Волны в двухслойной жидкости над сыпучей средой

УДК 532.591 С. И. Перегудин

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4

ВОЛНЫ В ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ НАД СЫПУЧЕЙ СРЕДОЙ

1. В естественных природных водоемах достаточно редки случаи, когда дно твердое, непроницаемое и недеформируемое. Как правило, дно реки или моря представляет собой слой песка, ила, глины или гравия. В результате воздействия потока жидкости поверхность дна принимает волнообразную форму. Такого рода песчаные волны можно наблюдать на отмелях рек после схода воды, такие же песчаные волны, только гораздо выше, образуются в пустыне—дюны и барханы.

Первые экспериментальные исследования песчаных волн были проведены Диконом (см. [1]), причем им была установлена приближенная зависимость между скоростью потока и скоростью движения гребня песчаных волн. В его опытах хорошо оформленные песчаные волны начинали появляться при скорости потока 0,46 м/с. При достижении предельной скорости 0,88 м/с в опытах Дикона песчаные волны размывались, исчезали и песок переносился во взвешенном состоянии.

Первое теоретическое исследование песчаных волн принадлежит Экснеру

[2], который, исходя из своей приближенной теории, а также из экспериментов, проведенных в лотке с водным потоком и в аэродинамической трубе, дал в основном правильное описание механической стороны явления. Более того, им выведено уравнение, связывающее расход донного вещества Q(x, £) с формой поверхности раздела жидкой и твердой фаз п(х,Ь). Расход Q(x,t) характеризуется реологией грунта. Для преодоления этой трудности Экснер принимает гипотезу о линейной зависимости расхода от донной скорости жидкости пъ, то есть Q = нпъ. Из допущения постоянства расхода в водном слое следует равенство горизонтальных компонент донной и водной скорости.

М. А. Великанов обобщает гипотезу Экснера, полагая произвольную зависимость расхода от донной скорости (см. [2]).

Ф.И. Франкль рассмотрел задачу о движении песчаных волн с более полным учетом гидродинамики водного слоя, полагая движение невозмущенного потока потенциальным с постоянной скоростью, а сами возмущения считая величинами малыми (см.

[3]). В статье Ю.З.Алешкова [4] рассмотрен более общий случай — непотенциальное движение слоя неоднородной жидкости над сыпучей средой.

2. Рассмотрим трехслойную среду — два слоя идеальной однородной несжимаемой жидкости, грунт. Нижняя жидкость имеет плотность Р1, верхняя — Р2, Р1 > Р2. На поверхности раздела верхний слой—воздух (свободной поверхности) и на поверхности раздела двух слоев образуются волны. При движении нижнего слоя происходит взаимодействие жидкости с грунтом, в результате чего частицы донного слоя также приходят в движение.

Расположим ось х вдоль невозмущенной горизонтальной поверхности слоев, ось у направим вертикально вверх. Толщина верхнего слоя в невозмущенном состоянии — Н2, нижний слой в предположении горизонтальности дна имеет толщину Но. Свободная поверхность в текущий момент времени £ будет иметь вид у = Н2 + П2(х,£), поверхность раздела — у = П1(х, £), поверхность дна — у = —Н(х,Ь) = -Но + п(х, £).

© С. И. Перегудин, 2003

Предположим движение в каждом слое потенциальным:

(х,у,£),у^ (х,у,г)) = (x,y,t), о = l, 2.

На свободной поверхности и поверхности раздела выполняются кинематическое и динамическое условия

+ = Р = у = Ъ + т(*,*),

т*+%;тьшть' «<*•**>-»<*•»•*>• »-*<*•«•

Р1 (х, у, Ь),р2 (х, у, Ь) — давление в каждом слое жидкости, р2(х, у, Ь) — атмосферное давление. Кроме того, в каждом слое жидкости имеет место интеграл Лагранжа—Коши

^ + ^ъ\2 + ^: + 9у-№

д — ускорение свободного падения, (Ь) — произвольная функция времени.

Для донного слоя выполняются кинематическое условие

дп дп дфу дфу

дЬ дх дх ду

и условие, связывающее расход вещества, образующего подвижный донный слой, с формой его поверхности [1—4].

Ж + ЖГ = 0’ у = -Ио + Ф,*),

Q = Q(пъ), пъ — горизонтальная компонента скорости жидкости вблизи дна.

В случае, если поток жидкости имеет постоянную скорость и и горизонтален, поверхности раздела п(х,Ь) = 0, пу(х,Ь) = 0, щ(х,Ь) = 0 удовлетворяют условиям задачи,

при этом расход Q не зависит от горизонтальной координаты.

Предположим, что (х, у,Ь) = их + ^ (х, у,Ь), где ^ — возмущение, наложенное на горизонтальный поток. В этом случае условия на границе для волн малой амплитуды примут вид (штрих над потенциалами опущен):

дг]2 , ттдщ д^2 о тт

а- + сТь=^' ” = п- у = Иг’

+ !>1=в, „ = 0,

дЬ дх ду

дг] дг]_д<р1 дг) дС)_ _

т+ид^-^' т+1^-0' у-~н°-

Предположим зависимость <3 = С}(иъ),иъ = II + _Но гу В случае малых воз-

мущений [з] д = <э(и) + я^-\{х_Но^у * = Я'(и).

В результате преобразований заключаем, что потенциалы скорости в каждом слое должны удовлетворять уравнению Лапласа Афз =0 и краевым условиям

д^2 _ р(л д'2ір2 _

дір і дір2 _ „ _ „

“я------я— —  > У — 0 і

ду ду

/ .дсрг _ д,2ср2 д'2ірі / ^

9{Рі - Р2)~^~ ^ Р2~дї? РХ~д& 2 ~~ 9 1’ ’

а2^ , а' а2^ _ п _ „ д> _д , ттд + у-~н0> т-т + ид^-

Отыскивая решение, отвечающее периодическим волнам, положим

Фз = Фз

где к — волновое число, с — фазовая скорость относительно потока.

Гармонические функции фі(€, С) и ф2(€, 0 будем искать в виде

ф1 (€,С) = (с + Бес) 8ІП €,

Ф2 (€, С) = (Ое-С + Бес) эт € •

Л

Л0

Интегральные условия [5] / Пз (х,Ь)йх = 0 в предположении р° = 0 требуют

о2

Ш) = \и2 +дН2, /1(» = — (р2дН2 + \pilJ2

2 ру \ 2

Учет граничных условий определяет соотношение между А, Б,С,П:

4

^2ап1х1 = о, п = 1,4, XI =

1=1

ац = «12 = 0 , Я1э = — (д + кс2) е-кН ,

«14 = (д — кс2) екН2 , «21 = «24 = —1 , «22 = «23 = 1 ,

«31 = —д(р1 — Р2) — Р1кс2, «32 = д(р1 — Р2) — Р1кс2,

азз = аз4 = Р2кс? , ац = ((и + с) + кск) екНо ,

с2

а42 = (-(и + с) + кск) е-кНо , а43 = а44 = 0 .

Ненулевое решение данной системы алгебраических однородных уравнений существует для значений с, определяемых из уравнения

р2кс2(кс2вЪкН2 — дсЪкН2) ((и + с)вЪкН0 + кскеЪкН0) +

+ (двЪкН2 — кс2сЪкН2) (д(р1 — р2)(и + с)вЪкН0 — р1кс2-(и + с)еЪкН0 + д(р1 — р2)ксксЪкН0 — кр1к2с3вЪкН0) = 0 .

В случае, если верхний и нижний слои бесконечно глубоки, значение с определяется

как

и 2 _ д Р1- Р2 2 д

^ с = —------- с — — .

1 + як ’ к р1 + р2 ’ к

Анализ полученного выражения показывает, что в первом случае относительная скорость волны зависит от волнового числа и изменения расхода, направление скорости донной волны противоположно направлению скорости потока, во втором случае с2 = с2 (к, р1,р2), причем направление скорости донной волны может совпадать с направлением скорости потока, а может быть противоположным. В третьем случае относительная скорость донной волны не зависит от степени неоднородности жидкости и сыпучести донного слоя. Два последних случая аналогичны случаям, рассмотренным в задаче о волнах конечной амплитуды в двухслойной жидкости (см. [5], [6]).

Отношение внутренней ВОЛНЫ К волне поверхностной имеет ВИД 21 = &)кН2 —

^ЬкН2. Ш

3. Предположим, что скорости набегающего потока на бесконечности слева различны, следовательно, потенциалы скорости имеют вид ^ (х, у, Ь) = и2х + ^ (х, у, Ь). Аналогично предыдущему, в случае малых возмущений, задача состоит в определении гармонической функции <^2 (х,у,Ь), удовлетворяющей краевым условиям

д \ д д 9^ + Ь22)<Р2 = т), У = Н2, Ц = - + ий—,

дд

— (Ь2<Р1-ь1(Р2) = о, [д{р1-Р2)-^ +^

- Р2Ь1Ь2<Р2 = Р11[ (Ь) - Р2/2 (Ь) , у = 0 ,

( д2 д2 т \

Положив и = и1^и2, произведем замену, аналогичную (1).

Отыскивая функции ^ (£, £) в виде (2) при р2 = 0, согласно интегральному условию имеем:

/г(^) = + дН2 , Л(^) = — (Р2дН2 + -ргЩ

2 р1 \ 2

Краевые условия (5) равносильны однородной алгебраической системе (3) с коэффициентами

а-11 = а12 =0 , а13 = (д + к(0-)2) е-кН2 , а14 = (-д + к(^2 )2) екН2 , а21 = а22 = @2 ,

а23 = -а24 = -9+ , аз1 = -д(р1 - Р2) - кр1(в-)2 , аз2 = д(р1 - Р2) - кр1(9-)2 , азз = аз4 = кр2(9-)2 , а41 = (-(и + с) - нк(в-)) екНо , а42 = ((и + с) - кк(9—)) е-кНо , а43 = а44 = 0 ,

= (и + с) ± и1, в± = (и + с) ± Щ ,

Нетривиальное решение существует для значений с, определяемых из дисперсионного

соотношения

в- (-двЪкН + к(в-)2с\1кИ2) —д(р1 — Р2)(и + фъкщ—

— ккд(р1 — р2)в-сЪкНо + кр1(и + с)(в-)2еЪкН0+

+к2 кр1(в-)3аЪ.кН0] + кр2(в-)2в— (деЪкН2 — к(в-)2

вЪкН2)  [—(и + с)вЪкН0 — ккв-еЪкН0] = 0.

Предельное значение относительной скорости при Но ^ +го, Н2 ^ имеет вид:

и,-и2 и, - и2 /7 и, иг- и2

с =---------, с =----------± 4 — , с =-------------\---------,

2 ’ 2 V к 1 + як 2’

кр\{и\ — и2) ± а/£>оо

с =---------------------

2к

= к2р1(и1 — и2)2 — к2(р1 — р2)(и1 — и2)2 + 4дк(р1 — р2) .

В случае и1 = и2 = и значения скорости донной волны совпадут с аналогичными значениями выражения (4).

4. Рассмотрим два соприкасающихся слоя идеальной неоднородной стратифицированной жидкости, находящихся над сыпучей средой. Верхнему слою соответствует индекс 2, нижнему — 1. Ось х направлена вдоль поверхности раздела водных слоев, ось у направлена вертикально вверх. В обозначениях предыдущей задачи предположим возмущенное движение отличным от потенциального. Данной математической модели соответствует следующая задача (см. [4]):

дрз дрз дрз

+ + ~^~'°зу = 0 1 '03 = 0 ,

Р* ' дЬ с граничными условиями

дт . дщ

-7^7 +'и2х~о^ = Ъ2у, р2=ро, у = Н2+Г]2{г,х),

дт дщ

~дГ ^х~дх=У;,У1 Р1=Р2’ У = г11{1,х),

дг1 дп дг^,дЯ , ,

Тн+п‘1ь = щ” а + &=0' » =-я» + ч(м),

Я = Я^Хх), г°\х = V1х(х, Но + п(х, *),г).

Уравнения движения с учетом условий на свободной поверхности и поверхности раздела имеют решение

Рз = Рз (у) > Рз = рз (у) > узх = из (у) > з = 0 > г](х,г) = о, щ(х,г)=о, г]2(х,г) = о, дрз(у) + Щ^ = о.

Здесь рз(у),из(у) — произвольно заданные функции.

Движение жидкости представим в виде

jy

Pj = Pj (y)+pj (x,y,t), vjx = uj (y) + vjx (x,y,t) ,

= vjy

штрих характеризует возмущенное движение.

Рассмотрим исходную задачу для возмущенного движения:

A + (u. + v> )dA+v> (A + A

dt dx +viv\dy + dy

dv'

jy

dv'

div vj

dt

+ (uj +vix)^rr +

dv

dx jy dv'

du

о I dviX dy dy

dt

JW+K- + 0 3y'~J

dvj yn

---------h Vі- ——

dx ov dy

= -gpj

0, A

dx

A

dy

с граничными условиями

дп2

d’n , і \ dn2 — + (u2 + v2x)— -

dt

dn

dx

dn[

v2y ,

— + {Uj+Vjx)— -

dx

д'П> ' \dl1'

iy

P2 = Po , y = H2 + n2 ,

Pi = P2 , y = Vi , dri' dQ_ _

ж + y-~H0+71

Рассмотрим соответствующую линейную задачу. Уравнения возмущенного движения:

A

dt

A

dx

/ 9 Pi

OV Qy

div vj =0,

Pj

Pj

vjx dvjx duj j

dt J dx dy -*v dv' dv'

ЗУ I ЗУ

' aj

A

dx ’

dt

dx

= -gpj

A

dy '

dri'2 , dV2 /

Tit +

Граничные условия для описания возмущенного движения при po = const:

-9P2(yW2 + Р2 =0 > У = H2 ,

9(P2{y) - Pi{y)Wi + Pi - p2 = 0> у = 0> У = -Ho .

M

dt

dnl

+ Uj dx

dn' dn'

aF + "17fa =”

ly ’

Кроме того, так как

Ax = ui( Ho) + bn' + vlx(x, -Ho, t) , b =

du1

dy

y = -Ho

Q = Qi + к (bn' + v[ x), Qi = Q(ui), к = Q'(ui), y = -Ho

v

граничное условие на поверхности донного слоя, связывающее форму поверхности с расходом, примет вид

дП ,дг\' дю[ х

~я7 ~я-------^ н~.я— — ’ У ~ ~Но

дЬ дх дх

Рассмотрим решение в виде бегущей волны с частотой ш и волновым числом к:

РРVхуо'зхУПЛ V } = {Щ

Для определения соответствующих амплитуд имеем уравнения

V(киз — ш[Щ(у) + рзУзу(у) = 0 , гкузх(у) + ^у^ = 0 ,

рз [Ккиз — ш)Узх

р

с граничными условиями

1(ки2 — ш)С = У2у , —др2С + Р2 =0, у = Н2,

г

(ки1 — ш)Л = У1у , (кки1 — ш)Л + гккУ1х = 0 , у = —Но .

В результате преобразований уравнений (7) и граничных условий (8) получим краевую задачу для функции т з(у) = Узу(у):

(киз — ш)2 (тЦ — 2аз) — [к2(ки3 — ш)2 + к(ки3 — ш) (и" — 2а3из) — к2М2~\ т = 0,

,,2 д р'з(у) 1 , т2 , ( ки2 ак2 \

/V.- = ——г- , 2ау = — Ыа , и>2 = ( ---------Ь -г.------гтт ) и>2 , у = Н2 ,

Рз(у) ’ 3 д 3 ’ 2 \ku2-uj (ки2 — '',''2

ки1 — ш

иих = --------------го2

ки2 — ш

~ / , дк ^

Р\их + -------------

ки1 — ш

т1 —

— ^у-(ки\ - и;)ю[ = Р2и'2и)2 - ^{ки2 - и)ги'2 , у = 0, кк

ккЬ — ш /о

и> 1 — нио-у = 0 , у = —Но .

ки1 — ш

В результате замены

тз

^-Яс ‘

для функции У (у) получим уравнение

У''(у)+Яз(у)У(у)=0,

о о и— 2а зи з 2ок‘2

ф) = а’

ки — ш (ки — ш)2

с граничными условиями

У2 = вУ, у = Н2,

V = i32v2 , sv + s2v; = s3v2 + s4vj, y = 0,

Y\V\ — xV{ = 0 , y = -Ho , ku2 gk2 kui — ш

l3l=kW^+(ku2-u,y -“2’ /?2=ы^’

(5i = p\ux + —!——(pi - р2) - - w)ai,

kui — ш k

<^2 = ~ ’ ^3 = /Э2М2 — ^T^M2 _ W)Q!2 j

P2n s >ckb-LV

04 = ~ — (ku2 —w), 71 = -----Ml .

k kui — ш

При rjj = const имеем Vj(y) = Cj cos ^/qJy+C^ sin qjy. С учетом граничных условий, получим уравнения для Cj ,C2:

J2ankXk = 0, п = 1,4, xfc = (clcldl,c%f k=i

«11 = «12 = 0 , 013 = /3i(F2)cos v^q2H2 + ,/<72sin ^/q2H2 ,

«14 = /?1 (Я2) sin а/(/2Я2 — л/(/2 cos УЯ2, «21 = 1, а23 = -/?2(0),

«22 = «24 = 0, «31 = <?1 (0) , аз2 = 1/91^2(0) , азз = — <^з(0),

«34 = — а/92^4(0) , «41 = 7i(—Яо) cos ^/qiHo — sin д/qiHo ,

«42 = — 7i(—^0) sin у/QiHo — x^/qi cos y/q[H0 , <243 = CJ44 = 0 .

Условие равенства нулю определителя этой системы равносильно дисперсионному соотношению для ш = ш(к, к):

Н0) - '/¥Мт- V¥ =

71 (-Я0) - K^fq[tg^fq[H0

= ш

Тогда функции Vj(y) примут вид

МО) + \/qiS2

7i(-ff0)tgv/gTff0 + x^/qi_

Vi = C(c{ cos yfqiy + c\ sin yfqiy),

V2 = С{С\ cos у/q^y + sin Jqiy),

„1 _ /32

°1 — __

Pi(H2) cos ^Я2 + yfqisin y^H2

1 =

2 ^2

,2 _ f3i(H2) sin ^H2 - cos ^/cftH2

C2 =

(7 — произвольная вещественная постоянная.

Искомые параметры возмущенного движения определяются согласно (6)—(9).

В случае экспоненциального распределения плотности в каждом слое рц (у) = рцо ехр(—ац у) уравнение для дц (у) примет вид

из аоиз

+

(кпц — и)2

Замена 1ц (у) = кпц (у) — и приводит (10) к уравнению

1

Щ{у) - а]^{у) — - ( Яз(у) + + к2 ) 1]{у) +

дац к2

которое подстановкой (см. [7]) = -2^- приводится к уравнению Абеля второго

рода

1 ( 1 о , п\ , дацк2

ЦЬ] - - --д ( ^ + -oj +к ) I] +

-3 \ / ц

12 12

аналитическое решение которого при qj = — 4^ — к выражается параметрически:

!~<Г ехр

3 у 2§ ехр(г2)с!,г — С ’

Ьц = к

д ехр(г2) — 2г(/ехр(г2)йг — С) / ехр(г2)йг — С

Пусть дц = дц(у). Рассмотрим решение Уцу(у), Уц2(у) с начальными данными (см. [4]) Уп(0) = 1, У'1 (0)=0, Уц2(0)=0, УЦ2(0) = 1.

Тогда общим решением будет

У (у)= ЕцУц1 (у)+ЕцУц2 (у).

С учетом граничных условий, получим систему уравнений для определения Ец, Ец:

4

£еп^=0, п = 1,4, (х1,х2,х3,х4) = (Р1,Р1,Р2,Р2)Т ,

к = 1

ец = &12 = 0, в1з =

У = Н2

е21 = Уц

У=0

е31 =

У=0

е33 = —

У=0

У = Н2

е24 = —

У=0

У=0

е41 =

У=-Но

, е42 =

У=-Но

У=0

е43 = 0,

е44 = 0.

Равенство нулю определителя этой системы определяет зависимость и = и (к, к).

Summary

Peregudin S. I. Waves in two-layer liquid above the loose medium.

The movement of two layers of ideal incompressible liquid above a bottom consisting of sand is considered. The cases of potential movement of layers with identical and various initial speeds are presented. The case of no-potential movement of two layers of the stratified liquid is also considered.

Литература

1. Великанов М. А. Динамика русловых потоков. М., 1954.

2. Великанов М. А. Движение наносов. М., 1948.

3. Франкль Ф. И. О движении песчанных волн // Докл. Акад. наук СССР, 1953. Т. 89. №1. С. 29-32.

4. Алешков Ю. З. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер 1. 2001. Вып. 4 (№25). С. 35-43.

5. Алешков Ю. З. Течение и волны в океане. СПб., 1996.

6. Перегудин С. И. Внутренние и поверхностные волны в слоисто-неоднородной жидкости // Международная конференция “Дифференциальные уравнения и их приложения”. Саранск, 1995. C. 74-82.

7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М., 1995.

Статья поступила в редакцию 17 декабря 2002 г.