Алгоритм обработки измерений, устойчивый к систематическим ошибкам

Таким образом, получаем из множества правил, необходимых для решения комплексной задачи, два набора правил для решения подзадач, входящих в ее состав. При этом полученные кластеры полнофункциональны и могут использоваться как самостоятельные ЭС.

Предложенный метод позволяет провести декомпозицию правил ЭС и определить целесообразность их интеграции в кластер.

Целесообразность интеграции неоднородных ЭС определяется высокой степенью общности информационных, предметных областей. Оценка целесообразности может быть осуществлена с помощью методов формального анализа, совокупности матричных моделей и теории автоматической классификации. Для интеграции ЭС и процессов взаимосвязи их различных частей общими являются задачи увязки локальных моделей и устранения дублирования.

Пусть Б = {ё,} - множество информационных элементов, описывающих предметную область к-го пользователя, В = {Ь,} - множество информационных элементов, описывающих предметную область т-го пользователя. Степень общности или сходства предметных областей к-го и т-го пользователей определим методом последовательного получения и анализа попарных пересечений их информационных множеств. Количественная характеристика степени общности предметных областей определяется с использованием меры подобия, применяемого в теории автоматической классификации.

Пусть заданы информационные множества к-го и т-го пользователей - Б и В, описывающие их предметные области. Тогда мерой подобия предметных областей пользователей назовем отображение пересечения множеств Б п В на некоторое множество вещественных чисел, выраженное неотрицательной функцией 5", значение которой лежит в диапазоне [0..1]. Меру подобия предметных областей пользователей можно рассчитать по формуле:

где

b =

(1, _ если _ dj е D, dj е B

0, иначе

(1, если dj е D, dj g B

0, иначе

(1,_ если _ dj g D, dj е B

S =

a + X ьг + £ сг

I 0, _ иначе .

Путем задания на множестве U = {uk} экспертных систем отношения принадлежности R, соответствующего критической мере подобия S*, проводится классификация ЭС.

(uk, um) е R(S*) о S к S*,

Такой метод оценки позволяет обосновать целесообразность интеграции на основе выделения множества правил экспертных систем, решающих близкие по смыслу задачи.

Для управления запросами внутри кластера и распределения задач между ЭС необходимо разработать специальные алгоритмы, однако их работа остается совершенно прозрачной для пользователя. Основным достоинством кластерной ЭС можно считать ее расширяемость и отсутствие необходимости перепроектирования экспертных систем.

Литература

1. Частиков А.П., Гаврилова Т.А., Белов Д.Л. Разработка экспертных систем. Среда CLIPS, СПб, BHV. СПб., 2003.

2. Стогний А.А., Вольфенгаген В.Э. Проектирование интегрированных баз данных. Киев, 1991.

3. Элти Дж., Кумбс М. Экспертные системы: концепции и примеры. М., 1990.

4. Рыбина Г.В. Задачно-ориентированная методология автоматизированного построения интегрированных экспертных систем для статических проблемных областей // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 5.

5. Зелов С. Кластерные технологии. М., 1999. № 3.

Кубанский государственный технологический университет

12 февраля 2004 г.

УДК 621.391.266

АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИИ, УСТОИЧИВЫИ К СИСТЕМАТИЧЕСКИМ ОШИБКАМ

© 2004 г. А.В. Елисеев

Измерение параметров случайного процесса сопряжено, как правило, с появлением ошибок различного вида. На практике принято выделять ошибки трех видов: грубые, случайные (регулярные), систематические (сингулярные) [1]. Для борьбы с грубыми ошибками на этапе предварительной обработки изме-

рений используются процедуры отбраковки аномальных измерений. Случайные ошибки существенно уменьшаются при использовании методов статистической обработки, например метода наименьших квадратов (МНК). Для исключения систематических ошибок могут использоваться результаты определения

a =

с=

параметров процесса по данным «эталонных» измерительных средств. В качестве «эталонных» также могут использоваться результаты статистической обработки измерений всех средств, привлекаемых для слежения за процессом на заданном интервале времени. Недостатком данных методов является сложность получения «эталонных» значений измеряемых параметров. При применении МНК для учета систематических ошибок используется традиционная процедура расширения пространства состояния, которая на практике зачастую приводит к известному эффекту «размазывания точности», росту объема вычислительных затрат и усложнению структур систем обработки измерений.

Иногда оптимальное решение задачи компенсации систематических ошибок удается найти с использованием принципа инвариантности при соблюдении условий регулярности и несмещенности [2, 3].

Наиболее сложной является задача оценивания при наличии в измерениях кусочно-непрерывных помех, описываемых на интервалах непрерывности произвольными полиномами со случайными коэффициентами. Любая попытка применения к решению такой задачи классического МНК, либо его известных разновидностей, обречена на провал, поскольку к настоящему времени не существует соответствующей теоретической базы для решения такого класса задач.

В настоящей статье приводятся основные теоретические посылки решения указанной проблемы применительно к кусочно-непрерывным помехам, имеющим конечное число точек разрыва первого рода на всем отрезке наблюдения и описываемых на интервалах непрерывности степенными полиномами со случайными коэффициентами.

Постановка задачи

Пусть на отрезке [0, Т] наблюдается аддитивная скалярная смесь у

у(; )= х((]) + к(] )+ {( ), £ [[ , Т ] с Я1,

у=0Тж.

Полагаем

х

г=0

где {аг }Б=0 - набор неизвестных коэффициентов,

{г (0}=0 - система заданных линейно-независимых функций, таких что

ёк

(здесь и далее верхний индекс в круглых скобках обозначает порядок производной).

Кроме того, полагаем выполненным следующее ограничение на производную х

Ограничение такого типа широко используется в практике измерений [1].

Помеха И(() относится к классу кусочно-непрерывных помех, т.е. на отрезке [0, Т] имеет конечное число точек разрыва первого рода и на интер-

валах непрерывности t £ пенными полиномами

Mi ( *

ti -1.ti

описывается сте-

hi (() = X b

l =0 (

t£

t - ti

Mt £{0,1,2,...},

ti-i, t,

с

[о, T], i = 1,L

где [[0, T ]= U

L (* * * * **

U ti- , tt U t 0 11 , 10 = t0 , t l= T

i=2 - - -

Полагаем, что точки разрыва помехи, а также параметры , Ьц и Ь нам неизвестны.

Отсчеты {{((у)}}=0 шума {() подчиняются совместному распределению с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей К[0] = ^1, т, I = бГж], где К0 = М{{(^)&)} -корреляционный момент случайных величин {(/т) и {((1) (/т , tl е {0,}), М{} - символ математического ожидания (здесь и далее верхний индекс в квадратных скобках обозначает порядок конечной разности).

Требуется разработать оптимальный метод линейного оценивания параметров модели (2) по результатам измерений (1), инвариантный к помехе (5), при сделанных выше ограничениях (3), (4).

Конечные разности и их свойства

Рассмотрим на отрезке [0, Т ] произвольную функцию /((), заданную своими отсчетами /(),  = 0, N .

Определение. Под к -й конечной разностью от / () будем понимать следующую дискретную функцию аргумента у

Ак [/] =Х(- 1У+кСк/(.+-) ке{0,1,...,п},

i=0

у = 0, N - к ,

где Ск = к ! /(((к-)!).

Так, например, первая и вторая конечные разности от / (() будут иметь вид

А1 [/] = /(+1)-/(), у = ,

А2

[f ]j = А1 [а1 [f ]j ]] = f (+2)-2 f ( +i)+ f (),

maxi x

,,

у = 0, N-2 . Очевидно, что А0 [/] = /(), у = 0~ЛТ .

Если функцию /(() задать на равномерной сетке { }}=0 с шагом т , то формула (6) примет вид

Ак [/ ] = Е (- 1)г+кСк/ [[о +т(/ + /)],

к е{0,1, 2,..., и}, у = 0, Ж - к.

Несложно убедиться, что к-я и (к -1) -я конечные разности связаны следующим образом

А* f] = A1[k-1 f]] = Ak-1 [/];+1 -Ak-1 [fj

j = 0, N-k .

Непосредственно из (7) и (8) следует, что конечно-разностный оператор Ак [•] линеен

Ак [а/ +р= аАк[[] + рАк[[, а,ре Л1,

где / = / (() и q = q(/1) - заданные функции на отрезке [[0, Т ]. Рассмотрим

семейство степенных полиномов

/с (( )= С0 , f\ (( )= С0 + c\t ,

/2 (t )= Со + C\ t + c2 t 2,..., /r (t )= X ,

i=0

где {ci }[=0 - произвольные коэффициенты (ci e R1 ).

Несложно показать, что при к > r выполняется равенство Ак [/. (()] j = 0 V j = 0, Ж - к , т.е. действие оператора Ак [] во многом аналогично действию оператора к -кратного дифференцирования над степенными полиномами: каждое последующее применение оператора А1 [] j снижает на единицу степень

полинома - результата дифференцирования.

Подводя итог сказанному выше можно сделать два принципиальных вывода:

\. По аналогии с операторами дифференцирования можно подобрать такой порядок n оператора

А" [] , , что

А" [ (( )] = А"

Mt f

E h

l =0

Al

W, e

ti-i, ti

t - ti-i

i = 1, L .

= 0

где п > М , М = тах М1.

I

То есть, оператор Ап [•] у при выполнении усло-

*

вия п > М полностью подавляет кусочно-степенную помеху к 1 (() на любом интервале непрерывности

2. В операторах ак [•] у (где к = 0, п ) отсутствуют

к

некорректные операции деления на число т и предельного перехода при т ^ 0, характерные для оператора к-кратного дифференцирования.

Если помеху к (() рассматривать не только на ин-

f*

тервале [[о, T],

ti-1> ti

а на всем отрезке наблюдения А" [] j позволяет

t0, т j, то применение оператора ^ LJj почти всюду подавить помеху h ((), за исключением, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода. Например, при вычислении конечной разности первого порядка

A1 [h(t)]; = h (t; +1)-h((;),

т. е. на стыке двух

степенных полиномов h t

h [tj+i)- h [tj )= hi+i +i)-hi [tj )=

f * * f * *

где tj e ti-1,t' , j e ^, ti+1

V V

Mi+i f

= E h+i,i l=0

tj+i- ti

A i Mi f

- E bu

l =0

A i

tj - ti-i

*0.

В дальнейшем будет показано, что возможные аномальные выбросы (9) легко устраняются известными методами коррекции аномальных измерений.

Оптимальное оценивание

Применим к наблюдению (1) конечно-разностный оператор ак [•] у :

Ak [у] j =Ak [x] j +Ak [h] j +Ak [Ç] j , k = 0, n .

Учитывая (2), (5), (7) и пренебрегая возможным выбросами (9), для конечно-разностного оператора Ап [•] , находим

A" [у] j = A" [x] j + A" [Ç] j = = E

i=0

i=0

Подставляя (2) в (10) имеем

A" [У] ; = E E (- lJ+nC'narqr ((+г )+

i=0 r =0

+ E (-1)+"c" ç(j+i ).

Сформируем теперь «невязку»

(\ N-n N-n r / \

)= E E l (A" Мл -A" [ ] ) x

Л =012 =0

X(A" ЫЛ - A" [[] }

ti-1, ti

где А[п] = \[Гп], г = 0, б]т - оценка вектора А = [аГ, г = 0, б]т , формируемая на базе измерений

An Ы,, j = 0, N - n, Wn] =

j , j. j2 = 0, N -n

л j2' J2

весовая матрица, обратная по отношению к корреляционной матрице К[п] = \ кЦ, , у2 = 0, Ж - п]

(где K[j = M А" }

корреляционный

момент случайных величин

А" и А" [j

х = x(()=£^n] qr ((),

r =0

r r=0

где {гГ"] }г= 0 - оценки коэффициентов {г }г

Найдем значения неизвестных коэффициентов {'Г""' }?= 0 из условия минимума функции у

эу

Э «Ln]

= 0,

А = 0, б .

В развернутом виде система уравнений (13) имеет

вид

Б N-" N-" " "

I аГ"][ I I Чш I I (-1)1+г'2 С" х

Г =0 л =0 12 = 0 ¿1 = 0 i2 = 0

хС"2 цг ( +г1 ) ^ +¿2 )] =

N-п N -п п / \

= I I Чш 1

Л =0 12 = 0 i=0

Решая (14) относительно {"Г"] }^= 0, находим все

искомые оценки параметров модели (2), инвариантные к кусочно-степенной помехе к() вида (5).

Если производить измерения на равномерной сет-= 0 (где (+ =т) и предположить для про-

ке

{}

j J j = 0

стоты wj j2 = 0 V j. * j2 и wjn] j2 =1 V j. = j2 (где

11,12 = 0, N - п), то система уравнений (14) будет выглядеть так:

Б N-п п п

I аГ"][ I I I (-1)+г'2 с" х

г=0 ] = 0 ¿1 = 0 ¿2 = 0

х С"2 Чг ( + i 1 т)Ч + i 2 т)] =

N-" п , \ _

= I К-1)+"С'пд)\

1 = 0 г' = 0

Рассмотрим частный случай, когда п = 0 . В результате (15) соответствует системе уравнений классического МНК

D

r=0

Xqr

j =0

j=0

А = 0, D.

Таким образом, развиваемый метод можно полагать распространением классического МНК (16) на более общий случай, когда модель наблюдений содержит произвольную кусочно-степенную помеху.

Перейдем теперь к векторно-матричной форме записи развиваемого метода. Пусть

An Y =

Ап [у] , 1 = 0,N - п Т[п] = [рМ, 1 = 0,N -п, Г = ], Ап X =\Ап [х] , ] = б^-п]Т, А0 У =[у;, ] = б^]Т , А0 X =[х; , ] = О^]Т ,

где

^

¿=0

Теперь «невязку» (11) можно представить в виде

у(А[п] )=(-АпХ )Т W[п] (пУ-АпХ ),

а соответствующая ей система нормальных уравнений

([п] )Tw[п] ^[п] А[п] = ([п] )TW[п] А[п] У

Решением системы нормальных уравнений (18) является вектор

A[n] = [

при этом полагается, что

\

Статистические характеристики метода

Найдем вид матрицы W[п] =(к[п] )-1, если заданы

элементы матрицы К[0].

С учетом (6) и свойств математического ожидания можно записать

КЙ2 = М {Ап \]л Ап [^э]]2 }=

I (- 1)г1 +г2 сп1 Сп2 + ¿1+ ¿2 )^ = [¿'1 = 0 ¿2 = 0 ]

= x x(-1)1 2 cn k[1+

¿J =0 i2 = 0

j1 +iJ, 12 + ¿2

j\, j2 =0, N - n .

Таким образом, обращая матрицу К[п] с элементами (20), получим искомую весовую матрицу W[п].

Качество оценки А[п], формируемой по правилу (18), можно характеризовать корреляционной матрицей К,

A

[n]

Несложно показать, что оценка ^4[п] для вектора А , полученная статистической обработкой в соответ-

ствии с развитым методом, является несмещенной (м {А[п] }= А) и представляет собой случайный вектор с корреляционной матрицей

K-[n]= [(р[и] )tw [п] Т[п] ]-1.

Известно [1], что классические МНК-оценки Ащтк при наличии в измерениях систематических ошибок или ошибок более общего вида (например, кусочно-непрерывных) являются смещенными. Так, применяя классический МНК к измерениям (1), получим следующее смещение оценки:

М {к - А} =

}=

0 останутся внутри интервала [- а[п], а[п] ] .

Интервал [- а[п], а[п] ] будем рассматривать как доверительный интервал надежности 1 -8[п] (с уровнем значности 8[п] > 0 ), т.е. вероятность попадания значения Ап []. в этот интервал

Р[п] = p(- d[п] <Ап < d[п]) >1 -8n .

= [] )TW[°] ]

[

Несложно убедиться, что для заданных значений у(к) (где к = 0, п) можно всегда подобрать такую временную сетку, на которой выполняются соотношения

2 (- 1)г+к екх

max Ак [х] \ = max

где а Н=Н = [к ), . = 0, N ] .

Анализ формулы (22) показывает, что наличие кусочно-непрерывных ошибок измерений может полностью обесценить формируемые оценки.

При применении разработанного алгоритма (18) -

(21) также возможно смещение оценки А["] в случае,

когда

ап [], Ф0, j = 0, N->

М {{[п] - а} = [ )TW["] Т[п] ] 1 [([п]) ["] а"Н

где А["]Н =[а"Н), ] = ]т .

%

Данная проблема возникает, когда п < М , где

%

М = шахМг-. Для обеспечения несмещенности оценки

I

А[п] необходимо выбирать порядок конечных разно-

%

стей п из условия п > М .

Отбраковка аномальных измерений

Под аномальными будем понимать измерения, появление которых обусловлено воздействием на измерительное средство факторов, приводящих к подавлению измерительного сигнала (неисправность приемопередающей аппаратуры измерительных средств, импульсные помехи, ошибки оператора и т.п.), а также неинформативные выбросы (9) значений п-й разности А" [у ]., ] = 0, N - п в точках разрыва первого рода процесса к ((). Не теряя общности рассмотрим отбраковку последних.

Пусть задана вероятность Р[0] того, что на отрезке [0, Т ] значения шума {{()}}=0 не выйдут за пределы интервала [- а[0], а[0] ] , где а[0] >0 .

Используя статистические характеристики помехи, несложно найти вероятность Р[п] события, состоящего в том, что значения п-й конечной разности

= max

j

j

k D t \

X X (- l)+k Ckarqr (j+lt

i=0 r=0

f j+i

< E[k] <Y (k),

к = 0, п.

Очевидно, что для непрерывных линейно-независимых функций { (()}=0 в модели (2) будут выполняться неравенства е[п] < е[п-1] <...<е[1] < е[0], при этом е[ п] ^0 при п ^^ .

В соответствии с неравенством треугольника алгоритм сортировки измерений на нормальные и аномальные имеет следующий вид:

Г : |Ап [у] j > е[n] + d[п]; Г2 : |Ап [у],1 < е[n] + d[п],

где Г1 - гипотеза, заключающаяся в аномальности измерения Ап [у]., Г2 - гипотеза, заключающаяся в нормальности измерения Ап [у]..

Аномальные измерения из дальнейшей обработки исключаются и в алгоритме оценивания (18) вместо отбракованного значения Ап [у]. используется поро-

говое значение

Ап [у], =е[п] + d

[п]

вектор нормальных

измерений имеет вид Ап У =

,j = 0, N - п J

Пример

Пусть полезный сигнал описывается функцией

х

г =0

где а 0 = а1 = 100, а2 = 500, д0 ()=ехр(а /),

дг () = соб(2п //), д2 ()=ехр(в /), t0 = 0,

Т = 4, а= -10, Р=-6, f = 1.

Для простоты полагаем все величины безразмерными.

Уравнение наблюдения имеет вид (1). Полагаем, что измерения производятся в моменты / .,

= 0, 100, т = t , _1 j _ = 0,04 . Шум £(() генерировал-

)

ся датчиком случайных чисел и полагался стационарным нормальным процессом N (о, а2) с нулевым математическим ожиданием, некоррелированными отсчетами и дисперсией а2 =1. Помеху (5) зададим в виде

h(t ) =

500 + 3t при 0 < t <1, 350_3t при 1 < t < 4,

* *

при этом I = 2, М1 = М2 =1, ?0 = ?0 = 0, ^ =1, ?2 = 4, Ь10 = 500, Ь„ = 3, Ь20 = 350, Ь21 =- 3.

Условие (3) позволяет принять п = 2, т.е. воспользоваться конечно-разностным оператором А2 [•]

] = 0, N - 2 = 0,98.

С учетом принятой модели (2) и соотношения (25) имеем

е[2] = тах А2 [х] = 27,54, ] = 0,98.

.

Задаваясь доверительной вероятностью р[2] = 0,997, находим с учетом (24) допуск ё[2] =7 . Таким образом, алгоритм отбраковки (26) примет

вид

Г :

Г2:

А2 [у] А2 [у]

> 34,54, < 34,54,

где Г - гипотеза, заключающаяся в аномальности измерения, Г2 - гипотеза, заключающаяся в нормальности измерения.

Отбракованные отсчеты заменяются на пороговое значение

А2 ] . = 34,54, (] = 23,24),

где ] е{0,1,2,...,N - 2} - номер отбракованного отсчета.

Применяя к вектору нормальных измерений А2 алгоритм (18), с учетом (17) и (20) получаем следующую оценку

А[2] =[а[02], -а [2], а[22] ]т =[96,97, 97,921,506,685]т

вектора А=[100, 100, 500]т модели (12). В свою очередь классическая МНК-оценка имеет вид

A,

= 1- 3,241-103, 81,815, 4,105-103 |T

Для оценки эффективности приближения функции х (() вида (27) функциями:

[2] (t, )=£ а[,2] q((j);

r =0

x MNK\ j /=£2 r , MNK q V j r=0

введем показатель среднеквадратического расстояния [4] p(x, X) вида

P(

X¡= J ~T £(x, _xi )2 .

n + 1 ,=0

Для приближений (28), (29) имеем р(х, Х[2] )= = 2,966, р(х, ХМык )= 367 соответственно.

Данные результаты показывают существенный эффект от применения развитого метода к измерениям, содержащим кусочно-непрерывную помеху.

Заключение

Предложен новый подход к обработке измерений, робастный к систематическим ошибкам. С использованием конечных разностей различного порядка решена задача линейного оценивания при наличии в измерениях не только флуктуационных шумов, но и кусочно-непрерывных помех степенного типа. Достоинством метода является то, что для компенсации систематических ошибок не требуется никакой информации о параметрах модели помехи.

Применение метода целесообразно при оценивании характеристик динамичных информационных процессов, например траекторий летательных аппаратов на участках маневра, входа в плотные слои атмосферы, посадки. Кроме того, метод может быть использован при обработке измерительной информации в комплексированных навигационных системах, в которых, как правило, при переходе от одной измерительной структуры к другой возникают высокодинамичные переходные процессы и каждый измеритель характеризуется своей сингулярной помехой [5].

Литература

1. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траек-торных измерений. М., 1978.

2. Леонов В.А., Поплавский Б.К. Метод линейных преобразований идентификации динамических систем // Техническая кибернетика. 1990. № 2. С. 73-79.

3. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Автокомпенсационный метод

обработки результатов измерений при наличии погрешностей регулярной структуры // Автометрия. 2003. Т. 39. № 1. С. 69-72.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М., 1989.

5. Лысенко Л.Н., Нгуен Танг Кыонг. Теоретические и прикладные аспекты синтеза мультиструктурных схем рекуррентной обработки информации в навигационных системах летательных аппаратов // Изв. АН. Теория и системы управления. 1997. № 6. С. 38-48..

Ростовский военный институт ракетных войск

17 февраля 2004 г

*