К вопросу о расчёте параметров теплопереноса в условиях мелкомасштабных акустических течений

Раздел IV. Новые экологически чистые технологии и источники энергии

И.Н. Каневский, И.В. Тимошенко К ВОПРОСУ О РАСЧЁТЕ ПАРАМЕТРОВ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В УСЛОВИЯХ МЕЛКОМАСШТАБНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

Существует широкий класс технических задач, связанных с процессами в жидкостях, контактирующих с твёрдыми телами, в которых скорость тепло- и мас-сопереноса через поверхность контакта определяет скорость процесса в целом. В связи с этим интересно рассмотрение явлений, способных существенным образом влиять на тепло- и массоперенос, а также методик количественного учёта такого влияния. Следует также отметить, что основные закономерности тепло- и массообменных процессов, расчётные соотношения, описывающие их динамику, сходны, а сами процессы определяются как процессы с диффузной кинетикой. Такое сходство может быть использовано при физическом моделировании массообменных процессов таким образом, что результаты моделирования теплообменных процессов могут быть распространены на массообмен в соответствии с основными соотношениями теории подобия. Получение достоверных результатов при физическом моделировании теплообмена представляется более простым в силу меньшей технической сложности производства объёмных замеров температуры в жидких и твёрдых средах по сравнению с замерами концентраций.

Теплопередача обычно рассматривается как процесс переноса тепловой энергии, который происходит за счет разности температур в системе, обладающей тепловыми связями. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты, теплопроводностью для вязкой, движущейся, несжимаемой жидкости устанавливается дифференциальным уравнением переноса тепла

дТ у (ду дуу ^

— + уУТ = с АТ +-^~--------------------^ + —-

д 2с ду дх

Р \ ^

где Т - температура, с - температуропроводность среды, у = г]/р— кинематическая вязкость.

Существует три основных механизма теплопередачи: излучение, теплопроводность и массоперенос. В силу специфики эффектов, возникающих в акустическом поле, представляют интерес системы, в которых теплопередача осуществляется за счет теплопроводности и массопереноса.

При рассмотрении термодинамической системы, состоящей из жидкости, омывающей твёрдое тело, целесообразно выделить область пограничного слоя, толщиной 5, непосредственно прилегающую к границе твёрдого тела со стороны жидкости. Всякий процесс теплопереноса включает в себя три этапа: подвод тепла к пограничному слою, перенос тепла через него и отвод тепла во вторую среду. Суммарная скорость процесса определяется тем этапом, где скорость теплопере-носа наименьшая. В случае, когда наименьшей скоростью теплопроводности в системе обладает жидкость, увеличения общей скорости теплопереноса можно достичь путем создания в ней условий для массопереноса. На практике это дости-

2

гается введением механических возмущений различной природы. Для сред, характеризующихся малыми значениями числа Прандтля Рг (газообразных), это действенный метод, позволяющий, как правило, достичь необходимой скорости тепло-переноса. В жидкостях для достижения желаемого эффекта требуются существенно большие скорости потоков, при этом, начиная с некоторого значения, поток становится турбулентным. В этом случае на больших расстояниях от границы распределение скорости будет носить логарифмический характер, хотя в некоторой области <5П распределение скорости будет линейное, как и в ламинарном потоке. Величину 5П называют толщиной вязкого подслоя, для воды она имеет тот же порядок, что и 5. Скорость потока на границе вязкого подслоя имеет значение, близкое к максимальной скорости для данных условий, при которой движение жидкости еще носит ламинарный характер (Яе » 1000). Дальнейшее увеличение скорости гидродинамического турбулентного потока не даёт существенного увеличения скорости в пограничном вязком подслое и, следовательно, мало влияет на скорость теплопереноса. Эксперименты подтверждают качественный характер этого явления. Количественные соотношения, описывающие его, носят полуэмпириче-ский характер и справедливы только для частных случаев.

Дальнейшее увеличение теплопереноса возможно путем уменьшения толщины пограничного слоя. В связи с этим интересно рассмотрение эффекта возникновения мелкомасштабных вихревых потоков, возникающих в жидкости в акустическом поле большой мощности. Возникновение таких потоков вызвано тем, что скорость движения частиц среды в акустическом поле на абсолютно жесткой поверхности должна обращаться в ноль, поэтому в пограничном слое градиент скорости очень велик. Это приводит к тому, что в пограничном слое при резком изменении импульса звуковой волны возникают силы, вызывающие потоки.

Для того чтобы строго определить распределение скоростей в среде, необходимо решить уравнение движения в системе основных гидродинамических уравнений с граничными условиями, учитывающими форму жесткой поверхности. К сожалению, из-за сложности уравнения движения вязкой жидкости (Навье - Стокса), расчет поля скоростей сопряжен со значительными математическими трудностями, поэтому при расчетах обычно прибегают к так называемому приближению пограничного слоя. В пограничном слое полагают, что скорость изменения параметров среды (давления, скорости и т.д.) по нормали к жесткой поверхности во много раз превышает скорость их изменения в параллельном поверхности направлении. Второе упрощение связано с тем, что при сравнительно малой кривизне обтекаемой поверхности течение в пограничном слое можно считать плоским; это означает, что касательная компонента скорости намного больше нормальной ком -поненты. Уравнения движения жидкости в пограничном слое (уравнения Прандтля) имеют вид [1]

дух дух дух д 2ух ди Т7ди ду дуу

— + + Уу — — у—х =---+ и-----, + -^ = 0 ,

д дх ду ду д( дх дх ду

где и(х,() - известная скорость потока вдали от границы. В работе Шлихтинга эти уравнения были решены для стоячей волны и(х,() = и0(х)са'(кх). Вблизи границы (при т<<1) с точностью до величин ~т2 компоненты скорости потока будут ^ V2 " V2

V =--------—

4с0 у 4с0

Найденное вблизи плоской границы решение перестает быть применимым тогда, когда длина звуковой волны становится сравнимой с длиной вязкой волны 1 = 2л5 . Это может быть либо в случае чрезвычайно вязких жидкостей, либо для

жидкостей средней вязкости в области очень высоких частот о » р0с^ / Г , соответствующих области релаксации сдвиговой вязкости.

Для оценки эффективности использования акустических течений, по сравнению с гидродинамическими, необходимо определить размер пограничного слоя для действующих параметров среды. Величину пограничного слоя для скорости движения можно определить через время х, которое требуется для того, чтобы изменение скорости среды, вызванное возмущающим действием жесткой стенки, распространилось поперек потока на некоторое расстояние А от стенки. Характеристическое время х может быть также названо временем релаксации. Оно может быть определено в приближении пограничного слоя из следующих простых соображений. Параметрами, определяющими движение жидкости в пограничном слое, являются величины р, г, у0, а также расстояние от стенки у=А. Через эти параметры должно выражаться и время х распространения возмущений от стенки. Очевидно, что х не может зависеть от скорости у0 движения жидкости, следовательно, оно должно определяться параметрами р, г, и А. Комбинация этих параметров, имеющая размерность времени, и определяет

х » рА2 / г = А2 / у.

Из приведенных выше рассуждений характеристическое время определяется с точностью до некоторого числового множителя. Если обозначить его как 1/т2, то выражение примет вид

т«А2/т'2у.

Вследствие движения жидкости возмущение, вызванное стенкой, будет сноситься вдоль потока. За время х этот снос составит х=у0х, где расстояние х отсчитывается от некоторой точки на стенке. Таким образом, область течения, в которой проявляется возмущающее действие стенки, к моменту времени х будет иметь протяженность вдоль потока х, а высота этой области в точке х составит А. Эта область, собственно, и представляет собой пограничный слой с толщиной 5 =А. Умножив обе части выражения (5) на у0 , получим

х » 1/ т'2 х у05* /у,

откуда следует, что

5* « т'т]ху/У0 .

Величины т из различных соображений определены в [2] и составляют 0,664

- 5,16, обычно выбирается значение т=3. Толщина теплового пограничного слоя может быть определена из соображений подобия, и составит

5т » 3{с1у) 1зл1 ху/у0 .

Численные значения толщин пограничного слоя для различных случаев приведены в таблице.

Значения толщин пограничных слоёв в воде и воздухе при 1 = 200 С и Яе = 3333

Число Пран-дтля Рг Скоростной слой 5- м Тепловой слой 5Т м Акуст. слой 5- м при f = 20 кГц

Вода 7,3 5,1910-3 2,69 10-3 3,9810-6

Воздух 0,73 5,1910-3 17,3 10-3 1,5510-5

Другой путь оценки степени влияния акустических потоков на теплоперенос связан с численным решением краевой задачи для уравнения переноса тепла (1). При постановке граничных условий в этом случае следует учесть влияние потоков в выражении для коэффициента теплопереноса.

Для нахождения величины коэффициента теплопереноса X нужно определить функциональное отношение между параметрами (показателями свойств), определяющими его значение. Исходя из принципов теории подобия, искомое функциональное соотношение можно представить в виде комбинации безразмерных комплексов его параметров (критериев подобия) и числовых коэффициентов.

Используя методику анализа размерности, можно получить выражение для искомой величины в общем виде. Исходя из формулы (1) и выражения для тангенциальной составляющей скорости акустического потока (3), можно определить, что коэффициент теплопередачи в условиях акустической конвекции будет зависеть от следующих определяемых параметров:

h = F

Следуя методике, можно записать результат в виде произведения исходных параметров, представленных их размерностями, в некоторых степенях. Проведя необходимые преобразования, можно получить критериальное уравнение, описывающее теплообмен на границе раздела фаз в присутствии звуковых волн, относительно безразмерных параметров:

1 = A • Pr —c

или

Ц4Ш)= A

где Pr = y/x - критерий Прандтля; p - звуковое давление; p/ fn - безразмерный

критерий, характеризующий степень влияния акустического поля на тепло- и мас-

сообменные процессы; l(fn/p)-1/2- безразмерный критерий, характеризующий теплоперенос в условиях акустической конвекции.

Численные значения коэффициентов a, c и k можно определить путём математического моделирования аналитически или экспериментально, исследуя физическую модель.

Для аналитического определения искомых коэффициентов нужно решить краевую задачу для уравнения пограничного слоя (уравнение Прандтля) для температуры:

vx dTjdx' + vy dTjdy = %82T/dx'2 .

Граничные условия для него запишутся следующим образом:

1) при x = 0 Т=Тст,=Т2- Тй 2) при x lim T

Для решения сформулированной задачи удобно воспользоваться переменной

«функция тока» такой, что y = const - линия тока

В соответствии с условиями рассматриваемой задачи подставим в уравнение (14) выражение (3) для тангенциальной составляющей скорости акустического потока в вязком пограничном слое. С учётом того, что x' = yjvy , где x' = x — l -относительная координата, оно будет иметь вид

vy = —Vo /2)

Подстановка (15) в (14) дает уравнение

Это уравнение в частных производных по двум переменным у и y . Для сокращения количества переменных и, таким образом, преобразования уравнения (16) к виду обыкновенного дифференциального уравнения, предположим, что рассматриваемая физическая система обладает свойством автомодельности. Тогда вместо переменных у и y можно ввести некоторую безразмерную переменную, такую, что

T

гдеХ = A(F(y))a(U- безразмерный комплекс функциональных параметров с постоянными коэффициентами.

В общем случае, определить набор величин, определяющий X , можно, решив нелинейную задачу на собственные функции для уравнения (16). Для рассматриваемого случая вид безразмерных переменных можно определить путём непосредственного подбора комбинаций параметров при частных производных. Из имеющихся параметров возможна комбинация четырёх безразмерных комплексов, при которых задача имеет корректные и аналогичные решения, один из которых имеет вид

X =л[уОо5л1 sin 2ky/Хл/cod .

После подстановки

где a = 8c^%2k cos2ky/v^S sin3 2ky.

Полученное уравнение (19) - обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, решая которое с учётом граничных условий, можно получить

TL=0 = Tcm — Тст

Продифференцировав (2o) по x и проведя прямые преобразования, можно выразить плотность тока тепла на границе:

j = x8T/8x|x=o = —1,096-TCm. • 3j

из которого найти среднее значение j по периоду вихревой структуры:

p

j = —1,o96 • TcmD.• 1/ pj ^|cos 2ky|dky = —o,9o3 • TcmD. ,

o

где w = 3/Vo2x2k/coS \m!c\.

Выразив Q через безразмерные комплексы параметров, получим:

j = —2,o14-Vo/Vy3

Отсюда можно найти осреднённый коэффициент:

1 = j/Tm = 2,o14 • Pr—23 Vo Iff1

где Pr = y/x - критерий Прандтля. В таком виде он не отличается по форме от выражения (1o) для коэффициента теплопереноса, полученного из анализа размерностей. При переходе к рассмотрению явлений массопереноса нужно воспользовать-

ся соответствующим выражением для критерия Прандтя: Рг = у /Б, где Б - коэффициент молекулярной диффузии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Физические основы ультразвуковой технологии /Под ред. Л.Д .Розенберга - М: Наука, 1970.

2. Вукалович М.П., Новиков И.И.. Термодинамика. - М.: Машиностроение, 1972.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М: УРСС, 2003.

С.А. Борисов, М.А. Раскита ЧИСЛЕННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ЗВУКА МЕТОДОМ ЛУЧЕВОГО ПАРАМЕТРА

Одной из задач экологического мониторинга водной экосистемы является дистанционное исследование гидрофизических параметров морской среды. Важнейшей интегральной акустической характеристикой вод океана, позволяющей оценивать их состояние, является скорость распространения звуковых колебаний. Зависимость скорости звука от параметров морской среды принято представлять как вертикальное распределение скорости звука (ВРСЗ) по глубине. В связи с этим дистанционное измерение профиля скорости звука в водной среде является актуальной задачей экологического мониторинга.

В данной работе рассматривается численный эксперимент по неконтактному (дистанционному) восстановлению профиля скорости звука при помощи метода лучевого параметра [1] для случая “прямоугольной” схемы дистанционного зондирования водной среды. Геометрия задачи представлена на рис. 1.

Вертикально-ориентированный излучатель И акустических сигналов посылает в исследуемую среду звуковые импульсы, которые, рассеиваясь на неоднородностях морской среды в области пересечения излучающего и приёмных лепестков характеристик направленности, регистрируются приёмной системой, представляющей собой эквидистантную линейную антенную решётку, состоящую из приёмников П1, П2...П№ Приёмная система располагается так, что первый приёмник П1 совпадает с “точкой” излучения. Каждая пара приёмников, например П1 и П2, П2 и П3 и т.д., с последующей схемой обработки представляют собой корреляционные приёмники, обеспечивающие приём рассеянных сигналов с одного и того же направления, задаваемого углом приёма а0, выбираемого в зависимости от требуемой глубины измерения ВРСЗ. Таким образом, в пространстве формируется веер статических лучей приёмной характеристики направленности (ХН), характеризуемых фиксированным значением лучевого параметра р, численно равного

Рис.1. Геометрия задачи