Динамический анализ различных геометрических форм исполнения звеньев робота

УДК 621.865.8

ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ ИСПОЛНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ РОБОТА

© 2009 г. Саад Загхлюл С. Ал-Кхаиит

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

Предлагаются четыре различных формы звена робота-манипулятора для исследования влияния формы звена робота на его динамические характеристики. В качестве звена робота рассматривается консольная балка. Для дискретизации уравнений движения и моделирования различных форм робота-манипулятора используется метод конечных элементов. Представлены результаты, иллюстрирующие параметры звена робота-манипулятора для каждой из четырёх форм. Параметры, которые будут исследованы - момент инерции, собственная частота и внутреннее вязкое трение материала. В исследование входит расчёт динамической реакции на исходный крутящий момент, а также сравнивается вибрация схвата. Результаты моделирования свидетельствуют о том, что вибрация конца схвата вдоль траектории и в конечной точке движения меньше у звена, имеющего форму сужающейся балки.

Ключевые слова: упругое звено; различные геометрические формы звена; метод конечных элементов; динамическая модель; собственная частота; внутреннее вязкое трение материала.

In this paper four different shapes of robot's arm are suggested so as to investigate the effect of the shape of the arm on the dynamic behaviour. The finite element method is used to discretize the equations of motion and to model the different shapes of robot's arm. The parameters to be investigated are mass moment of inertia, natural frequency, and internal viscous damping of the material. The four different arm's shapes are subjected to the same input torque. Simulation's results show that the tapered beam has less vibration in trajectory and after reaching the end point of motion.

Keywords: elastic link; different shapes' arm; finite element method; dynamic model; natural frequency; internal viscous friction of material.

Введение

Гибкие роботы-манипуляторы демонстрируют множество преимуществ по сравнению с жёсткими роботами-манипуляторами: на их изготовление требуется меньше материала, у них меньше масса, они потребляют меньше энергии, нуждаются в приводах меньшего размера, требуют меньших затрат и имеют более высокую грузоподъемность на единицу массы (весовой коэффициент робота). Однако при обеспечении точности позиционирования возникают проблемы, обусловленные упругостью системы, ведущие к вибрации, а также трудности получения точной модели и запаса фазовых характеристик системы [1, 2].

Уже существуют ранее разработанные методы моделирования гибких манипуляторов. Их можно разделить на две главные категории: метод расчетных режимов (МРР) и метод численного анализа. Метод расчётных режимов касается получения приближённых режимов путём решения дифференциального уравнения с частными производными, характеризующими динамическое поведение системы [3, 4].

К методам численного анализа относятся метод конечных разностей (КР) и метод конечных элементов (КЭ). Использование метода конечных элементов для моделирования гибких манипуляторов уже исследовалось в [5, 6]. Эти исследования показали, что этот

метод можно использовать для получения хорошей репрезентативности системы.

Моделирование и экспериментальные результаты характеристик гибкого манипулятора были представлены в [7]. Известно, что использование МРР не всегда даёт представление о мелких деталях системы, в то время как при использовании метода КЭ достаточно одного элемента, чтобы довольно хорошо описать динамическое поведение (динамические характеристики) гибкого манипулятора.

В данной работе предлагаются и исследуются четыре различных формы звена манипулятора робота (рис. 1).

-1'

3

Рис. 1. Четыре различных формы звена робота-манипулятора

X

X

б

а

x

X

в

г

Предполагается, что площадь поперечного сечения у трёх манипуляторов является функцией длины. Параметры, которые будут исследованы, - момент инерции, собственная частота и внутреннее вязкое трение материала. В исследование входит расчёт динамической реакции на исходный крутящий момент. Для дискретизации уравнений движения и моделирования различных форм звена робота используется метод конечных элементов.

Допущения и физические свойства звена робота

В этой работе будем считать, что рука робота имеет форму консольной балки, один конец которой не закреплён. Максимальной нагрузке подвергается закреплённый конец, а максимальная деформация происходит на свободном конце [8]. Для формы а площадь поперечного сечения считается величиной постоянной, а для остальных трёх - функцией длины. Максимальная площадь поперечного сечения (Атах = = 0,00012 м2) находится на закреплённом конце, а минимальная (Атш = 0,00006 м2) - на свободном конце. Предполагается, что ширина звена робота постоянная и равна 0,02 м. Звенья изготовлены из алюминия и имеют следующие характеристики: плотность р = 2710 кг/м3; модуль Юнга Е = 7Ы09; длина I = 1 м. Кроме того, а = 0,003 м; Ь = 0,0015 м. Момент инерции механической системы (1Ь) представлен в табл. 1.

Таблица 1

Момент инерции различных форм звена робота

Используя стандартный метод КЭ для решения динамических задач, получаем известное уравнение

Форма Функция Ib, кгм2

а y(x)=a 0,10840

б y(x)=a-b-(x/l) 0,06775

в y (x)=a-bix/l)m 0,06194

г y (x)=a-b^(x/l)2 0,07588

v( x,t) = <Ja (x)Qa (t),

где оа(х) и Qa(t) представляют собой, соответственно, функцию формы и перемещение узлов.

Шарнир

Рис. 2. Механическая модель однозвенного гибкого манипулятора

Звено робота аппроксимировано путём разбиения его на k элементов. Вследствие использования теории расчёта балки Бернулли - Эйлера метод КЭ требует, чтобы каждый узел обладал двумя степенями свободы, упругой поперечной деформацией и вращением. А это, в свою очередь, требует применения эрмитовой кубической базисной функции формы элементов [9]. Следовательно, для элементарной длины I функцию формы можно получить в виде

°a =[Vl(x) V2(x) Уз(х) V4(x)] ,

где

Метод конечных элементов

Метод КЭ включает в себя разложение конструкции на несколько простых частей или элементов. Предполагается, что элементы взаимосвязаны в определённых точках, известных как узлы. При помощи метода аппроксимации для каждого элемента получаем уравнение, описывающее поведение этого элемента. Затем эти уравнения сводят в единое уравнение системы. Обнаружено, что, уменьшая размер элементов конструкции, то есть, увеличивая количество элементов, итоговое решение уравнения системы будет стремиться к точному решению [9].

Как показано на рис. 2, считаем, что гибкое звено манипулятора прикреплено к шарниру. Для моделирования поведения манипулятора используется теория расчёта балки Бернулли - Эйлера. С учётом линейных смещений можно описать полное смещение у(х,г) на расстояние х от центра шарнира в направлении ОХ как функцию не только движения жёсткого тела 9(г), но и упругой деформации v(x,t) в виде

у

, ч , 3x2 2x

vi(x)=1—

, ч 3x2 2x3

v3(x)=7^

2 x2 x3

V2(x) = x-—r+-r l l

23

xx l l2

Для элемента k вектор смещения узла представлен в виде

Яа (г) = V-1 (г) 9k_1 (г) Vk (г) 9k (г)],

где vkл (г) и vk(t) являются упругими отклонениями этого элемента, а 9^ и 90 являются соответствующими вращениями. Подставив v(x,t) из (2) в (1) и упростив выражение, получим

y (x,t) = o(x)Q(t),

где G( x) = [x О a (x)] Q(t) = [0(t) Qa (t )f .

Новые функции формы о(х) и вектор перемещения узла в (3) содержат локальные и глобальные переменные. Среди них угол 9(г) и расстояние х - это глобальные переменные, а оа(х) и Яа(г) - локальные

переменные. Определив 5 = х ^^ как локальные

переменные ^ элемента, где ^ - длина элемента,

кинетическую энергию элемента k можно выразить как

i

Tk = Jp A

8y(s, t) 8t

1 .T

ds = - Q T 2

Jp A(s) (cttct) ds

Q,

где А (я) - площадь поперечного сечения балки. Потенциальную энергию элемента можно получить в виде

1 i

Vk = - J EI

2 П

82 y

8s2

ds =

= - J EI (s)(^ Q)T (d22 Q)ds =

2

= - QT 2

ds2

ds2

,d2ct t d2CT4

J EI (s)(—)T (—)ds

ds

ds 2

Q .

Определив элемент матрицы массы

i

Mk = JpA(s)(CTT ct) ds

и элемент матрицы жесткости

Kk = J EI (s)(BTB)ds

и используя уравнение Лагранжа после набора матрицы массы и матрицы жёсткости, можно получить динамические уравнения движения гибкого манипулятора в виде

M ее M M ev Mv

ev

+ "0 0" "е Ä"

v 0 C v

"0 0 " "еА"

0 Kvv _ v

где M00 - момент инерции на валу; M0V - матрица-строка, связывающая степень свободы, обусловленную упругостью, и угол поворота шарнира; Mw - элемент матрицы инерции, связанный со степенью свободы, обусловленной упругостью звена; C - элемент матрицы внутреннего вязкого демпфирования; Kvv -элемент матрицы жесткости, связанный с упругой

подвижностью звена робота; F0 - момент в шарнире; Fv - элемент вектора силы, обусловленный внешними силами, силами инерции, гравитацией и т.д.; 9h - угол поворота шарнира; v - степень подвижности, обусловленная упругостью.

Подробное описание этих матриц можно найти в

[7].

Демпфирование

Существует несколько методов получения субстанциальной матрицы демпфирования [10]. Хотя метод создан для определённой цели, в данном случае он основан на том, что легкое конструкционное демпфирование можно аппроксимировать вязким демпфированием. Обобщенная задача на собственные значения решается таким образом:

(Kw -hMvv)Ф, i е{1,-,n},

где подстрочный индекс n варьирует от 1 до числа упругих координат в Ф.

Так что отдельные собственные значения (X,) и соответствующие собственные векторы (ф,) собираются в упорядоченные системы и образуют матрицы:

Л = diag{V-Л-......Лn}; ф = со1{ф1,....ф,......,Фп}.

В результате ожидаемая матрица демпфирования выглядит так:

C = 2СФ-Г>/ЛФ-1,

где квадратный корень Л берётся поэлементно, а верхний индекс «-Т» обозначает транспонированную обратную матрицу. Скалярная величина Z - это субстанциальный коэффициент демпфирования. Как в случае с матрицами массы и жёсткости, соответствующими упругим координатам, матрица демпфирования симметрична и положительна, так что C = CT > 0.

Следует отметить, что формула (4) предполагает, что модальная матрица Ф, нормализуется, так что ФтМтФ = 1.

Сравнение главных гармоник собственных частот

Теоретические значения первых трех собственных частот сравниваются со значениями, полученными методом конечных (табл. 2).

Таблица 2

Сравнение главных гармоник собственных частот для звена геометрических форм а и б

2

+

е

+

Показатель Форма руки робота

а б

Частота юи, рад/с 1 2 3 1 2 3

Теоретическая [11] 31,17 195,35 546,98 - - -

Один элемент 31,32 308,13 - 34,09 191,53 -

Два элемента 31,19 197,01 666,31 33,91 164,34 478,26

Три элемента 31,18 195,99 553,79 33,89 162,72 427,56

Четыре элемента 31,17 195,58 551,21 33,90 162,54 421,46

Пять элементов 31,17 195,45 548,94 33,94 162,43 420,27

Как видно, одного элемента достаточно, чтобы получить первую собственную частоту для звена однородной формы (форма а).

Первые две собственные частоты для четырех предложенных различных форм представлены в табл. 3.

Таблица 3

Сравнение главных частот собственных колебаний для различных геометрических форм звеньев,

юи , рад/с

Форма Частот ю„ , рад/с

1-я 2-я

а 31,17 195,45

б 33,94 162,43

в 29,49 146,23

Значение собственных частот для форм б и г выше, чем для формы а. Это означает, что их жесткость выше, чем для формы а. В результате вибрация концевой точки звена этих звеньев меньше.

Динамическое моделирование форм руки робота

Имитационная модель звена робота в процессе моделирования состоит из пяти элементов. Для того чтобы проиллюстрировать рабочие характеристики различных форм робота, все четыре руки подвергаются одной и той же исходной нагрузке крутящего момента. Входное воздействие крутящего момента, приложенное к руке, показано на рис. 3. Двухпозицион-ный крутящий момент с амплитудой ± 0,3 Н-м и рабочим циклом 0,6 с имеет положительный (ускорение) и отрицательный (замедление) период, позволяющий руке сначала двигаться с ускорением, а затем с замедлением скорости и, наконец, остановиться в заданном положении. Осевой момент инерции шарнира (Д) равен 5,232-10-4 кг-м2. Осевой момент инерции манипуляторов (/¿) представлен в табл. 1.

0,4 ? 0,3

0,2 н х

щ 0,1

О

0 -0,1 -0,2 -0,3 0

5S

s

н

0,5

1,0 Время, с

1,5

2,0

Рис. 3. Исходная нагрузка крутящего момента, приложенная к рукам робота разной формы

На рис. 4 показано сравнение характеристик вибрации концевой точки манипулятора для манипуляторов робота разной формы. Как ожидалось, вибрация имеет место по всей траектории и после достижения

конечной точки движения. Сильное колебание в шарнире и на конце руки робота наблюдаеся у руки формы а, что вызвано сильным инерционным воздействием (табл. 1). Клинообразное звено (форма б) подвержена меньшей вибрации как на траектории, так и после достижения конечной точки движения.

Что касается формы в, её вибрация больше, чем вибрация у формы б. У формы г меньше вибрация по сравнению с формами б и в.

При сравнении динамических характеристик четырёх форм руки робота становится ясно, что лучшими характеристиками обладает рука конусовидной формы (форма б).

V, м 0,02

0,01

-0,01

-0,02

0,02

0,01

0,5 1,0

Время, с

1,5

2,0

v, м

0

-0,01

-0,02

0,5 1,0 1,5 2,0

Время, с

б

Рис. 4. Вибрация конца звена робота для четырёх разных форм

Сравнительные результаты вибрации концевой точки с учетом внутреннего вязкого демпфирования материала показаны на рис. 5. Влияние демпфирования материала является большим в формах а и г, в то время как это влияние очень мало в формах б и в. Причина состоит в том, что формы б и в имеют меньше количества материала из-за их геометрии (рис. 1).

0

а

v, м 0,02

0,01 -

0

-0,01

-0,02

0,5 1,0

Время, с

1,5

2,0

0,01 -

-0,01

-0,02

0,5

1,0 Время, с

б

1,5

2,0

Рис. 5. Вибрация конца звена робота для четырёх разных форм звена с учетом внутреннего вязкого демпфирования материала

Выводы

Уменьшение площади поперечного сечения по всей длине звена робота приводит к изменению нагрузки и динамических характеристик упругого манипулятора робота. Сравнение четырёх форм звена робота показывает, что конусовидное звено

имеет лучшие динамические характеристики, чем звенья других форм. Применение звена робота конусовидной формы улучшит управление траекторией манипулятора и позволит использовать привод меньшего размера. Очень важным достоинством конусовидной формы является то, что не только достигается более высокое значение угловой деформации, но и снижается уровень вибрации. Всё это ведёт к тому, что реальное движение упругого звена похоже на движение жёсткого звена.

Литература

1. Modelling and Control of Flexible Manipulators - Revisited / J.C. Piedboeuf [et al.] // Proc. 36th Midwest Symp. on Circuits and systems. Detroit, 1993. P. 1480-1483.

2. Саад Загхлюл С. Ал-Каиит. Робот-манипулятор с модифицированными динамическими характеристиками // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Спец. выпуск «Проблемы мехатроники 2006». 2007. С. 62-66.

3. Лукьянов А.А. Отслеживание траектории пространственными гибкими манипуляторами с помощью решения обратной задачи кинематики и гашения колебаний // Меха-троника, автоматизация, управление. 2004. № 11. С. 23-29.

4. Санкин Ю.Н., Барахов В.М. Математическое моделирование и управление манипуляторами как стержневыми системами переменной конфигурации // Вестн. машиностроения. Ульяновск, 2007. № 3. С. 28-33.

5. Experimental results for the end-effector control of a single flexible robotic arm / Y. Aoustin [et al.] // IEEE Trans. Control Syst. Technol. 1994. Vol. 2, № 4. P. 371-381.

6. Usoro P.B., Nadira R., Mahil S.S. A finite element lagrange approach to modelling lightweight flexible manipulators // Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. Control. 1986. Vol. 108. P. 198-205.

7. Approaches for Dynamic Modelling of Flexible Manipulator

Systems / J.M. Martins [et al.] // IEEE Proc. Control Theory Appl. 2003. Vol. 150, № 4. P. 401-411.

8. Тимошенко С.П., Г.Дж. Механика материалов : учеб. для вузов. 2-е изд., стереотип. СПб. , 2002. 672 с.

9. Ross C.T.F. Finite element techniques in structural mechan-

ics. West Sussex, 1996.

10. Manfred D.M. Sever Tip Velocity Tracking Control for Elastic Manipulators: Ph.D. Thesis, University of Toronto. Toronto, 1998.

11. Bishop R.E.D., Johnson D.C. The Mechanics of Vibration. London, 1979.

Поступила в редакцию

24 марта 2009 г.

а

v, м

0

Саад Загхлюл С. Ал-Кхаиит - аспирант, кафедра автоматизации производства, робототехники и мехатроники, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел.: +79508689437. E-mail: alkhyaat@yahoo.com

Saad Zaghlul S. Al-Khayyt - post-graduate student, department of automatic production, robot-technique and mechatronic, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph.:+79508689437. E-mail: alkhyaat@yahoo.com