Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной конгармонической кривизны

ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ ПОСТОЯННОЙ ГОЛОМОРФНОЙ КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ

I Шихаб Али Абдул-маджид

Аннотация. В работе рассматриваются приближенно келеровы многообразия точечно постоянной конгармонично голоморфной кривизны. Доказывается, что NK-многообразие является многообразием точечно постоянной конгармонично голоморфной кривизны тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры а£с = 25 ^. Также показано, что точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного NK-многообразия размерности свыше четырех равносильно ее глобальному постоянству.

Ключевые слова: приближенно келеровы многообразия, тензор конгармоничной крмвизны, пространство присоединенной G-структуры, тензор голоморфной конгармонической кривизны.

Summary. This paper deals with nearly Kahler manifolds of pointwise constant conhar-monically holomorphic curvature. The author proves that the NK-manifold is a manifold of pointwise constant conharmonically holomorphic curvature if and only if the space of associated G-structure A^C = 25 a . The author also shows that point constancy of the holomorphic conharmonical curvature of the connected NK-manifold of the dimension greater than four is equivalent to its global constancy.

Keywords: nearly Kahler manifolds, conharmonic curvature tensor, associated G-struc-ture space, tensor of holomorphic conharmonical curvature.

199

Пусть {М2п, g, - почти эрмитово многообразие, X(М) - модуль гладких векторных полей на многообразии М2п.

В 2-грассманиане (то есть совокупности всех двумерных площадок) АН-многообразия (М, 8, 3) естественно выделяются элементы, наиболее тесно связанные с АН-структурой, а именно, инвариантные относительно структурного эндоморфизма 3.

Определение 1 [1, с. 358]. Двумерная площадка О с 0т (I), т е М, называется голоморфной, если Зт (о) = О.

Предложение 1 [там же]. Двумерная площадка о с Тт(м), т е М, голоморфна тогда и только тогда, когда О = Ь(Х., ЗХ), где X е X(М) - некоторый вектор, Ь -символ взятия линейной оболочки.

Определение 2 [там же, с. 358-359]. Секционная кривизна почти эрмитова многообразия

вектора Хес и обозначается Нт(Х). Таким образом,

Нт

Если Нт(Х) не зависит от выбора о с 0т (I) в каждой точке т е М, многообразие М называется многообразием точечно постоянной голоморфной секционной кривизны.

Если Нт(Х) не зависит также от выбора точки т, многообразие М называется многообразием глобально постоянной голоморфной секционной кривизны.

Понятие голоморфной секционной кривизны (короче, Ж-) кривизны является одним из наиболее фундаментальных понятий в геометрии почти эрмитовых многообразий и изучалось многими авторами, среди которых отметим Ко-баяши [2], Либермана [3], А. Грея [4] и др. Наибольшие продвижения были получены для келеровых и приближенно келеровых многообразий. Кобаяши [2] доказал, что полное келерово многообразие положительной голоморфной секционной кривизны с необходимостью односвязно. А. Грей [5] получил обобщение этого результата для приближенно келеровых многообразий. Холи [6] и Игуса [7] получили полную классификацию полных односвязных келеровых многообразий размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны:

Теорема 1 [1, с. 359]. Всякое полное односвязное келерово многообразие размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны с голоморфно изометрично одному из следующих многообразий:

1) При с > 0 - комплексному проективному пространству СРп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой <<•,•>> = ds2, в каноническом атласе задаваемой соотношением

2 4 (1 + 1а^а)(1 200 * = с (1 + Е ^

2) При с = 0 - комплексному евклидову пространству Сп, снабженному стандартной эрмитовой метрикой <<•,•>> = ds2, в каноническом атласе задаваемой

соотношением , 2 П , а ,-а

а^' = ^ аг аг ;

а=1

3) При с < 0 - комплексному гиперболическому пространству СБп, представляющему собой открытый единичный шар

1п)е Сп £1а1а < 1

а=1 2

- „ <<•,•>> = ds

снабженному стандартной эрмитовой метрикой , в каноническом

атласе открытого подмногообразия Б п с Сп = Я 2п задаваемой соотношением

¿2 = _ 4 (1 _Е а-а-а)(Е а<ьа<ё)-(£ *-а^-а)(Е а-а^-а).

С

Обобщением этого результата на приближенно келеровы многообразия получена независимо А. Греем [4] и В. Ф. Кириченко [10]. В работе В. Ф. Кири-

ченко [11] получена (в сильно обобщенном виде) локальная версия этих результатов, из которых следует, что всякое келерово многообразие размерности свыше двух постоянной голоморфной секционной кривизны с локально голоморфно изометрично одному из трех типов многообразий, перечисленных в теореме 1, причем с необходимостью эта кривизна является глобально постоянной.

Заметим, что двумерное ориентированное риманово многообразие (М, ё), очевидно, автоматически несет келерову структуру точечно постоянной голоморфной секционной кривизны [1, с. 360].

Определение 3 [там же]. Келерово многообразие (глобально) постоянной голоморфной секционной кривизны называется комплексной пространственной формой.

Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны рассматривались многими авторами, среди них - А. Грей [5; 12; 13], А. М. Навейра, Л. М. Хервелла [14], И. Сато [15], С. Саваки [16], У. Ва-танабэ, К. Такамацу [17], В. Ф. Кириченко [10; 18; 19]. Это была очень популярная тематика среди исследователей ЛХ-многообразий до тех пор, пока А. Греем [4] и В. Ф. Кириченко [10] не была получена полная классификация таких многообразий.

В [1] получен удобный критерий постоянства голоморфной секционной кривизны почти эрмитова многообразия.

Теорема 2 [1, с. 361]. Почти эрмитово многообразие (М, ё, 3) является многообразием постоянной Ж-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры выполняется соотношение В\1С\ ' = — 5 а ,

5~d ? а? ( , ? а? ( 2

ь = 5ь 5с + 5с 5ь - симметричная кронеккеровская дельта второго порядка.

Предложение 2 [там же, с. 380]. ЛХ-многообразие является многообразием точечно постоянной Ж-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры = —5/ .

Теорема 3 [там же, с. 381]. Точечное постоянство голоморфной секционной 201 кривизны связного ЛХ-многообразия размерности свыше двух равносильно её глобальному постоянству.

Другими способами этот факт доказали А. М. Навейра, Л. М. Хервелла [14] и С. Саваки [16].

В. Ф. Кириченко получил полную классификацию ЛХ-многообразий постоянной голоморфной кривизны:

Теорема 4 [1, с. 385]. Всякое ЛХ-многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны либо является двумерным келеровым многообразием, либо локально голоморфно изометрично одному из следующих многообразий, снабженных канонической ЛХ-структурой:

(1) Комплексному проективному пространству СРп;

(2) Комплексному евклидову пространству Сп;

(3) Комплексному гиперболическому пространству СБ п;

(4) Шестимерной сфере S6.

В связи с этим естественно провести аналогичные исследования для другого алгебраического тензора кривизны - тензора конгармонической кривизны.

Определение 4. Голоморфной конгармонической кривизной

(НКт(X)= К(Х'^'Х),т еМ,X ,Тт(М)).

1X11

Определение 5. Почти эрмитово многообразие М2" называется многообразием точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны, если НКт(Х) не зависит от выбора Х е X (М ).

Определение 6. Почти эрмитово многообразие М2" точечно постоянной голоморфной конгармонической кривизны называется многообразием голоморфной конгармонической кривизны, если НК есть константа (то есть НК

тт

не зависит от выбора точки т е М).

Теорема 5. Почти эрмитово многообразие (М, g, X) является многообразием постоянной ДК"-кривизны с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры Ё ^ )-1 = С ~ .

Доказательство. Пусть (М2", X, g) - почти эрмитово многообразие. Согласно определению 6, имеем < К(X,ЗХ)ЗХ,X >= 4НК(х)||Х||4 . Расписывая это равенство на пространстве присоединенной б-структуры, получим:

< К(X,X >= ЕуК[1т(1Х)кХ1 (ж)пХ1 = -2КашХаХЬХсХЛ + аХЪXеX,й +

I 1Vа V V V и^а V V \гс ту-а V V V V туа Vа \гЬ -у с -уй

ЬейЛаЛЬЛеЛ + ЬсйЛаЛЬЛ Л -КЬсйЛаЛЬЛсЛй -КЫЛ Л Л Л '

В силу свойств симметрии тензора конгармонической кривизны имеем:

аьыХаХъХсХй = -КаМсХ аХъХсХй = -КаьыХ аХъХсХй , то есть КаЫс = 0. Аналогич-

c о d

но, Ka , = 0, Ka = 0, Ka = 0, Ka - = 0. Таким образом, на пространстве присое-bcd bd bCd bCd

диненной G-структуры HK(x)\\X\|4 = aK^^XaXbXcXd = aK^)XaXbXcXd . С дру-

гой стороны, на пространстве присоединенной G-структуры г = 4{xaxa)(xbxb)= 2bbdc XaXbXcXd . Таким образом, Мявляется многообразием постоянной ДК"-кривизны с тогда и только тогда, когда (4K ((b c)d - 28 bd) XaXbXcXd = 0. В силу тождественности характера этого соотношения относительно X е X(M) заключаем, что

Я (a d) = C ¡id Я (ь ) = 2 ¡ь .

Пусть теперь (M2", J, g) - ^K-многообразие. Поскольку

Kabci = ACd -BadkBtbc ——1—)

тензора и теоремы 5, имеем: Л^ - , 1 ч(st,Sdc + 5 acSdb + 5 dSac + S dcSt) = C.

4(n -2

~

Введем в рассмотрение чистый тензор Л типа I I с компонентами

АЬС = Лаълс —

верхних и нижних индексов. Тогда предыдущее равенство запишется в виде

и -Схл 2

Рассмотрим 4-форму

аё лт-ЪлтС

л? =—5ь .

Н (X ,¥, Z )= ЛаёсХЪ¥С1аШё =

- ^¿г)^ +5 +§ёк+§ ё^а ))xъ¥czawd; х,¥, z е х (м>.

В силу (2) имеем, что Н (X, X, X, X ) = 0 Н (X, X, X, X ) об-

ладает свойствами, которые легко доказываются:

1. НX + Х2,У,г,ж)= |АЦ --цП—)(№ + 5Х + 5¡Бас + 5*сБаь)}х

х (х1+х 2 )ъУсг ж = { а£ - -(г—-)(5 № + 5 X + 5 ¡б: + 5 ¡б) хЬгсгажа +

+| а£ - (5 № + 5 Х + 5 ¡б: + 5 ¡б) х,ЪУсга№, = Н (х„у, г ,ж)+ +н (х 2,у , г ,ж);

2. н(х,у,г,ж)= н(у,х,г,ж) = н(х,у,ж,г);

3. н(х,у,г1 + г2,ж)=н(у,х,г1,ж)+н(х,у,г2,ж);

4. н(ш,у,г,ж)=4~1н(у,х,г,ж);

5. н(х,У,л,ж)=-4—\н(у,х,г,ж);х,У,г,ж е х(м). 203

Опираясь на приведенные свойства, докажем, что Н (X ,У, 2 ,Ж )= 0. Так как

Н (X, X, X, X )= 0, то Н (X + У, X + У, X + У, X + У )= 0. Отсюда,

2Ж

+ 2Н (X ,У ,У ,У )+ Н (У ,У, X, X )+ 2Н (У ,У, X ,У )= 0.

Сделаем в (2) замену Х ^ -Х и складывая почленно полученный результат с (3), получим:

Н

Сделаем в последнем равенстве замену X ^ IX, полученный результат сложим почленно с (4), тогда получим: Н(X,У,X,У)= 0. С учетом этого равенства, равенство (4) примет вид: Н(X,X,У,У )+ Н(У,У,X,X)= 0, где сделаем замену X ^ X + 2. В результате чего имеем:

Н

Произведем в (5) замену X ^ IX, тогда 4-ЛН(X,2,У,У)-4-ЛН(У,У,X,2)= 0, то есть Н (X, 2 ,У ,У )-Н (У ,У, X, 2 )= 0. Складывая последнее равенство с (5), по-

лучим: Н(X,7,У,У)= 0. В полученном равенстве сделаем замену У ^ У + W, тогда Н (х , г ,у ,у )+2Н (х , г ,у ,w)+Н (х , г ж ,w) = 0 , то есть = 0 . Отсюда за-

меной 2 — У получим требуемое, то есть Н (х ,у , 2 ж )= 0, УХ,У, 2 Ж е X (М ) Итак, мы получили следующий результат.

Теорема 6. ЛК-многообразие является многообразием точечно постоянной конгармонично голоморфной кривизны c тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-структуры

~ай _ с ай лЪе - ^0Ъс

Продифференцируем внешним образом соотношение (6): dAbC =1 ^с.

точнее, с1(к *и)=п *(<^с)) является горизонтальной

аё 1 ~аё

сйюк + скщ), то

Поскольку с е СХ(М), dc (а

формой, а значит, dc = саыа + саюа . Тогда имеем: ёЛ^ = 1

есть А —^^(5+ 5+ 5^ + 5=1(сАюк + скщ). С учетом 4(и -1) 2

равенств:

204

1) алЦ = л^щ + л£щк + лЦек + лЦек - лЦе? - л?кек;

2) а^=а (ла + зва)=ла?щ+л^щк +(ла + зв?) ее-(ль+зве) е?,

где

А[с] = = 0 ,

последнее равенство примет вид

Л^, + лЦщк + л£ъкь + лЦъС - а - л%0 1

^¿Т)^ к + Л^щ +Л + 3В1) 0/- (Л/ + 3В/) 0] + 4(и^ {51 [л/щ к + ла/кщ, +(л/ + В) 0 / - (л/ + 3В/) 0 а]} + 4(и1ГГ){5 ск>к + л/щк М + 3В1) 0/ - (л/ + 3В/) 0 ]

+ 4(и1ГГ){5 1[л/щ к + л//кщк +(ла + В) 0/-(л/ + 3В/) 0 а]}=

Г §//(<

скщ к + с кщк

то есть

4^(5 аъЛ^ + 5 ^ + 5 + 5 СА$ )} ш к +

лат ^^^ал^ + 5сл$ + 5ал$+5Сла$) +

лц 4(П^ГГ) {5 а л+звс)+5/ (ла+зва)}

дк +

+

afh oa+3bd)+sd(ao+зва)}

eh -к О

Ahd - 4^:7) {s d Ao+зво) s d A+зво)}

AOO - {s О (aO + зво)+s o(aO + зв°)}] Kd = \ s~0 (с°щ + h).

Поскольку

s a(Acd+3Bd) 0 h+s d(sz+зва) eh+s a (Ad+зв^+s d A+зва) eh -- s*(Ad+3Bd) e a - s hA+звi) e а - s hA+зва) e d - s hA+зва) e d=0,

то, в силу (5), последнее равенство можно записать в виде:

a« - ^n^af+5dAf+ s aAf+s dAf )}ш h+

+ {Aadh - 4(1^(5Uf + btAf + S «cAf + S dcAaf)) +

i M £ adr\ h . M z adr\ h M z hdr\ a M z ahn d + 2 Shc Hi + 2Sbh Hc - 2Sic Hh - 2Si Hh 2

= 1 S~cd (h

Л

Так как -+ -8^0 С - -- -8^0 ^ = 0 , то в силу линейной незави-2 1 2 2 2 симости базисных форм, имеем:

1) 4S - 4^(5abAdh + 5dAf + 5caA$ + 5dAf)_ \K%;

2) Aadh 1 (5 a Adfh + 5 d jafl + 5 a ,dfh + 5 d ¿af) _ 1 5

2 4(n - bAcf + 5bAcf + 5cAbf + 5 cAbf' _ 2 5bc

ad ~h П .

Альтернируя по индексам с и А равенство (9:1), получим 4-^(5аА^ + 5dAf 55) = 5dch + 5dcc - 5а8ис 5*°5 *ес. Свернем полученное равенство по парам индексов (а, Ь) и (с, ё), получим:

205

^ 2(«2 - ) . Аналогично, из равенства (9:2) имеем:

гк = - 1 лагк 2(п 2- 1)Лаг .

Свернем равенство (9:1) по парам индексов (а, Ь) и (с, ё). Тогда после преоб-

разовании получим:

ch =

n - 3

agh

Аналогично, из равенства (9:2) получим:

=

n - 3

jagA

+

206

( ( \ п(п2-

Сравнивая (10) и (11), получим: I 2(п2- l)+—^—ch= 0 , то есть з(п2- l)(n - 2) h h 0

—-—--с =0. Отсюда, в частности, c = ch = 0.

n - 3

И, таким образом, получена следующая теорема.

Теорема 7. Точечное постоянство голоморфной конгармонической кривизны связного ^K-многообразия размерности свыше четырех равносильно ее глобальному постоянству.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М., МПГУ, 2003. - 495 с.

2. Kobayashi S. On compact Kahler manifolds with positive Ricci tensor // Ann. Math. - 1961. -№ 74. - P. 570-574.

3. Liberman P. Sur les connexions hermitiennes // C. r. Acad. Sci. - Vol. 239. - 1954. -№ 23. -P. 1579-1581.

4. Gray A. Classification des varietes approximativement kahleriennes de courbure sectionelle holomorphe constant // C. r. Acad. Sci. - Vol. 279. - 1974. -№ 22. - P. 797-800.

5. Gray A. Nearly Kahler manifolds // J. Diff. Geom. - Vol. 4. - 1970. - № 3. - P. 283-309.

6. Hawley N. S. Constant holomorphic curvature // Canad. J. Math. - V. 5. - 1953. - № 1. - P. 53-56.

7. Igusa J. On the structure of a certain class of Kahler varieties // Amer. J. Math. - V. 7. - 1954. -№ 3. - P. 669-678.

8. Ishii Y. On conharmonic transformations // Tensor. - 1957. - 7(2). - P. 73-80.

9. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. -J. 28. - 1976. - № 4. - P. 601-612.

10. Кириченко В. Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны // Математические заметки. - Vol. 19. - 1976. - № 5. - С. 805-814.

11. Kirichenko V. F. Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry // II. Geometriae Dedicata. - 1994. - № 52. - P. 53-85.

12. Gray A. Nearly Kahler manifolds // J. Diff. Geom. - 1965. - № 12. - P. 273-277.

13. Gray A., Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // Cac. Pestov. Math. - V. 104. - 1979. - № 2. - P. 170-179.

14. Naveira A. M., Hervella L. M. Shur's theorem for nearly Kahler manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. - V. 49. - 1975. - № 2. - P. 421-425.

15. Sato I. On special K-space on constant holomorphic sectional curvature // Tensor. - V. 24. - 1972. - P. 355-362.

16. Sawaki S., Watanabe Y., Sato I. Notes on K-spaces of constant holomorphic sectional curvature // Kodai Math. Semin. Repts. - V. 26. - 1975. - № 4. - P. 438-445.

17. Watanabe Y., Takamatsu K. On a K-space of constant holomorphic sectional curvature // Kodai Math. Semin. Repts. - V. 25. - 1973. - № 3. - P. 297-306.

18. Кириченко В. Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой // Математические заметки. - Т. 29. - 1981. - № 2. - С. 265-278.

19. Кириченко В. Ф. Некоторые типы К-пространств // Успехи математических наук. - Т. 30. -1975. - № 3. - С. 163-164. П