Смешанная задача с нелинейным интегральным условием для гиперболического уравнения

УДК 517.956.3

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2009 В.Б. Дмитриев1

В работе рассматривается смешанная задача для гиперболического уравнения с нелинейным интегральным условием вместо стандартного граничного и нелинейной правой частью. Задача рассмотрена в пространстве произвольной размерности. Доказаны существование и единственность решения.

Ключевые слова: нелокальная задача, нелинейные условия, гиперболическое уравнение, априорная оценка, обобщенное решение.

Введение

Математическое моделирование ряда процессов, изучаемых в физике, химии и биологии, нередко приводит к постановке нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Весьма удобным способом описания налагаемых на искомое решение условий является задание их в интегральной форме как среднее значение решения на принадлежащих области, в которой ищется решение, многообразиях. Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что стандартные методы для их изучения часто оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций.

Важный шаг был сделан в работе А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной [4], где была доказана однозначная разрешимость краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений.

В настоящей работе доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим как интегральный оператор от искомого решения, так и значение производной от него на границе.

1 Дмитриев Виктор Борисович (dmitriev_v.b@mail.ru), кафедра математических методов и информационных технологий Самарского муниципального института управления, 443084, Россия, г. Самара, ул Стара-Загора, 96.

Однако как интегральное условие, так и правая часть нелинейны по и, поэтому вывод нужных неравенств был более труден и тонок, чем в работе [2].

1. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

^а.гу (х, і) их^ + ^ аі(х, і) пХі + Ь(х, і) щ

п д

Ьи = ии ^ ' ()х‘ ^ (Х, І) иХ’ ^ ^ ' ai(x, І) их

і,3=і г

= I

в цилиндре Qт = {(х,т) : х € П С М”, 0 <т < Т}, где П — ограниченная

область в М” с гладкой границей, и поставим для него задачу с начальными

условиями Коши

и

щ

и нелокальным условием

ди

^2 аі3 (Х,і) дХ С08(п,Хі) Іят = Кі (х, у, Т, и(у, Т)) (Іу (ІТ +

і3 = 1 3 0 п

+ / К2(х,у,Ш.ул)) Іу,х Є да (1.4,

п

где <р(х),ф(х),Кі(х,у,т,и(у,т)), К2(х,у,і,и(у,і)) заданы, а Бт = {(х,і) : х Є дП, 0 <і <Т} — боковая поверхность цилиндра Qт. Здесь

п

аіз = азі, іу(2 ^ ^ а3(х,і)&Єз ^ К2, V > 0. і,3 = і

Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Для этого умножим (1.1, на у(х,і) Є Wl(Qт) такую, что у(х,Т) = 0, и, предполагая, что и(х,і) решение задачи (1.1,—(1.4), проинтегрируем по Qт:

т т

У J Ьи  у ІхІі = J У /уІх Іі.

0 п 0 п

Интегрируя левую часть, получаем

і

т

( п п

—ЩУі + ^2 а3(х, і) их,Ухі + ^ аі(х, і) иХіу + Ь(х, і) щу+ о п і3=1 і=і

т т

+а(х,Ь) иу\йх(И + I щу йх — J ^ V ^ а^ (х,Ь) ди еов(п, хг) йвМ п о о да г,х=1 х

т Iу йх (М. оп

Заметим, что иг|г=о = ф, и в силу условия (1.4) получим тождество, с помощью которого введем понятие обобщенного решения:

т

П П

(—щуг +^2 а%з(х, ^ иХ:)уХ1 + ^ аг(х, ^ иХ1 у + Ь(х, г) щу+

аіз(х,і) их,Ухі + 2_>аі(х,і) их,У о п і3=1 і=і

т і

,и

о дп о п

+аіх,і) иу) ІхІі — Л ф^Л Кі (х у,т,и{у,т)) Іу Іт і. Іі —

0 дп о п

т

-// ум1 іуі.іі=

о дп п

т

= J J /(х,і,и) у(х,і) іхіі + 1 ф(х) у(х, 0) іх. (1.5,

о п п

Определение. Назовем обобщенным решением из ^1^т) задачи (1.1,—(1.4, функцию и(х,і) Є Wl(Qт), удовлетворяющую условию (1.2, и тождеству (1.5, для любой функции у Є W2, ^т), такой, что у(х,Т) =0. Основным результатом работы является следующая Теорема.

Пусть выполнены следующие условия:

тО 1* 1 ш,|Ь|) ^ "ь

|Кі (х, у, т, иі) — Кі(х,у,т,и2) | ^ Яі(у,т) | и і — Щ2і,

т

У У ^(у, і) іуіі = Еіі < ж, |Кі(х,у,і, 0) | ^ Еі(у,і) Ух Є П, оп

T

/(/ F (У,Т)dy) dT = Мп < ж,

0 \п

lK2(x,y,t,Ul) - K2(x,y,t,U2) | ^ R2(y,t) |ui - U2I,

sup I R^(y,t) dy = R21 < ж, lK2(x,y,t, 0) | ^ F2(y,t) Ух e Q, te[o,T] J

sup / F2(y, t) dy = M21 < ж, te[0,T] J

dK2

dt

< A(y,t) |u| + B(y,t),

T

T

J J A2(y, t) dy dt = M22 < ж, J ( J B(y, t) dy) dt = M23 < ж,

0 П

0 \п

If (x,t,ui) - f (x,t,U2) | ^ H(x,t) |ui - U2I,

|f (x,t, 0) | ^ E(y,t) Vx e Q,

E(x,t) e L2,i(Qt), v(x) e W2,(Q), ф(x) e L2(Q),

t

/ sup H(x,t) dt = G< ж.

J жЕП

0

Тогда задача (1.1)—(1.4) имеет единственное обобщенное решение из W,(Qt ).

Доказательство проделаем следующим образом: сначала получим априорную оценку, затем докажем единственность решения, затем при помощи априорной оценки докажем существование решения.

Мы будем использовать неравенство

справедливое для любой функции и € Ш1(П) и области П с гладкой границей [5, с. 77].

2

2

2. Априорная оценка

Рассмотрим уравнение

Ьщ = /

Пусть щ(х,Ь) € ^т) — решение этого уравнения, удовлетворяющее

нелокальному условию

^ аіз (х,і) д^ ео8(п,хі) |£т = І ! Кі(х,у,т,'ш(у,т)) іуіт+

п

а і3 (

і,3=і 3 о п

+ у К2

п

Умножим уравнение (2.1) на 2щг и результат проинтегрируем по Qг,

£ < Т :

2 Ьщ  щг йхМ = 2 /щг йхсМ.

Яь Яь

Левую часть (2.3) преобразуем с помощью интегрирования по частям ( п \

и, полагая у(Ь) = § ^ а^ щХ1 ЩХЛ йх, получаем

^ г,х=1

г г

у(Ь) ^ у(0) + сл ! у(Ь) ( + 2 ! юг J J Кг(х,у,т,щ(у,т)) йуйтйвМ+ о вь о п

+2 ! щг J К2

вь П Яь

Здесь постоянная С\ определяется постоянными V и Л! из условий теоремы.

Преобразуем первый интеграл по боковой поверхности следующим образом:

г

ъь.у.т^.т» йуйтлал =

вь о п

г

И^І К1(х,у^> іуііі.+

дп о

ь

+ 1 w(x,t) J У К1(х,у,т,'т(у,т)) йуйтйв = г11 + г12. дП 0 П

Оценим получившиеся интегралы. В силу наложенных на ядро условий после серии несложных оценок имеем:

t

j jw(x,t)j Ki(x,y,t,w) iydtds

дП 0 П

<

^ cj(w2 + wf + |Vw|2) ixit + 2c\Q\R11k(t) + 2c\Q\M11.

Qt

Здесь k(t) = sup Jw2(y,() iy. o^t П

Далее, применяя известные неравенства, в том числе неравенство Коши — Буняковского, получаем

|i 121 ^ С2

Здесь обозначили С2 = 2\/е\дЩ.

Преобразуем второй интеграл по боковой поверхности следующим образом:

jwt(x,t)j K2(x,y,t,w(y,t)) dydsdt =

St П

t

^0K2

дП 0 П

{(дК2дК(х^)МуЛ)} йуйгй>+

П 0 П

+ w(x,t) К2(х,у^^(у^)) йуйв-

дП П

- w(x, 0) К2(х, у, 0, w(y, 0)) dy йв = г2\ + г22 + %2з.

дП П

Оценим получившиеся интегралы. Используя наложенные на ядро условия и неравенство Коши — Буняковского, получаем после серии оценок:

|г211 ^ сз I (и)2 + w'2 + |Vw|2) dxdt + 2с|0|М~22к^) + 2с|0|М2з.

Яь

Здесь с3 = ст&х[2Ы221Щ + 1,Я21|П|}.

Далее, применяя неравенство Коши — Буняковского и затем неравенство (1.6), получаем

1 г221 =

/ w(x,t) K2(x,y,t,w(y,t)) dyds дп п

^ c2 | J(|Vw|2 + w2) dx I  I R21J w2(x, t) dx + M|1

Введем обозначение

/П

(w2 + wt2 + ^ aijwxiwx^j dx

п ij=l

Теперь воспользуемся неравенством [5, с. 204]

t

J w2

Тогда получим

t

k

0<£<t J J J

o^5^t

пп

и, применяя к (2.5) и к (2.6):

2R11 J w2(x, О) dx + 2Rllt J y(t) dt + Mfl П o

2R21 J w2

П0 Здесь константы M14 и M24 определяются константами v и С2. Заметим, что с помощью (2.9) можно оценить и |*231:

|i231 < 2M24(z(0))2 (2R21Z(0) + M2i)2 .

Складывая (2.4) и (2.7) и обозначая sup z(^) = z, i = 2 + 8( R11 +

o^S^t '

+ R21^c|Q|, 2c|Q|(Mn + M23) + z(t) = zi(t), получаем после преобразований

t

t

zl(t) ^ dzl(0) + (ci + C4 + dt) t  zl(t) + 2\\B\\2lQt zf (t) +

2

+2 ^2 Mi4 z2 (t) (2Ril z(0) + 2Rilt2  zi (t) + Mi2l)2 + zi (t) ( X(t) dt.

i=l о

Здесь мы ввели обозначение X(t) = sup H(x,t). При этом константа C4

хЄП

определяется константами v, с и C3.

Однако для наших целей нам нужно оценить не именно интеграл X(t) dt, а более общий ^1+ X(t) dt (где tl + t ^ T) для произвольного tl. Имеем из условия: X(t) dt < то, и в силу абсолютной непрерывности

интеграла Лебега имеем: ^1+ X(t) dt < є, как только мера Лебега множества E = [tl, tl + t] достаточно мала: ц,(Е) = t < S.

После преобразований получаем следующую оценку, верную для любого t Є [0, T]:

22

где р(Ь),д(Ь) и г(Ь) определяются постоянными с, ,С и Кц и величиной Ь.

Это энергетическое неравенство, позволяющее оценить энергетическую норму решения 'ш(х,Ь') через начальные данные Коши и /(х,Ь,Ь)).

3. Доказательство единственности решения

Пусть задача (1.1)—(1.4) имеет два обобщенных решения щ и п2 из Ш2((^т). Тогда их разность и = щ — п2 € W2(Qт) удовлетворяет равенству

т

г П П

(—щУг + ^2 агз (х,Ь) их,„х1 + ^ й1(х,г) итнV + Ь(х,г) щ„) йхМ-

0 П ^ = 1 *=1

т г

„мЦ{К1(х,у,г,и1(у,г)) — К^.у.г.Му.г))}

0 дП 0 П

т

! J„(х,Ь) !^К2(х,у,Ь,щ(у,Ь)) — К2(х,у,г,и2(у,Ь))| dydsdt—

0 дП П

т

— ^ J

0П

и при Ь = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом равенстве

( о,

у(х,і) = <

/ и(х, т) йт, при 0 ^ і ^ р.

р

Подставим V из (3.2) в (3.1) и выразим и, и и иХ1 через V и их производные.

После преобразований, учитывая условия V*|*=о = и|*=о = 0, иХ,1 ^=р = 0 и условия теоремы, получаем

/П

у2(х,р) + ^2 а-ч (х,і) УХі (х, і) уХі (х, і) и=0 о 1 іЧ=і

йх =

Яр

Е

і,Ч=і

да-чд^іИ ух. (х, і) Ухі (х,і) +

+2 ^ а-(х, і) Ухі (х, і) Ьі(х,і) + 2 Ьу‘^(х,і) + ^ ^ =1 =1

даі

+

+ дЬ

р

йхйі — 2 J J у(х,і)х о до

І

I!\кі(х,у,і,иі(у,т)) — Кі(х, У, і, и2(у, т)) І йуйтйвді— 0о

р

—21! у(х,і) !|к2(х,у,і,иі(у,і)) — К2(х,у,і,и2(у, і))| йуйвйі—

0 до о

р

—2І J(/(х,і,и1) — /(х,і,и2))у йхйі.

0о

При Ь ^ р имеем и = V* и, применяя условия теоремы и известные неравенства, в том числе неравенство Коши — Буняковского и неравенство (1.6), получаем:

і,Ч=і

! и2(х,р)+ ^ а-ч(х, і) УхіУхік=0 йх ^ е5 ^ ( |Уу|2 + (р2 + р + 1) и2) йхйі+

Яр

X

+2

Р

J ! (/ (х,Ь,и1) — /(х,Ь,и2))и йх йЬ

о п

Здесь С5 зависит только от ^1,0, |П|,Яц,Я21. Далее, для почти всех х е ^ и Ь е [0,р]

V

2

р г о

С помощью этого неравенства произведем следующие оценки:

р р

У У (/(х,Ь,и1) — /(х,Ь,и2))и йх йЬ ^ Н(х,Ь) IV и| йхйЬ ^

оп

^ вир

0^р

/ Р ^

. Ь й 2 2и йх

\ о

оп

р

йх  вир Н(х,Ь) йЬ ^

} хЕП

о

^ 1 С^р вир I и2 йх + 1 С^р и2 йхйЬ.

2 0<t<pJ 2 ]

п

Яр

о г

Введем функции д*(х,Ь) =/ (х, т) йт. В силу (3.2) их; =/ их1 (х, т) йт=

г р

=д*(х,р) — д*(х,Ь), Ь ^ р и, подставляя в (3.4), мы получаем после ряда оценок

и

/П

^д2(х,р) йх

о *=1

^ о6 / / д*2 + и2) йхйЬ + С^р вир и2 йх,

^ \~=1 ) о^г^р]

Яр 4 *=1 7 П

где Сб(р) = 05(3 + р + р2) + С^р.

Воспользуемся теперь произволом в выборе р. Для £ е [0,ро] имеем

и

/и

^2д2(х,0 йх

о *=1

^ с6(ро) / / д*2 + и2 йхйЬ + С^ро вир и2(х,£) йх. (3.6

) V / о^е^рс.!

Яр0 х*=1 7 п

г

Перейдем теперь к супремуму по всем £ £ [0,ро]. После преобразований получаем

(1 — С^ро) вир и2(х,£) йх + (у — 2с5р0) 8Щ) V д2(х,£) йх <

о^^ро ^ о<£<ро У 7=1

П П г=1

< с6

Я:

Для р0 £ [0,у/(4с5)\ коэффициент V — 2с5р0 ^ у/2 , а и(х,р0) и дг(х,р0) при р0 = 0 равны нулю. Кроме того, 1 — С^р0 ^ 1/2 при р0 ^ 1/(4С2').

Тогда мы получаем неравенство для супремумов, а значит, что при £ = = р0 оно будет верно:

J ^и2(х,ро) + ^ д2і(х,Ро)^ йх <

7 [ ( п \

/ / \и2(х,г) + ^2/д2(х,т) йхйт.

О О \ г=1 /

РО

< _____СбСро)____ [і 12

< шт(1/2,и/2) 1 1 1

оП

Это в силу неравенства Гронуолла [1, с. 23], где д(Ь) = 0, означает, что

/ I и2

где 7 = шш^у/(4с5), 1/(402)^. Повторяя рассуждение для Ь £ [^, 27], убедимся, что и(х, Ь) = 0 на этом промежутке. И так в конечное число шагов докажем обращение и(х,Ь) в нуль для всех Ь £ [0,Т]. Единственность доказана.

4. Доказательство существования решения

Воспользуемся методом Галеркина. Пусть {фк(х)} есть фундаментальная система в Ш2,(&) и выполняется свойство ортонормированности: (фк,фг) = / ФкФг йх = 51к. Приближенное решение им(х,Ь) ищем в виде

П

N

иМ = ^ ^

к=1

из соотношений

/п п

[ ^ агз(х,ї) ^(х,ї) <Ріхі(х) + ^ аг(х,г) (х,ґ) фі(х) +

А А_1 А_1

г,і=і г=і

йх

+Ъ(х,Ь) и£ (х,Ь) фг(х) г

— / Фг ! / К1(х,У,Т, иИ(У,т)) йуйтйв — ^ ф^ К2(х,у,Ь,им(у,Ь)) йу йв—

^N(у, т)) йуйтйв — у Фг ! + -М

дП 0 П дП П

N

—

й

ск

N

Здесь акм — коэффициенты сумм Фм(х)=^2, Фк(х), аппроксимиру-

к=1

ющих при N ^ то функцию ф(х) в норме Ш2,(&). Подставим (4.1) в (4.2) и после несложных преобразований и смены порядка суммирования получим:

й2 м г / п п

сМ (Ь) + ^ сМ (Ь) / ^ аИ(x, Ь) Фкх} (х) Фкх1(х) + ^ а Фкх(х) Фг(х) +

к=1 п '*,.7 = 1 г=1

+ЪФкг(х) Фг(х)\ йх — ^ Фг(х) ^ J К1(х,у,т, ^ с^ (т ) Фк (у)) йуйтйв—

' дп 0 П к=1

N

N /

— • Фг (х) К2(х,у,1^см (Ь) Фк (у)) йу йв—

дП П к=1

N

к=1

I = 1,...^.

Нужно оценить коэффициенты системы (4.4), и из условий теоремы следует, что это конечные величины. Далее, функции в левой части (4.4) лип-шицевы по каждой из переменных ^ (Ь).

Таким образом, система (4.4) — система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по Ь для неизвестных ^ (Ь), к = 1,... ^, разрешенная относительно старших производных, а остальные слагаемые представляют собой липшицевы функции неизвестных ^(Ь), к = 1, . . . ^; ее свободные члены /г = (/,Фг) £ L2(0,T), если / £ £2,1 ((^т), Ф £ ^2,(0) и ф £ Ь2(0,). Таким образом, система (4.4) для любого N однозначно разрешима при начальных условиях (4.3) [7, с. 27], причем ^ £ Ь2(0,Т).

г

Мы построили последовательность {пМ}^=1. Отметим, что для пМ справедлива оценка (2.11). Правая часть (2.11) мажорируется постоянной, не зависящей от N и Ь £ £ [0,Т], так что

п

и тогда

\\пМ\\wHQt) < С

Благодаря (4.6) из последовательности {пМ}^ = 1,2,..., можно выбрать подпоследовательность (за которой сохраним то же наименование), сходящуюся слабо в ^21(^т) к некоторому элементу П1 £ W^1,(Qт). Согласно условию (4.5) из этой последовательности можно выделить подпоследовательность (за которой вновь сохраним то же обозначение), которая будет сходиться равномерно по Ь £ [0,Т] в норме Ь2(О) слабо к элементу п £ Ь2(О) при всех Ь £ [0, Т], при этом в силу (4.6) п £ W2,(Qт) [5, с. 214]. Более того, полученная последовательность будет сходиться равномерно по Ь £ [0,Т ] в норме Ь2(0.) к элементу п £ Ь2 (О) для любого

Ь £ [0, Т] сильно.

Действительно, применяя лемму [6, с. 529] для случая т = 2, получим:

/ М \ I

ИП1|2>П ^

Возьмем произвольное 61 > 0. Найдем Ne для е = £1/(407) из условия леммы. Неравенство (4.7), примененное для пМ — пМх при N1 > N, будет выглядеть так:

\им - иМі |І2,п ^ - ПМ1 ,фк)2) + є\\пм - иМі ||ж1

чк=1

Так как ||им||^2і(П) ^ С7 при всех £ Є [0, Т] в силу (4.5), то є\\иМ - -аМі ||Ж1(П) ^ є (іІи^ІІЖІ(П) + \\иМі ІІЖІ(П)) ^ (сі + Ст) = ~2.

Теперь возьмем N = тах N1, где N1 определяется из условия 1(пМ^ — г=1,...,Мс

— пМх ,фк (х)) I < £1/(2у/Щ ^N1 > ^. N1 существуют в силу слабой сходимости {пМ}^ = 1, 2,... , в норме Ь2 (О) к элементу п £ Ь2(О) при всех Ь £ [0,Т].

Тогда мы имеем (пМ1 — пМ ,фк (х))2 < е\_/(4N£) Уг = 1,...,^ при

/ М \ I _____

N1 > N. Поэтому ( ^ (пМ — пМ,фк)2) < \f6J4 = е1/2, а тогда

||uN — uNl ||2,п ^ Є1 в силу (4.8). Это и означает сильную сходимость {uN }.N = І. 2..... к элементу u Є L2(Q) при всех t Є [0.T ].

Покажем, что u(x.t) есть обобщенное решение задачи (1.1)—(1.4). Начальное условие будет выполнено в силу отмеченной сходимости uN(x.t) к u(x.t) в L2(Q) и того, что uN (x. 0) ^ <p(x) в L2(0,). Теперь умножим каждое из (4.2) на свою функцию di(t) Є W2(0.T), di(T) =0, полученные равенства просуммируем по всем l от І до N и проинтегрируем по t от

0 до T. После этого в первом члене проведем интегрирование по частям,

N

перенося dt с uN на v = ^ di (t) ipi (x). Это даст тождество

i=l

/П n

^—uNvt + ^ aijuNvxi + ^ ai uv + buf v + auNvdx^J dx dt—

i,j=l i=l

Qt

t t

N

v J J K^x.y^.u (у.т)) dydтdsdt—

оп

—I /v / ^.^ (y-w <b*>* =

о дп п

= / f )vd<iuit + / uNv|,=0 to.

N

справедливое для любой функции V вида ^ с![ (Ь) щ (х). Совокупность таких

1=1

V мы обозначим через Шщ. В (4.9) можно перейти к пределу по выбранной выше подпоследовательности при фиксированном V из какого-либо Шщ. Это приведет к тождеству (1.5) для предельной функции и при любой функции V Е Шщ.

При этом сильная сходимость {ищ} к и в Ь2(0,) нам нужна для того, чтобы интегралы, содержащие функции К1(х,у,т,ищ(у,т)), К2(х,у,Ь,ищ(у,Ь)), /(х,Ь,ищ), сходились к соответствующим интегралам с функцией и вместо ищ.

°°

Далее, Ш = У плотно в Ш2((^т), а и Е W2(Qт), следовательно,

N=1

(1.5) будет выполняться для и(х,Ь) при любой функции V Е WW21(Qт). Таким образом, предельная функция и(х,Ь) есть обобщенное решение из Ш2^т) задачи (1.1)—(1.4).

Литература

[1] Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. М.: Иностр. лит., 1961. 122 с.

[2] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2006. № 2(42). C. 15-27.

[3] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2006. № 42. C. 35-40.

[4] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Доклады Академии наук. 2005. Т. 404. № 5.

[5] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

[6] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

[7] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для ун-тов. Изд. 4-е. М.: Наука, 1974. 331 с.

Поступила в редакцию 22/W/2009;

в окончательном варианте — 22/W/2009.

A MIXED PROBLEM WITH NONLINEAR INTEGRAL CONDITION FOR A HYPERBOLIC EQUATION

© 2009 V.B. Dmitriev2

Mixed problem for the hyperbolic equation with non-linear integral condition instead of a standard boundary condition and non-linear right side is viewed in the work. The task is viewed in the space of arbitrary dimensionality. The existence and uniqueness of the solution is proved.

Key words: nonlocal problem, hyperbolic equation, apriori estimation,

generalized solution.

Paper received 22/W/2009. Paper accepted 22/ V7/2009.

2Dmitriev Victor Borisovich (dmitriev_v.b@mail.ru), The Dept. of Mathematical Methods and Information Technologies, Samara Municipal Management Institute, Samara, 443084, Russia.