Симметрии уравнения Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле

4. Боресков, Г. К. Гетерогенный катализ / Г. К. Боресков. — Москва : Наука, 1986. — 304с.

5. Горбань, А. Н. Очерки о химической релаксации / А. Н. Горбань, В. И. Быков, Г. С. Яблонский. — Новосибирск : Наука, 1986. — 320 с.

6. Bykov V.I., Yablonskii G.S., Kuznetzova T.V. Simple catalytic mechanism permitting a multiplicity of catalyst steady states. //Reacting Kinetic and Catalysis Letters. 1979. V.10, № 4. P. 307—310.

7. Яблонский, Г. С. Кинетика модельных реакций гетерогенного катализа / Г. С. Яблонский, В. И. Быков, В. И. Елохин. — Новосибирск : Наука, 1984. — 250 с.

8. Мышлявцев, А. В. Диаграммы кратности для механизма Ленгмюра-Хиншельвуда в условиях неидеальности адсорбционного слоя. Необратимая адсорбция / А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева // Омский научный вестник. — 2005. — № 2(31). - С. 85-90.

9. Мышлявцев, А. В. Неидеальность адсорбционного слоя и автоколебания в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда. Необратимая адсорбция / А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева // Омский научный вестник. — 2006. — № 1(34). — С. 57-60.

10. Мышлявцев, А В. Латеральные взаимодействия в адсорбционном слое и критические явления в реакции, протекающей по механизму Ленгмюра-Хиншельвуда / А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева // Кинетика и катализ. — 2007. — Т. 48, № 4. — С. 576 — 585.

11. Мышлявцев, А. В. Сравнительный анализ влияния типа решетки на область множественности в механизме Ленгмюра-Хиншельвуда в условиях неидеальности адсорбционного слоя / А В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева // Известия вузов. Химия и химическая технология. — 2007. — Т. 50, № 11. — С. 104 — 109.

12. Myshlyavtsev A.V., Zhdanov V.P. The effect of nearest-neighbour and next-nearest-neighbour lateral interactions on thermal desorption spectra //Chem. Phys.Lett. 1989. V. 162, № 1,2. P. 43 — 46.

13. Мышлявцев, А В. Вычислительные аспекты метода трансфер-матрицы / А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева. — Кызыл : ТувИКОПР СО РАН, 2000. — 101 с.

14. Быков, В. И. Применение метода трансфер-матрицы для описания процессов на поверхности катализатора / В. И. Быков, А. В. Мышлявцев, М. Г. Слинько // Доклады Академии Наук. — 2002. — T. 384. № 5. — С. 650 — 654.

15. Runnels L.K., Combs L.L. Exact finite method of lattice statistics. I. Square and triangular lattice gases of hard molecules // J. Chem. Phys. 1966. V.45, № 7. Р. 2482 — 2492.

16. Жданов, В. П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности / В. П. Жданов. — Новосибирск: Наука, 1988. — 296 с.

17. Myshlyavtsev A.V., Sales J.L., Zgrablich G., Zhdanov V.P. The effect of three-body interactions on thermal desorption spectra // J.Statistical Phys. 1990. V. 58, № 5/6. P.1029—1039.

18. Myshlyavtsev A.V., Dongak M.D. (Myshlyavtseva) Statistics of adsorption on top and bridge sites of a square lattice: transfer matrix approach. //J. Stat. Phys. 1997. V.87. № 3/4. P. 593 — 607.

19. Bartlet N.C., Einstein T.L., Roelofs L.D. Transfer-matrix approach to estimating coverage discontinuities and multicritical point positions in two-dimensional lattice gas phase diagram. // Phys. Rev. B. 1986. V.34. №3. P. 1616—1625.

МЫШЛЯВЦЕВ Александр Владимирович, доктор химических наук, проректор по учебной работе Омского государственного технического университета, ведущий научный сотрудник института проблем переработки углеводородов СОРАН. МЫШЛЯВЦЕВА Марта Доржукаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 06.02.2012 г.

©А. В. Мышлявцев, М. Д. Мышлявцева

УДК 512.816+517.958 : 53G.145 Д. Д. МАГАЗЕВ

Омский государственный технический университет

СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ФОКА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Исследуется структура алгебры операторов симметрии для уравнения Клейна-Фока на псевдоримановых многообразиях с движениями в присутствии внешнего электромагнитного поля. Показано, что в случае инвариантного тензора электромагнитного поля указанная алгебра представляет собой одномерное центральное расширение алгебры Ли исходной группы движений. Рассмотрено несколько нетривиальных примеров.

Ключевые слова: уравнение Клейна-Фока, оператор симметрии, группа Ли, алгебра Ли.

1. Постановка задачи

Пусть (М, д) — гладкое связное многообразие с псевдоримановой метрикой д. Рассмотрим в некоторой координатной карте х = {Х} многообразия М скалярное волновое уравнение — уравнение Клейна-Фока

Н

где Н(х,8х) ° дУViVу — оператор Лапласа-Бельт-рами, соответствующий метрике д^ Vi — ковариан-тные производные, отвечающие координатным векторным полям (связность полагаем согласованной

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012

с метрикой), т — масса частиц скалярного поля р(х). Здесь и далее будем полагать, что по повторяющимся индексам предполагается суммирование.

Предположим, что многообразие М допускает группу Ли движений С, определяемую векторными полями Киллинга Х'а = Ха(х)д', а = 1,---,й1ш С. Известно, что в этом случае операторы Ха = Х^(х)У( являются операторами симметрии уравнения (1) и образуют алгебру Ли Ь группы С. Другими словами, имеют место соотношения

[Ха, Н ] = 0, [Ха, Хр] = сГарХу,

где Сар = -Сра — структурные константы алгебры Ли Ь, а, р, а = 1, , Й1ш Ь. С помощью квадратных скобок [ • , •] обозначен стандартный коммутатор линейных дифференциальных операторов.

Пусть на многообразии М дополнительно задана некоторая замкнутая дифференциальная 2-форма Р = -2 Руйх1 л йх'. Как следует из леммы Пуанкаре, замкнутость этой формы приводит к равенству Р=йЛ, где Л=Л{ йх' —дифференциальная 1-форма, определенная на М, по крайней мере, локально. Будем интерпретировать 2-форму Р как внешнее электромагнитное поле на псевдоримановом многообразии М с тензором напряженности Р^ и векторным потенциалом, задаваемым 1 -формой Л.

Хорошо известно, что учет взаимодействия заряженного скалярного поля с электромагнитным осуществляется с помощью сдвига в уравнении Клейна-Фока ковариантных производных на соответствующие компоненты векторного потенциала (см., например, [1, 2]): V'  V(ie) ° V' - 1еЛ', где е — электрический заряд частицы, 1 = л/- 1 . Уравнение (1) после такого преобразования примет вид уравнения Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле

Н

где Н(е)(х,дх) ° дv'e)vje) = д'(V' - 1еЛ')^ ' - 1еЛ'). Естественно ожидать, что включение указанного взаимодействия в общем случае приведет к потере исходных симметрий задачи. В связи с этим возникает вопрос: как изменится алгебра Ли Ь операторов симметрии уравнения (1) в случае электромагнитного поля с 2-формой Р?

Целью данной статьи является получение условий, при которых уравнение Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле сохраняет количество исходных симметрий задачи. Ниже будет приведен явный вид соответствующих операторов симметрии (в классе неоднородных дифференциальных операторов 1-го порядка), а также в работе исследуется структура их алгебры с точки зрения теории когомологий алгебр Ли. В заключение статьи рассмотрено несколько примеров.

Отметим, что сформулированная задача является естественным обобщением аналогичной классической проблемы, связанной с интегрированием магнитных геодезических потоков на многообразиях с симметриями. В частности, алгебра интегралов движения указанных динамических систем на группах Ли была изучена в работе [3]. С отдельными результатами можно также ознакомиться по работам [4, 5].

2. Симметрии уравнения Клейна-Фока в электромагнитном поле

Сопоставим каждому векторному полю Киллинга неоднородный дифференциальный оператор

Хае) = Х'а^-е) + 1еУа , где функции %аеС¥(М) определим условием

[Xе Н(е)] = 0.

Прямыми вычислениями нетрудно показать, что данное условие эквивалентно следующей системе уравнений на функции уа

д ] Уа + Р1]Х'а = 0

или в инвариантном виде

йУа + 'Ха Р = °.

Здесь через ХР обозначена операция внутреннего произведения формы Р на векторном поле Ха.

Утверждение 1. Система дифференциальных уравнений (4) интегрируема тогда и только тогда, когда 2-форма Р инвариантна относительно действия группы С.

Доказательство. Воспользовавшись известной формулой дифференциальной геометрии Ьх = 'х й + +й 'х для 0-формы са, удовлетворяющей (4) или (5), получаем

й2 с = -йх Р = X йР - ЬХ Р = -ЬХ Р,

л Ха Ха Ха Ха '

где учтено, что йР = 0. Многообразие М — связное, поэтому правая часть полученного равенства равна нулю тогда и только тогда, когда 2-форма Р является инвариантной относительно действия группы С.

Отметим, что в условиях утверждения 1 решение системы (5) определено с точностью до аддитивной постоянной и может быть выписано в квадратурах

У а =-1'Ха Р = 4 РХ'а^1.

Таким образом, для С-инвариантного электромагнитного поля операторы симметрии скалярного волнового уравнения, отвечающие векторным полям Киллинга, подвергаются деформации вида

X = X' V  Х(е) = X' Vе + ШУ

Ьа Ьа * ' ~ Ьа Ьа *  ^ 1 %а 1

где функции уа определяются формулой (6).

Используя равенства

[ХХ?'4е|]. сархр+

+ 1е{ха(ср) - ХР(Уа) - сарУа - Р(Х а,хр)), или, с учетом формулы (6),

[Х

Здесь введено новое обозначение:

^ар ° Р

В качестве замечания следует отметить, что в случае отсутствия электромагнитного поля либо при е = 0 равенство (7) переходит в исходные коммутационные соотношения (2) алгебры Ли симметрии уравнения Клейна-Фока (1).

Утверждение 2. Функции Пар, определенные равенством (8), являются постоянными на М и обладают следующими свойствами:

Wap - -Wpa,

Си^У + С ру^ба + С%^5р = °.

Доказательство. Имея в виду определение (8) и условие (5), получаем для дифференциала функции О

ab

dWaP - diXр iXa F - CapdcY -LXp ka F)-Xp dka F)+ ^apXy

F-

-i[XaXp]F - Xp iLXaF - iXa dF) +

F--

KXa&pf + +CapiXg

F - О.

[X,Y]~ - [X,Y]L + W(X,Y), [L,Z] - 0,

где Х,УєІ, ZєR, [• . ]І. [• . , — коммутаторы в алгеб-

рах Ли I и ~ соответственно.

Сравнивая коммутационные соотношения (7) и (11), можно сделать следующий вывод: линейная оболочка набора операторов Хд ) = іе. Х1 'к 'Хс1іішI представляет собой одномерное центральное расширение алгебры Ли I, соответствующее 2-коциклу (8).

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Пусть (М, д) — псевдориманово многообразие с метрикой д, на котором действует группа движений С, определяемая векторными полями Киллинга Ха = Ха & і, и пусть Р — инвариантная замкнутая 2-форма на М. Тогда уравнение Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле (3) допускает алгебру Ли ~ операторов симметрии, базисные элементы которой могут быть выбраны в виде

йе)  * a

xav(e) + ieXaia - 1.......dim L,

где функции саєС“(М) задаются формулой (6). Алгебра Ли I является одномерным центральным рас-

ширением алгебры Ли L группы движений G, построенным с помощью 2-коцикла (8).

Отметим, что равенствам (9) и (10) удовлетворяют, например, билинейные функции вида Wap = C^ly , где — const. Такие 2-коциклы называются тривиальными или 2-кограницами. Множество всех 2-кограниц алгебры Ли L будем обозначать через B 2(L; R). ~ Нетрудно видеть, что центральное расширение L, соответствующее тривиальному коциклу, можно разложить в прямую сумму L = s(L) © R, где отображение s является изоморфизмом алгебр Ли. Действительно, если Wap = CyapXy, то коммутационные соотношения (7) можно переписать как

Cg

Cap

?

>7

+ ie

'Ху

Здесь используется формула Ь^ = —1^^ , а также

условия замкнутости и С-инвариантности формы Р. Таким образом, функции Оар являются постоянными для произвольных а, р = 1,...,<31ш Ь.

Свойства (9) и (10) проверяются прямыми вычислениями. В частности отметим, что равенство (10) является прямым следствием замкнутости формы Р и тождества Якоби для структурных констант Сар алгебры Ли Ь.

Обсудим полученные результаты с точки зрения теории когомологий алгебр Ли. Для этого напомним, что билинейная кососимметрическая функция О: Ь х Ь  Я, удовлетворяющая условию (10), называется 2-коциклом алгебры Ли Ь со значениями в множестве действительных чисел Я. Обозначим множество всех 2-коциклов алгебры Ли Ь через Z 2(Ь; Я). Каждому О е Z 2(Ь; Я) можно сопоставить одномерное центральное расширение Ь = Ь Фп Я , полученное добавлением к алгебре Ли Ь одномерного центра Я [6]. Правило коммутации в линейном пространстве Ь задается в виде:

Так как функции %а, определяемые формулой (6), задаются с точностью до аддитивных постоянных, изоморфизм в устанавливается заменой %а %а+1а: В подобных случаях говорят также, что центральное расширение Ь алгебры Ь является расщепимым [7].

Пусть Ь — алгебра Ли операторов симметрии уравнения Клейна-Фока в отсутствие внешнего электромагнитного поля. Далее, пусть Р и Р' — инвариантные замкнутые 2-формы, описывающие две различные конфигурации электромагнитного поля на многообразии М. Обозначим соответствующие 2-коциклы через О и О', и зададим отвечающие этим коциклам одномерные центральные расширения Ь и Ь' алгебры Ли Ь. Алгебры Ь и Ь' будем называть эквивалентными, если О‘— ОеБ2(Ь; Я), то есть 2-коциклы О и О' отличаются на 2-кограницу.

Из приведенных выше утверждений следует, что эквивалентные центральные расширения изоморфны как алгебры Ли, поэтому основной интерес представляет классификация всех неэквивалентных расширений, сводящаяся к описанию всех 2-коциклов алгебры Ли Ь с точностью до элементов из Б2(Ь; Я). Другими словами, все неэквивалентные расширения находятся во взаимнооднозначном соответствии с элементами фактор-пространства И2(Ь; Я) ° Z2(Ь; Я)/ /Б2(Ь; Я), которое называется пространством 2-когомологий алгебры Ли Ь. Таким образом, описание всех неэквивалентных алгебр симметрии уравнения Клейна-Фока во внешних электромагнитных полях сводится к описанию 2-когомологий алгебры Ли заданной группы движений.

3. Примеры

3.1. Пространство Минковского

Метрика пространства Минковского является плоской и имеет квадрат элемента длины, равный

ds2 = (сХ0)2 - (Ох1)2 - (с1х2)2 - (Сх3)2 ,

где X е ( — ¥, + ¥). В качестве группы движений этой метрики рассмотрим четырехмерную абелеву группу Ли С = Я4 с векторными полями Киллинга

= да, а = 0, 1, 2, 3.

Из формулировки теоремы следует, что число симметрий уравнения Клейна-Фока не изменяется, если 2-форма электромагнитного поля выдерживает действие группы движений исходного многообразия. Обозначенное требование приводит к тому, что для данного примера координатные компоненты 2-формы будут постоянными на М, откуда автоматически

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012

32

вытекает ее замкнутость: F = -2- Fjjdx1 л dxj , где F — const. Зафиксируем соответствующий векторный потенциал электромагнитного поля в лоренцевой калибровке: А = 2 Fjjx'dx1. В этом случае оператор H(е} для уравнения Клейна-Фока во внешнем поле будет иметь вид

H

(

ie k

д i +— Fikx

Y • А ie k

д j+—Fjkx 2

91} = diag(1,-1, -1, -1).

Пользуясь формулой

Ха = Ракх , Ха ) = 9а - _ Ракх , а = 0,1,2,3 2

Прямыми вычислениями нетрудно проверить справедливость следующих коммутационных соотношений:

йе|, н(е|]=0, [хае), х^>]=ер?'.

Из результатов данного примера видно, что операторы Х0в) образуют одномерное центральное расширение четырехмерной коммутативной алгебры Ли, построенное с помощью 2-коцикла Рар. Следует отметить, что для данного примера Z 2(Ь; Я) = во(4; Я), Б 2(Ь; Я)=0, Н 2(Ь; Я)=во(4; Я), где во(4; Я)— множество вещественных кососимметрических матриц 4-го порядка. Таким образом, различные инвариантные 2-формы электромагнитного поля на пространстве Минковского задают различные неэквивалентные алгебры операторов симметрии уравнения (3).

3.2. Пространство со сферически-симметричной метрикой

Квадрат элемента длины для сферически-симмет-ричной метрики четырехмерного лоренцева многообразия в наиболее общей форме дается выражением

ds2 - ev(x0 xl)(dx0)2 - eX(x0,xl)(dx1)2

(xl)2f(dx2)2 + sin2 x2(dx3)2

где х0є( — ю, + ю), х1 є (0, + ю), х 2є(0, Р ), х 3є (0, 2Р). Здесь v(x0, х1) и 1(х0, х1) — произвольные функции от переменных х0 и х1.

Симметрии данной метрики описываются векторными полями Киллинга, которые образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре во

(l

cosxЗд2 + ctg x2 sinxЗд3,

где m (x 0, x 1) — произвольная функция от переменных x0 и x1, J e R. Зафиксируем векторный потенциал данного поля, используя гамильтонову калибровку, т.е. наложив дополнительное условие А0 = 0:

А = m(x0, x1)dx0J dx1 - J cos x2dx3.

В этом случае оператор H(e) будет иметь вид

H(e) = e-v(x0,x%0 - e- 1(x0,x1)(S1 -- iej m(x0, x1)dx0^ - (x1)-282 -

- x V2

С помощью формулы (б) легко находим

2 З 2 З 2

Cl - J sin x2 sin x , c2 - J sin x cos x , c3 - -J cos x ,

откуда нетрудно выписать явный вид операторов симметрии для уравнения Клейна-Фока во внешнем электромагнитном поле, отвечающем (13):

3

-(e) з 2 3 sin x

= - cos x 82 + ctg x sin x 83 + ieJ-------,

sin x З

(2 - sinx Зд 2 + ctg x 2 cos x Зд 3,

Х3 = 9 3 ,

причем соответствующие коммутационные соотношения имеют вид

[4l' Х2] = Х3' [Х2' Х3] = [Х1,Х3] = -Х2.

Условия й Р =0 и Ь Р = 0 приводят к следующему общему выражению для 2-формы электромагнитного поля

“(e) 3 2 3 cos x

(2 - sin x д2 + ctg x cos x дЗ + ieJ-------------------------------

!^) =93.

Прямыми вычислениями проверяется, что найденные неоднородные операторы коммутируют с оператором (14), а также удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и исходные операторы симметрии ХаВ рассмотренном здесь примере мы сталкиваемся с ситуацией, когда все интересующие нас деформации исходной алгебры симметрии уравнения Клейна-Фока являются тривиальными, то есть не изменяют изначальную алгебраическую структуру. Данная ситуация является типичной для всех полупростых алгебр Ли, так как в виду второй леммы Уайтхеда для подобных алгебр имеется только один когомологический класс, совпадающий с нулевым [8]. Действительно, в нашем случае множество 2-коциклов алгебры Ли во(3) совпадает со множеством тривиальных 2-коциклов, поэтому Н 2(во(3); Я) = 0. Другими словами, любое центральное расширение над полупро-стой алгеброй Ли во(3) является расщепимым.

3.3. Пространство с цилиндрически-симметричной метрикой

Рассмотрим четырехмерное лоренцево многообразие с цилиндрически-симметричной метрикой

св2 = еу(х0,х1)(Сх0)2 - еЯ(х0,х1)(Сх1)2 -

(x1)2 (jdx 2)2 + (dx 3)2 j

где х°е( — ¥, +¥), х1е(0, + ¥), х2е(0, 2р), х3е( — ¥, + ¥).

Группа движений данной метрики трехмерна и может быть ассоциируема с векторными полями Киллинга

F - m

(l --xЗд2 + x2д3 - (2 -д2 - (3 -д3

ij

2

Соответствующая алгебра Ли изоморфна алгебре Ли е(2):

[Х1,Х2] = -Х3, [Х2,Х3] = x2, [Х2,Х3] = °.

Наиболее общий вид инвариантной замкнутой 2-формы для данного примера следующий:

Р = т

где т(х0, х *) — произвольная функция от переменных х0 и х1, /еЯ. Векторный потенциал снова выберем в гамильтоной калибровке:

А = ^| т(х0, х1)Сх0^ Сх1 + /х2Сх3.

В соответствии с этим оператор Н(е) для уравнения Клейна-Фока во внешнем поле, заданным с помощью 2-формы (15), будет иметь вид

Н(е) = е-у(х0,х1)90 -е-Я(х0,х1)^91 -

-ieJ т(х0,х1)Сх0^ - (х1)-292 -(х1)-2(33 -ie/x2^ Вычисляя интегралы в формуле (6), получаем

Х1 = — ((х2)2 + (х3)2\ Х2 = -/ х3, Х3 = /х2

2 4 0

откуда

|(е) = -х392 + х293 + ie — ((х3)2 - (х2)2\

2 4 0

Х2е) =92 - iex3, Х3е) =93.

Коммутационные правила, которым удовлетворяют полученные операторы, нетрудно получить с помощью прямых вычислений

[|{е)4е)] = -Х3е), [Х1

Несложный анализ соотношений (17) показывает, что неоднородные операторы (16) вместе с тривиальным оператором Х0 ) = ie являются образующими

одномерного центрального расширения алгебры Ли e(2), задаваемого с помощью 2-коцикла WJ = Je 2л e 3. Отметим, что в данном случае вещественный параметр J e R параметризует различные классы в H2(e(2); R), так как фактор-пространство 2-когомо-логий для алгебры Ли e(2) является одномерным. Таким образом, различным значениям J будут соответствовать различные неэквивалентные центральные расширения e(2), а следовательно, и различные алгебры операторов симметрии уравнения (3). С другой стороны, для фиксированного J все эквивалентные алгебры симметрии получаются с помощью добавления к 2-коциклу WJ произвольной 2-кограницы: WJWJ+11 eVe3 + 12 eVe2, 11, 12 eR.

Библиографический список

1. Гриб, А. А. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях [Текст] / А. А. Гриб, С. Г. Мамаев, В. М. Мостепаненко. — М. : Атомиздат, 1980. — 296 с.

2. Гальцов, Д. В. Частицы и поля в окрестности черных дыр [Текст] / Д. В. Гальцов. — М. : Изд-во МГУ, 1986. — 288 с.

3. Магазев, А. А. Интегрируемые магнитные геодезические потоки на группах Ли / А. А. Магазев, И. В. Широков, Ю. А. Юре-вич // Теоретическая и математическая физика. — 2008. — Т. 156, № 1. - С. 189-206.

4. Ефимов, Д. И. Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии / Д. И. Ефимов // Сибирский математический журнал. — 2005. — Т. 46, № 1. — C. 106—118.

5. Bolsinov, A. Magnetic flows on homogeneous spaces / A. Bol-sinov, B. Jovanovic // Comment. Math. Helv. — 2008. — T. 83. — №. 3. — P. 679 — 700.

6. Фукс, Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли [Текст] / Д. Б. Фукс. — М. : Наука, 1981. — 272 с.

7. Гото, М. Полупростые алгебры Ли [Текст] / М. Гото, Ф. Гроссханс ; перевод с англ. А. И. Логинова и В. С. Шульма-на. — М. : Мир, 1981. — 334 с.

8. Постников, М. М. Группы и алгебры Ли [Текст] / М. М. Постников. — М. : Наука, 1982. — 447 с.

МАГАЗЕВ Алексей Анатольевич, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры «Комплексная защита информации».

Адрес для переписки: magazev@mail.ru

Статья поступила в редакцию 14.11.2011 г.

©А. А. Магазев

Книжная полка

ББК 74.580.25/С33

Сечкин, Г. И. Совершенствование профессионального математического образования на базе синтеза математики и компьютерных наук : монография / Г. И. Сечкин ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. -95 с. - КВЫ 978-5-8149-1167-4.

В монографии объединены несколько авторских проектов по чистой и прикладной математике («Звездообразный анализ», «Математическая биология», «Математика и музыка») и работ научно-методического и учебно-методического характера («Различные теории действительных чисел», цикл курсов лекций по математическому моделированию, методические указания по конформным отображениям), связанных общей идеей единой математики и синтетического подхода в преподавании математики и компьютерных наук. Предназначена для бакалавров и магистров по направлениям «Физико-математическое образование» и «Прикладная математика», проявляющих интерес к междисциплинарным исследованиям.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ