Трещина на границе раздела линейно-упругой среды и физически нелинейной среды, свойства которой зависят от вида напряженного состояния

Механика

УДК 519.95

ТРЕЩИНА НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ СРЕДЫ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ, СВОЙСТВА КОТОРОЙ ЗАВИСЯТ ОТ ВИДА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

В работе рассматривается трещина на границе линейно-упругой среды и физически нелинейной среды, свойства которой зависят от вида напряженного состояния. Предложен численный метод решения подобного класса задач. В предположении о непрерывности усилий и перемещений на поверхности раздела получены асимптотические распределения напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины.

Ключевые слова: трещина, граница раздела, упрочняющийся материал, зависимость свойств материала от вида напряженного состояния, асимптотическое решение, численный метод.

A crack on the interface between a linear elastic medium and a stress-state dependent physically nonlinear medium is studied. A numerical method is proposed for the solution of such problems. Asymptotic distributions of stresses, deformations and displacements are obtained near the crack tip under the assumption that stresses and displacements are continuous on the interface.

Key words: crack, interface, hardening material, stress-state dependent material, asymptotic solution, numerical method.

1. Разрушение широкого класса материалов часто оказывается обусловленным развитием и распространением трещин, первоначально расположенных на поверхности раздела сред, деформационные свойства которых различны [1-3]. Интерфейсные трещины могут возникать между волокнами и матрицей в композитных материалах, а также на границах зерен в поликристаллических структурах. В структурных керамиках, композитах, поликристаллических сплавах разных металлов трещины на границе раздела сред оказывают существенное влияние на процесс разрушения и часто определяют поведение образца на финальной стадии разрушения. В ряде работ проводится исследование полей напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины на границе раздела сред [4]. В работах [5-7] предлагается численный метод решения подобных задач. Изучение напряженно-деформированного состояния в окрестности интерфейсных трещин особенно важно для физически нелинейных и поврежденных сред. Для материалов, содержащих микродефекты, характерны зависимость деформационных и прочностных характеристик от вида напряженного состояния, взаимосвязь сдвигового и объемного деформирования, неприменимость гипотезы о "единой кривой" для зависимости интенсивности касательных напряжений от интенсивности сдвиговых деформаций. Определяющие соотношения для данного класса материалов предложены в [8, 9]. Подобными свойствами обладают конструкционные графиты, бетон, чугун, некоторые керамические и композитные материалы.

В настоящей работе исследуются напряжения в непосредственной близости от вершины трещины на границе раздела неоднородной физически нелинейной среды и линейно-упругой среды в случае плоского напряженного состояния. Предложен численный метод решения подобного класса задач. Получены асимптотические распределения напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины трещины, проведено исследование влияния материальных констант на вид напряженного состояния вблизи вершины трещины. Обозначения введены согласно [9].

2. Рассмотрим трещину на границе раздела двух сред. Начало системы координат расположим в вершине трещины, ось х направим по границе раздела. Вдали от трещины приложены нормальные к ее плоскости растягивающие напряжения ау = а^.

Пусть в верхней полуплоскости расположена среда, свойства которой зависят от напряженного состояния (среда 1), а в нижней — линейно-упругая (среда 2).

Потенциал деформаций среды 1 имеет вид [9]

1 Гаганова Наталья Валерьевна — асп. каф. теории пластичности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gaganova-nv@yandex.ru.

Н. В. Гаганова1

18 ВМУ, математика, механика, №2

где А = (1+^)/(2Е), В = 3(1 —)/Е, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, а = 1/3ац — среднее напряжение, ао = (3/2БуБу)1/2 — интенсивность напряжений, Бу = ау — аду — девиатор напряжений, £ = а/ао, 5г] — символ Кронекера.

Функция д(ао) характеризует нелинейность обобщенных диаграмм деформирования. Примем степенную зависимость д(ао) = ка0П/п, где к и п — константы материала, которая позволяет успешно аппроксимировать экспериментальные данные [9]. Будем предполагать, что область нелинейного или пластического деформирования в окрестности вершины разреза мала по сравнению с длиной трещины и характерным геометрическим размером тела. При таком допущении в непосредственной окрестности вершины трещины, где напряжения имеют сингулярную особенность, можно пренебречь упругими деформациями как имеющими малый порядок по сравнению с нелинейными составляющими тензора деформаций [10, 11]. Зависимость между напряжениями и деформациями можно представить в следующем виде:

31 ец = 2 + з Щ)каГ2^гг

Здесь функции Л и Л связаны соотношениями

Л + £2Л = 1 + ж, Л' + £2Л' = (п — 2)£Л.

Потенциал (1) должен представлять собой положительно определенную функцию и обеспечивать единственность решения краевых задач. Условие положительной определенности потенциала Ф сводится к неравенству

\ (А + Б£>2 + [А(0 + £2ЛШ] каЦп > 0.

Достаточным условием единственности решения системы механических уравнений является условие выпуклости потенциала, которое имеет вид

( д2Ф \

5Ф= я-)5<Пз5<тк1> 0.

\дау аы) '

В [9] приводятся достаточные условия выпуклости потенциала (1), полученные преобразованием левой части неравенства (3):

А + [(п - 1)Л(£) — £Л'(£)]каП-2 > 0,

в + [л(0 +(А\оЫп~2)--г—[х'{0каГ2]2 п-, > о.

А +[(п — 1)Л(£) — £Л'(£)] ка( Определяющие соотношения для линейно-упругой среды имеют вид

1+^ 1 — 2v

<--13 - $4 --з^— Яккйгз,

где еу = еу — еЬу — девиатор деформаций, е = 1/3 £ц.

3. Введем полярную систему координат (г, 9) с центром в вершине трещины. Компоненты тензора деформаций должны удовлетворять уравнению совместности

д

- Г -:г- = -;--Г--Г -:-.

п I 'О \ __" ""'Т ^ V ) /г\

~дт \ ~д92~) ~ ~д&2 Т ~дг~ Г дг2

Уравнению равновесия можно удовлетворить, введя функцию напряжений Эри Ф(г, 9):

_ 1 <9Ф 1 <92Ф 1 <9Ф 1 <92Ф _ <92Ф

<Тгг г дг г2 дд2 ' агв г2 дд г авв дг2

Определим граничные условия. Так как берега трещины свободны от нагрузок, то напряжения а$$ и агв на поверхности трещины отсутствуют:

авв \в=±п = 0, агв \в=±п = 0.

Будем предполагать непрерывность усилий на поверхности раздела, что соответствует непрерывности компонент тензора напряжений а$$ и агв на продолжении трещины при в = 0:

авв |е=о+ = авв 1^=0-, агв |е=о+ = агв 1^=0- •

Перемещения на границе раздела сред также непрерывны:

иг Ь=0+ = иг Ь=0-1 ив |0=о+ = ив |0=о- •

Вблизи вершины трещины, в области нелинейного деформирования, вид напряженного состояния меняется особенно сильно. В случае, когда в асимптотическом решении упругими деформациями можно пренебречь по сравнению с нелинейными составляющими тензора деформаций, уравнение совместности деформаций становится однородным. Это позволяет использовать для решения метод разделения переменных [10, 11], применяемый также при решении задач о трещинах в [5-7]. Функция напряжений Ф при этом может быть представлена в виде Ф = Кт(б+2)/(в), где К и в — константы.

Будем предполагать, что поле напряжений вблизи вершины трещины в верхней полуплоскости имеет тот же тип сингулярности, что и в нижней. Это предположение позволяет удовлетворить условиям непрерывности усилий и перемещений на границе раздела сред. Параметр в, характеризующий вид сингулярности напряжений, будет определен в ходе решения задачи.

Выражения для компонент тензора напряжений примут вид

агз = Кт3агз

где агг = /'' + (2 + в)/, агв = —(1 + в)/', авв = (2 + в)(1 + в)/. Деформации и перемещения можно представить следующим образом:

егз = Кт%3 (в), иг = Кт3+1иг(в).

Преобразуя уравнение (5) с учетом (9), можно получить дифференциальное уравнение относительно функции /. Для линейно-упругой и для неоднородной физически нелинейной среды оно будет выглядеть по-разному. Функцию / в нижней полуплоскости для линейно-упругой среды будем обозначать через /-, а функцию / в верхней полуплоскости для неоднородной физически нелинейной среды — через /+.

Рассмотрим случай среды 2. Используя (4) и (9), получим из (5):

/-' + [(в + 2)2 + в2] /- + в2(в + 2)2/- = 0. Общее решение этого уравнения имеет вид

/- = Б\ еов

Константы В1, В2, Б3, Б4 предстоит определить в ходе решения с помощью граничных условий.

Рассмотрим случай среды 1. Используя (1) и (9), выразим деформации в уравнении (5) через функцию /+ и ее производные и разделим полученное уравнение на т5(га-1). Мы имеем дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно /+.

Уравнение совместности (5) линейно относительно деформаций, т.е. если функции ег3 являются решением, то функции сопз^егз тоже будут решениями. Таким образом, необходимо ввести некоторую нормировку для функции /+, например такую:

/+

Перейдем к описанию метода определения функции /. Считая параметр в неизвестным, определим его в ходе решения задачи. В классическом случае параметр в может быть найден с помощью инвариантного интеграла Черепанова-Райса, который имеет вид [10]

= т-.-1

3 = т ! [и еов

где

Х

диЛ ( див °гг[ив-— - агв\иг + —

+ - соэ в(аггиг + агвщ),

и = а^— Ф - плотность энергии деформации. Ввиду инвариантности интеграла (12) можно заключить, что произведение компонент тензора напряжений на компоненты тензора деформаций имеет особенность вида 1/г, откуда с учетом определяющих соотношений (2) и представления (9) находим в = 1/п.

Сначала найдем функцию /+ для среды 1. Исходя из того, что в классическом случае в = 1/п = 1/6 = —0,166(6), будем искать в в промежутке [—1, 0]. Для определения функции /+ имеем обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое решается методом Рунге-Кутты, граничные условия определяются методом стрельбы. Из соотношений (6) получаются два граничных условия на функцию /+: /+(п) = 0, /+ (п) = 0. В качестве третьего условия будем использовать условие нормировки (11). +

Задав начальное приближение для параметров а = /+'(п) и в, можно из уравнения (5) найти функцию /+. Определив функцию /+ для среды 1, т.е. для верхней полуплоскости, можем найти функцию /для среды 2 в нижней полуплоскости. Из граничных условий (6), (7) получаем систему уравнений для определения констант Б\, В2, Вз, В4, входящих в выражение (10):

В1 со8(пв) — В2 8ш(пв) + В3 со8(пв) — В4 8т(пв) = 0, вВ1 8ш(пв) + вВ2 С08(пв) + (в + 2)В3 8ш(пв) + (в + 2)В4 С08(пв) = 0,

В1 + Вз = /-(0),

В2в + В4 (в + 2) = /- (0).

Значения /- (0) = /+(0) и /'_ (0) = /+ (0) (условие (7)) определяются по функции /+ для неоднородной физически нелинейной среды в верхней полуплоскости. Решая линейную систему уравнений, находим константы В1, В2, Вз, В4 и, подставляя найденные значения в выражение (10), находим функцию /- для линейно-упругой среды в нижней полуплоскости.

Подходящими будем считать такие значения параметров а и в, при которых перемещения в вершине трещины удовлетворяют граничным условиям (8). Если условия (8) выполняются для найденной функции / и для данной пары параметров (в, а), то в силу теоремы единственности считаем, что решение получено. Если условия (8) не выполняются, задаем другие значения параметров в и а и, решая дифференциальное уравнение, находим новые функции /+ и /-, соответствующие новой паре параметров (в, а).

Следует отметить, что на границе раздела перемещения среды 2 оказываются на несколько порядков меньше перемещений среды 1. Таким образом, граничные условия (8) можно было заменить приравниванием перемещений среды 1 к нулю на продолжении трещины. Подобные результаты были обоснованы в [4]: методом конечных элементов было получено решение задачи о трещине на границе раздела упруго-пластических сред со степенным упрочнением. Было показано, что, когда один из материалов имеет существенно более низкий показатель упрочнения п, чем другой, влияние первого на характер деформирования в окрестности интерфейса можно моделировать, полагая на продолжении трещины, что

иг |в=0= 0, ив |в=0 = 0.

4. Для иллюстрации метода в качестве среды 1 был выбран чугун СЧ 15-32, возможный вид аппроксимации экспериментальных данных приведен в [12]. Кривые деформирования для этого материала можно аппроксимировать, полагая в определяющих соотношениях п = 6, к = 5,274 • 10-14 (МПа)-5. В качестве функции А(£) можно принять А(£) = С\ + А, где с\ = 2,3; С2 = 0,43; = 0,48;

Л0 = 1 - С1 аге^(^).

Функция Л для чугуна имеет вид Л = £2(с0 — с1с27га) = £2(с0 — с1с276), где

т 1 + т 1 е2 , б т

,1о = — атс^-, 3Х = 2 1п—--2 2 I ¿2 О'

С2 с2 2(С22 + ^02) — £0)2 + С2 С2 + £0

з__I___2 + ,

Для чугуна можно принять С0 = 18,3. Выбор упругих констант для среды 2 мало влияет на решение для среды 1.

Численным методом были найдены следующие значения параметров а и в: а = —0,1295; в = —0,1667. Важным результатом является то, что степень сингулярности в = —0,1(6), полученная численным методом, совпадает со значением в, полученным с помощью инвариантного интеграла Райса-Черепанова. В [9]

была рассмотрена подобная задача о трещине на границе раздела линейно-упругой среды и дилатирующей среды, свойства которой зависят от напряженного состояния. Задача решалась аналогичным численным методом, но вместо граничных условий (8) использовались условия (13), при этом значение параметра в, найденное численным методом, отличалось от значения, найденного с использованием инвариантности интеграла Райса-Черепанова.

Графики зависимостей напряжений ау (9) = ау /(Кгв), деформаций еу (9) = еу/ (Кп-1гз(п-1^к) и перемещений

Ц~г(9) = Щ/(Кп-1гз(п-1^+1к) от угла 9 для чугуна представлены на рис. 1-3 соответственно.

Также было проведено сравнение полученных асимптотических распределений с решением задачи для трещины на границе линейно-упругой и пластически несжимаемой сред. Определяющие соотношения (2) сведутся к определяющим соотношениям пластически несжимаемого материала, если принять Л = 1, Л = 0. Распределение напряжений для материала, свойства которого зависят от вида напряженного состояния, не отличается качественно от соответствующих распределений для пластически несжимаемого материала.

Рис. 1. Распределение напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва при плоском напряженном состоянии

Рис. 2. Распределение деформаций в окрестности вершины трещины нормального отрыва при плоском напряженном состоянии

Рис. 3. Распределение перемещений в окрестности вершины трещины нормального отрыва при плоском напряженном состоянии

Таким образом, предположение о едином для обеих сред показателе сингулярности s и пренебрежение упругими деформациями физически нелинейного материала позволяют использовать метод разделения переменных и значительно упростить задачу, сведя ее к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные решения дают возможность оценить степень влияния свойств материала на характер асимптотических распределений в непосредственной окрестности вершины трещины.

Автор выражает признательность Т.А. Беляковой за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials with crack //J. Appl. Mech. 1965. 32. 403-410.

2. England A.H. A crack between dissimilar media //J. Appl. Mech. 1962. 55. 400-402.

3. Rice J. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks //J. Appl. Mech. 1988. 55. 98-103.

4. Shih C.F, Asaro R.J. Elastic-plastic analysis of cracks on bimaterial interface. Part I: Small scale yielding //J. Appl. Mech. 1988. 55. 299-319.

5. Wang T.C. Elastic-plastic asymptotic fields for cracks on bimaterial interfaces // Eng. Fract. Mech. 1990. 37, N 3. 527-538.

6. Yong-Li W, Zhi-Fa D, Guo-Chen L. Asymptotic analysis for a crack on interface of damaged materials // Int. J. Fract. 1998. 91. 47-60.

7. Hongrong Y., Yong-Li W., Guo-Chen L. Plane-stress asymptotic fields for interface crack between elastic and pressure-sensitive dilatant materials // Eng. Fract. Mech. 1998. 60, N 2. 205-219.

8. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1978. № 6. 28-34.

9. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1991. № 6. 66-75.

10. Rice J., Rosengren J.F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material //J. Mech. and Phys. Solids. 1968. 16. 1-12.

11. Hutchinson J.W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material //J. Mech. and Phys. Solids. 1968. 16. 13-31.

12. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Упругопластическое деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1996. № 5. 99-109.

Поступила в редакцию 22.12.2010

УДК 53.089.6

"ТЕЛЕСКОПИЧЕСКАЯ" СИСТЕМА В ЗАДАЧЕ КАЛИБРОВКИ БЕСПЛАТФОРМЕННЫХ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ

А. В. Деревянкин1, А. И. Матасов2

Исследован алгоритм стендовой калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем, разработанный в Московском институте электромеханики и автоматики. Построена математическая модель процесса калибровки и предложен способ представления рассматриваемой задачи калибровки в форме стандартной задачи оценивания при помощи так называемой "телескопической" системы. На базе исходного алгоритма построен новый, позволяющий повысить точность оценивания параметров блока акселерометров и блока гироскопов в ходе калибровки. Определена предельная точность оценивания параметров.

Ключевые слова: бесплатформенные инерциальные навигационные системы, калибровка, фильтр Калмана.

An algorithm for the bench-test calibration of strapdown inertial navigation systems is studied. This algorithm was developed at the Moscow Institute of Electromechanics and Automatics. A mathematical model for the calibration process is constructed. A method for representing the calibration problem in the form of a standard estimation problem is proposed. This method exploits a so-called "telescopic" system. On the basis of the original algorithm, a new calibration algorithm is constructed; this new algorithm allows one to improve the estimation performance of the parameters of an inertial sensor unit. The maximum achievable accuracy for the parameters of the unit is determined.

Key words: strapdown inertial navigation systems, calibration, Kalman filter.

1. Введение. Проблема калибровки бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) исследуется начиная с 1970-х гг. во многих научных учреждениях и на специализированных предприятиях, в том числе и в МГУ (см., например, [1-13]). Тем не менее общая теория, которая содержала бы подробное математическое исследование этой проблемы, до сих пор отсутствует. Многие алгоритмы, разработанные на предприятиях, позволяют успешно решать конкретные задачи. Вместе с тем соответствующее математическое обоснование не всегда отличается достаточной строгостью; это не дает возможности оценить применимость алгоритмов к другим схожим задачам, предложить методы модернизации этих алгоритмов и определить предельно достижимую точность калибровки. В связи с этим описание алгоритмов калибровки со строгих математических позиций представляется полезным.

2. Исходный алгоритм оценивания. В данной работе проведено математическое исследование алгоритма стендовой калибровки БИНС, разработанного в Московском институте электромеханики и ав-

1 Деревянкин Алексей Викторович — науч. сотр. ФГУП "Научно-производственный центр автоматики и приборостроения им. Н.А. Пилюгина", e-mail: aw.ois@viniti.ru.

2 Матасов Александр Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexander.matasov@gmail.com.