Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства

В общем случае — можно методом Гаусса. Пусть у вас n-мерное пространство, и в нём уже есть линейно независимая система из k < n векторов. Вам нужно найти ещё n - k векторов для базиса.

Ставите ваши векторы в столбцы. Дописываете справа векторы какого угодно базиса — тоже столбцами. Можно, например, стандартный базис записать — тогда справа получается единичная матрица. Приводите эту расширенную матрицу к ступенчатому виду преобразованиями строк. Столбцы, соответствующие ступенькам, дают номера базисных векторов.

Например, вы в трёхмерном пространстве, у вас есть линейно независимая система a1, a2. Вы образуете матрицу со столбцами a1, a2, e1, e2, e3 и приводите её к ступенчатому виду. Предположим, ступеньки — в первом, втором и четвёртом столбцах. Тогда a1, a2, e2 — базис пространства.

В качестве упражнения можете обосновать этот рецепт.

1