Замкнутые пары

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 36-41

УДК 519.46

ЗАМКНУТЫЕ ПАРЫ1 В. А. Койбаев

Работа посвящена изучению замкнутых пар абелевых групп (замкнутых элементарных сетей степени 2). Элементарная сеть а (сеть без диагонали) называется замкнутой, если ее элементарная группа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Установлено, что пара аддитивных подгрупп кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами из области целостности является замкнутой.

Ключевые слова: сеть, элементарная сеть, замкнутая сеть, сетевая группа, элементарная группа, трансвекция.

1. Введение

Напомним, что элементарная сеть а (сеть без диагонали) называется замкнутой, если ее элементарная группа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Замкнутые пары мы строим из подгрупп кольца многочленов.

Пусть Й1[ж] — кольцо многочленов (от переменной х с коэффициентами из области целостности К) с нулевым свободным членом.

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема. Пусть А, В — аддитивные подгруппы из К1 [х]. Тогда пара (А, В) является замкнутой. Другими словами, если ¿12 (в) или ¿21 (а) содержится в элементарной группе (¿21 (А), ¿12(В)), то в е В, а е А.

Мы пользуемся следующим стандартным набором определений и обозначений. Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с 1. Если А, В — подгруппы аддитивной группы кольца Л, то через АВ мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца Л, порожденную всеми произведениями аЬ, а е А, Ь е В.

Пусть е — единичная матрица порядка п, е^ — матрица, у которой на позиции (г, ]) стоит 1, а на остальных местах нули. Если а е Л, то через (а) = е + ае^ обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее, (А) = {¿^(а) : а е А}.

Для элементарной сети а через Е(а) обозначается элементарная группа:

Е(а) = (^ (а*,-) : 1 < г = 3 < п).

Далее, К — произвольная (коммутативная) область целостности с 1, К[х] — кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами из К.

Для неотрицательного т через Кт[х] мы обозначаем идеал кольца К[х]:

Кт[х] = Кхт + Кхт+1 + ... На протяжении всей статьи предполагается, что п — натуральное число, п ^ 2.

© 2011 Койбаев В. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 10-01-00342.

2. Замыкание сети

Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, п — натуральное число. Система а = (ац), 1 ^ г,] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Л называется сетью [1] (или ковром [2]) над кольцом Л порядка п, если аггаг^ С а ц при всех значениях индексов г, г,

Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [3], [4, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор а = (ац), 1 ^ г = ] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Л, для которых аггаг^ С ац для любой тройки попарно различных чисел г, г,

Элементарная сеть а = (ац), 1 ^ г = ] ^ п, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп ац кольца Л таблица (с диагональю) а = (ац), 1 ^ г,] ^ п, является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть а является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Хорошо известно (см., например, [1]), что элементарная сеть а = (ац) является дополняемой тогда и только тогда, когда

для любых г = ] . Диагональные подгруппы ац определяются формулой

ай = ^ аkiаik, (2) к=г

где суммирование берется по всем к отличным от г.

Ясно, что элементарная сеть может быть дополнена до сети не всегда единственным способом. Однако, очевидно, формула (2) (при выполнении условий (1)) позволяет дополнить элементарную сеть а наименьшей диагональю. Как мы увидим ниже не всякая элементарная сеть является дополняемой.

Для элементарной сети а рассмотрим элементарную сеть а = (ац), индуцированную трансвекциями из элементарной группы Е( а). А именно, для любых г = ] положим

ац = {а £ Л : ^ (а) £ Е(а)}.

В силу известного коммутаторного соотношения а = ( ац) является элементарной сетью.

Определение. Элементарную сеть а называют .замыканием сети а. Если а = а, то сеть а называют замкнутой.

Очевидно, что примерами замкнутых элементарных сетей являются дополняемые сети (для дополняемой сети а определена сетевая группа О(а)).

Замечание 1. Понятие допустимой (замкнутой) сети стало известно автору из работ В. М. Левчука (см., например, [4, вопрос 15.46]), однако, на наш взгляд (см. предложение 1), термин «замкнутая сеть» лучше отражает суть определения.

Из [6, предложения 4, 5] вытекает следующее

Предложение 1. 1) Операция замыкания обладает следующими свойствами (замыкания в топологическом пространстве):

а С а; (Т С г (Т С г; <т = <т; <т П т С <т П т.

2) Пересечение замкнутых сетей является замкнутой сетью.

3) Пусть а С т и т — замкнутая сеть. Тогда а С а С т. В частности, а — наименьшая замкнутая сеть, содержащая а.

Положим (71 Л (72 = (71 П (72, Далее, (7] V (72 = (71 У (72, ГДв 171 У 172 - СвТЬ равная пересечению всех элементарных сетей, содержащих а1 и а2.

Следствие. Множество замкнутых (допустимых) сетей является структурой (подструктурой всех элементарных сетей), содержащей структуру всех дополняемых сетей.

3. Формулы в Е2

В этом параграфе п = 2 и мы рассматриваем формулы для матриц второго порядка из элементарной группы Е2(Л) = (¿12(Л)^21 (Л)) (все элементы i = 1, 2,... , берутся из кольца Л).

Пусть ^2^+1 = ¿21 («1)412(«2) • • • ¿21 («2^+1), = ¿21 («1 ^12^2) •••¿12(а2й). Рассмотрим для п = 2, 3:

£2 = / 1 «2 А ^з = ^ 1 + «2«з а2 \

уа1 1 + а1 «2/' уа1 + а3 + а1а2а3 1 + а2а1у/'

Мы определим рекуррентные формулы для второй строки матрицы (аналогичные формулы справедливы и для первой строки матрицы £«).

Через (, )« обозначим вторую строку матрицы 5«. Ясно, что

(, )1 = («1, 1), (, )2 = («1, 1 + «1«2), (, )з = («1 + «з + «1«2«з, 1 + «1«2).

Для натуральных т, п, т ^ п, определим функции ^^ = («1, • • •, ««) следующим образом:

^2«+1 = «1 + «з + • • • + «2п+1 (п ^ 0), = + + • • • + «2«<^2«-1 (п ^ 1),

з 22 24зз з

^2«+1 = «з ^2 + «5^4 + • • • + «2п+1 , ^2« = «4^з + «6 + • • • + «2« ^«-Ъ

<^2т++11 = «2т+1 А + «2т+з^2т+2 + • • • + «2«+1 ^, т < n,

= «2т^2т-1 + «2т+2<^-1 + • • • + а2n^2m--11, т < п.

Предложение 2. Справедливы следующие утверждения:

1) = «1«2 •••««;

2) — сумма произведений элементов «1, «2, • • •, , причем каждое произведение содержит т сомножителей из этих элементов;

За) если = + «2«+1 ^2«, 0 ^ к ^ п - 1, п ^ 1, то

^2«+1 = «2^+1^2«;

ЗЬ) если = ^2«-2 + a2ra^2n-l, 1 < к < п - 1, п ^ 2, то

^2« = а2«^2«-1, п ^ 1.

< Очевидно, что 1) вытекает из За) и ЗЬ). Далее, 2) вытекает из рекуррентного определения функции ^т. Докажем За) (аналогично доказывается ЗЬ)). По определению

(см. (З)) 2к 1 2к 2к 2к

причем 2к + 1 ^ 2т + 1, к ^ т — 1. Тогда = 1 + а2п+1¥2П. Наконец из (3) для

т = п мы имеем ^П^н = а2га+1^2П. >

Предложение 3. Формулы для второй строчки матрицы при п = 2, 3,4 выглядят следующим образом:

(, )2 = (<¥ъ1 + (, )з = (¥ + ¥>1,1 + ¥2), (, )4 = (¥>3 + ¥>3, 1 + ¥>4 + ¥4).

< Согласно формуле для имеем (, )2 = (а1, 1 + а1 а2), поэтому первая формула нашего предложения вытекает из того, что ¥'1 = а1, ¥2 = а1а2. Аналогично доказываются остальные формулы. >

Предложение 4. Имеют место формулы (п ^ 1) :

< Рассмотрим матрицу ¿к (к ^ 2), и покажем, что вторая строка (, )к этой матрицы удовлетворяет формулам нашего предложения. Индукция по к. База индукции следует из предложения 3. Рассмотрим индукционный переход к ^ к + 1. Рассмотрим два случая.

а) Пусть к = 2п — четно и по индукционному предположению справедлива формула (5). Имеем 5к+1 = 52га+1 = 5"2„£21 (а2га+1), а потому из (5) мы имеем

С )2п+1 = ((¥2га-1 + а2п+1) + (¥2П-1 + а2п+1 ¥2«) + ... + (^2П-1 + а2п+1¥2П-2) + а2п+1¥2П, 1 + ¥2« + ¥2п + ... + ¥2^).

Последняя строчка совпадает со строчкой формулы (6) согласно утверждению 3а) предложения 2.

б) Пусть теперь к = 2п — 1 — нечетно. Согласно индукционному предположению из (4) мы имеем

С )2п-1 = (¥2П-1 + ¥2П-1 + ... + ¥2П-1,1 + ¥2«-2 + ¥4«-2 + ... + ¥2гП-2). Далее, ^+1 = = 5^-1^2 (а2п), поэтому

+ (¥2П-2 + а2п¥2„-з) + ... + (¥2П-2 + а2п ¥>Ю + а2«¥2П-1).

Непосредственно из утверждения 3Ь) предложения 2 следует совпадение последней строчки со строчкой из (5). >

4. Доказательство теоремы

Пусть йк = ¿21(а3)£12(а2)... содержится в группе (¿21(А),£12(В)) (при этом ясно, что а2т+1 £ А, а2т £ В), причем все элементы аз,а2,...,ак — ненулевые. Покажем, что если к ^ 2, то (йк)21 = 0, (¿к)12 = 0. Не умаляя общности (рассматривая транспонирование), достаточно показать, что (йк)21 = 0.

Согласно предложению 4 (в зависимости от четности к) мы имеем

)21 = ^2п+1 + ¥2П+1 + • • • + ^2П+1 •

Элементы а» являются многочленами, причем deg(аг) ^ 1. В частности, (5^)21 — многочлен. В силу утверждения 1) предложения 2

¥2га-1 = «1«2 • • • «2га—1, ¥2га+1 = «1«2 • • • «2га+1 •

Поэтому в силу утверждения 2) предложения 2 (заметим а» = 0) из (7), (8) мы имеем

deg<—1 > deg(<A—1 + 1 + • • • + 1),

deg> + + • • • + ^По-

следовательно, (52П)21 =0, (52П+1)21 =0.

5. Элементарные сети

В этом параграфе, пользуясь проделанной работой, мы строим различные примеры элементарных сетей. Отметим, что эти примеры во многом мотивированы вопросами поставленными перед автором В. М. Левчуком и Я. Н. Нужиным, за что автор приносит им благодарность.

Положим

А = Кж + К + К4[ж], А1 = Кж2 + К + К4 [ж], В = Кж + К4 [ж],

где через К4[ж] мы обозначаем идеал кольца К[ж], состоящий из всех многочленов: К4[ж] = Кж4 + Кж5 + • • • •

Пример незамкнутой (не допустимой) сети [6]. Определим элементарную сеть Р = (Ру) п-го порядка в Л следующим образом: р12 = А, р21 = А1 и ру = Я2[ж] для всех остальных I =

/ * А К2 [ж] • • К2[ж]\

А1 * К2 [ж] • • К2 [ж]

р = Я2[ж] Я2[ж] * • • Я2[ж]

\К2[ж] К2 [ж] Я2[ж] • • • *

Имеем ж3 £ АА1 А, следовательно, АА1А ^ А, а потому (см. § 1) элементарная сеть р не является дополняемой.

Сеть р не является замкнутой (допустимой). Положим Ь = ¿12(ж)^21 (1)^12(—1). Тогда Ь—1^12(ж)6 = ¿21(-ж), поэтому ж £ (р)21, но ж не содержится в группе А1 = р21. Поэтому р = р, т. е. сеть р не является замкнутой.

Пример замкнутой (допустимой), но не дополняемой сети. Определим элементарную сеть а = (ау) п-го порядка в поле Л следующим образом: а12 = а21 = В и ау = К4[ж] для всех остальных I =

* В К4 [ж] • • К4[ж]\

В * К4 [ж] • • К4 [ж]

а = К [ж] К4 [ж] * • • К4 [ж]

\*4 [ж] К4 [ж] К4 [ж] • • * )

а — элементарная сеть, которая является замкнутой, но не дополняемой [6].

Литература

1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.

2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1982.—288 с.

3. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.

4. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 17-е, дополненное.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.—219 с.

5. Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 4.—С. 39-43.

6. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. ин-та математики и механики УрО РАН.—2011.—Т. 17, № 4.—(в печати).

Статья поступила 14 августа 2011 г.

Койбаев Владимир Амурханович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

заведующий кафедрой алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: koibaev-K1@yandex.ru

CLOSED PAIRS Koibaev V. A.

This is a study of closed pairs of abelian groups (closed elementary nets of degree 2). If the elementary group E(a) does not contain new elementary transvections, then an elementary net a (the net without the diagonal) is called closed. Closed pairs we construct from the subgroup of a polynomial ring. Let Ri [x] — the ring of polynomials (of variable x with coefficients in a domain R) with zero constant term. We prove the following result.

Theorem. Let A, B — additive subgroups of R1 [x]. Then the pair (A,B) is closed. In other words, if t12 (ft) or t21 (a) is contained in subgroup (t21 (A),t12 (B)), then ft g B, a g A.

Key words: net, elementary net, closed net, net groups, elementary group, transvection.