Δ-графы многогранников в K-теории Брунса–Губеладзе

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

19

Полученный результат естественно приводит к задаче: для различных n и k (k ^ n) доказать, что если для множества M с Rn выполнено неравенство 1 ^ | Pm (x)| ^ k для всякого x g Rn, то M замкнуто и принадлежит классу Vk.

На плоскости с не строго выпуклой нормой теорема уже не будет верна. Так, для 3-выпуклого, но не 2-выпуклого множества M = {(0, —1), (0,1), (1/2, 3/2)} в пространстве = (R2, ||x|| = |xi| + |x2|) условие 1 ^ |Pm(x)| ^ 2 выполнено для всякого x g l2. Таким образом, представляет интерес задача о характеризации норм в пространстве R2, для которых имеет место утверждение доказанной нами теоремы. Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и внимание к работе. Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 11-01-00952а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. 118, № 1. 17-19.

2. Bunt L.N.H. Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen // Thesis. Univ. Groningen. Amsterdam, 1934.

3. Motzkin Th. Sur quelques proprietes caracteristiques des ensembles convexes // Rend. Accad. Naz. Lincei. 1935. 21. 562-567.

4. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

5. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи матем. наук. 1973. 28, № 6. 3-66.

6. Карлов М.И. Чебышевские множества на многообразиях // Тр. Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 1996. 4. 157-161.

7. Алимов А.Р. Всякое ли чебышевское множество выпукло? // Матем. просв. Сер. 3. 1998. 2. 155-172.

Поступила в редакцию 31.08.2012

УДК 000

Д-ГРАФЫ МНОГОГРАННИКОВ В K-ТЕОРИИ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ

М. В. Приходько1

В. Брунс и И. Губеладзе ввели аналог алгебраической K-теории, в котором K-группы дополнительно параметризованы многогранниками определенного типа. Для изучения K-групп многогранников высокой размерности предлагается использовать понятие стабильной E-эквивалентности. Стабильно E-эквивалентные многогранники имеют схожие внутренние структуры и одинаковые K-группы. Кроме того, для каждого многогранника можно определить некоторый ориентированный граф, который называется Д-графом и является инвариантом стабильной E-эквивалентности.

Ключевые слова: алгебраическая K-теория, сбалансированные многогранники, E-экви-валентность.

W. Bruns and J.Gubeladze introduced a new variant of algebraic K-theory, where K-groups are additionally parametrized by polytopes of some type. In this paper we propose a notion of stable E-equivalence which can be used to calculate K-groups for high-dimensional polytopes. Polytopes which are stable E-equivalent have similar inner structures and isomorphic K-groups. In addition, for each polytope we define a Д-graph which is an oriented graph being invariant under a stable E-equivalence.

Key words: algebraic K-theory, balanced polytopes, E-equivalence.

Введение. В серии работ В.Брунса и И. Губеладзе [1, 2] исследован новый аспект связи алгебраической K-теории с многогранниками. Отправной точкой их конструкции служит коммутативное кольцо R с единицей и многогранник P, удовлетворяющий некоторым свойствам. Брунс и Губеладзе построили

1 Приходько Михаил Владимирович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m_prix@mail.ru.

10 ВМУ, математика, механика, № 6

20

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

СЬ(Я,Р) — обобщение кольца СЬ(Я), в котором выполняется аналог теоремы о разложении обратимой матрицы в произведение элементарных матриц. Специфика их результатов состоит в том, что в этих кольцах проекторы и "детерминант" СЬ(Я, Р)/[СЬ(Я, Р), СЬ(Я, Р)] не изучены в такой степени, чтобы можно было говорить об обобщении функторов Ко и К\. Вместе с тем им удалось определить аналог Е(Я,Р) подгруппы Е(Я) = [ОЬ(Я),ОЬ(Я)\ С СЬ(Я), порожденной элементарными матрицами. Для широкого класса так называемых сбалансированных многогранников стандартные соотношения в элементарных матрицах переносятся на группу Е(Я,Р). Этот факт позволяет определить группу Стейнберга Я^Я, Р) и доказать, что она является универсальным центральным расширением Е(Я,Р). Тогда можно определить аналог группы Милнора К2 как К2(Я,Р) = кег(Я^Я, Р) ^ Е(Я,Р)). Применив +-конструкцию к ВЕ(Я,Р), получим аналог высших К-групп Квиллена (см., например, [3]):

Щ(Я, Р) = щ(ВЕ(Я, Р)+), г ^ 2.

Возникает естественный вопрос: что представляют собой группы Кг(Я, Р) для различных многогранников? В настоящее время эти группы вычислены только для нескольких классов многогранников, и в каждом из случаев Кг(Я,Р) изоморфна либо группе Кг(Я) Квиллена, либо прямой сумме нескольких экземпляров Кг (Я) (для некоторых многогранников на кольцо Я приходится накладывать дополнительные ограничения).

Для изучения Кг(Я,Р) в первую очередь необходимо понять, как устроена структура частичного произведения на множестве опорных векторов многогранника: эти векторы имеют тот же смысл, что и пары индексов, определяющие элементарную матрицу в классической К-теории. Настоящая работа посвящена изучению этого множества для произвольных многогранников.

Основные определения. Пусть Р — выпуклый многогранник в Мп, все вершины которого принадлежат целочисленной решетке Zn. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что размерность п минимальна, т.е. линейные оболочки граней Р являются гиперплоскостями в Мп. Тогда любой такой грани Е можно поставить в соответствие единственный сюръективный гомоморфизм (Е, —): Zn ^ Z, такой, что его ядром является множество векторов, параллельных грани Е, и для любого вектора и € Zn с началом в Е и концом в Р выполняется неравенство (Е, и) ^ 0.

Опорные векторы и сбалансированные многогранники. Вектор и € Zn называется опорным для многогранника Р, если существует такая грань Ри С Р, что (Ри,и) = —1, а для любой другой грани Е С Р выполняется неравенство (Е, и) ^ 0. В этом случае грань Ри называется базовой. Множество опорных векторов многогранника Р обозначается Со1(Р).

Одним из основных свойств опорных векторов является следующее: для любой точки р € Р п существует такое целое неотрицательное число к, что р + ки € Ри. Это число называется высотой точки р над гранью Ри и обозначается (р). Высоту точки над гранью можно вычислить следующим образом: для любой точки д € Е

(р) = (Е,р — д).

Это определение не зависит от выбора точки д, так как все векторы, соединяющие точки Е, параллельны Е.

На множестве опорных векторов можно ввести операцию частичного умножения: если для векторов и,у € Со1(Р) выполняются соотношения и + V € Со1(Р) и Ри+Ь = Ри, то говорят, что определено произведение иу = и + V. Вообще говоря, не для всех пар опорных векторов существует их произведение. Кроме того, если определено иу, то не определено уи.

Многогранник Р называется сбалансированным, если (Ри,у) ^ 1 для любых и,у € Со1(Р). Например, сбалансированными многогранниками являются симплекс, квадрат и четырехугольная пирамида высоты 1. А прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2 сбалансированным не является. В работе [1] описаны все сбалансированные многоугольники. Подобной классификации в других размерностях не существует.

Удвоение вдоль грани. Для любого многогранника Р и его грани Е можно определить новый многогранник Р-р, называемый удвоением Р вдоль грани Е. Предположим, что начало координат принадлежит грани Е, и рассмотрим стандартное вложение Мп в Мп+1. В Мп+1 многогранник Р повернем на 90° вокруг грани Е. Вершины повернутого многогранника, который мы обозначим Р, могут оказаться вне узлов целочисленной решетки, но можно изменить базис в Мп+1 так, что вершины и Р, и Рбудут иметь целочисленные координаты в новом базисе (например, мы всегда можем сделать аффинно-целочисленную замену координат в Мп так, что грань Е будет лежать в плоскости хп = 0, и тогда образы всех вершин при повороте будут иметь целочисленные координаты). Теперь определим многогранник Р-р как выпуклую оболочку Р и Р. Если грань Е является базовой для V, то будем также писать Р—.

При удвоении многогранника грани Р количество его граней увеличивается на 1. При этом для любой грани О, кроме Р, выпуклую оболочку О и О' (образ О при повороте) мы будем рассматривать как образ О при удвоении и обозначать . Для Р положим по определению Р= РТак как соответствие

^ О является взаимно однозначным, иногда мы будем отождествлять О-р с О.

Пусть теперь Р — сбалансированный многогранник и V € Со1(Р) — опорный вектор с базовой гранью О. Тогда V является опорным и в Рс базовой гранью О-р. Кроме того, при любом удвоении возникают два новых опорных вектора 6 и —6 с базовыми гранями Р и РДля любого V € Со1(Р) повернутый вектор V1 является опорным в Р-р (при этом если V параллелен Р, то V1 совпадает с V). При удвоении сбалансированного многогранника вдоль базовой грани получающийся многогранник также будет сбалансированным, причем множество его опорных векторов состоит только из перечисленных выше, т.е.

Со1(Р^) = Со1(Р) и Со1(Р') и {6, —6}.

Последовательность вложенных многогранников ф = (Р = Ро с Р1 с Р2 с ...) называется последовательностью удвоений, если, во-первых, каждый следующий многогранник является удвоением предыдущего вдоль базовой грани и, во-вторых, для любых г € V € Со1(Р^) найдется такой индекс ] ^ г, что Р,-+1 = Р".

Так как имеется естественное вложение Со1(Р^) с Со1(Р^+1), то можно определить прямой предел НтСо1(Рг), который мы будем обозначать Со1(ф).

Группа Стейнберга. Для сбалансированного многогранника Р, последовательности удвоений ф = (Р с Р1 с ...) и ассоциативного, коммутативного кольца К с единицей определим группу Стейнберга

Я^К, Р) как группу с образующими ж^, V € Со1(ф), Л € К, удовлетворяющими соотношениям

жЛжш = жЛ+ш

и

( —Ли

Л ш I ж^ , если определено то;

\1, если и + V € Со1(ф) и{0}.

Можно показать, что это определение не зависит от выбора последовательности удвоений ф. Подгруппу в группе Я^К, Р), порожденную жЛ, где V € Со1(Р^), будем обозначать Р) (это определение при г = 0 уже зависит от выбора последовательности удвоений).

Элементарные автоморфизмы. Пусть 5(Р) — полугруппа в Zn х М, порожденная парами (р, 1), р € Р п т,а, относительно поэлементного сложения, записанного в мультипликативной форме. Для данного ассоциативного, коммутативного кольца К с единицей определено полугрупповое градуированное кольцо К[Р] = К[5(Р)], группу градуированных автоморфизмов которого мы будем обозначать gr.aut(R[P]). Элемент этой группы ^ называется элементарным автоморфизмом, если найдутся такие опорный вектор V € Со1(Р) и элемент кольца Л € К, что

р(ж) = (1 + Лv)htpv (х)ж

для любого ж € 5(Р). Обозначим этот автоморфизм через еЛ, а подгруппу в группе gr.aut(R[P]), порожденную элементарными автоморфизмами, через Ро(К, Р). В работе [1] показано, что для сбалансированных многогранников между элементарными автоморфизмами всегда существуют соотношения, аналогичные соотношениям между элементарными матрицами:

елеш = ел+ш

''V V V 1

( —Ли

Л ш \ еЫь , если определено uv;

1, если u + v ^ Col(P). Как и в случае группы Стейнберга, для данной последовательности удвоений

р =

определено кольцо R[P] = lim R[S(Pi)]. В группе его автоморфизмов, сохраняющих градуировку, выделяется подгруппа E(R, р), порожденная элементарными автоморфизмами. При другом выборе последовательности удвоений получается естественно изоморфная группа, поэтому в дальнейшем вместо E(R, р) мы будем использовать обозначение E(R, P).

11 ВМУ, математика, механика, №6

K-группы и E-эквивалентность. Как говорилось во введении, высшие K-группы для коммутативного кольца R и сбалансированного многогранника P определяются как Ki(R, P) = ni(BE(R, P)+), i ^ 2.

В случае, когда P является симплексом, Ki(R,P) совпадает с классической K-теорией Квиллена.

Для фиксированного кольца R структура группы Стейнберга (а следовательно, и всех K-групп) определяется структурой умножения опорных векторов в последовательности удвоений. С другой стороны, зная структуру умножения опорных векторов в данном многограннике и значения оператора (, ) на всех парах граней и опорных векторов, можно вычислить структуру умножения опорных векторов и значения оператора (, ) в удвоенном многограннике, а значит, и во всей последовательности удвоений.

Назовем два многогранника P и Q E-эквивалентными, если существуют изоморфизм ф\ между множеством граней P и Q и изоморфизм Ф2 между Col(P) и Col(Q), такие, что:

1) для любой грани F Е P и любого вектора u Е Col(P) выполняется (F,u) = (ф\(F),ф2(u));

2) для любых двух векторов u,v Е Col(P) существует произведение uv тогда и только тогда, когда определено произведение Ф2 (п)ф2 (v), причем в этом случае ^(uv) = ф2^)ф2 (v).

Два многогранника P и Q называют стабильно E-эквивалентными, если в некоторой последовательности удвоений многогранника P найдется многогранник, E-эквивалентный одному из многогранников некоторой последовательности удвоений многогранника Q. Группы Стейнберга (а также группы E(R, P) и Ki(R,P)) стабильно E-эквивалентных многогранников изоморфны.

Понятия ¿-симметрии граней и Д-графа многогранника. Назовем две базовые грани F и

G многогранника P 5-симметричными и будем писать F LL G, если существует опорный вектор u = ó'f, такой, что Pu = F и P-u = G (позже мы докажем, что для двух данных 5-симметричных граней существует только один такой вектор). Например, P и P1 всегда 5-симметричны в PJ. Опорный вектор v, для которого —v также является опорным, будем называть 5-вектором.

Теорема 1. 1. Множество всех базовых граней сбалансированного многогранника P можно 'разбить на такие непересекающиеся семейства Si, S2 ,...,Sn , что любые две грани из одного семейства 5-симметричны, а любые две грани из разных семейств — нет.

2. При удвоении многогранника 5-симметрия граней не изменяется. Кроме того, новая грань, возникающая при удвоении, 5-симметрична P1. Тем самым число семейств N не меняется при удвоении и не зависит от выбора последовательности удвоений.

3. Если P С Rn, то N ^ п.

Доказательство. Для доказательства первого утверждения теоремы необходимо проверить, что если F LL G, а G LL H, то F LL H. Докажем, что 5C + 5H = 5H. Действительно, для любой грани X, отличной от F и G, имеем (X,5G) = (X, —5C) = 0. Аналогично для любой грани Y, отличной от G и H, имеем (Y,5H) = (Y, —5H) = 0. Следовательно, для любой грани Z, отличной от F, G и H, справедливы равенства

(Z,5G + 5*) = {Z, —5G — 5*) = 0

и

(F,5G + 5*) = —1, (G,5CG + 5*) =0, (H,5G + 5*) = 1.

Операция удвоения вдоль грани сохраняет функционал (, ), поэтому 5-симметричные грани остаются 5-симметричными. Множество опорных векторов удвоенного многогранника описывается как

Col(P) u Col(Pi) u {5, —5},

поэтому если F ¿ G, то FJ ¿ GJ. Для завершения доказательства второго утверждения теоремы остается заметить, что P С PJ является новой базовой гранью, 5-симметричной PI .

Предположим, P С Rn и существует k попарно не 5-симметричных базовых граней Fi, ...,Fk. Пусть ui является опорным вектором для грани Fi. Составим матрицу A размера k х k, такую, что Aj = (Fi, uj). Любая такая матрица обладает следующими свойствами:

1) все диагональные элементы этой матрицы равны —1, а остальные равны 0 или 1;

2) если Aij = 1 для некоторой пары индексов i,j, то Aji = 0. Действительно, если (Fi,uj) = (Fj,щ) = 1, то (Fi, ui + uj) = (Fj ,ui + uj) = 0. Тогда (F, ui + uj) = (F, ui) + (F, uj) ^ 0 для любой грани F Е P. Это возможно, если только ui + uj = 0, так как для любого ненулевого вектора u найдется такая грань F, что

(F,u) > 0. Следовательно, Fi LL Fj;

3) если Aij = 1, то определено произведение u,jui Е Col(P).

Последнее свойство, по сути, означает, что если Aj = 1, то к столбцу j можно прибавить столбец i и получившаяся матрица вновь будет матрицей произведений опорных векторов Ui,..., Uj-i,Ujщ, Uj+i, Uk с базовыми гранями Fi,..., F, обладающей всеми перечисленными выше свойствами. Избавляясь от единиц под диагональю таким образом, можно привести матрицу к верхнетреугольному виду, причем на главной диагонали будут стоять -1. Получившаяся матрица не вырождена, следовательно, ее столбцы линейно независимы. С другой стороны, если k > n, то существует нетривиальная линейная комбинация векторов AiUi + ... + AkUk = 0. Тогда столбцы матрицы A будут линейно зависимы, так как Ai(Fi, ui) + ... + Ak(Fj,Uk) = 0. Следовательно, число попарно не ¿-симметричных граней многогранника не может превышать размерность пространства, в котором он лежит.

Обозначим множество опорных векторов базовой грани F через CoIf, а множество всех опорных векторов семейства S через Cols. Тогда

Col(P) = [_|Со^ = U [J CoIf.

i i FeSi

В каждом из множеств CoIf можно выделить подмножество ¿-векторов, которое мы обозначим A(F). Множество не ¿-векторов в CoIf обозначим U(F). Число векторов в A(F) равно числу граней, ¿-симметричных F, так как не существует двух различных ¿-векторов U и v, таких, что U, v g CoIf и —U, — v g Colg (если такие U и v существуют, то (H, U — v) ^ 0 и, следовательно, U = v).

Пусть теперь F — G. Тогда для любого U g CoIf, отличного от ¿g, вектор ¿GU g Colg. Более того, умножение на ¿G определяет изоморфизмы

A(F) A(G) } и U (F ) ^ U (G).

Отсюда, в частности, следует

Утверждение. Пусть семейство попарно ¿-симметричных граней S состоит из m граней и одна из этих граней является базовой для l не ¿-векторов. Тогда каждая из граней S содержит m — 1 ¿-векторов и l не ¿-векторов, т.е. все ¿-симметричные грани имеют в некотором смысле одинаковые множества опорных векторов.

Рассмотрим структуру частичного произведения на Cols. Для каждой пары граней Fi, Fj из S обозначим ¿j = ¿F. Пусть теперь для некоторого i элементы множества U (Fi) пронумерованы: Ui,...,U^. Тогда упомянутый выше изоморфизм U (Fi ) ^ U (Fj ) индуцирует нумерацию элементов множества U (Fj ). Более того, легко заметить, что для граней Fj и Fk изоморфизм U (Fj ) ^ U (Fk ) сохраняет эту индуцированную нумерацию. Отсюда заключаем, что между векторами Cols выполняются следующие соотношения и только они:

Uj = ¿j Ut, ¿j ¿k = ¿k, ¿j = —¿j,

где

i = 1,...,N, j = 1,...,N, k = 1,...,N, i = j = k = i, t = 1,...,l.

Теперь исследуем соотношения между базовыми гранями и опорными векторами. Любой ¿-вектор ¿g параллелен любой базовой грани H, отличной от F и G. С другой стороны, если для некоторых i, j и t выполняется равенство (Fi, Uj) = 1, то (Fi,U*) = (Fi, ¿;?Uj) = 0, что невозможно, так как U* g ColFi. Таким образом, получаем следующие соотношения:

(Fi, ¿j') = —1, (Fi, ¿j) = 1, (Fk) = 0, (Fi,Ut) = —1, (Fi,Uj) = 0,

где

i = 1,...,N, j = 1,...,N, k = 1,...,N, i = j = k = i, t = 1,...,l.

Замечание. Любой многогранник, все базовые грани которого попарно ¿-симметричны, стабильно E-эквивалентен симплексу или Pd,t для некоторого t > 0 (Pd,t — одно из семейств сбалансированных многоугольников, описанных в работе [1]).

Таким образом, мы полностью описали структуру частичного произведения на множестве опорных векторов одного семейства попарно ¿-симметричных граней. Теперь изучим соотношения, возникающие между опорными векторами не ¿-симметричных граней.

Лемма 1. Пусть F £ G. Тогда для любого опорного вектора u g CoIf следующие утверждения эквивалентны:

12 ВМУ, математика, механика, №6

1) существует опорный вектор v G Cole, такой, что определено произведение uv G CoIf;

2) для любого опорного вектора v G Cole определено произведение uv G CoIf;

3) {G,u) = l.

Доказательство. Импликация 2 ^ l очевидна.

Докажем импликацию 3 ^ 2. Пусть v G Cole, тогда или {F,v) = l, или {F,v) = G. В первом случае для любой грани H выполняется неравенство {H, u + v) ^ G, поэтому u = —v, что противоречит условию не ¿-симметричности F и G. Следовательно, {F, v) = G, и тогда легко проверить, что вектор u + v является опорным для F.

Теперь докажем импликацию l ^ 3. Пусть для некоторого v G Cole определено произведение uv G Colf . Тогда

{G,u) = {G,uv) — {G, v) = {G,uv) + l ^ l,

но {G, u) не может быть больше единицы, так как многогранник сбалансированный.

Множество векторов u G CoIf , для которых верны утверждения леммы 1, обозначим U (F/G). Если это множество непусто, то будем писать G У F.

Лемма 2. Если u G U (F/G), то u G U (F ) (т.е. не является ¿-вектором ).

Доказательство. Имеем {G,u) = l, поэтому {G, —u) = —l, и если u является ¿-вектором, то F и G оказываются ¿-симметричными.

Теорема 2. l. Пусть S и T — семейства попарно ¿-симметричных базовых граней, F является элементом семейства S, G — семейства T и G У F. Тогда для любых граней F' g S и G' g T выполняется соотношение G' у F'. Следовательно, корректно определено отношение T у S.

2. Если H У G и G У F, то H У F.

3. Для двух базовых граней F и G верно в точности одно из утверждений:

a) F ¿ G;

b) G У F;

c) F У G;

d) для любых u G CoIf и v G Cole не существует ни uv, ни vu.

Доказательство. 1. В силу п. 1 леммы 1 для некоторых u G CoIf и v G Cole определено произведение uv G CoIf. Из леммы 2 следует, что u = ¿F . Тогда вектор ¿^ 'u G CoIf' и определено произведение ¿F' uv G CoIf', откуда следует, что G У F'.

В силу п. 2 леммы 1 можно считать, что v = ¿(C . Сумма векторов u¿(C G CoIf и ¿(C' g Cole' равна u, и, следовательно, определено их произведение (u¿(c')¿Cc' G CoIIf. Значит, G' у F.

2. В силу п. 1 леммы 1 для v G Cole и w G Col# определено произведение vw G Cole. А в силу п. 2 леммы 1 для некоторого u G CoIf определено произведение uv G CoIf. Следовательно, определено произведение векторов uv и w, лежащее в CoIf.

3. Достаточно показать, что если G У F и F У G, то F ^ G. Пусть u G U (F/G) и v G U (G/F ). Тогда {F,u) = {G, v) = —l и {G,u) = {F,v) = l. Следовательно, для любой грани H многогранника {H, u + v) ^ G. Тогда u = —v = ¿c.

Назовем A-графом многогранника P ориентированный граф, вершинами которого являются семейства попарно ¿-симметричных граней P, а каждому соотношению T У S соответствует ребро с началом в T и концом в S. В силу утверждения теоремы 2 этот граф не содержит кратных ребер, петель и ориентированных циклов.

Следствие 1. A-графы стабильно E-эквивалентных многогранников изоморфны. Следствие 2. Если у многогранника P все опорные векторы являются ¿-векторами, то P стабильно E-эквивалентен N-мерному кубу (где N — число семейств ¿-симметричных граней) и Km(R,P) = Km(R)N для любого m ^ 2.

Работа выполнена при частичной поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ 1410.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bruns W., Gubeladze J. Polyhedral K2 jj Manuscr. Math. 2002. 1Q9. 367-404.

2. Bruns W., Gubeladze J. Higher polyhedral K-groups jj J. Pure and Appl. Algebra. 2003. 184. 175-228.

3. Васерштейн Л.Н. Основы алгебраической K-теории j j Успехи матем. наук. 1976. 31, № 4 (190). 87-149.

Поступила в редакцию 26.09.2012