О дискретных структурах в классической механике

М. О. Локсеев, Л. В. Прохоров

О ДИСКРЕТНЫХ СТРУКТУРАХ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

1. Введение. Нерелятивистская квантовая механика (КМ) порождает целый ряд вопросов принципиального Характера, на что неоднократно указывалось многими исследователями. Вероятностный характер законов КМ наводит на мысль о том, что последняя, по всей видимости, недостаточно глубоко проникает в суть явлений микромира, о чем догадывались уже ее создатели [1, с. 15,16]. Возникает задача максимум: построить теорию, следствием которой были бы законы КМ, подобно тому, как из статистической теории получается термодинамика. В последнее время появилась надежда на то, что эта задача может быть решена.

Эйнштейном неоднократно предпринимались попытки «при помощи дифференциальных уравнений понять структуру квантов за счет избыточности определения» [2, с. 445; 3, с. 458]. Основная идея заключалась в том, что для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных начальные данные не могут быть заданы произвольным образом. Предполагалось также отыскать механизм, лежащий в основе вероятностных законов КМ. Время, однако, показало тщетность попыток подобного рода. Первый пример настоящей работы (п. 2) построен как дань идее Эйнштейна - это пример механической системы, в которой одна из координат может принимать значения лишь из некоторого дискретного ряда. Если отождествить данную переменную с действием, то получится некий аналог квантования. Дискретизация здесь, в отличие от оригинальной идеи Эйнштейна, достигается в рамках теории динамических систем со связями.

В КМ остро стоит вопрос о природе постоянной Планка /г. В классической механике подобная постоянная присуща системам с компактным фазовым пространством [4, 5]. В п. 3 показано, что такие системы появляются также в рамках теории систем со связями [6, 7] (см. также [8]).

2. Система с дискретными условиями на координату. Рассмотрим систему, заданную лагранжианом

L = - (¿1 + ±2 cosxi')2 .

Перейдем к гамильтонову формализму. Следуя Дираку, слабые равенства (т. е. выполняющиеся на физическом подпространстве фазового пространства) будем обозначать символом Введем импульсы

дЬ дЬ

Р1 = -5-^ = XI + х2 COSX1, р2 — — = Pl COS X i.

ах i <9х 2

Из (1) непосредственно обнаруживается первичная связь;

Ф\ = р-2 — Pl COS XI = 0 .

2

Гамильтониан равен Н = p¿x¿ — L ~pi/2. т.е. полный гамильтониан есть Нт = |р2 + иф\.

í = i

Здесь U - произвольная функция времени. Условие непротиворечивости Ф\ = {01, Нт} ~ О дает новую связь:

ф-2 = Pl sin XI = 0.

Исследуем и ее непротиворечивость:

02 ~ Pl COS X 1 - l¿Pi

© М. О. Локсеев, Л. В. Прохоров, 2005

Выясним характер связей ф\, ф-г- их скобка Пуассона равна {01,0-2} = р\{1 +sin2xi). Отсюда следует, что при р\ = 0 имеем дело с системой со связями первого рода, тогда как при Р\ ф 0 - со связями второго.

Система уравнений Гамильтона для канонических переменных выглядит таким образом:

¿1 = р\ - UCOSrri,

Рх = — ир\ sin II .

Х-2 = и,

р-2 = 0.

Существуют следующие решения уравнений связи.

1. Пусть 02 = 0 выполнено потому, что р\ = 0. Тогда из (2) немедленно заключаем, что и рг = 0, а уравнения движения принимают вид

- ¿1 = — UCOSXi,

¿2 = и-

В этом случае можно указать лишь траекторию движения: dx.i/dxo = — cosxi.

2. Если же 02 = 0 потому, что sinxi = 0. то координата х\ может принимать лишь дискретный ряд значений xi = 7гк, где к - целое число, и cosxi = ( — 1)*, а значит (см. (2)), Р2 — (—1)крг- Из (3) следует, что и = рi cosxi == ( — l)kp\ = р2. Тогда уравнения движения

есть ¿i=0 (как и следовало ожидать), pi = i>2 = 0, ¿2 = Р2- Таким образом, имеем дело с

равномерным Движением ВДОЛЬ ОДНОЙ ИЗ ПрЯМЫХ Xi = 7Гк.

3. Система с компактным фазовым пространством. Рассмотрим систему с лагранжианом __________

'L - \/х2

Переход к импульсам обнаруживает первичную связь:

0 = Р2 — Sgn ¿2 ^/l — х2 — р\ = 0.

Переход к гамильтониану показывает, что последний слабо равен нулю, т.е. Нт = иф. Гамильтоновы уравнения движения

Р1Р2 = —Xi и.

Р2Р2 — —Х2 и.

Х\Р2 = PlU,

X 2 — и.

Они допускают явное решение вида

2

где г = х + гр , а гі(£) - произвольная функция времени.

Следующий шаг в исследовании системы с лагранжианом (4) - выявление физических степеней свободы. На поверхности, определяемой равенством (5), действуют калибровочные преобразования, генерируемые оператором ф = {ф,- }. Согласно общей идеологии [8, с. 119], физические переменные определяются равенством

0Г(х,р) = О.

В силу того, что Нт = иф, калибровочные инварианты совпадают с динамическими. Это означает, во-первых, отсутствие в физическом секторе динамики, а во-вторых, что физические переменные можно искать как интегралы движения. Таковыми (см. (6)) являются четыре величины ’¿і г3. Из них можно составить линейно независимые вещественные комбинации:

хіх'г +Р\Р2, Х1Р2-Х2Р1, х\+р\, х\ + .

Выражения (7) есть калибровочные инварианты в слабом смысле.

Если квадрировать связь ф, получится выражение у = р2 + х2 — 1 = 0. Для такой «квадрированной» теории при помощи аппарата производящих функций канонических преобразований [9, с. 263] удается отыскать пару канонически сопряженных физических переменных в виде

* 2

1 1

arcsm —, = — arcsin —=====

2 . 2 7Г = р-2 + Х-2

Непосредственным вычислением несложно убедиться, ЧТО {Х;71"} — 1-

Отметим, что лагранжиан

[

где х = дх./дт, х' = дх./да, т,а параметризуют мировую поверхность струны, положить, что X - двумерный евклидов вектор, т — t, ax' = /(х,х')е 1+е2%/х2 — R2, ef =.е| = 1, ei-e2 = 0, / - произвольная функция и х'  ei = |х'|, то (8) превращается в лагранжиан (4) (с точностью до замены 1 —> R2). Укажем, что при R2 > х2 коэффициент при ег в выражении для х' чисто мнимый.

Из построенных примеров наиболее важен последний; возможно, с его помощью удастся построить реалистичную модель квантовой теории [5, с. 44-61]. Модель работы [5] базировалась на предположении о существовании механической системы с компактным фазовым пространством. Существование такой системы постулировалось. Последний пример показывает, что подобные системы могут естественным образом возникать в рамках классической гамильтоновой механики.

Summary

Lokseev М. О., Prokhorov L. V. On discrete structures in classical mechanics.

Mechanical systems with constraints in framework of the Dirac generalized dynamics are studied. It is shown that in this way one can obtain a theory with discrete coordinates. An example of a classical system with compact phase spase is given. In such systems there is a fundamental constant with dimension of action.

Литература

1. Дирак П. А. М. Пути физики / Пер. с англ.; Под ред. Я. А. Смородинского. М.,1983.

2. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна / Пер. с англ.; Под ред. А. А. Логунова. М., 1989. 3. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов: В 4 т. М., 1966. Т. III. 4. Прохоров Л. В. О принципиальных проблемах квантовой механики. СПб., 2001. 5. Прохоров Л. В. Квантовая механика - проблемы и парадоксы. СПб., 2003. 6. Dirac Р. А. М. // Can. J. Math. 1950. Vol. 2. P. 129-148. 7. Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике /Пер. с англ. А. Г. Миронова. М., 1968. 8. Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб., 1997. 9. Голдстейн Г. Классическая механика /Пер. с англ. А. Н. Рубашова. М., 1975. 10. Грин М., Шварц Док., Виттен Э. Теория суперструн: В 2 т. / Пер. с англ.; Под ред. И. Я. Арефьевой. М., 1990. Т. 1.

Статья поступила в редакцию 17 июня 2004 г.