Динамические эффекты нелинейных маятников и их учет при проектировании чувствительных элементов мехатронных систем

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МАЯТНИКОВ И ИХ УЧЕТ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ

В.М. Мусалимов, М.С. Петрищев, Чан Нгок Чау

В работе проведено численное исследование динамики электромеханического маятника при совместном действии двух внешних возмущений - вибромеханического и магнитного. Построены поверхности в пространстве параметров, которые позволили выявить множество особых точек, связанных с отображениями на плоскость физических параметров.

Введение

Мехатроника является одной из наиболее динамично развивающихся областей техники. В последнее время наблюдается тенденция миниатюризации разрабатываемых мехатронных устройств на базе микросистемных технологий (микро- и наноэлектроме-ханических), где основным конструкционным материалом является кремний и его соединения с другими материалами [1]. Это дает возможность создавать миниатюрные резонансные чувствительные элементы и приборы - гироскопы, акселерометры, турбинные генераторы и ряд других.

Большинство резонансных систем обладает одной механической степенью свободы. Уравнениями движения одномерного механического осциллятора - маятника -описывается достаточно широкий класс разнообразных объектов - от макро- до микроуровня.

Нелинейные системы обладают рядом особенностей. При определенных условиях возможно хаотическое поведение системы, а также возможны состояния нетривиального равновесия. Одним из таковых для маятника является верхнее положение равновесия - в литературе такой маятник называется перевернутым или маятником Капицы [2].

В работах [3-5] проведено исследование динамики маятниковой системы при раздельном действии вибромеханического и магнитного возмущений в вертикальном и горизонтальном направлениях. При действии возмущения в вертикальном направлении из нетривиальных положений равновесия возможно только перевернутое. При действии возмущения в горизонтальном направлении возможен ряд положений равновесия, предельными из которых являются горизонтальные. Кроме того, при определенных сочетаниях параметров системы в ней наблюдаются переключения между этими положениями квазиравновесия.

Следует отметить, что при стабилизации «физически» неустойчивых положений равновесия внешним воздействием система выводится на границу устойчивости. При этом в ней возникает ряд новых свойств - например, сверхчувствительность, поскольку малейшее изменение параметров внешнего воздействия ведет к изменению положения равновесия.

Целью работы является анализ динамики нелинейных моделей маятников при совместном действии магнитного и вибромеханического возмущений в вертикальном направлении.

Модельная задача для электромеханического маятника

Рассмотрим динамику электромеханического маятника на вибрирующем основании в переменном магнитном поле (рис. 1). Для обобщения возможных ситуаций расположим основание платформы под углом а к горизонтали Оу. Роль твердого тела играет замкнутый контур тока, жестко соединенный с подвесом невесомым стержнем длиной I.

Предположим, что маятник находится в переменном однородном магнитном поле, частота которого V много больше, чем частота малых свободных колебаний маятника. Обозначим ф угол отклонения маятника от вертикальной оси, принимая, что ф=0 соответствует его нижнему положению.

= а$т /

Рис. 1. Маятник в переменном магнитном поле на вибрирующем основании

Взаимосвязанные электромагнитные и механические процессы в электромеханической системе описываются уравнениями Лагранжа-Максвелла и в общем случае имеют вид [6]

й дТ дТ

& д<& к й дЖ

дЖ д + -

д<к д<к д<к д<к д д

дЭ

+ — = Як (к = 1,..., п),

& д\г д\г дgr

= Ег

(г = 1,..., т).

где — , <п - обобщенные координаты, п - число степеней свободы; Т - кинетическая, - потенциальная энергия механической системы; - непотенциальные обобщенные силы; Ег - алгебраическая сумма ЭДС в г-м контуре; - электрическая диссипативная функция, которая определяет тепловое рассеяние на омических сопротивлениях; 1Г -ток в г-м контуре; - энергия электрического поля; Ж - энергия магнитногополя; gr -заряд г-го конденсатора.

В рассматриваемом случае система имеет только сопротивление проводника рамки Я при протекании тока /, которое постоянно, и поэтому для функции можем записать:

= IЯ 2.

2

Известно, что переменные магнитные силы могут дестабилизировать устойчивое положение равновесия, приводя к развитию автоколебаний. Этот эффект математически связан с изменением структуры уравнений Лагранжа-Максвелла, в которых при задании переменного внешнего поля кроме гироскопических сил появляются и циркуляционные обобщенные силы.

При решении задачи о медленных движениях проводящего твердого тела в переменном магнитном поле можем записать выражения для энергии магнитного поля Ж, энергии электрического поля , потенциальной и кинетической энергий в следующем виде:

1 2 1 2 W = 2Li + sinvísin^i; = 0; = mgl(1 -cos^); = ^mV ,

где L - коэффициент самоиндукции контура тока i; B0 - амплитуда внешнего поля; S -площадь рамки; да - масса контура; g - ускорения свободного падения; V - скорость перемещения центра масс рамки.

Квадрат скорости перемещения центра масс рамки V определяется следующим выражением:

V2 = x2 + y2,

где x, y - скорости перемещения центра масс рамки в вертикальном и горизонтальном направлениях, соответственно.

Законы изменения положения точки подвеса при вибрации основания гармонической силой a sin oí в пределах отрезка ¡ имеют вид

Гx = l cos ф - a sin o í sin a, [y = l sin ф + a sin o í cos a.

Тогда выражение для кинетической энергии будет иметь вид

I2I99I99 222

= 2 mV = 2 m(x + y ) = 2 m(l ф + 21ф ao cos o í cos^-a) + a o cos o í).

Произведя дифференцирование необходимых величин и подставляя их в (1), получаем уравнения Лагранжа-Максвелла исследуемой системы в следующем виде:

Г 2 2

|ml ф - mlao sin o í cos^-a) - BoS sin ví cos ф i + mgl sin ф = 0,

[Li* + B0S sin ví cos ф ф + B0Sv cos ví sin ф + Ri = 0. Считая, что частота магнитного поля много больше собственной частоты колебаний маятника к = mgl ¡ml2 << v , введем малый параметр s2 = к2 / v2 . Введем также

безразмерные амплитуды виброперегрузок в вертикальном направлении

2 2 nmx = a cos a • o / g и горизонтальном nmy = a sin a • o / g.

Переходя в уравнениях (2) к безразмерному (быстрому) времени т = ví и безразмерному току iu = i/i*, где базисное значение тока i* = B0^L, получим следующие уравнения в безразмерных переменных:

ф-s 2 у sin т cos ф iu + s 2 sin ф-s 2 sin (hx)(nmy sin ф + nm cos ф) = 0,

<

iU + sin т cos фф + cos т sin ф + riu = 0.

(B0S)2 R

В этих уравнениях введены безразмерные параметры у =-, r = — и

Lmgl Lv

h = —. При учете в системе внешнего вязкого трения с коэффициентом n можем запи-v

сать:

ф -s2 у sin т cos ф iu + s2 sin ф-s 2 sin (h^n^ sin ф + nmx cos ф) + s 2 n(& = 0,

iU + sin т cos фф + cos т sin ф + riu = 0.

Система уравнений (3) позволяет исследовать одновременно два случая действия вибрации в вертикальном магнитном поле. Проведем исследование для случая действия вибрации в вертикальном направлении, при этом принимая равной нулю амплитуду виброперегрузок в горизонтальном направлении nmy.

Для выражения (3) было проведено численное исследование в пакете Simulink системы Matlab. Следует заметить, что динамика системы исследовалась без примене-

ния асимптотических методов, что позволило исключить методическую погрешность решения. Анализ динамики системы производился по графикам поведения системы во времени и фазовым портретам (рис. 2).

В процессе исследования получается большое число подобных графиков. Однако они не позволяют произвести оценку влияния параметров в целом. В связи с этим результаты моделирования по исследованию одного из параметров были сведены в матрицу, по которой построены поверхности состояний (рис. 3). По сути, при каждом моделировании получается срез подобной поверхности для выбранного параметра.

Фазовый портрет

1

0.5 0

-0.5 -1

250 время

3

Я -0.05

-1 £ -0.1

500 ^ 140

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 время

№

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 время

Угол отклонения ф, °

Значения параметров

е = 0.1 /'(0) = 0.5

Ь = 0.5 ф(0) = 2.8

пптх = 5 Ф'(0) = 0

ту Г=У 2

г = 0.1 п = 0.1

Фазовый портрет

~ 1 — 3 ^

то. 0.5

8

§ 0

¡а

и -0.5

о р

§ -1

О -1 -0.5 0 0.5 1 Ток I

Рис. 2. Режим модулированных автоколебаний маятниковой системы

200

9 0.05

180

0

Ь 160

140

0

50

100

150

200

350

450

180

200

220

0.1

0.05

0

-0.1

0

0

Рис. 3. Влияние частоты вибрации на положения равновесия при

е = 0.1, птх = 5, у = 2, г = 0.1, п = 0.1, (р(0) = 2.8, р'(0) = 0, 1(0) = 0.5

Построение поверхностей состояний упрощает визуальный анализ влияния того или иного параметра на поведение исследуемой системы. Однако наиболее рациональным представляется использовать такие поверхности для качественной оценки, а для количественной все-таки использовать «срезы» этой поверхности.

Предпочтительным представляется построение поверхностей, у которых по осям абсцисс и ординат откладываются значения параметров, а по вертикальной оси (уровня) - угол отклонения маятника . Пример плоского среза (отображения) такой поверхности приведен на рис. 4. Представленная кривая соответствует сочетаниям параметров птх и у, при которых осуществляется выход маятниковой системы в верхнее положение равновесия. С некоторым смещением от этой кривой условно проведены штриховые линии, которые соответствуют погрешностям численных методов. Также представлены колебательные процессы системы для фиксированного значения птх = 6 при переменном у.

Рис. 4. Влияние амплитуды вибрации и величины поля на выход маятника в перевернутое положение равновесия

Данная кривая позволяет синтезировать чувствительные элементы приборов для измерения как параметров магнитного поля при вспомогательном вибромеханическом воздействии, так и чувствительные элементы приборов для измерения параметров вибрации при вспомогательном магнитном воздействии. Это элементы высокочувствительные, и поэтому малейшее изменение параметров измеряемой величины ведет к изменению параметров колебательного процесса.

Заключение

Проведен анализ динамики электромеханического маятника при совместном действии магнитного и вибромеханического возмущений в вертикальном направлении. Исследование выполнено для нелинейной модели без применения асимптотических методов, что позволило исключить методическую погрешность решения. Построены поверхности в пространстве параметров, которые позволили выявить множество осо-

бых точек, связанных с отображениями на плоскость физических параметров. Результаты исследования позволяют осуществить синтез чувствительных элементов приборов для измерения параметров вибрации и переменного магнитного поля, отличающихся высокой чувствительностью.

Литература

1. Васильев А., Лучинин В., Мальцев П. Микросистемная техника. Материалы, технологии, элементная база. // Электронные компоненты. 2000. № 4. С. 3-11.

2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. // Успехи физических наук. 1954. № 44. Т. 1. С. 7-20.

3. Петрищев М.С. Динамика чувствительных элементов магнитометрических систем. / Материалы I Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов (с международным участием) «Робототехника, мехатроника и интеллектуальные системы». (12 - 14 октября 2005 г.). Таганрог: ТРТУ, 2005. С. 137-143.

4. Морщинина Н.В., Чан Нгок Чау. Маятник на основании с виброускорениями. / Тезисы докладов Седьмой сессии Международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности и диагностики машин и механизмов» УРБ-05. (24 - 28 октября 2005 г.). - СПб: ИПМаш РАН, 2005. С. 110.

5. Петрищев М.С. Динамика маятниковых систем в магнитных полях. / Материалы семинаров политехнического симпозиума «Молодые ученые - промышленности Северо-Западного региона». Декабрь 2005 г. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. С. 67-68.

6. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Нелинейная электромеханика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 360 с.