О некоторых особенностях резонансных крутильных колебаний валов моторных установок

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 85 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1957 г.

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ РЕЗОНАНСНЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛОВ МОТОРНЫХ УСТАНОВОК

В. К. НЕЧАЕВ

В основе современных практических методов расчета резонансных крутильных колебаний валов моторных установок с поршневыми двигателями лежат, наряду с некоторыми другими, следующие положения:

1) упругая кривая вала (так наз. кривая формы колебаний его) при резонансе подобна упругой кривой (то есть кривой формы) свободных колебаний этого вала при отсутствии демпфирования;

2) при действии на линейную колебательную систему одного резонирующего гармонического возбуждающего момента вынужденные колебания точки приложения этого момента, отстают от момента на угол 90°.

На этих же положениях строится, как правило, и методика опытного определения коэффициентов демпфирования в моторных установках по результатам торсиографирования,

Положение 1, именуемое иногда правилом Видлера, достаточно обосновано рядом примерных расчетов (Видлер) и теоретическим анализом [1]* Оно весьма ценно для расчетной практики, так как дает возможность определять резонансные напряжения в валу, а так же вычислять опытные значения коэффициентов демпфирования в установке по результатам торсиографирования одного конца вала.

Положение 2 заимствовано из элементарной теории резонансных колебаний в линейной системе с одной степенью свободы и, обычно, считается совершенно естественным и справедливым для многомассовых систем.

Однако при применении этих положений обычно не учитывается, что-в валу моторной установки имеются не только упругие, но и жесткие колебания. Жесткие колебания часто очень невелики по сравнению с упругими колебаниями и пренебрежение ими не приводит к заметным погрешностям.

Но уже К. Вильсон [4] отметил, что жесткие колебания вала установки могут явиться причиной существенных искажений торсиограмм и, как следствие этого, привести к большим ошибкам в определении углов закручивания вала по результатам торсиографирования.

В нашей статье [2] было показано, что соотношение между жесткой и упругой составляющими вынужденных колебаний какого-либо интересующего нас сечения вала сильно зависит от расстояния л; точки приложения возбуждающего момента (вызывающего эти колебания) до узла свободных колебаний вала. С уменьшением х удельный вес жестких колебаний быстро возрастает.

Такая зависимость обнаруживается уже в идеальной линейной колебательной системе без демпфирования [2[. Она становится иногда еще более яркой и сильной в системах с демпфированием. Ее нельзя не учитывать при экспериментальном исследовании вопросов демпфирования вибраций валов моторных установок, а так же и при экспериментальном опреде-

.лении в этих установках вибрационных напряжений с помощью сейсмических торсиографов.

Покажем это нз примере простой двухмассовой системы (фиг. 1). В некоторой промежуточной точке о вала этой системы действует внешний возбуждающий гармонический момент М$\nf\t.

Рассмотрим три типичных случая линейного демпфирования в такой -системе:

а) на левую массу 1 действует демпфирующий момент

M^—k,

d?t

dt

в точках о и 2 и в валу демпфирующих сил нет,

б) в точке о кроме возбуждающего момента Msinv\t действует демпфирующий момент

¿Ta dt

других источников демпфирования в системе нет,

в) на массы 1 и 2 действуют равные по величине и всегда противоположные по направлению демпфи- ц ^ (Л рующие моменты (фиг. 1 в) /У

Aí: г:- — м2= — kt

dt

dt

Фиг. 1

их величина пропорциональна скорости закручивания вала во время вибраций; других демпфирующих моментов в системе нет.

Случай в можно рассматривать как линеаризированное представление гистерезисных сопротивлений в валу: моменты Мх и М2 (в отличие от моментов Мх и М0 в случаях а и б) отсутствуют при жестких колебаниях вала.

Случай а. Демпфирование—только на левой массе

Здесь работы возбуждения и демпфирования за цикл резонансных колебаний связаны равенством

яМФорез это = ^.шф^,

где Форез и Ф 1рез — абсолютные амплитуды резонансных колебаний соответственно, левой массы 1 и точки о приложения возбуждающего момента М; 8 — угол отставания колебаний точки о от момента М.

Отсюда

К

МФт,3 sino

0)ф

1 реп

Такую же зависимость для можно было бы получить и аналитическим путем (см. ниже) через интегрирование системы дифференциальных уравнений для приведенной упругой системы.

Но для сложных установок (с многими массами) этот путь оказывается практически не пригодным. Поэтому энергетические зависимости вида (1) широко используются при расчетах и анализе резонансных крутильных колебаний валов моторных установок. Однако, как показано ниже, формальное применение зависимостей (1), например, при опытном определении коэффициентов демпфирования в моторных установках может привести к серьезным погрешностям.

Так, например, выражением (2) можно было бы воспользоваться для подсчета опытного значения коэффициента кх в установке по фиг. 1 а по результатам торсиографирования вала в сечении 1, при работе установки на критическом числе оборотов. Но для этого необходимо найти из опыта кроме Ф 1Рез еще Фи угод 8.

Однако опытное определение угла 2 при торсиографировании требует специальных приспособлений, если мы желаем обеспечить достаточную точность этого определения. Торсиографирование промежуточных сечений вала, например сечения о9 обычно неудобно *).

Поэтому в большинстве случаев приходится ограничиваться тор-сиографированием одного из крайних сечений вала 1 или 2 и этим определить фгрез ИЛИ Ф2рез *

Соответственно, для этих двух случаев выражение (2) можно переписать в виде

*,=-Ш™ <3>

о>Ф 'Ф,г"

1 Рез , ,

%рез

)

или

*. =-7ф5""\/ф > • С4>

'2Рез I ^

\2рез

10

ф.

\ /ф|р«\

I \%рез 1

Отсюда, пользуясь отмеченными ранее положениями 1 и 2 можно получить следующие расчетные формулы для'вычисления экспериментальных значений коэффициента демпфирования по результатам торсиографирования, соответственно, сечений 1 и 2 вала установки по фиг. 1а:

Ь/ М /гч

= —-7ф-Г> («>

¿и [ ^\отн

(ф—

к"и = -7ф~^\7Ф—(6>

<оФ ^Г1отн\(п?тн

отн)

Входящие сюда отношения относительных амплитуд Фотн легко вычисляются на основании кривой формы свободных колебаний вала, полученной обычными способами при расчете свободных колебаний рассматриваемой упругой системы.

Но фактически при резонансе

ьф 90° ; это < 1

3) Здесь, и везде далее, предполагается, что торсиографирование проводится торсио-графами сейслшческого типа.

из за наличия жестких колебаний точки о приложения возбуждающего момента М. По этой же причине нарушается и правило Видлера. В дейт ствительности

Ф

3 рез

Ф

\отн

— fcl0

Орез

\рез _

Ф,

12

Чрез

ф,

ф., ф

QOtnH

О отн

где ею и в12 — некоторые коэффициенты, отличные от единицы. Подставим

М

¿1 =

\Ф оотн/

ИЛИ

kx

м

шФ

чрез

j Ф\отн

\^2отн

ф

Хотн

ф

оотн

'10

Sino

e10-s12

Сравнение (8) и (9) с соответственно, (5) и (6) дает

где обозначено

кг = <з'кг\Эу

I

Sino

'10

sino

Величины о' и а" следует рассматривать как поправочные коэффициенты, на которые необходимо умножить опытные значения коэффициентов к' 1э и к'\э, (вычисленные по обычным упрощенным формулам (5 и 6) чтобы получить истинное значение коэффициента демпфирования кх в исследуемой установке.

Для определения величины коэффициентов а' и а" найдем коэффициенты к' 1Э, к!'\ъ и угол 2 аналитическим путем.

Для установок по фиг. 1а и 16 можно написать следующую систему дифференциальных уравнений *)

d2 Ф1 dv i

е.

<it'¿ d-ср2

dt

f Ci(<Pi—<Po) = 0

dt2

c2(

fo

2) = 0

Ci(<Po — Ti) + ЫТо — Ta) + k0 — M Sinrfi

dt

) Применительно к установке по фиг. 1 д. Зде СБ К(| — О

Стационарная часть решений этих уравнений имеет обычный вид

<Ро = + ^оСОЭ ^^ = —8), 1

ср2 = А%$1пу{ + В2соьг$ = о2),

Д0 = а2А2 ; В0 = а2В2 «А + ВД.д „ «.Ва-ЧГ^,

Л1 - »о--1 & 1 === а2 -----«

в^ + ЧГ^ » а^ + ЧЧ» '

л _ М (а,2 + ЧГ^) ^

где

Здесь

Т) Г* +

(У + ЧУ)^

и г2 + ъ*

У= а^в, + (V + ЧГ12)1в2 - а2Ч^ь

«2(«12 + ч^Ж, + «1«,*, +

«1 = 1 — г'О — «1), а2 = 1 - Т2(1 + а2),

—; т = --

^ со

л х

= ——; а2 =

¿1 £ 2

где ш —угловая частота свободных колебаний рассматриваемой системы

I/ 0,0,

^—жесткость участка вала между массой 1 и точкой о приложения момента М\

Ьг и ¿2 — расстояния от узла свободных колебаний г до масс 1 и 2. Для случая резонансных колебаний, при

7 = 1 ; ¿0 = 0

из предыдущих выражений, после ряда элементарных преобразований» получим

ф „о Ма* -й а Ф 01 + (12\

**1рез — Ррез —— ?рез и^ж -ТС >

Ф2рез = ЪФЖ =

2

где обозначено

Форез = ы&ж вд1"в2,

"l

В2рез =-Г--7Г~а 1 '

)2 + 3>л«Г ,

Здесь

(в, + в>» — амплитуда жестких колебаний вала, а

е,+е2

О _ф2рез _ 01

v 2ЛГ Л i

Фж- = ———-—^--

ф2ж = Фж

02

та амплитуда жестких колебаний, которая была бы в рассматриваемой установке при Oj^O. Теперь из

sino = В°рез = ^2рез = ^10>а|

Фор« ^ЗР«

или учитывая

sm 8 =

Из (13), (15) и (20) следует, что при M = const и у = 1 амплитуды Ф0/>«, Фзр« и sino с уменьшением х убывают по нелинейным законам (фиг. 2).

Из

_ Ф\рез Фоо««

£10

Фор« ф1

или на основании (13) и (15) и учитывая, что в двухмассовой системе по фиг. 1

= а19

Фо отн X

Ф ютн ¿i имеем

_$рез •O'i

10

Аналогично из (7), (13), (14) и учитывая, что

2отн _ 0!

получим

Ф1 отн 02

$рез С1\

_Грез

Теперь, согласно

где и Е зависят от х. График для о' и о" в функции ах для случая $рез = 5 показан на фиг, 3.

Полученные зависимости дают основания для следующих выводов.

1. Согласно (22) о'= 1 при любом ах. Следовательно, при торсио-графировании левого конца вала установки по фиг. 1 а (где действует линейное демпфирование -с-коэффициентом кг) и при обработке результатов этого торсиографи-рования по формуле (5) мы всегда получим правильное значение коэффициента демпфирования

к 1э:г::: ку

независимо от величины л-1).

2. Как видно из фиг. 3 коэффициент о" всегда больше единицы. Таким образом при торсиографиро-вании правого конца вала установки по фиг. 1 а и обработке результатов торсиографирования по обычному энергетическому методу—мы всегда получим заниженное значение опытного коэффициента по сравнению с истинным его значением А«. Так, ПрИ $рез —

5 и ^=0,1 имеем о" = 2,05, то есть ошибку в определении кх в два раза. При дальнейшем уменьшении ах эта ошибка еще возрастает.

3. Из (13)—(15) при х = 0

Фиг. 2

ф

1 рез

Ф

0 рез

о,

ф

2 рез

2ж =

М

в.

и упругая кривая резонансных колебаний вала приобретает своеобразную форму (фиг. 4). При действии возбуждающего момента М точно в узле свободных колебаний (д; = 0) и наличии демпфирования только на левой массе (¿1>0) амплитуда правой массы при 7=1 оказывается совершенно не зависящей от величины ки Здесь правая масса выступает как идеальный динамический демпфер для левой половины системы. При достаточно большом отношении в^/ва (то есть при достаточно малом в2) велй-

*) Рассмотрение вопроса о возможных погрешностях торсиографирования, связанных с конструкцией и параметрами сейсмического торсиографа не входит в задачи данной статьи.

чина Ф2*с может оказаться значительно большей той амплитуды жестких: колебаний Ф^, которая определяется обычной формулой (19)х).

Нетрудно показать, что зависимость^^ от|? при л: = 0 имеет явно, резонансный характер. Но этот резонансный пик, который, конечно, легко зафиксировать на торсиограмме для Ф2, не может являться какой.

либо характеристикой демпфирования на левой массе. Очевидно, что при х близком к нулю, торсиографирование правого конца установки по фиг. 1 а не имеет смысла.

Конечно этот вывод справедлив полностью только при отсутствии демпфирования в правой части системы.

Случай б* Демпфирование—только в точке приложения

момента М

Отсюда Примем

Здесь для случая резонанса можно написать

ъМФорез вш8 = кк0Ф02рез Ф.

МьтЪ

форез ">

Фо рез Фо отн

рез — °10 гТ

Форез Ф о от«

Ф Чрез — £02 ~

тогда

или

k0 —

¿0 =

Aísino

л. i Фоотн

<*\резЧ\

1

отн

М sino

а)ф

грез со2

Ф

0от«\

Ф^отн /

Отсюда, принимая согласно положениям 1 и 2

8 = 90°, £01 = £02 — 1,

'получаем расчетные выражения для вычисления экспериментальных значений коэффициента к0 по результатам торсиографирования, соответственно, левого и правого конца вала

Ь' —

rv оэ —

М

í Z-

У\отн 7

к оэ

•Сравнение их с (23) дает где обозначено

М

соф

ф

О отн

2рез ,

отн

ко = о'Лоэ',

U --»

ÍVQ - '•> К-оэ ,

sin8

'01

sinS

Для получения необходимых зависимостей для а воспользуемся приведенными выше результатами общего решения системы дифференциальных уравнений (12). При = и т = 1

А1 — А2 = А0 = 0,

М

Ф1рез = --,

А0а,о>

_ М

Ф2 рез —7 у «О а2Ш

Пл — М Ч-^О рез

/г0ш Отсюда

Форез

то есть 3 = 90°, независимо от Фж и х.

Далее на основании (21) можно получить

е0!= 1.

Теперь из

о'' = а' = 1

и

Ь " — Ь ' — 6

Таким образом в случае наличия демпфирования только в точке о приложения возбуждающего момента М обычная обработка торсиограммы или Ф2 на основе положений 1 и 2—дают правильный результат независимо от х и величины Ф^.

При резонансе амплитуды Ф1рез и Ф2рез неограниченно возрастают с уменьшением х, несмотря на наличие демпфирования в точке о, где приложен возбуждающий

момент Л4. При этом амплитуда форез точки о при любом х остается неизменной. Эта амплитуда удовлетворяет условию

м = ф0рез Й0<»,

где правая часть—амплитуда демпфирующего момента. Здесь (при т=1) инерционные сопротивления обоих масс взаимно уравновешиваются и момент М преодолевает только демпфирование в точке о.

Случай е. Внутреннее демпфирование в валу

Здесь энергетический баланс при резонансе можно записать в виде

ъМФ0Рез = теЛвэ0) (Ф2рез — фгрез)2. (25}

Отсюда на основании правила Видлера получается расчетное выражение для вычисления опытных значений коэффициента демпфирования кв по результатам торсиографирования, соответственно, правого и левого конца вала

к „ _ _ФМ,Рез___ Л1в1е2а|

ф2^з(1-^Н3<0 (в,+-0Я)»аК 1

\ Ф 2отн/

Правая часть выражения (25) записана для случая линеаризированной оценки гистерезисных потерь в валу через линейный коэффициент кв или, точнее, через его экспериментальное значение квэ. В случае нежелательности такой линеаризации вместо (25) можно было бы написать

ъМФорез — каг(Ф2рез — Ф1Рез У и отсюда определить гистерезисный коэффициент

М / 0отн ц _уФаот«

ф

2 отн

если известен показатель степени <7.

Составим для установки по фиг. \в систему дифференциальных •уравнений

— + — Та) = М*1Щ£.

Решение ее дает следующие выражения для амплитуд вынужденных колебаний сечений 1,2 в о вала при резонансе

ф1рез = фж ^ -«¿- + 1, ф2рез = фжуГ -^- + 1,

где

w= ki»

с \

а для величин Ф Ж9 ах и а2 справедливы выражения, приведенные на стр. 40-41.

Отсюда следует, что при Ж = const и Фж = const и при х—>-0

Фърез Фда: Ф\рез

то есть резонансный пик на торсиограмме исчезает, несмотря на наличие формального резонанса (tq = со),

Определим истинное значение коэффициента демпфирования кв из результатов аналитического решения исследуемой задачи. Например, из (27) после элементарных преобразований получим

ка -

Жв,02а,

1

(е,+е2)2<оф

2 рез

V

Ф2

ж

Ф ^рез

Сравнение этого выражения с (26) дает

и -¿г у гг

к в - и ^вэ у

1

где

или учитывая

/

Фж^

Ф о^рез

V

1

\$Г2

а,

График зависимости коэффициента а" от ах при ЧР-сопэ! показан на фиг. 5. Так, например, при

из (28) имеем

ЧГ = 0,1; а1 = 0Л о" = 1,44,

следовательно экспериментальное значение кв/9 вычисленное по (26) на основании результатов торсиографирования сечения 2, окажется на ЗОэ/о меньше действительного значения коэффициента кв.

Из (28) следует, что экспериментально найденное значение коэффициента демпфирования квэ будет 6 тем меньше по сравнению с истинной величиной квУ чем меньше х и /д

0

0,5.

I

{V

чем больше ЧГ, то есть чем больше кв, ш и чем меньше с. Торсиогра-фирование обоих концов вала и обычная методика обработки тор-сиограмм (основанная на применении положений 1 и 2) дают одинаковые и верные результаты только при =

Таким образом во всех рассмотренных выше случаях (фиг. 1) мы лолучили закономерности одного и того же характера.

При уменьшении расстояния х удельный вес жестких колебаний в

точке о приложения возбуждающего момента М возрастает, что приводит к отклонению фазового угла 8 от его теоретического значения 90° при резонансе и к соответствующему уменьшению работы возбуждения; в результате этого уменьшаются амплитуды резонансных колебаний масс системы. Наконец, при х—+0 возможны проявления частичного резонанса, когда одна часть системы оказывается динамическим демпфером для другой ее части.

Фиг. 5

В итоге, при малых х нарушаются основные расчетные положения обычно достаточно точные при больших х.

Следствием этого может быть, например, существенное различие в опытных значениях коэффициента демпфирования в двух одинаковых установках, отличающихся одна от другой только расстоянием х точки приложения возбуждающего момента от узла свободных колебаний вала.

Это приводит, наконец, к „разбросу" опытных значений коэффициентов демпфирования, вычисленных по результатам торсиографирования различных сечений вала установки. Правильный выбор места торсиографирования в установках с малым х в значительной мере предопределяет собою надежность и точность последующих результатов обработки торсиограмм. Как показано было выше, влияние жестких колебаний здесь выпадает только в том случае, если торсиограмма снимается с того сечения (участка) вала, где действует демпфирующий момент/ подлежащий определению. Следовательно общеизвестную рекомендацию—снимать торсиограммы по возможности с тех сечений вала установки, которые имеют наибольшие амплитуды резонансных колебаний, —нельзя считать универсальной

ЛИТЕРАТУРА

1. Натанзон В. Я. О вынужденных KC^e6aHHHv коленчатых валов при резонансе. Техника воздушного флота, № 2, 1941.

2. Нечаев В. К. О „жесткой" и „упругой" неравномерности вращения коленчатого вала, Известия Томского политехнического института, т. 75, 1954.

3. Нечаев В. К. К вопросу о характеристиках демпфирующих сил в моторных установках с поршневыми ДВС. Известия Томского политехнического института, т. 85, 1957.

4. Кег Wilson W, Torsional Vibration Amplitudes at Non—Resonant Speeds, Inst. Mech Eng. Proc. Vol. 153, № 3, 1945.