Приближённо-аналитическое решение модельной задачи фильтрационного горения газов

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 536.46

М.М.Кабилов, О.А.Холов* ПРИБЛИЖЁННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ГАЗОВ

Российско-Таджикский (Славянский) университет, Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

Рассматривается однотемпературная одномерная математическая модель описания распространения стационарной волны горения смеси газов в инертной пористой среде, учитывающая явление диффузии недостающего компонента. Излагается метод определения решения системы уравнений баланса температуры и концентрации недостающего реагента в виде функции от продольной координаты. Получено соотношение для определения скорости стационарной волны горения.

Ключевые слова: температура, концентрация, диффузия, скорость волны, химическая реакция, фильтрационное горение, волна горения, число Льюиса, пористая среда, уравнение.

Изучение процесса распространения зоны горения в инертной пористой среде вызвано необходимостью решать проблемы утилизации вредных газов, сжигания бедных горючих смесей в сверхадиабатическом режиме, обработки катализаторов термической волной, создания горелочных устройств нового типа и другими задачами [1,2].

В настоящей работе сделана попытка описать аналитическим способом процесс распространения стационарной волны фильтрационного горения газа, что очень важно при разработке реальных устройств и инженерном расчете характеристик волны. То есть разработан метод определения аналитического решения системы дифференциальных уравнений баланса температуры и концентрации недостающего реагента, что означает представление решения известными в математике функциями. Заметим, что возможности аналитического решения систем, описывающих процесс горения в пористом теле, ограничены [2], хотя важные соотношения можно получить. Действительно, во многих работах по изучению стационарной волны горения [3-5] определяется только соотношение для скорости волны горения без профилей температур и концентрации. И в результате разрешения этого соотношения, по данным скорости волны находят значение равновесной и максимальной температур. В настоящей работе на основе рассмотрения однотемпературной и одномерной математической модели фильтрационного горения газа, при котором температуры газа и пористой среды полагаются равными вследствие высокой интенсивности межфазного теплообмена, получены профили температур и концентрации недостающего реагента, а также соотношение для скорости волны.

Адрес для корреспонденции: Кабилов Маруф Махмудович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. М.Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: maruf1960@mail.ru; Холов Омонкул Абдулхакимович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Aйни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: kholov.amon1993a@gmail.com

Если волна фильтрационного горения распространяется с постоянной скоростью u, то в движущейся системе координат модельная задача представляется в виде [6]

dT d 2t

(p10(u + ц0 )cp + p2c2u) — = (щЛ1+а2Л2)— + Qv0 J, v ' dx dx

dn d ^n

pw

dx dx

P (u + U1)= P10(u + U10), PjT = const.

с граничными условиями

x = -ю : T = T0, n = 1,

dT п йп

х = : — = 0, — = 0. йх йх

Здесь приняты следующие обозначения величин: Т — температура среды; о — отно-

сительная концентрация недостающего реагента смеси; Л1,Л2 - коэффициенты теплопроводности смеси и пористой среды; а1, а2 — относительные объемные содержания смеси и пористой среды; Р1, ср — приведенная плотность и теплоемкость смеси; р2, с2 — те же величины для пористой среды; Q — тепловой эффект реакции; J — скорость химической реакции; Е — энергия активации; R — универсальная газовая постоянная; k0 — предэкспонент; р10,^0,Т0 — исходные приведенная плотность, концентрация недостающего реагента смеси и температура среды; Ц0, Ц — скорость вдува

смеси в пористый блок и скорость смеси в текущем сечении блока; D — коэффициент диффузии недостающего компонента смеси; величины с индексом е соответствуют их значениям в равновесном состоянии.

После замены переменных и преобразований

V - Я ёТ й - Т ~ Т0 Т -Т -4-^° „ , , Р2С2и

Л/ ер )* йх Т - Т0 ' е о ср( РюО +Ою)ср

из системы уравнений (1) и граничных условий (2) получаем следующую систему с граничными условиями, аналогично в [3]

йу

У—-ту + у = 0'

ayLe--т(п + 0 -1) + у = 0.

й0

0 = 0: у = 0, п = 1,

0 = 1: у = 0, п = 0

где т = р10(и + Ц0)/

0—

V СР У*

- безразмерная скорость распространения фронта горения,

Le = p1»cpD» / — - число Льюиса. Функция безразмерной скорости химической реакции имеет вид

1

р = — -а

рхп ехр

Е

R(To +в(Те — То)) у

Р*п* ехр

Е

Л

R(Tо +0.*(Те — То)) у

Поскольку при граничных условиях функция р имеет нулевые значения

0 = 0: п = 0, р* 0, 0 = 1: п = 0, р = 0,

то, представляя её в виде р = /(0) • 0(1 — 0) и выбирая функцию у = Ь0(1 — 0), которая удовлетворяет граничным условиям (4), потребуем выполнения первого уравнения системы (3). В результате для функции ((0) находим выражение

/•

Следовательно,

у = Ь0

обеспечивает решение первого уравнения системы (3). Заметим, что максимум функции у соответствует значению переменной 0 = 0* = 0.5 .

Так как

У =

—

dT

то, вводя обозначение

А =

—

QщJTСJ* '

для у имеем

у = А(Те — Т0) • ^.

dx

Отсюда

d0 Ь

dx А

0(1 — 0).

Общим решением дифференциального уравнения (6) является

1

0=-

1 + С ехр

Ьх

Л '

АТе - т0),

Не нарушая общности, полагаем С1 = 1, при этом 0 = 0* = 0.5 соответствует максимуму функции у в точке х = 0.

Далее, подставляя выражение у из (5) во второе уравнение системы (3), относительно функ-

ции п имеем следующее дифференциальное уравнение

йп

с граничными условиями

аЪ0 (1 - 0^в — = т(п + 0-1) - ¿0(1 - 0) й0

0 = 0, п = 1, 0 = 1, п = 0.

Уравнение (8) - это уравнение с коэффициентом, перед главным производным обращающемся в нуль на граничных точках. В подобных случаях в теории сингулярных возмущений используют нулевое приближение, заключающееся в приравнивании к нулю правой части уравнения (8). В итоге имеем

Ъ

п

=о-0)1'+т Ч

Подставляя выражение 0 из (7) в (9) для относительной концентрации недостающего реагента п имеем следующую функцию переменной х

п =

1 —

1 + ехр

Ъх

А

0' УУ

т

1 + ехр

Ъх

А

0) у у

Удовлетворяя граничное условие (п = 1) при х = 0, получим Ъ = 2т. Так как при 0 = 0* = 0.5 , рх = р*, п* = 1 безразмерная скорость химической реакции будет постоянной

( 1 ^

\ф = — I то из второго выражения в (5) получим уравнение для определения скорости распростра-

V ау

нения волны горения

т = —. а

Подставляя выражения т и а, имеем

V

2

2

Pl0(u + ^10) =

J А1

С

V p J*

P10(u + Vw)cp +P2c2u

Поскольку J* ^Ае^-Е / ^ , р* = Р10Т0 /Т*, п* = 1, Т* = |

является трансцендентным уравнением относительно скорости волны — и. Для определения и из (10) при известных значениях параметров используется программа подбора параметра.

Окончательно имеем функции температуры и доли концентрации недостающего реагента от переменной х

T = T +-

T - T

1 + exp

2P10(U + ^10)Q4

-x

n =

1 --

1

1 + exp

2Рю(и + oV))Q^

JJ

1 +-

1 + exp

2P10(u +^10)Q^0

JJ

Поступило 23.11.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаевский Ю.М., Бабкин В.С. Фильтрационное горение газов. - Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. / Под ред. Ю. .Матроса. Новосибирск, 1988, с. 108-145.

2. Добрего К.В., данок С .А. Инженерно-физический журнал, 1998, т.71, №3, с.424-432.

3. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980, 480 с.

4. Кабилов М.М., Садриддинов П.Б. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2009, т.52, № 6, c.443-448.

5. Кабилов М.М., Гулбоев Б.Дж., Садриддинов П.Б. и др. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. н., 2013, №1(150), с. 67-75.

6. Кабилов М.М., Садриддинов П.Б. Гулбоев Б.Дж., Холов О.А. - Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2017, т.60, № 9, c.402-409.

М.М.Цобилов, О.А.Холов*

ХДЛЛИ ТАЦРИБИ-АНАЛИТИКИИ МАСЪАЛАИ НАМУНАВИИ СУЗИШИ

ФИЛТРОНАИ ГАЗ^О

Донишго^и (Славянии) Россия ва Тоцикистон, *Институти математикаи ба номи А. Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Модели математикии якдароратаи якченакаи ба таври мунтазам падншавии мавчи сузиши омехтаи газдо дар мудити ковоки инертй, ки додисаи диффузияи таркибаи норасоро дарбар мегирад, дида баромада шудааст. Усулй муайянкунии далли системаи муодиладои муво-зинаи дарорат ва консентратсияи таркибаи норасо дар намуди функсиядои координатаи ;адй, баён карда шудааст. Таносуб барои муайян кардани суръати ба таври мунтазам падншавии мавчи сузиш досил карда шудааст.

Калима^ои калиди: дарорат, маулул, диффузия, суръати мавц, реаксияи химияви, сузиши филтро-на, мавци сузиш, адади Люис, мудити ковок, муодила.

M.M.Kabilov, O.A.Kholov* APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTION OF THE MODEL PROBLEM OF FILTRATION COMBUSTION OF GASES

Russian-Tajik (Slavic) University, А.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

We consider a mathematical model describing the stationary propagation of the combustion wave of the gas mixture in inert porous medium that takes into account the diffusion phenomenon of the missing component. Sets out the method for determining the solution of the equations of balance of temperature and concentration of the missing reagent as a function of the longitudinal coordinate. A relation is derived for determining the speed of a stationary combustion wave.

Key words: temperature, concentration, diffusion, wave velocity, chemical reaction, filtration combustion, combustion waves, Lewis number, porous medium, equation.