Квазиклассический анализ спектра магнонов в ферромагнетике с основным скирмионным состоянием

УДК 537.611

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 3

С. С. Кравченко

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СПЕКТРА МАГНОНОВ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ С ОСНОВНЫМ СКИРМИОННЫМ СОСТОЯНИЕМ*

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В работе сделана попытка проанализировать спектр магнонов с односкирмионным основным состоянием ферромагнетика. Предполагается, что в узлах решётки рассматриваемой модели соседние спины отличаются на произвольный малый угол. Вариационным методом найдено геликоидальное решение одиночного скирмиона Белавина—Полякова. На основе бозонного представления спиновых операторов и 1/s разложения в рамках линейной теории спиновых волн получен аналог уравнения Шрёдингера, описывающий спектр магнонов в присутствии одного скирмиона, который допускает численное решение. Найдены аналитические решения этого уравнения для нулевых значений энергий. Библиогр. 11 назв.

Ключевые слова: скирмион, магнон, ферромагнетик, метастабильное состояние, квазиклассический анализ.

S. S. Kravchenko

SEMICLASSICAL ANALYSIS OF THE SPECTRUM OF FERROMAGNET WITH THE SKYRMION GROUND STATE

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

We attempt to analyze the magnon spectrum of ferromagnets with one skyrmion in the ground state, using the semiclassical approach. Starting from the lattice model, we first allow the average local spin to be arbitrarily directed, with neighboring spins differing only slightly in their direction. Using the variational procedure, and seeking analytical helical solution, we arrive at a single Belavin—Polyakov skyrmion. At the second stage we employ bosonic representation for the spin operators and the quasiclassical 1/s approach. Restricting our consideration to the linear spin-wave theory, we arrive at the analog of Shroedinger equation, describing the spectrum of magnons in the presence of one skyrmion. Analytical solutions with zero energy are found, further numerical studies are suggested. Refs 11.

Keywords: skyrmion, magnon, ferromagnet, metastable state, semiclassical analysis.

Введение. Недавно экспериментально установлено, что в тонких плёнках магнетиков с сильной перпендикулярной анизотропией типа лёгкая ось — вектор намагниченности, при определённых условиях, могут образовываться вихревые кластеры. Импульсным воздействием магнитного поля лабиринтная структура доменных стенок в тонких плёнках преобразуется в структуры особого типа, такие как спиральные домены и домены с высокой степенью трансляционной и ориентационной упорядоченности [1].

Статическая стабильность и нелинейность — отличительные особенности таких кластеров. Подобные структуры долго живут и не исчезают при выключении магнитного поля. Из-за этого свойства магнитные структуры центрированных доменов и спиралевидных структур могут рассматриваться как дефекты, возбуждаемые накачкой энергии в магнитоупорядоченную среду и релаксирующие в термодинамически равновесное состояние в течение долгого времени. Как было показано в работе [2], такие конфигурации спинов удовлетворяют локальному минимуму энергии обменного взаимодействия.

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта СПбГУ 11.38.636.2013.

Каждой такой конфигурации соответствует топологический индекс q, который определяет её класс. Если рассматривать двумерную решётку спинов, то положение каждого спина в решётке можно отождествить с точкой на сфере S2. Направлению спина может соответствовать точка на сфере S2. Отображения F : S2 ^ S2 разбиваются на классы со своим q. Для индекса q есть явная формула, которая для вектора M = (sin 8 cos у, sin 8 sin у, cos 6) запишется:

q = J sin8(r)d8(r)d\|/(r),

откуда видно, что q — число, показывающее, сколько раз сфера S2 покрывается при отображении. Зная q, можно оценить нижние значения энергии для метастабильных состояний:

H > 4 Jnq.

Очевидно, что для однородного ферромагнетика q = 0. Такое состояние ферромагнетика называют топологически тривиальным.

Экспериментальное подтверждение существования долгоживущих топологически нетривиальных двумерных кольцевидных спиновых структур — скирмионов с q = 1 вызвало большой интерес [4-6]. Скирмионы больших радиусов (порядка 100 периодов решётки) экспериментально наблюдались в тонких плёнках TbFeCo [7]. Теоретические исследования таких структур проводились в работах [1-3, 8-11].

В представленной работе проанализирован квазиклассическим методом спектр маг-нонов, при условии, что за основное состояние принята одиночная скирмионная конфигурация спинов.

Вывод уравнения на скирмион из решёточной модели. Рассмотрим гамильтониан с обменным взаимодействием:

H = - £ J

ri=rj

Перепишем гамильтониан (1) в локальном базисе, где ненулевая только z-компонента в равновесии. Пересчёт компонент спина от локального базиса к обычному, в котором направление осей не меняется с положением в решётке, задаётся матрицей U (r):

U = еа°3 ева1 е'аз,

где 0з, Oí — генераторы группы вращения; а, в, у — углы Эйлера. Тогда гамильтониан (1) в новом базисе запишется в виде

H = J

ri=rj

n = ri — rj, R (ri, n) = U-1(ri)U(ri + n). Так как обменный интеграл J(n) — быстро убывающая функция расстояния n, то матрицу Rk'j (r, n) можно представить в виде разложения:

Rlk (r, n) = I + xlj (r)nj + x2kjm(r)njnm,

где

Xlj (r) = U il(r)Vj Uik (r); X'2kjm (r) = U il(r)Vj Vm Uik (r).

Тогда гамильтониан (2) с учётом этого разложения перепишется в виде

£ J

r,n

Необходимое условие равновесности спиновой конфигурации — сонаправленность суммарного поля, создаваемого соседними атомами с направлением спина в данном узле:

'J2J(n)R3j (r, n) = 0

, где j = l, 2.

J2J(n)Rj3(r, n) = 0

n

Явный вид зависимости матриц U, xij, x2j m от углов Эйлера известен, условие (4) должно определить координатные зависимости углов Эйлера от положения в решётке. Можно отметить также, что условие (4) не даёт никаких ограничений на матрицу xij, так как мы предполагаем, что J(n) — чётная функция, то при суммировании по решётке ^ n J(n)n = 0. В пределе длинных волн J(q) = n eiqnJ(n) представится в виде разложения:

J

При такой зависимости формула на равновесие частично упрощается:

x2kjj (r) = 0, k = 1, 2, что эквивалентно условию на комлекснозначную величину

x+ = xüjj + ixffjj = 0,

откуда получаем

x+ = eiY •

Требуя x+ =0 и подставляя условие на одиночный скирмион с центром в r = 0:

dp

0;

da da — = i; -г = о,

dr

мы приходим к уравнению

\го/

где го — некий размерный параметр, откуда получаем явные зависимости направления спина от координат в соответствии с [8]:

с 2гго , , 2гго г2 - г2

^ = с°8 (а + ао), -2 8ш(а+а0), ^ =.

г + го г + го г + го

Отметим, что го и начальная фаза а не могут быть определены в этом подходе.

Получение спектрального уравнения. Перейдем к изучению спиновой динамики кристалла. В нашем рассмотрении гейзенберговский спиновый гамильтониан (1) с обменным интегралом . (г) представлен в виде разложения (3).

Зная явный вид матрицы и и зависимости углов Эйлера а, в, у от положения в решётке из уравнений (8) и (9), мы получаем явные выражения для матриц хк(г) и Хк'т(г). Подставляя эти выражения в (3) и используя бозонное представление Малеева—Дайсона для спиновых операторов, сохраняющее коммутационные соотношения [5, Б?] = ге^кБк:

Б а —— в — а+. аг -

= л/2й"аг

V 2в з

Б • = \Pl~s ( аг. — —— а^. аг_. а

где в — спин атома, [агз а+ ] = 1, мы придём к гамильтониану (3) в бозонном представлении. В дальнейшем делаем два упрощения: будем рассматривать длинноволновые возбуждения, тогда .представится формулой (5), и запишем (3) в фурье-компонентах, используя квазиклассический предел большого спина в:

Ч - + = ^ ЕеЩГ'« + = + «я)'

£!У с 1(5+ - = ^ ]Ге^(аГз - а+) = ^(ач - а+ч),

¿Я = *8(а) - Е

а+, ,,ап.

к

Получим в главном порядке по в:

Н= -12- 1Г'Ч2]т—2 НаЧ1а-Ч2-а-Ч1Ч) +

£>е(Ч1+Ч2)г + + 8 г2Взещ2г +

2-^1 в + а-сцаЧ2) + асцаЧ2-Ч1 +

г

Я1,Я2,Г Я1,Я2,Г V I О/

+ \ Е ¿{Ч1+Ч2)гОч228 {а+_Ч1аЧ2 + а+аЧ1 + 5(Ч1 - Ч2)) .

Я1.Я2,г

Следует отметить, что данное выражение соответствует длинноволновому приближению, которое предполагает использование формулы (5). Переходя в координатное представление, получим выражение

[ + 8 Бвг^ + + 2 2 £>в(г2-г^) , \

-Н- — / &± I -V (Ху , о \ г\ (Ху -1-У й V Йу* Н- <->/<-> о \ -¡^^ (Хг I •

J у г2 г Г

из которого можно получить уравнение на эволюцию операторов а, а+ :

д

гН— аг = [Н, От],

откуда

дЬ г у г2 (|г2_|_г2-|2 дг2 г дг г2 г2(г2+г2) у г'

где Ьх = —г(9/<9ф), и спектральное уравнение у

л (1 8г2 а2 1 а ь2 2(Г2-Г2)Ь^

--о- - тгг--ТГ- + н--ТТ^--^г ¥ =

у г2 (г2 + г2)2 аг2 гаг г2 г2 (г2 + Гд) I

которое можно решить численно. Из симметрийных соображений должно быть решение, отвечающее нулевой энергии. Есть множество решений с е = 0, отвечающих разным собственным значениям оператора Ьх, где т — целое число:

r1— m

Ут о , о • г2 + г2

Нас интересуют несингулярные квадратично интегрируемые функции. Такое решение имеет вид

— 1 го

л/ж г2 + г1

для т = 1.

Заключение. В работе впервые сделана попытка проанализировать квазиклассическим методом спектр магнонов, взяв за начальную конфигурацию скирмионное состояние ферромагнетика, в результате получено спектральное уравнение на волновую функцию магнона, а также аналитическое решение этого уравнения для нулевого значения энергии.

Выражаю благодарность за многочисленные полезные обсуждения и замечания в ходе работы над этой статьей и ранее своему научному руководителю Д. Н. Аристову.

Литература

1. Кандаурова Г. С., Свидерский А. Э. Возбуждённое состояние и спиральная динамическая доменная структура в магнитном кристалле // Письма в Журн. эксп. теор. физики. 1988. Т. 47, № 8. C. 410-412.

2. Белавин А. А., Поляков А. М. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика // Письма в Журн. эксп. теор. физики. 1975. Т. 22, № 10. C. 503-506.

3. Petrova O., Tchernyshyov O. Spin waves in a skyrmion crystal // Phys. Rev. (B). 2011. Vol. 84. 214433.

4. MuhlbauerS., BinzB., JonietzF. et al. Skyrmion lattice in a chiral magnet // Science. 2009. Vol. 323. P. 915.

5. YuX.Z., OnoseY., KanazawaN., Park J. H. et al. Real-space observation of a two-dimensional skyrmion crystal // Nature. 2010. Vol. 465. P. 901.

6. YuX. Z., Kanazawa N., Onose Y. et al. Near room-temperature formation of a skyrmion crystal in thin-films of the helimagnet FeGe // Nat. Mater. 2011. Vol. 10. P. 106.

7. Ogasawara T., IwataN., Murakami Y. et al. Submicron-scale spatial feature of ultrafast photoinduced magnetization reversal in TbFeCo thin film // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 94. 162507.

8. AbanovA., Pokrovsky V.L. Skyrmion in a real magnetic film // Phys. Rev. (B). 1998. Vol. 58, N 14.

9. Ezawa M. Giant skyrmions stabilized by dipole-dipole interactions in thin ferromagnetic films // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 105. 197202.

10. Mochizuki M. Spin-wave modes and their intense excitation effects in skyrmion crystals // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 108. 267601.

11. Han J. H., Zang J., Yang Z. et al. Skyrmion lattice in a two-dimensional chiral magnet // Phys. Rev. (B). 2010. Vol. 82. 094429.

Статья поступила в редакцию 5 апреля 2014 г.

Контактная информация

Кравченко Сергей Сергеевич — студент; e-mail: ks-spb@mail.ru Kravchenko Sergey Sergeevich — student; e-mail: ks-spb@mail.ru