Уравнение Дирака в формализме Ньюмена-Пенроуза

УДК 530.12:531.51

В. Н. Тимофеев

УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ФОРМАЛИЗМЕ НЬЮМЕНА-ПЕНРОУЗА

В теории Эйнштейна-Картана (ТЭК) рассмотрено биспинорное поле. С биспинорным полем связаны кванты этого поля - электроны и позитроны, которые являются античастицами по отношению друг к другу. Геометрия пространства-времени в ТЭК, а также свойства электронов и других частиц имеющих спин движущихся в нем, определяются из совместной системы уравнений гравитационного поля и уравнения Дирака. В статье приводится запись уравнения Дирака в формализме Ньюмена-Пенроуза, благодаря которому были найдены большинство известных точных решений уравнений гравитационного поля.

Ключевые слова: теория Эйнштейна-Картана, спинор, коспинор, биспинор, уравнение Дирака, уравнение Палатини, тензор кручения, тензор конторсии, изотропная тетрада, формализм Ньюмена-Пенроуза, унимодулярная матрица.

V N. Timofeev

The Dirac Equation in the Newman-Penrose Formalism

In the Einstein-Cartan theory the bispinor field is considered. Quanta of this field - electrons and positrons, which are anti-particles to each other are connected with the bispinor field. The geometry of space-time in Einstein-Cartan theory and the properties of electrons and other particles with spin ^, moving in it, are determined from the joint system of the gravitational field equations and the Dirac equation. There is a form of Dirac equation in the Newman-Penrose formalism thanks to which the most of the known exact solutions of the gravitational field were found.

Key words: Einstein-Cartan theory, spinor, kospinor, bispinor, Dirac equation, the equation of Palatine, torsion tensor, contortion tensor, isotropic tetrad, Newman-Penrose formalism, unimodular matrix.

Введение

Две теории - общая теория относительности (ОТО) и квантовая механика, возникшие в начале ХХ в. - стали основой современного мировоззрения

о физическом мире. ОТО позволила понять и предсказать физические явления, происходящие в масштабах Солнечной системы, галактик и самой Вселенной, а квантовая механика - в атомных и субатомных масштабах. Проблема заключается в

ТИМОФЕЕВ Владимир Николаевич - к. ф.-м. н., доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики Политехнического института (филиала) ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова» в г. Мирном.

E-mail: WTimoff@yandex.ru

TIMOFEEV Vladimir Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics, Polytechnic Institute, the branch of the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov in Mirny.

E-mail: WTimoff@yandex.ru

том, что эти две теории несовместимы друг с другом. Если в рамках Стандартной модели физики смогли объединить воедино электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия, то теории, которая бы включала и гравитационное взаимодействие, нет. Однако «в течение последнего полувека физики все новых и новых поколений, добиваясь успехов и терпя неудачи, временами попадая в тупики, продолжали, основываясь на открытиях своих предшественников, добиваться все более полного понимания принципов устройства мироздания» [1 с. 8]. Наиболее перспективной теорией, способной разрешить эту проблему, на наш взгляд, является теория суперструн. Но это не означает, что мы должны забыть классические подходы в решении проблемы.

В данной работе рассмотрено уравнение Дирака в теории Эйнштейна-Картана и решается следующая задача: представить уравнение Дирака этой теории в формализме Ньюмена-Пенроуза. Выбор такой постановки задачи объясняется следующим образом.

В теории Эйнштейна-Картана (ТЭК) в качестве источника гравитации выступают обе независимые

характеристики материи: масса и спин, которые, соответственно, вызывают искривление и кручение пространства-времени. Теория гравитации с кручением следует из калибровочной теории гравитации, что означает возможность включения ее в единую теорию фундаментальных физических взаимодействий, объединяющую на основе калибровочного принципа все четыре типа взаимодействия [2]. ТЭК так же, как и ОТО является классической теорией. Над созданием этой теории работало множество исследователей, среди которых Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили, П. И. Пронин [2], [3], В. Н. Пономарев [4].

На вопрос: «Почему на уравнения ТЭК стоит смотреть с точки зрения формализма Ньюмена-Пенроуза?», ответ будет такой: «Именно благодаря этому формализму были найдены большинство точных решений уравнений Эйнштейна». Достаточно вспомнить работу Киннерсли [5], который нашел полное семейство вакуумных решений уравнений Эйнштейна для типа D по Петрову. Кроме того, благодаря тому что формализм Ньюмена-Пенроуза органически сочетается со структурой световых конусов пространства-времени и выявляет свойства, присущие решениям уравнений Эйнштейна,

указанный формализм является эффективным методом исследования этих решений.

Следует отметить, что, (хотя ковариантная

производная для биспинора представлена в работах [2, 4]), в статье приведен вывод ковариантной

производной для биспинора из формулы ковариантной производной двухкомпонентного спинора. Такой вывод в литературе не встречается.

В статье приняты следующие обозначения индексов: - греческие буквы ^ ,1, Я ... = 1 , 2 ,3, 4 нумеруют коорди наты,

латинские буквы а,Ъ... = 1,2 и латинские буквы с точкой а, Ь ... = 1 , 2 - спиноры,

латинские буквы в скобках

(a),(6)... = (0),(l),(2),(3) - вектор. ортонорми-рованной тетрады,

латинские буквы «с крышкой» а , Ь ... = ( , 2 , ( , 2 -вектора изотропно й тетрады.

Ковариантная производная биспинора Итак, рассмотрим в пространстве Римана-Картана U4 поле биспинора [6, 7]

*=а)

где

- коспинор.

Для того чтобы в произведениях вида у ^ ^ , у^3^^ спинорные и коспинорные компоненты не смешивались друг с другом, матрицы Дирака выберем в спинорном представлении

Y

( о а(а) а

(а (а) О =

где О(аТ = (/ , О (О ) , О(а" = (/ , — О($Т & , О( °Т = /,

- единичная матрица, О( $Т () = Т, 2 ,3 Т - матрицы Паули. +

Обозначим через о ^ = ( О=* & и О^ = ( о^“*) матрицы

а

=н

еПа)а ( а)) = (

/ V

V2 V

l( m( n( n(

)

а

=(

V2

n( —m(

-in( l(

)

где значок « ?;» на матрице означает транспонирование, - компоненты векторов ортонормирован-ной тетрады. Тогда можно определить обобщенные матрицы Дирака в виде

r( = 2(>W = V2 С а0}

Известно, что вектора I М , ЇІ М , Ш М , Ш М , входящие в матрицы (3), образуют в пространстве-времени изотропную тетраду [8].

Геом етрия Римана-Картана определяется двумя независимыми характеристиками: метрическим

тензором и тензором кручения

НА = -ГГА - ГА !

2 V УМ Му/'

-А

где полная связность Г^ равна сумме символов

& г

Кристоффеля " # І и тензора конторсии "V( • ($V*

={$1

Так как

+

Ковариантные производные спинора и коспинора в пространстве ) имеют вид [8, 9, 10]:

—Яу, —уЯ,'

,а + П, ,ь ;

0 а -[і 0а 0ь >

4(‘

Т"а — І^ьа^л . оа_.і' т^л \

где ^ Ь°л ^Ьс;^ ( °л ^Ьс'УМ/ '

выражение (11) можно переписать в виде 1

V, К = Я, К - 2

Тогда для ковариантной производной (биспинора имеем

^Ь _ V

] 2 \аЛ иас;' ( аЛ иаспУ^^ циенты спинорной связности, «точка с запятой» обозначает ковариантную производную через символы Кристоффеля.

Найдем ковариантную производную от биспинора. Для этого представим формулы (5) и (6) в матричном виде.

Вследствие справедливости следующих равенств (оя6“о,ЯС;р^с) = (0-я6“)'(а^)(^^) =

а.3 ОоС-' + ) - коэффи-

1

+ - (-ЯОа;/° + 0

О

/А 1 Г/аЯ

(/ ) О -

V?/ 2 Л

<ГЯСТ° 0

0 2ЯСТ°

0 стЯ(ГЯ.Аг

О

ЛтЯсту 0 )

V 0 2Ясто)

К

Яуд

'О

= к( (Я °Я;д £

О

(<тЯйааг-'с^с) = <кЯо-%

)

для (5) имеем

^стЯ 0

Откуда находим

/0 <тЯ)/0 <гу\

\стя 0 ) ^о-° 0 1

К

Яуд

^0)

V,, ц = я„^Г + 5(<? Ч„ + «яО'--

Теперь перепишем ковариантную производную коспянора

#Ф = — Ф = $

Выясним теперь, как через спиновые коэффициенты выглядит величина %м#и=- Представим его в виде

М( - я(?( 2 (о- -I-

а оЯЬсо(;'с—яг/,)кь

в матричном виде. С учетом равкнств

(°ЯЬсОяаС;оКьК = (аяаС;,)(агЯЬс^)^Кь) = О&к^Ч

/ 1 \ —О 3^0 + (^——Я;/* + Я(ГоКЯоМ)0

&/-^1„/ О—=(<^0=0— О-^я-°КяоМ)/у

(^^Ска) = (°с''с)(°ЯЬс) 0Ы = °'<кЯк

находим

В явном виде записывая матрицы, входящие в (15), получим

<лг-ч„=ц:зипЛд -т,)(-'‘ тя*

Я,м \ц/^ П^Л-ЦгЯ / \ц/Я;^ 0Я;м

V,к = я, к - о

— р п

7* — 8* 9

— 6) 1 у*);

^124 ^234

__ о І ІЗ4 123 \ ,

ООО —Яуд : І і/-_ I/-_) ,

^^Я.д = 2 /

_=И9-у 8-7

— п 2 — Р

-—244 —4

—!44 —4=4

где —сЕЬс конторсии. Тогда

УДРдН =

= 72

( (А7і - 5 72 + О - У)7і + (Т - 7 ) 22 ) +  —5*ї7і + £72 + (а - я) 7і + (£ - р)72 + 5"І + 5"2 + (г* - р*)"І + (я* - а*)"2 + \5*^ -і А"- + (7* - т*)"І і (-* - у*)"2 +

3 \

і 2 (^"ї2з72 - ^їїї7і) \

3

і 2

+ 3

+ 22

где Б = "цдц, А = пцдц, 5 = тцдц, 5* = тцдц. Тетрадные компоненты тензора конторсии Лагранжиан спинорного поля в теории Эйнштейна-Картана имеет вид [2, 4]

2) - 2 (5д)УДН - )Уд 5д() - *()&

НН

где .о - гравитационная постоянная Эйнштейна, га - масса покоя Здесь используется система единиц,

где й=с=1.

Как известно, при варьировании действия

5 = ; ,<- д >4 ? покручению получаем уравнение Палатини [4]

где 5Яду - канонический тензор спина дираковского поля. Из уравнения (18) видно, что источником кручения является спин частицы. В виду полной антисимметрии тензора спина уравнение (18) можно переписать в виде

2 д = 2 ./ Ну д у5 Н &

тетрадные компоненты тензора

где 2ц = — -------£ цвЯр 2УЯр - псевдослед тензора

кручения.

В тетрадной формулировке это уравнение

принимает вид

£ ЙЬ м іь еь = 3 і ко 4>У аУ5

где £ аЬ С Ь - символ Леви-Чивиты.

Из (20), учитывая, что в силу полной анти-

симметрии тензора кручения для спинорного поля тензор кручения и тензор конторсии совпадают

1 дуЯ = КдуЯ'

находим тетрадные компоненты тензора конторсии

/2 .

Кккк = ^Ко(СЧ— - "27$);

/2 .

К2кк = -і~Кх(ї2ї2 — 7і7і)%

// ( • $

Ккек = -і-//^1^2 + 7і72$;

// г  ч

Кк2к 7 + 7271 )

Уравнение Дир/ка

Теперь подставляя (16) и (22) в уравнение Дирака

іуд 77д р — тгр = 0 ,

находим Ь) вращения класса II, оставляющие неизменным

л/21[,^1 & — -I- О* - р-)-1 & (2* - а-)-2 & вектор п:

+1Д=к0

п = п, т = т + Ьп, т' = т + Ь*п,

2Д+,— ?,/1,/2— * 1 ъ 213 [' = I + Ь*т + Ьт + ЬЬ*п-,

с) вращения класса III, оставляющие неизменными направления I и п, поворачивающие вектор т (и т) на угол в в плоскости (т, т ):

Д-+-+Д2 - Д-2 -4 (/Т 22 т-)-1 + (71 - у-1-- +

2 Г = А_1А п ' п Ап, т' = е1вт, т' = е=1вт.

+1—Я-3 (HlHl0:(-а201а1 -HlHiа1  (-4Ь-

Д Приведем закон преобразования биспинора для

. - 72-2-20] _1 ——-2 = * =1ждого класса.

Если при вращении тетрады спинор меняется по

Л?—- + <—- + О* - "О?! - -т - у!"1"# 1 за1к()11У [7]

^^КоЫ1^^т2^ +4с) ^= и^'

12 - 1 где и = (и%С - бинарная матрица, то коспинор п и

0 0 ()^:211;:,)] °2- _ 1( спинтензор " # преобраз=ются следующим образом:

л/+1[—5-— -I-1?-72 + 1а -

, 2 —Д—

4-1^/С0

(а в\

^2 Пусть и = I „ I . Тогда преобразование

12^1 - H2H2H2)] - -02 = 0. \7 о/

/2/1/1 I2 I2 12;л ? принимает вид

Вот такой вид принимает уравнение Дирака теории / / ( ш(

*)=

Эйнштейна-Картана в формализме Ньюмена-Пенроуза. (( ^

Трансформационные свойства _

Выбрав поле изотропной тетрады, можно =

\ /?а*/ ^ ^ ^гу*уу!( I //и*-м(

подвергнуть тетраду вращению (преобразованию 'Г* 1 а ии ш И!- *а^ II-

Лоренца) в некоторой точке и распространить это а**/^ + и/?*т( + а5*гп( + уО*п(\

преобразование на все пространство Римана-Картана 77*/( — />а*ш( — Д/*^* — 55*п()'

так, чтобы его параметры изменялись непрерывно от

точки к точке. Известно, что между группой Лоренца Сравнивая (31) с вращениями тетрады (25), (26), (27),

и группой 8Ь(2,С) унимодулярных комплексных находим: —а\

2^2 матриц существует тесная связь. Точнее говоря, а) для I класса: и =

группа 8Ь(2,С) дважды накрывает группу Лоренца.

Поэтому выясним, как преобразуется биспинор при вращении изотропной тетрады. В формализме Ньюмена-Пенроуза вращения тетрады разбиты на три класса [11]: с) для ^ класса:

а) вращения класса I, оставляющие неизменным вектор I: /р Л \

,' , ' и =

1=1, п = пп а*т +ат +аа*1, чл р '

(1 л а-

V—ь * 1 / '

Ь) для II класса: и =

т =т + =1, т = т + а*1;

Вращение тетра2ы д^ йствуетн2 биспинор по закону * ' = и*'

2!9

где

+ =

/и 0 /

ІО (и+)-1) '

Более подробно закон преобразования биспинора для каждого класса вращений имеет следующий вид:

АЛ

:г2

а) для I класса:

Ь) для II класса:

с) для III класса:

0

7і

\7\/

«Г'2

7'і

\^2/

Ґ?Л

Г'2

7'і

\0,2/

/ рГі \ р-Ч2

р*_і 77і

\ Р*72 /

Рз = = 0з = + Гз = ' где Гз = ^

у3 = %у 3 %)-і/

РЗ+' = и 7„=.

Таким образом, связность, как и полагается, выполняет компенсирующую роль при локальных преобразованиях (36). Имея в виду, что дираковский сопряженный биспинор меняется по закону

Можно легко убедиться в том, что лагранжиан (17) и уравнение Дирака (23) инвариантны относительно преобразований (36). Перепишем ковариантную производную (14) в виде

При преобразованиях (36) обобщенные матрицы Дирака преобразуются следующим образом:

Учитывая, 3р (и 1 3'%) = 0, где 8р - след матрицы, находим закон преоб'рраззования связности

Г'з = иГ'и-і — 0'%'и -і.

В результате ковариантная производная биспинора преобразуется следующим образом:

из (41) и (43) находим, что лагранжиан и уравнение Дирака инвариантны относительно (36).

Заключение

Суть формализма Ньюмена-Пенроуза, как метода интегрирования уравнений Эйнштейна (в нашем случае, совместной системы уравнений гравитационного поля и уравнения Дирака), заключается в том, что свобода выбора изотропной тетрады дает возможность упростить уравнения, записанные через тетрадные компоненты. Например, как это было сделано в работах [5], [12], [13]. В частности, если изотропный вектор I направлен вдоль конгруэнции изотропных геодезических, то координатную систему следует выбрать в виде (г, x2, x3, х4 ), где г - аффинный параметр вдоль конгруэнции. При таком выборе координат оператор D имеет простой вид -О = Э В этом случае удается выполнить полное интегрирование уравнений по «радиальной» координате г. После интегрирования по г уравнения сводятся к «редуцированным» уравнениям для функций от трех переменных х2, х3 и х4, возникающих как переменные интегрирования. Они могут быть дальше упрощены с помощью оставшихся допустимых вращений тетрады и преобразований координат.

Поэтому в данной работе для того чтобы применить формализм Ньюмена-Пенроуза в задачах о движении электрона в гравитационном поле, к уравнениям (24) прилагаются правила преобразования компонент биспинора (37)-(39) при вращениях тетрады (25)-(27).

Таким образом, эта работа проведена для того, чтобы в надежде, что соответствующий выбор изотропной тетрады позволил упростить и найти решение уравнения Дирака в гравитационном поле.

Л и т е р а т у р а

1. Грин Б. Элегантная Вселенная: Суперструны, скрытые (43) размерности и поиски окончательной теории. - М.: УРСС, 2013. - 288 с.

2. Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации. - М.: Изд-во МГУ, 1985.

- 144 с.

3. Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация. -М.: Изд-во ЛКИ, 2010. - 200 с.

4. Пономарев В. Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход в теории гравитационных взаимодействий: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.04.02. - М., 1981. - 350 с. - Библиогр.: с. 298-344.

5. Kinnersley W. Type D Vacuum Metrics. J. Math. Phys. -1969. - V. 10, № 7. - P. 1195-1204.

6. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. Т. IV. - М.: Наука, 1989. - 724 с.

7. Румер Ю. Б., Фет А. И.. Теория групп и квантованные поля. - М.: Наука, 1977. - 248 с.

8. Фролов В. П. Метод Ньюмена-Пенроуза в общей теории относительности // Тр. ФИАН им. П. Н. Лебедева 1977. Е. 96 - С. 72-180.

9. Степанов В. Е. Двухкомпонентные спиноры и пространство-время аффинной связности. - М.: Наука, 1996. -108 с.

10. Билялов Р. Ф. Спиноры на римановых многообразиях // Известия вузов. Математика. - Казань: Казанский гос. ун-т - 2002. - № 11. - С. 8-26.

11. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр.

Ч. 1. - М.: Мир, 1986. - 277 с.

12. Кайгородов В. Р., Тимофеев В. Н. Алгебраически специальные поля тяготения с однопараметрической группой движений // Известия вузов. Физика. - Томск: Томский гос. ун-т - 1996. - № 5. - С. 75-82.

13. Тимофеев В. Н. Алгебраически специальные вакуумные поля тяготения с космологической постоянной // Известия вузов. Физика. - Томск: Томский гос. ун-т - 1996. -№ 6. - С. 102-108.

R e f e r e n c e s

1. Grin B. Jelegantnaja Vselennaja: Superstruny, skrytye razmernosti i poiski okonchatel'noj teorii. - M.: URSS, 2013. -288 s.

2. Ivanenko D. D., Pronin P. I., Sardanashvili G. A. Kalibrovochnaja teorija gravitacii. - M.: Izd-vo MGU, 1985. -144 s.

3. Ivanenko D. D., Sardanashvili G. A. Gravitacija. - M.: Izd-vo LKI, 2010. - 200 s.

4. Ponomarev V. N. Geometrodinamicheskie metody i kalibrovochnyj podhod v teorii gravitacionnyh vzaimodejstvij: dis. ... dokt. fiz.-mat. nauk : 01.04.02. - M., 1981. - 350 s. -Bibliogr.: s. 298-344.

5. Kinnersley W. Type D Vacuum Metrics. J. Math. Phys.

- 1969. - V. 10, № 7. - P. 1195-1204.

6. Beresteckij V. B., Lifshic E. M., Pitaevskij L. P. Kvantovaja jelek-trodinamika. T. IV. - M.: Nauka, 1989. - 724 s.

7. Rumer Ju. B., Fet A. I. Teorija grupp i kvantovannye polja. - M.: Nauka, 1977. - 248 s.

8. Frolov V. P. Metod N'jumena-Penrouza v obshhej teorii otnositel'nosti // Tr. FIAN im. P N. Lebedeva 1977. E. 96

- S. 72-180.

9. Stepanov V. E. Dvuhkomponentnye spinory i prostranstvo-vremja affinnoj svjaznosti. - M.: Nauka, 1996. - 108 s.

10. Biljalov R. F. Spinory na rimanovyh mnogoobrazijah // Izvestija vuzov. Matematika. - Kazan': Kazanskij gos. un-t -2002. - № 11. - S. 8-26.

11. Chandrasekar S. Matematicheskaja teorija chernyh dyr. Ch. 1. - M.: Mir, 1986. - 277 s.

12. Kajgorodov V. R., Timofeev V. N. Algebraicheski special'nye polja tjagotenija s odnoparametricheskoj gruppoj dvizhenij // Izvestija vuzov. Fizika. - Tomsk: Tomskij gos. un-t - 1996. - № 5. - S. 75-82.

13. Timofeev V. N. Algebraicheski special'nye vakuumnye polja tjagotenija s kosmologicheskoj postojannoj // Izvestija vuzov. Fizika. - Tomsk: Tomskij gos. un-t - 1996. - № 6. -

S. 102-108.