Двусторонние оценки относительного роста функций и их производных

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 18-26.

УДК 517.272+517.518.244+517.547.22

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РОСТА ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ

г.г. БРАЙЧЕВ

Аннотация. Представлено расширенное изложение доклада автора, подготовленного для международной математической конференции по теории функций, посвященной 100-летию чл. корр. АН СССР А. Ф. Леорнтьева. Предлагается новый метод получения равномерных двусторонних оценок отношения производных двух функций вещественного переменного на основе информации о двусторонних оценках самих функций. При этом одна из функций, обладая определенными свойствами, служит эталонным измерителем роста, задающим некоторую шкалу. Вторая функция, рост которой сравнивается с ростом эталона, является выпуклой, неограниченно возрастает или убывает к нулю на заданном интервале. Метод применим и к некоторому классу вогнутых на интервале функций. Рассмотрены примеры применения полученных результатов к исследованию поведения целых функций.

Ключевые слова: монотонная функция, выпуклая функция, относительный рост двух функций, равномерные двусторонние оценки, целая функция.

Mathematics Subject Classification: 26D10, 30D15

Тематика работы примыкает к общим теоремам абелева и тауберова типов для функций вещественного переменного (правило Лопиталя и его обращение). В отличие от классической постановки вопроса о сравнительном асимптотическом поведении двух функций, здесь речь идет о равномерных оценках. Точнее говоря, в статье устанавливаются новые двусторонние оценки, связывающие относительный рост производных двух функций с относительным ростом самих функций. Вначале мы приводим простое утверждение „абелева" типа, в котоом заключение о поведении отношения функций делается в зависимости от поведения отношения их производных (теорема А и следствие). Затем доказываются более трудные результаты, носящие обратный, „тауберов" характер (теоремы 1 и 2). Общие факты проиллюстрированы серией конкретных примеров. Отмечены некоторые приложения к вопросам роста целых функций.

Принимаем естественное предположение, что рассматриваемые функции сохраняют постоянные и при этом совпадающие знаки на рассматриваемых множествах.

Начнем с малоизвестной непредельной «монотонной» версии правила Лопиталя, в которой устанавливается связь между монотонностью отношения функций и монотонностью отношения их производных (см., например, [1]—[3]).

Теорема А. Пусть функции f (х) и д(х) определены, дифференцируемы на (конечном или бесконечном,) интервале (а,Ь) и удовлетворяют условиям

1) д'(х) = 0 на (а, Ь),

2) д(Ь-) = f (b-) = 0 или д(а+) = f (а+) = 0.

Тогда, если отношение производных ) монотонно на (а, Ь), то и отношение фу нкций f ( ) монотонно в том же смысле на (а,Ь).

G.G. Braichev, Two-sided estimates of the relative growth of functions and their

derivatives.

© Брайчев Г.Г., 2017. Поступила 3 июня 2017 г.

Отсюда с учетом классического правила Лопиталя немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы А. Тогда

fix) fix) . . fix) . . fix)

sup = sup или inf = inf ^-f-f

xe

fix)

в зависимости от, характера монотонности отношения .

i x)

Перейдем к изложению основных результатов работы. Рассмотрим случай возрастающих бесконечно больших функций. Всюду далее под f (x) понимаем правую производную функции f в x

Теорема 1. Пусть функция f(x) выпукла на интервале (а, Ь), —ж ^ а < Ъ ^ функция g(x) дифференцируема на этом интервале, причем g'(x) > 0, и, кром,е того, д(а+) = 0, д(Ъ—) = Пусть, далее, с неотрицательными константами т, М, т ^ М, выполнено условие

т < 44 ^ М, x е

i x)

Тогда справедлива двусторонняя оценка

М с\

i x)

т

где в = —, а величины, С\(в), с2(д) определяются правилам,и

С\

xe(a,b) g'(x) a<t<x t — x

cm= sup -Ц inf °

xe(a,b) g'(x) b>t>x t — x

i x) x е i а, )

жем записать

m = n rn-m < inf Mw—m«= m Ы т-ш.

b>t>x t — x b>t>x t — x b>t>x t — x

Таким образом,

fix) < М inf 9

b>t>x t — x

Разделив обе части на g'(x), для всех x е (а, Ь) получаем

44 < Мinf a(t) — 6°(x) < МС2(0). g'(x) g'(x) b>t>x t — x

Оценка сверху в

fix) > f'_ (x)= sup Щ-М >

a<t<x t — x

> sup Mg(t) — mg(x) = М sup 9(t) — 6g(x),

a<t<x t — x a<t<x t — x

или

f

a<t<x t — x

Разделив обе части на g'(x), для всех x е (а, Ь) получаем

fix) „, 1 g(t) — в g(x) „,

—,т4 > М-- sup —-> Mci(в).

g'(x) g'(x) a<t<x t — x

Теорема доказана.

Отметим, что в доказательстве теоремы 1 не использовались условия д(а+) = 0, д(Ь—) = Однако, можно показать, что при нарушении этих условий формулы (3), (4), определяющие величины С\(9), С2(6), дают С\(9) = —ж, С2(&) = В этом нетрудно убедиться и геометрически, рассмотрев в случае конечности точек а, Ь функцию /(х), график которой касается граничных прямых х = а, х = Ь. В условиях теоремы 1 рассматриваемые величины с\(9), 02(6) удовлетворяют неравенствам

0 < С1№ 1 < С2(0) ^:= ^ ^ м Ж. V

Действительно, положительность с\(9) следует из неравенства

8ир д(1) — 0д(х) > — д(х) > 0

а<Ь<х ^ х а х

Замечая, что 9(д(Ь) — д(х)) ^ д(Ь) — д(х) ^ д(Ь) — 9д(х) ^ д(Ь), убеждаемся в выполнении остальных свойств (7).

некоторых точках промежутка 3 = (а, Ь). Для удобства считаем, что 0 < 9 = т < М = 1.

и 9 € (0, 1) — фиксированное число. Пусть далее хо € 3. Если проводить вправо из точки (хо, 9д(хо)) луча, пересекающие график Г5 функции д(х), то луч с минимальным угловым коэффициентом ко, равным

, д& хо) — 0д(хо) . 9&) — 9д(хо) ко = --- = тт---,

Ьх0 — хо ¿>Ж0 I — хо

будет касаться Г5 в некоторой точке (ЬХо, д(tx0)) Выберем именно этот луч и продолжим его до пересечения с графиком Г$д функции 9д(х) в точке (х1, 9д(х\)). Отрезок выбранного луча с минимальным угловым коэффициентом ко обозначим через I. Еели из точки (х1, 9д(х{)) провести влево луч, пересекающий график Гй, то угловой коэффициент такого луча будет максимальным, когда он коснется Гй (в той же точке (ЬХо, д(ЬХо))), т. е. будет содержать отрезок I и иметь тот же угловой коэффициент:

к = д^хо) — 0д

tx0 — х1 хо <г<Х1 £ — х1

Считая, что интервал (хо, х1) С 3, определим на (хо, х1) функцию /(х) уравнением луча I, т.е. положим

¡(х) = 9д(х0) + ко(х — хо), х € (х0, х{).

На остальной части 3 положим /(х) = 9д(х). Тогда такая функция будет удовлетворять требуемым условиям:

9 < Щ < 1, х €3,

д

Г

= 9, х € 3 \ (хо, х{),

ко < Щ х € (х0,х1).

х = х

х = х1 — 0

Содержательный прямой перенос утверждения теоремы 1 на случай вогнутых (выпуклых вверх) функций f(x) невозможен. В самом деле, если в теореме 1 положительную функцию f (х) предполагать вогнутой на интервале ( а, Ь), то, переходя к функциям с противоположным знаком, можно свести доказательство такого утверждения к ситуации, когда д(х) < 0, д'(х) < 0 при всех х Е (а, Ь). Формально рассуждение пройдет и в этом случае. Действительно, при умно-

изменим знак неравенства на противоположный. Таким образом, в процессе доказательства знак неравества дважды изменится на противоположный и вернется к исходному значению. Однако теперь теряется смысл оценок (2), поскольку в формулах (3), (4) для коэффициентов с\(в), С2(&) будем иметь

g

sup —-^^ = lim —-=

a<t<x t - х t^x- t — х

n № -вд(х) = im т-Ш =

x<t<b t - х t^x+ t - х

Проблема может быть решена, если функция f(х) удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Например, если f (х) вогнута и хf '(х) возрастает на (а, Ь), а > 0, то функция fi(t) = f(ег) будет выпуклой на (inа, in 6), поскольку ее производная f'(t) = e^f(ef') возрастает. Кроме того, в соответствующих точках будут выполняться равенства

М = Кй = М 1М = etf '(е *) =ш

д(х) д(ег) gi(t), д'(х) е*д'(ег) g[(t)'

ет несколько более сильному условию: х1 f (х) возрастает при некотором значении j Е (0, 1) (см. примеры 3 и 4 ниже).

Приведем несколько простых илюстраций к теореме 1.

Пример 1. Пусть д(х) = хр, х Е (0, с показателем р > 1. Зафиксируем в Е [0, 1] и

воспользуемся формулами (3), (4) для вычисления констант с\(в), С2(&). Стандартные методы исследования на экстремум функции

, m g(t) - 0д(х) t" - вхр

we,x(4 = ——- = ---

х х

приводят к уравнению

^(х)"+р(х) = <•

р /¿\р-1 , + р -

х ) \х,

которое после замены £ = х^р-1 принимает вид

р

1

Функция фв Х(Ь) имеет максимум на интервале (0, х) в точке ¿1 = х £1р-1 и минимум на интервале " ' 1 " "

(х, в точке ¿2 = х£2р-1, где £1, £2 суть корни уравнения (8), причем 0 ^ £1 ^ 1 ^ £2-

Соответствующие экстремальные значения равны

р

^) = ^ = ^^ =

1к х хе р-1 _ х >—

р р р-1 СГ1 - (1 - р) СГ1 + рс- р-1, , 1 _

= хр 1—-1---=рхр 14к, к = 1, 2.

-1

Согласно формулам (3), (4) имеем

Сл(в) = 6, С2 (в) = Ь, 1, 2 = 2

сл(в)=1 -/Т-в, С2 (в) = 1 + /Т-в.

В этом случае теорема 1 утверждает, что для производной /' (х) всякой выпуклой функции f(x) с условием

тх2 ^ f(x) ^Мх2, х е (0, +ж), выполняется двусторонняя оценка

2М (l - л/Г—т/М^ х < f'(x) < 2М (Ч + л/i - т/М) х, х е (0, +ж),

где 0 ^ т ^ М.

Пример 2. Пусть д(х) = ерх, х е (—ж, +ж), р > 0. Вычислим величину с\(в) из формулы (3). При фиксированных х и в е [0, 1] имеем

ept _ QеРх ep{t-x) _ Q

sup -= ерх max - =: Кхв.

-<x<t<x t — х -ж<t<x t — х

Стандартные методы анализа для определения точки максимума t = to < х приводят к уравнению

ep{t-x) (1 — p(t — х)) = о.

После замены £ = ep(t-x") возникает уравнение

ein - = в,

и искомая точка максимума находится по формуле to = х + 1 in¿ц. Здесь £1 = £,i(0) обозначает меньший корень уравнения (9). Отсюда

^ ерх(6 — 0) РХ%1 — %1ln Ii «г,

Кх,в = = ерх—. а = рерх Ci,

j ln & p ln &

Ci(d) = inf -1--Кх,в = £i.

хе(-ж, +ж) рерх

Аналогичным образом находим, что

2( ) = 2,

2 = 2

условием

т ерх < ¡(х) ^М ерх, х е (—ж, +ж), р> 0, выполняется двусторонняя оценка

£1рМ ерх < f (х) < &рМ ерх, х е (—ж, +ж), гДе £ъ С2 — корни уравнения (9), £1 ^ 1 ^ £2

если при некотором 7 е (0, 1] функция х1 /'(х) возрастает, то ситуация меняется.

Пример 3. Пусть /(х) - вогнута функция на интервале (0, +ж), удовлетворяющая на нем условиям

тхр < ¡(х) < Мхр, ре (0, 1),

и х/'(х) возрастает. Тогда, применяя теорему 1 к выпуклой на всей прямой (—ж, +ж) функции f\(t) = f(е1), получаем (см. пример 2), что выполняются двусторонние оценки

£1 рМхр-1 < /'(х) < &рМхр-1,

1, 2

т

О ( = м-

Пример 4. Пусть /(х) — вогнутая на интервале (0, функция, удовлетворяющая на нем условиям

тхр * ¡(х) * Мхр, ре (0, 1), и '(х) возрастает при некотором 7 е (1 — р, 1). Тогда, применяя теорему 1 к выпуклой на

л 11""

интервале (0, функции = ) с показателем 6 = - > —, получаем, что из

1— 7

условия

/

т * = ^г1 = * М

хр р

следует двусторонняя оценка

М(1 * * Мь-

Но поскольку

т Г

öp tSp-i ö р tSp-i р ts(p-i) рхр-1' то выполняются неравенства

(грМхр-1 < ¡(х) < (2рМхр-1. Здесь (j, (2 — корни уравнения (8) из примера 1 с параметром р = 5р > 1. Ввиду соотношения

р ß

(1 -р)+р^ein-, ее (о, е),

выполнено включение ((j, (2) С (, £2), и оценки отношений производных в примере 4 точнее оценок из примера 3.

Теперь рассмотрим вопрос о сравнении убывающих бесконечно малых функций.

Теорема 2. Пусть функция f(x) выпукла на интервале (а, Ь), —ж ^ а < Ъ ^ функция д(х) дифференцируема на этом интервале, причем д'(х) < 0, и, кром,е того, д(а+) = +ж, д(Ъ—) = 0. Пусть, далее, с неотрицательными константами т, М, т ^ М, выполнено условие (1), т.е.

f

т < ^-¿-f < М, х е (а, Ь).

д

Тогда справедлива двусторонняя оценка

Mdi

g

т

где 0 = —, а величины di(0), d2(0) определяются правилами

dm= n inf ^1—Мх!,

хе

хе(а,ь) g (х) a<t<x 1 — х

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1. Укажем на небольшие отличия. Разделив (5) на д'(х), для всех х е (а, Ь) получаем

4(4 inf g(t) — вд(х) > Мdi(9),

д'(х) д'(х) b>t>x t — х

что доказывает левую оценку в (10). Разделив (6) на д'(х), для всех х е (а, Ь) получаем

Щ < М-L sup 9(t) — вд(х) < МЛ2{в). д'(х) д'[х) a<t<x t — х

Теорема доказана.

Отметим, что доказательство можно провести иначе, применив теорему 1 к функциям f (—х) и д(—х). По поводу случая, когда д(х) < 0, д'(х) > 0 при х е (а, Ь), см. комментарий после теоремы 1.

Пример 5. Пусть д(х) = х 4, х € (0, +ж), д > 0. Найдем величины й1(9), й2(0) из формул (11), (12). Поскольку в нашем случае

.А- - 9х- „1. Л Х)--в -я-1. , (-в

т£-= х я 1 т! -Щ-= х я 1 т!

1>Х г-х '' 1>~Х ХХ -1 " ?<1 1 -1

\Г9 -1

то

, / 1 \ -2 9+1 Г 9+1

= д-1[Г1 - 1) Га.я + 1) -о

¿з(в) = Ь9 , 3 = 1,2,

9+1

-з(») = ч

где — корни уравнения (8) с р = д + 1. В частности, для д = 1 имеем

¿1(в) = (^1 -/т-ву, а2 (^ = (1 + /т-ву,

т ^ х/(х) ^ М, х € (0, +ж),

подчинена оценке

(уМ - / м - т < (-х2)/'(х) < (уМ + /М - т , х € (0, +ж). Здесь по-прежнему, 0 ^ т ^ М < +ж.

Пример 6. Пусть д(х) = е-рх, х € (-ж, +ж), р > 0. Как и в предыдущем примере находим

е-р* _ ое~РХ _ е-р(р-х) _ д _ £ — в

т!-= е рх т!-= ре рх т! -—,

1>Х t — х t — х £<1 1п 1

^у I-0 ^ ь-в_ £3 - £з1п I

р , , а (0= Ы1 = 1п1 3 =Сз.

? / ? з ? 3

Таким образом,

(к(в)= 6, ¿2(0) = ь, 6 < 1 < Ь,

1, 2

с условием

т < ерХ/(х) < М, х € (-ж, +ж), выполняется двусторонняя оценка

£1рМ < (-ерХ)/'(х) < ЬрМ, х € (-ж, +ж), гДе £1, ^2 — корни уравнения (9), £1 ^ 1 ^ £2-

Рассмотрим некоторые приложения.

Пусть /(г) — целая функция, Мf (г) — ее максимум модуля в круге радиуса г с центром в начале, и 0 ^ а° < а < +ж, р > 0. Предположим, что выполняются неравенства

еаогР < Мf (г) < еагР, г > 0.

Тогда

£1 ар rp-1Мf (г) < М* (г) < &ар rp-1Мf (г), г> 0,

гДе С1, С2 — корни уравнения £1п- = 0° (см_ (9)).

а

В самом деле, перепишем исходные неравенства в виде

1пМ*

ао < -< а, г = 1п г € М.

ерг

Учитывая выпуклость на К функции \~aMf (е1), из теоремы 1 получаем

*

* (е(*)' М1 (е*)р е* *

Возврат к первоначальному аргументу приводит к требуемому результату.

Отсюда, в частности, заключаем, что если целая функция /(г) с неотрицательными тейлоров-

(0) = 1 ( > 0

¡(х) * еах, х > 0,

то ее производная подчинена оценке

/'(х) * те¡(х), х > 0. Действительно, при то = 0 корнями уравнения (9), т.е. уравнения

¿Iе <0 _

£1п- = — = 0 С т

служат числа = 0, & = е.

Уместно сравнить полученный факт с широко известной теоремой Бернштейна, утверждающей, что для целой функции экспоненциального типа т, ограниченной на вещественной оси, т. е. удовлетворяющей условию

| ¡(х)1 * М, х е К,

справедлива оценка

Ц'(х)1 * тМ, х е К.

В то же время, замена условия ограниченности функции на вещественной оси условием | /(х)1 * еах на полуоси вкупе с требованием положительности тейлоровских коэффициентов приводит, как показано выше, к оценке

( х) * т ( х), х > 0.

Аналогичные оценки можно дать и для функций нулевого порядка. Рассмотрим, например, целые функции логарифмического роста. Пусть 0 * то < т < и 7 > 1. Пусть, далее, целая функция удовлетворяет условиям

Г)1 * М1 (г) * еа(ыГ)1, г> 0.

Тогда

6 т7 (1п г)1-1 М/(г) * г М}(г) * 6 т7 (1п г)1-1 М/(г), г> 0, гДе £1, £2 — корни уравнения

(1 — 7К ^ +7С = -т

вида (8) с параметрами р = 7 и в = то/т.

Действительно, как и прежде, можем записать

1пМг

то * -^^ * т, г = 1п г е К.

П

В этом случае теорема 1 гарантирует оценку

. * 0пМ{(е*))' ¿М)(г 6т * {V)' = М1 (е*)7Щ-1 *

которая при Ь = 1пг дает заявленное утверждение.

В заключение отметим, что некоторые результаты асимптотического характера, связанные с правилом Лопиталя и его обращением, изложены в [4]-[6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Харди Г., Литтлвуд Дж., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

2. М.К. Kwong On Hospital-style rules for monotonicity and oscillation // arXiv:1502.07805vl [math. С A] 27 Feb 2015.

3. I. Pinelis L'Hospital type rules for monotonicity, with application // Journal in Pure and Applide Mathematics. V. 3, issue 1, article 5, 2002.

4. Братищев А.В. Обращение правила Лопиталя // Сб. «Механика сплошной среды». Ростов-на-Дону, РГУ, 1985. С. 28-43.

5. Брайчев Г.Г. On comparative increase of relations of convex functions and their derivatives // National Academy of Sciences of Azerbaijan. Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics. 2002. V. XVII (XXV). Bacu. P. 38-50.

6. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005.

Георгий Генрихович Брайчев,

Московский педагогический государственный университет, ул. М. Пироговская, 1, 199296, Москва, Россия E-mail: braichev@mail .ru