Расчёт на прочность пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости, на упругом основании обратным методом

Расчет на прочность пластины, подкрепленной ребрами жесткости, на упругом основании обратным методом

Е.Э. Кадомцева, Н.В. Сикачёва, Ю.А. Кирсанов

Академия строительства и архитектуры Донского государственного технического университета, Ростов-на-Дону

Аннотация: В работе рассматривается изгиб пластины на упругом основании. Пластина в плане имеет прямоугольное очертание. Материал пластины изотропный. Пластина подкреплена рёбрами жёсткости, направленными параллельно сторонам пластины. Учитывается, что рёбра жёсткости, параллельные разным сторонам, имеют разные жёсткости на изгиб и кручение. За расчётную схему принимается ортотропная пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных подкрепляющим рёбрам. Упругое основание принимается Винклеровским, т. е. считается, что реакция основания прямо пропорциональна прогибу пластины в каждой точке. Пластина опирается на упругое основание и нагружена распределённой нагрузкой

по следующему закону q = * sin ^р * cos ^.Задача решается обратным методом. Функция прогибов пластины задаются в виде: w = С*= siii^^ * с os ^Исследуется напря-

Эз airU

женное состояние и проводится расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания.

Ключевые слова: рёбра, пластина, упругое основание, обратный метод, тонкая, ортонор-мированная, изгиб, грузоподъёмность, прочность.

Расчёт различных конструкций из армированных элементов имеет широкое применение при проектировании железобетонных строительных сооружений.

Рассматривается прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости, направленными параллельно краям пластины, нагруженная распределённой нагрузкой, перпендикулярной срединной плоскости (Рис. 1).

Проводилось исследование напряженного состояния и расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания. Выбор модели основания Винклера обусловлен тем, что винклеровская модель математически проста и дает достаточно хорошие результаты.

За расчётную схему принимается ортотропная шарнирно опёртая пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, зависящих от жёсткости подкрепляющих рёбер [5 — 6].

длина пластины.

Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластины на упругом основании в этом случае имеет вид [7-11]:

2А

&ЯГ4

5

где Д1 = О +

Ы2

щ

Б - Цилиндрическая жёсткость пластинки, и - жёсткость

при изгибе рёбер, /¡^ и ¡щ- моменты инерции при кручении рёберД —ко-

эффициент постели, ц{хму)- распределённая нагрузка,лу- прогиб пластины, 11-толщина пластины,'!/- коэффициент Пуассона.

Нагрузка, действующая на пластину, распределена по закону:

Ц = ЕШ ^ * СОВ ^

Функция прогибов пластины задаются в следующем виде:

№ = С * ЕШ * СОВ ^

Постоянная С определяется из уравнения (1):

С =

Максимальные нормальные напряжения определяются по форму-

лам:

г™*-- ^ - ^ та* | + V ^ }\

Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем

Как видно из результатов расчетов, что оптимальным подкреплением пластины рёбрами жёсткости, является 2 горизонтальных и 2 вертикальных ребра.

Таблица № 1

Грузоподъемность пластины в зависимости от количества рёбер жёсткости

Вертикальные рёбра, шт Горизонтальные рёбра, шт Максимальное нормальное напряжение Предельно допускаемая нагрузка Максимальное нормальное напряжение о^™5 Предельно допускаемая нагрузка ?0,МПа

2 2 0,53?: 301,88 762

3 3 0,6'.;: 266,67 0,25?; 640

2 3 0,53 301,88 0,33;.^ 485

3 2 0,6?: 266,67 0,18?: 888,88

- 2 0,53?; 301,88 0,14?; 1143

2 - 0,44?; 363,63 0,25 640

Зависимость предельно допускаемой нагрузки в зависимости от количества рёбер

жесткости

888,88

'301,88

266,67

301'88 266,67

301,88

2 горизонтальных 3 горизонтальных 3 горизонтальных 2 горизонтальных2 горизонтальных

2 вертикальных 3 вертикальных 2 вертикальных 3 вертикальных 2 вертикальных

Предельно допускаяемая нагрузка по оси X и Предельно допускаемая нагрузка по оси У

Диаграмма 1.

Как видно из результатов расчетов, что оптимальным подкреплением пластины рёбрами жёсткости, является 2 горизонтальных и 2 вертикальных ребра.

Таблица № 2

Грузоподъемность пластины в зависимости от толщины пластины.

Толщина пластин ык, м Количество рёбер жёсткости Максимальное нормальное напряжение а™* Предельно допускаемая нагрузка ?0, МПа Максимальное нормальное напряжение фтпах Предельно допускаемая нагрузка МПа

0,001 3 вертикальных и 3 горизонталь-ных ребра жёсткости 1,97?: 81,2 0,79>-^ 202,53

0,0015 0,94?: 170 0,38?; 421,1

0,002 0,6-> 266,67 0,25-> 640

0,0025 0,42^ 380,9 0,1^ 941,2

0,003 0,32?; 516 0,13?; 1230,77

Зависимость предельно допустимой нагрузки от толщины пластины

/У

* у-

202,53

/ /Ь

81,2

1230,77

640

421,1

И=1 мм

170

И=15 мм

266,67

И=2 мм

941,2

Л

380,9

ш~ в

И=25 мм

И=3 мм

I Предельно допустимая нагрузка по оси X  Предельно допустимая нагрузка по оси У

Диаграмма 2.

Вывод: чем больше толщина пластины, тем больше предельно допускаемая нагрузка по оси х и больше по оси у.

Таблица № 3

Грузоподъемность пластины в зависимости от коэффициента постели упру-

гого основания

Коэффициент постели основания К, Мпа/м Количество рёбер жёсткости Толщина пласт иньй, м Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка , МПа Максимальное нормальное напряжение ^ тгд- Предельно допустимая нагрузка МПа

100(песок) 3 вертикальных и 3 горизонталь-ных ребра жёсткости 0,002 0,476; - 336,13 0,19;- 842,1

200 (грунт песчано-глинистый, уплотненный) 0,4283,;. 373,56 0,173,;- 924,8

400 (известняк) - 266,67 0,25 640

600 (бутовая кладка) 0,3;- 533,33 0,12;: 1333,33

800 (бетон) 0,26.;- 615 0,1,;. 1600

Зависимость предельно допускаемой нагрузки в заисимости от упругого основания

К=100 К=200 К=400 К=600 К=800

Предельно допускаемая нагрузка по оси X  Предельно допускаемая нагрузка по оси У

Диаграмма 3 - К - коэффициент постели.

Вывод: из расчетов видно, что между коэффициентом жесткости упругого основания и предельно допустимой нагрузкой по оси х и у, прямо пропорциональная зависимость.

В ходе исследования был проведен сравнительный анализ предельно допустимой нагрузки для пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости и прямоугольной плоской пластины. Результаты расчетов показали, что выгоднее использовать пластину, подкреплённую рёбрами жёсткости.

Таблица № 4

Результаты расчетов прямой прямоугольной и пластины, подкреплённой

рёбрами жёсткости

Толщина пластины, к м Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка ;., МПа

Плоская пластина 0,002 0,177,;: 903,95 2,24

Пластина, подкреплённая рёбрами жёсткости 0,6:;. 266,67 0,25:;- 640

Вывод: исследование показало, что грузоподъёмностьпластины, подкреплённой рёбрами жёсткости выше, чем прямоугольной. Несмотря на то, что предельно допустимая нагрузка по оси х намного больше у прямой пластины, предельно допустимая нагрузка по оси у в 285,7 раз в прямой пластине меньше, чем в пластине, подкреплённой рёбрами жёсткости.

Исследование показало, что напряженное состояние и грузоподъемность пластины, подкреплённой рёбрами жёсткости на упругом основании, во многом зависит от количества и расположения рёбер жёсткости, геомет-

рических параметров пластины и от жесткости основания, на которое опирается сама пластина.

Зависимость предельно допустимой нагрузки плоской и подкреплённой рёбрами

пластин

903'95 266,67

2,24

Пластина, подкреплённая Плоская пластина рёбрами жёсткости

1 Предельно допустимая нагрузка по оси X  Предельно допустимая нагрузка по оси У

Диаграмма 4. ffQ - Предельно допустимая нагрузка(МПа).

Данный метод позволяет исследовать влияние параметров пластины, рёбер и характеристик упругого основания на прочность пластины, подкреплённой ребрами жёсткости на упругом основании при изгибе и востребован при расчёте элементов инженерных конструкций [12-14].

Литература

1. Кадомцева Е.Э., Моргун Л.В. Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона. // Инженерный вестник Дона, 2013, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н. Расчёт на прочность армированных балок с заполнителем из бимодульного материала с использованием различ-

640

ных теорий прочности. // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3.Матвеев С.А., Мартынов Е.А., Литвинов Н.Н. Расчёт армированной дорожной одежды как многослойной плиты на упругом основании. // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Сер.: Механика. 2015. Вып.4(45) с. 72-76.

4.Большаков А. А. Прямоугольная пластина, упруго опертая по контуру // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2011. Вып. 4 (19). URL: vestnik.vgasu.ru

5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. New approach to the strength analysis of a welded butt joint. Industrial Laboratory. 1996. V., C. 62. №8. pp. 517-520.

6. Беленький Д.М., Бескопыльный А.Н. Измерение вектора механических свойств материала деталей машин. Вестник машиностроения. 1997. № 8. С. 44.

7.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н., Бердник Я.А. Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина. // Инженерный вестник Дона, 2016, №3 URL:ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/

8. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. -М. изд-во" Наука", Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981. -832 с.

9.Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. -М. Высшая школа 1987. - 576 с.

10. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Под общей редакцией Биргер И.А. и Пановко Я.Г. Т.2. - М., изд-во "Машиностроение", 1988. - с.464.

11. Мышкис А. Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. - М. изд-во "Физматлит", МАИК «Наука/Интерпериодика», 2007. -687 с.

12. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с анг. -М.: Мир, 1984. -494 с.

13. Shukla S.K. Shallow foundations in geosynthetics and their applications. -Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

14. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation.In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3., pp.265-271.

15. Кадомцева Е.Э., Кирсанов Ю.А., Сикачёва Н.В. Расчёт на прочность гофрированной тонкой пластины на упругом основании обратным методом. // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4251

References

1. Kadomceva E.E., Morgun L.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2. Kadomceva E.E., Beskopyl'nyj A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3. Matveev S.A., Martynov E.A., Litvinov N.N. Vestnik Sibirskoj gosu-darstvennoj avtomobil'no-dorozhnoj akademii. Ser.: Mehanika. 2015. Vyp.4(45^. 72.76.

4. Bol'shakov A.A. Internet-vestnik VolgGASU. Ser.: Politematicheskaja. 2011. Vyp. 4 (19). URL.vestnik.vgasu.ru

5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. Industrial Laboratory. 1996. V. 62. № 8. pp. 517-520.

6. Belen'kij D.M., Beskopyl'nyj A.N. Vestnik mashinostroenija. 1997. № 8. p. 44.

7. Kadomceva E.Je., Beskopyl'nyj A.N., Berdnik Ja.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/.

8. Filin A.P. Prikladnaja mehanika tvjordogo deformiruemogo tela. [Applied mechanics of a rigid deformable body.] V.1. M. izd.vo" Nauka", Gl. red.fiz.mat. literatury, 1981p. 832.

9. Simvulidi I.A. Raschet inzhenernyh konstrukcij nauprugom osnovanii. [Calculation of engineering structures on an elastic foundation]M. Vysshajashkola. 1987. p.576.

10. Prochnost', ustojchivost', kolebanija. Spravochnik v trjohtomah. Pod obshhe-jredakciej Birger I.A. I Panovko Ja.G. [Strength, stability, vibrations. Reference book in three volumes]. V.2. M., izd-vo"Mashinostroenie", 1988. p.464.

11. Myshkis A.D. Prikladnaja matematika dlja inzhenerov. Special'nye kursy. [Applied mathematics for engineers. Special courses.] M. izd.vo "Fizmatlit", MAIK «Nauka. Interperiodika», 2007 p. 687.

12. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnyh jelementov v prikladnyh nau-kah.: Per. s ang. [Method of boundary elements in applied sciences: Trans. with eng.]M.: Mir, 1984. 494 p.

13. Shukla S.K. Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

14. Yin J.H. In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3, pp.265-271.

15. Kadomceva E.E., Kirsanov Y.A., Sikachoyva N.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4251