Сравнение гидродинамических показателей численных решений задач оптимального регулирования и прогнозирования процесса извлечения нефти из неоднородного пласта

УДК 519.6:519.8 В. Д. Слабнов

СРАВНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗВЛЕЧЕНИЯ НЕФТИ ИЗ НЕОДНОРОДНОГО ПЛАСТА

Ключевые слова: гидродинамические показатели, численное решение, задача оптимального регулирования, задача прогнозирования, процесс извлечения нефти, неоднородный пласт.

С использованием вычислительных экспериментов проведено сравнение гидродинамических показателей численных решений задач оптимального регулирования и прогнозирования процесса извлечения нефти из зонально-неоднородного пласта. Для получения максимального коэффициента текущей нефтеотдачи необходимо регулировать процесс извлечения нефти с помощью, во-первых, оптимальных забойных давлений и дебитов добывающих и нагнетательных скважин с учетом двухстороннего ограничения на режимы их эксплуатации, во-вторых, определенной последовательности и времени перехода к более интенсивной системе воздействия на пласт и, в-третьих, минимально-допустимого значения дебита нагнетательной скважины, исходя из гидродинамического интервала режима ее эксплуатации.

Keywords: hydrodynamic parameters, numerical solution, control optimal problem, forecasting problem, oil extraction

process, reservoir heterogeneity.

Using computational experiments compared the hydrodynamic performance Num-represented solving optimal control and forecasting of oil recovery from the reservoir zone-inhomogeneous. To maximize the recovery rate of the current necessary to regulate the oil recovery process using firstly optimal down hole pressures and flow rates pre-injection wells and extractive given bilateral restrictions on their operation modes, and secondly, a sequence and time of transition to more intensive system stimulation and, thirdly, minimally allowable flow rate of the injection well, based on hy-drodynamic-range mode of operation.

Введение

Трехмерное моделирование реальных объектов с большим числом нагнетательных и добывающих скважин даже при использовании эффективных расчетных схем сталкивается с серьезными трудностями, вызванными, в первую очередь, повышенными требованиями к памяти и быстродействию ЭВМ. Трехмерные модели требуют большого объема информации: распределение проницаемости, пористости, нефтенасыщенности и других параметров по пласту. Такие данные в большинстве случаев отсутствуют. Поэтому для повышения надежности расчета технологических показателей недостающую информацию получают или уточняют, используя методы идентификации параметров модели с имеющимися данными об истории разработки месторождений. Кроме того, информация о показателях разработки залежей обычно является интегральной, осредненной по толщине пластов и отражающей в каждой скважине работу всей продуктивной толщины пласта. Поэтому вполне очевидна важность построения эффективных расчетных схем двухмерных задач, приближенно учитывающих пространственный характер фильтрационных трехмерных потоков.

Одним из наиболее перспективных направлений в решении этой проблемы является подход, связанный со снижением размерности задачи, путем осреднения соответствующих уравнений по вертикальному сечению пласта и введения фиктивных или псевдофазовых относительных проницаемостей. Построенные таким образом алгоритмы с пониженной размерностью задачи позволяют на порядок сократить затраты машинного времени и существенно уменьшить необходимый объем памяти ЭВМ.

Используя двухмерные модели вытеснения нефти в пласте, вскрытом произвольно расположенной системой скважин, можно в то же время учесть капиллярные, гравитационные и диффузионные силы, неоднородность по толщине пластов, кинематику фильтрационных потоков в окрестности скважин [1, 2].

Цель данной работы - дать количественную и качественную оценку гидродинамических показателей численных решений задач оптимального регулирования и прогнозирования процесса извлечения нефти из неоднородного пласта.

1. Построение осредненной математической модели, описывающей процесс 2й двухфазной фильтрации в слоистых пластах

В работах [3-5] была описана Эй математическая модель вытеснения нефти из пласта толщиной Н, в котором абсолютная проницаемость ка меняется вдоль всех координатных осей. Данная модель при некоторых допущениях была усреднена по толщине пласта и получена следующая усредненная 2й математическая модель процесса фильтрации относительно усредненной скорости фильтрации V и нефтенасыщенности §

- Nh

<Иу

чь (§))- мЦ

где = -<5 (§) ^аШ р - суммарная усредненная

скорость фильтрации нефти и воды, Л^ (х, у) -усредненная плотность источников (стоков),

ст(5 ) = *а Н ( (5) / цн + кф (5)/,

суммарная

усредненная проводимость в слоистом пласте, Рн (5) = (к,Нкф (5) / цн) / ст (5) - усредненная

доля нефти в потоке жидкости.

Для полноты система

Р Г = Рк,

или условие отсутствия потока

др / дп\Г = 0 .

Если забойные давления или дебиты скважин известны, то

Р|у = Рзк (). к =1,п

к

Я (¿)=|ст(в)(др/дп)бу, др/ду| = 0, к = 1,п

к

У

к

к

где др / дп, др / ду - нормальная и касательная производные к окружности ук скважины, соответственно.

Начальные и граничные условия на нагнетательных скважинах в области фильтрации О имеют вид

5 ( у) = о = 5о ( у)- 5*

5(х,у) = в*, к = 1,Пн; (х,у) е О.

Для численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) вместе с краевыми условиями (2), (3) используется метод квазилинеаризации вышеописанных уравнений -ГМРБ8 метод [6], т. е. итерационный относительно функции давления р(х,у) и явный относительно

функции нефтенасыщенности 5 (х, у).

2. Постановка задачи оптимального регулирования извлечения нефти по технологическому критерию качества решения

Постановка задачи регулирования при двухфазной фильтрации с учетом ввода скважин в эксплуатацию на основе математической модели Баклея-Леверетта с соответствующими начальными и граничными условиями, а также алгоритм решения этой задачи приведены в [6, 7]. Поставим в соответствие размещению к -й скважины в области фильтрации О ее номер. Обозначим множество номеров добывающих скважин через и*, тогда множество номеров нагнетательных скважин есть и \ и*, где и - множество номеров всех скважин. Предполагается, что срок разработки залежи Т определяется временем отключения последней действующей добывающей скважины. Отключение к -й добывающей скважины происходит при Тк -1 - Т,

где Тк - время достижения к -й скважиной заданного предельно-допустимого значения текущей обводненности ее продукции 1 - Р (Тк) = . Будем

рассматривать регулирование процесса извлечения нефти из неоднородной залежи в рамках принятой модели по критерию максимизации коэффициента текущей нефтеотдачи на заданные моменты времени tr, г = 0,1, 2,.... Математическая задача такого

процесса регулирования извлечения нефти формулируется следующим образом: найти максимальный суммарный отбор нефти

к е и

tn 1

2 п!% ('г) ('г К - ^ "г е

() п

. п п+1.

для заданных планового периода ,"^ +1] и ограничений на режимы действующего множества скважин

р* — р3к — р , Я* —

Я,.

- Я*, ^к е и * ),

с учетом момента времени ^ начала прогнозирования, который определяется из условия

"г ="(Рвк ("г Ь"(Рвк (г)), ™ е 7 ("г),

где номера добывающих и нагнетательных скважин соответствуют оптимальному подмножеству

и * ("г) и и ("г) \ и * ("г). Здесь Як ("г) - дебит к -й скважины на ^ -й момент времени регулирования, Рвк ("г) - доля воды в потоке жидкости для А-й скважины на ^ -й момент времени регулирования,

рзк ("г) - забойное давление к -й скважины на ^ -й момент времени регулирования. Пусть Щ = {|^х х е О, Ьх = 1х / Мх, Ьу = 1у / Му }

- прямоугольная сетка с шагами Ьх, Ьу , покрывающая область фильтрации О, которая строится так, чтобы центры скважин Ок находились в узлах разностной сетки. Будем рассматривать двухфазную фильтрацию в прямоугольной области О . При численном решении задачи регулирования нефтеизвле-чения на каждый контрольный момент времени ^

восстанавливаем оптимальное поле давления в области фильтрации О в результате численного решения задачи линейного программирования (ЛП) (4)-(6):

^

кеи

при ограничениях

ч -1}н! -1Г^1+1/р/+у™§-П -1т +1

рн

Л-

++<+а8 р +«5^ =0,

p * рзк * p

* ^ q *

к ((())(( ((- р„к ((г ))* q**, *((г),

где I = 1,...,М ,] = 1,...,М , М ,M - количество х у х у

узлов по осям OX и OY, соответственно, рзк -забойное давление скважин с координатами (Xk, У^.), Рц - сеточное давление по области фильтрации 0, 5ц - сеточный аналог функции

тг * * *

Дирака, р , р - нижнее и верхнее ограничения на

забойные давления скважин, q*, q* * - нижнее и верхнее ограничения на дебиты скважин.

Найденное поле давления, а также значения оптимальных забойных давлений и дебитов действующих скважин обеспечивают при решении задачи оптимального регулирования процесса извлечения нефти максимальный суммарный отбор нефти из неоднородного пласта на t -ю контрольную дату.

Здесь алгоритм симплексного метода ЛП используется одновременно в качестве метода решения системы алгебраических уравнений, полученных из разностного аналога (5) для первого уравнения системы (1).

3. Вычислительные эксперименты

Покажем преимущество предложенного в предыдущем разделе алгоритма решения задачи регулирования процесса извлечения нефти по технологическому критерию качества решения (4) путем сравнения гидродинамических показателей численных решений задач оптимального регулирования для экономико-математической модели (1), (4)-(6) и прогнозирования для математической модели (1).

Рассмотрена модель неоднородного пласта прямоугольной конфигурации

О = {0 * х * а, 0 * у * Ь}, а = Ь = 850 м ; Н = 5 м; т = 0,2 ; цн = 3 мПа • с ; = 1 мПа • с; 5* = 0,26 ;

5*= 0,8; рк = 22 МПа; р* = 12,5 МПа ; р** = 22МПа;

* 3 ** 3

q = 1 м / сут.; q = 500 м / сут.; Ьх = Ь., = 25 м.

х У

Относительные фазовые проницаемости кф (5), кф (5) - кубические полиномы [6].

Нумерация и план возможных размещений п скважин, а также распределение абсолютной проницаемости ка (х, у) в области фильтрации О показаны на рис. 1. Абсолютная проницаемость ка (х, у) принимала постоянное значение в выделенной зоне к -й скважины (к = 1, п) и относилась к классу кусочно-постоянных функций.

О X

-ч <

Т)

Рис. 1 - Нумерация и размещение скважин в зонально-неоднородном пласте

Рассмотрено пять вариантов вычислительных экспериментов (ВЭ) извлечения нефти из зонально-неоднородного пласта:

1. Комплексное регулирование за счет:

а) темпа ввода скважин;

б) оптимального времени перехода к более интенсивной системе воздействия на пласт избирательным заводнением в результате перевода под закачку воды добывающих скважин или вводом нагнетательных скважин, рационально размещенных в неоднородном пласте;

в) оптимальных режимов эксплуатации скважин действующего фонда по алгоритму, предложенному в данной работе.

2. Регулирование за счет пункта в) варианта 1 по алгоритму работы [8]. Скважины считаются добывающими. Размещение скважин получено в варианте 1. Критерий качества решения - максимальный суммарный отбор нефти.

3. Регулирование с самого начала разработки на предельных режимах эксплуатации добывающих и нагнетательных скважин, размещение которых получено в варианте 1.

4. Комплексное регулирование за счет:

а) темпа ввода скважин, который был выбран с экономической точки зрения, а именно на основе кустового их ввода;

б) времени перехода к более интенсивной системе воздействия на пласт избирательным заводнением, которое было выбрано более поздним, чем в варианте 1;

в) предельных режимов эксплуатации скважин. Размещение добывающих и нагнетательных скважин получено в варианте 1.

5. Регулирование процесса добычи нефти из неоднородного пласта осуществляется по критерию обеспечения равномерного продвижения фронта вытеснения за счет:

а) темпа ввода скважин по рядам, причем очередная скважина в ряду вводится с максимальным значением ка (х, у) в зоне данной скважины

после прорыва воды в зону дренирования предыдущей введенной скважины;

б) времени перехода к более интенсивной системе воздействия на пласт избирательным заводнением в результате перевода под закачку воды добывающих скважин, которые достигли предельной обводненности.

Отметим, что во всех вариантах разработки

добывающие скважины работают до предельной

*

обводненности Рвк = 98 % . Количество скважин п = 12.

В табл. 1 для пяти вариантов ВЭ показаны время и темп ввода двенадцати скважин (н - перевод добывающей скважины под закачку жидкости на момент времени "г). Размещение скважин и время воздействия на пласт избирательным заводнением для каждого варианта отвечали выбранному критерию качества решения задачи регулирования процесса вытеснения нефти водой.

Таблица 1 - Время и темп ввода двенадцати скважин для пяти вариантов ВЭ

№ Темп ввода

варианта ВЭ г и * Ы "г

1 1, 4, 8, 12, 14 1

1 2 2, 5, 6, 12н 200

3 3, 13н 300

4 9н, 10н 500

2 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14 1

3 1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9н, 10н, 12, 13н, 14 1

1 1, 2, 3, 4, 8 1

2 5, 6 60

4 3 12 180

4 12н 300

5 9н, 10н, 13н, 14 360

1 3 1

2 2 274

3 4 298

4 1 299

5 7 300

6 4н 462

7 5 525

8 6 529

9 1н 530

10 8 534

5 11 11 535

12 2н 629

13 8н 701

14 10 811

15 9, 5н 864

16 12 876

17 6н 899

18 3н 1084

19 7н 1261

20 10н 1541

21 11н 2216

22 12н 3127

В соответствии с вариантами 1-5 табл. 1 на рис. 2 показана динамика коэффициента текущей

нефтеотдачи ^ ) от безразмерного времени 1 процесса извлечения нефти из зонально-неоднородного пласта. Как видно из табл. 1 и рис. 2, во-первых, динамика коэффициента текущей нефтеотдачи, полученная по предложенному алгоритму, более лучшая, чем по алгоритму, предложенному в работе [8] (кривая 1 в сравнении с кривой 2). Это можно объяснить лишь комплексным использованием методов регулирования. Во-вторых, темп ввода скважин и время начала воздействия на неоднородный пласт избирательным заводнением существенно влияют на динамику коэффициента текущей нефтеотдачи. Действительно, если в варианте 3, где регулирование осуществлялось на предельных режимах эксплуатации без учета времени и темпа ввода скважин, динамика коэффициента текущей нефтеотдачи по сравнению с вариантами 1, 4 на начальном этапе была самой лучшей, то, начиная с некоторого времени ! = 2,1 по мере обводнения пласта, предельные режимы эксплуатации не стали отвечать критерию максимального суммарного отбора нефти, значит, охват пласта заводнением начал осуществляться неравномерно. Более того, существует оптимальное время начала воздействия на неоднородный пласт избирательным заводнением, которое отвечает критерию качества решения на этапе обводнения пласта. Это хорошо видно из сравнения кривой 1 и кривых 3, 4. В-третьих, выбор критерия качества решения также существенно сказывается на динамике коэффициента текущей нефтеотдачи с самого начала регулирования процесса извлечения нефти из неоднородного пласта (кривая 1 по сравнению с кривой 5).

ни " для пяти вариантов ВЭ извлечения нефти из зонально-неоднородного пласта

Таким образом, можно сделать вывод о том, что эвристическое регулирование процесса извлечения нефти на основе опыта и интуиции разработчика требует проведения дополнительных ВЭ, а значит - увеличения времени счета и анализа данных.

На рис. 3 представлена динамика распределения изосат 5 = 0,3 - 0,7 на моменты безразмерного времени t = 0,5; 2; 4 для вариантов 1, 2, 5 процесса извлечения нефти.

......!

........ \\ь£ jäJ

К « щ

f..............; щ\ о о }/Д • а' сс » О

Рис. 3 - Динамика распределения изосат 5 = 0,3 - 0,7 для вариантов 1, 2, 5 ВЭ извлечения нефти из зонально-неоднородного пласта на моменты безразмерного времени t = 0,5; 2; 4

Как видно из рис. 2, 3, лучшей динамике коэффициента текущей нефтеотдачи ^ | на моменты

безразмерного времени t соответствует более равномерный и полный охват вытеснением нефти водой оптимально размещенными нагнетательными скважинами. Следует отметить, что в варианте 5 на начальном этапе разработки пласта для безразмерного времени t = 0,5 фронт вытеснения нефти был более равномерным по сравнению с вариантами 1, 2, но для безразмерного времени t = 4 с вводом всего фонда п = 12 скважин охват пласта вытеснением оказался самым худшим из представленных вариантов, что, в свою очередь, сказалось на динамике коэффициента текущей нефтеотдачи и говорит о неправильном выборе критерия темпа ввода скважин, а значит, и их размещения в неоднородном пласте, что согласуется с выводами, полученными в работах

[9, 10].

Заключение

При сравнении гидродинамических показателей численных решений задач оптимального регулирования и прогнозирования сделан вывод, что для получения максимального коэффициента текущей

нефтеотдачи в зонально-неоднородном пласте необходимо регулировать процесс извлечения нефти с помощью:

• оптимальных забойных давлений и де-битов добывающих и нагнетательных скважин с учетом двухстороннего ограничения на режимы их эксплуатации (статический метод регулирования);

• определенной последовательности и времени перевода добывающих скважин под нагнетание воды при достижении предельной обводненности на добывающих скважинах (динамический метод регулирования);

• режимов эксплуатации добывающих и нагнетательных скважин при закачке более одного порового объема;

• минимально-допустимого значения дебита нагнетательной скважины, исходя из гидродинамического интервала режима ее эксплуатации.

Лучшей динамике коэффициента текущей

нефтеотдачи j на моменты безразмерного времени t, полученной при численном решении задачи оптимального регулирования, соответствует более равномерный и полный охват вытеснением нефти водой оптимально размещенными нагнетательными скважинами.

Литература

1. Е.С. Макарова, Д.Н. Болотник, Г.Г. Саркисов Нефтяное хозяйство, 3, 94-95 (2002).

2. В.П. Майер Интервал, 2, 25-44 (2002).

3. Э.М. Халимов, Б.И. Леви, В.И. Дзюба, С.А. Пономарев Технология повышения нефтеотдачи пластов. Недра, Москва, 1984. 271 с.

4. М.В. Мееров Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. Наука, Москва, 1986. 236 с.

5. Я.А. Северов Научные труды Оренбургской нефтяной акционерной компании «ОНАКО». 3, 165-169 (2001).

6. В. Д. Слабнов В сб. Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи. Ч. II. Казан. научный центр РАН, Казан. физ.-техн. ин-т, Казань, 1985. С. 8495.

7. Р.А. Султанов, В.Д. Слабнов, И.А. Фукин,

B.В. Скворцов Проблемы управления. ИПУ РАН, Москва, 6, 28-34 (2009).

8. И.К. Зяббаров [и др.] В сб. Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1981.

C. 98-102.

9. Б.Т. Баишев [и др.] Регулирование процесса разработки нефтяных месторождений. Недра, Москва, 1978. 196 с.

10. В.С. Путохин Труды ВНИИ. Вып. 83. Недра, Москва, 1993. С. 234-240.

© В. Д. Слабнов - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информационных технологий, Институт экономики, управления и права (г. Казань), slabnov@ieml.ru.

© V. D. Slabnov - PhD, Associate Professor Department of information technology of Institute economy, management and law (Kazan), slabnov@ieml.ru.