Коллективная динамика частиц в жидком свинце: теория и моделирование методом молекулярной динамики

Р.М.Хуснутдинов, Р.М.Юльметьев, В.Ю.Шурыгин, Р.Н.Ильина

КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ЖИДКОМ СВИНЦЕ: ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

Выполнены теоретические и молекулярно-динамические исследования жидко-

о -3

го свинца при температуре Т = 623°К с числовой плотностью п = 0.03094 А с целью изучения структурных и динамических свойств. Вычисленные равновесные характеристики находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными по неупругому рассеянию рентгеновских лучей. Для изучения коллективных свойств был вычислен динамический структурный фактор £(к,а). Теоретические расчеты для спектров £ (к ,ю) были выполнены с помощью формализма функции памяти Цванци-

га-Мори на основе идей Н.Боголюбова об иерархии времен релаксации и сокращенном описании статистических систем. Результаты теоретических расчетов для спектров £ (к ,ю) находятся в хорошем согласии с результатами компьютерного моделирования молекулярной динамики.

Введение. Компьютерное моделирование

Классический метод молекулярной динамики был изобретен в середине 50-х годов XX века Б.Олдером, Т.Уйнрайтом [1]. Сущность его заключается в расчете на компьютере траекторий, моделирующих конкретный физический объект - обычно отдельную крупную молекулу, жидкость или твердое тело. Специфика любой системы выражается в форме потенциалов и сил межчас-тичного взаимодействия. Поскольку эти потенциалы для реальных веществ либо неизвестны, либо определяются приближенно, то в методе молекулярной динамики имеют дело с более или менее точной моделью вещества. В современной статистической физике методы компьютерного моделирования нашли широкое применение в исследовании микроскопических свойств и процессов, которые осуществляются в конденсированных средах: газах, жидкостях, полимерах, стеклах и т.д. Этот полуэмпирический метод позволяет получить ценную информацию о микродинамике исследуемого объекта, которую трудно извлечь (а в некоторых случаях даже и невозможно) из экспериментов.

Детали компьютерного моделирования

В данной работе представлены результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики жидкого свинца. Исследуемая система состоит из

О

N = 4000 частиц, расположенных в кубической ячейке (Ь = 50.565 А) с периодическими граничными условиями при температуре Т = 623° К (темпера-

О -3

тура плавления Тт = 600.65°К) с числовой плотностью п = 0.03094 А . Для численного интегрирования уравнений движений частиц был применен алгоритм Верлета с временным шагом 10-14 сек. Программой выполнено 15000

временных шагов для приведения системы в равновесное состояние и 60000 временных шагов для вычисления временных корреляционных функций.

Согласно [2], потенциал межчастичного взаимодействия, использованный в молекулярно-динамическом исследовании, был взят в следующем аналитическом виде:

К(г) = К1(г) + К2(г) + К3(г),

г) = О

ехр

(г - С] )~

г < с

У](т) = 0, г > С]

У2(т) = а

-- С2

ехр

(г - Ь2 )-

У2(г) = 0, г > Ь2,

У3( г) = %Со5(2 КРг).

Рис. 1. Потенциал межчастичного взаимодействия жидкого свинца [2]

Потенциал (1) представлен на рис. 1.

Для сокращения времени расчета мы пренебрегли взаимодействиями

частиц на расстояниях г > гс, где гс = 9 А - радиус усечения потенциала.

Результаты моделирования и сравнение с теоретическими расчетами

1. Статические свойства и структура жидкого свинца

Для исследования равновесных свойств жидкого свинца нами была вычислена функция радиального распределения двух частиц:

Здесь угловыми скобками (...) - обозначена операция усреднения по числу частиц, г (ї) - положение і -частицы в момент времени ї. График функции g (г) представлен на рис.2. С помощью преобразования Фурье радиальной функции распределения частиц g (г), мы вычислили статический структурный фактор £ (к). Зависимость статического структурного фактора £ (к) от волнового числа к представлена на рис.3. Здесь сплошная линия представляет результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики; маркеры -экспериментальные данные по неупругому рассеянию рентгеновских лучей [3]. Из рисунка видно, что численные расчеты для статического структурного фактора хорошо согласуются с экспериментальными данными.

г

Рис. 2. Радиальная функция распределения частиц

Рис. 3. Статистический структурный фактор жидкого свинца

2. Динамические свойства жидкого свинца

Для исследования коллективных свойств жидкого свинца нами была вычислена когерентная функция рассеяния Г (к, ():

1 / N - N _ \

Г

N \7=1 '=1 I

Графики функций Г (к, () для

волновых чисел к = 4.64 пш~1 и 6.80 пш~1 представлены на рис. 4.

Рассмотрим нормированную временную корреляционную функцию ф(к, ^ = Г (к, ^15 (к). Переходя из

временной области в частотную, с помощью Лаплас (Фурье) - преобразования когерентной функции рассеяния ф(к, () можно найти динамический структурный фактор 5 (к,т):

1

Рис. 4. Когерентная функция рассеяния

£ (к ,ш) = £ (к) Яе^(к, г = ш). п

Здесь символ Яе обозначает действительную часть, а

да

ф(к,г) = |в~2гф(к,?)& есть преобразование Лапласа.

0

С другой стороны, с помощью техники проекционных операторов и формализма функции памяти Цванцига-Мори можно получить следующее рекуррентное соотношение

Мп

Здесь Мп (к, X) - Лаплас-образ функции памяти п -го порядка Мп (к, () , в частном случае М0(к,х) = ф(к,х). Каждая функция памяти характеризует

да

свой релаксационный режим со временем релаксации тп = | Мп (к, ^. Вели-

0

Її (

чины &п(к) представляют собой главные релаксационные параметры п -го порядка и имеют размерность квадрата частоты. Первый частотный релаксационный параметр определяется уравнением

_п,,ч квТ к2

Цп

т Ь

где кв - постоянная Больцмана, Т - температура, т - масса атома свинца, к - волновое число и Ь(к) статический структурный фактор или нулевой частотный момент Ь (к,):

5

В общем случае нормированные частотные моменты динамического структурного фактора можно определить в виде:

да

| со2т5(к,о)Со

о

| 5(к,о)Со

—да

Отметим, что релаксационные параметры ^(к) связаны с четными частотными моментами, о(2т)(к) следующими соотношениями [4]:

2

1 о

где

к„Т к2

ю(2)(к) = -

т 5(к) -(4,(к) = зп^-  —

-^2(к)5(к) + — Г(г)[1 — ос8(кг)]2и(г), соу ’(к) тУ

о

^ т ) т У '

+6—2у-кГdгg(г)V]U(г)8ш(кг) + 2|dгg(г)|^УУ,и(г)^ [1 — ео8(кг)] +

+ [—) Г СгСг 'gз (г, г') ( УУ; и (г)) (V 'V' и (г')).

Здесь индексом I обозначена продольная компонента, параллельная волновому вектору к, g3(r, г') - трехчастичная функция распределения. Выражения для частотных релаксационных параметров более высоких порядков имеют сложный вид и содержат многочастичные функции распределения.

Для замыкания рекуррентного соотношения (5) воспользуемся методом, предложенным в работе [5], который был недавно развит для описания спектров динамического структурного фактора жидких щелочных металлов [6-8]. Этот метод основывается на двух известных идеях Н.Н. Боголюбова: о сокращенном описании статистических систем и об иерархии времен релаксации. В соответствии с [6-8] предположим, что на четвертом релаксационном уровне осуществляется выравнивание временных масштабов функции памяти: т3(к) « т4(к) . Тогда для динамического структурного фактора можно получить следующее выражение [6]:

5(к,а) = Ц2(к)02(кР32(к)^4022(к)-а2 {ц4(к)Ц(к) +

2п

+а2

-О2 (к )0 2 (к )О32 (к) + О4(к )О2(к) + с4 (Ц (к) - 2Ц2 (к )Ц (к) +

+202

На рис. 5 представлен спектр динамического структурного фактора 5(к,с) для значений волновых чисел к = 4.64 пт- и 6.80 пт-1 при температуре Т = 623К . Сплошная линия представляет результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики, а штриховая линия - теоретические расчеты, выполненные по формуле (11). Как видно из рис. 5, теоретические кривые 5(к,с) хорошо воспроизводят данные компьютерного моделирования молекулярной динамики в жидком свинце.

Рис. 5. Динамический структурный фактор

Проведенный сравнительный анализ вычисленного статического структурного фактора с экспериментальными данными подтверждает соответствие

избранной модели потенциала межчастичного взаимодействия. На основе теоретико-функциональной техники проекционных операторов Цванцига-Мори нами представлен микроскопический подход, основанный на известных идеях Н.Н.Боголюбова об иерархии временных релаксационных масштабов и о сокращенном описании статистических систем. Результаты теоретических расчетов находятся в качественном и количественном согласии с результатами компьютерного моделирования молекулярной динамики. Настоящая работа поддержана грантом РФФИ №05-02-16639а.

Литература

[1] M.P. Allen, D.J. Tildesley // Computer Simulation of Liquids. Oxford, 1987.

[2] Dzugutov M., Larsson K.E., Ebbsjo I. // Phys. Rev. A.1988. Vol.38. P.3609.

[3] Olsson L.G., Dahlborg U. // Phys. Chem. Liq. 1982. Vol.11. P.225.

[4] Copley J.R.D. and Lovesey S.W. // Rep. Prog. Phys. 1975. Vol.38. P.461.

[5] Yulmetyev R.M. // Teor. Mat. Fiz. 1977. Vol.30. P.264.

[6] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Hanggi P., and Shurygin V.Yu. // Phys. Rev.

2001. Vol.64. P.057101

[7] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Hanggi P., and Shurygin V.Yu. // JETP Lett.

2002. Vol.76. P.147.

[8] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Scopigno T., and Hanggi P. // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. Vol.15. P.2235.