Методы преобразования Фурье и квадратур с регуляризацией для восстановления смазанных изображений в matlabе

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И КВАДРАТУР С РЕГУЛЯРИЗАЦИЕЙ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СМАЗАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В МАТЬАБ'е

М.В. Римских

Научный руководитель - д.т.н., профессор В.С. Сизиков

Рассматривается задача реконструкции смазанных изображений. Задача сводится к решению множества одномерных интегральных уравнений Фредгольма I рода типа свертки. Делается сравнение двух методов решения таких уравнений: метода преобразования Фурье и метода квадратур (с использованием метода регуляризации Тихонова в обоих случаях). Приведены численные результаты. Делается вывод, что метод квадратур более эффективен, чем метод преобразования Фурье с регуляризацией.

Введение

Известно, что изображения подвергаются различного рода искажениям. При этом существуют следующие типы искажений, требующие сложной математической обработки: смаз, дефокусировка и зашумленность изображения [1].

Реконструкция смазанных (смещенных, сдвинутых) изображений является одной из актуальных задач цифровой обработки изображений [1-5]. Эта некорректная задача описывается обычно интегральным уравнением Фредгольма I рода типа свертки [6-13]. Одним из распространенных способов решения этой задачи (как прямой, так и обратной) является использование преобразования Фурье (ПФ) с фильтрацией Винера, Тихонова и т.д. (для устойчивости решения). При этом края смазанного изображения обычно формируются с использованием так называемых граничных условий [5, с. 108], [14, 15]. В данной работе отмечен ряд недостатков такого подхода: неадекватность описания физической задачи смазывания с помощью ПФ, а также искусственность граничных условий при формировании краев смазанного изображения. Разработаны программы на МЛТЬЛВ'е и путем моделирования показано, что одним из лучших путей восстановления смазанных изображений является решение совокупности одномерных интегральных уравнений методом квадратур (но не ПФ) с регуляризацией Тихонова и с новым решением проблемы граничных условий. Произведено сравнение разработанных алгоритмов и программ с классическими методами (параметрической фильтрации Винера и др.) и соответствующими программами реконструкции (deconvwnr.m, de-convlucy.m, deconvreg.m), а также дана качественная и количественная оценка погрешностей полученных результатов.

В данной работе рассматривается задача реконструкции (восстановления, реставрации) смазанных изображений. Под изображением будем подразумевать фотоснимок или оптикоэлектронное воспроизведение объекта природы, текста, человека, здания, самолета, автомобиля, космического объекта, наземного объекта из космоса и т.д.

Математическое описание задачи реконструкции смазанного изображения

Изображение можно описать действительной ограниченной неотрицательной функцией f п) двух пространственных перемещений п, представляющей интенсивность или яркость изображения в каждой точке п) плоскости. Никакая оптическая система воспроизведения не может обеспечить совершенство качества изображений, поэтому реально получается искаженное зашумленное изображение, для улучшения качества которого необходимо выполнить определенную коррекцию [1].

Математически задача восстановления изображений, искаженных линейной системой, пространственно-инвариантной относительно сдвига (однородной системой), описывается интегральным уравнением типа свертки вида [4-13, 16, 17]:

+да +да

Af = J Jk

—да —да

где g(x, y) - искаженное изображение на выходе системы (точнее, распределение интенсивности по искаженному изображению); f (l, n) - оригинал, или исходное, идеальное изображение на входе системы; к (x — l, y — n) - импульсная характеристика системы, или функция рассеяния точки (ФРТ), являющаяся трансляционно-инвариантной (разностной) [4, с. 380].

Одной из важных частных задач обработки изображений является задача повышения качества смазанных изображений. В случае одномерного смаза потеря четкости изображений происходит в направлении одной координаты, например, в результате прямолинейного движения устройства - носителя изображения (регистрирующей системы, пленки фотоаппарата и т.д.). При этом функция рассеяния точки допускает разделение переменных и имеет вид [6]:

к

В частном случае равномерного и прямолинейного движения изображения функция kj( x — l) принимает постоянные значения в некоторой полосе:

k

k1

[ 0, x — l < a, x — l > b.

Основное уравнение (1) при реставрации смазанных изображений эквивалентно уравнению

+да

J ki

—да

т. е. задача сводится к многократному решению одномерных интегральных уравнений типа свертки [8-13, 18].

Смазанность изображения может быть обусловлена различными причинами, такими как атмосферная турбулентность [4, с. 384], смещение фотоаппарата и движение самого объекта. Обычно математически смаз описывается функцией рассеяния точки (ФРТ, PSF) - функцией, которая определяет характер искажения точек изображения [5, с. 155]. Смазывание изображения может возникнуть также, например, в результате равномерного поступательного движения сцены относительно регистрирующей системы в процессе фотосъемки. При этом наблюдаемое изображение окажется как бы результатом наложения со смещением множества исходных изображений [3].

Рассмотрим вначале задачу восстановления смазанных изображений на примере смазанного (сдвинутого, смещенного) фотоснимка. Пусть фотографируемый объект (полагаемый плоским вследствие его удаленности) и фотопленка фотоаппарата расположены параллельно апертуре линзы фотоаппарата на расстояниях соответственно f1 и f2 от линзы. При этом 1/ fi +1/ f2 = 1/ f, fi > f2 , где f - фокусное расстояние линзы (см. рис. 1) [10-13].

Полагаем, что за время экспозиции фотопленка совершила прямолинейный и равномерный сдвиг (смещение) на величину А или сдвиг совершил объект (например, бы-стролетящая цель [12, с. 196]) на величину —А-(/1/f2). В результате изображение на фотопленке будет смазанным (рис. 2).

Рис. 1. Схема получения смазанного изображения

Рис. 2. Смазанное изображение фотографа

Основное интегральное уравнение задачи восстановления смазанных изображений. Основной математической моделью задачи восстановления смазанных изображений будем полагать одномерное интегральное уравнение Фредгольма I рода типа свертки [8-13, 16, 18]:

да

—да

где g (х, у) - распределение интенсивности вдоль смазанного изображения, например, вдоль смазанной томограммы (измеренная функция); у) - распределение интенсивности вдоль неискаженного изображения, которое было бы получено в отсутствие сдвига, т.е. при А = 0 (искомая функция); к (х - математически ядро интегрального уравнения, а физически импульсная характеристика системы или функция рассеяния точки, равная в случае равномерного и прямолинейного смаза

[ 0 при х g [-А, 0].

Задача решения уравнения (5) является некорректной (неустойчивой) [9, 11-13, 16, 19]. Однако к настоящему времени достаточно подробно разработаны устойчивые методы решения уравнений типа (5) [6, 8-13, 16, 19]. Основным (устойчивым) методом решения уравнения (5) обычно считается метод преобразования Фурье (ПФ) с регуляризацией Тихонова. Однако в данной работе (как и в работе [18]) мы хотим показать, что еще более эффективным (и также устойчивым) является метод квадратур с регуляризацией Тихонова.

Два метода решения интегрального уравнения и их численная реализация в системе MATLAB

Реконструкция изображения методом преобразования Фурье и регуляризации Тихонова

В рамках данной работы использовалось моделирование смазывания изображений, которое позволяет проникнуть в суть задачи восстановления изображений, а в некоторых случаях - учесть внешние условия, вызывающие искажения (например, атмосферная турбулентность) [4, с. 384].

Прямая задача. Сначала решалась прямая задача - по исходному, неискаженному изображению (без учета воздействия шума) вычислялась функция, определяющая результирующую интенсивность смазанного изображения. В непрерывном (интегральном) виде данная задача описывается соотношением [8-13, 18]: 1 х+А

g

х

где g(%, у) - интенсивность на фотопленке (смазанное изображение) в функции прямоугольных координат х, у, причем ось х направлена вдоль сдвига (смаза); w(%, y) - распределение интенсивности по истинному неискаженному изображению; А - величина смаза.

Отметим также, что если на носителе фиксируется серое изображение (gray image), то под g(х, у) и w(%,у) будем подразумевать интенсивности gg (х, у) и

Wg (%, у) в сером цвете. Если же фиксируется цветное изображение (RGB image), то

можно преобразовать RGB-изображение в gray-изображение

(с помощью m-функции cat).

В случае, когда смазывание изображения имеет прямолинейный и равномерный характер, а ось х мы направили вдоль смаза, в выражении (7) у будет выступать в роли параметра, и выражение (7) может быть записано как 1 х+А

gy

х

при каждом фиксированном значении у.

В дискретном виде эта же задача может быть описана выражением

1

I+д

(0=д! Я](к),

к—/

где / — 1, и + Д и к — 1, и - номера столбцов в матрицах g и соответственно, а п - число столбцов в матрице w; ] — 1,т - номер строки в матрицах g и w, т - число строк, т.е. матрица w имеет размер т х п, а матрица g - размер т х (п + Д); qj (к) - ФРТ, определяющая смазывание исходного изображения, задаваемая выражением

íw/

[0, иначе.

Отметим, что в ряде работ [8, 9] рассмотрена более сложная задача - неравномерный сдвиг фотоаппарата или объекта, а также непараллельность плоскостей фотопленки и объекта и т.д.

Рассматриваемая прямая задача формирования смазанного изображения была реализована с использованием средств МЛТЬЛВ в виде программы-функции Бт1т0.т. При этом в качестве неискаженного изображения была использована собственная томограмма-фантом (рис. 3). Результат смазывания изображения см. дальше.

Томограмма —

mrt-l-02_d.jpg

Рис. 3. Изображение головного мозга человека

Обратная задача. Далее рассмотрим обратную задачу - восстановление изображения w по смазанному изображению g и ФРТ. Решение (восстановленное изображение) уравнения (5) методом ПФ и регуляризации Тихонова может быть записано в виде

обратного ПФ [4, 6-13, 18]: 1 ю

Wa

—да

где регуляризованный одномерный Фурье-спектр решения (при некотором у) равен

^

Цо) + а М

причем

К

шА шА

—да да

0

—да

Здесь К(ш) и 0(ш, у) - одномерные Фурье-спектры ядра (функции рассеяния точки) к (х) и правой части (смазанного изображения) g (х, у) уравнения (5) при некотором у; а > 0 - параметр регуляризации, М(ш) - регуляризатор, который может быть

выбран, например, в виде М(ш) = ш2р , р > 0 - порядок регуляризации (обычно р = 1); А - величина смаза;

Цш) = К

Фурье-спектр ядра К(ш) (не зависящий от у) может быть вычислен аналитически согласно (13), а 0(ш, у) может быть найдено численно для каждого значения у с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Выбор параметра регуляризации. Важным является вопрос о выборе значения параметра регуляризации а. Разработан ряд способов выбора а в методе регуляризации Тихонова [16, 19].

Выбор а можно осуществлять, например, способом невязки или обобщенным принципом невязки [8, 9, 16, 19]. Разработаны также следующие способы выбора параметра регуляризации а: способ квазиоптимального (квазинаилучшего), способ отношения, способ независимых реализаций, способ перекрестной значимости, способ моделирования и др. [16, 20]. Однако для задачи реконструкции изображений, как показала практика, более эффективен способ подбора [10-13, 18].

В данной работе для задачи реконструкции смазанных изображений выбор а осуществлялся способом подбора. Согласно нему, для ряда значений а вычисляются решения у) по формулам (11)—(15), они выводится на дисплей в графической

форме и выбирается значение а , дающее наилучшее восстановление изображения с точки зрения визуальных, физиологических (но не математических) критериев восприятия. Этот способ аналогичен способу настройки контраста телеизображения (в этом случае а обратно пропорционален контрасту). Способ подбора можно назвать также визуальным критерием, или критерием качественной оценки. Этот способ эффективен при реконструкции реальных смазанных изображений, когда истинное изображение w неизвестно. Когда же обрабатывается смоделированное изображение, когда w известно (задается), то наряду с качественной оценкой следует использовать также количественную оценку среднеквадратического отклонения (СКО) регуляризованного решения wа у) от точного w.

Для количественной оценки погрешности метода реконструкции изображений использовалось относительное среднеквадратическое отклонение (СКО) восстановленного распределения плотности от точного распределения плотности [21]:

°отн

МЫ 0 2

X X С/у — /¡0 )

'=10=' —

МЫ 02 / =10=1

г г0

где ]] - значения восстановленного распределения плотности; - значения исходного (точного) распределения плотности; М, N - соответственно, количество строк и столбцов матрицы плотности.

При компьютерном моделировании выражения (16) при помощи средств системы программирования МЛТЬЛВ была составлена соответствующая программа RMSD0.m.

О величине смаза. Отметим, что величина смаза Д априори неизвестна и ее можно оценить путем подбора или по величине штрихов на искаженном изображении. Что же касается направления смаза (вдоль которого устанавливается ось х), то его можно определить по направлению штрихов на искаженном изображении.

Итак, правильно выбрав направление оси х (вдоль смаза) на искаженном изображении (фотоснимке или томограмме) и величину смаза Д, можно, решив уравнение (5) (точнее, совокупность уравнений) и выбрав а, например, способом подбора, восстановить устойчивым образом неискаженную интенсивность на изображении, например, на томограмме wа (х, у) по интенсивности на искаженном изображении g(х, у).

Численный алгоритм решения wa (£, у) получается в результате замены интегралов конечными суммами (по формулам прямоугольников, трапеций и т.д.). В результате непрерывные преобразования Фурье (НПФ) заменяются на дискретные преобразования Фурье (ДПФ) или даже на быстрые преобразования Фурье (БПФ) [6, 16, 18].

Заметим, что при решении прямых задач смазывания изображений (в частности, томограмм) мы стремились адекватно описать физическую ситуацию (природу смаза), а она состоит в усреднении интенсивностей в пределах длины смаза Д.

В результате обращения к программе RecSmIm0.m (с использованием алгоритма БПФ) были получены следующие изображения (см. рис. 4).

Численно решение на компьютере обратной задачи было реализовано в собственных т-функциях desmeаring0.m и desmearingf.m в среде программирования МЛТЬЛВ. Другими словами, решение задачи восстановления исходного изображения в данной работе по известному распределению плотности смазанного изображения осуществлялось в двух вариантах:

1. с использованием разработанной нами собственной т-функции DFT1.m для вычисления ДПФ или ОДПФ (desmearing0.m);

2. с использованием внешних т-функций МЛТЬЛВ'а fft.m и ifft.m для вычисления одномерных БПФ и ОБПФ (desmearingf.m).

При этом в обоих вариантах (использование DFT1.m или fft.m и ifft.m) смаз выполнялся или усреднением по длине Д (см. (9)), или с помощью внешних т-функций fspecial.m и imfilter.m (соответственно, головные программы RecSmIm0.m и RecSmIm3.m).

Также в программе RecSmIm0.m для решения прямой задачи использована т-функция SmIm0.m, основанная на моделировании процесса смазывания изображения выражением (9), содержащим лишь операции суммирования (накопления), что адекватно физике процесса смазывания, и не использующим преобразование Фурье (содержащее косинусы и синусы), что неадекватно физике данного явления (процесса). В то же время, такие внешние т-функции МЛТЬЛВ'а, как fspecial.m и imfilter.m, моделирующие также процесс смазывания, используют преобразование Фурье [4, 5], что неадекватно физике процесса смазывания. Однако при решении обратной задачи используются такие внешние т-функции, как deconvwnr.m, deconvreg.m и др., в которых также используется преобразование Фурье [5, с. 184, 188], что хотя и неадекватно физике процесса смазывания, но согласуется с математическим аппаратом т-функций fspecial.m и imfilter.m и это приводит к неплохим результатам реконструкции смазанных изображений-фантомов [5, с. 186, 189].

Рис. 4. Исходное изображение, смазанное изображение и реконструированное изображение методом ПФ с регуляризацией Тихонова

—2

при а = 0 и а = 10

Поскольку в нашей т-функции с1езтеаг1пд0.т (и desmearingf.m), предназначенной для решения обратной задачи, используется преобразование Фурье, то для решения прямой задачи, помимо т-функции Бт1т0.т, использовались также т-функции fspecial.m и ^^^ег.т, что ведет к согласованию математических аппаратов прямой и обратной задач, хотя и рассогласовывается с физикой процесса смазывания. Такой вариант решения прямой и обратной задач реализован в головной программе КесБт1т3.т.

Наилучшим вариантом нужно считать решение прямой задачи с помощью функции типа Бт1т0.т, использующей соотношение (9), и решение обратной задачи методом, использующим лишь алгебраические операции, например, методом квадратур (с регуляризацией Тихонова) [11, с. 195] или методом итераций (с регуляризацией) [16, с. 272].

Реконструкция изображения методом квадратур с тихоновской регуляризацией

Итак, рассмотрим вариант реконструкции смазанного изображения, когда и прямая, и обратная задачи используют лишь алгебраические операции, а именно, смазывание изображения (прямая задача) моделируется выражением типа (9), а реконструкция изображения (обратная задача) выполняется путем решения интегрального уравнения типа (5) методом квадратур и регуляризации Тихонова.

Обратная задача. Задача реконструкции смазанного изображения в непрерывной форме описывается интегральным уравнением типа свертки (5), которое можно записать в виде (полагая у параметром):

—да

Полагаем, что при некотором фиксированном значении у правая часть gy (х) задана при х е [с, 0], причем пределы [с, 0] не зависят от у, а функция Wy (£) ищется при

2, е [а, Ь] (обычно [а, Ь] с [с, 0]). При этом уравнение свертки (17) будем рассматривать как уравнение общего вида: Ь

^у к

а

где

П/ А при - А < х - ^ < 0, к

[0 иначе.

Здесь К - интегральный оператор.

Интеграл в (18) заменяем конечной суммой по формуле прямоугольников, при этом координатам приписываем целые значения (поскольку они выражаются в пикселах). Получим (ср. [11, с. 195]):

п ___

= X= gj,i, 7 =1 п + А j =1 ,

I=1

где

кц =

— при 7 - А < I < 7 -1,

А Р '

0 иначе,

или, опустив для простоты индекс j, п _

^ = X = gi, 7 = 1, п + А,

I=1

где кц выражается формулой (21). Здесь К - ленточная матрица.

В результате при каждом фиксированном номере строки j мы имеем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (22), причем это избыточная (переопределенная) СЛАУ, так как в ней п + А уравнений и п неизвестных (искомых) Wl. Более кратко запишем (22) в виде:

Kw = g.

Здесь g - вектор-столбец размера (п + А) х 1, К - матрица размера (п + А) х п из

коэффициентов кц , w - искомый вектор-столбец размера п х 1.

Избыточная СЛАУ обычно решается методом наименьших квадратов (МНК) Гаусса, согласно которому вместо СЛАУ (23) решается СЛАУ

KTKw = KTg

т

- система п уравнений с п неизвестными, K - транспонированная матрица (ее размер п х (п + А)).

Однако задача решения СЛАУ (24), как показывает решение примеров, является некорректной (сильно неустойчивой). Для получения устойчивого решения воспользуемся методом регуляризации Тихонова [11, 16, 19]. В этом методе вместо СЛАУ (24) решается СЛАУ

где I - единичная матрица п х п (по диагонали - единицы, вне диагонали - нули), а а > 0 - параметр регуляризации. Решение СЛАУ (25):

=

Решение (26) нужно выполнить для каждого значения у = 1, т - номера строки в изображении. В результате получим регуляризованное решение в виде матрицы с элементами (^а)у/.

Программы-функции. Для моделирования прямой задачи смазывания изображения разработана т-функция Бт1т0.т и соответствующая ей головная программа КеоБт1т0.т. А для решения обратной задачи реконструкции смазанного изображения методом квадратур и регуляризации Тихонова разработана т-функция desmearing.m и соответствующая ей головная программа КееБт1т.т.

На рис. 5 и 6 приведены некоторые результаты расчетов по программам-функциям КееБт1т.т, Бт1т0.т и desmearing.m.

Сравнение этих результатов с результатами на рис. 4 показывает, что метод квадратур (с регуляризацией Тихонова) ведет к более точной реконструкции изображений, чем метод преобразования Фурье (также с регуляризацией). На это указывает и визуальный критерий, и количественный критерий (значение а отн в методе квадратур

на порядок меньше, чем в методе ПФ). Отметим также, что в смазанные изображения мы ввели размытые края. Если же размытые края не вводить (или усекать), то реконструкция изображений будет гораздо менее эффективной.

w - original image g - smeared image; Delta=1G

Рис. 5. Исходное изображение, смазанное изображение и реконструированное изображение методом квадратур и регуляризации Тихонова

при а = 0

Рис. 6. Исходное изображение, смазанное изображение и реконструированное изображение методом квадратур и регуляризации Тихонова

при а = 0

Заключение

1. В работах [4, 5, 14, 15] при моделировании прямой задачи для расчета интен-сивностей вблизи краев изображения используется такой прием, как граничные условия (boundary conditions). Однако в случаях, когда этот прием создает резкие края у смазанного изображения, возникают помехи (эффект Гиббса и т.д.) на реконструированном изображении. Для устранения таких помех предложено моделировать размытые края у смазанного изображения, что повышает точность реконструкции.

2. В работах [4, 5] используются также такие методы реконструкции смазанных изображений, как метод фильтрации Винера, метод регуляризации Тихонова и др. При этом как прямая, так и обратная задачи в них решаются с использованием преобразования Фурье. Однако аппарат ПФ неадекватен физической сути задачи смазывания, в которой сама природа использует лишь операция накопления (суммирования) в пределах величины смаза А. Делается вывод, что наилучшие результаты должны давать методы, в которых как прямая, так и обратная задачи решаются с использованием лишь операций суммирования. Это - методы квадратур, итераций и т.п.

3. Построено два варианта алгоритма решения прямой задачи: с использованием лишь операции накопления (суммирования) в пределах величины смаза А и с использованием аппарата преобразования Фурье.

4. Построен устойчивый алгоритм решения обратной задачи (восстановление истинного изображения по смазанному изображению и функции рассеяния точки), использующий метод преобразования Фурье или метод квадратур (и регуляризацию Тихонова).

5. Разработаны программы в виде собственных m-функций в системе MATLAB.

6. Анализ результатов показал, что наилучшая реконструкция изображений

получается в случае, когда прямая и обратная задачи решаются в одинаковом ключе, а

именно, с использованием квадратур.

Литература

1. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. - М.: Мир, 1989. - 336 с.

2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. - М.: Мир, 1982. - T. 2. - 792 с.

3. Грузман И.С., Киричук В.С., Косых В.П. и др. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. -168 с.

4. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.: Техносфера, 2006. -

1072 с.

5. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. - М.: Техносфера, 2006. - 616 с.

6. Арефьева М.В., Сысоев А.Ф. Быстрые регуляризирующие алгоритмы цифрового восстановления изображений // Вычислительные методы и программирование. -1983. - Вып. 39. - С. 40-55.

7. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. - М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.

8. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - С. 185-195.

9. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд-во МГУ. - 1989. - 199 с.

10. Сизиков В.С., Белов И.А. Реконструкция смазанных и дефокусированных изображений методом регуляризации // Оптический журнал. - 2000. - Т. 67. - № 4. - С. 60-63.

11. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. - СПб.: Политехника, 2001. - 240 с.

12. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. - СПб.: Политехника, 2003. - 261 с.

13. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-Posed, Ill-Posed, and Intermediate Problems with Applications. - Leiden-Boston: VSP, 2005. - 234 p.

14. Lee K.P., Nagy J.G., Perrone L. Iterative methods for image restoration: a Matlab object oriented approach, 2002. http://www.matcs.emory.edu

15. Donatelli M. et al. Improved image deblurring with anti-reflective boundary conditions and re-blurring // Inverse Problems. - 2006. - Vol. 22. - P. 2035-2053.

16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев: Наук. думка, 1986. - 544 с.

17. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции // Автометрия. - 2006. - Т. 42. -№ 6. - С. 3-15.

18. Римских М.В., Евсеев В.О., Сизиков В.С. Реконструкция смазанных изображений различными методами // Оптический журнал. - 2007. - Т. 74. - № 11. - С. 53-57.

19. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 232 с.

20. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. - Новосибирск: Наука, 1984. -240 с.

21. Пикалов В.В., Непомнящий А.В. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислительные методы и программирование. -2003. - Т. 4. - С. 244-253.