Периодические непрерывные дроби и s-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 3.

УДК 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-282-297

Периодические непрерывные дроби и s-единицы с

^ 1 нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях

Федоров Глеб Владимирович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Научно-исследовательского института системных исследований РАН (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН), г. Москва. e-mail: fedorov@mech. math, тsu.su

Аннотация

К настоящему времени метод непрерывных дробей позволил глубоко изучить проблему существования и построения нетривиальных ¿"-единиц в гиперэллиптических полях в случае, когда множество S состоит из двух линейных нормирований. Данная статья посвящена более общей проблеме, а именно проблеме существования и построения фундаментальных ¿-единиц в гиперэллиптических полях для множеств S, содержащих нормирования второй степени. Ключевым является случай, когда множество S = Sh состоит из двух сопряжённых нормирований, связанных с неприводимым многочленом h второй степени. Основные результаты получены с помощью теории обобщенных функциональных непрерывных дробей в совокупности с геометрическим подходом к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых.

Нами разработана теория обобщенных функциональных непрерывных дробей и связанных с ними дивизоров гиперэллиптического поля, построенных с помощью нормирований второй степени. Эта теория позволила нам найти новые эффективные методы для поиска и построения фундаментальных ¿^-единиц в гиперэллиптических полях.

В качетсве демонстрации полученных результатов, мы подробно разбираем алгоритм поиска фундаментальных ¿^-единиц для гиперэллиптических полей рода 3 над полем рациональных чисел и приводим явные вычислительные примеры гиперэллиптических полей L = Q(x)(y/f) Для многочленов / степени 7, обладающих фундаментальными Sh-единицами больших степеней.

Ключевые слова: непрерывные дроби, фундаментальные единицы, ¿-единицы, кручение в якобианах, гиперэллиптические кривые, дивизоры, группа классов дивизоров.

Библиография: 16 - названий. Для цитирования:

Г. В. Федоров. Периодические непрерывные дроби и 5-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 282-297.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 16-11-10111).

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.

UDC 511.6 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-282-297

Periodic continued fractions and ¿"-units with second degree valuations in hyperelliptic fields2

Fedorov Gleb Vladimirovich — Ph.D., Senior Research Fellow, Scientific Research Institute of System Analysis (SRISA/NIISI RAS), Moscow. e-mail: fedorov <Smech. math, msu.su

Abstract

Based on the method of continued fractions by now the problem of the existence and construction of nontrivial ¿"-units is deeply studied in hyperelliptic fields in the case when the set S consists of two linear valuations. This article is devoted to a more general problem, namely the problem of the existence and construction of fundamental ¿-units in hyperelliptic fields for sets S containing valuations of the degree 2. The key case when the set S = Sh consists two conjugate valuations, connected with an irreducible polynomial h of the degree 2. The main results were obtained using the theory of generalized functional continued fractions in conjunction with the geometric approach to the problem of torsion in Jacobian varieties of hyperelliptic curves.

We have developed a theory of generalized functional continued fractions and the divisors of the hyperelliptic field associated with them, constructed with the help of valuations of the degree 2. This theory allowed us to find new effective methods for searching and constructing fundamental S^-units in hyperelliptic fields.

As a demonstration of the results, we consider in detail algorithm to search for fundamental S^-units for hyperelliptic fields of genus 3 over the field of rational numbers and give explicit computational examples of hyperelliptic fields L = Q(x)(t/J) for polynomials f of degree 7, possessing fundamental S^-units of large powers.

Keywords: continued fractions, fundamental units, 5-units, torsion in the Jacobians, hyperelliptic curves, divisors, the group of divisor classes.

Bibliography: 16 - titles. For citation:

G. V. Fedorov, 2018, "Periodic continued fractions and 5-units with second degree valuations in hyperelliptic fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 282-297.

1. Введение

Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и построения фундаментальных S'-единиц в гиперэллиптических полях. Эта проблема имеет большую историю, восходящую к Абелю [1] и Чебышеву [2]. Важность этой проблемы подчеркивается глубокой связью с проблемой кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых и свойствами функциональных непрерывных дробей, в которые могут разлагаться элементы гиперэллиптических полей. В статье [8] предложены два метода для поиска S'-единиц в гиперэллиптических полях: метод матричной линеаризации и метод функциональных непрерывных дробей. Метод матричной линеаризации имеет общую природу

2The study was carried out at the expense of a grant from the Russian science Foundation (project 16-11-10111).

и применим к произвольному набору нормирований В [8] показано, что метод непрерывных дробей имеет более эффективное применение для множеств состоящих из бесконечного нормирования и нормирования степени один. Опираясь на метод непрерывных дробей в статьях [3]-[15] была глубоко изучена проблема существования и построения нетривиальных 5-единиц в гиперэллиптических полях в случае, когда множество 5 состоит из двух линейных нормирований. Однако, в статье [8] для состоящего из бесконечного нормирования и нормирования степени два, был построен контрпример для которого метод непрерывных дробей в текущем виде теряет свою эффективность.

Данная статья посвящена проблеме существования и построения фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях для множеств 5 более общего вида. Отдельно мы выделяем важный случай, когда множество 5 = Бь состоит из двух сопряжённых нормирований, связанных с неприводимым многочленом к второй степени. Нами впервые найдены методы поиска и построения фундаментальных б^-единиц в гиперэллиптических полях сравнимые по эффективности с методами для двух линейных нормирований. Получить существенные продвижения удалось благодаря тому, что в проблеме существования и построения фундаментальных 5-единиц впервые была применена теория обобщенных функциональных непрерывных дробей в совокупности с геометрическим подходом к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых.

Для случая двух линейных нормирований в статьях [7] и [13] был представлен новый геометрический метод, основанный на последовательном построении специальных дивизоров для заданного элемента гиперэллиптического поля. Многочлены Мамфорда этой последовательности дивизоров оказываются тесно связанными с непрерывной дробью рассматриваемого элемента. Основные результаты данной статьи были получены путем обобщения методов статей [7] и [13] для дивизоров, обобщенных непрерывных дробей и б^-единиц, связанных с нормированиями второй степени.

2. Обозначения и вспомогательные утверждения

Пусть К — поле характеристики отличной от 2, и / £ К[х\ — свободный от квадратов многочлен, deg / = 2д + 1 д ^ 1, Ь = К(ж)(\//). Пусть V — множество нормирований поля Ь, определенных над полем X. Обозначим Б1у(Ь) — группу Х-дивизоров поля Ь,

Б1у

где для каждого дивизора И в наборе чисел только конечное количество отлично от

нуля. Там, где ясно, что суммирование берется по V £ V, будем его опускать. Все дивизоры, о которых далее пойдет речь, лежат в Б1у(Ь).

Для дивизора И £ Б1у(Ь), И = ^ пьV, определим степень дивизора

deg Б = ^ deg V.

Для фиксированного нормирования V £ V определим чи ело у(И) = щ = щ (О). Дивизор И £ Б1у(Ь) называется эффективным, если ь(И) ^ 0 для всех V £ V. Скажем, что для дивизоров И, Е £ Б1у(Ь) выполнено сравнение И ^ Е, если Е — И эффективный дивизор.

Для главного дивизора (а;) функции а £ Ь, а = 0, обозначим (&)г и (а)р соответственно эффективный дивизор нулей и эффективный дивизор полюсов функции а так, что (а) = (а)г — (а)Р) причем (а)г)  (а)р) = 0 для всех V £ V.

Группу дивизоров степени ноль поля Ь обозначим Б1у°(Ь), группу главных дивизоров поля Ь обозначим Рппс(Ь), группу классов дивизоров степени ноль поля Ь обозначим

Д°(Ь) = Б1у°(Ь)/Рппе(Ь). Скажем, что дивизоры И,Е £ Б1у°(Ь) эквивалентны И ~ Е, если они принадлежат одному классу в группе классов дивизоров Д° (V).

Инволюция ь толя Ь, действуйющая ь : ^ — \П-> ^ = И, может быть естественным образом определена на группе дивизоров Б1у(Ь) толя Ь. Обозначим множество целых неотрицательных чисел n0.

Пусть к £ К[х\ — неприводимый многочлен, deg к ^ 1, к \ /. Рассмотрим обобщенную непрерывныю дробь вида

к

ао +-к-'

ах +----

а2 +----

где элементы Оу для вс ех ] £ n0 имеют в ид а^ = а^  £ n0 О/ £ К [х\, к \ aj,

deg < (в^ + 1)deg к, и aj = 0 при ] ^ 1. Мы далее будем рассматривать только такие обобщенные непрерывные дроби, поэтому будем называть выражение (1) непрерывной дробью и сохраним для нее традиционное обозначение [ао; а\,а2,.. .\. Элементы ао,а\,... называются неполными частными непрерывной дроби (1). Для п £ n0 выражения ап = [ап; ап+\, ап+2,.. .\ называются полными частными непрерывной дроби (1). Для ] £ n0 справедливы равенства

з+1

Обозначим £ = {Ь £ К[ж\, deg Ь < deg к}, и £((к)) — множество формальных степенных рядов вида

те

Е Ъ к3,

3=3

где в £ и при ] ^ 8 имеем bj £ £, Ь3 = 0. Для степенного ряда а вида (3) обозначим "^н (а) = Множество формальных степенных рядов £((к)) является полем. Для непрерывной дроби (1) неполные частные ап, п £ n0, принадлежат полю формальных степенных рядов £((к)). Если непрерывная дробь од конечная, то од £ К(х) С £((к)). Подходящей дробью к непрерывной дроби (1) называется

Рз/Чз = [°0; а1, ...,(н \ £ К (х), э £ n0.

Положим р-\ = 1, р0 = а0, = 0 40 = 1- Тогда аналогично числовому случаю справедливы рекуррентные формулы для построения подходящих дробей

Р3+1 = аз+хРз + кр]-\, = + кqj-l, ] £ n.

Кроме того, аналогично числовому случаю при ] £ n справедливы тождества

Рз-Шз - РзЯз-1 =

аз+хРз + кр]-1

од —

од

аз+1 Чз + Н-1' Рз _ (-1УУ+1

Яз Яз (аз+Шз + И-1Г Если 0,0 = 0 в непрерывной дроби (1), то из (5) имеем

3 + 1 3 + 1

Ън (Рз+1) = -*з+1 + ЪИ (Рз) = Е ^ (д^+1) = + ) = Е вк.

к=0 к=1

Элемент а £ £((к)), заданный рядом (3), можно представить в виде непрерывной дроби

следующим образом. Определим а0 = ^зк = [«0\н> если в < 0, а иначе а0 = 0. Далее

положим а0 = а, и, если а0 — а0 = 0, то определим а1 = к/(а0 — а0). Если же а0 — а0 = 0, то непрерывная дробь а имеет вид [ао\. Так как ьь (од — ао) > 0, то ьь («1) 4 0. Аналогично, определим а1 = [а1\^, причем в силу V- (а1) 4 0 имеем а1 = 0. В случае а1 — а1 = 0 положим а2 = Н/(а.1 — а{). Продолжая так и далее, мы получим конечную или бесконечную непрерывный) дробь типа (1) для элемента а. Далее мы будем рассматривать именно такие непрерывные дроби, то есть непрерывные дроби вида (2) и удовлетворяющие свойству V- («га) 4 0 при п £ N. С этим соглашением любой элемент поля £((к)) имеет единственное разложение в непрерывную дробь типа (1).

3. Основные результаты

Рассмотрим неприводимый многочлен к £ К[х\, degк = 2, и свободный от квадратов многочлен / £ К[ж\, deg / = 2д + 1 д ^ 2, такой, что нормирование V- толя К(х) имеет два неэквивалентных продолжения V- и у+ на гиперэллиптическое поле Ь = К(ж)(77). Бесконечное нормирование имеет единственное продолжение на поле Ь, эффективный дивизор, соответствующий бесконечному нормированию поля Ь, обозначим те £ Б1у(Ь). Обозначим И- £ Б1у(Ь) — эффективный дивизор, соответствующий нормированию V-. Тогда главный дивизор многочлена к можно записать в виде (к) = И- + ьИ- — 4те.

Пусть элемент а £ Ь имеет вид

* 77 + ^

а =

и

где

и,У £ К[ж\, и  к | I — V2, д — 1 4 degи 4 д, degV 4 degи + 1.

Определим

^у2 2 л/Г + ш

К = , а = [а\- , W = аи — V, Т = 1 тт , , $ = У] + "

и-к '

и-к '

Т

Предложение 1. Справедливы следующие утверждения

К,Ш,Т £ К [х] — многочлены, причем д — 1 4 deg К, deg Т 4 д, deg Ш 4 deg Т + 1;

существуют и однозначно определены эффективные дивизоры Их, Иц, От £ £ Б1у(Ь) т,акие, что главные дивизоры многочленов Я,и,Т £ К[х\ и функции \[]—V, 77—^ £ Ь имеют вид

77 — у) = Ои +

77 — = Ии +

• справедливо тождество @(а — а) = к.

Доказательство. По построению (6) имеем и  к | £ — V2 и 2д + 1 4 deg(/ — V2) 4 2д + 2, следовательно, К — многочлен, д — 1 4 deg К 4 д- Так как элемент а = [а\- имеет в ид а = а  к~я, где а £ К[х\, V- (и) = в, degа 4 2в + 1, то Ш — многочлен степени не превосходящей д + 1. Положим V- (К) = г. Определим в качетсве К^ и Иц такие максимальные эффективные дивизоры из Б1у(£), что Ои 4 (Я  к~г)х, Оп 4 (77 — V) Би 4 (и  к~3)^ ьИи 4 (77 — V) .

В силу того, что по построению (6) справедливо равенство f — V2 = Я  Ъ  и, то выполнены соотношения (9), (10), (12).

Далее покажем, что Би + (8 + 1) ^ (л/7 — Рассмотрим тождество

^= ^ — а.

Поскольку дивизор полюсов главного дивизора функции а имеет вид 8(Ин + сИн) и

Ви < '{/] + У)2,то *

- < (^—•),,

следовательно, Ии ^ (— W)^ С другой стороны, по построению Ун (а) = — в и

- (/1 + V ) _ Ун I—---а I = Ун (а — а) > 0,

следовательно, (8 + 1)^н ^ (л/7 — ^ Таким образом, Ии + (« + 1)^н ^ (л/7 — следовательно, и  Ъ | / — Ш2, откуда получаем, что Т— многочлен, причем справедливы соотношения

шах(2д + 1,2 deg V) = deg К + 2 + deg и, шах(2д + 1,2 deg ) = deg и + 2 + deg Т.

Опуеделим £ = ун (Т) и Ит — такой максимальный эффективный дивизор из Б1у(Ь), что От ^ (Т  Ъ~ьу , сИт ^ (\// — • Так как $ — Ш2 = и  Ъ  Т, то справедливы соотношения

Единственность главных дивизоров 0^,0и,От £ Б1у(Ь) следует из соотношений (8) и (9)-(13).

Соотношение 0(а — а) = Ъ следует го (14) и равенства / — Ш2 = и  Ъ  Т.  Предложение 1 позволяет с помощью формул (8) для элемента а, определенного в (6), эффективно строить нерерывную дробь вида (2) и ее полные частные ап.

Предложение 2. Пусть дан элемент а0 = а £ Ь вида, (6)-(7). Тогда для ] £ Ъ, ] ^ —1, существуют и однозначно определены, многочлены, иу, Уу £ К[х], д — 1 ^ deg Цу ^ д, deg Уу ^ д + 1 шах(2д + 1, 2deg Уу) = deg и у + 2 + deg и эффективные дивизоры

Иу £ Б1у(Ь); для которых при ] ^ —1 справедливы, следующие формулы:

4+1 = , f — У2 = иу  Ъ  иу+1,

Уу + УГ * т,2

иу+1

аУ+1 = К+1]- , уУ+1 = — Уу,

ву+1 = УН

Доказательство. По элементу а с помощью формул (8) построим элемент р. По построению непрерывной дроби имеем а1(ао — ао) = Ъ, а с другой стороны по предложению 1 имеем @(а — а) = Ъ. Из того, что а = ао следует, что а^ = Д то есть элементы ао и а^ имеют одинаковый вид:

«у = ,1 =0Д,

где

V-! = V, и-1 = В, и0 = и, Уо = и1 = Т.

Положим

Б-1 = Ои, А) = Ои, Б1 = От, в-1 = г, 80 = 81 = г.

Продолжая рассуждать аналогично и далее, с помощью предложения 1 получаем (15)-(19) для всех ] ^ —1.

Из предложения (2) следует, что данному элементу а € Ь вида (6)-(7) соответствует корректно определенная последовательность эффективных дивизоров ] € Мо- Следующее важное предложение играет кючевую роль в доказательстве теоремы 1.

Предложение 3. Для п € N справедливы соотношения

п— 1

+ 8.п • Шн — А) — «о • +

з=о

Доказательство. Просуммируем (19) по з = 0,... ,п — 1, получим

п—1 п—1 п—1

^^ + 1)БН + ^^ + ьОз) — ьБо + ьОп + (вга — 8о) • Он ~ ^ шах{2^ + 1, 2 deg V,-) • то. (24) з=о j=о j=0

Теорема 1. Пусть 80 = [д/2], и = Н30, V = Н30 • [^]Ъ—30] — и элемент а € Ь имеет вид (6). Пусть справедливы построения, (8), (20)-(22) и (15)-(19) для ] € М0. Тогда, следующие условия эквивалентны

1. найдется минимальный номер п € N такой, что Оп = Ио;

2. найдется минимальный номер п € N такой, что Уп = Уо и ип = сЩ для некоторой постоянной с € К *;

3. класс дивизора [Ин — 2то) имеет конечный порядок т в группе классов дивизоров А°(Ь);

4- класс дивизора [Ин — ьИн) имеет конечный порядок тн в группе классов дивизоров А°Щ;

5. непрерывная дробь элемента, а типа (1), определенная соотношениями (2); периодиче-скал с длиной периода п или 2п.

Доказательство. Эквивалентность условий 1. и 2. следует из предложения 2. Докажем, что из условия 3. следует условие 1.

Предположим, что дивизор {Лн — 2то) имеет порядок т € N. Тогда найдется такой номер п € N что

п—2 п—1

^{2^ + 1) <т < £(2^ + 1).

3=0 j=0

Обозначим 5 = ^о (2^ + 1) — т, тогда 0 ^ 5 ^ 28п—1. Из предложения 3 следует, что

+ 8п • ьБн — — «о • +

Пусть 5 = 25о — где ¿1 € {0,1} 0 ^ ¿о ^ 8п—1, ¿1 ^ ¿о. Так как

2

то из (25) получаем

Вп + вп  ьВн ~ Оо + 80  Шн — ¿о  ьн +

Так как по условию теоремы 8п-1 ^ т0 в левой и правой частях (27) стоят эффективные дивизоры степени д. Обозначим

Е = Бп

+ 8п  ьвн — [оо + ¿о  Шн — ¿о  ьн +

Поскольку Е ~ 0 и степень эффективного дивизор а полюсов Е не превосходит д, то Е — главный дивизор некоторой рациональной функции @ £ К(х) (см. [16]). Для любого конечного нормирования V £ V такого, что V = и V = имеем ь(Е)  ьп(Е) ^ 0, а так, как Е — главный дивизор рациональной функции, то получаем ь(Е) = сь(Е) = 0. Для любого конечного нормирования V £ V такого, что V = си, имеем ^ 1, а для главного дивизора

рациональной функции Е это возможно только, если ь(Е) = 0. Получается, что @ = ЪЪЯ для некоторых д £ Ъ и Ь £ К*. Из (28) имеем —1 ^ V— (Е) + у^, (Е) ^ 3, следовательно, д = 0. Так как по построению у+ (Оп) = V— (Оп) = 0, то 5 = 0 и Оп = 0. Отсюда следует условие 1.

Докажем, что из условия 1. следует условие 3.

Предположим, что п — минимальное чирло такое, что Ип = 0, тогда по предложению 3 сразу следует, что класс дивизора [Ин — 2ж) имеет конечный по рядок т в А°(Ь).

В силу (26) из условия 3. следует конечность порядка класса дивизора [Ин — ьО^ в А°(Ь), то есть следует условие 4.

Если справедливо условие 4, то снова из (26) имеем условие 3.

Докажем, что условие 2. эквивалентно условию 5.

При заданном нормировании V- второй степени непрерывная дробь полного частного ау £ Ь, построенная с помощью соотношений (2), зависит только от значения ау, поэтому квазипериодичность ао эквивалентна уеловиям Уп = Уо и ип = с11о для некоторого минимального п £ М, то есть квазипериодичность ао эквивалентна условию 2. Далее, в силу симметрии квазипериода непрерывной дроби (1) имеем с = 1, если п четно; для нечетного п длина периода

Ъ

эффективный алгоритм поиска бНединиц и классов дивизоров конечного порядка в А°(Ь). Алгоритм 1. Пусть дан многочлен f £ К[х], deg f = 2д + 1 д ^ 2. Положим во = [д/2]. (г). Вычисляем

«о те

£ = Ё ¡уЪ £ К[х], где </] = £ Ъ £ £((Ъ)); у=о у=о

(И), положим ио = ЪЯо и Уо =

(Ш). цикл: для ] £ Мо вычисляем f-V2

(a) иу+1 = >'

(b)ъ+1 = [ ^ ]-;

(c) Уу+1 = ау+1  иу+1 — Уу;

(й) проверяем, если иу+1 = ио и Уу+1 = Уо, то успешно завершаем, цикл.

Если алгоритм 1 завершился успешно, то есть был найден номер п Е N такой, что Un = Uo Ш-Vn = Vo, то в поле L существует фундаментальная б^-единица.

Разберем, как вычислить а = [^rh*]- Для заданных многочленов T,U Е К [ж], Vh (Т) = = vh ( U) = 0 •

Нам необходимо найти многочлен А Е К [ж] такой, что

AU = Т (mod hs+1), degA< deghs+1 = 2(s + 1).

Пусть h = h^2 + h1 ж + ho и

U = (т3ж + ns)hs + ... + (г0ж + ко), T = (+ Xs)hs + ... + «ож + x).

Будем искать многочлен А в следующем виде

А = (psж + <Js)hs + ... + (р0ж + j0).

Так как

(р0ж + j0)(г0ж + к0) = (Сож + X) (mod h),

то в случае ко = 0 имеем

= h2((oKo - rox) = h2X + hoppTQ

horfi - hiToKo + h2K^ h2Ko

а в случае ко = 0 имеем

= _ h2Xo = h2(o + hippTo

h h2

h

вая сравнение AU = T (mod h2), находим pi и Ji из линейного соотношения

(р1ж + Ji)(^ + k0) = (<^ж + xi) - (рож + jo )(Ti ж + Ki) - (mod h).

h2

А

Далее подробно разберем работу алгоритма 1 для случая д = 3 и К = Q. Зададимся целью найти бирационально неэквивалентных гиперэллиптические кривые рода три над полем рациональных чисел Q, якобиан которых имеет нетривиальную подгруппу кручения. Для этого нам достаточно рассматривать пары многочленов f, h следующего вида:

f = с7ж7 ... + со, h = ж2 + h0,

где ho, Со,..., Cj Е Z, многочлен h неприводим, число ho свободно от квадратов, cj > 0 и > 0, либо cj > 0 С5 = 0 и сз > 0 либо cj > 0 С5 = С3 = 0 и ci ^ 0. Также требуем, чтобы многочлен f был свободен от квадратов и (f, h) Е Q*.

h

L = <0(ж)(^7),

f = ( Zoo + /о 1ж)2 + 2(/oo + /01ж)( /io + fi^)h + (/2o + Í2^)h2 + (Ь + /3^)h3,

где foo,foi, fio, hi, f 2o, f'21, f 3o Е Z, f'31 Е No, причем либо f0o > 0 либо f0o = 0 и f0i > 0, a также либо f3i > 0 и f'21 > 0, либо f3i > 0 f'21 = 0 и fu ^ 0. Заметим, что при этих условиях

VT h2

= ( foo + /о1ж) + (fio + fi^)h,

h

и в силу (15) для всех j = 0,1... справедливы соотношения

V2 = f (mod h), Vj

V.f = f (mod h), Vj = foo + fax (mod h).

Положим

Ио = Н, Уо = {/оо + ¡о1х) + (Л о + к 1Х)Н. Будем последовательно по ] = 1,2... искать многочлены и^ ,Н • а^ € <[ж] такие, что deg и^ ^ 3, deg У^ ^ 4, deg(Н • а^) ^ 3 в следующем виде

и, = (иоо + У'пх) + (иЦ + и^х) Н, иоо, иЦ, иЦ, иЦ € Q,

аз = (¿¿о + 47) + Ъ^+НЬ^, $, ^, а(Л, а(Л € <,

Ъ = (^ + у^Х) + + уЦх)Н + У^Н2, , уЦ, У1Ц , уЦ, у^ € <,

до тех пор, пока не встретится номер для которого иоо = и\{ = и21 = 0. Отметим, что

а10 + апх = 0 до тех пор, пока Н

Предположим, что мы уже знаем многочлены

и— = иоо—1) + и11—1)х + {и^ + и^х)Н = Ш3—1)х3 + ш^—1)х2 + ш1—1)х + шоз—1), V— = /оо + /о1 ^ + (У 1о—1) + У11—1)Х)Н + 4'о—V.

На шаге с номером ^ вычислим коэффициенты Ъо ),..., Ъ\ ) € < многочлена

1 - V 2

1 к3-1 = ^х6 + ... + ъол,

следующим образом:

Ь6] = ко — (у(з—1))2, Ь5) = ¡31 — 2 у (Г1)У(Г1), Ь(1) = ко + 3 иоНо — 3Но(у4—1) )2 — 2у2—1)у4—1) — (ь^—1))2, Ь = —2 ¡о1У(Г1) + ¡21 + 2 НФо — 4НоУ^3—1)У(Г1) — Ь^ = —2 ¡ооУ(4—1) + 2 ¡о1 ¡11 — 2 ¡о1У(з—1) + ¡2о + 2 ¡зоНо + 3 До^ —

—3Н2о(у(Г1У)2 — 4НОУ(23—1)У(Г1) — Но^Г11)2 — (У(2—1) )2, Ь? = 2 ¡ооЬ1 — 2 ¡ооу3Г1] + 2 Шю — 2 ¡оФоУ^-1 — 2к1У(Г1] + +/21 Но + /31 ^о — — 2НОУ(Г1)У(Г1),

Ь(о) = 2 ¡оо ¡ю — 2 ¡ооНоУ^-1 — 2 /оо^2'—1) + ко Но + /зоН§+

+kohl - hKyt^)2 - 2h2yf-l)y4-1) - ho(yf-1))2.

4

1—1) V

7 4

Если -шЗ ) = 0, то вычислим

= 1)/ш3—1)

= ( bi3-l)w(3-l) - bi3-l)w(3-l)) /(w(j-l))2,

= (btl)(wtl))2 - btl)wtl)wtl) - btl)wl-l)wtl) + &?-l)(w?-l))2) /(w3J-l))3,

w^0^ btl\wtl))3 - rt^wfwt^)2 - b{rl)w{rl\w(rl))2+b5-l)(w2i-l))2w(i-l)-

M w2 (w3 ) - u5 wl (w3 ) + u5 J6 w0 (w3 ))2 +2^ )wlJ lw2 )w3 ) - ^б7' \w2 )) I / (w3

Если

3

= 0 ^ = 0, ТО Ьу6' = 0 и

Ь)

„и)

0)

=

ад.

0)

=

0-11пи-1) _ьи-1\п0-1)

ад.

ад;

0-1)^2

2 ) ,

(ь<£-1)(шц-1))2—ъ4~1)ш(г1)ш(г1)—

-1)..,и-1).пи-1)+ъ^-^Шг1^2

2

=

и-1)г„.,и-1)\з Лу-1)„„и-1)(„„и-1)Л2 М-1)„„и-1)(„,,и-1)Л2

2

-1))3 — и

3

-1))2 — Ь\

4

о

+Ь 4-1)

К'

>)2ш2-1) +2 ьу-1)шо-1)шУ-1)ш2-1) — ъ"-1)(шс

(у-1)\3

( -1))3, 2 ) ,

'«-1))2+

(у-1))4 2 ) .

Если ад

3

ад.

0-1)

= 0, то Ъ[6) = Ъ(5) = 0 и

=

#-1)ш1-1) —

7< -1),

4-1)^-1)

и-1)\2 1

)2,

Ш

(ь2у-1)(ш(Г1у)2 — ьЦ

и-1)„„и-1)„„и-1)

ад,

о

ад

1

+ ь4-1)'

-1))2

Ш

и-1)(„„и-1)\3 М-1)„„и-1)(„,,и-1)Л2

= ь1 -1)(ш1 -1))3 — ь:

2

ад,

о

«-1))2+

+$-1) (адоу-1))2ад1у-1) — ь4-1)(шо-1))3

( -1))4.

V )3,

Если

3

= ад.

=

0-1)

= 0, то 4я = = ^ = 0 и

М)

Ш

3

= =

/шо

ад.

ад,

= =

и-1)/„„и-1)

'/о

Далее вычисляем

и,

оо

(у) I „„ся

= —ЪошУ2 + ад,

и1о =

и

о1

и11 =

= —Ъош3у) +ш!),

Рассмотрим два случая: = = 0 и ц

,и) „Ш

оо

и

Если Цю = Цц = 0, то при Цю = 0 вычислим

о1

= 0.

аи) = ао1 =

I о1иооо — 1ови<о1

ЪоЩ)2 + (Цо))21

иоо =

/оо + а1)ио1) Ъо

и

оо

иоо = 0

-р) о1

Ъо ио 1)

(у) _ /о1

оо

и

о1

Наконец вычисляем коэффициенты многочлена Уу:

р) 1о

= г,(у)п,(у) + г,(у)п,(у) — Ъ г,(у) и(у) — и

— и,(о1 и(о1 + и>оо ц1о Ъо^о1 ио1 и

и-1)

..и) 11

оо 1о

.и-1)

1о ,

— аоо и11 + ао1 и1о ^

о1 1о

М

2о

гМ)иМ) - чР-1)

и 11 и'

2о

3

2

2

о

1

1

2

1

1

о

2

3

Если иО  иоЦ = 0, то при иО = 0 вычислим

(Л

л Л 11

а при Що = 0 вычислим

Далее положим

IмирР — /00^01 Но(и^)2 + {u0(0¡)2'

ЛЛ 11

Нои031'

Аз) 1о

АЛ 1о

+ а^и^ Но

и.

( ) оо

и,

(Л о1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = по + У10 —а10и10 —апи01 +а11и11 Но

1о 1о

= ¡и + Щ1 — а11и\о — а\ои11

тогда

( ) оо

Г(Л„ (Л _ Г(Л„(ЛН

I о и-оо I 1 ^01 Но

( ) о1

Г(Л„.(Л _ Г(Л„.(Л ' 1 ^00 'п

0 ^01

НоК')2 + «/ )2 Наконец вычисляем коэффициенты многочлена У^:

Но(и^)2 + {u(32>)2

„,(Л = п(Л„,(Л + п(Л„,(Л _ Н АЛ„,(Л _ ,,(з—1) и10 = а11 и11 + и00 а10 Н0^01 и11 и10 ,

У11 = аооУц + ао1 ию У

100 и'11

01 ^10

11

( ) 20

п(Л11(Л _ „(з-1) о1 11 -

20

Далее, согласно алгоритму 1 повторяем вышеописанные операции до тех пор, пока на некотором шаге п не будет выполнено ип = 11о и Уп = Уо-

о

1

4. Заключение

В качестве заключения продемонстрируем полученные результаты на примерах, найденных с помощью алгоритма 1 для д = 3.

Пример 1. Рассмотрим поле К = < многочлены Н = х2 + 2 и

/ = х1 + х6 + 4х5 + 3ж4 + 6ж3 + 5ж2 + 4х + 4 = = (х2 +х + 2) (х5 + 2х3 +х2 +х + 2) .

Нормирование Уи поля <

77 = х + (1 — х)  н +...

Бесконечное нормирование поля <(х) имеет единственное продолжение на поле Ь. Рассмотрим, А = И + те. Находим,

и0 = Н, Уо = х + (1 —х)  Н + 0  Н2 = —х3 +х2 — х + 2.

Далее строим непрерывную дробь для элемента, у/У/Ъ по норм,ирова,нию V- :

11 Ъ

— (х3 — х2 + х — 2) ;--^— (х3 + 2х2 + 2х + 2) ,х, х, 1,

х2 + 2 у ' х2 + 2 у у

12

—2,1, х, х,--^-

х2 + 2 х2 + 2

Непрерывная дробь элемента, у/У/Ъ периодическая, причем период симметричен, длина, периода, равна длине квазипериода и равна 10. Замечаем, что и1о = ио и У1о = Уо, поэтому справедливы условия, теоремы 1 и, следовательно, в якобиане гиперэллиптического поля Ь класс дивизора, ри — 2 го) имеет порядок т = 16, а класс дивизора ри — ьРи) имеет порядок т/2 = 8. В поле Ь существует фундаментальная Б-единица и степени 16, которую можно найти с помощью (4):

и = — р2л/], и  и = Ъ16 = х16 + 18х15 + 40х14 + 140х13 + 242х12 + 426х11 + 724х10 + 664х9+ +1408х8 + 512х7 + 1904х6 + 32х5 + 1760х4 — 224х3 + 1056х2 — 96х + 320, ^2 = 6х12 + 28х11 + 38х10 + 152х9 + 56х8+ +352х7 — 32х6 + 480х5 — 160х4 + 384х3 — 192х2 + 128х — 96.

Также в поле Ь существует фундаментальная Би-единица ии степен и 8, ии = и  Ъ-8. Пример 2. Рассмотрим поле К = ^ многочлены Ъ = х2 + 1 и

/ = х7 + 3х5 — 3х4 + 5х3 — 3х2 + х = = х (х6 + 3х4 — 3х3 + 5х2 — 3х + 1) .

Нормирование Уи поля 0>

у/] = (1 — х)+х  Ъ + ...

Бесконечное нормирование поля 0>(х) имеет единственное продолжение на поле Ь. Рассмотрим, Ро = Ри + го. Находим,

ио = Ъ, Уо = (1 — х)+х  Ъ + 0  Ъ2 = х3 + 1.

Далее строим непрерывную дробь для элемента у/У/Ъ по норм,ированию V-:

(х + 1) (х2 —х + 1) х3 —х2 + х + 1

у! Ъ

х2 + 1 х2 + 1

, х — 1 , — х — 1 , 1 , — 2 х, х,

2х

, х, 2х, 1, х 1, х 1,

х2 + 1

х3 — х2 + х + 1 2

х2 + 1 х2 + 1

Непрерывная дробь элемента у/У/Ъ периодическая, причем период симметричен, длина, периода, равна длине квазипериода и равна 14 Замечаем, что и14 = ио и У14 = Уо, поэтому справедливы условия, теоремы 1 и, следовательно, в якобиане гиперэллиптического поля Ь класс дивизора ри — 2го) имеет порядок т = 22, а класс дивизора ри — ьРи) имеет порядок

т/2 = 11. В пол е Ь существует фундаментальная в-единица и степей и 22, которую можно найти с помощью (4):

и = ц,1 — №2\Л, и и = Н22

V1 = (х + 1) (х21 + 7ж20 + 12х19 + 30ж18 + 29ж17 + 61х16+ +152ж15 — 120ж14 + 642ж13 — 946ж12 + 2048Ж11 — 2588ж10 + 3026ж9 — 2062ж8+ +936ж7 + 264х6 — 515ж5 + 379ж4 — 76ж3 — 18ж2 + 17ж + 1) , ¡л.2 = {2х8 + 4х7 + 8х6 — 4х5 + 20ж4 + 4х3 + 12ж + 2) х х (2ж10 + х9 + 5ж8 — 2х7 + 6х6 + 8ж5 — 16ж4 + 18ж3 — 8ж2 — ж + 3) .

Также в поле Ь существует фундаментальная Бь-единица иь степени 11, иь = и  Н-11. Пример 3. Рассмотрим поле К = многочлены Н = х2 + 2 и

/ = 2х7 + х6 + 6х5 +х4 + 4х3 + 4ж2 + 4 = = (х2 + 1) (2х5 + х4 + 4х3 + 4) .

Нормирование Уь поля

77 = 2х + (1 —х)  Н + ...

Бесконечное нормирование поля ((ж) имеет единственное продолжение на поле Ь. Рассмотрим Ро = Рь + те. Находим,

ио = Н, Уо = 2х + (1 — х)  Н + 0  Н2 = —ж3 + х2 + 2. Далее строим непрерывную дробь для элемента 77/Н по норм,ированию у-:

х3 —х2 — 2 ~ ~ ж (х2 + 2х + 2) 2х (х2 + 2х + 2) ж

77

Н

0 ; —1, —2ж,--^-—-—^--,-, 4,

х2 + 2 ' ' ' 2 (ж2 + 2) ж2 + 2 ' 2' '

х3 —х2 — 2 х 2х

2 (ж2 + 2) , , 2 , ж2 + 2 , 2 (ж2 + 2) , — Х, — , ж2 + 2

Непрерывная дробь элемента у/Г/Н периодическая, причем период симметричен, длина, ква,-

7 14 = -1/4

ч,т,о и = и0 иУ7 = Уо, поэтому справедливы условия теоремы 1 и, следовательно, в якобиане гиперэллиптического поля Ь класс дивизора [Рь — 2те) имеет порядок т = 13, класс дивизора (Рь — ьРь) также имеет порядок 13. В поле Ь существует фундаментальная в-единица и 13

и = ц,1 — ^2л/], и  и = Н13 V1 = ж13 + 16х12 + 45Ж11 + 149ж10 + 220ж9 + 430ж8+ +352ж7 + 584ж6 + 224ж5 + 528ж4 + 48ж3 + 336ж2 + 96, V2 = 4ж9 + 19ж8 + 48ж7 + 100ж6 + 112ж5 + 144ж4 + 64ж3 + 80ж2 + 16.

Также в поле Ь существует фундаментальная Бь-единица иь степен и 13.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abel N.H. Uber die Integration der Differential-Formel p dx/\/R, wenn R und p ganze Functionen sind 11 J. Reine Angew. Math. 1826. №1. P. 185-221.

2. Chebvchev P. L. Sur l'intégration de la differential , X+A dx // J. Math. Pures Appl. 1864. Vol. 2, m. P. 225-246.

3. Платонов В. П., Федоров Г. В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Матем. сб. 2018. Т. 209, №4. С. 54-94.

4. Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, №1(415). С. 3-38.

5. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, №5. С. 540-544.

6. Платонов В. П., Федоров Г. В. О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 475, №2. С. 133-136.

7. Платонов В. П., Жгун B.C., Федоров Г. В. Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и многочлены Мамфорда // ДАН. 2016. Т. 471, №6. С. 640-644.

8. Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Мат. сборник. 2009. Т. 200, №1. С. 15-44.

9. Петрунин М.М. О периодичности квадратных корней в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, №2. С. 155-158.

10. Платонов В. П., Петрунин М.М. S-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях // УМН. 2016. Т. 71, №5. С. 181-182.

11. Платонов В. П., Петрунин M. М. S-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей // ДАН. 2016. Т. 470, №3. С. 260-265.

12. Платонов В. П., Федоров Г. В., S-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // ДАН. 2015. Т. 465, №5. С. 537-541.

13. Жгун В. С., Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, №4. С. 208-220.

14. Кузнецов Ю.В., Штейников Ю.Н., О некоторых свойствах непрерывных периодических дробей с небольшой длиной периода, связанных с гиперэллиптическими полями и Э-единицами // Чебышевский сборник. 2017. Т. 18, №4. С. 260-267.

15. Петрунин М.М., Вычисление фундаментальных Э-единиц в гиперэллиптических полях рода 2 и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, №4. С. 250-283.

16. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях // Мир, Москва, 1988.

REFERENCES

1. Abel, N.H. 1826, "Uber die Integration der Differential-Formel ^x^V^^nn ^d p ganze Functionen sind", J. Reine Angew. Math. no. 1, pp. 185-221.

Appl, vol. 2, no. 9, pp. 225-246.

3. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2018, "On the problem of periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Sb. Math., vol. 209, no. 4, pp. 519-559.

4. Platonov, V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hvperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hvperelliptic curves over the rational number field", Russian Math. Surveys, vol. 69, no. 1, pp. 1-34.

5. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in hvperelliptic fields", Dokl. Math., vol. 95, no. 3, pp. 254-258.

6. Platonov, V. P., Fedorov, G. V. 2017, "On the periodicity of continued fractions in elliptic fields", Dokl. Math., vol. 96, no. 1, pp. 332-335.

7. Platonov, V. P., Zhgoon, V. S., Fedorov, G.V. 2016, "Continued Rational Fractions in Hvperelliptic Fields and the Mumford Representation", Dokl. Math., vol. 94, no. 3, pp. 692-696.

8. Benvash-Krivets, V. V., Platonov, V. P. 2009, "Groups of S-units in hvperelliptic fields and continued fractions", Sb. Math., vol. 200, no. 11, pp. 15871615.

9. Petrunin, M.M. 2017, О периодичности квадратных корней в гиперэллиптических полях // ДАН. 2017. Т. 474, №2. С. 155-158.

10. Platonov, V. P., Petrunin, М.М. 2016, "S-Units and periodicity in quadratic function fields", Russian Math. Surveys, vol. 71, no. 5, pp. 973-975.

11. Platonov, V. P., Petrunin, M.M. 2016, "S-units in hvperelliptic fields and periodicity of continued fractions", Dokl. Math., vol. 94, no. 2, pp. 532-537.

12. Platonov, V. P., Fedorov, G.V. 2015, "S-Units and Periodicity of Continued Fractions in Hvperelliptic Fields", Dokl. Math., vol. 92, no. 3, pp. 752-756.

13. Zhgoon, V. S. 2017, "On generalized jacobians and retional continued fractions in the hvperelliptic fields", Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 208-220.

14. Kuznetsov, Y. V., Shteinikov, Y.N. 2017, "On some properties of continued periodic fractions with small length of period related with hvperelliptic fields and S-units", Chebyshevskii Sbornik, vol. 18, no. 4, pp. 260-267.

15. Petrunin, M.M. 2015, "Calculation of the fndamental S-units in hvperelliptic fields of genus 2 and the torsion problem in the jacobians of hvperelliptic curves", Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, no. 4, pp. 250-283.

16. Mumford, D. 1983, 1984, Tata Lectures on Theta I, II, Progress in Mathematics, vol. 28, 43.

2. Chebvchev, P. L. 1864, "Sur l'intégration de la differential

x+A

dx", J. Math. Pures

sj x4 +ax3+ßx2+f

Получено 06.09.2018 Принято к печати 15.10.2018