ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ НА РАСЧЕТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВЫСТРЕЛА ДЛЯ ЗАРЯДОВ ИЗ ЗЕРНЕНОГО ПОРОХА

2021 Математика и механика № 73

УДК 536.46

Б01 10.17223/19988621/73/9

И.Г. Русяк, В. А. Тененев

ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИКИ НА РАСЧЕТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВЫСТРЕЛА ДЛЯ ЗАРЯДОВ ИЗ ЗЕРНЕНОГО ПОРОХА1

Рассмотрена задача о влиянии размерности математической модели на расчетные внутрибаллистические характеристики выстрела для зарядов из зер-неного пороха. Исследованы математические модели выстрела в пространственной (осесимметричной), одномерной и нульмерной (термодинамической) постановках. В термодинамический модели учтено распределение давления и скорости газопороховой смеси по заснарядному пространству для канала переменного сечения. Проведено сравнение результатов моделирования в широком диапазоне изменения параметров заряжания.

Ключевые слова: внутренняя баллистика, математическая модель, размерность задачи, вычислительные алгоритмы, сравнение результатов.

В практике баллистического проектирования зарядов в настоящее время используются два подхода: термодинамический и газодинамический. В первом случае полагается, что горение пороха происходит при среднеобъемном давлении, температура продуктов горения, а также суммарная плотность продуктов горения и несгоревших пороховых элементов (газопороховой смеси) в любой точке засна-рядного объема постоянны и зависят только от времени. Во втором случае учитывается пространственное распределение всех характеристик внутрибаллистиче-ского процесса, при этом наиболее плодотворной концепцией является подход, основанный на принципах механики гетерогенных сред и взаимопроникающих континуумов, учитывающий раздельное движение и взаимодействие фаз [1-3]. Очевидно, что идея осреднения так же, как и идея взаимопроникающих континуумов, больше подходит для зарядов, состоящих из мелкодисперсных пороховых элементов.

Влияние учета многомерности при изучении процессов, протекающих при срабатывании выстрела, имеет многоаспектный характер. Так, при исследовании процессов внутренней баллистики необходимо анализировать влияние геометрической и физической многомерности. К первой относится конструкция камеры и форма снаряда, ко второй - конструкция метательного заряда, включая конструкцию воспламенительных устройств. Вопросы моделирования многомерности внутрибаллистического процесса рассмотрены в работах [4-7].

В артиллерийских системах пороховые заряды состоят из одного или нескольких пакетов порохов. Значительная часть артиллерийских зарядов состоит из комбинированных порохов двух марок. Подходы к пространственному моделированию внутрибаллистического процесса рассмотрим на примере заряда зерненого пороха.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-0100072.

Для оценки роли пространственного представления параметров ниже рассмотрены нульмерная термодинамическая модель, где учтены распределения давления и скорости газопороховой смеси по заснарядному пространству для канала переменного сечения, а также одномерная и двумерная газодинамические модели.

Целью данного исследования является изучение влияния учета пространственного распределения параметров на результаты моделирования пиродинамиче-ского периода выстрела для зарядов зерненого пороха.

1. Математическая модель внутренней баллистики выстрела для заряда, состоящего из зерненого пороха в пространственной осесимметричной

постановке

В качестве допущений полагается, что воспламенитель сгорает мгновенно и создает начальное давление рв. При этом теплофизические параметры продуктов горения воспламенителя совпадают с параметрами основного заряда. Массой воздуха в камере сгорания пренебрегается. Основной заряд воспламеняется сразу по всей поверхности в момент сгорания воспламенителя. Снаряд начинает двигаться после достижения в камере давления форсирования рф (рф > рв). Теплообменом

с горящей поверхностью заряда пренебрегается (скорость тепловой волны близка к скорости горения). Трение и теплообмен продуктов горения с поверхностью канала ствола не учитывается. Симметрия зарядной камеры (два цилиндра, соединенных усеченным конусом) позволяет использовать цилиндрические координаты (х, г). Рассматривается заряд, состоящий из одной марки зерненого пороха.

В рамках принятых допущений соответствующая система уравнений внутренней баллистики артиллерийского выстрела, описывающая течение гетерогенной реагирующей смеси с учетом межгранулярного взаимодействия в осесимметрич-ной постановке, имеет вид: - для газовой фазы

дгрт дгртух дгртуг

дt дх дг

= гО,

дгртух дг (р + руХ)т дгртухуг дгт ^ ——- + —--— + ——— = р-+ гОм>х - гт ,

-->, --> ^ г --> X Ум.. 7

дt дх дг дх х

дгртуг дгртухуг дг (р + руг)т дгт ^

——L + ——— + —1-— = р-+ гОм>г - гтук ,

дt дх дг дг г

дгтеу дг (1 - т) ек дгт (еу + р) ух дгт (ек + р) уг

дt дt дх дг

, дг(1 -т)(ек + р)™х , дг(1 -т)(е™ + р)™

дх дг

= год,

р (1 -ар) у2 + у2 м% + М!2г

е = —-—, еу = ре + р—--, ем, = 5—--

(к - 1)р у У Н 2 " 2

- для твердой фазы

dra drawx drawr -+-- +-L = 0 .

dt dx dr

Sr5

-->, --> ^ i --> x vw.. ' v '

dt dx dr dx x

Sr8

T" + Z" + Z =p Z rGwr + rTw •

dt dx dr dr r

Уравнение горения зерненых пороховых элементов записывается следующим образом:

- до фазы распада пороховых элементов z < 1 или у < ур = к(1 + 1 + ц):

dz dz dz uk , , 2

— + wx — + wr — = — , alz) = 1 + 21z + 3uz2 ,

x^ "V/ ГУ

dt dx dr e

ду ду ду < \Uk

— + wx — + wr — = кa

x r V/" ^^

dt dx dr e1

- после распада пороховых элементов у>у р = к(1 + 1 + ц):

dy ду ду , ,uk 1 - у

-Т- + wx—+ wr^- = ка(у)-к-, а(у) = а(ур)' т

dt дх дг е1 р V1 -ур

ур <у< 1, а

Пористость газопороховой смеси определяется по формуле

т = 1 -аЛ0 (1 -у), а текущие геометрические размеры порохового элемента - по формулам

ё = ё0 + 2хгх, Б = Б0 - 2zel, Ь = Ь0 - 2хе1 .

В приведенных выше уравнениях t - время; р - плотность пороховых газов заряда; т - пористость заряда (объем пустот в единице объема); ух , уг - проекции скорости движения газа на оси цилиндрической системы координат; р - давление; ТУ№, ТУ№ , ТУ№ - сила сопротивления движению продуктов горения в слое зерненых

пороховых элементов и ее проекции на оси цилиндрической системы координат; О - газоприход продуктов горения с поверхности порохового заряда в единице объема за секунду; Q - теплотворная способность (потенциал) пороха; / = ЯТУ -сила пороха; Я - удельная газовая постоянная продуктов горения; Ту - температура продуктов горения пороха в замкнутом объеме; к = 6 + 1 - показатель адиабаты для смеси газов; 6 = Я/су ; су - теплоемкость продуктов горения при постоянном объеме; е = суТ - внутренняя энергия единицы массы пороховых газов; Т - температура пороховых газов; а - коволюм пороховых газов; 5 - плотность материала пороха; а - счетная концентрация зерненых пороховых элементов; Vх, м>г - проекции скорости движения твердой фазы на оси цилиндрической системы координат; Б0, Л0 - начальные поверхность и объем порохового элемента; ик = ик (р) - линейная скорость горения пороха; х = е/ех - относительная тол-

щина сгоревшего свода; 2е1 - первоначальная толщина сгоревшего свода; у -относительная доля сгоревшего пороха; - отношение текущей поверхности

горения к первоначальной; к, X, ц - коэффициенты формы порохового элемента; d0, D0, L0 - начальные внутренний, внешний диаметры и длина 7-канального порохового элемента.

Функции массового и силового взаимодействия между фазами имеют вид [7] (пS0a(z)5uk (p), если z < 1 или ,

G = -

^£<30(^)5^(p), если z > 1 или р;

т =Х Р

~ 2 4 '

т =х Р(х - ™х ))((х - ^х )2 + ((г - ™г )2 ^ ,

vwx vw 2 4 '

т =х Р(г - ^г ))((х - ™х )2 + ( -

1т>г кт> 2 4 '

где - коэффициент сопротивления порохового зерна в слое; - текущая ограничивающая поверхность порохового элемента, = кD (0.5D + L).

Уравнения для скорости движения и перемещения хсн снаряда запишем как

dv,

Ч

( dsF а

2

dt

п

2п j р (t, хсн, г )Ыг

V 0 у

где ч - масса снаряда; рсн - среднее давление на снаряд; dсн - диаметр ствола; П (!) - функция Хэвисайда.

Систему уравнений (1) - (6) необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

В качестве начальных условий задаются условия покоя и условия, отвечающие состоянию продуктов горения в момент полного сгорания воспламенителя массой юв в замкнутом объеме:

- при t = ^ 0 < х < , 0 < г < Якм

^ = 0, vг = 0, Р = Рв , Р = Дв , Т = Т , п =  51 , т = 1-Д ,

Л 05^км 5

^х = 0, ^ = 0, z = ^ у = 0 Д= , vcн = 0, хсн = Lкм .

км

Дв/ л Ю

Здесь рв =- - давление, развиваемое воспламенителем; Дв =

1 -аДв ' 8 -ю/5

плотность заряжания воспламенителя; Якм (х)- переменный радиус камеры; - объем камеры; ю - масса заряда.

Суть граничных условий состоит в том, что на непроницаемых границах объема задаются условия непротекания (обращения в нуль нормальных компонент скорости газовой и твердой фаз у стенки). На оси канала задаются условия симметрии для искомых функций.

2. Математическая модель внутренней баллистики выстрела для заряда, состоящего из зерненого пороха в одномерной постановке

Приведем общую систему одномерных газодинамических уравнений для заряда, состоящего из зерненого пороха, в обозначениях работы [7]: - для газовой фазы

дртБ дрmSv

дt дх

= БО .

дрmSv д( Р + PV 2)тБ дтБ 0

—-+ —---= Р-+ $Ом! - ,

дt дх дх

дтеуБ + д

дt дt дх дх

р (1 -ар) V2 „м>2

е=1(Г17' ev=ре+рТ, ^=5Т;

- для твердой фазы

даБ дaSw

-+-= 0,

дt дх

55

дt дх дх

Уравнение горения зерненых пороховых элементов записывается в виде:

- до фазы распада пороховых элементов х < 1 или у < у =к

дх дх ик , , , „Л „ 2 ду ду к , ч ,,

— + ^— = —, а

дt дх е1 дt дх е1

- после распада пороховых элементов у>у р = к

"~7+^=-°

ду ду к , . 1-у

+ „ =_ст(у)ик , ст(у) = ст(ур) -

дt дх е1 и1-ур

Начальные и граничные условия:

- при t = 0, 0 < х< ЬКМ

V = 0, V = 0, р = рв, р = Дв, Т = Т, а =

Л05^Км

х = 0, у = 0, Д = , vcн = 0, хсн = ЬКм ;

км

- при х = 0, t > 0

V = V = 0;

ю

- при х = хсн, t > 0

^ = рсн ^ - рф ), ^

= v V = v п —V

сн сн сн

3. Математическая модель внутренней баллистики выстрела для заряда, состоящего из зерненого пороха в нульмерной термодинамической постановке

Математическая модель основной задачи внутренней баллистики (ОЗВБ) в ос-редненных параметрах, где в рамках допущений термодинамического подхода учтены распределения давления и скорости газопороховой смеси по заснарядному пространству для канала переменного сечения, подробно рассмотрена в [8]. Запишем ее.

Уравнение горения:

- до фазы распада пороховых элементов z < 1 или ш < ш = к

dz и k 2 d ш к , ч

— = —- , = 1 + 2^ + З^2, — = —ст^ )uk ; dt е1 dt е1

- после распада пороховых элементов ш > ш р = к

dш _ £0 ^_ ч 1 -у

^ V1 -Шр

dt Л0

ШР <ш< 1, ст

Уравнения движения и перемещения снаряда

Ч^ = РснЗш^(Рсн - Рф ), = Vс1

Уравнение энергии

Кп--5

Уравнение состояния

Р

Дополнительные соотношения:

Кн -а(сош+юв )--(1 -ш) 5

(юш+юв)/-[1^. (19) = (юш + юв )ЯТ.

Рсн ^) =

Р ^)+(ю+юЕ ) [^¿1 + •/2 (хсн )- ¿3 - 2]

Р (x, 1:) = Ркн (t)-

Ркн

Г(ю+юв )Р<

2

1

-

сн у

Ч ' -"^сн У ^ 7 ^ К3Н £2

t) = W(1 VCH• w(x) = Js(S)dS• WCH = W„ + SCH (xCH -ZKM),

S (x ) WCH 0

_ = SHy w2 (x) 7 = WC3 J

2 * • 72

d S

S(x)dx.

'он 0 Я (X) ^ ^ 0 5 (О 3 ^ 0 Ц 5

Здесь ркн (t) - переменное давление на дно канала; V (х, t) - скорость газопороховой смеси; 5 (х)- переменная площадь сечения камеры и канала ствола; J1, J2 (х),Зъ - баллистические коэффициенты. Начальные условия:

- при t = 0, 0 < х< Ькм

Р = Рв • Р = Дв • T = Tv • Z = ^ V = Д = — , VCH = Хсн = L

4. Вычислительные алгоритмы решения задач

Численное решение ОЗВБ в термодинамической постановке реализовано с использованием двухшаговой схемы Рунге - Кутты второго порядка точности. При решении газодинамических задач использовали метод С.К. Годунова [9-11]. Для численного решения системы газодинамических уравнений применялся метод контрольного объема. Параметры газа на границах контрольных объемов определяются с использованием автомодельного решения задачи о распаде произвольного разрыва.

Представим систему уравнений (1) в обобщенной форме:

drY drF drZ - +-+ -

dt dx dr

(Р ' >x ' vr

Y = Р vx р vr Ie • F = р vx + p p vxvr l(e + p )vx • Z = p vxvr p v2 + p l(e+p )v

H

H

( rG

p drm _

--+ rGwx - r Tvw

m dx x

p drm _

--— + rGwr - rTvwr

m dr r

rGQ

где p = mp ; p) = mp ; e = mev .

Уравнение состояния запишем в виде

p

k =

k -ар/m

(k -1) p ' 1 -ар/m

Система газодинамических уравнений (1) решается с применением разностной схемы С.К. Годунова в сочетании со схемой MUSCL (monotone upwind schemes for conservation laws) [8, 12]. Составляющие вектора Y на гранях контрольного объема определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва с локальной аппроксимацией коэффициента к [10].

Для решения гиперболических уравнений движения конденсированной фазы и горения пороха также используется разностная схема типа С.К. Годунова с опре-

делением потоков на гранях контрольного объема по схеме [12]. Например, для скорости твердой фазы wx потоки импульса на гранях l = (1,2,3,4) рассчитываются следующим образом:

0 Jmin[[ ) ,(Qi )R ](wx) <(w)й ,

Ql [max [(Qi )l , (Qi )R ] ] ) >(^Х )R ,

где

- (Wx )sw + a ((Wx )S + m8) + (wx )s (wr )s

; S = L, R .

Здесь индексы L и Я соответствуют параметрам в смежных контрольных объемах с гранью /; а/ - площадь грани; Ж - скорость перемещения грани; а и в? - компоненты вектора нормали к грани.

Криволинейная ортогонализированная сетка в двумерной осесимметричной задаче строилась на основе метода, изложенного в работе [8]. Разностная сетка имела фиксированное количество узлов. В процессе решения она растягивалась при движении снаряда по стволу. Шаг по времени определялся по условию Куранта - Фридрихса - Леви. Проведено исследование сеточной сходимости метода. Выбор шагов численного интегрирования, обеспечивающих в Евклидовой норме точность расчета 0.1 %, осуществлялся в соответствии с принципом Рунге [13]. Количество ячеек сетки в области интегрирования, обеспечивающих заданную точность: для одномерного приближения Ых = 100; для двумерной осесимметричной задачи N = Ых х Ыг = 100 х 16 = 1600.

5. Численные результаты

Численные исследования проводились для артиллерийской системы со следующими геометрическими характеристиками: диаметр канала ствола 'кн = 0.1м; длина камеры Lкм = 1м; начало / = 0.5 м и конец / = 0.8 м уширения камеры; длина ствола Lд = 5 м .

Переменная площадь сечения камеры и канала ствола задавалась следующим образом: £ (х) = £км = 0.25п'к2м, если 0 < х < /ну ; £ (х) = £кн = 0.25п'к2н , если

х > / ; при / < х < / сначала определялся переменный диаметр в уширении

камеры линейной интерполяцией между диаметром камеры 'км и диаметром канала ствола 'кн, затем в соответствующей точке х определялась площадь сечения камеры.

Теплофизические характеристики продуктов горения принимали значения:

/ = 1106 Дж/кг; k = 1.25; Я = 300 Дж/кг^; а = 0.001 м3/ кг. Геометрические характеристики зерненых 7-канальных пороховых элементов: '0 = 0,0007м, D0 = 0,0077м, L = 0,018м; плотность пороха 5 = 1600кг/м3; Линейная скорость горения пороха определялась зависимостями

ик = и1/3Р1/3, если Рв = 5 • 106 Па < Р < 30 • 106 Па = Р1/3;

uk = и2/3 Р23, если Ру3 < р < 60 -106 Па = Р2/3; uk = и1 р , если р > р^3 .

Значения ыу3 и и2/3 определялись из условия совпадения скоростей горения в реперных точках:

«1/3Р^ = и2/3 Рф и «2/3Р% = «1Р2/3 . ОткУДа М2/3 = Щ р^ , а И^ = М2/3р^ .

Вес заряда ю задавался из условия, что плотность заряжания в камере при любых геометрических размерах была равна Д = 800 кг/м3.

Термодинамические и газодинамические решения сравнивались при д = ( 2.5;5;15;30 ) кг и ¿км = (0.1; 0.2; 0.3) м. Единичная скорость горения м1

для сравниваемых вариантов подбиралась из условия (ркн )тах = 400 -106 Па при

решении ОЗВБ по термодинамической модели.

Результаты расчета внутренней баллистики по термодинамической и газодинамическим моделям представлены в таблице, где приведены значения основных параметров задачи: скорость снаряда (Усн)д, максимальное давление на дно канала (Ркн)м, максимальное давление на дно снаряда (рсн)м и относительное изменение дульной скорости снаряда, полученной по различным моделям 5 (усн)д. При этом за точки отсчета при сравнении принимались значения, полученные по одномерной газодинамической модели.

Сравнение результатов расчета ОЗВБ, полученных по термодинамической и газодинамическим моделям при различных параметрах заряжания

№ п/п Параметры заряжания Расчет по термодинамической Расчет по одномерной газодинамической Расчет по двумерной газодинамической

модели модели модели

кг ¿км, м ю, кг (Од, м/с 5 (Од, % (pкн)м, МПа ^сн)^ МПа (Од, м/с 5 (Од, % (pкн)м, МПа (pсн)м, МПа (Од, м/с 5 (Од, % ^кн)^ МПа (Рсн), МПа

1 0.1 6.3 1893.3 -6.4 400.0 177.0 2023.2 400.5 180.8 2025.3 +0.1 400.8 177.3

2 2.5 0.2 18.2 1612.9 +0.1 400.0 88.1 1611.6 404.0 94.1 1617.4 +0.4 398.4 95.2

3 0.3 37.7 1186.8 -18.9 400.0 48.9 1463.8 412.0 74.2 1466.2 +0.2 404.0 74.2

4 0.1 6.3 1562.3 -3.5 400.0 245.4 1619.7 417.5 266.6 1620.1 +0.0 417.4 266.5

5 5 0.2 18.2 1450.1 +1.0 400.0 145.0 1435.6 414.9 145.9 1425.0 -0.7 402.4 144.4

6 0.3 37.7 1107.9 -10.6 400.0 87.6 1239.5 395.8 105.7 1241.5 +0.2 403.6 106.0

7 0.1 6.3 1027.4 +4.4 400.0 330.6 984.5 420.1 359.4 986.6 -0.2 420.4 359.3

8 15 0.2 18.2 1094.5 -0.1 400.0 253.9 1095.6 409.5 257.9 1106.7 +1.0 415.8 263.2

9 0.3 37.7 913.8 -2.2 400.0 183.5 934.0 405.0 191.6 937.9 +0.4 408.3 193.0

10 0.1 6.3 754.2 +4.9 400.0 362.0 719.1 398.5 368.9 720.1 +0.1 399.7 370.8

11 30 0.2 18.2 852.3 -0.5 400.0 311.2 856.9 402.1 318.6 866.0 +1.1 410.8 326.1

12 0.3 37.7 751.7 +0.4 400.0 252.1 748.5 409.0 254.4 752.1 -0.5 411.7 256.4

Анализ численных результатов показывает, что в исследованном диапазоне изменения параметров заряжания одномерная и двумерная газодинамические модели отличаются незначительно: по дульной скорости - не более чем на 1.0 %, по максимальному давлению на дно канала - 3.0 %, по максимальному давлению на дно снаряда - 2.4 %.

Рассмотрим сравнение результатов, полученных по термодинамической и одномерной газодинамической моделям. На рис. 1, 2 представлены сравнения результатов расчета кривых давления на границах заснарядного пространства по термодинамической и газодинамической моделям для камеры без уширения.

Рис. 1. Кривые давления на дно канала от времени выстрела, рассчитанные по термодинамической (а) и газодинамической (b) моделям при = 0.1 м: 1 - q = 2.5 кг; 2 - q = 5 кг; 3 - q = 15 кг; 4 - q = 30 кг

Fig. 1. Curves of the pressure at the bore bottom versus time of a shot, obtained using (a) thermodynamic and (b) gas-dynamic models at dkm = 0.1 m: q = (1) 2.5, (2) 5, (3) 15, and (4) 30 kg

Рис. 2. Кривые давления на дно снаряда от времени выстрела, рассчитанные по термодинамической (а) и газодинамической (b) моделям при Ккм = 0.1 м: 1 - q = 2.5 кг; 2 - q = 5 кг; 3 - q = 15 кг; 4 - q = 30 кг

Fig. 2. Curves of the pressure at the projectile bottom versus time of a shot, obtained using (a) thermodynamic and (b) gas-dynamic models at dkm = 0.1 m: q = (1) 2.5, (2) 5, (3) 15, and (4) 30 kg

Как видно из представленных рисунков, качественно баллистические кривые, полученные по термодинамической и газодинамической моделям, достаточно хорошо коррелируют между собой. При этом наблюдается вполне удовлетворительное количественное совпадение интегральных характеристик выстрела при малых ю/q (см. таблицу, варианты № 4, 7, 10). Для этих вариантов расхождение по дульной скорости составило менее 4.9 %, по максимальному давлению на дно канала - 5.0 %, на дно снаряда - 8.0 %.

На рис. 3, 4 приведены аналогичные кривые для q = 5 кг при различных уши-

рениях камеры. В целом, также наблюдается хорошее качественное совпадение кривых и количественное совпадение интегральных характеристик выстрела при небольших уширениях камеры (см. таблицу, варианты № 4, 5).

500 400 300 200 100

a 2n 3

( \

/ /

/ t / 14

6 8 t, мс

b 1- —\ 2ч \ 3

/ A y / /

/ \ / /

! / / 4

2

10 12 14 0

68 t, мс

10 12 14

Рис. 3. Кривые давления на дно канала от времени выстрела, рассчитанные по термодинамической (а) и газодинамической (b) моделям при q = 5 кг: 1 - dкм = 0.1 м; 2 - dкм = 0.2 м; 3 - dKM = 0.3 м

Fig. 3. Curves of the pressure at the bore bottom versus time of a shot, obtained using (a) thermodynamic and (b) gas-dynamic models at q = 5 kg: dkm = (1) 0.1, (2) 0.2, and (3) 0.3 m

0

2

4

2

4

Рис. 4. Кривые давления на дно снаряда от времени выстрела, рассчитанные по термодинамической (а) и газодинамической (b) моделям при q = 5 кг: 1 - ^км = 0.1 м; 2 -4м = 0.2 м; 3 - dm = 0.3 м

Fig. 4. Curves of the pressure at the projectile bottom versus time of a shot, obtained using (a) thermodynamic and (b) gas-dynamic models at q = 5 kg: dkm = (1) 0.1, (2) 0.2, and (3) 0.3 m

По дульной скорости расхождение составило менее 3.5 %, по максимальному давлению на дно канала - 4.2 %, на дно снаряда - 8.1 %, однако при большом уширении камеры (см. таблицу, вариант № 6) расхождение по дульной скорости достигает уже 10.6 %, по максимальному давлению на дно канала - 1.1 %, на дно снаряда - 17.1 %.

Анализ полученных результатов в целом показывает, что наилучшее совпадение двух моделей имеет место при уширениях камеры, ёкм = 0.2 м, независимо от

веса снаряда (см. таблицу, варианты № 2, 5, 8, 11). В данных случаях расхождение по дульной скорости не превосходит 1 %, по максимальному давлению на дно канала - 3.7 %, на дно снаряда - 6.4 %.

На рис. 5 представлены распределения давления и скорости продуктов горения по заснарядному пространству, рассчитанные по различным моделям внутренней баллистики. Распределения параметров представлены в момент, когда снаряд проходит середину ствола.

p, МПа 400

300

200

100

0

p, МПа 400

300

200

100

а 1 2

b

1 2

v, м/с 960

720

480

240

0

v, м/с 960

720

480

240

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 х, м

Рис. 5. Распределения давления и скорости газопороховой смеси в термодинамической модели

Fig. 5. Distribution of the pressure and velocity of a gas-powder mixture along the barrel in the case of (a) thermodynamic model and (b) one-dimensional gas-dynamic model at q = 5 kg,

dkm = 0.2 m: 1 - p

Можно констатировать хорошее качественное совпадение моделируемых параметров. Здесь лишь отметим, что в термодинамической модели мы имеем дело с распределением скорости газопороховой смеси (газа и несгоревших пороховых элементов), а в газодинамической модели - с распределением скорости газа. Эту особенность необходимо учитывать при решении сопряженных задач с использованием термодинамического подхода.

В заключении приведем зависимости баллистических коэффициентов: Jь J2 = J2 (хсн) и Jз от времени выстрела и пути снаряда. На рис. 6 представлены соответствующие кривые, полученные для варианта № 5 (см. таблицу). Для камеры с уширением, как показывают расчеты, полученные коэффициенты носят существенно переменный характер, монотонно возрастают по мере движения снаряда по каналу ствола.

0 2468 10 123456

t, мс хсн, м

Рис. 6. Изменение баллистических коэффициентов Ji (i = 1, 2, 3) от времени выстрела (а); и от пути, пройденного снарядом (b), при q = 5 кг, ёкм = 0.2 м: 1 - J1 ; 2 - J2 ; 3 - J3 Fig. 6. Variation of ballistic coefficients Jj (i = 1, 2, 3) with (a) time of a shot and (b) projectile travel at q = 5 kg, dkm = 0.2 m: 1 - J1 ; 2 - J2 ; and 3 - J3

Для камеры без уширения эти коэффициенты принимают постоянные значения: J1 = 1/3, J2 = 1/2 и J3 = 1/6.

Заключение

Как следует из представленных материалов, существует область параметров заряжания, при которых термодинамический подход, где учтены распределения давления и скорости газопороховой смеси по заснарядному пространству для канала переменного сечения, дает удовлетворительное приближение к параметрам, полученным на основе газодинамического подхода, описывающего течение гетерогенной реагирующей смеси с учетом раздельного описания фаз и межгранулярного взаимодействиям между ними.

Анализ численных результатов показывает, что во всем исследованном диапазоне изменения параметров заряжания одномерная и двумерная газодинамические модели отличаются между собой незначительно, поэтому в основной пиродина-мический период моделирование заряда, состоящего из зерненого пороха, можно проводить по одномерным газодинамическим моделям или нульмерным термодинамическим моделям с учетом пространственного распределения давления и скорости газопороховой смеси.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cough P.S. Modeling of two-phase flows in guns // Interior Ballistics of Guns. 1979. V. 66. P. 176-196.

2. Хоменко Ю.П., Ищенко А.Н., Касимов В.З. Математическое моделирование внутрибал-листических процессов в ствольных системах. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 256 с.

3. Русяк И.Г., Ушаков В.М. Внутрикамерные гетерогенные процессы в ствольных системах: монография. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 259 с.

4. Ищенко А.Н., Касимов В.З., Ушакова О.В. Расчет функционирования модульных метательных зарядов в осесимметричной постановке // Материалы Всероссийской научной конференции «Современная баллистика и смежные вопросы механики». Томск, 17 -19 ноября 2009. Томск: Том. гос. ун-т, 2010. С. 85-86.

5. Ищенко А.Н., Касимов В.З., Ушакова О.В. Влияние начальной температуры топлива и метода воспламенения на баллистические характеристики выстрела в условиях модельной установки калибром 120 мм // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 70. С. 37-50. DOI: 10.17223/19988621/70/4/.

6. Меньшов И.С., Немцев М.Ю., Семенов И.В. Численное моделирование волновых процессов при горении неоднородно распределенного заряда // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019. Т. 59. № 9. С. 1591-1604. DOI: 10.1134/ S004446691909014X.

7. Русяк И.Г., Липанов А.М., Ушаков В.М. Физические основы и газовая динамика горения порохов в артиллерийских системах: монография. М.: Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2016. 456 с.

8. Русяк И.Г., Тененев В.А. Моделирование баллистики артиллерийского выстрела с учетом пространственного распределения параметров и противодавления // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12. № 5. С. 1123-1147. DOI: 10.20537/ 2076-7633-2020-12-5-1123-1147.

9. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

10. Прокопов Г.П., Северин А.В. Экономичная реализация метода Годунова // Препринты ИПМ имени М.В. Келдыша. 2009. № 29. 24 с. URL: https://keldysh.ru/papers/2009/ prep29/prep2009_29.pdf.

11. Сафронов А.В., Фомин Ю.В. Метод численного решения уравнений газодинамики с помощью соотношения на разрывах //Труды МФТИ. 2010. Т. 2. № 2. С. 137-148.

12. Wesseling Pieter. Principles of Computational Fluid Dynamics (Springer Series in Computational Mathematics. V. 29). Springer, 2001. 644 p. DOI: 10.1007/978-3-642-05146-3.

13. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. 316 с.

Статья поступила 23.07.2021

Rusyak I.G., Tenenev V.A. (2021) THE IMPACT OF THE DIMENSION OF A MATHEMATICAL MODEL OF INTERNAL BALLISTICS ON DESIGN PARAMETERS OF A SHOT FOR GRAIN GUNPOWDER CHARGES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 73. pp. 95-110

DOI 10.17223/19988621/73/9

Keywords: internal ballistics, mathematical model, dimension of a problem, computational algorithms, comparison of results.

The problem of the impact of the mathematical model dimension on the calculated intraballistic characteristics of a shot for the charges made of granulated powder is considered. Mathematical models of the shot are studied using the spatial (axisymmetric), one-dimensional, and zero-dimensional (thermodynamic) formulations. The thermodynamic model takes into

account the distribution of the pressure and velocity of a gas-powder mixture behind the shot for a channel of variable cross-section. Comparison of simulation results is carried out in a wide range of loading parameters. It is shown that there is a range of the loading parameters for a thermodynamic approach to give satisfactory approximation to the parameters obtained using the gas-dynamic approach, which describes the flow of a heterogeneous reacting mixture with a separate consideration of phases and intergranular interactions between them. Notably that in the entire range of the charging parameters studied in this work, the one-dimensional and two-dimensional gas-dynamic models only slightly differ from each other. Therefore, in the main pyrodynamic period, the actuation of the charge, made of granulated powder, can be simulated using a one-dimensional gas-dynamic model or a zero-dimensional thermodynamic model with allowance for spatial distribution of the pressure and velocity of the gas-powder mixture.

Financial support. The reported study was funded by the Russian Foundation for Basic Research, project No. 20-01-00072.

Ivan G. Rusyak (Doctor of Technical Sciences, Professor, Academician of the RAMAS, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russian Federation). E-mail: primat@istu.ru

Valentin A. Tenenev (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russian Federation). E-mail: v.tenenev@gmail.com

REFERENCES

1. Cough P.S. (1979) Modeling of two-phase flows in guns. Interior Ballistics of Guns. 66. pp. 176-196.

2. Khomenko Yu.P., Ishchenko A.N., Kasimov V.Z. (1999) Matematicheskoe modelirovanie vnutriballisticheskikh protsessov v stvol'nykh sistemakh [Mathematical modeling of ballistic processes in barrel systems]. Novosibirsk: SB RAS Publishing House.

3. Rusyak I.G., Ushakov V.M. (2001) Vnutrikamernye geterogennye protsessy v stvol'nykh sis-temakh [Intra-chamber heterogeneous processes in barrel systems]. Yekaterinburg: Ural Branch of the Russian Academy of Sciences.

4. Ishchenko A.N., Kasimov V.Z., Ushakova O.V. (2010) Raschet funktsionirovaniya modul'nykh metatel'nykh zaryadov v osesimmetrichnoy postanovke [Calculation of the functioning of modular propellant charges in an axisymmetric formulation]. Materialy Vserossi-yskoy nauchnoy konferentsii "Sovremennaya ballistika i smezhnye voprosy mekhaniki". pp. 85-86.

5. Ishchenko A.N., Kasimov V.Z., Ushakova O.V. (2021) Vliyanie nachal'noy temperatury topliva i metoda vosplameneniya na ballisticheskie kharakteristiki vystrela v usloviyakh model'noy ustanovki kalibrom 120 mm [Influence of the initial propellant temperature and ignition method on ballistic characteristics of a shot in the setting of a 120 mm caliber model ballistic installation]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mek-hanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 70. pp. 37-50. DOI: 10.17223/19988621/70/4.

6. Menshov I.S., Nemtsev M.Y., Semenov I.V. (2019) Numerical modeling of wave processes accompanying combustion of inhomogeneously distributed composite propellant. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 59(9). pp. 1528-1541. DOI: 10.1134/ S0965542519090148.

7. Rusyak I.G., Lipanov A.M., Ushakov V.M. (2016) Fizicheskie osnovy i gazovaya dinamika goreniya porokhov v artilleriyskikh sistemakh [Physical fundamentals and gas dynamics of gunpowder combustion in artillery systems]. Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Studies.

8. Rusyak I.G., Tenenev V.A. (2020) Modelirovanie ballistiki artilleriyskogo vystrela s uchetom prostranstvennogo raspredeleniya parametrov i protivodavleniya [Modeling of ballistics of an artillery shot taking into account the spatial distribution of parameters and backpressure].

Computer Research and Modeling. 12(5). pp. 1123-1147. DOI: 10.20537/2076-7633-202012-5-1123-1147.

9. Godunov S.K., Zabrodin A.V., Ivanov M.Ya., Krayko A.N., Prokopov G.P. (1976) Chislen-noe reshenie mnogomernykh zadach gazovoy dinamiki [Numerical solution to multidimensional problems of gas dynamics]. Moscow: Nauka.

10. Prokopov G.P., Severin A.V. (2009) Ekonomichnaya realizatsiya metoda Godunova [Efficient implementation of Godunov's method]. Preprinty IPM imeni M.V. Keldysha - Keldysh Institute Preprints. 29. pp. 1-24. Access mode: https://keldysh.ru/papers/2009/prep29/ prep2009_29.pdf.

11. Safronov A.V., Fomin Yu.V. (2010) Metod chislennogo resheniya uravneniy gazodinamiki s pomoshch'yu sootnosheniya na razryvakh [A method for the numerical solution of the equations of gas dynamics using the relation at discontinuities]. Trudy MFTI - Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology. 2(2). pp. 137-148.

12. Wesseling P. (2001) Principles of Computational Fluid Dynamics. Springer Series in Computational Mathematics. 29. DOI: 10.1007/978-3-642-05146-3.

13. Samarskiy A.A., Gulin A.V. (2003) Chislennye metody matematicheskoy fiziki [Numerical methods in mathematical physics]. Moscow: Nauchnyy mir.

Received: July 23, 2021