Исследование операторов кривизны на трехмерных локально однородных лоренцевых многообразиях с применением пакетов символьных вычислений

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 514.77

Исследование операторов кривизны на трехмерных локально однородных лоренцевых многообразиях с применением пакетов символьных вычислений*

С.В. Клепикова, О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

Investigation of Curvature Operators on Three-Dimensional

Locally Homogeneous Lorentzian Manifolds

with Application of Symbolic Computations Packages

S.V. Klepikova, O.P. Khromova

Altai State University

Изучение свойств операторов кривизны представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псевдо)риманова многообразия. Одной из актуальных задач в этом направлении является задача о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по заданному оператору кривизны.

Задача о предписанных значениях оператора Риччи на 3-мерных локально однородных римано-вых пространствах была решена О. Ковальским и С. Никшевич. Аналогичные результаты для операторов одномерной и секционной кривизны были получены Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой.

В случае трехмерных локально однородных лоренцевых многообразий известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского, в которой исследуется задача о существовании трехмерного локально однородного лоренцева многообразия с заданным оператором Риччи. Задача о существовании трехмерной группы Ли с левоинва-риантной лоренцевой метрикой и предписанным оператором одномерной или секционной кривизны ранее была решена авторами.

Данная работа продолжает исследования авторов в случае трехмерных локально однородных лоренцевых многообразий. В ней с помощью пакетов символьных вычислений решена задача о существовании трехмерного локально однородного лоренцева многообразия с предписанным оператором одномерной или секционной кривизны. Ключевые слова: пакеты символьных вычислений, локально однородные лоренцевы многообразия, операторы кривизны.

БОТ БОТ 10.14258/^а8и(2017)4-20

The study of the properties of curvature operators is interesting for understanding the geometrical and topological structure of a homogeneous (pseudo)Riemannian manifold. One of the actual problems in this area is the problem of restoring (pseudo)Riemannian manifolds with respect to a prescribed curvature operator. The problem of prescribed values of the Ricci operator on 3-dimensional locally homogeneous Riemannian manifolds have been solved by O. Kowalski and S. Nikcevic. Similar results for the one-dimensional and sectional curvature operators have been obtained by D.N. Oskorbin, E.D. Rodionov and O.P. Khromova. The research of G. Calvaruso and O. Kowalski is known fo the case of a three-dimensional locally homogeneous Lorentzian manifold. There, the problem of existence of a three-dimensional locally homogeneous Lorentzian manifold with a prescribed Ricci operator is studied. The problem of existence of a three-dimensional Lie group with a left-invariant Lorentzian metric and prescribed one-dimensional or sectional curvature operator has been previously solved by the authors.

This paper continues the authors' investigations for the case of three-dimensional locally homogeneous Lorentzian manifolds. With the help of symbolic computation packages, the problem of the existence of a three-dimensional locally homogeneous Lorentzian manifold with the prescribed one-dimensional or sectional curvature operator is solved.

Key words: symbolic computation packages, locally homogeneous Lorentzian manifolds, curvature operators.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты: № 16-01-00336A, № 16-31-00048мол_а).

1. Введение, определения и постановка задачи. Актуальным направлением в исследовании операторов кривизны является задача о восстановлении (псевдо)риманова многообразия по заданному оператору кривизны. Локально однородные римановы пространства с предписанными значениями спектра оператора Риччи были исследованы О. Ковальским и С. Никшевич [1]. В случае лоренцевых метрик на трехмерных локально однородных пространствах известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского [2], в которой исследуется задача о существовании локально однородного лоренцева пространства с заданным оператором Риччи.

Кроме случая локально однородных пространств, также исследовался вопрос о собственных значениях оператора Риччи в случае трехмерных кривизно однородных пространств (см., например, [3-5]).

Пусть (М,д) — п-мерное (псевдо)риманово многообразие, V — связность Леви-Чивита. Тензор кривизны R, тензор Риччи г, оператор Риччи р и скалярную кривизну sc определим равенствами

R (X, У) Z = vY, vx] Z + v[X,Y]Z;

г (X, У) = н R (X, Z) У); д (р (X) ,У) = г (X, У), sc = ^(р).

При исследовании (псевдо)римановых многообразий важную роль играет оператор одномерной кривизны а, определяемый формулой

Л

1

n - 2 V 2

Id

где М — тождественный оператор.

(Псевдо)риманова метрика д индуцирует метрический тензор д на расслоении Л2М по правилу

д X л X2, У Л У2) = det (д X, У))) .

Тензор кривизны R в любой точке многообразия можно рассматривать как оператор к: Л2М н Л2М, называемый оператором секционной кривизны и определяемый равенством

д(^ л у, ц^ л т)) = R(X, у, z, т).

В случае трехмерных групп Ли с левоинва-риантной римановой метрикой известны работы [6,7] о восстановлении данных групп Ли по заданным собственным значениям операторов одномерной или секционной кривизны.

В отличие от случая римановой метрики, где всегда существует ортонормированный базис, в котором матрицы операторов а и к диагональ-ны, в лоренцевом случае могут возникнуть различные случаи известные как типы Сегре и пред-

ставляющие собой список размерностей жордано-вых блоков при записи матрицы соответствующего оператора в каноническом базисе (см. [8]). Поэтому в случае псевдоримановой метрики необходимо задавать не только сами собственные значения соответствующего оператора, но и его тип Сегре. В трехмерном случае возможны следующие варианты: {111}, {1zz}, {12}, {3}.

Изучение операторов кривизны на трехмерных локально однородных лоренцевых пространствах базируется на следующем факте.

Теорема 1 [9]. Пусть (M,g) — трехмерное связное, односвязное, полное локально однородное пространство с инвариантной лоренцевой метрикой. Тогда либо (M, g) локально симметрическое пространство, либо изометрично трехмерной группе Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой.

Трехмерные группы Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой и предписанными операторами одномерной и секционной кривизны изучались в работах [10-12]. Поэтому данная работа посвящена изучению случая трехмерных локально симметрических пространств, которое основано на следующем утверждении.

Теорема 2 [9]. Связное, односвязное трехмерное локально симметрическое лоренцево пространство - это

1) либо лоренцево пространство постоянной секционной кривизны Rf, Sf или (нулевой, положительной и отрицательной соответственно);

2) либо прямое произведение R х S2, R х H2, S2 х Ri или H2 х Rf;

3) либо пространство с лоренцевой метрикой g, которое допускает локальную систему координат (uf, U2, U3) такую, что метрический тензор имеет вид

/0 0 1 \

g = ( о е о | ,

\1 0 f (U2 ,u3)j

где е = ±1, f (u2,u3) = u2a + u^fiU) + £(u3), a € R, в, £ — произвольные гладкие функции.

Основной целью данной работы является описание математической модели, а также ее реализация в среде пакета символьных вычислений, что позволит изучить вопрос о восстановлении трехмерного связного и односвязного локально симметрического лоренцева пространства по предписанным операторам одномерной или секционной кривизны.

2. Основной алгоритм. Далее приведем математическую модель, позволяющую вычислять компоненты матриц a и k с помощью известного метрического тензора gij в локальной

sc

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

системе координат , , дед) на трехмерном (псевдо)римановом многообразии.

Первым шагом будет вычисление компонент связности Леви-Чивита V:

гк _ 1 „кв ( ддг? , дд3' ддч

гз 2д

+

дпз диг див

д22 д23 д23 д21

, д12 =

д32 д33 д33 д31

д21 д22 д33 д31

, 922 =

д31 д32 д13 ди

д31 д32 д11 д12

, 933 =

д11 д12 д21 д22

гДе У -и ди = гкэдк и — матриДа, обратная к матрице {д3 }.

Следующим шагом является вычисление компонент тензора кривизны R и оператора одномерной кривизны А:

3 = ди( - + ТквЦ1 - г*гк3) ; А = — (з^ - ^¿'д** ) ,

г п - 2\ з У У 2(п - 1) ) '

где 5\ — дельта Кронекера.

Далее вычислим индуцированный метрический тензор д на расслоении Л2М и матрицу оператора секционной кривизны К:

ди

д1з = д2з =

д11

\\дг3 У = \\9ij II"1,

К11 = R2323, К12 = Х2331, К13 = R2312, К22 = R3131, К23 = R3112, К33 = R1212,

КЗ = кгк дк3.

Реализация данной математической модели в среде пакета символьных вычислений позволяет получить матрицы операторов одномерной и секционной кривизны, если известен метрический тензор в некоторой локальной системе координат.

3. Операторы одномерной и секционной кривизны на трехмерных локально симметрических лоренцевых многообразиях. Теорема 2 позволяет разбить задачу изучения операторов кривизны на трехмерных локально симметрических лоренцевых многообразиях на три подзадачи. В то же время очевидно, что для лоренцевых пространств постоянной секционной кривизны К3, и Н3 операторы одномерной и секционной кривизны диагонализируе-мы (а значит, имеют тип Сегре {111}) имеют три равных собственных значения (равные нулю, положительные и отрицательные соответственно).

В случае прямых произведений (случай 2 теоремы 2) оператор А имеет тип Сегре {111} с двумя

равными и третьим нулевым собственными значениями, а оператор К имеет тип Сегре {111} с двумя нулевыми и третьим ненулевым собственными значениями.

Следовательно, интерес представляет только случай 3, в котором метрический тензор в локальной системе координат имеет вид

/0 0 1 \

д = ( о е о I ,

0 /

где е = ±1, /(и2, щ) = и2«+и2^(и3)+^(и3), а е К, в, С — произвольные гладкие функции.

Индуцированный метрический тензор д на расслоении Л2М имеет вид

'е/ (и2,и3) 0 ^

д=

0

— >-

-1 0

С помощью вышеописанной математической модели вычислим матрицы операторов одномерной А и секционной К кривизны:

Л

' 0 0 0> 0 0 0

-1 0

=

'0 0 ^ 0 0 0 ,0 0 0,

Следовательно, операторы А и К имеют либо тип Сегре {111} с нулевыми собственными значениями при а = 0, либо тип Сегре {12} с собственными значениями, равными нулю, при а = 0. Таким образом, справедливы утверждения.

Теорема 3. Трехмерное связное, односвязное локально симметрическое лоренцево пространство с оператором одномерной кривизны А существует в том и только том случае, если

1) либо А имеет тип Сегре {111} с равными собственными значениями;

2) либо А имеет тип Сегре {111} с двумя равными и третьим нулевым собственными значениями;

3) либо А имеет тип Сегре {12} с нулевыми собственными значениями.

Теорема 4. Трехмерное связное, односвязное локально симметрическое лоренцево пространство с оператором секционной кривизны К существует в том и только том случае, если

1) либо К имеет тип Сегре {111} с равными собственными значениями;

2) либо К имеет тип Сегре {111} с двумя нулевыми собственными значениями;

3) либо К имеет тип Сегре {12} с нулевыми собственными значениями.

4. Заключение. Результатом данной работы является доказательство теорем 3 и 4, что дополняет результаты работ [10-12] (в которых изучался случай метрических групп Ли) о вос-

становлении трехмерного связного и односвязно-го локально однородного лоренцева пространства по предписанному оператору одномерной или секционной кривизны.

Библиографический список

1. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-manifolds // Geom. Dedicata. - 1996. - No. 1. DOI: 10.1007/BF00240002.

2. Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-manifolds // Cent. Eur. J. Math. - 2009. -V. 7(1). DOI: 10.2478/s11533-008-0061-5.

3. Kowalski O. Nonhomogeneous Riemannian 3-manifolds with distinct constant Ricci eigenvalues // Nagoya Math. J. - 1993. - V. 132.

4. Bueken P. On curvature homogeneous three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. - 1997. - V. 22.

5. Calvaruso G. Pseudo-Riemannian 3-manifolds with prescribed distinct constant Ricci eigenvalues // Diff. Geom. Appl. - 2008. - V. 26. DOI: 10.1016/j.difgeo.2007.11.031.

6. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2013. - Т. 450, DOI: 10.7868/S0869565213140077.

7. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — № 1-2(77). DOI: 10.14258/izvasu(2013)1.2-04.

8. Bueken P., Djoric M. Three-dimensional Lorentz metrics and curvature homogeneity of order one // Ann. Glob. Anal. Geom. - 2000. - V. 18. DOI: 10.1023/A:1006612120550.

9. Calvaruso G. Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds // J. Geom. Phys. - 2007. - V. 57. DOI: 10.1016/j.geomphys.2006.10.005.

10. Клепиков П.Н. О допустимых значениях спектра оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24-26 ноября, 2015. -Барнаул, 2015.

11. Клепиков П.Н., Клепикова С.В., Хромова О.П. О спектре операторов одномерной кривизны левоинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2016. - № 1(89). DOI: 10.14258/izvasu(2016)1-21.

12. Клепикова С.В., Хромова О.П. Об операторе секционной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2017. - № 1(93). DOI: 10.14258/izvasu(2017)1-17.