Анализ чувствительности по измеряемому параметру схем уравновешивания трехэлементных двухполюсников

Анализ чувствительности по измеряемому параметру схем уравновешивания трехэлементных двухполюсников

Сафаров М.Р., Сарваров Л.В.

Уфимский государственный нефтяной технический университет

Емкостные и индуктивные преобразователи очень часто представляют в виде двухполюсника (ДП) со схемой замещения, составленной из двух, трех и более R, L, C элементов. К таким преобразователям относятся, например, преобразователи влажности, электропроводности, солесодержания и многие другие [1].

При определении параметров многоэлементных двухполюсников очень часто используют схему уравновешивания (СУ) токов или напряжений, питаемую от источника сигнала синусоидальной формы.

В доступной литературе вопросам анализа чувствительности схем измерения параметров многоэлементных двухполюсников уделено мало внимания. Анализу погрешности вычисления параметров ДП при совместных измерениях посвящен ряд работ [1-3], где выбором диапазона частот источника питания добиваются минимизации погрешности. В работе [4] анализируется чувствительность СУ по регулируемым параметрам.

В общем случае, выходной величиной измерительной схемы является ток или напряжение

ДХЬ X, ,У1,У2,...,У1),

где А# - выходная величина измерительной схемы или входная для индикатора измерительного состояния (равновесия или квазиравновесия); X (У,) -, -ый параметр исследуемого (образцового) ДП.

Одним из многочисленных методов [1,4] или их совокупностью схема приводится в измерительное состояние, характеризующееся возможностью определения одной, нескольких или всех измеряемых величин, определяемых из соотношения

х = ку,

где I может в общем случае принимать одно, несколько или п значений; к может быть равно 1, быть масштабным коэффициентом кг- ф —(у) или

кг = I (¥ ).

Предположим, что в идеальном случае достигнуто измерительное состояние А#= 0, сопровождающееся таким выполнением соотношений между Х 1 и у, при котором абсолютная погрешность определения Х 1 равна нулю (Ахг = 0). Допустим, что параметры ДП начинают изменяться. При этом

выходную величину измерительной схемы можно представить как функцию отклонений измеряемых и образцовых параметров от состояния равновесия

д ёХ1 + —ёХ2 +... + -—ёХ1 + —ё¥1 + -д—ё¥2 +... + —ё¥1

дХ1 дХ2 дХ1 д¥1 д¥2 ду

В этом выражении ё(Ав& - приращение активной величины на выходе измерительной схемы, состоящее из отдельных составляющих, являющихся

приращениями, вызванными изменениями измеряемого (-^—ёХ^) и образцового

дХ

параметров (—ё¥^). д¥

Выражение (3) является в общем случае функцией тех же переменных, что и уравнение (1). Из множества соотношений между переменными выберем случай равновесного состояния, определяемого по Ав&= 0 при выполнении соотношений (2). Отметим, что при тех же условиях ё(Ав& ф 0 (при ёХг- ф 0 или

ё¥1 ф 0), т.е. выражение (3) определяет приращение ё(Ав&, получаемое на выходе измерительной схемы, выводимой из состояния равновесия путем введения приращений ёХ или ё¥ .

Предположим, что предварительно уравновешенная по всем параметрам схема выводится из равновесия за счет изменения одного измеряемого параметра х1. При этом все остальные параметры неизменны, поэтому уравнение (3) принимает вид

й

0X1

где - абсолютная чувствительность измерительной схемы, находящейся в равновесии, по измеряемому параметру х1.

Индикатор измерительного состояния (в данном случае индикатор равновесия) имеет определенный порог чувствительности, которому соответствует й(Ав&п . Соответствующий порогу й(А&П порог изменения йХ1п измеряемой величины х1, определяется из выражения

йХП = т

$Х1

и является максимальной абсолютной погрешностью от нечувствительности по параметру х1.

Погрешность от нечувствительности по любому параметру определяется аналогично

йХп = .

'П

ч

Выражение (5) показывает, что абсолютная погрешность от нечувствительности обратно пропорциональна чувствительности по измеряемому параметру, т.е. минимум погрешности соответствует максимуму чувствительности и наоборот, максимуму погрешности соответствует минимум чувствительности.

Полученные соотношения позволяют относительно просто проанализировать погрешность от нечувствительности, возникающую при измерении параметров многоэлементных ДП. Ввиду краткости статьи, ограничимся рассмотрением трехэлементных ДП, возможные варианты схем которых приведены на рис.1. Реактивные элементы, включенные параллельно или последовательно остальной части ДП, обозначены индексом «1».

а

в1или а

а

Я

в ' —О О-1

я

X

X!

в

а)

а

б)

в)

г)

Рис. 1 Структурные схемы трехэлементных ДП

В качестве примера, рассмотрим трехэлементный ДП (рис. 1, б), состоящий из параллельно включенных проводимости G с последовательно соединенными активным сопротивлением Я и реактивным элементом Х (емкостью С или индуктивностью Ь), включенный, например, в схему уравновешивания токов (рис. 2).

Ф

Рис. 2. Схема уравновешивания токов

Представленная на рис. 2 СУ токов, содержит исследуемый двухполюсник (ИДП) с известной структурой и образцовый двухполюсник (ОДП). Состояние равновесия схемы определяется по амплитудному нуль

индикатору (АНИ), входное сопротивление которого предположительно очень мало. Питание схемы осуществляется от источников синусоидального напряжения амплитудой и.

Рассчитаем абсолютные чувствительности СУ по измеряемым параметрам О, Я и Х для рассматриваемого ИДП и будем искать условия, необходимые для получения наибольшего ее значения. Выходной величиной СУ (рис.2) является ток в цепи указателя равновесия &&, который равен:

х=&х - Х=т - ¥&),

где &Х (X - ток в цепи ИДП (ОДП);

¥&(¥&) - комплексная проводимость ИДП (ОДП). Комплексная проводимость ИДП имеет вид:

¥Х = о +

я + }Х

Подставив это выражение в уравнение (6) и вычислив производные полученной функции по О, Я и Х, получим

X=д1Х=(X

О до

X = =_гХк 2 - Х 2 -

дЯ (Я 2 + х 2 )2

= Х2Ж + №2 -Х2)

дх_ + Х 2 )2 '

где §0, & и §Х - комплексная абсолютная чувствительность СУ по проводимости О, сопротивлению Я и реактивному элементу Х соответственно.

Поскольку амплитудный индикатор тока реагируют только на модуль тока разбаланса, то нет необходимости анализировать комплексную чувствительность §&, а достаточно проанализировать ее модуль.

§0=м; ы=м-А-г; 1§х|=м 1

я 2 + х 2' я 2 + х 2

Если реактивный элемент имеет индуктивный характер (Х = юЬ), то выражение для модуля чувствительности по индуктивности Ь примет вид

ы=и w

R 2 + X 2

Если реактивный элемент имеет емкостной характер (Х = (юС) 1), то выражение для модуля чувствительности по емкости С примет вид

м=и

wx 2

R 2 + X 2

Проанализировав последние выражения, можно сделать следующие выводы:

1) Модуль абсолютной чувствительности по сопротивлению R имеет максимальное значение при минимальном значении сопротивления реактивного элемента Х. Это достигается увеличением частоты напряжения

питания (w = max) при емкостном характере реактивного элемента (X = (wC )-1) и уменьшением частоты напряжения питания (w = min) при индуктивном характере реактивного элемента (X = wL).

2) Модуль абсолютной чувствительности СУ по емкости C имеет макси-

1

мальное значение при частоте напряжения питания, равной w =-.

RC

3) Модуль абсолютной чувствительности СУ по индуктивности L имеет

R

максимальное значение при частоте напряжения питания, равной w = ^

4) Модуль абсолютной чувствительности по проводимости G не зависит от выбора частоты напряжения, питающего схему.

Аналитические выражения для чувствительностей и оптимальных значений частот, на которых достигается максимальная чувствительность СУ для остальных ДП, представленных на рис.1, приведены в таблице.

Анализ показывает, что для рассмотренного конкретного ДП выбором частоты питающего напряжения можно добиться максимальной чувствительности СУ по измеряемым параметрам, а значит можно обеспечить приемлемую точность измерения параметров ДП. При тех условиях, при которых достигается максимальная чувствительность СУ по измеряемому

параметру двухполюсника погрешность от нечувствительности, в соответствии с (5), принимает минимальное значение.

Таблица

Вариант схемы ДП Выражения для чувствительности и оптимальных значений частот

1 2

а) 1) м = О 2 + В 2 м-; а = max при В = аС и а = min при В = )-1; (1 + ОЯ )2 + Я 2 В 2

2) |%| = м-1--——; а = max при В = а) 1 и а = (1 + оя)2 + Я 2 В 2 min при В = аС;

3) М \тт\ а 1 + ОЯ = м-; а =- при В = аС; ''(1 + ОЯ)2 + Я В2 яс р '

4) \sl\- аВ 2 Я -1 = м-в-; а = —,-г при В = а)-1; ' '(1 + оя)2 + Я2В2 l(1 + ОЯ) Р ' У '

б) 1) м = м-1-; а = тт при X = аL и а = max при Я 2 + x 2 x = (аС )-1;

2) = м 2 2 ; а = при x = аL ; Я 2 + x 2 L

3) = ; а = Яс при x = (ас)-1; Я 2 + x 2 Яс

4) = М|а ; а = max при В = аС\;

5) К = \и\аВ2; а = min при В = (аЬу )-1:

6) м;

Продолжение таблицы

2

в)

1)1 §0=М

(1 - ВХ )2 + х 20 2

; а) т = шт при В = (тЬ) 1 и Х = аЬу;

б) т = шях при В = тС и х = (тСх) 1; в) т =

2С - ЬХО2

2ЬС2

при х = тЬу и

В = тС; г) т =

2)1 §с| = М

2 - I ~ А-1 „и („г\-1.

ь

при х =

т

(1 - ВХ)2 + х 2 О 2

; а) т = шях при В = тС и х = (тС) ;

б) т =

2с - ьхо2 + д/(Ьх02 - 2с)2 + 12с2

6ЬХС

2

при в = тС и х = ть1;

тВ

; а) т = шin при В = (тЬ) 1 и х = тЬх;

(1 - ВХ)2 + х 2 О 2

б) т =

ЬО2 - 2С1 + ^(2с - ЬО2)2 + 12с?

4) ¿ц! = М

2 ЬС1

тХ 2

при В = (тЬ) 1 и х = (тС\) 1;

(1 - вх)2 + х2о2 '

т = О.

5) §ь1 = М

С2 - 2СС - 2С2

2С2(С - С)2

при В = тС и х =

-1

тр 2 + В 2)

(1 - ВХ)2 + х 2 О 2 '

т =

ь2 - 2ьь1 - 24

2ь2 ь22о 2

при в = (тЬ) 1 и х = т^

1

1

Продолжение таблицы

1 2

г) 1) 1=и 1;  = тх; 2) = и 2; с = тш; 1 сь2 3) и = и;

д) ^М=И 2 1 1 2; И=1[с; Я2 + (сС -—)2 соЬ 2)10 1 = и с • 3) |о„| = и 1 •

2) 1°Ь1 = 1и1 2 1 2 ; 3) 1°с1 = г1 2 г 2 ! 2 п ; Я2 + (сс---)2 сС2 Я2 + (сс - —)2 сЬ _ соЬ J

е) 1) |0ь| = и с3с2  с=л1 1 ; 1 Ь 1 '(1 -с2ьс)2 ис' 2)|ос|=и С с=] 1; ' С ' '(1 -с2ЬС) ис 3)1 = И;

Поясним это численно на примере ДП, состоящего из параллельно включенных проводимости g и последовательно соединенных активного сопротивления Я и емкости С (рис. 1, б). Пусть порог чувствительности амплитудного нуль индикатора равен 0,01 мА, амплитуда питающего схему синусоидального напряжения равна 1 В, значения параметров ДП следующие: g =10 Ом-1, Я=100 Ом и С=1 мкФ. Если частоту синусоидального напряжения выбрать приблизительно равным ю=3300 с-1, то погрешность от нечувствительности по активному сопротивлению Я, в соответствии с выражением (5), составит примерно dR=1 Ом. Если частоту ю на порядок увеличить, т.е. взять равной ю=33000 с-1, то абсолютная погрешность составит примерно dR=0,1 Ом. Однако дальнейшее увеличение частоты ю не оказывает

заметного влияния на уменьшение погрешности, поскольку сказывается значение порога чувствительности индикатора равновесия.

В соответствии с полученными выше результатами, для получения максимального значения чувствительности СУ по емкости С (а значит минимального значения погрешности), частоту синусоидального напряжения

необходимо выбирать из условия т , что для рассматриваемого ДП

ЯС

составит ю=104 с-1. Численный анализ показывает, что при частоте ю=104 с-1 погрешность от нечувствительно по емкости С составляет dС=0,002 мкФ, а при увеличении или уменьшении частоты на порядок погрешность получается приблизительно равной dС=0,01 мкФ.

В результате анализа чувствительности выработаны рекомендации по выбору диапазона частот с целью уменьшения погрешностей измерения параметров трехэлементного ДП.

Полученные рекомендации в определенной мере совпадают с рекомендациями по выбору частот, полученными в работе [3] с совершенно других позиций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кнеллер В.Ю., Боровских Л.П. Определение параметров многоэлементных двухполюсников // М.: Энергоатомиздат. 1986.

2. Штамбергер Г.А., Жуган Л.И., Плотников В.Г. Совместные измерения параметров трехэлементных ЯС-двухполюсников на синусоидальном токе // Измерительная техника. 1990, №10. - с. 38-39.

3. Боровских Л.П., Читашвили Н.Г. Об инвариантом измерении параметров трехэлементных двухполюсников // Измерительная техника. 1990, №1. - с. 42-44.

4. Тюкавин А. А. Измерение параметров трех- и четырехэлементных двухполюсников мостами переменного тока. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.1988.