Методика разработки учебных кейс-заданий для будущих учителей математики

YAK 372.851 ББК 74.489

C.P. МУГАЛЛИМОВА

S.R. MUGALLIMOVA

МЕТОДИКА РАЗРАБОТКИ УЧЕБНЫХ КЕЙС-ЗАДАНИЙ ДЛЯ БУДУШИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

HOW TO DEVELOP CASE-TASKS FOR FUTURE MATH'S TEACHERS

В работе рассматриваются особенности использования метода кейсов в обучении. Обосновано, что кейс-задания для будущих учителей математики имеют характерные отличия, описаны требования к их разработке, показан подход к оценке успешности их выполнения.

The paper considers the practice of using the case study method. It is substantiated that the case-tasks for future math's teachers have characteristic features, the requirements for their development are described and the approach to the estimation of their execution is shown.

Ключевые слова: метод кейсов, обучение будущих учителей, обучение математике.

Key words: case study, training of future teachers, teaching mathematics.

В настоящее время система профессионального образования претерпевает существенные преобразования, обусловленные быстро меняющимися условиями окружающей действительности, изменениями в общественном сознании, характере коммуникаций, динамикой рынка труда. В связи с этим ведется поиск новых технологий обучения, которые позволяют интенсифицировать процесс обучения и способствуют формированию у обучающихся таких качеств, которые позволили бы им успешно адаптироваться в разных социально-экономических и профессиональных условиях. В последние годы разрабатываются и внедряются новые технологии и методики обучения: контекстное обучение, деловые игры, метод проектов, методы обучения с использованием информационных технологий (метод модерации, сэмпл-технология), case-study (кейс-стади) и другие [4].

Метод case-study получил широкое распространение в сфере профессионального образования. Популярность кейсов как учебных заданий обусловлена рядом особенностей, среди которых в первую очередь отметим возможность погружения в профессиональный дискурс, поскольку содержание кейса традиционно включает описание ситуации, максимально приближенной к действительности. Во-вторых, комплексный характер кейса позволяет формировать обобщенные приемы обработки информации, которые необходимы для быстрого и эффективного принятия решений в профессиональной деятельности. Наконец, использование кейсов позволяет успешно решать актуальные педагогические задачи: активизация познавательной деятельности студентов за счет высокого уровня проблемности, развитие интеллектуальных качеств, необходимых для принятия решений, таких как критическое мышление, интерактивный характер обучения в групповой (командной) работе и т.п. Исследователи [6, 7] отмечают, что использование кейс-метода позволяет реализовать цели, направленные на развитие умений выделять конкретную проблему из ситуации, прогнозировать дальнейшие события, проводить системный анализ, оценку риска и возможного ущерба от проблемы, выделять из класса решений наиболее оптимальный для данной ситуации.

Раскрывая сущность метода case-study и характерные особенности кейсов как учебных заданий, большинство исследователей обращается к истории вопроса, указывая, что идея зародилась в Гарвардском университете,

когда возникла необходимость разработки материалов для аспирантов - будущих бизнесменов - и было принято решение рассматривать конкретные ситуации, на основе анализа которых строился процесс обучения и формировались соответствующие компетенции. Позже метод кейсов стал использоваться для правого и медицинского образования, в настоящее время он находит применение в разных областях. Вопрос об особенностях кейсов по математике, в частности для будущих учителей математики, остается недостаточно разработанным. Одной из причин является прикладной характер учебного кейса, в то время как обучение математике преимущественно носит фундаментальный характер. В связи с этим встает вопрос о характерных особенностях учебных кейсов для будущих учителей математики и методике их разработки и использования в учебном процессе.

Рассмотрим сначала содержание понятия «учебный кейс». В нашем понимании учебный кейс - это комплект материалов, направленных на достижение цели обучения конкретной дидактической единице, ядром которого выступает ситуационная задача, отражающая типичные ситуации, с которыми студенту придется столкнуться в будущей профессиональной деятельности [3].

Сделаем несколько замечаний, существенных для дальнейшего изложения вопроса.

Во-первых, сузим определение кейса как «чемоданчика с материалами» до комплекса учебных заданий, не рассматривая сопутствующие информационные, справочные, тренировочные и другие материалы.

Во-вторых, учитывая, что учителя математики работают с материалом элементарной математики, вопрос о том, насколько учебное задание должно отражать типичные ситуации профессиональной деятельности, остается дискуссионным. Таким образом, принципиальное отличие кейса для обучения учителей математики от кейса, например, для будущих бизнесменов заключается в степени приближения его содержания к реальной ситуации. Поэтому ситуативный характер кейса будем рассматривать как возможное, но не обязательное требование.

В-третьих, отметим, что особенности кейсов по математике должны быть обусловлены характерными особенностями математической деятельности, такими, как моделирование ситуаций на математическом языке, осуществление преобразований средствами знаковых систем, проведение доказательных рассуждений, наконец, отсутствие плюрализма и возможности апеллировать к авторитетным источникам при оценке утверждения как верного или неверного. Таким образом, использование метода case-study в работе с будущими учителями математики имеет ряд отличий.

В связи с этим в своей работе мы рассматриваем методику разработки учебных кейс-заданий, которые определим как комплекс задач с общими исходными данными, отличающихся требованием, достаточный для раскрытия отдельной дидактической единицы.

Идея использования комплекса задач в обучении математике не нова. Приведем в качестве примера задание, которое предлагалось на выпускных экзаменах по математике в 1910 году [2].

Требуется разделить число т на две части так, чтобы их произведение

относится к п. Число т определить из равенства ^ т=22 + 3 + 5, п равно

удвоенному коэффициенту пятого члена разложения (х+а)6.

Очевидно, задание носит комплексный характер, включает четыре задачи, объединенные общей фабулой. Но у этих задач разные исходные дан-

Пример 1

относилось к сумме их квадратов, как сумма корней уравнения

ные и разные требования, поэтому задания подобного рода мы не считаем кейсами.

На наш взгляд, для разработки кейс-задания по математике необходимо придерживаться следующих ниже требований.

Во-первых, формулировка кейс-задания должна предполагать наличие контекста, выступающего связующим звеном между отдельными заданиями. Как показывает практика, контекст определяется местом используемых понятий в материале дисциплины. Чаще всего контекст выбирается исходя из возможностей использования математического аппарата для решения прикладных задач. Бывает удобно также опираться на исторические сведения, в которых прослеживается развитие материала, проблемы, которые привели к разработке соответствующего понятия, его философскую основу.

Во-вторых, комплекс задач должен строиться исходя из некоторой таксономии с повышением уровня сложности задач. Например, основой таксономии может стать система «знание - умение - применение - анализ - синтез - оценка» либо, если оно носит тестовый характер, переход от задач с выбором одного правильного ответа к задачам с выбором нескольких вариантов ответа, задачам с множественным выбором, на установление соответствий, на установление правильной последовательности, к задачам открытого типа. На наш взгляд, при обучении математике наиболее сложными являются задачи на выдвижение и проверку гипотез, а также на доказательство утверждений.

В-третьих, формулировки задач определяются целями, для которых используется разрабатываемое задание. Это могут быть тестовые задания, которые удобны для оценки учебных результатов. Такие задания используются, например, в материалах Федерального экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО). Если кейс предназначен для формирования определенных компетенций, то целесообразно использовать задачи на формулировку и проверку гипотез, проведение доказательных рассуждений, анализ и оценку утверждений.

Наш опыт показывает, что для формулировки задач удобно использовать таксономии вопросов. Например, от «тонких» вопросов, требующих воспроизводства знаний и умений, к «толстым», для ответа на которые необходимо провести анализ, оценку, предложить варианты, или от простых и уточняющих вопросов («Кто?», «Что?», «Где?», «Как?») к интерпретационным («Почему?») и творческим («Что, если?», «Можно ли?»), возможно, к практическим («Как использовать?», «Где применить?») и оценочным («Верно ли, что?», «Как определить?»).

Наконец, в-четвертых, кейс-задание должно обладать эвристическим потенциалом, который определяется возможностью осуществления деятельности в разных знаковых системах (например, перевода с естественного языка на математический, визуализации задачи, интерпретации в других терминах и т.п.), а также наличием задач с недостающими, лишними или противоречивыми данными.

Покажем, что каждое из приведенных требований является необходимым, но недостаточным для реализации возможностей кейса. Пример 2

Требуется построить множества точек, координаты которых удовлетво-

71

ряют следующим условиям: a) y=sin х; б) /=sin(2A"-—); в) М = |3 sin х|.

Приведенное задание содержит несколько задач, направленных на обучение построению графиков функций с помощью элементарных преобразований, составленных с возрастающим уровнем сложности, предполагающих работу как с аналитическими записями, так и с графическими моделями. Однако отсутствие «фабулы», контекста существенно снижает его возможности. Поэтому данное задание представляет собой скорее набор упражнений, а не кейс-задание.

Пример 3

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий двух видов: сапог и ботинок. При этом используется сырье двух типов. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей. Требуется: 1) выбрать среди предложенных вариантов математическую модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида обуви; 2) установить соответствие между видом изделия и ежедневным объемом его выпуска; 3) определить стоимость сырья, затраченного на производство сапог, если задана матрица стоимости единицы сырья каждого типа [5].

Очевидно, данное задание, будучи направленным на проверку предметных результатов обучения, носит тестовый характер. Но для заданий обучающей направленности должны использоваться иные формулировки, носящие проблемный, поисковый характер, стимулирующие познавательную активность обучающихся. Пример 4

Задана функция y=2 sin х -5 cos x. Решить следующие задачи:

1.1. Верно ли, что данная функция определяет гармоническое колебание? Если верно, то найдите значение параметров этого колебания: амплитуды А, частоты ш и фазового сдвига ф.

1.2. Постройте график этой функции с помощью элементарных преобразований основного графика.

1.3. Найдите значения аргумента, при которых функция достигает наибольшего отклонения от нуля.

1.4. Выясните, при каких условиях отклонения функции положительны.

1.5. Найдите значение переменной y, соответствующее значению аргу-

. 1 2 мента х= arcsin- + arceos— •

3 3

В этом задании выделены только типовые задачи, нет динамики «от простого к сложному», что существенно снижает уровень проблемности материала. Наконец, ценность этого задания снижает и отсутствие задач с недостающими, лишними или противоречивыми данными. Пример 5

Ввод новой техники позволил автопредприятию модернизировать производство. Группа аналитиков исследовала, каким образом это отражается на прибыли предприятия (млн руб.). Рассматривался уровень прибыли в период введения в эксплуатацию техники в количестве от 1 до 23 тыс. ед. Установлено, что при таких значениях зависимость прибыли предприятия от количества введенных модернизированных автомашин определяется функцией у(х)=-х2+31х+5. На основании данных работы предприятия аналитиками были сделаны выводы:

1. Максимальный уровень прибыли составил 180 млн руб., был получен при использовании инновационной техники в количестве 23 тыс. шт.

2. Минимальный уровень прибыли составил 35 млн руб. при использовании модернизированной техники в количестве 3 тыс. шт.

3. По мере введения в эксплуатацию модернизированной техники прибыль увеличивалась от 35 млн руб. до 210 млн руб.

4. Для получения прибыли в размере 155 млн руб. потребовалось 9 тыс. единиц техники.

Задание. Проанализировать работу аналитиков и скорректировать неправильные выводы.

Приведенный пример обладает эвристическим потенциалом, содержит задачи открытого типа, связанные общей фабулой и одинаковыми исходными данными, но в нем нет «динамики», не прослеживается система таксономий, по которой можно было бы дифференцировать задачи по уровню сложности.

Замечания к примерам показывают, что каждое из приведенных выше требований является необходимым, а вместе они достаточны для разработки кейс-заданий по математике.

Далее коснемся вопроса об оценке качества выполнения кейс-заданий студентами. Анализ литературы (например, [1]) показывает, что наблюдается тенденция к осуществлению критериальной оценки результатов обучения, особенно в гуманитарных областях, где, как правило, не бывает однозначно верных решений. Задачи математического содержания всегда можно оценить по принципу «решено верно - допущены ошибки - не решено». В связи с этим наша позиция заключается в целесообразности использования балльной оценки, которая учитывала бы сложность отдельной задачи и успешность выполнения отдельных операций, составляющих ее решение.

Так, в Примере 5, анализируя третий пункт, студенту необходимо 1) построить график функции; 2) найти ее значения на концах указанного промежутка; 3) определить наибольшее и наименьшее значения функции на этом промежутке; 4) сопоставить найденный ответ с текстом и оценить правильность вывода. Поэтому правильное решение этой задачи можно оценить 4 баллами. Между тем правильное выполнение четвертой задачи в том же примере предполагает лишь вычисление значения функции при заданном значении аргумента и соотнесение с текстом. Следовательно, правильно решенная задача может быть оценена на 2 балла. Сопоставив набранное студентом количество баллов с максимально возможным, несложно поставить итоговую оценку за выполнение всего кейса.

Исходя из вышесказанного, опишем примерный алгоритм разработки таких заданий.

1. Необходимо проанализировать опорные знания и умения, лежащие в основе учебного материала, и подобрать соответствующие им задачи.

2. Связать подобранные задачи общими исходными данными.

3. Составить текст, который будет связывать эти выбранные задачи, опираясь на приложения учебного материала, историю его развития или вписывая его в систему других понятий.

4. Рассмотреть возможности использования задач, предполагающих переход от одной знаковой системы к другой (от одного «языка» к другому).

5. Добавить по возможности задачи открытого типа, задачи с лишними или противоречивыми данными.

6. Систематизировать подобранные задачи по принципу «от простого к сложному» или в соответствии с другой таксономией.

7. Скорректировать формулировки задач на основе таксономии вопросов.

8. Разработать шкалу оценки выполненных заданий.

В заключение приведем пример кейс-задания, разработанного в соответствии с указанными выше требованиями, и покажем нормы его оценивания.

Кейс-задание

В треугольнике АВС рассматриваются следующие величины:

- стороны ВС=а, АС = Ь, АВ = с;

- углы А, В и С;

- высоты Ьа, Ьь, Ис, проведенные соответственно к сторонам ВС, АС и АВ; а С

- медианы та, ть, тс, проведенные соответственно к сторонам ВС, АС

и АВ;

- биссектрисы 1а, 1ь, 1с, проведенные соответственно к сторонам ВС, АС

и АВ;

- площадь треугольника S;

- радиусы R и г окружностей, описанной около треугольника и вписанной в треугольник соответственно;

- радиусы вневписанных окружностей га, гь, гс.

Заданы следующие элементы треугольника: а=4 см, ^ В=45°, тс=3,5 см.

1. Вычислите оставшиеся элементы этого треугольника. Если задача имеет несколько решений, укажите это и разберите подробно один случай.

2. Как найти высоту описанной равнобедренной трапеции, равновеликой данному треугольнику, если её основания относятся как 1:2.

3. Проверьте, что в треугольнике АВС разность между суммой двух его сторон и произведением этих сторон, умноженных на косинус угла между ними, есть величина постоянная. Является ли это утверждение верным для любого треугольника?

4. Выясните, выполняется ли для данного треугольника соотношение sin2A+sin2B=4sinAsinB. Каким должен быть треугольник АВС для того, чтобы это соотношение выполнялось?

5. Можно ли построить этот треугольник с помощью циркуля и линейки?

Данное кейс-задание предлагалось студентам на дисциплине «Элементарная математика» при изучении разделов «Тригонометрия» и «Планиметрия». Традиционно задачи по этим разделам принято определять по требованию: «на вычисление», «на доказательство» и «на построение». В связи с этим в кейс включены задания на проверку умений вычислять элементы треугольника, оперировать понятием равновеликих фигур, решать задачи на построение, а также на доказательство условных тождеств, перевод с естественного языка на математический, выдвижение и проверку гипотез. Соответствующие этим задачам компоненты легли в основу шкалы оценки результатов. Наиболее трудные для обучающихся действия выделены звездочкой (*), они дают большее количество баллов по сравнению с другими.

1. Вычисление элементов треугольника (18 баллов):

- использование теоремы косинусов и вычисление длины стороны АВ

(2);

- использование теоремы косинусов и вычисление длины стороны АС

(2);

- использование теоремы синусов и вычисление величин углов А и С

(2);

- нахождение площади треугольника, радиуса описанной окружности и радиуса вписанной окружности (3);

- вычисление высот, медиан и биссектрис треугольника (5);

- ^вычисление радиусов вневписанных окружностей (4).

2. Нахождение высоты равнобедренной трапеции (6 баллов):

- составление выражения для вычисления боковой стороны трапеции

(1);

- составление уравнения и выражение высоты трапеции через ее основания (1);

- составление и решение уравнения с использованием формулы площади трапеции (1);

- вычисление высоты трапеции (1);

- ^описание обобщенного способа решения задачи (2).

3. Определение тригонометрического свойства треугольника частного вида (5 баллов):

- проверка утверждения на исходных данных (1);

- ^выдвижение гипотезы о виде треугольника (2);

- выполнение тригонометрических преобразований (1);

- получение вывода, доказывающего гипотезу (1).

4. Проверка тригонометрического соотношения в треугольнике (7 баллов):

- перевод с естественного языка на математический (1);

- проверка утверждения на исходных данных (1);

- *выбор способа доказательства (3);

- выполнение тригонометрических преобразований и получение вывода (2).

5. Построение треугольника с заданными элементами (9 баллов):

- решение подзадач (построение равностороннего треугольника и построение угла равного данному); для построения заданного угла (2);

- нахождение второй вершины треугольника; построение окружности для нахождения середины стороны (2);

- нахождение третьей вершины треугольника (1);

- указание на существование двух решений (1);

- ^исследование задачи (3).

Итого - 45 баллов. Итоговая оценка за работу выставляется по формуле

Оценка _ Количество набранных баллов . 100% 45 '

Практика показывает, что изложенная методика разработки учебных кейс-заданий обладает некоторой технологичностью и дает инструменты для реализации возможностей метода case-study при обучении будущих учителей математики.

Литература

1. Загвязинский, В.И. Теория обучения: Современная интерпретация [Текст] : учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб, заведений / В.И. Загвязинский. -М. : ИЦ «Академия», 2001. - 192 с.

2. Карп, А.П. Письменные выпускные экзамены по алгебре в России за 100 лет [Текст] / А.П. Карп ; С.-Петерб. гос. ун-т пед. мастерства. - СПб. : СПбГУПМ, 1998. - 86 c .

3. Методика разработки учебных кейсов для формирования математической компетенции будущих бакалавров экономики [Текст] // Педагогика высшей школы : монография / Е.К. Артищева. - Книга 2. - Новосибирск : Изд-во ЦРНС, 2014. - С. 88-108.

4. Новиков, А.М. Педагогика: словарь системы педагогических понятий [Текст] / А.М. Новиков. - М. : ФГНУ ИТИП РАО, ИЦ ИЭТ, 2013. - 268 с.

5. Педагогические измерительные материалы для проведения Федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО) по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://fepo.i-exam.ru/ fgos_pim_struct (дата обращения: 30.12.2017 г.).

6. Сентябова, Т.А. Управление самостоятельной учебной деятельностью студентов с помощью кейс-метода [Электронный ресурс] / Т.А. Сентябова, Н.Б. Тимофеева // Современные проблемы науки и образования. - 2012. -№ 6. - Режим доступа: www.science-education.ru/106-8098 (дата обращения: 10.12.2017).

7. Скачкова, Л.П. Использование образовательной технологии «кейс-стади» при формировании профессиональной компетентности будущих бакалавров экономики [Текст] / Л.П. Скачкова // Педагогическое проектирование -2013. - № 1. - С. 96-102.