Эффект Казимира-Полдера для плоскости со взаимодействием Черна-Саймонса

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2008. Вып. 4

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.9

В. Н. Марачевский, Ю. М. Письмак

ЭФФЕКТ КАЗИМИРА-ПОЛДЕРА ДЛЯ ПЛОСКОСТИ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ЧЕРНА-САЙМОНСА*

Введение. Эффект Казимира-Полдера был теоретически предсказан в 1948 году [1]. Казимир и Полдер рассчитали энергию нейтрального точечного атома в основном состоянии при наличии идеально проводящей бесконечной плоскости. Нейтральный атом в основном состоянии притягивается к плоскости за счет возникновения в атоме спонтанных флуктуационных дипольных моментов, которые, в свою очередь, создают флуктуационные электрические поля, удовлетворяющие граничным условиям на плоскости. В случае идеально проводящей плоскости можно сказать, что возникает взаимодействие флуктуирующего диполя с электрическим полем его изображения, которое и дает потенциал Казимира-Полдера.

Средний дипольный момент атома при отсутствии электрического поля равен нулю. В эффекте Казимира-Полдера важны корреляции спонтанных дипольных моментов в атоме в разные моменты времени, которые в силу флуктуационно-диссипационной теоремы связаны с поляризуемостью атома во внешнем электрическом поле. Эффект Казимира-Полдера является эффектом второго порядка по диполь-дипольному взаимодействию, и поэтому, в силу флуктуационно-диссипационной теоремы, потенциал Казимира-Полдера зависит от поляризуемости атома. В общем случае, поляризуемость атома включает симметричную и антисимметричную части и зависит от частоты [2].

Эффект Казимира-Полдера исследовался теоретически для различных геометрий: двух параллельных плоскостей [3], клина [4], диэлектрического шара [5] и других геометрий. Первые эксперименты для проверки эффекта Казимира-Полдера были осуществлены в клиновидной геометрии [6]. Обзор результатов можно найти в [7]. Граничные члены Черна-Саймонса рассматривались в приложении к квантовой электродинамике и эффекту Казимира в работах [8].

В данной работе получена формула для взаимодействия Казимира-Полдера нейтрального атома с бесконечной плоскостью, на которой задано действие Черна-Саймон-са для векторного потенциала. Вне плоскости вводится стандартное действие для потенциала электромагнитного поля. Отличительной особенностью нашего результата является зависимость в рассматриваемом случае потенциала Казимира-Полдера от антисимметричной части атомной поляризуемости.

Модель. В рамках предлагаемой нами модели взаимодействие плоской поверхности с квантовым электромагнитным полем А^ описывается действием вида

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 06-01-00632).

© В. Н. Марачевский, Ю. М. Письмак, 2008

,^(А) = ау еаРу3Аа(х)дрАт(х)5(хз)3,х.

Мы будем использовать латинские индексы для компонент 4-тензоров с номерами 0,1, 2, а также следующие обозначения

Р1т

где |&| = л/Й2, и д — метрический тензор. Атом как локализованный в точке {х\, Ж2, жз) =

3

Зо(х) = ^^pi(t)дг5(xl)5(x2)5(xз - I),

1=1

1г(х) = -ерг(1)Ь(х1 )5(х2)5(хз - I), г = 1, 2, 3 Оно удовлетворяет условию Лоренца:

д^ = 0,

а р(Ь) - случайная функция с гауссовым распределением с нулевым средним и парной корреляцией

+ ^ - / г г р—г{11—12)

№

где а?к(ю) при ю > 0 совпадает с атомной поляризуемостью. Целью нашей работы

является расчет энергии Е взаимодействия атома с плоскостью, для которой мы воспользуемся ее представлением в виде

где {• • • }(а) означает, что у стоящей внутри скобок функции от а следует вычесть ее

значение при а = 0: {/(а)}(а) = /(а) - /(0).

Интегралы в правой части (3) калибровочно инвариантны и на фиксацию в них калибровки нет никаких ограничений. Для проведения наших расчетов удобно выбрать сходную с кулоновской калибровку вида доА0 + д^1 + доА2 = 0. В ней действие Б (А) мы можем записать следующим образом [1]:

Б (А) = — ( А(х)1СА(х)с1,х = — [ {А*(к,хз)К^А(к,хз) — А$(к, х%)к2 А%(к, жз)}&с£жз.

Здесь

А^(к,х3) = ^^/2 J егкхА^(х)Зх, К1- = —Р д\ + к2 -2Цк\аЩх3).

+) Мы используем систему единиц, в которой Н = с = 1.

Наша модель инвариантна относительно преобразований трансляций координат х0,х1,х2. Поэтому для пропагатора

Б(х,у) = гК—1(х,у),

который нужно вычислить для того, чтобы найти энергию Е по формуле (3), удобно использовать представление в виде интеграла Фурье:

В{х’у) = Щ1 /

(для которого С(к, хз, уз) вычисляется в явном виде). Обозначим дд(г) функцию Грина дифференциального оператора д° + д2:

[д° + Ч2] дд(г - г') = 8(г - г').

Непосредственной подстановкой в это уравнение нетрудно убедиться, что

еАч\\А

а„{г) = —г———

является его решением. Используя введенные выше тензоры Р^,, Ьу, построим

а2Руи + аЬц, д\д\(хз)д\д\ (уз)"

Оуу (д; хз,уз) = -г

9\д\ (хз — уз)Р\1У —

^ 1 + а2 9\д\

Функцию Оул, (д; хз,уз) можно переписать также и в более простом виде:

еі\ч\\Хз-уз\ а2Рух + аЬим ЄІ\Ч-\

С^(я-,х3,уз) = 1 + а2 2Ы '

С помощью соотношений

Р2 = Р, Ь2 = —Р2, ЬР = РЬ = Ь, [дч(0)]-1 = 2гд легко проверить равенство

К^О(к; хз, уз) = г8(хз — уз)Р.

Следовательно, в выбранной нами калибровке пропагатор Ру^(к, хз, уз) имеет вид

Дзз

\к\2

п ,д ч п ,д ч Ріт

Оіт{к,хз,уз) = Сіт(к,хз,уз) =---------------------------р-------------------------

2\к\[1 + а2]

где 1,т = 0,1, 2,

Рі

Р2(к,хз,уз) = аеІ\к\(\Хз\+\уз\).

Проинтегрировав по фотонному полю, мы получим | exp {iS(A) + iJA} DA

ln

/ exp {iS(A)} DA

где Вр = {Б}(а) = Б — Б\а=0. Таким образом, для энергии Е, которая определяется правой частью (3), мы получаем следующее выражение:

Е = _г

2Т У ’

к вычислению которого мы теперь приступим.

На первом этапе расчетов найдем входящую в правую часть (7) величину ,

характеризующую взаимодействие диполя р(1) с плоскостью. В силу (4) пропагатор Пр имеет вид:

Бр(к,хз,уз) = Бр(к,хз,уз) = Врт (к,хз,уз) = 0,

01рт(к, хз, УЗ) = р,3|°2 + 2Г°е^'(|а!!,'+'УЗ')’ т = °> !’ 2 2\к\[1 + а }

и для потенциала взаимодействия Ур получается следующее выражение:

* *

Ур = ~2'1Вр'1= _4

Мы ввели обзначение

Тр(к,г,г') = а^^^Рг(г)кг + рз(*)\*\^ Рг(г')кг — рз(г')\к^ Р00(к) —

— * ^ Рз (г) Рг(г')кг — рз (г')\км [а2Рз0(к) + аЬз0(к)} +

з=1 \г=1 /

+ * Рг(г)кг — Рз(г)\кМ ^Рз(г')[а2Р0(к) + аЬ°з(к) +

\г=1 / з=1

2

+ ]Т ШРз (г')[а2Рг3(к)+аЬгз(к)}. г,з=1

Так как, в силу определения (1), компоненты проектора Р, имеют вид

~ к0 к*

Р°°(к) = -г£, кР = *2 + к2, Р°*(к) = Рм(к) = - —, * ф 0,

к2 у к2

то, интегрируя по по частям времени г, мы можем в (8) произвести замену Р(г) ^ —*к0Р(г), Р(г') ^ *к0Р(г') , а в силу независимости р(Ь) от импульса к мы можем также в данном интеграле заменить

2 k2 2 / 2

PiWPjit'Wk3 -> -2 i,j=1 i=1 \i=1

Pi{t)pj{t')klk3 -> ^2pi(t)pi(t'), ^2Рі(і)кг p3(t)\k\ -> 0.

В результате функцию Тр(к,і,і') в интеграле (8) заменяется на

2 к2 _ \ к2

бр(к, і, і') = -а2 \^2рі(і)рі(і')^ - рз(і)рз(і')\к\2 \ +

+

а?к2рк2 к2

^ / ч /Л Г-/ ч /м акр ко

^2Рз(г)Рз(г ) - Ыг) х Р(* )]з—у—

3=1

\к\

+ «2^о ^РЛ*)Рз(*') + №) X Р^'^3~Щ

г=1

\к\

+ ако\к\ [р

Теперь представим вектор р(Ь) в виде преобразования Фурье:

1 Г ................... 1

р

J е гМр(оз)Зоз, р(ю) = J ЄгМр(і)Зі, р*(оз)=р(—со).

\р2ж У ’ \р2ж

Тогда (8) может быть записано в виде

Л2\\к\

Ур — -

4(2п)2[1 + а2]] \к\

Зк—-—Лрік),

где

Пр(к) —

Х)рі

+ако\к\[р

Полученный результат можно упростить, выполнив в (10) интегрирование по кі, к2, что мы теперь и сделаем.

Наша задача проинтегрировать выражение вида Г(кр) по к1, к2. Чтобы сделать это, воспользуемся следующей формулой:

+ Ж + Ж

— оо —оо

Нам нужно вычислить три интеграла:

+ Ж + Ж

+ Ж + Ж

іа\к\ь2^.^ г г еіа\к\3к13к2

вш\к\к2Р 3к13к2

\к\

\к\

+ Ж + Ж

13(а,к0) = ! J віа\к\3к13к2.

— Ж — Ж

Мы имеем:

2

а

2

а

г егочАо Ррф г еш\к°\'^г~Ро(1а

Ыа'ад=Ч ^-Р = У ^

2п------------------------------з-------------------------,

г е^л/^Рф [ е^І^І^Ррф е*а|й0|\Д—Р

І2(“' ад = Ч “/ГГ = 01 / =2"*——

І3

Следовательно,

7-. , > -Г. , м О .е<аІ*°І2

/і(а, /го) = -її (а, ко)\р=о = -2т----------------^-----------!—

е

/2(а, ко) = -І2Іа, /г0)|р=о = -2то-

а3

іа\ ко \

а

7- / 1 \ Т / 7 м О .еіа^°

/3(а, /г0) = -13(а, &о)1р=о = -2го-----------^---------.

Таким образом, мы приходим к следующему результату для потенциала взаимодействия диполя с плоскостью:

_ а2

“ “ 64л[1 + а?]Р ’

где

+ Ж 2

3і(0 — - [ е—2іІ\ко\\(1 - 2Щко\-412\ко\2 )І2 Рі (ко )р*(ко) +

2(1 - 2іІ\ко\)рз(ко)р3(ко) 3ко

-+Ж

е2іІ\ко\

Я2(1) = *у е2г('к0' (1 — 2*1\к0\)(—21\к0\)е(к0 )[Р(к0) х р* (к0 )}3 к

— Ж

Здесь мы использовали обозначения £,(к0) = к0/\к0\. Функции ^1, Q2 можно также представить в виде:

Яі

о

3т,

2

д2(0 = 2J в2ию(1 - 2Ию)(-2Ию) |р(ю) х р*(ю)]3 йю.

о

После виковского поворота в этих интегралах и усреднения Ур по потенциалу р(4), мы получаем энергию Казимира-Полдера в следующем виде:

E = -

1 а 64 к213 1 + а2

' +Ж

J dtoe-212(1 + 2ш!)азз(гш) +

' о

+ J dtoe-21 (1 + 2©l + 4ш2/2)ац(гш) +

о

\

+ J do>e-2al (1 + 2ш1 + 4ш212)а22(гш) j +

+ 64л2/2 1 + а2 / dooe_2‘Di2fi)(1 + 2fi)/)(ai2(*)-«2i(ioo)).

Это выражение в пределе а ^ дает хорошо известный потенциал Казимира-Пол-дера [1].

Заключение. В рамках квантовой электродинамики при наличии сосредоточенного на поверхности дефекта действия Черна-Саймонса получена формула для взаимодействия нейтрального атома с бесконечной плоскостью. В предельном случае а ^ результат совпадает с результатом Казимира-Полдера для взаимодействия нейтрального атома с идеально проводящей плоскостью. Отличительной особенностью данной модели является ненулевой вклад антисимметричной части атомной поляризуемости в энергию взаимодействия атома с плоскостью при конечных значениях параметра а.

Summary

Marachevsky V. N., Pis’mak Yu. M. Casimir-Polder effect for plane with Chern-Simons interaction.

Calculation of Casimir-Polder potential describing interactions of a neutral atom with fluctuations of vacuum of the photon field at presence of defect breaking spatial uniformity (an infinite plane without charges and currents) is performed. For non-ideal conducting plane there is a unique model consistent with basic principles of quantum electrodynamics. There appears to be a model with the Chern-Simons delta-potential having one dimensionless parameter describing properties of a material of defect. Because of absence of an average electric dipole moment for an atom the Casimir-Polder effect arises because of correlations of the time of fluctuations of spontaneous dipole moments. It defines dependence on frequency of atom polarization in an external electric field. The essential feature of the result received in our work for the Casimir-Polder potential is its dependence in case of non-ideal conductivity on an antisymmetric on frequency part of the dipole moment correlation function. It disappears in a limit of an infinite interaction constant and the well-known Casimir-Polder potential for ideally conduction plane turns out.

Key words: Casimir-Polder potential, breaking of parity, imteraction of the qunatum electrodynamics fields with material bodies.

1. Casimir H. B. G., Polder D. The influence of retardation on the London-van der Waals forces // Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 360-372.

2. Barron L. D. Molecular light scattering and optical activity. Cambridge., 2004.

3. Barton G. Quantum-electrodynamic level shifts between parallel mirrors: application, mainly to Rydberg states // Proc. R. Soc. London Sect. (A). 1987. Vol. 410. P. 175-200.

4. Brevik I., Lygren M., Marachevsky V. N. Casimir-Polder effect for a perfectly conducting wedge // Ann. Phys. 1998. Vol. 267. P. 134-142.

5. Marachevsky V. N. Casimir energy and dilute dielectric ball // Phys. Scripta. 2001. Vol. 64. P. 205-211; Марачевский В. Н. Эффект Казимира и квантовая теория поля в диэлектриках // Теор. мат. физ. 2002. Т. 131. С. 26-43.

6. Sukenik C. I., Boshier M. G., Cho D., Sandoghdar V., Hinds E. A. Measurement of the Casimir-Polder force // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 70. P. 560-563.

7. Buhmann S. Y., Welsch D. G. Dispersion forces in macroscopic quantum electrodynamics // Progr. Quant. Elect. 2007. Vol. 31. P. 57-130.

8. Elizalde E., Vassilevich D. V. Heat kernel coefficients for Chern-Simons boundary conditions in QED class // Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. P. 813-822; Bordag M., Vassilevich D. V. Casimir force between Chern-Simons surfaces // Phys. Lett. (A). 2000. Vol. 268. P. 75-80.

9. Markov V. N., Pis’mak Yu. M. Casimir effect for thin films in QED // Journ. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 6525-6532.

Принято к публикации 29 августа 2008 г.