Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи

Л.С.Сергиенко

Исследование системы, обобщающей классическое уравнение теплопередачи

Высокий уровень развития современной вычислительной техники дает возможность достаточно быстро решать задачи повышенной степени сложности с огромным числом переменных. Возникающая в связи с этим возможность численной реализации на ЭВМ многомерных систем дифференциальных уравнений позволяет неограниченно увеличивать размерность моделируемых многообразий, оценивать полномасштабное поведение рассматриваемых объектов в перспективе, переходить от локальных исследований к глобальным,

Одним из способов улучшения результатов математического моделирования является увеличение количества учитываемых факторов, влияющих на ход процесса теплопроводности. При этом возникает проблема определения условий однозначной разрешимости получаемых задач в новых многомерных моделях. Характер разрешимости граничных и начальных задач для системы дифференциальных уравнений существенно сложнее, чем для одного уравнения, и требует специальных дополнительных исследований в зависимости от типа системы.

Характеристика системы

Рассматриваемая параболическая система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

AU - Xgrad divU - a2Ut,

где U = (uj,...,ип), Uj=uJf,X), j=l,...,n, X=(xll,.,,xn)l является многомерным общением известного кинетического уравнения или уравнения диффузии, которое встречается при моделировании процессов переноса массы или энергии в однородной среде. При А=0 и п=1 система (1) представляет классическое уравнение теплопроводности, которое «даёт хорошее количественное согласие с опытом», но «недостаточно точно качественно описывает механизм передачи тепла» [3, с. 267]. Запишем систему (1) в матричном виде:

a2Ut = L-U,

где L(X) - квадратная матрица, элементами которой являются линейные операторы

oXtdXj dxi ,=i охг .

Симметричный дифференциальный оператор L, стоящий в правой части уравнения (1), при Л<1 является сильно эллиптическим [4]. А.И.Янушаускасом в [11] приведены результаты исследования характера разрешимости классических граничных задач для частного случая системы (1) при а=0, которая встречается в изотропной теории упругости [5]. В этом случае при л-1 происходит вырождение типа системы, а при Х>1 эллиптический по И.Г.Петровскому оператор 1 не удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Непрерывное изменение параметра А в области (1; +<х>) осуществляет гомотопию семейства систем ДА)-U - 0, зависящих от Я, к случаю эллиптической системы при Я=2 с двумя независимыми переменными, для которой классические постановки граничных задач в отдельных случаях становятся некорректными [12], Например, А.В.Бицадзе показал в [4], что для системы L(2) • U = 0 нарушается не только фред-гольмовость, но и нётеровость первой краевой задачи Дирихле на плоскости. В частности, им доказано, что для тс,сой системы однородная задача Дирихле в любом круге имеет бесконечное множество линейно независимых решений [1, 2].

Исследуем систему (1) при ненулевых значениях параметров а и Я. Практический интерес представляют решения, являющиеся суперпозицией волн с одинаковой частотой колебаний

и J

переменные амплитуды которых связаны системой 2п уравнений

д ди

-A ü¡ +Л--—- + a2cow¡ — 0 , j—l,...,n,

дх ¿=] охк

(3 г ^И'1

-Д^, + Я-V—- + а2сои. = 0, /=!,..„п.

Характеристической матрицей системы (3) является симметрическая клеточная матрица Л =

в [0]

[0] в

, в которой

симметрическая матрица В при а = d;2 +... + ^2п имеет вид

-cr + Л^2 Л^2

В =

Mflfin-X

ЧгЪ

1 ^Аг

Элементарными преобразованиями матрица А приводится к форме А

(Я-1 )сг (Л - l)o<J2 О -о-

В,

+ Ч2п~\ ¿¡п

-СГ + Щ \

В, [0] [0]

(Я - 1)о£„

о . о

, где

0

о

<7

Так как матрицы А и Ai эквивалентны, их собственные числа совпадают:

М\ = М„+1 = (я -1) сг, = -CT, /=2,..., п, п+2, 2п.

Следовательно, система (3) при Я<1 сильно эллиптична, при A=i параболически вырождается, а при 2>i является системой гиперболического типа.

Влияние начальных условий

Обозначим Е = {t > 0}и отнесём к классу M

функции /(X) € с ограниченными производными первого порядка.

Задача 1, Найти стремящееся к нулю при t—»со решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям:

«Д-о = //*)> 7 = И)

где все fj - заданные в классе M1(RnJ функции. Теорема 1

Если л<1, то задача 1 имеет единственное решение в классе

Q = c

л - d ^duk 2 du, .

Au -Я-> —-= а —j = 1,...,и

у z—/ dt

дх ; öx^

" du

для функции F(t, X) — У—— получаем уравнение

й*/

а2 — + (Я - l)AF = 0 dt

с начальным

" of

условием ^U^^^t1)'

7=1 ах J

Последняя задача для параболического уравнения (5) при л<1 и g(X)e М(дЕ) имеет единственное решение в классе Т =

Считая далее Р^,Х) известной функцией, систему (1) можем представить в виде

ди

-А и: + а

J dt

aF

ox j

(l - A)AF является уравнением параболического типа с обратным

Задача (4) для последней параболической системы имеет единственное решение в классе 05 [5]. Теорема 2

Если л>1 и Р |,=0 = 0, то задача 1 имеет единственное решение в классе Т,

2 дР

Доказательство. При Х>1 уравнение а —

д1

ходом времени [9]. Так как Р^, Х)—> 0 при {—>0, то из принципа максимума для параболических уравнений получаем, что в области £ переменная р({,Х) = 0, следовательно, задача Коши с нулевыми начальными условиями для системы (5) будет иметь единственное решение в классе Г, отсюда вытекает, что задача 1 также корректна в этом классе,

Влияние режима на границе области

Исследуем развитие эволюционного процесса, моделью которого является система (1), в полупространстве Р = {хп > О} в момент времени, достаточно удаленный от начального, когда влияние исходного состояния настолько

ослабевает, что им практически можно пренебречь и рассматривать поведение искомых функций только в зависимости от условий на границе области исследования:

и.. (г, Х)\Хая0 = (р. (/, ), } = 1,..., п -1,

" duj

х„ =0

Рассмотрим случай, когда граничные функции задаются в виде гармоник с нулевыми начальными фазами с одинаковой постоянной частотой и переменными амплитудами

<Pj ~ Р cot, j=l,,..,n-l,

у/ = q{xx)cos cot.

Отнесем к классу Ф(R") все функции f(X) множества CfR"), убывающие при | X |-> оо вместе со своими производными быстрее любой степени \Х\"] [8], и поставим следующую задачу:

Задача 2. В области Р найти ограниченное на бесконечности решение системы (1) в виде (2), которое будет удовлетворять граничным условиям

v№)\Xn=o = Pj(x\>->xnA), Wj(x) 1^0 = 0. 7=1,.

jc„=0

f^L

7=1

= 0,

где заданные функции д и р/, /=],..., п-1 принадлежат классу Ф(Йп'1), Теорема 3.

При Я Ф1 существует единственное в классе С2 (р)пС'(?)п ф(дР) решение задачи 2. Доказательство. Из системы (3) для новых неизвестных

к =

к=1 GXk

получаем соотношения

и систему

(Я - 1)Д# + а2 со в = 0 , (Я -1 )ЛО - - О - Диу + Я-^- + Я2£У VI/, =0, у = 1,...,Л-1,

дх

Ат^, + Я

7 дх

(Я - 1)АЯ + а2со 0 = 0,

2 А • 1 1

-а сои; =0,7 = 1,...,и-1

, где

(Я-1)А£-я2«# = 0.

С [0]

Характеристическая матрица системы (9) имеет вид Э = ^ ^

-сг 0 ... О О

О -о- ... О О

С =

О 0 ... -сг О О 0 ... О (Я-Осесть диагональная матрица размерностью {п + 1)х (п + 1). Собственные числа матрицы 0 равны

И у = ~сг, у = 1,..., п,п + 2,...,2п +1, //п+1 = =(Я~1)сг,

следовательно, система (9) при Х< 1 сильно эллиптична.

Если в (п+ 1)-ом и (2п+2)-ом уравнении системы (9) знак в обеих частях уравнений поменять на противоположный, то система (9) будет и при Х>1 удовлетворять определению сильной эллиптичности.

Построим решения системы (8), ограниченные во всех точках полупространства Р = {хп > 0} и удовлетворяющие на его границе требованиям

Н{х)!,„„„=<?

Система (8) в спектральных характеристиках преобразования Фурье по переменным хх>...,хп_х

+оо +оо

К.....¡(п-1) \н{тх ,...,г„_,,х„)х

-оо -со

^.....V, ,*„)] = V, , )

принимает вид

(я -1)--^ -р2{л~ + = 0 •

дхп

{Л-\)^-р2(Я-\)0-а2соН^01 дхп

где /72 = + +

Определяя при ХФ1 ограниченные на бесконечности решения последней системы, удовлетворяющие условиям

,••>£„-] 9 хп )|ля=о ~ 0' Ш Е>п-\ > хп )|^=0=: П-] )'

находим

= со8/?х„.

Здесь )= Рх ^ , >•••>^«-1)], а и /? - положительные корни системы алгебраических уравне-

нии

а2-Р2 = р2, 4а2р2(Л-\)2 = а4*;2,

а

4 2 2

+ М +Р

. р

>Р4+М2-Р1 2 а4й>2

2 " V 2 " (Я-1)2 Считая далее Я и б известными, применим преобразование Фурье по переменным к системе

2 3дН . 1

дх/

Ам>,+ а2бОО: = Я-, / = 1,...,л,

и граничным условиям (5). В спектральных характеристиках Фурье с учетом (12) получаем задачу

£/• (б V,, ) 1,п=0 = Р] V,). 7 = 1,-...,Л -1.

= У = 1.....л-1.

/7-1

+

¿=1

бЬс.

^р-Лч).

пЧ

+

А А

А = 1

дгй=0

дх„

для системы

а2{5

J

Т?2^. ах" соб, 7=1,...,га-1,

сЬс;

- - /?2*3И - ага)ч>п = Яде ах" (-асоБрхп - р$т рхп),

д2й д2м>

-- р2й] + а2сои1 =

(¡а со

2ар{\ - Я)

е~аХя этрхп, 7=1-1,

« А

-р + я =

Я ¿У

е (р соэ рхп - а вт /Зхп),

дх] * "н " "х 2а/?

которая легко деформируется к виду

д4уу д2\Ь  / \

' -2р2-^ + [р4 + а4со2р1=1^г(Л-2)е~ах» соврх», 7=1 ,...,«-1

а4^

ох ,2

~~2р2 —+ [р4 + а4со2^п =г(2~ЛУах"(аы$рхГ1+рыпрх»), дх„ дх„

а со

о;. =

л2 л

О

-е-^БтРхп--Т- + Р я,

' 2ар п дх2 '

7=1 ,...,«-1,

а2 со

2 ар

е

д2м> ~дх1

> 2 л - + р у,п

где г =

Лqa2co 1-Я

Ограниченные на бесконечности частные решения Wj9 _/= системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами (14) определяются методом подбора по виду правой части системы. С учетом граничных условий (13) с точностью до произвольных функций С ), у = — 1,

Wj = е

Я-1

С, sin+ cos+

а со

*Л-1

4 а1 со

cosßxn, 7=1,...,я-1,

где v =

,]р4 + + р2

г =

4 4 4 2

р + а со - р

- положительные корни соответствующего характе-

ристического уравнения.

Подстановкой найденных функций й,, ) = 1,..., п -1 и их производных в выражениях для д], 7 = 1,..., я ~ 1 из системы (14) определяются

е I С - cosrxn - ig.q

,Л-1 .

а2«

Sin TJC.

Из граничного условия (13) £. и0 = р/ (£, 7 = 1,...,и -1, получаем С; = . Следовательно, группа

решений Wji0j, ] — 19...9п — 1 системы (14) определяется условиями (13) единственным образом,

Аналогичными методами находятся с точностью до произвольных функций ) и )

решения системы

w

Л — 1

п = е~™п (Сп sin тхп + Dn cos тхп) + q —— е~ах" (ß sin ßxn + a cos ßxn),

а1 со

дп - 2rve (Сп cos rxn - Dn sin rxn).

Подстановкой найденных функций в граничные условия для производных (13) получаем систему для определения неизвестных С„ и Dn:

(«2-/?2)(л-1).

а2со

C„T-D„v =

1 (

Cnv + DS = — I Я-^кРк

\

а со

к-

Так как главный определитель системы (15) отличен от нуля

г2 +i/2 =^р4 +aW* О,

произвольные функции Сп и Dn, а следовательно, и решение задачи 2 определяются единственным образом.

Библиографический список

1, Бицадзе A.B. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными II Успехи мат.наук. - 1948. - Т. 3, № 8, - С, 211-212,

2. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, - М.: Наука, 1966,

3, Владимиров В,С, Уравнения математической физики, - М.: Наука, 1976,

4. Михлин С.Г. Курс математической физики, - С-Пб: Издательство «Лань», 2002.

5. Михлин С,Г, Спектр пучка операторов в теории упругости II Успехи математических наук. - 1973. - Т. 28-3 (171). - С. 43-82.

6. Сергиенко АС, О разрешимости граничной задачи для системы уравнений в частных производных второго порядка, вырождающейся во всем пространстве // Вестник Новосибирского государственного университета, Серия: математика, механика, информатика. 2002. - Т. 2, вып. 2, - С. 60-63,

7, Сергиенко АС, О постановке задачи Дирихле в обыкновенном бицилиндре для эллиптической системы с тождественно равным нулю определителем // Симметрия и дифференциальные уравнения. - Красноярск: Институт математического моделирования СО РАН, 2002. - С, 136-200.

8, Сергиенко АС. О постановке корректных задач для вырождающихся моделей стационарных процессов, протекающих в соленои-дальном поле скоростей II Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, СО

• РАН, 2002. - С. 26-230,

9. Терсенов С,А. Введение в теорию уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени, - Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1982,

10, Тихонов А.Н., Самарский А,А, Уравнения математической физики, - М.: Наука, 1976.

11. Янушаускас А,И, Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения, - Иркутск: Изд-во иркут, ун-та, 1997,

12, Янушаускас А,И, Задача о наклонной производной теории потенциала. - Новосибирск: Наука, 1985.