Проблемы преемственности изучения основ математического анализа в школе и вузе

124

• • •

Известия ДГПУ, №2, 2010

ПРОБЛЕМЫ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ШКОЛЕ И ВУЗЕ

© гою Салахов А.З.

Дагестанский государственный педагогический университет

В статье отражены результаты исследования проблемы преемственности обучения математическому анализу в школе и вузе. Показано ее содержательное сходство с проблемами, которые возникали в исторический период обоснования математического анализа. Представлен авторский подход к разрешению исследуемого вопроса, основанный на использовании метода исторической реконструкции.

The article reflects the results of the research of the succession problem in teaching at schools and universities. The author shows its substantial likeness with problems appeared in the historical period of the mathematical analysis founding. The author’s approach to solving the problem based on using the method of the historical reconstruction method is presented here.

Ключевые слова: школа, вуз, проблема преемственности, математический анализ, история математики.

Keywords: school, university, problem of succession, mathematical analysis, history of mathematics.

Идея включения элементов математического анализа в содержание общеобразовательной математической подготовки возникла в период клейновской реформы (на рубеже XIX и XX веков) как один из путей решения проблемы приведения школьного курса математики в соответствие с передовыми рубежами математической науки. Реализация этой идеи (в 70-е годы XX века), казалось, создала все необходимые условия для установления преемственных связей вузовского курса «Математического анализа» со школьным курсом математики.

Однако опыт преподавания математики говорит об обратном, несмотря на усилия многочисленных специалистов в области теории и методики обучения математики (М. И. Башмаков, Н. Я. Виленкин, Я. И. Зельдович, Б. Зив, А. Н. Колмогоров, А. Г. Мордкович С. М. Никольский, Я. С. Понтрягин, Н. А. Терешин, А. Я. Хинчин и др.), занимавшихся и зани-

мающихся в настоящее время разработкой методических подходов адаптированного изложения начал математического анализа для школьников. Овладение основами математического анализа (особенно в идейном, а не техническом плане) до сих пор является непреодолимо трудной задачей для большинства школьников, признанием чего служит постоянное снижение государственных требований, как к уровню подготовки учащихся по алгебре и началам анализа, так и к перечню вопросов, составляющих обязательный минимум содержания программ. Сегодня этот перечень ограничивается лишь вопросами, которые связаны с двумя понятиями математического анализа: «производная» и «первообразная».

Но это лишь одна сторона проблемы. Включение вопросов математического анализа в содержание программ общеобразовательной подготовки привело к возникновению

Психолого-педагогические науки • • •

трудностей, обусловленных изучением основ математического анализа и в вузе. Свидетельством этого являются многочисленные негативные высказывания вузовских преподавателей, зафиксированные нами в ходе опроса, проведенного в рамках констатирующего эксперимента.

Более 80% респондентов из опрошенных 73 преподавателей курсов высшей математики указали, что студенты хуже усваивают вопросы математического анализа, содержательно связанные со школьным курсом математики. В качестве основной причины затруднений студентов называется стремление пользоваться «готовыми» (усвоенными при изучении начал математического анализа) алгоритмами и схемами, а не определениями и теоремами, которые изучают в вузе. Кроме того, преподаватели отмечают, что, имея предварительные знания о содержании понятий математического анализа, студенты не видят необходимости их уточнения в определениях и строго доказанных теоремах. В качестве же единственного средства, применяемого для оказания помощи студентам в преодолении указанных выше трудностей, почти все респонденты называют рекомендацию «забыть все, что изучали в школе».

Полученные данные привели нас к выводу, что большая доля ответственности за наличие проблемы преемственности изучения математического анализа в школе и в вузе лежит на вузовских преподавателях, которые строят курс без учета специфики содержания знаний и представлений студентов, приобретенных в школе. При этом мы не подвергаем сомнению необходимость совершенствования методики изложения элементов математического анализа в школьном курсе математики.

Наибольшее распространение в школьной практике преподавания математики на территории Махачкалы и Дагестана получили учебники авторских коллективов под редакци-

125

ей А. Н. Колмогорова [1], А. Г. Морд-ковича [4], а также учебник Н. Я. Виленкина [2]. Проведенный нами сопоставительный анализ методических подходов, реализованных в этих учебниках, с подходами, традиционными для изложения материала в вузовских курсах математического анализа (например, [9]), показал, что основным источником проблем, возникающих у начинающих студентов, является разрыв связей между этими курсами.

Методологический аспект проблемы преемственности школьного и вузовского математического образования подробно описан в монографии М. В. Шабановой [10]. Не останавливаясь на теоретических основах этого аспекта, рассмотрим примеры его проявления при переходе от изучения начал математического анализа в школе к изучению их в вузовском курсе.

1. Авторы пособий [1, 2, 4] по алгебре и началам анализа придерживаются различных точек зрения на способ введения и трактовку большинства понятий математического анализа, указанных в стандарте.

Так, например, в учебниках [4] и [2] подробно рассмотрен вопрос о пределе последовательности, при этом трактовки этого понятия в значительной степени различаются. В учебнике [4. С. 132] дано определение: «Число b называют пределом последовательности (у„), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера». Устанавливается связь данного понятия с понятием асимптоты графика функции, заданной на множестве натуральных чисел, а также с представлениями о «точке сгущения для членов числовой последовательности». В учебнике [2. С. 139] содержание понятия «предел последовательности» раскрывается с помощью трех последовательных определений:

126

Известия ДГПУ, №2, 2010

• • •

Определение 1. Последовательность (ап) называют бесконечно малой, если для любого в>0 найдется такой луч [а;+оо), что для всех содержащихся в нем натуральных чисел п выполнено неравенство |а„|<в.

Определение 2. Число а называют пределом последовательности (ап),

если последовательность ап-я бесконечно мала. Пишут: Нш ап = а .

я—» со

Определение 3. Последовательность (ап) называют бесконечно большой, если последовательность

( 1 ^

_ бесконечно мала. Пишут:

UJ

Нш ап = оо. Эти определения рас-

я—» со

крывают связь данного понятия с понятиями предела функции на бесконечности, бесконечно малой и бесконечно большой функции.

Наличие различных представлений о содержании основных категорий математического анализа у студентов одной группы ставит перед преподавателем вуза довольно сложную методическую задачу - согласование этих представлений и разъяснение причин и направлений использования математической и методической наукой различных трактовок одного понятия. Игнорирование же этих различий при развитии содержания вузовского курса, как доказано исследованиями И. Я. Якиманской [11], приводит тому, что в процессе учебного взаимодействия «... ученик работает с одним содержанием, а учитель - с другим». В этом случае результаты учебного взаимодействия оказываются непредсказуемы. Их проявлением является отказ студента от изменения сложившихся в школе представлений о содержании понятия, что приводит к его «выпадению» из содержания теории, и, как следствие, к возникновению затруднений при его исполь-

зовании или даже к появлению противоречий.

2. Оперирование привычными трактовками понятий вместо введенных может привести студентов к логическому кругу в рассуждениях. Так, логический круг может возникнуть в ситуациях, требующих перехода от понятия «предел последовательности» к понятию «предел функции» и обратно. Так, например, решение задачи «Доказать, что последовательность / 11 является бесконечно ма-

лой» требует однозначного выбора теоретической основы решения. При этом выбор определяется логикой изложения вопросов теории и трактовкой понятий: доказать, что предел этой последовательности равен нулю (в том случае, если понятие предела последовательности вводилось не через понятие бесконечно малой последовательности) или доказать, что, начиная с некоторого номера п0, для любого в>0 выполняется нера-<в (по определению бес-

венство:

конечно малой последовательности).

Описанные выше проблемы очень похожи на проблемы, которые возникали в истории развития математического анализа как науки. Различные трактовки одних и тех же понятий появлялись в истории науки в связи с использованием различных интерпретаций при осмыслении новых понятий, а также в связи с многочисленными попытками обоснования математического анализа за счет уточнения смыслового значения его основных категорий. Причем выбор исходных понятий у ученых был существенно различным: предел (О. Коши), производная (Л. Эйлер), функция (Лагранж), дифференциал (Ж. Даламбер), действительное число (Вейерштрасс).

Очень близка к описанной выше методической ситуации историческая ситуация параллельного существования двух научных школ И. Ньютона

Психолого-педагогические науки • • •

(английская школа) и Г. Лейбница (континентальная школа), которые занимались развитием методов интегрального и дифференциального исчисления. Открытый и развиваемый И. Ньютоном и его последователями (Беркли, Маклореном, Тейлором, Симпсоном, Ланденом) метод «флюксий» имел специфические язык, символику и трактовку основных понятий, опирающиеся на кинематический подход, чем определялся круг приложений данного метода. Интеграция взглядов ученых со взглядами Ньютона и Лейбница осуществлялась постепенно в связи с попытками их обоснования и расширением области их приложений. Так, например, Л. Эйлер при построении собственного «исчисления нулей» «в лейбницевское исчисление ввел ряд идей ньютоновской теории флюксий» [7. С. 91]. В связи с этим основным понятием у Эйлера стало понятие производной (как и у Ньютона). Несмотря на то, что современная трактовка основных понятий математического анализа, благодаря работам О. Коши, имеет чисто алгебраическую форму, полного отказа от использо-

127

вания в теории исходных геометрической и кинематической интерпретаций дифференциального и интегрального исчисления так и не произошло. Наряду с применением определений, в которых понятия бесконечно малой величины, производной, интеграла трактуются как особого рода пределы, развитие теории и применение ее положений осуществляется и на основе использования геометрического и механического смысла этих понятий.

Проводя параллель между методическими задачами преодоления разрыва связей школьного и вузовского курсов математического анализа и задачами обоснования математического анализа, которые решались в истории науки (XVIII -XIX вв.), мы пришли к следующему выводу. Переход от изучения элементов математического анализа в школе к изучению вузовского курса по характеру задач методической преемственности сходен в некотором смысле с историческим этапом обоснования данного раздела математики (табл.

U

Таблица 1

Этапы обоснования элементов математического анализа

Методические задачи преемственности курсов Исторические задачи обоснования математического анализа

Согласование различных трактовок понятий математического анализа Согласование понятий потенциальной и актуальной бесконечности, предела функции, последовательности, определенного интеграла и т.п.

Уточнение содержания понятий математического анализа Уточнение содержания понятия переменной величины, бесконечно малой величины, дифференциала, непрерывности, предела

Обобщение понятий математического анализа Обобщение понятия функции, определенного интеграла

«Опредмечивание» методов математического анализа Получение на основе понятия предела новых математических объектов: производная, интеграл, дифференциал; исследование условий их существования

При совершенствовании методики обучения математическому анализу в вузе (в направлении решения представленных методических задач) мы предлагаем использовать возможности, предоставляемые ме- тодом исторической реконструкции. «Историческая реконструкция - это интегральный метод, направленный на целостное воссоздание картины прошлого по его фрагментам, сохранившимся в исторических источниках

128

Известия ДГПУ, №2, 2010

• • •

и результатах предшествующих исторических событий» [6. С. 17]. В качестве метода обучения математике метод исторической реконструкции предполагает организацию взаимосвязанной деятельности преподавателя и студентов по воссозданию с опорой на имеющиеся в их распоряжении историко-научные данные цепи событий или логики рассуждений ученого (ученых), приведших к появлению изучаемых в вузовском курсе математики положений.

Рассмотрим особенности использования метода исторической реконструкции при организации работы студентов, направленной на переосмысление понятий предела приращения аргумента и предела приращения функции.

Осознание необходимости корректировки сложившихся представлений возможно лишь в условиях обнаружения их неэффективности или возникновения противоречий при их использовании. Предметной основой для этого могут стать задания, направленные на актуализацию школьного опыта студентов и применения содержащихся в нем неявных методологических знаний. На установочной лекции студентам могут быть предложены с этой целью, например, следующие задания:

1. Установите, являются ли ошибочными рассуждения при выводе формулы производной композиции двух функций: y = u(x),R,Yl и

у = v(x),R,Y2, имеющих производную в каждой точке области определения, если они проведены по аналогии с известными по школьному курсу математики выводами формул производной произведения и суммы двух функций. Обоснуйте свой ответ.

Пусть в точке х0 определена композиция этих функций. Найдем сначала приращение композиции: Aw(v) = w(v(x0 + ^))-w(v(x0)) =

= u(v(x0) + Av)-u(v(x0)) =

= u(v(x0)) + A u- u(v(x0)) = A u.

Тогда:

Au(v) A u „

—— = —. В силу диф-

A

ференцируемости функции и в точке х0 при A-^О имеем По-

Лг

этому у

Ах

2. Выберите из данных функций те, к исследованию которых в точке х0=0 применима идея линейной ап-

проксимации: а) у = 4х2\ б)

= лс - |лс|; в) y=x3sgnx. Обоснуйте свой выбор.

Первое задание позволяет сконцентрировать внимание студентов на понятиях приращения функции и приращения аргумента, предела приращения аргумента, предела приращения функции, так как суть противоречия состоит в том, что Au , возникающее в результате прираще-

A

приращению этой же функции, опо-

A

Второе - на роли теории пределов в развитии знаний о положениях, относящихся к дифференциальному исчислению, так как доказательство дифференцируемости в нуле функций

_у = х-|х| и y=x3sgnx требует исполь-

зования понятия одностороннего предела.

Выполнение первого задания дает возможность создать на занятии условия, необходимые для включения студентов в смысловыявляющую рефлексивно-аналитическую беседу, предваряющую введение формальных определений основных понятий дифференциального исчисления. Выявленное в ходе анализа неравенство приращений внешней функции приводит к постановке вопроса о достаточности этого условия для получения вывода о неравенстве пределов разностных отношений:

Aw

lim —-—lim —-—- . Обнару-

A

женная студентами трудность однозначного ответа на этот вопрос без использования положений теории

Психолого-педагогические науки

• • •

129

пределов может быть прокомментирована историческим экскурсом в развитие знаний ученых о соотношении понятий «приращение» и «дифференциал».

Исторические данные могут быть использованы для демонстрации существования в истории математики точек зрения, сходных с представле-

ниями студентов, а также для аргументации, приводимой учеными в целях обоснования справедливости или ошибочности той или иной точки зрения. Рассмотрим ряд историконаучных данных, которые могут быть применены в ходе подобной беседы (табл. 2).

Исторически сложившиеся точки зрения

Таблица 2

Основные подходы к пониманию Подтверждающие аргументы Опровергающие аргументы

Предел приращения аргумента и функции - актуальные бесконечно малые величины (Г. Лейбниц, Ж. Лагранж) Г. Лейбниц утверждал, что бесконечно малые величины актуальны, так как они неравны между собой. К этому выводу он пришел, ссылаясь на невыполнимость для них аксиомы Архимеда Данное понимание противоречит приему отбрасывания бесконечно малых величин для получения точного результата. Обращая внимание на это противоречие, М. Ролль сказал: «Характер точности не господствует больше в геометрии с тех пор, как к ней примешали новую систему бесконечно малых» [6. С. 78]

Предел приращения аргумента и функции - абсолютные нули. Производная - отношение нулей (Л. Эйлер) Л. Эйлер доказывал, что 0 имеет числовой смысл, причем это отношение может принимать какое угодно числовое значение, так как n-0 = 0,neR - Таким образом, по его мнению, задача состоит лишь в выборе значения этого отношения Дифференциалы, объявленные нулями, у самого Эйлера появляются в виде главных линейных частей приращения функций, что доказывает невозможность рассмотрения их как нулей

Приращение аргумента и функции -переменная исчезающая величина, т.е. уже не конечная, но еще не нулевая величина (И. Ньютон, Б. Робинс, К. Макло-рен) В работе «Рассуждения о квадратуре кривых» И. Ньютон писал, что математические величины не состоят из мельчайших частиц, а описываются непрерывным движением К. Вейерштрасс утверждал, что такое понимание требует привлечения не математических понятий времени и движения. Создал «язык е и 5». «Если возможно определить такую границу 5, что для всякого значения h, меньшего 5 по абсолютной величине, f(x + h)-f (х) будет меньше некоторой величины е, сколь угодно малой, то будем говорить, что бесконечно малому значению переменной соответствует бесконечно малое изменение функции» [3. С. 2871

Приращение аргумента и функции -переменные величины, имеющие своим пределом ноль. Производная - предел разностного отношения, когда приращение аргумента стремится к нулю (О. Коши) Чтобы выяснить связь между разностным отношением и производной, О. Коши доказывал формулу конечных приращений: Ay = f,(x + dAx)-Ax, где О<0<1. С. Люилье, победитель конкурса, объявленного Лагранжем на тему о ясной и точной теории математических бесконечно малого и бесконечно большого, доказал, что нельзя рассматривать Ф_ как дробь, а лишь как символ предела разностного отношения. Л. Карно отмечал, что «методу пределов свойственно одно серьезное затруднение, не имеющее места в анализе бесконечно малых: именно в нем нельзя, как в этом последнем, отделять бесконечно малые количества друг от друга, и так как количества в нем всегда связаны друг с другом, то невозможно ни использовать при вычислениях свойства, принадлежащие каждому из них в отдельности, ни подвергать уравнениям, в которых они встречаются, способствующим их исключению» [11. С. 254]

Ш80холого-педагогические науки

• • •

1 2 Виды испытаний

Рис. Результаты оценки учебных достижений по математическому

анализу в 100-балльной системе

Итогом этого обсуждения является фиксация известных студентам из школьного курса математики определений понятий: приращение аргумента и приращение функции, раз-

ностное отношение; уточнение определений следующих понятий: производная, дифференциал; использование этих определений для корректировки знаний студентов о физическом и геометрическом смысле этих понятий.

Как показал проведенный нами формирующий эксперимент, систематическое обращение на лекционных и практических занятиях к методу исторической реконструкции позволило не только обогатить знания студентов знаниями об истории обоснования математического анализа и вкладе различных ученых, повысить интерес их к изучаемому материалу, но и снять остроту проблемы преемственности (рис.).

Примечания

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средних школ / под ред. А. Н. Колмогорова. М. : Просвещение, 1990. 320 с. 2. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. 3-е изд. дораб. М. : Просвещение, 1992. 335 с. 3. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: очерки по истории математики / пер. с фр. А. А. Бряндинской. М. : МИР, 1986. 432 с. 4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. М. : Мнемозина, 2000. 336 с. 5. Очерки по истории математики: Учебное пособие / под ред. Б. В. Гнеденко. М. : МГУ, 1997. 496 с. 6. Петрова С. С., Демидов С. С. Развитие математического анализа. Очерки по истории математики / под ред. Б. В. Гнеденко. М. : Изд-во МГУ, 1997. С. 7-93. 7. Рыбников К. А. История математики. М. : МГУ, 1994.496 с. 8. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. М. : Наука, 1964. 440 с. 9. Шабанова М. В. Методология учебного познания как цель изучения математики: Монография. Архангельск : Поморский университет, 2004. 402 с. 10. Якиманская И. С. Технология личностно-ориентированного обучения в современной школе. М.: Сентябрь, 2000. 176 с.

Статья поступила в редакцию 16.04.2010 г.