Некоторые обобщения конструкции обертывающих алгебр и билинейных форм на них

Краткие сообщения

УДК 512.813.4

НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ КОНСТРУКЦИИ ОБЕРТЫВАЮЩИХ АЛГЕБР И БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ НА НИХ

Н. Н. Шаповалов1

Работа посвящена описанию результатов, полученных за последние годы автором в области изучения универсальных обертывающих алгебр комплексных редуктивных алгебр Ли и некоторых их расширений. Именно рассматриваются расширения таких обертывающих алгебр и билинейных форм на них, а также некоторых связанных модулей и алгебр на алгебры над полями рациональных функций на подалгебрах Картана.

Ключевые слова: алгебра Ли, обертывающая алгебра, свободный модуль, система корней, билинейная форма, весовое подпространство.

ТЬе paper is devoted to description of some results obtained recently by the author in the field of study of universal enveloping algebras of complex reductive Lie algebras and some their extensions. Namely, extensions of enveloping algebras of this kind and of bilinear forms on them and also some related modules and algebras to algebras over rational function fields on Cartan subalgebras are considered.

Key words: Lie algebra, enveloping algebra, free module, root system, bilinear form, weighted subspace.

Настоящая заметка содержит некоторое обобщение результатов, приведенных в [1]. Базовые определения можно найти в [2]. Аналогичные исследования проводились также в [3].

Пусть § — редуктивная алгебра Ли над полем С. Определим ассоциативную оболочку алгебры которая будет расширением универсальной обертывающей алгебры и(§). Выберем подалгебру Картана Ь С и пусть Я(Ь) — поле частных алгебры и(Ь). Заметим, что алгебра и(Ь) коммутативна и, естественно, изоморфна симметрической алгебре 5(Ь), т.е. алгебре всех полиномов на дуальном пространстве Ь*. Соответственно Я(Ь) изоморфно полю рациональных функций на пространстве Ь*. Вместо алгебры и(§) будет удобно рассматривать другую алгебру и'(§), являющуюся ее расширением над полем Л(Ь):

и'(§) — Е(Ь) 0 и(§).

и

Согласно теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта, и(§) является свободным и(Ь)-модулем с базисом из мономов

Р(к Г) — Рк1 • • ект . егт , , ег1

е\к,')—е-а1 ... е-ат еат еа1,

где еа € § — корневой вектор, отвечающий корню а € А; А — система всех ненулевых корней алгебры § относительно Ь; А+ — {а1 ,...,ат) — подсистема положительных корней. Ясно, что такие элементы образуют базис и'(§) над Я(Ь). Иными словами, каждый элемент х € и'(§) может быть единственным образом представлен в виде

х — ^ х

к,г

с коэффициентами х(к,г) € Я(Ь). В частности, будем называть хо — х(0, 0) свободным членом элемента х. Необходимые коммутационные соотношения будут указаны далее явно. Заметим, что х ^ хо является расширением на и'(§) отображения Хариш-Чандры и(§). Заметим также, что каждый такой моном взвешен по отношению к Ь с весом ц — (п — к1)а1 + ... + (гт — кт)ат (относительно действия алгебры Ь на и(§)).

Соответственно и'(§) является прямой суммой весовых подпространств:

U'(g) =© К(g),

1 Шаповалов Николай Николаевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. Ин-та машиноведения РАН, e-mail: nnshapoval@mail.ru.

где и'ц(в) есть линейная оболочка (над Я(Ь)) мономов веса ц. Соответствие между V(Ь) и алгеброй полиномов на Ь* задается на образующих Н € Ь как Н(Л) = Л(Н) для всех Л € Ь*. Здесь мы обозначаем одним и тем же символом Н и элемент Н € Ь, и соответствующую линейную функцию на Ь*. Заметим, что /в(к,т) = в(к,т) / для каждого / € V(Ь), где /(Л) = / (Л + ц), как выше, при условии, что ц — вес монома е(к,г). Применяя последнее соотношение к элементам / € Я(Ь), мы можем рассматривать V'(в) как (свободный) ^(Ь)-бимодуль. В частности, предыдущее соотношение может быть переписано в виде

х = ^ е(к, г)х(к, г).

к,г

Обозначим через Р,(в) бимодуль всех формальных рядов (над Я(Ь)) мономов веса ц. Положим

Р (в) = © р, (в).

Согласно этому определению, каждый элемент / € Р(в) является конечной суммой весовых элементов / € Р(в). Справедлива нижеследующая теорема.

Теорема 1. Модуль Р(в) является алгеброй по отношению к умножению формальных степенных рядов.

Заметим прежде всего, что элементы / € Р(в) действуют как операторы левого умножения на векторном пространстве

М (в) = V' (в)/V' (в)в+,

где в+ — линейная оболочка элементов еа, а € Д+. На самом деле е(к, г)х = 0 (х € М(в)) для достаточно больших значений к, г. Поэтому каждый элемент / € Р(в) может быть ассоциирован с оператором /' на пространстве М(в).

Рассмотрим М(в) как правый Д(Ь)-модуль. Заметим, что действие /' коммутирует с действием Я(Ь), т.е. /' является элементом алгебры Р(в) = Епёщь)М(в). Пусть

Е,(в) = {Т € Е(в) : [Н,Т] = ц(Н)Т, Н € Ь}

относительно левого действия Ь на М(в), и пусть РЕ(в) =  Е,(в) является подалгеброй всех "конечных"

м

эндоморфизмов Т € Е(в). Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Отображение / /' задает изоморфизм алгебры Р(в) на алгебру РЕ(в). Замечание. Модуль Р(в) является ^(Ь)-бимодулем (тем не менее /Н = Н/ для / € Р(в), Н € Я(Ь)). Перед доказательством сформулированных выше теорем рассмотрим в U'(в) линейную антиавто-морфную инволюцию х — X, задаваемую на образующих как ёа = е-а для простых а € Д+ при дополнительном условии, что Н = Н для всех Н € Ь. Если в полупроста, последнее условие выполняется автоматически, поскольку элементы На = [еа,е-а] порождают Ь. Далее, положим А(х,у) = (ух)о, где х,у € V'(в). Данная билинейная (над полем С) форма является распространением на V'(в) ранее введенной автором билинейной (также над полем С) формы на V(в). Эта форма симметрична и невырождена на в, где в есть линейная оболочка элементов е-а для а € Д+. Более того, справедлива

Теорема 3. Вышеопределенная билинейная форма невырождена на каждом весовом пространстве

V' (ё) = 0.

(Здесь, как и выше, под невырожденностью понимается отсутствие таких ненулевых х, что А(х, у) = 0 для любого у.) Разные весовые пространства относительно этой формы ортогональны.

Невырожденность формы А на каждом из весовых подпространств U'(в) алгебры U'(в) выводится из невырожденности на соответствующих весовых подпространствах V(в) алгебры V(в) аналогичной билинейной формы А (см. [1]); ее проверка здесь опускается.

Отметим, что вышеопределенная инволюция может быть также распространена на алгебру Р(в). Обращаясь теперь собственно к теоремам 1 и 2, отметим сначала, что обе они вытекают, по существу, из того факта, что отображение / — /' из Р(в) в РЕ(в) задает изоморфизм этих векторных пространств. В свою очередь рассматривая модуль М(в) = V'(в)/V'(в)в+ и убеждаясь прежде всего в том, что М(в) = V(в-)  ВД, получаем, что М(в) есть расширение над Я(Ь) векторного пространства V(в)^(в)в+ = V(в-)  V(Ь).

Поскольку форма А(х,у) имеет подмодуль V'(в)в+ своим ядром, она порождает невырожденную билинейную форму на М(в), которую мы тоже будем обозначать А.

Невырожденность формы А, как уже отмечалось выше, здесь можно установить методами, аналогичными [1], а также [4], что в свою очередь даст возможность убедиться как в инъективности, так и в сюръективности отображения / — /'. Именно инъективность отображения проверяется прямым ре-

куррентным построением в U(g- + h) серии весовых элементов 9a,n £ U(g- + h)-na, как в [1], путем индуктивного перехода по подсистеме Д+ с помощью элементов группы Вейля. Сюръективность устанавливается сравнением размерностей только что упомянутых весовых подпространств U(g- + h)-na (с помощью, как и ранее в [1], так называемой "функции Костанта" P(п) от положительных линейных комбинаций п корней из Д+).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шаповалов Н.Н. Об одной билинейной форме на универсальной обертывающей алгебре комплексной полупростой алгебры Ли // Функц. анализ и его прил. 1972. 6, № 4. 65-70.

2. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978 (P.: Gautier-Villars, 1974).

3. Желобенко Д.П. ¿"-алгебры и модули Хариш-Чандры над редуктивными алгебрами Ли // Докл. АН СССР. 1985. 283, № 6. 1306-1308.

4. Желобенко Д.П. Экстремальные проекторы и обобщенные алгебры Микельсона над редуктивными алгебрами Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 4. 758-773.

Поступила в редакцию 12.02.2010

УДК 512.55+519.1

АДАМАРОВЫ АЛГЕБРЫ С ЕДИНСТВЕННОЙ НЕКОММУТАТИВНОЙ

ПРОСТОЙ КОМПОНЕНТОЙ

Д. Н. Иванов1

Известную гипотезу о порядках матриц Адамара можно переформулировать так: коммутативная алгебра адамарова тогда и только тогда, когда ее размерность делится на 4. В статье исследуются адамаровы алгебры, близкие к коммутативным, а именно обладающие единственной некоммутативной простой компонентой — матричной алгеброй порядка 2.

Ключевые слова: ортогональные разложения, адамаровы алгебры, матрицы Адамара.

The famous conjecture on the orders of Hadamard matrices may be reformulated as follows: a commutative algebra is Hadamard if and only if its dimension is divisible by 4. This paper investigates the Hadamard algebras closed to commutative ones, namely, the algebras possessing the unique noncommutative simple component — the matrix algebra of order 2.

Key words: orthogonal decompositions, Hadamard algebras, Hadamard matrices.

В [1] доказывается, что размерность адамаровой алгебры делится на 4. Согласно известной гипотезе о порядках матриц Адамара, для коммутативных алгебр справедливо обратное утверждение, т.е. если размерность коммутативной алгебры кратна 4, то алгебра адамарова. В статье исследуются адамаровы алгебры, близкие к коммутативным, а именно обладающие единственной некоммутативной простой компонентой — матричной алгеброй порядка 2. Доказывается, что размерность таких алгебр делится на 8. Кроме того, формулируется теорема о справедливости обратного утверждения.

Напомним основные определения. Термин "алгебра" будет обозначать ассоциативную полупростую алгебру, конечномерную над полем комплексных чисел C. Через Tra будем обозначать след регулярного представления алгебры A.

Определение. Семейство D = {Bi,i = 1,...,r} неединичных собственных подалгебр алгебры A образует ее ортогональное разложение (ОР), если все подалгебры Bi полупросты, содержат единичный элемент 1a алгебры A и выполняется условие ортогональности: алгебра A является прямой суммой попарно ортогональных относительно формы следа Тга xy подпространств: A = <1a> Ф ф ... ф B°, где B° = {x е Bi | Тга x = 0}.

1 Иванов Дмитрий Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математических методов современного естествознания матем. ф-та Тверского гос. ун-та, e-mail: dni@tvcom.ru.