Незавершенная работа в системах обслуживания с бесконечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока

Н.И. Головко,

кандидат технических наук, доцент кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ;

В.В. Катрахов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ;

Н.А. Кучер,

аспирант кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ

НЕЗАВЕРШЕННАЯ РАБОТА В СИСТЕМАХ

ОБСЛУЖИВАНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ НАКОПИТЕЛЕМ ПРИ СКАЧКООБРАЗНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ВХОДНОГО ПОТОКА

Рассматриваются системы массового обслуживания (СМО) типа М /M/ 1 с бесконечным накопителем, экспоненциальным обслуживанием, с дважды стохастическим входным пуассоновским потоком заявок со скачкообразной интенсивностью. Относительно характеристик незавершенной работы получено уравнение типа Такача, которое решается с применением преобразованний Лапласа и Стилтьеса. С помощью указанного уравнения находятся моменты незавершенной работы. Проводятся результаты численного анализа.

Настоящая работа выполнена в области теории массового обслуживания (ТМО). Развитие этой теории в значительной мере стимулируется практическими задачами проектирования и эксплуатации вычислительных систем и сетей. Одним из интересных вероятностных процессов ТМО является незавершенная работа. Характеристики этой функции чрезвычайно важны для понимания работы системы массового обслуживания (СМО). Незавершенная работа в системах с постоянными параметрами достаточно хорошо изучена в литературе [3]. Однако на практике чаще приходится сталкиваться с системами, параметры которых изменяются с течением времени. Например, для локальных вычислительных сетей характерна скачкообразная интенсивность входного потока. Изучению такого случая и посвящена данная статья.

В настоящей работе рассматриваются СМО типа М / M / 1 с одним прибором, бесконечным накопителем, экспоненциальным обслуживанием. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток, интенсивность которого X(t) представляет собой следующий скачкообразный процесс. Процесс X(t) в течение случайного интервала времени T сохраняет постоянное значение, затем мгновенно изменяет свое значение на новое и опять в течение случайного интервала T сохраняет постоянное значение и так далее. Случайная величина T распределена по экспоненциальному закону с параметром a. Интенсивность X(t) изменяется на отрезке^, 6] и имеет в точках разрыва t0 справа условную плотность распределения:

ф(х I У) = Р {х < 0 + 0) < х + dx / 0 - 0) = у} / dx.

Обозначим через и(1) незавершенную работу системы в момент времени 1. Незавершенная работа Щ0 представляет собой время, необходимое для освобождения системы от всех заявок, находящихся в ней в момент 1.

Обозначим через F(w,t,x) нестационарную характеристику незавершенной работы:

F(а, г, х) = Р{и(г) < а, х < Л(г) < х + dx} / dx,

через /(а,х) - стационарную характеристику незавершенной работы:

f (а, х) = Р{и < а, х < X < х + dx} / dx,

где через и обозначена незавершенная работа в стационарном режиме. В частности, в качестве /(а,х) можно рассматривать предел /(а,х) =ИтГ(а,г,х) при г — со.

Наша задача заключается в получении формул для вычисления среднего значения (или математического ожидания) Ми и дисперсии DU незавершенной работы в случае произвольного закона распределения времени обслуживания В(х).

Заметим, что если время обслуживания г) распределено по экспоненциальному закону, т.е.

В)

то имеют место следующие формулы

ми « X/М ,

DU « Щ ,

где X - средняя интенсивность входного потока, М - интенсивность обслуживания.

Результаты (1), (2) являются непосредственным следствием формулы Литтла Му « X) [3] для среднего значения числа заявок Му в стационарном режиме, где средняя длительность обслуживания ) в случае экспоненциального закона (1) равна

) = I* хВ '(х)4х = 1/м .

•Ю

Согласно определению незавершенной работы, среднее значение Ми приближенно равно Ми « Му  ) « X/и 2 . Аналогично находится дисперсия незавершенной работы DU « Dy  ) « X/¡и3 , т.е. имеют место формулы (2), (3).

С помощью А - метода [2] получено, что функция /(а,х) отвечает интегро-дифференциальному уравнению типа Такача [1]:

- (а + х)/(о, х) + дГ((°, х) + хГ В(р - s) +

да •'0 д

+ а*ф

Уравнение (4) решается с применением преобразований Лапласа и Стилтьеса в случае, когда ф(х|у) = ф(х), т.е. условная плотность совпадает с плотностью р(х) = Р{х < 0 + 0) < х + dx} / dx.

Преобразования Лапласа и Стилтьеса

При выполнении условия ф(х|у) = ф(х) уравнение (4) будет иметь

вид:

- (а + х)/(а, х) + ^оА + хГ В(а - ъ) ^^ + У ' У ' да л> у ' д

+ а

Обозначим через R "(г, х), В "(г) преобразования Лапласа:

R*(г, х) = £ е-аг/(а, х)с1а , В*(г) = £ е_аrB(а)dа . Обозначим через Rc (г, х), Вс (г) преобразования Стилтьеса:

Rc (г, х) = £ е-аг/'а (а, х^а , Вс (г) = £ е'агВ'(а)dа ,

где принято обозначение 0- = lim(0 - е) при е^ 0 (£>0). Между преобразованиями Лапласа и Стилтьеса имеет место связь [3]

.(г, х)= ^ (r, х)+ /(0 - , х) , В.(г)= Вс (г) + в(0 -) .

г г

Учитывая, что /(0-, х) = в(0 ) = 0, получаем

R '

г г

Применим к уравнению (5) преобразование Лапласа. Преобразование члена / (а, х) равно ^ *(г, х). Но это преобразование включает

/0+,х) - преобразование импульса, расположенного в точке ю = 0, и так как уравнение (5) не содержит этого импульса, то его надо вычесть, поэтому получим

- (а + х^*(г, х) + ^*(г, х) - /(0 +, х) + хВ'(г(г, х) +

+ ар

Заметим, что /(0 +, х) = р0 (х), где функция р0 (х) равна

р0 (х) = Р{у = 0, х < X < х + dx} / dx , V - число заявок в стационарном режиме. Кроме того, интеграл

Гр0 (х Vх = qo

Jа

представляет собой вероятность того, что в стационарном режиме в рассматриваемой СМО отсутствуют заявки.

Перейдем в уравнении (7) к преобразованиям Стилтьеса по формулам (6) и выразим Rc(r,x):

„ ч ГРо (х) " а(р(х) Г Яс (г, У ¥у

Яс

г + хИс

Обозначим L(r, х) = г + хИс (г) - (а + х) и проинтегрируем (8) по х е [а,Ь], получим

ь . . ГгР0

1,0 1 + {ар

За

Таким образом, получено преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения незавершенной работы. Нахождение обратного преобразования связано со значительными затруднениями, однако через преобразования Лапласа-Стилтьеса выражаются моменты незавершенной работы.

Математическое ожидание и дисперсия незавершенной работы

Получим формулы для вычисления математического ожидания Ми и дисперсии DU незавершенной работы. Введем обозначение

Яс (г) = (г, хК .

¿а

Для математического ожидания имеем

Ми = Г Г х У^^х =

За! 0+

= - ^ ГКс (г, х^х |г = о = - ^ Яс (г) 1г = 0 = - К (0) . дг •'а дг

Для дисперсии имеем DU=MU2-(MU)2,

где Ми2 = |Гю2х^Ых = [Я(г, х^х 1Г = о = Я"(0).

Таким образом, получили следующие формулы для математического ожидания и дисперсии незавершенной работы

ми = - Яс'

DU = Я;

Вычислим математическое ожидание Ми по формуле (10). Используя формулу (9), получим

Я;

г ^ 0

Яс (0) = Нт

Я2 (г У

где Я1(0) = Я2(0) = 0, т.е. возникает неопределенность, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя. Первые производные от Я1(г) и Я2(г) в точке г = 0 имеют следующие выражения

я; (0) = -ГР^х) ах, Я2 (0) = -Гр(х)[1 + хис (0)] ах,

За а За а

{Р0(х)ах следовательно, Яс (0) = а

£р(х )[1 + хис (0)]ах

Приравнивая Rc (о) к 1 (условие нормировки), найдем q0 - вероятность того, что число заявок в стационарном режиме в СМО равно нулю, т.е.

qo = {>(x)[1 + xBC (0)]dx .

Заметим, что при вычислении R'c(о) снова возникают неопределенности, которые раскрываются по правилу Лопиталя. Для краткости записей будем использовать обозначения Ri = Ri (г), R2 = R2 (г). Применяя правило Лопиталя, получим

RC(0) = Um [R1R2 - R1R2 ] = lim R1R2 - RR = Щ _ R (0М°) .

cW г 0 [r2 ] г 0 2R2 R2 2R2

Вторые производные от R1(r) и R2(r) в точке г = 0 имеют следующие выражения

Ri'(0) = - "4 \ЬР0 (x)[1 + xBC (0)]dx,

n2 Ja

¡2(0) = -JÍW¿

R?(0) = -1 Ф Л + 2[1 + xB c (0)]2 wx

Таким образом, математическое ожидание незавершенной работы получено в виде

ми = - (о— (о) _ «[(О). (12>

2Я22(0) 2«; (о) 1 '

Применяя правило Лопиталя, несколько раз можно раскрыть неопределенность в Я"(о) и вычислить дисперсию DU незавершенной работы. Получаем

-„

д } 3—;2 (о) 2Я23 (о) ,

где третьи производные Я[(о) и -2" (о) находятся непосредственно, без применения правила Лопиталя. При этом получены следующие выражения для третьих производных

-Г(о) = _ 4 Гяо(х)хВ"с(оУх - -6Г ?Ро(х)[1 + хВ'с(о)]2dx ,

а ^ а ^

R2"'(0) = - - jV(x)xBC(0)dx - J%(x)xBC (0)[1 + xB'c (0)]dx a Ja a Ja

6 rb

Г<р(х)[1 + хВС (о)]3 dx .

а ™

Учитывая полученные результаты, можно вычислить дисперсию незавершенной работы по формуле (11).

Таким образом, необходимым условием существования моментов незавершенной работы Ми и DU будет очевидно условие отличия от нуля выражения Я'2 (о).

Заметим, что в случае экспоненциального распределения времени обслуживания В ( а) = 1- е~сср преобразование Стилтьеса Вс(г) будет равно

Вс (г) = Г е - ^ ре - = .

сУ ' -ю- г + р

Выражение R2 (о) в случае экспоненциального закона времени обслуживания будет иметь вид

^ (о) = Ых)[1 - х/р] dx = - ± |Ьр(х)[р - x]dx.

а ар за

Учитывая условие отсутствия перегрузок: Ь < р, всегда выполняется условие х < р, значит, (р(х)[р - х] > 0 для любого х. Следовательно, выражение R2 (о) всегда отлично от нуля. Получили, что в случае экспоненциального закона выполняется необходимое условие существования стационарного режима.

Численный анализ

Численный анализ проводился с целью наблюдения за поведением среднего значения и дисперсии незавершенной работы в зависимости от входных параметров. В качестве функции р(х) рассматривалась плотность равномерного распределения рх)=1/(Ь-а). Расчет моментов незавершенной работы проводился по различным сечениям следующих входных данных: а=1, Ь=2, а=1, р=2,2.

Зависимость функций Ми и DU от изменения интенсивности обслуживания р (ти), Ь<р показана на рисунках 1, 2 соответственно.

По графикам на рис.1 и рис.2 видно, что с увеличением р значения MU и DU убывают. Действительно, анализируя приближенные формулы (2), (3), легко увидеть, что с увеличением интенсивности обслуживания математическое ожидание и дисперсия стремятся к нулю.

Зависимость моментов незавершенной работы от a (alfa) показана на рисунках 3 и 4.

1,05 1

0,95

рис.3

Q

2,2 2 1,8 1,6

0 0,5 1

alfa

рис.4

0 0,5 1

alfa

2

2

Увеличение параметра а незначительно влияет на уменьшение Ми

и DU.

На следующих рисунках показана зависимость математического ожидания и дисперсии от а и Ь.

рис.5

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Q 15 10 5 0

рис.6

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

a

a

При увеличении а или Ь математическое ожидание и дисперсия незавершенной работы увеличиваются. Это объясняется тем, что с увеличением а или Ь увеличивается среднее значение интенсивности входного потока Л = (а + Ь) / 2, и в соответствии с приближенными формулами (2), (3), значения Ми и DU увеличиваются.

Таким образом, приведенные численные результаты получили теоретическое обоснование.

Литература

1. Головко Н.И., Коротаев И.А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вычислительная техника. 1989. №2. С.36-39.

2. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.

3. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.