Вращательно-симметричное течение вязкой жидкости между деформируемыми цилиндрами

ВРАЩАТЕЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Д.В. Князев

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

614013, Пермь, Академика Королева, 1

В точной постановке исследовано стационарное течение вязкой жидкости в зазоре между твердым и деформирующимся в осевом направлении цилиндром. Показано, что задача обладает решениями двух типов: движения с закруткой и течения с нулевой азимутальной составляющей скорости. Проведен анализ обоих возможных режимов движения в зависимости от числа Рейнольдса. Приведен пример точного решения задачи об увлечении неограниченного потока жидкости деформирующимся цилиндром.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, точные решения, неединственность.

ВВЕДЕНИЕ

Течения жидкости в цилиндрических трубах и плоских каналах с продольной компонентой скорости линейно зависящей от осевой координаты неоднократно изучались различными авторами [1]. Так, в работах [2, 3] исследовалась задача о стационарном течении вязкой жидкости в трубе с проницаемой боковой поверхностью. Основные результаты этого исследования заключаются в обнаружении неединственности решения задачи в зависимости от числа Рейнольдса, построенного по скорости вдува или отвода жидкости через пористую поверхность трубы, а также исчезновение решения в конечном диапазоне чисел Рейнольдса 2.3 < Яв < 9.1. Качественно схожие результаты были получены и при изучении течения в продольно растягивающейся трубе [2, 4]. В этом случае исчезнове-

© Князев Д.В., 2007

ние решения имеет место в интервале 10.25 < Яв < 147 (по результатам [2]: 10.2 < Яв < 142 ), где Яв построено по скорости растяжения цилиндра, ограничивающего область течения. В [4, 5] было обнаружено, что в тех диапазонах параметров Яв , где решения выше упомянутых задач без закрутки потока не существуют, имеются решения с ненулевой азимутальной скоростью. При этом авторами работы [5] показано, что одна из ветвей вращательносимметричного решения задачи о течении в пористой трубе ответвляется от решения без закрутки. В противоположность этому в задаче о течении внутри растягивающегося цилиндра [4] бифуркация вращения обнаружена не была. Кроме того, в [4, 5] ставился, но остался неразрешенным вопрос о существовании решения с закруткой при нулевом числе Рейнольдса, соответствующем недеформи-руемой и непроницаемой поверхности трубы. Эта проблема решена в [6], где были обнаружены два изолированных решения с одно- и двухячеистой полоидальной циркуляцией.

В настоящей работе исследуется стационарное течение вязкой жидкости между бесконечными коаксиальными цилиндрами, внутренний из которых растягивается или сжимается вдоль своей оси со скоростью V2 = Б 2 . Одно из сечений зазора между цилиндрами закрыто непроницаемой перегородкой. Интерес к данной задаче связан с тем, что она может служить грубой моделью движения, возникающего в большом сосуде, при квазистационарном истечении жидкости через центральное отверстие малого радиуса на дне. При этом растягивающийся внутренний цилиндр моделирует поверхность формирующейся над отверстием струи, а непроницаемая перегородка играет роль свободной поверхности жидкости. В случае сжатия цилиндра (Б < 0) задача может быть интерпретирована как течение, возникающее в результате проникновения струи в заполненный жидкостью сосуд с непроницаемым дном.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим установившееся осесимметричное течение вязкой жидкости, заключенной между двумя полубесконечными коаксиальными цилиндрами с радиусами Я0 < Я1 , вызываемое осевым деформированием внутреннего цилиндра. Одно из поперечных сечений зазора между цилиндрами закрыто непроницаемой перегородкой, а на боковых поверхностях выполняются условия прилипания

г = Я0: V,. = Vр = ^ vz = Бг ; г = Я : V , = Vр = vz = 0.

Здесь V,, vр, V2 - компоненты скорости в цилиндрической системе координат (г, р, г), начало которой расположено на непроницаемом торце, а Б - заданный параметр, характеризующий скорость растяжения (Б > 0 ) или сжатия (Б < 0) внутреннего цилиндра.

В соответствии с граничными условиями (1.1) решение задачи естественно искать в виде, предполагающем линейную зависимость части компонент скорости от осевой координаты 2 :

V и

= ЯП '• =ЯЯх2

Г V V Г „ , и2 (х) ^

Я1

и

4х

где V - коэффициент кинематической вязкости; Р - давление, отнесенное к постоянной плотности; Р0 - значение Р на боковой поверхности внешнего цилиндра в плоскости непроницаемого торца 2 = 0; 2 = 2/Я1. Штрихом обозначено дифференцирование по

безразмерной переменной х = (г / Я1)2.

Поле скорости вида (1.2) тождественно удовлетворяет условию несжимаемости, а уравнения Навье - Стокса в точности редуцируются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для безразмерных неизвестных и , V и О

2хи" = 2О +

с граничными условиями, следующими из (1.1),

х = х0: и = V = 0, и =-Яв/х0; х = 1: и = и = V = 0.

Положительным значениям числа Рейнольдса Яв = Б Я / 2п соответствует растяжение внутреннего цилиндра, а отрицательным -

его сжатие. Заданный параметр x0 = (R0 /R1)2 определяет геометрию задачи.

Анализ системы (1.3), (1.4) показывает, что она обладает решениями двух типов. К первому типу относятся решения, описывающие вращательно-симметричные течения жидкости с отличной от нуля азимутальной составляющей скорости (v Ф 0). Решения второго типа описывают осесимметричные движения с нулевой закруткой потока (v = 0). В последнем случае из всех уравнений (1.3) остается только первое, а неоднородная по z составляющая давления G = G0 = const.

Наличие двух различных режимов течения позволяет предположить, что в некоторых интервалах чисел Рейнольдса возможно одновременное существование движений обоих типов. Это, в свою очередь, делает правомерной постановку вопроса о характере их возбуждения, то есть установление возможности возникновения одного из режимов из состояния покоя или в результате ответвления от течения другого типа.

Краевая задача (1.3), (1.4) эквивалентна задаче Коши для системы (1.3) с начальными

x = x0: u = v = 0, u = - Re/x0, u = u0 , v' = v'0, G = G0

и дополнительными условиями

x = 1: u

позволяющими численно найти значения начальных параметров u0, v0, G0 при заданном числе Рейнольдса. Очевидно, что для осесимметричного режима течения (без вращения) v 0 = 0 и необходимо требовать выполнения только первых двух из условий (1.6).

2. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Осесимметричные течения (v ° 0). При малых числах Рейнольдса решение осесимметричной задачи приближенно может быть найдено в виде степенного разложения по этому параметру. В случае Re < x0 для получения хорошего приближения достаточно ограничиться первыми членами рядов (рис. 1, Vr = vrR1 / V,

Vz = vzR1 /V , при Z = 1):

и = и1 Яв+ к = ^ —1 х2 + С1 х 1п

—0 = —01 Кв+  = 2

х0 (--х0 )(2 (--х0 ) + (- + х0 )1п(х0 )) Постоянные С1, найденные из граничных условий, равны

С = х0 (--х0 ) — 01 - 1 С = 1 - х0 (1п(х0) - х0 + -) — 0

С1 1 / Ч , С2

Яв+...

Х0 1п

Х0 (1п(Х0) + 2(1 - Х0)) — 0! - 2

Сз =-

2x01п

Согласно (2.1) при истечении из сосуда струя, формирующаяся над отверстием, увлекает за собой окружающую жидкость, в результате чего во всем объеме возникает конвергентное течение, направленное к центру (рис. 1, а). В противоположность этому проникновение струи в жидкость вызывает радиальное растекание последней, что приводит к появлению восходящего потока у боковой поверхности внешнего цилиндра (рис. 1, Ь).

V,

0-

-0.2-

-0.4

Т-----1----1-----1----г

0.1 0.4 0.7 г/Я1 1

Г6 0.6-

V. V, -

-4 0.4-

-2 0.2-

-0 0-

--2 1 1 .2 -0.

1-----1----г

0.1 0.4 0.7 г/Я1 1

Рис. 1 Безразмерные профили радиальной и осевой компонент скорости, численный расчет (сплошные кривые) и приближенное решение (2.1) (штриховые кривые): а - Кв = 0.03, х0 = 0.01; Ь - Кв = -0.03, х0 = 0.01

В случае произвольных значений числа Рейнольдса решение задачи может быть найдено численно. Расчеты показали, что в области умеренных чисел Рейнольдса (-1.088 < Яв < 6.429) качественный вид профилей скорости аналогичен изображенным на рис. 1, и каждому числу Рейнольдса соответствует единственное течение без закрутки (рис. 2). Не станем подробно обсуждать поведение решения при больших числах Рейнольдса, отметим лишь, что в задаче об истечении жидкости из сосуда единственность решения теряется, и возникают два новых режима незакрученного движения, существенно отличающиеся от описанных выше.

Вращательно-симметричные течения (у ф 0 ). Задача о вращательно-симметричном течении в зазоре между покоящимся и деформируемым цилиндрами исследовалась численно. Зависимости параметров и"0 , у0 , О0 начальной задачи (1.3), (1.5), (1.6) представлены на рис. 2 и рис. 3 (все численные результаты, приводимые ниже, получены для х0 = 0.01).

Рис. 2. Зависимость параметров и0 , О0 задачи Коши (1.3), (1.5), (1.6) от числа Рейнольдса для осесимметричных (штриховые кривые) и вращательно-симметричных (сплошные кривые) течений

Анализ показывает, что даже в области умеренных чисел Рейнольдса зависимость решения от этого безразмерного комплекса неоднозначна. При Яв1 » 2.722 < Яв < Яв2 » 3.020 каждому значе-

нию Яв соответствуют два решения, а в диапазоне от Яв4 » -1.112 до Яв3 »-1.029 для каждого числа Рейнольдса имеется три решения с закруткой.

Рис. 3. Зависимость параметра У0 от числа Рейнольдса

Осесимметричные течения "рождаются" из состояния покоя при Яв = 0 (рис. 2). В противоположность этому при нулевом числе Рейнольдса вращательно-симметричная задача обладает нетривиальным решением (рисунки 2, 3, 4, а; и0 = -4103.237 , у0 = 116.805,

О0 = 1353.662 ), описывающим закрученное стационарное течение вязкой жидкости с нулевым расходом в зазоре между недеформи-руемыми бесконечными цилиндрами (область г < 0 может быть включена в рассмотрение). Данное решение является частным обобщением решения Пуазейля на случай закрученного потока. Общий случай такого рода течений рассмотрен в [7].

Из изложенного выше следует, что из состояния покоя вращательно-симметричное течение может быть возбуждено путем предания жидкости конечного осевого момента импульса.

Анализ зависимостей, изображенных на рисунках 2 и 3, показывает, что для Яв < Яв2 подобный жесткий переход может быть осуществлен и от осесимметричных течений. Исключение составляет точка Яв = Яв1 , в которой одна из ветвей вращательносимметричного течения мягко ответвляется от решений без враще-

ния. Последний результат не противоречит закону сохранения момента импульса для течений вязкой жидкости с осевой симметрией, так как он всего лишь означает бесконечную близость двух стационарных состояний (с закруткой и без таковой) в фазовом пространстве параметров и"0 , у0 , 00. В то же время такой (нестационарный и не осесимметричный) переход представляется вполне вероятным в силу указанной выше близости двух состояний.

Применительно к проблеме возникновения закрученного движения при квазистационарном истечении жидкости из резервуара мягкое ответвление закрученного решения от решения без закрутки означает следующее. В том случае, когда первоначально не закрученное стоковое движение происходит таким образом, что число Рейнольдса постепенно растет, достигая критического значения Яв1, возможно возникновение вращения жидкости, при наличии подходящих малых несимметричных возмущений (например, изменение формы струи или ее колебания). В результате может установиться вращательно-симметричный квазистационарный режим истечения.

Как и ранее мы ограничились описанием поведения решений системы (1.3), (1.5), (1.6) при небольших числах Рейнольдса, но даже при таком рассмотрении удалось обнаружить неединственность решения в зависимости от Яв и наличие бифуркации вращения. В изученном диапазоне чисел Рейнольдса проявляется еще одно свойство задачи (1.3), (1.5), (1.6) - исчезновение закрученного решения типа (1.2) при конечном значении Яв = Яв2 (рис. 2 и 3). Дальнейшие исследования показали, что при Яв » 14.931 рождаются две новые ветви вращательно-симметричного решения, изолированные от изображенных на рис. 2 и 3. Осесимметричное решение при этом продолжает существовать (рис. 3), но теряет свою единственность.

На рис. 4 изображены профили безразмерных компонент скорости вращательно-симметричного течения при различных числах Рейнольдса.

При растяжении внутреннего цилиндра (истечение, Яв > 0) (рис. 4, а и Ь) картина меридионального течения качественно схожа с осесимметричным режимом: растягивающийся цилиндр подтягивает к себе жидкость, создавая одноячеистый конвергентный поток. В случае малых чисел Рейнольдса максимум продольной скорости находится на некотором расстоянии от деформируемого цилиндра

(рис. 4, а). По мере роста числа Рейнольдса осевая скорость достигает максимального значения на поверхности растягивающегося цилиндра (рис. 4, Ь). Увеличение Кв приводит также к росту максимальных значений радиальной и окружной компонент и их смещению в направлении внутреннего цилиндра.

Рис. 4. Профили компонент скорости (единицей измерения служит V / К) Уг (1), к уг (2), п уф (3), при 2 = 1: а - Кв = 0, к = п = 1/4; Ь - Кв = 2.734, к = 1/30, п = 1/3; с - Кв = -1.112, к = п = 10-1; а - Кв = -1.044, к = п = 10-1

Увлекаемая сжимающимся цилиндром жидкость после столкновения с непроницаемым дном, г = 0 , радиально растекается, но в отличие от осесимметричного потока восходящее течение формируется не у внешней стенки зазора, а внутри него (внутренний ноль уг ) (рис. 4, с, а). Вдоль боковых поверхностей цилиндров жидкость опускается ко дну. Наличие восходящего течения внутри зазора, очевидно, обязано своим происхождением силам инерции, создаваемым закруткой потока. Профили скоростей, изображенные на рис. 4, с и а, принадлежат различным ветвям решения в области его

неоднозначности [Кв4 ;Кв3 ] и потому отличаются друг от друга

интенсивностью и характером поведения течения у внутреннего цилиндра. Заметим, что наиболее интенсивно жидкость закручена в периферийной области.

3. ЗАДАЧА О ВЯЗКОМ ВИХРЕСТОКЕ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ

Рассмотрим задачу об увлечении жидкости, заполняющей полупространство г > 0 , деформируемым цилиндром радиуса К0. Эта задача соответствует предельному случаю К1 = ¥ и может быть рассмотрена в рамках класса точных решений уравнений На-вье - Стокса, родственного (1.2). Само по себе такое обобщение нетривиально, так как допускается далеко не всеми точными решениями уравнений гидродинамики, например, при бесконечном радиусе наружного цилиндра решение Куэтта теряет смысл.

В (1.2) и определении переменной х и 2 следует К1 заменить К0. Допустим также возможность однородного по координате г вращения жидкости и запишем

— u(x) — /2Т„ ч т —7 V Ч

V =-—, vj=^\ ~V(^ vz = -2^Zu (x), R0 V x Rn\x R„

P = Po + 2

(— V

V R0 У

&

V 4 u2(x) 2 ^

u (x)---2Z Go I.

4x у

В результате уравнения Навье - Стокса редуцируются к паре уравнений, одно из которых совпадает с первым уравнением (1.3) (G = G0 = const), а второе записывается как

T It !

2 x v = uv .

Поскольку первое уравнение (1.3) не содержит неизвестную у , закрутка жидкости не оказывает влияния на полоидальную циркуляцию. Таким образом, в меридиональной плоскости имеет место осесимметричное течение, аналогичное рассмотренному ранее. Полученная система дополняется граничными условиями (1.1) при К = ¥

х = 1: и = V = 0, и = -Ке ; х = ¥ : и = и' = 0, V = Г/(2р).

Нетрудно убедиться, что при Ке = 8/3 сформулированная задача имеет точное решение:

Решение (3.2) с нулевой азимутальной составляющей скорости (у = 0) впервые описано в работе [8].

В точном решении (3.1), (3.2) цилиндр растягивается, что, согласно принятой ранее интерпретации, соответствует истечению жидкости из полубесконечного слоя со свободной поверхностью г = 0 . Окружная и радиальная компоненты скорости убывают как 1/г , а вертикальная компонента - как 1/г4. Следовательно, на большом удалении от деформируемого цилиндра течение близко к потенциальному вихрестоку с мощностью, определяемой числом Рейнольдса (расходом) и произвольной циркуляцией Г . Поскольку циркуляция не зависит от числа Рейнольдса, можно утверждать, что потенциальный характер течения типа вихрестока является универсальным свойством течений класса (3.1). Хотя на бесконечности ( г = ¥ ) жидкость покоится, ее циркуляция (осевой момент) в этой области остается постоянной, что и служит источником закрутки потока.

Заключение. В рамках одного из классов точных решений уравнений Навье - Стокса исследована модельная задача о стационарном течении несжимаемой жидкости, индуцируемом проникающей в сосуд или вытекающей из него цилиндрической струей (сжимающимся или растягивающимся цилиндром).

Установлено, что задача обладает двумя типами решений, описывающими течения без закрутки жидкости, находящейся в цилиндрическом резервуаре, и движения с ненулевой азимутальной составляющей поля скорости.

о 1 - х -

и = 8-------, и

1 + 2 х

V _^Г_Г1 - 243 80х4 + 80х3 + 40х2 +10х +1'' = 2р[ 211 (1 + 2х)5 ,

Численный анализ показал, что истечение жидкости из цилиндрического сосуда с закруткой возможно лишь в ограниченном диапазоне значений числа Рейнольдса, характеризующего скорость границы вытекающей струи, то есть имеет место исчезновение решения, рассматриваемого здесь типа, при конечных значениях числа Рейнольдса.

Установлено, что закрученный режим истечения ответвляется от движений без закрутки, найдены области неоднозначной зависимости решения от параметра Re .

Обнаружено новое решение задачи об установившемся вращательно-симметричном течении жидкости между неподвижными твердыми цилиндрами (Re = 0) с нулевым расходом.

Приведен пример точного решения задачи об увлечении вязкой жидкости, заполняющей полубесконечный слой, деформирующимся цилиндром. Показано, что вдали от цилиндра течение жидкости близко к потенциальному вихрестоку с интенсивностью, определяемой числом Рейнольдса, и произвольной циркуляцией.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и правительства Пермского края (проект Урал-РФФИ № 07-01-96003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. № 1. С. 6-76.

2. Гольдштик М.А. Один класс точных решений уравнений Навье-Стокса // ПМТФ. 1966. № 2. С. 106-109.

3. Terrill R.M., Thomas P.W. On laminar flow through a uniformly porous pipe // Appl. Sci. Res. 1966. Vol. 21. № 1. P. 129-130.

4. Brady J.F., Acrivos A. Steady flow in a channel or tube with an accelerating surface velocity. An exact solution to the Navier-Stokes equations with reverse flow // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 112. P.127-150.

5. Terrill R.M., Thomas P. W. Spiral flow in a porous pipe // Phys. Fluids. 1973. Vol. 16. № 3. P. 356-359.

6. Аристов С.Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. АН. 2001. Т. 377. № 4. С. 477-480.

7. Князев Д.В. Трехмерное решение задачи о течении Куэтта-Пуазейля // Гидродинамика. Вып. 14 / Пермь: Перм. ун-т, 2004. С. 109-119.

8. Бурдэ Г.И. О движении жидкости вблизи растягивающегося кругового цилиндра // ПММ. 1989. Т. 53. № 4. С. 343-345.

ROTATIONAL-SYMMETRIC FLOW OF VISCOUS FLUID BETWEEN DEFORMABLE CYLINDERS

D.V. Knyazev

Abstract. In the framework of the class of exact solutions, a problem of a stationary viscous fluid flow in the gap between a solid and axially deforming cylinder is investigated. It is shown that the problem has two solutions: for a vortex flow and for a flow with zero azimuthal component of the velocity. Both possible flow modes are investigated depending on the Reynolds number. An example of exact solution to the problem on en-trainment of unbounded flow by deformable cylinder is considered.

Key words: Navier-Stokes equations, exact solutions, nonuniquety.