КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

УДК 004.056

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

А.Ю. Лабинский, кандидат технических наук, доцент. Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

Рассмотрены результаты компьютерного моделирования систем массового обслуживания. Для моделирования систем массового обслуживания использованы имитационные модели, реализованные в виде программ для ЭВМ.

Ключевые слова: система массового обслуживания, имитационное моделирование, компьютерная программа, математическая модель

THE COMPUTING SIMULATION OF THE QUEUING SYSTEM

A.Yu. Labinskiy. Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia

This article presents the problem of use the computing simulation for modeling the queuing system. The simulation model to realize in form the mathematical model and computing program.

Keywords: queuing system, simulation model, computing program, mathematical model

В МЧС России широко используются системы массового обслуживания (СМО), «реализованные в виде диспетчерских пунктов центров управления в кризисных ситуациях, пожарной охраны и других экстренных служб» [1]. «Многообразие процессов управления, которые с точки зрения теории вероятностей являются процессами массового обслуживания, а также сложность этих процессов обуславливают широкое применение методов теории массового обслуживания при управлении силами и средствами» [2]. Теория массового обслуживания есть теория математического моделирования процессов массового обслуживания. Пример моделирования СМО с помощью искусственной нейронной сети, используемой для аппроксимации вероятностно-временных характеристик СМО, представлен в работе [3]. В данной работе представлены результаты моделирования СМО с использованием имитационной модели, в которой производится формальное описание процесса функционирования СМО.

СМО содержит один или несколько каналов обслуживания и накопитель (очередь заявок на обслуживание). В данную систему поступает поток заявок, попадающих в канал обслуживания либо в накопитель (образуя очередь заявок), если все каналы обслуживания заняты. Поток событий включает в себя все случаи поступления и обслуживания заявок. В СМО наиболее часто используется поток событий с экспоненциальной плотностью распределения:

9(At)=^*exp(-^*At),

где At - промежуток времени между событиями; 9(At) - плотность распределения At; д - скорость обслуживания заявки.

При t <х в СМО устанавливается некоторый предельный стационарный режим, который состоит в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени: каждое из состояний реализуется с некоторой постоянной вероятностью Pi. При этом предельная вероятность Pi представляет собой среднее относительное время пребывания системы в данном i-ом состоянии.

Вероятности состояний СМО могут быть найдены путем интегрирования системы дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова.

«Математическая модель СМО связывает заданные условия работы системы (число каналов, производительность и т.п.) с показателями эффективности системы, в качестве которых используются следующие величины» [2]:

- среднее (математическое ожидание) число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

- среднее число заявок в очереди на обслуживание;

- среднее время ожидания обслуживания;

- вероятность отказа в обслуживании без ожидания;

- вероятность превышения числа заявок в очереди определенного значения;

- вероятность превышения числа заявок в очереди определенного значения.

СМО могут быть двух типов: замкнутые и незамкнутые, с отказами и с ожиданием (очередью) [2]. Схемы замкнутых и незамкнутых СМО представлены на рис. 1.

Рис. 1. Схемы замкнутых и незамкнутых СМО

«Основными параметрами СМО являются» [2]: п - число каналов, X - интенсивность потока заявок (среднее число заявок, поступающих в единицу времени), д - производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемых каналом в единицу времени), а также ограничения (длина очереди, время пребывания заявки в очереди и др.).

«Характеристиками СМО являются» [2]: вероятность немедленного реагирования, вероятность отказа в приемке заявки, среднее время ожидания и др.

Результаты компьютерного моделирования СМО

1. Имитационная модель СМО с пуассоновскими потоками событий. В программе МБМО (рис. 2) производится моделирование СМО с экспоненциальной плотностью распределения событий (пуассоновский поток событий).

Рис. 2. СМО с пуассоновскими потоками событий

В программе для ЭВМ МБМО, реализующей имитационную модель СМО, моделируются одноканальные и многоканальные СМО с отказами, а также с ожиданием при ограниченной (менее 30) и неограниченной длине очереди ожидания. Исходными данными являются число каналов, интенсивность потока заявок, производительность канала обслуживания заявок, число мест в очереди ожидания обслуживания. Рассчитываются такие показатели эффективности СМО как вероятность того, что СМО свободна, и вероятность отказа в обслуживании, число заявок в очереди и системе, число обслуженных заявок, время ожидания в очереди и время пребывания в системе, абсолютная и относительная пропускная способность СМО.

В правой части окна программы представлена гистограмма распределения вероятностей состояний СМО. Программа позволяет выводить график зависимости вероятности отказа в обслуживании от интенсивности потока заявок.

2. Имитационная модель СМО в виде диспетчерского пункта.

Постановка задачи

На объединенный диспетчерский пункт, состоящий из п операторов, поступают случайные потоки вызовов служб 01, 02 и 03. Длительность обслуживания вызовов является случайной величиной, причем параметры обслуживания вызовов не зависят от оператора. Поступившая заявка при занятости всех операторов получает отказ в обслуживании и покидает СМО.

Законы распределения интервалов времени поступления заявок и распределения времени обслуживания заявок, используемые при моделировании СМО, могут быть следующими: равномерный, экспоненциальный, Эрланга, Вейбулла, Релея, Нормальный, Логарифмически нормальный, Лапласа, Парето и Барра.

При наличии нескольких свободных операторов очередную заявку обслуживает оператор, определяемый одним из следующих способов: оператор с меньшим номером, оператор с большим номером, оператор, выбранный случайным образом.

Возможности программы моделирования СМО

Программа РБМО (имитационная модель СМО в виде диспетчерского пункта) позволяет оценивать следующие характеристики:

- вероятность отказа в обслуживании заявок конкретных служб;

- распределение времени обслуживания (сгруппированные статистические ряды времени обслуживания) заявок;

- распределение времени занятости операторов обслуживанием заявок;

- коэффициенты занятости операторов обслуживанием заявок.

Гистограммы по сгруппированным статистическим данным представлены на рис. 3.

Окицмчц ипрапи^^цичич тщчпуо» Отпан Змлмм птунинк^Мочпиши илроои Скии

Рис. 3. Гистограммы по сгруппированным статистическим данным

Слева представлена гистограмма распределения времени обслуживания заявок. Цветом выделены запросы служб 01 (красный цвет), 02 (зеленый цвет) и 03 (желтый цвет). Справа представлена гистограмма распределения времени занятости операторов (разными цветами выделены значения для пяти операторов).

Программа обеспечивает построение гистограмм распределения интервалов времени поступления заявок и распределения времени обслуживания заявок для различных законов распределения, представленных на рис. 4.

»•« 1кгчам<1м  ммткга 1мынм1 л \тт М1М1 пктупш* к » 1»Н1 штн

)«вЯМ »«СЦИЩМ

ш к йаЫЛк

2 • 1 1 •• о М • > « (} и

'"в*

Ойи((аимм« а •л^апм/Замгкгк м^ягарм Овмстмгь | мс|у|т«^аьс|>^м«м11 ипрагш | Пипа

Рис. 4. Гистограммы законов распределения интервалов времени поступления заявок и распределения времени обслуживания заявок

Слева представлена гистограмма распределения интервалов времени поступления заявок (разными цветами выделены экспоненциальный закон, закон Эрланга и закон Релея). Справа представлена гистограмма распределения интервалов времени обслуживания заявок (разными цветами выделены равномерный закон, логнормальный закон и закон Барра). Интерфейс программы моделирования СМО представлен на рис. 5.

* Моделирование системы массового обслуживания

Гранты гистограмм ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

времени обслуживания запросов Закон поступления запросов Закон

№ Закона [Параметра[п«цмрр ь|и= 3»сиа |Парам»тр а|гир»«тр ь|

и 0.1 1 1Л гл

0.166 15 !7 0.2 оз

5,0 2.0 10 2.0 3,1

количестве реализаций ¡1000

Вериняя грамма (истограмм г~

дм занятости оператором I

(на беде* 1 В|

Помощь | Ввести данные | Моделировать Диаграммы | Очистить | Анонс [ Выход |

Вероятность отказа а обе: луямеаним

Решим от маки IV

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Раснраваяеиие времени обслуживания запросов

Законы т »ступяемия и обслуживают я| запросов

|» |~3*ми |П«тосгъ ркгршелаиия ¡Овиаст» фг^фл* |

^Рааиомяриий 1/1М «<:ю-а.Ь>а

12 Э».сп»*иц*ыъ»«>« а"е«(а"х) *>0; «>0

3 Эрлвса х>0: а>0

4 Вейбрма Ь-иТЬ-ШеМ-Ы/аМв^Ь »>0; а>0:1<Ь<4

5 Рвлвя *>0,а>0

6 Нср-шъ+ый мО-в.СХО-Ь Скх<6*х. а>6*Ь. Ь>0

7 Логиосмалынй МО-«.СХО-Ь *>0:02>а>0:0.7>|»0

6 Л4ППК* Ь>0

9 Парето *>0,а>1;Ь>0

10 Барра а-Ь-кЧе-Щ^аП^т *>0; а>15:Ь>1

Слу*&01 {Д  ^ » « 60 54 49 Я 45 42 52 44 50 51 36 0

Спуиб«02 сига Слу^аф 9 9 3 3 3 |1 |4 1 1 0 0 2 0 1 «

СлуибаОЗ 0.0» С^пЛаОЗ 1" 22 20 10 1 10 2 1 0 1 0 0 0 » 0 Р

<1 В

коэ «емкие *Л ЫЮТОСТ1 4МЩЮ01» 1Ж р 'яочж Яеяепмс П{ >емем1 ммлостн олерлпчхм

Оператор 3»«гпсть перэтф 0.533 ¡ОЛЮ |10БТ ¡133] ~рГвоо 3 ¡1.867 ]2.133 | [55Н [ддП 3467 | >4,000 1 1

1 0НВ 1 ш 1 10 24 30 39 86 42 1 1 0 2 1

2 0.506 2 11 5 22 87 74 61 17 2 В 1 0 1 1 0 2

3 0.346 3 6 5 16 С 4! 43 29 п 0 0 0 0 0 с 2

5ЕГ

В

Рис. 5. Интерфейс программы моделирования СМО

Программа обеспечивает построение гистограмм по сгруппированным статистическим данным и проверку согласованности величин времени обслуживания заявок с теоретическим распределением на основе критерия Хи-квадрат Пирсона.

3. Имитационная модель сети массового обслуживания.

«СМО, связанные между собой, когда выход одной СМО (или нескольких СМО) является входом (входами) для другой (других) СМО, представляет собой сеть массового обслуживания (СеМО)» [2]. СМО, образующие СеМО, называют узлами. Рассмотрим СеМО, для которых выполняются следующие условия:

- потоки заявок в СеМО от одного узла к другому являются простейшими;

- узлы СеМО являются незамкнутыми СМО с экспоненциальным обслуживанием, неограниченным накопителем заявок и неограниченным временем ожидания, порядок поступления в канал из очереди следующий: «раньше пришел - раньше обслужился»;

- переход заявок от 1-го узла к ]-му узлу в общем случае случайный и задается матрицей передач Q, содержащей вероятности переходов дц.

СеМО, как и СМО, имеют параметры и характеристики и подразделяются на незамкнутые и замкнутые, а состояние СеМО обусловливается состоянием её узлов.

Параметрами СеМО являются: число узлов, параметры СМО-узлов, матрица Q передач и параметры потоков. Общими характеристиками СеМО могут являться:

- общее число заявок СеМО (Мз=Мз1+Мз2+.. ..+Мзи);

- общее время ожидания СеМО (1ож=1«ж1+1;ож2+.. ..+1южи);

- вероятность незанятости СеМО Рсв (все каналы обслуживания во всех узлах свободны).

Количественные значения характеристик СеМО определяются по значениям характеристик её узлов.

«Незамкнутые СеМО могут быть представлены в виде внешнего узла Уо (источник заявок) и рабочих узлов У1, У2, Уз, образующих сеть» [2].

«Трехузловая незамкнутая СеМО [2]» представлена на рис. 6.

Рис. 6. Трехузловая незамкнутая СеМО: Уо - внешний источник (простейший поток заявок с частотой Хо); У1 - приемное устройство (диспетчер, поток заявок Х1) со скоростью обслуживания заявок Ц1; У2, Уз - устройства обслуживания заявок, имеющие П2 и пз каналов обслуживания (потоки заявок Я2 и Хз), способных обрабатывать заявки со скоростями Ц2 и Цз соответственно

Замкнутые СеМО отличаются от незамкнутых тем, что отсутствует внешний источник заявок и в СеМО обращается постоянное число заявок [2]. Замкнутая СеМО также имеет параметры, обусловливаемые параметрами образующих её СМО, числом узлов, матрицей передач и величиной среднего числа заявок. Характеристики замкнутой СеМО также обусловлены характеристиками узлов. «Трехузловая замкнутая СеМО» [2] представлена на рис. 7.

Рис. 7. Трехузловая замкнутая СеМО: У1 - задающий узел с двумя источниками заявок; У2 - одноканальная незамкнутая СМО с неограниченной очередью, обслуживающая заявки со скоростью Ц2; Уз - одноканальная незамкнутая СМО с неограниченной очередью, обслуживающая заявки со скоростью Цз

Программа КБМО производит моделирование замкнутых и незамкнутых сетей массового обслуживания. Переход заявок от узла к узлу сети имеет случайный характер и задается матрицей переходов сети массового обслуживания. Сеть состоит из трех узлов (СМО). В случае замкнутой сети три СМО включены последовательно. В случае незамкнутой сети первый узел (СМО) включен последовательно с двумя другими узлами (СМО), включенными параллельно.

Интерфейс программы №МО представлен на рис. 8.

Рис. 8. Интерфейс программы NSMO

В программе NSMO моделируются сети массового обслуживания с экспоненциальной плотностью распределения событий (пуассоновский поток событий). Моделируются одноканальные и многоканальные сети массового обслуживания с отказами, а также с ожиданием при ограниченной (менее 30) и неограниченной длине очереди ожидания.

Компьютерная модель оценивает вероятности состояний СеМО, среднее число заявок в каждом узле сети и вероятности незанятости СМО как узлов сети. В правой части окна программы представлена гистограмма распределения вероятностей состояний СМО. Слева направо представлены значения следующих вероятностей: Р1 - заявок нет, СеМО свободна; Р2 - одна заявка обслуживается, очереди нет; Р3 - одна заявка обслуживается, в очереди одна заявка; Р4 - две заявки обслуживаются, очереди нет; Р5 - две заявки обслуживается, в очереди одна заявка; Р6 - две заявки обслуживается, в очереди две заявки.

Представленные результаты компьютерного моделирования СМО демонстрируют возможности имитационного моделирования случайных процессов со счетным числом состояний и непрерывным временем переходов - процессов массового обслуживания. Компьютерные модели СМО позволяют исследовать зависимости показателей эффективности СМО, характеризующих способность справляться с потоком заявок (донесений), от заданных условий работы СМО, определяемых числом каналов, их производительностью, правилами работы и характером потока заявок (донесений).

Литература

1. Абдурагимов Г.И., Таранцев А.А. Теория массового обслуживания в управлении пожарной охраной. М.: МИПБ МВД России, 2000.

2. Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания. СПб.: Наука,

2007.

3. Лабинский А.Ю. Моделирование системы массового обслуживания с использованием нейронной сети // Науч.-аналит. журн. «Вестник С.-Петерб. ун-та ГПС МЧС России». 2019. № 2. С. 52-57.

References

1. Abduragimov G.I., Taranzev A.A. Teoriya massovogo obslugivaniya v upravlenii pogarnoy ohranoy. M.: MIPB MVD Rossii, 2000.

2. Taranzev A.A. Ingenerniye metody teorii massovogo obslugivaniya. SPb: Nauka, 2007.

3. Labinskij A.Yu. Modelirovanie sistemy massovogo obsluzhivaniya s ispol'zovaniem nejronnoj seti // Nauch.-analit. zhurn. «Vestnik S.-Peterb. un-ta GPS MCHS Rossii». 2019. № 2. S. 52-57.