Функториальное описание заряженного скалярного поля

Ситдиков А.С., Никитин А.С., Аухадиев М.А., Тепоян В.А.

ФУНКТОРИАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЗАРЯЖЕННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Построена алгебра канонических коммутационных соотношений для заряженного скалярного поля в форме Вейля над симплектическим пространством решений уравнения Клейна-Гордона-Фока. Данная конструкция удовлетворяет требованиям локально ковариантной квантовой теории поля и в этом смысле является ковариантным функтором.

Ключевые слова: многообразие, алгебра, канонические коммутационные соотношения.

Введение. В исследованиях по квантовой теории поля и теории элементарных частиц вплоть до настоящего времени преобладает феноменологический лагранжев подход, основанный на приближенных моделях, допускающих численное решение. Используемые при этом модели (например, в квантовой электродинамике, квантовой хромодинамике, теории электрослабых взаимодействий) благодаря удачной параметризации оправдывают себя скорее из-за соответствия с экспериментальными данными и зачастую даже не имеют под собой мощного фундамента, основанного на общих физических принципах (аксиомах), таких как релятивистская инвариантность пространства состояний, локальность, спектральность, пуанкаре-инвариантность полей и др. Это приводит к тому, что соотношения между свободными параметрами используемой модели остаются неопределенными и в такой ситуации невозможно найти ответы на фундаментальные вопросы. Напротив, подход, основанный на аксиоматических построениях, исходит лишь из упомянутых фундаментальных принципов и приводит в результате к самым общим (нетривиальным) соотношениям между измеряемыми на опыте величинами.

Однако, несмотря на свою привлекательность, перенесение жесткой аксиоматической схемы на область применимости лагранжева подхода с его теорией возмущений сопряжено с возможностью прихода к противоречию, поэтому в настоящее время практически все аксиоматические подходы (Вайтмана, ^-матрицы Боголюбова, аксиоматическая теория рассеяния Лемана-Симанчика-Циммермана, алгебраический подход Хаага-Кастлера-Араки) нацелены на построение моделей, сглаживающих разрыв между феноменологическим и аксиоматическим подходами.

Наиболее плодотворным с идейной точки зрения и близости к экспериментальной ситуации при этом оказался алгебраический подход, опирающийся на понятия физических наблюдаемых и физических со-

стояний. При этом наблюдаемые величины, локализованные в открытых ограниченных областях пространства-времени Минковского, образуют C*- алгебру U с единицей, а физические состояния представляются функционалами на этой алгебре. Алгебраическое описание релятивистских квантовых систем, прежде всего, отражает локальный характер измерений наблюдаемых физических величин, а надлежащие аксиомы отражают общие связи между локальными наблюдаемыми и соответствующими этим наблюдаемым локальными алгебрами. Основы алгебраического подхода в квантовой теории поля были заложены в работах Р. Хаага, Д. Кастлера и Н. Араки [1-3].

Однако, попытки совместить аксиому релятивистской инвариантности алгебраического подхода с эйнштейновским принципом общей ковариантности, требующим инвариантности физических законов относительно группы Эйнштейна, оказались безуспешными. Дело в том, что при замене группы Пуанкаре группой Эйнштейна аксиома локальной коммутативности теряет свой смысл. Поэтому естественным обобщением алгебраического подхода явилась предложенная в [4] формулировка алгебраической квантовой теории поля в рамках общековариантного формализма (т.н. локально ковариантная квантовая теория поля), использующая функториальное соответствие между категорией четырехмерных пространств-времен и категорией С*-алгебр. В этой же работе, в рамках формализма, авторы рассматривают также теорию нейтрального скалярного поля и показывают, что построенная алгебра канонических коммутационных соотношений (ККС) удовлетворяет требованиям локально ковари-антной квантовой теории поля.

Целью данной работы является исследование локально-ковариантной структуры заряженного скалярного поля (на примере ля п--мезонов) на глобально-гиперболических пространствах-временах в рамках общековариантного формализма, предложенного в [4].

Квантовополевые теории как ковариантные функторы. В этом разделе кратко опишем локально ковариантную формулировку квантовой теории поля, развитую в [4], и следуя этой работе, определим две фундаментальные категории.

Man: объектами Ob/(Man) этой категории являются четырехмерные глобально-гиперболические пространства-времена (М, g) (см. приложение 1), которые являются ориентированными и время-ориентированными. Морфизмы 'ф между обьектами (М1, gi), (М2, g2) £ Man образуют множе-

ство 1/»е/1отМап(^8!>, М2^2)) и являются изометрическими вложениями ф: (М& (,М2,ё2) пространства-времени в пространство-

время (Л^Вг). Эти морфизмы удовлетворяют следующим требованиям:

(1) Если у: [а,Ь] -* М2 некоторая причинная кривая и у (.а), у(Ь) Е ФШ, то вся кривая целиком должна принадлежать образу ф (Л^), т.е. у (С) £ ФШ1) для всехС £ (а, Ь);

(2) Изометрические вложения сохраняют ориентацию и время-ориентацию вложенных пространств-времен.

Композиция ф' о ф морфизмов

аф £ котШп

и

ф' £ котШп

определяется как композиция отображений. Свойства (1) и (2) выполняются и, следовательно,

ф' о -фе котШлп((Щ^ 1), Мз^з)).

Очевидно также, что множество морфизмов

ЛотМап

обладает единицей, которая задается тождественным отображением 1С?м:х -» х, х ЕМ.

А^: объектами ОЬ/(А^ ) этой категории являются С*- алгебры с единицей (см. Приложение 2). Морфизмами а между объектами (алгебрами) И1 и И2 являются * -гомоморфизмы, сохраняющие единицу. Для заданных а £ ЬотА1д{У.1,гИ2) и а' £ котА1д(У.2,‘и3) композиция а' ° а также определяется как композиция отображений. Единица в а £ НотА1д(Ч11,Ч12') ) для любого V. Е ОЬУ(А^) задается тождественным отображением id.ii-. А А

Теперь введем следующее определение.

Определение. (а) Локально - ковариантная квантовая теория

поля есть ковариантный функтор .Л:Мап—(см. Приложение 3), кот/1

торый переводит изометрические вложения глобально-

гиперболических пространств-времен

ния лш.а —>я(м’,£) С*- алгебр с сохранением единицы алгебры. Свойства ковариантности выражаются следующим образом:

Кф'оф &-ф' ° &"ф,&1йм

(для всех морфизмов фЕкотМап(ХМг> 81)* 0^2» 82)),

ф' Е /1отМап((М2^2),{Щ.Ъъ) и всех (М,£) еОЬ/(Мап)).

(б) Пусть для морфизмов ф] Е котШп ((Му, g^l (М, §)),] =

= 1,2, вложения М1 и М2 в общее пространство - время М такие, что множества ^(М,) и^2(М2) причинно разделены. Локально-ковариантная квантовая теория, описываемая ковариантным функтором Д называется причинной, если соответствующие алгебры в Л(М) коммутируют:

ФхШл) *-ф2Ш2) => [а01(Х^1^1)),а^2(ХМ2,В2))] = {0},

где ф^М-д 1 Ф2Ш2) означает, что они причинно разделены в М.

(в) Локально-ковариантная квантовая теория поля, задаваемая ковариантным функтором Л, удовлетворяет аксиоме причинности в сильной форме (аксиома причинности в сильной форме (детерминизм) требует, чтобы полевая алгебра в (М, g) порождалась полями в трехмерном пространстве в сколь угодно малом интервале времени), если для произвольного

ф Е ЛотМап

такого, что^(М) содержит Коши-поверхность многообразия (М', g,), выполнено равенство

аф(лШ, 8)) = Л(М', §').

Таким образом, локально-ковариантная квантовая теория поля, задаваемая функтором Л сопоставляет С*-алгебры всем глобальногиперболическим пространствам-временам. При этом алгебры, соответствующие изометричным пространствам-временам, изоморфны, что с физической точки зрения означает неразличимость таких алгебр. Это является прямым следствием функториальности соответствия, поскольку изо-метричные пространства-времена также неразличимы.

Локально-ковариантная формулировка заряженного скалярного поля. Заряженные поля и, в частности, п --мезоны, являются античастицами по отношению друг к другу и описываются комплексной волновой

функцией <р(/) = (<Р1(/) + 1<Р2(/)) (соответственно сопряженная волновая функция есть <р*(/) = ^=(<Р 1С/) _ (/))), которая является неэрмитовым оператором. Здесь и <р2(/) эрмитовы операторы, усред-

ненные с помощью пробных функций /. Также мы не учитываем изотопическую симметрию, поэтому считаем, что масса скалярного эрмитова поля <Рз для п°-мезона отличается от массы заряженных мезонов. Существенной особенностью является то, что операторы ^(У) и <р2(/) взаимно коммутируют и волновые функции заряженных мезонов ортогональны друг другу. Полагая [5]

и'(/,/) = е*(рю+(р*йУ)>]/\?{ъ.,К) = е^(Л)+<9*(Я»

и используя известную формулу

ехр(Л)ехр(В) = ехр(-1/2 [А,В])ехр(А + В),

получим канонические коммутационные соотношения в форме Вейля [6] в следующем виде:

и^/М'а) =

Здесь &(/,Ю -сужение коммутатора [<р(Л><р*00] на поверхности

Коши X многообразия М, т е. <г(/, Н) =- 1[<р(/),<р*(/1)]|^ = сг(Е/,Ед)=

(где Е-пропагатор уравнения Клейна-Гордона-Фока (КГФ), к-элемент объема М).

Построим теперь локальную С*-алгебру л- мезонов на категории глобально-гиперболических пространств-времен (М^), которая будет носить функториальный характер в смысле, указанном в определении. Заряженные скалярные поля удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона-Фока (КГФ):

где У-ковариантная производная, т-масса, /?-скалярная кривизна М, £-постоянная. Уравнения (1) и (2) для комплексной волновой функции справедливы лишь в том случае, когда массы заряженных я --мезонов одинаковы, поэтому в дальнейшем будем считать это условие выполненным. Ввиду этого, теории для полей ^(/0 и ^о2(/) будут полностью

идентичными, что на математическом языке выражается в эквивалентности двух соответствующих функторов.

Обозначим пространство образов пропагатора уравнения КГФ как £-(С0”(М,Е)) = £(/). Оно образует симплектическое пространство [5; 6] с симплектической структурой а, где С0”(М, М)-пространство пробных функций. Для краткости симплектическое пространство £"(С“(М, М), о-) обозначим через ст) и построим С*-алгебру Т'Й^О'), ге-

нерируемую унитарными элементами Ш (<р), (р Е Пусть ф Е ЬошМап((М^), (М'.ёУ) и пусть Е.И^а обозначают пропагатор, пространство образов пропагатора и симплектическую форму для уравнения КГФ на (М, g), а Е', с'-соответственно на Обозначим через

Е*,<$, о* соответствующие объекты для пространства-времени (гр(М),1р^) (где ^ = ё'\ф(М) для ф-М ^ ^(М) с М'). Здесь символ | означает сужение.

Пусть т/;* —симплектоморфизм между (%о) и (^сг^) и, следовательно, согласно стандартной теореме [7] существует С *-алгебраический изоморфизм

так что

где И^(.) —генераторы ККС для 'И^^сг^). Поскольку^ : М -» ^(М) с М' является изометрией метрики, то выполнено соотношение = Отсюда следует, что опережающие и запаздывающие фундаментальные решения уравнения КГФ на (М, §), должны удовлетворять соотношению где X,/,(м) -характеристическая функция

^(М). Более того, Ос может быть идентифицирована с Е'\Со’(тр(М')1 Ш1), а

а* с Обозначим через 1ф : т/>(М) -> М' каноническую инъекцию

1ф(х'} = х'. Тогда отображение Т^, которое сопоставляет каждому элементу элемент Е\^ в (*?>'), есть симплектическое ото-

бражение из (<^, ст^) в (<^, о-') и поэтому получаем С *-алгебраический мономорфизм <т^) -> <г') посредством

%

где И^'(.) —генераторы ККС для а'). Следовательно, полагая аФ = ° &ф, получаем С *-алгебраический мономорфизм а-ф :

ДМ'^'). Свойство ковариантности ° для

ф £ ЬотМап

и

^'£Ьот Мап

есть следствие соотношений (3) и (4). Как было показано в [8], причинность и сильная причинность [3] выполняются для в следующем

смысле: (1): если /, Л£С“(М, М) с Бирр / с (яирр Л)1, то Ш{ЕП и Иг{ЕК) коммутируют; (2): если N —открытая окрестность поверхности Коши X в М, то для каждого / £ С” (М, М) найдется Л£С0°°(^М) с = 1У(£Т1). Здесь символом эирр f обозначен носитель функции (т.е. наименьшее подмножество, вне которого функция исчезает), знак 1 означает ортогональное дополнение. Полагая Я = все

сказанное в компактной форме можно изобразить в виде следующей коммутативной диаграммы:

М 1Я

аф~Лт>

Таким образом, ковариантный функтор Д построенный из категории симплектических пространств (решений уравнения КГФ для комплексного поля) на категорию алгебр ККС (в форме Вейля), удовлетворяет требованиям локально ковариантной квантовой теории поля. Также можно показать, что существует естественное преобразование ¥

,и{*

СС-ф <1 ОС -ф

‘М{с&М2,ё2),а(М211,2)) ^'(^М2,82),<т(М2)82)),

которое означает, что функторы п -мезонов, имеющих одинаковые массы, совпадают.

А. Ситдиков благодарен Я. Сандерсу за обсуждение некоторых затронутых здесь вопросов и С. Григоряну за полезные замечания.

ГЛОБАЛЬНО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

Пространство-время определяется посредством пары (М, g), где M-гладкое четырехмерное многообразие (которое предполагается хаусдор-фовым, паракомпактным, связным и гладким в смысле С”) и g - лоренце-ва метрика на M (с сигнатурой (+-)). Также предполагается, что про-

странство-время является ориентированным и время-ориентированным. Последнее означает, что на многообразии M существует всюду (глобальное) времениподобное С00 векторное поле u такое, что g(u,u) > 0. Гладкая кривая у: I > М, где I - связное подмножество М, называется причинной, если g(y, у) > 0, где у - касательный вектор у. Пусть и - такое глобальное времениподобное векторное поле. Причинная кривая у называется направленной в будущее, если g(u,y) >0, и направленной в прошлое, если g(u,y) < 0. Последние понятия определяют в глобальном смысле направление времени в (М, g). Для произвольной точки х ЕМ через J+ (х) обозначим множество всех точек в M, которые могут быть соединены с х посредством причинной кривой у: I -* М, направленной в будущее, а через /_(х) - в прошлое (так что х = у (inf/))). Два подмножества О! и 02 в M называются причинно разделенными, если их нельзя соединить причинной кривой, то есть для любого X Е 0-L объединение /+(х) и /_(х) имеет пустое пересечение с 02 (здесь черта сверху означает замыкание в соответствии с индуцированной топологией в M). Через 0х обозначим причинное дополнение области О, то есть наибольшее открытое множество в M, причинно разделенное с О.

Ориентируемое и время-ориентируемое пространство-время (М, g) называется глобально-гиперболическим, если для любых двух точек х, У ЕМ, множество /+(х) П J (х) является компактом. Это эквивалентно гладкому расщеплению многообразия M на Коши-поверхности. Гладкая гиперповерхность на M называется поверхностью Коши, если она пересекается причинной кривой один и только один раз.

Приложение 2

С*-АЛГЕБРЫ

Пусть U- алгебра. Алгебра И является алгеброй с инволюцией (или *-алгеброй), если для любого а Е С, a Ell существует сопряженный элемент a* E1L такой, что выполняются условия:

(аа)* = аа*, (а + b)* = а* + Ь*, (ай)* = Ь*а*,(а*)*=а.

Инволютивная алгебра называется нормированной, если в ней определена норма IMI удовлетворяющая условиям 1И11 < ||а|| • 11Ы1. Полная нормированная алгебра называется банаховой алгеброй. Также предполагается наличие единичного элемента:

1а = а1 = а, Va 6 TZ.

Если элемент инволютивной алгебры удовлетворяет соотношению а* = а, то он называется эрмитовым. Инволютивная банахова алгебра V. называется С*-алгеброй, если выполняется равенство ||а *а||=||а||2.

В алгебраической квантовой теории поля приходится рассматривать сеть С*-алгебр, которые индексируются элементами некоторого частично-упорядоченного множества. Такими частично-упорядоченными множествами могут выступать открытые подмножества пространства Мин-ковского М4. Поэтому сеть С*-алгебр представляет собой функтор из категории частично-упорядоченных открытых подмножеств М4 в категорию С*-алгебр с единицей.

Наконец, для полноты сформулируем в сжатой форме основные факты традиционного алгебраического подхода. В его основе лежит идея о том, что с каждой открытой и ограниченной областью О с М4 можно ассоциировать С*-алгебру локальных наблюдаемых величин:

о =>тко)

Семейство {^(0)}осм4 всех таких локальных С-алгебр или, как говорят, сеть С-алгебр над М4 с равномерным замыканием их объединения

и = Ц^Щ

наряду с семейством [ад £ Aut(U) \ д £ ф+} автоморфизмов С-алгебры 11 определяют алгебраическую релятивистскую квантовую теорию (здесь ^3+ - собственная группа Пуанкаре).

Соответствие (П1) удовлетворяет следующим условиям:

а. ЩОг) с Щ02) для Ог с02;

б. mourn)] = О, если области 0^ и 02 пространственноподобны;

в. ад(и(0)) = (ЩдО)) Vg £ ^с дО = {дх}хе0;

г. Отображение ф+ 3 д -> ад (a) £ И непрерывно;

д. С-алгебра И примитивна, то есть обладает точным неприводимым представлением.

Приложение 3

КАТЕГОРИИ, ФУНКТОРЫ

Определение 1. Говорят, что задана категория %, если заданы:

а. некоторая совокупность объектов Obj(3C);

б. для каждой упорядоченной пары объектов X, Y - множество homk(X, Z);

в. отображение, ставящее в соответствие всякой упорядоченной тройке X, Y, Z объектов и всякой паре морфизмов ф Е homk(X, У), (р Е homk(Y, Z) их композицию (р о-ф е hотк(Х, Z).

При этом выполнены еще следующие две аксиомы.

А. Ассоциативность. Если ф Е homk(X, Y), (р Е homk(Y, Z), X Е homk{Z, W), то Х^фФ) = (Хф)Ф, в множестве homk(X, W).

Б. Существование единицы. Для всякого объекта Y в homk(Y,Y\ существует такой морфизм IY, что для любых ф Е homk(X, У), (р Е homk(Y, Z),

1уф = ф, (pIY = (р.

Определение 2. Пусть % и С- категории. Ковариантным функтором Т из ОС в С называется отображение, которое каждому объекту X из Ксо-поставляет объект !F(X) из Си каждому морфизму ф'.Хх -* Х2 в % сопоставляет морфизм F(i/;): FfX^ -» F(X2) в С, причем выполняются следующие соотношения:

1. FO-x) = 1f(x);

2. F(^) = F(<p)F(^).

Источники

1. Haag R., Kastler D. // J. Math. Phys. 1964. V. 5. P. 848.

2. Araki H. // Progr. Theor. Phys. 1964. V. 32. P. 844.

3. Haag R. Local Quantum Physics.2nd ed. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1996. P. 560.

4. Brunetti R., Fredenhagen K., Verch R. // Commun. Math. Phys. 2003. V. 237. P. 31.

5. Ситдиков А.С., Хамзин А.А., Никитин А.С., Антонов С.Ю. // Изв. РАН, сер. физ. (в печати).

6. Sanders J.A. Aspects of locally covariant quantum field theory. PhD-thesis. University of York (U.K.), 2008. 180 p.

7. Bratteli O., Robinson D.V. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 350 p.

8. Dimock J. // Commun. Math. Phys.1980. V. 77. P. 219.

Зарегистрирована 25.02.2011 г.