Моделирование рабочего процесса ротационного пневматического двигателя с радиальными лопатками

УДК 621.541

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА РОТАЦИОННОГО ПНЕВМАТИЧЕСКОГО ДВИГАТЕЛЯ С РАДИАЛЬНЫМИ

ЛОПАТКАМИ

М.Ю. Елагин, Е.М. Сидоров

Приведена математическая модель ротационного пневматического двигателя с радиальными лопатками для различного пневмоинструмента, проверена ее адекватность.

Ключевые слова: пневматический двигатель, пневмоинструмент, математическая модель.

Пневматические двигатели как приводы различных машин и механизмов широко применяются во многих отраслях промышленности, что объясняется их конструктивными и эксплуатационными особенностями, делающими их в ряде случаев незаменимыми. Пневматические двигатели применяются во взрывоопасном производстве в случаях, когда возможны поражения работающих электрическим током, что имеет место в горнодобывающей и химической промышленности, в судостроении, в производстве ручного механизированного инструмента, в машиностроении и на транспорте, автомобильных системах управления, в строительстве и других отраслях народного хозяйства страны.

Пневматические двигатели, особенно малой мощности, обладают небольшой относительной массой (приходящейся на единицу мощности), они не боятся перегрузок, просты в конструкции, надежны в эксплуатации и дешевы в изготовлении. В качестве источника энергии для пневматических двигателей используется сжатый воздух с избыточным давлением 2

4...6 кг/см .

Наибольшее распространение получили пневматические двигатели сравнительно малой мощности (до 2 кВт), применяемые главным образом как приводы ручных механизированных инструментов, широко используемых в автомобильном хозяйстве, а также средств механизации и автоматизации производственных процессов [1]. Расчет и анализ работы устройств этой группы производятся обычно комплексными методами теории механизмов, термодинамики и газовой динамики.

В настоящее время серийно изготавливаются в основном пневмодвигатели следующих типов: шестеренные, поршневые, ротационные и турбинные. Каждый из этих типов двигателей в соответствии с их характеристиками имеет определенную область применения.

Ротационные двигатели являются самым распространенным типом пневматических двигателей. Их производство достигает 90 % от общего

выпуска пневмодвигателей.

На рис. 1 показана конструкция ротационного пневмодвигателя. Основными элементами его являются ротор 1 с лопатками 2, расположенный в статоре 3 и покоящийся на подшипниках качения, размещенных в торцовых крышках 4.

й-Ь А-а

Рис. 1. Общий вид ротационного пневмодвигателя

Основными преимуществами ротационных двигателей являются их малая относительная масса и меньшие габариты. Уплотнение рабочей камеры менее совершенно, чем в поршневых двигателях, но за счет большего коэффициента расширения сжатого воздуха их КПД выше.

Одним из основных недостатков большинства ротационных двигателей можно считать то, что контакт между лопатками и статором возникает вследствие центробежных сил, а не кинематических связей, результатом чего является отсутствие гарантированного запуска двигателя и невозможность работы его на малых оборотах. К числу других недостатков могут быть отнесены также сильный шум при работе и сравнительно быстрый износ лопаток.

Ротационные двигатели могут быть изготовлены как в реверсивном, так и в нереверсивном исполнениях, причем в первом случае они обладают пониженными мощностью и КПД [2].

Из анализа термодинамических процессов пневмодвигателя следует, что методы расчета ротационного пневмодвигателя, основанные на законах термодинамики для рабочего тела переменной массы, позволили бы наиболее полно увязать протекающие в двигателе процессы с его конструктивными особенностями и частотой вращения ротора.

В настоящей работе приводится математическая модель ротационного пневмодвигателя, построенная автором на основе методологии термодинамики тела переменной массы (термодинамики открытых систем), а также ряд результатов полученных в результате расчетов.

Действительные рабочие процессы РПД характеризуются сложны-

ми термогазодинамическими явлениями с переменным по массе реальным рабочим телом. В связи с этим возникла необходимость создания математической модели, позволяющей учесть перечисленные выше явления.

Допущения, положенные в основу математической модели:

1) температура стенки пневматического двигателя принимается средней по величине;

2) коэффициенты теплоотдачи принимаются средними по ячейкам сжатия и пропорциональными плотности рабочего тела;

3) остальные допущения, положенные в основу модели, традицион-ны для термодинамики открытых систем [3, 4].

Процесс в РПД рассматривается как совместное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений для каждой ячейки во времени с учетом взаимных протечек и теплообмена.

Общая система уравнений ротационного пневматического двигателя, расчетная схема которого изображена на рис. 2, будет состоять из трех подсистем уравнений.

5

Рис. 2. Расчетная схема РПД

I. Подсистема, описывающая термодинамические процессы в отдельной полости, состоит из следующих уравнений:

- уравнения скорости изменения температуры рабочего тела г-й полости

dTJ_ RTi

Г ґ

dt Су. piWi

Ні+1,і ui

~~КГ~

^ + С/',1 + 1 + Р/

dWi

dт

+

0в/_

RTi

уравнения скорости изменения плотности рабочего тела

dpi 1 („ „ „ dWiл

dt Wi

Gi,i+1 -Gl -^і-і -Рі—т- ,

dт

/

- уравнения состояния

Рі = РіЩ ,

где R, Су - удельные газовая постоянная и изохорная теплоемкость рабочего тела; Ні+і і - удельная энтальпия; щ - удельная внутренняя энергия; Gi і+і, Gi і-і - расходы при протечках, всасывании и нагнетании соответственно; Gj - расходы рабочего тела при газообмене, включая расход при протечках Gут; р7- - плотность рабочего тела; Wi - объем ячейки сжатия; Qfi. - тепловой поток между рабочим телом и цилиндром компрессора;

dWi - ~

—- - скорость изменения объема ячейки. dt

В момент соединения полости с окном всасывания Ні+і 7- = Н0,

^,7+1 = G0 (см. рис. 2). Площади проходных сечений при определении

расходов на всасывании и нагнетании определяются по углу поворота ротора ф, угловому шагу пластин Ь и известным фазовым углам проточной части РПД 8і, 82, 83, 84.

Уплотнение рабочей камеры ротационного двигателя осуществляется главным образом за счет высокой точности изготовления деталей двигателя. Наиболее существенным с этой точки зрения является зазор 8 между торцами ротора и боковыми крышками, а также зазор между торцами крышек и лопатками.

На рис. 3 показаны возможные пути утечек воздуха из рабочей камеры вследствие неплотностей сопряжения деталей двигателя [8]: между лопатками и статором через радиальный зазор (рис. 3, а); через зазор между торцами лопаток и торцами крышек (рис. 3, б); через зазор между торцами крышек и торцами ротора (рис. 3, в); через зазор между боковыми поверхностями лопаток и стенками пазов ротора (рис. 3, г). Кроме того, утечки могут происходить через зазор А между шейками ротора и отверстиями в крышках. Во всех случаях, кроме второго и последнего, утечки идут в направлении зон основного и дополнительного выхлопов.

<

>

а б

в

Рис. 3. Схемы утечек сжатого воздуха через неплотности сопряжения

деталей двигателя: а - между лопатками и статором через радиальный зазор; б - через зазор между торцами лопаток и торцами крышек; в - через зазор между торцами крышек и торцами ротора; г - через зазор между боковыми поверхностями лопаток и стенками пазов ротора

Эксперименты, проведенные в лаборатории завода «Пневматика», показали, что наибольшей величины (около 80 % от общего количества) достигают утечки через зазоры между торцами крышек и торцами ротора и лопаток (рис. 3, б и в). Это непосредственно связано с величиной осевых зазоров между ротором и статором. Таким образом, величина торцового зазора 8 во многом определяет работу двигателя.

Ниже приводится математическая модель протечек, в которой за основу были приняты работы С.Е. Захаренко [4 - 7].

Расход при протечках в докритическом режиме определяется по зависимости [5]

где Р1, Т - давление и температура рабочего тела в полости (цилиндре), откуда происходят протечки; Р2 - давление в ячейке, куда происходят

протечки (картере двигателя); - плотность рабочего тела в потоке на

' Р2

выходе из щели Р1 =——; Я - газовая постоянная; X - коэффициент меЯ • Т

стных потерь; 1 т - коэффициент трения по длине щели; Ещ - величина, зависящая от формы и размеров щели; - площадь зазора при протечках

(= А • к), А - величина минимального зазора в сопряжении «поршень-цилиндр»; к - длина (высота) поршня.

Так как коэффициенты местных потерь X, трения 1 т зависят от

скорости рабочего тела в щели, то есть от определяемого расхода, то это предполагает итерационный расчет, что крайне невыгодно.

Для подавляющего большинства случаев режим течения в щелях ламинарный (число Рейнольдса Яе £ 1600), поэтому для определения коэффициента трения 1т можно использовать зависимость

96

1 т — 5

т Яе

^7ут

где Яе = ——; т - динамическая вязкость рабочего тела, для воздуха опре-т /

деляемая по формуле Сатерленда; / - длина щели.

Коэффициент местных потерь X также в зависимости от числа Яе можно определить по опытным данным, приведенным в работе [4]. В широком интервале чисел Яе зависимость X можно представить в виде линейной функции вида

Х = Ь0 + Ь1^ут .

В результате подстановки X и 1 т в уравнение для Оут, после алгебраических преобразований можно получить следующее уравнение:

3 2

Ь^ут + (а2 + Ьо )бут + ^з^ут - о?1 = 0 ,

о2 ' / 2 1\ 1 2 пгт 1 7 0,001375

где «1 = Р1 Р2(Т -1), «2 = 1пX , аз = 96Ец/, / =-----------------, /0 = 5.

ц/

Величина Ещ, зависящая от формы и размеров щели, приводится

для различных случаев течения в работе [4]. В результате решения кубического уравнения получаются три действительных корня, один из которых соответствует реальным условиям протечек через зазор (щель).

Зависимости для определения Ж; , получены с учетом стесне-

dx

ния объема рабочей полости телом пластины, хотя согласно соображениям, изложенным в работе [5], пластина действует в пазу как поршень, нагнетая пар в торцевые зазоры, где он препятствует утечкам из ячейки, т.е. объем, описанный пластиной, не теряется:

^ о г ----= -ыЯцеЬ

йх ц

г в е л

2 БІЙ — БІЙ ф +-------БІЙ В БІй2ф

2 Яц

+

ЬЪе

+-----ы

2

' В е Л

2бій ф СОБ+----------БІй2ф СОБ В

2 Я

ц

где е - величина эксцентриситета; Ь - длина ротора; Яц - радиус цилиндра; Ь= 2р/Ъ; Ъ - число пластин.

II. Подсистема, описывающая теплообмен в полости РПД,

<2« = а;

где а; = а0Р;; «0 - определяемый экспериментально удельный коэффициент теплоотдачи; Тс - температура стенки цилиндра двигателя; Г; - площадь теплоотдающей поверхности, определяемая зависимостью

Рі = 2 Яце

^ В е еВ ^

В + 2 БІ^ — СОБ ф +--------------БІЙ В СОБ 2ф-------—

2 у 2 Яц * у 2 Яц,

+

Ве

2 + 2с0Б ф СОБ-

2 2 Я

ц

III. Механическая подсистема включает:

- упрощенное уравнение углового ускорения

dw 1,,, ,, ч

~т=-(м д- Мс); dx J

- кинематическое соотношение

dj

йх

где ы - угловая скорость ротора; J - переменный момент инерции ротора с пластинами, определяемый по зависимости

г

і і Я е і /ні і і Я е и / 2)2 + т

*пр^ц е ^'"пр^ц е "пр

J = JС + 0,5т (Яц - е)2 - 2т (Яц - е - ипр /2)2 + тпл Ё (гі - ипл / 2)2

Гі = Яц + е СОБ[ф + — + В(і - 1)]

ц ь  2  4 /л 2Я

і=1

е 2 2 В

БІЙ [ф + 2 + В(і - 1)]:

ц

где Jc - постоянный момент инерции ротора двигателя и вала; Нпр - глубина паза ротора; Ипл - высота пластины; тпр - масса удаленного материала из паза; тпл - масса пластины; МС - момент сопротивления; Мд - движущий момент, для которого можно записать

/ / Ґ Дг ^

М С = Ё РРігі = Ё (Рі+1 - Рі) Ь -Дгі Яц - е + і

і=1 і=1

АГ

cos

В

Ф + РО’-1) + ~ 2

+1

2 Я

ц

В

ф+РО’-1)+—

Система уравнений (1) - (6) является замкнутой, позволяющей для различных моментов времени либо углов поворота вала ф определить текущие характеристики двигателя: давление, плотность, температуру рабочего тела в полостях РПД, действующие моменты, а также интегральные характеристики: потребляемую мощность, расход газа и т.д.

На рис. 4 приведены результаты расчета рабочего процесса и их сравнение с экспериментальной осциллограммой ротационного пневматического двигателя РС-32 [1]. Расхождение результатов в среднем составило не более 7 %.

Рис. 4. Зависимости изменения давления в ячейке двигателя за цикл:

2

е

е

Таким образом, в результате получили математическую модель рабочих процессов РПД, имеющую высокую сходимость с экспериментальными данными. Полученная модель отражает изменение основных параметров процессов в РПД и позволяет усовершенствовать двигатель.

Список литературы

1. Зеленецкий С.Б., Рябков Е.Д., Микеров А.Г. Ротационные пневматические двигатели. Л.: Машиностроение, 1976. 240 с.

2. Захаренко С. Е. Экспериментальное исследование протечек газа через щели // Труды Ленинградского политехнического института им. М. И. Калинина. 1953. № 2. С. 161-170.

3. Елагин М.Ю. Термодинамика открытых систем. Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. 310 с.

4. Елагин М.Ю. Математическая модель ротационного пневматического двигателя // Сб. статей III Международной науч.-техн. конф. Юго-Зап. гос. ун-т. Курск, 2011. С. 43-48.

5. Сакун И. А. Тепловые и конструктивные расчеты холодильных машин. Л.: Машиностроение, 1987. 424 с.

6. Елагин М.Ю. Определение протечек газа в ротационных пневматических двигателях // Сб. статей III Международной науч.-техн. конф. Юго-Зап. гос. ун-т. Курск, 2011. С. 54-59.

7. Захаренко С.Е. Расчет коловратных компрессоров // Труды Ленинградского политехнического института им. М.И. Калинина. 1954. № 2. С. 90-104.

8. Захаренко С.Е. Расчет зазоров в коловратных компрессорах // Труды Ленинградского политехнического института им. М.И. Калинина. 1954. № 2. С. 105-108.

9. Захаренко С.Е. К вопросу о протечках газа через щели // Труды Ленинградского политехнического института им. М.И. Калинина. 1953. № 2.С. 144-160.

Елагин Михаил Юрьевич, д-р техн. наук, проф., aich@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Сидоров Евгений Михайлович, асп., aich@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SIMULATION OF THE ROTARY AIR MOTORS WITH RADIAL BLADES

M.Y.Elagin, E.M.Sidorov

A mathematical model of rotary air motor with radial blades for various pneumatic tools, tested its adequacy of is given.

Key words: air motor, pneumatic tools, the mathematical model.

Elagin Michail Yurievich, doctor of technical sciences, professor, aich@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Sidorov Eugeniy Michailovich, postgraduate, aich@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University