О теореме Чудакова в простых числах специального вида

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4

О ТЕОРЕМЕ ЧУДАКОВА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С. А. Гриценко, Н. Н. Мотькина

Посвящается 60—летию В.Н. Чубарикова

В 1742 г. в письме к Л. Эйлеру X. Гольдбах высказал гипотезу, что каждое нечетное число, большее семи, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. В ответном письме Л. Эйлер предположил, что четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Эти задачи получили названия соответственно тернарная и бинарная проблемы Гольдбаха.

В 1937 г. И.М. Виноградов полностью решил тернарную проблему Гольдбаха. Утверждение бинарной проблемы Гольдбаха остается до сих пор недоказанным. В 1938 г. Н.Г. Чудаков [1] доказал следующую теорему, решив тем самым бинарную проблему Гольдбаха «в среднем».

Теорема 1. Пусть К(X) равно числу тех четных чисел, между 6 и X, которые не могут быть представлены ка,к сумма двух нечетных простых. Тогда

X

К(X) ^ Св—, 6 ^ X < то,

1 ' и logD X

где И — произвольное фиксированное положительное число, Со — положительная константа, зависящая, только от Б.

В настоящей работе изучается вопрос о числе решений бинарной проблемы Гольдбаха в простых числах специального вида. Пусть п — произвольное иррациональное алгебраическое число степени и, а и Ь — произвольные фиксированные действительные числа из отрезка [0,1]. Покажем, что теорема 1 верна и с простыми числами вида:

а < {пРг} < Ь, г =1, 2.

Теорема 2. Пусть К(X) — число тех четных чисел, м,ежду 6 и X, которые не могут быть представлены ка,к сумма двух нечетных простых специального вида а < {прг} < Ь,г = 1, 2, Ь — а > 1/2. Тогда при любом, фиксированном, Б > 0

К(X) = О^ log-D X).

Данная работа является продолжением исследования авторов ([2], [3]) решения аддитивных задач с простыми числами специального вида. В отличии от

п

число.

Доказательство теоремы 2.

1. Пусть = 2^, где ] = 1, 2,... , X/2 < ^ X. Определим множество

Введем функцию фо(х) —характеристическую функцию интервала (а,Ь) и

1

В лемме о «стаканчиках» И.М. Виноградова (см.[4], с. 22) выберем r = [logX],

о «стаканчиках» обозначим как ф1, а и в — как а\ и въ соответственно. Положив а = а — А/2 и в = Ь + Д/2, соответствующую функцию ф обозначим ф2, а и в — как аг и в2 , соответственно.

Определим

Из СВОЙСТВ ф\(х) и ф2(х) следует, ЧТО 3\ ^ I ^ 32. Для 3\ и 32 выведем

приближенные формулы, главные члены в которых одинаковы.

Разложив предварительно «сглаженную» функцию фь (х) в ряд Фурье, перейдем к рассмотрению сумм

K = {vj \vj = pi + p2, a < {npi} <b, i = 1, 2}

Рассмотрим интеграл

где

p^X

a<{np}<b

j^N

Vj

So(y) = £ *Po{np)e2nryp

p^x

Д = log l’5C X. При выборе a = a + Д/2 и в = b — Д/2 функцию ф из леммы

к = 1, 2.

У Cfc (mi) ^ Cfc (m2) S (y + min)S (y + m2n)T (y)dy+

+O(X 3/2-log n N1/2),

где

S (y) = e2niyp.

p< X

2. При т1 = т2 = т рассмотрим

1

II = X} ^(т)^2 е2ттпУ,^^ I е2ту(р1+р2-у Чу

Получим

Си (т) 2^е ^ 2^ е

т^гД-1 j^N Р1<ХР2<Х 0

у,

II = £ 4(т)£ е2п'тп’>),

V,

где I2,1

е-2пгтвк е—2пгшак / еПгтД/г е—пгтД/г\г

си (т) = г----------------------^- ( 2пт,Л/г ) '

то для 0 < \т\ < А-1/2

4(т) = е-2п‘т(а+ь)51”2 пт(Ь2 — а) (1 + О(А1/2)).

п2т2

Тогда

11 = £ І2^(X,j)(a(Vj,а,Ь) + О(А1/2)),

j^N

ГД6

а(ь-,а,Ь)= V е2пгт(пУо-(“+ь)) 81д2 ^(Ь ^ , 4^ п2т

Известно [5, с. 224], что

1'2,1 (X, ] ) - £

и+т-у, l0g к l0g т

^ — ^ > ^•

Нами изучено поведение ряда a(ьj,а,Ь) ([6]) и получено равенство

a(ьj, а, Ь) = (Ь — а)2 + {пьj — а — Ь}2 — {пьj — а — Ь} —

—0, 5({пь- — 2а}2 — {пьj — 2а} + {пьj — 2Ь}2 — {пьj — 2Ь}).

Ь— а Ь— а > 1/2

то сумма ряда a(ьj,а,Ь) > 0.

V,

1

Рис.1. 0 ^ b — a ^ 1/2

Рис.2. 1/2 <b — a ^ 1

3. Если т1 = т2, то допустим, что т1 < т2. Сделаем замену Ь = у + т1п  Поскольку подынтегральная функция является периодичной по Ь с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [—1/т;1 — 1/т), где т = Xlog-БX В > 2С + 8.

По теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами Ь представимо в виде

- Й

Ь = - +—1,

д дт

Ь

Е1 Е2 Е1

в разложении (2) выберем д < X, А > 2С + 8. Тогда Е2 = Е\Е1.

4. На «малых» дугах известна оценка для \Б(Ь)\. На «больших» дугах получаем оценку для ^(Ь + тп) \  Пользуясь неравенством Коши, получаем

(/ + / )\Б(Ь)\\Б(Ь + (т2 — т1)п)\\Т(Ь — т1п)\-Ь <

О Е1 О Е2

5. Оценим

^ у/)п(Х)(тах \Б(Ь + тп)\ + тах \Б(Ь)\).

¿€Е1 ¿€Е2

тах \Б(Ь + тп)|

¿€Е1

сверху. Для этого изучим рациональные приближения числа Ь + тп

По теореме Дирихле

АЙ

П = Л + 7^>

Я Ят1

т1

Поскольку п — алгебраическое число степени п, согласно теореме Лиувилля имеем

Яп

Из (3), (4) получаем

с(п) <

А

п — Я

с

1

тГ1 < Я < т1.

1

Для Ь, принадлежащих «большим» дугам Е1, рассмотрим 7 = Ь + тп  Тогда

- А1 Й1 Йт V Й1 Йт

1 = _ + ТГ + + Т]— = 77 + + Т]—,

д Я1 дт Ят1 У дт Ят1

Поскольку

(А1,Я1) = 1, (V,У ) = 1.

у =___________дЯ1_______

(-Я1 + Alд, дЯ1),

то

Y ^ qQ ^ qr\. При выборе Т\ = л/т выполняется

вх 1 (q у

— < -2 < Ш

qT т2 VY/

вх вт

— +

в

= Y2> Iв2| ^

qT Qti

Обозначим (dQi + ^iq, Qi) как S, тогда SIq и

Тогда из (5), (7) имеем

Y ^ Q ^ Q.

q mq

6. К сумме S(y) применим интегральное преобразование Абеля:

1 fX dx

1-g X J2 X 1-g x

ГД6

C(x) = у e2mYP 1-g p.

pKX

При выборе U = X0 ’ 2/(n-i) имеет место соотношение

C(x)= Y, e2niinЛ(и) + O(VX).

U<n^X

Для оценки тригонометрической суммы с функцией Мангольдта рассмотрим:

У e2niYnA(u) = Wi - W2 - W3,

где

U<n^X

Wi = ^(d) E (1-g l)e2nildl,

d^U l^Xd-1

W2 = e Md) E A(u) E e2'iYdnr,

d4,U n^U r^X (dn)-1

W3 = У am Y, A(u)e—

U<m^XU-1 U<n^Xm-1

(Xm

J2^(d)-

d\m

d<U

Получаем

Wi, W2 < 1-gX У | У e2mYdl| <

d<U2 l<Xd-1

^ 1-gX^ min(Xd х, \\Yd\\ х|).

d^U 2

Согласно неравенствам (6), (8) для

, Vd + e2dY-i

Yd =--------y------

имеем ^2dY-i| < 0, 5. Полагая

{

k, если k ^ Y/2,

Y — k, если Y/2 < k ^ Y,

k Vd Y

Wi, W2 < 1-g2 X V Yn r < Y 1-g3 X.

r — 0,5

0<r<Y/2

W3

U <M ^ XU-i, U <K ^ XM-i,

Mx ^ 2M, Kx ^ 2K, MK ^ X.

Тогда

W3 < W3(M,K)| 1-g2X,

ГД6

W3(M,K )= Y Xm Ku)e2niYmn.

M<m^Mi K<n^Ki

Возведем сумму W3(M,K) в квадрат, с помощью неравенства Коши получим:

W3(M,K)2 « ( £ <4) Е | Е A(u)e2niYmn|2.

M<m^M1 M<m^M1 K<n^K1

Поскольку am ^ т(m), для первой суммы имеем

Y a2m < M 1-g3 X.

M<m^M1

Для второй суммы

S (M,K )= | S Muy™^2,

M<m^Mi K<n^Ki

r

раскрывая квадрат модуля, делая внутренним суммирование по т, получим 5(M, K) « log2 X Е I Е e‘2'KiYm(ni-n2) I

K<n± ,П2^К± M<m^M2

где M2 = min(Mi, Х/п\, X/n2), и п1 независимо от n2 пробегает те же значения, что и п2. При п1 = п2 внутренняя сумма равна M2 — M, что даст оценку « X log2 X. В остальных случаях имеем:

G(M,K) = Е I Е e^nijmfoi— П2) I «

K<n2<nx^Ki M<m^M2

« У min(M, \\y(ni — П2)II-1) « K У min(M, Ц^Щ-1).

K<n2<ni^Ki l^h^K

Сумма no h оценивается по аналогии, что и соответствующая сумма у И. М. Виноградова ([5], с. 94). Поскольку условия леммы ([5], с. 94, лемма VI.2.5) в рассматриваемом случае не выполняются, приводим все рассуждения. Пусть h = h1 + Ys, 0 ^ h1 <Y, тогда

, т.о Vh1 + [ß1Y ] + $2h1Y 1 + {ß1Y}

jh = Yh1 + ß1 =-------------------y-----------------,

где ß1 = yY s.

у min<M ы\П « (Y + 0 ¿<r min (M- •

Делая замену Z = Vh1 + [ß1Y], учитывая периодичность функции ||ж|| с периодом 1, имеем

1 « У min I M,

У min ( M ^—— ) « У ,

V II Yh + ß1 ^ “ I Z + e3

"h-, V м / 1 1 1 II / 7/d г' 1 — -1--------

O^hi <Y 4 llYh1 + ß1ll/ z |<0 , 5Y

где I&3(Z)| < 2lmIq2. Следовательно,

G(M,K) «

z +

Y ' Y

« K(K + Л (M(4|m|q2 + 2)+ У Y

Y2

\ *—' IZI — 2|m|q2

Учитывая, что q ^ log^X ImI < A-1 logX, имеем

G(M, K) « K (K + l) (MA + ^ log1+2^ X «

« (к2м(^ + ¿ + Кд)+ KY) ‘°g1+2A X

Тогда

W3{M,K)2 « M log3 X(X log2 X+

+кM(À + M¡ + Кд) + KY)log3+2A X) «

« (X Y^+ ^ ^ X

Окончательно:

W « (X (TYS + TU + тЫ + X) Н‘+Л X

8. По лемме ([7], с. 35) имеем

max 15(t)\ « log4 X(Xlog“A/2 X + X4/5 + X 1/2t 1/2).

t£E 2

9. В результате получили

(/ + / )\S (t)\\S(t + (m2 - mi)rj)\\T (t - min)\dt « X .

JE1 Je2 log X

10. При выборе A = D + 12 B = 2D + 14, C = D + 2 следует утверждение теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Чудаков Н Г. О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как сумма двух нечетных простых // Изв. АН СССР, Серия математич., №1, 1938, с. 25-40.

[2] Mol kina N. Ternary Goldbach’s Problem Involving Primes of a special type [Электронный ресурс] / Gritsenko S., Motkina N. // Режим доступа: http:// arXiv.org/abs/0812.4606 — 26 Dec 2008

[3] Motkina N. Hua Too Keng’s Problem Involving Primes of a Special Type [Электронный ресурс] / Gritsenko S., Motkina N. // Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4665 — 25 Dec 2008

[4] Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1983.

[5] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983.

[6] Мотькина Н. Н. О некоторых особых рядах / С. А. Гриценко, Н. Н. Мотьки-на // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 окт. 2011 г.). — Белгород: ПИК ! IIIV «БелГУ», 2011. —С. 44—45.

[7] Вон Р. Метод Харли Лип.туда. —М.: Мир,1985.

НИУ «Белгородский государственный университет»

Поступило 1.12.11