Аппроксимация конечными элементами краевой задачи на собственные значения вырождающегося дифференциального оператора

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 14 7, кн. 3

Физико-математические пауки

2005

УДК 519.6

АППРОКСИМАЦИЯ КОНЕЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА

М.Р. Тимербаев

Аннотация

Рассматривается краевая задача па собственные значения вырождающегося дифференциального оператора. На основе мультипликативного выделения особенности собственных функций строится аппроксимация задачи конечными элементами со специальным базисом и устанавливается оценка погрешности аппроксимации в энергетической норме.

Введение

Работа посвящена построению и получению оценок точности схемы метода конечных элементов, основанной на мультипликативном выделении особенности, для обобщенной краевой задачи на собственные значения эллиптического дифференциального оператора, коэффициенты которого могут не удовлетворять условию равномерной эллиптичности.

Условие равномерной эллиптичности означает, что собственные значения матрицы коэффициентов дифференциального оператора при старших производных ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Если это условие не выполнено. т. е. в некоторых точках области или границы хотя бы одно из собственных значений обращается в нуль, то такой дифференциальный оператор называется вырождающимся. Вырождающиеся или близкие к ним операторы возникают при описании обменных или диффузионных процессов в неоднородных средах, физические характеристики которых, такие, как теплопроводность, коэффициент диффузии, магнитная проницаемость, в некоторых точках среды могут быть близки к нулю или (в пределе) равны нулю. Классическим примером является оператор Трикоми д2/дх2 + хд2/ду2, представляющий интерес для газовой динамики. Оператор Трикоми эллиптичен в области {(х, у) : х > 0} и вырождается па прямой х = 0.

Численному решению методом конечных элементов краевых задач на собственные значения равномерно эллиптических дифференциальных операторов с гладкими коэффициентами (такие операторы будем называть регулярными) посвящена обширная литература (см.. например. [1 3] и библиографию там). Однако следует отметить, что стандартный метод конечных элементов решения проблемы собственных значений, использующий кусочно-полиномиальный базис, становится неэффективным для вырождающихся операторов, что подтверждается аналитическими выкладками и численными экспериментами. Причина неудовлетворительной аппроксимации заключается в том. что в окрестности точек вырождения коэффициентов собственные функции имеют характерные неограниченные градиенты и кусочно-полиномиальный базис мало пригоден для приближения таких функций.

Развиваемый в данной работе подход к решению проблемы собственных значений вырождающегося оператора основан на идее представления собственной функции u(x) дифференциального оператора в факторизованном виде u(x) = a(x)u(x), где функция a(x) строится по коэффициентам вырождающегося дифференциального оператора и передает асимптотику решения в окрестности точек вырождения, а функция U(x) обладает существенно лучшими по сравнению с u(x) свойствами для аппроксимации конечными элементами. Такое мультипликативное выделение особенности было использовано автором в [4] при дискретизации краевой задачи Дирихле для вырождающегося уравнения. Полученная в работе оценка погрешности предлагаемого метода вычисления собственных пар (собственных значений н соответствующих им собственных функций) имеет такой же порядок малости по шагу конечноэлементной сетки, что и стандартный метод конечных элементов в регулярном случае. Подчеркнем.что рассматриваемый в работе метод является новым методом аппроксимации (в частности, и в регулярном случае), он эффективен как для регулярного эллиптического оператора, так и для вырождающегося.

1. Метод Галеркина решения обобщенной задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве

Пусть V обозначает вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой ||i'|| = у/(v, v). Пусть а(-, •), Ь(-,-) две симметричные, непрерывные, билинейные формы на V х V, удовлетворяющие условиям

a

где c0 > 0 - некоторая постоянная; форму a в этом случае называют эллиптичной

VVb произведением b(-, •), полученное пополнением пространства V по норме ||v||b = = \/b(v, v). Тогда V непрерывно и плотно вложено в V,. Заметим, что норма IML = V°(г'>г') эквивалентна норме пространства V и Va = V.

Рассмотрим задачу об отыскании числа А и ненулевого вектора u G V, удовлетворяющих вариационному уравнению

a

А

a относительно формы b, a u — собственным вектором, соответствующим собственному значению А (А, u) - собственная пара формы a относительно b.

Форма a формулой (Au, v) = a(u, v) порождает линейный непрерывный оператор A : V ^ Vгде V' обозначает сопряжеиное к V пространство, а скобки (•, •) -отношение двойственности между V' и V. Соответственно, форма b определяет линейный непрерывный оператор B : Vb ^ Vb' С V' такой, что (Bu,v) = b(u,v). Задача (2) тогда эквивалентна задаче

Au = ABu

(А, u) A B

VVb VVb

рии неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве следует

Теорема 1. Существуют счетные множества собственных значений, занумерованные с учет,ом, кратности, 0 < Ai < А2 < ..., An ^ ж при n ^ ж, и

соответствующих им собственных векторов un е V, являющихся решениями задачи (2) (или (3)), образующих полную систему eVuVbu удовлетворяющих условиям, ортонормированности

a

Метод Галеркина решения задачи (2) состоит в выборе конечномерных подпространств Vn С V и последующем решении конечномерных спектральных задач об отыскании пар (A, u) е R х VN таких, что

a

Пусть {(AijN, uijN) : i = 1,...,nN} - конечная последовательность решений задачи (5), где nN = dim VN, причем 0 < A1jn < A 2,N < ... < AnN jN, и a(uijN, ujN) = AijN b(uijN, ujN) = ¿j пр и i, j = 1, ..., nN. Для u е V обозначим через ¿N(u) = min{||u — v|| : v е VN} расстояние от u до подпространства VN. Имеет место следующее утверждение об оценке погрешности метода Галеркина [1]:

Теорема 2. (i) Для каждой собственной функции uijN задачи (5) существует собственная функция щ задачи (2), соответствующая собственному значению Aj, такая, что ||«*|| = у/а(щ,щ) = 1, и справедлива оценка

где ci не зависит от N.

0 < Ai,N — Ai < CiS'N(ui). Из теоремы следует, что для сходимости метода Галеркина необходимо потре-

предельно плотна в V, т. е. чтобы для любого u е V имела место сходимость ¿N(u) ^ ^и N ^ то.

2. Формулировка краевой задачи на собственные значения и оценки собственных функций в нормах весовых пространств Соболева

В области Q =

Здесь x = (x1;x2) - точка области Q, di - оператор обобщенного дифференцирования по переменной . Предполагается, что коэффициенты о,, (ж) и Ъ{ж) достаточно гладкие и положительные в Q. Парамет ры а произвольные вещественные числа. удовлетворяющие условию

а < min

В частном случае а = в = 0 рассматриваемая задача будет регулярной, при а > > 0 дифференциальный оператор вырождается па части границы Г = {0} х [0,1]. Отметим, что при а > 1 нетривиальных решений задачи (6) не существует, поэтому мы этот случай не рассматриваем.

Для дальнейшего анализа введем весовые классы функций. Для произвольного вещественного параметра y через L2j7 (Q) обозначается пространство измеримых функций f (x) с конечной нормой, определяемой формулой

Q

Для натурального т через Я^П) обозначим весовое пространство Соболева, состоящее из функций и (ж), все обобщенные производные порядка т которых принадлежат пространству Ь2,7(П); квадрат нормы в этом пространстве можно определить, например, таким образом:

ИЯ^П)!!2 = I |ж_7£гм(ж)|2^ж + I |м(ж)|2 ¿ж,

где Д С П - произвольный фиксированный компакт ненулевой плоской меры Лебега (различный выбор Д будет приводить к эквивалентным нормировкам), и для мультииндекса г = (¿1, г2) с порядком |г| = ¿1 + г2 используется стандартное обозначение обобщенной производной Бг = с^1 д?,2. На пространстве Я^П) мы будем использовать полунорму, определяемую равенством

|ж_7Утм|2,п = J |ж_7£ги(ж)|2 ¿ж.

о

Через Я^(П) обозначается замыкание в пространстве Я^П) множества Сд°(П) финитных бесконечно дифференцируемых функций. При 7 > -1/2 пространство

Я1 (П) состоит в точности го тех функций пространства Я_1(П), которые имеют

нулевой след на границе дП. При 7 < —1/2 у функций из Я_1(П) не определен

о 1 1 след па Г и пространство Я^(П) совпадает с прострапством Я_1(П), состоящим

из тех функций из Я^П), которые имеют нулевой след на части границы дП \ Г.

о

Для функций из Я\(П) при 7 +1/2 = 0 имеет место неравенство Харди [5]

1

17+1/21

7 1и\2П < , Д /0, К1е>М2 а,

откуда вытекает непрерывное (но не компактное) вложение пространства Я1 (П) в Ь2л+1(П) и эквивалентность па подпространстве Я1 (П) нормы ! • |Я_1(П)У и

_ о

полунормы |ж_ 7У • |2 п. Если ^ < 7+1, то вложение Я^,(П) в Ь2,М(П) компактно [6, с. 3631.

о

Возвращаясь к задаче (6), определим на пространстве V =Я_а/2(П) билинейные формы

2

а(м,«) = ^ ^2ж"акдкмдк« ¿ж, Ь(м, = ^ жвбм« ¿ж п к=1 п

и операторы

Ам = —д^О^д^ — жад2а2д2м, Вм = жв 6м.

Исходную задачу (6) Ам = АВм можно записать в вариационном виде, как задачу об отыскании собственных пар (А, м) € К х V, удовлетворяющих уравнению

а

Из сказанного выше и из условий на коэффициенты аг, 6 следует эллиптичность формы а на V и компактность вложения V в пространство У^ = Ь2,_в/2(П), поскольку —в/2 < 1 — а/2 по условию (7). Из теоремы 1 следует

Теорема 3. Существуют счетные множества собственных значений, занумерованные с учет,ом, кратности, 0 < Ai < A2 < ... An ^ то при n ^ то, и соответствующих им собственных векторов un е V, являющихся решениями

о

задачи (9) (или (6)J, образующих полную систем,у в V =H-a/2(Q) и L2i-Jg/2(Q) и удовлетворяющих условиям, ортонормированности

a

Для произвольной функции u(x) положим u(x) = x^-1u(x) и определим пространство U7,a(Q) как множество всех функций u е L2,loc(Q) с конечным квадратом нормы

и обращающихся в нуль на части границы dQ \ Г. В [7, лемма 4.1] показано, что при y > а — 3/2 функции из U7,a(Q) обращаются в нуль всюду на dQ. Имеет место следующее утверждение [7, с. 73].

Теорема 4. Для того чтобы дифференциальный оператор A осуществлял изоморфизм пространства UY,a(Q) на пространсmeo L2,Y(Q), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие а — 3/2 < y < 3/2.

Из теоремы следует, что при условии а — 3/2 < y < 3/2 существует такая постоянная c > 0, те зависящая от f, что для решения краевой задачи

Au = f в Q, u = 0 на dQ

справедлива априорная оценка

Теорема 5. Любая собственная функция задачи (9) принадлежит пространству UY,a(Q) для любо го y < min(3/2, 3/2 + в — а).

Доказательство. Пусть (A, u) - решение задачи (9). Положим f = Axebu = = Ax1+e-abu. Так как u принадлежит пространству V, а V С L21-a/2(Q), то f е L2,1+e-«/2(Q) • Если 1 + в — а/2 > ^ = min(3/2, 3/2 + в — а), то утверждение немедленно следует из оценки (13). Пусть 1 + в — а/2 < Из условий (7) следует а — 3/2 < а/2 — 1 < 1+ в — а/2. Есл и y - такой параметр, что а/2 — 1 <y< —1/2 и f е L2j7(Q), то из (13) следуют включения d1u е L2j7(Q) и u е L2j7+1(Q), откуда вытекает, что f е L2j7+¿(Q) , где ó = 2 + в — а> 0. Если е ще y + ^ < —1/2, то, повторяя рассуждения, получим, что f е L2j7+2¿(Q) и т. д.

Таким образом, найдется такой параметр y из интервала ( —1/2, что f е ¿2,7(Q). Теперь го включения d.u е ¿2,7(Q) следует, что

откуда получаем, что f € Ь2,з/2+в-а-е(^) Для произвольного сколь угодно малого е > 0 и и € и^Ега(0,). Теорема доказана.

Замечание. Утверждение теоремы точно в том смысле, что для предельного значения Y = 3/2 + шш(0, в — а) оно не верно (см. пример ниже).

Следствие 1. Если а < в + 1, то дхй = 0 на Г.

Доказательство. Из теоремы следует, что для некоторого 7 > 1/2 справедливо включение м € Я^_1(П) П Я/^(П) и существует след д = д1м(0, •) € Ь2(0,1). Кроме того, имеет место включение д — д1м € ¿2,7(П), и, следовательно, д = = д1м + (д — д1м) € ¿2,7(П), что может быть только в случае д = 0. Утверждение доказано.

а = в = 0:

—м'' = Ам, м(0) = м(1) = 0.

Как известно, ((пп)2, эт ппж), п = 1,2,... - собственные пары этой задачи. Обозначим мп(ж) = эт ппж. Тогда мп(ж) = мп(ж)/ж =1 — (ппж)2/6 + 0(ж4) и мП(ж) = — (пп)2ж/3 + 0(ж3). Отсюда получаем, что мП(0) = 0 и мП € Ь2,3/2_е(0,1) для сколь угодно малого е > 0, но й'п / Ь2,з/2(0,1).

Обозначим через а оператор умножения на функцию м = ам, м =

Лемма 1. Оператор а является изоморфизмом

(г) пространства Я^_1(П) П Я1(П) с естественной нормировкой пересечения гильбертовых пространств на пространство К7,а(П),

(гг) пространства V = ЯЯ(1/2_1(П) на пространство V =Я_а/2(П), (ггг) пространства Ь2 в/2(П) на пространство Vь = Ь2,_в/2(П).

Ку,а(П) и нормы (11). Утверждение (гг) содержится в [4] (лемма 2). Утверждение (ггг) проверяется непосредственно, поскольку м принадлежит ¿2,_в/2(П) тогда и только тогда, когда (Е Ь2,а-1-/з/2(П). Лемма доказана.

Введем билинейные формы

а

и рассмотрим задачу на нахождение собственных пар (А, м) € К х V, удовлетворяющих уравнению

а

Ясно, что собственные значения задач (9) и (15) совпадают, а соответствующие собственные вектора м и м связаны между тобой соотношением м = ам. Из тео-

функций задачи (15):

Теорема 6. Любая собственная функция задачи (15) принадлежит пространству Я2_1(П) П Я1(П) для любо го 7 < 3/2 + шт(0, в — а).

Замечание, (см. замечание к теореме 5). Теорема перестает быть верной при

7 = 3/2 + шш(0,в — а).

Смысл перехода от исходной задачи к задаче (15) в том, что в окрестности особых точек Г собственная функция м ведет себя существенно более гладко, чем соответствующая собственная функция м исходной задачи, и поэтому для аппроксимации м можно применять стандартные проекционно-сеточные методы, тогда как эти же методы для м не дадут хороших результатов. Действительно, пусть 0 < а < в е > 0

имеем следующую интегральную характеристику производных д1м и д2м:

|ж1_1/2д1м|2,п + |ж1_3/2д1м|2,п <

Отсюда, учитывая, что

и = (1 — а)х-аи + х 1 и, д = а(а — 1)х-а- 1 и + 2(1 — а)х-ад1 и + х получим, используя (14).

|х1+£+1/2д1и|2,П + |х1+£-1/2д1и|2,П <

(Заметим, что эти оценки точны в том смысле, что при е = 0 полунормы в обеих оценках обратятся в бесконечность.) Таким образом, оценки производных собственной функции и та степенной вес х1+а слабее, чем для и.

3. Аппроксимация задачи

Для натурального п > 1 положим N = п2, к = 1/п и обозначим через Ту естественную триангуляцию квадрата П на треугольные конечные элементы, вершинами которых являются либо тройки точек (¿к, ^'к), ((г +1)к,^'к), (¿к, + 1)к), либо ((г + 1)к,^к), ((г + 1)к, + 1) к), (гк, + 1)к), где г, ^ = 0,1,...,п — 1. Через обозначим пространство линейных конечных элементов, ассоциированное с триангуляцией Ту, т. е. это множество непрерывных на П функций, линейных на каждом К € Ту.

Введем пространство Уу С У, состоящее го функций вида х1-а(х)ф(х), где ф € = (ад € : ад = 0 на дП\Г} и будем использовать его для аппроксимации задачи (9). Приближенными решениями будем называть пары (А, и) € К х Уу, и = =0

а

Соответственно, аппроксимация задачи (15) состоит в отыскании пар (А, и) € Кх хХу, и = 0, удовлетворяющих уравнению

а

Обозначим ошибку аппроксимации функции и функциями подпространства Уу в энергетической норме формы а через (и) = шш(||и — : V € Уу}• Поскольку 1|и||0 = ||и|^ и а : Ху ™ Уу, то (и) = ¿а,/(и) = шт(||и — v||a : V € Ху}.

2

Теорема 7. Пусть а < -/3+1. Тогда для любой собственной функции и

задачи (9) имеет место оценка погрешности аппроксимации (и) < cN-1/2 = = ск, где постоянная с зависит от и, но не зависит от N.

Доказательство. Пусть и - собственная функция формы а относительно Ь. Если выполнено условие теоремы, то а/2 < 3/2 + шт(0,в — а), следовательно, по теореме 6 и € На2/2-1(П) П ННа1/2 (П). Так как норма || • ||а эквивалентна норме пространства ¿Т1/2-1(П), то из оценок погрешности аппроксимации конечными элементами в весовых пространствах Соболева [8], [9] получим

(и) = (и) < ск|х1 а/2У2и|2П = cN-1/2|х1 а/2У2и|2П. Утверждение доказано.

Из доказанной теоремы и из теоремы 2 получим основной результат работы: 2

Теорема 8. Если а < -/3+1, то

(г) для каждой собственной функции задачи (16) существует собственная функция щ задачи (9), соответствующая собственному значению Лг, что ||щг||0 = 1, и справедлива оценка в энергетической норме формы а

где сг не зависит от N;

(гг) для соответствующих собственных значений задач (9) и (16) имеет место оценка

0 < Лг,№ — Лг < с^-1 = сг^2.

а=в=0

0<

< а < 1 и выполнено условие теоремы, то стандартный метод приводит лишь к сходимости О^^0-1^4) для сколь угодно малого е > 0, которая становится символической при а, близких к критическому значению а = 1.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Л*1' 03-01-00380, 04-01-0821).

Summary

M.R. Timerbaev. An approximation by finite elements of the eigenvalue problem for

degenerate differential operator.

Eigenvalue problem for degenerate differential operator is considered. A discretization

scheme based on multiplicative decomposition of singularity with special basis is constructed

and its error approximation in energy norm is obtained.

Литература

1. Chatelin F. Spectral Approximations of Linear Operators N. Y.: Academic Press, 1983.

2. Babuska I., Osburn J.E. Finite element-Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of soli adjoint, problems // Math. Сотр. 1989. V. 52. P. 275 297.

3. Babuska I., Osburn J.E. Eigenvalue problems. Handbook of Numerical Analysis. V. II. Finite Element Methods. Part 1. Elsevier, 1991. P. 641 792.

4. Тимербаео М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифф. уравнения. 2000. Т. 52, Л' 7 С. 1086 1093.

5. Xa/pdit Г., Литтлоуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

6. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

7. Тимербаео М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением па части границы // Изв. вузов. Математика. 2003. Л' 1. С. 60 73.

8. Тимербаео М.Р. Оценки погрешности n-мерпой сплайп-иптерполяции в весовых нормах // Изв. вузов. Математика. 1992. Л' 10. С. 54 60.

9. Тгшербаев М.Р. Копечпоэлемептпая аппроксимация в весовых пространствах Соболева // Изв. вузов. Математика. 2000. Л' 11. С. 76 84.

Поступила в редакцию 19.10.05

Тимербаев Марат Равилевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. E-mail: Marat. TimerbaevQksu.ru