Линейно-инвариантные семейства

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 5, 1998

УДК 517.54

ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА

Я. Годуля, В. В. Старков

Введение

В этом обзоре мы попытались описать результаты, полученные к настоящему времени, по линейно-инвариантным семействам функций. В главе 1 речь пойдет об аналитических локально однолистных в круге Д = {г : \г\ < 1} функциях /(г) = г + ... . Термин линейной инвариантности семейства Ш введен СЬ. Роттегепке [1] в 1964 году и означает, что наряду с каждой функцией / £ ЭДТ этому семейству принадлежит и функция

/0(Х» - f(ФШ = ,

ГШЖО)

при любом конформном автоморфизме ф(г) круга Д. Интерес к линейноинвариантным семействам вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами и обладают рядом свойств, общих для всех таких семейств.

С другой стороны, введение универсальных линейно-инвариантных семейств Ыа (см. определение 1.3) позволило с общих позиций изучать свойства всех локально однолистных в Д функций конечного порядка. Идея использования линейной инвариантности различных классов функций не нова, ее применял еще Ь. В1еЬегЬасЬ [2] при доказательстве теоремы искажения в классе однолистных функций. Однако в работах СЬ. Роттегепке [1], [3] эта идея была поставлена во главу угла.

© Я. Годуля, В. В. Старков, 1997

В этой статье мы нигде не приводим доказательств утверждений и почти не говорим о методах, которыми они получены. Следует сказать, что здесь и не существует достаточно универсальных методов (как, например, в классе однолистных функций). Наша цель — собрать и систематизировать результаты, установить связь между ними. В частности, в главе 1 в §7, п. 2°, 3° обсуждаются результаты, вытекающие из связи между семействами Ыа и классом Блоха В.

В главе 2, §8, п. 1° понятие линейной инвариантности переносится на функции, аналитические в области. В §9 говорится о линейноинвариантных семействах функций, аналитических в поликруге; устанавливается их связь с классом Блоха. В §10 определяются и изучаются линейно-инвариантные семейства гармонических в А функций.

Некоторые параграфы разбиты на пункты соответственно более узким обсуждаемым в них вопросам.

Глава 1. Линейно-инвариантные семейства аналитических в круге функций

§ 1. Основные определения и общие вопросы

1°. Понятие линейно-инвариантных семейств дано СЬ. Ротте-гепке [1] с целью обобщения теории однолистных функций и переноса некоторых свойств однолистных функций на более широкие классы аналитических в круге Д = {г : \г\ < 1} функций. Обозначим £

¡г \ й г + а

множество всех конформных автоморфизмов фуг) = е ---—. а £

1 -I- аг

А, 9 е К, единичного круга Д .

Определение 1.1. [1]. Множество 9Л аналитических в А функций

ОО

/(*) = * + п(/),г" называется П- ПП (•-••), если для любой / £ Ш

п=2

выполнены 2 условия:

1) Р{%) Ф Для каждого г € А (локальная однолистность);

2) для любого ф £ £

A\f

[mi rmmo) z+ еж {1Л)

Многие свойства л.-и.с. зависят от порядка этого семейства. Определение 1.2. [1]. Ё—л.-и.с. Ш называется число

ord 9П = sup |а2(/)|.

fern

Пусть f(z) = z + --- локально однолистна и аналитична в А; порядком функции f(z) называется число

ог<1 / = ог<1 ЯЯ[/],

где ШТ[/] = {АФ[1(г)} : </>££} — л.-и.с., порожденное функцией /.

Определение 1.3. [1]. еП—а называется объединение всех л.-и.с. ЭДТ, для которых огс1 Ш < а, оно обозначается Ь1а.

ПРИМЕРЫ линейно-инвариантных семейств.

a) Семейство ЬБ всех аналитических и локально однолистных в Д функций /(г) = г +  • .

b) Семейство © С ЬБ однолистных в Д функций; огс! © = 2 [2].

c) Семейство С С 6 близких к выпуклым функциям [4]; огс1 С = 2

[Зд.

(1) Семейство К. С & выпуклых функций (функций из 6, для которых /(Д) — выпуклая область; огс1 К, = 1 (см., например, [7, с.202])).

е) Семейство &р С ЬБ функций, принимающих каждое значение в Д не более р раз (р — натуральное).

£) Семейство © С ЬБ функций, отображающих Д на универсальные накрывающие поверхности плоских областей.

g) Класс функций с ограниченным граничным вращением огс1 Ук = |; классы функций, имеющих интегральное представление с комплексной мерой Ы*, огАЫ* = а [9] и Ы'а, огА1А'а = а [10],[11]. Семейство Ы'а играет важную роль при исследовании экстремальных задач в Ыа (см. в §2: о тах/еиа |аз(/)| и о точности оценки в теореме вращения в Ыа). О классах Т4, Ы'а и Ы* см. в §6.

Ь) Ыа, огс! Ыа = а.

Далее будем рассматривать л.-и.с. Ш только конечного порядка; это равносильно тому, что Ш — нормальное семейство [1]. На множестве всех аналитических в А функций можно ввести метрику р(/, д) = тах|2|=1 \/(х)—д^)\. Если огс1 Ш = а, то и замыкание Ш этого семейства имеет порядок а и образует полное метрическое пространство.

2°. Семейство ЬБ является слишком широким. Поэтому для получения интересных свойств л.-и.с. на них накладываются дополнительные ограничения и прежде всего ограничения на огс1 ШТ. В связи с этим важной является следующая

Теорема 1.1. [1]. Для л.-и.с. Ш

I2 .то

огс1 Ш = вир вир

¡еШгеА

-г +

1 -

/'

Для / е ЬБ

ОГ(1 / = вир

-г +

1

/"

2 /'

Важнейшими л.-и.с. являются Ыа. В [1] получены следующие свойства Ыа.

Теорема 1.2. Ыа = 0 при а < 1, Ы\ — /С (класс выпуклых функций). Ыа = {/ Е ЬБ : ог(1 / < а}. Кроме того, для любых функций /о, Л £ Ыа и любых А Е [0,1] функция

/'

В [12] даны следующие эквивалентные определения Ыа.

Обозначим Ш'а — наибольшее л.-и.с.. функции / которого удовлетворяют неравенству

-1

1№1 <

(1 - И)«+1

в некоторой окрестности нуля {г : \г\ < £/(< 1)}; Та — множест-

во всех комплекснозначных функций /¿(£) ограниченной вариации

Г*2тг | /»2тг оЦ .

Г Г ^

на [0,2тт) и таких, что I = 1 и / —

¿о I ¿о 1

для всех а £ А;

+ ае1]

< а

= |/(^) = J ехР -2 J 1°§(1 - зеи) Ф(<)| ^ : М е Х„|.

дЛа — замыкание Ша в топологии равномерной сходимости внутри А.

Теорема 1.3. Ш'а = Ша = Ыа.

В некоторых задачах в Ыа важно знать, как зависит от г £ (0,1] порядок функции fr{z) = ^rz^. D. М. Campbell [13] доказал такую теорему

Теорема 1.4. Если ord / = а, то ord fr — непрерывно возрастающая функция на (0,1]. Более того, ord fr строго возрастает при г, больших радиуса выпуклости функции / и

ord fr<

Отсюда следует инвариантность Ua относительно преобразования сжатия, т. е. fr £ Ua, если / £ lla и г £ (0,1]. D. М. Campbell также использовал (1.2) для оценки tip — радиуса семейства Ua (см. §2). Нами получена [125] точная оценка ord fr для каждого г £ (0,1]:

ord f ^ ^ r G (0,а — у/a2 — 1].

0Г<,/'£ 1 1

где

т = r(a + \Jo? — 1).

Определение 1.4. Семейство 93? аналитических в А функций — П П, если существует постоянная К такая, что

I

2тг

iB

Каждое семейство аналитических функций ограниченной характеристики — нормальное, обратное неверно.

Далее будем обозначать 03 множество всех аналитических и однолистных в Д функций ф таких, что |</>(.г)| < 1- Очевидно, £ С 03. Расширим множество операторов Л^,[/]. ф£ (см. (1.1)), допуская возможность ф £ 03. Для данного л.-и.с. ЯЯ обозначим

91 = К(Ж) = {Аф[Цг)} = ПФ^/фщ)] =* + "•: / е 9«, ф £ }.

Если д £ У1, ф £ 03, то Аф[д] £ 91, Ш С Ш.

Теорема 1.5. [1]. Если ШТ — л.-и.с. порядка а, то У1 — л.-и.с.

порядка тах(<х 2); причем если Ш — ограниченной характеристики, то и 91 — ограниченной характеристики.

Отсюда, в частности, следует, что Ыа = У1(Ыа) при а > 2.

1 - и2 /"

Поскольку и sup

— z

= ord /, и sup[(l—|z| ) {f(z),z}}

2

2 f'

f"'(z) 3 /f"(z)\

Of

являются инвариантами относительно преобразования (1.1), то интересно знать, каково соотношение между ними. Для всех / Е Ыа Ch. Pommerenke [1] получил точную оценку: а < д/1 4- о//2. Обозначим а — sup Of \ из полученного в [14] неравенства следует, что

а < л/сг/2.

3°. Пусть / Е LS, будем обозначать F = Ff = /(А) риманову поверхность, на которую / однолистно отображает А.

Обозначим df(z) радиус наибольшего однолистного круга с центром в f(z), лежащего на поверхности Ff. Пусть V — кривая на F, diam V — диаметр проекции кривой на плоскость С, l(V) = fv \dw\

— длина проекции кривой V в предположении, что 1{V) существует. Пусть W\, w2 Е F, обозначим

d(wi,w2) = dp(wi,W2) = inf diam V,

l(w i,w2) = If(wi,w2) = inf l(V).

где V — всевозможные кривые на F, связывающие w\ и w2. d и I — метрики на F. Очевидно,

\wi - w2\ < d(w1,w2) < l{wi,w2) \/w\, w2 E F]

df(zi) < d(/(zi), f(z2)) + df(z2) Mz1,z2 E A.

Неевклидовым сегментом между точками zi,z2 Е А называется замкнутая дуга окружности, ортогональной дА и соединяющей z\ с z2.

Ch. Pommerenke [1] получил ряд утверждений об образах неевклидовых сегментов S при отображениях функциями из л.-и. с. ограниченной характеристики.

Теорема 1.6. [1, с. 135].. Пусть Ш—л.-и. с. ограниченной характеристики. Тогда существует постоянная К = К (ЯП), обладающая

следующим свойством: если , г2 Є Д и — неевклидовый сегмент между и г2, то для любой функции / Є Ш

^(/(гі),/(*2)) < сііат /(5) < К<1(/(г 1),/(г2)),

1

Js

Левые части неравенств здесь следуют из определения й и I. Таким образом, среди всех кривых, соединяющих на Ff две точки, образ неевклидова сегмента имеет диаметр (длину) одного порядка с ин-фимумом диаметров (длин) по всем таким кривым. В классе © (1.5) было доказано в [15]. Теорема 1.6 может быть обобщена на случай ^і,^2 Є Д = {х : \г\ < 1} [1, с.136]. При этом если одна из точек

или г2 лежит на <ЭД, то выражения в неравенствах теоремы 1.6 надо понимать как пределы. Например, если Є Д, г2 Є дА и С — соединяющая их кривая из Д, то сііат f(C) = Ііт сііат /(СЛ, где

С( — часть С между и г2.

Теорема 1.7. [1, с. 137]. Пусть Ш — л.-и. с. ограниченной характеристики и пусть 0 < /3 < 2тт. Тогда существует постоянная К (/3) = К (/3, ЭДТ) < оо такая, что для любой аналитической в А функции / Є 9Л выполняются неравенства

сііат {/(х) : 0 < х < 1} < К(/3)сііат {/(е*0) : 0 < 6 < /3},

Ґ\ґ(х)\ йх<КЦЗ) Ґ\ґ(еів)\м.

У о Jo

Теорема 1.8. [1, с. 147]. Пусть Ш — л.-и. с. ограниченной характеристики, / Є ЯЯ. Поперечное сечение J (см. §5, 1°) римановой поверхности V разбивает Р на две связные компоненты і^о иР\. Если г±,г2 Є Д выбраны так, что /(гі),/(г2) Є ^о, & $ — неевклидовый сегмент между и г2, причем существует точка г Є Я, в которой /(г) Є то

Ш < _К'отіп((ііат J,df(z)),

где Ко зависит только от Ш.

Таким образом, если концевые точки /(£) лежат в _Ро, то /(£) ”не очень глубоко” проникает в А именно, глубина проникновения в точек из /(£) тем меньше, чем ближе точка к границе Р.

СЬ. Роттегепке [1, с. 148] замечает, что если в этой теореме J — дуга окружности с центром в 0. радиусом р и центральным углом I. а не содержит точек, имеющих проекцию 0 на плоскости С, то для всех г Е Б таких, что /(г) Е выполняется неравенство

ре-™ < |/(*)| < рекг

с некоторой константой К = К (ЯЛ).

Пусть го Е А, Е — измеримое множество на <9А, функция =

----=г- отображает Е на множество Е* С <9А. Мера Лебега Е* на-

1 -

зывается гармонической мерой Е в^о.

Справедлива следующая

Теорема 1.9. [1, с. 143]. Пусть ЯЛ—л.-и. с. ограниченной характеристики и пусть 0 < А < 27г. Тогда существует постоянная К (А, ЯЛ) такая, что для любых / Е ЯЛ, го Е А и любой дуги Ь окружности д А с гармонической мерой X в го существует такой неевклидовый сегмент Б, связывающий го с точкой из Ь, что

|/'(*)1 Аг < К{\)й1{га).

Таким образом, расстояние й$(го) от /(^о) до границы римановой поверхности Ff одного порядка с длиной кривой /(*5), связывающей f(zo) с некоторой граничной точкой Ff. Оценка такого рода для однолистных функций получена М. Лаврентьевым [16]. Теорема 1.9 допускает обобщение на случай произвольного измеримого множества Ь С <9А, если в левой части неравенства вместо длины /(*5) записать диаметр /(*5).

Теорема 1.10. [1, с. 145]. Пусть ЯЛ — л.-и. с. ограниченной характеристики и 0 < А < 2л, / Е ЯЛ, го Е А и Ь С <9А — измеримое множество, гармоническая мера которого в го равна А. Тогда для любого £ > 0 существует множество Е С Ь с гармонической мерой в го, не меньшей А — е. такое, что для любого неевклидова сегмента Б, связывающего го с произвольной точкой множества Е

сЦат /(5) < К(ЯЛ, е)(1/(го).

где К (ЯЛ, е) зависит только от ЯЛ и е.

Следствие1. 1. [1, с. 146]. Пусть ЯЛ —л.-и. с. ограниченной характеристики И 0 < £ < 2л, и пусть для некоторой функции / Е ЯЛ

сферическая площадь Ff конечна, т. е.

П= [ rdrf Л ) de <00.

JO JO \1 + \f(rei0)\2,

Тогда существует такое множество Е С ЗА с мерой Лебега > 2ж — е,

что

[ \f'(reie)\2rdr < К{е,Ш)  fi Veie £ Е.

Jo

ю

Для функций класса 6 это утверждение доказано в несколько ослабленном варианте в [16]; для / £ & условие (1.6) выполнено всегда и < 4ж.

Из следствия 1.1 получаем, что если для функции / £ Ш выполнено (1.6), то для почти всех в

[ \f {гегв)\2 dr < оо.

Jo

Для нормальных л.-и. с. ЭДТ СЬ. Рошшегеике [1, лемма 2.3] доказал, что если для / € Ш

[ \/'(гегв)\х dr < оо

J о

/о

при некотором А 6 (0, оо), то f'(z) = о((1 — |z|)~i) для z —> егв в любом угле Штольца с вершиной егв. Отсюда при выполнении условий следствия 1.1 получаем для п.в. в:

f'

при z —> егв в угле Штольца. Для однолистных функций это доказали W. Seidel и J. L. Walsh [17].

Если для функции выполнено (1.4), то [7, с. 383] для п.в. в существует конечный lim f(z) в угле Штольца. Если для функции

Z—>eie

/ из нормального семейства ЯЯ предположить существование конечного радиального предела lim / (гегв). то можно получить следующее

V —У1 —

утверждение.

Теорема 1.11. [1, с.146]. Пусть Ш — нормальное л.-и. с., / £ Ш. Если f(reгв) стремится к конечному пределу при г —> 1“, то для z —> егв в угле Штольца

гы = °

В связи с вопросами граничного поведения /' необходимо еще привести следующий результат Макарова [126], полученный им для класса Блоха В , но формулируемый нами для 1Ла благодаря связям

(4.5), (4.6) класса Блоха с линейно-инвариантными семействами.

Теорема 1.12. Если / є Ыа, то для почти всех в є К

4°. Для исследования граничных свойств л.-и. с. важна

Теорема 1.13. [1, с. 141]. Пусть Ш — л.-и. с. ограниченной характеристики, огсі ЭДТ = а. Тогда существует постоянная к(9Л) > О такая, что для любой функции / Є 9Л и любых Є Д

для каждого поперечного сечения <5 круга А, отделяющего 0 от г± и ¿¡г! выполняется неравенство

Для функций / £ & (тогда а = 2) эти неравенства были получены М. Лаврентьевым [18, часть 1, с.21]. В неравенствах из теоремы 1.12 показатель степени а уменьшить, вообще говоря, нельзя. Это ясно из примера функции

гх = 5 — 1, г2 = 28 — 1, 5 —> 0+; ко £ &р при некотором натуральном р, поэтому (см. [1, с. 119]) эта функция удовлетворяет (1.4).

§ 2. Экстремальные задачи в линейно-инвариантных семействах конечного порядка

Пт вир \/'{гегв)\ ехр

к^к^

1оё(1 -г) \ < е2(°га /+1).

<*(/(*і)>/(г2)) > к(Т)|^1 - 221

сііат f(Q) > к(9П)|^і — г2\а.

1°. Экстремальные задачи в классах конформных отображений занимают важное место в теории однолистных и локально однолистных

функций. Традиционными здесь являются задачи об оценке при фик-

f ( \

сированном zo функционалов |/(”)(zo)| (теоремы искажения), arg--------

zo

или argf'(zo) (теоремы вращения), оценке коэффициентов. Сначала сформулируем утверждения для функционалов общего вида. Обозначим 21 нормированное пространство всех аналитических в А функций

/(*); 11/11 = max\f(z)\.

N=2

Теорема 2.1. [19]. Пусть $ — дифференцируемый по Фреше (см. [20, с. 469]) функционал на 21, Lh — его дифференциал в h £ 21. Если /о — экстремальная функция в задаче max Re {í?(/^)}, n =

f ^Ыо

0,1, 2, • • •, и существует целое неотрицательное к > 2 — п такое, что

L.(n) (zk) ф 0, то ord /о = а.

J0

Теорема 2.2. [19]. Пусть # — дифференцируемый по Фреше функционал на 21. Если для граничной точки ¡J

JО

функционала $ удовлетворяет условию теоремы 2.1, то ord /о = а.

Следствие 2.1. [19]. Порядок экстремальной функции в задаче тах|а„(/)|, п = 2, 3,..., равен а.

f £Ысх

При п = 3 отсюда получается результат D. М. Campbell’a, J. A. Cima, J. A. Pfaltzgraff’a [21, теорема 6.2]. Для л.-и.с. многие экстремальные задачи решены Ch. Pommerenke.

Теорема 2.3. (искажения) [1, с. 115]. Пусть Ш —л.-и.с., ord = а; обозначим \z\ = г. Тогда для любой функции / € Ш и любых z £ А

|log(l - \z\2)f{z)\ < а log

í + z 1 -

1

2 a

fl-r

Vl + r

1 H

2 a

<d(f(z),0)<l(f(z),0)< —

1

TTi

<

1

< —

2 a

d

(1-N2)№)I

1 + r

<

1 + r 1 — r

1№, 0)

-1

(i-N2)|/'(*)|

1 — Г

- 1

1

—(і - И2)|/'(*)1 < <*(/(*)) < (і - \г\2)\Г(г)\.

Неравенства не могут быть, вообще говоря, улучшены; равенство достигается для функции

ке(г) =

„ів

2 а

1 + хе~ 1 — хе~

-І9 \ (

~їв I

1

если кв Е Ш (огс1 кв = а).

Из

(1 + г)“

+1

а+1

Б. М. СатрЬеП [22] доказал, что равенство в (2.5) и в неравенствах теоремы 2.3 (кроме правой части (2.3)) достигается только для функций к$- Правая часть неравенства (2.3) следует из леммы Шварца и потому справедлива для любой аналитической в А функции. Обозначим г = ш Е Ff = Р — обратную функцию к ш = /(г), с1р(/(г)) =

df(z). Тогда (2.3) можно записать в виде

1 \divl \Нг(т)\^т\ ^ \dvjl

2а dF

откуда следует эквивалентность метрик

<

1 — \Н(ы)\2 dF{w) :

|Л'(™)Н<Н

на і*1 [1,

1 — \Н'(т)\2 dF{w) с. 116].

При а = 2 из (2.2) получается классическая теорема искажения в

6:

(1 + г)2 - 1-^1 - (1-г)2'

В общем случае нельзя оценить \f(z)\ снизу положительным числом, т. к. / может иметь в А не единственный нуль (если функции л.-и.с. Ш имеют в А только один нуль в точке г = 0, то вследствие линейной инвариантности они однолистны). Однако в некоторых специальных случаях Б. М. СатрЬеП [22] дал оценки \f(z)\ снизу.

Теорема 2.4. [22]. Пусть Ш — л.-и.согс1 Ш = а, Яи — радиус однолистности Ш. т. е.

Ли = вирір : / однолистна в круге {2

<р} V/ Є ЯЯ}.

Тогда для всех функций / Є ШТ и любых г, неравенство

1

2 а

1

1-1*1

если а < 2 и / Є & пиа, то

выполняется

)‘

1

2 а

1

1-М 1 + 1*1

<

І/СОІ

<

1

2а

(т

+ \г\

(1-тт\

При г ф О равенство во всех неравенствах здесь достигается только для функций к$ из (2.4).

Следствие 2.2. [1]. Пусть ШТ — л.-и.согс1 ШТ = а. Тогда для

г £

1) риманова поверхность Г (г) = {/(г); \х\ < г} содержит однолист-

ный круг с центром в 0 и радиусом

2 а

1 — г

1 + Г

2) для любой функции / Є Ш и любых , Х2 Є А

11оК[(1 - Ы2)|/'Ы|] - 1о§[(1 - кЩ/'ЫШ

- г!г2) + а,щ/'(г2) -ащ/'(£і)|

< а 1с^

1 + 22 - 2і

1 - 22

1 - 22 - 2і

1 - 2Х 22

и существует постоянная К — К (ЭДТ) такая, что

- *2

/(/(г1),/Ы)<ЛГ(9Л)(1-

)сІї(г і).

1 - 2:12:2

Большая общность в определении л.-и.с. имеет и свои минусы, выражающиеся прежде всего в отсутствии достаточно универсальных методов. Здесь нет метода параметрических представлений; невозможно, ссылаясь на геометрические соображения, построить метод площадей, как в классе В однолистных функций. Возможности применения вариационных методов тоже весьма ограничены. Следующий важный в некоторых экстремальных вопросах результат СЬ. Рош-тегепке доказал, используя вариацию по а Є А функции Л^[/] из (1.1).

ф(г0 =

2: -|- о

1 -\-CbZ

Теорема 2.5. [1, с. 131]. Пусть Ш — компактное л.-и.с., ord Ш = a. Тогда

СО

a) если f(z) = z+^2 an{f)zn Е Ш и a2(f) = а, то a3(f) = § a2 +

71 — 2

b) для фиксированного Zq e А тах|/(,го)| достигается на функции

оо

h(z) = z + anzn, удовлетворяющей уравнению

П= 1

(1 - \zo\2)h'(z0) = 1 + 2a2h(z0).

Этому же уравнению удовлетворяет и функция h £ ОТ, если min |/(2°)| = \h(z0)\ > 0.

Если функция kg ОТ, то оценка производной (2.5) может быть уточнена следующим образом.

Теорема 2.6. [1, с. 128]. Пусть ОТ — л.-и.с., ord ОТ = а. Для t £ (0, оо) обозначим

ß

= - inf min ±-\og((l-\z\2)\f'(z)\).

fEOJl |z|=tanh t Zt

Тогда для любых положительных t\ и t2

(¿1 + t2)ß(t\ + £2) < tiß(ti) + ¿2/5(^2); существует lim ß(t) = ß(oo) и

t—> 00

1 < ß

В каждом из неравенств (2.7) может реализовываться знак равенства.

Если ОТ — компактное семейство, то ß(oo) = а, если и только если функция kg из (2.4) принадлежит ОТ.

(2.6) означает, что при \z\ = tanhi

1-й 1 + 1*1

ß

1+JfJ

1 - \z\

для всех / Є Ш

и что здесь ß(t) нельзя заменить на меньшее независимое от / число. D. М. Campbell и М. R. Ziegler [23] в дополнение к теореме 2.6 доказали, что ß(t) непрерывна и существует lim ß(t) = a, кроме того,

t->o+

для любого ß £ [1,сс] существует л.-и.с. Ш, для которого ß(oo) = ß.

2°. Трудной в л.-и.с. является проблема оценки коэффициентов. Для a > 1 неизвестен даже порядок роста коэффициентов функций из Ua. Нет точной оценки и 3-го коэффициента. Однако в этом направлении были получены следующие результаты для функ-

ции

f(z) = z + anzn Є Ua-

Ch. Pommerenke [1, с. 132] доказал, что в л.-и.с. Ш порядка a для всех Л Є К

(f-AK + i

< sup І аз — Ха2\ < /єал

- A

\/За 1 + 2‘

Равенство в левой части здесь достигается для функций / Є Ыа с максимально возможным 2-м коэффициентом, т. е. с \а2\ = а. D. М. Campbell, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff [21] в 1971 г. высказали

2 1

гипотезу: max |аз| = -а2 + -. Однако [24] в 1984 г. эта гипотеза была f о о

опровергнута для всех а > 1; было показано, что для л.-и.с. 11'а С Ь1а

. . о? + ал!а2 + 3 2 2 1

тюы =----------j----->з« +з

при а > 1 (см. §6, теорема 6.8). Таким образом, предполагавшаяся экстремальной функция кд из (2.4) не является таковой. Далее в [14] доказано, что для А € Ж

max І аз — Аа,| = ~\ а2(1 — ~^)2 + 3(1 — А) + а2 feu'a З V 3

это уточняет оценку слева в (2.8) для Ш = Ыа.

Пусть / £ Ыа, обозначим

ОО

\ogfiz) = ^2 Ь^п-, вп = тах \Ьп\.

f£.Ъta

71 = 1

В [25] получена оценка логарифмических коэффициентов Вп, уточняющая оценку из [26].

Теорема 2.7. [25]. Для всех натуральных п и для а > 1

1) вп+1>вп (\- 1

\ п

(а — 1)(1 + —) 2(а - ^(1 - ±)2) ( 1

71 ^ ту ^ ' а'' п' / ^ „ I ~

2> 2

п + 1 /

3) существует предел lim Вп, причем

п—Уоо

е(а — 1) < lim Вп < е (а----) .

и—> оо у а)

Теорема 2.7 позволяет уточнить правую часть неравенства (2.8) для произвольных Л £ С.

Следствие 2.3. [25]. Для А е С и а > 1

тах |аз — \а%\ <

f€Ua

2 л/3 1

а Н——а —

3°. Для x,q £ [0,1) обозначим

^ г V1 -Ч2? 1 Гл----\/l — q2x2 + XyJ\ — q2

q) = Jo ~T3g5~ * = 2 л/1 _ q2,2 _ g л _ q2 +

-\-q arcsin x.

Теорема 2.8. [1, с. 126]. Если А — вещественное число, то для функций / £ 1Ла справедливы неравенства

\Re{e-^logl

Re

гЛ 1 log ] !!2!' + 2* arg(l - Z1Z2) + log

< 2a[

1 - Nil2

*2 - Zi

<

1 - ZlZ2

Vzi,z2 £ A.

Здесь и далее предполагается, как обычно, что log /' (z) непрерывен в А и log/'(О) = 0.

Из (2.1) получается оценка | arg/'(z)| в Ua:

1 + N

I arg /'(-г) I < «log

1- Ul

Из (2.9) при А = ±— следует важное уточнение этой оценки.

Следствие 2.4. [1]. Для каждой функции / € Ыа и любого г £ А справедливо неравенство

\/а2 - 1к^ | ^ |^| < тах | arg//(^)| < 2оЕ (\г\, <

< \/а2 — 1 log | + j^j + 1 - z

2 arcsin \z\.

Левая часть неравенства (2.11) получается из рассмотрения конкретной функции

/(*) = ГГ

1

2Wa2 - 1

1 + 2 1 - Z

iy/ O'2 —1

-1

е Z4-

Неравенство (2.10), в частности, дает возможность оценить разность arg f'(z2) — arg f'(zi) в Ua.

D. M. Campbell и M. R. Ziegler [23] исследовали функцию

G(r) = = sup maxarg/'(z) = — inf min arg f'(z), r 6 [0,1),

/еШl\z\=r f&M\z\=r

для л.-и.с. порядка а. Они доказали, что G(r) — непрерывная неубывающая на [0,1) функция, причем G(r) > 2 arcsin г для всех г е [0,1); это неравенство превращается в равенство при ord Ш = 1. В частности, отсюда получается для любого л.-и.с. Ш

sup sup arg f(z) > тт.

femzeA

Для многих л.-и.с. функция G(r) выписывается явно. Так, G(r,/С) = 2 arcsin г (ом. [85]),

G(r,6) =

4 arcsin г, для г Е

„2

для г €

(сж.[7, с.114]).

1 _ Г2 ’

По аналогии с функцией ß(t) из теоремы 2.6 в [23] изучается функция

. ч G(tanhi) 1 Н( ,

1\Ч = -----тт.--= sup max —argf (z).

Оказывается, что для л.-и.с. Ш поведение функций ß

— нет.

Теорема 2.9. [23]. Пусть Ш —л.-и.с. порядка a, t Е (0, оо). Тогда

1) j(t) непрерывна в (0, оо) и

7(t) = - inf min —argf(z):

fEffl\z\=t&nht 2t

2) существуют пределы hm 7(t) = 7(00) < \/a2 — 1; lim 7(t) = a,

t—>00 t_>0+

причем

0 < 7(00) < 7(t) < a;

(¿1 + ¿2)7^1 + ¿2) < + *27(^2), ¿1^2 G (0, 00);

4) если « > 1 й 7 G [0, л/а2 — 1], то существует л.-и.с. ШТ такое, что ord Ш = а и 7(00) = 7.

D. М. Campbell и М. R. Ziegler доказали, в частности, что (т'(0+) = lim —— = 2а, и заметили, что левая оценка в (2.11) не является

г—>-0+ Г

точной, т. к. иначе G"(0+) / 2а. Более того, они привели пример функции / из класса Paatero (см. §6) V2а С Ыа, для которой

1 + г

\/а2 — 1 log ------< arg/'

1 — Г

при 0 < |г| < таким образом, доказали неточность левой оценки в (2.11) для этих г.

Можно показать, что левая оценка в (2.11) не является точной ни при каких г Є Д; более того, для л.-и.с. 1Л'а порядка а 0(г,Ы'а) =

2а£(г, —). Таким образом, имеет место а

Теорема 2.10. (вращения) [1], [125]. Для функций / є Ыа справедлива точная для всех г Є А оценка

I агё/ЧИ)| < 2аН (\г' 1

а

равенство достигается для функции

1

(е %х — е~гі)і\/а2 — 1

(!

+ ге

ге~

гу/а2— 1

- 1

• И • 1 -И • 1

при х = агсят------Ь агсвт —, £ = 7г + агсвт-----агсвт —.

а а а а

4°. Радиусом выпуклости Як компактного семейства Ш С ЬБ называется наибольшее из чисел р таких, что круг Ар = {г : \г\ < р} однолистно отображается каждой функцией / Е Ш на выпуклую

область, т. е. 71к = тах |р : ^ /С ^ Шг|.

Теорема 2.11. [1, с. 133]. Пусть Ш— компактное л.-и.с. порядка а. Тогда 71к — & — л/«2 — 1.

При а = 2 отсюда получается классический результат для класса 6 С Ик = 2 — д/3 [7, с. 166]. Неожиданным является заме-

чание Б. М. СатрЬеП’а [13] о том, что наименьшее значение радиуса выпуклости 2 — л/З в % достигается не только на функции Кёбе * ~

— —. экстремальной во многих задачах в ©, но и для целой функ-

(1 — г)2 '

, ч ехр[(2 + л/3)г] — 1 А ,, г---,

ции д(г) = ------------—------. Аналогично и в Ыа [22]: экстремаль-

2 + уЗ

ное значение 7Zк = ос — у/а2 — 1 достигается как на функции ке

ехр [ (а И- л/а2 — 1)г] — 1

из (2.4), так и на целой функции------------,------------. Из теоремы

а + у а2 — 1

2.11 также следует, что функция / Е ЬБ принадлежит классу К. если и только если огс1 / = 1.

Радиусом звездообразностпи 72.* компактного семейства ШТ С ЬБ называется наибольшее из чисел р > 0 таких, что круг Ар однолистно отображается каждой функцией / Е ШТ на область, звездообразную

относительно нуля. т. е. 72.* = тах < р : ^ Е 5* 1. где 5* — класс

звездообразных функций.

Ch. Pommerenke [1, с. 134] доказал, что для л.-и.с. ШТ порядка а радиус звездообразности 72* > ”; • В связи с этим интересно заметить.

что для всех функций / Е Ua af ^ Е 5*, а по неравенству

эти функции af ^ Е %/4. С другой стороны, 5* С но 5* не содержится в при а < 2. Это говорит о большом разрыве между классом 5* и звездообразными функциями |а/ ^ , /Е^а|.

Нахождение радиуса однолистности 1ZU в ШТ

котором------/ 0 для всех / Е ШТ. Ch. Pommerenke [1, с. 134] показал,

z

что Ro и 1ZU для любого компактного л.-и.с. связаны равенством

пи =-------R°—

С помощью (2.13) им была доказана

Теорема 2.12. [1, с. 135]. Обозначим £0 = £о(а) решение уравнения S Ко, - j = -, fi = -------. Тогда радиусы R0 и Пи для

\ «/ « 1 + у/1 - ^2

семейства Ыа удовлетворяют неравенствам

7Г

Со (а) < Ro < tanh

fi (а) < 72.u < tanh

az

7Г

2 V«2 - 1 ’

При а ^ оо = — + 0(^).72.и = 7^ + 0(Дг а \а /

Верхние оценки для До и 72.и получаются из рассмотрения конкретной функции (2.12). Заметим, что в классе однолистных функ-

7Г

ций 6 7Z* = tanh — = 0.65... [27] (см. также [7, с. 167]); следова-

тельно, в Ua

, 7Г

7г tanh — / 1 \

Пи • tanh - < И* => 2 а

Из (2.14) получается некоторое улучшение асимптотики 7?.* =

1.02... _/1\

=---------1- U \ — \ a оо, по сравнению с вышеуказанным.

a \a /

По аналогии с радиусами однолистности и выпуклости Campbell D. М. [13] ввел понятие Uß-радиуса 7l(ß) компактного семейства ЭДТ:

lZ{ß) = max Iр : gW/j V/ G t| .

Если ß > a, то Uß D Ua. Поэтому при ß > a Ufз-радиус семейства равен 1. Следовательно, интерес представляет только случай ß < а. D. М. Campbell доказал, что при ß < a з-радиус семейства Ua удовлетворяет неравенствам

тах(а — л/а2 — 1, —----\) < IZ(ß) < (ß + л/ß2 — 1)(а — 'Ja2 — 1).

а — 1

С помощью теоремы 1.4 этот результат можно уточнить.

Теорема 2.13. При ß < а Uß-радиус семейства Ua равен (ß + \/ ß2 — 1)(а — л/a2 — 1).

Обозначим lZu{a) радиус однолистности в семействе Ua. Из теоремы 2.13 получается качественный результат о Пи(а).

Следствие 2.5. Обозначим p(a) = (а + л/а2 — l)lZu(a). Функция р(а) возрастает по a £ [1,ос); р( 1) = 1, lim p(a) = w.

a^oo

В качестве следствия теоремы 2.13 получается также теорема 2.11.

G. Labelle и Q. I. Rahman [28] показали: если f,g&JC= Uoo, то

функция —(/ + <?) выпукла в круге {z : \z\ < г ¡с}, где г ¡с не меньше

наименьшего в (0,1) корня уравнения 1 — Зг+2г2 — 2г3 = 0; г/с > 0.395. Метод доказательства этого результата D.M. Campbell переносит на выпуклую комбинацию функций из произвольного л.-и.с. конечного порядка. Им доказана

Теорема 2.14. [29]. Пусть Ш —л-и.с. порядка а. ДляЬ Е Ж обозна-

чим

Н±т = {Н: Л(*) =*/(*) +(1 ~Ыг), 1,деЩ,

О*

7(г,0) =аг§ ^ге„у 7(0,0) =0.

Тогда для любой функции Н Е Щ(Ш) и любого г Е А такого, что 17(г, 0)| < 7г, выполняется неравенство

Г 2Л"(;г)1 (1 + г2) соб ^ - 2ат

Ее{1+ад-/г

(1 — г2) cos ^

Эту теорему D. М. Campbell применял к различным л.-и.с. В частности, он получил

Следствие 2.6. [29]. а) Для семейства Н i(@) радиус выпуклости г ¿с не меньше наименьшего положительного корня уравнения

1 - 4г - 7г2 + 8г6 = 0,

таким образом, г к, > 0.185.

b) Для семейства Нi(Vfc) (14 — класс функций с граничным вращением, не превосходящим ктг , см. §6) радиус выпуклости VJC не меньше наименьшего положительного корня уравнения

/ -I 9 \ ^ 7

(1 + г ) cos —— = КТ. smr

c) Для семейства Hi(Ua) радиус выпуклости г ¿с не меньше наименьшего положительного корня уравнения

(1 + г2) cos

2aE ( г, —

a

= 2 ar.

Q. I. Rahman и J. Szynal [30] рассматривали задачу о радиусе однолистности в классе Ht(C) и получили точное значение радиуса для всех t Е [0,1]. Они доказали также следующую теорему.

Теорема 2.15. [30]. Для t Е [0,1] радиус звездообразности класса

Ht(tC) равен ——----.

уД+у/l^t

Тем самым они получили отрицательный ответ на вопрос Наута-n’a W. К.[31, задача 6.11] о звездообразности класса Ht(IC). В [32]

Campbell D. М. рассматривал обобщения семейств Щ

{mm Л

F(z) = $>/*(*): ^2tk = 1> fk е^ vfc’ Iar§tkI < a>.

k=l fc=i J

Для Л G [0, он показал, что радиус выпуклости г ¿с семейства 5}а(9Л) не меньше положительного корня уравнения

1 + г2 = 2ar sec

. / тг Л

Ги = Sill — —

Если л.-и.с. Ш вместе с каждой функцией f(z) содержит функцию

f(z) , то радиус однолистности семейства не превосходит —-

л/2

[32].

§ 3. Вопросы мажорации и подчинения

Определение 3.1.Пусть F и / — аналитические в А функции. Говорят, что F П функцию / в круге Ar = {z : \z\ < г < 1} (пишем / << F), если \f(z)\ < |F(*)| в этом круге. Функция / подчинена функции F в круге Аг (пишем / -< F), если существует аналитическая в А функция ф такая, что f(z) = F(cf)(z)) и |</>(*)| < \z\ в Аг.

Например, exp ( j- ] exp z в Д1/2, т. к. j-

\2 1 — г/ ' 2\ — z

Ai/2- Если F Е L5, то / ^ F в Ад, если и только если f ^ F в любом

меньшем круге Дг, г Е (0,Д).

Первый результат в теории мажорации и подчинения получил

М. Biernacki [33] в 1936 г. Для функций F Е в он показал, что из

подчиненности / ^ F в Д и f(0) > 0 следует / << F в Д1у/4. В 1951

г. Г. М. Голузин [7, с. 364] улучшил этот результат, показав, что

/ з _

здесь вместо 1/4 можно поставить р Е I 0.35.—-— . Наконец, в

< ы

1957 г. Тао Shah [34] доказал, что наилучшим значением постоянной

3-У5

р здесь является —-—.

Т. Н. MacGregor [35] получил следующий результат: если / << F в А и F £ 1С(= Ы\), то f << F' в Д1(/3; если же F £ 6 и / << F в Д, то /' << F' в Д2_уз. Его константы 1/3 и 2 — \/3 не улучшаемы.

Г. М. Голузин в 1951 г. [7, с. 364] доказал: если F £ &, /'(0) >

0, / -< F в Д, то /' << F' в До.12.и предположил, что постоянная

0.12... здесь может быть заменена на точную 3 — л/8. В 1957 г. Тао Shah [36] доказал справедливость этого предположения.

Z. Lewandowski [37] рассматривал задачу нахождения максимального R > 0 такого, что для каждой функции F £ & из условия / << F в Д, /'(0) > 0, следует f F в Дд. Он показал, что 0.21 < R < 0.3.

D. М. Campbell обобщил эти результаты (они были анонсированы в [38]) на случай F £ Ua. При этом оказалось, что в теории мажорации-подчинения не важна однолистность F, но важен порядок этой функции.

Теорема 3.1. [22,39]. Если F £ Ka, a £ [1,оо), и / << F в А, то /' << F' в Ар, где

(а + 1) а — 1

Р = р(а) = -------------—т-------- = tanh

(а + 1) а +1

log

2 а

это значение р(а) не улучшаемо для каждого а. Более того, \ f'(z)\ < \F'(z)\ в Ар, если f(z) ф eteF(z), в £ 1. Если же F(z) ф kß(z) (см. (2.4)) и / << F в А, то /' << F' в Аг для некоторого г > р(а), причем г зависит только от F и не зависит от f(z).

При a = 1 и a = 2 отсюда получаются ранее цитированные результаты Т. H. MacGregor’a.

Теорема 3.2. [22,40]. Пусть F £ Ua, a £ [1.65, ос). Если / -< F в А и f'(0) > 0, то f « F' в круге {z : \z\ < a + 1 — л/a2 + 2a}, причем радиус этого круга не может быть увеличен. Более того, \f'(z)\ < |F'(z)\ в круге {z : \z\ < a + 1 — \/a2 + 2a}, если f не

тождественна F. EmnF(z) ф ke(z) (см. (2.4)) и f F в A, /'(0) > 0, то f « F1 в круге Ar для некоторого r > a + 1 — л/a2 + 2a, где r зависит только от F и не зависит от /.

При a = 2 отсюда, в частности, получается результат Тао Shah [36]. D. М. Campbell предположил, что теорема 3.2 справедлива для

всех a £ [1, ос). В 1984 г. R. W. Barnard и Ch. N. Kellogg [41] доказали эту гипотезу для a = 1. При a £ (1,1.65) вопрос остается открытым.

Теорема 3.3. [39]. Пусть F £ Ua, a £ [1, оо). Если / << F в А и /'(0) > 0, то / -< F в Аща), где Ща) < Пе(а), а Пе{а) — единственный корень уравнения

х(1 + x)a — (1 — х)а = 0

на [0,1]. При a £ [1,2.88] lZ(a) > TZoda), где TZoda) единственный на [0,1] корень уравнения

2х

1 + х2

1-х 1 + х

1 (\ -X

4 у 1 + х

= 0.

При а = 2 отсюда, в частности, получается результат из [37] для класса ©.

§ 4. Бинарные операции НогтсК*а в множестве локально однолистных функций конечного порядка

Обозначим X = иа<00 Ма С ЬБ, X ф ЬБ. Бинарные операции

и + 9](г)= [ /'(5)з'(«)^:

[аД(г) = / (/'(в))0^, а £ К,

./о

введенные Н. НогшсЬ’ем [42] превращают X в линейное пространство с нулем е(г) = г. В [21] на пространстве X была введена норма

zG Д

f"

/'

и доказана

Теорема 4.1. Если последовательность {/„} сходится в пространстве X с нормой (4.1), то она сходится равномерно внутри А.

В этой же статье получены интересные соотношения:

Но особенно интересной и неожиданной представляется Теорема 4.2. [21]. Если а > 1 и / £ Ыа, то

1/"(0)|

1 — 2а

= а.

После этой теоремы, с учетом (4.2), весьма естественной кажется

оо

высказанная в [21] гипотеза о том, что для £ + о,п(/)гп € Ыа

п=2

тах |аз(/)| достигается для функции /о с |оь2(/о)| = а и, следова-

/ ЕЫсх

2 1

тельно, (см. теорему 2.5), тах |аз(/)| = —а + —. Эту гипотезу кос-

f ЕЫо: О О

венно подтверждал и пример класса © однолистных функций. Однако оказалось, что в Ыа эта гипотеза неверна (см. §2, 2°).

Далее вместо нормы (4.1) на X введем эквивалентную норму

= sup

zEA

/"

/'

Она инвариантна относительно замены f'(z) на функцию /'

2 + С_

V1Н- ¿С

для ( £ А и по этой причине кажется нам несколько предпочтительнее (4.1). Кроме того, в случае нормы (4.3) проще вычислять радиусы окрестностей.

Поскольку для локально однолистных функций / из выполнения условия

sup

-геД

/"

/'

< 1

следует однолистность / [43], то int © ф 0, т. к. e(z) = z имеет окрестность, целиком лежащую в 6. Из точности константы 1 [44] в

критерии Becker’a (4.4) следует, что радиус наибольшей окрестности с центром в e(z) равен 1. Из теоремы 1.1 следует, что int Ua / 0 при a > 1 и e(z) имеет окрестность в Ыа радиусом в точности 2(а — 1).

Обозначим = {/ Е Ыа : ord / = а}. В [21] получены следующие топологические свойства исследуемых семейств:

1) Ыа выпуклы в X, int Ui = 0;

2) Ыа\Ыа открыто в X;

3) множество Ыа нигде не плотно;

4) X, Ыа, Ыа, 0Р, а также С и Т4 (см. §6) не сепарабельны и не компактны;

5) Ыа, ©р, Т4, С ограничены и замкнуты в X.

В [45] доказана полнота комплексного пространства X, таким образом, X — банахово пространство.

В [21] изучается подмножество М С X:

М = < / Е X : lim sup

I и-и-

/"

{

/ех

lim

IzI _

/'

/"

= <п =

/'

= о}.

Оказывается, что ни одно л.-и.с. из М не является компактом. Теорема 4.3. [21]. М — сепарабельно. для любой функции / ЕМ

[er 1f(az)-a01f(a0z)]\\

0 Vcr0 G <9Д,

/

-/w

0.

В X ни одно из утверждений теоремы 4.3, вообще говоря, неверно. Обозначим Л* множество комплекснозначных непрерывных в М функций Ф(£), удовлетворяющих условию

Ф(£ + h) - 2Ф(£) + Ф(£ - h)\ < Ah, t G 1, h > 0;

здесь А — некоторая константа, не зависящая от t и h. A. Zygmund [46, с. 263] доказал, что для аналитической в А и непрерывной в А функции g

Отсюда вытекает следующая

Теорема 4.4. [21]. / £ X, если и только если существует аналитическая в А и непрерывная в А функция g такая, что д(егв) £ Л* и

f(z) = [ exp(g'(t) - g'(0))dt.

Jo

Пусть В — класс аналитических в А функций Блоха, т. е. таких функций F, для которых

zeA

В [21] замечено, что

log f

В дополнение к этому в [47] показано, что

2

Неравенство (4.6) не может быть улучшено. Используя (4.5) и (4.6), можно получить (см. [47]) ряд новых результатов в классе В в терминах порядка соответствующей в (4.5) функции / £ X (см. §7). Обозначим

B0 = {FgB: lim (1 - \z\2)\F'(z)\ = 0}.

J. A. Cima и H. Stegbuchner [48] заметили, что (4.5) устанавливает гомеоморфизм между М и Во- Это дало им возможность описать двойственное пространство М*, переформулируя в терминах М известный в Bq результат [49]. Обозначим CS множество всех аналитических в А функций д, для которых

Теорема 4.5. [48]. Каждый функционал ф £ М* имеет вид

Фд

r^l Z7T J0

где g £ CS; обратно, каждая функция g £ CS порождает линейный функционал (4.7) в пространстве М;

Фд = Фь, -<=> g(z) = h(z) + с, где с £ С.

Опираясь на оценку коэффициентов в классе выпуклых функций /С, можно доказать следующую теорему.

ОО

Теорема 4.6. [21]. Если f(z) = z + anzn £ X и существует р > О,

П=2

для которого [pf] £ Ui = К,, то

^ п — 2

KI < -г-^гт П(2 + кр), п = 2,3, п.р 1 -LJ-

' к=О

оценка точная для каждого р > 0.

Для функции / £ X обозначим

Q(r,f)= max | arg f'(гегв)\.

ее[0,27г]

В [50] показано, что

11/11 Q= í Q(r,f)dr Jo

является нормой в пространстве X. Пространство X с нормой ||.||q обозначим Xq (в отличие от X — пространства X с нормой (4.3)). Изучая топологические свойства пространства Xq, Cima J. А. и Pfalt-zgraff J. А. [50] доказали следующие утверждения:

1) топология в Xq, так же как и в X, не слабее топологии равномерной сходимости внутри Д; & замкнуто в Xq;

2) Xq сепарабельно (в отличие от J);

3) пространство Xq неполное (в отличие от J);

4) любое подмножество Иа ограничено в Хд, обратное неверно (аналог этого свойства в X: множество А С X ограничено, если и только если А С 1Аа при некотором а < оо);

5) Ыа линейно связно в Хд для любого а < оо;

Таким образом, свойства пространств X и Хд во многом различны.

1°. Пусть — нормальное л.-и.с., т. е. огс! Ш < оо. Пусть / £ Ш

и

Тогда из (2.5) следует, что для любой последовательности /(^,Сп),

—> 1“, существует подпоследовательность, сходящаяся (равномерно внутри А) к функции из замыкания ЯЯ. По аналогии с понятием предельного множества функции в точке (см. [51], [52]), в [3] вводится понятие предельного семейства (£(е*0,/), £(/)) функции / £ Ш.

Определение 5.1.Пусть 9Л — нормальное л.-и.с., / £ ОТ. в £ М. Обозначим €(егв, /) семейство всех функций д, для которых существует последовательность вещественных чисел —У 1“ такая,что равномерно внутри А

§ 5. Граничные свойства

линеино-инвариантных семейств

о

и предельные семейства

~Т /_________

/'(е*Сп)(1-<Ю

д{г).

Обозначим £(/) семейство всех функций д, для которых существуют вещественные последовательности вп и (п, (п —> 1~ такие, что

Заметим, что (5.1) равносильно условию lim f(z,el0(n) =

п —У СО

eieg{e~iez), £(eie,f) = €(l,e~ief(zeie)).

Теорема 5.1. [3, с. 226]. Пусть ЯЯ — нормальное л.-и.с., / 6 ЯЯ. Тогда семейства €(егв, /) (в £ [0,2л)) и <£(/) образуют компактные связные подмножества замкнутой оболочки ЯЯ. Если —1<х<1и g £ £(егв,/) (или g £ £(/)), то

g

З'

(или соответственно g(z,x) £ <£(/)).

Однако предельные семейства (£(егв, /) и £(/) не являются, вообще говоря, л.-и.с. Так, например, если /(z) = z £ ЯЯ, то предельные семейства <£(егв, /) = <£(/) содержат единственную функцию <7(2;) = но ä(z, а) ф g(z), если а £ (-1,1).

Из [52, теорема 1.1] следует, что £(ег0,/) или имеет мощность континуума, или состоит из одной функции.

В [3, с. 229] построен пример однолистной функции /* с вещественными коэффициентами, такой, что £(1,/*) содержит все функции из © с вещественными коэффициентами. Отмечается, что то же справедливо и в ©, т. е. существует функция /* £ © такая, что £(1,/*) = 6. Казалось бы, этот удивительный факт должен иметь большие приложения, потому что, обладая полной информацией о такой функции /*, можно после перехода к пределам в (5.1) трансформировать эту информацию на весь класс ©i- Однако в этом нас ограничивает отсутствие достаточной информации о /*.

В [3] Ch. Pommerenke описаны предельные семейства £(ег0,/), состоящие из одной функции, а также условия, при выполнении которых £(ег0,/) состоит из единственной функции.

Теорема 5.2. [3, с. 228]. ПустьШ—нормальное л.-и.с., / £ ЯЯ. Если €{eie,f) содержит единственную функцию д, то существует равномерный внутри А предел lim е~гв f (егвz, егвQ = g(z). Причем функ-

ция g имеет вид

1 Г /1 -i- с

- 1

g(z) = gc{z) = <

1 ' (1+Z

2с VI - ^

1 . 1 + z

2 °Sl-z

для с £ С, с ф О,

(5.2) для с = О.

Если Ш = &р (р = 1,2,...), то \с — р\ < р или \с + р\ < р; причем может реализовываться каждая из этих двух возможностей.

Для функций из 6 подобная теорема доказана в [53]. D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [54] доказали, что для функций / £ Vu €(егв, /) = {gc(z)}, где с = с(9) = d¡i(6) — 1, а ¡л(9) — функция из интегрального представления / (см. §6).

Теорема 5.3. [3, с. 255]. Пусть Ш — нормальное л.-и.с., / £ Ш,

с £ С. f(z,C) —> gc(z) (см. (5.2)), если и только если

<->i-

{1~z)rU^c+1

при z —ï 1 в угле Штольца. Если существуют с ф 0 и a £ С такие, что

a — f(z) 11

~т^гт -* -г

при z —>• 1 в угле Штольца, то lim f(z,Q = gc(z); если Re с < 0, то

С—>1-

верно и обратное: из существования lim f

С—>i-

с a = /(1) = lim f(z) (здесь z —У 1 в угле Штольца, причем последний

z—>1

предел существует).

Следствие 5.1. [3, с. 256]. Пусть Ш — нормальное л.-и.с., / £ Ш и существует lim f(z, Ç) = gc(z). Тогда при г41в угле Штольца

log/'

log

1 - г

1 - \г'\

Если при этом г1 —> 1 в угле Штольца так, что О < Ь < ----:—- < В

1 - \г\

(Ъ и В — некоторые константы), то

->• 1.

Если при тех же предположениях число с < 0, то при х £

df(x) fl для - оо < с < -1,

- |/(1) - }{х)| x^i- j sin(||c|) для - 1 < с < 0.

В дополнение к теореме 5.3 D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [54] доказали, что для f GUa условие £(1,/) = {gc(z)} выполнено, если и только если выполнено (5.3) и число с = a + bi лежит в эллипсе

а2 b2 а2 а2 — 1 —

(при а = 1 этот эллипс вырождается в отрезок [—1,1]).

Особый интерес представляет случай, когда (£(1, /) = {gc(z)}, с =

-1.

Определение 5.2.[3, с. 257]. Пусть Ш — нормальное л.-и.с., / £ Ш.

%

Если существует lim /(г, С) = g_i(z) = ---, то f называется в

С —1 Н- %

z = 1.

^ j~ i.z')

Если для некоторого со £ С существует конечный lim arg------

1 — z

при г->1в угле Штольца, то / называется z = 1.

Пусть, как и раньше, *8 — множество всех аналитических и однолистных в Д функций ф таких, что |^>(z)| < 1. Обозначим Т подмножество 03 функций ф, для которых

ф(х) —> 1, arg ^ —> 0

при г->1в угле Штольца с вершиной в г = 1.

Определение 5.3.[3, с. 247]. Пусть Ш — л.-и.с.; f,g £ Ш1. Если найдутся функции фиф из X, удовлетворяющие условию A<j,[f{z)\ = K^[g(z)\, то будем говорить, что / и g П ПП П—ПП z = 1, и писать: / ~ g bz = 1.

Ch. Pommerenke доказал, что для нормальных семейств ЯЯ отношение / ~ g в z = 1 является отношением эквивалентности. Он также дал определение, равносильное определению 5.3:

пусть ЯЯ — л.-и.с., f,g £ ЯЯ; будем писать / ~ g в z = 1, если существуют комплексные а и Ъ, а ф 0, и существуют функции ф,ф £ Т такие, что /(ф{г)) = ад(ф(г)) + Ь.

Теорема 5.4. [3, с. 257]. Пусть ЯЯ — нормальное л.-и.с. и / є ЯЯ. Если / конформна в г = 1, то / полуконформна в г = 1. Функция / полуконформн а в г = 1, если и только если существует конечный

при г —> 1 в угле Штольца (сравни с (5.4)). Чтобы / была конформна в г = 1, необходимо и достаточно выполнения одного из следующих эквивалентных условий.

I. Функция / полуконформн а в г = 1, и существует кривая С С Д, оканчивающаяся в г = 1, которая имеет в г = 1 не параллельную ЗА касательную, а /(С) имеет касательную в концевой точке /(1).

II. Существует точка ш £ С такая, что каждая кривая С С А, оканчивающаяся в г = 1 и имеющая в этой точке касательную, не параллельную дА, отображается функцией и> = /(г) в кривую, которая оканчивается в си и имеет в ней касательную. При этом угол между касательными в конечных точках (г = 1иги=си) этих кривых не зависит от вида кривой С.

Наконец, из существования конечного lim f'(x) ф 0 следует, что /

конформна в г = 1.

В случае однолистных функций необходимость условия (5.5) для конформности доказана в [55]. В [56] показано, что условие (5.5) недостаточно для конформности, и доказано, что для конформности необходимо и достаточно выполнения условия I теоремы 5.4.

Из теоремы 5.4 легко получается известный результат [57] (более простое доказательство см. в [58]) для однолистных функций:

Следствие 5.2. Пусть / е 6, f(z) конформна в г = 1, если и только если выполнены следующие 3 условия:

1) существует граничная точка сио области Р = f( A) и число /3 € Ж такие, что для любого е > 0 существует р > 0, при котором

lim f(x) = /(1) и

X

/

IУ. Существует конечный Нт ащ/^г:) в угле Штольца.

2) достижимой граничной точке wq, определяемой W(e,p), соответствует на дА точка z = 1;

3) существуют такие последовательности граничных точек u>k и uj'k области F, что -» wQ, ш'к -> ш0, arg(w^, - cj0) £ +ß, arg(u>k +

\ 37Г

шо) тт + ß,

U)'

Wfc+1 — Wo

— Wo

->• 1.

Следующее утверждение показывает, что оператор [А/] (см. §4) сохраняет полуконформность на границе при А Є С и сохраняет конформность на границе при вещественных А.

Теорема 5.5. [54]. Пусть / Є Ма. Если / полуконформна в z = 1, то и [А/] полуконформна в z = 1 для всех А Є С. Если / конформна в z = 1, то [А/] конформна в z = 1 для А Є М.

Причем в случае конформности существенно, что Im А = 0. Наконец, приведем еще одно достаточное условие полуконформ-ности в любой точке ЗА.

Теорема 5.6. [54]. Пусть / е Ua и для нее

/"

lim sup

И->і-

(1 - kl.

f'W

= о.

Тогда / ограничена в А и полуконформна в каждой точке дА. Однако существуют функции из Ыа, полуконформные во всех точках дА, не удовлетворяющие (5.6).

В случае л.-и.с. ограниченной характеристики из полуконформно-сти функции в г = 1 можно получить информацию о поведении этой функции не только в угле Штольца (см. теорему 5.4), но и некоторую информацию о /(г) при произвольном приближении хк1.

Теорема 5.7. [3, с. 260]. Пусть Ш—л.-и.с. ограниченной характеристики, / е Шс. / полуконформна в г = 1. Для С, £ (0,1) обозначим С^(С) поперечное сечение А, которое проходит через £ и отображается функциейи) = /(г) на дугу окружности {ш : |ги-/(1)| = |/(С)-/(1)|}. Тогда для любого е > 0 существует Со € (0,1) такое, что при ( £

(Со, 1) <2(0

1 - £ <

1-С

< 1 + Є.

Для однолистных функций эту теорему получил A. Ostrowski [57], позже J. Ferrand [59] упростил ее доказательство.

Определение 5.4.Область Т с А называется П к А в точке z = 1, если 1 Е ОТ и в точке z = 1 у дТ существует касательная, параллельная мнимой оси.

Теорема 5.8. [3, с. 248]. Пусть Ш — нормальное л.-и.с., /,g Е Ш и / g в z = 1. Тогда £(1,/) = £(1 ,д). Кроме того, для некоторой константы 7

lim inf arg f'(z) = lim inf arg gl (z) + 7,

limsup arg/'(2:) = limsupargi/(2:) +7,

где z —> 1 или всюду по радиусу, или всюду в угле Штольца.

2°. Пусть Ш — нормальное л.-и.с. Фиксируем / Е Ш и обозначим (£ одно из компактных семейств (£(ег6>,/) или £(/). Положим

сг = inf max(l — x2)\gf(x)\,W = sup min(l — ж2)|(/(ж)|.

о<ж<1 о<ж<1

Так как </(0) = 1, то 0 < g_ < 1, 1 < ~ä < 00.

JlEMMA 5.1. [3, с. 230]. Существует только три возможности:

I.a = 0, (т = 1: тогда существуют S > 0 и постоянная В такие, что для 0 < х < 1 и g е €

(1 -x2)\g'{x)\ < B(l-x)s.

II. a = 1, ~a = 00: тогда существуют Ö > 0 и постоянная В > 0 такие, что для 0 < х < 1 и g Е £

(1 - x2)\g'(x)\ > В( 1 - х)~6.

III. — — 1: тогда для —1<х<1

min(l — x2)\gf(x)\ < 1 < max(l — x2)\gf(x)\.

g(E£ g(E£

Если (£ содержит единственную функцию gc (см. теорему 5.2), то в случае I Re с < 0, Re с > 0 в случае II и Re с = 0 в случае III.

D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff исследовали устойчивость оператора [Лf](z) = f\(z) (см. §4) в каждом из трех случаев леммы 5.1.

Теорема 5.9. [54]. Пусть / £ Ua. Если для / реализуется случай I леммы 5.1, то и для Д реализуется I случай при А = fi + iv таких, что

0</^<1и|г/|< ^ . Если для / реализуется II случай, то же

ya2 — 1

верно и для Д при А = fi + iv таких, что 1 < ¡1 < оо, |z/| < ^

Vct2 — 1

Если для / реализуется Ш случай, то существуют Х± и Х2, 0 < Х± <

1 < <оо, такие, что для }\ реализуются:

случай I, если 0 < Л < Ai ;

случай III, если Ai < А < А2;

случай II, если Х2 < А < оо.

Кроме того, в [54] получена связь между £(1,/) и £(1, [А/]).

Лемма 5.2.[54]. Для каждого X Е С

g е С(1, Я ^ ед = [Z(g'(s))x( 1 + s)2^-1) de е £(1, [А/]).

</0

Заметим, что приведенные в теореме 5.9 оценки v и ¡1 неточные, так как опираются на неточную оценку arg f'(z) в Ua.

Определение 5.5.[3, с. 231]. Пусть ШТ —нормальное л.-и.с.. / Е ШТ. Функция / ПП ег0 П —, если существует х\ Е (0,1) такое, что

Если (5.7) выполнено для всех g Е £(/), будем говорить, что / —П П П — .

Таким образом, наличие у f(z) в е10 свойства хорошей достижимости зависит не столько от самой /, сколько от £(ег6>,/). Выполнение условия (5.7) означает, что реализуется I возможность леммы 5.1. Ch. Pommerenke отмечает, что определение 5.5 можно было бы изменить так, чтобы оно охватывало и II возможность леммы 5.1, однако при этом возникают некоторые дополнительные трудности.

Теорема 5.10. [3, с. 232]. Пусть ШТ — нормальное л.-и.с.. / Е ШТ.

а) Если / имеет в z = егВ свойство хорошей достижимости, то существует S = 8(0, /) > 0 и для любого угла Штольца W с вершиной в z = 1 существует постоянная B(W) = B(W, f,0), такие, что для zeW

Се*)| < B(W)( 1 - И*-1 для всех С G [0,1);

\g'(z)\ < B(W)( 1 - И)*“1 для всех g € €(eie, /).

Существуют конечные угловые пределы

Де", Се1в) = lim f

z—^1 Z—> 1

причем первый — равномерный по £ Е [0,1), второй — равномерный по g Е €{et0,f).

б) Если / обладает свойством равномерно хорошей достижимости границы, то существует S = S(f) > О и для любого угла Штольца W с вершиной в z = 1 существует постоянная B(W) = B(W,f), такие, что неравенства (5.8) выполняются для z Е et6W (О < в < 27г), С £ [0,1), g Е <£(/)• Существуют угловые пределы (5.9), причем первый

— равномерный по £ Е [0,1) и в Е [О, 2тт], последний — равномерный под Е £(/).

Следствие 5.3. [3, с. 233]. Пусть Ш — нормальное л.-и.с., функция / 6 Ш обладает свойством равномерно хорошей достижимости границы. Тогда / непрерывна в А и существуют постоянные 6 = 6(f) > О и В = B(f) такие, что для Z\,Z2 £ А выполняется условие Гель дера

\f(zi) - f(z2)\ <B\Zl -z2js.

Используя лемму 5.1 D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [54] обобщили определение 5.5.

Определение 5.6.[54]. Пусть Е — дуга единичной окружности дА, €

(1 — x2)\g'(x)\ < В( 1 — x)s для любого х Е [0,1).

В крайних случаях (Е = {егв} и Е = дА) получаем здесь ситуацию из определения 5.5.

В [54] дано достаточное условие хорошей достижимости функции на дуге Е.

Теорема 5.11. [54]. Чтобы / е Ua была хорошо достижима на дуге Е С дА достаточно, чтобы для <£(егв, /) реализовался I случай леммы 5.1 на конечном множестве точек егв ЕЕ, а для остальных точек из Е множество €-(егв, f) состояло только из одной функции дс(в), причем по всем таким функциям дс(оу supRe с(6) < 0.

Следствию 5.3 соответствует следующая

Теорема 5.12. [54]. Если функция / £ Ua имеет свойство хорошей достижимости на дуге Е С ЗА, то / удовлетворяет на Е условию Гель дера с некоторыми положительными константами S и В

\f(z)~ f(w)\<B\z-w\s, z,w е E.

Из теорем 5.11 и 5.12 вытекает

Следствие 5.4. [54]. Если / Е V& (определение см. в §6), то /

к

непрерывна на ЗА за исключением не более чем [— + 1] точек; кроме

того, / удовлетворяет условию Гель дера на любой замкнутой дуге из

к

ЗА, не содержащей выше упомянутых не более чем [— + 1] точек.

Теорема 5.13. [3, с. 234]. Пусть ШТ — нормальное л.-и.с., функция / Е ШТ имеет в точке z = 1 свойство хорошей достижимости. Если g Е £(1,/), т. е. f(z,(n) —> g(z) равномерно внутри А, то

/(z,Cn) —^ равномерно в любом угле Штольца с вершиной в

Cn^l“

z — 1.

Следствие 5.5. [3, с. 237]. Пусть ШТ — л.-и.с. ограниченной характеристики и / Е ШТ. Множество точек егВ, в которых / имеет свойство хорошей достижимости, всюду плотно в ЗА.

Для однолистной функции / свойство равномерно хорошей достижимости границы равносильно следующему метрическому свойству границы /(Д).

Лемма 5.3.[3, с. 239]. Пусть / Е ©. Чтобы / имела свойство равномерно хорошей достижимости границы. необходимо и достаточно, чтобы / была непрерывна в А и для любых 6\ < 02 < 0\ + 2тт выполнялось условие

min[diam /(L),diam f(L')\ < Bd(f(eiei),f(eie2)).

где L = {ег0 : Oi <0 < #2}, Lr = {ег0 : O2 < 0 < 0\ +27г}, а постоянная В зависела только от /.

Пусть /Ев и область /(Д) ограничена кривой Жордана J. L. Ahlfors [60] нашел необходимое и достаточное условие того, что / может быть продолжена до квазиконформного отображения всей

^-плоскости на всю ш-плоскость: для любых € J должна суще-

ствовать постоянная В = -£?(/) такая, что

гшп(сИат Тс^сИат < В\юх — гиг!,

где /о и /1 — части, на которые разбивается кривая J точками и т2. Обозначим £>(К) (1 < К < оо) подкласс 6, состоящий из

функций /, для которых

d(f(zl),f(z2))<K\f(z1)-f(z2)\ для всех ¿1, г2 £ Д;

2) = ик>1(К). Таким образом, в Т>(К) внутреннее расстояние <1(/^1),/(г2)) между точками f(zl) и /(г2) эквивалентно евклидову.

Теорема 5.14. [3, с. 241]. Чтобы функцию / £ 6 можно было продолжить до квазиконформного отображения С на С, необходимо и достаточно, чтобы / принадлежала Э и обладала свойством равномерно хорошей достижимости границы.

В связи с теоремой 5.14 интересно знать свойства семейств &(К).

Теорема 5.15. [3, с. 241], [61, с. 105]. 1) Каждое семейство 2)(К) линейно-инвариантно и компактно, огс! Э(_?Г) < 2.

2) Если / £ Я)(К), то / непрерывна в А со значениями в С, / однолистна в Д за исключением разве лишь точек дА, в которых принимает значение оо (их не более [27Г-ЙГ]).

3) Для / £ £>(К) обозначим а = огс1 /, тогда

\1^1)-/(х2)\>К1\х1-х2\а для всех X 1,^2 £Д,

где постоянная К\ > 0 зависит только от К.

4) Для / £ %)(К) иО < г < р < 1

\Г

Замечание. В действительности в [61] доказано большее — для функций / £ Э получена своеобразная теорема регулярности убы-

(1 _1_ + 1

вания для любого С € дА величина —--------^ц_1 |/'(гС)| возра-

стает по г £ [0,1). Найден оптимальный (в том смысле, что нельзя

(1 _|_ г)«+1

уменьшить а) множитель —---------для обеспечивающий

рост указанной величины (сравни с теоремой 5.19). То же верно и для функций из Ыа; более того, в 1Ла может быть доказана теорема регулярности убывания, подобная теореме регулярности роста из §5, 6°. Заметим также, что в (5.10) вместо 1/8 можно поставить точное значение 2~“~1.

3°. В случае III леммы 5.1 тоже можно дать геометрическую характеристику образа /(А) = -Р при дополнительных предположениях о £(е",/).

Определение 5.7.[3, с. 243]. Пусть ШТ — нормальное л.-и.с., / £ ШТ. Если существует постоянная В такая, что для любой функции д € С

|<7(ж)| < В для всех х € (—1,1),

то / имеет в егв

Функции (2.12) имеют вг = ±1 свойство чистого накрытия. Введенный термин оправдывает следующая

Теорема 5.16. [3, с. 243]. Пусть Ш—л.-и.с. ограниченной характеристики и функция / £ ШТ имеет в егв свойство чистого накрытия. Тогда для любой функции д € <£

— <

В\

где число В\ зависит только от в и /. Кроме того, существует постоянная В2 такая, что для любого натурального п существуют: точка € С; числа 0 < гп\ < ... < гпп < 1, Нт гп\ = 1; попарно не пе-

п£ооо

ресекающиеся круги НП1, С Р с центрами в f{eгвrnv) (V = 1,..., п), такие, что проекции НП1, {у = 1,... ,п) на плоскость полностью покрывают круги {ю : |ги — ги„| < (егегпг/)}.

Таким образом, функции из &р не могут иметь в какой-либо точке свойство чистого накрытия. А из (5.11) следует, что реализуется случай III леммы 5.1, поэтому свойство чистого накрытия и хорошей достижимости — взаимно исключающие.

Следствие 5.6. [3, с. 246]. Пусть / € ЬБ и отображает А на универсальную накрывающую поверхность некоторой ограниченной конечносвязной области, не имеющей изолированных граничных точек.

Тогда для каждой точки ег0 выполняется одно из двух: или существует полуокрестность ег0, в которой / однолистна, или / имеет в егВ свойство чистого накрытия.

Из теоремы 5.8 следует, что если / ~ р в 2: = 1, то они одновременно имеют или не имеют в г = 1 свойство чистого накрытия; то же и для свойства хорошей достижимости. В отличие от свойств по-луконформности и конформности (см. теорему 5.5) оператор [А/] не сохраняет свойство чистого накрытия в г = 1 для всех А Е М, А / 1 [54].

4°. Определение 5.8(см., например, [62, с. 267,305.]) Аналитическая в А ПП П ( Е <9А ПП ПП с е С, если существует кривая

Жордана Г С А, оканчивающаяся в ( и такая, что /(г) —> с. ц /

ПП ( Е дА П—П с, если /(2^) —У с при z —>• ( в любом угле Штольца с вершиной в Функция / имеет в точке £ Е <9 А конечную угловую производную с, если /'(;?:)—) с / оо при z —У в любом угле Штольца.

Теорема 5.17. [54]. Пусть / Е Ыа и имеет в ( Е дА угловой предел

с, причем /(¿)фсв А. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

1) / имеет в £ угловую производную Ь Е С;

Г) /' имеет в ( асимптотическое значение Ь;

... /(г) - с и

и^ ------— имеет в £ угловой предел о;

% ~ С

.... /(г) — с

п ) -----— имеет в С асимптотическое значение о.

Теорема 5.17 обобщает на случай Ыа результат СЬ. Роттегепке [62, гл. 10] для класса 0, однако в случае 0 не требуется предполагать /(г) / с — оно выполняется всегда. Доказательство теоремы 5.16 опирается на лемму, имеющую самостоятельный интерес.

Лемма 5.4.[54]. Пусть / еЫа и /(г) / с в А, тогда для всех 2; Е А

/(*) - с

1

— 2а’

<а1оё1±М

- ё1-Ы

Неравенства точные, экстремальной является функция ко из (2.4).

) — с . -й

Кроме того, функция--------------нормальная для всех (, = е .

* - с

Требование }{х) 7^ с в лемме 5.4 существенно.

Определение 5.8.[54]. Если / аналитична в А, то — / егв называется супремум неотрицательных 6 таких, что существует кривая Г С Д, оканчивающаяся в егв и лежащая в некотором угле Штольца, для которой

liminf[(l-M)Ä|/MI]>0.

ГЭ2—>е*в

Теорема 5.18. [54]. Пусть / £ LS и существует конечный lim arg f'{rel9) для некоторого 9 £ [0, 2тт). Если существует с £ К

г—>1~

такое, что при z —> 1 в угле Штольца

(1 - z)e';

J"

—У с + 1,

f'

то угловой порядок / в z = егв равен тах(0, с).

Для функций класса Vk отсюда получается

Следствие 5.7. [54]. Для / £ 14 угловой порядок в егв равен тах(0. dfi(0) — 1), где fj,(t) — функция из интегрального представления / (см.

§6, з0;.

5°. В этом пункте речь пойдет о теореме регулярности в Ua. Для непрерывной в А функции ф обозначим М(г,ф) = max |</>(z)|.

Теорема 5.19. (регулярности). Пусть f (Ebía. Тогда

(X _ г)“+1

1) при каждом ф £ [0, 2тг) величины |/'(re¿e)| ^и

(1 —

М(г, /') ^—^п_1 убывают по г на [0,1), причем убывание строгое,

если / ф кд (см. (2.4));

2) существуют постоянные 0° £ [0,1] И I

S = lim

Г—1“

M(r,f)2a

= lim

= lim

1 — г 1 + г

а+1

= lim

Г-Ь-1~

такие, что

(I _ г)а+1

a-1

(Л —

I f'fre^0)]-------—-----

1 ^ ^(1 + г)“-1

а+2

)а —1

= lim

= lim

\/(ге{фо)\2а

\Г(ге1ф0)\

1 — г

1 + г (1 - г)а+2

а-1

(а + 1) _

= Нт

= Ит

Г—>1~

= Нт

Г—>1~

Г

!м{р, /")ф

а+1

М{г,<1(/(г),0)2а

м(г,К1^),0)2а

(1 + г)«-1 1 -

1 + г 1 — г

= Нт

= Ит

= Нт

а+1

= Нт

тах

= Пт

г—* 1~

1 + г

\Г(ре**)\<1р2а

\/'(ре1в)\<1р2а

¿(¡(гегфо,0)2а

1(/(ге{ф\ 0)2а 1 — г

(1 + г)“-1 1 — г

1 +г

1-5

ТТ',

1 +

1 — Г

1 + г

3<5° = 1 только для функции (2.4).

При а = 2 для функций / £ б п. 1), 3) и первые 4 равенства из п. 2) теоремы 5.19 представляют собой известные результаты ([63], [64], [65]). Б. М. СатрЬеП [22] доказал п. 1) и п. 3) теоремы 5.19; он также доказал 2-е и 4-е равенства п. 2) в случае а < 2 и / € ©ГШа; он предположил, что 2-е и 4-е равенства п. 2) выполнены для функций / 6 У2а С Ыа (Уг« ф Иа). В [66] доказан п. 2) теоремы 5.19 для всех функций / £ Ыа. Теорема 5.19 характеризует регулярность роста исследуемых величин.

Для функций из © П Ыа Б. М. СатрЬеП’ом доказана также

Теорема 5.20. [22]. Пусть 1<а<2и/ёбП1/„, й £ 1 фиксировано. Тогда величины

Ш(£)ЧГ{¿[(В)ЧГ"<-я

убывают по г £ [0,1), причем убывание строгое, если / ф кд. При г —У 1— пределы записанных величин равны 1 только для функции кд.

При а = 2 эта теорема доказана К. Неутап’ом [64].

В связи с п.1) теоремы 5.19 отметим еще подобный результат СИ. Роттегепке, полученный им при доказательстве леммы 2.6 из

(1 —

[1]. Он доказал, что для / £ Ыа величина М(г, /) ^—д_1 убывает

по г £ (0,1). Однако здесь всегда М(г, /) = о((1 — г)-“-1) при г —>• 1“.

Число ¿о из теоремы 5.19 называется числом Хеймана функции /, а число фо — направлением максимального роста функции /. Возникает естественное разбиение Ыа на дизъюнгтные подклассы О < 6° < 1; функциям из Ыа{3°) соответствует число Хеймана 5°.

Определение 5.9. [66]. юПП П (...) функции / є Ыа называется каждое в Є [0, 2-7г) такое, что

Дт_|=8в>0.

При этом число 6в называется шП /, П ... в /.

Есть функции (например, f(z) = г), не имеющие н.и.р. Функции класса К, = Ы\ и & имеют не более одного н.и.р.. которое совпадает с направлением их максимального роста [64]. Иная ситуация в 11а, аі > 1.

Теорема 5.21. [67]. Пусть а2 = 1.241... — единственный корень уравнения 11а3 + 2а2 — 13а — 8 = 0 на интервале (1, сю); для натуральных п > 3

— (е + іу — п Jo

Тогда при а > а„ функция д„ а £ Ыа и имеет ровно п н.и.р. При

2

а > 1 Н---функция

е — 1

5оо,а(^) I

•>о

(

а+1

1-е

Vі

(1 + 0

и имеет счетное множество н.и.р. С другой стороны, для / Є Ыа множество н.и.р. не более чем счетно.

В некоторых задачах важно иметь информацию о числах Хеймана функций /(г, а), а Є А, если / Є Ыа(6о).

Теорема 5.22. [66]. Пусть / є Ыа.

1) Если / Є Ыа(0), то /(г, а) Є Ыа(0) при всех а Є А.

2) Если / £ иа(5°), £ (0,1), то для любого 6 £ [¿°, 1) существует

а £ А такое, что /(г, а) £ Ыа(5).

3) Если f £ Ыа(50), 6° £ (0,1), а > 1, и существует интервал

(х',х") С [0,27т), свободный от н.и.р. /, то для любого с) £ (0,1) существует а £ А такое, что ${г,а) £ Ыа(6).

Доказательство этой теоремы опирается на лемму, имеющую самостоятельный интерес.

Лемма 5.5. [66]. Пусть / £ £/а, а £ Д. При фиксированном ф £ [0, 27г)

обозначим R(r) =

7 (г) = arg —

+ а

1 - йе'Ч''

lim

7”—>•! —

I/W7)!

1 + are*

(ЛЯ J

н.и.р. функции /. При этом (1 - r)“+1

+ are1

Чтобы ф было н.и.р. для f(z,a), необходимо и достаточно, чтобы ^ е* - a

где 7

(1 +г)с

= lim

r—t 1~

I f'(Д(г)ег7(г))I ——

II 1 U Л (1 + Л(г))“-1

Обозначим ©(¿о) подкласс функций из 6, которым соответствует число Хеймана Последствие 5.8. [66]. Если ¿о > 0, то для любой функции / £ &(Sq) и любого S £ (0,1) существует а £ Д такое, что f(z, о) £ &(6).

Таким образом, для получения информации о функциях из ©(¿о), Sо £ (0,1), достаточно иметь соответствующую информацию о б(<5) с 6 сколь угодно близким к 1, и знать, как трансформируется эта информация при преобразованиях (1.1).

Следствие 5.9. [66]. Пусть f £Ua. Для любого в £ [0,2тт) и любой дуги окружности в широком смысле Г С Д, ортогональной дА, в точке егв существует не зависящий от Г предел

lim

гэс^е

1/401

a-1

— 5д £ [0, 1].

Это имеет место, в частности, и в классе © С ХА^. Следствие 5.9 перестает быть верным, если в нем убрать требование Г _1_ дА.

Теорема 5.23. [66]. Пусть / £ Ыа(6°), 6° > 0; в — одно из н.и.р. f, которому соответствует число Хеймана 6$ £ (0,(5°]. Обозначим

Ф(С) = arg/'(p(C)eie), где

р{°=- Ш) i1-4)  =sii1"'

C(C)=Re{Ce-ie}-tgr?|Im {Ce-ie}|.

Тогда для каждого п = 0,1, 2,... и любого т] Е ^0, — ^

-> 6, kl"1 ю я->1-

равномерно в A(R,i)) = {С Е Д : arg(l — ^е~гв) < i], R < |£| < 1}.

Таким образом, если у функции / EUa есть н.и.р. 9, то поведение функций /(") и мало отличается в угловой области Д(Д, 77).

В случае п = 0,1 теорема 5.23 в несколько более слабой формулировке доказана в [64, с. 131] для функций, р—листных в среднем по окружности в Д ( в частности, и для однолистных функций); более простое доказательство этого результата для функций класса & дано Г. И. Мелентьевой [68, с. 136] с использованием метода площадей. Еще проще доказательство теоремы 5.23, использующее линейную инвариантность Ua и теорему 5.22.

Следствие 5.10. [66]. Пусть / £ Ua(ö°), 6° >0; в — н.и.р.

функции /, ему соответствует число Хеймана 6в > 0. Тогда для каждого п = 2,3,4,... существует

lim [|/(n)(rei0)|(l - r)a+n] = 6e2°‘-1(a + l)(a + 2) • ... • (a + n - 1).

r—b 1~

Для функций класса 6 этот результат был получен И. Е. Базилевичем [69].

Теорема 5.24. [66]. Для любой функции / Е Ыа(6°) и любого

S Е [0, <S°] существует семейство функций ф{х|А) € Ua(ß), А Е (0,1),

такое, что ф(г|А) —у f(z) равномерно внутри Д. л^о

Теорема 5.24 неверна при д > 3° ни для какой функции / £ Ыа(6°). Для функций из ©((5°) эта теорема была доказана в [70].

Следствие 5.11. [66]. Если f(z) = z + '^^cnzn £ Ua и Cn(S) =

П=2

siip |c„|, то Cn(S) (0 < S < 1) — невозрастающая функция.

feUa

Если / E Ua(6°), то интересно, как быстро 2aM(r,f) может стремиться к S° при г —> 1~ (см. теорему 5.19).

Теорема 5.25. [66]. Пусть а > 2. Для любого 60 Е [0,1) и любой функции е(г) >0, г Е [0,1), такой, что е(г) —> 0. существует

г—>1~

/ € Ua{ä°), для которой

2оМ(г,Л (1^1)”-J»

lim ------------------------- = оо.

г-> 1- £

/1 -r\“

Таким образом, величина 2aM(r,f) i —J может стремиться

к 5° сколь угодно медленно. В классе & теорема 5.25 была доказана

Н. А. Широковым [71].

1-5

ГЙ

§ 6. Частные случаи линейно-инвариантных семейств. Подклассы Ыа

1°. Пусть А С С; а,Ь,с,(1 — фиксированные комплексные числа. Далее в тексте будем придерживаться обозначения

аА + Ъ Г аг + Ь —л---; = \---; % е А

сА + й [сг + (1

Обозначим © С ЬБ семейство функций /(¿г), отображающих Д на универсальную накрывающую поверхность некоторой области С = С/ С С; для постоянной К > 1 обозначим <&к С © — множество всех функций /60, для которых существуют точки а,Ь Е С, а^С/, Ъ Gf такие, что

К~г\Ь — а\ < df

То есть для получения интересных свойств © вводится ограничение

(6.1) вместо ограничения на порядок семейства. В [1] получены следующие три теоремы.

Теорема 6.1. Для любого К > 1 семейство <0к или пусто, или линейно-инвариантно и нормально. Обратно, если ЯЯ — нормальное л.-и.с. и Ш С ©, то Ш С ©к при некотором К.

Функция / G © принадлежит классу Неванлинны (выполнено условие (1.4)), если и только если Ef = С \ Gf имеет положительную емкость (см.[72]). Этот результат дополняет

Теорема 6.2. Семейство ©(к) (к > 0) функций / £ ©, удовлетворяющих для всех а £ А условию

df(a) ^ cap -, - > к,

Ef - f

является л.-и.с. ограниченной характеристики. Обратно, еслиШ С ©

— л.-и.с. ограниченной характеристики, то9Л С ©(к) для некоторого к > 0.

Наконец, сформулируем еще одно достаточное условие принадлежности функции классу Неванлинны.

Теорема 6.3. Пусть / £ ©, Gf конечносвязная и не имеет изолированных граничных точек. Тогда / принадлежит некоторому ©(к), к > 0.

2°. В этом пункте рассматриваются такие функции / G Ua, у которых /*") £ .Là1 для любых натуральных п.

Определение 6.1.[73]. Пусть / аналитична в А и удовлетворяет в А некоторому свойству А. Это свойство А называется —, если оно предполагает, что /'(0) ф 0; кроме того, если / имеет свойство А, то и функция bf(z) + с должна иметь свойство А для всех Ь, с £ С, Ъ ф 0.

Будем говорить, что / имеет свойство &, если / однолистна в А;

t 7/ f(Z) - Я0) ^ 7/ ^

j имеет свойство Ua, если ----f'(Q)--- ' свойства являются

допустимыми.

Если А — допустимое свойство, обозначим Т(А) множество всех аналитических в А функций f(z) = z + ... таких, что имеют свойство А для всех натуральных п > 0;

А = Т(А) = sup{|a2| : / G Т(Д)}.

7Г 1

S. М. Shah и S. Y. Trimble [73] доказали, что — < -4(6) < 1.7208, — < A(U\) < 0.68379. Ими также доказана

Теорема 6.4. [73]. Если А — допустимое свойство и А < ос, то для

оо

всех функций f

п=2

1) / — целая трансцендентная функция 1-го порядка и конечного типа < 2А;

. I /./ м ехр(2ЛЫ) — 1

2)\f(*)\ <----------------, 0 < |г| < ос;

(2А)П~1

3)\f{n4z)\ < (2^)-1exp(2^|z|), * е С, К| < ----, n = 1, 2,...

п\

Теорема 6.4 справедлива для / £ Т(Ца). Для семейства Т(Ца) D. М. Campbell [13] доказал, что

а + \/а2 — 1 , , . .

----^--------< A{Ua) < а.

Таким образом, А{Ыа) ~ а при а —» оо. В действительности, можно доказать (см. [125]), что в правой части (6.2) неравенство строгое для всех а > 1.

В [13] исследовано поведение Z^-радиусов производных /("), п =

ОО

1,2,... для произвольной аналитической функции f(z) = anzn.

п=О

Теорема 6.5. [13]. Пусть f(z) = 3=0 апгп, R —радиус сходи-

мости ряда; обозначим rn = гn(ß) — Uß-радиус функции /*"), п =

0,1, 2,___Тогда

И, log 2

lim inf nr n <2 ßR, ----------— < lim sup nrn.

n^°° 2 + v3 n—>oo

Если существует такое натуральное N, что а„+1 7^ 0 для всех n > N, то

lim inf n ^/Г]уГ]у+1 •  • r„ < 2ßeR.

n —^ СО

Если существует такое натуральное N. что последовательность

Г 1 1 I an J

_Rlog2

не убывает, то

=N

2 + у/З

< liminf ntn < lim sup nrn < 2/3R.

Аналогичный результат в случае, когда г„ — радиусы однолистности функций ранее получен в [74].

Теорема 6.6. [13]. Пусть / — аналитическая в Д функция. Если существует такое натуральное И, что для всех целых п > N

/

> /

где к > 0, е > 0 и fciV1_e > 1, то / — целая трансцендентная функция.

Эта теорема обобщает результаты S. М. Shah и S. Y. Trimble. В частности, при е = 1, к = 1 получается результат из [73] в случае Fn Е Ui = /С; при е = 1 получается результат из [75] в случае Fn £ 6.

В [13] исследована также зависимость порядка, левого порядка и типа целой трансцендентной функции от поведения Цз-радиусов функций /(").

3°. Этот и последующий пункты §6 посвящены л.-и.с., имеющим интегральное представление. Из хорошо известных семейств мы остановимся только на трех: классе выпуклых функций К. (см. §1, 1°), классе почти выпуклых функций С и классах функций с ограниченным граничным вращением Т4, к > 2. При этом мы преследуем цель: сравнить основные характеристики этих классов (теоремы искажения и вращения, оценки коэффициентов) с соответствующими характеристиками в Ua. Мы оставляем в стороне многие свойства этих и других л.-и.с. (так же, как и класса ©), ибо в этом направлении существует обширная литература (см., например [76]). Кроме этого, мы уделяем внимание важному в некоторых задачах в Ua классу U'a, имеющему интегральное представление с комплексной мерой, а также классу .

В классе выпуклых функций К. известно следующее интегральное представление: f £ 1C, если и только если существует не убывающая

на [0, 27г] функция //(£) с полной вариацией 1, для которой

/'00 = ехр[-2 / \ogil - ге 11) а/хЩ.

Подобное интегральное представление имеет место и в 14, к > 2

[8], [77]: / £ Т4, если и только если выполняется (6.3) с некоторой вещественной функцией ограниченной вариации /л(£), удовлетворяющей условию

Функции класса 14 имеют простой геометрический смысл [8]: / £ 14, если и только если для каждого г £ (0,1) полная вариация угла наклона касательной к образу окружности {г : \г\ = г} не превосходит ктт. Поэтому 14 называют классами функций с ограниченным граничным вращением. Из геометрического смысла 14 следует их линейная инвариантность [78], а из оценки 2-го коэффициента: |аг| < к/2 (это следует из (6.3) и (6.4)), получаем огс1 14 = к/2; 14 = К, = 1А\.

Класс С почти выпуклых функций [4] является подклассом ©, он состоит из всех функций вида

где <7 £ /С, р(;г) = 1 + &1 + ... — любая аналитическая в Д функция

указанного вида, для которой существует 7 £ (—7г/2,7г/2) такое, что 11е {егтр(,г)} > 0 в Д. г. Lewandowski [79], [80] доказал, что функции из С, и только они, обладают тем свойством, что дополнение однолистной области /(Д) является объединением лучей, не имеющих общих точек, кроме, может быть, начальной. Отсюда, в частности, следует линейная инвариантность С, а из того, что г(1—г)~2 £ С С 6, следует: оЫ С = 2.

К определению класса Ы'а приводит следующая задача. Пусть / £ Ыа, можно ли /' записать как

П

Х\_(9^^))аз; 9э € € С,

3 = 1

или как предел функций вида (6.5)? Ответ на этот вопрос положительный, т. к. f'(z) = lim f*(rz). причем можно брать otj > 0.

г —^ 1

Однако при этом в (6.5) aj и gj взаимосвязаны; gj, вообще говоря, зависят от otj для каждого j. Если же фиксировать набор otj е С, j = 1, • • •, п, а в качестве gj брать любые функции из /С. то из теоремы 1.1 следует, что функция (6.5) будет производной некоторой функции из Ыа, если и только если

Е

3 =1

oij-l

а

Л<а.

Обозначим Ы'а замыкание множества функций вида (6.5), для которых gj — произвольные функции из /С, а OLj удовлетворяют (б.б). Таким образом, Ы'а компактен в топологии равномерной сходимости внутри А, и'а С Ыа. В имеет место интегральное представление (б.З) с комплекснозначной функцией ограниченной вариации удовлетворяющей условию

Л 2 7Г I Л 2 7Г

/ dn(t) — 1 + / \d/JL(t)\ < а

J о I J о

((б.б) — дискретный аналог (6.7)). В [10] (см. также [11]) доказано, что Ы'а — л.-и.с. порядка а, Ыа = 0 при а < 1, Ы[ = Ы\ = /С. В ^ получены вариационные формулы, применение которых показывает, что в ряде экстремальных задач множество экстремальных функций в Ы'а (а следовательно, и в Ыа) существенно отличается от экстремальных функций в других известных подклассах ЫВ этом ”повинна” комплекснозначность функции ц(Ь) из (6.7). Например, в случае Ш = /С, (7, в, экстремальной функцией в задаче о

шах

*/"

/еот /'

является только функция (2.4). Тогда как в случае Ш = Ы'а, а > 1, экстремальными будут все функции

[ ехр -2 [

J о L io

'i2?r . О** - г)2

log(l - se_ii)-

dß

ds,

где /?(£) — любая неубывающая на [0, 2тт] функция с полной вариацией

а, удовлетворяющая условию

Очевидно, С Ы'а, однако С не является подмножеством Ы'а ни при каком а < ос [10].

Чтобы получить подобный Ь1'а класс функций, содержащий класс С, в [9] и [81] были введены и изучались л.-и.с. Ы* порядка а > 1. Функция / € [82], если и только если существуют д & К и функция

Шварца ш, такие, что

где /л(£) — комплекснозначная функция ограниченной вариации, удовлетворяющая условию

Введенные М. О. Г1еас1е [83] и СЬ. Роттегепке [84] л.-и.с. С (а) порядка а + 1 [78] являются подклассами £/*+1. = /С, Ыа* 3 однако

при а > 1 ни один из классов Ы'а и Ы* не содержит другой; Ы'а и Ы* содержат оо-листные функции. В Ы* применимы те же вариационные формулы, что и в Ы'а [9], [81].

4°. Поскольку функция (2.4) принадлежит каждому из семейств Ш = К., С, 6, У2а, Ы'а, 1Л*, Ыа при а = огс1 Ш, то теорема искажения 2.3 и неравенство (2.5) одинаково справедливы в указанных семействах: причем все неравенства точные и равенство достигается только для функции кд. Таким образом, теорема искажения не делает различия между всеми этими семействами.

Иначе дело обстоит с теоремой вращения. Известна точная оценка

| argf'(z)\ < 2аагсэт^, а = огс!

для каждого из семейств Ш = К, [85], С [76, с.13], [86]; равенство

в (6.8) достигается для функции (2.4). Функция (2.4) является экстремальной во многих задачах в классах К,, С, и &. Однако уже

в © при г Є (1/\/2,1) функция Кёбе (2.4) не является экстремальной в теореме вращения (оценке |arg/'(2r)|) — см. §2, 3°. В теорема вращения уже имеет вид:

Теорема 6.7. [9], [81]. Если г є [0,1), то

1 V

max arg f'(r) = (a — 1) log-------1- 2 arcsin r;

/єм; 1 — г

максимум достигается для функции /о Є U* такой, что

ш =

(1 - 2eiarccosr)2 \l - z

Ситуация с оценкой коэффициентов функций f(z) = z + і

Наконец, теорема вращения в U'a имеет тот же вид, что ив Ыа (см. теорему 2.10).

СО

' anz"

п—2

однородна для классов К,, С, V-j«, 6- Функция kg из (2.4) при а = ord ШТ является экстремальной в задаче о max \ ап\ в каждом из классов Ш = К, (см., например, [62]), С [5,6], Уг« [87], 6 [88]. В Ыа не известна точная оценка |а„| даже для п = 3. Однако многое говорило за то (см., например, теорему 4.2), что здесь ke тоже должна

2 1

быть экстремальной (предполагалось, что тах|аз| = —а + — [21]).

/ (Е.Ыа о О

С помощью вариационных формул в Ы'а и Ы* получаются следующие результаты.

Теорема 6.8. [24]. При а > 1

. . ol(ol И- У^ТЗ) . 2а2 -\-1.

|„3| = ----------------- (>

максимум достигается на функции

1 + ze%tl

fo(z) = - 1

i\/a2 — l

iti \ '‘Va2-!

1 + ze ltl

-1

íu / (3 - a2) +3Wa2 - 1

гдее 1 = i ----------, ------ (можно брать любое значение корня),

у ау а2 + 3

ord /о = а.

Теорема 6.9. [89]. Пусть M.(j) = (a — 1) sin2 7 4- SÍ117COS7 + 2sin7, M(7o) = max M(j). Тогда

T€[0,f]

max |a3| = 1 + -(a - l)AÍ(7o);

J £Ua o

максимум достигается на функции

ш = Г -±-

Jo

1 - e^°s 1 — е^'Т'0 s

i

ds.

Вероятно, функция ke также не является экстремальной в задаче

о max а„ , п > 4.

f£Ua

Теорема 6.10. [24]. В задаче о max |а„|, п > 3, существует экстре-

f

мальная функция вида

п — 1

rz _ _ fo(z) = П(Х-J0 j=1

se

ds,

a,j \ = a.

3=1

3=1

В работах [82, 90] найдены максимумы функционала Якубовского |а™(а3- Ла|)| ( см. [91]) при вещественных Л и неотрицательных целых ш. В частности, доказана

Теорема 6.11. [82]. Пусть а > 1, то — целое неотрицательное,

Ае*\(^'!Ут“-да

max |а™(аз — Ла|)| = max [(1 — (а — l)x)m(\X — 1| +

feu* жЄ[0,1]

+ (а — 1)х І 2

2 2

А-з + (а — l)x А-з +

+ 1у/ 1-яф;

л 2

при А < --------- максимум достигается для функции /о из теоремы

За

6.9 с 7о = arcsin Жо, где Жо — точка абсолютного максимума в (6.9); при А > 4/3 максимум достигается для функции

fl(z) = [ , 1 Л2

Jo (! - si)2

' 1 + e¿70s  1 - e-^s

¿

ds,

с 70 = — агсвт хо

Из интегрального представления (6.3) легко получается для / £ дЛ = /С, Угсп и'а точная оценка логарифмических коэффициентов Ъп

функций log/'(¿о = К

2 а

\Ъп\ < —, а = ord Ш, п = 1.2,...; п

причем в случае Ы'а, а > 1, экстремальных функций бесконечно много

[10]. В [92] получена точная оценка логарифмических коэффициентов в Ж = С, U*:

\Ьп\ < 2 (а-------) , а = ord Ш, п = 1,2,....

Здесь уже Вп = sup \bn\ не стремятся к нулю при п —>• ос. Об оценке

fern

Вп в Ыа см. теорему 2.7.

В заключение приведем еще несколько результатов для л.-и.с. частного вида. J. Waniurski [93] изучал класс

к, =

Он показал, что К, — л.-и.с. и постоянные Ландау в классах К, ж К. совпадают и равны 7г/4.

В [94] Л. 8гупа1 и Л. А^апшгвИ определяли и изучали следующее семейство функций Т. Пусть %Rj, j = 1 ,...,п, — фиксированный

П

набор л.-и.с.. Е М„— фиксированный набор чисел, а3 = 1.

3 = 1

Т = Ц(/'(5)Г йз : /, £ Щ, 3 = 1......

Они показали, что Т — л.-и.с., для некоторых известных л.-и.с.

(в частности, = С, 9Лj = Т4) определена область значений

V(z, а) = |ги € С : ги = р £ -^|

при фиксированных z,a £ Д.

П

Теорема 6.12. [94]. V(z,a) = Е a3Vj( O+logr?, где Г) =

3 = 1

. z — a

С = ----—: z, a £ Д линейные операции над множествами понима-

1 — az'

ются так, как сформулировано в 1°).

В частности, в случае fHlj = Vk и fttlj = С, j = 1,... ,п, явно выписана граница выпуклого замкнутого множества T>{z,a), получены уравнения для экстремальных функций, найден радиус однолистности семейства Т.

1-Н2

1 — az

§ 7. Приложения

1°. Определение 7.1 [95]. Пусть Н с ЬБ. Л.-и.с. Ь(Н) называется П- ПП ПП Н, если Н С Ь(Н) и любое л.-и.с., содержащее Н, содержит и Ь(Н).

В частности, для л.-и.с. Ш Ь(Ш) = Т1. Обозначим С ЬБ

— класс звездообразных функций, т. е. функций из ЬБ, однолистно отображающих Д на звездообразную относительно 0 область. Естественно,

ЦБ*) = {/* : /* = Л*[/], 1еБ*,фе £}.

оо

Для /(¿) = 2 + Е апгп € Б* и ( ё Д обозначим

Д. В. Прохоров показал, что для получения Ь(Б*) в (7.1) вместо оператора Л^[/] можно взять оператор М.^ (/).

Теорема 7.1. [95]. Ь(Б*) = {/* : f*(z) = Mc(f(z)), fe Б*, (є Д}.

В качестве приложения теоремы получено следующее неравенство для функций / Є Б*:

Полученная в теореме 7.1 связь классов S* и L(S*) с помощью оператора применяется в [95] для исследования однолистных слабо звездообразных функций [96]. Такой подход к исследованию этих функций позволяет получить ряд новых результатов в решении экстремальных задач и нахождении экстремальных функций.

2°. В §4 уже отмечалась связь (4.5) класса Блоха В и множества X = иа<00Ыа. Это дает возможность получать новую информацию

о функциях класса В, переформулируя известные в Ыа результаты. Приведем некоторые из них.

Следствие 7.1. [47]. Пусть д — аналитическая в А функция. Тогда g Е В, если и только если существуют а < оо и последовательность ц Е Та (см. §1, теорему 1.3) такие, что

g(z)-g(0) = lim / (-21og(l - zelt)) dßn(elt),

n^co Jo

где

a = ord I exp(g(s) — g(0)) ds.

Jo

Следствие 7.2. [47]. Пусть g E B, a = ord / exp(g(s) — g(0))ds,

Jo

X E [0, 27г]. Тогда для z E D

|Re {(g{z) - ff(0))e_iA} + cosAlog(l - \z\2)\ < л „ /, , sinA\

< 2oö (H.— J

(cm. §2, 3°). Функция g(z) — g(0) отображает круг {z : \z\ < г} в

область, ограниченную кривой

|2аегЛЕ: -log(l - г2) : А G [0,2тг]|.

Следствие 7.3. [47]. В условиях следствия 7.2 выражения

Re [g{relX) — 0

и

max Re \g{relX) — #

Ае[0,2тг]

убывают по г Е [0,1) и при г —> 1 имеют предел < О, при фиксированном а пределы эти равны О только для функции

д(г) = 0(0) - (а + 1) к^(1 - гегХ) + (а - 1) к^(1 + гегХ).

Используя (4.5) и линейную инвариантность Ыа. можно получить эквивалентные определения класса Блоха.

Теорема 7.2. [47]. Пусть д — аналитическая в А функция. Тогда д Е В, если и только если существует такая постоянная С(д). что для всех г Е А

sup

а£ А

5

1 + az

< C(g) log I * j*j - log(l - \z\2).

Причем наилучшим

ord

[ exp[ff(s) - 5(0)] ds. J О

Заметим, что неравенство (7.2) можно также записать в эквивалентной форме:

sup

аЄД

í z a \ V1 + az }

-9

< Kg lOg 1

1-1*1

Kg — постоянная, наилучшим значением которой является

Ы*) -0(О)11в.

3°. Вернемся к оператору

[Xh](z) = í (/¿'(s))Ads. h

Jo

eLS, А Є

Задача об однолистности [Лf](z) привлекала внимание многих математиков. В 1966 г. Р. L. Duren, Н. S. Shapiro, A. L. Shields [97] дока-

л/б — 2

зали, что [Ah\(z) Є в для всех /г Є в и Л Є С, |А| < —-—. В 1972

О

г. J. Becker [98] улучшил этот результат, доказав утверждение для А Є С, |А| < 1/6. В 1975 г. J. A. Pfaltzgraff [99] не только уточнил, но и существенно обобщил этот результат. Обозначим Аа радиус наибольшего замкнутого круга с центром в 0 такого, что для всех А из этого круга [Ah\(z) Є в для всех h Є Ua. Основываясь на теореме

1.1 и критерии однолистности Ь. V. АЬНЬге’а [100], ,1. А. Pfaltzgraff получил простое доказательство своего результата.

Теорема 7.3. [99]. Л„ < ^ \/а > 1.

Оказалось, как и во многих других задачах, результат зависит не столько от геометрических свойств функции Л, (в данном случае — однолистности), сколько от огс1 к. Для однолистных функций (а = 2) из теоремы 7.3 получаем

Следствие 7.4. [99]. [Ад](г) Е © для всех д Е © и А £ С, |А| < 1/4.

Более того, с помощью теоремы 7.3 удалось получить полное решение проблемы М. Б. КоЬейэоп’а [101] об однолистности функций д Е ЬБ, удовлетворяющих условию

Следствие 7.5. [99], [101]. Функции / Е LS, удовлетворяющие (7.3) с 0 < cos/3 < 1/2, — однолистны в А. Если же 1/2 < cos/3 < 1, то существуют неоднолистные функции, удовлетворяющие (7.3).

Еще в 1965 г. W. С. Royster [102] привел пример, показывающий, что для каждого А 6 С, |А| > 1/3, А ф 1, существует g Е & такая, что [Ад] ^ ©. Таким образом, даже для g Е © вопрос об однолистности [Ад] остается открытым в кольце — < |А| < —.

т: О

Обозначим

Из свойств Ыа и 6 следует, что А„ — замкнутое множество, звездообразное относительно 0; {А : |А| < Аа} — максимальный круг с центром в 0, содержащийся в Аа. В случае а = 1 Л. А. Аксентьев и И. Р. Нежметдинов [103] нашли

При а > 1 такого описания множества А„ нет.

В [104] СЬ. Роттегепке показал, что / Е В, если и только если существуют с £ С и д Е & такие, что

z Е A, cos/3 > 0.

Аа = {А € С : [A/i] Е & для всех h Е Ыа}.

f{z) ~ /(0) = clogg'(z).

В [49] поставлена задача нахождения наилучшего значения постоянной с для функций Блоха в (7.4). Эту задачу надо понимать так. Для фиксированной функции / Е В обозначим

где В(М) = {/ Е В : ||/(;£) — /(0)||# < М}; надо найти С(М) (или (7(1)). Из критерия однолистности Л. Вескег’а [43] и установленной Л. Вескег’ом и СЬ. Роттегепке [44] точности константы 1 в этом критерии легко получить: (7(1) = 1.

Рассмотренная задача из [49] естественным образом модифицируется в свете связи (4.5) между классом В и семействами Ыа: найти Са = тах{с/ : /(г) — /(0) = /г Е Ыа}.

Интерес к этой задаче вызван не только ее связью с задачей из [49] о нахождении (7(1). но и с задачей об однолистности [Л/г], /г Е Ыа. Действительно, если /г Е Ыа и /(г) — /(0) = logh,(z)J то

Поэтому множество Аа целиком содержится в круге радиусом с

^ ОС

центром в 0.

Теорема 7.4. [105].

Эта теорема улучшает ранее полученную [106] оценку Са. При а = 1 теорема 7.4 дает известное значение А1 = 1/2, нижняя оценка С\ дает точное ее значение.

С/ = тш{|с| : /(У) - /(О) = с\о%д'(г), д е 6},

тах сг = С(М) = М(7(1),

1£В(М) 3

— = тах{|А| : [Л/г] Е в}.

а + 1

2 а>Са>< 3

2 (а - 1

, если а <

5 7

1), если а >

5

если а <

Следствие 7.6. [105]. Для каждого a > 1 существуют h £ Ua и

комплексное A. |А| > min {------, —------- 1, такие, что фунция [A/i]

[ а + 1 2(а — 1) J

не принадлежит &.

1

Естественно предположить, что Аа =

2а

Глава 2. Обобщения понятия линейной инвариантности

§ 8. Обобщение понятия линейной инвариантности для аналитических функций

1°. Обозначим X множество всех локально однолистных в Д функций / таких, что Р(г) = е Х = и«<(см- §4)- Для

функций / £ X \¥. Ма и Б. Minda [107] вводили обозначение

/"

zEA {

2 f'(z) l-\z\-

= ord F;

функции / £ X они называли линейно-инвариантными функциями. Такое понятие линейной инвариантности обобщается этими авторами на случай гиперболической области О С С

А[г(г) ¿з — |аг)|*

1-КИГ

В [107] локально однолистная в О функция / называется линейноинвариантной (пишем / £ Х(О)), если

zEtl I Aq(

*)

- — i°gAn

2 f'(z) dz

< 00.

Если П = Д, то Х(О) = X. Функционал ||/||зе(П) является аналогом ог<1 -Р.

Теорема 8.1. [107]. ЕслиП и Т> —гиперболические области, д : О —> Т> — любое конформное отображение (отображение универсальной накрывающей поверхности области О на универсальную накрывающую поверхность области Т>) и функция / локально однолистна в Т>, то ||/°5||зе(П) = 11/11зе(х>)> в частности, /од£ Х(П) / е £(£>).

Таким образом, ||/||.х(о) конформно инвариантна.

Локально однолистная в области П функция / называется [107] квазилинейно-инвариантной (пишем / е £23£(П)), если

< 00,

где Óq(z) — евклидово расстояние от z до 30.

Если 0 — гиперболическая область, то ЙХ(0) ф 0, 11/11озе(гг) <

||/1Ы(о) + 1) следовательно, Х(П) С ОХ(£1).

Множество ÍI С С называется равномерно совершенным [108], если

. . „ с

существует положительная постоянная с = c(S2), для которой <

0n

Aq (z), z £ íí. Гиперболические односвязные области являются равномерно совершенными. Является ли многосвязная гиперболическая область равномерно совершенным множеством, зависит от соотношения между семействами Х(0) и £}X(Í2).

Теорема 8.2. [107]. Пусть О — гиперболическая область из С. Следующие условия эквивалентны:

1) ÍI — равномерно совершенное множество;

2) существуют положительные числа a и Ъ такие, что для любой локально однолистной в О функции / справедливо неравенство ||/||ж(п) < а11/11аж(п) + Ь.

3) Х(П) = £}Х(П).

В терминах равномерно совершенного множества можно охарактеризовать принадлежность функций / из LS пространству X =

Ua<oo^a •

Теорема 8.3. Пусть / Е ЬБ, тогда f Е X, если и только если граница проекции /(А) на плоскость — равномерно совершенное множество.

2°. В [109] дается определение семейства аналитических в А функций, инвариантного относительно преобразований Мёбиуса £. Однако это определение существенно отличается от определения л.-и.с.

Определение 8.1.[109]. Пусть 21о — линейное пространство аналитических в А функций с полунормой р. 21о ПП эг. если

1) 21о — подпространство класса Блоха В и существует постоянная

К > 0 такая, что для всех / Е 210 ||/(г) - /(0)||я < Кр($);

2) пространство 21о с полунормой р — полное;

рывное отображение из £ в %10.

Примерами пространств, инвариантных относительно преобразований Мёбиуса, являются пространства Бесова Вр. 1 < р < оо, малый класс Блоха Бо (см. §4). Сам класс Блоха В не является примером такого пространства, т. к. там не выполнено свойство (сі) определения

В [109] авторы исследуют общие свойства этих пространств, а также конкретные пространства, инвариантные относительно преобразований Мёбиуса.

М. Peloso [110] обобщил эти результаты на случай шара в Сп.

3°. Э. Г. Кирьяцкий обобщил оператор Аф[/] из (1.1). Он рассматривал [111] класс Ап аналитических в А функций F(z) = zn + ... таких, что F^n\z) / 0 в А (при n = 1 А\ = LS).

Для функции F Е Ап и t Е А обозначим

3) \/ф Е £ и V/ Е 21о => / ° ф Е 21о и °0) < Ср(/), где С —

постоянная, не зависящая от ф и /;

4) для любой функции / Е 21о отображение ф —>• / ° ф — непре-

8.1.

ад*) =

fc=0

= zn + a2(í)zn+1 + ...;

^

Un,a = {F Е Ап : \a2(t)\ < а для всех t Е А}. z Н- t

Тогда Li совпадает с Аф при ф = --—. U\ a =Ua. В Un a получены

1 4- tz'

точные оценки \F(z)\ и \F^n\z)\, доказано, что Un,a = 0 при a < 1. В качестве примера семейства, инвариантного относительно оператора L™, t G А, приводится множество аналитических в А функций F(z) = zn + ..., п—я разделенная разность [F(z); го,..., zn\ которых отлична от 0 при попарно различных ¿о, ¿1,..., zn Е А [112].

В [113] решена задача описания множества функций F Е Ап, для которых L™F

(.L\F = F для всех t Е (—1,1)) (F(z) = #с(г), с Е С).

Также полностью описано множество функций /&(а) С Ап, у которых коэффициент при znJrk~x равен а и не меняется при воздействии на функцию оператора Описание дано в терминах решений некоторого линейного дифференциального уравнения (к — 1)-го порядка.

Те же задачи решены [114] и в случае п = О для оператора

L°tF(z) = —

4 v ' F

на классе аналитических в А функций F(z) = 1 4- b\z 4- ..F(z) Ф О в А.

§ 9. Линейно-инвариантные семейства функций, аналитических в поликруге

1°. В этом параграфе будем рассматривать аналитические в по-ликруге Ат С Ст функции

f(z) = f(zi,---,zm), z = (zi,...,zm) E Дт;

норму в Ст определим как \\z\\ = max \zj\. В [115] (полный текст

1 <j<m

этой статьи опубликован в [116]) понятие л.-и.с. обобщено на функции, аналитические в Ат.

Определение 9.1.[115]. Пусть I = 1 — фиксировано. Се-

мейство ШI аналитических в Дт функций /(¿) называется 1-П- ПП (1-.-..), если

я/,

i) g(z) * о, д-

/(О) = О,

dzi

= 1;

2) V/ £ 9Л, и Ув = £

ze

iO _______

f(ze )е ‘ £ Tli, где

(z\e 1. .,zmem):

3) Va = (ai,... ,am) £ Am имеем Аф[/](г) = f(z, a) =

= ШФа(г)) - f (фа

d]_

dzt

-1

£ Шь

где

, / \ ( %1 Н- Н- \

<М*) = -7-—----, • • • : ------

\ 1 “Ь 0>1%1 1 &т%т )

— автоморфизм из Дт в Дт.

Обозначим

= 1 + С1 (/)^1 + • • • + ст(/)гт + о(||г||), \\z\l —>• 0.

Определение 9.2.[115]. Если / удовлетворяет условию 1) определения 9.1, то — функции / называется число

ord / = sup -

a£Am ^

= 0 SUP ll

* aGAm

Ё— П- ПП ШТ/ назовем число ord Шi = sup ord /.

fem

Определение 9.3.[115]. еП 1-П- ПП Ula — а назовем объединение всех 1-линейно-инвариантных семейств Ш{,, для которых ord Ш/ < а.

Очевидно, — множество всех функций /(г), удовлетворяющих условию (1) определения 1 и таких, что ord / < а. При m = 1 эти определения совпадают с определениями 1.1, 1.2 и 1.3. Как и в случае семейств Ua.Ula = 0 при a < 1.

ПРИМЕРЫ

(i) /С/ — класс аналитических в Дт функций, удовлетворяющих условию 1) определения 9.1 и таких, что /(Дт) — выпуклая область.

(И) 5*, где к = 1, • • • ,тп фиксировано. — класс всех аналитических в Дт функций Д, удовлетворяющих условию 1) определения 9.1 и таких, что Р(г) = (/1(2:),..., fm(z)) однолистно отображает Д™ в Ст. (ш) Ш1 = {/(*) = Ф(*г) : Ф £ Ыо} является ¿-л.-и.с. порядка а.

(гу) Пусть

является ¿-л.-и.с. порядка а.

Следующие два утверждения являются аналогами теоремы 2.3 (искажения) и теоремы 2.10 (вращения).

Теорема 9.1. [115]. Для любой функции / є Ы1а и любого г Є Дт выполняются неравенства

Неравенства точные; равенство достигается для функции Ф из (9.2) при вещественных ги

Теорема 9.2. [115]. Для любой функции / £ Ы1а

тогда для каждого I = 1,... ,тп семейство функций

{'Иа(геів)е~іві : а Є Дт, в Є М^}

1-Ы2

1

а

неравенство точное, равенство достигается для функции

где х nt определены в теореме 2.10

ozi ozi

непрерывно меняется при непрерывном изменении z).

Семейство Ы1а не является компактным в топологии равномерной

df

сходимости внутри Дт, однако класс производных Ula = { —— : / £

OZI

Ula} секвенциально компактен; более того (см. [127]), для любых

l,k,n £ {1,..., ш} иа>2

Щ_г cúla с w*+1.

Обозначим 03 множество аналитических взаимно однозначных отображений (ß(z) = {4>i(zi),ф{ггп)) из Ат в Ат таких, что для каждого к = 1,..., m функция фк(%к) аналитическая и однолистная в Д. Обозначим Ula множество всех функций

{Л*[/] =

= ----------ßf------------------------------= /eW«, В);

ula С Ula. Интересен вопрос об инвариантности Ula относительно отображений ф £ 03, т. е. вопрос о совпадении Ы1а и Ы1а. Следующая теорема является аналогом теоремы 1.5.

Теорема 9.3. [127]. Ы1а —l-л.-и.с. порядка ß = max(a, 2). Таким образом, Ы1а С Ußi Ula = при а > 2.

В частности, при а < 2 Ы1а С однако ^

Обозначим 03/ подмножество тех отображений из 03, l-я координатная функция которых 0z(z/) имеет специальный вид егв ——

1 -\-azi

а £ А, 0 £ М. Тогда, как можно показать, Ы1а инвариантен относительно преобразований 03/ для всех а > 1.

2°. Обозначим Т = <9А, Тт — остов поликруга Дт. Важным моментом при изучении аналитических в Дт функций является вопрос

о поведении таких функций при приближении г к остову Тт. В Ы1а имеет место аналог теоремы 5.19 (регулярности).

Теорема 9.4. [117]. Обозначимг = (п, • • • ,гт) £ [0,1)т, в = (в\,---, 9т) £ Ж>, гегв = (пе101, • • •,гтегвт), I- = , для анали-

тической в Дт функции р{х) М(г,р) = тах |р(г)|; для / £ 1А1а

\\г\\<г

обозначим

Фе(г) =

21

дг1

{гегв)

Ш / 1 _ П

к=1

+ Г к

Тогда

1) для любой функции f £ Ы1а и любого фиксированного 9 величины Фе(г) и тах^ек> Фе(г) — невозрастающие функции по каждому переменному г к £ (ОД), к = 1, •  •, то. Величина

М г

д/\ (1 - г)ат+1

дг1) (1 + г)“™“1

не возрастает по г £ (0,1);

2) существуют 6о £ [0,1] и 0° £ [0, 27г)т такие, что для каждого к = 1, • • •, т

с>п = Пт

М ( г,

а/\ (1 - г)ат+1

= Нт

г—!“

тах

8x1 / (1 + г)“™-1 = Нт тахФе(г) = Нт Фео(г) =

г—

а2/

дхгдхк

= Нт I тах / о

а2/

дг1дгк

¿=1

к=1

+ Г к

1 - П,

1+Гк

<2а П

к=1

1 ~Гк 1 + Гк

= lim

max |-Р(гег^)|2а ТТ

ф£И>

к=1

1-гк

1 + Гк

= lim

Г—5-І“

\F(re*e°)\2a]l

к=1

1 ~Гк 1 + Гк

fZl df

где5\—символы Кронекера, F(z) = / —(z\,

J о uZl

3) ¿о = 1, если и только если f

Таким образом, теорема 9.4 справедлива не только для радиальных пределов (г = гегв —> егв € Тт, 0 < г ^ 1“), но и для более общих пределов (г = гегв —"гв^

i)ds

Определение 9.4.[116]. Вектор 8° є [0,27г)т из теоремы 9.4 называется ПП /, число ¿о — шП /. Вектор в Є [0,2ф)т будем называть ПП П (...) / Є Ula, если lim Фе (г) = ög > 0; при этом

Г—

число 6g Є (0,1] будем называть шП, П ... в.

Как и в случае круга, получаем разбиение Ula на дизъюнктные подклассы Ula(бо), ¿о Є [0,1]; функциям из Ula(5o) соответствует одно и то же число Хеймана последующее утверждение позволяет связать семейство Ula(So) аналитических в Д™ функций с семействами Ы^(0) функций, аналитических в Д", п < т.

Теорема 9.5. [127]. Пусть / є Ula(So), у f(z) оставим свободными переменные zuj, • • •, Zk„, 1 < n < ш — 1, зафиксировав остальные; при этом считаем, что zi — одна из свободных переменных, I = kj. Тогда

ЭФ

полученная после нормализации (Ф(О) = 0, ——(О) = 1) функция

OZI

Ф

{ФЫ: fGUla (вД™)}

совпадает с семейством Ы£ аналитических в Ап функций.

При п — 1 г* — и из теоремы 9.5 получаем

Следствие 9.1. [127]. После фиксации в /(г) Е Ы1а всех переменных, кроме г/, полученные в результате последующей нормализации функции Ф(г/) образуют семейство Ыа аналитических в А функций.

В Ыа справедливы аналоги леммы 5.5 и теоремы 5.22.

Теорема 9.6. [116]. Пусть / Е Ы1а{8о).

1) Если ¿о = 0, то (см. (9.1)) /(г, а) Е Ы1а{0) для любого а Е Ат.

2) Если ¿о Е (0,1), то для любого 6 Е [¿о?1) существует а Е Ат такое, что /(г, а) Е Ы1а{8). Если 7 — н.и.р. для / и ему соответствует ф = 0(а) — н.и.р. для /(г, а) (0(0) = 7), тогда для любого 5 Е (0,1) существует а Е Ат такое, что 5 — число Хеймана функции /(г, а), соответствующее н.и.р. ф{а) этой функции.

3) Пусть ¿о Е (0,1), а — множество всех н.и.р. для / и существует целое q Е [1, ш] такое, что множество {7^ : 7 = (71,, 7т) Е сг} не пересекается с некоторым интервалом (ж', ж") Е [0, 27т); тогда для любого 6 Е (0,1) существует а Е Ат такое, что /(г, а) Е

Из теоремы единственности Привалова следует, что мера множества н.и.р. на Т171 равна 0. Это множество может быть и пустым (например, для ограниченных функций из Ы1а). Как и в случае т = 1, существуют функции из Ы1а с любым наперед заданным числом (включая оо) н.и.р.

В Ыа1 имеет место утверждение, аналогичное теореме 5.23. только

выступают функция (9.2) и ее вращения е~101 Ф(гег(9). Более того, если 7 — н.и.р. / Е Ы1а и 81 — соответствующее число Хеймана, ТО ДЛЯ любых целых неотрицательных #1, • • • , И П = ql + ...+ qrn существует предел

вместо f(n\z) надо говорить о

<9П+1/

и в роли функций ко

дгхдгк1 >"дхкп

Э"+1/

Г—>-1 — I д^1 • • №

га

Переносятся на Ыа1 и теоремы 5.24 и 5.25, причем в теореме 5.25

при т > 2 можно снять ограничение на а: а > 2. Так сказывается

эффект многомерности.

3°. В этом пункте речь пойдет о классе Блоха В аналитических в поликруге Дт функций д, т. е. функций с конечной нормой Блоха

Как и в случае одного переменного, класс В связан с семействами Ы1а.

Следующие два утверждения обобщают на случай поликруга результаты, ранее полученные для аналитических в Д функций (см.

(4.5), (4.6), теорему 7.2, а также [104]).

Теорема 9.7. [115]. Пусть I = 1,---,ш — фиксированное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

причем 2(а - 1) < ||д(г) - д(@)\\в < 2(а + 1);

(пі) семейство функций {д(фа(х)) — д(а) : а Є Дт} конечно-нормально (см.[104]); здесь фа определено в (9.1).

Теорема 9.8. [115]. Чтобы аналитическая в Дт функция принадлежала классу В. необходимо и достаточно существования положительной постоянной С (д) такой, что для всех г Є Дт

(і) д ев;

(И) существует f Є

такая, что

а< оо

д(х) - д{О) = а = ог(і /,

а£ А

вир Iд(фа(х)) -д(а) - 21<^(1 + щгі) + 1(^(1 - |^|2)| <

|.(=Лт

/ г*( \ і ТТ 1^1

к=1 1 1

наименьшее значение постоянной С(д) здесь равно

Условие (9.3) можно записать в эквивалентной форме sup \д(фа(г)) -д(а)\ < ^logfl ^т4’

где наименьшее значение постоянной Кд равно ||g(z) — д(О)\\в-В случае поликруга следствие 7.2 примет вид

Следствие 9.2. [115]. Пусть д — аналитическая в Дт функция, д Е В. Тогда для любого г Е (0,1) функция g(z) — g(О) отображает поликруг {z е Ст : \\z\\ < г} в область, ограниченную кривой

|аегХ (т - 1) log liT _j_ 2S ^r, ^ s'm^ ^ _ log(l — г2) : Л Е [0, 2тт] | .

Для аналитических в поликруге функций Блоха может быть сформулировано следствие (см. [115]) из теоремы 9.4, аналогичное следствию 7.3.

§ 10. Линейно-инвариантные семейства гармонических функций

1°. В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в Д функций (см., например, обзор [118]). При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических комплекснозначных функций, по аналогии с регулярными в Д функциями, закладывалась обычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса (выпуклость, почти выпуклость, звездообразность. однолистность, симметричность /(Д) относительно вещественной оси). Т. Sheil-Small [119] первый использовал линейную инвариантность при изучении семейств однолистных гармонических функций.

Гармоническая в Д комплекснозначная функция f(z) может быть записана в виде f(z) = h(z) + g(z), где h и g — аналитические в

оо оо

Д функции, h(z) = ’Y^an(f)zn. g(z) = ^a_„(/)z". Через SH

71 = 0 71=1

обозначают класс гармонических и однолистных в Д функций / с традиционной нормировкой ао(/) = 0, ai(f) = 1; S# — подкласс

функций из Sh-, для которых a_i(/) = 0; /Сн — подкласс функций из Sh, отображающих А на выпуклую область; Сн — подкласс функций из Sh, отображающих Д на почти выпуклую область (аналог класса С, см. §6, 3°). Если / е Sh, то

f£

1 + ea_i

f

h

В [119] изучались семейства L С Sh, удовлетворяющие условию:

/е!

Обозначим L° = L П L° уже не инвариантен относительно преобразований (10.1) и (10.2). Пусть

a = a(L) = sup |аг(/)|. d = d(L°) = lim [ inf (min |/(^)|)]:

feb ' r^i- feL° \z\=r

a является аналогом порядка л.-и.с. аналитических в Д функций. Теорема 10.1. [119]. Для / е!°и0<г<1

гдеа = а(Ь); Л{ь°) >

По аналогии с расширением 91 л.-и.с. ЯЯ (см. §1) в [119] определяется расширение Ь семейства Ь, удовлетворяющего (10.3):

функция / Е Ь, если существуют последовательность функций /„ Є £ и последовательность однолистных аналитических функций фп Е  (см. §1) такие, что

*

л ; ™ МКІФЛО))

— предел равномерный внутри Д. Следующая теорема является аналогом теоремы 1.5.

1 + г

1 — г

-1

Теорема 10.2. [119]. L является компактным подклассом замыкания Sh , L инвариантен относительно преобразований (10.1) и (10.2),

a(L) = шах(2,a(L)), d(L°) > min ^щ) •

Поскольку Кн и Сн удовлетворяют условию (10.3) и а(Кн) = 2, &(Сн) — 3 [120], из теоремы 10.1 получается

~о

Следствие 10.1. [119]. Если / Е /С# , то имеет место точное неравенство

(ТТИР s l/wl s d{ir“°} = i

~0 ~0 d(Cn ) = 1/6, кроме того , для / Е Сн имеет место точное неравенство

N + IN3 < иш < М±М.

(l + |z|)3 -|/( }|- (1-И)3 ’

равенство достигается для

AM = R*

В [119] получены также точные оценки коэффициентов в /Ся и Сн-

/ € К-н ==> |on(/)| < |«|, п = ±1, ±2,...;

/ еСн => K(/)l < ^(2п2 + 1), п = ±1,±2,....

2°. В [121] (доказательства опубликованы в [122]) в основу определения изучавшихся классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. При этом удобнее рассматривать функции с нормировкой (отличной от общепринятой): ао(/) = 0, ai(f) + a_i(/) = 1.

Далее в этом пункте рассматриваются сохраняющие ориентацию

1 + к

гармонические и локально К-квазиконформные (постоянная К = ------- >

1 гь

1) в А функции f(z) = h(z) + g(z), т. е.

здесь df = fz, df — fz- Таким образом, речь идет только о локально гомеоморфных функциях (однолистности не предполагается). Заметим также, что К-квазиконформные отображения не инвариантны относительно преобразования (10.1).

Обозначим Н(а, К) множество всех локально К-квазиконформных гармонических в А функций f(z) = h(z)+g(z) с нормировкой ао(/) = 0, о>\(/) + a-i(f) = 1 и таких, что h'(z)/h'(0) Е Ua.

Расширяющиеся с ростом а, К Е [1, сю] классы Н(а,К) охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические в А функции / с указанной нормировкой. При конечных а и К семейства Н(а,К) секвенциально компактны относительно равномерной сходимости внутри А, справедливы точные оценки

TTi s МЛ| s rbi’

Символом dof будем обозначать производную по направлению вектора ег0

Э./М = lim № + ре») - М = „ + д ( „

р—>-0+ р

Следующее определение является аналогом определения 1.1.

Определение 10.1.[121]. Семейство й гармонических в А функций называется П- ПП (•-••) П , если для каждой функции /Ей

a) Jf(z) > 0 в А (/ сохраняет ориентацию в А);

b) а0

c) для любых a Е А и О Е М функция

fiewl±±\_f{eJoa) t ( \ \ 1 + az J

а) = ----1 ,2Л Д ^ / iß ^G

Рассмотренные в 1° классы /С#, Сн, Sh при нормировке (10.4) являются л.-и.с. гармонических функций: классы Н(а,К) также являются л.-и.с., Н(а, 1) = Ыа. Обозначим F = Ff = /(А) двумерное гладкое многообразие — однолистный образ круга А при локально гомеоморфном отображении / Е Н(а,К); для Wi,W2 Е F, г Е А величины и>2); ¿f(wi, W2), df{z) имеют прежний смысл (см. §1,

3°).

Теорема 10.3. (искажения) [121]. Для каждой функции / = Н + д Е Н(а,К) (а,К < оо) справедливы неравенства

1(1 |г|)“ 1 < \де№\ <к^1 + ^г 1

1

2аК

1-1

Гй

к

< —

- 2а

<dF(0J(z))<lF(0J(z))<

Равенство в (10.5) достигается при О = =Ь —. Причем если z = гег(^, то равенство справа получим при

h(z) =

2а

1 + 1 —

равенство слева получим при

h(z) =

2a

Кг

+ ге~

-1

-1

g

g(z) = kh(z).

В правой части (10.6) знак равенства для d(0, f(z)) и 1(0, f(z)) дости-

7Г

гается для функции

7Г

— для функции (10.8) при ф = ±— и z = ±ri.

При К = 1 из теоремы 10.3 получаем неравенство (2.5) в Ыа. Можно дать и более тонкую оценку \def\ в зависимости от \h'\ и arg h1.

Следствие 10.2. [121]. Пусть / Е Н(а,К), rei(t> Е А. Тогда для производной по г от f(z) = f(reгф) имеет место точная оценка

1 (1"г)"‘‘ <\ГЛгг*)\<к{1 + гГ~'

К (1 + r)a+1

с равенством слева и справа при ф = =Ь — для соответственно указанных в теореме 10.3 функций.

Следствие 10.3. [121]. Пусть а, К < оо; / Е Н(а,К). Тогда

7Г

равенство достигается при г = ±г|^| для функции (10.7) с ф = ± —. Следствие 10.4. [121]. Для любых Ь,с Е А и в Е 1 1

2аК

I-'1-

1 + 1

К < —

2 а

1±1, _!

1 — Г

где г = \с — Ь\/\1 — сЬ\. Неравенство точное в том смысле, что для любого с € А и в € М для левой и правой частей неравенства существуют свои Ъ £ Д и / £ Н(а, К), при которых эта часть неравенства обращается в равенство.

Аналогом неравенства (2.3) является

Теорема 10.4. [128]. Для любых f £ Н(а,К), а £ [1,оо], К £ [1,оо), и для любого г £ Д

Ц^{\д/(г)\ + №г)\) = ^^тах |Зв/(*)| < с1^) <

< К{ 1 - \г\2)шш\деЛг)\ = К

и

Постоянная------- в нижней оценке не улучшаема в том смысле, что

2 аК

вместо нее не может быть поставлена меньшая универсальная в Н(а, К) постоянная. Постоянная К в правой части неравенства не является точной.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли в правой части (10.9) вместо К поставить 1, что верно для аналитических функций / (см.

(2.3)). Однако пример однолистной функции

^ = тЬ{тт^-тШ£Н(1^ ме[м)’

дает отрицательный ответ на этот вопрос при К > л/2, т. к.

К2

тахд (¿¡А(0) = к2 ==. Поэтому при К > л/2 постоянная в правой

К2

части (10.9) не меньше, чем

2л/Кт^1

Теорема 10.5. Пусть а,К < оо; / € Н(а,К), г € (0,1). Многообразие Р(г) = {/(г) : \г\ < г} С Р содержит однолистный круг с

центром в 0 и радиусом

1

2 аК

1 -

1 — г 1 + г

. но не всегда большим.

Областью Кёбе семейства Н(а,К) называется максимальная однолистная область, содержащаяся в пересечении многообразий

Р| Ff. Шз теоремы 10.5 следует, что область Кёбе семейства

/ен

Н(а,К) содержит круг с центром в 0 и радиусом ——. но не боль-

2аК'

шим. С другой стороны, область Кёбе содержится в конечной области, ограниченной кривой

1(Ф) =

+ ке

ф £ [0,2тг].

2а

Обобщением теоремы вращения 2.10 на семейства Н(а,К) явля-

ется

Теорема 10.6. [122]. Пусть а < оо, / € Н(а,К), г € А, в € (—7г,7г], axgдof(0) = 0 и aтgдвf(z) непрерывно меняется при непрерывном изменении виг. Тогда

I гLІgдвf(z)\ < \в\ + 2агс8т& + 2аЕ (Ы, —

\ а

По аналогии с порядком функции из ЬБ определяется порядок гармонических функций.

Определение 10.2.[121]. Ё— л.-и. с. Д гармонических функций называется число

огс1 £ = эир |а2(/) + а_2(/)|.

/ей

Теорема 10.7. [121]. ог<1 Н(а,К) = аК.

Следствие 10.5. [121]. При а, К < оо, / € Н(а,К), 0е1

двдв ¡{г)

де1

<

2К(а+\г\) 1-Ы2 ;

неравенство точное и достигается для функции

1

f(z) = Ь{г) + кк{г), к{г) =

2а

1±£

1-г

- 1

7Г

при Z = г, в = ± —.

Используя линейную инвариантность Н(а, К) и известные результаты в Ыа, можно получить оценку радиуса однолистности R(a,K) в Н(а,К):

а — о? — 1 < R(a, К) < R(a, 1) < tanh —

2 у а2 — 1

(последнее неравенство — из теоремы 5.10).

Приведенные в этом пункте неравенства справедливы, в частности, для К-квазиконформных отображений в классе К,н (с а = 2) и в классе Сн (с а = 3) при условии нормировки (10.4) в этих классах. 3°. Для аналитических функций Блоха известно [104], что

/ £ В sup df

zEA

По аналогии с классом Блоха аналитических функций определяется класс Блоха гармонических вещественнозначных функций (см., например, [123]) как множество гармонических в А функций и, удовлетворяющих условию

sup[|grad u|(l — \z|2)] < оо.

zE А

Для рассматриваемых в этом параграфе гармонических функций / = и + iv = h + д имеем:

|grad u(z)|2 + |grad v(z)|2 < 8\h'(z)\.

Поэтому класс Блоха Вн комплекснозначных гармонических функций естественно определить так.

Определение 10.3.[128]. Гармоническая функция / = h + д £ Вн, если и только если

1) Jf(z) > 0 в А, причем Jf(z) = 0 h'(z) = 0;

2) sup[|/i'(z)|(l — \z\2)] < оо, т. е. h 6 В.

Z £Д

Первое условие определения 10.3 означает, что непостоянная функция / 6 Вн сохраняет ориентацию; это делает класс Вн более ”гео-метричным”. Условие Jf(z) = 0 h'(z) = 0 исключает неинтерес-

ный случай: f(z) = егв(Н(г) + h(z)), когда /(А) лежит на прямой.

Естественно возникает вопрос — сохраняется ли утверждение (10.10) в случае Вн, т. е.

/ € Вн •<=> df

Из теоремы 10.4 следует справедливость утверждения (10.11) для функций / £ Вн П (Уа к<оо Н(а, К)). Имеет место

Теорема 10.8. [128]. Пусть f —гармоническая в Д функция. Тогда

1) / е Вн => supzeAdf(z) < оо;

2) если зиргед (¿/(г) <оо и / — локально К-квазиконформна. то

/ е Вя-

Требование локальной К-квазиконформности (К < оо) в п. 2) теоремы 10.8 является существенным. Это следует из примера гармонической функции

/ = ^ + 0, /(0) = 0; Н1(х) = ------2г - , д'{г) = хН'(х).

Для нее «//(г) > 0, 11е £ (— —, —), следовательно, df{z) < — в Д.

Однако / ^ Вн, т. к. /г ^ Б.

Заметим также, что для гармонической функции / = Ь+д условия

supd/(z) = оо, sup

zEА геД

df(z

df

= 1

не всегда являются препятствием тому, чтобы / £ Вд-. Примером тому может служить функция f(z) = z + z2 ¡2.

В заключение дадим несколько эквивалентных определений Вн-Обозначим dg f(z) производную п-го порядка функции / по направлению егв.

Теорема 10.9. [128]. Пусть для гармонической функции / = h + g выполнены условия п. 1) определения 10.3. Тогда следующие условия эквивалентны:

a) / £ Вн;

b) существует натуральное п такое, что

sup Pe”/MI(l - И2)”] < оо;

с) существуют ф, ф £ X = |^J Ua такие, что

f(z) = /(0) + log (ф! (г)ф'(z)):

d) семейство функций

Ит

z + а + äz

- f(a) : а £ Д

— конечно-нормальное, т. е. из любой последовательности функций этого семейства можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри А к конечной функции;

е) существует постоянная С(/) > 0, для которой

sup

& G Д

<?(/), ! + kl

< - log ----¡—г для всех z G А;

2 1 - z

наилучшее (наименьшее) значение C(f) равно ||f(z) — /(0)||вн = supzeA[(|ö/(z)| + \df(z)\)(l - \z\2)].

Нерешенные задачи

1) Найти радиус однолистности в Ua (мы предполагаем, что он

7Г

равен tanh — ; см. §2).

2л/а2 — 1

2) Найти радиус звездообразности в Ыа (см. §2).

3) Найти точную оценку |аз| в Ыа (предполагается [124], что она

о? + ал/а2 + 3

равна -------------, см. ¡¡2).

ü

4) Найти точную (асимптотически при п —> оо) оценку |а„| в Ыа. Мы предполагаем, что таXfeua \а„\ достигается для /о £ U'a.

5) Доказать теорему 3.2 для а £

6) Найти точное значение R(a) (или уточнить оценки) в теореме 3.3.

7) В пространстве X

8) В пространстве X

9) В связи с теоремой 5.21 доказать, что при любом а > 1 существуют функции из Ыа, имеющие любое наперед заданное не более чем счетное множество н.и.р. [67].

10) Найти точное значение A(Ua) (см. (6.2)). Мы предполагаем,

а + Va2 - 1 что А(Ыа) = -------------.

11) Найти точное значение А„ (см. §7, 3°). Мы предполагаем, что Аа = 1/2а. Найти точное значение Са (см. теорему 7.4).

12) Пусть / £ Ы1а(6), ó £ (0,1). Доказать или опровергнуть существование интервала (х',х") из теоремы 9.5, 3).

13) Для функций из Sh (см. §10, Io) с вещественными коэффициентами известна [120] точная оценка: |а„(/)| < —(2п2 + 1),

О

п = ±2, ±3,.... Эта же оценка справедлива [120] для подклассов Sh звездообразных функций и функций, выпуклых в некотором направлении. В [119] высказана гипотеза, что эта оценка справедлива в Sh- Доказать или опровергнуть.

14) В правой части неравенства (10.9) вместо К получить точное значение постоянной.

15) Найти область Кёбе семейства Н(а,К) (см. §10, 2°).

Литература

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.I// Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[2] Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Polenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln// S.B. Preuss. Acad. Wiss. 1916. 138. S. 940-955.

[3] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktio-nen.II// Math. Ann. 1964. Hf. 156. P. 226-262.

[4] Kaplan W. Close-to-convex schlicht functions// Mich. Math. J. 1952.

№ 1. P. 169-185.

[5] Reade M. Sur une classe de fonctions univalentes // C.R. Acad. Sei. Paris, 1954. V. 239. P. 1758-1759.

[61 Reade M. On close-to-convex univalent functions // Mich. Math. J. 1955. V. 3. P. 59-62.

[7] Голузин Г. M. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

[8] Paatero V. Uber die Konforme Abbildung von Gebieten deren Ränder von beschrankter Drehung sind// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. Al. 1931. V. 33. P. 1-78.

[9] Старков В. В., Димков Г. М. Об одном линейно-инвариантном семействе, обобщающем класс близких к выпуклым функций// Докл. Болгарской АН. 1985. Т. 38. № 8. С. 967-968.

[10] Старков В. В. О некоторых подклассах линейно-инвариантных семейств, имеющих интегральное представление/ Петрозаводский гос. ун-т. Петрозаводск, 1981. 46 с. Деп. в ВИНИТИ, 8.07.81, № 3341-81.

[11] Старков В. В. О некоторых линейно-инвариантных семействах функций, имеющих интегральное представление// Изв. вузов. Математика. 1983. № 5. С. 82-85.

[12] Starkov V. V. Equivalent definitions of linear invariant families (In Polish)// Materialy XI Konf. Szkoleniowej z Teorii Zagadnien Ekstremal-nych, Lodz. 1990. S. 34-38.

[13] Campbell D. M. Locally univalent fnotions with locally univalent derivatives/ / Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162. P. 395-409.

[14] Старков В. В. Об одном неравенстве для коэффициентов функций некоторого линейно-инвариантного семейства// Докл. Болгарской АН. 1984. Т. 37. № 8. С. 999-1002.

[15] Gehring F. М., Hayman W. K. An inequality in the theory of conformal mapping // J. Math. Pure Appl. 1962. V. 127. P. 353-361.

[16] Lavrentieff М. Sur la représentation conforme// C.R. Acad. Sci. Paris, 1927. V. 184. P. 1407-1409.

[17] Seidel W., Walsh J. L .On derivatives of functions analytic in the unit circle and their radii of univalence and of p-valence// Trans. Amer. Math. Soc. 1942. V. 52. P. 128-216.

[18] Gattegno C., Ostrowski A. Représentation conforme à la frontière// Mém. Sci. Math. Paris, 1949. 109 n. 110.

[19] Старков В. В. Об одной вариационной формуле в классе функций Базилевича // Вестник Ленингр. ун-та. 1978. № 19. С. 81-88.

[20] Колмогоров А. П., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

[21] Campbell D. М., Cima J. A., Pfaltzgraff J. A. Linear space and linear-invariant families of locally univalent analyttic functions // Manuscripta Math. 1971. V. 4. P. 1-30.

[22] Campbell D. M. Applications and proof of uniqueness theorem for linear invariant families of finite order// Rocky Mount. J. Math. 1974. V. 4.

№ 4. P. 621-634.

[23] Campbell D. М., Ziegler M. R. Argument of derivative linear-invariant families of finite order and the radius of close-to-convexity // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1974. V. 28. P. 5-22.

[24] Старков В. В. К оценке коэффициентов в классе U'a локально однолистных функций// Вестник ленингр. ун-та. 1984. № 13. С. 48-54.

[25] Kayumov I. R., Starkov V. V. Estimate of logarithmic coefficients of locally univalent functions// XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Eds.: Laine / Martio, Walter de Gruyter& Co. Berlin, New York, 1996, P. 239-245.

[26] Старков В. В., Черников А. Н. Оценки коэффициентов в универсальных линейно-инвариантных семействах порядка а// Вопросы функционального анализа. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ. 1992. С. 56-59.

[27] Grunsky H. Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung// Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 1934. V. 43. P. 140-142.

[28] Labelle G., Rahman Q. I. Remarque sur la moyenne arithmétique de fonctions univalentes convexes// Can. J. math. 1969. V. 21. P. 977-981.

[29] Campbell D. M. The radius of convexity of a linear combination of functions П, CVk(P), 6 orUa// Can. J. Math. 1973. V. 25. № 5. P. 982-985.

[30] Rahman О. I., Szynal J. Linear combinations of convex and of close-to-convex functions// Bull. Pol. Acad. Sci.. Math. 1990. V. 38. № 1-2. P. 139-149.

[31] Hayman W. K. Research Problems in Function Theory. London: The Athlone Press Univ. London, 1967.

[32] Campbell D. M. A survey of properties of the convex combination of univalent functions// Rocky Mount. J. Math. 1975. V. 5. № 4. P. 475-492.

[33] Biernacki M. Sur les fonctions univalentes// Mathematica. 1936. V. 12. P. 49-64.

[34] Tao Shah. Goluzin’s number (3 — V5)/2 is the radius of superiority in subordination// Sei. record. 1957. V. 1. P. 219-222.

[35] MacGregor T. H. Majorization by univalent functions// Duke math. J. 1967. V. 34. P. 95-102.

[36] Tao Shah. On the radius of superirity in subordination// Sei. Record. 1957. V. 1. P. 329-333.

[37] Lewandowski Z. Sur les majorantes des fonctions holomorpes dans le cercle |z| <1// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1961. V. 15. P. 5-10.

[38] Campbell D.M. Majorization-subordination theorems for locally univalent functions// Bull. Amer. Math. Soc. 1972. V. 78. № 4. P. 535-538.

[39] Campbell D. M. Majorization-subordination theorems for locally univalent functions. Ill// Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 198. P. 297-306.

[40] Campbell D. M. Majorization-subordination theorems for locally univalent functions. II // Canad. J. Math. 1973. V. 25. № 2. P. 420-425.

[41] Barnard R. W., Kellogg Ch. N. Campbell’s conjecture on a majorization-subordination result for convex functions// Rocky Mount. J. Math. 1984. V. 14. № 2. P. 331-339.

[42] Hörnich H. Ein Banachraum analytischer Funktionen in Zuzammenhang mit den schlichten Funktionen// Monath. Math. 1969. V. 73. P. 36-45.

[43] Becker J. Löwnersche Differentialgleichung und Schlichtheitskriterien// Mathm Ann. 1973. V. 202. P. 321-335.

[44] Becker J., Pommerenke Ch. Schlichtheitskriterien und Jordangebiete// J. reine angew. Math. 1984. V. 354. P. 74-94.

[45] Campbell D. M. Uniform convergence on compacta and locally univalent analytic functions of finite order// Monatshefte für Math. 1973. V. 77. P. 21-23.

[46] Zygmund A. Trigonometric Series I. Cambridge, 1959.

[47] Godula J., Starkov V. V. Applications of idea of Möbius invariance to obtain equivalent definitions of Bloch functions// Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1995. V. 49. P. 41-58.

[48] Cima J. A., Stegbuchner Н. On the duals of some spaces of locally schlicht functions// Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27. № 4. P. 539-550.

[49] Anderson J. M., Clunie J., Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal functions / / J. Reine. Angew. Math. 1974. V. 270. P. 12-37.

[50] Cima J. A., Pfaltzgraff J. A. A normed linear space containing the schlicht functions// Monatshefte für Math. 1971. V. 75. P. 296-302.

[51] Носиро К. Предельные множества. М.: ИЛ, 1963.

[52] Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1971.

[53] Lelong-Ferrand J. Sur la reprézentation conforme des bandes// J. Anal. Math. 1952/53. V. 2. P. 51-71.

[54] Campbell D. M., Pfaltzgraff J. A. Boundary behaviour and linear invariant families// J. d’Analyse Math. 1976. V. 29. P. 67-92.

[55] Visser C. Uber beschränkte analytische Funktionen und die Randverhältnisse bei konformen Abbildingen// Math. Ann. 1933. V. 107. P. 28-39.

[56] Walsh J. L., Geier D. Zur Methode der variablen Gebiete bei der Randverzerrung// Arch. Math. 1955. V. 6. P. 77-86.

[57] Ostrowski A. Zur Randverzerrung bei konformer Abbildung// Prace Mat.-Fiz. 1936. V. 44. P. 371-471.

[58] Ferrand J. Etude de la représentation conforme an voisinage de la frontire// Ann. Sei. École Norm. Super. 1942. V. 59. № 3. P. 43-106.

[59] Ferrand J. Nouvelle démonstration d’un théorème de M. Ostrowski //С. R. Acad. Sei. Paris, 1945. V. 220. P. 550-551.

[60] Ahlfors L. Quasiconformal reflections// Acta Math. 1963. V. 109. P. 291-301.

[61] Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformai maps. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1992.

[62] Pommerenke Ch. Univalent functions. Göttingen: Vandenhoeck and

Ruprecht, 1975.

[63] Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions// Bull. Acad. Polonici Sei. 1955. V. CI. III. № 3. P. 203-206.

[64] Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

[65] Bieberbach L. Einführung in die konforme Abbildung. Berlin: Sammlung Göschen, 1967. Band 768/786a.

[66] Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейноинвариантных семейств функций// Сердика. София, 1985. Т. 11. С. 299-318.

[67] Starkov V. V. Directions of intensive growth of locally univalent functions// Complex Anal, and Appl.’87. Sofia, 1989. P. 517-522.

[68] Лебедев H. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

[69] Базилевич И. Е. Асимптотическое свойство производных одного класса регулярных в круге функций// Исслед. по соврем, пробл. теории функций компл. перем.: Сб. статей. М: Физматгиз, 1961. С. 216-219.

[70] Старков В. В. О подклассах Sa однолистных функций// Вестник ЛГУ. 1978. № 7. С. 82-87.

[71] Широков Н. А. О теореме регулярности Хеймана// Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1972. Т. 24. С. 182-200.

[72] Nevanlinna R. Eindeutige analytische Funktionen. Berlin; Gottingen; Heidelberg, 1953.

[73] Shah S. М., Trimble S. Y. Univalent functions with univalent derivatives, III// J. Math. Mech. 1969/1970. V. 19. P. 451-460.

[74] Shah S. М., Trimble S. Y. Univalent functions with univalent derivatives, II// Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 144. P. 313-320.

[75] Shah S. М., Trimble S. Y. Univalent functions with univalent derivatives// Bull. Amer. Math. Soc. 1969. V. 75. P. 151-157.

[76] Goodman A. W. Univalent functions I,II. Mariner Publ. Comp. Inc. USA. 1983.

[77] Paatero V. U her Gebiete von beschrankter Randdrelung// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1933. V. 37. P. 9.

[78] Koepf W. Close-to convex functions and linear-invariant families// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 1983. V. 8. P. 349-355.

[79] Lewandowski Z. Sur Videntite de certain classes de fonctions univalentes. I// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1958. V. 12. P. 131-146.

[80] Lewandowski Z. Sur Videntite de certain classes de fonctions univalentes. II// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1960. V. 14. P. 19-46.

[81] Димков Г. М., Старков В. В. Об одном обобщении близких к выпуклым функций// Плиска. София, 1989. Т. 10. С. 62-76.

[82] Godula J., Starkov V. V. On Jakubowski functional inU*// Zeszyty Nauk Politech. Rzeszowskiej. Rzeszow, 1989. V. 60. P. 37-43.

[83] Reade M. O. The coefficients of close-to-convex functions// Duke Math. J. 1956. V. 23. P. 495-462.

[84] Pommerenke Ch. On close-to-convex analytic functions// Trans. Amar. Math. Soc. 1965. V. 114. P. 176-186.

[85] Bieberbach L. Aufstellung und Beweis der Drehungssatzes für schlichte konforme Abbildungen// Math. Z. 1919. V. 4. P. 295-305.

[86] Pinchuk B. A variational method for functions of bounded boundary rotation// Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 138. P. 107-113.

[87] Aharonov D., Friedland S. On an inequality connected with the coefficient conjecture for functions of bounded boundary rotation// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. Al. 1972. V. 524.

[88] Branges L. A. de. Proof of the Bieberbach conjecture// Acta Math. 1985. V. 154. P. 137-152.

[89] Dimkov G. M., Starkov V. V. Le problème de coefficients dans une classe de fonctions localement univalentes// Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1988. V. 42. P. 9-15.

[90] Godula J., Starkov V. V. On the Jakubowski’s functional in a linearly invariant family// Zeszyty Nauk. Politech. Rzeszowskiej. Rzeszow, 1990. V. 73. P. 19-27.

[91] Jakubowski Z., Szwankowski A. On some extremal problem in the Mass of holomorphic simmetric univalent functions// Comment. Math. 1990. V. 29. P. 195-207.

[92] Godula J., Starkov V. V. Logarithmic coefficients of locally univalent functions// Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1989. V. 43. P. 9-13.

[93] Waniurski J. On the Bloch-Landau constant for Möbius transform of convex mappings// Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1988. V. 42. P. 159-169.

[94] Szynal J., Waniurski J. Some problems for linearly invariant families// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1976. V. 30. P. 91-102.

[95] Прохоров Д. В. Линейно-инвариантные расширения семейств аналитических функций// Изв. вузов (матем.). 1979. № 9. С. 41-47.

[96] Bender J. Some extremal theorems for multivalently star-like functions// Duke Math. J. 1962. V. 29. № 1. P. 101-106.

[97] Duren P. L., Shapiro H. S., Shields A. L. Singular measures and domains not of Smirnov type// Duke Math. J. 1966. V. 33. P. 247-254.

[98] Becker J. Lownersche Differentialgleichung und quasikonforme forsetzbare schlichte Funktionen// J. reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 23-43.

[99] Pfaltzgraff J. Univalence of the integral of f (z)x// Bull. London Math. Soc. 1975. V. 7. P. 254-256.

[100] Ahlfors L. V. Sufficient conditions for quasi-conformal extension) j Ann. of Math. Studies. 1974. V. 79. P. 23-29.

[101] Robertson M. S. Univalent functions f(z) for which zf'{z) is spiral-like j j Mich. math. J. 1969. V. 16. P. 97-101.

[102] Royster W. C. On univalence of a certain intagral// Mich. Math. J. 1965. V. 12. P. 385-387.

[103] Аксентьев JI. А., Нежметдинов И. P. Достаточные условия однолистности некоторых интегральных представлений// Тр. семинара по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1982. Т. 18. С. 3-11.

[104] Pommerenke Ch. On Bloch functions// J. London Math. Soc. 1970. V. 2. № 2. P. 241-267.

[105] Godula J., Starkov V. V. On Bloch functions and univalence of the integral of (h')x// XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium. Eds.: Laine/Martio. Walter de Gruyter& Co. Berlin; New York, 1996. P. 31-37.

[106] Godula J., Starkov V. V. Estimates of constants connected with linearly invariant families of functions// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1994. V. 48. P. 43-51.

[107] Ma W., Minda D. Linear invariance and uniform local univalence// Complex Variables. 1991. V. 16. P. 9-19.

[108] Pommerenke Ch. Uniformly perfect sets and the Poincare metric) j Arch. Math. 1979. V. 32. P. 192-199.

[109] Arazy J., Fisher S., Peetre J. Mobius invariant function space j j J. Reine Angew. Math. 1985. V. 383. P. 110-145.

[110] Peloso М. M. Mobius invariant spaces on the unit ball// Mich. Math. J. 1992. V. 39. P. 509-535.

[111] Кирьяцкий Э. Г. Об одном семействе функций, связанном с дробнолинейным преобразованием единичного круга// Liet. Matem. Rink. 1976. V. 16. P. 103-109.

[112] Кирьяцкий Э. Г. Некоторые свойства функций с отличной от нуля разделенной разностью// Liet. Matem. Rink. 1972. V. 12. P. 43-55.

[113] Кирьяцкий Э. Г. О некоторых операторах, связанных с дробнолинейным преобразованием// Liet. Matem. Rink. 1974. V. 14. P. 57-66.

[114] Кирьяцкий Э. Г. О некоторых операторах, связанных с дробнолинейным преобразованием единичного круга// Liet. Matem. Rink. V. 16. P. 111-122.

[115] Годуля Я., Старков В. В. Линейно-инвариантные семейства функций, аналитических в поликруге// Труды Петрозаводского ун-та. Сер. матем. 1995. Т. 2. С. 11-18.

[116] Godula J., Starkov V. V. Linearly invariant families of functions holomorphic in the unit polydisc// Banach Center Publ. 1996. V. 40. P. 117-130.

[117] Годуля Я., Старков В. В. Теорема регулярности для линейно-инвариантных семейств в поликруге// Изв. вузов. 1995. № 8. С. 21-34.

[118] Bshouty D., Hengartner W. Univalent harmonic mappings in the plane// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1994. V. 48. P. 12-42.

[119] Sheil-Small T. Constants for planar harmonic mappings// J. London math. Soc. 1990. V. 42. № 2. P. 237-248.

[120] Clunie J., Sheil-Small T. Harmonic univalent functions// Ann. Acad. Sci. Fenn. A1 (Math.). 1984. V. 9. P. 3-25.

[121] Старков В. В. Гармонические локально квазиконформные отображения/ / Труды Петрозаводского ун-та. Сер. матем. 1993. Т. 1. С. 61-69.

[122] Starkov V. V. Harmonic locally quasiconformal mappings// Annales Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1995. V. 49. P. 183-197.

[123] Ligocka E. On the reproducing kernel for harmonic functions on the unit Ball in W1 // Studia Math. 1987. V. 87. P. 23-32.

[124] Старков В. В. К проблеме коэффициентов eU'a/ Петрозаводский гос. ун-т. Петрозаводск. 1981. 20 с. Деп. в ВИНИТИ, 9.03.82, № 972-82.

[125] Годуля Я., Старков В. В. О точности некоторых оценок Д. М. Кэмпбэлла и X. Поммеренке// Мат. заметки. 1998. T 63. № 5. С. 665-672.

[126] Makarov N. G. On the distortion of boundary sets under conformal mappings// Proc. London Math. Soc. 1985. V. 51. 3. P. 369-384.

[127] Godula J., Starkov V. V. On regularity theorems for linearly invariant families of analytic functions in the unit polydisk, II //Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1998

[128] Старков В. В. Круги однолистности гармонических локально квазиконформных отображений и гармонические функции Блоха// Сиб. матем. журнал. 1997. Т. 38. № 4. С. 915-924.

Оглавление

Введение.................................................... 3

Глава 1. Линейно-инвариантные семейства аналитических

в круге функций ................................. 4

§ 1. Основные определения и общие вопросы............ 4

§ 2. Экстремальные задачи в линейно-инвариантных семействах конечного порядка...........................13

§ 3. Вопросы мажорации и подчинения..................25

§ 4. Бинарные операции Hornich’a в множестве локально

однолистных функций конечного порядка............27

§ 5. Граничные свойства линейно-инвариантных семейств

и предельные семейства...........................32

§ 6. Частные случаи линейно-инвариантных семейств.

Подклассы Ua.....................................51

§ 7. Приложения......................................60

Глава 2. Обобщения понятия линейной инвариантности 65

§ 8. Обобщение понятия линейной инвариантности для

аналитических функций............................65

§ 9. Линейно-инвариантные семейства функций, аналитических в поликруге.................................69

§ 10. Линейно-инвариантные семейства гармонических

функций..........................................77

Нерешенные задачи...........................................86

Литература .................................................87

Institute of Mathematics Maria Curie-Sklodovska University

20-031 Lublin, Poland.

Петрозаводский государственный университет

Россия, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.