Дифференцируемость функции в точке; производная в точке, дифференциал. Геометрический и механический смысл.

Дифференцируемость функции в точке; производная в точке, дифференциал. Геометрический и механический смысл.

Функция

называется дифференцируемой в данной точке

, если приращение

этой функции в точке

соответствующее приращению аргумента

, может быть представлено в виде

(1), где

-некоторое число, не зависящее от

, а

-функция аргумента

, являющаяся бесконечно малой при

.

«Для себя» Заметим, что функция

может принимать в точке

какое угодно значение (при этом в этой точке остается справедливым представление (1)). Ради определенности можно положить

.

Т.к. произведение 2-х бесконечно малых

является бесконечно малой более высокого порядка, чем

, т.е.

, то формулу (1) можно переписать в виде

.

Теорема. Для того, чтобы функция

являлась дифференцируемой в данной точке

, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Пусть задана функция

и

-некоторая точка из области определения. Дадим переменной

в точке

приращение в

:

. Тогда функция получит приращение

.

Опр. Если существует конечный предел отношения приращения функции

к приращению

при стремлении

к нулю, то называют производной функции в

. Производная функции в точке

-это число.

Таблица производных. Для себя

2.

; 3.

; 4.

; 5.

; 6.

; 7.

; 8.

; 9.

; 10.

; 11.

; 12.

; 13.

; 14.

; 15.

; 16.

; 17.

.

Дифференциалом функции называется линейная относительно

часть приращения функции. Она обозначается как

или

. Таким образом:

.Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке

равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента

.

Правила дифференцирования; производные высших порядков.

. Правила дифференцирования. Производные высших порядков.

Пусть

дифференцируемы,

. Тогда имеем:

1.

; 2. Если

,то

; 3.

. Эти утверждении следуют из определения производной. 4.

: 5.

.

Производная высших порядков.

Пусть задана функция

и

-произвольная точка. Будем считать, что функция

в произвольной точке

имеет производную

. Функция

может иметь в точке

производную; если такая производная существует, то ее называют второй производной или производной второго порядка от функции

и обозначают

. Таким образом, производная 2-го порядка – это производная от производной.

Например.

,

.

Если существует производная от производной 2-го порядка, то ее называют производной 3-го порядка и обозначают:

.

Продолжая, аналогично определяют производную п-го порядка. Производной п-го порядка от функции

в точке

называют производную от производной

порядка. Обозначают:

.

,