Автоматизированный расчёт динамических характеристик манипулятора на основеуравнения Лагранжа - Эйлера

Список литературы

1. Кирюхин А. В., Тихонов В. А., Чистяков А. Г. [и др.]. Активная виброзащита - назначение, принципы, состояние. 1. Назначение и принципы разработки // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2011. № 2. С. 108-111.

2. Вибрации в технике: справ. В 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / под ред. К. В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.

3. Пат. 2257682 Российская Федерация, МПК B 63 G 8/34. Активная виброизолирующая система трубопроводов аварийной системы расхолаживания ядерного реактора подводной лодки / А. В. Кирюхин, В. А. Федоров, О. О. Мильман. № 2013158496/07; заявл. 30.12.2013; опубл. 20.07.2015, Бюл. № 20.

4. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.

5. Рыбак Л. А., Синёв А. В., Пашков А. И. Синтез активных систем виброизоляции на космических объектах. М.: Янус-К, 1997. 160 с.

6. Бурьян Ю. А., Шалай В. В., Зубарев А. В., Поляков С. Н. Динамическая компенсация виброактивных сил в колебательной системе // Механотроника, автоматизация, управление. 2017. № 3 (18). С. 192-195.

7. Петров А. А. Устойчивость одномассовой системы активной виброизоляции с обратной связью по силовому воздействию // XXVII сессия РАО, посвященная памяти ученых-акустиков : сб. науч. тр. / ФГУП «Кры-ловский государственный научный центр» М., 2014. URL: http://rao.akin.ru/Rao/sess27/петров.pdf.

8. Вибрации в технике: справ. В 6 т. Т. 4. Вибрационные процессы и машины / под ред. Э. Э. Лавендела. М.: Машиностроение, 1981. 509 с.

УДК 621.805.08

Автоматизированный расчёт динамических характеристик манипулятора на основе

уравнения Лагранжа - Эйлера

А. Н. Горитов, М. Ф. Молокова

Томский государственный университет системы управления и радиоэлектроники

г. Томск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-21-26

Аннотация — В современном мире большой популярностью пользуется робототехника. Роботы получили широкое распространение в различных сферах жизни человека. Их используют в медицине, для освоения космоса, в сфере безопасности, а также на производстве и в быту. Однако проектирование и моделирование робота — это довольно долгий и трудоёмкий процесс. Поэтому для более эффективной работы разработаны специальные программы, позволяющие создавать модель робота. Одной из таких сред является система автоматизированного моделирования управляемых механических систем РАУМС. В докладе рассмотрена модификация системы моделирования РАУМС, позволяющая выполнять расчёты динамических характеристик исследуемых объектов. Модификация системы включает модификацию модели компонентов и внедрение в систему блока по расчёту динамических характеристик робота-манипулятора. Реализованный алгоритм основан на методе Лагранжа — Эйлера и позволяет решать прямую и обратную задачу динамики. Результат выполнения расчётов представлен в виде таблицы и графика изменения динамических характеристик в момент времени. В результате разработки модуля были расширены возможности моделирования, в плане анализа динамических характеристик робота.

Ключевые слова: Робот-манипулятор, прямая задача динамики, обратная задача динамики, метод Лагранжа — Эйлера, система РАУМС.

I. Введение

В современном мире большой популярностью пользуется робототехника. Роботы получили широкое распространение в различных сферах жизни человека. Их используют в медицине, для освоения космоса, в сфере безопасности, а также на производстве и в быту. Однако проектирование и моделирование робота это довольно долгий и трудоёмкий процесс. Поэтому для более эффективной работы разработаны специальные программы, позволяющие создавать модель робота. Одной из таких сред является система автоматизированного моделирования управляемых механических систем РАУМС. Система РАУМС позволяет моделировать робот и внешнюю среду. Она решает многие задачи, такие как контроль на отсутствие столкновений, движения при заданных пространственных ограничениях, проверка на выполнение условий собираемости и поиска оптимальных компоновочных решений [1, 2]. При проектировании также важно знать динамические характеристики исследуемого объекта.

II. Постановка задачи

Цель работы заключается в разработке блока для расчёта динамических характеристик манипулятора и его внедрение в систему РАУМС, с тем чтобы расширить набор решаемых задач системы моделирования РАУМС.

Для достижения поставленной цели необходимо: проанализировать методы решения прямой и обратной задачи динамики, изучить структуру системы РАУМС, разработать блок по расчёту динамических характеристик и интегрировать разработанный блок в систему РАУМС.

III. Теория

Алгоритм решения прямой и обратной задачи динамики

Динамика - раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Динамика оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия. Есть две основные задачи динамики: прямая и обратная. Прямая задача динамики: по заданному характеру движения определить действующие на тело силы. Обратная задача динамики: по заданным силам определить характер движения тела. Существует несколько методов, позволяющих вычислить уравнения динамики, такие как Лагранжа - Эйлера, Ньютона -Эйлера [3], Гаусса [4]. Каждый из методов обладает своими особенностями. Метод Лагранжа - Эйлера позволяет получить удобную для анализа форму уравнений движения. Метод Ньютона - Эйлера позволяет получить чрезвычайно эффективную систему уравнений, с вычислительной точки зрения. Метод Гаусса является итерационным методом решения получаемых линейных уравнений. После сравнительного анализа методов был выбран метод Лагранжа - Эйлера. Так как для нас важна не только точность решения, а также время расчётов и форма уравнения.

Уравнение Лагранжа - Эйлера для поиска динамических характеристик представлено формулой (1).

d_

dt

dL_

dqi

— = т .

8qi

В уравнении (1) Ь функция Лагранжа Ь = К—Р, К - полная кинетическая энергия манипулятора, Р - полная потенциальная энергия манипулятора, ^ - обобщённые переменные манипулятора, ф - первая производная по времени обобщённых переменных, Т; - обобщённые силы или моменты, создаваемые в I сочленении для реализации заданного движения / -го звена.

Уравнение (2) описывает динамику движения робота в векторном виде:

п п п

Т с)к Л

к=1 к=1 т=1

где Т - обобщённые силы в I -ом сочленении для реализации движения I -го звена, - определяется формулой (3), устанавливает связь действующих в сочленениях силы и моменты с ускорениями присоединённых переменных, Н1к т - определяется равенством (4) и (5), устанавливает связь действующих в сочленениях сил

и моментов со скоростями изменения присоединенных переменных, С - определяется равенством (6), учитывает силу тяжести, действующую на каждое из звеньев манипулятора, ¿¡^)к - обобщённое ускорение, ^(?)т -обобщённая скорость, п - количество звеньев робота-манипулятора. Коэффициенты О к определяются равенством

О = X Тг

]=шах

Коэффициенты Н^ определяются равенством

^= X ^и^Ю ^кт = и,..п.

]=шах

н=ХХНлк„о г=1,2,...п.

к=1 т=1

где и^ матрица, описывающая изменения положения I -го звена, вызванное движением в ] -ом сочленение манипулятора, J матрица моментов инерции ] - го звена, Тг след полученной матрицы.

Коэффициенты СС, определяемые равенством

п

С =Х

где mj - масса ] -го звена, U^ матрица описывающая изменения положения г звена, вызванное движением

в ] - сочленение манипулятора, Г- вектор центра масс г -звена в собственной системе отсчёта, g - сила

тяжести, действующая на каждое из звеньев манипулятора [3].

Для решения обратной задачи динамики уравнение (2) примет следующий вид:

(Т ^Ё^кУт - Cг ) _

4(г)г =-^-, г = 1, п,

Е 4

к=1

г ,к

При решении обратной задачи динамики обобщённой переменной и её производная вычисляются по формуле (8) и (9).

4

¿

где М - изменение времени.

Общий алгоритм решения прямой и обратной задачи динамики изображён на рис. 1.

Рис. 1. Общий алгоритм решения задач динамики На основании сформулированного алгоритма был реализован модуль динамики.

IV. Результаты экспериментов Рассмотрим работу модуля по нахождению динамических характеристик на примере. Задан манипулятор, состоящий из 4 звеньев. Манипулятор представлен на рис. 2а. На рис. 2Ь приведена его кинематическая схема.

Рис. 2. Модель и кинематическая схема манипулятора

Первое звено является вращательным вокруг оси z, его масса равна 161,1 грамма. Второе и третье звенья задают вращения вокруг оси x, масса каждого из них равна массой 85,5 грамма. Четвёртое звено - это схват, он вращается вокруг оси у, его масса равна 60 граммам.

На рис. 3 представлена модель манипулятора в различные моменты времени. На рис. 3 а показано начальное положения манипулятора в момент времени ^ = 0. На рис. 3Ь показано конечное положение манипулятора в момент времени / = 1.

а) Ь)

Рис. 3. Положение манипулятора в начальный и конечный момент времени Используем построенную модель для решения прямой и обратной задачи динамики.

Прямая задача. Необходимо определить силы, которые потребуются для перемещение схвата манипулятора из начального положения (рис. 3а) в конечное (рис. 3Ь). В промежутки времени от 0 до 1 секунды, с шагом 0.1 секунды. Результаты решения прямой задачи динамики представлены в виде таблицы, рис. 4а и графика рис. 4Ь.

Рис. 4. Силы, действующие на схват манипулятора

Обратная задача. На манипулятор действуют силы и (рис. 2Ь), действует на второе звено по оси у, действует на третье звено манипулятора по оси 7. Силы заданы в виде функции (10).

^(г, А, г0, гх) = ^(г, А, г0, г,) = \

0, г < го А • (г - го) (г - го) А, г > г

, го < г < гх,

где А - константа, го,г1 - моменты изменения функции (10), г время. При определённых параметрах график сил принимает следующий вид (рис. 5):

Рис. 5. График изменения функции

По заданным силам необходимо определить траекторию, скорость и ускорение, которые потребуются для перемещения звеньев манипулятора из начального положения (рис. За) в конечное (рис. 3Ь). В промежутки времени от 0 до 1 секунды, с шагом 0.1 секунды. По окончанию решения обратной задачи динамики получим траекторию движения схвата манипулятора на заданном отрезке времени. Результаты приведены в виде таблицы значений (рис. 6а) и графика (рис. 6Ь).

Рис. 6. Траектория движения схвата манипулятора

V. Обсуждение результатов Разработанный модуль позволяет для произвольного робота-манипулятора автоматически составлять уравнения и решать как прямую, так и обратную задачу динамики. Находить обобщённые силы, которые необходимо задать для перемещения звеньев манипулятора по заданной траектории при решении прямой задачи динамики. Вычислить траекторию движения, скорость и ускорения каждого звена манипулятора при решении обратной задачи динамики.

VI. Выводы и заключение

В результате выполненной работы был изучен метод решения прямой и обратной задачи динамики на основе уравнения Лагранжа - Эйлера. Разработан алгоритм формирования уравнения Лагранжа - Эйлера для произвольного манипулятора. Разработан метод решения уравнения Лагранжа - Эйлера. Выполнена модификация модулей системы РАУМС для того, чтобы обеспечить формирование и решение уравнения Лагранжа - Эйлера.

В дальнейшем планируется расширение возможностей программы РАУМС. Разработка компонент, учитывающих особенности приводов. Управления роботом с учётом динамики.

Источник финансирования. Благодарности

Научный руководитель: профессор кафедры АСУ Горитов Александр Николаевич.

Список литературы

1. Горитов А. Н. Моделирование манипуляционных робототехнических систем в условиях неполной информации о внешней среде. М.: Издательство Института оптики атмосферы СО РАН, 2005. 276 с.

2. Горитов А. Н. Архитектура системы автоматизированного моделирования робототехнических комплексов // Программные продукты и системы: Приложение к журналу «Проблемы теории и практики управления». 2001. С. 17-19.

3. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника / пер. с англ. А. А. Сорокина [и др.]; под ред. В. Г. Градецкого. М.: Мир, 1989. 620 с.

4. Фролова К. В. Механика промышленных роботов: учеб. пособие для вузов: в 3 кн. Кн. 1. Кинематика и динамика. М.: Высш. шк., 1988. 304 с.

УДК 624.04

СНИЖЕНИЕ ВИБРОАКТИВНОСТИ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ

О. С. Дюндик, И. П. Згонник

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-26-29

Аннотация - Проведен анализ технических и технологических решений по ослаблению влияния процесса динамического пересопряжения на виброактивность зубчатой передачи. Задача полного исключения не имеет решения из-за дискретного способа трансформации силового потока зубчатой передачей. Показано, что управляемым параметром снижения виброактивности является ослабление жесткости зацепления. Предложено ослабление жесткости выполнять с помощью радиальной прорези зубчатого венца, что обеспечивает малую начальную и ступенчато изменяемую жесткость зацепления. Приведены технические решения, приводящие к плавному, зависимому от силового потока управлению жесткостью с помощью встроенной цепи управления и применением эластомерных материалов. В результате отмечается, что уменьшение жесткости зацепления одновременно приводит к увеличению статической деформации 6, при этом динамическая нагрузка при пересопряжениях уменьшается. Вариацией параметров эластомера можно обеспечить достижение расчетной жесткости зацепления в зависимости от переменного силового потока.

Ключевые слова: зубчатая передача, зубчатое зацепление, жесткость зацепления, цепь управления.

I. Введение

Зубчатые передачи обладают рядом достоинств, таких как способность преобразования движения между валами, расположенными любым образом в пространстве, компактностью, высокой несущей способностью и к.п.д., надежностью, технологичностью. Эти достоинства определяют широкое распространение этих типов передач в объектах машиностроения. Однако, наряду с достоинствами, зубчатые передачи объективно имеют присущие этому типу передач недостатки, которые выражаются в повышенной виброактивности, порождаемой динамическим пересопряжением зубьев при неустранимой погрешности шагов, объясняемой первичными и силовыми ошибками, а также изменяемой жесткостью зацепления как при однопарном, так и при многопарном зацеплении. Проблема снижения виброактивности зубчатых передач является актуальной и широко рассматривается в зарубежных источниках, таких как [1, 2].

II. Постановка задачи

Поставим и решим задачу анализа технических и технологических решений по ослаблению влияния процесса динамического пересопряжения на виброактивность зубчатой передачи, поскольку задача полного исключения этого явления не имеет решения из-за дискретного способа трансформации силового потока зубчатой передачей.