тема

Семинар по интегрируемым системам

В этом семестре идет

Семинар по интегрируемым системам

Идея семинара: на конкретных примерах из статфизики, классической и квантовой

механики познакомиться с тем, что назвается интегрируемыми моделями, и рассказать

про основные техники, которые используются при их решении.

Основные докладчики: Иван Буренёв, Михаил Минин и Никита Белоусов.

I. Шестивершинная модель.

В этой серии семинаров мы сконцентрируемся на решении шестивершинной модели. Шестивершинная модель — хороший пример интегрируемой системы: во-первых, все действия с формулами можно сопровождать наглядными картинками;

во-вторых, в ней очень естественно появляются такие объекты, как трансфер-матрица, уравнение Янга-Бакстера и проч.; в-третьих, ее можно решать разными способами — как это было сделано впервые или более современными, что и будет

продемонстрировано на семинарах.

План.

1. Вступление: одномерная модель Изинга.

Модель Изинга как вершинная модель. Матрица весов, понятие трансфер-

матрицы. Статсумма.

2. Шестивершинная модель.

Формулировка и картинки. Матрица весов, трансфер-матрица. Выражение для статсуммы в случае периодических граничных условий.

3. Координатный анзац Бете.

Симметрии в шестивершинной модели. Поиск собственных векторов трансфер-матрицы с помощью анзаца Бете. Формула для собственных чисел и система уравнений Бете.

4. Уравнение Янга-Бакстера.

Коммутация трансфер-матриц. Снова о симметриях в модели, и что такое R-матрица. Вывод R-матрицы для шестивершинной модели. Тригонометрическая параметризация.

5. Алгебраический анзац Бете.

Коммутационные соотношения на элементы матрицы монодромии, которые следуют из уравнения ЯБ. Простой вывод формулы для собственного числа трансфер-матрицы и системы уравнений Бете; формула для собственных векторов (аналогия с гармоническим осциллятором).

6. Метод Q-оператора.

Когда алгебраический анзац не работает. Еще один способ решения: уравнение Бакстера и Q-оператор. Вывод Q-оператора для шестивершинной модели.

7. Граничные условия доменной стенки.

Другие граничные условия. Статсумма как скалярное произведение и формула Изергина-Корепина.

II. Классическая интегрируемость.

Цель этой серии заключается в том, чтобы на примере знакомых всем задач из классической механики понять, что означает, что система интегрируема, и что в этом хорошего. После этого мы посмотрим, какие трудности и новые явления возникают в интегрируемых моделях теории поля, и рассмотрим разные техники их решения в применении к уравнению Кортевега-де-Фриза и нелинейному уравнению Шредингера.

План.

1. Интегрируемость на простых примерах.

Классический гармонический осциллятор: вспомнить про скобку Пуассона и фазовое пространство. Что такое интегрирумость. Задача Кеплера: сохранение энергии и момента импульса; геометрическая интерпретация. Более сложный пример: цепочка Тоды.

2. Теорема Лиувилля.

Интегрируемость в классической механике с конечным числом степеней

свободы: теорема Лиувилля и переменные действие-угол. Потоки сохраняющихся величин.

3. Уравнение Кортевега-де-Фриза.

Уравнение КдФ: формулировка, роль дисперсии и нелинейности. История про солитон. Кратко про метод обратной задачи и интегрируемость. Как по-простому получить солитонные решения: преобразование Бэклунда. Кратко про другие решения.

4. Нелинейное уравнение Шредингера.

Алгебраический подход к интегрируемости на примере НШ. Представление Лакса, r-матрица и классическое уравнение Янга-Бакстера. Трансфер-матрица и интегралы движения. Вывод преобразования Бэклунда.

III. Спиновые цепочки.

В этой серии, оттолкнувшись от шестивершинной модели, мы планируем прийти к такой интегрируемой модели как XXZ спиновая цепочка. Мы увидим, как себя проявляет уравнение Янга-Бакстера в квантовой механике, и как это все связано с тем, что мы уже знаем про интегрируемость в классической механике.