Об одном новом классе нормальных ганкелевых матриц

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ДьяконовЕ. Г. О регулярных возмущениях дискретных нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 4. С. 3-10.

2. ДьяконовЕ. Г.О регулярных возмущениях нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями. II // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 6. С. 779-791.

3. ДьяконовЕ. Г. О Ньютоновской форме уравнений в энергетическом пространстве для нестационарных задач математической физики // Докл. РАН. 2006. 74. № 3.

4. Мае лов В. П. Операторные методы. М., 1973.

5. Sheen D. Second-order absorbing boundary conditions for the wave equation in a regular domain // Math. Сотр. 1993. 61. P. 599-606.

6. Duong Т.Н., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods // Math. Сотр. 1994. 62. P. 539-563.

7. D'yakonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.

8. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2001.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

11. Дьяконов Е.Г. Разностные методы. Нестационарные задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972.

12. D'yakonov E.G. Special types of badly conditioned operator problem in energy spaces and numerical methods for them // Lect. Notes Сотр. Science. 2001. 1988. P. 273-284.

13. Дьяконов Е.Г. О спектральных задачах в энергетических пространствах на составных многообразиях с особой геометрией блоков. III // Диф. ур-ния. 2005. 41. № 10. С. 1375-1386.

14. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2003. 243. С. 213-219.

15. Lions J.L. Some more remarks on boundary value problems and junctions // Asympotic Methods for Elastic Structures / Eds.: Ciarlet, Trabucho, Viano. Berlin: Valter de Grueyter Co, 1995. P. 103-118.

Поступила в редакцию 23.03.06

УДК 519.6

Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов

ОБ ОДНОМ НОВОМ КЛАССЕ НОРМАЛЬНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ1

1. Задача об описании нормальных теплицевых матриц, поставленная и решенная авторами (см. [1-3]), привлекла большое внимание в алгебраической литературе. На протяжении десяти лет был предложен ряд ее решений, отличающихся от первоначального (см. [4-8]). Само описание имеет замечательно простой вид и дается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть А — комплексная матрица, одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо хотя бы одно из двух утверждений:

1 Работа второго автора была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-07-90336 и 05-01-00721) и программой фундаментальных исследований отделения математических наук РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач" по проекту "Матричные методы в интегральных и дифференциальных уравнениях".

а) А — матрица вида а1 + /ЗН, где а и ¡3 — комплексные числа, Н — эрмитова теплицева матрица;

б) А представляет собой ф-циркулянт для некоторого комплексного числа ф, по модулю равного единице.

Задача описания нормальных ганкелевых матриц, поставленная в [9], оказалась значительно труднее теплицевой задачи. Несмотря на некоторые продвижения, полученные в [8, 10], она все еще далека от полного решения. Имеющиеся частичные результаты состоят в основном в указании конкретных подмножеств класса М'Нп нормальных ганкелевых матриц порядка п. Перечислим эти подмножества.

1. Вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные.

2. Матрицы вида

аТп + /ЗН, а,/ЗеС,

где

есть перъединичная матрица порядка п, а Н — произвольная центросимметричная ганкелева матрица. 3. Блочно-диагональные матрицы вида

а#1+/ЗЯ2, «,/ЗеС,

где Н\ — верхнетреугольная ганкелева матрица порядка к (0 < к < га), а Н2 — нижнетреугольная ганкелева матрица порядка I = га — к. При этом мы называем Н\ и Н2 соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если

= 0 при г + ] > к + 1

и

{Н2}гз = 0 При 1+]<1+ 1.

В данной публикации мы указываем новые двухпараметрические семейства нормальных ганкелевых матриц.

Теорема2. Пусть Н — невырожденная вещественная верхнетреугольная ганкелева матрица. Тогда всякая матрица вида

аН + ¡ЗН~1, а,/ЗеС,

является нормальной и ганкелевой.

Доказательство теоремы 2 дано в разделе 2. Вместо верхнетреугольной можно было бы взять нижнетреугольную ганкелеву матрицу Н. В действительности выражение (1) симметрично относительно обоих типов треугольности, поскольку, как нетрудно видеть, Н~1 имеет тип треугольности, противоположный типу Н.

В разделе 3 мы показываем, что достраивание треугольной ганкелевой матрицы до полной, предлагаемое формулой (1), в определенном смысле единственно.

ТеоремаЗ. Пусть Н — невырожденная вещественная верхнетреугольная ганкелева матрица, а К — невырожденная нижнетреугольная ганкелева матрица. Если все линейные комбинации

аН + /ЗК, а,/ЗеС,

суть нормальные матрицы, то

к = уН~1, 7 е с.

2. Теорема 2 будет вытекать из следующего простого предложения.

Лемма 1. Пусть А — невырожденная нормальная матрица. Тогда всякая матрица вида

В = аА + [ЗА~*, а,[ЗеС,

нормальна.

Доказательство. Можно проверить прямыми выкладками, что для матрицы (2) выполняется равенство

В*В = вв*.

Мы избежим выкладок с помощью следующего рассуждения: матрица С = А~* = (А*)-1, как хорошо известно, является многочленом от А*:

C = f

С другой стороны, для нормальной матрицы А сопряженная матрица А* представима многочленом от А (см., например, [11, задача 7.2.38]):

А*=д

Соотношения (3) и (4) означают, что С = А~* и вместе с ней матрица В суть многочлены от А. Но многочлен В от нормальной матрицы сам является нормальной матрицей.

Замечание. Для невырожденной эрмитовой или вещественной симметричной матрицы А = Н формула (2) принимает вид

В = аН + ßH~l, a,ßeC.

Доказательство теоремы 2. Поскольку (вещественная) ганкелева матрица симметрична, нормальность матрицы (1) вытекает из только что сделанного замечания.

Матрица, обратная к ганкелевой, может уже не быть ганкелевой. Однако это не относится к треугольным ганкелевым матрицам. Действительно, для матрицы Н теоремы 2 матрица

Т = HV„

верхнетреугольная (в обычном смысле) и теплицева. Верхнетреугольные теплицевы матрицы образуют коммутативную алгебру, поэтому Г-1 также является верхнетреугольной теплицевой матрицей. Но тогда Н~1 = "Р„Т-1 — нижнетреугольная ганкелева матрица. Вместе с Н~1 ганкелевой будет матрица (1).

3. Доказательству теоремы 3 предпошлем следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть в линейной оболочке п X п-матриц А и В все матрицы нормальны (в частности, нормальны сами А и В). Тогда А и В перестановочны:

AB = В А.

Доказательство. Выполнив подходящее унитарное подобие, предположим, без ограничения общности, что одна из заданных матриц (для определенности — А) диагональная:

А = diag{ai,..., ап}.

При этом если матрица А имеет кратные собственные значения, будем считать, что копии каждого такого значения занимают последовательные позиции на ее главной диагонали. Рассмотрим матрицы

Се = А + еВ

для малых комплексных е. Пусть inj таковы, что

ßj ф aj и i < j.

Из условия нормальности

сес* = с*се

выводим

ebjiüi + ebijä] + 0

или

ebij

Если в (7) б вещественно, то при е —> 0 имеем

bi j (Щ -а]) = bji(ai - aj). Напротив, полагая в (7) е = iS, S £ R, и устремляя S к нулю, получаем

bi j (Щ -а]) = ~bji (а« - aj).

Таким образом,

bij(Щ ~ âj) = bji(ai - cij) = О

и ввиду

bij = bji = 0.

Это означает, что В — матрица блочно-диагонального вида, причем ее диагональные блоки соответствуют группам совпадающих собственных значений матрицы А. Отсюда следует равенство (5). Доказательство теоремы 3. Согласно теореме 4 должно выполняться соотношение

H К = КН.

Тогда

VnHKVn = VnKHVn.

Матрицы VnH, KVn, VnK, HVn теплицевы, причем первые две из них — левые треугольные, а две другие — правые треугольные. Поэтому равенство (8) возможно лишь, если обе части суть скалярная матрица уI. Итак,

Т„КНТ„ = у1 К H = 7/ К = уН~1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Икрамов Х.Д. Об описании нормальных теплицевых матриц // ЖВМиМФ. 1994. 34. № 3. С. 473-479.

2. Икрамов Х.Д. О классификации нормальных теплицевых матриц с вещественными элементами // Матем. заметки. 1995. 57. № 5. С. 670-680.

3. Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н. Критерий нормальности комплексной теплицевой матрицы // ЖВМиМФ. 1996. 36. № 2. С. 3-10.

4. Гельфгат В. И. Критерий нормальности теплицевой матрицы // ЖВМиМФ. 1995. 35. № 9. С. 1428-1432.

5. Farenick D.R., Krupnik M., Krupnik N., Lee W. Y. Normal Toeplitz matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1996. 17. P. 1037-1043.

6. Ito K. Every normal Toeplitz matrix is either of type I or of type II // SIAM J. Matrix Anal. Appl.

1996. 17. P. 998-1006.

7. ArimotoA. A simple proof of the classification of normal Toeplitz matrices // Electronic J. Linear Algebra. 2002. 9. P. 108-111.

8. Gu G., Pat ton L. Commutation relations for Toeplitz and Hankel matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2003. 24. P. 728-746.

9. И к p a m о в X. Д. К вопросу об описании нормальных ганкелевых матриц // Фундам. прикл. матем.

1997. 3. № 3. С. 809-819.

10. Икрамов X. Д., Чугунов В.Н. О кососимметричной части произведения теплицевых матриц // Матем. заметки. 1998. 63. № 1. С. 138-141.

11. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. СПб., 2006.

Поступила в редакцию 20.06.06