О возникновении тепловой конвекции во вращающемся плоском слое

Конвективные течения..., 2015

О ВОЗНИКНОВЕНИИ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ПЛОСКОМ СЛОЕ

В .Г. Козлов1, Р.Р. Сираев2

1Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

2Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29

Исследуются условия возникновения осредненной конвекции в плоском слое, равномерно вращающемся вокруг горизонтальной оси, параллельной слою и проходящей на большом расстоянии от него. Учитываются действия термовибрационного и центробежного механизмов конвекции. Задача соответствует предельному случаю осредненной конвекции в горизонтальном цилиндрическом слое, вращающемся вокруг собственной оси, когда толщина слоя мала. В рамках линейного анализа исследуется устойчивость механического равновесия по отношению к монотонным плоским возмущениям. Результаты хорошо согласуются с данными экспериментальных работ, выполненных ранее.

Ключевые слова: тепловая конвекция, вращение, осциллирующие силовые поля, гидродинамическая устойчивость.

ВВЕДЕНИЕ

Известны различные механизмы вибрационной тепловой конвекции. Один из них предполагает равномерное вращение полости в статическом поле силы тяжести, если вращение происходит вокруг горизонтальной оси. В системе отсчета полости сила тяжести меняет направление с частотой вращения, играя при этом роль осциллирующего силового поля. Этот механизм возникновения осредненной тепловой конвекции экспериментально обнаружен и исследован в [1]. Теория вибрационной конвекции при вращении

© Козлов В.Г., Сираев Р.Р., 2015

Козлов В.Г., Сираев Р.Р. О возникновении тепловой конвекции

развита в [2]. В случае высокочастотных вибраций можно, используя процедуру осреднения, получить уравнения, описывающие поля скорости, температуры и давления, медленно меняющихся во времени. Применение процедуры осреднения для случая линейно поляризованных вибраций приводит к системе, содержащей дополнительную переменную w , которая является соленоидальной частью векторного поля Tn (n - единичный вектор в направлении вибраций) и имеет смысл амплитуды пульсационной компоненты скорости. Уравнения вибрационной тепловой конвекции во вращающихся полостях содержат две дополнительные векторные переменные w1 и w2 [2], а также слагаемые, обусловленные силами Кориолиса и центробежной.

В работах [3, 4] экспериментально исследуется осредненная конвекция в горизонтальном тонком цилиндрическом слое (коаксиальном зазоре), равномерно вращающемся вокруг собственной оси. Обнаружено, что конвекция возникает вне зависимости от того, внутренняя или внешняя граница слоя имеет более высокую температуру, проявляется в пороговом развитии вытянутых вдоль оси вращения валов и определяется двумя различными механизмами. При подогреве слоя снаружи определяющую роль играет центробежный механизм конвекции, диаметр конвективных валов при этом сравним с толщиной слоя. В случае, когда более высокую температуру имеет внутренняя граница слоя (центробежная сила инерции при этом играет стабилизирующую роль), развитие осред-ненной конвекции связано с действием термовибрационного механизма. В основе последнего лежат колебания неизотермической жидкости относительно полости, вызываемые силой тяжести. Волновое число виброконвективных структур меньше волнового числа структур, возникающих в условиях центробежной конвекции. Конвекция определяется центробежным числом Релея Ra = W2 RfiQh3 lv% и вибрационным параметром

Rv = (gfiQhf /2vjfil2 (здесь W - угловая скорость вращения полости, h - толщина слоя, R - средний радиус кривизны слоя).

Теоретические исследования термовибрационной конвекции во вращающемся цилиндрическом слое пока не проводились. В предлагаемой работе изучаются условия возникновения осредненной конвекции с учетом действия термовибрационного и центробежного механизмов во вращающемся плоском слое, который может рассматриваться как предельный случай тонкого цилиндрического слоя.

17

Конвективные течения..., 2015

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим бесконечный слой однородной жидкости, ограниченный твердыми параллельными плоскостями x = ± L/2. Температура на границах слоя фиксирована, разность температур между плоскостями составляет 0 . Слой вращается с частотой W вокруг горизонтальной оси, параллельной слою и проходящей на расстоянии R >> L от него. Выберем направление оси z декартовой системы координат параллельно оси вращения.

В эксперименте [3, 4] обнаружено, что осредненное конвективное движение возникает пороговым образом и имеет вид вытянутых вдоль оси вращения валов, т.е. носит двумерный характер. В этом случае сила Кориолиса не вносит вклад в развитие конвекции. Уравнения осредненной тепловой конвекции во вращающейся полости в пренебрежении силой Кориолиса имеют вид [2]:

— + — vVv = -Vp + Dv + dt Pr

+Rv [( W1V)(Tn* - W1 ) + ( W 2V)(Tny - W 2 )] - RaTnz Х(Г X nz ) ,

dT

Pr---+ vVT = DT,

dt

rotw1 = VTxnx, rot w2 = VTxny

div v = 0 , div w1 = 0, divw2 = 0.

В уравнениях (1.1) использованы общепринятые обозначения осредненного поля скорости v , давления p и температуры T , а также дополнительных переменных w1 и w2 , имеющих смысл амплитуд пульсационной скорости; nx, ny, nz - орты декартовой

системы координат, r - радиус-вектор, проведенный из начала координат, нормированный к R . В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости, температуры и давления выбраны соответственно L, L2/v, %/L, 0, pv%/L2 , где v - вязкость, % -температуропроводность, / - коэффициент теплового расширения жидкости, а р - ее плотность.

18

Козлов В.Г., Сираев Р.Р. О возникновении тепловой конвекции

На границах слоя исчезают осредненная скорость и нормальные составляющие полей w :

v = 0, wln = 0, w2n = О,

T = 0 при х = О, T = 1 при х = 1.

Уравнения (1.1) содержат параметры - центробежное число Релея Ra, вибрационный параметр Rv и число Прандтля Pr :

Ra =

W2 RfbQL'

С

R

(8bQL)2 pr = n 2v%Wl2 С'

2. УСТОЙЧИВОСТЬ механического равновесия

Условия равновесия вытекают из системы (1.1) и имеют вид: V(w10nx)xVT0 = a divW10 = a r°tW10 = VTxnx, DT0 = 0,

V(w20ny )xVT0 = 0, divw20 = 0, rotW20 = VT xny

Вместе с граничными условиями (1.2) уравнения (2.1) определяют равновесные поля:

v0 = 0, Т0 = х, w10 =

Исследуем устойчивость механического равновесия. Для этого рассмотрим поведение малых возмущений v, Т, wt, w2 равновесных полей v0 , T0 , w01, w02 . Полагая нормальные возмущения зависящими от времени по закону exp (-It), получаем из (1.1) после линеаризации около равновесных значений систему амплитудных уравнений:

-1v = -Vp + Dv +

+Rv [( w10V )(Tnx - w1 ) + ( w1V)(T0nx - w10 ) +

+ ( w 20V)(Tny - w 2 ) + ( w2V)(T0ny - w 20 )] - RaTr

19

Конвективные течения..., 2015

-1PT = DT - vVTn.

rot w1 =VT x nx, rot w 2 =VT x ny ,

divv = 0, divw1 = 0, divw2 = 0.

По данным экспериментов [3, 4] возникающие конвективные течения имеют стационарный характер. Поэтому рассмотрим устойчивость по отношению к монотонным плоским возмущениям типа вытянутых вдоль оси вращения конвективных валов:

(v,T,w1,w2,p) ~ exp(iky),

vz = W1z = W2z = 0

Эz

= 0, 1 = 0.

Подставляя (2.2) в (2.3) с учетом (2.4) получаем:

0 = -Vp + Dv + Rv (w1xnx + ikx (Tny - w2)) - RaTr,

0 = DT - vx, rot w1 = -ikTnz, rot w2 = T nz.

Штрих в формулах означает производную по x. Введем функцию тока для пульсационной компоненты скорости w2 :

ЭЛ

W2 x =-Эу = ^kf2 , W2 y = -^ =- f2 .

f =.

Эх

Тогда (2.5) перепишется в виде:

-Vp + Dv + Rv ((w1x + k2 xf2) nx + ikx (T + f2) ny) - RaTr = 0 ,

rot w1 =-ikTnz,

Э

DT - vx = 0, Df2 + T' = 0.

Вычислим rotx rot из первого уравнения системы (2.6) и rotx из второго уравнения этой системы. В итоге приходим к линейной задаче:

20

Козлов В.Г., Сираев Р.Р. О возникновении тепловой конвекции

AAvx + Rv (-k2w1x + k2 (T + /,')) + Rak2T = 0,

Aw1x + k2T = 0,

d 2

at - vX = 0, a/2 + T ' = 0, a = dr - k2,

dx

x = 0, 1: vx = vX = T = Wix = /2 = 0.

Краевая задача (2.7) решалась численно методом дифференциальной прогонки. Результаты представлены на рис.1а и б. Сплошной линией на рис.1а изображена граница устойчивости на плоскости параметров Ra, Rv. Область неустойчивости находится выше пороговой кривой. Кривая устойчивости пересекает оси Rv и Ra при значениях Rv = 4415 (k = 2.178) и Ra = 1707.7 (k = 3.116), которые характеризуют пороги возбуждения термовибрационной и центробежной конвекции в условиях действия только одного из механизмов. Сопоставление с экспериментальными данными [3, 4] показывает хорошее согласие.

Рис.1. Минимальное критическое число Rv (а) и соответствующее ему волновое число k (б) в зависимости от параметра Ra. Сплошные кривые - линейная теория, точки - экспериментальные результаты [3]

Представляет интерес сравнение условий возникновения термовибрационной конвекции при вращении полости вокруг горизонтальной оси со случаем вибраций линейной поляризации [5]. Во

21

Конвективные течения..., 2015

вращающемся плоском слое в системе отсчета полости жидкость совершает осцилляции, имеющие круговую поляризацию. Такое движение может быть представлено как сумма двух гармонических колебаний с частотой, равной частоте вращения полости, с одинаковой амплитудой и разностью фаз p 2 вдоль взаимноперпендикулярных направлений, заданных векторами nx и ny. Поскольку вибрации, поляризованные вдоль вектора nx, перпендикулярны стенкам полости, обозначим их как поперечные, вибрации, поляризованные вдоль вектора ny , обозначим как

продольные.

В [5] показано, что для плоского слоя с поперечным градиентом температуры и продольным направлением вибраций основной уровень неустойчивости равновесия связан с образованием ячеистых течений типа конвективных валов. При этом минимальное критическое значение Rv = 2129 достигается при волновом числе к = 3.23 . Поперечные вибрации оказывают стабилизирующее действие на конвективное равновесие.

Во вращающемся плоском слое имеет место одновременное действие продольных и поперечных вибраций. В итоге дестабилизирующее действие продольных вибраций берет верх над стабилизирующим действием поперечных вибраций, хотя критическое значение Rv увеличивается.

Заключение. Теоретически изучены условия возникновения осредненной конвекции в плоском слое толщины L, равномерно вращающемся вокруг горизонтальной оси, параллельной слою и проходящей на расстоянии R >> L от него. Поскольку плоский слой можно рассматривать как предельный случай цилиндрического слоя при отношении радиусов, стремящемся к единице, результаты настоящей работы хорошо сопоставимы с экспериментальными исследованиями осредненной конвекции в горизонтальном тонком цилиндрическом слое, равномерно вращающемся вокруг собственной оси [3, 4].

Работа выполнена в рамках задания Минобрнауки РФ 2014/372 (проект 2176) при поддержке РФФИ (грант 13-01-00675а).

22

Козлов В.Г., Сираев Р.Р. О возникновении тепловой конвекции

СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК

1. Иванова А.А., Козлов В.Г., Рылова В.В. Тепловая конвекция в плоском слое, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Изв.РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 12-21.

2. Козлов В.Г. Вибрационная конвекция во вращающихся полостях // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. С. 5-14.

3. Вяткин А.А., Иванова А.А., Козлов В.Г. Конвективная устойчивость неизотермической жидкости во вращающемся горизонтальном коаксиальном зазоре // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 12-21.

4. Вяткин А.А. Экспериментальное исследование тепловой конвекции во вращающемся горизонтальном коаксиальном зазоре // Конвективные течения... Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2009. Вып. 4. С. 5-14.

5. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. N.Y: Wiley, et al., 1998. 358 p.

ON THE OCCURRENCE OF THERMAL CONVECTION IN A ROTATING PLANE LAYER

V.G. Kozlov, R.R. Siraev

Abstract. We study the conditions of occurrence of averaged convection in a flat layer, rotating around a horizontal axis parallel to the layer at large distance from it. Thermovibrational and centrifugal mechanisms of convection are taken into account. The problem corresponds to a limiting case of averaged convection in a horizontal cylindrical layer rotating around its own axis, when the layer thickness is small. Within the linear analysis, we investigate the stability of mechanical equilibrium with respect to 2D monotone perturbations. The results are in good agreement with the data from earlier experimental works.

Key words: thermal convection, rotation, oscillating force fields, hydrodynamic stability.

23