Численное исследование краевых задач нелинейной фильтрации

Вниманию читателей!

В № 3-4 (с.119-126) за 2012 год в статье Шешукова Е.Г., Курцевой К.П. «Численное исследование краевых задач нелинейной фильтрации» были пропущены рисунки. Редакция приносит извинения авторам.

Повторяем публикацию статьи.

УДК 517.988

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Е.Г. ШЕШУКОВ*, К.П. КУРЦЕВА**

Казанский государственный энергетический университет Казанский федеральный университет

Рассмотрено решение задач безнапорной нелинейной фильтрации в трапецеидальной и прямоугольной грунтовой плотине при наличии горизонтальных слоев с различными коэффициентами: фильтрации, зоны неполного насыщения, вертикального противофильтрационного ядра, горизонтальной дрены. Дано обобщение на трехмерный случай. Предложенный сеточный метод расчета можно использовать для проведения многофакторных исследований экологических аспектов влагопереноса в реальных пористых средах.

Ключевые слова: нелинейная фильтрация, ненасыщенный грунт, влагоперенос, сеточный метод.

Введение

Интенсивное использование природных водных ресурсов, предотвращение вредного воздействия воды на окружающую среду определяют широкое строительство гидротехнических сооружений. С их помощью осуществляются те или иные водохозяйственные мероприятия, создаются водохранилища, регулируются расходы и уровни воды, осуществляется пропуск льда и наносов и т.д.

Гидротехнические сооружения бывают различного назначения и строятся в разнообразных природных условиях, в частности, выполненные из грунтовых материалов водоподпорные сооружения (плотины, дамбы) перегораживают водоток и воспринимают напор воды.

Грунтовые плотины получили широкое распространение. Для обоснования рациональных и экономичных форм и размеров плотины, ее противофильтрационных и дренажных устройств необходимо проводить соответствующие фильтрационные расчеты, которые позволяют определять потери воды через тело плотины, положение поверхности депрессии, области полного и неполного насыщения, участки высачивания и градиенты напора.

2

Пусть плотина занимает область Ое Я ; граница дО состоит из частей , где соответствует непроницаемому основанию; , 83 — частям плотины в контакте с жидкостью и атмосферой, Од — неизвестная область фильтрации, часть границы которой 5д - свободная граница (депрессионная кривая), разделяющая сухую и влажную части плотины.

© Е.Г. Шешуков, К.П. Курцева Проблемы энергетики, 2012, № 9-10

Фильтрация подчиняется нелинейному закону

V (х) = -к ( х,|Ук|}Ук(х),

где к(х) - напор жидкости; V(х) - скорость фильтрации; к (х, |Ук|) - заданная

функция, характеризующая нелинейную связь; вид этой функции зависит от закона фильтрации.

В области фильтрации Од выполняется уравнение неразрывности:

(х) = 0, х е Од. 1. Трапецеидальная перемычка

Пусть О = ЛБСО — трапецеидальная перемычка (рис. 1) с горизонтальным непроницаемым основанием. Геометрические размеры перемычки следующие: \ЛБ\ = 3, |БМ| = 1, \БС\ = 1, |ЛМ| = |лю| = 1. Напор в верхнем бьефе Н1 = 1, в

нижнем — Н2 = 0,2 . Считаем атмосферное давление Р = к - х2 равным нулю. Условия на депрессионной кривой 5д :

к = х2, х е ; V п = 0, х е 5д,

Рис. 1. Трапецеидальная перемычка

Задача состоит в отыскании неизвестной области фильтрации Од и поля напоров к(х), х еОд .

Поставленная нелинейная задача решается методом фиксированной области [1].

Суть метода: исходная нелинейная краевая задача со свободной границей сводится к вариационному неравенству в фиксированной области с нелинейным оператором.

Рассматриваемая задача аппроксимируется конечно-разностной схемой на фиксированной сетке. Нелинейное сеточное уравнение в рассматриваемой области решается методом расширенного лагранжиана (совокупность метода штрафа и метода множителей Лагранжа).

Использование лагранжиана позволяет одновременно находить как сеточные приближения к напорам, так и к скоростям фильтрации. Кроме того, определяется сеточная аппроксимация характеристической функции области © Проблемы энергетики, 2012, № 9-10

фильтрации, по значениям которой строится депрессионная кривая. Седловая точка конечно-разностного расширенного лагранжиана отыскивается с помощью итерационного метода типа Удзавы [2]. Реализация каждого шага этого метода состоит в решении линейной сеточной схемы в фиксированной области и совокупности несвязанных между собой нелинейных скалярных уравнений. Последовательность линейных краевых задач решается методом верхней релаксации. Совокупность нелинейных скалярных уравнений решается методом Ньютона.

По результатам числовых расчетов на рис. 1 изображены депрессионные кривые. Сплошные линии соответствуют кривой депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации:

V = -кУН,

где к — коэффициент фильтрации (расчеты проводились при к=1).

Штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая квадратичному закону:

, , V2

Vк\ = — ,

к2

пунктиром - депрессионная кривая, соответствующая двучленному закону:

I I - -2

V* = - + -9".

к к2

Из рисунка видно, что депрессионные кривые фильтрационного потока с нелинейным законом расположены выше свободной границы потока с линейным законом. Общий фильтрационный расход определялся как среднее арифметическое значение для расходов, найденных по формуле

х2в

а= Г к(х,йх2, J д Х1

0

для каждого вертикального сечения, проходящего через кривую депрессии ( Х23 - ордината точки кривой депрессии в рассматриваемом сечении). Для закона Дарси Ql= 0,2296, координаты участка высачивания (2,636; 0,364), для квадратичного закона фильтрации расход Q2= 0,4194, координаты (2,48; 0,52), для двучленного закона фильтрации расход Q 3= 0,1838, координаты (2,555; 0,445).

Методом фиксированной области также проводилось решение задач при наличии различных неоднородностей в плотине.

2. Прямоугольная перемычка с горизонтальными слоями

Рассматривается прямоугольная перемычка О = ЛБСО , ширина перемычки Ь = 1. Напор в верхнем бьефе Н1 = 1, в нижнем — Н2 = 0,2 . Тело плотины состоит из двух горизонтальных слоев с различной проницаемостью (рис.2), толщина нижнего слоя 0,45, верхнего — 0,55 , коэффициент фильтрации нижнего слоя кн = 0,1, верхнего слоя — кв = 1.

Решение данной фильтрационной задачи для различных законов фильтрации отображено на рис. 2. Сплошные линии соответствуют кривой

депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации (1), штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая квадратичному закону (2), пунктиром — депрессионная кривая, соответствующая двучленному закону (3).

Из рисунка видно, что на границе раздела пластов МЫ линии тока и линии равных напоров претерпевают излом. В случае слоистой пористой среды помимо граничных условий на границе области фильтрации существуют условия на линии раздела ее слоев, которые выражают непрерывность потока и напора при ее переходе. Из этих условий вытекает, что при переходе границы раздела составляющая скорости фильтрации по нормали к границе изменяется непрерывно, а составляющая скорости фильтрации по касательной имеет скачок. В результате чего линии равных напоров и линии тока имеют изломы.

Основной поток жидкости проходит в пласте с большей проницаемостью. Фильтрация здесь преимущественно горизонтальная. Депрессионные кривые в этом случае расположены выше, чем в задаче с однородным грунтом. Фильтрационный расход через перемычку для линейного закона (1) ( = 0,166,

ордината точки высачивания Х2С = 0,560 , для закона (2) — ( = 0,524, Х2С' = 0,637

, для (3) - ( = 0,122, х2С = 0,587.

На линии раздела пластов депрессионная кривая имеет излом. Одним из важнейших условий, предъявляемых к плотинам, является уменьшение фильтрационных расходов через плотину, поэтому второй случай с квадратичным законом фильтрации для практики неприемлем.

3. Прямоугольная перемычка с зоной неполного насыщения

Особый интерес представляет случай, когда в теле плотины находится горизонтальный слабопроницаемый пропласток. Метод фиксированной области позволяет "уловить" ненасыщенную зону, в отличие от классических моделей фильтрации с депрессионными кривыми, которые не учитывают наличие ненасыщенных зон и дают неверные результаты, по крайней мере, в окрестности расположения этих зон.

Рассматривается случай, когда в теле грунтовой плотины находится горизонтальный слабопроницаемый пропласток МЫМ1Ы1 шириной 0,2 с

коэффициентом фильтрации k = 0,1. Толщина нижнего слоя равна 0,375. Коэффициент фильтрации основного грунта к = 1.

Решение данной фильтрационной задачи для различных законов фильтрации отображено на рис. 3. Сплошные линии соответствуют кривой депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации (1), штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая закону (2), пунктиром - депрессионная кривая, соответствующая закону (3). Из рисунка видно наличие ненасыщенной зоны в окрестности точки N1.

4. Прямоугольная перемычка с протнвофнльтрацнонным ядром

В сильнопропроницаемых грунтовых плотинах применяют противофильтрационные устройства. Одним из наиболее распространенных типов грунтовых плотин являются плотины, состоящие из противофильтрационного элемента (ядра) и прилегающих к нему с двух сторон переходных зон, выполненных из более проницаемого грунта, чем материал противофильтрационного элемента.

Рассматривается задача фильтрации в прямоугольной перемычке, имеющей противофильтрационное ядро (рис. 4). Границы ядра отмечены на рисунке отрезками MM и NN. Ширина ядра = 0,15, коэффициент

фильтрации основного материала плотины — ^ = 1, ядра — k2 = 0,2.

На основании числовых расчетов на рис. 4 построены кривая депрессии, линии равных напоров, линии равных расходов для линейного закона (1) (сплошные линии). Из рисунка видно, что основной перепад напоров приходится на противофильтрационное ядро. Фильтрационный расход через перемычку Q = 0,282, ордината точки высачивания X2C'= 0,272. Заметим, что в случае однородного грунта Q = 0,480, X2C ' = 0,348 , то есть участок высачивания при наличии противофильтрационного ядра существенно меньше.

Гидродинамическая сетка, соответствующая нелинейным законам фильтрации, незначительно отличается от приведенной на рис. 4 для закона Дарси. Штрихом на рисунке отмечена депрессионная кривая соответствующая закону (2), пунктиром — закону (3). Для закона (2) фильтрационный расход

Q = 0,269, ордината точки высачивания х2с = 0,260, для (3) - Q = 0,168, X2C' = 0,266.

Можно заметить, что взаиморасположение депрессионных кривых в зоне III оказывается противоположным по сравнению с зонами I, II. Здесь это связано с тем, что, как нетрудно подсчитать, при выбранных выражениях для законов фильтрации (1) — (3) соотношение усредненных фактических значений нелинейного коэффициента фильтрации в зоне II и в зонах I, III оказывается большим для нелинейных законов, чем для линейного (соответственно для квадратичного закона больше, чем для двучленного). Таким образом, потери напора в зонах I и III относительно зоны II при нелинейных законах окажутся меньшими, чем при линейном, то есть депрессионные кривые, соответствующие нелинейным законам, будут лежать в зонах I, II выше, а в зоне III — ниже, чем кривая депрессии для линейного закона фильтрации.

5. Прямоугольная перемычка с горизонтальной дреной

Для того, чтобы фильтрационный поток не выходил за наружный откос дамбы в нижнем бьефе, т.е. отсутствовал участок высачивания, в дамбе устанавливается дренаж.

Рассматривается фильтрация жидкости через плотину с горизонтальной дренажной щелью в непроницаемом основании (рис. 5). Грунт плотины — однородный. Требуется определить положение кривой депрессии, фильтрационный расход через плотину и ширину дренажной щели.

Область фильтрации ограничена прямолинейными участками: верховым откосом |АВ| = 1, водоупором \AE\ = 0,7, дренажной щелью EC, и криволинейной

линией депрессии ВС . Напор H = 1.

На границе области фильтрации выполняются следующие краевые условия:

В

Wh Ni

С

D *i

А М N D

Рис. 4. Прямоугольная перемычка с противофильтрационным ядром

h = Х2, Vn = 0, хе ВС;

h = H, х е AB; Vn = 0, х е AE; h = 0, х е ED.

Проведенное сравнение полученных результатов для линейного закона фильтрации с точным решением задачи [3], [4] показало хорошую точность методов (погрешность составила порядка 1 — 2%).

На рис. 5 построены депрессионные кривые, линии равных напоров, линии тока. Закону Дарси V = У к соответствуют сплошные линии, квадратичному

12 I I 2

= V — штриховые, двучленному закону УМ = V + V — пунктирные. Фильтрационный расход и ширина дренажной щели для закона Дарси -Q = 0,617, \ЕС\ = 0,317 , для квадратичного закона - Q = 0,642, \ЕС\ = 0,456, для

двучленного закона - Q = 0,375, \ЕС\ = 0,388.

Рис. 5. Прямоугольная перемычка с горизонтальной дреной б. Трехмерная задача фильтрации

Рассматривается трехмерная задача фильтрации в плотине ABCDA'B'C'D'

(рис. 6). Непроницаемые откосы ABB A и CDD C расположенные под углом 450 к основанию плотины. Ширина плотины |AA '| = |DD '| = 1, длина основания

плотины I AD| = I A'D ' J = 1, высота плотины \BM\ = 1, |BC| = B 'C'J = 3. Напор в верхнем бьефе H1 = 0,9, в нижнем H2 = 0,2. Фильтрация подчиняется нелинейному закону (3).

Граничные условия следующие:

h = H1, x e ABCD;

h = H2, xe ABC 'D'; h = x3, Vñ > 0, x e GFF'G'; V ñ = 0, x e ADD 'A ' U ABB'A' U CDD 'C '. На депрессионной поверхности BCFG' : h = x3, Vñ = 0. Требуется определить положение свободной поверхности. На рис. 6 показана депрессионная поверхность, соответствующая закону фильтрации (3). Минимальное значение ординаты участка высачивания

приходится на середину плотины и составляет x™™ = 0,4227. К откосам плотины участок высачивания приподнимается и на откосах ордината точки высачивания

Хз = 0,4400 . Такое завышение к откосам характерно для всей депрессионной поверхности. Для квадратичного закона фильтрации (2) депрессионная поверхность имеет аналогичный вид, но расположена немного выше

предыдущей ( х™" = 0,4230, х3аах = 0,4840 ). Свободная поверхность, соответствующая закону Дарси, расположена ниже двух предыдущих ( х3рп = 0,3465, х^ах = 0,3610).

Рис. 6. Трехмерная задача фильтрации

В результате проведенных исследований показано, что сеточный метод расчета (метод фиксированной области) позволяет изучать гидродинамические особенности влагопереноса в пористой среде при наличии различных особенностей: нелинейности течения, неоднородности среды, наличия сильно и слабопроницаемых включений. Рассмотренные в данной работе решения задач могут быть обобщены на решения профильных, плановых и пространственных фильтрационных потоков в реальных гидротехнических сооружениях и их окрестностях.

Summary

In this study we developed several solutionsforproblems of non-linear seepage through an earth dam of trapezoidal or rectangular shape. The dam is composed of horizontal layers withdifferentvalues of hydraulic conductivity function,an area of partial saturation, a vertical zone of low permeability, and a horizontal drain. Extension to the three dimensional case was presented.

The proposed numerical grid method can be used for ecological studies on moisture transport in natural porous media.

Key words: non-linear seepage, unsaturated soil, soil moisture transport, numerical grid method.

Литература

1. Курцева К.П., Лапин А.В., Шешуков Е.Г. Решение сеточными методами задачи фильтрации жидкости в плотине при нелинейном законе фильтрации.// Известия вузов. Математика. 1995. № 2. С. 47-52.

2. Resolution numerique de problèmes aux limites par des methods de Lagrangien augmente // Eds. Fortin M., Glowinski R. - Paris: Dunod, 1982.

3.Нумеров С.Н. О фильтрации в земляных плотинах с дренажем на водонепроницаемых основаниях // Известия ВНИИ гидротехники. 1939. т. 25. С. 115-135.

4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1977. 644 с.

Поступила в редакцию 29 февраля 2012 г.

Шешуков Евгений Геннадиевич - д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математики и механики Зеленодольского филиала Казанского федерального университета. Тел.: 8(843)298-91-24, 8-904664066. E-mail: shesh039@rambler.ru.

Курцева Кира Петровна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и механики Зеленодольского филиала Казанского федерального университета. Тел.: 8-917-2366873.