К расчету пластин в условиях плоского напряженного состояния на температурные нагрузки вариационно-разностным методом в функциях напряжений

2. Mesteckij L. M., Rejer I. [Continuous skeletal representation of the image with controlled accuracy].

International Conference Graphicon. Moscow, 2003, p. 51-54.

3. ChaLearn Gesture Dataset (CGD2011). ChaLearn, California, 2011, Available at URL: http://gesture. chalearn.org (accessed 5 February 2014).

4. Gudmundsson S. A., Sveinsson J. R., Pard'as M. et al. Model-Based Hand Gesture Tracking in ToF Image Sequences. 6th International Conference on Articulated motion and deformable objects (AMDO), 2010, p. 118-127.

5. Suryanarayan P., Subramanian A., Mandalapu D. Dynamic Hand Pose Recognnition Using Depth Data. 20th International Conf. on Pattern Recognition (ICPR), 2010, p. 3105-3108.

6. Phung S. L., Bouzerdoum A., Chai D. Skin Segmentation Using Color Pixel Classification: Analysis and Comparison. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 2005. January. Vol. 27, p. 148-154.

7. Siddharth J., Gaurav S. Face detection. EE368: Digital Image Processing. 2003, p. 101-112.

8. Zotin A. G., Nosov A. V., Buzaev D. V. [Suitability analysis segmentation methods for localization of objects based on the color and structural features]. Vestnik Sib-GAU. 2012, vol. 41, no. 1, p. 23-28.

9. Hu MK. Visual Pattern Recognition by Moment Invariant. IRE Trans. Info. 1962, Theory 8 (2), p. 179-187.

© Носов А. В., 2014

УДК 539.3

К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАГРУЗКИ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

В ФУНКЦИЯХ НАПРЯЖЕНИЙ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: rashidsab@mail.ru

Разработан вариационно-разностный метод расчета напряженного состояния пластинок в условиях плоской задачи теории упругости в функциях напряжений. Для решения температурной задачи применяется метод устранения деформаций С. Тимошенко. Получен функционал в функциях напряжений с учетом температурного члена, что освобождает от вычисления перемещений и деформаций. Особенностью разработанного алгоритма расчета является использование для формирования коэффициентов системы разрешающих уравнений и ее правой части первой и второй вариаций данного функционала. Это дает простой и универсальный алгоритм вычислений - применяются одни и те же процедуры в программных модулях. Конечно-разностная дискретизация континуальной задачи позволяет решать задачи большой размерности. Напряжения на контуре известны априори; в области пластинки уравнения неразрывности обеспечиваются при достаточно редких конечно-разностных сетках, экономится время счета и ресурсы оперативной памяти. Составлена программа расчета на основе пакета Maple; приведен пример расчета свободной пластинки при неравномерном нагреве.

Ключевые слова: плоская задача теории упругости, функционал Кастилиано, вариационно-разностный метод, функция напряжений.

Conf. on Articulated motion and deformable objects (AMDO), 2010. Р. 118-127.

5. Suryanarayan P., Subramanian A., Mandalapu D. Dynamic Hand Pose Recognnition Using Depth Data // 20th Intern. Conf. on Pattern Recognition (ICPR), 2010. Р. 3105-3108.

6. Phung S. L., Bouzerdoum A., Chai D. Skin Segmentation Using Color Pixel Classification: Analysis and Comparison // IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 2005. Vol. 27. Р. 148-154.

7. Siddharth J., Gaurav S., Face detection // EE368: Digital Image Processing. 2003. Р. 101-112.

8. Зотин А. Г., Носов А. В., Бузаев Д. В. Анализ пригодности методов сегментации для локализации объектов на основе цветовых и структурных признаков // Вестник СибГАУ. 2012. Вып. 1(41). С. 23-28.

9. Hu MK. Visual Pattern Recognition by Moment Invariant. IRE Trans. Info. 1962. Theory 8 (2). Р. 179-187.

References

1. Mesteckij L. M. Nepreryvnaja morfologija bi-narnyh izobrazhenij: figury, skelety, cirkuljary

[Continuous morphology of binary images : figures, skeletons, circulars]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009.

TO CALCULATION OF PLATES IN THE CONDITIONS OF THE FLAT TENSION ON TEMPERATURE LOADINGS WITH THE HELP OF THE VARIATION AND DIFFERENTIAL METHOD IN TENSION FUNCTIONS

R. А. Sabirov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation Е-mail: rashidsab@mail.ru

The variation and differential method of calculation of plates tension in the conditions of a flat task of the elasticity theory in functions of tension is developed. The method of elimination of deformations of S. Tymoshenko is applied to the solution of a temperature task. The functionality in functions of tension, taking into account the temperature member that exempts from calculation of deformations, is received. The feature of the developed algorithm of calculation is the usage of the allowing equations and its right part of the first and second variations of this functionality for formation of coefficients of the system. It gives a universal algorithm of calculations when the same procedure in program modules is applied. The finite-differential discretization sampling of a continual task allows to solve problems of a big dimension. Tension on a contour is known a priori; in the field of a plate the equation of continuity is provided at rather rare finite-differential grids, the counting duration and resources of memory is small. The calculation program on the basis of a Maple package is made; the example of calculation of a free plate is given at uneven heating.

Keywords: flat task of the theory of elasticity, Kastiliano’s functionality, variation and differential method, function of tension.

Одной из причин появления напряжений в теле является неравномерное его нагревание. Температура как в земных условиях, так и в космическом пространстве изменяется ежесекундно. Опасные напряженные состояния возникают необязательно при высоких или низких температурах; опасными должны быть неравномерные изменения температурных воздействий как по области конструкций, так и по времени. Важным случаем температурного воздействия являются моменты входа аппарата и пластин солнечных батарей в тень Земли и выхода из тени. Также в период эксплуатации системы конструкций действует постоянное многоцикловое неравномерное нагревание и охлаждение. Возможны явления усталости материалов, приводящие к локальным разрушениям при сравнительно низком уровне напряжений. Казалось бы, изменения температуры действуют постоянно, а учету дополнительных температурных напряжений, с целью их добавления к напряжениям от силовых факторов, уделяется второстепенное значение (конечно, за исключением оригинальных конструкций). Подход к анализу конструкций односторонний, ограниченный, с пренебрежением к дополнительным факторам, дающим дополнительные напряжения от изменения температуры, а в какие-то моменты они могут проявиться и как основные напряжения, может привести к исключительным нештатным ситуациям. Поэтому работу, посвященную разработке метода расчета конструкций, в частности тонких пластинок, на температурные воздействия с целью исследования напряженного состояния, следует считать актуальной. Таким образом, требуется разработать подход к решению задач оценки напряженного состояния свободных от закреплений прямоугольных пластин на нагрузки, возникающие при воздействии стационарного тепло-

вого потока (температура является функцией координат).

Для решения задачи воспользуемся методом устранения деформаций [1; 2]. В этом методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле Т(х,у,2) исходной температурной задачи. Известно, что модуль упругости стали при нагревании уменьшается [2], а модули упругости сплавов при нагревании как уменьшаются, так и увеличиваются (причем в 1,5-2 раза) [3]. Чтобы в разрешающие уравнения не входили упругие постоянные материала [1], краевую задачу формулируют в напряжениях.

Определенное научное содержание работы заключается:

- в полученном выражении функционала Касти-лиано в функциях напряжений, учитывающем изменение температуры;

- алгоритме формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части с использованием первой и второй вариаций функционала;

- составленной программе расчета;

- расчете напряженного состояния пластинки при неравномерном нагреве.

Рассмотрим вариационную формулировку [4], для которой получим функционал Кастилиано с учетом изменения температуры. В первую очередь, из уравнений равновесия для плоской задачи теории упругости [5] получим вариационное уравнение

-JJ(ct* 88 *

+ Txy 8у xy +ст y88 y) dxdy +JJ[ 8u + Y 8 v]kdy-

+ J (ct*8m +t

y=0

*y

8v

y=b

= 0,

y=0

где стх , тху, сту - компоненты тензора напряжении; 5вх, 5уху, 5в - вариации компонент тензора деформаций; X, У - объемные силы; 5м , 5у - вариации век-

~ о * *

тора перемещений; 8 - площадь пластинки; стх , тху, ст*,, т*ух - заданої на контуре напряжения. Добавив в

закон Гука [2], точнее, вариации деформаций, выраженные через вариации напряжений,

58х = -1 (8стх - Ц5сту ) + 5(аТ) ,

5еу = Е(5сту -ц5стх) + 5(аТ),

5 2(1 + ц) 5

5У ху =----------------- 5т

Е

ху

вынесем оператор 5 :

5{ -{[2Е[стх2 -2цстхсту +сту2 +

+2(1 + ц) т2у + 2ЕаТ (ст х + ст у)] йхйх +

у=ь

ь["|[Хм + Уу]хйу + | (стхм + тхуу

х=а у=Ь "1

+ | (СТуУ +т*ухм) Г = °.

х=0 у=° ^

Тогда (5) примет вид

5Э = 0.

ь[[[Хм + Уу]хйу + | (хм +тхуу

8 у=0

= у=ь

х=0

у=0

дст дт

——м +---------------------—м + Хм = 0 ,

дх ду

дт дст у

у V + Уу = 0.

дх ду

Из (8) и (9) перенесем в левую часть произведения объемных сил на перемещения, сложим их и проинтегрируем:

[[(.& + уу )Аф = -{0%

~м +

дх

дт дст у дт Л

+-^м +—у-V + -^у Iйхйу .

ду ду дх )

Интегрирование по частям в правой части (10) по

(2) типу

(3) д дст х дм Т-(ст хм) =-Г- м +ст х-Т-, дх дх дх

(4) д дт ух + дм — (т м) =—— м +т ух ... ду ду у ду

член даёт равенство

і (1) [[(Хм + Уу)йхйу = [[^стх | +

дм ду ду .

+т ду+ст у ду+т - дх[ йхйу-

у=Ь

-К

у=0

ст-м + т хуу

-[

х=0

х=0

у=Ь

у=0

которое с учетом геометрических уравнений Коши приводит к

[[ (Хм + Уу)ёхёу = Е х2 - 2цстхсту +

где Э - выраженный в напряжениях функционал Лагранжа:

э =-[[ 2Е [ст х2 - 2цст хст у+ст у2+

8 2Е

+2(1 + ц) т^ + 2ЕаТ (ст х +ст у )] йхйх +

у=Ь

+сту +

у=ь ,

_ [ (

у=0

2(1 + Ц)т2ух ] йхйу

ст.м +х хуу

х=0

у=Ь

у=0

Рассмотрим вариант исключения из выражения (7) объемных сил X, У и интегралов на контуре. Для этого формально умножим уравнения равновесия бесконечно малого элемента на перемещения и = и(х, у) и V = у( X, у):

Подставив (13) в (7), получим искомое выражение энергии деформирования пластинки в напряжениях, называемое функционалом Кастилиано:

ЭК (ах , а у , Т ху ) = Я 2- [а X2 - 2ц ст X ст у + ст у 2 +

8 2Е

+2

где Е = Е (х, у) - модуль упругости; ц = ц( х, у) - коэффициент Пуассона; а = а( х, у) - коэффициент линейного температурного расширения материала; Т = Т(х, у) - температурное поле. С приложением

функционала Кастилиано краевая задача формулируется так, что из всех возможных напряженных состояний действительное напряженное состояние сообщает функционалу (14) максимальное значение [5].

х=0

х=0

х=0

Введем в функционал (14) функцию напряжений ф(х, у) (функцию Эри [6]) без учета объемных сил:

ст х =

С2ф

ст у =

д 2ф

т = —

ух

д 2ф

ду2 ' у дх2 ’ ух дхду'

определяющую искомый функционал

эк (ф)=я 2е

(д 2фА

дх 2

„ д2фд2ф — 2ц—2-------7 +

дх ду

(д V

V-//

+2

( с2 А2 д ф

дхду

+ 2Е аТ

(д 2ф д 2фА

дх2 + ду2

5Эк (ф( х у)) = [[ Е

д2ф д25ф дх 2 дх 2

—2ц

(д25ф д2ф д2ф д25фЛ дх2 ду2 + дх2 ду2

д2ф д25ф + з7 'ду2'+

+2(1 + ц) д ф д 5ф+ ЕаТ

дхду дхду

(д 2 5ф д 25кА дх2 + ~

ду2

йхйу;

52<51эк»=[[ Е

дх2 дх2

—2ц

йх2 ду2

ду2 ду2

д252ф 5251ф ^ (д252ф 5251ф + 5251ф д252ф

" +іхг "сг

йхйу ,

+ д252ф д251ф + 2(1 + ") д252ф д251ф

дхду дхду

аппроксимации которых легли в основу предлагаемого алгоритма решения задачи.

Применим вариационно-разностную постановку. Выберем на области пластинки (рис. 1) прямоугольную равномерную сетку Юу ={(хі = Их, уу = Д у),

і = 0, 1,...,т, у = 0, 1, ..., п} на отрезках [0,1Х] и [0,1 ]. Здесь х = хі и у = у у - узлы сетки; X х = 1х / т и X у = 1у / п - шаг сетки, а 1х и 1у - размеры пластинки по направлениям осей координат х и у . Введем сетку с узлами п:

ю4п = {(х4 = К / 2 +іХх, уз = Ху / 2 + уХу X

і = 0, 1, ..., т — 1, у = 0, 1, ..., п — 1}.

Континуальную область в (16) и (17) заменим дискретной. Тогда:

1

52(5Эк )) = Х£-

І=1 у=1 Еі,]

д252ф д251ф дх2 дх2

—2ц

д252ф д251ф

"ст

д252ф д251ф д251ф д252ф дх2 ду2 + дх2 су2

ду2 йхйу,

,у

п т—2

+И

у=14=1

8-,у +11

і=1 п=1

/

д252ф д252ф дхду дхду

д252ф д252ф

и сформулируем для краевой задачи с учетом температурного члена, что из всех возможных напряженных состояний находящейся в равновесии пластинки действительное напряженное состояние сообщает (15) стационарное значение.

Чтобы найти напряженное состояние пластинки для формирования разрешающей системы уравнений и ее правой части, предлагается прием использования первой и второй вариаций (15):

5ЭК (51ф( x, у)) = ХХ

і=1 ]=1

дхду дхду аТ

(д252ф + д252фА

дх 2

ду2

Здесь площадки интегрирования 5'ар равны: X хX - во внутренних узлах области; XхX /2 -в узлах, расположенных на контуре; XхX /4 - в узлах, расположенных в углах пластинки. Дифференциальные операторы в (18) и (19) заменяются конечноразностными аналогами:

(д Ч фА

V дх2 Л .

4 уі,]

(«А

5к фі+і, у— 25к фі, у +5к фі—1„ Х2х

д25кф | = 5кфі,у+і — 25кфі,у +5кфі,у—і

ду

2

X 2

(д25кфЛ дхду

(д 25к ф ^

дхду

М,з у

—5кфі+1, у+1 +5к фі—1, у+1 — 5к фі—1, у +5к фі+1, у

М,п

' у,4

у +1 п

у

п — 1

у — 1

5к фі+1, у+1 + (к = X х 2Х хХ у 5к фі, у+1 — 5к ф 2Х хХ у 2, 2). X х і, у—1 + 5к фі+1, у

і 1

1 і 1 1 1 1 1 1 | - Ху

1 1 _ “I 1 1 і 1 1 1 “Г 1 1 1 Ху

-1 4 — 1 і

і + 1

Рис. 1. Конечно-разностная сетка, нанесенная на область пластинки

Для задания функции ф на контуре пластинки используем «рамную аналогию» [5; 6].

Построим алгоритм формирования системы уравнений и правой части. Пусть функционал (25) в дискретной форме содержит вектор р переменных

ф = (ф1, ф2, ..., фр). Тогда (18) содержит вариации вектора ^ф = (51ф1,5^ ...,8гфр) и 52ф = (^ф^^ ...,82фр). Элемент матрицы а^ системы линейных алгебраических уравнений вычисляется как

ai, = 5 Эк (5ф, 52ф) = 52(5 Эк (5ф, 52ф)) =

р д

=ъ—

k=1 дфк

52Фk =

(

^ дЭК (51ф, 52ф) 5 5

Ъ я 5іФі 52Фк,

V l=1 ЯФі

1, при k = i

5іФі =

0, при k Ф i i = 1, 2, ..., p; j = 1, 2

1, при l = j 0, при l Ф j ’

p.

Цикл (22) из равенства (22) формирует квадратную симметричную относительно главной диагонали матрицу. Соответственно, вектор правой части определяется из (29) циклом

Ь =5 ^ сЭл (52ф) 5 .

Ьі = 51ЭЛ (51ф) = ^ 51ф/ ;

l=1

i = 1, 2,

, p; 5іФі =

яФі

1, при l = i

Эпюры напряжений приведены на рис. 3. Для удобства анализа напряженного состояния разделим значения напряжений, приведенных в эпюрах, на введенный в расчет модуль Юнга. Наибольшие нормальные напряжения ах = -(2 / 5)ЕаТ действуют в облас-а растягивающие напряжения

возникают в окрестности у = 0 . В более нагретых местах возникают сжимающие температурные напряжения ах. Условия равновесия элементов пластинки диктуют проявление и растягивающих напряжений ах. На свободных кромках х = 1х и х = 0 напряжения а х = 0 .

ти у = ± ly 12

а x = (1I10)E aT

[0, при l Ф i

В контурных узлах значения функций Эри известны. В законтурных узлах ф вычисляется по формуле dф I dv = N, где v - нормаль к контуру рамы, окаймляющей собственно пластинку; N - продольное усилие в раме.

Для расчета пластинки на температурные нагрузки составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T(x, у) = T(2у I ly )2 -

такое распределение температуры рассматривается для балок в [1; 2; 7]. Пластинка квадратная в плане размерами lx = 0, 2 м и ly = 0, 2 м. Конечноразностную сетку примем с шагом 40 x 40 . Модуль

Юнга E = 2 • 1011 Па; коэффициент Пуассона 0,5.

График распределения установившейся температуры в пластинке по заданному закону приведен на рис. 2.

Рис. 2. Эпюра температурного воздействия -график установившейся температуры в пластинке.

Множитель Т

Нормальные напряжения су, наоборот, достигают наибольших сжимающих значений на кромках х = 1х и х = 0, а растягивающих значений - в средней зоне области пластинки. Условия неразрывности деформаций требуют возникновения этих напряжений. Порядок напряжений ст такой же, как порядок напряжений стх .

Касательные напряжения достигают значений тху = ±(3 / 40)ЕаТ ; наибольшие значения приобретают

в областях у = ±1у /4, х = ±/х / 4.

б

Рис. 3. Эпюры нормальных и касательных напряжений в пластинке: а - ax ; б - a ; в - тxy

а

в

aET /3

И

2 aET /3

Рис. 4. Эпюра напряжения ax в поперечном сечении стержня, полученная методом сопротивления материалов

Характер распределения напряжений ах согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в стержне температурной задачи, рассмотренной в [7]. Распределение напряжений показано на рис. 4 для стержня шириной Ь = I . Эпюра нормальных напряжений в стержне во всех поперечных сечениях, включая и контур, постоянная. В стержне действие напряжений а у и касательных напряжений т ху

не учитывается.

Таким образом, применение подхода к решению краевой задачи с использованием первой и второй вариаций функционала Кастилиано с конечноразностной аппроксимацией позволили создать универсальный алгоритм расчета напряженного состояния пластинок на температурные воздействия; расчеты напряженного состояния пластинки были выполнены на различных сетках; исследования сходимости решений в напряжениях от сгущения сетки показали достаточность редкой сетки 6 х 6 (т. е. наблюдается достаточно хорошая сходимость напряжений в зависимости от сгущения сетки к напряжениям напряженного состояния, обеспечивающего неразрывность деформаций в дискретной задаче); характер распределения напряжений ах согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в балках; скромность требуемых ресурсов для реализации позволяет внедрить методику решения рассмотренной плоской задачи в учебный курс теории упругости как добавление к традиционно используемой дифференциальной формулировке краевой задачи в виде бигармониче-ского уравнения неразрывности деформаций.

Библиографические ссылки

1. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л. ; М. : ОНТИ. 1937. 451 с.

2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.

3. Механические свойства материалов с эффектом памяти при сложном температурно-силовом воздействии и ортогональном нагружении : монография / под ред. И. Н. Андронова. Ухта : УГТУ, 2010. 191 с.

4. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.

5. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.

6. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир. 1975. 872 с.

7. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.

References

1. Timoshenko S. P. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Leningrad-Moscow, ONTI Publ., 1937, 451 р.

2. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 576 р.

3. Mekhanicheskie svojstva materialov s jeffektom pamjati pri slozhnom temperaturno-silovom vozdejstvii i ortogonal'nom nagruzhenii [Mechanical properties of materials with effect of memory at difficult temperature and power influence and orthogonal loading]. Uhta, UGTU Publ., 2010, 191 р.

4. Lancosh K. Variatsionnye printsipy mekhaniki [Variation principles of mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1965, 408 р.

5. Vasidzu K. Variatsionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variational methods in elasticity and plasticity]. Moscow, Mir Publ., 1987, 542 р.

6. Novackij V. Teorija uprugosti [Elasticity theory]. Moscow, Mir Publ., 1975, 872 р.

7. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 560 р.

© Сабиров Р. А., 2014