К вопросу об измерении удельного сопротивления проводящих слоев четырехзондовым методом

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 59-68. УДК 621.382

Р.Б. Бурлаков, В.С. Ковивчак

К ВОПРОСУ ОБ ИЗМЕРЕНИИ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДЯЩИХ СЛОЕВ ЧЕТЫРЕХЗОНДОВЫМ МЕТОДОМ

Рассмотрены соотношения для поправочных коэффициентов четырехзондового метода измерения удельного и поверхностного сопротивлений тонких проводящих слоев для случая произвольных расстояний между четырьмя зондами, установленными вдоль прямой линии, для шести различных комбинаций подключения токовых и потенциальных зондов. Выполнено экспериментальное сравнение четырех зондовых комбинаций (с низкими значениями поправочных коэффициентов) на основе измерения удельного и поверхностного сопротивлений тонких пленок меди, алюминия и титана на стеклянных подложках. Представлены формулы для расчета удельного и поверхностного сопротивлений проводящих слоев, измеряемых двухкомбинационным четырехзондовым методом.

Ключевые слова: четырехзондовые измерения удельного сопротивления, двухкомбинационный четырехзондовый метод.

Введение

Одним из основных методов измерения удельного и поверхностного сопротивлений полупроводников (и металлов) является четырехзондовый метод [1]. Этот метод, предложенный в 1954 г., до сих пор используется в большом числе экспериментальных работ при исследовании электрических свойств различных материалов [2-10]. При реализации этого метода на плоскую поверхность массивного образца (в виде полубесконечного объема) или на поверхность тонкой пластины устанавливают на прямой линии четыре зонда, которые образуют с образцом точечные контакты. Через два внешних зонда пропускают ток I, а на двух внутренних зондах измеряют разность потенциалов V . Если расстояния между соседними зондами одинаковы и равны 5, то удельное сопротивление р массивного образца рассчитывают по формуле

р =

В частности, для неограниченной тонкой пластины (толщиной ч) с изолирующей границей при ч/я <<1 формула для расчета р принимает вид:

Р =

где р5 - поверхностное сопротивление. Формулы, отличающиеся от (2) поправочными коэффициентами, для расчета р5 тонких пластин в виде диска или прямоугольника, имеющих ограниченные размеры по сравнению с расстоянием э между зондами, приведены также в работах [11; 12].

В работе [13] рассмотрены другие возможные комбинации подключения токовых и потенциальных зондов, установленных на прямой линии на поверхности тонкой пластины. При этом на основе применения теории конформных отображений получены следующие значения поправочного коэффициента С в формуле для поверхностного сопротивления р5 =(У/I)• С (для случая одинаковых расстояний между зондами):

С14,23 = С23Д4 = п/ 1п 2=4,532,

< С12 34 = С3412 = 2п/

С1324 = С2413 = 2п/(1п3-1п2 )15,50,

© Р.Б. Бурлаков, В. С. Ковивчак, 2014

где первые два индекса каждого поправочного коэффициента есть номера токовых зондов, а два других индекса-номера - потенциальных зондов. По-видимому, эти данные работы [13] использованы также в обзорной работе [14].

В работе [13] также дана общая формула для поправочного коэффициента:

С = 2^1 Яе (п (в + 1п ч*в ) ,

где чв и чв - комплексные функции, определяемые по приведенным в [13] формулам. Однако в [13] это представлено в столь неудачной для практического использования форме, требующей дополнительных математических выкладок, что даже самим автором этой работы допущена ошибка при определении коэффициента С13 24 = С2413 =

= 2п/( п3-1п2)=15,50. В свою очередь, это может приводить к ошибке при измерении р5 и р , когда используется эта комбинация подключения токовых и потенциальных зондов и это значение поправочного коэффициента из работ [13; 14].

В данной работе приведены формулы для расчета вышеуказанных поправочных коэффициентов для случая произвольных расстояний между четырьмя зондами, установленными на прямой линии на поверхности тонкой пластины, при шести различных комбинациях подключения токовых и потенциальных зондов. Кроме того, в данной работе выполнено экспериментальное сравнение четырех зондовых комбинаций (с низкими значениями поправочных коэффициентов) на основе измерения удельного и поверхностного сопротивлений тонких пленок меди, алюминия и титана на стеклянных подложках.

Соотношения для поправочных коэффициентов при различных комбинациях подключения зондов

Пусть тонкий электропроводящий слой, выполненный из полупроводника или металла, расположен на изолирующей плоской подложке (рис.). На проводящем слое установлены вдоль прямой линии четыре металлических зонда: 1, 2, 3 и 4, которые образуют точечные контакты с этим слоем. Обозначим 51 , 52 и 53 - расстояния между соседними контактами 1-2, 2-3 и 3-4 соответственно. Будем считать, что любое из расстояний 51 , 52 и 53 , а также расстояние от любого из контактов 1, 2, 3 и 4 до внешнего контура проводящего слоя много больше толщины ч этого слоя.

Образец произвольной формы с четырьмя точечными контактами, расположенными на тонком слое вдоль прямой линии

Сначала рассмотрим две комбинации подключения зондов: 13,24 и 24,13, для которых в работах [13; 14] приведен ошибочный результат при 51 = 52 = 53 = 5 . При использовании комбинации 13,24 ток 113 втекает в образец через контакт 1 и вытекает через контакт 3. Так как в рассматриваемом случае и> << 51, где г = 1,2,3, то можно пренебречь падением напряжения по толщине слоя вблизи токовых контактов 1 и 3 и считать, что распределение тока и потенциала в слое двухмерное. Поэтому, учитывая цилиндрическую симметрию распределения потенциала ф (г) , для определения потенциалов ф2 и ф4 в точках 2 и 4, а затем и разности потенциалов У24 = ф2 — ф4 на контактах 2 и 4 достаточно решить в цилиндрической системе координат уравнение Лапласа, в котором оставлен лишь член, зависящий от расстояния до токового контакта:

Решение уравнения (4) имеет вид:

ф

где С1 и С2 - константы интегрирования,

причем константу С1 можно определить, если известна напряженность электрического поля Е при некотором г. Действительно, так как

Е -ф -С^ ёг г ’

то

С1 = -гЕ .

Считаем, что ток 113 втекает и вытекает

из слоя через боковую поверхность цилиндра радиусом г и высотой ч . Тогда на расстоянии г от токового контакта плотность тока ] и напряженность электрического поля Е определяются равенствами:

і =

2п-™ ’

Р113

2п-™

Подставляя последнее равенство в (6), найдем константу С1, а затем ф (г) :

-Р• 113

С =-

ф (г) = р І13 • 1п г + С .

2п- ^

По формуле (8), потенциалы ф21 и ф23 полей, создаваемых в точке 2 током (+ 113), втекающим в слой через контакт 1, и током (- 113), вытекающим через контакт 3, соответственно, равны:

ф21 = р 7'3 • 1п •?! + С2 , ф23 =р-П^  1П ^2 + С2 • 2п- w 2л^

Так как потенциал в любой точке слоя равен сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке током каждого контакта 1 и 3, то для системы, состоящей из двух источников тока (+113) и (-113), результирующий потенциал ф2 в точке 2 слоя определяется выражением:

ф2 =ф21 +ф23 =РП3 • 1П ^ + 2С2 •

2п• w s1

Таким же образом по формуле (8) находятся потенциалы ф41 и ф43 полей, создаваемых в точке 4 токами (+113) и (-113):

фп = Р_ ^13 • 1п ( + S1 + ^) + С ,

2п• w

• 1п 5 + С,

43 3 2

1П-w

суммирование которых дает результирующий потенциал ф4 контакта 4:

Р^ 113

• 1п-

2п• w s1 + s2 + sъ

+ 2С2.

^24 ф2 ф4

Поэтому выражение для разности потенциалов У2А =ф2 — ф4 на контактах 2 и 4 имеет вид:

Р^ 4 • 1п (51 + 52 + *3 .У 52 . (11) 2п• w *1 • 53

В том случае, когда ток 124 втекает в образец через контакт 2 и вытекает через контакт 4 (комбинация зондов 24,13), потенциалы ф1 и ф3 в точках 1, 3 и соответствующая разность потенциалов У13 =ф1 — ф3 на контактах 1 и 3 находятся описанным выше способом на основе формулы (8), в которой 113 заменена на 124. При этом выражение

для У13 имеет вид:

Р• Л,

2п w 5 • 5,

Из формул (11) и (12) получим следующие соотношения для удельного и поверхностного сопротивлений для зондовых комбинаций 13,24 и 24,13:

( + 5- + 53 )• 5

Р~ _ г 24 2п w • 1п- V 1 2 3/ 2

113 - 51 • 53 _

к3 5. + 5 + 53 )• 5

Р- - 13 2п w • 1п- ^ 1 2 3/ 2

124 51 • *3 _

р =Р= ^24 С = У13 С

Р$ т  13,24 т  24,13 ,

w 113 124

где поправочные коэффициенты С13

С24,13 определяются соотношением:

С13,24 С24,13 2п '

1п

.

Рассмотрим еще две комбинации подключения зондов: 14,23 и 23,14, первая из которых применяется наиболее часто при измерении поверхностного сопротивления. Если ток 114 втекает в образец через контакт 1 и вытекает через контакт 4 (комбинация 14,23), то потенциалы ф2 и ф3 в точках 2 и 3 и соответствующая разность потенциалов У23 =ф2 - ф3 на контактах 2 и 3 находятся описанным выше способом на основе формулы (8). При этом выражение для У23 имеет вид:

Р 114 • 1п

^23 ф2 ф3

2п • w *1 • 53

В том случае, когда ток 123 втекает в образец через контакт 2 и вытекает через контакт 3 (комбинация зондов 23,14), выражение для разности потенциалов У14 = ф1 — ф4 на контактах 1 и 4 имеет вид:

Р'12

^14 ф1 ф4

,

-И • ----И .

2п•w 1 3

Из формул (16) и (17) получим следующие соотношения для удельного и поверхностного сопротивлений для комбинаций подключения зондов 14,23 и 23,14:

Р- -V* 2п w • \ 1п-

114 - 51 • *3 _

Р- 2п w • -1п-

123 51 • *3 _

Р V V

" — 23 • С = 14

* '-'1 Л _

а

РР 'т С14,23 т С23,14 ,

W 114 123

где поправочные коэффициенты С1 С23,14 определяются соотношением:

13

и

и

С14,23 С23,14 2п '

1п

Теперь рассмотрим последние две комбинации подключения зондов: 12,43 и

43,12. При использовании комбинации 12,43 ток 112 втекает в образец через контакт 1 и вытекает через контакт 2. При этом разность потенциалов У43 = ф4 — ф3 на контактах 4 и 3 находится описанным выше способом:

,-43 = ф —Фз =Р^ • .

2п ^ ( + 52 + 53)2

При реализации комбинации 43,12 ток 143 втекает в слой через контакт 4 и вытекает через контакт 3. В этом случае выражение для разности потенциалов К12 = ф1 — ф2 на контактах 1 и 2 имеет вид:

Р^

„ •

У12 =ф—ф2 = ^-^• 1п) 2 зЛ \ 21 .

2п ^ ( + 52 + 53)2

Формулы (21) и (22) дают следующие соотношения для удельного и поверхностного сопротивлений для комбинаций зондов 12,43 и 43,12:

р •2п w• 1п-

Т12 (1 + 52 + 53 ) 2 _

р __!к •2п w• 1п-

т 3 (1 + 52 + 53)2 _

_р _ V

р т

w Т.

43 с =

12,43

V

12

С

12 43

где поправочные коэффициенты С4312 определяются соотношением:

С.

С12,43 С43,12 2п •

1п

Таким образом, получены соотношения (13)-(15), (18)-(20) и (23)-(25) для определения удельного и поверхностного сопротивлений четырехзондовым методом с произвольными расстояниями между зондами, установленными вдоль прямой линии на поверхности тонкого проводящего слоя. Из этих соотношений следует, что зондовые комбинации в каждой их паре: (13,24 и 24,13), (14,23 и 23,14) и (12,43 и 43,12), эквивалентны друг другу относительно определяемых величин удельного и поверхностного сопротивлений в случае произвольных расстояниях между зондами. Если же расстояния между контактами одинаковы, т. е. имеет место равенство 5*1 = 52 = 5*3 = 5 , то из соотношений (15), (20) и (25) получаются следующие значения поправочных коэффициентов:

С = с

13,24 24,13

С = с

'-'1 А '-")1 1 /

= 2п/ 1п3=5,719, = п/ 1п 2=4,532,

С12,43 = С43,12 = 2п/(1п4—1п3)=21,84.

Из сравнения этих значений поправочных коэффициентов в равенствах (26) с их значениями в равенствах (3), приведенными в работах [13; 14], следует, что в этих работах коэффициент С13 24 = С2413 имеет значение, которое превышает в 2,71 раза значение этого коэффициента в данной работе, тогда как для других коэффициентов наблюдается полное согласие с данными работ [13; 14].

Экспериментальные результаты

В данной работе выполнено экспериментальное сравнение (относительно определяемых величин удельного и поверхностного сопротивлений) зондовых комбинаций в каждой их паре: (14,23 и 23,14) и (13,24 и 24,13), а также второй пары комбинаций (13,24 и 24,13), для которых в работах [13; 14] приведены сильно завышенные значения коэффициентов С13 24 = С2413, с первой

парой - (14,23 и 23,14). Для выполнения этого сравнения измерялись удельное и поверхностное сопротивления тонких пленок меди, алюминия и титана, осажденных на стеклянные подложки методом термовакуумного испарения. Размеры каждой из подложек составляли 24 х 20 х 1,5 мм2, а размеры квадратной области металлической пленки - 20 х 20 мм2. Для обеспечения

хорошей адгезии пленки к подложке последняя подвергалась физическому обезжириванию в этиловом спирте и ацетоне, отжигу на воздухе при 180 °С в течение 40 минут, ионной очистке в вакуумной камере при давлении остаточного газа

(2 1) •Ю-1 мм рт. ст. и температуре спая

термопары, равной (240^250)°С, в течение 15 минут. При этой температуре после окончания ионной очистки подложка отжигалась в вакууме при давлении остаточного

газа (2 3) •Ю-5 мм рт. ст. в течение 30 минут с последующим осаждением на нее металлической пленки. Термовакуумное испарение меди выполнялось из молибденового испарителя со средней скоростью осаждения пленки, равной 15 А/с, алюминия - из вольфрамового испарителя со средней скоростью осаждения пленки 40 А/с (при температуре подложки 150 °С). Для термовакуумного испарения титана использовался углеродный испаритель, при этом средняя скорость осаждения пленки титана составляла 900 А/с (такое форсированное испарение титана обеспечивает значение удельного сопротивления пленки титана, близкое к значению этого параметра массивного ма-

и

териала, несмотря на высокую химическую активность титана).

В экспериментах был принят следующий порядок измерений. Для измерения поверхностного сопротивления тонкой металлической пленки использовалась четы-рехзондовая головка (не промышленного изготовления), содержащая четыре подпружиненных зонда из вольфрамовой проволоки диаметром 0,5 мм, установленных вдоль прямой линии. Зонды устанавливались на поверхность металлической пленки на осевую линию, параллельную стороне квадрата, на одинаковых расстояниях от двух других его сторон, перпендикулярных указанной осевой линии. Затем последовательно выполнялись измерения токов и напряжений для четырех комбинаций зондов: (14,23 и 23,14) и (13,24 и 24,13). Переход от одной зондовой комбинации к другой осуществлялся путем изменения подключения внешних проводников измерительной схемы к четырем клеммам на выносной плате, к которым были подключены одинаковые (по длине и площади сечения) соединительные проводники от вольфрамовых зондов. После этого измерялись толщина ш металлической пленки с помощью микроинтерферометра Линника МИИ-4, а также расстояния между центрами контактных площадок ,, s2 и , и радиусы этих площадок с помощью микроскопа «Биолам». Расстояния между центрами контактных площадок для всех исследованных образцов составляли: , = 850 мкм,

s2 = 745 мкм, , = 780 мкм, а радиусы контактных площадок - (8^10) мкм. Результаты измерения удельного и поверхностного сопротивлений пленок меди, алюминия и титана для зондовых комбинаций (14,23 и 23,14) и (13,24 и 24,13) приведены в табл. 1.

В табл. 1 величины р и р, - удельное и поверхностное сопротивления металлической пленки, рассчитанные по формулам (18), (19) и (14), (15) для значений поправочных коэффициентов С14 23 = С23 14 = = 4.532 и

С13 24 = С24 13 = 5.719 , которые должны использоваться только при выполнении условия: , = ,2 = , = , . Однако использованная четы-рехзондовая головка не обеспечивала выполнение этого равенства. Поэтому, как видно из табл. 1, в 10-ти измерениях из 12-ти значения р металлических пленок оказались меньше значений удельного сопротивления рм соответствующих металлов в массивном состоянии (значения рм для меди, алюминия и титана взяты из [15]). В табл. 1 приведены также значения удельного и поверхностного сопротивлений р и рв , рассчитаные при использовании значений поправочных коэффициентов С14 23 =

= С23 14 = 4.834 и С13 24 = С24 13 = 6.401, найденных по формулам (20) и (15) с учетом измеренных расстояний между центрами контактных площадок: , = 850 мкм,

, = 745 мкм, , = 780 мкм. В этом случае *

значения р металлических пленок оказались выше значений удельного сопротивления рм соответствующих металлов в массивном состоянии, при этом относительное

отклонение (р* - рм )/рм = р рм для различных пленок и комбинаций составило (4,7^7,4) %. По-видимому, основной причиной этого отклонения является то, что во время осаждения пленки часть атомов меди, алюминия и титана могут химически реагировать с молекулами остаточных газов на поверхности подложки, что ведет к увеличению удельного сопротивления пленки по сравнению со значением рм массивного металла. Кроме того, следует учесть нагрев металлической пленки током, протекающим между токовыми зондами во время проведения измерения р, .

Таблица 1

Удельное и поверхностное сопротивления пленок Си, А1 и И

Металл, рм ,10-6 Ом-см и, мкм Комби- нация зондов р,,, ю-2, Ом р , 10-6, Ом-см Др, % р, р* , 10-2, Ом р*, 10-6, Ом-см Др* / р1* % Дрм/ рм %

14,23 5,106 1,685 5,446 1,797 7,4

Си 0 33 23,14 5,061 1,67 5,398 1,781 6,4

1,673 13,24 4,766 1,573 6,6 5,334 1,76 2,0 5,2

24,13 4,766 1,573 5,8 5,334 1,76 1,2 5,2

14,23 6,949 2,641 7,412 2,816 4,7

А1 23,14 6,949 2,641 7,412 2,816 4,7

2,69 13,24 6,71 2,55 3,4 7,51 2,854 1,3 6,1

24,13 6,672 2,535 4,0 7,468 2,838 0,75 5,5

14,23 62,072 54,623 66,208 58,263 5,9

И 23,14 62,072 54,623 66,208 58,263 5,9

55,0 13,24 59,232 52,124 4,6 66,296 58,34 6,1

24,13 59,232 52,124 4,6 66,296 58,34 6,1

Экспериментальные данные таблицы позволяют сравнить зондовые комбинации (14,23 и 23,14) и (13,24 и 24,13) в каждой их паре, а также вторую пару комбинаций (13,24 и 24,13) с первой парой - (14,23 и 23,14) относительно определяемых величин удельного и поверхностного сопротивлений

* *

р и р, пленок меди, алюминия и титана. Из данных табл. 1 следует, что использование комбинаций (14,23 и 23,14) при измерениях р и рв на пленке меди и комбинаций (13,24 и 24,13) на пленке алюминия привело к расхождению результатов измерений в каждой паре комбинаций, которое составило 0,89 % для пленки меди и 0,56 % для пленки алюминия, тогда как в остальных четырех случаях имело место совпадение результатов измерений в каждой паре комбинаций: (14,23 и 23,14) и (13,24 и

24.13).

Сравнение второй пары комбинаций (13,24 и 24,13) с первой парой (14,23 и

23.14) относительно измеряемых величин р* и р,* пленок меди, алюминия и титана можно выполнить на основе значений относительного отклонения Др*/р* , где Др* -модуль изменения удельного сопротивления при переходе от комбинаций (14,23 и 23,14) к комбинациям (13,24 и 24,13), р1 - удельное сопротивление пленки, измеряемое при использовании комбинаций (14,23 и 23,14). Из таблицы видно, что относительное отклонение Др*/р* для различных пленок и комбинаций составило (0,13+2,0) %. При этом максимальное значение, равное 2,0 %, имело место только для пленки меди при переходе от использования комбинации 14,23 к любой из комбинаций (13,24 и 24,13), тогда как во всех остальных случаях значения

Др*/ Л* не превышали 1,3 %. Возможными причинами этих небольших расхождений

**

измеренных значений р и р, исследованных пленок для сравниваемых пар зондовых комбинаций являются случайные погрешности, обусловленные как неидентичностью контактных сопротивлений, так и различными температурами в окрестности контактов при различных комбинациях зондов.

Применение пар комбинаций (А-В, В-С и А-С) подключения токовых и потенциальных зондов в четырехзондовом методе

При измерении удельного и поверхностного сопротивлений полупроводниковых пластин, слоев и металлических пленок че-тырехзондовым методом одним из источников случайной погрешности является невос-производимость расстояний между зондами, которая приводит к ошибке в определе-

нии численного значения поправочного коэффициента, входящего в формулу для расчета р и р, , и ограничивает возможности проведения особо точных измерений при контролировании распределения поверхностного сопротивления по площади однородных полупроводниковых слоев (например, ионно-легированных). Для ограничения этого источника случайной погрешности в работе [16] предложен двухкомбинационный четырехзондовый метод измерения поверхностного сопротивления.

Сущность двухкомбинационного метода состоит в том, что измерения разности потенциалов на потенциальных контактах и тока, протекающего через токовые контакты, выполняют для двух комбинаций подключения к зондам источника тока и измерителя напряжения, а затем рассчитывают поверхностное сопротивление, используя соответствующие теоретические соотношения, в которые не входят расстояния между контактам, и в результате этого исключается геометрический фактор (расстояния между контактами) и связанная с ним случайная погрешность измерения. При этом используют уравнение, полученное в работах Ван дер Пау [17; 18] для двух комбинаций (А-С) подключения зондов, установленных вдоль периметра тонкой пластины. Так как число возможных комбинаций подключения зондов равно шести, то анализ использования других зондовых комбинаций при измерении поверхностного сопротивления представляет определенный теоретический и практический интерес. Этот анализ выполнен ниже в настоящей работе.

В случае зондовых комбинаций (14,23 и

23,14) из формул (16) и (17) получим следующее соотношение для величин *14,23 = ^3^14 и *23,14 = /23 , имеющих раз-

мерность сопротивления:

р

= * = Е±.- 1п^2 3А 1 2’ .

2п , - 53

В случае зондовых комбинаций (13,24 и

24,13) и (12,43 и 43,12) из формул (11), (12), (21) и (22) аналогичным образом получаем выражения для величин *1324 = У24//13 ,

*24,13 = ^131124 , *12,43 = Р4^/12 и *43,12 = Рп1/43 :

р ,

*13,24 = *24,13 = *Ъ = р - ^ } ,

2п , - 53

р ,

/Л.- 1п^—3А 1 ' ^ .

*14,23 *23,14

*12,43 *43,12 *"

2п ( + 52 + 53 )2

Из формул (27), (28) и (29) следует, что величины *а, *Ъ и *с удовлетворяют равенству:

* = *Ъ + *с .

Равенство (30) позволяет вычислить лю-

бую из трех величин Ra, R[i

R

если две

других измерены.

При реализации двухкомбинационного четырехзондового метода можно использовать любую из трех двойных комбинаций:

A-C, A-B и B-C, где А - любая из комбинаций (14,23 и 23,14), В - любая из комбинаций (13,24 и 24,13), С - любая из комбина-

ций (12,43 и 43,12).

В работах [16-18] теория двухкомбинационного метода рассмотрена для случая использования двух комбинаций A-C. В этом случае из формул (27) и (29) получают уравнение:

exp (-2nRj ps) + exp (-2nRjps ) = 1. (31) Из уравнения (31) можно определить ps, если измерены Ra и Rc. Для этого, используя равенства:

Ra = 1 (Ra + Rc) +1 (Ra - Rc),

Rc = 2 (Ra + Rc)-2 (Ra - Rc ), уравнение (31) преобразуют к виду:

\RJRC)-1 ln2'

ch

1 Г ln2 1

= - exp V /1 у

2

(*а/*с ) + 1 /1

При получении уравнения (32) использовано равенство: 1п2//1 =п(*а + *с )/рх , из которого следует формула для расчета р, в рассматриваемом случае:

где функция / = / (Яа/Яс) есть решение трансцендентного уравнения (32) для измеренных значений Яа и Яс. В табл. 2 приведены значения функции / для различных

значений (в интервалне от 1 до 10) отношения (RalRc ) .

Для случая применения двух комбинаций A-B из формул (27) и (28) можно получить уравнение:

exp

которое с помощью равенств:

Ra = 1 (Ra + Rb ) + 1 (Ra - Rb ),

Rb = 1 ( + R)-1 ( - Rb ),

преобразуется к виду:

)-1 In2'

(RjRb) +1 /2

sh

2 • exp

V /2 У

При получении уравнения (35) использовано равенство: 1п2//2 = п(*а + *Ъ)/рх, из которого получается формула для расчета р, при использовании комбинаций А-В:

где функция /2 = /2 (Ra/RI,) есть решение трансцендентного уравнения (35) для измеренных значений Ra и Rъ. В табл. 3 приведены значения функции /2 для различных значений (в интервалне от 1 до 10) отношения (RalRt) .

Для случая применения двух комбинаций B-C из формул (2B) и (29) получим уравнение:

exp

которое с помощью равенств:

R = 1 ( + Rc)+2 ( - Rc),

Rc = 2 ( + Rc)-2 ( - Rc),

Функция / для различных значений отношения

Таблица 2

и

Ra/Rc fi Ra/Rc fi Ra/Rc fi Ra/Rc fi

1 1 2,В 0,916945 4,6 0,В362705 6,6 0,77227В4

1,1 0,999222 2,9 0,91176В 4,7 0,В325174 6,В 0,7669557

1,2 0,997124 3 0,906679 4,В 0,В2ВВ315 7 0,7617924

1,3 0,994072 3,1 0,9016654 4,9 0,В252113 7,2 0,7567В0В

1,4 0,99031 3,2 0,В967345 5 0,В216551 7,4 0,7519139

1,5 0,9В59В5 3,3 0,В91 ВВ74 5,1 0,В1В1613 7,5 0,7495327

1,6 0,9В12В1 3,4 0,ВВ71244 5,2 0,В1472В4 7,6 0,7471 В52

1,7 0,97626В 3,5 0,ВВ24457 5,3 0,В113549 7,В 0,7425ВВ3

1,В 0,971072 3,6 0,В77В50В 5,4 0,В0В0394 В 0,73В1174

1,9 0,965716 3,7 0,В73339 5,5 0,В047В03 В,2 0,7337669

2 0,96027В 3,В 0,В6В9094 5,6 0,В015763 В,4 0,7295316

2,1 0,9547ВВ 3,9 0,В64560В 5,7 0,79В426 В,5 0,7274556

2,2 0,949292 4 0,В602919 5,В 0,79532В В,6 0,7254066

2,3 0,9437В5 4,1 0,В561015 5,9 0,7922В1 В,В 0,7213В73

2,4 0,93В321 4,2 0,В519В7В 6 0,7В92В3В 9 0,7174691

2,5 0,932ВВ3 4,3 0,В479495 6,2 0,7В34337 9,2 0,71364В1

2,6 0,92750В 4,4 0,В439В5 6,4 0,77776В2 9,5 0,70В0901

2,7 0,9221 ВВ 4,5 0,В400925 6,5 0,7750019 10 0,6992594

Таблица 3

Функция /2 для различных значений отношения

Ра/РЬ Т2 Ра/РЬ Т2 Ра/РЬ Т2 Ра/ВД Т2

1 0,05 1,3 0,588953 2,1 0,996363 4,1 1,402278

1,01 0,204502 1,31 0,5967622 2,2 1,029877 4,2 1,414027

1,02 0,241672 1,32 0,6044432 2,3 1,061112 4,3 1,425319

1,05 0,311994 1,33 0,6120014 2,4 1,090311 4,4 1,43618

1,075 0,354448 1,34 0,6194415 2,5 1,117676 4,5 1,446636

1,1 0,390312 1,35 0,6267681 2,6 1,143389 4,6 1,456709

1,12 0,4159573 1,36 0,6339853 2,7 1,1676 4,7 1,466419

1,14 0,439625 1,4 0,6618344 2,8 1,190444 4,8 1,475786

1,16 0,4617255 1,45 0,6945859 2,9 1,212037 4,9 1,484828

1,18 0,4825403 1,5 0,7253432 3 1,232483 5 1,493561

1,2 0,502272 1,55 0,7543529 3,1 1,251874 5,5 1,533116

1,21 0,51178 1,6 0,7818103 3,2 1,270292 6 1,566918

1,22 0,521071 1,65 0,8078744 3,3 1,287809 6,5 1,596143

1,23 0,5301582 1,7 0,832677 3,4 1,304493 7 1,621663

1,24 0,5390544 1,75 0,8563296 3,5 1,320402 7,5 1,644143

1,25 0,5477701 1,8 0,8789275 3,6 1,335589 8 1,664097

1,26 0,5563151 1,85 0,9005533 3,7 1,350105 8,5 1,681929

1,27 0,5646982 1,9 0,9212793 3,8 1,363993 9 1,69796

1,28 0,5729275 1,95 0,9411693 3,9 1,377294 9,5 1,712451

1,29 0,5810102 2 0,9602801 4 1,390044 10 1,725614

Таблица 4

Функция /3 для различных значений отношения

Рь / Рс Та Рь / Рс Та Рь / Рс Та

1,05 58,41002 2,9 2,229657 4,9 1,401728

1,075 39,20289 3 2,15073 5 1,381247

1,1 29,59861 3,1 2,079104 5,1 1,361703

1,2 15,18862 3,2 2,01379 5,2 1,34303

1,3 10,3817 3,3 1,953971 5,3 1,325169

1,4 7,97571 3,4 1,898967 5,4 1,308065

1,5 6,53021 3,5 1,848204 5,5 1,29167

1,6 5,565055 3,6 1,801199 5,6 1,275939

1,7 4,87445 3,7 1,757537 5,7 1,260829

1,8 4,355495 3,8 1,716866 5,8 1,246303

1,9 3,951019 3,9 1,678879 5,9 1,232327

2 3,626716 4 1,643311 6 1,218868

2,1 3,360753 4,1 1,609931 6,5 1,158369

2,2 3,138571 4,2 1,578537 7 1,107177

2,3 2,95009 4,3 1,548951 7,5 1,063205

2,4 2,788106 4,4 1,521016 8 1,024956

2,5 2,647338 4,5 1,494593 8,5 0,991326

2,6 2,523822 4,6 1,469557 9 0,961482

2,7 2,414526 4,7 1,445799 9,5 0,934782

2,8 2,317092 4,8 1,423219 10 0,910726

sh

1 (1п2 "і

= - ехр V /3 ;

2

преобразуется к виду:

\*ъ/*с) +1 1п2'

(*ъ/*с )- 1 /з _

При получении уравнения (38) использовано равенство: 1п2//3 = п(*ъ — *с)р,, из

которого следует формула для расчета р, при использовании двух комбинаций В-С:

где функция / = /3 (Яь/Яс) есть решение

трансцендентного уравнения (38) для измеренных значений Яь и Яс. В табл. 4 приве-

дены значения функции /3 для различных значений (в интервалне от 1,05 до 10) отношения (*ъ/*с) .

При измерении поверхностного сопротивления р, тонкого проводящего слоя, расположенного на изолирующей плоской подложке, четыре металлических зонда устанавливают на поверхности слоя вдоль прямой линии так, чтобы расстояние от любого из контактов 1, 2, 3 и 4 до внешнего контура проводящего слоя было много больше толщины ш этого слоя. Затем последовательно выполняют измерения токов и напряжений для любых двух комбинаций зондов: А-С, А-В или В-С. Переход от одной

зондовой комбинации к другой осуществляют путем изменения подключения внешних проводников измерительной схемы к четырем клеммам на выносной плате, к которым подключены одинаковые (по длине и площади сечения) соединительные проводники от металлических зондов. После этого рассчитывают значения двух величин из трех: *а, *ъ и *с, а также значения функции / и поверхностного сопротивления р, слоя на основе формул, соответствующих использованным двум зондовым комбинациям. Если толщина ш проводящего слоя измерена, то далее можно рассчитать удельное сопротивление материала слоя: р = р^ .

При измерении р, на слоях с низкими значениями удельного сопротивления р рекомендуется применять две зондовые комбинации А-В, так как *а > *ъ > *с, и поэтому при использовании комбинаций А-В имеют место более высокие напряжения на потенциальных зондах при одинаковых токах, протекающих через токовые зонды, по сравнению с комбинациями А-С и В-С.

При измерении р, на слоях с высокими

значениями удельного сопротивления р

(более 100 Ом-см), например, на аморфных и поликристаллических пленках германия и кремния, следует отдать предпочтение двум зондовым комбинациям А-С, причем из комбинаций А-(14,23 и 23,14) рекомендуется использовать комбинацию 23,14. Выполнение этой рекомендации при измерении поверхностного сопротивления высокоомного слоя обеспечивает получение более высоких значений тока, протекающего через токовые контакты вследствие наименьшего расстояния между ними при использовании рекомендуемых комбинаций.

Заключение

Таким образом, в данной работе показано, что при определении удельного и поверхностного сопротивлений тонких металлических пленок четырехзондовым методом зондовые комбинации в каждой их паре: (14,23 и 23,14) и (13,24 и 24,13), эквивалентны друг другу относительно определяемых величин р и р, в случае произвольных расстояниях между зондами, установленными вдоль прямой линии. При этом расхождение результатов измерений в каждой паре комбинаций либо не превышает 0,89 %, либо отсутствует.

Из сравнения пары комбинаций (13,24 и 24,13) с парой (14,23 и 23,14) относительно измеряемых величин р* и р,* пленок меди, алюминия и титана следует, что значения относительного отклонения Др /р1 измеряемого удельного сопротивления при переходе от комбинаций (14,23 и 23,14) к

комбинациям (13,24 и 24,13) для различных пленок и комбинаций находятся в интервале (0.13+2.0) %. Эти экспериментальные данные подтверждают истинность соотношений (14) и (15) и значений поправочных коэффициентов, вычисленных по этим формулам.

Кроме этого, в данной работе получены соотношения (35), (36) и (38), (39) для расчета удельного и поверхностного сопротивлений проводящих слоев, измеряемых двухкомбинационным четырехзондовым методом при использовании еще двух пар комбинаций: A-B и B-C, которые дополняют уравнение (32), полученное Ван дер Пау для двух комбинаций A-C подключения зондов (установленных вдоль периметра тонкой пластины).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Valdes L. B. Resistivity Measurements on Germanium for Transistors // Proc. IRE. 1954. Vol. 42. P. 420-427.

[2] Xue Shu-Wen. A Study of Annealing Time Effects on the Properties of Al:ZnO // Physics Procedia. 2012. Vol. 25. P. 345-349.

[3] Hsu C. Y, Lin Y. C, Kao L. M. Effect of deposition parameters and annealing temperature on the structure and properties of Al-doped ZnO thin films // Materials Chemistry and Physics. 2010. Vol. 124. P. 330-335.

[4] Berginski M., Hupkes J., Reetz W, Rech B, Wuttig M. Recent development on surface-textured ZnO:Al films prepared by sputtering for thin-film solar cell application // Thin Solid Films. 2008. Vol. 516. P. 5836-5841.

[5] Luna-Arredondo E. J., Maldonado A., Asomo-za R., Acosta D. R., Melendez-Lira M. A., Olvera M. de la L. Indium-doped ZnO thin films deposited by the sol - gel technique // Thin Solid Films. 2005. Vol. 490. P. 132-136.

[6] Olvera M. de la L., Gomez H., Maldonado A. Doping, vacuum annealing, and thickness effect on the physical properties of zinc oxide films deposited by spray pyrolysis // Solar Energy Materials & Solar Cells. 2007. Vol. 91. P. 14491453.

[7] Hung-Peng Chang, Fang-Hsing Wang, Jen-Chi Chao, Chia-Cheng Huang, Han-Wen Liu. Effects of thickness and annealing on the properties of Ti-doped ZnO films by radio frequency magnetron sputtering // Current Applied Physics. 2011. Vol. 11. P. 185-190.

[8] Huafu Zhang, Hanfa Liu, Liu Feng. Influence of annealing temperature on the properties of ZnO:Zr films deposited by direct current magnetron sputtering // Vacuum. 2010. Vol. 84. P. 833-836.

[9] Xuhu Yu, Jin MaT, Feng Ji, Yuheng Wang, Xijian Zhang, Honglei Ma. Influence of annealing on the properties of ZnO:Ga films prepared by radio frequency magnetron sputtering // Thin Solid Films. 2005. Vol. 483. P. 296-300.

[10] Jongmin Lim, Kyoungchul Shin, Chongmu Lee. Effects of annealing temperature on the carrier concentrations, the carrier mobilities and the quality of nitrogen doped ZnO films deposited by

magnetron sputtering // J. Materials Science. 2004. Vol. 39. P. 3195-3197.

[11] Smits F. M. Measuremant of Sheet Resistivities with the Four-Point Probe // Bell Syst. Tech. J. 1958. Vol. 37. № 5. Р. 711-718.

[12] Vaughan D. E. Four-probe resistivity measurements on small circular specimens // Brit. J. Appl. Phys. 1961. Vol. 12. № 8. P. 414-416.

[13] Rymaszewski R. Relationship between the correction factor of the four-point probe value and the selection of potential and current electrodes // J. Sci. Instrum. (J. Phys. E). 1969. Vol. 2. № 2. P. 170-174.

[14] Батавин В. В., Концевой Ю. А., Федорович Ю.В. Измерение параметров полупроводниковых материалов и структур. М. : Радио и связь. 1985. C. 17.

[15] Таблицы физических величин. Справочник / под ред. академика И. К. Кикоина. М. : Атомиз-дат. 1976. C. 305.

[16] Rymaszewski R. Empirical method of calibrating a 4point microarry for measuring thin-film-sheet resistance // Electron. Lett. 1967. Vol. 3. № 2. P. 57-58.

[17] Van der Pauw L. J. A Method of Measuring Specific Resistivity and Hall Effect of Discs of Arbitrary Shape // Philips Research Reports. 1958. Vol. 13. № 1. P. 1-9.

[18] Van der Pauw L. J. A Method of Measuring the Resistivity and Hall Coefficient on Lamellae of Arbitrary Shape // Philips Technical Review. 1958/1959. Vol. 20. № 8. P. 220-224.