Фундаментально-групповые связности, индуцированные композиционным оснащением семейства центрированных плоскостей в проективном пространстве

УДК 514.75

А. В. Кулешов

ФУНДАМЕНТАЛЬНО-ГРУППОВЫЕ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫМ ОСНАЩЕНИЕМ

СЕМЕЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Статья продолжает цикл работ, посвященных исследованию связностей на произвольном гладком семействе центрированных плоскостей в проективном пространстве. Показано, что композиционное оснащение такого семейства индуцирует трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей. Из каждого пучка выделено по одной индуцированной связности. Приведены условия совпадения полученных связностей, а также дана геометрическая интерпретация линейных подсвязностей.

This paper continues the cycle of works dealing with connections on a smooth family of centered planes in projective space. It is shown that composite clothing of such a family induces three-parameter bunch of bundles of fundamental-group connections. One induced connection is allocated from each of this bundles. Coincidence conditions of the received connections and geometrical interpretation of the linear sub connections is given.

Ключевые слова: проективное пространство, семейство центрированных плоскостей, фундаментально-групповая связность, пучок связностей, композиционное оснащение, центральное проектирование, метод Картана — Лаптева.

Key words: projective space, family of centered planes, fundamental-group connection, bundle of connections, composite equipment, central projection, Cartan — Laptev's method.

Введение

Изучение связностей в главных расслоениях — одно из важных направлений в современной дифференциальной геометрии. Фундаментально-групповые связности, ассоциированные с семействами фигур в проективном пространстве, изучались Ю. И. Шевченко, К. В. Поляковой, О. О. Беловой, О. М. Омельян и др. Ими получены определенные результаты для случаев поверхности, распределения и грассманопо-добного многообразия (см., напр., [1; 2; 8; 10]). В силу того, что каждое из этих многообразий можно рассматривать как семейство центрированных плоскостей, имеющее определенный вид, особую актуальность приобретает переход к изучению произвольного гладкого семейства таких фигур. Это дает возможность:

1) объяснить наблюдающиеся случаи совпадения результатов, независимо полученных для различных семейств;

2) обобщить полученные ранее результаты для конкретных семейств на более широкие классы семейств центрированных плоскостей;

139

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2012. Вып. 4. С. 139 — 147.

140

3) получить новые результаты, ранее не встречавшиеся в исследованиях, указанных выше.

Рассмотрению этих вопросов положено начало в работах [3; 5; 6; 11]. Данная статья имеет своей целью придать разрабатываемой теории законченный вид.

В исследовании используется метод Картана — Лаптева [4], основанный на исчислении внешних дифференциальных форм. При этом все рассмотрения носят локальный характер.

1. Уравнения семейства Вг центрированных плоскостей

Отнесем п-мерное вещественное проективное пространство Рп к подвижному реперу {А, Л1}, инфинитезимальные перемещения которого определяются деривационными формулами

йЛ = 9Л + ю ІЛІ, йЛІ = 9ЛІ + ю{Л| +ю7А, 1, 3,... = 1, п,

где форма 9 играет роль множителя пропорциональности, а структурные формы ю1, ю|, юІ проективной группы ЄР(п) удовлетворяют уравнениям Картана [12, с 121]

Dw = ШJ А Ш J , Ею і = ю і , Ою к = ю к А ю 3 + ю А (—8 к ю з — 8 з ю к ).

Центрированной т-мерной плоскостью Ґт (1 ^ т < п) проективного пространства Рп размерности п будем называть т-мерную плоскость Ът с выделенной на ней точкой (называемой центром плоскости). Гладкое г-мерное многообразие, образующим элементом которого является центрированная плоскость, назовем семейством центрированных плоскостей и будем обозначать Вг, где 1 <' г < т(п - т) + п [3; 5; 6; 11].

Такое семейство можно рассматривать как образ произвольного г -мерного многообразия Уг при гладком регулярном отображении в пространство всех центрированных т-плоскостей В(т, п) проективного пространства Рп . Многообразие Уг назовем пространством параметров

семейства Вг .

Произведем специализацию подвижного репера {А, Аа, Аа}, помещая вершину Л в центр плоскости Ьт, а вершины Ла — на плоскость Ьт . Система уравнений семейства Вг центрированных плоскостей Ьт в параметрической форме имеет вид [5; 11]:

юй =К\9і, юа =Л“9і, ю“ =Л“ 9і,

а, Ь,... = 1, т; а, Р,... = т +1, п; і, ],... = 1, г,

где формы Пфаффа 9 і являются структурными формами г-мерного гладкого многообразия Уг и удовлетворяют уравнениям О9 і =9 ’ А 9 ‘ ,

а совокупность функций Л = {Ла, Л“, Лаі} образует фундаментальный тензор многообразия Вг с тремя подтензорами Л“, {Л“, Ла^}, {Л“, Л“і} .

C Br ассоциировано главное расслоение Gs (Br) со структурными уравнениями, полученными в [11]. Его база — само многообразие Br, типовой слой — s-членная подгруппа стационарности Gs плоскости L'm, где s = n(n + 1) - m(n - m). Расслоение Gs (Br) имеет два простейших и два простых фактор-расслоения [5]. По отношению к расслоению Gs(Br) формы 9; — базовые, а ю“, ю“, юь, ю“, юа — слоевые [4, с. 52].

2. Ассоциированные связности на многообразии Br

Связность в расслоении — закон, устанавливающий изоморфизм между слоями над различными точками базы в зависимости от линий, соединяющих точки. Связность в главном расслоении P определяется гладким распределением П на P, удовлетворяющим условиям: 1) трансверсальности к слоям расслоения; 2) максимальности; 3) инвариантности относительно действия структурной группы данного расслоения [4, с. 79 — 80]. Фундаментально-групповая связность, по Г. Ф. Лаптеву, в главном расслоении Gs (Br) задается с помощью форм, которые аннулируются указанным распределением П:

щ=«а - г-01', сора=щ - re-0', щщ - г,0';

Щ = «a - C, «a = «a - Г,0', .

причем компоненты объекта групповой связности

Г = {Ib, Гр“, Та1, гр., Га'}

удовлетворяют дифференциальным уравнениям [11], полученным с использованием теоремы Картана — Лаптева [4, c. 81 — 83]:

ДГ; + юЩ = Тщ9j, ДГр“ +ю“ = Гр“9j, ДГщ + Гьюь + ю„ = Гд..9j,

ДГ«1 -ГьЬ юр + Гар юЬ +юЬ; =ГЬ9j, ДГа; +ГЬ i Юь + ГрР; Юр -Гь; юЬ =Га..9j, где формы юЩ, юр;, юь, ю“; являются линейными комбинациями

слоевых форм с коэффициентами Л“, Л“, Л“ .

Замечание. Дифференциальный оператор Д действует следующим образом, например, на компоненты ГьЬ;: ДГьЬ; = ¿Гь“ + Гьс;юЩ -Г“юсь -ГьЬ9. — и удовлетворяет свойствам Д(Л + М) = ДЛ + ДМ, Д(ЛМ) = МДЛ + ЛДМ, Д(а Л) = аДЛ, где Л и M — функции, а = const [9].

Объект Г содержит два простейших и два простых подобъекта:

1) Га — объект плоскостной линейной связности;

2) Гр“ — объект нормальной линейной связности;

3) Г1 = {Га, Га1} — объект центропроективной связности;

4) Г2 = {Ц, Гр., Га } — объект аффинно-групповой связности.

141

142

3. Композиционное оснащение семейства Br

Понятие оснащения состоит в присоединении к каждой фигуре семейства оснащающей фигуры. Чаще всего оснащениями пользуются для индуцирования связностей, когда те не возникают внутренним образом [10]. Композиционным оснащением (ср. [10, с. 83]) семейства Br называется присоединение к каждой плоскости L*m :

1) (n - m - 1)-плоскости Cn-m-1, не имеющей общих точек с Lm (аналог плоскости Э. Картана);

2) (m - 1)-плоскости Nm-1, лежащей в Lm и не проходящей через ее центр А (аналог нормали 2-го рода А. П. Нордена).

Замечание. Композиционное оснащение выступает аналогом сильной нормализации, введенной А. П. Норденом для поверхности в проективном пространстве [7].

Оснащающие плоскости Cn-m-1, Nm-1 определяются системами базисных точек

Ba = Aa + XaAa + XaA , Ba = Aa + XaA ,

где компоненты оснащающего квазитензора X = {X a, Xaa, Xa} удовлетворяют уравнениям [11]:

AX a +юя =X ai0 ;

Axa +< =xaai 01;

AXa + Xaaa + roa =Xai0 .

Данные уравнения обеспечивают инвариантность плоскостей Cn-m-1 и Nm-1 при фиксации образующего элемента Lm семейства Br. Плоскость Nn-m, натянутая на плоскость Cn-m-1 и точку А, является аналогом нормали 1-го рода Нордена, порожденной плоскостью Картана, а плоскость Pn-1, натянутая на плоскости Cn-m-1 и Nm-1, — аналогом гиперплоскости Бортолотти, натянутой на плоскость Картана и нормаль 2-го рода Нордена.

Обозначим X'= {X ai, Xaai, Xai} объект из пфаффовых производных оснащающего квазитензора X, тогда {X, X'} — продолженный оснащающий объект (ср. [10, c. 50]). Он образует геометрический объект лишь в совокупности с фундаментальным тензором семейства Br . Дифференциалы базисных точек (3.1) оснащающих плоскостей имеют вид [6]

dBa = 0Ba +

dBa = 0Ba +

где совокупность величин

taai = Xaai + XaM„ - XapXbaAPW , tai = X^ X^Xp - ApXpXa -X„1^;

taai = Xaai + XaM„ - X„pXbaAPW , t ai = Xa - A„iX^Xp - APXpXa -Xataai í

образует тензор (= ш}, содержащий четыре простейших подтензора ¿а,, 3 а1' ¿а и 3а1; кроме того, Ма = Ла -ЛрХар — тензор, а

Н-а = Ха -ХаХЬ •

Обращение тензора М* в нуль характеризует такие оснащенные семейства Вг, у которых центры плоскостей Ьт смещаются вдоль соответствующих нормалей первого рода Ып-т, а обращение в нуль подтензора ¿а выделяет семейства Вг, у которых нормали Ыт-1 смещают-

Т *

ся в соответствующих плоскостях Ьт •

Случаи обращения в нуль остальных подтензоров тензора Ь геометрически характеризуются соответствующими специальными смещениями оснащающих плоскостей (см. табл.), при этом никаких ограничений на семейство Вг не накладывается. Например, условия 3 а1 = 0 равносильны смещению плоскости Картана Сп-т-1 в гиперплоскости Бортолотти Рп-1, а вместе с обращением в нуль подтензора они обеспечивают неподвижность плоскости Сп-т-1 •

Таким образом, вырождение тензора 3 ограничивает подвижность оснащающих плоскостей, поэтому назовем его тензором подвижности.

Классификация специальных типов композиционного оснащения для произвольного семейства Бг

№ Аналитическое условие Геометрическая интерпретация

1 О N ^3 Сп-т-1 смещается в рп-1

2 О N «'5 Сп-т-1 смещается в Ып-т

3 3„ = 0 Nт-1 смещается в Рп1

4 0 = «^3 0 = ^3 Сп-т-1 неподвижна

5 3„ = 0, 3а, = 0 Рп-1 неподвижна

6 за = 0, з*,= 0 Сп-т-1 смещается В Ып-т , Ыт-1 смещается в Рп1

7 за1 = 0, за- = 0, 3а, = 0 Сп-т-1 и Рп-1 неподвижны, Ыт-1 смещается в Рп-1

4. Пучки индуцированных связностей

Внося формы связности (2.1) в уравнения (3.2—3.4), получим следующие равенства: УХ а = У ,Х а 91, УХ^ = У ,Хаа 91, УХа = У , Ха91, где в левых частях стоят ковариантные дифференциалы компонент оснащающего квазитензора Х относительно групповой связности Г (см. в [3; 5]), а в правых частях перед базисными формами — ковариантные производные

У1Х а =Х а1 +Х Ь ГЬ -Га1;

V1 Хаа = Хаа1 - ХЬаГа + Х^е -Га ;

У1 Ха=Ха -ХааГа1 + ХрГаР, -Га1 .

143

144

Эти ковариантные производные удовлетворяют следующим дифференциальным сравнениям по модулю форм 9і [3]:

ДУіXй - 0, ДУіXа« - 0, ДУіХа+УіХ>й - 0 .

Итак, совокупность ковариантных производных {У.Xа, У.X«, У.Ха } компонент оснащающего квазитензора А образует тензор У X, содержащий три подтензора: УіX а, УіХяа, {У.X“«, У. Ха }. Из сравнений (4.4) и уравнений (3.2) на компоненты Xа следует, что величины

Т«і =Уі Xa-X і Xа«

также образуют тензор, который можно назвать тензором линейных комбинаций ковариантных производных объекта {X«, Xа« } .

Зададим три вещественных числа §, л, С. Тогда равенства

УіXа іаі, УіXа« = л & , Т«і = С í«i

являются инвариантными в силу тензорного характера всех входящих в них объектов. Подставляя в эти равенства соотношения (4.1 — 4.3) и (4.5),

получим систему линейных уравнений относительно компонент Гаі,

га, Гаі объекта фундаментально-групповой связности Г. Решая полученную систему, находим выражения этих величин через объекты плоскостной и нормальной линейных подсвязностей Г*, Г«, оснащающий квазитензор X = {Xа, Xа«, X«} и тензор подвижности Ї:

ГаЛО = Xа^Г*-!; /„;

г««

Г« & Л, С) = X«; +XpГ«г -Xa«Гaгй)-С/« -X а л С .

В свою очередь, компонентні тензора подвижности выражаются через X, X' и Л по формулам (3.7—3.9). Итак, объект связности Г охватывается подобъектами Г*, Г«, фундаментальным тензором Л, оснащающим квазитензором X и его пфаффовыми производными X'. Также говорят, что связность Г сводится к подсвязности {г« , Г««} с помощью продолженного оснащения (ср. [10, с. 51]). При этом, в зависимости от конкретных значений параметров |, л, С, выделяется соответствующий пучок индуцированных связностей, кратко обозначаемый Г=Г(|, л, С). Параметры |, л, С назовем параметрами связки, а компоненты Г* , Г« — параметрами многопараметрических пучков. Таким образом, справедлива

Теорема 4.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении О, (Вг) трехпараметрическую связку пучков фундаментально-групповых связностей

щ, л, С) = {Г«, Гр“, Г«;©, г«(л), Гш.& л, С)}.

Замечание. Если в охвате присутствуют пфаффовы производные ' оснащающего объекта X, то обычно говорят об индуцировании связности или пучка связностей с помощью оснащения.

Например, пучок связностей Г(0, 0, 0) выделяется, если потребовать

ViXa = 0, ViXa = 0, Тш = 0 • ТоГДа

Гж(0) = Ха1+ХьГьаг,

Г,(0) = ХШ -X^- +ХарГ,, гш. (0, 0, 0) = хш. + ХрГр -ГаГы-.

Отметим, что компоненты тензора Л не присутствуют в правых частях полученных равенств.

ВыДелим другой пучок г(l, 1 1): ViХШ = t, , ViXa = tai, Tai = *aí • Подставляя выражения (3.7—3.9) компонент тензора подвижности в формулы (4.7—4.9), получим следующие равенства для пучка Г(1, 1, 1):

Га.

ГШ

Га.

Видно, что в правых частях отсутствуют пфаффовы производные X' оснащающего квазитензора X. Таким образом, пучки связностей Г(0, 0, 0) и Г(1, 1, 1) занимают особое место среди всего трехпараметрического семейства.

Равенства (4.7) сводят центропроективную связность Г1 = {ГьЫ , Га.} к линейной подсвязности Г“, то есть выделяют некоторый пучок Г1(|) = {Га, Га- (|)} . Равенства (4.8) сводят аффинно-групповую связность Г2 = {Га, ГрШ, ГШ } к линейным подсвязностям Г“ и ГрШ, то есть

выделяют пучок Г2 (л) = {ГьЫ , Грш, ГШ (л)} .

Замечание. В работе [5] были выделены шесть пучков индуцированных фундаментально-групповых связностей:

Г(0, 0, 0), Г(0, 0, 1), Г(1, 0, 1), Г(0, 1, 0), Г(0, 1, 1), Г(1, 1, 1).

Их аналоги на распределении плоскостей получены в работе [8].

5. Индуцированные связности

Из каждого полученного пучка Г=Г(|, л, С) можно выделить по од-

0

ной индуцированной связности Г(|, л, С) при помощи подстановки в формулы (4.7—4.9) следующих охватов компонент Г“ и ГрШ [11]:

0

Га = ЛШХ - 5аьЛШXa + MC

Гр“ = -Л“хр - Л“Хр + 5“

Теорема 5.1. Продолженное композиционное оснащение семейства Вг индуцирует в главном расслоении О, (Вг) трехпараметрическую связку фундаментально-групповых связностей.

0

145

146

В общем случае формулы охватов для компонент объектов связностей содержат: 1) компоненты фундаментального тензора Л; 2) компоненты оснащающего квазитензора X; 3) их пфаффовы производные X'. Значит, связность индуцируется продолженным композиционным оснащением семейства Вг. При этом в формулах охватов (4.7—4.9), (5.1) и (5.2) для

'т

0

Г (1,1,1) пфаффовы производные X' отсутствуют. Следовательно, данная связность особенна тем, что индуцирована самим композиционным оснащением без привлечения продолженного оснащающего объекта.

0

Замечание. Выражения для компонент объектов связности Г

о

и Г(1,1,1) впервые были получены в работах [3] и [11].

Из равенств (4.6) и таблицы (см. с. 143) вытекают следующие теоремы. Теорема 5.2. Смещение нормали 2-го рода Ыт_г в гиперплоскости Бор-толотти Рп_ влечет совпадение следующих связностей:

П©) = П(|2), л, С) =Щ2, Л, С), ^ 2, ^, С.

Теорема 5.3. Смещение плоскости Картана Сп_т_х в нормали 1-го рода Ып_т влечет совпадение следующих связностей:

Г02(Л1) =^2(Л2) , Г& Л1, С) = Г& Л2, С), Л1 *Л2 , V £ С.

0

Теорема 5.4. Для совпадения двух связностей вида Г(§, л, С1) и

0

Г(§, л, С2), где С1 * С2, а £ и л - любые числа, достаточно смещения плоскости Картана Сп_т_1 в гиперплоскости Бортолотти Рп_1.

Эти теоремы позволяют находить достаточные условия совпадения любых двух заданных связностей из трехпараметрической связки.

Замечание. Связности на поверхности Бт ( I < т < и), рассматриваемой как семейство касательных плоскостей, исследовались в работах [9; 10]. При этом в [10] рассматриваются связности, аналоги которых для

0 0 0

семейства Вт имеют вид Г(0,0,0), Г(1,1,1), Г(0,1,0) [10, с. 100], в [9] —

0 0 0

связности Г(0,0,0), Г(1,1,1), Г(0,0,1). В статьях [1; 2] изучен другой слу-

чай семейства Вт — грассманоподобное многообразие Ог*(т, п) центрированных плоскостей, имеющее размерность т = (п _ т)(т + 1).

00

В этих работах исследуются связности Г(0, 0,0) и Г(1,1,1).

6. Интерпретация плоскостной и нормальной линейных связностей при помощи центральных проектирований

0 0 0 0 Внесем '~1 = а _ Га 9г, ~Ш = ш _Гр 0г в формулы (3.5) и (3.6):

0

йБа = (0 + (М.СXс _ЛРХр)0г')Ба + 5Р Бр + (&Ба + /ш.^)0‘-,

йБа = (0 + (М°Xс -ЛрХр)0г)Ба + ъьа Бъ + (*“Ба + (а1А)& .

0

Тогда справедливы следующие теоремы.

0

Теорема 6.1. Индуцированная плоскостная линейная связность характеризуется проекцией на нормаль 2-го рода Nm_j смежной с ней нормали Nm_1 + dNm_1 из центра - нормали 1-го рода Nn_m.

0

Теорема 6.2. Индуцированная нормальная линейная связность Г^ интерпретируется проекцией на плоскость Картана Сп_т_г смежной с ней плоскости Сп_т_г + dCn_m_A из центра - плоскости Lm .

Список литературы

1. Белова О. О. Геометрическая характеристика индуцированных связностей грассманоподобного многообразия центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 39. Калининград, 2008. С. 13 — 18.

2. Белова О. О. Связность 2-го типа в расслоении, ассоциированном с грасс-маноподобным многообразием центрированных плоскостей / / Там же. Вып. 38. 2007. С. 6 — 12.

3. Бондаренко Е. В. Связности на многообразии центрированных плоскостей в проективном пространстве // Там же. Вып. 31. 2000. С. 12 — 16.

4. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М, 1979. Т. 9. С. 5—247.

5. Кулешов А. В. Шесть типов индуцированной групповой связности на семействе центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 40. Калининград, 2009. С. 72—84.

6. Кулешов А. В. О совпадении и интерпретации связностей, индуцированных на семействе центрированных плоскостей // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 10. С. 112 — 119.

7. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

8. Омельян О. М. Классификация пучков связностей, индуцированных композиционным оснащением распределения плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 37. Калининград, 2006. С. 119—127.

9. Полякова К. В. Параллельные перенесения на поверхности проективного пространства // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т. 14, № 2. С. 129 — 177.

10. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

11. Шевченко Ю. И. Об оснащениях многообразий плоскостей в проективном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. Вып. 9. Калининград, 1978. С. 124 — 133.

12. Carian E. Lecons sur la theorie des espaces a connexion projective. P., 1937.

Об авторе

Артур Владимирович Кулешов — асп., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: arturkuleshov@yandex.ru

About author

Artur Kuleshov — PhD student, I. Kant Federal University, Kaliningrad.

E-mail: arturkuleshov@yandex.ru

147