Синергетические системы: аспекты грубости, бифуркаций и катастроф

7. Бендат Дж., Пирсол А. Применения корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1983. 312 с.

8. Rosenblum М., Firsov G., Kuuz R., Pompe В. Human Postural Control: Force Plate Experiments and Modeling в книге Kantz H., Kurts J., Mayer-Kress G. Nonlinear Analysis of Physiological Data. Berlin: Springer, 1998. P. 283-306.

9. Ланда П.С., Розенблюм M.Г. Автоколебания в живых организмах // Природа, 1992, №8. БИОФИЗИКА. С. 18-27.

10. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: АОЗТ «Антидор» 2000. 192 с.

11. Усачев В.И., Гринберг Я.З., Переяслов Г.А., Слива С.С., Кондратьев И.В. Предрейсовый контроль функционального состояния организма пилотов и водителей транспортных средств с помощью компьютерной статокинезиметрии // Материалы Всероссийской научно-технической конференции «Медицинские информационные системы - МИС-2000». Тематический выпуск. Таганрог, 2000. ИЗВЕСТИЯ ТРТУ Ш. С. 16.

12. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ, том 22, №7, 1996. С. 1-6.

13. Янов Ю.К., Герасимов К.В. Методология теории самоорганизации в развитии представлений о физиологических механизмах вестибулярных реакций / / Успехи физиологических наук. 2000. Том 31. №2. С. 79-88.

14. Фомин H.A. Физиология человека: Учеб. пособие для студентов фак. физ. воспитания пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1982. 320с., ил.

15. Бернштейн А.Н. О ловкости и ее развитии. М.: Физкультура и спорт, 1991. 288 с. ил. С. 238.

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: АСПЕКТЫ ГРУБОСТИ, БИФУРКАЦИЙ И КАТАСТРОФ

Р. О. О моров Кыргызский технический университет Введение

В современной науке особое внимание уделяется ее объединяющим направлениям, рассматривающим объекты (системы) различной физической природы с единых позиций на основе идентичности математических моделей и методов их исследования. К таким научным направлениям относится бурно развивающаяся за последние деятилетия междисциплинарная область науки - синергетика, которую определяют как область науки, занимающуюся вопросами самоорганизации явлений и систем и возникновения пространственных, временных или пространственно-временных процессов и структур. В рамках этого научного направления важное значение придается аспектам грубости, бифуркаций, катастроф и хаоса систем различной физической природы [1-14]. Синергетическое рассмотрение явлений и систем получает распространение и на, казалось бы, такие далекие от точного рассмотрения области науки, как распознование образов и моделирование космических первообразов [15, 16]. Синергетика вторгается и в области менеджмента (социального управления), и автоматического управления техническими системами [17-19]. Синергетический подход в сочетании с теорией бифуркаций и катастроф получает применение и в нетрадиционных областях науки, таких как экономика и социология [20-22].

Автором данной работы получены определенные результаты в области исследования синергетических систем в аспектах грубости и бифуркаций, которые приведены здесь [23-26].

1. Основные результаты

В работе [23] предложена мера грубости динамических систем по Андронову-онтрягину [27], описываемых гладкими дифференциальными уравнениями, введены понятия максимальной грубости и минимальной негрубости систем. Динамическая система (ДС) п-го порядка

X = К

де х = х(<) € 11" -вектор фазовых координат, Г - п мерная нелинейная вектор-ункция, называется грубой по Андропову-Понтрягину (далее грубой системой) в екоторой области в, если исходная система (1) и возмущенная система, определён-ая в подобласти в области С

х = Г

‘де Г(х) - дифференцируемая, малая по норме п- мерная вектор-функция, явля-тся е - тождественными в топологическом смысле.

Системы (1) и (2) £ - тождественны, если существуют открытые области Б, Г) в -мерном фазовом пространстве такие, что Б, Б С в С в и для них выполняется овие: каково бы ни было е>0. можно найти такое 6, что если (2) ¿-близка к стеме (1) в области в, то разбиение областей Б и Б траекториями систем (2) и ) е - тождественны (имеют одинаковые топологические структуры и «искажены» и «сдвинуты» одно по отношению к другому меньше, чем на е"). Это условие исывается в виде

Если условие (3) не выполняется, то система негруба по Андронову-Понтрягину. еловие 5-близости и е - тождественности при этом соответственно означа-: для всех аналитических /¿(х), г = 1,п имеют место неравенства |/»(х)| <

|#(х)/<йс,| <5, ] = 1, п; существует взаимно однозначные и непрерывные функ-

и (х), переводящие каждую траекторию системы (1) в траекторию системы

) И такие, ЧТО [Хг — х*( < е. Для многомерных систем п ^ 3 определения, данные ше, можно обобщить заменой абсолютных значений соответствующими вектор-ми нормами какого-либо вида.

В работе [27] также сформулированы критерии грубости для двумерных систем виде следующих трёх необходимых и достаточных условий:

1. В особых точках {хо,Уо) в области О:

а) А ф 0, 1гА = ¥\х{х0,уо) + ~Р'2уЫ,Уо) ф О.;

б) trA = 0, det А < О,

где Г'1х = ¥'2у = <ш2{х),

2. Для предельных циклов:

х = ф), У = ФИ),

X = ^/Т / Ф) + р2У(<Р, Ф)]

о

где х ~ характеристический показатель цикла.

3. Среди сепаратрис «седла» нет таких, которые идут из «седла» в «седло».

Наиболее важными особыми траекториями, во многом определяющими топологическую структуру системы, являются особые точки. Возможность определения грубости динамических систем по оценкам грубости в окрестности особых точ обосновывается теоремой Гробмана-Хартмана, утверждающей, что в окрестност гиперболических особых точек динамическая система подобна своей линейной ч сти.

На основе понятия грубости по Андронову-Понтрягину в работе [23] даны сл дующие определения:

Определение 1. Грубая в области С система (1) называется максималь грубой на множестве систем 14, если величина 6-близости систем (1) и (2), приводящая к е - тождественности, будет (для каждого е > 0) максимальна.

Определение 2. Негрубая в области С система (1) называется минимально негрубой на множестве систем ]Ч, если величина е - тождественности - систем (1) и (2), при которой еще выполняется условие грубости, будет (для каждого б > 0) минимальна.

Замечание. Множество N в определениях 1 и 2 - это множество (семейство) всех динамических систем, которые топологически тождественны друг другу.

Условие достижимости максимальной грубости или минимальной негрубост определяется следующей теоремой:

Теорема 1. Для того, чтобы динамическая система в окрестности гиперболической особой точки (хо) была максимально грубой , а в окрестности негиперболической - минимально негрубой, необходимо и достаточно имет.ь:

М* — а^гтпС{М},

где М матрица приведения линейной части А = [й}/<1х] в особой точке (жо) к диагональному (квазидиагональному) базису с матрицей Г, т.е.

МГ = АМ,

Г = с^{А», г = 1,п},

или

Г = {'Yj,\i : А,, = а, ± ¿(3], ] = 1, к; г = 2к+ 1,п) ,

ъ = [(«¿>-/^)т.(&,^)т]

Т - знак транспонирования;

С{М} - число обусловленности (обычно спектральное число) матрицы М,

С{М} =атах(М)/аЫп(М), .

где атах(М), ат;п(М) - соответственно максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы М. Доказательство теоремы 1 проведено в [23] на основе критерия грубости по Андронову-Понтрягину. Для сравнения по грубости различных ДС рассматривается нормированная матрица М, обозначаемая М.

Теорема 2. Для того, чтобы в области С многомерной (п 3) ДС при значении параметра я — <1*, <? =€ Кр возникла какая-нибудь бифуркация топологической структуры, необходимо и достаточно, чтобы:

либо 1) в рассматриваемой области в ДС существуют негиперболические (негрубые) особые точки (ОТ), или орбитально-неустойчивые предельные циклы (ПЦ), для которых имеет место равенство:

С{М

г=1

где р - количество ОТ или ПЦ в области в;

либо 2) в области G ДС имеются грубые ОТ или ПЦ, для которых выполняется условие

С {М

Замечание. Тип бифуркации зависит, во-первых, от того, какое из условий (4) или (5) выполняется, во-вторых, от того, какая особая траектория - ОТ или ПЦ -удовлетворяет этим условиям. Так, например, хаотические колебания (странные аттракторы), возникающие из-за потери симметрии, происходят, когда условию (4) удовлетворяют ОТ, а хатоические колебания, возникающие через ряд бифуркаций удвоения периода, происходят в том случае, когда условию (4) отвечают ПЦ.

Очевидно, число обусловленности С {М} как меру грубости можно использовать и для кусочно-гладких ДС, рассматривая совокупную грубость по областям гладкости системы, если особые точки не находятся на границах этих областей. Следует отметить, что для негладких систем, используя какую-либо обобщенную производную из негладкого анализа при определении матрицы линейной части, можно обобщить эту меру грубости.

В [13] рассмотрена мера грубости периодических движений с периодом Т в виде числа обусловленности Ст по матрице монодромии Х(Т) этих движений

Ст = С {М

где ЦТ) = diag {fa, i = 1, гг} , ¡л, - мультипликаторы (собственные значения) матрицы Х(Т), Т - период колебаний цикла. Заметим, что аналогичную меру грубости можно ввести и для приводимых нестационарных линейных систем, рассматривая в качестве Х(Г) матрицу В приведенной системы.

На практике матрицу монодромии Х(Т) вычисляют численными методами по исходному уравнению (1), например, методом «стрельбы»

Х

где h{ = Xi(0) - заданные начальные условия для (1), ifi = Xi(T) - конечные значения ц при t = Т.

На основе результатов, полученных в [13, 23, 24], можно решать задачи управления грубостью. В частности, эффективной теоретической базой для управления грубостью синергетических систем является следующее утверждение, доказанное в [23].

Теорема 3. Для того, чтобы в управляемой динамической системе

х = Ф(х,и), (8),

где u = u(t) £ R -вектор управления, описываемый в фазовом пространстве х € R” помощью матриц линейной части А и В:

х = Ах + Bu,

уществовало управление и = —Кх, обеспечивающее соответствующей особой точке и/или предельному циклу замкнутой системы с синтезированной матрицей состоя-ия F = А-ВК максимальную грубость или минимальную негрубость, необходимо достаточно, чтобы выполнялись условия невырожденной разрешимости уравнения ильвестра

МГ — АМ = -ВН, и/или overlineMA — Х

е Н € Rrxn - произвольная матрица, составляющая наблюдаемую пару с Г, Л .

Справедливость приведенных здесь результатов подтверждается исследованиями грубости, бифуркаций и странных аттракторов различных известных синергетических систем, которые привлекают огромное внимание ученых и специалистов. Ряд иллюстрирующих примеров показан ниже.

2. Примеры

Система Лоренца. Модель тепловой конвекции в атмосфере, предложенная и исследованная в 1963 г. американским метеорологом Е. Лоренцем [1-3, 13, 14], описывается уравнениями

' х = а (у - ж);

< у = рх - у - хг;

^ = ху - ¡Зг,

где х пропорциональна амплитуде скорости движения, а переменные у, г отражают распределение температуры в конвективном кольце, параметр а - представляет собой число Прандтля, р - число Рэлея, а ¡3 — 4(1+а2)-1 - геометрический множитель, причем а2 = 1/2, а = 10, 0 = 8/3, параметр р варьируется.

Исследованиями системы с использованием меры грубости (С{М}) подтверждены основные бифуркации этой системы, что показано на рис. 1. При р = 24,74 показатель (С{М.}) достигает локального минимума, равного 1,389, а в системе (11) возникают хаотические колебания.

С

Рис. 1. Исследование системы с использованием меры грубости

Система Ресслера. Модель хаотической динамики химических реакций, протекающих в некоторой емкости с перемешиванием [1, 4, 14], где р - варьируемый параметр. Исходная система уравнений такова:

'х = -у-г\

< у = х + 0,2у;

^ г = 0,2 + г(х - р).

Бифуркации в данной системе происходят через последовательные удвоения периода цикла. Для вычисления используется метод стрельбы.

Заданы начальные данные: период Т — 1,0; х = —1, у — —1, г = 1,2, интервал значений для р, от 0 до 11.

Полученная зависимость С{М} от параметра р проиллюстрирована на рис. 2. Из рисунка видно, что полученный результат на основе меры грубостиС{М} соответствует значениям, приведенным в [5, 6].

ис. 2. Зависимость С{М} от параметра (х Рис. 3. Фазовый портрет системы

Экологическая система «хищник-жертва», предложенная В. Вольтерра и Лотки в 20-х годах, описывается системой уравнений [14, 25, 28, 29):

х = ах — /Зху\ у = к0ху - ту,

где х, у - численности популяций соответственно жертв и хищников; а, /3 - мальтузианская и трофическая постоянные жертвы, показывающие соответственно скорость роста количеств жертв при отсутствии хищников и скорость потребления жертв одним хищником; к - к.п.д. переработки биомассы жертвы в биомассу хищника; т - коэффициент смертности хищника.

Рассматривается пример [29]:

х — -За: + 4а:2 - 0, Ъху - я3; у = -2,1 у + ху.

В этой системе четыре особой точки: ОТ^О, 0); ОТг(1,0, 0); ОТз(3,0, 0); и ОТ4(2,1, 1,98). Фазовый портрет системы показан на рис. 3.

Матрицы линейных частей в этих ОТ соответственно равны

А,=

-3 0 0 -2,1 , Аг — 2 -0,5 0 -1,1 , Аз = -6 0 -1,5 0,9 > Л. II

-0,42 -1,05' 1,98 0

Собственные значения и типы особых точек:

А1 = —3, Аг = —2,1 - «устойчивый узел»;

Ах = —1,1, Аг = 2 - «седло»;

Ах = —6, Аг = 0,9 - «седло»;

А1,2 = — 0,21 ± ¿1,43, - «устойчивый фокус»;

1 0' — 1 0,159 , м3 = 1 0,2124'

! 0 , Мг = 0 0,987 0 -0,977 , М4 =

0,389 0,737 '

0,924 -0,676

Значения С {Мі} , г = 1,4:

С{М7} = 1,С{Щ} = 1,174,С{М^} = 1,241, С {МГ} = 1,421.

Рис. 4. Бифуркация Хопфа

По суммарной оценке | ^2 С {М>:} = 1,21 видно, что данная экологическая си-

1

стема достаточно груба [25].

Бифуркация Хопфа. Эту бифуркацию иногда называют бифуркацией Пуанкаре Андронова-Хопфа по именам первых исследователей этого типа бифуркаций [14, 24, 30]. Бифуркацией Хопфа называется бифуркация возникновения (исчезновения) предельного цикла в синергетической системе.

Простейший пример бифуркации Хопфа наблюдается для двумерной системы:

х = -[-д + (х2 + у2)]х - иу\ У = ~[-д + (X2 + у2)}у + шх,

линейная часть которой [х,у]т = А[х,у]т,

где А =

, а собственные значения Л12 = Я ± При переходе значения

д —ш ш д

д через нулевое значение наблюдается бифуркация Хопфа (рис. 4). При этом собственные значения пересекают мнимую ось, а величина С{М} = 1.

Более сложный пример бифуркации Хопфа наблюдается в трехмерной системе [30]:

= (2а - 1)х - у + хг;

-- х + (2а - 1 )у + г/г; г = аг - (х2 +у2 + г2),

которая называется системой Лэнгфорда. В этой системе, моделирующей турбулентность в жидкости, возникает бифуркация Хопфа при ао = 1/2а и То = 2тг.

Система имеет две особые точки ОТх(0, 0, 0) и 0т2(0, 0, Матрицы линейной части в ОТ соответственно равны

-а).

'2а-1 -1 0' а — 1 -1 0'

II 1 2а - 1 0 > »о н 1 а — 1 0

1 <3 1 о о 1 о 1 в О

а собственные значения

= —а, ¿¿2,з

2а — 1 ± г и (21

V2,3 = а — 1 ± г.

о

і

і

Рис. 5. Бифуркация Хопфа

еличина С {М} = 1, и при переходе а = | происходит бифуркация Хопфа, график координат при а > | показан на рис. 5.

Геофизическая система. Геофизическая среда представляет собой открытую самоорганизующуюся динамическую систему, а геофизические процессы, в том числе сейсмические, являются нелинейными процессами [11, 26].

Процесс самоорганизации связан с возникновением в активной среде, например, сейсмоактивном слое, локализованных диссипативных структур, которые характеризуются нестационарностью, импульсностью, сложностью и деградацией.

В сейсмических процессах наблюдаются такие типичные структуры самоорганизации, как спиральные волны или ориентированные треугольники; вихри или ориентированные многоугольники; сейсмические «дорожки», которые бывают однонаправленными («цепочками») и поступательно-возвратными («маятниками»), кольцевые сейсмичности (зоны затишья и сейсмические «бреши») и сейсмические рои. Более сложные структуры наблюдаются в полях плотности сейсмогенных разрывов (например Кср) и суммарной сейсмической энергии.

В качестве управляющих параметров могут быть приняты время (<) и параметр плотности сейсмогенных разрывов (Лер), а в качестве внутреннего параметра - пространственная координата (х).

При отображении на плоскости управляющих параметров по формулам

система имеет катастрофу типа «сборка». В момент бифуркации происходит главный толчок сильного землетрясения.

Для исследования сейсмических явлений, на основе анализа физических процессов, происходящих в твердом теле, получена математическая модель

где 7 - скорость притока; /?, а - коэффициенты возникновения (развития) и залечивания (исчезновения) трещин соответственно.

Как альтернативная, к модели (17) предложена модель, составленная на основе ретроспективного анализа множества землетрясений, характерных для территории Кыргызстана

2/1 - Кср + Ксрі, У2 = і

Кср = аКІр - /ЗКср -I- 7,

X =

а

4оох3 + Заіг2 + 2а\х + аз

«

Тематический выпуск

Рис. 6. График результатов исследования модели

На основе теорем 1 и 2 с использованием данных ряда землетрясений, происшедших на территории Кыргызстана, были исследованы модели геофизических процессов (17) и (18). Данные исследования подтверждают возможность использования критериев возникновения бифуркаций и катастроф динамических систем для эффективного прогнозирования места и времени землетрясений. При этом точност пронозов зависит от шага дискретизации съема сейсмической информации во времени и пространстве.

График по результатам исследования модели (17) показан на рис. 6.

Заключение

Приведенные в данной работе результаты позволяют решать задачи оценки грубости синергетических систем различной физической природы с целью как анализа грубости («структурной устойчивости»), так и управления для повышения грубости таких систем. Кроме того, важное значение имеет и задача прогнозирования бифуркаций (катастроф) этих систем. При этом эффект применения полученных результатов многократно возрастает при исследовании многосвязных синергетических систем, когда рассматриваются системы высокого порядка со сложными иерархическими взаимосвязями между координатами. Использование полученных результатов для исследования систем: Лоренца, Ресслера, экологических систем типа «хищник- жертва», бифуркаций Хопфа и геофизической системы показывают их эффективность.

Литература

1. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах: Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

2. Синергетика: Сб. статей. Пер. с англ. / Сост. А.И. Рязанов, А.Д. Суханов. Под ред. Б.Б. Кадомцева. М.:Мир, 1984.

3. Lorenz Е. N. «Deterministic Nonperiodic Flow», J.Atmos. Sei. 20, 130. (1963).

4. Rossler O.E. Different Types of Chaos in Two Simple Differential Equations, Z. Naturforsch., 31a, 1664-1680 (1976).

5. Гилмор P. Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах. Пер.с англ. М.: Мир, Кн.1, 1984.

6. Ресслер О. Хаос и турбулентность // Синергетика. М.: Мир, 1984.

j-----------.—.— ----------------------------------------------------------

. Томпсон Дж.М.Г. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.

Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

9. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

10. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного: Введение. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

11. Садовский М.А., Лукк A.A., Сидорин А.Я., Сидорин И.А. Проблемы интерпретации временной структуры геофизических полей. М.: ОИФЗ РАН, 1993.

12. Странные аттракторы. Сб. пер. с англ. / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Щильни-кова М.: Мир, 1981.

13. Оморов P.O. Мера грубости динамических систем и критерии возникновения хаотических колебаний и бифуркаций в синергетических системах. //В межведомствен. сборн. Синтез алгоритмов стабилизации систем. Вып.8. Таганрог. 1992. С. 128-134

14. Оморов P.O. Синергетические системы: Проблемы грубости, бифуркаций и катастроф // Наука и новые технологии, 1997, №2. С. 26-36.

15. Юдашкин A.A. Бифуркации стационарных решений в синергетической нейронной сети и управление распознованием образов // А и Т, 1996, №11. С. 139-147.

16. Горячкина Е. Синергетика и творческая синергия как моделирование космических первообразов // Общественные науки и современность. РАН. №2, 1995. С. 159-166.

17. Хиценко В. Самоорганизация и менеджмент // Проблемы теории и практики управления. 1996, JV3, С. 120-124.

18. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

19. Красовский A.A. Некоторые актуальные проблемы науки управления, 1996. №6. С. 8-16.

20. Смирнов АД. Инфляция или реформы: нелинейная модель переходной экономики // Вестник РАН, 1995, №1, С. 3-34.

21. Шургалина И.Н. Анализ экономической реформы в России и ее последствия в свете теории катастроф // Вестник моск.унив-та. Экономика, 1996, №4. С. 3-15.

22. Кузнецова М. Дезорганизация и организация как свойства социальных систем // Проблемы теории и практики управления, №6. 1994. С. 93-98.

23. Оморов P.O. Максимальная грубость динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1991, №8. С. 36-45.

24. Оморов P.O. Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к системам управления / Автореф. дисс. д.т.н.- Спб. СПбИТМО. 1993. 38 с.

25. Оморов P.O. Оценка грубости экологических систем «хищник-жертва» //Наука и техника. 1996, №1. С. 54-61 .

26. Оморов P.O. Прогнозирование землетрясений: синергетический подход // Проблемы автоматики и управления, 1997. №1. С. 103-111.

27. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т.

14. №5.

28. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

29. Goh В.S., Leitmann G., Vincent T.L. Optimal Control of a Prey-Predator system // Math. Biosci. 1974. V. 19. №3-4. P. 263-286.

30. Юмагулов M.Г. Функционализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // А и Т, 1996. №11. С. 22-28.