О погрешностях стохастического решения уравнений больцмановского типа: точные верхние оценки

УДК 519.71

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 4

ОПТИМИЗАЦИЯ ОБОБЩЕННЫХ КОНЕЧНО-НЕСТАЦИОНАРНЫХ МИНИМАКСНЫХ НЕЧЕТКИХ АВТОМАТОВ*

А. Ю. Пономарева, М. К. Чирков

С.-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

В работе теоретически обоснован и детально разработан специальный метод минимизации числа состояний и построения минимальных форм обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата, основанный на доказанной ранее теореме о связи максиминных и минимаксных произведений нечетких матриц и разработанной методике матричной оптимизации конечно-нестационарного максиминного нечеткого автомата. Доказано, что от заданного обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата можно перейти к максиминному нечеткому автомату того же типа, являющемуся дополнением для исходного минимаксного автомата. Также доказано, что если заданные обобщенные конечно-нестационарные минимаксный и максиминный нечеткие автоматы являются дополнениями друг друга, то их минимальные формы имеют одно и тоже число состояний, что позволяет сначала перейти от обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата к обобщенному конечно-нестационарному максиминному нечеткому автомату, затем минимизировать известным методом преобразующих матриц полученный обобщенный конечно-нестационарный максимин-ный нечеткий автомат и, перейдя обратно к его дополнению, получить минимальную форму исходного обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата. В результате разработаны процедура и соответствующий ей алгоритм минимизации числа состояний и построения минимальной формы обобщенного конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата. В заключение дан пример применения предложенного специального метода минимизации к заданному обобщенному минимаксному конечно-нестационарному нечеткому автомату. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: обобщенный конечно-нестационарный минимаксный («оптимистический») нечеткий автомат, обобщенный конечно-нестационарный максиминный («пессимистический») нечеткий автомат, дополнение конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата, минимальная форма конечно-нестационарного минимаксного нечеткого автомата.

1. Введение. В работе [1] был предложен один метод оптимизации стационарного обобщенного минимаксного (иначе «оптимистического») нечеткого автомата, определенного в работах [2-4]. Кроме того, в работах [5, 6] решена проблема оптимизации абстрактной структуры обобщенного (имеющего выходной алфавит) конечно-нестационарного нечеткого максиминного (иначе «пессимистического») автомата, разработаны теоретически обоснованные алгоритмы минимизации такого автомата по числу состояний, основанные на построении семейств специальных преобразующих матриц. Поскольку в работе [4] установлена связь между обобщенными стационарными автоматами обоих видов — «пессимистическим» и «оптимистическим», основная цель данной работы состоит в установлении подобной связи между обобщенными конечно-нестационарными «оптимистическим» и «пессимистическим» автоматами и разработке метода оптимизации конечно-нестационарного «оптимистического» автомата, опираясь на результаты работ [4-6].

2. Нечеткие множества. Обозначим символом L полную дистрибутивную решетку

L = ([0,1], max, min,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00538).

т. е. замкнутый интервал [0,1] с операциями

a + b = max

условно называемыми «сложением» и «умножением», и обычным упорядочиванием. В дальнейшем в данной работе условимся использовать знаки, обозначающие «сложение» и «умножение», только для записи (тах-тш)-операций (1), а символ L также для обозначения интервала [0,1]. В отличие от четкого множества, нечеткое множество Z над универсальным множеством U определяется как множество упорядоченных пар Z = {z,mz(z)}, где мz(z) G [0,1] для всех z G U. Функция mz(z) в этом случае называется характеристической функцией степени принадлежности (или просто функцией степени принадлежности) элемента z нечеткому множеству Z. В частном случае при мz(z) G {0,1} для всех z G U нечеткое множество Z будет обычным четким множеством над универсальным множеством U. Будем также обозначать через Cm'n множество всех (m х п)-матриц над L и называть матрицы из £m>" нечеткими.

3. Операции над нечеткими множествами и матрицами. Если Zi и Z2 суть нечеткие множества над U, то их объединением называют [7] нечеткое множество Z = Z1 U Z2 с функцией принадлежности mz(z) = MZlUZ2 (z) = max [^Zl (z), mz2 (z)], z G U. Пересечением Zi и Z2 называют нечеткое множество Z = Zi П Z2 с функцией принадлежности = Hz1nz2(z) = min [m^i (z), /-iz2 (z)], z € U. Дополнением нечеткого множества Z называют нечеткое множество Z с функцией принадлежности fJr^-(z) = 1 — yU,Z(z), z (Е U.

Дополнением нечеткой матрицы R = (/лд(а¿, aj))mj„ € £т<п называют нечеткую матрицу R £ £т,п с элементами

Мк

Максиминное произведение нечетких матриц R(1) G Lm,n и R(2) G Ln,k определяется как нечеткая матрица R = R(1) о R(2) g Lm,k с элементами

Mr

g

Минимаксное произведение нечетких матриц R(1) и R(2) определяется как нечеткая матрица R = R(1) * R(2) с элементами

Mr

g

4. Типы конечно-нестационарных нечетких автоматов. Пусть X, A, Y — алфавиты соответственно входных символов, состояний и выходных символов. Будем называть нечеткой элементарной автоматной структурой, заданной над L, систему

Л =

где символ ф обозначает один из символов о или *, определяющих типы произведения матриц (3) и (4) соответственно, X(i'j) С X, Ai,Aj С A, |Ai| = mi, |Aj| = mj, Y(ij) с Y, а {FA'j) (s, l)} есть совокупность нечетких матриц переходов из состояний алфавита Ai в состояния алфавита Aj, где FA'j)(s,1) G Lmi,mj есть матрица, соответствующая паре (xs, y;), xs G X(i'j), y; G Y(i'j).

Пусть задано конечное упорядоченное множество элементарных автоматных структур Л вида (5) и QA — конечное упорядоченное множество финальных распределений степеней принадлежности (вектор-столбцов с элементами из С) состояний множеству конечных состояний в алфавитах А С А. Обобщенным нечетким конечно-нестационарным автоматом назовем систему

Л =

где Я а — структурный граф автомата (конечный, ориентированный, нагруженный граф), имеющий:

— конечное множество вершин С = {со, с\,..., с^— 1}, каждой вершине с^, г = 0,й — 1, сопоставлен алфавит состояний г = 0, й — 1, У^ Л^ = Л, |Л^| = ш^;

— начальную вершину с0, для которой задано г а — начальное распределение степеней принадлежности состояний из Ао множеству начальных состояний;

— конечное множество О направленных ребер, д € О — ребро, соединяющее вершины е^ и с;

— однозначную функцию /А : О —> Л, /(д) = Л-, Л € Л, причем

У X= X, У У= У;

я%о ее я%о ее

— однозначную функцию у а : С —>• С^а, <рл((к) = г = 0, й — 1.

Пусть задан нечеткий конечно-нестационарный автомат (6). Выделим в структурном графе какую-либо вершину с € С. Пусть ^>а(с) = qA). Рассмотрим один из путей П0) длины ведущий из начальной вершины со в вершину с графа, и выпишем последовательность элементарных автоматных структур, отмечающих ребра, образующие этот путь: Л^, Л ^,..., Л— ^. Рассмотрим любую пару слов (ад,«), ад = х31х32 .. .хаь, € Х^-1'^, V = у,лу12 .. .ук, у^ € V = М, одной

длины £ в алфавитах X и У. Множество всех пар таких слов назовем множеством допустимых пар слов для пути По) и обозначим £доп(п0)), при этом будем считать, что пустые слова (е, е) € ^доп(П00). Весом отображения слова ад в слово V, порождаемого путем по) структурного графа Я а автомата Л при заданном г а , назовем величину

Ф^ад,«) = ГА П ГА"-1 •<"^Л)чА'),

т©

где знак П обозначает произведение нечетких матриц одного из двух типов (3), (4),

определенных в п. 3, (ад,«) € ^доп(п0^)), |ад| = |«| > 0. Если же |ад| = |«| = 0, то

(Д) (о) ~

фо / (е, е) = гачА). Обозначим символом По множество всех путей в структурном

графе автомата, ведущих из начальной вершины со в вершину с € С, и символом П( — множество всех таких путей, имеющих длину и введем обозначение

^доп(П о) = и ^доп(По)).

->МС о

Нечетким отображением, индуцируемым вершиной с структурного графа автомата ___

Л при заданном гА, назовем отображение Ф / : ^доп(П°)) —> С, определяемое

выражением

{

шах< еп£ ф/ ' М при ^о/ = 0,

0 при П 0/ = 0,

где = |V| = 4 = 0,1,..., и 0 — пустое множество. Будем говорить, что нечеткое отображение ф/^) является нулевым отображением, если для всех пар слов

з

' I ТЭТ_ТТТГЛ TTTLrOU"/"» fp >

вать спектр взаимосвязанных нечетких отображений

(w, v) G ¿j-1) выполнено Фз f (w, v) = 0. В целом автомат 4l будет индуциро-

Ф f = ^Ф 0^Ф^Ф

соответствующих различным вершинам Cj G C, j = 0, d — 1, его структурного графа.

При этом нулевые отображения в спектре Ф(-4- можно не учитывать. В зависимости от того, какой тип произведения матриц используется в выражении (7), т. е. какой из знаков о, * должен подразумеваться под символом ф, можно определить следующие два различных типа обобщенных конечно-нестационарных нечетких автоматов 41 (6):

— максиминные (иначе, «пессимистические») обобщенные конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4f;

— минимаксные (иначе, «оптимистические») обобщенные конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4f.

5. Формулировка задачи. Пусть заданы два нечетких конечно-нестационарных автомата, имеющих одинаковый входной X и выходной Y алфавиты, одно и то же множество ребер G, одинаковые множества вершин C и одну и ту же начальную вершину с0 структурного графа, — автомат 41 (6) и автомат

B =

индуцирующий при заданном г в спектр взаимосвязанных отображений ФБудем называть автоматы (6) и (9) эквивалентными, если они индуцируют одни и те же спектры взаимосвязанных автоматных отображений, обозначим это 4l ~ B.

Будем говорить, что автомат 4 (6) находится в минимальной форме, если не существует такого эквивалентного ему автомата B (9) того же типа, у которого найдется хоть одна вершина с G C, такая что |Aj | < |Bj|. Минимальной формой нечеткого конечно-нестационарного автомата 4 (6) назовем любой эквивалентный ему автомат B (9) того же типа, находящийся в минимальной форме (обозначим B = min 4).

В соответствии с введенными определениями может быть сформулирована следующая задача: задан обобщенный нечеткий конечно-нестационарный автомат 41 (6) и требуется построить его минимальную форму — автомат того же типа B = min 4l.

Данная задача решена в работах [5] и [6] путем последовательного применения преобразований с помощью специальных матриц для случая «пессимистических» автоматов 4f. Основная цель данной работы — разработка и обоснование методов минимизации «оптимистических» конечно-нестационарных нечетких автоматов 4f.

6. Связь между автоматами. В работе [4] доказано следующее утверждение относительно произведений нечетких матриц переходов стационарных нечетких обобщенных автоматов А°, В*, которые являются частным случаем конечно-нестационарных нечетких автоматов.

Теорема 1. Пусть (ад, V), ад = ж81 жЯ2 ... , V = у;2 ... , есть любая пара слов длины й > 0 в алфавитах X, У, а для стационарных обобщенных нечетких автоматов А°, В* выполнено |А| = |В| = т, Еа(хя,у;) = Ев(ж8, у;) = Е(ж8,у;) € £т,т для всех ж8 € X, у; € У. Тогда, если

а а

Е°

4=1 4=1

суть, соответственно, максиминное и минимаксное произведения нечетких матриц переходов, то справедливы следующие соотношения:

4=1 4=1

где согласно (2) ¥(хВг,у1г) = (1 -

44)

Введем следующее определение. Условимся говорить, что Ф есть дополнение нечеткого отображения автомата А в вершине е, г € {0, й — 1}, если для

~ -

любых (ад, V) € ^доп(П0), |ад| = |V|, Ф  / (ад, V) = 1 — Ф / (ад, V). Будем называть нечеткий конечно-нестационарный автомат А дополнением нечеткого конечно-

нестационарного автомата А, если он индуцирует спектр взаимосвязанных нечетких отображений

Ф(.)={1^, ф!4',..., фЙ;

В таком случае оказывается справедливым следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть заданы два конечно-нестационарных обобщенных нечетких автомата А° (6) и В* (9), для которых выполнено следующее:

1) г а = тв, \Аг \ = \Вг\, для всех С£ € С;

2) если для каждой вершины е € С выполняется ) = qAA), то (е) =

« -

= qА , и множество Цв включает в себя все различные векторы = qА , е € С;

3) если для ребра д € Я /л(дг) = А°, то /в(д) = В*, где

для всех € X, у; € У, и множество В* включает в себя все такие различные автоматные структуры В*, д € Я, е, е € С. Тогда для этих автоматов выполняется

А° «В*, А° «В*.

Доказательство. Для того чтобы показать, что 4° «В£, необходимо установить, что автоматы 4° и В£, индуцируют одни и те же спектры взаимосвязанных нечетких отображений Ф() и Ф). Заметим при этом, что согласно определению дополнения автомата В£ выполнено Ф) =ф(В/).

Зафиксируем вершину е^ € С. Рассмотрим любой путь О04;) € О04)), который проходит через последовательность вершин е0 = е^0, е^,..., е^ = е^, пару слов (ад,«) € ^доп(О04)), |т| = |V| = и пусть этот путь отмечен последовательностью элементарных автоматных структур 4°^, 4°^,..., 4°4-1 ^ в автомате 4°. Запишем вес отображения слова т в слово V (7), порождаемого путем О04) структурного графа ^А автомата 4°, тогда:

\ ТТ°Т1

(и},у)= гАо || Е^ {ви,1и)ос£А = гво || ¥в {зи,1и)ос£в' =

^=1

согласно теореме 1 и условиям теоремы 2.

В силу произвольности выбранного пути О04;) € О0^ можно утверждать, что

—

Ф4 / (т, V) =Ф 4 / (т, V) для всех пар слов (т, V) € ^доп(О0/), |т| = |V| = вершина е^ € С тоже была выбрана произвольно, значит можно утверждать, что

ф(-4/) =ф(В/) = ф(В/) и согласно определению эквивалентность автоматов 4° и В£.

Проведя аналогичные рассуждения можно установить, что 4° « В£. Теорема доказана.

Следствие. Если конечно-нестационарные нечеткие автоматы 4° и В £ удовлетворяют условиям теоремы 2 и автомат 4° находится в минимальной форме, то автомат В£ также находится в минимальной форме, обратно, если автомат

В£ находится в минимальной форме, то и автомат 4° находится в минимальной форме.

Справедливость данного следствия очевидна, поскольку указанные конечно-нестационарные нечеткие автоматы согласно (10) эквивалентны, и возможность удаления любого состояния в какой-либо вершине одного из автоматов непосредственно приводит к возможности редукции соответствующего состояния в другом автомате с необходимым преобразованием элементов матриц переходов, начальных и финальных векторов.

7. Алгоритм минимизации автомата 4£. Опираясь на результаты п. 6, можно сформулировать следующую процедуру построения минимальной формы заданного «оптимистического» конечно-нестационарного нечеткого автомата 4£ (6):

а) используя теорему 2, построить для автомата 4£ его дополнение — автомат

4£ = В)°, являющийся «пессимистическим» конечно-нестационарным нечетким автоматом;

б) используя методику минимизации конечно-нестационарных максиминных («пессимистических») нечетких автоматов, предложенную в работах [5, 6], найти минимальную форму автомата — автомат f = min ;

в) перейти от полученного автомата f к автомату V◦, который согласно теореме 2 и следствию из нее дает решение данной задачи, т. е. минимаксный («оптимистический») нечеткий конечно-нестационарный автомат D* =V} такой, что D* = min A*.

8. Пример. Пусть задан обобщенный «оптимистический» нечеткий конечно-нестационарный автомат A* = (X, A*, Y, rA, GA(G, C, c0, ¥>a), Qa), граф которого представлен на рисунке.

X(0,1) = {xq}, Y(0,1) = {yo,yi}, Aq = {ао,а1,а2,аэ}, Ai = jao, ai, 02, 03},

fAq,1)(O, 0) =

X (1'1) = {X1},

F

0, 8 0, 6 1 0, 6

0, 3 0, 9 0, 7 0, 9

0,4 0, 8 0, 7 0, 8

0, 5 0, 9 0, 9 0, 8

Y(1,1) = {У0,У1}

0, 9 1 0, 5 1

0, 7 0, 8 0, 7 0, 3

0, 6 0, 7 0, 9 0, 7

0, 4 0, 3 0, 7 0, 2

fAm)(0, 1) =

F

0, 7 0, 6 0, 3 0,

0, 7 0, 5 0, 9 0,

0, 7 0, 5 0, 8 0,

1 0, 6 0, 8 0,

0, 4 0, 7 0, 8 0,

0, 5 1 0, 9 0,

0, 8 0, 6 0, 5 0,

0, 5 0, 8 0, 9 0,

X(1,2) = {xo,x1}, Y(1,2) = {yo,У1}, A2 = {00,01,02,03},

F

F

(0, 0) =

(1, 0) =

/0, 9 0,1 0, 8 0, 9

/0, 5 0, 8 1 0, 9

0, 9 0, 7 0, 2 0, 8

0, 9 0, 8 0, 6 0,4

0,7 0, 7^

0, 5 0, 6

0, 7 0, 7

0, 8 0, 8

0, 6 0, 6 0, 9 1

0, 7 0, 7

0, 9 0, 9

F

(0,1) =

fA1,2)

0, 7 0, 3 0, 6 0,

0, 1 0, 8 1 0,

1 0, 9 0, 7 0,

0, 5 0, 9 0, 8 0,

0, 6 0, 9 0, 7 0,

1 0, 7 0, 2 0,

0, 8 0, 8 1 0,

0, 5 0, 7 0, 4 0,

А

А

А

А

А

X(°.2) = {хо}, У(°.2) = {уо, у 1},

Е

(0, 0) =

/0,9 0,9 0,7 0,

0 ,5 0 ,6 0 ,9 0 ,7

0,7 0,5 0,9 0,7

0, 7 0, 7 0, 7 0, 9

X(2,0) = {хо}, У(2'0) = {уо,У1},

Е

(0,1) =

/0, 4 0, 8 0, 9 0, 8

0, 4 0, 9 0, 9 0, 8

0, 6 0, 8 0, 8 0, 9

0, 6 1 0, 9 0, 8

Е

0, 9 0, 8 0, 7 0, 9

ЧА0)

0, 8 0, 8 1

0, 9 0, 8 0, 8 1

0, 4 0, 4 0, 9 1

0, 1 0, 1 0, 5

т qA1) = (0, 6

Е

0, 2 0, 6 0, 8 0, 6

0, 4 0, 6 0, 7 0, 7 1

1 0, 7 0, 7 0, 81 ,

0, 8 0, 9 0, 9 0, 7

(2) qA = (0, 9 0, 9 0, 4 0, 7)т

0, 5 0, 7 0, 5)т,

Требуется построить его минимальную форму. В соответствии с первым шагом

алгоритма из п. 7 для заданного автомата строим автомат А £ = (9) согласно теореме 2, представляющий собой обобщенный «пессимистический» конечно-нестационарный нечеткий автомат с теми же структурным графом и алфавитами входов и выходов, где Во = {&0, &1, &2, &э}, В = {60, 61, 62, 63}, В = {60,61,62,63}, гВ = (0, 7 0, 3 0, 3 0, 3),

Е

Е

(1,0) =

ев1,2)

Е

Е

Е

(0,0) =

qB0) = (0, 6 0, 3

0, 2 0 4 0 0 4

0 7 0 1 0 3 0,11

0 6 0 2 0 3 0 2

0, 5 0 1 0 1 0 2

/0 1 0 0 5 0 \

0 6 0 2 0 3 0 ,7 1

0 4 0 3 0 1 0 3

/0 6 0 7 0 3 0,8

/0 1 0 1 0 3 0, 3\

0 0 3 0 5 0,4 1

0 2 0 8 0 3 0, 3

1 0 2 0 2 0, 2

/0 /0 5 0 1 0 4 0, 4\

0 2 0 2 0 1 0 1

0 0 4 0 3 0, 3

1 0 6 0 1 0, 1

/0 /0 1 0 1 0 3 0, 3\

0 5 0 4 0 1 0,3 1

0 3 0 5 0 1 0, 3

3 0 3 0 3 0, 1

/0 /0 1 0 2 0 2 0\

0 2 0 1 0 2 0, 2 1

0 3 0 6 0 6 0, 1

0 1 0 0 0, 5

со 0, 3) т, qB1) = (0, 4

Е

еВм)

ев1,2)

Е

Е

Е

(0,1) =

/0, 3 0, 3

0, 3 0

0, 6 0, 5 0, 2 0, 5

0, 3 0, 9 0

0, 5

0, 4 0 0, 2 0, 5

0, 6

0, 2

0, 1

0, 2

0, 8 0, 6 0 0, 2

30 0

40 20

70 2

10 30 2

30

60

20

0, 5 0, 3 0, 5)т

qB2) = (0,10,10, 6 0, 3)т

А

А

А

А

В

В

0

В

4

В

В

6

0

4

0

В

В

В

В

Далее, в соответствии со вторым шагом алгоритма производим минимизацию автомата с помощью алгоритма, приведенного в работе [6]. Получаем конечно-нестационарный «пессимистический» нечеткий автомат = (X, V*, У, гу, Яу (С, С, с0, /у, уу), } с теми же структурным графом и алфавитами входов и выходов, где У0 = {«о, VI}, VI = {«о, VI,«2}, = {«0,^1}, гу = (0, 7 0, 3),

Е

Е

(1,0) =

'0, 2 V0' 7

'0,1

0, 6 уД 4

е[1'2)

Е^2)

е[0'2)(0, 0) =

0, 4 0, 2

0 0, 8 0, 3

0, 1 0, 3 0, 8

'0, 5

0, 6 0, 4

0, 1 0, 5

0

0, 3

0, 5^ 0, 3 0, 1

0, 3^ 0, 5 0, 3

0,4^ 0, 1 0, 3

0, 3 0, 3

Е

(0,1

Еу,1)(1,1

е[1,2)(0, 1

Е^2)(1,1

е^2)(0,1

Е

(2,0)/

0, 2

у ;(0,0)= ^0,3 qV0) = (0, 6 0, 3)т

0, 2 0, 6

Е

0, 3 ч0,3

0, 6 0, 5 0, 2

0, 7 0, 9 0, 1

0, 4 0, 5 0, 2

0, 6 0, 2

0, 4 0, 5

0, 3 0, 2 0, 4

0, 4 0, 2 0, 3

0, 3 0, 8 0, 3

0, 4 0, 2

0, 7 0, 2

0, 2 0, 1 0, 5

0, 8 0, 2

0, 4 0, 3

у (0,1

qУ1) = (0,4 0, 5 0, 3)т, qV2) = (0,1 0, 6)т.

Выполняя преобразование V ◦ = , получаем обобщенный конечно-нестационарный «оптимистический» нечеткий автомат = (X, 2*, У, гв, Яв (С, С, С0,/в, ув ),^в}, эквивалентный автомату *4*, с теми же структурным графом и алфавитами, что и у автомата У полученного автомата гв = (0, 3 0, 7),

еД0,1)(0, 0) =

0, 8 0, 6 1 0, 3 0, 8 0, 7

Е

(0,1) в

(0,1) =

0, 7 0, 6 0, 3 0, 7 0, 5 0, 8

Е

(1,1) в

0, 9 1 0, 4 0, 2 0, 6 0, 7

0, 5 0, 7 0, 9

ЕД,1)

0, 4 0, 5 0, 8

0, 7 0, 8 0, 6

0, 8 0, 9 0, 5

ев1,2)(0, 0) =

0, 9 0, 7 0, 2

0, 7 0, 5 0, 7

ев1,2)

0, 3 0, 1 0, 9

0, 6 0, 8 0, 7

ев1,2)

0, 5 0, 4 0, 6

0, 6 0, 9 0, 7

ев1,2)

0, 6 0, 5 0, 8

0, 7 0, 2 0, 7

Е

0, 9 0, 5

0, 7 0, 7

еВ,2)

0, 4 0, 8

0, 6 0, 8

в

Fg->,0)=(0:? jj), F<i?'0,(0,1)=(0:2 0:?).

q<0) = (0, 4 0, 7)T, q< = (0, 6 0, 5 0, 7)T, q<2) = (0, 9 0, 4)T, и он является минимальной формой исходного автомата Af.

Литература

1. Пономарева А. Ю., Чирков М.К. Об одном методе минимизации обобщенных «оптимистических» нечетких автоматов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Вып. 3. Сер. 1. 2013. С. 75—81.

2. Santos E. S. Maximin, minimax and composite sequential machines //J. Math. Anal. Appl. Vol. 24. 1968. P. 246-259.

3. Kandel A., Lee S. C. Fuzzy Switching and Automata: Theory and Applications. New York: Crane, Russak & Comp. Inc., 1979. 303 p.

4. Хохулина В. А., Чирков М.К. О разложении «оптимистических» нечетких автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 11. СПб.: ВВМ, 2010. С. 134-147.

5. Пономарева А. Ю., Строилов Р. В. Приведенные формы конечно-нестационарных нечетких автоматов // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 12. СПб.: ВВМ, 2011. С. 150-166.

6. Пономарева А. Ю., Строилов Р. В., Чирков М. К. Матричные методы построения минимальных форм конечно-нестационарных максиминных нечетких автоматов // Стохастическая оптимизация в информатике. Т. 10. Вып. 1. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2014. С. 101-121.

7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. 432 с.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2014 г.

Сведения об авторах

Пономарёва Александра Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент; a_ponomareva@mail.ru

Чирков Михаил Константинович — доктор физико-математических наук, профессор; mkchirk@mail.ru

OPTIMIZATION OF GENERALIZED FINITE NON-STATIONARY MINIMAX FUZZY AUTOMATA

Aleksandra Yu. Ponomareva, Mikhail K. Chirkov

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; a_ponomareva@mail.ru, mkchirk@mail.ru

In the paper it is theoretically ground and elaborated a special method for minimization of the states number and construct a minimal form of a generalized finite non-stationary minimax fuzzy automata which is based on the previously proven theorem about maximin and minimax fuzzy matrices product and elaborated matrix method for optimization of a generalized finite non-stationary maximin fuzzy automata. It is proved that from the given generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton may be turn to generalized finite non-stationary maximin fuzzy automata, which is an addition to the initial minimax automaton. It is also proved that if given the generalized finite non-stationary minimax and maximin fuzzy automata are addition of each other, their minimal forms have the same number of states, which allows first turn from the generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton to generalized finite non-stationary maximin fuzzy automaton, then to minimize this obtained generalized maxmin fuzzy automaton by known method of transform matrix and turn back to its addition, get a minimal form of initial generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton. As a result, the procedure and the corresponding algorithm of minimization of the number of states and construct a minimal form of a generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton worked out. Finally, an example of application of the proposed special method of minimization to the given generalized finite non-stationary minimax fuzzy automaton is given. Refs 7.

Keywords: generalized finite non-stationary minimax ("optimistic") fuzzy automaton, generalized finite nonstationary maximin ("pessimistic") fuzzy automaton, addition of a finite non-stationary minimax fuzzy automaton, a minimal form of a finite non-stationary minimax fuzzy automaton.