Объемные интегральные уравнения для бианизотропных сред

5. Электропрофилирование над вертикальным пластом донной установкой /В. А. Скорняков, Е.Д. Лисицын, А.Э. Вишняков, Т.В. Бурмистров //Прикладная геофизика. - 1990. - № 122. - С.101-107.

6. Смилевец О.Д. Анализ ошибок при работах методом ВЭ3 при обследовании трасс трубопроводов и строительных площадок //Недра Поволжья и Прикаспия. - 1999. - № 20. - С.48-53.

7. Смилевец О.Д. Электроды для работы методом ВЭ3 //Рационализаторство и изобрет-во в газовой промышленности. - 2002. - Вып.3. - 16 с.

8. Смилевец О.Д. и др. Вертикальное электрическое зондирование вблизи пластов низкого сопротивления //Недра Поволжья и Прикаспия. - 2002. - Вып.32. - С.42-46.

9. Смилевец О.Д. Комплексные геофизические исследования верхней части разреза при проектировании технических сооружений в нефтегазоносных районах //Труды НИИ геологии СГУ, нов. сер. - Т.Х111. - Саратов: Научная книга, 2003. - 167 с.

УДК 550.837.01:537.8.

ОБЪЕМНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БИАНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

© 2013 г. П.Н. Александров

Центр Геоэлектромагнитных исследований ИФ3 РАН

Аннотация

Решение прямых трехмерных задач геоэлектрики для бианизотропных сред как наиболее общих линейных сред представляет актуальную проблему современной электроразведки. Сложность решения таких задач связана с большим количеством электромагнитных параметров (максимально 36), которыми характеризуются линейные среды, и сложностью решения уравнений относительно компонент электромагнитного поля для таких сред. Наиболее эффективным способом решения прямых задач для бианизотропных сред является способ сведения системы уравнений Максвелла к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Однако такой подход эффективен только для одномерных сред. Для трехмерных сред наиболее перспективным является способ, основанный на решении объемных интегральных уравнений. Для этого, прежде всего, получим объемные интегральные уравнения относительно компонент электромагнитного поля для случая трехмерной бианизотропной неоднородности, находящейся в одномерном биа-низотропном пространстве.

Вывод интегральных уравнений Для решения прямой трехмерной задачи геоэлектрики бианизотропных сред воспользуемся методом интегральных уравнений, которые получим на основе леммы Лоренца [1]. Рассмотри две системы уравнений Максвелла

гоН = оЕ + аН + 3 ,

гоГЕ = -¡а

ШО X X + аО X + я х ,

^ X = -ш

где Н, Gx - векторы магнитного поля, Е, Qx - векторы электрического поля для возбуждаемых соответствующими компонентами стороннего тока 3ех и индукции Вех или сосредоточенными в точках, направленных по соответствующим осям координат возбудителями электромагнитного поля в виде пространственных дельта - функций Дирака; с - частота; а, а, ¡3 - электромагнитные параметры неоднородной среды; а0, ¡0, а0, ¡¡0 - электромагнитные параметры вмещающей среды; 1 - орт оси декартовой системы координат. Все электромагнитные параметры неоднородной среды, так же как и электромагнитные параметры вмещающей среды, рассматриваются как анизотропные и описываются соответствующими матрицами размерностью 3 х 3.

Умножим уравнение (1) на транспонированный вектор электрического поля О х , уравнение (4) на транспонированный вектор магнитного поля Нт и результаты умножения вычтем

ОХ ШН - НтгоОех = ЖуО х Н] = оХ (аЕ + аН) + /СНт (¡оСX + ¡О) + Оех J.

Далее умножим уравнение (3) на Ет, уравнение (2) на транспонированный вектор

электрического поля

С .

и результаты умножения вычтем

Ет ШСех - Сх ШЕ = d/v[ET х Сх ] = Ет (аоОех + аоСх) + /сСех (¡Н + ¡Е) + Ет ¿1 - Сх Вех.

Вычитая результаты этих операций, получим

Ет¿1 = Ех = ^([О_ех х Н] -[Ет х СX]) +

ОХТ (аЕ + аН) - Ет ^ + ^С ех)+сНт (¡С ех + ¡¡О) - СС ? (¡Н + ¡Е) + фехТ J- + С х* Вех'.

Для остальных компонент электрического поля аналогично получим

Еу X Н] - [Е т X С у ]) +

О у т (аЕ + аН) - Ет (^у + ^С у) + СНт (^С у + ¡¡О) - СС ут (¡Н + ¡Е) + О ут 3 * + С ут В х' е2=-жу№ е х н] - [Ет х С е ])+

Ое/ (аЕ + аН) - Е т КОХ + аоС ег) + СНт (^С ег + ¡¡О) - /сСе/ (¡Н + ¡Е) + Ое/ 3ех + С ег тВ ^ Отсюда после интегрирования по всему пространству получим

Л

ох аЕ

т

О у аЕ

т

О е аЕ

^ (

ЕаоО ЕтаоОу ЕтаоО е

Л

í^eт Т-Л (тгт ,, г<еЛ

^У -/С I (

сх ¡Н нт ¡ос

С у ¡Н

с е ¡н

Нт ¡С у нт ¡оС е,

)ёу +

( Т Л I Ох аН' ' Е т аоС х ^ ( Т Л I Сх ¡Е 1 нт ¡оО е ^ / т О х 3 ^ т Л +С х вех{'

т О у аН - Е т аоС у ^у - /с| ( т С у ¡Е - Нт №у т О у з ^ т + С у Вех dy

т Ое аН Vе у ч Ет аоС е, V т с е ¡¡Е V е и У у нт ¡оО е у V« т л е тех? VО е 3 т + Се в ^ е У

| (Q2.dE - (Е 40/ )т )сУ - ш\ (ОеаН - (Нт у & )т )сУ +

V V

I (йеаН - (Ета0Оет )т )Су - т\(Оев - (HTd0^eT )т )сУ +

V V + I (0е 3^ + еБе" С =

е

V,,

| <2е (d - doT )ЕсУ - ¡а! Се (¡- ¡М )НСу +

V V

10 е (а-аот )НСУ - ш\6е в-в )ЕсУ + | (0 е3ехг + 6 еВехг )СУ =

V V V,

I (& (d - doT) - шве (в - в ))Еск -1 (шОе (м -Мот) - & (а - а ))НсУ + | (&3ехг + ОеВ хг )Су .

V V V,

Аналогичные интегральные уравнения получим введя точечный источник сторонней магнитной индукции

гагСхх =doQкх + а0Схх ,

^X =-а

Тогда

н = |(йх)-¡аОхв-вт))ЕСУ-I(ШОх(¡и-ц0т)-0х(а-а0т))НСУ + |(03ехг + ОхВехг)сУ .

V V V,

( Е ^

Вводя вектор X = , получим векторные объемные интегральные уравнения в

V н )

случае бианизотропных сред

тЛ

т ^ т ^ т ^ т

V 1бх

ХсСу + X

/

Х/ = |Г0. О, У 3е* Л

бх Ох у

Вехг

V

Су .

Здесь интегрирование понимается как интегрирование по области носителей неодно-родностей во вмещающей среде с параметрами do, ¡о, ао, во и источников.

Функция Грина для вмещающей бианизотропной среды Связь решений для бианизотропной и ¡у-среды Получение решения для вмещающей бианизотропной среды является сложной задачей. Однако для некоторых типов бианизотропных сред можно установить связь между решениями уравнений Максвелла для бианизотропных сред с решениями для не биани-

зотропных /о-сред. Пусть известно решение для /о-среды, которое удовлетворяет системе уравнений Максвелла вида

* *

^х = о0Qx + , ,

* * ЛГ.Ч

гotQ X = -ю/0О X .

Представим G X = /О ех и Qex = qQ XX , тогда уравнения Максвелла относительно векторов электромагнитного поля без звездочки примут вид

*

го/ОX = /шОX + gradf х GX = оgQX + 51 х , rotqQX = qrаtQех + gradq х Qех = -¡ю/л/ОX ,

или rotG! = ^^^ Q! - ^- х G! + - Si х , rotQX = -Ши~ G ex - ^^ x Q! .

X P x p X f x ' x ' x x

f f f g g

Полагая f = ed и g = ec , получим

rotGx = aec-dQx - gradq x Gex + e-dSix , rotQ\ = -ia¡ued-cGex - grade x Qex

В случае d = c + const получим

rotGx = a-e-constQex - gradq x Gex + e-dSix , rotQex = -iaueconstGex - grade x Q

В частности, полагая d = c = a23 x + a13 y + a1 2 z , получим

0 2 3

gradqx=

ai2 0 a23

V-ai3 a23 0 J

= a

откуда получим систему уравнений Максвелла для бианизотропных сред

rotGX = оQ хх -аО хх + х, rotQ х =-1а/О х -aQ хх , решение которой выражается через решение уравнений Максвелла для не бианизотропных /о-сред.

Замечание

**

Зависимость таких решений в виде Ох = ха2зх+а"у+а'2гОхх и Qх = ха23х+а»у+а12zQх для каждой отдельной области позволяет моделировать затухание поля по соответствующему пространственному направлению, что может быть полезным для решения прямых задач конечноразностными методами. В этом случае внешние области могут быть искусственно смоделированы с помощью бианизотропных параметров так, чтобы уменьшить влияние внешней границы на результаты вычислений (безотражательные границы).

Результаты моделирования Для практических вычислений в качестве вмещающей среды использовалось однородное изотропное пространство. Найдем явные выражения для тензорной функции

Грина электрического ()е =

( т\

Сох Л

т

оу

V О :тУ

V2 У

С Gет Л

и магнитного О =

Х

ет

0

ое/

V У

1

типов. Ротируя систему

уравнений (7) и (8) и учитывая Л'уС ех = 0 и ёгуОех =--Х , получим

<0

V 2Оех - ¡а/л0а0О ех = -то1ё\х + ех = -то15\х

1

V Оех - ¡ю/и0о0Оех = ¡а/Х х + ех = ¡ю/и05\х - ^аё—

<0

Тогда

ет О х

Ое =

О

^ V

V У

С д д Л

0 -—О —О

дг ду

— О 0 -—О

дг дх

-—О — О 0

ду дх

' ОехТ ^

= е ОеуТ = 1

V^ У <0

д 2

¡ю/0а0О--2 О

д2

дхду

.л

дхдг

дх2 О

О

О

дудх

Ш/10°0О -ТТ О ду

д2 -О

д2

дудг

дгдх

д2

дудг

О О

¡а/и0а0О О

_д!

дг2

С д2 д2

-Х( х, у, г) + О + -|Цт О

<0

д2

ду

д2

дхду

д2

дхдг

дг2

О

О

дудх

X, ^ д2

-5( х у,г) + —

О

гО + 4 О

дх2 дг2

д2

дудг

О

д2

дгдх

д2

О

дудг

х л д2

-5( х у,г) + —

О

О + О

ду2

—е~/ Яе(фсо/а,, ) > 0 , Я = -/(х - х')2 + (у - у')2 + (г - г')2 , есть фунда-4лЯ

где О = Я

ментальное обобщенное решение уравнения Гельмгольца

д2 д2 д2

-т-т О+тт О+^тг О - = х

ду дг дх

х

2

д

1

2

Учитывая, что )) = Ое , (оь = ——— ))е , получим

1а/л{)

X =

гЛ

-тСе{Р-Р0 ) + <2е — -—0 ) -тСе) +

—

—

ое

/0

/0

Хёу +

0е

Ое

т/0

О е

( J ехг \

Вехг

ч

ёу.

Полагая, что в области элементарного объема ё¥ поле и электромагнитные параметры среды постоянны, то переход к системе линейных алгебраических уравнений будет связан с вычислением интегралов по элементарному объему от тензорных функций Грина. Для тензорной функции Грина электрического типа получим

Г О) (х, у, г, х', у', = -[1]-— +

V —

(Аоф + -|-о-£)) - Я,(^оф- ^ фо(т)-Т°(-Т

ду 2 ду 2 дг 2 дг 2 дх 2 дх 2 дх 2 дх 2

(±о(Ах) _ АО(-^х)) ^ (±о(Ах) _ АО(-^х)) + (_Ё_О(^£) - АО(-^£)) - ^ (_Ё_О(Ау) О(-А,

- ^оф-дгО

дг 2 дг 2 ду 2 ду 2 дх 2 дх 2 ду 2 ду 2

Для тензорной функции Грина магнитного типа получим

Г о е (х, у, г, х', у', 2)ёхёуёг =

0

я,

гДу

-

2

2

- я, (о( А2) - о(-А-)) 0

^

^ (оф - о(-Ау)) ^

- ^ (о (А-) - о(-Ах)) 0

С использованием изложенного подхода был разработан алгоритм и создано программное обеспечение математического моделирования электромагнитных полей в линейных трехмерных неоднородных средах. Программа позволяет вычислять все компоненты электромагнитного поля Ех, Еу, Е2, Нх, Ну, Н2 от всех возможных источников. В качестве примера на последующих рисунках приведены результаты расчетов электро-

магнитного поля с учетом его неоднородности, представляющей собой куб размером 3 х 3 х 3 м, центр которого помещен в точку с координатами х = 2 м, у = 2 м, г = 2 м, ось г направлена вглубь земли. Электромагнитные параметры следующие:

Г1 0 0 ^ Г1 0 01

u = u 0 1 0 u II u 0 1 0

V 0 0 1V V 0 0 1V

U0 = 4п10 7 Гн / м , с = 2nf , .

Вмещающая среда изотропная с параметрами <у0 = .2См / м и u0. Источник находится в начале координат и в плоскости XOY. Электромагнитное поле вычисляется от всех

Т ext J ext Г) ext г) ext „ ext

видов источников , J x , J z , Bx , By , Bz . Индекс b означает, что куб является бианизотропным, индекс i - изотропным, т.е. а = ß = 0. Это позволяет провести сравнительный анализ влияния бианизотропных свойств (первые два столбца рисунков) на электромагнитные поля и изотропные свойства куба (третий и четвертый столбцы рисунков).

Использование новых в геоэлектрике бианизотропных свойств приближает электроразведку к адекватному описанию электромагнитных свойств геологической среды. В частности, бианизотропные свойства описывают извилистость токопроводящих путей. Такие параметры необходимы для более полной геологической интерпретации электроразведочных данных.

Л и т е р а т у р а

1. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Советская радио, 1979. - 376 с.