Алгоритм распознавания предфрактального графа с чередованием затравок

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мухачева, Э.А. Модели и методы расчета раскроя-упаковки геометрических объектов [Текст] / Э.А. Мухачева, М.А. Верхотуров, В.В. Мартынов.

- Уфа, 1998.

2. Мухачева, Э.А. Генетический алгоритм блочной структуры в задачах двухмерной упаковки [Текст] / Э.А. Мухачева, А.С. Мухачева, А.В. Чиглинцев.

- М.: Информационные технологии. - 1999. - № 11.

- С.13-18.

3. Мухачева, Э.А. Задача прямоугольной упаковки: методы локального поиска оптимума на базе блочных структур [Текст] / Э.А. Мухачева, А.С. Мухачева. - М.: Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 2.

- С. 10-15.

4. Monachi, M. Algorithms for packing and scheduling problems. PhD Thesis [Текст] / M. Monachi. - University of Bologna, 2001.

5. Житников, В.П. Задача прямоугольной упаковки в полубесконечную полосу: поиск решения в окрестности локальной нижней границы [Текст] / В.П.

Житников, А.С. Филиппова. - М.: Информационные технологии. - 2007. - № 5. - С. 55-62.

6. Картак, В.М. Локальный поиск ортогональных упаковок с использованием нижних границ [Текст] / В.М. Картак, М.А. Месягутов, Э.А. Мухачева [и др.].

- М.: Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 6. - С. 167-180.

7. Hartmann, S. Project Scheduling under limited resources. Models, methods and applications [Текст] / S. Hartmann. - Springer, Berlin, 1999.

8. Belov, G. A cutting plane algorithm for the one-dimensional cutting stock problem with multiple stock lengths [Текст] / G. Belov, G. Scheithauer // European Journal of Operational Research. - 2002. - № 141 (2).

- P. 274-294.

9. Bortfeld, A. A genetic algorithm for the two-dimensional strip packing problem with rectangular prices [Текст] / A. Bortfeld // European Journal of Operational Research. - 2006. - № 172 (3). - P.814-837.

УДК 519.6; 519.17

А.А. Кочкаров, Л.Х. Хапаева

АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА С ЧЕРЕДОВАНИЕМ ЗАТРАВОК

Теория графов - незаменимый инструмент в проектировании сложных систем и синтезе структур. Применение методов и подходов теории графов показали свою результативность в различных областях от медицины и биологии до экономики и менеджмента [1].

Особое внимание стоит обратить на использование методов и подходов теории графов и дискретной математики в моделировании сложных многоэлементных систем. Задачи, которые возникли при исследовании таких систем, как электроэнергетические, социальные и информационные сети, дали существенный толчок для нового этапа развития и применения идей теории графов [2-3].

Интересные и оригинальные результаты были получены при моделировании сложных иерархических систем самоподобными или фрактальными графами [4]. Своим рождением фрактальные (предфрактальные) графы обязаны синтезу идей

синергетики [5] и нелинейной динамики [6], фракталов [10] и теории графов [1].

Термин «сеть» широко распространен в современной научной и бизнес-литературе. На слуху такие выражения, как «розничная или торговая сеть (сеть магазинов)», «сетевой маркетинг», «филиальная сеть», «сеть трубопроводов», «железнодорожная сеть», «социальная сеть», «компьютерная сеть», «информационная сеть», «телефонная сеть» и т. д. Часто этот термин используется для обозначения совершенно различных понятий. В настоящем диссертационном исследовании термин «сеть» понимается, во-первых, как совокупность путей доставки товаров или услуг до конечного получателя, а, во-вторых, как совокупность связей между элементами многоэлементной системы. Системы, в основе функционирования которых лежит сеть, принято называть сетевыми системами [8].

На протяжении довольно длительного времени техническая и экономическая науки считали аксиомой стационарность структуры всякой сетевой системы. Под структурой системы понимали совокупность исключительно устойчивых связей между элементами системы. На этом понимании выросли научные школы в области теории графов, дискретной математики, комбинаторной оптимизации и теории систем.

Развивающаяся экономика и глобализацион-ные процессы вынуждают сетевые системы развивать, адаптировать, оптимизировать свою сетевую структуру под сильно изменчивую конкурентную среду и под новую геополитическую конъюнктуру. В такой ситуации в регулярных изменениях сетевых структур прослеживаются закономерности. Сетевые структуры не только теряют свою стационарность (фиксированность), но и приобретают признаки динамических систем, свойства иерархических и масштабно-инвариантных структур. Процессы изменения, развития, поведения сетевых структур можно объединить общим понятием структурная динамика.

Исследования в области структурной динамики ведутся в научных школах профессора В.В. Кульбы [9], члена-корреспондента РАН Д.А. Новикова [10], профессора А.М. Кочкарова [4] в таких научно-исследовательских институтах и ведущих вузах России, как Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, Вычислительный центр имени А.А. Дородницына РАН, Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия. Работы школ профессора В.В. Кульбы и члена-корреспондента Д.А. Новикова посвящены, в основном, вопросам взаимодействия между элементами сложных иерархических систем. В работах школы профессора А.М. Кочкарова первичное внимание уделено именно вопросам поведения-развития сетевых структур. В качестве моделей структурной динамики сетевых систем предлагаются различные классы масштабно-инвариантных графов, называемых предфрактальными.

Очевидно, что при исследовании сетевых систем необходимо решать не только задачу распознавания структуры уже существующей сетевой системы, но и задачу распознавания самого процесса развития-изменения структуры сетевой системы. Задачу, объединяющую две указанные, назовем задачей структурного распознавания.

Алгоритмы распознавания, строящие решение задачи структурного распознавания, во-первых, устанавливают, что процесс развития сетевых структур соответствует тем или иным правилам порождения предфрактальных графов, а, во-вторых, определяют какие типы затравок при порождении были использованы. В данной статье описан и обоснован алгоритм предфрактального графа, порожденного парой регулярных затравок с чередованием.

Фрактальные и предфрактальные графы: основные понятия. В настоящей работе определен особый класс предфрактальных графов: предфрактальный граф, порождаемый множеством затравок с чередованием. Именно он может наиболее адекватно описывать структуры сложных многоэлементных сетевых систем при построении моделей. Поэтому решается задача распознавания предфрактальных графов, порожденных множеством затравок с чередованием. Предложен и обоснован алгоритм распознавания предфрактального графа, порожденного двумя полными затравками с чередованием.

Предфрактальный граф будем обозначать через ОЬ = (УЬ, ЕЬ), где УЬ - множество вершин графа; ЕЬ - множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I = {1, 2, ..., Ь - 1} графе 01 каждую его вершину связным графом Н = О), который будем называть затравка. На первом этапе предфрактальному графу соответствует затравка. При этом об описанном процессе говорят, что предфрактальный граф ОЬ = (У£, ЕЬ) порожден затравкой Н = (№, 0. Ребра, появившиеся на этапе I, I = 1, Ь , порождения предфрактального графа, будем называть ребрами ранга I. Новыми ребрами предфракталь-ного графа ОЬ назовем ребра ранга Ь, а все остальные ребра назовем старыми. Процесс построения предфрактального графа, по существу, является процессом построения последовательности пред-фрактальных графов, которую назовем траекторией. Фрактальный граф определяется бесконечной траекторией. Обобщением описанного процесса порождения предфрактального графа ОЬ является такой случай, когда вместо единственной затравки Н используется множество затравок Н = {#} = Н Н2, ..., Н, ..., НТ}, Т> 2. Суть этого обобщения состоит в том, что при переходе от графа 011 к графу 01 каждая вершина замещается некоторой затравкой Н< £ Н, которая выбирается

случайно или согласно определенному правилу, отражающему специфику моделируемого процесса или структуры. Если при переходе от графа О-1 к графу О1 каждая вершина графа О-1 замещается одной конкретной случайно выбранной затравкой Н * е Н, то будем говорить, что предфракталь-ный граф GL порожден множеством затравок Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т> 2, с чередованием. Если же при порождении предфрактального графа Оь множеством затравок Н = {НД, Т > 2, с чередованием задано некоторое правило выбора затравок из Н, например, неубывание числа вершин или ребер выбираемых затравок, то будем говорить, что предфрактальный граф Оь порожден множеством затравок Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т> 2, с упорядоченным чередованием.

Очевидно, что порождение фрактального графа О = (V, Е) (т. е. когда траектория является бесконечным множеством О1, О2, ..., О,, ..., Оь, О1++1, ...) с чередованием затравок, возможно только при бесконечном числе замещений затравок Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т > 2.

Если при порождении предфрактального графа с чередованием для замещения вершин на последующих шагах порождения выбираются затравки с возрастанием числа вершин, то такой предфрактальный граф будем называть порожденным с упорядоченным возрастанием затравок. Если для замещения вершин на последующих шагах порождения выбираются затравки с убыванием числа вершин, то такой предфрактальный граф будем называть порожденным с упорядоченным убыванием затравок. Использование одной и той же затравки для порождения предфрактального графа чередованием затравок, на различных этапах порождения исключается.

В случае порождения предфрактального графа Оь с упорядоченным возрастанием (с упорядоченным убываем) затравок Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т > 2, если L > Т, то переход на , = Т + 1 шаге порождения от предфрактального графа ОТ к ОТ+1 осуществляется заменой всех вершин графа ОТ затравкой с наименьшим (наибольшим) числом вершин из Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т > 2. На последующих шагах , = Т + 2, Т + 3, ..., L порождения предфрактального графа затравки из Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т > 2, используются последовательно по очередности возрастания (убывания) числа вершин. В случае порождения предфрактального графа Оь число этапов порождения больше числа затравок L > Т, целесообразно говорить о периоде

замещения вершин затравками. Период замещения вершин затравками в процессе порождения предфрактального графа Оь с возрастанием или убыванием вершин затравок Н = {НД, t = 1, 2, ..., Т, Т > 2 обозначим через Р.

Алгоритм распознавания. Рассмотрим задачу, когда требуется распознать предфрактальный граф, порожденный парой полных затравок с возрастанием, и при сохранении смежности старых ребер.

Переход в траектории О1, О2, ..., Ог, ..., графа с чередованием затравок от текущего графа Ог = (V Е) к следующему графу О всякий раз подчиняется основным правилам порождения предфрактального графа с чередованием затравок при сохранении смежности старых ребер.

Распознавание предфрактального графа Оь = Е1), порожденного парой полных затравок ^ = Е1) и Г2 = Е2) с числом вершин т1 и т2(т1 < т2) соответственно, с возрастанием и при сохранении смежности старых ребер можно осуществить алгоритмом р. Суть алгоритма в заключается в идентификации графов Е = (V Е1), Е2 = Е2) как затравок предфрактального графа Оь = Е1), а также идентификации траектории самого предфрактального графа.

На рисунке изображена траектория пред-фрактального графа О3 = (V,, Е3), порожденного парой полных затравок - трехвершинным графом ^ = (К[, Е1) и четырехвершинным Е2 = Е2), с возрастанием и при сохранении смежности старых ребер.

Алгоритм в состоит из к = 1, 2, ..., ,, ..., L этапов. На каждом из этапов алгоритма в выполняются три ключевые операции: окрашивание (выделение) вершины, и - ребра, стягивание ребра, стягивание цепи. На вход первого к = 1 этапа алгоритма предъявляется предназначенный для распознавание граф О = (V, Е). На вход каждого из этапов к = 1, 2, ..., ,, ..., L алгоритма в предъявляется граф Ок = (V* Ек), как результат работы предыдущего этапа.

Определим число вершин графа О = (V, Е) и обозначим их через N. Разделим число вершин графа О = (V, Е) на произведение т1т2 последовательно необходимое количество раз, чтобы получить представление N = (т1т2)кг. Возможны два случая: г = 1, г = т1. Рассмотрим каждый из них подробно. Если остаток г не удовлетворяет ни одному из указанных вариантов, то алгоритм в3 завершает свою работу с отрицательным результатом.

Пусть г = 1. Тогда О - Оь, а число этапов алгоритма в равно Ь = 2К. Затем у графа ОЬ производим поиск всех вершин степени т2 - 1 и объединяем их в множество У'т. Затем полученное множество У'т разбивается на подмножества с учетом взаимной смежности составляющих его вершин следующим образом. Выделяем вершину v£ УЬ и смежные ей (т2 - 2) вершины из множества УЬ. Если вершина v£ УЬ не имеет в множе-

т2 А т2

стве УЬ смежных с ней

равно

в противном случае алго-

ритм заканчивает свою работу с отрицательным результатом.

Далее проверяем смежность всех ( 2 - 1) вершин каждого выделенного подмножества с одной вершиной, степень которой больше, чем 2 - 1. Если таковая имеется, выделяя ее и все ребра, соединяющие эту вершину с уже выделенными, получим выделенный полный подграф с 2 вершинами. Такие полные подграфы должны быть выделены на графе ОЬ в соответствии с числом подмножеств множества У Ь , в противном случае алгоритм заканчивает свою работу с отрицательным результатом.

Далее стягиваем все выделенные ребра. И на вход следующего этапа алгоритма в передается граф Оь~1. На графе ОЬ~1 выделяем все вершины степени т , - 1 и объединяем в множество УЬ~1.

1 т1

С множеством У Ь-1 проделывем те же операции относительно вершин со степенью 1 - 1, что и с вершинами множества. Далее стягиваем все выделенные ребра. На вход следующего этапа алгоритма в передается граф ОЬ-2. На всех последующих этапах проводим операции по стягиванию выделяемых полных подграфов, чередуя число их вершин 1 и 2 в продолжении уже начатой последовательности на первых двух шагах. На выходе последнего шага получим полный граф 01 с числом вершин т1, в противном случае алгоритм в завершает свою работу с отрицательным результатом.

Пусть г = т1. Тогда О = 0Ь, а число этапов алгоритма в равно Ь = 2К + 1 . Затем на графе О Ь выделяем все вершины степени 1 - 1. Далее процесс распознавания графа О = Оь при г = т 1 идентичен предыдущему случаю, когда г = 1.

Результатом работы алгоритма в3 в случаях, когда г = 1, г = т 1 является траектория О = (V, Ек) = = 0к = (Ук, Ек), к = 1, 2, ..., /, ..., Ь, предфрактально-го графа ОЬ = (УЬ, ЕЬ), порожденного парой полных затравок Г = (У1, Е1), Г2 = (У2, Е2) с числом вершин т1 и т2 (т1 < т2) соответственно, с возрастанием и при сохранении смежности старых ребер.

Не налагая дополнительных ограничений на вводные данные с алгоритм в3, кроме изменения условия т1 < т2 на т1 > т2, можно переориентировать алгоритм в3 на распознавание предфрак-тального графа ОЬ = (УЬ, ЕЬ), порожденного парой полных затравок Г = (У1, Е1), Г2 = (У2, Е2) с числом вершин т1 и т2 (т1 > т2) соответственно, с убыванием и при сохранении смежности старых ребер.

Теорема 1. Всякий предфрактальный граф ОЬ = (УЬ, ЕЬ), порожденный парой полных затравок Г1 = (У1, Е1) и Г2 = (У2, Е2), |У1| = т1 и |У2| = т2 (т1 > т2), с упорядоченным возрастанием и сохранением смежности старых ребер распознается алгоритмом в с полиномиальной трудоемкостью 0(|ЕЬ| + Ь|УЬ|.

Доказательство разделим на две части. В первой будет доказано соответствие выполняемой алгоритмом в работы заявленным целям, т. е. распознаванию предфрактального графа Оь = (УЬ, ЕЬ), порожденного парой полных затравок Г1 = (У1, Е1), Г2 = (У2, Е2) с числом вершин т1 и т2 (т1 < т2) соответственно, с возрастанием и при сохранении смежности старых ребер. Во второй будет подсчитана трудоемкость самого алгоритма в.

1. При порождении предфрактального графа Оь = (УЬ, ЕЬ) парой полных затравок Г1 = (У1, Е1) и Г2 = (У2, Е2) с числом вершин т1 и т2 (т1 < т2) соответственно, число вершин самого графа будет равно произведению с чередующимися множителями N = т1т2 т1т2 • ... • г, где каждый множитель соответствует этапу порождения предфракталь-ного графа. Формула N = т1т2т1т2 • ... • г позволяет вычислять число вершин предфрактального графа, порождаемого парой полных затравок с упорядоченным возрастанием. Множитель г, если число этапов порождения нечетно, равен т1. Если число этапов порождения четно, то множитель г

равен 1. Рассмотрим оба случая в отдельности.

Пусть число этапов порождения предфрак-тального графа = (Уь, Е1) нечетно, т. е. г = т1. Это значит, что при порождении предфракталь-ного графа Оь = (V Е1) число его вершин будет равно ЩО^ = (т1 т2)м т1, а L = 2М +1. Кроме того, это значит, что последней затравкой, использованной для замещения вершин предфрак-тального графа О = (V Е), является полный т^вершинный граф ^ = (V1, Е1).

Всякий предфрактальный граф, порождаемый полными затравками с сохранением смежности старых ребер, можно получить склеиванием новых затравок с вершинами предфрактального графа предыдущего этапа. Это следует из общего описания процесса порождения предфрактально-го графа с сохранением смежности старых ребер. Поэтому только лишь одна вершина каждой новой подграф-затравки предфрактального графа Оь = ^^ Е1) будет инцидентна старым ребрам, значит, только степень этой вершины подграф-затравки будет отличаться от т1 - 1.

Выделив на предфрактальном графе Оь = (VL, Е1) все вершины степени т1 - 1 и объединив их в множество Ут, можно сгруппировать их в подмножества, исходя из взаимной смежности выделенных вершин. Эти подмножества представляют собой (т1 - 1) смежные вершины каждой новой подграф-затравки предфрактального графа Оь = (У^ Е1). В каждом из сгруппированных подмножеств множества не достает по одной

т1

вершине, чтобы каждое из подмножеств соответствовало множеству вершин отдельно взятой подграф-затравки. Для добавления этих подмножеств последними вершинами достаточно выделить все инцидентные вершинам подмножеств ребра, часть из которых (т1 - 1 ребро) окажется инцидентными недостающей вершине.

После выделения все новые ребра стягиваются. На вход следующему этапу порождения подается предфрактальный граф О— = ^^ ЕЬ1).

Далее на каждом этапе распознавания проводится, чередуя, выделение и стягивание новых подграф-затравок, соответствующих затравкам Г2 = Е2) и = (V1, Е1), по аналогии с описанным и обоснованным первым этапом распознавания алгоритма в.

Пусть число этапов порождения предфрак-тального графа = Е]) четно, т. е. г = 1. Это значит, что число замещений, учитывая чередующийся характер процесса порождения, вер-

шин затравкой ^ = (К^ Е1) и затравкой = (V2, Е2) будет равным. Поэтому число вершин пред-фрактального графа О] = (V Е]) вычисляется в соответствии с произведением Щ(О]) = (т1 т2)к, а ] = 2К. Кроме того, это значит, что последней затравкой, использованной для замещения вершин предфрактального графа О]1 = (VL_1, Е]1), является полный т2-вершинный граф = (V2, Е2). Тогда с выделения подграф-затравок, соответствующих затравке Г2=(V2, Е2), и целесообразно начинать распознавание предфрактального графа О] = ^^ Е]). Последующие шаги в алгоритме в при г = 1 аналогичны шагам при г = т1. Поэтому и обоснование этой части алгоритма аналогично предъявленному выше.

2. На каждом из к = 1, 2, ..., ,, ..., ] этапов алгоритм в просматривает все вершины графа О = (V, Е) и выделяет соответствующие требованиям текущего этапа. То есть на каждом этапе алгоритма в вершины степени т2 - 1 и т1 - 1 соответственно, поочередно объединяются в множества V, и V,. На каждом шаге алгоритма

т2 т^ А

эти действия соответствуют | VL | операциям. На протяжении всего алгоритма эти действия соответствуют ]|VL | операциям. Кроме того, на протяжении всего алгоритма в каждое ребро графа О = (V, Е) выделяется лишь единожды; общая вычислительная сложность алгоритма в распознавания предфрактального графа ОL = ^^ Е^, порожденного парой полных затравок ^ = ^^ Е1), Г2 = Е2) с числом вершин т1 и т2 (т1 < т2) соответственно, с возрастанием и при сохранении смежности старых ребер равна O(|EL| + ]| VL\).

Работа [4] целиком посвящена распознаванию фрактальных (предфрактальных) графов, порожденных одной затравкой. Вопрос о распознавании фрактальных (предфрактальных) графов, порожденных множеством затравок, оставался открытым до недавнего времени.

В данной статье приведен пример адаптации (изменения правила) процесса порождения пред-фрактальных графов для моделирования развивающихся сетевых структур. Результатом адаптации стал новый класс предфрактальных графов, порождаемый множеством затравок с чередованием. Как следствие этого, рассмотрена частная задача распознавания предфрактального графа, порожденного парой полных затравок чередованием. Предложенный алгоритм распознавания решает эту задачу за полиномиальное время.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Емеличев, В.А. Лекции по теории графов [Текст]/В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарва-нов [и др.]. - М.: Наука, 1990.

2. Strogatz, S. Exploring complex networks [Текст]/?. Strogatz//Nature.-2001.-№ 410.-P. 268-276.

3. Krön, B. Growth of self-similar graphs [Текст]/В. Krön//J. Graph Theory. -2004.-№ 45 (3).-P. 224-239.

4. Кочкаров, А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход [Текст]/А.М. Кочкаров. -Нижний Архыз: РАН САО, 1998.

5. Малинецкий, Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент [Текст]/Г.Г. Малинецкий. -М.: КомКнига, 2005.

6. Малинецкий, Г.Г. Нелинейная динамика и про-

блемы прогноза [Текст]/Г.Г. Малинецкий, С.П. Курдю-мов//Вестник РАН.-2001.-Т. 71.-№3. -С. 210-224.

7. Фракталы в физике [Текст]/Под ред. Л. Пьетро-неро, Э. Тозатти. -М.: Мир, 1988.

8. Малашенко, Ю.Е. Модели неопределенности в многопользовательских сетях [Текст]/Ю.Е. Малашенко, Н.М. Новикова. -М.: Эдиториал УРСС, 1999.

9. Кульба, В.В. Управление и контроль реализации социально-экономических целевых программ [Текст]/ В.В. Кульба, С.С. Ковалевский, В.А. Уткин [и др.]. -М.: Книж. дом «Либриком», 2009.

10. Новиков, Д.А. Сетевые структуры и организационные системы [Текст]/Д.А. Новиков. -М.: ИПУ РАН, 2003.-102 с.

УДК 519.632.4

А.В. Пашковский

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И СИЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ СТАНДАРТНЫХ И КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Развитие практически любой отрасли современного производства в значительной мере зависит от степени автоматизации инженерных разработок, гибкости технологий производства и присутствия в них обратной связи по контролю качества продукции. Именно поэтому в одном ряду по важности создания стоят системы диагностики, контроля качества, автоматизированные системы управления технологическими процессами и другие подобные системы. Значительная роль, определяющая качество функционирования систем, принадлежит математическим методам, применяющимся в мониторинге, диагностике и управлении технологическими процессами.

Современные численные методы, такие, как метод конечных элементов (МКЭ), комбинированный метод граничных и конечных элементов (КМГиКЭ) и т. д. позволяют осуществлять разнообразные типы прикладных расчетов. Тем не менее, использование новых технологий и научных разработок в производстве электромехани-

ческих, электромагнитных и тепловых устройств определило целый ряд задач, в которых существующие методы не обеспечивают достаточной точности. В частности, это относится к расчету полей, особенно трехмерных, в устройствах, которые рассматриваются как неоднородные или кусочно-однородные среды (КОС) с нелинейными включениями, узкими порами, тонкими пленками или мелкозернистой структурой. Ситуация усугубится при использовании в проектировании и производстве устройств мили-, микро- и нано-технологий. Следует отметить, что даже в инженерных и научных задачах средней сложности при наличии нелинейности характеристик материалов, особенностей решения в окрестностях угловых точек сред, тонких включений, осцилляции и неудовлетворительных свойств решений в расчетных средах у вышеперечисленных методов возникают значительные потери точности.

Рассмотрим проблему такого рода на примере расчета магнитного поля и силовых характе-