Моделирование спиральных течений жидкости в аорте

УДК 531/534:57

В.А. Батищев, Д.С. Петровская МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИРАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В АОРТЕ

Исследованы спиральные волны в стационарном потоке вязкой жидкости внутри , , изотропной оболочкой. Рассчитаны два семейства спиральных волн (длинные и короткие) и семейство квазистационарных спиральных режимов течений жидкости. Показано, что длинные спиральные волны локализованы в тонком пограничном слое вблизи оболочки. Свойства этих волн полностью определяются упругими свойствами оболочки и вязкостью жидкости. Короткие волны заполняют все поперечное сечение аорты. Свойства этих волн слабо зависят от упругих свойств оболочки. Механизмом переноса коротких волн является . . -ционарные моды в первом приближении не зависят от времени, переносятся средним стационарным потоком жидкости и, в отличие от спиральных волн, не изменяют направления вращения жидкости в сосуде.

Спиральные волны; стационарный поток; квазистационарный режим; пограничный

.

V.A. Batischev, D.C. Petrovskaya SIMULATION OF SPIRAL FLUID FLOWS IN THE AORTA

Researched spiral waves in steady flow of viscous fluid inside the aorta, which is modeled by a cylinder of finite length, a thin isotropic elastic shell. There are investigated two families of spiral waves (long and short) and family of quasi-stationary spiral fluid currents. Shows that the long spiral waves are localized in a thin boundary layer near the casing. These properties are determined by the elastic properties of the waves full shell and viscosity of the liquid. Short wave fill all aortic cross section. The properties of these waves is dependent on elastic properties of shell. The transport mechanism short-wave is stationary stream. Quasi in first approximation does not depend on time, are moved by liquids and, unlike spiral waves, do not change the direction of rotation of the liquid in the bottle.

Spiral wave; stationary flow; kvazistacionarnyj mode; boundary layer.

Во второй половине прошлого века появились сообщения об обнаружении винтовых течений крови в артериях человека и животных [1,2]. В этих работах на основе анализа экспериментальных данных показано, что одной из причин спиральных течений крови может быть закрученная структура стенок левого желу-

,

вихрей потоком жидкости. Среди причин возникновения спиральных течений крови могут быть и механические свойства стенок сосудов, и неустойчивость течения крови в левом желудочке сердца при истечении в аорту с последующей бифуркацией вращения и др. В работе [3] показано, что анизотропия стенок кровеносных сосудов приводит к появлению длинных спиральных волн. Однако эти волны локализуются в пограничном слое вблизи стенок сосудов. В настоящей работе рассчитаны короткие спиральные волны, которые заполняют все поперечное сечение сосуда и слабо зависят от упругих свойств оболочки. Показано, что механизмом переноса этих волн является стационарный поток, который наблюдается в крове. , -ление вращения жидкости и в первом приближении не зависят от времени.

Рассматривается задача о движении спиральных волн малой амплитуды в вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей цилиндр конечной длины, который ограничен тонкой упругой изотропной оболочкой. Спиральные волны распростра-

няются на фоне стационарного потока и длинных продольных волн, которые наблюдаются в крупных кровеносных сосудах. Движение жидкости описывается системой уравнений Навье-Стокса совместно с динамическими уравнениями тонкой упругой оболочки в рамках безмоментной теории в цилиндрических координатах г,В,1. Длинные продольные пульсовые волны изучались во многих работах

[1]. В [3] поле скоростей длинных волн представлено в виде ряда Фурье с нулевой гармоникой, которая представляет собой течение Пуазейля. В связи с этим пред, , осевая компонента скорости квадратична по радиальной координате, а остальные компоненты отсутствуют. Отметим, что в аорте собаки средняя скорость стационарного потока крови изменяется в пределах от 0,1 до 0,4 м/с [1].

В безразмерных переменных изучается осесимметричная задача, у которой ,

зависят от окружной цилиндрической координаты. Течение жидкости предполагается периодическим по времени, период которого равен периоду сердечного цикла [1]. Приведем уравнение для окружной компоненты скорости:

З Уд

—- + Я З г

З Уд З Уд ууд

V------- + у-------- +-

З г 1 д z г

= £2,

Здесь V - компоненты вектора скорости, ^ =^/у /(Юй2 ) - малый

,

цилиндра, V - кинематический коэффициент вязкости жидкости, а - радиус срединной поверхности оболочки, Ю - частота сердечного цикла. ^ = и /(а Ю ), где и - характерная скорость стационарного потока.

Решение задачи представим в виде суммы двух вектор-функций у = у + У2. Вектор у описывает стационарный поток и короткие волны. Вектор У2 описывает длинные волны, решение для которых известно [1]. Эти волны движутся с фазовой скоростью, близкой к значению с0 =у/НЕ /( 2ар ), где Н,р,Е - соответственно толщина оболочки, плотность жидкости и модудь Юнга материала оболочки. Введем малый параметр по формуле Ек = Юа/с0. Для аорты собаки

8к~ 10_2. Задача решается асимптотическим методом, путем разложения решений в ряды по степеням параметра 8 к. Отметим, что осевая компонента скорости длинных волн имеет порядок 0(1). Предположим, что окружная компонента скорости жидкости мала и имеет порядок О 8к). Приведем асимптотические разложения компонент вектора у , которые следуют из оценок слагаемых в уравнени--

ще=8кще1 + -> Щ = у

Здесь щ - соответственно окружная и осевая компоненты скорости

жидкости, у( г) - скорость среднего стационарного потока. Аналогичные разложения записываем и для других компонент. Подставляем асимптотические ряды в , -тов при одинаковых степенях параметра 8 к . Для окружной компоненты скорости

получаем краевую задачу, учитывающую конвективный перенос средним течением и продольной длинной волной

Раздел I. Математическое моделирование задач аэро- и гидродинамики

= 0 (г = 1), = 0 (г=0), ыв1 ^0 (г ^ ~).

Здесь - осевая компонента скорости длинной пульсовой волны,

г1 =£кг - медленная осевая координата. Функция У( г) представляет собой

линдра функция ^61 обращается в ноль (условие прилипания). Показано, что для

коротких волн вязкоупругие свойства оболочки учитываются только в высших .

Короткие спиральные волны находятся путем решения задачи на собственные значения (1) асимптотическим и численным методами. Функция 0 представлена в виде суммы, описывающей волны в идеальной жидкости и колеблющийся периодический по времени пограничный слой на стенке цилиндра. Главный вклад в выражение для коротких спиральных мод определяется формулой

Здесь п,т = 1,2,3,...- Значению п=0 соответствуют «кв^истационарные» моды. Функция Qnm учитывает влияние длинных пульсовых волн вне пограничного слоя. Амплитуды Е т найдены численно и асимптотически. Функция Нп т -невязка, которая мала по сравнению с Епт. Показано, что фазовые скорости спиральных волн в главном приближении совпадают с максимальным значением скорости среднего стационарного потока. Декременты затухания этих волн имеют порядок О (£„). Для т =1 возникает вязкий критический слой вблизи оси цилиндра. На рис. 1 изображены вещественная и мнимая части амплитуды Е5> 1 при п = 5, т = 1. Собственные функции локализуются в критическом слое, причем эффект локализации усиливается с ростом номера моды п, с ростом частоты и с уменьшением вязкости жидкости.

Рассмотренные спиральные волны изменяют направление вращения жидкости на обратное либо со временем, либо по сечению. Для функции построена асимптотика «кв^истационарного» режима, главный член которого для первой

квадратичный профиль скорости среднего течения У( г ) = 1 — г2. На стенках ци-

Опт& гд(рп,т(г)ехр(і(кПт — П1)) + НПт еЩ>(Ікп тг)).

-и,ч

0 0,25 0,5 0,75

Рис. 2. Квазистационарная мода

Рис. 1. Спиральная мода

моды не изменяет направления вращения. На рис. 2 изображена амплитуда этой моды в зависимости от радиальной координаты. Отметим, что эта функция слабо изменяется при изменении скорости среднего потока и имеет конечный предел при £v ^0.

При отсутствии стационарного потока V = 0 показано, что декремент затухания спиральных волн имеет большое значение порядка O (1/ £v). В случае V Ф 0 этот декремент мал и имеет порядок O(zv). Следовательно, механизмом переноса

коротких спиральных волн является стационарный поток, так как при его отсутствии перенос спиральных мод полем длинных волн незначителен. При длине нисходящей аорты собаки, по данным [l], приблизительно 20 см спиральные волны переносятся средним потоком на расстояние от одного до 4 см в течение сердечного цикла, т.е. винтовые течения крови локализуются вблизи входа нисходящей .

.

волн в упругом цилиндре, моделирующем аорту. Получены три типа решений -короткие, длинные волны и квазистационарные течения жидкости. Короткие волны заполняют все поперечное сечение цилиндра и слабо зависят от упругих свойств оболочки цилиндра. Механизмом переноса этих волн является стационар. . волны локализованы в пограничном слое вблизи оболочки сосуда. Квазистацио-, ,

.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. - М.: Мир, 1983. - 400 с.

2. Кикнадзе Г.И., Олейников ВТ., Гечелидзе КА., Городков и AM. др. О структуре потока в левом желудочке сердца и аорте с применением точных решений нестационарных уравнений гидродинамики и морфометрических исследований // ДАН. - 1996. - Т. 351, № 1. - С. 119-122.

3. . ., . .

//

Российский журнал биомеханики. - 2009. - Т. 13, № 1. - С. 29-42.

Статью рекомендовал к опубликованию профессор М.Ю. Жуков.

Батищев Владимир Андреевич - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: batish@math.rsu.ru; 344033, г. Ростов-на-Дону, Жлобинский пер., 17, кв. 57; тел.: 89054786756; факультет математики, механики и компьютерных наук; кафедра ТКГАМ; д.ф.-м.н.; профессор.

Петровская Дарья Сергеевна - e-mail: d_manchenko@mail.ru; 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8,а; тел.: 89081890264; факультет математики, механики и компьютерных наук; кафедра ТКГАМ; магистр.

Batischev Vladimir Andreevich - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: batish@math.rsu.ru; 17, Zhlobin lane, kV. 57, Rostov-on-Don, 344033, Russia; phone: +79054786756; faculty of mathematics, mechanics and computer science; the department of theoretical and computational fluid dynamics; dr. of phis.-math. sc.; professor.

Petrovskaya Daria Sergeevna - e-mail: d_manchenko@mail.ru; 8,A, Milchakova street, Rostov-on-Don, 344090, Russia; phone: +79081890264; faculty of mathematics, mechanics and computer science; the department of theoretical and computational fluid dynamics; undergraduate.