Гибридно-автоматный метод анализа качества работы систем управления

УДК 621.8

ГИБРИДНО-АВТОМАТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА КАЧЕСТВА РАБОТЫ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© 2009 г. Г.Н. Рогачев

Самарский государственный Samara State

технический университет Technical University

Рассматривается метод описания систем управления, основанный на представлении таких систем в виде гибридных автоматов. С использованием гибридно-автоматной модели проанализировано качество работы системы автоматического управления в условиях нестабильного шага квантования.

Ключевые слова: гибридный автомат; цифровая система автоматического управления; нестабильный шаг квантования.

The summary. In article the method of the description of the control systems, based on representation of such systems in the form of hybrid automatic machines is considered. With use of hibrid-automata model quality of work of system of automatic control in the conditions of an astable sample step is analysed.

Keywords: the hybrid automata; digital control system; astable sampe step.

Метод описания систем управления, основанный на представлении цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ) в виде гибридного автомата [1], позволяет учесть поведение гибридной системы в непрерывном времени и, используя минимум изобразительных средств, смоделировать реальные процессы, происходящие как в непрерывной, так и в дискретной части ЦСАУ. Средством описания ЦСАУ служит гибридный автомат в виде направленного графа. Единственная вершина графа гибридного автомата отображает непрерывную динамику объекта управления в дискретных состояниях регулятора (между моментами его срабатывания), а грани задают возможные переходы между дискретными состояниями. С вершиной сопоставляется набор начальных состояний и дифференциальных уравнений, которым подчиняется непрерывная динамика. Каждой грани ставится в соответствие условие перехода и действие, осуществляемое регулятором в момент перехода.

Предлагаемый подход достаточно универсален. Действительно, при разных способах реализации системы управления переход может выполняться различными способами. Условие перехода может включать время (что справедливо для систем с дискретным временем, к которым можно отнести все цифровые САУ), состояние (в случае систем с дискретными событиями, например релейных) или их комбинацию. Вычисление управляющего воздействия может осуществляться по различным алгоритмам, характерным для того или иного закона управления. Кроме того, передача управляющего воздействия может происходить с временными задержками, потерей части информации и наложением шумовой составляющей, что имеет место в реальных системах управления. Таким образом, гибридно-автоматная форма пригодна для описания различных классов систем управления.

Рассмотрим, например, представление в виде гибридного автомата ЦСАУ с промышленным регулято-

ром, реализующим один из типовых и наиболее распространенных законов регулирования (П, ПИ, ПИД). В этом случае действие перехода будет заключаться в вычислении управления по одной из формул [2]:

и

и

и

и (К) = и(К -1) + а1Р1Ве(К) +

+а2рЮе

для П, ПД, ПИ и ПИД-закона соответственно. В выражениях (1) - (4) и(г') и е(г) соответственно - управление и ошибка в г'-й момент времени, аР, а^в, а2РВ, а1Р1, а2Р1, а1Р1В, а2Р1В и а3Р1В - параметры регуляторов.

При стабильном шаге квантования условием перехода будет выражение ^ = КЩ, где t - текущее время, Щ - шаг квантования по времени, КЩ - момент выдачи К-го управляющего сигнала (рис. 1). Если шаг квантования подвержен случайным колебаниям, условие перехода приобретет следующий вид: ^ = К(Щ + 5К)], где 5К - случайная вариация К-го шага квантования (рис. 2).

Рис. 1. ПД-регулятор со стабильным шагом квантования

= 27,7500, a.

2PD

регулятора

выражении (2) a1PD =

KT,

KT, h

= 26,2500 (постановка задачи

Рис. 2. ПД-регулятор с нестабильным шагом квантования

В случае, когда имеет место потеря N % информации, условие перехода должно выглядеть следующим образом: [(t = Kh)AND (rK > N /100)], где rK -

K-е значение равномерно распределенной в диапазоне [0,1] случайной величины. Если оба эффекта накладываются друг на друга, условием перехода будет выражение [(t = K(h + 5K))AND (rK > N /100)]. Если управляющее воздействие ограничено по амплитуде, u (K )e[umm, umax ], это также можно учесть при вычислении сигнала управления, используя в качестве действия перехода выражение u (K ) = max (umin,

min (umax, aPe (K))) в случае П-регулятора или аналогичное при ином типе регулятора.

Численные эксперименты с гибридно-автоматными регуляторами возможны с использованием программ Stateflow и Simulink, входящих в состав пакета MATLAB [3]. MATLAB обеспечивает доступ к различным типам данных, высокоуровневому программированию и инструментальным средствам визуализации. Simulink поддерживает проектирование непрерывных и дискретных динамических систем в графической среде (в виде блок-схем). Stateflow-диаграммы включаются в Simulink-модели, чтобы придать Simulink новые возможности по моделированию процессов в гибридных системах. Stateflow обеспечивает описание поведения таких систем с использованием диаграмм состояний и переходов. Комбинация MATLAB-Simulink-Stateflow является мощным универсальным инструментом моделирования гибридных систем. Дополнительная возможность следить в режиме реального времени за процессом выполнения диаграмм состояний и переходов путем включения режима анимации делает процесс моделирования гибридных систем весьма наглядным.

Были проведены численные эксперименты с гибридно-автоматной моделью ПД-регулятора в условиях нестабильного шага квантования, когда 5K - случайная вариация K-го шага квантования лежит в диапазоне 5K e[0;0.02h]. Пусть передаточная функция объекта

имеет вид Woy (s) = 1000/s (s +1), передаточная функ-

T z — 1

ция регулятора - W (z) = K(1 +—--), где K=1,5,

hz

Td = 0,035, h = 0,002 c, что соответствует параметрам

позаимствована из [4]). В условиях, когда система работает преимущественно в переходных режимах, качество ее работы может оцениваться по косвенному показателю - критерию интегральной квадратичной

^кон

ошибки (критерий ИКО) J = | е2 ^ . Другим важ-

0

ным показателем качества является время регулирования /кон.

Выборка из 1000 модельных экспериментов, результаты которых в виде гистограммы представлены на рис. 3, 4 , дала следующие результаты. А именно, имеет место преобладание экспериментов, в которых результаты работы системы близки к тем, что демонстрирует система со стабильным шагом (т. е. J = = 0,0098, /кон=0,1200 с). Однако существенная часть экспериментов (правая часть графиков на рис. 3, 4) демонстрирует существенное (на 15 %) ухудшение качества работы системы. Причем имеет место достаточно сильная взаимосвязь между показателям качества J и 4он, коэффициент корреляции в приведенном примере равен 0,8576.

0,010

0,011

0,012

0,013

Критерий качества J

Рис. 3. Качество работы ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования

70

60

50

40

£ 30

у

я ч о И

20

10

0,119 0,120 0,121 0,122 Критерий качества ^он

0,123

+ K =

Рис. 4. Качество работы ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования

0

в

h

Анализ временных диаграмм работы регулятора (рис. 5) позволил установить, чем худшие варианты отличаются от лучших. В первом случае сигнал задания приходит сразу после очередного момента срабатывания регулятора, т.е. сигнал ошибки держится на максимальном уровне в течение одного такта работы регулятора и «обработка» ошибки начинается только при наступлении следующего момента срабатывания регулятора. Во втором случае сигнал задания приходит непосредственно перед очередным моментом срабатывания регулятора, т.е. сигнал ошибки начинает обрабатываться практически мгновенно. Синхронизация работы регулятора с моментами значительного изменения сигнала задания позволит избежать появления худших вариантов. Этот результат является еще одним доводом в пользу выводов работы [5] о преимуществах основанных на событиях стратегий управления по сравнению с основанными на времени стратегиями.

Очередной Момент Следующий

момент изменения момент

срабатывания сигнала срабатывания

регулятора задания регулятора

\ Время

-11-L_-1-1-!—>

а

Момент Очередной

изменения момент

сигнала срабатывания

задания регулятора

. . V -1— 1 1 Время 1 ~

б

Рис. 5. Временные диаграммы работы регулятора: а - худший вариант; б - лучший вариант

Поступила в редакцию

Другой эффект, выявленный в результате проведенных расчетов - наличие значительного числа экспериментов, в которых качество работы системы при нестабильном шаге квантования превосходило качество, демонстрируемое системой с постоянным шагом. Наличие этого свойства систем с изменяющимся шагом квантования позволяет сделать вывод о правомочности постановки задачи оптимального выбора последовательности моментов срабатывания регулятора при аритмичности его работы [6].

Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы развития научного потенциала высшей школы в 2009-2010 гг. (проект № 2.1.2/4236) и РФФИ (грант 08-08-00383-а.

Литература

1. Рогачев Г.Н. Гибридно-автоматный метод анализа и

синтеза систем автоматического управления // Вестн. СамГТУ. Техн. науки. 2006. № 41. С. 43-47.

2. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления М., 2004. 911 с.

3. Рогачев Г.Н. Моделирование в Simulink-Stateflow цифровой

системы управления // URL: http://matlab.exponenta.ru/ stateflow/book3/index.php/ (дата обращения: 24.06.2009).

4. Cervin A., Lincoln B. Jitterbug 1.21. Reference Manual // URL: http://www.control.lth.se/~lincoln/jitterbug/manual.pdf (дата обращения: 11.07.2009).

5. Astrom K.J., Bernhardsson B.M. Comparison of Riemann and

Lebesgue sampling for first order stochastic systems // Proc. 41st IEEE Conf. of Decision аnd Control. 2002. Las Vegas, USA. P. 2011-2016.

6. Рогачев Г.Н. Гибридно-автоматный подход к синтезу цифровых систем аритмического управления // Вестн. СамГТУ. Техн. науки. 2009. № 1(23).

21 июля 2009 г.

Рогачев Геннадий Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Автоматика и управление в технических системах», Самарский государственный технический университет. Тел. 8 (846) 3370700. Email: grogachev@mail.ru

Rogachev Gennadiy Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Automatics and control in technical systems», Samara State Technical University. Ph. 8 (846) 3370700. Email: grogachev@mail.ru_