О вероятности ложной тревоги энергоподобного обнаружителя сигналов на фоне гауссовских помех с различными функциями корреляции

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

В. И. Костылев, Ю. С. Левицкая,

доктор физико-математических наук, Воронежский государственный

профессор, Воронежский университет государственный университет

О ВЕРОЯТНОСТИ ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ ЭНЕРГОПОДОБНОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ГАУССОВСКИХ ПОМЕХ С РАЗЛИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ КОРРЕЛЯЦИИ

ON THE FALSE ALARM PROBABILITY OF ENERGY-LIKE DETECTOR OF SIGNALS IN THE PRESENCE OF GAUSSIAN NOISE WITH VARIOUS CORRELATION FUNCTIONS

В статье рассматривается энергоподобный обнаружитель. Исследуется зависимость вероятности ложной тревоги от таких параметров, как порог обнаружения и размерность выборочного пространства. Рассматриваются каналы с различными видами помех, а именно каналы с аддитивным белым гауссовским шумом, а также гаус-совскими шумами с различными функциями корреляции: треугольной, экспоненциальной, колокольной. Для всех этих случаев в работе представлены графические зависимости вероятности ложной тревоги от порога обнаружения. В целях сравнения аналогичные зависимости представлены и для энергетического обнаружителя.

The energy-like detector is considered in the article. The dependence of the false alarm probability from such parameters as the detection threshold and the dimension of the sample space is investigated. Channels with various types of noise are considered, i.e. channels with additive white Gaussian noise, as well as Gaussian noise with various correlation functions: triangular, exponential, and bell-shaped are investigated. For all these cases, the work presents a graphical dependence of the probability of a false alarm from the detection threshold. For comparison purposes, similar dependences are presentedfor the energy detector. An analysis of the results indicates an improvement in the detection efficiency when replacing the energy detector with an energy-like detector.

Введение. Проблема обнаружения сигналов с использованием энергетического обнаружителя достаточно подробно освещалась в работе Урковица [1] для детерминированных сигналов, передаваемых в канале с ограниченным по полосе гауссовским шумом. Вместе с тем в [2] введено в научный обиход понятие энергоподобного обнаружителя. Также энергоподобный обнаружитель был рассмотрен в работе [3], где показана затруднительность аналитического решения задачи обнаружения в силу большой вычислительной сложности. Вероятность ложной тревоги и вероятность правильного обнаружения предпочтительнее вычислять посредством проведения статистического моделирования.

Важной особенностью энергетического обнаружителя является то, что его характеристики инвариантны к форме обнаруживаемого сигнала, в то время как энергоподобный обнаружитель не обладает такими свойствами.

1. Пространство наблюдений. Совокупность всех реализаций г(^ случайного процесса Щ) образует пространство наблюдений.

В современных информационных системах непрерывная реализация г(/) подвергается временной дискретизации, поэтому результат наблюдения есть конечномерный вектор г с компонентами г = г(/о+/ДО, где ^ — детерминированная константа, определяемая выбором начала отсчёта времени, а Дt — интервал дискретизации времени. Пусть г е Я", где Я" — некоторое подмножество п-мерного евклидова пространства. Вектор г называют выборкой, параметр п — размером выборки, компоненты {г} вектора г — выборочными значениями или элементами выборки, а подмножество Я" — выборочным пространством. Если выборочные значения представляют собой совокупность независимых случайных величин, то выборку г называют независимой (или случайной [4]).

При дискретной форме регистрации наблюдений вероятностная мера на пространстве наблюдений представляет совместное конечномерное распределение выборочных значений случайного процесса [4]. Плотность этого распределения называют функцией правдоподобия. При этом выборочное пространство совпадает с "-мерным евклидовым пространством. В случае широко распространённого гауссовского закона функция правдоподобия может иметь, например, такой вид:

п 1 п

ПКЫ2^2)2ехр --гXг1

( . .. \

2

V 2<Уд т=1 У

где Ид — гипотеза о том, что все выборочные значения имеют нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии С2 .

Задача обнаружения сигнала в шуме решается путём отображения выборочного пространства Я" на пространство решений Г, состоящее из двух элементов, уо и у, причём уо есть решение об отсутствии сигнала, а у1 — решение о наличии сигнала.

Задача различения векторов (или выборок) также состоит в отображении выборочного пространства на пространство решений. Если различаемых векторов только два, то и гипотез {Ид} о них только две, а именно Но и И1. Пространство решений Г в этом случае снова состоит только из двух элементов, уо и у, причём уо есть решение в пользу гипотезы Но, а у1 — решение в пользу гипотезы Н1.

С целью обнаружения сигнала или различения векторов выборочное пространство разбивается на два подпространства Яо и К.1. Границу, разделяющую эти подпро-

странства, будем называть решающей поверхностью. Если г е Ro, то принимается решение уо, а в случае г е Rl — решение /1. Ошибочные решения количественно характеризуются вероятностями

а = Ргггт >ЭТ2

Ио\ Р = Рг Xг2т <ЭТ2

И, -

где а и Р — вероятности ошибки первого (вероятность ложной тревоги) и второго рода (вероятность пропуска цели) соответственно.

Форму и положение решающей поверхности определяет критерий принятия решения. В настоящее время наибольшее распространение имеют критерий Неймана —Пирсона и критерий Байеса. При этом критерий максимального правдоподобия и критерий максимального апостериорного риска можно трактовать как частные случае критерия Бай-еса [4].

2. Энергетический и энергоподобный обнаружители. Пусть решающая поверхность есть сфера (при п = 2 сфера вырождается в окружность) радиуса ЭТ, имеющая центр в начале координат. Таким образом, подпространство Rо представляет собой шар (при п = 2 — круг) радиуса ЭТ с центром в начале координат и решение уо выносится в том случае, когда вектор наблюдения не выходит за пределы шара, т.е. в случае выполнения неравенства

п

X Г1 <ЭТ2.

т=1

Обнаружитель, реализующий описанное правило проверки гипотез, называют энергетическим обнаружителем. Таким образом, при энергетическом обнаружении с порогом, представляющим собой квадрат радиуса сферы, сравнивается квадрат нормы вектора наблюдения.

При этом формулы

1т=1 ' V т=1 '

В случае использования критерия Неймана — Пирсона радиус ЭТ выбирается так, чтобы обеспечить нужную вероятность ошибки первого рода а. При использовании критерия Байеса радиус ЭТ выбирается иначе, по более громоздкой методике.

Энергоподобный обнаружитель отличается от энергетического тем, что элементы выборки возводятся не в квадрат, а берутся их модули.

п

XI т < эт .

т=1

При этом сохраняются преимущества энергетического обнаружителя, такие как: простая структура, отсутствие необходимости в большом количестве информации о статистических свойствах сигналов и шумов.

При этом формулы (2) для вероятностей ошибочных решений преобразуются в

а = рг

V т=1 ) V т=1 '

В случае использования критерия Неймана — Пирсона параметр ЭТ выбирается так, чтобы обеспечить нужную вероятность ошибки первого рода а.

3. Вероятность ложной тревоги. В общем случае вероятность ложной тревоги определяется первой из формул (2). Для энергетического и энергоподобного обнаружителя эта вероятность определяется первыми из формул (4) и (6) соответственно. Эта вероятность может быть конкретизирована посредством выбора модели шума. Наиболее распространённая модель шума — белый гауссовский шум.

3.1. Белый гауссовский шум. Согласно модели белого гауссовского шума в случае реализации гипотезы Но все элементы {г} обрабатываемой выборки независимы, имеют нулевые средние значения, подчиняются нормальному (гауссовскому) закону распределения

2

вероятностей и имеют одинаковые дисперсии. Обозначим последние ССш .

При этом сумма в левой части (5) имеет гамма-распределение и вероятность ложной тревоги может быть выражена аналитически через ро-функцию [5]

х-1

1 Г ,1 Р(х,у) = ——— I 1 ехр(-г)&

х, у ) = г- ехр

Г(х) о

а именно

а = 1 -Р

С СГ>2 Л

п Ш

V 2 2а2 У

\ ш У

Здесь

Г

2

гамма-функция [5], аш — дисперсия одного отсчёта шума.

Из (5) очевидно, что ро-функция представляет собой не что иное, как нормированную неполную гамма-функцию. В программной среде МАТЬАВ ро-функция запрограммирована в файле gammainc.m.

При целом значении первого аргумента ро-функция допускает разложение в конечную сумму [5].

Согласно формулам (6) и (8) вероятность ложной тревоги а зависит от трёх пара-

2

метров, а именно п, аш и Ш. Однако количество параметров можно уменьшить до двух, если ввести следующее обозначение:

Ш2

и=20Г.

ш

Будем называть параметр к «нормированный порог обнаружения».

С учётом введённого обозначения формулу (6) можно переписать в виде

а = 1 -Р

- и

V 2 ,

Из (1о) следует, что вероятность ложной тревоги зависит только от двух параметров — размерности выборочного пространства п и нормированного порога обнаружения к.

Вероятность ложной тревоги может быть рассчитана как аналитически по формуле (1о), так и методом статистического моделирования, а для энергоподобного обна-

га

о

ружителя аналитически рассчитать вероятность ложной тревоги не представляется возможным. Для такого обнаружителя имеет место только статистическое моделирование с помощью (5), (6).

На рис. 1 показаны графики зависимости вероятности ложной тревоги от величины нормированного порогового уровня к для различных значений размерности выборочного пространства п. Сплошная линия соответствует случаю п = 4, пунктирная — п = 16, штрих-пунктирная — п = 64 и точечная — п = 128. Как следует из хода кривых на рис. 1, вероятность ложной тревоги убывает с увеличением порогового уровня и с уменьшением размерности выборочного пространства. Такая зависимость вероятности ложной тревоги от параметров не противоречит здравому смыслу.

1

0.9 0.8 0.7 0.6 а 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

\ - 'х \ \ ч

\ \

\ \ \

\ *

; \ \

\ \

\

\ \

\ \ \ \ \

V \ \ \

о

40 50

Ь

б

Рис. 1. Зависимость вероятности ложной тревоги от порога обнаружения при энергетическом (а) и энергоподобном (б) обнаружении

а

3.2. Окрашенный гауссовский шум. Окрашенный шум отличается от белого тем, что его отсчёты коррелированы. От монохроматического окрашенный шум отличается тем, что коэффициенты корреляции элементов выборки не равны единице.

Получить аналитическое выражение для вероятности ложной тревоги энергетического обнаружителя при окрашенном шуме в общем случае не представляется возможным. Однако эта вероятность может быть рассчитана методом имитационного моделирования.

3.2.1. Треугольная корреляция. Рассмотрим вначале случай, когда элементы [г] обрабатываемой выборки коррелированы следующим образом:

^=ГГ=1 -(1 -х)\1 - .

Здесь [Яу] — коэффициенты взаимной корреляции /-го и у-го элементов выборки, а х — коэффициент взаимной корреляции соседних элементов выборки.

Результаты вычисления вероятности ложной тревоги энергетического и энергоподобного обнаружителей в случае коррелированного по треугольному закону гауссов-ского шума методом статистического моделирования показаны на рис. 2.

Сплошная линия соответствует отсутствию корреляции; пунктирная — х = о,9; штрих-пунктирная —/ = 0,75. Все три кривые построены для случая п = 16.

ч *д

V \\ 4 и

х \\ 4 м

\'Л

1

V

V

\\\ \\

Vчч

С 0.5

б

Рис. 2. Зависимость вероятности ложной тревоги от порогового уровня при п = 16 энергетического (а) и энергоподобного (б) обнаружителей

а

Как видно из хода кривых, корреляция отсчётов неоднозначно влияет на зависимость вероятности ложной тревоги от величины порогового уровня: при малых пороговых уровнях корреляция отсчётов приводит к уменьшению вероятности ложной тревоги, а при больших — к увеличению.

3.2.2. Экспоненциальная корреляция. Рассмотрим вначале случай, когда элементы {г} обрабатываемой выборки экспоненциально коррелированы. Это означает, что

ГгГ] ) ,

где а — параметр, характеризующий корреляцию. При а = 0 элементы выборки жёстко коррелированы; с увеличением а корреляция элементов выборки ослабевает.

Очевидно, что коэффициент корреляции соседних элементов выборки есть

Г г

х = —г = ^ (~а) .

Результаты вычисления вероятности ложной тревоги энергетического обнаружителя в случае экспоненциально коррелированного гауссовского шума методом статистического моделирования показаны на рис.3. Здесь сплошная кривая построена для п = 32, пунктирная кривая — для п= 16, штрих-пунктирная — для п = 8 и точечная — для п = 4.

И 0.5

0.2 0.1 -

е о.5

X

б

Рис. 3. Зависимость вероятности ложной тревоги от коэффициента корреляции энергетического (а) и энергоподобного (б) обнаружителя

а

Как следует из хода кривых, с увеличением коэффициента корреляции вероятность ложной тревоги может как уменьшаться, так и увеличиваться. При этом большие (близкие к единице) вероятности уменьшаются с ростом коэффициента корреляции, а малые становятся больше при увеличении коэффициента корреляции. Следует отметить, что практический интерес представляют только малые и даже очень малые вероятности ложной тревоги.

На рис. 4 показаны зависимости вероятности ложной тревоги от величины порогового уровня для двух случаев: сплошная линия соответствует случаю белого шума, а пунктирная и штрих-пунктирная — случаю окрашенного шума с экспоненциальной корреляцией и коэффициентами корреляции о,5 и о,9 соответственно. Обе кривые построены для п = 32.

А

а

А

б

Рис. 4. Зависимость вероятности ложной тревоги от порогового уровня энергетического

(а) и энергоподобного (б) обнаружителей

3.2.3. Колокольная корреляция. Рассмотрим теперь случай, когда элементы {r} обрабатываемой выборки обладают колокольной корреляцией. Это означает, что

~~a

rr = c2 exp

г j ш r

где а — параметр, характеризующий корреляцию. При а = 0 элементы выборки жёстко коррелированы; с увеличением а корреляция элементов выборки ослабевает.

Очевидно, что коэффициент корреляции соседних элементов выборки по-прежнему определяется формулой (12).

На рис. 5 показаны зависимости вероятности ложной тревоги от величины порогового уровня для двух случаев: сплошная линия соответствует случаю белого шума, а пунктирная и штрих-пунктирная — случаю окрашенного шума с экспоненциальной корреляцией и коэффициентами корреляции 0,5 и 0,9 соответственно. Обе кривые построены для п = 32.

-V 44 \

\ \ ч\ ч \

s А \ ч\

\ Д \ Д

\ Л ч

Ч \ \д

V\

V \

Ч.ч ч.4 4 s«

0 5 1С 15 20 25 30 35

h

а

А

б

Рис.5. Зависимость вероятности ложной тревоги от порогового уровня энергетического

(а) и энергоподобного (б) обнаружителя 141

Сплошная линия соответствует белому шуму, пунктирная — окрашенному шуму с X = 0,5, штрих-пунктирная — окрашенному шуму с х = 0,9, а точечная — окрашенному шуму с х = 0,99.

Заключение. В работе рассматривалось поведение энергоподобного обнаружителя не только в случае, когда сигнал наблюдался на фоне аддитивного белого гауссов-ского шума, но и в ситуациях с окрашенным гауссовским шумом, имеющим треугольную, экспоненциальную и колокольную корреляцию. Были получены соответствующие характеристики энергоподобного обнаружителя, а именно построена зависимость вероятности ложной тревоги от порога обнаружения. В случае с окрашенным гауссовским шумом, имеющим треугольную корреляцию, корреляция отсчетов неоднозначно влияет на зависимость вероятности ложной тревоги от величины порогового уровня: при малых пороговых уровнях корреляция отсчетов приводит к уменьшению вероятности ложной тревоги, а при больших — к увеличению. Если шум имеет экспоненциальную корреляцию, то с увеличением коэффициента корреляции вероятность ложной тревоги может как уменьшаться, так и увеличиваться. При этом большие (близкие к единице) вероятности уменьшаются с ростом коэффициента корреляции, а малые становятся больше при увеличении коэффициента корреляции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Urkowitz H. Energy detection of unknown deterministic signals // Proc. IEEE. — 1967. — Vol. 55. — P. 523—531.

2. Костылев В. И., Гресь И. П. Характеристики энергоподобного обнаружителя гауссовского сигнала на фоне шума Лихтера // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — Нижний Новгород, 2017. — Т. 60. — № 4. — С 380—385.

3. Kostylev V. I., Gres I. P. Characteristics of p-Norm Signal Detection in Gaussian Mixture Noise // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 2018. — V. 67, №4. — P. 2973—2981.

4. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М. : Радио и связь, 1989. — 656 с.

5. Abramowitz M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphis and mathematical tables / edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun : Issued June 1964. — 1046 с.

6. Kostylev V. I. Energy Detection of a Signal with Random Amplitude // Proc. IEEE Int. Conf. Communications (ICC'02). — 2002. — P. 1606—1611.

7. Probabilty of Detection in Energy Detection in Cognitive Radio. — URL: https://se.mathworks.com/examples/matlab/community/35811-probabilty-of-detection-in-energy-detection-in-cognitive-radio (дата обращения: 12.12.2018).

REFERENCES

1. Urkowitz H. Energy detection of unknown deterministic signals // Proc. IEEE. — 1967. — Vol. 55. — P. 523—531.

2. Kostyilev V. I., Gres I. P. Harakteristiki energopodobnogo obnaruzhitelya gaussovskogo signala na fone shuma Lihtera // Izvestiya vyisshih uchebnyih zavedeniy. Ra-diofizika. — Nizhniy Novgorod, 2017. — T. 60. — # 4. — S 380—385.

3. Kostylev V. I., Gres I. P. Characteristics of p-Norm Signal Detection in Gaussian Mixture Noise // IEEE Transactions on Vehicular Technology. — 2018. — V. 67, # 4. — P. 2973—2981.

4. Levin B. R. Teoreticheskie osnovyi statisticheskoy radiotehniki. — M. : Radio i svyaz, 1989. — 656 s.

5. Abramowitz M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphis and mathematical tables / edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun : Issued June 1964. — 1046 s.

6. Kostylev V. I. Energy Detection of a Signal with Random Amplitude // Proc. IEEE Int. Conf. Communications (ICC'02). — 2002. — P. 1606—1611.

7. Probabilty of Detection in Energy Detection in Cognitive Radio. — URL: https://se.mathworks.com/examples/matlab/community/35811-probabilty-of-detection-in-energy-detection-in-cognitive-radio (data obrascheniya: 12.12.2018).

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Костылев Владимир Иванович. Профессор кафедры электроники. Доктор физико-математических наук, профессор.

Воронежский государственный университет.

E-mail: kostylev@amm.vsu.ru

Россия, 394018, г. Воронеж, Университетская площадь, 1. Тел.: 8(920)-453-17-72.

Левицкая Юлия Сергеевна. Аспирант.

Воронежский государственный университет.

E-mail: julia_5@icloud.com

Россия, 394018, г. Воронеж, Университетская площадь, 1. Тел. 8(906)-531-50-61.

Kostylev Vladimir Ivanovich. Professor of the chair of Electronics. Doctor Physical and Mathematical Sciences, Professor.

Voronezh State University.

E-mail: kostylev@amm.vsu.ru

Russia, 394018, Voronezh, Universitetskaya S., 1. Tel. 8(920)-453-17-72.

Levitskaya Iuliia Sergeevna. Post-graduate student.

Voronezh State University.

E-mail: julia_5@icloud.com

Russia, 394018, Voronezh, Universitetskaya S., 1. Tel. 8(906)-531-50-61.

Ключевые слова: энергоподобный обнаружитель; вероятность ложной тревоги; отношение сигнал-шум; энергетический обнаружитель; аддитивный белый гауссовский шум, коррелированный гауссов-ский шум.

Key words: energy-like detector; false alarm probability; signal-to-noise ratio; energy detector; additive white Gaussian noise; correlated Gaussian noise.

УДК 621.391