Исследование динамики балансировочного станка для измерения массово-геометрических параметров тел вращения

16

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль

УДК 621.317

Н. Н. Вершинин, О. Е. Безбородова, Д. П. Грузин, Л. А. Авдонина

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ БАЛАНСИРОВОЧНОГО СТАНКА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ MAC С ОБО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

N. N. Vershinin, O. E. Bezborodova, D. P. Gruzin, L. A. Avdonina

STUDY OF THE DYNAMICS OF THE BALANCING MACHINE FORMEASURING MASS-GEOMETRIC PARAMETERS OF BODYS OF REVOLUTION

Аннотация. Проведено исследование динамических характеристик станка для балансировки ротора. Приведены методика и расчет кинетической и потенциальной энергии балансировочной системы. Построена векторная диаграмма процесса балансировки ротора. Предложена схема определения обобщенных сил упругости. Проведен расчет значений обобщенных координат.

Abstract. A study of the dynamic characteristics of the machine for rotor balancing. The method and calculation of kinetic and potential energy balancing system. Constructed a vector diagram of the balancing of the rotor. A scheme for determining the generalized elastic forces.

The calculation of the values of generalized coordinates.

Ключевые слова: измерение, тело вращения, ротор, динамика процесса, балансировочный процесс, массово-геометрические параметры.

K e y words: measurement, body of revolution, rotor, dynamics of the process, balancing process, mass-geometric parameters.

Рост скоростей вращения роторов и им подобных деталей в различных изделиях машиностроения требует создания высокотехнологичного оборудования, обеспечивающего эффективный контроль качества их изготовления.

Повышение скорости, долговечности и точности работы машин непосредственно связано с совершенствованием методов и средств динамического уравновешивания их узлов и деталей. Поэтому проблеме создания технических средств измерения неуравновешенности тел вращения постоянно уделяется большое внимание [1, 2]. В нашей стране созданы балансировочные автоматические линии для балансировки коленчатых валов автомобильных двигателей, автоматы для балансировки гидродвигателей, микродвигателей и приборных систем, балансировочные станки для балансировки в собранном виде электродвигателей и т.д. [3].

В настоящее время для балансировки тел вращения типа роторов применяются станки, в которых реализуется метод малых угловых колебаний, который позволяет исключить высокую скорость вращения роторов при измерении неуравновешенности [4].

Для реализации системы контроля качества роторов была разработана динамическая модель балансировочного станка с шестью степенями свободы и дано ее математическое описание системой линейных дифференциальных уравнений.

Решение задачи было проведено с помощью уравнений Лагранжа второго рода:

d_

dt

dT _ dn1 dn

2

dqi ) dqi dqi dqi

Не раскрывая всех преобразований, покажем последовательность решения задачи и результат.

Во-первых, строим векторную диаграмму процесса балансировки ротора и выбираем системы координат (рис. 1), где используем следующие обозначения: [хь у1, г1], [х2, у2, г2], [х3, у3, г3] - системы координат; ф - угол собственного вращения; ^ - угол прецессии; 0 - угол нутации; ^, ^, С, - координаты центра тяжести платформы относительно неподвижной системы координат.

Во-вторых, производим преобразование координат.

В-третьих, определяем кинетическую и потенциальную энергию системы.

Для ориентации тел механической системы выберем следующие системы координат:

50 (х0, у0, г0) - система координат (инерциальная), жестко связанная с основанием и совпадающая с центром масс платформы в состоянии ее покоя;

5 (х, у, г) - система координат, движущаяся поступательно относительно инерциальной системы 50, начало координат которой совпадает в процессе движения с центром масс платформы О1. Ее положение по отношению к 50 задается координатами ^, ^, ^;

50¥ (о0¥, о0у, г0¥) - промежуточная система координат, получающаяся поворотом системы 5 на угол ^ вокруг оси Z;

800 (о00, о00, г00) - промежуточная система координат, получающаяся поворотом системы 50^ на угол 0 вокруг оси 00л¥ ;

51 (о1, о1, г1) - система координат, жестко связанная с платформой, получающаяся поворотом системы 50 0 на угол ф вокруг оси Zо0. Положение 51 относительно 5 определяется углами ^, 0, ф, относительно 50 - координатами ^, ^, ^, ^, 0, ф;

52 (о2, о2, г2) - система координат, жестко связанная с обоймой, получающаяся поворотом системы 51 на угол фт вокруг оси Z1. Положение 52 относительно 5 определяется углами ^, 0, ф, фт, относительно 50 - параметрами £, ^, £, ^, 0, фт, ф0;

52і (о2і, о2і, г21) - система координат, получающаяся параллельным переносом системы 52 вдоль оси Z2 на величину I;

53 (о3, о3, г3) - система координат, жестко связанная со снарядом, получающаяся поворотом системы 52і вокруг оси Х2і на угол а.

Положение 53 относительно 5 определяется параметрами ^, 0, ф, фт, а, относительно 50 - параметрами £, ^, £, ^, 0, фт, ф0, а.

у

г.

Рис. 1. Векторная диаграмма процесса балансировки ротора

Для решения задачи необходим переход из одной системы координат в другую систему.

Координаты точки в системе 5(о, о, г) через координаты системы 50(о0, о0, г0) производятся с помощью матричного равенства

г = Ао • Г0; г (х у г); г (xо, >’о, го).

Полученные матрицы будем использовать в дальнейшем для получения кинетической и потенциальной энергии и обобщенных сил.

Для нахождения кинетической энергии платформы необходимо выполнить следующие преобразования. Предполагая, что перемещения линейны, а угловые перемещения настолько малы, что величинами второго и более высоких порядков относительно координат и их производных можно пренебречь. Это предположение означает также, что тригонометрические функции углов 0, ^, ф можно заменить первыми членами их разложений в степенные ряды [5].

Центр масс платформы С совпадает с системой координат 51, а главные центральные оси - с координатными осями хь уъ г\, тогда кинетическая энергия платформы будет равна

где Ш\ - масса платформы; У - скорость центра масс платформы; /ц, / , /ц - главные центральные моменты инерции платформы относительно координатных осей хь уь г\.

Для вычисления кинетической энергии Т2 обоймы запишем выражение

Т2 — 2 т2Уо] + т2Уо2 V £)+ %,

где т2 - масса обоймы (включая ротор двигателя); Уа - абсолютная скорость полюса О2;

—V /

Vс - скорость центра масс по отношению к поступательно движущейся системе £

с началом в центре О2; Т2' - кинетическая энергия системы в ее движении относительно поступательно движущейся системы £(х, у, г) с началом в центре О2.

После преобразования получим кинетическую энергию Т2 обоймы:

Т2 — -2 т2 (2 + 1І2 + С2 ) + т2 {х2с2 Л ( + ф1 ) + У2с2 [С0 - 4( + ф1 ) - г2с2 Л 0} + 2 І2х 2 02 + І2г 2 ( + ф1 )2 - 2І2г 2х2 ( + ф1 ) 0

Определяем кинетическую энергию Т3 тела 3 (ротора) по формуле

Тз — 2т зУо2 + тзУо У(г)+ Т3,

3 с 3

где У0з - скорость полюса О3; гсз (хСз, усз, гСз ) - радиус-вектор центра масс С3 в системе осей

(хз, уз, гз), связанных с телом 3; оц, о^,о2з, УозХз, уз, - проекции векторов О3 и У^

в системе осей, связанных с телом 3.

После преобразования получим кинетическую энергию Тз ротора:

Т3 — 2 т3

1

+—

42 +

Кинетическая энергия всей системы будет равна сумме

Т = Т + Т2 + Тз.

Выражение для кинетической энергии системы с учетом формул (2), (4), (5) запишем в

виде

Т — — т1

1 (2 + л2 + 42) + ) Л02 + С1 ( + Ф2) + 1 т2 (2 + л2 + 42) +

+т2 {хс2і(V + ф1 ) + Ус2 [40 + 4( V + ф1 )] - гс2і0} +

+ —

2

А202 + с2 (\|/ + ф1 )2 -2^(\|/ + Ф1 )0

1

+ —т3

42 + (-/• 0)2 + 42

+т3{хс3 (-/•0)(¥ + ф1) + Ус3 [4(0 + «)-4(¥ + ф1 )-2с3 (-/•0)(« + 0)]} + 1

+—

2

А3

Для составления дифференциальных уравнений движения системы найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям.

Далее вычислим потенциальную энергию сил тяжести системы, которая будет складываться из потенциальной энергии тел 1, 2 и з:

П = П ) + П

где П (Р ),П (Р ),П (Рз) - соответственно потенциальная энергия платформы, обоймы и ротора.

Определение обобщенных сил упругости проводим следующим образом [6, 7]. Изобразим схему определения обобщенных сил упругости (рис. 2).

Рис. 2. Схема определения обобщенных сил упругости

Пружины параллельны оси Z0. Обозначим для і-й пружины точки Еі координаты ее крепления к твердому телу х1г, у1і, г1і в системе £ь Деформации в направлении осей х0, у0, г0

обозначим иі, У, Жі, жесткости в направлении этих же осей обозначим кгх, кУ, .

П 2 — к21 »?+2 X (+V? ).

Определяем координаты точек крепления пружин: Е^Л, 0, 0); Е2(Лсо8б0°), Л(со830°, 0); £3(-Лсо8б0о, Дсо830°, 0); Е4(-Я, 0, 0); Е5(-Дсо8б0°, -Дсо830°, 0); Еб(Дсо8б0°, -Дсо830°, 0).

^1 — С;

^2

Находим деформации пружин:

«1 —4; V — л + Д (\|/ + Ф);

«2 — 4-Д (к + Ф)со830°; V2 —Л + Д (\|/ + Ф)со8б0°; ^2 — С + Д 0^30°; и3 —4-Д (к + Ф)со830°; v3 —Л-Д (\|/ + Ф)со8б0°; ^3 — С + Д 0^30°;

«4— 4; v4 —л-Д (лфт + ф); ^4 —С;

«5 —4 + Д (\|/ + ф)со830°; V5 —Л-Д (\|/ + Ф)со8б0°; ^5 —С-Д 0 со§30°; «б —4+ Д (^ + ф)со830°; vб —л + Д (\|/ + Ф)со8б0°;

Потенциальная энергия пружин равна 1

^б — С-Д 0^30°.

П2 = — к 2 2 '

бС2 + 4 Д2 02 со82 30°

2

-1 к 2

б42 + 4Д2 (\|/ + ф) со8 30° + бл2 + 3Д2(к+ф)2 • [л+Д(к+ф)]2 + [л-Д(к+ф)]2 +

— 2 [л + Д (к + ф)со8б0°]2 + 2 [л - Д (к + ф)со8б0°] —

— бл2 + 2Д2 ( + ф)2 + 4Д2 ( + ф)2 ^ -4 ^ — бл2 + 3Д2 ( + ф)2;

п2 — 1 к2 (бС2 + 3Д202)+)к б42 + 3Д2 ( + ф)2 + бл2 + 3Д2 ( + ф)2

П2 — 3кг (2 + Д202) + 3к 42 + Л2 + Д2 (к + ф) Находим частные производные (силы упругости):

ЭП2- — -бк 4; ^ — -бкл; ^ — -бкг С;

+ 1С„а2.

Э4

Эл

эс

ЭП2 — бки2(-..г і л). ЭП2 — -3кД20- ЭП2 — бкп2

Эк

— -бкД (\|/ + ф);

Э0

эп

Эф

— -бкД (\|/ + ф);

—2 — -Саа.

Эа

Запишем дифференциальные уравнения движения, подставив зависимости (8), (9), (10) в уравнения Лагранжа второго рода (1):

а

А

V Э<?, У

V 13 У

ЭТ —-ЭЯ1 -ЭЯ2

э«. э«. э«. 5 ( , ,..., ),

эт

в которых-----= 0, т.е. кинетическая энергия системы не зависит от обобщенных координат.

У]

Уравнения (11) называют дифференциальными уравнениями вынужденных колебаний с семью степенями свободы. Общий интеграл системы дифференциальных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения рассматриваемой неоднородной системы, т.е. [5]

Первое решение qj представляет свободные колебания системы, второе решение у

определяет вынужденные колебания системы. Определим все частоты свободных колебаний системы к( = 1, 2, ..., 7).

Введем обозначения и перепишем систему дифференциальных уравнений (іі) с учетом обозначений (і2):

M ^ - B^ - ^іф + Dfe = ФmBl;

M f + B2y + B2ф - B3e- B4d + D^ = -фmB2;

M С + Bзe + B5d + D2С = 0;

-B^ + B2f + B6k - B7e + B^ - BSd + D3y + D-^ф = -фmB9;

-B3f + B1С - B7y + B^ - B-уф + Bnd + D(>e + D^ - D5a = -фmB7 - D^m;

-B^ + B2f + B6k - B7e + B^ - BSd + D3y + D4e + D-^ф = -ф^;

B5С - B4f - BSy + B1le- BSф + B^d! D7a - D5e = фmDS.

Найдем частоты свободных колебаний системы. Общие решения соответствующих уравнений (і2) без правой части находим в следующем виде:

q1 =; = A1 sin (kt + P) = |M A1 sin (kt + P); q2 =f = A2 sin (kt + P) = M2 A1 sin (kt + P); q3 = С = A3 sin (kt + P) = M3 A1 sin (kt + P);

q4 = y = A4sin

q5 = e = A5 sin (kt + P) = M5 A1 sin (kt + P); qб = ф = A^sin (kt + P) = цб A1sin (kt + P); q7 =a = A7 sin (kt + P) = M7 A1 sin (kt + P),

A,

где Mj = —- (J = і,2,...,7).

A1

Значения вторых производных равны:

q1 = ; = A1k2 sin (kt + P) = -|MA1k2 sin (kt + P); q2 =f = A2 k2 sin (kt + P) = -ц2 Alk2 sin (kt + P); q3 = С = A3k2 sin (kt + P) = -Цз A1k2 sin (kt + P);

q4 =K = A4k2 sin

q5 = e = A5k2 sin (kt + P) = -ц5 Ak2 sin (kt + P); qб = ф = Aбk2 sin (kt + P) = —мб A1k2 sin (kt + P); q7 =d = A7 k2 sin (kt + P) = -M7 A1k2 sin (kt + P).

Подставляя зависимости (і4) и (і5) в систему дифференциальных уравнений (і3) без правой части, получим систему алгебраических уравнений:

( - k2M ) + k2B^ + k2B^ = 0;

(2 - k2M )2 - k2B2m4 + k2B3M5 - k2B2mб + k2B4m7 = 0; (3 - k2M )3 - k2B^ - k2B5m7 = 0

Система алгебраических уравнений (16), линейных и однородных относительно неизвестных постоянных Ц (] = 1, 2, ..., 7) может иметь решение, отличное от нуля лишь в том случае, если определитель этой системы равен нулю. Из этого условия получаем следующее уравнение частот свободных колебаний системы:

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль

д(к2 ) =

а1 - к 2м 0 0 к 2 В1 0 к 2 В1 0

0 а2 - к 2м 0 -к 2 В2 к 2 В3 -к 2 В2 к 2 В4

0 0 а3 - к 2м 0 -к 2 В1 0 -к 2 В5

к 2 В1 -к2 В2 0 А - к 2 Вб к 2 В7 £4 - к 2 Вб к 2 В8

0 к 2 В3 -к 2 В к 2 В7 а5 - к Вю £4 + к 2 В7 -а5 - к2в11

к2 в -к 2 В2 0 А - к 2 Вб £4 + к2 В7 А - к2 Вб к 2 В8

0 к 2 В4 -к 2 В5 к 2 В8 -а5 - к2в11 к 2 В8 £7 - к В12

=0.

Уравнение (17) является уравнением седьмой степени относительно к ; из этого уравнения определяем все частоты свободных колебаний системы к ( = 1, 2, ..7), так как к/ - корни уравнения частот.

Определение корней уравнений произведено на ЭВМ при следующих значениях коэффициентов М1, В1, ..., В12, А, • ••, А:

М = (т1 + т2 + т3) = 300 кг;

В1 = (т2 (2 + тз Ус2 ) =0,04 кгм; в2 = (т2(2 + тзхС2) = 4,36 кгм;

В3 = (2( + т3zc^ + т31) = 12,0 кгм;

В4 = т3 2Сз = 0,04 кгм ;

В5 = т3 >С3 = 0,04 кгм;

Вб = (С1 + С2 + С3) = 21,3 кгм2;

В7 = (2 + (3 + т3хС311 = 1,2 кгм2 ;

В8 = £3 = 0,01 кгм2;

В9 = (с + с2) = 4,3 кгм2;

В10 = (( + + (3 + т312 + 2т3I) = 9,51 км

2

В11 = ( + гс31т31 = 0,04 кгм2;

В12 = А3 = 0,15 кгм2;

А = 50 000 Н/м; А = 50 000 Н/м; А = 8000 Н/м;

а4 = (( + р2 хс2 + р3 хс3) = 4 Н/м ;

А = Р3 гс

:0;

а6 = 3кД2 = 8000 Н/м; D7 = са = 2000 Н-м/рад.

Значения коэффициентов жесткости А и А на несколько порядков меньше, чем значения коэффициентов А, А, А, А, А. Вычисление корней определителя (17) показывает, что значения А и А практически не влияют на собственные частоты колебания системы, поэтому примем А = А = 0. Тогда определитель (17) будет иметь вид

Д - к 2М 0 0 к 2 В1 0 к 2 В1 0

0 Д - к 2М 0 -к 2 В2 к 2 Въ -к 2 В2 к 2 В4

0 0 Д - к 2М 0 -к 2 В1 0 -к 2 В5

к 2 В1 -к 2 В2 0 -к 2 В6 к 2 В7 -к 2 В6 к 2 В8

0 к 2 Въ -к 2 В1 к 2 В7 Д - к Вю к 2 В7 -к 2 Вп

к 2 В1 -к 2 В2 0 -к 2 В6 к 2 В7 -к 2 В6 к 2 В8

0 к 2 В4 -к 2 В5 к 2 В8 -к 2 Вп к 2 В8 Д7 - к В12

= 0.

Анализ определителя показывает, что 4-я и 6-я строки и 4-й и 6-й столбцы одинаковы, следовательно, и уравнения движения по обобщенным координатам ф и ^ будут одинаковыми, что обусловлено: во-первых, линеаризацией дифференциальных уравнений; во-вторых, принятием Д4 = Д6 = 0.

На основании сказанного сведем определитель (19) к 6-му порядку (20) путем исключения 6-го столбца и 6-й строки. В этом определителе и дальнейших выкладках значение Д7 заменено на Д6.

Д - к 2М 0 0 к 2 В1 0 0

0 Д - к 2М 0 -к 2 В2 к 2 Въ -к 2 В4

0 0 Д - к 2М 0 -к 2 В1 -к 2 В5

к 2 В1 -к 2 В2 0 Д - к2 В6 к 2 В7 к 2 В8

0 к 2 Въ -к 2 В1 к 2 В7 Д - к Вю к В11

0 к 2 В4 -к 2 В5 к 2 В8 -к В11 вВ 2 к 1 6

= 0.

Для надежной и устойчивой работы балансировочного станка необходимо определить собственные частоты к1, ..., к6 и исследовать их поведение в зависимости от физических параметров колеблющейся системы.

Параметры системы определяются совокупностью коэффициентов В1, ..., В12 и ..., Д6,

которые, в свою очередь, зависят от формы, масс и распределения масс тел системы, а именно:

т, хс,., Ус,., гс,., с, 4 ( =1..., 3), 1, ^ Р.

Наличие большого количества факторов, влияющих на собственные частоты системы, представляет задачу практически невыполнимой. На основании анализа определителя (20) выявлены только те параметры системы, которые существенно влияют на собственные частоты

кь ..., к6.

Анализ точного определения значений к (, = 1, ..., 6) показывает, что члены, не лежащие на главной диагонали определителя, ввиду их малости практически не влияют на к,. Поэтому в первом приближении с достаточной для практических расчетов точностью значения к, можно определить из выражения, представленного произведением главных элементов диагонали определителя (20), т.е.

Откуда получим приближенные значения к':

Из сравнения значений к', приведенных в [5], со значениями, вычисленными по определителю (20), видно, что ошибка приближенного вычисления не превышает 1 %. Анализ пока-

. Управление. Контроль

зывает, что существенно влияют на собственные частоты коэффициенты жесткости А, А.

Это влияние отражено в графиках кі = ДА, ., А).

При этом установлено, что изменение жесткости в направлении одной из обобщенных координат несущественно влияет на собственные частоты по другим обобщенным координатам, что обусловлено сравнительно малыми коэффициентами определителя (20), не лежащими на главной диагонали.

Вторым фактором, влияющим на кі по приближенным выражениям (22), являются суммарные коэффициенты:

М = т1 + т2 + т3;

Б6 = сі + С2 + Сз;

Бю = Аі + А2 + Аз + тз/2 + 2тз /;

Бі2 = A3,

увеличение которых ведет к уменьшению собственных частот колебаний системы. Для надежной и устойчивой работы балансировочного станка определены собственные частоты к1, ..., к6 и амплитуды вынужденных колебаний колеблющейся системы в зависимости от ее физических параметров. Анализ показывает, что коэффициенты жесткости пружин А, • ••, А существенно влияют на собственные частоты. Это влияние отражено в графиках к = ДА, ., А).

Результаты вычисления амплитуды обобщенных координат приведены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты расчета значений обобщенных координат

Р, 1/с 4, м Л, м С, м фв, рад 0в, рад «в, рад

20.0000000 0 -0.7088417Е-04 0.3410730Е-02 -0.2119076Е-04 -0.1518960Е-00 0.2701907Е-01 0.7938468Е-03

21.0000000 0 -0.1141215Е-04 0.6449048Е-03 -0.5049223Е-05 -0.6647128Е-01 0.68038113Е-02 0.2113144Е-03

22.0000000 0 0.3036039Е-05 -0.2304004Е-03 0.2296500Е-05 -0.4560277Е-01 -0.2982209Е-02 -0.1066814Е-03

23.0000000 0 0.8227464Е-05 -0.1259567Е-02 0.1627050Е-04 -0.3804761Е-01 -0.2126479Е-01 -0.8342064Е-03

24.0000000 0 0.3498602Е-04 0.9740334Е-02 -0.1678607Е-03 0.9605959Е-03 0.2204834Е-00 0.9450950Е-02

25.0000000 0 0.1956524Е-04 0.9704130Е-03 -0.2340641Е-04 -0.2143470Е-01 0.3086028Е-01 0.1440610Е-02

Анализ полученных графиков ав позволяет утверждать, что математическое описание модели при принятых допущениях приемлемо. Впервые предложенный способ балансировки роторов методом малых угловых колебаний открывает большие возможности по упрощению контроля их параметров и повышению безопасности.

Рациональные рабочие частоты кинематического возбуждения системы находятся в диапазонах: 11...18 1/с; 25...80 1/с; 155...295 1/с.

Выводы

1. Для обеспечения безопасности роторов предложен научно-методический аппарат, в основе которого лежат разбиение технической системы на характеристические звенья и переход от показателей безопасности к показателям риска, которые в упрощенном виде позволяют определить безопасность всей системы на этапе ее проектирования.

2. Проведен мониторинг образования и контроля динамической неуравновешенности роторов при их изготовлении и ее влияния на поведение ротора в рабочем состоянии.

3. Разработана математическая модель движения неуравновешенного ротора на упругом подвесе, которая позволила с помощью ЭВМ при заданных массово-жесткостных параметрах механической системы определить рабочие характеристики балансировочного оборудования. Правильность результатов исследований подтверждена экспериментальными данными при контроле дисбалансов роторов на действующем макете. Впервые предложенный способ балансировки роторов методом малых угловых колебаний открывает большие возможности по упрощению контроля их параметров и повышению его безопасности.

24

Измерение. Мониторинг

Список литературы

1. Основы балансировочной техники : в 2 т. / под общ. ред. В. А. Щепетильникова. - М. : Машиностроение, 1975. - 679 с.

2. Использование автоматической подачи уравновешивающей массы при балансировке

цилиндрических тел вращения / Н. Н. Вершинин, О. Е. Безбородова, Д. П. Грузин //

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 2 (8). - С. 31-35.

3. Вершинин, Н. Н. Гибкие автоматизированные производства в радиоаппарато- и приборостроении / Н. Н. Вершинин, В. Е. Мячин, В. В. Пузарин // Опыт создания и применения автоматических систем уравновешивания деталей и узлов для условий гибкого автоматического производства / под ред. Б. Н. Деньдобренко. - Л. : ЛДНТП, Знания, 1984. - С. 57-61.

4. Вершинин, Н. Н. Технологический контроль динамической неуравновешенности артиллерийских снарядов методом малых угловых колебаний / Н. Н. Вершинин. - Пенза : Изд-во ПГУ, 1999. - 148 с.

5. Ганиев, Р. Ф. Колебания твердых тел / Р. Ф. Ганиев, В. О. Кононенко. - М. : Наука,

1976. - 432 с.

6. Чуфистов, Е. А. Конструкторско-технологическое повышение надежности подшипниковых узлов коленчатых валов среднеоборотных дизельных двигателей / Е. А. Чуфистов, Н. В. Родайкин, О. Е. Чуфистов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 2. - С. 156-165.

7. Брякин, А. Л. Двухкоординатный датчик положения / А. Л. Брякин, В. В. Кожевников, С. В. Кочкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - № 4. - С. 225-236.

Вершинин Николай Николаевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой техносферной безопасности,

Пензенский государственный университет E-mail: nvershinin@yndex.ru

Безбородова Оксана Евгеньевна

кандидат технических наук, доцент, заместитель заведующего кафедрой техносферной безопасности,

Пензенский государственный университет E-mail: ot@pnzgu.ru

Грузин Дмитрий Павлович

доцент,

заместитель заведующего кафедрой техносферной безопасности,

Пензенский государственный университет E-mail: ot@pnzgu.ru

Авдонина Любовь Александровна

аспирант,

кафедра техносферной безопасности, Пензенский государственный университет E-mail: laviks@yandex.ru

Vershinin Nikolay Nikolaevich

doctor of technical sciences, professor,

head of sub-department of technospheric security,

Penza State University

Bezborodova Oksana Evgen'evna

candidate of technical sciences, associate professor, deputy head of sub-department of technospheric security,

Penza State University

Gruzin Dmitriy Pavlovich

associate professor,

deputy head of sub-department

of technospheric security,

Penza State University

Avdonina Lyubov' Aleksandrovna

postgraduate student,

sub-department of technospheric security,

Penza State University

УДК 621.317 Вершинин, Н. Н.

Исследование динамики балансировочного станка для измерения массово-геометрических параметров тел вращения / Н. Н. Вершинин, О. Е. Безбородова, Д. П. Грузин, Л. А. Авдонина // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 3 (9). - С. 16-25.