Инструментарий параметрического моделирования жизненного цикла продукта (на примере индустрии видеоигр)

Проблемы экономики и менеджмента

Science, 2006.

3. Grachev S.A. Innovative aspects of regional social and economic development activization / Grachev S.A., Donichev O.A., Barashkova O.V. // Regional economy: theory and practice. 2010. № 12. P. 12-20.

4. Kulaichev A.P. Methods and means of complex data analysis. M: FORUM: INFRA-M, 2006.

5. Kurbyko I.F. Additional chapters of mathematical statistics: textbook / Kurbyko I.F., Levizov A.S., Levizov S.V. Vladimir: Publishing house of Vladimir State University, 2011.

6. Marchenko E.M. Complex innovative infrastructure assessment of the Central federal district regions / Marchenko E.M., Rakhova M.V. // Economic analysis: theory and practice. 2011. № 24. P. 37-45.

7. Maskaykin E.P. Innovative potential of the region: the essence, the structure, the assessment technique and the direction of development / Maskaykin E.P., Artser T.V. // South Urals State University Herald. 2009. № 21. P. 47-53.

УДК 338.27

В.К. Семёнычев

д-р экон. наук, д-р техн. наук, профессор, кафедра математических методов и информационных технологий, АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления»

В.Н. Кожухова

аспирант, кафедра математических методов и информационных технологий, АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления»

А.А. Коробецкая

аспирант, кафедра математических методов и информационных технологий, АМОУ ВПО «Самарская академия государственного и муниципального управления»

ИНСТРУМЕНТАРИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ПРОДУКТА

Аннотация. В статье предложен комплекс параметрических моделей жизненных циклов продукции (ЖЦП). Для моделирования кумулятивных кривых ЖЦП использовались модели логистической и экспоненциальной динамики, для моделирования импульсных кривых ЖЦП - модели на основе дробно-рациональных функций. Применение моделей для ЖЦП индустрии популярных видеоигр позволило достичь высокой точности моделирования и прогнозирования.

Ключевые слова: жизненный цикл продукции, временной ряд, импульсная и кумулятивная кривые, модель, тренд, колебательная компонента, дробно-рациональная функция, логистическая функция, видеоигры.

V.K. Semenychev, Doctor of Engineering Sciences, Doctor of Economics, Professor, Samara Academy of State and Municipal Management

V.N. Kozhukhova, post-graduate student of the Department for Mathematical Methods and Information Technologies, Samara Academy of State and Municipal Management

A.A. Korobetskaya, post-graduate student of the Department for Mathematical Methods and Information Technologies, Samara Academy of State and Municipal Management

TOOLS FOR PARAMETRIC MODELING OF THE PRODUCT LIFE CYCLES

Abstract. The paper introduces a complex of product life cycle (PLC) parametric models. The authors used logistic and exponential functions for modeling the cumulative PLC patterns. For bell-shaped PLC curves

№ 10 (14) - 2012

165

Проблемы экономики и менеджмента

new models based on the rational functions were suggested. The final models for the video games industry PLCs have high modeling and forecast accuracy.

Keywords: product life cycle, time series, bell-shaped curve, cumulative curve, model, trend, seasonality, rational function, logistic function, video games.

Жизненный цикл продукта (ЖЦП) представляет собой отрезок времени, в течение которого динамика продаж продукта проходит несколько стадий после выведения на рынок. Под «продуктом» в данной работе понимается все, что служит удовлетворению потребностей покупателей: отдельные товары, группы товаров (сегменты рынка), услуги, технологии и т.д. В качестве показателей при изучении ЖЦП используют доходы от продаж продукта либо объем продаж в штуках.

Рассмотрены два типа кривых ЖЦП: импульсная (дифференциальная) в текущих продажах и кумулятивная (накопленная за интервал времени). Обычно в ЖЦП выделяют четыре стадии: внедрение, рост, зрелость и спад [1]. Импульсная кривая (рис. 1 -слева) может иметь несколько точек максимума (пиков) и точек перегиба.

Целью моделирования ЖЦП может быть определение моментов смены вида модели или ее параметров для оценки принятых управленческих или маркетинговых решений. В общем случае можно подбирать модель сразу для всех стадий жизненного цикла, но интерес могут представлять и модели отдельных этапов динамики: например, роста и/или спада. Анализ ЖЦП является актуальной и далеко не простой задачей в силу сложности и нелинейности применяемых аналитических выражений, а также из-за необходимости использования малых (менее тридцати наблюдений) выборок.

Рисунок 1 - Импульсная (слева) и кумулятивная (справа) модели ЖЦП

Покажем возможности моделирования и, что особенно важно для приложений, прогнозирования ЖЦП комплексом параметрических моделей кумулятивного и импульсного типов, в том числе с учетом присутствия колебательной компоненты. Последняя задача до настоящего времени не рассматривалась в известных методах идентификации.

Достаточно общим является рассмотрение временных рядов, содержащих три компоненты, которые могут взаимодействовать аддитивно (независимо) или пропорционально-мультипликативно:

Y = т +st +*t,

166

№ 10 (14) - 2012

Проблемы экономики и менеджмента

Y = г, (1+х, )+s, = г, + t,s, +,

где Yt - наблюдения исходного ряда в момент времени t; Tt - тренд; St - колебательная компонента; st - стохастическая компонента, отвечающая условиям Гаусса-

Маркова (центрированность, гомоскедастичность и отсутствие автокорреляции) при применении для идентификации метода наименьших квадратов.

Наиболее распространенной моделью логистической динамики можно считать симметричную относительно точки перегиба модель Верхулста

А

Y =

.• + s,,

-at t’

1 + Axe

которая содержит все четыре стадии ЖЦП.

В качестве модели асимметричной относительно точки перегиба логистической кривой, у которой отсутствует стадия внедрения, можно использовать модель Рамсея [2]:

Yt = A (1 - (l + at) e at ) + st,

для которой можно предложить следующие модификации:

Yt = С + A

Yt = С +

Yt = С +

В ряде приложений выборка может соответствовать стадии спада ЖЦП, находится правее точки перегиба, приблизительно соответствуя обобщенной экспоненциальной модели [3]:

Yt = A + 4e-a1t +st.

Присутствие в модели (7) аддитивных компонент (параметра А0 и st) не позволяет использовать известный прием идентификации с помощью логарифмирования. На практике возможна и ситуация, когда логистическая кривая ЖЦП не выходит на постоянный уровень, а продолжает линейно расти. При этом ее импульсная модель не стремится к нулю на стадии спада, а выходит на некоторый стабильный уровень. В этом случае оправдано использовать модель в виде суммы двух трендов: линейного и логистического (или экспоненциального).

Для моделирования импульсной динамики предлагаются дробно-рациональные модели, например, симметричная относительно точки максимума:

+s.

P

Y =_______io_

11 т , ^ , , г\ Л ' ^t •

1 + Q1t + Ш

Предполагается, что функция (8) не имеет разрывов: ее знаменатель не обращается в ноль, что соответствует ограничению на параметры Q12 < 4Q2.

Модель с полиномом первого порядка в числителе обладает произвольной асимметрией:

№ 10 (14) - 2012

167

Проблемы экономики и менеджмента

Р0 + pt 1+Ш +Ш1

Более общий подход к моделированию асимметричной формы кривой ЖЦП достигается использованием произведения двух функций вида (8):

Y =

Ро

1 + Q1t + Q2t 2 + Q3t 3 + Q4t

4 + St

Модель (10) может соответствовать, в зависимости от значений параметров, как традиционной форме ЖЦП, так и кривой с удлиненной стадией зрелости или кривой с двумя пиками.

Для моделирования колебательной компоненты можно использовать сумму гармоник (обычно не более трех) [3]:

M

St = Z A sin + V).

i=1

На практике нередки случаи, когда амплитуды сезонных колебаний изменяются во времени, что можно учесть введением в (11) экспоненциальных множителей

M

St = Z Ae~a sin +Vi).

i=1

В (12) параметры ai, отвечающие за скорость изменения амплитуды, могут быть

как равными по значению, так и различными, в том числе равными нулю. В последнем случае будет изменяться и форма сезонных колебаний.

Для идентификации параметров моделей (4)-(6), (7), (11), (12) был предложен метод конструирования обобщенной параметрической модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA) с помощью Z-преобразования [3]. Модель Верхулста с большей точностью, как показали исследования, идентифицируется методом Левенберга-Марквардта [4]. Для дробно-рациональных моделей (8)-(10) оправдано применить эвристический алгоритм RPROP, разработанный в теории нейронных сетей. Для идентификации моделей, колебательную компоненту оправдано применение метода параметрической итеративной тренд-сезонной декомпозиции [5]. В отличие от классической тренд-сезонной декомпозиции он позволяет получить аналитические модели компонент, реализуя поэтапное построение моделей тренда Tt и гармоники St с последующим их пошаговым уточнением. Аналогичный подход можно использовать для идентификации моделей, содержащих несколько трендов, наложенных друг на друга, например, модели мультилогистической динамики. Идентификация моделей осуществлялась программным комплексом, разработанным в среде Delphi на основе объектноориентированного программирования и позволяющим оценивать их точность.

Перейдем к иллюстрации возможностей инструментария на примере индустрии видеоигр, являющейся быстро развивающимся сектором мировой экономики, включающим в себя разработку, продвижение и продажу игр для компьютеров и игровых консолей. Крупнейшими мировыми производителями и потребителями видеоигр являются Северная Америка (США и Канада), Япония и Великобритания. Эти рынки значительно различаются по уровням продаж видеоигр.

168

№ 10 (14) - 2012

Проблемы экономики и менеджмента

Жизненные циклы игровых консолей, как правило, значительно длиннее, чем у самих видеоигр. Поэтому статистика продаж игровых консолей отображается ежеквартально, а видеоигр - еженедельно.

Источник: MediaCreate, Nintendo Рисунок 2 - Продажи игровых приставок, млн шт.

Рассмотрим жизненные циклы домашних и портативных игровых консолей, относящихся к седьмому поколению: Nintendo Wii, Microsoft Xbox 360, Nintendo DS, Nintendo DSi. Лидирующие позиции на мировом рынке игровых консолей занимают Nintendo Wii и Microsoft Xbox 360: их суммарный объем продаж на конец 2011 г. составил 95,0 и 64,5 млн шт. соответственно [6]. Лидером рынка портативных игровых консолей является Nintendo DS с суммарным объемом продаж 151,4 млн шт. В 2008 году вышла ее модифицированная версия Nintendo DSi (суммарный объем продаж на конец 2011 года - 26,6 млн шт.).

Будем рассматривать ЖЦП игровых консолей дифференциального и кумулятивного типов (рис. 2). Исходные данные представлены в виде кумулятивных рядов, а дифференциальные ряды получены взятием первых разностей. В прогнозную часть выборки вынесены четыре наблюдения за 2011 год. Объем исходной выборки зависит от даты начала продаж консоли и составляет от 8 до 20 наблюдений.

Разные игровые приставки находятся на разных стадиях жизненного цикла, соответственно, различаются и модели трендов. Для динамики продаж всех консолей ха-

№ 10 (14) - 2012

169

Проблемы экономики и менеджмента

рактерны сезонные колебания с резким всплеском продаж в декабре-январе каждого года.

Кумулятивному ряду жизненного цикла Nintendo Wii соответствует аддитивная структура (1). Тренд точнее описывается моделью (6), а для моделирования колебательной компоненты достаточно суммы двух гармоник с постоянной амплитудой:

Tt = 114,1 + (-107,7 -15,4t )e~0,157t,

St = 2,5 sin (1,547t + 2,57) + 0,89sin (3,013t - 0,35).

Модель и прогноз характеризуется высокой точностью (коэффициент детерминации оказался равен R2 = 0,999, а погрешность прогнозирования MAPE = 0,65%). Тренд и модель представлены на рис. 3 (здесь и далее линия тренда обозначается T*, модель - Y*, а исходный ряд - Y). Точка перегиба тренда находится в первой половине выборки, что соответствует быстрому росту продаж до достижения зрелости, и медленному спаду после нее. Первая гармоника обладает годовой частотой, вторая - полугодовой.

Y*

12

10

4 -

г-.

о

о

о

6

т—I

о

(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N(N

• y*

Рисунок 3 - Модель кумулятивных продаж Рисунок 4 - Импульсная модель продаж Nintendo Wii, млн шт. Nintendo Wii, млн шт.

Импульсная динамика продаж Nintendo Wii обладает иной структурой колебаний, сходной с (2), но пропорциональной тренду с лагом, равным 5:

Y = T + T-5 St + ^.

Тренд описывается дробно-рациональной моделью (9) с ростом, более быстрым, 3,5 + 0,091t

чем спад: T. =— . .

t 1 - 0,103t + 0,00826t2

Колебательная компонента также описывается суммой двух гармоник с тем же соотношением частот, что и в кумулятивной модели:

St = 2,2 sin (1,571t + 3,13) + 1,0sin ( 3,14t -1,57).

Точность импульсной модели остается высокой (R2 = 0,951), хотя и более низ-

8

6

2

0

Y

T

Y

T

170

№ 10 (14) - 2012

Проблемы экономики и менеджмента

кой, чем у кумулятивной модели. Точность прогнозирования является достаточной: MAPE = 17,74%. График модели и исходных данных показаны на рис. 4.

Падение точности моделирования и прогнозирования в данном случае связано не с худшим качеством модели, а с изменением размерности исходных данных. Просуммируем импульсную модель, построив тем самым ее кумуляту (рис. 5). Для кумуля-

2

Рисунок 5 - Кумулята импульсной модели Рисунок 6 - Модель кумулятивных продаж

продаж Nintendo Wii, млн шт. Microsoft Xbox 360, млн шт.

Кумулятивный ряд продаж Microsoft Xbox 360 имеет аддитивную структуру (1). Тренд в данном случае не достиг точки перегиба, поэтому описывается обобщенной экспонентой (7), приблизительно соответствующей первой половине логистической кривой: Tt = -5,3 + 5,6e0 032t. Сезонность моделируется суммой двух гармоник:

St = 0,15 sin (1,562t + 2,64) + 0,05 sin (2,62t + 0,40) .

Модель характеризуется высокой точностью моделирования и прогнозирования (R2 = 0,999 , MAPE = 1,42%). Графики модели и исходных данных показаны на рис. 6.

Необходимо отметить, что после прохождения точки перегиба (ориентировочно в 2012 году) модель тренда необходимо будет изменить на логистическую кривую. При этом разностный ряд не обладает характерной колоколообразной формой, поскольку не достигнута точка максимума. Построение импульсной модели в этом случае является нецелесообразным.

Для консоли Nintendo DS, напротив, наиболее точным является построение импульсной модели. Структура модели так же, как и для консоли Nintendo Wii, включает колебательную компоненту, пропорциональную тренду с лагом, равным 5:

Y = T + Tt -5 St + *t.

Тренд в данном случае имеет иную форму с продолжительным периодом зрелости и описывается дробно-рациональной моделью (10):

T =__________________186,9_________________

t 1 - 0,211t + 0,0226t2 - 0,00111t3 + 2,12-10-514 ’

№ 10 (14) - 2012

171

Проблемы экономики и менеджмента

а сезонная компонента описывается суммой двух гармоник:

St = 0,41sin(,571t +1,63) + 0,19sin(3,142t +1,55) .

Точность моделирования и прогнозирования является достаточно высокой: R2 = 0,949 , MAPE = 9,91%. Графики модели и исходных данных показаны на рис. 7.

^LniniDlDN6COMO^OlOOH

ОООООООООООтНтНтН

оооооооооооооо

гмгмгмгмгмгмгмгмгмгмгмгмгмгм

.у*

Y

T

у ^=^=т* ^^у*

Рисунок 7 - Импульсная модель продаж Рисунок 8 - Кумулята импульсной модели Nintendo DS, млн шт. продаж Nintendo DS, млн шт.

Определим точность кумулятивной модели, суммируя значения импульсной (рис. 8): R2 = 0,9999, MAPE = 0,50%. Структура кумулятивного ряда Nintendo DSi также является аддитивной (1). Точка перегиба тренда в данном случае находится в начале выборки, т.е. представлена только вторая половина логисты. Более точно данную динамику описывает модель (5), точка перегиба которой всегда находится в области отрицательных отсчетов:

Tt = 29,6 + (-31,9 - 0,197t)e~0197t.

Колебания в данном случае обладают переменной амплитудой, не пропорциональной тренду, поэтому выбрана модель (12) с двумя гармониками и равными значениями а : St = 3,28e~0,169t sin(,472t +1,47) + 1,17e~0,169t sin(2,923t + 2,57) . Точность модели составляет R2 = 0,999, точность прогноза - MAPE = 0,69% (рис. 9).

Для динамики кумулятивных продаж видеоигр характерно отсутствие точки перегиба: максимум продаж приходится на первую-вторую неделю после выхода игры. В некоторых случаях возникают повторные циклы, которые могут быть связаны со всплеском продаж в праздничные дни, выходом продолжений или дополнений к играм, «ностальгией» и т.п. Для коротких ЖЦП характерно отсутствие периодических сезонных колебаний.

Имеющаяся статистика охватывает понедельные продажи в Японии для наиболее популярных видеоигр. Рассмотрим жизненные циклы видеоигр Dragon Quest Monsters: Joker 2 - Professional, Inazuma Eleven Strikers, Taiko no Tatsujin DS Ron Pedro! Roll up Jokai!, Wii Party (источник: MediaCreate, Famitsu), выходивших в 2010-2011 годах.

172

№ 10 (14) - 2012

Проблемы экономики и менеджмента

Объем имеющихся данных составляет от 14 до 44 наблюдений, в прогнозную часть выносилась 1/3 исходной выборки.

30 25 20 15 10 5 0

Рисунок 9 - Модель кумулятивных продаж Nintendo DSi, млн шт.

Жизненный цикл видеоигры Taiko no Tatsujin DS Ron Pedro! Roll up Jokai! описывается моделью (5):

Yt = 249746 + (-183547 - 0,146t)e~0M6t + st.

Точность модели составляет R2 = 0,999 , точность прогнозаMAPE = 0,53% (рис. 10).

ГО о 2009-06 2009-09 2009-12 ГО о о ч—1 о гм 2010-06 О О ч—1 о гм 2010-12 2011-03 2011-06 2011-09 2011-12

(J) о о гм

Y ^_т* ^_Y*

Y -----Y*

oooooooooooooooo

. Y*

Y

Рисунок 10 - Модель кумулятивных Рисунок 11 - Модель кумулятивных

продаж Taiko no Tatsujin DS Ron Pedro! Roll продаж Dragon Quest Monsters: Joker 2 -up Jokai!, тыс. шт. Professional, тыс. шт.

Аналогичной моделью описывается динамика продаж Dragon Quest Monsters: Joker 2 - Professional с точностью моделирования R2 = 0,994 и прогноза MAPE = 0,13% (рис. 11): Yt = 501196 + (-346633 - 0,202t)e~°’202t +st.

Для данного типа динамики характерно наличие постоянного уровня насыщения, когда еженедельные продажи на стадии спада стремятся к нулю.

№ 10 (14) - 2012

173

Проблемы экономики и менеджмента

Возможна и другая ситуация. Жизненный цикл видеоигры Inazuma Eleven Strikers асимптотически стремится к линейной динамике (рис. 12):

Yt = 156586 + 3279t - 81871е~04Ш + st.

Модель также характеризуется высокой точностью моделирования и прогнозирования ( R2 = 0,999, MAPE = 2,90%). Еженедельный уровень продаж стремится к 3279 шт.

Первый цикл не содержит точки перегиба и описывается обобщенной экспонентой (7): Т = 1293351 -1079766e~°’109t. Второй цикл представлен полностью и обладает формой, близкой к симметричной, поэтому описывается логистой Верхулста (3): 534570

T =-----------———. Точность суммарной модели R = 0,9997, точность прогноза

t 1 + 5,4 -1011 e~ll43t

MAPE = 1,52%. График исходного ряда, суммарной модели и первого цикла (обозначен T1*) показан на рис. 13. В данном случае возникновение повторного цикла обусловлено рождественскими и новогодними праздниками, когда происходит всплеск продаж. Возможно и возникновение большего числа циклов.

. у*

-T1*

• у*

Рисунок 12 - Модель кумулятивных продаж Inazuma Eleven Strikers, тыс. шт.

Рисунок 13 - Модель кумулятивных продаж Wii Party, млн шт.

Таким образом, продемонстрирована высокая точность предложенного параметрического подхода к моделированию и прогнозированию ЖЦП на различных стадиях жизненного цикла, показана возможность учета колебательных компонент.

у

у

Список литературы:

1. Котлер Ф. Маркетинг менеджмент: экспресс-курс / пер. с англ. под ред. С.Г. Божук. - 2-е изд. - СПб.: Питер, 2005. - 464 с.

2. Ramsay J.O. A comparative study of several robust estimates of slope, intercept a scale in linear regression // JASA. - 1977. - № 72 (3). - С. 38-57.

3. Семёнычев В.К. Информационные системы в экономике: эконометрическое

174

№ 10 (14) - 2012

Проблемы экономики и менеджмента

моделирование инноваций: учебное пособие / В.К. Семёнычев, Е.В. Семёнычев. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. - 217 с.

4. Семёнычев В.К. Методы идентификации логистической динамики и жизненного цикла продукта моделью Верхулста / В.К. Семёнычев, В.Н. Кожухова, Е.В. Семёнычев // Экономика и математические методы. - 2012. - Т. 48, № 2. - С. 108-115.

5. Семёнычев В.К. Метод параметрической итерационной декомпозиции трендсезонных рядов аддитивной структуры / В.К. Семёнычев, Е.В. Семёнычев, А. А. Коро-бецкая // Вестник Самарского муниципального института управления. - 2010. - № 1 (12). - С. 63-71.

6. VGChartz [Электронный ресурс]. - URL: http://www.vgchartz.com

List of references:

1. Kotler Ph. Marketing management: express course / translated from English. edited by S.G. Bozhuk. - 2 ed. - SPb: Piter, 2005. - 464 p.

2. Ramsay J.O. A comparative study of several robust estimates of slope, intercept a scale in linear regression // JASA. - 1977. - № 72 (3). - P. 38-57.

3. Semenychev V.K. Informational systems in economics. Econometric modeling of innovations. Textbook / V.K. Semenychev, E.V. Semenychev. - Samara. Journal of Samara State Aerospace University, 2006. -217 p.

4. Semenychev V.K. Methods of Identification of Logistic Dynamics and Product Life Cycles Using Ferhulst Model / V.K. Semenychev, V.N. Kozhukhova, E.V. Semenychev // Economics and Mathematical methods. - 2012. - Vol. 48, № 2. - P. 108-115.

5. Semenychev V.K. Parametric iterative decomposition for additive trend-seasonal time series / V.K. Semenychev, E.V. Semenychev, A.A. Korobetskaya // Journal of Samara Municipal Institute of Management. -2010. - № 1 (12). - P.63-71.

6. VGChartz [Электронный ресурс]. - URL: http://www.vgchartz.com

№ 10 (14) - 2012

175