Об особых управлениях в распределенных задачах оптимизации

УДК 517.95

ОБ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЯХ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ © В.И. Сумин

Ключевые слова: распределённые задачи оптимизации; необходимые условия оптимальности; особые управления; сильное вырождение; вольтерровы функциональнооператорные уравнения.

Рассматривается общая схема исследования особых управлений для эволюционных (вольтерровых) систем. Показывается, что для широкого класса распределенных задач оптимизации характерно сильное вырождение особых управлений, когда вместе с необходимыми условиями первого порядка (например, поточечным принципом максимума) вырождаются и необходимые условия второго порядка. Излагается способ получения условий оптимальности таких управлений.

Особые управления (ОУ) необходимых условий оптимальности (НУО) (например, принципа максимума (ПМ)), на которых НУО вырождаются, играют важную роль в теории оптимизации и её приложениях (см., например, [1-4]). Однако для распределённых систем вопросы получения условий оптимальности ОУ изучены ещё относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы Гурса-Дарбу и близкие им (см., например, библиографию в [5], [6, с. 5], [7-9]); за допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления; предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение управляемой начально-краевой задачи (НКЗ). Принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (см., например, [3, с. 291], [4, 10]), причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой НКЗ. В докладе обсуждается соответствующая предложенная в [7, 8] достаточно общая схема изучения ОУ, опирающаяся на возможность представления управляемой НКЗ в форме вольтеррова функционально-операторного уравнения [11] и использующая теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов. Схема обслуживает широкий класс эволюционных распределённых управляемых систем, а также обширный аксиоматически описанный в [7, 8] класс способов варьирования, включающий большинство способов, традиционно использующихся в теории НУО (классическое варьирование, игольчатое, импульсное на полосах, варьирование пакетами, сдвигом и др.). Конкретизация схемы [7, 8] применительно к игольчатому варьированию и поточечному ПМ (НУО первого порядка при игольчатом варьировании) дана в [9].

В [11] было предложено для унификации построений теории оптимизации распределенных систем использовать функционально-операторные уравнения вида

х(г) = / (£, Л[г](£),у(£)) , £ € П, г € 1% = (П),

где П С К” — множество изменения независимых переменных £ = {£1, /(.,.,.): П х

х К х К5 ^ Кт — заданная каратеодориевская функция; у(.) €'& С Щ — управление; Л: Ьт ^ Щ — линейный ограниченный оператор, вольтерров на некоторой системе Т подмножеств основного множества П в том смысле, что для любого Н € Т сужение Л [г]\н не зависит от значений г\п\я; Р,Я,к € [1, +гс>] (приведенное определение из [11] «оператора, вольтеррова на системе множеств» — многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра). К уравнениям [11] с богатыми

2696

T естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные управляемые НКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с запаздываниями и др.; см., например, [12]).

Показывается, как общая схема [7-9] исследования ОУ для управляемых систем [11] единообразно приводит: в сосредоточенных задачах — к известным условиям оптимальности ОУ (например, к условиям с матричными импульсами [1, 3]), в распределенных — как к известным (например, для систем типа Гурса-Дарбу), так и к некоторым новым условиям (в частности, для управляемых систем, не рассматривавшихся ранее). Если оптимизационная задача для распределенной системы [11] «устроена не слишком сложно», то происходит сильное вырождение ОУ всех НУО, получаемых игольчатым и импульсным на полосах варьированием, когда вместе с НУО первого порядка обязательно вырождаются и НУО второго порядка (так, в случае поточечного ПМ вырождаются все НУО до порядка n включительно и содержательными могут быть лишь НУО порядка, большего n). Излагается способ получения условий оптимальности сильно вырожденных ОУ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

2. Васильев О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами. Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1984.

3. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988.

4. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений. Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90. Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ, 2001.

5. Габасов Р., Кириллова Ф.М.. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Минск. 1982.

6. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление. Новосибирск: Наука, 1990.

7. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации // ДАН СССР. 1991. Т. 320. № 2. С. 295-299.

8. Сумин В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем // Оптимизация. Сб. научн. тр. № 52 (69). Новосибирск, 1993. С. 74-94.

9. Сумин В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации // Вестник Удмуртского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Компьютерные науки. Ижевск, 2010. Вып. 3. С. 70-80.

10. Силин Д.Б. Линейные задачи оптимального быстродействия с разрывными на множестве положительной меры управлениями // Матем. сб. 1986. Т. 26. № 3. С. 439-448.

11. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР. 1989. Т. 305. № 5. С. 1056-1059.

12. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

Sumin V.I. ON SINGULAR CONTROLS IN THE DISTRIBUTED OPTIMIZATION PROBLEMS

Volterra controlled systems are considered. It is described a general conclusion scheme of necessary optimality conditions for singular controls. It is showed that for a broad class of distributed optimization problems a sufficiently typical condition is strong degeneration of the singular controls, when together with a first-order necessary optimality conditions (for example, maximum principle) a second-order necessary optimality conditions also degenerates. It is described a conclusion scheme of necessary optimality conditions for such controls.

Key words: distributed optimization problems; necessary optimality conditions; singular controls; strong degeneration; Volterra functional-operator equations.

2697

УДК 517.977

УСТОЙЧИВЫЙ СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА В ВЫПУКЛОМ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ С ПОТОЧЕЧНЫМИ ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

© М.И. Сумин

Ключевые слова: выпуклое оптимальное управление; минимизирующая последовательность; принцип Лагранжа; принцип максимума; фазовые ограничения; двойственность; регуляризация.

Обсуждаются устойчивый секвенциальный принцип Лагранжа в выпуклой задаче оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями и его возможные приложения.

Введение. Задача оптимального управления, рассматриваемого ниже вида была предметом исследований в огромном числе публикаций. Большая часть из них, прежде всего, посвящалась выводу необходимых условий оптимальности при различных естественных дополнительных предположениях и условии точного задания исходных данных. В данной работе мы подойдем к изучению этой задачи с несколько другой стороны. В случае неточного задания ее исходных данных, при исследовании и решении этой задачи на основе приближенных методов и применения ЭВМ необходимо учитывать ее возможную неустойчивость и, как следствие, наследуемую неустойчивость классических условий оптимальности. Здесь в целях преодоления указанной неустойчивости ограничения задачи трактуются как ограничения в пространстве L2(X), что приводит к получению в рамках идеологии двойственной регуляризации [ 1 ] т. н. устойчивого секвенциального принципа Лагранжа, представляющего одновременно и регуляризирующий алгоритм решения задачи.

Постановка задачи. Рассматривается выпуклая задача оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями типа равенства и неравенства, понимаемыми как ограничения в гильбертовом пространстве H = L2(X), г т

(Pl) fl (u) = ({Fl (t)xl [u](t),xl [u](t)} + {Gl (t)u(t),u(t)))dt min, u €D С L2(0,T),

J 0

9i(u)(t) = {vl(t),xs[u](t)} = hl(t), g%(u)(t) = <fi(t,xs[u](t)) ^ 0 при п.в. t € X,

где f1 : L2(0,T) ^ R1 — непрерывный выпуклый функционал с измеримыми по Лебегу ограниченными матрицами Fl, G1, ф\, hl € L^(X), : х х Rn R1 — непрерывная

функция, выпуклая по x при t € X, D = {u € L2(0,T): u(t) € U при п.в. t € (0,T)}, U С

° I

С Rm — выпуклый компакт, X С [0,T], X = cl X, xl[u](t), t € [0, T] — решение задачи Коши x = A1 (t)x + B1 (t)u(t), x(0) = x0 € Rn, t € [0,T] с измеримыми по Лебегу ограниченными матрицами A1, B1. Верхний индекс 5 € [0, $о], ^0 > 0 —некоторое фиксированное число, в исходных данных задачи (P1) означает, что эти данные соответствуют либо ситуации их точного задания ( 5 = 0 ), либо являются возмущенными ( 5> 0 ). Обозначим через Ll(u, X, ц) = f1 (u) + {X, g1 (u) — h) + {ц, g2,(u)} регулярный функционал Лагранжа

задачи ( Pl). Введем множества: D°£ = {u €D : \\g0(u) — h°\\2,x ^ e, min \\g0(u) — z\2,x ^

z€U-

^ e}, H- = {z € L2(X): z(t) ^ 0при п.в. t € X}, H+ = —H-, D00 = D°. Определим двойственную задачу V1 (X, ц) = inf Ll(u, X, ц) ^sup, (X, ц) €Hx H+, а также множества U0 =

u£V

= Argmin{f0(z) : u € D0}, Ul[X, ц] = Argmin{Ll(u, X, ц) : u €D} и элемент (Xs,a,^s,a) = = argmax{V1 (X,ц) — a||X||2 — аЦцН2, (X,ц) €Hx H+ }. Условия на отклонения возмущенных ( 5 > 0 ) входных данных F1 ,Gl,^\,hl,ф22,А1 ,Bl, x0 от невозмущенных

2698