Псевдодеревья и эквивалентные нормы на пространствах непрерывных функций

2007

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.982.22

С.П. Гулько, М.С. Кобылина

ПСЕВДОДЕРЕВЬЯ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ НА ПРОСТРАНСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрен класс топологических пространств, порожденных псевдодеревьями. Для произвольного псевдодерева построено естественное локально компактное расширение с сохранением структуры псевдодерева. Доказано, что банахово пространство С0(Т) всех непрерывных вещественных функций на локально компактном псевдодереве Т допускает локально равномерно выпуклую (ЬИК) перенормировку при условии, что ее допускает пространство С0(Р) для любого подмножества Р в Т, являющегося деревом, и начальные сегменты в Т являются сепарабельными.

В середине 30-х годов прошлого века Д. Курепа [5] определил понятия дерева и псевдодерева. Частично упорядоченное множество (Т, <) называется деревом (псевдодеревом), если для каждого элемента г из Т множество ^ = {яеТ; я < г} является вполне (линейно) упорядоченным множеством. Понятие дерева получило большое распространение и достаточно часто используется в различных областях математики. В частности, Р.Хейдон [4] нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы банахово пространство С0(Т) всех непрерывных вещественных функций, стремящихся к нулю на бесконечности, имело строго выпуклую норму, локально равномерно выпуклую норму и т.п.

Введем на Т топологию порядка. Базу этой топологии будут составлять интервалы (и, у) = {яеТ; и < я < у}. Выделим в Т его подмножество Ат всех тех точек геТ, окрестностями которых являются всевозможные полуинтервалы вида (и, г]. Множество Ат содержит в себе совокупность Вт всех точек ветвления, которые мы определим как такие точки в ге Т, для которых \ ^)п(.Ру \ ^) = 0 для некоторых элементов и и у, больших г. В самом деле, для таких элементов и и у рассмотрим интервалы (я, и) и (я, у), где я < г. Эти множества открыты, следовательно, и их пересечение (я, и) п (я, у) = (я, г] обязано быть открытым, что и требовалось. Пример стрелки Зоргенфрея, т.е. полуинтервала (0,1], в котором окрестностями точек являются всевозможные полуинтервалы вида (и, г], показывает, что множество Ат состоит не только из точек ветвления, т.е. множества Ат и Вт могут быть различными.

Будем говорить, что псевдодерево густо ветвится, если множество Gí = {яеТ; я > г} не является линейно упорядоченным для каждого элемента геТ. Индексом /(г) элемента геТ назовем супремум мощностей семейств попарно дизъюнктных в Т интервалов (г, и/)/^. Ясно, что точка г является точкой ветвления тогда и только тогда, когда /(г) > 1. Дерево называется конечно ветвящимся, если индекс каждой точки конечен.

Естественные расширения псевдодеревьев

В отличие от деревьев, псевдодеревья не обязаны быть локально компактными пространствами. Тем не менее, существует несложная процедура построения локально компактного расширения, которое также несет структуру псевдодерева. Это возможно осуществить в три этапа.

Этап 1. Добавление минимальных элементов

Вначале опишем естественное расширение псевдодерева, которое получается добавлением минимальных элементов. По определению псевдодерева для произвольного элемента teT множество Ft = (seT; s < t} является линейно упорядоченным множеством. Введем обозначение t0 для минимального элемента в Ft, если он там имеется. Если такого элемента в Ft нет, то определим новый элемент t0, который будем считать строго меньшим всех элементов из Ft. Примем следующее со-

,0 0 гр

глашение: t = s тогда и только тогда, когда существует некоторый элемент мет, такой, что м < t и м < s. Множество всех таким образом определенных минимальных элементов обозначим через T0. На множестве TuT0 зададим естественное расширение имеющегося отношения порядка на множестве T правилом: t0 < t. Относительно этого порядка множество TuT0 также будет псевдодеревом, причем элементы множества T0 будут попарно несравнимы между собой. Легко понять, что элементы множества T0 \ T не могут попасть в AT. Далее мы будем предполагать, что T0 с T, т.е. что расширение псевдодерева добавлением всех минимальных элементов уже произведено.

Этап 2. Окаймление «дыр»

Лемма 1. Если множества AT содержит инверсию ординала в+1, т.е. трансфинитную последовательность, упорядоченную по правилу: ai > а2 >...> ар, причем в есть предельным ординал и ар является точном нижнем гранью последовательности aY, 1 < у < в, в T, то ветвь (t; t < а1} не является компактном.

Доказательство. В самом деле, множество (teT; t < а1} есть объединение своих открыто-замкнутых подмножеств вида (aY+1 , aY], а также еще множества (t; t < ар}. Из этого покрытия нельзя извлечь конечного подпокрытия.

Обозначим через AT множество всех точек teAT, удовлетворяющих условию t = inf (seAT; s > t} (точная нижняя грань берется в T). Для каждой точки t е AT

определим новую абстрактную точку t+, для которой: t < t+ и t < s ^ t+ < s. Точку t+ будем считать несравнимой с какой-либо точкой множества T, если с ней несравнима точка t. Обозначим A+ = {t+; t е AT | и T + = T u A+. Нетрудно видеть, что

множество T+ является псевдодеревом для любого псевдодерева T.

Пример 1. Пусть T = (0, 1] является уже упомянутой выше стрелкой Зорген-фрея. Тогда множество T0 будет состоять из единственного минимального элемента, который можно обозначить через 0. Обозначим T1 = (0}uT. Тогда A- = (0,1). Нетрудно проверить, что пространство Т+ совпадает с хорошо известным пространством «две стрелки».

Пример 2. Пусть T - множество всех неотрицательных рациональных чисел, включая 0, упорядоченное естественным образом. Нетрудно видеть, что AT = 0, следовательно, описанное выше расширение не приводит к компактным пространствам.

Этап 3. Сечения по Дедекинду

Последний пример показывает, что для псевдодеревьев имеет смысл рассмотреть некоторые расширения, построенные наподобие «сечениям» по Дедекинду.

Определение. Сечением Т мы назовем его разбиение на непересекающиеся множества М и Ь, такие, что

1) множество М линейно упорядочено, и вместе с каждым элементом геМ это множество содержит все элементы я, такие, что я < г;

2) множество М не имеет наибольшего элемента;

3) множество Ь обязательно содержит верхние грани для М, причем среди этих верхних граней нет минимальных.

Для произвольного сечения псевдодерева Т определим новый элемент, который будет строго больше всех элементов из М и, вместе с тем, строго меньше любой верхней грани для М из множества Ь. Пополнение множества Т всеми такими

элементами обозначим через Т. Упорядочим множество Т естественным образом. А именно, из определения ясно, какие отношения связывают новый элемент

^ е Т\ Т со всеми элементами множества Т. Для элементов ^ и я2 из Т\ Т мы будем говорить, что я1 < я2, если {геТ; г < я1}с{геТ; г < я2}.

Теорема 1. Пусть Т - произвольное псевдодерево и Т1 - псевдодерево, полученное из него посредством добавления минимальных элементов, окаймления «дыр» и сечений по Дедекинду, т.е. Т1 = Т°+. Тогда Т1 является локально компактным пространством и, более того, множество {геТ1; г < я} компактно для каждого яеТ1.

Доказательство. Нам достаточно установить только последнее утверждение, т.е. что множества вида {геТ1; г < я} компактны. Согласно этапу 1, это множество должно иметь наименьший элемент а, поэтому {геТ1; г < я} = [а, я]. Для того чтобы множество {геТ1; г < я} = [а, я] было компактным, достаточно показать, что любая трансфинитная убывающая последовательность сегментов {[иа , уа]}1<а<р в [а, я] имеет непустое пересечение. В самом деле, предположим, что множество [а, я] не компактно. Выберем открытое покрытие Л, из которого нельзя извлечь конечное подпокрытие. Разделим сегмент [а, я] на два подсегмента [а, и] и [и, я]. Один из этих подсегментов не имеет конечного подпокрытия, выберем его. Будем последовательно делить возникающие сегметы [иа , уа] пополам, пока это возможно. Для предельного ординала у положим [му, ]= ^ [иа, уа ]. Пересечение ^ [иа, уа ]

1<а<у 1<а<р

должно быть одноточечным и потому накрываться одним элементом и данного покрытия Л. Отсюда [иа , уа] с и для некоторого а, 1 < а < р. Противоречие.

Имеем иа < иа +1 < уа +1 < уа для каждого а. Если последовательность иа стабилизируется, т.е. иа = иа +1 =..., то эта точка стабилизации должна принадлежать рассматриваемому пересечению. Аналогичный вывод мы делаем при стабилизации правых концов. Если иа < иа +1 и уа +1 < уа для всех а, то для множеств ^ [м1, иа ]

1<а<р

и и [^а > VI ] существует сечение по Дедекинду, т.е. точка геТ, для которой

1<а<р

* е П - V* ] .

1<а<р

Локально компактные псевдодеревья и теорема об эквивалентной ЬиИ-норме

Для локально компактного пространства Т символом С0(Т) обозначим пространство всех непрерывных вещественных функций f на Т, таких, что для каждого е > 0 множество {хеТ; | f (х)| > е} является компактным. Это пространство является банаховым относительно обычной Бир-нормы.

Напомним, что норма || • | | на векторном пространстве называется локально равномерно выпуклой нормой, или кратко LUR-нормой, если из ||х„+х|| ^ 2 и ||х„|| ^ 1 следует, что ||х„ - х|| ^ 0 при п ^ да.

Главным результатом этой статьи является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Т такое локально компактное псевдодерево, что для каждого геТ множество ^ = {яеТ; я < г} является сепарабельным линейно упорядоченным компактом. Пусть, кроме того, для каждого подмножества Р в Т, являющегося деревом, пространство С0(Р) допускает ЬиЛ-норму. Тогда пространство С0(Т) также допускает эквивалентную ЬиЛ-норму.

Доказательство. Обозначим через G множество всех точек локальной линейной связности в Т, т.е. таких точек, которые являются строго внутренними для некоторых невырожденных связных интервалов в Т. Очевидно, что множество G является открытым в Т. Представим G в виде объединения максимальных по включению линейно связных его частей (компонент). Каждая такая компонента будет открытым множеством в G. Тогда G распадается на открыто-замкнутые в G попарно непересекающиеся связные множества V,, ге1. Обозначим Р = Т ^.

Построим линейный ограниченный оператор продолжения 5:С0(Р) ^ С0(Т) следующим образом:

5(/)(х) = f (х), если хеР;

5(/)(х) = 0, если хе V; и множество V, открыто-замкнуто в Т;

5(/)(х) = f (с), если интервал V, имеет только одну концевую точку сеР и хе V,.

Наконец, пусть хе V;- и пусть обе концевые точки интервала V,, скажем, а; и Ь;, принадлежат Р. Тогда отрезок [а; , Ь;] гомеоморфен обычному отрезку вещественной оси [2], будем считать его таковым и положим

т.е. «линейно» продолжим функцию f с концевых точек внутрь рассматриваемого отрезка. Легко видеть, что оператор 5:С0(^) ^ С0(Т) линеен и его норма равна 2. Оператор V/ = (/|т\в, / - 5 (/|т\в)) является линейным гомеоморфизмом

пространства С0(Т) на декартово произведение С0(Т \ G)x C0(G).

Обратный оператор задан формулой

Согласно свойству трех пространств для LUR-норм [3], нам достаточно построить LUR-нормы в пространствах С0^) и С0(Т \ G).

1) Построение эквивалентной LUR-нормы в пространстве С0^).

£ (/)(х) = / (а)+

((ъ,)- /(а)) х є [а’ ьі ] >

где

Мы уже отмечали выше, что G является объединением открыто-замкнутых попарно непересекающихся линейно связных множеств V,, zeI. Следовательно, C0(G) равно co-произведению семейства пространств C0(V), zeI. По теореме Зиз-лера [7] нам достаточно доказать, что каждое пространство C0(V) имеет эквивалентную LUR-норму. Если пространство V, сепарабельно, то данное утверждение верно согласно основному результату статьи [1]. Предположим, что оно несепарабельно. Покажем, что в этом случае пространство V, совпадает с так называемой длинной прямой, которая получается из пространства ^ всех счетных ординалов, в котором каждая «дыра» заклеена интервалом вещественной оси.

В самом деле, выберем точку х1 во множестве V, произвольным образом. Далее построение выполним по индукции. Если для счетного ординала а точка ха уже выбрана, то отрезок {xeV,; х < ха} является компактным и сепарабельным по условию теоремы, следовательно, так как V несепарабельно, в нем найдется точка ха +1 > ха. Для предельного ординала а положим ха равным супремуму всех точек хр при в < а. По построению ясно, что отображение а ^ ха является гомеоморф-ным вложением ординала ю1 на замкнутое конфинальное подмножество во множестве V .

Строить LUR-норму на пространстве C(V) (и, значит, на подпространстве C0(V)) можно так же, как на лучах ординалов (см. [3], chapter VII). А именно, для каждого ординала а определим линейный ограниченный оператор продолжения 5а : C({t; t < ха}) ^ C(V) формулой

на пространстве С(^). Его сужение на С0(^) является линейным гомеоморфизмом пространства С0(^) и с0-произведения:

Так как полуинтервалы (ха, ха +1] не содержат «пробелов» и сепарабельны, то по лемме Бурке [2] они могут считаться полуинтервалами вещественной оси. Осталось теперь применить теорему Зизлера и теорему Кадеца о существовании эквивалентной Ьи^нормы на сепарабельных банаховых пространствах, чтобы заключить, что пространство С0(^) имеет эквивалентную LUR-норму.

2) Обратимся теперь к построению эквивалентной LUR-нормы в пространстве

Удаляя множество G, мы удалили все точки линейной связности. Более того, множество Т \ G имеет следующее свойство:

в любом интервале (а, Ь) этого множества есть дыры, т.е. в нем найдутся такие точки х и х+, а < х < х+ < Ь, что (Т \ G)n(x, х+) = 0.

Начнем построение по трансфинитной индукции. Обозначим через М0 совокупность всех минимальных элементов в Т \ G. По определению нашей топологии это множество дискретно. Нам будет удобно ввести, возможно, несуществующий элемент 0, который строго меньше всех остальных элементов Т, и все функции в это точке будем считать равными 0. Для каждой ненулевой точки геМ0 зафиксируем максимальное по включению множество (побег) в Т \ G. Пусть М1 - объеди-

Далее определим оператор

) - Sa

C0 (Vi ) = (C0 {X x ^ xl} X---X C0 (xa> xa+1 ] X---)C0 > аЄ 1-

Co(T \ G).

нение всех таких фиксированных побегов. Из определения топологии в псевдодеревьях ясно, что это множество является открытым в Т \ G. Но нетрудно видеть, что оно будет также и замкнутым множеством в Т \ G. Для каждой точки ветвления ге Т \ G (отсюда и всюду далее мы рассматриваем только «настоящие» точки ветвления, т.е. такие точки, которые имеют более одного последователя) зафиксируем конечное множество ?+ следующим образом. Возьмем произвольный элемент я > г. Множество [0, г] является компактным и открытым в [0, я], следовательно, оно открыто-замкнуто в компактном множестве [0, я]. Поэтому множество [0, я]\[0, г] компактно, кроме того, оно является линейно упорядоченным и, следовательно, в нем существует минимальный элемент. Это фактически непосредственный последователь элемента г. Включим в все непосредственные последователи элемента г. Для каждого яег+ зафиксируем побег Р„ для которого точка я является наименьшим элементом. Пусть теперь М2 - объединение множества М1 и всех зафиксированных побегов Рх для всех яег+ и точек ветвления г в Мь Аналогично строятся М3, М4 и т.д. Аналогичным образом для любого Ма строится Ма +1.

Если а является предельным ординалом, то положим Ма = Мр .

в <а

Покажем, что Т \ G = ^ Ма . В самом деле, пусть яе Т \ G. Тогда найдется

а<^2

точка ге М0, для которой г < я. Во множестве М1 найдется /1 ег+, сравнимое с я относительно порядка. Через эту точку г1 по построению проходит некоторый побег. Пересечение отрезка [г, я] с этим побегом не сводится к одной точке, а является некоторым начальным сегментом.

Точно так же, переходя к множеству М2, мы еще продвинемся вправо по отрезку [0, я]. Таким образом, внутри отрезка [0, я] мы получим строго возрастающую трансфинитную последовательность. Поскольку этот отрезок сепарабелен, то за счетное число шагов этот процесс закончится и, значит, точка я попадет в некоторое множество Ма.

По определению топологии в псевдодеревьях для предельного ординала а множество Ра = Ма \ ^ Мр является замкнутым и дискретным. Обозначим

в<а

Р = ^ Ра . Это множество является замкнутым в Т \ G (нетрудно понять, что до-

а<^2

полнение к этому множеству является открытым). Для любого элемента реРа множество {деР; д < р} гомеоморфно начальному отрезку ординалов, а именно отрезку [0, а]. Из условий теоремы пространство С0(Р) имеет эквивалентную локально равномерно выпуклую норму. Теперь воспользуемся следующим утверждением.

Лемма 2. Пусть пространство С0(Р) допускает эквивалентную ШЛ-норму и Ф:С0(Х) ^ С0(Р) - ограниченный линейный оператор удовлетворяет условию: для каждого fе С0(Х) существует сепарабельное подмножество С0(Х), такое, что если Ф(/п) ^ Ф(У), то

ГО

/ е *Р и */„• (

п=\

Тогда пространство С0(Х) допускает эквивалентную ШЛ-норму.

Эта лемма есть следствие теорем 1.6 и 1.7 из [6]. Применим ее к пространству X = Т \ G и введенного выше подмножества Р. Определим оператор Ф формулой Ф(/) = f |Р. Покажем, что условия леммы 2 выполнены. Мы уже видели выше, что любые интервалы во множестве Т \ G имеют «дыры». Отсюда следует, что конечные линейные комбинации характеристических функций вида Х[0, ф где г - такая точка, что множество [0, г] является открыто-замкнутым в Т \ G, образуют всюду плотное подпространство в С0(Т \ G). Более того, для любой функции fеC0(T \ G) ее носитель Лу = {геТ;f (г) Ф 0} содержит не более чем счетное множество точек ветвления, а сама функций f является равномерным пределом конечных линейных комбинаций функций вида Х[0, (\- Определим = С[0,г] (точнее - подпро-

странство всех непрерывных функций, обращающихся в 0 вне [0, г]). И положим

Ясно, что множество 2 является сепарабельным как счетное объединение сепарабельных пространств. Условие (*) очевидно по построению.

Пример континуума Суслина, т.е. несепарабельного линейно упорядоченного связного пространства, в котором любая система непересекающихся интервалов не более чем счетна, показывает, что наше условие сепарабельности множеств вида ^ = {яеГ; я < опустить нельзя [3].

Теоремы, которые обеспечивают существование локально равномерно выпуклых норм на деревьях, можно найти в статьях [4,7] и монографии [3].

1. Кобылина М.С. Локально равномерно выпуклая норма на пространстве вида C(K), где K - линейно упорядоченный сепарабельный компакт // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С. 64 - 65.

2. Burke M.R. Borel measurability of separately continuous function // Topology and Its Applications. 2003. V. 129. P. 29 - 65.

3. Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renorming in Banach spaces. Pitman monographs 64. N.Y.: Pitman, 1993.

4. Haydon R.G. Trees in renorming theory // Proc. London Math. Soc. 1999. V. 78. P. 541 -584.

5. Kurepa D. Ensembles ordonnes et ramifies // Publ. Math. Univ. Belgrad. 1935. V. 4. P. 1 -138.

6. Molto A., Orihuela J., Troyanski S., Valdivia M. A non linear transfer technique for renorming // Pre-Publicationes del Departamento de Matematicas, Universidad de Murcia 20.

7. Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and decomposition of Banach spaces // Bull. Austr. Math. Soc. 1984. V. 29. P. 259 - 265.

t^Aj

ЛИТЕРАТУРА

2003.

Принята в печать 17.11.07.