Совместное распределение биржевых индексов: методологические аспекты построения и выбора копулярных моделей

Прикладная эконометрика, 2016, т. 42, с. 30-53. Applied Econometrics, 2016, v. 42, pp. 30-53.

А. Г. Князев, О. А. Лепёхин, А. Е. Шемякин1

Совместное распределение биржевых индексов: методологические аспекты построения и выбора копулярных моделей

В работе рассмотрены практические аспекты моделирования совместного распределения пар национальных биржевых индексов посредством копула-функций. Для получения оценок параметров частных распределений, а также параметра копулы, описывающей структуру зависимости, использован эмпирический байесовский подход, численно реализованный с помощью алгоритма Метрополиса со случайным блужданием. Проводится сопоставление параметрического и полупараметрического подходов к построению копулярных моделей. Обсуждается проблема выбора класса парных копула-функций, наилучшим образом приближающего такие эмпирические характеристики зависимости фондовых индексов, как коэффициент корреляции Кендалла, функцию совместного распределения, поведение хвостов.

Ключевые слова: копула; биржевые индексы; параметрический подход; полупараметрический

подход; алгоритм Метрополиса.

JEL classification: C11; C15; C58; G15.

1. введение

Копулы (копула-функции) за последние двадцать лет стали популярным инструментом статистического моделирования многомерных наблюдений. Применение аппарата копула-функций позволяет разделить этапы моделирования: (а) случайных величин — компонент случайного вектора, и (б) их совместного поведения. Согласно теореме Скляра (№кеп, 2006), см. также (Благовещенский, 2012), любое многомерное распределение может быть построено по набору частных распределений, которые описывают индивидуальное поведение каждой случайной величины, и специального вида копула-функции, задающей структуру зависимости между случайными величинами. Эта зависимость выражается через параметр ассоциации копулярной модели. Копулы позволяют с достаточной степенью гибкости строить различные виды многомерных распределений, которые не укладываются в рамки многомерной нормальности или других параметрических многомерных семейств.

Тот факт, что с помощью копул можно моделировать более сложные структуры зависимости, чем многомерное нормальное распределение, сделал их особенно популярными для

1 Князев Александр Геннадьевич — Астраханский государственный университет, Астрахань; agkniazev@mail.ru.

Лепёхин Олег Алексеевич — Астраханский государственный университет, Астрахань; okmb07@yandex.ru. Шемякин Аркадий Евгеньевич — Университет Св. Томаса, Сент-Пол, США; a9shemyakin@gmail.com.

финансовых приложений. В работе (Пеникас, 2010) выделено пять основных приложений § моделей «копула» (в дальнейшем в тексте — копулярных моделей) к задачам финансов, ко- § торые включают в себя построение модели дюрации, оценку стоимости производных фи- Э нансовых инструментов, оценку рисков портфеля активов, выбор оптимальной структуры ^ инвестиционного портфеля и хеджирование риска. Применение копул для изучения характера взаимодействия национальных фондовых рынков, снижения финансовых рисков оказалось важным шагом в развитии теории инвестиционного портфеля. Стало появляться все ¿й больше работ, моделирующих поведение фондовых индексов, валют (см., например, (Patton, «ï 2001; Jondeau, Rockinger, 2006; Ane et al., 2008; Gordeev et al., 2012)).

Структура статьи выглядит следующим образом. В разделе 2 обсуждается место копу-

щ

ф ¡2

лярных моделей в рамках задачи диверсификации инвестиционного портфеля. В разделе 3 £ рассматриваются существующие подходы к построению копул. Процедура предваритель- Н ной обработки используемых данных описана в разделе 4. В разделе 5 для преобразованных данных оцениваются модели одномерных распределений на основе асимметричного распределения Стьюдента. В разделе 6 копулы Клейтона, Франка, Гаусса, Стьюдента, Гам-бела-Хаугарда и дуальная копула Гамбела-Хаугарда используются для построения двумерных моделей совместных распределений преобразованных значений фондовых индексов. В разделе 7 исследуется качество построенных моделей копул по критериям коэффициента корреляции Кендалла, модельной функции распределения и хвостового параметра. Итоги проведенного исследования подводятся в разделе 8.

2. Задачи анализа фондовых индексов

Исследование поведения различных биржевых и фондовых индексов, включая глобальные, региональные, национальные и отраслевые, является важной задачей современной финансовой математики и управления рисками. Фондовые индексы и связанные с ними фьючерсные контракты выступают как инструменты хеджирования и диверсификации на международных рынках (Bekaert et al., 2009; Sharma, Seth, 2012). Особенный интерес в последнее время вызывает построение статистических моделей совместного поведения биржевых индексов, поскольку эти модели находят прямое применение в задачах хеджирования сложных многонациональных инвестиционных портфелей.

Диверсификация портфеля может достигаться за счет инвестиций во фьючерсы, индексированные посредством географически или экономически удаленных фондовых рынков. В рамках классической модели Марковица эта удаленность моделируется при помощи незначительной или даже отрицательной корреляции между национальными индексами. Исследованию корреляции национальных индексов посвящены работы (Evans, McMillan, 2009; You, Daigler, 2010; Coeurdacier, Guibaud, 2011).

Однако при рассмотрении современных финансовых данных корреляционный анализ часто оказывается недостаточным, поскольку линейная корреляция, идеально приспособленная для описания зависимости в рамках многомерной нормальной модели, плохо описывает совместные распределения, допускающие такие существенные отклонения от нормальности, как асимметричность, «тяжелые хвосты» и нелинейная зависимость компонент распределения (Mandelbrot, 1963). В этой связи особый интерес представляет анализ хвостов совместных распределений, позволяющий оценивать вероятности одновременного резкого падения

нескольких биржевых индексов, вызывающего обвал глобальных рынков и большие потери для многонациональных инвестиционных портфелей (Fortin, Kuzmics, 2002; Su, 2013).

Использование копулярных моделей позволяет отказаться от условия нормальности и ограничений, связанных с корреляционным анализом. Оно позволяет рассматривать как более реалистичные модели асимметричных частных распределений с тяжелыми хвостами, так и более адекватные модели нелинейной зависимости между компонентами многомерной модели.

Практические задачи управления финансовыми рисками требуют построения копулярных моделей высокой размерности. При этом возникает ряд проблем, описанных, в частности, в недавней работе (Embrechts, Hofert, 2014). Эти проблемы связаны как с теоретическими аспектами, так и с численной реализацией многомерных копулярных моделей. Построение многомерных копул требует, прежде всего, задания структуры иерархии как в случае парных конструкций или ветвлений (vine copulas), рассматриваемых, например, в (Aas et al., 2009; Czado et al., 2013; Травкин, 2015; Кандауров, 2014), так и для иерархических архимедовых моделей (Hofert, Scherer, 2011; Hofert et al., 2013; Puzanova, 2011), иерархических Кендалловых моделей, введенных в работе (Brechmann, 2014), и т. д. Однако большинство многомерных конструкций в той или иной степени основано на парных копулах. При этом центральными становятся вопросы выбора параметрического класса парных копул и методов параметрического оценивания.

В настоящей работе, в продолжение исследования (Шемякин и др., 2015), рассматриваются попарные распределения национальных фондовых индексов. Это ограничение соответствует в первую очередь задаче выбора оптимальной парной копулярной модели и метода оценивания ее параметров в рамках эмпирического байесовского подхода. Построению копулярных моделей более высоких размерностей посвящена, например, работа (Kangina et al., 2016). Patton (2001) и Hu (2008) рассматривали параметр ассоциации, изменяющийся во времени. В (Onishchenko, Penikas, 2015) рассмотрена возможность применения копул с изменяющимся параметром для моделирования структурных сдвигов. Однако временной период, рассматриваемый в работе, соответствует относительно стабильной рыночной обстановке и предполагает стабильный характер взаимозависимости рынков, что отвечает постоянному значению параметра ассоциации. Возможность использования моделей с постоянным значением параметра копулярной зависимости для исследования долгосрочных тенденций подтверждается проведенной проверкой гипотез о типе распределения. Как показано в разделе 6, гипотеза о копулярном представлении совместных распределений с постоянным параметром ассоциации подтверждается при применении стандартных критериев значимости.

3. выбор модели и методы оценивания

В существующих методах построения парных копулярных моделей можно условно выделить три подхода к оценке параметров копулы: 1) непараметрический; 2) параметрический; 3) полупараметрический.

Непараметрический подход в общем случае предполагает вычисление количества совместных попаданий исходов случайных величин в выбранную ячейку решетки разбиения вероятностного пространства, что позволяет строить эмпирические копулы. Теоретические аспекты данного метода обсуждаются в работе (Nelson, 2006). На практике он реализован

2 log ce

max .

в работе (Бронштейн и др., 2011). Считается, что эмпирические копулы могут быть исполь- § зованы для оценки мер зависимости. Однако данный метод не получил широкого распро- § странения, поскольку не позволяет исследователю функционально описать связи между ана- Э лизируемыми случайными величинами и принимает совместную функцию распределения ^ как некую эмпирическую данность. ^

В рамках непараметрического подхода в (Genest, Rivest, 1993) был разработан эмпири- J ческий метод для оценки архимедовых копул. ¿й

Преимуществом непараметрического подхода является возможность обойти трудности, связанные с оценкой плотности копулярной функции. Как отмечают Fermanian et al. (2006), ° существует ряд непараметрических процедур для оценивания копулярной плотности, ко- | торые основаны на симметричных ядрах (symmetric kernels). Недостатком является то, что 5 они плохо работают в границах размерности [0;1]d, где d — размерность копулы, т. к. под- Н вержены смещению у границ (boundary bias). В результате непараметрические методы, как и параметрические, могут приводить к серьезной недооценке параметров, если не принимается во внимание возможное граничное смещение. В работе (Fermanian et al., 2006) рассматривается ряд технических инструментов, которые позволяют улучшить качество ядерных оценок (kernel estimators): преобразование по «методу зеркального отражения» (mirror image modification), преобразованные ядра (transformed kernels), граничные ядра (boundary kernels).

Параметрический подход предполагает использование модельных функций распределения случайных величин для оценки параметров копулы. К нему относятся классический метод максимального правдоподобия и метод оценки частных распределений (two-step inference function for margins method), предложенный Joe (2005).

Метод максимального правдоподобия основан на максимизации логарифмической функции правдоподобия

n n p

2 log ( Fa, (X1i X.- Fp,ap (xp, )) +22 log fj.*, (Xi ) ^ max ,

1=1 1=1 j=1

где ев и fj a (Xj) — функции плотности вероятности, полученные из функции копулы Св (•) и частных функций распределения F1 а(хл),...,Fp a (xip).

В функции правдоподобия на практике может присутствовать достаточно много параметров, т. к. она объединяет параметры частных распределений и параметры зависимости копулы. Поэтому данный метод является обременительным с вычислительной точки зрения.

Для решения данной проблемы был предложен метод оценки частных распределений (inference function for margins, далее IFM-метод), который оценивает параметры копулярной модели в два этапа. На первом этапе отдельно оцениваются параметры каждого частного распределения — а,,а2,...,а . На втором этапе оцениваются параметры функции правдоподобия путем подстановки оценок параметров частных распределений в функцию правдоподобия

Параметрический подход позволяет получать, при условии правильной спецификации модели и выполнении ряда классических условий (см., например, (Joe, 2005)), асимпто-

тически нормальные оценки, в частности, величина yfn (в — в) является асимптотически нормальной с нулевым математическим ожиданием. Концептуально оба рассмотренных метода очень похожи, и во многих случаях одинаково эффективны. Следует отметить, что IFM-метод более легок в вычислении, что достигается ценой некоторого снижения эффективности по сравнению с методом максимального правдоподобия. Особенностью методов параметрического подхода является то, что эффективность оценок зависит от правильности выбора форм частных распределений.

Очевидные преимущества параметрического подхода могут быть утрачены в результате некорректной спецификации частных распределений случайных величин. Как было продемонстрировано в работе (Kim et al., 2007), неверный подбор частных функций распределения может приводить к серьезным ошибкам в оценках параметров копула-функции. Проблема возможной неустойчивости и несостоятельности оценок, полученных в результате параметрического подхода, привела к тому, что во многих исследованиях стал использоваться полупараметрический подход.

Полупараметрический подход в общем случае заключается в оценке эмпирических функций распределения случайных величин и последующей оценке параметров копулы. Таким образом, оценивание производится в два этапа, как и в случае IFM-метода, но существенным отличием является то, что частные распределения оцениваются непараметрически на основе их выборочных эмпирических распределений. Оценка параметра копулы представляет собой максимум функции псевдо-правдоподобия

n

2 log ce ((Xi Х.- F(x рг)) ^ max,

i=i

где F — эмпирическая функция распределения для каждой анализируемой случайной величины.

Данный метод получил название метод максимального псевдо-правдоподобия (maximum pseudo-likelihood estimation) и также известен как канонический метод максимального правдоподобия (canonical maximum likelihood). В работе (Genest et al., 1995) доказано, что оценки, полученные методом псевдо-правдоподобия, являются асимптотически нормальными и асимптотически несмещенными.

На практике в случае одного параметра копулы часто применяется другой полупараметрический метод, известный как метод моментов. Он реализован в форме метода обращения коэффициентов ранговой корреляции Кендалла и Спирмена. Так же как и оценки максимального правдоподобия, оценки методом моментов обладают свойством асимптотической нормальности. В работе (Kojadinovic, Yan, 2010) было проведено сравнение эффективности различных полупараметрических методов: метода максимального псевдо-правдоподобия и двух реализаций метода моментов. Результаты имитационного моделирования показали, что метод максимального псевдо-правдоподобия является лучшим с точки зрения средне-квадратической ошибки во всех ситуациях, за исключением небольших и слабо зависимых выборок.

В силу описанных выше причин полупараметрический подход, реализуемый, как правило, посредством метода максимального псевдо-правдоподобия, является на сегодня наиболее популярным. Однако на практике исследователь может столкнуться с ситуацией, когда

этот метод приводит к неустойчивым результатам. Это может быть вызвано невозможно- §

стью аналитического решения и причудами многомерной численной оптимизации: попа- §

данием в локальный максимум либо получением бесконечных значений функции правдо- Э

подобия (Пеникас, 2010). ^

Вторым важным методологическим вопросом при построении копулярных моделей яв- ^

ляется выбор копула-функции, которая будет определять структуру зависимости между ^

частными распределениями. Типичной является ситуация, когда у исследователей есть при- ¿й мерное представление о функциональной форме частных распределений и очень поверхностное видение того, как задается их совместное распределение. Необходимость решения данной проблемы способствовала разработке широкого набора методов и подходов.

о ф

S

В качестве примеров можно привести обзоры (Berg, 2007) и (Пеникас, 2010). Так, в (Berg, g 2007) рассмотрено девять подходов к оценке качества построенной копулярной модели. Н Отбор копула-функции может производиться на основе критериев Шварца и Акаике, преобразования Розенблата, сопоставления с эмпирической копулой, а также иных методов. Например, в (Fermanian, 2005; Fermanian, Scaillet, 2005) предлагается использовать метод, основанный на сглаживании эмпирической копулы, которая представляет собой обычную многомерную эмпирическую функцию распределения, и вычислении ядерных оценок копу-лярной плотности в некоторых произвольно выбранных точках. Очевидно, что результаты теста во многом зависят от выбора точек, поэтому предлагается второй тест, основанный на вычислении расстояния между сглаженной копулярной плотностью и оцененной параметрической плотностью.

Настоящая работа развивает подход к выбору копула-функции на основе сопоставления с эмпирической копулой и предлагает дополнить существующие способы оценки параметров копулы байесовскими методами оценивания. Байесовские оценки параметров копулярных моделей, в силу сложности этих моделей, трудно получать аналитически. Как правило, в таких ситуациях исследователи прибегают к методам Монте-Карло на цепях Маркова: наиболее распространены в приложениях гиббсовский выборочный метод и методы на основе алгоритма Метрополиса-Гастингса. К преимуществам последней группы методов следует отнести большую универсальность и возможность проведения диагностики устойчивости полученных оценок. Однако гиббсовские выборки требуют определенной структуры условных распределений компонент векторного параметра, что редко достижимо для копулярных моделей. Тем самым требуется либо применение более сложных послойных выборочных схем (slice sampling), что проделано в (Silva, Lopes, 2008), либо использование более медленного алгоритма Метрополиса-Гастингса, что и делается в настоящей работе.

Данная работа ставит несколько взаимосвязанных задач, возникающих при построении и сравнительном анализе копулярных моделей. Во-первых, на реальных данных проводится сравнение параметрического и полупараметрического подхода и обсуждаются рамки их применимости. Во-вторых, проводится сравнение методов оценивания: более традиционного метода наибольшего правдоподобия с байесовскими методами. И наконец, третьей задачей является выбор класса парных копула-функций, используемых при построении копулярных моделей. В данной работе сравнение производится на реальных финансовых данных: рядах фондовых индексов 27 стран, отличающихся по уровню экономического развития и степени развития фондового рынка. Использование реальных, а не искусственно сгенерированных данных позволяет строить реалистичные модели зависимости случайных величин и рассматривать практические ситуации, с которыми может столкнуться исследователь при по-

строении байесовских оценок. Широкий географический охват позволяет на основе анализа большого числа пар индексов строить априорные распределения на основе эмпирического байесовского подхода и давать рекомендации о выборе парных копула-функций, наиболее адекватно описывающих реальные зависимости между биржевыми индексами.

4. Первичная обработка данных

Исходные данные представляют собой ежедневные котировки биржевых индексов 27 стран (в скобках указаны аббревиатуры индексов): Аргентина (MERVAL), Австралия (ASX), Австрия (ATX), Бразилия (BUSP), Канада (TSE 300 Comp), Чили (IPSA), Китай (SSEC), Чехия (PX 50), Франция (CAC), Германия (DAX), Гонконг (HSI), Венгрия (BUX), Индия (BSE 30), Индонезия (JKSE), Япония (NIKKEI 225), Мексика (IPC), Нидерланды (AEX), Сингапур (STI), США (S&P 500, SPX), Испания (IGBM), Швейцария (SSMI), Турция (XU 100), Малайзия (KLSE), Великобритания (FTSU 100), ЮАР (JSE), Украина (PFTS). Для России были взяты два индекса: ММВБ (MICEX) и РТС (RTSI). Данные охватывают период с 01.01.2009 по 31.12.2011, в качестве источника этих данных послужило информационное агентство «РосБизнесКонсалтинг» (www.rbc.ru). На рисунке 1 представлен ряд значений индекса Нью-Йоркской фондовой биржи.

SPX

О'—'О'—'О'——i <N '—i <N '—I<NO<NO<NO<NO'—'O'—irO'—1 OOOOOOO'—11—'OOOOOO'—11—'OOOOOO'—11—1 ChCftCftChChChChChChOOOOOOOO-^-^-^-Hrfrfrfrf OOOOOOOOO-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H-H

ooooooooooooooooooooooooo

Рис. 1. Временной ряд значений индекса SPX

Первичная обработка данных включает следующие шаги: восстановление (импутация) пропущенных данных, переход к логарифмическим доходностям, моделирование авторегрессии первого порядка и условной гетероскедастичности, нормирование остатков авторегрессионной модели. Стандартным приемом, позволяющим применять к нашим данным методы анализа стационарных временных рядов, является переход к логарифмическим до-ходностям

Р Р - Р г. = 1п—= 1п Р - 1п Р.. -ы,

где Рг — значение фондового индекса в момент времени Данный прием позволяет обеспечить сопоставимость фондовых индексов различных стран, устраняя эффект масштаба.

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

Кроме того, он позволяет отфильтровать присутствующую в рядах нестационарность. На рисунке 2 представлен ряд доходностей индекса Нью-Йоркской фондовой биржи.

rSPX

I

ai

0.08 0.06 0.04 0.02 0

-0.02 -0.04 -0.06 -0.08

GO О '-О

О О О О О О

(N fi ^О СО ^

О О О О О О

щ M О! О

О О О О О

ооооооооо

I

с

0 ф

s

1

оооооооооооооооооооооооо

Рис. 2. Ряд доходностей индекса SPX

С целью описания автокорреляции и переменной волатильности для каждого ряда доходности построим модель авторегрессии первого порядка ARMA(1,0) и модель условной гетероскедастичности GARCH(1,1). Рассмотренные модели ARIMA более высокого порядка не приводят к существенному улучшению результатов. При проверке статистической значимости автокорреляции в рядах доходностей, из 28 рассмотренных рядов автокорреляция первого порядка оказалась статистически значимой в 8 случаях, а автокорреляция второго и более высокого порядков — только в двух. Уравнение модели авторегрессии первого порядка ARMA(1,0) имеет следующий вид:

Г =ao +airt-1 + et,

где et — остаток авторегрессии. Для ряда остатков строилась модель условной гетероскедастичности GARCH(1,1), уравнение которой имеет вид

о2 = w + ае]—1 + fo2_j,

где о2 — условная дисперсия остатка в момент времени t. После замены vt = е] —оt уравнение (3) приводится к виду

е] =w + {a + b)e2t—l +vt -fv— .

Это означает, что квадраты остатков описываются процессом ARMA(1,1), см. (Вербик, 2008). Этот факт использовался для получения оценок коэффициентов модели условной гетероскедастичности. Результаты оценивания моделей ARMA(1,0) и GARCH(1,1) для всех индексов приведены в Приложении. По ним видно, что для большинства рядов условная дисперсия относительно стабильна. Однако для шести рядов (IPSA, XU100, NIKKEI, PX50, RTSI, PFTS) колебания условной дисперсии значительны. Следует также отметить, что оценки модели GARCH(1,1) очень неустойчивы. Используя ряд остатков vt модели GARCH(1,1), можно получить ряд условных дисперсий о2.

zSPX

il 1 1 i 1 1 1

Ihl .lllll iIli.iI.IIL .Ii.ii iIl L il ill III III J, liHilb.il 1

гаТРШЖ'ТО! Il Iki.diklILULIII yiy ' lliil ^ — й пни

1 и- I ' т —И 1 IT 1 II11 щ

1V 1 I1 1 " 1

О О О О oo О

о о о о о о о

о о о о о о

^^^^^^^^^ООООООООО-—!•—!•—!•—!•—!•—!•—!•—I ООООООООО'—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1 <—1

оооооооооооооооооооооооооо

Рис. 3. Нормированный ряд остатков индекса SPX

На заключительном шаге производилось нормирование остатков авторегрессионной модели: zt = ег/оt . Полученные таким образом ряды (см. рис. 3) будем называть рядами остатков (или нормированных инноваций) и обозначать через z .

5. Построение моделей одномерных распределений

Исторически для моделирования рядов остатков использовалось нормальное распределение. Однако в последние годы неоднократно отмечалось, что во многих финансовых приложениях распределения рядов остатков, как правило, имеют тяжелые и асимметричные хвосты. В том, что ряды остатков не удовлетворяют требованию нормальности, можно убедиться, проверив гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. Результаты проверки представлены в табл. 1. Гипотеза о нормальном распределении отклоняется при уровне значимости 0.01 для 12 рядов (они помечены **), а при уровне значимости 0.05 — еще для 7 рядов (помеченных *).

Указанные особенности проиллюстрированы на рис. 4.

Гистограмма АЕХ

Рис. 4. Гистограмма ряда остатков для индекса АЕХ

Таблица 1. Одномерные распределения

I §

I

ai «ï

! с

0

о" ф

S

1

С «Ï

Индексы

Нормальное

Асимметричное распределение Стьюдента

Оценки ММП

Байесовские оценки

Р-значение r l r l Р-значение

AEX* 0.008 4.4 -0.04 4.58 -0.055 0.713

ASX 0.135 20.6 -0.1 11.91 -0.080 0.568

ATX* 0.046 9.1 -0.14 8.73 -0.091 0.398

BSE 0.101 8.5 0.02 8.41 -0.030 0.163

BUSP* 0.035 6.2 -0.08 6.34 -0.071 0.376

BUX 0.058 6.4 0.01 6.65 -0.029 0.369

CAC 0.072 8.1 -0.04 8.07 -0.055 0.451

DAX 0.067 9.6 -0.06 8.94 -0.064 0.393

IGBM 0.111 6.9 -0.04 6.98 -0.052 0.712

IPSA* 0.015 5 -0.04 5.23 -0.052 0.629

XU100* 0.010 5.9 -0.08 6.10 -0.074 0.516

IPC** 0.003 4.6 -0.1 4.75 -0.084 0.813

JKSE** 0.005 4.6 -0.07 4.67 -0.068 0.160

HIS 0.100 14.2 -0.06 11.03 -0.059 0.073

KLSE** 0.009 5.1 -0.02 5.39 -0.041 0.292

MERVAL** 3.84E-05 3.7 -0.05 3.81 -0.057 0.183

MICEX** 0.010 4.9 -0.04 5.16 -0.052 0.076

NIKKEI** 0.008 6.2 -0.05 6.38 -0.059 0.108

PX50** 6.66E-16 2.4 -0.02 2.43 -0.037 0.788

RTSI** 0.0004 4.2 -0.08 4.35 -0.070 0.323

SPX** 8.55E-05 4.9 -0.14 5.04 -0.104 0.217

SSEC** 0.0001 4.6 -0.07 4.79 -0.069 0.046

SSMI* 0.042 7.7 -0.1 7.64 -0.081 0.429

STI 0.127 8.7 -0.03 8.51 -0.050 0.572

TSE** 0.003 7 -0.14 7.10 -0.097 0.258

FTSU100* 0.049 9.4 -0.09 8.84 -0.078 0.735

JSE 0.137 18 -0.08 11.92 -0.068 0.684

PFTS** 1.72E-05 3.3 -0.03 3.35 -0.046 0.276

В силу этого, для моделирования одномерных распределений будем использовать более гибкое предположение о том, что ряды остатков имеют асимметричное распределение Стьюдента, плотность которого задается формулой (Hansen, 1994):

d ( z; l; r) = bc

1 + -

1

bz + a

\2

1 + 1sign

~(r+l)/2

где a = 4c 1——2, b = yj 1 + 312 - a2, c = r-1

Г

, ц — число степеней свободы

Jjr

(хвостовой параметр), Х — параметр смещения, Г( x) — гамма-функция.

Поскольку данное распределение позволяет задавать асимметрию и толщину хвостов, оно стало востребованным в прикладных исследованиях финансовых данных. Другое преимущество использования ассиметричного распределения Стьюдента продемонстрировано в работе (Jondeau, Rockinger, 2006): авторы задают параметры распределения как функционально зависимые от предыдущих значений случайной величины, что позволяет протестировать гипотезу о том, что степень зависимости между частными распределениями меняется в различные временные периоды.

Параметры асимметричного распределения Стьюдента будем оценивать в три этапа. Сначала оценим эти параметры методом максимального правдоподобия (оценки ММП приведены в табл. 1). Затем применим эмпирический байесовский подход. Параметр асимметричности Х и число степеней свободы ц полагаются случайно распределенными среди национальных фондовых индексов. На основе оценок максимального правдоподобия по совокупным данным строятся априорные распределения этих параметров. Рассмотрим величину ц1 = ц — 2. Предположим, что она имеет гамма-распределение с параметрами формы 0.313 и масштаба 1.715 . Проверим гипотезу о гамма-распределении, используя тест Колмогорова-Смирнова. Получаем значение реально достигнутого уровня значимости p = 0.704, т. е. гипотеза не отклоняется.

Рассмотрим величину Х1 = tan (жХ/ 2). Предположим, что она имеет нормальное распределение с параметрами /г = —0.102, о = 0.065. В результате теста получаем реально достигнутый уровень значимости p = 0.9829, тем самым гипотеза о нормальности не отклоняется.

Далее потребуется функция плотности совместного распределения параметров. Проверим предположение о независимости параметров. Для этого вычислим и протестируем коэффициент корреляции — получим r = —0.212 и уровень значимости p = 0.279. Гипотеза о независимости не отклоняется. Поэтому в качестве функции плотности совместного распределения будем рассматривать произведение плотностей гамма- и нормального распределений. На третьем этапе для получения байесовских оценок параметров одномерных распределений используем алгоритм Метрополиса со случайным блужданием.

Для всех рядов гипотеза об асимметричном распределении не отклоняется при уровне значимости 0.01. Байесовские оценки получились более сглаженными по сравнению с оценками метода максимального правдоподобия, они меньше отличаются от средних значений по всем рядам.

Переходим к построению моделей совместных распределений пар рядов нормированных остатков индексов (рядов z). Из имеющихся в нашем распоряжении 28 рядов индексов можно построить 378 пар. Некоторые совместные распределения представлены на рис. 5. Приведенные рисунки показывают, что среди 378 пар индексов присутствуют различные зависимости: от очень слабой положительной зависимости до достаточно сильной.

6. двумерные распределения

IPC, NIKKEI, 0.064

-6—

-4-

s йД » »

• •

--4— 9

--б—

IGBM, MICEX, G.4G1

--

-4--т-

CAC, DAX, G.79S

-4—

-

-1-

Sr • -3

Рис. 5. Разброс значений рядов остатков индексов

1

ai «ï

í с

£

«ï

O

to Ф

2

! С «Ï

4

Для построения моделей совместных распределений будем использовать шесть копу-лярных моделей, основанных на копулах Клейтона, Франка, Гаусса, Стьюдента, Гамбела и дуальной копуле Гамбела. Копулы Клейтона, Франка, Гамбела относятся к семейству архимедовых копул, а копулы Гаусса и Стьюдента — к семейству эллиптических копул (Фан-таццини, 2011). Ниже приведено описание этих копул.

Копула Клейтона: Са{и,у) = тах|(и_а+у_а—1) ^ ,о|, а> —1, а^0.

(в~аи — 1)(е—<™ — 1)^

Копула Франка: Ca(u, v ) =--ln

a

1 + -

a > 1.

a > 1.

Копула Гамбела: Ca(u, v) = exp |—ln u )a +(—ln v)a]

Дуальная копула Гамбела:

Ca(u, v) = u + v — 1 + exp {—[(—ln(1 — u )) + (—ln(1 — v))a]V °

Копула Гаусса: Cp (u,v) = Фр (ф—1 (u),Ф—1 (v)), где 0(u) — стандартная нормальная

функция распределения, Фр (u,v) — функция распределения двумерного стандартного нормального вектора с коэффициентом корреляции Пирсона р.

Копула Стьюдента: C7,р (u,v) = F7,р (F— (u),F— (v)), где Fj¡(u) — функция распределения Стьюдента с 77 степенями свободы, Fvp(u, v) — функция двумерного распределения Стьюдента с 7 степенями свободы и коэффициентом корреляции Пирсона р.

Для получения эмпирических байесовских оценок параметров копулярных моделей необходимо построить априорные распределения параметров. Для первичных выборок параметров будем использовать метод моментов, а именно, метод обращения выборочного коэффициента корреляции Кендалла. Выборочные оценки коэффициента корреляции Кендалла для всех пар положительны. Формулы, связывающие параметры копул и коэффициент корреляции Кендалла для копул Клейтона, Гамбела и Гаусса совсем простые: а = 2 (1 —т)/т, = 1/(1 — т) и р = sin (ят/ 2) соответственно. После получения выборки значений параме-

a

тров выдвигается предположение об априорном распределении. В результате получаем, что параметр копулы Клейтона имеет логнормальное распределение, а параметр копулы Гаусса и величина, обратная параметру копулы Гамбела, имеют бета-распределение.

Для копулы Франка зависимость т от а довольно сложная. Напомним соответствующую формулу ^оМееу et а1., 2012):

t = 1 + -

2ж2 4 4 , _„ч 4 ^ e-ak

-+-4i-e-")-42V

гг гг х ' гг к

3 а а а а к

к=1

Выразить из этой формулы а затруднительно. Поэтому сначала создадим «искусственную» выборку, подставляя в формулу (6) значения а с некоторым шагом и вычисляя значения т . Оценим приближенную зависимость между логарифмами т и а . Обращая соответствующую формулу, получим следующую зависимость:

(1п т +2.028 \

а = ехр I-I.

0.672 )

На основе этой формулы по выборочным значениям т была создана первичная выборка значений а. Гистограмма этой выборки представлена на рис. 6.

Рис. 6. Параметр копулы Франка

На основании рис. 6 выдвигаем предположение, что параметр а имеет гамма-распределение. По данной выборке получаем выборочные оценки параметров гамма-распределения: 0.605 (формы) и 2.211 (масштаба). Выполнив тест Колмогорова-Смирнова, получаем вероятность р = 0.884, тем самым гипотеза о гамма-распределении не отклоняется.

Копула Стьюдента имеет два параметра: число степеней свободы ^ (хвостовой параметр) и коэффициент корреляции р. Однако коэффициент корреляции для этой копулы совпадает с параметром копулы Гаусса. В качестве первичной выборки значений хвостового параметра используем оценки максимального правдоподобия для этого параметра. На основании полученной выборки делаем вывод о том, что хвостовой параметр имеет логнор-мальное распределение.

Для получения оценок параметров копулярных моделей использовались два подхода: полупараметрический на основе выборочных функций распределения для составляющих и параметрический на основе модельных функций одномерных распределений, а именно асимметричных распределений Стьюдента, параметры которых были оценены ранее. Далее

использовался алгоритм Метрополиса со случайным блужданием с нормальным распределением в качестве распределения-кандидата. Для копулы Стьюдента выполнялось 10 000 итераций, для остальных копул — 100 000 итераций. Такое различие связано с тем, что ко-пула Стьюдента имеет самую сложную функцию плотности копулы из шести использованных моделей. Соответственно, вычисление оценок требует значительно больше времени2. Результаты оценивания для некоторых пар индексов представлены в табл. 2.

Таблица 2. Оценки параметров копулярных моделей

Копулы

Пары индексов

IPC, NIKKEI

IGBM, MICEX

САС, DAX

I

ai

!

с

0 ф

S

1

Гамбела

Клейтона

Франка

Гаусса

Стьюдента:

] l

Полупараметрический метод

1.075 1.563

0.172 0.929

0.582 4.205

0.156 0.389

19.022 9.233

0.145 0.576

4.456 4.788 17.343 0.772 12.062 0.932

Гамбела

Клейтона

Франка

Гаусса

Стьюдента:

]

l

Параметрический метод

1.077 1.596

0.168 0.938

0.604 4.333

0.158 0.393

17.061 8.811

0.145 0.588

4.609 5.014 17.986 0.779 9.312 0.936

Для копулы Стьюдента приведена оценка хвостового параметра ^, а затем коэффициента корреляции Пирсона 1. Оценка параметра для дуальной копулы Гамбела совпадает с оценкой для (обычной) копулы Гамбела. На рисунке 5 видно, что выбранные пары индексов соответствуют различной силе зависимости. Таблица 2 показывает, как изменяются оценки параметров копул при изменении силы зависимости. Также видно, что оба подхода к оцениванию параметров дают близкие оценки. Можно отметить устойчивое снижение реально достигнутого уровня значимости от 90 до 40% при увеличении коэффициента корреляции для всех копул, кроме копулы Стьюдента, и для обоих методов оценивания. Оценки параметров копулы Стьюдента заметно выделяются среди остальных своей нестабильностью.

Для проверки допустимости построенных моделей был выполнен тест Колмогорова-Смирнова. Тест проводился только для моделей, оцененных параметрическим методом, поскольку оценки полупараметрического метода заведомо точнее. При выполнении этого теста авторы следовали работе (Juste1 et а1., 1997). Прежде всего, методом Монте-Карло были получены 99 и 95%-ные точки распределения критической статистики для 780 наблюдений (в указанной статье приводятся критические точки только для числа наблюдений

2 Программные коды алгоритмов для оценки параметра копулы Клейтона, написанные в среде R, могут быть получены у авторов по запросу.

не более 300). Эти точки оказались равными 0.067 и 0.061 соответственно. Затем для рядов г было выполнено преобразование Розенблата. Далее вычислялось выборочное значение статистики для каждой копулы и каждой пары индексов. В таблице 3 указано число пар индексов, а также указан процент таких пар, для которых гипотеза о данной модели совместного распределения была отклонена.

Таблица 3. Тест Колмогорова-Смирнова для качества построенных моделей

Копула Уровень значимости

0.01 0.05

Число пар % Число пар %

Франка 16 4 21 6

Гамбела 11 3 33 9

Дуальная Гамбела 20 5 40 11

Гаусса 124 33 169 45

Клейтона 140 37 213 56

Из результатов видно, что модели, построенные на основе копул Франка и Гамбела, а также на основе дуальной копулы Гамбела, не отвергаются для большинства пар индексов. В то же время модели, основанные на копулах Гаусса и Клейтона, отклоняются значительно чаще. В целом, проведенное тестирование показало, что применение копулярных моделей различного типа с постоянным значением параметра ассоциации вполне допустимо для исследования долгосрочного поведения фондовых рынков.

7. сравнение копулярных моделей для пар индексов

Для сравнения копулярных моделей были использованы три показателя: коэффициент корреляции Кендалла, модельная функция распределения и хвостовой параметр. Для каждого из этих показателей вычислялась сумма квадратов отклонений модельного показателя от соответствующего выборочного показателя по всем парам индексов:

2 (*r- *rod))2

1<i<j<28

RSS,

_ 780

= 2 2[j)(*k), j-Fj(mod)(,z(j))\

1<i<j<28 k=1

rssi =2 (if-i(mod))2.

1<i<j<28

В формуле (10) выборочное значение хвостового параметра вычислялось следующим образом. Для t = 1,2,...,10 подсчитывалось число п( наблюдений (г^,г^), попавших в квадрат [0;2" *] Х[0;2" *]. Затем оценивалась парная регрессия этой величины от t. Для всех пар индексов константа в такой регрессии незначимо отличалась от нуля, поэтому коэффици-

ент наклона использовался в качестве выборочной оценки хвостового параметра соответствующего распределения. Модельные значения хвостового параметра вычислялись на основе оценки параметра копулы по следующим формулам: Хь = 2—(Клейтона, а> 0); Хь = 0 (Гамбела); Хь = 2 — 21 а (дуальная Гамбела); Хь = 0 (Франка), Хь = 0 (Гаусса);

Хь = 2 ^+1 (—(?7 + 1)(1 — р)/(1 + р)) (Стьюдента, где ^+1 (г) — функция распределения

Стьюдента с 77+ 1 степенями свободы). В таблице 4 приведены выборочные и модельные значения коэффициентов корреляции Кендалла для некоторых пар индексов.

Таблица 4. Сравнение выборочных и модельных коэффициентов корреляции Кендалла

Копулы Пары индексов

IPC, NIKKEI IGBM, MICEX CAC, DAX

Выборочное значение 0.064 0.401 0.798

Полупараметрический метод

Гамбела 0.070 0.360 0.776

Клейтона 0.079 0.317 0.705

Франка 0.064 0.403 0.791

Гаусса 0.100 0.255 0.562

Стьюдента 0.093 0.391 0.764

Параметрический метод

Гамбела 0.071 0.374 0.783

Клейтона 0.077 0.319 0.715

Франка 0.067 0.412 0.798

Гаусса 0.101 0.257 0.568

Стьюдента 0.093 0.400 0.771

I §

I

ai «ï

! с

0

о" ф

S

1

С «Ï

Для первой пары (с малым значением коэффициента корреляции Кендалла) все копулы дают завышенную оценку этого коэффициента. Однако по мере роста зависимости оценки становятся заниженными, за исключением копулы Франка.

Наиболее важным показателем точности построенной модели является сумма квадратов остатков для выборочной и модельной функций распределения (RSSP ). Значения этого показателя для некоторых пар индексов приведены в табл. 5.

Вычисление значений модельной функции распределения для копул Гаусса и Стьюдента представляет определенные трудности. В данной работе эти значения вычислялись на основе выборок, симулированных из соответствующих двумерных распределений. По критерию суммы квадратов остатков между выборочной и модельной функциями распределения точность оценок, как правило, снижается при усилении зависимости.

Краткая сводка результатов сравнения копулярных моделей по всем 378 парам индексов приведена в Таблице 6.

С точки зрения общей характеристики зависимости, выражающейся коэффициентом корреляции Кендалла, лучшей моделью, безусловно, является копула Франка при обоих методах оценивания. Аналогичный результат был получен и ранее ^оМееу et а1., 2012). Далее следуют копулы Стьюдента, Гамбела и дуальная Гамбела, затем — копулы Клейтона и Гаусса.

Таблица 5. Сумма квадратов остатков для выборочных и модельных функций распределения.

Копулы Пары индексов

IPC, NIKKEI ЮВМ, М1СЕХ CAC, DAX

Полупараметрический метод

Гамбела 0.029 0.113 0.033

Дуальная Гамбела 0.020 0.046 0.046

Клейтона 0.028 0.182 0.381

Франка 0.025 0.043 0.064

Гаусса 0.170 0.484 1.232

Стьюдента 0.095 0.113 0.293

Параметрический метод

Гамбела 0.147 0.174 0.129

Дуальная Гамбела 0.158 0.227 0.232

Клейтона 0.169 0.476 0.644

Франка 0.157 0.135 0.197

Гаусса 0.305 0.741 1.461

Стьюдента 0.229 0.165 0.181

Таблица 6. Сравнение копулярных моделей

Копулы RSSt RSSf RSSi

Полупараметрический метод

Франка 0.002 19.735 —

Клейтона 1.203 41.757 37.352

Гамбела 0.324 28.812 —

Гаусса 4.418 123.679 —

Дуальная Гамбела 0.324 14.090 33.352

Стьюдента 0.029 55.988 112.270

Параметрический метод

Франка 0.021 62.004 —

Клейтона 1.250 116.149 44.503

Гамбела 0.180 55.452 —

Гаусса 4.213 179.191 —

Дуальная Гамбела 0.180 69.176 37.314

Стьюдента 0.037 93.514 120.650

Наибольшее количество информации для сравнения моделей предоставляет критерий Колмогорова-Смирнова. По нему получается более сложная картина. При использовании полупараметрических оценок наилучший результат показывает дуальная копула Гамбела, немного отстает от нее копула Франка, остальные показывают худшие результаты, а замыкает список копула Гаусса. При использовании параметрических оценок лучший результат

дает копула Гамбела, незначительно отстают от нее копулы Франка и дуальная Гамбела. Ко- § пулы Стьюдента, Клейтона и Гаусса показывают значительно худшие результаты. §

ф

Первые два критерия качества копулярных моделей важны при решении задачи постро- а ения выборок из данных распределений, в первую очередь, для прогнозирования совместного изменения индексов. Учитывая сказанное выше, для прогнозирования рекомендуется ^ использовать копулу Франка и дуальную копулу Гамбела. &

С точки зрения управления рисками наибольший интерес представляет предсказание ¿й одновременного падения индексов или вычисление вероятности такого падения. Здесь особенно важен критерий, основанный на хвостовом параметре. Для трех копул из шести рассмотренных (Франка, Гаусса и Гамбела) верхний хвостовой параметр равен нулю, поэтому

Щ ф

¡2

в табл. 6 в соответствующих местах стоят прочерки. В соответствии с этим критерием наи- £ лучшей моделью является дуальная копула Гамбела, несколько хуже — копула Клейтона, Н а копула Стьюдента значительно уступает этим двум. Следует также отметить, что даже лучшие модели дают сильно заниженные оценки хвостового параметра, поэтому необходимы копулы с еще более тяжелыми хвостами.

Данные таблицы 5 также подтверждают очевидный вывод о том, что полупараметрические оценки оказываются точнее параметрических.

8. Заключение

В работе рассмотрены некоторые методологические аспекты построения парных копу-лярных моделей в приложении к анализу зависимости биржевых индексов, методы оценивания и выбор парных копулярных моделей. На реальных данных по 27 странам мира производилось сравнение параметрического и полупараметрического подходов, методов оценивания, а также выбора параметрической модели.

Несмотря на то что современные исследования указывают на определенные преимущества непараметрического или полупараметрического подходов, в ситуациях, требующих численного прогнозирования, исследователь часто бывает заинтересован в построении параметрических моделей. В данной работе для этого использовался эмпирический байесовский подход, представляющий альтернативу более традиционному и распространенному в финансовой литературе методу максимального правдоподобия. Для получения оценок параметров частных распределений использовался алгоритм Метрополиса со случайным блужданием. Результаты работы алгоритма позволили получить байесовские оценки, которые оказались более устойчивыми по сравнению с оценками максимального правдоподобия. Байесовский подход, основанный на алгоритме Метрополиса со случайным блужданием, также использовался для получения оценок параметров копул.

В качестве возможных критериев принятия решения о выборе конкретной копулярной модели были использованы коэффициент корреляции Кендалла, расстояние до эмпирической копулы (эмпирической функции совместного распределения) и значение хвостового параметра. Однако универсального решения здесь не существует, и выбор критерия должен определяться, прежде всего, конкретными задачами, который ставит перед собой исследователь.

Проблема выбора парных копул, наиболее соответствующих конкретным приложениям, на наш взгляд, является ключевой и в построении копулярных моделей высоких размерностей.

Список литературы

Благовещенский Ю. Н. (2012). Основные элементы теории копул. Прикладная эконометрика, 26 (2), 113-130.

Бронштейн Е. М., Прокудина Е. И., Герасимова А. С., Дубинская К. Г. (2011). Оценка взаимосвязей временных рядов курсов акций с помощью копула-функций. Прикладная эконометрика, 26 (2), 22-31.

Вербик М. (2008). Путеводитель по современной эконометрике. М.: Научная книга «Библиотека Солев».

Кандауров Д. В. (2014). Использование смешанных копула-функций для оценки степени и характера взаимосвязи российского фондового рынка с зарубежными фондовыми рынками развитых и развивающихся стран. Финансовая аналитика: проблемы и решения, 36 (222), 49-62.

Пеникас Г. И. (2010). Модели «копула» в приложении к задачам финансов. Журнал Новой экономической ассоциации, 7, 24-44.

Травкин А. И. (2015). Построение конструкций из парных копул на основе эмпирических копул хвостов на примере российского рынка акций. В кн.: XV Апрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. Книга 1. М.: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», 387-400.

Фантаццини Д. (2011). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. I. Прикладная эконометрика, 26 (2), 98-134.

Шемякин А. Е., Князев А. Г., Лепёхин О. А., Кангина Н. Н. (2015). Байесовские копулярные модели статистической зависимости национальных фондовых индексов. В кн.: XVАпрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. Книга 1. М.: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», 401-411.

Aas K., Czado C., Frigessi A., Bakken H. (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and Economics, 44 (2), 182-198.

Ane T., Ureche-Rangau L., Labidi-Makni C. (2008). Time-varying conditional dependence in Chinese stock markets. Applied Financial Economics, 18, 895-916.

Bekaert G., Hodrick R., Zhang X. (2009). International stock return co-movements. Journal of Finance, 64, 2591-2626.

Berg D. (2007). Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison. Statistical Research Report No. 5. Oslo: University of Oslo.

Brechmann E. C. (2014). Hierarchical Kendall copulas: Properties and inference. Canadian Journal of Statistics, 42 (1), 78-108.

Coeurdacier N., Guibaud S. (2011). International portfolio diversification is better than you think. Journal of International Money and Finance, 30 (2), 289-308.

Czado C., Brechmann E. C., Gruber L. (2013). Selection of Vine copulas. In: Copulae in Mathematical and Quantitative Finance, P. Jaworski, F. Durante and W. K. Hardle (Eds.), Springer-Verlag, BerlinHeidelberg.

Embrechts P., Hofert M. (2014). Statistics and quantitative risk management for banking and insurance.

Annual Review of Statistics and Its Application, 1, 492-514.

Evans T., McMillan D. G. (2009). Financial co-movement and correlation: Evidence from 33 international stock market indices. International Journal of Banking, Accounting and Finance, 1 (3), 215-241.

Fermanian J.-D. (2005). Goodness of fit tests for copulas. Journal of Multivariate Analysis, 95, 119-152.

Fermanian J.-D., Charpentier A., Scaillet O. (2006). The estimation of copulas: Theory and practice. In: t

Copulas, from theory to application in Finance, J. Rank (ed.). New York: Risk Books. |

§

Fermanian J.-D., Scaillet O. (2005). Some statistical pitfalls in copula modelling for financial applica- ^

tions. In: Capital Formation, Governance and Banking, E. Klein (ed.). New York: Nova Science Publ., uj

59-74. *

Fortin I., Kuzmics C. (2002). Tail-dependence in stock-return pairs. Economics Series 126, Institute for g

Advanced Studies. https://www.ihs.ac.at/publications/eco/es-126.pdf. §

Genest C., Ghoudi K., Rivest L.-P. (1995). A semiparametric estimation procedure of dependence parameters in multivariate families of distributions. Biometrika, 82 (3), 543-552. о

CO

Genest C., Rivest L.-P. (1993). Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas. Jour-  nal of the American Statistical Association, 88 (423), 1034-1043.

Gordeev V. A., Knyazev A. G., Shemyakin A. (2012). Selection of copula model for inter-market dependence. Model Assisted Statistics and Applications, 7 (4), 315-325.

Hansen B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic Review, 35 (3), 705-730.

Hofert M., Mâchler M., McNeil A. J. (2013). Archimedean copulas in high dimensions: Estimators and numerical challenges motivated by financial applications. Journal de la Société Française de Statistique, 154 (1), 25-63.

Hofert M., Scherer M. (2011). CDO pricing with nested Archimedean copulas. Quantitative Finance, 11 (5), 775-787.

Hu J. (2008). Dependence structures in Chinese and U.S. financial markets: A time-varying conditional copula approach. Departmental Working Papers 0808. Southern Methodist University, Department of Economics.

Joe H. (2005). Asymptotic efficiency of the two-stage estimation method for copula based models. Journal of Multivariate Analysis, 94, 401-419.

Jondeau Е., Rockinger M. (2006). The Copula-GARCH model of conditional dependencies: An international stock market application. Journal of International Money and Finance, 25, 827-853.

Justel A., Pena D., Zamar R. (1997). A multivariate Kolmogorov-Smirnov test of goodness of fit. Statistics and Probability Letters, 35, 251-259.

Kangina N., Knyazev A., Lepehin O., Shemyakin A. (2016). Modeling joint distribution of national stock indices. Model Assisted Statistics and Applications, 11 (1), 15-26.

Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007). Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas. Computational Statistics and Data Analysis, 51 (6), 2836-2850.

Kojadinovic I., Yan J. (2010). Comparison of three semiparametric methods for estimating dependence parameters in copula models. Insurance: Mathematics and Economics, 47, 52-63.

Mandelbrot B. (1963). The variation of certain speculative prices. Journal of Business, 36, 394-419.

Nelsen R. B. (2006). An introduction to copulas. New York: Springer.

Onishchenko V, Penikas H. (2015). Application of copula models for modeling one-dimensional time series. In: Financial Econometrics and Empirical Market Microstructure (eds. S. Ivliev, A. K. Bera, F. Lillo). NY: Springer, 225-239.

Patton A. J. (2001). Modelling time-varying exchange rate dependence using the conditional copula. Discussion Paper 2001-09. San Diego: University of California.

Puzanova N. (2011). A hierarchical Archimedean copula for portfolio credit risk modelling. Discussion Paper Series 2: Banking and Financial Studies 2011, 14, Deutsche Bundesbank, Research Centre.

Sharma A., Seth N. (2012). Literature review of stock market integration: A global perspective. Qualitative Research in Financial Markets, 4 (1), 84-122.

Silva R. S., Lopes H. F. (2008). Copula, marginal distributions and model selection: A Bayesian note. Statistical Computing, 18, 313-320.

Su E. D. (2013). Measuring and testing tail dependence and contagion risk between major stock markets. MPRA Paper 48 444. University Library of Munich, Germany.

You L., Daigler R. T. (2010). Is international diversification beneficial? Journal of Banking and Finance, 34 (1), 163-173.

Поступила в редакцию 20.07.2015; принята в печать 16.05.2016.

Приложение

Коэффициенты моделей ARMA

Индекс ARMA

«о w « b

AEX 2E-04 —0.0184 3E—04 0.0407 0.9401

ASX 2E-04 0.0195 1E—04 0.0485 0.9355

ATX 1E-04 0.0572 4E—04 0.0467 0.9410

BSE* 6E-04 0.0373 3E—04 0.0328 0.9649

BUSP 4E-04 —0.0574 3E—04 0.0682 0.8966

BUX 4E-04 —0.0353 4E—04 0.0542 0.9151

CAC -1E-04 0.0467 3E—04 0.0564 0.9178

DAX 2E-04 0.0571 3E—04 0.0596 0.9260

IGBM -2E-04 0.0702 3E—04 0.0763 0.8450

IPSA 7E-04 0.1605 1E—04 0.3088 0.3084

XU100 8E-04 0.0065 3E—04 0.1380 0.6828

IPC 6E-04 0.0622 2E—04 0.0373 0.9564

JKSE 0.0013 0.0072 2E—04 0.0678 0.8796

HIS 3E-04 0.0106 3E—04 0.0439 0.9490

KLSE 7E-04 0.1157 1E—04 0.0549 0.9273

MERVAL 1E-03 —0.0056 4E—04 0.0525 0.9065

MICEX 1E-03 —0.0181 6E—04 0.0339 0.9626

NIKKEI* -1E-04 —0.0395 2E—04 0.2024 0.2933

PX50 0 —0.3741 1E—03 0.3668 0.1423

RTSI* 0.001 —0.4029 7E—04 0.2998 0.1875

SPX 4E-04 —0.1023 2E—04 0.0679 0.9142

SSEC 2E-04 —0.0026 2E—04 0.0594 0.9030

SSMI 0 0.0789 1E—04 0.1371 0.7958

STI 5E-04 0.0492 2E—04 0.0483 0.9451

TSE 3E-04 —0.0134 2E—04 0.0398 0.9564

FTSU100 3E-04 0.0258 2E—04 0.0704 0.9017

JSE 5E-04 0.0434 2E—04 0.0506 0.9419

PFTS* 7E-04 -0.1443 5E—04 0.1951 0.6512

Примечание. В рядах остатков индексов, помеченных *, были устранены выбросы для получения устойчивых оценок модели GARCH(1,1).

Knyazev A., Lepekhin O., Shemyakin A. Joint distribution of stock indices: Methodological aspects 1 of construction and selection of copula models. Applied Econometrics, 2016, v. 42, pp. 30-53. g

_ 3

ui

Astrakhan State University, Astrakhan, Russian Federation; s

C

Alexander Knyazev

Astrakhan State Uni agkniazev@mail.ru

Oleg Lepekhin q

Astrakhan State University, Astrakhan, Russian Federation; £

okmb07@yandex.ru |

Arkady Shemyakin

University of St. Thomas, St. Paul, USA; a9shemyakin@stthomas.edu

Joint distribution of stock indices:

Methodological aspects of construction and selection of copula models

The paper discusses the practical aspects of modeling joint distribution of pairs of national stock indices via copula functions. Parameters of marginal distributions and the association parameter describing the dependence structure are estimated using empirical Bayes method numerically implemented with the help of random walk Metropolis algorithm. A comparison of parametric and semiparametric approaches to copula model construction is performed. The problem of selection of a class of pair copula functions approximating such empirical characteristics of stock indices dependence as Kendall's concordance, joint empirical cumulative distribution function, and tail behavior. Keywords: copula; stock indices; empirical Bayes; semiparametric approach; Metropolis algorithm. JEL classification: C11; C15; C58; G15.

References

Blagoveschensky Yu. (2012). Basics of copula's theory. Applied Econometrics, 26 (2), 113-130 (in Russian).

Bronshtein E., Prokudina E., Gerasimova A., Dubinskaya K. (2011). Estimation of the interdependence of time series of stocks prices based on copula. Applied Econometrics, 22 (2), 22-31 (in Russian).

Verbeek M. (2008). A guide to modern econometrics. Moscow: Nauchnaya kniga «Biblioteka Solev» (in Russian).

Kandaurov D. V (2014). Ispol'zovanie smeshannyh kopula-funkcij dlja ocenki stepeni i haraktera vzai-mosvjazi rossijskogo fondovogo rynka s zarubezhnymi fondovymi rynkami razvityh i razvivajushhihsja stran. Finansovaja analitika: problemy i reshenija, 36 (222), 49-62 (in Russian).

Penikas H. (2010). Financial applications of copula-models. Journal of the New Economic Association, 7, 24-44 (in Russian).

Travkin A. I. (2015). Postroenie konstrukcij iz parnyh kopul na osnove jempiricheskih kopul hvostov na primere rossijskogo rynka akcij. In: XV April International Academic Conference on Economic and Social Development. Vol 1. National Research University Higher School of Economics, 387-400 (in Russian).

Fantazzini D. (2011). Analysis of multidimensional probability distributions with copula functions. Applied Econometrics, 22 (2), 98-134 (in Russian).

Shemyakin A. E., Knyazev A. G., Lepekhin O. A., Kangina N. N. (2015). Bajesovskie kopuljar-nye modeli statisticheskoj zavisimosti nacional'nyh fondovyh indeksov. In: XV April International Academic Conference on Economic and Social Development. Vol 1. National Research University Higher School of Economics, 401-411 (in Russian).

Aas K., Czado C., Frigessi A., Bakken H. (2009). Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and Economics, 44 (2), 182-198.

Ane T., Ureche-Rangau L., Labidi-Makni C. (2008). Time-varying conditional dependence in Chinese stock markets. Applied Financial Economics, 18, 895-916.

Bekaert G., Hodrick R., Zhang X. (2009). International stock return co-movements. Journal of Finance, 64, 2591-2626.

Berg D. (2007). Copula goodness-of-fit testing: An overview and power comparison. Statistical Research Report No. 5. Oslo: University of Oslo.

Brechmann E. C. (2014). Hierarchical Kendall copulas: Properties and inference. Canadian Journal of Statistics, 42 (1), 78-108.

Coeurdacier N., Guibaud S. (2011). International portfolio diversification is better than you think. Journal of International Money and Finance, 30 (2), 289-308.

Czado C., Brechmann E. C., Gruber L. (2013). Selection of Vine copulas. In: Copulae in Mathematical and Quantitative Finance, P. Jaworski, F. Durante and W. K. Hardle (Eds.), Springer-Verlag, BerlinHeidelberg.

Embrechts P., Hofert M. (2014). Statistics and quantitative risk management for banking and insurance. Annual Review of Statistics and Its Application, 1, 492-514.

Evans T., McMillan D. G. (2009). Financial co-movement and correlation: Evidence from 33 international stock market indices. International Journal of Banking, Accounting and Finance, 1 (3), 215-241.

Fermanian J.-D. (2005). Goodness of fit tests for copulas. Journal of Multivariate Analysis, 95, 119-152.

Fermanian J.-D., Charpentier A., Scaillet O. (2006). The estimation of copulas: Theory and practice. In: Copulas, from theory to application in Finance, J. Rank (ed.). New York: Risk Books.

Fermanian J.-D., Scaillet O. (2005). Some statistical pitfalls in copula modelling for financial applications. In: Capital Formation, Governance and Banking, E. Klein (ed.). New York: Nova Science Publ., 59-74.

Fortin I., Kuzmics C. (2002). Tail-dependence in stock-return pairs. Economics Series 126, Institute for Advanced Studies. https://www.ihs.ac.at/publications/eco/es-126.pdf.

Genest C., Ghoudi K., Rivest L.-P. (1995). A semiparametric estimation procedure of dependence parameters in multivariate families of distributions. Biometrika, 82 (3), 543-552.

Genest C., Rivest L.-P. (1993). Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas. Journal of the American Statistical Association, 88 (423), 1034-1043.

Gordeev V A., Knyazev A. G., Shemyakin A. (2012). Selection of copula model for inter-market dependence. Model Assisted Statistics and Applications, 7 (4), 315-325.

Hansen B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic Review, 35 (3), 705-730.

Hofert M., Machler M., McNeil A. J. (2013). Archimedean copulas in high dimensions: Estimators and numerical challenges motivated by financial applications. Journal de la Société Française de Statistique, 154 (1), 25-63.

Hofert M., Scherer M. (2011). CDO pricing with nested Archimedean copulas. Quantitative Finance, s

11 (5), 775-787. |

§

Hu J. (2008). Dependence structures in Chinese and U.S. financial markets: A time-varying conditional ^

copula approach. Departmental Working Papers 0808. Southern Methodist University, Department of Eco- uj nomics.

Joe H. (2005). Asymptotic efficiency of the two-stage estimation method for copula based models. Jour- |

nal of Multivariate Analysis, 94, 401-419. ^

Jondeau Е., Rockinger M. (2006). The Copula-GARCH model of conditional dependencies: An international stock market application. Journal of International Money and Finance, 25, 827-853. °

CO

Justel A., Pena D., Zamar R. (1997). A multivariate Kolmogorov-Smirnov test of goodness of fit. Sta- g tistics and Probability Letters, 35, 251-259.

Kangina N., Knyazev A., Lepehin O., Shemyakin A. (2016). Modeling joint distribution of national stock ^ indices. Model Assisted Statistics and Applications, 11 (1), 15-26.

Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007). Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas. Computational Statistics and Data Analysis, 51 (6), 2836-2850.

Kojadinovic I., Yan J. (2010). Comparison of three semiparametric methods for estimating dependence parameters in copula models. Insurance: Mathematics and Economics, 47, 52-63.

Mandelbrot B. (1963). The variation of certain speculative prices. Journal of Business, 36, 394-419.

Nelsen R. B. (2006). An introduction to copulas. New York: Springer.

Onishchenko V., Penikas H. (2015). Application of copula models for modeling one-dimensional time series. In: Financial Econometrics and Empirical Market Microstructure (eds. S. Ivliev, A. K. Bera, F. Lil-lo). NY: Springer, 225-239.

Patton A. J. (2001). Modelling time-varying exchange rate dependence using the conditional copula. Discussion Paper 2001-09. San Diego: University of California.

Puzanova N. (2011). A hierarchical Archimedean copula for portfolio credit risk modelling. Discussion Paper Series 2: Banking and Financial Studies 2011, 14, Deutsche Bundesbank, Research Centre.

Sharma A., Seth N. (2012). Literature review of stock market integration: A global perspective. Qualitative Research in Financial Markets, 4 (1), 84-122.

Silva R. S., Lopes H. F. (2008). Copula, marginal distributions and model selection: A Bayesian note. Statistical Computing, 18, 313-320.

Su E. D. (2013). Measuring and testing tail dependence and contagion risk between major stock markets. MPRA Paper 48 444. University Library of Munich, Germany.

You L., Daigler R. T. (2010). Is international diversification beneficial? Journal of Banking and Finance, 34 (1), 163-173.

Received 20.07.2015; accepted 16.05.2016.