Исследование эффективности управления колебаниями на основе трехмассовой расчетной схемы

3. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные 6. испытания повреждений. — М.:Мир, 1989.

- 344 с.

4. Игнатов В.А., Маньшин Г.Г., Константи- 7. новский В.В. Элементы теории оптимального обслуживания технических изделий.

— Минск: Наука и техника, 1974. — 192 с. 8.

5. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые технические задачи. — М.: Советское радио, 1973. — 232 с.

Лисенков В.М. Статистическая теория безопасности движения поездов. М.: ВИНИТИ РАН, 1999. — 332 с. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Кн. 2. М.: Мир, 1985. — 496 с.

Шаманов В.И. Теория и методы управления технической эксплуатацией систем интервального регулирования движения поездов. Дис. на соиск. учен. степ. докт. техн. наук. — Иркутск: 1998. — 419 с.

Кузнецов Н.К., Перелыгина А. Ю.

УДК 621.01:534

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ НА ОСНОВЕ ТРЕХМАССОВОЙ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ

В современном автоматизированном производстве все большее применение находят технологические машины с автоматическим управлением: станки с программным управлением, промышленные роботы и манипуляторы, подъёмные машины, транспортирующие, ориентирующие и загрузочные устройства, координатные и поворотные столы и т.д. В отличие от цикловых машин, предназначенных для реализации явно выраженного установившегося движения, управляемые машины позволяют осуществлять механическое движение любой сложности, в том числе и управляемые переходные режимы. Рост рабочих скоростей и нагрузок этих машин и ужесточение показателей точности и надёжности их функционирования предъявляют высокие требования к уровню динамических расчётов, вызывают необходимость учёта податливости исполнительных механизмов и разработки методов и средств снижения упругих колебаний. Эффективным путем решения этой проблемы является использование активного способа гашения собственных колебаний управляемых механических систем, обладающего более широкими возможностями настройки и регулирования параметров.

Согласно [1] колебательные движения по некоторым степеням подвижности исполнительных механизмов могут быть описаны трехмассовой колебательной системой. Учет промежуточной массы в этой системе затрудняет возможности динамического анализа и синтеза систем управления колебаниями из-за высокого порядка дифференциальных уравнений движения. В работе [2, 3] на примере пропорциональной дополнительной обратной связи было показано, что эффективным способом гашения упругих колебаний подобных систем является их активная компенсация. В настоящей статье приводятся исследования условий эффективности активного способа управления колебаниями на основе трехмас-совой расчетной схемы.

Важнейшей характеристикой системы гашения колебаний является ее эффективность. Система гашения эффективна, если она уменьшает интенсивность возникающих в системе колебаний. Для определения эффективности системы гашения применяются интегральные квадратичные оценки упругих колебаний, которые дают наиболее сжатое и четкое представление о характере колебательных движений. Коэффициент эффективности системы гашения может быть выражен:

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

к =±

KJ 0 '

^ о

где J0 -^Дд2 ^)&, J -^Дд2 ^)& - интеграль-00 ные квадратичные оценки исходной колебательной системы и системы с дополнительной связью. Если KJ0 < 1, то система является эффективной по интегралу от квадрата упругой деформации. Интегралы проще всего определяются с помощью теоремы Релея:

л Ю л Ю

п о п о

где ДОо (ую),ДО(ую) - амплитудные спектры упругих деформаций (преобразование Фурье от Дд о ^) и Дд^)).

Вычисление интегралов (2) для дробно—рациональных функций производится с помощью специальных таблиц [4]. Используя выражения (2), можно определить наиболее эффективную структуру и параметры дополнительных связей.

Расчетная схема трехмассовой колебательной системы, построенная на основе обобщенной расчетной схемы [1], показана на рис. 1. Здесь приняты следующие обозначения: д* — координата, характеризующая движение привода; Ддх , Дд2 — упругие смещения

масс; тп, т1 — соответственно приведенные массы привода и элементов преобразования движения; т — приведенные массы упругого звена, схвата и груза; Оп — приведенная движущая сила привода; с1 — приведенный коэффициент жесткости элементов преобразования движения; с — приведенный коэффициент жесткости несущего схвата; Ь — коэффициент вязкого трения.

Рис.1. Трехмассовая расчетная схема колебательной системы.

Дифференциальные уравнения движения трехмассовой системы для режима позиционирования в окрестности некоторого заданного положения имеют вид

тп$* + Ьд* -С1 Ддх - Оп -Ш'

т1 Дд1 + с1 Дд 1 =-т1д *+сДд2 -Ш"д0п

Преобразуя по Лапласу при нулевых начальных условиях уравнения (3)-(5), построим структурную схему, приведенную на рис. 2, где показаны дополнительные обратные связи с передаточной функцией Ш' доп (р), охватывающая привод и механическую передачу системы, и передаточной функцией Ш" доп (р), охватывающая только механическую передачу.

Из структурной схемы видно, что для трехмассовой системы возможны три варианта управления колебаниями: по координате упругого отклонения передаточного механизма Ддх, по координате упругого отклонения исполнительного механизма Дд2, и суммарным упругим колебаниям робота Дд — Ддх + Дд2. На примере пропорциональной дополнительной

Рис.2. Структурная схема трехмассовой системы с дополнительной связью.

связи Шдоп (р) = ±кв исследуем условия эффективности каждого варианта управления колебаниями трехмассовой системы, формируемого на первую массу (привод) трехмассовой системы. По структурной схеме найдем передаточную функцию при отсутствии дополнительной связи, которая при переходе к новым обозначениям имеет вид

Дяо(р) _

р) =

Оо

Ь р + &3 р

-а1 р4 + а 2 р3 + а 3 р2 + а 4 р + а 5

а о р

где Ь1 — тп\ Ь3 — [<ш2 п21

а5 =^ш2 Ш12^ 0 = °/

2 2 -1 -Шг, ш, п, ;

;ш0

;ш1

г 1

ц — /т„ ; п1 — Ум;п2 — /М; п3 — ^м;

М — тп + т1 + т;р — й/№.

Упругие колебания, возникающие в системе в результате приложения движущей силы °0(р) при отсутствии дополнительной связи, определяются выражением

ДЯ 0 — АЯю +ДЯ 20 = Ш 0( р )°п, (7) а упругие колебания при наличии дополни-

тельной связи w г

Л р ) =

Шдоп ( р )/

выражением

Дя( р)-

™ 0( р )°п

3 0 —

2цш0 ш2п2п3

+ш,2 п,

где Р —Ш0п2 '3

Согласно [4] для варианта управления колебаниями трехмассовой системы по координате упругого отклонения передаточного механизма Дд на основе уравнения (8) интегральный функционал имеет вид

31 —

° 2 • п • р

2

2•цп3 -ш°

•(ш0 п

2 ± кБ1 • п1 )

к — 1 — к10---

30

Анализ выражения (11) показывает, что отрицательная (нижний знак) дополнительная связь неэффективна (к10 > 1), а положительная -

эффективна (к10 < 1), причем эффективность

последней зависит от частоты собственных колебаний ш0 (чем меньше ш0, тем выше эффективность) и соотношений между массами системы п1, п2 (связь эффективнее при условии

п1 > п2). Анализ устойчивости системы с дополнительной связью этого типа, согласно критерию Гурвица, показывает, что система устойчива для любых положительных и неустойчива для отрицательных значений коэффициента усиления дополнительной связи.

Квадратичный функционал и условие эффективности для случая управления колебаниями по координате упругого отклонения исполнительного механизма Дд2 определяются следующими выражениями

3 2 —

°°п1 + п1 кв2[ш°(п1 -1) -ш^п2 ]-ш^п2Р

2|дш0п2п1 к°2 + п1 кв2[ш° (п1 -1) + ш^п2 ]-Ш2ш1п2п3

к20 —

ш2п3 + п1 кв 2[ш2(п1 -1)-ш2п2]-ш2п2 Р Рп2 к^2 + п1 кв 2[ш2(п1 -1) + ш2п2]-ш° ш2п2п3

1 + Ш 0

Задавая входное воздействие в виде ступенчатого сигнала Qn — Q 0 г), и используя табулированные зависимости квадратичных функционалов от коэффициентов дробно-рациональных функций [4], на основе (6) получим интегральный функционал исходной системы

° 0 п Р

Как следует из соотношения (13), пропорциональная дополнительная связь, формируемая по координате Дд2, эффективна только

при положительном коэффициенте усиления кв 2 > 0. Причем ее эффективность зависит не только от величины коэффициента усиления кв 2, но и от частот собственных колебаний ш0,ш1. Она будет тем эффективнее, чем ниже собственная частота ш1 и больше частота ш0

(ш0 >ш1). В то же время эффективность дополнительной обратной связи зависит от соотношений между массами системы п1, п2, п3; она

повышается при выполнении условия п 3 > п1 > п 2. Анализ устойчивости системы с данной дополнительной связью показывает, что коэффициент усиления ограничен:

п _ ш12(п1 -1) +ш2п2

к к

Условие эффективности этой связи с учетом выражений (9) и (10) примет вид

31 Ш2 • "и

2п1

д/п2Ш2 Р +Ш14(п1 -1)2 +ш0Ш12п2п3 -2ш2Ш2п

2 1

Определим оптимальное значение коэффициента усиления пропорциональной допол-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

нительной обратной связи, которое обеспечит минимальную интегральную оценку (12) и, соответственно, минимальное время переходного процесса отклонения исполнительного механизма от положения равновесия. Для этого частную производную функционала У2 по коэффициенту кв 2 приравняем нулю и решим

относительно последнего полученное выражение:

pt _ ю0n2

kD 2 - — ^ •

nt( F +ю? n 2) Зависимость (15) показывает, что при изменениях собственных частот колебаний ш0, ю1 и коэффициентов n1, n2, n3, вызванных

изменениями конфигурации исполнительных органов, будут изменяться значения оптимального коэффициента к^'2 •

Сравним эффективность управления колебаниями трехмассовой системы по координате ДqJ и координате Дд2, используя выражения (10) и (12):

Из выражения (18) следует, что при кв3 > 0 соблюдается условие к30 < 1, которое показывает, что положительная пропорциональная связь всегда эффективна. Пропорциональная дополнительная обратная связь более эффективна при условии ю0 < ю1, в противном случае

эффективность данной связи ниже. С увеличением коэффициента п3 положительная дополнительная связь становится более эффективной (к30 < 1).Исследования устойчивости

системы показывают, что предельной значение коэффициента усиления этой связи огра-

ничено величиной

knp _ Ю0

2

D 3 „ 2

2 n1 a>j

•{F - n2 ю?

+^n2ю?F +ю4(n1 -1)2 +02n2n3 -2w0W?n2

_J? _ n 3 •(W? •n 2 +kD1 • n1),

kTi — —

Определим оптимальное значение коэффициента усиления положительной пропорциональной обратной связи, обеспечивающее наибольшую эффективность гашения колебаний:

J1

Fw0 n ?

-n1 kD 2 [W?( n1 -1)-W?n 2 ]—W0 n2F

n2к?? -nkD?[©?(n1 -1)+w?n? ] w0w?n?n3

k opt — k D 3 —

W„

n1W12

[F ±n2 W0W1 ]•

Из соотношения (16) следует, что вариант управления колебаниями по координате Дq2

эффективнее управления по координате ДqJ при выполнении условия

к?1«12 n 3 [n1 к? 2Н2 n ? + F )-ю? n ? F ]<

< к?? n ? W?[n1 Fk? ? -W0 n ?( F-w? n ? )]• В противном случае более эффективным случаем оказывается управление по координате Дд 1 •

Для случая управления колебаниями трехмассовой системы по суммарным упругим колебаниям Дq интегральный функционал имеет вид

2 2 2

Из выражения (2о) следует, что величина оптимального коэффициента усиления к^

также является функцией параметров системы ю0 , ю1 и коэффициентов п1, п2, п3.

ÍL J1

k — — — к31 — —

n3ю?[-W?n1 kD3 + ю?F]

J —-

Qo n1 i+Wj n1 kD 3 + ю? F]

2ц[-ю1п1 кв3 + п1 ю0кв3(Р-Ю2п2) + Ю2 ©оп2п3]

Условие эффективности этой связи с учетом выражений (9) и (17) примет вид

k30 —

ю? •ю? • n2 • n3 • [+ю? n1 kD 3 +ю? F] F • [-ю? n? kD3 + n1 ю? kD 3( F -ю? n2 ) + ю2 ю^ n2 n3 ]

F[-w2 n? k?3 + n1 ю0 kD 3( F -ю? n 2 ) + ю? ю4 n2 n3 ] Управление колебаниями трехмассовой системы по координате Дq с положительной пропорциональной обратной связью оказывается эффективнее управления по координате ДqJ с положительным коэффициентом усиления при выполнении условия:

kD1Wl2 n3(ю2 F +W12 n1 kD3)<

<Wj2 n1 FkD3 -ю0 kD 3(Ю0 Wl2 n 2? - F Ч Иначе будет наиболее эффективно управление по координате упругого отклонения передаточного механизма ДqJ •

Произведем сравнение эффективности управления колебаниями по координатам Дq и Дq2 , используя соотношение:

к32 —

ш0 п 2 [ ш° п1 + ш0 Р ]

к — 4 —

к 41---

3 4 _

[-ш2 п12 к2В3 + п1ш2 кв 3( р-ш° п 2 ) +ш2 ш0 п 2 п 3]

31

2

Ш0 п 2 Р

.

^ п12 кР2 - п1 кВ 2 [ш° ( п1 -1) +Ш2 п 2]-ш2 Ш2 п 2 п 3 -п1 кВ 2 [Ш° ( п1 -1)-Ш2 п2]-ш2 п 2 Р

Из соотношения (22) следует, что положительная пропорциональная связь, формируемая по суммарным отклонениям, эффективнее положительной связи по координате упругого отклонения исполнительного механизма при выполнении условия:

-п1 кВ2 [Ш° (п1 -1)-ш2 п2 ]-ш2 п2 Р Х

Х[-ш2 п12 к^3 + п1ш2 кв 3( Р-ш2 п 2 ) +ш2 ш0 п 2 п 3] >

>Ш0 п2 [ ш2 п1 кв3 +ш2 Р]Х

хп12к2ш -п1 кв2[ш0(п -1)+ш2п2 ]-ш2ш2п2п3.

Аналогичным образом проанализируем условия эффективности каждого варианта управления колебаниями трехмассовой системы, формируемого на промежуточную массу трехмассовой системы.

Квадратичный функционал и условие эффективности при управлении по координате Дяг определяется следующими выражениями:

г 0 п1( Р + кВ 4 п1) ;

3 4 о 2 2 ;

2цш0 Ш2 п 2 п 3

к — — Р + кВ 4 п1

30 Р

Согласно соотношению (23), пропорциональная дополнительная обратная связь, охватывающая только механическую передачу, эффективнее (к41 < 1) связи, охватывающей привод и механическую передачу, когда соблюдается условие кв 1 п1(Р - кв4 п1)< кв4п2ш2. Причем её эффективность зависит не только от величины коэффициента усиления кв4, но и

от параметров трехмассовой системы. Дополнительная обратная связь, охватывающая механическую передачу, более эффективна, когда инерционность промежуточной массы больше инерционности привода и исполнительного механизма (п2 > п1 > п3). При условии,

если собственная частота элементов преобразования движения ш0 меньше собственной

частоты упругого звена ш1 , положительная дополнительная связь более эффективна, чем при условии ш0 > ш1.

Для случая управления колебаниями трех-массовой системы по координате Дq2 интегральный функционал имеет вид ° 02 п1

3 5 —

2^ш0 п2

Условие эффективности этой связи с учетом выражений (9) и (26) примет вид

Из выражения (24) следует, что пропорциональная дополнительная связь при формировании компенсирующего воздействия по координате Дд1 на промежуточную массу эффективна к40 < 1 только при положительном (верхний знак) коэффициенте усиления. Интересно отметить, что эффективность этой связи зависит от соотношения между инерционностью звеньев п2, п3 и привода системы п1. С возрастанием п1 положительная дополнительная

связь становится более эффективной. Установлено, что система с дополнительной связью этого типа будет устойчива при условии

кВ 4 <ш0 .

Произведем сравнение эффективности положительной пропорциональной дополнительной связи, формируемой на промежуточную массу т1 , и положительной пропорционально связи, воздействующей на привод тп системы, используя функционалы 31 и 3 4:

к 5_( Р ± кВ 5 п1)ш2п 3 к™----

50 30 Р

Зависимость (27) показывает, что при кв > 0 соблюдается условие к50 < 1, которое показывает, что положительная пропорциональная связь всегда эффективна. Причем ее эффективность зависит от соотношений между массами системы п1, п2, п3; она повышается при больших значениях п2 и п3, и меньшей инерционности привода п1. Эффективность

положительной пропорциональной дополнительной связи зависит и от частот собственных колебаний ш0,ш1. Она будет тем эффективнее,

чем ниже собственная частота ш1 и больше частота ш0. Как показывают исследования, величина коэффициента усиления данной связи не ограничена условиями устойчивости.

Для рассматриваемого случая введения компенсирующего воздействия сравним эффективность управления колебаниями трех-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

массовой системы по координате Дд1 и координате Дд2, используя выражения (23) и (26):

( Р + кР5 п1)Ю° п3

к - J6 -ккп----

ю,2 п,

к - ^ -

.

о

Из соотношения (28) следует, что вариант управления колебаниями по координате Дд2 эффективнее управления по координате Дд1 при выполнении условия

кв5п1 п2ю2 >кв4п2(кД5п1 + ю?п3). В противном случае более эффективным случаем оказывается управление по координате Дд1.

Произведем сравнение эффективности введения дополнительной обратной связи, формируемой на привод и на промежуточную массу т1, используя функционалы (11) и (24):

к - 5 -

к 52---

J о

.п0кро -пкво[ю0(п1 -1)+Ю2по]-ю2Ю12п,п3 -п1 кв о [ю°( п1 -1)-Ю2 п о ] -ю2 п о Р

Из соотношения (29) следует, что дополнительная обратная связь, которая охватывает механическую передачу, эффективнее (к52 < 1) связи, охватывающей весь исполнительный механизм, при выполнении условия

кР5 ( кР2 п1 -Юо п2 )0 >-кРо п1 Р +Ю0 п2 ( Р-Ю0 п2 ).

Исследования показали, что эффективность данной связи определяется не только коэффициентом усиления кв5, но и соотношением между инерционностью звеньев, а также собственных частот системы. Обратная связь, которая формируется на промежуточную массу, более эффективна при наименьшей инерционности привода п1 и большей инерционности промежуточного звена п2; эта связь тем эффективнее, чем больше собственная частота колебаний промежуточной массы ю0 .

Квадратичный функционал и условие эффективности при управлении колебаниями по координате Дд определяется следующими выражениями:

2 -.

т!о

Анализ условия эффективности на основании выражения (31) показывает, что пропорциональная дополнительная связь может быть эффективна только при положительном коэффициенте усиления кв. Согласно соотношению (31), эффективность обратной связи зависит от соотношений между инерционностью исполнительного механизма п3 и привода

системы п1 ; данная связь наиболее эффективна при большем п3 и меньшем п1. Также эффективность положительной пропорциональной дополнительной связи зависит от частоты собственных колебаний ю1 ; она будет тем эффективнее, чем меньше эта частота. С изменением этих величин будет изменяться и эффективность дополнительной связи. Исследования показывают, что система с дополнительной обратной связью этого типа будет устой-7 2 п 2

чива при условии кв6 < ю0 —.

п1

Сравним эффективность данного типа управления с эффективностью рассмотренных выше управлений для положительного коэффициента усиления пропорциональной обратной связи: по координате Дд1

п 3

64 J 6

и координате Дд2

Р

к - ^ -Л^с----

J 6 -

о о2 п Р

2^юо п2

Анализ выражений (32) и (33) показывает, что указанное управление может быть эффективнее управления по координатам Дд1 и Дд2 при выполнении условий

кП 4 п 2 (кП 4 п1 +Ю2 п 3 ) < кП 6 п1 ?

и

кП 5(Ю0 п 2 - кП 6 п1) < кП 6 ^ соответственно.

Проанализируем условия эффективности дополнительных обратных связей, формируемых на первую и вторую массы, используя соотношение:

р сс1 + с1 кв

к - ^ -

J3 0(с + С1 )-[-ст1 кр ± кр (Р-СС1 ) + сс т]

Анализ соотношения (34) показывает, что если соблюдается условие

кВ6ш0 п2 ( кВ3ш2 п1 -ш2 Р ) > > кВ 3[кВ 3ш2 п1 Р-ш0( Р 2 - п 2 ш0 ш2 )],

то эффективна пропорциональная дополнительная обратная связь, охватывающая механическую передачу. Как следует из выражения (34), эффективность этой связи определяется не только коэффициентом усиления кв6,

но и зависит от параметров системы. Обратная связь, которая охватывает механическую передачу, более эффективна при меньшей инерционности привода п1 и большей инерционности последней массы п3 (п3 > п2 > п1); эта связь тем эффективнее, чем больше собственная частота колебаний второй массы ш0. В противном случае эффективность дополнительной связи снижается.

Все изложенное позволяет сделать следующие выводы. Во-первых, при управлении колебаниями трехмассовой системы необходимо учитывать, что эффективность гашения колебаний пропорциональной обратной связью зависит от соотношений между инерционностью привода, инерционностью промежуточной массы и инерционностью исполнительного органа, а также от собственных частот колебаний звеньев. Во-вторых, при введении в колебательную систему положительной пропорциональной связи возможно формирование управления, как по координате Дд1 ,Дд2, так и координате Дд. Причем, каждый из вариантов управления, может оказаться более эффективным при соответствующей настройке коэффициентов усиления дополнительных связей. В-третьих, в зависимости от конфигурации исполнительных механизмов и значений коэффициентов усилений компенсирующее воздействие может быть организовано и на первую массу, и на вторую колебательной трехмассовой системы.

В связи с затруднениями в вычислительном плане при исследовании вариантов управления для дифференцирующей обратной связи на основе структурной схемы было проведено численное моделирование процессов управления движением трехмассовой колебательной системы. Исследования выполнялись с использованием системы визуального моде-

лирования БтиНпк с помощью блок-диаграммы, построенной на основе структурной схемы, изображенной на рис. 2. Моделирование проводилось при следующих значениях параметров системы: тп =10 кг; т1 = 20 кг; т = 45 кг; сг = 0,8-104Н/м; с —1,5 104Н/м; Ь=15 НМс/м. На вход модели подавалось воздействие в виде ступенчатого сигнала Оп = О01(1). На выходе модели формировался сигнал, соответствующий суммарным упругим колебаниям робота Дд — Дд1 + Дд2. Результаты моделирования приведены на рис. 3а-б.

На рис. 3,а показаны графики упругих колебаний трехмассовой системы для управления колебаниями по координатам Дд1, Дд2 и Дq:

кривая 1 соответствует колебаниям системы без дополнительной связи; 2 — при управлении упругими колебаниями по координате Дq 1; 3 — при управлении колебаниями системы по координате Дq. В результате исследований было установлено, что ни положительная, ни отрицательная дифференцирующая обратная связь при управлении по координате упругого отклонения исполнительного механизма Дд2 не эффективна. На рис. 3,б приведены графики колебаний трехмассовой системы для различных вариантов формирования управляющего воздействия: 1 - колебания системы без дополнительной связи; 2 — при введении отрицательной дифференцирующей обратной связи на промежуточное звено; 3 — при введении положительной дифференцирующей обратной связи на привод системы.

Анализ приведенных кривых показывает, что введение дополнительных связей позволяет снизить амплитуду колебаний трехмассо-вой системы и сократить время переходного процесса. Для данных параметров системы наиболее эффективными дополнительными обратными связями являются связи, формируемые на первую массу и охватывающие привод и механическую передачу. В тоже время для гашения колебаний трехмассовой системы наиболее эффективно оказалось введение в систему дополнительных связей по суммарным упругим колебаниям робота Дq. Также, в ходе численного моделирования было установлено, что при массе привода большей, чем массы звеньев наиболее эффективным становится формирование компенсирующего воздействия на промежуточную массу по координате упругого отклонения передаточного механизма Дд1 . Дифференцирующая обратная

связь по координате Дд в этом случае становится неэффективна.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев, С. В. Управление колебаниями роботов / С. В. Елисеев, Н. К. Кузнецов, А. В. Лукьянов. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 199о. - 32о с.

2. Кузнецов, Н. К. Управление движением трехмассовой колебательной системой / Н. К. Кузнецов, А. Ю. Перелыгина // Проблемы механики современных машин : Мате-

риалы третьей международной конферен-ции/ВСГТУ. - Улан-Удэ, 2оо6. — Т. 1. — С. 188-191.

3. Кузнецов, Н. К. Управление колебаниями трехмассовой системы / Н. К. Кузнецов, А. Ю. Перелыгина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование : научн. ж-л / Иркут. гос. ун-т путей сообщ. — 2оо7. — № 1. — С. 14-18.

4. Топчеев, Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. / Ю. И. Топчеев. — М. : Машиностроение, 1989. — 752 с.