РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДО–ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

УДК 517.946

РАЗРЕШИМОСТЬ ЛИНЕИНОИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ О. Ю. Николаев

Аннотация. Исследуется разрешимость обратных задач определения вместе с решением и(ж,4) псевдопараболического уравнения также неизвестной функции источника. Подобные задачи рассматриваются при изучении волновых процессов, фильтрации в пористых средах, процессов теплопередачи. Доказывается теорема существования регулярного решения. Обратные задачи для псевдопараболического уравнения с неизвестным внешним воздействием, зависящим от ж, и финальным переопределением ранее не рассматривались.

Б01: 10.25587/SVFU.2023.85.20.006 Ключевые слова: обратная задача, псевдопараболическое уравнение, финальное переопределение, существование.

Задачи, в которых вместе с решением того или иного дифференциального уравнения требуется определить также коэффициент (коэффициенты) самого уравнения или правую часть уравнения, в математике и в математическом моделировании называют обратными задачами. Теория обратных задач для дифференциальных уравнений представляет собой активно развивающееся направление современной математики.

В данной статье рассматривается обратная задача для псевдопараболического уравнения

где неизвестными являются решение и(х, 4) и функция д(х). Для однозначной разрешимости подобных задач требуется дополнительное условие. В работе дополнительное условие, называемое условием переопределения, будем задавать на временном слое 4 = Т. Обратную задачу с таким условием переопределения принято называть задачей с финальным переопределением.

Математическое моделирование процессов теплопереноса, фильтрации в пористых средах, волновых процессов, квазистационарных процессов в кристаллических полупроводниках приводит к исследованию разрешимости краевых задач для псевдопараболических уравнений

Введение

и — аДи + ,0Д2и = /(х, 4) + д(х)Н(х, 4),

(и + Ьги)1 + Ь2и = /

© 2023 Николаев О. Ю.

с дифференциальными операторами Ь\ и Ь2 четного порядка по пространственным переменным. Подробный обзор литературы по моделированию указанных процессов дан в [1].

Нужно отметить, что исследование обратных задач для псевдопараболических уравнений началось в 1980-х гг. Полученный Ранделлом [2] результат относится к обратным задачам идентификации неизвестной функции источника в уравнении (1) с линейными операторами Ьх,Ь2,Ьх = Ь2. Ранделл рассмотрел задачи определения функции источника, зависящей только от х или от Ь. В нашем случае Ь\ = Ь2.

В работах [3-5] оператор был оператором второго порядка, а оператор Ь2 имел вид к(х)Ь\, где коэффициент к(х) считался неизвестным. Отметим также работы [6, 7], в которых рассматривались коэффициентные обратные задачи для уравнения (2). Вместе с тем заметим, что обратные задачи для псевдопараболического уравнения вида (1) с неизвестным внешним воздействием, зависящим от х, и финальным переопределением ранее не рассматривались.

В настоящей работе исследуется разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением также неизвестной правой части. Будут получены достаточные условия существования решения.

1. Постановка задачи

Пусть О — ограниченная область из пространства Кп с гладкой границей Г, 0 < Т < Q — цилиндр О х (0, Т), 5 = дО х (0, Т) — боковая граница Q. Функции /(х.Ь), Н(х,Ь) известны, а, в — заданные положительные постоянные.

Обратная задача. Найти функции и(х,Ь), д(х), связанные в области Q уравнением

щ - аДщ + вД2и = /

при выполнении для функции и(х,Ь) условий

и

и

и

В этой задаче условия (4), (5) суть условия первой начально-краевой задачи для параболического уравнения, а (6) — условие переопределения, необходимое для нахождения неизвестной функции д(х).

2. Разрешимость обратной задачи

Пусть функция ф(х) принадлежит пространству Ш2(О) и обращается в нуль на границе О. Тогда имеет место неравенство

J ф2

в котором число ¿0 определяется лишь областью О (см. [8, 9]. Это неравенство и само число ¿0 будут использоваться ниже.

Обозначим

ММ) = т1г0 = тих\1ги(х,г)\, п{х,Т) <5

V = {и(х,£) : и(х,4) е ¿2(0,Т; Ж4(О)), и4(х, 4) € ¿2(0,Т; ^22(О))}.

Теорема. Пусть выполняются условия

/(х,4) е ¿2^), /с(х,*) е ¿2(д),

^^с1©, Цх,т)^ о, хеп,

а > 0, в > 0, 1 -/г? (ж, 0) > /г > 0, ж€ И, ^0Т (¿о +

а)2 < 2/3(1 — Л.2(ж, 0)), I € П. Тогда обратная задача (3)-(6) имеет решение и(х, 4) е V, д(х) е Ь2(О).

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу относительно вспомогательной функции г>(х,£): найти функцию г>(х, 4), являющуюся в области Q решением уравнения

^(х,£) — аД^(х,£) + вД2«(х,4) = /14(х,4) + ^14(х, ¿)[«(х, Т) — аД«(х,Т)], (8) с условиями

и

и

Ди

Разрешимость данной краевой задачи докажем, используя метод продолжения по параметру. Далее с помощью решения данной краевой задачи будет построено решение исходной обратной задачи.

Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию г>(х, 4), являющуюся в области Q решением уравнения

^(х, 4) — аД^(х, 4) + вД2«(х, 4) = /14(х, 4) + А^(х, ¿)[«(х, Т) — аД«(х, Т)] (12) и удовлетворяющую условиям

и

и

Д«

При Л = 0 данная задача есть начально-краевая задача для линейного псевдопараболического уравнения. Разрешимость ее в пространстве V известна (см. [10]). Для того чтобы получить разрешимость задачи (11)—(14) при всех Л, в том числе и при Л = 1, достаточно получить равномерную по Л априорную оценку возможных решений этой задачи в пространстве V.

Обозначим ад(х,Ь) = г>(х, Ь) — аДг>(х,£). Уравнение (11) перепишем в виде

ад^х, Ь) + вД21>(х, Ь) = /и(х, Ь) + ЛЛ.14(х, Ь)ад(х, Т).

Умножим уравнение на ад(х, Ь) и проинтегрируем по области Q:

/ммим) ^ + в/ДЧмМх,Ь) я я

= /Ых' Ь)"(х'Ь) + Л / Мх Ь)"(х'Т ИхЬ) ^ я я

Используя начальные данные, получим

1

J 1Лг(х, 1)ги(х, £) ¿хсИ = — ^(ъи2(х, Т) — ъи2(х, 0)) ¿х

я я

= \ !{1 - 0))гу2(ж, Т) Ах.

Это следует из условия (8), в котором, не теряя общности, можно считать /1(х, 0) = 0. Имеем

в / Д2.(х, <Мх, <) ** = ^ Д2«(х, <)Мх, <) — аД«(х, о] ш

я я

<2 <2 = в/ (Д„(х.())2 **+ав ¿/ (д„, (1,»))2 «

1«(х,г))2 ¿х^Ь + ав^ J (АьХ1 (х, ь))2

я г=1 я

< J(^п(х,1))2 dxdt +j <1хсМ,

J /^(х, Ь)ад(х, Ь) ¿х^Ь <э я Я

Л

< ! т2(х, £) ¿хсИ + -^2" J ио2(х,Т)с1х.

J Л.14(х, Ь)ад(х, Т)ад(х, Ь) ¿х^Ь

я я ^

Проведем следующие рассуждения:

ад(х, Ь) = г>(х, Ь) — аДг>(х, Ь), ад2(х, Ь) = «2(х, Ь) — 2а и(х, Ь)Ди(х, Ь) + а2(Д«(х, Ь))2,

/.Лм) ^ < / Им) - 2а„(1,(,Д«(1,() + о^,«)2^.

я я

Имеем следующие оценки:

J г>2(х,£) ¿х < ¿0 J (х, 4) ¿х

о 1=1 о

(см. [8]), а также

J v2^

¿х

<( /«2(х,4) ¿И ( /(Д«(х,4))2 ¿х

<^(^[у1.(Х,1)<1Х\ ( I (АУ(Х,Ь))2 ¿х

Тогда

J v'2i (х,4) ¿х < ¿0 J (Д«(х,4))2 ¿х, г=1 о о

-2о / „(^ «д^, О * = 2а £ / „> (., О * < а* /(Дv,x, О)2 -ъ.

о г=1 о о

/ „(м)>* <£ /(х,о * < / <л„<м))>

о г=1 о о

/^М)< + 2ас0 + а2)/(Д^))2^

я

Непосредственно из этого следует, что

^2Т "2 J

+

/«> (.-Г) Л* + ав (Д.^ (1,»))>

о г=1 д

¡3- ^(¿о +а)2(5^ + 81) J(Av(x,t))2 < ^ J ¡1г{х,Ь) ¿хЛ.

я 1 я

Постоянную ¿1 всегда можно выбрать настолько малой, чтобы она не влияла на положительность множителя ¡3 — \(¿о + а)2 (<52 + • Постоянную выберем из

интервала (о)' (йо+а)'1) • Из Условий теоремы все множители интегралов в левой части неотрицательны и можно получить первую априорную оценку:

/* + £(,())2^ + /(Д^(>>2^ < с, (16>

2

2

где

я

С = тщ{1(1 - К{(х, 0) - !(*, + а)25||.

Умножим уравнение (11) на г>4(х,Ь) и проинтегрируем по области Q:

/^ Ь) ^—ЧЬЬ (x, Ь) ^+в1ЬЬ (хЬ) ^ я я я яя

=/ЫхЬЬ (х,Ь) ^+Л / МхьИх'Т ь (х,Ь) ^ яя

Применяя интегрирование по частям и неравенство Юнга, можно записать

J У2(х, Ь) ¿хЛ + а У {^хАх, ¿))2 йх(И + ^ У т))2 - (Ау(х, О))2] ¿ж

я г=1 я п

< J г>2(ж,£) с1хсМ + —2 J /24(ж, £) ¿хсИ

3 я

Л2Т С ¿2 Г

+ -^2" I ,ш'2(х,Т)с1,х + — I £)2 ¿хМ,

4 п я

+ У г;2(ж,£) с1хсИ + а^2 У (Аух^(х, ¿))2 ¿хсИ

я г=1 я

/ У гу2(ж, Т) + ^ У [(Дг;(ж, О))2 — (Аь(х, Т))2] ¿ж.

Используя оценку (15), получим вторую априорную оценку:

У ^2

г=1 я

где С2 явно выражается через С1.

Умножим уравнение (11) на Д2г>(х,Ь) и проинтегрируем по области Q:

' «,<х, ()Д2 «<х,.) ш - а /Д„ <х, о Д2«<х, о **+(Д2«<х, О)2 ш

я я

/ Ых, (,Д2«(х, Ч Л* + Л / „„(х, ()Мх,Т) - аД.(х,Т)) ДЧх, 0

Используя оценки (15), (16), можно получить оценку

У

Q

где С3 явно выражается через Сь

Наличие оценок (15)—(17) доказывает существование равномерной по А априорной оценки решений задачи (11)-(14). Следовательно, задача (11)—(14) имеет при А =1 решение v(x, t) G V задачи (7)-(10).

Рассмотрим функцию ut(x, t) = v(x, t), u(x, 0) = 0. Выполнив интегрирование уравнения (7) по временной переменной от 0 до текущей точки и используя следующее представление для функции q(x):

= ТУ^Л М^) " аАщ

h

получим

ut

Следовательно, функции u(x, t), q(x) связаны в области Q уравнением (3). Условие (5) выполняется в силу условий (9), (10).

Проинтегрируем уравнение (7) по временной переменной от 0 до T. После несложных преобразований получим ,0A2u(x, T) = 0, x G О, что влечет за собой выполнение условия (6): u(x,T) = 0, x G О.

Учитывая выполнение для функции u(x,t) условий (4)-(6) и принадлежность функций u(x, t), q(x) пространствам V, L2(Q) соответственно, получим, что функции u(x, t), q(x) представляют собой требуемое решение обратной задачи (3)-(6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

2. Rundell W. Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data // Appl. Anal. 1980. V. 10. P. 231—242.

3. Lyubanova A. Sh. On the approximation of a parabolic inverse problem by pseudoparabolic one // Журн. Сиб. федер. ун-та. Сер. Математика и физика. 2012. Т. 5, № 3. С. 326—336.

4. Lyubanova A. Sh., Tani A. Inverse problems for the stationary and pseudoparabolic equation of diffusion // Appl. Anal. 2019. V. 98. P. 1997-2010.

5. Любанова А. Ш. Обратная задача для линейного псевдопараболического уравнения типа фильтрации // Образов. ресурсы и технологии. 2016. № 2. С. 357-363.

6. Мамаюсупов М. Ш. О задаче определения коэффициентов псевдопараболического уравнения // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1983. № 16. С. 290-297.

7. Kozhanov A. I. On the solvability of inverse coefficient problems for same Sobolev-type equations // Nauchn. Vedom. Belgorod. Univ. 2010. V. 18. P. 88-97.

8. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения, Баку: Элм, 1985.

Поступила в редакцию 15 июня 2023 г. После доработки 28 августа 2023 г. Принята к публикации 4 сентября 2023 г.

Николаев Олег Юрьевич Бурятский государственный университет, ул. Смолина, 24а, Улан-Удэ 670000 nikolaev.oleg 1@уап<1ех. ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2023. Том 30, № 3

UDC 517.946

SOLVABILITY OF THE LINEAR INVERSE PROBLEM FOR THE PSEUDOPARABOLIC EQUATION O. Yu. Nikolaev

Abstract: We investigate the solvability of inverse problems of determination, along with the solution u(x,t) to the pseudoparabolic equation, of the unknown source function. Similar problems are considered when studying wave processes, filtration in porous media, and heat transfer processes. A theorem for the existence of a regular solution is proved. Inverse problems for pseudoparabolic equations with an unknown external influence depending on x and a final redefinition have not been considered previously.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.85.20.006 Keywords: inverse problem, pseudoparabolic equation, final redefinition, existence.

REFERENCES

1. Sveshnikov A. G., Alshin A. B., Korpusov M. O., and Pletner U. D., Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2007).

2. Rundell W., "Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data," Appl. Anal., 10, 231—242 (1980).

3. Lyubanova A. Sh., "On the appoximation of a parabolic inverse problem by pseudoparabolic one," J. Sib. Fed. Univ., Ser. Math. Phys., 5, No. 3, 326-336 (2012).

4. Lyubanova A. Sh. and Tani A., "Inverse problems for the stationary and pseudoparabolic equation of diffusion," Appl. Anal., 98, 1997-2010 (2019).

5. Lyubanova A. Sh., "Inverse problem for a linear pseudo-parabolic equation of filtration type [in Russian]," Obrazov. Resursy i Tekhnol., 2, No. 14, 357-363 (2016).

6. Mamausupov M. Sh., "On the problem of determining the coefficients of a pseudoparabolic equation [in Russian]," in: Research on Integro-Differential Equations, vol. 16, pp. 290-297, Ilim, Frunse (1983).

7. Kozhanov A. I., "On the solvability of inverse coefficient problems for same Sobolev-type equations [in Russian]," Nauch. Vedom. Belgorod. Univ., 18, No. 52, 88-97 (2010).

8. Sobolev S. L., Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1988).

9. Ladyzhenskaya O. A., Boundary Value Problems of Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

10. Jakubov S. Ja., Linear Differential Operator Equations and Their Applications [in Russian], Elm, Baku (1985).

Submitted June 15, 2023 Revised August 28, 2023 Accepted September 4, 2023

Oleg Yu. Nikolaev

Buryat State University,

24a Smolin Street, Ulan-Ude 670000, Russia

nikolaev.oleg1@yandex.ru

© 2023 O. Yu. Nikolaev