Элективный курс «Элементы дискретной математики» как средство внутрипрофильной специализации обучения в старших классах естественно-математического профиля

теория и методика обучения и воспитания

А.С. АЛФИМОВА

элективный курс «элементы дискретной математики» как средство внутрипрофильной специализации обучения в старших классах естественноматематического профиля

Приведена программа элективного курса «Элементы дискретной математики», обоснованы необходимость его изучения школьниками и возможность использования в качестве средства внутрипрофильной специализации обучения в классах естественнонаучного профиля.

Ключевые слова: элективный курс, дискретная математика, профильное обучение, графы, комбинаторика, целые точки.

В рамках реализации целей и задач, поставленных перед современной системой образования, на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, призванное создавать условия для качественной дифференциации обучения старшеклассников. Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные (примерно соотношение их объёмов определяется как 50:30:20). Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне или служить для внутрипро-

фильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий [2].

Создание соответствующего учебнометодического обеспечения представляется в этой ситуации серьёзной проблемой, которая в настоящее время активно исследуется. Однако уже разработанных программ элективных курсов по математике и материалов по их проведению не хватает для удовлетворения всех запросов современной профильной школы.

Так, большинство из существующих в настоящее время методических средств направлено главным образом на обучение школьников непрерывной математике, место же дискретной математики в школьном курсе в настоящее время окончательно не определено. При этом дискретная математика и смежные с ней разделы привлекают большое внимание специалистов различных областей науки и техники, являясь эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Кроме того, дискретная математика предоставляет большие возможности для первоначального знакомства, например, с такими важными понятиями, как «модель» и «алгоритм». Работа с моделями помогает избежать формализма в обучении математике, при котором учащиеся не видят связи заученных формул с реальной жизнью. Особое значение дискретная математика приобретает с началом изучения информатики, теоретической основой которой она является.

Дискретную математику можно также использовать для решения методических задач в математическом образовании. так, с ее помощью возможно эффективное знакомство школьников с математической индукцией, сложными для них понятиями, такими как «необходимые и достаточные условия» и т.д. [8]. Таким образом, разрабатывая программы новых курсов для общеобразовательной школы, нельзя обойти вниманием основные разделы дискретной математики, которая, наряду с непрерыв-

© Алфимова А.С., 2009

ной математикой, изучаемой в школе, важна для формирования общей математической культуры учащихся и будет востребована в дальнейшем при обучении в вузах.

Исследованию проблем преподавания дискретной математики в школе и вузе посвящены работы О.И. Мельникова, Е.А. Перминова и др., однако тематика исследований, как правило, связана с обоснованием необходимости непрерывного обучения дискретной математике на всех ступенях образования. Практических же разработок для обучения старших школьников недостаточно, в частности, предлагаемые элективные курсы по дискретной математике посвящены элементам теории графов (О.И. Мельников) и имеют целью применение знаний к решению прикладных задач, построение графовых моделей и исследование их с помощью компьютера, совершенствование навыков программирования [8]; данных об исследовании других аспектов проблемы нет.

В концепции профильного обучения [2] предлагается четыре основных профиля (однако есть тенденция к определению своих профилей каждой школой); при разработке элективного курса «Элементы дискретной математики» мы ориентировались на естественно-математический профиль со специализацией «Математика» для школьников, планирующих поступать на математический факультет педвуза.

В этой связи необходимо рассматривать дискретную математику не столько как основу информатики, сколько как средство формирования математической культуры будущего педагога. При разработке курса было уделено большее внимание не алгоритмическому подходу, а общей логике математических рассуждений, что позволяет изучить не только исторические аспекты рассматриваемых проблем, но и новые, зачастую весьма сложные для школьников, математические методы и приёмы решения задач.

Предлагаемый элективный курс «Элементы дискретной математики» рассчитан на изучение в течение двух лет учащимися классов естественно-математического профиля и состоит из трёх разделов: «Графы», «Комбинаторика и рекуррентные соотношения» и «Целые точки», каждый из которых может изучаться как вместе с двумя другими, так и отдельно.

В данном курсе акцент сделан на математической стороне рассматриваемых вопросов, но при необходимости он может быть смещён в сторону поддержки таких предметов, как информатика, физика, химия (особенно это применимо к разделу «Графы»). Таким образом, предлагаемый курс может рассматриваться как средство внутрипрофильной специализации обучения не только в классах естественноматематического, но и (при незначительной переработке) технологического профиля (специализация «Информационные технологии»). Остановимся подробнее на содержании каждого из разделов курса.

С практической точки зрения, теория графов - один из наиболее востребованных сегодня разделов дискретной математики. Она используется при проектировании интегральных схем и систем управления, исследовании автоматов и логических цепей, при системном анализе, автоматизированном управлении производством, разработке вычислительных и информационных сетей. Обширное применение теория графов находит также в вычислительной технике и кибернетике - в теоретическом программировании, проектировании ЭВМ и баз данных. Исследования электрических сетей, структур молекул и строения кристаллов, применения к решению проблем биологии и психологии послужили мощным катализатором в становлении данного раздела математики. графы также успешно применяются для решения задач планирования - выбора оптимальных маршрутов (транспортная задача), построения сетевых графиков, исследования потоков в сетях.

Материал раздела рассчитан на изучение в течение одного года (2 урока в неделю), объём которого, степень строгости изложения, методы и приемы обучения могут варьироваться учителем в соответствии с его склонностями и возможностями с учетом возрастных особенностей учащихся и их подготовленности. Учитывается также начальное знакомство с графами на факультативах в предшествующих классах.

Изучение материала начинается с некоторых фактов из истории теории графов и обоснования важности этого раздела математики для решения задач других наук. Далее излагаются основные понятия и простейшие утверждения, с ними связанные: степени вершин графа, лемма о «ру-

копожатиях», операции над графами, полный, пустой, связный граф, путь, цикл. Далее рассматриваются различные виды графов: деревья, регулярные графы, двудольные, плоские [5], эйлеровы, гамильтоновы, ориентированные графы. Порядок изучения тем обусловлен выбранными определениями и подбором задач и на практике оказался достаточно удобным. В классах естественно-математического профиля со специализацией «Математика», учащиеся которых не ориентированы на поступление в педвуз, из рассмотрения могут быть исключены игры и головоломки, связанные с ориентированными графами, а также решение олимпиадных задач. Последняя в разделе «графы» тема связана с рассмотрением понятия «отношение» и его связи с графами [10], в частности, отношения эквивалентности и частичной упорядоченности. Для подбора материалов к занятиям можно воспользоваться, например, пособиями [3] и [11].

Перейдём к содержанию второго раздела курса - «Комбинаторика и рекуррентные соотношения». В настоящее время роль комбинаторики существенно изменилась. После появления ЭВМ и связанного с этим расцветом конечной математики комбинаторные методы стали ещё более востребованными, они применяются сегодня в теории случайных процессов, вычислительной математике, планировании экспериментов. Изучение этого раздела предполагается в течение первого полугодия 11-го класса (два урока в неделю). Материал раздела во многом является знакомым учащимся классов естественноматематического профиля (в соответствии с образовательным стандартом среднего (полного) общего образования по математике для профильного уровня). цель его рассмотрения - не столько повторение и систематизация, сколько углубление имеющихся комбинаторных знаний и изучение новых сложных математических методов.

Изучение раздела предлагается начинать с повторения необходимого материала из школьного курса алгебры - схемы горнера и метода математической индукции. В содержание темы «Комбинаторика» [1] рекомендуется включить рассмотрение понятий множества, кортежа и отображения. В зависимости от уровня подготовлен-

ности учащихся необходимо изучить (или повторить) правила суммы и произведения и основные комбинаторные соединения, остановиться на применении элементов комбинаторики к нахождению вероятностей. Отдельного рассмотрения требует связь между сочетаниями, биномиальными коэффициентами и треугольником Паскаля. Изучение темы «Рекуррентные соотношения» имеет смысл начинать с рассмотрения уже знакомых учащимся арифметической и геометрической прогрессий, последовательности Фибоначчи, поскольку освоение работы с рекуррентными соотношениями традиционно сложно для учащихся. Далее осуществляется переход к решению других рекуррентных соотношений, изучению их связи с конечными суммами. Рассмотрение некоторых методов суммирования также представляет определённую методическую сложность. В зависимости от специализации учащихся асимптотические методы суммирования и понятие об асимптотических формулах можно опустить. Однако необходимо учитывать, что в этом случае переход к изучению третьего раздела «Целые точки» элективного курса «Элементы дискретной математики» становится затруднительным. Завершать изучение раздела «Комбинаторика и рекуррентные соотношения» целесообразно циклом уроков, посвящённых решению различных комбинаторных задач [6].

Материал, включённый в третий раздел «Целые точки», является наиболее непривычным и сложным не только для учащихся, но и для учителей. Данный раздел призван познакомить старшеклассников с одной из значительных отраслей современной математики - теорией чисел, содержание которой, как правило, связывается с изучением свойств натуральных чисел, поскольку исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают всё более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. К их числу относится и проблема подсчёта числа целых точек в некоторых замкнутых областях, ограниченных, например, прямой, параболой, гиперболой, окружностью. Для решения этой проблемы используются специфические методы аналитической теории чисел, которые интересны не только сами по

себе, но и как средство повторения, обобщения, углубления уже имеющихся знаний в области алгебры и математического анализа. В литературе не найдено примеров систематического изложения школьникам материалов раздела «целые точки», однако, ввиду вышеперечисленного, это представляется необходимым.

Основная методическая проблема, возникшая при разработке курса, - так организовать его изучение, чтобы, не поступаясь строгостью математических доказательств, сделать их доступными для учащихся. В связи с этим задачи подсчёта числа целых точек являются «сквозными» для данного курса - к их решению учащиеся будут возвращаться каждый раз после изучения нового метода. Таким образом, достаточно сложная задача подсчёта количества целых точек в некоторой области будет разбита на ряд доступных учащимся подзадач.

При решении задачи о подсчёте числа целых точек в криволинейной трапеции, которая ограничена кривой у = /(х), возникают две подзадачи: а) нахождение формул для вычисления суммы значений функции /(х) на промежутке (а,Ь]; б) возможно более точная оценка суммы дробных частей значений функции /(х) на заданном промежутке.

На изучение этого раздела отводится

16 часов во втором полугодии 11-го класса в соответствии со следующим планом: функции у = [х] и у = {х}, их свойства (5 ч); постановка задачи суммирования целых точек (2 ч); символ 0( ) и его свойства (2 ч); первообразная, интеграл, метод интегрирования по частям (3 ч); формула Эйлера-Маклорена - замена конечных сумм интегралом (4 ч). Для изучения теоретического материала и решения задач при изучении функций у = [х] и у = {х} и их свойств можно использовать, например, материалы книги [9]. Для знакомства с задачей суммирования целых точек учащимся рекомендуется статья А.Г. Кушниренко [7], а учителям - пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов [4].

Практическая апробация предлагаемых материалов проведена учителями математики гимназии № 1549 г. Москвы в 2005 - 2008 гг. В процессе апробации разработана система заданий, обеспечиваю-

щая усвоение содержания элективного курса «Элементы дискретной математики» и раскрытие связей между различными темами школьной математики. Показано, что широкое использование нестандартных учебных задач в рамках курса создаёт условия для активизации познавательной деятельности учащихся, развития их творческих способностей и интереса к предмету. Кроме того, в результате мониторинговых исследований по алгебре в экспериментальной, изучавшей элективный курс, и контрольной группах 11-го класса было выявлено, что учащиеся экспериментальной группы лучше справляются с заданиями повышенного и высокого уровней сложности, связанными с применением свойства периодичности функций, интегрированием и дифференцированием функций (задания такого типа рассматриваются в разделе «Целые точки»). такие задания являются неотъемлемой частью ЕГЭ по математике, их выполнение необходимо как при поступлении в вуз, так и при дальнейшей специализации, связанной с математикой.

Изучение элективного курса «Элементы дискретной математики» как средства внутрипрофильной специализации обучения в классах естественно-математического профиля позволяет достичь следующих результатов:

1) дальнейшее развитие общей математической культуры учащихся;

2) формирование представления о практическом значении теории графов;

3) знакомство с основными понятиями и алгоритмами теории графов;

4) углубление и расширение уже имеющихся знаний из курса алгебры и начал анализа - в ходе обучения приводятся дополнительные примеры периодических функций, рассматриваются новые виды кривых (например, эллипс, астроида, локон Аньези) и их свойства, изучается новый метод интегрирования - по частям и т.д.;

5) знакомство учащихся с современными математическими методами исследований;

6) формирование системно-комбинаторного мышления;

7) подготовка к дальнейшему изучению дискретной математики в вузе.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. М.: ФИМА: МЦНМО, 2006. 400 с.

2. Галкина Т.И. Организация профильного обучения в школе. Книга современного завуча / Т.И. Галкина, Н.В. Сухенко. 2-е изд., доп. и пе-рераб. Ростов н/Д.: Феникс, 2007. 288 с.

3. Графы: учеб. задания для учащихся заоч. мат. шк. при СПбГУ. СПб.: РИО СПбГУ, 1994.

17 с.

4. Деза Е.И. Дискретная математика (Целые точки: Введение в асимптотические методы) / Е.И. Деза, А.С. Алфимова. М.: МПГУ, 2006. 64 с.

5. Деза Е.И. Основы дискретной математики / Е.И. Деза, Д.Л. Модель. М.: МПГУ, 2007. 113 с.

6. Комбинаторика и вероятность: учеб. пособие для учащихся заоч. мат. шк. при СПбГУ. СПб.: РИО СПбГУ, 1994. 23 с.

7. Кушниренко А.Г. Целые точки в многоугольниках и многогранниках / А.Г. Кушниренко // Квант. 1977. № 4. С. 13 - 20.

8. Мельников О.И. Обучение дискретной математике / О.И. Мельников. М.: ЛКИ, 2008. 224 с.

9. Мерлин А.В. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе / А.В. Мерлин, Н.И. Мерлина. Чебоксары: Клио, 1998.

10. Оре О. Графы и их применение / О. Оре. М.: Едиториал УРСС, 2002. 168 с.

11. Харари Ф. Теория графов / Ф. Харари; пер. с англ. и предисл. В.П. Козырева; под ред. Г.П. Гаврилова. 2-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2003. 296 с.

Elective course “The Elements of Discrete Mathematics” as a mean of intra process studying specialization in natural and math training at senior school.

The program of the elective course “The Elements of Discrete Mathematics”, elements of discrete mathematics by senior schoolchildren, grounds of its studying by senior schoolchildren and possibilities of its using as a mean of intra process studying in the grades of Science training are given.

Key words: elective course, discrete mathematics, dedicated studying, linear complexes, combinatorial theory, integral points.

А.г. луканкин, к.п. ядров

электронное учебное пособие на основе LaTEX как средство совершенствования математической подготовки учителя в вузе

Рассмотрены проблема повышения качества математической подготовки учителей на основе усиления фундаментальности их образования и использования ИКТ, а также практический опыт работы в данном направлении.

Ключевые слова: подготовка учителей, фундаментальность образования, электронный учебник.

Педагогическое образование является приоритетной и системообразующей областью в сфере образования России. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г., программа модернизации педагогического образования, разработанная на ее основе с учетом новых социальных требований к системе образования и закономерностей развития подготовки педагогов, основной задачей образовательной политики определяют обеспечение современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным перспективным потребностям личности, общества и государства. Такая политика отвечает идеям Болонской декларации 1999 г., провозгласившей непрерывное образование (учение длиною в жизнь - Ше-1о^-1ешш^) главной политической программой гражданского общества. Как свидетельствует проведенный историко-педагогический анализ, российская система высшего образования способна конкурировать с образованием передовых стран мира.

Постсоциалистическая трансформация страны, изменение технологической среды передачи знаний вынуждают использовать информационно-коммуникационные технологии (ИКТ) как средство повышения качества образования, расширения доступа к знаниям, самореализации всех участников образовательного процесса. Эти процессы находят свое отражение и при под-

© Луканкин А.Г., Ядров К.П., 2009