ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ И ПРИМЕНЕНИИ ЕГО К РЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

УДК 519.642.2

ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ И ПРИМЕНЕНИИ ЕГО К РЕШЕНИЮ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы

Профессор, заведующий кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

Аннотация. Актуальность исследований численного решения интегрального уравнения Вольтерра ни у кого не вызывает сомнений. Одним из традиционных методов решения интегральных уравнений является использование квадратурных формул, которыми занимались многие известные ученые, начиная с самого Вольтерра. Среди них наиболее популярными являются левые и правые прямоугольные методы, методы трапеции и Симпсона, а также методы центральных разностей. Отметим, что все эти методы (кроме центральных разностей) можно объединить в класс многошаговых методов с постоянными коэффициентами. А метод центральных разностей можно принять в названный класс методов, после некоторых модификаций. Следовательно, метод центральных разностей отличается от выше указанных методов. Здесь, сравнивая выше указанные методы, показываем, что обобщение метода центральных разностей имеет некоторые преимущества и поэтому применение его к решению интегрального уравнения Вольтерра, предпочтительнее. С этой целью, в данной работе для исследования были выбраны численные методы, имеющие простые формы и некоторые преимущества.

Ключевые слова: Интегральные уравнения Вольтерра, метод квадратур, гибридные методы, способы нахождения коэффициентов.

Введение. Рассмотрим следующее интегральное уравнение Вольтерра второго рода (см. напр. [1]-[11]):

х

y

Численным решением уравнения (1) занимались многие известные ученые, начиная с Вольтерра. Учитывая тесную связь между интегральными и обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), к решению уравнения (1) в основном применяли методы, которые также использовались в решении начальной задачи для ОДУ первого порядка. Среди этих методов наиболее известными являются методы Рунге-Кутты, Адамса и т.д. Существуют методы, которые построены с использованием одношаговых и многошаговых методов, а также сплайн функций. Среди выше указанных левые и правые прямоугольные методы и метод трапеции являются одношаговыми, а метод Симпсона относится к классу многошаговых методов. Однако, метод центральных разностей можно отнести как к классу одношаговых так и многошаговых методов. Используя указанные свойства этих методов, здесь построен новый класс методов, который обобщает метод центральных разностей. Отметим, что построением подобных численных методов, а также методов для нахождения приближенного решения задачи (1) занимались многие ученые как академик Яненко, Верлань, Сизиков, Бруннер, Макроглоу, Аткинсон, Манжиров, Ибрагимов, Полянин, Иманова, Кордунеани и тд.

Как было отмечено выше, цель данной работы заключается в построении численного метода для решения уравнения (1). С этой целью предполагаем, что уравнение (1) имеет

х

0

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ Impact Factor: SJIF 2021 - 5.81 PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

2022 - 5.94

единственное непрерывное решение определенное на отрезке [х0, X]. Отметим, что уравнение (1) считается заданным, если заданы функции f (x) и K(x, y) . Предполагаем, что непрерывная функция f (x) определена на отрезке [x0, X], где имеет непрерывные производные до некоторого порядка p, а непрерывная по совокупности переменных функция K(x, s, y) определена в некоторой замкнутой области D, где имеет непрерывные частные производные также до некоторого порядка p, включительно. С целью построения численных методов, отрезок [x0, X ] разбиваем на n равных частей с точками xj+1 = x + h, i = 0,1,...,n -1. Здесь 0 < h - является шагом разбиений отрезка [x0,X]. Обозначим через y(xt) - точные значения решения задачи (1) в точках xi, i = 0,1,...,n, а соответствующие приближенные значения через y, i = 0,1,...,n .

Для простоты изложений, рассмотрим применение метода трапеции к решению уравнения (1). Тогда имеем:

xn+1

y

x0

Если применить обобщенный метод трапеции, то имеем:

n

Уп+1 = fn+1 + hiK

j=1

Рассмотрим случаи n = 2 и n = 3 . Тогда из (3) имеем:

2

Уз = f3 + h{K

J=1 3

У 4 = f4 + h

J=1

С помощью простых сравнений формул (4) и (5), получаем, что приближенные значения у2 , у3 участвующие в формуле (4) и (5) не совпадают. Однако, если функция K(x, s,у) т.е. K(x,s,у) = p(s,у) не зависит от x, то значения у3 участвующие в (4) и (5) будут одинаковыми. И в этом случае интегральное уравнение (1) будет решением задачи y' = <р(x, y), y(x0) = f (x0). Учитывая последнее, рассмотрим нахождение связи между уи+1 и

yn (в общей форме y(x + h) и y(x)). Тогда имеем:

У( xn+1 ) = У( xn ) + f (xn+1 ) - f (xn ) +

xn xn+1

+ J (K(xn+1, s> y(s)) - K(xn , s> y(s)))ds + J K(xn+1, s> y(s))ds.

x0 xn

Здесь трудность заключается в вычислении интеграла:

xn

J(K (x„+l7 s, y(s)) - K (x„, s, y(s)))ds.

x0

В вычислении второго интеграла в формуле (6), никаких трудностей не возникает, поскольку xB+1 - xn = h постоянно. Однако, в первом интеграле длина отрезка интегрирования является переменной. Некоторые авторы для вычисления указанного

интегрального уравнения предлагают использовать методы типа (см. например [12]-[21]):

k k k k

^ = ^ f + hYZ fiJ) K

i=0 i=0 i=0 j=i

Отметим, что в построении метода (7) учтено условие x0 < s < x < x . Метод трапеции типа (7) может быть представлен в виде:

Уп+1 Уп + У п+1 /п + ^^

+ к{К(Хп+1, Хп+1, Уп+1) + 2К(Хп+1, Хп , Уп ) + К(Хп , Хп , Уп ))/ 4 п = О,1,..., п - 1.

Отметим, что представление метода трапеции в виде (8) не единственно.

Для построения более точных методов рассмотрим использование численных методов типа гибридных.

Построение гибридных численных методов для решения интегральных уравнений типа Вольтерра. Отметим, что методы типа центральных разностей в работе академика Яненко названы как методы дробных шагов. Однако в работах Батчера и Гира подобные методы назывались как гибридные методы. Эти методы отличаются от других тем, что в гибридных методах используются дробные шаги типа гк, где г - является иррациональным числом. Отметим, что если коэффициент при шаге к является рациональным числом, то можно использовать некоторые модификации известных методов.

Очевидно, что если коэффициент при шаге к иррациональное число, то погрешность вычислений увеличивается. Известно, что гибридный метод для решения интегрального уравнения (1), можно задать в различных формах. Один из них может быть представлен в следующей форме (см. напр. [22]-[36]):

Е а

1=0 1=0 1=1

Этот метод обычно применяется в упрощенном виде, например в следующей форме:

к к к

Еч

г=0 г=0 1=г

Отметим, что точность методов (9) и (10) совпадает с некоторой погрешностью. Обычно, эти методы сравнивают с методами, которые применяются к решению задачи:

у' = р

Метод (9) при применении к решению задачи (11), преобразуется к виду:

к к

Еа,Уп+, = кЕ^ф^,у^), И < 1;г = 0,1,2,...,к.

г=0 г=0

При к = 1 из формулы (12), можно получить:

Уп+1 = Уп + к

Этот метод устойчив и имеет степень точности р = 4 . Критерий устойчивости и степень точности определяется в следующей форме, предложенным Дальквистом.

Определение 1. Метод (12) является устойчивым, если корни следующего многочлена

р(Л) = акЛк + а^Лк-1 +... + а,Л + а0 лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней. Определение 2. Целочисленную величину р , называют степенью метода (12), если

имеет место, следующее асимптотическое равенство:

к

Е {а,У

г=0

здесь ¡. = г + vi; г = 0,1,2,..., к.

Отметить, что точность метода (9) или (10) определяется асимптотическим равенством (14). Ради объективности отметим, что нахождение значений коэффициентов метода (9) или (10) более трудное, чем нахождение значений коэффициентов метода (12). Если в методе (9) или (10) положить и[= 0, г = 0,1,...,к, то для определения коэффициентов получаем

линейную систему алгебраических уравнений. Но, если имеет место Ф 0, 0 < г < к, то

полученная система алгебраических уравнений будет нелинейной.

Теперь рассмотрим нахождение коэффициентов метода (9) или (10). Выше показано, что эти методы с одинаковым успехом, могут быть применены к решению задачи (11). Отметим, что популярной моделью для интегрального уравнения (1), обычно считают уравнение

х

y( х) = 1 + y(s)ds,

которое эквивалентно следующей модельной задаче:

у' = Лу

Однако, здесь будем использовать задачу (11), как модель для исследования уравнения (1). Как было отмечено в этом случае из методов (9) и (10) следует метод (12). Для

определения значений коэффициентов метода (12) полагаем Л = 1, имеем:

к к

Еа'Уп+, = кЕДу1,. 1=0 1=0

Предполагая, что у(х) - достаточно гладкая функция, можно написать:

у( х + гк) = у( х) + гку' (х) + у " (х) +... + у(-) (х) + 0(к-+1),

2! —!

у " (х + ¡гк) = у" (х) +1 ку" (х) + у " (х) +... + у(--1) (х) + 0(к- ).

2! (- -1)!

Учитывая равенство (14), получаем, что метод (16) имеет степень - . Тогда с учетом

Тейлоровских разложений (17) и (18) в равенстве (16) имеем:

к к к -2

Ечу(х)+кЕ (*ч -Д )у'(х)+к2 Е (- Ч-Дк )у"(х)+...

г=0 1=0 1=0 2!

к г- ¡--1

+ к-Е (-. ч-г*-^. Д )у(-) (х) = 0(И-+1\ к ^ 0. ^ -! (- -1)!

Как известно, 1,к,к2,...,к- , а также у(х),у'(х),...,у(-)(х) (у(})(х) Ф 0; } = 0,1,...,-) составляют линейно - независимую систему. Поэтому из асимптотического равенства (19) следует, что имеет место (см. напр. [37]-[44]):

к к к к к V 2

t щ = 0; t Д = ! Щ; ЦД=1 гтщ

i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 2!

к jp-1 к iP

Zt^ Д=Т~Щ; l =i' + ^ (i = к).

, ai; Ji = i+yi 1=0 (P -1)! P! г' г г

Нетрудно понять, что полученная система является однородной системой нелинейных алгебраических уравнений. Система (20) всегда имеет тривиальное решение, которое не представляет интерес. Поэтому рассмотрим случаи, когда система (20) имеет нетривиальное решение. Отметим, что в системе (20) количество уравнений равно p +1, а количество неизвестных равно 3к + 3. Для того, чтобы система (20) имела нетривиальные решения, должно выполняться условие p +1 < 3к + 3 или p < 3к +1. Следовательно, если гибридный метод (16) имеет степень p , то имеет место p < 3к +1. Можно доказать, что если метод (16) устойчив, то p < 2к + 2 . При к = 1 существует один гибридный метод с максимальной точностью, который устойчив и имеет следующий вид:

х

Уп+1 = Уп + Ку'пЦ> + У'„+Ы1 )/2,

Отметим, что понятие устойчивости для выше указанных методов определяется по линейной части и поэтому совпадают. При к = 2 устойчивый метод типа (16) с максимальной степенью ^тах = 6 определяется следующим образом:

У п+2 = Уп+1 + Ь(5у'п+з12+р+ ВуП+з/2 + 5уП+32-,)/18, Д = л/15 /10.

Чтобы применять эти методы к решению уравнения (1), надо определить значения коэффициентов. С этой целью, в методе (9) учитываем модельную задачу (15). Тогда имеем:

k k

^ (Уш - 1) = ^ ) У^ .

1=0 1=0 ¿=1

к

С учетом, необходимого условия сходимости ^аг = 0, получаем

1=0

к

), 1 = 0,1,..., к.

'

Отметим, что система (24) не имеет единственного решения. Известно, что если метод устойчив, то решение системы (20) не всегда единственно. Поэтому решение системы (24) не является единственным.

Из системы (24) получаем, что Д = Д(г) также является решением этой системы.

Отметим, что метод построенный с учетом значений Д = Д() не всегда дает положительный результат.

Очевидно, что трудность в применении гибридных методов, заключается в нахождении значений функции У(х) в гибридных точках с требуемой точностью. Например, для

нахождения значений Уп+а с точностью 0(к4) в решении некоторых задач можно использовать следующую формулу:

Уп+а = Уп + 2ИУп + а2к((а2 - 12а + 6)- (3а2 - 48а + 21^ +

+ (3а2 - 60а + 54)y'n+lj2 - (а2 - 24а + 33)y'n)/18, а = 3/2 ± Vl5/10.

Для применения методов типа (16), можно использовать следующее уравнение

y'( х) = f'( x) + K ( x, x, y( x)) + J K'x ( x, J, y(s))ds),

X0

которое получается из (1) в предположении известности решений уравнения (1). Отметим, что подобные исследования, проводимые в работах [45]-[49], расширяют область применений многошаговых методов.

Выводы. При решении прикладных задач, обычно стараются использовать устойчивые методы с высокой точностью, имеющие простые структуры и широкую область устойчивости. Известно, что при увеличении точности методов Рунге-Кутты соответственно увеличивается их область устойчивости. А для методов Адамса, наоборот, при увеличении их точности, область их устойчивости сужается. С учетом связи между гибридными методами и методами Рунге-Кутты можно ожидать, что область устойчивости для гибридных методов будет увеличиваться с увеличением их точности. Следовательно, гибридные методы имеют некоторые преимущества. Очевидно, что каждый метод имеет свои преимущества и недостатки. Естественно, что гибридные методы также имеют некоторые недостатки. Основной недостаток этих методов заключается в вычислении приближенных значений искомых решений в гибридных точках. Подобные проблемы

k

обычно решаются с помощью использования некоторых дополнительных методов. Например, в нашем случае таким методом является метод (22). Как было сказано выше, гибридные методы можно построить так, чтобы они имели простую структуру. Например,

Уп+1 = Уп + h(y'n+1 + 3У'п+Ц3 Этот метод устойчив, имеет степень p = 3 и вычисление значений уи+1/3 не

представляет никаких трудностей. Можно сказать, что этот метод является упрощенной формой метода (21).

Считаем, что предложенные здесь методы являются перспективными, и надеемся, что они найдут своих последователей.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. V. Volterra, Theory of functional and of integral and integro-differential equations, Moscow, Nauka, 1982, 304 p., (in Russian).

2. A.F. Verlan, V.S. Sizikov, Integral equations: methods, algorithms, programs, Kiev, Naukova Dumka, 1986.

3. Fedal Abdel Aziz Mustafa Salameh, Analytical and Numerical solution of Volterra Integral equation of the second kind, An-Nagah National University, Nablus, Palestine, 2014, p.86.

4. S.S. Ahmed, Numerical solution for Volterra-Fredholm integral equations of the second kind by using least-square technique, Iraqi Journal of Science, Vol.52, No.4, 2011, p. 504-512.

5. M. Aigo, On the numerical approximation of Volterra integral equations of second kind using quadrature rules, International Journal of Advanced scientific and technical research Issue 3, Vol.1, 2013.

6. K. Atkinson, The numerical solution of integral equations of the second kind, the press syndicate of the University of Cambridge, United Kingdom, 1997.

7. C.T.H. Baker, The numerical treatment of integral equations, Oxford; Clear - don, 1977, p.1034.

8. M. Mustafa, Numerical solutions of Volterra integral equations with delay using block methods, Al-Fatih Journal, no. 36, October (2008).

9. M. Rahman, Integral equations and their applications, WIT, 2007.

10. M.M. Rahman, M.A. Hakim and M. Kamul, Numerical solutions of Volterra integral; equations of second kind with the help of Chebyshev polynomials, Pure and Appl. Math., Vol.1, No.2, 2012, p. 158-167.

11. A. Rahman and Sh. Islam, Numerical solutions of Volterra integral equations using Legendre polynomials, GANIT J. Bangladesh Math. Soc. (ISSN 1606-3694) 32, 2012, p. 29-35.

12. E. Rakotch, Numerical solution Volterra integral equations, Springer-Verlag, Numer. Math. 20, 1973, p.271-279.

13. H. Brunner, The solution of Volterra integral equations of the first kind by piecewise polynomials, J. Inst. Math. and Appl., 1973, Vol.12, No 3, p. 295-302.

14. M.V. Bulatov, Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations, volume 44, 2008, p. 13531360.

15. D.A. Juraev, A. Shokri, D. Marian, On an approximate solution of the Cauchy problem for systems of equations of elliptic type of the first order, Entropy, 2022/7/13, p. 1-18.

16. D.A. Juraev, M.J. Jalalov, V.R. Ibrahimov, On the formulation of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation, Engineering Applications, 2(2), 2023, p. 176-189.

17. D.A. Juraev, The solution of the ill-posed Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation in a multidimensional bounded domain, Palestine Journal of Mathematics, 11(3), 2022, p. 604-613.

18. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov, M. Imanova, General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p.1047-1056.

19. C. Gear, Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 2, 1965, p.69-86.

20. G. Dahlquist, Stability and error bounds in the numerical integrati on of ordi nary di fferenti al equati on s, Al m qui st & Wi ks el l s b oktr., H. Li nd stahl s b okhandel di stributi on, Stockhol m , Upp sal a, 1959.

21. J. Sunday, G.M. Kumleng, N.M. Kamoh, J.A. Kwanamu, Y. Akwame, O. Sarjiyus, Implicit four-point hybrid block integrator for the simulations of stiff models, Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences 4, 2022, p. 287-296.

22. L. Skvortsov, Explicit two-step Runge-Kutta methods, Math. Modelling 21, 2009, p. 54-56.

23. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, 2012/11/6, p. 506-510.

24. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations, World Academy of Science, Engineering and Technology, 2012, p. 809-813.

25. G. Dahlquist, Stability and error bounds in the numerical integration of ODEs, 85 s., Stockholm, 1959, K. Tekniska Hofskolans Handlingar, N 130, 195-987.

26. D.A. Juraev, A. Shokri, D. Marian, Regularized solution of the Cauchy problem in an unbounded domain, Symmetry, 14:8 (2022), 1-13.

27. D.A. Zhuraev, Cauchy Problem for Matrix Factorizations of the Helmholtz Equation, Ukrainian Mathematical Journal, 69:10 (2018) , p.1364-1371.

28. . . , . . , . . , . . . ,

sy stem of two stati onary S chrodi nger equati on s, Stochasti c Modell i ng & С omputati onal S ci ence s, 3:1 (2023), p.23-28.

29. M. Imanova V. Ibrahimov, The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, vol. 18, February 2023, issue 1, p. 74-80.

30. M.V. Bulatov, T.S. Indutskaya, Numerical solution of differential-algebraic equations of arbitrary index with Riemann-Liouville derivative, Russian Universities Reports. Mathematics, 2023, Volume 28, Issue 141, p. 13-25.

31. M.N. Imanova V.R. Ibrahimov, The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure, WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS, DOI: 10.37394/23202.2023.22.20, p.199-206.

32. V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems, 2022 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCI), 2023, p.464-472.

33. V. Ibrahimov, M. Imanova, On some modifications of the Gauss Quadrature method and its application to solve of the initial-value problem for ODE, International conference on wireless communications, 2022, p. 306-316.

34. I.G. Burova, Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, Volume 21, 2022,p. 260-270.

35. Zhiqiang Xie, Corresponding Haikun Teng, Jingwei Ming, Xiaoguang Yue, A Two-Workshop Collaborative, Integrated Scheduling Algorithm considering the Prescheduling of the Root-Subtree Processes Computational Intelligence and Neuroscience 2022.

36. V. Ibrahimov, M. Imanova, G. Mehdiyeva, Construction of some algorithm for calculation of definite integrals by using advanced and hybrid methods, Proceedings of International Conference on Engineering, Science and Technology, 2022, p. 84-96.

37. D.A. Juraev, S. Noeiaghdam, Modern Problems of Mathematical Physics and Their Applications, Axioms., 11:2 (2022), p.1-6.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

38. A. Shokri, M.M. Khalsaraei, S. Noeiaghdam, D.A. Juraev, A new divided difference interpolation method for two-variable functions, Global and Stochastic Analysis., 2022, p.19-26.

39. V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, Multistep methods of the hybrid types and their application to solve the second kind Volterra integral equation, Symmetry, 13(6), 2021, p.1087.

40. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov. M. Imanova, General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p.1047-1056.

41. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, On one generalization of hybrid methods, Proceedings of the 4th international conference on approximation methods and numerical modelling in environment and natural resources, 2011/5/23, p. 543-547.

42. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.

43. J.O. Ehigie, S.A. Okunuga, A.B. Sofoluwe, M.A. Akanbi, On generalized 2-step continuous linear multistep method of hybrid type for the integration of second order ordinary differential equations, Archives of Applied Research, 2010,2 (6), p.362-372.

44. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov, M. Imanova, On the constraction of the advanced Hybrid Methods and appli cati on to S olving Volterra integral Eguati ons, W SEAS weak transactions on systems and control, V.14, 2019.

45. M. Imanova, One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation, transactions issue mathematics and mechanics series of physical-technical and mathematical science I, 2006, p. 95-104.

46. M.N. Botoroeva, O.S. Budnikova, M.V. Bulatova, S.S. Orlov, Numerical Solution of Integral-Algebraic Equations with a Weak Boundary Singularity by k-Step Methods, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2021, Vol. 61, No. 11, p. 1787-1799.

47. I.G. Burova, G.O. Alcybeev, Solution of Integral Equations Using Local Splines of the Second Order, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Volume 17, 2022, p. 258-262.

48. Vagif Ibrahimov, Yue Xiao-Guang, Davron Juraev, On some advantages of the predictor corrector methods, IETI Transactions on Data analysis and forecasting, 2023.

49. V.R. Ib rahim ov, G.Y. Mehdi yeva, M.N. im anova, D.A. Juraev, Appl i cati on of the B i l ateral-hybrid methods to solving initial value problems for the Volterra integro- differential equations, WSEAS TRANSTACTIONS ON MATHEMATICS, 2023, p.781-791.