К определению напряженного состояния упругопластических тел с трещиной

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 58-70

Механика =

УДК 539.375

К определению напряженного состояния упругопластических тел с трещинои *

В. А. Айрих, В. В. Глаголев

Аннотация. Для описания изменения напряженно-деформированного состояния (НДС) в упругопластических телах, ослабленных трещинами, используется модель физического разреза. В отличие от математического разреза расстояние между берегами трещины полагается конечным. На продолжении физического разреза выделяется слой взаимодействия, толщина которого ограничена возможностью использования гипотезы сплошности. Рассмотрен численный метод решения поставленной задачи. Для ряда конструкционных материалов, исходя из известных механических характеристик, выполнены оценки введенного линейного параметра.

Ключевые слова: трещина, упругопластические деформации, характерный размер, метод конечного элемента.

1. Введение

Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) поврежденных трещиной тел связано с моделью данного дефекта в твердом теле. Классическое представление трещины в виде математического разреза достаточно хорошо прогнозирует прочность конструкций из хрупких материалов или в случае, когда область пластического деформирования незначительна и используется концепция квазихрупкого разрушения Ирвина [1]. При этом вопрос о переходе от упругого состояния к пластическому и развитии пластических зон на стадии предразрушения не рассматривается. Причина этого — сингулярность поля напряжений в концевой зоне трещины. Подавить сингулярность возможно введением сил сцепления [2, 3], однако, в этом случае возникает вопрос о законе распределения этих сил. Практическое применение данного подхода ограничено случаем нормального отрыва для плоского напряженного состояния. В этом случае интенсивность этих сил полагают постоянной и равной пределу текучести материала [4].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-08-00134, 1301-97501) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).

Решение упругопластической задачи для тела с трещиной в рамках естественных для механики сплошной среды критериев перехода из упругого состояния в пластическое подразумевает конечность поля напряжений. Данное обстоятельство приводит к рассмотрению новых представлений дефекта типа трещины. Одна из таких моделей была предложена в работах [5, 6]. В рамках данной модели трещина представляется физическим разрезом толщиной ¿о, расположенным вдоль поверхности разделения. На продолжении физического разреза в рассмотрение вводится материальный слой. Толщина слоя считается минимально допустимой в рамках гипотезы сплошности, и в этом случае распределение напряжений и деформаций полагается постоянным по толщине слоя.

Определяющие соотношения в слое взаимодействия считаются справедливыми для средних по толщине характеристик НДС. В статье [6] рассмотрено определение НДС в упругом теле конечных размеров с трещиной в виде физического разреза. Дана оценка и предложен эксперимент по определению введенного линейного параметра.

В данной статье рассматривается упругопластическая постановка нахождения НДС и пластической области в концевой области трещины в теле конечных размеров при малых деформациях и симметричном нагружении. Из упругопластического решения через известные механические характеристики проведены оценки толщины слоя.

На рис. 1 представлено тело с трещиной в виде физического разреза с толщиной ¿о. Процесс нагружения предполагаем квазистатическим и изотермическим. Условие равновесия запишем в вариационной форме:

где под номерами 3, 4 определена материальная область, лежащая на продолжении физического разреза; 1, 2 — смежные с 3, 4 области; Р — внешняя нагрузка на контуре Ь; а — тензор напряжений; е — тензор деформаций; и — поле перемещений.

В слое 3, 4 средние напряжения, деформации и перемещения определяем через их граничные значения следующим образом [6]:

2. Постановка задачи

51+2+3+4

ь

5о/2

¿0/2

Рис. 1. Тело с трещиной

¿0

/2

О 22 (Жх) = ¿"У °22 (Ж1,Ж2) ¿Ж2 = 0.5 (о- + ,

-¿0/2

Зо/2

О11 (Жх) = ¿0 У О11 (Ж1,Ж2) ¿Ж2,

-¿0/2

^22 (Ж1) =

и+

-;; £11 (Ж1)=0-^ ^ж^ +-

¿0

дж1

ди1

' =0.5

дЖ2

¿0

дж1

\ дж1

+

дж1

,

.

и1

где и+, и- — векторы перемещения верхней и нижней границы области 3.

Из выражений (6) приходим к представлению средней сдвиговой деформации вдоль слоя:

£21 (Ж1) = 0.5

/ ди2(ж1) ди1(ж1)\

V дж1

+

дЖ2 )

= 0 ' и1 (ж1) - и1 (ж1) +0 / ди+ (ж1) + ди- (ж1)'

¿0

V дж1

дж1

Напряжения по границе области 3: а+1, а+2, а- связаны со средними напряжениями условиями равновесия:

х дап - +

при условии симметрии касательных напряжений.

Принимаем, что векторы напряжений на сопряженных границах слоя 3, 4 равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ тела. Кроме того, постулируется жесткое сцепление между границами областей 3, 4 и областями 1, 2.

Подставим выражения (2), (3), (9), (10) в (1), рассматривая граничные напряжения слоя в качестве внешней нагрузки для тел 1 и 2. При отсутствии внешних нагрузок по торцам слоя решение задачи о равновесии тела с трещиной сводится к совместному решению двух вариационных уравнений [6]: для тела 1:

У а  бейв + J а226п^й1 + J а215п+й1 + J а226п^й1 + J а216п+(1+

й1 11 11 12 12

д5п+ „ [_ д5п+

ч

11

+М /0^11^

+5оП 0.5ап дХ-й1 + 0.5 У а21 ¿Ч = / Р +  Ш1>

\£2 12 / ¿1 и тела 2:

У а  бейв — У а225и-(И — J а215п-й1 — J а225и-й1 — J а215п-йI+

й2 11 11 12 12

+5о | 0.5 У ап йI + 0-^ а21 ^^¿4 +

11 11 /

+¿0 | 0.5 ! а 11 (I + 0.5 ! а21 ¿4 = \ Р~  6Ш,

12 12 / ¿2

где 11, 12 — границы тел 3 и 4; ¿1, ¿2 — границы приложения внешней нагрузки для тела 1 и 2.

1

Отметим, что формулировка (11), (12) дана без ограничения на условия нагружения и форму тела. Однако в рамках данной статьи ограничимся случаем анализа трещины типа нормального отрыва. Для этого случая в силу симметрии нагружения в слое имеет место: а 21 = 0; и+ = и-; и+ = —и-; 11 = 12 = I. Следовательно, при решении задачи достаточно рассмотреть только половинку тела 1, для которой уравнение равновесия запишем в виде

У а  5е<з ^ У а225и+<11 + 600.^ а11 д^1 < = J Р+  йи<И,

Забоо I I Ь

где Ь = 0.5Ь1.

Уравнение (13) необходимо замкнуть конкретными определяющими соотношениями, связывающими напряжения с деформациями. Поведение материала слоя при активном нагружении определяем следующими физическими соотношениями [7]:

Да = 2 С(7)Дё;

Ар = 3 К ДО,

где а — девиатор тензора истинных напряжений; ё — девиаторная составляющая тензора деформаций; 7 = 2л/ё  ё; О = |ё  Е, К — модуль объемного сжатия; р = | а  Е — гидростатическая составляющая тензора напряжений; э — параметр упрочнения; С(э) — сдвиговой модуль; С(э) = Ое при а  а ^ Т|; С(э) = Ср при а  а > Т|; Т — предел текучести.

Предполагается, что свойства материала характеризуются универсальной зависимостью Т = Т (7) — «единой кривой», показанной на рис. 2.

Рис. 2. Универсальная зависимость деформирования

При решении упругопластической задачи будем использовать метод «упругих решений» [7]. В этом случае определяющие соотношения (14) представим в виде

à = 2Ссё,

р = 3Кв.

Здесь Ос = Т/7 — секущий модуль сдвига (см. рис. 2). В работе [8] показано, что данный метод сходится со скоростью геометрической прогрессии.

3. Метод дискретного решения

Для решения вариационного уравнения (13) совместно с определяющими соотношениями (14) используем метод конечного элемента. В рассматриваемых элементах потребуем однородности НДС, что предполагает линейность поля перемещений и, как следствие, функции формы элемента г = = 1,2,3. Решение задачи (13)—(14) с использованием симплекс-элемента дает распределение поля перемещений в узловых точках, в том числе и по границе со слоем. Однако после нахождения соответствующего решения возникает задача определения НДС в слое взаимодействия. На рис. 3 представлен элемент слоя со смежным конечным элементом.

Рис. 3. Конфигурация образца для расчета

Рассмотрим определение НДС в элементах слоя. Нахождение средних напряжений связано с определяющими соотношениями и значением средних деформаций, определяемых по (5)-(8). В узлах i,j МКЭ дает значение

ди+ ди+

перемещений, однако, выражение производных -qx! , ~qx1 в соответствующих узлах не определено, и их нахождение связано с локальной аппроксимацией поля перемещений в пределах конечного элемента. Используя линейность поля перемещений в пределах конечного элемента, выражение производных

В

иил и —и1

через узловые точки представим в виде: -qxt = з—1

1 Х1—Х1

ди2 _ и2 — и2 dx i xxj_x^

данном случае значение производных будем относить к срединным точкам

«_» хл +х 1 -р-ч

граней элементов, сопряженных со слоем: 12 1. В соответствующих

точках значение перемещения по оси X может быть найдено: и+ = "2. Определенные по (5)—(8) значения средних по толщине слоя деформаций

можно трактовать как средние по длине элемента слоя, и соответственно по их значениям, используя определяющие соотношения (14), находить средние по длине элемента напряжения.

4. Оценка введенного линейного размера

Основной проблемой в использовании постановки задачи (11), (12), (14) является значение введенного масштабного параметра 5о. В работе [6] показано, что введенный линейный размер может быть получен из эксперимента по податливости образца с трещиной в режиме упругого деформирования. Однако при отсутствии прямых экспериментальных данных рассмотрим процедуру оценки параметра 5о, исходя из известных механических характеристик материала и решения соответствующей упругопластической задачи.

Известно, что основной характеристикой трещиностойкости материалов является вязкость разрушения К/с. Данная величина определяется для нагружении трещины нормальным отрывом в состоянии, близком к плоской деформации. Отметим, что данная характеристика рассматривается для модельного представления трещины в виде математического разреза и используется для хрупких и квазихрупких материалов. Используя данную величину, можно рассчитать критическую нагрузку, соответствующую началу образования новых материальных поверхностей для определенной схемы нагружения. Так, в работе [9] приведены численные результаты для прямоугольной пластины конечной длины с центральной трещиной. Следуя схеме на рис. 1, при 1лв/1вс = 1; 1лв/а = 1 критическая нагрузка определяется соотношением

Рсг = к1° .

1.33л/0.5па

В модели трещины, где отсутствует сингулярность напряжений, начало разрушения можно рассматривать в рамках критерия Кулона. Так как представление трещины не должно влиять на значение критической нагрузки, то выражение (17), по сути, должно приводить к достижению главным напряжением в локальной области предела прочности. В этом случае решение (13), (14) для заданной внешней нагрузки (17) будет определять зависимость максимального главного напряжения в элементарном объеме рассматриваемого тела от параметра 5о.

Приведем в табл. 1 материальные характеристики ряда конструкционных материалов, где асг, есг — соответственно предел прочности по напряжениям и деформациям; ао,2 — условный предел текучести; Е — модуль упругости.

Таблица 1

Механические характеристики материалов

Марка стали асг, МПа Е, МПа £ст К1С, МПа^/м сто,2, МПа

Ст.3 900 [10] 210000 [10] 0.33 [10] 81 [10] 235 [11]

15Х2МФА 1500 [10] 220000 [10] 0.22 [10] 171.05 [10] 623 [12]

15Х2МНФА 1320 [10] 220000 [10] 0.22 [10] 163.27 [10] 606 [13]

На основе табличных данных, принимая коэффициент Пуассона для рассматриваемых сталей V = 0.3, поместим в табл. 2 расчетные касательные модули.

Таблица 2

Расчетные касательные модули материалов

Марка стали Се, МПа Ср, МПа К, МПа

Ст.3 80769 1007 175000

15Х2МФА 84615 1993 183333

15Х2МНФА 84615 1623 183333

На рис. 4 показан график вычислительной сходимости интенсивности напряжений на первом элементе слоя в зависимости от размера конечного элемента по отношению к толщине слоя. Из полученных результатов при решении задач принимаем следующее ограничение на размер конечного элемента: 50/А = 3.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 <50 / Л

Рис. 4. Вычислительная сходимость упругого решения

Из решения упругопластической задачи найдено, что максимальное главное напряжение реализуется на первом элементе слоя. На рис. 5 представлена зависимость максимального главного напряжения для первого элемента слоя от параметра 5о для сталей: Ст.3 — график 1, 15Х2МФА — график 2, 15Х2МНФА — график 3.

Приведем полученные значения толщин слоя, соответствующие пределу прочности по напряжениям, во втором столбце табл. 3.

ч, ' ч 1 1 х ; 2 44 / 1/

......Ч""" /^•^УГ з ».

—-___

Рис. 5. Зависимость максимального главного напряжения от толщины

слоя

Таблица 3

Значения введенного линейного параметра

Мрк  стали ¿о  10-4, м ¿о  10-4, м

Ст.3 0.2 1

15Х2МФА 0.55 4

15Х2МНФА 0.8 4.2

В работе [14] была приведена оценка толщины слоя в следующем виде:

К 2

¿о = _Кю__

0 ОстЕ (бет - 0.5бе) '

где £е — предел упругости по деформациям. В третьем столбце табл. 3 поместим расчетные данные по формуле (18).

На рис. 6 приведем распределение напряжений по слою для стали Ст.3 при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рис. 6 определяет напряжение О22, график 2 — напряжение Оц, а график 3 — напряжение о33.

Как видно из графика распределения напряжений, в концевой зоне трещины реализуется высокая гидростатическая составляющая тензора напряжений. Данное обстоятельство определяет тенденцию к распределению пластической области в зоне предразрушения. Форма пластической области при достижении предела прочности на первом элементе слоя показана на рис. 7. Для стали Ст.3 толщина слоя 5о = 2  10-5м. Размер грани конечного элемента, смежного со слоем, определена с учетом вычислительной сходимости решения ¿о/А = 3. Следовательно, размер пластической области в момент разрушения лежит в пределах 10-4м. Данное обстоятельство позволяет в рамках традиционной модели трещины

1 1 1 1 и : / 1 / 1

Г 2 ! 1 У 1 / 1 / : з

ч Ъс ч \ \ / 1 / 1 / 1 / 1 / 1 ^ 1

0 5 10 15 1Щ

Рис. 6. Распределение напряжений по длине слоя

в виде математического разреза проводить расчет в рамках линейной теории упругости и контролировать разрушение коэффициентом интенсивности напряжений, однако, определить начало пластического деформирования в рамках общепринятых критериев механики твердого тела в этом случае не представляется возможным.

Л

Оо

ф 1_

Рис. 7. Форма зоны пластичности для стали Ст.3 при плоской

деформации

Расчеты для сталей 15Х2МФА и 15Х2МНФА имеют аналогичные со сталью Ст.3 результаты.

5. Плоское напряженное состояние

На основе найденных линейных размеров, приведенных во втором столбце табл. 3, проведен расчет для рассматриваемых сталей по модели (13), (14) для случая плоского напряженного состояния. На рис. 8 приведено распределение главных напряжений по длине слоя, а на рис. 9 показана форма зоны пластичности для стали Ст.3 при достижении максимальным главным напряжением предела прочности. Кривая 1 определяет напряжение 022, кривая 2 — стц.

Характер распределения для сталей 15Х2МФА и 15Х2МНФА аналогичен. Отметим, что в этом случае максимальные главные деформации

практически совпали с критическими в отличие от состояния плоской

деформации, где соответствующие значения оказались меньше на 10-15 %.

Список литературы

1. Irwin G.R. Analysis of stresses and stain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1958. V. 24. № 3. P. 361-364. (Discussion // J. Appl. Mech. 1958. V. 25. № 2. P. 299-303).

2. Barenblatt G.I. The formation of equilibrium cracks during brittle fracture. General ideas and hypotheses. Axially-symmetric cracks // J. Applied Mathematics and Mechanics. 1959. № 23. P 622-636.

3. The special issue: Cohesive models // Eng. Fract. Mech. 2003. V. 70. № 14. P. 1741-1987.

4. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits //J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8. № 2. P. 100-104.

5. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.

6. Glagolev V.V., Markin A.A. Stress-Strain State in Elastic Body with Physical Cut // World Journal of Mechanics. 2013. V. 3. №. 7. P. 299-306.

7. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 376 с.

8. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // ДАН. 1959. T. 126. № 4. С. 740-743.

9. Bowie O.L., Neal D.M. A note on the cent central crack in a uniformly stressed strip // Engng. Fracture Mech. 1970. V. 2. №. 2. P. 181.

10. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Феноменологические основы оценки трещиностойкости материалов по параметрам спадающих участков диаграмм деформаций // Пробл. прочности. 1983. № 2. С. 6-10.

11. Марочник сталей и сплавов / А.С. Зубченко [и др.]. М.: Машиностроение, 2003. 784 с.

12. Махутов И.Л. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. 272 с.

13. Трощенко В.Т., Покровский В.В., Каплуненко В.Г. Прогнозирование трещиностойкости теплоустойчивых сталей с учетом влияния размеров образцов. Сообщ. 1. Результаты экспериментальных исследований // Пробл. прочности. 1997. № 1. С. 5-25.

14. Глаголев В.В., Маркин А.А. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 177-186.

Глаголев Вадим Вадимович (vadim@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Айрих Владимир Александрович (vladimir.airich@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Stress state definition of the elastoplastic bodies with crack

V. A. Airich, V. V. Glagolev

Abstract. In this paper we use the physical cut model which helps to describe strain-stress state of the elastoplastic bodies containing cracks. As opposed to mathematical cut model the distance between the edges of the cut is assumed finite. Interaction layer is on the continuation of physical cut, the thickness of which is limited to the hypothesis of continuum mechanics. A numerical method for solving this problem is considered. For several structural materials with known mechanical properties performed calculations of introduced linear parameter.

Keywords: crack, elastoplastic strain, characteristic size, finite element method .

Glagolev Vadim (vadim@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Airich Vladimir (vladimir.airich@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 04-09.2014