Структура плоского слоя из равнобедренных треугольников

УДК 664.7.002.5

В. И. Таранов, А. В. Зинкевич

СТРУКТУРА ПЛОСКОГО СЛОЯ ИЗ РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Приведены результаты исследования структуры плоского вертикального слоя из равнобедренных треугольников в поле тяжести. Получено распределение пористости по слою. Обнаружена волновая структура насыпного слоя.

The article presents the results of research on the structure of a flat vertical layer from isosceles triangles in gravity field. It also describes porosity distribution in a layer and the wave structure of a bulk layer.

Ключевые слова: пористость слоя, волновая структура, моделирование.

Keywords: layer porosity, wave structure, modelling.

Моделирование полуупорядоченных систем на механических моделях сыграло большую роль в понимании структуры таких систем и их макросвойств. Развитие компьютерного моделирования позволило сделать существенный шаг вперед. Однако практически все существующие методы численного моделирования применимы либо к системам из сферических (дисковых для плоскости) частиц, либо частиц с потенциалом взаимодействия, зависящим от расстояния. Однако для таких систем, как жидкие кристаллы, насыпные слои, пленочные покрытия и т. д., такое приближение оказывается слишком грубым. Моделирование на основе потенциалов, учитывающих ориентационное взаимодействие, пока не дало положительных результатов [1].

Поэтому имеет смысл вернуться в исследовании общих структурных свойств систем из несферических объектов к простым механическим моделям.

В работе приведены некоторые предварительные результаты анализа структуры плоского слоя из одинаковых равнобедренных треугольников. Установка состояла их двух вертикальных плоскопараллельных листов стекла с постоянным зазором h=7,0 мм. В прямоугольную камеру с шириной основания b=36 см и высотой h=55 см бросались одинаковые плоские равнобедренные треугольники из полихлорвинила толщиной 5,0 мм, длиной основания 12 мм и боковыми сторонами 24 мм. Погрешность изготовления треугольников по длине сторон составила 1 мм.

Треугольники бросались поштучно, первоначальная их ориентация до броска была случайной. В каждом эксперименте бросалась тысяча _______________________________________________Рис. 1. Фотография слоя

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 4. С. 88-92.

треугольников. На рисунке 1 приведено фото одного из вариантов образующегося слоя.

Вначале было исследовано распределение частиц по высоте. Рассчитывалась пористость є (отношение свободной Бсв площади между треугольниками к полной площади). Для этого брались полосы высотой 3,0 и 6,0 см. Считалось количество треугольников в данной полосе.

Результаты представлены на рисунке 2, где приведена и усредненная кривая. Как видно из графика, распределение треугольников носит четко выраженную волновую структуру.

Рис. 2. Изменение пористости по высоте Для исследования зависимости є(х) вся ширина камеры была разбита на 20 одинаковых полос Дх=1,78 см. Результаты представлены на рисунке 3. Из графика однозначно следует наличие квазиколебательной структуры и вдоль оси х.

♦ слева направо  справа налево

Рис. 3. Зависимость пористости по горизонтали

Как известно [2], для описания стохастической структуры из одинаковых плоских тел может быть введено понятие длины свободного пробега как среднего свободного расстояния между телами. При случайном распределении объектов в плоскости

Л= ,

Ь0Б К '

г п N

где ь — площадь одного треугольника, D = — — плотность площадок

ИЪ

на единичную площадь, N — число частиц в слое, h — высота слоя, Ь — ширина слоя, L0 — периметр треугольника. Среднее значение А, рассчитанной по (1) составляет 3,0 мм.

Было исследовано распределение А по x и z. Для этого проводились вертикальные и горизонтальные прямые, находились свободные расстояния между треугольниками вдоль этих прямых и затем считалось А. На рисунках 4 и 5 представлены результаты расчетов. Из них следует, что средняя длина пробега отличается от теоретической. Это является следствием того, что получающаяся в опыте укладка не является чисто стохастической, но образует полуупорядоченную структуру.

Рис. 4. Зависимость длины пробега по горизонтали

Л, мм 2, СМ

1,2 1

0,6 ( К) ) 30 4 0 .гі І

Рис. 5. Зависимость длины пробега по вертикали

Поле тяжести, действующее на частицы, приводит к более устойчивому горизонтальному положению. Было найдено среднее расстояние і, приходящееся на один треугольник. Для этого брались горизонтальные длиной Ь=36 см и вертикальные длиной h=55 см линии и считалось количество треугольников, которые пересекают линии. Затем находились для семи сечений средние x и z расстояния. Они оказались равными 12=1,1 см и 1Х=1,3 см.

Для анализа структуры слоя были найдены радиальные функции распределения

^ = •

п0 2ПгАгп0

Расчет g(r) производился следующим образом. Поскольку на всех частицах отмечался центр масс, то выбирался один из треугольников, положение его центра масс принималось за начало координат и затем

строились окружности с шагом Дг = 3,0 мм и считалось число частиц AN(r) в кольце от г до г+Дг. На рисунке 6 приведены результаты расчета для одного из вариантов. Из графика видно, что в данной системе координат для одной частиц структура в значительной степени отражает ближний порядок. Однако усреднение по многим вариантам приводит к существенному изменению g(r). На рисунке 7 можно видеть усредненную кривую для 50 различных центров.

е<г>

О b 12 IX

Рис. 6. Значение плотности вероятности в зависимости от г для одного центра

Еще одним важным параметром, описывающим пористую структуру слоя, является число частиц пп, образующих пору. Усредненные статистические данные для рассматриваемой модели дают: три частицы образуют пору в 60 % случаев, четыре — 28 %, пять—8 %, шесть—4 %.

Сравнение с данными для плоской модели из дисков [3] указывает на значительное влияние геометрии частиц на пп. в!0

Рис. 7. Усредненное значение плотности вероятности от г для 50 центров

Итоговыми результатами работы являются:

1) рассматриваемая в работе модель полуупорядоченных структур из частиц с ориентационным взаимодействием позволяет выявить основные структурные закономерности таких систем;

2) в плоском слое треугольников обнаружена макроавтоволновая структура.

Список литературы

1. Клеман М., Лаврентович О. Д. Основы физики частично упорядоченных сред. М., 2007.

2. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. М., 1983.

3. Дик И. Г., Дьяченко Е. Н., Миньков Л. Л. Моделирование случайной упаковки шаров // Физическая мезомеханика. 2006. Т. 9, № 4. С. 63 — 69.

Об авторах

В. И. Таранов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. А. В. Зинкевич — студ., РГУ им. И. Канта.

Authors

V. Taranov — Dr., IKSUR.

A. Zinkevich — student, IKSUR.