Помехоустойчивость когерентного приема сигналов двоичной амплитудно-фазовой модуляции при неидеальной синхронизации (часть 1)

X

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

УДК 621.39

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ ДВОИЧНОЙ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ ПРИ НЕИДЕАЛЬНОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

Н. В. Савищенко,

доктор техн. наук, профессор Военная академия связи

Предлагается методика оценки потерь в мощности и помехоустойчивости когерентного приема сигналов при наличии ошибки в определении фазы несущей. Приведены основные соотношения для расчета помехоустойчивости когерентного приема двоичных сигналов амплитудно-фазовой модуляции с произвольным расположением сигнальных точек на плоскости, неравными энергиями и неравновероятной априорной вероятностью передачи сигналов при наличии ошибки сопровождения фазы.

Ключевые слова — помехоустойчивость, когерентный прием, неидеальная синхронизация, сигналы амплитудно-фазовой модуляции.

Введение

Традиционно приводимые в научной литературе формулы символьной и (или) битовой вероятностей ошибок получены при идеальной фазовой синхронизации, т. е. когда предполагается, что моменты времени начала и окончания сигналов и их начальные фазы точно известны на приемной стороне. Исключение составляет формула вероятности ошибки [1, 2] для сигнала ФМ-2 (BPSK). Проведенный анализ [1, 2] показывает, что при наличии фазовой ошибки и использовании системы с остаточной несущей возникает неустранимая ошибка, которая не может быть улучшена простым увеличением отношения сигнал/шум.

Математическая модель канала связи

Основные положения

Предположим, что для передачи цифровой информации используется М сигналов конечной энергии: вДг), г = 0, М — 1, передаваемых на символьном интервале времени Т. В соответствии с теоремой Грама—Шмидта сигналы можно представить в виде [1]

N ______

вг (*) = ^ вг(*), г = 0,М — 1,

У=1

где N — размерность пространства сигнального созвездия; {уу(£)}, V = 1, N — базисные функции, удовлетворяющие условию

т Г1

п 11, V = Ц,

J ¥v№d* = (Уv,) = §V|1 =L V м 0 l0 ^м'

В первом приближении математическую модель канала связи можно записать в виде y(t) = = |J.sr(t) + n(t), где y(t) — принятый сигнал; ц — коэффициент передачи канала; n(t) — белый гауссов шум с односторонней спектральной плотностью шума N0. Предположим, что при формировании базисных функций в демодуляторе имеется одинаковая фазовая ошибка: Дф = ф — ф, где ф — фаза несущей и q — оценка фазы несущей. Следовательно, в демодуляторе базисные функции представляют собой функции

Y v (t) = Yv (t) cos Дф + \j> v (t) sin Дф, v = 1, N,

где H[yv (t)] = \j> v (t) — преобразование Гильберта от функции yv(t) [1, 2]. Это следует из того известного факта, что при фазовом сдвиге всех частотных компонент yv(t) на угол (-Дф) аналитический сигнал умножается на ехр(—Дф). Таким образом, фазовый сдвиг всех частотных компонент вещественного сигнала может быть определен как

Re [ e—/Афу v (f)] =

= Re [(cos Аф — j sin Аф)(^ (f) + jy v (f))] =

= yv (f)cos Аф + \j/v (f)sin Аф, v = 1, N,

где \j/v (t) = yv (t) + j\\fv (t) — аналитический сигнал.

Следует отметить, что более корректным в этих случаях является применение расширенного преобразования Гильберта на отрезке (0, Т), введенное В. И. Коржиком [3]:

1 т

Нт [s(t)] = lim — Г

є^0 П ^

s

dт,

но при этом все основные свойства классического преобразования Гильберта сохраняются, и в дальнейшем предполагается в работе использовать именно это преобразование.

Выберем в качестве наблюдения N проекций наблюдения: у = (у1, у2, ..., у^), где компоненты вектора определяются как проекции на базисные функции \|/ у (#):

т

Ух = / У^У V (*)й*> V = 1, N.

0

Тогда

yv = I y(t)(Vv (t)cos Аф + \j> v (t)sin Aф)dt =

I

N

^ sr,|aV|i(t) + n(t) x V = m (yv

ц=1 T T

: (yv (t) cos Aф + \j/ v (t) sin Aф)dt

или

yv = sr v cos Аф +

N

^ sr,|^8 ^v

Ц=1

sin Аф + Av,

v = 1, N,

где

S , V V) = J (t)V V (t)dt;

0

T

nv = J ra(£)(yv (£)cos Аф + \j/ v (£)sin Аф^£.

0

В частности, из свойств преобразования Гильберта следует, что 5vv = 0, v = 1, N. Если в системе связи используются ортогональные в усиленном смысле базисные функции, то тогда по определению 5|^v = 0 для всех V, ц = 1, N и второе слагаемое исчезает, т. е. yv = sr v cos Аф + nv, v = 1, N. Отсюда следует, что при использовании ортогональных в усиленном смысле базисных функций происходит уменьшение энергии переданного сигнала в cos2A>. Этот вывод справедлив и для одномерных сигналов, передаваемых с помощью произвольного несущего сигнала (базисной функции).

В матричном виде соотношения для наблюдения можно переписать в виде ут = Ч'(Дф)8Т + пт, где

Ч'(Дф) =

cos Аф §21 sin Аф ... 8 ni sin Аф §12 sin Аф cos Аф ... 8 N2 sin Аф

§1N sin Аф

... cos Аф

и п = (п п>2 ... пк). Свойства матрицы ^ бу-

дут рассмотрены в приложении (ч. 2). Очевидно, что уу, V = 1, N — гауссова случайная величина, так как ее случайная составляющая п V получена линейными преобразованиями от гауссова случайного процесса п(€). Математическое ожидание случайной величины уу, V = 1, N равно

M[yv ] = sr v cos Аф +

N

^ Г 8 nv П=1

sin Аф,

так как M[nv ]= 0, v = 1, N. Корреляционный момент случайных величин yv и y^ v = 1,N определяется по формуле

-M[Vv])(Уц -M[Уц]) = M[]ц] =

= JJ M [ra(£)ra(x)](yv (£)cos Аф + \j/v (£)sin Дф)х 0 о

х (уц (T)cos Аф + \j/ц (T)sin Аф^Мт N0

или, так как M[n(t)n(T)] = -^- 8(t — т):

N т

Ку, = J (Vv (#)cos АФ + V V (tin АФ)х

о

х (Vy (#) cos Аф + у у (t) sin Аф^#.

Используя свойство преобразования Гильберта (x, y) = (x, y), получаем, что

8уц + 2 sin2Aф

v, ц = 1, N.

Случайные величины уу, V = 1, N будут независимы, если 5^ + 8 ^ ц) + (¥ц ) = 0 для

всех V, ц = 1, N. Применяя свойства преобразования Гильберта (х, у) = (X, у) и Н[Н[х^)]] = - х(Г), получаем, что для любых двух функций х(€), y(t): (Н[х(Г)], y(t)) = (Я[Я[x(t)]], Я[y(t)]) или (Н[х^)], y(t)) = -( х@), Н[y(t)]).

Отсюда следует, что тождество §^ + 8^ = 0 справедливо для всех V, ц = 1, N, и, следовательно, во всех случаях kV^ = (N,/2)8^, V, ц = 1, N.

є

0

0

В частности, если базисные функции ортогональны в усиленном смысле, то 5VI! = 5^ = 0 для всех V, ц = 1, N. Таким образом, гауссовы случайные величины у^ V = 1, N являются независимыми с математическим ожиданием М[уV = = sr VcosДф и дисперсией D[yV] = (N/2). Это вытекает из того, что для гауссовых случайных величин из некоррелированности следует их независимость, что для произвольных случайных величин в общем случае несправедливо. При этом det¥(Дф) = cosNДф, т. е. использование ортогональных в усиленном смысле базисных функций приводит к неортогональным преобразованиям сигналов при ненулевой фазовой ошибке в пространстве любой размерности.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только двумерных сигналов, т. е. размерность пространства N = 2. Соответствующие этому варианту преобразования могут быть записаны в матричном виде: ут = Ч^Дф^ + пт, где в двумерном пространстве

Ч'(Дф) =

cos Дф §21 sin Дф

§12 sin Дф cos Дф

Очевидно, что это преобразование будет ортогональным, т. е. гїе1;¥(Дф) = 1, если потребовать выполнения условия 512§21 = —1. Учитывая, что справедливо тождество §12 + 521 = 0, приходим к условию 512 =±1, 521 = +1. При выполнении этих соотношений будет происходить только поворот сигнальной точки на угол Дф без изменения энергии. Если, например, выполняется условие 512 521 = 1, тогда гїе^(Дф) = cos(2Дф) и ортогональное преобразование гїе^(Дф) = ±1 возможно только при фиксированных значениях Дф = 0, ±п/2, ±п, что, учитывая случайный характер фазовой ошибки, невозможно. Ортонормированные тригонометрические базисные функции, используемые в современных системах передачи информации:

^) = А со5,(2пС + ф);

у2= Авіп(2я:£^ + ф), t є (0, Т),

где А — амплитуда; і — частота и ф — начальная фаза — удовлетворяют условию 512 =±1, 5 21 = +1, так как преобразование Гильберта этих функций у! (t) = у2 №, ¥2 № =-¥1 № и, следовательно, 512 = (у15 У2) = -1, §21 = (у2, ^К1) = 1-Полученное преобразование относится к ортогональным преобразованиям с детерминантом гїе^(Дф) = 1 и определяет поворот координат на угол Дф против часовой стрелки. Таким образом, погрешность при оценке фазы несущей соответствует, в геометрическом представлении сигналов, повороту координат сигналов против часо-

вой стрелки на угол Дф = ф — ф. С точки зрения теории помехоустойчивого приема это означает соответствующее изменение расстояния от сигнальных точек до границ областей принятия решения.

Анализ полученных соотношений показывает, что не только в cos2 (ф — ф) уменьшается мощность определяемой сигнальной координаты, как это происходит в одномерном случае, но и присутствует взаимная интерференция между синфазной и квадратурной компонентами.

Приведем второй вариант математической модели канала связи. Принятый сигнал может быть представлен в виде

y(t) = |j,(sr (t)cos Дф + sr (t)sin Дф) + n(t),

т. е. передаваемый сигнал получает случайный фазовый сдвиг в канале связи, а не в демодуляторе при формировании базисных функций. Так N ^ N

как sr (t) = ^ sr,vyv (t), то sr (t) = ^ sr,v^>v (t) и v=1 v=1

N

y(t) = Ц ^ sr,v (Vv (t) cos Дф + \j) v (t) sin Дф) + v=1

N

+ n(t) = Ц^ s^Vv (t) + n(t).

v=1

Действительно, проекции на базисные функ-

T

ции yv(t): yv = Jy(t)yv (t)dt, v = 1,N будут в этом

0

случае равны

N

yv = ' ((^ц, Vv )cos Дф +

Ц=1

+ ('К ц ,Vv )sin Дф) ++.

После простейших преобразований получаем

N

yv = Sr,v cos Дф + sin Дф ^ sr, (\j> ц ,\|/v) + nv ц=1

или

N

yv = sr,v cos Дф — sin Дф ^ s^Sjxv + nv.

ц=1

Это выражение с точностью до знака фазовой ошибки Дф совпадает с полученным ранее (вероятностные характеристики отсчетов белого шума совпадают). С учетом того, что величина Дфе[-гс, п] имеет четную плотность распределения вероятностей, Р(Дф < 0) = Р(Дф > 0). Следовательно, в этом варианте математической модели канала связи проекции наблюдения получаются такими же.

Вывод частных случаев

Если для передачи цифровой информации используется M сигналов: sr(t), r = 0,M — 1, te[0, T], то математическая модель канала связи может быть представлена выражением

y(t) = |j,(sr (t)cos Аф + sr (t)sin Аф) + n(t), t G [0, T],

где y(t) — принятый сигнал; |j,(t) — коэффициент передачи канала; Дфе[-п, п] — фазовая ошибка и n(t) — белый гауссов шум с односторонней спектральной плотностью шума N0.

Пусть Er, r = 0,M — 1 — энергия r-го сигнала. Так как все энергии конечны, то среди них есть сигналы, имеющие максимальную энергию,

которую будем обозначать Em: Em = max Er.

r=0, M—1

Средняя энергия Ec сигнала определяется как

M—1

Ec = ^ PrEr, где pr — априорная вероятность

r=0

передачи r-го сигнала. Традиционно средняя энергия определяется при равновероятной пере-

1 M—1

даче сигналов: Ec = — ^ Er, pr = 1/M. Отноше-

M Г=0

ние максимальной энергии к средней энергии есть квадрат пик-фактора: П = Em/Ec. Отношение максимальной энергии и средней энергии к односторонней спектральной плотности шума определяется как hm = Em/NQ и hC = Ec/N0,

при этом hL = П?й?. Величины Ebm =—Em

log2 M

„ Ec

и Ehc =-----------c — соответственно максимальное

bc log2 M

и среднее значения энергии, затраченной для передачи одного бита; hbm = Ebm/N0, hlc = EbjN0,

hbm = ПАе, = hbc log2 M и h2m = hLlog2M

В рассматриваемой математической модели канала связи можно выделить несколько частных случаев:

1) если |j,(t) = 1, Дф = 0, te[0, T], то получаем классический канал с аддитивным белым гауссовым шумом;

2) если |j.(t) = ц, Дф = 0, te[0, T] и ц — случайная величина, то получаем канал с неселективными по частоте общими замираниями и аддитивным белым гауссовым шумом;

3) если |j,(t) = 1, te[0, T] и Дф Ф 0, то получаем канал с аддитивным белым гауссовым шумом и ненулевой фазовой ошибкой. Случайная величина Дф описывается распределением Тихонова, хотя основные положения статьи могут быть использованы для произвольной плотности распределения фазовой ошибки;

4) если ц@) = ц, Дф, te [0, Т] — случайные величины, то получаем канал с неселективными по частоте общими замираниями, ненулевой фазовой ошибкой и аддитивным белым гауссовым шумом.

В данной статье рассматриваются последние два варианта канала связи. Основная цель заключена в определении символьной и битовой вероятностей ошибок при оптимальном когерентном приеме сигналов АФМ-2 по правилу максимального правдоподобия в канале с детерминированными параметрами, аддитивным белым гауссовым шумом и наличии фазовой ошибки в контуре фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

Плотность распределения вероятности фазовой ошибки

В работе [4] показано, что при оценке фазы при учете аддитивного шума функция плотности вероятностей для фазовой ошибки при нулевой начальной расстройке по частоте (т. е. между собственной частотой автогенератора и частотой синхронизирующего сигнала) описывается плотностью распределения В. И. Тихонова [1, 2, 4]

ю(Дф) = . г . . exp(p cos Аф),

2п1о

—п < Аф < п,

где /0(р) — функция Бесселя нулевого порядка;

р = E----------------------------------------------1 — отношение сигнал/шум, здесь

N0 2blt

BL — односторонняя полоса контура ФАПЧ; T — интервал времени символа. При р >> 1 можно считать, что р = 1j оф, где оф — дисперсия ошибки фазы.

Если использовать разложение

exp(pcos Аф) = I0 (р) + 2 ^ Ik (p)cos Мф,

k=l

где

k ^

Ik (р) =-----(Pl2-— Г sin2k ф exp(pcos ф^ф

T(k + 1/2)Г(1/2)Л

— функция Бесселя k-го порядка, то (1) может быть представлена как

.. . 1 , 1 ^ Ik

ю( Аф) =----1— > k cos kAф.

2п п k=1 Io

Плотность вероятностей представляет собой симметричную функцию, которая при изменении величины р от нуля до бесконечности меняется от равномерной плотности распределения до дельтообразной.

Действительно, если р = 0, то ю(Дф) = 1/2п, -п < Дф < п, при этом дисперсия величины Дф рав-

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

о о I

на Оф = п /3, математическое ожидание — нулю. Очевидно, что равномерная плотность распределения вероятности может быть использована в некоторых случаях и при р<<1. Если р>>1, то плотность распределения переходит в нормальную [4]:

ю(Дф) =

і

-ехр

2тсо;

Ф

Дф

2оф

При р ^ ^ плотность распределения вероятности переходит в дельта-функцию: ю(Дф) = 5(Дф). Этот случай соответствует идеальному когерентному приему с фиксированной нулевой фазовой ошибкой.

При промежуточных значениях р дисперсия может быть вычислена по формуле

(-1ТЬ (Р) k2 І0 (Р)'

Для практически важных ограничиться условием р >>

случаев можно

1 и, следователь' 2 _2

но, использовать формулы р = 1 Оф и Оф = 1/р. Возникающая при этом погрешность незначительна. Так, при р = 10 дБ по точной формуле оф=1,05655110- (среднеквадратическое отклонение (СКО) сф = 3,25046210-1 рад), в то время как при гауссовой аппроксимации оф = 1/ р = 10-1 (сф = 3,16227810-1 рад) — относительная погрешность дисперсии 0,057; при р = 20 дБ по точной формуле оф = 1,117258 10-2 (сф = 1,05700410-1 рад), а по формуле оф = 1/ р = 10-2 (сф = 10-1 рад) — относительная погрешность дисперсии 0,117. При дальнейшем увеличении отношения сигнал/шум погрешность растет.

В дальнейшем обозначим фазовую ошибку ф, т. е. ф ^ Дф. Используя свойства плотности распределения вероятностей, можно показать, что при четном п е N и произвольном а е R Vя п/ 2

п

Е

0 т=1

/

ю

ф + (2т — 1)— п

ю

ф — (2т — 1)— п

§ ю(ф^ф = § ю(ф - а^ф.

0 0 Приведем формулу вероятности ошибки для ФМ-2 [1, 2] и получим новые соотношения для вероятности символьной и битовой вероятностей ошибок когерентного приема сигнальных конструкций АФМ-2 в канале с детерминированными параметрами и белым шумом при учете фазовой ошибки в контуре ФАПЧ. Общая методика вычисления состоит в том, что на первом этапе находится битовая (индекс «Ь») и (или) символь ная (индекс «е») вероятности ошибок РЬ1е [иЬс, ф

при фиксированной фазовой ошибке, а на втором — ее математическое ожидание, т. е.

Р

Ь/е {Ьъе )= / РЬ/е ^Ъс. ф)  (Ф>ЙФ.

где ю(ф) — плотность распределения вероятностей фазовой ошибки (в общем случае произвольная, но в данной статье рассматривается распределение Тихонова). Следовательно:

РЬ/е {$0’ р)= 2л/1 ( ) /РЬ/е {$0’ ф)ехР

0 —к

где в аргумент вероятности ошибки введен параметр р, который существенным образом (это будет показано позднее), наряду с отношением сигнал/шум Н^с, влияет на величину вероятности ошибки Рье ЫЬс, р!

Полученные соотношения (2) могут быть использованы также для канала с общими замираниями, ненулевой фазовой ошибкой и аддитивным белым гауссовым шумом [1, 2, 5, 6]:

\[е [Ь'Ъс ’ Р)_

0

и(ф^ф

где знак «~» подчеркивает, что формула вероятности ошибки получена для канала связи с общи-

ми замираниями;

; и (ні, ф)=х(ф;

Ьс

величи-

на х(ф), Дфе[-п, п] определяется в зависимости от сигнальной конструкции и фиксированной фазовой ошибки (ее величина влияет на знак %(ф)); ю(ц) — плотность распределения коэффициента передачи канала связи и т2 — начальный второй момент.

Плотность распределения коэффициента передачи канала связи

При определении вероятности ошибки в канале с общими замираниями будет рассматриваться закон распределения вероятностей Райса— Накагами случайного коэффициента передачи канала ц [5, 6]:

, ч (вЦ)Р ю(ц) = ——1 ехр

у-Р 1

У

в 2

------Ц

2р

[р-1

гдер > 0, у > 0, в > 0 — параметры распределения, а /р-1(уц) — функция Бесселя от мнимого аргумента порядка (р - 1) [7, 8].

Распределение Райса—Накагами при соответствующем выборе параметров р, у, в совпадает

с распределениями Релея, Райса и Накагами (^.-распределение). Так, при p = 1, у = 0, в = 1/а2 получаем распределение Релея; при p = 1, у = = ц0/а2, в = 1/а2 — распределение Райса, а при значениях параметров p = m, у = 0, в = 2то/ц2 — распределение Накагами. При выборе значения у = 0 следует учитывать, что

Ііт

-^-і

^-1

2 р-1 Г

у ^0 у1

где Г(х) — гамма-функция [7, 8].

Второй момент плотности распределения Райса—Накагами

- 2 р

ц2 = ТП2 = —ехр

1_

2Р

р+1; р;

2 о

в частности, для распределения Релея ц = 2о ,

Райса — ]х2 = |л_2 + 2а2.

В общем случае формулы для вероятности ошибки АФМ-2, в том числе при ненулевой фазовой ошибке, будут содержать линейную комбинацию функций Гаусса

1 “

Я(х) ^-7= Г ехр V2п и

dt,

где Q(-x) = 1 - Q(x) [5, 6]. При практических расчетах можно использовать представление этой функции в виде интеграла с конечными интервалами:

л/ 2

1 р

Я(х) = — I ехр П

2 008 у

dу, х > 0,

либо функцию егГс(х), Q(x)=—erfc

л/2

. В канале

с общими замираниями Райса—Накагами [5, 6]

) ,

у 2а2

\Р(«2 + Р)’\

а

2 2ghbc где а =--------— ;

(1-Ъ ) р

2 л

1—2 „ 1 + X2

а2 + р’

1

г2 1 + х2

2 1 + Ъ2-2

+ х2 (1 + Ъ2х2)р' dх,

х

П > 0, 0 < Ъ2 < 1, р > 0,

,2 а здесь Ь =

а2 + в

,2 = = і! ь2. В другой

в а2 + в в

форме, более удобной для расчетов на ЭВМ [5, 6]: 54 ^ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮШИЕ СИСТЕМЫ

(1- Ь2)р аго^(11) Н (х,М) = / >

сов2рt

(1- (1- Ь2 )віп21)р

ехр

1

2 1-(1-Ь2 )віп2 г

dt.

Наиболее общим законом распределения замираний является четырехпараметрический закон распределения вероятностей случайного коэффициента передачи канала ц [5]:

ю(ц с, ц а) = - 1

2паса8

ехр;

2а

2

2а:

турных составляющих ц, и ц8; |л.0 = д/т2 +т2 —

регулярная составляющая коэффициента пере-

2 2

дачи; ас и а3 — дисперсии квадратурных составляющих ц, и ц . Наряду с параметрами т,

л л Со С

т, ас , а3 удобно использовать параметры, имеющие наглядный физический смысл.

1. Отношение дисперсий квадратурных со-

ставляющих <52с и а2 — величина ц2 = о2/а2. Коэффициент q2 характеризует асимметрию канала по дисперсиям. Без ограничения общности рассматриваются значения q2 из интервала [0, 1], т. е. 0 < q2 < 1. т т

2. Фазовый угол ф0 = аrctg—2 или tgфo = —-.

тс тс

3. Отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующей частей сигнала

У2 =

тС

-тя

Это выражение удобнее

С ' 3 С ' 3 г»

2 2а представить в виде у =

1+22 2а2

2 2 Уо» где

2 х-г 2 2с 1 +2

у 0 = -У0- — величина, характеризующая глуби-2ас2

ну замираний в канале с райсовскими замирани-

2q2

ями (#2 = 1). Коэффициент —є[0,1] характе-

1 + q2

ризует уменьшение у2 по сравнению с величиной у 0. При релеевских замираниях у 0 = 0, в канале без замираний у0 ^ те (присутствует только регулярная составляющая). Справедливы следующие соотношения:

У =

а2 1 + д2 сое2 ф0

или

№ 3, 2009

0

2

х

0

т

2

2

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

Y 2 = m

* ,2

О2 1 + q2 sin2 фо

4. Средний квадрат коэффициента передачи

,2

или

т2 = М-0 + °с + °s

m2 = 2о2

2ос2 -,2 = ,

1-q2

2q2

= 2о2

2 1-q2 1 + Y2 +7ГТ-2q

q2 ^ 0. Если = 0, то о2 = 0, а величина о^ явля-

ется неопределенной, либо о^ ^ ю, а величина о2с является неопределенной.

В случае четырехпараметрических замираний [5]

JQ

где

S(zc> zs> bc> bs> Л) =

2я

: exp

г;2 =

zc 1 + x

2 1 + bCx2

1 + bCx2 дД + bs2x2

z2 1 + x2

2 1 + b^x2

dx

. m2 gh&C

2ghbcmc__________________

m2 + 2ghbcoC a2c 1 + gh62c

Литература

1. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.

3. Коржик В. И. Расширенное преобразование Гильберта и его применение в теории сигналов // Проблемы передачи информации. 1969. Т. 5. Вып. 4. С. 3-18.

4. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488 с.

5. Савищенко Н. В. Помехоустойчивость модемов

с двумерными сигнальными конструкциями по

2ghbcm2s

m2 ghbc

m2+2ghic°2 lq2 + g+c

ghbc

b = ghbc . b2 = bC — -2 , bS — 2 ~2 '

1 + ghbc q + ghbc

Здесь определено, что

1 2 1-q

1 + Y 0 +^TT 2q

h2

nbc’

т. е.

hbc [дБ] = htc [дБ] +10 lg

1 + W Y ^

2q

l-q2

2q2

2 2 2 Шс 2 1 + q 2 m<i • 2 ✓-< 2 \ 2

—c- = cos Фо—2y , _2 = sin Фо (1+ )y . о

'с Я Сз

Для численных расчетов на ЭВМ удобнее использовать альтернативное определение ^-функции:

S\zc , zs , bc , bs, Л) =

2 n

arctg

< J

cos21

-exp;

2 l - ^l — b^sin21 l — ^l — b^sin21

dt.

Окончание следует.

точным формулам вероятности ошибки в канале без замираний и с общими четырехпараметрическими замираниями // Информационно-управля-ющие системы. 2007. № 4. С. 44-54.

6. Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная эффективность и помехоустойчивость приема: Монография / Под ред. Д. Л. Бу-раченко. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. 420 с.

7. Справочник по специальным функциям / Под ред. А. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

8. Попов Б. А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. Киев: Наук. думка, 1984. 600 с.

и

0

1

и