Модель фильтрации вязкой жидкости че- рез периодическую решетку частиц с за- данным градиентом давления

ВЕСТНИК Югорского ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 г. Выпуск 2 (13). С. 37-44

УДК 532.529:541.182

модель фильтрации вязкой жидкости через периодическую решетку частиц с заданным градиентом давления

М. С. Дерябина Введение

Моделирование течения вязкой жидкости в пористой среде является одной из актуальных проблем механики жидкости. Это связано как с математической сложностью самой задачи, так и с чрезвычайно широкой областью возможных приложений результатов моделирования. Например, в таких областях, как извлечение нефти из пласта, водоотведение и водоотбор, создание пористых строительных материалов с заданными свойствами, бытовых и промышленных фильтров для очистки воды. Используемые модели фильтрации вязкой жидкости основываются на уравнении Дарси [1], полученном в XIX веке, или на его модификациях. Закономерность дает связь между расходом жидкости и градиентом давления. Уравнение достаточно хорошо подтверждается в лабораторных условиях на различных образцах грунта, помещенного в трубки, через которые и течет жидкость под действием разности уровней. Однако возникает вопрос: а какова область применимости этого закона (уравнения) в природных условиях? Справедлив ли он на размерах, сопоставимых с размерами пласта?

Очевидно, что закон Дарси связывает средние величины. Поэтому в литературе сразу возникла идея вывести его на основе усреднения течения, возникающего в порах и описываемого обычными уравнениями гидродинамики. Однако при этом возникли математические трудности, связанные с определением параметров потока при наличии большого числа обтекаемых тел. Для того, чтобы обойти эти трудности, появились модели, основанные на различных упрощающих задачу предположениях. Наиболее известные и используемые до настоящего времени это: модель ячейки [1], в которой считается, что возмущения от одной частицы локализованы в замкнутой ограниченной области вокруг частицы; модель пористой среды как системы цилиндрических капилляров различных радиусов [1]. Однако данные модели имеют ряд недостатков, которые делают невозможным корректное обоснование закона Дарси. Кроме того, для ячеечной модели такими недостатками являются, в первую очередь, неоднозначность выбора размера ячейки и граничных условий на ее поверхности. Для модели на основе цилиндрических капилляров это отсутствие криволинейных участков, на которых возникают вторичные течения, которые меняют свойства потока, в частности, зависимость расхода от перепада давления и невозможность учесть влияние потока в одном канале на поток в другом. Кроме того, довольно затруднительно системой цилиндрических капилляров учесть изотропность пористой среды.

Выход из этой ситуации дает модель пористой среды как периодической решетки частиц [2]. И, хотя реальные пористые среды не являются периодическими структурами, такая модель дает возможность получить обоснование закона Дарси на идеальной системе, учитывающей основные свойства пористой среды: пористость, изотропность, масштаб. Однако и здесь имеются математические трудности, связанные с учетом гидродинамического взаимодействия большого числа частиц [3]. Попытка свести это взаимодействие к сумме парных взаимодействий частиц приводит к расходящимся интегралам. Чтобы обойти эти трудности, в работе [2] для получения решения использовалась гипотеза о том, что возму-

щение, вносимое в поток жидкости частицей, такое же, как и возмущение от точечной силы, действующей на жидкость в точке, занимаемой центром частицы. Поэтому использовались уравнения движения жидкости, содержащие точечные силы, действующие в узлах решетки, а распределение скорости и давление в жидкости представляются тройными рядами Фурье. Граничные условия на поверхности частиц при этом явно не учитывались, а вместо них учитывалось условие, что среднее значение скорости жидкости по поверхности частицы равно нулю. Имеются и модификации этого подхода, которые применяются в сочетании с другими методами, что позволяет напрямую использовать краевые условия [4-5].

В работах [6, 7] показано, что решение задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в принципе нельзя свести к сумме решений задач о парных взаимодействиях этих частиц. Это связано с тем, что, хотя уравнения и граничные условия - линейные, граничные условия для скорости жидкости на поверхности каждой частицы являются интегральными в том смысле, что описывают суммарный вклад от гидродинамического взаимодействия выделенной частицы со всеми остальными. В работах [8, 9] предложено аналитическое решение задачи о течении вязкой жидкости через неподвижную бесконечную периодическую решетку сфер. Учитывается гидродинамическое взаимодействие всех частиц. Решение основано на суммировании возмущений от каждой частицы в решетке. Показано, что известная проблема расходимости рядов или интегралов при учете взаимодействия большого числа частиц в действительности связана с заменой условия равенства нулю на поверхности частиц суммарной скорости возмущений жидкости от всех частиц на условие равенства нулю скорости возмущения потока жидкости от каждой отдельной частицы. В работе [9] построено периодическое, всюду конечное решение уравнений Стокса для бесконечной решетки. Скорость жидкости в этом решении представляется в виде постоянной или линейной функции координат. Соответственно, давление представляется в виде линейной или постоянной функции. Первую задачу (с постоянной скоростью в потоке) можно рассматривать с двух точек зрения. Если задана скорость, то можно найти градиент давления, и, наоборот, зная градиент давления, можно найти скорость. Но, если в первом случае имеется предельный переход к решению об обтекании единичной сферы, то во втором такой переход отсутствует. Как правило, в литературе для обоснования закона Дарси и получения выражения коэффициента фильтрации используется первый подход. Хотя на практике возникает иная задача: известен градиент давления и требуется найти скорость фильтрации. Однако в этом случае при рассмотренном в работе [9] виде решения с постоянной составляющей скорости возникает особенность при малых значениях параметра, характеризующего расстояние между частицами. В работе [8] сделано предположение, что наличие этой особенности связано с видом решения для скорости. То есть в этом случае решение должно представляться с другим профилем скорости, который вблизи частиц приближенно можно заменить течением с квадратичным по координатам профилем скорости. Для этого случая были проведены оценки коэффициента фильтрации. Вопрос - как построить периодическое всюду конечное решение, соответствующее этому случаю - оставался открытым.

В настоящей работе рассматривается модель течения вязкой жидкости через периодическую решетку, позволяющая построить такое решение.

Постановка задачи

Исследуем течение несжимаемой жидкости с вязкостью ц через периодическую решетку, образованную неподвижными сферическими частицами радиуса а. Структура решетки такова, что частица лежит в ячейке в виде правильной треугольной призмы со стороной ь/з и высотой с. Введем параметр £ = а/Ь, причем £ # 1/2 и предельное значение достигается при касании сфер. Решетка характеризуется ортогональными векторами г, г, г. Выберем произ-

вольную частицу в решетке и совместим начало системы координат с центром в этой частицы, при этом ось Хз направлена по вектору скорости, оси Х2 и х - вдоль высоты и основания правильного треугольника, соответственно. Положение п-ой частицы в решетке определяется вектором = ГпПГ, у = 1,2,3 ; пу ! 73. Здесь и далее используется соглашение Эйнштейна: по повторяющимся индексам производится суммирование. Положение точки относительно первой частицы задается вектором х а относительно п-й сферы - вектором Хп — Х Гп.

Будем считать Яв % 1 и использовать приближение Стокса для скорости ы(х) и давления р(х) в жидкости:

Скорость и давление ищутся в виде:

Ы1 = и + VI, р = Р + р .

Возмущения V , р являются периодическими относительно решетки: для любого Гп должно выполняться соотношение:

соответствующее первому случаю. Ниже дается подход, позволяющий построить решение во втором случае.

общее решение задачи для произвольной решетки

В работе [9] получено всюду конечное периодическое решение для функций р' и [IV в случае решетки любого типа, имеющее вид:

пДы = Ур, ё^ы = 0.

На поверхности каждой частицы должны выполняться граничные условия:

V(X + Гп) = V(X ), р'(X + Гп) = р (X ).

Вектор и(х ) и скаляр Р(х ) задают характер течения. При этом, если задана скорость и(х), то давление Р(х) есть неизвестная величина. И наоборот, если известно давление Р( х), например, задан перепад давления в задаче о фильтрации, то вектор скорости и (х) подлежит определению. В работе [9] найдено периодическое решение,

р' - Н]{и? - У]кхк) + Р]1с^Тк "-----!" ЩklmstqLjklmstq ----->

11 1 ЦЩ — о _ ~^У]кХ]Хк) ~ ~ ^іїкі^к^і) "І" _ Уік^к)

1

3 4 1 х-1

п

п

Здесь х - радиус-вектор точки наблюдения, и введены обозначения:

^ 1 ^ д д 1 ~ Щ’ ~

д д , ,

Кцк-.лОО — Кц,к..л(.х) — дх^  дХ1^ц(Х^.

д д , Л Мцк1...т(?0 ~ ^1]к,1...т^х) ~ ^^кОО-

Данные мультиполи связаны следующими соотношениями:

Кц = 1о, Кцк = — (^с^/ "I" §к^Ч "I" ЗЛ^[у7с),

^Ик = ~^к> ^иы = 0.

Тензоры Н, ..., ^щтл не зависят от х и должны быть найдены из (2.3); В у является антисимметричным.

Ьу = Ьц + Ьц, 1ц — УуХ/ = -Ь УцЛ7»

1 1 ^ - 2УЦх*х! = 1о + 1о- 2УЫхкх]’

1

У]к = •

Здесь Я( I) - вектор базиса, взаимного к г*. Штрих обозначает сумму по всем узлам решетки, кроме начального:

п* О

£у = 2И;-Ч/(°)].

ПФО

£'| = £Р7-Ч(0)-£?Д0)*Д

71*0

^ ^ [^о - ад - ^]-

ПФ О

Следующие суммы не имеют особенности в точке х = 0

^ ^...ш 1*п^ кт\х\2 + ^Щк1 \Хп\2 - О'УкАХпР^оЪ

п ПФО

Мук ~ Рцк1х1 ~ Мук + Мцк — Рцк1х1,

Кц &ук1х1хк ^1/ "I" ^0/ &цк1х1хк'

где слагаемые имеют вид:

»'т = Х[мй* “ м3»№> - м|)и(0)*|],

пф О

Ц = £ [*3 - *<К°),

пф О

В силу (3.2) справедливы соотношения:

1 1 РаЫ ~^Ук1>&цк1 2 (^1кУ]1 ^ ^]кУи "I" ^Рцкь)-

Полученные выше соотношения дают решение уравнений (2.1) в виде (3.1) при выполнении условия:

Рцк^'к = ^

Неизвестные величины Hi,..., Wijklmst находятся из краевых условий численным методом или разложением по неотрицательным степеням параметра £. В силу периодичности решения задачи, достаточно изучить поведение жидкости вблизи нулевой частицы, поэтому К, L', M' раскладываются в ряд Тейлора в окрестности x = 0. С точностью до £ имеем следующее выражение для скорости (3.1):

11 11 РЩ = -^о +4ЦкшФ)х]хкх1хт - ^ У]кх]хк\ ~2НАКЧ +

1

"I" 4! Кцкіт5(^хкх1хтх5 &іікІхкхІ\ "І" ^і/ ^7 "I" ^кіт(Фхкх1хт у У]кхк

3 1 , „ 4 1 ,

зі I" у!/#у^т(0)^хт]

1

^іІкі\х\ ^ у ^‘іік1тзхтпхз + і^іїкітз ^іікІзт)хтхз "І" ^і/йг(0)М

2

Здесь введены обозначения:

^цЫтз ~ ^ ]х=0 • ^Ч]к1ш5 ~ ^ ' \)-Ч}к 1тхз]х=О-

п*0 п*0

В (3.3) учтено, что для мультиполей нечетного порядка имеем равенство L'(0) = 0.

Тензоры а, Ь, С, K, (0), L' (0), M' (0) зависят только от конфигурации частиц и потому обладают симметрией решетки. При решении конкретной задачи эти тензоры известны заранее. Напротив, Н, ., Wjыmst должны быть инвариантны относительно пересечения точечной группы решетки и группы симметрии краевых условий. Выяснив симметрию тензора, его можно представить в виде линейной комбинации небольшого количества базисных тензоров (различных для каждой точечной группы). После этого остается найти лишь коэффициенты разложения тензоров по базисному набору. Таким образом, учет структуры решетки позволяет резко снизить количество параметров, необходимых для задания тензоров.

На неизвестные тензоры Н, ., Wijыmst накладываются и дополнительные ограничения. Во-первых, эти тензоры должны быть симметричны по индексам, по которым происходит их свертывание с мультиполями (то есть по всем, начиная со второго). Во-вторых, произведения базисных тензоров, входящие в состав Н-, ., Wijыmst, должны включать не более одного символа Кронекера. При этом один из индексов 8 при суммировании не должен быть немым, иначе свертка этого слагаемого с ЕГ.../ дает нуль. Эти два ограничения справедливы для любой задачи, решение которой представлено линейной комбинацией мультиполей.

С помощью данного метода в работе [9] найдены скорость и давление в жидкости и построены поля течений вокруг частицы в решетке. Установлено, что возмущения потока не распространяются за границы ячейки Вигнера-Зейтца решетки. Поскольку рассматриваемые выше две прямоугольные решетки равносильны одной, то можно предположить, что и в нашем случае возмущения не выйдут за рамки ячейки, и воспользоваться этим результатом для получения выражений для распределения скорости и давления вокруг частиц в решетке.

Решение задачи с заданным градиентом давления

Так как в рассматриваемом случае ячейка представляет собой прямую призму, в основании которой правильный треугольник, а частицы в решетке расположены таким образом, что призмы образуют непрерывный канал, то при заданном постоянном градиенте давления Р = — Ахз можно считать, что внутри каждого такого канала реализуется течение с профилем скорости и (х) равным [10]:

( 3 2 2 2 \

X* 'V V 'V д/* \

1,5+ * — 1,5 р — 3^ — 1,5 Ь.\

Здесь и - постоянная скорость на границах канала.

Профиль безразмерной скорости и* = вц^/АЬ2 в сечении, проходящем через высоту треугольника и ось призмы, показан на рис. 1-2 (принято, что вци0/АЬ2 = 1).

и

и

Рис. 2. Профиль скорости в канале треугольного сечения при х = 0,6

Как видно из рисунков, хотя скорость зависит от координат не по квадратичному закону, вблизи частицы (точка с координатами х = 0, *2 = 0) ее профиль близок к параболическому, что и было получено в работе [8]. Если предположить, что в соседних каналах имеется такое же распределение скорости, то легко проверить, что такое течение жидкости удовлетворяет условиям непрерывности скорости и касательных и нормальных напряжений на границе ячеек. Таким образом, невозмущенное течение вязкой жидкости представляет собой периодическое движение в каналах треугольного сечения с заданным градиентом давления. Отличие от модели капиллярных каналов состоит в следующем: во-первых, в рассматриваемой модели стенки каналов не являются твердыми, а представляют собой границы в жидкости; во-вторых, такие каналы (с профилем сечения, определяемого решеткой) можно выделить в произвольном направлении, что означает возможность течения жидкости в любом направлении; в-третьих, имеется непрерывность распределения скорости и напряжений во всем объеме, занимаемом жидкостью, что означает возможность учитывать гидродинамическое взаимодействие в соседних ячейках. Предложенная модель фильтрации применима к любым решеткам и позволяет определять течения при заданном градиенте давления. Невозмущенная скорость течения определяется профилем сечения канала и, вообще говоря, может быть произвольным многоугольником.

В работе [9] получено, что, с учетом гидродинамического взаимодействия всех частиц, градиент давления и невозмущенная скорость течения и должны быть связаны равенством (и неизвестная величина):

А,- + ми- = 4г н..

в

Из выражения (4.1) получим соотношение:

ц Ь

Здесь/ - параметр, характеризующий форму и размер ячейки. В рассматриваемом случае решетка имеет параметр равный / = 33/3/8. Таким образом, получаем, что при е " 0 имеется предельный переход вц^/Ь2 " А. Как видно из выражения (4.1), профиль и максимальная величина скорости зависят от размеров ячеек, через которые течет жидкость. Поэтому для системы, состоящей из ячеек разных размеров, на различных участках будет реализовываться профиль скорости со своим максимальным значением.

Рассмотрим течение несжимаемой жидкости через две периодические решетки, образованные неподвижными сферическими частицами одинакового радиуса. Структура каждой решетки такова, что в каждой из них частица лежит в ячейке в виде правильной треугольной призмы со сторонами длиной Ь/3 и 2Ь/3, соответственно, и высотой с. Причем ячейка большего размера включает в себя четыре меньшего размера. Распределение скорости в канале большего размера имеет вид, аналогичный (4.1):

Уз = Ци+Цз— и^ — з!*2-— и^). ))

Так как канал с большим сечением содержит в себе три канала с меньшим сечением, то суммарное распределение скорости в нем в силу линейности уравнений Стокса можно представить в виде суммы решений для каждого из них. Профиль безразмерной скорости и в сечении, проходящем через высоту треугольника, показан на рис. 3.

U

Рис. 3. Профиль скорости в канале составной решетки

Как видно из рисунка, профиль скорости и максимальная величина зависят от размеров ячеек, через которые течет жидкость. Поэтому для системы, состоящей из ячеек разных размеров, на различных участках будет реализовываться профиль скорости со своим максимальным значением. Поэтому получаем неоднородное по скорости распределение потока жидкости в такой системе.

Таким образом, невозмущенное течение вязкой жидкости представляется в виде периодических кусочно-гладких функций скорости течения в каналах треугольного сечения с заданным градиентом давления. Получаем неоднородное по скорости распределение потока жидкости в такой системе.

литература

1. Happel J. Low Reynolds number hydrodynamics / J. Happel, H. Brenner. - [unplaced]: Prentice-Hall, 1965 = Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель Дж. Г. Бреннер. - М.: Мир, 1976. - 632 с.

2. Hasimoto H. On the periodic fundamental solutions of the Stokes equations and their applications to viscous flow past a cubic array of spheres // J. Fluid Mech. - 1959. - V. 5.

- P. 317-328.

3. Brady J. F. The sedimentation rate of disordered suspensions / J. F. Brady, L. J. Durlofsky // Phys. Fluids. - 1988. - Vol. 31. - P. 717-727.

4. Zick A. A, Stokes flow through periodic array of spheres / A. A. Zick, G. M. Homsy // J. Fluid Mech. - 1982. - V 115. - P. 13-26.

5. Mo G. A method for computing flow interactions among spherical objects and its application to suspensions of drops and porous particles / G. Mo, A. S. Sangani // Phys. Fluids. -1994.

- V. 6; № 5. - P. 1637-1652.

6. Мартынов С. И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости // Изв. РАН, МЖГ. - 2000. - № 1. - С. 84-91.

7. Мартынов С. И. Гидродинамическое взаимодействие частиц // Изв. РАН. МЖГ. - 1998.

- № 2. - С. 112-119.

8. Мартынов С. И. Движение вязкой жидкости через периодическую решетку сфер // Изв. РАН. МЖГ. - 2002. - № 6. - С. 48-54.

9. Мартынов С. И. Вязкость суспензии с кубической решеткой сфер в сдвиговом потоке / С. И. Мартынов, А. О. Сыромясов // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2005.

- № 4. - С. 3-14.

10. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифщиц. - М.: Наука, 1986. - 736 с.