О критической амплитуде бегущей волны давления, вызывающей сход вихревой пелены в пограничный слой

Том XLI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ б

УДК 532.526.3:533.6.011.55

О КРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ, ВЫЗЫВАЮЩЕЙ СХОД ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ В ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

В. Я. НЕЙЛАНД

Рассмотрена модельная задача о бегущей волне давления над пограничным слоем. Показано, что до некоторого критического значения амплитуды волны течение в подслое с нелинейной реакцией на возмущения остается непрерывным. Однако если амплитуда превышает определенное в работе критическое значение, со стенки в пограничный слой сходит поверхность тангенциального разрыва — вихревая пелена.

Ключевые слова: пограничный слой, ламинарно-турбулентный переход, вихревая пелена.

Построена модельная задача для оценки амплитуды бегущей волны давления, которая вызывает сход вихревой пелены со стенки в пограничный слой. Полученный результат при дальнейшем развитии может быть полезен для получения критерия ламинарно-турбулентного перехода при наличии волн неустойчивости или внешних возмущений.

Такого рода модельные задачи, позволяющие прояснить механику сложных течений, были важны при разработке проблем механики жидкостей и газов. Так работы [1—4], позволившие понять физическое содержание процесса передачи возмущений вверх по потоку при взаимодействии сверхзвукового потока с пограничным слоем, были полезны при создании современной теории отрыва пограничного слоя [5—7]. Подробнее это описано в монографии [8].

Построение модели течения. Рассматривается течение в пограничном слое около плоской пластинки на расстоянии l от ее начала. Пусть над рассматриваемой областью движется волна давления с заданной амплитудой Ар, фазовой скоростью с и длиной

волны X. Предполагается, что С = cjue 1, Ар/рп^ ^ 1, а длина волны

X выбирается так, чтобы в тонком слое, где возмущения скорости нелинейны, можно было пренебречь вязкостью и поперечным перепадом давления. Здесь и далее приняты обозначения: х, у — декартовы координаты; u, v — компоненты скорости по осям х, у; Ар — перепад давления; р — плотность в пограничном слое около стенки, она постоянная, так как возмущения давления малы, рассматриваемый слой течения — тонкий, а температура стенки постоянная.

Перейдем к системе координат, которая движется вправо с фазовой скоростью волны с  ue, где С « 1. На рис. 1 показана схема течения в этой системе в невозмущенной части пограничного слоя. Толщину слоя 3 течения, в котором возмущения нелинейны, можно получить из следующих оценок:

2 U3 53

Ар ~ PU3, — ~ -53; U3 ~ с,

ue 50

НЕИЛАНД Владимир Яковлевич

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, советник при дирекции ЦАГИ

Рис. 1. Профиль скорости в невозмущенном пограничном слое в системе координат, движущейся вправо со скоростью с

где 3 — область с нелинейными возмущениями; 2 — основная часть пограничного слоя (и ие ); 1 — внешний поток, а 50 — толщина невозмущенного пограничного слоя. Тогда

c и

и„ и

з 5з

\ри2е

= cjh

где в — малый параметр задачи, характеризующий амплитуду бегущей волны. Введем для области 3 следующие переменные:

X = АХ, у = с5о Уз, I = -^= ~3,

и„с

2 —

p = pe + 8PeUeP, и ~ uecu3,

c 25q

V ~ и„

Я

P = Pe P, Ц =

Уравнение неразрывности с учетом P з = const принимает вид:

диз дуз

дхз дУз

= Q.

Уравнение импульса:

диз _ диз _ диз

+ из—± + v3—3 дхз дуз

p

дУз

l 8

P дхз c2

= Q.

Я

д Уз"

Л 5

Для выполнения (5) и (6) достаточно условий — е32 ~ С3 и —3 -

I Л

8l2 5

l. Это обеспечит

^ “ Л Л

отсутствие вязких членов в продольном уравнении импульса, кроме более тонкого вязкого течения 4, и отсутствие поперечного перепада давления.

Q

Заметим, что система уравнений (4) — (6) использовалась уже для решения ряда задач, приведенных в монографии [8], а также в работе [9].

Дифференцированием по Уз из (4) — (6) можно получить следующий результат:

и

дуз

= ю,

где ю — безразмерное трение при у = 0 в невозмущенном пограничном слое. Тогда решение для области 3 можно записать в следующем виде:

ди

и3 ( у3 ) = и3^ (Т, х) + юуз, ^ (Г, X, уз) = —дгуз.

Подстановка (8) в уравнение (5) приводит к уравнению для й3№ (t, х):

г д р3

ди3у + — ^и3у

дТ 3№ дх3

с2 дх рз '

Предполагая, что в системе координат, движущейся с волной, существует стационарное

5

решение, исследуем его. Уравнение (9) при — = 0 допускает решение:

и

3

при у (х) = 0, и3№ = -1. Это дает профиль скорости в области 3 справа от области по х без воз-

мущения давления:

—з (х) = -1 + юу, Уз (х, Уз ) = 0.

ос

Изучим картину течения при ер(х) < ^ (она показана на рис. 2). Для построения карти-

ны течения найдем, используя (8), линию ЛОБ, на которой —3 = 0:

У Ы )=-Ю—з„(х )=і| ор (х).

Будем называть рт максимальное значение р(х) при х = 0.

Рис. 2. Картина течения при докритическом уровне возмущений давления

2

Найдем линии тока, проходящие через точку О, используя определение функции тока у, полагая, что у( х, 0) = 0:

у3

и~иу~ = и (х) у, + 2.

У3 1

у

0

Тогда общий вид линий тока:

1 2 у3(х, у)=-ю —™(х )^ю7 и*(х )+юу.

Полученная докритическая картина линий тока показана на рис. 2. Видно, что при

- рс2

ерт < 2 течение не содержит сингулярностей. Заметим, что знаки ± в (14) выбираются в зависимости от значения у: от стенки, где у = 0, до (—3 = 0) знак «-», выше — знак «+».

Теперь исследуем картину течения при ерт > 0 2 . Эта закритическая картина течения показана на рис. 3. Согласно (10) (это аналог уравнения Бернулли) пристеночная струйка тока не может проходить в область р (х), близкую к рт, и поворачивает в точке х^ в обратную сторону, образуя вторую ветвь линии тока у — 0. Таким образом, линии тока из (14) определяются формулой:

_ _ 2 _ _ _

У3ОЯ

а линии поворота линий тока при х > Хо':

У3О'я

Над линией тока О'Я течет газ, приходящий слева и имеющий давление торможения ерт. Таким образом, над линией тока О'Я течет газ с давлением торможения ерт, а под ней — в поре2 _ ,

токе, приходящем справа, давление торможения —+ рх. Линия О'Я является линией танген-

циального разрыва, т. е. вихревой пеленой.

Наконец, при х < Хо' также можно построить картину течения.

Рис. 3. Картина течения при закритическом уровне возмущений давления

В точку Х0 должна приходить линия тока, на которой давление торможения pm. Это значит, что для расчета u3w (х) вместо (10) при х < х0 следует использовать формулу:

*3w

С Р

также следующей из (9), но учитывающей, что при х = х0 p(х0 ) = pm и u3w (х0 ) = 0. Наконец, линия AO, на которой реализуется поворот линий тока,

y3AO (x -=2 2[pm - p(x Й

- Р=2 ,

Таким образом, показано, что при spm > из точки O' сходит вихревая пелена OR с тан-

генциальным разрывом скорости и.

Заключение. Построенная теория в определенном смысле подобна критерию Корста [8], используемому для построения срывных зон со сверхзвуковым потоком. Она, как и критерий Корста, не учитывает влияние сил вязкости и требует введения поправок, которые следуют из небольшого нарушения условий прилипания, а также условий совместности на линии разрыва O'R. Решение этих проблем для условия Корста описано в монографии [8]. Критический пе-

„ л Р=2

репад давления, создающий возмущения, в размерном виде Лр = ——.

Дальнейшее развитие этой теории должно рассматривать эффекты трехмерности течений, связанные с прохождением серии пиков давления, а также неустойчивость тангенциального разрыва (см. например, [10]). Последнее обстоятельство, возможно, позволит замкнуть определение точки ламинарно-турбулентного перехода из классической теории устойчивости без дополнительного использования экспериментальных данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ferry A. Atti Guidonia № 37—38 // Современное состояние аэродинамики больших скоростей: Перев. с англ. т. 1. — М.: Изд. иностр. лит., 1955 —1956.

2. Howarth L. The propagation of steady disturbance in a supersonic stream bounded on one side by a parallel subsonic stream // Proc. Cambridge Philisiph. Soc. 1948. V. 44, p. 44—53.

3. Thien H., Finston H. Interaction between streams of subsonic and supersonic velocities // JAS. 1949. N 9, p. 515—529.

4. Черный Г. Г. Влияние дозвуковой части пограничного слоя на положение скачка уплотнения / Теоретическая гидромеханика: Сб. статей под ред. Л. И. Седова. — М.: Оборон-гиз. 1952. № 9, вып. 2, с. 63—96.

5. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва //

III Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике, 25/I — 1/II. 1968. — М.: Наука, 1968.

6. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4, с. 53—57.

7. Stewantson R., Williams P. G. Self-indused separation // Proc. Roy. Soc. A.

1969. V. 312. N 1509, p. 181—206.

8. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит, 2004.

9. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. О развитии медленных возмущений в гипер-звуковом пограничном слое // Изв. АН РАН. МЖГ. 2007. № 5, с. 69—84.

10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Теоретическая физика.

Т. VI. — М.: Наука, 1986.

Рукопись поступила 28/VII2010 г.