Эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации двухфазных однонаправленно армированных композитов с анизотропными полыми и сплошными волокнами

УДК 593.3

А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ ОБЪЕМНОГО СЖАТИЯ ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХФАЗНЫХ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ С АНИЗОТРОПНЫМИ ПОЛЫМИ И СПЛОШНЫМИ ВОЛОКНАМИ

В рамках полидисперсных моделей механики композитов получены аналитические выражения для эффективных модулей объемного сжатия однонаправленно армированных материалов, трансверсально-изотропные матрицы которых армированы трансверсально-изотропными полыми или сплошными цилиндрическими волокнами различного диаметра, а на межфазных поверхностях выполняются условия идеального сопряжения. На основе полученных решений спрогнозированы эффективные модули объемного сжатия трабекулярной костной ткани и проанализировано изменение этих характеристик с биологическим возрастом человека при различной объемной пористости.

Ключевые слова: полидисперсная модель, однонаправленно армированный композит, анизотропные полые и сплошные цилиндрические волокна, идеальное сопряжение на межфаз-ной поверхности, эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации, трабекулярная костная ткань, влияние пористости и биологического возраста.

A.V. Zaitsev, Yu.V. Sokolkin, A.A. Fukalov

State National Research Polytechnical University of Perm, Perm, Russia

EFFECTIVE BULK MODULI UNDER PLAIN STRAIN TO TWO-PHASE UNIDIRECTIONAL COMPOSITES REINFORCED BY ANISOTROPIC HOLLOW AND SOLID FIBERS

Applying polydisperse approximation the new exact analytical relationships for the effective bulk modules under plane strain are obtained for anisotropic trabecular bones taking into account biological age and a porosity. The forecasted changing of bulk modules under plane strain deals with age adaptation of bone's structures. This is a basis for formulating the new methods of the warning and medical treatment of fractures, the complexes of gymnastic exercises, and individual selection of loading modes for akinetic patients.

Key words: polydispersible approximation, one-direction reinforced composite, anisotropic empty and solid cylindrical fibre, ideal coupling on contact surface, effective bulk modules under plane strain, trabecular bones, influence of porosity and biological age.

Полидисперсные модели механики композитов дают хорошие инженерные оценки для эффективных упругих модулей, если армирующими элементами являются бесконечно протяженные цилиндрические соосные круглые в поперечном сечении волокна, размещенные в изотропной матрице [1]. Однако использование этих моделей в случаях, если изотропная (эпоксидная или алюминиевая) матрица армирована анизотропными углеродными, органическими или природными волокнами или сама матрица анизотропна (керамическая или поликри-сталлическая), приводит к завышенным значениям эффективных упругих модулей. Поэтому учет анизотропии является одним из способов «редукции» или более адекватного описания экспериментальных данных для материалов, физико-механические свойства фаз которых не являются изотропными [2].

Еще одним примером материалов, которые могут рассматриваться среди возможных приложений, являются биологические костные ткани, состоящие из высокомодульных и высокопрочных неорганических волокон из кристаллов гидроксилапатита и матрицы в виде органических и коллагеновых волокон (создают монолитность строения). Аморфными органическими и минеральными веществами, которые также присутствуют в костной ткани в объеме 1 %, при прогнозировании эффективных упругих модулей можно пренебречь [3]. Предполагая, что волокна из кристаллов гидроксилапатита и коллагеновые волокна образуют непрерывные нити диаметром до 45 А, расположенные вдоль продольной оси кости, будем считать, что костная ткань является трансверсально-изотропной средой. Это предположение не входит в противоречие с выводами авторов [4]. Несмотря на то, что на основе обработки экспериментальных результатов, полученных для образцов из отдельных зон поперечного сечения диафизарного отдела большой берцовой кости, делается вывод об ортогональной анизотропии материала, различие в модулях нормальной упругости в окружном и радиальном направлениях не превосходит 7,5-8,0 %.

Принимая гипотезы полидисперсных моделей [1], рассмотрим двухфазный композит, линейно-упругая однородная трансверсально-изотропная матрица которого армирована сплошными или полыми соосными трансверсально-изотропными круглыми в поперечном сечении волокнами различного диаметра. Будем считать, что каждое цилиндрическое волокно произвольного радиуса ЯА, окруженное слоем мат-

рицы толщиной Яв — ЯА, является составным армирующим элементом, для которого отношения с = ЯА/ЯВ и к = Яо/ЯА (в случае полого армирующего элемента) являются постоянными величинами. Кроме того, будем предполагать, что волокна, матрица и составной армирующий элемент не изменяют тип упругой симметрии при нагружении, имеют ось симметрии бесконечного порядка, совпадающую с осью 2 цилиндрической ортогональной системы координат г, 0 и г.

Рассмотрим произвольный бесконечно протяженный составной армирующий элемент, находящийся в плоскодеформированном состоянии, на внешней боковой цилиндрической поверхности которого задано равномерно распределенное радиальное давление р:

°гг| г - ЯВ = Р

или перемещение £,:

иг\ г = КВ = ^ •

Используя точные аналитические решения задач Ламе о равновесии толстостенных трансверсально-изотропных цилиндров [5], запишем выражения для радиальных перемещений иг и напряжений огг в полом волокне и окружающем слое матрицы:

иг = Арг + Вр , ¿гг = А22 {¿Е — В^ + А23 ,

иМ = АМг + = В22 { Ам В^] + В23

Здесь и далее все величины, относящиеся к волокнам и матрице, будут отмечены индексами р и М соответственно.

Для композита со сплошными волокнами в уравнениях (3) исключим слагаемые, содержащие В1. Наличие этих слагаемых в решении приведет к сингулярности радиальных перемещений и напряжений в точках, принадлежащих оси симметрии армирующих элементов:

иг = Срг , г = Ср

Содержащиеся в равенствах (3)-(5) константы определяются модулями Юнга Ем , Ем, Ер, Ер и коэффициентами Пуассона им, бм, ир и ир материалов матрицы и волокон:

А22 -

Е

с

р

Нр

2 Ер 1 -и р^

ер У

Л

В22 -

Е

м

Нм

1-б2 Ем 1 бм ~

А23 -

В23 -

Е

р

Нр

бр + б р

2 Ер

"р У

Е

м

Нм

Г Т-, \

б + б2 Ем им + им ^

Л Ер

V

2 Ем

м

Нр - 1 бр 26р _ , Нм - 1 бм 26м'

ер Ем

Ограничимся наиболее простым случаем, когда на межфазной поверхности композита выполняются условия идеального сопряжения

г - К,

-

м

г - К

, Огг

г - К,

-а

м

г - К .

а внутренняя поверхность полых цилиндрических включений свободна от напряжений,

агг| г - К0 - 0-

Из решения системы линейных алгебраических уравнений, которая получается при подстановке (4) и (5) в равенства (1) и условия (6), определяем константы интегрирования:

Г - 2 в22 р а -Гр - 2 тг р , Ам -

К + К.

Н

С

Н

Р, Вм - К

- р2 Кз

К3 - К,

С

Н

Р

С

К1 -Ер, К2 --^

Нт

1 + и

Кз - Ем

Н

К4--Ем-

м

1 + и

м

Не - К4

для композита, армированного сплошными цилиндрическими волокнами. В случае когда волокна полые, записать систему алгебраических уравнений и решить ее относительно неизвестных постоянных

Ар--2 Р, Вр--2 ^ р,

I

и

г

. К,

лм -

„ Кі(К, -Кз)дА-К,(Кі + ЗД1

Вм -

Н - К,С

Н

і

I-1

Н

р, р

К,

+ К3

К,

позволяет подстановка (3) и (4) в соотношения (1), условия (6) и (7).

Если предположить, что волокна однородно распределены внутри композита, то рассматриваемая среда квазиоднородна и трансвер-сально-изотропна. Поставим в соответствие составным частицам, находящимся в условиях плоской деформации, эквивалентные однородные армирующие элементы, упругие модули которых являются эффективными характеристиками композита.

Из равенства радиальных перемещений на внешних границах эквивалентных однородных армирующих элементов

Г-К

РКВ

1К

г0

и составных волокон

м

- АМКВ +

В

м

К

могут быть найдены оценки сверху эффективных модулей объемного сжатия при плоской деформации двухфазного композита со сплошными

1 К,

1 (К3 - К,)с2 + К, + К,

и полыми

К, , КіК,с- + К3К1

Кг0 - ^ ^

1 К1 - К^,с

соосными волокнами, находящимися в идеальном сопряжении с транс-версально-изотропной матрицей.

и

г

*

г

Здесь К = К2 (К1 - К3)- К1 (К2 + К3) Л2, К2 - К2 (К + К4 )-

-К! (К2 - К4) Л2.

Обратим внимание на то, что замена условий (1) на кинематические (2), обеспечивающие однородное перемещение внешней боковой поверхности составного цилиндрического волокна, позволяет определить константы интегрирования для сплошных

Г - 2 t A - K1 + *4 e B _ „2n *3 *

rF _ 2 „ T T S , AM jy j-j S , BM _ c RB „

Kntt r H t

и полых

RbHc

^BHC

C

He-

Af _ 2 K2B22 t BF _ 2 *1B22RBh2c2 ;

RbH

H

. Ki (K4 - *2) h2 + *2 (*1 + K4) t

am _ s,

bm _ c RB

RbH

2„ *1 ( *2 + *3 ) h2 - *2 ( *1 - *3) t,

h

H - A

22

+ A

+

A22

'23 (h2 - 1)[c2*3 + *4 + A23 (1 - c2)'

армирующих элементов, а также получить оценки снизу для эффек-

*

тивных модулей *rQ из условий равенства радиальных напряжений на внешних боковых границах эквивалентных однородных волокон

_ "*

а.

r _Rb _ 2 RB*re

и составных армирующих элементах

ar

-M

r-Rb ~ AM*3

Несложно показать, что эти оценки совпадут с полученными выражениями (8) и (9). Следовательно, полученные решения являются

точными в рамках ограничений, используемых в полидисперсных моделях. Обратим также внимание на то, что при подстановке Rq - 0

(или h - 0 ) в уравнения (9) последние значительно упрощаются и принимают вид (8).

В частном случае

EF - Ef - 9 Gf*f , EM - EM - 9 Gm*m ,

F F 3*f + Gf M M 3*m + Gm

_ 3*f - 2Gf - 3*m - 2Gm

иF -uF -—FF, иM -uM -— ------------------—,

F F 6*F + 2Gf - - 6*M + 2Gm

где *f , *— , Gf и G— — объемный и сдвиговой упругие модули фаз,

из выражений (8) и (9) следуют эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации волокнистых композитов, изотропная

матрица которых содержит однородно распределенные изотропные

сплошные

* - 3Gm (NM nf )v f (nf + 3Gm ) NM

3

**0-

G +___________________________Vf_______________________

1

F + 3 GF -(*M + 1GM) ™ 3

и полые

Кр + 3е?-\Кы +1 вм) КМ + 3 вм К* — 3в1вМ

Ыр (3вр + Nм) р + 3вр (Nм - Ыр )ур + 3^К

ЫК - (вМ - вр ) NPV0 + вр (Ыр + 3вм),

ЫМ — вМ + 3КМ , Ыр — вр + 3Кр

цилиндрические соосные армирующие элементы. Обратим внимание

2 2

на то, что в формулах (10) и (11) проведена замена с — Ур и Л — Уо (где Ур и Уо - объемное наполнение волокнами и пористость), а равенство (10) в точности совпадает с выражением, впервые полученным

З. Хашином и Б.В. Розеном [1].

X

1 1 р = 0,6

1 Р - 0,7

Ч

оо о II О-

р = 0,9 1 !.

28 41 54 Возраст, лет

Рис. Возрастные изменения модуля объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной костной ткани при различной объемной пористости р = Яв

В качестве примера рассмотрим задачу прогнозирования возрастного изменения эффективных модулей объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной ткани большой берцовой кости. Для этого предположим, что костная ткань является композитом с круглыми в поперечном сечении соосными туннельными порами. Моделирование возрастного изменения деформационных характеристик будем проводить с использованием эмпирической зависимости [6], полученной в результате обработки экспериментальных значений модулей нормальной упругости в различных возрастных группах от 28 до 95 лет. Считая, что возрастные изменения влияют только на модули в продольном направлении, примем следующие упругие характеристики костной ткани: Е = 7,7 ГПа, и = 0,44, Е = 21,7 ГПа и {3 = 0,3 (возраст -28 лет) и Е = 7,7 ГПа, и = 0,44, ЕЕ = 17,4 ГПа и 33 = 0,3 (результат биологического старения до 80 лет) [4, 6].

С помощью полученных выражений (9) будем прогнозировать

*

эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации Кг0 трабекулярной костной ткани. Эта характеристика является одной из

ключевых для описания движения вязких жидкостей (костный мозг, лимфа, кровь, тканевая жидкость) внутри [7]. Примем следующую гипотезу: в возрасте 28 лет ткань является «молодой», а при увеличении биологического возраста старение начинается на внутренних поверхностях и постепенно к 80 годам охватывает весь объем кости. Это предположение позволяет заменить исходную стареющую среду композитом с полыми соосными цилиндрически трансверсально-изотроп-ными волокнами в трансверсально-изотропной матрице (стареющая и «молодая» костная ткань соответственно), с равномерно изменяющимися радиусами: от к = Я$/ЯА = 1 в возрасте 28 лет до с = ЯА/ЯВ = 1 -80 лет.

Еще один важный фактор, который может быть учтен при прогнозировании эффективных упругих модулей — необратимые изменения в структуре костной ткани при наличии, отсутствии или изменении внешнего силового воздействия. Закономерности этих изменений, связанных с разрушением «старых» и созданием новых трабекул, подчиняются закону Ю. Вольфа [8]. Будем предполагать, что перестройка костной ткани связана с увеличением объемной пористости р = Яд/Яв ,

которая будет изменяться в диапазоне от 0,6 до 0,9.

На рисунке показано совместное влияние объемной пористости и биологического возраста на изменение модуля объемного сжатия при плоской деформации трабекулярной костной ткани. Как видим, при ста*

рении наблюдается незначительное (от 2 до 8 %) снижение Кг0, в то время как при увеличении объемной пористости до 0,9 значения эффективных модулей в 5,2-5,7 раз ниже, чем в исходном состоянии ( р = 0,6 ).

Обратим внимание на практическую значимость полученных результатов. Спрогнозированное изменение модулей объемного сжатия при плоской деформации связано с возрастной внутренней перестройкой структуры костной ткани и является основой для разработки новых методов предупреждения и лечения переломов, а также обоснования комплекса гимнастических упражнений и индивидуального подбора нагрузок для неподвижных и ограниченно подвижных больных.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11-01-00910).

Библиографический список

1. Хашин 3., Розен Б.В. Упругие модули волокнисто-амирован-ных материалов // Прикл. механика: тр. Амер. о-ва инж.-мех. - 1964. -Т. 31, № 2. - С. 223-232.

2. Зайцев А.В., Фукалов А.А. Эффективные модули объемного сжатия дисперсно-упрочненных композитов со сплошными и полыми анизотропными сферическими включениями // Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - № 4. - С. 46-54.

3. Сопротивляемость костной ткани разрушению при растяжении / И.В. Кнетс, Х.А. Янсон, Ю.Ж. Саулгозис, Г.О. Пфафрод // Механика полимеров. - 1971. - № 6. - С. 1084-1091.

4. Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж., Янсон Х.А. Деформативность и прочность компактной костной ткани при растяжении // Механика полимеров. - 1974. - № 3. - С. 501-506.

5. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 416 с.

6. Возрастные изменения некоторых упругих характеристик механических свойств компактной костной ткани человека / Ю.Ж. Саулгозис, И.В. Кнетс, Х.А. Янсон, Г.О. Пфафрод // Механика полимеров. -1974. - № 5. - С. 885-891.

7. Янсон Х.А., Кнетс И.В., Саулгозис Ю.Ж. Физиологическое значение изменения объема кости при деформировании // Механика полимеров. - 1974. - № 4. - С. 695-703.

8. Martin R.B. Skeletal tissue mechanics / Eds.: R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey. N.Y.: Shpringer-Verlag, 1998. - 382 p.

References

1. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber reinforced materials // J. Appl. Mech. 1964. Vol. 31. P. 223-232.

2. Zaitsev A.V., Fukalov A.A. Effective modules of volume compression to composites are reinforced by solid and empty spherical particles [Ef-fectivnye moduli ob’emnogo szhatiya dispersno uprochnennikh compositov so sploshnimi i polimi sphericheskimi vklucheniyami] // Bulletin of PSTU. Mechanics. 2010. No. 4. P. 46-54.

3. Knets I., Yanson H., Saulgozis Yu., Pfafrod G. Cortical bone re-sistability to fracture in tension [Soprotivlyaemost’ kostnoy tkani razrush-eniyu pri rastyagenii] // Polymer Mechanics. 1971. No. 6. P. 1084-1091.

4. Knets I., Saulgozis Yu., Yanson H. Deformability and strength of compact bone tissue in tension [Deformativnost’ i prochnost’ kompaktnoy kostnoy tkani pri rastyagenii] // Polymer Mechanics. 1974. No. 3. P. 501506.

5. Lekhnitskiy S.G. Theory of elasticity for anisotropic bodies [Te-oriya uprugosti anizotropnogo tela]. M.: Nauka, 1977. 416 с.

6. Saulgozis Yu., Knets I., Yanson H., Pfafrod G. Changes of some elastic characteristics of the mechanical properties of compact bone tissue with age [Vozrastnie izmeneniya nekotorikh uprugikh kharakteristik mechanicheskikh svoystv kompaktnoy kostnoy tkani cheloveka] // Polymer Mechanics. 1974. No. 5. P. 885-891.

7. Yanson H., Knets I., Saulgozis Yu. Physiological significance of the change of bone volume during deformation [Phiziologicheskoe znache-nie izmeneniya ob’ema kosti pri deformirovanii] // Polymer Mechanics. 1974. No. 4. P. 695-703.

8. Martin R.B. Skeletal tissue mechanics / Eds.: R.B. Martin, D.B. Burr, N.A. Sharkey. NY: Shpringer-Verlag, 1998. 382 p.

Об авторах

Зайцев Алексей Вячеславович (Пермь, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: zav@pstu.ru).

Соколкин Юрий Викторович (Пермь, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: sokolkin@pstu.ru).

Фукалов Антон Александрович (Пермь, Россия) - аспирант кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского национального исследовательского университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр-т, 29, e-mail: mr_aa@mail.ru).

About the authors

Zaitsev Alexey Vyacheslavovich (Perm, Russia) - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Me-

chanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: zav@pstu.ru).

Sokolkin Yuriy Viktorovich (Perm, Russia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: sokolkin@pstu.ru).

Fukalov Anton Alexandrovich (Perm, Russia) - Postgraduate Student of the Department of Mechanics of Composite Materials and Structures, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky Ave., Perm, Russia, e-mail: mr_aa@mail.ru).

Получено 28.10.2011