Механизмы формирования "запрещенных рефлексов" в кристаллическом германии в области аномального рассеяния

Механизмы формирования «запрещенных рефлексов» в кристаллическом германии в области аномального

рассеяния.

Ведринский Р. В.

(1) НИИ Физики Ростовского государственного университета.

1. Термоиндуцированный механизм возникновения «запрещенных» брэгговских рефлексов в германии

За последние годы существенно возрос интерес к теоретическому и экспериментальному изучению процессов рассеяния рентгеновского излучения в веществе, происходящих в условиях, когда энергии рентгеновских фотонов близки к энергии ионизации одного из остовных уровней атомов в веществе. О таких процессах говорят как о процессах аномального или резонансного рассеяния. В области аномального рассеяния атомный фактор рассеяния (АФР) может в существенной степени зависеть от геометрии ближнего окружения рассеивающих атомов, как это имеет место для сечения рентгеновского поглощения в околопороговых областях спектра [1]. Анизотропия АФР влечет за собой как явления, хорошо известные в кристаллооптике видимого света, так и явления, специфические для рентгеновской области спектра. К числу последних относится появление "структурно запрещенных" рефлексов, теоретически исследованное в работах [2,3,4]. Эти рефлексы неоднократно наблюдались экспериментально [5,6,7]. Анизотропия АФР может быть вызвана пониженной симметрией ближнего окружения резонансно рассеивающих атомов. Возникновение за счет этого эффекта брэгговских рефлексов, запрещенных в области нормального рассеяния, было впервые рассмотрено Л. Темплтон и Д. Темплтоном [8].

В случае темплтоновского механизма снятия запрета эффект обусловлен достаточно низкой симметрией ближнего окружения рассеивающих атомов. В этом случае АФР атомов, находящихся в трансляционно-неэквивалентных позициях в элементарной ячейке, но связанных друг с другом такими элементами симметрии как винтовые оси и плоскости скольжения, в области аномального рассеяния различны, что и может привести к возникновению рефлексов, запрещенных в области нормального рассеяния. В веществах с более высокой симметрией окружения идентичных атомов в ячейке такой вклад будет отсутствовать из-за того, что, по крайней мере в дипольном приближении, тензор АФР и в области аномального рассеяния остается шаровым, вследствие чего АФР различных идентичных атомов в элементарной ячейке остаются одинаковыми в области аномального рассеяния, как и в области нормального рассеяния. Примером веществ такого типа является кристаллический германий, имеющий решетку со структурой алмаза, сформированную из двух кубических гранецентрированных подрешеток, «вставленных» друг в друга. Локальная симметрия окружения атомов германия 43т. В этом случае любой симметричный тензор второго ранга является шаровым и, хотя ближнее окружение разных атомов германия в кристалле различно, это различие не приводит к снятию запрета на появление брэгговских рефлексов, запрещенных в области нормального рассеяния. Чтобы яснее представить себе причины этого, рассмотрим

подробнее возникающую ситуацию на примере 006 рефлекса. В кристалле германия имеются две трансляционно-неэквивалентные позиции атомов, обозначенные на рис. 1 черными и заштрихованными кружками, соответственно. Используем общее выраже-

(FHV =У (f ) e~iHrs f

ние для тензора структурного фактора [9]: V , где 1$-

s

тензор АФР атома с номером s, суммирование проводится по всем атомам в элементарной ячейке, H - вектор обратной решетки, обусловливающий рассматриваемый брэг-говский рефлекс. Поскольку тензоры АФР в дипольном приближении - шаровые, тензор F - также шаровой и для рефлекса (006) он имеет вид: F = 2fi — 2f2 + 2fi — 2f2, где fi и /2 - АФР атомов германия, принадлежащих разным подрешеткам, суммирование ведется по всем атомам в кубической элементарной ячейке. Поскольку /1 = /2, то F = 0, так что рефлекс (006) остается запрещенным и в области аномального рассеяния, если рассеяние описывать в дипольном приближении и не учитывать смещений атомов из узлов решетки. В таком случае «запрещенные» рефлексы могут возникать благодаря вкладам в АФР от тензоров более высокого ранга. Например, «запрещенные» рефлексы в германии могут появиться при учете вклада в АФР от диполь-квадрупольных процессов рассеяния, матричные элементы которых выражаются через тензоры третьего ранга:

Z =у

здесь и в дальнейших формулах Г - ширина промежуточного электрон-дырочного возбужденного состояния, зависящая от энергии виртуального фотоэлектрона, суммирование проводится по свободным состояниям, лежащим выше уровня Ферми.

Существует другой механизм, который может приводить к появлению «запрещенных» рефлексов в германии [10,11]. Именно, если рассеивающий атом сдвигается из своего равновесного положения за счет тепловых колебаний, то точечная симметрия его окружения понижается, и дипольный анизотропный вклад в структурный фактор становиться отличным от нуля. Такое движение всегда присутствует в веществе - это обычное тепловое движение. Вызванную им анизотропию называют термоиндуциро-ванной - thermal-motion induced (TMI) анизотропией. Характерной ее особенностью является сильная температурная зависимость интенсивности рассеяния - совершенно очевидно, что с ростом температуры и повышением при этом амплитуд колебаний атомов, интенсивность «запрещенных» рефлексов должна возрастать. Было показано, что для германия этот эффект дает при высоких температурах главный вклад в интенсивность рефлексов 00/, где /=4п+2 [10]. Тот факт, что при низких температурах был зафиксирован температурно-независимый вклад, может указывать на существовании также и диполь-квадрупольной анизотропии. За последнее время появилось значительное число экспериментальных и теоретических работ, посвященных возникновению «запрещенных» рефлексов в области частот рентгеновского излучения, близких к Ge К краю поглощения. В работах [10,11] на основе обнаруженной сильной температурной зависимости интенсивности «запрещенных» рефлексов была высказана идея об основном вкладе от TMI эффекта. В этих работах были получены приближенные соотноше-

ния, выражающие интенсивности «запрещенных» рефлексов через корреляторы относительных смещений соседних атомов германия. В то же время никаких расчетов этих интенсивностей в работах [10,11] проведено не было. В работе [12] были представлены результаты расчета спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов от частоты излучения с учетом процессов диполь-квадрупольного рассеяния. Авторы работы [12] проигнорировали сильную температурную зависимость интенсивности «запрещенных» рефлексов, но форма спектральной зависимости интенсивности «запрещенных» рефлексов была получена в [12] в достаточно хорошем согласии с экспериментом. В связи с этим возникает задача расчета спектральной зависимости интенсивности «запрещенных» рефлексов вблизи Ое К края поглощения с учетом как диполь-квадрупольного, так и термоиндуцированного механизмов. Выполненные предварительные исследования показали, что полученные в работах [10,11] приближенные соотношения для интенсивности «запрещенных» рефлексов, обусловленной смещениями атомов, являются недостаточно точными, так что нашей первой задачей была задача уточнения этих соотношений, что сделано ниже в данном разделе.

Тензор структурного фактора рассеяния, усредненный его по тепловым колебаниям атомов, записывается в виде:

где черта означает усреднение по отклонениям ц^) атомов с номерами я от положений равновесия. Суммирование проводится по всем атомам элементарной ячейки. /(я) -тензор АФР атома с номером 5. При усреднении в (2) надо учитывать, что тензор /(Я) зависит от смещений из узлов решетки как рассеивающего, так и окружающих его атомов.

В дипольном приближении анизотропию аномального рассеяния можно описать с помощью тензора АФР/(), зависящего от атомного окружения и частоты рентгеновского излучения. Если пренебречь тепловым движением, то тензор/(я) является шаровым вследствие 43т симметрии равновесных позиций, и запрет на возникновение рефлексов не снимается. Вычислим анизотропный вклад в АФР //я). Будем считать, что рассеивающим является атом с номером 0, занимающий узел с координатами (000), а четыре его ближайших соседа занимают узлы с координатами которые в долях

„ (111 ^ (и 1 ^ (11!^ (1 и^ А;Г _

ячейки равны: I---I, I---I, I---I, I---I. Мы будем учитывать тепловые

^ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 /^4 4 4 )

смещения лишь рассеивающего атома и его ближайших соседей. Позже мы остановимся на обосновании такого приближения. Полагая смещения и, следовательно, вызванную ими анизотропию, малыми, тензор АФР можно разложить по смещениям атомов из узлов решетки и ограничиться только членами 1-го порядка:

(0) = Х к (N К (N) +

N=0

где /,к (N) =

/

дщ

•

• пш 9 •

•

1 Л/4; 1/4; 1/4) 1 ш

У 9 ^

- производная тензора АФР по компоненте к вектора смещения

атома с номером N из узла решетки. По повторяющимся векторным индексам подразумевается суммирование. Экспонента в (2) разлагается аналогичным образом:

^ ^ 1 _ нкЩ (0),

Рис 1. Элементарная ячейка кристалла ве. Разной заливкой обозначены атомы из разных подрешеток.

1

где и(0) - смещения центрального атома из положения равновесия в точке (000).

После подстановки (3) и (4) в (2) и проведения соответствующих усреднений мы получим выражение, связывающее усредненный структурный фактор с корреляционными функциями ит (0Х (0) и ит (N К (0) N Ф 0). (Очевидно, что слагаемые, содержащие члены ит () , при усреднении зануляются.) Ввиду 43т симметрии окружения атомов германия:

ит (0К (0) = 3и ^тп, где и - среднеквадратичное смещение атома из узла. Тензоры

ит (N)ип (0) симметричны и для любого N от 1 до 4 могут быть выражены через коррелятор ит (1)ип (0) с помощью операций симметрии группы 43т. С учетом этого

вычислим тензор АФР атома с номером 0. Ограничимся рассмотрением 00/ «запрещенных» рефлексов (ось z направлена вдоль переданного импульса, вектор Н имеет координаты (0,0,Н2)) и запишем лишь неисчезающие после усреднения слагаемые:

V

дГп 4 дГп

У -ик(0) + I у

ик

дик

Учтя следующие соотношения, вытекающие из общих симметрийных соображе-

ний:

д/ху (0 = д/ху ( 0

дх

(5).

д/ху (1) + д/ху (2) + д/ху (3) + д/ху (4) = 4 д/ху (1) дг(1) дг(2) дz(3) дz(4) дг(1) , и то, что иг (0)их (0) = иг (0)иу (0) = 0 , и кроме того, так как через направление, соединяющее центральный атом с ближайшим соседом проходит ось третьего порядка и плоскость симметрии (-110), преобразования вида х ^ у ^ z ^ х и х о- у должны оставлять неизменными тензор ит (N)ип(0). Это приводит к тому, что

иг 2

и

их (0)их (1) = и (0)иу (1) = и2 (0)Uz (1),

и, (0)и„ (1) = иу (0)и, (1) = и (0К (1) . В итоге можно получить итоговое выражение для единственной независимой компоненты рассматриваемого тензора:

& &

иг

ди2

ди2

дих

или

(/ (0)н) ху = —И

д/х

ху

-и, (0)2 + 4-

ди,

или в несколько более общем виде:

дху иг

дих

(Г н) к = -41И

1 иг

4 дщ

т

}кп

где тензор , - тензор 3-его ранга, обладающий симметрией 43т , единственными не нулевыми компонентами которого являются: Т123 = Т231 =... Т312 = 1.

Окружение атома из второй подрешетки германия получается из окружения атома первой подрешетки инверсией и сдвигом на У телесной диагонали, вследствие чего тензоры третьего ранга, входящие в выражение для тензора АФР атомов второй подрешетки, в соответствии со своими трансформационными свойствами равны 1'ф = — /ук, где штрих обозначает принадлежность атома к второй подрешетке.

Структурный фактор определяется суммой вида ^'

5

V ? н фе- На 5

в кото-

рой для запрещенных рефлексов экспоненты равны ±1, где каждый знак относится к соответствующей подрешетке. В случае скалярной амплитуды, которая при инверсии переходит сама в себя, происходит полная компенсация вкладов от подрешеток, и обратившийся в нуль структурный фактор обеспечивает погасание рефлекса. В нашем случае к изменению знака, связанному с дополнительной разностью хода рентгеновского излучения между атомами, входящими в различные подрешетки, добавляется изменение знака тензора третьего ранга при инверсии. Таким образом, в рассматриваемом случае структурный фактор имеет вид:

(Р н) Ук = 8( / н) Ук =

1 д/ху

= —32ИП

4 ди,

и,

Т,

]кп'

поскольку сумма по ячейке (содержащей 8 атомов германия) сводится теперь к сложению 8 одинаковых слагаемых.

2 2 2 2 1 Введем корреляторы и± и и|| , где и± + щ = |и(1) — и(0)| , описывающие

1 Г1111

смещения атома 1, расположенного в точке I 444 I относительно атома, расположенного в начале координат, в направлениях, перпендикулярном и параллельном оси третьего порядка кристалла, соответственно. Эти корреляторы могут быть записаны в

виде:

и,,2 = 2иД0) - 2их

и,

4и/

Если переписать (8) через эти величины, структурный фактор приобретает вид:

Ы\ ТМ1

ху

-1И_

8

хУ + 4 хУ

дщ

щ(0)2 -

16

3

ддху д/х

ху

ди2

и

16

3

2

д/ху . д/х

+ -

ху

дих

и

Первое слагаемое здесь описывает аномальное рассеяние, связанное с движением рассеивающего атома относительно всей остальной неподвижной решетки как целого, тогда как остальные два слагаемых дают амплитуду, возникающую из-за деформации ближайшего окружения относительно этого «центрального» атома. Индекс ТМ1 подчеркивает тот факт, что полученное выражение дает вклад в анизотропию структурного фактора, обусловленную ТМ1 эффектом. Следует отметить, что в предшествующих работах [10-12] учитывались либо первое, либо вторые слагаемые, но не их совместный вклад, который, как мы увидим ниже, улучшает согласие с экспериментом. Надо, конечно, иметь в виду, что полученное выражение является приближенным, так как оно не учитывает корреляций между смещениями «центрального» атома германия и атомов, лежащих за пределами его первой координационной сферы. 2. Вклад в интенсивность «запрещенных» рефлексов в германии за счет процессов диполь-квадрупольного рассеяния

В общем случае аномальный вклад в тензор АФР записывается в виде:

/ = 1

{р0 0)(Р  е 2 )е

- /к0г

2Ж Рп ОМ3Г{ Р (г)(  е1 У (г№

3.

п>Р Е0 +цт-Еп + /Г /2

Как хорошо известно, приближенная замена на 1 фигурирующих в (11) экспонент, которые близки к 1 из-за малости радиуса ионизируемой оболочки по сравнению с длиной волны излучения, дает дипольное приближение для тензора АФР. Если, напротив, учесть в первом порядке отклонение экспонент от 1, мы получим диполь-квадрупольный вклад в АФР. Поскольку учесть это отклонение можно либо в первой, либо во второй из экспонент, фигурирующих в (11), диполь-квадрупольный член вклю-

чает два слагаемых:

С

/

п> Р

(0| Ь.ШЬр >\0 (к л (0| Гкр\п){п\р . о) ^

Е0 + цл-Еп + ¿Г /2

Е0 + цл-Еп + ¿Г /2

(12),

^ 0 I 1 ^ ' ^ ^0  -I---п   - у

где к 1 и к 2 - волновые векторы падающего и рассеянного рентгеновского излучения, соответственно.

Принимая во внимание, что к2/ = + кц , где д - переданный волновой вектор, а тензор третьего ранга Z¡^ с учетом симметрии кристалла симметричен относительно

перестановки

первой

пары

индексов,

получаем:

/^) = /(k1)kZj.k - i(k2)kZJ.jk = -укдк. Совершенно аналогично рассмотренному вы-

2

ше ТМ1 случаю для атома германия из второй подрешетки, которая связана с первой

операцией инверсии, имеет место равенство: ^ук = •

Поскольку мы имеем дело сейчас точно с такой же тензорной структурой АФР, как и случае учета ТМ1 эффекта, вклад в структурный фактор, обусловленный диполь-

FXdq) =-8 ZH, где F

квадрупольным рассеянием, имеет вид: гху — —о/лху2п 2 , где * ху - единственная

независимая компонента тензора структурного фактора рассеяния.

Таким образом, мы получили выражения, которые можно использовать для практических вычислений для всех значимых механизмов, ответственных за появление анизотропии рентгеновской восприимчивости. Результирующая интенсивность «запрещенных» рефлексов пропорциональна квадрату модуля полного структурного фактора, равного сумме диполь-квадрупольного и ТМ1 вкладов:

(F H) xy =-iH

8

dfx

xy

dfx

xy

+ 4

duz

uz(0)2 -

16

16

3

2

3

dfx

xy

xy

du:

u\ -

+

' xy

dux

u

+ F

xy

z

3. Расчет спектральной интенсивности «запрещенных» рефлексов в германии

Вычисления интенсивностей «запрещенных» рефлексов вблизи Ge ^-края поглощения были выполнены одноэлектронным методом многократного рассеяния в формализме функций Грина [13-14]. Программа разработана А. А. Новаковичем. При расчетах использовалось muffin-tin (МТ) приближение для кристаллического потенциала. МТ потенциал строился тем же методом, который успешно применялся ранее для расчетов XANES [13-14]. В этом методе атомные электронные плотности вычисляются по Герману-Скиллману [15] с использованием локального спин-независимого Ха-потенциала, с а-параметром, определенным по Шварцу [16]. Электронная конфигурация всех атомов, исключая рассеивающий, считается такой же, как у свободных атомов. Поскольку рассеивающий атом возбужден на промежуточной стадии процесса аномального рассеяния, учитывалось, что он содержит 1s дырку и дополнительный экранирующий заряд. Так же как и при расчетах XANES, использовалась модель частичной экранировки, в соответствии с которой заселенность 4р оболочки ионизируемого атома Ge увеличивается на 0.8 электрона. Атомные потенциалы, используемые для расчета функций Грина виртуальных фотоэлектронов, считались спин-независимыми и определялись по электронным плотностям свободных атомов, вычисленным по Герману-Скиллману. При расчете этих потенциалов использовалась уменьшенная величина а-параметра (а=0.6), для того

Рис 2. Форма энергетической зависимости полуширины промежуточного электрон-дырочного состояния, использованная в расчете.

чтобы исключить учет самодействия электронов при описании свободных электронных состояний. МТ-нуль, как и при расчетах ХАКЕБ, размещался на 0.5 Яу ниже вакуумного нуля и потенциал полагался равным МТ-нулю везде за пределами атомных сфер. Потенциал внутри атомных сфер полагался равным сумме соответствующего потенциала свободного атома и постоянной добавки, которая является варьируемым параметром, определяемым с тем, чтобы добиться наилучшего согласия с экспериментальными данными. Для германия хорошие результаты были получены сразу без учета этой добавки, так что в данном случае она равна 0.

Чтобы учесть вызываемый многоэлектронными эффектами процесс распада электрон-дырочных состояний, функция Грина вычислялась для комплексных значений аргумента Е. Мнимая часть Е, определяющая полуширину электрон-дырочного возбуждения, есть сумма полуширины 1 уровня (^=0.5 eV) и полуширины фотоэлектронного состояния. Последняя полагалась нулевой вблизи дна полосы проводимости, а затем быстро возрастающей с ростом энергии фотоэлектрона [17], как показано на рис.2. Радиусы атомных сфер (1.43 А) выбирались так, чтобы минимизировать разрывы потенциала на их границах.

В ходе расчетов, в соответствии с (13) необходимо вычислить величины —,

ди2

д/ху д/ху

ди2 (1Г дих (1) "

и 2 . Последняя вычислялась непосредственно с помощью разрабо-

танной программы, а для вычисления первых трех было необходимо провести несколько расчетов. В первом был использован кластер, в котором все атомы Ge, кроме рассеивающего, находились в своих кристаллографических позициях, а он был сдвинут из начала координат по оси z на 0.001 А. Компонента тензора

2 =--У-, рассчитанного в таком кластере, с точностью до посто-

т Е0 + Ц$-Еп +/Г/2

д/ху В

янного множителя есть --—. Во втором расчете из своего узла на ту же величину

ди2

вдоль оси z был сдвинут атом 14 4 4 У. При расчетах в таком кластере компоненты 2ху

д/ху д/ху

-— и -—

ди2

и 2у дают, соответственно, производные ——— и ———. Корреляторы в (13) были взяты из работы [10]:

и!2 = и±02сШ

УР± 2кТ

22 и\\ = и||02с1И

V 2кТ

V ' /

ллттоХ2 „. 2 _л г\г\с:пл Я 2 ^ —н о 1 тг„

где и||02 =0.00178А2, и102=0.00574А2, <Эп =7.21ТГц, а>± =3.74ТГц. Для оценки величины

и2(0)2 использовалось соотношение (Ни)2 = АТ, где ^=0,001068 К-1 [10]. Все упомянутые расчеты проводились в 147-атомном кластере. 4. Обсуждение результатов.

Расчетный Ge К-спектр поглощения сопоставлен с экспериментальным на рис 3. По оси абсцисс спектры совмещены по положению главных пиков. Это дает возмож-

ность «привязать» друг к другу шкалы энергий фотонов и фотоэлектронов. По оси ординат спектры совмещены по их интегральным интенсивностям. Видно, что расчет, выполненный в МТ-приближении, достаточно хорошо воспроизводит экспериментальный спектр, что обосновывает используемую модель кристаллического МТ потенциала..

На рис 4 представлены экспериментальная и расчетные спектральные интенсивности (СИ) «запрещенного» (006) рефлекса вблизи Ое К-края поглощения, найденные для комнатной температуры. Спектры совмещены по энергии с использованием «привязки» шкал энергий фотонов и фотоэлектронов, выполненной для спектра поглощения. Экспериментальные данные на рис. 4 показаны синей точечной линией с треугольниками. Расчетная СИ, найденная с учетом всех членов в (13), показана черной линией, которая совмещена с экспериментальной СИ по интенсивности главного максимума. На рис. 4 приведены также расчетные СИ, полученные с учетом вкладов только от части членов в (13). Красная линия показывает СИ, найденную с учетом только 2-го и 3-го членов в квадратных скобках в (13). Учесть при расчете только эти члены было предложено в работах [10-11]. Как видно, в этом случае заметно ухудшается согласие с экспериментом на коротковолновом участке СИ. Зелеными точками показана СИ, найденная с учетом всех членов в (13), обусловленных ТМ1 эффектом. Серая линия показывает вклад только от диполь-квадрупольных процессов рассеяния. Интересно отметить, что ее интенсивность много меньше интенсивнсти линии, обусловленной ТМ1 эффектом, но форма похожа на форму линии в экспериментальной СИ, что делает понятной предпринятую в работе [12] попытку объяснить возникновение «запрещенных» рефлексов в германии исключительно диполь-квадрупольными процессами рассеяния. Как видно, учет диполь-квадрупольных процессов ведет к существенному ослаблению линии в СИ по сравнению с линией, обусловленной лишь ТМ1 процессами, что объясняется деструктивной интерференцией соответствующих амплитуд. В целом расчетная СИ достаточно хорошо согласуется с экспериментальной, хотя мы не в полной мере учли ТМ1 вклады от атомов германия за пределами первой координационной сферы. Путем прямого моделирования вкладов в СИ от смещений атомов за пределами первой координационной сферы было установлено, что эти вклады достаточно малы, и с учетом убывания корреляторов с увеличением расстояния до соответствующих атомов, следует ожидать что их вклад не окажет серьезного влияния на спектр.

Поскольку зависимость корреляторов (14) от температуры, известна, мы смогли рассчитать также зависимость СИ исследуемого «запрещенного» рефлекса от температуры. Эта зависимость демонстрируется трехмерным графиком, представленным на рис. 5.

Авторы выражают благодарность проф. В.Е. Дмитриенко за ценные обсуждения.

Литература

1. Р.В.Ведринский, И.И.Гегузин. Рентгеновские спектры поглощения твердых тел.

- М.: Энергоатомиздат, 1991, - 184 с.

2. Дмитриенко В. Е. Об аномальном поглощении рентгеновских лучей в мозаичных кристаллах. // Кристаллография.- 1982.- Т. 27.- № 2.- С. 213 - 220.

3. Беляков В. А., Дмитриенко В. Е. Об двупреломлении и дихроизме рентгеновских лучей в кристаллах. // Кристаллография.- 1982.- Т. 27.- № 1.- С. 14 - 19.

4. Dmitrienko V. E. Anisotropy of x-ray susceptibility and Bragg reflections in cubic crystals. // Acta Cryst.-1984.- V. A40.- P. 89-95.

5. Dawson B. // Proc. R. Soc. London.- 1967.- V. 298.- P. 255-263.

6. Borie B. // Acta Cryst.-1981.- V. A37.- P. 238-241.

7. Беляков В. А. О дифракционных максимумах динамического происхождения. // ФТТ - 1971.- Т. 13.- С. 3320-3322.

8. D.H. Templeton and L.K. Templeton, Acta Crystallogr., Sect. A: Found. Crystallogr. 36, 237 (1980).

9. Порай-Кошиц М. А. «Практический курс рентгеноструктурного анализа», Т2,М.:изд-во МГУ, 1960, - 632с.

10. A. Kirfel and J. Grybos, V. E. Dmitrienko, Phys.Rev B, 66, 165202, 2002

11. J. Kokubun, M. Kanazawa, K. Ishida, and V.E. Dmitrienko, Phys Rev. B 64, 073203, 2001

12. I S. Elfimov, N.A. Skorikov, V.I. Anisimov, and G.A. Savatskii, Phys. Rev. Lett. 88, 015504

13. Ведринский Р. В., Новакович А. А. Метод функций Грина в одноэлектронной теории рентгеновских спектров неупорядоченных сплавов // Физика металлов и металловедение.-1975.-Т. 39.- № 1.-С. 7 - 15

14. R.V. Vedrinskii, V.L. Kraizman, A.A. Novakovich et al J. of Phys.: Condens. Matter.

- 1998. - v. 10, p. 9561-9580, B. Ravel, E.A. Stern, R.V. Vedrinskii, V.L. Kraizman. Ferroelectrics. - 1998. - v.206-207. p.407-430

15. Herman F. and Skillman S. Atomic Structure Calculation. 1963, Englewood Clifs, NJ, Prentice-Hall

16. Schwarz K. Phys. Rev. 1972, B5, 2466

17. Блохин М.А., Швейцер И.Г. «Рентгеноспектральный справочник» М.: Наука, 1982,-374с.

X-Ray photon energy (eV) 11100 11105 11110 11115 11120 11125

photoelectron energy

Рис 3. Спектр поглощения вблизи Ge К-края. Сплошная линия - результат выполненного расчета, пунктир -экспериментальные данные.

X-Ray photon energy

1100 1105 1110 1115 1120 1125

photoelectron energy

Рис 4. Спектральная интенсивность «запрещенного» (006) рефлекса в германии при комнатной температуре. Сплошная черная линия - результат полного расчета, синий пунктир с треугольниками - эксперимент, сплошная красная линия - расчет без учета квадрупольного вклада и 1-го слагаемого в (13), пунктирная зеленая линия -расчет без учета квадрупольного вклада, тонкая серая линия. - учет только диполь-квадрупольного механизма.

о

рис 5. Зависимость от температуры расчетной спектральной интенсивность «запрещенного» (006) рефлекса в германии вблизи Ge К-края поглощения.