. Най-

+ у8Д8х = d(у8Д8х)/dt, получим: Дем вариацию функционала &/0. Введем

обозначения:

дх

+ У, АД8 х + ^8и 8 (0 х8 - ^8 и (t) х.

. *

88

Т

Т г д^ -

^Д8х |0 = -.|^-(х(0 + 0Д8х(t), 0Д8 х(0^ + , Гг№,,,л

О дх /1 = Ііш - I (^2 (и, t) - (и(0, t)^

8—0 Р

8—>0 8

Т т-8

^8Д8

+ г 1 г, ,тт Т7/ЧЧ-Ч,

0 12 = Ііш - I (у 0 (и - и ^))х^

8— 0

2

8— 0 8

-8

Учитывая (8), (12), (20), получим:

дФ - 1 г — -

Д8х(Т) — (х(Т) + £,Д,х(Т))Д8х(Т)= 1 з =11ш- I ((^8 -У0)(и - и(t))х)dt.

дх 8—0 8 /

Т

т-8

=-Г^мо+0д,*«), од,*«)й + Из (21) слудует равенств»1 ++ л-

дх 8 8

т

| (У8Д8их)<*.

т-8

Вычислим пределы 11, 12, 13 по отдельности. По теореме о среднем [18, с. 147-148] существует число 0 < ц <1, такое, что справедливо равенство

С учетом предыдущих преобразований 1

приращение функционала принимает вид: 11 = ^т -[—2(и, т — ц8) — —2 (и (т — Ц8), т —

т 8—0 8

ДЛ0 = | (—2 (и8 «), t) — —2 (и(t), + — Ц8)]8 = —2 (и, т) — —2 (и(т), т).

т—8 (21) Аналогично справедливо равенство

+ | (у8Д8ихЩ 12 = V0(т)их(т) — V0(т)и(т)х(т).

т—8 Рассмотрим предел 13. В силу неравенства

. тт . Гёльдера имеет место неравенство

4. Необходимые условия оптимальности ,, _,,

Введем в рассмотрение функцию (у8 — у0)(и — и)х -

Гамильтона ,, _,, ,,_,,

И, [и ] = у0и(0х + —2(и, I). (22) -11У8—у^1в*  ||и — и|| [В ]' Нв

Здесь у0 - сопряженная функция для этой Из леммы 3 следует оценка ||у8 — у0||В* < 81.

задачи, удовлетворяющая системе (9), (10). ^ _ „

Решение х уравнения (6) является непрерывной 1еорема 1. пу1ть в по1таваенной , „ ,

функцией, норма непрерывной функции также оптвмвзацтонной задаче крттертй каче1тва с , „

является непрерывной функцией, следователь-вмеет ввд (7), функцтт —1(х,I), —2(и, I), Ф(х), -

но, на отрезке [0, Т] норму функции х можно д—1/дх, дФ/дх непрерывные по 1овокупно1тт _

я г/д. а ограничить константой: х < К, и (I) - ку-

1вотх переменных, дF1/дx, дФ/дх - протзвод- * || ||В 15 ’

сочно-непрерывная оператор-функция, значением которой в каждый момент является линейный ограниченный оператор, и - линейный ограниченный оператор. Норму управления можно оценить следующим образом:

||и — и|| - К2, отсюда вытекает справедли-

вость оценки ||(у8 — у0 )(и — и)х|| - К3 • 81 , где

К2, К3 - константы. На основании приведенных выше оценок справедливы следующие неравенства:

1 х

|- j ((Vs s J

т-s 1 x

- J I (Vs

p J

- V0)(U - U(t))x)dt |<

<- I I (Vs - V0)(U - и(t))x I dt < s

< — s

1 T

- J (st • C3)dt < s 2.

s j

Таким образом, справедливо равенство 13=0.

В результате имеем выражение для вариации функционала: 8Л0 = Ит [и] — Ит [и(т)]. Т.к и -оптимально, получаем 8Л0 > 0, то есть Ит [и (т)] > Ит [и]. Это справедливо для любых значений и е О с [в] и для любых моментов временит е [0,Т] кроме, быть может, точек разрыва

функций и (•), что и требовалось доказать.

Спт1ок аттературы

1. Егоров Ю.В. Об оптимальном управлении в банаховом пространстве // УМН. 1963. Т. 18. Вып. 4 (112). С. 211-213.

2. Гамкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1969. Т. 33. Вып. 4. С. 781-839.

3. Гамкрелидзе Р.В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач // Труды МИАН. 1971. Т. 112. С. 152-180.

4. Аваков Е.Р. Необходимые условия минимума для нерегулярных задач в банаховых пространствах. Принцип максимума для анормальных задач оптимального управления // Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 3-29.

5. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А Задачи на экстремум при наличии ограничений // ДАН СССР. 1963. Т. 149. Вып. 4. С. 759-762.

6. Волин Ю.М., Островский Г.М. О принципе максимума в банаховом пространстве // Кибернетика. 1969. № 5. С. 132-135.

7. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 623 с.

8. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

9. Матвеев А.С. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 1200-1229.

10. Матвеев А.С., Якубович В.А. Невыпуклые задачи глобальной оптимизации // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. Вып. 6. С. 229-253.

11. Ргуен Бионг. О существовании оптимального управления нелинейным операторным уравнением в банаховых пространствах // Современ. анализ и его прилож. Киев: Наук. думка. 1989. С. 141-146.

12. Тихомиров В.М. Гладко-аппроксимативновыпуклый принцип и его приложения // Владикавказский мат. журн. 2005. Т. 7. Вып. 4. С. 52-66.

13. Сугак Д.В. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления системой эллиптического типа высокого порядка с фазовыми ограничениями // Вестник молодых ученых. 2000. № 3. С. 57-69.

14. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 819 с.

15. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкре-лидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.

17. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

18. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

-s

NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS FOR CONTROL SYSTEMS IN BANACH SPACE

A. V. Novozhenin

Operator control systems in an abstract Banach space are considered. Necessary optimality conditions in the form of the Pontryagin maximum principle are proved.

Keywords: control systems, operator control, optimality conditions.