О роли масштабных уровней в теории упругопластичности

О роли масштабных уровней в теории упругопластичности

В.Л. Попов, Э. Крёнер1

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Институт теоретической и прикладной физики, Штутгартский университет, Штутгарт, 70550, Германия

Хорошо известно, что упругопластическая деформация твердых тел приводит к формированию определенных видов внутренней структуры, наблюдаемой с помощью приборов, позволяющих наблюдение внутренних объемов тела. Такое поведение особенно сильно выражено в случае кристаллических материалов, в которых пластическая деформация протекает путем скольжения по кристаллографическим системам скольжения. Типичным свойством внутренней структуры, называемой часто микроструктурой, является то, что она развивается на нескольких масштабных уровнях, поэтому принято говорить о многоуровневых структурах. Эти структуры и их влияние на поведение материала являются предметом настоящего исследования. Показано, что континуальная теория упругопластичности с дислокациями применима только на микроскопическом уровне с учетом дислокаций противоположных знаков. В макроскопической теории дислокаций принимаются во внимание только избыточные дислокации одного знака, приходящиеся на единичный объем, что означает громадную потерю информации. Следовательно, макроскопическая теория дислокаций должна быть классифицирована как теория среднего поля в смысле статистической физики. Она может быть обобщена путем введения корреляционных функций. Обсуждаются два примера трехуровневых систем.

1. Введение

Традиционное описание пластической деформации и разрушения твердых тел основано на механике континуума и теории дислокаций. В последние годы стало ясно, что оба эти уровня описания, будучи весьма полезными для решения многих практических задач, недостаточны, например, для успешного компьютерного моделирования материалов, и что до сих пор существует разрыв между макро- и микроскопическими уровнями описания материалов. Следует упомянуть, что имеются другие механизмы пластической, или необратимой, деформации, помимо движения дислокаций. Таковыми, например, являются двойникование, фазовые переходы, диффузия и т.д. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением дислокационной пластичности.

Общепринятая континуальная теория упругопластичности ориентирована на эмпирические соотношения между механическими характеристиками (такими как предел текучести, коэффициент деформационного упрочнения, упругие модули) на макроуровне. В ее рамках явления пластической деформации изучаются на макроуровне, и затем предполагается, что все локальные объемы материала обладают теми же характеристиками, что и тело в целом. Все локальные объемы материала, таким образом, характеризуются посредством средних (масштабно-независимых) величин. Релаксационная природа пластической деформации в этом подходе не принимается во внимание. Это означает, что формиро-

вание зон сдвига, которое чаще всего протекает как быстрый динамический процесс и ведет к релаксации локальных упругих напряжений, не рассматривается. Концентраторами напряжений (такими как включения, трещины и надрезы), а также микронеоднородными полями собственных напряжений пренебрегают. Континуальная механика не нуждается также в понятии дислокации, однако отказ от его использования ведет к утрате физического смысла и предсказательной силы теории.

В теории дислокаций, напротив, исследуются элементарные акты пластической деформации на микроуровне. Изучение элементарных механизмов пластической деформации имело большое значение и привело к существенному прогрессу в материаловедении. Открытие дислокаций привело к эйфории, длившейся несколько десятилетий, и к надежде на возможность создания теоретической механики упругопластической деформации кристаллических твердых тел на основе теории дислокаций. Более чем полувековое развитие теории дислокаций показало, что эти надежды не сбылись. Макроскопические свойства пластического течения оказалось невозможным описать на основе теории дислокаций. Причины этого более подробно будут описаны в разделе 2.

Мы покажем, что необходимо изучать пластическую деформацию на одном или нескольких промежуточных, «мезоскопических», уровнях, где основным объектом исследования являются уже не одиночные дислокации,

в Попов В.Л., Крёнер Э., 1998

а группы дислокаций. Очень важно принимать во внимание корреляции в расположении дислокаций, которые в большинстве случаев очень сильны. Действительно, пластическая деформация в значительной степени происходит путем движения групп дислокаций вдоль плоскостей скольжения. При таком движении соседние атомы оказываются разделенными, возможно, сотней межатомных расстояний. При таком коррелированном движении одна часть тела смещается относительно другой на большое (по сравнению с атомным масштабом) расстояние. В процессе пластической деформации все тело «разделяется» на мезоскопические объемы, движущиеся друг относительно друга. Такое же поведение наблюдается на более высоких масштабных уровнях (микро- и мезополосы сдвига, см., например, [1, 2]). Часто скоррелированное поведение проявляется как локализация пластической деформации. Отметим, что сильная локализация пластической деформации делает невозможным применение к упругопластической деформации концепции тела как дифференцируемого многообразия [3, 4]; по этой причине континуальной теории упругопластичности в строгом смысле слова не существует. Для того чтобы сохранить континуальную картину в случае упругопластичности, мы вводим шкалу, намного большую характерного масштаба упомянутых мезо-объемов. Представляется разумным связывать эту физическую шкалу с дислокационными источниками, которые генерируют дислокации, движущиеся через кристалл до тех пор, пока они не тормозятся каким-либо препятствием. Распределение источников коррелирует с расстоянием между параллельными плоскостями скольжения. Вместо того чтобы говорить о дислокационных источниках, мы можем поэтому говорить о системах скольжения. Формальное определение макро-, мезо- и микроуровней дается в разделе 3.

Фундаментальным для теории упругопластичности является вопрос о полном наборе динамических переменных среды. Здесь мы понимаем под динамическими переменными такие величины, которые однозначно определяют энергию среды. Коль скоро энергия известна, могут быть записаны динамические уравнения системы. Поэтому мы в разделе 4 рассматриваем упругую энергию, запасенную в среде.

Вероятно, создание общей теории упругопластич-ности, в рамках которой могли бы быть описаны все типы материалов и нагружений (а также все стадии деформации), невозможно. Действительно, пластическая деформация есть многостадийный и многоуровневый процесс [5]. По мере развития процесса пластической деформации в нее вовлекаются все более высокие структурные и масштабные уровни. Причем именно взаимодействие многочисленных уровней деформации приводит к большому разнообразию свойств материалов. В разделе 5 мы рассматриваем частный (но важный) при-

мер упругопластических материалов, в которых внутренние напряжения, возникающие в процессе деформации, могут быть охарактеризованы некоторым параметром размерности длины, не изменяющимся в процессе пластической деформации. Само существование такого параметра размерности длины может быть связано только с наличием внутренней структуры, определяющей общий характер неоднородности пластической деформации и внутренних напряжений. Мы поэтому говорим о среде с мезоструктурой. Мы покажем, что этог класс материалов возможно описать в рамках макроскопического (континуального) подхода, учитывая как макроскопическую механику материала, так и его внутреннюю структуру, а именно посредством введения макроскопического тензора плотности дислокаций как дополнительной динамической переменной среды.

Использование плотности дислокаций как динамической переменной приводит естественным образом к понятию моментных напряжений в среде, которые являются специфическим откликом среды на присутствие дислокаций. Моментные напряжения в среде с мезо-структурой обсуждаются в разделе 6. В разделе 7 обсуждается обобщение рассмотренной модели на макроскопически неоднородные системы. Раздел 8 завершает статью.

2. Масштабные уровни в упругопластичности

Настоящий раздел содержит размышления по поводу возможности создания полевой теории упругопласти-ческой деформации. Для этой цели мы используем хорошо известные методы классических теорий поля, такие как лагранжев и гамильтонов формализмы, хотя и предвидим определенные трудности. Действительно, движение дислокаций, которые рассматриваются здесь как элементарные носители пластичности, всегда диссипа-тивно.

Первая задача состоит в определении динамических переменных, полностью описывающих физическое состояние системы. Эти переменные затем могут быть использованы для спецификации упомянутых состояний. Определение динамических переменных является нетривиальной задачей. Особенно это относится к теории упругопластичности, поскольку актуальные переменные очень сильно флуктуируют на масштабе, который мы в дальнейшем будем называть микроскопическим.

В принципе, возможно описывать среду как множество атомов (если конечно она имеет атомную структуру), движение которых определяется законами квантовой механики. Во многих случаях достаточными могут оказаться классические приближения. Описание атомных конфигураций и их энергий требует детальной информации о движении всех дислокаций в теле (здесь мы не рассматриваем другие дефекты кроме дислока-

ций). Затраты усилий при таком подходе настолько велики, что мы изначально отказываемся от него.

Поскольку параметр решетки кристалла а очень мал по сравнению с другими характерными длинами задачи, представляется разумным провести континуизацию кристалла с дислокациями. Однако несмотря на то, что мы проводим предельный переход к континууму (а ^ 0), мы имеем в виду, что интересующее нас тело является кристаллом. Действительно, основополагающее определение дислокации по Франку основано на кристаллической структуре. В упомянутом предельном процессе масса, приходящаяся на единицу объема, и вектор Бюргерса, приходящийся на единицу площади, должны оставаться неизменными для того, чтобы обеспечить соответствие между реальной и континуи-зированной решетками. Это означает, что расстояния между редуцированными дислокациями, измеренные в уменьшающихся постоянных решетки, возрастают, так что дислокации становятся даже более дискретными [6]. С точки зрения внешнего наблюдателя, редуцированные дислокации приближаются друг к другу так, что мы можем говорить о дислокационной плотности. Соответственно мы делаем различие между внутренним (геометрическим) и внешним описанием кристалла.

Континуизированный кристалл представляет собой континуум, в каждой точке которого могут быть определены три геометрически выделенных направления. Их наличие является причиной возникновения систем скольжения.

Обычно кристалл везде заполнен дислокационной плотностью, меняющей знак на малой (микроскопической) шкале. Если плотность дислокаций задана в каждой точке континуизированного кристалла, то соответствующая накопленная энергия однозначно определена. Однако ввиду изменяющегося знака и статистического характера дислокаций вычисление энергии и здесь лежит за пределами вычислительных возможностей. Тем не менее плотность энергии может быть записана в форме

е = е

где Рупр и а есть тензоры упругой дисторсии и плотности дислокаций, в обоих случаях, вообще говоря, непрерывные функции, флуктуирующие на микроскопической шкале.

Знание формы (1) плотности потенциальной энергии континуизированного кристалла позволяет вывести уравнения равновесия с помощью принципа виртуальной работы. Поскольку Рупр и а являются микроскопическими величинами, мы можем рассматривать (1) как основу для «микроскопической континуальной теории», которая, однако, часто (не всегда!) слишком сложна для практики. В качестве меры масштаба мы можем выбрать расстояние между дислокациями. Отме-

тим, что это расстояние имеет нижнюю границу, поскольку при слишком сильном сближении (несколько нанометров) положительные и отрицательные дислокации аннигилируют. Флуктуации Рупр и а таковы, что возникают многочисленные корреляции (кооперативное поведение), в том числе перекрестные. Примерами таких коррелированных структур являются скопления дислокаций, малоугловые границы разориентации и другие группы дислокаций, занимающих объем, большой на микромасштабе, но малый на макромасштабе. Мы называем его «мезообъемом», а масштаб, на котором возникают эти группы, «мезо-масштабом». В разделе 5 мы приведем специальный пример такой «мезоструктуры».

Рупр и а становятся средними или макроскопическими полями, если в (1) проинтегрировать по элементам объема континуизированного кристалла. Плотность энергии тогда принимает вид1

е = е

где черта обозначает пространственное усреднение. В этом приближении корреляции исключены из рассмотрения, и в каждом элементе объема подсчитываются только «избыточные» дислокации. Это означает огромную потерю информации. Ситуация, описываемая уравнением (2), есть не что иное, как «теория среднего поля» в том смысле, как она часто используется, обычно в качестве приближения, в статистической физике.

Несмотря на потерю информации, (2) может иногда привести к хорошему приближению (см. ниже). В общем случае, однако, это не так. Поэтому представляет интерес уточнение результатов теории среднего поля. Это может быть достигнуто введением в (2) корреляционных функций дислокационного распределения. Это означает значительное усложнение уравнений, так что представляется безнадежным включить в рассмотрение корреляционные функции высоких порядков. От-метим,что корреляционная функция 2-го порядка

(<Ху (х1)аы(х2)^ является тензором 4-го ранга, т.е. весьма сложна. По этой причине разумно для начала ограничиться только двухточечными корреляционными функциями.

Как всегда в статистической физике, корреляционные функции вместе с физическими уравнениями позволяют вычислять только ожидаемые значения, а не значения, относящиеся к конкретными (микроскопическим) точкам. Последние, однако, и не представляют интереса, поскольку микроскопические детали не являются представительными в статистической теории.

Из вышеизложенных соображений следует, что возможна микроскопическая континуальная теория,

1 Для ясности чертой над буквой мы обозначаем все макроскопические поля.

а у

(г ) = } А^ ё3к .

Рис. 1. Спектральная плотность напряжений в структурированной среде

основанная на е = е(Рупр, а). Макроскопическая теория на основе е = е(Рупр, а) также возможна, но это есть теория среднего поля в смысле статистической физики.

В заключение настоящего раздела сделаем замечание по поводу обычной традиционной континуальной теории дислокаций. Если классифицировать дислокационные теории по форме энергетической функции (плотности энергии), то традиционная теория принадлежит к классу, описываемому энергетической функцией вида

е = е(Рупр).

Эта форма оправдана, поскольку плотность дислокаций а, отсутствующая в (3), определяет прежде всего флуктуирующую упругую дисторсию (мы здесь ограничимся статикой).

В микроскопической континуальной теории мы приняли для плотности энергии форму (1). Как это соотносится с традиционной теорией? Из линеаризованной геометрической теории дислокаций мы знаем, что Рупр и а связаны соотношением

сиг1рупр = а. Его подстановка в (1) приводит к

е = е(вупр,еиг1рупр) = е[рупр],

теперь плотность энергии есть функционал, а не функция Рупр. Мы видим, что на микроуровне у нас имеются две теории, определяемые уравнениями (3) и (5). Исходя из наших представлений о физическом феномене «дислокация», ясно, что (5) является более реалистической формой энергии. Отметим, что вариационные производные от е по независимым переменным дают соответствующие величины отклика, которые имеют смысл силовых и моментных напряжений.

3. Макро-, мезо- и микроуровни

Рассмотрим напряжение ау(г) в микроскопически непрерывной упругопластической среде. Представим это напряжение в форме интеграла Фурье:

Наличие структуры в деформированном твердом теле означает структуризацию также и спектральной плотности волны вектора к (рис. 1).

Мы видим три области, отмеченные как макро-, мезо- и микро. Форма кривой реальной амплитуды Фурье-плотности может быть иной; может иметься более трех пиков, пики могут перекрываться и т.д. Кривая типа изображенной на рис. 1, очевидно, может определять масштабные уровни в терминах длин волн. Ситуация, изображенная на рис. 1, является реалистической. В данном случае мы имеем дело с трехуровневой системой, в которой уровни отчетливо могут быть классифицированы как макро, мезо и микро. Физический пример такой системы будет обсуждаться в разделе 5. Если рассматриваемое тело является не монокристаллом, а поликристаллическим агрегатом, то имеется дополнительный масштабный уровень зерен, т. е. актуальной длиной является средний диаметр зерна. Идея рассматривать упругопластические среды как многоуровневые была предложена Паниным, Лихачевым и Гриняевым в [5] (см. также работу Орловской [7]).

4. Разложение упругой энергии на макро-, мезо- и микроскопические вклады

В этом разделе мы рассматриваем трехуровневую систему типа, описанного в предыдущем разделе. Представим напряжения, возникающие в такой среде в процессе пластической деформации, как сумму трех слагаемых

а -

макро- ч „.мезо/_\ микро/-,

где а-- (г), а- (г) и а-- (г) являются результатом интегрирования в (6) по областям ^-пространства, соответствующих макро-, мезо- и микрошкалам соответственно:

а V

макро(г) = / Ауекг &3к

а м езо(г) = | А,/кгА3 к

(мезо) '

11 икро(г) = / Аекг&зк

а V

Очевидно, что а 'макро(г) изменяется на макроскопическом масштабе, а ™ ез°(г) — на мезоскопическом,

микро

а а у- (г) — на микроскопическом.

В нашем линейном приближении потенциальная (упругая) энергия среды может быть найдена как

Е = } ¿V •1 SiJklа j (г)ак1 (г):

где Sijkl есть тензор упругих восприимчивостей. Подставляя (7) в (11), найдем

Е = /¿V • 2 (а м жр°а ГР° + а

мезо_ мезо ,

а а ы +

. _ м икро _ м икро . -л _ макро _ мезо ,

+ аа а и + 2аа а ы +

+ 2а

макро микро

мезо микро

и

+ 2а—"а

Перекрестные члены в этом уравнении равны нулю. Рассмотрим, например, член

/ ¿V • 2 31]к1 (2а;; акроа Щ. С учетом (8) и (9) он приобретает вид

/ Л /d3k'J¿V • З^Ау (к)А'к1 (к')ег(к+к>

.

Отличный от нуля вклад в этот интеграл дают только члены с к + к' = 0. Поскольку к и к' относятся к разным областям ^-пространства (макро- и мезообластям в нашем случае), это условие не может быть выполнено, и интеграл (13) тождественно равен нулю. То же самое справедливо для двух других перекрестных членов в (12).

Таким образом, мы приходим к выводу, что энергия рассматриваемой среды может быть представлена как сумма слагаемых, отражающих соответственно макроскопические, мезоскопические и микроскопические напряжения:

Е = Е1 + Е11 + Еш

Здесь

Е1=! ^ • 2 3а

Е11 =/ ¿V • 2 3

е 111 =/¿V • 2

_ макро _ макро

_ мезо _ мезо

умаг аи ,

а

микро микро

Первый член в (14) есть функция макроскопического тензора напряжений. Он, очевидно, представляет собой не что иное, как гуковскую упругую энергию макроскопических напряжений. Он может быть представлен также как функция макроскопического тензора упругой деформации, поскольку последний однозначно связан с напряжениями посредством закона Гука. В разделе 5 мы покажем, что в средах с выраженными тремя масштабными уровнями третий член в (14) мал по сравнению

со вторым. Поэтому основным объектом исследования в данной работе будет второй член в (14). Мы покажем, что при определенных предположениях е 11 может быть представлен как функция макроскопического тензора плотности дислокаций. Полная энергия тогда принимает вид

Е = Е:(ёупр) + Е11 (а):

где ёупр и а есть макроскопические тензоры (2-го ранга) упругой деформации и плотности дислокаций. Упомянем работу [8], в которой было предложено использовать эти величины как независимые динамические переменные кристаллической среды. Общие уравнения равновесия также могут быть найдены в [8].

5. Пример трехуровневой системы

Для вычисления вида слагаемого Е11 (а) в (18) рассмотрим только такие дислокационные конфигурации, которые не создают макроскопических полей напряжений и, следовательно, не дают вклада в Е:(ёупр). Таковы, в частности, все дислокационные распределения с макроскопически постоянным тензором плотности дислокаций. Действительно, отличные от нуля макроскопические напряжения имеются в среде только в том случае, если тензор макроскопической несовместности Пу не равен нулю [9]:

Па = еь

д

1

ка = аг - — 8,п а I 2

Iу "ут дх "пг , ку =а ji — аkk .

Из (19) следует, что тензор макроскопической несовместности тождественно обращается в нуль для любого макроскопически однородного дислокационного распределения.

В качестве примера рассмотрим неограниченный кристалл, заполненный краевыми дислокациями с макроскопически постоянной плотностью (рис. 2). Другие дислокационные распределения, например, «дислокационная решетка» типа, изображенного на рис. 2, но заполненная винтовыми дислокациями, будут рассмотрены ниже. На рис. 2 мы используем обычный символ ± для обозначения краевой дислокации, где горизонтальная черта символизирует плоскость скольжения, а вертикальная — избыточную полуплоскость. Дислокационные конфигурации такого типа обладают низкой энергией. Они часто возникают и наблюдаются в экспериментах, например, на монокристаллах, подвергнутых небольшому пластическому изгибу [10].

Задача состоит теперь в том, чтобы вычислить точную энергию дислокационного распределения, показанного на рис. 2, и попытаться представить ее как функцию макроскопической плотности дислокаций. Мы исходим из общего выражения для энергии произвольного

тям скольжения, плотность дислокаций остается дискретной и может быть описана как сумма 8-функций1:

аы (х) = 2d аы £§(у - 2dN),

N

где 8(у - 2dN) есть одномерная 8-функция, равная нулю между плоскостями и бесконечности на плоскостях скольжения. Дислокационная плотность в (23) может быть разложена в ряд Фурье

а

(х) =апг Е

е

М=-<^

2пМ

г-У

2d

Подставляя (24) в (20) и производя интегрирование, получим

Рис. 2. Схематическое изображение краевых дислокаций, распределенных с макроскопически постоянной плотностью. Пунктиром выделен макроскопический объемный элемент

дислокационного распределения. Впервые оно было получено Блином [11] для дислокационных линий произвольной формы. Континуизированная форма для энергии дислокационного распределения с плотностью а у (х) может быть найдена в книге Кляйнерта [12]:

Е = ^^ I ек^Утп^кт

аы (х)ау (х')+

2v

+8/пар

где Я = х - х' , а

К>кт =

д 2 Я

дхк дх„

кт

х - х'

х - х'

где G — модуль сдвига; V — коэффициент Пуассона. Мы используем здесь линейную теорию упругости.

Предположим, что расстояние 2d между плоскостями скольжения намного больше, чем расстояние 2а между дислокациями в плоскости скольжения, т.е.

а << d.

Это предположение является вполне реалистичным для структурированных сред, оно вводит в рассмотрение два различных масштабных уровня, а именно мезоско-пический с характерной длиной 2d и микроскопический с характерной длиной 2а. Введение двух масштабов позволяет рассматривать неусредненную плотность дислокаций как непрерывную вдоль плоскостей скольжения функцию. В направлении, перпендикулярном к плоскос-

Е11 - V °^) е1у1 еууп (ап1 а- + 0__2v__

+ 01паргар] + 1 _ V аИап )-

Напомним теперь определение тензора плотности дислокаций агу

АЬ - а„ АБ г

где АЬу — полный вектор Бюргерса всех дислокаций, проходящих через единичный элемент поверхности А8г. Конкретно в ситуации, изображенной на рис. 2, мы имеем

а _ =-

4^

где Ь — модуль вектора Бюргерса; все другие компоненты тензора плотности дислокаций равны нулю. С помощью (27) перепишем (25) в виде

Еп = уО(2d)2 а„2

6(1 - V) 2 '

Важно подчеркнуть, что потенциальная энергия

1 При такой замене не принимаются во внимание флуктуации напряжений с волновым вектором ~2а (микроскопический масштаб в нашем примере), а также соответствующий вклад в энергию. Легко показать, что в рассматриваемой картине Емикро те (а / d)Емез0, так

£ микро ^ ^ т-^мезо

г << Е .

зависит только от расстояния 2d между плоскостями скольжения. Квадратичная форма потенциальной энергии (28) подразумевает, таким образом, определенный характер «структурной организации» среды на мезо-уровне (локализация деформации в плоскостях скольжения, разделенных заданным расстоянием, не изменяющимся в процессе пластической деформации).

Конфигурация, изображенная на рис. 2, является специфическим частным случаем. Было бы важным понять, в какой мере дислокационная конфигурация может варьироваться по сравнению с точной формой на рис. 2 таким образом, чтобы уравнение для энергии все еще оставалось справедливым. Ответ состоит в том, что дислокационная конфигурация не обязательно должна представлять собой строгую решетку, как на рис. 2; единственное требование состоит в том, чтобы дислокации были достаточно строго локализованы в плоскостях скольжения, разделенных постоянным расстоянием. Распределение дислокаций в самих плоскостях, напротив, может быть нерегулярным и содержать также и дислокации противоположных знаков, так что только средний вектор Бюргерса, приходящийся на единицу площади, остается постоянным и однородным. Действительно, в наших вычислениях мы не делали каких-либо предположений о детальной конфигурации дислокаций в пределах плоскостей скольжения. Средняя плотность дислокаций была единственной величиной, которая потребовалась для вычисления энергии. Это означает, что проведенные выше вычисления прило-жимы не только к системе плоскостей скольжения (где дислокации противоположного знака отсутствуют, поскольку они аннигилируют), но и к системе «полос сдвига», также являющихся областями сильной локализации деформации, но в общем случае содержащих дислокации обоих знаков.

Приведенные соображения могут быть проиллюстрированы также с другой точки зрения. Рассмотрим плоские области кристалла на рис. 2, ограниченные соседними плоскостями скольжения. Когезия между соседними доменами благодаря присутствию дислокаций меньше, чем внутри отдельных доменов. Поэтому создание состояния на рис. 2 означает изгиб слоев парами сил на их граничных поверхностях при наличии сильного трения между полосами. Энергия дислокационной конфигурации, рис. 2, может быть поэтому вычислена так же, как упругая энергия изогнутых слоев. Плотность энергии изогнутого слоя равна [13]

и  = Е

Gh2

V 12(1 -V) ^ R,

где h — толщина слоя; R — радиус кривизны. Подставляя h = 2d, принимая во внимание, что 1/R есть не что

иное, как кривизна слоя к, а также тот факт, что соотношение между кривизной и плотностью дислокаций

(а ^ = к , см. [14]) в рассматриваемом примере дается просто как

а2Х = 1 /Я,

мы приходим к тому же результату (28), который был получен из теории дислокаций. Отметим, что энергия изгиба, описываемая уравнением (29), имеет мезоско-пический, а не микроскопический характер. Это означает, что при вычислении плотности энергии нет необходимости рассматривать микроскопические флуктуации напряжений, связанные с отдельными дислокациями.

До сих пор мы рассматривали только особый случай изгиба материала. Это соответствует плоскостям скольжения, заполненным краевыми дислокациями. Рассмотрим теперь более общий случай, в котором дислокации, по прежнему будучи локализованными в плоскостях скольжения, характеризуются произвольным средним тензором плотности дислокаций а у . Это означает, что теперь в среде могут присутствовать как изгиб, так и кручение. Вообще говоря, в материале могут иметься несколько систем скольжения с различной пространственной ориентацией. Мы поэтому предполагаем, что плоскости скольжения могут иметь произвольную ориентацию, определяемую единичным вектором п (рис. 3).

Подставляя в (20) плотность дислокаций как набор 8-функций, периодический в направлении п, получим

т: G(2d )2

и =-~-п^тегиеутп Х

,_ _ 8 _ _ 2V _ _ Л

х

Рис. 3. Ориентация плоскостей локализации дислокационной плотности

где

(П) О^)2 у =-—л-прпя (егр1ексд +

24

+ е1ргекаг0 Я +

2у 1 -V

екд1 )-

В описанной ситуации расстояние 2d, а следовательно, и материальная константа ауи не изменяются в процессе пластической деформации. Это означает, что тензор плотности дислокаций однозначно определяет энергию среды и, таким образом, является хорошей динамической переменной «среды с мезоструктурой» в описанном выше смысле.

Применим общее уравнение (31) к еще одному конкретному дислокационному расположению, а именно к конфигурации как на рис. 2, но теперь с винтовыми дислокациями (рис. 4). Кружки на рис. 4 изображают положения винтовых дислокаций. Для последних как линия дислокации, так и вектор Бюргерса направлены вдоль оси г.

В этом случае единственной отличной от нуля компонентой тензора плотности дислокаций является а22 . Из (31) находим

им

О^)2 а22 2

12

что отличается от энергии такого же распределения краевых дислокаций в (1 -уу 2) раз.

В рассмотренных выше двух частных случаях, изображенных на рис. 2 и рис. 4, единственными отличными от нуля компонентами тензора ащ , входящими в выражение для энергии, являются аХ2Х2 и а2222 . Сравнение (28) и (34) с (32) приводит к следующим уравнениям для этих коэффициентов:

О

6

^ )2

Рис. 4. Расположение винтовых дислокаций (кружки) в «плоскостях скольжения»

а

О2 )2.

В реальных системах ориентация систем скольжения может изменяться от точки к точке. Хорошо известным примером является поликристаллическая среда, в которой каждый кристаллит имеет свои преимущественные ориентации плоскостей скольжения. Предположим, однако, что в каждом локальном объеме имеется только одна система скольжения, как схематически показано на рис. 5.

Тогда макроскопическая энергия среды с дислокациями может быть найдена путем усреднения (31) по всем направления плоскостей скольжения. Это может

быть сделано подстановкой = 3 0*т вместо

щпт в (31). В результате получаем

ТТ О (и )2 _

и = 24 (3а у а у +

2у ,____ч__ч

+ Т-У (а у а у - а у а -) -айа у).

Тензор аук1 может быть теперь переписан в виде

аук1 =

О (2d )2

(30 гк 0 ц +

72

2У 2 2 2 2 2У 2 2 Л (38) + "-0 гк 0 А-0у 0 л---0 и 0 ку).

1-V у г 1 -V к

6. Моментные напряжения в среде с мезоструктурой

Как известно, дислокационные распределения вида, представленного на рис. 2-4, всегда фундаментальным образом связаны с изгибом (или кручением), т. е. с определенной кривизной решеточной структуры, что, например, может наблюдаться с помощью рентгеновского анализа. Эта кривизна была описана Наем [14] с помощью тензора Ку, определяемого как

А9у - КуАх-

где А6 у — относительный поворот двух областей, разделенных интервалом Ахг. Най нашел также связь между Ку и тензором плотности дислокаций ау

К = 0уакк _-

К у = О а А ,

которая ясно показывает, что дислокация может рассматриваться как синоним кривизны решетки. Обратное соотношение имеет вид

а у 0 у К тт К у

Рис. 5. Схематическое изображение среды с макроскопически изотропным распределением систем скольжения

Очевидно, что к у совпадает с тензором, ранее введенным в (19). Подставляя (41) в (21), получим выражение для энергии среды в терминах кривизны решетки:

тти G(2d )2

и = -24-пкптегиеутп Х

._ _ 8 _ _ 2- _ _

х (к гпку +81пкгркур + 1 - - к-Iкуп что может быть переписано в виде

и 11 = 2 _1к

с коэффициентом ау! , определяемым выражением (33). _

Производная от энергии по к у дает моментное напряжение

Тдг = агдпу к уп .

В среде со структурой, таким образом, могут быть определены моментные напряжения; материальные соотношения даются уравнением (44) (аналогичный результат обсуждался Крёнером [15]). Отметим еще раз, что линейное соотношение (44) имеет место только в том случае, когда коэффициент а-к является постоянной величиной. Это означает, что характеристическая длина 2d не изменяется в процессе деформации.

Из рассмотренного примера следует, что ответ на старый вопрос о том, существуют ли в реальных средах моментные напряжения и должны ли они приниматься во внимание, зависит от масштаба, на котором мы хотим описывать тело. Если мы выберем микроскопическую точку зрения, то во всех рассмотренных выше случаях моментные напряжения в среде отсутствуют, а имеются только быстро осциллирующие силовые напряжения. Однако если мы ту же самую систему рассмотрим с макроскопической точки зрения, то, напротив, имеются

только моментные напряжения, а силовые напряжения равны нулю. Моментные напряжения в данной задаче оказываются не чем иным, как макроскопическим языком для описания микроскопических флуктуаций силовых напряжений.

7. Энергия макроскопически неоднородных дислокационных распределений

В нашем примере трехмерной среды мы рассмотрели макроскопически однородные дислокационные конфигурации. Из физических соображений, однако, ясно, что если макроскопическая плотность дислокаций меняется медленно от точки к точке, то полученные уравнения для плотности энергии должны быть по-прежнему справедливы локально. Мезоскопический вклад в энергию среды в этом случае имеет вид

где

и П(_(г)) =

= 2 ауи_у

Здесь агу (г) — макроскопическая плотность дислокаций, т. е. результат усреднения истинной быстро осциллирующей плотности дислокаций по макроскопическому объему, содержащему много плоскостей скольжения (например, объему, выделенному на рис. 2); на макроуровне она изменяется от точки к точке.

Следует принять во внимание, что макроскопически неоднороные распределения дислокаций, вообще говоря, создают макроскопические поля напряжений, так что теперь присутствуют оба члена в (18):

Е = / у(г) е ^(г^Г + / 2 ат1 _у (г)_ и (г^ (47) или в терминах к у

е = / |суИ кпр

Здесь у — тензор упругих коэффициентов среды.

Уравнения (47) или (48) составляют основу для континуальной теории упругопластической среды с мезоструктурой. Для того чтобы записать полные динамические уравнения среды, дополнительно требуются уравнения для кинетической энергии и диссипативной функции. Они, однако, требуют специального рассмотрения и не будут обсуждаться в настоящей статье.

8. Заключение

Проблема создания макроскопической механики упругопластичности, которая могла бы быть исполь-

зована в качестве инженерной теории как при расчетах конструкций, так и для компьютерного конструирования материалов, является актуальной и до сих пор нерешенной научной проблемой. Попытки построить такую теорию сталкиваются с трудностью описания микроскопической структуры материалов методами макроскопической механики. При нагружении упругая и пластическая деформации в большинстве случаев протекают не однородно, а проявляют флуктуации на различных масштабных уровнях. Эта неоднородность играет ключевую роль в определении макроскопических свойств материалов.

Общая задача многоуровневого материала обсуждалась выше в терминах спектральной плотности распределения напряжений в среде. В этой картине различные уровни или масштабы проявляются в пиках спектральной плотности напряжений как функции длины волны в Фурье-представлении. На рис. 1 они отчетливо обособлены, но они могут также перекрываться, что увеличивает сложность состояний материала. В частности, мы обсуждали пример трехуровневой ситуации, где три уровня мы назвали макро-, мезо- и микроуровнями. Подобные уровни формируются в процессе пластической деформации, когда за пределом текучести дислокационные источники, например, типа источников Франка-Рида, активируются и испускают дислокации, движущиеся в плоскостях скольжения до тех пор, пока они не застопорятся всегда имеющимися препятствиями. То есть каждый источник Франка-Рида создает мезодомен, половина которого заполнена положительными, а другая половина — отрицательными дислокациями. Полудомены называют также зонами сдвига, их протяженность определяется числом дислокаций. Типичным является значение 30 дислокаций на зону сдвига. Аналогичную картину сильно локализованной деформации мы находим на поздних стадиях пластической деформации в форме микро-, мезо- и макрополос. Поэтому мы относим формирование зон сдвига к мезофеноме-нам. Мы видим, что на мезоуровне половина доменов содержит дислокации одного знака, а другая половина — дислокации противоположного знака. При макроскопическом описании мы при усреднении по положительным и отрицательным дислокациям получили бы нуль. Этот пример показывает, что мезоуровень важен в подобных экспериментах, например, при простом растяжении упругопластического стержня.

Другой пример, разработанный более количественно, был приведен в разделе 5, где мы рассмотрели упорядоченное распределение дислокаций. Распределение такого типа может быть создано, если кристаллический образец упруго изгибается и затем нагревается, так что критическое напряжение сдвига понижается, и системы скольжения активизируются. Таким образом можно достигнуть того, что упругие деформации,

возникшие в результате изгиба, постепенно замещаются на пластические. Для этого должно произойти движение дислокаций и ясно, что предпочтительным является такое движение, которое ведет к аннигиляции дислокаций противоположного знака. Тем самым понижается свободная энергия системы.

Конечно, на рис. 2-5 представлены идеализированные картины. Но на рис. 2 мы можем отчетливо различить два масштаба, определяемые расстоянием 2d и 2a. Эти два масштаба могут быть определены как мезо (2d) и микро (2а).

Сложность введения масштабов, или масштабных уровней, очень велика. Наше обсуждение скорее преследовало цель понимания проблемы, а не ее решения. Необходимы дальнейшие исследования многоуровневого описания упругопластических материалов.

Авторы благодарны Немецкому научно-исследовательскому обществу и Немецкой службе академических обменов за финансовую поддержку.

Литература

1. Ziegenbein A., Voss H., Plessing J., Neuhauser H. On the Propagation of Slip in Concentrated Solid Solutions at Ambient and Elevated Temperatures//Strength of Materials, ed. by Oikawa et al. - Jpn. Inst. of Met., 1994. - P. 303-306.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов. В 2-х т./Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука,

1995. - 297 и 320 с.

3. Kunin I.A. Kinematics of media with continuously changing topology// Int. J. Theor. Phys. - 1990. - V. 29. - P. 1167-1176.

4. Anthony K.H., Azirhi A. Dislocation dynamics by means of Lagrange formalism of irreversible processes. Complex fields and deformation process//Int. J. Eng. Sci. - 1995. - V. 33. - No. 15. - P. 2135-2148.

5. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

6. Kroner E. Continuized crystal - a bridge between micro- and macromechanics//Z. angew. Math. Mech. - 1986. - V. 66. - No. 5. -P. 284-292.

7. OrlowskaB. Multilevel Model of Micro-Macro Interactions and Residual Stresses in Physical Systems//Proc. of 7th STAMM, ed. by J. Besseling and W. Eckhaus. - Springer Verlag, 1988.

8. Kroner E. Dislocation theory as a physical field theory//Meccanica. -

1996. - V. 31. - P. 577-587.

9. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannungen//Arch. Rat. Mech. Anal. - 1960. - V. 4. - P. 273-334.

10. Livingston J.D. Direct Observation of Imperfection in Crystals. - New York: Intercsience, 1963.

11. BlinF. Energie mutuelle de deux dislocations//Acta Met. - 1955. V. 3. -P. 199-200.

12. Kleinert H. Gauge Fields in Condensed Matter. Stresses and Defects. -Singapore: World Scientific Publishing Co., 1989. - 827 p.

13. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -246 с.

14. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals//Acta Met. -1955. - V. 1. - P. 153.

15. Kroner E. On the physical reality of torque stresses in continuum mechanics//Int J. Eng. Sci. - 1963. - V. 1. - P. 261-278.