Влияние сжимаемости газа на характеристики течения в окрестности точки отрыва ламинарного пограничного слоя

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 3

УДК 532.526.5

ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ ГАЗА НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ОТРЫВА ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Г. Л. Королев

Исследуется влияние сжимаемости газа на характеристики течения в окрестности точки отрыва ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности. Показано, что если число М, определенное по параметрам потока перед точкой отрыва, меньше, чем Мд < 1 —

0(Не“1,5)( то задача о самоиндудированном отрыве для этой области после некоторого аффинного преобразования сводится к известной задаче теории отрыва, разработанной В. В. Сычевым [1] для несжимаемой жидкости. Устанавливается численное значение асимптотического параметра подобия задачи, которому должны удовлетворять характеристики течения в точке отрыва.

Проблема отрыва потока от твердой поверхности является одной из фундаментальных проблем механики жидкости и газа. Первое рациональное объяснение возникновения отрыва потока было дано Л. Прандтлем в его классической работе [2].

Со времени появления этой основополагающей работы стало ясно, что каким бы большим ни было значение числа Ке, ответственным за появление отрыва является тонкий пограничный слой у поверхности тела. Однако было обнаружено, что если градиент давления в соответствии с теорией Прандтля полагать заранее заданным, то в общем случае решение не может быть продолжено через точку отрыва [3—5].

В реальных течениях вблизи точки отрыва всегда имеет место взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком, так что градиент давления является здесь самоиндуцированным, т. е. не может рассматриваться как заданный.

Решения такого типа, соответствующие отрыву пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, были получены в работах [6, 7] с помощью асимптотического анализа решений уравнений Навье— Стокса при больших числах Ие.

Численное решение поставленной задачи для области свободного взаимодействия получено в работе [8]. В работах [9, 10] был рассмотрен режим течения со слабым взаимодействием гиперзву-кового потока с пограничным слоем.

В работе [1| разработана теория ламинарного отрыва несжимаемой жиакости от гладкой поверхности твердого тела. Механизм отрыва потока оказывается при этом во многом похожим на отрыв сверхзвукового потока и происходит под действием больших локальных градиентов давления. Предельное состояние поля в окрестности точки отрыва при Ие -» оо стремится к известному решению задачи обтекания тела по схеме Гельмгольца с образованием свободных линий тока в пределах, удовлетворяющих условию Брюллиена — Билля [11].

Настоящая работа посвящена исследованию теории отрыва, когда число М в окрестности точки отрыва меньше единицы, но трансзвуковой режим течения не реализовывается.

Что касается течений при трансзвуковых скоростях, то теория ламинарного отрыва от гладкой поверхности создана лишь для таких режимов, когда во внешнем невязком потоке в окрестности точки отрыва всюду число М больше единицы [12]. Картина течения при этом во многом аналогична сверхзвуковому случаю.

Постановка задачи. Рассмотрим течение в окрестности точки О (см. рисунок) отрыва потока. Пусть и0, ри, р0) ц0 обозначают предельные величины (Ие -> оо) скорости, давления, плотности, вязкости на свободной линии тока. Введем декартову систему координат (1х, 1у), связанную с поверхностью тела. Компоненты вектора скорости в этой системе координат обозначим через (и0и, «о-у), а приращение давления по сравнению с его значением на свободной линии тока — через р0и1р. Считаем значения платности и вязкости отнесенными к их значениям на свободной линии тока.

Для анализа течения при Ие =

ид I Рп И-0

оо воспользуемся методом

сращиваемых асимптотических разложении, примененным к уравнениям Навье—Стокса.

Рассмотрим область течения в окрестности точки отрыва. Пусть 8 — характерный продольный размер этой области. Будем предполагать, что уравнение нулевой линии тока здесь имеет следующий вид:

у=а(з, £)/(*,), £=Ие-

1/2

1 — Ми, X = ОЛ^.

Тогда асимптотическое представление решения в этой области при е->0, 3(е)-)-0 будем искать в виде:

I  • • , У = 5£~1/2 Уй

V = аг>! + . . . ; р = оф-1/2/?! + . . . ; р = 1 -г ар—1/2 р! . . . .

Подставляя (1) в уравнения Навье—Стокса, в предположении, что 3>е, р^>а2/3, получим следующую систему уравнений для поля скоростей:

-^ + 1-=0;

Кроме того, имеет место условие непротекания на поверхности тела и условие постоянства давления вдоль нулевой линии тока

«!(.*!, 0) = 0, х1 < 0; рЛхи 0) = 0, ^>0.

Решение задачи (2—3) известно, в частности,

Р\ {Хи 0) = (— X,)'/* + . . . , х1 — 0.

Форма нулевой линии тока при этом имеет следующий вид:

У1 = хг/2 +

Далее, повторяя ход рассуждений работы [1], определим поря док а.

Для того, чтобы малый перепад давления Ар ~ а^-1/2

мог вызвать отрыв потока, необходимо, чтобы градиент давления Ар/Ах был по порядку величины много больше единицы. А это

означает, что основная часть пограничного слоя толщиной О (г), где и~1, является локально невязкой. Изменение скорости Дм здесь порядка Др. Тогда изменение толщины вытеснения ДМ

ДУУ~ еДм ~ 8 Д/7.

Однако вблизи стенки найдется область, где «—Дм~Д/?1/2. Для удовлетворения условия прилипания эта пристеночная область (подслой) должна быть вязкой, т. е.

Аи Ар „и /г\

и----- --------г3 ----.

Ах Ах А

Из условий сращивания скорости в области взаимодействия со скоростью в исходном пограничном слое, лежащем перед рассматриваемой окрестностью точки отрыва, получим

и — е—1Ду.

Так как Ди~м, то изменение толщины вытеснения вязкого подслоя есть величина порядка

Д п — Ду — еД р1/2-

Из соотношений (4) и (7) видно, что влияние всего погранич-

ного слоя на внешний поток определяется в главном приближении вязким подслоем. При этом для возмущения давления имеет место соотношение

= Р"1/2- *

Собирая полученные оценки вместе, получим

Ду г—/ £^/4 1/8.

Так как продольный размер области, в которой вязкость влияет в первом приближении на распределение давления, определяется величиной е3/48-3/8, то условие справедливости выше приведенных оценок (Р > а2/3) можно записать в следующем виде:

8 =2<'5

Р // - •

Область свободного взаимодействия. Рассмотрим область, лежащую в окрестности точки отрыва, с характерным продольным размером х — г.з/4р—з.з^ в которой, как показано выше, определяющую роль играет тонкий вязкий подслой с характерным поперечным размером у ~г5/4 р_1/8. В этом вязком подслое, как следует из (8;, асимптотическое разложение функций имеет следующий вид:

еЗ/4 0—3/8

У = s5/4 S-! 8уа.

и = SЧ* р-1/8 и3+ . . . ;

3/4 Р1'8 V3 + . . . ;

1/2 Я—1/4 :

V

Р — Рз +

*Р 3

Iі =

+

Подстановка в уравнения Навье — Стокса дает следующую систему уравнений:

Рз И

диз , диз

-----— + ^3-----------1

дха ду3

дРз , ! d 1 (с ди3 \ _ дРз

дх3 дуз ^ ^ Рз дУз ) ' дуз

= 0;

дрз ч3

дХо

+

дрз^з

0;

дУа Рз = const,

где С — константа Чепмена.

Сращивание с течением перед областью свободного взаимодействия дает начальные граничные условия

«з = а0Уз+ • Рз

при л:

ос;

здесь а0, рц, — значения коэффициента трения и плотности на стенке перед областью свободного взаимодействия.

Распределение давления заранее неизвестно и должно определяться из условий сращивания решения в вязком подслое с решением для невязкой области. Как известно [1, 8, 15], основная часть пограничного слоя (_у~$) играет пассивную роль, давление и наклон линий тока поперек этого слоя в главном приближении передаются без изменения.

Поэтому распределение давления вдоль вязкого подслоя определяется из уравнений для верхнего невязкого слоя. В этом слое решение представляется в виде следующих асимптотических разложений:

X = г3'4 р~3''8 х3, у — г3,4 ' 8 '

и = 1 + г,/2Р_1/4И2 +

‘у,;

В результате подстановки этих разложений в уравнения Навье — Стокса получим

дх3 ' ду2 ду2 дх3

Внешние краевые условия могут быть найдены в результате сращивания разложений (11) с решениями для внешней области (х^>1, у— р-1-'2) и решением для вязкого подслоя:

- и, + IV2 ~> ш г42 2 = *3 + гу2;

щ(х3, 0) = Пт

Уз-*00 из

Поэтому зависимость давления от наклона линий тока при у2 = 0 представляется известным интегралом теории тонкого профиля:

ОО

Р%{Х„ 0) = я*(л:зу1*Н(—х,)----- ]

(<, 0)-а¥/2Я(0

сН:

Рь (*а) = р2 (х3, 0), где Н(ха) — функция Хевисайда.

Течение за областью взаимодействия. Для замыкания системы соотношений (10), (13) необходимо рассмотреть область возвратного течения за точкой отрыва. Относительно этого течения сделаем два следующих предположения. Первое — профиль возвратного течения в окрестности точки отрыва определяется подсасывающим действием слоя смешения, разделяющего оторвавшийся пограничный слой и область возвратного течения. И второе — температура возвратного течения в главном приближении около точки отрыва равна температуре на стенке в пограничном слое перед точкой отрыва. С учетом' этих предложений получим следующие уравнения и порядки величин в области возвратного течения.

Из решения для слоя смешения в отсутствии градиента давления известно [1], что количество жидкости, поглощаемое им, определяется величиной

ЦТ, = — 0,9569 го^,/3 Сщ аЬ/3х23 * -> + 0.

Толщина зоны отрыва при л -* + 0 есть величина

Уз = ~ а* £1/8 рбд.з/2 а* = аг-1 8

3

и, следовательно, массовый расход возвратного течения

~ иьуя рг = -|- ял3 2 ?г и„.

Приравнивая этот расход расходу, уносимому подслоем смешения находим, что величина скорости возвратного течения

аь ~ £7/8 х~Ъ!Ъ + . . . при х -* + 0.

Отсюда следует, что давление в зоне отрыва при л -> + 0 можно представить в виде

ри? ~ г7'14 |3~7'8 х~'5/3.

Таким образом, решение в зоне возвратного течения имеет

вид

Подстановка (14) в уравнения Навье —Стокса показывает, что течение в срывной зоне является невязким и описывается уравнением Пуассона

Будем предполагать, что в этой зоне нет механизма (например, вдува в данную область), ускоряющего поток вдоль стенки, так что завихренность остается ограниченной “(ФО ~ 0(1) при '||4 -* 0. Тогда решение, удовлетворяющее условию сращивания со слоем смешения и условию непротекания через поверхность тела при л -» + 0, имеет следующий вид:

Это решение не удовлетворяет условию прилипания на поверхности тела. Использование обычной процедуры вывода уравнений пограничного слоя показывает, что при *+ 0 значение продольной составляющей вектора скорости может быть представлено в виде

Непосредственной проверкой можно убедиться в возможности сращивания решения (16) и (17) с решением для области свободного взаимодействия.

Закон подобия. Приведенный анализ показывает, что влияние сжимаемости в рассмотренном диапазоне изменения чисел М 1—Мо>е217 приводит главным образом к сжатию или растяжению характерных размеров в окрестности точки отрыва. Сделаем следующее преобразование:

Тогда в результате такой замены переменных задача о свободном взаимодействии может быть представлена в следующем виде:

и

г"' + — г" г + — (г/2 — 1) = 0; 12 6

г (0) = г' (0) — 0, г' (оо) = — 1,

здесь X = я* а~9/8 С-5'8 р^8, а последнее краевое условие представлено в виде композитного решения для зоны возвратного течения и слоя смешения.

Постановка этой задачи после преобразования оказывается полностью эквивалентной постановке задачи об отрыве пограничного слоя несжимаемой жидкости от гладкой поверхности [1]. Чисг ленный анализ решения системы уравнений (18), проведенный в работе [13] и более точно в работе [14], показывает, что решение задачи (18) существует и является единственным. В частности, для искомой постоянной а получено следующее значение:

аз-1/8 р—7/16 а-9/8С—5/8 рЗ/8 g-1/2 _ Q.42.

Таким образом, решение задачи о свободном взаимодействии жидкости является универсальным, а все течения сжимаемого газа в окрестности точки отрыва на гладкой поверхности оказываются подобными друг другу.

ЛИТЕРАТУРА

1. С ы ч е в В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1972, № 3.

2. Prandtl L. Ober Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Rei-bung. Verhandlung d. Ill Int. Math. Kong. Heidelberg, 1904.

3. Л а н д a у Jl. Д., Лифшиц E. М. Механика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1944.

4. Goldstein S. On laminar boundary layer flow near a position of separation. .Quart. J. Mech. Appl. Math"., vol. 1, part. 1, 1948.

5. Stewartson K. Is the singularity at separation removable?

„J. Fluid Mech.*, vol. 44, part 2, 1970.

6. Ней лай д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР". 1969, № 4.

7. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation.

Proc. Roy. Soc. Lond. A, vol. 312, N 1509, 1969.

8. Williams P. G., A reverse flow computation in the theory of self — induced separation. Proc. 4-th Int. Conf. Num. Meth. in Fluid Dyn., Lecture Notes in Physics, vol. 35. 1975.

9. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 4.

10. Mikhailow V. V., Neiland V. Ya, Sic hew V. V.

The theory of viscous hypersonic flow. „Annual review of Fluid Mech.“, vol. 3. 1971.

11. Brillovin M. Les surfaces de glissement de Helmholtz et la ressistance des fluides. Annals de chemie et physique, 23, 1911.

12. Bodonyi R. J., Kluwic A 1 f r e d. Freely interacting transonic boundary layers. „The Physic of Fluids*, vol. 20, N 9, 1977.

13. Smith F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface Proc. Roy. Soc. London A., vol. 356,

N 1687, 1977.

14. Королев Г. Л. Численное решение асимптотической задачи об отрыве от гладкой поверхности. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 2, 1980.

Рукопись поступила 81X11 1981 г.