Об одном расширенном классе бесконечно малых изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1

УДК 513.03+517.944

ОБ ОДНОМ РАСШИРЕННОМ КЛАССЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЙ РЕГУЛЯРНЫХ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Е. В. Тюриков

В работе предлагается достаточно естественное (как с геометрической, так и с аналитической точек зрения) расширение класса бесконечно малых изгибаний в рамках задачи об отыскании всех бесконечно малых изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей при условии стационарности нормальной кривизны края. Установлен достаточный признак жесткости таких поверхностей в расширенном классе.

Теория бесконечно малых (б.м.) изгибаний регулярных локально выпуклых поверхностей с краем традиционно рассматривает лишь непрерывные б.м. изгибания, что соответствует интуитивному представлению о б.м. изгибании как о непрерывной деформации поверхности. Класс регулярности б.м. изгибания определяется классом регулярности поверхности, а также классом регулярности решений соответствующей граничной задачи для одной из следующих эллиптических систем дифференциальных уравнений первого порядка на плоскости (см. [1]):

1. системы уравнений для компонентов поля смещений;

2. системы уравнений для контрвариантного тензора изгибаний (или поля изгибаний).

При этом из рассмотрения исключаются неограниченные решения, что вполне оправдано с геометрической точки зрения при построении б.м. изгибаний с использованием решений системы 1, а при условии гладкости края — и решений системы 2. Ниже предлагается естественное в определенном смысле расширение класса непрерывных б.м. изгибаний в рамках задачи об отыскании всех б.м. изгибаний поверхности класса регулярности Ш3'р, р > 2, с кусочно-гладким краем, совместимых с граничным условием вида $кп + = а, где ^ (г = 1, 2), а — заданные функции точек края, а 5кп и 5тд — ва-

риации нормальной кривизны и геодезического кручения соответственно. Для простоты ограничимся рассмотрением частного случая 5кп = 0.

1. Бесконечно малые изгибания класса Н(с1,..., ст). Формулировка основного результата

Пусть Б — односвязная поверхность положительной кривизны в трехмерном евклидовом пространстве Е3, принадлежащая классу регулярности Ш3'р, р > 2. Через Би, V = (^1,..., ип) обозначим односвязную поверхность, являющуюся строго внутренней ча-

п

стью поверхности Б, с кусочно-гладким краем Ь = и Ь3-, состоящим из конечного числа

3 = 1

© 2005 Тюриков Е. В.

дуг Lj класса регулярности С1,т, 0 < т < 1, и содержащим п угловых точек Cj с внутренними углами Vjп, 0 < V/ < 2, соответственно, образованными векторами с началом в точке Cj = 1,..., п) и задающими направления дуг, сходящихся в этой точке. В пространстве Е3 поверхность Б задается уравнением в векторной форме г = г (и1, и2), где (иг) — сопряженно изометрическая система координат на поверхности. При этом с помощью параметризации (иг) поверхность Би отобразится на некоторую область Од,

п

в = (в1,...,вп) плоскости (и1,«2), ограниченную кусочно-гладкой кривой Г = и Г,

j=l

содержащей угловые точки qi с внутренними углами вjп (0 < вj < 2, ] = 1,..., п) соответственно. Если д^^иМи5, Ъ^¿иМи5 (г,^ = 1, 2) — основные формы поверхности Б, то следуя [1], систему б.м. изгибаний поверхности Б^ в вариациях коэффициентов второй основной формы запишем в виде:

^w

Z = u1 + iu2, = 1 (jjx + iJy) — оператор комплексного дифференцирования, w =

tfK(¿611 + i5b22) — комплекснозначная функция напряжений, K = (611622 — б2^)(giig22 — gi2)-1, B(Z) — вполне определенная поверхностью Sv функция класса регулярности Lp(Dg), p > 2. При этом, согласно [1] (см. гл.2, §6) набор (01,..., = ^(v1,..., vn) (или 0 = w(v)) волне определен выбором точек Cj, направлений s(1), sj2) на поверхности S и соотношениями

cos Vjп = \Jkj^/kj^ ^cos п — --= sin 0jп^ , sin Vjп = kj1)kj2)/K  sin 0jп,

(j = 1,..., n), где kjl) — нормальная кривизна поверхности S в точке Cj в направлении

(i) (1) с -(1) /• 1 о

sj , Tj — геодезическая кривизна поверхности S в точке Cj в направлении sj (i = 1, 2;

j = 1,...,n). Внешняя связь = 0 при б.м. изгибании поверхности порождает для

комплексного поля напряжений w(Z) краевое условие

Ч

ddS = s1 + is2, s1, s2 — координаты касательного к Г вектора s. Задача (1), (2) есть задача Римана — Гильберта (задача R) с коэффициентом (dS) граничного условия, имеющим

разрывы 1-го рода в точках Zj (j = 1,... ,n) комплексной плоскости Z = u1 + iu2 (или в точках qi (u1, u2)-плоскости). Задача R рассматривалась ранее (см. [2]) в классе ограниченных решений при изучении непрерывных б.м. изгибаний поверхности Sv. В дальнейшем мы будем следовать обозначениям, используемым в теории кусочно гёльдеровой задачи Римана — Гильберта для аналитических функций, а также в теории соответствующей задачи для обобщенных аналитических функций (см. [3, 4]). Пусть Z1,..., Zm (1 ^ m ^ n) — произвольно отмеченные точки из числа Z1,..., Zn. Введем в рассмотрение решение класса h(Z1,...,Zm) задачи R, т.е. решение w(Z), ограниченное в точках Z1,..., Zm и допускающее в Dq П U(Zj), где U(Zj) — некоторая окрестность точки Zj (j = m + 1,..., n), оценку |w(Z)| ^ A|Z — Zjl-aj, 0 < aj < 1, A = const, а величины aj вполне определены коэффициентом граничного условия (2). Пусть C1,..., cm — произвольно отмеченные точки поверхности Sv из числа C1,..., cn, а Z1,..., Zm (1 ^ m ^ n) — соответствующие им точки Z1,..., Zm комплексной плоскости Z.

Определение. Будем говорить, что поверхность Б^ допускает б. м. изгибание класса

т

Н(б1,..., ст) (1 ^ т ^ п), если на Б^\ и определено поле изгибаний, порожденное

к=1

решением класса Д(^т+1,..., С«) задачи й.

Для формулировки результата воспользуемся классификацией угловых точек поверхности Б^, данной в [2]. Пусть £/ — фиксированное направление на поверхности Б (Б^ С Б) в точке с/, причем направление одной из двух дуг границы сходящихся в точке с/, совпадает с направлением £/ (0 = 1,..., п).

Пусть, далее, £/? — направление на Б в точке с/, сопряженное направлению £/, а в/1,

в/2) — введенные выше векторы на поверхности Б, образующие внутренний угол V/п в точке с/. Точку с/ назовем особенной точкой поверхности Б^, если направление одного из векторов (к = 1, 2) коллинеарно направлению £/\ Неособенную угловую точку с/, для которой 0 < V/ < 1, назовем выступом и отнесем ее к 1-му (2-му) типу, если сектор направлений, образованный векторами в/2) в точке с/, не содержит (содержит) направление £/\ Точку с/, для которой 1 < V/ < 2, назовем впадиной и отнесем ее к 3-му (4-му) типу, если сектор в(//) содержит (не содержит) направление £*. При этом каждая точка гладкости края формально может быть отнесена ко 2-му типу.

Замечание 1. В силу свойств гомеоморфизма второй основной квадратичной формы поверхности ([1, гл.2]) величинам V/, 1 ^ 0 ^ п, в угловых точках, являющихся выступами и относящихся к 1-му (2-му) типу, в наборе 9 = ш^) соответствуют величины 9/, для которых 0 <9/ < 1/2 (соответственно, 1/2 < 9/ < 1).

Точно так же, величинам V/, 1 ^ 0 ^ и, в точках, являющихся впадинами и относящихся к 3-му (4-му) типу, в наборе ш^) соответствуют величины 9/, для которых 1 <9/ < 3/2 (3/2 < 9/ < 2).

Теорема. Пусть Б^ — заданная выше поверхность класса регулярности Ш3'р, р > 29о,

где 9о = тах{1, ш^)}, край которой содержит п(к) неособенных угловых точек к-го типа

4

соответственно (1 ^ к ^ 4; ^ п(к) = п), а с1,..., ст (1 ^ т ^ п) — произвольно отме-

к=1

ченные точки края из числа с1,..., с«. Если п(1) + т — 3 > п(3) + 2п(4), то поверхность Б^ при условии стационарности нормальной кривизны вдоль края (5кп =0) допускает точно £ = п(1)+т—п(3) — — 3 линейно независимых б. м. изгибаний класса Н (с1,..., ст), и является жесткой в классе Н(с1,..., ст), если п(1) + т — 3 ^ п(3) + 2п(4).

Замечание 2. На основании выражения для функции напряжений можно допустить, что порождаемая соответствующим решением деформация класса Н(с1,..., ст) сопровождается «скручиванием» поверхности в окрестности угловых точек с1,..., ст.

2. Доказательство основного результата

Для доказательства теоремы нам понадобится вспомогательная конструкция. Рассмотрим следующую граничную задачу для уравнения (1):

п

Ие{А

/=1

А(() = А1 (С) +«А2(С), А(С) — гельдерова на каждой из дуг Г/ функция, имеющая разрывы 1-го рода в точках (// (0 = 1,... ,п), |А(£)| = 1. При этом точки и (/+1 есть начало и

конец дуги Г/ (0 = 1,... ,п — 1) соответственно, а концом дуги Гп является точка сь Введем следующие обозначения: £(_/), £(+/) — предельные значения векторного поля £ = {А1 (С),А2(С)} в точке , р/ = (£(_/),£(+/)) — величина угла между векторами £(_/) и £(/), —п ^ р/ ^ п; при этом отсчет производится от £(_/) до £(+/), а угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки.

Пусть С — множество векторных полей £ на Ь, удовлетворяющих условиям:

1) Для любого поля £ е С в точках гладкости угол р между вектором £ и вектором в направленной касательной к Ь удовлетворяет условию 0 ^ р ^ п, а отсчет угла производится от £ к в против хода часов.

2) В угловых точках выполняются неравенства

0 < (£(_/),в(_/)) < п, 0 < (£(+/),в(+/)) < п, 1 = п (0 = 1,...,п).

Через СГ;9 (г, д — целые неотрицательные, г + д = п) обозначим подмножество множества С векторных полей, для которых выполнены условия

0 < р/ < п, 0 = г1 ,...,гг (1 ^ гг ^ п);

—п ^ р/ ^ п, 0 = к1,..., к9 (1 ^ к9 ^ п).

Сведем задачу (1), (3) к случаю, когда область В^ — единичный круг. Пусть ( = р(г) — конформное преобразование единичного круга О на область В^, в результате которого уравнение (1) и условие (3) принимают вид

д^о

Ке{ Ао

где Во (г) = р' (г)В [р(г)], Ао(г) = А[р(г)], причем Ао(г) есть кусочно гельдерова функция с узлами г/ = ), а производная р'(г) в окрестности точки г/ имеет вид ([1, гл.1,

§2]) р'(г) = (г — г/_1 ^о/)(г), где ^¡^(г) — непрерывная в окрестности точки г/ функция, причем ^^(г/) =0 (0 = 1,...,п). Таким образом, Во(г) е Ь9(О), где 2 < д < 2+Р(12_1/е0) при р > 29о. Будем отыскивать решения задачи (4), (5), принадлежащие

классу регулярности Ш1,9, 2 < д < 2+Р

вычислим по формуле

п

к = Ек/,

/=1

где к/ = при 0 = 1,..., т, и к/ = [ + 1 при 0 = т + 1,..., п, ш/ — скачок

аргумента функции Ло(г) = в точке разрыва г/, взятый с обратным знаком, [а] —

целая часть числа а. Покажем, что если £ е Сг,9, то индекс к граничного условия (5) в классе ..., гт) вычисляется по формуле

к = п — т + 2 — г.

В силу конформной инвариантности индекса все рассуждения будем проводить для контура Г плоскости (. Вывод формулы (7) удобно начать с рассмотрения частного случая т = п, т. е. с доказательства равенства

к = 2 г

в классе h(Zi, • • •, Zn)- Обозначим через Aj приращение arg A(Z) по дуге Г (j = 1,..., n). По определению Lr,q имеем

п

]T

j=i

Примем за начало обхода угловую точку Zi, положив при этом arg A(Zi +0) = ß. Выбирая в точках Zj (j = 2,..., n) скачок аргумента A<j arg A(Z) равным щ, получим:

пп

arg A(ci - 0) = ß + Aj + J2 Щ j=1 j=2

или, в силу (9), arg A(Zi — 0) = ß + 2п — щь Отсюда при выбранных A<j arg A(Z) = Щ (j = 2,... ,n) находим A^ arg A(Z) = Щ — 2п. Выбрав argЛ(Z) = 2arg A(Z) и обозначив через Wj скачок argЛ(Z) в точке Zj с обратным знаком, получаем:

wi = 2(2п — щ^), Wj = —2щ, j = 2,..., n.

В силу последних соотношений равенство (6) перепишется так:

п

к = Е [—Щ

j=2

+

2 — Щ!

п

Возможны следующие случаи.

1) г = 0, т. е. существует точка Zj, в которой ( > 0. Не нарушая общности, будем считать, что в точке Zl выполняется неравенство 0 < (1 < п. Тогда

£

j=2

= 1 — r, [2—-1

П - п

= 1,

откуда следует (8).

2) г = 0, т. е. для всех Zj, ^ = 1, • • •, п, выполняется неравенство —п < рj < 0. Тогда

п

[——] =0, [2 — = 2, откуда и следует

j=2

отметим, что выбрав за начало обхода вместо точки Zl любую точку гладкости границы Г и повторив процедуру вычисления индекса к в классе h(Zl,..., Zn), мы получим то же равенство (8). Но эта же процедура вычисления индекса к в классе Л-^ь • • •, Zm) в силу (6) с очевидностью приводит к (7).

Рассмотрим теперь задачу (1), (2) для поверхности Би, записав граничное условие (2) в виде

Ие

где А^) = , тИз = 51 + 51, 52 — координаты касательного к Г вектора 5.

Лемма. Индекс к граничного условия (10) в классе , • • •, Zm), где Zl,  , Zm — произвольно отмеченные точки контура Г, вычисляется по формуле

к = п — т + п

где — число угловых точек к-го типа

< Как и в случае граничного условия (5), вычислим индекс граничного условия (10) в классе h(Zi,..., Zn). Обозначим угловую точку Cj k-типа через c(k), соответствующую

величину Vj — через vjk), число точек cjk) — через n(k). При этом точкам cjk) края L

(fe) (fe) соответствуют точки Zj с внутренними углами п (1 ^ j ^ n, 1 ^ k ^ 4). Так как сопряженно изометрическая система координат сопряженные направления на поверхности S переводит в ортогональные на плоскости (u1, u2) (см. [1]), то в точках Zjk) выполняются неравенства

о< j<i, 2< j<i, i< j<2, 2<*

Рассмотрим теперь кусочно непрерывное поле s = (s1,^2) касательных к Г векторов; очевидно, s € , где r = n(1) + n(2), q = n(3) + n(4), причем в точках Zjk) для величин

(k) ' -pj , определяемых полем s, выполняются неравенства

2 <p« <п, о <p

(1 ^ i ^ 4). Для вычисления значения к граничного условия (10) повторим процедуру вычисления к граничного условия (5). Если Л^) = , то, вводя обозначение

МО

arg dS (j = 1,..., n), в = arg § и выбирая ACj arg § = pj (j = 2,..., n), в силу

Z1+0

(9) получаем:

ACi argЛl

n

к=

j=2

откуда на основании (12) получаем (11) при m = n. Для завершения доказательства осталось повторить указанную процедуру, выбрав за начало обхода контура Г вместо точки Zi любую точку гладкости. При этом формула (11) есть очевидное следствие формулы (6) и доказанного частного случая (m = n) формулы (11). >

Теорема (основной результат) есть следствие леммы и результатов (см. [4]) о разрешимости задачи Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций (по И. Н. Векуа) с разрывным граничным условием.

Литература

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.—628 с.

2. Тюриков Е. В. Краевые задачи теории б.м. изгибаний поверхностей // Мат. сб.—1977, № 3 (7).— С. 445-462.

3. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.—599 с.

4. Тюриков Е. В. Краевая задача Гильберта для обобщенных аналитических функций с разрывным коэффициентом в граничном условии // Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. шк. Естеств. науки.— 1975, № 4.—С. 104-105.

"2р/ + 2Р1 - 4

п п

Статья поступила 6 ноября 2004 г-Тюриков Евгений Владимирович

Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: tjorikov@newmail.ru