Характеристики многоканальной системы массового обслуживания

И. Н. Валеев

ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Ключевые слова: система массового обслуживания, вероятность ожидания, вероятность

отказа, время ожидания.

В данной статье рассматривается обобщенная модель двух известных систем массового обслуживания: многоканальной системы и системы с отказами. Для данной модели построен граф состояний и выведены основные характеристики этой модели.

Key words: multichannel queuing system, probability of waiting, probability offailure, waiting

time.

In this article the generalized model of two known queuing systems is examined: multichannel system and system with refuses. For this model the count of the states is built and basic descriptions of this model are shown out.

В данной работе разработана новая многоканальная модель систем массового обслуживания. Данная модель является обобщенной моделью двух известных моделей систем массового обслуживания (СМО): многоканальной модели (M/M/m) и многоканальной модели с отказами (M/M/m/0). Проведена полная математическая формализация данной модели, получены в общем виде формулы для вероятностных, числовых и временных характеристик. Данная модель является усложнением модели, описанной в [1]. Смысл данной модели заключается в том, что у нас имеется два типа обслуживающих устройств - mi и m2, и имеется два потока заявок с интенсивностями Х и Х :

- 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди. При чем заявки первого типа могут обслуживаться как устройствами группы mi, так и m2;

- 2-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь, при этом заявки данного типа обслуживаются только устройствами группы mi. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства группы m1, данная заявка покидает систему необслуженной. Граф данной модели показан на следующем рисунке.

Принятые обозначения:

Х - средняя интенсивность соответствующего потока заявок

д - средняя интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством

Х Х2 А Х + Х2

А = Х +Х Pi = — , Р2 = — , Р = — = —---2 = Pi +Р2

Д Д Д Д

Допуская, что все потоки заявок являются простейшими (Пуассоновскими), получим общие зависимости для различных характеристик СМО.

Вероятностные характеристики Вероятность простоя системы (нулевого состояния):

1

Ро =--------------------------------------------------

Є ї

ртірт2-ті

“ р'

где Єт1-1 (р) = — неполная экспонента/

'=о і!

Е1 (р2; т1 + 1) = Е? —р----------— - функция Миттаг-Леффлера первого порядка

'=о Г

Вероятности состояний СМО:

т1+1

Рі =<

р

Ро, 0 < ' < т1

і і—т1 рр2 1

Ро, т1 < і < т2

і і—т1 рр2 1

т2т2т2!

Ро,т2 < і

Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке:

Ротк =х

рт1Ро

Е1

рт1рт2—т1Ро

Относительная пропускная способность:

Ч = 1 - Ротк Абсолютная пропускная способность:

А = Л-я

Вероятность ожидания обслуживания заявкой в очереди:

рт1р222—т1

'ожид

Л

Ро

Числовые характеристики

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов).

П =РР0ет1-2 (Р) + ТЛт2Рожид +рт1Рс (Е1 (2^1) - р^(2^2)) .

Среднее число требований в очереди (средняя длина очереди).

1 = Л рожидр2

Х2 (т2 р2 ) Среднее число требований в системе:

к рр0ет1-2(р) + л рожид

' р2 '

т2 + - 2

(т2 р2 X

+рт1 Ро (Е1 ( т1) - рт2-т1 Е1 (р2;т2)).

Временные характеристики

Среднее время обслуживания заявки одним каналом:

Ю.СП = А Л

А д

Среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди:

Рожид

ожид“ Я^

^ожид

А дисперсия данной величины примет следующий вид:

_ = 2Я- Рожид Р

ожид 2 , ч2 “ ожид

Ч2

Функция распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди:

р

ожид ожид

ч

Плотность распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди:

<ожид () = £(т2 -р2К*"12-р2^Рожид .

ч

Среднее время пребывания заявки в системе:

. = Рожид + Ч

сист“ яд(т2 -р2) •

Результаты данных исследований могут быть использованы для прогноза производительности ряда применяемых на практике систем массового обслуживания для выбора структуры системы на стадии её проектирования.

Литература

1. Валеев, И.Н. Многоканальная система массового обслуживания с отказами / И.Н. Валеев, А.П. Кирпичников // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - №4. - С. 66-70.

© И. Н. Валеев - ст. препод. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КГТУ, vildam@mail.ru.