Современные методы и алгоритмы прогнозирования нелинейных динамических систем

К.А. Ручкин

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Теория нелинейных динамических систем является современным математическим аппаратом, методы и алгоритмы которого существенно помогают при решении многих научно-технических задач математики, механики, информатики, физики, химии, экономики, социологии и других областей естествознания, например, таких как прогнозирование погодных условий, прогнозирование поведения группы роботов и т. д.

Основателем теории динамических систем по праву полагают А. Пуанкаре, который более чем 100 лет назад заложил фундамент и определил основные направления ее дальнейшего развития. Так, основными задачами теории нелинейных динамических систем являются задача прогнозирования поведения систем, которые изменяются во времени и пространстве, задача нахождения свойств таких систем и задача моделирования их эволюции. Развитие компьютерных и информационных технологий позволяет существенно продвинуться в их решении.

Теория динамических систем привлекает внимание многих выдающихся исследователей и ученых, среди которых есть и „классики” - А.Пуанкаре, Дж.Биркгоф, А.М.Колмогоров, и современные ученые - Дж.Э.Марсден,

B.И.Арнольд, С.Смейл и др. Они связали теорию динамических систем с другими современными математическими направлениями, такими как дифференциальная геометрия, топологическая динамика, эргодическая теория, теория устойчивости, катастроф и бифуркаций, и получили значительные результаты. Но остаются и нерешенные проблемы, на которые указал известный американский математик

C.Смейл в конце XX века. Например, проблема соответствия поведения динамической системы с геометрическим изображением, полученным с помощью численного интегрирования и компьютерного моделирования.

Практическая сложность исследования динамических систем, описывающих реальные процессы, состоит в многомерности фазового и конструктивного пространства и связана с нелинейностями, присутствующими в системах. При прямом компьютерном моделировании разработанная модель может не сохранять основных перечисленных свойств моделируемой системы и давать тем самым неверный прогноз. В работе рассмотрены основные проблемы компьютерного моделирования и анализа динамических систем и методы их решения.

Постановка задачи

Понятие "динамической системы" первоначально зародилось в механике при описании явлений или процессов, зависящих от времени дискретно 1 є N = [1,2,...,ж) или непрерывно 1 є Я + = [0,ж). Здесь время 1 є Т = [1о,1і] - это обычное физическое время, перемещение в котором возможно только в одном направлении. Однако изменение (эволюция) динамической системы может происходить не только во времени, но и в пространстве. Определение состояния изучае-^ ^ ^ * мой динамической системы в произвольный момент времени 1 є Я + в зависимости от её начального состояния называется задачей прогнозирования динамических систем.

Рассмотрим детерминированную динамическую систему, состояние которой в

*

любой фиксированный момент времени 1 є Я + однозначно определяется значе-

ниями фазовых переменных Х1,Х2,...,Хп и их производных X!,Х2,к,Хп - фазовых скоростей. Пусть х = (х1,...,хп) е Яп - вектор фазовых переменных, Х = (X 1,к,Хп) е Яп - вектор фазовых скоростей, тогда пространство

(х, X) е Я2п = Яп х Яп называется фазовым пространством. Изменение состояния динамической системы во времени по некоторому закону, задаваемому в виде функции Б или оператора Т, приводит к изменению положения точки (х, 'X) в

фазовом пространстве Я2п, т.е. к движению точки (х, X) по фазовой траектории. Движение точки по фазовой траектории возможно только в одном направлении, при этом фазовые траектории системы пересекаются только в некоторых точках, называемых особыми точками. Изучение траекторной структуры фазового пространства, дает качественную картину поведения динамической системы.

Оператор Т (функция Б), переводящий систему из начального состояния в момент времени 1о

в другое состояние (х1,Х 1 )=(х(11),Х(11)) в момент времени 11, называется фазовым потоком.

Если Т является дифференциальным оператором, то для динамической системы характерна дифференциальная зависимость фазовых скоростей от фазовых переменных, которая может быть задана в явном или неявном виде с помощью дифференциальных уравнений. Таким образом, динамическими системами (математическими моделями динамических систем) называют системы дифференциальных и алгебраических уравнений, описывающие изменения во времени переменных и их производных.

Пусть для некоторой динамической системы задана её математическая модель X; = Б;

где х = (х1,...,хп) е Яп - вектор фазовых переменных, X = (X!,...,Xп) е Яп -вектор фазовых скоростей, а = (а1,...,ат) е Ят - вектор конструктивных параметров. Пространство Ят называется конструктивным пространством. Решение системы (2) совместно с условием (1) называется задачей Коши.

Выделим основные этапы решения задачи прогнозирования динамических систем:

• построение математической модели;

• проведение аналитических исследований;

• проведение численных исследований;

• компьютерное моделирование.

Рассмотрим эти этапы подробнее, указывая на возможные трудности и методы их решения, применительно к задачам механики.

Построение математической модели

Рассмотрим этап построения математической модели. Этот этап является основным этапом и во многом влияет на результаты дальнейших исследований. На этом этапе происходит описание системы и построение адекватной математической модели. При описании системы необходимо выбрать существенные параметры и определить те, влияние которых незначительно. Способ описания математической модели во многом определяет дальнейший подход ее изучения. В механике

при построении математической модели используют различные вариационные и невариационные принципы, которые могут быть дифференциальными или интегральными [4-7].

Вариационные принципы основаны на признаках, которые отличает одно движение от класса других движений, и приводят к нахождению экстремумов некоторых функций, зависящих от координат и скоростей. При использовании вариационных принципов вначале необходимо установить функцию, которая обладает экстремальными свойствами для рассматриваемого движения, а затем класс движений по сравнению с которыми эта функция обладает экстремальными свойствами. Получение уравнений движения из вариационных принципов сводится к решению вариационных задач. Наиболее общими вариационными дифференциальными принципами являются: принцип виртуальных перемещений Даламбера-Лагранжа, принцип Журдена, принцип Гаусса, а интегральными - принцип Гамильтона, принцип Мопертюи-Лагранжа, принцип Якоби.

Для невариационных принципов характерно наличие некоторого общего для всех движений свойства, которое имеет место в данный момент времени (дифференциальный принцип) или для конечного интервала времени (интегральный принцип). К невариационным принципам относятся принципы сохранения: энергии, количества движения и кинетического момента. Эти принципы тесно связаны с общими теоремами динамики.

Общие теоремы динамики систем определяют связь между динамическими величинами, характеризующими движение системы, и действующими на систему силами. Из общих теорем можно получить первые интегралы движения системы, которые допускают наглядную физическую интерпретацию и поэтому важны при решении практических задач и задач моделирования. К общим теоремам динамики относятся: теорема об изменении количества движения системы, теорема о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента (теорема площадей), теорема об изменении кинетической энергии системы. Пользуясь указанными теоремами, можно изучать движение системы, если исключить влияние реакции связей.

Выбор системы координат для описания переменных и параметров системы во многом определяет ее сложность и способ дальнейшего изучения. Так, наиболее употребляемыми являются подход Эйлера - переменные и уравнения описываются в терминах локальной системы координат или подход Лагранжа - переменные и уравнения описываются в терминах глобальной (инерциальной) системы координат.

Для описания движения механической системы могут быть использованы де-картовые координаты (полярные, сферические, цилиндрические и т.п.) или обобщенные координаты. Обобщенными координатами материальной системы называются независимые параметры, полностью определяющие ее положение (конфигурацию). В качестве обобщенных координат можно выбирать не только декарто-вые координаты, но также углы поворота и т. п. Описание движения с помощью обобщенных координат обладает большей универсальностью, поскольку предпочтение не отдается какой-либо определенной системе координат. В этом случае применяют уравнения Лагранжа второго рода, уравнения Аппеля, уравнения Гамильтона, уравнения Рауса, уравнения Чаплыгина. Наиболее используемыми приемами в современной аналитической механике являются подходы Лагранжа и Гамильтона, которые являются следствием вариационных принципов.

Лагранжева механика позволяет описать движение системы при помощи конфигурационного пространства, которое имеет структуру дифференцируемого многообразия. Если на этом многообразии действует однопараметрическая группа диффеоморфизмов, оставляющая неизменной функцию Лагранжа, то она определяет первый интеграл (закон сохранения).

Гамильтонова механическая система задается четномерным многообразием (фазовым пространством), симплектической структурой на нем (интегральным инвариантом Пуанкаре) и Гамильтоновой функцией. Каждая однопараметрическая группа симплектических диффеоморфизмов фазового пространства, сохраняющих функцию Гамильтона, связана с первым интегралом уравнений движения. Ла-гранжева механика включается в гамильтонову механику как частный случай. Тогда фазовое пространство является кокасательным расслоением конфигурационно -го, а функция Гамильтона - преобразованием Лежандра функции Лагранжа. Га-мильтоновый подход необходим при изучении ряда задач механики, не поддающихся решению другими методами (например задачи о нахождении геодезических на трехосном эллипсоиде). Для гамильтоновых систем активно используются эр-годическая теория.

В большинстве случаев для вывода уравнений движения основываются на физических свойствах изучаемой системы и используют несколько подходов одновременно.

Аналитические исследования

Итак, пусть пройден первый этап и получена математическая модель динамической системы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2). Эти уравнения определяют в фазово-конструктивном пространстве семейства возможных (регулярных и хаотических) траекторий движения динамической системы. Задание начальных условий позволяет выделить из этого семейства необходимое решение системы.

Аналитические исследования начинаются с поиска интегрируемых (регулярных) случаев. В этих случаях систему можно аналитически проинтегрировать, получить алгебраическую зависимость фазовых переменных от времени, и, тем самым, решить задачу прогнозирования, то есть для заданных статических, кинематических и динамических (конструктивных) параметров и начальных условий определить траекторию движения системы в фазовом пространстве в произвольный момент времени, определить тип траектории и установить характер движения.

При произвольных начальных условиях аналитическое решение изучаемой системы дифференциальных уравнений существует только в некоторых частных случаях. Все эти частные случаи характеризуются определенными значениями статических и динамических параметров и существованием первых интегралов, которые позволяют свести систему (2) к квадратурам. Особенностью этих случаев является детерминированность фазового пространства траекторий и расслоение его на инвариантные торы — "слоение Лиувилля". При этом траектории системы, заключенные внутри одного слоя, не могут перескочить с этого слоя на другой. Поэтому интегрируемый случай характеризуется «хорошим поведением» динамической системы, устойчивой траекторией движения по отношению к некоторым возмущениям начальных условий (2), и возможностью определения положения системы в фазовом пространстве на достаточно большом промежутке времени.

Для описания и исследования траекторной структуры всего фазового пространства динамических систем эффективны методы топологического анализа, использующие аппарат дифференциальной геометрии, теории гладких многообразий и гладких отображений, КАМ-теории, теории Морса, инварианты Фоменко и др.

Среди этих методов следует отметить метод изоинтегральной редукции фазового пространства [8], позволяющий понизить размерность фазового пространства с помощью известных первых интегралов системы (например, таких как интеграл энергии, интеграл площадей, геометрический интеграл).

Дальнейшие аналитические исследования связаны с определением существенных характеристик системы, выявлением общих свойств и закономерностей (неподвижные точки, устойчивые и неустойчивые области, бифуркационные множества), которые позволяют описать эволюцию и возможные перестройки торов Лиувилля на трехмерных изоинтегральных гиперповерхностях [9-11].

Однако при произвольных значениях конструктивных параметров система (2) к квадратурам не сводится. Это связано с отсутствием полного семейства первых интегралов. В таких, неинтегрируемых, случаях траектория движения аналитически найдена быть не может, и решение системы (2)-(3) проводится численными методами.

Численные исследования

Траекторная структура трехмерных изоэнергетических уровней (называемых приведенными интегральными многообразиями), оцениваемая качественными и количественными характеристиками, дает наиболее полное представление о динамике изучаемой системы.

Дальнейшее исследование траекторной структуры приведенного фазового пространства проводится численными методами, например с помощью построения локального или глобального нетрансверсального сечения Пуанкаре. Суть этого метода состоит в следующем. Система дифференциальных уравнений интегрируется численными методами, и полученная фазовая траектория протыкается через некоторую площадку, размерность которой меньше на единицу размерности фазового пространства, образуя сечение Пуанкаре фазового пространства. По этому сечению можно судить о характере поведения фазовой траектории и даже всего фазового потока. Если в сечении Пуанкаре точки фазового потока ложатся на кривую, то можно говорить о регулярном поведении системы, а если в сечении фазового потока возникает двумерное множество точек, то это свидетельствует о нерегулярном (хаотическом) поведении системы. Локальное сечение позволяет построить площадку для части пространства, а глобальное - для всего пространства.

Стоит отметить, что при отображении фазового пространства на сечение Пуанкаре возникают особые точки, не характерные для исходной системы, поэтому важным является выбор вида сечения Пуанкаре. В настоящее время этот выбор зависит от конкретной задачи. Так, в качестве площадки может быть взята изоинтеграль-ная поверхность. Другой подход предлагает выделить область допустимых фазовых скоростей и ограничить ее огибающей поверхностью. В этом случае траектории заполняют замкнутую область и касаются огибающей поверхности. Оба подхода позволяют получить достаточно полное представление о траекторной структуре исследуемого фазового пространства.

Рассмотрим этап численного интегрирования системы. Если математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, то для этого используют методы численного интегрирования уравнений (Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др.). Выбор метода интегрирования оказывает влияние на точность результатов.

Приближенный выбор начальных условий, ошибка метода, компьютерная точность и нелинейность исследуемой системы не позволяют интегрировать систему методами численного интегрирования на большом интервале времени, а суммарная ошибка экспоненциально нарастает.

Компьютерное моделирование

Построение и анализ траекторной структуры фазового пространства системы связан с обработкой и накоплением большого массива данных и проведением большого количества вычислений.

Для увеличения производительности используют преимущества многопоточной системы, например, с каждым окном, отвечающим за отображение графической информации, связывают поток, в котором осуществляется отображение данных в соответствующее окно и решение дифференциальных уравнений. Использование методов параллельных вычислений позволяет также увеличить производительность системы.

Использование описанных методов будет продемонстрировано с помощью разработанной системы компьютерного моделирования.

Система компьютерного моделирования

Многофункциональная интерактивная компьютерная система (см. рисунок) предназначена для численного исследования уравнений (2) при произвольных конструктивных параметрах. Сечение Пуанкаре, огибающая поверхность и другие возможности, реализованные в этой программе, дают качественную оценку как отдельным траекториям, так и всему фазовому потоку.

Система компьютерного моделирования

В программе система дифференциальных уравнений решается методом Рунге-Кутта, начальные условия и значения конструктивных параметров задаются в соответствующем окне. На основе этого решения строится:

• огибающая поверхность - отображается в окне «Surface»;

• 2D и 3D сечение Пуанкаре (след траектории на сфере Пуассона) - пересечения с внешней стороной сферы в окне «Outer Section», с внутренней - в окне «Inner Section».

При написании программы использованы такие современные компьютерные средства как система Visual C++ 7.1, библиотека OpenGL и технологии - объект-

4i

но-ориентированное программирование, поточное программирование, параллельные вычисления. Это дает возможность работать системе в режиме реального времени, вычислять, анализировать и обрабатывать массив данных из более миллиона записей, сохранять данные в dat, avi и bmp - файлах.

Программа представляет собой MDI приложение с удобным интерфейсом и наглядным отображением исходных и выходных данных. Для увеличения производительности используются преимущества многопоточной системы, с каждым окном, отвечающим за отображение графической информации, связан поток, в котором осуществляется отображение данных в соответствующее окно и решение дифференциальных уравнений.

Механический пример

Рассмотрим задачу о движении твердого тела с неподвижной точкой в классической постановке. Твердое тело как физическая система, имеющая в пространстве три степени свободы, характеризуется набором конструктивных параметров (определяющих моменты инерции, положение центра масс) и фазовых переменных (задающих положение тела в пространстве и угловую скорость вращения). Его движение описывается дифференциальными уравнениями Эйлера - Пуассона, которые, являясь нелинейными и неавтономными, аналитически интегрируемы только в частных и хорошо изученных случаях. Интегрируемость общего случая может быть получена только численно на достаточно ограниченном интервале времени. При этом фазовое пространство, являясь шестимерным, почти всюду плотно заполняется регулярными кривыми и не дает возможности охватить общую картину поведения системы. Разработанная компьютерная программа позволяет также визуализировать движение твердого тела с неподвижной точкой и исследовать характер его движения.

Основные модули программы:

• подпрограмма визуализации движения твердого тела;

• подпрограмма визуализации сечений Пуанкаре на сфере Пуассона и отображение их на плоскости и в пространстве;

• подпрограмма построения огибающей поверхности;

• блок настройки и редактирования статических и динамических параметров;

• блок по определению характера траектории по изображению следа траектории на сфере Пуассона.

В качестве входных параметров вводятся статические и динамические параметры твердого тела - тензор инерции, координаты центра тяжести, постоянные интегрирования, направление силы тяжести, время интегрирования. Эти параметры задают систему дифференциальных уравнений, решение которой необходимо для построения изоэнергетической поверхности, линий уровня, расчета положения тела, построения следа траектории годографа.

Математический блок содержит необходимые функции для решения системы дифференциальных уравнений. Этот блок используется блоками построения изо-энергетической поверхности, построения линий уровня и расчета положения тела.

Блок построения изоэнергетической поверхности, используя математический блок, рассчитывает массив точек, описывающих изоэнергетическую поверхность, вектор нормали для каждой точки и цвет точек для последующей визуализации поверхности.

Блок вычисления линий уровня, используя математический блок, рассчитывает массив точек, описывающих линии уровня, а также содержит функции для расчета следа траектории годографа на сфере Пуассона.

Блок расчета положения тела вычисляет положение тела в каждый момент времени и определяет траекторию движения вектора угловой скорости в подвижной и неподвижной системах координат.

Разработанная программа позволяет однозначно решить задачу прогнозирования движения данной механической системы.

Выводы

Современные методы исследования динамических систем основаны на компьютерном моделировании решений и анализе траекторной структуры фазового пространства. Изоинтегральная редукция и построение сечений Пуанкаре в приведенном фазовом пространстве являются основными математическими приемами, которые позволяют понизить размерность, визуализировать и проследить эволюцию динамической системы на экране компьютера.

Целью дальнейших исследований в этом направлении является анализ и усовершенствование существующих аналитических и компьютерных методов, алгоритмов теории нелинейных динамических систем. В соответствии с поставленной целью определим приоритетные задачи, решение которых поможет существенно продвинуться в ее достижении:

• построение глобальных и локальных сечений фазового пространства;

• исследование вопроса "хаотичности" динамической системы и разработка алгоритма для автоматического распознавания хаотического и нехаотического поведения системы;

• исследование степени хаотичности системы;

• увеличение производительности и точности вычислений компьютерной системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гашененко И.Н., Лапенко С.В., Ручкин К.А. Визуальное моделирование хаотической динамики тяжелого твердого тела, вычислительная математика и математические проблемы механики // Укр. математический конгресс, Киев.: Ин-т математики НАН Украины, 2001. С.14-15.

2. Ручкин К.А. Компьютерное моделирование динамики твердого тела с неподвижной точкой// Классические задачи динамики твердого тела. Сб. науч. трудов. Донецк.: Инт. прикл. математики и механики НАН Украины, 2004. С.48 -49.

3. Ручкин К.А. Методы компьютерного моделирования и анализа решений задач хаотической динамики // Искусственный интеллект. 2004. №. 4. С.175-181.

4. Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. М: Высшая школа, 1964. 323 с.

5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М: Наука, 1969, Т.2. 328 с.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974, 432 с.

7. Бутенин Н.В., Фуфаев Н.А. Введение в аналитическую механику. 2-е изд., пер. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1991. 256 с.

8. Gashenenko I.N., Richter P.H. Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies. - Int. Journal of Bifurcation and Chaos, v. 14, 8 (2004), 2525-2553.

9. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2003. 296 с.

10. ЗубовИ.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физматлит, 2003. 224 с.

11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Удм. ун-т, 1999, Т.2.