Динамика кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках

УДК 531.8

Динамика кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках

Кулаев Д.Х.

Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий

В настоящее время для определения неисправностей механизмов широко используются методы виброакустической диагностики. Точность методов определяется соотношением сигнал-шум. Увеличение этого соотношения может быть достигнуто выбором режима работы механизма при диагностике. В работе приведена динамическая модель кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках, в виде системы дифференциальных уравнений, позволяющая выбирать наиболее информативный режим диагностики.

Ключевые слова: поршневая машина, кривошипно-ползунный механизм, диагностика, виброакустическая, режим работы, зазоры, динамика, скорость соударения.

При использовании систем виброакустической диагностики поршневых машин (двигателей внутреннего сгорания, поршневых компрессоров), возникает задача выбора наиболее информативных режимов диагностики, то есть режимов работы машины, при которых виброакустический сигнал, порождаемый неисправным узлом, существенно выделяется на фоне помех. Другими словами необходимо обеспечить режим работы машины при диагностике с повышенными скоростями соударения изношенных деталей.

Известен ряд работ по моделированию динамики кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках на основе уравнений Лагранжа 2 рода [1,2]. Однако принятое в этих работах представление элементов кинематических пар цилиндрическими поверхностями не отражает реальной формы этих поверхностей при износе. Причем сложность полученных уравнений затрудняет учет реальной формы изношенных подшипников.

В данной работе предлагается более простая математическая модель кри-вошипно-ползунного механизма поршневой машины с зазорами в шатунных подшипниках, в которых профили изношенных вкладышей представлены в виде эллипсов.

1. Обозначения величин

1.1. Я — радиус кривошипа, м;

1.2. 1 — отношение длины кривошипа к длине шатуна;

1.3. Ь = — длина шатуна, м;

1.4. Ь1 — расстояние от центра нижней головки шатуна до центра масс шатуна, м;

1.5. D maxi — максимальный зазор в верхнем шатунном подшипнике;

1.6. А min1 — минимальный зазор в верхнем шатунном подшипнике, м;

1.7. d — диаметр пальца, м;

1.8. g1 — угол между большой осью эллипса верхнего шатунного подшипника и осью шатуна, рад;

1.9. А max2 — максимальный зазор в нижнем шатунном подшипнике, м;

1.10. А min2 — минимальный зазор в нижнем шатунном подшипнике, м;

1.11. D — диаметр шейки коленчатого вала, м;

1.12. g2 — угол между большой осью эллипса нижнего шатунного подшипника и осью шатуна, рад;

1.13. e — степень сжатия;

1.14. pa — давление в цилиндре на такте впуска, МПа;

1.15. pz — максимальное давление в цилиндре, МПа;

1.16. pb — давление в цилиндре на такте выпуска, МПа;

1.17. 6 — угол поворота кривошипа, соответствующий участку максимального давления в цилиндре, рад;

1.18. n1 — показатель политропы сжатия;

1.19. n2 — показатель политропы расширения;

1.20. Dn — диаметр поршня, м;

1.21. Sp — рабочий ход поршня, м;

1.22. m2 — масса шатуна, кг;

1.23. m3 — масса поршня, кг;

1.24. Jc2 = 0,175 • m 2 • L2 — момент инерции шатуна относительно оси, проходящей через центр масс, кг/м2 ;

1.25. c1, a1, ß1 — показатели силового взаимодействия в верхнем шатунном подшипнике; здесь коэффициент, определяющий трение при деформации:

ß = 2 • m • 0,3 • Jc1 • m2 •Н-с/м;

1.26. c2, a2, ß2 — показатели силового взаимодействия в нижнем шатунном подшипнике; здесь коэффициент, определяющий трение при деформации:

ß = 2 • m^ jc2 • m2 • L Н-с/м;

1.27. f12 — коэффициент трения в нижнем шатунном подшипнике ;

1.28. w1 — угловая скорость вращения кривошипа, рад/с.

2. Расчет силы давления газа

Сила давления газов определяется рабочим процессом поршневой машины. В качестве примера приведем формулы для двигателя внутреннего сгорания.

Условное расстояние между днищами поршня и головки цилиндров при положении КШМ в ВМТ, м

Q = SP sc = 7

e-1

Перемещение поршня

(1 - ^(2 -а))'

Б = Я -

1 - ш8(а)+1--

п1

Давление в цилиндре в конце такта сжатия Pc=Pa - е

Давление в цилиндре двигателя внутреннего сгорания

Р =

Рс + (Рг - Рс ) -

Б

/

Б

ж

\

15-ж

180

<а<

15-

V 180у

15-ж

/ 0<а<

15-ж 180

180

+0

Бс + Б

15-ж 180

+0

Бс + Б

п2

- Рг У

15-ж 180

+0

<а< 170-

ж 180

170-

ж 180,

<а< 2-ж

Ра ¡/ 2ж<а<3ж

Р

'(?а + ^ )"

Я + Б

/ 3ж<а<4ж

Рс +Р - Рс )-

Б

ж

Б 4-ж+15

I 180/

/ 4ж<а<4ж+

15-ж 180

Р2 /

15-ж

180

+4ж<а<

15-ж 180

+0+4ж

Бс + Б

15-ж 180

+0

Бс + Б

- Рг /

15-ж 180

+ 0+4ж

<а<

170-ж

V 180/

+ 4ж

Cилa давления газа на поршень

Р = ж 2 Р = ж--

(Р - 0,1)-106

4

п

1

п

2

3. Дифференциальные уравнения движения кривошипно-

ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках

Схема кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках изображена на рис. 1.

Рис.1. Схема кривошипно-ползунного механизма с зазорами в шатунных подшипниках.

На рис. 2 и 3 приведены схемы сочленений шатун-шейка коленчатого вала и шатун-палец соответственно.

У2

ф2

Б

У х2

Р2 ,

фр2

ф12

72

'А

Г12 172-Р+Ф2

х

к

Рис. 2. Схема сочленения шатун-шейка коленчатого вала.

У1

Рис.3. Схема сочленения шатун-палец.

Длина большой полуоси эллипса верхнего шатунного подшипника, м:

а,

^ + А тах1)

2

Длина малой полуоси эллипса верхнего шатунного подшипника, м:

ь + Атш1) 1 2 '

Эксцентриситет эллипса верхнего шатунного подшипника:

- ь;.

а1

Длина большой полуоси эллипса нижнего шатунного подшипника, м:

а _(Р + А тах2 ) 2 2 '

Длина малой полуоси эллипса нижнего шатунного подшипника, м:

> + Ат.2).

22

Эксцентриситет эллипса нижнего шатунного подшипника:

е = 1-

Ь„2

'2 1 2 а 2

Для упрощения вывода дифференциальных уравнений движения механической системы с переменной структурой, разделим кривошипно-ползунный механизм на отдельные звенья, дополнив дифференциальные уравнения движения звеньев уравнениями силового взаимодействия. При этом предполагаем, что кривошип совершает равномерное вращение.

Система дифференциальных уравнений движения шатуна и поршня

d2 x

1 2-—Г = X12 + X 23 + ^2 х ; dt

d2 Ус =

12 - 2 = + ^23 + Fl2у ; Т ^

^ 2-^ = I мс;

6 2 Х3

т--= -Х„ - Р.

3 dt2 23

Введем новую независимую переменную

а = V -t

6хс 6ус 6х3

У0 = хс; У1 =-:-; У2= = Ус; У3 =-:-; У4 = Уз =-г-; Уб = х3; Ут =-;-.

6а 6а 6а 6а

Обозначим:

Относительные координаты звеньев:

xi2 = yo - R • cosa + Li • cosy4; У12 = (У2- R • sina) + Li • siny4; X32 = yo - (L - Li) • cosy4 - У6; У32 = y2 - (L - Li) • siny4; fi2 = arctg (Xi2, yi2); Ф32 = arctg (X32, y32);

— I 2T 2.

ri2 — V Xi2 + Ун ;

— I 2Г 2

r32 — V X32 + У 32 •

Производные от относительных координат:

x*i2 = (yi + R • sina - Li • sin y4 • y5) • wi; y*i2 = ((y3 - R • cosa) + Li • cos y4 • y5) • Wi; x*32 = (yi + (L - Li) • sin y4 • y5 - y7) • Wi; y*32 = (y3 - (L - Li) • cos y4 • y5) • Wi;

e (ij2 • x

r 12 =

12 • x 12 + У12

• У *12 ).

Г12 + 10

-25

Г32 +10 25

Относительные координаты точки контакта шипа и подшипника: для верхнего шатунного подшипника:

ф1 = фз2 - 71 + 2- р - У4;

Р1 -

1 - COsf )2 £у

для нижнего шатунного подшипника

ф2 = ф12 - 72 - У4;

p2

1 - cos

f )2'

,2 2

e2

Производные от радиусов-векторов, определяющих точку контакта в подшипниках:

верхнем

p 1 =

- b1 e1

sin2 • ф 1

• У-

2 • 11 - cos ф 1

• 2 2\2 1 e1 )2

t32 • y 32 -x 32 • y32,

2 +in-25 r32 +10

У5 w1

- нижнем

p 2 =

- b2 • e2

sin 2 • ф 2

,2 e 2 )2

(x

12 У 12 - x 12 • У12,

2 • 1 - cos ф 2 • e?

Реакция в нижнем шатунном подшипнике:

2 -25 r12 +10

У 5 w1

R12 =

2

/12 + f I- p 2

a

+ b2 •r 12 if

r12 + D 1- p 2

> 0

x 12 = R12

У12 = R12

0 otherwize x

12

-25 '

r12 +10

У12 r12 +10 -25

Реакция в верхнем шатунном подшипнике

R32 =

1

r32 + - I- p1

a

1

+ b1 •r 32 if

r32 + - I- p1

>0

X32 R32 •

0 otherwize X

32

Гэ2 + 10

-25 '

b

2

(

2

У32 - Я3

У 32 Г32 + 10

-25

Сила трения в нижнем шатунном подшипнике:

Р12 = • ^42-

Система дифференциальных уравнений, описывающих движение звеньев кривошипно-ползунного механизма представлена в форме Коши:

"У 0^ У1 У 2

У 3 У 4 У 5

У 6

У 7

- ^

Матрица правых частей системы дифференциальных уравнений:

У1

2 т2 • Щ

У3

2 т2 • Щ

У 5

[[ X 32 •(ь - Ь )-(X12 + ^ х )• А ]• 8Ш У 4 +[(712 + У )• А - 732 •(Ь - А )]• 008 У 4 ]+^12 В/2

Т 2 •1с2 • Щ

У 7

-

2 т3 • Щ

^ -

Приближенное определение начальных условий в начале рабочего такта:

Р3 - т3 я щ2 •М + я |;

ь

я

р2 - т2 я • Щ •! 1 + 0,35 • — I;

ь

(Р - Р(0)|)'

с

((Рз + Р2 )-Р(0)|)'

2

С

2

Вектор начальных условий:

У =

(А + я)-

А,

(А + Я )-

£

0 0

я-

А

Я

Г А

тах 2

А

+

ГА

тах 1

2

2

2

0

Полученные дифференциальные уравнения могут быть численно решены с

использованием специализированных программ, например, МаШсаё.

Список литературы

1. Гриб В.В., Сафонов Б.П., Жуков Р.В. Динамика механизма движения поршневого компрессора с учетом зазоров в подвижных соединениях//Вестник машиностроения. 2002. № 4. С. 3-7.

2. Сергеев В.И., Юдин К.М. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами. М.: Наука, 1974. 111с.

Dynamics of a slider-crank mechanism with ^nrod bearing

clearances

D.Kh. Kulayev

Saint-Petersburg State University of Refrigeration & Food Engineering

Nowadays vibroacoustic diagnostics to detect mechanism damage is widely used. The signal-noise relation determines whether the method is adequate. This ratio can be augmented by appropriate selection of mode of operation of the mechanism when it is diagnosticated. The paper realizes a dynamic model of a slider-crank mechanism with con-rod bearing clearances as a system of differential equations which allows selecting more informative condition of diagnostics.

Key words: piston machine, slider-crank mechanism, diagnostics, vibroacoustic, mode of operation, clearances, dynamics, impact rate.