Нечёткие морфологические операции над изображениями

Вывод. В работе рассмотрен случайный метод формирования начальной популяции для генетического алгоритма решения задачи синтеза сети стандарта GSM-R. Получена аналитическая зависимость среднего числа генераций хромосом от вероятности введения в конфигурацию отдельной БС. Адекватность полученной зависимости подтверждается соответствием расчетных и экспериментальных данных.

Анализ полученной зависимости позволяет сделать вывод о существенном влиянии вероятности введения в конфигурацию отдельной БС на время формирования начальной популяции. Для нахождения оптимального значения этой вероятности, необходимо изучение влияния среднего значения количества БС в хромосомах начальной популяции на время работы генетического алгоритма и качество получаемых решений, что и является целью дальнейших исследований.

Список литературы

1. CLA111D004 European Integrated Railway Radio Enhanced Network. System Requirements Specification. 2003. 131 c.

2. ETSI TR 101 362 v8.4.0 Radio network planning aspects. 1999.

3. Бабков В.Ю., Вознюк М.А., Михайлов П.А. Сети мобильной связи. Частотно-территориальное планирование. -М.: Горячая линия - Телеком, 2007.

4. Книгавко Н.В., Саенко А.С., Метод синтеза оптимальной конфигурации сети технологической радиосвязи стандарта GSM-R.

5. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. -М.: ФИЗМАЛИТ, 2006. - 320 с.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд. 7-е. - М.: Высш. шк., 1999. - 479 с.

УДК 004.932/510.22

Григорьев А.В., к.т.н.

НЕЧЁТКИЕ МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД

ИЗОБРАЖЕНИЯМИ

Введение. В настоящее время математическая морфология широко применяется в цифровой обработке изображений и объединяет ряд методов по работе с изображениями (прежде всего, бинарными) в единый,

мощный подход, основанный на аппарате теории множеств [1]. Данный подход находит своё применение в задачах улучшения визуального качества и визуализации изображений; распознавания и интерпретации графических образов. Морфологическая обработка здесь может быть использована для специального вида нелинейной фильтрации изображений (устранение вызванных дефектами сканирования и бинаризации незначительных разрывов на изображениях объектов и изолированных ложных объектов малого размера). Кроме того, морфологическая обработка может использоваться для непосредственной подготовки к анализу изображения (построения каркаса объектов переднего плана, выделение объектов заданного размера и формы на изображении, построение гранулометрической гистограммы). На данный момент в рамках морфологического подхода существует ряд методов, применяемых для решения как первой, так и второй задачи, однако область их применимости ограничивается обработкой бинарных изображений. Описанное в [2,4] обобщение морфологических операций дилатации и эрозии на полутоновые изображения, как будет показано далее, имеет ряд существенных недостатков.

Цель публикации. Целью публикации является разработка новых полутоновых операций, являющихся обобщением морфологических преобразований, применяемых для обработки бинарных изображений, и лишённых недостатков, выявленных для стандартных полутоновых морфологических операций, описанных в [4].

Полутоновые морфологические операции. Для достижения поставленной цели предложено использовать подход, основанный на теории нечётких множеств. К основным морфологическим операциям относят дилатацию и эрозию [2]:

A © B = {c |

A&B = {c\

где A = {b | b = -a, a e A} - центральное отражение множества A,

(A)^ = {b|b = a + a e A} — параллельный перенос A.

На основе этих двух операций вводятся также операции размыкания A o B = (A0B) © B, замыкания A • B = (A © B)0B, а также «успех-неудача»

A  B = (A0B1) n (A&B2), где A — изображение; B — структуро-образующий

элемент; В1 и В2 - фрагменты образца, отвечающие, соответственно, за множество точек объекта и локального фона.

Таким образом, основными морфологическими операциями являются операции дилатации (1) и эрозии (2), и основной задачей, возникающей при обобщении морфологических операций на случай полутоновых изображений, является обобщение операций (1) и (2).

В [2,4] введены операции полутоновой дилатации и эрозии:

(/ е Ъ)(s,г) = тах (/(8 - х,г - у) + Ъ(х,у});

(х,у)&Эъ

(/0Ъ)(8,г) = шп (/(8 + х,г + у) - Ъ(х,у));

(х,у)еПъ

где /(8, г) - функция яркости изображения;

Ъ( х, у) - структурообразующий элемент; , - области определения/и g.

В [4] также описан ряд методов морфологической обработки полутоновых изображений на базе операций (3) и (4). Однако можно показать, что данные операции имеют ряд существенных недостатков.

Пусть обрабатываемое серое изображение задано на пиксельной плоскости Р = {(х,у)| х е {1,2,...,N}, у е {1,2,...,М}} функцией яркости

/: Р ^ [0,1]. Тогда:

1) Нетрудно заметить, что после применения операций (3) или (4) функция яркости изображения может выйти за пределы интервала [0,1], что не даёт возможности использовать дилатацию или эрозию как самостоятельные операции над изображениями.

2) В том случае, если функции, отвечающие за яркость изображения (/) и за структурообразующий элемент (Ъ), принимают значения из множества {0,1}, логично было бы потребовать, чтобы выражения (3) и (4) сводились, соответственно, к (1) и (2). Иными словами, если (3) и (4) рассматриваются как обобщения дилатации и эрозии на случай серых изображений, то при использовании их для обработки бинарного изображения (как частного случая серого) с бинарным структурообразующим элементом мы должны получить тот же результат, который получим при применении классических операций дилатации (1) и эрозии (2). Однако если сузить применение операций (3) и (4) на бинарные изображения (как частный случай серых), то, очевидно, они не будут

эквивалентны (1) и (2), т.е. (3) и (4), вообще говоря, не являются обобщениями (1) и (2).

Нечёткие морфологические операции. Для преодоления выявленных недостатков полутоновых морфологических операций нами предложено воспользоваться теорией нечётких множеств. С позиции классического морфологического подхода бинарное изображение может быть представлено, например, множеством его белых точек. Оставшиеся точки, при этом, относятся к чёрным точкам изображения. Таким образом, пиксельную плоскость можно рассматривать как универсальное множество, а заданная на нём функция яркости будет принимать значения 0 или 1, и может трактоваться как характеристическая функция подмножества белых точек изображения. Очевидно, множество белых точек бинарного изображения однозначно его представляет. Обобщая такое представление на случай полутоновых изображений, последние можно представить нечётким подмножеством белых точек, при этом заданную на пиксельной плоскости функцию яркости серого изображения можно трактовать как функцию принадлежности нечёткого подмножества белых точек, однозначно представляющего серое изображение.

Таким образом, полутоновые изображения и структурообразующие элементы будем обозначать нечёткими множествами вида:

А = {р | ц(Р), Р е Р}. Функция принадлежности изображения обусловлена его функцией яркости: цА (х) = /А (х), а функция принадлежности

структурного элемента задаётся априорно.

Обобщение дилатации. Для обобщения (1) на нечёткий случай, прежде всего, представим его в виде:

Тогда, согласно предложенному подходу, (5) можно обобщить на нечёткий случай как:

Здесь, в (6) и далее, для обобщения операции зеркального отражения и параллельного переноса над нечёткими объектами (изображением и

А © В = {с |3х е Р: (х е (В)с) л (х е А)}

А © В =

структурным элементом), использован принцип обобщения Заде [5]: A = U {-a | jA(a)}, (A) = U {a + z | jA(a)}.

~ asPy ~ } ~ z asPy ~ '

Проверим, удовлетворяет ли обобщение (6) выдвинутым нами требованиям. Первому требованию операция (6), очевидно, удовлетворяет ввиду замкнутости операций max и min относительно множества [0,1].

В случае вырождения нечётких множеств А и B в обычные множества, функции принадлежностей j^ (x) и j (x) вырождаются в

характеристические функции х B) (x) и %А (x). Поскольку для любого

(B )c

множества X выполнено (xX (x) = 1) ^ (x е X), и для любого заданного на

множестве X предиката П(x) выполнено (maxП(x) = l) ^ (x е X: П(x)),

выражение (6) для случая обычных множеств вырождается в (5), эквивалентное (1). Таким образом, (6) удовлетворяет и второму выдвинутому нами требованию.

Обобщение операции эрозии. Операцию дилатации нами предложено обобщать в виде:

A&B = {c\п

где n(X, Y) - степень нечёткого вхождения множества X в Y.

Аналогично обобщению дилатации, (2) можно перефразировать следующим образом:

A&B = max {jA

или в нечёткой интерпретации: A&B = {c|Vx е P:

В [3] рассмотрен вопрос выбора нечёткой импликации для степени нечёткого вхождения одного нечёткого множества в другое - установлено, что использование импликации Гёделя в случаях, подобных (9), приводит к противоречивым результатам, и обосновано использование одной из импликаций: Гогена или Лукашевича [6]. Из двух импликаций была выбрана импликация Лукашевича ввиду её меньшей вычислительной

сложности в сравнении с импликацией Гогена. Таким образом, для обобщения операции эрозии на случай полутоновых изображений предлагается использовать выражение:

Также, как и для дилатации, первому требованию операция (10) удовлетворяет ввиду замкнутости операций импликации Лукашевича и min относительно интервала [0,1]. Эквивалентность (10) и (2) при вырождении A и B в обычные множества докажем по аналогии с дилатацией. Учитывая, что импликация Лукашевича при сужении от нечётких к булевым высказываниям переходит в импликацию на булевых высказываниях, а также учитывая, что для любого заданного на X

предиката П(x) выполнено (minП(x) = 1) ^ (Vx е X: П(x)), функция

принадлежности множества (10) вырождается в логическое высказывание: Vx е P: (x е (B)с) ^ (x е A), что эквивалентно: (B)с с A .

Таким образом, обобщение (10) дилатации на случай полутоновых изображений удовлетворяет обоим выдвинутым нами требованиям.

Приложения введенных операций. Предложенные нечёткие морфологические операции могут использоваться как самостоятельно, скажем, в [4] описан составленный на основе операций дилатации и эрозии морфологический метод выделения границ. Расширение его на нечёткий случай будет выглядеть следующим образом:

По аналогии с морфологическими операциями над бинарными изображениями, на базе операций (6) и (10) можно ввести операции размыкания A ° B = (A0B)  B и замыкания A • B = (A  B)0B. На их основе в [4] описан морфологический размывающий фильтр по структурному элементу В:

a = ( а  b ) \ (4b),

где Ма\b(x) = maxx) -ßB(x),0}

Ah4 =( A • B) o B;

Частично исключая из исходного изображения его размытую копию, очевидно, можно получить морфологический фильтр повышения резкости:

A

ВЧ

A л 4нч 5

где A -л B - введённая нами по аналогии с нечёткой Л -суммой [6] нечёткая операция Л-разности:

(x) = max {о, min{l, (1 + Л) • j (x) -Л- jB (x)}};

Л е [0, 1] - коэффициент усиления резкости. Результаты применения описанных фильтров по структурообразующему элементу с круглой апертурой размером 7х7 пикселей представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 - Результаты применения методов нечёткой морфологической

обработки: а) исходное изображение; б) результат обработки морфологическим размывающим фильтром; в) результат обработки морфологическим фильтром повышения резкости; г) негатив морфологического градиента.

Рассмотренные методы фильтрации также могут быть использованы и для обработки цветных изображений. Для этого достаточно применить соответствующее преобразование к каждому из каналов цветного изображения.

Выводы. В публикации рассмотрена проблема обобщения морфологических операций на случай полутоновых изображений. Выявлены недостатки стандартных операций полутоновой морфологии. На основе теории нечётких множеств предложены новые полутоновые морфологические операции дилатации и эрозии. Рассмотрены способы построения на базе предложенных операций более сложных морфологических преобразований, а также примеры использования предложенного математического аппарата для выделения границ на серых изображениях и улучшения их визуального качества при помощи нечёткой морфологической фильтрации. Предложенные в статье нечёткие морфологические операции могут быть использованы для разработки новых методов обработки и анализа сигналов на основе морфологического подхода.

Список литературы

1 Goutsias J., Vincent L., Bloomberg Dan S. Mathematical morphology and its application to image and signal processing. // Computational imaging and vision. Vol. 18. -Boston: Kluwer AP., 2002. - 445p.

2 Serra J. Image analysis and mathematical morphology. - Orlando: AP Inc., 1982.

- 621p.

3 Григорьев А.В. О нечёткой импликации и степени нечёткого вхождения одного нечёткого множества в другое // Вюник Донецького ушверситету, Сер. A. Природничi науки, 2005, вип. 1, Донецьк: ДонНУ, 2004. - с. 416-419.

4 Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.: Техносфера, 2005. - 1072с.

5 Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближённых решений - М.: Мир, 1976. - 166 с., ил.

6 Леоненков А.В. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и FuzzyTECH. -Спб.: БХВ-Петербург, 2003. - 736 с.: ил.