Математическое моделирование среднего напряжения в полнокристаллических текстурных геоматериалах при действии внешних полей напряжений и температур

© К.В. Халкечев, 2014

УДК 519.7 К.В. Халкечев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДНЕГО НАПРЯЖЕНИЯ В ПОЛНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕКСТУРНЫХ ГЕОМАТЕРИАЛАХ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ТЕМПЕРАТУР

Разработана математическая модель среднего напряжения в полнокристаллических текстурных (с преимущественной ориентацией зерен) геоматериалах при действии полей напряжений и температур, которая сводится к определяющему уравнению. Недостающая информация берется из эксперимента над зернами. Ключевые слова: определяющие уравнения, тензор модулей упругостей, тензорный коэффициент линейного расширения, тензор деформаций, поле температур, поле напряжений, эффективные тензоры модулей упругостей, эффективный тензорный коэффициент линейного расширения, средние напряжения, средние деформации, средняя температура.

Под действием полей напряжений и температур могут происходить изменения первоначальной структуры геоматериалов таким образом, что формируется текстура - преимущественная ориентация элементов структуры. Так, под действием тектонических нагрузок в полнокристаллических минералах наблюдается преимущественная ориентация зерен.

При исследовании свойств таких геоматериалов описание обычно начинают непосредственно с геоматериала объемом V, равного или большего, чем элементарный объем, содержащего достаточно большое число отдельных зерен, чтобы обоснованно считаться однородным и изотропным. Свойства такого объема, полученные в эксперименте над образцами из геоматериалов и приписываются точкам сплошной среды, моделирующего реальный геоматериал.

При таком подходе мы отказываемся от расчетов сложного взаимодействия элементов структуры из-за того, что неизвестны законы, управляющие ими. Недостающая информация о свойствах геоматериалов извлекается

из эксперимента. При этом следует заметить, что осредненные законы в основном проще законов, действующих на уровне микроструктуры.

Уравнения такого типа, связывающие параметры состояния, называются уравнениями состояния в термодинамике или определяющими уравнениями в механике сплошных сред.

Определяющее уравнение для упругой среды имеет вид:

ст = Се + а

где ст - где тензор напряжений; е - тензор деформаций; C - тензор упругих модулей; а - тензорный коэффициент линейного расширения; T - текущая температура; ^ - начальная температура.

Компоненты тензоров C и а находятся из экспериментов.

В отличие от упругих геоматериалов существуют такие геоматериалы с памятью, для которых текущее состояние оказывается зависящим не только от значений параметров состояния в текущий момент времени t но и от всей предыстории деформирования. Определяющее уравнение для таких геоматериалов имеет вид:

a(t) = L[z(t), T (t)]

где L - оператор в общем случае нелинейный, который связывает напряжение в текущей момент со всей историей изменения деформации и температуры.

Экспериментальное определение оператора также как упругих модулей в лучшем случае трудоемко, а для некоторых геоматериалов невозможно [1], поскольку оно выполняется на макрообразцах. Поэтому, в качестве недостающей информации принимается экспериментально определяемые характеристики кристаллитов. Свойства геоматериала определяется путем усреднения, по элементарному объему.

В соответствии с принятой логикой определения свойств геоматериалов, они формулируются в терминах средних по элементарному объему V. Определяющее уравнение (2) перепишется так, что она будет устанавливать связь между средними по элементарному объему V напряжениями <ст>, деформациями <е>, и температурой <Т>. С учетом этого, определяющее уравнение (3) запишется в виде:

<ст>= Ьэф[<е>, < Т >]

Если время, в течении которого наблюдаем за геоматериалом больше, чем время релаксации температур, то значения температуры Т в каждой точке элементарного объема практически совпадает со средними значе-

ниями <Т>. В связи с этим (3) можно переписать в следующем виде:

<ст>= 1ф[<е>Т],

т.е. угловые скобки у параметра Т опускаем. Оператор Ьэф, связывающий средние по V значения параметров, называют эффективным в отличие от оператора L в уравнении (2), связывающего локальные параметры состояния в каждой точке объема V.

Так, определяющее уравнение для упругого кристаллита имеет вид, сходный (1), т.е. ст = Се + а(Т - Т0), характеризующееся анизотропными тензорами С и а. Определяющие уравнение для полнокристаллического геоматериала как целого имеет следующий вид

<ст>= Сф <е>+а ф

Причем Сэф и аэф в случае полнокристаллических материалов с текстурой (преимущественной ориентации зерен), характеризуют анизотропную среду и являются эффективными тензорами, компоненты которых существенно отличаются от соответствующих компонент тензоров С и а .

Для использования уравнения (5) в расчете среднего напряжения в полнокристаллических геоматериалах с текстурой при действии упругого внешнего поля напряжений и тепловых нагрузок, необходимо рассчитать С , и а ,. С , для таких геоматериалов

эф эф эф

получены в работе [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев К.В. Механика неоднородных горных пород. - Бишкек: ИЛИМ, Академия наук Республики Кыргызстан, 1991. - 226 с.

2. Томилин А.В., Халкечев К.В. Математическое модель деформирования горных

пород с сильно коррелированными ориента-циями структурных и текстурных составляющих в пространстве // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. -Т. 15. - Вып. 3. - С. 466-469. КПЗ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Халкечев Кемал Владимирович - доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: ud@msmu.ru.

UDC 519.7

MATHEMATICAL MODELING OF AVERAGE TENSION IN HOLOCRYSTALLINE TEXTURAL GEOMATERIALS AT ACTION OF EXTERNAL FIELDS OF TENSION AND TEMPERATURES

Khalkechev K.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», e-mail: ud@msmu.ru.

The mathematical model of average tension in holocrystalline textural (with primary orientation of grains) geomaterials is developed at action of fields of tension and temperatures which is reduced to the defining equation. Missing information undertakes from experiment with grains.

Key words: the defining equations, tensor of modules of elasticity module, tensor coefficient of linear expansion, tensor of deformations, field of temperatures, field of tension, effective modules of elasticity, effective tensor coefficient of linear expansion, average tension, average deformations, average temperature.

REFERENCES

1. Khalkechev K.V. Mekhanika neodnorodnykh gornykh porod (Mechanics of inhomogeneous rocks), Bishkek, ILIM, Akademiya nauk Respubliki Kyrgyzstan, 1991, 226 p.

2. Tomilin A.V., Khalkechev K.V. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki, 2010, vol. 15, issue 3, pp. 466-469.

A

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ЗАРИСОВКИ_

Шахтерская лампа. История

С такими лампами горняки почувствовали удобство в работе. Понравилось то, что резервуар с карбидом и лампу можно было соединить гибкой трубкой. Это позволило лампу крепить на каске. Теперь отпала забота постоянно перецеплять светильник с места на место по мере продвижения при работе. Куда ни повернешься - фонарь, закрепленный на голове, освещает нужный тебе участок. Удобнее даже, чем лампы Вольфа. Но у карбидных ламп было открытое пламя и там, где был метан, продолжали применять лампы Вольфа Особо оценили карбидные лампы коногоны - рабочие, сопровождающие поезда подземной конной откатки. Они первыми стали носить рудничную лампу на околышке головного убора. Именно этот факт послужил тому, что аккумуляторные шахтерские светильники впоследствии стали называться коногонками. Появление ацетиленовых ламп на рубеже Х1Х-ХХ веков позволило увеличить освещенность подземных выработок. Были, однако, у них и серьезные недостатки. Отверстие горелки часто засорялось, а прочистить его было довольно сложно; требовался постоянный контроль за подачей воды, срок горения был ограничен.

Источник: http://www.rosugol.ru/museum/lamp.php http://eng.polymus.ru/rv/?s=44&d_id=894

Первая аккумуляторная лампа. Великобритания,

Франция, Бельгия и США, конец XIX века