Доказать, что полином не имеет кратных корней

Ну, если уж тебе хочется считать это загвоздкой, можно, например, ввести понятие производной чисто формально, благо, многочлены это позволяют. То бишь,

, доказать для такого функционала свойства производных (числом, подозреваю, два — производную суммы и произведения), из этих свойств доказать, что кратный корень является корнем вот такой производной. Ну, дальше понятно.