Математическое моделирование оптимального управления инвестиционными стратегиями предприятий АПК с учетом неопределенности

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 338.242.2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ПРЕДПРИЯТИЙ АПК С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

MATHEMATICAL MODELING OF OPTIMAL CONTROL THE INVESTMENT STRATEGY OF AGRICULTURAL ENTERPRISES WITH UNCERTAINTY

Е.В. Мелихова, кандидат технических наук, доцент E.V. Melikhova

Волгоградский государственный аграрный университет Volgograd state agricultural university

В статье рассмотрены теоретические проблемы оптимизации процессов инвестирования в рамках конкуренции сельхозтоваропроизводителей. Проведено экономико-математическое моделирование параметров оптимального нестратегического и стратегического случаев конкуренции сельхозтоваропроизводителей при выборе переменных инвестирования. Показано, что оптимальная величина инвестиционного порога возрастает, при угрозе последующего конкурентного входа на рынок другого производителя. Наличие потенциального конкурента вынуждает первого производителя повышать уровень качества продукции. Повышенное качество сельскохозяйственной продукции индуцирует оптимальность более высокого, чем в случае отсутствия конкуренции, инвестиционного порога. Доказано посредством анализа соотношений между уровнем сетевых экстерналий, величиной сети и оптимизированным значением качества сельскохозяйственной продукции, что в условиях неопределенности рынка показатель качества продукции должен увеличиваться с возрастанием степени неопределенности и скорости приращения прибыли. Неопределенность (волатильность) конкурентной среды и степень интенсивности моделируемых сетевых экстерналий оказывают воздействие и на значение оптимального инвестиционного порога. Полученное дифференциальное уравнение выявило прямое соотношение между оптимальным значением порога инвестирования и степенью неопределенности рыночной среды. Увеличение неопределенности на рынке сельскохозяйственной продукции, при котором предприятие осуществляет инвестирование, предполагает рост значения инвестиционного порога при оптимальном вхождении на конкурентный рынок.

The article deals with the theoretical problem of the optimization of investment processes in the framework of agriculture producers competition. A mathematical modeling of economic parameters of non-strategic and strategic cases of agricultural competition in the selection of investment variables was made. It is shown that the optimal value of the investment threshold increase, with the threat of further competitive entry into the market of another manufacturer. The presence of a potential competitor forcing the first manufacturer to raise the level of product quality. High quality agricultural products induces optimal higher than in the case of the absence of competition, the investment threshold. It is proved by analyzing the relationships between the level of network externalities, the value of the network and optimized the value of agricultural product quality, which in the conditions of Quality product market uncertainty should increase with increasing degree of uncertainty and profit increment rate. The uncertainty (volatility) of the competitive environment and the degree of intensity of the simulated network externalities have an impact on the value of the optimal investment threshold. The resulting differential equation revealed a direct correlation between the optimum value of the investment threshold and the degree of uncertainty of the market environment. Increased uncertainty in the market of agricultural products in which the company invests, investment growth suggests threshold values for optimal entry in the competitive market.

Ключевые слова: экономико-математическое моделирование, инвестирование, стратегическое взаимодействие, уровень качества сельскохозяйственной продукции.

Key words: economic and mathematical modeling, investment, strategic cooperation, quality of agricultural products.

Введение. При моделировании экономических систем, в отличие от технических, даже четко сформулированная проблема требует детального изучения и структурирования. Слабая структурированность экономических проблем диктует повышенные требования к всесторонности, цельности и гармоничности системного анализа [1]. Существенная неопределенность экономических процессов, характерная для предприятий АПК, приводит к тому, что принятие решения относительно управления инвестиционными процессами обуславливает необходимость не только определения оптимального момента вхождения в конкурентный рынок, но и обоснование характеристик качества сельскохозяйственной продукции. Более высокое качество сельскохозяйственных продуктов связано с повышенными производственными затратами, однако позволяет получить выгоды от лучшего состояния спроса. Напротив, худшее состояние спроса может приводить к более низкому качеству продукции, поскольку затраты на улучшение качества могут превосходить выгоды от несущественного увеличения потребительского спроса [5]. Поэтому управление инвестиционными стратегиями предприятий АПК с учетом неопределенности - вопрос актуальный.

Материалы и методы. Проблема разработки и применения методов теории управления к задачам управления в социальной и экономической сферах не нова. Известны различные подходы построения математических моделей управления инвестиционными стратегиями предприятий с учетом неопределенности. В данной статье анализируются инвестиционные решения предприятий АПК на рынке продовольствия, характеризующимся стохастическим типом спроса, сетевыми положительными экстерналиями и конкурентным характером входа. Основным содержанием являются теоретическое и прикладное исследование системных связей, закономерностей функционирования, развития объектов и процессов в экономике АПК, ориентированное на повышение эффективности управления на основе развития и использования методов теории управления и принятия решений, статическим и динамическим методам стохастической оптимизации.

Результаты. Для исследования данного вопроса была поставлена задача построения экономико-математической модели, в которой производитель с.-х. продукции выбирает момент инвестирования, а также уровня качества производимой продукции с учетом инновационной компоненты.

Прибыль в данный в момент t в расчете на единичного потребителя обозначим x(t) , где X описывается дифференциальным уравнением броуновского движения [2]:

dx

где параметр C - детерминированная тенденция (тренд), 7 - волатильность показателей прибыли, dw - приращение (малое) винеровского процесса.

Принимается, что совокупность потребителей характеризуется оценками показателей CDi качества продукции, равномерно распределенными в интервале [0,1]. Потребитель получать выгоду не только из самостоятельного потребления товара, но и использования данного товара другими потребителями. Функция полезности Ui, удовлетворяющая этому условию, может быть представлена в виде [5]:

U = ЩЯ + an ~ k,

где q - показатель качества товара, k - затраты на приобретение товара, не связанные с ценой.

Данный параметр k показывает немонетарные затраты, связанные с временем и усилиями, необходимыми для поиска товара с соответствующими характеристиками.

Параметр а показывает уровень сетевых экстерналий. Если а положительные, то полезность данного потребителя возрастает с ростом количества остальных потребителей и наоборот.

На основе функции полезности (2) можно определить размер сети в зависимости от выбранного фирмой качества. Зададим потребителя типа ( как безразличного к приобретению либо отказу от приобретения продукции, что соответствует равенству

(Ц + ап — к = 0. Поскольку размер сети П равен 1 — ( , то

п

ц — а

Затраты производителя, отнесенные к единице продукции, определяются как с(ц). Выбирая качество продукции ц для максимизации опциона инвестирования, предприятие определяет его стоимость и вычисляет стоимость проекта. Для определения стоимости инвестиционного проекта V(?) необходимо определить интеграл разности (дисконтированной по времени) мгновенной прибыли потребителей, равной хп(ц) и затратами на производство с(д)п(д) :

да

| (х(^)—с(ц))п(ц) ехр[г (?—я)]^

V«) = Е

п

5

= Я(д)х — С(д),

где Я(ц) = п(ц') , С(ц) = с(Ц)п(Ц), Г - процентная ставка (безрисковая); 5 = г — а.

5 г

Невозвратные инвестиционные затраты предприятия обозначим I.

Для получения значения оптимального инвестиционного порога соответствующего оптимальному качеству продукции q, при котором предприятие входит в рынок, используем описанный ниже подход.

а) Определим момент оптимального инвестирования для произвольного уровня Ц . В результате получим стоимость опциона F(Ц ) и значение оптимального инвестиционного порога х* (ц) (5) и (6).

б) Определяем максимальное значение стоимости опциона инвестирования F(Ц ), согласно выражению (7).

Оптимальное значение инвестиционного порога х* (ц) , определяемое как наименьшее значение X, получаем в виде:

х-Ц)=-А- 1+Ш,

Ц а—1 я

где обозначено

п а 1

А=—а + 2+ц

г а 1 ^ 2г

^о)+а >1 •

2) а

Максимальное значение стоимости опциона инвестирования ¥(ц, х) определяется из зависимости

г

л (д — 1)Д—1 Я(д)лхД

^

Оптимальный уровень качества для инвестиционного решения х* (д) определяется максимизацией зависимости (7) по д .

_ *

Продифференцировав полученное уравнение относительно q - оптимальное качество продукции, получим уравнение: С = х*.

Таким образом, величина опциона инвестирования максимальна, когда предельные затраты на увеличение качества сельскохозяйственной продукции, соответствующие оптимальному порогу инвестирования, соответствуют предельному ожидаемому выигрышу.

При изменении качества продукции q неопределенность рыночной среды и интенсивность сетевых экстерналий воздействуют на оптимальный инвестиционный порог и явно, и неявно. Их суммарное воздействие определяется следующим дифференциальным уравнением:

йх*

сСв дв дд сСв' { ' }

Расчеты показывают, что если взять широкий интервал параметров модели, то оптимальное значение инвестиционного порога будет снижаться с ростом уровня сетевых экстерналий. Это обусловлено тем, что более значимые сетевые экстерналии повышают привлекательность товарного рынка для предприятий. Откуда получаем высокую стоимость инвестиционного проекта и более низкие значения спроса х, что достаточно для требуемого уровня рентабельности проекта при прочих равных условиях в момент инвестирования Д / (Д — 1).

Сравним взаимодействие двух фирм-предприятий на рынке. Допустим возможность входа в рынок второго конкурентного игрока (предприятие 2). Предположим, что он может войти в рынок только после вхождения в рынок предприятия 1. Производитель 2 начинает предлагать продукцию, качество д которой не равно качеству д производителя 1. Поскольку рассматриваемые производители не конкурируют в ценах, то затраты для потребителей доступа к любой сети одинаковы. Следовательно, производимые фирмами товары были бы эквивалентными (субститутами), а результирующее рыночное равновесие всегда представляло бы собой монополию. Если товары, производимые предприятиями, не являются абсолютными субститутами, то такая ситуация исключается. Обозначим р е (0,1) степенью замещения. Если р приближается к единице, то продукция, предлагаемая двумя предприятиями, является субститутами. В противном случае, для малых значений р , производителя находятся на отдельных рынках виртуально.

Проанализируем воздействие входа в рынок производителя 2 на оценку стоимости предприятия 1, уже функционирующего на рынке. Для этого исследуем структуру рынка дифференцированных товаров при условии сетевых экстерналий. Выражения для функций обратного спроса запишутся в виде

Г к = (1 — п )д — рпд + а(п + рп2), для сети фирмы 1 [к = (1 — п2 )д2 — рпд + а(п2 + ря\), для сети фирмы 2'

где п, I е {1,2} - размер сети I -го предприятия; k - мгновенные издержки обеспечения доступа к сети; а(пх + рп2) - зависимость от сетевых экстерналий.

***** ИЗВЕСТИЯ ***** № 1 (45, 2017

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Выражения (9) отражают линейные функции спроса, снижающегося с увеличением объемов щ и nj предлагаемой с.-х. продукции.

Для удобства проведения аналитического анализа будем рассматривать следующую линейную модель функции затрат:

с

где Со - безразмерный параметр, характеризующий эффективность.

Следовательно, более высокие значения С0 соответствуют менее эффективным отраслям. Выражение для соответствующей (10) мгновенной прибыли имеет вид

щ=

Рассматриваемая модель динамической игры решена методом обратной индукции [5]. Сначала определяется оптимальный инвестиционный порог и уровень качества продукции предприятия 2:

Х2 =-

Р - 1

= тах -

I(1 -Р2) , Со V Яг - Я2 Г J

(Ч2 - Яг)х2 Г -V*

Я &

х

2

V Х2 J

Из выражения (13) следует, что качество продукции, максимизирующее стои мость опциона инвестирования предприятия 2, я2 , определяется следующим образом 1

Яг =

2(& -1) где Я, = к(1 - р) + ртах[к,я, ].

(2(Р -1Я - а + _

Таким образом, предприятие 2 оптимально отвечает на увеличение качества продукции производителя 1 не только ростом качества своей продукции, но также откладыванием момента своего входа в рынок, т.е. имеют место следующие неравенства:

^Я2 > о ^х2 > о

Отсюда можно сделать вывод, что выбор наиболее высокого уровня качества Я1

равносилен установке барьеров для входа в рынок производителем 1.

Проанализируем инвестиционное решение производителя 1, вычислив оптимальный инвестиционный порог предприятия 2. Заметим, что в момент инвестирования ^ стоимость инвестиционного проекта предприятия 1 определяется уравнением (15):

х

ИЗВЕСТИЯ *

№ 1 (45), 2017

НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

V =

д* — к ( х с0 (д* — а)^

— а

— I

+

стоимость опционаинвестироеания монополиста

+

1 д — д д; —к

V

1 — р д1 — а д1 — а

со(д;—а) ^ г

V

V х2у

стоимость, потерянная из—за входа в рынок конкурирующей фирмы

Обсуждение. В полученных выражениях для оптимального инвестиционного порога и стоимости опциона инвестирования производителя 1 следует отметить, что оптимальный момент инвестирования производителя 1 в явной степени не зависит от действий, предпринятых предприятия 2. Несмотря на то, что роли фирм (лидер и последователь) определены экзогенно, на оптимальный момент инвестирования производителя 1 оказывает влияние выбор уровня качества продукции д .

Рисунок 1 - Опционы инвестирования предприятия 1 для следующих значений параметров: р = 0,5; к = 5;с0 = 1; г = 0,05; а = 0,015; х0 = 4; I = 10

г

J

Рисунок

2 - Опционы инвестирования предприятия 2 для следующих значений

6

параметров: р = 0,5; к = 5;с0 = 1; г = 0,05; а = 0,015; х0 = 4; I = 10

На рисунках 1 и 2 показана взаимосвязь рыночной волатильности и стоимости инвестиционного опциона предприятия 1 и предприятия 2 соответственно при различных величинах сетевых экстерналий. На основе этого можно сделать следующие выводы.

Стоимость опциона инвестирования производителя 1 ниже, чем предприятия 2, что обусловлено невыгодным положением производителя-лидера в конкурентной игре, где предприятия взаимодействуют на уровне стратегических комплементов. Хотя предприятие 1 получает прибыль от более раннего инвестирования в течение большего по продолжительности периода, ее совокупная стоимость ниже, чем у предприятия 2. Соотношения между стоимостью инвестиционного проекта производителя 1 и неопределенностью во многом определяется величиной сетевых экстерналий а . Традиционный постулат теории реальных опционов предполагает, что знак этого соотношения больше нуля. В то же время, с возрастанием уровня неопределенности предприятие 2

вынужденно обеспечивать более «агрессивное» качество своей продукции, т.е. —Я— > 0

ёа

что снижает стоимость опциона инвестирования производителя 1.

Знак совместного результата упомянутого взаимодействия является неоднозначным, что отражает рассмотренный выше компромисс. Как показывает рисунок 1, присутствие на рынке значимых сетевых экстерналий способствует росту упомянутого эффекта и увеличивает стоимость опционов инвестирования для обоих предприятий. Скорость изменения этого увеличения возрастает, если стоимость влияния сетевых экс-терналий приближается к затратам на участие в сети. Поэтому, для набора параметров (рисунок 1) изменение в стоимости опционов инвестирования обеих предприятий, возникающая при увеличении значения параметра а с 3 до 4 (к = 5) выше, чем аналогичное изменение, обусловленное увеличением параметра а от 0 до 3. Выбор оптимального инвестиционного порога представлен на рисунке 2.

Заключение. Таким образом, проведено сравнение параметров нестратегического и стратегического случаев конкуренции производителей относительно оптимального выбора стратегических переменных. Оптимальная величина инвестиционного порога возрастает, если учитывается угроза последующего конкурентного входа другого производителя на рынок. Наличие потенциального конкурента вынуждает первого производителя повышать уровень качества продукции. Более высокое качество сельскохозяйственной продукции обеспечивает оптимальность более высокого, чем в случае отсутствия конкуренции инвестиционного порога.

В результате анализа соотношений между уровнем сетевых экстерналий, величиной сети и оптимизированным значением качества сельскохозяйственной продукции доказано, что в условиях неопределенности рынка показатель качества продукции должен увеличиваться с возрастанием степени неопределенности и скорости приращения

1 * 7 *

—Я ~ —Я ~

прибыли: -> 0, -> 0. Неопределенность (волатильность) конкурентной сре-

—а ёа

ды и степень интенсивности моделируемых сетевых экстерналий оказывают воздействие и на значение оптимального инвестиционного порога. Анализ дифференциального уравнения (8) показывает прямое соотношение между оптимальным значением по-

—х 2(я) п

рога инвестирования и степенью неопределенности рыночной среды —--> 0 . Сле-

—а

довательно, увеличение неопределенности на рынке с.-х. продукции, при котором предприятие осуществляет инвестирование, индуцирует рост оптимального значения инвестиционного порога при вхождении на конкурентный рынок.

Библиографический список

1. Вдовин, В.М. Теория систем и системный анализ [Текст]: учебник/ В.М. Вдовин, Л.Е. Суркова, В.А. Валентинов. - М.: Издательско-торговая компания «Дашков и К», 2010. - 640 с.

2. Заяц, О.А. Моделирование динамики урожайности зерновых культур в Нижнем Поволжье методом многократного выравнивания [Текст] /О.А. Заяц, Е.В. Мелихова, Д.А. Мелихов // Аграрный научный журнал. - 2009. - № 11. - С. 52-56.

3. Мелихова, Е.В. Прогнозирование социально-экономических показателей Волгоградской области с применением эконометрических моделей [Текст] /Е.В. Мелихова // Труд и социальные отношения. - 2013. - № 11. - С. 125-130.

4. Никаноров, С.П. Системный анализ: этап развития методологии решения проблем в США [Электронный ресурс] / С.П. Никаноров. - Режим доступа - http://or-rsv.narod.ru/Concept/Nikanorov 003.htm

5. Рогачев, А.Ф. Моделирование оптимальных инвестиционных стратегий фирмы в условиях неопределенности и конкуренции [Текст] / А.Ф. Рогачёв, Д.А. Мелихов // Известия Оренбургского государственного аграрного университета. - 2009 . - № 4(24). - С.129-132.

6. Рогачёв, А.Ф. Моделирование стратегического выбора инвестирования на основе теории реальных опционов [Текст] / А.Ф. Рогачёв, Д.А. Мелихов // Известия Волгоградского государственного технического университета. - 2011. - Т. 11. № 4 (77). - С. 226-230.

7. Скитер, Н.Н. Теория допустимости управления экосистемой посредством налоговых механизмов [Текст] / Н.Н. Скитер, А.В. Шохнех, Е.В. Мелихова // Аудит и финансовый анализ. - 2015. - № 6. - С. 428-431.

8. Скитер, Н.Н. Моделирование и анализ эффективности государственного регулирования производственного сектора [Текст] / Н.Н. Скитер, А.Ф. Рогачев // Экономические науки. - 2010. - № 62. - С. 28-33.

9. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton: Princeton University Press, 1996.

10. Formation of marketing strategy at environmentally determined enterprise / Pozdnyako-va U.A., Buyanova M.E., Budanova I.M., Bezrukova T.L., Rogachev A.F., Golikov V.V. // Mediterranean Journal of Social Sciences. 2015. Т. 6. № 5 S1. P. 369-375.

11. Rogachev A. Economic and mathematical modeling of food security level in view of import substitution // Asian Social Science. 2015. Т. 11. № 20. С. 178-184.

12. Rogachev, A.F. Modelling of monotowns development by means of cognitive maps / Rogachev, A.F., Mizyakina, O.B., Fedorova, Y.V. // Actual Problems of Economics. 2016. P. 409416.

13. Skiter N. Modeling ecological security of a state / Skiter N., Rogachev A.F., Mazaeva T.I. // Mediterranean Journal of Social Sciences. 2015. Т. 6. № 36. С. 185-192.

Reference

1. Vdovin, V. M. Teoriya sistem i sistemnyj analiz [Tekst]: uchebnik/ V. M. Vdovin, L. E. Surkova, V. A. Valentinov. - M.: Izdatel'sko-torgovaya kompaniya "Dashkov i K", 2010. - 640 s.

2. Zayac, O. A. Modelirovanie dinamiki urozhajnosti zernovyh kul'tur v Nizhnem Povolzh'e metodom mnogokratnogo vyravnivaniya [Tekst] /O. A. Zayac, E. V. Melihova, D. A. Melihov // Agrarnyj nauchnyj zhurnal. - 2009. - № 11. - S. 52-56.

3. Melihova, E. V. Prognozirovanie social'no-]konomicheskih pokazatelej Volgogradskoj oblasti s primeneniem ]konometricheskih modelej [Tekst] /E. V. Melihova // Trud i social'nye otnosheniya. - 2013. - № 11. - S. 125-130.

4. Nikanorov, S. P. Sistemnyj analiz: etap razvitiya metodologii resheniya problem v SShA [}lektronnyj resurs] / S. P. Nikanorov. - Rezhim dostupa - http://or-rsv.narod.ru/Concept/Nikanorov_003.htm

5. Rogachev, A. F. Modelirovanie optimal'nyh investicionnyh strategij firmy v usloviyah neopredelennosti i konkurencii [Tekst] / A. F. Rogachjov, D. A. Melihov // Izvestiya Orenburgskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta. - 2009 . - № 4(24). - S.129-132.

6. Rogachjov, A. F. Modelirovanie strategicheskogo vybora investirovaniya na osnove teorii real'nyh opcionov [Tekst] / A. F. Rogachjov, D. A. Melihov // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2011. - T. 11. № 4 (77). - S. 226-230.

7. Skiter, N. N. Teoriya dopustimosti upravleniya ]kosistemoj posredstvom nalogovyh me-hanizmov [Tekst] / N. N. Skiter, A. V. Shohneh, E. V. Melihova // Audit i finansovyj analiz. - 2015. -№ 6. - S. 428-431.

8. Skiter, N. N. Modelirovanie i analiz ]ffektivnosti gosudarstvennogo regulirovaniya pro-izvodstvennogo sektora [Tekst] / N. N. Skiter, A. F. Rogachev // }konomicheskie nauki. - 2010. - № 62. - S. 28-33.

9. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton: Princeton University Press, 1996.

10. Formation of marketing strategy at environmentally determined enterprise / Pozdnyako-va U.A., Buyanova M.E., Budanova I.M., Bezrukova T.L., Rogachev A.F., Golikov V.V. // Mediterranean Journal of Social Sciences. 2015. T. 6. № 5 S1. P. 369-375.

11. Rogachev A. Economic and mathematical modeling of food security level in view of import substitution // Asian Social Science. 2015. T. 11. № 20. S. 178-184.

12. Rogachev, A.F. Modelling of monotowns development by means of cognitive maps / Rogachev, A.F., Mizyakina, O.B., Fedorova, Y.V. // Actual Problems of Economics. 2016. P. 409416.

13. Skiter N. Modeling ecological security of a state / Skiter N., Rogachev A.F., Mazaeva T.I. // Mediterranean Journal of Social Sciences. 2015. T. 6. № 36. S. 185-192.

E-mail: mel-v07@mail.ru