СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ НАПРЯЖЕНИЯ С ЧАСТОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Промышленная электроника, автоматика и системы управления

УДК 621.314 https://doi.org/10.18503/2311-8318-2023-2(59)-55-64

Андриянов А.И., Пугачев A.A.

Брянский государственный технический университет

Система управления импульсным преобразователем напряжения

с частотно-импульсной модуляцией

В работе рассматривается система управления импульсным преобразователем напряжения с частотно-импульсной модуляцией, учитывающая возможность возникновения нежелательных колебаний на выходе, связанных с динамическими нелинейно-стями системы. Рассматриваемое в работе устройство является системой автоматического управления с обратной связью на основе пропорционального регулятора, то есть является простейшей системой с астатизмом. Предлагается структура системы управления, включающая дополнительную систему управления нелинейными динамическими процессами, построенную на основе метода направления на цель. Это позволяет обеспечивать желаемый динамический режим при изменении параметров системы или параметров внешних воздействий в широких диапазонах. Получены расчетные выражения для выбора оптимальных параметров пропорционального регулятора и задающего воздействия для обеспечения заданной точности поддержания выходного напряжения в условиях меняющейся нагрузки. Показано, что высокие значения коэффициента усиления П-регулятора в системе без управления нелинейными динамическими процессами приводят к возникновению нежелательных динамических режимов, которые могут быть устранены лишь уменьшением указанного коэффициента, что приводит к падению статической точности замкнутой системы автоматического управления. В работе приведены нелинейная динамическая модель системы в виде отображения Пуанкаре и малосигнальная структурная модель системы на основе метода направления на цель, учитывающая дискретность системы управления из-за наличия в ее составе устройств выборки-хранения. Проведены исследования систем без управления нелинейными динамическими процессами и с их управлением. Показано, что малосигнальная структурная модель системы не позволяет точно определять параметрические границы перехода системы в нежелательные режимы, что требует применения нелинейных динамических моделей для уточнения данных границ. Подтверждено, что применение метода направления на цель позволяет исключить нежелательные колебания и обеспечить устойчивость системы без изменения коэффициента пропорционального регулятора, что позволяет сохранить статическую точность. Предлагаемый подход к построению систем управления преобразователей с частотно-импульсной модуляцией может быть применен и при других типах регуляторов в основном контуре управления с целью улучшения динамики системы.

Ключевые слова: непосредственный понижающий преобразователь напряжения, частотно-импульсная модуляция, пропорциональный регулятор, малосигнальная структурная модель, нелинейная динамика, нелинейные колебания, желаемый динамический режим, запас устойчивости

Введение

Частотно-импульсная модуляция (ЧИМ) достаточно часто применятся при построении систем преобразования электроэнергии, так как при работе в некоторых режимах обеспечивает более высокий коэффициент полезного действия [1-5].

Как и системы с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ), системы с ЧИМ также являются системами автоматического управления (САУ) с обратной связью, являющиеся нелинейными динамическими системами, в которых наблюдаются колебания [2]. Причем если в системах с ШИМ частота колебаний определяется внешними периодическими воздействиями от тактового генератора [6, 7], то системы с ЧИМ являются автономными, что определяет специфику их систем управления.

Актуальной задачей в данном случае является устранение нелинейных колебаний выходного напряжения, которые могут появиться при определенных параметрах системы (емкость выходного конденсатора, индуктивность дросселя, сопротивление нагрузки) и параметрах внешних воздействий (входное напряжение, сигнал задания и т.п.) [8-11]. Нежелательные динамические режимы сопровождаются пульсациями выходного напряжения повышенной амплитуды, когда качество

© Андриянов А.И., Пугачев A.A., 2023

выходного напряжения существенно снижается.

На практике выбор параметров регулятора импульсных преобразователей напряжения (ИПН), как правило, осуществляется с применением малосигнальных, усредненных динамических моделей, что позволяет применять теорию линейных систем автоматического управления [7]. При этом это не гарантирует исключение нежелательных режимов работы и требуется дополнительная коррекция параметров регулятора, что приводит к снижению быстродействия [8] или уменьшению статической точности [9].

Альтернативным подходом является использование специализированных структур систем управления, которые позволяют исключить появление нежелательных динамических режимов при изменении системных параметров и параметров внешних воздействий в заданных диапазонах. Данные САУ строятся на основе запаздывающей обратной связи (ЗОС) [12] или метода направления на цель (МНЦ) [8, 13].

Как известно, для анализа колебательных систем используется метод точечных отображений (сечение Пуанкаре). В этом случает анализируется устойчивость именно неподвижной точки отображения Пуанкаре периодического режима, а не точки равновесия, как в теории линейных систем автоматического управления. Основной задачей системы управления ИПН в этом случае является обеспечение устойчивости неподвижных точек желаемого динамического режима.

В составе САУ, построенных на основе ЗОС или МНЦ, помимо основного контура управления, обеспечивающего стабилизацию среднего значения выходного напряжения, еще присутствует дополнительная система управления нелинейными динамическими процессами (СУНДП), которая стабилизирует неподвижную точку отображения Пуанкаре желаемого режима.

При рассмотрении ИПН под желаемым динамическим режимом понимается режим, который характеризуется одной неподвижной точкой [10]. Он называется 1-циклом или однократным режимом. Это означает, что в соседние дискретные моменты времени фазовые переменные, характеризующие текущее состояние системы, идентичны. Нежелательные динамические режимы имеют более высокую кратность т и характеризуются т неподвижными точками. При возникновении хаотических колебаний т^да.

В работе [2] рассмотрена система ИПН с ЧИМ с постоянной длительность импульса, построенная на основе метода с запаздывающей обратной связью. В данной работе внимание уделяется ИПН с ЧИМ с постоянной длительностью паузы, а при построении системы управления будет использован метод направления на цель, который ранее использовался лишь для ИПН с ШИМ [8]. МНЦ в ряде случаев имеет большую эффективность, чем запаздывающая обратная связь, но при этом требует более сложную структуру системы управления, которая будет рассмотрена в данной работе.

система управления непосредственного

понижающего преобразователя напряжения с частотно-импульсной модуляцией

Функциональная схема ИПН на основе ЧИМ представлена на рис. 1. Силовая часть представляет собой непосредственный понижающий преобразователь напряжения [6], состоящий из силового транзистора УТ, силового диода УО, дросселя фильтра Ь с паразитным сопротивлением ЯЬ, конденсатора фильтра С.

Система управления состоит их двух частей: ОСУ - основной системы управления, задачей которой является стабилизация среднего значения выходного напряжения (точки равновесия), и СУНДП - системы управления нелинейными динамическими процессами. Основной задачей СУНДП является стабилизация не-

подвижной точки однократного периодического режима, который является желаемым.

Рассмотрим принцип действия основной системы управления, которая является модификацией системы [2]. Для начала считаем, что корректирующий сигнал СУНДП ик=0, то есть СУНДП не функционирует.

Принцип действия преобразователя поясняется временными диаграммами на рис. 2. Сигнал обратной связи иос поступает с датчика обратной связи, имеющего коэффициент передачи р. Уровень выходного напряжения определяется сигналом задания из, скорость нарастания которого определяется задатчиком интенсивности ЗИ (в данном случае апериодическое звено первого порядка). Сигнал управления, поступающий после пропорционального регулятора с коэффициентом передачи К, поступает на устройство выборки-хранения УВХ, которое сохраняет его значение в начале тактового интервала, которое определяется по фронту сигнала иуУТ, открывающего силовой ключ.

На вход интегратора поступает постоянный сигнал иоп, и напряжение на выходе интегратора Ц начинает нарастать по линейному закону после его сброса в дискретные моменты времени Тк.

Сигналы Цувх и Ц поступают на вход компаратора К1. Например, на интервалах Тк — Т+1 на выходе компаратора наблюдается логический нуль, поскольку на указанном интервале Ц < иувк. Однако в моменты Тк на выходе К1 кратковременно появляется логическая единица, которая устанавливает триггер в единичное состояние, а также сбрасывает интегратор и активизирует выборку нового значения Ц УВХ. Таким образом, в момент Т происходит отпирание силового транзистора, который остается открытым до моментов 1к1. Моменты коммутации /к1 связаны со срабатыванием компаратора К2, на вход которого поступает напряжение Ц и напряжение Цп = иувх — ип, где Ц — постоянное напряжение, определяющее длительность паузы. Как видно из рис. 2, чем больше значение ип, тем больше длительность паузы, которая определяется по выражению

Т = - ^ =

ит

где Ti — постоянная времени интегратора И (см. рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема преобразователя с частотно-импульсной модуляцией

ч

4 Тм »1

/

/увх

© X 'Ж —ь^ У

/

\ \

Та 4п Т\ 421 (¡¿22 Т2 4з1 4з2 ?

Рис. 2. К пояснению принципа действия основной системы управления

В моменты ¿и сигнал ии становится больше иуп, что приводит к появлению логической единицы на выходе компаратора К2, сбросу триггера Т и запиранию силового ключа.

Также на рис. 2 приведены временные диаграммы тока, характерные для режима прерывистого тока преобразователя [6]. На интервалах Т-4Ь когда ключ УТ открыт, ток дросселя нарастает. На интервалах ¿и-и открыт диод УБ и ток дросселя спадает по линейному закону. В моменты ток дросселя спадает до нуля и диод УБ закрывается.

Далее рассмотрим принцип действия СУНДП. Как упоминалось ранее, СУНДП обеспечивает работу системы в желаемом динамическом режиме (1-цикле). В рассматриваемом случает СУНДП состоит из двух блоков управления - БУ1 и БУ2 (см. рис. 1). На вход каждого блока управления поступает соответствующая фазовая переменная. Так, на блок БУ1 поступает информация о токе дросселя с датчика ДТ (фазовая переменная /Д а на блок БУ2 поступает информация о напряжении на конденсаторе (фазовая переменная ис).

Корректирующий сигнал СУНДП ик рассчитывается по выражению [8]

=е =х Кп («» -)=

п=1 п=1

= Е Кп (ипср + Аип - иА )=

п=1

=1 КпРп (^пср + А^п - Хпк ),

где и3„ - задание на п-ю координату неподвижной точки желаемого режима; ипк - выходной сигнал устройства выборки хранения УВХп, на вход которого подается выходной сигнал датчика Дп; Кп - настраиваемый параметр СУНДП; ипср - среднее значение выходного сигнала датчика Дп ип; Ьип - коррекция среднего значения выходного сигнала датчика Дп; (Зп - коэффициент передачи датчика Дп; хпср - среднее значение фазовой переменной хп; Ахп - коррекция среднего значения фазовой переменной Хп; хпк - значения фазовой переменной в дискретные моменты времени. Стоит отметить, что х1=гь, а х2=ис.

Сущность метода направления на цель состоит в следующем. По каждой фазовой переменной блоком БУп рассчитывается ошибка Дипк, которая является разностью между текущим значением сигнала датчика

Дп в к-й дискретный момент времени и заданием на п-ю координату фазовой переменной ипз.

Как известно, координаты неподвижной точки желаемого 1-цикла непосредственного понижающего преобразователя лежат вблизи средних значений фазовых переменных хпср, но могут быть отличны от них на определенную величину Ах„. Поэтому задание на п-ю координату неподвижной точки желаемого режима определяется как ипз=ипср+Аип (см. рис. 1). Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем разделе.

Очевидно, что при работе системы в желаемом динамическом режиме (1-цикле) ипк=ипз и ик=0. Устойчивость желаемого 1-цикла обуславливается правильным выбором коэффициентов пропорциональных звеньев Кп (рис. 1), каждое из которых фактически является пропорциональным регулятором по п-й координате неподвижной точки желаемого режима.

Как следует из рис. 1, среднее значение выходного сигнала датчика Дп ипср определяется путем фильтрации сигнала ип с помощью фильтра нижних частот. В данном случае был использован фильтр первого порядка.

Таким образом, можно сделать вывод, что СУНДП стабилизирует неподвижную точку желаемого 1-цикла, а основная система управления обеспечивает устойчивость точки равновесия линеаризованной системы, координаты которой совпадают со средними значениями фазовых переменных. Причем в установившемся режиме СУНДП фактически не работает ик=0 и вступает в работу либо в переходных режимах, либо при работе в нежелательных динамических режимах.

Математическое описание динамики системы

Система может рассматриваться как нелинейная дискретная и описывается отображением Пуанкаре, которое устанавливает связь между векторами фазовых переменных в соседние дискретные моменты времени (Тк-1 и Тк).

При построении модели здесь и далее считаем, что постоянные времени Т1 и Т2 (фильтры в составе СУНДП) достаточно велики и не оказывают существенного влияния на установившийся динамический процесс, поэтому могут не учитываться в модели. При проектировании систем с повышенными требованиями к быстродействию их нужно учитывать.

Применим отображение, рассмотренное в [2], для системы ЧИМ с постоянной длительностью импульса, после модификации:

хк хк ) =

к '' е 1к 1 Хк-1 +

-х к 1 * азх к 1 - е ) а1б1у1 +

к 2"'к 1е1а2 б2 у2 +

где Хк-1 - вектор фазовых переменных в дискретный момент времени Ты; т к - длительность тактового ин-

к^ "еiа3бзуз,

п=1

тервала при дезактивированной СУНДП; тк1 — момент коммутации транзистора УТ в локальном времени; тк2 — момент коммутации диода УО; Дтк — корректирующее приращение длительности тактового интервала хк на к-м тактовом интервале; А,- — системная матрица; Б,- — матрица управления; V, — вектор управления; - — номер участка на тактовом интервале; Х=[/'ь Мс]т=[х: Х2]т — вектор фазовых переменных.

_ К, 1 " п

Ь Ь • А — 0

1 1 ; а 3 - 0

С СКн _ -

0 -

0 1

СК

- 0 Ь

0 0

"1 0" ; v! = "ивх"

0 1 0

а = а =

б1 = б2 = б3 = ь ; е =

В выражении (2) используется локальное время, где точкой отсчета является начало тактового интервала. Так, на к-м тактовом интервале локальное время определяется как [2]

х = г - Т

где г — абсолютное время.

Как видно из (2), на каждой итерации отображения необходимо рассчитывать тк1, тк2 и тк. Запишем уравнения многообразий переключения, которые характерны для системы, рассматриваемой в данной работе. Каждое уравнение многообразия переключения позволяет найти конкретный момент коммутации из перечисленных выше.

Для момента коммутации тк1

и - ЦЛ^ = 0.

Отсюда

и„X

_ Ук И _ Т

иук = Ц - РеТХк+ Щ,

где е2=[0, 1] — вектор выборки фазовой переменной ис из вектора фазовых переменных X. Для момента коммутации тк2

еТ X (х к 2 ) = 0,

е1=[1, 0] —

¡ектора фаз

x ( х ) = еА

где е1=[1, 0] — вектор выборки фазовой переменной ¡Ь из вектора фазовых переменных X,

-е)а 2б 2 v2

Уравнение (5) может быть решено только с использованием численных методов решения нелинейных уравнений.

Для момента коммутации тк справедливо уравне-

и _ Е^л = 0.

ук Т

Отсюда

и.,,Т.

ип

Расчет параметров системы управления

Уравнения (2) — (6) описывают динамические процессы в рассматриваемой системе. Далее рассмотрим основные выражения, описывающие установившийся режим, для чего используются средние значения переменных, указанных на рис. 1.

Найдем требуемое значение сигнала задания и коэффициента усиления пропорционального регулятора при известных диапазонах входного и выходного напряжений и сопротивления нагрузки. При работе в желаемом режиме после установления процесса коммутация силового ключа происходит с постоянной частотой, при этом длительность тактового интервала с учетом (6) рассчитывается по выражению

и Т

Т уср и

где Т — длительность тактового интервала в желаемом режиме; иуср — среднее значение сигнала управления.

Длительность импульса ЧИМ с учетом (7) определяется по выражению

и Т

Т _ УФ И _ Т

Среднее значение коэффициента заполнения импульса ЧИМ в желаемом режиме определяется как

Г = -

и Т

УФ и _ т

и п _ 1 _ Тпи„,

и Т

уср и

и

ит

С другой стороны, известно [6]

К

и = и -а—Г.

вых вх + Кь

Отсюда

г = и

и^ .

Приравниваем (9) и (10) и находим иус]

ти„

и.„ =-

Т Г1 ивых

В установившемся режиме ик=0, тогда из

Т

Uycp = a(U3 -ßU„).

Очевидно, что максимальное значение выходного напряжения UBbIX max наблюдается при максимальном входном напряжении UBX max и максимальном сопротивлении нагрузки RHmax. А минимальное значение выходного напряжения наблюдается при минимальных значениях входного напряжения и сопротивления нагрузки UBX min и RH min. Задаваясь допустимыми UBbix max и UBbK min и приравнивая (11) и (12) можно составить систему нелинейных уравнений с двумя неизвестными U, и K:

« U -ßUBI

TU

UBHXmax

Г li-

tt (U3 -ßUBbix min )=-

R maxUB;

TU„„

UBbIX min

Tl1-

R mU

Решая систему (13), находим

U, = N;

3 P

N = ßRL (DminminUB2bix max - Dm

+ßR min R max [UBX min (EL max " UBX max

-UBX maxUB2bix min ];

P = RmUminUBHXmax (RL + Rmax )"

-UBXmaxR„mUrxmn (RL + Rmn ) ;

D TU

а = maxmax n °n ;

Q

Q = (U3 - ßU^max )(RlTUmax - Dmaxl

+Rh max TU«*, max ),

n; Dmax max=RH maxUBX ,

UBbIX min ) + —AU"

ГДе От1п тт=Кн шШЦ,, Аивых=ивых тах— ЕВЫХ тт.

На следующем этапе получим выражение для расчета коррекции Дии в и-м блоке СУНДП (рис. 1). Как известно [8], координаты неподвижной точки отображения Пуанкаре желаемого режима совпадают с координатами фазовых переменных в дискретные моменты времени (на рис. 3 отмечены красными точками). Очевидно, что они лежат вблизи средних значений фазовых переменных, но не всегда равны им [8].

Запишем выражения для определения координат неподвижной точки 1-цикла:

и2з = x2 - Ди2, при и2з > 0,

где х1ср — среднее значение тока дросселя; х2ср — среднее значение напряжения на конденсаторе.

Как следует из рис. 3, координата неподвижной точки 1-цикла, определяемая напряжением на конденсаторе, совпадает со средним значением этой фазовой переменной.

Рис. 3. Временные диаграммы фазовых переменных системы

Особенностью рассматриваемой системы является постоянство длительности паузы, что облегчает задачу поиска Ди2 в (16). Как известно, на интервале паузы ЧИМ, когда силовой ключ закрыт, к дросселю прикладывается выходное напряжение и ток дросселя линейно спадает.

Значение, на которое уменьшается ток на интервале паузы ЧИМ, определяется как

А  ивых ^

д = _вых_ Т .

Ь Ь п

Таким образом, очевидно, что

Дм2 = ^ Г = кпвых, 2 2 2L '

где К — коэффициент, определяемый неизменяемыми параметрам системы,

Т

К = ^. ' 2 Ь

При работе в режиме прерывистого тока согласно (17) Ди2>/Ь ср (см. также рис. 3), что требует ограничения и2з>0, как указано в (16). Таким образом, в этом режиме и2з=0.

Очевидно, что вычисление координат неподвижной точки желаемого динамического режима по выражению (16) с учетом (17) легко может быть реализовано даже в аналоговой системе управления.

Для анализа устойчивости неподвижной точки желаемого динамического режима, как правило, используется первый метод Ляпунова, который связан с линеаризацией отображения Пуанкаре в малой окрестности неподвижной точки X , которое имеет вид [9, 10]

d x)

dx,

• Ч -1 = M1«t

где £к — вектор возмущения в к-й дискретный момент времени; М1 — матрица монодромии 1-цикла.

Как видно из (2), от коэффициентов К„ зависит приращение Дтк. Таким образом, можно выбрать К„,

при которых все собственные числа матрицы М1 будут лежать в пределах единичного круга на комплексной плоскости, что соответствует устойчивому состоянию неподвижной точки X . Выбор оптимальных значений Кп в данной работе осуществлялся с помощью численного метода оптимизации Нелдера-Мида.

Малосигнальная структурная модель системы

При проектировании систем управления импульсных преобразователей напряжения с использованием методов нелинейной динамики не следует забывать и про классические методы, основанные на малосигнальном моделировании, что позволит получить более полное представление о свойствах системы. В этом случае необходимо анализировать частотные характеристики линеаризованной в рабочей точке модели. В работе [14] рассматривалась малосигнальная структурная модель преобразователя с ШИМ на основе запаздывающей обратной связи. При использовании МНЦ она претерпит некоторые изменения.

Полученная малосигнальная модель представлена на рис. 4. Здесь используются обозначения, соответствующие рис. 1, причем рассматриваются малосигнальные переменные вида \>р, где р - индекс. Кроме того, на рис. 4 приняты обозначения: Кт - коэффициент передачи импульсного модулятора, у- малое отклонение коэффициента заполнения, КРп=КпРп, ^фп(^) -передаточная функция фильтра Фп в составе СУНДП (см. рис. 1), ^увх(5) - передаточная функция экстрапо-лятора нулевого порядка, моделирующая УВХ.

Также другие передаточные функции на рис. 4 определяются как

Ж. (* ) = -

Указанные передаточные функции описывают частотные свойства системы «импульсный модулятор-силовая часть», широко известны [6] и в данной работе приводиться не будут.

На следующем этапе найдем коэффициент передачи импульсного модулятора, который может быть представлен как

К.,.. =-

Данный коэффициент может быть найден путем дифференцирования выражения (9) после предварительного перехода к малым отклонениям:

Ти

Ким

Т,и1„

где иуср рассчитывается по выражению (11).

Рис. 4. Малосигнальная структурная модель разомкнутой САУ

Как видно из рис. 1, в системе управления используются УВХ как в основной системе управления, так и в составе СУНДП. Наличие УВХ можно учесть введением трех одинаковых блоков Жувх(*), которые представляют собой экстраполяторы нулевого порядка [15]:

Жвх ( * ) =

1 -

где Т - длительность тактового интервала при работе системы в желаемом 1-цикле (выражение (7)).

Предложенная малосигнальная структурная модель, учитывающая свойства устройств выборки-хранения, позволяет исследовать частотные характеристики рассматриваемой системы с использованием стандартных математических пакетов после соответствующей адаптации.

Исследование нелинейной динамики

преобразователя с частотно-импульсной модуляцией

При исследовании использовались следующие параметры системы: диапазон входного напряжения ивх тт=14 В, ивх тах=18 В, диапазон выходного напряжения ивых тт=11,5 В, ивых тах=12,5 В, индуктивность дросселя ¿=0,0004 Гн, активное сопротивление дросселя Яь=0,003 Ом, емкость конденсатора С=5 мкФ, Р=0,4, иоп,т=10 В, Ти=0,00005 с, Тп=0,00001 с, сопротивление нагрузки Ян тш=6,61 Ом, Ян тах=31,25 Ом. На основании (14) и (15) а=11,69, из=5,55 В, что обеспечивает заданный диапазон выходного напряжения в условиях меняющейся нагрузки.

Результаты моделирования с использованием нелинейной математической модели представлены на рис. 5.

Белая область на карте динамических режимов О: является областью существования желаемого 1-цикла (т=1), область 06 - нежелательного 6-цикла (т=6), а области Ом(,) - хаотических колебаний, когда кратность цикла да^со. Также на карте можно выделить области двух различных 5-циклов 05(1) и 05(2) и 10-циклов Ою(1) и Ою(2). Динамические процессы в этих областях, несмотря на одинаковый период, характеризуются разной формой выходного напряжения.

Как видно из рис. 5, б, в областях нежелательных режимов (т>1) колебания выходного напряжения с очень большим размахом (вплоть до 10,25 В), что существенно больше размаха колебаний при работе системы в желаемом динамическом режиме (область О1).

Рис. 5. Двухиараметрические диаграммы, характеризующие систему без СУНДП на основе МНЦ: а - карта динамических режимов; б - диаграмма размаха колебаний

Также стоит заметить, что нежелательные колебания появляются при больших значениях сопротивления нагрузки Кн. Вблизи границы АВ наблюдаются области мультистабильности, когда устойчивым являются как желаемый 1-цикл, так и 5-цикл (05(1)), что характерно для нелинейных систем.

Применение МНЦ обеспечило реализацию желаемого 1-цикла в выбранных диапазонах параметров системы (рис. 6). Здесь применялись следующие параметры СУНДП: постоянные времени фильтров Т1=Т2=0,0005 с, оптимальные коэффициенты Кр1=2,23404 и Кр2=-0,0989914, вычисленные с использованием численного метода оптимизации, упомянутого ранее. Как видно из рис. 6, карта динамических режимов на всей плошади является областью существования 1-цикла, а размах колебаний уменьшился до 25 раз, что говорит об эффективности примененного подхода.

Рис. 6. Двухпараметрические диаграммы, характеризующие систему с СУНДП: а - карта динамических режимов; б - диаграмма размаха колебаний

анализ частотных характеристик разомкнутой системы на основе малосигнальной структурной модели

Частотные характеристики (рис. 7) были получены при Кн=20 Ом и ЕВх=16 В (точка Р на рис. 5). При рассмотрении будем использовать критерий устойчивости Найквиста и оценивать запас устойчивости по фазе, который определяется по выражению

АФ = Ф+180°,

где ф — фаза в градусах на частоте среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ).

Как видно из рис. 7, на высоких частотах логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ) исследуемой системы пересекает сверху вниз границу -180°, что обуславливается наличием УВХ в составе системы управления.

А, Дб

0,001 0,01 0,1 1 10 Рис. 7. Частотные характеристики разомкнутой системы

В моделях без учета УВХ ФЧХ асимптотически приближалась бы к -180°, что соответствует характеристике динамического звена второго порядка. В этом случае математическая модель системы будет устойчива при любом наборе параметров. Так что учет свойств УВХ в данном случае актуален. Также из рис. 7 видно, что в системе без использования СУНДП запас устойчивости по фазе составляет -18,25°, то есть система неустойчива.

В табл. 1 приведена зависимость запаса устойчивости по фазе от сопротивления нагрузки при ивх=16 В (сечение 55" на рис. 5, а). Из табл. 1 видно, что при Ян=11 Ом наблюдается граница устойчивости линеаризованной модели системы, когда запас устойчивости равен нулю. При ^н<11 Ом система устойчива, поскольку Дф>0, а при Ян>11 Ом система неустойчива, поскольку Дф<0.

Таблица 1

Запасы устойчивости по фазе разомкнутой системы при различных сопротивлениях нагрузки

Сопротивление нагрузки, Ом Запас устойчивости по фазе, град

5 50,74

11 0

15 -14

22 -25

31 -31

Если же проанализировать сечение 55' на карте динамических режимов (см. рис. 5, а), то можно заметить, что нежелательные динамические режимы появляются при меньших значениях сопротивления нагрузки Лнкр=9,8 Ом. Это объясняется тем, что карта динамических режимов строилась с использованием нелинейной динамической модели, которая учитывает весь спектр процессов, протекающих в системе.

Более полные сведения представлены в табл. 2, где приведена зависимость границ устойчивости как неподвижной точки желаемого динамического режима, так и точки равновесия линейной динамической модели. Из табл. 2 видно, что практически во всем диапазоне изменения входного напряжения упомянутые критические значения не совпадают, что говорит об ограниченности возможностей линейных динамических моделей. В то же время в рассматриваемом случае различия не столь существенны, но с точки зрения теории нелинейных систем частный случай не может быть репрезентативен.

Применение МНЦ позволило исключить нежелательные колебания, существенно снизить размах выходного напряжения (рис. 8) и обеспечить запас устойчивости по фазе 35° (см. рис. 7). При этом стоит заметить, что использование СУНДП на основе МНЦ сохранило петлевой коэффициент усиления на постоянном токе равным 4,98 дБ, что говорит о том, что не ухудшилась статическая точность системы, которая обеспечивается выбранным коэффициентом пропорционального регулятора.

Таблица 2

Границы устойчивости системы при различных входных напряжениях

Входное напряжение UBX, В Граница устойчивости неподвижной точки желаемого режима, Ом Граница устойчивости точки равновесия линейной динамической модели, Ом

14 16,9 17

15 11,4 13,3

16 10,6 9,1

17 8,1 8,7

18 7,28 7,58

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 /, с Рис. 8. Временные диаграммы выходного напряжения при постоянной времени задатчика интенсивности Гзи=0,005 c

Заключение

На основании проведенных исследований можно сделать выводы:

1. При проектировании системы управления импульсных преобразователей напряжения целесообразно использовать нелинейные динамические модели, которые учитывают возможность возникновения нелинейных колебаний при определенных параметрах системы или параметрах внешних воздействий.

2. Специализированные методы управления нелинейными динамическими процессами импульсных преобразователей напряжения существенно расширяют инструментарий обеспечения устойчивости таких систем.

3. Предложена система управления непосредственным понижающим преобразователем напряжения с частотно-импульсной модуляцией, построенная с использованием метода направления на цель.

4. Получены расчетные выражения для выбора оптимальных параметров системы исходя из заданной статической точности поддержания выходного напряжения.

5. Показано, что при больших значениях коэффициента усиления пропорционального регулятора воз -никают нелинейные колебания с большой амплитудой.

6. Показано, что границы потери устойчивости неподвижной точки отображения Пуанкаре и границы потери устойчивости точки равновесия линеаризованной системы не совпадают.

7. Применение метода направления на цель позволило исключить нежелательные режимы и обеспечить устойчивость как малосигнальной модели системы, так и неподвижной точки желаемого динамического режима с точки зрения метода точечных отображений и первого метода Ляпунова. При этом применение СУНДП не изменило петлевой коэффициент усиления на постоянном токе, что обеспечивает заданную статическую точность системы.

8. Предлагаемая система управления нелинейными динамическими процессами может быть использована и при других типах регуляторов в качестве дополнительного инструментария улучшения динамики систем автоматического управления на основе импульсных преобразователей напряжения с частотно-импульсной модуляцией.

Список источников 1. Михальченко С.Г., Бородин К.В. Динамические режимы функционирования преобразователя напряжения с частотно-импульсной модуляцией // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. 2012. № 1-1 (25). С. 278-287.

Поступила в редакцию 28 февраля 2023 г.

Information in English

2. Andriyanov A.I. Controlling Nonlinear Dynamic Processes of a DC/DC Converter with Pulse-Frequency Modulation // International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences. IEEE, 2022. Pp. 110-115. doi: 10.1109/SIBIRCON56155.2022.10016921

3. Бифуркационные явления в преобразователе напряжения c частотно-импульсным управлением для ветрогенератор-ной установки / С.Г. Михальченко, Г.Я. Михальченко, С.М. Семенов, П.С. Мещеряков, Н.А. Воронина, A.M. Зюзев // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2020. № 12(331). С. 215-225. doi: 10.18799/24131830/2020/12/2957

4. Татуйко П.С. Математическое описание режимов работы резонансного преобразователя напряжения с последовательным LC-резонансным контуром // Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении. 2022. № 1(15). С. 73-79. doi: 10.30987/2658-6436-2022-1-73-79

5. Liu K.H., Oruganti R., Lee F.C.Y. Quasi-Resonant Convert-ers.Topologies and Characteristics // IEEE Transactions on Power Electronics. 1987. No. 1(PE-2). Pp. 62-71. doi: 10.1109/TPEL.1987.4766333

6. Северне P., Блум Г. Импульсные преобразователи постоянного напряжения для систем вторичного электропитания. М.: Энергоатомиздат, 1988. 294 с.

7. Белов Г.А. Теория импульсных преобразователей. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2016. 330 с.

8. Андриянов А.И. Развитие теории управления нелинейными динамическими процессами импульсных систем электропитания: дис. ... докт. техн. наук. 05.09.12 / Андриянов Алексей Иванович. Чебоксары, 2022.

9. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. № 8. С. 47-53.

10. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and chaos in piece-wise-smooth dynamical systems. Singapore: World Scientific Pub Co Inc, 2003. 376 p.

11. Instabilities in digitally controlled voltage-mode synchronous buck converter / D. Yu, H.H.C. Iu, H. Chen, E. Rodriguez, E. Alarcon, A. El Aroudi // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2012. No. 1(22). Pp. 1-12. doi: 10.1142/S0218127412500125

12. Batlle C., Fossas E., Olivar G. Time-delay stabilization of the buck converter // Control of Oscillations and Chaos. IEEE, 1997. Vol. 3. Pp. 590-593. doi: 10.1109/COC.1997.626675

13. Dattani J., Blake J.C.H., Hilker F.M. Target-oriented chaos control // Physics Letters A. 2011. № 45(375). Pp. 39863992. doi: 10.1016/j.physleta.2011.08.066

14. Андриянов А.И. Расчет оптимальных параметров систем управления нелинейными динамическими процессами импульсных преобразователей напряжения // Автоматизация и моделирование в проектировании и управлении. 2022. № 4(18). С. 87-96. doi: 10.30987/2658-6436-2022-4-87-96

15. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 2011. 576 p.

Принята к печати 22 марта 2023 г.

Control System for DC/DC Converter Based on Pulse-Frequency Modulation

Aleksey I. Andriyanov

D.Sc. (Engineering), Associate Professor, the Department of Electronics, Radio electronics and Electrotechnical Systems, Bryansk State Technical University, Bryansk, Russia, mail@ahaos.ru, https://orcid.org/0000-0002-4083-040X

Alexander A. Pugachev

D.Sc. (Engineering), Associate Professor, Professor, Head of the Department of Industrial Electronics and Electrical Engineering, Bryansk State Technical University, Bryansk, Russia, alexander-pugachev@rambler.ru, https://orcid.org/0000-0002-1836-0923

The paper considers a control system for a DC/DC converter with frequency-pulse modulation, which takes into account the possibility of undesired oscillations at the output associated with dynamic nonlinearities of the system. The device considered in the work is an automatic feedback control system based on a proportional controller, that is, it is the simplest system with droop. The structure of the control system is proposed, it includes an additional control system for nonlinear dynamic processes, built on the basis of the target-oriented control. This makes it possible to provide the desired dynamic mode when changing the system parameters or the parameters of external influences within a wide range. Calculation expressions are obtained for choosing the optimal parameters of the proportional controller and the reference signal to ensure the specified accuracy of maintaining the output voltage under changing load conditions. It is shown that high values of the P-controller gain in a system without control of nonlinear dynamic processes lead to the appearance of undesired dynamic modes, which can be eliminated only by reducing the specified coefficient, which leads to a drop in the static accuracy of a closed-loop automatic control system. The paper presents a nonlinear dynamic model of the system in the form of the Poincare map and a small-signal structural model of the system based on the target-oriented control, which takes into account the discreteness of the control system due to the presence of sample-and-hold devices in it. Studies of systems without control of nonlinear dynamic processes and with their control based on the target-oriented control were carried out. It is shown that the small-signal structural model of the system makes it impossible to accurately determine the parametric boundaries of the system transition to undesired modes, which requires the use of nonlinear dynamic models to refine these boundaries. It is shown that the application of the target-orientedcontrol makes it possible to exclude undesired oscillations and ensure the stability of the system without changing the coefficient of the proportional controller, which makes it possible to maintain static accuracy. The proposed approach to the construction of control systems for converters with frequency-pulse modulation can also be applied to other types of controllers in the main control loop in order to improve the system dynamics.

Keywords: buck converter, pulse-frequency modulation, proportional controller, small-signal structural model, nonlinear dynamics, nonlinear oscillations, desired dynamic mode, stability margin

References

1. Mikhalchenko S.G., Borodin K.V. Dynamic modes of functioning of the voltage converter with pulse-frequency modulation. Doklady Tomskogo gosudarstvennogo universiteta system upravleniya i radioelektroniki [Proceedings of TUSUR University], 2012, no. 1-1, pp. 278-287.

2. Andriyanov A.I. Controlling Nonlinear Dynamic Processes of a DC/DC Converter with Pulse-Frequency Modulation. 2022 International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences. IEEE, 2022. pp. 110-115. doi: 10.1109/SIBIRCON56155.2022.10016921

3. Mikhalchenko S.G., Mikhalchenko G.Ya., Meshcherya-kov P.S., Semenov S.M., Voronina N.A., Ziuzev A.M. Bi-

furcation phenomena in voltage converter with frequency-pulse control for a wind generator. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. Inzhiniring georesursov. [Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. Geo Assets Engineering], 2021, vol. 331, no. 12, pp. 215-225. (In Russian) doi: 10.18799/24131830/2020/12/2957

4. Tatuyko P.S. Model of managing processes of engineering changes in products at an industrial enterprise. Avtomatizaciya i Modelirovanie v Proektirovanii i upravlenii [Automation and Modeling in design and management], 2022, no. 1, pp. 73-79. (In Russian) doi: 10.30987/2658-6436-2022-1-73-79

5. Liu K.H., Oruganti R., Lee F.C.Y. Quasi-Resonant Converters. Topologies and Characteristics. IEEE Transactions on Power Electronics. 1987, vol. PE-2, no. 1, pp. 62-71. doi: 10.1109/TPEL.1987.4766333

6. Severns R., Bloom G. Impulsnye preobrazovateli postoyan-nogo napryazheniya dlya system vtorichnogo elektropitaniya [Switching DC voltage converters for secondary power supply systems]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1988. 294 p.

7. Belov G.A. Teoriya impulsnykh preobrazovateley [Pulse converter theory]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2016. 330 p.

8. Andriyanov A.I. Razvitie teorii upravleniya nelinejnymi dinamicheskimi processami impulsnyh system elektropitani-ya. Doct. Diss. [Development of the theory of control of nonlinear dynamic processes of impulse power supply systems. Doc. Diss.]. Bryansk, 2022. 515 p.

9. Baushev V.S., Zhusubaliyev Zh.T. Non-deterministic operating modes of voltage stabilizer with pulse-width regulation. Elektrichestvo [Elektrichestvo], 1992, no. 8, pp. 47-53.

10. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and chaos in piecewise-smooth dynamical systems. Singapore, World Scientific Pub Co Inc., 2003. 376 p. doi: 10.1142/5313

11. Yu D., Iu H.H.C., Chen H., Rodriguez E., Alarcón E., El Aroudi A. Instabilities in digitally controlled voltage-mode synchronous buck converter. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2012, vol. 22, no. 1, pp. 1-12. doi: 10.1142/S0218127412500125

12. Batlle C., Fossas E., Olivar G. Time-delay stabilization of the buck converter. Control of Oscillations and Chaos. 1997, vol. 3, pp. 590-593. doi: 10.1109/C0C.1997.626675

13. Dattani J., Blake J.C.H., Hilker F.M. Target-oriented chaos control. Physics Letters A. 2011, vol. 375, no. 45, pp. 39863992. doi: 10.1016/j.physleta.2011.08.066

14. Andriyanov A.I. Calculation of optimal control system parameters for nonlinear dynamic processes of pulse voltage converters. Avtomatizaciya i Modelirovanie v Proektirovanii i upravlenii [Automation and Modelling in Design and Management], 2022, no. 4(18), pp. 87-96. (In Russian) doi: 10.30987/2658-6436-2022-4-87-96

15. Astrom K.J., Wittenmark B. Computer Controlled Systems, New Jersey, Prentice-Hall, 2011. 576 p. doi: 10.1007/97894-015-7929-2

Андриянов А.И., Пугачев A.A. Система управления импульсным преобразователем напряжения с частотно-импульсной модуляцией// Электротехнические системы и комплексы. 2023. № 2(59). С. 55-64. https://doi.org/10.18503/2311-8318-2023-2(59)-55-64

Andriyanov A.I., Pugachev A.A. Control System for DC/DC Converter Based on Pulse-Frequency Modulation. El-ektrotekhnicheskie sistemy i kompleksy [Electrotechnical Systems and Complexes], 2023, no. 2(59), pp. 55-64. (In Russian). https://doi.org/10.18503/2311-8318-2023-2(59)-55-64