О доказательстве основных теорем дифференциального исчисления функций нескольких переменных методов Каратеодори

С. И. Калинин

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ КАРАТЕОДОРИ

В статье обсуждается вопрос доказательства некоторых теорем дифференциального исчисления функций нескольких переменных методом, основанным на использовании понятия функции, дифференцируемой по Каратеодори.

В работе [1] мы описали метод Каратеодори доказательства ряда основных теорем дифференциального исчисления вещественнозначных функций одной действительной переменной. Упоминаемый метод можно распространить и на случай рассмотрения соответствующих теорем дифференциального исчисления вещественнозначных функций нескольких действительных переменных. Отмеченному и посвящается настоящая работа.

1. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Ниже из соображений простоты изложения вопроса условимся рассматривать лишь функции двух независимых переменных.

Пусть л = /(х, у) - действительная функция независимых переменных х и у, определенная в некоторой окрестности

ы(М0) = {(х;у): х - х0)2 + (у - у0)2 <д,д> о]

точки М0(х0; у0). По аналогии с [1] введем понятия дифференцируемости функции / в точке М0 по Коши и по Каратеодори.

Определение 1. Функция / дифференцируема по Коши в точке М0, если на окрестности и(М0) этой точки имеет место представление

= А(х-х0) + В(у - у0)+а(х, у)(х-х0) +

+ Р

где А и В - некоторые числа, а (х, у), $(х, у) -бесконечно малые в точке М0 функции.

Определение 2. Функцию / условимся называть дифференцируемой по Каратеодори в точке М0, если существуют такие определенные на рассматриваемой окрестности и(М0) функции Ф(х, у) и Т(х, у), непрерывные в самой точке М0, что на и(М0) будет иметь место представление /(х, у) - /(хй, у0) = Ф(х у)(х - х0) +

+ Т

Справедлива следующая

Теорема А. Понятия дифференцируемости функции / в точке М0 по Коши и по Каратеодори - эквивалентные понятия, т. е. если функция / дифференцируема в точке М0 по Коши, то она в этой точке дифференцируема и по Каратеодори, и наоборот.

Доказательство. Пусть функция / в точке М0 дифференцируема по Коши, т. е. выполняется (1). Тогда положим Ф(х, у) = А + а (х, у), Т(х, у) = В + $(х, у), при этом если функции а и $ в точке М0 не определены, то доопределим их по непрерывности значением 0. Функции Ф и Т будут непрерывными в точке М0 и в самой этой точке будут принимать значения А и В соответственно. Представление (1) можно будет записать в виде (2), что означает дифференцируемость функции / в точке М0 по Каратеодори.

Пусть теперь функция / дифференцируема в точке М0 по Каратеодори, т. е. имеет место представление (2). В силу непрерывности функций Ф и Т в точке М0 на окрестности и(М0) этой точки будут справедливы представления Ф(х, у) = Ф(х0, у0) + а (х, у), Т(х, у) = Т(х0, у0) + $(х, у), где а и $ - бесконечно малые в точке М0 функции. Таким образом, (2) можно переписать так: f(x, у) - /(хй> у0) = ФК у0)(х - х0) + + ^ у0)(у - у0) + а (x, у)(х - х0) +

+ $(х, у)(у - у0).

Последнее представление имеет вид (1), диф-ференцируемость функции / в точке М0 по Коши установлена. Теорема А доказана.

В силу рассмотренной теоремы тип диффе-ренцируемости (по Коши или по Каратеодори) функции в точке можно не оговаривать.

2. Понятие частной производной Каратеодори. Ясно, что дифференцируемость функции / в точке М0 по Коши влечет ее непрерывность в этой точке, а также существование частных производ-

Э/

функции / в точке М0,

ных

Эх

Эу

при этом

Э/

= А,

= В, где А и

КАЛИНИН Сергей Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент по кафедре прикладной математики ВятГГУ © Калинин С. И., 2006

Эх Эу

В - константы в (1), характеризующие диффе-ренцируемость функции /.

Пусть снова л = /(х, у) - дифференцируемая в точке М0 функция. Тогда для нее в окрестности М0 будет выполняться представление (2). В этом представлении функцию Ф(х, у) условимся называть частной производной Каратеодори функции / в точке М0 по первой переменной, а функцию Т(х, у) - аналогичной производной по второй переменной. Введенные производные обозначим соответственно символами / , гх ,

С. И. Калинин. О доказательстве основных теорем дифференциального исчисления функций.

/Х(Х'У) , (если следует акцентировать

внимание на точке, в которой вычисляется частная производная по первой переменной), / , гу ,

}у{х,у) , }уМа{х,у) .

Нетрудно видеть, что для дифференцируемой в точке М0 функции f справедливы равенства

ты) ( Л у(*Ь.уо) _»

~ А,м0 (,хо'Уо) , Оу ~ }ум,Ухо>Уо) . Ясно также, что полный дифференциал

df(M0)=

d/

dx +

d/

dy этой функции

Зх ' 5у в точке М0 может быть выражен через частные производные Каратеодори так:

Попытаемся сформулировать геометрический смысл частных производных Каратеодори функции f.

Положим в (2) у = у0. Тогда при х * х0 будет справедливо соотношение

f

= f (X

, которое позволяет заключить, что значение fxMa(x,y0) (x * x0) вы-

ажает тангенс угла наклона секущей кривой

z=f(x,y) У=Уо

, проходящей через точки

и (х, у0, ^х, у0)), к плоскости хОу.

Аналогично интерпретируется величина /уМо(х0,у) (у * у0). Она выражает тангенс

угла наклона секущей кривой

про-

ходящей через точки (x0, y0, f(M0)) и (x0, y, f(x0, y)), к плоскости xOy.

3. Производная сложной функции одной пе-

ременной. Пусть функции x=n(t), y=R(t) определены на интервале l числовой прямой Ot, а

функция z = f(x, y) определена в некоторой области D плоскости переменных x, y, при этом для любого tel выполняется условие (x(t); y(t))eD. Тогда имеет смысл сложная функция z = f(n(t), Rit)), tel. В отношении последней спра-

ведлива

Теорема 1. Пусть функции n(t), R(t) диффе-

ренцируемы в точке t0, t0el, а функция f

дифференцируема в точке M0(x0, y0), где x0 = n(t0),

y0 = R(t0). Тогда сложная функция z = f(n(t), R(t)) дифференцируема в точке t0, при этом

dz

dt dx dt dy dt .

Доказательство. Для tel рассмотрим разность

z(t) - z(to) = finit), Rit)) - f(n(to), Rit)). В силу дифференцируемости функции f(x, y) в точке M0 ее в некоторой окрестности u(t0) d l можно представить так:

z(t) - z(t0) = fxMo (p(t ),^(t )\(p(t ) -Ç(tS)+

+f,M0 (p(t),Y(t)() -Y(t«)). Так как функции n(t), Rit) дифференцируемы в точке 10, то

n(t)- n(t0) =ъкт-ь),

Rit)- Ritо) = V,0(0('-'o) , te«(to). Следовательно, имеем представление z(t) - z(to) =

t0u(to).

В этом представлении, заметим, функция

g(!)=Л,«„ (ф(0>¥ (0Жо (0 + /,,«„ (ф(0,¥ (0)\ (О

есть непрерывная в точке t0 функция, ибо ф,о (0 , У(о(0 непрерывны как производные Каратеодо-

Pи, а Lm, (ф(0.¥(0) , Л,м0(ф(0.¥(0) непрерывны

по теореме о непрерывности сложной функции и по причине непрерывности частных производных Каратеодори fxMa{x,y), fyMa{x,y) в точке

M0. Значит, g(t) = zh (t). Последнее говорит о

дифференцируемости функции z(t) в точке t0. Установим теперь формулу (3). Имеем:

= к Со ) = Л*. (ф(0,¥ (t0) +

dt

+ f

J y, M0 (ф (*о)>¥ С о v 0 ) = -—--+

df(x0,y0) <fy(f„) dy dt '

Теорема доказана.

4. Частные производные сложной функции нескольких переменных. Рассмотрим следующий случай такой функции. Пусть функции x = ç(u,v), y = R(u,v) определены в некоторой области G плоскости переменных u, v, а функция z = f(x, y) - в

+

области D изменения переменных х, у, при этом для любой точки (и, v)eG выполняется условие: точка (п(и, V); ф(и, V)) принадлежит D. Тогда на области G будет определена сложная функция л = /(п(и, V); р(и, V)). Справедлива

Теорема 2. Пусть функции п и ф в точке Р0(и0, v0) обладают частными производными

д

ди ' 5у ' ди ' 9у ' функция /(х, у) дифференцируема в точке

Mo(xo, Уо)> где хо = n(uo, Vo), Уо = Vo). Тогда

сложная функция л = /(п(и, V); ф(и, V)) в точке P0(u0, v0) также имеет частные производные, которые могут быть вычислены по формулам:

аг

ду ди '

ди

дх ди

dz

Доказательство. Введем в рассмотрение разность

Z(M,V0) -Z(M0,V0) =/((P(M,V0),V|/(M,V0)) -

-/(9(M0,V0),^(M0,V0)), (M,V0)GG.

Ее, в силу дифференцируемости функции f в точке M0, на некотором интервале (и— g; и0 + g) можно представить так:

z(M,V0)-Z(M0,V0)=

= Лм„

+ (ф («> vo )>V О, v0 ) Xv (", v0 ) -V(M0,V0)> Представление (6) порождает соотношение ZQ,V0)-Z(M0,V0) = и — и.

f

Л* (Ф (M>Vo)>V С", V0 ))*-5-

M — M.

M-M„

« - M„

аФ

(при вычислении соответствующих пределов мы воспользовались условием существования в точ-

дфК,У0)

ке P0 частных производных

du

du

функций n и R и непрерывностью про-

изводных Каратеодори fxM^ , fyM в точке M0).

Формула (4) установлена, (5) доказывается аналогично. Теорема доказана.

5. Достаточные условия существования производной по направлению. Справедлива

Теорема 3. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой области D плоскости xOy и дифференцируема в точке M0(x0; y0) этой облас-

df

ти. Тогда существует производная --- по

любому направлению, при этом последняя может быть вычислена по формуле

cosa + т^А cosß 5

dl дх ду

где cosa. , cosß - направляющие косинусы направляющего вектора прямой l.

Доказательство. Пусть M(x; y) - произвольная точка области D, принадлежащая l.

Рассмотрим разность AJ(x0,y0)=f (х,у)-Дх0,у0) -приращение функции f в точке M0(x0; y0) вдоль l. В силу дифференцируемости f в точке M0(x0; y0) она для точек M(x; y), достаточно близких к M0(x0; y0), может быть представлена в виде

\/(Хо,Уо) = КмХХ'Уд(Х-Х о) +

+ Л,м„

Обе части (9) поделим на алгебраическую про-

В (7) перейдем к пределу при и ^ и0, будем иметь: limz(„,y0)-z(M0,y0)_

екцию рг,М0М вектора МйМ на направление прямой l, будем иметь:

рг,М аМ рг,МаМ рг,М0М v '

х~хь

Заметим, = = cosa '

prtMaM

У ~ У

°——nr.cn —¿.-¿-й—= COS ß

pr,M0M

, сле-

довательно, (10) можно переписать в виде

дх ди

ду ди

ди

р^М аМ

В (11) перейдем к пределу при М^ М0. Предельный переход обеспечивает и существование

Т. Н. Кононова и др. Изучение связи между содержанием в организме эндогенных модуляторов...

производном

d/(Wo) dl

, и справедливость фор-

мулы (8). Теорема доказана.

6. Вывод уравнения касательной плоскости к гладкой поверхности. Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M0(x0; y0). Обоснование того, что касательная плоскость к графику этой функции в точке P0(x0, y0, f(x0; y0)) существует и имеет уравнение

z~zo -^-C*-*o) +-^-

сводится (см., напр., [2, С. 173], [3, С. 385]) к доказательству соотношения

lim Ях'у)~Л*»?»)-/.WX*-*.)-ГМ,уЩу-у.) _0

^ ^-x^ + iy-yS '

Установим его следующим образом. Учитывая дифференцируемость функции f в точке M0(x0; y0) по Каратеодори, выражение под знаком предела в (13) можно переписать так:

fix,у) - f(x0,y0) - fl(x,y\x-*„)-f'y(x,y)(y - Уь) л](х-х„У + (у- у „)2 _ (?,м. (Х'У) - Л(х°>у» ))*-*.) - (¡УМ, (Х'У) - fy(x0,y0)}y - у,) tJ(x-X„)2 + (у- у „У

Поскольку величины Г, ГГ77 ч^

Г, 7Г77 ограничены, а

У-*Уо

У-*Уч

, то

полученная дробь стремится к нулю при x 6 x0, y 6 y0 Это доказывает (13), а следовательно, (12) действительно есть уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x; y) в точке P0.

Заключение. Итак, мы рассмотрели определенное количество утверждений дифференциального исчисления действительных функций нескольких переменных, доказательство которых можно строить на использовании понятия дифференцируемости функции по Каратеодори. Описанный метод применим и при доказательстве некоторых других утверждений. Однако ради экономии места в данной работе упоминаемый материал мы не рассматриваем, предоставим возможность попытаться сделать это читателю.

Примечания

1. Калинин, С. И. Производная Каратеодори при изложении основ дифференциального исчисления

функций одной переменной [Текст] / С. И. Калинин // Математический вестник педвузов Волго-Вят. региона. Вып. 4. Киров: Изд-во Вят. госпед. ун-та, 2002. С. 74-88.

2. Уваренков, И. М. Курс математического анализа [Текст]: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / И. М. Уваренков, М. 3. Маллер. Т. II. М.: Просвещение, 1976.

3. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] / Г. М. Фихтенгольц. Т. I. М.: Наука, 1966.

Т. Н. Кононова, В. И. Циркин, О. В. Туликова, Е. В. Четверикова, Е. А. Жукова, С. И. Трухина

ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ СОДЕРЖАНИЕМ В ОРГАНИЗМЕ ЭНДОГЕННЫХ

МОДУЛЯТОРОВ ХЕМОРЕАКТИВНОСТИ И УРОВНЕМ ПСИХИЧЕСКОГО И ФИЗИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ У ПЕРВОКЛАССНИКОВ

В работе представлены данные о зависимости содержания в моче у детей эндогенных модуляторов хемореактивности от пола, уровня здоровья, гармоничности развития, зрительного восприятия, уровня внимания, степени адаптации к школе, успешности образовательной деятельности и типа темперамента.

Принятые в тексте сокращения: ВНД - высшая нервная деятельность, ВНС - вегетативная нервная система, ВПФ - высшие психические функции, ВСМ - визуально-структурное мышление, ЗВ - зрительное восприятие, ОД - образовательная деятельность, СА - сократительная активность, ЭБМХР - эндогенный блокатор М-холинорецепторов, ЭСБАР - эндогенный сенсибилизатор $-адренорецепторов.

Ранее было установлено [1, 2, 3, 4] наличие в организме человека эндогенных модуляторов прямого действия, в том числе эндогенного сен-

КОНОНОВА Татьяна Николаевна - кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры экологии и методики обучения экологии ВятГГУ ЦИРКИН Виктор Иванович - доктор медицинских наук, профессор, зав. кафедрой нормальной физиологии КГМА

ТУЛЯКОВА Ольга Валерьевна - кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры экологии и методики обучения экологии ВятГГУ ЧЕТВЕРИКОВА Елена Валерьевна - кандидат биологических наук, старший преподаватель кафедры медико-биологических дисциплин ВятГГУ ЖУКОВА Евгения Александровна - кандидат биологических наук, ассистент кафедры нормальной физиологии КГМА

ТРУХИНА Светлана Ивановна - доцент, кандидат биологических наук, зав. кафедрой анатомии, физиологии человека и валеологии ВятГГУ © Кононова Т. Н., Циркин В. И., Тулякова О. В., Четверикова Е. В., Жукова Е. А., Трухина С. И., 2006