Электрооптическая корректировка преобразования пучков Бесселя вдоль оси кристалла ниобата бария – стронция

ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКАЯ КОРРЕКТИРОВКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУЧКОВ БЕССЕЛЯ ВДОЛЬ ОСИ КРИСТАЛЛА НИОБАТА БАРИЯ - СТРОНЦИЯ

С.Н. Хонина1'2, В.Д. Паранин 2

1 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия

Аннотация

Теоретически исследовано электрически управляемое преобразование пучков Бесселя, распространяющихся вдоль оптической оси электрооптического кристалла ниобата бария -стронция. Компьютерное моделирование показало возможность динамического изменения распределения интенсивности пучка на выходе из анизотропного кристалла за счет изменения показателей преломления в результате приложенного напряжения. На основе теоретического анализа и численного моделирования определено управляющее напряжение, необходимое для корректировки преобразования пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного дифракционным аксиконом, в вихревой пучок Бесселя второго порядка.

Ключевые слова: пучки Бесселя, анизотропный кристалл, вихревой пучок, электрооптическое управление, кристалл ниобата бария - стронция.

Цитирование: Хонина, С.Н. Электрооптическая корректировка преобразования пучков Бесселя вдоль оси кристалла ниобата бария - стронция / С.Н. Хонина, В.Д. Паранин // Компьютерная оптика. - 2016. - Т. 40, № 4. - С. 475-481. - Б01: 10.18287/2412-6179-2016-40-4475-481.

Введение

Электрооптическое преобразование лазерных пучков может реализоваться двумя способами.

В первом способе формирование и преобразование происходит в комбинированном элементе, объединяющем дифракционную маску и управляющие электроды на поверхности электрооптического материала [1, 2].

Во втором случае формирование лазерного пучка осуществляется дифракционным оптическим элементом [3], а изменение его параметров производится в отдельной электроуправляемой части. Для управления произвольными лазерными пучками более удобен второй подход, обладающий большими возможностями как по генерации лазерных мод, так и по виду электроуправляемого воздействия (на фазу, поляризацию, амплитуду, направление распространения и др.).

Так, в работах [4, 5] было выполнено моделирование управления поляризацией, угловым и орбитальным моментом лазерных пучков Гаусса и Лаггера-Гаусса на основе электрооптического кристалла нио-бата бария - стронция 8г0,75Вао,25№206 (БВ№75). Этот подход применим и к другим видам лазерных пучков, что расширяет возможности техники высокоразрешающей фотолитографии [6], оптической микроманипуляции [7, 8], лазерной абляции [9, 10]. Использование электрооптического эффекта позволяет создавать быстродействующие динамические элементы в отличие от сравнительно медленных методов температурного, хроматического и оптико-механического управления лазерными пучками Бесселя [11-13].

Целью работы являлось теоретическое исследование электроуправляемого преобразования лазерных пучков Бесселя нулевого порядка в вихревой пучок второго порядка. В качестве формирователя пучка Бесселя нулевого порядка рассматривается бинарная

кольцевая решетка - дифракционный аксикон. В качестве преобразующего элемента выбран электрооптический кристалл ниобата бария - стронция Бг0,75Ва0,25№206 г-среза, обладающий высокой чувствительностью показателей преломления к напряженности электрического поля.

1. Расчет статического преобразования пучков Бесселя

В работах [14, 15] были разработаны теоретические основы, описывающие периодическое модовое преобразование лазерных пучков при распространении оптической оси кристалла в непараксиальном режиме. Физические основы этого явления, связанные с интерференцией обыкновенного и необыкновенного лучей при острой фокусировке лазерного излучения в анизотропной среде, обсуждались в работе [16].

Наиболее интересные результаты были получены для однородно-поляризованных Бесселевых пучков:

Вт (Г, ф) =

' Вх

Л

< Р:х Л

V ру У

•1т

где Вх (г,ф), Ву (г,ф) - поперечные компоненты лазерного излучения, (г,ф) - полярные координаты, Jm (х) -функция Бесселя т-го порядка, к = 2л/1 - волновое число, 1 - длина волны излучения в вакууме, о0 - параметр пучка, р„ ру - поляризационные коэффициенты.

Известно, что пучки Бесселя нулевого порядка можно формировать с помощью бинарной кольцевой решётки, представляющей собой дифракционный ак-сикон [17]:

т(г) = [соб (к а0г)],

где sgn[x] - функция взятия знака.

В этом случае характеристики аксикона и параметр Бесселева пучка связываются через значение числовой апертуры аксикона:

О0 = 1/ ё ,

где ё - период кольцевой решетки.

На рис. 1а показана центральная часть (размером 70^70 мкм) бинарного дифракционного аксикона с периодом ё = 4 мкм, а также результаты моделирования формирования пучка Бесселя нулевого порядка с помощью такого аксикона в однородной среде с показателем преломления п = 2,3 при освещении равномерным лазерным пучком с длиной волны 1 = 638,8 нм. В данном случае числовая апертура аксикона небольшая и составляет о0 » 0,16. Как видно, пучок Бесселя сохраняет свою структуру на всем рассмотренном пути распространения за исключением роста интенсивности с увеличением г (рис. 1г). Последнее связано с фазовым характером аксикона [17] - при удалении от оптического элемента в формировании пучка начинают участвовать периферийные кольца, энергия от которых при освещении плоским пучком растет пропорционально площади колец.

Для пучков Бесселя нулевого порядка с круговой поляризацией ру ± Iрх было экспериментально показано [18], что при распространении вдоль оптической оси анизотропного кристалла будет происходит пеГ 1Л/2 ^ Г^№р°,0)

Е(р, 0, г) = к2 1

I ±Л/2

риодическое преобразование пучка нулевого порядка в вихревой пучок второго порядка и обратно.

Комплексное распределение поля в случае формирования пучка Бесселя с помощью дифракционного аксикона (2) можно записать в виде [14, 15]:

-БС(кро, 0) 0

г) 500 1500 2500 3500 4500

Рис. 1. Формирование пучка Бесселя нулевого порядка с помощью бинарного дифракционного аксикона с периодом ё = 4 мкм

-БС(кро, 0)Л

ехр\ikzgc (о)]¥ (о) оdа +

СС(кра, 0) 0

СС

БС

е, У,

С (кро, 0) —

где

¥т (о) = | т( Г ) ( кго) Г & :

Та (о) = \/£» Т. (о) = \/£» -о2(ео / ее ) ,

С (/, 0) = — (/)С08 (0) , Б (/, 0) = и1 (?) (0),

БС (/, 0) = - (1/ 2) — (/) 8т (20), СС (/, 0) = (1/2) [ — (() - — (0 С08 (20)], ББ (?, 0) = (1/2) [ - ) + — (() С08 (20)],

Б

ехр \1кгте (о)] ¥ (о) о dо

где С, Б - условные величины, равные: С = ехр(гкгуо) + ехр(¡кгуе),

Б = ехр (гкгуо) - ехр (¡кгуе).

где еа, е, - диэлектрические проницаемости кристалла для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно.

Приближенно (без учета продольной компоненты и считая пучок Бесселя идеальным) распределение поперечной интенсивности в кристалле можно записать в виде [14, 15]:

I (х, у)»(1/2) |С|2 - 02 (к о04ХХГ+7) + +(1/2)|Б|2 — (ко0У1 х2 + у2),

где г - толщина кристалла.

При этом интенсивность на оптической оси испытывает периодические изменения в зависимости от пройденного расстояния г в анизотропной среде:

I(г) ~ 1 + соэ (кг [у, (о0) - Та (о0)]).

Заметим, что формулы (8) и (10) описывают поведение в кристалле идеального пучка Бесселя, в случае использовании аксикона отличие будет состоять в линейном росте интенсивности, как пояснялось к рис. 1г.

Используя выражения (4) - (7), выполним расчет преобразования для пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного дифракционным аксиконом, при распространении в кристалле ниобата бария-стронция 8г0,75Ба0,25№206, имеющем обыкновенный и необыкновенный показатели преломления па = 2,3117, п, = 2,2987 на длине волны X = 632,8 нм. Результаты моделирования показаны на рис. 2, из которых видно, что при распространении в анизотропной среде пучок

+

0

еоо

еоо

0

Бесселя нулевого порядка преобразуется в пучок Бесселя второго порядка. Причем, судя по графику осевой интенсивности (рис. 2е), при толщине кристалла 5 мм происходит полное преобразование.

Однако из соображений компактности может потребоваться использование более тонкого кристалла. В этом случае можно увеличить числовую апертуру аксикона, формирующего пучок Бесселя. На рис. 3 показаны результаты моделирования для аксикона с периодом ё = 2 мкм, что соответствует увеличению числовой апертуры в два раза (о0 » 0,32). Как видно, совершив два полных цикла, на выходе кристалла пучок возвращается в исходное состояние.

Заметим, что уменьшение периода аксикона может быть ограничено не только технологическими возможностями [19], но и предельной числовой апертурой [20], при которой в рассматриваемой оптической среде имеют место распространяющиеся волны.

На рис. 4 показаны результаты моделирования для аксикона с периодом ё = 1,3 мкм (о0 » 0,48). Такой ак-сикон может быть изготовлен с помощью установки круговой лазерной записи CLWS-200 на пределе технологических возможностей [21].

Из рис. 4 видно, что в кристалле происходит несколько циклов преобразования пучка Бесселя нулевого

порядка в пучок второго порядка и обратно. Причем на выходе кристалла достигается некая средняя фаза преобразования. Чтобы получить некоторое определенное состояние на выходе кристалла, нужно подобрать/оптимизировать характеристики лазерного излучения, например, изменяя период аксикона или длину волны.

Для облегчения этой задачи вместо (10) можно воспользоваться параксиальным выражением [14, 15]

I

и напрямую связать характеристики кристалла и параметры падающего на кристалл пучка с периодом преобразования. Таким образом, полное преобразование будет происходить для кристаллов толщиной:

кд =

д - целое положительное число.

Для рассматриваемого кристалла мы получаем следующее выражение для выбора периода аксикона:

ёд » 0,04^к /

В частности, чтобы в кристалле толщиной к = 5 мм произошло д = 4 преобразования, период аксикона должен быть равен ё = 1,33 мкм, т.е. немного больше, чем в случае, представленном на рис. 4.

О

е) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 г,мкм

Рис. 2. Распространение пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного с помощью аксикона с периодом ё = 4 мкм вдоль оси кристалла ниобата бария-стронция, на расстояние г = 1 мм

е) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Рис. 3. Распространение пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного с помощью аксикона с периодом ё = 2 мкм вдоль оси кристалла ниобата бария - стронция, на расстояние г = 0,6 мм

О

е) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 г, мкм

Рис. 4. Распространение пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного с помощью аксикона с периодом й = 1,3 мкм вдоль оси кристалла ниобата бария-стронция, на расстояние г = 0,5 мм

П » пе - (1/ 2)П>33 » пе - (1 / 2)П>33 Е;

2. Расчет динамического преобразования пучков Бесселя

Для достижения некоторого определенного состояния выходного пучка необходимо менять характеристики кристалла. Так, в работе [12] для изменения размерных и оптических характеристик кристалла использовался нагрев. Однако подход не слишком удобен из-за длительности процесса нагрева/остывания. Поэтому электрооптическое управление показателями преломления кристалла, обладающее существенно лучшим быстродействием, представляет особый интерес.

С этой целью выполним анализ применимости электрооптического кристалла ниобата бария-стронция Бг0,75Ва0,25КЪ2О6. Используем случай продольного электрооптического эффекта Е2||г и кЦг, который реализуется для г-среза кристалла с прозрачными электродами, нанесенными на его входную и выходную поверхности. Расположение оптических элементов и ориентация кристалла поясняется на рис. 5.

Показатели преломления кристалла ниобата бария-стронция Бг075Ва0,25КЪ2О6 для продольного линейного электрооптического эффекта с Ех||; и к||г имеют вид [22

1200 1000 800 600 400 200

где г13 = 67-10 -12, r33 = 1340-10 -12 - линейные электрооптические коэффициенты, м/В [23]. Напряженность электрического поля в формулах (11) вычисляется через напряжение на электродах U (В) и толщину кристалла h (м) следующим образом:

Ez = U / h .

Для рассматриваемого кристалла толщиной h = 5 мм с приложенным напряжением U = 400 В изменения для показателей преломления составляют: Dno» 3,25-10 -5 и Dne» 6,51-10 -4 соответственно. На рис. 6 показаны результаты моделирования для аксикона с периодом d = 1,33 мкм в отсутствие напряжения и с приложенным к кристаллу напряжением U = -400 В. Как видно, такого напряжения достаточно, чтобы согласовать характеристики лазерного излучения и кристалла и получить на выходе полностью преобразованный пучок.

„ ,, Л Z-срез SBN ПЗС He-Ne лазер 60x ~ -

01

I+U

40-х.

1

О

Аксикон

Рис. 5. Схема установки для электрооптического преобразования пучков Бесселя

/

/ Г\

•: Г \ ¡ j

; ¡л\\ / i \ \ ;

> ч \ /, > \ •* \ \/

_____ У 0s¿/ ! z, mi ш\ д

а) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 б) «>

Рис. 6. Распространение пучка Бесселя нулевого порядка, сформированного с помощью бинарного дифракционного аксикона с периодом d = 1,3 мкм вдоль оси кристалла ниобата бария-стронция: график распределения интенсивности вдоль оптической оси z (без напряжения - точечная линия и с приложенным напряжением U = -400 В - сплошная линия) и распределение на выходе кристалла (а) в отсутствие напряжения (б) и с приложенным к кристаллу напряжением

U = -400 В (в); размер картин - 10*10 мкм

Из результатов расчетов следует, что полное пре-

образование пучка Бесселя нулевого порядка в пучок второго порядка происходит при напряжении около 400 В. Необходимая напряженность поля составляет ЕТ ~ 0,8 кВ/см, что меньше коэрцитивного поля Ес ~ 1 кВ/см для БВ№75 [24].

Заключение

Теоретически исследованы особенности статического и динамического (электрооптического) преобразования пучков Бесселя вдоль оси кристалла

БГ0,75Ва0,25№2Об.

Показана возможность электрически управляемого преобразования пучка Бесселя нулевого или второго порядков, а также их заданного сочетания в тонких кристаллах толщиной 5 мм за счет использования дифракционных аксиконов с высокой числовой апертурой (о0 » 0,48). При рассмотренных параметрах напряженность электрического поля в кристалле не превосходит предельного (коэрцитивного) поля, что обеспечивает длительное сохранение его свойств.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, а также Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ 1607-00825, 16-29-11698-офи_м).

Литература

1. Ye, Q. High-efficiency electrically tunable diffraction grating based on a transparent lead magnesium niobate-lead ti-tanite electro-optic ceramic / Q. Ye, L. Qiao, H. Cai, R. Qu // Optics Letters. - 2011. - Vol. 36, Issue 13. - P. 24532455. - DOI: 10.1364/0L.36.002453.

2. Paranin, V.D. Methods to control parameters of a diffraction grating on the surface of lithium niobate electro-optical crystal / V.D. Paranin // Technical Physics. - 2014. - Vol. 59(11). -P. 1723-1727. - DOI: 10.1134/S1063784214110206.

3. Computer Design of Diffractive Optics / D.L. Golovashkin, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, V.S. Pavelyev, S.N. Khonina, R.V. Skidanov; ed. by V.A. Soifer.

- Oxford, Cambridge, Philadelphia, New Delhi: Woodhead Publishing, 2012. - 896 p. - ISBN: 978-1-84569-635-1.

4. Zhu, W. Electro-optically generating and controlling right-and left-handed circularly polarized multiring modes of light beams / W. Zhu, W. She // Optics Letters. - 2012. -Vol. 37(14). - P. 2823-2825. - DOI: 10.1364/OL.37.002823.

5. Zhu, W. Electrically controlling spin and orbital angular momentum of a focused light beam in a uniaxial crystal / W. Zhu, W. She // Optics Express. - 2012. - Vol. 20, Issue 23. - P. 25876-25883. - DOI: 10.1364ЮЕ.20.025876.

6. Cagniot, E. Transverse superresolution technique involving rectified Laguerre-Gaussian LG0p beams / E. Cagniot, M. Fromager, T. Godin, N. Passilly, K. A'l't-Ameur // Journal of the Optical Society of America A. - 2011. - Vol. 28, Issue 8. - P. 1709-1715. - DOI: 10.1364/JOSAA.28.001709.

7. Yao, A.M. Orbital angular momentum: origins, behavior and applications / A.M. Yao, M.J. Padgett // Advances in Optics and Photonics. - 2011. - Vol. 3, Issue 2. - P. 161204. - DOI: 10.1364/AOP.3.000161.

8. Soifer, V.A. Optical Microparticle Manipulation: Advances and New Possibilities Created by Diffractive Optics / V.A. Soifer, V.V. Kotlyar, S.N. Khonina // Physics of Particles and Nuclei. - 2004. - Vol. 35, Issue 6. - P. 733-766.

9. Matsuoka, Y. The characteristics of laser micro drilling using a Bessel beam / Y. Matsuoka, Y. Kizuka, T. Inoue // Applied Physics A. - 2006. - Vol. 84, Issue 4. - P. 423-430.

- DOI: 10.1007/s00339-006-3629-6.

10. Алфёров, С. В. О возможности управления лазерной абляцией при острой фокусировке фемтосекундного излучения / С.В. Алфёров, С.В. Карпеев, С.Н. Хонина, К.Н. Тукмаков, О.Ю. Моисеев, С.А. Шуляпов, К.А. Иванов, А.Б. Савельев-Трофимов // Квантовая электроника.

- 2014. - Т. 44, № 11. - С. 1061-1065. - DOI: 10.1070/QE2014v044n 11ABEH015471.

11. Paranin, V.D. Transformation of Bessel beams in c-cuts of uniaxial crystals by varying the emission source wavelength / V.D. Paranin, S.V. Karpeev, S.N. Khonina // Journal of Russian Laser Research. - 2016. - Vol. 37(3). - P. 250-253. - DOI: 10.1007/s10946-016-9567-7.

12. Паранин, В.Д. Управление оптическими свойствами кристалла CaCO3 в задачах формирования вихревых пучков Бесселя путём нагрева / В.Д. Паранин, С.Н. Хонина, С.В. Карпеев // Автометрия. - 2016. -Т. 52, № 2. - P. 81-87. - DOI: 10.15372/AUT20160210.

13. Паранин, В.Д. Управление формированием вихревых пучков Бесселя в с-срезах одноосных кристаллов за счёт изменения расходимости пучка / В.Д. Паранин, С.В. Карпеев, С.Н. Хонина // Квантовая электроника. -2016. - Т. 46, № 2. - С. 163-168.

14. Хонина, С.Н. Особенности непараксиального распространения гауссовых и бесселевых мод вдоль оси кристалла / Хонина, С.Н., Волотовский С.Г., Харитонов С.И. // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37, № 3. - С. 297-306.

15. Khonina, S.N. Comparative investigation of nonparaxial mode propagation along the axis of uniaxial crystal / S.N. Khonina, S.I. Kharitonov // Journal of Modern Optics. - 2015. - Vol. 62(2). - P. 125-134. - DOI: 10.1080/09500340.2014.959085.

16. Khonina, S.N. Implementation of ordinary and extraordinary beams interference by application of diffractive optical elements / S.N. Khonina, S.V. Karpeev, A.A. Morozov, V.D. Paranin // Journal of Modern Optics. - 2016. -Vol. 63, Issue 13. - P. 1239-1247. - DOI: 10.1080/09500340.2015.1137368.

17. Vasara, A. Realization of general nondiffracting beams with computer-generated holograms / A. Vasara, J. Turunen, A.T. Friberg // Journal of the Optical Society of America A. - 1989.- Vol. 6. - P. 1748-1754. - DOI: 10.1364/JOSAA.6.001748.

18. Khonina, S.N. Effective transformation of a zero-order Bessel beam into a second-order vortex beam using a uniaxial crystal / S.N. Khonina, A.A. Morozov, S.V. Karpeev // Laser Physics. - 2014. - Vol. 24(5). - 056101 (5 pp). -DOI: 10.1088/1054-660X/24/5/056101.

19. Полещук, А.Г. Синтез дифракционных оптических элементов в полярной системе координат: анализ погрешностей изготовления и их измерение / А.Г. Полещук, В.П. Коронкевич, В.П. Корольков, А.А. Харисов, В.В. Черкашин // Автометрия. - 1997. -№ 6. - С. 42-56.

20. Устинов, А.В. Анализ дифракции лазерного излучения на аксиконе с числовой апертурой выше предельной / А.В. Устинов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика, 2014. - Т. 38, № 2. - С. 213-222.

21. Агафонов, А.Н. Анализ зависимости разрешающей способности технологии локального термохимического окисления от параметров структуры светочувствительной плёнки хрома / А.Н. Агафонов, О.Ю. Моисеев, А.А. Корлюков // Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34, № 1. - С. 101-108.

22. Ярив, А. Оптические волны в кристаллах: пер. с англ. / А. Ярив, П. Юх. - М.: Мир, 1987. - 616 с.

23. Кузьминов, Ю.С. Сегнетоэлектрические кристаллы для управления лазерным излучением / Ю.С. Кузьминов. -М.: Наука, 1982. - 400 с.

24. Волк, Т.Р. Процесс поляризации кристаллов ниобата бария - стронция в импульсных полях / Т.Р. Волк, Д.В. Исаков, Л.И. Ивлева // Физика твердого тела. -2003. - Т. 45, Вып. 8. - С. 1463-1468.

Сведения об авторах

Хонина Светлана Николаевна, доктор физико-математических наук, профессор Самарского университета; главный научный сотрудник ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. Область научных интересов: дифракционная оптика, сингулярная оптика, модовые и поляризационные преобразования, оптическое манипулирование, оптическая и цифровая обработка изображений. E-mail: khonina@smr.ru .

Паранин Вячеслав Дмитриевич, 1986 года рождения, в 2010 году окончил Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королёва (ныне Самарский университет) по специальности 210201 «Проектирование и технология электронных средств», работает ассистентом кафедры наноинженерии Самарского университета. Область научных интересов: методы и средства управления лазерным излучением. E-mail: vparanin@mail.ru .

ГРНТИ: 29.31.15 и 29.33.17. Поступила в редакцию 12 августа 2016 г. Окончательный вариант - 19 августа 2016 г.

ELECTRO-OPTICAL CORRECTION OF BESSEL BEAM CONVERSION ALONG THE AXIS OF A BARIUM NIOBATE-STRONTIUM CRYSTAL

S.N. Khonina 1,2, V.D. Paranin2 1 Image Processing Systems Institute оf RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Samara, Russia,

2 Samara National Research University, Samara, Russia

Abstract

We perform a theoretical study of the electrically controlled transformation of Bessel beams propagating along the optical axis of an electro-optical barium niobate-strontium crystal. Computer modeling has shown the ability of the anisotropic crystal to dynamically change the output intensity distribution of the beam due to a change in the refractive index as a result of the applied voltage. On the basis of theoretical analysis and numerical simulation we specify the control voltage required to correct the conversion of the zero-order Bessel beam generated by a diffractive axicon into a second-order vortex Bessel beam.

Keywords: Bessel beams, anisotropic crystal, vortex beam, electro-optical controlling, crystal of barium niobate-strontium.

Citation: Khonina SN, Paranin VD. Electro-optical correction of Bessel beam conversion along axis of a barium niobate-strontium crystal. Computer Optics 2016, 40(4): 475-481. DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-4-475-481.

Asknowledgements: This work was financially supported by the RF Ministry of Education and Science and by the Russian Foundation for Basic Research (grants 16-07-00825, 16-29-11698-ofi_m).

References

[1] Ye Q, Qiao L, Cai H, Qu R. High-efficiency electrically tunable diffraction grating based on a transparent lead magnesium nio-bate-lead titanite electro-optic ceramic. Optics Letters 2011; 36(13): 2453-2455. DOI: 10.1364/0L.36.002453.

[2] Paranin VD. Methods to control parameters of a diffraction grating on the surface of lithium niobate electro-optical crystal. Technical Physics 2014; 59(11): 1723-1727. DOI: 10.1134/S1063784214110206.

[3] Soifer VA, ed. Computer Design of Diffractive Optics. Oxford, Cambridge, Philadelphia, New Delhi: Woodhead Publishing; 2012. ISBN: 978-1-84569-635-1.

[4] Zhu W, She W. Electro-optically generating and controlling right- and left-handed circularly polarized multiring modes of light beams. Optics Letters 2012; 37(14): 2823-2825. DOI: 10.1364/OL.37.002823.

[5] Zhu W, She W. Electrically controlling spin and orbital angular momentum of a focused light beam in a uniaxial crystal. Optics Express 2012; 20(23): 25876-25883. DOI: 10.1364/OE.20.025876.

[6] Cagniot E, Fromager M, Godin T, Passilly N, Ai't-Ameur K. Transverse superresolution technique involving rectified Laguerre-Gaussian LG(p)0 beams. J Opt Soc Am A 2011; 28(8): 1709-1715. DOI: 10.1364/JOSAA.28.001709.

[7] Yao AM, Padgett MJ. Orbital angular momentum: origins, behavior and applications. Advances in Optics and Photonics 2011; 3(2): 161-204. DOI: 10.1364/AOP.3.000161.

[8] Soifer VA, Kotlyar VV, Khonina SN. Optical Microparticle Manipulation: Advances and New Possibilities Created by Diffractive Optics. Physics of Particles and Nuclei 2004; 35(6): 733-766.

[9] Matsuoka Y, Kizuka Y, Inoue T. The characteristics of laser micro drilling using a Bessel beam. Applied Physics A 2006; 84(4): 423-430. DOI: 10.1007/s00339-006-3629-6.

[10] Alferov SV, Karpeev SV, Khonina SN, Tukmakov KN, Moiseev OYu, Shulyapov SA, Ivanov KA, Savel'ev-Trofimov AB. On the possibility of controlling laser ablation by tightly focused femtosecond radiation. Quantum Electronics 2014; 44(11): 10611065. DOI: 10.1070/QE2014v044n 11ABEH015471.

[11] Paranin VD, Karpeev SV, Khonina SN. Transformation of Bessel beams in c-cuts of uniaxial crystals by varying the emission source wavelength. Journal of Russian Laser Research 2016; 37(3): 250-253. DOI: 10.1007/s10946-016-9567-7.

[12] Paranin VD, Khonina SN, Karpeev SV. Control of the optical properties of a CaCO3 crystal in problems of generating Bessel vortex beams by heating. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing 2016; 52(2): 174-179. DOI: 10.3103/S8756699016020102.

[13] Paranin VD, Karpeev SV, Khonina SN. Control of the formation of vortex Bessel beams in uniaxial crystals by varying the beam divergence. Quantum Electronics 2016; 46(2): 163-168. DOI: 10.1070/QEL15880.

[14] Khonina SN, Volotovsky SG, Kharitonov SI. Features of nonparaxial propagation of Gaussian and Bessel beams along the axis of the crystal. Computer Optics 2013; 37(3): 297-306.

[15] Khonina SN, Kharitonov SI. Comparative investigation of nonparaxial mode propagation along the axis of uniaxial crystal. Journal of Modern Optics 2015; 62(2): 125-134. DOI: 10.1080/09500340.2014.959085.

[16] Khonina SN, Karpeev SV, Morozov AA, Paranin VD. Implementation of ordinary and extraordinary beams interference by application of diffractive optical elements. J Mod Opt 2016; 63(13): 1239-1247. DOI: 10.1080/09500340.2015.1137368.

[17] Vasara A, Turunen J, Friberg AT. Realization of general nondiffracting beams with computer-generated holograms. J Opt Soc Am A 1989; 6: 1748-1754. DOI: 10.1364/JOSAA.6.001748.

[18] Khonina SN, Morozov AA, Karpeev SV. Effective transformation of a zero-order Bessel beam into a second-order vortex beam using a uniaxial crystal. Laser Physics 2014; 24(5): 056101. DOI: 10.1088/1054-660X/24/5/056101.

[19] Cherkashin VV, Kharissov AA, Korol'kov VP, Koronkevich VP, Poleshchuk AG. Accuracy potential of circular laser writing of DOEs. Proceedings of SPIE 1997, 3348: 58-68

[20] Ustinov AV, Khonina SN. Analysis of laser beam diffraction by axicon with the numerical aperture above limiting. Computer Optics 2014; 38(2): 213-222.

[21] Agafonov AN, Moiseev OY, Korlyukov AA. Analysis of dependence of local thermochemical oxidation technology resolution from photosensitive chrome film structure parameters. Computer Optics 2010; 34(1): 101-108.

[22] Yariv A, Yeh P. Optical Waves in Crystals: Propagation and Control of Laser Radiation. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons; 1983. ISBN: 978-0471091424.

[23] Kuz'minov YuS. Ferroelectric crystals for laser control [in Russian]. Moscow: "Nauka" Publisher; 1982.

[24] Volk TR, Isakov DV, Ivleva LI. Polarization of strontium-barium niobate crystals in pulsed fields. Physics of the Solid State 2003; 45(8): 1537-1542. DOI: 10.1134/1.1602893.

Authors' information

Svetlana Nikolaevna Khonina, Doctor of Physical and Mathematical Sciences; she works as a Professor of Samara National Research University and the chief researcher of the IPSI RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. Research interests: diffractive optics, singular optics, mode and polarization transformations, optical manipulation, optical and digital image processing. E-mail: khonina@smr.ru .

Vyacheslav Dmitrievich Paranin (b. 1986) graduated from Samara State Aerospace University in 2010, majoring in Design and Technology of Radio-electronic Equipment. Currently he works as an associate professor at Nanoengi-neering sub-department of Samara National Research University. Research interests are methods and devices for controlling the laser radiation. E-mail: vparanin@mail.ru .

Received August 12, 2016. The final version - August 19, 2016.