Арифметические свойства целых полиадических чисел

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 1

УДК 511.36

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

В. Г. Чирский

Аннотация

Исследуются арифметические свойства полиадических чисел, то есть рядов вида

те

^йи • п!,

*n

n=0

где числа an € Z.

Рассматривается понятие бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел.

Доказана теорема о бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел из класса F (Q, Ci, С2, Сз, do), если они связаны системой линейных дифференциальных уравнений определенного вида.

Ключевые слова: полиадические числа, трансцендентность.

Библиография: 9 названий.

ARITHMETIC PROPERTIES OF POLYADIC

INTEGERS

V. G. Chirskii

Abstract

Arithmetic properties of series of the form

те

' an  n!

n=0

with an € Z are studied.

The concept of infinite algebraic independence polyadic numbers. A theorem on the algebraic independence polyadic infinite number of class F (Q,Ci,C2,C3,do), if they are connected by a system of linear differential equations of a certain kind.

Keywords: polyadic numbers, transcendence.

Bibliography: 9 titles.

1. Введение

В данной статье дается расширенный вариант доклада, сделанного автором 30 января 2015 года в Математическом институте им В. А. Стеклова РАН на Международной конференции памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям.

Во втором разделе дается краткое введение в теории полиадических чисел.

Основная цель статьи — доказать теорему о бесконечной алгебраической независимости достаточно широкого класса полиадических чисел. Этой теореме посвящен третий раздел.

2. Полиадические числа

Напомним основные понятия теории полиадических чисел. На кольце Z целых чисел можно ввести топологию т, рассматривая множество идеалов (т)в качестве полной системы окрестностей нуля аддитивной группы целых чисел. При этом операции сложения и умножения непрерывны и кольцо целых чисел с введенной топологией имеет структуру топологического кольца (см. [1], [2]). Обозначим это кольцо ZT.

Бесконечная последовательность x1,x2,... целых чисел называется фундаментальной, если для любого к Е N существует N Е N такое, что для всех m,n > N справедливо сравнение xm = xn( mod к!).

Для фундаментальных последовательностей {xk} и {ук} рассмотрим последовательности {xk + Ук}, {xk — Ук}, {xk  Ук}. Эти последовательности также являются фундаментальными. Таким образом, фундаментальные последовательности элементов из кольца ZT образуют кольцо.

Будем называть последовательность c1,c2,... нулевой последовательностью, если limn^^ cn = 0 , где предел понимается в смысле топологии кольца ZT.

Назовем фундаментальные последовательности {xk} и {yk} эквивалентными, если их разность {xk — yk} является нулевой последовательностью.

Полиадическим числом будем называть класс эквивалентных фундаментальных последовательностей из ZT.

На множестве полиадических чисел можно ввести операции сложения и умножения, что позволяет говорить о кольце G целых полиадических чисел. Вложение кольца Z в G осуществляется сопоставлением элементу x Е Z класса X фундаментальных последовательностей, эквивалентных последовательности сс сс сс

Так как ZT — метрическое пространство, его пополнение приводит к топологическому пространству GT.

Элементы а Е GT имеют каноническое представление в виде ряда

те

а =^2 an  n!

n=1

где ап € {0,1,    , п}.

Арифметические свойства полиадических чисел изучены относительно мало. С именем Эйлера связан ряд п!. Гипотеза Курепы [3] относится к частичным суммам этого ряда и утверждает, что для любого простого числа р > 2 число

р-1

п!

п=0

не делится на р. Это означает , что

те

Е

те

п!

п=1

для любого р.

Гипотеза Курепы до сих пор не доказана в полном объеме, хотя доказано, что она справедлива для бесконечного множества простых чисел р.

Интерес к полиадическим числам вызывает также то, что любое натуральное число М допускает единственное представление в виде

N

М = ^ ап • п!, ап € {0,1,...,п},

п=1

так называемое полиадическое (или факториальное) представление. Свойства этого представления в сравнении с разложением с двойной базой или в цепь с двойной базой изучались в [4].

Важную роль ряда Эйлера подчеркивает следующее утверждение, доказанное в работе [5].

Для любого р(х) € 2[х] имеет место равенство

те

£р

п=0 п=0

где А, В € 2, точные значения А и В приведены ниже.

Действительно, пусть многочлен р(х) имеет степень т. Представим его в виде

р(х) = ат(х + 1)(х + 2)... (х + т) + ат-1(х + 1)(х + 2)... (х + т - 1) + ... + + а2(х + 1)(х + 2) + а1 (х + 1) + ао,

1

р

где аг € Ъ ,г = 0,1,... ,т. Тогда

те

J>(n) • n! = • (n + m)! + ... + ai(n + 1)! + aon!) =

n=0 n=0

(те m— 1 \ /те \

J] n! - J] n! + ... + ai J] n! - 1 j +

n=0 n=0 J \n=0 J

те m— i

+ ao • n! = (ao + ... + am)^2 n! - I am ^ n! + ... + a2 • 1! + ai I

n=o n=o

те

= A^n! + B,

где

(ш-1 \

^ и! + ... + аИ € ^ .

и=0 /

Равенства (4) и (3) служат источником полиадических формул, например,

те те

п • п! = • п! = 1

и многих других. В частности, любое отрицательное целое число — М — 1 имеет, с учетом (2), (5), полиадическое разложение

те N N те

— 1 — М = ^^ п • п! — ^^ аи • п! = ^^(п — аи) • п! + ^^ п • п!.

и=1 и=1 и=1 u=N+1

Заметим, что любое целое полиадическое число, заданное рядом (1), не может представлять во всех полях Qp одно и тоже рациональное число а/Ь, так как для любого р выполнено неравенство

Е-

an • n!

n=i

^ 1,

p

Кольцо GT является прямым произведением колец Zpi по всем простым числам pi, при этом ряд а сходится в любом Zpi. Действительно, степень, в которой простое число p входит в разложение числа n! на простые множители, равна np, где Sn — сумма цифр в p-ичном разложении числа n. Следовательно, для любого pi при n ^ ж

Ian • n!lpi ^ 0,

что является достаточным условием сходимости ряда (1) в Ър., соответствующую сумму будем обозначать а(р^.

Таким образом, бесконечный набор элементов а(р^ € ЪР1, соответствующих всем простым числам рг, можно рассматривать, как совокупность координат элемента а кольца целых полиадических чисел, представленного в виде вектора. Поэтому для любого многочлена Р(х) с целыми коэффициентами полиадическое число Р(а) имеет в кольце Ър координату Р(а(р)).

В работе [6] предложена следующая классификация полиадических чисел.

Назовем полиадическое число а алгебраическим, если существует отличный от нуля многочлен Р(х) с целыми коэффициентами такой, что полиадическое число Р(а) равно нулю, т.е. для любого простого числа р в кольце Ър выполнено равенство Р(а(р)) = 0.

Полиадическое число, которое не является алгебраическим, естественно называть трансцендентным полиадическим числом. В этом случае для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами существует хотя бы одно простое число р такое, что в кольце Ър выполнено неравенство Р (а(р)) = 0.

Будем называть полиадическое число бесконечно трансцендентным, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в кольце Ър выполнено неравенство Р(а(р)) = 0.

Наконец, будем называть полиадическое число глобально трансцендентным, если для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами и любого простого числа р в кольце 2р выполнено неравенство Р (а(р)) = 0.

Разумеется, для трансцендентности полиадического числа а достаточна трансцендентность хотя бы одной его координаты а(р). Однако пример полиадического числа (1, 2...,п,...), имеющего в кольце ЪРп (где рп обозначает п-ое простое число) координату а(рП = п показывает, что даже бесконечно трансцендентное число может иметь кординаты - натуральные числа. Бесконечная трансцендентность этого числа следует из того, что любой отличный от нуля многочлен Р(х) с целыми коэффициентами не может обращаться в ноль в точках 1, 2,N, если число N больше, чем его степень.

Разумеется, глобальная трансцендентность полиадического числа равносильна трансцендентности всех его координат.

Примеры глобально алгебраически независимых полиадических чисел приведены в [7].

Доказательство глобальной трансцендентности даже для столь простого на вид ряда, как ряд Эйлера п!, представляет собой задачу, к которой пока

нет подходов.

Однако применение модификации метода Зигеля - Шидловского в теории трансцендентных чисел [8] позволяет доказывать бесконечную алгебраическую независимость многих представляющих интерес полиадических рядов, в част-

ности и бесконечную трансцендентность ряда Эйлера.

3. Бесконечная алгебраическая независимость полиадических чисел

Рассмотрим полиадические ряды вида

те

а = ^ аг,п • п\£п,г = !,...,п,

п=1

где ,п £ Ъ. Их можно рассматривать, как значения в точке г = £ функциональных рядов

те

= аг,п • п\гп, г = 1,...,п

п=1

при условии их сходимости в кольце полиадических чисел. Для доказательства бесконечной алгебраической независимости рядов (6) применим к рассматриваемым рядам (7) модификацию метода Зигеля-Шидловского ( [8], [9]) для так называемых Г-рядов. Здесь мы ограничимся рассмотрением подкласса Г-рядов, который состоит из рядов вида

ап  п\гп

п=0

у которых ап £ Q и \ап\ < еС1п, п = 0,1,..., где с1 - некоторая постоянная. Кроме того, существует последовательность натуральных чисел ^ таких, что ¿паи £ Ъ, к = 0...,п. При этом ¿п = d0пйп, ¿0>п £ N п = 0,1,..., d £ N и для любого п число d0,п делится только на простые числа р, для которых выполнено неравенство р < с2п. Предполагаем также, что степень, в которой число р входит в разложение числа d0,п, обозначаемая от^рп, удовлетворяет при всех п неравенству

ordpn < с3 ^п + п) .

При выполнении этих условий говорим, что рассматриваемый ряд принадлежит классу Г (Q, с1, с2, с3, d). Пусть ряды

/1

принадлежат некоторому классу Г С1, С2, С3, d0). Пусть /1(г),... , ¡т(г) составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

т

= ЕВг 3

3 = 1

В^ € 0>(г). Пусть Т0(г) € Щг\ и Т0(г) • В^(г) € 2 [г], г,] = 1,... ,т, причем пусть степень Т0(г) - наименьшая возможная, а коэффиценты Т0(г) - взаимно-простые целые числа.

Теорема 1. Пусть /1(г),...,/т(г) входят в рассматриваемый подкласс Е-рядов, составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений (8) и алгебраически независимы над О(г). Пусть число £ € Ъ, £ = 0 и отлично от особых точек системы (8). Тогда полиадические числа (6) бесконечно алгебраически независимы.

доказательство. Любой отличный от тождественного нуля многочлен Р(х\,..., хт) с целыми коэффициентами степени N по совокупности переменных можно рассматривать, как линейную форму Ь(у1,... , ум) = К1у1 + • • • + Км ум от произведений степеней переменных х0,..., хт вида

в чем легко убедиться, применяя рассуждения, аналогичные использованным в книге [8], (глава 3, с. 88-89). Обозначим ряды (9) через Е^г) = 1,... , Ем(г).

Так как ряды /1(г),... , /т(г) составляют решение системы (8), используя лемму 18 ( [8], глава 3, с. 122) получаем, что ряды Е1 (г) = 1,..., Ем(г) составляют решение соответствующей системы

Лгу] € 0(г). Пусть Т(г) € 2 [г] и Т(г)• Лг^(г) € 2[г], г,] = 1,... , М, причем пусть степень Т(г) - наименьшая возможная, а коэффиценты Т(г) - взаимно-простые целые числа.При этом система (10)не имеет особых точек, отличных от особых точек системы (8). Обозначаем 1едЕ и Н(Е), соответственно, наибольшие из степеней и высот многочленов Т(г), Т(г)Лг^(г), г,] = 1,..., М.

Через п0(Е) обозначаем число, существование которого доказано в теории Е-функций, С-функций и Е-рядов (см. [8], стр. 106). В качестве оценки сверху для п0(Е) можно взять число, стоящее в правой части неравенства

х...хт, к1 > 0,...,кт > 0, к1 + ... + кт < N.

С1 = С1 + 1п 2, С2 = С2, С3 = (Сз + 1)N, 1 = 4+[1п

м

по

(см. [9], теорема 1.2), причем можно взять

с(М, deg Е) =1og2 С(М, deg Е) = (2 + ^ Е + 1)М)(2+(ае§ °+1)м)2М. (12) Пусть £ € Ъ, £ = 0, £ отлично от особых точек системы (10). Положим

5

С4 = С1 + 1п 1 +4 • С2С3 + 2сз + 5, С5 = М2С4 + 2,

N = шах{п0(Е),ехр(4(2(М + 3) + С4(М - 1))2),

ехр(|£|2 + deg Е(|£| + 2) + 21п Н (Е) + 1))},

Но = exp

^N01п N0 ^

(1п N0) 2

Обозначим, при х > 3,

1(х) = е(1п ж) 1 и(х) = М (х + 1) — х(1п х)-2 где [Ь] обозначает целую часть числа Ь,

» (х) = I (*) , Р.(х) = и ( ^ ( 1 + 2(М + 3 + (М — ^

Мп х/ \ 1п х \ ^1п ^ ж ^ 2

Рн(х) = I — , Рв(х) = и 1 — 11 + ^-^-^^ II . (15

Теорема 2. Пусть Е1(г) = 1,..., Ем(г) входят в рассматриваемый подкласс Е-рядов, составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений (8) и линейно независимы над 0(г). Пусть £ € Ъ, £ = 0, число £ отлично от особых точек системы (8). Пусть

Ь(у1,..., ум) = К1У1 ±-----Ъ Км Ум

ненулевая литейная форма с целыми коэффицентлми, Н = шах(|К1|,..., 1Км|). Обозначим Ь [Е(£)) = К1Е1 (£) + ... + КмЕм (£). Пусть Н0 определено равенством (14), в котором N0 вычислено при п0(Е), равном правой части неравенства (11), входящие в него величины заданы равенствами (12).

Тогда для любого Н > Н0 существует простое число р, удовлетворяющее неравенствам

Рн

такое, что

. __. М+3+2Мсб

|Ь(Е(£))|р >Н-м.

Теорема 2 является частным случаем теоремы 1.1 из [9]. Пусть Р(х0,...,хт-1) — отличный от тождественного нуля многочлен с целыми коэффициентами степени N по совокупности переменных и высоты Н. Тогда, как отмечено выше, величину Р(¡0(£),..., ¡т-1(£)) можно рассматривать, как линейную форму

Ь

с целыми коэффициентами, удовлетворяющими условию

Н = тах(\к1\,..., \км\).

Пусть натуральное число т0 выбрано наименьшим таким, что 70Н > Н0. Тогда, по теореме 2 существует простое число р, удовлетворяющее неравенствам

Рн(1пЪН) <р<Рв(1пЪН), где функции Рн(х) и Рв(х) определены равенствами (15), такое, что

\ЪЬ(Г (£))|р = 0.

Следовательно, Ь(Г(£)) = 0 в поле <р.

Пусть последовательность натуральных чисел ^к, к = 1,... удовлетворяет условиям

Рн(1п 1к+1Н) > Рв(1п 1кН),к = 0,1,...,.

Тогда интервалы

(Рн(1п 1кН),РВ(1п 1кН)) ,к = 0, 1,...

не пересекаются и в каждом из них, по теореме 3, существует простое число р, для которого Р(¡0(0, ...,1т-1(£)) = Ь(Г(£)) = 0 в поле <р. Теорема 1 доказана.

4. Заключение

В работе показано, что с помощью модификации метода Зигеля - Шидлов-ского можно доказывать бесконечную алгебраическую независимость полиадических чисел из подкласса Г (<, С1,С2,С3, d0) класса Г-рядов.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука. — 1971. — 416с.

2. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука. — 1984. — 520с.

3. D. Kurepa. On the left factorial function !n. // Math. Balkan. 1971. Vol. 1. P. 147-153.

4. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлениях натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. № 1. С. 75-86.

5. Чирский В. Г. Арифметические свойства некоторых полиадических рядов // Вестник МГУ, сер. 1, Математика. Механика. 2012ю №5, С. 52-54.

6. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук, математика. 2014. Т. 439, № 6. С. 677-679.

7. V. G. Chirskii On the series which are algebraically independent in all local fields // Vestnik Moskov. Univer, Ser 1. 1994. № 3. C. 93-95.

8. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. — М.: Наука. — 1987. — 417с.

9. D. Bertrand, V. Chirskii, Y. Yebbou. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. — Vol. XIII. — № 2. — 2004. — P. 241-260.

REFERENCES

1. Postnikov, A. G. 1971, "Introduction to analytic number theory" , Nauka, Moscow, 416p.

2. Pontryagin, L. S. 1984, "Nepreryvnye gruppy." [Continuous groups] Fourth edition. 'Nauka, Moscow, 520 pp.

3. Kurepa, D. 1971, "On the left factorial function !n" , Math. Balkan., vol. 1, pp. 147-153.

4. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлениях натуральных чисел. Че-бышевский сборник, том 14, выпуск № 1, 2013.- 75-86.

5. Чирский В.Г. Арифметические свойства некоторых полиадических рядов. Вестник МГУ, сер.1, матем„механ, 2012, №5, 52-54.

6. Чирский В.Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами.Доклады Академии наук, математика,2014,том 439, № 6, с.677-679.

7. V.G. Chirskii, On the series which are algebraically independent in all local fields, Vestnik Moskov. Univer, Ser 1, (rus.) 3(1994), 93-95.

8. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа.-М.: "Наука".-1987.-417с.

9. D. Bertrand, V. Chirskii, Y.Yebbou. Effective estimates for global relations on Euler-type series //Ann.Fac.Sci.Toulouse.-V.XIII. - № 2.-2004.-p. 241-260.

Московский педагогический государственный университет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Получено 24.02.2015 г.