Выпуклые многогранники с паркетными гранями в многомерных евклидовых пространствах

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ С ПАРКЕТНЫМИ ГРАНЯМИ В МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

CONVEX POLYHEDRA WITH PARQUET FACES IN MULTIDIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACES

A.M. Гурин, Д.В. Архаров, /1.В. Петров, А.М. Gurin, D.V. Arkharov, L.V. Petrov, A.N. Popov,

A.H. Попов, A.C. Черный A.S. Cherny

Многогранники, ребра, разбиение пространства, паркетные грани, гиперграни.

Статья состоит из трех разделов. В первом разделе дан краткий обзор исследования выпуклых многогранников с правильными гранями, расположенными в трехмерном евклидовом пространстве. Во втором разделе поставлены новые задачи, в том числе о доказательстве существования паркетных граней у выпуклых многогранников с правильными гранями. В третьем разделе доказана новая теорема о многогранниках с паркетными гранями в четырехмерном евклидовом пространстве.

Polyhedra, ribs, space partitioning, hardwood faces, facets.

The paper consists of three sections. The first section provides a brief overview of the study of convex polyhedra with regular faces, arranged in three-dimensional Euclidean space, The second section presents new tasks, such as, in particular, proving the existence of parquet faces in convex polyhedra with regular faces. The third section proves a new theorem on polyhedra with parquet faces in four-dimensional Euclidean space.

Настоящая статья пополняет список работ, расширяющих исследования выпуклых многогранников трехмерного евклидова пространства [Александров, 2007] на аналогичные многогранники в многомерных пространствах. Здесь обобщается задача Пряхина [Пря-хин, 1974] об изучении выпуклых многогранников с паркетными гранями в трехмерном евклидовом пространстве. Напомним определения Пряхина [Пряхин, 1974, с. 111].

Определение 1. Выпуклый многоугольник называется равноугольным, если все его углы равны между собой.

Определение 2. Выпуклый многоугольник называется паркетным, если он может быть составлен из конечного числа равноугольных многоугольников.

В приведенных определениях по умолчанию допускается, что многоугольники могут быть подклеены друг к другу не только по целой грани, говорят, нормальным образом, но и по части грани. Об этом допущении можно точно узнать из соответствующей таблицы типов паркетных граней [Там же], где приведены соответствующие типы паркетных граней. Список типов паркетных граней

станет короче, если оставим из списка паркетных граней лишь те грани, что получены подклейкой составляющих их многоугольников по целым ребрам.

Определение 3. Нормальной паркетной гранью называется выпуклый многоугольник, составленный из правильных выпуклых многоугольников при помощи подклейки друг к другу правильных многоугольников по целым ребрам.

Рассмотрим ряд примеров. Два отдельно взятых правильных треугольника можно расположить в одной плоскости и подклеить друг к другу по целому ребру или по части ребра. Если подклеим по части ребра, то условие выпуклости не выполнится. Если подклеим по целому ребру, то полученное соединение треугольников, граница которого известна как ромб, в рассматриваемом классе многоугольников суть пример паркетного многоугольника или грани.

Продолжим построение паркетных граней в рамках определения 3. Подклеим к паре треугольников еще один правильный треугольник. Подклейку можно осуществить лишь единственным способом. Получим паркетную грань, выпуклая оболочка которой суть трапеция. Паркетная грань

А.М. ГУРИН, Д.В. АРХАРОВ, Л.В. ПЕТРОВ, А.Н. ПОПОВ, А.С. ЧЕРНЫЙ. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ С ПАРКЕТНЫМИ ГРАНЯМИ

В МНОГОМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

имеет условную вершину, которая лежит внутри ребра основания трапеции.

Подклейка четвертого треугольника к паркетной грани в составе трех треугольников возможна ровно тремя независимыми способами, так как ровно три различных ребра имеет трапеция. Подклейка к верхнему основанию трапеции дает в целом треугольник с тремя условными вершинами. Подклейка к боковому ребру трапеции дает в целом параллелограмм с двумя условными вершинами. Подклейка к основанию трапеции в условиях определения 3 дает невыпуклый многоугольник. Заметим, что в условиях определения 2 подклеить можно треугольник по всему основанию трапеции и получим один из паркетных многоугольников Пряхина. В нем образуется одна условная вершина внутри многоугольника.

Аналогично, оставаясь в условиях определения 3, получим условную вершину внутри шестиугольника, образованного шестью правильными треугольниками с общей вершиной.

Если рассматривать нормальные паркетные грани без условных вершин, то из списка числа типов граней Пряхина останутся только пять граней, составленных из двух или трех правильных граней. Выпуклые многогранники с гранями без условных вершин были найдены в работах [Johnson 1966; Залгаллер, 1967; Иванов, 1971; Пряхин, 1973; Турин, Залгаллер, 2008; Тимофеенко, 2008; 2011].

При переходе к паркетным граням с условными вершинами появляется необходимость детального пояснения предмета исследования, начиная с определения. Обратимся к примеру шестиугольной грани, для которой проявляется свойство быть правильной гранью в классе правильных граней и быть паркетной в классе паркетных граней. Свойством шестиугольной грани обладают еще две правильные грани, которые также входят в список паркетных граней Пряхина [Александров, 2007]. Аналогично, обратившись к многогранникам с правильными гранями, можно указать многогранники, составленные, в свою очередь, из иных многогранников с правильными гранями. Залгаллер разделил многогранники на простые многогранники и составленные из простых многогранников [Залгаллер, 1967]. Составленные получались при помощи операции подклеивания простых многогранников по целым граням друг к

другу, но лишь так, что найдется плоскость, разбивающая составленный многогранник на два многогранника с правильными гранями. Определение простого многогранника, по Залгаллеру, говорит, что для него не существует плоскости, способной рассечь его на два многогранника с правильными гранями, если плоскость проходит по ребрам многогранника.

Если все вершины многогранника трехгранные, то он тоже простой, так как его нельзя разбить плоскостью на два многогранника, если плоскость проходит по одним лишь ребрам.

Это определение было включено в алгоритм нахождения перечня простых многогранников Залгаллера, а составные многогранники были получены прикладыванием простых многогранников друг к другу по целым граням [Залгаллер, 1967]. Оказалось, что таким путем получаются все многогранники Джонсона роИпБоп, 1966]. Это показано в статье [Залгаллер, 1967]. В работах [Турин, Залгаллер, 2008; Тимофеенко, 2008; 2011] показано, что иных многогранников нет, если грани суть правильные многоугольники. Там же завершено перечисление многогранников с паркетными гранями, если грани не имеют условных вершин.

В многомерном пространстве, начиная от разбиения трехмерного евклидова пространства на выпуклые многогранники с правильными гранями, исследования начаты в работе [Турин, Залгаллер, 2008]. Здесь приводится пример существования нормальных паркетных граней в смысле определения 3 для четырехмерного и пятимерного евклидова пространства.

Теорема. Четырехмерный куб представим как совокупность пирамид с правильными двумерными гранями над трехмерными кубами.

Доказательство теоремы выполняется по схеме:доказывается существование пирамиды с правильными двумерными гранями в четырехмерном евклидовом пространстве;

доказывается, что пирамида над гиперкубом в пятимерном пространстве вырожденная, то есть вершина пирамиды лежит в плоскости гиперкуба, а четырехмерные пирамиды над трехмерными кубами разбивают четырехмерный гиперкуб, подобно тому как правильные треугольники разбивают шестиугольник на двумерной плоскости.

Применяя паркетное разбиение гиперкуба легко, находим перечень пятимерных кубов с паркетными гипергранями гиперкуба.

Библиографический список

1. Александров А.Д. Выпуклые многогранники // Избранные труды. Новосибирск: Наука, 2007. Т. 2. 457 с.

2. Турин А.М., Залгаллер В.А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями, составленными из правильных // Труды Санкт-Петербургского математического общества. 2008. Декаб. Т. 14. С. 215-292.

3. Залгаллер В.А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1967. Т. 2. С. 1-220.

4. Иванов Б.И. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников // Украинский геометр, сб., 1971. Вып. 10. С. 20-34.

5. Пряхин Ю.А. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1974. Т. 45. С. 111-112.

6. Пряхин Ю.А. О выпуклых многогранниках с правильными гранями // Украинский геометр, сб., 1973. Вып. 14. С. 83-88.

7. Тимофеенко А.В. Выпуклые правильногран-ники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части // Матем. тр. 2008. Т. 11. № 1. С. 132-152.

8. Тимофеенко А.В. О выпуклых многоран-никах с равноугольными и паркетными гранями // Чебышевский сборник. 12. 2011. Вып. 2. С. 118-126.

9.Johnson N.W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math., 18: 1, 1966. V. 18, № 1. P. 169-200.