Об изменении кривизны конформно-плоской метрики при преобразовании Лежандра

Известия АлтГУ. Математика и механика. 2018. № 4 (102) УДК 517.586

Об изменении кривизны конформно-плоской метрики при преобразовании Лежандра*

М.В. Куркина

Югорский государственный университет

On a Change in the Curvature of a Conformally Flat Metric under the Legendre Transformation

M.V. Kurkina

Ugra State University

Известно, что теория конформно-плоских ри-мановых метрик тесно связана с псевдоевклидовой геометрией, что обусловлено существованием канонического изометрического вложения конформно-плоской метрики в изотропный конус псевдоевклидова пространства. Впервые этот факт был замечен X. Бринкманном, а позднее использован в работах Н. Кюипера. Геометрия однородных римановых многообразий с конформно-плоской римановой метрикой изучалась в работах А.Д. Алексеевского и Б.Н. Кимельфельда, в которых дана их классификация. В неоднородном случае подобной классификации не существует, поэтому при исследовании конформно-плоских римановых многообразий используются ограничения различного типа: либо на размерность многообразия, либо на топологическое строение, либо на различные типы кривизны римано-вого многообразия с конформно-плоской метрикой. В последнем случае хорошо известны теоремы об однородных римановых многообразиях с конформно-плоской метрикой ограниченной одномерной кривизны, полученные В.В. Славским и Е.Д. Родионовым. В данной работе исследуется поведение одномерной кривизны и кривизны Рич-чи при преобразовании Лежандра конформно-плоской римановой метрики.

Ключевые слова: конформно-плоские метрики,

преобразование Лежандра, одномерная кривизна.

БМ 10.14258/izvasu(2018)4-16

It is known that the theory of conformally flat Riemannian metric is closely associated with pseudo-Euclidean geometry, due to the existence of the canonical isometric embedding conformally flat metric in pseudo-isotropic cone space. This fact was first noticed by H. Brinkmann, and later was used in the works of N. Kuyper. The geometry of homogeneous Riemannian manifolds with a conformally flat Riemannian metric was studied in the papers of A.D. Alekseevsky and B.N. Kimel'feld, in which their classification was given. In the inhomogeneous case such a classification does not exist, therefore, in the study of conformally flat Riemannian manifolds restrictions of various types are used: either on the dimension of the manifold, or on a topological structure, or on different types of Riemannian manifold curvatures of the conformally flat metric. In the last case, theorems on homogeneous Riemannian manifolds with a conformally flat metric of bounded one-dimensional curvature are well known, which were obtained by V.V. Slavsky and E.D. Rodionov. In this paper, we study the behavior of a one-dimensional curvature and the Ricci curvature under Legendre Transform of the conformally flat Riemannian metric.

Key words: conformal-flat metrics, Legendre

transform, one-dimensional curvature.

1. Введение. Теория конформно-плоских римановых метрик тесно связана с псевдоевклидовой геометрией, что обусловлено существованием канонического изометрического вложения конформно-плоской метрики в изотропный конус псевдоевклидова пространства (подробнее

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проектов 18-47-860016, 18-01-00620), при поддержке Научного фонда ЮГУ № 13-01-20/10.

см. [1] — [18]). Впервые этот факт был замечен H.W. Brinkmann [1], а наиболее эффектно был использован в работах N.H. Kuiper [2,3].

Конформно-плоская метрика имеет вид: ds2 = рХ(х), где f (x) — функция, определенная на подмножестве D евклидова пространства. В данной работе будут рассмотрены только два варианта задания конформно-плоской метрики: 1. Сферическая модель; множество D — n-мерная сфера евклидова пространства Rn+1,

Об изменении кривизны конформно-плоской метрики.

а функция I(х) сужение на сферу однородной порядка один функции I : Нп+1 — R.

2. Плоская модель; множество D = Нп — п-мерное евклидово пространство, а функция I (х) произвольная функция на D.

В статье рассматривается подробно случай, когда размерность конформно-плоской метрики п > 3, в случае п =2 преобразование Лежандра тоже можно формально определить, но такие локальные характеристики, как кривизны полярной метрики, не определяются однозначно самой метрикой ds2, а зависят еще от изометрического вложения в изотропный конус псевдоевклидова пространства.

2. Полярное преобразование конформ-ноплоской метрики. В данной части мы используем обозначения и результаты работы [18]. Пусть R — числовая прямая, Кп+1 — евклидово (п + 1)-мерное арифметическое пространство, Мп+2 = Ип+1 х R — псевдоевклидово пространство, скалярный квадрат вектора ад = [ж, С] € Мп+2 в котором равен {-ш)2 = \х|2 — (2, где \х\2 — скалярный квадрат вектора х € Кп+1. Обозначим через

С+ = {[¡с, С] € Мп+2 : |х|2 — С2 = 0, С > 0} ,

верхнюю часть изотропного конуса в Мп+2. В дальнейшем, если будет ясно из контекста, мы станем обозначать х через х.

Лемма 1. Пусть на единичной сфере 51п С Кп+1 задана конформно-плоская метрика

¿.2

dx2

ТЧх),

€ 51п С Кп+\

^ : x£Sn ->

1

VI

е С +.

= —1, Z* ± тх^),

распространена на все пространство Кп+1. Тогда вектор Z* явно выражается через I и 'VI в Кп+1:

Z *

V+Ш

21

21

где х € Ь1п С Кп+1, VI градиент функции I в пространстве Кп+1.

Определение 1. Если точка Z € F пробегает поверхность F, то точка Z* пробегает двойственную поверхность F*. Соответствующую

где I(х) — функция класса С1. Тогда определено каноническое изометрическое вложение, задаваемое формулой

Образ Z(Ь1п) = F С С+ — пространственнопо-добная п-мерная поверхность. В дальнейшем будем отождествлять конформно-плоскую метрику с поверхностью F. Предположим, что функция I(х) достаточно гладкая, тогда поверхность F регулярна и в каждой точке Z(х) € F определено касательное п-мерное пространство Тх^). Существует единственный вектор Z*(х) € С + такой, что

где ортогональность понимается относительно скалярного произведения в Мп+2.

Лемма 2. Пусть функция I(х), задающая конформно-плоскую метрику, по однородности

конформно-плоскую метрику ¿в*

f*2

, У €

Sn, будем называть полярной к исходной метрике [9,11]. Сравнивая формулы (1) и (3), имеем:

—I + I *\ VI \ 2

2I ' 2I

У

1

[i*(уу i*(у) \

Откуда получаем формулы для перехода к полярной конформно-плоской метрике:

I *

2Щх) \ VI \2'

У = X — 21

VI

\ VI \2.

Лемма 3. Пусть I : Кп+1 — R произвольная однородная степени один функция на Rn+1. Отображение Hf : Sn — Sn, определяемое формулой:

Hf : х € Sn — х — 21

VI

\ VI \2

€ 51п,

сохраняет норму вектора: \Н^ (х) \ = \х\ .

Определение 2. Отображение Hf назовем конформным градиентом функции I. Если отображение Hf имеет обратное Н-1, то полярная метрика определяется функцией:

I *(У) =

21

\ VI \2

=Н-1

Замечание. Из определения (1) следует двойственность метрики ¿в2 = р(х), х € Sn и метрики , у € Sn. Поэтому при наличии соот-

f*2

ветствующей регулярности функции I*(у) будут справедливы равенства:

I *(У) = I (х

21

у = х — 21

X = у — 2I *

VI (х) \ VI(х) \2 ,

VI *

\ VI*(у)\2' " " ^ VI*(у)\2'

Следствие. Из (6) следует тождество:

Hf о Hf * = = Hf * о Hf,

то есть преобразования сферы Hf, Hf * — взаимно обратные и выполняется тождество:

x£S п

Hf

-> у € Sn

I (х) IV I (х)|

I Чу)

ЧУ)1

R

R

2

х

х

2

Определение 3. Одномерная секционная мулы (9) на Gf примут вид кривизна конформно-плоской метрики ds2 = в Rn задается формулой [13,15,16]:

( dei \

d2 f 1

KiMf,x,o = f-f - 2V/12.

Здесь — вторая производная функции в точке

x G Rn вдоль единичного вектора £, Vf — градиент функции f в Rn. Формула верна как в плоском случае, так и для единичной сферы, в этом случае функция f : Sn ^ R продолжается по однородности на Rn+1, x G Sn с Rn+1, £ — единичный касательный к сфере в точке x вектор, Vf — градиент функции в Rn+1 .

3. Поведение одномерной кривизны конформно-плоской метрики при преобразовании Лежандра. При аналитических выкладках, связанных с конформно-плоской метрикой, полезен метод подвижного репера Картана [14]. Обозначим через G(n + 1,1) многообразие базисов в Mn+2 вида:

{еь в2,..., en, Z, Z*} G G(n + 1,1),

пространственноподобные векто-

где ei,...,e ры, причем

Z,Z* е C+, {Z,Z*) _ -l, {Z,ei) _ {Z *,ei) = 0, i = l, 2,...,n.

На многообразии G(n + 1,1) определены дифференциальные формы Маурера — Картана wj равенствами:

dei

den dZ \ dZ * /

Из (8) следует

n+i i

n+2

, n+2 = , n+1 _ wn+l _ wn+2 _

ukn+i9ki - шгП+2

n+i n+i

n+2

n+2 n

n+2 n+i n+2 n+2

n+2 n+2

ei

en

Z Z*

о, w;

где gki _ {ek ,ei).

\+29ki - wn+1 _ 0,

den

dZ V dz * /

i

w*i Wi

*i

w*n 0 0

Wn 0 0

ei

Z

V Z * )

Мы будем также пользоваться двойственным базисом {е1,..., еп} в пространстве ТгF. Для него имеем:

dei _ pikek + wiZ* + w*iZ, dZ _ wiei, dZ * _ w*ei,

где + = 0, k,i = 1, 2,... ,п. Структурные уравнения для многообразия G(n +1,1) имеют вид:

dwj _ wk A wk, i,j _ 1,..., n + 2,

здесь по повторяющемуся индексу k берется сумма от 1 до п + 2. Для подмногообразия Gf отсюда получим:

dwi _ wk Л (

dw*i _ w*k Л w

dwj _ wk A wk + Q'l,

где = Л wj + wi Л w*j, w*г Л wi = 0, где k,i,j = 1,... ,п.

Из (15) следует

w*i = Siкwk, Sik = Sы, k,i =1, ...,п.

Для форм кривизны имеем представление:

Ш

ln

1 Е kwk A wl

,kr

k,l=l

здесь Щ

,ы — тензор кривизны Римана. Тензор Риччи, скалярная кривизна, тензор Схоутена равны соответственно

Rik _ Е Ri

l=i S _ 1

kl,

R _ Rij gij,

n2

Rik —

Rgik

2

Поверхности F С С+ сопоставим подмногообразие Gf (п + 1,1), выделяемое условиями:

Z е F, е е Тх

На подмногообразии Gf дополнительно выполняется wn+2 = 0. Введем обозначения wгn+1 = wi, где е ТхF — ортогональные единичные векто-wгn+2 = w*i, i = 1, 2,...,п. Деривационные фор- ры.

Выясним геометрический смысл тензора S'1к. Из (15) вытекает, что формы кривизны метрики поверхности F имеют вид:

= dwi - wk Л щ{ =

Риманова секционная кривизна вычисляется по формуле:

к(£ Л п) = Ъкрёт?епр = ее - ь^ппр,

k

k

i

w

i

i

w

n

i

Об изменении кривизны конформно-плоской метрики...

Одномерная секционная кривизна конформно-плоской метрики выражается через Риманову кривизну:

^1/2(0 = К (£ л т) + к (£ Л П2) - к (П1Л ъ),

где £,,щ,ц2 € ТгF — ортогональные единичные векторы. Следовательно, при п > 3 одномерная секционная кривизна в направлении единичного вектора £ есть

* 1/2(0 = -SikCt.

секционная кривизна конформно-плоской метрики F выражаются друг через друга (п > 3):

R

ik

(n — 2)Sik + gikS, S = Sikg

ik

Sik =

1

n- 2

Rik —

Rg

ik

2

, R = Rik glk.

Аналогично для полярной поверхности F*:

Rik = (n — 2)Sik + gik S, S = Sikg1

Si,

1

n2

Rik —

Rg.

ik

Собственные значения ^ квадратичной формы (18), которые находятся из уравнения det ||— Sik — \gikW = 0 назовем главными значениями, а собственные векторы — главными направлениями одномерной кривизны.

С другой стороны, из равенства dZ* = ш*1е- = Sikшkei следует также, что матрица за-

дает дифференциал отображения Ъ^ относительно базиса {е1,...,еп} и двойственного базиса {е1,...,еп} касательного пространства ^^) = Tz* (Р*). Из соображений симметрии между метриками F и F* следует, что обратное отображение Ъ-1 : Т^ ^*) ^ ^^), имеющее в качестве своей матрицы обратную к матрице ||, задает одномерную секционную кривизну полярной конформно-плоской метрики F* С С +. Матрица главных одномерных кривизн метрики F * диагональная и составлена из чисел, равных 1/^, i = 1,... ,п, и главные направления кривизны на F переходят в главные направления кривизны на F* при отображении Ъf.

Следствие 1. Если конформно-плоская мет-

7 2 вX2

рика ds2 = ущх) имеет положительную одномерную кривизну, то Hf диффеоморфизм (3) сферы Sn и полярная конформно-плоская метрика ds*2 = % также имеет положительную одномерную кривизну.

Замечание. Кривизна Риччи и одномерная

2

где gik = Sik, Sik = öpsSiPS.

ip js;

Sk

r = Rik g

Sk

ik

Пример. Пусть конформно-плоская метрика в R3 задана функцией f (х1, х2,х3) = 1 + х2 + х2, тогда

f*

y1=

x1

Ж2 I '

1 + x2

x2

У2 =--^-2 ,

Ж 2 /-v»2

1 + x2

Уз =Хз

Выражая из двух последних уравнений х1,х2,х3 и подставляя в первое уравнение, получим

f*(У1,У2,Уз) = 1 (У2 + У2 + 1) .

Главные значения одномерной секционной кривизны метрик ds2, ds*2 равны соответственно:

2 0

0

Ki/2(f) = I 0 2

0 0 —2

0

Ki/2(f *

1 2

0 2 0 0 0 1

1

0

Библиографический список

1. Brinkmann H.W. On Riemann spaces conformal to Euclidean spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 9 (1923), 1-3.

2. Kuiper N.H. On conformally-flat spaces in large // Ann. of Math. - (2) 1949. - V. 50.

3. Kuiper N.H. On compact conformally Euclidean spaces of dimention >2 // Ann. of Math. - (2) 1950. - V. 52.

4. Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Об изомет-ричном погружении двумерных римановых многообразий в псевдоевклидово пространство // Мат. заметки. - 1984. - Т. 36, № 3.

5. Славский В.В. Конформно плоские метрики ограниченной кривизны на те-мерной сфере. Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу. — Новосибирск, 1987. — Т. 9.

6. Udo Hertrich-Jeromin. Introduction to Mobius Differential Geometry. London mathematical society lecture note series. — Cambridge University Press, 2003.

7. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. — Новосибирск, 1996.

8. Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — М., 2012.

9. Slavskii V.V. Conformally flat metrics and the geometry of the pseudo-Euclidean space // Siberian Math. J. - 35 (1994).- № 3.

10. Славский В.В. Оценка коэффициента квазиконформности области через кривизну квазигиперболической метрики // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 4.

11. Славский В.В. Конформно-плоские метрики и псевдоевклидово пространство : автореф. ... дисс. докт. матем. наук. — Новосибирск, 2000.

12. Славский В.В. Геометрический подход в многомерной теории потенциала // Труды по анализу и геометрии. — Новосибирск, 2000.

13. Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения : монография. — Ханты-Мансийск, 2008.

14. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М., 1960.

15. Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // Доклады академии наук. — 2002. — Т. 387, № 4.

16. Nikonorov Yu.G., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Geometry of homogeneoues Riemannian manifolds // Journal of Mathematical Scieces. -2007. — V. 146, № 6.

17. Kurkina M.V., Rodionov E.D. and Slavskii V.V. Conformally Convex Functions and Conformally Flat Metrics of Nonnegative Curvature // Doklady Mathematics. — 2015. — V. 91, № 3.

18. Родионов Е.Д., Славский В.В. Полярное преобразование конформно-плоских метрик // Математические труды. — 2017. — Т. 20, № 2.