К вопросу о коэффициенте вариации наработки до отказа системы с последовательной структурой элементов

УДК 681.32.019.3

H.В. СЕСПЕДЕС ГАРСИЯ

К ВОПРОСУ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ВАРИАЦИИ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ ЭЛЕМЕНТОВ_____________________________________

Анотація. Розглянуті питання статистичного моделювання надійності невідновлювальної системи з послідовною структурою елементів на основі використання генераторів випадкових чисел, що мають DN -розподіл. Встановлено залежність величини коефіцієнта варіації наробітку до відмови системи від кількості її елементів.

Ключові слова: коефіцієнт варіації наробітку до відмови системи, параметри DN -розподілу, статистичне моделювання.

Аннотация. Рассмотрены вопросы статистического моделирования надежности невосстанав-ливаемой системы с последовательной структурой элементов на основе генераторов случайных чисел, имеющих DN -распределение. Установлена зависимость величины коэффициента вариации наработки до отказа системы от количества ее элементов.

Ключевые слова: коэффициент вариации наработки до отказа системы, параметры DN -распределения, статистическое моделирование.

Abstract. The questions of statistical modeling reliability of nonrecoverable system with consecutive structure elements based on random number generators with DN -distribution are considered. The dependence of the variation coefficient operating time to failure of the elements amount is determined. Keywords: variation coefficient operating time to failure of the system, the parameters of DN -distribution, statistical modeling.

I. Введение

При решении разнообразных задач по оценке надежности систем вероятностнофизическими методами [1] важнейшей априорной информацией, позволяющей эффективно их решать, является информация о коэффициенте вариации распределения наработки до отказа.

Коэффициент вариации наработки до отказа (на отказ) является обобщенным параметром теоретического закона распределения отказов и определяет его вид и форму. Величина коэффициента вариации - параметра формы DN -распределения сильно влияет на точность прогнозных оценок показателей надежности систем. Исследованию этой характеристики системы посвящена данная работа.

2. Расчет коэффициента вариации наработки до отказа ВФ-методом

Как известно, экспериментальная оценка коэффициента вариации распределения наработки до отказа невосстанавливаемых систем требует статистических данных гораздо большего объема, чем для оценки средних показателей надежности, и на практике не проводится. В связи с высокой собственной надежностью элементов системы (изделий электронной техники) практически невозможно получить достаточно репрезентативную выборку отказов систем в нормальном режиме эксплуатации, на основании которой можно было бы определить коэффициент вариации. Поэтому чаще всего коэффициент вариации наработки до отказа системы оценивается расчетным путем, исходя из априорной информации о коэффициентах вариации элементов. С этой целью в [1] сформулированы следующие утверждения.

© Сеспедес Г арсия Н.В., 2012

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2012, № 4

Утверждение 1. При отсутствии избыточности (резервирования) коэффициент вариации наработки до отказа невосстанавливаемых объектов, состоящих из совокупности последовательно соединенных (в смысле надежности) элементов, совпадает с коэффициентом вариации наработки до отказа этих элементов.

Утверждение 2. Коэффициент вариации наработки на отказ восстанавливаемого объекта остается тем же самым (как и у невосстанавливаемого объекта), поскольку обобщенный физический процесс деградации объекта зависит только от количества и типов задействованных элементов. При этом предполагается, что отказавшие элементы заменяются на идентичные и сохраняется структура объекта.

Для невосстанавливаемой системы с последовательной структурой элементов в [1] приведена формула, позволяющая оценить величину коэффициента вариации наработки до отказа системы ВФ-методом.

где Ti - значение средней наработки до отказа элемента i -го типа, Vi - значение коэффициента вариации наработки до отказа элемента i -го типа, ni - количество элементов i -го типа, N - количество типов элементов.

Рассмотрим случай, когда система состоит из п одного типа элементов со средней наработкой до отказа Ti и коэффициентом вариации V . После несложных преобразований вычислим коэффициент вариации наработки до отказа системы Vc по формуле (1).

Нетрудно видеть, что расчетная величина Vc постоянна, равна Vi и не зависит от надежности элементов и их количества.

В настоящей работе осуществлена попытка проверки согласования расчетной оценки коэффициента вариации наработки до отказа последовательной невосстанавливаемой системы с оценкой, полученной по результатам статистического моделирования методом «слабого звена». Статистическое моделирование системы осуществлялось с использованием генератора случайных чисел, распределенных в соответствии с функцией DN -распределения наработки до отказа [1, 2].

3. Моделирование надежности последовательных невосстанавливаемых систем

Для исследования коэффициента вариации наработки до отказа систем с последовательной структурой элементов проводилось моделирование с различными априорными показате-

и различным количеством элементов в системе ( п = 2; 3; 4; 5; 10; 20; 50 шт.).

Для исследования коэффициента вариации наработки до отказа системы использовался метод моделирования по строкам матрицы состояний системы [1]. При этом формировались репрезентативные выборки объемом N = 500.

лями надежности элементов

В процессе моделирования производились следующие вычисления.

1. Определялись выборочные значения средней наработки до отказа Тп и коэффициента вариации наработки элементов Уп по формулам:

У Іі - V, )2

і=1

N -1

2. С использованием результатов (3) определялись выборочные значения средней наработки до отказа системы и коэффициента вариации наработки до отказа ВФ-методом:

Т = 1/

І

п і ~

У і, к =

/ л ~ 2 5

і=1 пі

У

і =1

п 1

у!

і =1 ТПі

3. По результатам моделирования методом «слабого звена» вычислялись значения средней наработки до отказа системы и коэффициента вариации наработки до отказа:

т. = У I, N, V' = |

У

¿.и У і тш ±с/

і=1

N -1

По результатам моделирования строились графики зависимостей коэффициентов вариации, полученных в результате расчета ВФ-методом V. и путем моделирования методом «слабого звена» V., в зависимости от количества элементов в системе (рис. 1-6).

Кол-во элементов шт.

2 3 4 5 10 20 50

Кол-во элементов шт.

Рис. 1. Зависимость V. от п при Рис. 2. Зависимость V. от п при

Т = 1000 ч и V, = 0,75 Т = 2000 ч и V, = 0,75

Кол-во элементов шт.

Рис. 3. Зависимость V. от п при Т = 3000 ч и V, = 0,75

Кол-во элементов шт.

Кол-во элементов шт.

Рис. 4. Зависимость V. от п при

Рис. 6. Зависимость V. от п при

Ті = 1000 ч и Vl = 0,75

Нетрудно видеть, что с увеличением количества элементов системы коэффициент вариации наработки до отказа существенно уменьшается. Данное явление подтверждено также результатами статистического моделирования аналогичных систем методом Монте-Карло (рис. 6) с использованием статистики отказов, хорошо описываемой Б* -распределением.

4. Выводы

Результаты моделирования системы с последовательной структурой элементов не подтвердили правомерность утверждения 1. В ходе статистических экспериментов при увеличении количества элементов в системе наблюдался отчетливый тренд величины коэффициента вариации наработки до отказа системы в сторону уменьшения.

Анализируя полученные результаты моделирования, можно сделать очень важный вывод: при большом количестве элементов различия в надежности однотипных систем нивелируются. Данный вывод находит свое подтверждение результатами длительной эксплуатации большого количества сложных микропроцессоров ПЭВМ, содержащих более 1

Рис. 5. Зависимость V. от п при Т. = 5000 ч и V; = 0,75

млн элементов каждый. Все микропроцессоры высоконадежны, разброс по надежности от образца к образцу не обнаруживается, изделия с низкой надежностью отсутствуют. Все это свидетельствует о низком коэффициенте вариации наработки до отказа данных невосста-навливаемых микроэлектронных систем.

С целью повышения адекватности расчетов надежности последовательных систем ВФ-методом предлагается аппроксимировать функцию изменения коэффициента вариации наработки до отказа системы от количества элементов системы зависимостью

К при п ^ 4.

1п

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стрельников В.П. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем / В.П. Стрельников, А.В. Федухин. - К.: Логос, 2002. - 486 с.

2. Сеспедес Гарсия Н.В. Статистическое моделирование надежности системы с последовательной структурой элементов / Н.В. Сеспедес Гарсия // Математические машины и системы. - 1999. - № 2. - С. 123 - 127.

Стаття надійшла до редакції 13.07.2012