Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма третьего порядка с вырожденным ядром

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 2, С. 76-85

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ

Т. К. Юлдашев

Рассмотрены вопросы об однозначной разрешимости обратной задачи для одного нелинейного ин-тегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных третьего порядка с вырожденным ядром. Метод вырожденного ядра, разработанный для интегрального уравнения Фредгольма второго рода, модифицирован для случая рассматриваемого интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных третьего порядка. С помощью обозначения интегро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма сведено к системе алгебраических уравнений. Используя дополнительное условие относительно основной неизвестной функции, получим нелинейное интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода, и относительно функции восстановления получим интегральное уравнение типа Вольтерра первого рода. Применим принцип сжимающих отображений, который дает и фактический метод нахождения решений — метод последовательных приближений. Далее определяется функция восстановления.

Ключевые слова: обратная задача, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение типа Фредгольма, вырожденное ядро, система алгебраических уравнений, однозначная разрешимость.

1. Постановка задачи

Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, часто приводит к изучению прямых и обратных задач для уравнений неклассической математической физики. Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводятся к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1]. Дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидродинамической теории космической плазмы. Часто изучение задач моделирования фильтрации жидкости в пористых средах сводится к рассмотрению дифференциальных уравнений третьего порядка [2]. К дифференциальным уравнениям в частных производных третьего порядка также сводятся задачи изучения распространения волн в слабодиспергирую-щих средах, в холодной плазме и магнитной гидродинамике и т. д. Изучению уравнений в частных производных третьего порядка посвящено большое количество работ (см., например, [2-8]).

Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач обусловлено и необходимостью разработки математических методов решения прикладных проблем. Обратную задачу назовем линейной, если функция восстановления

© 2016 Юлдашев Т. К.

входит в данное уравнение линейно. Линейные обратные задачи рассматривались, в частности, в [9-21].

В настоящей работе предлагается методика изучения обратной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма в частных производных третьего порядка с вырожденным ядром.

Итак, рассматривается в области О = Оу х Ог интегро-дифференциальное уравнение типа Фредгольма третьего порядка с вырожденным ядром

ох\ dt2 J ds I

v о 7

/ T l \

= p(t) e(х) + Лх^ Jh(s,y) u(s,y) dyds J (1) оо

с условиями

u

u

u

где p(t) G C(От), Л(х, 7) G C(Oi x R), (х) G C 1(^i), k = 1, 2 V(t) G C2(От), V(0) = <1 (0) = <¿2(0) = 0 K(t,s) = ai(t) bi(s) 0 < a(t),bi(s) G C(От), п(х) G C 1(Oi), в(х) G C(Oi) — функция восстановления, От = [0, T], Oi = [0,1], A — спектральный параметр, 0 < /0 /0 |H(t, х)| dхdt < ж.

Под решением обратной задачи (1)-(4) понимаем пару функций {u(t,х) G C2,1(О),в(х) G C(Oi)}, удовлетворяющую уравнению (1) и условиям (2)-(4).

2. Начальная задача

В уравнении (1) сделаем замену utx(t, х) = ^(^х). Тогда оно приобретает вид

т { т i \

+ А J K(t,s)#(s,x)ds=p(t)/3(x) + flx,J J H(s,y)u(s,y)dyds\. (5) 0 ^00 '

С помощью обозначения

т

Сг

0

уравнение (1) перепишется в следующем виде:

" { т i \

= -X^2ai(t)ci(x) +p(t)p(x) + /( х, J J H(s,y)u(s,y)dyds J .

В силу постановки задачи правая часть этого выражения суть непрерывные функции своих аргументов. Путем интегрирования по Ь из последнего равенства получаем

п *

$

г=1 {

, Т I ч

+ ЬДх^ Jн

где П\(х) £ С ) — произвольная функция, которая подлежит определению, П1(0)=0,

Ц(Ь) = Ю Р(в)(в-

Подставляя (7) в (6), имеем

Т

г(х) = I Ьг(в) Пг(х) - А^ У аг(9) (9 • сг(х) 0 г=1 0

/ Т I \

+ д(в) в (х) + вДх,11 н (9, у) и(9, у) (у ((9

Примем обозначение Т

Т I

Вг(х) = I Ьг(в) Бг(х) + д(в) в(х) + в Ах^ ^Н(9, у) и(9,у) (у (9

00

(в.

Пусть

Т

А^ = J Ьг(в) У аг(9) (9 (в > 0.

Тогда выражение в (8) запишем в виде следующей системы алгебраических уравнений (САУ):

п

сг

3 = 1

САУ (11) однозначно разрешима при любых конечных Вг(х), если выполняется следующее условие:

Д(А) =

1 + ААц АА12 АА21 1 + АА22

АА

п1

АА

п2

АА1п

АА2п

1 + ААп

= 0.

Д(А) А п

Д(А) = 0 п

А

А

8

с

8

система (11) имеет единственное решение при любой конечной правой части. В настоя-

А

разрешпмость поставленной обратной задачи (1)-(4). Сначала решения САУ (11) записываем в виде

где

Дг(А,х) =

Дг(А, х) = ~Д^А)-' г = 1'-"'п'

1 + ААП ... ААцг-1) В1

АА1п АА2п

ААп1 ... ААп(г-1) Вп(х) ААп(г+1) ... ^ ААпп

Дг

в составе функций Вг(х) находятся пока неизвестные функции П1 (х), и(Ь,х) и в(х)-В самом деле, эти неизвестные функции находились в правой части САУ (11). Чтобы вывести их вне знака определителей, выражение в (9) запишем в следующем виде:

( Т 1 \

Вг(х) = П1 (х) В1г + / I х, У У н(9, у) и(9, у) (у (9 1 В2г + в(х) Взг,

00

где

Т

Т

Т

В1г = J Ьг(в) (в, В2г = J вЬг(в) (в, Взг = ^ д(в) Ьг(в) (в.

00 В этом случае согласно свойству определителя имеем

/ Т I

Дг(А,х)= Б1(х)Д1г(А)+ Ах^ У Н(9, у) и(9,у) (у (9} Д2г(А) + в(х) Дзг(А),

00

где

1 + ААи ... АА1

АА1п АА2п

Дкг(А) =

ААп1 ... ААп(г-1) Вкп ААп(г+1) ... 1 + ААп Тогда формула (13) записывается в виде

к = 1,..., 3.

Т I

Сг

00

Итак, мы решили САУ (11):

п

сг (х) + Агз с,- (х) = Б^х) Ви

3 = 1

Т I

+ Ах,1 У Н(9, у) и(9, у) (у(9]В2г + в(х) Взг, г = 1,..

п,

00

и решения представили в виде функций (14).

Подстановка (14) в (7) дает следующее уравнение:

п /> Гд

ж) = А

+ I Н(в,у)и(в,у)(1уйв +

^00 ' '

( т г \

+ д

00

Путем интегрирования по м по < из (15) получаем

t X п *

ж) = (ж) + J Е(в) + ^ У (у) — А ^ J (Ь — в) аг(в) 0 0 0 X Г ( т 1 \ ^

X /рМ^ + ЛУ./¡тгМ6,г)<ЬМ + \<1у

х х / Т 1 ч

+ У + | / ¿[У'/ У

0 0^00 7

где ^(ж), Е(4) — произвольные непрерывные функции, которые будут определяться из условий (2) и (3), = /^(в)^.

Из (16), используя условия (2) и (3), получаем следующие равенства:

г х

^Ч(ж)= ^2(ж), = У Е(в) ^2(ж) = У А (у) ^у.

00

Тогда интегральное уравнение (16) запишется в виде

х х / Т 1 ч

,<<,ж) = <тж)+д« / в (у) *+.м / / (у, / / я (8,Ф,* йу, (17,

0 0 4 0 0 7

где

ж) =

п * ¿=1 п

д

п

= — А ^ / {Ь — в) а,г(з) с1з

0 г

10

д

¿=1 0

Итак, исходную задачу (1)-(3) свели к интегральному уравнению (17). Уравнение (17) относительно основной неизвестной функции п(Ь, х) является интегральным уравнением типа Вольтерра второго рода, а относительно функции восстановления в(х) является интегральным уравнением типа Вольтерра первого рода.

3. Теорема об однозначной разрешимости обратной задачи

Учет дополнительного условия (4) в (17) дает

T i

l

o o ^ o o '

где g(x) = n(x) — Q(to,x).

Путем дифференцирования из (18) для функции восстановления p(x) получаем следующее соотношение:

/Ti \

¡5{x) = g

oo

Подставляя (19) в (17), относительно основной неизвестной функции u(t,x) окончательно получим следующее интегральное уравнение типа Вольтерра второго рода:

ж , T i ч

u

o ^ o o '

где

x

h(t, x) = Q(t, x) + fx(t) J g(y) dy, $(í) = v{t) - F(t0) fx(t).

o

Для произвольной функции l(t,x) £ C(Q) рассматривается следующая норма:

\\l(t, x||c = max{\l(t, x) \ : (t,x) £ Q} .

Теорема. Пусть

1) выполняются условия (10), (12), i(to) = 0;

2) А = max[\h(t,x)\ : (t,x) £ Q} < то;

3) M = max{ |/ox $(t) f (y,y) dy\ : (t,x) £ Q} < то ;

4) \ f (x,Yi) — f(x,j2 )\ < L(x)\ji — 72\, ¿i = \y \ < /oT f¿ \H (t,x)\dxdt < то;

5) ¿2 = max{ JÓX \$(t)\L(y) dy : (t,x) £ Q} < то, p = ¿i¿2 < 1

Тогда существует единственная пара решений {u

< Рассмотрим следующий итерационный процесс для уравнения (20):

uo

x

x

В силу условий теоремы из (21) получаем следующие оценки:

||щ (¿,ж) - ио(£,ж)||с ^ шах | Л(£,ж) + Ф(£) £ f (у, 0) ^у : (¿,ж) £ о| < А + М, (22) ||«к+1 (¿, ж) - (¿,ж)||с ^ ша^|Ф(£)|

ж Т I >.

^У ¿(у^ J |#(в,,г)| (в,г) - ий-1(5,г)|с ^г^у : (¿,ж) £ О> 0 0 0 '

< ¿1 шах | 1 У ¿(у) ||ик(¿,у) - ик_1(*,у)||с ^у : (¿,ж) £ о|

^ р

В силу последнего условия теоремы из оценки (23) следует, что оператор в правой части (20) является сжимающим. Из оценок (22) и (23) заключаем, что для оператора (20) существует единственная неподвижная точка (см., например, [22, с. 389-401]). Следовательно, интегральное уравнение (20) имеет единственное решение и(£,ж) £ С (О). Здесь предполагается, что неподвижная точка оператора автоматически попадает в С2,1 (О) благодаря соотношению

и(4,ж) = Яи(4,ж) £ С2'1(О).

Кроме того, справедлива оценка скорости сходимости

рк+1

\\ик+1(1,х)-и(1,х)\\с < -р— (А + М).

1 р

Подставляя решение уравнения (20) в формулу (19), однозначно восстановим вторую неизвестную функцию в(ж)- 1>

Отметим, что условие ^(¿о) = 0 в теореме эквивалентно следующему условию:

4. Пример решения обратной задачи

Рассмотрим простейший пример. В области О = О1 х О1 решаем интегро-дифференциальное уравнение с вырожденным ядром

д (д2и(£,ж) 1 ди(в,ж) , А / ¿А .

1 в '

при условиях

дж \ д£2 У дв I \ 3

^ о

и

=^ж2 + 3ж + ^>

где в(ж) £ С(О1) — функция восстановления, О1 = [0; 1].

В уравнении (24) сделаем замену щх (Ь,х) = Ф(Ь,х). Тогда оно приобретает вид

1

о

уравнение (24) перепишется в следующем виде:

т>х)+и(х) = (1+*-)(1(х).

г 27г — 2г3 !' г2 (

и

С помощью обозначения

1

с

дг V з,

Путем интегрирования по г из последнего равенства получаем

г2 / г2 \

Щ,х)=В1

где V (х) — произвольная функция, которая подлежит определению. Подставляя (29) в (28), имеем

4 1

с

Теперь, подставляя выражение (30) в (29), имеем следующее соотношение:

9 — 2г2

Uk.it, х) = —— +

9

Путем интегрирования по х и по г из (31) получаем

t XX

где V (х), Е(г) — произвольные функции, которые подлежат определению.

Используя условия (25), из (32) приходим к следующему соотношению:

X

г2 [

и

о

Учет дополнительного условия (26) в (33) дает ^ в (у) йу = 4х2 ми в (х) = 8х. Подставляя это в (33), получим и(г,х) = 2г2х2 + Зх + г. Подстановка полученных выше результатов в(х) = 8х и и(г,х) = 2г2х2 + Зх + г в первоначальное интегро-дифференциальное уравнение (24) дает тождество 8ж (1 + |) = 8ж (1 + |). Кроме того, функция и(г,х) = 2г2х2 + 3х + г удовлетворяет поставленным условиям (25) и (26). Следовательно, решением обратной задачи (24)-(26) в области ^ = х является пара функций {2г2х2 + 3х + г; 8х}.

Литература

1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек.—М.: Наука, 2006.—248 с.

2. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 4.-С. 689-699.

3. Андреев А. А., Яковлева К). О. Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками // Вести. Самарского гос. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2013.—Т. 30, № 1,—С. 31-36.

4. Вештоков М. X. Априорные оценки решения нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения // Владикавк. мат. журн.—2013.—Т. 15, вып. 3.—С. 19-36.

5. Зикиров О. С. О задаче Дирихле для гиперболических уравнений третьего порядка // Изв. вузов. Математика.—2014.—№ 7.—С. 63-71.

6. Сабитов К. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области // Диф. уравнения.—2011.—Т. 47, № 5.—С. 705-713.

7. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами // Вести. Самарского гос. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2012.—Т. 29, № 4.—С. 1725.

8. Сонуев А., Аркабаев Н. К. Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика. Механика.—2013.—Т. 21, № 1.—С. 1623.

9. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач.—М.: МГУ, 1994.—285 с.

10. Денисов А. М. Обратная задача для квазилинейной системы уравнений в частных производных с нелокальным краевым условием // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2014.—Т. 54, № 10.-С. 1571-1579.

11. Кононенко Л. И. Прямая и обратная задачи для сингулярной системы с медленными и быстрыми переменными в химической кинетике // Владикавк. мат. журн.—2015.—Т. 17, вып. 1.—С. 39-46.

12. Кос тин А. В. Обратная задача восстановления источника в параболическом уравнении по условию нелокального наблюдения // Мат. сб.—2013.—Т. 204, № 10.—С. 3-46.

13. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи.—М.: Наука, 1991.-331 с.

14. Мегралиев Я. Т. Об одной обратной краевой задаче для эллиптического уравнения второго порядка с интегральным условием первого рода // Тр. ИММ УрО РАН.—2014.—Т. 19, № 1.—С. 226-235.

15. Приленко А. И., Костин А. В. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб.—1992.—Т. 183, № 4.—С. 49-88.

16. Приленко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2003.—Т. 43, № 4.—С. 562-570.

17. Романов В. Г. Обратные задачи для математической физики.—М.: Наука, 1984.—264 с.

18. Сабитов К. В., Мартемьянова Н. В. Обратная задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа с нелокальным граничным условием // Сиб. мат. журн.—2012.—Т. 53, № 3.—С. 633-647.

19. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Вестн. Самарского гос. ун-та. Сер. Естеств. науки.—2013.—№ 1.—С. 58-66.

20. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика.—2014.—№ 1.—С. 153163.

21. Юлдашев Т. К. Об одной обратной задаче для линейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных четвертого порядка // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика.—2015.—№ 2.—С. 180-189.

22. Треногин В. А. Функциональный йнйлю. —М.: Наука, 1980.—495 с.

Статья поступила 19 мая 2015 г.

Юлдашев Турсун Камалдинович Сибирский государственный аэрокосмический университет им. М. Ф. Решетнева, доцент кафедры высшей математики

РОССИЯ, 660014, Красноярск, пр. им. газ. «Красноярский рабочий» E-mail: tursunbayOrambler. ru

INVERSE PROBLEM FOR A THIRD ORDER FREDHOLM INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH DEGENERATE KERNEL

Yuldashev T. K.

It is considered the questions of one value solvability of the inverse problem for a third order nonlinear partial Fredholm type integro-differential equation with degenerate kernel. The method of degenerate kernel for second kind Fredholm integral equations is modified for the case of third order partial Fredholm type integro-differential equation. The Fredholm type integro-differential equation is reduced to a system of algebraic equations. By the aid of additional condition it is obtained a second kind nonlinear Volterra type integral equation with respect to main unknown function and a first kind linear Volterra type integral equation with respect to restore function. It is used the method of compressing maps, which gave us the real method of finding the solutions — the method of successive approximations. Further is defined the restore function.

Key words: inverse problem, integro-differential equation, Fredholm type equation, degenerate kernel, system of algebraic equations, one valued solvability.