Вариационные принципы моделирования в ресурсной экономике

Экономика

Вестник ДВО РАН. 2006. № 6

А.В.БАЖАНОВ

Вариационные принципы моделирования в ресурсной экономике

Предлагается модель исчерпания невозобновляемых ресурсов на основе вариационного принципа. Исследуются ее точность относительно данных мировой добычи нефти с 1859 по 2005 г. и возможность использования для решения задач прогнозирования (в том числе исчерпания нефти), удовлетворяющих принципу равноправия поколений.

Variation principles for modeling in resource economics. A.V.BAZHANOV (Far Eastern National University, Vladivostok).

A method of construction of a non-renewable resource depletion model on the basis of the variation principle is offered. The model adequacy is examined using historical data from 1859 to 2005, and its forecasting properties are analyzed on the examples of the world oil extraction. The possibility of realization of the way of oil extraction, which satisfies the intergenerational justice principle, is discussed.

Проблемы влияния ограниченности ресурсов планеты на развитие цивилизации экономисты обсуждают со времен Ж.Кондорсе, Т.Мальтуса, А.Смита, Дж.Милла и Д.Рикардо. Многие современные модели роста используют уравнения, описывающие динамику извлечения истощаемых ресурсов (см., например, [3, 10, 17, 19, 24]). Началом отсчета в построении моделей исчерпания невозобновляемых ресурсов считается работа Хотеллинга [14], в которой оптимальная траектория добычи сырья определяется как решение задачи максимизации суммарной полезности, например прибыли от продажи ресурса, в течение некоторого периода. Теория Хотеллинга и в настоящее время используется как мощный инструмент для анализа исчерпания невозобновляемых ресурсов (см., например, [12, 18, 23]). Неточности и усовершенствования основной модели Хотеллинга с использованием таких факторов, как открытие новых месторождений и технологический прогресс, и анализ данных 1968-1995 гг. по 11 видам ресурсов позволили сделать вывод: несмотря на то что усовершенствования «улучшили эмпирические качества модели Хотеллинга, они не смогли полностью примирить экономическую теорию невозобновляемых ресурсов с наблюдаемыми данными [18, с. 2102]». На недостатки метода указывают и российские авторы [3].

Кроме вопросов адекватности этой модели, есть сомнения и в правомерности применения утилитарного критерия для распределения невозобновляемых ресурсов между поколениями. В принципе, максимум может быть достигнут, если ресурс будет исчерпан, например, за 10 лет. Но справедливо ли такое распределение с точки зрения будущих поколений? И этично ли занижать полезность ресурса, который мог бы принадлежать нашим правнукам [21]?

В моделях, основанных на методике Хабберта [7; 15; 20: 2000, vol. 98, N 16, p. 63-76], темпы добычи описываются колоколообразными кривыми, которые используются для решения задач прогнозирования. Успех прогноза падения темпов добычи нефти в США

БАЖАНОВ Андрей Валентинович - кандидат физико-математических наук (Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Владивосток).

начиная с 1970 г. привлек большое внимание к работе Хабберта, однако модель не учитывала экономические и политические факторы, которые и являются причинами того, что ресурс добывается или не добывается. В результате, при резких изменениях экономической и политической ситуации, модельная траектория начинает существенно отличаться от реальных темпов добычи, как это было во времена нефтяных кризисов 1973 и 1979-1980 гг. (рис. 1) в мире или в России в 1988-2000 гг.

Необходимость, случайность и принцип наименьшего действия

Предлагаемый (и не противоречащий существующим) в данной работе подход - построение модели в виде квадратичного сплайна1 и исследование ее свойств - попытка по-иному взглянуть на причинно-следственные связи в области невозобновляемых ресурсов. Методика основана на предположении о том, что различные формы существования материи, в том числе социальная, имеют общие законы развития [6]. В частности, предполагается, что для происходящих изменений выполняются некоторые вариационные принципы, из которых могут быть выведены законы изменения интересующих нас величин, подобно тому, как из принципа Гамильтона выводятся законы Ньютона и закон сохранения энергии в механике [4].

Изменения экономически значимого количества ресурса могут быть как случайными, так и обязательно происходящими, отражающими суть процесса. При построении модели важно отразить именно необходимые изменения, а случайные можно затем добавлять или не добавлять - в зависимости от рассматриваемого сценария или требований к точности модели. К необходимым изменениям ресурса относится постоянное уменьшение его количества со временем. К случайным - скачкообразные увеличения запасов ресурса за счет: а) открытия новых месторождений; б) переоценки имеющихся запасов.

В механике необходимым изменением траектории падающего под действием гравитации тела является потеря высоты, но оно может временно замедлить свое падение или даже увеличить высоту над землей за счет случайных факторов (порывов ветра, восходящих потоков). Поскольку законы Ньютона вытекают из принципа Гамильтона, или принципа наименьшего действия, то, пользуясь аналогией, запишем, следуя Лагранжу, вариационный принцип для системы независимых друг от друга ресурсов в форме Гамильтона. Затем проверим адекватность получившейся модели исчерпания ресурса на данных мировой добычи нефти [9, 20].

В экономике система невозобновляемых ресурсов однозначно описывается значениями величин этих ресурсов Q и скоростями их убывания, или темпами добычи с обратным знаком: Q =-У (где Q - производная Qпо времени). Предположим, что изменения в системе действительно подчиняются аналогу принципа наименьшего действия. А именно, пусть система описывается некоторой функцией Ь(@, Q, г), называемой действием, такой, что для малого промежутка времени Аг = г2 - г изменения в системе происходят так, что Ь минимизирует функционал суммарного (интегрального) действия на промежутке Аг.

1 Предлагаемая автором модель в виде квадратичного сплайна - непрерывная функция, «склеенная» из кусочков парабол с разными коэффициентами.

Рис. 1. Динамика темпов мировой добычи нефти, млрд т

Вид функции Лагранжа Ь может быть однозначно найден из необходимого условия

достаточно для описания изменений в системе.

Пусть Q R1 (только один ресурс) и пространство изменения количества ресурса изотропно и однородно. Это означает, что при отсутствии причин изменения темпов добычи уменьшение и увеличение ресурса происходят по одним и тем же законам в любой момент времени. Тогда L не зависит явно от времени, от количества ресурса и от знака изменения ресурса, т. е. L(Q, Q, t) = aQ2, где a > 0 (в силу условия достижения минимума суммарного действия).

В более общем случае (при наличии причины, изменяющей темпы добычи ресурса) из методики Лагранжа следует, что L определяется с точностью не только до множителя, но и до прибавления полной производной по времени функции от величины ресурса Q и времени t, т. е. L(Q, Q, t) = aQ2 - U(Q, t). В механике L является разностью между кинетической и потенциальной энергиями. Слагаемое U(Q,t) ассоциируется с силами, являющимися «причинами» изменения траектории движения тела или (для ресурса) изменения темпов добычи. Причем эта причина существует, только если Q Ф 0 - высота падающего тела не равна нулю, или запас ресурса является экономически значимым.

Так как ресурсы могут добываться круглосуточно, а события, существенно изменяющие темпы добычи, происходят лишь в моменты времени t., t2, ..., t, между которыми обобщенную причину можно считать постоянной, то U(Q,t) на промежутках [t., t ), не зависит от времени. Тогда dL /dt = 0 и из полной производной L, используя условие Эйлера-Лагранжа, получим, что Q—- - L = aQ2 + U(Q) = E = const на промежутках [t., t. .), dQ '

i = . n. В однородном силовом поле U является линейной функцией координат [4, с. 20] на каждом из промежутков [t., t ). Тогда закон сохранения можно записать в виде

Джон Хартвик трактует потенциальную и кинетическую энергии как «излишки», подобно прибавочной прибыли производителя или излишкам потребителя в экономике, а функцию Лагранжа, или «действие», как чистый излишек [13, с. 339].

Решая дифференциальное уравнение (1), получаем

Эйлера-Лагранжа с использованием условий Q. = Q

aQ2 + AQ = E = const.

где t [t., t ), а а, в, у. зависят от Д = Д / a. Зададим функции Q. (t):

а і t

Q (t ) = j T о,

2

fiit +У,, t [t,,

t <t\ti, ti+1].

Тогда закон изменения ресурса имеет вид квадратичного сплайна:

с условиями

6і (t,+1) = 6і+1(t,+1) = Q,+1, i = 1, n -1, Q (tn+1) = Qn+1

Из выражений для а,, в, у. и условий (5) можно выразить А, I = 1, п :

А = 4

+ &(г,-+1 ~г) ~ О,. (^ - и )2

Рис. 2. Динамика количества оставшегося мирового извлекаемого запаса нефти, млрд т

Пользуясь разложением в ряд Тейлора квадратичной функции О(г) в узле г , получаем А = ~2<2, = 27, А. пропорционально ускорениям изменений количества ресурса О. В механике ускорение материальной точки пропорционально прикладываемой к ней силе. Для процесса исчерпания ресурса этой обобщенной «силой» является совокупность экономических, политических, геологических и других причин, определяющих конъюнктуру, или рыночную ситуацию, в добывающей отрасли. Поэтому величины А, отражающие характер изменения темпов добычи, будем называть значениями индекса рыночной конъюнктуры ресурса.

Из графиков изменения количества оставшегося извлекаемого мирового запаса нефти и индекса конъюнктуры мировой нефтедобычи (рис. 2, 3) видно, насколько сильна инерция у процесса мировой добычи нефти. Если при переходе к вариационному принципу использовалась аналогия с падающим телом, то из рис. 2 и 3 видно, что воздействие на этот процесс даже самых значительных для человечества событий, таких как мировые войны, Великая депрессия и нефтяное эмбарго 1973 г., можно сравнить с действием порывов ветра на падающий кирпич. Даже самым влиятельным силам, включая картель ОПЕК, не удалось изменить траекторию исчерпания ресурса в короткие сроки.

Точность модели относительно данных с 1859 г. по настоящее время. Для анализа адекватности модели (3)-(5) мировую добычу нефти разобьем условно на три периода, характеризующихся разными причинами изменения темпов добычи и потребления нефти: 1859-1973 гг.; 1974-1983 гг.; 1984 г.- настоящее время (рис. 3).

Первый период - время успехов в открытии месторождений и расширения рынка потребления нефти. Технический прогресс опирался на дешевое горючее и сырье для химической промышленности, а нефтедобывающая отрасль ориентировалась на растущий спрос [2]. Поскольку инвестиции в производства, связанные с нефтью, были одними из самых выгодных, то прибыль, полученная в этих отраслях, как правило, вкладывалась в расширение производства. Тогда (при количестве добываемой нефти в реальных ценах) рост темпов добычи У (г) = —<3 (г) должен был увеличиваться по закону сложного процента2, который при небольшом периоде инвестирования лучше

2 Это означает, что проценты, например в банке, не снимают с вклада, а добавляют к нему и на всю сумму опять начисляются проценты.

Рис. 3. Индекс коньюнктуры мировой добычи нефти

всего представить в виде экспоненты. И действительно, темпы добычи в этот период почти удваивались каждые 10 лет, а данные за 1880-1973 гг. довольно точно отражаются моделью 1пУ = -122,943 + 0,066318г с коэффициентом детерминации Я2 = 0,995. Заметим, что и исследователи Римского клуба в своих расчетах до 1972 г. использовали именно экспоненциальную модель [5].

Однако сложный процент - это частный случай линейного сплайна, интегрируя который получаем квадратичный сплайн, или модель (3)-(5), для закона зависимости количества ресурса от времени.

Второй период - время стабилизации нефтяных рынков - является следствием как кризисов 1973 и 1979-1980 гг., так и снижения темпов добычи в США из-за истощения месторождений дешевой нефти. Сильные и нерегулярные изменения добычи в этот период сложно описать одним аналитическим выражением, поскольку в разные моменты времени основной вклад в обобщенную причину изменения темпов добычи вносили разные факторы, например спад производства. События второго периода качественно изменили рынок, и сложный процент перестал быть адекватной моделью. Лучшей техникой описания подобных нерегулярных зависимостей является именно сплайн, и поэтому, в силу природы происходивших в это время процессов, только сплайн, т.е. зависимость вида (4), может достаточно точно отражать моделируемые явления.

Основной чертой третьего периода является сбалансированность сил, действующих на добывающую отрасль с преобладанием рынка над антирыночными тенденциями. То есть все отрасли, связанные с нефтью, по-прежнему дают прибыль, и рынок растет. Но этот рост уже не имеет ничего общего с законом сложного процента. Добыча (или скорость убывания ресурса) увеличивается линейно. Регрессионная модель по данным добычи в третьем периоде

Угеш = 36,263г - 69224,78

(коэффициент детерминации Я2 = 0,916) при этом почти совпадает с зависимостью, которая получается из вариационного принципа:

У = 37,3072г - 71328,9

(Я2 = 0,905). Соответственно, количество ресурса меняется по закону:

О

а модель, полученная интегрированием3 (7), имеет вид

Оге,

Поскольку модель (3)-(5), выведенная из предположения о выполнении вариационного принципа, не противоречит данным мировой добычи нефти с 1880 по настоящее время [20], то интересно исследовать ее эффективность при решении различных видов задач прогнозирования.

Использование сплайновой модели при прогнозировании в задачах позитивного анализа. Одним из простейших способов прогнозирования является экстраполяция устойчивых тенденций. Так, в предположении сохранения тенденции последних 20 лет по модели (9) время г* окончания ресурса определяется как г* = 2042,30, или середина апреля 2042 г., а регрессионная модель (10) дает г*ее = 2041,64, погрешность составляет чуть более полугода.

3 Константа интегрирования определялась из данных о мировых запасах нефти на конец 2004 г. [20: 2004, vol. 102, N 47, p. 22, 23].

По модели (9), когда ресурс начнет заканчиваться, темпы добычи составят -(9 (2042,3) = Y = 5,046 млрд т/год. Тогда величина Ат в последующий период длиной, например, в год определяется как Ат = 4(-5,046) = -20,185. Подобно тому, как в механике ускорение тела позволяет найти силу воздействия на него, так и величина индекса конъюнктуры позволяет оценить степень кризиса, связанного с исчезновением экономически значимого ресурса. Для сравнения можно упомянуть, что при самом сильном в истории отрицательном воздействии на добычу нефти (иранский кризис) величина индекса составила Л = -0,315, во время Второй мировой войны А1942= -0,034 и Великой депрессии Л1930= -0,022. Конечно, описать кризис одним числом невозможно, и значение индекса является скорее эмоциональной, чем количественной оценкой того, что произойдет, когда будет исчерпан ресурс, от которого зависит любое предприятие и, следовательно, каждый человек на планете.

Однако ресурс не может исчерпаться мгновенно. Неизбежно наступит момент, когда растущий спрос невозможно будет удовлетворить за счет более интенсивной эксплуатации истощающихся месторождений, что приведет к росту цены ресурса, инфляции и спаду производства. Рассмотрим возможности модели для решения задач прогнозирования, предусматривающих сценарии постепенного снижения темпов добычи. Пусть изменение темпов добычи задано в виде последовательностей индексов Л и величин г - скачкообразных уменьшений мгновенных скоростей в узлах сплайна (в процентах). Тогда, обозначив: д] - прогнозируемые величины мгновенных скоростей в узлах и д. -количество оставшегося ресурса, получим для случая, когда все временные промежутки равны единице, например году:

1 1 1 -1 ________________________________________

С1 = СЛ 'П (1 “ Гк ) “ 2 ^ Ак П (1 _ Г ^ 1 = 10 + 1 J,

к= .0 2 к = 10 1=к+1

д. = сл+Ь X I!

5=Л к=Л 2 5=Л +1 к=Л 1=к+1 *=Л

где 10 - год начала снижения темпов, J - последний год прогнозного периода. Если предположить, что все А1 = А и г = г, то (11) имеет более простой вид:

д, = (1 - г у

( 1 (1 VI

+ (1 _ 10) - А 4+о|--1

1 2Чг ))

Формула (12) позволяет прогнозировать величину оставшегося экономически значимого запаса в любой год > л. Кроме того, можно оценить время, когда ресурс будет исчерпан. Для этого предположим, что д. = 0, и разделим (12) на множитель при (1 - г)-10, который не равен нулю, так как г << 1:

= ьи~ Л)+С

А

где а = 1 - г, Ь = —

4 +1 (1 -1 2г

д

+1.

с =

В качестве примера предположим, что мировая добыча начнет уменьшаться с 2030 г. примерно так, как это происходило в России начиная с 1988 г. (средний годовой индекс А ~ -0,05 и г ~ 0,02). Тогда мировой запас нефти закончится в 2047 г. при темпах добычи - 2 2047 = 2,583 млрд т/год. Следующий за этим кризис будет иметь индекс Ат = 4&) т~ -10,33.

Теперь попробуем ответить на вопрос, с какого года должны снижаться темпы добычи с заданными А и г, для того чтобы в момент окончания ресурса скорость добычи стала нулевой - зависимость от нефти исчезала бы постепенно. Для этого нужно решить систему уравнений, состоящую из равенства (12) с д = 0, уравнения д. = 0 (условие независимости от ресурса) и соотношений, связывающих величины ду0 и & с моментом времени ^ (соответствующим номеру года у0), согласно квадратичной модели вида (2) последнего промежутка времени, для которого имеются данные о добыче. Обозначив х = у -у0, получим систему четырех уравнений относительно t0, х, ду0 и д. , из чего можно найти 1 '

коэс

А^гJ/а, где г является большим корнем уравнения р3 1п z = Р2г2 + р1г + р0 фициенты которого задаются следующим образом:

Р3 =-

4 +1 (1 -1 2г

/1п(1 - г),

Р2 =

А

2а’

Р1=--— 1=- (1 - р 2)-1

г 2а г г

Р0 = - Р3

1 - 1п

Р А 7

--------1-----2 ^---.

2 аА 8а г А

Если рассмотреть сценарий, близкий к российскому 1988-2000 гг. с А = -0,05 и г = 0,02, то, для того чтобы темпы стали нулевыми к моменту окончания ресурса, их снижение должно начаться с 1й ~ 2020,52, или примерно с июля 2020 г. Но в России в 1988-2000 гг. был сильнейший кризис, который повлиял на добычу нефти. Если же рассмотреть сценарий более мягкого и, соответственно, более продолжительного кризиса, например с А = -0,02 и г = 0,01, то окажется, что темпы добычи должны были снижаться еще с 2000 г. Это означает, что при таком сценарии можно только уменьшить силу возможного кризиса из-за нехватки ресурса.

Задачи прогнозирования и принцип равноправия поколений

Свободный рынок неоднократно доказывал свою несостоятельность в решении важнейших проблем (кризисы перепроизводства, загрязнение окружающей среды), поэтому возникают задачи нормативного анализа построения оптимальной траектории исчерпания ресурса. Например, в [11, 22, 24] оптимальная траектория исчерпания ресурса определяется исходя из принципа равноправия поколений, вытекающего из применения максминного правила Ролза [8] к задаче о справедливом распределении ресурсов между поколениями. Согласно правилу Хартвика [11], постоянный во времени уровень потребления (в расчете на душу населения) С(1) достигается путем инвестирования прибыли (ренты), полученной от невозобновляемого ресурса, в капитал, производящий то же самое количество товаров и услуг при уменьшающемся ресурсе.

В модели предполагается, что ресурс, как и другие факторы производства в функции Кобба-Дугласа, является существенным для экономики. Поэтому его запас не должен обнуляться, что и достигается за счет асимптотического приближения к нулю. Траектория убывания определяется из условия известных темпов добычи в начальный момент времени У(г0) = —2(г0) = У0 и требования о расходовании конечного запаса ресурса 20 в течение бесконечного периода времени 20 = I У^)Ж. Этим условиям может удовлетворять

?0

любая кривая, проходящая через точку

равна 20. Важно то, что в силу предположения о существенности нефти для экономики эти кривые должны асимптотически стремиться к нулю, что пока (в будущем эта практика наверняка изменится в силу конечности и невозобновляемости ресурса) противоречит мировой практике нефтедобычи (рис. 1).

Если предположить, что нашлись бы политические и экономические силы, способные реализовать траекторию убывания темпов добычи, например, в виде -20еЫ (или, точнее, в виде убывающего сложного процента), где Ы = 20 / 20 начиная с 2005 г., а г = (год - 2005), «е» - основание натурального логарифма, то темпы должны были бы снижаться в два раза примерно каждые 30 лет. При этом значения индекса конъюнктуры в течение ближайших 15 лет изменялись бы примерно от А2004 = -015 до А2020 = -016. Близкие по модулю (но положительные) значения индекса были отмечены с начала 1950-х до середины 1960-х годов, в период роста рынков потребления нефти по закону сложного процента.

Как показывает предыдущий анализ, на вид кривой исчерпания ресурса в основном влияли геологические (успехи или неудачи при поиске новых месторождений, истощение старых месторождений, изменения коэффициента нефтеизвлечения) и политические факторы, а также рынок потребления нефти. Поэтому для того чтобы выйти на асимптотически убывающую траекторию без экономического кризиса, связанного с дефицитом ресурса, нужно создать систему развития альтернативного, «антинефтяного», рынка, в стоимость товаров которого не будут включены расходы на нефтепродукты. Если такой рынок будет расти действительно по закону сложного процента, то можно добиваться падения спроса на нефть в соответствии с заданной программной траекторией. То есть если, согласно правилу Хартвика, направлять ресурсную ренту на развитие капитала в виде технологий, не использующих нефть, то увеличение рынка таких товаров будет вытеснять «нефтяные» товары, и тогда траектория темпов добычи станет действительно убывающей. Стимулирование исследований, субсидирование «антинефтяных» производств приблизят вытеснение нефтепродуктов возобновляемыми заменителями.

Следуя [13], «диссипация» природных ресурсов в экономике является аналогом механического трения. Так, по данным Энергетического информационного агентства США [16, табл. 3], больше половины нефти в мире сгорает в двигателях транспортных средств, и, кроме того, нефтепродукты сжигаются в обогревательных системах и электростанциях, т. е. эта часть ресурса теряется для дальнейшего производства. Предположим, что нефть, подобно металлам, использовалась бы только в производствах, допускающих вторичную переработку. Такое производство можно представить в виде периодического движения, например, математического маятника, где начальный прямой ход соответствует использованию стартовой «потенциальной энергии» ресурса. Прибыль вкладывается в воспроизводимый (в том числе человеческий) капитал (кинетическая энергия), с помощью которого организуется вторичная переработка (восстановление потенциальной энергии) -обратный ход маятника.

В реальности такие процессы сопровождаются неизбежными (но меньшими, чем при сжигании) потерями ресурса - диссипацией -О(г). И тогда условием консервативности

данной системы (устойчивого производства) является равенство [ В(1)й1 = [ У(1)й1 = 20,

^ г0 ^ г0

или экономически значимого ресурса в земле 20 должно хватить на бесконечный период времени для компенсации потерь ресурса в производстве. При этом в силу конечности 20 функция Д(г) должна асимптотически стремиться к нулю за счет совершенствования технологий, уменьшающих потери ресурса.

Остаются, во-первых, проблемы межгосударственных согласований шагов в направлении внедрения «возобновляемых» технологий, поскольку переход только одной страны к прогрессивному, но более дорогому способу производства уменьшит конкурентоспособность ее продукции, а во-вторых - задачи определения и перераспределения природной ренты. О сложности решения последней пишет, например, В.И.Данилов-Данильян [1]. Предполагается, что перераспределение

ресурсной ренты должно быть совместной функцией различных составляющих финансово-экономической системы, а из-за высокой степени неоднородности ресурсов и, как следствие - невозможности предсказать влияние юридических и экономических решений в долгосрочной перспективе законодательные изменения в этой области, во-первых, должны быть ограничены по силе воздействия на природно-ресурсную экономику, а во-вторых, законы не должны меняться слишком часто. Последнее условие эквивалентно существованию длительных периодов (не менее года [1]), в течение которых условия функционирования рынка не должны радикально меняться. А это означает, что траектория исчерпания ресурса должна на разных промежутках определяться разными комбинациями причин, действующих на изменение темпов добычи, или, другими словами, иметь вид сплайна.

Таким образом, в работе показано, что модель исчерпания ресурсов в виде квадратичного сплайна хорошо согласуется с данными мировой нефтедобычи и может использоваться в задачах прогнозирования. Причем периоды, в течение которых Q(t) можно считать параболой, достаточно велики (от года до 20 лет). Практическое подтверждение гипотезы о выполнении принципа наименьшего действия в ресурсной экономике позволяет надеяться на успешное применение некоторых аналогов законов механики в данной области, с учетом принятых предположений и при корректной интерпретации соответствующих величин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилов-Данильян В.И. Природная рента и управление использованием природных ресурсов. -http://www.opec.ru/analize_doc.asp?d_no=47000.

2. Ергин Д. Добыча. Всемирная история борьбы за нефть, деньги и власть. М.: ДеНово, 2001. 888 с.

3. Китайгородский В.И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1990. 166 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. 208 с.

5. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. За пределами роста. М.: Прогресс, 1994. 304 с.

6. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. М.: Наука, 1987. 304 с.

7. Поляков Г.А., Полякова Т.В. Модели и прогнозные оценки перспектив добычи нефти. М.: РОССПЭН, 2004. 152 с.

8. Ролз Дж. Теория справедливости. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1995. 536 с.

9. Щелкачев В.Н. Отечественная и мировая нефтедобыча. М.: Нефть и газ, 2001. 128 с.

10. Эйсмонт О.А. Экономический рост при непостоянных издержках добычи природных ресурсов // Экономика и мат. методы. 1995. Т. 31, вып. 3. С. 116-122.

11. Hartwick J.M. Intergenerational equity and the investing of rents from exhaustible resources // The Amer. Econ. Rev. 1977. Vol. 67, N 5. P. 972-974.

12. Hartwick J.M., Long N.V., Tian H. On the peaking of consumption with exhaustible resources and zero net investment // Environmental and Res. Economics. 2003. Vol. 24. P. 235-244.

13. Hartwick J.M. Sustaining periodic motion and maintaining capital in classical mechanics // Japan and the World Economy. 2004. Vol. 16. P. 337-358.

14. Hotelling H. The economics of exhaustible resources // The J. Political Economy. 1931. Vol. 39, N 2. P. 137-175.

15. Hubbert M.K. Nuclear energy and the fossil fuels // Amer. Petrol. Inst. Drilling & Production Practice. 1956. P. 7-25 (Proc. Spring Meeting, San Antonio, Texas).

16. International Energy Outlook 2005. - http://www.eia.doe.gov/oiaf/ieo/enduse.html.

17. Kamien M., Schwartz N. Optimal exhaustible resource depletion with endogenous technical change // The Rev. Econ. Studies. 1978. Vol. 45, N 1. P. 179-196.

18. Krautkraemer J.A. Nonrenewable resource scarcity // J. Econ. Literature. 1998. Vol. 36, N 4. P. 2065-2107.

19. Mitra T. Efficient growth with exhaustible resources in neoclassical model // J. Econ. Theory. 1978. Vol. 17, N 1. P. 114-129.

20. Oil & Gas Journal. 1930-2005.

21. Peterson F.M., Fisher A.C. The exploitation of extractive resources: A survey // The Econ. J. 1977. Vol. 87, N 348. P. 681-721.

22. Phelps E.S., Riley J.G. Rawlsian growth: dynamic programming of capital and wealth for intergeneration «ma-ximin» justice // The Rev. Econ. Studies. 1978. Vol. 45, N 1. P. 103-120.

23. Solow R.M. Intergenerational equity and exhaustible resources // The Rev. Econ. Studies. 1974. Vol. 41. Symp. on the Econ. of Exhaustible Resources. P. 29-45.

24. Stiglitz J.E. Growth with exhaustible natural resources: efficient and optimal growth paths // The Rev. Econ. Studies. 1974. Vol. 41. Symp. on the Econ. of Exhaustible Resources. P. 123-137.