Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208 Прикладная математика и информатика УДК 539.3:534.26

Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим

*

покрытием *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции цилиндрических звуковых волн на цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием.

Ключевые слова: дифракция, цилиндрические звуковые волны, цилиндр, неоднородное упругое покрытие.

Дифракция плоских звуковых волн на неоднородных изотропных упругих цилиндрах рассматривалось в работах [1, 2]. Исследованию рассеяния плоских звуковых волн анизотропными неоднородными полыми цилиндрами посвящены работы [3, 4]. Решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости получено в [5]. В работе [6] изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями.

Дифракция монохроматических звуковых волн на цилиндрических телах с неоднородными упругими покрытиями рассматривалась в работах [7, 8]. В [7] изучалась дифракция плоской звуковой волны на абсолютно жестком цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием. В [8] была решена задача о рассеянии плоской звуковой волны, падающей наклонно на упругий цилиндр, покрытый радиально-неоднородным упругим слоем.

Представление первичного акустического поля в виде плоской волны справедливоо только тогда, когда расстояние от источника звука до рассеивателя много больше длины звуковой волны. На практике это условие часто не выполняется. В этом случае нельзя не учитывать криволинейность фронта падающей волны. Расходимость падающей волны приводит не только к количественным, но и качественным изменениям дифракционной картины. Наибольший интерес представляет изучение дифракции звуковых волн, излучаемых цилиндрическими и сферическими источниками. С

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514).

помощью таких источников можно моделировать акустические поля сложных излучателей.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции цилиндрических звуковых волн на абсолютно жестком цилиндре с радиально-неоднородным покрытием.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный абсолютно жесткий цилиндр радиуса Т2, покрытый неоднородным изотропным упругим слоем, внешний радиус которого равен Т\. Цилиндрическая система координат г, р, г выбрана таким образом, что координатная ось г является осью вращения цилиндра. Полагаем, что модули упругости Л и у материала неоднородного цилиндрического слоя описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты г, а плотность р — непрерывной функцией координаты т. Окружающая цилиндр жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны р1 и с.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр с покрытием падает монохроматическая цилиндрическая волна. Падающая волна излучается бесконечно длинным цилиндрическим источником, на поверхности которого возбуждена одна из мод и ось которого параллельна оси цилиндра. В цилиндрической системе координат г, р, г, связанной с рассеивателем, ось источника имеет координаты (то,ро).

Выберем дополнительную цилиндрическую систему координат К, в, г, связанную с источником так, чтобы полярные оси основной и дополнительной систем координат были одинаково ориентированы. Тогда потенциал скоростей гармонической звуковой волны, излучаемой цилиндрическим источником порядка п, может быть представлен в виде

Ф0 = А0Нп(кК) ехр[г(пв — ш£)],

где А0 — амплитуда волны; к = и/с — волновое число; и — круговая частота; Нп(х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п;

К = [г2 + Т02 — 2ТТ0 008(р — р0)]1/2.

Структура цилиндрических волн существенно сложнее структуры плоских волн. Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, параллельным оси г, описывается с помощью цилиндрической функции Ханкеля первого рода нулевого порядка. Потенциал скоростей такой волны представляется в виде

Ф0 = А0Н0(кК) ехр(—ги£).

В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.

Определим отраженную от цилиндра волну.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной.

2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [9]

ДФ + к2Ф = 0,

где Ф = Фо + Ф5; Ф8 — потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц V и акустическое давление р в жидкости определяются по формулам: V = gradФ, р = гр^Ф.

Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций Бесселя, представим потенциал скоростей падающей волны в основной системе координат в виде [10]

СЮ

Фо = Ао(-1)га ехр(тро) ^ (-1)™ ехр[гт(р - ро)]х

т=-00

х Г Нп-т

\ Зп-т

где ]т(х) — цилиндрическая функция Бесселя порядка т.

Учитывая, что [11]

,]-т(х) = (-1)т.7т(х), Н-т(х) = (-1)тНт(ж),

из (1) для симметричной цилиндрической волны получаем следующее разложение:

Фо=Ао Еехрм, - ц Н:кП]т!кг): г<го.

т=-оо 4

Потенциал скоростей рассеянной волны является решением уравнения Гельмгольца. С учетом условий излучения на бесконечности [9] функцию Ф5 будем искать в виде

СЮ

Ф« = ^ АтНт

т=-оо

Уравнения движения упругого неоднородного слоя в случае установившихся колебаний описываются общими уравнениями движения сплошной среды в напряжениях, которые в цилиндрической системе координат имеют вид [12]

до„ , 1 , &тт @ іпіп 2

“я------+----я--------+------------= —Ш риг;

от т ою т

, 1 , 2 2

т;------1--------т;-1— пр = —^> риір,

от т дф т

где иг ,иф — компоненты вектора смещения и в цилиндрической системе координат; — компоненты тензора напряжений; р = р(т).

Используя закон Гука [12], запишем уравнения (3) через компоненты вектора смещения:

г\ , о, лд2иТ , Л + V д2иУ , V °2и , Л' , о, ' , Л + 2М диг ,

дт2 т дтдф т2 дф2 \ т ) дт

1 ( ' Л + 3V А диф (Л Л + 2 V 2 А п

+ _ л'--------------^ ф +--------------^ + ш2р)иг = 0;

т \ т ) дф \ т т2 )

д2иф Л + V д2иг Л + 2vд2uф / , V ^ диф

V дт2 + т дтдф + т2 дф2 + \ + т ) дт +

1 / , Л + 3д\ диг (и! V 2

+ - V' +-- тт + -- - ^

т \ т ) дф \ т т2

Здесь Л = Л(т); V = V(r), а штрих означает дифференцирование по т.

Компоненты вектора смещения и в упругом слое являются периодическими функциями координаты ф с периодом 2п. Поэтому функции иг (т,ф) и иф(т,ф) будем искать в виде рядов Фурье

СЮ СЮ

иг

т=-ж т=-ж

Подставляя выражения (5) в уравнения (4), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций иіт(т) и и2т(т) для каждого т. В матричном виде система имеет вид

Атит + ВтИт + СтИт = °

где Ит = (и1тіи2т)Т;

Ат = т2 ( Л +2'‘ 0 I; Вт =

2 ( Л + 2у 0\ в = ( (Л' + 2р!)г2 + (Л + 2р)г гт(Л + р)г т ' \ 0 у у ; т у гт(Л + у)г р!г2 + уг

СС = / Л г — Л —

т гт (р!г + Л + 3у); —р!г — т2Л — (2т2 + 1)у + и2рг2

Коэффициенты Ат разложения (2) и функции и1т(г), и2т(г) из разложений (5) подлежат определению из граничных условий на внешней и внутренней поверхностях неоднородного упругого покрытия.

Граничные условия на внешней поверхности тела заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения. Граничные условия на внутренней поверхности неоднородного слоя заключаются в равенстве нулю вектора смещения частиц упругой среды.

Таким образом,

при т = т1 —ішиг = уг; агг = — р; аГф = 0;

при т = т2

иг = 0; иф = 0.

Из условия равенства нормальных скоростей при г = г1 находим коэффициенты Ат, выраженные через величины и1т(г1):

А = Ао

т = кНт

где штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из оставшихся неиспользованными граничных условий получаем четыре краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (6):

2 АтИ т + ОтИг

-- Ет

0,

Т=Т\

где

( Л + ш2р1Нт(кт) ітЛ \

V

т кНт

imV

Е=

Ет =

2А0іпр1ш

пкті Нт(кті) 0

Коэффициенты Ат могут быть вычислены по формуле (7) лишь после решения краевой задачи (6), (8). Краевая задача может быть решена различными методами. (см., например, [13]).

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ханкеля первого рода при больших значениях аргумента (кг ^ 1) [11]

Нт

2

пкт

ехр

і\кт —

пт

из (2) находим

ф=а/ 2т ехр

і[кт — — 4

где

л/пкт1

р (ф),

(—іт)Атехр[іт(ф — фо)].

Анализ амплитуды рассеяния | ^(ф) | позволяет изучить звукоотражающие свойства тела в различных направлениях.

С помощью неоднородного упругого покрытия можно изменять характеристики рассеяния цилиндрического тела. При этом радиально-

т

г

2

2

т=-<х>

неоднородным слоем можно моделировать систему достаточно тонких однородных слоев, в которой механические параметры меняются от слоя к слою.

Список литературы

1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

5. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 63-72.

6. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

8. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

9. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

10. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с.

11. Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.

12. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

13. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a non-uniform elastic coating

L.A. Tolokonnikov

Abstract. Analytical solution of problems of diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a radially non-uniform elastic covering is obtained.

Keywords: diffraction, cylindrical sound waves, cylinder, non-uniform elastic coating.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 11.09.2013