Исследование дискретных задач: алгоритмы, графы, вычислительная геометрия

Исследование

дискретных

задач:

алгоритмы, графы, вычислительная геометрия

Продолжение. Начало в №10

Владимир

Сарванов,

завотделом

комбинаторных моделей и алгоритмов Института математики НАН Беларуси, кандидат физикоматематических наук

Представлены результаты исследований дискретных задач, которыми занимались ученые Института математики. Особое внимание уделено модельным задачам, прогресс в решении которых особенно важен, поскольку идеи, положенные в его основу, находят, как правило, применение и при решении многих других задач. Очерчен круг реального и потенциального применения разработанных методов, алгоритмов, формул.

Геометрические графы. Это графы, уложенные (изображенные) на плоскости так, что их ребрами являются прямолинейные отрезки, а вершинами - их концы. Предполагается, что ни один из этих отрезков не содержит вершину в качестве своей внутренней точки.

Основное внимание в Институте математики уделялось задаче поиска в геометрических графах непересекающихся подграфов различных типов, у которых любые два ребра либо не пересекаются, либо имеют общую вершину. Было доказано, что эта задача NP-полна даже в случае, когда искомый подграф имеет очень простой вид - например, является простым циклом, простой цепью между двумя вершинами или остовным деревом. Найдены достаточные условия существования непересекающегося остовно-го дерева в геометрическом графе.

Доказано, в частности, что если в геометрическом графе любое множество из шести вершин индуцирует геометрический подграф, содержащий непересекающееся остовное дерево, то сам этот граф содержит такое же дерево. Установлен и критерий его существования в геометрическом дополнении 2-фактора.

Также найдены достаточные условия существования непересекающегося совершенного паросочетания в геометрическом графе. Доказано, что любое остовное непересекающееся дерево обладает дизъюнктно совместимым совершенным паросочетанием и, наоборот, для произвольного непересекающегося совершенного паросочетания существует дизъюнктно совместимое непересекающееся остовное дерево, максимальная степень вершин которого не превосходит 4. Показано, что фигурирующие в последнем утверждении объекты можно построить за время O (nlogn).

Задачи, связанные с поиском в геометрических графах непересекающихся подграфов либо подграфов, имеющих минимальное число пересечений ребер, возникают в проектировании СБИС. В этой области приложений они являются базовыми, наряду с задачами размещения и разбиения графов и гипер-графов. Проводники, соединяющие элементы схемы и расположенные в одном слое чипа, не должны пересекаться, поэтому для минимизации числа слоев требуется находить подходящее разбиение графа на непересекающиеся деревья. Кроме того, такая минимизация тесно связана с минимизацией площади чипа, реализующего заданную схему.

http://innosfera.by

| №12 (190) | Декабрь 2018 | НАУКА И ИННОВАЦИИ 73

В МИРЕ НАУКИ

Комбинаторная вычислительная геометрия.

Планарные задачи. Первые годы развития этого направления в Институте математики были посвящены исследованию и разработке алгоритмов решения комбинаторно-геометрических задач на плоскости. В результате были предложены методы построения выпуклых оболочек различных объектов (многоугольных фигур, конечных множеств точек и др.) на плоскости, вычисления диаметра и ширины таких объектов, а также расстояний между ними. Разработанные на этой основе алгоритмы асимптотически оптимальны по времени выполнения и используют минимальный объем компьютерной памяти. Также получено решение ряда задач оптимального разбиения плоских многоугольных областей на элементарные фигуры, разработаны эффективные алгоритмы распознавания связности таких областей и проверки подобия многоугольников. Установлена WP-трудность задачи оптимального размещения двух взаимосвязанных выпуклых непересекающихся многоугольников. Разработаны методы построения иерархических размещений взаимосвязанных графо-геометрических объектов, оптимальных по различным критериям. В качестве основных из них выступали минимум площади ортовыпуклой оболочки и максимум площади пересечения.

Результаты этих исследований использовались в проектировании интегральных схем. Еще одна область их практического применения - разнообразные задачи раскроя. В типичной задаче этого класса требуется из большого листа материала вырезать детали

(фигуры) заданного вида таким образом, чтобы минимизировать отходы, то есть на одном листе прямоугольной формы надо разместить как можно больше деталей.

Техника «эффективного манипулирования» плоскими многоугольными фигурами широко используется и в компьютерной графике.

Трёхмерные задачи. Основной

объект исследований в трехмерном пространстве - двумерный сим-плициальный комплекс (полиэдр). Разработаны неулучшаемый по трудоемкости алгоритм построения триангулированной границы наименьшего тела, составленного из треугольников заданного сим-плициального комплекса, и эффективный алгоритм построения всех наименьших тел и удаления всех треугольников, не принадлежащих границам никаких тел в полиэдре.

Получены достижимые оценки для числа вершин, ребер, треугольников регулярного полиэдра и числа наименьших тел, ограничиваемых им в трехмерном евклидовом пространстве. Доказано, что проблема построения псевдоповерхности из треугольников заданного регулярного двумерного симплициаль-ного комплекса в трехмерном пространстве R3 полиномиально эквивалентна проблеме отыскания подграфа специального вида в некотором эйлеровом графе.

Эти исследования имели следующую мотивировку со стороны приложений. В настоящее время описание трехмерного объекта посредством задания триангуляции его поверхности (треугольной сетки) - распространенная форма представления моделей в компьютерной графике. Такая сетка представляет собой полиэдр. Для

описания некоторого изделия требуется выполнить ряд операций над полиэдрами (например, операции объединения), задающими составные части этого изделия. В результате могут появляться «лишние» треугольники, не принадлежащие границам никаких тел в полиэдре. Отсюда возникает задача быстро их обнаружить и удалить.

В современных САПР геометрические модели активно используются, наряду с визуализацией, для различного рода физического моделирования (оптическая трассировка, тепловое и конвекционное моделирование и др.). Для корректного физического моделирования необходима реконструкция топологии геометрической модели, то есть выделение в ней тел и установление связей между ними.

Частичная выпуклость в п-мер-ном пространстве. Исследование комбинаторно-геометрических задач в n-мерных пространствах

(п >3) было направлено в основном на развитие теории частичной (или обобщенной) выпуклости. Напомним, что выпуклое множество определяется тем свойством, что его пересечение с любой прямой связно, то есть представляет собой отрезок, точку либо пустое множество. Например, прямоугольник - выпуклое множество, а Т-образная фигура, составленная из двух прямоугольников,- нет. При этом пересечение этой фигуры с любой прямой, имеющей горизонтальное либо вертикальное направление, является связным. В то же время среди прямых любого другого направления найдется такая, что ее пересечение с Т-образной фигурой будет не связно. Таким образом, эта фигура является частично выпуклой

74 НАУКА И ИННОВАЦИИ | №12 (190) | Декабрь 2018 |

http://innosfera.by

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

и имеет ровно два направления частичной выпуклости. В общем случае множество считается частично выпуклым, если существует такое направление, при котором любая его прямая имеет с данным множеством связное пересечение.

Понятие выпуклости играет важную роль в различных областях фундаментальной и прикладной математики. Выпуклые множества обладают рядом полезных свойств. Например, пересечение любой совокупности выпуклых множеств также будет выпуклым множеством. Более того, всякое замкнутое выпуклое множество является пересечением конечного или бесконечного числа замкнутых полупространств, то есть «элементарных» выпуклых множеств. Выпуклые множества отделимы: если два выпуклых множества не имеют общих внутренних точек, то существует такая гиперплоскость, где эти множества лежат по разные стороны от нее (в двумерном случае гиперплоскостью будет прямая, в трехмерном - плоскость). И, наконец, локальный минимум выпуклой функции (например, линейной), заданной на выпуклом множестве,- это также и ее глобальный минимум на нем.

Последнее свойство играет особую роль в оптимизационных задачах. Довольно типична ситуация, когда трудная в общем случае задача поиска в заданном множестве точки минимума (максимума) функции становится эффективно решаемой в том случае, когда множество выпуклое. Например, задача минимизации (максимизации) линейной функции на многограннике является ЛФ-трудной, но в случае выпуклых многогранников существует полиномиальный алгоритм ее решения. Выпуклые множества предпочтительны

и во многих задачах других типов, отличных от оптимизационных. В целом можно сказать, что наличие свойства выпуклости у фигурирующих в задаче множеств создает хорошие предпосылки для ее успешного решения. В теории и практике решения задач выпуклой оптимизации разработан значительный арсенал методов и технических приемов. Поэтому перспектива их использования для решения оптимизационных задач на частично выпуклых множествах дает дополнительную мотивировку развитию теории частичной выпуклости.

Проводившиеся в Институте математики исследования частичной выпуклости были направлены в первую очередь на выявление ключевых свойств частично выпуклых множеств, которые полезны для решения различных алгоритмических задач. Они касались проблем распознавания, топологии и построения частично выпуклых множеств. Следует заметить, что в случае классической выпуклости сходные проблемы, как правило, решаются просто. Однако переход от классической выпуклости к частичной приводит к значительным усложнениям исследуемых объектов. Поэтому ряд интуитивно убедительных предположений относительно свойств частично выпуклых множеств оказался ложным (соответствующие контрпримеры имеют весьма «экзотический» вид). Особое внимание уделялось тем классам частичной выпуклости, которые представляют собой наиболее естественное обобщение классической выпуклости. Особенно это относится к так называемым ОС-выпуклым множествам. Такое частично выпуклое множество, как и в классическом случае, может быть представлено в виде пересечения

«элементарных» частично выпуклых множеств, каждое из которых является дополнением конуса.

Приведем некоторые результаты исследований, проводившихся по этой тематике в Институте математики. Установлена ЛФ-трудность задачи нахождения ОС-выпуклой оболочки объединения конечного числа многогранных множеств в конечномерном линейном пространстве. Показано, что эта задача полиномиально разрешима при фиксированной размерности линейного пространства. Для объединения многогранных множеств, заданных с помощью пересечений полупространств, установлено необходимое и достаточное условие его ОС-выпу-клости. Разработан эффективный алгоритм построения аппроксимаций частично выпуклых оболочек объединений многогранных множеств. Отметим, что задача построения частично выпуклой оболочки множества точек в многомерном линейном пространстве считается одной из самых сложных в вычислительной геометрии. Ранее были известны алгоритмы построения таких оболочек лишь на плоскости и только для двух направлений частичной выпуклости.

Получено описание конических семипространств для структур частичной выпуклости в линейном пространстве. Этот результат существенно обобщает классические результаты В. Кли и П. Хаммера. Доказано, что обобщенная выпуклость, образованная пересечениями конических семипространств частичной выпуклости, конечно определена в случае, когда множество направлений частичной выпуклости не более чем счетно. Заметим, что, в отличие от классической, для частичной выпуклости в общем случае неизвестно, является она конечно

http://innosfera.by

| №12 (190) | Декабрь 2018 | НАУКА И ИННОВАЦИИ 75

В МИРЕ НАУКИ

определенной или нет. Доказано, что для любого бесконечного множества направлений частичной выпуклости условный максимум ОС-ква-зивыпуклой функции достигается в одной из ОС-экстремальных точек ОС-выпуклого компактного множества. Установлена полиномиальная разрешимость задачи распознавания принадлежности точки к обобщенно-выпуклой оболочке финитного множества, построенной пересечением конических семипро-странств частичной выпуклости. Получены формулы, описывающие частично выпуклые оболочки конечных множеств точек многомерного пространства при произвольном конечном множестве направлений частичной выпуклости. Предложены эффективные аппроксимации частичной выпуклости по заданным направлениям с помощью конических семипространств.

Опровергнута гипотеза Финка и Вуда о том, что произвольное связное полупространство частичной выпуклости можно представить в виде пересечения направленных полупространств частичной выпуклости в линейном пространстве размерности выше двух. Но подтверждена их гипотеза о линейной связности границы направленного полупространства частичной выпуклости в многомерном евклидовом пространстве. Доказано, что граница любого такого полупространства гомеоморфна гиперплоскости, если множество направляющих гиперплоскостей пересекаются в точке. Установлена эпи-липшицевость направленных полупространств частичной выпуклости при множестве направлений частичной выпуклости, содержащем базис пространства. Доказано, что всякое направленное полупространство частичной выпуклости можно

представить в виде пересечения ее ОС-семипространств.

Установлены свойства отделимости частично выпуклых множеств полупространствами в случае конечности множества направлений частичной выпуклости. Показано, что для всякого компактного ОС-выпуклого множества и любой точки, не принадлежащей этому множеству, существует замкнутое ОС-пространство, которое отделяет компакт от точки. В то же время найдутся такие ОС-выпуклый компакт и не пересекающее его ОС-вы-пуклое двухточечное множество, что не будет существовать полупространства, отделяющего эти множества. Доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для ОС-выпу-клости, показывающий, что при любом множестве направлений частичной выпуклости ОС-выпуклое тело совпадает с ОС-выпуклой оболочкой ОС-экстремальных точек.

Прикладное значение изложенных выше результатов во многом определяется тем, что требование частичной выпуклости множеств существенно менее жесткое по сравнению с требованием обычной выпуклости. Это позволяет значительно расширить круг эффективно решаемых прикладных проблем.

Представление комбинаторногеометрических объектов графами. Получена характеризация графов прямоугольных разбиений, разработан эффективный алгоритм их распознавания. Доказана их трассируемость и разработан линейный алгоритм построения гамильтоновых цепей в графах этого класса. Разработан эффективный алгоритм перечисления всех разбиений прямоугольника с заданным графом соседства. Известные

ранее алгоритмы такого рода не гарантировали полноты перечисления и носили эвристический характер. Задача перечисления разбиений прямоугольника возникает при планировании кристалла БИС и в архитектурном проектировании.

Для основных экстремальных задач реализации гиперграфов графами показано, что одна из них (задача о минимальной реализации) -NP-трудная, а другая (задача о строгой реализации) - полиномиально разрешима. Доказано, что задача о планарной реализации гиперграфа остается NP-полной, даже если один из основных параметров гиперграфа, ранг либо максимальная степень вершины, ограничен константой. Ранее теоремы такого рода для этой задачи доказывались только при допущении неограниченности всех параметров гиперграфа. Тем самым получен ответ на вопрос, поставленный в статье известных специалистов М. Гэри и Д. Джонсона.

Перечисления. В перечислительной задаче требуется найти точное или приближенное выражение для числа комбинаторных объектов, обладающих требуемым свойством. Исследование таких задач имеет давнюю историю. Формулы для числа сочетаний, размещений и перестановок элементов конечного множества известны с незапамятных времен, а первая перечислительная задача была решена еще в середине XIX века, на начальной стадии развития теории графов. Речь идет о числе всех п-вершинных деревьев, которое равно п(п-2). Эту формулу вывели независимо друг от друга Г. Кирхгоф (в процессе исследования электрических цепей) и А. Кэли (при решении задач перечисления деревьев, описывающих строение углеводородов).

76 НАУКА И ИННОВАЦИИ | №12 (190) | Декабрь 2018 |

http://innosfera.by

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Перечислительные задачи встречаются во всех областях математики. Опишем несколько простейших ситуаций, где возникает необходимость в решении подобных задач. В элементарной теории вероятностей для определения вероятности благоприятного исхода одного эксперимента приходится подсчитывать общее число исходов и число благоприятных исходов эксперимента. Для оценки времени и требуемого объема оперативной памяти для выполнения алгоритма необходимо установить число комбинаторных объектов, которые будут в нем участвовать. Для доказательства существования в конечном множестве М элемента с заданным свойством достаточно доказать, что число элементов, не обладающих этим свойством, строго меньше, чем общее число элементов множества М.

Проводившиеся в Институте математики исследования были направлены в основном на разработку методов перечисления графов различных классов. Приведем лишь некоторые результаты этих исследований.

Значительное внимание уделялось перечислению плоских карт. Под картой понимается граф, уложенный (нарисованный) на плоскости так, что его ребра не пересекаются в точках, отличных от вершин. Были получены эффективные перечислительные формулы для нескольких классов неизоморфных плоских карт с n ребрами, в том числе несепарабельных, эйлеровых, двудольных и уникурсальных. Установлены перечислительные формулы для плоских карт с выделенным остовом, имеющих заданное число ребер и вершин. Найдены замкнутые перечислительные формулы для регулярных плоских карт нечетной степени с заданным числом вершин.

Отметим, что теория задач перечисления карт на поверхностях восходит к классическим результатам У. Татта 60-х годов прошлого века по перечислению так называемых корневых плоских карт. Несколько позже и независимо от математиков этой задачей заинтересовались физики (первым из них был Нобелевский лауреат Г. ‘т Хо-офт) в связи с некоторыми моделями статистической физики и квантовой гравитации. К настоящему времени перечислительная теория карт насчитывает сотни публикаций в престижных международных математических журналах.

Разрабатывались также методы решения перечислительных задач для других классов графов. В частности, были выведены эффективные рекуррентные формулы для числа инициально связных орграфов и перечисления сильно связных орграфов с помеченными вершинами. Получена эффективная формула для подсчета неизоморфных неориентированных эйлеровых графов с заданным числом вершин и ребер. Тем самым были решены две задачи из 27 основных не решенных на тот момент задач перечисления в известном списке Харари. Самые последние результаты связаны с давно известной перечислительной задачей алгебраической теории графов: найти формулу для подсчета неизоморфных циркулянтных графов порядка, равного степени простого числа n = pr (порядком графа называется число его вершин). Граф называется циркулянтным, если он симметричен относительно полного циклического сдвига его вершин (1, 2, ..., n-1, n). Это богатый класс графов, обладающих свойствами, ценными как с алгебраической точки зрения, так и для приложений

в конструировании коммуникационных сетей. В частности, циркулянт-ный граф допускает очень компактное кодирование: достаточно указать множество вершин, с которыми соединена вершина 1. В Институте математики существенно продвинулись в решении указанной выше проблемы, а именно развили общую технику перечисления циркулянтных графов с количеством вершин, равным степени нечетного простого числа, которая сводит эту задачу к решению некоторого множества рутинных перечислительных задач.

Разработанные методы перечисления графов различных классов использовались для решения перечислительных задач в других областях математики. Получены эффективные перечислительные формулы для абстрактных ациклических автоматов. Найдена замкнутая формула для подсчета подгрупп свободной группы с точностью до сопряженности. Выведена формула для перечисления неориентируемых многолистных накрытий бутылки Клейна. Искомое число выражается в виде специальной мультипликативной функции кратности накрытия. Это решает один из естественных вопросов алгебраической топологии. Намечены пути получения подобных формул для других неориентируемых поверхностей. Эти исследования мотивированы классической проблемой точного перечисления ветвящихся накрытий поверхностей степени n с заданными порядками ветвления, поставленной А. Гурвицем более 100 лет назад.

Результаты исследований в области дискретной математики публиковались сотрудниками Института математики, помимо республиканских, более чем в 30 зарубежных журналах.

http://innosfera.by

| №12 (190) | Декабрь 2018 | НАУКА И ИННОВАЦИИ 77