Теорема сходимости для степеней матрицы и вычисление собственного числав идемпотентной алгебре

УДК 519.63

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 2

Н. К. Кривулин

ТЕОРЕМА СХОДИМОСТИ ДЛЯ СТЕПЕНЕЙ МАТРИЦЫ И ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННОГО ЧИСЛА В ИДЕМПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЕ

1. Введение. Одним из основных результатов спектральной теории матриц в идем-потентной алгебре является теорема сходимости, которая устанавливает, что для любой матрицы А выполняется

n

lim \Ак\\1/к = ffi[tr

m=1

где n —размерность матрицы. Впервые этот результат был получен в работах [1, 2] в связи с исследованием асимптотических свойств решений задачи динамического программирования. Другие доказательства (1), которые опираются на анализ циклических путей в графе, соответствующем матрице А, можно найти в [3, 4, 5].

В то же время в работах [6, 7, 8] было установлено, что величина

n

р = 0[tr

m=1

является единственным собственным числом в случае неотрицательной матрицы A, которое удовлетворяет уравнению

А  x = р  x.

Этот результат был затем обобщен в работах [3, 5, 9, 10] на случай произвольных матриц, для которых может существовать несколько собственных чисел. В этом случае (2) будет соответствовать наибольшему собственному числу матрицы А. Заметим, что тогда рассматриваемая теорема сходимости оказывается прямым аналогом классического результата о спектральном радиусе ограниченного линейного оператора.

Условия существования единственного собственного числа рассматривались в работах [5, 9, 10]. Было показано, что если матрица является неразложимой, то она имеет единственное собственное число. В наиболее общем виде этот результат был получен в [9] на основе развитой в этой работе теории эндоморфизмов полумодулей над идем-потентными полукольцами, а также в [10] с использованием теоремы Фробениуса— Перрона о собственном числе неотрицательной матрицы. Доказательство, приведенное в [5], использует анализ циклов в соответствующем графе. В этой работе также показано, что для неразложимой матрицы элементы любого собственного вектора будут конечными.

Заметим, что особенностью существующих подходов к исследованию асимптотического поведения степеней матрицы является разбиение общей задачи на две части: с одной стороны доказывается сходимость последовательности \\Ак\\1/к к величине (2), а с другой — устанавливается, что (2) является собственным числом. При этом оба доказательства в той или иной мере требуют интерпретации задачи в терминах теории графов, что до некоторой степени усложняет рассуждения и делает их менее строгими.

© Н. К. Кривулин, 2004

В настоящей работе представлено простое доказательство теоремы сходимости при к ^ж величин

\\Лк\\1/к, [Ьт(Лк)]1/к

к собственному числу матрицы Л в случае, когда все элементы матрицы конечны. Предложенное доказательство опирается на ряд общих неравенств, полученных в работе для собственных чисел и степеней матрицы и не использует в явном виде выражение (2) для собственного числа. В то же время показано, что общая формула (2) может быть построена на основе доказанной теоремы сходимости как некоторое ее следствие.

Представленные доказательства носят алгебраический характер и, по существу, не требуют анализа путей в графе, соответствующем матрице.

2. Идемпотентная алгебра. Обозначим через Re множество вещественных чисел, расширенное путем добавления элемента е = —ж, и зададим операции

x ф y = max(x, y), x < y = x + y

для любых x,y € Re при условии, что x < е = е < x = е.

Множество Re с операциями ф и < является коммутативным полукольцом с идем-потентным сложением, нулевым и единичным элементами которого являются е и 0 соответственно. Такое полукольцо обычно называют идемпотентной алгеброй [10] или (max, +)-алгеброй [3, 5].

В рассматриваемой алгебре для всякого x € R определен обратный элемент x-1 относительно операции <, который представляет собой —x в обычной арифметике. Для любого x € R и рационального q обычным путем можно определить степень xq, равную, очевидно, qx в стандартном представлении. Ниже обозначение степени будет использоваться только в смысле идемпотентной алгебры. Однако, с целью упрощения степень числа будет иногда заменяться арифметическим умножением.

Нетрудно проверить, что для любых xi ,...,xk € Re выполняется (аналог неравенства для геометрического и арифметического средних):

к / к \к к <^xi <10xA = kQxi.

i=i \i=i J i=i

j>nxn

Идемпотентная алгебра (n x п)-матриц на множестве Rnxn вводится следующим

^nxn

образом. Для любых двух матриц Л,В € Rnxn положим

{А 0 В= {А}^ 0 {В, {А  В= 0{А}к  [В]кз.

к=1

Ясно, что матрица £, все компоненты которой равны е, обладает свойствами нулевого элемента. Матрица Е = diag(0,..., 0) с недиагональными элементами равными е, выполняет функции единичной матрицы.

Операции 0 и  обладают очевидным свойством монотонности: из покомпонентных неравенств А < С и В < В следуют неравенства А 0 В < С 0 В и А  В < С  В.

Пусть А = £. Тогда положим А0 = Е и Ак  А1 = Ак+1 для любых целых к,1 > 0.

Для всякой матрицы А = (а^) € R™xn можно определить следующие величины:

п

ЦАН = 0 аа, ^г(А) = ^¡^ а«.

г=1

Легко видеть, что из неравенства А < В следует: ||А|| < ||В|| и tг(A) < tг(B).

Для любых А, В € и с € Ке выполняются соотношения:

Ус  А\\ = с  \\А\\, \\А  В\\ < IIАН  \\В\\, ^(с  А) = с  ^(А), tr(A  В) = tr(B  А).

Рассмотрим произвольную матрицу А и обозначим г-й столбец матрицы через щ, а ]-ю строку через а3. Для любых А, В € выполняется

п

\\А  В\\ = 0 \\а<\\\\Ь<\\.

г=1

3. Матрицы с конечными элементами. Рассмотрим матрицу А = (а^) € Мпхп. Все элементы такой матрицы удовлетворяют условию а^ > е, т. е. являются конечными.

Определим матрицу А- = (а-) с элементами а— = а— для всех г,] = 1,...,п. Ясно, что тогда

тт а,ц = \\А~\\-1.

1ъг,3 ъп

Нетрудно проверить, что для любых А, В € Мпхп выполняется неравенство

tr

Как и в случае матриц, для всякого вектора х = (х1, ...,хп)т € Кп можно ввести вектор х- = (х-1,..., х-1).

Для любых А € КПХп и х € Мп, в силу очевидного соотношения х  х- > Е, справедливы неравенства

А < А  х  х-,

А < х  х-  А.

Наконец, можно показать, что при любых А € Мпхп и х € Кп выполняются неравенства

\\

\\

4. Неравенства для степеней матрицы. Пусть матрица А € КПхп является неразложимой (т. е. она не может быть приведена к блочно-треугольному виду перестановкой одноименных строк и столбцов). Как известно (см., например, [5]), для любой неразложимой матрицы существует единственное собственное число р > е, а также по крайней мере один собственный вектор х € Кп, которые удовлетворяют уравнению (3). Заметим, что всякая матрица, все элементы которой конечны, представляет собой частный случай неразложимой матрицы.

Лемма 1. Для любой неразложимой матрицы А € Щ?"хп и целого к > 0 выполняется двойное неравенство

^

Доказательство. Пусть х —собственный вектор матрицы А, соответствующий р. Тогда правое неравенство следует из уравнения (3):

рк \\х\\ = \\рк  х\\ = \\Ак  х\\<\\Ак\\\\х\\.

Запишем неравенство (6) в виде

Ak < Ak  x  x- = рк  x  x-. Учитывая, что x-  x = 0, получаем левое неравенство:

tr(Ak) < tr(pk  x  x-) = рк  tr(x-  x) = рк.

Лемма 2. Для любой .матрицы A G Мпх" и целого k > 0 выполняются неравенства

\\Ak\\<pk+1 \\A- У,

\\Ak\\<pk \\A-  A\\,

\\Ak\\ < tr

Доказательство. Докажем неравенство (11). Из (6) следует, что

Ak < (x-  A  x)k-1  A  x  x-.

Пусть x — собственный вектор матрицы A, соответствующий р. Тогда последнее неравенство можно представить в виде

Ak < pk-1  A  x  x- = pk+1  x  (р  x)- = pk+1  x  (A  x)-,

откуда с учетом (8) будем иметь

\\Ak\\ <pk+1  \\x  (A  x)-\\ = pk+1  \\x\\\\(A  x)-\\ <pk+1 \\A-\\.

Для доказательства (12) можно воспользоваться неравенством (7):

Ak < (x-  A  x)k-1  x  x-  A.

Если x — собственный вектор, соответствующий р, то будем иметь

Ak < pk-1  x  x-  A = pk  x  (A  x)-  A,

и тогда

\\Ak\\ <pk  \\x  (A  x)-  A\\ = pk  \\x\\  \\(A  x)-  A\\. Учитывая (9), приходим к неравенству (12).

Наконец, применяя (5), легко убедиться в справедливости неравенства (13): tr(Ak+1) = tr(A  Ak) > \\A-\\-1  \\Ak\\.

5. Теорема сходимости. Асимптотическое поведение степеней матрицы с конечными элементами описывается следующим результатом.

Теорема 1. Для любой матрицы A G Мпх" выполняется

lim \\Ак\\1/к = lim j\\Ak\\= р,

k—k—k

lim [tr

k—k—k

где p — собственное число матрицы.

Доказательство. Применяя (10) и (12), получим неравенство

pk < \\Ak\\ <pk \\A-  A\\,

которое с учетом обозначения Дх = || А  А У можно представить в виде

Р<\\\Ак\\<Р + \^.

Так как величина Дх в силу условия А € М"х" является ограниченной, из последнего неравенства прямо следует (14).

Используя неравенства (10) и (13), получим

Рк  ЦАЦ"1  ||А-|-1 < ^(Ак) < рк.

1 Л 1

откуда следует (15).

Лемма 3. Для любой .матрицы A G Rnxn выполняется к к

lim (T)[tr(Am)]1/m= lim tr(Am)=p.

m=1 m=1

Справедливость этого результата проверяется с использованием тех же рассуждений, как и при доказательстве теоремы .

6. Вычисление собственного числа. Покажем, как общая формула (2) для собственного числа может быть получена на основе леммы .

Теорема 2. Для любой матрицы A G Rnxn выполняется

n n

р= 0Itr (Ат)]1/т= 0-tr(Am),

m=1 m=1

где n —размерность A.

Доказательство. Учитывая результат леммы , достаточно проверить, что при всех целых k > 0 выполняется неравенство

1 n 1

Tti

km

m=1

Очевидно, что (16) выполняется для всех k < n. Покажем, что это неравенство также справедливо и для k > n.

Сначала заметим, что для любого k имеет место соотношение

n n n

tr

¿1=1 i2 = 1 ik = 1

Введем величину

S (¿1, ...,ik) = ai1 i2  ai2i3 <&<& aik i1. В силу (17) при любом наборе индексов i1,...,ik выполняется:

S

Если k > n, то в последовательности индексов i1,...,ik есть повторяющиеся значения, причем любой непрерывный отрезок последовательности, в котором нет повторений, состоит из не более чем n индексов.

Ясно, что в этом случае S(г1, . ..,%к) можно представить в виде

$ (¿1, ...,гн) =

$ (j1, . . . )  S(jm1 + 1, . . . ,]Ш2 )  •••  $ и mr-1+1, . .., Зтг ),

где г, шг —некоторые целые числа такие, что 1 < т1 < • •• < шг = к, г > 1, т1 < п, а также шг+1 — шг < п для всех г = 1,...,г — 1. Тогда с учетом (18) имеем неравнство

$(¿1,...^) < tr(Aml)  И(Лт2-т1) • •  ),

которое после группировки членов в правой части можно записать в виде

п

$ (¿1, ...,гк) < а1 МЛ)  • • •  ап tr(Лn) = 0 ат tr(Лm),

т=1

где ат — некоторые неотрицательные целые числа при всех ш = 1,...,п, причем а1 + 2а2 + • • • + пап = к.

Положим а'т = шат и заметим, что а[ + • • • + а'п = к. Применяя неравенство (4), будем иметь

п п п

£(¿1, • • •, ¿*) < (9) а™ 1г(Ат) =  ^ Ьт(Ат) < к 0 - Ьт(Ат).

ШШ

т=1 т=1 т=1

Учитывая, что полученное неравенство справедливо при любом выборе индексов г1,..., гк, можно оценить правую часть (17) так:

п п п п

М^) = 0 0 • • • 0 ..., гк) < к 0 -

г1=1 г2 = 1 гк = 1 т=1

Последнее неравенство равносильно неравенству (16), из которого в сочетании с результатом леммы следует утверждение теоремы.

Summary

N. K. Krivulin. A convergence theorem for matrix powers and evaluation of the eigenvalue in idempotent algebra.

In the case of finite matrices in idempotent algebra, inequalities for some scalar functions and the eigenvalue of matrix powers are established. These inequalities are then exploited in the analysis of asymptotic behaviour of matrix powers to prove a convergence theorem. It is shown that the general expression for evaluation of the matrix eigenvalue can be obtained as a consequence of the theorem.

Литература

1. Романовский И. В. Оптимизация стационарного управления дискретным детерминированным процессом динамического программирования // Кибернетика. 1967. №2. С. 66-78.

2. Романовский И. В. Асимптотическое поведение дискретного детерминированного процесса с непрерывным множеством состояний // Оптимальное планирование. 1967. №8. С. 71-93.

3. Cuninghame-Green R. A. Minimax algebra. Berlin: Springer-Verlag, 1979. (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 166).

4. Cohen J. E. Subadditivity, generalized products of random matrices and operation research // SIAM Review. 1988. Vol. 30. N1. P. 69-86.

5. Baccelli F., Cohen G., Olsder G. J., Quadrat J.-P. Synchronization and Linearity. Chichester: Wiley, 1992.

6. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра матриц // Доклады АН СССР. 1963. Т. 152, №1. С. 24-27.

7. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N1. S. 39-72.

8. Воробьев Н.Н. Экстремальная алгебра неотрицательных матриц // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1970. Bd. 6, N4/5. S. 303-312.

9. Дудников П. И., Самборский С. Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. (Препринт / АН УССР, Ин-т математики; 87.48).

10. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

Статья поступила в редакцию 30 сентября 2003 г.