Численное исследование обобщенной модели Хоффа

УДК 517.9

Вестник СамГУ. 2015. № 6

93

Н.А. Манакова, К.В. Васючкова1

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ ХОФФА2

Работа посвящена численному исследованию обобщенной модели Хоффа. Уравнение Хоффа моделирует динамику выпучивания двутавровой балки находящейся под постоянной нагрузкой. Показано существование единственного слабого обобщенного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для исследуемой модели на основе модифицированного метода Галеркина - Петрова. Данное уравнение относится к полулинейным уравнениям соболевского типа. Уравнения соболевского типа составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. На основе теоретических результатов разработан алгоритм численного решения задачи. Приведен результат вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: уравнение Хоффа, численное моделирование, метод Галеркина, уравнения соболевского типа, задача Шоуолтера - Сидорова, слабое обобщенное решение, монотонные операторы, метод монотонности.

1. Обобщенная математическая модель Хоффа

В цилиндре Q х R+ рассмотрим условие Дирихле

x

и условие Шоуолтера - Сидорова

для обобщенного уравнения Хоффа

которое моделирует динамику выпучивания двутавровой балки. Функция x = = x(s,t) характеризует отклонения балки от положения равновесия. Параметр А е R характеризует нагрузку, а параметры a,ai е R+, i = 1,...к, характеризуют

-1© Манакова Н.А., Васючкова К.В., 2015

Манакова Наталья Александровна (manakovana@susu.ac.ru), Васючкова Ксения Владимировна (vasiu4kova@yandex.ru), кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, 454080, Российская Федерация, г. Челябинск, пр. Ленина, 76.

2Статья подготовлена по докладу конференции "СамДиф-2015".

свойства материала балки, y = y(s,t) — внешнее (боковое, в случае n =1) воз-дейтвие. Уравнение (1.3) получено Н.Дж. Хоффом [1] в случае n =1. Впервые однозначная разрешимость задачи Коши для модели (1.1), (1.3) была установлена Г.А. Свиридюком [2]. Впервые метод Галеркина для полулинейных уравнений соболеского типа был рассмотрен в работе Г.А. Свиридюка, Т.Г. Сукачевой [3]. В случае вырожденных полулинейных уравнений для нахождения приближенных решений наиболее подходящим является метод Галеркина [4; 5]. Будем искать приближенные решения задачи (1.1)—(1.3) в виде

m

xm

k=i

где {фк\ — последовательность собственных функций однородной задачи Дирихле для оператора (—Д) в области Q., а {Лк} — соответствующая им последовательность собственных значений, занумерованная по неубыванию с учетом кратности. Построим множество

сот(-А - Д) = {х еШ^ (П) : <х,ф>=0 Уф е кег(-А - Д), ф = 0}. Пусть X = {х | х е Ьто(0,Т;сот(-А - Д)) П Ь2и+2(0,Т] Ь2и+2(П)),

пх

— е Ь2(0,Т;coim(—А - Д))}.

Определение 1. Слабым обобщенным решением уравнения (1.3) назовем вектор-функцию х е X, удовлетворяющую условию

j ф(t) j (—Лх^чи + Vxt -Vw + (ax + aix3 + a2x5 + ... + ak-ix2k 1 +

о Ln

T г

+akx2k+1)w) ds] dt = j ^(t) J ywds

пь Ут е ш 1(П),Уф е ь2(0,т).

о п

Решение уравнения (1.3) назовем решением задачи Шоуолтера - Сидорова, если оно удовлетворяет (1.2).

Теорема 1 [6]. Пусть к = 1 при п = 4 или к = 1,2 при п = 3 или

о

к е N при п = 1,2 и А ^ А\,а,а^ е Тогда при любых хо еШ2

(П) и у е Ь2к+2 (0,Т; Ь2к+2 (П)) существует единственное решение х е X задачи 2к + 1 2к+1

(1.1)-(1.3).

Теорема 1 устанавливает сходимость приближенного решения (1.4) к точному.

2. Численный алгоритм исследования обобщенной модели Хоффа

На основе теоретических результатов и модифицированного метода Галерки-на — Петрова был разработан и реализован в среде Maple 18.0 алгоритм численного решения задачи (1.1) — (1.3) на отрезке. Приведем алгоритм нахождения приближенного решения задачи (1.1) — (1.3), описывающий работу программы.

1 этап. Ввод параметров обобщенного уравнения Хоффа, начальных и краевых условий, а также число галеркинских приближений т.

2 этап. При помощи цикла от 1 до т формируется приближенное решение в виде галеркинской суммы (1.4) и подставляется в обобщенное уравнение Хоффа

/ т \ т / т \ 3

(-А - А)£[12 ак(г)фк(з)\ + а ¿2 ак(г)фк(з) + а! £ ак(гЬ)фк(в) + \к = 1 / к=! \к=1 / / т \ 5 / т -,2к-1

+а.2 { к== ак(Ь)фк(з)) + ... + ак-1 I к== ак(г)фк(в)) +

?к(в) I + ... + а.к-1 \ ак (г)фк

чк=1

2к+1

+ак[12 ак(г)фк(з)) =12 У(г)фк(з).

к=1 к=1

3 этап. Скалярно умножив уравнение, полученное на предыдущем шаге, на собственные функции фк(з), к = 1,...,т, генерируется система алгебро-дифферен-циальных уравнений. Формируются начальные условия путем разложения функции х0(з) в ряд Фурье.

4 этап. Численно решается система алгебро-дифференциальных уравнений с начальными условиями методом Рунге - Кутты 4-го порядка.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий работу программы.

Пример 1. Рассмотрим задачу (1.1) - (1.3) при следующих условиях: П = = (0, п), хо(з) = 4 вш(з) + вт(2з) + зт(3з) — вт(4з), А = 1, а = 2, а1 = 2, а2 = 4, а3 = 3, т = 4, Т = 2.

Решение задачи Шоуолтера - Сидорова (1.1) - (1.3) будем искать в виде галеркинской суммы (1.4), где {фк} - множество всех решений краевой задачи на собственные значения X''(х) = АХ(х), X(0) = X(п) = 0. Известно, что фк =

= \[П81п(кз), а Ак = —к2.

Результат численного решения системы алгебро-дифференциальных уравнений с учетом начальных условий представлен в таблице (с точностью до 10-6) и на рисунке.

Таблица

Численное решение задачи

г а1

0 2.828427 0.707106 0.707104 -0.707102

0.2 0.279891 0.257962 0.611614 -0.568994

0.4 0.220456 0.254195 0.587466 -0.543493

0.6 0.214987 0.249891 0.569783 -0.522189

0.8 0.222214 0.245174 0.555535 -0.503132

1.0 0.233325 0.240224 0.543575 -0.485608

1.2 0.245917 0.235111 0.533270 -0.469222

1.4 0.259214 0.229864 0.524211 -0.453716

1.6 0.272918 0.224495 0.516113 -0.438912

1.8 0.286893 0.219008 0.508768 -0.424678

2.0 0.301056 0.213409 0.502019 -0.410917

Рис. Численное решение задачи

Литература

[1] Hoff N.J. Creep Buckling // Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. № 7. P. 1-20.

[2] Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Известия АН СССР. Сер.: Математическая. 1993. Т. 57. № 3. С. 192-207.

[3] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа Соболева // Известия вузов. Сер.: Математика. 1989. № 10. С. 44-47.

[4] Манакова Н.А. Об одной модели оптимального управления уравнением Осколко-ва // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2008. № 27(127). Вып. 2. С. 63-70.

[5] Bayazitova A.A. Hoff's Model on a Geometric Graph. Simulations // Вестник ЮУрГУ. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2015. Т. 7. № 3. С. 84-93.

[6] Свиридюк Г.А., Манакова Н.А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. № 2. С. 144-151.

References

[1] Hoff N.J. Creep Buckling. Journal of Aeronautical Sciences, 1956, № 7, pp. 1-20 [in English].

[2] Sviridyuk G.A. Quasistationary trajectories of semilinear dynamical equations of Sobolev type. Izvestiia AN SSSR. Seriia matematicheskaia [Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Series Mathematics], 1993, Vol. 57, №. 3, pp. 192-207 [in Russian].

[3] Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. Galerkin approximations of singular nonlinear equations of Sobolev type. Izvestiia vuzov. Matematika. [News of Higher Educational Institutions. Mathematics], 1989, №. 10, pp. 44-47 [in Russian].

[4] Manakova N.A. On a model of optimal control of the Oskolkov equation. Vestnik IuUrGU. Seriia: Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie [Vestnik of South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software], 2008, № 27(127), Issue 2, pp. 63-70 [in Russian].

[5] Bayazitova A.A. Hoff's Model on a Geometric Graph. Simulations. Vestnik IuUrGU. Seriia: Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie [Vestnik of South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software], 2015, Vol. 7, № 3, pp. 84-93 [in Russian].

[6] Sviridyuk G.A., Manakova N.A. An optimal control problem for the Hoff equation. Sibirskii zhurnal industrial'noi matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics], 2005, Vol. 8, № 2, pp. 144-151

N.A. Manakova, K.V. Vasyuchkova3

NUMERICAL INVESTIGATION OF THE GENERALIZED

HOFF MODEL

The work is devoted to the numerical investigation of the generalized Hoff model. Hoff equation models the dynamics of buckling construction of I-beams under a constant load. Result of existence and uniqueness of solution to the Showalter - Sidorov problem for the investigated model is formulated. This equation is a semilinear Sobolev type equation. Sobolev type equations constitute a vast area of non-classical equations of mathematical physics. Based on the theoretical results there was developed the algorithm of numerical solution of the problem.

Key words: Hoff equation, numerical modelling, Galerkin's method, Sobolev type equations, Showalter - Sidorov problem, weak generalized solution, monotone operators, monotone method.

Статья поступила в редакцию 18/VT/2015. The article received 18/VI/2015.

3Manakova Natalia Aleksandrovna (manakovana@susu.ac.ru), Vasyuchkova Ksenia Vladimirovna (vasiu4kova@yandex.ru), Department of Equations of Mathematical Physics, South Ural State University, 76, Prospekt Lenina, Chelyabinsk, 454080, Russian Federation.