О "неголономных движениях" гироскопических и колесных систем

2. Использование многоантенных СНС. Здесь выделим два аспекта. Первый достаточно очевиден: многоантенная система является источником параметров ориентации носителя гравиметра, и прежде всего дополнительной курсовой информации. Второй связан с проведением гравиметрических съемок в полярных областях. В районе полюса алгоритмы инерциальной навигации имеют особенность, связанную с вырождением таких параметров, как долгота и угол истинного курса. Как следствие в приполярных областях ошибки навигационного счисления накапливаются быстро. Так, для системы GT2A в стандартной комплектации гравиметрические съемки ограничены значением широты ±75°. Применение многоантенной СНС в алгоритмах навигационного счисления и управления гироплатформой позволяет избежать указанных особенностей.

Авторы выражают искреннюю признательность H.A. Парусникову, коллективу ЗАО "Гравиметрические технологии" и всем сотрудникам и аспирантам лаборатории управления и навигации МГУ, принимавшим участие в данных исследованиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-0064.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Proceedings of the IAG Symposium on airborne gravity field determination. Calgary, 1995.

2. Головаh A.A., Болотин Ю.В., Парусников H.A. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2002.

3. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. и др. Инерциально-гравиметрический комплекс МАГ-1. Результаты летных испытаний. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2001.

4. Вавилова Н.Б., Голован A.A. Определение ускорения объекта при помощи первичных измерений спутниковой навигационной системы // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 5. 5-13.

5. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. Математические модели аэрогравиметрической системы на базе корректируемого гироинерциального блока // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 4. 4-12.

6. Болотин Ю.Б., Федоров A.B. Анализ точности калибровки авиационного гравиметра на повторных галсах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 49-56.

7. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

8. Bolotin Yu. V., Doroshin D.R. Adaptive filtering in airborne gravimetry with hidden markov chains // Proc. 18th IFAC World Congress. Milan, Italy, 2011. 9996-10001.

9. Бсржицкий B.H., Ермаков M.A., Ильин B.H., Смоллср Ю.Л., Юрист С.HJ., Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A., Гавров Е.В., Геку нов Д. А., Федоров А.Е., Габелл А., Олсон Д., Шабанов A.B. Бескарданный авиационный гравиметр GT-X // Тр. Междунар. симп. "Наземная, морская и аэрогравиметрия: измерения на неподвижных и подвижных основаниях". 22-25 июня 2010 г. СПб., 2010.

Поступила в редакцию 22.02.2013

УДК 531.8

О "НЕГОЛОНОМНЫХ ДВИЖЕНИЯХ" ГИРОСКОПИЧЕСКИХ

И КОЛЕСНЫХ СИСТЕМ

А. В. В л ахова1

Обсуждается подход к математическому моделированию движения механических систем с малыми обобщенными скоростями. На примере задач о движении гироскопа в кар-дановом подвесе и виляниях железнодорожной колесной пары рассматриваются ситуации, когда решения таких систем развиваются вблизи многообразия, определяемого первичными связями Дирака.

Ключевые слова: системы с малыми обобщенными скоростями, неголономное движение, условия непроскальзывания, первичные связи Дирака.

The aim of this paper is to describe the motions of mechanical systems with small generalized velocities. By the example of the gyroscope and railway wheel pair, we consider the situations

1 Влахова Анастасия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.

when the motions of such système take place near the manifold defined by the primary Dirac constraints.

Key words: systems with small generalized velocities, nonholonomic motion, no-slip conditions, primary Dirac constraints.

1. Введение. В теоретической механике распространены математические модели, построение которых проводится без учета кинетической энергии, отвечающей малым обобщенным скоростям. К ним, в частности, относится прецессионная модель гироскопии, в рамках которой в выражении для кинетической энергии пренебрегают угловыми скоростями поворота колец подвесов гироскопов по сравнению с угловыми скоростями вращения их роторов. А.Ю. Ишлинский замечал [1], что уравнения этой модели с отброшенными инерционными членами "имеют такой же вид, как и уравнения неголономных связей, зависящих в общем случае от времени (реономных)". Эффект сильного разброса характерных значений обобщенных скоростей системы позволяет реализовать схожие нелинейные неголономные связи и при моделировании динамики полета [2, 3]. Эти связи, представляющие собой "балансировочные уравнения" моментов аэродинамических и других сил, пригодны для описания полетов с малым углом атаки, поскольку угловая скорость его изменения существенно меньше угловой скорости тангажа самолета. С использованием подхода [4] для систем с малыми массами можно показать, что природа неклассических неголономных связей ("неголономного движения") в этих системах одинакова: они определяются первичными связями Дирака — конечными соотношениями между обобщенными координатами и импульсами, возникающими из-за вырождения лагранжиана системы при переходе к нулевым значениям малых обобщенных скоростей.

При моделировании качения систем, которое часто проводится в пренебрежении относительными проскальзываниями поверхностей контактирующих тел, также могут возникать ситуации, когда некоторые обобщенные скорости остаются малыми. Примерами служат задачи рельсового движения или качения автомобиля с малыми углами поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси). Для таких движений предположение о непроскальзывании колес часто оказывается некорректным. Используя подход Дирака, можно понижать порядок системы и в этих случаях.

Подход Дирака был разработан для описания вырожденных лагранжевых систем в физике частиц и полей. Для связей общего вида

Фв

уравнения систем с вырожденными лагранжианами, в которых учитываются зависимости между вариациями ôqi и ôpj (г, j = 1,...,n) обобщенных координат qi и импульсов pj соответственно, а также заданные обобщенные силы Qi (последнее делает уравнения непригодными для квантования), могут быть составлены с использованием метода неопределенных множителей Лагранжа по известной методике [5, 6]:

• дН0^. дФ3 . дН0 ^ ^

% = + > As-—, Pi = —---+ Qi-

dpi dPi % dqi

Здесь точкой обозначено дифференцирование по времени; q = (qi,..., qn)T; р = (pi,... ,pn )т, где T — знак транспонирования; Ho — гамильтониан системы на связях (1); As — неопределенные множители. Поскольку обобщенные силы, как правило, зависят от обобщенных скоростей, множители могут входить во второе уравнение из (2), в том числе как аргументы функций Qi. Значения As отыскиваются из условий Фk = 0 (k, s = 1,..., n—р) совместности системы (2) со связями (1) (условий сохранения первичных связей на траекториях системы). Эти условия, записанные в переменных Лагранжа, называются уравнениями лагранжевых связей. Они не содержат обобщенных ускорений системы.

А.Ю. Ишлинский считал, что суть методов решения задач механики должна излагаться на "самых простых примерах". Следуя этому принципу, обсудим применимость подхода Дирака к гироскопическим и колесным системам на двух иллюстративных примерах. Примеры исследования сложных задач с использованием подхода Дирака и способ перехода от гамильтоновых к лагранжевым переменным в системах с вырожденными лагранжианами изучаются в работах [7-9]. Достаточные условия реализации первичных связей находятся с помощью конструктивного подхода [10], методов теории сингулярных возмущений [11] и фракционного анализа [3].

2. Прецессионные уравнения гироскопа как модель лагранжевых связей. Рассмотрим простейшую модель гироскопа в кардановом подвесе, находящегося на неподвижном основании [1]. Предположим, что общий центр кожуха и ротора совпадает с геометрическим центром подвеса, а центр масс внешнего кольца лежит на его оси вращения; кольца и ротор являются недсформируемыми; активный

виешиии момент, приводящии ротор во вращение, и момент сил трения уравновешивают друг друга.

Лагранжиан системы имеет вид L = | J{ß) ä2 + Boß2 + С (ásin ß + j)2 . Здесь a, ß, 7 — соответственно углы поворота внешнего кольца относительно основания, кожуха относительно внешнего кольца, ротора относительно кожуха; J (в), Bo, C определяются инерционными характеристиками гироскопа. Выражениями для обобщенных импульсов системы являются

pa = dL/da = J

где H — постоянный собственный кинетический момент гироскопа. Для быстрозакрученного ротора |y| ^ |ä| , |/3|. При переходе к нулевым значениям угловых скоростей колец подвеса из (3) следуют уравнения (1) первичных связей Дирака:

Ф1 = Pa - Py sin в = 0, Ф2 = Pß = 0.

Гамильтониан системы на связях (4) имеет вид Ho = pY/2C. Уравнения Дирака, построенные в соответствии с (1), (2), (4):

a = Л1, в3 = Л2, ДНсс^в = Qa, — ohcos/ = Qß, H = pY = C

в пределе при e = ma^á*, в3*}/у* ^ 0 совпадают с прецессионной моделью гироскопа, получаемой для H = Cy приравниванием гироскопических и внешних моментов (нижним индексом * обозначены харак-

Qa Qß

Л1 Л2

рых" угловых скоростей колец подвеса. Они могут быть найдены из третьего и четвертого уравнений (5), представляющих собой уравнения Фi = 0, Ф2 = 0 лагранжевых связей. Таким образом, моделирование гироскопических систем может проводиться формальным образом с использованием подхода Дирака.

Обоснование корректности перехода к прецессионной модели в сильно- и слабодемпфированных гироскопических системах проведено в [12]. Там же содержится библиография работ, посвященных этой теме. В случае, когда матрица гироскопических сил системы имеет нечетный порядок, для использования подхода Дирака следует предварительно провести замену, позволяющую отделить уравнения колебаний с "маятниковыми частотами" [13].

3. Использование подхода Дирака для моделирования систем с качением. Рассмотрим механическую систему под действием голономных стационарных идеальных связей, оставляющих независимыми n обобщенных координат q = (qi,...,q„)T. Предположим, что система содержит m подвижно сопряженных (так называемых кинематических) пар тел с одной относительной степенью свободы, в каждой из которых допускается проскальзывание. Контакт тел в парах считается точечным. Моделью касательных составляющих контактных сил, действующих по направлению относительного смещения соприкасающихся в k-й паре тел, служит [8]

Pk = —Uk Nk fk

где Uk — коэффициенты трения по направлению относительного смещения; Nk — нормальные реакции (далее предполагается, что Nk > 0); fk — характеристика контакта ой силы; Uk — проекция скорости проскальзывания тел в k-й точке контакта на направление смещения. Компоненты вектора u = (ui,..., um)T связаны с обобщенными скоростями системы соотношением

Будем считать, что уравнения Uk = 0 задают в фазовом пространстве системы поверхности, в окрестностях

которых fk — гладкие функции, удовлетворяющие условиям

fk/dukI < 1/es, min fk = —1, max fk = 1.

В частности, при выполнении этих условий величины касательных составляющих контактных сил не превосходят предельных значений Uk Nk сил кулонова трения. Выражения (6) служат обобщением модели вязкого трения в точках контакта соприкасающихся тел, модели Картера, щеточной (brush) модели

Фромма, доопределенных методом эквивалентного управления разрывных характеристик сил кулонова трения (в том числе при несовпадении значений трения покоя и трения движения), и т.д.

Уравнения Лагранжа второго рода, описывающие движение рассматриваемой системы, имеют вид

= , 4) + <Э А

Где _д_ — матрица инерционных коэффициентов; , 4) — вектор, отвечающий символам Кристоффеля и потенцальным силам; С^А — вектор активных сил; Р = (Р1,...,Рт)т — вектор контактных сил (6). Далее д1,...,дп и врем я Ь считаются безразмерными величинами, что может быть обеспечено за счет предварительной нормализации.

Зависимости нормальных реакций N (к = 1,...,т) от q, с[, и находятся методом освобождения рассматриваемой системы от связей дп+1 ^ 0,..., цп+т ^ 0, вызывающих эти реакции. Выбор добавочных переменных дп+1,..., дп+т осуществляется так, чтобы при наложении указанных т связей освобожденная система переходила в систему (9).

т

реализуются "жесткие" воздействия. В [8] рассматривается движение по указанному пересечению и проводится разделение ситуаций, когда при е — 0 система переходит в классическую неголономную модель с условиями непроскальзывания или в неклассическую модель с первичными связями Дирака. Здесь мы ограничимся вторым случаем.

Пусть при выполнении условия (8) для к = 1,..., т первые р обобщенных скоростей системы являются конечными величинами, а последние п — р имеют порядок скоростей проскальзывания: ~ 1, | ~ е (г = 1,..., р; ] = р + 1,...,п). Предположим, что коэффициенты первых р столбцов матрицы В, отвечающие конечным при е — 0 обобщенным скор остям имеют порядок О(е). Тогда величины слагаемых в

е

и переход к соотношению 0 = В4, базирующийся на пренебрежении скоростями проскальзывания тел по сравнению с обобщенными скоростями, теряет обоснование. С использованием подхода [4] для систем с малыми массами, методов теории сингулярных возмущений [11] и фракционного анализа [3] можно по-

е - 0

первичными связями Дирака

р2 — А 21А-/Р1 = 0,

которые возникают между обобщенными координатами q и векторами Р1 = А1 + А12%) Р2 = А21 <11 + А22<12 соответственно первых р и последних п — р обобщенных импульсов системы (9) в пренебрежении компонентами вектора % малых обобщенных скоростей. Здесь с[ 1 = (91,...,9р)т, % = (<?р+1,...,<?п)т, Ац, А12 = А21, А22 — соответствующие этим векторам миноры матрицы А. Модель Дирака со связями (10) строится в соответствии с (2). Для доказательства близости решений исходной системы (9) и модели Дирака на конечном интервале времени первая приводилась к сингулярно возмущенной форме с малым параметром е при производных малых обобщенных скоростей. Показано [8], что при е — 0 и выполнении условий работы [11] эти решения будут находиться вблизи решения вырожденной системы,

е=0

дит движение без проскальзывания в кинематических парах, и многообразие, определяемое первичными связями, в общем случае не совпадают. Это говорит о том, что при формировании приближенных моделей движения в рассматриваемом случае проскальзываниями в кинематических парах, несмотря на их малость, пренебрегать нельзя.

В [14], где исследовалась задача [4] о реализации гамильтонова формализма Дирака малыми массами, асимптотические разложения решения исходной системы в окрестности многообразия, определяемого первичными связями, строились с использованием общих результатов об эволюции возмущенных гамильтоновых систем. Для рассматриваемой задачи, где первичные связи реализуются за счет малости обобщенных скоростей, обусловленной большой жесткостью контактных сил, асимптотические разложения решения сингулярно возмущенной системы совпадают с разложениями работы [11]. При этом модель е

в отличие от [11], не прибегать к итерациям.

Ниже приводится простой пример использования предложенной методики.

4. Моделирование извилистого движения железнодорожной колесной пары. Качение колесных пар с коническими колесами может сопровождаться поперечными колебаниями с нарастающей амплитудой, получившими название "извилистое движение" [16]. Рассмотрим качение в зоне свободного хода, считая пару и путь недсформируемыми и симметричными относительно продольной плоскости,

путь горизонтальным и прямолинейным, контакт колес с рельсами точечным, поверхности катания колес одинаковыми, коническими, с углом конусности у ~ 0,05, движение пары плоским [3, 17]. Уравнения движения пары имеют вид [3]

Y = К.

ф = а

и а z = -Pxii + Px2i + Mz .

У У, - - MVy = Pyi + Py2 + Fy,

Точкой обозначено дифференцирование по времени T; Y — координата центра масс C пары в неподвижной системе OxoyoZo с осям и Ожо и Ozo, направленными соответственно вперед по средней линии пути и по вертикали (в зоне свободного хода |Y| < 15 мм); Ф — угол курса (виляния) пары (рисунок); M, — масса пары и ее момент инерции относительно вертикальной оси Cz жестко связанной с парой системы координат Cxyz, ось Cy которой направлена по оси вращения колес; 21 — ширина пути; Px¿, Py — проекции на оси Ожо, Oyo касательных составляющих контактных сил взаимодействия г-го колеса с рельсом; Fy, Mz — проекции возмущающих сил и моментов (далее будем полагать Fy = Fy (T), Mz = Mz (T) и считать эти функции гладкими). Уравнения (11) составлены в линейном приближении по Y, Ф па основе традиционных предположений о постоянстве путевой скорости V пары и угловой скорости Q = V/R ее осевого вращения, справедливых для близких к установившимся движений.

Для описания касательных составляющих контактных сил будем использовать модель Картера [3, 16, 17]

Pxi = -UxiNiUxi/eV, Pyi = -UyíNiUyí/eV,

Здесь Uyi — проекции скорости точки O¿ контакта г-ro колеса с рельсом на оси Cxo, Cyo; uyi — соответствующие коэффициенты кулонова трения скольжения; N — нормальные реакции в точках O¿. Для железнодорожных колес в эксплуатационных условиях движения е ~ 10-2 [16]. Рассматриваемая модель не учитывает угловых скоростей и моментов верчения, действующих по нормалям к соприкасающимся поверхностям колес и рельсов. Такая постановка оправданна [18, 19] для движений пары с малыми поперечными и угловыми скоростями виляния и крена в предположении малости областей контакта колес с рельсами. Выражениями для Uy¿ в линейном приближении служат [3]

Ux 1 = -их 2 = -\mz + Yl у

R

Uyi = Uy2 = Vy - VФ,

где R — радиус качения колес в невозмущенном движении, отвечающем совпадению продольных плоскостей симметрии пары и пути. Для рассматриваемых условий движения |UXi| ~ |Uyi| ~ |Vy| ~ |lQz | ~ еУ. Будем далее полагать [7] N = Mg/2; = uyi = и.

Проведем нормализацию [3] системы (11) (13) на рассматриваемом классе движения:

t = WoT, y = Y/Y*, ф = Ф/е, Vy = Vy/еУ, Wz = ^/^z*, Px = 2Pït/uMg,

Pyi = 2Pyi/uMg, Uxi = Uxi/еУ, Uyi = Uyi/еУ(i = 1, 2), f = 2Fy/uMg, mz = 2MZ/uMgl.

Здесь Y* = sV/ojq', £QZ* = V"yY*/R\ ojq = V sJ^/Rl частота "кинематических виляний", которая отыскивается из уравнений Ux = 0 Uy = 0 качения пары без проскальзывания. Лагранжиан нормализованной системы имеет вид

L£ = v2/2 + p2w2/2 + eAvy/2 + еЛ^ш^А

где v = 1, w = 1 — нормализованные значения путевой скорости и угловой скорости осевого вращения пары; р2 = I/MR2 (I — момент инерции пары относительно оси вращения Cy); р2 = Iz/Ml2; Л = Tlwo/e; г/ = sj^i/R] Т\ = ьУ/у характерное время изменения скоростей точек Oj под действием контактных сил. Нормализованными аналогами выражений (13) являются

Ux = Uxl = -Ux2 = -П (wz + y) ,

Uy

Uyl = Uy2 = Vy - ф.

Для числовых значений параметров колесной пары Л ~ 1; n ~ 0,3 Р pz ~ 1-

Далее будем рассматривать е в качестве малого параметра задачи. Остальные параметры предполагаются конечными. При е = 0 лагранжиан (14) вырождается, переходя в Ьо = у2/2 + р2ш2/2, и в системе возникают первичные связи Дирака

Ф1 = Ру = дЬо/дУу = 0, Ф2 = РФ = = 0.

Вырожденный гамильтониан системы имеет вид Но = РхУ + Р^ш — Ьо, где рх = дЬо/дг> = 1, р^ = дЬо/дш = р2 — безразмерные обобщенные импульсы. Уравнения Дирака (2) со связями (16), учитывающие обобщенные СИЛЫ Яу, Qф! ДЛЯ рЕССМЕТрИВЕбМОЙ ЗЗДЗНИ ЗЭЛИСЫВШОТСЯ 13 форме

у' = Аь ф' = А2, Яу = Ру1 + Ру2 + /у = 0, Яф = —Рх1 + Рх2 + тх = 0,

Рх1 = —Рх2 = —их, Ру1 = Ру2 = —иу.

Штрихом обозначено дифференцирование по Ь, выражения для их, иу вычисляются из (15). Третье и четвертое уравнения системы (17) (уравнения лагранжевых связей) служат для отыскания неопределенных множителей А1, А2 — аналогов переменных г>у, шх соответственно.

Для обоснования (17) рассмотрим уравнения исходной системы с гамильтонианом Н£ = Но + Ру/2еА + Рф/2еАпР2- После замены

Уу = Ру /еА, ш^ = Рф /еАпР2

в этой системе может быть проведен предельный переход е — 0. (Аналогичная замена использовалась

Но

ных.) В силу большой жесткости касательных составляющих (12) контактных сил переменные (18) при е - 0 е

А1 = Уу, А2 = ш^. Уравнения (18) при е = 0 переходят в (16). Условие /2 + < 4, гарантирующее оценку О(е) рассогласования между решением системы (17) и решением исходной системы при е — 0 на конечном интервале времени Ь ~ 1 (для быстрых переменных оценка верна вне пограничного слоя ширины 0(—е 1п е)), может быть получено с использованием теории сингулярных возмущений [3, 11]. При /у = 0, шг = 0 решение системы (17) те близко к многообразию, задаваемому условиями их = 0 иу = 0 непроскальзывания колес пары относительно рельсов. В случае /у = 0 шх = 0 многообразия лагранжевых связей и кинематических связей, запрещающих проскальзывания колес, совпадают.

Собственные колебания в силу (17) являются незатухающими, их частота ио = 1 совпадает с безразмерным аналогом частоты шо "кинематических виляний". Вместе с тем исходная система, как и модель из [17], отвечающая неизношенным колесам, описывает неустойчивость невозмущенного движения пары, поскольку содержит инерционные, диссипативные и позиционные неконсервативные силы (см., например, [20]) с матрицами

А = (£А 0 1 , В=Н . Г=С° —1Ч -

\ 0 еАр2/ ум/ V1 0 /

Рассмотрим задачу об описании извилистого движения колесной пары с помощью более простой, чем исходная, системы уравнений, не обладающей свойством сингулярной возмущенности. Уточнение (17) пу-

е

к системе

' еА 1 „ еА еА н .. еАр2 , 1 еАр2 еА '

У + Ф + Т^ Ф = ^ 2 2г] ^ 4 4г? '

2/

Рх1 = —Рх2 = —их, Ру1 = Ру2 = —иу, их = их1 = —их2 = — П (Ф' + У) , иу = иу1 = и,у2 = у' — ф.

Здесь уо фо, Ууо, ш^о обозначены начальные условия по соответствующим переменным исходной системы.

Характеристический полином уточненной системы (19) имеет два корня с положительной вещественной частью порядка е. Уровня, гарантирующие оценку 0(е2) рассогласования между решениями уточненной и исходной систем при е — 0 и Ь ~ 1 (для быстрых переменных она верна вне пограничного слоя), могут быть получены с использованием результатов работы [15]. При увеличении V значение А, определенное в (14), возрастает и амплитуда неустойчивых колебаний в силу (19) увеличивается.

Вообще говоря, во многих случаях возникновение извилистого движения связано с нарастанием путевой скорости [16]. Выражение для критической скорости движения пары может быть найдено за счет уточнения модели

Выполненное исследование показало, что при fy = 0 mz = 0 уравнения "кинематических виляний" в той или иной степени позволяют оценить параметры поперечного движения пары. Однако уже для двухосной железнодорожной тележки с жесткой заделкой осей колесных пар условия непроскальзывания колес приводят к переопределенной системе уравнений, имеющей лишь тривиальное решение [3, 17]. В связи с этим при моделировании рельсового движения необходимо использовать модели контактных сил, учитывающие проскальзывания колес относительно рельсов. Обсуждаемые в работе подходы дают возможность осуществлять качественное исследование движения рельсовых экипажей и, в частности, оценивать опасность их схода [7].

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

2. Новожилов И.В. Модель движения деформируемого колеса // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1995. № 6. 19-26.

3. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2009.

5. Дирак П. Обобщенная гамильтонова динамика // Вариационные принципы механики / Под ред. Л.С. Полак. М.: Физматгиз, 1959. 705-724.

6. Нестеренко В.В., Червяков А.М. Сингулярные лагранжианы. Классическая динамика и квантование. Препринт Р2-86-323. Дубна: ОИЯИ, 1986.

7. Влахова A.B. Моделирование движения железнодорожного экипажа при вкатывании гребня колеса на рельс с использованием подхода Дирака // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 67-71.

8. Влахова A.B. О реализации связей в динамике систем с качением // Прикл. матем. и механ. 2013. 77, вып. 3. 371-385.

9. Влахова A.B. О реализации связей в задачах качения колесного аппарата // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2013. № 3. 22-39.

10. Козлов В.В. К вопросу о реализации связей в динамике // Прикл. матем. и механ. 1992. 56, вып. 4. 692-698.

11. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

12. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г., Новожилов И.В. О прецессионных уравнениях гироскопических систем // Прикл. матем. и механ. 1976. 40, вып. 2. 230-237.

13. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

14. Дерябин М.В. О гамильтоновом формализме Дирака и реализации связей малыми массами // Прикл. матем. и механ. 2000. 64, вып. 1. 41-45.

15. Влахова A.B. О безытерационных приближениях по малому параметру // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 5. 29-37.

16. Харрие У.Д.¡и-.. Захаров С.М., Ландгрен Дж., Турне X., Эбереен В. Обобщение передового опыта тяжеловесного движения: вопросы взаимодействия колеса и рельса / Пер. с англ. М.: Интекст, 2002.

17. Неймарк Ю.Н., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

18. Журавлев В.Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2006. № 6. 3-9.

19. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989.

20. Меркин Д-Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987.

21. Вильке В.Г. О движении железнодорожной колесной пары // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 4. 538-551.

22. Вильке В.Г., Максимов Б.А., Попов С.А. Устойчивость прямолинейного движения железнодорожной колесной пары // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 2. 23-30.

23. Орлова А.М. Влияние конструктивных схем и параметров тележек на устойчивость, ходовые качества и нагру-женность вагонов: Докт. дис. СПб., 2009.

24. Сергеев В. С. К задаче об устойчивости движения железнодорожной колесной пары // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ им. Дородницына РАН, 2009. 3-13.

25. Розенблат P.M. Об устойчивости движения железнодорожной колесной пары // Докл. РАН. 2012. 442, № 5. 623-627.

Поступила в редакцию 22.02.2013