Влияние проскальзывания на вискозиметрическое течение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача о распространении тепла в бесконечном пространстве (горном массиве) от цилиндрической полости, по которой движется поток газа (воздуха). Методом функций Грина в сочетании с преобразованием Лапласа получено решение этой задачи при произвольном законе изменения температуры воздуха и произвольном начальном условии. Решение может быть использовано для расчета теплового режима подземных сооружений с формой, близкой к цилиндрической.

Библиографический список

1. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids. Oxford : Clarendon Press, 1959. 450 p.

2. Щербань А. Н, Кремнев О. А. Научные основы расчета и регулирования теплового режима глубоких шахт : в 2 т. Киев : Изд-во АН УССР, 1959. Т. 1. 425 с.

3. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев : Наук. думка, 1976. 286 с.

4. Галицын А. С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. Киев : Наук. думка, 1983. 236 с.

5. Галкин А. Ф., Хохолов Ю. А. Теплоаккумулирующие выработки. Новосибирск : ВО «Наука», 1992. 133 с.

6. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М. : Физматлит, 2003. 688 с.

7. Тихонов А. Н, Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

8. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1987. 688 с.

9. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. : Наука, 1985. 312 с.

10. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М. : Наука, 1971. 288 с.

11. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М. : Наука, 1984. 344 с.

12. Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ. Киев : Наук. думка, 1984. 600 с.

УДК 539.374

ВЛИЯНИЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

А. С. Устинова

Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, Владивосток, лаборатория механики деформируемого твердого тела E-mail: ustinova@iacp.dvo.ru

Рассматривается вязкопластическое течение несжимаемого упруговязкопластического материала между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, когда на одной из них возможно проскальзывание материала. Решение строится в рамках модели больших упруговязкопластических деформаций. Рассмотрены обратимое деформирование, развитие и торможение вязкопластического течения, разгрузка и деформирование при повороте в обратном направлении. Получены законы движения границ областей вязкопластического течения.

Ключевые слова: упругость, вязкопластичность, большие деформации, остаточные напряжения.

Influence of Slippingon Viscosimetric Flow of a Elastoviscoplas-tic Material Between Rigid Coaxial Cylinders

A. S. Ustinova

Institute of Automation and Control Processes,

Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok,

Laboratory of a Deformable Solid Mechanics E-mail: ustinova@iacp.dvo.ru

The viscoplastic flow of an incompressible elastoviscoplastic material between two rigid coaxial cylindrical surfaces is considered when slipping of a material is possible at one of them. The solution is constructed using the model of large elastoviscoplastic deformations, Reversible deformation, development and braking of a viscoplastic flow, unloading and deformation under rotation in the opposite direction are considered. Laws of movement of elastic-plastic boundaries are received.

Key words: elasticity, viscoplasticity, large deformations, residual stresses.

ВВЕДЕНИЕ

Вискозиметрические и прямолинейные течения неньютоновских материалов в рамках модели Шведова - Бингама рассматривались достаточно подробно [1-7]. Упругие свойства деформируемых материалов при этом не учитывались. В настоящее время представляет интерес исследование эффектов,

© Устинова А. С., 2012

93

обусловленных упругими свойствами среды. К последним относятся недопустимые геометрические изменения продеформированных тел в процессах разгрузки и формирования в них остаточных напряжений. Математическое моделирование подобных эффектов возможно только в рамках теории больших упругопластических деформаций. Ниже в рамках такой модели приводится решение задачи

о вискозиметрическом течении среды между двумя жесткими цилиндрами, когда на одном из них возможно проскальзывание.

1. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Задача решается в рамках модели больших упругопластических деформаций, предложенной в [8] и обобщенной на случай учета вязких свойств материала на стадии пластического течения [9]. В прямоугольной декартовой системе координат кинематика среды определяется зависимостями

— ег] + Р^З 2 егкек] егк Рк] Р1кек] + егк pksesj 1

—^1 — £гЗ - - 2((£гк - ^гк + ^к )вк] + егк {£к] - £к] - zkj)),

Пргз р р р йПг] . .

-Д~ — £З - Ргк £к] - £гк Рк] 1 ~Д~ — ~^Т - ^+ Щк Гк] 1

1 , , dui dui dui

~2 j + Ui — It — ~at + Uij , Uij — dj:

r ij 2

В соотношениях (1) dij — компоненты тензора деформаций Альманси; ej, pij — их обратимые и необратимые составляющие; ui, ui — компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; D/Dt — объективная производная тензоров по времени; еР (источник в уравнении переноса для тензора необратимых деформаций) — компоненты тензора скоростей пластических деформаций. Наличие нелинейной составляющей zij тензора вращений rij, которая выписана полностью в [8,9], связано с выполнением требования неизменности тензора пластических деформаций pij в процессах разгрузки. Материал считаем несжимаемым и тогда, следуя [8,9], получаем

dW

Oij - -pöij + ^i—(ökj - 2dkj) при pij = 0,

ddik

dW

(Tij — piSij + — {&kj ekj) при pij — 0,

deik

W — —2ßJi — ßJ2 + bji +

(Lk, при Pj = 0 Jk — \ , L 1 — dkk, L2 — dikdki;

[Ik, при pij — 0

Il — ekk 2eskeks, I2 — estets eskektets + 4eskektetnens

В зависимостях (2) uij — компоненты тензора напряжений, p, p1 — добавочные гидростатические давления, W — упругий потенциал, ß — модуль сдвига, b, x — постоянные материала.

В качестве пластического потенциала используется функция нагружения Треска [10]:

где k — предел текучести; n — коэффициент вязкости; ui, ekk — главные значения тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций.

Связь скоростей необратимых деформаций с напряжениями устанавливается ассоциированным законом пластического течения:

ер — ХдЦ~., f

2. НАЧАЛЬНОЕ УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ

Пусть упруговязкопластический материал заполняет область г0 ^ г ^ Я между двумя жесткими цилиндрическими поверхностями. Решение будем искать в цилиндрической системе координат г, р, г. Вначале рассмотрим случай, когда материал деформируется за счет поворота внутреннего цилиндра радиусом г = го, в то время как внешний цилиндр радиусом г = Я жестко закреплен, и на его поверхности выполнено условие прилипания:

ur = up = vp =0 при r = R.

Компоненты вектора перемещений при движении точек среды по окружностям определяются зависимостями

ur = r(1 — cos 6(r,t)), up = r sin e{rit),

здесь 6(r,t) — центральный угол закручивания.

Отличными от нуля компонентами тензора деформаций Альманси являются следующие:

9 = r7T-dr

При увеличении угла поворота внутреннего жесткого цилиндра сначала происходит только упругое деформирование. При достижении некоторого значения 60 = 6(г0,Ь0) в окрестности внутренней поверхности начинается пластическое течение. Считаем, что на внутренней жесткой стенке при обратимом деформировании выполняется условие прилипания, а при пластическом течении материала возможно его проскальзывание:

' rp I

I r = ro *

[w] = 0 обратимое деформирование.

°rp\r=ro = -Y\arr\r=ro - C[w];

[w] = w+ — w вязкопластическое течение,

здесь 7 — коэффициент сухого трения, £ — коэффициент вязкого трения, — угловая скорость жесткого цилиндра, и- — угловая скорость материала в окрестности внутреннего жесткого цилиндра.

Вычислим параметры напряженно-деформированного состояния в момент начала пластического течения. Из зависимостей (2) для компонент напряжений с точностью до слагаемых второго порядка малости по деформациям следуют соотношения

<Jrr = azz = — (Р + 2ß) — + ^)g2 = —s.

Интегрируя уравнения равновесия

darr 1^ a r

'pp _

dr r

и используя граничное условие (5), найдем

= 0,

pp

darp + 2 arp = о

dr r

arp ---- ß9'

в = ±1 4-і

2ß \R2 r2

4ß \r

_ r /1 3

'pp = — ( —----------4 1 + a0,

4ß \r

где с — неизвестная постоянная интегрирования, т0 — значение компоненты тензора напряжении <ггг на поверхности г = г0.

Из условия пластичности (3) и условия (6) в момент начала пластического течения наИдем

А Л_

2ß V R2

k

ao = -.

Y

Начиная с момента времени £ = £0 = 0 в окрестности внутренней поверхности развивается область вязкопластического течения Г1 ^ г ^ Г1 (£), Г1(£) — движущаяся граница этой области, отделяющая ее от зоны упругого деформирования г1(£) < г < Я.

r=r0

c

0

0

Согласно зависимостям (1) для компонент вектора скорости и тензора скоростей деформаций справедливы кинематические соотношения

дв 1 (ди— цЛ дйгР 1 д 2в р р двгт дрГ—

„г = = ^ — - у = — = 2гш, ^ ^ ^ = — + —

дРтт 0 / . р \ р дРи

е =

+ 2рГ— (г—Г + ерр) , + 2рГ— (гГ— + ерр) , ерг = -е— — = —2ер^е

ГГ д£ у — Г I — д£ ^УГ— у Г — I С. гг ° — — " С'г— Г—'

Рассчитаем параметры напряженно-деформированного состояния в некоторый момент времени Ь = ¿1 ^ Ь0. Интегрируя уравнения равновесия (квазистатическое приближение) в области упругого деформирования с использованием (5), найдем

ат— = С?, и— = 0, в =

Из второго соотношения в (2) для компонент напряжений в области пластического течения имеем:

&ГГ = а** -

В то же время интегрированием уравнений равновесия можно получить

а = т

аГ— = г2 ’ еГ— = 2^г2

Из условия непрерывности компонент напряжений и соотношений (10) и (11) следует, что

ш(Ь[ )= С1, з(Ь[ ) = 51 (Ь[).

Согласно условию пластичности (3) и ассоциированному закону пластического течения (4) получаем

аГ— = -к + Щт—, А = -еР— /

Используя

ер— = 1 (£ + к

С учетом кинематических зависимостей (8) и условий непрерывности перемещений, деформаций и скоростей на упругопластической границе г = г1 в области необратимого деформирования найдем

в = ЬЕ (с1 ,г,г1)+ А(с1), = гЕ (с1,г,г1), с1 = -кг?.

2 Л , г с1 Л 1 1 \\ с1 ( 1 1

Е(с1 ’г’г1) = П 1к 111 п + т (л- г?)). А(с1) = 2» КШ - -2

Если скорость поворота жесткого цилиндра изменяется со временем, например по закону и+ = аЬ, то для определения границы вязкопластической области, используя граничное условие (6), получим уравнение

к Л г?

£

На рис. 1 показано развитие области вязкопластического течения при значении постоянных

Е(с1,г0,г 1) = аЬ + Н(п), Н(п) = £ ^1 -

г0 = 0.5, = 0.01, = 0.05, - = 0.00621.

Я ц ц »

По найденной функции г^) определяются функция 9(г, •), напряжения, полные и обратимые деформации как в области обратимого деформирования, так и в области вязкопластического течения. Согласно (1) компоненты пластических деформаций определяются зависимостями

ртф —

Ы

1 -

П \ г

ртт 2$т^

Рфф --- 2етфртф

Рис. 1. Развитие области вязкопластического течения

3. ТОРМОЖЕНИЕ, РАЗГРУЗКА И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ ПОВОРОТЕ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ

Далее рассмотрим процесс торможения, когда начиная с момента времени ¿1 (г1(¿1) < Я) угловая скорость внутреннего цилиндра уменьшается по закону

ш — «¿1 — ¡3^ — ¿1).

При уменьшении скорости поворота внутренней жесткой поверхности и неизменном напряжении атф — , -2 — —кг2 вязкопластическое течение продолжается в области го ^ г ^ г2(£), в области

г2(•) ^ г ^ г1 пластические деформации перестают изменяться, в области г1 ^ г ^ Я происходит обратимое деформирование.

В упругой области по-прежнему справедливы зависимости (9). В области с неизменяющимися пластическими деформациями, используя условие непрерывности скоростей при г = г1, получим, что угловая скорость ш — 0 во всей этой области. В области вязкопластического течения го ^ г ^ г2(£) из равенства скоростей на поверхности г — г2 найдем ш — Е(-2,г,г2).

Используя граничные условия (6) и (14) для определения границы г2, получим уравнение

0^1 — в (• — tl) + Н (г 1) — Е (-2, г о ,г2).

Компонента ртф пластических деформаций в области г2 (•) ^ г ^ г1 с накопленными неизменяю-щимися пластическими деформациями находится по формуле

Р — к (1- г2

рТф I 1 2

а Л Н (г 1) 1 .

¡9 + 1)

Используя соотношение йТф — етф + ртф и условие непрерывности перемещений при г определим функцию 9 в области г2 (•) < г < г1

— г2,

9=

а+)* Н!г

Е(-2,г,г1) + [е2(-2,го,г) — Е2(-2,го,п)] + А(-2).

В области вязкопластического течения г0 ^ г ^ г2(£) получим

1

9=

•и в+1)+НР

Е(-2,г2 ,г1) + — [е2 (-2 ,го ,г2) — Е2 (-2, го ,п)] + Е(-2, г, г2) + А(-2).

2

г

1

0.2 І! 0.4 0.6 0.8 т2

Рис. 2. Изменение границы области вязкопластическ

течения в процессе торможения - в пластической области:

Полученное решение справедливо до момента времени Ь = Ь2, в который граница г2 совпадает с поверхностью г = г0. На рис. 2 показано изменение границы г2 с течением времени.

Далее в материале будет происходить разгрузка, при которой напряжение аГ(р будет уменьшать по абсолютной величине. Функция 9 в этом случае определяется следующими зависимостями:

' - в упругой области:

9 = А(сз), сз = —г‘2(к + £(^¿1 — Р(Ь — ¿1))),

в =

•и а+0+

ґ(С2 ,Г, П ) + —

ґ2(С2,Го,г) - ґ2(С2,Го,Гі) + А(сз).

В момент времени Ь = Ь3 скорость поворота внутреннего жесткого цилиндра станет равной нулю (аГ(р\Г_Г0 = —к). Рассмотрим, как будет изменяться напряженно-деформированное состояние, если с момента времени Ь = Ь3 поворачивать цилиндр в обратную сторону. До достижения углом поворота значения 9(го, Ь4) = 94 в материале будет происходить только обратимое деформирование, а на жесткой стенке будет выполняться условие прилипания (первое соотношение (6)). В конечный момент разгрузки Ь = Ь* (аГ(р = 0) для функции 9 найдем

в упругой области: в пластической области: в =

.н а+о+

в = 0, ґ (с2 ,Г,Гі) +

2в

Начиная с момента времени Ь = Ь* напряжение аг^ возрастает, до тех пор пока в окрестности внутренней поверхности г = г0 напряженное состояние не выйдет на поверхность нагружения

_ = к,

и не начнет развиваться новая область пластического течения. Начальный параметр для пластического течения равен

.и а+о+

ґ(С2,Го,Гі) - 2^^2(С2,Го,Гі) + А(04), с4 = .

После того как на поверхности г = г0 выполнится условие пластичности (16) (Ь = Ь4), начнет свое развитие область вязкопластического течения г0 ^ г ^ г3 (Ь). В области г1 ^ г ^ Я, как и выше, справедливы зависимости (9), в которых с1 следует заменить новым значением с5, в области с накопленными необратимыми деформациями г3(Ь) < г < г1 функция 9(г,Ь) находится по формуле (15), где с3 заменено текущим значением с5. В области пластического течения г0 < г < г3 (Ь) найдем

С5 = кг2,

в=

2в

ґ2

+

1

ґ

ґі (С5 .Г3 ,Г) = 2 (к 1п Г3 - С5 (Г2 - Г35 I I . * = Рі (С5 ,Г3 ,Г).

1

а

1

Рассмотрим напряженно-деформируемое состояние, начиная с момента времени - = -5, в который движущаяся граница г3 (£) достигнет поверхности г = Г1, первоначально ограничивающей пластическую область. При этом в материале будут три области: упругая область г3(£) < г < Я и области вязкопластического течения го ^ г ^ г1 и г1 ^ г ^ г3 (-), в которых пластические деформации вычисляются по-разному. В области обратимого деформирования функция 0(г, £) определяется зависимостями (9), где с1 заменено значением с5.

В области вязкопластического течения г1 < г < г3 (-), используя условие непрерывности перемещений, найдем

Ртр = -------— - к), 0 = (£ - £5 )^1 (С5 ,гз ,г) + А(С5), и = ^ (С5 ,гз ,г).

В области го < г < г1 компонента рг^ пластических деформаций находится по формуле (17), а для угла поворота и угловой скорости будут выполняться соотношения

0 = 2в

^2

+

-Р (С2 ,г,г1) +

+-^1 (с5 ,г1,г) + (- — -5 (с5 >г3 >г1) + А(с5 )) и = ^1 (с5 ,г3 >г1)-

Для определения упругопластической границы г3 в этом случае следует уравнение

-а- - Н(т3) = (С5,г3,го).

На рис. 3. показана функция 0(г) в моменты времени -1, -1 <-2<-2, -2, -4, -4<-5<-5, -5, -5<-6.

0.3

0.2

0.1

О

0

\y-ti \\

V \и* \Ч

*1*

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

0

ч ч.

и ^ * . • ^

\ А оГ^ \ \

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

г/Д

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 гЖ

Рис. 3. Распределение угла поворота в зависимости от радиуса

4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПРИ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИИ НА ВНЕШНЕЙ ЖЕСТКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим теперь деформирование материала в случае ускоренного вращения внутреннего жесткого цилиндра, когда условие проскальзывания выполняется в окрестности внешнего цилиндра, а условие прилипания — на внутреннем:

- обратимое деформирование : \г=п < 7|агг\г=н иг\г=н = и^\г=Е = и\г=Е = 0,

- вязкопластическое течение

Я2 и\г=Л’

и \ = а-.

1г=го

При обратимом деформировании материала будут справедливы соотношения п. 2. В условиях пластического течения материала имеем

- в упругой области:

и = -Я2Н(г1 )> 0 = (с1 ,г1 ,го) + 0о + — + А1 (с1 ), А1 (с1 ) = ^ ^ - ^ ,

- в области вязкопластического течения:

и = ^ (С1, г, Го) + 0 = ^ (С1, г, го) + 0о + ^ + А (сх), сх = -кг2.

Для определения границы области вязкопластического течения следует решить уравнение

г2

а + F (сх ,гх ,го) = - — я (гх).

При уменьшении скорости поворота внутреннего цилиндра найдем:

- в упругой области:

0 =

и = Р (С2, г 2, Г о) + а‘х - в (‘ - ¿1), С2 = -кг^ (‘х),

1

Р

+

ч Л а‘1 в(‘ - ‘Х)2 л / \

+‘Р(с25 г2 5 г0) + 00 + а‘і‘-----------2-2-+ А1 (С2)?

- в области с неизменяющимися пластическими деформациями:

0=

и = Р(С2, Г2, Го) + а‘х - в(‘ - ‘х), 1

Р

+

_ а‘! в(‘ - ‘х)2 ^ / \

+‘Р (с2 5 Г25 Го ) + 0о + а‘х ‘-2--------2-------+ (с2 ^

- в области вязкопластического течения:

и = Р(с2 5 Г,Го) + а‘х - в(‘ - ‘х ^ 0 = ‘Р(с2 5 Г,Го) + 0о + а‘х‘----- -------( 2---)---+ Ах (с2).

После того как граница Г2 достигнет поверхности Го, напряжение аГ(р будет уменьшаться по абсолютной величине, пока угловая скорость внутреннего жесткого цилиндра не уменьшится до нуля. При повороте цилиндра в обратную сторону наблюдаются те же эффекты, что и в случае, описанном в п. 2-3. На рис. 4. приведено распределение угла поворота в зависимости от радиуса в различные моменты времени.

0.8

0.6

0.4

0.2

0

О

К

\ -\ Чч Л / ^

ч< ч **4, ^.

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

0

\^4

# ^ *

'^4

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 г/Я 0.5 0.6 0.7 0.8

Рис. 4. Распределение угла поворота в зависимости от радиуса

0.9 г/Я

Аналогично были получены решения краевых задач в случае поворота внешнего жесткого цилиндра, когда проскальзывание материала возможно либо в окрестности неподвижного внутреннего цилиндра, либо подвижного внешнего.

Библиографический список

1. Бахшиян Ф. А. Вращение жесткого цилиндра в вязкопластичной среде // ПММ. 1948. Т. 12, вып. 6. С. 650-661.

2. Быковцев Г. И., Чернышов А. Д. О вязкопластическом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада давления // ПМТФ. 1964. № 4. С. 94—96.

3. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. М. : Наука, 1981. 208 с.

4. Мясников В. П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязкопластической среды // ПМТФ. 1961. № 2. С. 79-86.

5. Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. Х. Нестационарные движения вязкопластических сред. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1970. 415 с.

6. Резунов А. В., Чернышов А. Д. Задача о чистом сдвиге вязкопластического материала между двумя цилиндрическими поверхностями // Механика деформи-

руемого твердого тела : межвуз. сб. Куйбышев: Волжская коммуна, 1975. С. 32-36.

7. Сафрончик А. И. Вращение цилиндра с переменной скоростью в вязкопластичной среде // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 6. С. 998-1014.

8. Буренин А. А., Быковцев Г. И., Ковтанюк Л. В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1996. Т. 347, № 2. С. 199-201.

9. Ковтанюк Л. В., Шитиков А. В. О теории больших упругопластических деформаций при учете температурных и реологических эффектов // Вестн. ДВО РАН. 2006. № 4. С. 87-93.

10. Знаменский В. А., Ивлев Д. Д. Об уравнениях вязкопластического тела при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 114-118.