Планирование входных сигналов для моделей стохастических систем с использованием функций Уолша

COMPLIANCE OF THE LEVEL OF PROTECTION OF PERSONAL DA TA

A.O. Chechuga

The structure of the regulatory framework in the field of personal data protection is considered, the scheme for monitoring the protection of personal data is presented.

Key words: information system, personal data, personal data protection means.

Chechuga Anton Olegovich, student, ChechugaO@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 519.24

ПЛАНИРОВАНИЕ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ

УОЛША

В.М. Чубич, Е.В. Филиппова

Рассмотрены теоретические и прикладные аспекты задачи планирования эксперимента для стохастических непрерывно-дискретных систем с использованием функций Уолша. Разработанное программно-математическое обеспечение апробировано на примере одной модельной структуры с использованием критерия D- оптимальности. Результаты, полученные компьютерным моделированием, показали эффективность указанного подхода при оптимальном планировании эксперимента.

Ключевые слова: стохастическая система, параметризация входного сигнала, функции Уолша, планирование эксперимента, информационная матрица, критерий оптимальности.

Введение. Применение аппарата теории планирования эксперимента при построении моделей динамических систем позволяет повышать точность оценивания неизвестных параметров за счет более полного учета специфики объекта исследования и сбора наиболее информативных данных.

В целом можно сказать, что планирование оптимальных входных сигналов представляет собой наиболее важный и сложный этап процедуры активной параметрической идентификации. При заданной структуре математической модели эта процедура предполагает выполнение следующих этапов [1-7]:

1. Вычисление оценок неизвестных параметров по данным измерений, соответствующим некоторому начальному плану идентификационного эксперимента.

2. Синтез на основе полученных оценок оптимального по некоторому выбранному критерию плана.

3. Пересчет оценок неизвестных параметров по данным измерений, соответствующим синтезированному плану.

360

В источниках [8-14] были получены фундаментальные результаты, относящиеся к решению задачи активной идентификации стохастических динамических систем для случая, когда входные сигналы рассматривались в классе кусочно-постоянных функций. Это предположение позволило обойти трудности, связанные с вычислением градиентов в процедурах синтеза оптимальных управляющих сигналов и разработать соответствующие вычислительные алгоритмы.

В работах [15-17] авторы начали исследования, предполагающие для решения задачи активной идентификации использовать параметризацию входного сигнала, заключающуюся в представлении входных воздействий в виде линейной комбинации полиномов Чебышева первого рода. В ряде публикаций (см, например, [18]) рекомендовано также использовать разложение по системе функций Уолша, что и сделано в настоящей статье. В связи с тем, что в методологическом плане разница в вопросах оценивания неизвестных параметров при различной параметризации входного сигнала не принципиальна, остановимся только на этапе планирования экпе-римента.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой динамической системы в пространстве состояний:

у

где х ^) - п - вектор состояния; u ^) - детерминированный г - вектор управления (входа); w (t) - p - вектор возмущения; у(tk+1) - m - вектор измерения (выхода); V (tk+1) - m - вектор ошибки измерения.

Предположим, что:

случайные векторы w (t) и V (tk+1) являются стационарными белыми гауссовскими шумами, для которых

(здесь и далее Е[ ] - оператор математического ожидания; 8(t -т) - дельта-функция; 8ц - символ Кронекера);

начальное состояние х(0) имеет нормальное распределение с параметрами

d

^) = a[ы

—х dt

Е^(t)] = 0, Е w(I)wT (т) = £8(I-т), Е [ V (+1)] = 0, Е [V (^+1) vT (ь+1)] = Я8Ы, Е +1) wT (т)] = 0

и не коррелирует с w (t) и V (tk+1);

неизвестные параметры сведены в ^ - вектор 0, включающий в себя элементы векторов a [и (t), t ], A (tk+1), и матриц F (t), Г (t), H (tk+1), Q, R, Р0 в различных комбинациях.

Выполним параметризацию входного сигнала, для чего разложим u (t) по системе базисных функций, в качестве которой выберем систему функций Уолша. В результате получим:

и

Здесь G - г х d - матрица, состоящая из коэффициентов разложения, T

- d - вектор, компонентами которого являются указанные функции (размерность аппроксимирующего линейного пространства d выбирается экспериментатором). Основанное на этих функциях представление обладает равномерной, среднеквадратической сходимостью и сходимостью в среднем и полезно при аппроксимации сигналов, описываемых интегрируемыми функциями.

Задача заключается в том, чтобы для систем, описываемых математической моделью (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать программно-математическое обеспечение процедуры планирования эксперимента в условиях параметризации входного сигнала с помощью функций Уолша. В такой постановке задача рассматривается и решается впервые.

Параметризация входного сигнала. По возможности кратко остановимся на параметризации входного сигнала с использованием функций Уолша [19, 20]. Для этого определим сначала функции Радемахера:

r0

V tN )

° 1,

V tN

sign

• v t sin 2 p—

t

i = 1,2,...

N)

Здесь

sign (z ) =

1, z > 0; 0, z = 0; -1, z < 0.

Система функций Уолша является расширением системы функций Радемахера до полной системы и в нумерации Пэли получается с помощью перемножения функций Радемахера:

T

0

V tN )

° 1, T

' tЛ

tN

V N J

V

п

j=1

t

•Г

j

tN

N

i = 1,2,...rf -1,

где ¿'у - значение у -го разряда в записи номера функции i в коде Грея.

Представление одномерного сигнала и (X), X е[0,] в виде линейной комбинации функций Уолша будет иметь вид:

d-1

u (t )= Z giTi i=0

V tN J

При этом коэффициенты gj находятся из условия минимума среднеквад-ратического критерия приближения и определяются по формуле:

1 tN

gi =— i u(t)Ti

t

N 0

V tN J

dt.

Для г - мерного входного сигнала разложение (6) можно представить в виде (3).

Планирование эксперимента. При построении оптимальных входных сигналов используются оценки неизвестных параметров 9, полученные на первом этапе процедуры активной идентификации. Рассмотрим процедуру планирования входных сигналов при условии наличия указанных оценок.

Для каждой точки начального плана идентификационного эксперимента

V

Р 1 , Р 2 V, рд

осуществим параметризацию (3). В результате получим представления

q

, U (t)eQu,Pi > 0, Z pi = 1

i=1

u

(t) = GlT(t), i = 1,2,...,q, по которым сформируем план

Х par

G1, G 2.

Gq

q

GlT(t)e Wu,Pi > 0, Z Pi = 1,

i=1

плана

P 1,P2 v • ^Pq

информационная матрица которого определяется соотношением

q i

m(x)= Z Pim( g; 0). i=1

Информационные матрицы точек спектра

m(g1 ;0) = m(u1 (t);0) вычисляются в соответствии с [10,11,16] и зависят

от вектора оценок неизвестных параметров.

Найдем оптимальный план эксперимента для некоторого выпуклого функционала от информационной матрицы X [M (X)], решив следующую оптимизационную задачу

*

X = arg min X[M

XeWx

Таким образом, задача планирования эксперимента сводится к выбору оптимальных коэффициентов параметризации.

363

При решении экстремальной задачи (7) в случае критериев А - и Б- оптимальности возможны два подхода: прямой и двойственный [21-25]. Первый из них предполагает поиск минимума функционала X [М (X)] непосредственно с привлечением методов нелинейного программирования, второй - решение двойственной задачи и основан на обобщенной теореме эквивалентности [1]. Применение градиентных алгоритмов при решении оптимизационной задачи (7) повышает скорость сходимости и невозможно

ЭМ^'; 0)

без вычисления производных от информационных матриц -—--

Э§1а р

(подробнее см. [15]). Возможные варианты прямой и двойственной градиентных процедур синтеза непрерывных оптимальных планов представлены

в [1].

Пример планирования оптимального входного сигнала. Рассмотрим следующую стационарную модель стохастической линейной непрерывно-дискретной системы (данная модель может соответствовать теплообменнику, электромагнитному усилителю, электродвигателю постоянного тока, гидроприводу и т.д.):

Ж

Х1

0 01

1 02

Х1

+

0 1

и

(t) +

1 1

w (

(t), tе [0,20].

У(Ь+1 ) = Х1 (Ь+1) + V(Ь+1), k = 0,1,...д9,

с неизвестными параметрами 01 и02, где -5 <01 £-0.01, -5 <02 £ -0.5.

Будем считать, что выполнены все априорные предположения из постановки задачи, причем

Q = 0.6, R = 0.8, X (0 ) =

-2' 0

Р( 0 ) =

0.5 0 ' 0 0.5

Выберем в качестве области допустимых входных сигналов О и ={0 < и(?) < 5, ?е [0,20]}, в качестве исходного сигнала

и(?) = 0.01 +1.2866?- 0.1759?2 + 0.0062?3, и(t)е Ои .

Оценки неизвестных параметров примем равными 01 =-1.564 и

0 2 =-0.916, N = 20.

Осуществим параметризацию и (?) , выбрав размерность аппроксимирующего линейного пространства d = 32 (при выбранном значении d получается хорошее приближение исходного и аппроксимирующего входного сигнала). В результате получим:

О = (1.822, 0.307, 0.252, -0.426, 0.125, -0.579, 0.063, -0.286, 0.062, -0.144, 0.000, -0.290, 0.030, -0.071, 0.014, -0.152, 0.031, -0.035, -0.001, -0.072, 0.000, 0.001, 0.000, -0.146, 0.014, -0.017, 0.000, -0.035, 0.007, -0.009, 0.004, -0.078). Выберем критерий Б - оптимальности, для которого X [М(Х)] = - 1пёе! М(X). Применение этого критерия способствует минимизации объема эллипсоида рассеивания оценок параметров. В качестве начального плана возьмем одноточечный план, сосредоточенный в точке О (и(?) = ОТ(?)е ). Применяя прямую градиентную процедуру (с проверкой необходимого условия оптимальности [1]), синтезируем непрерыв-*

ный план X (он оказался одноточечным).

Результаты выполнения процедуры планирования при параметризации входного сигнала с помощью функций Уолша представим в таблице.

Результаты выполнения процедуры планирования эксперимента _при параметризации входного ^ сигнала_

Входной сигнал

О

ёе! М

Исходный

1

/

1 / .

/ X / \ / 1

- 1 / \ к / /

/ 4 Л X.

N

О =

0.017

Оптимальный

*

О =

0.065

Таким образом, в результате выполнения процедуры планирования эксперимента с применением параметризации входного сигнала с помощью функций Уолша удалось построить сигнал, информативность которого относительно исходного выше в 3.8 раз.

Заключение. Впервые рассмотрена и решена задача планирования входных сигналов для моделей стохастических непрерывно-дискретных систем с использованием функций Уолша, разработано соответствующее программно-математическое обеспечение. На примере одной модельной структуры продемонстрирована работоспособность указанного подхода при построении оптимального плана эксперимента. Проведенные исследования позволят в дальнейшем провести сравнительный анализ применения различных способов параметризации управляющих сигналов и выработать конкретные рекомендации по их использованию с учетом относительной простоты вычислений и точности получаемых результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию (проект № 2.7996.2017/8.9).

Список литературы

1. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова, Д.И. Бобылева. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. 192 с.

2. Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе линеаризации во временной области // Информационно-управляющие системы, 2010. №6(49). С. 54 - 61.

3. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Применение методов теории планирования экспериментов при параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы 10 Международной конференции. Новосибирск, 2010. Т.6. С. 85 - 93.

4. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических непрерывно-дискретных систем, полученных в результате применения статистической линеаризации // Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. XV. №4(52). С. 78 - 89.

5. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе планирования входных сигналов. Ч. I. // Научный вестник НГТУ. 2013. №2(51). С. 25 - 34.

6. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе планирования входных сигналов. Ч. II. // Научный вестник НГТУ. 2013. №3(52). С. 24 - 31.

7. Денисов В.И., Воевода А.А., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная параметрическая идентификация стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем на основе планирования эксперимента // XII Всероссийское совещание по проблемам управления: труды. М., 2014. С.2795 - 2806.

8. Денисов В.И., Чубич В.М., Бобылева Д.И. Особенности вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 2004. № 2(17). С. 45 - 57.

9. Денисов В.И., Чубич В.М., Бобылева Д.И. Построение оптимальных планов экспериментов в задачах идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 2006. №4 (25). С. 25-43.

10. Чубич В.М. Особенности вычисление информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно - дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 2009. № 1(34). С. 41 - 54.

11. Чубич В.М. Алгоритм вычисления информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 2009. № 3(26). С. 15 - 22.

12. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Вычисление производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывно-дискретных систем // Научный вестник НГТУ. 2010. №2(39). С. 53 - 63.

13. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Нахождение производных от информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для стохастических непрерывно-дискретных моделей, полученных в результате применения статистической линеаризации // Научный вестник НГТУ. 2011. №4(45). С. 35 - 48.

14. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Алгоритм вычисления производных от информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала для стохастических непрерывно-дискретных моделей, полученных в результате применения статистической линеаризации // Научный вестник НГТУ. 2012. №1(46). С. 29 - 46.

15. Œubich V.M., Filippova E.V. Calculation of derivatives Fisher information matrix in problem of active identification stochastic linear systems with input signal parameterization // 11 International forum on strategic technology (IFOST 2016): proc. Novosibirsk. Novosibirsk: NSTU, 2016. Pt. 1. P. 324 -328.

16. ^ubich V.M., Filippova E.V. Synthesis of D - optimal continuous input signals for stochastic linear systems // 13th International Scientific-Technical Conference on Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE 2016): proc. Novosibirsk. Novosibirsk: NSTU, 2016. Vol.1. Part 2. P. 381 - 384.

17. Денисов В.И., Чубич В.М., Филиппова Е.В. Активная идентификация стохастических систем при параметризации входного сигнала // Научный вестник НГТУ. 2017. № 1 (66). С. 86 - 98.

18. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. 112 с.

19. Пупков К. А., Егупов Н.Д. Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 2. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 640 с.

20. Вадутов О.С. Математические основы обработки сигналов: учебное пособие. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. 212 с.

21. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. 312 с.

22. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ - экспериментатор (регрессионный и дисперсионный анализы). М.: Наука, 1977. 251 с.

23. Ермаков С.М., Жиглявский А. А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. 320 с.

24. Walter E., Pronzato L. Identification of parametric models from experimental data. Berlin: Springer-Verlag, 1997. 413 p.

25. Григорьев Ю.Г. Методы оптимального планирования эксперимента. Линейные модели: учеб. пособие. СПб.: Лань, 2015. 320 с.

Чубич Владимир Михайлович, д-р техн. наук, доц., зав. кафедрой, chuhichaami.nstu.ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет,

Филиппова Елена Владимировна, канд. техн. наук, доц., e.filippovaacorp.nstu.ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет

DESIGN OF INPUT SIGNALS FOR THE MODELS OF STOCHASTIC SYSTEMS USING

WALSH FUNCTIONS

V.M. Chuhich, E. V. Filippova 368

The theoretical and applied aspects of the problem of experiment design for stochastic continuous-discrete systems by use of Walsh functions are considered. Developed software is tested on the example of one modelling framework using the criterion of D - optimality. The results obtained by computer simulation showed the effectiveness of this approach with optimal experiment planning.

Key words: stochastic system, parameterization of the input signal, Walsh functions, design of experiments, information matrix, optimality criterion.

Chudich Vladimir Mikhalovich, doctor of technical sciences, docent, department head, chubich@,ami. nstu. ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University,

Filippova Elena Vladimirovna, candidate of technical sciences, docent of department, e.filippova@,corp. nstu. ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University

УДК 629.78; 004.03; 004.23

ПОДХОД К СИНТЕЗУ СТРУКТУРЫ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ НА ОСНОВЕ ЭВОЛЮЦИОННОГО ПОИСКА

А.Г. Басыров, И.В. Захаров, А.О. Шушаков

В статье рассмотрены особенности построения перспективных бортовых вычислительных систем космических аппаратов. Сформулированы недостатки существующего научно-методического аппарата анализа и синтеза вычислительных систем. Указан подход к моделированию функционирования неоднородных иерархических систем в условиях неблагоприятных воздействий с учетом режимов функционирования элементов. Отмечены преимущества эволюционного поиска как метода оптимизации применительно к поставленной задаче. Предложен подход к выбору иерархической гетерогенной структуры вычислительной системы при помощи генетического алгоритма.

Ключевые слова: бортовая вычислительная система, конвергенция вычислительных ресурсов, деградация вычислительной системы, генетический алгоритм, эволюционный поиск.

Введение. В настоящее время существует выраженная тенденция к возрастанию объема задач, решаемых бортовым комплексом управления (БКУ) космических аппаратов (КА), что объективно связано с повышением требований к автономности КА, а также к оперативности и качеству доставляемой информации. Повышение сложности задач, возлагаемых на вычислительные средства современных КА в условиях переноса на борт первичной обработки информации, и ужесточение требований экономического и эксплуатационного характера требуют внедрения новых подходов к построению и эффективному применению многофункциональных бортовых вычислительных систем (БВС), управляющих работой всех подсистем

369