Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры

УДК 539.3

Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры

П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. Швейкин

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614000, Россия

Рассмотрен подход к построению физической модели, включающей уравнения состояния, эволюционные и замыкающие уравнения, основанный на гипотезе о существовании конечного набора внутренних тензорзначных переменных и физикомеханических параметров, полностью характеризующих состояние материала «здесь и сейчас». Это позволяет перейти к записи физических уравнений в виде простых соотношений (тензорно-алгебраических или дифференциальных); при этом историей воздействий не пренебрегается, ее «носителями» являются введенные внутренние переменные. Обсуждается возможный вид структуры определяющих соотношений. Построение определяющих соотношений проиллюстрировано на примере процессов пластического деформирования монокристаллов в двумерном случае. Приведены алгоритмы определения активных систем скольжения при силовом и кинематическом нагружении. Исследованы особенности поведения кристаллов при развороте кристаллической решетки для различных схем нагружения. Получена эволюция функции распределения ориентаций кристаллографической системы координат зерен при кинематическом нагружении.

Ключевые слова: определяющие соотношения, физические теории пластичности, текстурообразование

Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution

P.V. Trusov, V.N. Ashikhmin, P.S. Volegov and A.I. Shveykin

Perm State Technical University, Perm, 614000, Russia

The paper presents an approach to the development of a constitutive model including constitutive relations as well as evolution and closing equations. The approach is based on the hypothesis of the existence of the finite set of internal tensor variables, physical and mechanical parameters that characterize completely the here-and-now state of the material. This allows writing physical equations as simple relations (tensor-algebraic or differential). In this case the history of actions is not neglected and its “carriers” are introduced by internal variables. A possible structure type of the constitutive model is discussed. Plastic deformation of single crystals in the 2D statement is used to illustrate the derivation of constitutive relations. Algorithms for determining active slip systems under force and kinematic loading are given. Peculiarities of the crystal behavior at lattice rotation are studied for different loading conditions. The evolution of the orientation distribution function for the crystallographic system of grain coordinates under kinematic loading is determined.

Keywords: constitutive relations, physical theories of plasticity, texture formation

1. Введение

Как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, процессы необратимого (неупругого) деформирования весьма чувствительны к изменению мезо- и микроструктуры материала. Это привело к созданию нового синтетического (на стыке физики и механики деформируемого твердого тела) направления — физической мезомеханики [1, 2]. Указанные процессы тесно взаимосвязаны: с одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются ис-

точником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне; управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Поэтому в настоящее время в механике деформируемого твердого тела одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поли-кристаллических материалов [1-4]. Потребность в та-

© Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И., 2009

ких моделях возникает, в первую очередь, при анализе процессов обработки металлов давлением, ориентированных на получение микрокристаллических и субмик-рокристаллических материалов, а также текстурирован-ных материалов. К процессам обработки металлов давлением можно отнести прокатку, экструзию, равноканальное угловое прессование и другие.

Очевидно, что имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом. В первом случае в структуру определяющих соотношений вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих эволюцию собственно мезо- и микроструктуры. Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые различными операторами модели материала. В последние десятилетия все большее признание находит второй подход — явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными.

2. Построение определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

В литературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними переменными называют параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях. Этимология термина «внутренние переменные», вероятно, связана и с (неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической системы, управлять напрямую изменением которых за счет внешних воздействий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внутреннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушением внутренних структур.

Следует отметить, что в настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные. Например, в классической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющей в пространстве напряжений (или деформаций) области упругого и неупругого деформирования. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое. Эта эволюция поверхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств материала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи с чем параметры, описывающие эволюцию этой

поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуация имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластич-ности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу основанных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [1-4 и др.].

Однако теории, использующие внутренние переменные неявным образом, как уже отмечено выше, записываются в весьма сложной форме, в общем случае в виде операторных уравнений, учитывающих память материала о предшествующей истории воздействий. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких и дорогостоящих экспериментов. Применение таких определяющих соотношений при решении краевых задач, возникающих при анализе реальных процессов, также связано со значительными трудностями. В связи с этим большинство исследователей при постановке конкретных задач отказываются от применения более точных (но и более сложных) теорий, например теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина [5], в пользу более простых теорий, например деформационной теории пластичности или теории пластического течения. Однако при переходе к этим простым определяющим соотношениям из рассмотрения исключается одно из важнейших свойств материалов (особенно в необратимых процессах) — свойство памяти (по крайней мере, о векторных свойствах).

Возникает вопрос: можно ли, сохранив свойство памяти материала, сформулировать определяющие соотношения для его описания в достаточно простой форме (тензорно-алгебраической или в виде простейшего, например, дифференциального оператора)? Ответ на этот вопрос, на наш взгляд, является положительным с учетом введенного выше понятия внутренних переменных и вкладываемого в него физического смысла. Представляется физически обоснованным принять следующую гипотезу.

Реакция материала в каждый момент времени полностью определяется значениями тензорзначных термомеханических характеристик материала, конечного набора внутренних переменных, параметров физикомеханических воздействий и их производных по времени требуемого порядка в исследуемый момент времени.

Стоит отметить, что в этом случае история воздействий не отбрасывается, ее «носителями» будут являться введенные внутренние переменные.

Ниже приведена общая структура определяющих соотношений с использованием внутренних переменных.

Обозначим через £ меру (в общем случае произвольную) напряженного состояния, £r — ее объективную скорость изменения [6], PY, Y = 1, Г — параметры воздействия термомеханической (например

температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например радиация, химические воздействия) природы.

Часть внутренних переменных непосредственно входит в структуру определяющих соотношений данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем

будем обозначать Jp, в = 1, Ве, и называть их внутренними «явными» переменными. Вторая группа внутренних переменных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные уравнения. Переменные этой группы будем обозначать в = 1, В1;

чтобы отличать их от переменных первой группы, будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» переменными. Полная совокупность внутренних переменных, таким образом, определяется как ^^е, J§},

Р = Гв, у = 1В, 8 = В = Ве + В1.

Структура определяющих соотношений с внутренними переменными включает в себя совокупность следующих групп соотношений:

- уравнения состояния (физические уравнения):

Ег = РДР«, Jе),

- эволюционные уравнения (для скрытых внутренних переменных):

J8Г = Rг8

- замыкающие уравнения:

J“ = Сгу

где верхний индекс г обозначает ту или иную не зависящую от выбора системы отсчета производную (как правило, коротационную [6]). Более детально соотношения (2), (3) будут пояснены ниже.

Вообще говоря, вышеприведенные соотношения могут быть сформулированы в терминах самих переменных или их производных. Вопрос выбора типа определяющих соотношений, эволюционных и замыкающих уравнений — в терминах мер напряженного состояния и других параметров («интегральные» соотношения) или мер скоростей их изменения («дифференциальные» соотношения, соотношения скоростного типа) — в каждом конкретном случае решается исследователем. При этом учитываются соображения физического характера, сложности записи соотношений, ясности интерпретации результатов и т.д. Понятно, что в силу отсутствия четко определенных критериев подобный выбор во многом субъективен.

Можно отметить, что данный подход имеет определенные преимущества по сравнению с формулировкой определяющих соотношений в операторной форме: большая ясность физической интерпретации уравнений, возможность прямой или косвенной проверки результатов анализа эволюции мезо- и микроструктуры на основании опытных данных и/или анализа микропараметров, модели данного типа обладают значительной уни-

версальностью. Предлагаемый общий вид определяющих соотношений (1)—(3) представляется более удобным для последующего анализа и приложений, чем запись определяющих соотношений в операторной форме, так как могут быть использованы хорошо разработанные в тензорном анализе теория тензорных функций тензорных аргументов, теория инвариантов и другие разделы.

К основным недостаткам рассматриваемого подхода следует отнести: большое число внутренних переменных и соответствующих эволюционных уравнений, необходимых для адекватного описания процесса необратимого деформирования; трудности решения «проблемы замыкания» (необходимость введения для формулировки эволюционных и замыкающих уравнений выбранного масштабного уровня внутренних переменных более глубокого масштабного уровня; подобная проблема возникает, например, при построении моделей турбулентности). Для построения эволюционных и замыкающих уравнений наиболее перспективным представляется применение так называемых физических теорий пластичности.

3. Определяющие соотношения, учитывающие эволюцию микроструктуры

Предлагаемая выше структура определяющих соотношений была применена авторами для построения модели образования текстур в поликристаллах.

Под текстурой понимают наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела. Текстуры образуются вследствие ориентированного воздействия на тело внешних и/или внутренних сил. Эти силы могут быть вызваны механическими, магнитными, электрическими или тепловыми воздействиями. Текстуры возникают при различных технологических процессах: кристаллизации, пластической деформации и др. Важными являются прочностные и магнитные свойства текстурированных материалов, поскольку анизотропия соответствующих характеристик широко используется в технике.

Практически любая пластическая деформация поликристаллов сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. В данной работе рассматривается образование текстур в результате пластической деформации. При этом основным механизмом деформирования принимается внутризеренное дислокационное скольжение.

В настоящее время модели упругопластического деформирования представительного объема поликристалла строят с использованием прямых [7, 8] или статистических [9—13] подходов. Прямые модели, основанные, как правило, на использовании метода конечных

элементов, позволяют более точно находить распределение напряжений и деформаций в области, учитывать ближнее и дальнее взаимодействие зерен. Однако применение данного подхода ввиду чрезвычайно больших вычислительных затрат чаще всего ограничено двумерным случаем. Статистические модели в вычислительном плане более эффективны и активно применяются для моделирования реальных материалов. Серьезным недостатком данных моделей является невозможность корректного учета взаимодействия отдельного зерна поликристалла с его окружением. Попытки более корректного учета взаимодействия зерен [13], связанные с переходом от отдельного зерна как элемента статистической выборки к совокупности двух (модель LAMEL) или большего числа зерен (модель ALAMEL и другие), незначительно улучшают точность результатов.

В предлагаемой работе в качестве модели представительного объема поликристалла использована физическая теория Линя [9], где элементом статистической выборки, как и в моделях Тейлора—Бишопа—Хилла, является зерно, но в отличие от последних учитываются упругие деформации и анизотропия упругих свойств материала зерна.

Предлагаемую в данной работе модель текстурооб-разования можно отнести к двухуровневым структурным моделям. На макроуровне параметрами процесса являются макронапряжения Е ^) и макродеформации Е(/), связанные с соответствующими напряжениями г) и деформациями , г) мезоуровня через ста-

тистическое осреднение. К макропеременным можно отнести параметры, описывающие функцию распределения ориентаций кристаллографической системы координат зерен относительно лабораторной системы координат представительного объема. Определяющее соотношение макроуровня представляет собой, по существу, (изотропный) закон Гука в скоростной форме [3, 4]. В качестве явных внутренних переменных выступают скорости пластических деформаций, определяемые осреднением скоростей пластических деформаций мезоуровня (неявных внутренних переменных макроуровня), т.е. замыкающее уравнение типа (3) определяется оператором ориентационного осреднения. В качестве эволюционного уравнения (2) выступает модель мезоуровня.

На мезоуровне (уровне зерна) в качестве определяющего соотношения также выступает закон Гука в скоростной форме, однако учитывающий анизотропию кристаллической решетки; в коротационной производной тензора напряжений Коши фигурирует спин, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. Явными внутренними переменными мезоуровня являются скорости пластических деформаций и спин решетки. Полагается, что пластическое деформирование зерна осуществляется сдвигом по кристаллографи-

ческим системам скольжения. При этом сдвиг может вызывать разворот кристаллографической системы координат материала зерна. Пластические сдвиги и напряжение течения для систем скольжения можно отнести к неявным внутренним переменным мезоуровня. Закон упрочнения для систем скольжения, связывающий напряжение течения с пластическими сдвигами, представляет собой эволюционное уравнение типа (2). Кинематическое соотношение, связывающее скорости пластических деформаций мезоуровня со скоростями сдвигов по системам скольжения, а также уравнение для определения спина решетки через скорости пластических сдвигов являются замыкающими уравнениями типа (3).

В данной работе рассматривается изотермическая пластическая деформация представительного объема однофазного поликристалла. Для упрощения реализации модели все зерна принимаются одинакового размера и формы, число соседей у всех одинаково и неизменно. Для более ясного изложения в настоящей работе ограничимся двумерным случаем. Представительный объем макроуровня считается состоящим из конечного числа М материальных точек, под которыми понимаются зерна поликристалла.

К входным параметрам двумерной модели относятся

,.

начальное распределение углов фч , задающих ориентацию кристаллографической системы координат зерен в лабораторной системе координат (в простейшем случае — случайное равномерное распределение), размер зерна d, история нагружения, время t (или параметр нагружения), начальное критическое напряжение, параметры упрочнения по системам скольжения, упругие характеристики монокристалла. Выходные параметры — текущие распределение ориентаций кристаллографической системы координат зерен (функция распределения ориентаций), а также значения компонент тензоров деформаций и напряжений на уровне представительного макрообъема. При решении краевых задач на макроуровне используется закон Гука; для анализа реакции представительного макрообъема достаточно воспользоваться той или иной процедурой осреднения.

Макроскопические напряжения и/или деформации (в зависимости от принимаемой гипотезы о характере взаимодействия зерен) для представительного объема в момент времени t определяются осреднением по всем материальным точкам мезоскопических напряжений и деформаций. Полагая для простоты форму и размеры зерен одинаковыми, можно использовать следующие соотношения:

1 М 1 м

Е

М т=1 М т=1

о

0 0

Материальные точки испытывают упругую и пластическую деформацию, для скоростей этих деформаций принимается гипотеза аддитивности:

é(mt) = ém) + é[Г) Vt е [0, T], Vm = 1, 2,..., M.

В любой момент нагружения справедлив закон Гука

_r(m) = c(m) . ée(m) оt ~^t . ét ,

где C(m) — тензор модулей упругости для материальной точки m в момент времени t. Здесь оr — коротаци-онная производная тензора Коши, учитывающая поворот кристаллографической системы координат зерна. Будем рассматривать материалы кубической симметрии, когда тензор модулей упругости C 0 в базисе кристаллографической системы координат задается тремя константами: Сп, C12, C44 или E, |Х, G12. Среди двумерных решеток кристаллов наиболее просто представить плоский гексагональный кристалл [7]. Пластическое деформирование осуществляется за счет сдвигов по кристаллографическим системам скольжения материала. Плоский гексагональный кристалл имеет три линии дислокационного скольжения, образующие равносторонний треугольник (рис. 1). Каждой линии скольжения поставим в соответствие две системы скольжения, обеспечивающие сдвиги в противоположных направлениях. Система скольжения кристалла задана, если для нее определены единичная нормаль к плоскости скольжения n и единичный вектор Бюргерса b. Для двумерного кристалла плоскость скольжения всегда перпендикулярна плоскости моделирования и проходит через линию скольжения.

В силу этого векторы n и b лежат в плоскости моделирования и взаимно перпендикулярны. Поэтому для описания систем скольжения k в плоском случае достаточно определить угол ak между вектором Бюргерса bk и, например, положительным направлением оси x1 кристаллографической системы координат, тогда b k = e1 cos ak + e 2 sin ak, nk = -e1 sin ak + e2 cos ak.

Следует отметить, что ориентация систем скольжения относительно кристаллографической системы коор-

*1

Рис. 1. Системы скольжения плоского гексагонального кристалла

динат кристалла остается неизменной при любых деформациях и разворотах последнего относительно лабораторной системы координат. Скорости пластических деформаций в кристаллографической системе координат для конкретного момента нагружения і в точке (зерне) т определяются суммой скоростей сдвига по активным системам скольжения:

к

£ т > = X М *у^ )

к=1

где у к*) > 0---скорость пластических сдвигов по системам скольжения к; — число активных систем

скольжения (в двумерном случае — не более 2); Мк = = 1/2(Ь кпк + Ь кп к) — ориентационный тензор для систем скольжения к. Накопленный сдвиг по системам скольжения к определяется как интеграл по времени от скоростей деформаций сдвига.

В процессе пластических сдвигов по системам скольжения происходит рост плотности дислокаций и, как следствие, рост напряжений, необходимых для дальнейшего деформирования, т.е. упрочнение по системам скольжения. Упрочнение по системам скольжения будем описывать степенным законом:

тТ) =То + Сс( £)) ”,

где тк* — сопротивление сдвигу по системам скольжения к; т0 — начальное (сдвиговое) напряжение течения; Єс — модуль упрочнения; п — коэффициент

г Ка

чувствительности; £(тг) = | X У к* )^т — эффектив-

т=0 к=1

ный суммарный сдвиг по всем системам скольжения. Таким образом, используется изотропный закон упрочнения по всем системам скольжения.

В любой момент нагружения для всех точек области и для всех систем скольжения должен выполняться закон Шмида:

т*) -тк

где т*) = Мк : о(тг) > 0 — касательные напряжения

от приложенных нагрузок, действующие в системах скольжения к точки т. Систему скольжения будем называть активной, если для нее выполняются следующие соотношения:

т

тк =тк , тк =тк •

Под поворотами материальных точек будем понимать повороты кристаллографической системы координат материала зерен как целого, без образования фрагментированной структуры. Предполагается, что основной вклад в возникновение моментов, приводящих к развороту отдельных зерен, и, таким образом, приводящих к текстурообразованию, вносят границы зерен. Возникновение моментов на границах будет связываться, в первую очередь, с несоответствием сдвигов по кристаллографической системе координат соседних зерен,

что, в свою очередь, обусловлено наличием разориен-тации систем скольжения соседних зерен, образующих данную границу. Начальное значение угла ориентации Ф(м0) кристаллографической системы координат зерна m в лабораторной системе координат является случайным параметром и с учетом симметрии решетки плоского гексагонального кристалла лежит в интервале [-л/3, П3]. При равномерном законе случайного распределения ориентаций функция плотности распределений /ф = const = 3/(2л).

Примем гипотезу, что момент, разворачивающий кристаллографическую систему координат зерна при пластической деформации, появляется вследствие несовместности пластической деформации данного зерна со своими соседями из-за различий в ориентации кристаллографической системы координат. В качестве меры разориентации для системы скольжения k зерна m с системами скольжения соседних зерен в двумерном случае используем функцию

(mt) _

т-

Lk________

=1, N(m) L

x sin(3 шіп|(ф(т) + a km)) - (ф(п) + a (n))|),

где N(т) — число непосредственных соседей зерна т; ііті) — суммарная длина его границ; 1'тп‘) — общая длина границ контакта зерен т и п по направлению сдвига в к-й системе скольжения.

Величина скорости момента, возникающего в результате взаимодействия данной системы скольжения конкретного зерна с системой скольжения соседнего, зависит от величин скоростей пластического сдвига по всем системам скольжения зерна

.

Ц

k =1

где а > 0 — параметр, определяемый экспериментально. Критерий вращения кристаллографической системы координат для зерна т принимается подобным критерию Шмида (6):

ц(mt) < ЦCmt) = Ц0 + G„ J |ф(mT)| dT,

где Ц ¡;тг) — моментная линейная функция текучести; GЦ — модуль моментного упрочнения материала. Следуя формализму теории пластического течения, для скорости фт получаем:

T=0

ф(mt) = H(ц(mt) -цCmt))Ц

где H(.) — функция Хевисайда.

4. Особенности пластического деформирования плоского монокристалла

Пластическая деформация кристалла начнется, если закон Шмида выполнится хотя бы для одной системы скольжения. Поэтому для любого кристалла, имеющего К систем скольжения, и для любого момента времени данный закон можно записать в следующей форме:

тах Т* < 1,

к=1,К

где т* = Тк/ тк — относительное приведенное касательное напряжение для системы скольжения k. Здесь и далее в данном разделе индексы номера зерна и момента времени для краткости опущены.

Если в (12) перейти к равенству, то получим уравнение поверхности текучести монокристалла. На рис. 2 приведена поверхность текучести для решетки плоского гексагонального кристалла, построенная в двумерном пространстве напряжений, где в качестве двух ортогональных осей использованы компоненты девиатора тензора напряжений в кристаллографической системе координат. При этом принята гипотеза, что критическое напряжение для всех систем скольжения кристалла является одинаковым.

Следует отметить, что на отдельной стороне шестиугольника активна только одна из систем скольжения кристалла, а в его вершинах — две равноправные системы скольжения. Хотя системы скольжения активны только на границе шестиугольника, для большей наглядности различной штриховкой на рис. 2 выделены соответствующие секторы. Если конец вектора нагружения в пространстве напряжений лежит на границе поверхности текучести в соответствующем секторе, то это приводит к активации указанной на рис. 2 системы

Рис. 2. Шестиугольник текучести плоского гексагонального кристалла. СС — система скольжения

Ц

x

скольжения. Поверхность текучести невогнута и при любой программе нагружения в конкретный момент времени нет возможности деформирования одновременно более чем по двум системам скольжения.

Для монокристалла можно выделить два основных способа нагружения: кинематический (заданы скорости полных деформаций ¿) и силовой (заданы скорости напряжений о).

Для силового способа нагружения запишем скорости приведенных касательных напряжений по системам скольжения:

т* = М* : о.

Для активации систем скольжения в момент времени t необходимо выполнение условий (7).

Скорость упрочнения с учетом первого из соотношений (7) можно выразить через скорости сдвигов по системам скольжения

к*^)

т* ^) = X 0К ^)уI ^),

1=1

где 0*1 = Эт*/Эу, — касательный модуль к кривой упрочнения по системам скольжения.

При силовом пропорциональном нагружении изображающая точка нагружения в пространстве напряжений движется по радиальному лучу, исходящему из начала координат. В этом случае, в силу рассмотренного выше поведения шестиугольника текучести, изображающая точка нагружения не может выйти из первоначального сектора одиночного скольжения, активированная система скольжения остается неизменной. Так как при этом активной является единственная система скольжения ^ то скорость сдвига по ней можно найти из второго соотношения

Vк^) = н(тк-тк)- к •

гкк

В случае когда луч нагружения проходит через один из узлов шестиугольника пластичности, а закон упрочнения изотропный, имеем две (к и /) активные и равноправные системы скольжения с одинаковыми скоростями сдвига:

т *

у к=н

Гк+Гк ^1

Gkk+Gkl

При непропорциональном нагружении возможна ситуация смены активных систем скольжения при пересечении изображающей точки нагружения границ секторов одиночного скольжения. В общем случае неизотропного и нелинейного упрочнения определение момента смены активных систем скольжения возможно только итерационным методом.

По найденным скоростям пластических сдвигов нетрудно определить скорости пластических деформаций. Тогда, используя закон Гука и гипотезу аддитивности скоростей деформаций, находим скорости полных деформаций

Ё = С-1: о + Х М кУк,

к=1

где С — тензор модулей упругости монокристалла. Следует отметить, что в общем случае материальная производная тензора напряжений заменяется на коротацион-ную с решеточным спином.

При кинематическом нагружении ситуация сложнее рассмотренной выше. Так как заданы скорости полных деформаций, то проверка критерия Шмида не столь проста. Запишем (13) следующим образом:

тк = Мк :о = Мк :[С :(Ё-Ёр)] = = М к : (С: Ё)-X Dkl у і,

где коэффициенты Dkl = Мк : С : М1 зависят от тензора модулей упругости и от ориентационных тензоров k и I систем скольжения кристалла. Эти коэффициенты для плоского гексагонального кристалла можно записать в виде матрицы

где А = — 2

1 + 3-

2 -1 -1 2 1 1

-1 А в 1 -А -в

-1 в А 1 -в - А

-2 1 1 2 -1 -1

1 - А -в -1 А в

1 -в - А -1 в А

зГ Гг ; в 1 = 2 < Г = 1 - 3Г Г12 V 12 / ; г

2

Подставляя (18) во второе соотношение (7), с учетом (14) получим:

)

х

1=1

где те = М * : (С: Ё) — упругий предвестник.

При кинематическом нагружении, как и при силовом, изображающая точка нагружения должна лежать или в одном из секторов одиночного скольжения или на их границе. Система скольжения в данный момент может быть активной, если изображающая точка нагружения принадлежит поверхности текучести (т.е. выполняются условия (7)). Выполнение второго условия можно оценить по упругому приближению те. Таким образом, условие активации систем скольжения при кинематическом нагружении можно записать в виде:

т*

Проверив условия (21), определяем число К* активных систем скольжения в данный момент нагружения. Далее из решения системы уравнений (20) определяем скорости сдвигов по активным системам скольжения.

Как и для силового нагружения, по найденным скоростям пластических сдвигов можно определить скорости пластических деформаций. Для определения скоростей напряжений можно воспользоваться законом

Гука:

< ка =

(і = C : & -X M kY k

k=i

v /

Рассмотренная модель монокристалла построена в упругопластическом приближении с учетом анизотропии упругих свойств кристалла. В этом смысле она близка моделям [8, 11, 14] и отличается от базовой модели монокристалла Линя [9], сформулированной в предположении изотропии упругих свойств монокристалла. Особенностью рассмотренной выше модели является рассмотрение не только традиционного кинематического нагружения, но и силового. Кроме того, приведенные алгоритмы определения сдвигов по системам скольжения включают этап анализа активности систем скольжения монокристалла, что становится характерным для появляющихся в последнее время работ данного направления [8].

В качестве примера рассмотрим кристалл с решеткой плоского гексагонального кристалла с упругими свойствами меди в кристаллографической плоскости [111]: E = 171233 МПа, v = 0.282, G12 = 40800 МПа, hki = 1. Указанные характеристики кристалла меди приведены в [15]. Для технических констант в кристаллографической системе координат они равны: Е = = 66688.75 МПа, v = 0.418, G = 75400 МПа. Следует отметить, что модуль Юнга для (анизотропного) кристалла меди изменяется в пределах от 66688.75 до 191 134.55 МПа, коэффициент Пуассона — от 0 до 0.818, модуль сдвига — от 23 500 до 75400 МПа. Для ГЦК-кристаллов в направлении (111) модуль Юнга имеет максимальное значение. В предлагаемой работе модули упругости приведены для плоскости [111], для которой они вычислены поворотом для совмещения с системой координат плоского кристалла. Закон упрочнения для систем скольжения принимался в линейной форме: т£ = 15 + 500g [МПа]. Начальные сдвиги по системам скольжения и начальные напряжения принимаем равными нулю. Кристалл подвергается пропорциональному нагружению от нулевых напряжений до конечных (стп = = ст 22 = 0, т12 = 20 МПа).

При рассматриваемом силовом нагружении изображающая точка нагружения в пространстве напряжений движется по оси s12 (сектор СОВ на рис. 2) с активностью CC1. В конце нагружения приведенное касательное напряжение т1 = 20 МПа.

Интегрируя соотношение (15), получаем:

Yi = (Ti -г,,)/Gc = 5/500 = 1%.

Тогда для пластических деформаций имеем е[1 = = е22 = 0, Yf2 = 1 %. Из закона Гука ef1 = е^2 = 0, Y12 = = 0.049 %. Полные деформации е11 = е22 = 0, y12 = = 1.049%.

По найденным полным деформациям, используя алгоритм кинематического нагружения и закон Гука, опре-

деляем напряжения: ст11 = ст 22 = 0, т12 = 428 МПа. В пространстве напряжений изображающая точка нагружения движется по оси s12 (сектор СОВ на рис. 2) с активностью CC1. Из (20) получаем:

Yi =

Т0

12

428-15 500 + 40800

• = 1 %.

Пластические и упругие деформации совпадают с найденными для силового нагружения. Из закона Гука

стп = а 22 = 0, т12 = 20 МПа.

Приведенный пример показывает идентичность результатов, полученных по алгоритмам силового и кинематического нагружения, что подтверждает их правильность.

При кинематическом пропорциональном нагружении в пространстве деформаций кристаллографической системы координат траектории имеют вид лучей, исходящих из начала координат (без учета вращения кристаллографической системы координат). В пространстве напряжений в этом случае получаем более сложные траектории.

На рис. 3, а приведены траектории кинематического пропорционального нагружения в пространстве напряжений кристаллографической системы координат плоского гексагонального кристалла без учета вращения кристаллографической системы координат с упругими и пластическими свойствами, такими же, как в рассмотренном выше примере. Так как траектории центрально симметричны относительно начала координат, то на рисунке приведен только первый квадрант. При переходе к пластическому деформированию изображающая точка нагружения начинает устремляться к линиям ОА или ОВ (рис. 3, а), проходящим через вершины шестиугольника пластичности плоского гексагонального кристалла. При достижении этих линий изображающая точка нагружения продолжает двигаться по ним. До перехода на линии ОА или ОВ активной является одна из систем скольжения, после перехода — две равноправные системы скольжения. Направления, нормальные к граням шестиугольника пластичности (30° и 90° на рис. 3, а), не являются устойчивыми: малые отклонения от них приводят к уходу от них к ближайшему устойчивому направлению.

Следует обратить внимание, что в данном случае на упругой стадии векторы нагружения в пространстве напряжений и деформаций не являются сонаправлен-ными. Данное обстоятельство связано с анизотропией упругих свойств плоского гексагонального кристалла. Степень упругой анизотропии кристалла характеризуется параметром анизотропии [15] А = Г^п/ Гтх, где Гтіп и Гтах — минимум и максимум модуля сдвига кристалла по всем возможным направлениям. Чем ближе параметр анизотропии кристалла к 1, тем больше сближаются направления векторов нагружения в прост-

Рис. 3. Траектории кинематического нагружения плоского гексагонального кристалла в пространстве напряжений кристаллографической системы координат без учета вращения системы

ранствах деформаций и напряжений. Для плоского гексагонального кристалла в рассматриваемом случае параметр анизотропии равен 0.574. Траектории для изотропного случая рассчитывались для модуля сдвига Гиз = = Е/ 2(1 + у) = 66783.5 МПа.

На рис. 3, б для сравнения приведены траектории нагружения при анизотропных и изотропных упругих свойствах плоского гексагонального кристалла. Траектории при анизотропных свойствах совпадают с соответствующими траекториями на рис. 3, а. Расхождение в направлении векторов напряжений в упругой области достигает (для ориентации 60°) 13.5°. Поэтому пластические сдвиги при учете упругой анизотропии начинаются при напряжениях почти на 20 % меньших, чем при изотропных свойствах. Существенные отличия на пластической стадии деформирования проявляются при учете упругой анизотропии из-за изменения точки выхода траектории нагружения на поверхность пластичности.

Как было отмечено выше, в процессе деформирования поликристалла кристаллическая решетка зерен разворачивается, сближая ориентации кристаллографической системы координат материала зерен и формируя текстуру. Так как кристаллографическая система координат поворачивается, то даже в случае пропорционального силового нагружения траектория в пространстве напряжений, определенная в базисе кристаллографической системы координат, будет отличаться от прямолинейной. На рис. 4 показаны траектории нагружения в 1-м и 2-м квадранте пространства напряжений при силовом нагружении плоского гексагонального кристалла с учетом вращения решетки.

Траектории в 3-м и 4-м квадрантах симметричны относительно горизонтальной оси 51*1. Следует отметить, что после начала вращения кристаллографической системы координат траектории нагружения начинают отклоняться от прямых линий (заданных траекторий нагружения), характерных для деформирования без учета вращения кристаллографической системы координат.

При этом траектории стремятся к лучам, проходящим через углы шестиугольника пластичности плоского гексагонального кристалла. Однако из шести подобных лучей лишь три (60°, 180° и 300°) являются устойчивыми. Этот факт можно объяснить тем, что при растяжении плоского гексагонального кристалла вдоль одной из сторон треугольника систем скольжения (см. рис. 2, углы наклона лучей в пространстве напряжений 0°, 120° и 240°) малые отклонения ориентации кристаллографической системы координат плоского гексагонального кристалла нарушают равноправность систем скольжения, и в дальнейшем деформирование происходит только по одной из систем скольжения, что приводит к вращению кристаллографической системы координат до направления, когда растяжение начинает осуществляться перпендикулярно одной из систем скольжения. Таким образом, в процессе деформирования плоский гексагональный кристалл старается развернуться так, чтобы растяжение или сжатие реализовалось по направлению, перпендикулярному одной из систем скольжения, т.к. только в этом случае процесс деформирования становится устойчивым.

Следует отметить, что для изотропного упрочнения при достижении изображающей точкой нагружения луча, проходящего через угол шестиугольника пластич-

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 8,*,

Рис. 4. Вид траекторий изображающей точки нагружения в пространстве напряжений кристаллографической системы координат при силовом нагружении плоского гексагонального кристалла с учетом вращения решетки

/

«¿и

шж 20° \15° \ю° V

0 2 4 6 8 8,*,

^4 У

со ^20°

у*/ 5^30°

0 4 8 12 16 в, %

Рис. 5. Вид траекторий изображающей точки нагружения в пространстве напряжений (а) и диаграммы «интенсивность напряжений -степень деформации» (б) при кинематическом пропорциональном нагружении плоского гексагонального кристалла с учетом вращения решетки

ности плоского гексагонального кристалла, активными становятся две равноправные системы скольжения, старающиеся повернуть кристаллографическую систему координат в разные стороны на одинаковый угол. Данное обстоятельство приводит к прекращению разворота кристаллографической системы координат зерна при активности двух равноправных систем скольжения.

На рис. 4 показано также изменение поверхности текучести для различных значений степеней деформации (0, 2, 4 и 6 %). Как и следовало ожидать, при изотропном упрочнении в любой момент нагружения поверхность текучести образует шестиугольник, подобный начальному.

При кинематическом пропорциональном нагружении с учетом вращения решетки траектории изображающей точки нагружения в пространстве деформаций, определенные в базисе кристаллографической системы координат, будут подобны изображенным на рис. 4. Соответствующие этому случаю траектории изображающей точки нагружения в пространстве напряжений показаны на рис. 5, а. До начала вращения решетки при активации систем скольжения изображающая точка нагружения стремится перейти к ближайшему лучу, проходящему через вершину шестиугольника пластичности

плоского гексагонального кристалла (см. рис. 3). При ее достижении деформирование осуществляется по двум равноправным системам скольжения. Однако если точка нагружения движется по неустойчивому лучу (0°, 120° или 240°), то при активации вращения малые отклонения ориентации кристаллографической системы координат приводят к переходу на устойчивый луч нагружения.

Переход при кинематическом нагружении с неустойчивой траектории на устойчивую приводит к смене активных систем скольжения кристалла: при движении по лучу ОА (см. рис. 2) активными являются СС2 и СС6, затем, в период перехода, активна только СС6 и, наконец, на луче ОВ к СС6 подключается СС1. Смена активности систем скольжения сопровождается значительными изменениями напряженного состояния (см. рис. 5, а), что проявляется в виде характерного «нырка» на диаграммах «интенсивность напряжений - степень деформации» (рис. 5, б).

Силовое и кинематическое нагружения соответствуют существенно отличающимся типам нагружения. При силовом нагружении окружение зерна никак не стесняет его деформирование, реализуя «мягкое нагружение» с достаточно гладкими траекториями деформирования. Кинематическое нагружение соответствует условиям жесткого стеснения зерна его окружением, что сопровождается изломами траекторий. В реальном поликристалле степень стеснения лежит между «мягкой» и «жесткой» схемой и зависит от разориентации кристаллографической системы координат данного зерна с соседями, анизотропии упругих свойств, количества систем скольжения, свойств границ, фазового состава и т.п.

С помощью предложенной модели исследовано формирование текстуры в плоском однофазном поликристалле с решеткой плоского гексагонального кристалла. Рассматривался представительный объем из 900 зерен, начальная ориентация кристаллографической системы координат которых распределялась по равномерному

/ 11 % ^ 19 % ^>^25 %

о%'~-

0° 15° 30° 45° ф

Рис. 6. Эволюция функции распределения ориентаций представительного объема поликристалла при различных степенях деформации

закону из интервала [-я/3, п/3]. Упругие и пластические свойства совпадали со свойствами из рассмотренных выше примеров. Зерна в форме правильного шестиугольника с одинаковыми размерами имели в своем непосредственном окружении по 6 соседей. В процессе деформирования состав и количество соседей не изменялись. Представительный объем испытывал кинематическое пропорциональное нагружение, эквивалентное растяжению вдоль оси х1. На рис. 6 приведена эволюция функции распределения ориентаций кристаллографической системы координат зерен в процессе деформирования.

Как можно видеть из приведенной диаграммы, функция распределения ориентаций, соответствующая вначале равномерному закону распределения, стремится к некоторому унимодальному, близкому к нормальному закону распределения. Величина среднеквадратического отклонения для угла ориентации ф кристаллографической системы координат при этом уменьшилась с 17.7° до 12.2°. Математическое ожидание угла ф осталось близким к 30°. Все это свидетельствует о развитии в поликристалле текстуры с преимущественной ориентацией кристаллографической системы координат зерен, близкой к 30°.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ-Урал № 07-08-96025 и РФФИ № 07-0800352.

Литература

1. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

3. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 5. - С. 109-130.

4. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физ. мезомех. -2005. - Т. 8. - № 6. - С. 39-56.

5. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

6. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

7. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопласти-

ческого поведения поликристаллов на мезоуровне // Физ. мезо-мех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 37-51.

8. McGinty R.D., McDowell D.L. A semi-implicit integration scheme for rate independent finite crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2006. -V. 22. - No. 6. - P. 996-1025.

9. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. - М.: Мир, 1976. - Вып. 7. - С. 7-68.

10. Bishop J., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline center-faced metal // Phil. Mag. - 1951. - V. 42. -P. 414-427.

11. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity: Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - No. 4. - P. 691-722.

12. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. - 1938. - V. 2. -P. 307-324.

13. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - No. 3. - P. 589-624.

14. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

15. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

Поступила в редакцию 10.11.2008 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., профессор, зав. каф. ПГТУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Ашихмин Валерий Николаевич, к.т.н., доцент ПГТУ, avn@matmod.pstu.ac.ru Волегов Павел Сергеевич, аспирант ПГТУ, crocinc@mail.ru Швейкин Алексей Игоревич, ст. преп. ПГТУ, alexsh59@bk.ru