Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов

С.М. Ситник, А.С. Тимашов,

кандидат физико-математических наук, Управление вневедомственной охраны доцент Главного управления Министерства

внутренних дел России по Воронежской области

МЕТОД КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ КВАДРАТИЧНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

СИГНАЛОВ

A FINITE DIMENSIONAL APPROXIMATION METHOD FOR PROBLEMS OF QUADRATIC EXPONENTIAL INTERPOLATION

OF SIGNALS

Рассматриваются аппроксимации функций при помощи целочисленных сдвигов функций Гаусса — квадратичных экспонент. Предложен метод нахождения узловой функции для данной задачи интерполяции, основанный на решениях усечённых систем линейных уравнений. Найдена явная формула для определителя рассматриваемой системы, доказана однозначная разрешимость системы. Проведено сравнение данного метода с известными ранее, кратко намечены приложения полученных результатов в теории сигналов.

Approximations of functions are considered by integer shifts of the Gauss functions-quadratic exponentials. A new method is proposed for finding nod function for this problem which is based on solutions of cut systems of linear equations. For the main determinant of this system an explicit formula is derived and so the correctness of the system is proved. A method is compared with some known ones, also some applications to the signal theory are outlined.

Введение.

В различных разделах математики и прикладных областях имеется весьма широкий круг задач, приводящих к разложению функций по неортогональным системам, в том числе по системе квадратичных экспонент, или функций Гаусса. Такие задачи возникают при изучении электрических или оптических сигналов, теории фильтрации, го-

лографии, при моделировании различных автоматических систем или оптимизации их отдельных частей.

Рассмотрим задачу о приближении достаточно произвольной функции в виде ряда по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса (квадратичной экспоненты с параметрами). Для численного анализа и приложений основную роль играют приближения данного типа конечными суммами, которые возникают при усечении соответствующих рядов. Исследованию таких конечных приближений и посвящена данная работа. Историю вопроса, основные результаты и многочисленные приложения см. в [2—4, 7—9,11].

Постановка основной задачи.

Более точно, будет исследована следующая основная задача: рассмотрим произвольную функцию / (х), заданную на всей оси х Е К и некоторый параметр а > 0, который в приложениях играет роль среднеквадратичного отклонения. Будем искать интерполирующую функцию /(х), так же определённую на всей оси х Е I, которая представляется в виде ряда по целочисленным сдвигам функции Гаусса

и совпадает с исходной функцией во всех целых точках

Известны два подхода к решению поставленной задачи. При первом подходе решение ищется с помощью специальных функций, а именно тета-функций Якоби [3]. Как показано в [4,11], несмотря на теоретическую ценность этого подхода, он не имеет вычислительных перспектив, так как связан с делением на чрезвычайно малые знаменатели. Другой подход разрабатывался в [3,11], он основан на применении дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Такой подход имеет определённую вычислительную ценность, но она достигается ценой существенного усложнения алгоритма, при этом вычисления возможны в достаточно узких диапазонах параметров и с небольшим числом разрядов в результатах. Поэтому в настоящей работе предлагается наиболее простой прямой метод решения поставленной задачи, основанный на сведении её к решению конечных систем линейных уравнений, см. также [11—14].

Существенным препятствием для развития этого метода являлось отсутствие результатов по доказательству однозначной разрешимости соответствующих систем линейных уравнений. В настоящей работе получены результаты, устанавливающие требуемую однозначную разрешимость линейных систем. Эти результаты являются теоретическим обоснованием для разработки практических численных алгоритмов, избавленных от необходимости работы со специальными функциями или ДПФ.

Вывод и обоснование численного алгоритма.

Для дальнейшего изложения введём удобное обозначение для квадратичной экспоненты

Решение поставленной задачи сводится к нахождению последовательности неизвестных коэффициентов У*, из (1). Для этого, следуя стандартной схеме решения задач интерполяции, необходимо построить узловые функции для каждого узла интерполяции х = т, т Е 2. В нашем случае достаточно построить одну базисную узловую функцию для узла при х = 0, которую мы будем искать в виде

Из (2) следует, что эта базисная узловая функция должна удовлетворять основному условию при всех т ЕЖ:

где ат0 есть символ Кронекера

Предположим, что такая функция бЧст, х), удовлетворяющая условию (5), уже найдена. Тогда нетрудно вычислить формальное решение поставленной задачи. Действительно, функция

является узловой функцией для узла при х = I, так как при всех значениях ш Тогда решением задачи будет, очевидно, функция

/СО

-I

0,х),

1=-00

так как при х = т от суммы (6) остаётся только одно слагаемое:

Чтобы перейти от представления решения в виде (6) к искомому представлению в виде (1), выполним необходимую подстановку. В результате получим с учётом (4):

Введём новый индекс суммирования / = I + к вместо I = } — к и формально поменяем порядок суммирования. Тогда получим

где искомые коэффициенты разложения представляются в виде

/л = Л /О -І)9і

і=

где /(т) — значения заданной функции в целых точках, а д]- — коэффициенты разложения базисной узловой функции (4).

Упростим систему уравнений:

Для ЭТОГО введём новую переменную Ц = Є ж1. Получим

Для численного решения необходимо рассмотреть конечномерные усечения полученной бесконечной системы уравнений. Рассмотрим такую систему уравнений при —п < к < пи —п < т < п . Она имеет вид:

Это система из 2п + 1 линейного уравнения с квадратной матрицей специального “крестообразного” вида.

Например, при «=2: в матричном виде она будет выглядеть следующим образом:

В результате получилась система пяти линейных уравнений с матрицей специального вида.

Сводка основных результатов.

В работе получено теоретическое обоснование корректной разрешимости основной системы линейных уравнений для конечномерного приближения бесконечной системы, а также проведён достаточно существенный объём компьютерных вычислений.

Приведём список основных полученных результатов (см. также [7—9]).

1. Доказана следующая теорема. Для главного определителя системы (9) справедлива формула

Следствие.

Система линейных уравнений (9) однозначно разрешима при любых а > 0.

Действительно, при допустимых рассматриваемых о > 0 очевидно, что О < с 1, поэтому главный определитель системы, как следует из приведённой выше формулы, отличен от нуля.

Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях параметров ц, а исследуемые конечномерные системы линейных уравнений имеют единственное решение.

2. Проведено компьютерное исследование решений полученных конечномерных систем линейных уравнений численными методами при помощи математического пакета MATHEMATICA при широком наборе управляющих параметров q, о.

Приведем некоторые результаты компьютерных расчетов.

При значениях параметров я = 1 ,п = 100 получим ц = 2.7182818285 и следующую таблицу коэффициентов разложения дк базисной узловой функции, в которой

приводятся первые двадцать коэффициентов с положительными номерами /^коэффициенты с отрицательными номерами, как показывают вычисления, имеют те же значения).

Коэффициенты базисной узловой функции

к 8

0 5.29387370326

1 -4.11728848698

2 2.72609498428

3 -1.70681071002

4 1.04732851545

5 -0.63795153450

6 0.38754419274

7 -0.23519298794

8 0.14268201289

9 -0.08654776687

10 0.05249538065

11 -0.03184039401

12 0.01931225019

13 -0.01171348859

14 0.00710459369

15 -0.00430915473

16 0.00261363465

17 -0.00158524959

18 0.00096150249

19 -0.00058318074

20 0.00035371700

1.0,

сф

9.6

I 0.2

— 5 \ \ / 1 / \ / 5

V -0.2 - ^

Рис. 1. Базисная узловая функция вблизи начала координат

Приведём графики построенной по этим коэффициентам базисной узловой функции (4) при значениях аргумента вблизи начала координат (рис. 1) и тот же график при больших значениях аргумента, который показывает, что базисная узловая функция продолжает удовлетворять свойству (5) даже при значительном удалении от тех точек, по которым она рассчитывалась, что является одним из достоинств предложенного метода (рис. 2).

Рис. 2. Базисная узловая функция при больших аргументах

Из графиков видно хорошее совпадение полученных значений с ожидаемыми. В частности, построенные аппроксимации чётко проходят в целочисленных узлах через нулевые значения в соответствии с условием (5). Качество приближений также оценено количественно как величина ошибки в различных нормах.

3. Численно показано, что при увеличении размерности приближающих систем их решения стремятся к предельным значениям, которые следует принять за решение исходной бесконечной системы уравнений.

4. Рассмотрено разложение указанным методом по целочисленным сдвигам функции Гаусса основного набора стандартных электрических сигналов: переключательных режимов, кусочно-постоянных, прямоугольных, треугольных, сложной формы, включая различные нерегулярные меандры. Выведен большой объём графиков для аппроксимаций этих сигналов, проанализированы ошибки приближений, вычислены количественные характеристики ошибок, среднеквадратичные и равномерные.

Для примера приведём исходный и построенный рассмотренным методом экспоненциальной квадратичной интерполяции графики для сигнала прямоугольной формы (рис. 3).

/ 0.8 1

0.6 1

0.4 1

0.2

\ 1 5 5

Рис. 3. Интерполяция прямоугольного сигнала и для сигнала пилообразной формы (рис. 4).

5

4

3

2

1

.5 5

Рис. 4. Интерполяция пилообразного сигнала

На приведённых графиках видно точное совпадение исходного и приближённого сигналов в целочисленных узлах.

Качество приближений также оценено путём вычисления ошибки в различных нормах.

Приложения и направления дальнейших исследований.

Рассмотрены приложения полученных теоретических и численных результатов к теории фильтрации электрических сигналов. Произведён численный расчёт и анализ погрешности для реализации фильтров, близких к идеальным. Для этого реализации фильтров как свёрток с исследованными ранее стандартными сигналами смоделированы с использованием приближений сигналов целочисленными сдвигами функций Гаусса.

Конечномерные приближения квадратичными экспонентами также применяются при исследовании речевых сигналов [2]. Отметим, что непрерывная интегральная версия конечномерного квадратичного экспоненциального разложения также используется под названием «преобразование Габора» в теории всплесков, она также находит применения в теории интегральных операторов преобразования [1, 5—6, 10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Аршава Е.А. Обращение интегральных операторов методом операторных тождеств // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. — 2009. — №13(68). — Выпуск 17/2. — С. 18—29.

2. Голубинский А.Н., Гущина А.А. Математическая модель импульсного источника речевого сигнала, основанная на полигауссовской модели // Вестник ВИ МВД. — 2013. — № 4. — С. 175—181.

3. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса / М.В. Журавлёв [и др.] // Современная математика и её приложения. — Т. 67. Уравнения в частных производных. — 2010. — С. 107—116.

4. Минин Л.А., Ситник С.М., Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — 2009. — № 13 (68), 17/2. —С. 89—99.

5. Ситник С.М. Метод факторизации операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений // Вестник Самарского государственного университета (Сам-ГУ). Естественнонаучная серия. — 2008.— № 8/1. — С. 237—248.

6. Ситник С.М. Решение задачи об унитарном обобщении операторов преобразования Сонина—Пуассона // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — 2010. — Вып. 18. — № 5 (76). — С. 135—153.

7. Ситник С.М., Тимашов А.С. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика. — 2013.— №19 (162). — Вып. 32. — С. 184—186.

8. Ситник С.М., Тимашов А.С. Приложения экспоненциальной аппроксимации по целочисленным сдвигам функций Гаусса // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий.- 2013.- № 2 (56).- С. 90-94.

9. Тимашов А.С. О решении систем уравнений, определяющих коэффициенты разложения по целочисленным сдвигам функций Гаусса // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, посвящённой 75-летию Ю.П. Самарина (ММиКЗ). —Самара, 2011. — С. 234—236.

10. Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications // In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. / Duba-tovskaya M.V., Rogosin S.V. (Eds.). Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2013. P. 171-201.

11. Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer.- 2011, Vol. 173, N2. - P. 231-241.

REFERENCES

1. Arshava E.A. Obrashchenie integral'ny'kh operatorov metodom operatorny'kh to-zhdestv // Nauchny'e vedomosti BelGU. Ser. Matematika. Fizika. - 2009. - №13(68). Vy'pusk 17/2.-S. 18-29.

2. Golubinskii' A.N., Gushchina A.A. Matematicheskaia model' impul'snogo isto-chnika rechevogo signala, osnovannaia na poligaussovskoi' modeli // Vestnik VI MVD. -2013.-№ 4.- S. 175-181.

3. Zhuravlyov M.V., Kiselyov E.A., Minin L.A., Sitnik S.M. Teta-funktcii Iakobi i sis-temy' tcelochislenny'kh sdvigov funktcii' Gaussa // Sovremennaia matematika i eyo prilozheniia. T. 67. Uravneniia v chastny'kh proizvodny'kh.- 2010. - S. 107-116.

4. Minin L.A., Sitnik S.M., Zhuravlev M.V. O vy'chislitel'ny'kh osobennostiakh in-terpoliatcii s pomoshch'iu tcelochislenny'kh sdvigov gaussovy'kh funktcii' // Nauchny'e vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta.- 2009.- № 13 (68), 17/2. -S. 89-99.

5. Sitnik S.M. Metod faktorizatcii operatorov preobrazovaniia v teorii differ-entcial'ny'kh uravnenii' // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta (SamGU). Estestvennonauchnaia seriia.-2008.-№ 8/1.- S. 237-248.

6. Sitnik S.M. Reshenie zadachi ob unitarnom obobshchenii operatorov preobrazovaniia Sonina—Puassona // Nauchny'e vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta.- 2010.- Vy'p. 18.- № 5 (76).-S. 135-153.

7. Sitnik S.M., Timashov A.S. Raschyot konechnomernoi' matematicheskoi' modeli v zadache kvadratichnoi' e'ksponentcial'noi' interpoliatcii // Nauchny'e vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Matematika, Fizika.-20l3.- №19 (1б2).- Vy'p. 32.- S. 184-18б.

8. Sitnik S.M., Timashov A.S. Prilozheniia e'ksponentcial'noi' approksimatcii po tcelochislenny'm sdvigam funktcii' Gaussa // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta inzhenerny'kh tekhnologii'. - 2013.- № 2 (56).- S. 90-94.

9. Timashov A.S. O reshenii sistem uravnenii', opredeliaiushchikh koe'ffitcienty' razlozheniia po tcelochislenny'm sdvigam funktcii' Gaussa// Trudy' vos'moi' Vserossii'skoi' nauchnoi' konferentcii s mezhdunarodny'm uchastiem «Matematicheskoe modelirovanie i kraevy'e zadachi», posviashchyonnoi' 75-letiiu Iu. P. Samarina (MMiKZ). Samara, 2011. S. 234-23б.

10. Sitnik S.M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications // In the book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: Amade 2012. / Dubatovskaya M.V., Rogosin S.V. (Eds.). Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2013. P. 171-201.

11. Zhuravlev M.V., Kiselev E. A., Minin L. A., S. M. Sitnik. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions // Journal of Mathematical Sciences, Springer. - 2011. - Vol. 173, N2. - P. 231-241.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Ситник Сергей Михайлович. Доцент кафедры высшей математики. Кандидат физико -математических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: mathsms@yandex.ru

Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов,53. Тел.(473) 260-52-11.

Тимашов Aлександр Сергеевич. Старший инженер отдела организации внедрения и эксплуатации инженерно-технических средств охраны и безопасности.

Управление вневедомственной охраны Главного управления Министерства внутренних дел России по Воронежской области.

E-mail: loaderrus@gmail.com

Россия, 394016, г. Воронеж, Беговая, 203 б. Тел.(473) 241-2б-91.

Sitnik Sergei Michailovich. Associate professor of the chair of higher mathematics. Candidate of sciences in physics and mathematics, associate professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior Affairs of Russia.

Work address: Russia, 3940б5, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. 8(473) 200-52-14.

Timashov Alexander Sergeivich. Senior engineer.

The department of private security of the Central administrative board of the Ministry of Internal Affairs of Voronezh Region.

Work address: Russia, 39401б, Voronezh, Begovaya, 203 B. Tel. 8(473)241-2б-91.

Ключевые слова: интерполяция; функции Гаусса; узловые функции; тета-функции Якоби; сигналы.

Key words: interpolation; Gauss functions; nod functions; Jacobi theta-functions; signals.

УДК 517.518.85