∑δ-ацп: анализ погрешности от краевых эффектов

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.3.087.92

Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин ХА-АЦП: АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТИ ОТ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ

В третьей из серии статей, посвященных синтезу структур ^Д-АЦП средствами имитационного моделирования, исследуется погрешность от краевых эффектов для ряда структур ^Д-АЦП, приведенных в предшествующих статьях серии. Для понимания материала данной статьи полезно ознакомиться с упомянутыми статьями серии.

Введение

В статьях [1, 2] в порядке иллюстрации предложенного метода синтеза структур ^А-АЦП были приведены примеры синтезированных структур непрерывно-дискретных систем (НДС) различных порядков. Там же указывалось, что для перехода от полученной линейной НДС к ^А-АЦП в структуру НДС вводится квантователь. Если шаг квантования невелик, динамические свойства линейной НДС и соответствующей ей структуры ^А-АЦП практически не отличаются. Отмечалось также, что однобитные ^А-АЦП предпочтительны по целому ряду причин: они обеспечивают самую высокую достигнутую на данный момент линейность функции преобразования, они наиболее технологичны и практически могут быть полностью реализованы по технологии цифровых интегральных схем без необходимости подгонки каких-либо параметров элементов схемы. Вместе с тем они наиболее сложны с точки зрения возможности аналитического расчета погрешности от краевых эффектов и оптимизации как структуры, так и параметров ее элементов по данному показателю. Как было показано в статье [1], источником этой погрешности является неравенство значений напряжения на выходе интегратора в начале и конце цикла преобразования. В зарубежной литературе принято рассматривать эту погрешность как результат проникновения на выход системы шума квантования. При этом исходят из идеализации ^А-АЦП в виде линейной системы, в одну из точек которой подается так называемый шум квантования, т.е. некий случайный сигнал в виде модели белого шума, параметры которого не коррелированны с полезным входным сигналом. Следует иметь в виду, что в случае однобитного ^А-АЦП предположение о равномерном распределении шума квантования по спектру частот и его независимости от входного сигнала опровергается многими исследователями [3, 4]. Полезность подобной модели, тем не менее, отрицать нельзя, т.к. она позволяет объяснить эффект снижения рассматриваемой погрешности за счет процессов передискретизации, шейпинга шума и фильтрации с децимацией. В действительности ни спектр шума квантования, ни частотные свойства структуры

однобитного АЦП не известны в силу того, что он представляет собой сугубо нелинейную систему. Поэтому единственный путь, обеспечивающий достоверную оценку погрешности, состоит в проведении натурных и модельных экспериментов. Последние предпочтительны, т.к. позволяют легко управлять условиями и параметрами проведения эксперимента (при минимальных затратах времени и ресурсов).

1. Исследование погрешности от краевых эффектов

С учетом сказанного для исследования погрешности ^А-АЦП будем использовать схему эксперимента, приведенную на рисунке 1, где приняты обозначения: ГТС - генератор тестового сигнала; ФД - фильтр-дециматор, А - анализатор.

Рис. 1

В качестве примера рассмотрим Зішиїіпк-модель (рис. 2), реализующую схему эксперимента, приведенную на рисунке 1, для НДС с трехкратным интегрированием, Зішиїіпк-модель которой была нами построена в статье [2]. В схеме эксперимента этой модели соответствует блок «НДС без квантователя», а блок «НДС с квантователем (сигма-дельта АЦП)» отличается от него наличием квантователя в прямой цепи преобразования. В качестве ГТС применен источник ступенчатого воздействия.

В качестве фильтра-дециматора естественно использовать цифровую реализацию ВФ в виде сплайна заданного порядка. 81шиНпк-модель ФД, реализующего сплайн третьего порядка, приведена на рисунке 3 и отличается от модели НДС на рисунке 2 только тем, что непрерывные интеграторы заменены цифровыми интеграторами (аккумуляторами).

<Г>

Рис. 3

На рисунке 4 приведены осциллограммы процессов в точках модели, к которым подключен виртуальный осциллограф.

Рис. 4

На вход модели подано ступенчатое воздействие, размер которого составляет 10_5 от динамического диапазона НДС (что соответствует 10 мкВ при максимальном входном напряжении в 1 В). Цифровой фильтр имеет конечную длительность переходного процесса, равную трем шагам дискретиза-

ции длительностью 256 тактов. Число шагов переходного процесса равно порядку системы. Можно усмотреть, что переходный процесс в рассматриваемой модели полностью совпадает с таковым для модели НДС третьего порядка, рассмотренной нами в статье [2].

Абсолютная погрешность от краевых эффектов имеет порядок менее

10_6, что соответствует 20-разрядному аналого-цифровому преобразованию (1 мкВ при максимальном входном напряжении в 1 В).

Важно заметить, что полученная выше оценка относится к определенному (в данном случае третьему) порядку НДС и ФД, а также конкретному фрагменту процесса на выходе ^А-АЦП. Для полного анализа закономерностей проявления погрешности от краевых эффектов необходимо провести многофакторный эксперимент, варьируемыми параметрами которого должны быть порядок НДС, порядок ФД (в случае реализации ВФ в виде сплайна), длительности ВФ, реализуемых в НДС и в ФД. Исследования показывают, что наиболее важным фактором, определяющим точность преобразования, является порядок НДС. Поэтому представляет интерес выявить зависимость точности от данного фактора.

На рисунке 5 показана Simulink-модель, состоящая из четырех подмоделей, каждая из которых полностью соответствует схеме эксперимента на рисунке 1.

Подмодели отличаются порядком НДС (с первого по четвертый соответственно сверху вниз). Во всех подмоделях реализован один и тот же ФД четвертого порядка с коэффициентом прореживания, равным 256, т.е. частота выборок выходных кодов в 256 раз меньше частоты выборок входных кодов. Входное воздействие имеет вид линейно изменяющейся функции от 0 до половины полного диапазона преобразования.

На рисунках 6 и 7 представлены осциллограммы процессов е[п], соответствующих разности выходных величин модели ^А-АЦП и канала преобразования без квантования. Осциллограммы получены для двух значений

скорости нарастания входного воздействия 105 и 106 на один такт работы НДС. Видно, что при переходе от НДС первого порядка к НДС второго порядка погрешность преобразования снижается на два десятичных порядка, причем речь идет о соотношении максимальных погрешностей. При последующем повышении порядка НДС выигрыш по точности всего лишь двукратный.

Рис. 6

На рисунке 8 представлены осциллограммы процессов e[n], соответствующих разности выходных величин модели ^А-АЦП и канала преобразования без квантования. Осциллограммы получены для четырех разных значений коэффициента прореживания ФД (64, 128, 256 и 512 соответственно для осциллограмм сверху вниз). Все осциллограммы относятся к НДС третьего порядка. Видно, что при каждом удвоении коэффициента прореживания погрешность преобразования снижается на десятичный порядок, причем речь идет о соотношении максимальных погрешностей.

•) їсоре2 ЕШИ

Рис. 7

На рисунке 9 приведены аналогичные осциллограммы, полученные для НДС второго порядка. Видно, что соотношение погрешностей для различных коэффициентов прореживания остается практически неизменным, а абсолютные значения по сравнению с НДС третьего порядка увеличились примерно в 10 раз.

Рис. 9

2. Исследование устойчивости структур ^Л-АЦП

Как отмечалось ранее, для ^Д-модуляторов высоких порядков возникает проблема устойчивости. При этом устойчивость сохраняется только для ограниченной части диапазона входного сигнала. Причем граница устойчивой работы НДС зависит от отношения шага дискретизации к постоянной времени интеграторов. Можно ожидать, что по мере уменьшения шага дискретизации по отношению к постоянной времени граница устойчивости приближается к пределу диапазона входного сигнала. Для проверки данного предположения была создана 81шиНпк-модель, представленная на рисунке 10, которая содержит четыре параллельных идентичных НДС третьего порядка с разными значениями отношения шага дискретизации к постоянной времени интеграторов, равными 0,54; 0,5; 0,4; 0,25. На их входы подается линейно нарастающий сигнал от 0 до 1 (1 - верхний предел диапазона входного сигнала). На рисунке 11 показаны осциллограммы выходных сигналов НДС, из которых следует, что граница устойчивой работы увеличивается по мере уменьшения шага дискретизации.

Следует иметь в виду, что при уменьшении шага дискретизации НДС по отношению к постоянной времени интеграторов переходный процесс ста-

новится не финитным, а экспоненциально затухающим, причем длительность его увеличивается.

Рис. 10

Рис. 11

На рисунке 12 представлена 81шиИпк-модель, включающая четыре НДС третьего порядка без квантователя с различными значениями отношения шага дискретизации к постоянной времени интеграторов (1; 0,5; 0,25; 0,1).

Рис. 12

На рисунке 13 представлены осциллограммы выходных сигналов НДС при входном воздействии в виде скачка от 0 до 1.

Видно, что переходный процесс не является финитным, носит экспоненциально затухающий характер и имеет длительность, увеличивающуюся по мере уменьшения шага дискретизации. Это, естественно, приведет к увеличению длительности переходного процесса на выходе фильтра-дециматора.

Чтобы пояснить специфику проявления краевого эффекта, являющегося источником флуктуационного шума на выходе ^А-АЦП, на рисунке 14 приведены осциллограммы выходных сигналов ^А-модулятора второго порядка для значений входного сигнала, подобранных таким образом, что они точно соответствуют выходным кодам 1000, 1100, 1010, 1001 (или 1/2, 3/4, 5/8, 9/16 от предела входного сигнала, равного 1). Обращает на себя внимание периодичность выходного сигнала ^А-модулятора, что и порождает в его спектре так называемые тоны [5, 6]. Для указанных значений входного сигнала погрешность равна нулю при условии, что время усреднения (период выходных выборок фильтра-дециматора) кратно периоду выходного сигнала ^А-модулятора. При этом длительность периода определяется младшим ненулевым разрядом кода. То есть имеет место бифуркация (удвоение) периода при уменьшении ненулевого младшего разряда на один двоичный порядок.

В свете сказанного уместно также напомнить о наличии корреляции между флуктуационным процессом и входным сигналом, которая выражается в самом факте периодичности и зависимости периода от амплитуды входного сигнала.

Рис. 14

Заключение

Таким образом, степень подавления погрешности от краевых эффектов ^А-АЦП напрямую зависит от порядка однобитного ^Д-модулятора и от ко-

эффициента прореживания фильтра-дециматора, т.е. от его ширины полосы пропускания. Однако с увеличением порядка однобитного ^Д-модулятора, построенного на основе структур НДС с финитной длительностью переходного процесса, возникает проблема обеспечения их устойчивости. Один из путей решения этой проблемы состоит в уменьшении периода работы модулятора относительно постоянной времени интеграторов. В любом случае устойчивое поведение ^Д-модулятора обеспечивается при условии ограничения амплитуды входного сигнала тем большего, чем выше порядок ^Д-модулятора.

Список литературы

1. Чувыкин, Б. В. £Д-АЦП - синтез одноконтурных структур / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. - № 1. - 2007. - С. 91-106 .

2. Чувыкин, Б. В. £Д-АЦП - синтез структур высоких порядков / Б. В. Чувыкин, Э. К. Шахов, В. Н. Ашанин // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. - № 2. - 2007. - С. 67-79.

3. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation / Ed. by St. R. Norswor-thy, R. Schreier, G. C. Temes // IEEE Computer Society Press. - 1996. - 476 p.

4. Schreier, R. An Empirical Study of High-Order Single-Bit Delta-Sigma Modulators / R. Schreier // IEEE Trans. on Circuit and Systems - II: Analog and Digital Signal Processing. - 1993. - V. 40. - № 8. - Р. 461-466.

5. Netravali, A. N. Optimum filters for interpolative A/D converters / A. N. Netravali // Bell Systems Technique Journal. - 1977. - V. 56. - Р. 1629-1641.

6. Candy, J. C. The structure of quantization noise from sigma-delta modulation / J. C. Candy, O. J. Benjamin // IEEE Trans. Commun. - 1981. - V. COM-29. - Р. 13161323.