Осесимметричные течения несжимаемой жидкости между подвижными дисками

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ПОДВИЖНЫМИ ДИСКАМИ

Д.В. КНЯЗЕВ

Институт механики сплошных сред УрО РАН,

614013, Пермь, Акад. Королёва, 1

В рамках класса Кармана точных решений уравнений На-вье - Стокса рассмотрены частные решения задачи о нестационарном течении несжимаемой жидкости между плавающим и неподвижным вращающимися дисками. Изучены три семейства режимов течения: течения между не вращающимися дисками, течения между дисками, вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями и течения между дисками, вращающимися с противоположными угловыми скоростями. Приведен пример точного вращательносимметричного решения уравнений движения идеальной жидкости, удовлетворяющего условиям прилипания.

Ключевые слова: уравнения Навье - Стокса, точное решение, течение Кармана.

В работе в рамках класса Кармана изучаются некоторые режимы нестационарного течения жидкости между вращающимися дисками, один из которых перемещается в направлении нормали.

Класс точных осесимметричных решений уравнений Навье -Стокса с линейной зависимостью радиальной и азимутальной составляющих скорости от радиальной координаты впервые рассматривался Карманом в связи с задачей о стационарном течении вязкой жидкости, индуцируемом вращением диска бесконечного радиуса [1]. Впоследствии, используя этот класс, Бэтчелор [2] и Стюартсон [3] положили начало исследованиям установившихся движений жидкости между двумя вращающимися дисками, выявившим ряд неожиданных свойств решений гидродинамических уравнений

© Князев Д.В., 2009

[4П6]. Например, была обнаружена потеря единственности решения задачи с ростом числа Рейнольдса, происходящая вследствие рождения новых изолированных решений (т.е. не ответвляющихся от существовавших ранее). Область применения решений класса Кармана далеко не ограничивается двумя вышеупомянутыми задачами, более того, с его помощью изучались и нестационарные течения. В частности, в [7] исследована эволюция жидкого слоя со свободной поверхностью на вращающемся диске (см. также книгу [8]).

Течения между подвижными твердыми поверхностями также не раз изучались различными авторами. Релей дал приближенное решение задачи о течении между плоскостями, движущимися навстречу друг к другу с постоянными скоростями [9]. В работе [10] строго доказана возможность развития многомодовой временной неустойчивости Крайка - Криминале на фоне потенциального течения между подвижными гладкими плоскостями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим нестационарное осесимметричное течение вязкой жидкости между двумя бесконечными дисками, вращающимися с угловыми скоростями W1 (t), W2 (t) относительно оси z цилиндрической системы координат (r ,j, z), начало которой совмещено с центром первого диска. Второй диск перемещается вдоль оси симметрии z по закону z = h(t). На поверхностях дисков выполняются условия прилипания:

z = 0: Vr = Vz = ^ Vj = Wi(t)r,

z = h(t) : vr = ^ Vj=W2 (t)r , Vz = h'(t) .

Здесь vr, vv, vz - компоненты скорости в цилиндрической системе координат; штрихом обозначается дифференцирование по времени t .

Вид граничных условий (1.1) указывает на возможность поиска точного решения задачи в рамках класса Кармана [1, 9]:

vr=-2т"* у^=rM

2 d z

P =

a

2

-1F ’¡к -

F2

ЭF

+ V-

2 Э z

редуцирующего уравнения Навье - Стокса к значительно более простой системе одномерных уравнений в частных производных

- + F-

Э t Э z Э z 2

V Э z У

Э3F „ 2 „

= v—г-2м + 2a, Э z3

Э м Э м ЭF Э2 м

— + F-------м — = v—2"

Э t Э z Э z Э z

где (как и в (1.2)) V - коэффициент кинематической вязкости, Р -давление, отнесенное к постоянной плотности жидкости.

Система (1.3) дополняется следующими из (1.1) граничными условиями

т—I

г = 0: F =------= 0, и =01 (/),

д г

Т-1

г = к((): F = к'(/), --------= 0, и = 02 (/).

д г

Задавшись законами движения дисков W1 (t), Q2 (t), h(t) и начальным состоянием жидкости с помощью (1.3), (1.4), в принципе, можно найти точное решение исходной задачи. В действительности это трудновыполнимо, поскольку в настоящее время известно лишь несколько точных решений системы (1.3) [11], но при этом сравнительно легко разрешима обратная проблема - нахождение по известному решению (1.3) зависимостей Qj (t), Q2 (t), h(t), позволяющих удовлетворить краевым условиям (1.4). Следуя таким путем, можно точно описать течения жидкости, индуцируемые движениями дисков, происходящими по специальным законам.

Одно из точных решений системы (1.3) имеет вид:

F = a

w

' = ±—^-т [и + с

где шесть функций времени а , Ь , с, а , в, « и константа и связаны между собой четырьмя уравнениями

а + Ьа = 0, с +п(2с = 0, в' + аа + и = 0;

а

4«= 2Ь - Ь +

и2 - с2

последнее из которых можно принять за определение величины « и в дальнейшем не рассматривать.

Установим вид функций 01 (/), 02 (), к(/), при котором решение (1.5), (1.6) системы (1.3) удовлетворяет граничным условиям

(1.4).

2. АНАЛИЗ ВОЗМОЖНЫХ РЕЖИМОВ ТЕЧЕНИЯ

Подставив (1.5) в условия (1.4), получим

а = —^Бшв, Ь = —ссоБв, к' = а + Ьк + -с-Бш(ак + в), ох а (Г

2

соБв = со$(ак + в).

Девять (без последнего) уравнений (1.6), (2.1) образуют переопределенную систему относительно восьми функций времени а , Ь , с ,

а , в, к , 01, 02 и постоянной и . Ключом к ее решению являет-

ся последнее уравнение (2.1), которое может быть удовлетворено в трех следующих случаях

в = лк, ак = 2лт ,

/) ак

в+----------= лп .

2

ак = 2лп

Здесь и далее п , т , к - целые числа. Из дальнейшего будет видно, что каждой из возможностей (2.2) - (2.4) соответствует определенный режим вращения дисков.

Течение жидкости между не вращающимися дисками

Пусть справедливы равенства (2.2), тогда из (1.6), (2.1) и (1.5) получим:

к' 4у(лп)2 ( 1 1 ^

у к3 к* .

V * /

= 0 (к* = свт’(),

п

2л п

± 2у(лп)2 к,3 - к3 . ( г

и =±—-—-------—— Б1ПI 2лп —

3 к*к У к

где к* - подлежащая дальнейшему определению константа;

п = т - к . Из последнего соотношения (2.6) видно, что хотя диски не вращаются, 01 = 02 = 0 , азимутальная составляющая скорости жидкости отлична от нуля.

В том случае, когда к* = ¥ , уравнение (2.5) интегрируется в явном виде

к( ) = к0

1+

8л п

2,2 Л, .Л

3

Здесь к0 - расстояние между дисками в начальный момент времени t = 0 , которое может быть равно нулю (при этом (2.7) прини-

2

к

3

3

мает вид к = 2л|п|), т.е. сначала диски сомкнуты. Равенства

(2.6), (2.7) дают однопараметрическое семейство решений задачи о течении вязкой жидкости между не вращающимися дисками, разводимыми по закону (2.7). Роль параметра играет целое число п (случай п = 0 тривиален).

При к* ф¥ и к*Ф 0 уравнение (2.5) также интегрируется, но ответ уже не может быть записан в виде, разрешенном относительно к:

2

2лп '

У к* У

^ - t0 ) = у1п

1 -(к к*

(1 - к к*

- 43 ат^

( 2 + к к* Л 73 к к*

Формулы (2.6), (2.8) задают однопараметрическое семейство решений с целочисленным параметром п .

Постоянная к* связана с положением к0 и скоростью у0 подвижного диска в начальный момент времени t = 0 соотношением, следующим из (2.5):

(ку к*

= 1 -

3Яв (2 л п )2

где Яв = (у0 к0 )/у - число Рейнольдса. Константа t0 вычисляется с помощью (2.8), (2.9).

Для чисел Рейнольдса меньших чем (2л п )2/3 (то же самое, что к* > 0) величина к* имеет смысл расстояния, на которое диски будут разведены (Яв > 0, рис. 1, ветвь 1) или сближены (Яв < 0, ветвь 2) за бесконечное время. В том случае, когда число Рейнольдса превосходит величину (2лп)2 /3 (к* < 0), подвижный диск уходит на бесконечное расстояние от неподвижного за конечное время (ветвь 3). Из формулы (2.6) следует, что если диски были сомкнуты ( к0 = 0 ), то в момент начала их разведения образовавшийся бесконечно тонкий зазор мгновенно заполняется жидкостью с бесконечно большой скоростью, но число Рейнольдса при этом, как вытекает из (2.9), оказывается конечным, Яв = (2лп)2/3 .

у

Рис. 1. График зависимости

Течение между дисками, вращающимися с противоположными угловыми скоростями

Пусть выполняется равенство (2.3), тогда из (1.6), (2.1) получим:

С + У

а

а = —біпв, Ь =—— 0050, И = 2(рп——. а а а

в

и = 0, — = о°о, =-о,

2 1 2

Последнее соотношение (2.11) показывает, что диски вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми по абсолютной величине угловыми скоростями.

Триплет (2.10) может быть редуцирован к уравнению первого порядка

- = + ЯПх + В

содержащему в качестве параметров константы интегрирования А В . Величины е(() и «(/) вычисляются по формулам

с = —2-Г (2в-5Іп(2в)-В) = 20, а=-5ІПв

4у А у А

Решение уравнения (2.12) в общем случае не выражается в элементарных функциях (кроме разобранного выше в(ґ)= рк , т.е.

01 = 02 = 0 ). Поэтому ограничиваясь качественным анализом (2.12) заметим, что всякое его решение, удовлетворяющее начальному условию х(0) = х0, лежит между решениями

=

1 -11 -

В-1

=

1 -11 -

В+1

уравнении

й х*

йт

- = - х* + В -1,

й х* йт

= -х* + В +1, х*(0)= х*(0)= х0.

Следовательно, функция в() всегда ограничена (х* / 2 < «< х 12 ), причем выполняются неравенства

«0 <в(г)<(В +1)/ 2 , при «0 <(В - 1)/ 2,

(В -1)/ 2 <в(г)<(В +1)12 , при (В -1)/ 2 <«о <(В + 1)/ 2,

(В +1)/2 <в(/ )< в0 , при 00 >(В + 1)/ 2,

х

х

0 _-т

х

х

в

из которых ясно, что выбором начального условия в(о) = в0 и постоянной B всегда можно добиться того, что величина d(t) будет изменяться в интервале (pm; p(m +1)), где m - произвольное целое

число. В этом случае плавающий (подвижный) диск за все время движения t е [0; ¥ переместится на конечное расстояние, так как, согласно (2.11), (2.13),

h

sin e

Если же конечный диапазон изменения величины в таков, что в некоторый момент времени t* достигается значение e(t*) = pm (m ф n ), тогда, как вытекает из (2.14), подвижный диск пройдет бесконечное расстояние за конечное время. Кроме того, из (2.14) следует, что при контрротации диски ни при каких условиях не могут быть сомкнуты.

Течение между дисками, вращающимися с одинаковыми угловыми скоростями

Пусть выполняется (2.4), тогда система (1.6), (2.1) принимает вид:

' 2 n ' п п' С sin в- U

С +V0) С = 0, w = С cose, в=-----------------

w

С а и С 2pn

a =----sine, b =----cose, h =-----

w w w

в

— = W, =Q, .

2 1 2

Как следует из (2.16), диски вращаются в одном направлении с одинаковыми по величине угловыми скоростями. Уравнения (2.15) составляют замкнутый триплет относительно функций с(), (0(), «) с параметром и . Остальные величины вычисляются по формулам (2.16). Исчерпывающее исследование всех решений системы (2.15), вероятно, возможно лишь с применением приближенных и численных методов. Ограничимся рассмотрением (2.15) в бездис-

сипативном приближении, V = 0 . Замечательно, что структура точного решения (1.5), (2.15), (2.16) такова, что условия прилипания

(1.1) выполняются даже в случае идеальной жидкости. Аналогичное утверждение справедливо и для рассмотренных выше течений между не вращающимися дисками и дисками, совершающими противо-вращение.

Из (2.15), (2.16) при п = 0 находим семейство решений, зависящих от целочисленного параметра п ,

2Sh

h(t) =____________________

h0 2Sh - sin

F_

v„

f h V

V h0 J

Zcos(2Wt)—1— sinf pnZ |cost + 2Wt

h pn V h J V h

u h f 1 f z

— = ±—|1-----------sin I 2pn — + 2W t ||, W = const.

2Sh

h

Здесь Sh = W h0/v0 - число Струхаля, построенное по постоянной скорости вращения W , начальному положению h(0) = h0 и начальной скорости h'(0) = v0 подвижного диска (решение (2.17),

(2.18) выписано для случая в = 2Wt, вообще же в = 2Wt + в0,

q = const).

Согласно (2.17) плавающий диск совершает периодические колебания конечной амплитуды, если модуль числа Струхаля превосходит 1/2 . В противном случае, |Sh| < 1/2, решение (2.17),

(2.18) перестает существовать за конечное время, в течение которого подвижный диск проходит бесконечное расстояние.

Заключение. В рамках класса Кармана точных решений уравнений Навье - Стокса рассмотрены частные решения задачи о нестационарном течении несжимаемой жидкости между плавающим и неподвижным вращающимися дисками. Показано, что решение

(1.5) системы уравнений (1.3) описывает три счетных семейства режимов течения жидкости между дисками: течения между не вращающимися дисками, течения между дисками, вращающимися с

одинаковыми угловыми скоростями, и течения между дисками, вращающимися с противоположными угловыми скоростями. Для каждого из семейств найдены диапазоны определяющих параметров (начальных данных и безразмерных комплексов, таких как числа Рейнольдса и Струхаля), соответствующие финитным движениям плавающего диска и течениям, разрушающимся за конечное время, на протяжении которого диск проходит бесконечное расстояние. На примере семейства режимов течений между дисками, вращающимися с равными угловыми скоростями, показано, что с использованием (1.5) могут быть описаны вращательносимметричные движения идеальной жидкости, удовлетворяющие условиям прилипания.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Правительства Пермского края (проект Урал-РФФИ № 10-01-00157-a); Интеграционного проекта УрО, СО и ДВО РАН № 116, а также Программы поддержки молодых ученых УрО РАН.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. von Karman T. Uber laminare und turbulente Reibung // ZAMM. 1921. V. 1. P. 233П252.

2. Batchelor G.K. Note on class of solutions of the Navier-Stokes equations representing steady rotationally - symmetric flow // Q. J. Mech. Appl. Math. 1951. V. 4. P. 29П41.

3. Stewartson K. On the flow between two rotating coaxial disks // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1953. V. 5. P. 333П341.

4. Holodniok M., Kubicek M., Hlavacek V. Computation of the flow between two rotating coaxial disk: multiplicity of steady-state solutions // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. P. 227П240.

5. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. 336 с.

6. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. № 1. С. 6П76.

7. Лаврентьева О.М. Течение вязкой жидкости в слое на вращающемся плоскости // ПМТФ. 1989. 5. С. 41П48.

8. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 318 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

10. Aristov S.N., Gitman I.M. Viscous flow between two moving parallel disk: exact solutions and stability analysis // J. Fluid Mech. 2002. V. 464. P. 209П215.

11. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // ТОХТ. 2009. Т. 43. № 5. С. 547  566.

AXISYMMETRICAL FLOW OF INCOMPRESSIBLE FLUID BETWEEN MOVING DISKS

D.V. KNYAZEV

Abstract. Within the framework of a Karman's class of exact solutions of the Navier-Stokes equations some non-stationary flows of an incompressible fluid between floating and motionless rotating disks are considered. Three families of flows are studied: flow between not rotating disks, flow between the disks rotating with identical angular velocities and flow between disks, rotating with opposite angular velocities. An example of rota-tionally-symmetrical ideal fluid flow satisfying no-slip conditions is obtained.

Key words: Navier-Stokes equations, exact solutions, Karman's flow.