Линейные вариации моделирования свойств эллиптичности

вестник 812012

УДК 514.18

Ю.О. Полежаев, А.Ю. Борисова

ФГБОУВПО «МГСУ»

ЛИНЕЙНЫЕ ВАРИАЦИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СВОЙСТВ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ

Рассмотрены некоторые линейные вариации свойств эллиптичности для планиметрии. Средствами геометрографии построены шесть моделей эллиптического семейства: эллипс, взаимосвязанный с золотой пропорцией и фокальным прямоугольником; константой периметрии фокального ромба; сжатия базовой окружности в направлении оси у; дифференциальными прямыми бегущей точки эллипса; циркульными инциденциями; композицией преобразований сдвига и гомотетии. В окрестности некоторой точки эллипса показаны проходящие через нее характеристические линии, которые могут быть использованы в тех или иных композиционных решениях для фрагментов проектируемых объектов.

Ключевые слова: моделирование, эллиптичность, квадрика, фокальные параметры, конфигурации, константа периметрии, геометрография, золотая пропорция.

Выявление эффективных свойств квадрики при разработке геометрических моделей является одной из основных задач в планиметрии. Часто возникает вопрос: какая из моделей оптимальна в целях планируемого практического приложения. Еще в свое время Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен рассматривали данный вопрос: «Существует ли единственное решение вопроса о построении модели; либо — сколько решений и, следовательно, моделей можно получить вообще?» [1].

Используем для возможности ответа следующую аналогию. Пусть в «свободно проходимом поле» заданы два пункта А и В. Поставим вопрос: сколько траекторий существует, чтобы из одного пункта попасть в другой? Задача и ответ всем давно известны: траекторий очень много.

Понятно, что и геометрографических конструкций, моделирующих ту или иную квадрику, например эллиптическую, может быть достаточно много. Их ограничением по количеству могут быть разные условия, в частности, уровень знаний, эрудиция, профессионализм проектанта.

Итак, по понятным причинам приведем далее лишь несколько вариаций моделирования свойств эллиптичности, представленных геометрографическими конструкциями. Некоторые из них давно и хорошо известны, другие «моложе», но не менее интересны и важны.

Если эллиптичность задана числовыми значениями (Ьк; параметра фокальной хорды (рис. 1) дуги окружности (00 • К) либо золотым сдвигом "(0; К) на величину (0,618^) по оси у в отрицательном направлении, получим две пары симметричных инцидентных хорд, формирующих «фокальный прямоугольник» дуги эллипса, избранной из семейства. Позиция «бегущей точки» е1 на такой траектории может быть построена с использованием конфигурации, включающей пластичную фигуру «цир-кульно-фокального прямоугольника» (1; 2; 3; 4), который определяется вследствие предварительного задания порождающей точки Я1 на исходной окружности. Тогда через полюс Pí определяется одна из сторон названного «фокального тетрагона», а на ней — позиция е1.

Следующий пример моделирования бегущей точки, той же точки е, соотносится с одним из исторических первоисточников, а именно с алгоритмом Пифагора, основой которого является «константа периметрии Е — фокального ромба». Вариация развертки такого полуромба на прямую -Р; 2а и последующие построения показаны на изображении (рис. 1). Данное моделирование подробно рассмотрено в [2].

34

© Полежаев Ю.О., Борисова А.Ю., 2012

Архитектура и градостроительство. Реконструкция и реставрация

ВЕСТНИК

МГСУ

Рис. 1. Геометрографическая композиция примеров моделирования бегущей точки эллипса

Еще одна модель геометрографии произвольной точки е связана с преобразованием сжатия исходной окружности вдоль оси у к оси х. Заданный коэффициент сжатия «работает» для ординаты Я. любой точки окружности, преобразуя ее позицию в е1 — эллиптическую. Это легко достигается построением соответственного ортотреугольника с гипотенузой (0; Я.) и пропорцией е1 сжатия на катет — ординату для точки [3]. Более простым вариантом с использованием «угловой пропорции» является ортотреугольник с прямым углом в позиции (0) и гипотенузой через (Я ^ Я1) до оси х в точку р. Тогда (Ь; Рк) «отсекает» на ординате Я1 позицию е1. Но эта модель для многих исходных точек Я. приводит к «недоступным» позициям формата чертежа, что является композиционным недостатком.

Модель построения точки ei через выявление ее дифференциальных прямых (/,.; п..) достаточно практична и интересна. Построив касательную для и ее полюс р, для диаметра (-Р; Р) циркульной дугой определяется на исходной окружности вершина прямого угла 4. Здесь (4 ^ е1 ^ р) является касательной ), а (п.), идущее ортогонально (ti) и параллельно (3 ^ (-Р) ^ 4), является нормалью в точке е.. Модель подробно рассмотрена в [2].

Следующая геометрографическая модель эллиптичности порождается циркульными ициденциями. Вообразим на прямой линии две точки в качестве центров окружностей. Зададим некоторый общий шаг увеличения радиусов для общих окружностей. Далее следует внимательно посмотреть на циркульные инциденции, когда радиусы окружностей превышают расстояния между их центрами. При этом визуально обнаруживаются точки со свойствами эллиптичности. Понятно, что центры окружностей являются фокальными точками (-Р; Р) семейства эллипсов (рис. 2), а инциденции е соответственных циркульных дуг имеют постоянную величину суммы их радиусов. Чем меньше был бы шаг изменения величины радиусов, тем больше приближались

вестник 8/2012

бы специфические фигуры в окрестностях точек инциденций к понятию о дифференциальных элементах, характеризующих кривизну линии. Разумеется, эффект циркульных инциденций распространяется на все линейные разновидности квадрик.

Рис. 2. Пример циркульного моделирования бегущей точки эллипса

Наконец, последний в данном изложении пример моделирования эллиптичности, связанный с композицией преобразований сдвига т и гомотетии Н. Имеются в виду (см. рис. 1) также прямолинейные отрезки, метрические величины которых взаимозависимы. Первый из них — (Я,.;у), определяющий абсциссу бегущей точки по дуге исходной окружности. Второй является лучом из некоторой а избранной полярной точки на х, который проходит через у. до горизонтали через Я. Вертикалью из точки их инциденции отсекается в полосе сжатия Лу отрезок параллельный и равный (Ь;Я). Второй луч из полярной точки, например а, названной выше, пересекает ось у в точке 7. Отрезок (7; ХЩ) является радиусом, дуга которого из (0) определяет на ординате Я1 позицию эллиптичности е1. Иначе, отрезок (7; ХЩ) равен (0; е1). Следовательно, радиус (0; е1) вполне задается композицией преобразований {К Н- х т} при оговоренных дополнительных условиях. Если возникают «недоступные точки чертежа», можно «по соображению» менять позицию полярной точки на х. Логика предложения допустима в качестве экспресс-модели визуализации позиций точек эллиптической траектории [4].

В итоге заметим, точка е1, смоделированная разными геометрографическими конструкциями совместно, выглядит в некоторой своей окрестности достаточно «звездной» или «пушистой снежинкой». И это есть преимущество для такого изображения (рис. 3). При использовании эллиптической траектории в необходимой ее точке проектант сохранит необходимые ему лучи, прямые либо искривленные, чтобы включить их в требуемое композиционное решение [5].

36

1997-0935. Vestnik Мвви. 2012. № 8

Архитектура и градостроительство. Реконструкция и реставрация

ВЕСТНИК

МГСУ

Рис. 3. Взаимосвязь свойств гипоциклоиды и эллиптизма

Библиографический список

1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М. : Наука, 1981.

2. Полежаев Ю.О. Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии : монография. М. : Изд-во АСВ, 2010.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. М. : ОГИЗ, 1948.

4. Корн Г. Справочник по математике. М. : Наука, 1974.

5. Сапрыкина Н.А. Основы динамического формообразования в архитектуре. М. : Архитектура-С, 2005.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Полежаев Юрий Олегович — доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru;

Борисова Анжелика Юрьевна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: Полежаев Ю.О., Борисова А.Ю. Линейные вариации моделирования свойств эллиптичности // Вестник МГСУ 2012. № 8. С. 34—38.

Yu.O. Polezhaev, A.Yu. Borisova

MODELLING THE PROPERTIES OF ELLIPTICITY: LINEAR VARIATIONS

The authors discuss some of the properties of linear variations of ellipticity within the framework of planimetry. Six elliptic models were constructed through the employment of geometrogra-phy-related methods: an ellipse interrelated with the (i) "golden proportion" and a (ii) focal plane rectangle; (iii) a constant of the perimetry of the focal diamond; (iv) compression of the base circle in the axial direction (y); (v) differential straight lines of the moving point of an ellipse; (vi) compass incidence, a composition of transformations of the shift and homothety.

Characteristic lines that run in the neighborhood of some point of the ellipse are demonstrated. The characteristic lines in question include those that can be employed as part of various composite solutions related to the fragments of structures being constructed.

A set of closed polygons and curves with selected lines passing through the characteristic points of the circle squaring — these are the geometrographic structures that can form the basis of composite solutions to the problem of design. The authors also believe that the properties employed by the "golden mean" increase the aesthetic constituent of the solution.

Key words: modeling, ellipticity, focal parameters, configurations, constant of the perimetry, geometrography, golden proportion.

ВЕСТНИК 8/2012

References

1. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Nauka Publ.,

1951.

2. Polezhaev Yu.O. Ratsional'nye proportsii arkhitektumo-stroitel'nykh ob"ektov v proektsionnoy geometrii [Rational Proportions of Architectural Structures in Projective Geometry]. Moscow, ASV Publ., 2010.

3. Gil'bert D. Osnovaniya geometrii [Basics of Geometry]. Moscow, OGIZ Publ., 1948.

4. Korn G. Spravochnik po matematike [Reference Book of Mathematics]. Moscow, Nauka Publ.,

1974.

5. Saprykina N.A. Osnovy dinamicheskogo formoobrazovaniya varkhitekture [Fundamentals of Dynamic Shaping in the Architecture]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2005.

About the authors: Polezhaev Yuriy Olegovich — Associated Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83;

Borisova Anzhelika Yur'evna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Polezhaev Yu.O., Borisova A.Yu. Lineynye variatsii modelirovaniya svoystv elliptichnosti [Modeling the Properties of Ellipticity: Linear Variations]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 34—38.

38

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 8