Моделирование и оценка качества работы одноканальных систем массового обслуживания

УДК 330.46

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ ОДНОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

© П.А Лонцих1, А.Н. Шулешко2

Иркутский государственный технический университет, 664073, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена экономическая система, сфера деятельности которой формализована в виде математических моделей с целью моделирования ее работы и поиска путей оптимизации. Выполнен анализ одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием. Предложен граф состояний такой системы. Рассмотрены условия возможного повышения качества системы массового обслуживания. Ил. 1. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: менеджмент качества; одноканальная система массового обслуживания; моделирование математических моделей; оценка качества работы; оптимизация; граф состояния.

MODELING AND PERFORMANCE QUALITY ESTIMATION OF SINGLE CHANNEL QUEUING SYSTEMS P.A. Lontsikh, A.N. Shuleshko

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper examines the economic system, whose business activity is formalized in mathematical models. The last allow to simulate its operation and to search for optimization ways. A single channel queuing system with queuing time is analyzed. A state graph of the system is proposed. The conditions for a possible rise in the quality of servicing are considered.

1 figure. 3 sources.

Key words: quality management; single channel queuing system; mathematical modeling; evaluation of performance quality; optimization; state graph.

Одним из наиболее распространенных в России является бизнес, связанный с обслуживанием потребностей населения, - сфера услуг, продажа потребительских товаров и т.п. Как и большинство экономических систем, эта сфера деятельности может быть формализована в виде математических моделей с целью моделирования ее работы и поиска путей оптимизации. Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием. На практике существует значительное количество примеров таких систем, которые относятся, прежде всего, к мелкому бизнесу: это торговая точка с одним продавцом, автомобильная мастерская на одно машино-место, автомойка на одно машино-место и т.д. Поскольку такие системы, как правило, не имеют значительных доходов, то представление их в виде математических моделей и последующий анализ важны для повышения их экономической эффективности.

СМО имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью А. Интенсивность потока обслуживания равна ц (то есть в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать ц обслуженных заявок). Длительность обслу-

живания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания [1, 2].

Предположим, что, независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N требований (заявок), то есть клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид (рисунок).

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

50 - канал свободен;

Б? - канал занят (очереди нет);

52 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);

SN - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).

1Лонцих Павел Абрамович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой управления качеством и механики, руководитель Иркутского филиала АС «Русский Регистр», e-mail: palon@list.ru

Lontsikh Pavel, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Quality Management and Mechanics, Head of the Irkutsk Branch of Certification Association "Russian Register", e-mail: palon@list.ru

2Шулешко Александр Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры управления качеством и механики, эксперт Иркутского филиала АС «Русский Регистр», e-mail: alexshul@bk.ru

Shuleshko Alexander, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Quality Management and Mechanics, Expert of Irkutsk Branch of Certification Association "Russian Register", e-mail: alexshul@bk.ru

л

ц

л

I

ц

ц

I

ц

Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

-рР0 +Р1 = О ,п = 0;

-( 1 - р)Р„ + Р„+! + рР„ _! = 0 ,0 < п < N ,

-Рд, + рРдг.! = 0,п = N я

где р = -, п - номер состояния.

м

Решение системы уравнений для приведенной выше модели СМО имеет вид [1]:

,Р = 1

1 -р Р -__

°"1 -рм+

Тогда

ЧУ +1

Отметим, что выполнение условия стационарности р = - < 1 для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями

я

входного потока, то есть не отношением р = -.

м

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

- вероятность отказа в обслуживании заявки:

р — р —

*отк 1 N

—.р = 1

N+1 г

- вероятность обслуживания заявки, или относительная пропускная способность системы:

Ч 1 Р>тк

№)р".р*1

1--,р = 1

N+1 г

- абсолютная пропускная способность: А = чЛ ;

- среднее количество заявок, находящихся в си-

стеме:

IV

=1

пР„ =

Ь5 =

р[ 1 - ДО + 1 )рм + Nр*+Ч

( 1-р)( 1-р" + !) N

у,Р = 1

,Р* 1

- среднее время пребывания заявки в системе:

=—;

5 -

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

И/ч = - 1 /м .

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием - автомойка.

Число стоянок для автомобилей, ожидающих своей очереди, ограничено и равно 3 ((N-1) = 3). Если все стоянки заняты, то есть в очереди уже находятся три автомобиля, то очередной автомобиль, приехавший на мойку, в очередь не становится. Поток автомобилей, прибывающих на мойку, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность А = 0,85 (автомобиля в час). Время мойки автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 ч.

Требуется определить вероятностные характеристики автомойки, работающей в стационарном режиме.

1. Параметр потока обслуживаний автомобилей:

М = 1 = — = 0 ,9 5 .

г г 1,05

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей А и ц, то есть

р = - = ^ = 0,89 .

г II 0,95

3. Вычислим финальные вероятности системы:

" 1-рЛ,+1 1-0,895

р1 = р р0 = 0,89 * 0,2 5 = 0,2 2 ;

Р2 = р2р0 = 0,892 * 0,2 5 = 0,2 ;

Р3 = р 3р0 = 0,89 3 * 0,2 5 = 0,18 ;

Р4 = р4р0 = 0,894 * 0,2 5 = 0,16 .

4. Вероятность отказа в обслуживании автомоби-

ля:

Рот к = А = 0 ,1 6 . Относительная пропускная способность авто-

5.

мойки:

Ч = 1 - Рот К = 0 ,84 .

6. Абсолютная пропускная способность автомойки

А = чЛ = 0 , 7 1 6 (авт о м о б иля в час).

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (то есть в СМО):

V.

V

Iс =

р( 1 - (Л/ - 1 )рд + Л/р д+_

= 1,8.

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

¿5 1,8

ж =

= 2,5

А

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

ИЧ, = ж -1 = 2 , 5 - — = 1 ,4.

1 5 ц 0,95

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

I, = А( 1 - Рдт) И, = 0,85 (1 - 0,16) = 1,0 2 .

Оценивая качество работы мойки, приведенной в примере, можно отметить, что оно удовлетворительное, поскольку мойка не обслуживает автомобили в среднем в 16% случаев.

Рассмотрим далее, можно ли повысить качество работы одноканальной СМО путем увеличения длины очереди (в приведенном примере - расширение парковки для клиентов мойки). Примем, что остальные параметры СМО остаются неизменными.

Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого п = 0, 1,2, ..., следующая [1]:

( -1Р0 + /гР1 = 0, п = О

1АРП- 1 + +1 - (А + /0Р„ = 0,п > 0 .

Решение такой системы уравнений имеет вид [1]: Рп = ( 1-р )р ",п = 0 , 1 , 2 ,..,

где р = - < 1.

м

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди следующие:

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

= 1

пР„ =

1-р

п=0

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

I, 1

Ж =--— =-

5 А( 1-Рд) 1-р ) '

- среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

1, = 15 - - = 1-Р ;

- средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

ч - м

Пусть рассматриваемая автомойка располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на мойку автомобилей, то есть длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

• вероятность состояний системы;

• среднее число автомобилей, находящихся в системе (в мойке и в очереди);

• средняя продолжительность пребывания автомобиля в системе

(в мойке и в очереди);

• среднее число автомобилей в очереди на мойку;

• средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

1. Параметр потока обслуживания у и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены выше:

у = 0,95; р = 0,89.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

р0 = 1- р = 1- 0 ,89 = 0 , 1 1 ;

Р1 = ( 1 - р)р = (1 - 0,89)0,89 = 0,1 ;

Р2 = ( 1 - р )р2 = (1 - 0,89)0,89 2 = 0,1 ;

Р3 = ( 1 - р )р3 = (1 - 0,89)0,89 3 = 0,08 ;

Р4 = ( 1 - р)р4 = (1 - 0,89)0,894 = 0,0 7 ;

Р5 = ( 1 - р)р5 = (1 - 0,89)0,895 = 0,0 6

и т. д.

Следует отметить, что Р0 определяет долю времени, в течение которого мойка вынужденно бездействует (простаивает). В данном случае она составляет 11%, так как Р0 = 0,11.

3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (в мойке и в очереди):

= 8, 3 .

^ Р

5 1-р 1-0,8 4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

5 - м

= 9 ,8 .

5. Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:

м

= 7 ,4 .

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:

ИЧ = —— = 8,8 .

ч м

7. Относительная пропускная способность системы:

9=1,

то есть каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность:

( ).

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее мойку автомобилей, прежде всего, интересует количество клиентов, которое посетит мойку при снятии ограничения на длину очереди [2, 3]. Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно 3 (см. пример выше). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающий на мойку автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди: т = АРд .

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и р = 0,89 т = А Р0р4 = 0,8 5 * 0,2 5 * 0,894 = 0,1 3 автомобиля в час.

При 12-часовом режиме работы автомойки это эквивалентно тому, что она в среднем за смену (день) будет терять 12*0,13 = 1,6 автомобиля. Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить коли-

чество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч работы). Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на мойку,

должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Библиографический список

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2006. 432 с.

2. Лонцих П.А., Шулешко А.Н. Инновационные методы решения задачи контроля качества. Применение нейронных сетей Кохонена для классификации выпускаемой продукции

// Управление качеством. 2011. № 2. С. 54-62. 3. Лонцих П.А., Марцынковский Д.А., Шулешко А.Н. Управление качеством. Прогнозирование, риск-менеджмент, оптимизация: монография. Германия: Изд-во Lambert Academic Publish-ing, 2011. 301 с.

УДК 336.648

ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ ЛИЗИНГОВОГО И КРЕДИТНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ

© Д.В. Огнев1, Р.В. Егоров2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены принципы сравнения стоимости кредита и лизингового финансирования. Паритетность данных видов финансирования оценена на основе предложенных критериев соответствия. Представлена модифицированная методика расчета чистого эффекта лизинга с учетом российской специфики. Инновационной составляющей данной методики является то, что такой расчет позволяет всесторонне рассмотреть возможность лизингового финансирования в сравнении с кредитом. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: кредит; лизинг; модифицированная методика расчета лизингового платежа.

INNOVATIVE APPROACH TO CALCULATING LEASE AND CREDIT FINANCING D.V. Ognev, R.V. Egorov

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The paper deals with the comparison principles of loan value and lease financing. The parity of these types of financing is estimated on the basis of the offered benchmark. A modified procedure to calculate the net effect of lease taking into account Russian conditions is presented. An innovative component of this procedure is as follows: presented calculation allows thorough consideration of the possibility of lease financing as compared with loan. 7 sources.

Key words: credit (loan); lease; modified procedure to calculate lease payment.

Лизинг (финансовая аренда) как эффективный инструмент для решения проблемы модернизации и расширения производства без привлечения собственных ресурсов оценивается как лизингополучателем, так и лизингодателем. Рассмотрим основные принципы оценки эффективности лизинга.

В первую очередь необходимо оценить внутреннюю стоимость лизинга по отношению к займу. Выбор в пользу одного из двух сравниваемых способов финансирования означает лишь получение экономического эффекта по отношению к другому.

Вторым принципом является утверждение о том, что рыночная стоимость любой фирмы не зависит от структуры ее капитала и определяется исключительно ее будущими доходами. В современной теории фи-

нансов это положение, известное как теорема ММ (теорема Модильяни - Миллера), дает основание выбирать между кредитным и лизинговым финансированием.

Третьим принципом является принцип финансовой эквивалентности платежей. Эквивалентным аренде считается заем, поток задолженности по которому соответствует потоку лизинговой задолженности в каждый момент времени. Подсчитав сумму эквивалентного займа, ее можно сравнить с суммой лизингового финансирования. Главное условие - соответствие лизингового и кредитного финансирования. Соответствие двух различных, но сравнимых вариантов финансирования устанавливается посредством введения коэффициента сравнения L, который отражает

1Огнев Дмитрий Владимирович, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики и менеджмента, тел.: 89025790838, e-mail: odv1974@rambler.ru

Ognev Dmitry, Doctor of Economics, Professor of the Department of Economics and Management, tel.: 890257908З8, e-mail: odv1974@rambler.ru

2Егоров Роман Васильевич, соискатель, тел.: 89041538884, e-mail: odv1974@rambler.ru Egorov Roman, Competitor for a scientific degree, tel.: 89041538884, e-mail: odv1974@rambler.ru