Фрактальный анализ эрозионно расчлененного рельефа: методологические подходы

М.А. Мельник, А.В. Поздняков

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭРОЗИОННО РАСЧЛЕНЕННОГО РЕЛЬЕФА: МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-05-64182).

Предложена методология моделирования фрактального масштабно-инвариантного множества, характеризующего этапы формирования эрозионно расчлененного рельефа. Фрактальный характер процесса эрозионного расчленения обусловливает возможность возникновения автоколебаний в геоморфосистемах и в целом движение геосистем к состоянию динамического равновесия.

Применение общего синергетического подхода к изучению процессов рельефообразования исторически пошло по пути исследования диссипативных динамических систем, главным признаком которых является способность использовать избыток свободной энергии для целесообразного выполнения функций; существование же потока диссипации необходимо для идентификации явления самоорганизации (рождение порядка из развитого хаоса). Одним из инструментов исследования самоорганизации является теория фракталов. Изучение динамики геоморфосистем с применением фрактальной методологии убеждает в том, что этот подход позволяет не только глубже взглянуть на известные и, как кажется, достаточно изученные процессы и явления в рельефооб-разовании и в целом геосистем, но и обнаружить общие принципы и закономерности их сложной динамики, недостаточно раскрытой физической сущности геоморфологических процессов.

Понятие фрактал (от лат. $гасЫв - фрагментированный, неправильный по форме) было введено Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения самоподобных структур [1]. Одним из основных свойств фракталов является самоподобное копирование его частей, любая из которых есть уменьшенная (или увеличенная) копия всего фрактала (или характеризуемого им объекта); оно имеет определяющее методологическое значение в геоморфологическом анализе и представляет наибольший научный интерес, поскольку касается практических сторон прогноза развития природы. Фрактальными соотношениями характеризуется рельеф, например водоразделы долин первого и последующих порядков морфологически подобны главному водоразделу [2].

В изучении фракталов выделяется два направления. Одно связано с подобием только формы, например, геометрических фигур, получивших названия по именам ученых, их описавших: снежинки Коха или губка Серпинского, множество Кантора и пр., или с подобием, впервые нами описанным как фрактал эрозионного рельефа [3]. Оно не относится к рассмотрению целостных, спонтанно самоорганизующихся образований и к рассмотрению подобия систем в течение времени. Это направление названо фрактальной геометрией.

Второе направление фрактальной теории и ее прикладных задач связано с самоподобием динамики геосистем: структура содержания, прежде всего его инвариант, повторяется во времени, образуя самоподобные циклы. Один и тот же цикл по форме и содержанию имеют динамика большой системы и составляющие ее более мелкие части.

Обоснование фрактальности геоморфосистем. Фрактальные закономерности геометрии рельефа обусловливаются физическими свойствами горных пород (их устойчивостью к процессам выветривания), продуктов выветривания (почвогрунтов, рассматриваемых в качестве сплошной среды, характеризующейся вязкопластическими, реологическими свойствами), денудации - сложного физического процесса перемещения продуктов выветривания в поле силы гравитации.

Рельеф поверхности Земли представляет собой сочетание склонов различной крутизны, образующихся в результате взаимодействия двух векторных сил: сил, создающих вертикальное dy/dt, соответствующее направлению действия силы тяжести, перемещение базисов (эрозии, абразии и пр.) и сил денудации (включая выветривание) dx/dt, направленной по нормали к плоскости склона (рис. 1). Фундаментальное научно-теоретическое значение в этом взаимодействии сил состоит в том, что соотношение cosa = Ax/Ay характеризует зависимость крутизны склона от значений Ax и Ay. Благодаря этой зависимости по особенностям формы профиля склонов можно описывать историю изменения динамики процессов [4]. Выпуклый профиль характеризует ускоряющееся понижение базиса склона; пологие склоны отражают медленное поднятие и преобладающее действие процессов выветривания и денудации.

Рис. 1. Схема формирования склона в результате взаимодействия сил, определяющих вертикальное перемещение базиса денудации

Действие указанных сил проявляется в геологическом масштабе времени, поэтому динамику образуемых ими склонов невозможно адекватно определить непосредственным измерением скоростей их протекания. Профили склонов характеризуют осредненную за тысячелетия скорость развития процессов. Сохраняющееся некоторое время постоянство динамики тектонических движений и природных условий предполагает пространственную фрактализацию форм рельефа по морфометрическим

признакам и по динамике - они в течение соответствующего времени находятся в автомодельном режиме развития [5]. Процессы рельефообразования измеряются временем, соответствующим скорости тектонических движений и скорости денудации, включая процессы выветривания (от сотых долей мм/год до нескольких мм/год). Рельефообразующие закономерности процессов денудации (включая процессы выветривания и образования слоя элювия) соотносятся с характерным временем tK их развития. А оно определяется периодом T полного оборота объема продуктов выветривания на склонах (в руслах рек и пр.), равного времени, в течение которого обломки горных пород, отделившись от коренного основания и перемещаясь на расстояние L, разрушаются до размеров псаммита и пыли (0,2 мм). Образование слоя m(t) продуктов выветривания сопровождается нарастанием количества N(t) обломочных частиц и суммарной площади S(t) их поверхности по закону обратной положительной связи: N(t), S(t) = f(N,S) [5].

Исследования процессов денудации показывают, что обычно Т = 50000 лет, при этом гранулометрический состав почвогрунтов значительно изменяется - в нем увеличивается доля глинистой фракции. Следовательно, изменяются и физические свойства: влагоудерживающая способность, вязкость (внутреннее трение) и пр., определяющие подвижность материала. Поэтому скорость движения и в целом расход Q продуктов выветривания с увеличением длины L склона существенно возрастают: Q(t) = f(L), что является важным регулирующим фактором в динамике склонов и рельефа в целом.

Другим регулирующим параметром в динамике склонов является мощность продуктов выветривания. С ростом толщины m(t) и увеличением пористости (объемной плотности пород) изменяются показатели теплоемкости и температуропроводности, это основная причина уменьшения амплитуды колебания температур и существенного замедления скорости выветривания материнских горных пород. При изучении ледников установлено, например, что при увеличении мощности покрывающего ледник моренного материала до 0,5 м скорость абляции уменьшается на 80%. Показателем существенного ослабления сил температурного воздействия на горные породы является и глубина сезонного промерзания, в умеренных широтах составляющая 1,5-2 м. По результатам исследования горных выработок, прежде всего штолен, на которых суммарная длина трещин в единице объема породы существенно сокращается, установлено [6], что экзогенное трещинообразование прослеживается до глубин 1520 м, практически прекращается на глубине 10 м, и эту величину можно считать предельной - M. Нарастание мощности m(t) коры выветривания определяется согласно уравнению [5]: dm/dt = M - q (t,m), где q - расход элювия в м3/год на единицу площади (м2).

Процессы выветривания в слое почвогрунтов не прекращаются, и их геоморфологические и инженерно-геологические эффекты особенно проявляются в приповерхностных горизонтах (деятельном слое). По этим причинам верхние горизонты почвогрунтов до глубины 1 м представлены преимущественно мелко-земистым материалом, вязкость которого при увлажнении уменьшается. В результате подвижность данного слоя возрастает.

Фрактальный анализ геометрии эрозионного рельефа. Математическое, строгое определение фрактального множества основывается на понятии размерности Хаусдорфа-Безиковича. Если правильный геометрический объект, представляющий собой прямую линию, плоскость или объемную фигуру, разбить на N мелких отрезков, клеток или кубиков со стороной / то число N будет пропорционально 1//л, где d - размерность объекта. Отсюда размерность можно найти как d = logN/log(1/f), где основание логарифма может быть любым положительным числом.

Для классических евклидовых геометрических объектов d является целым числом, а для фракталов оно дробное. Фрактальную размерность можно также ввести посредством зависимости размеров анализируемого объекта от масштаба его измерения: Ь(/ = С/~а, где Ь - размеры объекта (длина кривой, грани или ребра формы, образующей конуса и пр.); / - коэффициент масштабирования; d - размерность Хаусдорфа-Безико-вича; С - масштабный множитель, определенный для каждого конкретного геометрического объекта.

Главная особенность сложных геометрических объектов, обладающих фрактальными свойствами, каковыми являются геоморфологические структуры, заключается в невозможности произвольного изменения масштаба их рассмотрения. Прямое и обратное изменение масштаба какой-либо сложной поверхности (рельефа) или кривой (например, тектонические трещины, трещины в горных породах, границы побережья, линии водоразделов и государственные границы) ведет к безвозвратной потере информации об ее истинной форме и длине - она будет уменьшаться с превращением формы в плавно изгибающуюся линию. Потери информации о ее морфометрии и морфологии с использованием фрактальной размерности при изменении масштаба не происходит. В этом состоят преимущества фрактального масштабирования. Однако существуют пределы масштабной инвариантности конкретных рассматриваемых объектов, и только в задаваемых ими границах можно производить манипуляции с масштабом, не теряя и не искажая информацию. Например, фрактально характеризуемая извилистость реки или береговой линии, не учитывающая структурно-геологическую и гидродинамическую ее предопределенность, ведет к неадекватному отображению существа явления. В этом случае фрактальный анализ извилистости реки или береговой линии должен выполняться отдельно для участков, извилистость которых предопределена геологической структурой и различиями в эрозионной (абразионной) устойчивости пород, и для участков с извилистостью, обусловленной особенностями гидродинамики русловых процессов (вдольбереговых течений, приливноотливных колебаний уровня моря и транспорта обломочного материала, его аккумуляции).

Рассмотрим применение фрактального анализа для случая эрозионного расчленения поверхности. Пусть ровная исходная поверхность расчленяется водными потоками, врезающимися с равномерной скоростью в условиях равномерного же протекания процессов денудации. В результате это приведет к образованию склонов долин одинаковой крутизны, а площадь поверхности, независимо от густоты и глубины расчленения, будет определяться соотношением 80/со&”а, где

S0 — площадь проекции рельефа на горизонтальную плоскость; п - число генераций склонов [3].

Крутизна а склонов, образуемая линией, перпендикулярной тальвегу, и углом в, образуемым нормалью (линией, соответствующей направлению действия силы тяжести), не совпадает: угол в > а. Нами впервые установлено, что истинная крутизна в склонов зависит от уклона г тальвега долины и возрастает вместе с его увеличением согласно формуле

ви+1 = агссо8

где а - угол наклона склона по отношению к тальвегу; г - уклон тальвега; п - число генераций склонов.

Так, например, при г и а, равных 30° (районы высокогорья), крутизна склонов составит более 41°. Согласно этой установленной нами закономерности истинная крутизна склонов при постоянстве режима эрозионного расчленения поверхности (равномерном тектоническом поднятии или в условиях тектонического покоя - существенно не меняющейся во времени транспортирующей способности водотоков и эрозионной устойчивости пород), с увеличением густоты эрозионного расчленения возрастает. Связано это с тем, что уклоны продольных профилей тальвегов долин растут в направлении от долин высоких порядков (от низовьев) к долинам первого порядка, достигая в горах 20° и более. В нижних течениях рек, на равнинных участках формирования долин, уклоны тальвегов невелики и профили склонов, определяемые по линии, соответствующей направлению силы тяжести, практически совпадают с линией, перпендикулярной тальвегу.

Степень расчленения поверхности нарастает при движении от краев горных массивов к их центральным частям. В этом же направлении растут число п генераций склонов, их крутизна и площадь поверхности. Причем нарастание числа форм, как и, следовательно, суммарной площади их поверхности, подчиняется фрактальной закономерности.

Перечисленные закономерности формирования рельефа составляют основу его фрактальности: формы рельефа, образующиеся в результате эрозионного расчленения исходной поверхности, уменьшаясь в размерах в строгой последовательности, сохраняют еще их подобие (вулканические конусы, склоны овражных систем и речных долин, барханы и дюны и пр.).

Размерность форм рельефа, образующихся в процессе роста генераций склонов, зависит от крутизны склонов. Построение фрактальной поверхности рельефа основывается на том, что с ростом густоты расчленения и, следовательно, порядка долин ширина основания форм рельефа (водоразделов долин) закономерно уменьшается. Например, расстояние между тальвегами главных долин рек Г орного Алтая составляет 6-8 км, а долин первого порядка в осевых частях хребтов - менее 1 км. Метод построения фрактала эрозионного рельефа сходен с методом построения самоподобных фракталов (снежинка Коха, пыль Кантора и др.) и состоит в следующем (рис. 2). Из горизонтальной прямой 1-1, характеризующей равнину, изымается отрезок а-Ъ, характеризующий часть этой поверхности, уничтоженной эрозией. Отрезки а-с и Ъ-с характеризуют склоны долины первого порядка, а линия, проходящая через точку с, - ее тальвег с уклоном г. Как было описано выше, крутизна а склонов а-с и Ъ-с, измеряемая

по линии, перпендикулярной тальвегу, меньше крутизны в этих склонов, измеряемой по нормали (см. (1)). Врезающийся в склон а-c водный поток образует новые долины с уклонами тальвегов i2 > i\ и, следовательно, большей крутизной (Pj > в) склонов а-d и d-c при а = const. С ростом порядка долин и генерации склонов в конечном результате вся площадь будет покрыта упорядоченной сетью долин. Грани склонов, нанесенные на плоскость в порядке нарастания их генерации, образуют фрактальное множество, характеризующее изменение крутизны склонов в зависимости от порядка долин и уклонов тальвегов.

Рис. 2. Фрактальное множество форм рельефа, полученное вследствие эрозионного расчленения поверхности, с образованием склонов из 9 поколений. Пунктиром показан алгоритм построения фрактального множества: 1, 2, 3, 4, n -

порядок нарастания генераций склонов

Естественно, что это отображение сочетания склонов является идеализированным, в нем допускается неизменность (по всем координатам, включая временную) физических свойств субстрата, в котором формируются долины. Тем не менее это схематическое отображение свидетельствует о существовании фрактальной закономерности в формировании сложнорасчле-ненного эрозионного рельефа и о том, что крутизна склонов закономерно увеличивается по мере возрастания числа их генераций. Кроме того, такое отображение позволяет численно определить нарастание суммарной площади поверхности рельефа, а также дать объяснение объективной направленности развития планового рисунка сети эрозионных долин к спирали, с последовательным удвоением порядка водотоков.

Число водоразделов, с ростом густоты расчленения и образованием новых двух потоков первого порядка, увеличивается вдвое, и, таким образом, N = 2. А расстояние между тальвегами долин при крутизне склонов, например в 32°, уменьшается, по сравнению с исходной (той, в которую эти потоки врезаются), в 2cosa раза, и, следовательно, 1/f = 2cosa. Отсюда фрактальная размерность построенного множества будет равна d = log2/ / log (2cosa). При расчленении поверхности с образованием склонов а = 32° фрактальная размерность составит d = 1,31. Величина фрактальной размерности не только характеризует степень изломанности эрозионной поверхности, но и указывает на скорость увеличения площади поверхности рельефа и крутизны склонов.

Механизм возникновения автоколебаний в геоморфоси-стемах. В основе временной эволюции геоморфосистем лежит взаимодействие 2 потоков: потока, образующего целостность (формы рельефа), и потока, дезорганизующего данный процесс. На основе этого взаимодействия, формирующего различные динамические режимы, можно изучать соотношения между эффектами динамики и не менее важными эффектами пространственной структуры.

Динамика форм рельефа определяется направленными изменениями их объема или площади поверхности, при известных физических свойствах вещества, из которых следуют морфометрические показатели. Поскольку скорость роста размеров форм рельефа определяется расходами вещества Р и Q, соответственно в Г- и Б-литопотоках (Г - глубинный литопоток, Б - экзогенный литопоток), динамика геоморфосистем описывается уравнением [7]:

dS(t)/dt = P(t,S) - Q(t,P,S),

где 5 - размеры системы; Р - расход вещества, энергии и информации в потоке, поступающем в систему, за счет которого она растет и осуществляется ее динамика; Q -то же, в потоке, изымаемом из самой системы (не из Г-потока); это вещества, энергия и информация, которые система вынуждена отдавать другим системам.

В качестве Г-потока в процессах рельефообразования выступают силы, в результате действия которых создается гравитационный потенциал, объективно предполагающий выделение кинетической энергии, обусловливающий пространственное перераспределение вещества. В процессах горного рельефообразования такой силой является эндогенный поток литогенного материала, с определенными физико-механическими свойствами, численно характеризующимися вязкостью (Пуазы) или углом внутреннего трения (tgf); для сыпучих веществ это угол наклона поверхности, при котором трение и сцепление между частицами меньше сдвигающего усилия. В результате действия этих сил создаются первичные неровности (неровности первого порядка), площадь поверхности возрастает до 5 = 50/соБа и организуется Б-поток вещества, обусловливаемый различными видами экзогенных процессов. В силу эрозионного расчленения крутизна склонов с ростом числа их генераций нелинейно растет. С увеличением степени расчлененности поверхности нелинейно растет количество денудируемого материала, а расход вещества в Б-потоке объективно приближается к расходу его в Г-потоке. Выходной характеристикой рельефа, с позиций данного подхода, является динамика объема '¥($ вещества, заключенного в формах рельефа (морфология и морфометрические соотношения влияют лишь на способы вычисления объемов вещества), всецело определяющаяся расходами вещества в Г- и Б-потоках. Поэтому динамика форм рельефа описывается следующей системой уравнений [8]:

г ^=р - 6(0

;

- = (V ( )),

dt

dQ

dt

где к - коэффициент денудации, м /м -год; V - объем вещества, заключенного в формах рельефа, м3; Р(?) -объем вещества, поступающего в эндогенном потоке, м3/год; 2(?) - объем денудируемого материала, м3/год; 5 - площадь поверхности.

Важное значение в процессах рельефообразования имеют некоторые пороговые значения площади Бр поверхности, превышение которых вызывает существенное возрастание Q(t). Причина кроется в следующем. В начальные этапы поднятия территории скорость ее расчленения и денудации отстает от скорости поднятия -Q(t) < Р(^. Но в связи с тем, что скорость денудации растет нелинейно, при условии Р(^ = 0 (расход в эндогенном потоке постоянен), очевидно, начнется снижение поверхности, т.к. Q(t) > Р(^. Оно может продолжаться до того времени, пока скорость денудации за счет уменьшения уклонов поверхности не снизится. Кроме того, при моделировании следует учитывать влияние разгрузки горных пород и вызываемой ею активизации вертикальных движений.

Следует подчеркнуть, что именно вследствие фрактального характера процесса эрозионного расчленения система (3) становится нелинейной, и этим обусловливается возможность возникновения автоколебаний в геоморфосистемах и в целом движение геосистем к состоянию динамического равновесия. Достигнув его, геосистема, в силу изменения баланса расходов вещества в литопотоках, уходит от него, с тем чтобы опять, по истечении некоторого времени, возвратиться.

При пространственно-временном постоянстве природных условий, геологического строения и процессов геодинамики возможна фрактализация поверхности рельефа, т.е. ее деление на подобные друг другу формы, различающиеся по размерам и характеризующиеся автомодельным режимом развития [5].

Автоколебание, по-видимому, характерно только для горных геоморфосистем, формирующихся при активном взаимодействии процессов эрозионного расчленения и тектонических движений. Предварительные результаты численного моделирования показывают, что оно возможно благодаря взаимообу-словливаемой активизации процессов: поднятие

инициирует эрозионное расчленение поверхности, приобретающей фрактальные особенности, вследствие чего система становится нелинейной. В свою очередь, нелинейный рост денудации ведет к некомпенсированной разгрузке земной коры, возбуждающей эндогенные геодинамические процессы и вызывающей поднятие поверхности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ин-т компьют. исслед., 2002. 656 с.

2. Поздняков А.В. Геоморфодинамика в содержании и формах проявления // Геоморфология. 2005. № 1. С. 24-30.

3. Поздняков А.В., Лялин Ю.В., Тихоступ Д.М. Формирование поверхности равновесия и фрактальные соотношения в эрозионном расчленении

// Самоорганизация геоморфосистем. Томск: ТНЦ СО РАН, 1996. Вып. 3. С. 36-48.

4. Поздняков А.В. Развитие склонов и некоторые закономерности формирования рельефа. М.: Наука, 1976. 112 с.

5. Поздняков А.В. Динамическое равновесие в рельефообразовании. М.: Наука, 1988. 208 с.

6. Каякин В.В., Комочко А.В., Чечот В.З. и др. Развитие экзогенных трещин и их инженерно-геологическое значение // Вопросы инженерной

геологии и грунтоведения. М.: Изд-во МГУ, 1968. С. 280-288.

7. Поздняков А.В., Лялин Ю.В. Автоколебания и фрактальность в геоморфосистемах // Геоморфология Центральной Азии: Матер. XXVI Пле-

нума ГК РАН. Барнаул: Изд-во АлГУ, 2001. С. 141-144.

8. Невидимова О.Г., Мельник М.А., Поздняков А.В. Фрактальные соотношения и динамические режимы в процессах рельефообразования

// Самоорганизация и динамика геоморфосистем: Матер. XXVII пленума ГК РАН. Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2003. С. 122-127.

Статья поступила в редакцию журнала 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.