Исследование предотрывного течения в осесимметричном диффузоре

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том ХЫ 2010 № 4

УДК 532.526.5 532.526.2 532.556.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕДОТРЫВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ДИФФУЗОРЕ

Г. Л. КОРОЛЕВ

Разработана процедура построения осесимметричных диффузоров для течений несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса с заданными характеристиками распределения давления на их поверхности и малыми потерями на трение внутри канала. Получено численное решение задачи с учетом влияния толщины пограничного слоя на внешний невязкий поток, рассмотрено влияние изменений расчетных условий для параметров потока во входном сечении на характеристики течения в диффузоре.

Ключевые слова: пограничный слой, диффузор, взаимодействие, отрыв.

Дозвуковое течение в расширяющихся каналах и трубах представляет собой классический объект изучения как теоретической, так и экспериментальной аэрогидродинамики. Наиболее сложными для исследований представляют течения с образованием отрыва потока, когда вязкий пристеночный пограничный слой под действием неблагоприятного градиента давления отходит от стенок обтекаемой поверхности. В результате в потоке появляются области возвратного течения, сильно усложняется общая картина течения. Могут возникнуть несимметрия течения при симметричных граничных условиях, существенная нестационарность и трехмерность течения. Характеристики диффузора с развитием отрыва, как правило, ухудшаются. Поэтому изучение «предотрывных» диффузоров, т. е. диффузоров с режимом течения, когда величина поверхностного трения может быть достаточно мала, но остается величиной положительной, представляет как практический, так и теоретический интерес.

1. История вопроса. Несмотря на достаточно большое количество публикаций по теоретическому и экспериментальному изучению течений в диффузорных каналах, задачи отыскания оптимальных форм каналов, построения безотрывных диффузоров и способы управления течениями в них остаются актуальными. В [1] было сделано предположение о том, что максимальное восстановление давления при заданной длине канала будет наблюдаться в диффузорах с предот-рывным пристеночным пограничным слоем. Критерий отрыва пристеночного турбулентного пограничного слоя в плоском случае получен в [2]. Теоретическое и экспериментальное изучение течения в канале с нулевым поверхностным трением вдоль стенки выполнено в [3, 4]. В [5] с использованием критерия Хагена рассчитан плоский предотрывный контур диффузора и экспериментально исследовано течение в нем. Теоретическое применение методов обратных задач для пограничного слоя на основе интегральных соотношений количества движения, расхода потока и критерия отрыва имеется в [6], а экспериментальное подтверждение результатов в [7]. Отметим работу [8], где профилирование безотрывных диффузоров с кусочно-постоянным давлением вдоль стенки предложено проводить методами обратных задач теории струй идеальной жидкости и последующей поправки формы канала на толщину пограничного слоя.

Как правило, эти работы выполнены с использованием упрощающих предположений относительно течения в основной части диффузора, например, постоянства давления поперек сечения диффузора [3], а также без учета влияния краевых условий на выходе диффузора на течение вверх по потоку [4].

В данной работе создана процедура построения эффективных осесимметричных диффузоров с заданными характеристиками давления и трения вдоль их поверхностей, обеспечивающая безотрывность течения на выходе диффузора при незначительных потерях на трение внутри канала. Исследовано влияние изменения параметров течения при нерасчетном режиме.

2. Постановка задачи. Асимптотические и численные исследования поведения решения уравнений ламинарного пограничного слоя в плоском диффузоре с характерным размером, много превышающим толщину пограничного слоя, показали [9], что наиболее чувствительный к неблагоприятному градиенту давления ламинарный пограничный слой выдерживает локальный

обезразмеренный перепад давления порядка Ар = 2.3А,12 Re-l4 . Здесь X — безразмерная величина трения на стенке при подходе к области перепада давления; — число Рейнольдса, вычис-

ленное по локальной длине диффузора. Так как поверхностное трение при неблагоприятном градиенте давления падает, а число Рейнольдса растет, то диффузоры с ламинарным пограничным слоем могут обеспечить только достаточно малые перепады давления при сохранении безотрыв-ности течения.

Более высокие перепады давления обеспечивают диффузоры, где достаточно большие градиенты давления действуют в турбулентном пограничном слое. Выбор оптимальной формы диффузора с точки зрения получения максимального перепада давления и минимизации потерь полного давления во многом определяется входящими характеристиками потока, такими как число Я^, а также тем, является ли пограничный слой ламинарным или турбулентным и каковы характеристики этого слоя на входе, т. е. величины поверхностного трения и толщины вытеснения. Экспериментальные возможности определения этих характеристик осложняются тем, что в дозвуковом потоке условия на выходе из диффузора передаются вверх по потоку, и наиболее чувствительным к этим изменениям является пограничный слой. Поэтому с практической и теоретической точек зрения интересно рассмотреть, как будут изменяться характеристики работы диффузора при отклонении режима потока от расчетного.

Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричном диффузоре. Пусть

а — характерный размер, равный диаметру входной части, а и0 — характерная скорость течения на входе. Определим число Рейнольдса как */у* , где V* — коэффициент кинемати-

ческой вязкости. Будем предполагать, что число достаточно велико для того, чтобы можно было выделить область потока невязкого течения и пограничный слой на стенке. Допустим, что форма диффузора выбрана так, что пограничный слой является безотрывным или, если имеется отрыв, то он локализован внутри пограничного слоя. Будем также считать течение осесимметричным.

Пусть в начальной части диффузора имеется достаточно протяженный участок с малый перепадом давления вдоль стенки так, что переход от ламинарного пограничного слоя в турбулентный происходит на этом участке. В общем случае расположение области перехода зависит от множества параметров, таких как уровень начальной турбулентности потока, размер средней шероховатости поверхности диффузора и других. Предположим, что точка перехода в этой области соответствует числу = 1.25 • 105, вычисленному по локальной длине дуги обтекаемой

поверхности. Это приблизительно соответствует точке перехода в пограничном слое на плоской пластине без градиента давления [5].

Введем цилиндрическую систему координат х, г с осью х, направленной вдоль потока, и началом на оси симметрии во входном сечении диффузора. Обозначим через и, V соответствующие безразмерные компоненты вектора скорости. В начальном сечении х = 0, где радиус диффузора г = 1/2, профиль скорости предполагается однородным: и = 1. Тогда в основной невязкой области с характерными размерами х = 0(1), г = 0(1) для описания течения воспользуемся уравнением неразрывности

д(ги) + д(гУ) = 0

дх дг

и уравнением отсутствия завихренности

ди дv дг дх

Пусть функция г = г№(х) определяет форму поверхности диффузора. Предположим, что на оси симметрии течения отсутствуют источники или стоки, что исключает появление здесь особенности в решении. Поэтому

v

Введем в качестве новых независимых переменных потенциал вектора скорости ф и функцию тока у, относительно которых известно, что

и =дФ, V = *ф

дх дг

ги = ^, „ = _^.

дг дх

Для определенности будем полагать

ф

Тогда из уравнения неразрывности (2.1) и потенциальности течения (2.2) в этих переменных получаем следующие уравнения для функций д = (и2 + V2)12 и 0 = агС^^/и):

»_ г д1пд = 0, а!п

дф ду дф ду

В отличие от уравнений для плоского течения эта система является нелинейной и содержит три искомые функции: д, 0 и г.

Предположим, что вне пограничного слоя течение является безотрывным, т. е. здесь и > 0. Тогда из первого уравнения (2.5) следует, что:

2 У л

г г а у

2 0 и

Краевые условия будут выглядеть следующим образом. На входе диффузора ставим условие однородного потока

д

На правой концевой его части предполагается, что в этой области наклон поверхности диффузора и наклон толщины вытеснения пограничного слоя достаточно малы. Однако сама толщина пограничного слоя, хотя и растет вдоль поверхности диффузора, но еще достаточно мала по сравнению с его радиусом, и можно пользоваться теорией пограничного слоя. Поэтому будем предполагать, что в конечной части диффузора градиенты течения, в том числе и изменение ско-

да

рости д поперек основного невязкого течения, незначительны, т. е. —« 0. Поэтому, используя

ду

первое уравнение из (2.7), на правой границе расчетной сетки ставятся мягкие условия для наклона линий тока:

д0

— = 0 при ф = Фтах.

дф

Как показывают расчеты, если основные изменения давления в диффузоре в продольном направлении происходят на расстоянии порядка его входного диаметра, то полученные решения слабо зависят от расположения правой границы расчетной области, где ставится краевое условие (2.10), если эта граница находится на расстоянии большем 4 — 5 диаметров от области максимальных градиентов давления.

Будем полагать, что на поверхности диффузора у = 1/8 и

Ч(ф, 1/8) = qe(q>),

где де

0(ф, 0) = 0.

Введем ортогональную криволинейную систему координат 5, п, связанную с поверхностью диффузора. Здесь 5 — длина дуги этой поверхности, п — ее нормаль, направленная внутрь потока. Обозначим безразмерные составляющие вектора скорости вдоль этих осей через V, V. Заметим, что на внешней границе пограничного слоя

d ф

ds

= Чв.

Будем предполагать, что радиус кривизны обтекаемой поверхности много больше толщины пограничного слоя, и, следовательно, поперечным перепадом давления можно пренебречь. Тогда течение в пограничном слое вблизи стенки диффузора в главном приближении описывается решением следующих уравнений:

! = Re 12 n, V = Re 12 V (ф, п),

_д_

дф

{

dn dn2

d ( dU > — vT--------

dn^ dn

dU dF n ,2

-----+---------= 0, v = /i

дф dn

и при выполнении краевых условии:

U = V = 0 при n = 0, U

dU

dn

при n

Здесь 1Т — обезразмеренная величина длины пути смешения в турбулентном пограничном слое. В данной работе использовалась дифференциальная модель Плетчера [10] определения 1Т, предназначенная для использования в расчетах турбулентных течений при наличии отрыва потока. Предполагалось, что переход от ламинарного пограничного слоя происходит (или вызывается), когда число Re посчитанное по длине дуги поверхности канала 5, достигает величины 1.25 • 105.

Необходимые начальные условия для решения уравнений пограничного слоя находились из условия, что он начинается с острой передней кромки диффузора и в главном приближении при ф ^ 0 описывается решением Блазиуса.

Толщина вытеснения пограничного слоя 5 определяется из следующего соотношения:

5(ф) = Re-12 |І1 -U dn.

При приближении к внешней границе пограничного слоя выражение для функции тока выглядит следующим образом:

V = V8 - rw4e (X) (Re"1/2 П - S(x')) + O (б2 ), n ^ да-Следовательно, в невязкой области при приближении к этой границе (см. рис. 1) у = 1/8 - rwqe(x')(n -б(x')) +..., x' = x + nsin(0(x')) +...

ТО

Поскольку

r = rw(x) -n¡cos(0(x')) + ...,

то для у получаем:

V = V8 - rw4e (x') [(y - f (x)) cos (0(x')) - 5(x')] +...

Поэтому при n ^ 5 и 0' Ф п имеем условие для наклона линий тока vlu в следующем виде:

tg

rwue

Это есть условие взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком в основной части диффузора. Оно является аналогом условия взаимодействия для пограничного слоя на профиле, обтекаемом безграничным потоком жидкости [11]. Как показывают многочисленные эксперименты, это условие дает возможность достаточно точно описывать не только безотрывные режимы обтекания профиля, но и течения с отрывом пограничного слоя вплоть до момента срыва потока, когда образуются области возвратных токов с характерными размерами порядка хорды крыла [12].

Представленная выше система уравнений описывает две возможные постановки задачи: первая — это задача о взаимодействии, когда при заданном rw(s) (или rw(x)) требуется определить распределение q, 0 в невязком течении и значения U, V в пограничном слое при выполнении условий (2.15); вторая — обратная задача, когда задается распределение давления (или трения) на поверхности диффузора и требуется найти все параметры течения, а также неизвестную форму диффузора rW (x) через условие (2.15).

Поступим следующим образом. Вначале решим обратную задачу. Задавая аналитическое распределения давления на стенке диффузора (или соответственно qe) и величины поверхностного трения на участках стенки диффузора, которые обеспечивают безотрывный рост давления при небольших потерях на трение, определим форму диффузора, которая обеспечивает эти характеристики течения. Затем изменим расчетный режим течения (например, число Рейнольдса), решим задачу взаимодействия и определим, какие изменения при этом происходят в течении.

Таким образом, для построения формы профиля осесимметричного диффузора необходимо выбрать оптимальное с точки зрения эффективности его работы распределение скорости qe(ty). Это распределение будем находить из решения уравнений пограничного слоя. Так как характерная величина толщины пограничного слоя много меньше радиуса диффузора, то течение здесь в главном приближении описывается уравнениями, соответствующими плоскому течению. Вначале рассчитывается ламинарный пограничный слой на входной части диффузора в предположении, что давление в этой части течения близко к постоянному, и определяется область перехода от ламинарного режима к турбулентному. Далее за этой областью перехода по полученному профилю скорости пограничного слоя рассчитывается область резкого роста градиента давления, в которой течение с конечной величиной турбулентного трения на стенке переходит в течение с величиной трения близкой к нулю. Затем проводится расчет турбулентного пограничного слоя с граничным условием, выражающим равенство завихренности на стенке диффузора малой положительной величине, и из решений уравнений пограничного слоя на этой части диффузора находится распределение скорости на внешней границе пограничного слоя qe(ty). Таким образом, в результате получаем распределение qe(q>) на всей поверхности диффузора, на одной части которого она задана аналитически, а на другой получена из решения уравнений пограничного слоя. Наконец, для невязких уравнений движения жидкости по известному распределению qe(q>) решается обратная задача и определяется неизвестная форма диффузора, которая потом модифицируется с учетом толщины вытеснения пристеночного пограничного слоя.

X х'

Рис. 1. Схема течения вблизи поверхности нижней части диффузора

Данная задача решалась с помощью прямого численного метода второго порядка точности, разработанного для решения задач теории взаимодействия пограничного слоя и невязкого потока, подробно описанного в [13]. Использовались две конечно-разностные сетки. Первая — размером 300 х 200 (300 точек с постоянным шагом по ф (0 < ф < 10), 100 точек по п в пограничном слое и 100 точек по у в невязком потоке). Вторая — неравномерная сетка по ф (0 < ф < 5) размером 450 х 300. Минимальный шаг в продольном направлении располагался вблизи максимального градиента давления и составлял фшь = 0.005.

Заметим, что решение задачи о взаимодействии в переменных (ф, у) требует использования дополнительной процедуры переопределения функции г^,х. Это связано с тем, что найденная из обратной задачи и фиксированная форма диффузора является функцией дуги поверхности Гщ = г№(,?) (или х). Длина дуги 5 в свою очередь определяется в решении через че и ф. Так как распределение ч'е, полученное при решении задачи о взаимодействии, может не совпадать с распределением че при решении обратной задачи, то и полученное распределение длины дуги поверхности 5/(ф) будет отлично от 5(ф). Эта проблема решается путем использования дополнительной процедуры квадратичной интерполяции функции г^,х с распределения 5(ф) на 5г(ф). Обычно требуется проведение 6 — 9 дополнительных численных глобальных итераций для получения сходимости порядка 10 5:

тах

/-1,0г -0г-1, тг -тг-1

< 10-5.

На рис. 2 представлены решения обратной задачи при заданном распределении скорости на верхней границе пограничного слоя де, которому соответствует распределение давления и форма нижней поверхности осесимметричного диффузора при числе Яе = 5 • 105. В качестве распределения де использовалась следующая функция:

Че (ф) = 1, ф< 0.5;

Дф) = 1 - с и - е

-0.25(ф-0

5)2 )

0.5 <ф< 3, с = 0.3

и для величины поверхностного трения

1=0

ди, ЛЧ

ф> 3, т =—(ф,0). дп

Такому распределению скорости и завихренности на стенке соответствует форма осесимметричного диффузора г„ и распределение давления на стенке диффузора (сплошная линия), представленные на рис. 2. На рис. 3 представлена величина распределения трения на стенке (сплошная линия). Видно, что величина безразмерного поверхностного трения т на рис. 3 в концевой части диффузора достаточно мала — порядка 0.01. На рис. 2, 3 представлено также сравнение решений прямой задачи для осесимметричного диффузора, когда при заданной его форме, полученной из решения обратной задачи при Яе = 5 • 105, происходит уменьшение числа Рейнольдса до Яе = 3.5 • 105 или его увеличение (Яе = 7 • 105) из-за изменения скорости потока на входе диффузора. Как следует из результатов, при близком к нулю значении минимального поверхностного трения, существует запас по числу Яе до появления отрыва потока на стенке. Впервые точка нулевого трения

возникает при числе Яе близком к 4 • 105. ___Яе = 7 • 105

Рис. 2. Форма нижней поверхности осесимметричного диффузора и распределение давления р на ее поверхности при различных числах Яе:

- Яе = 3.5 • 10

Яе = 5 • 10

Рис. 3. Распределение трения и толщины вытеснения пограничного слоя на поверхности диффузора при различных числах Яе

О 2 4 6 8 10 12 X

Рис. 5. Распределение скорости ч и угла наклона линий тока 0 в зависимости от х при различных значениях у при Яе = 3.5 • 105

006

т

Рис. 4. Распределение трения на поверхности диффузора вблизи области отрыва при Яе = 3 • 105

а

И..../----"У|ШН»»)11»1ШЩ1-------—-I-------о

2 4 6 8 10 12 X

Рис. 6. Сравнение результатов, полученных на различных конечно-разностных сетках, по распределению трения и давления на стенках диффузора при различных числах Яе:

а — Яе = 7 • 105; б — Яе = 5 • 105; в — Яе = 3.5 • 105

Дальнейшее уменьшение числа Яе вызывает развитие области медленного возвратного течения в пограничном слое. На рис. 4 видно, при числе Яе = 3 • 105 уже имеется длинная зона отрывного течения в диффузоре. Увеличение числа Яе до 7 • 105 в рассмотренном диапазоне Яе не ухудшает его работу.

На рис. 5 представлено распределение скорости ч и угла наклона 0 в продольном направлении для некоторых значений линий тока у. Видно, что максимальные изменения величин 0 и ч в поперечном направлении происходят вблизи больших градиентов изменения формы диффузора. А далее вниз по потоку эта величина поперек диффузора изменяется крайне незначительно. Это подтверждает правильность выбора постановки краевого условия (2.10) на правой границе диффузора для решения задачи невязкого течения (2.7). На рис. 5, 6 также представлено сравнение результатов, полученных на различных конечно-разностных сетках при различных значениях числа Рейнольдса. Сплошными линиями здесь представлены результаты, полученные на однородной по ф сетке, кружками — результаты, полученные на более мелкой неоднородной сетке. Видно, что полученные решения практически не зависят ни от размера используемой конечно-разностной сетки, ни от расстояния до правой границы сетки, где используется краевое условие (2.10).

Выводы. На основе разработанной процедуры профилирования безотрывных осесимметричных диффузоров с малыми потерями на трение проведено исследование, показывающее зависимость их работы от условий во входном потоке. Как следует из расчетов, при близком к нулю значении минимального поверхностного трения существует запас по числу Рейнольдса до появ-

ления отрыва потока на стенке. Дальнейшее уменьшение числа Re приводит к появлению отрыва в пограничном слое. Увеличение числа Re (в диапазоне исследуемых чисел Re) не ухудшает работу диффузора. Эти результаты важно учитывать при разработке таких диффузоров, где возможны отклонения от расчетных режимов течения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-08-33404а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987, 840 с.

2. Бам- Зеликович Г. М. Расчет отрыва пограничного слоя // Изв. АН СССР.

ОТН. 1954. № 12, с. 68 — 85.

3. Stratford B. S. The prediction of separation of the turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1959. V. 5, pt. 1, p. 1 — 16.

4. Stratford B. S. An experimental flow with zero skin friction throughout its region of pressure // J. Fluid Mech. 1959. V. 5. pt. 1, p. 17 — 35.

5. Hackeschmidt M. Mashinenbautechn. — 1964, Bd. 13, N 10, s. 530 — 534.

6. Гиневский А. С., Бычкова Л. А. Аэродинамические характеристики плоских и осесимметричных диффузоров с предотрывным состоянием турбулентного пограничного слоя // Тепло- и массоперенос. — М: Энергия, 1968. Т. 1, с. 100 — 115.

7. Бычкова Л. А. Экспериментальное исследование диффузорных каналов с предотрывным пограничным слоем // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 5, с. 89 — 93.

8. Степанов Г. Ю. Построение плоских каналов и решеток турбомашин с безотрывным течением // Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 4, с. 30 — 42.

9. Королев Г. Л., Лушников М. А. Изучение ламинарного отрыва жидкости в окрестности точки кусочно-постоянного распределения давления на стенке // Изв. РАН.

МЖГ. 2007, № 6, с. 69 — 75.

10. Pletcher R. H. Prediction of incompressible turbulent separating flow // J. Fluids Engng. 1978. V. 100, p. 427 — 433.

11. Lighthill M. J. On displacement thickness // J. Fluid Mech. 1958. V. 4, pt. 4, p. 383 — 392.

12. Kwon O. K., Pletcher R. H. Prediction of incompressible separated boundary layers including viscous-inviscid interaction // J. Fluids Engng. 1979. V. 101, p. 466 — 472.

13. Сычев В. В., Рубан А. И., Сычев Вик. В., Королев Г. Л. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В. В. Сычева. — М.: Наука, 1987, с. 256.

Рукопись поступила 22/IV 2009 г.