Эффекты конечной разрядности двоичных чисел при реализации цифровых фильтров

ЭЛЕКТРОНИКА, РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

УДК 621.391.26 ББК 32.811.3

В .Г. АГАКОВ, Г.В. МАЛИНИН, С.В. АБРАМОВ

ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Ключевые слова: цифровые фильтры, передаточная функция, разрядность, дискретизация, квантование, шум, дисперсия, погрешность, аналого-цифровой преобразователь (АЦП).

Предложен метод оценки конечной разрядности основных блоков цифровых фильтров по их структуре и допустимым отклонениям амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра в полосах пропускания и задерживания. Приведены результаты экспериментальных исследований.

V.G. AGAKOV, G.V. MALININ, S.V. ABRAMOV THE EFFECTS OF FINITE BITNESS BINARY NUMBERS AT REALISATION OF DIGITAL FILTERS

Key words: digital filters, transfer function, bitness, sampling, quantization, noise, dispersion, error, ADC.

A method for estimating the finite bitness of the main blocks digital filters in their structure and permissible deviations of the filter frequency response in the passband and stopband is proposed. The results of experimental studies.

Одной из основных задач цифровой обработки сигналов является фильтрация длинной последовательности чисел, а наиболее важным устройством - цифровой фильтр (ЦФ). Процедура синтеза ЦФ по заданным требованиям к частотным характеристикам включает в себя кроме определения коэффициентов передаточной функции выбор структуры ЦФ, расчет разрядностей входного сигнала (разрядности АЦП) и разрядностей основных узлов ЦФ, выполняющих операции задержки, умножения отсчетов входного и выходного сигналов на соответствующие коэффициенты, сложения (вычитания) полученных результатов и хранения. Все узлы фильтра имеют конечную разрядность, обусловленную процессом квантования числовых кодов в ЦФ. Источниками ошибок при квантовании числовых кодов в ЦФ являются округление (усечение) результатов арифметических операций, ошибки аналогово-цифрового квантователя входных аналоговых сигналов, квантование коэффициентов ЦФ.

В настоящее время перспективной является реализация алгоритмов цифровой фильтрации на программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС). В силу своей универсальности ПЛИС позволяют реализовывать не только структуры ЦФ частотной селекции с конечной и бесконечной импульсными характеристиками (КИХ- и БИХ-фильтры), но и другие виды: многокаскадные структуры с прореживанием по времени и частоте, структуры фильтров Винера-Калмана, робастные и адаптивные. Перспективной является реализация на ПЛИС алгоритмов проектирования ЦФ частотной селекции с поиском информативных спектральных составляющих, когда в заданном интервале частот определяются информативные поддиапазоны. Многие КИХ- или БИХ-фильтры удобно реализовать на ПЛИС фирмы Xilinx или Altera. Благодаря особенностям своей архитектуры ПЛИС позволяют достигнуть наилучших показателей производительности по сравнению с другими способами реализации ЦФ. Разрядность узлов ПЛИС, предназначенных для цифровой обработки сигналов (умножители, регистровая память, цепи ускоренного переноса) и реализованных в виде аппаратных модулей на кристалле, позволяет выбрать их оптимальное значение.

Независимо от комплектной базы, на которой построены ЦФ, необходима оценка точности их функционирования. В статье предлагается один из способов оценки нижней и верхней границ разрядности основных блоков ЦФ [2, 3].

Квантование дискретных сигналов (в АЦП, умножителях и сумматорах) состоит в представлении отсчета (выборки сигнала) числом Х(пТ), содержащим Ь числовых разрядов, Т - период дискретизации. Ошибки квантования считаются случайными величинами с равномерным распределением, часто их называют шумами (шумом квантования входного сигнала, шумом округления [4]). Они характеризуются средним значением и дисперсией. Дисперсия шума аналого-цифрового преобразования (входного сигнала) при равномерной плотности вероятности ошибки усечения или округления определяется как [4]

А = д_=22Ь вх 12 12 ,

где Q - шаг квантования, определяемый весом младшего разряда (0 = 2-Ь).

Абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования:

шах|буС| < 2-Ь = 0.

Ошибка округления при всех способах кодирования лежит в пределах

_2-

^ ^ Ьок ^

Следовательно, шах|еок| < 2-(Ь + 1) = 0/2.

Поскольку средняя и максимальная ошибки, вызванные округлением, меньше соответствующих ошибок усечения, на практике предпочтение отдают округлению, чтобы минимизировать ошибки переполнения.

При рассмотрении умножения в ЦФ приняты допущения относительно статической независимости различных источников шума: любые два отсчета шума от одного и того же источника некоррелированы; любые два источника шума, возникающего в различных умножителях, создают независимые шумы; шум от каждого из источников некоррелирован с входной последовательностью.

В ЦФ параллельной структуры [4] шумы от всех источников приложены к одной точке фильтра (сумматору), поэтому согласно второму допущению дисперсия полного шума на выходе ЦФ

Дых = Е ст1, =

,=1

где ст 2,. - дисперсия г-го источника шума.

Если ЦФ реализуется по каскадной структуре, то источники шума подключаются к разным точкам схемы. Оценка шума на выходе фильтра производится по формуле

Авых = Е Аок , к

где Аок - дисперсия шума на выходе звена к, причем

да

Аж =ст2 Е К

п=0

где ст2 = 2~2Ь /12, Ик (пТ) - импульсная характеристика звена второго порядка. Дисперсия шума квантования входного сигнала на выходе ЦФ находится как

М да

АвЬК = Авх Е ЕК2

,=1 п=0

где М - число звеньев ЦФ.

Вычисление сумм в (1) и (2) можно упростить, если воспользоваться равенством Парсеваля [4]

да 1 % п

ЕК

п=0 2% -%

В выражении (3) Ик(Х) - передаточная функция звена второго порядка ЦФ, определяемая как 2-преобразование от отсчетов импульсной характеристики Ик(пТ). Ик(Х) легко найти по структурной схеме ЦФ. Интеграл (3) берется вдоль единичной окружности и может быть найден с использованием теоремы Коши о вычетах.

Обычно полагают, что на этапе аппроксимации коэффициенты передаточной функции ЦФ имеют неограниченную точность. Если коэффициенты квантованы, то частотная характеристика получаемого фильтра может существенно отличаться от заданной (этот эффект будет проиллюстрирован ниже); если же шаг квантования велик, то фильтр вообще не будет удовлетворять поставленным требованиям.

При проектировании ЦФ задаются допустимые величины неравномерностей амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), обусловленные погрешностями, присущими ЦФ, показанными на рис. 1.

На рис. 1 приняты следующие обозначения: /1, /2 - граничные частоты полосы пропускания и полосы задерживания, соответственно; АЛ1 / 2- допустимое отклонение АЧХ от единицы в полосе пропускания при аппроксимации АЧХ идеального фильтра; АЛ1к, АЛ11, АЛ( - эквивалентные искажения АЧХ в полосе пропускания, обусловленные, соответственно, округлением коэффициентов, квантованием входного сигнала и округлением (усечением) результатов операций; АЛ - допустимое отклонение АЧХ от нуля в полосе задерживания при аппроксимации; АЛ£ , АЛ2, АЛр - эквивалентные искажения АЧХ в полосе задерживания, обусловленные, соответственно, округлением коэффициентов, квантованием входного сигнала и округлением (усечением) результатов операций; АА1 (АА2) - заданное допустимое отклонение АЧХ от единицы в полосе пропускания (или от нуля в полосе задерживания).

На этапе аппроксимации конструируется передаточная функция И(Х) ЦФ, реализующая требуемую АЧХ с заданными погрешностями АЛ (в полосе пропускания) и АЛр (в полосе задерживания). Пусть структура ЦФ соответствует каскадному соединению типовых (биквадратных) звеньев второго порядка с общей передаточной функцией

М М А (

н (7) =п н, (7) =п Вгі

і=і і=і Ві

'и* 1 ^2Г

Для нерекурсивных фильтров передаточная функция имеет вид

м м

И (х ) = П И, (х ) = П Л,. (х).

1=1 ,=1

При реализации цифровых фильтров чаще используют звенья канонической структуры с минимальным числом элементов задержки [4].

Как уже отмечалось, входной аналоговый сигнал перед обработкой ЦФ подвергается квантованию в АЦП. Важным является определение разрядности входного сигнала, т.е. АЦП, тх. При большой величине тх практически невозможно реализовать АЦП, поэтому важно определить нижнюю границу разрядности АЦП. Оценка тх производится в предположении, что вычисления в ЦФ выполняются без погрешностей, т.е. при неограниченной разрядности всех регистров, кроме входного [3]:

( II А(пТ)| ^

10§2 И=°. ,,----“

ш1п

где ігй:(В) означает целое число не более В; Н(пТ)- импульсная характеристика ЦФ (находится после решения задачи аппроксимации и определения передаточной функции Н7)); ДА; и ДА2 - допуски на собственные шумы цифрового фильтра, отводимые на эффекты, обусловленные ограниченной разрядностью АЦП ДА1 и ДА2, и эффекты, обусловленные ограниченной разрядностью регистров ДАр и ДАр .

При вычисленной величине тх по выражению (4) можно определить допуски на собственные шумы ЦФ [3]:

да

ДА1 = ДА2 = 2-т £\И{пТ|,

х £ НпТ I,

п=0

ДАр = да; - ДА1; ДАр =ДА" - ДА2.

(да; = да; - да; ; да:;=да2 - да20).

Для учета конечной разрядности регистров сумматоров и умножителей каскадную структуру ЦФ представим в виде, показанном на рис. 2 [2].

Временные функцииЛ(пТ) и gi(nT) представляют собой импульсные характеристики отдельных составляющих структуры ЦФ [5] так, как показано на рис. 2.

2

Рис. 2. Каскадная структура цифрового фильтра

Допустим, что разрядности регистров сумматоров mq и умножителей ms равны. Тогда

mq= m = тц + ma ,

где m^ ma - разрядность для фиксации целой и дробной части кодов, соответственно. Исходя из уравнений (4)-(7), получим [2]

/ M да Л

ZZlf (nT I , . „ ,,

log^-5^2-: , mц = int| max{max(4|,1)£g,(nT)}

mд = int

min1

in

,=1,...M

Здесь \Л,\ - максимальное абсолютное значение полинома числителя биквадратного звена при г = еаТ.

Если тд >> тх, то целесообразно увеличить тх таким образом, чтобы, с одной стороны, величина тх удовлетворяла возможностям АЦП, а с другой - была бы одного порядка с величиной тд.

Верхняя граница разрядности операционных блоков определяется исходя из отношения сигнал/шум (^лл) для АЦП по известному выражению

£с/ш = 6,02Ж + 1,76 (дБ).

Влияние разрядности основных блоков фильтров проявляется в отклонении АЧХ от желаемой формы. В некоторых случаях такое отклонение может означать то, что фильтр не удовлетворяет исходным данным. Продемонстрируем влияние разрядности на примере фильтра нижних частот (рис. 3).

Исходные данные на проектирование фильтра: граничная частота полосы пропускания Л = 650 Гц, граничная частота полосы задерживания Л2 = 1300 Гц, крутизна характеристики затухания в полосе задерживания - 30 дБ/окт, неравномерность характеристики затухания в полосе пропускания - 1 дБ, тип аппроксимации - метод Баттерворта.

A( f), дБ

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1,5

1

4 /

V<\\

-V-- 2 3

_]____________________________I__________________________1_________________________I_________________________I__________________________I_________________________L

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

f кГц

Рис. 3. АЧХ фильтра:

1 - квантование коэффициентов ЦФ 8 битами;

2 - квантование 10 битами;

3 - квантование 12 битами;

4 - квантование 16 битами

Передаточная функция проектируемого фильтра нижних частот имеет вид

" )2

H (z) = 1^-—

k=11 + а

(1+;

z + a„,z

'‘1к* 1 ул‘2к*

Значения неквантованных коэффициентов отдельных звеньев [1]

Звено 1: Ро1=0,0571724; ап=-1,121; а21=0,3224.

Звено 2: р02=0,057887; а12=-1,2329; а22=0,45443.

Звено 3: р03=0,056416; а13=-1,4907; а23=0,75855.

Как видно из рис. 3, квантование 8 битами вызывает сильное искажение АЧХ фильтра. Квантование коэффициентов фильтра 16 битами дает минимальную погрешность, поэтому для систем, требующих высокой точности, нижнюю границу разрядности необходимо выбирать равной 16 битам. Как показала практика реализации ЦФ на ПЛИС фирмы ХШпх, разрядность коэффициентов следует задавать не меньше чем 18. Такой выбор связан с тем, что блоки умножения в низших семей-

n=0

2

ствах ПЛИС семейства БРвЛ, на которых можно реализовать фильтр, имеют именно такую разрядность.

Следует отметить, что ограничение разрядности приводит также к смещению нулей и полюсов передаточной функции И(г), что, в свою очередь, может привести к неустойчивости или потенциальной неустойчивости фильтров больших порядков. В зависимости от порядка фильтра допускается построение эквивалентных структур, образованных переупорядочиванием звеньев второго порядка. С точки зрения ошибок конечных разрядностей такие структуры неравнозначны. Решение данной задачи весьма затруднительно [4] и требует для анализа влияния конечной разрядности использование специализированных программ.

Литература

1. Агаков В.Г., Носов А.А., Мягчилов М.Ю., Абрамов С.В. Моделирование цифровых фильтров на программируемых логических интегральных схемах // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 185-192.

2. Агаков В.Г., Носов А.А., Абрамов С.В. Оценка конечной разрядности основных блоков цифровых фильтров // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы 8-й Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2012. С. 195-202.

3. Агаков В.Г., Носов А.А., Фомина М.С. О точности схемной реализации цифровых фильтров // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 194-201.

4. Белов Г.А. Сигналы и их обработка в электронных устройствах: учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1996. 376 с.

5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М: Мир, 1978. 848 с.

АГАКОВ ВСЕВОЛОД ГЕОРГИЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (agakov@chuvsu.ru).

AGAKOV VSEVOLOD GEORGIEVICH - candidate of physical and mathematical sciences, professor, head of Higher Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

МАЛИНИН ГРИГОРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (malgrig6@mail.ru).

MALININ GRIGORIY VYACHESLAVOVICH - candidate of technical sciences, associate professor of Industrial Electronics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

АБРАМОВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ - магистрант кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (nolneus@mail.ru).

ABRAMOV SERGEI VLADIMIROVICH - master’s program student of Industrial Electronics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.