Моделирование качения колесного аппарата с использованием подхода Дирака

Очевидно, что при построении аналогичного графика для режимов автоколебаний из второй группы расходов значению H = 14 см могут соответствовать два разных значения периода, получаемые при двух противоположных направлениях последовательного изменения H в опытах, т.е. имеет место гистерезис.

Заключение. Представленные в [2] и в настоящей работе результаты свидетельствуют о необходимости учета обнаруженных эффектов, обусловленных существованием регулярных устойчивых автоколебаний границ струйных куполов, при проектировании конических струйных аэраторов и выборе оптимального режима их работы. С этими эффектами тесно связана интенсивность внедрения газа в воду. Речь идет не о едва заметных эффектах. Достаточно сказать, что, как показали, например, опыты с ö = 0,07 см при H = 14 см и некоторых значениях расхода, амплитуда колебаний нижней границы купола, имбзюгцби радиус r ^ 9 см, равна 2—3 см. Амплитуда колебаний с увеличением ö и Q при таком H

вместе с эжектируемым ею воздухом.

Как отмечено в [2], удивительно, что в работе биологов и химиков, посвященных насыщению воды кислородом (см., например, [1]), не учитываются и даже не упоминаются указанные выше эффекты.

Полученная в проведенных авторами опытах информация о зависимости периода автоколебаний от угла конусности струйных куполов, от формы и размеров сосудов с жидкостью, а также о характере внедрения воздуха в воду при различных режимах работы струйного аэратора будет представлена в других публикациях.

Авторы приносят благодарность главному инженеру Института механики МГУ В.П. Грицкову за помощь в изготовлении серии насадков, использованных в опытах.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-00218, 11-01-00188).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Deswal S., Verma D.V.S. Performance evaluation and modeling of a conical plunging jet aerator // Int. J. Math., Phys. and Eng. Sei. 2008. 2, N 1. 335-339.

2. Карликов В.П., Толокоппиков С.Л. Об автоколебательных режимах проникания свободных конических тонкостенных турбулентных струй через поверхность жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2014. 3. 65-73.

Поступила в редакцию 13.09.2013

УДК 531.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОДХОДА ДИРАКА

А. В. В л ахова1

Рассмотрена задача о качении колесного аппарата с малыми углами поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси). В модели контакта колес с опорной плоскостью учитываются малые относительные проскальзывания. Показано, что предельный переход к бесконечной жесткости колес может переводить систему уравнений движения аппарата в неклассическую модель, которая определяется условиями непроскальзывания колес в продольном по ходу движения направлении и первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана исходной системы.

Ключевые слова: системы с качением, системы с малыми обобщенными скоростями, малые проскальзывания, псевдоскольжение, неголономные связи, первичные связи Дирака.

The problem of wheeled vehicle rolling is considered for the case when the rotation angles of the front wheels about the vertical axis are small. The small relative slip is taken into account in the model of contact between the wheels and the supporting plane. It is shown that, if the

1 Влахова Анастасия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.

contact stiffness tends to infinity, we come to a nonclassical model defined by the longitudinal no-slip conditions and the primary Dirac constraints caused by the degeneracy of the Lagrangian of the original system.

Key words: rolling systems, systems with small generalized velocities, small slipping, quasi-sliding, nonholonomic constraints, primary Dirac constraints.

1. Введение. Качение тел часто описывается неголономной моделью, получаемой в пренебрежении относительными проскальзываниями их контактирующих поверхностей. Это пренебрежение обоснованно, если неголономная модель может быть получена из деформируемой системы, учитывающей малые проскальзывания, предельным переходом к бесконечной жесткости тел (нулевым значениям скоростей проскальзывания) [1, 2]. Если слагаемые в правых и левых частях соотношений между компонентами скоростей проскальзывания тел и обобщенными скоростями соизмеримы, то предельный переход переводит эти соотношения в тождества, т.е. корректность неголономной модели теряет обоснование. В работе такая ситуация рассматривается на примере задачи о качении колесного аппарата. Для малых углов поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси) в данном случае корректны условия непроскальзывания в продольном по ходу движения направлении, а проскальзываниями в поперечном направлении (боковым уводом колес) пренебрегать нельзя. С использованием подхода [3] для систем с малыми массами показано, что в рассматриваемой системе могут быть реализованы первичные связи Дирака [4, 5] — конечные соотношения между координатами и импульсами, возникающие из-за вырождения ее лагранжиана при переходе к нулевым значениям малых поперечной и угловой скоростей корпуса, угловой скорости поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси) и отношения масс колес и аппарата.

2. Постановка задачи и уравнения движения аппарата. Рассмотрим качение двухосного четырехколесного аппарата по горизонтальной однородной плоскости с малыми проскальзываниями колес. Чтобы упростить выкладки, будем использовать двухколесную "велосипедную" модель, применяемую для описания движений, в которых характеристики сцепления правых и левых колес одной оси с опорной плоскостью различаются мало. В рамках этой модели передние (управляемые) колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние — одним задним, корпус предполагается недсформируемым, его боковые наклоны отсутствуют (рис. 1). Считая малым отношение ^ масс колеса и аппарата, будем предполагать [6, 7], что центр масс аппарата совпадает с центром масс C корпуса. Для описания касательных составляющих контактных сил будем использовать модель, в которой учитываются как поперечные, так и продольные проскальзывания колес в точках взаимодействия с опорной плоскостью. Моменты верчения [8] считаются пренебрежимо малыми.

C

на оси связанного с опорной плоскостью Oxoyo неподвижного трехгранника OxoyoZo, уравнений измене-

C

подвижного трехгранника Cxyz и уравнений вращения колес относительно их осей в проекциях на оси трехгранников AixiyiZi и A2x2y2z2, связанных с центрами масс переднего и заднего колес (оси Ozo, Cz, AiZi, A2Z2 ориентированы по вертикали), а также из необходимых кинематических соотношений:

X = Vo, Y = Vyo, Ф = Qz, ©j = Qj, À = Од, MV° = Qx = Pxi cos^ + À) - Pyi 8ш(Ф + À) + Px2 cos Ф - Py2 sin Ф + MVyo = Qy = Pxi sin^ + À) + Pyi cos^ + À) + Px2 sin Ф + Py2 cos Ф + Fyo, Ni + N2 - Mg = 0, -ANi + BN2 - (Pxi cos À - Pyi sin À + Px2)H = 0, IzОz + IziQд = Q* = (Pxi sin À + Pyi cos À) A - Py2B + Mz,

IQ j = Qij = -Pxj R + Lj, IziQ д + IziQ z = Qд = Мд,

Pxj - Kxj Nj Uxj /^Qj R, Pyj — Kyj Nj Uyj /^Qj R,

Uxi = Vx cos À + (Vy + QzA) sin À - QiR, Uyi = -Vx sin À + (Vy + QzA) cos À,

Ux2 = Vx - Q2R, Uy2 = Vy - Qz B, Vx = Vxo cos Ф + Vyo sin Ф,

Vy = -Vxo sin Ф + Vyo cos Ф, (Pxj/KxjNj)2 + (Pyj/KyjNj)2 < 1 (j = 1, 2).

Здесь точкой обозначена производная по времени T; X, Y — декартовы координаты центра масс аппарата на плоскости Oxoyo; Ф — угол поворота корпуса вокруг оси Cz; ©j (j = 1, 2) — углы поворота

переднего и заднего колес вокруг осей Ajyj их вращения; А — угол поворота переднего колеса относительно корпуса вокруг оси AiZi; M — масса аппарата; — его момент инерции относительно оси Cz; /, /zi — момент инерции колес относительно осей Aj yj и момент инерции переднего колеса относительно оси A1 zi; R — радиус колес; ДВ - продольные расстояния от точки C до осей Aiyi, А2У2 соответственно; H — высота точки C над плоскостью Oxo yo; Pxj, Pyj и Nj — проекции касательных и нормальных составляющих контактных сил взаимодействия j-ro колеса с опорной плоскостью на оси Aj Xj, Aj yj, Aj Zj соответственно; Uxj, Uyj — проекции скорости точки контакта j-ro колеса с плоскостью Ox0y0 па оси AjXj, Ajyj Kyj — соответствующие коэффициенты кулонова трения скольжения; Lj — моменты со стороны двигателя, тормозных колодок и проч., приложенные к колесам по направлению осей Aj yj Мд — момент рулевого привода, приложенный к переднему колесу по Рис. 1 направлению оси Aizi; F?, Mz — соответству-

ющие проекции внешних возмущающих сил и моментов; g — ускорение свободного падения. На рассматриваемом уровне точности уравнения изменения кинетического момента системы составлены без учета кинетических моментов колес [6, 7]. Далее рассматриваются [6, 7] ^ = m/M ~ 10-i-10-2 (m — масса колеса) и значения е ~ 10-i, отвечающие пневматическим колесам. Зависимости нормальных реакций от Uxj, Uyj могут быть найдены из системы линейных алгебраических уравнений относительно Ni, N2, получаемой подстановкой выражений для Pxj, Pyj в восьмое и девятое уравнения системы (1). В работе рассматриваются значения Nj > 0, отвечающие движению без отрыва колес от опорной плоскости.

3. Моделирование качения с малыми углами поворота передних колес. Рассмотрим [6] значения |А| < ei ~ е. При выполнении неравенств из (1) доя такого качения справедливы оценки |UXj| ~ |Uyj | ~ |Vy| ~ (A + B)|Qz | ~ e|VX|, |Од| ~ e|Qz | (j = 1, 2). Тем самым величины слагаемых в правых частях выражений для Uyj соизмеримы с характерным значением е левых частей этих соотношений, и при е ^ 0 условия непроскальзывания колес в поперечном направлении не реализуются. В отличие от них соотношения для Uxj переходят в уравнения 0 = VX — QjR правые части которых (для j = 1)отличаются членами O(e) от уравнений неголономных связей, запрещающих проскальзывание колес в продольном направлении.

Упрощенная модель качения аппарата в указанном случае может быть получена с использованием аксиоматики неголономных систем и подхода Дирака [3 5]. Алгоритм ее построения такой. Следует рассмотреть е, ei, ^ в качестве малых параметров и приравнять их к нулю. Тогда лагранжиан системы перестает зависеть от Vy, Qj, Од, т.е. вырождается, и между ее обобщенными координатами и импульсами возникают связи $i = —px sin Ф+ру cos Ф = 0, Ф2 = рФ = 0, Ф3 = р^ = 0, Ф4 = р^2 = 0, Ф5 = рд = 0. Здесь px = dLo/dVX0, Py = dLo/dVy0, рф = dLo/dQz, p^j = dLo/dQj (j = 1, 2), рд = d Lo/двд — обобщенные импульсы; Lo = (MVX°2/2 + MVy02/2)|yy = 0 — вырожденный лагранжиан. (В квантовой механике такие связи называются первичными связями Дирака.) Уравнения движения системы со связями

Uxi, Ux2 = 0, ФЬ...,Ф5 = 0

составляются с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа по аналогии с [4, 5|:

X = px/M — Ai sin Ф, Г = py/М — Ai cos Ф, Ф = Л2, ©i = A3, 02 = A4, А = A5, Px = Qx, Py = Qy, 0 = Ai(px cosФ+ Py sinФ)+ Q*, 0 = Qei, 0 = Q02, 0 = ^д.

К системе (3) добавляются уравнения связей (2). Выражения для фх, фу, фф, фд введены

в (1). Роль неопределенных множителей при наложении неголономных связей из (2) играют продольные составляющие контактных сил, значения РХ1 = ¿1, РХ2 = ¿2 которых определяются из десятого и одиннадцатого уравнений системы (3). Конечные уравнения в (3) представляют собой условия совместности

со связями Ф2, • ••, Ф5 = 0 Условие совместности со связью Ф1 = 0 имеет вид

Ф1 = —A2(px cos Ф + py sin Ф) - sin Ф + Qy cos Ф = 0.

Множители Ai = — X sin Ф + Ycos Ф, Л2, • ••, Л5 (аналоги переменных Vy, Qz, Qi, Q2, Од соответственно) отвечают первичным связям из (2). Они могут быть найдены из системы девятеро и двенадцатого уравнений (3), уравнения (4) и уравнений неголономных связей из (2), где аргументы Uyj поперечных составляющих Pyj контактных сил в силу (1), (3) являются функциями Ai, A2; последние слагаемые в каждом из уравнений Uxi, Ux2 = 0 представляют собой A3, A4 соответственно, аргументом Мд слу-

A5

Для обоснования системы со связями перейдем в (1) к пределу е, ei, ^ ^ 0, воспользовавшись методами фракционного анализа [2| и теории сингулярно возмущенных уравнений с пограничным слоем [9, 10], и сравним предельную модель с (3). Заменим исходный набор переменных (1) набором, включающим быстрые переменные Uxi, Ux2 первой очереди, изменяющиеся на характерных временах T ~ и

быструю переменную Vy второй очереди, которая, как и Qz, изменяется на временах T ~ eVX*/g. Здесь Vx* = у/д(А + В)/е характерное значение путевой скорости Vx аппарата, определяемое из соотношения MVX*Qz* = Mg; Qz* = eVX*/(A + B) —характерное значение Qz. Путем нормализации полученная система может быть приведена к сингулярно возмущенной форме с иерархической структурой малых параметров при производных безразмерных аналогов переменных Uxi, Ux2, Vy, Qz, Од Предельная при е, ei, ^ ^ 0 модель совпадает с системой, полученной в [6]. При выполнении условий [10] она имеет погрешность O(e + и может быть использована для описания движения аппарата на асимптотически большом при е ^ 0 интервале времени T ~ VX*/g вне пограничного слоя малой ширины. Поскольку выражения для py и Ai, • • • , A5 представляются из (2), (3) как функции X, Y, Ф, ©j, Д, система (3), несмотря на вырожденность ее лагранжиана в силу (2), может быть записана в переменных Лагранжа [3, 5]. Правые части полученной системы отличаются от правых частей предельной модели членами порядка малых параметров.

У модели (3) и неголономной модели движения аппарата, получаемой в пренебрежении проскальзываниями колес, дифференциальные уравнения имеют одинаковые порядки, но многообразия, на которых развиваются их решения, в общем случае не близки. При m = 0 Д = 0, —sin Ф + F^ cos Ф = 0 Mz = 0 Мд = 0 эти модели совпадают. Численные расчеты подтверждают корректность использования модели (3) для конечных значений малых параметров. В качестве примера на рис. 2 показаны последовательные положения корпуса типового переднеприводного легкового автомобиля при разгоне на сухой асфальтовой дороге с малым фиксированным углом поворота передних колес. Было принято: М = 1000 кг; F = 1000 кг-м2; A = B = 1,5 м; H =1 м; m = 10 кг; I = 0,23 кг-м2; R = 0,3 м; е = 0,1 Д = const = 0,05; = Kyj = 0,8; Li = 300 H-м; L2 = 0 Н-м; X(0) = Y(0) = 0 м; Ф(0) = 0 VX(0) = 10 м/с; Uj(0) = Uyj(0) = 0 м/с j = 1, 2). Возмущения Mz полагались равными нулю. Кривая 1 отвечает исходной системе (1); кривая 2 —

неголономной модели, описывающей движение автомобиля с жесткими колесами; кривая 3 модели (3), учитывающей боковой увод колес и объединяющей модель ненроскальзывания колес в продольном направлении и модель Дирака с первичными связями, которая учитывает боковой увод колес. Кривые позволяют наблюдать изменение траектории поворота автомобиля, вызванное боковой эластичностью его

Работа выполнена при поддержке Правительства РФ, договор № 11.G34.31.ÜÜ54.

К, м

30

20

10

0

/

7 / 'з

/

о

10

20

30

Рис. 2

40

А\м

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов В.В. К вопросу о реализации связей в динамике // Прикл. матом, и мохан. 1992. 56, вып. 4. 692 698.

2. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.

3. Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштаОт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2009.

4. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

5. Нестеренко В.В., Червяков A.M. Сингулярные лагранжианы. Классическая динамика и квантование. Препринт ОИЯИ № Р2-86-323. Дубна, 1986.

6. Новожилов И.В., Павлов И. С. Приближенная математическая модель колесного экипажа // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1997. № 2. 196-204.

7. Влахова A.B., Новожилов И.В., Смирнов H.A. Математическое моделирование заноса автомобиля // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 44-50.

8. Андронов В.В., Журавлёв В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.; Ижевск: 11К11. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010.

9. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. 31, № 3. 575-586.

10. Васильева A.B. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. 3, № 4. 611-642.

Поступила в редакцию 20.06.2012

ПРАВИЛА

подготовки рукописей, представляемых для опубликования в журнале "Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика"

Журнал печатает статьи по всем разделам математики и механики. Журнал открыт для публикации научных исследований ученых Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, других научных учреждений и высших учебных заведений.

Объем статьи (включая таблицы и список литературы) ограничен тремя уровнями: а) 12 страниц с числом иллюстраций до пяти; б) 6 страниц с числом иллюстраций до трех; в) 4 страницы с числом иллюстраций до двух. К статьям объемом 7^12 страниц предъявляются повышенные требования; очередность их опубликования определяется отдельно. В статьях объемом до 6 страниц предполагается четкое представление основных результатов без излишних деталей выводов и доказательств. Статьи объемом до 4 страниц печатаются в разделе "Краткие сообщения" вне очереди.

Принимаются статьи, набранные на компьютере в формате LATEX версии 2.09 (см. правила оформления электронной версии по следующему адресу: http://mech.math.msu.su/vestnik). Рукопись представляется в редакцию на русском языке в двух экземплярах на листах формата А4 с полями 2 см слева и справа, 4 см сверху и снизу. Необходимо также представить в редакцию CD-диск с файлом статьи.

Чертежи, рисунки, схемы, графики выполняются на отдельных листах в формате, обеспечивающем ясность передачи деталей. Места расположения иллюстраций в тексте должны быть указаны простым карандашом на полях. На обороте иллюстрации должны быть написаны фамилия автора и название статьи. Текст к иллюстрациям, а также таблицы следует поместить на отдельных страницах.

Список литературы должен содержать библиографические сведения о всех публикациях, упоминаемых в статье, и не должен содержать указания на работы, на которые в тексте нет ссылок. Располагать публикации в списке следует в порядке упоминания о них в статье. Список литературы приводится на отдельном листе с обязательным указанием следующих данных: для книг (монография, сборник и т.д.) — фамилия и инициалы автора, название книги, место издания (город), издательство, год издания; для журнальных статей — фамилия и инициалы автора, название статьи, название журнала, год издания, том, номер, выпуск, страницы (первая и последняя).

Ссылки на неопубликованные работы не допускаются.

В левом верхнем углу первого листа рукописи проставляется УДК. Ниже указывается название статьи, еще ниже — инициалы и фамилии авторов. Далее помещаются резюме на русском языке, ключевые слова на русском языке, резюме на английском языке, ключевые слова на английском языке. Резюме объемом до 7 строк не должно содержать ссылки на разделы, иллюстрации, номера цитируемой литературы, формулы и рисунки. Кроме того, прилагается библиографическое описание статьи (фамилии, инициалы авторов, название статьи) на английском языке.

Сокращения слов, имен, названий не допускаются, за исключением общепринятых сокращений математических величин и терминов, мер физических и химических величин.

Нумерация теорем, лемм, утверждений и формул (справа) производится в порядке возрастания номеров на протяжении всей статьи без пропусков и повторений. Нумеруются только те формулы, на которые есть ссылки.

Текст статьи должен быть подписан всеми авторами "в печать". Отдельно нужно указать фамилии, имена, отчества всех авторов, ученую степень, ученое звание, место работы, должность, полный почтовый адрес, номер телефона (служебный и домашний) и e-mail каждого соавтора; авторский коллектив должен указать также лицо, с которым редакция будет вести переговоры и переписку.

Автору предоставляется корректура статьи. Никакие изменения верстки, за исключением исправления опечаток и восстановления пропущенного при наборе, не допускаются. Выправленную и подписанную корректуру следует в течение двух дней после получения возвратить в редакцию.

Обращаем внимание авторов на то, что, направляя свою статью в журнал, они тем самым дают согласие на обнародование ее путем издания на русском языке в данном журнале и согласие на обнародование, перевод и издание статьи на английском языке американским издательством "Аллертон Пресс" (http://www.allertonpress.com), которому предоставлено исключительное право перевода, издания и распространения англоязычной версии журнала и его статей по всему миру.

Электронные версии статей на английском языке можно найти по адресу: http://www.springerlink.com,.

За англоязычное издание статей авторам выплачивается гонорар. Для получения гонорара авторам следует обращаться в Российское авторское общество (РАО) по адресу: 123995, Москва, ГС! 1-5. ул. Б. Бронная, 6А, РАО, Отдел валютных расчетов. Тел.: 8 (495) 697-33-35.

При несоблюдении автором вышеприведенных правил редакция журнала оставляет за собой право задержать публикацию статьи или отклонить рукопись без ее рассмотрения по существу.

Плата с аспирантов за публикацию рукописей не взимается.

Редакция выдает автору бесплатно 5 оттисков статьи.

Рукописи принимаются по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, комн. 13-25. Тел.: 8 (495) 939-51-27, e-mail: vest.mm.msu@gmail.com.

Рукописи, присланные по почте, а также по электронной почте, к рассмотрению не принимаются и не возвращаются.