Расчетная модель с учетом зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления трехслойной гидродинамической смазки радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами

Расчетная модель с учетом зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления трехслойной гидродинамической смазки радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами

М.А. Мукутадзе

Введение.

Анализ существующих работ [1 - 11], посвященных расчету подшипников скольжения, показывает, что приведенные в основном здесь расчетные модели не полностью учитывают ряд факторов, влияющих на функционирование трибосистемы. Это прежде всего учет зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления; образование промежуточных слоев смазки разной вязкости.

Ниже приведем расчетную модель с учетом зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления трехслойной смазки радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами.

Постановка задачи. Рассматривается установившееся стратифицированное течение трехслойной смазки в зазоре радиального подшипника с адаптированным профилем опорной поверхности при наличии пористого слоя на рабочей поверхности вала. Предполагается, что пространство между подшипником и валом полностью заполнено трехслойной вязкой несжимаемой жидкостью. Вал вращается с угловой скоростью О, а подшипник неподвижен. Также предполагается, что зависимость вязкости и коэффициента проницаемости пористого слоя от давления выражается формулами:

ц = ц0/р', к' = к/р', \ = 1,2,3.

Здесь а - экспериментальная постоянная; ц0 - характерные значения динамического коэффициента смазочных слоев; к' - проницаемость пористого слоя; р' - гидродинамическое давление.

В полярной системе координат с полюсом в центре вала уравнение адаптированного контура опорной поверхности подшипника, границы раздела слоев и кругового шипа с пористым слоем на его рабочей поверхности можно записать в виде

c0: r/ = r0 + H, c0: r' = r0, c1: r' = r0 + 5a + 5aecos0-aAsinЮ0;

c2: r = r0 +ps + pe cos 0-pA sin ю0; c3: r' = r3 + e cos 0- A sin ю0, (2) где ae [0,1], a<P< 1, H - толщина пористого слоя.

Рис. 1. Схематическое изображение шипа с пористым слоем на его рабочей поверхности в радиальном подшипнике, работающего на трехслойной смазочной композиции

Основные уравнения и граничные условия

В качестве исходных уравнений берутся безразмерная система уравнении движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом вязкости от давления для случая «тонкого слоя», уравнение неразрывности, а также уравнение Дарси с учетом зависимости проницаемости от давления

^ = , ^ + ^ = 0, , = 1,2,3;

дг2 ' сКд дг дв

д2р др др=0

дг *2 + г * дг * + г *2 дв2 , ( 3

где размерные величины г', и', и \, р', ^ в смазочном слое связаны с безразмерными соотношениями

г' = г, + 5г, и ' = Огои, и' = Оди,, р' = р р,

Ц I = Ц, Л, = §2Рк / Ш) Аг0 + Н)2, 5 = Г2 - Г0 - Н.

В пористом слое переход к безразмерным переменным осуществлен по формулам

г ' =

Здесь и', и ' - компоненты вектора скорости; р§ - характерное давление. Система уравнений (3) решается при следующих граничных условиях:

и1 г=0

дР

дг

г =1 :

дР 0 Г,

—* = 0 при г = —0 дг

г, + Н

, и1 г=0 = ^

и3 = 0, и3 = 0, и3 = 0 при г = /(0);

Р = Р|г*=1, Р(0) = Р(2п) = 1; и2 = иъ, и2 = и при г = р/; ди1 Ц02 ди2 и1

и1 = и2, и1 = и2,

дг ц01 дг и1

— = ак'(0) при г = а/(0);

^ = р//(0) при г = р//; ^ = ^ при г = р//; и2 дг Ц02 дг

к Р

О-Г .

е ^

/(0) = 1 + ПСОБ0-П181П Ю0, п = 7, П = —, М = -

5 5 Ш)Р5

Точное автомодельное решение задачи

Уравнение Дарси осредним по толщине смазочного слоя

1 /

д2Р 1 дР 1 д 2Р

дг г дг г д0

+

+ •

*2 лл2

йг = 0

и точное автомодельное решение системы уравнений (3), удовлетворяющее граничным условиям (6), будем искать в виде

и.

+и

д0

дг

и = - (^)/'(0), У (г, 0) = ц (£), \

1 = 1,2,3,

/(0) Л е

й0 /2 ' /3' й0 /2 ' /3' 3 й0 /2 ' /3'

Л -аР йр = _£]_ + ^ Л е-аР йр = + ^ л -ар йр = +

1 7Л _ ; 2 ; 3 ' 2^ 7Г, _ , 2 ; 3 ' 3^ ~ , 2 ; 3

Р = Д0)(г* -1)(г* - у)2 + с* (г* - у)2 (г* -1)/(0) + р,

у:

г + Н

.

Подставляя (8) в (3) и (6), будем иметь

г

г

0

V = ^ Ц = С^ и1 + = 0, ^2 = ^ и2 = с^

,— г т .—. ^^п ,— .—

и2 +^1)2 =0, \|/з =с4, из =Сз, из + =0,

Н

Г гг \2

^ (0) = 0, и1(0) = -ЛС

V г0 + Н у

в, ц(0) = 1, уз(1) = 0, из(1) = 0,

из (1) = 0, V (а) = \|/2 (а), и1 (а) = и2 (а), и1 (а) = и2 (а), и1 (а)=—и2 (а),

—1

——и2(в)=из(в), и2(в)=из(в), ^2'(в)=м —1

^(в) = —" УзЪ), Мв) = —" Оз'(Р), —2 — 2

а _ в __1 _

{и^ + + ^ = в*.

0 а в

Решение задачи (9) - (10) находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь

V1 Ф = С2у + С2^ + С3, V2 = С2 у + С4^ + С5 ,

и1 = С1 у + С6^ + С7, и2 = С1 у + С8^ + С9,

- =_-и- И ~ =-си- и

и1 С'1 з С6 2 +С10, С'1 з С8 2 +С11,

1|/з = С4у + С12^> + С1з, 13з = Сзу + С14^ + С15, -з ~-Сзу - С14 у + С16,

Л1е~ар = Л^-а-а[32(в)С1 + Уз(0)С2], Л2е~ар =Л2е"а-а[/2(9)^+ /з(6)5],

~ ~ ~ в ¡в Лзе-ар = Лзе-а - а[32

0 ^

Для определения постоянных С(/ = 2, з, ...16) С1, С2, С1, С2,Сз и С4 придем к следующей алгебраической системе уравнений:

_1 _____ С4 _ Сз _ Сз С14

С7 = 1, С10 = 0, Сз = 0, С1з = 2 С12, С15 =- у - С14, С16 = у + "у,

С6 = к1(С1а + С8) - ^lа, С4 = к2(С4в + С12) - С2в

2 2 = ъ = ъ ~ -С - - =0

С2 = ъ1С4, С8 = ъ2 С14, С2 2 + С2а + Сз С2 2 С4а С5 = 0,

2 2 „ а ~ а

с1 — + с6а + с7 - с1 — - с8а - с9 = 0, _= ~ = 0

с1 з с 8 2 + с 1 + + с л л 0-.

"14

"16

~ В2 в2

С2"у + С4в + С5 - С4у - С12в - С13 = 0,

~ В2 в2

С1 — + С8в + С9 - С3 — - СмР-С15 = 0,

а3 а2 ~ р3 р2 ~ а3 а2

с, — + ¿6 — + с7а + + + с9в- - - с9а +

2 6 2 6 2

с3 с14 ~ Р Р п п*

+ "Г + "Г + С15 - ^Т" - - С15в = в , 6 2 6 2

1 6

С1 к1 С2 к1 С1 к2 C3, С2 к2 С4

-с

J 2

Здесь к2

Решение системы (12) сводится к решению следующего матричного уравнения:

М • х = Ь,

с3; с4; С5; с6; С9; с11; с12; ¿14} , Ь = {0; 0; 0; - 1; 0; 0; 0 ; - 6а

" 0 1 0 0 0 0 к2 0 "

0 0 0 1 0 0 0 - к1к2

а1 а2 -1 0 0 0 0 0

а3 0 0 а -1 0 0 - ка

М = 2

а 4 0 0 0 0 1 0 а 5

а 6 Р 1 0 0 0 а7 0

а8 0 0 0 1 0 0 а 9

_а10 0 0 3а2 а11 0 0 а12 _

Здесь а1 = ^2-^О2^ (1 - а2 = а(к -1), а3 = ^у (к -1),

а4 = 3

а.

= 1 -Р; а8 = -2(1 -Р2 + к2в), а9 = 1 + р^-Р,

2 J3

а10 =-2 -вз + зв- к2а3 + к2в3 + Ъ1Ъ2аз, а11 = 6(в - а),

а12 = 6в + з

Решая матричное уравнение (1з), получим:

за2к1к2 - а12 - 6а2к2 + 6ак1к2в* + а11а9 + 6а9а + 6а9а + 6а9в* - 6к2ав*

сз =

А

А = а11а8ак1к2 - а11а 8к2а а^кк + а^а I за кк2а8 +

I з к1к2аз а 19^х<з I са< 128 I 12^^з.

Значения других констант, входящих в систему (1з), ввиду громоздкости их выражений здесь не приводятся. Перейдём к определению основных рабочих характеристик подшипника.

Определение гидродинамического давления и основных рабочих характеристик подшипника

В принятом нами приближении для гидродинамического давления получим выражения, аналогичные (10). Безразмерные расходы Q1,Q2 и Q3 трехслойной смазочной жидкости определяются выражениями

~ „ аз а2 _ ~ рз в2 ~ аз а2

й = С2~ + С2 — + С3а, Q2 = С2 — + С4~ + С5в С2— С4~ - С5а,

6 2 6 2 6 2

Q =с 1 1 -с в

^ С4 г + С12 ~ + С13 С4 г С12 ~ С13в.

6 2 6 2

Для безразмерных компонент поддерживающей силы и безразмерного момента трения, получим выражения:

Я

Я- ^

у р г0 0 йв

{ ¡^еов вй в = С1 + П

1

соя(ю - 1)2п -1 + соя(ю + 1)2п -1

ю-1

ю +1

Я * ¡р яи вйв = -~СП ¡в 2

Я = -

рг

00

ят(ю - 1)2п ят(ю + 1)2п

тр

—1Ог0

ю -1 Л И2 И

ю +1

г

с

1+а

л

1+а

V 2 у

еарй в.

0 0

§=0

Основные выводы

Результаты численного анализа, приведенные на рис. 2-3, показывают:

1 Безразмерная Ry - составляющая вектора поддерживающей силы -существенно зависит от параметра а, к и k2.

2 При значениях р, близких к единице, с увеличением значения вязкостного отношения к2 =ц3 / ц2 несущая способность возрастает. Наиболее резкое возрастание несущей способности достигается при к2 > 3.

3 При к «1,1, к2 > 3 наличие пористого слоя на рабочей поверхности вала способствует существенному снижению значения силы трения подшипника, при этом практически не влияет на его несущую способность, в этом случае подшипник обладает повышенной несущей способностью и минимальной силой трения.

"1

Рис. 2. Зависимость безразмерной несущей способности Яу от параметров п и ю к = 1,1:

1 - а = 0,1; к2 = 1,2; 2 - а = 0,3; к2 = 1,3; 3 - а = 0,5; к2 = 1,4; 4 - а = 0,9; к2 = 1,5

Рис. 3. Зависимость безразмерной несущей способности ^ от параметров п1 и ю,

к = 1,1:

1 - а = 0,1; к2 = 1,2; 2 - а = 0,3; к2 = 1,3;

3 - а = 0,5; к2 = 1,4; 4 - а = 0,9; к2 = 1,5

Литература:

1. Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. [Текст] М.: Машгиз, 1959, 404 с.

2. Ахвердиев К.С., Приходько В.М., Шевченко А.И., Казанчян О.Р. Математическая модель течения смазки в зазоре радиального подшипника конечной длины со слоистым пористым вкладышем переменной толщины [Текст] // Проблемы машиностроения. РАН М.: Наука - 2000 г. - № 6, - С. 85 - 91.

3. Ахвердиев К.С., Прянишникова Л.И., Пустовойт Ю.И. Гидродинамический расчет пористых подшипников с переменной проницаемостью вдоль оси с учетом нелинейных факторов. [Текст] // Трение и износ. - 1993 - Т. 14, № 5, - С. 813-821.

4. Савенкова С.С. Изучение несущей способности пористого подшипника -[Текст] // Изв. Сев.-Кавк. науч. Центра высш. школы. Сер. Техн. Науки - 1975 г. -№ 3,- С. 56-57.

5. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) - Загл. с экрана. -Яз. рус.

6. Ахвердиев К.С., Прянишникова Л.И. Об одном точном решении задачи о радиальном пористом подшипнике конечной длины [Текст] // Трение и износ. -1993. - Т. 12, № 1, - С. 24-32.

7. Конри К., Кузано К. Об устойчивости пористых радиальных подшипников [Текст] // Конструирование и технология машиностроения. - 1974. - № 2. - С. 206216.

8. Ахвердиев К.С., Муленко О.В. Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников [Текст] // Вестник РГУПС. - 2002. - № 3.- С. 5-7.

9. Ахвердиев К.С. Мукутадзе М.А., Задорожная Н.С., Флек Б.М., Поляков Е.В., Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013 г., № 3. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1765 (доступ свободный) - Загл. С экрана. -Яз. Рус.

10. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. - N.J., 1972.

11. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Towers experiments / O. Reynolds. - Phil. Trans. Roy. Soc. - London, 1886, vol. 177, pt. 1.