Синтез адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО ПРЕДИКТОРА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ

УПРЕЖДАЮЩЕЙ ОЦЕНКИ

А.А. Бобцов, В.И. Цвикевич

Статья посвящена проблеме синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы второго порядка с частично известными коэффициентами и известным, в общем случае, переменным запаздыванием. Решаемая в рамках данной работы задача, является актуальной при управлении впрыском топлива в инжекторных двигателях внутреннего сгорания.

Введение

В данной статье рассматривается задача синтеза адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки. Задача эта не является новой, но для данной работы является специфичной, поскольку наряду с типовой постановкой, заключающейся в синтезе предиктора или упредителя для линейной стационарной системы с неизвестными коэффициентами при запаздывании в управлении, данная проблема усложнена нестационарностью модели и наличием дополнительной сенсорной динамики. Подобная задача является достаточно актуальной для поддержания заданного стехиометрического соотношения в системах управления впрыском топлива для инжекторных двигателей внутреннего сгорания. Решение задачи поддержания заданного стехиометрического соотношения является экологически и экономически выгодным, поскольку, с одной стороны, в атмосферу не выбрасываются вредные вещества, вызванные частичным сгоранием топлива, а с другой стороны, производится оптимальный по объему впрыск топлива необходимый для функционирования двигателя.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления следующего вида

x = -ax + bu ,

У = v

где сигнал yv(t) и функция x(t) не измеряются; функция v(t) = Av(t) + v0 > 0 предполагается известной, число Vo > 0; постоянные параметры a, b и d не известны.

Наряду с объектом управления (1), (2) рассмотрим сенсор первого порядка

у = -ay + ßy

где постоянные параметры а и ß полагаются известными; сигнал y(t) измеряется; запаздывание т > 0 известно.

Следует отметить, что модель вида (1) - (3) является достаточно известной и популярной в литературе по двигателям внутреннего сгорания [1 - 5]. В частности, уравнения (1) и (2) представляют собой модель впрыска с выходной переменной y(t) и входной переменной u(t) представляющими, соответственно, стехиометрическое соотношение и объем впрыскиваемого топлива во времени. Уравнение (3) описывает динамику датчика, а запаздывание т > 0 вызвано прохождением выхлопного газа в коллекторной трубе.

Сформируем цель управление как:

t —ю'

где y(t) оценка сигнала y(t).

Рассмотрим также дополнительную цель управления:

t —ю'

где yv(t) оценка функции yv(t).

Легко показать, что из выполнения lim |yv (t) - yv (t)| = 0 следует lim | y(t) - y(t )| = 0.

t —^ ю t —^ ю

Синтез адаптивного предиктора

Дифференцируя функцию уу(г), получаем

уу(г) = х(г) + ёй(г) = -ах(г) + Ъй(г) + ёй(г) = -а(уу(г) - ёй(г)) + Ъй(г) + ёй(г) =

т

= -ауу

т

где 01 = (аё + Ъ), 02 = ё, ю1(г) = й(г), со2(г) = й(г), о (г) = [01(1) с>2(г)] и

от = 00 02].

Из уравнения (6) для уу((г - т) получаем

уу

Сначала построим наблюдатель для системы (1). Пусть сигнал у (г - т) = у(г - т) у у (г - т) измеряется, адаптивный наблюдатель примет вид:

уу

где уу(г - т) оценка сигнала уу(г -т), функция а(г -т) оценка неизвестного

параметра а и вектор-функция 0(г - т) оценка вектора неизвестных параметров 0. Для синтеза адаптивного наблюдателя рассмотрим модель ошибок

Уу

Дифференцируя функцию уу(г - т), получаем

Уу(г-т) = уУ(г -т) -уу(г -т) = -ауу(г -т) + С(г - т)0 -

- (-а(г - т) уу (г -т) + фт (г - т)0(г - т)) =

- (а(г - т) + а(г - т))( уу(г -т) + уу(г - т)) +

Т у у * у у

+ а(г-т)уу(г-т) + с (г-т)0(г-т) = - а (г-т)уу(г-т) - а (г-т)уу(г-т) -

у Т У У У /у

- а(г -т) у у (г-т) +с (г-т)0(г-т) = - ауу(г-т) - а (г-т)уу(г-т) +

+ оТ

где а(г -т) = а - а(г -т) и 0 (г -т) = 0 - 0(г - т) . Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида

т, , ч а2

V = у

ка1 ка2

где постоянные параметры ка1 > 0 и ка2 > 0. Дифференцируя функцию V, получаем

V = у(г - т)у1 (г -т) - 2у(г - т)ау1 (г -т) - 2у(г - т)уу (г - т)у(г - т) уу (г -т) +

ч^ ч ^ чу, ч

ка1 ка2

Выберем адаптивный алгоритм для а(г -т) = а - а(г -т) и 0(г -т) = 0-д(г -т) в следующем виде

у

в

Тогда уравнение (12) примет вид

V =

Пусть функция (v(t - г) - 2v(t - т)а) < 0 и u(t - т), U(t - т) е Lw, тогда lim Iyv (t) - yv (t)| = 0, a(t - т) — const и в (t - т) — const при t — w . Из условия

t—w

lim Iyv (t) - yv (t)| = 0, ~(t - т) — const и в (t - т) — const при t — w получаем

t—w1

~

Поскольку ~(t - т) = а - aa(t - т) и в (t - т) = в - d(t - т), тогда

a

0

где ¿¿(0) > 0 и <9(0) > 0.

Легко видеть, что наблюдатель (8), (17), (18) может быть использован для оценки сигнала yv (t) в случае, когда

УДО = -a

а

§

Поскольку a(t) — a(t -т) и <(t) — <(t -т) при t — w , то a(t) — ¿a(t -т), d(t) — d(t - т) и мы получаем

УV

Из уравнения (22) мы можем синтезировать наблюдатель для сигнала yv (t). Рассмотрим функцию £(t) в следующем виде

£(t) = -a(t - т)^) + aT (t )§(t - т), (23) где параметр ¿a(t - т) > 0 и £(0) = yv(0) мы получаем £(t) — yv(t) при t — w .

Так как £(t) — yv(t) при t — w мы получаем liml yv(t) -£(t )| = 0.

t—w

Однако наблюдатель (8), (17), (18), (23) не может быть использован, т.к. в силу постановки задачи сигнал v(t - т)yv(t - т) не измеряется. Из уравнения (3) находим

1 • а

v

Подставляя уравнение (24) в (17), (18) мы получаем

a

0

Введем в рассмотрение новую переменную

an

вп

Дифференцируя уравнения (27) и (28), получаем

¿п (t - т) = в У (t) yv(t - т) + в У (t)&v(t - т) + a (t - т) =

= в У

& k r, k r, &

ên (t -T) = -в *(t - T) У (t ) —j d> (t - T) У (t ) +°(t -T) =

= - в œ

Таким образом, наблюдатель сигнала УV (t) имеет следующий вид

i

У V

a n (t -T) = в У (-à1(t - т)У V (t -T) + œT (t - T)ê(t - T)) -

- У (t )У V (t -T) + kal V (t - т) У1 (t -T), (33) a(t -t) = a n (t -t) - в У (t ) У v (t -т), (34) ên (t -T) = - в œ (t - т) У (t ) + keaœ(t - т) У (t ) -

- ka2œ

k

ê

Заключение

В статье предложено решение задачи синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы с запаздыванием (1), (2) и динамическим сенсором первого порядка (3). В условиях параметрической неопределенности модели (1), (2), построен регулятор (31) - (36), обеспечивающий нахождение упреждающей оценки выходной переменной системы (1), (2).

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Администрации Санкт-Петербурга, конкурс грантов 2003 года для молодых кандидатов наук Санкт-Петербурга (шифр гранта: PD03-2.0-6).

Литература

1. Kim Y.-W., Rizzoni G., V. Utkin Automotive engine diagnostics and control via nonlinear estimation. IEEE Control Systems, 1998.

2. Ault B.A., Jones V.K., Powell J.D., Franklin G.F. Adaptive air-fuel ration control of a spark ignition engine. SAE paper no. 940373, 1993.

3. Jones V.K., Ault B.A., Franklin G.F., Powell J.D. Identification and air-fuel ratio control of a spark ignition engine. IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol. 3, no. 1, 1995.

4. Powell J.D., Fekete N.P., Chang C. -F. Observer-based air-fuel ratio control. IEEE Control Systems, 1998.

5. Turin R.C., Geering H.P. Model-based adaptive fuel control in an SI engine. SAE paper no. 940374, 1993.