Эквивалентности универсальных алгебр, индуцированные сопряжением их производных структур

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 27-33.

УДК 519:48 А.Г. Пинус

ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР, ИНДУЦИРОВАННЫЕ СОПРЯЖЕНИЕМ ИХ ПРОИЗВОДНЫХ СТРУКТУР*

Производные структуры универсальных алгебр (их решетки подалгебр, конгруэн-ций, группы автоморфизмов, полугруппы эндоморфизмов и т. д.) - один из классических инструментов исследования строения и классификации таковых. В статье рассматриваются результаты взаимосвязи универсальных алгебр, имеющих производные структуры, сопряженные некоторой биекцией между основными множествами этих алгебр.

Ключевые слова: универсальная алгебра, решетки подалгебр, решетки конгруэнций, группа автоморфизмов, полугруппа эндоморфизмов, логический язык.

Производные структуры как универсальных, так и классических алгебр - один из инструментов исследования строения и классификации таковых. Как правило, производными структурами являются классические алгебры (группы, полугруппы, кольца, решетки и т. д.), некоторым естественным каноническим образом конструируемые по исходным алгебрам и в значительной мере отражающие существенные свойства этих исходных алгебр. К наиболее распространенным производным структурам алгебр относятся их решетки подалгебр Sub A, конгруэнций Con A, толерантно-стей Tol A, слабых конгруэнций Wcon A, группы автоморфизмов Aut A, полугруппы эндоморфизмов End A, внутренних изоморфизмов Iso A, внутренних гомоморфизмов Ihm A, решетки частичных порядков алгебр Ord A, квазипорядков Qord A и др. Подробнее см. [1]. Экстремальной ситуацией является та, когда для некоторого класса алгебр K та или иная производная структура S (a, индуцированная алгебрами из класса K, однозначно определяет эту алгебру (с точностью до изоморфизма) в классе K, т. е. когда совпадение структур S (Ad) и S (ai) (с точностью до сопряжения их некоторой биекцией П основных множеств алгебр a0, a1 из K) влечет изоморфизм этих алгебр Ad и a1 с помощью этой биекции П .

Роль отношения изоморфизма для алгебр a0 и a1 различных сигнатур в значительной мере наследует отношение рациональной эквивалентности алгебр, введенное А.И. Мальцевым [2]: когда с точностью до сопряжения некоторой биекцией между основными множествами алгебр Ad и a1 сигнатурные функции алгебры ai являются термальными функциями алгебры a1-¡ (для i = 0,1).

Для любой универсальной алгебры a= < Л;0 > через Tr A обозначим совокупность всех термальных функций алгебры A. Как известно, эта совокупность является функциональным клоном. Напомним, что Галуа-замыканием Loc F функционального клона F на множестве называется совокупность функций {f | f : Am ^ A и для любого конечного B ^ Am существует g G F такая, что f Г4 B = g f4 B, m G w} . Для любого функционального клона F на множестве Л через Inv F обозначим совокуп-

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, государственное задание № 2014/138, проект 1052.

© А.Г. Пинус, 2014

ность всех отношений на множестве А, стабильных относительно функций из Р. При этом т-местное отношение Ы на множестве А стабильно относительно п-местной функции /, определенной на А, если для любой матрицы

a , — a

V ml mn J

элементов множества A такой, что все ее столбцы связаны отношением R (т. е. такой,

что R(ali,..., ami) истинно для l < i < n ), имеет место и отношение

R (f ^П — ain X..., f (aml' ...' amn )) .

Алгебры A= < a0;ct0 > и ai= < Al;cl >

назовем локально рационально эквивалентными, если рационально эквивалентны

их Галуа-обогащения A0 = < A0; LocTra0 >

и A = < Al; LocTr Al > или, иначе, если существует биекция П множества a на множество A такая, что для любого конечного

B ^ Am (Г0 -функции, ограниченные на B, П -сопряжены с какими-либо термальными функциями алгебры a, и обратное: Ol -

функции, ограниченные на п(В) П 1, сопряжены с какими-либо термальными функциями алгебры a, ограниченными на B.

Как хорошо известно (см., к примеру, [1]), производной структурой, определяющей Га-

луа обогащение A0 = < A;LocTra > алгебры

A с точностью до рациональной эквивалентности (саму алгебру A с точностью до локальной рациональной эквивалентности), является модель < A;InvTra > . Совокупность InvTra включает в себя все отношения входящие в Suba, Cona, Tola, и графики отображений, входящих в Auta, End a, Isoa, и т. д. Однако эта модель не является никакой из классических алгебр (ни группой, ни полугруппой, ни решеткой и т. д.) относительно естественным образом определимых на ней операций, что затрудняет непосредственную работу с этой совокупностью.

Ограничиваясь вместо модели

< A;InvTra > отношениями или отображениями, входящими в те или иные производные структуры алгебр, получаем, что сопряжение этих структур биекциями П между основными множествами алгебр a= < a0;ct0 > и ai= < Al;ctl > индуцирует

некоторые иные (отличные от рациональной эквивалентности) отношения эквивалентности между алгебрами (в том числе и отлич-

ных друг от друга сигнатур), которые также могут быть переформулированы в таком виде, что сигнатурные функции каждой из этих алгебр а сопряжены данной биекцией П с некоторыми функциями на множестве Аы, в том или ином смысле определимыми в рамках алгебры аы (для 1 = 0,1).

Напомним, что биекция П множества А0 на множество А1 сопрягает отношения

Ыо (X,..., Хп) и К (Х,..., Хп ) (функции

/о(Х1>-"> Хп) и ./¡(Х1,..., Хп) ) на множествах А0 и А1 соответственно, если для любых al,...,ап е Ао

Ко

(/0(al,..., ап ) = П (/1 (п(а1 ),..., П(ап ))) .

Теперь уточним понятие определимой на алгебре а функции. Пусть Ь - некоторый формальный логический язык (или фрагмент подобного языка) - язык логики первого порядка Ьош или язык логики второго

порядка Ь2 или язык бесконечно длинных формул Ьт т и т. д. Тогда некоторая функция /(Х1,..., Хп ) , заданная на основном множестве А алгебры а= < А;о> , называется Ь - определимой в а, если существует Ь -формула Ф(Х1,..., Хп, у) сигнатуры 8

такая, что для любых а1,..., ап, Ь е А

/ ап ) = Ь « А 1= Ф an, Ь) .

Очевидным образом любая Ь -определимая на алгебре А функция /(Х1,..., Хп) коммутирует с любым автоморфизмом алгебры А, т. е. график / стабилен относительно автоморфизмов алгебры а. Совокупность всех функций, определенных на основном множестве алгебры а= < А; О > и коммутирующих с ее автоморфизмами, обозначим как 81аЬЛМа . Очевидно, что если язык Ь является по крайней мере расширением языка Ьош (т. е. правила построения Ь -формул включают в себя правила построения Ьош -формул), то совокупность Ь — Бв/ а Ь -определимых на алгебре А функций является функциональным клоном.

Хорошо известна следующая теорема

Скотта о -теориях счетных моделей.

Теорема Скотта [3]. Для любой счетной модели а= < А; О > не более чем счетной сигнатуры существует Ь -формула ФА такая,

что для любой счетной модели B =< В;о> следующие условия равносильны:

1) Б =Ф,;

2) Б = А.

Непосредственно (для конечных алгебр А и как следствие теоремы Скотта (для счетных алгебр) доказывается теорема 1.

Теорема 1 [4]. Для любой счетной, не более чем счетной сигнатуры (конечной) алгебры А имеют место равенства

ЬЩ1В — Бе/а = БгаЪАша

(Ьаш — Бе/а = &аЪАиы).

Следствие 1 [4]. Биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур (конечных) алгебр А0= < Л0;о0 > и а1= < Л1;о1 > сопрягает

группы их автоморфизмов Аи(А0 и АШа1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций — Бе/ А0 и

Ьщю —Бе/а0 (Ьош — Бе/а и Ьош — Бе/А),

т. е. когда сигнатурные функции алгебры а сопряжены биекцией П с Ь — Бе/а— -

(Ьош — Бе/ а— -) функциями (для [ = 0,1).

Под явной Ь - схемой сигнатуры О (дизъюнктной явной Ь -схемой) для алгебры а= < Л;о > будем понимать Ь -формулу следующего вида:

(*) &(ф г (*1>...> *„ ) ^ У = ( *1,..> )) ,

ге!

где

ге1

и формулы

УХ1,..., Хп (фг ( Х1,..., Хп )& ф ; ( Х1,..., Хп ) ^

^ 1г

(фг (Х13..., Хп) и ф; (Х13..., Хп) несовместны) для любых г Ф ] из I .

Функцию /(Х1,.., Хп) на основном множестве алгебры а= < Л; О > назовем явной Ь -определимой, если она Ь -определима на А с помощью некоторой явной Ь -схемы. Очевидно, что подалгебры алгебры А замкнуты (стабильны) относительно любой явно Ь -определимой на А функции. Клон явно Ь -определимых функций на А обозначим как Е8Тьа , а клон всех функций на основном множестве алгебры А относительно которых замкнуты все ее подалгебры - как

^аЪ^Ъа.

Теорема 2 [4]. Для любой счетной, не более чем счетной сигнатуры (конечной) алгебры A имеют место равенства

ECTr a = StabAuta П StabSuba,

L010

(ECTr a = StabAuta П StabSuba).

y L0(0) '

Следствие 2 [4]. Биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур (конечных) алгебр

A0= < Л0;ст0 > и ai= < Л1;0"1 > сопрягает

группы их автоморфизмов Auta0 и Auta1

и решетки их подалгебр Suba0 и Suba1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций ECT a0 и

La\m 0

ECT a (ECT a0 и ECT A), т. е. ко-

ь010> 1 Lmm 0 Looo 1

гда сигнатурные функции алгебры ai сопряжены биекцией П с ECTL a1. -

( ECTl a\ - -) функциями (для i = 0,1).

L((0> 1 г

Явную L -схему сигнатуры О назовем

позитивной явной L - схемой, если формулы являются позитивными, т. е. не содержат в себе ни импликаций, ни отрицаний. Клон позитивно явно L -определимых функций для алгебры A обозначим как PCTla. Очевидно, что любая позитивно явно L -определимая для алгебры A функция коммутирует с любым эндоморфизмом A на a. Клон последних функций обозначим как StabEpia .

Аналогично теореме Скотта имеет место следующая теорема.

Теорема 3 [4]. Для любой счетной модели a= < Л;ст> не более чем счетной сигнатуры существует позитивная L((-формула

Ф^ такая, что для любой счетной модели

B =< Б;ст>

следующие условия равносиль-

1) Б =ф+ ;

2) Б является гомоморфным образом модели А.

На основе этого утверждения доказывается следующая теорема.

Теорема 4 [4]. Для любой счетной, не более чем счетной сигнатуры (конечной) алгебры А имеют место равенства

РСТ^а = 8(аЪЕрга П ШаЪЪиЪа, (РСТЬ а = 8(аЪЕр1а П ЫаЪЪиЪа).

Следствие 3 [4]. Биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур (конечных) алгебр А0= < Л0;о0 > и а1= < Л1;о1 > сопрягает

ны

полугруппы их эндоморфизмов на самих себя Epia0 и Epia] и решетки их подалгебр Suba0 и Suba] тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций

pctt a0 и pctt a ( pctt л и

PCT A),

т. е. когда сигнатурные функции алгебры a сопряжены биекцией П с PCTL a-i (PCTL a-i -) функциями (для i = 0,1).

Напомним, что для любой алгебры a= < A;o> подмножество B ^ An называется алгебраическим, если B суть совокупность решений некоторой (возможно, бесконечной) системы термальных уравнений

[ t] (x,•••, xn) = tf(x , •••, xn) I i G I} сигнатуры О. Совокупность Alga всех алгебраических множеств алгебры A также можно рассматривать как некоторую производную структуру для алгебры A (в частности, как некоторую последовательность решеток). В работе [6] доказано, что если биекция П между основными множествами алгебр A0= < A0;o0 > и a1= < Aj;o > сопрягает

совокупности Alga0 и Alga , то она сопрягает и полугруппы Enda0 и End a . Тем

самым формулировка следствия 3 допускает корректировку в виде: если биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур алгебр

A0= < A0;o0 > и a1= < ajoj > сопрягает совокупности их алгебраических множеств и решетки их подалгебр Suba0 и Sub a , то она сопрягает и совокупности функций PCTt a0 и PCTt a, т. е. тогда сигнатурные функции алгебры Ai сопряжены биек-цией П с PCTt a-i функциями (для i = 0,1).

Из известного описания А.И. Мальцевым [5] главных конгруэнций универсальных алгебр непосредственно следует, что для любой не более чем счетной сигнатуры О существует Ьщю -формула в

такая, что для любой алгебры a= < A;о > и любых ее элементов a, b, С, d включение

< a, b >G d^d равносильно истинности на A

формулы 0(a, b, С, d) . Здесь 0cd - главная

конгруэнция на A, порожденная парой

< c, d >.

Явную (позитивно явную) Ь -схему (*) для алгебры А назовем явной (позитивно явной) конгруэнц-Ь -схемой, если на А истинны формулы

Vх!,..., хп, х'к (ф (X!,..., х,хп )&

&Ф ] (х^.., х' хп ) ^

( X1,..., х' — хп X 1] (х1,..., хк,..., хп X хк, хк )Х

для любых ^ j из I и 1 < к < п .

В силу того, что любая конгруэнция алгебры А есть объединение входящих в нее главных конгруэнций, очевидно, что конгруэнции алгебры А стабильны относительно любых функций на А, определимых с помощью явных конгруэнц-схем. Непосредственно на основе теорем 2 и 4 замечается и обратное, т. е. то, что любая функция

/(х1,..., хп) на основном множестве счетной, не более чем счетной сигнатуры алгебры А, коммутирующая со всеми ее автоморфизмами (эндоморфизмами), относительно которой стабильны все подалгебры и все конгруэнции алгебры А, определима на А с помощью некоторой явной (позитивной явной) конгруэнц- -схемы (Ьюю -схемы для конечной а).

Через ЕССТьа (РССТьа) обозначим

клон функций, определимых на алгебре А, с помощью некоторой явной (позитивно явной) конгруэнц- Ь -схемы, а через 81аЬСопа -клон всех функций на А, относительно которых стабильна любая конгруэнция на А.

В силу замеченного выше имеет место следующая теорема.

Теорема 5 [6]. Для любой счетной, не более чем счетной сигнатуры (конечной) алгебры А имеют место равенства:

а) ЕССТГ а =

= 81аЬЛыа П $>1аЬ$иЬа П 81аЬСопа

(ЕССТг а =

= 81аЬЛыа П $>1аЬ$иЬа П 81аЬСопа);

б) РССТГ а =

= 81аЬЕр1а П $>1аЬ$иЬа П 81аЬСопа (РССГТ а =

= 81аЬЕр1а П $>1аЬ$иЬа П 81аЬСопа).

Следствие 4 [6]. А. Биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур (конечных) алгебр

а= < Л0;ст0 > и а1= < > сопрягает

группы их автоморфизмов Ли1а0 и Ли1а1, решетки их подалгебр 8иЬа0 и 8иЬа1 и

конгруэнций Сопа0, Сопа1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности

и

функций ECCTT А0

ecctt а

Ta>ia 1

(ECCTL a и ECCTL a1 ), т. е. когда

сиг-

натурные функции алгебры А сопряжены биекцией П с ЕССТт а, -

ь(О 1 1 ьОО 1 1

функциями для 1 = 0,1.

Б. Биекция П между основными множествами счетных, не более чем счетных сигнатур (конечных) алгебр а= < А0; СГ0 > и

а1= < А1;ст1 > сопрягает полугруппы их эндоморфизмов на себя Ер1а0 и Ерга1 , решетки их подалгебр 8иЬа0 и 8иЬа1 и конгруэнций Сопа0 , Сопа1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций РССТт а0 и РССТт А

ьО\О 0 ьО\О 1

(РССТт а0 и РССТт А), т. е. когда сиг-

ЬО(О 0 ЬОО 1

натурные функции алгебры а сопряжены биекцией П с РССТт а,- -

ьО\О 1 1 ьОО 1

функциями для 1 = 0,1.

Явная ЬОО -схема (позитивная явная

ЬОО -схема) называется условным (позитивно условным) термом, если формулы Ф,

(, е I) являются бескванторными и дизъюнктными (позитивными бескванторными). Соответствующие явно Ь -определимые функции называются условно термальными (позитивно условно термальными), а их совокупности обозначим как СТа и РСТа соответственно. Напомним, что внутренним изоморфизмом алгебры А (ее внутренним гомоморфизмом) называется любой изоморфизм между ее подалгебрами (любой гомоморфизм одной ее подалгебры на другую).

Очевидным образом условно термальные (позитивно условно термальные) функции алгебры А сохраняют графики внутренних изоморфизмов (гомоморфизмов) алгебры а т. е., в частности, графики всех автоморфизмов (эндоморфизмов) алгебры А и все ее подалгебры. Совокупность функций на основном множестве алгебры А, которые сохраняют ее внутренние изоморфизмы (гомоморфизмы), обозначим как ^оЬ^оа

(StaЬIhma).

Напомним, что алгебра а= < А;ст> называется равномерно локально конечной, если существует функция ^ О такая, что для любых В ^ А и п е О неравенство

| B |< n влечет неравенство |< B > А|< h(n) ,

здесь < B > а - подалгебра алгебры а порожденная множеством B.

Теорема 6 [7-9] А. Для любой конечной (равномерно локально конечной, конечной сигнатуры) алгебры А имеет место равенство

CTa = StabIsoa.

Б. Для любой конечной (равномерно локально конечной, конечной сигнатуры) алгебры A имеет место равенство

PCTa = StabIhma.

Следствие 5 [7-9] А. Биекция П между основными множествами конечных (равномерно локально конечных конечной сигнатуры) алгебр Ао= < A0; cr0 > и ai = < A1; <J1 >

сопрягает полугруппы Isoa, и Isoa1 тогда

и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций CTa0 и CTa1, т. е. когда сигнатурные функции алгебры a сопряжены биекцией П с CT а1-i -функциями

для i = 0,1.

Б. Биекция П между основными множествами конечных (равномерно локально конечных конечной сигнатуры) алгебр

А= < А0;ст0 > и a1= < A1;c1 > сопрягает полугруппы Ihma0 и Ihma1 тогда и только

тогда, когда она сопрягает совокупности функций PCTa0 и PCTa1, т. е. когда сигнатурные функции алгебры Ai сопряжены биекцией П с PCTa1 i -функциями для i = 0,1.

В приведенных выше результатах, начиная с теоремы 1, взаимосвязь между алгебрами с сопряженными производными структурами была выражена в рамках определимости сигнатурных функций любой из них с помощью формул логических языков

L0M} и L^ на другой. Существует ряд результатов аналогичного плана, но уже связанных с языком логики второго порядка

L2 (допускающим навешивание кванторов

V и 3 по предикатным переменным) и некоторыми его расширениями, а также иными не связанными с логическими языками взаимосвязями между сигнатурными функциями рассматриваемых алгебр.

Функция g (x1,..., Xn) на множестве A называется точечно термальной для алгебры а= < А';С > , если для любых a1,...,an G А

существует терм ga (X) G Tra такой, что

g(ai,..., an) = ta (ai,..., an), здесь a = <ц,..., an >. Очевидным образом все подалгебры алгебры A стабильны относительно точечно термаль-

ных функций алгебры а. Совокупность всех точечно термальных функций алгебры А обозначим как РТга, а совокупность всех функций на А относительно которых стабильны все подалгебры алгебры А, как StabSuba.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 7 [10] Для любой алгебры А имеет место равенство PTra = StabSuba .

Следствие 6 [10] Биекция П между основными множествами а= < Л0 ;&0 > и а1= < Л1;ст1 > сопрягает совокупности Suba0 и Suba1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций PTra0 и PTra1, т. е. когда сигнатурные функции алгебры а; сопряжены биекцией П с PTra1_i -функциями для ; = 0,1.

Функция /(Х) = У(Х1-,---, ХпX определенная на основном множестве алгебры а= < Л;о, называется автоморфно точечно Ь -определимой на А (Ь - некоторый логический язык), если для любого

а =< а1, ..., ап >е Лп существует Ь -формула Ф (Х, у) такая, что для любых а е Лп, Ь' е Л , если для некоторого (е ЛШа а = ((а) , то а = Фа(а, Ь') тогда и только тогда, когда Ь' = ((/(а)) . Очевидно, что график любого автоморфизма алгебры А стабилен относительно любой автоморфно точечно Ь -определимой на А функции. Совокупность всех автоморфно точечно Ь -определимых на А функций обозначим как Ь — PDe/а .

Через ЛЬ2 обозначим логический язык,

состоящий из конъюнкций (возможно, бесконечных) формул языка логики второго

порядка Ь2 .

Стандартным образом через (V = L) будем обозначать предположение о справедливости теоретико-множественной аксиомы конструктивности.

Известен следующий аналог теоремы Скотта.

Теорема Марека (V = L) [11] Для любой не более чем счетной модели А = < Л;& > конечной сигнатуры существует формула ФА2 языка ЛЬ2 такая, что для любой модели В =< > следующие условия равносильны:

1) В =Ф2;

2) В = а .

На основе этого утверждения доказывается следующая теорема.

Теорема 8 (V = Ц) [12] Для любой не более чем счетной алгебры А конечной сигнатуры имеет место равенство

лЬ2 — РБв/а = StabЛuta .

Следствие 7 (V = Ц) [12] Биекция П между основными множествами не более чем счетных конечных сигнатур алгебр А0= < Л0;а0 > и а1= < Л1;с1 > сопрягает

группы ЛШа0 и ЛШа1 тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций Л Ь2 — РБв/ а0 и Л Ь2 — РБв/ а1, т. е. когда сигнатурные функции алгебры а; сопряжены биекцией П с ЛЬ2 — PDe/а— -

функциями для ; = 0,1.

Напомним, что квазипорядок Q на основном множестве алгебры а= < Л;& > называется квазипорядком на алгебре А, если Q стабилен относительно сигнатурных функций алгебры а. Совокупность всех квазипорядков на алгебре А будем обозначать как Qorda . Относительно теоретико-множественного включения Qorda образует решетку, многие свойства которой аналогичны свойствам решетки Сопа конгру-энций алгебры а. Через Q'a Ь (для а, Ь е Л) обозначим главный квазипорядок на А, включающий в себя пару < а, Ь > . В работе

[13] дано описание строения Ь, во многом аналогичное описанию А.И. Мальцевым главных конгруэнций 0АЬ алгебры а.

Напомним еще ряд определений, связанных с понятиями главных конгруэнций и квазипорядков на алгебрах. Под А-0-трансляцией алгебры А имеется в виду любое константное либо тождественное отображение множества А в себя. А-1-трансляции суть А-0-трансляции либо отображения множества А в себя, получаемые с помощью сигнатурных функций

/(Х1,..., Хп) алгебры А при замене всех переменных, кроме некоторой одной, на какие-либо фиксированные элементы из А (подобные отображения будем называть / -1-трансляциями). Для любого натурального п > 1 А -п-трансляции суть суперпозиции п штук некоторых А-1-трансляций. Отображение множества А в себя называется А-трансляцией, если оно является А-п-трансляцией для некоторого натурального п . Для любых а, Ь е Л через Г(а, Ь) обозначим совокупность {< С, d >| С = £ (а), d = £ (Ь) для некоторой А-трансляции

g(x)}. Через Г *(a, b) обозначим совокупность {< d, С >|< С, d >G Г(а, b)} . Функцию f(Xj,...,Xn) на основном множестве A алгебры a= < A; ct > назовем Con -связной ( Qord -связной) A-трансляциями, если для любых a, b G A и любой f -1-трансляции существует натуральное n и A-трансляции hj(x),..., h (x) такие, что g(a) = h^1),..., h (e2) =

= Ki+1 (ej+i),..., (e2) = g(b) для некоторых

ej,..., еП, ej2,..., e^ из A таких, что

{e1, e2} = {a, b} для i = 1,...,n (такие, что

gi (a) = hj(a),..., h (b) = h+i(a),..., h (b) = g(b) ).

Непосредственно замечается, что совокупность функций Con -связных ( Qord -связных) A-трансляциями образует Галуа-замкнутый клон на множестве A, обозначаемый далее как Contra ( Qordtra ).

На основе описаний главных конгруэнций и главных квазипорядков в [5] и [12] доказывается следующая теорема.

Теорема 9 [6] Для любой универсальной алгебры A имеют место равенства

Contra = StabCona, Qordtra = StabQorda.

Следствие 8 [6] Биекция П между основными множествами алгебр A0= < A0;ct0 > и A\ = < А1;ст1 > сопрягает

совокупности Cona0 и Cona1 (Qorda0 и Qorda1 ) тогда и только тогда, когда она сопрягает совокупности функций Contra0 и Contra1 ( Qorda0 и Qorda1 ), т. е. сигнатурные функции алгебры ai сопряжены биекцией П с Contra1i -функциями

( Qordtra1_i -функциями) для i = 0,1.

Близкие затронутым в этой работе вопросы рассмотрены также в работах [14-20].

Естественными представляются вопросы описания пар универсальных алгебр с сопряженными группами автоморфизмов, полугруппами эндоморфизмов и т. д. при снятии ограничений на счетность алгебр, имеющихся в формулировках теорем 1-5, 8, а также с иными (не охваченными в данном обзоре) сопряженными естественными производными структурами.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Пинус А. Г. Производные структуры универсальных алгебр. Новосибирск : Из-во НГТУ, 2007.

[2] Мальцев А. И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр // ДАН СССР. 1952. Т. 120. № 1. C. 29-32.

3] Scott D. Logic with denumerable long formulas and finite strings of quantifiers // Theory of Models. Amsterdam : North Holland P. Comp., 1965. P. 329-341.

4] Пинус А. Г. Определимые функции универсальных алгебр и определимые эквивалентности алгебр // Алгебра и логика. 2014. Т. 53. № 1.

5] Мальцев А. И. К общей теории алгебраических систем // Матем. сб. (Новая серия). 1954. Т. 35. С. 3-20.

6] Пинус А. Г. Об универсальных алгебрах с идентичными конгруэнциями или алгебраическими множествами // Сиб. матем. журн. 2014. Т. 55. № 6.

7] Пинус А. Г. Характеризация условно термальных функций // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38. № 1. С. 161-165.

8] Пинус А. Г. Внутренние гомоморфизмы и позитивно условные термы // Алгебра и логика. 2001. Т. 40. № 2. С. 158-173.

9] Пинус А. Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений // Успехи матем. наук. 2001. Т. 56. № 4. С. 35-72.

10] Пинус А. Г. Точечно термально полные клоны функций и решетки решеток всех подалгебр алгебр с фиксированным основным множеством // Известия ИрГУ. Серия «Математика». 2012. Т. 5. № 3. С. 94-103.

11] Marek W. Sur la constance d'une hypothese de Fraisse sur definisability dons un language du second order // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B. 1973. № 273. P. 1147-1150, 1169-1172.

12] Пинус А. Г. Некоторые применения языка логики второго порядка в универсальной алгебре // Известия Иркутск. гос. ун-та. Серия «Математика». 2014. Т. 7. № 1. С. 79-84.

13] Пинус А.Г., Хайда И. О квазипорядках на универсальных алгебрах // Алгебра и логика. 1993. Т. 32. № 3. С. 308-325.

14] Пинус А.Г. Рациональная эквивалентность алгебр, ее «клоновые» обобщения и «клоно-вая» категоричность // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54. № 3. С. 673-688.

15] Пинус А. Г. Условная топология и определимые функции на универсальных алгебрах // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40. № 6. С. 13051312.

16] Пинус А. Г. Полные вложения категорий алгебраических систем и определимость моделей полугруппами их эндоморфизмов // Известия вузов. Серия «Математика». 1982. № 1. С. 8083.

17] Пинус А. Г. О функциях коммутирующих с полугруппами преобразований алгебр // Сиб. ма-тем. журн. 2000. Т. 41. № 6. С. 1409-1418.

18] Пинус А. Г. Об определимости конечных алгебр производными структурами // Известия вузов. Серия «Математика». 2001. № 4. С. 3842.

19] Пинус А. Г. Неявно эквивалентные универсальные алгебры // Сиб. матем. журн. 2012. Т. 53. № 5. С. 1077-1090.

20] Пинус А. Г. Определимость локально конечных алгебр полугруппами своих преобразований // Избранные вопросы алгебры. Барнаул : Изд-во АлтГУ, 2007. С. 173-198.