Анализ цветных объектов с позиции стохастической геометрии и функционального анализа

Федотов Н. Г., Голдуева Д. А.

Пензенский государственный университет

АНАЛИЗЦВЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПОЗИЦИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Рост числа онкологических заболеваний обуславливает необходимость развития методов их ранней диагностики. Высокую степень достоверности имеет гистологический анализ. Квалифицированный врач на основе своего многолетнего опыта может по изображению гистологического препарата сделать экспертное заключение о наличии и типе заболевания. Однако в силу огромного разнообразия форм заболеваний, многочисленности имеющихся эталонных образцов изображений возможны экспертные ошибки. Кроме того, число специалистов-экспертов столь высокого класса невелико. В связи с этим для распознавания гистологических изображений целесообразно построить автоматизированную систему с высокой надежностью принятия решения.

Интерпретации гистологических препаратов тканей щитовидной железы представляют собой цветные, многокомпонентные, семантически насыщенные изображения.

Рисунок 1 - Примеры гистологических изображений

Гистологические изображения получают под микроскопом при увеличении в диапазоне от 50 до 1000-кратного, при этом каждый шаг увеличения дает свою долю диагностической информации. При 400-кратном увеличении основными выделяемыми объектами являются фолликулы и ядра.

В научной школе под руководством профессора Федотова Н.Г. задача анализа подобных изображений рассматривалась с позиции стохастической геометрии и функционального анализа [1] . В силу того, что метод распознавания образов, основанный на аппарате стохастической геометрии и функционально-го анализа, разработан лишь для бинарных и полутоновых изображений, исследуемые гистологические объекты приводились к бинарному или полутоновому виду [2, 3]. При этом теряется часть информации,

которую несет в себе цвет. В данной статье изложены основные идеи распространения теории распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа на анализ цветных изображений.

Формирование триплетных признаков изображений

Ключевым элементом теории распознавания образов, основанной на аппарате стохастической геометрии и функционального анализа, является применение нового класса признаков изображений - триплетных признаков [1]. Подобные признаки имеют структуру в виде композиции трех функционалов:

П (F) = © P о T(F п l(ф) ,

где 0,р - полярные координаты сканирующей прямой 1(0,р), с которыми связаны функционалы © и P соответственно; функционал T связан с параметром t, задающим точку на сканирующей прямой 1(0,р); F(x, у) - функция изображения на плоскости (х, у) . Подобное представление признака оказалось продуктивным в силу своей геометричности: многие известные формулы стохастической геометрии и из-

вестные преобразования Радона, Хо, Фурье и других укладываются в такую трехкомпонентную форму. В связи с характерной структурой такие признаки были названы триплетными. Функционал Т называют трейс-функционалом; P - диаметральным функционалом; © - круговым функционалом.

Первым этапом формирования триплетного признака является геометрическое трейс-преобразование изображения, предполагающее сканирование изображения по сложным траекториям.

Наибольшее применение в прикладных исследованиях нашел вариант сканирования изображения совокупностью дискретных решеток. Изображение F(x, у) на входной сетчатке распознающей системы сканируется решеткой параллельных прямых, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии Др. Далее сканирование производится для нового значения угла, получившего дискретное приращение Д0, решеткой линий с тем же расстоянием Др между линиями.

Рассмотрим функцию трех независимых переменных:

1(0, р, t) = (рСОБ 0 - tsin0, рБ1П0 + tcos0) .

Это естественное параметрическое представление сканирующей прямой. Параметр t связан с естественной одномерной системой координат на прямой.

Каждой точке t сканирующей прямой 1( 0, р, t) ставится в соответствие число из множества {0, 1} согласно следующему правилу:

^

1; t е F п l, 0; t £ F п l.

Посредством первого из тройки, образующей триплетный признак, функционала T получаем некоторую характеристику g взаимного расположения сканирующей прямой 1(0, р) и изображения F, т.е. g(0, р) = T(F пl(6,р)) = Tf(0, р, t).

В качестве такой характеристики может выступать число пересечений прямой с изображением, свойства окрестности такого пересечения и т.п. В простейшем случае функционал Tf(0, р, t) может быть суммой длин ненулевых отрезков в области определения функции f(0, р, t).

Совокупность характеристик g(0j, pi) взаимного расположения всех возможных сканирующих прямых l(0j, pi) и изображения F(x, у) образует трейс-матрицу, элемент T(0j, pi, t) которой есть значение функционала Т, характеризующее взаимное расположение исследуемого изображения F(x, у) и сканирующей линии 1 с i-м значением параметра р и j-м значением параметра 0 [1].

Трейс-матрица 2п-периодична в направлении горизонтальной осиО0, причем через каждый интервал длины п столбцы ее переворачиваются. Этообъясняется тем, что множество сканирующих прямых составляют неориентированные прямые, т.е. прямые с координатами (0,р) и (0+п, -р) на плоскости изображения задают одну и ту же прямую.Таким образом, первоначальному образу F(x, у) можно поставить в соответствие новое изображение Я(0,р), цвет (или яркость) в каждой точке (0^р^ которого определяется числом T(0j, р^ t). Полученный образ есть трейс-трансформанта.

Преобразование, переводящее исходное изображение в трейс-трансформанту, есть трейс-

преобразование.

Если выбрать в качестве Т функционала суммарную длину пересечения Tf(0, р, t) = I x, то в

i

этом частном случае трейс-преобразование совпадает с преобразованием Радона для бинарных изображений .

Следует отметить, что при определенном выборе Т функционала трейс-преобразование становится эквивалентным преобразованиям Фурье, Хо, Радона-Хо, но не совпадает с ними [1, 2].

Трейс-преобразование является эффективным инструментом при изучении движений распознаваемых объектов и их масштабных изменений. Это объясняется тем, что трейс-трансформанта сохраняет информацию о первоначальном объекте, т.е. тип трейс-матрицы не изменяется под действием группы движений (поворота, переноса) и гомотетии, но каждое из этих преобразований вносит свою характерную компоненту при формировании трейс-трансформанты. А именно: при повороте исходного изображения на некоторый угол азначения трейс-матрицы остаются такими же, а ее столбцы претерпевают циклический сдвиг вдоль горизонтальной осиО0 на величину угла поворота а; при переносе исходного изображения на некоторый вектор значения трейс-матрицы остаются такими же, а числа в столбцах сдвигаются вверх или вниз; при гомотетии с коэффициентом к> 1, т.е. образ увеличен по сравнению с оригиналом, диапазон р трейс-матрицы будет расширен в к раз,

в случае сжатия (к< 1) диапазон значений р сужен.

Дальнейшее вычисление признака заключается в последовательной свертке столбцов трейс-матрицы с помощью диаметрального

функционала Р.

Пусть

' 9{0ь Pi) 9(въ Pi)  9(0п, Pi)"

А = 9(0л, Pi) 9(02, Pi)  9(0n, Pi) _

,90 Pm) 90 Pm)  90 Pm),

трейс-матрица исходного изображения, в j-м столбце которой расположены значения Т функционала, характеризующие взаимное расположение образа со всеми возможными сканирующими прямыми одной решетки с угловым параметром 0j. В i-й строке подобной матрицы расположены значения Т функционала, характеризующие взаимное расположение образа со всеми возможными сканирующими прямыми 1(0,р),

параметр р которых равен р^ т.е.д(0^р^ = T (F П / 0, Pi)) ,

Последовательно к каждому столбцу данной матрицы применим Р функционал, зависящий от параметра р. Под его действием каждый столбец трейс-матрицы преобразуется в действительное число. Таким образом, результат применения диаметрального функционала к трейс-матрице в дискретном варианте есть вектор, i-й элемент которого есть значение Р функционала для элементов i-го столбца трейс-матрицы. Результат применения диаметрального функционала к трейс-трансформанте есть 2п-периодическая кривая, зависящая от параметра 0, h(0) = P(g(0, р)). Сам функционалР назван диаметральным в силу того, что параметр р принимает наибольшие значения в диагональных точках изображения, соответствующих диаметру сетчатки.

Последний этап формирования признака связан с 0 функционалом, зависящим от параметра 0. Функционал 0 множеству элементов вектора (или множеству точек кривой h(0)), полученного на предыдущем этапе, ставит в соответствие некоторое действительное число, которое равно значению триплетного признака.

Функционал 0 будем называть круговым, так как область определения кривой h(0) 2п(0 < 0 < 2 п).

Таким образом, П ( F ) = 0(h(0))= 0 ◦ P(g(0, р)) = 0 ◦ P ◦ T (F П / (0j, Pi)) .

Для обработки цветных изображений необходимо изменить Т-функционал. Для случая, когда признак вычисляется только для одной компоненты цвета (независимо от цветового пространства БОБ.ЫБУили др.), пересечение сканирующей прямой с изображением описывают две функции:

fi

1; t е F п/, 0; t е F п /

и

f 2

i; t е F п /, 0; t е F п /,

где i - значение яркости в точке t.

Если пересечение сканирующей прямой с изображением описывается функцией Д(0,р, t), то формируемый на её основе признак будет характеризовать геометрические особенности изображения. Если пересечение сканирующей прямой с изображением описывается функцией Г2(0,р, t), то формируемый на её основе признак будет характеризовать яркостные особенности изображения.

Если признак вычисляется на основе всех компонент цвета, то пересечение сканирующей прямой и изображения описывают функция^( 0, р, t) и три функции Г21(0,р, t), Г22(0,р, ^и Г2э(0,р, t),каждая из которых представляет отдельную цветовую компоненту. В качестве характеристики Xi однородных по

яркости отрезков сканирующей прямой может выступать относительная яркость отрезка. Пусть i максимальная яркость однородного по яркости отрезка сканирующей прямой. Тогда

Z'

П  lm

Заключение

Потенциально, вычисление признака цветного изображения позволяет получить более высокую точность распознавания и большее быстродействие алгоритма, обусловленное однократной обработкой изображения. Теория триплетных признаков обнаруживает высокую эффективность применительно к анализу полутоновых изображений [2, 3]. Триплетные признаки изображений были совсем недавно применены к

цветным изображениям и многие вопросы еще требуют глубокой проработки и формализации. Тем не менее, уже сегодня можно отметить, что данный подход позволяет дать численную характеристику изменениям цвета объекта: обеспечивает вычисление всех геометрических признаков, которые могут быть

получены при обработке бинарных изображений.

Применение теории триплетных признаков к цветным гистологическим изображениям позволяет описать как геометрические особенности подобных объектов, так и особенности их цвета.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-07-00089

к

к =1

ЛИТЕРАТУРА

1. Федотов Н.Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. Москва: Радио и связь, 1990. - 144с.

2. Федотов Н. Г. Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 304 с.

3. Федотов Н.Г., Мокшанина Д.А., Романов С. В. Анализ текстур гистологических изображений. Математические методы распознавания образов (ММРО-14) : труды Всероссийской конференции. - М. : МАКС Пресс, 2009. - С. 611-613.