Об обратной задаче для дифференциальных операторов с условиями разрыва внутри интервала

DetA содержится в некоторой линейной комбинации определителей квадратных матриц, построенных из столбцов B1,B2,... Bk . Так как k < n, то определители таких матриц содержат одинаковые столбцы, и поэтому равны нулю. Следовательно, DetA = О. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Соколов О.Б.Применение булевых определителей к анализу логических многополюсников // Учен. записки Казан. ун-та. 1963. Т. 123, №6. С. 155-164.

2. Chesley D.S., Bevis J.H. Determinants for matrices over lattices //Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1969. A68, № 2. P. 138-144.

3. Poplin P.L., Hartwig R.E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. № 387. P. 99-132.

4. Поплавский В.Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. C. 111-114.

5. Поплавский В.Б. О равенстве обратных булевых матриц симметрической разности ориентированных присоединенных матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. C. 94-97.

6. Поплавский В.Б. О разложимости определителей булевых (0,1)-матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. C. 105-108.

Д.В. Поплавский, В.А. Юрко

УДК 517.984

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С УСЛОВИЯМИ РАЗРЫВА ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

В статье исследуется обратная узловая задача для дифференциальных операторов второго порядка на конечном интервале с краевыми условиями Дирихле и условиями разрыва внутри интервала. Доказана теорема единственности решения обратной узловой задачи и приведена конструктивная процедура восстановления потенциала по заданным узловым точкам. Отметим, что некоторые обратные узловые задачи исследовались в [1-3] и других работах. Эти задачи тесно связаны с обратными спектральными задачами (см. [4-5] и литературу в них).

Рассмотрим краевую задачу Ь = Ь(д) вида

-y'' + q(x)y = Лу, x G (О, T),

у(О) = y(T ) = О,

y y'

=A

y y'

1 - о'

A=

a11 a12 a21 a22

где д(х) - вещественная непрерывная функция, а^ - вещественные числа, det А = 1, а12 = 0, ац > 0. Пусть S(х,Х) - решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 0, у'(0) = 1 и условию склейки (3).

При каждом фиксированном х функция Б (х, Л) является целой по Л порядка 1/2. Пусть Л = р2, р = а + гт. При |Л| ^ то равномерно по х имеют место асимптотические формулы:

Б

р 2р Уо \р ) 2

ЛЛ Д + sin px , sin p(T — x)\

S(x, Л) = b+-— + b—-—-- +

V p p )

{., 4cosp^ 4cosp(T — xU /1 Л T

+

где

b± = ^^^, fi(x) = —b+r q(t) dt — a21, 2 Jo

f T/2

f2(x) = b" | ^ q(t) dt — 2J q(t) dt | + «21-

Положим Д(Л) := S(T, Л). Нули {Лп}п>1 целой функции Д(Л) совпадают с собственными значениями краевой задачи L. При этом собственные функции имеют вид yn(x) = S(x^n). Из (4), (5) вытекает, что при |Л| ^ то справедлива асимптотическая формула:

л/лч 7+ (sinpT cospT u1 \ /1 ..

Д

где

ы = ^ д(*) а + а1, Ы = ^Ц д(*) ( - 2^ ' д(*) + аЬ21.

При п ^ то имеет место асимптотическая формула для собственных значений:

* = ^ = £ + 2лгп +

Отметим, что собственные значения Лп и собственные функции уп(х) являются вещественными, а краевая задача Ь - самосопряженной. Подставляя (7) в (4), (5), получаем асимптотические формулы для собственных функций

при n — то равномерно по x:

pnVn(x) =

• nn 1 / _ fx , . 1 , i \ nn /1"

= sin — x + -— [—1 q(t) dt + ux + (—1) uTx j cos — x + o( —

T 2nn \ In / 1 \ n

T 2 :

nn 1

x< 2,

Pnyn(x) = (b+ + (—1)n—1Lb—) sin —x + — fx) + (—1)nTf2(x) +

+ b+(u + (—1)n—1 ui)x + b— (u + (—1)n—1ui)(T — x)) cos ^x + o Q) ,

1

x> -.

Для краевой задачи L справедлив аналог теоремы Штурма об осцилляции. Точнее, собственная функция yn(x) имеет ровно n — 1 (простых) нулей внутри интервала (0,T): 0 T. Положим X :=

[xJn}n>2, j=in-T и доопределим xJ := 0, xn := T.

Обратная узловая задача заключается в построении потенциала q(x) по заданному множеству X узловых точек или некоторой его части. При этом матрица перехода A предполагается известной априори. Так как задание узловых точек определяет q(x) только с точностью до постоянного слагаемого, то не нарушая общности, в дальнейшем считаем, что f0 q(x) dx = 0.

Обозначим Xk := {x22m—k}m>T, j=12m—k, k = 0,1. Множества Xk являются всюду плотными на (0, T) и X0 U XT = X.

Теорема 1. Зафиксируем k = 0 V 1 и x £ (0,T). Пусть последовательность {xn} £ Xk выбрана так, что lim xJ = x. Тогда существует

n—

конечный предел

Gk

причем

1

Gk(x) = q(x) — T (u — (—1)kui).

Сформулируем теперь теорему единственности решения обратной узловой задачи. Для этого наряду с Ь рассмотрим краевую задачу Ь = Ь(д) того же вида, но с другим потенциалом д. Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к задаче Ь, то а обозначает аналогичный объект, относящийся к задаче Ь.

Теорема 2. Зафиксируем к = 0 V 1. Пусть Хк = Хк. Тогда д(х) = = д(х), х £ [0,Т]. Таким образом, задание одного из множеств Х0 или Х\ однозначно определяет потенциал д(х) на отрезке [0,Т].

Доказательство теоремы конструктивно и дает процедуру построения искомого потенциала. Точнее, функция д(х) может быть вычислена по формуле

1 Г

q(x) = Gk(x) - t J Gk(t) dt,

где Gk (x) определяется формулой (8).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. McLaughlin J.R. Inverse spectral theory using nodal points as data - a uniqueness result //J. Differ. Equat. 1988. Vol. 73. P. 354-362.

2. Shen C.L., Tsai T.M. On a uniform approximation of the density function of a string equation using EVs and nodal points and some related inverse nodal problems // Inverse Problems. 1995. Vol. 11, № 5. P. 1113-1123.

3. Law C.K., Yang C.-F. Reconstructing the potential function and its derivatives using nodal data // Inverse Problems. 1998. Vol. 14, № 2. P. 299-312.

4. Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

5. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

УДК 519.85

А.Р. Приходько, С.П. Сидоров

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В Кп

Пусть т,п Е N, т < п. Для V = (г>к= (и>к)"=1 Е К" обозначим

п

= Vk. Пусть А Е Ктхп, В Е Ктх1. Обозначим к=1

П = {х Е Кп : Ах = В}.

Пусть С0,2 есть конус положительных, выпуклых и непрерывных на [0,1] функций, то есть

Со,2 = {/ Е с[0,1]: /(г) > о, г е [о, 1], /[г^^з] > о, V о < ¿1 < ¿2 < ¿з < 1},

где f [г1 ,г2,г3] означает разделенную разность функции / по узлам г1, ¿2, ¿3.

Пусть 0 ^ х1;П < х2,п < ... < хп,п ^ 1, для произвольной / Е С[0,1] положим // = (/(х1;п),..., /(хп,п)), // Е Кп. Обозначим

CO2 = {l Е Rn : <//,/>> 0 V/ Е Co,2}.