Математическое моделирование и анализ поведения неньютоновских жидкостей с пределом применимости степенного закона вязкости

УДК 532

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ С ПРЕДЕЛОМ ПРИМЕНИМОСТИ СТЕПЕННОГО

ЗАКОНА ВЯЗКОСТИ

В.Н. Колодежнов, О.Г. Березнёв

В статье рассматривается течение в цилиндрическом канале жидкости смешенного типа с пределом применимости степенного закона вязкости. Получены выражения для распределения скорости жидкости и определения ее расхода через поперечное сечение канала. Проведен анализ влияния основных параметров системы на характер течения

Ключевые слова: вязкость, скорость сдвига, неньютоновская жидкость, распределение скорости

В гидродинамике различают два основных вида вязких жидкостей. Если динамическая вязкость постоянна, то жидкость считается ньютоновской. Если же она зависит от скорости сдвига, то такие жидкости относятся к неньютоновским. Неньютоновские жидкости в свою очередь подразделяются на дилатантные, псевдовдопла-стические, вязкопластичные, бингамовские (частный случай вязкопластичных) и др.[1,2,3]. Анализ литературы показывает, что существуют также так называемые жидкости смешенного типа, которые в зависимости от диапазона изменения скорости сдвига у проявляют свойства различных жидкостей [1,4-5].

Рассмотрим течение в цилиндрическом канале радиуса Я и длины Ь неньютоновской жидкости смешенного типа, для которой реологическая модель описывается соотношением

г и = |-К•

1К•гГ1 \го •(п-!) + п•г\ -г-Уо,

где гг2 - касательное напряжение; у < 0 - скорость сдвига; у0 > 0 - граница раздела степенного и линейного участка реологической кривой (реограммы), К - коэффициент консистенции жидкости, п - индекс неньютоновского поведения жидкости.

К жидкостям, которые достаточно хорошо демонстрируют реологические свойства, заложенные в модели (1), относятся пищевые среды типа кетчупа, некоторые фармацевтические суспензии, низко концентрированные водные растворы глины, водные растворы крахмала кукурузы [2-4, 6-10].

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-55-57 Березнёв Олег Геннадьевич - ВГТА, аспирант, тел (473) 255-55-57

Будем считать, что это движение жидкости реализуется за счет перепада давления АР между значениями Р0 на входе в канал и Рь на его выходе.

Введем цилиндрическую систему координат так, как показано на рисунке 1. При этом начало отсчета продольной координаты 2 традиционно примем в центре входного сечения.

В такой системе координат скорость сдвига будет определяться следующим образом

ёп

где и - скорость жидкости, представляющая собой функцию радиальной координаты г .

Представление зависимости касательного напряжения от скорости сдвига в форме (1) предполагает, что цилиндрический канал, как область течения, разбивается на две зоны. Из соображений симметрии можно полагать, что граница раздела этих зон будет представлять собой цилиндрическую поверхность неизвестного пока радиуса Я^. В первой зоне, которая занимает центральную часть канала, где выполняется условие 0 < -у < у0, реологическая кривая течения описывается степенным законом. Условно, назовем эту зону - зоной неньютоновского течения со степенным законом вязкости. Во второй (периферийной) зоне, которая формируется непосредственно у стенки канала, где скорость сдвига по модулю превышает пороговое значе-

ние ( -у>у0), реологическая кривая течения

описывается линейной зависимостью. Опять же, условно, будем называть эту зону - зоной бин-гамовского течения.

Это означает, что решение задачи для скорости следует искать в виде

Гп(1) (г); 0 < г < Я,;

п(г) =

п (г); Я,< г < я,

где и(1>, и(2 - распределения скорости, соответственно, в первой (центральной) и второй (периферийной) зонах течения. Здесь и далее принадлежность характеристик течения к первой и второй зонам течения будем отмечать верхним цифровым индексом в скобках.

Будем предполагать, что течение жидкости является одномерным, ламинарным и установившимся. Тогда уравнения динамики и неразрывности потока в безразмерном виде с учетом осевой симметрии задачи запишутся в форме

дР'

2 д

дг'

дР'

дг'

дп'(0

дг'

г'  О дг

= 0;

= 0.

і = 1,2;

Верхним штрихом в (3) и нижеследующих выражениях обозначены безразмерные величины, полученные с учетом следующих соотношений

п

г = -

Ь

т = •

АР

п =

п

г Р - Р

г' = -; Я'=-^; Р ' = -Р—^;

Я М Я Р0 - РЬ

О =

2  Я

; д> = 0.; Яе =

Ь Яв

0 * Ь

2  Я пв  р

Еп =

АР

Р^ пВ

; Ьа = Яе^ Еп =

Мв

2  Я АР ;

пв Ив

где Q - объемный расход жидкости через канал; и5 , QS , /и5 - принимаемые в качестве масштабных, значения скорости жидкости, объёмного расхода и динамической вязкости, соответственно; О - безразмерный геометрический параметр, равный отношению диаметра канала к его длине; Яе , Еи , Ьа - критерии подобия Рейнольдса, Эйлера и Лагранжа, соответственно.

Касательные напряжения т'Г2 в (3) с учетом зависимости (1) определяются в безразмерной форме записи согласно выражению

2

п  Ьа 2

ёп’

(1) А

ёг'

п  Ьа

(п -1) + п

( ск^ А ёг’

0 < -у' < 1;

-у' > 1.

Для решения данной задачи запишем следующие граничные условия:

ди'

г' = 0;

г' = ЯМ;

= 0;

дг'

п'(1) = п'(2);

дп' (1) дп'

дг' дг'

= -1;

г' = 1; и'(2) = 0;

2 ' = 0; Р' = 1;

2' = 1; Р = 0.

Решение системы уравнений (3) с учетом (5) и (6) после соответствующих преобразований для распределения скорости в зонах неньютоновского течения со степенным законом вязкости и' (1)(г') и бингамовского течения и' (2)(г') принимают вид:

п'(1) =

—г  ЯМп

п + 1

| ЯМ п - г'

п+1 п

+

+ гГл7"'

2  п  Я,, п

1(2) п - 1 , ,ч п =---------------------(1 - г ) +

1

2  п  Я

у

При этом в ходе решения задачи, было показано, что безразмерный радиус границы раздела зон течения будет определяться из выражения

8

Я' =

-

м Ьа • О • п Анализируя выражение (9), можно видеть, что существует критическое значение критерия подобия Лагранжа

8

Ьаг, = -

п  О

лишь при превышении уровня которого (Ьа > ЬасА) в канале возникает вторая зона, соответствующая линейному участку кривой течения. Естественно, что в этом случае 0 < Я, < 1

и распределение скоростей жидкости по отдельным зонам будет описываться соотношениями

(7) и (8).

Если же исходные параметры рассматриваемой системы окажутся такими, что будет выполняться обратное неравенство Ьа < ЬасЛ , то

вторая зона возникать не будет. В этом случае, все поперечное сечение канала будет полностью

п

п

г

г

заполнено первой зоной неньютоновского течения со степенным законом вязкости.

Решение задачи о течении в цилиндрическом канале неньютоновской жидкости со степенным законом вязкости хорошо известно [1, 10]. При этом распределение скорости в безразмерном виде будет описываться соотношением

и'(1) =

п

8

п +1 I п • Ьа • О

- п ( п+1 А

1 - г' п

)

Используя (7) и (8), было получено соотношение для определения безразмерного расхода жидкости через канал

ЯМ

Q' = 2 • |г' • и'

йг' =

__• я3 3п +1' М

+п-1

о,„\ М ' Л О' ' М '

3 • п 4 • п • Я,,

Если же Ьа < Ьасги и зона бингамовского

течения не возникает, то расход жидкости определяется традиционно из выражения [1]:

Q' =

3п +1

п • Ьа • О 8

В рамках рассмотренной математической модели течения жидкости с реологической моделью (1) были проведены численные эксперименты по анализу влияния основных параметров системы на характеристики течения.

Для примера на рис. 2 представлены распределения безразмерной скорости течения жидкости по радиальной координате при различных значениях критерия подобия Лагранжа.

Ьа = 1000(1) ; 3000(2) ; 5000(3) ; 7000(4) ; 9000(5) . Штриховая линия - граница г = Я, раздела зон течений

Штриховой линией на этом рисунке отмечена граница г' = Я, раздела первой (центральной) зоны неньютоновского течения со степенным законом вязкости и второй (периферийной) зоны бингамовского течения.

Для наглядности точки пересечения штриховой линии границы раздела зон течения и кривых для распределения скорости жидкости в канале на этом и следующем рисунках отмечены символом «о»

Из представленных данных видно, что для жидкости с реологической моделью (1) при увеличении значения критерия подобия Лагранжа зона бингамовского течения увеличивается, а неньютоновского течения со степенным законом вязкости, соответственно, - сокращается.

Представление о влиянии индекса п неньютоновского поведения на распределение скорости в поперечном сечении канала дают кривые на рис. 3.

Из анализа представленных на рисунке 3 зависимостей наглядно видно, что при достаточно малых значениях индекса п в центральной зоне канала возникает горизонтальное “плато” с практически постоянной скоростью течения, характерное для течения вязкопластической жидкости [3] .

Рис. 3. Распределение безразмерной скорости в поперечном сечении канала при фиксированном я' = 0 5 для

следующих значений индекса неньютоновского поведения п = 0.10

п

п

Рис. 2. Распределение безразмерной скорости в поперечном сечении канала при фиксированных п = 0.35 и О = 0.04 для следующих значений критерия Лагранжа

В ходе решения поставленной задачи, были получены выражения для распределения скорости течения жидкости смешенного типа (7) и (8). Эти результаты, в том числе и выра-

жение для определения расхода жидкости в канале (11), могут быть использованы при проведении инженерных расчетов по определению характеристик течения в каналах технологического оборудования для жидкостей, реологическая модель которых определяется соотношением (1).

Литература

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей и газов. [Текст]/ Лойцянский Л.Г. - М.: Колосс, 2003. - 673с.

2. Малкин А.Я. Реология: концепции, методы, приложения. [Текст]/ Малкин А.Я., Исаев А.И. - СПб.: Профессия, 2007. - 560с.

3. Шрамм Г. Основы практической реологии и рео-метрии. [Текст]/ Шрамм Г. - М.: Колосс, 2003. - 311с.

4. Гудкова, Т. И. К вопросу о влиянии структурномеханических свойств печатных красок на их поведение в печатном производстве [Текст] / Т. И. Гудкова, Л. А. Ко-заровицкий, Н. В. Михайлов // Коллоид. журн., 1960, 22, №6. - С. 649-657.

5. Колодежнов В.Н. Конвективный теплоперенос при течении неньютоновской жидкости в плоском канале с пределом применимости степенного закона вязкости [Текст] // Вестник ВГТУ, 2010, Т.6, № 1, 2010. С. 115-118.

6. Бирфельд, А. А. Исследование тиксотропии пра-линовых масс [Текст] / А. А. Бирфельд, Ю. А. Мачихин. -Известия вузов. Пищевая технология, 1970, № 2, с. 152154.

7. Рыбакова, Ю. С. Физико-химическое исследование орехосодержащих конфетных масс [Текст] / Ю. С. Рыбакова. Автореф. Канд. Дис. - М.: МТИПП, 1959 - 17с.

8. Никифорова, В. Н. Химические и физические характеристики ириса и начинок карамели [Текст] / В. Н. Никифорова, Р. В. Теплова, Р. Г. Зобова, Г. А. Лядова. -М.: ЦИНТИпищепром, 1964. - 27 с.

9. Михайлов, Н. В. Упруго-пластические свойства нефтяных битумов [Текст] / Н. В. Михайлов / Коллоидный журнал, - Т. 17, №3, 1955. - С. 242-246.

10. Кузин, В.Г. Движение нелинейно-вязкой среды в цилиндрическом канале произвольного сечения [Текст] / В. Г. Кузин // Прикладная механика. Т. XV, №7, 1979, с. 101-106.

Воронежская государственная технологическая академия

MATHEMATICAL MODELING AND BEHAVOUR ANALYSIS OF NON-NEWTONIAN LIQUIDS WITH VISCOSITY’S POWER LAW LIMIT APPLICABILITY

V. N. Kolodezhnov, O. G. Bereznev

This article is devoted to the mixed type liquid flow in the cylindrical channel when viscosity's power law limit applicability is present. The expressions for the liquid speed distribution and flow rate determination in a canal section are received. The influence analysis of the system’s main factors on the flow character is carried out

Key words: viscosity, share rate, non-newtonian liquid, velocity distribution