К расчету скошенных тонкостенных конструкций методом конечного элемента

Том VII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 6

№ 4

УДК 629.7.015.3

К РАСЧЕТУ СКОШЕННЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Ю. И. Иванов

Предложен конечный элемент в виде скошенной пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии. Приводятся уравнения равновесия для плоской задачи в косоугольных координатах общего вида и уравнение совместности деформаций для скошенной пластины. Принятые аппроксимации напряжений в пластине характерны для распределения напряжений в обшивке конструкции типа крыла. Эти аппроксимации внутри пластины удовлетворяют уравнениям равновесия и уравнению совместности деформаций. Перемещения по кромкам пластины аппроксимируются по линейному закону. Применение предложенного конечного элемента иллюстрируется на примере расчета скошенного кессона, дается сопоставление с экспериментом.

Формулировка и решение задачи расчета скошенных конструкций упрощаются при использовании косоугольной системы координат. Такой подход позволяет, в частности, обобщить известные решения для призматических конструкций на случай скошенных и конических стержней и оболочек. Так, в работе [1] решения Сен-Венана задачи изгиба и кручения цилиндрического стержня обобщены на случай конической оболочки с произвольной формой поперечного сечения. В работе [2] даны решения в постановке Сен-Венана для конического и скошенного тонкостенных стержней с жестким контуром поперечного сечения. В работе [3] при расчете скошенных конструкций удачно используются простые аппроксимации, имеющие аналог в теории призматических стержней. Представляется целесообразным воспользоваться косоугольной системой координат в методе конечного элемента (МКЭ) при выборе аппроксимации напряженно-деформированного состояния конечных элементов (КЭ). Этому вопросу главным образом посвящена настоящая статья. Решение дается в рамках гибридной модели МКЭ, для которой характерны независимые аппроксимации перемещений на границах КЭ и напряжений внутри КЭ [4]. Аппроксимации для перемещений должны удовлетворять условиям совместности по перемещениям на общих границах смежных КЭ; аппроксимации для

напряжений должны удовлетворять уравнениям, равновесия внутри КЭ. Точность решения МКЭ может быть повышена, если аппроксимации для напряжений будут удовлетворять также уравнениям совместности деформаций. Такие аппроксимации предложены в настоящей работе для КЭ типа скошенной пластины, находящейся в условиях плоского напряженного состояния. Предварительно на основе результатов работы [2] в косоугольной системе координат получены уравнения равновесия и уравнение совместности деформаций для скошенной пластины. Приводятся выражения для матрицы жесткости и внутренних усилий в скошенной пластине. Применение КЭ этого типа иллюстрируется на примере расчета скошенного кессона.

Соотношения в косоугольных координатах. Рассмотрим плоскую пластину толщиной /г, для которой введены прямоугольные координаты к, г] и косоугольные координаты а, р. Связь прямоугольных координат точки пластины с косоугольными устанавливается соотношениями

0)

При этом

А2 =

В2

"7+

до.

т

ÜV+f^iY

л d dí dí . dr¡ ói¡

AB eos / = ------L—-

da др да dp

где А, В, cos х — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (1).

Пусть взаимное расположение координатных линий Е, -ц и а, р характеризуется тем, что направление оси Е совпадает с положительным направлением линий р (а = const), фиг. 1. При этом направляющие косинусы касательных к линиям аи^ будут:

для линии а

/t \ 1 ^ ! \ 1 cos

A da А да

для линии р

cos

Выделим из пластины плоскостями а, Р, Р + ^Р элемен-

тарный четырехугольник (см. фиг. 1). При составлении уравнений равновесия с точностью до бесконечно малых высших порядков можно считать, что этот четырехугольник является параллелограммом. На гранях выделенного элемента действуют погонные усилия Л^а, Л/р и р; объемные силы полагаются равными нулю. Составляя с учетом (3) и (4) суммы проекций всех сил на оси I и ?¡, после

некоторых преобразований получим соответственно следующие уравнения равновесия:

да { А да / др \ В др ) да \ др / др \ да ) да { А да ) др\ да )

1

Второе уравнение было ранее получено в работе [2].

^(сс-сот^ £

Фиг. 1

Фиг. 2

Закон Гука в косоугольной системе координат запишется в виде [2]

1 [Л^ + Л^соз^ — V з!п2 х) + 2^-сое у];

Ер:

(В :

Л/Тэт х 1

Л/: Бт х 1

[#« (сое2 х — V з1п2 X) + Ар + 2д сое хЬ

п х

[2 (ЛГ. + Щ с08 х + 2? (1 + сое2 х + ^ БШ2 X)].

Потенциальная энергия деформации пластины в косоугольных координатах определяется по формуле [5]

и — — |[ (е. Л/". + ер Ар + ш?) АВ йа йр.

2 а р

Скошенная пластина. Для скошенной пластины (фиг. 2) соотношения (1) и коэффициенты (2) принимают вид [2]:

А—-

1

вШх

; В= 1; сое х = сое х-

7—Ученые записки № 4

(8) 97

С учетом этого уравнения равновесия (5) переходят в следующие:

дq , дЛЬ п

втх — Ч--— = 0;

да др

дЫл , да _ эту-—5 + — = 0.

да ^¿р

;

еа = зт2Х

Соотношения между деформациями и перемещениями, которые в общем виде приведены в работе [2], в данном случае перепишутся в виде

\ да да) да

( .„ да , да . дъ \ ар да д$

Исключая из этих соотношений перемещения, придем к уравнению совместности деформаций

1 <?»ш = 1 | ¿2ер

втх^адр э1п2х дрг до?

Аппроксимации. Для КЭ типа скошенной пластины рассмотрим такую аппроксимацию напряженного состояния, которая отражает характерные особенности распределения напряжений в панели обшивки крыла. Если линии а направить вдоль лонжеронов, а линии Р — вдоль нервюр, то можно принять

Р

Я = +ёг-^г  Ъ

Из уравнений (9) будем иметь Пусть

о в'п х

/(Р) = ё-з ;

Ь

Тогда окончательно

= —\

ЭШ X '

Л/р = ёь, }

где

ё=4; ь = £,

а Ь Ь

а и Ь — размеры пластины (см. фиг. 2). 98

Привлекая соотношения (6), нетрудно убедиться, что аппроксимации (И) удовлетворяют уравнению (10). Таким образом, функции (11) являются решением в смысле Сен-Венана уравнений теории упругости для скошенной пластины, т. е. они дают точное решение, если усилия на кромках пластины распределены в соответствии с (11).

Перемещения на кромках пластины будем аппроксимировать линейными функциями. Например, перемещения на кромке jk в зависимости от. перемещений узлов КЭ запишутся в виде

»/* =

Матрица жесткости и внутренние усилия. Матрица жесткости КЭ в осях 5, ч\ вычисляется по формуле [4]

Кj = Су Ну 1 С/,

параметры напряженного состояния выражаются через перемещения узлов КЭ как

gj = Hr1CjPj.

Матрица H¡ на основании (7) и с учетом (8) и (12) вычисляется по формуле

А. о 0

Матрица Gj формируется на основании аппроксимаций (11), матрица Ф — на основании выражений (6). Знак штрих означает операцию транспонирования.

Матрица С;- вычисляется по формуле

Cy=J О/ п} L¡ dF,

(у .

J

где матрица L} формируется на основании аппроксимаций типа (13), а матрица n¡ — на основании соотношений (3) и (4) с учетом (8). Матрицы Hp Cj, gj и pj приведены в табл. 1 и 2, где дополнительно к (12) использованы обозначения

s = sinx; c = cosx; = 2(1 + cos2x + vsin2x); a2 == cos2 x — v sin2 х-

После определения параметров g¿ внутренние усилия в КЭ вычисляются по формулам (11).

Пример расчета. Применение КЭ типа скошенной пластины проиллюстрируем на примере стреловидного кессона, рассмотренного в работе [6]. Принятая расчетная сетка соответствует конструктивно-силовой схеме кессона (фиг. 3). Конструктивные элементы кессона моделируются тремя типами конечных элементов: стрингеры, пояса лонжеронов и нервюр — стержнем, работающим на растяжение — сжатие с постоянным осевым усилием; стенки лонжеронов и нервюр — тонкостенным элементом, работающим на сдвиг [7]; клетки обшивки — скошенной пластиной, описанной в настоящей работе. Алгоритм расчета конструкции дан в работе [7]. На фиг. 3 даются графики напряжений в поясах лонжеронов и приводятся результаты эксперимента [6]. Как видно, напряжение в поясе при

/ й \ Матрица \—аГ')ХН}

Таблица

ё2 ёз 84.

1 / 2сХ \

£1 \ 2 2с с

1 2сХ\ 3 Хс Х2 X 2 с X

£2 —) в + Зв2 3 "47

2 с X 1 1 1

gз 2с X 2 1

gi с 3 ~~ 4« 2 3

хх2 Х2 Х2

ёь 2 с с- 2Т~ ~2~

Яъ

2с

ХХ2 2в

2

1

Таблица 2

Матрица -у X С,-

«к Щ Щ "т

1 1 Хс ~ 2 ~ 2 я 1 1 1 Хс ~ Т + 2 5 1 1 1 2 + 2 Хс 5 т* 1 1 Хс 2 — 2 в

ёи 1 — 6 0 1 Хс - 3 + 2в X 2 1 3 0 1 Хс 6 ~ 2в X — 2

ёз с — 7Г с ~~ ~т я с "2 Т с "Г"

ё*. с ~ ~6~ ~ б" с ~ 3 в _ 3 с "3 с ТГ

ёъ X 0 X 2я 0 X 2в 0 X 0

, 1/см2- п

К ✓ / -и

N \ В,

\ \

\ э \

к 3 " N §

ч N э •

Ч I4—

N

N > ч ч

Ч N

10 0}8 0.6

¥

о Л

о

0,2

О Л

06

= Г]/1

-напряжения в поясе переднего лонжерона;----напряжения в поясе

заднего лонжерона: эксперимент. |71". 9— передний лонжерон, О — задний лонжерон

Фиг. 3

ол

-OS

• 1 о ,1/см2

X \

X

—- 4* ¥

__ •

—

Напряжения 'в обшивке в сечении по АА: - напряжения иа, ---напряжения т; "'х — напряжения в стрингерах; напряжения в;нервюре 2: —  — нормальные напряжения в'поясе ар; — . . — касательные напряжения в стенке

Фиг. 4

переходе через нервюру изменяется скачком. Эта особенность не отмечается в известных решениях данной задачи [3], [6]. Характер распределения напряжений в косых сечениях кессона виден из графиков, приводимых на фиг. 4. Напряженное состояние нервюр в скошенных кессонах рассматриваемого типа исследовано пока еще недостаточно полно. Решение, предложенное в настоящей работе, позволяет определить напряженное состояние нервюр. Напряжения в одной из нервюр представлены на фиг. 4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бал а бух Л. И. Изгиб и кручение конических оболочек. Труды ЦАГИ, вып. 577, 1946.

2. Б а л а б у х Л. И. Расчет на прочность конических кессонов. Труды ЦАГИ, вып. 640, 1947.

З.Образцов И. Ф., Она но в Г. Г. Строительная механика скошенных тонкостенных систем. М., „Машиностроение", 1973.

4. Пиан. Вывод соотношений для матриц жесткости элемента, основанный на выборе распределения напряжений..Ракетная техника и космонавтика", 1964, № 7.

5. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций (в сб. „Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем* под ред. проф. Филина А. П.). Л., Судпромгиз, 1961.

6. Lang A. L., В i s р 11 п gh о f f R. L. Some results of sweptback wing structural studies, JAS, vol. 18, № 11, 1951.

7. И в a h о в Ю. И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конечного элемента. „Ученые записки ЦАГИ, т. 3, № 1, 1972.

Рукопись поступила 7jX 1975 г.