Моделирование деформационно-релаксационных процессов при сушке древесины

УДК 674.047

Я.И. Соколовский, М.В. Дендюк, Б.П. Поберейко

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННО-РЕЛАКСАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ

Предложена математическая модель определения напряженно-деформационного состояния древесины при сушке с учетом ее вязкоупругих свойств и анизотропии.

Ключевые слова: древесина, сушка, влагосодержание, вязкоупругость, напряженно-деформационное состояние, метод конечных элементов.

Актуальность исследований. Разработка новых и усовершенствование существующих прогрессивных технологий сушки древесины остро ставит проблему разработки универсальных методов синтеза и анализа деформационно-релаксационных и тепломассообменных полей. Значительные по величине напряжения - это основной сдерживающий фактор для интенсификации процесса сушки. Решение данной проблемы затруднено, так как древесина относится к классу физически нелинейных гидрофильных полимеров, которые характеризируются значительной изменчивостью структурных и физико-механических свойств.

Анализ известных исследований. Реологическое поведение древесины в процессе сушки рассмотрено в большом количестве работ теоретического и экспериментального характера, обширный анализ которых приведен в работе [11]. Напряжения и деформации, возникающие в высушиваемой древесине, проанализированы на расчетных стержневых одноосных моделях [6, 10, 12] с учетом зависимости модуля упругости древесины от влаги. Числовые методы позволяют решить плоскую задачу напряжено-деформационного состояния пиломатериалов при сушке [4, 12]. Такие же задачи, только с учетом анизотропии механических свойств материала, рассмотрены в работах [8, 15, 22]. В работах [20, 21] использован характерный подход, связанный с существованием особого механизма создания механи-ко-сорбционной ползучести и выявленного для условий циклического изменения влажности нагруженной древесины. Особенности деформирования древесины с учетом ее вязкоупругих свойств в рамках одномерной задачи изучены в работах [8-10, 17]. Взаимосвязь деформационно-релаксационных и тепломассообменных процессов рассмотрена в [7].

В данной работе методом конечных элементов (МКЭ) рассмотрено напряженно-деформационное состояние высушиваемой древесины как двухмерного анизотропного материала с учетом его реологических свойств. Здесь проведено обобщение МКЭ для определения напряжений в вязкоуп-ругой области деформирования двухмерного анизотропного материала. Данные результаты явились продолжением исследований [16, 19], в которых

Рис. 1. Схема для постановки задачи

с помощью МКЭ рассматривали нестационарное температурно-влажностное поле древесины с учетом анизотропии теплофизических свойств материала.

Постановка задачи и математическая модель. Определение напряженно-деформационного состояния древесины в процессе сушки базируется на моделировании связи деформационно-релаксационных и массообменных процессов с использованием общих положений термодинамики необратимых процессов и методов механики сплошной среды. Для двухмерной задачи (рис. 1) связь между компонентами напряжений ст(У) и деформаций в(У) выражают интегральными уравнениями наследственной теории Больцмана-Вольтерры [3]:

ст

ст

11(0 — С1111В11 С11111т)е11(т)^т + СП22^22 СИ22\ -^1122(^ т)в22(т)йт ;(-0

0 0

) = С2211В11 " С22п!^2211

0 0

СТ12

0

где Стщ - компоненты напряжений;

в 'у - компоненты тензоров деформаций, вызванные изменением влаги в материале; - т) - ядра релаксации;

С - компоненты тензоров упругих постоянных,

г _ Е1111 . г _г _ У1Е2222 . С1111 — , ; С1122 — С2211 —

1 2

1 2

С — ; С2222 —

Е.

2222

1 2

; 2С1212 =

ц - модуль сдвига; Е - модуль упругости; V - коэффициент Пуассона.

Общепринятая формулировка МКЭ [2, 5] предполагает отыскание поля перемещений и связана с минимизацией потенциальной энергии системы на основе расчета узловых значений вектора перемещений. После того, как перемещения будут определены, рассчитывают компоненты тензоров деформаций {в} и напряжений^}.

Энергию деформации бесконечно малого объема йУ определяют по формуле

¿Л = 1 [{в}Т {а}-{в о }Т {а}],

где Т - операция транспонирования.

Полную энергию деформации получают интегрированием по объему

тела:

Л = |1 [{в}Т {а} - {во }Т {а}^.

V 2

Компоненты тензора деформаций {в0}, вызванные усадкой материала при удалении влаги в процессе сушки с учетом анизотропии, определяют из следующей зависимости [10, 12]:

{в 0 }Т ={к р}Т Ш,

где Kp}T = [кр Кр о] - коэффициенты тензора усадки в направлениях

осей анизотропии; AU - изменение влагосодержания U за промежуток времени Ax.

Для описания нестационарного влагопереноса в процессе сушки древесины на этапе удаления связанной влаги используют уравнение [13] c

8U

граничными условиями 3-го рода U = UB(S), а-= p(Un — U^ ) и началь-

8n

ным условием U|x=0 = U0:

8x х 8х2 y 8y2 где

UB(S) - влагосодержание на поверхности, которое может быть функцией координат; n - внешняя нормаль; Р - коэффициент влагоотдачи , м/с2; Un и UR - влагосодержание на поверхности и равновесное.

ах, ау - коэффициенты влагопроводности вдоль осей анизотропии, м/с2. В процессе сушки начальное распределение влаги U0 принимают равномерным (U0 = const), на этапе регулярного процесса (критерий Фурье F0 = 0,1) - параболическим:

U f=вд = UЦ "

, х - a/2х2 a/2

1 -\y-HL2"2 b/2

(иЦ - Uп ),

где иц - влагосодержание в центре пиломатериала.

Обобщение метода конечных элементов на вязкоупругую область деформирования древесины и числовая реализация. Для определения вязко-упругих компонент деформаций используем закон Больцмана-Вольтерры

(1)-(3) в матричном виде с учетом реологического поведения древесины в процессе сушки:

Ы=№0}-№МА]ki}+[Afc02M-D2} ,

где

C C1122 0 " Гс с1111 0 0 "

[D] = C C 2211 C C2222 0 ; D ]= 0 с C 2222 0

0 0 2C 2C1212_ 0 0 2C 2C1212_

" 0 C C1122 0" в 0 0n B11

D ] = C C 2211 0 0 ; U=- в 022 ; ? {в}=- B 22 ; ?

0 0 0 .B 012 , B12

{В01} =

К }=

I Rnn(t -xKi(x)dx

0

IR 2222 (t ^ 022 0

IR1212(t -х)в012 (x)dx

0

IR1111(t -x)s„(x)dx

0

IR 2222 (t -X> 22 №

0

IR1212(t -x)B12(x)dx

^02 }

IR2211(t -х)в011 (x)dx

IR1122(t -х)в022 (x)dx

IB 2 }=

IR2211(t -Х)ВИ(Х)^Х

0

J R1122(t -х)в 22 (x)dx

0

Для определения критериев выбора ядра релаксации - т) необходимо исходить из специфических особенностей реологического поведения древесины под действием постоянной механической нагрузки в разных стационарных температурно-влажностных условиях. Исходя из исследований [8, 9, 18], выбираем ядро реологического поведения древесины:

где К, ц - реологические параметры ядра, которые определяют экспериментально [10, 18] по методике [14].

Для определения остаточной деформации ядро - т) может быть представлено в виде - х) = срп(0-ф2(х) при Нтср^) Ф 0 .

I у

Запишем ядро через узловые значения по времени применив метод квадратур [1]:

JR

j=1

'j-Cj )B 0 (Jj )e

0

0

0

0

0

где Ау - коэффициенты в узлах у, Ау = 1,0 - для постоянного шага интегрирования при 1 <у < г, Ау = 0,5 - в остальных случаях. Полная потенциальная энергия, согласно концепции МКЭ,

)

П =£Л(е

е=1

где Е - общее количество элементов;

Л(е) - энергия деформации е-го элемента, которую определяют с учетом (4), (5) и (7).

Для того, чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (8) по {Ь}, приравняем к нулю и запишем в векторно-матричной форме:

дП (.)]

е=Г

д{ь}

2 [к(е )]{ь}+{/ (е )}= 0,

где

[к «] = ¡[в (е)]Т [о (е)\в(^Г;

у(е>

{/)}=- ¡[в)]Т[о^V +! 1 [в(е)]Т[о^}/

' (е) 2

У -

-11 [в(е)]Т[о1(4(е)К +11 [ве]Т-

у(е) 2 у(е) 2

г 1 [в е]Т [о2е)|2е V;

У (е) 2

[в] = -

1 J 25"

Ьг 0 Ьу 0 Ьк 0

0 Сг 0 су 0 ск

Сг Ь су Ьу ск Ьк

_ 2 2 2 2 2 2 _

Ьг =

С = Х - Ху); к =(Х- х.) ;

[Ьк =

К = (Ху - Хг ) ;

5 - площадь конечного е-го элемента; (хг, уг), (Ху, у у), (хк, ук) - соответственно координаты узлов г, у, к, в данном случае, треугольного симплекс-элемента.

Для определения матриц деформаций в (10) необходимо знать распределение влаги в каждой точке сечения. Таким образом, перед тем, как рассчитывать поле перемещений, необходимо решить дифференциальное уравнение (6) в частичных производных с системой граничных и начальных условий.

С вариационной точки зрения, решение (6) эквивалентно нахождению минимума функционала

Е

к 2

дU

"I +а-

ди ,дУ,

„ди т т + 2-и

дг

ау + |Р(и-ил)2 ^^ .

л 2

Продифференцировав слагаемые функционала для каждого элемента при узловых значениях влагосодержания и приравняв результат к нулю, получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения {и}:

1Й=Ии кири>}=0,

дг

где

№)]= /Б^Г К^]]йУ + )]Х ;

у('

[се)]=|[^]ГN]ау;{/(е)}=-три,ИГЯ;[Бц]=:±

25

Ь Ь] Ьк С

.

Матрицы [К\, [С] и {Р}, элементы которых описаны соотношениями (12), (13), определяют матрицы влагопроводности, демпфирования и нагрузки. Все интегралы в формулах (12), (13) взяты по отдельным элементам, а суммирование их вкладов проведено методом прямой жесткости [12\.

В конечном итоге, для решения дифференциального уравнения (11) получена система уравнений:

ИМнов = №}стар -М; А = [К] + А[С]; Р = А[С].

Матрица [А] есть комбинация матриц [С] и [К], она зависит от шага во времени Дг. Если Дг не изменяется и теплофизические параметры древесины не зависят от {и}, тогда значения элементов матрицы [А] во все моменты времени постоянны. Если Дг или параметры материала изменяются в процессе решения, тогда матрицу [А] необходимо каждый раз вычислять заново. Эта процедура значительно увеличивает объем вычислений, но она необходима при переменном Дг или в случае, когда ах, Оу и другие свойства древесины являются функциями влажности.

Рис. 2. Изменение напряжений стхх для разных точек сечения (у = Ь/2): 1 - х = а/8; 2 - х = а/4; 3 - х = 3а/8; 4 - х = а/2

2

5

5

о. Па

Рис. 3. Распределение напряжений оуу вдоль толщины при х = а/2 (а) и напряжений охх вдоль ширины при у = b/2 (б) для различных моментов времени сушки:

1 - 1 ч; 2 - 5; 3 - 10; 4 - 15 ч

Результаты исследований. Расчеты для тангенциальных сосновых досок размером сечения a х b = 20 х 2 см, E = 670 МПа, Е2 = 550 МПа, ц = 484 МПа, v = 0,38, px = = 0,0023, высушиваемых в условиях постоянного технологического режима (температура агента сушки tc = 88 °C; относительная влажность ф = 30 %; коэффициенты: влагопроводности ax = 1,8 • 10-9 м/с, ay = 2,25 • 10-9 м/с, влагообмена bx = by = 3,5 • 10-6 м2/с), проведены в течение 15 ч с постоянным шагом At = 3 мин.

Численный алгоритм реализован с применением объектно-ориентированного программирования. На основании проведенного численного эксперимента исследовано влияние гигроскопической влажности, анизотропии теплофизических свойств и геометрических размеров пиломатериалов на распределение плоского напряженно-деформационного состояния древесины. На рис. 2, 3 приведены графические зависимости изменения нормальных напряжений ох и оу от времени в разных точках пиломатериалов.

Таким образом, полученные результаты позволяют судить о достаточно сложном характере изменения напряжений в высушиваемой древесине с учетом ее реологических свойств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы [Текст] / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - К.: Наук. думка, 1986. - 544 с.

2. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация: пер. с англ. [Текст] / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

3. Кристинсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости [Текст] / Р. Кристин-сен. - М.: Мир, 1974. - 268 с.

4. Лапшин, Ю.Г. Некоторые задачи деформирования материалов при переменной температуре и влажности [Текст] / Ю.Г. Лапшин // Лесн. журн. - 1970. -№ 1. - C. 156-159. - (Изв. высш. учеб. заведений).

5. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сегер-линд. - М.: Мир, 1979. - 394 с.

6. Серговский, П.С. О методе расчета внутренних напряжений при сушке [Текст] / П.С. Серговский, Б.Н. Уголев, Н.В. Скуратов // Науч. тр. / МЛТИ. - 1981. -Вып. 117.

7. Соколовский, Я.И. Взаимосвязь деформационно-релаксационных и теп-ломасообменных процессов при сушке капиллярно--пористых тел [Текст] / Я.И. Соколовский // Прикладная механика. - 1998. - 34, № 9. - С. 101-107.

8. Соколовский, Я.И. Идентификация и способ контроля напряженно-деформируемого состояния древесины в процессе сушки [Текст] / Я.И. Соколовский, Б.П. Поберейко // Структура, свойства и качество древесины - 2000: тр. 3-го Междунар. симп. - Петрозаводск, 2000. - С. 284-287.

9. Соколовский, Я.И. Расчет нестационарных напряжений в древесине при воздействии влаги [Текст] / Я.И. Соколовский, Б.П. Поберейко // Лесн. журн. -2000. - № 1. - С. 99-105. - (Изв. высш. учеб. заведений).

10. Уголев, Б.Н. Деформативность древесины и напряжения при сушке [Текст] / Б.Н. Уголев. - М.: Лесн. пром-сть, 1971. - 174 с.

11. Уголев, Б.Н. История и перспективы развития исследований сушильных напряжений в древесине [Текст] / Б.Н. Уголев // Структура, свойства и качество древесины - 96: тр. 2-го Междунар. симп.- Москва-Мытищи, 1996. - С. 230-238.

12. Уголев, Б.Н. Контроль напряжений при сушке древесины [Текст] / Б.Н. Уголев, Ю.Г. Лапшин, Е.В. Кротов. - М.: Лесн. пром-сть, 1980. - 208 с.

13. Шубин, Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины [Текст] / Г.С. Шубин. - М.: Лесн. пром-сть, 1990. - 236 с.

14. Поберейко, Б.П. Методика визначення параметрiв кривих повзучосл деревиш [Текст] / Б.П. Поберейко // Наук. вюник / УкрДЛТУ. - 1998. - Вип. 8.1. -С. 232-236.

15. Соколовський, Я.1. Дослщження плоского напружено-деформативного стану деревиш в процеа сушшня [Текст] / Я.1. Соколовський // Наук. вюник / УкрДЛТУ. - 1997. - Вип. 8. - С. 161-168.

16. Соколовський, Я.1. Застосування методу кшцевих елеменпв для розра-хунку нестацюнарних полiв вологоперенесення у висушуванш деревиш [Текст] / Я.1. Соколовський, М.В. Дендюк, Б.П. Поберейко // Люове госп-во, люова, паперова i д/о промисловють: зб. наук.-техн. праць. - Львiв: УкрДЛТУ, 2003. - Вип. 28. - С. 100-106.

17. Соколовський, Я.1. Напруження i деформацй у деревиш в процеа сушшня [Текст] / Я.1. Соколовський // Наук. вюник / УкрДЛТУ. - 2002. - Вип. 12.5. -С. 92-102.

18. Соколовський, Я.1. Результати експериментальних дослщжень обернено! повзучосп та складових деформацш деревиш впоперек волокон [Текст] / Я.1. Соколовський, М.В. Дендюк // Люове госп-во, люова, паперова i д/о пром-сть. - 2002. -Вип. 27. - С. 73-77.

19. Соколовський, Я.1. Розрахунок ашзотропних нестацюнарних температу-рно-вологюних полiв у висушуванш деревиш методом скшчених елеменпв [Текст] / Я.1. Соколовський, А.В. Бакалець // Люове госп-во, люова, паперова i д/о пром-сть: зб. наук.-техн. праць. - Львiв: УкрДЛТУ, 2004. - Вип. 29. - С. 109-117.

20. Ranta-Maunus, A. Impact of mechanosorption creep to the long-term strength of timber [Текст] / A. Ranta-Maunus // Holz als Roh-und Werkstoff. - 1990. - N 48. -P. 67-71.

21. Ranta-Maunus, A. Rheological behaviour of wood in directions perpendicular to the grain [Текст] / A. Ranta-Maunus // Materials and structures. - 1993. - N 26. -P. 362-369.

22. Sigurdur, O. Two-dimensional simulation of wood deformation during graying [Текст] / O. Sigurdur, D. Ola. - Report TVSM-7086. - Sweden: Lund University of technology, 1994. - 34 p.

Украинский государственный лесотехнический университет

Поступила 8.12.04

Ya.I. Sokolovsky, M. V. Dendyuk, B.P. Poberejko Simulation of Deformational-and-relaxation Processes in Wood Drying

The mathematical model is proposed for determining the deformation state of wood in drying taking into account its viscoelasticity and anisotropy.