Фрагментация металла при сильноточном электронном облучении

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268).

Физика. Вып. 13. С. 53-61.

А. Е. Дудоров, П. Н. Майер, А. Е. Майер

фрагментация металла при сильноточном электронном облучении

Описывается теоретическая модель процесса разрушения металла в зоне энерговыделения сильноточного электронного пучка. Разрушение металла на фрагменты происходит в жидкой фазе . Рассматриваются образование в жидком металле пузырьков пара, их рост и объединение с формированием односвязной паровой фазы с жидкими каплями, последующее расширение получившейся паро-капельной смеси. Используется двухуровневый подход, когда на макроскопическом уровне описания облучаемый металл рассматривается как двухфазная гетерогенная среда в односкоростном приближении, а на микроскопическом уровне рассматривается обмен энергией и массой между фазами, в том числе рост или уменьшение размеров пузырьков пара или капель жидкого металла Численно исследуется образование ультрадисперсных частиц металла при облучении медной мишени сильноточным электронным пучком . Показано, что разрушение жидкой фазы происходит под действием растягивающих напряжений и начинается спустя 30 нс после окончания импульса облучения . Наличие метастабильного состояния приводит к тому, что вглубь металла вслед за ударной волной распространяется волна разрежения, в которой достигаются отрицательные давления величиной до 2,5 ГПа.

Ключевые слова: разрушение, фрагментация, металл, наночастицы, сильноточное электронное облучение, математическая модель, двухфазная среда, односкоростное приближение.

1. Введение. Воздействие на металл сильноточными электронными пучками может использоваться для получения ультрадисперсных металлических частиц [1-2] . Процесс образования частиц проходит в несколько стадий . На начальном этапе быстрые электроны пучка передают свою энергию веществу, что приводит к нагреву металла, его плавлению, и создает область повышенного давления в зоне энерговыделения [3-5] . Следующая стадия состоит в расширении нагретого слоя металла, которое создает в нем растягивающие напряжения (отрицательное давление) . В растянутом расплаве металла начинается разрушение за счет образования и роста пустот в жидкой фазе . Уменьшение температуры ведет к росту величины растягивающих напряжений, необходимых для разрушения [6] . В работах [6-7] методами молекулярной динамики с использованием потенциала Ленарда— Джонса [7] и потенциала погруженного атома [6] подробно исследовано разрушение жидкости при растяжении со скоростями деформации > 108 с-1, определены коэффициенты кинетической модели

Полное разрушение жидкой фазы металла происходит, когда образовавшиеся в ней полости вырастают настолько, что объединяются друг с другом, образуя односвязную паровую фазу, а остающийся жидкий металл фрагментирует при этом на капли . Последующий разлет паро-капельной смеси может сопровождаться

процессами испарения и конденсации металла на каплях

При достаточно высокой удельной плотности вложенной энергии фрагменты жидкой фазы могут полностью испариться, металл превратится в пар При адиабатическом разлете такой пар охлаждается и переходит в состояние пересыщенного пара [8-9], что приводит к конденсации в нем капель жидкого металла Пройдя через состояние чистого пара, такие капли оказываются уже не связанными с исходными фрагментами жидкой фазы . В работе [9] исследована конденсация металлических наночастиц из чистого пара, полученного при полном испарении металла под действием сильноточного электронного пучка В ней показано, что гомогенная нуклеация и коагуляция образовавшихся капель определяют размер формирующихся наночастиц

Между тем облучение электронным пучком часто приводит к неполному испарению металла, когда часть вещества остается в виде неис-парившихся жидких капель . При адиабатическом расширении паро-капельной смеси эти капли выступают центрами конденсации, и их размер определяет размер образующихся уль-традисперсных частиц В данной работе описана математическая модель процесса фрагментации облучаемого металла и образования уль-традисперсных частиц в случае неполного испарения металла В разделе 2 рассматриваются

следующие стадии эволюции системы: образование и рост пузырьков пара, их объединение с образованием жидких капель, разлет смеси пара с каплями жидкого металла . В разделе 3 представлены результаты расчетов динамики роста ультрадисперсных частиц при облучении медной мишени сильноточным электронным пучком .

2. Математическая модель. Основной задачей работы является описание разрушения расплава металла в зоне энерговыделения под действием растягивающих напряжений и фрагментации жидкой фазы на капли . В общем случае можно выделить следующие стадии эволюции металла во время и после облучения электронным пучком:

а) конденсированный металл (твердый или жидкий);

б) жидкий металл с пузырьками пара;

в) пар металла с каплями жидкой фазы;

г) чистый пар

Переход от стадии а) к стадии б) связан с тер -мофлуктуационным образованием в метаста-бильной жидкой фазе пузырьков пара вследствие кавитации [6-7; 10] . Переход от стадии б) к стадии в) обусловлен фрагментацией односвязной жидкой фазы на отделенные друг от друга области, которые под действием поверхностного натяжения превращаются в сферические капли Данный переход относится к классу перколя-ционных переходов, в результате, пар занимает односвязную область . На стадии в) имеет место коагуляция: капли сталкиваются в результате броуновского движения, объединяются, их количество уменьшается . Переход от стадии в) к стадии г) происходит при полном испарении металла, а обратный переход — при нуклеации зародышевых капель жидкого металла при адиабатическом разлете пара [8-9]; в данной работе эти переходы рассматриваться не будут

Исходя из сказанного будем рассматривать металл как двухфазную среду, состоящую из пузырьков пара в жидкой фазе на стадии б) и из жидких капель, окруженных паром, на стадии в) . Размер пузырьков и капель (~0,1 мкм) много меньше характерного масштаба задачи, который имеет порядок пробега электронов в веществе —10^1 000 мкм . Это позволяет использовать континуальное приближение, в котором в каждой точке пространства обе фазы описываются непрерывными полями параметров: давления,

температуры, плотности, скорости и объемной доли, так же могут быть заданы непрерывные поля концентрации и радиусов пузырьков или капель Динамику испаренного слоя вещества будем описывать уравнениями механики двухфазной сплошной среды [11] . Жидкость или твердое тело являются односвязной несущей фазой на стадии б), в то время как пар является односвязной несущей фазой на стадии в) Многосвязная дисперсная фаза представляет собой пузырьки пара на стадии б) и жидкие капли на стадии в) .

На этапе б) рассматриваемая система представляет собой пузырьковую жидкость [12-13] и вследствие малой массы пара внутри пузырька и сравнительно большой вязкости окружающей пузырек жидкости, пузырьки с хорошей точностью можно считать вмороженными в жидкость . На этапе в) характерное время выравнивания скоростей сферических капель и окружающего пара за счет действия силы Стокса можно оценить как ту ~ т / (бпп^) ~ 0,2 (рг /п) • ^2, где т — масса одной капли; R — ее радиус; р; — плотность жидкого металла; п — вязкость окружающего пара . Подставляя значения п ~10-4 Па с, рг ~104 кг/м3 и Я ~10-7 м, получаем ту~10-7 с, что сопоставимо с характерным временем эволюции системы . Применимость односкоростного приближения обсудим ниже (см . раздел 3) .

Образование и рост пузырьков пара, изменение их массы, последующую эволюцию капель металла будем описывать кинетическими уравнениями для фазовых переходов

Рассмотрим одномерную постановку задачи, когда вещество движется вдоль оси 02. Поскольку нас интересуют процессы в жидкой фазе, будем пренебрегать упругопластическими свойствами твердотельной части металла, используя гидродинамическое приближение В односкоростном приближении законы сохранения для смеси могут быть записаны аналогично случаю однофазной среды . В координатах Лагранжа они имеют следующий вид:

*

1 d р

р dt dv

Р

dt

dz’

.dP

dz ’

dU dv

p =-p ъ+pD

где V — ^-компонента скорости вещества; Р с— давление несущей фазы; D — функция энерговыделения, описывающая передачу энергии от быстрых электронов пучка веществу Средняя плотность вещества вычисляется следующим образом: р = рсас + р^, где ас ё — объемные доли соответствующих фаз . Входящее в уравнение (3) среднее значение внутренней энергии выражается как и = (Цасрс + иааар)/ р . Индекс с обозначает несущую фазу, а индекс ё — дисперсную фазу

Уравнение (2) определяет скорость вещества, которая одинакова для обеих фаз . Для определения термодинамических параметров и объемных долей каждой из фаз кроме уравнений (1) и (3) необходимо привлечь дополнительные соображения . Предположим, что объем дисперсной фазы остается постоянным при движении вещества и меняется только в результате взаимодействия между фазами . Рассмотрим сначала ситуацию, когда взаимодействия между фазами нет, иначе говоря, размер, количество и полный объем пузырьков (капель) остается постоянным . Рассмотрим малый элемент среды с объемом V = = V + Уа. При деформации справедливо УЛ = 0, Ус =У = Эу / дг . Тогда для производных по времени от объемных долей получаем

ҐдуЛ

А а

&

& &

V

= а.

Учитывая изменение размеров и количества пузырьков (капель), получаем:

& ас &

&

&

= а&

ду

— —а

дz

ду

ді

+ w,

где w — скорость увеличения объема дисперсной фазы в единице объема смеси . Зная скорости изменения объема и объемной доли, нетрудно получить уравнения для плотности и удельной внутренней энергии:

&Рс = Р

& ас

&Р&_ &

ґ

ду

\

а„

= -^м> + -

&

а.

Эу

а„

--------+ w

дг

б + Рсас  О,

Си,

Рсаі—Г~ = -Рс  ™ + в + Рааа •

аі

Функция w может быть определена следующим образом:

w

= п • 4пЯ2 • Я + (4п /3)ЯІ

где п — концентрация дисперсных частиц (пузырьков или капель) в веществе; R — радиус этих частиц; Яг — критический радиус пузырьков . Второе слагаемое в правой части уравнения (10) отлично от нуля только для случая пузырьков пара в жидкости — на стадии б) . В уравнениях (6), (7) / — массовая скорость роста дисперсной фазы в единице объема вещества:

J = п-щ- £ + (4п/3) Яъсгр„ п,

где т1 — масса одного атома вещества; g — число атомов в пузырьке (или капле), а £ — скорость изменения этого числа, выражение для нее приведено далее; ру — плотность насыщенного пара. Величина Q в уравнениях (8), (9) характеризует теплообмен между фазами, который приводит к выравниванию их температур . Рассматривая аналогично [9] тепловое поле вокруг капель в квазистационарном приближении, для Q можно записать

Є = 4пЯ-п- к(Т-Тс),

где к — коэффициент теплопроводности несущей фазы

Уравнение для изменения радиуса пузырька может быть получено из рассмотрения вязкого течения жидкости вокруг пузырька. Уравнение для изменения радиуса капли получается из рассмотрения равномерного расширения шара вязкой жидкости Объединяя эти два случая, запишем в общем виде уравнение для изменения радиуса дисперсных частиц:

Я=-3 * +

2 Я

Р.

х-

Я Р/

-А - В 8 і А 3 Р/ Я2

где о — поверхностное натяжение; р1 — плотность и п — вязкость жидкого металла; А и В — численные параметры: А = В = 1 на стадии б) и А = 5, В = 1,25 на стадии в) . Уравнение (13) для стадии б) совпадает с уравнением Релея— Плесета [6] . Согласно [10] критический радиус пузырька пара равен

Я,, =-

2 а

где Р ^ — давление насыщенных паров . Это же выражение следует из уравнения (13) как величина радиуса, при которой перепад давлений компенсируется силами поверхностного натяжения . Случайно образовавшиеся в жидком металле полости с радиусом меньше Ясг будут исчезать, с радиусом больше Ясг — расти .

Скорость образования новых пузырьков критического радиуса за счет гомогенной нуклеа-ции может быть записана как [10; 14-16]

с \

п = -

(Щг)'

ехр

кТ

где с — скорость звука в жидком металле; Тс — температура; k — постоянная Больцмана; — работа образования пузырька критического радиуса [10]:

=

16п

3

(р. - р )2

При наличии неиспарившихся остатков жидкой фазы конденсация охлаждающегося в результате расширения пара происходит на эти жидкие включения и процесс гомогенной ну-клеации новых зародышей жидкой фазы подавлен [17] Поэтому при рассмотрении стадии в) образованием новых капель жидкого металла в результате гомогенной нуклеации пренебре-галось, но учитывалось, что капли могут исчезать, если число атомов в них g < 2 (полное испарение); кроме того учитывалась коалесценция (объединение капель) при их случайных столкновениях за счет броуновского движения [9]

п = -п2 -4пЯ2 •и = -3 п и / Я,

где и =Л/щ7(7 • т ) — средняя скорость теплового движения капли . При изменении количества капель за счет коагуляции их средний радиус пересчитывался исходя из условия сохранения объема

Изменение числа атомов в пузырьке задается уравнением [10]

2Я

с

ехр

4пЯ1 а 3кГ • £1/:

-1

,

где Я1 =

Давление и температура несущей и дисперсной фаз определяются из метастабильного уравнения состояния: Р = Р(р и ,), Т =

= Т(рс л, ис ^), оно же используется для определения плотности и давления насыщенных паров . В данной работе использовался метастабильный вариант широкодиапазонного уравнения состояния [18] для металлов . Это уравнение состояния позволяет отслеживать фазовый переход «жидкость — твердое тело» .

Когда пузырьки становятся достаточно большими, они объединяются и формируют односвязную паровую фазу. Жидкость, напротив, делится при этом на отдельные капли . Эти капли становятся центрами конденсации в расширяющемся и охлаждающемся паре . Число и размер жидких капель определяется из количества пузырьков пара и их размеров . Соответствующая задача перколяции (перехода из состояния «пузырьки в жидкости» в состояние «капли в паре») была рассмотрена в [19-20] в простом случае. когда центры пузырьков находятся на одинаковом расстоянии друг от друга В этом случае пузырьки объединяются, когда их диаметр 2Я увеличивается до значения, равного расстоянию между центрами пузырьков Чп . Один пузырек занимает объем 4пЯ3/3 . В момент пер-коляционного перехода на один пузырек приходится объем среды (2Я)3, следовательно, на каждый пузырек приходится объем жидкости, равный (8 - 4п/3)Я3 . Предположим, что число полученных капель равно числу пузырьков пара Тогда объем одной жидкой капли будет равен (8 - 4п/3)Я3 . Благодаря поверхностному натяжению капли приобретают сферическую форму, и их радиус будет равен Яь = (6/п - 1)1/3 Я ~ Я. Отсюда приходим к выводу о том, что перко-ляционный переход будет происходить, когда объемная доля пара достигнет значения ау ~ 0,5 . При объединении пузырьков могут формироваться и более мелкие капли, но в данной работе этим процессом пренебрегается

3. Численное моделирование фрагментации меди в жидкой фазе. Система уравнений (2), (4)-(18) решалась численно . Использовался метод разделения по физическим процессам: отдельно рассматривалось движение вещества, образование и рост пузырьков (изменение размера и массы капель), теплообмен между фазами Уравнения механики сплошной среды (2), (4)-(9) решались численным методом [21] . Уравнения обмена массой и энергией между фазами, а также уравнения (15), (17), (18) образования и роста частиц дисперсной фазы решались методом

Эйлера с переменным временным шагом, который выбирался малым по сравнению с характерными временами процессов . Считалось, что в ячейках расчетной сетки, в которых объемная доля пара достигала 0,5, произошел перколяци-онный переход, появились капли, а пар далее рассматривался как несущая фаза .

Численно исследовалось облучение меди сильноточным электронным пучком с энергией электронов 1 МэВ, плотностью тока 10 кА/см2, длительностью импульса 50 нс . Воздействие

пучка вызывает резкий нагрев вещества в зоне энерговыделения (рис . 1) . На глубине до 0,4 мм температура превышает температуру плавления, и вещество здесь переходит в жидкую фазу. На момент окончания импульса облучения температура в нагреваемом пучком слое максимальна и достигает 4 900 К, затем при расширении сжатого вещества температура в нем понижается . Формируется область высокого давления (рис . 2) — до 17 ГПа . Распад области повышенного давления приводит

Рис. 1. Распределение температуры в меди для двух моментов времени. Энергия электронов 1 МэВ, плотность тока 10 кА/см2, длительность импульса 50 нс

Рис. 2. Распределение давления в меди в последовательные моменты времени.

Облучение сильноточным электронным пучком. Энергия электронов 1 МэВ, плотность тока 10 кА/см2,

длительность импульса 50 нс

к формированию бегущей вглубь мишени волны сжатия с амплитудой давления порядка

11,5 ГПа (рис . 2) . Фронт волны сжатия с течением времени обостряется, и она превращается в ударную волну. Вследствие отражения от свободной облучаемой поверхности формируется волна разрежения, бегущая вслед за ударной волной . Волна разрежения создает в метаста-бильном жидком металле растягивающие напряжения величиной до 2,5 ГПа, которые вызывают разрушение жидкой фазы через образование и рост пузырьков пара . Образование и рост пузырьков пара приводит к уменьшению объема и увеличению плотности жидкого металла . Таким образом, снимаются растягивающие напряжения и вещество переходит в равновесное двухфазное состояние «жидкость—пар» . Этот процесс ограничивает растягивающие напряжения, в противном случае амплитуда волны разрежения была бы равна амплитуде волны сжатия (порядка 11,5 ГПа) .

Следует отметить, что наличие метастабиль-ного состояния приводит к тому, что вглубь металла вслед за ударной волной распространяется волна разрежения, в которой достигаются отрицательные давления величиной до 2,5 ГПа . Таким образом, структура волны напряжений отличается от полученной в расчетах [3; 4], где для описания расплавленной части мишени ис-

пользовалось приближение равновесного двухфазного состояния «жидкость—пар» .

Образование и рост пузырьков приводят к уменьшению средней плотности двухфазной среды (рис . 3) . Падение средней плотности более чем в два раза означает, что более половины объема среды занято паром, следовательно, здесь произошел перколяционный переход Концентрации и диаметры пузырьков в слоях металла, находящихся на разной глубине, отличаются друг от друга (рис . 4) и зависят от скорости деформации в волне разрежения и от температуры в данном слое . Меньшие диаметры пузырьков и, следовательно, большие концентрации соответствуют областям, в которых растяжение происходило с большей скоростью деформации

Когда объемная доля пара превышает объемную долю жидкой фазы, пузырьки в данном слое вещества объединяются, происходит разрыв односвязной жидкой фазы на капли (рис . 5) . Первые капли образуются спустя примерно 200 нс с момента начала облучения при фрагментации односвязной жидкой фазы, фрагментация происходит в первую очередь в областях с наибольшей концентрацией пузырьков пара . Резкое увеличение среднего размера капель наблюдается на рис . 5 в течение 1 мкс . Оно связано с постепенной фрагментацией областей жидкой

Рис. 3. Распределение средней плотности вещества р в последовательные моменты времени. Облучение медной мишени сильноточным электронным пучком. Энергия электронов 1 МэВ, плотность тока 10 кА/см2, длительность импульса 50 нс

Рис. 4. Распределение диаметра пузырьков пара по глубине на момент, предшествующий началу

перколяционного перехода

Рис. 5. Эволюция во времени средних диаметров капель жидкой меди: 1 — средний по числу частиц, 2 — средний по площади поверхности, 3 — средний по массе частиц

фазы с меньшей концентрацией и, следовательно, с большим размером пузырьков пара, а значит, и образующихся капель . Постепенно фрагментация жидкой фазы происходит во всей области, в которой под действием отрицательного давления образовались пузырьки паров металла. Дальнейшая эволюция двухфазной среды сводится к разлету капель в атмосфере паров

металла с коагуляцией за счет броуновского движения . Коагуляция обусловливает здесь плавный замедляющийся рост средних диаметров . С течением времени скорость коагуляции уменьшается, поскольку уменьшается концентрация капель при разлете вещества и понижается вероятность их столкновения при броуновском движении

Проведенные расчеты показывают, что на момент фрагментации жидкой фазы давление пара составляет величину порядка 105 Па, что на пять порядков меньше амплитуды волны сжатия . Поэтому разлет продуктов разрушения жидкой фазы (капель и пара) происходит практически по инерции . Градиент давления, а следовательно, и различие плотности жидкой и твердой фаз играет малую роль, что оправдывает использование односкоростного приближения .

4. Заключение. Предложена теоретическая модель и проведено численное исследование фрагментации металла под действием сильноточного электронного пучка . Нагрев металла пучком переводит его в состояние метастабиль-ной жидкой фазы, которое разрушается под действием распространяющейся от свободной поверхности волны разрежения . Растягивающие напряжения порядка 2,5 ГПа вызывают образование и рост пузырьков пара, объединение которых приводит к фрагментации односвязной жидкой фазы на капли . В исследованном случае образование пузырьков пара в жидком металле начинается спустя 30 нс после окончания импульса облучения . Концентрация возникающих в жидкой фазе пузырьков зависит от температуры расплава и скорости деформации растяжения в волне разрежения . Концентрация пузырьков определяет диаметр получающихся жидких капель, который для исследованного режима облучения варьируется от нескольких десятков до нескольких сотен нанометров (в различных частях зоны энерговыделения) . Наличие мета-стабильного состояния приводит к тому, что вглубь металла вслед за ударной волной распространяется волна разрежения, в которой достигаются отрицательные давления величиной до

2,5 ГПа

Список литературы

1 . Ильвес, В . Г. Использование импульсного электронного пучка для получения нанопорошков оксидов / В . Г. Ильвес, Ю. А. Котов, С. Ю. Со-ковнин, C . K. Rhee // Рос. нанотехнологии. 2007. Т. 2, № 9-10 . С 96-101 .

2 . Il’ves, V. G. Modernization of the Installation for Production of Nanopowders of Metal Oxides Using Pulsed Electron Beam / V. G. Il’ves, A . S . Kamenetskikh, Yu . A. Kotov, S . Yu . Sokovnin, A . I . Medvedev // Proc . 9th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows . Tomsk, 2008 . P. 680-683.

3 . Вальчук, В . В . Моделирование воздействия интенсивных потоков заряженных частиц на слоистые мишени / В . В . Вальчук, С. В. Халиков, А. П. Яловец // Мат. моделирование . 1992. Т. 4, № 10 . С 112-124 .

4 . Чистяков, С. А . Исследование формирования упругопластических волн в металлической мишени при воздействии потоков заряженных частиц / С . А . Чистяков, С . В . Халиков, А . П . Яловец // Журн. техн. физики. 1993 . T. 63, № 1 . C . 3140

5 . Дударев, Е. Ф. Деформационное поведение и откольное разрушение гетерофазного алюминиевого сплава с ультрамелкозернистой и крупнозернистой структурой при воздействии наносекундного релятивистского сильноточного электронного пучка / Е. Ф. Дударев, О. А . Кашин, А . Б. Марков, А. Е. Майер, А. Н . Табачен-ко, Н . В . Гирсова, Г. П . Бокач, С . А . Кицанов, М Ф Жоровков, А Б Скосырский, Г П Почива-лова // Изв . вузов . Физика. 2011 . Т. 54, № 6 . С. 8995

6 . Kuksin, A . Yu . Model of fracture of liquid aluminum based on atomistic simulations / A . Yu . Kuksin, P. R. Levashov, V. V. Pisarev, M . E . Povarnitsyn, A . V. Yanilkin, A . S . Zakharenkov // Physics of Extreme States of Matter. Chernogolovka : IPCP RAS, 2011 . P. 57-59.

7. Kuksin, A . Yu . Theory and molecular dynamics modeling of spall fracture in liquids / A . Yu . Kuksin, G. E . Norman, V. V. Pisarev, V. V. Stegailov, A . V. Yanilkin // Phys . Rew. B . 2010 . Vol . 82 . Art. 174101 .

8 . Зельдович, Я . Б. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я Б Зельдович, Ю П Райзер М : Наука, 1966

9 Волков, Н Б Моделирование генерации ультрадисперсных частиц при облучении металлов мощным электронным пучком / Н . Б . Волков, Е . Л . Фенько, А . П . Яловец // Журн . техн. физики . 2010 . Т. 80, вып. 10 . С 1-11 .

10 Скрипов, В П Метастабильная жидкость / В . П . Скрипов . М . : Наука, 1972.

11 Нигматулин, Р И Динамика многофазных сред : в 2 ч . / Р. И . Нигматулин. М . : Наука, 1987.

12 . Суров, В . С. К расчету ударно-волновых процессов в пузырьковых жидкостях / В С Суров // Журн. техн. физики. 1998. Т. 68, вып. 11 . C 12-19

13 Суров, В С Взаимодействие ударной волны с пузырьковым экраном / В С Суров // Журн техн. физики. 1999. Т. 69, вып. 1 . C . 42-48.

14 Ландау, Л Д Теоретическая физика Т V Статистическая физика Ч 1 / Л Д Ландау, Е. М . Лифшиц. М. : Наука, 1976. С. 584.

15 . Kashchiev, D. Nucleation: Basic Theory with Applications / D Kashchiev Oxford : Butterworth, 2000

16 Dubrovskii, V G Nucleation theory beyond the deterministic limit I The nucleation stage / V. G. Dubrovskii, M . V. Nazarenko // J. Chem . Phys . 2010 . Vol . 132 . Art . 114507.

17 Волков, Н Б Механизмы генерации на-норазмерных металлических частиц при электрическом взрыве проводников / Н Б Волков, А . Е . Майер, В . С. Седой, Е . Л . Фенько, А . П. Яловец // Журн. техн. физики. 2010 . Т. 80, вып. 4 . С . 77-81 .

18 . Fortov, V. E. Wide-range multi-phase equations of state for metals / V E Fortov, K V Khi-

shchenko, P R Levashov, I V Lomonosov // Nucl Instrum Meth Phys Res A . 1998. Vol . 415 (3) . P. 604608

19 Mayer, P N Metal Ablation under the Powerful Electron Beam Action: Numerical Simulation / P. N. Mayer, A . E . Mayer // 10-th Int. Conf. on Modification of Materials with Particle Beams and Plasma Flows . Proceedings . Tomsk, 2010 . P. 733-735 .

20 Майер, П Н Исследование распределения по размеру капель в испаренном под действием сильноточного электронного пучка металле / П Н Майер, А Е Майер // Письма в Журн техн физики. 2012 . Т. 38, вып. 12 . С 17-23 .

21 . Яловец, А . П . Расчёт течений среды при воздействии интенсивных потоков заряженных частиц / А П Яловец // Приклад математика и теорет. физика. 1997. № 1 . С. 151-166 .