Оценка точности и однозначности решения оптимизационных задач на примере обратной задачи гравиметрии

Е.Н.Черемисиной, В.Н.Добрынина, Ю.А.Воронина и других исследователей.

Целью третьего этапа комплексного анализа геолого-геофизических данных является прогнозирование сложных геосистем, например, месторождений полезных ископаемых. Задачи, решаемые на этом

этапе, были уже сформулированы в таблице. Результатом решения этих задач обычно являются прогнозные карты, позволяющие ранжировать территорию по степени перспективности, например, по вероятности обнаружения целевых геологических объектов.

Библиографический список

1. Кузнецов О. Л., Никитин А. А. Геоинформатика. М.: Недра, 1992.

2. Дударева О.В. Геоинформационный анализ. Лабораторный практикум для студентов геолого-геофизических специальностей. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2008. 57 с.

3. Ломтадзе В.В. Проблема формирования баз геолого-геофизических данных // Геология и разведка. М.: Изв. вузов. 1985. № 6.

4. Ломтадзе В.В., Шишкина Л.П., Бородаченко В.В. Концеп-

ция файловых баз данных (ФБД) и ФОРТРАН-ФБД // Материалы мирового центра данных. М.: АН СССР, 1986. 91 с.

5. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обеспечение геофизических исследований. М.: Недра, 1993. 268 с.

6. Марченко В.В. Человеко-машинные методы геологического прогнозирования. М.: Недра, 1988. 232 с.

7. Еганов Э.А. Системно-модельный подход к решению поисковых задач // Методология и теория в геологии. Киев: Наукова думка, 1982. С. 33-40.

УДК 550.8.

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ И ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ПРИМЕРЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ

, Л.П.Шишкина1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается универсальный (независимый от алгоритмов решения обратной задачи) метод оценки качества решения. Метод заключается в том, что задача решается Кг раз, причём в каждой реализации К (К = 1, ... , Кг), кроме первой, к значениям наблюдённого поля добавляются случайные величины, распределённые нормально с нулевым математическим ожиданием и стандартом Е. Значение Е задаётся с учётом предполагаемой точности моделирования, включающей неадекватность модели, неоднородность геологических объектов и т.п. По результатам Кг решений находятся средние значения и стандарты оценок параметров модели, а также коэффициенты парной корреляции между ними. Ил.4. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: оптимизация; параметры модели; точность решения; однозначность решения; статистическое моделирование.

В.В.Ломтадзе

ESTIMATION OF ACCURACY AND ONE-VALUEDNESS OF THE SOLUTION OF OPTIMIZATION PROBLEMS ON EXAMPLE OF THE GRAVIMETRY INVERSE PROBLEM V.V. Lomtadze, L.P. Shishkina

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The authors propose a universal (independent of algorithms for the inverse problem solution) method to assess the quality of the solution. The method consists in the fact that the problem is solved Kr times, and in each realization of K (K = 1, ..., Kr), except the first, random variables normally distributed with zero mathematical expectation and E standard are added to the values of the observed field. The value of E is given with regard to the alleged modeling accuracy, including the inadequacy of the model, the heterogeneity of geological sites, and etc. According to the results of Kr-solutions the authors find average values and evaluation standards of model parameters, as well as the coefficients of pair correlation between them. 4 figures. 6 sources.

Key words: optimization; model parameters; solution accuracy; solution one-valuedness; statistical modeling.

Для иллюстрации метода на примере решения обратной задачи гравиметрии способом эквивалентных призм [3, 4, 5] в среде VBA разработана программа, встроенная в книгу Excel. На листе 1 книги Excel задаются исходные данные, элементы управления программой и размещаются основные результаты

(рис. 1).

На листе 2 программа графически отображает результаты решения задачи в первой реализации (рис. 2). В данном примере наложены ограничения на эквивалентную плотность каждой призмы: искомые параметры должны принадлежать интервалу [0, sgm]. В

1Шишкина Людмила Павловна, кандидат технических наук, доцент кафедры информатики, тел.: (3952) 405183. Shishkina Lyudmila, Candidate of technical sciences, Associate professor of the chair of Computer Science, tel.: (3952) 405183.

качестве максимальной эквивалентной плотности параллелепипедов задаётся ожидаемая избыточная плотность геологического объекта. Эту плотность также можно оценить способом эквивалентных призм [2, 5]. В приведённом примере задано эдт = 0.3 (см. рис. 1).

программы, позволяющей решать прямую задачу от системы параллелепипедов (рис. 4). Для параллелепипедов, целиком принадлежащих телу в рассматриваемом сечении, эквивалентная плотность задавалась равной 0.3. Если параллелепипед принадлежит телу частично, соответственно уменьшается его эквива-

X GA GM е = GA-GM 51 1 512 5 1.3 514 515 521 522 523 s 24 525 531 532 533 534 535 К F

0 1.56 1.64 -0 00 хО 6 0.00 0.00 0.00 0.06 0.10 0.00 0.19 0.30 0.27 0.14 0.00 0.00 0.02 0.01 0.02 1 125.37

2 2.15 2.24 -0.09 0.02 0.00 0.00 0.10 0.16 0.00 0.30 0.30 0.00 0.21 0.00 0.00 0.02 0.08 0.00 2 11959

4 3.12 3.21 -0 09 уО -5Í 0.06 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00 0.27 0.30 0.05 0.21 0.00 0.00 0.00 0.11 0.00 3 122.51

6 4.83 4.92 -0.09 0.01 0.00 0.00 0.12 0.00 0.04 0.19 0.26 0.30 0.15 0.00 0.03 0.00 0.03 0.00 4 127.06

0 0.05 6.14 -0.09 zO 0.6 0.05 0.01 0.00 0.11 0.15 0.00 0.30 0.28 0.00 0.26 0.00 0.00 0.06 0.00 0.00 5 120.37

10 13.79 13.88 -0.09 0.00 0.06 0.01 0.08 0.02 0.00 0.18 0.30 0.28 0.16 0.00 0.00 0.03 0.00 0.00 6 125.83

12 21.13 20.35 0.77 а 3 0.02 0.00 0.00 0.06 0.20 0.00 0.30 0.29 0.00 0.25 0.00 0.00 0.09 0.00 0.00 7 120.11

14 22.79 22.87 -0.09 0.03 0.00 0.00 0.10 0.15 0.00 0.29 0.30 0.00 0.20 0.00 0.00 0.02 0.04 0.04 8 119.26

16 10.27 17.95 0.32 Ь с 1Ш 0.06 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.30 0.30 0.00 0.08 0.06 0.00 0.00 0.14 0.01 а 116.19

1S 11.63 11.72 -0.09 0.00 0.00 0.00 0.06 0.24 0.00 0.30 0.28 0.00 0.24 0.00 0.00 0.06 0.00 0.00 10 118.08

20 6.00 6.8S -0 09 1.S 0.01 0.02 0.00 0.18 0.00 0.00 0.30 0.30 0.09 0.18 0.02 0.00 0.03 0.03 0.00 11 119.04

22 4.12 4.20 -0.09 0.13 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 52.61

24 2.70 2.79 -0.00 ПК 5 0.03 0.00 0.00 0.19 0.01 0.00 0.30 0.30 0.00 0.16 0.15 0.00 0.03 0.02 0.00 13 118.63

26 1.90 1.98 -0.09 0.00 0.10 0.00 0.17 0.00 0.00 0.27 0.30 0.05 0.22 0.00 0.00 0.03 0.00 0.05 14 121.57

со C4J 140 со -0.08 п ъ 0.05 0.02 0.00 0.14 0.00 0.00 0.30 0.30 0.07 0.21 0.00 0.00 0.04 0.05 0.00 15 117.69

0.00 0.00 0.00 0.12 0.00 0.02 0.20 0.30 0.30 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 16 124.70

кг 1.1

sgm D.3

Е Q.S

Кг ] 16 Решение

Среднее отклонение 0.00 Средние значения эквив. плотностей 0 03 0 01 0.00 0.14 0.06 0.00 0.26 0.20 0 09 010 0.01 0.00 0.03 0 03 0.01

Среднее квадр. отклонение 0.24 Оценки стандартов эквив. плотностей 0.03 0 03 0.00 0.07 0.09 0.01 0.05 0.07 0.12 0.07 0.04 0.01 0.03 0 04 0.02

Ограничения. Число точек М <40. Число призм N = пх*пг<24. Число реализаций Кг =1 [решение без оценки качества) или 10 < Кг <40 Графическое представление результатов решения при исходных значениях поля (К=1)- на листе 2. Матрица коэффициентов корреляции - на листе 1

Пояснение. Задача оценки эквивалентных плотностей параллелипипедов решается многократно, если задано Кг >10. В каждой реализации к значениям СА добавляется случайная составляющая, распределённая нормально со стандартом Е. По результатам Кг решений [в правой части листа 1) находятся ср. оценки плотностей, оценки их стандартов и коэффициентов парной корреляции. Оценка качества позволяет получить представление об устойчивости решения задачи, точности результатов и о возможности перемещения масс из одной призмы в другую без существенного изменения поля модели [см. коэффициенты парной корреляции оценок параметров на листе 3). Последнее облегчает выбор оптимального размера параллелепипедов с учётом разрешающей способности гравиразведки

Рис. 1. Исходные данные (X, GA), поле модели GM в первой реализации, геометрические параметры и ограничения (x0,..., Kr), оценки искомых параметров модели (s11,..., s35) и целевой функции F в каждой реализации, средние значения и стандарты оцениваемых параметров модели

На листе 3 приводятся коэффициенты парной корреляции между оцениваемыми параметрами модели (рис. 3). Например, коэффициент -0.86 между параметрами э14 и э15 (эквивалентные плотности четвёртой и пятой призм в первом сверху ряду) показывает, что значение одного из этих параметров можно увеличить за счёт уменьшения другого [1]. В геофизике это явление называют принципом эквивалентности. Надо, правда, заметить, что некоторые связи могут быть опосредованными, например, два параметра физически связаны с третьим и, соответственно, статистически - друг с другом.

Поле GA, использованное для иллюстрации метода (см. рис. 1-3), было получено с помощью другой

лентная плотность, например, 0.2, 0.1 или 0. Аналогичным способом при интерпретации результатов (см. рис. 2) можно провести контур геологического тела. При этом надо учитывать возможность некоторого перемещения масс с учётом стандартов оценок параметров и коэффициентов корреляции между ними.

Изменяя геометрические параметры системы призм, можно получить различные эквивалентные решения [6], но в большинстве случаев они различаются непринципиально, если не стремиться к детальности, превышающей разрешающую способность геофизического метода. При необоснованной детализации модели объекта (при уменьшении размеров параллелепипедов в нашем примере) средние квад-

СА

ом *

О и 4 б 8 10 12 14 " 16 18 20 22 24 26 28 30 X

Рис. 2. Результаты оценки эквивалентных плотностей параллелепипедов в первой реализации; к исходным значениям поля не добавлялась случайная составляющая

А Б С 0 | Е ? С Н I J | К 1 М N ОХР

1 Коэффициенты парной корреляции между опенками эквивалентных плотностей

2 511 512 513 514 515 521 522 523 524 525 531 532 533 534 535

3 511 1.00 -0 09 0 50 0 45 -0.31 -0 05 0.42 0.41 -0.48 0.29 0.23 -0 08 -0 01 0 35 -0 03

4 512 -ооэ 1.00 -0 11 0.37 -0.20 -016 0 19 -0 03 -0.30 0.62 -0 11 -012 -0 18 -0.21 -0.28

5 513 0 50 -0 11 1.00 0 10 -0 18 -0 10 0 14 0 18 -0 08 0 02 -0 07 -0 07 -0 18 0.27 0.20

6 514 0.45 0.37 0 10 1.00 -0.86 -0 00 0 39 -0 11 -0 41 0.63 0.21 -0 42 0.29 -0.39 0 00

7 515 -0.31 -0 20 -0 1Е -0.8Е 1.00 -0.27 -017 0 0Е 0 10 -0.37 -0 08 0.51 -0.38 0.57 0 05

8 521 -0 05 -0 16 -0 10 -0 0Е -0.27 1.00 0 08 0 09 -0 08 -0 15 -0 10 -011 0.43 -0.28 -0.27

9 522 0.42 0 19 0 14 0 39 -0 17 0 08 1.00 -0 37 -0.ЕЗ 0.55 014 0 16 0.21 0.28 -0 14

10 523 041 -0 03 0 18 -0 11 0 ОБ 0 09 -0.37 1.00 -0 06 -0.43 018 -017 -0.36 0 17 0 10

11 524 -0 48 -0.30 -0 08 -0 41 0 10 -0 08 -0.ЕЗ -0 ОБ 1.00 -0 61 -0.21 0 06 -0.37 -0.22 0.20

12 525 0.29 0.62 0 02 0.03 -0.37 -0 15 0 55 -0.43 -0.61 1.00 -0.02 -017 031 -0 15 -0.33

13 531 0.23 -0 11 -0 07 0.21 -0 08 -0 10 0 14 0 18 -0.21 -0 02 1.00 -0 07 0.32 -0 18 -0 19

14 532 -0 08 -0 12 -0 07 -0.42 0 51 -0.11 0 1Е -0 17 0 06 -0.17 -0 07 1.00 -0.20 0 48 -0 17

15 533 -0 01 -0 18 -0 18 0.29 -0.38 0.43 0.21 -0.3Е -0.37 0.31 0.32 -0.20 1.00 -0.34 -0 50

16 534 0.35 -0.21 0.27 -0.39 0.57 -0.28 0.28 0.17 -0.22 -0 15 -0 18 0.48 -0.34 1.00 -0 05

17 535 -0 03 -0.28 0 20 0 00 0 05 -0.27 -014 0 10 0.20 -0 33 -0 19 -017 -0 50 -0 05 1.00

Рис. 3. Коэффициенты парной корреляции между оценками параметров модели

ратические ошибки (стандарты) оцениваемых параметров модели увеличиваются. Кроме того, в этом случае возрастает возможность получения бесчисленного множества эквивалентных решений.

В заключение заметим, что доказанные математиками теоремы о единственности решения обратных

задач для тел некоторой формы не имеют отношения к геологии. Эти теоремы доказаны при трёх условиях: 1) поле задано точно; 2) поле задано от - <» до + <» ; 3) поле задано непрерывно. В разведочной геофизике измеренное поле никогда не является полем только целевого объекта и оно всегда задано дискретно не-

Рис. 4. Расчёт поля вД, использованного для иллюстрации метода

которым числом точек на ограниченном участке пло- ва точность результатов и в каких пределах получен-

щади или профиля. Поэтому решение обратных задач ное решение можно заменить другими, эквивалент-

без оценки точности и однозначности полученных па- ными. раметров модели всегда вызывает два вопроса: како-

Библиографический список

1. Гольцман Ф.М. Статистические модели интерпретации. М.: Наука, 1971. 328 с.

2. Лобачевский И.В., Ломтадзе В.В. Об одном способе оценки эффективной плотности гравитирующих тел // Геология и геофизика. Новосибирск: Наука, 1981. № 27. С. 124-129.

3. Ломтадзе В.В. Интерпретация гравитационных аномалий способом эквивалентных призм //Вопросы разведочной геофизики. Л.: Недра, 1968. Вып. 8. С. 36-40.

4. Ломтадзе В. В. Новые возможности способа эквивалентных призм интерпретации аномалий силы тяжести // Прикладная геофизика. М.: Недра, 1985. Вып. 113. С. 65-92.

5. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обеспечение геофизических исследований. М.: Недра, 1993. 268 с.

6. Skeels D. Ambiguity in gravity interpretation //Geophysics, 1947, Vol. 12, No. 1.

УДК 004.043

АДАПТАЦИЯ ТИПОВЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

ИНФОРМАЦИОННОЙ

И.В.Тихонов1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются способы адаптации типовых алгоритмов для каждого из этапов метода статистических испытаний при использовании ранее предложенной автором параллельной информационной структуры статистического эксперимента с целью сокращения времени, затрачиваемого для получения результата в ряде задач имитационного моделирования. Ил. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: параллельные вычисления; статистические испытания; статистические алгоритмы.

ADAPTATION OF MODEL ALGORITHMS FOR THE PARALLEL INFORMATION STRUCTURE OF A STATISTICAL

EXPERIMENT

I.V. Tikhonov

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article discusses adaptation methods of standard algorithms for each stage of the method of statistical tests when

1Тихонов Илья Владимирович, аспирант, тел.: 79086552555, e-mail: tihilv@mail.ru Tikhonov Ilya, Postgraduate student, tel.: 79086552555, e-mail: tihilv@mail.ru