Полвека с механикой оболочек (часть вторая -нелинейная теория)

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012

УДК 51-72:539,3

ПОЛВЕКА С МЕХАНИКОИ ОБОЛОЧЕК

Е. И, Михайловский

Первая часть статьи (см. "Вестник Сыктывкарского университета", вып. 15 за 2012 год, стр. 8-30) была посвящена воспоминаниям автора, связанным с его работой в области линейной кирхгофовской теории оболочек. Во второй части дано описание полученных им результатов в нелинейной механике оболочек. Это согласуется с тем, что данный сборник посвящен 25-летию кафедры математического моделирования и кибернетики, в стенах которой и получены представленные ниже результаты. Ключевые слова: оболочка, нелинейная теория, поперечные сдвиги, поперечное обжатие,

4. Предисловие. Специалистов в области оболочек не смущает то обстоятельство, что допущения Кирхгофа, которые практически никогда не выполняются, называют гипотезами:

1, а. нормаль к срединной поверхности исходной конфигурации переходит в нормаль к деформированной поверхности;

1, Ь. толщина оболочки при деформировании не меняется;

2, напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями в нормальных сечениях.

Теория оболочек потому и называется теорией, что она основывается на (так называемых) гипотезах Кирхгофа. Если же удается построить соответствующую математическую модель, игнорируя названные гипотезы, то ее правильнее называть механикой оболочек.

Основные результаты автора в этой области механики связаны с разработкой НСъ'ШНСИНЫХ, мОДВДС 1С жесткогибких оболочек [1-10] и методов решения конструктивно-нелинейных задач [11-21], т.е. задач, обладающих существенной (неустранимой) нелинейностью, связанной с

(с) Михайловский Е. И., 2012.

особенностями конструкции, а именно с наличием односторонних ограничений.

Под жесткогибкой оболочкой [1] (в данной части статьи используется автономный список литературы) автор понимает оболочку, изготовленную из жесткого сжимаемого материала (например, из стали) и допускающую конечные (относительно большие) перемещения за счет конечных углов поворота при малых (по сравнению с единицей) деформациях. Традиционно такие оболочки называют гибкими. Для постро-ения нелинейного закона. упругости для жесткогибких оболочек предпочтительно использовать теоретический стандартный материал 2-го порядка (подробнее см. ниже).

Соответственно под мягкогибкой [8] будем понимать оболочку, изготовленную из мягкого несжимаемого материала (например, из резины) и допускающую конечные перемещения как за счет конечных углов поворота, так и за счет конечных деформаций. При построении законов упругости для мягкогибких оболочек чаще всего используют неогуков-ский материал (см., например, [8]).

Первые публикации по обозначенным выше направлениям исследований были СД6ЛЕНЫ Н& III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости [22, 23], инициированной и организованной в значительной мере стараниями автора (Сыктывкар, 12 14 сентября 1989 года). Следует отметить, что направление, связанное с решением конструктивно-нелинейных задач, было общим для кафедры ММиК. В результате появилась оценка этой работы [24]: "Значительное внимание уделено новому разделу механики оболочек — конструктивно-нелинейным задачам. Интересные результаты здесь получены Е.П. Михайловским и его учениками. Ими разработаны эффективные мето-ды решения контактных з&дйч со свободной границей [11-14] и задач на устойчивость тонкостенных конструкций с односторонними связями [25-27]". (Ссылки приведены в соответствии с нумераией публикаций, принятой в данной статье).

5. Нелинейные уравнения статики

Пионерной для школы механики академика В.В. Новожилова нелинейной теорией оболочек является квазикирхгофовская теория К.Ф. Чер-ныха [28]. Эта теория названа автором данной статьи "квазикирхго-фовской" из-за того, что в ней учитываются все гипотезы Кирхгофа, кроме допущения о неизменности толщины (т.н. поперечного обжатия). Дело в том, что теория, предложенная в работе [28], изначально

предназначалась для расчета оболочек из резиноподобных материалов, д^ля кото|зт>тх. попе |эеч^ное обж&тие может быть существенным. Однако она построена как общая теория оболочек из сжимаемых и несжимаемых материалов, так как определяющие уравнения выражаются через упругий потенциал с использованием разложения его производных в ряды по трансверсальной координате (£). Выбирая, например, упругий потенциал неогуковского материала (]\ШМ) можно получить систему статики (динамики) мягкогибких оболочек. Для вывода уравнений жесткогибких оболочек рекомендуется использовать, как уже говорилось, упругий потенциал стандартного материала 2-го порядка (ЭТМ-2).

Сделаем некоторое пояснение. Автором введено понятие девиа-тора п-го уровня симметричного тензора 2-го ранга А, под которым (девиатором) предлагается понимать тензор

А„ = -(2/зГ4п)ет(8)е7,

где

(П) 1/ / (п) (пК • • , сус1е

а\ = На) -а>и >),г,з,к = 1,2,3;

аР — у2(ау — %), аь а2, а3 — главные значения тензора А; Э — знак тензорного произведения.

При этом девиатор первого уровня совпадает с "тензором сдвига" по В.М. \(алькову [29], а девиатор второго уровня является "девиатором" по установившейся терминологии.

В работе [8] показано, что 8ТМ 2 — материал, для которого девиа-торы тензора напряжений Пполы Кирхгофа. (П) и тензора деформаций Грина Лагрнпжа (Г) подобны, т.е.

с> о

П ;—' 2 Г ^ ^ % — 1 ^ 2.

Закон упругости для БТМ-2 формально имеет вид такой же, как и закон Гука [8]:

П = '2цТ + 1,

где

(Напомним, что закон Гука выражается формулой

2 = 2//Е + XIе1,

где Е — тензор истинных напряжений Коши; Е. I, - — тензор малых деформаций Коши и его первый главный инвариант.)

Иногда, вследствие схожести равенств (5.1) и (5.2), закон упругости для STM-2 называют законом Гука [30,31].

В квазикирхгофовской теории делалось предположение, что радиус-вектор материальной точки исходной конфигурации оболочки

R

в результате деформации последней принимает вид

R

где

г

На основе аппроксимации (5.4) имеем

С о С о о

R

С другой стороны, в соответствии с рис. 5 можно записать

с г, с

R

Сравнивая соотношения (5.5) и (5.6), убеждаемся в том, что

Ае - Н/к,

т.е. А^ является кратностью изменения толщины оболочки в результате ее деформации. Нетрудно сообразить, что параметр эе^ характеризует неравномерность поперечного обжатия по толщине оболочки.

Принципиальное отличие параметров А^, эе^ от компонент вектора перемещения щ7 ги заключается в том, что последние имеют независимые вариации, через которые могут быть выражены вариации параметров поперечного обжатия, т.е.

= Д (5щ, 5щ, бги), 5ае^ = /2(^1,5щ,

Это связано с тем, что при вариационном выводе уравнений равновесия (движения) параметры А^, эз^ определяются из некоторых дополнительных условий (различных для сжимаемых и несжимаемых материалов) и тем самым не влияют на число и порядок уравнений.

Попытки уточнить теорию оболочек за счет отказа от геометрической гипотезы Кирхгофа предпринимались неоднократно разными авторами (см., например, упомянутые работы [30,31]). При этом теории, основанные на учете поперечных сдвигов по модели С.П.Тимошенко [32], принято называть теориями оболочек типа Тимошенко (или типа Тимошенко-Рейсснера). Теории,, учитывающие поперечное обжатие, будем называть теориями типа Нагди [33].

Большинство работ, в которых делаются попытки учесть транс-вврс&льныб деформации (т.е. отказаться от геометрической гипотезы Кирхгофа 1? а - 17 б), основаны на линейной аппроксимации перемещений по толщине оболочки;

и\

При этом независимыми считаются все шесть вариаций:

5щ, 6щ, 5и2, бчи, 8А^,

т.е. даже в случае отсутствия независимых поперечных сдвигов

= ¿ = 1,2

в&риЕционныи вывод ур&внвнии равновесия приводит к. дополнитель-ному по сравнению с квазикирхгофовской теорией К.Ф. Черныха уравнению в виде равного нулю коэффициента при вариации и, значит, к повышению порядка системы уравнений.

В частности, на аппроксимации (5.8) основаны работы [30,31]. При этом автор работы [31] в обзорной статье [34] обратил внимание на несостоятельность используемой им же линейной аппроксимации прогиба по толщине оболочки, так как в случае пренебрежимо IV! 8.Л ОГО

поворота вокруг нормали (ип) это приводит к неотрицательному изменению толщины > 0, см. форм. (5.7)). Таким образом, на основе анализа уравнений механики оболочек, полученных в работе [31], ее автор пришел к выводу, что функция должна аппроксими-

роваться, как минимум, квадратичной параболой по трансверсальной координате

Для автора данной работы этот вывод очевидно следует из того, что при линейной аппроксимации функции прогиба по С нельзя удовлетворить на лицевых поверхностях оболочки граничным условиям

•7<733

А именно из этих условий на основании квадратичной аппроксимации (5.4) с учетом соотношения упругости

/а33 = А + (А + 2^)7|3 следуют формулы для параметров поперечного обжатия

А* = 1 - -г~~-2ГПП

С X 4- 9// ,ар

А + 2 ¡1 " (А + 2 ц) к 2А о , дп

= ---—а" 'а1,,.; +

и их вариации

= --ааР1

а 'Гр,

= зеа/3.

Еще одно важное замечание в адрес квазикирхгофовской теории. Линеаризируя уравнения этой теории для случая плоской пластины, придем к разрешающему уравнению Софи Жермен-Лагранжа

¿0А2ю = дпу

хотя известно, что при учете поперечного обжатия должно получаться названное уравнение с дополнительным нагрузочным слагаемым вида а/гдДдп, а ~ 1,

(см., например, уравнение Э. Рейсснера в работе [35] с10А2ъи = ?„- (%к1- %к\)Адп

без учета поперечных сдвигов № — О, где

V ~ Л

К2

'4 = 5^)- (5.12),

Отсутствие названного слагаемого связано с неучетом работы внеш-них сил Нс1 перемещениях, обусловленных поперечным обжатием, и является следствием вывода К.Ф. Чериыхом уравнений статики из условии равновесия е с -К.0 н е ч н о малого элемента оболочки. В работе [2] показано, что учет вариаций <5ае^ снимает это противоречие.

Теперь об учете поперечных сдвигов по моделям С.П. Тимошенко и Д.И. Журавского в предложенной автором нелинейной теории оболочек. Очевидно, что для тонких жесткогибких оболочек поперечные сдвиги малы, и поэтому представляется естественным (во всяком случае, на первом этапе) учитывать их в линейном приближении. При этом основное допущение заключается в том. что радиус-вектор исходной конфигурации оболочки (5.3) в результате деформации последней трансформируется в вектор

Ща, 0 = К

где

{( — модель Тимошенко,

с 4 <3 ^

_ ЗЛ^" — м0Дель Журавского. 4 7

Кроме (5.13) используются допущения:

(ск) оболочка является тонкой и остается таковой в процессе деформирования, т.е.

{Ьу/у/аиа^ « 1, у/ацщ3- « 1

и — компоненты метрического тензора и тензора

кривизны срединной поверхности до и после деформации);

(/3) тангенциальные компоненты тензора Грина-Лагранжа —

= 1. 2) изменяются по толгцине пластины линеино;

(7) поперечные сдвиги учитываются по линейной теории;

(5) локальной изменяемостью функции Х^(а) можно пренебрегать.

О использованием представленных выше допугцении на основе вариационного принципа Лагранжа получена система уравнений

ЧаТт-ЪгаТап + дг = О,

УГГ' I I

- Тп = 0, г = 1, 2,

где тильдами помечены следующие приведенные статические величины:

= Л~ХТ+ —-—аРт,Пу 1-й

Т\, = А 1,> Т\, » тРЬ&Рфв, 2<р(Ь/2)к 'п V '

п

ма = д-1 МИ + Х^2хагздп.

При этом] использованы обозначения

д = 1 = ' [к/2 , Г 1 модель Тимошенко,

_ 43' к ~ ¡г/2 .1 /,/•_> ^ ~~ \8 15 модель Журавского.

Уравнения (5.14) при отсутствии тильд идентичны по форме записи уравнениям равновесия линейной теории оболочек (6.81) [36] и в этом смысле в работе [8] названы каноническими.

Тот факт, что уравнения нелинейной механики упругих оболочек, построенные без использования геометрической гипотезы Кирхгофа, удалось преобразовать к каноническому виду относительно приведенных статических величин (5.14'), позволяет сформулировать быстрый алгоритм уточнения различных кирхгофовских линейных или частично линеаризированных вариантов теории оболочек за счет учета трансвер-сальных деформаций (т.н. 9Л алюрпгм).

Ш? а.порт.м заключается:

♦ в замене статических величин соответствующего варианта кирх-гофовской теории оболочек (Т8-7, Ггп) правыми частями формул

(5.14');

• в сохранении всех допущений рассматриваемого кирхгофовского варианта теории оболочек, связанных с выражением геометрических параметров деформированной срединной поверхности (а^, Ъц) через перемещения.

Несколько слов о граничных величинах. В работе [2] показано, что с позиции принципа Лагранжа нелинейная теория оболочек, вообще говоря, не является корректной7 так как даже в кирхгофовском варианте имеется шесть независимых геометрических граничных величин

дли ёи,, (1и<

IV, Нр уИцу „ , „ ?>о

и/и »/ (ли 1у (ли 1,

что не согласуется с порядком системы полевых уравнений в перемещениях.

Этот вопрос "построители" нелинейных теорий обычно обходят молчанием. Так, например, в монографии [37] получено следующее выражение для работы напряжений, действующих на боковую поверхность оболочки, на вариациях отвечающих им перемещений (см. [37], форм. (11.107)):

6А = / [

Интеграл от подчеркнутого в (5.16) слагаемого можно преобразовать так:

ф Ми„ • 8пд,вг = Ф —— > 8пд,вг =

.'дй «/дй

дп

(Ьс

В линейной теории 8ш¥ и поэтому геометрические граничные

величины исчерпываются совокупностью {т, и„, щ, В нелинейной теории, строго говоря, следует рассматривать 6 геометрических величин (5.15), что очевидно следует из последнего интеграла (5.17).

Если же пренебречь работой соответствующих обобщенных сил на вариациях 8(ди1>/дзр)7 б^дщ/дв^ в функционале Лагранжа, то для рассматриваемой нелинейной теории оболочек граничные величины можно представить б виде таблицы [8]

т Т* Quтt, мии Ми

щ щ ъи ьзр Щ

6» Теория пологих оболочек

типа Маргера^Тимошенко^Нагди

В работе [7] ЯП-алгоритм иллюстрируется на примере уточнения теории пологих оболочек К, Маргера [38] за счет учета поперечных сдвигов и обжатия. Как известно (см., например, [39]), в названной теории кроме допущений, связанных с пологостью оболочки, следуя Г, Карману [40], учитываются в формулах для тангенциальных компонент тензора Грина-Лагранжа квадратичные слагаемые относительно углов поворота касательных к координатным линиям срединной поверхности.

За исходные

Ма/Зфа + («а/3 + 'Ш,а/з)Та/3 + qn =0,

тгп — Mia,ai T-ia,a — 0, % — 1, 2,

(.fi,j - dfi/dxj).

Формулы (5.14') в рамках принятых здесь геометрических допущений имеют вид

~ w ф .

Mtj = Mij + Mij + h{qn8i]y Tij - Tij - rriJij, Tin - ^fjihipi,

где

w

Мц - ~MW,и + ^,22), M22 = (1 ^ 2)M11,

w

M12 = -(1 - v)dowД2; Mn = МФ 1,1 + ^2,2), M22 = (1 ^ 2)Мц,

M12 = y2

Выполнив преобразования, аналогичные тем, что проводятся при выводе уравнений Кармана и отбросив малые слагаемые, придем к следующей системе уравнений:

d0A2w = qn — (kh^ - h2x)Aqn + АВФ + А(Ф, го),

1 1У 1

—Д2Ф — —Атп--Л(гг. т) - Авт - /5-ш,

ЕН ЕН 2

1 + ид 1 1г2

Мг--2~ ^ ~ = (А'Ш ~ * ^ ^ ^

Здесь

, , 82Фд2т ^ 82Ф д2гш 82Ф82т ' дх\ дх22 8x18x2 8x18x2 дх'2 8х\'

А^ = «22 7ГТ ~ 2^127^-~--1- «11-

: о о п п | '»иг, 1)

ОХ\ОХ 2 ох 2

/? = «11,22 — 2^X2,12 + «22,11?

Ф — функция напряжений (усилий), к^ — кривизны срединной поверх-

ности.

7. Полудеформационные граничные величины

Традиционный вариант граничных величин для теории пологих оболочек типа Маргерн Тимошенко Пагдп можно ЗсШИСс1ть в виде таблиц [20]

(7.1)! (7.1)2

Т ± ип мии ми1

IV ди + фи +

Т

и„ Щ

При этом все силовые граничные величины без интегрирования выражаются через основные искомые функции го, Ф, ф2 (см. уравнения (6.3)). Что же касается геометрических граничных величин, то здесь возникает проблема с формулировкой краевых условий в терминах тангенциальных смещений ии,щ, так как последние не выражаются через основные искомые функции без интегрирования. А именно, для их нахождения необходимо дополнительно интегрировать систему уравнений [20]

1

«1,1 = —-(Ф.21> - VФ и) + КцШ -

1

ЕН

-т

ЕП

-тг,

«2,2 = (1 ^ 2)141,1,

«1,2 + ^2,1 =

2(1

V)

ЕН

Ф,12 + 2^12 - годIV о-

На ЭТО обстоятельство ¿хвтор впервые обратил внимание в работе [42] при выводе уравнений теории плоских пластин типа Кармана-Тимошенко. Там же был предложен т.н. полудеформационный вариант,

граничных величин, при использовании которого система уравнений названной теории становится замкнутой.

Несколько позже [10] полудеформационные граничные величины (ПДГВ) были распространены на теорию пологих оболочек типа Марге-ра-Тимошенко-Нагди. ПДГВ в окончательном виде сводятся к замене таблицы (7.1)2 на следующую:

Термин "полудеформационные" граничные величины связан с тем, что деформационными являются лишь тангенциальные величины, т.е. при отсутствии поперечных сдвигов — ровно половина полного варианта этих величин (см. "Основные обозначения" в первой части этой статьи).

8. О влиянии учета поперечных сдвигов на напряженное состояние оболочки

Влияние учета поперечных деформаций на напряженное состояние оболочки впервые было выявлено в работе [43] на примере контакной задачи для замкнутой цилиндрической оболочки, подкрепленной свободно надетым кольцом жесткости (т.н. контактная задача со свободной границей). Полученный качественный результат проверялся на более простой задаче, не перегруженной учетом побочных факторов [44]. В этом случае рассматривалась прямоугольная в плане открытая цилиндрическая оболочка (цилиндрическая пластина) под действием нормальной нагрузки, равномерно распределенной по площадке с областью, подобной области срединной поверхности цилиндрической пластины. Задача решалась с использованием двойных тригонометрических рядов.

Показано, что при нагрузках, близких к сосредоточенным, графики изгибаюнт^их моментов от изменения кривизны срединнои поверхности и от тангенциального изменения поперечных сдвигов находятся в про-тивофазах в области максимальных абсолютных значении тех и других моментов (рис. 6). В этом и заключается механизм релаксации напряжен Iп! за счет учета поперечных сдвигов.

тт* д*

(7-1)з

где

10000Î \ № M \ s к -»

-2000 / V/ 0.5 / \ V M

Рис, 6

При этом относительное снижение моментов может многократно превышать оценку погрешности гипотез Кирхгофа, данную в работе [45]. Иными словами, критерий Новожилова-Финкелынтейна (оценивавших погрешность, вносимую в уравнения геометрической гипотезой Кирхгофа, как величину порядка h/R по сравнению с единицей) перестает "работать" при нагрузках, близких к сосредоточенным. К этому же выводу пришел в свое время А.Л. Гольденвейзер при асимптотическом построении двумерной теории оболочек [46]: оценка, данная в работе [45], является справедливой для напряженно-деформаированного

Так автор видит основные результаты, полученные им в нели-неинои мбхАнико оболочек » За ckoôkamh остались методы и задачи конструктивно-нелинейной механики, с которыми можно ознакомиться по монографиям [20,21].

Литература

1, Михайловский Е. И, Граничные условия подкрепленного края жесткогибкой оболочки Б- нелинейной теории типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. РАК МТТ. 1995. №2- С. 109-119.

2, Михайловский Е. И. Игнорирование гипотез Кирхгофа в нелинейной теории жесткогибких оболочек // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Тр. научной ШКОЛЫ АКАД. В.В. Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 131— 160.

3. Михайловский Е. И., Черных К. Ф. Актуальные задачи нелинейной механики тонких упругих оболочек / / Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Тр. научной школы акад. В,В, Новожилова. СПб.: СПбГУ, 1998. Вып. 1. С. 234-255.

4. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Авт.; С. А. Кабриц, Е.И. Михайловский7 U.E. Товстик7 К.Ф. Черных; В.А. Шамина. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002, 388 с.

5. Михайловский Е. И., Черных К. Ф. Развитие механики оболочек в трудах школы академика В.В. Новожилова // Успехи механики. 2003. Т. 2, №3. С. 87-126.

6. Михайловский Е. И. Школа механики оболочек академика Новожилова. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2005. 172 с.

7- Михайловский Е. И. Нелинейная теория жесткогибких оболочек типа Журавекого // Вести. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. Инф. 2007. Вы,п. 7. С. 77-100.

8. Михайловский Е. И. Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2007. 516 с.

9. Mikhailovskii Е. I., Yermolenko А. V. Он Nonlinear Theory of Rigid-Flexible Shells without the Kirchoff Hypotheses // Critical Review of the Theories of Plates and Shells and New Application. Berlin: Springer, 2004. P. 157-164.

10. Михайловский Е» И., Ермоленко А» В, Полудеформационный вариант граничных условий в нелинейной теории пологих оболочек // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Тр. научной школы акад. В,В, Новожилова. СПб.: СПбГУ, 2000. Вып. 2. С. 60-76.

11. Михайловский Е. И.» Тарасов В. Н. Контактные задачи для гибких элементов конструкций // Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калинин, полит. ип-та; 1989. С. 100-108.

12. Михайловский Е. И., Тарасов В. Н, Задача со свободной границей для оболочки, подкрепленной ребрами одностороннего действия // В,В, Новожилов V4GHbIHj ПбДс1ГОГ? ГрйЖьДйНИН. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. С. 121-128.

13. Михайловский Е. И., Тарасов В. Н. Метод решения контактных задай с неизвестной областью взаимодействия // Новожилов-ский сб. (сб. трудов у посвященный 80-летию акад. В,В. Новожилова). СПб.: Судостроение, 1992. С. 17 20.

14. Михайловский Е, И., Тарасов В, Н, О сходимости метода обобщенной реакции в контактных задачах со свободной границей // РАН. ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 122-136.

15. Михайловский Е. И., Тарасов В. Н. Локальный метод поиска собственных чисел положительно однородного оператора: тез. докл. // Международная научн. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994. С. 88.

16. Михайловский Е. И., Тулубенская Е. В. Алгоритм локального перебора вариантов в задаче об устойчивости круглой пластины на границе винклеровых сред // Механика и процессы управления: Тр. XXXVI Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра "КБ им. академика В. П. МакееваЕкатеринбург: УрО РАН, 2007. С. 109-116.

17- Михайловский Е. И., Тулубенская Е. В, Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче // РАН. ПММ. 2010. Т. Ц, вып. 2. С. 299-310.

18. Михайловский Е, И., Тулубенская Е. В, Алгоритм движения по параметру жесткости в проблеме устойчивости на границе винклеровых сред // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2011. К"3 (24). С. 62-71.

19. Михайловский Е. И. Устойчивость и закритическое поведение упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения. Сыктывкар: Коми научный центр УрО РАН, 2004. С. 32-57.

20. Михайловский Е. И. Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкарского ун-та, 2011. 212 с.

21. Михайловский Е. И., Тулубенская Е. В. Упругие конструкции с односторонними связями (элементы теории и задачи). Palmarium Academic Publishing. 2012. 120 с.

22. Корелин Н. А., Михайловский Е. И. Деформационная теория ребристых оболочек (нелинейный случай) // Тезисы докл. III Всесоюзн. конф. по нелинейной теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1989. С. 23-25.

23. Михайловский Е, И., Тарасов В, Н, Метод обобщенной реакции в задаче с неизвестной границей контакта // Тезисы докл. III Всесоюзн. конф. по нелинейной 'теории упругости. Сыктывкар: Сыктывкарский ун-т, 1989. С. 80-81.

24. Черных К. Ф. и др. Валентин Валентинович Новожилов и его научная школа / Авт.: Ю.М. Даль, В,И. Зубов, Ю.И. Кадашевич, Е.11. Михайловский, 11.Ф. Морозов, В,Я, Павилайнен, В,А, Павловский, Л.И. Слепян, Н, С. Соломенко, К.Ф. Черных, В,А, Шамина. СПб.: НИИ химии СПбГУ, 1998. 160 с.

25. Тарасов В. Н. Задачи на собственные значения для положительно однородных операторов // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 1995. Вы,п. 1. С. 192-204-

26. Холмогоров Д. В. Устойчивость стержня на границе двух упругих сред // Вестн. Сыктывкарского ун-т,а. Сер. 1: Мат., Мех., Инф. 1995. Вып. 1. С. 205-216.

27. Холопов А. А. Минимальные формы потери устойчивости стержня на границе жесткой и упругой сред // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Мат,., Мех., Инф. 1995. Вы,п. 1. С. 217-233.

28. Черных К, Ф, Нелинейная теория изотропно-упругих тонких оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. M2. С. Ц8-159.

29. Мальков В. М. Математическое моделирование в теории упругости. СПб.: СПбГУ, 1997. 205 с.

30. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965.

т. ц, т. с. 337-344.

31. Галимов К. 3» Нелинейная теория тонких оболочек типа Тимошенко // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-т,а, 1975. Вып. IL С. 97-112.

32. Timoshenko S. Р. Он the correction for shear of the diffential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Philosophical Magazine and Journal of Science, ser. 6 1921- Vol. 41, №245. P. 744~

746.

33. Naghdi P. M, On the theory of thin elastic shell // Quart. Appl. Math. 1957. 14, P.369-380.

34. Галимов К, 3. О некоторых направлениях развития механики деформированного тела в Казани // Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 12, С. 3-26.

35. Тимошенко С. П., Войнович^Кригер С. Пластинки и оболочки. М,: Физматгиз, 1963. 636 с.

36. Новожилов В, В., Черных К, Ф., Михайловский Е, И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

37. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с,

38. Marguerre К, Zur theorie der gekriimmten Platte grosser Formrmanderung // Jahrbuch 1939 deutscher Luftfahriforschung. Bd, 1. Berlin: Adlershof Bucherei. 1939. S. 413-418.

39. Филин A. IL Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. 384 с,

40. Кагтап Т. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Encyclopedie der Mathematischen Wissenschaften. 1910. Bd, 2, JY2. S. 311-385.

41. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М,: Наука, 1972. 432 с,

42. Mikhailovskii Е. L On formulating boundary conditions in the Karman plane plate bending theory // Transactions of St-Petersburg academy of sciences for strength problems (to the sixtieth birthday of E.I. Mikhailovskii — fellow of the SPASP). Syktyvkar state university. 1997. Vol. 1, P. 21-44.

43. Миронов В. В., Михайловский Е. И. Об оценке влияния поперечных деформаций в одной контактной задаче со свободной границей // Изв. PAIL МТТ: 2008. №5. С. 52-67.

44. Миронов В. В.> Михайловский Е. И. О влиянии поперечных сдвигов на напряженное состояние цилиндрических оболочек при локальных воздействиях // Тр. XXV Российской школы и XXXV Уральского семинара, посвященных 60-летию Победы. Ч. 1. / Наука и технологии. М.: Изд-во РАН, 2005- С. 231-239.

45. Новожилов В. В., Финкелынтейн Р. М. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // АН СССР. ПММ, 1943. Т. VI, вы,п. 5. С. 331-340.

46. Гольденвейзер А, Л. Алгоритм асимптотического построения двухмерной теории тонких оболочек и принцип Сен Венана jj РАН. ПММ. 1994. Т. 58, вып. 6. С. 96-108.

Summary

Mikliailovskii E.I. The half century with the mechanics of shells

The first part of the article was devoted to memories of the author related to his work in the field of the linear Kirchhoff shell theory. In the second part the description of the recieveci resuilts in the 11011I1 ncai* ixiechanics of shells is given. This is consistent with the fact that this journal is devoted to 25-anniversary of the department of mathematical modeling and cybernetics, in the walls of which were obtained the described results. Keywords: shell, nonlinear theory, transversal shear, transverse compression.

Сыктывкарский государственный университет Поступила 12.12.2012