Задача о размещении на рынке товаров двух видов

Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 122-126

УДК 519.7

ЗАДАЧА О РАЗМЕЩЕНИИ НА РЫНКЕ ТОВАРОВ ДВУХ ВИДОВ

А. В. Щипцова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

Рассматривается рынок двух товаров на плоскости. Спрос зависит от цены и квадратичных транспортных затрат потребителя. Исследуется конкурентное поведение игроков, продающих товар одного вида. На рынке также присутствует продавец второго товара. Приведены примеры для различных функций, задающих плотность распределения потребителей.

Ключевые слова: дуополия Хотеллинга на плоскости, равновесие по Нэшу, задача о размещении.

A. V. Shchiptsova. LOCATION-PRICE GAME IN THE MARKET OF TWO PRODUCTS

The paper examines the market of two products. Demand depends on the price and quadratic transportation costs. We analyze competitive behavior of players selling the same product. There is also a seller of the second product in the market. Examples with different buyers density function are presented.

Key words: Hotelling’s duopoly on the plane, Nash equilibrium, location game.

Введение

Классическая модель Хотеллинга [3] исследует конкуренцию на рынке одного товара с пространственной дифференциацией продукции. В дуополии Хотеллинга рассматривается линейный рынок с равномерным распределением покупателей.

Работа Хотеллинга послужила началом для целого ряда исследований, посвященных анализу конкурентного поведения в условиях, когда на величину потребительского спроса влияет цена товара и транспортные издержки. Салоп [6] распространил дуополию Хотеллинга на модель «кругового» города. Задача о размещении игроков-продавцов с различными видами распределения потребителей на рынке была исследована в работе [4] для модели Хо-

теллинга на плоскости и в работе [5] при условии дискриминационного ценообразования.

В работах [1], [2] рассматривалась модель дуополии Хотеллинга на плоскости с равномерным распределением потребителей. Ценовое равновесие и решение задачи о размещении были построены для случая рыночной конкуренции между двумя и более участниками рынка.

Данная работа посвящена исследованию задачи о размещении на рынке товаров двух видов. Каждый покупатель заинтересован в приобретении двух различных товаров, конкуренция происходит между игроками-продавцами товара одного вида. Будет рассмотрена модель рынка на плоскости с произвольной функцией плотности распределения потребителей.

0

Постановка задачи

Представим рынок потребительских товаров в виде единичного круга Б радиуса 1. Пусть плотность потребителей на рынке задана непрерывной функцией / (ж). Каждый из потребителей заинтересован в покупке двух различных товаров: товара вида А и товара вида В. На рынке присутствуют два продавца товара А, расположенные на диаметре в точках (жі, 0) и (ж2, 0) соответственно, и один продавец товара вида В, расположенный в точке (г, 0) (рис. 1). Каждый из участников рынка назначает цену pj (і = 1, 2, 3) и стремится получить наибольшую прибыль от продаж. Конкуренция осуществляется между игроками-продавцами товара вида А. Спрос является абсолютно неэластичным. Без потери общности будем считать, что себестоимость товара для продавцов равна нулю.

товара А и рг (х, у) = л/(х — г)2 + у2 - расстояние от потребителя в точке (х, у) до продавца товара В.

Без ограничения общности будем считать, что р1 ^ р2. Множество всех потребителей разобьется на два подмножества 51 и 52 с границей, определяемой уравнением р (х,у) = Р2 (х, у) или, после упрощений,

Р1 — Р2 . т

х = —---------- + Х1 + Х2 — г.

2

Прибыль продавцов товара А, между которыми осуществляется конкуренция на рынке, имеет вид:

Hi = pi (1 - S2) , H2 = Р2 S2.

Доля потребителей, выбирающих товар вида А у второго участника рынка, будет равна

1 arccos

S2 =

rf (0, r) dödr.

x — arccos -

Рис. 1. Расположение игроков на рынке

Товары обоих видов одинаковы для потребителей по всем характеристикам кроме цены, назначенной за приобретение товара, и транспортных расходов. Будем считать, что транспортные расходы потребителя заданы квадратичной функцией. Таким образом, затраты потребителя на приобретение товара А у продавца '] и приобретения товара В представимы в виде:

Р (x, у) = Рз + Рз (x, у)2 + Рг (хз, 0)2 + Рз + Рг (х,у)2 , з = 1, 2,

где Рз (х, у) = л/(х — хз)2 + (у — уз)2 - расстояние от потребителя в точке (х, у) до продавца

Продавцы товара А конкурируют на рынке за счет выбора своего местоположения и назначаемой цены на товар. Будем рассматривать бескоалиционную игру Г двух лиц с полной информацией, которая проходит в три шага:

1. Игроки одновременно определяют свое местоположение на рынке (х1, х2).

2. Игроки одновременно объявляют цену на товар (р1, Р2).

3. Игроки получают выигрыш, исходя из выбранного расположения и цены (Н1, Я2).

Равновесие в задаче о размещении

Если расположение первого игрока х1 фиксировано, тогда х2 можно найти, максимизируя прибыль второго игрока, и наоборот. Таким образом, равновесие (х1, х2) в игре Г отвечает условиям

dHi

dx1

dH

dX2

ЁРк (1 _ C0) _ p 9pi_

dx1 (1 S2) р1^ aPl dxi

+ dS2 dP2 + a&A = 0

+ dp2 dx1 + dx1 J ,

dp2 s і p (9S2 dpi

8x2 S2 + p2 ^ dpi 8x2

OS? dp2 , dS2

I OS2 dp2 і dS2 \ ___________ А

+ dp2 dx2 + dx2 ' °.

@

Предположим, что игроки выбрали свое местоположение на рынке, т. е. х1 и х2 фиксированы. Тогда ценовое равновесие (р1, р2) будет удовлетворять системе уравнений:

Положим

д (г) = / ^агсссе Ж, ^ + / ^— агссов Ж, г^

Из (6) находим д 2^2

др2

+

жд (1,ж) дж2

2/1 — ж2 (ж1 — ж2) др2 л/1 — ж2 дд (1,ж) дж 2 (ж1 — ж2) дж др2

дх

др2

2 (жі — ж2) У V л/г2 —

ж

дд

дг

+ а/ г2 —

д2д (г, ж) дгдж

^г.

Из

др2 2

ж2

2

дд <:-ж>

дг

Нетрудно показать, что

і 952

+ в

а2 52

а2 52

Э252 <9^2 дхт

• + а-

Хі— Х2 др2 ^ др2 др2дХ2 Хі— Х2 др2 др2 '

Таким образом, в равновесии (жі, ж2) выполняются условия:

2а +

2рі+р2 Хі— Х2

+ д252

Эр2 + р2а др2

2в + 2р2+рП 952 д252

2в + Хт—Х^ др„ Рів дп2

др2

0,

0.

Каждый из игроков после выбора своего местоположения будет назначать цену на товар, удовлетворяющую условиям (5) для ценового равновесия. Таким образом, из (4) жі и ж2 в равновесии определяются из системы

йИі = _Р1 ( 952 М. + адЛ = 0

йхт Рі у др2 дх1 + I 0,

Ш2 = „ Ма дрі + МЛ = 0

<1х2 Р2 I с>р2 дх2 + Эх2 ) 0.

Пусть

а = — Рі—^ — 2

жі — ж2

в = рі—р2 — 2

жі — ж2

Зяметим что д52 0^2 0^2 а 0^2

Заметим, что г)п, = г)по , Эхо = а гдп^

ая2 ая2

..952

др

др2

др2

Пт = вПт. Ш~2 и 1x7 найдем продифференцировав по х2 и х1 систему (5). Получаем, что равновесие (х1, х2) удовлетворяет условиям:

( 2в Ц +2р2в

д2 52

др2

— (2р2 + Рі ) 2а_ 2р1а 2а 9р2 2ріа др2

+

02Я2.

др2дхт

Э2Я2

др2дХ2

0.

Примеры

Рассмотрим задачу о размещении игроков на рынке с заданным распределением потребителей.

1. /(0, г) = 1. Пусть потребители распределены равномерно по всей области рынка. Из (9) равновесие (х1, х2) является решением уравнений

(3р2 — 4(жі — ж2)2) (1 — ж2) + р2аж = 0, (3рі — 4(жі — ж2)2) (1 — ж2) — рівж = 0.

Так как оба игрока являются равноправными, будем искать равновесие в предположении р1 = р2. Из (10) следует, что р1 = р2 = 4 (х1 — х2)2, х = 0 и 52 = 1. Подставив в (5), получим, что в равновесии

жі

г 3п г 3п

— — ------, ж2 = — + ------------,

2 16’ 2 2 16’

Рі = Р2

3п2 16 ’

і і 3п

и«2 —1Г.

2. /

і

2

ж

2

ж

і

2

і

1

и

и

0

0

определяется из системы уравнении: (Зр2 - 4(жі - Ж2)2^^1 - х2

— х21п

1 + /1-

х2

+ р2ах

3х

2п(х1 — х2)2

1п

1 + л/1 — х2

ж

0,

^Зрі - 4(хі - х2)2^^1 - х2

— х21п

1 + /1-

х2

- р1вх

3х

2п(х1 - х2)2

1п

х2

0.

Как и в случае равномерного распределения потребителей по области рынка, будем предполагать, что р = р2. Таким образом, получаем, что р1 = р2 = 3 (х1 — х2)2, х = 0 и £2 = 2 .Из (5) в равновесии

г п г п

хі =-----, х2 = —I—,

1 2 8’ 2 2 8

2

Р1 = Р2

п 12'

3. /(0, г) = 3П. Предположим, что потребители сосредоточены на границе рынка. Тогда имеем

д£2 3/1 - х2

З

др2 2п

д2^

др2

Зх

4п(х1 - х2)2

1п

1 + /1-

х2

/1 - :

Пусть, как и прежде, р1 = р2. Подставив в (9) (12) - (13), получаем, что р1 = р2 = 4 (х1 - х2)2, х = 0 и £2 = ^. Следовательно, из (5) находим равновесие

х1

г п г п

2 - 4 ' х2 = 2 + 4 ’

Р1 = Р2 =

п

2

п

И < 2 — ^.

Результаты для заданного распределения потребителей на рынке приведены в табл. 1.

х

1

2

х

х

х

З

Таблица 1. Равновесие в задаче о размещении при заданном распределении потребителей на рынке

/(0. г) = П г = 0 г = 0.1 г = 0. 3 г = 0. 7

х1 -0,58905 -0,53905 -0,43905 -0,23905

х2 0,58905 0,63905 0,73905 0,93905

Р1 1,850551 1,850551 1,850551 1,850551

Р2 1,850551 1,850551 1,850551 1,850551

Н1 0,925275 0,925275 0,925275 0,925275

Н2 0,925275 0,925275 0,925275 0,925275

/ (0. г) = г = 0 г = 0.1 г = 0. 3 г = 0. 7

х1 -0.3927 -0.3427 -0.2427 -0,0427

х2 0,3927 0,4427 0,5427 0,7427

Р1 0,82247 0,82247 0,82247 0,82247

Р2 0,82247 0,82247 0,82247 0,82247

Н1 0,41123 0,41123 0,41123 0,41123

Н2 0,41123 0,41123 0,41123 0,41123

/ (0. г) = 3П г = 0 г = 0.1 г = 0. 3 г = 0. 7

х1 -0,7854 -0,7354 -0,6354

х2 0,7854 0,8354 0,9354

Р1 3,28987 3,28987 3,28987

Р2 3,28987 3,28987 3,28987

Н1 1,64493 1,64493 1,64493

Н2 1,64493 1,64493 1,64493

Заключение

мещении на плоскости // Экономика и математические методы. 2010. Т. 46, вып. 4. C. 91-100.

В работе рассмотрено конкурентное поведение игроков на рынке потребительских товаров двух видов, характеристиками которых для покупателя являются цена и квадратичные транспортные расходы. Найдены условия, которым удовлетворяет равновесие по Нэшу в задаче о размещении при плотности потребителей, заданной произвольной функцией. При различных заданных видах функции плотности найдены равновесные местоположения и цены, приведены значения для выигрышей игроков.

Литература

1. Мазалов В. В., Щипцова А. В., Токарева Ю. С. Дуополия Хотеллинга и задача о раз-

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Ш^ипцова Анна Владимировна

аспирантка

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: ann_sh@inbox.ru тел.: (8142) 766312

2. Щипцова А. В. Мультиномиальный логит-анализ и конкурентное поведение на рынке // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. Вып.

2. 2011. № 5. С. 120-124.

3. Hotelling H. Stability In Competition // The Economic Journal. 1929. Vol. 39. Issue 153. P. 4157.

4. Mazalov V. V., Sakaguchi M. Location Game On The Plane // International Game Theory Review. 2003. Vol. 5, N 1. P. 1-13.

5. Sakaguchi M. Pure Strategy Equilibrium In a Location Game With Discriminatory Pricing // Game Theory and Applications. 2001. Vol. 6. Р. 132-140.

6. Salop S. Monopolistic competition with outside goods // Bell journal of Economics. 1979. Vol. 10. P. 141-156.

Shchiptsova, Anna

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences

11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: ann_sh@inbox.ru tel.: (8142) 766312