Возникновение нелинейных колебаний при слабых возмущениях и генерализация трещин в процессе разрушения

Возникновение нелинейных колебаний при слабых возмущениях и генерализация трещин в процессе разрушения

Б.П. Сибиряков

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Работа посвящена исследованию свойств континуума, обладающего структурой. Характерный размер структуры приводит к тому, что разностные отношения не переходят в дифференциальные автоматически. Кроме того, нет возможности выделить бесконечно малый объем тела, к которому можно было бы применить основные законы сохранения, так как минимальный представительный объем тела должен содержать, по крайней мере, несколько элементарных микроструктур. Это приводит к уравнениям движения бесконечного порядка. Решения таких уравнений содержат наряду со звуковыми волнами возмущения, распространяющиеся с аномально низкими скоростями, ничем не ограниченными снизу. Показано, что в таких средах слабые возмущения могут неограниченно возрастать или убывать. Слабая дисперсия размеров структур снижает интенсивность такого возрастания и, тем самым, стабилизирует среду, в то же время, неограниченный рост дисперсии эту среду дестабилизирует. Показано, что нелинейность диаграммы напряжение - деформация приводит к уменьшению удельной поверхности трещиноватой среды, т.е. среда разрушается с формированием системы небольшого числа крупных трещин, как бы не замечая большого числа мелких.

Generation of nonlinear oscillations at weak perturbations and generalization of cracks at fracture

B.P. Sibiryakov

A.A. Trofimuk Institute of Oil and Gas Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The paper studies properties of a continuum with structure. The characteristic size of the structure governs the fact that difference relations do not automatically transform into differential ones. It is impossible to distinguish an infinitesimal volume of a body, to which we could apply the major conservation laws, because the minimum representative volume of the body should contain at least a few elementary microstructures. This leads to motion equations of infinite order. Solutions for such equations include, along with sound waves, perturbations propagating with abnormally low velocities not bounded below. It is shown that in such media weak perturbations can increase or decrease without limit. Weak dispersion of structure sizes reduces the intensity of such increase and therefore stabilizes the medium, whereas unlimited growth of dispersion destabilizes it. The nonlinearity of the stress-strain curve is shown to cause a reduction of the specific surface of a cracked medium, i.e. the medium undergoes fracture with the formation of a system of a small number of large cracks as though it ignores a large number of small cracks.

1. Введение

Наличие характерных размеров структуры приводит к тому, что, например, среднее расстояние между трещиной и ее ближайшей соседкой определяется удельной поверхностью структурированного тела. На рис. 1 показан элемент объема структурированного тела, для которого 10 есть среднее расстояние между трещинами. Существует теорема интегральной геометрии, которая связывает между собой удельную поверхность микроне-однородного тела и среднее расстояние от поры до поры

или от трещины до ее ближайшей соседки [1]:

^о = 4

где ст0 — удельная поверхность; f— пористость тела. Тем самым, возникает и характерный размер микроструктуры, который является одним из главных факторов динамического деформирования сред с микроструктурой.

Различие классического и структурированного континуумов отчетливо видно на рис. 2. Здесь часть объема, окруженного поверхностью С, несомненно, удов-

© Сибиряков Б.П., 2006

летворяет условию равновесия, в то время как часть объема, окруженного поверхностью D, этому условию не удовлетворяет, так как с одной стороны на выделенный элемент объема действуют поверхностные силы, с другой — нет. Идея построения структурированных континуумов состоит в том, что рассматривается конечный объем структуры, например, объем, окруженный поверхностью С. Так как силы инерции приложены в центре тяжести структуры, а поверхностные силы — на С, то возникает необходимость переноса поля поверхностных сил в центр тяжести структуры. В этом случае строится некоторый образ сплошного тела, по отношению к которому можно применять основные законы сохранения обычным образом.

Оператор переноса поля из точки х в точку x ± lo задается хорошо известными соотношениями Маслова [2]:

д

u

dx

Здесь формальное разложение в ряд Тейлора экспоненты дает конечное приращение поля в виде бесконечного ряда производных, снабженных множителем 10, который, в свою очередь, определяется удельной поверхностью тела. Трехмерный оператор переноса поля в центр выделенного куба того же характерного размера есть

P (Dx, Dy, Dz ) =

= 6 u(x)[exp<7 o Dx) + exp(-/ o Dx) + exp(l o Dy) +

+ exp

Аналогичный оператор переноса поля в центр выделенной сферы:

P(Dx, Dy, Dz, lo) =

1 2пп

=---- J Jexp[lo(Dx sin0cosф +

4n

D D

В формуле (4) 0 и ф — сферические углы. Для микроне-однородных сред, имеющих большую разницу физикомеханических свойств матрицы и флюида, мы не имеем операторного равенства Р = Е. Другими словами, формула (4) выражает неэквивалентность разностных и дифференциальных операторов в явном виде.

Имеет место формула Пуассона [3]:

2пп

J J f (a cos 0 + в sin 0 cos ф +

o o

+ Y sin 0 sin ф^іп 0 d0 dф = = 2nJ f (R cos p) sinp dp =

D

= 2nJ f (Rt )dt,

-і

R = д/а2 +P2 + y 2 Следовательно,

P(Dx, Dv, Dz) =

= — J exp(ldVa t)dt =J ch(ldVa t)dt =

2 -1 A

= sh(l^VA) = E + /DA + /DAA +...,

/dVa

3!

5!

где A — оператор Лапласа.

Уравнение движения микронеоднородной среды:

д

т—[ P(° ik)] = Ри, т.е. dxk

д

dxk

sh(l^VA) /^Va

СТ n

dxk

„ 10 A l04AA E + -^- + —----------+...

3!

5!

CTk

:PU.

+ Dy sin 0 sin ф + Dz cos 0)] sin 0 d0 dф.

Рис. 1. Элемент трещиноватой среды. lD трещинами

среднее расстояние между

Рис. 2. Проблема уравнения равновесия для произвольного элемента дискретной среды. На контуре С уравнение равновесия выполняется, на контуре D — нет

д

2. Некоторые стационарные решения уравнения движения

Одномерный случай стационарных колебаний:

(

Л

E + ^ A + -0- AA +... 3! 5!

+ ks u = 0.

Ищем решение в виде:

и = А ехр

где А, k — некоторые постоянные. Подстановка в уравнение дает уже не дифференциальное, а трансцендентное уравнение:

(

sin(klD) k,

klD k2

2 Л

= 0.

Совершенно очевидно, что в случае сплошной среды при 10 ^ 0 синус в числителе выражения (10) практически равен аргументу и искомая величина волнового числа равна своему обычному значению, т.е. скорость распространения возмущений совпадает со скоростью продольных или поперечных волн. Однако с ростом аргумента числитель начинает убывать, а в случае достаточно больших аргументов, кратных п , синус обращается в нуль, что соответствует очень большим значениям волнового числа в знаменателе второго члена выражения (10), по сравнению с его обычным значением к8. Это означает, что возникают возмущения, распространяющиеся с исключительно малыми скоростями, как угодно отличающимися от звуковых и ничем не ограниченными снизу. Кроме того, как показывает анализ уравнения (10), оно содержит также и комплексные корни. Наличие комплексных корней означает как неограниченный рост амплитуды колебаний, так и резкое затухание колебательных процессов. Структура решений (10) совпадает со структурой решения известного уравнения Матье [4], и, как можно показать, решения уравнения Матье содержатся в решениях уравнения (8). Поэтому есть некоторые основания называть растущие решения параметрическими резонансами, так как это принято в теории уравнения Матье. Таким образом, возможно появление катастрофических ситуаций даже при малых колебаниях, если внешняя сила обладает достаточной энергией.

В трехмерном случае можно искать решение уравнения (7) в виде:

и = А ехр[г

Если потребовать, чтобы упомянутые волновые числа удовлетворяли условию нахождения на поверхности некоторой сферы:

кХ + кУ + к1 = к 2

то возникает то же самое дисперсионное уравнение (10).

Для сферической волны, где поле зависит только от радиуса, уравнение движения в сплошной среде с потенциалом Т есть

д 2Т 1 д2Т

дг2 V2 дt2 '

Здесь поле перемещений связано с потенциалом известным равенством: д (Т

иг = Эг[ Т

в то время как для потенциала имеет место аналогичное дисперсионное уравнение:

( sin(klo) - ks" Л

kU k

= 0.

Для классической сплошной модели среды при lo ^ o оператор сплошности Р обращается в единичный, т.е. любой сколь угодно малый объем среды является представительным. Для реальной среды представительным является некий минимальный объем, содержащий достаточное множество элементарных объектов, так что разностные операторы приводят к дифференциальным уравнениям бесконечного порядка.

3. Случайные микроструктуры

Постараемся получить дисперсионное уравнение для случайно организованных микроструктурных сред.

Для случайно организованных структур с нормальным распределением lo оператор сплошности принимает вид:

P(Dx , Dy , Dz, lo) =

1 2п П

— J Jexp[lo

4n

0 0

Известен результат [5], что для случайных величин с распределением Гаусса имеет место соотношение:

(exp(rn^)) = exp I — ст2ю2 I,

причем, £ есть случайная величина с нулевым средним значением; а — дисперсия этой случайной величины; ю — некоторая постоянная. Подставляя это соотношение в интеграл (16), получаем несколько иной вид оператора Р:

Р^х, Dy, Dz, /0, а) =

1 2п П

= 11ехР[/о(А«г-) +

4п

о о

+ -

22 -0 СТ

(Dini) ]sin 0 d0 dф.

Дисперсионное уравнение в этом случае принимает вид:

----J cos x exp

kl

0 0

2 2 x СТ

dx=*

Очевидно, что при нулевой дисперсии дисперсионное уравнение (19) в точности совпадает с уравнением (10). Численное исследование показывает, что мнимая

и

-Первый корень Третий корень

О --------- і і і і і і і ---------

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Мнимая часть корня У

Рис. 3. Уменьшение мнимой части корней дисперсионного уравнения с ростом дисперсии. Стабилизация среды при малой дисперсии удельной поверхности трещин

часть комплексного корня убывает с ростом дисперсии. На рис. 3 видно, что с ростом дисперсии мнимая часть корня убывает почти линейно при увеличении дисперсии. Однако можно показать, что при большой дисперсии мнимая часть корня начинает снова расти, так что среда опять дестабилизируется [6].

4. Нелинейная упругость и генерализация трещин

Если попробовать представить диаграмму напряжение - деформация в форме параболы:

а хх =

то уравнение движения сплошной среды при Р = Е принимает вид:

2 1

ихх (1 + 2аих + 3Ьих ) = — ии •

Попробуем решать уравнение движения, переписав его в форме:

и = и1 ехр(/м£) +

+ и 2 ехр

Уравнение (10) может быть записано в более простом виде:

Кхх ехр(ш0 + и2хх ехр(2гюО +

+ и3хх ехр(3^) + ...]Х

х[1 + 2а{и1х ехр(^) +

+ и2х ехр(2^) + и3х ехр(3^) +...} +

+ 3Ь{и1х ехр(^) + и2х ехр(2^) +

+ и 1х ехр(3^) + 2и1хи2х ехр(3^) +

+ 2и1хи3х ехр(4^) + 2и2хи3х ехр(5^) +...}] =

= -к82и1 ехр(гш^ -(2к8)2и2 ехр(2^) -

-

Собирая члены с одинаковыми экспонентами, получим последовательность линейных уравнений вида:

*1хх

о,

и2хх + (2^1) и2 = _2аи1хи1хх = 2aks ЩхЩ,

и3хх + № и3

= 2aks2 (4и1хи 2 + и1и 2 х) + ЗЬк^ии^ •

В последовательности неоднородных уравнений (24)-(26) все члены, кроме вторых в левых частях упомянутых уравнений, обязаны силам, созданным внутренними напряжениями. Следовательно, для перехода к мик-роструктурной среде они должны подвергаться действию оператора Р. Вторые же члены уравнений в левых частях последних обязаны силам инерции и, следовательно, действию оператора Р не подлежат. Результат действия оператора Р на уравнение (24) известен. Если решение ищется в форме стационарных колебаний вида:

и, = — ехр(ікх),

кі

то возникает приведенное выше дисперсионное уравнение для определения множества допустимых волновых чисел ^ среди которых есть и комплексные величины:

^(^о) _ К

кіп к2

0.

Что касается уравнения для второй генерации поля (25), то принимая во внимание то обстоятельство, что оператор Р от правой части уравнения (25) представляется в форме:

2а1 Бт

р

2кі0

-ехр(2ікх),

можно записать интенсивность поля второй генерации для микронеоднородных сред следующим образом:

Л вт(2к/0)/(2к/0) _

-2аі-

к ііп(2кі0)/(2кі0) _к2/к2

В формуле (30) и1, и2 представляют собой амплитуды колебаний, т.е., например,

и2 = и2 ехр

Поскольку, в данном случае,

5<п<к/0) =

к/0 к2 ’

то знаменатель в формуле (30) в нуль не обращается. В случае /0 ^ 0, очевидно, к ^ к8 и формула (30) в длинноволновом приближении приобретает вид:

- 4/а _

и 2 =------т и1.

(к 8 / 0)2

Несмотря на то, что величина а является весьма малой (порядка деформации в сейсмической волне), наличие малого знаменателя в (32) делает амплитуду нелинейного колебания вполне сравнимой с амплитудой первого линейного члена. Это обстоятельство проливает свет на парадоксальное, казалось бы, явление достаточно высоких амплитуд вторичных гармоник, обязанных нелинейным процессам, которые регистрируются при малых колебаниях в микронеоднородных средах. На рис. 4 показана диаграмма напряжение - деформация, достаточно типичная для горных пород и некоторых металлов. Здесь скорость звука падает с ростом давления, так что волновые числа при этом возрастают. Если параметрический резонанс в линейном режиме оказывается возможным лишь для сравнительно высоких частот, то в нелинейном режиме колебаний параметрические резонансы наступают при частотах, все меньших и меньших, вплоть до глобально низких.

Аналогичная формула для третьего члена разложения в линеаризованной постановке несколько сложнее (30), однако, все еще достаточно проста:

2

4а вт

и3 = -и1

3к/0

3Ьк 2[8т(2к/0)/(2к/0) - к52/к 2]

х [8т(2к/0)/(2к/0) - к2/к2]-1 х

х [8ш(3«0)/(3«0) - к82/к 2]-1.

Общие же решения однородных уравнений содер жатся в дисперсионных уравнениях вида:

51п(2к/0) - к_ = 0

2к/0 к2 ’

^!п(3к/0) = Л

~10Г_тт =

‘0 к

Нелинейные возмущения идут по среде при увеличении среднего расстояния между трещинами 2/0, 3/0 и

Рис. 4. Нелинейное уменьшение скорости волн с ростом амплитуды колебаний

т.д., что соответствует уменьшению удельной поверхности. Происходит генерализация трещин. Тем самым, наличие нелинейных возмущений может приводить к образованию немногих магистральных трещин из первоначально огромного числа микротрещин.

5. Выводы

Структурированный континуум, построенный с помощью оператора Р, описывает как звуковые волны, так и возмущения, движущиеся с исключительно малыми скоростями, ничем снизу не ограниченными.

Малые колебания структурированных сред могут расти неограниченно, если наступает параметрический резонанс. Катастрофы возможны даже в случае малых колебаний.

Малая дисперсия средних размеров структуры приводит к стабилизации среды, большая — наоборот, к ее дестабилизации.

При нелинейных возмущениях возникают кратные гармоники неожиданно больших амплитуд. Тем самым, структурированные среды становятся нелинейными даже при сравнительно малых амплитудах колебаний.

Происходит уменьшение удельной поверхности трещиноватой среды при нелинейных колебаниях, т.е. генерализация трещин.

Литература

1. Усманов Ф.А. Основы математического анализа геологических структур. - Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1977. - 202 с.

2. Маслов В.П. Теория операторов. - М.: Наука, 1973. - 544 с.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1964. - 1100 с.

4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. - М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

5. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах. - М.: Наука, 1980. - 336 с.

6. Сибиряков Б.П., Подбережный М.Ю. Неустойчивость структурированных сред и некоторые сценарии развития катастроф // Геология и геофизика. - 2006. - Т. 47. - № 5. - С. 648-694.

х