Формализм в «Логико-философском трактате» Л. Витгенштейна

УДК 1

ФОРМАЛИЗМ В ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКОМ ТРАКТАТЕ Л. ВИТГЕНШТЕЙНА

© Е.Е. Медведева

Ключевые слова: философия математики; логика; тавтология; язык; действительность; математическое предложение; истина; логицизм; теория операций.

Анализируются основные аспекты концепции математики раннего Людвига Витгенштейна. Автор рассматривает формалистскую концепцию философии математики Витгенштейна, представленную в «Логико-философском трактате».

Стержень математической концепции Витгенштейна содержится в его раннем произведении «Логико-философский трактат» (1922), цель которого заключается в выявлении взаимосвязи языка и действительности через определение необходимых предпосылок, позволяющих языку, или языковому употреблению, описывать мир [1]. Ключевая идея Трактата содержится в тезисе 4.01: «Предложение - картина действительности. Предложение -модель действительности, какой мы ее себе представляем» [3]. Витгенштейн был убежден, что «мир полностью описывается, если заданы все элементарные предложения и указано, какие из них истинны, а какие ложны» [3, с.30]. Используемые нами элементарные (или эмпирические) предложения, могут быть истинными в том случае, если имеет место соответствующее событие, и ложными, если такого события нет (Трактат: 4.22, 4.25). Следовательно, можно заключить, что только элементарные предложения, связанные с событиями в мире, являются осмысленными. Что же касается всех других видов предложений, то они на самом деле являются псевдо-предложениями, поскольку применительно к ним слово «истина» заметно отклоняется от корреспондентного значения истины.

Не-референциальная, формалистская концепция математических предложений и терминов берет свое начало в «Логико-философском трактате» Витгенштейна [3]. В Трактате Витгенштейн заявляет, что подлинные предложения, основанные на конвенциях, употребляются нами для утверждения, что со-бытие («связь объектов») существует в одном и только действительном мире. Элементарное предложение оказывается изоморфным возможному со-бытию и используется для его репрезентации: оно должно содержать столько имен, сколько существует объектов в возможном со-бытии. Элементарное предложение истинно, если существует его возможное со-бытие (т.е. ее «смысл»). Витгенштейн четко формулирует корреспондентскую теорию истины в афоризме 4.25: «Если элементарное предложение истинно, соответствующее со-бытие существует, если же оно ложно, то такого со-бытия нет» [3, с. 30].

Концепция элементарных предложений и классическое определение истины используются Витгенштейном в «Логико-философском трактате» для того, чтобы построить теорию логических и математических «предложений». Представленные в Трактате тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не являются ни истинными, ни ложными. Когда мы говорим, что математические предложения являются истинными или ложными, то, согласно Витгенштейну, мы используем слова «истинный» и «ложный» в ином смысле, нежели применительно к эмпирическим предложениям. Математические уравнения являются «псевдопредложениями» (6.2), потому что их «истинность» или «правильность» (6.2321), «характеризуют только точку зрения, с которой я рассматриваю оба эти выражения, а именно точку зрения эквивалентности их значений» [3, с. 65].

2605

Математические псевдопредложения, согласно Витгенштейну, являются уравнениями, которые указывают или показывают, что два выражения являются эквивалентными по своему значению и, следовательно, они взаимозаменяемы. В самом деле, мы можем получить математические уравнения «методом подстановки»: «уравнения выражают взаимозаменяемость двух выражений, и мы продвигаемся от некоторого числа уравнений к новым уравнениям, заменяя, в соответствии с уравнениями, одни выражения другими» (6.24) [3, с. 66]. Мы доказываем «истинность» («правильность») математических «предложений» через «видение» того, что два выражения имеют одинаковое значение, которое «должны обнаружить сами эти два выражения» (6.23), и через замену одного выражения другим с тем же самым значением.

Витгенштейн неотступно, вплоть до своей смерти в 1951 году, стремился установить демаркацию эмпирических предложений, применяемых для точного изображения составных элементов мира, и математических предложений, выводимых чисто формальным, синтаксическим способом. Истинностное значение элементарных (эмпирических) предложений, обусловленных лингвистическими и символическими конвенциями, полностью зависит от того, каков есть мир, тогда как «истинностное значение» предложений математики всецело определяется ее составными символами и формальной системой, к которой они принадлежат. Таким образом, одним из способов проведения обозначенной выше демаркации является утверждение, что предложения математики могут быть установлены чисто формальными средствами (т.е. вычислениями), в то время как эмпирические предложения, обращенные к «внешнему» миру, могут быть определены только по наличию или отсутствию конкретного факта (т.е. чего-то внешнего по отношению к предложению и языку).

Формальная теория математики Т'рактата является, по существу, теорией формальных операций. В последние два десятилетия западные исследователи [5] подвергли тщательному анализу витгенштейновскую теорию операций, связывая ее и теорию арифметических уравнений Трактата с теорией лямбда Л -исчислений Алонзо Чёрча и вычислениями равенства Рубена Гудстейна [6].

Если кратко сформулировать, Витгенштейн представляет ее следующим образом: «...общий член формально образуемого ряда а, О1 а, О1 О1 а,... я записываю так: " (а,х,О'хУ' » (5.2522) [3, с. 42]; «... общая форма операции (п) такова: [С, ЩС)](п) (=[п,

С, М£)]У Это наиболее общая форма перехода от одного предложения к другому» (6.01) [3, с.58]; общая форма предложения (истинностной функции) такова: [ р , С , N (С )] (6). «Общая форма целого числа: [0,С,С + 1] » (6.03) [4]. Он также добавляет, что «понятие числа - не что иное, как общее всех чисел, общая форма числа» (6.022) [3, с.58].

Еще один ключевой аспект теории математики Трактата содержится в тезисе 6.211: «Ведь математическое предложение никогда непосредственно не применяется в реальной жизни; математическое предложение используется лишь для того, чтобы из предложений, не принадлежащих математике, выводить другие, в равной мере не относящиеся к математике.

Так в общем виде можно представить особенности и основные аспекты теории математики раннего Витгенштейна, изложенную в «Логико-философском трактате», которая является, по существу, всего лишь наброском того, что он начнет разрабатывать и развивать позднее в конце 1920-х годов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведев Н.В. Философия Людвига Витгенштейна и проблемы понимания иных культур: монография. Тамбов: Издательский Дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2009. С.42-43.

2. Медведев Н.В. Является ли Л.Витгенштейн последователем И.Канта? (Размышления о близости философских проектов раннего Л.Витгенштейна и И.Канта) // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. 1997. № 1. С. 22-32.

2606

3. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат // Витгенштейн Л. Философские работы. Часть I. М.: Издательство «Гнозис», 1994. С. 19.

4. Медведев Н.В. Философия Людвига Витгенштейна и проблемы понимания иных культур: монография. Тамбов: Издательский Дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2009. С.58.

5. Frascolla P. Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics. London and New York: Routledge, 1994; Frascolla P. The Tractatus System of Arithmetic // Synthese. 1997. № 112. Pp. 353-378; Marion M. Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1998; Floyd J. Number and Ascriptions of Number in Wittgenstein’s Tractatus // Perspectives on Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein, E. Reck (ed.), New York: Oxford University Press, 2002. P. 308-352.

6. Marion M. Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1998. Chapter 1, 2, 4.

Medvedeva E.E. FORMALISM IN WITTGENSTEIN’S «LOGICAL-PHILOSOPHICAL TREATISE».

The main aspects of the concept of mathematics of early Ludwig Wittgenstein are analyzed. The author examines the formalist concept of philosophy of mathematics of Wittgenstein, presented in «Tractatus Logico-Philosophicus».

Key words: philosophy of mathematics; logic; tautology; language; reality; mathematical proposition; truth; logicism; theory of operations.

УДК 517.977

УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ «ХИЩНИК-ЖЕРТВА»

© В.В. Мезго

Ключевые слова: иерархическая система; неопределенность; метод штрафных функций; принцип гарантированного результата; «хищник-жертва».

Приведен пример применения анализа информационной дифференциальной модели двухуровневой иерархической системы в условиях неопределенности в задаче управления двумя охотничими хозяйствами. Верхний уровень применяет принцип гарантированного результата. Методом штрафных функционалов исходная максиминная задача сведена к задаче на максимум. Необходимые условия оптимальности позволяют найти оптимальную траекторию системы и оптимальную стратегию Центра.

Имеется система двух биологических видов (хищников, жертв) [1, 2, 3], эволюция которой описывается системой дифференциальных уравнений X1 = Х1(£1 — 71X2 — у) — Ф\х\, X2 = Х2(72Х1 — £2 — у) — Ф2Х2,, Х1 и Х2 - численности жертв и хищников, соответственно, положительные коэффициенты: £1 - естественного прироста жертв, £2 - смертности хищника в отсутствие жертв, 71 - скорости потребления жертв хищником, 72 - переработки одним хищником биомассы жертв в свою собственную биомассу; ф1, ф2 - коэффициенты гибели за счёт конкурентных конфликтов, Центру и подсистемам при выборе своих стратегий известно лишь множество У возможных значений неопределённого фактора у, из-за чего они применяют гарантированный подход.

Состояние системы отслеживает Центр, который устанавливает ставки налога на добычу животных: (Ь) - на добычу жертв, и12) (Ь) - на добычу хищников. Подсистемы -

охотничьи хозяйства, заботятся лишь о доходности своей деятельности. Стратегии элементов нижнего уровня: и(1)(Ь) - добыча жертв, и^2^ (Ь) - добыча хищников, г = 2, 3.

2607