Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

УСТРАНЕНИЕ ШУМА НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОЛНОЙ ВАРИАЦИИ

Д.Н.Х. Тхань, С.Д. Двоенко

Тульский государственный университет, Тула, Россия Аннотация

Рассматривается подход к устранению комбинации гауссовского и пуассоновского шумов на растровых изображениях. Считается, что такое сочетание шумов характерно для биомедицинских изображений. Предлагается применить метод полной вариации функции яркости изображения с использованием комбинации двух широко известных моделей устранения шумов. Качество обработки изображений зависит от настраиваемых параметров модели. Построена процедура с автоматической оценкой этих параметров. Приводятся результаты экспериментов на реальном рентгенографическом изображении с искусственно внесённым шумом. Показано, что найденные параметры близки к заданным, обеспечивая оптимальное качество устранения комбинированного шума.

Ключевые слова: полная вариация, ROF-модель, гауссовский шум, пуассоновский шум, обработка изображений, биомедицинские изображения, уравнение Эйлера-Лагранжа.

Цитирование: Тхань, Д.Н.Х. Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации / Д.Н.Х. Тхань, С.Д. Двоенко // Компьютерная оптика. - 2015. - Т. 39, № 4. - С. 564-571, -DOI: 10.18287/0134-2452-2015-3 9-4-564-571.

Введение

В современных исследованиях цифровые изображения являются важным типом информации. Растровые изображения создаются с помощью различного цифрового оборудования, такого как: цифровые камеры, рентгеновские сканнеры и т. д. Применение цифрового оборудования в различных условиях может приводить к появлению различных эффектов на растровом изображении, в том числе шумов.

Проблема устранения шума на цифровых изображениях является актуальной и в настоящее время.

Для эффективного устранения шума обычно требуется знать его тип. Существуют разные типы шумов, например, гауссовский шум (большинство цифровых изображений, полученных цифровыми камерами), пуассоновский шум (рентгеновские снимки), спекл-шум (ультрасонограммы) и т. д.

В настоящее время разработано много методов устранения шумов для случаев, когда тип шума известен. Например, метод полной вариации [1 - 13] является известным и эффективным подходом.

Впервые концепция полной вариации была применена для устранения шума в работе [12] Рудина и его соавторов Ошена и Фатеми (ROF-модель). Ими предложено использовать полную вариацию в задачах обработки изображений. ROF-модель предназначена для устранения гауссовского шума [12, 13].

Конечно, она может быть использована для устранения и других типов шумов, но в таком случае она не очень эффективна. Другим популярным шумом является пуассоновский шум. Например, этот шум появляется в рентгеновских снимках. ROF-модель не сможет эффективно устранить такой шум. Поэтому в работе Ли [14] была построена другая модель, известная как модифицированная ROF -модель.

Оба типа шумов (гауссовский и пуассоновский) популярны, но их комбинация также важна [15]. Она часто появляется в биомедицинских изображениях, например, в изображениях электронной микроскопии [16, 17].

Для того, чтобы устранить оба типа шумов, можно скомбинировать разные модели. Поэтому в данной статье предлагается совместно применить ROF-модель и модифицированную ROF -модель.

Предполагается, что такая модель должна эффективно устранить комбинированный шум с учётом пропорции двух типов шумов.

В экспериментах было использовано реальное изображение после добавления к нему шума. Качество обработки сравнивалось с другими методами устранения шума, например: ROF-модель, модифицированная ROF-модель, фильтрация медианой [18], фильтрация Винера [19], метод регуляризации Бельт-рами (Beltrami) [20]. Чтобы сравнить качество изображений после восстановления, были использованы известные критерии PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio - пиковое отношение сигнала к шуму), MSE (Mean Square Error - среднеквадратичная ошибка) и SSIM (Structure SIMilarity - структурное сходство) [21, 22]. Наиболее важными из них являются однозначно связанные друг с другом критерии PSNR и MSE, т. к. они используются для оценки качества восстановления сигнала и качества изображений.

1. Модель устранения смеси гауссовского и пуассоновского шумов

Пусть в пространстве R2 задана ограниченная область QcR2. Назовём функции u(x,y)eR2 и v(x,y)eR2 соответственно идеальным (без шума) и реальным (зашумлённым) изображениями, где (x,y)e Q.

Если функция и гладкая, её полная вариация имеет вид:

VT [u] = J| Vu | dx dy ,

W

где Vu = (ux ,Uy ) - градиент, ux =du / dx , Uy =du / dy ,

| Vu |= .^uj+uy . В этой работе мы считаем, что полная вариация функции u ограничена VT [u] < ¥ .

564

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

Согласно работам [1, 2, 12, 13, 23], гладкость изображений можно характеризовать их полной вариацией. Полная вариация зашумлённых изображений всегда больше полной вариации соответствующих гладких изображений.

Для решения задачи VT [u]  min необходимо

ввести ограничение на вариацию гауссовского шума:

|(v-u)2dxdy = const. a

В этих условиях модель ROF для устранения гауссовского шума на изображении имеет вид [12]:

u = argmin

/

J| Vu | dxdy + — J(v-u)2dxdy

u

a

a

как решение задачи безусловной оптимизации, где 1 > 0 - множитель Лагранжа.

Для устранения пуассоновского шума на основе ROF-модели была предложена другая модель [14]. Такая модель получается при решении задачи VT [u]  min с ограничением:

Jln(p(v | u))dxdy = J(u -vln(u))dxdy = const, aa

как решение задачи безусловной оптимизации: u* = argmin I J | Vu |dx dy + bJ (u - v ln(u))dx dy

u V a a J

где p>0 - коэффициент регуляризации. Такая мо-

дель известна как модифицированная ROF-модель для устранения пуассоновского шума.

Чтобы построить модель устранения смешанного шума, будем также решать задачу устранения шума, основанную на свойстве гладкости полной вариации: VT[u]  min. Предполагается, что при заданном изображении вариация шума постоянна (пуассоновский шум не изменяется, а гауссовский шум зависит только от дисперсии шума):

Jln

a

где p(v | u) - условная вероятность наблюдения реального изображения v при заданном идеальном изображении u .

Рассмотрим гауссовский шум. Его плотность рас-

w 2

пределения с дисперсией о определяется как:

f

Р1 (v | u) = exp

V

(v - u) 2о2

2

J

/ (о/2Р).

Плотность пуассоновского шума определяется как:

p2(v | u) = exp(-u)uv / v!.

Обратим внимание, что значения функций яркости изображения u и v - это целые числа (например, для восьмибитового изображения интервал яркости определяется значениями от 0 до 255).

Для устранения комбинации гауссовского и пуассоновского шумов рассмотрим следующую линейную комбинацию:

ln(p(v | u)) = I1 ln(p1 (v | u)) +12 ln(p2 (v | u)),

где 11 > 0, 12 > 0, 11 +12 = 1.

Согласно (1), получим задачу устранения шума с ограничениями:

u* = argmin J | Vu | dx dy,

u a

f 1

Jl -^-y

dx dy = к,

где к - постоянное значение.

Сведём эту задачу к задаче безусловной оптимизации с использованием функционала Лагранжа:

L(u,t) = J| Vu |dxdy + t

a V

_1l_ 2—2

A

J (v

a

u)2dx dy +

+ 12 J (u - v ln(u))dx dy -к ,

a

J

чтобы найти решение:

u, t

где t > 0 - множитель Лагранжа.

В данной модели, если 11 = 0 и 12 =1, то при b = t12 = t будет получена модифицированная ROF-модель для устранения пуассоновского шума. Если 12 = 0 и 1 l = 1, то при 1 = t1 l/(2—2) = t/(2—2) будет получена ROF-модель для устранения гауссовского шума. Если 1 1 > 0, 12 > 0 , то будет получена

модель для устранения смеси гауссовского и пуассоновского шумов.

2. Дискретная модель смеси шумов

Для решения задачи (2) можно применить метод множителей Лагранжа [24, 25, 26]. В этой работе будет использовано уравнение Эйлера-Лагранжа [24].

Пусть функция f (x, y) определена в ограниченной области Ос R2 и непрерывно дифференцируема до второго порядка по x и y при (x, y) е a .

Пусть F(x,y, f, fx, fy) - выпуклый функционал, где fx =df / dx , fy =df / dy. Решение задачи оптимизации J F (x, y, f, f,, fy )dx dy  min удовлетворяет a

уравнению Эйлера-Лагранжа:

Ff ( x, y, f, fx, fy )-d^Ff ( x, y, f, fx, fy ) -

-dyFfy(x,y,f, fx, fy)=0,

где Ff = dF/df , Ffx =dF/dfx , F^ = dF/dfy.

Тогда решение задачи (2) удовлетворяет следующему уравнению Эйлера-Лагранжа:

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

565

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

Л

---2(v _ м) + 12(1 - -) -

о u

-m

(

\

J

22 КМ ux + uy

m

d_

dy

(

u

22

\Mux + uy J

= 0,

где m = 1/t.

Представим уравнение (3) в следующем виде:

л

-2(v _ u) -2(1 _ -) +

о u

+m

u u2 _ 2u u u + u2u

xx y x y xy x yy _____ /Л

u + u2)3/2 “ ’

xy

2.. n2

d2u

d2u

d C du

где u =-----, u =-----, u =

xx dx2’ yy dy2’ xy dx к dy

Для получения дискретной модели (4) добавим искусственный параметр времени u = u(x,y,t). Уравнение (4) соответствует уравнению диффузии:

du -1 . . - .л v

u, = —= ~(v _ u)_-2(1 ) +

dt о u

+m

uxxuy _ 2uxuyuxy + uxuyy

u + u2y )3/2

Рассмотрим изображение размером N1 xN2. Тогда дискретная форма уравнения (5) имеет вид:

k . x C —1

uij = uij + x I ^2(vo- _ uij) _ -2(1 _~T) + mjij

< =

у xx (uk )(V y (uk ))2

((y x u ))2+(у y u ))2)3

_2y x

(<yx (uk ))2 + (У y (uk ))2)3

yx(uk)=

А Г

«k+1, j _ uihJ

2Ax

uk +1 _ uk 1 uk _ 2uk + uk 1

yy (uk) = ,,j+i ,j_1, y„ (uk) = 1,j J '_L

k + uk ij+ui _w

y v V '

2Ay

xx ij

k ui, j+1 2uij + ui, j 1

y (uk) = - ' J+‘ J ' J_1

yy ij

y xy (uk ) =

ui+1, j+1 ui+1, j _1 ui _1, j+1 + ui _1, j _1

4AxAy

u0 j u1 j ; uN +1, j uN1, j ; ui0 ui1; ui,N2 +1 ui,N2 ;

i = 1,..., N1; j = 1,..., N 2; k = 0,1,...,K; Ax = Ay = 1; 0 <X< 1, где K - достаточно большое число, K = 500 .

3. Параметры модели смеси шумов

Процедура (6) может быть использована для устранения шума на изображениях, если значения параметров -1,-2, m, о заданы. Часто на практике эти параметры неизвестны, и их нужно оценить. Тогда параметры -1, -2,m в процессе (6) нужно представить

как -, -2, mk на каждой итерации k . В новой процедуре такие параметры будут вычисляться на каждом шаге итерации.

3.1. Оптимальные параметры — и —

Пусть (u, t) является решением задачи (2). Тогда мы получим условие dL(u, t) / du = 0 .

Данное условие позволяет вычислить оптимальные параметры линейной комбинации шумов -1, - 2:

f (1 _ v )dx dy J 1!

-1 =T

о

f (v _ u)dx dy + f (1 _ v )dx dy

-2 = 1 _-1.

W W

Дискретная форма для вычисления параметров имеет вид:

N N2 v

i ^)

-1=-

i=1 j=1

N N vj^l +1 vj

о2 _ uk

-2=1 _-j

II (-

i=1 j=1

где k = 0,1,...,K .

3.2. Оптимальный параметр m

Для поиска оптимального параметра m умножим (3) на (v _ u) и проинтегрируем по частям по всей области W. В итоге получим формулу для поиска оптимального параметра m:

-

f (--\(v_u)2 _-

2(v u) )dxdy

m=j

f(

u2 + u 2 _ + UyVy )dx dy

4

ux2 + ul

Его дискретная форма имеет вид:

N1 N

-k

II (_3-(vj _ uk )2 _- IJj

(v.. _ uk. )2

ij ij

k i=1 j=1

mk = ——

о

5:5: h

i=1 j=1

где

hj J (yx (uk ))2+(y y (uk ))2 _

y x

V

kk

k) 2 y ij

yx (uJ ) = u + -u i +1, j 2Ax f_u yy(uj)=

kk

yx v) = vi+1, j _ vi 2Ax -1J v , y y (vj У

kk

k u0j k = u1kj; k uN1 +1, j = k uNu j a" II 0 a"

v0j = v1 j; vN1 +1, j = vyj; II 0

i = 1,...,N1; j = 1,. .., N2 II 0

uJj+1 _ uk j _1

2Ay

. vJ j+1 _ vJ j _1

2Ay

=u

u

u

y

x

W

)

jJ

+

W

)

k

u

j

i, N +1

=v

i. N

566

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

3.3. Оптимальный параметр о

Для вычисления параметра о здесь использован метод Иммеркера [27]:

о = -

6(N - 2)(N2 - 2) ^ £

SSI uij *Л 1 =

где Л = | -2 4 -2 I - маска изображения.

1 -2 1)

Оператор * - это оператор свёртки, где:

Uij * Л = Ui-1, j-1L33 + Ui, j-1L32 + Ui+1, j-1L31 + Ui-1, jЛ23 + +Uij Л22 + Ui+1, j Л21 + Ui-1, j+1L13 + Ui, j+1Л12 + Ui+1, j+1L11 ,

где i = 1,...,N1; j = 1,...,N2; utJ = 0, если i = 0, или j = 0, или i = N +1, или j = N2 +1.

Параметр о вычисляется на первой же итерации.

4. Оценка качества изображений

Для оценки качества изображений после устранения шума использованы критерии PSNR, MSE и SSIM [21, 22]:

QpSNR 10lg

N1N2L2/ SS

i=1 j=1

Qmse

1

N1N

SS (v- uy)2

2 i=1 j=1

QSSM ,—2 . —'

2

где

IN] N2 1 N] N2

u =-—SS u-, v=1^- SS v

N1 N2 i=1 j=1

N. N.

oU =

s2 =

1

N1N2 -1 i=1 j

N, N,

N1 N2 i=1 j=1

1 SS U- U )2,

1 i=1 j=1

1

о,,,, = -

N1 N2 -1 i=1 j

1 N1 N 2

1 SS (vj- v )2

1 i=1 j=1

N1 N2 -

TSS (uj - U )(vn - v ) =

1 i =1 j =1

C1 = (K1L)2, C2 = (K2L)2; K1 << 1; K2 << 1. Например, K1 = K2 = 10-6, L = 28 -1 = 255 - яр-

кость 8-битового серого изображения.

Чем больше Qpsnr, тем лучше качество изображения. Если значение Qpsnr лежит в интервале между 20 и 25, то качество изображения приемлемо, например, для беспроводной передачи [28].

Значение Qmse использовано для оценки различия между двумя изображениями, где QMSE - среднеквадратичная ошибка. Чем меньше значение Qmse, тем лучше результат восстановления. Значение QMSE прямо связано со значением Qpsnr.

Значение QSSIM использовано для оценки качества изображения с помощью сравнения сходства двух изображений. Его значение лежит в интервале между -1 и 1. Чем больше значение QSSIM, тем лучше качество изображения.

5. Начальное решение

Очевидно, что в локальной итерационной процедуре (6) результат в общем случае зависит от начальных значений параметров 10,1„, р0.

Если сначала задать параметры 10,1„, р0, то неудачные значения определят не очень хорошие оценки Uj, а через них - оценки параметров распределений.

Случайный выбор параметров 10,1„, р0 также неприемлем, т.к. фактически вносит дополнительный шум в изображение.

Очевидно, что начальные значения параметров 1j0,1„, р0 должны быть, по-возможности, достаточно близки к тем значениям, которые будут найдены. По-

000

этому оценим параметры 11,12, р как средние по соседним пикселам изображения, используя, например, метод Иммеркера (7).

6. Эксперименты

Предложенная модель была протестирована на реальных изображениях. Например, было использовано изображение черепа человека [29] размером 300x300 пикселей (рис. 1а). На остальных изображениях (рис. 16 - 1з) показан увеличенный фрагмент этого изображения.

Для получения зашумлённого изображения сначала был добавлен гауссовский шум (рис. 1в), потом -пуассоновский шум (рис. 16). На рис. 1ж показано зашумлённое изображение для смеси двух шумов с параметрами 11=0,8, 12=0,2.

Параметры линейной комбинации 11 и 12 были определены следующим образом. Сначала был рассмотрен пуассоновский шум с плотностью распределения p2 (v | и) и вариацией о2 = -JU~ относительно среднего Uj в каждом пикселе с координатами (ij), i=1,^,N1; j=1,..,N2.

Функция яркости такого изображения обозначена как v(2). Её значения должны находиться в интервале от 0 до 255. Если значение выходит за этот диапазон, то оно не изменяется v{’I\j = иу. На данном изображении оказалось всего пять таких значений (0,0056 %).

Общая дисперсия пуассоновского шума определена как среднее о2 = 10,0603 .

Далее нами было принято, что дисперсия гауссовского шума о1=40,2412 в четыре раза больше. Функция яркости такого изображения обозначена как v(1). Как и раньше, значения функции яркости v(1) также должны быть в интервале от 0 до 255.

В этом случае оказалось, что 5780 (6,42 %) пикселей со значением яркости vi(j1) находятся за пределами

этого диапазона. Результирующее изображение (рис. 1 ж) образовано двумя зашумленными изображениями в пропорции 0,5 для v(1) и 0,5 для v(2). Это означает, что v=0,5v(1)+0,5v(2). Следовательно:

11 /12

40,2412 • 0,5 10,0603 • 0,5

= 4/1.

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

567

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

Рис. 1. Устранение шума на реальном изображении: а) исходное изображение, б) увеличенный фрагмент, в) с гауссовским шумом, г) после устранения гауссовского шума, д) с пуассоновским шумом, е) после устранения пуассоновского шума, ж) смешанный шум, з) после устранения смешанного шума

В итоге получим, что коэффициенты линейной комбинации имеют значения соответственно 1 = 4/5 = 0,8 и 12= 1/5 = 0,2.

Для зашумлённого изображения критерии качества имеют значения соответственно Qpsnr =21,4168, Qmse = 427,9526 и Qssim = 0,4246.

В табл. 1-3 показаны результаты устранения шума на данном изображении для случаев заранее заданных и автоматически определённых параметров.

Заметим, что в этом случае значение QPSNR после устранения шума для заранее заданных (идеальных) параметров лучше, чем для автоматически полученных оценок, хотя для значения QSSIM также наблюдается и обратное.

Для создания начального изображения был использован оператор конволюции (7).

Табл.1. Сравнение качества методов устранения шума на реальном изображении для смеси шумов

Обработка Qpsnr Qssm Qmse

Без обработки 21,4168 0,4246 427,9526

ROF 26,5106 0,8465 145,2183

Модиф. ROF 26,3153 0,6885 151,8976

Медиана фильтр 25,6477 0,7871 177,1364

Винера фильтр 24,2657 0,6596 243,5077

Бельтрами метод 26,8549 0,6678 134,1484

Комбинация с заданными параметрами 1i=0,8, 12 = 0,2, m = 0,0857, о = 40,2412 27,4315 0,8198 117,4713

Комбинация с оценками параметров 11 = 0,8095, 12 = 0,1905, m = 0,0970, о = 38,2310 27,2567 0,8383 122,2941

Табл. 2. Сравнение качества методов устранения шума на реальном изображении с гауссовским шумом

Обработка Qpsnr Qssm Qmse

Без обработки 16,5386 0,2516 1442,900

ROF 25,0181 0,7194 204,770

Модиф. ROF 21,2356 0,4536 489,2402

Медиана фильтр 23,1412 0,6314 315,4741

Винера фильтр 22,5138 0,5059 364,5051

Бельтрами метод 20,4575 0,3745 585,2284

Комбинация с заданными параметрами 11 = 1, 12 = 0, m = 0,0978, о = 40,2412 25,0200 0,7735 204,6811

Комбинация с оценками параметров 11 = 0,9738, 12 = 0,0262, m = 0,0954, о = 38,9036 24,9681 0,7389 207,1441

В табл. 2 показана зависимость восстановленного результата от начального решения, где:

(а) начальные параметры 10= 0,12 = 1, m = 1;

(б) начальные параметры 10 =12 = 0,5, m = 1;

(в) начальное решение u0 получено как случайная матрица заданного размера;

(г) начальное решение u0 найдено как усреднение соседних пикселов u0=v*A оператором свёртки, где

A = I 9

1 1 1 1 1 1 111

568

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

Табл. 3. Сравнение качества методов устранения шума на реальном изображении с пуассоновским шумом

Обработка Q.PSNR Q.SS1M Qmse

Без обработки 27,7349 0,6902 109,5442

ROF 32,0548 0,9355 40,5131

Модиф. ROF 33,6101 0,9501 35,5310

Медиана фильтр 27,7349 0,6902 109,5442

Винера фильтр 25,0410 0,8113 203,6962

Бельтрами метод 31,6356 0,9425 44,6195

Комбинация с заданными параметрами 1 = 0, 1 = 1, m = 0,0853, о = 0,0001 33,5213 0,9452 36,2235

Комбинация с оценками параметров 1 = 0,0045, 1 = 0,9955, m = 0,0797, о = 2,7797 32,6244 0,9362 45,3455

В табл. 4 показано, что наилучший результат устранения комбинированного шума соответствует случаю (г) выбора начального решения по критериям PSNR и MSE.

Табл. 4. Зависимость результата устранения комбинированного шума от начального решения

1 0,8095 0,8114 0,9256 0,8069

0,1905 0,1886 0,0744 0,1931

m 0,0970 0,0985 0,1026 0,0965

о 38,2310

Qpsnr 27,2567 27,1327 26,4279 27,2571

Qmse 122,2941 125,8371 148,0081 121,632

Qssm 0,8383 0,8381 0,8497 0,8384

Заключение

В данной работе предложен метод устранения смеси гауссовского и пуассоновского шумов на основе известного вариационного подхода.

Качество результата устранения шума зависит от значений коэффициентов линейной комбинации X и X2. Их значения должны быть заранее заданы, или они должны быть автоматически определены, что важно в случае обработки реальных изображений.

Для реальных изображений данный метод с автоматически определёнными параметрами даёт результат, близкий по качеству к идеальному, когда правильные значения параметров заданы заранее. Метод может быть использован для устранения отдельно как гауссовского, так и пуассоновского шумов.

Качество обработки практически не уступает качеству методов, специально предназначенных для устранения шума только одного вида.

Литература

1. Chan, T.F. Image processing and analysis: Variational, PDE, Wavelet, and stochastic methods / T.F. Chan, J. Shen. - SIAM, 2005. - 400 p.

2. Burger, M. Level set and PDE based reconstruction methods in imaging / M. Burger. - Springer, 2008. - 319 p.

3. Chambolle, A. An introduction to total variation for image analysis / A. Chambolle // Theoretical foundations and numerical methods for sparse recovery. - 2009 - Vol. 9. - P. 263-340.

4. Xu, J. A coupled variational model for image denoising using a duality strategy and split Bregman / J. Xu, X. Feng, Y. Hao // Multidimensional Systems and Signal Processing. - 2014. - Vol. 25. - P. 83-94.

5. Rankovic, N. Improved adaptive median filter for denoising ultrasound images / N. Rankovic, M. Tuba // Advances in Computer Science WSEAS ECC’12. - 2012. - P. 169-174.

6. Lysaker, M. Iterative image restoration combining total variation minimization and a second-order functional / M. Lysaker, X. Tai // International journal of computer vision. - 2006. - Vol. 66. - P. 5-18.

7. Li, F. A new diffusion-based variational model for image denois-ing and segmentation / F. Li, C. Shen, L. Pi // Journal Mathematical Imaging and Vision. - 2006. - Vol. 26, Is. 1-2. - P. 115-125.

8. Zhu, Y. Noise reduction with low dose CT data based on a modified ROF model / Y. Zhu // Optics Express. - Vol. 20, Issue 16. - P. 17987-18004.

9. Tran, M.P. Denoising 3D medical images using a second order variational model and wavelet shrinkage / M.P. Tran, R. Peteri, M. Bergounioux // Image Analysis and Recognition. - 2012. - Vol. 7325. - P. 138-145.

10. Rudin-Osher-Fatemi total variation denoising using split Bregman. IPOL 2012. [Электронный ресурс]. - URL: http://www.ipol.im/pub/art/2012/g-tvd/ (Дата обращения:

23.07.2014) .

11. Caselles, V. Handbook of mathematical methods in imaging / V. Caselles, A. Chambolle, M. Novaga. - Springer,

2011. - 1607 p.

12. Rudin, L.I. Nonlinear total variation based noise removal algorithms / L.I. Rudin, S. Osher, E. Fatemi // Physica D. -1992. - Vol. 60. - P. 259-268.

13. Chen, K. Introduction to variational image processing models and application / K. Chen // International Journal of Computer Mathematics. - 2013. - Vol. 90, No. 1. - P. 1-8.

14. Le, T. A variational approach to reconstructing images corrupted by Poisson noise / T. Le, R. Chartrand, T.J. Asaki // Journal of mathematical imaging and vision. - 2007. -Vol. 27, Issue 3. - P. 257-263.

15. Unser, M. Image denoising in mixed Poisson-Gaussian noise / F. Luisier, T. Blu // IEEE transaction on Image processing. - 2011. - Vol. 20, Issue 3. - P. 696-708.

16. Jezierska, A. An EM approach for Poisson-Gaussian noise modeling / A. Jezierska // EUSIPCO 19th. - 2011. - Vol. 62, Issue 1. - P. 13-30.

17. Jezierska, A. Poisson-Gaussian noise parameter estimation in fluorescence microscopy imaging / A. Jezierska // IEEE International Symposium on Biomedical Imaging 9th. -

2012. - P. 1663-1666.

18. Wang, C. An improved adaptive median filter for Image denoising / C. Wang, T. Li // ICCEE. - 2012. - Vol. 53, Issue 2.64. - P. 393-398.

19. Abe, C. Iterative Edge-Preserving adaptive Wiener filter for image denoising / C. Abe, T. Shimamura // ICCEE. -2012. - Vol. 4, Issue 4. - P. 503-506.

20. A Primal-Dual Projected Gradient Algorithm for Efficient

Beltrami Regularization. Computer Vision and Image Understanding, 2014. [Электронный ресурс]. URL:

http://www.math.ucla.edu/~zosso/ (Дата обращения:

23.01.2015) .

21. Wang, Z. Image quality assessment: From error visibility to structural similarity / Z. Wang // IEEE Transaction on Image Processing. - 2004. - Vol. 13, No. 4. - P. 600-612.

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

569

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

22. Wang, Z. Modern image quality assessment / Z. Wang, A.C. Bovik. - Morgan & Claypool Publisher, 2006. - 146 p.

23. Scherzer, O. Variational methods in Imaging / O. Scher-zer. - Springer, 2009. - 320 p.

24. Zeidler, E. Nonlinear functional analysis and its applications: Variational methods and optimization / E. Zeidler. -Springer, 1985. - 662 p.

25. Rubinov, A. Applied Optimization: Lagrange-type functions in constrained non-convex optimization / A. Rubinov, X. Yan. - Springer, 2003. - 286 p.

26. Gill, P.E. Numerical methods for constrained optimization / P.E. Gill, W. Murray. - Academic Press Inc., 1974. - 283 p.

27. Immerker, J. Fast noise variance estimation / J. Immerker // Computer vision and image understanding. - 1996. -Vol. 64, Issue 2. - P. 300-302.

28. Thomos, N. Optimized Transmission of JPEG2000 streams over Wireless channels / N. Thomos, N.V. Boulgouris, M.G. Strintzis // IEEE transactions on image processing. -2006. - Vol. 15, Issue 1. - P. 54-67.

29. Getty images. [Электронный ресурс]. URL: http://well.blogs. nvtimes.com/2009/09/16/what-sort-of-exercise-can-make-vou-smarter/ (Дата обращения: 10.04.2015).

References

[1] Chan TF, Shen J. Image processing and analysis: Variational, PDE, Wavelet, and stochastic methods. SIAM, 2005; 400 p.

[2] Burger M. Level set and PDE based reconstruction methods in imaging, Springer, 2008; 319 p.

[3] Chambolle A. An introduction to total variation for image analysis. Theoretical foundations and numerical methods for sparse recovery 2009; 9: 263-340.

[4] Xu J, Feng X, Hao Y. A coupled variational model for image denoising using a duality strategy and split Breg-man. Multidimensional systems and signal processing 2014; 25: 83-94.

[5] Rankovic N, Tuba M. Improved adaptive median filter for denoising ultrasound images. Advances in computer science, WSEAS ECC’12 2012; 169-74.

[6] Lysaker M, Tai X. Iterative image restoration combining total variation minimization and a second-order functional. International journal of computer vision 2006; 66: 5-18.

[7] Li F, Shen C, Pi L. A new diffusion-based variational model for image denoising and segmentation. Journal mathematical imaging and vision 2006; 26(1-2): 115-25.

[8] Zhu Y. Noise reduction with low dose CT data based on a modified ROF model. Optics express 2012; 20(16): 17987-18004.

[9] Tran MP, Peteri R, Bergounioux M. Denoising 3D medical images using a second order variational model and wavelet shrinkage. Image analysis and recognition 2012; 7325: 138-45.

[10] Getreuer P. Rudin-Osher-Fatemi total variation denoising using split Bregman. IPOL 2012. Source: (http: //www.ipol. im/pub/art/2012/g-tvd/).

[11] Caselles V, Chambolle A, Novaga M. Handbook of mathematical methods in imaging, Springer, 2011. 1607 p.

[12] Rudin LI, Osher S, Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D. 1992; 60: 259-68.

[13] Chen K. Introduction to variational image processing models and application. International journal of computer mathematics 2013; 90(1): 1-8.

[14] Le T, Chartrand R, Asaki TJ. A variational approach to reconstructing images corrupted by Poisson noise. Journal of mathematical imaging and vision 2007; 27(3): 257-63.

[15] Luisier F, Blu T, Unser M. Image denoising in mixed Pois-son-Gaussian noise. IEEE transaction on Image processing 2011; 20(3): 696-708.

[16] Jezierska A. An EM approach for Poisson-Gaussian noise modelling. EUSIPCO 19th 2011; 62(1): 13-30.

[17] Jezierska A. Poisson-Gaussian noise parameter estimation in fluorescence microscopy imaging. IEEE International Symposium on Biomedical Imaging 9th 2012; 1663-6.

[18] Wang C, Li T. An improved adaptive median filter for Image denoising. ICCEE 2012; 53(2.64): 393-8.

[19] Abe C, Shimamura T. Iterative Edge-Preserving adaptive Wiener filter for image denoising. ICCEE 2012; 4(4): 503-6.

[20] Zosso D, Bustin A. A Primal-Dual Projected Gradient Algorithm for Efficient Beltrami Regularization. Computer Vision and Image Understanding, 2014; Source: (http: //www. math.ucla.edu/~zosso/) .

[21] Wang Z. Image quality assessment: From error visibility to structural similarity. IEEE transaction on Image processing 2004; 13(4): 600-12.

[22] Wang Z, Bovik AC. Modern image quality assessment. Morgan & Claypool Publisher 2006: 146 p.

[23] Scherzer O. Variational methods in Imaging. Springer 2009; 320.

[24] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications: Variational methods and optimization. Springer 1985; 662.

[25] Rubinov A, Yang X. Applied Optimization: Lagrange-type functions in constrained non-convex optimization. Springer 2003; 286.

[26] Gill PE, Murray W. Numerical methods for constrained optimization, Academic Press Inc 1974; 283.

[27] Immerker J. Fast noise variance estimation. Computer vision and image understanding 1996; 64(2): 300-2.

[28] Thomos N, Boulgouris NV, Strintzis MG. Optimized Transmission of JPEG2000 streams over Wireless channels. IEEE transactions on image processing 2006; 15(1): 54-67.

[29] Nick V. Getty images. Source: (http://well.blogs.nytimes.com/ 2009/09/16/what-sort-of-exercise-can-make-you-smarter/).

IMAGE NOISE REMOVAL BASED ON TOTAL VARIATION

D.N.H. Thanh, S.D. Dvoenko Tula State University

Abstract

Today, raster images are created by different modern devices, such as digital cameras, X-Ray scanners, and so on. Image noise deteriorates the image quality, thus adversely affecting the result of processing. Biomedical images are an example of digital images. The noise in such raster images is assumed to be a mixture of Gaussian noise and Poisson noise. In this paper, we propose a method to remove these noises based on the total variation of the image brightness function. The proposed model is a combination of two famous denoising models, namely, the ROF model and a modified ROF model.

570

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №4

Устранение шума на изображениях на основе метода полной вариации

Тхань Д.Н.Х., Двоенко С.Д.

Keywords: total variation, ROF model, Gaussian noise, Poisson noise, image processing, biomedical image, Euler-Lagrange equation.

Citation: Thanh DNH, Dvoenko SD. Image noise removal based on total variation. Computer Optics 2015; 39(4): 564-71. DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-4-564-571.

Сведения об авторах

Тхань Данг Нгок Хоанг, 1986 года рождения, в 2009 году окончил Белорусский государственный университет по специальности «Прикладная математика», работал преподавателем в Хюэском промышленном колледже (Вьетнам), аспирант Тульского государственного университета. Область научных интересов: обработка изображений, веб-программирование.

E-mail: dnhthanh@hueic.edu.vn .

Dang Ngoc Hoang Thanh (b. 1986) graduated from the Belarus State University in 2009, majoring in Applied Mathematics. He worked as lecturer at the Hue Industrial College, Vietnam. Currently he is a post-graduate student at Tula State University, Russia. His research interests are image processing, web programming.

Двоенко Сергей Данилович, 1957 года рождения, в 2002 году получил степень д.ф.-м.н. в ВЦ РАН, работает профессором Тульского государственного университета. Область научных интересов: обработка изображений, распознавание образов, кластерный анализ.

E-mail: dsd@tsu.tula.ru .

Sergey Danilovich Dvoenko (b. 1957) received his Doctor of Science degree in 2002 at the Computer Center of the Russian Academy of Sciences. Currently he is a professor at Tula State University. His research interests are image processing, machine learning, cluster analysis.

Поступила в редакцию 14 июля 2015 г. Окончательный вариант - 28 июля 2015 г.

Компьютерная оптика, 2015, том 39, №3

571